НЕЛИНЕЙНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ
И ВОЛНЫ
МОСКВА
НАУКА · ФИЗМАТЛИТ
1997

ББК 22.21 f f Издание осуществлено при поддержке
JJ22 Р4рИ Российского фонда фундаментальных
VTTK 5λ4 1 JJ исследований по проекту 97-01-14137
ЛАНДА ПХ. Нелинейные колебания и волны. — М.: Наука. Физматлит, 1997. — 496 с.
ISBN 5-02-015212-9
В монографии с единой точки зрения рассмотрены колебательные и волновые процессы
в системах самой различной физической природы. Показано, что такие популярные и быстро
развивающиеся в последние годы науки, как нелинейная динамика, теория солитонов и
синергетика, которые часто изучаются независимо друг от друга, фактически являются
составными частями теории колебаний и волн. Единство колебательных законов позволяет
строить простые модели сложных систем, позволяющие прояснить общие свойства изучаемых
систем и предсказывать их поведение в конкретных условиях. Кроме классических вопросов,
изложены нетрадиционные проблемы шумоиндуцированных колебаний и турбулентности.
Для специалистов» чья деятельность связана с исследованием колебательных и волновых
процессов, а также аспирантов и студентов для углубленного изучения общих законов теории
колебаний и волн и их приложений к конкретным системам.
Ил. 222. Библиогр. 646 назв.
„ 1603030000-022 „ ¥ 1ΛΛΟ © ПС Ланпа 1997
Л—053(02^-97— НаУка> 1 полугодие 1998 ^ 11Л-· -ианда, ι*ν/
ISBN 5-02-015212-9

Оглавление
Предисловие 9
Введение 10
1. Основное содержание книги 10
2. Определение и значение теории колебаний и волн, предмет ее
исследования 11
3. История создания и развития теории колебаний и волн 14
Часть I Основные понятия и определения. Динамические
модели 16
Глава 1. Динамические системы и их фазовое пространство.
Стохастические и хаотические системы 16
1.1. Определение динамической системы и ее фазового пространства.
Число степеней свободы 16
1.2. Классификация динамических систем. Понятие энергии 17
1.3. Интегрируемые и неинтегрируемые системы. Переменные действие-
угол 20
1.4. Системы с медленно меняющимися параметрами. Адиабатические
инварианты 23
1.5. Диссипативные системы. Усилители и генераторы 24
Глава 2. Гамильтоновы системы, близкие к полностью
интегрируемым 25
2.1. Основное содержание теории Колмогорова-Арнольда-Мозера 25
2.2. Система Хенона-Хейлеса 25
Глава 3. Аттракторы и репеллеры 27
3.1. Простые и сложные аттракторы и репеллеры. Стохастические и
хаотические аттракторы 27
3.2. Реконструкция аттрактора из экспериментальных данных 28
3.3. Количественные характеристики аттракторов " 29

4
Глава 4. Различные типы колебаний и волн 32
4.1. Собственные и вынужденные колебания и волны 32
4.2. Автоколебания и автоволны 34
Глава 5. Примеры динамических моделей 36
5.1. Типы динамических моделей и их роль в познании природы 36
5.2. Консервативные модели 37
5.3. Неконсервативные гамильтоновы и диссипативные модели 56
Часть П. Собственные и вынужденные колебания и волны 66
Глава 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных
осцилляторов с одной степенью свободы 66
6.1. Колебания линейных и слабо нелинейных осцилляторов 66
6.2. Колебания сильно нелинейных осцилляторов 78
6.3. Колебания численности видов в модели Лотки-Вольтерра 89
6.4. Колебания пузырька газа в жидкости 90
6.5. Колебания осциллятора с медленно меняющимися параметрами .... 94
Глава 7. Собственные и вынужденные колебания в системах с
полутора и более степенями свободы 98
7.1. Линейные консервативные системы. Нормальные колебания 98
7.2. Нормальные колебания в нелинейных консервативных системах .... 99
7.3. Нормальные колебания в квазиконсервативных системах. Устройство
Лаврова 101
7.4. Акустическая эмиссия и ее модель в виде связанных нелинейных
осцилляторов 104
7.5. Примеры хаотизации колебаний в трехмерных системах с
гармоническими внешними воздействиями 109
7.6. Колебания двух связанных нелинейных осцилляторов под действием
гармонической внешней силы в области основного резонанса 112
7.7. Комбинационные резонансы в системе двух связанных нелинейных
осцилляторов 116
7.8. Параметрические резонансы в системе двух связанных осцилляторов 122
Глава 8. Колебания в цепочках однородных и периодически
чередующихся элементов 127
8.1. Колебания в линейных цепочках однородных элементов 128
8.2. Колебания в линейных цепочках периодически чередующихся
элементов J32
8.3. Колебания в нелинейных цепочках однородных элементов 137
8.4. Колебания в нелинейнах цепочках с периодически чередующимися
элементами, обусловленные гармоническими возмущениями на
границе. Возбуждение второй гармоники и распадная неустойчивость ... 145

Глава 9. Шумоиндуцированные фазовые переходы в нелинейных
системах 150
9.1. Параметрическое возбуждение колебаний маятника со случайно
колеблющейся осью подвеса как шумоиндуцированный фазовый переход 150
9.2. Автопараметрическое возбуждение колебаний осциллятора с
квадратичной нелинейностью при аддитивном случайном воздействии .... 165
9.3. Стабилизация верхнего положения равновесия маятника,
обусловленная быстрыми случайными колебаниями оси подвеса 169
9.4. Шумоиндуцированные колебания в стандартной модели детских
эпидемий, обусловленные случайными изменениями степени контакта с
инфекцией 171
9.5. Шумоиндуцированные фазовые переходы в нелинейных цепочках ... 174
Глава 10. Собственные и вынужденные волны в ограниченных и
неограниченных сплошных средах 177
10.1. Волны с нормальной и аномальной дисперсией 177
10.2. Одномерные волны в нелинейных однородных средах со слабой
дисперсией, описываемых уравнением Кортевега-де Вриза 181
10.3. Солитонные решения уравнения Буссинеска 185
10.4. Солитонные решения кубического уравнения Шредингера и
уравнения Гинзбурга-Ландау 186
10.5. Нелинейные волны, описываемые уравнениями Борна-Инфельда,
Клейна Гордона и синус-Гордона 188
10.6. Генерация второй гармоники и распадная неустойчивость в слабо
нелинейных средах с сильной дисперсией 194
10.7. Одномерные волны в нелинейных однородных средах без дисперсии.
Простые, пилообразные и ударные волны 196
10.8. Вынужденные колебания струны под действием распределенной
гармонической внешней силы 204
10.9. Собственные волны в слабо неоднородных и слабо нестационарных
средах. Волновое действие как адиабатический инвариант 205
10.10.Волны в слоистых средах с периодической структурой 209
10.11.Волновые пучки в нелинейных средах с дисперсией 213
10.12.Волновые пучки в нелинейных средах без дисперсии. Приближенные
решения уравнения Хохлова Заболотской 220
Часть III. Колебания и волны в активных системах.
Автоколебания и автоволны 223
Глава 11. Вынужденные колебания и волны в активных
неавтоколебательных системах 223
11.1. Усилители с сосредоточенными параметрами 223
11.2. Сплошные полуограниченные среды с конвективной неустойчивостью 224
11.3. Взрывная неустойчивость 225
11.4. Волны с отрицательной энергией и связанная с ними неустойчивость 228

6
Глава 12. Некоторые общие сведения об автоколебательных системах232
12.1. Механизмы возбуждения автоколебаний и ограничения их
амплитуды в системах с малым числом степеней свободы. Мягкое и жесткое
возбуждение автоколебаний 232
12.2. Механизмы возбуждения автоколебаний в системах с
высокочастотными источниками энергии 233
12.3. Механизмы возбуждения автоколебаний в распределенных системах.
Абсолютная неустойчивость как механизм возбуждения автоволн . . . 234
12.4. Автоколебательные системы томсоновского и релаксационного типов.
Стохастические и хаотические автоколебания 234
12.5. Возможные пути потери устойчивости регулярных движений и
возникновение хаоса и стохастичности 235
Глава 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными
параметрами 237
13.1. Ламповые и полупроводниковые генераторы. Уравнения Ван-дер-
Поля и Релея 237
13.2. Фрикционная автоколебательная система Кайдановского-Хайкина и
маятник Фроуда 241
13.3. Осциллятор Бонхоффера-Ван-дер-Поля 242
13.4. Простейшая модель гликолиза и сосредоточенный вариант «брюссе-
лятора» 243
13.5. Сосредоточенная модель осциллятора Буравцева 245
13.6. Часы и маятник Неймарка. Энергетический критерий стохастизации
автоколебаний 247
13.7. Автоколебательные модели взаимодействия видов, основанные на
уравнениях Лотки-Вольтерра 251
13.8. Системы с инерционной нелинейностью 252
13.9. Системы с инерционным возбуждением 255
13.10.Системы Ресслера и Чуа 269
13.11.Трехмерная модель иммунной реакции организма и «орегонатор» . . 270
13.12.Простейшая модель экономического развития человеческого общества274
13.13.Модели голосового источника 280
13.14.Сосредоточенная модель «поющего» пламени 289
Глава 14. Примеры автоколебательных систем с высокочастотными
источниками энергии 291
14.1. Маятник Дубошинского, «гравитационная машинами молоточек
Андреева 291
14.2. Маятник Бетено, эффект Папалекси и устройство Рытова 296
14.3. Электромеханические вибраторы. Емкостные датчики малых
смещений 299
Глава 15. Примеры автоколебательных систем с запаздыванием 304
15.1. Управляемые биологические системы 304
15.2. Генератор Ван-дер-Поля-Дуффинга с дополнительной
запаздывающей обратной связью как модель допплеровского автодина 314

7
15.3. Кольцевой оптический резонатор с внешним полем (система Икеды) 317
Глава 16. Примеры распределенных автоколебательных систем с
активными элементами на границах 318
16.1. Система Витта. Конкуренция и синхронизация мод 318
16.2. Явление Рийке 325
16.3. Распределенная модель «поющего» пламени 329
Глава 17. Примеры автоколебательных систем с распределенными
активными элементами 330
17.1. Лазеры. Конкуренция, синхронизация и хаотизация мод. Оптические
автосолитоны 330
17.2. Генераторы Ганна 343
17.3. Ионизационные волны (страты) в низкотемпературной плазме .... 349
17.4. Модель генерации звуков Короткова 359
17.5. Автоколебания ограниченной мембраны за счет возбуждения волн с
отрицательной энергией 366
Глава 18. Периодические воздействия на автоколебательные системы.
Синхронизация и хаотизация автоколебании 368
18.1. Синхронизация периодических автоколебаний внешней
гармонической силой в системе, описываемой уравнением Ван-дер-Поля-
Дуффинга. Два механизма синхронизации 368
18.2. Синхронизация периодических колебаний в генераторе с инерционной
нелинейностью и в более сложных системах 372
18.3. Синхронизация генератора Ван-дер-Поля с модулированной частотой 374
18.4. Асинхронное подавление и асинхронное возбуждение периодических
автоколебаний 379
18.5. Хаотизация периодических автоколебаний при периодическом
внешнем воздействии 380
18.6. Синхронизация хаотических автоколебаний периодическим внешним
воздействием 381
Глава 19. Взаимодействие автоколебательных систем 383
19.1. Взаимная синхронизация двух генераторов периодических колебаний 383
19.2. Взаимная синхронизация трех и более связанных генераторов
периодических колебаний . 389
19.3. Хаотизация автоколебаний в системе связанных генераторов 391
19.4. Взаимодействие между генераторами периодических и хаотических
колебаний 394
19.5. Взаимодействие генераторов хаотических колебаний. Общее понятие
синхронизации 394
Глава 20. Примеры автоволн и диссипативных структур в возбудимых
средах 398
20.1. Автоволны горения. Модель волны переброса 398
20.2. Автоволны в модели Фитц Хью-Нагумо 400

20.3. Автоволны в распределенном брюсселяторе и некоторых других
моделях биологических, химических и экологических систем 403
20.4. Автоволны, описываемые обобщенным уравнением Курамото-
Сивашинского 406
Часть IV Автоколебания в жидкостях и газах и переходы
к турбулентности 411
Глава 21. Конвективные структуры и автоколебания в жидкостях и
газах. Переходы к турбулентности в замкнутых течениях 411
21.1. Неустойчивость Релея-Тейлора и начальная стадия возникновения
термоконвекции в плоском слое 411
21.2. Термоконвекция в тороидальной трубе. Уравнения Лоренца 417
21.3. Начальная стадия возникновения биоконвекции 418
21.4. Возникновение турбулентности в течении Куэтта между двумя
коаксиальными вращающимися цилиндрами 421
Глава 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях 426
22.1. Эволюция представлений о турбулентности с точки зрения теории
колебаний 426
22.2. Численный эксперимент Никитина и его трактовка с точки зрения
шумоиндуцированного фазового перехода 429
22.3. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца 433
22.4. Гидродинамические и акустические волны в дозвуковых затопленных
струях 434
22.5. Автоколебания в системах с обратной связью, содержащих струю в
качестве активного элемента 452
22.6. Дорожка Кармана, эоловы тона и срывной флаттер 459
Приложение А. Преобразования Лиувилля-Грина и Лангера 464
Приложение Б. Метод Уизема и устойчивость периодических
бегущих волн для уравнения Клейна-Гордона 466
Литература 469

Предисловие
В последние годы как у нас, так и за рубежом появилось много книг,
посвященных динамическому хаосу, теории солитонов, самоорганизации и т.п. Эти проблемы
рассматриваются независимо друг от друга, и потому большинство читателей
указанных книг не подозревает, что обсуждаемые в них вопросы представляют собой
отдельные разделы большой универсальной науки, называемой теорией колебаний
и волн. Эта наука не является частью физики или механики. Она стоит над ними,
являясь в каком-то смысле метанаукой. В этом отношении она ближе всего к
математике. В книге, предлагаемой вниманию читателей, излагается современная
теория колебаний и волн. С единой точки зрения описываются колебательные и
волновые процессы в системах самой различной физической природы, как периодические,
так и хаотические. Обсуждается связь между теорией колебаний и волн, нелинейной
динамикой и синергетикой. Одна из целей книги убедить читателя в
необходимости основательного изучения теории колебаний и волн и показать, что такие
популярные в настоящее время области науки, как нелинейная динамика, синергетика,
теория солитонов и т.п., фактически являются составными частями этой теории.
Ситуация сложилась так, что эта книга вышла раньше на английском языке
[494]. Благодаря некоторой задержке настоящего издания по сравнению с
английским, удалось внести в текст некоторые коррективы и дополнения. Благодаря этому
можно надеяться, что книга на русском языке стала лучше ее английского варианта.
Прежде всего, конструкция книги несколько перестроена: сокращено количество
частей. Значительно большее внимание уделено универсальности законов теории
колебаний; на многочисленных примерах показано, что эти законы проявляют себя
одинаково в системах, описываемых самыми различными уравнениями.
Дополнительно включена глава о шумоиндуцированных фазовых переходах в нелинейных
системах (гл. 9). Полностью переделан материал, касающийся переходов к
турбулентности и процессов в дозвуковых струях и следах. В силу своих особенностей он
выделен в отдельную часть. Внесены изменения и поправки также и в другие части
книги.
Книга предназначена для исследователей, занимающихся колебательными и
волновыми процессами, а также аспирантов и студентов, заинтересованных в глубоком
изучении основных законов и приложений теории колебаний и волн.
При написании книги мною использованы многие результаты исследований,
проведенных совместно с другими авторами, в частности с А.С. Гиневским, М.Г. Ро-
зенблюмом и А.А. Заикиным. В составлении библиографии к книге большая
помощь была мне оказана библиографом библиотеки физического факультета МГУ
А.П.Крыловой. За это я выражаю всем им свою искреннюю признательность.

Введение
1. Основное содержание книги
Назначение предлагаемой вниманию читателей книги состоит в том, чтобы дать
представление о современном состоянии теории нелинейных колебаний и волн.
Отличительной ее особенностью является единый подход как к колебательным и
волновым явлениям, так и к регулярным и хаотическим процессам в динамических
системах. Такой подход ведет свое начало от работ Л.И. Мандельштама. В
частности, он отражен в знаменитом курсе лекций Мандельштама по теории колебаний
[224], созданном им самим и прочитанном впервые на физическом факультете
Московского Государственного университета в 1930 г.
Книга состоит из введения, четырех частей и двух приложений.
Во введении дается определение теории колебаний и волн и указывается предмет
ее исследования. Кратко излагается история возникновения и развития этой науки.
В первой части книги определяются понятия динамической системы и ее
фазового пространства, энергии, адиабатических инвариантов, интегрируемости и
т.д. Проводится классификация динамических систем. Излагаются основы теории
гамильтоновых систем, близких к полностью интегрируемым. Даются
определения собственных (свободных) колебаний, вынужденных колебаний и
автоколебаний, хаотических и стохастических движений и соответствующих им аттракторов.
Описываются основные количественные характеристики аттракторов. Отдельная
большая глава посвящена динамическим моделям, изучаемым в теории колебаний
и волн. Дается их классификация и описываются основные, наиболее типичные
модели, которые часто используются при теоретических исследованиях: различные
модели нелинейных осцилляторов с одной степенью свободы, в том числе модель
«хищник-жертва» Лотки-Вольтерра; нелинейные цепочки Тоды и Ферми-Паста-
Улама; различные модельные уравнения для волн в диспергирующих средах,
допускающие решения в виде солитонов; уравнения простых волн и Бюргерса,
описывающие волновые процессы в средах без дисперсии; ряд моделей автоколебательных
и автоволновых систем.
Во второй части книги рассматриваются собственные и вынужденные
колебания и волны в пассивных линейных и нелинейных системах, в частности, в
нелинейных осцилляторах и цепочках нелинейных осцилляторов. Значительное внимание
уделяется проблемам резонансов, индуцированных фазовых переходов и солитон-
ным решениям некоторых модельных уравнений для волн. Даются представления
о волнах с нормальной и аномальной дисперсиями и приводятся соответствующие
примеры. Рассмотрены пилообразные и ударные волны в средах без дисперсии,
а также уединенные волны для уравнения Бюргерса. Анализируются нелинейные
эффекты, имеющие место в полубезграничных нелинейных цепочках и сплошных

Определение и значение теории колебании и волн
11
средах с гармоническими возмущениями на входе, такие как возбуждение второй
гармоники и распадная неустойчивость. Излагаются элементарные основы теории
волн в слабо неоднородных и слоистых средах. Анализируется поведение
ограниченных пучков в нелинейных средах без дисперсии и с дисперсией на основе уравнений
Хохлова-Заболотской и кубического уравнения Шредингера.
В третьей, наиболее обширной, части книги рассматриваются колебания и волны
в активных системах, в частности, автоколебания и автоволны. Описываются
вынужденные одномерные волны в активных (неравновесных) средах и возможное при
этом явление так называемой взрывной неустойчивости. Дается понятие о волнах с
отрицательной энергией. Исследуются различные механизмы самовозбуждения
автоколебаний и автоволн и ограничения их амплитуды. Проводится классификация
автоколебательных и автоволновых систем. Излагается энергетический критерий
стохастизации автоколебаний. Приводится и исследуется большое количество
примеров автоколебательных и автоволновых систем различной природы, как
известных, так и оригинальных. Исследуется влияние периодических воздействий на
различные автоколебательные и автоволновые системы, в частности рассматриваются
проблемы асинхронного подавления и возбуждения автоколебаний, синхронизации
и хаотизации. Анализируется взаимодействие автоколебательных систем, как
классических, так и хаотических; при этом основное внимание уделяется проблемам
синхронизации и хаотизации автоколебаний.
В четвертую часть выделено рассмотрение автоколебательных процессов в
гидродинамических течениях и переходов к турбулентности. Рассматриваются
неустойчивости Релея-Тейлора и Кельвина-Гельмгольца и связанные с ними,
соответственно, явления термоконвекции и неустойчивости границы струи (слоя
смешения). Обсуждается представление о турбулентности в незамкнутых течениях как о
некотором шумоиндуцированном фазовом переходе, приводящем к возникновению
индуцированного аттрактора. Особое внимание уделяется процессам в дозвуковых
струйных и отрывных течениях.
В приложениях излагаются некоторые математические методы, используемые
при исследовании колебательных и волновых систем.
Книга завершается обширной библиографией.
2. Определение и значение теории колебаний и волн,
предмет ее исследования
Теория колебаний и волн — это наука, изучающая колебательные и волновые
движения независимо от их физической природы. Под колебательными
движениями мы, согласно Л.И.Мандельштаму, будем понимать всякие происходящие
длительное время ограниченные изменения состояния тела. В силу ограниченности эти
изменения обязательно должны происходить «туда и обратно» [224]. Под волновыми
движениями мы будем понимать колебательные движения, распространяющиеся в
пространстве. Из этих определений уже видно, что изучение колебательных и
волновых движений должно быть взаимосвязано, т.е. разделение теории колебаний и
теории волн, как это часто делается, не является оправданным. Данное определение
теории колебаний и волн является очень широким. Ведь и другие науки тоже
изучают изменение состояния тел во времени и пространстве. Чем же отличается от

12
Введение
них теория колебаний и волн? Ответ на этот вопрос дан Л.И. Мандельштамом [224].
Если другие науки интересуются в первую очередь тем, что происходит с телом в
данном месте и в данное время, то теория колебаний и волн интересуется «общим
характером процесса, взятого в целом, за большое время».
Весьма интересно, что существуют общие закономерности колебательных и
волновых движений, не зависящие от конкретного вида системы. Все эти
закономерности четко еще нигде не сформулированы, но многие исследователи, часто полу
интуитивно, ими пользуются в своих работах. Зная эти общие закономерности, можно
успешно предсказывать различные явления в самых разных областях науки.
Классическим примером такого предсказания является открытие Л.И. Мандельштамом
комбинационного рассеяния света [219, 220], которое было первоначально
предсказано им, исходя из аналогии между этим явлением и нелинейным взаимодействием
колебаний с различными частотами. Об аналогии между комбинационным
рассеянием и привычными объектами теории колебаний Мандельштам писал следующее
[225]: «С точки зрения теории колебаний беспроволочная телефония и
комбинационное рассеяние света одно и то же. Это модуляция. Звук — в радио, колебания
атомов — в комбинационном рассеянии». Таким образом, основой предсказания
является наличие аналогий между колебательными и волновыми системами различной
физической природы. О таких аналогиях в одной из лекций по теории колебаний
Мандельштам сказал, обращаясь к слушателям [225]: «Все вы знаете такие
системы как маятник и колебательный контур, и знаете, что это с колебательной точки
зрения одно и то же. Теперь все это тривиально, но замечательно именно то, что
оно тривиально». Эти слова не устарели до сих пор. Однако приведенные примеры
не отражают полностью общности законов теории колебаний, поскольку маятник
и колебательный контур описываются уравнениями одного и того же вида. Можно
привести другой, более современный пример, иллюстрирующий эту общность.
Рассматривая одномерное отображение типа параболы (так называемое логистическое
отображение, молодой американский математик М. Фейгенбаум открыл ряд
закономерностей для последовательности бифуркаций удвоения периода (см. гл. 12) и
получил некоторую константу, которая затем получила название константы Фей-
генбаума. Впоследствии оказалось, что эти закономерности справедливы для весьма
широкого класса систем, которые описываются самыми разными уравнениями, и
что найденная Фейгенбаумом констанста является универсальной [398, 314]. Более
того, универсальным оказалось даже поведение спектров при таких бифуркациях
[399].
Лекции и семинары Л.И. Мандельштама носили особый характер. А.А. Андронов
писал в своей статье «Л.И. Мандельштам и теория нелинейных колебаний» [6]:
«Лекции и семинары (Мандельштама) иногда содержали новые научные результаты,
которые нигде больше не публиковались. Но, может быть, еще большее значение этих
лекций было в систематическом привитии навыков колебательного мышления, в
общем повышении колебательной культуры*. К сожалению, «колебательной»
культуры до сих пор не хватает многим, даже весьма крупным, специалистам,
занимающимся конкретными научными исследованиями. Так, если бы химики в свое время
обладали такой культурой, то они бы не заявляли о принципиальной невозможности
колебательных химических реакций в гомогенной среде, и судьба Б.П. Белоусова,
открывшего в 1951г. эти реакции экспериментально [35], возможно, сложилась бы

Определение и значение теории колебаний и волн
13
иначе 1). Кроме того, до сих пор время от времени появляются научные работы,
совершенно ошибочные с точки зрения теории колебаний. Обладай их авторы знанием
законов этой теории, указанные работы могли бы не появиться.
Исторически получилось так, что теория колебаний в начальный период своего
формирования в самостоятельную науку больше всего тяготела к радиотехнике,
черпая из нее свои основные модели и объекты исследования. В силу этого
понимание общности законов теории колебаний, необходимости их изучения
специалистами различных областей науки, пришло далеко не сразу, если вообще пришло.
Не случайно, например, на физическом факультете Московского государственного
университета курс теории колебаний читается только на отделении Радиофизики.
Предмет исследования теории колебаний и волн. Наличие аналогий
между колебательными и волновыми явлениями в системах различной природы является
причиной того, что теория колебаний и волн получила свой предмет исследования,
т.е. стала самостоятельной наукой. Таким предметом является динамическая си-
стемау а именно, система, поведение которой задается некоторым набором правил
(алгоритмом) [249, 538]. В частности, и это наиболее часто, поведение
динамической системы описывается уравнениями — дифференциальными, интегральными
или конечно-разностными. Очевидно, что динамическая система представляет
собой лишь модель какой-либо реальной системы. Любая реальная система
подвержена флуктуациям, как внутренним, так и внешним, и потому не может быть
динамической. В силу этого можно сказать, что теория колебаний и волн изучает
не конкретные системы, а их абстрактные модели. Об основных моделях теории
колебаний и волн, их роли и классификации речь пойдет в части I.
Если в физике динамические модели исследуемых явлений составлялись и
изучались давно, то в других науках этого, как правило, не было. Изучение было
конкретным и, в основном, чисто описательным. Только в последние десятилетия положение
существенно изменилось. Модели стали составляться и исследоваться в химии,
биологии, экологии, метеорологии, экономике и даже медицине. Исключения, правда,
встречались и раньше. Так, А. Лотка в 1920 г. предложил математическую модель
гипотетической химической реакции, в которой возможны колебания концентраций
реагирующих веществ [520, 521]. Аналогичная модель в дальнейшем была
предложена В. Вольтерра [632, 79] для объяснения колебаний численности конкурирующих
видов животных и растений. Эта модель получила название «хищник-жертва*. В
1928г. Б. Ван-дер-Поль в соавторстве с Μ. Ван-дер-Марком предложили
динамическую модель сердца в виде трех связанных генераторов [629]. С помощью этой
модели авторы демонстрировали некоторые известные заболевания сердца,
например, аритмию, и даже пытались предсказывать новые заболевания. Но подобных
моделей было чрезвычайно мало, и они, как правило, оставались неизвестными
широкому кругу исследователей.
Анализируя динамические системы, являющиеся моделями различных реальных
систем из самых разных областей науки, можно обнаружить в них много общего.
В результате эти системы можно классифицировать по тому или иному признаку и
для каждого класса выделить наиболее типичные. Такая классификация, играющая
немалую роль при изложении теории колебаний и волн, будет проведена в гл. 1.
1) Сомнения относительно возможности существования колебательных химических реакций
исчезли после публикации книги A.M. Жаботинского [110].

14
Введение
3. История создания и развития теории колебаний и волн
Как и когда возникла такая обобщающая наука, как теория колебаний и волн?
По-видимому, ее началом следует считать труды Лагранжа в области
аналитической механики, опубликованные им в 1788 г. Введя обобщенные координаты и
импульсы, Лагранж, в сущности, отошел от традиционной механики и записал
динамические уравнения, которые могут быть отнесены к системам любой природы.
Исследование свойств решений этих уравнений позволяет получать общие колебательные
и волновые закономерности. Не случайно в современной литературе по колебаниям
и волнам многие фундаментальные идеи излагаются на языке классических
уравнений Лагранжа (или их эквивалента — канонических уравнений Гамильтона).
Важнейший этап в создании и развитии теории колебаний и волн связан с
трудами Релея (Дж.Стретта), вышедшими в 1877 г. в виде книги под названием «Теория
звука» [304] . В этой книге Релей впервые обратил внимание на аналогию между
акустическими и электрическими колебаниями. Хотя, в основном, книга посвящена
линейной теории колебаний и волн, в ней уже заложены и основы нелинейной
теории, в частности, теории автоколебаний. Было выведено уравнение, отражающее
основные закономерности процесса автоколебаний и носящее в настоящее время
имя Релея. Многие задачи, поставленные в книге Релея, получили решение лишь
значительно позднее. К ним относится, например, исследование автоколебаний так
называемого маятника Фроуда [300], исследование термозвуковых автоколебаний в
резонаторе Гельмгольца [309, 203] и ряд других.
Создание современной нелинейной теории колебаний связано с именами
математиков А.Пуанкаре [270, 271], Дж.Биркгофа [40] и А.М.Ляпунова [215, 216],
заложившими математические основы этой теории. Правда, приложение развитых ими
математических методов к собственно теории колебаний было сделано существенно
позднее, преимущественно в трудах А.А.Андронова [4].
Важный вклад в развитие нелинейной теории колебаний, особенно прикладной
ее части, внесли труды Б. Ван-дер-Поля [627, 628, 62, 630], исследовавшего работу
лампового генератора и предложившего свой знаменитый метод исследования —
метод медленно меняющихся амплитуд.
Следующий весьма значительный этап в развитии и оформлении теории
колебаний и волн в самостоятельную научную дисциплину связан с работами Л.И.
Мандельштама и его учеников А.А.Андронова, А.А.Витта, Г.С.Горелика, Н.Д.Папа-
лекси, СМ. Рытова, С.П.Стрелкова, С.Э.Хайкина и др. Как уже отмечалось,
Л.И.Мандельштамом в Московском университете в 1930г. впервые был прочитан
курс лекций по теории колебаний и волн. Этот курс лекций [224], как и
последующая книга Г.С.Горелика «Колебания и волны» [92], до сих пор является образцом
единого подхода к колебательным и волновым явлениям.
Почти независимо от Л.И. Мандельштама, А.А. Андронова и других физиков
математические основы нелинейной теории колебаний закладывались в трудах
математиков Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А. Митропольского и их учеников
[157, 43, 44, 228, 229, 230]. Были созданы важнейшие методы аналитического
исследования слабо нелинейных колебаний — асимптотический метод, метод усреднения
и метод эквивалентной линеаризации. Дальнейшее развитие эти методы получили в
работах Н.Н. Моисеева [233], В.М. Волосова и Б.И. Моргунова [76, 77, 78], А. Найфэ

История создания и развития теории колебаний и волн
15
[238], А.Б.Васильевой [64, 65], Е.Ф.Мищенко [231] и др. [546, 389, 584].
Одной из важнейших заслуг А.А.Андронова явилось то, что он впервые понял
связь между абстрактными предельными циклами Пуанкаре и периодическими
колебаниями в ламповом генераторе, исследованными Ван-дер-Полем. Такие
колебания Андронов назвал автоколебаниями. Выделение Андроновым класса
автоколебательных систем вызвало поток работ, авторы которых сообщали об обнаружении
автоколебаний во всевозможных конкретных системах. Eine больший поток работ
впоследствии был вызван к жизни открытием того факта, что процессы в
автоколебательных системах могут быть не только периодическими, но и
хаотическими. Важный вклад в это открытие был внесен работами Ю.И. Неймарка, ученика
А.А.Андронова, по теории гомоклинических структур [243, 244, 245, 246, 248].
Открытие хаотических автоколебаний привлекло к этой области небывалое внимание
специалистов самых разных областей науки.
Кроме этого открытия, большому вниманию к проблемам теории колебаний
способствовало также открытие в какой-то мере противоположной тенденции в
эволюции динамических систем — тенденции к упорядочению, к самоорганизации.
На почве последнего открытия возникла целая наука под названием синергетика
[320, 321, 267, 269, 214]. Хотя эта наука появилась вне видимой связи с теорией
колебаний и волн, на самом деле ее предмет изучения и методы исследования
позаимствованы именно из этой теории.
Важнейшее влияние на развитие теории колебаний и волн оказало открытие
особого типа волн — солитонов. Экспериментально солитон был обнаружен давно, еще
в прошлом веке Дж. Скоттом-Расселом, описавшим свои наблюдения и
эксперименты в [581]. Первое уравнение, имеющее решение в форме солитонов, было
выведено Д.Кортевегом и Г.де Вризом в 1895 г. [475]. Однако, теоретическое
осмысление открытия солитонов и разработка математических методов их расчета были
сделаны сравнительно недавно, в 60-х г.г. нашего столетия [414, 479, 643]. В
настоящее время по теории солитонов имеется обширная литература (см., например,
[311, 115, 337, 390, 383, 458]). Тем не менее, до сих пор у многих исследователей
нет четкого представления о месте теории солитонов в общей 'теории волн, и
поэтому часто возникает путаница с применением этого понятия. Устранению этой
путаницы в какой-то мере может помочь предложенный недавно Б.С. Кернером и
В.В.Осиповым [140, 470] термин автосолитоны, относящийся к солитоноподобным
образованиям в автоволновых системах.

Часть I
Основные понятия и определения·
Динамические модели
Глава 1. Динамические системы и их фазовое
пространство. Стохастические и
хаотические системы
1.1. Определение динамической системы и ее фазового
пространства. Число степеней свободы
Как уже говорилось, динамическими системами называются такие системы,
движения которых задаются некоторым набором правил (алгоритмом). Для
динамической системы можно ввести понятие состояния, определяемого набором величин,
называемых динамическими переменными. Пространство динамических
переменных, полностью определяющих состояние системы, называется фазовым
пространством. Из определения динамической системы следует, что ее состояние в любой
момент времени t должно однозначно определяться ее состоянием в какой-либо
предыдущий момент времени to. Как уже отмечалось, очевидно, что все реальные
системы не являются динамическими по двум причинам: во-первых, они всегда
подвержены некоторым неконтролируемым воздействиям (флуктуациям), во-вторых,
их начальное состояние не может быть определено с бесконечной точностью. Во
многих случаях эти обстоятельства не являются существенными, так что состояние
реальной системы в любой момент времени t можно практически однозначно
предсказать, зная ее начальное состояние с некоторой конечной точностью. Это имеет
место тогда, когда движение системы является устойчивым по отношению к малым
возмущениям. В противном случае указанные выше обстоятельства играют
решающую роль и определение состояния системы по ее начальному состоянию
становится невозможным, т.е. поведение системы является непредсказуемым, случайным.
Если такая непредсказуемость сохраняется при стремлении возмущений к нулю и
точности задания начального состояния к бесконечности, то указанное поведение
динамической системы Ю.И.Неймарк [248] предложил называть стохастическим,
а соответствующие системы — стохастическими. Если же непредсказуемость
имеет место лишь при конечных, хотя и очень малых, возмущениях и при конечной, но
достаточно большой, точности задания начального состояния, то такое поведение,
согласно Неймарку, следует называть хаотическим, а соответствующие системы —
хаотическими. В дальнейшем мы будем придерживаться этих определений,
несмотря на некоторую неопределенность, связанную с тем, что стохастическими часто
называют системы с явно включенными в них источниками шума. Совершенно
очевидно, что реально невозможно разделить стохастические и хаотические движения

Гл. 1. Динамические системы и их фазовое пространство
17
в указанном выше смысле, даже при компьютерном моделировании. Это можно
сделать лишь для простейших динамических систем, допускающих аналитическое
исследование. Поэтому в тех случаях, когда мы не будем знать истинный характер
случайного поведения динамической системы, мы будем называть его хаотическим.
Такой терминологии мы придерживались в книге [248].
Важной характеристикой динамической системы является ее число степеней
свободы. Традиционно под числом степеней свободы динамической системы
понимают половину числа независимых переменных, полностью определяющих ее
состояние, т.е. половину размерности фазового пространства системы. Такое
определение числа степеней свободы связано с тем, что это понятие впервые возникло в
механике, где одномерное движение материальной точки полностью задается
двумя величинами: координатой и скоростью. Согласно указанному определению
число степеней свободы динамической системы может не быть целым числом. Так,
например, если система описывается дифференциальным уравнением третьего
порядка или системой трех дифференциальных уравнений первого порядка, то ее
число степеней свободы равно полутора. Заметим, что если система неавтономна, т.е.
алгоритм перехода из одного ее состояния в другое зависит явно от времени, то
такую систему можно рассматривать как автономную, введя время в качестве одной
из координат фазового пространства. При таком подходе систему, описываемую
дифференциальным уравнением второго порядка с внешним воздействием следует
рассматривать как систему с полутора степенями свободы.
1.2. Классификация динамических систем. Понятие энергии
Все динамические системы, имеющие физический смысл, можно разделить на
два больших класса: системы с сохранением фазового объема и системы, в
которых фазовый объем уменьшается — диссипативиые системы (см. диаграмму).
Диаграмма
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Системы с сохранением
фазового объема
Гамильтоновы
Негамильтоновы
^^-^_
Консервативные
Неконсервативные
Диссипативиые системы
Пассивные
Усилители
Активные

Автоколебательные системы

18
Часть J. Основные понятия и определения
Если система описывается дифференциальными уравнениями вида
*j = /j(*i»*2,...,*n), J = 1,2,..., η, (1 2.1)
то можно показать, основываясь на теореме Гаусса-Остроградского, что изменение
ее фазового объема dV за время dt равно
dV^dt /(^ + !J?+ '"+^Г) dxxdx2 ...dxn = dt /divxdx, (1.2.2)
где χ - вектор с координатами si,X2> ·■ · >zn. Отсюда следует, что достаточным
условием сохранения фазового объема является
divx = 0. (1.2.3)
Аналогично, достаточным условием уменьшения фазового объема, т.е. условием
диссипативности системы, является
divx<0. (1.2.4)
Системы с сохранением фазового объема, в свою очередь, можно разделить
на гамильтоновы и негамильтоновы. Гамильтоновыми называются системы,
уравнения которых могут быть записаны в каноническом виде через гамильтониан
#(Я>Р>*)> гДе Я и Ρ — обобщенные координаты и импульсы. Эти канонические
уравнения имеют вид
дН ΘΗ
Для автономных гамильтоновых систем всегда имеется один очень важный
закон сохранения, отражаемый так называемым уравнением Гамильтона-Якоби
H{q,p) = E. (1.2.6)
Этот закон сохранения называется законом сохранения энергии, а величина Ε
называется энергией системы. Системы, в которых энергия сохраняется,
называются консервативными 1). Если исходные уравнения системы записаны в форме
уравнений Лагранжа
d dL dL Λ
где L = L(q,q, t) — функция Лагранжа, то функцию Гамильтона легко найти из
соотношения
#(q,p,<) = (qp)-L(q>q)<), (1.2.8)
где q нужно выразить через ρ из уравнения
dL
Р=^. (1-2.9)
1^В механических системах понятие энергии вводится независимо, как сумма кинетических и
потенциальных энергий отдельных составляющих системы. В этом случае понятие
консервативности можно ввести и для негамильтоновых систем.

Гл. 1. Динамические системы и их фазовое пространство
19
Для распределенных систем обобщенные координаты q зависят не только от
времени, но и от пространственных координат х, у, ζ. При этом уравнение (1.2.7)
принимает вид
д_д£ д_дС_ д_дС_ д_ д£ _ OjC _
dt dqt <9х dq* <9у dqy dz dqz dq ""
где qa = dq/da, С = £(q, qt, qx, qy, q2,0 — плотность функции Лагранжа
(лагранжиан). В автономном случае из уравнений (1.2.10) следуют два интеграла движения,
которые можно трактовать соответственно как законы сохранения энергии и
импульса в дифференциальной форме:
dW
_+ div7> = 0, (1.2.11)
где
W={qt^)-C (1.2.13)
плотность энергии,
вектор потока энергии (аналог вектора Умова-Пойнтинга),
'-{(*£)■(*£)■(*£)}
вектор плотности импульса,
к·= -{("•©^•("•Si'-S}'
- - -{(*£)■(*£)■(*£)-«}
— компоненты тензора потока импульса.
Если проинтегрировать уравнение (1.2.11) по объему V, ограниченному
поверхностью 5, через которую поток энергии отсутствует (V\s = 0), то в силу теоремы
Гаусса-Остроградского получим закон сохранения полной энергии в объеме V:
Е= Wdxdydz = const. (1.2.17)

20
Часть L Основные понятия и определения
Отсюда естественно напрашивается вывод, что аналогом функции Гамильтона
для распределенных систем должен быть функционал
#[q>p]= /((qtp) -£(q>qt,q*>qt/>q*)) dxdydz, (1.2.18)
ν
где qt нужно выразить через ρ из соотношения ρ = dC/dqt- Из (1.2.18) найдем
выражение для вариации функционала Н:
ffdF, dF г OF t dF c <9F c <9F c \ J , ,
№riUiq4iqt4iqi4qy+%q24iT^y^
где F — подинтегральное выражение в (1.2.18). Учитывая, что qa = dSq/da, где a
принимает значения t, χ, у, ζ, и вычисляя
= I —
~ J dqQ
'.-/££*
ν
по частям с учетом того, что на границах вариация Sq равна нулю, получим, что
г f d dF л а
V
В силу этого выражение для SH принимает вид
«-/((^♦^♦аЕ-йМ'-*)**·*)***·
Учитывая теперь уравнения Лагранжа (1.2.10) и формулу ρ = dC/d<\t, а также
воспользовавшись понятием функциональной производной, получим канонические
уравнения для распределенных систем в виде
дЧ SH dp SH ,
Έ=*> Ж = -^ (12Л9)
где SH/Sp и SH/Sq означают функциональные производные от Я по ρ и q
соответственно.
1·3. Интегрируемые и неинтегрируемые системы.
Переменные действие-угол
Если системы описываются дифференциальными уравнениями, то их можно
разделить на два важных класса: интегрируемые и неинтегрируемые. Система,
описываемая дифференциальными уравнениями порядка Ν, называется полностью
интегрируемой, если она имеет N независимых интегралов движения. Для гамиль-
тоновых систем согласно теореме Лиувилля, как правило, оказывается достаточно

Гл. 1. Динамические системы и их фазовое пространство 21
существования η = Ν/2 интегралов [312, 637, 12, 149]. Для этого требуется только,
чтобы они находились в инволюции, т.е. скобки Пуассона для любой пары
интегралов равнялись нулю.
Если гамильтоновасистема полностью интегрируема, то ее гамильтониан #(q, p)
путем канонического преобразования переменных 2) Q = Q(q,p), Ρ = P(q,p)
может быть сведен к виду #(Р). При этом, как следует из канонических уравнений,
все компоненты вектора обобщенного импульса Ρ являются константами. В
качестве такого обобщенного импульса удобно выбрать переменную, называемую
действием. Для системы с одной степенью свободы действие J определяется как
J=hjpd^ (131)
где интеграл берется по замкнутой траектории в фазовом пространстве
динамических переменных q, р, соответствующей периодическому движению.
Соответствующая действию J каноническая переменная (угол ΰ) определяется из канонического
уравнения
Так как J =const, то ι? Ξ u(J) =const. Можно показать, что u{J) = 2n/T(J),
где T(J) — период колебаний. Таким образом, ΰ = ωί + φ> Определение переменных
действие-угол для систем с числом степеней свободы η > 2 дается, например, в
монографии [12].
Для полностью интегрируемых систем в силу существования η законов
сохранения каждая траектория в фазовом пространстве будет лежать на π-мерной
поверхности. Для траекторий, остающихся в ограниченной области фазового
пространства, эта поверхность является тором, уравнения которого в параметрической
форме имеют вид
Jk - const, dk=Wkt + <Pk* k = 1,2,.. .,τι.
Для двумерного случая такой тор схематически изображен на рис. 1.1.
Отношение частот ρ = ω\/ω2 называется числом вращения Пуанкаре. В случае,
когда ρ равно отношению целых чисел, т.е. частоты ω\ и и>2 являются кратными
(ωγ/ω^ = k/m), движение на торе является
периодическим (траектория замыкается после к оборотов по г?χ и
т оборотов по дъ). Если ρ иррационально, то траектория
является квазипериодической и покрывает весь тор, что
приводит к свойству эргодичности.
Примером полностью интегрируемой системы
является система, для которой функция Гамильтона имеет вид рИс. 1.1. Схематическое
изображение двумерного
"(q,p) = £(f+ с.ы). (13-3) тора
2) Каноническим называется преобразование, якобиан которого равен нулю.

22
Часть I. Основные понятия и определения
где qs — обобщенные координаты, ps — обобщенные импульсы. Для такой системы
уравнения движения получаются следующими
Ь = Ps, Ps = -■j-j- = -9$(q9). (1.3.4)
Таким образом, система распадается на η независимых систем уравнений, каждая
из которых описывает некоторый нелинейный осциллятор. Уравнение Гамильтона-
Якоби в этом случае также распадается на η независимых уравнений вида
^ + U,(q,) = E.. (1.3.5)
Действия Js определяются выражением
Q»m*x
Js = hjPsdqs^\: J ^2<<E>-UMs)dqs, (1.3.6)
гДе Qsmm и </*«.·* — корни уравнения Us(qs) — Es. Как следует из приведенных
результатов, любое движение интегрируемых гамильтоновых систем является
либо периодическим, либо квазипериодическим, т.е. оно имеет регулярный характер.
Для неинтегрируемых систем, как мы увидим ниже, движение может носить
стохастический характер.
Приведем далее некоторые примеры негамильтоновых интегрируемых систем,
взятые из работы [235]. Прежде всего, рассмотрим задачу о вращении твердого тела
с одной неподвижной точкой. Обозначив через А,2,з — главные моменты инерции,
а через Ω 1,2,3 — компоненты вектора угловой скорости, запишем уравнения Эйлера:
ϊ\ώ\ = (/г — ^з)^2^з, ^2^2 = (/з — /ι)ωια>3, ^з^'з = (1\ — /2)^1^2- (1.3.7)
Для этих уравнений легко записать два закона сохранения, первый из которых
представляет собой закон сохранения кинетической энергии, а второй — закон
сохранения импульса:
Ijwl + /гы| + hul = Е = ^^ ^;2ω2 + 72ω2 + /|ω| = К= const (13.8)
Выражая из этих уравнений ω\ и и>2 через ω% и подставляя в третье уравнение
(1.3.7), найдем третий интеграл движения:
ω3(0
г / ^ ,
3У (Ι\-ΐ2)ν\(^ΕΛΚ)ω2(ω*ΛΕΛΚ) '
ω3(0)
Таким образом, система (1.3.7) оказывается полностью интегрируемой.
В качестве второго примера рассмотрим систему уравнений вида
i = !/i У = х*> z = -xy. (1.3.9)

Гл. 1. Динамические системы и их фазовое пространство
23
Легко видеть, что для этой системы фазовый объем сохраняется, так как
дх/дх + ду/ду + dz/dz = 0. Третье уравнение системы (1.3.9) может быть
проинтегрировано посредством подстановки в него у = х. Тогда мы получим один из
интегралов движения:
х2
z+y+ Ci =0. (1.3.10)
Подставив теперь ζ из (1.3.10) во второе уравнение системы (1.3.9) и исключив у,
мы получим следующее уравнение:
х3
i + Ci*+y = 0. (1.3.11)
Отсюда с учетом первого уравнения системы (1.3.9) и уравнения (1.3.10) мы
находим второй и третий интегралы движения:
x(t)
»' + ? = с>- ,= hc3-cj'-,v<-c! "312)
х(0)
Итак, эта система, как и система (1.3.7), оказывается полностью интегрируемой.
1.4. Системы с медленно меняющимиея параметрами.
Адиабатические инварианты
Важным классом неавтономных гамильтоновых систем являются системы с
медленно меняющимися параметрами. Для таких систем гамильтониан является
медленной функцией времени, т.е. Я = #(q,p,^)· Для определенности положим
Р2
Я(х,р,е0 = у + <7(*,б*)> (1.4.1)
где ρ = χ. Можно показать, что для системы, описываемой таким гамильтонианом,
величина действия
J=^j>pdx3) (1.4.2)
в первом приближении по малому параметру е не изменяется со временем, т.е.
является адиабатическим инвариантом [224].
Переходя в (1.4.2) от интегрирования по χ к интегрированию по t и учитывая,
что χ = р, получаем
T(et)
0
где
T(d) = & Μ/π/ ~~ ττ/ (1.4.4)
dx
y/2(E{€t)^U(x,€t))
3'B выражении (1.4.2) интегрирование проводится по замкнутой траектории при е = О, т.е. J
пропорционально площади цикла на фазовой плоскости при с — 0.

24
Часть I. Основные понятия и определения
— период колебаний, E(et) — ρ2/2 -f U(x,d) — энергия колебаний, являющаяся
медленной функцией времени.
Выражение (1.4.3) можно записать в следующем виде:
где K(et) — средняя кинетическая энергия, uj(ct) = 2n/T(d) — частота колебаний.
Заметим, что для линейного осциллятора, согласно теореме вириала [224], К — U
и выражение (1.4.5) принимает вид: J = E(€t)/u>(et), т.е. в этом случае действие J
оказывается пропорциональным числу квантов. В случае нелинейного осциллятора
физический смысл действия не столь очевиден.
Обобщение понятия адиабатических инвариантов на случай систем с η
степенями свободы дано в работе СМ. Рытова [287], а общая современная теория
адиабатических инвариантов изложена в работах М. Крускала [156, 478].
1.5. Диссипативные системы. Усилители и генераторы
Очень важным и наиболее распространенным классом динамических систем
являются диссипативные системы. В природе все системы являются диссипатив-
ными, однако, если диссипация, достаточно мала, то на обозримых временах она не
успевает проявиться, и системы ведут себя как консервативные. Это имеет место,
например, при движении небесных тел. Диссипативные системы делят на пассивные
и активные. Пассивными называются системы, не содержащие источников анергии.
Из-за наличия диссипации энергия таких систем убывает. Активными называют
системы, включающие в себя постоянный или переменный источник энергии.
Активные системы, в свою очередь, можно условно разделить на так называемые
усилители и генераторы. В усилителях характер изменения динамических переменных,
вообще говоря, полностью определяется внешним воздействием, подаваемым на вход.
Если внешнее воздействие длительное время отсутствует, сигнал на выходе
усилителя тоже должен отсутствовать. Однако при достаточно большом коэффициенте
усиления сигнал на выходе усилителя реально наблюдается и тогда, когда внешний
сигнал не подается. Это связано с тем, что во всякой реальной системе неизбежно
присутствуют шумы, как внешние, так и внутренние (последние обусловлены так
называемыми естественными флуктуациями [177]). Эти шумы и наблюдаются на
выходе усилителя, если его коэффициент усиления достаточно велик. Генераторы
— это активные системы, движение в которых возможно без какого-либо внешнего
воздействия. Усилитель является необходимой составной частью всякого
генератора. Но одного усилителя мало. Чтобы стать генератором, усилитель должен быть
охвачен так называемой обратной связью, благодаря которой часть сигнала с
выхода усилителя подается на его вход. В распределенных системах обратная связь
может быть либо локальной, как это имеет место в средах с абсолютной
неустойчивостью (так называемых локально возбудимых средах), либо глобальной,
возникающей вследствие отражения волн от границ среды. За счет наличия обратной связи
ритм движения генераторов определяется самой системой, а не источником
энергии. Такие системы дальше мы будем называть автоколебательными, а процессы,

Гл. 2. Гамильтоновы системы, близкие к полностью интегрируемым 25
происходящие в них — автоколебаниями. Отметим, что традиционное определение
автоколебаний, данное А.А. Андроновым [6], относится только к автономным
системам. Однако в последние годы это определение расширено и обобщено на некоторые
неавтономные системы [194].
В заключение заметим, что проведенная выше классификация динамических
систем является в некотором смысле условной, поскольку для различных значений
параметров одни и те же уравнения могут описывать системы различных типов.
Глава 2. Гамильтоновы системы, близкие к
полностью интегрируемым
2.1. Основное содержание теории
Колмогорова-Арнольда-Мозера
Поведению систем, близких к полностью интегрируемым, посвящена теория
Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) [11, 151, 232]. Для таких систем гамильтониан
можно записать в виде
Я(711...,7„|1?1,...,1?„) = Яо(71>...,7„) + €Я1(Л>...>Л>Л1>...|Лп),
где J ι, ..., J η, ι?ι, ..., ϋη — переменные действие-угол для невозмущенного
движения, #ο(<Λ, · · ·, Λι) — невозмущенная часть гамильтониана. При t — О все фазовые
траектории системы лежат на n-мерных торах. Согласно теореме КАМ при
малых е торы сохраняются, если для них число вращения Пуанкаре иррационально,
т.е. траектории являются квазипериодическими. Резонансные торы, т.е. торы, на
которых фазовые траектории являются замкнутыми, разрушаются, и на их месте
образуются стохастические слои, где траектории уже не лежат на n-мерной
поверхности тора, а занимают некоторую область фазового пространства. С увеличением
i толщина слоев растет, и в конце концов возникает глобальная стохастичность.
Для систем с двумя степенями свободы стохастические слои в трехмерном
пространстве постоянной энергии изолированы друг от друга двумерными торами, на
которых траектории являются регулярными. При η > 2 слои уже не разделяются, а
образуют единую сложную систему даже при очень малых е. Изображающая точка
может переходить из слоя в слой. Этот процесс называется диффузией Арнольда.
2.2. Система Хенона-Хейлеса
О том, что даже очень слабое отклонение от интегрируемости может привести
к возможности стохастического поведения гамильтоновой системы,
свидетельствует численный эксперимент Хенона-Хейлеса [431]. Систему, исследованную Хеноном
и Хейлесом, можно получить путем некоторых приближений из уравнений
кольцевой цепочки Тоды, содержащей три элемента. Эта цепочка представляет собой три
одинаковых шарика массы т, расположенных на окружности (рис. 2.1).

26
Часть I. Основные понятия и определения
Между шариками действуют упругие силы, экспоненциально зависящие от
расстояния. Уравнения движения шариков можно записать в виде
*Ί = /(*ι - *з) - /(х2 -si),
Х2 = /(«2 - Х\) ~ /(*Э " *2)> (2.2.1)
*3 = /(«3 - *2) - /(«1 - *з)>
где Xj — отклонение от положения равновесия j-ro
шарика,
m /(ζ) = -*(ΐ-<τ'*). (2.2.2)
Гамильтониан системы (2.2.1) имеет вид
Рис. 2.1. Кольцевая цепочка Н = т(4 + а («-«'"·-*> - l) V (2.2.3)
Тоды из трех элементов *-^ \ 2 \ / /
где pj = x'j, α = Ar//?, X4 = xj. Из уравнений (2.2.1) следуют законы сохранения
энергии и полного импульса:
з
Я = Ε = const, p = 2jpj = const. (2.2.4)
Третий интеграл движения был найден Хеноном [433]. Он имеет вид
£(|- + a(Pj+Pj-H)e-/3(l'+,-Ij)) =const. (2.2.5)
Его физический смысл до сих пор остается неясным. Существование трех
интегралов движения для цепочки Тоды, состоящей из трех элементов, является
свидетельством ее интегрируемости. Чтобы получить систему Хенона-Хейлеса, введем новые
обобщенные координаты х, у и импульсы рХ) ру по формулам
ν^3 Λ, ч 1 п, ч dx dy
х = —^-/?(«1+я?2), у =--/?(*!-х2)> Р* = 57» Ру = Л-'
где г = βλ/Zat. Считая, что суммарный импульс ρ равен нулю, т.е. рз = — (Pi + Рг)>
можно положить хз = —(^1 4- $2)· Отсюда находим
β(χ3 - χι) = 2(у + V3x), β(χ2 - хз) = 2(t/- v^x), ^ (р?+р1+р§) = 12α(ρ* +ρ2).
Подставляя эти выражения в (2.2.3), найдем гамильтониан системы в новых
переменных. Его удобно записать в виде:
2 2/ \
Я = Щ^- + ^ (ехр(2(г/ + уДх)) + exp(2(j/ - уДх)) + е"4* - з) . (2.2.
б)

Гл. 3. Аттракторы и репеллеры
27
Разлагая в выражении (2.2.6) экспоненты в ряд и ограничиваясь кубическими
членами разложения, получаем гамильтониан Хенона-Хейлеса:
„ = *+&+*+*+ + -£. (2.Z7,
Уравнения движения, соответствующие этому гамильтониану, имеют вид
£ = _*(ι + 2у), у = -(у + х2 - у2), (2.2.8)
где точки означают дифференцирование по времени т.
Как показали численные расчеты, проведенные Хеноном и Хейлесом [431],
решение системы (2.2.8) при достаточно больших значениях энергии имеет хаотический
характер, что свидетельствует о неинтегрируемости этой системы.
Глава 3. Аттракторы и репеллеры
3.1. Простые и сложные аттракторы и репеллеры.
Стохастические и хаотические аттракторы
Аттрактором называется множество точек в фазовом пространстве, к
которому стремятся со временем все соседние фазовые траектории из некоторой
области, называемой областью притяжения. Согласно этому определению,
аттракторами являются устойчивая особая точка (рис. 3.1 а), устойчивый предельный цикл
(рис. 3.1 6) и устойчивый тор. Однако в системах с числом степеней свободы, боль-
Рис. 3.1. Простые аттракторы: а — устойчивая особая точка, б— устойчивый предельный
цикл; многооборотный предельный цикл как пример хаотического аттрактора (в)
шем единицы, кроме этих простых аттракторов, возможны аттракторы,
устроенные более сложно. Такие аттракторы в литературе часто называются странными.
Странные аттракторы можно разделить на стохастические и хаотические в
зависимости от того, отражают .ли они стохастическое или хаотическое поведение
системы. Стохастическими называются аттракторы, состоящие из конечного или
бесконечного числа седловых циклов и их неустойчивых интегральных многообразий.
Хаотическими называются аттракторы, состоящие как из седловых, так и
устойчивых циклов с малыми областями притяжения. В стохастическом аттракторе все

28
Часть I. Основные понятия и определения
фазовые траектории должны быть экспоненциально неустойчивыми. Хаотические
аттракторы должны содержать по крайней мере одну устойчивую траекторию. В
частности, они могут содержать либо один устойчивый многооборотный
предельный цикл, витки которого достаточно близко подходят друг к другу (рис. 3.1 б)
и потому имеют малые локальные области притяжения, либо счетное множество
устойчивых предельных циклов с достаточно малыми областями притяжения (это
множество может быть и бесконечным).
Если в фазовом пространстве имеется несколько аттракторов, то их области
притяжения разделены неустойчивыми множествами точек, от которых все или
почти все соседние фазовые траектории отталкиваются. Эти множества точек
называются репеллерами. Простейшими примерами репеллеров являются неустойчивая
особая точка (рис. 3.2 а), неустойчивый предельный цикл (рис. 3.2 б) и неустойчивый
тор. Но, как и аттракторы, репеллеры бывают устроенными более сложно.
Рис. 3.2. Простые репеллеры: а — неустойчивая особая точка, б— неустойчивый
предельный цикл
Аттракторы и репеллеры могут существовать только в диссипативных
системах. Фазовый объем, занимаемый траекториями на аттракторах и репеллерах,
равен нулю. Поэтому размерности аттракторов и репеллеров должны быть меньше
(а часто существенно меньше), чем размерность исходного фазового пространства.
Этот факт является очень важным при исследовании систем с достаточно большим
числом степеней свободы и, особенно, распределенных систем. Для последних
фазовое пространство имеет бесконечную размерность, однако размерность
аттрактора, как правило, является конечной. Для некоторых распределенных систем
имеются даже соответствующие теоремы, указывающие верхнее значение размерности
аттрактора [17, 127, 427]. Конечность размерности аттрактора распределенных
систем позволяет для исследования установившихся движений в таких системах
использовать конечномерное фазовое пространство. Как же такое пространство
сконструировать? Одним из возможных приемов является использование так
называемой теоремы Такенса [607], о которой речь пойдет в следующем пункте.
3.2. Реконструкция аттрактора из экспериментальных
данных
Согласно теореме Такенса, аттрактор исследуемой системы можно
реконструировать, зная реализацию лишь одной из координат исходного фазового
пространства, которую мы обозначим через х(£). По этой координате можно сконструиро-

Гл. 3. Аттракторы и репеллеры
29
вать новую динамическую систему произвольной размерности т, взяв в качестве
вектора, описывающего положение точки в фазовом пространстве конструируемой
системы, т-мерный вектор
у(0 = {x(t),x(t + г), ...,*(* + (m - 1)г)}.
Теорема Такенса утверждает, что для почти любой реализации x(t) (она должна
быть общего вида) и почти любого времени задержки г аттрактор
сконструированной динамической системы размерности m будет топологически эквивалентным
аттрактору исходной системы, если только m > 2ан + 1, где о.ц — хаусдорфо-
ва размерность исходного аттрактора 1). Поскольку хаусдорфова размерность
аттрактора, как правило, заранее не известна, то значение m заведомо
приходится брать достаточно большим. С целью найти минимальное значение т, которое
называется размерностью вложения аттрактора, можно использовать различные
приемы преобразования координат фазового пространства. Один из таких
приемов, предложенный в работе [362], основан на известной в теории распознавания
образов [413] теореме Карунена Лоэва, а другой, предложеннный нами r работах
[193, 490], основан на процедуре построения так называемого хорошо
приспособленного базиса, разработанной Ю.И. Неймарком для целей медицинской диагностики
[273]. Анализ этих приемов, их сравнение и различные примеры даются в работах
[192, 193, 435, 490]. Указанные приемы можно применить как к исходному
фазовому пространству, так и к пространству, сконструированному на основе теоремы
Такенса. Очевидно, что способ реконструкции аттрактора, основанный на
теореме Такенса, пригоден и для анализа экспериментальных данных. Здесь, правда,
часто возникают трудности, связанные с наличием в эксперименте
неконтролируемых шумов. Описанные выше приемы преобразования координат фазового
пространства позволяют одновременно решить задачу частичной фильтрации шума.
Последовательное применение одной из этих процедур, как показано в работе [192],
существенно улучшает качество фильтрации. Другие трудности, приводящие в
ряде случаев к существенным ошибкам, связаны с подходящим выбором наблюдаемой
реализации и с ограниченным временем наблюдения [491].
3.3. Количественные характеристики аттракторов
Основной количественной характеристикой аттрактора, безусловно, является
его хаусдорфова размерность. Как уже говорилось, она определяет минимальную
размерность фазового пространства, в которое этот аттрактор может быть вложен.
Однако непосредственное вычисление хаусдорфовой размерности сложно. Поэтому
часто вместо нее вычисляют другие размерности, близкие к размерности Хаусдор-
фа. Это — так называемые фрактальная размерность d (или емкость
аттрактора) и корреляционная размерность i/. Емкость определяется формулой
rf=Bm^, (3.3.1)
) Понятие хаусдорфовой размерности было введено в работе [428].

30
Часть L Основные понятия и определения
где N(e) — число π-мерных кубиков с ребрами е, которыми можно покрыть весь
аттрактор. Корреляционная размерность вычисляется через корреляционный
интеграл
1 N
С{€) = itL Ю Σ *('- \Yi ~ Yil), (3.3.2)
где ΰ(ζ) — функция Хевисайда, у,- — вектор, описывающий положение
изображающей точки в фазовом пространстве в момент времени ti = to + ir, N — число точек.
Величина С(е) определяет относительное число пар точек, расстояние между
которыми не больше е. При малых б корреляционный интеграл С(е) ведет себя как с".
Отсюда следует, что
!,= hm w. (3.3.3)
е-Ю In б V '
В работе [421] показано, что емкость аттрактора d и корреляционная
размерность ν являются частными значениями так называемой обобщенной размерности
D =hm^IMy (3.3.4)
4 е-+0 In б"1 V '
где 1я(е) = In Vj Ρ? — энтропия Реньи порядка q [567], ρ, — вероятность по-
" «=1
падания изображающей точки в г-й кубик. Легко видеть, что при q — 0 формула
(3.3.4) переходит в (3.3.1), т.е. d = D0, а при q — 2 имеем Iq{t) = — С(е), и
следовательно, ί/ = Ζ?2· Обобщенная размерность любого порядка </ может быть вычислена
через обобщенный корреляционный интеграл [423]:
c«w=^[i|:(ii;^-iyi-yii))'-1
1/(7-1)
(3.3.5)
При </ = 2 выражение (3.3.5) переходит в (3.3.2). Если б достаточно мало, то Ся(е)
ведет себя как exp(Dq). Отсюда находим
оч = ][т1лШ. (з.з.б)
4 6-ю In б v ;
Можно показать, что Dq > Dg/, если q < qf ·
Зависимость обобщенной размерности от q характеризует степень
неоднородности фрактальных свойств аттрактора 2). Для однородных аттракторов все значения
Dq равны между собой и совпадают с хаусдорфовой размерностью.
Другими важными характеристиками стохастического и хаотического
аттракторов являются максимальный ляпуновский показатель, характеризующий степень
2'Стохастические аттракторы, как правило, имеют фрактальную, т.е. сильно изрезанную,
структуру. Этим объясняется их дробная размерность. Примером фрактального множества
является так называемое канторово множество. Хаотические аттракторы, в принципе, не обладают
такой структурой, но в численных и реальных экспериментах из-за наличия возмущений может
сложиться представление, что такая структура существует.

Гл. 3. Аттракторы и репеллеры
31
расходимости близких фазовых траекторий, и число положительных ляпуновских
показателей, характеризующее число направлений неустойчивости.
Максимальный ляпуновский показатель определяется формулой
А= lim ln^, (3.3.7)
d-+ о
где d(t) — расстояние между двумя близкими фазовыми траекториями.
Непосредственный расчет показателей Ляпунова по формуле (3-3.7) для систем с
экспоненциальной неустойчивостью траекторий практически невозможен в силу того, что
даже при очень малом, но конечном, d(0) величина d(t) быстро возрастает с
ростом £, что приводит к существенным ошибкам. Чтобы избежать этих трудностей,
Бенеттиным и др. [347] был предложен другой алгоритм расчета максимального ля-
пуновского показателя. Согласно этому алгоритму все время счета Τ разбивается
на m промежутков длительностью г. На каждом промежутке задаются одинаковые
начальные расстояния между близкими траекториями (с учетом поворота
начального вектора) и вычисляются локальные ляпуновские показатели А^ по формуле
А^ = (l/r)lndi, где di — отношение расстояния между траекториями в конце г-го
шага к начальному расстоянию. Чтобы вычислить А, нужно усреднить все значения
А^,т.е.
1 m
А=-УХ (3.3.8)
»=ι
Выражение (3.3.8) можно записать в виде
1 m
А= — InTTd,·. (3.3.9)
* = 1
По аналогии с обобщенными размерностями в работе [411] были введены
обобщенные ляпуновские показатели
ι /1 m \х,я
А* = 7 ln(mI>?J · (3-ЗЛО)
Можно показать, что при q —у О выражение (3.3.10) переходит в (3.3.9), т.е. А = А0.
Легко видеть также, что если все di равны между собой (di = d)y то все значения
Хя также совпадают и равны А = (l/r)lnd. Таким образом, отличие обобщенных
ляпуновских показателей друг от друга характеризует неоднородность аттрактора
по отношению к разбеганию траекторий в различных его областях.
В работе [348] дается алгоритм расчета не только максимального ляпуновско-
го показателя, но и других ляпуновских показателей. Последний, в принципе,
аналогичен алгоритму расчета максимального ляпуновского показателя, но требует
проведения операций ортогонализации Грама-Шмидта.
Указанные алгоритмы расчета ляпуновских показателей пригодны, если
известны уравнения системы, либо, по крайней мере, две различные траектории в
фазовом пространстве системы. При реконструкции аттрактора из экспериментальных

32
Часть /. Основные понятия и определения
данных известна только одна такая траектория, причем в дискретных точках.
Поэтому для расчета ляпуновских показателей в этом случае требуются специальные
алгоритмы. Один из таких алгоритмов разработан А.Вольфом и др. [639].
Модифицированный алгоритм Вольфа предложен в работе [190]. Оба этих алгоритма
пригодны и для расчета обобщенных ляпуновских показателей.
Заметим, что в случае хаотических аттракторов разбегание соседних фазовых
траекторий, как и фрактальные свойства аттрактора, обусловлено наличием
возмущений. Однако существенно, что степень разбегания, описываемая ляпуновскими
показателями, слабо зависит от величины и характера возмущений в
определенном диапазоне, а в основном определяется самой динамической системой. Это же
относится и к размерностям хаотического аттрактора, характеризующим его
кажущиеся фрактальные свойства.
В дополнение к вышеизложенному мы заметим, что для описания
количественных характеристик аттракторов часто используются размерности, выражающиеся
через ляпуновские показатели Αχ, λ2, ..., λη. Формула Каплана-Йорке [466],
определяющая так называемую ляпуновскую размерность, имеет вид
j λ
~[ lAj+il
где все λ, расположены в порядке убывания (λι > Аг > ... > λη), a j определяется
из условий Αι -{- λ2 + ... + Xj > 0, Αι + Аг + ... + Xj + Aj+i < 0. Другая формула для
оценки фрактальной размерности аттрактора была предложена Л.Янг [642]. Она
определяется следующим выражением:
где к — число неотрицательных ляпуновских показателей. В [642]. показано, что
Dl < d < di, где d - емкость аттрактора. Легко видеть, что для трехмерных
систем величины di и Di совпадают и, следовательно, они равны емкости аттрактора
d. Кроме размерностей и ляпуновских показателей, аттрактор может
характеризоваться и другими величинами. Их краткий обзор дается в книге [248].
Глава 4. Различные типы колебаний и волн
4.1. Собственные и вынужденные колебания и волны
Все многообразие колебательных и волновых процессов, происходящих в
динамических системах, можно разделить на три больших класса: собственные,
вынужденные и авто. Собственными или свободными называют колебательные или
волновые процессы, которые происходят в системах, не содержащих источников
энергии, т.е. в консервативных или в пассивных диссипативных системах. Кроме того,
мы будем также называть собственными колебания и волны, происходящие в
системах с медленно меняющимися параметрами, которые не содержат дополнительных
(3.3.12)

Гл. 4. Различные типы колебаний и волн
33
источников энергии. В принципе, такие системы содержат источники энергии, но
они не являются причиной возникновения рассматриваемых колебательных и
волновых процессов.
Каждую динамическую систему можно характеризовать набором собственных
форм колебаний, называемых нормальными колебаниями. Число нормальных
колебаний зависит от числа степеней свободы системы. В линейных системах число
нормальных колебаний в точности равно числу степеней свободы, тогда как в
нелинейных системах это может быть и не так. В распределенных системах,
представляющих собой системы с бесконечным числом степеней свободы, число нормальных
колебаний бесконечно, однако в случае ограниченных систем оно является счетным.
Особый интерес представляют нормальные колебания и волны в
консервативных системах, где они являются незатухающими. Очевидно, что при наличии
слабого затухания формы нормальных колебаний должны изменяться мало, однако,
как будет показано в ч. II, различные нормальные колебания могут затухать с
различной скоростью, что часто приводит к ряду интересных эффектов. Важнейшей
и интереснейшей формой собственных волн в некоторых нелинейных безграничных
консервативных системах является солитон. Однако эта форма не является
единственной. Вместе с тем известно, что в реальных системах при наличии возмущения
спустя некоторое время устанавливаются и довольно долго существуют волны, по
форме близкие к солитонам. В дальнейшем эти волны медленно затухают.
Красочное описание образования такой волны в воде перед остановившейся внезапно
баржой и последующего ее поведения дал Джон Скотт Рассел [581], который
наблюдал это явление еще в 1834 г.: «Я следил за движением баржи, которую быстро
тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но
масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась. Вместо этого
она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем
неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму
большого одиночного возвышения, т.е. округлого, гладкого и четко выраженного
водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя
своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и когда я нагнал
его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или
девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около
тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной. Его высота постепенно
уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала.»
В соответствии со сказанным выше, есть основания предположить, что
описанное явление может быть объяснено более быстрым затуханием всех нормальных
форм волн по сравнению с солитоноподобной.
Вынужденными мы будем называть колебания и волны, возникающие и
поддерживающиеся за счет внешнего воздействия на систему, не содержащую других
источников энергии (пассивную систему). В литературе по колебаниям часто
вынужденными называют только те колебания, которые обусловлены внешней силой,
т.е. внешним воздействием, входящим в уравнения движения аддитивно. Если же
внешнее воздействие изменяет параметры системы, то обусловленные им колебания
называют параметрическими. Нам представляется, что термин вынужденные
колебания должен включать в себя как тот, так и другой случай. В распределенных
системах вынужденные волны могут быть обусловлены как распределенными внеш-

34
Часть J. Основные понятия и определения
ними воздействиями> так и воздействиями, сосредоточенными в каких-либо точках
или областях, в частности, на границах системы.
Как известно, в линейных системах с аддитивными внешними воздействиями
неустановившиеся процессы представляют собой сумму собственных и вынужденных
колебаний или волн. В нелинейных системах и системах с параметрическим
воздействием принцип суперпозиции собственных и вынужденных колебаний и волн не
имеет места. Поэтому в таких системах вынужденные колебания и волны следует
определить как установившиеся процессы (при t —У оо), когда начальные условия
успевают «забыться». Чтобы это могло произойти, система должна быть дисси-
пативной. В фазовом пространстве динамических переменных, включающем ось
времени, вынужденным колебаниям соответствуют аттракторы.
До недавнего времени предполагалось, что при периодическом воздействии на
пассивную систему рано или поздно установятся колебания с периодом Т, кратным
периоду внешнего воздействия Та, т.е.
Т=-Та, (4.1.1)
η
где тип целые числа. Однако результаты, полученные в последние десятилетия,
показали, что это не всегда так. Откликом пассивной системы на периодическое
внешнее воздействие может быть хаотический процесс. Вследствие этого возникла
некоторая путаница с терминологией. Авторы ряда работ (см., например, [272]) стат
ли называть такой процесс автоколебаниями. Однако ввиду невозможности точно
определить, что представляет собой этот хаотический процесс, а именно, не
является ли он периодическим с периодом, удовлетворяющим соотношению (4.1.1), но с
большими значениями т и (или) п, мы будем его называть вынужденными
колебаниями.
4.2. Автоколебания и автоволны
Впервые определение автоколебаний и автоколебательных систем было дано А.А.
Андроновым около 50 лет назад [4]. Автоколебаниями Андронов назвал такие
незатухающие колебания в автономной системе, которые устанавливаются и
поддерживаются за счет внутренних сил, зависящих от состояния движения самой системы, и
«амплитуда» которых определяется свойствами системы, а не начальными
условиями. Так как, согласно этому определению, автоколебания могут происходить только
в автономной системе, т.е. в системе, на которую не действуют силы, явно
зависящие от времени, то автоколебательной системой по Андронову следует называть
устройство, которое из постоянного источника энергии периодически черпает
известные порции и, таким образом, за счет непериодического источника энергии
создает периодический процесс.
В настоящее время это определение несколько устарело [194]. Прежде всего, из
него нужно выкинуть слова «в автономной системе». Но тогда, чтобы отличить
автоколебания от вынужденных, в определение следует добавить условие
независимости (или слабой зависимости) ритма возбуждаемых колебаний от ритма источника,
В результате современное определение автоколебательных систем и автоколебаний
может быть сформулировано следующим образом. Автоколебательными следует на-

Гл. 4. Различные типы колебании и волн
35
зывать диссипативные динамические системы, в которых могут возбуждаться и
существовать колебания, удовлетворяющие двум требованиям:
1) независимости амплитуды установившихся колебаний от начального
состояния системы в широком диапазоне, т.е. существования в фазовом пространстве
системы хотя бы одного аттрактора,
2) независимости или слабой зависимости спектра возбуждаемых колебаний от
спектра источника.
Очевидно, что для реализации указанных требований наличие именно
постоянного источника энергии в системе не является обязательным. Было показано
[191, 194, 197], что существует несколько типов систем с периодическими
источниками энергии, которые удовлетворяют указанным признакам, и поэтому могут
рассматриваться как автоколебательные.
В последние годы возник и получил широкое распространение термин автовол-
ны. Автоволнами обычно называют волновые процессы, которые возбуждаются в
локально возбудимых средах (средах с абсолютной неустойчивостью) [63, 140, 278,
470].
Отметим, что разделение колебаний и волн на вынужденные и авто носит
условный характер. Всегда время можно рассматривать как дополнительную
динамическую переменную, и таким образом любую систему свести к автономной. Например,
уравнение χ + lax -fx = sinu>£ может быть переписано в форме
χ + 2ai + χ — sin φ, φ = w,
т.е. без явной зависимости от времени. При этом вынужденные колебания подпадут
под классическое определение автоколебаний, данное Андроновым. Однако с
физической точки зрения указанное разделение весьма полезно. Оно позволяет лучше
понимать характер процессов, происходящих в системе, и предсказывать
возможное поведение системы.
В качестве примера рассмотрим колебания качелей, раскачиваемых стоящим
на них человеком. Возбуждение колебаний происходит за счет того, что человек
в нужный момент поднимает или опускает свой центр
тяжести (рис. 4.1). Во многих учебниках по теории колебаний качели
рассматриваются как классический пример параметрически воз- /
буждаемой колебательной системы. Однако целесообразнее
считать их автоколебательной системой, так как частота изменения
положения центра тяжести человека не является постоянной, а
все время подстраивается к частоте колебаний самих качелей.
Это свойство приводит к тому, что двое качелей, немного
отличающихся по параметрам, раскачиваемых разными людьми, но Рис. 4.1. Система
подвешенных на общей балке, могут синхронизоваться, т.е. ко- человек-качели
лебаться с одинаковой частотой и постоянным сдвигом фаз. С
другой стороны очевидно, что те же качели, но возбуждаемые внешними
периодическими источниками с несколько отличными периодами, например, источниками,
изменяющими длины веревок, синхронизоваться не могут. Такое поведение
качелей может быть предсказано только исходя из одного факта отличия вынужденных
колебаний и автоколебаний.

36
Часть I. Основные понятия и определения
Глава 5. Примеры динамических моделей
5.1. Типы динамических моделей и их роль в познании
природы
Динамические модели, изучаемые в теории колебаний и волн, могут быть
условно разделены на четыре типа [499]: модели-шортреты» исследуемых систем, модели
вида «черный ящик*, агрегированные модели и модели определенных явлений,
которые могут происходить в реальных системах.
Модели первого типа составляются на основе как можно более детального
описания исследуемой системы. В качестве одного из примеров можно привести
уравнения Навье-Стокса и их конечно-разностные аппроксимации, определяющие
движение жидкости с высокой степенью точности. Другим примером могут служить
некоторые модели биологических систем, воспроизводящие их с большим
количеством деталей [534]. Как правило, эти модели являются чрезвычайно сложными и
слабо доступными для анализа, позволяющего выявить наиболее важные черты
исследуемых явлений.
При конструировании моделей второго типа изучаемая система
рассматривается как некоторый «черный ящик», на входы которого подаются определенные
воздействия и измеряется реакция на эти воздействия, т.е. выходные сигналы. Затем
выбирается как можно более простая модель, параметры которой определяются
из условий минимума, согласно заданному критерию, разности между выходами
модели и исходной системы при идентичных входных сигналах. Такой же подход
используется при реконструкции модели из экспериментальных данных (см., напри-
мер, [94]).
Модели третьего типа строятся на основе анализа агрегированного поведения
отдельных элементов исследуемой системы. Классическим примером моделей этого
типа является модель «хищник-жертва» Лотки-Вольтерра [520, 632]. Другими
интересными примерами являются модель иммунной реакции, иллюстрирующая
колебательное течение некоторых хронических болезней [295], и модель экономического
развития человеческого общества [250].
Наконец, модели четвертого типа разрабатываются для анализа определенного
явления, независимо от того, в какой системе оно происходит. Например, явление
самовозбуждения автоколебаний за счет отрицательного трения или его аналогов
может быть просто промоделировано классическим уравнением Ван-дер-Поля, явление
самовозбуждения автоколебаний за счет инерционности цепи обратной связи
может быть промоделировано системой уравнений не ниже третьего порядка [18, 19],
шумоиндуцированный фазовый переход наиболее просто можно промоделировать
уравнением нелинейного осциллятора с параметрическим шумовым возбуждением
[207] и т.д. Следует особенно подчеркнуть, что сама возможность использования
таких моделей и их целесообразность основаны на универсальности законов теории
колебаний.
Безусловно, указанное разделение моделей на категории не является
однозначным. Одна и та же модель может быть как моделью-«портретом» некоторых
достаточно простых систем, так и моделью явления. Ниже при рассмотрении примеров

Гл. 5. Примеры динзмических моделей
37
различных моделей мы, по возможности, будем указывать, к какому типу они могут
быть отнесены.
5.2. Консервативные модели
1. Гармонический и ангармонический осцилляторы. Уравнение
гармонического осциллятора хорошо известно. Оно имеет вид
χ + ωϊχ = 0.
(5.2.1)
Таким уравнением в линейном приближении и без учета диссипации энергии
описываются малые колебания маятника (рис. 5.1 а), груза на пружине (рис. 5.1 б), столба
воздуха в горле резонатора Гельмгольца (рис. 5.1 в), тока в электрическом
колебательном контуре (рис. 5.1 г), шарика в ложбинке (рис. 5.1 д) и т.п. Поэтому модель
*0
а б в г д
Рис. 5.1. Примеры систем, моделируемых уравнением гармонического осциллятора
гармонического осциллятора является более или менее точным портретом
указанных реальных систем. Вместе с тем уравнение (5.2.1) может служить
математической моделью так называемых изохронных колебаний, т.е. колебаний, частота
которых не зависит от амплитуды.
Закон сохранения энергии для уравнения (5.2.1) имеет вид
х2
у + «о'Т = *
(5.2.2)
Рис. 5.2. Фазовый
портрет гармонического
осциллятора
По аналогии с механикой можно сказать, что первый член
этого уравнения описывает кинетическую энергию, а
второй — потенциальную. Уравнение (5.2.2) определяет
фазовые траектории на плоскости х, х. Как видно из (5.2.2),
эти траектории являются эллипсами, вложенными друг в
друга (рис. 5.2).
Если мы хотим изучать неизохронные колебания, то
мы должны использовать в качестве модели уравнение
некоторого ангармонического осциллятора. Простейшее уравнение такого
осциллятора имеет вид
*+£(*) = 0, (5.2.3)
где д(х) — нелинейная функция. В зависимости от вида функции д(х) это
уравнение может служить моделью-портретом для одномерного движения материальной
точки в произвольном потенциальном поле сил, колебаний и вращения маятника,
колебаний тока в контуре с нелинейной индуктивностью или емкостью и т.п.

38
Часть I. Основные понятия и определения
Наиболее известными уравнениями нелинейного осциллятора являются
уравнение колебаний маятника и уравнение Дуффинга [387]. Они соответственно имеют
вид
χ + u>osinx = О,
х + о;£(1+7Я2)я = 0,
Закон сохранения энергии для уравнения (5.2.3) принимает вид
X
у + /^(0« = ^.
(5.2.4)
(5.2.5)
(5.2.6)
Фазовые траектории, описываемые уравнением (5.2.6), могут быть как
замкнутыми, так и незамкнутыми, уходящими в бесконечность. В случае маятника
замкнутые траектории соответствуют режимам периодических колебаний относительно
нижнего положения равновесия, а незамкнутые — режимам вращения. Период
колебаний маятника зависит от энергии £", т.е. от амплитуды. Если колебания
достаточно малы, то эта зависимость является слабой, т.е. при малых амплитудах
колебания маятника можно рассматривать как изохронные.
2. Система Лотки-Вольтерра (модель «хищник-жертва»). Как мы уже
говорили, классическим примером моделей агрегированного типа является модель
«хищник-жертва», описываемая уравнениями Лотки-
Вольтерра. Уравнения, описывающие эту модель,
имеют следующий вид:
х = kix - aixy, у = -к2у + а2хуу
(5.2.7)
пор-
Лот-
где χ — численность жертвы, у — численность
хищника. Данная модель является агрегированной,
потому что она не рассматривает поведение отдельных
элементов, образующих конгломерат, который мы
называем «жертвой» или «хищником»; она описывает лишь
их совокупное поведение. В первом уравнении (5.2.7)
член к\х описывает естественный рост численности
жертвы, а член — а\ху — ее убывание за счет
поедания хищниками. В отношении хищников
предполагается, что в отсутствие жертв их численность может
только убывать (это убывание описывается членом — к2у), а рост численности
может происходить только за счет поедания жертв (член а2ху).
Уравнения (5.2.7) можно свести к одному уравнению, исключив переменную у:
Рис. 5.3. Фазовый
трет для уравнений
ки-Вольтерра на плоскости
x/XQi x/xq 1фИ fci = &2 = 1
+ (kix - х)(а2х - к2) = 0.
(5.2.8)
Уравнение (5.2.8), как и (5.2.3), описывает некоторый нелинейный осциллятор, но
для него нелинейная возвращающая сила зависит не только от х, но и от х. Кроме
того, в отличие от (5.2.3) уравнение (5.2.8) изменяется при изменении знака
времени. Закон сохранения энергии для уравнения (5.2.8) имеет вид

Гл. 5. Примеры динамических моделей
39
M^-l-ln±)-f-l„(l- *)=*, (5.2.9)
где Xq = Ar2/a2 — стационарное решение уравнения (5.2.8).
Для того чтобы понять, какие члены в уравнении (5.2.3) являются аналогом
кинетической энергии, а какие — потенциальной, найдем функцию Лагранжа.
Нетрудно показать, что уравнение (5.2.8) будет иметь вид уравнения Лагранжа (1.2.7),
если функцию Лагранжа L задать в виде
_ jr_ / х\ ( х\ к2 ( х_ \ х\
~ кхх \ к\х) \ к\х) ki \х0 х0,
Учитывая, что Ε = Τ + U, L = Τ — U, где Τ — кинетическая энергия, а U
потенциальная энергия, находим
Г=-
2кхх V *ι*/
2Α?ιχ
(5.2.10)
υ _ i_ _ Λ - * ^ in Λ —λ + *£ Γ— - 1 - 1η —^
Таким образом, кинетическая и потенциальная энергии системы определяются как
значением переменной я, так и значением х.
Фазовые траектории, определяемые уравнением (5.2.9), показаны на рис. 5.3.
Видно, что они несимметричны относительно оси я, что связано с зависимостью
уравнения (5.2.8) от знака времени.
3. Цепочка нелинейных осцилляторов. Цепочки Тоды и Ферми-Паста-
Улама. Рассмотрим цепочку одинаковых шариков единичной массы, связанных
друг с другом одинаковыми
нелинейными пружинками (рис. 5.4). Уравнение
движения j-ro шарика имеет вид
"-%mw%mv^
*э '< = f{*j~*j-i)-f{*j+i-*j)> (5-2.11)
Рис. 5.4. Цепочка одинаковых шариков, свя-
где f(z) — нелинейная функция, харак- занных нелинейными пружинками
теризующая силу упругости пружин, Xj
— смещение j-ro шарика от состояния равновесия. Если сила упругости пружин
экспоненциально зависит от их деформации, т.е.
/(*) = -<* (1-е-*)> (5.2.12)
то такая цепочка называется цепочкой Тоды [614, 615]. Для этой цепочки функцию
Гамильтона и уравнения движения можно записать в виде
pj = α (β-^*'-*>-·> - е-М*»*-*>А , (5.2.14)
где ρ, = ij.

40
Часть ί. Основные понятия и определения
Рассмотрим далее интересный случай, когда цепочка Тоды, содержащая N
элементов, замкнута в кольцо, т.е. xj+n = Xj- (Для N = 3 такая цепочка была
рассмотрена в гл.2). Из уравнений движения (5.2.14) в этом случае следует закон
сохранения полного импульса:
N
р = J^ Pj = const. (5.2.15)
;=ι
Таким образом, мы имеем два интеграла движения: закон сохранения энергии
Я = Ε и закон сохранения импульса (5.2.15). Остальные интегралы движения были
найдены М.Хеноном [433]. Например, третий интеграл имеет вид
Ν /1 λ
Σ( sPl+^iPJ + PHi)^''*1'''*) = const. (5.2.16)
Как уже указывалось, его физический смысл, как и всех последующих интегралов
движения, до сих пор остается неясным. Существование N интегралов движения
для цепочки Тоды из N элементов является свидетельством интегрируемости этой
цепочки. Строгое доказательство интегрируемости не только для кольцевой, но и
для линейной цепочки дано в работах СВ. Манакова [218] и X. Флашки [407].
В начале 50-х гг. группа ученых в составе Э. Ферми, И. Паста и С. Улама
решила использовать цепочку нелинейных осцилляторов в качестве модели явления,
известного в статистической физике как равномерное распределение энергии по
степеням свободы. В своем численном эксперименте [400] они, в частности,
исследовали цепочку осцилляторов с квадратичной нелинейностью, уравнения которой
можно получить из уравнений (5.2.14), если при разложении экспонент в ряд
ограничиться квадратичными членами и положить β = — 1, а = 1. Эта система уравнений,
имеющая вид
*i = xJ+i - 2xi + χ;-ι + 2fa*1 " xrf " 2^Xj ~ Xj~l)2 0' = ]>2> · ·)> (5.2.17)
оказалась, хотя и очень близкой к интегрируемой, но все же неинтегрируемой 1)
[218]. Именно близость исследуемой цепочки к интегрируемой системе
обусловила неудачу эксперимента Ферми, Паста и Улама, которые не получили желаемого
результата.
Другая цепочка, которая исследовалась численно в [400], содержит кубические
нелинейности и описывается уравнениями
xj = *j+1 - 2χά + х,_г + a((*i+1 - Xjf - (χ, - Xj-i)3) . (5.2.18)
Как мы увидим в гл. 8, стохастизация решения в такой цепочке при a > 0
происходит при существенно меньших значениях энергии колебаний, чем в цепочке (5.2.17).
4. Волновое уравнение. Уравнения Клейна-Гордона и синус-Гор дона.
Уравнение Борна-Инфельда. Наиболее известной и широко распространенной
моделью, описывающей распространение волн в линейной среде без дисперсии,
является так называемое волновое уравнение. Оно имеет вид
1 'Как указывалось в гл. 1, небольшое изменение характера сил упругости может легко привести
к неинтегрируемости системы.

Гл. 5. Примеры динамических моделей
41
д2ч -
^5--с2Д« = 0, (5.2.19)
где с — скорость волны, Δ — лапласиан. Это уравнение, как известно, легко
выводится для электромагнитных волн в вакууме из уравнений Максвелла и для
звуковых волн из уравнений механики сплошной среды, если при выводе пренебречь
нелинейными членами и диссипативными эффектами. Уравнением (5.2.19)
описываются также в линейном приближении поперечные колебания струн и продольные
колебания стержней. Так что в каком-то смысле волновое уравнение представляет
собой не только модель явления распространения волн без дисперсии, но и модель-
портрет указанных систем.
Соответствующая уравнению (5.2.19) плотность функции Лагранжа равна
i.f ^- <»■"■»
Отсюда для плотности и потока энергии получаем выражения
W=d + C2u2* + Ul + Ul P = C4VW. (5.2.21)
Одним из нелинейных обобщений волнового уравнения является уравнение
Клейна-Гордона:
^£-c2Au + f(u)=Q. (5.2.22)
Таким уравнением описываются, например, колебания струны, лежащей на упругом
основании с нелинейными силами упругости, плотность которых задается функцией
f(u). Весьма важным и распространенным частным случаем уравнения Клейна-
Гордона является так называемое уравнение синус-Гордона, когда /(«) = sin и.
Уравнение Клейна-Гордона и, особенно, синус-Гордона встречаются при решении
многих физических задач, например, при исследовании дислокаций в кристаллах
[345], в теории элементарных частиц [550, 588] и т.д. В отличие от обычного
волнового уравнения, которое является линейным, уравнение Клейна-Гор дона (либо
синус-Гордона) может служить одной из моделей интереснейшего нелинейного
явления — образования солитонов.
Плотность функции Лагранжа L, плотность и поток энергии для уравнения
(5.2.22) определяются выражениями:
и? о и1 + и1 + и1и
C = f-C 2 " F(U)' (5·223)
Иг=^ + са"' + "»+Ц* +F(u), P = c2«tV«, (5.2.24)
где F(u) = ff(u)du.
Другим известным нелинейным обобщением волнового уравнения является так
называемое уравнение Борна-Инфельда. Это уравнение впервые было получено в
квантовой теории поля [357]. В одномерном случае его можно записать в виде
зЛ idu\2\d2utn 2дчди д2ч Л ( ди\2\ д2ч п /R__.

42
Часть I. Основные понятия и определения
где a — параметр нелинейности. При a = О уравнение (5.2.25) переходит в обычное
одномерное волновое уравнение.
Плотность функции Лагранжа, соответствующая уравнению (5.2.25), равна [24]
С = -
\
■ЧШ'-Ш
(5.2.26)
При о: —у О выражение (5.2.26) с точностью до постоянного слагаемого совпадает
с плотностью функции Лагранжа для волнового уравнения. Из (5.2.26) находим
плотность и поток энергии:
W= 1 +
•('Slbft-SHE
η -1/2
du du I
Kdx) \dt)
η -1/2
5. Уравнение простых (римановых) волн. Волновое уравнение (5.2.19)
имеет частное решение в виде суммы двух плоских волн, распространяющихся
навстречу друг другу с одинаковой скоростью с: u(x,t) = u\(x,t) -f U2(x,t), где
uj 2(χ,£) = /12(#±c£), ось х выбрана в направлении распространения одной из волн,
/1,2(2) — произвольные функции. Функции uit2{x,t) удовлетворяют уравнениям
дщ>2 duit2
Τ с „ = 0.
at
дх
(5.2.27)
Уравнения (5.2.27) можно получить и другим образом. В одномерном случае
уравнение (5.2.19) принимает вид
d2u 2 д2и
οΨ ° дх2 ~ °-
(5.2.28)
Введем новые переменные ν = du/dt, w = du/дх . В этих переменных уравнение
(5.2.28) запишется в виде системы уравнений
(5.2.29)
допускающей решение в форме так называемых простых волн. Простыми
называются волны, для которых все переменные находятся в алгебраической связи.
Действительно, положим w = ±(1/с)гл При этом получаем уравнения (5.2.27), которые
являются частным случаем (линейным) уравнений простых волн.
В общем случае уравнение простых волн является нелинейным и имеет вид
ди , ν ди
1Й + и^1Гх='-
(5.2.30)
Это уравнение описывает явление распространения плоской нелинейной волны в
однородной среде без дисперсии и вязкости. В частности, оно описывает бегущую

Гл. 5. Примеры динамических моделей
43
в одном направлении цлоскую звуковую волну, т.е. является моделью-портретом
такой волны. Покажем, что это, действительно, так.
Пусть имеется некоторая сплошная среда, в которой мы не будем учитывать дис-
сипативных процессов. Если ограничиться рассмотрением плоских волн, то можно
считать, что все переменные зависят лишь от одной координаты χ и скорости
частиц среды направлены вдоль х. В этом случае уравнение Эйлера, уравнение
непрерывности и уравнение состояния, связывающие плотность среды />, скорость частиц
и и давление р, имеют вид
-Ьч+и-дх~)--Тх' λ+-λΓ-°· (5'231)
Р = р(р)- (5.2.32)
В I860 г. Риманом было показано, что частное решение уравнений (5.2.31), (5.2.32)
можно искать в виде простых волн, для которых, как уже говорилось, все
переменные алгебраически выражаются через одну из них 2), например,
u = u(p), p = p(p). (5.2.33)
Подставляя (5.2.33) в (5.2.31), получаем
%+{^Ж)% - ·■ <»■>■«>
где с2(р) — dp/dp — скорость звука в среде. Сравнивая (5.2.34) и (5.2.35), находим
уравнение для u(p): du/dp = ±с/р, т.е.
ft
u = ± f — dp, (5.2.36)
Ρό
где ро — равновесное значение плотности среды. Подставляя теперь (5.2.36) в (5.2.34)
(или в (5.2.35)), получаем уравнение для ρ:
!♦*,)£ = О, (5.2.37,
где Р(р) = u(p) ± с(р). Аналогичное уравнение можно получить для и:
d£ + U(u)d£ = 0, (5.2.38)
где U(u) = и ± с(«). Это уравнение по форме совпадает с (5.2.30).
2)В этом отношении простые волны аналогичны нормальным колебаниям в нелинейных
системах (см. гл.7).

44
Часть I. Основные понятия и определения
Если в качестве уравнения состояния принять уравнение адиабаты для
идеального газа рр2 = Pop1 > где η = cp/cv — показатель адиабаты, равный отношению тепло-
емкостей при постоянном давлении и постоянном объеме, то с(р) = coip/po)^1^2,
где со = y/lPo/po — скорость звука в линейной среде. Тогда, как следует из (5.2.36):
и{р) = ±2\с(р) — с0)/(7 — 1)· Отсюда можно найти с(и) = со ± (у — \)и/2.
Следовательно,
U(и) = ±с0 + l7^ ; . (5.2.39)
Введя новые переменные
иу x' = x=Fc0*', t' = t (5.2.40)
2
и опуская штрихи, из (5.2.38), (5.2.39) получаем уравнение:
ди ди
Ж + и- = 0. (5.2.41)
Это уравнение является основным для описания звуковых волн в нелинейной среде.
Покажем теперь, что уравнение простых волн (5.2.30) можно записать в лагран-
жевой форме. Для этого введем новую переменную φ так, что и = θφ/дх. Для
переменной φ уравнение (5.2.30) примет вид
Полученному уравнению соответствует лагранжиан
θφ/дх η
С= J *,fu(M-l%%. (5.2.43)
О О
Отсюда и из (1.2.14), (1.2.15) легко получить выражения для плотности и потока
энергии:
и η
W = jάη jυ(ξ)άξ, (5.2.44)
О О
'~Н£),-£/«'<о* («■«)
О
6. Уравнения Буссинеска и Кортевега-де Вриза. Уравнения Буссинеска
и Кортевега-де Вриза являются наиболее распространенными математическими
моделями, описывающими распространение волн в однородных нелинейных средах
со слабой дисперсией. Впервые эти уравнения были выведены как модели-портреты
волн на «мелкой» воде. Приближением «мелкой» воды называется условие малости
глубины слоя по сравнению с длинами рассматриваемых волн. Ниже мы приведем
вывод уравнений Буссинеска [358] и Кортевега-де Вриза (КдВ) для случая плоских
волн в слое воды с плоским дном (рис. 5.5).

Гл. 5. Примеры динамических моделей
45
Воду будем считать идеальной несжимаемой жидкостью, находящейся в поле
тяжести. В этом случае уравнения гидродинамики принимают вид
Ро
du du du\ dp (dv dv
dv\
dy)
dp
- Ту -po9'
du dv
dx ay
(5.2.46)
где «иг; — соответственно горизонтальная и вертикальная составляющие скорости
воды, ρ — давление. К этим уравнениям следует добавить граничные условия на
поверхности слоя и на его дне. Очевидно, что на дне слоя
вертикальная составляющая скорости воды должна равняться
нулю, т.е.
t;(x>y,0ly=o = 0. (5.2.47)
Сложнее вывести граничные условия для поверхности
слоя. Зададим уравнение поверхности слоя в виде
У
у = Ао + ξ(Μ),
(5.2.48)
Рис. 5.5. Слой воды с
плоским дном
где /ι0 — глубина слоя в отсутствие волн. Так как частицы воды не могут
пересекать поверхность раздела (в силу самого определения этой поверхности), то на
поверхности раздела можно положить dx/dt = u(x}y}t), dy/dt — v(x,y, £). Тогда,
дифференцируя (5.2.48) по времени, получим
9ξ^ dξ
at dx
для у - Λ0+ί (*,*)·
(5.2.49)
Кроме того, если пренебречь поверхностным натяжением воды и считать
давление воздуха над слоем воды постоянным и равным ро , то на поверхности нужно
положить
p(x,y,t) = р0. (5.2.50)
Чтобы записать это условие через скорости и и г/, предположим, что движение
воды является потенциальным, т.е.
и =
dip
V =
dtp
dx1 dy
Тогда уравнения (5.2.46) можно проинтегрировать и найти р:
-'(£+K^)2+K^)a+iw)
+ Ро.
(5.2.51)
(5.2.52)
Из (5.2.52) и (5.2.50) следует, что
2 , /о \2
d<p 1 fd<p\ 1 (δφΥ
inUJnUJ +^ = 0 для у = Ло+*(*,<)♦ (5.2.53)
Дифференцируя это равенство по г и учитывая (5.2.51), получим уравнение,
связывающее компоненты скорости и и ν на поверхности воды:

46
Часть I. Основные понятия и определения
du du dv δξ /^ л ^ ,ч
στ οχ οχ οχ
Учитывая условие потенциальности, уравнения (5.2.46) можно свести к виду
du __ dv du dv _
dy dx' dx dy
Эти уравнения требуется решить с граничными условиями (5.2.47), (5.2.49) и (5.2.54).
Если глубина слоя мала по сравнению с длинами рассматриваемых волн
(приближение «мелкой» воды), то решение уравнений (5.2.55) можно искать в виде ряда
по координате у:
t/(x, у, t) = «о(ж, 0 + Щ {z, t)y + «2(ж, t)y2 + ...,
(5.2.56)
v(s,y,<) = voOM) + νι(χ,%+ у2 0М)У2 + ... .
Подставляя (5.2.57) в (5.2.55) и приравнивая члены при одинаковых степенях у,
находим
dv0 п dvi du0 0 5«i 5«2
dx οχ οχ οχ οχ
(5.2.57)
Из граничного условия (5.2.47) следует, что vq(x, t) = 0. Учитывая это, из (5.2.57)
получаем, что ti(x, у, £) содержит только четные степени у, a v(x) у, £) — нечетные.
Кроме того, как следует из (5.2.57),
, Л 1 d2u0 du0 , ,. 1 β«2 1 d3u0
(5.2.58)
Ограничиваясь только первыми двумя значащими членами в разложениях и и ν и
учитывая (5.2.57), имеем
u(x, у, 0 = «о(х, 0-2 ~дх^У ' V{X'У> ° = ~ ( АГ ~ 6 ft?" У J * (5·2·59)
Подставляя теперь (5.2.59) в граничные условия (5.2.49) и (5.2.54), получаем
δζ 0uo fl(u0Q _ Л^#Ч /ι2 ag д2и0
dt+ ° dx + dx ~ 6 dx3 + 2 dx dx2'
(5.2.60)
дщ ди0 θξ h2 d3u0 , θξ S2«0
-θΤ + ηοΊχ- + 9θϊ = Ydldli + Uohdx~ ~dx^~
2 3x За;2 UxJ da:"1" 2 "° dx3 '
где /ι = Λ0+ί(ίΒ,ί)·
В правых частях уравнений (5.2.61) выписаны члены, имеющие более высокий
порядок малости, чем члены в левых частях. Для дальнейшего упрощения уравнений

Гл. 5. Примеры динамических моделей
47
(5.2.61) предположим, что амплитуды волн достаточно малы, так что в правых
частях уравнений (5.2.61) можно пренебречь нелинейными членами. Тогда получим
некий вариант уравнений Буссинеска:
θξ , L duo , fl(tioQ _ Jig d3u0 duo duo ^ θξ h20 d3u0
Чаще, однако, уравнениями Буссинеска называют уравнения вида
^ + (uV)u+V/(0+«VA£ = 0, g+div(£u) = 0, (5.2.62)
где /(ξ) — некоторая заданная функция переменной ξ. Уравнения такого вида в
одномерном случае можно приближенно получить из (5.2.61), если в первом
уравнении (5.2.61) положить ho = 0, а в последнем члене второго уравнения заменить
duo/dt на —gd£/dx. Тогда получим
К ι 0("оО - л duo duo dt Ηΐθ*ξ - ..„„.
Чтобы записать уравнения (5.2.62) в форме уравнений Лагранжа, введем
потенциал у?, так что и == V</?. Тогда уравнения (5.2.62) можно преобразовать к виду
^ + \ (W)2 + /«) + αΑξ = 0, ^ + VtfV^) = 0. (5.2.64)
Им соответствует лагранжиан
с = -*{тн+\{νφ)2) ~ Im άξ + 1 (ν°2· (5·2·65)
О
Отсюда находим плотность и поток энергии
ξ
W
о
= |(ν¥>)2 + |/(θ^-|(νο2, ρ = -^ν^ + α§ν^· (5·2·66)
Полагая в уравнениях (5.2,62) ξ = ξ0 + ξ, где ξο — постоянная составляющая
переменной ξ, считая величины ξ и и малыми и разлагая функцию /(£) в ряд по ξ
(/(ξ) = /(^о) + &ι£ + &г£2 + ···)> можно приближенно переписать уравнения (5.2.62)
в следующем виде:
^ + У(Ы + Ы2) + ανΔ| = 0, ^ + €oVu = 0,
где 6i и Ь2 — коэффициенты разложения функции /(£) в ряд по ξ: /(£) = /(ίο) +
&ιξ + ht2 + .... Исключая теперь из этих уравнений переменную и, получим для ξ
следующее уравнение:
1 θ2/ ~
" 7" 1П7 + 6ιΔ£ + 62Δξ2 + αΔΔ£ = 0. (5.2.67)
ίο eft2
Путем выбора масштабов зависимой и независимой переменных уравнение (5.2.67)
в одномерном случае может быть переписано в виде:

48
Часть I. Основные понятия и определения
d^-w+6-w+d^-°- (5·2·68)
Такое же уравнение можно приближенно получить и из (5.2.64), что и было сделано
Буссинеском в работе [358].
Уравнение (5.2.68) описывает плоские волны, распространяющиеся в обе
стороны. Если рассматривать волны, распространяющиеся только в одну сторону, то из
уравнений Буссинеска (5.2.61) следует уравнение Кортевега-де Вриза. Покажем,
что это, действительно, так.
Если пренебречь правыми частями в уравнениях (5.2.61), то эти уравнения будут
иметь решение в виде простых волн. В самом деле, полагая ξ = £(«о), получаем
d£ du0 ,_ _ дщ άξ дщ Л дщ дщ df дщ Л ^ Л ллч
duo at дх du0 ox at ox du0 ox
Сравнивая эти уравнения, находим уравнение для £(uq):
&4Ψ-
решение которого имеет вид
Щ = ±2 (>/$(Л0+0 - vW) (5.2.71)
Подставляя (5.2.70) и (5.2.71) во второе уравнение (5.2.69), получим для щ
следующее уравнение:
дщ (Ъ /—7—\ duQ
■Sr+UU0±^ ΛΓ = °· (5·272)
Уравнения (5.2.61) с правыми частями уже не имеют решения в виде простых
волн. Однако, учитывая малость правых частей этих уравнений, из второго
уравнения (5.2.61) в первом приближении можно получить, что
где £(ио) определяется уравнением (5.2.71). Подставляя теперь (5.2.73) в первое
уравнение (5.2.61) и оставляя только члены первого порядка малости, получаем для
щ следующее уравнение:
дщ /3 /-т-\ дщ Л93«о
ж+^1Н>±^_+/?_ = 0| (5.2.74)
где β = hly/gK^/г.
Перейдя в уравнении (5.2.74) к новым переменным и1 = (3/2)«о, х' — χ ψ y/gho t,
t' = t и опуская штрихи, получаем уравнение КдВ:
9« 3« ЛЛ Л
Έ + «Έ-χ+βΊ^ = 0- <5·2·75>
Оно отличается от уравнения простых волн членом, содержащим третью
производную и описывающим дисперсию среды.

Гл. 5. Примеры динамических моделей
49
Заметим, что уравнение (5.2.75) впервые было выведено Д.Кортевегом и Г.де
Вризом в 1895 г. [475]. Как следует из приведенного вывода уравнения КдВ, для
волн на «мелкой» воде это уравнение описывает изменение горизонтальной
составляющей скорости воды в системе координат, движущейся со скоростью y/gho.
Форма поверхности воды, т.е. форма распространяющейся волны, определяется через
решение уравнения КдВ посредством уравнений (5.2.71) и (5.2.73).
В качестве второго примера задачи, сводящейся к уравнению КдВ,
рассмотрим распространение волн в полубесконечной цепочке Ферми-Паста-Улама с
квадратичной нелинейностью. Процессы в такой цепочке описываются уравнениями
(5.2.17). Для достаточно низких частот колебаний можно считать, что отклонения
соседних элементов цепочки мало отличаются друг от друга. Тогда в уравнениях
(5.2.17) значения χ,+ι и х8-\ формально можно разложить в ряд. Для этого
удобно ввести координату ζ, принимающую в местах нахождения шариков значения
zs = s/, где / — длина пружинки, и считать, что ζ изменяется непрерывно, а χ
является гладкой функцией ζ. Если в разложениях χ,+ι и х*-1 оставить члены до
второй производной включительно, то (5.2.17) примет вид волнового уравнения с
нелинейной правой частью. Это уравнение не описывает дисперсионные эффекты.
Чтобы учесть дисперсию, нужно в разложениях xs+\ и #,_ι сохранить члены с более
высокими производными, например, положить
+ 2 dz2
6 дг3
+ 24 dz4
(5.2.76)
(5.2.77)
Подставляя (5.2.76) в (5.2.25), получаем следующее уравнение:
<Рх_ _ 2 дЧ_ _ з ЬХ_ <^£ I4 д*Х
dt2 dz2~ dz dz2 + 12 dz4'
В случае слабой нелинейности цепочки правая часть уравнения (5.2.77) мала по
сравнению с членами левой части.
Введя новые переменные u = dx/dt, ν = дх/dz, запишем уравнение (5.2.77) в
виде системы двух уравнений:
dv
dt dz~ Vdz+I2dz3'
m Ъ1~
(5.2.78)
Учитывая, что правая часть первого уравнения (5.2.78) мала, можно положить
ν — au + ί, где е — малая добавка, обусловленная наличием правой части, а
коэффициент α определяется из условия совместности уравнений (5.2.78) в отсутствие
правой части. В первом приближении по параметру нелинейности из этих условий
находим
1
1
/ д2и
(5.2.79)
Подставляя теперь ν во второе уравнение (5.2.78) и учитывая (5.2.79), получаем
a = ±j, < = -_« т-^.
ди 1 ди
Ιζ~ΤΊΊη
ι ди ι д*и
= ~1ит
Ттт;
12 dtdz2
(5.2.80)
Так как правая часть уравнения (5.2.80) имеет порядок малого параметра, то в ней
производную d/dz можно заменить на ±.{\jl)d/dt.Проделав это и перейдя к новым

50
Часть I. Основные понятия и определения
переменным х* = =рг, tf = — t ^ ζ//, и' = ±(\/1)и, получим уравнение КдВ в виде
(5.2.75), где β =1/(12/).
Чтобы записать уравнение КдВ в лагранжевой форме, введем новые переменные
φ и ψ, так что и = д<р/дх, ди/дх = фу и запишем уравнение (5.2.75) в виде системы
8£+£ί£+0ί£=0' λ?-*=°· (5·2·81)
Уравнениям (5.2.81) соответствует лагранжиан
lcVcV 1 (д<р\3 (д<рдф ф2\
£-_2¥^_бЫ _/?ν^^ + τ;· (5·2·82)
Отсюда следует, что плотность и поток энергии для уравнения КдВ равны
„, «3 J д2и 1 "»·^2
*=Τ + β Ы + 2
fdu\2\ _ δφίλθψ и2 /Зд2и\ α д2и
(5.2.83)
Кроме законов сохранения энергии и импульса, для уравнения КдВ можно
записать бесконечное число других законов сохранения [114, 479, 533]. Поэтому можно
говорить о полной интегрируемости этого уравнения.
Недавно некоторые семейства интегрируемых уравнений более общего вида, чем
уравнение Кортевега-де Вриза, были рассмотрены Н.А. Кудряшовым [482, 483, 484].
7» Уравнения Уизема и Руденко. Для описания нелинейных волн на воде с
более общим законом дисперсии, чем тот, который соответствует уравнению КдВ,
Уиземом было предложено следующее интегро-дифференциальное уравнение [311]:
оо
— оо
Уравнение (5.2.84) можно записать в форме закона сохранения энергии (1.2.11) при
условии, что ядро К (ζ) таково, что выполняется соотношение [81]:
du(x,t)
dt
При этом
оо оо
w
оо / оо \
у + | / Κ(χ-ξ)η{ξ,1)άζ, Ρ = \ I у + j Κ(χ-ξ)η(ξ,1)άξ
Уравнение, аналогичное (5.2.84), получено независимо О.В. Руденко [281] для
звуковых волн в среде с релаксирующим параметром. Это уравнение отличается от
(5.2.84) специальным видом ядра К(х —ξ) (а именно К(х — £) = Arexpi — (χ — ξ)/τ),
где г — время релаксации) и тем, что верхний предел в интеграле берется равным
х, а не бесконечности.

Гл. 5. Примеры динамических моделей
51
8. Уравнение Хохлова-Заболотской, кубическое уравнение Шрединге-
ра, уравнение Гинзбурга-Ландау и уравнение Хироты. Основными
модельными уравнениями, описывающими явления распространения ограниченных
волновых пучков в средах без дисперсии и с достаточно сильной дисперсией, являются
соответственно уравнения Хохлова-Заболотской и кубическое уравнение Шредин-
гера. Выведем эти уравнения.
Для вывода уравнения Хохлова-Заболотской будем исходить из уравнений
гидродинамики для идеальной жидкости:
p(j£ + (uV)u) = -Vp, ^ + div(pu) = 0, (5.2.85)
и уравнения состояния, которое мы зададим в виде
ρρ"Ί = const. (5.2.86)
Уравнение (5.2.86) позволяет исключить из уравнений (5.2.85) давление р.
Сделаем это, предполагая, что отклонения величин ρ, ρ и и от стационарных значений
достаточно малы. Тогда
(7-ι:
2
Ρ « pq + с2(р -р0) + е w ' {ρ - ро)2, (5.2.87)
где с2 = уро/ро — квадрат скорости звука в линейной среде, е — малый параметр,
который в окончательных результатах следует положить равным единице.
Будем интересоваться волнами, распространяющимися вдоль оси х, и
предположим, что параметры этих волн слабо зависят от х, у и ζ. Тогда с точностью до
членов первого порядка по малому параметру с уравнения (5.2.85) с учетом (5.2.87)
можно записать в виде
ЬЧ* родх ~ Ч Pi Рдх*идх~ + ^т)У
до ди ( до „ди dv dw\
_ + ,0_ = _c^_ + ,_ + „_ + w_j, (5.2.88)
dv с2 др Λ dw с2 dp Λ
j L. — 0, 1 = О,
ЬЧ ро ду ЬЧ ро dz
где ρ — ρ — pQ\ t/, ν и w — компоненты скорости и.
Введем новые переменные г = t — х/с и х' = ex. В этих переменных уравнения
(5.2.88) можно переписать следующим образом:
др ро ди _ (_др /. ι\ Ρ dp ро _дчр ди\
дт с дт
\ дх ΚΊ }родт с^дт + сдт,
др ро ди _ I и др ρ ди
дт с дт \сдт с дт
dv с2 до Λ dw с2 di
дт ро ду ' дт ро dz
ди f dv dw\\
-^-'°U;+^)J' (5·289)

52
Часть L Основные понятия и определения
(здесь штрихи у переменной χ опущены.)
В нулевом приближении по малому параметру е из уравнений (5.2.89) следует
связь между переменными и я ρ:
ч=—р. (5.2.90)
Ро
Подставляя (5.2.90) в правые части уравнений (5.2.89) и вычитая первое уравнение
из второго, получаем
(7+ \)р dp
-S-£(! + £)=°· <»·"')
d (dp Ь+\)рдр\_с
Ττ\Τχ--2^Ττ)-2^ (5'2'92)
гдеАх-^-Н
2р0с дт
Дифференцируя теперь уравнение (5.2.91) по г и используя последние два уравнения
(5.2.89), можно получить замкнутое уравнение для р:
д_
di
ду2 * dz2
Уравнение (5.2.92) было выведено в работе [112] и получило название
уравнения Хохлов а-Заболотской. Оно описывает связь между изменением формы
простой волны и формой пучка в среде без дисперсии. Подставляя в это уравнение
соотношение (5.2.90), можно переписать его для переменной и:
Если среда обладает достаточно сильной дисперсией, то для вывода уравнения,
описывающего поведение ограниченного пучка, можно использовать квазилинейное
рассмотрение и применить один из методов возмущений: метод медленно
меняющихся амплитуд, асимптотический метод, метод усреднения и т.п. Все эти методы
изложены, например, в монографиях [181, 238]. Здесь мы продемонстрируем
применение асимптотического метода для вывода уравнения распространения
ограниченного пучка, на примере среды, описываемой уравнением Клейна-Гордона:
-^ - с2Aw + βχν = -ef(w), (5.2.94)
где Δ — оператор Лапласа, f(w) — нелинейная функция, не содержащая линейного
члена, е — малый параметр.
Как и раньше, будем интересоваться волнами, распространяющимися вдоль оси
х. Поэтому порождающее решение уравнения (5.2.94) зададим в виде:
w0 = Ле,(и"-*х) 4- к.с, (5.2.95)
где к определяется из дисперсионного уравнения
ω2 - с2к2 - β = 0, (5.2.96)
«к.с.» означает комплексно сопряженную величину. При е φ 0 решение уравнения
(5.2.94) можно искать в виде
w{xyy,z,t) = wo + cwi(x,y)zJ) + t2w2(x,y,zJ)+ ..., (5.2.97)
где wq определяется выражением (5.2.95), в котором комплексная амплитуда Л

Гл. 5. Примеры динамических моделей
53
предполагается медленной функцией координат и времени, т.е. Л — A(tx, ey, ez, tt)\
wi(x,y, ζ,*), W2(x,yyz,t)y ... — неизвестные функции, не содержащие резонансных
членов. Разложим функции u>j(z,y, zyt) в ряды Фурье:
«у (ж, у, *, *) = £ B3*ei{u>t~kx) + к-с- (5.2.98)
Функцию f(w) и производную амплитуды Л по координате χ разложим в ряды по
малому параметру е:
cf(w) = ^fj} _ = ίφ1 + €2φ2 + ... (5.2.99)
j = l
где /ι = /(u>0), /2 = (4ί/^)Ι«,=:«,0«Ί> - ; *ь ф2, · — неизвестные функции
амплитуды Л и ее производных. В свою очередь, функции /ι, /2, ... разложим в
ряды Фурье:
ОО
/; (*, У, *,*) = £ fa№)*i{uit-kx) + к.с. (5.2.100)
Подставим (5.2.97) с учетом (5.2.98)-(5.2.100) в уравнение (5.2.94) и приравняем
коэффициенты при одинаковых степенях t и одинаковых показателях экспонент. В
результате получим
присе*^*-**):
(_WV + c2kis2 + р)Ви = _2ίω ί^Α + νφ\ ί#ι _ /ь(л)) (5.2.101)
при (2е»з(ые-Лх).
/ 9 9 9199 mn / ^2 Л 2 ^$1 - о <9Φχ 9Φΐ
+ο2ΔχΛ - 2tu/t^2)i5l - 2ww ^~- β£ + νφΑ - /2,(Л), (5.2.102)
Здесь <$,ι — символ Кронекера, г; = с2 к/ω — групповая скорость волны,
Δχ = d2/dy2 + d2/dz2 — оператор Лапласа в поперечной плоскости, Ат = дЛ/дту
r = €t,y = ey,z = €Z.
Из условия отсутствия резонансных членов в уравнении (5.2.101) находим функ-
ю Φι:
r = €t,y = ey,z =
И
цию (.±.
После этого, решая уравнение (5.2.101) при s φ 1, находим функции Βχ,:
*' - .»(«»-<**»)-/? " φ=ϊ)β· (5·2104)

54
Часть /. Основные понятия и определения
Из (5.2.102) получаем следующее уравнение для амплитуды А в первом приближении
по малому параметру:
Аналогично, из (5.2.102) с учетом (5.2.103) и (5.2.104) можно получить уравнение
для амплитуды А во втором приближении по малому параметру е. Это уравнение
удобно переписать в следующей форме:
ал .ел ._^5М . с2 id2а
dt + V дх + г 2v* № + г 2ω V ду2
+ 5^r + i^w + i^:(^T + ^5-j = £р(л)' (5·2106)
где г? = υ(ΐ — [е /2ukv)df \\ / dA) — групповая скорость волны с учетом нелинейности
в первом приближении по малому параметру, σ = d2u)fdk2 = /?с2/ы3 —
коэффициент, характеризующий дисперсию среды,
— нелинейная функция, описывающая нелинейные члены во втором приближении
по малому параметру.
Если выбрать f(w) = tu3/3 и в функции F(A) пренебречь членами порядка е, то
F(A) = |А|2Л. Полагая теперь в уравнении (5.2.105) А = u,x/v — —ί', ^2/σνί = —χ',
\/%jy/c = t/, у/2ыг/с = z\ e/2u — —α, получим уравнение Гинзбурга-Ландау:
Έ^αο4) +Δ" + αΜ2" = °> (5.2.107)
где а — \j2/av. Путем перехода к движущейся со скоростью а системе отсчета это
уравнение преобразуется к кубическому уравнению Шредингера
t^ + Au + <*\u\2u = 0. (5.2.108)
Уравнение Гинзбурга-Ландау (5.2.107) впервые было получено в теории
сверхпроводимости [101]. Вместе с тем оно, как и кубическое уравнение Шредингера
(5.2.108), часто возникает при решении многих других задач, особенно задач
нелинейной оптики, касающихся описания модулированных световых пучков.
Полагая и = ν + iw, запишем уравнение (5.2.108) в виде системы двух
действительных уравнений:
— + Aw + a(v2 + w2)w = 0, — - Δν - α(ν2 + w2)v = 0. (5.2.109)
С/1 (Л
Уравнения (5.2.109) можно записать в форме уравнений Лагранжа с
лагранжианом
£ = vjj-+l-(Vwf+l-(Vv)2-^(v2+w2y. (5.2.110)
Отсюда находим плотность и поток энергии:
W=j(v> + w*)>-±(Vw)2-±(Vv)\ P = ^4v+^Vw. (5.2.111)

Гл. 5. Примеры динамических моделей
55
Уравнением, обобщающим кубическое уравнение Шредингера, является так
называемое уравнение Хироты, полученное и исследованное в работе [438]. В
одномерном случае уравнение Хироты имеет вид
,'i + 3iiH2i + /,3? + 1'<ra? + a|u|2u"0' (5·2112)
Полагая и = ν + iw, запишем уравнение (5.2.112) в виде системы двух
действительных уравнений
dv ЛЛ/ 2 2 dv d2w d3v ( 2 2
m+ZS(v +w)^ + pw+aw+a{v +w)w = 0'
d*V or/ 2 2ч 9W d2V d3W , 2 2ч
Соответствующий уравнениям (5.2.113) лагранжиан имеет вид
(5.2.113)
dw ρ ((dw\ 2 (dv\ Л a ,
2 . 2ч2 . с/ 2 о 2n 5tu #2*> dw
(5.2.114)
Отметим, что в выражение для лагранжиана (5.2.114), кроме первых производных,
входит вторая производная функции v. В соответствии с изложенным, например,
в книге [181] из (5.2.114) получаем следующие выражения для плотности и потока
энергии:
~!((£)4£)Ή<·
dw 92г; 3w 92w Зг;
9. Некоторые дискретные консервативные модели. Рассмотрим теперь
некоторые математические модели в виде конечно-разностных уравнений. Такие
уравнения могут быть как моделями-портретами реальных систем, так и
возникать в результате применения к решению исходных дифференциальных уравнений
системы метода отображений Пуанкаре [244].
Пусть имеется система конечно-разностных уравнений вида
хп+! =f(xn), (5.2.115)
где хп — N-мерный вектор, компонента которого Хп может быть найдена
посредством преобразования fj{xnl\, xni\> · · -xnJ\)> fj — j-я компонента вектора f.
Систему (5.2.115) следует считать консервативной, если якобиан преобразования
(5.2.115), определяемый как

56
Часть I. Основные понятия и определения
J =
««&
дхУ
*«э,
Ых)
««а,
5χ<2) '
а«й.
дхР ·
««а.
■· а,™
**»,
·· e«iw)
<?х
(N)
п + 1
<9х,
(N)
п + 1
αΧη + 1
0χ<ί> d*<2> ··■ ftr^
равен единице. Это условие эквивалентно требованию сохранения фазового объема.
Приведем далее типичные примеры консервативных отображений.
1. Стандартное отображение Чирикова-Тейлора [373]:
/п+1 = /п + К sin θη, θη+1 = θη + Ιη + Κ sin 0η.
2. Упрощенное отображение Улама [622]:
«п + 1 =| «η + Sin Vn Ь V>n+1 = VVi +
2πΜ
'n + 1
где М — целое число.
3. Отображение Хенона [432, 434]:
са
хп+! = axn + cxn - 6yn, уп+ι = fcrn - γχ„ + ауп-
(5.2.116)
(5.2.117)
(5.2.118)
Отображение (5.2.118) будет консервативным, если а2 + Ь2 = 1.
4. Отображение Заславского [645]:
zn+1 = [а?„ + !/], yn+i = Уп -\-ccos(2nxn). (5.2.119)
Квадратные скобки в правой части первого уравнения означают, что от нее берется
только дробная часть.
5. Отображение Цизука [646]:
*η+1 = 2μ{χη + xl) - t/n, yn+1 = Bxn. (5.2.120)
Отображение Цизука является консервативным, если В = 1.
5.3. Неконсервативные гамильтоновы и диссипативные
модели
1. Нелинейный осциллятор с трением и внешним воздействием.
Простейшими математическими уравнениями нелинейного осциллятора с трением и
внешним воздействием являются:
ί+ «* + *(*) = /(*), (5-3.1)
χ + αχ +.дг(х) + /(*)Ы«) = 0- (5-3.2)
В первом случае внешнее воздействие входит аддитивно и играет роль внешней си-

Гл. 5. Примеры динамических моделей
57
лы (силовое воздействие), во втором случае оно входит мультипликативно и играет
роль изменяющегося параметра (параметрическое воздействие).
Наиболее известными уравнениями вида (5.3.1) и (5.3.2) являются
соответственно уравнение Дуффинга с гармоническим внешним воздействием
χ + αχ + ωΙ(\ + ηχ2)χ = Bcosujt (5.3.3)
и уравнение Матье
χ + ax +u>o(l 4- mcosu>t)x = 0. (5.3.4)
Если a = 0, т.е. затухание отсутствует, то уравнения (5.3.1) и (5.3.2) описывают
гамильтоновы системы, гамильтонианы которых соответственно равны
X XX
H(x,p,t)= P^+ J 9{i)di-x№, H(x,p,t) = £ + J9lW<% + f(t)j92W<%,
О 0 0
(5.3.5)
где ρ— χ.
2. Уравнения Бюргерса и Бюргерса-Кортевега-де В риза. Широко
известным уравнением, моделирующим распространение простых волн в сплошной
среде с малой диссипацией энергии, является уравнение Бюргерса
du du d2u
1h+uTx=qw' (5·36)
где a — коэффициент диссипации.
Для вывода уравнения Бюргерса из уравнений гидродинамики следует учесть
вязкость и теплопроводность среды. Чтобы это сделать, запишем одномерное
уравнение движения жидкости [212]:
(du du\ dp (\ \02u /г_ч
где η и ζ — коэффициенты вязкости. Кроме того, зададим уравнение состояния в
виде
Ρ = Ρ(ρ,Τ)ι (5.3.8)
где Τ — температура, которая связана с энтропией S первым законом
термодинамики:
TdS = -ljdp + cv dTy (5.3.9)
cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме, S — удельная энтропия. В
свою очередь, уравнение для изменения энтропии, представляющее собой закон
сохранения энергии, имеет вид
„(6S dS\ d2T /8 Л{ди\2 /coln4
где к — коэффициент теплопроводности. Наконец, запишем уравнение
непрерывности
1+^=° <"■■■)

58
Часть I. Основные понятия я определения
Уравнения (5.3.7)—(5.3.11) представляют собой замкнутую систему уравнений для
пяти неизвестных /), «, ρ, Τ и 5.
Учитывая уравнения (5.3.9) и (5.3.11), из уравнения (5.3.10) можно исключить
энтропию 5. Тогда получим
Уравнения (5.3.7), (5.3.8), (5.3.11) и (5.3.12) в отличие от (5.2.31), (5.2.32) не имеют
решения в виде простых волн. Однако из них можно приближенно получить
уравнение Бюргерса, если предположить, что амплитуды волн, а также коэффициенты
вязкости и теплопроводности, достаточно малы 3) (имеют порядок некоторого
малого параметра б). Тогда решение уравнений (5.3.7), (5.3.10) и (5.3.11) можно искать
в виде
u=U(p) + cK1(p)^, т = Т(р) + еК2(р)^-, (5.3.13)
где U(p), Т(р), К\(р) и К2(р) — неизвестные функции. При этом уравнение
состояния (5.3.8) принимает вид
др\ , , дР
р=Р[р, Т(р) + еК2(р) £) = р(р) + с ^
€=0
*·«£■
(5.3.14)
где р(р) = Ρ {ρ у Τ (ρ)) — правая часть уравнения состояния среды без учета
вязкости и теплопроводности.
Подставляя теперь (5.3.13), (5.3.14) в уравнения (5.3.7), (5.3.11), (5.3.12) и
ограничиваясь членами порядка биг, получаем
и*
с2М
♦«")*-('(■
ρΚι(ρ)-
Ыр) эр
жн
д2Р
дх2'
dt \pdU/dp ' '"J дх у у"'уг/ PdU/dpdT\
dp fp(p)dU/dp Лдр_( < (яК (,dU p(p)K1(p)\ K\d2p
dt + \pcv dT/dp "·" U J θχ [ dT/dp \рЛ2^> dp pcv ) + pcv дх2 '
где с2(ρ) = dp/dp — квадрат скорости звука в среде без учета диссипации энергии.
Уравнения (5.3.15) будут совместны, если положить
dU _ с(р) dT _ р(р) _ кр(р)
-J- — ± , -J- — ~5 . Н-2УР) — + з 1 / \ '
dp ρ dp p2cv P3c2c(p)
OnK (n\ zn K^ дР
2pKl(p)T^(pTdf
+
е=0 Ρ
;(*♦<)-
3) Условие малости амплитуд волн эквивалентно условию малости числа Маха Μ = uo/co, где
uq — амплитуда колебаний скорости частиц среды, со — скорость звука в линейном приближении.

Гл. 5. Примеры динамических моделей
59
Отсюда следует, что
"ФЬ„ r-rr^ifp(£dp (53Л6)
V(p) = ±f№dp, Г = Г„ + 1/
irM- 1 (4η+Λ Κρ{ρϊ dP\ КЧ17\
Учитывая, что -?—-
οι
щим образом:
с=0
о с {d\ с с
—г-~ — -cv> перепишем выражение (5.3.17) следую-
Р(р) ср
Подставив теперь (5.3.16) и (5.3.18) во второе уравнение (5.3.15), в первом
приближении по малому параметру t получим
до , ч др Ь д2р
/С\ О) Т) С ~~ С
dp ± с(р), b =: 4 - -f С + « — — коэффициент, описываю-
р о cpcv
щий диссипацию в среде за счет вязкости и теплопроводности. Аналогично можно
получить уравнение для скорости частиц среды и:
ди тт/ ч ди b д2и . л л ч
л+^в; = 2^а?· (5·3·20)
где i/(ti) = u ± c(ti). Уравнение (5.3.20) имеет второй порядок по координате я, т.е.
для получения его решения нужно задать два граничных условия. Вместе с тем оно
описывает волну, бегущую в одном направлении, которая должна полностью
определяться заданием одного граничного условия. Чтобы избежать этого противоречия,
заменим в правой части уравнения (5.3.20) производную д/дх на ее значение при
6 = 0, т.е. положим д/дх = — (\/U(0)) d/dt, где 1/(0) = =Ьс(0) = ±с0. Разделив далее
обе части уравнения (5.3.20) на U(u) и разложив \/U(u) в ряд по и, ограничившись
первым членом разложения (l/U(u) « ±1/со — Ки), получим уравнение
+ (±5-*»)s"^^· <"л"
дх + V со ) 9t ~ 2ро4 № '
которое эквивалентно исходным уравнениям с точностью до членов первого
порядка по малому параметру с. Если U(u) = ±со + (7 + 1)«/2 (см. (5.2.39)), то
tf = (7+l)/2cg.
Введя новые переменные и' = —К и, х' = х, £' = £ =f я/со, легко
преобразовать уравнение (5.3.21) к стандартной форме уравнения Бюргерса (5.3.6), где
α = Ь/2рпс\.

60
Часть I. Основные понятия и определения
Для описания волн в слабо диссипативных средах с дисперсией часто
используется так называемое уравнение Бюргерса-Кортевега-де Вриза. Оно имеет вид
du du d3u _ d2u
где α — коэффициент диссипации, β — коэффициент, характеризующий
дисперсию. При соответствующих граничных условиях это уравнение, подобно
уравнению Бюргерса, может иметь решения в форме стационарных бегущих волн. Частное,
решение такого вида, найденное Н.А. Кудряшовым [481] путем разложений Панлеве
(см. [635]), описывает семейство стационарных волн и имеет вид
u(i) = «i±0.24jil+th (^(ξ-ξ0Λ +0A2jA-2 (^(ξ-ξ0ή, (5.3.23)
где «ι — значение u при ξ = —οο, ξ = χ — vt, a ν = U\ ± 0.24α2//? — скорость волны.
3. Уравнения Ван-дер-Поля, Релея и Баутина. Наиболее известными и
широко распространенными математическими моделями автоколебательных явлений
являются уравнения Ван-дер-Поля и Релея:
χ - /ι(1 - ах2)х + χ = 0, (5.3.24)
ί - μ(1 - ах2)х + χ = 0. (5.3.25)
Уравнения Ван-дер-Поля и Релея по физическому смыслу очень похожи друг на
друга и могут быть получены одно из другого путем простой замены переменных
[177], Возбуждение автоколебаний в системах, описываемых такими уравнениями,
обусловлено отрицательным трением (μ > 0), а ограничение амплитуды этих
автоколебаний — уменьшением коэффициента отрицательного трения с ростом
амплитуды.
Менее известной моделью явления автоколебаний являются уравнения Баутина
[6, 28], имеющие вид
χ = шу + а2х - х(х2 + у2), у = -ωχ + а2у - у(х2 + у2). (5.3.26)
Эти уравнения интересны тем, что они имеют точное решение. Действительно,
введя амплитуду А и фазу φ по формулам χ = Л cosy? , у = -Asm φ, получим для
А и φ следующие уравнения:
А = (а2 -А2)АУ ψ = ω. (5.3.27)
Уравнения (5.3.27) легко интегрируются. Их решение имеет вид
А = а(1 + Сехр(-2а2<))~1/2 , φ = ωί, (5.3.28)
где С = (а2 — А2)/А1, Л0 — значение амплитуды А в начальный момент времени.
Из (5.3.28) и выражений для χ и у следует, что установившееся решение уравнений
(5.3.26) представляет собой гармонические колебания с частотой ω и амплитудой а.
(5.3.22)

Гл. 5. Примеры динамических моделей
61
4. Математические модели автоколебательных систем с инерционным
возбуждением и инерционной нелинейностью. В работах [18, 19, 343] выделен
класс автоколебательных систем, возбуждение колебаний в которых обусловлено
инерционностью цепи обратной связи. Системы этого класса названы системами с
инерционным возбуждением. Уравнения, описывающие такие системы, очень часто
встречаются при решении многих задач физики и техники.
Наиболее простой математической моделью систем с инерционным
самовозбуждением является следующая система уравнений:
ϊ + 2δχ+ω%χ - -ky + f(x,x,y), y + yy = αχ + φ(χΛ χ, у), (5.3.29)
где f(x,x,y) и <р(х,х,у) — нелинейные функции, не содержащие линейных
членов. Инерционность цепи обратной связи характеризуется параметром 7· Легко
показать, что условие самовозбуждения автоколебаний имеет вид: у < 7кр, где
7кр = —<$ + y/δ2 + ak/2S — u>q. Так как 7кр должно быть положительным, то
самовозбуждение может происходить лишь при ak > 2δω%. Условие -у < укр означает,
что цепь обратной связи должна обладать значительной инерционностью (безинер-
ционная обратная связь соответствует у -* со).
Системы с инерционным возбуждением могут и не быть
самовозбуждающимися. Примером такого рода являются качели, о которых уже говорилось в гл. 4. Там
было отмечено, что возбуждение колебаний качелей происходит потому, что
находящийся в них человек изменяет положение своего центра тяжести в подходящие
моменты времени (рис. 4.1). Частота колебаний центра тяжести человека не
является постоянной, а подстраивается к частоте колебаний самих качелей. Таким
образом, качели представляют собой некоторую систему управления с обратной связью.
Эта система, безусловно, является автоколебательной. Вместе с тем, она не
является самовозбуждающейся. Для возбуждения автоколебаний необходимо некоторое
конечное начальное возмущение, т.е. возбуждение является жестким. Простейшие
уравнения, которыми можно описать возбуждение колебаний качелей, следующие:
χ + 2δχ + ц}(1 + Ьу)х = /(х, х), у + 7У = αχ2, (5.3.30)
где переменная у описывает положение центра тяжести человека, η — параметр
инерционности цепи управления, /(х,х) — нелинейная функция, не содержащая
линейных членов. Если обратная связь слабо инерционна, т.е. η достаточно велико,
так что можно положить у = (α/*γ)χ2, то при /(х, х) = 0 для переменной χ получаем
уравнение Дуффинга, которое не имеет решения, соответствующего
автоколебаниям. Автоколебания могут существовать, только если параметр η не очень велик, т.е.
цепь обратной связи обладает достаточной инерционностью. При этом
возбуждение автоколебаний, как следует из уравнений (5.3.30), может происходить только
жестким образом.
В отличие от систем с инерционным возбуждением, представление об
автоколебательных системах с инерционной нелинейностью существовало достаточно давно.
Впервые такое понятие было введено в 40-х годах К.Ф.Теодорчиком [307, 308, 309],
хотя подобные системы были рассмотрены еще в 1938 г. Л. Меахамом [525].
Простейшие модельные уравнения систем с инерционной нелинейностью можно записать в
виде
* - (μ - У + F(y))* + "ох = /(*» i> У), У + 7У = !<?{*, *, у), (5.3.31)

62
Часть I. Основные понятия и определения
где f,Fn<p — нелинейные функции, не содержащие линейных членов.
Самовозбуждение колебаний в системах с инерционной нелинейностью происходит за счет
отрицательного трения (μ > 0), а их ограничение — за счет нелинейного
инерционного взаимодействия между динамическими переменными χ и у.
5. Уравнения Лоренца, Ресслера и Муа. Уравнения Лоренца, имеющие вид
χ = -σ(χ _ у), у = гХ - У - ΧΖ, Ζ = -6Ζ + ΧΥΛ (5.3.32)
широко известны как трехмодовая модель явления термоконвекции [518]. Менее
известным является то, что эти уравнения относятся к классу уравнений
автоколебательных систем с инерционным возбуждением, описанному в предыдущем пункте.
Действительно, путем исключения переменной Υ и замены переменных
χ = X - y/b(r- 1), У = σ (Ζ - Χ2/2σ - (г - 1)(1 - 6/2σ)) .
уравнения (5.3.32) можно свести к системе уравнений (5.3.29), где 26 = σ + 1,
ы2 = 6(г - 1), к = у/Ь{г-1), /(ж, у) = -(Мх/2 + ж2/2 + 2/)*, α = (2σ - 6)Jk,
7 = 6, φ\χ) = (σ-6/2)χ2.
Система уравнений Ресслера была предложена как одна из моделей
гипотетической химической реакции, в которой колебания концентраций реагирующих
веществ могут иметь хаотический характер [576]. Таким образом, уравнения Ресслера
представляют собой исключительно модель явления колебаний концентраций
реагирующих веществ. Эти уравнения имеют вид
X = -Y~Z, Y = X + eY, Z = d-cZ + XZ, (5.3.33)
где с, d и е — положительные числа. Исключая из (5.3.33) переменную Ζ и переходя
к переменным χ = X — Х0) у — У — У0, где Xq и Yq — координаты одной из особых
точек уравнений (5.3.33) (с меньшим значением Xq ), получим для χ и у следующие
уравнения:
χ + 2δχ + и^ж = —Лгу + /(ж, ж, у), у + 72/ = ж + у?(ж, ж, у), (5.3.34)
где2($ = c-X0,wg = 1 -hXo/e, к = 2ί + β, 7 = -е, /(ж, ж, у) = ж(у + ж), у?(ж,ж,у) = 0.
Система уравнений (5.3.34) аналогична (5.3.29), но отличается от нее тем, что
параметр инерционности 7 является отрицательным. В отличие от (5.3.29)
состояние равновесия системы (5.3.34) может быть неустойчивым не только колебательно,
но и апериодически. Условия апериодической неустойчивости: е > 2<$, либо 26е > wj>.
Если же эти условия не выполнены и
{26 - е)(ш1 - 26е) < к - ω\ζ = д/с2 - 4erf, (5.3.35)
то состояние равновесия будет неустойчиво колебательно.
К системам вида (5.3.29) или (5.3.34) сводятся и получившие в последнее время
некоторую известность уравнения Чуа [375]:
x-a(y-h(x)Y у = ж-у+г, ζ = -/?у, (5.3.36)

Гл. 5. Примеры динамических моделей
63
Рис. 5.6. График функции h(x) для уравнений Чуа.: 6 > О (а), 6 < О (б)
где h(x) = сх + 0.5(6 - с) ( \х + 1| — \х — 1| 1. Вид функции h(x) для положительных
и отрицательных значений коэффициента 6 показан на рис. 5.6. Легко видеть, что
при |х| < 1 функция h(x) является линейной, а именно
h(x) = bx.
(5.3.37)
Исключая из уравнений (5.3.36) переменную ζ и полагая h(x) = bx + /(х), получим
следующие уравнения для χ и у:
У + У + (β — a)y = —<xbx — α/(χ), χ + abx = ay — ocf(x).
(5.3.38)
Уравнения (5.3.38) в случае a < /? имеют вид (5.3.29) для 6 > 0 и (5.3.34) для 6 < 0.
6. Простейшая модель распределенной автоколебательной системы.
Если закрепленную на концах струну включить каким-либо образом в цепь
обратной связи, приводящей к отрицательному трению, то получится автоколебательная
система, уравнение которой можно записать в виде
d2u . 2. du о d2u
(5.3.39)
с граничными условиями ti(0) = u(l) = 0. Самовозбуждение колебаний в такой
системе обусловлено отрицательным трением и отражением волн от границ, приводящим
к глобальной обратной связи. Уравнение (5.3.39) по своему характеру является
аналогом уравнения Ван-дер-Поля и потому может рассматриваться как простейшая
модель самовозбуждения автоколебаний в системах с распределенными
параметрами.
7. Модели возбудимых сред: уравнение волны переброса, уравнения
Фитц Хью-Нагумо и Тьюринга. Уравнение, получившее впоследствии название
уравнения волны переброса, было одновременно предложено в работах А.Н.
Колмогорова, Г.И.Петровского, Н.С.Пискунова [150] и Р.Фишера [404] применительно к
задаче о распространении доминантного гена. Несколько позже подобное
уравнение было получено Я.Б.Зельдовичем и Д.А. Франк-Каменецким [117, 118] при
изучении процессов горения. В 60-х годах оно было использовано Р. Фитц Хью в
качестве приближенного уравнения для описания динамики нервного волокна [405].
Это уравнение является одной из первых, достаточно грубых, "моделей-портретов

64
Часть I. Основные понятия и определения
возбудимых сред. Вместе с тем оно может рассматриваться как простейшая модель
явления образования волны переброса. Указанное уравнение имеет вид
du _, ч _ d2u
lt = n«) + D—, (5.3.40)
где функция F(u) удовлетворяет условию: F(0) = F(a) = 0, α — некоторое число.
Примером такой функции может служить F(u) = au(l — u2).
Обобщением модели (5.3.40) на случай, когда среда после прохождения
возмущения восстанавливает свои свойства, является так называемая модель Фитц Хью-
Нагумо [535]. Ответственной за восстановление свойств среды в такой модели
является дополнительная переменная ν, которая включается в уравнение (5.3.40)
следующим образом:
l=F<-»+D£· £-'<«·»>· <«■<·>
где F(ti, ν) = u - u3 — ν, /(«, г;) = — e(b +v + au).
Модели (5.3.40) и (5.3.41) являются частными случаями более общей модели,
предложенной А. Тьюрингом еще в 1952г. [618] для объяснения явления морфогенеза.
Уравнения этой модели имеют вид
&и г./ ч τ-* 92u dv ./ ч г» 92v
Отметим, что модель Тьюринга (5.3.42) при частном виде функций F(u, v) и /(u, v)y
а именно,
F(ti, ν) = a - (6 + l)u + u2t/, /(«, ν) = (6 - tiv)u,
получила название брюсселятор в знак того, что эта модель подробно исследовалась
в Брюсселе И.Пригожиным с сотрудниками [89, 542].
8. Уравнение Курамото-Сивашинского. Уравнение, известное как
уравнение Курамото-Сивашинского, представляет собой подходящую модель для
описания множества физических явлений, например, распространения волн концентрации
в диссипативных средах при некоторых химических реакциях [487], нелинейных
автоволн при горении [591, 592], уединенных автоволн в вязкой жидкости, стекающей
вниз тонким слоем по наклонной плоскости [331, 616] и другие.
В одномерном случае оно может быть записано как
оЧ + 2 V
dv\2 d2v b*v
fr) + a«?+7ft?=0· (5·3'43)
или
du du d2u d4u n /с„,„
W + udi + aw+'>w=0> (53·44)
где а и 7 — некоторые коэффициенты.
Уравнение (5.3.44) легко может быть выведено из (5.3.43) путем
дифференцирования по χ и подстановки и = dv/dx. Это уравнение интересно тем, что оно имеет
частное решение в виде уединенной волны необычной формы, получившей название
кинк (см. гл. 20).

Гл. 5. Примеры динамических моделей
65
Обобщенное уравнение Курамотпо-Сивашинского имеет вид
ди пди д2и адъи д*и п /с „ «ч
Ж + и ΊΓχ + αΊ^ + βΊ^ + ΊΊ^ = 0' (53·45)
где η > О — некоторое постоянное число. -
Предполагая, что и, ди/дх, д2и/дх2, дги/дхг обращаются в нуль при χ = ±оо,
можно записать уравнения (5.3.44) и (5.3.45) в форме закона сохранения энергии:
оо
f f ди д3и\ ди J . „
= -1 {*&+-*■§*)*<*> (5·3·46)
где Ε = / Wdxy W — плотность энергии. В частности, для уравнения (5.3.45) с
— оо
η = 1 плотность энергии определяется первым выражением (5.2.83).
В случае бегущей волны, зависящей только от одной координаты ξ = χ — Vt, где
V — скорость волны, уравнение (5.3.46) принимает вид
dt
~νΙ[<*)'-<£)Ί*· "■""
Отсюда видно, что при а > 0, η > 0 члены со второй производной от и по а; в
уравнениях (5.3.44), (5.3.45) описывают приток энергии в систему, тогда как члены,
содержащие четвертую производную от и по х) описывают потери энергии.
9. Отображения Феигенбаума и Цизука. Типичным и очень
распространенным примером дискретных моделей явления автоколебаний является одномерное
отображение типа параболы, которое часто называют логистическим
отображением, либо отображением Феигенбаума, Это отображение можно записать в виде
Ьп +
1 = 1-А*а£. (5.3.48)
Отображение (5.3.48) знаменито тем, что при его исследовании М. Фейгенбаумом
была открыта бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода и
показано, что эта последовательность сходится к конечному пределу [398, 314].
Двумерным обобщением отображения Феигенбаума (5.3.48) является
отображение Цизука (5.2.120). Как уже говорилось в предыдущем пункте, отображение
Цизука является консервативным, если В = 1. Для других значений В это отображение
является диссипативным. При В = 0 его легко свести к отображению Феигенбаума
(5.3.48).

Часть II
Собственные и вынужденные колебания и
волны
Глава 6. Собственные и вынужденные колебания
нелинейных осцилляторов с одной
степенью свободы
В этой главе рассматриваются колебания нелинейных осцилляторов с одной степенью
свободы, как собственные, так и обусловленные периодическими внешними
воздействиями. Рассмотрение случайных внешних воздействий на такие осцилляторы выделено в
отдельную главу (см. гл. 9).
6.1. Колебания линейных и слабо нелинейных осцилляторов
1. Собственные колебания консервативных осцилляторов. Как уже
говорилось в гл.5, собственные колебания консервативного линейного осциллятора с
одной степенью свободы являются гармоническими и изохронными. Фазовый
портрет таких колебаний представляет собой семейство вложенных друг в друга
эллипсов. Все эти свойства исчезают, как только мы учтем даже слабую нелинейность.
Чтобы показать это, рассмотрим уравнение (5.2.3) и положим в нем
д(х) = и^(1 + Ьх + ίχ2)χ. (6.1.1)
При достаточно малых амплитудах колебаний можно нелинейность считать малой
и записать уравнение (5.2.3) в виде
х + ωΐχ = -~ш1{Ьх + ух2)ху (6.1.2)
где е — условный малый параметр, который в окончательных выражениях следует
положить равным единице. В первом приближении по с решение этого уравнения
может быть найдено следующим образом. Положим
χ = ^cosiu>0* + <p(d)) +Bcos2(w0t+ y?(rf)) + Ccos%(u)0t + <p{et)Y (6.1.3)
где <p(et) — медленно меняющаяся функция времени. Подставляя (6.1.3) в уравнение
(6.1.2) и приравнивая коэффициенты при 6cos(u>o* + ^(^)), находим φ = (3/8)и>оуА2.
Отсюда следует, что в первом приближении по малому параметру частота
колебаний изменяется пропорционально квадрату амплитуды. Характер изменения
частоты зависит от знака коэффициента 7· при -у > О частота колебаний при увеличении
амплитуды растет, тогда как при у < О — падает. Приравнивая коэффициенты

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 67
при 6cos2(u>o< + φ{ϊί)) и ecos3(cJo< + <p(ct))i находим амплитуды второй и третьей
гармоник: В = ЬА2/6, С = *уАг/32. Итак, мы показали, что при учете даже слабой
нелинейности собственные колебания становятся негармоническими и
неизохронными.
2. Колебания под действием периодической внешней силы. Основной,
субгармонический и супергармонический резонансы. Рассмотрим слабо
неконсервативный осциллятор, на который действует периодическая внешняя сила
/(<) с периодом Τ = 2π/ω. В силу периодичности функция f(t) может быть
представлена в форме ряда Фурье:
/(<) = γ^(βη cosηωί^Οη sinηωίΥ (6.1.4)
n=l
При этом начало отсчета времени удобно выбрать так, чтобы С\ — 0.
В линейном случае, вследствие принципа суперпозиции, реакцию осциллятора
на каждую составляющую ряда (6.1.4) можно рассматривать независимо. По этой
причине достаточно исследовать решение уравнения
х + 2βχ+ωΙχ = Ββίωί. (6.1.5)
Решение уравнения (6.1.5), соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид
« = i4Ree<(wt+v>, (6.1.6)
где
В 2βω
A = 7F^IFrw' 4φ = ^^Ι- (6L7)
Проанализируем полученные результаты. При малых частотах внешней силы
производными χ и χ в уравнении (6.1.5) можно пренебречь и, следовательно,
χ « (B/u>Q)e,wt. Таким образом, колебания переменной χ при малых частотах ω
должны быть приблизительно в фазе с колебаниями внешней силы. При достаточно
больших частотах ω имеем χ « —{Β/ω2)εχω1) т.е. колебания переменной χ должны
быть приблизительно в противофазе с колебаниями внешней силы. При ы = ыо сдвиг
фаз между колебаниями χ и внешней силой равен —π/2, а амплитуда колебаний А
имеет наибольшую величину, равную Β/(2βω). Это значение частоты внешней силы
принято называть резонансным. В качестве примера на рис. 6.1 показаны
зависимости от частоты внешней силы ω фазы колебаний φ, амплитуды смещения А — |х|,
амплитуды скорости Αω = |х| и амплитуды ускорения Αω2 = |х| для двух значений
величины Q = ω$/{2β), называемой добротностью осциллятора.
Как изменятся полученные результаты, если учесть слабую нелинейность
осциллятора? Прежде всего перестанет быть справедливым принцип суперпозиции
решений. Поэтому в общем случае нельзя ограничиться рассмотрением лишь
гармонического воздействия на осциллятор. Для определенности рассмотрим
нелинейность в форме (6.1.1). Предполагая добротность осциллятора достаточно большой,
а внешнюю силу достаточно малой, запишем уравнение колебаний в следующей
форме:
χ + ωΐχ = е \--2βχ - ш%(Ьх + Ίχ2)χ + /(*)} , (6.1.8)
где е — условный малый параметр.

68
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
О
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
φ/π
Г^С^Г
^\"\
Υ V
V
г Ч
1 \
γ \\^
\ ^-
Ι -i
■^1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
/λ
■ /'\
■У ι \
' \
' \ V
—^ \ \J
\ |
1 J
2
ω
Αω1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Л\ I
Л\ Ч
■ /h ί
2
Рис. 6.1. Зависимости от относительной частоты внешней силы ш = οζ/ωο фазы
колебаний у?, относительной амплитуды смещения А = |x|u;o/(#Q), относительной амплитуды
скорости Ли> = \x\u)o/(BQ) и относительной амплитуды ускорения Αω2 = |j:|/(Z?<2) для
линейного осциллятора: сплошные линии соответствуют Q = 2, штриховые — Q = 5
Найдем приближенные решения уравнения (6.1.8) в различных частных случаях,
соответствующих основному (ω ~ wo), субгармоническому (ω ~ пыо, η = 2,3,...)
и супергармоническому резонансам (ы ~ ωο/η, η = 2, 3,...).
1. Основной резонанс. В этом случае согласно асимптотическому методу Крылова-
Боголюбова [44] решение уравнения (6.1.8) можно искать в виде
χ = A cos ф + eui (Л, V>) + ·. · ,
(6.1.9)
где ф = ωί + <р; u\(A} ф)}... — неизвестные функции, не содержащие резонансных
членов; А и φ — амплитуда и фаза колебаний, удовлетворяющие уравнениям
Λ = 6/ι(Λ,ρ) + ... , <?=-Δ + eFj (Λ, <?) + ... ,
(6.1.10)
Δ = α> — ыо — расстройка частоты, f\ (Α, φ)}... y F\ (Л, у?),... — неизвестные
функции, которые следует определить из условий отсутствия резонансных членов в
уравнениях для функций и\(А,ф)у... Подставляя (6.1.9) с учетом (6.1.10) в уравнение
(6.1.8) и приравнивая члены при первой степени с, получаем уравнение для
определения неизвестной функции и\(Ауф):

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 69
ω2 ^~ + ω2ηχ = f 2u;0/i - А ~ А ) sin φ + hu0AFx - Ц± Δ J cos φ +
+ 2/?Лы0 sin V> - Л2^ (Ь + 7^ cos φ) cos φ-\- f (t). (6.1.11)
Из условия отсутствия резонансных членов в функции щ(А,ф) получаем
следующие уравнения для неизвестных функций /ι и F\:
2ί\-Α — ?Ρ- = -2βΑ- — ύηφ, 2AFi + — ~ = ] u>0yA3 - — cosp, (6.1.12)
'Jo Οφ ωο ωο αφ 4 ωο
ωη
где Β\ — амплитуда основной гармоники внешней силы (см. (6.1.4)). Частное
решение уравнений (6.1.12) имеет вид
ω + u>o 8 (ыН-ы0)Л
Отсюда и из (6.1.10) находим уравнения для Л и у? в первом приближении по е:
• ЛЛ Bi sin ν? 3 ,9 B\cos(p
Α = -βΑ- ψ , у>=-Д+-ыо7Л2- , ' Γ, . 6.1.13
wo +u> 8 (ыо + ω)Λ
Из уравнения (6.1.11) с учетом (6.1.12) находим функцию и\(А,ф):
ЬА2 ω2 ω2
иЛЛ,ф) = - — + 2(4ы2 °_ ul) b*cos2ф + 4{9ω2 °_ ω1) 7Л* cos3^ -
σο .J
- Σ 2 2_ 2 [Вп cos п{ф - у) + Cn sin n(t/> - у)) . (61.14)
1
η = 2· - ""Ό
Отсюда видно, что в первом приближении по е решение x(t), кроме основной
гармоники, содержит постоянную составляющую и высшие гармоники.
Стационарное решение уравнений (6.1.13), определяющее амплитуду и фазу
вынужденных колебаний на основной частоте, можно найти из уравнений
(/?2+(Δ-||ωο7Λ2) )л2(и>0+и>)2 = В2, tgy, = β (α - ^аЛ \ (6.1.
15)
Отсюда видно, что резонансное значение частоты ы, при котором φ — —π/2,
зависит от амплитуды А, а именно, ыр = ыо ί 1 4- (3/8)7Л2 )♦ Зависимости Л и φ от
частоты ω для положительных и отрицательных значений коэффициента 7
продемонстрированы на рис. 6.2.
Устойчивость найденных стационарных решений можно исследовать, полагая в
уравнениях (6.1.13) А — Асг + α, φ = Wr 4- <£> где α и ф — малые отклонения от
стационарных значений. Линеаризованные уравнения для α и ф запишем в следующем
виде:
df df · dF dF

70
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
4 к
2к
ν
V
Ά
1 2' 1 \Л
y^'i
\
1'
л
( 1
/
Г
II
2
ω
Рис. 6.2. Зависимости А = ω%Α/Βι и φ/π от ώ = w/wo для Q = u>o/(2/3) = 5: кривые
/' /" соответствуют yB^/ωΙ = 0.1, кривые 2* 2" — уВ\/и^ = —0.025. Штриховые линии
показывают неустойчивые участки зависимостей; штрих-пунктирные линии обозначают
скелетные кривые, определяемые уравнением ω/ως> — 1 = (3/8)уА2
где
/ = -βА -
8 (ыо -I- ω) Α
а все производные вычисляются при А — АСТу φ — <рст г). Из (6.1.16) находим
характеристическое уравнение:
8f dF
дА δφ
df 8F df dF
r- hrr + T- ρ+^τ:-^τ7 = ο.
dA δφ δφ δ А
(6.1.17)
Так как df/dA = —β и dF/δφ = #ι sin<p/((wo + ω) A J = -/?, то коэффициент при
ρ в характеристическом уравнении всегда положителен, т.е. стационарное решение
колебательно устойчиво [177]. Условие апериодической неустойчивости имеет вид
<9/ 0F _ 5/ 5F
ЗЛ 3<ρ δφ δ А
(6.1.18)
Чтобы записать это условие в более наглядной форме, продифференцируем
уравнения для стационарных значений амплитуды и фазы / = 0и^ = 0пои/:
а/ 5/^4 df_d<p_ 5F dF^dA dF_ ώρ _
δω δ Α άω δφ άω ' δω δ Α άω δφ άω
Исключая из этих уравнений άφ/άω, находим
Ш dF_ _ 5/ dF\ dA _ dF_ df_ _ d£ c?F
\5Л 3<ρ δφ δΑ/ άω δω δφ δω δφ
Из приведенных выше выражений для / и F следует, что
df B\ sin у? dF _ B\ cos у? df B\ cos у?
du> (ωο +ω)2 ' 3u>
£ = -1 +
(6.1.19)
dF Βι sin y>
(ωο + ω)2Α) dφ ωο + ω dφ (ωο-\-ω)Α
1)В дальнейшем индекс «ст» указывать не будем.

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебгшия нелинейных осцилляторов 71
Подставляя эти выражения в (6.1.19) и учитывая уравнение F = О, получаем
'dfdF df dF\dA ( А 3 л2 В\ \ ,олпм
М^~^дл)^=\ГА + ^°''л-(Ш0 + ^)А- (61·20)
Как следует из (6.1.15), член * АП пропорционален — ( Δ ω^ηΑ2 ) , т.е.
(ω0 +ω)όΑ2 ω \ 8 /
при малых значениях расстройки Δ им можно пренебречь. При этом выражение
(6.1.20) принимает вид
(dfdF df dF\dA ( з л
Отсюда и из (6.1.17) следует, что стационарное решение апериодически
неустойчиво, если dA/άω > 0 для ω > u>o(A) и dA/άω < 0 для ω < u>o(A), где ω0(Α) =
wo + (3/8)wo7^2· Зависимости ω = u>o(A), называемые скелетными кривыми,
показаны на рис. 6.2 штрих-пунктирными линиями.
Отметим, что в линейном случае (7 = 0) сравнение найденных приближенных
выражений для резонансных кривых (6.1.15) с точными (6.1.7) показывает, что они
отличаются членами порядка е.
2. Субгармонический резонанс. Будем искать периодическое решение уравнения
(6.1.8) с основной частотой ν в η раз меньшей частоты внешней силы ω (η = 2, 3,...).
Как будет видно из дальнейшего, субгармонический резонанс для уравнения (6.1.8)
можно рассчитать лишь во втором и более высоких приближениях по малому
параметру е. При этом удобно предположить, что затухание β тоже имеет второй
порядок малости, т.е. β ~ с2. Как и раньше, решение уравнения (6.1.8) будем
искать в виде
х = Асозф + €ηλ(Α,φ) + с2и2{Ауф) + ... , (6.1.21)
где φ = i/t + φ , ν = ω /η, А и φ удовлетворяют уравнениям
А = e/i(A φ) + c2f2(Ay ?) + ..., φ = -Δ + eFx(A, φ) + e2F2(A, φ) + ..., (6.1.22)
Δ = ν — ωο — расстройка частоты. Подставляя (6.1.21) в уравнение (6.1.8) и
учитывая (6.1.22), в первом приближении по е получим
1/2 -q^T + ыо«1 = ί 2ωο/ι - Л -j± Δ J sin ф + ( 2ωΌΑΕχ + -£- Δ J cos φ -
- bA2ujl cos2 φ - ηΑ*ω20 cos3 φ + /(*). (6.1.23)
Отсюда и из условия отсутствия резонансных членов в правой части этого
уравнения находим функции f\ и F\:
Л=0, Fi = |w07^. (6.1.24)

72
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
С учетом (6Л.24) решение уравнения (6.1.23) принимает вид
v ; 2 2(4ι/2-ωζ) 4(9i/2-u>5)
оо «
- Σ k2n2vi _ ω2 (Д* cos kn^ ~ V) + Ck sin kn^ ~ V)) ■ (6.1.25)
Учитывая теперь (6.1.24) и (6.1.25), можно получить уравнение второго
приближения. Из условия отсутствия резонансных членов в его правой части находим
wlbABi . e 3wb^2Si . „
/2 = -β А - ί„2 - ,. , 2Т s,n 2f ~ Sn3 77К~2 2Т7^ 7 sin 3φ'
2ι/(Λι/2-ωζ) 4(9ι/2-wg)(3i/-w0)
(6.1.26)
8ι/2-3α,2 2 2 3(27^-7^) 2 4
Г2 = "4(4^-и;2)"о6Л " 128(9*-«02)"°7* "
2i/(4i/3-Wg) ^ *η84(9ι/*-α/»)(3ι/-ω0)
где Sjk — символ Кронекера.
Из выражений (6.1.26) видно, что во втором приближении по малому параметру
можно рассчитать лишь второй и третий субгармонические резонансы (для
рассматриваемого типа нелинейности). Подставляя (6.1.24), (6.1.26) в уравнения (6.1.22) и
отбрасывая несущественные члены, получаем
Α = -βΑ-δη2 0 " 2 2Т sin 2φ - όη3 тт^ ^7^ Τ sln 3<^>
2ι/(4ι/2 - ωζ) 4(9i/2 - wg)(3i/ - ω0)
(6.1.27)
A 3 л2 χ wgbBi 3ω2οΊΑΒχ
r 8 2i/(4i/2-wg) 4(9г/^ — ^5)(3i/-ы0)
Рассмотрим стационарные решения уравнений (6.1.27) и их устойчивость в двух
частных случаях η = 2 и η = 3:
1) η = 2. При этом стационарное решение уравнений (6.1.27) определяется
уравнениями
Исследование устойчивости найденного решения проведем на основе уравнений
(6.1.27) аналогично тому, как это было сделано для основного резонанса. Уравнения
для малых отклонений α = А — Аст, ф = φ — <рст запишем в виде:
df df . · 8F dF χ
ΘΑ θφΨ' Ψ ΘΑ θψ Ψ'
где
/ = -[βΑ+ ..' 2. 8ΐη2^ , F = -Δ + -u»o7^42 - 0 ° 2- cos2y>.
\ 2i/(4i/2-wg) / 8 2i/(4i/^-wg)

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 73
находим
Отсюда и из характеристического уравнения (6.1.17) следует, что условие
колебательной неустойчивости рассматриваемого стационарного решения не может быть
выполнено. Поэтому рассмотрим лишь условие апериодической неустойчивости
(6.1.18). Используя формулу (6.1.19) и учитывая, что
0/ 10/ o;gbBi(12i/2-c;g) . βΑ ΧΙν*1 - ω\
δω ~ 2 0ι/ ~~ 4ί/2(4ι/2 - ω20Υ 8Ш ψ " 2 ί/(4ι/2 - α;2) '
3F__1 ujg6Bi(12i/2-qjg)
0^ " 2+ 4i/*(4i/2-wg)2 °°*1φ*
0/ o;jMBi 0F u^ .
δφ ι/(4ι/2-ω£) αφ ν(41/2 - ωg)
0/0F dfdF\dA ( Α 3 Λ ,
Таким образом, как и в случае основного резонанса, мы получаем, что
стационарное решение апериодически неустойчиво, если dA/άω > 0 для ν > ωο(Α) и
dA/άω < 0 для ν < ω0(Α).
2) η = 3. В этом случае стационарное решение уравнений (6.1.27) определяется
уравнениями
β2 ίΑ 3 .2\2 9и,27М2Я2 + о / 3 .V1
cj2 V^o 8 / 16(3i/-ω0)4(3ι/ + ω0Γ \ 8 /
(6.1.29)
Зависимости амплитуды колебаний А и фазы φ от частоты ω, определяемые
уравнениями (6.1.28) (для η = 2) и (6.1.29) (для η = 3), при положительных и
отрицательных значениях 7 продемонстрированы на рис. 6.3. Как и раньше,
неустойчивые участки зависимостей показаны штриховыми линиями, а штрих-пунктирные
линии обозначают скелетные кривые, определяемые уравнением ω = ηωο(Α).
Заметим, что расчет субгармонических резонансов более высоких порядков для
уравнения Дуффинга был проведен Г. Шмидтом и М. Сейслом [589].
3. Супергармонический резонанс. Если внешняя сила содержит высшие
гармоники с частотами ηω, то супергармонический резонанс можно получить в первом
приближении по малому параметру е. При этом рассмотрение ничем не будет
отличаться от случая основного резонанса. Если же гармоники внешней силы
отсутствуют, то супергармонический резонанс можно получить лишь в третьем и более
высоких приближениях по малому параметру е. Ввиду громоздкости выкладок мы
этого делать не будем.
3. Вынужденные колебания, вызванные параметрическим
воздействием. Пусть периодическая внешняя сила f(t) с периодом Τ = тг/ω изменяет
собственную частоту осциллятора. В случае, когда автономный осциллятор является
линейным и консервативным, уравнение его параметрических колебаний представляет
собой уравнение Хилла, поведение решения которого достаточно хорошо известно
(см., например, [332, 334]. Поэтому мы не будем касаться этого случая, а рассмотрим
различные примеры нелинейных уравнений, которые являются менее известными.

74
Часть И. Собственные и вынужденные колебания и волны
А
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Г V
\
1 \
1 .. ι
\
\v<0
\ л-
\ Vx
У\ )
Л
γ>0
\/
N
"■"*
X
^-
\ У<0
\ п-З
_ν
/
У>0 ^-^
^'Ί
Рис. 6.3. Зависимости А = ((3/8)|7|) А и φ/π от ώ = ω/α>0 = ην/ωο при Q = ω0/(2β) = 10,
b2Bi/uo = 0.36 (для η = 2), |7|Bj/u;iJ = 9 (для η = 3). Штриховыми линиями показаны
неустойчивые участки зависимостей, штрих-пунктирными — скелетные кривые
Считая нелинейность и затухание осциллятора слабыми и полагая f(t) = В cos 2u>t,
запишем уравнение параметрических колебаний в виде
x + WqX = ί(-2βχ -u>%Bxcos2u>t -ω^χ3).
(б.1.30)
Приближенное решение уравнения (6.1.30) будем искать методом
Крылова-Боголюбова, полагая
χ = Асовф + сщ(А,<р,г) + ... , (6.1.31)
где ф = ηωί + φ, а А и φ удовлетворяют уравнениям
Л = еЛ(Л, γ>) + ... , £=-Д + еЯ(Л,р) + ... ,
(6.1.32)
Δ = ηω — ω0 — расстройка частоты. Подставляя (6.1.31), (6.1.32) в уравнение
(6.1.30), получаем следующее уравнение первого приближения:
d2ui о
2/iu>0 — ΔΑ ~— 1 sin ф + 2βω0 A sin ф —
δφ
^7^3cos3V> + (2F&0A + Δ η^) coal* - ω%ΑΒ co82u>tcosu. (6.1.

Гл. 6. Собственные и вынужденные колеб&ния нелинейных осцилляторов 75
Отсюда видно, что в первом приближении по малому параметру с можно
получить лишь основной параметрический резонанс, когда η = 1. При этом из условия
отсутствия резонансных членов в правой части уравнения (6.1.33) имеем
2/ια»ο - ΔΛ -а-*- = -2βω0Α + -^— sin 2φ,
σψ Ι
2ΡιωοΑ + Δ ψ- = § ωΙΊΑ* + ^ cos 2у>,
οφ 4 2
Решая эти уравнения и подставляя решение в (6.1.32), получаем следующие
уравнения первого приближения для амплитуды и фазы:
<ААВ 3 9 ωΐΒ
А = -/?Л + -2- sin2v?, <р= ~Δ + -ω07>1 + "Г— cos2^.
4ω 8 4ω
(6.1.34)
Уравнения (6.1.34), хотя и похожи на уравнения (6.1.13), существенно от них
отличаются Стационарное решение уравнений (6.1.34) имеет вид
ΊΑ> = i - " 1 ±
ы0
Ыв2
16ы2
=■ , sin 2φ =
4u^_
(6.1.35)
Из этих выражений можно сделать вывод, что параметрическое возбуждение
колебаний имеет пороговый характер и возможно, если В > Впор = Αβ/ω$.
Зависимости \η\Α2 и φ/π от ω/ыо, построенные на основе формул (6.1.35), приведены на
1УИ2 φ/π
1.0 ι Π—Γ—И тгп 0.5,
-0.5
/!-2-^
у<0
0.5
1.0
1.5
ω/ω0 со/ш0
а б
Рис. 6.4. Зависимости \у\А2 (а) и φ/π {б) от ы/ыо для В = 0.283, α>ο/β = 20 в случае
основного резонанса (п = 1) и для В = 0.4, и>о//3 = 50 в случае резонанса 2-го рода (п = 2).
Штриховыми линиями помечены неустойчивые участки резонансных зависимостей
рис. 6.4. Заметим, что при ω\ < ω < u>2, где ω\}2 « u>o(l T \/В2/\6 - β2/ω% ),
колебания возбуждаются при сколь угодно малых начальных условиях, тогда как вне
этой области частот возможно лишь жесткое возбуждение колебаний, т.е. колебания
могут возбудиться только при некотором конечном начальном возмущении.
Чтобы получить условия параметрического резонанса для η = 2, рассмотрим
уравнения второго приближения, предполагая, что β ~ с2. Для этого прежде всего

76
Часть //. Собственные и вынужденные колебания и волны
выпишем решение уравнения (6.1.33), принимая во внимание, что f} = F\= 0:
u>faA3 0 , (wg - 8ω2)ΑΒcos(2w* + ψ)
4(36^-^)COs3^+ lftJ
МД У,0 = ,^,Γ , * ™*Ψ + ™ - - /—ι™ τ У; . (вллб)
Записав теперь уравнение для функции иг(Л,<£>,<), из условия отсутствия
резонансных членов с учетом (6.1.36) получаем следующие уравнения для функций /г и
σφ 4
, л df2 Λ п2 3 ω№Α* ωΪΑΒ2 ω20ΑΒ2 , η ч
Решая эти уравнения, найдем уравнения второго приближения для амплитуды и
фазы:
А = - 0А - ^^- ήη2φ,
οω
(6.1.37)
л 3 „, 3 ω·*7Μ4 ω0(8ω2-ω2)β2 2β2
Из (6.1.37) можно сделать вывод, что пороговое значение амплитуды 5, при
котором возможен параметрический резонанс 2-го рода, равно 2у/р/ыо · При тех же
значениях параметров оно существенно больше, чем для основного
параметрического резонанса. Зависимости \ί\Α2 и φ от cj/ыо для параметрического резонанса
2-го рода, построенные из уравнений (6.1.37) при А = φ = 0, также приведены на
рис. 6.4.
Отметим, что расчет условий возбуждения для параметрических резонансов при
η > 2 может быть проведен лишь в более высоких приближениях по малому
параметру.
4. Осцилляторы с одновременным силовым и параметрическим
воздействиями. Параметрический усилитель. Рассмотрим одновременное
параметрическое и силовое воздействие на линейный осциллятор с одной степенью
свободы. Эта задача представляет интерес, в частности, потому, что при таком
воздействии возможно так называемое параметрическое усиление колебаний, широко
используемое в технике.
Пусть уравнение исследуемой системы имеет вид
χ + ωΐχ = 6(-2/?x-Wo£nxcos2wnf + #cos(wf + χ)Υ (6 Л.38)
где с — малый параметр; Вп и 2ώπ — амплитуда и частота параметрического
воздействия (накачки); Ву ω и χ — амплитуда, частота и фаза внешней силы (сигнала).
Будем считать, что частота сигнала ω близка к собственной частоте осциллятора
wo и к частоте и>Пу т.е. \ω — u>o|, |и> — ωη\ < е. При этом решение уравнения (6.1.38)
удобно искать в виде
χ = .4icosu>* + Aisinujt + euiiAu A2yt) + ... , (6.1.39)

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 77
где Αι и А2 удовлетворяют уравнениям
Αχ = c/i(Ab Μ) 4 .. · , Α2 = (/2(Аь А2) + ... (6.1.40)
Подставляя (6.1.39) в (6.1.38) с учетом (6.1.40) и требуя, чтобы в правой части
уравнения для и ι не содержалось резонансных членов, найдем f\ и /2:
/ι = -βΑχ - ΔιΑ2 + c(Ai sin2A2i - A2cos2A2i) 4- -ζ— sin χ,
2u>o
(6.1.41)
/2 = -/?A2 4 Δι Αχ — c(Ax cos 2Δ2* 4 A2 sin 2Δ2<) 4 -— cos χ,
2u>0
где Δι = α>—u>o> Δ2 = u> — ωπ, с = u>oBn/4. Если разность частоты— ып настолько мала
по величине, что выполняется условие |ω — ып| <& β, то установившееся решение
уравнений (6.1.40) можно найти, полагая Αχ = А2 = 0, т.е. /ι = /2 = 0. Решая эти
уравнения, получаем
В (β + οδίη2Δ2*) sin χ - (Δι 4 ccos2A2*) cos χ
Λϊ = 2^ β2 4 Δ? - с2 '
(6.1.42)
5 (/? — 08ΐη2Δ2<) cos χ 4 (Δι - (^οδ2Δ2£) sin χ
^2 = 2^ /?2 + Δ? - с2 "
Отсюда легко найти амплитуду колебаний А = \JΆ\ 4 А2 и фазу <£> — —arctg —:
Αι
л//?2 + Δ? + с2 - 2c(/?sin(2A2* + χ) - Δ! cos(2A2* + χ))
(6.1.43)
Α-^
~ 2ы0 /?4Δξ- С2
χ Δι sin χ 4 /? cos χ -- с sin(2A2< 4 χ)
φ ~ arc tg ζ г
Δι cos χ — /? sin χ 4 <^θ8(2Δ2* 4 χ)
Можно показать, что решение (6.1.43) устойчиво, если с < у/β2 4 Δ2. В
противном случае возбуждаются параметрические колебания на частоте ωπ.
Вычислим отношение квадратов амплитуд колебаний при наличии накачки (А)
и при ее отсутствии (Aq). Это отношение равно
А2 (β2 4 Δ?) (β2 + Δ2 + с2 - 2ο(β8ΐη(2Δ2< 4 χ) - Δι cos(2A2< + χ)))
Ар (/92 + Δ2 - с2)2 * (6·Μ4)
Отсюда видно, что при расстройке Δ2 ф 0 отношение (6.1.44) зависит от
времени. Среднее по времени значение этого отношения равно
/ АП (/?2+Д2)(/?2 + Д2 + с2)
\Л2/ (/?2+д2_с2)2 > ·

78 Часть П. Собственные и вынужденные колебания и волны
Таким образом, средняя энергия сигнала при наличии накачки может быть
существенно больше, чем при ее отсутствии.
Если Δ2 = 0, то отношение (6.1.44) зависит от фазы сигнала χ.
Экстремальные значения отношения (6.1.44) достигаются при χ = χ0 = — arctg (β/Αχ). Эти
экстремальные значения равны
Л2 (β2 + А\) (β2 + А2 + с2 ± 2су/р + Δ2)
А2 = (/?2 + Δ2 - с2)2 '
Отсюда видно, что в случае точного равенства между частотой сигнала и частотой
накачки (Δ2 = 0) подбором фазы сигнала можно добиться существенного
выигрыша в усилении.
Отметим, что нелинейный параметрический усилитель рассмотрен в работе [631].
Показано, что в таком усилителе при определенных условиях возможна хаотизация
колебаний.
6.2. Колебания сильно нелинейных осцилляторов
Поскольку общей теории колебаний сильно нелинейных осцилляторов не
существует, рассмотрим частные случаи.
1. Колебания осцилляторов, описываемых уравнением Дуффинга.
1. Собственные колебания. Уравнение Дуффинга имеет вид
х + ах + Ьх3 = 0. (6.2.1)
К такому уравнению сводится, например, уравнение колебаний маятника (5.2.4)
при достаточно малых φ (при этом а = ω%, Ь = —и^/6). Другим примером
системы, приближенно описываемой уравнением Дуффинга,
является железный шарик, подвешенный на нити и
помещенный между полюсами магнита (рис. 6.5). Если
ограничиться достаточно малыми колебаниями шарика и
аппроксимировать силу, действующую на шарик со стороны
магнита, в виде F(x) = т(а\х — &ιχ3), то для смещения ша-
Рис. 6.5. Железный ша- рика χ получаем уравнение вида (6.2.1), где а — ω\ — αϊ,
рик, помещенный между b = b\ - ω2/6. В случае, когда а\ > и>1, имеем а < 0 и по-
полюсами магнита ложение равновесия χ = 0 становится неустойчивым (на
фазовой плоскости χ, χ особая точка χ = 0, χ = 0
приобретает вид седла). Если к тому же δι > Wq/6, то появляются два устойчивых
положения равновесия, относительно которых маятник может совершать колебания.
Этим положениям равновесия на фазовой плоскости соответствуют особые точки
типа центра. Если же 6χ < ω^/6 при а < 0, то шарик прилипает к одному из полюсов
магнита.
Рассмотрим поведение решения уравнения (6.2.1) при разных знаках
коэффициентов а и 6.
1. При а > 0, 6 > 0 уравнение (6-2.1) имеет единственную особую точку
типа центра, и все фазовые траектории являются замкнутыми (рис. 6.6 а). Решение
т i m

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 79
Рис. 6.6. Фазовый портрет осциллятора Дуффинга для 0 = 1,6=1 (α); α = 1, 6 = —10 (<?);
α = -I, b = 1 (β): кривые 1 соответствуют Ε = 0.2 (α), Ε = 0.05 (б), £* = -0.2 (а), 2 —
Ε = 1 (α), £ = 0.25 (ή,Ε = 0 (β), S — Ε = 2 (α), £ = 1 (6), £ = 0.5 (a)
уравнения (6.2Л) может быть выражено через эллиптический косинус Якоби [335]:
x = Acn(Qtyk)y (6.2.2)
где А — амплитуда колебаний, Ω = y/a + 6Л2 = 4K(fc)/T, T —период колебаний,
K(Jfc) — полный эллиптический интеграл первого рода, k = \/b/2A/Q — модуль
эллиптической функции. При малых А это решение весьма близко к гармоническому
с частотой ω = >/α(ΐ + 3Μ3/(8«)). При больших А форма колебаний уже несколько
отличается от гармонической, а их основная частота ω растет пропорционально А:
ω = 2*VbA/(4K(l/V2)) м 2тг^Л/6.42.
2. При α > О, Ь < 0 уравнение (6.2.1) имеет три особых точки: одну типа центра
в положении равновесия χ = О и две типа седла при х\^ — ±y/a/\b\. Уравнение
фазовых траекторий, представляющее собой уравнение сохранения энергии, имеет
вид
^2 2 Ш_4
(6.2.3)
^ αχ2 _ \Ъ\х*
2 2 4
Если £ < а2/(4|Ь|), то фазовые траектории являются замкнутыми, в противном
случае — незамкнутыми (рис. 6.6 б). Движение по сепаратрисе между точками χ ι и
Х2 описывается уравнением
=Ф^
t.
(6.2.4)
Общее же решение уравнения (6.2.1) при α > 0, 6 < 0, соответствующее замкнутым
фазовым траекториям, имеет следующий вид:
χ = Αβη(Ωί,/:),
(6.2.5)
где Ω = \Ja — |ί>|Λ2/2, λ = ^|^Ι/2Α/Ω — модуль эллиптического синуса.
Выражение (6.2.5) справедливо при А < y/a/\b\, когда к < 1. Оно описывает периодические
колебания с периодом 4Κ(λ)/Ω. При к -> 1 период колебаний стремится к
бесконечности, а выражение для x(t) стремится к (6.2.4).

80
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
3. При a < 0, b > 0 уравнение (6.2.1), как и в предыдущем случае, имеет три
особых точки, только положению равновесия χ = 0 соответствует седло, а точки
#1,2 = ±\/а/№1 имеют тип центра. Уравнение фазовых траекторий в этом случае
удобно записать в виде
2 2 4 46 v ;
Отсюда следует, что при Ε < a2/(4b) существуют два семейства замкнутых
фазовых траекторий, окружающих особые точки x\j2. При Ε > a2/(4b) фазовые
траектории также являются замкнутыми, но охватывающими одновременно все особые
точки (рис. 6.бе). Решение уравнения (6.2.1) в рассматриваемом случае имеет вид
Г ±Adn(w,<,*i) при у/\о~\/Ь< А< ν/2|α|/6 (Ε < a2/(4b))
χ = < (6.2.7)
[ Acn(u>2t,k2) при A > y/2\a\/b (E>a2/(4b))
где ω\ = y/b/2A} ω2 = \/ЬА2 — |α|, Arι = ω2/ω\, k2 = ω\/ω\. Из (6.2.7) легко получить
решение, связанное с движением изображающей точки по сепаратрисе:
=±ι/¥
1 (6.2.8)
ch χ/Η ^
4. Случай α < 0, 6 < 0 не представляет интереса, так как в нем получаются лишь
решения, уходящие в бесконечность.
2. Хаотические колебания при периодической внешней силе. Как показали
исследования последних лет, периодическое внешнее воздействие на нелинейный
осциллятор не обязательно приводит к его колебаниям с периодом, кратным
периоду воздействия. Возможны хаотические режимы колебаний, спектр которых при
экспериментальном или численном исследовании представляется сплошным. В
большинстве случаев, однако, сплошной спектр обусловлен наличием слабого шума, а в
отсутствие шума колебания были бы периодическими с периодом, хотя и
достаточно большим, но кратным периоду внешней силы. В этом прослеживается
аналогия между хаотическими колебаниями периодически возбуждаемых нелинейных
осцилляторов и автоколебательными системами, имеющими хаотические
аттракторы (см. гл. 3).
Исследованию хаотических решений уравнения Дуффинга с гармонической
внешней силой
χ + αχ + ω%(\ + ηχ2)χ = Bcosut. (6.2.9)
посвящено огромное число работ. Обзор некоторых из них дан в книге [248].
Среди последних работ на эту тему отметим [611, 589, 621]. Здесь мы приведем лишь
основные качественные результаты, полученные в этих работах. Очевидно, что
хаотические режимы могут существовать лишь при достаточно большой амплитуде
внешней силы, когда нелинейность играет существенную роль. Как правило, такие
режимы при изменении какого-либо параметра возникают путем
последовательности бифуркаций удвоения периода согласно сценарию Фейгенбаума. Обнаружено,

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 81
что в случае отрицательных значений параметра 7) когда на фазовой плоскости
автономного осциллятора имеются три особых точки, такие режимы возникают при
существенно меньших амплитудах внешней силы, чем при положительных 7·
Существенно, что область существования хаотических режимов по частоте воздействия
является довольно узкой, причем она тем шире, чем больше амплитуда воздействия
(или параметр нелинейности 7) · Зависимость ширины области хаоса от параметра
7 для различных значений коэффициента затухания α исследована в работе [111].
Отмечено, что в области хаоса наблюдаются узкие окна, где колебания являются
периодическими с периодом, равным трем, пяти и семи периодам внешней силы.
Как уже говорилось, такое поведение характерно для систем, в которых переход к
хаосу происходит по сценарию Фейгенбаума,
3. Хаотические колебания при периодическом параметрическом воздействии.
Бифуркации удвоения периода и переход к хаосу при параметрическом
гармоническом воздействии на осциллятор, описываемый уравнением Дуффинга, численно
наблюдались в работах [16, 461, 462, 611]) и многих других. Обзор некоторых
результатов, полученных в этих работах, дан в книге [248]. Ввиду того, что эти
результаты являются достаточно известными, мы не будем на них останавливаться.
2. Колебания маятника.
1. Собственные колебания. Предполагая, что маятник, изображенный на
рис.5.Ια, совершает колебания в одной плоскости, и пренебрегая силами трения,
получим следующее уравнение для угла поворота φ:
т12ф + mgl sin φ = 0, (6.2.10)
где m — масса шарика, / — длина нити, g — ускорение свободного падения. В более
общем случае, когда мы имеем дело с так называемым физическим маятником,
уравнение его колебаний без учета сил трения может быть записано в виде
J(p + rnrgsmip = 0, (6.2.11)
где J и τη — момент инерции и масса маятника, г — расстояние от центра масс до
оси подвеса.
Если разделить уравнение (6.2.10) на ml2 и положить ω% = g/l, а уравнение
(6.2.11) на J и положить ω% = mrg/J, то получим уравнение (5.2.4), о котором
говорилось в гл. 5.
Используя закон сохранения энергии, мы получим уравнение траекторий на
фазовой плоскости <ру ф в виде
Ф2
γ + wjftl - cosy?) = Ε. (6.2.12)
При Е < 2α>ο это уравнение описывает замкнутые траектории, соответствующие
колебаниям маятника относительно положения равновесия, а при Ε > 2ω2 —
незамкнутые, соответствующие режимам вращения (рис. 6.7 а). Эти два вида
траекторий разделены траекториями, проходящими через особые точки типа седла (ф = 0,
φ = ±π, ±3π, ...) и называемыми сепаратрисами. Движение по сепаратрисе часто
называют лимитационным движением.

82 Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Рис. 6.7. Фазовый портрет колебаний маятника на фазовой плоскости (а) и в
цилиндрическом фазовом пространстве (б); зависимости от времени фазовых координат маятника
φ (β) и φ (г) при движении изображающей точки по сепаратрисе
Поскольку значения угла поворота φ, отличающиеся друг от друга на 2тг,
физически неразличимы, фазовую плоскость, изображенную на рис. 6.7 а, удобно
свернуть в цилиндр. Вид фазовых траекторий в полученном таким образом
цилиндрическом фазовом пространстве показан на рис. 6.7 5.
Движение маятника, соответствующее движению изображающей точки по
сепаратрисе, легко находится аналитически путем интегрирования уравнения (6.2.12)
при Ε = 2u>q. Это решение имеет вид
ф± =r±2w0cos|, φ± =±(4arctg(eu,ot)-^. (6.2.13)
Зависимости φ = φ+ и φ/ωο = ψ+/ωο от времени t представлены на рис. 6.7 виг.
К решению (6.2.13) мы еще вернемся при рассмотрении солитонов.
2. Хаотпизация колебаний маятника при параметрическом воздействии.
Параметрические колебания физического маятника можно возбудить путем
вертикальных вибраций его оси подвеса. Уравнение таких колебаний с учетом сил трения
имеет вид
£+yV>+™(<7 + /(*)) sin φ = 0, (6.2.14)
где Нф — момент сил трения, f(t) — ускорение оси подвеса, обусловленное
вибрацией.
При достаточно большой амплитуде вибрации оси подвеса маятника по
гармоническому закону численно и экспериментально наблюдались бифуркации удвоения

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 83
периода и переход к хаосу (см., например, [27, 473, 474, 508, 509, 524]). Обзор
некоторых результатов, полученных в этих и других работах, дан в книге [248]. Мы
остановимся только на одном примере хаотизации колебаний маятника, который
нам понадобится в дальнейшем.
Рассмотрим колебания маятника, вызванные достаточно большими
резонансными колебаниями оси подвеса, и учтем, что трение в оси подвеса может иметь
нелинейный характер. Уравнение таких колебаний в безразмерном времени V — u>ot
может быть записано в виде
φ + 2β{\ + αφ2)φ+ (l + Bcos2t) sin γ? = 0, (6.2.15)
где В — относительная амплитуда колебаний ускорения оси подвеса, β —
коэффициент линейного трения, α — коэффициент нелинейного трения. Поведение решения
уравнения (6.2.15) при a = 0 и изменении параметра В было детально изучено в
работе [524] путем численного моделирования. Мы повторили расчеты, проведенные
в этой работе, для ряда значений амплитуды J9, при которых колебания маятника
являются хаотическими. Пример таких колебаний приведен на рис. 6.8 а. Из
рисунка видно, что маятник совершает нерегулярные вращения в ту и другую стороны,
что приводит к медленному дрейфу угла поворота φ. Наличие нелинейного трения,
если оно имеет достаточную величину, приводит к тому, что вращение исчезает, а
маятник совершает только хаотические колебания относительно положения
равновесия (рис. 6.8 б). Вычисленная нами корреляционная размерность аттрактора,
соответствующего указанным хаотическим колебаниям маятника, при В = 3, a = 0
оказалась равной 2.51 ± 0.05, а при В = 3.5, a = 2 — 2.09 ± 0.03. Мы видим, что
наличие нелинейного трения существенно уменьшает размерность.
Весьма интересным представляются спектры возбуждаемых хаотических
колебаний маятника. При отсутствии нелинейного трения, когда маятник совершает
нерегулярные вращения, спектр его колебаний содержит низкочастотную часть,
обусловленную этими медленными вращениями; спектральная плотность падает с
ростом частоты, хотя и не монотонно (рис. 6.9 а). При наличии нелинейного трения
низкочастотная часть спектра оказывается существенно меньше, и в спектре
имеются ярко выраженные максимумы на частотах, кратных собственным (рис. 6.9 б).
Такое поведение спектров типично для существенно нелинейных систем.
3. Маятник с быстро колеблющейся осью подвеса. Стабилизация верхнего
положения равновесия как индуцированный фазовый переход. Рассмотрим уравнение
(6.2.14), описывающее маятник с колеблющейся осью подвеса. Будем считать, что
колебания оси подвеса являются быстрыми по сравнению с колебаниями маятника.
Интересующий нас эффект стабилизации верхнего положения равновесия маятника
возможен как при регулярных гармонических колебаниях оси подвеса, так и при
случайных. Здесь мы рассмотрим только первый случай, тогда как второй будет
рассмотрен в следующей главе.
Пусть f(t) = gB cos vt, где ν >► \/mbg/J. Путем изменения масштаба времени
уравнение (6.2.14) можно привести к виду
φ + 2βψ + (1 + Bcosurt) sin φ = 0, (6.2.16)
где ω ^> 1. Если амплитуда колебаний оси подвеса превышает некоторое
критическое значение, то, как известно (см., например, [43, 210, 46, 41]), имеет место инте-

84
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
φ у рад/с
2
Лс
Рис. 6.8. Решение уравнения (6.2.15) и проекции фазовых портретов на плоскость у>, φ при
В = 3, a = 0 (α), β = 3.5, а = 2 (б)

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 85
0.16 0.31
Частота, Гц
a
0.47
0.31 0.63
Частота, Гц
б
0.94
1.25
Рис. 6.9. Спектральные плотности решения уравнения (6.2.15) в децибеллах при В = 3,
α=:0 (α) и В = 3.5, а = 2 (б)
ресное явление стабилизации верхнего положения равновесия. Это явление
наблюдалось экспериментально П.Л.Капицей [133, 134]. Для того чтобы рассчитать
устойчивость верхнего положения равновесия маятника, линеаризуем уравнение (6.2.16)
относительно малого отклонения от верхнего положения равновесия у = φ — π и
введем безразмерное время г = ωί. Линеаризованное уравнение имеет вид
£-«(-*£+(«+*"),).
(6.2.17)
где е = Ι/ω — малый параметр, 6 = В /ω. Как мы увидим ниже, вблизи границы
устойчивости параметр Ь порядка единицы. Решение уравнения (6.2.17) на временах
г, меньших или порядка единицы, будем искать в виде ряда по малому параметру
с.
У = Jto + iyi +е2У2 + ... (6.2.18)
Подставляя (6.2.18) в (6.2.17), считая β ~ с и приравнивая члены при одинаковых
степенях €, найдем уо, Уь 2/2, ·· ·
Уо
= С\т + Сг, у\ = Μ Ci (2 sin г — г cos r) — Сгсовг},
(6.2.19)
г3 βτ2 τ2
У2 = С\ — Ci h С2 — +
О € /
Ь2/7 3 . 0 г 0
+ —I I-- sin2r + - cos2r
.Ιήα,+ (ψ-ή€;
где Ci, Сг — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.
Для исследования устойчивости состояния равновесия уравнения (6.2.17)
согласно теории Флоке достаточно знать два фундаментальных частных решения при
г = 2π. Обозначим эти частные решения через у^(т) и у^2Цт), Если решение у^{т)

86
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
удовлетворяет начальным условиям 2/^(0) = 1, у^(0) = 0, а у^2Цт) — начальным
условиям т/2)(0) ^ 0) У^2Н®) = 1, то можно показать, что искомое условие
устойчивости имеет вид maxj/ii^l < 1» где
»,.£!M±!^*JjUMJ5fci ,6.2.20,
мультипликаторы. Из (6.2Л8), (6.2.19) следует, что
νω(2π) = 1 + 2ttV (l " γ) + <>{<?), У(1)(2тг) = 2тге2 (ΐ " у) + *(<3)>
у(2)(2тг) = 2π + o(c), у<2)(2тг) = 1 + 2τΛ2 (ΐ - γ) + °(<3)-
(6.2.21)
Подставляя (6.2.21) в (6.2.20), находим условие устойчивости
Ь2 >2, т.е. В2 >2ω2. (6.2,22)
Отметим, что найденное условие не зависит от коэффициента затухания
маятника. Если б2 > 2, то верхнее положение равновесия маятника будет асимптотически
устойчивым. При малом отклонении от него маятник будет совершать затухающие
колебания с основной частотой
(выражение для «собственной» частоты Ω следует из (6.2.20), (6.2.21)). С ростом
амплитуды воздействия В частота Ω будет расти и, когда она достигнет
значения ω/2у вновь возникнет неустойчивость. Эта потеря устойчивости аналогична
потере устойчивости нижнего положения равновесия и происходит при почти том
же значении амплитуды воздействия. Можно показать, что при указанной потере
устойчивости мультипликаторы проходят через значение —1, что соответствует
возбуждению колебаний с частотой ω/2. Оценку верхней границы устойчивости В*
и зависимость амплитуды колебаний А от В — В* вблизи порога возбуждения можно
получить, если в уравнении (6.2.16) пренебречь единицей по сравнению с Bcosu>t
(что соответствует пренебрежению силой тяжести) и разложить sin φ в ряд
относительно φ = 0, либо φ — тг, ограничившись кубическим членом разложения. При
этом получим уравнение
у + 2βν ± В (у - £ J cosurt = 0. (6.2.24)
Решение уравнения (6.2.24) будем искать в виде у = 4sin(u>*/2 + <£), где А и ф —
медленно меняющиеся функции. Подставляя это решение в (6.2.24), получаем для А
и ф следующие приближенные уравнения:
А=тfr0-έ)"п2ф-βΛ> *= -ϊτέi1 ~τ)соа2ф- (62·25)

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 87
Учитывая, что β <ζω, легко найти приближенное стационарное решение уравнений
(6.2.25). Это решение удобно записать в виде А2 а* 6(1 — В*/В), где В* « ω2/2.
Численное решение уравнения (6.2.17) [248] показало, что при В > В*, кроме
режимов колебаний с периодом 4 π/ы, возможны режимы вращения маятника в ту
или иную сторону с частотой, равной частоте колебаний оси подвеса. Возбуждение
того или другого режима определяется начальными условиями.
Переход к режиму стабилизации верхнего положения равновесия маятника,
обусловленный высокочастотной вибрацией оси подвеса, можно рассматривать как
рождение в соответствующем фазовом пространстве медленных переменных [41]
некоторого нового аттрактора, индуцированного этой высокочастотной вибрацией.
В каком-то смысле про высокочастотную вибрацию можно забыть, а
рассматривать новую динамическую систему, имеющую два устойчивых состояния
равновесия. Именно такой подход развивается в книге И.И.Блехмана [41]. Там же дан и
рецепт получения уравнений, описывающих эту новую систему. С другой стороны,
процесс стабилизации верхнего положения равновесия маятника за счет
высокочастотной вибрации оси подвеса, как и процесс возбуждения колебаний при
резонансной вибрации, можно трактовать как некоторый индуцированный неравновесный
фазовый переход второго рода, в котором параметр В2 играет роль «температуры»,
а средняя частота колебаний относительно верхнего положения равновесия Ω
играет роль параметра порядка. Из выражения (6.2.23) видно, что соответствующий
критический индекс равен 1/2.
3. Собственные колебания материальной тонки в поле сил с
потенциалом Тоды. В теории нелинейных колебаний и волн часто приходится сталкиваться
с уравнением вида
i + е*- 1 = 0. (6.2.26)
Это уравнение можно трактовать как уравнение движения материальной точки в
поле сил с потенциалом
1/(*)=е*-*, (6.2.27)
получившим название потенциала Тоды.
Из уравнения (62.26) находим следующее уравнение фазовых траекторий:
х2 А2
_ + е*-*-1 = —, (6.2.28)
где А — амплитуда колебаний скорости х. Соответствующий фазовый портрет
представлен на рис. 6.10 а. При любых амплитудах А колебания являются
периодическими с периодом Т(А)} монотонно растущим с ростом А (рис. 6.10 б) [181].
Форму колебаний можно вычислить аналитически в двух предельных случаях:
1) При А < 1 ех можно разложить в ряд, ограничившись квадратичным членом
разложения, так что уравнение (6.2.26) примет вид
* + *(l + |) =0. (6.2.29)
Решение уравнения (6.2.29) выражается через эллиптический косинус Якоби:
χ = 12*Vcn2(«<, Ar) — 1 — 4u>2(2fc2 - 1), (6.2.30)

88
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Рис. 6.10. Фазовый портрет движения материальной точки в поле сил с потенциалом Тоды
(а) и зависимость периода колебании от амплитуды (б): кривая / соответствует А = 0.5,
2 - А = 2, 3— А = 4.5
где ω = (1 4- к4 — Аг2)_1/4/2, а модуль эллиптической функции к связан с амплитудой
А соотношением
ЗЛ2 = 2 +
(2fc2- 1)(2 + *2-А:4)
(.1 _ jfc2 + £4)3/2
Отсюда следует, что максимальное значение модуля к} равное единице,
соответствует А = 2/л/З. Для сравнения зависимости x(t) и x(t)> рассчитанные при помощи
компьютера, показаны на рис. 6.11 б.
-301
Рис. 6.11. Формы колебании материальной точки в поле сил с потенциалом Тоды при
больших амплитудах, построенные по формулам (6.2.31), (6.2.32) (а) и рассчитанные при
помощи компьютера (б) при А — 6.6 (кривые 1) и А = 3.0 (кривые 2)
2) При А ^ 1 вблизи максимумов функции x(t) имеет место условие е1 » 1 и
решение уравнения (6.2.26) получается следующим:
=Чт
ch
-2 A\t — ^max)
)·
(6.2.31)
где tfmax — моменты времени, соответствующие максимумам функции x(t). В
справедливости решения (6.2.31) можно убедиться непосредственной подстановкой.
Вблизи минимумов функции x(t), наоборот, ех <^ 1, и решение уравнения (6.2.26) имеет

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 89
вид
x = ^-(t-tmin)^ (6232)
где £min - моменты времени, соответствующие минимумам функции x(t). Период
колебаний при А ^> 1 оказывается пропорциональным А: Т(Л) ^ 2А. На основании
формул (6.2.31), (6.2.32) нетрудно построить зависимость x(t) при А ^> 1. Пример
такой зависимости приведен на рис. 6.11 а.
6.3. Колебания численности видов в модели Лотки-Вольтерра
Все рассмотренные выше примеры относились к уравнению вида
£ + /?χ+$(χ):=0, (6.3.1)
представляющего собой простейшую модель нелинейного осциллятора с одной
степенью свободы. Здесь и ниже мы рассмотрим собственные и вынужденные
колебания в более сложных моделях.
Уравнение (6.3.1) не содержит членов с первой производной в нечетной степени и
потому не меняется при изменении знака времени. Фазовые траектории,
определяемые этим уравнением, симметричны относительно оси х. Рассматриваемые ниже
уравнения Лотки-Вольтерра (см. (5.2.7)) не обладают этим свойством. Как следует
из (5.2.7), уравнение интегральных кривых на фазовой плоскости х, у имеет вид
dy у а2х - к2
dx χ k\ — а\у
Это уравнение легко интегрируется и его решение удобно записать в форме
*?
к
(6.3.2)
iif±_,-ln^ + ^-1-lnX = E, (6.з.з)
г ι \*о хо/ 2/о 2/о
где хо = к2/а2у Уо = к\/а\ — координаты особой точки, соответствующей
стационарному состоянию системы. Фазовые траектории, описываемые уравнением
(6.3.3), изображены на рис. 6.12 для ряда значений отношения к2/к\. Уравнение
(6.3.3) можно трактовать как интеграл энергии для уравнений Лотки-Вольтерра.
Путем исключения переменной у уравнения (5.2.7) преобразуются к виду
х2
χ + (*ιχ ~ х){а2х - к2) = 0. (6.3.4)
χ
Фазовый портрет для этого уравнения на плоскости χ, χ при к\ = к2 = 1
представлен на рис. 5.3. Из рисунка видно, что фазовые траектории несимметричны
относительно оси х, что является следствием того, что уравнение (6.3.4) изменяется при
замене t на —t. На рис. 6.12 г показана зависимость χ от времени при достаточно
большой амплитуде колебаний. Видно, что в этом случае колебания представляют
собой периодическую последовательность несимметричных импульсов.
Отметим, что уравнения Лотки-Вольтерра можно записать в канонических
переменных q = In x, ρ = In г/. В этих переменных гамильтониан системы и
соответствующие канонические уравнения имеют вид
Η = к\р - а\ер + k2q - а2ея, q = к\ - ахер, ρ = -к2 + а2ея.

90
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Рис. 6.12. Фазовые траектории для уравнений Лотки-Вольтерра на плоскости х/хо, у/уо
при fo/fci = 0.25 (α), fo/fci = 1 (<?), ta/fci = 4 (β): кривые 1 соответствуют Ε — 0.1, 2 —
Ε = 0.4, 3 — Ε = 1; пример зависимости ar(f) при достаточно больших амплитудах (г)
6.4. Колебания пузырька газа в жидкости
1. Вывод уравнения и собственные колебания. Еще в 1917г. в связи с
проблемой кавитации Релей опубликовал работу [566], в которой вывел уравнение
колебаний сферического пузырька газа, находящегося в идеальной несжимаемой
жидкости. Приведем этот вывод. В сферической системе координат для скорости
жидкости и можно записать одномерное уравнение Эйлера
du du l dp
\-u — = L
dt dr ρ dr
и уравнение непрерывности
d{v2u)
dr
= 0,
(6.4.1)
(6.4.2)
где ρ — плотность жидкости, ρ — давление. Уравнения (6.4.1) и (6.4.2) справедливы
при г > R, где R — радиус пузырька.
Введя потенциал скорости φ так, что и = —δφ/dr, уравнение (6.4.1) можно
проинтегрировать по г от г до оо. Учитывая, что на бесконечности и = φ = 0,
имеем
^_^ + 1(р(оо)_р(г))=0) (6.4.3)
где р(оо) = ро — гидростатическое давление в жидкости. Из уравнения (6.4.2)
получаем и (г) = С/г2, где константа С определяется из граничного условия u(R) =
R. Отсюда находим С = Д2Д и, следовательно,
, ч Я2 · R? ■
u(r) = —R> ψ= — Κ.
(6.4.4)

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 91
Подставляя теперь (6.4.4) в уравнение (6.4.3) и полагая г = Я, получаем уравнение
колебаний пузырька, выведенное Релеем:
ЯЯ+^Я2--(р(Я)-р0) =0.
(6.4.5)
Чтобы вычислить р(Я), воспользуемся условием равенства давлений снаружи и
внутри пузырька. Давление снаружи равно сумме давления жидкости p(R) и
давления, создаваемого силами поверхностного натяжения, 2a/R. Давление внутри равно
давлению газа в пузырьке pr(R)· Считая процессы, происходящие в газе,
политропическими, можно для Pr(R) записать следующее выражение:
где к — показатель политропы, Яо — стационарное значение радиуса пузырька,
когда р(Я)|я=я0 = Ро· Приравнивая рг(Я) давлению снаружи р(Я) + 2<г/Я, находим
*«>=(-ШГ-1
(6.4.7)
Уравнение (6.4.5) с учетом (6.4.7) можно записать в форме закона сохранения
энергии:
R3R2 1
—+;
Я0
Ро +
*)((*)
3*-1 \ рЗ _ рЗ
-1 1+€г(Я2-Д2)+роЛ °
= Е.
3/с-IV RoJ\\RJ J v и/.*- з
J (6.4.8)
Это же уравнение можно записать в форме уравнения Лагранжа, где функция
Лагранжа L определяется выражением
L =
Я3Я2 1
А("*Щ*П-И*-*
ЯЗ рЗ
)) +Ро «
Отсюда и из (6.4.8) следует, что кинетическая энергия пузырька определяется
первым членом в левой части уравнения (6.4.8), а потенциальная — вторым. Обратим
внимание, что кинетическая энергия зависит не только от скорости изменения
радиуса, но и от самого значения радиуса.
При малых колебаниях, когда |Я— Яо| < Яо, уравнение (6.4.5) с учетом (6.4.7)
принимает вид
3/с- 1 2σ\
ν0 ν 3/с Яо/
где ξ — Я — Яо- Отсюда следует, что частота малых колебаний ωο равна
- 3/с /
(6.4.9)
ωο
~ Ro\p V
Зк-1 2σλ
3/с Rq /
1/2
(6.4.10)
Как и следовало ожидать, величина и»о тем больше, чем меньше стационарный
радиус пузырька Яо·

92
Часть И. Собственные и вынужденные колебания и волны
τ
Рис. 6.13. Фазовый портрет колебаний пузырька в жидкости на плоскости
R = R/Ro} dR/dr (о); изменение периода Τ {6) и трансформация формы колебаний
Я(т) (θ) при увеличении амплитуды А = 2(Ятах/До — 1) для a/(Ropo) = 0.0725, к = 4/3
Вид фазовых траекторий, определяемых уравнением (6.4.8), в координатах
R = Я/До, dR/dr, где г = ω0ί, показан на рис. 6.13 а.
С ростом амплитуды период колебаний увеличивается, а форма колебаний
существенно искажается. Это продемонстрировано на рис. 6.13 бив соответственно.
2. Хаотизация колебаний пузырька газа в жидкости под действием
звукового поля. Задача исследований хаотических колебаний пузырька газа при
гармоническом внешнем воздействии возникла в связи с проблемой кавитации. При
кавитации экспериментально наблюдались субгармоники в спектре звукового поля
и его сильное зашумление [396, 468]. Последнее долгое время пытались объяснить
большим количеством пузырьков, излучающих колебания в различных фазах. Од-

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 93
нако в специальных экспериментах [503], в которых удавалось иметь в жидкости
лишь один пузырек, выяснилось, что зашумление происходит и в этом случае.
Уравнения колебаний пузырька, численно исследованные в ряде работ (см.
например, [198, 503, 549]), имеют вид
(,_^+!#(.-*)-ΐ(ι + £)ΐ4**-££.., (β411)
где α — скорость звука, ρ — плотность жидкости,
р(д-Л)=(ро-Рп + ^)(^) " \ -4rj |-Po + Pn -Posing (6.4.12)
η — динамическая вязкость жидкости, σ — коэффициент поверхностного
натяжения, ро — статическое давление, рп — давление пара, Яо — равновесный радиус
пузырька, к — показатель политропы.
Я
2.5f
0.3 f,MC
510
-510
-МО6
Рис. 6.14. Пример хаотических колебаний пузырька при ω/(2π) = 65
колебании, б — проекция аттрактора на плоскость Д = Я/До, dR/dt
— форма

94 Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Уравнение (6.4.11) и выражение для давления (6.4.12) отличаются от (6.4.5) и
(6.4.7) тем, что в них учтены давление пара в пузырьке рп, сжимаемость и
вязкость жидкости, а также наличие внешнего звукового поля, описываемого членом
Posinwi.
Уравнение (6.4.11) с учетом (6.4.12) моделировалось в работах [198, 490] при
следующих значениях параметров: R0 = Юмкм, Р0 = 90кПа, р0 = 100 кПа,
Рп = 2.33 кПа, σ = 0.0725 Н/м, ρ = 998 кг/м3, к = 4/3, η = 0.001 Нс/м3, α = 1500 м/с.
Частота звуковой волны ω/(2π) изменялась в диапазоне от 60 до 72 кГц. Было
обнаружено, что в этом диапазоне колебания радиуса пузырька имели хаотический
характер. Пример таких колебаний приведен на рис. 6.14.
6.5. Колебания осциллятора с медленно меняющимися
параметрами
Рассмотрению квазилинейных систем с медленно меняющимися параметрами
посвящена монография Ю.А. Митропольского [228]. Здесь мы остановимся только на
двух очень важных проблемах: определим форму собственных колебаний линейного
осциллятора с медленно меняющейся частотой и рассмотрим прохождение
осциллятора через резонанс при медленном изменении частоты внешней силы.
1. Собственные колебания осциллятора с медленно меняющейся
частотой. Для простоты рассмотрим линейный осциллятор, описываемый уравнением:
ж+ ы2(е<)* = 0, (6.5.1)
где u>(et) — медленно меняющаяся функция, е — малый параметр.
Перейдем в уравнении (6.5.1) от времени t к «медленному» времени τ = ct.
Тогда получим уравнение с малым параметром е2 при старшей производной. Введя
большой параметр λ = б-1, запишем это уравнение в виде
0+AV(r)x = O. (6.5.2)
Для приближенного решения такого рода уравнений существует ряд методов:
метод ВКБ, названный так по имени его создателей Вентцеля, Крамерса и Бриллю-
эна [238, 319], асимптотический метод для больших собственных значений [305, 352],
а также методы, основанные на таких преобразованиях зависимой и независимой
переменных, при которых исходное уравнение для достаточно больших значений
параметра λ сводится к наиболее простому виду [238]. Описание некоторых из этих
методов дается в Приложении А.
В первом приближении по малому параметру с = А"1 все указанные методы
приводят к одному и тому же приближенному выражению для x(t)} которое можно
записать в виде
x(t) = A(d) sin ψ{ί, et), (6.5.3)
где
A{d) = AoJ^£j, 1>(t,d) = fv(ct) dt. (6.5.4)

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 95
Отметим, что приближенное решение (6.5.3) справедливо, если знак u2[it) не
изменяется со временем, т.е. решение всегда имеет колебательный характер. В
противном случае все указанные методы, за исключением метода преобразования Лан-
гера (см. Приложение А), перестают работать. Преобразование Лангера приводит
к решению, выражаемому через специальные функции Эйри, обладающие тем
свойством, что их поведение при изменении знака аргумента меняет свой характер от
колебательного к экспоненциальному.
Из (6.5.1), (6.5.3), (6.5.4) следует, что энергия колебаний в первом приближении
по е равна
Ε=γ+ 2 =-£ω0ω-(^-—8ιη2φ. (6.5.5)
Отсюда видно, что энергия Ε не только медленно меняется со временем за счет
изменения частоты ω, но и имеет малую (порядка е) быстро осциллирующую часть.
Усреднив (6.5.5) по фазе ф, получим следующее выражение для средней энергии:
Е= ^ω0ω(τ). (6.5.6)
Таким образом, мы получили, что средняя энергия является медленно меняющейся
функцией времени. В п. 1.4 было показано,что для линейного осциллятора Ε — 3ω,
где 3 — действие. Отсюда и из выражения (6.5.6) следует, что J — Ло^о/2. Таким
образом, мы непосредственно показали, что действие J в первом приближении по
малому параметру с не зависит от t , т.е. действительно является адиабатическим
инвариантом.
2. Колебания осциллятора под действием внешней силы с медленно
меняющейся частотой. Рассмотрим вначале задачу о воздействии внешней силы с
медленно меняющейся частотой на линейный осциллятор. Пусть уравнение системы
имеет вид
i + 2ii + wjjs = Bcos^(*)> (6.5.7)
с
где φ(ί) = I cj(et) dt + χ, e — малый параметр.
о
Если время прохождения области резонанса <* = δ/ώ много больше времени
установления колебаний l/ί, то процесс прохождения через резонанс можно
рассматривать как кваэистационарный, и резонансные кривые будут выглядеть почти
так же, как при постоянной частоте воздействия. В противном случае отличие
может быть весьма существенным.
Частное решение уравнения (6.5.7), соответствующее вынужденным колебаниям,
можно записать через функцию Грина G(ty τ) в следующем виде:
z(t) = Re ί В J G(t, r)e'^r) dr J , (6.5.8)
G(t,r) = — e-^-^sinu^f-r), wi = */wg - i* . (6.5.9)
где
G(t,r) =

96
Часть //. Собственные и вынужденные колебания и волны
В частном случае линейной зависимости частоты внешней силы от времени, т.е.
когда ф(() = et2 + χ, выражение (6.5.8) с учетом (6.5.9) может быть записано через
комплексные интегралы вероятности [335]:
x(t)
+ ίχ-,4>116ΧΡ1^ + 1'ωΐί>
+Ф
£5 «·(·*(-*-sW-'")-*-'?) Μ
1 +
t I ω\ — г<$4
где Φ(ζ]
ζ
(6.5.10)
exp(-t2)dt.
Из выражения для ψ(ί) следует, что частота воздействия ω(ί) = φ = 2d. Поэтому
прохождение области резонанса происходит при t ~ *q = ω\/(2ϊ). Если Sto ^> 1, то
вторым членом в квадратной скобке выражения (6.5.10) можно пренебречь. В этом
случае (6.5.10) можно представить в виде
z(t) = A{t)cos(il>(t) + (p(t)),
(6.5.11)
где A(t) и (p(t) — медленно меняющиеся амплитуда и фаза колебаний, причем, как
следует из (6.5.10),
A{t) = p^e-Ht-to)
1 + Ф
U-'-C
^(ί) = 47 -«(*-*»)- J + ar«
1+Ф
Η--ε.
(6.5.12)
(6.5.13)
Легко показать, что при S >> у/1 выражения (6.5.12) и (6.5.13) совпадают с (6.1.7).
Отличие возникает при S < у/1. В противоположном предельном случае, когда
δ 4С л/ё, выражение (6.5.12) удается упростить. Для этого воспользуемся тем, что
при \t — £о| ^> £Д интеграл вероятности можно заменить интегралами Френеля
[335], а именно, Φ(χΑΛ) = y/2/i(c{z) + iS(z)"j , где
/2ζ/π
2ζ/π
C{z) = Jl ί cos*2 <ft, S(z) = J- f sint2dt.
о о
При этом получаем
A{t) = i^e-S{t-to){[l + C(<(t-to)2)+S(c(t-t0f)sign(t-t0)}2 +
+ [c(e(t-t0)2)-S(t(t-t0)2)]2y/2. (6.5.14)

Гл. 6. Собственные и вынужденные колебания нелинейных осцилляторов 97
т\А1в
Зависимости амплитуды колебаний от времени в относительных единицах,
построенные по формуле (6.5.14), приведены на рис. 6.15 для двух значений параметра
q = ω\/ϊ (чтобы выполнялось условие δ <С у/е>
параметр q должен быть много меньше ω2/δ2).
Для сравнения приведен соответствующий
график для случая δ > у/ё (q -+ со)
(штрих-пунктирная кривая). Из рисунка видно, что при
S <£ уД резонансное значение частоты
увеличивается тем больше, чем меньше q> т.е. чем
быстрее изменяется частота внешнего
воздействия. При этом сам резонанс становится
менее выраженным. Кроме того, на правом
склоне резонансной кривой появляются осцилляции,
связанные с осцилляциями интегралов
Френеля. «Период» осцилляции тем меньше, чем
больше q. Отметим, что аналогичные зависимости
были получены Ф.М.Льюисом в работе [512] и * относительных единицах и*А/Ву
приведены без вывода в монографии [228].
Перейдем теперь к рассмотрению квазили
нейных систем с медленно меняющимися пара
метрами. В качестве примера рассмотрим
следующее уравнение:
25
20
15
10
5
0
Г ί
- !i
- !i
/i
1У
- ^>£^
ι
^-200
PVc?"100
^ ^^^Ч
1.0
1.5
2.0
Рис. 6.15. Примеры зависимостей
от времени амплитуды колебаний А
ζ = 2et/u>i в случае линейного
изменения частоты внешней силы
для δ/ωχ = 0.02, q = 100 и
q = 200; штрих-пунктир
соответствует q = оо
χ + 2δχ + ωΙ(1 + ηχ2)χ = В cos V>(*)· (6.5.15)
В случае малого затухания (i « wo) и малой амплитуды внешней силы уравнение
(6.5.15) можно решать асимптотическим методом. При этом в первом приближении
решение уравнения (6.5.15) получаем в виде x(t) = A(t) cos (ψ(ί) +<p(t)), где А и φ
удовлетворяют уравнениям
В S R
А = - δ А ■— sin φ, φ = ω0 - ω + - ηω0Α2 - —
ω0 + ω 8 Α(ω0 + ω)
cos<p. (6.5.16)
Численное интегрирование уравнений (6.5.16), результаты которого изложены в
монографии [228], показало, что форма резонансных кривых существенно зависит
ω\ΑΐΒ
Рис. 6.16. Зависимости ω\Α/Β от ξ = ω(ί)/ω0 для δ/ω0 = 0.01, В = 0.02ыо/7
q = ыо/е = оо (кривые ί, 7'), q - 2000 (кривая 2)у qr = 400 (кривая S)
1/2

98 Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
от направления изменения частоты ω. Примеры таких кривых, полученных нами
при увеличении частоты ω, приведены на рис. 6.16- Они совпадают с приведенными
в [228]. Однако кривых, подобных тем, которые приведены в [228] для случая, когда
частота ω уменьшается, мы получить не смогли (за исключением кривой 1',
соответствующей не изменяющейся во времени частоте ω). Из рис. 6.16 видно, что при
6 <С у/ё, как и в линейном случае, на правом склоне резонансной кривой имеются
осцилляции, «период» которых тем меньше, чем больше параметр д.
Глава 7. Собственные и вынужденные колебания
в системах с полутора и более степенями
свободы
7.1. Линейные консервативные системы.
Нормальные колебания
Общая теория нормальных колебаний в линейных системах с постоянными
параметрами достаточно полно и хорошо изложена во многих книгах (см., например,
[53, 303]). Поэтому здесь мы обратим внимание лишь на основные положения этой
теории и на некоторые конкретные результаты.
В достаточно общем случае уравнение линейной консервативной системы можно
записать в виде
Л*х+7*х + /Сх = 0, (7.1.1)
где Μ и К — симметрические матрицы, называемые соответственно матрицей масс
и матрицей жесткости, а Ή — антисимметрическая матрица. Физический смысл
члена Τίχ — это вектор гироскопических сил, например, сил Кориолиса. Из
антисимметричности матрицы % следует, что ее диагональные элементы должны быть
равны нулю.
Общее решение уравнения (7.1.1) можно записать в виде линейной комбинации
так называемых нормальных координат ξ3:
Ζ 3 = 1
где V5 — комплексный вектор коэффициентов распределения, соответствующий
5-му нормальному колебанию, η — число степеней свободы системы.
Согласно определению, координаты ξ$ являются нормальными, если уравнения
для них развязываются, т.е. принимают вид
£+<-#, = <), (7.1.3)
где s = 1,2,...,η, ω9 — 5-я собственная частота колебаний системы, являющаяся
5-м корнем характеристического уравнения
det || -Μω2 + ΐΗω + К ||= 0. (7.1.4)

Гл. 7. Колебалия в системах с полутора и более степенями свободы
99
Отметим, что в силу свойств матриц Μ, 7ί и К уравнение (7.1.4) содержит только
четные степени ы, причем квадраты корней этого уравнения являются
действительными числами.
Коэффициенты распределения V, находятся из системы однородных уравнений
{-Μω2 + ΪΚω> + /C)V, = 0, (7.1.5)
детерминант которой равен нулю. Поэтому все компоненты вектора V,
определяются с точностью до постоянного множителя.
В качестве примера рассмотрим систему двух связанных осцилляторов,
уравнения которых имеют вид
mix + hy + k\x + k\2y = 0, m2y - Лж + k2y + k\2x = 0. (7.1.6)
Характеристическое уравнение для системы (7.1.6) следующее:
τη\τη2ωΑ — {m\k2 + m2k\ + Η2)ω2 + k\k2 — k22 = 0.
Его решение определяет частоты нормальных колебаний:
ш\ 2 = - ( mi&2 + "12*1 + h2 ± \ {mxk2 - m2k\ + /ι2)2 + 4m2(H2mi + kxh2) | .
2ШХШ2 \ V /
(7.1.7)
Полагая χ = (ξι + £2 + к.с.)/2, у = (Viii + V2£2 + к.с.)/2, где ζ1|2 = Ci,2exp(iwi|20 —
нормальные координаты, находим
т/ т^2 - m2ki + ft ± \/(mifc2 - m2fci + /ι2)2 + 4m2(fcg2mi + ^ι^2) /7 ι q\
Kl'2 " 2m2(*12 + ifcwli2) * (7L8)
Отсюда видно, что при h φ 0 коэффициенты распределения Vi|2 являются
комплексными, что говорит о наличии сдвига фаз между колебаниями χ и у. При /ι = 0
коэффициенты V\y2 действительны и имеют разные знаки. Положительный
коэффициент распределения соответствует синфазным колебаниям переменных χ и у, а
отрицательный — противофазным.
7.2. Нормальные колебания в нелинейных
консервативных системах
В нелинейных системах, в отличие от линейных, принцип суперпозиции не имеет
места. Поэтому общее решение нелинейной системы уравнений нельзя представить
в виде суммы нормальных колебаний. Однако понятие нормальных колебаний
существует и для нелинейных систем, причем часто оказывается весьма полезным, в
частности, для построения порождающих решений с целью применения различных
методов возмущений.
Нормальными колебаниями нелинейных систем называют такие периодические
движения, при которых все переменные системы выражаются через одну из них,
например первую, при помощи алгебраических соотношений, т.е. χ, = ο,(χι), где

100
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
г = 2,3,..., N. В режиме нормальных колебаний система ведет себя подобно
системе с одной степенью свободы. Заметим, что определение нормальных колебаний
нелинейной системы аналогично определению простых волн (см. гл.5).
Подробному рассмотрению частного случая, когда
xi = Kixl (ΑΊ = 1),
(7.2.1)
посвящены работы P.M. Розенберга [572, 573]. Нетрудно получить условия, при
которых данный случай может реализоваться. Для этого зададим уравнения системы
в виде
МГ(*ь*2,...,**)=0 (ί = 1|2>...|ΛΓ)> (7.2.2)
х,+
Зх,
где ί/(χι, Х2, · · ·, хдг) — потенциальная энергия. Подставив в (7.2.2) решение в виде
(7.2.1), получим
χι +
#2xi +
51/(χι,χ2,...,χτν)
dx\
at/(xi,x2,...,X7v)
= 0,
xt—Kxx\
dxi
= 0,
xt=Ktx\
ΚχΧ\ +
5I/(xi,x2, ...,a?jv)
Θχν
xt=Ktx\
= 0 (i = 2,3,...,7V).
Из условий совместности згой системы уравнений следуют N — 1 условий на
функцию U:
1 5ί7(χι,χ2,...,Χ7ν)
Ki
dxi
xx-=Ktx\
(г = 2,3,...,ЛГ).
dU(xi,x2,...yxN) I
(7.2.3)
Условия (7.2.3) могут выполняться только в том случае, когда функция U
обладает определенной симметрией. В качестве примера рассмотрим систему с двумя
степенями свободы вида [226]:
χ + χ3 + η{χ - у)3 = 0, у + у3 - у(х - у)3 = 0.
(7.2.4)
Подставляя в (7.2.4) решение в форме у = ifx, в соответствии с (7.2.3) получаем
для К следующее уравнение:
(tf2-l)(7(tf-l)2 + tf)=0.
Уравнение (7.2.5) имеет четыре решения:
#1,2 = ±1, #з,4 = 1-^(1±ч/Г^).
(Последние два решения действительны, если у < 1/4.)
(7.2.5)

Гл. 7. Колебания в системах с полутора и более степенями свободы 101
Первое и второе решения соответствуют синфазным и противофазным
колебаниям динамических переменных с одинаковыми амплитудами, третье и четвертое
решения — противофазным колебаниям с различными амплитудами. Все четыре
формы нормальных колебаний описываются одним и тем же уравнением х-Ьах3 = 0,
но с разными значениями коэффициента а:
а= <
1
1+87
I 1 + (1Л/7)(-А'3)4)3/2
для К = 1,
для К = — 1,
для К = /Сз,4-
Из рассмотренного примера следует, что число форм нормальных колебаний
нелинейных систем, в отличие от линейных, может быть больше, чем число степеней
свободы.
В качестве другого примера можно рассмотреть так называемую систему
уравнений Янга-Миллза [641], известную в теории элементарных частиц:
х + ху^ = 0, у + *У = 0.
2„ -
(7.2.6)
Для этой системы легко получить две формы нормальных колебаний — синфазную
и противофазную — при которых у = ±я. И та и другая форма определяются
уравнением χ + χ3 = 0. Отметим, что система Янга-Миллза (7.2.6), по-видимому,
является неинтегрируемой, так как в ней численно наблюдались стохастические
колебания [329, 541].
7.3. Нормальные колебания в квазиконсервативных
системах. Устройство Лаврова
Поведение нормальных колебаний в квазиконсервативных системах может быть
продемонстрировано на примере устройства, предложенного Б.П.Лавровым в
Институте «Механобр» (г. Санкт-Петербург).
Схема устройства изображена на рис. 7.1.
Два шарика одинаковой массы m
подвешены при помощи нитей различной длины (/ι и
/2) на планке массы Мо симметрично
относительно ее центра тяжести. Планка, в свою
очередь, подвешена к жесткому
кронштейну на достаточно мягких пружинах
жесткости к. Эксперимент показывает, что если
отклонить маятники на некоторые углы в
одной плоскости, то после короткого
переходного процесса, имеющего довольно
сложный характер, устанавливается режим
противофазных колебаний с одинаковой
частотой, но разными амплитудами, который
существует в течение длительного времени. Рис. 7.1. Схема устройства Б.П.Лаврова

102
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Выведем вначале уравнения колебаний маятников и планки без учета сил трения,
используя функцию Лагранжа L, которую легко получить, вычислив кинетическую
и потенциальную энергию системы:
L = — {χ2 + у2) + - φ2 + ™( ^Тр + ^f1) + τηχ(Ιιφ1 cosy?! + 12φ2 cosφ2) +
+ту{1\ф\ sin^i + /2v?2sin<p2) + τηαφ\1\ф\ sin(<ρ - <pi) - /2V?2sin(<p - <p2)) +
+m^r(/i cosy?i + h cos^>2), (7.3.1)
где ζ и у — отклонения центра масс планки от положения равновесия в
горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно, φ — угол поворота планки
относительно оси, проходящей через центр масс, отсчитываемый от горизонтали
против часовой стрелки, ^ и^ — углы поворота маятников, отсчитываемые от
вертикали против часовой стрелки, Μ — Mo + 2m, / = /о + 2ma2, /0 — момент
инерции планки относительно оси, проходящей через центр масс, a — расстояние
от центра масс планки до точки подвеса маятника. В выражении (7.3.1) мы
пренебрегли потенциальной энергией пружин с жесткостью Аг, считая ее малой.
Соответствующие уравнения Лагранжа имеют вид
о. х У . a /.. \ .2 / Λ
φι + ω{ sin φ\ + — cos φ\ + — sin ψ\ + — Ι φ sin(<p - φι) + φ* cos(<p - φχ)) =0,
4 «1 Μ ч '
(7.3.2)
φ2 + ω\$ναφ2 + 7- cos<p2 + 7- sin¥?2 + 7-(<£sin(<p - <p2) + ψ2 cos(<p - y?2)) = 0,
«2 *2 *2 v '
™*1 ... -2 · ч m^2 / ·· -2 · ч
x = - -ΓΓ (<P\cos<pi -^ sin pi)- — (<p2cosp2 - y?2sinp2),
У = - -T7- (<*>1 Sin φι + ^008 pi) - — (p2SHip2 + P2COSp2),
(7.3.3)
ma/i /.. . , v .9 , Λ rna/2
ρ = ^- (pj sin(p - φι) - ρ? cos(p - φι) J + —y-2- (p2 sin(p - p2) - ф\ cos(p - p2) J ,
y (7-3.4)
где wi(2 = \/g/h,2 · Подставив (7.3.4) в уравнения (7.3.3), получим
(l - γ?) Pi + ω? sin pi - -^y- (p2 cos(pi - p2) + p2 sin(pi - p2)) +
+ p(psin(p-pi) + p2cos(p-pi)J = 0,
(l - ду) Y?2 + ь>1 sin p2 - -Щ- (pi cos(pi - p2) - Ф\ sin(pi - y>2))
- — ί psin(p - φ2) + φ2 cos(p - p2)J = 0.
(7.3.5)

Гл. 7. Колебания в системах с полутора и более степенями свободы
103
Уравнения (7.3.5) совместно с (7.3.4) образуют замкнутую систему. Нормальные
формы колебаний для этой системы можно найти аналитически только в частном
случае одинаковых маятников, когда l\ = h = ί. Эти формы следующие: φ — 0,
у?! = <р2 = V> и V? = 0, Ψ\ = — У?2 = Л где ψ и ΰ удовлетворяют уравнениям
Λ_^^+„2βίη^ = 0, U -^sin2 ϋλ ΰ + ωΙ*ϊηΰ - ^ΰ2 sin2u = 0. (7.3.6)
Здесь α>ο = у/я/1 — собственная частота колебаний маятников. Первая форма
соответствует синфазным колебаниям маятников, а вторая — противофазным. Из
(7.3.6) следует, что частота малых противофазных колебаний совпадает с ц , а
частота синфазных колебаний больше ы0. Из уравнений (7.3.4) находим смещения
планки χ и у:
χ =
У
—2(m//M)sin ф для синфазных колебаний,
0 для противофазных колебаний,
2(m//M)cosV> Для синфазных колебаний,
2{ml/M)cosd для противофазных колебаний.
Чтобы объяснить, по крайней мере качественно, результаты эксперимента Б.П.
Лаврова, рассмотрим случай малых колебаний, когда уравнения (7.3.5) принимают
вид
('■^^■щ^0, (ι-Μ)*>»+ω^-ϋ4νι=0· (7·3·7)
В рассматриваемом приближении уравнения (7.3.7) не зависят от φ. Полагая
φ2 = к(р\, из условия совместности уравнений (7.3.7) получаем следующее
уравнение для коэффициента к:
(•-5Η-5«*=*(.4(·-£)-5·4 ρ..*
Уравнение (7.3.8) имеет два корня
Первый корень соответствует синфазным колебаниям, а второй — противофазным
(мы полагаем, что 1\ больше /2, т.е. ω\ < ω^). Частоты ώ\$ синфазных и
противофазных нормальных колебаний соответственно равны
/ \ 1/2
:ί (1 - μ)(α;? + «§) ± ^(1 - 2/i)(u,? -^g)» + μ2(α,? +α/2)2 J ,
1/2
1
UJ\ о — —-
' s/Щ - 2/ι)
(7.3.9)

104
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
где μ = m/M. Отсюда видно, что частота синфазных колебаний, как и в
рассмотренном ранее случае, больше, чем противофазных.
Покажем, что при учете затухания синфазные колебания маятников будут
затухать существенно быстрее, чем противофазные [205]. В линейном приближении с
учетом затухания система уравнений (7.3.3)-(7.3.4) принимает вид
<ρ1+2αψι+ω2φι + Γ = 0, £2 + 2<*У?2+^2^2 +у = 0, χ + 2βχ + μ(11φι +*2£г) = 0,
«1 *2
(7.3.10)
где α и β — коэффициенты затухания маятников и планки соответственно (ради
простоты полагаем коэффициенты затухания маятников одинаковыми).
Характеристическое уравнение для системы (7.3.10) следующее:
(р + 2β)(ρ2 + 2αρ + ω\){ρ2 + 2αρ + ω2) - μρ3{2ρ2 + Ααρ + ω2 + ω\) = 0. (7.3.11)
Считая затухание колебаний достаточно малым, решение уравнения (7.3.11) можно
искать в виде p\t2 = ώι(2 + £ι,2> где u>ir2 — частоты нормальных колебаний,
определяемые формулой (7.3.9), ίι,2 <ωι(2 — декременты
затухания. В первом приближении находим
α(1-μ) + βμ
Jlf2 = --
1 — 2/1
μ2 (огЧ-/?)Ич-ы|)ы?>2
1-2μ(1~μ)(α;2 + α;22)ώ22-2α;2α;22
(7.3.12)
m/A/ft
Из (7.3.12) и (7.3.9) нетрудно вычислить разность
декрементов затухания для синфазных и противофазных
колебаний:
2μ2(α + β)(ω2+ω22)
\Sl\ - |<Ы = ΤΙ То/ г' ^/2\21 ,' >i V 2 2 (ώ1 ^^2)·
(1 - μ)2(ω{ - ω\γ + 4μ2ω(ω$
(7.3.13)
Так как ώι > u>2> то из (7.3.13) следует, что
декремент затухания для синфазных колебаний всегда
больше, чем для противофазных, т.е. синфазные колебания
затухают быстрее, чем противофазные. Этим можно
объяснить результаты описанного выше эксперимента.
Заметим, что разница между декрементами
затухания синфазных и противофазных колебаний тем
больше, чем больше отношение массы шариков m к массе планки Мо . Это видно из
рис. 7.2, где построены зависимости |ίι| — \S2\ от отношения масс τη/Mo для
случаев примерно одинаковых длин маятников и существенно различных. Заметим, что
разность |ίι| — |<$г| слабо зависит от отношения частот u>i/u>2.
Рис. 7.2. Зависимости
Δί = (|ίι|- \δ2\)/2{α + β)
от отношения m/Mo для
маятников с одинаковыми
длинами (кривая 2) и с
существенно различными
(кривая 2 построена для
ω\ = 2w?)
7.4. Акустическая эмиссия и ее модель в виде
связанных нелинейных осцилляторов
Явление так называемой акустической эмиссии, наблюдаемое при разрушении
материалов, представляет собой один из примеров проявления собственных коле-

Гл. 7. Колебания в системах с полутора и более степенями свободы
105
баний нелинейных осцилляторов. Это явление заключается в возникновении
характерных звуковых импульсов, генерируемых в моменты роста кончика трещины (см.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
t
Рис. 7.3. Импульсы акустической эмиссии, генерируемые в моменты роста кончика
трещины
рис. 7.3, где приведен пример экспериментальной записи импульсов акустической
эмиссии, полученной В.А. Робсманом [160, 495]).
При постепенном увеличении нагрузки на некоторый образец характер спектра
его акустической эмиссии существенно изменяется. Один из возможных сценариев
такого изменения следующий [160, 495]. На начальной стадии нагружения спектр
акустической эмиссии содержит одну узкую линию, расположенную в
ультразвуковом диапазоне. Затем в спектре появляются ее гармоники (рис. 7.4 а). При
дальнейшем увеличении нагрузки в спектре появляются субгармоники (рис. 7.4 б и в).
Наконец, в стадии разрушения спектр становится сплошным и достаточно
широкополосным (рис. 7.4 г).
Согласно другому возможному сценарию [160, 495] на начальной стадии
нагружения спектр акустической эмиссии содержит две или несколько линий с
несоизмеримыми частотами (рис.7.4<?). При увеличении нагрузки число этих линий
растет (рис. 7.4 е и ж) и в результате спектр становится все более широкополосным
(рис. 7.4 з).
Описанные переходы к непрерывному спектру подобны тем, которые имеют
место при возникновении динамического хаоса (см. гл. 12). Отличительной чертой
рассматриваемых переходов является то, что они наблюдаются не для стационарных,
а для переходных процессов.
Численные и экспериментальные исследования поведения трещин [384, 261]
показывают, что реакция трещины на гармоническое внешнее воздействие имеет
резонансный характер и частота ωο, для которой реакция максимальна, зависит только
от размеров образующейся трещины и от упругих свойств среды. В.В.Крыловым
[158, 159, 160] было показано, что резонансное поведение растущей трещины
обусловлено поверхностными релеевскими волнами, распространяющимися вдоль ее
берегов. Вследствие этого трещина может рассматриваться как некоторый акусти-

106
Часть Л. Собственные и вынужденные колебания и волны
120 160 200 240 280
Частота, Гц
120 160 200 240 280
Частота, Гц
0
3,0
2,5
40
80 120 160 200 240 280
Частота, Гц
а
II1·0
О 0,5
0
^Лш**Льр
t£ti**M
50 100 150 200 250 300 350
Частота, Гц
ч
а е
2Ь
ш
I
ЩЛёи
3,0
* 2,5
lg 2,0
tl·5
|§ 1,0
О
0,5
0
40
80 120 160
Частота, Гц
200 240 280
L—л-WW
50 100 150 200 250 300 350
Частота, Гц
3,0г
|g2,0
8 5 ι,ο
о
0,51
о
l·
ж
50 100 150 200 250 300 350
Частота, Гц
50 100 150 200 250 300 350 400
Частота, Гц
Рис. 7.4. Возможные сценарии эволюции экспериментальных спектров акустической
эмиссии
ческий резонатор, возбуждаемый в моменты роста кончика трещины.
Собственные частоты ωη этого резонатора в линейном приближении приблизительно равны
π(2η 4- 1)с/2/, где I — длина трещины, с — фазовая скорость волны. Из результа-

Гл. 7. Колебания в системах с полутора, и более степенями свободы 107
тов, полученных В.В. Крыловым, следует, что основная частота звука, излучаемого
растущей трещиной, должна быть тем меньше, а его интенсивность тем больше,
чем больше длина трещины. Это подтверждается экспериментальными данными,
представленными на рис. 7.5 [160, 495].
0,31
0.2 V
0.1 L
0.011 ι—J ι ι ι μ и ι ι—ι > inn ι l
1 10 100
Рис. 7.5. Экспериментальные зависимости основной частоты (а) и интенсивности (б) звука,
излучаемого растущей трещиной
Основываясь на описанных данных эксперимента и теоретического анализа,
нами была предложена модель акустической эмиссии в виде системы связанных
нелинейных осцилляторов, каждый из которых соответствует отдельной трещине.
Нелинейность упругих сил в этих осцилляторах должна иметь несимметричный
характер из-за того, что упругость трещины по отношению к сжатию больше, чем
по отношению к растяжению. Полагая связь между осцилляторами и силы трения
линейными, запишем уравнения системы в виде
χά + 2δάχά + ω](\ - ajX + βάζ))ζ, + £ С|-»< = 0 (i,j = 1, 2,..., η). (7.4.1)
Отсюда видно, что в отсутствие связи каждый осциллятор при некотором
начальном отклонении будет совершать затухающие колебания. Спектр собственных
колебаний j-ro осциллятора представляет собой ряд спектральных линий на
частотах, приблизительно равных Ujy 2u>j, Зо^, ... Ширины этих линий определяются
коэффициентом затухания Sj. При наличии связи форма и спектральные
характеристики колебаний каждого осциллятора существенно изменяются.
Нами было проведено численное исследование уравнений (7.4.1) в частном
случае двух осцилляторов [495]. Было обнаружено, что в такой системе движение
каждого осциллятора существенно зависит от коэффициента связи и от начального
отклонения. При достаточно большом начальном отклонении, когда нелинейность

108
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
играет значительную роль, это движение может иметь весьма сложный характер,
В качестве примера на рис. 7.6 а показаны формы колебаний обоих осцилляторов
1 4.59ЩГ
0.03^ ~
-4.53 ! 1 1 ■ 1—
-2.25
-4.53
0.75 1.51 2.26 3.02
( о
I £ 54.0
о.
SB
о
40.5
7.28 9.70
Частота, Гц
Рис. 7.6. Формы колебаний Х\ и %ι (α) и спектральная плотность процесса
беллах (б) при δι = 0.75, δ2 = 0.8, ωχ = 94.25, u>2 = 100.5, αϊ = α2 = 0.5,
ci = C2 = 1000. Начальные условия: х\(0) = 5, ii(0) = 0, хг(0) = 0, 2г2(0) = 0
xi(t)
βι =
в деци-
>32 = 1,
при задании начального отклонения только первого осциллятора. Спектр колебаний
первого осциллятора показан на рис. 7.6 б. Из рисунка видно, что спектр содержит
вторые субгармоники основных частот, равных 15.424 Гц и 16.585 Гц, а
высокочастотная часть спектра является практически непрерывной. Аналогичный вид имеет
и спектр второго осциллятора. Такой вид спектров свидетельствует о том, что
колебания носят хаотический характер. Естественно предположить, что хаотизация
переходных процессов в системе связанных нелинейных осцилляторов вызывается
образованием гомоклинических структур [248] в фазовом пространстве этой
системы.
Можно надеяться, что численное моделирование уравнений большего числа
осцилляторов поможет прояснить различные типы эволюции спектров акустической
эмиссии, которые наблюдаются в эксперименте.

Гл. 7, Колебания в системах с полутора и более степенями свободы 109
7.5. Примеры хаотизации колебаний в трехмерных системах
с гармоническими внешними воздействиями
Мы рассмотрим здесь два интересных примера хаотизации колебаний в
трехмерных системах под влиянием гармонического внешнего воздействия.
1. Модель Валлиса для нелинейного взаимодействия между океаном и
атмосферой. Простейшая модель нелинейного взаимодействия между океанской
водой и атмосферой была предложена Валлисом [623, 624] с целью объяснить
интригующее климатическое явление, известное под названием «El Nino — Южные
колебания». Это явление состоит в ежегодном появлении сильнейшего сигнала в
тропиках.
Исходной предпосылкой модели Валлиса является наличие движения воздуха
вверх или вниз в зависимости от того, находится ли он над теплой или холодной
водой. Это движение вызывает ветер, который является причиной поверхностного
течения в океане. Поэтому температуры поверхностных слоев воды на западной
и восточной окраине акватории океана подвержены горизонтальной адвекции и,
вследствие этого, значительным колебаниям. Уравнения модели имеют вид
u=^(Te-Tw)-C(u + um)9
(7.5.1)
fw = ~ (То - Те) - A(TW - Τ*), fe = ~ (Tw - То) - Л(Те - Г'),
где и — скорость поверхностного течения в океане, Тс и Tw — температуры
поверхности воды на западной и восточной окраинах океанского бассейна, А —
величина, обратная времени релаксации температуры, В — коэффициент связи между
разностью температур и поверхностным течением в океане, С — коэффициент,
связанный с внутренним трением в воде океана, / — ширина бассейна океана, То —
относительная температура на глубине океана, Т* — относительная температура
океанской воды в стационарном состоянии, и* = ио + щ sinuit — функция,
описывающая периодическое влияние пассатных ветров.
Результаты компьютерного моделирования уравнений (7.5.1) изложены в
работе [419] для Т0 = 0К, Т* = 12К, А = 1ГОД"1, В = 1.6м2К/с, С = 0.25месяц"1,
/ = 7500 км, «о = U\ = 0.45 мс""1, ω = 27ГГод~1. Для этих значений параметров в
отсутствие периодического воздействия (щ = 0) уравнения (7.5.1) имеют
единственную особую точку с координатами и ъ «о, Tw & Т€ « Τ*, которая всегда устойчива.
При наличии периодического воздействия с достаточно большой амплитудой
возникают хаотические колебания. Такие колебания показаны на рис. 7.7. Видно, что
они имеют довольно сложную форму.
2. Регулярные и хаотические колебания в одной модели детских
эпидемий, обусловленные периодическими сезонными изменениями степени
контакта с инфекцией. Так называемая стандартная эпидемиологическая
модель, позволяющая описать наблюдаемые сезонные колебания количества детских
инфекций, таких как ветрянка, корь, свинка и краснуха, обусловленные
периодическими сезонными изменениями количества контактов здоровых детей с
инфицированными, была впервые исследована Дитцем с соавторами (см., например, [381]).

no
Часть П. Собственные и вынужденные колебания и волны
ТА
ТЛ
35 Г, годы
Рис. 7.7. Зависимости от времени скорости течения и и температур Tw и Те для модели
Валлиса
Рождающиеся
Аналитически и численно они нашли различные периодические решения уравнений,
описывающих эту модель. Позднее эта модель была численно исследована Олсеном
и Шаффером [545], которые показали, что периодические изменения степени
контакта могут приводить не только к периодическим, но и к хаотическим колебаниям
количества детских заболеваний.
Модель состоит из четырех компонент: 1) детей, восприимчивых к заболеванию
(5), 2) имевших контакт с инфекцией, но еще не инфицированных (£"), 3)
инфицированных (/) и 4) выздоровевших и
приобретших иммунитет (Я).
Взаимоотношения между этими
компонентами схематически
изображены на рис. 7.8. Относительное
количество восприимчивых к
заболеванию детей 5 растет за счет
рождаемости и уменьшается как за
счет того, что часть их не
получает контакта с больными, так и
вследствие их перехода в
категорию подвергшихся опасности
заражения Е. Часть этих детей так и
не заражается, а другая часть
переходит в категорию инфицированных /. В свою очередь, часть инфицированных
детей не заболевает, а часть, переболев, выздоравливает, переходя в категорию пе-
?
Рис. 7.8. Диаграмма, иллюстрирующая
взаимосвязи между различными компонентами в модели
детских инфекций

Гл. 7, Колебания в системах с полутора и более степенями свободы
111
реболевших и приобретших иммунитет R. В предположении, что общее количество
детей остается постоянным, уравнения модели могут быть записаны в виде
5 = т(1 - 5) - 65/, Ё = 65/ - (m + a)E, i = aE-{m + g)I, (7.5.2)
Я=<//-тД, (7.5.3)
где 1/т — среднее время ожидания перехода в другую категорию, 1/а — средний
период латентности, l/g — среднее время болезни, 6 — степень контакта с
инфицированными (среднее число восприимчивых к инфекции детей, имеющих контакт
с заболевшими в единицу времени *)). Заметим, что в уравнения (7.5.2) переменная
Я не входит, и поэтому эти уравнения можно рассматривать независимо от (7.5.3).
Легко показать, что уравнения (7.5.2) при любых значениях параметров и
постоянном значении 6 (6 = 6о) имеют одну апериодически неустойчивую особую точку
с координатами 5=1,£"=/ = 0и одну устойчивую особую точку с координатами
(т + а)(т + д) т т{т + д) am m
bo = г , &о = —; г > Jo = τ ;—w ;—г "~ τ · (7.5.4)
ab0 m + a ab0 (т + а)(т + д) 60
Если параметр 6 колеблется со временем, что соответствует колебаниям степени
контакта при изменении внешних условий (например, погоды), то переменные 5, Ε
и / также будут совершать колебания, причем эти колебания будут происходить
относительно устойчивой особой точки с координатами (7.5.4). Поэтому удобно
сделать в уравнениях (7.5.2) замену переменных: x = S — So,y = E — Ео, ζ = / — /0.
Полагая Ь = 60(1 + b\ /(<))> где f(t) — функция, описывающая форму изменения
степени контакта, мы получим для переменных х, у, ζ следующие уравнения:
х + тх = -Ыо ((1 + bif(t)) (x + z + xz) + 6i/(t)) ,
y+(m + a)y=(m + a) ((l + hf(t)) (χ + ζ + ιζ) + *ι/(<)) , (7.5.5)
z + {m + g)z = (rn + g)y.
В уравнениях (7.5.5) величину bif(t) можно рассматривать как внешнее воздействие
на систему. Из (7.5,5) мы видим, что это воздействие входит не только
мультипликативно, т.е. изменяет параметры, но и аддитивно, что можно трактовать как
внешнюю силу.
В работах [381, 545] предполагалось, что степень контакта здоровых детей с
инфицированными, характеризуемая параметром 6, изменяется со временем по
гармоническому закону с периодом 1 год, т.е.
/(f) =cos2tt*. (7.5.6)
В [545] было показано, что указанное изменение параметра 6 по гармоническому
закону, в зависимости от параметров, приводит к возникновению либо
периодических, либо хаотических колебаний, причем переход от периодических колебаний
к хаотическим при увеличении параметра Ь\ происходит путем
последовательности бифуркаций удвоения периода. Хаотические колебания наблюдались в [545] при
!^В уравнениях (7.5.2) за единицу времени естественно принят 1 год.

112
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
тммф^шшт
шшшШЛ 11 LuinJ
Рис. 7.9. Зависимости #(t), y(t), z(t) и проекция фазовой траектории на плоскость х, у при
гармоническом изменении степени контакта с амплитудой, соответствующей 6ι = 0.28 для
m = 0.02год"1, a = 35.84год""1, g = 100год*"1, 6о = 1800 год"1
следующих значениях параметров: m = 0.02 год"1, a = 35.84 год"1, g = 100 год-1,
Ь0 = 1800 год"1, Ь\ = 0.28. Эти параметры получены на основе оценок, сделанных
для детских болезней в высокоразвитых странах. Зависимости ж, у, ζ от времени и
проекция фазовой траектории на плоскость х, у при указанных значениях
параметров приведены на рис. 7,9.
Несмотря на, казалось бы, полностью
хаотический характер движения, спектр
колебаний содержит дискретную линию на частоте
изменения степени контакта (рис. 7.10).
Кроме того, в спектре имеются максимумы на
четных субгармониках указанной частоты,
причем наибольший максимум
соответствует четвертой субгармонике. Последнее
связано с тем, что четвертая субгармоника близка
к собственной частоте системы.
Как отмечают авторы цитированной
выше работы, полученные ими результаты
качественно соответствуют наблюдаемым
колебаниям количества детских заболеваний.
й зо
1 28
S
g 26
I 24
Л Л
5 22
&20
u
δ 18
- ι
k
1
|
ι
У
ι III Ι ι
Ί Ι Ι
i U
"Ι
) Ц*
__Ι J
ft*wvu*_^ _
ι 1 ___L 1 1
0.5
1.0 1.5 2.0
Частота
2.5 3.0
Рис. 7.10. Спектральная плотность
процесса x(t) (в децибеллах) при тех
же значениях параметров, что и на
рис. 7.9
7.6. Колебания двух связанных нелинейных осцилляторов
под действием гармонической внешней силы
в области основного резонанса
Рассмотрим систему двух связанных квазилинейных осцилляторов и для
простоты будем считать, что гармоническая внешняя сила действует только на один
из них. Пусть уравнения системы имеют вид

Гл. 7. Колебания в системах с полутора и более степенями свободы
113
χι + 2<$ιΧι + ι/2(1 + 7ι*ι)*ι 4- τηχχ2 = £ι cosw*,
(7.6.1)
Χ2 4 2<$2*2 4 ^2 (1 + 72*2)χ2 + "12Χι = 0.
Решение задачи, как и раньше, будем проводить асимптотическим методом
Крылова-Боголюбова. Предполагая, что коэффициенты связи т\, т2 и разность
парциальных частот 1/1 — 1/2 достаточно малы, в области частот внешней силы ω ~ ν\ ~ ι/2
уравнения (7.6.1) можно записать в виде
χι +ω2χ\ = ei-2iiii - ^ι7ι*ι 4- (ω2 — V\)x\ — mix2 -f B\ coswtl,
(7.6.2)
Χ2+Λ2 = €(-2*2*2- ^272*2 4 {ω2 -v\)x2 -m2«ij,
где t — малый параметр.
Решение системы (7.6.2) будем искать в следующей форме:
χι = А\ cos φι + etii 4- . ·. , #2 = Λ2 cos ^2 4 cti2 4 ·.. , (7.6.3)
где ф\у2 = <*>t + v?i,2, A\,2 и v?!^ удовлетворяют уравнениям
A\t2 = €/1,2(^1,^2,^1,^2) 4 ... , ^i,2 = ^Fit2{AiiA2y(pi1(p2) 4 ... , (7.6.4)
/1,2, ^1,2,··· «1, «2,··· — неизвестные функции. Подставив (7.6.3) в уравнения
(7.6.2) и приравняв члены при первой степени е, получим уравнения для функций
«1, W2·
ύ\ +ω2η\ = 2δ\ωΑ\ sin ^ι — ^7i^i(cos V'l)3 4- (ω2 — ^2)Λι cos^i —
—m^2Cos^2 4- 2u>/i sin^i 4- 2A\uF\ cos φι 4- #1 cosut,
ti2 4ω2«2 = 2<$2^Л2 8т^2 - ^2К2А2(со8ф2)3 4· (ω2 - 1/2)А2 cosφ2 -
—7τΐ2Αι cos V>i 4 2ы/г sin ^2 4 2A2^F2 cos ф2.
Налагая в правых частях этих уравнений условие отсутствия резонансных
членов, находим
/ι = - *ι Л! + —-— sin Φ - — sm pi,
2ω 2ω
2ω 2w^2 8
где Ф = φι - ν?2, Δι = ω - *Ί, ^2 = ω - ι/2 = Δι 4· ν\ — ^2·
Подставив теперь (7.6.5) в уравнения (7.6.4) и положив А\>2 = y?i,2 = 0, получим
четыре уравнения для определения стационарных значений Ль А2, φ\ и Ф. Эти

114
Часть //. Собственные и вынужденные колебания и волны
уравнения удобно записать в виде
Αω2
m2
tg^l = Ul +
Δ+ ^ - ζωΊιΑ1
tg$;
= -j2(a +
° a2
)"■■
(7.6.7)
где Δ = (Δι + Δ2)/2 = ω — (^ι + ^2)/2 — расстройка частоты, ξ = ζ/χ — ζ/2 — разность
парциальных частот осцилляторов.
В линейном случае из уравнений (7.6.6) легко исключить А\ и получить
замкнутое уравнение для определения Л2:
m2 \ 4 )
61 + ( Δ + ^
Αί = Βί.
(7.6.8)
Из (7.6.8) следует, что амплитуда Л2 имеет экстремум при расстройках Δ,
являющихся корнями уравнения
ξ2 mim2
У ϊω2
4Δ-5 + 2Δ Sf + 8г2
) + {sl-*l)t
0.
(7.6.9)
Уравнение (7.6.9) может иметь либо один, либо три действительных корня. Если
затухание собственных колебаний достаточно велико, а разность парциальных частот
ξ и коэффициенты связи mi, m2 достаточно малы, то уравнение (7.6.9) имеет один
действительный корень. В этом случае резонансная кривая имеет только один
максимум. Если же уравнение (7.6.9) имеет три действительных корня, то резонансная
кривая имеет два максимума и один минимум.
Продемонстрируем сказанное на примере, когда парциальные частоты системы
равны между собой, т.е. ξ — 0. В этом случае уравнение (7.6.9) имеет один
действительный корень, если δ2 + <$| > mim2/2u>2, т.е.
1
ι
+ ^!а2
<Й
mim2
ω^
(7.6.10)

Гл. 7. Колебания в системах с полутора и более степенями свободы
115
где Q\t2 = ^/2ίΐ2 — добротности парциальных систем. Соответствующие этому
случаю резонансные кривые приведены на рис. 7.11 α и б. Из рисунков видно, что
резонансная кривая Α\(ω) шире, чем кривая >b(u>). Кроме того, даже при
выполнена, aha7 α„α2
6
4
2
и
^*
1
1 (
1 t
J (
/ (
/ /
/
/
»
—I
\\
* \
ч ι
4
1
Рис. 7.11. Зависимости α\=ω2Λι/Β\ (сплошные линии вверху), Q2 = (u2A2/B\ )(mi/m2)1/2
(штриховые линии вверху), φι (сплошные линии внизу) и φ2 (штриховые линии внизу) от
Δ/w для mim2/w4 = 0.01, Qi = 10 и Q2 = 5 (α), Q2 = 10 (6), Q2 = 20 (β)
нии условия (7.6.10) кривая Α\{ω) в отличие от Α^(ω) можЪт иметь два максимума
(рис. 7.116). На рис. 7.11,β приведены резонансные кривые для значений
параметров, при которых условие (7.6.10) не выполняется. Видно, что максимумы у кривой
Αχ(ω) значительно более ярко выражены и разнесены на большее расстояние, чем
у кривой Α2(ω).
Учтем теперь нелинейности, но для простоты предположим, что 71 = 0, 72 ф 0.
Исключая из уравнений (7.6.6) А\, получаем следующее уравнение для Аъ\
mi +
16ы4
mi
m2 \
Ή)(
ί 3
2
ί22+(Δ + |-^72^
ί 3
2-Г
Δ+£ -i«72Al
Л* = В2.
Это уравнение вместе с первым уравнением (7.6.6) позволяет построить
резонансные кривые Α\(ω) и Αι{ω). Приведем эти кривые цля тех же значений парамет-

116 Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
ров, что и в линейном случае (рис. 7.12). Эти кривые соответствуют параметру
нелинейности 72#?/т1 ^ 40/3. Из рисунка видно, что при наличии нелинейности
α б β
Рис. 7.12. Зависимости αϊ = ω2Αι/Βι (кривые 1) и а2 = (5uM2/Bi)(mi/m2)1/2 (2) от Δ/ω
для 7гВ?/ш? = 40/3, πιιτη2/ω4 = 0.01, Qi = 10 и Q2 = 5 (α), Q2 = 10 (6), ζ>2 = 20 (β)
резонансные кривые несимметричны относительно знака расстройки Δ. Кроме
того, наличие нелинейности существенно уменьшает влияние второй подсистемы на
первую: в отличие от линейного случая резонансные кривые Α\(ω) почти такие
же, как и при отсутствии связи между подсистемами. Наконец, нелинейность
существенно уменьшает амплитуду колебаний во второй подсистеме и, как и следовало
ожидать, приводит к гистерезису. Однако, в отличие от системы с одной степенью
свободы, здесь гистерезис имеет место только при достаточно большой
добротности второй (нелинейной) подсистемы.
В заключение этого пункта вернемся к линейному случаю и рассмотрим, как
изменятся результаты, если предположить, что внешняя сила с амплитудой Ζ?2
Действует не на первую, а на вторую подсистему. Легко показать, что при этом
ml
A] (ml + ^ (ί? + Δ?) {Si + А*) + 8ω2 jjji- {δι62 - Δ,Δ2)) = Β\.
Сравнивая эти выражения с (7.6.6), (7.6.8), видим, что амплитуда колебаний в
первой подсистеме А\ при воздействии внешней силы амплитуды Вч на вторую
подсистему равна амплитуде колебаний во второй подсистеме А2 при воздействии
внешней силы амплитуды В\ = m\Bilm<i на первую подсистему. Это утверждение можно
трактовать как обобщенную формулировку теоремы взаимности, которая обычно
формулируется для частного случая mi = Ш2-
7.7. Комбинационные резонансы в системе двух связанных
нелинейных осцилляторов
Рассмотрение комбинационных резонансов в случае слабо нелинейных систем с
двумя степенями свободы, содержащих нелинейные функции произвольного вида,

Гл. 7. Колебания в системах с полутора и более степенями свободы
117
проведено в работах [217, 606, 640]. Здесь мы рассмотрим частный случай, когда
уравнения системы имеют вид
х\ + 2iiii + v\{\ -f βχχχ + η\χ\)χ\ + τπ\Χ2 = Bcosut,
(7.7.1)
Χ2 + 2^2*2 + ^0 + #2^2 + 72«2)χ2 + m2xl = 0.
В общем случае комбинационным резонансом в системах с двумя степенями
свободы называется возбуждение квазипериодических колебаний с основными
частотами ц>ь Ш2 и ω, удовлетворяющими соотношению
πω = η\ω\ + П20>2, (7.7.2)
где η, πι, η2 могут быть равными ±1, ±2, ±3,....
Будем считать, что члены, описывающие нелинейность и затухание колебаний
в системе (7.7.1), достаточно малы и перепишем (7.7.1) в виде
X! + 1/\х\ + ГП\Х2 — BcOSUJt = ίί-ΊδχΧι - ν\(β\ + 7l^l)^l) ,
(7.7.3)
Ϊ2 + "2χ2 + m2*l = С (~2ί2Χ2 ~ ^2 № + 72^2)^2) »
где f — малый параметр. Для приближенного решения системы уравнений (7.7.3)
удобно перейти к новым переменным у\ и t/2 > описывающим нормальные колебания
порождающей системы (при 6 = 0, В = 0). С этой целью положим
xi = t/i + t/2 + Cicosu;*, x2= — 1У1 + — Ly2 + C2cosa;i, (7.7.4)
mi mi
где
"г-^2 о ^ т2
Cl"(l/?-W2)(l/2-w2)_mim2^ C2- (г/2^ы2)(г/2^а;2)_т1т2^' (7'7·5)
u»oi,2 = γ ("2 + "f)/2 ± λΛ"2 "" ^l)2/^ + mim2 — нормальные частоты. Подставляя
(7.7.4) в уравнения (7.7.3), получим уравнения для у\ и У2, которые запишем в
следующей форме:
Уг + ^l\Vi = q — 2"(ίι(^ο2-^12)(У1 + 2/2 - Ciusinwt) -
~<Ь ((^οι - "?)yi + (ω02 - "?)У2 - m\C2u ύηωίj J + J*! J,
2/2 +ω22*/2 = € —* y-ί -ii(c*;oi - ^2)(yi + У2 ~ Ciwsinwi) +
\ω01 ~ω02 V
+<Ь((ио1 - i/j2)yi + (wq2 - "2)ί/2 - τηι02ω sinωίJ J + ^2 J >
(7.7.6)

118
Часть //. Собственные и вынужденные колебания и волны
где !Г\у2 — нелинейные члены, которые мы не будем выписывать из-за их
громоздкости.
Решение уравнений (7.7.6) будем искать в виде
Ух = Αχ cos φχ + eux + ... , y2 = Μ cos ψ2 + et>i + ·. · , (7.7.7)
где V>i,2 = <*Ί,2* + ^ι,2> <*Ί и ω2 — частоты, удовлетворяющие соотношению (7.7.2).
В первом приближении для Αχ 2 и φ\^ получаем следующие уравнения:
λ - *ΐΛ*ΐ2-ν\)-^Μ\-ν\) A >f tL - А , ρ (7 7 ft\
Αχ2 = о 2 Λ1.2 + Л,2> ^1,2 — ~Δΐ)2 + -Tl.2, (7.7.8)
ω01 _u;02
где Δι = ωχ - ωοι, Δ2 = ω2 - ω02 = (ηω - η\ωχ)/τΐ2 - ω02 — (Δ - πιΔι)/η2,
Δ =■ ηω — ηιαίοι — 712^02 — расстройка частоты, /ι>2 и Fi>2 — функции, являющиеся
решением уравнений
2π
Δι 2Λι 2 9Fi 2 /*
«01,2/1,2 γ^ 5^7 = ~/ ^^lyi^yio^o"11^^^.^
о
(7.7.9)
2тг
Δι 2 #/l,2 [ т \ ι j ι
«01,2^1.2^,2- —d^-2=-J ^.*\yi*=yiw™*l.*d*l*
о
У10 = i4iCOS^l, 2/20 = A2COS^2·
Из-за того, что ы< = (πι^ι + n2V>2)/rc — Ф, где Φ = (πιν?ι + π2<ρ2)/η, функции /ι)2
и Fi|2 зависят только от Ф, а не от y?i и <р2. Таким образом, полагая в уравнениях
(7.7.8) Л12 = фхг2 = 0, мы можем найти стационарные значения Ль Л2, Φ и одну
из неизвестных частот ωχ или и>2 (другая частота определяется из соотношения
(7.7.2)).
Рассмотрим два частных случая:
1) η — ηχ = 1, η2 = ±1, т.е. ω = ωχ ±u>2. Вычислив в этом случае
2π 2tr
/^i 2L _„ sin Vi 2 rf^i 2, I fi^L _„ соъфхъафхъ
'Х|У1,2=УЮ,20 ^x>* τ*,*> ι Х>*'У1,2— Ую,20 τι,ί Х1»*
0 0
и подставив их в (7.7.9), (7.7.8), при условии Αχ2 — ψ\,2 = 0 получим следующие
уравнения:
2 2
(*ιΚ22 - ν?) - ίϊ(«οι - "?·))^ι - Ш02Г "' ("?ACi - ^2/?2С2)Л2зтФ = О,
(7.7.10)
2 2
(^(u,2, - ι/2) - i2(w22 - t/2)) A2 τ U,°1,~t/' (vf ACi - vlhd)Ai sin Φ = 0,
\ / U>2 + ^02

Гл. 7. Колебания в системах с полутора и более степенями свободы
119
3 / /Д2
+^1ΖΛ {ν*βι€ι _ „а^с,) φ. совФ = О,
(7.7.11)
Δ2(α;021 - α,2,,) - ^ („?(«», - „?)7ι (л2 + ^ 4- C?) -
i/|(u& - ι/?) Λ 2 а а 2 (ω§2 - f2)2 ,2 , m2r2^\\
^2 ^2 IH>1 ""ι) л1 + ^ A2 + m,G2 I I -
_ iiillJld (l/?/?lCl _ ^2c2) di со8ф = o,
^2 + U>o2 ^2
где Δ2 = ±(Δ - Δι), Δ = ω - (ω0ι ±ω02).
Анализ уравнений (7.7.10), (7.7Л1) показывает, что они имеют нетривиальное
решение только при П2 = +1, т.е. при ω = ωχ + и;2 2). Кроме того, для
существования нетривиального решения необходимо, чтобы внешнее воздействие превышало
некоторый пороговый уровень.
В качестве примера найдем нетривиальное решение уравнений (7.7.10), (7.7.11) в
наиболее простой ситуации, когда ι/χ = ν^ = ζ/, S\ = <$2 = <$, /?j = /?2 = /?, 7ι = 72 = 71
mi = Ш2 = τη. Из уравнений (7.7.10) при этом имеем
А\ _ω2+ω02 Sy/(vx + ы01)(ы2 +Ы02) 2 2
~12" - ~ Г^> sin<P--rj5 1^02-^ J, (/.7.U)
Л? <*>ι +ω0ι * ζ/2/? Β
где wqi = \/i/2 + m, u>02 = y/v*~—m. Складывая и вычитая уравнения (7.7.11) с
учетом (7.7.5) и (7.7.12), получаем уравнения для определения А\ ηω\ в зависимости
от расстройки Δ:
+ m+"oi / 2 + J_\\ =
^2 4-^02 \^01 W02//
4 A-2<fctg<S> / 1 1 \ (i/2^2)4m2 2
3 i^ Vwoi +^02 J ((i/2-a;2)2-m2)27
2 wi+ωοι
^02 U>2 + U>Q2 4^01
(7.7.13)
ι-Δ _ Μ 1_\ (^2-a>2)2 + m2 в
ι/2 V^oi ω02; ((i/2-w2)2-m2)27
2)На языке квантов это можно трактовать так: квант с энергией Κω может распадаться на
два кванта с меньшими энергиями Κω\ и Ь.Ш2, но не может распадаться на кванты, для которых
энергия хотя бы одного из них больше, чем Κω.

120
Часть //. Собственные и вынужденные колебания и волны
где ctg Φ = ± -
И/?2 β2
- 1.
у 82{ω\ + ωοι)(ω2 + ω02)(^ο2 - ω2)2
Найденные из (7.7.13) зависимости ηΑ\ и Δι /ι/ от Δ/ν для двух значений -уВ2/ν*
показаны на рис. 7.13. Из рисунка видно, что существует область расстроек
0.10
о.о5 μ
Δ/ν Δ/ν
Рис. 7.13. Зависимости уА\ и Δι/ί/ от Δ/ι/ в случае простейшего комбинационного
резонанса для 7 = β2, ™/ν2 = 0.3, 2δ/ι/ = 0.1, 7#2/"4 = °·2 (кривая /), yB2/i/4 = 0.5 (кривые
2): сплошные линии соответствуют устойчивым участкам, штриховые — неустойчивым
Δ^ < Δ < А^2\ в которой комбинационные колебания рассматриваемого типа
возбуждаются при сколь угодно малых начальных возмущениях. Значения Δ*1,2)
могут быть найдены из уравнений (7.7.13), если в них положить ηΑ\ = 0. Из
условия Δ^ = Δ^2) можно определить пороговое значение амплитуды воздействия Вп.
2) η — 1, п\ = 2, п2 = ±1, т.е. ω = 2ωχ iw2· Поступая аналогично предыдущему
случаю, получаем следующие уравнения:
Л / 1, ,2 ,,2\*, ,,2/
i,(c
'02
?ч г / ? 9ч 3 О/по - "? fix-, (u»o, — I^?)72^|C*2\ , . ,
«Ί) - <Μ"οι - "?) = 5 ( "i7iCi - — ^j 2 j Л2 8ΐηΦ,
Μ«οι " "ι) " ЬКз " "ί) = ± ή
3 t^02 ~
(7.7.14)
2 ω2
L^if^.c-'^-'fbwe,^
+ W02 \ ml / ^2
Δ.(«2ι - -оз) + ^ ("?(«U " "i2)7i (f + A\ + C?) -
mi
+
(u^ - ^i2)wqi
■^? + Κ3-«ΊΤ^2 +
^,27iCi
(woi - "2)72"2С2
mj
Л 2 COS
φ) =0,
Δ2(ω^ - ω%2)
"2(woa -
(^K - „?)7, (A? + ^ + C2) -
(7.7.15)
m
2^02(^oi -
U>2
4u;02
2 72 U^oi - v\) A\ + 2
A\ + m\C22
+ <*>02 V
7iCi-
(w01 ^ ^l)72^2^2λ A?
mi
■ ] -r- cos Φ =
/ Μ )

Гл. 7* Колебания в системах с полутора, и более степенями свободы
121
где Δ2 = ±(Δ~2Δι), Δ = ω — 2ωο\Τω0^. Как и в предыдущем случае, из уравнений
(7.7.14) следует, что они имеют нетривиальное решение лишь при п^ = +1, т.е. при
ω = 2ω\ +-W2·
Как и раньше, проанализируем решение уравнений (7.7.14), (7.7.15) при ν\ =
i/2 = ι/, <$! = ί2 = ί, 7ι = 72 = 7» mi = m2 = ™· При этом, как следует из уравнений
(7.7.14), имеем
^-W2 + a'02 (7.7.16)
*!
2ω,
Далее, исключив из уравнений (7.7.14), (7.7.15) фазу Ф, с учетом (7.7.16) получим
следующие уравнения для определения амплитуды А\ и частоты α»ι :
Δ-3Δ,
8
Ι γω02 C^oi ^2 + ^02 \^02 W01 //
Ч"02 WoiV ((l/2_ ω2)2 _m3\3
4ί^ _ fryV
Ι/2 16ωι (u>2 +W02)(l/2 — W2 — m)2
2)2 _ m2)«
Л2В2
= 0,
+
(7.7.17)
2Δι
3ι/
4ы01
ч ω2 + «03/ г ((ι/2 - ω2)2 - m2)2
= 0.
((ι/2 - ω2)2 - m2Y
Примеры зависимостей γΑ2 и Αχ/ι/ от Δ/f показаны на рис. 7.14 α и б. Из ри-
1.0
Δ/ν
0.4
0.6
б
0.8
Δ/ν
20
40
γΒ2/ν4
β
Рис. 7.14. Зависимости уА\ (о) и Δι/ι/ (б) от Δ/ι/ для γ Β2/ι/4 = 20 (кривые ί), уВ2/иА = 25
(5), уВ2 jv* = 50 (<*)*> θ ~ зависимость Δκρ/ι/ от у В2/и* для 4$2/ι/2 = 0.005, m/i/2 = 0.3
сунка видно, что в отличие от ранее рассмотренного случая, здесь комбинационные
колебания могут возбуждаться только жестко, т.е. при конечном начальном
возмущении. Возбуждение таких колебаний возможно лишь при В > Вкр и |Δ| > Δκρ,
причем Δκρ немонотонно зависит от амплитуды внешнего воздействия В (рис. 7.14 в).

122
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
7.8. Параметрические резонансы в системе двух связанных
осцилляторов
Рассмотрим возбуждение параметрических колебаний в системах с двумя
степенями свободы на примере двух связанных осцилляторов, описываемых уравнениями
следующего вида:
ii + v\x\ + с\Х2 = ef-2/?iii - ^η\χ\ - {μι\Χ\ - ^12*2) cos2u/H,
(7.8.1)
*2 +^2*2 + С2Х\ = <:(-2/?2Χ2 - "2 72*2 + (Л*21^1 - ^22*2) COS 2u>tJ ,
где e — малый параметр.
Ограничимся рассмотрением основного параметрического резонанса, когда
частота возбуждаемых колебаний равна половине частоты параметрического
воздействия, и комбинационного резонанса, когда параметрические колебания
возбуждаются на частотах ωχ ио/2, связанных с частотой воздействия 2ω соотношением
2ω=ωι±ω2. (7.8.2)
Для исследования основного резонанса применим метод Крылова-Боголюбова.
Решение уравнений (7.8.1) будем искать в виде
с2
χχ = Αχ COS ф\ + €U\ + . . . , Χ2 = —~ κ Αχ COS V>1 + 6U2 + . . . , (7.8.3)
w01 - "2
где Vi = ωί + <рь <*Όι — одна из нормальных частот порождающей системы, А\ и
<р1 удовлетворяют уравнениям
Αι = б/ι + ... , ^ = -Δι + *Fi + ... , (7.8.4)
Δι =5 ω — u>oi — расстройка частоты; /ι, Fi,...; «1, «2, · · — неизвестные функции.
Подставляя (7.8.3) в (7.8.1) и приравнивая члены при первой степени б, получим
1- + i/12«i + citi2 = ί 2ωοι/ι - Λ1Δ1 ^- J sin V'l-l·
&
2
(7.8.5)
+ i2u/0u4iFi +Δι j^-jcos^i -f 2βιωοχΑι sin^i-
—i/?7!i4?cos3^i — (/in — ^12—о о ) -Αι cos2w<cos^i,
V ^01-^2/
-^ + ι/|«2 + c2«i = Ι ί 2α^οι/ι -^ιΔι —— J sin ViH-
+ ( 2w0iAiFi + Δι ^ ) cos^i + 2^οι^ι sin Vi ] 2 °2 2 -
V fyl / / ^01 - ^2
'^2 72 ^ 2—2\3 ^1 COs3 ^1 - ( /*21 - /*22 -ο""^ ο ) Л ι COS 2θ>* COS ψγ.

Гл. 7. Колебания в системах с полутора и более степенями свободы
123
Решение уравнений (7.8.5) будем искать в виде ряда Фурье, т.е.
«1,2 = fli,2 cost/^i -hCi^sin^i + · - · . (7.8.6)
Подставив (7.8.6) в (7.8.5) и приравняв коэффициенты при cos^i и sin ^ь
получим уравнения для В\^ и С\$:
\ - u-^B, + ClB2 = 2woiA1F1 + Δι ^ - | ·<2~- л3-
( с2 \Αχ
-(μη-μυ-5 3 —
V ωοι - "г/
01 "2>
(7.8.7)
c2Bi + \у\ ~ Woi)S2 = ( 2w0ii4iFi + Δ! ^-) 2 °2 ,
\ σ^ι / ωοι — ν\
3 2 <% лз . ί c2 \Aicos2yi
Λι + Ι"21 - "22 =2Γ=4) "^—
- τ ^272
4'J"Kai-»'!)
2 2 4^ . . г. _о . χ , λ 3F,
Κ - ш\х)Сх + ciC2 = 2ω0ι/ι - ΛιΔι ^— + 2ftwoiΑ\-
( C2 ^ Αχ
- I /ill - /<12 -5 2
sin2y>i
~~2 '
(7.8.8)
caCi + (ι/22 - u&)Ca = ( 2u»oi/i - ΛιΔι ^- + 2/Jjw0iAi J 2 °2 2 +
( C2 \ Aisin2y?i
Эти уравнения позволяют определить неизвестные функции Д и ίΊ, а также
найти поправки к коэффициенту распределения амплитуд. Так как детерминанты
систем уравнений (7.8.8) и (7.8.9) равны нулю, то уравнения для функций /χ и F\
находятся из условий совместности:
2woij4iFi + Δι γ- = -и^Г^Л? + ΜλΑ! cos2<pu
dFi
2ωοι/ι - ^ιΔι -5— = -2w0i/?ij4i + ΜλΑλ sin2y>i,
(7.8.9)
где
Ml = θ7αΤ2 13 ГЗч (/Ίΐ(ω01 " »1) + /*22(Woi - "?) - ^12C2 - /I21C1) ,

124
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
г _ "ι27ι("οι ~ v\) + у\ъ<%Ь>1\ ~ "2)/(^οι ~ А?
Решение уравнений (7.8.9) имеет вид
/ι = -βιΛχ + ——i—^isii^i, Fi = χ^οιΤ^-Η — A1cos2<pl. (7.8.10)
ω + u>oi 8 ω + u>0i
В стационарном режиме из (7.8.4) и (7.8.10) получаем уравнения для определения
амплитуды А\ и фазы ψ\.
А =
Μι . 0 3 2 Λ/i
—- sin2pi, -α/οιΓι^ί = Δι ■-*—
ω -hu^oi ο ω + u>oi
cos 29? ι
Исключая отсюда фазу y?i, найдем уравнение для амплитуды А\\
3 2 Δι , 1 / М\ ~2
о woi woi ν (ω + ωοΐΓ
(7.8.11)
Легко показать, что решение уравнения (7.8.11) является действительным, если
Afi >2ω0ι&.
Найденное решение уравнений (7.8.1) не
является единственным. Действительно, можно
найти другое решение, если в качестве
порождающего взять
Χι — A2COSV>2, *2 = —2
С2
A2COS^2,
^02
где ^2 == ut + (р2> ^02 — вторая нормальная
частота порождающей системы. Проделав
выкладки, аналогичные изложенным, найдем
уравнение для Αι'.
Рис. 7.15. Зависимости у А* (кривые
1', £) и yAl (кривые Λ 2") от Δ/ι/
для ν\ = 1/2 = ν. Τι = 72 = 7,
Cl = c2 = с, 01 = 02 - 0, 0/2* = 0.1, где
Μι/ί/2 = 0.265, Μ2/ί/2 = 0.3.
Кривые /', ί" соответствуют c/i/2 = 0.5
(ωοι/^2 = Ь5, ω12/ν2 — 0.5), кривые
Δ2 ± 1
Μ\
8 ω02 ^02 V (ω + И)2Г
(7.8.12)
Λ =
Λ(ω§2 " "Ρ + ft(^Q2 - "1)
β1, 2" - с/*2 = 0.1 (ωΙ,Ιι?
1.1,
o/Q2/iy2 = 0.9). Штриховыми линиями
помечены неустойчивые участки
зависимостей
г2 =
vhi{b>h-v7)
2ω02 ~ν\-ν\
+^22(^02 - "Χ) -rnUi2C2 -/i2lClJ,
"2 72^1 ("02 -"?)
'оУ^За - *? - ^22) (w22 _ V2? (a,22(2u;22 - „? - „>)) '

Гл. 7. Колебания в системах с полутора, и более степенями свободы
125
Условием существования действительного решения уравнения (7.8.12) является
М2 > 2u>02/?2-
Примеры зависимостей 7^1,2 OT ^jv — ω/ν — 1, вычисленных по формулам
(7.8.11), (7.8.12) для случая νχ = ν2 = ν, 71 = 72 = 7> ci = c2 = с, βχ = β2 = β
приведены на рис. 7.15. Из приведенных результатов видно, что, в отличие от случая
силового воздействия, при параметрическом воздействии на систему с двумя
степенями свободы всегда имеются две резонансные зависимости, которые не сливаются
друг с другом.
Рассмотрим теперь комбинационный параметрический резонанс, когда
колебания возбуждаются на частотах ω\ ии/2, связанных с частотой параметрического
возбуждения 2ω соотношением (7.8.2). Для этого удобно в уравнениях (7.8.1)
перейти к нормальным координатам у\ и г/2 по формулам
x1=yi + ^-!iy2, Х2 = <^1у1+у2. (78.13)
^2 С\
Подставляя (7.8.13) в уравнения (7.8.1), получим для у\ и у2 следующие
уравнения:
ω01 ~ ω02 V Ν ω01 -~ V1 /
/ j2 ι;2 / , ,2 „2 \ 3
C2 \ C2
t/2 / α;2 - ν1 \3 \
c — "272 (vi-22^ L Η-2/2 J -(Afuyi - Mi2ty2)cos2u>M,
(7.8.14)
3/2+-о22У2 = ^^^^^{β^β,)ν^
9 (<41ΖΛ R ./?V·, ^02 - *Ί „2^ / , ^02 - »l „ V
~ 2 I ~~2 2 P1 + P2 J 2/2 "17i I 3/1 + 2/2
4^02-^1 / Cl V C2 /
/ω2 _ ^,2 \3 \
- "272 i-^ -yi +3/2 J +(M2iyi - М22У2)сов2ы« J,
где
., / 2 2ч /Vl2 . ^2Л , Ы01 """l
д/ ^02 - "2 / χ , ("θ2 ~ Vlf
Μη = — -(/ill -μ22) + /*12 Г"^-М2Ь
C2 CJ
д. _ ^2-l/| (^01 ~ *?)* „ .
JW21 = s U*ll - ^22) 2 /*12 + /*21,
ci cx
Ajf ^02 -"2 , / 2 2\ /Vl2 , /*2l\ .
M22 = -Γ Γ2 /*H + Kl - "l) I —- + —- 1 + /*22-
^02 - "l \ Ci C2 /

126
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Решение уравнений (7.8.15) можно искать в виде
у{ = Aicos(u>i* + φχ) + ... , у2 = ;42cos(w2* + φ2) + ...
Используя стандартную процедуру метода Крылова-Боголюбова в том варианте,
когда не требуется малость расстроек Δι = ωχ — u>oi и Δ2 = ω2 — u>o2) получим для
Αχ, Μ, ψ\ и φ2 следующие уравнения первого приближения:
2 2
А, = ^,01 ~ ^ ( - (ft + а/?2)Л! - и/ "" чЛ2$т«
2(а/! +u»oi)
M2i
ω01~ω02 V
Л2 = "Ι1""! (-Mi+ftMaT
ωοι - ω02 \ 2(ω2 + ω02)
Α\ sin
(7.8.15)
y?i = -Δι +
"οι ~ 4
3t/2272
(7.8.16)
<^2
-Δ2 +
w01 ^ ^2
+
'01
3t/272
8ω
"02
8ω02 V
2Α\ + а ^ Л*
C2
+
02
а^2а^Л? + Л^-
Μ
21
2(ω2 4-ω02) Α2
—- cos Φ
где Φ = ρ! ± <ρ2, α = (ω^ - ι/?)/^ - ι/|) = (wg2 - i/J)/(wg2
Из уравнений (7.8.15) следует, что в стационарном случае
-ι2)-
44 = ±
Af2l Wi +Woi β\ + <*/?2
(7.8.17)
i4f Λί ΐ2 ω2 + ω02 «Α 4- βι
Отсюда видно, что в случае, когда Μχ2 и Μ2ι имеют одинаковые знаки,
комбинационный резонанс в рассматриваемом приближении возможен только при
соотношении частот 2ω = ωχ + ω2 (когда в выражении (7.8.17) стоит знак «+»).
В противном случае, наоборот, условием существования комбинационного
резонанса является 2ω = ωχ — ω2. Приняв в качестве расстройки частоты величину
Δ = ωχ — ωοι ± (ω2 — ω02) = Αχ + A2signM12/M2i, из уравнений (7.8.16) с учетом
(7.8.17) при φχ — ф2 = 0 получаем уравнение
ω01 - ω02 ( 8 L Ы01 V °2 ω°2 ^
C2 / Mil I «02 \ Woi \ Ci J
+ (2a^ + /?2
sign
Wis
Μ
21
±(1+ «)(/?!+/?2)УЛР-1 I, (7.8.18)

Гл. 8. Колебания в цепочках
127
где
М2 =
|Μι2Μ2ι|
4(ωι + ω0ι)(ω2 + ы0г)(А + α/?2)(<*/?ι + /?2) *
В уравнение (7.8.18), кроме неизвестной амплитуды А\> входит неизвестная
частота^! (частота ы2 связана с и>\ соотношением (7.8.2)), Уравнение для ω ι удобно
записать в следующем виде:
woi ^?7ia(2 + a/?2ci/c2) + u^2(2ac2/Cl + β2)
2 /,^ο ca ι \± 2 7 / * oJx (Δι =F (ft + α/?2)\/Λί2-ΐ) +
<^02 ^i7i(l + 2a/?2ci/c2) + z^72a(ac2/ci + 2/?2) V /
+ (Δι ± (αβι + β2)\/Μ2- l) sign —Η = Δ sign
\ / Μ2ι
Mis
Μ
21
(7.8.19)
Из (7.8.18), (7.8.19) можно сделать вывод, что условием существования
комбинационного резонанса является
|Μι2Μ2ι|
16ω0ιωο2(/Ί + α Α) Μι + β2)
> 1.
Зависимости ηΑ\ и A\/i/\ от относительной расстройки Δ/ι/χ имеют резонансный
.2
уА\
Δι/ν,
0.04
0.03
0.02
0.01
0
\ V
" \ \
\ \
\ \
\ \
0
a
1
Δ/Vj
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-
/
/
/
-у /
■С—=
0
б
"^^
^
Δ/ν,
Рис. 7.16. Зависимости 7^1 и Δι/"ι от Δ/ι/ι для ι^/ι/\ — β2/βι = 271/72 = 2, 2β\/ι/\ = 0.1,
ci = C2 = l.l^f, Μ12 = M2i = 82.46/3iivi (кривые 1) и Mi2 = M2\ = 8О/З11Л (кривые 2).
Штриховыми линиями помечены неустойчивые участки зависимостей
характер, причем различным ветвям резонансных кривых соответствуют разные
знаки перед радикалом в уравнениях (7.8.18), (7.8.19). Вид резонансных кривых
показан на рис. 7.16.
Глава 8. Колебания в цепочках однородных и
периодически чередующихся элементов
Рассмотрение собственных и вынужденных колебаний в цепочках однородных и пе-
ридически чередующихся элементов выделено нами в отдельную главу, потому что такие
цепочки являются промежуточным звеном между дискретными системами и сплошными

128
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
средами. С одной стороны, они, безусловно, являются дискретными, а с другой стороны,
происходящие в них процессы имеют много общего с волновыми процессами.
8.1. Колебания в линейных цепочках однородных элементов
Рассмотрим сначала линейные цепочки, состоящие из одинаковых шариков и
пружинок. Такие цепочки играют важную роль и как самостоятельные объекты, и
как конечно-разностные модели однородной сплошной среды.
На рис. 8.1 α все шарики массы m соединены друг с другом пружинками
жесткости к. На рис. 8.1 б шарики укреплены на жестких невесомых стержнях, соеди-
Я m mm m V
a б
Рис. 8.1. Цепочки связанных шариков: α — упругая связь, б— инерционная связь
ненных друг с другом с помощью шарниров, подвешенных на пружинках. Выведем
уравнения колебаний в таких цепочках с помощью функции Лагранжа. Обозначив
смещение «-го шарика на рис. 8.1 α через х,, запишем выражение для функции
Лагранжа:
^£(^-""Т"'Т (811)
Для цепочки, изображенной на рис. 8.1 5, вертикальное смещение 5-го шарнира
обозначим через ys. Тогда
(8.1.2)
L = y (™(У*+1 -У*)2 _ ку2А
Из (8.1.1) и (8.1.2) получаем уравнения движения рассматриваемых цепочек:
х, + k(2x8 — χ,+ι — χ,-ι) = О для первой цепочки, (8.1.3)
™(2Уз - У*+х - &-ι)
+ kys = О для второй цепочки,
(8.1.4)
8= 1,2,...,п.
К уравнениям (8.1.3), (8.1.4) следует добавить условия на концах цепочки. Так,
например, для цепочек, изображенных на рис. 8.1, имеем хо = 0, xn+i = 0, г/о = О,
Уп+1 = 0.
1. Собственные колебания. Решение уравнений (8.1.3) (или (8.1.4)) будем
искать в виде одного из нормальных колебаний
х, = a, cosurt,
(8.1.5)

Гл. 8. Колебания в цепочках
129
где ω — одна из нормальных частот, которую следует определить, as — амплитуда
колебаний s-ro шарика (коэффициент распределения). Подставляя (8.1.5) в
уравнение (8.1.3), получим систему однородных уравнений для определения амплитуд
а*'·
(-πιω2 + 2k)as - Ara,+i - *α5_ι = 0. (8.1.6)
Частное решение уравнений (8.1.6) можно искать в виде
a, = Aei9fi, (8.1.7)
где β — неизвестная величина. Подставляя (8.1.7) в (8.1.6), получаем уравнение,
связывающее ω и β:
cos β = 1
2Лг
Из (8.1.8) находим
β = ±2 arcsin — Ξ ±7»
(8.1.8)
(8.1.9)
где ωο = 2y/k/m. Отсюда видно, что для частот ω < ωο величина β является
действительной, а для ω > ыо — комплексной. Зависимость β/π от ω/ωο изображена
на рис. 8.2 а.
-1.0'
2 3
ω/ω0
а б
Рис. 8.2. Дисперсионные зависимости для цепочек упруго (а) и инерционно (б) связанных
шариков
Из (8.1.9) следует, что общее решение уравнений (8.1.6) имеет вид
а, = Л^ + Лзе-Ч
(8.1.10)
где 7 связано с ω соотношением (8.1.9). Подставляя теперь (8.1.10) в два граничных
условия, получаем два однородных уравнения для определения А\ и Α-χ. Условие
равенства нулю детерминанта этой системы уравнений представляет собой
характеристическое уравнение для определения неизвестной-частоты ω. В общем случае
решить характеристическое уравнение сложно, так как оно является
трансцендентным. Поэтому ограничимся наиболее простым примером, когда xq = 0, χη+ι = 0.
При этом А\ = — Ач, и характеристическое уравнение имеет вид
sin(n + 1)7 = 0.
(8.1.11)

130
Часть //. Собственные и вынужденные колебания и волны
Из (8.1.11) следует, что η = уя = ?тг/(п -f 1), где q — целое число. Подставляя эти
значения 7 в (8.1.9), находим частоты нормальных колебаний ия:
"я = 2\/ — si
V τη
SiD2(^)· ί8·1·12)
Отсюда видно, что частоты различны только при q = 0, 1,..., η + 1. Однако
значениям <7 = Ои<7 = 71+1 соответствуют, как следует из (8.1.10), as = 0. Поэтому
нетривиальные решения получаются, как и должно быть, только для η частот с
q — 1,2,..., п. Отметим, что все найденные собственные частоты меньше, чем ljq,
и поэтому соответствующие им числа β являются действительными. Формы
колебаний, соответствующие каждой из собственных частот ω4, для п = 6 представлены
на рис. 8.3.
,*^~^
ί-ι
Рис. 8.З. Нормальные формы собственных колебаний для цепочки, состоящей из шести
упруго связанных шариков
Аналогично можно найти собственные частоты и формы колебаний для цепочки,
изображенной на рис. 8.1 б. При этом связь между β Μί ω определяется выражением
/? = ±2arcsin— =±7, (8.1.13)
ω
где u>o = yjk/m. Зависимость β от ω/ωο, определяемая формулой (8.1.13),
изображена на рис. 8.2 б. Обратим внимание на то, что в этом случае β уменьшается с
ростом ω. При граничных условиях у0 = 0, yn+i = 0 собственные частоты системы
равны
^ = V?sin_12(^T)· (8Л·14)
где q = 1,2,...,п. Отсюда видно, что все частоты ω4 больше, чем и>о. Формы
колебаний для каждой из частот шя при η = б такие же, как на рис. 8.3, с той только
разницей, что большему значению q соответствует меньшая частота.
2. Вынужденные колебания, вызванные периодическим возмущением
на входе. Рассмотрим сначала цепочку, изображенную на рис. 8.1 а, собственные
колебания которой при отсутствии трения описываются уравнениями (8.1.3). При
рассмотрении вынужденных колебаний следует учесть наличие трения в каждом

Гл. 8. Колебания в цепочках
131
элементе цепочки. В этом случае уравнения колебаний цепочки могут быть
записаны в виде
mxs + axs + k(2xs - χ9+ι - xs-\) = 0. (8.1.15)
Если предположить, что задано гармоническое смещение крайнего шарика
цепочки, то к уравнениям (8.1.15) следует добавить граничное условие
-= r.*%wt
х0 = Се
(8.1.16)
Следует отметить, что при достаточно большом числе элементов цепочки
колебания, вызванные периодическим возмущением на входе, аналогичны бегущей
волне. Поэтому частное решение уравнений
(8.1.15) можно искать в форме
χ, = Α*ί{ν*-β$)-κ\ 5 = 1,2,...,
(8.1.17)
где β — «волновое» число, к —
коэффициент пространственного затухания.
Подставляя (8.1.17) в (8.1.15), получаем уравнения
для определения β и к:
и>о(1 - ch/ccos/?) = 2ω2, u^sh/csin/? = δω,
(8.1.18)
где ω0 = 2^/fc/m, δ = 2α/τπ. Отсюда, в
частности, следует, что в случае отсутствия
трения {δ = 0) к = 0, cos/? = 1 - 2ω2/ω%
при ω < ω0 и β = ±π, ch κ = 2ω2/ωΙ - 1
при ω >ωο. Зависимости β и к от ω/ω0 для
ряда значений 6/ш0 изображены на рис. 8.4. Рис' 8'4' Зависимости β/π (штриховые
Из приведенных графиков следует, что на- линии) и κ/π (сплошные линии) от ω/ω0
личие трения в элементах цепочки наиболее для */ω° = ° ("Р^ые 1), <5/и>о = 0.1
сильно сказывается вблизи границы обла- ^шые 2) и */"° = х (κΡ™"β 3)
сти пропускания, в первую очередь приводя
к расплыванию этой границы.
Общее решение уравнений (8.1.15) имеет вид х8 = (А\е~%Р'~к$ + Л2е,/?,+*5)е,а'е,
где i4i и А2 определяются из граничных условий. Для полубесконечной цепочки с
граничным условием (8.1.16) Аг — 0, А\ = С, где С — произвольная постоянная.
Если цепочка ограничена и χη+ι = 0, то для определения А\ и Л2 получаем следующие
уравнения:
Ау + А2 = С, Λ!β-^+Λ»η+1) + Л2С(^+*)(Л+1) = 0. (8.1.19)
Отсюда находим
Л1>2 = Се**1·* (l + е*4*(п+1> - 2e*2*(n+1> cos2/?(n + 1)|
-1/2
гдеу?1 2 = arctg- , . — — Принимая во внимание уравнения (8.1.18)
1 _ e+2^n+1'cos2p(n + l)
можно построить зависимости |Λι| и |Дг| от частоты ω. Эти зависимости для η = 4

132
Члсть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
\А12\/С
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
А 1
Л
,
иишч
•ито
, ч»
0.5
1.0
ω/ωη
ω/ωη
Рис. 8.5. Зависимости |v4i|/C (кривые /) и \Л2\/С (2) от ω/ωο для η = 4, 6/ω0 = 0 (α),
ί/u/o =0.1 (6) Ηί/α;0 = 1 (β)
и трех указанных выше значений S/ωο приведены на рис. 8.5. При малых δ они
имеют резонансный характер, наиболее ярко выраженный в области низких частот.
При δ — О амплитуда отраженной волны \Л2\ равна амплитуде падающей волны
|j4i| в области частот ω < u>o и равна нулю при ω > ω0. С ростом δ
амплитуда отраженной волны уменьшается и цепочка по своим свойствам приближается к
полубесконечной.
Аналогично можно рассмотреть цепочку, изображенную на рис. 8.1 б.
8.2. Колебания в линейных цепочках периодически
чередующихся элементов
Перейдем теперь к рассмотрению колебаний в цепочке, изображенной на рис. 8.6.
Эта цепочка отличается от рассмотренной ранее (рис. 8.1 а) только тем, что массы
m k Л/ k m к Л/
s-l s s+1 $+2
| к m к 1L к ™ к Ъ
3 12 η Ϊ
Рис. 8.6. Цепочка упруго связанных шариков с чередующимися массами: α — безграничная
цепочка, б — цепочка из η шариков
шариков здесь не одинаковы, а более тяжелые шарики массы Μ чередуются с менее
тяжелыми массы т. Пронумеруем шарики все подряд и для определенности будем
считать, что более тяжелые шарики соответствуют четным «, а менее тяжелые —
нечетным. Тогда уравнения колебаний шариков можно записать в виде
mxs + k(2xs - xs+x - xs-\) = 0 для s = 1,3,5,... ,
Μχ$ + k(2xs - χ5+ι - χ,_ι) = 0 для s = 2,4,6,... .
(8.2.1)

Гл. 8. Колебания в цепочках
133
1. Собственные колебания. Из-за того что массы шариков различны, их
амплитуды колебаний будут отличаться друг от друга. Поэтому решение уравнений
(8.2.1) будем искать в форме
Г Aeisl3cosu>t
[ Be%s(3cosu>t
для s — 1,3,5,...,
для $ = 2,4,6,...
(8.2.2)
Подставляя (8.2.2) в (8.2.1), получим уравнения для определения амплитуд А и В:
(-ты2 + 2Аг) А - к (е*Р + e~i(3) В = О,
(8.2.3)
-* (etf + с-«0) Л + (-Μα;2 + 2*) В = 0.
Чтобы решение (8.2.2) было нетривиальным, детерминант системы уравнений (8.2.3)
должен равняться нулю. Это условие дает уравнение, связывающее β и ω:
ω4 - [ω\ + ω22)ω2 + ы2и;2 sin2 0 = 0, (8.2.4)
где u>3 = yj2k/M, ω2 = >/2Ar/m. Из (8.2.4) следует,
что каждому значению 0 в интервале от —π до π
соответствуют два значения частоты ω (рис. 8.7).
Решая уравнения (8.2.3) с учетом (8.2.4), найдем
связь между амплитудами колебаний тяжелых и
легких шариков:
(8.2.5) Рис. 8.7. Дисперсионные за-
Отсюда видно, что при ω < ωχ амплитуда колебаний висимости для цепочки шари-
тяжелых шариков В превышает амплитуду колеба- ков с чередующимися массами
ний легких шариков А, причем их отличие тем боль- при ω\Ιω\ = 1.5
ше, чем ближе частота ω к граничному значению ωχ
(рис. 8.8 а). Во второй области частот, когда ω2 < ω < y/ω2 + ω2, наоборот, В < А
(рис. 8.8 б).
С учетом (8.2.5) решение (8.2.2) можно записать в виде
А + В
(1 + /icos7Ts)e,5/? coswi,
(8.2.6)
где μ = (1 — А/В)/(1 + А/В). Зависимости μ\{β) = μ для ω < ωχ и μ2{β) = —μ
для ω > ω2 показаны на рис. 8.9. Учитывая, что exp (is(/? + тг)) = exp (zs(/? — тг)),
выражение (8.2.6) можно записать в следующей форме:
х» =
Л + В
(e'^ + ^e'^-^cosu^.
(8.2.7)

134
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
0.5 1.0
α б
Рис. 8.8. Зависимости отношения амплитуд колебаний тяжелых В и легких Л шариков от
♦волнового» числа β в области ω < ω\ (α) и ω > u>2 (<5)
Отсюда следует, что для каждого значения ω возможны четыре "волны" с
разными значениями β. Это соответствует четырем ветвям на рис. 8.7, обозначенным 1,1',
11,11', ],!', 2,2!. При этом амплитуды волн на ветвях I и
II' , V и II, i и 2 , ]' и 2 не являются независимыми.
Отношение амплитуд волн, соответствующих ветвям 11,11',
к амплитудам волн, соответствующих ветвям Ι',Ι, рав-
но т\ . a /nh < 1· Аналогично, отношение амплитуд
волн, соответствующих ветвям 2?,2У к амплитудам волн,
соответствующих ветвям 1,1', равно -. р—-—[f < 1.
{\ + \В/А\) -
На ветвях 1,1', 1 и V закон дисперсии является
нормальным, т.е. частотам растет с ростом модуля
«волнового» числа β (см. гл. 10). При этом «фазовая» скорость
ω/β совпадает по направлению с «групповой» скоростью
άω/άβ. На ветвях II, И',2 и 2! закон дисперсии
является аномальным, т.е. ω убывает с ростом модуля β. В
этом случае «фазовая» скорость волны противоположна
по направлению «групповой» скорости. Полученные
выше результаты означают, что возбуждение волны с нормальным законом дисперсии
обязательно приводит к возбуждению соответствующей волны меньшей
амплитуды с аномальным законом дисперсии, у которой групповая скорость имеет то же
направление, а фазовая — противоположное [196]. Наоборот, возбуждение волны
с аномальным законом дисперсии влечет за собой возбуждение соответствующей
волны большей амплитуды с нормальным законом дисперсии.
При m -* Μ амплитуды волн с аномальным законом дисперсии стремятся к
нулю> а ωχ стремится к ω<ι . В результате зависимость ω от β принимает такой же
вид, что и для цепочки с одинаковыми шариками (рис. 8.2 а).
Отметим, что в ряде книг, где рассмотрена та же цепочка, например, [52, 68,
272], на существование ветвей ί,ί',ΙΙ и II' не указывается. Это приводит к ряду
неправильных выводов и к трудностям перехода к пределу при m —> Μ.
1.0
101/*
Рис. 8.9. Зависимости
μι(β) = μ для ω < u>\
(кривая 1) и μ2(β) = —/i для
ω > u>2 (кривая 2)

Гл. 8. Колебания в цепочках
135
Если цепочка содержит η шариков и закреплена на концах, т.е. χ о — χη+ι = О,
то собственные значения β равны β4 = ±</π/(η +1), где q = 1,2,..., π. Это лишний
раз доказывает, что нужно рассматривать интервал изменения β от — тг до π, а не
от —π/2 до π/2, как это делается в цитированных выше книгах.
Описанная цепочка может рассматриваться как одномерная модель
кристаллической решетки с двумя различными типами атомов. Для этой модели частоты,
лежащие в интервале ω < α>ι, называются акустическими, а в интервале ω2 < и> <
у/ш% + u>2 — оптическими. На примере такой модели Л.И. Мандельштам [223],
следуя результатам М.Борна, указал на возможность существования волн с
аномальным законом дисперсии. Однако Мандельштам, как и Борн, считал, что такие
волны существуют лишь в оптической области частот.
2. Вынужденные колебания, вызванные периодическим возмущением
на входе. Перейдем теперь к рассмотрению вынужденных колебаний в цепочке
периодически чередующихся элементов, пример которой представлен на рис. 8.6.
Учитывая наличие трения, запишем уравнения колебаний шариков в виде
тх9 +сцх, + k(2xs - χ,+ι - χ,_ι) = 0 для* = 1,3,5,... ,
M'xs + a2xs + k(2xs - χ,+ι - χ,-ι) = 0 для* = 2,4,6,...
с граничным условием (8.1.16). Полагая
Aei{u*-fiM)-KM для* = 1,3,5,...
(8.2.8)
{^e*(u/t-/3*)-K
ДЛЯ* = 2,4,6, .. .
(8.2.9)
и подставляя (8.2.9) в (8.2.8), получим
(-ты2 + ίωαι + 2к)Л - к (eif5+K + e~(ifi+K)) В
= О,
(е^+* + е-^+*)) A + (-Muj2 + iu>a2 + 2k)B = 0.
(8.2,10)
Приравнивая детерминант этой системы нулю и разделяя в нем действительную
и мнимую части, получим уравнения для определения β и /с. Зависимости β /π и
/ / 2 , 2 /2* /2Ϊ
κπ от относительной частоты u>/u>o> где ыо = ч/ы1 + ω2 > ωι = \/ Т~ > ы2 = \/ — ,
VoM V m
приведены на рис. 8.10 для ω2 = 1.5ωχ. Видно, что на оптической ветви наличие
затухания проявляется значительно сильнее, чем на акустической.
Из уравнений (8.2.10) следует, что
В/А = де*"> (8.2.11)
где
я=\ И- -И +т-г ι-^ϊ +
2 \ '
"У
ы
ч\
-1/4
4wf
V? = arctg ' -arctg (tg/3 tg/c).
(8.2.12)

136
Часть //. Собственные и вынужденные колебания я волны
β/π, к/я
1.0
Отсюда видно, что наличие затухания приводит к модуляции сдвига фаз между
колебаниями соседних ячеек, тем большей, чем ближе частота ω к граничным
значениям ω ι или u>2· Зависимости модуля
отношения амплитуд колебаний соседних ячеек q и
сдвига фаз φ/π от относительной частоты
ω/ωο для ветвей с нормальной дисперсией,
построенные по формулам (8.2.12),
показаны на рис. 8.11 для указанных выше
значений параметров (для ветвей с аномальной
дисперсией сдвиг фаз φ отличается от
приведенного на π). Из рисунка видно, что
влияние затухания на величину q очень
незначительно и проявляется только вблизи
границ области непропускания.
По аналогии с (8.2.6) и (8.2.7) выражение
(8.2.9) представим в виде
Л + В
-1.0
X* =
Рис. 8.10. Зависимости β /π (штриховые
линии) и к/π (сплошные линии) от ω/ωο
для u>2 = 1.5wi, 6/ωο = 0 (кривые 1),
6/ωο =0.1 (кривые 2), δ/ωο =0.2
(кривые 3), где δ = 2ai/m = 2a2/M
(e-^+iie-"^*)).
2
где μ = (1 - A/B)l(\ + Α/Β) —
коэффициент, характеризующий отношение
амплитуд волн с аномальным законом дисперсии
к амплитудам волн с нормальным законом
дисперсии. В отличие от случая, когда
трение отсутствует, при наличии трения коэффициент μ является комплексным. Его
можно представить в виде μ = \μ\^у где
1/2
\μ\
(\^q'i-2qcos9yIZ
T~t—ГТЪ ) » ^ = arc tg
\1 + q2 + 2qcos<p/
qsintp
q cos φ — 1
— arc tg
qsmφ
q cos φ + 1
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
L
J^
1
0.5
1.0
ω/ωη
φ/л
и
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
\\i J/
Ki/l
Λ2 Г
IWI
J. ι
1 1 J
0.5
1.0
ω/ωη
Рис. 8.11. Зависимости q и φ/π от ω/ωο для ветвей, соответствующих волнам с нормальной
дисперсией при ω2 = 1.5α/ι, δ/ω0 = 0 (кривые Ι), δ/ωο = 0.1 (2), δ/ωο = 0.2 (3)
Зависимости |μ| и ψ от ω/ωο при тех же значениях параметров, что и раньше,
показаны на рис. 8.12. Видим, что наличие трения приводит к значительному сдви-

Гл. 8. Колебания в цепочках
137
Рис. 8.12. Зависимости |μ| и φ/π от ω/ωο для ω2 = 1.5wi, δ/ω0 = 0 (кривые 1), S/ωο =0.1
(2),δ/ωο =0.2 (5)
гу фаз между волнами с разными типами дисперсий, особенно в области низких
частот. Общее решение уравнений (8.2.8) можно записать в виде
Задавая в качестве второго граничного условия χη+ι = 0, получим уравнения для
определения амплитуд В\ и #2, которые совпадают с (8.1.19). Поэтому зависимости
В\ и Βι от частоты ω получаются такими же, как и для однородной цепочки.
8.3· Колебания в нелинейных цепочках однородных элементов
В гл.5 были рассмотрены нелинейные цепочки Тоды и Ферми-Паста-Улама.
Было указано, что цепочка Тоды является примером полностью интегрируемой
системы. В такой цепочке возможны стационарные «волны», аналогичные солитонам
в сплошных средах. Прежде всего, покажем, что это действительно так, и найдем
форму таких волн.
1. Собственные колебания. Рассмотрим цепочку, изображенную на рис. 5.4.
Уравнение движения j-ro шарика этой цепочки имеет вид (5.2.11), где сила
упругости пружин f(z) определяется выражением (5.2.12). Обозначив zj = Xj — Xj_i,
перепишем уравнения (5.2.11) в другой форме:
т-£. = -f(zj^) + 2f(Zj) - /(zj+1).
(8.3.1)
Частное решение уравнений (8.3Л) Тода сумел найти путем перехода к новой
переменной yjy определяемой уравнением
С учетом (8.3.2) уравнение (8.3.1) принимает вид
(8.3.2)
(8.3.3)

138 Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Дифференцируя (8.3.2) по времени и учитывая (5.2.12) и (8.3.3), получим
у. = -оге-''i,- = -(or + ya)za = ^J± (у,_1 - 2Vj + yi+1). (8.3.4)
Частное решение уравнений (8.3.4) будем искать в виде бегущей волны
%·(<) = ¥>(«), (8.3.5)
где ξ = ωί — 0j> а. φ — периодическая функция ξ с периодом 2π. Подставляя (8.3.5)
в (8.3.4), получим уравнение для функции <ρ{ξ):
πιω2φ" = {α+ωφ1) (φ(ξ-β)-2φ(ξ) + φ(ϊ+β)) , (8.3.6)
где штрих означает дифференцирование по
переменной ξ. То да показал, что частное решение уравнения
(8.3.6) имеет вид
ш/а
1.0
0.8
06
0.4
0.2
0
Ό
1\
/1\
1 з\
А0 = Аш(ШСк
(8.3.7)
-1
о
где
β/π
Рис. 8.13. Изменение
характера дисперсионных кривых для
цепочки Тоды при увеличении
модуля к: кривая 1
соответствует к2 < 0.6, 2 — к2 = 0.8,
3 — к2 = 0.99999
новое» число β:
zn(0,Jfc) = fdn2(xyk)dx-?^lu
о
К(к)
— эллиптическая дзета-функция Якоби [335], К(к) и
Е(/г) — полные эллиптические интегралы первого и
второго рода. Подставляя (8.3.7) в уравнение (8.3.6),
можно найти уравнения, связывающие амплитуду Л,
модуль эллиптической функции ку частоту ω и «вол-
7Г
7TUq
2К(*)
-о-шм^'·*:
-1/2
sn
(ψ
*,*),
(8.3.8)
(8.3.9)
где ωο = 2\Ja/m. Легко видеть, что при малых модулях к уравнение (8.3.9)
переходит в соответствующее дисперсионное уравнение для линейной цепочки
(уравнение (8.1.9)). На рис. 8.13 показано, как изменяются дисперсионные зависимости
при увеличении модуля к. До к < 0.8 дисперсионные кривые остаются
практически неизменными. При дальнейшем увеличении к максимальное значение частоты
ω уменьшается и на дисперсионных кривых появляется небольшой почти
горизонтальный участок. При приближении к к единице длина этого участка
увеличивается, а значение частоты ω на этом участке уменьшается согласно формуле
и>о?г
2у/К(к)
(8.3.10)

Гл. 8. Колебания в цепочках
139
Чтобы найти смещение j-ro шарика zj, воспользуемся уравнением (8.3.2) и
выражением (5.2.12). В результате получим
α(1 - е-') = ^ U(k) - K(Jt)dn2 (Ш {, *) V
(8.3.11)
Учитывая (8.3.8), отсюда находим
Zj = -L·
>-^№--·№*:
(8.3.12)
Легко видеть, что Zj в самом деле является периодической функцией ξ с периодом
2тг.
При к -4 1 имеем E(ife) -> 1, К(к) -> In (4/>/1 -к7), άηϋ -► 1/chtf. Отсюда
следует, что при fc —>■ 1 для частот ω, соответствующих горизонтальному участку
дисперсионной зависимости,
«(«-.(к^Ч1^))-
(8.3.13)
Рис. 8.14. Зависимость ζ·, от
£/2π для к2 = 0.98 (кривая 1)
и А;2 = 0.99999 (кривая 2)
Зависимость Zj от ξ/2π, построенная по формулам
(8.3.12), (8.3.13) для двух значений модуля к, показана
на рис. 8.14. Видно, что при Лг, близких к единице,
короткие импульсы сжатия пружин чередуются с
длинными промежутками их растяжения. Импульсы
сжатия по форме напоминают солитоны уравнения КдВ, о
которых речь пойдет ниже. Период колебаний по
времени равен Τ = 4^/K(fc)/u>0. Длительность
импульсов сжатия неограниченно убывает, а период
неограниченно растет при приближении к к единице, однако
эти изменения имеют логарифмический характер.
Рассмотрим далее цепочки Ферми-Паста-Улама, уравнения которых имеют вид
(5.2.17) и (5.2.18). Как уже говорилось, путем численного решения этих уравнений
Ферми, Паста и Улам пытались продемонстрировать основную теорему
термодинамики — теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Задав
возмущение, близкое к одной из собственных форм колебаний соответствующей
линейной системы, авторы надеялись, что вследствие нелинейности это возмущение
со временем распределится равномерно по всем собственным формам. Однако
описанный численный эксперимент потерпел неудачу. Вначале возмущение перешло в
другие формы колебаний, а затем через какое-то время оно вновь почти
полностью сконцентрировалось в исходной форме. Как показали последующие
исследования, неудача эксперимента Ферми-Паста-Улама объясняется тем, что уравнения
(5.2.17) и (52.18) достаточно близки к интегрируемым (см. гл.5), вследствие чего
для стохастизации решения требуется большое время и достаточно большая энергия
колебаний.

140 Часть //. Собственные и вынужденные колебания и волны
Из последующих работ большой интерес вызывает работа [364], в которой
получены некоторые мастные решения уравнений (5.2.17) и (5.2.18) и даются оценки
энергии колебаний, при которой может наступить стохастизация. Эти частные
решения соответствуют наивысшим модам колебаний кольцевых цепочек из N
элементов, для которых 0 = π, т.е. Xj{t) = — Xj+\{t) = x(t). Для цепочки (5.2.17)
переменная x(t) удовлетворяет уравнению χ + 4х — 0, т.е. χ = Ccos2<.
Исследование этого решения на устойчивость показало, что оно теряет устойчивость при
С2 > Εκρ/2Ν, где Екр = π(2 — у/3) — критическое значение энергии колебаний
Ε = 2NC'2. Для цепочки (5.2.18) x(t) удовлетворяет уравнению Дуффинга
х + 4а:+ 16αζ3 = 0. (8.3.14)
При α > 0 решение уравнения (8.3.14) выражается через эллиптический косинус
Якоби (см. (6.2.2)): χ = (7αι(Ω*,Λ), где Ω = 2л/1 + 4аС2, к = СуДа/y/l + 4аС2.
Этому решению соответствует энергия
Nk2(1 - к2)
Найденное решение теряет устойчивость при к > ккр, где
2 _ 2π3 3.226
кр " (л/§6 + Зтг)ЛГ2 * ~Л^ '
Если N велико, то ккр < 1. В этом случае Екр « 3.226/aTV. Если α < 0, то
периодическое решение уравнения (8.3.14) выражается через эллиптический синус Якоби
(см. (6.2.5)). Для этого решения Екр « 0.214Л7а. Отсюда следует, что при а > 0 и
достаточно больших TV стохастизация должна возникать при существенно меньшем
параметре нелинейности, чем при а < 0.
2. Вынужденные колебания, обусловленные гармоническими
возмущениями на границе. Возбуждение второй гармоники и распадная
неустойчивость. Аналитическое решение задачи о вынужденных колебаниях в нелинейных
цепочках возможно только в частных случаях, например, в случае слабой
нелинейности. Рассмотрим для примера цепочку Ферми-Паста-Улама. Уравнения цепочки
зададим в виде
тх9 = -к\2х5 -я,+1 - s,_i + η(χ3+ι ~ Χ*Ϋ -Hi** -χ,-ι)2), (8.3.15)
где € — малый параметр, -у — параметр нелинейности. Пусть на входе цепочки
задано гармоническое возмущение частоты ω, т.е. хо = Ccosutt. Решение уравнений
(8.3.15) будем искать в форме
χ, = Αι(8)ε4ω'-βι8) + А2{8)е«*"-Р'8) +к.с, (8.3.16)
где A\(s) и A2(s) — амплитуды основной и второй гармоник соответственно,
которые мы предполагаем медленными функциями номера s, 0\ и 02 — корни
дисперсионного уравнения линейной цепочки (при -е = 0), для частот ω и 2ω соответственно.

Гл. 8. Колебания в цепочках 1Ί1
Подставляя (8.3.16) в (8.3.15) и полагая |^if2(s -hi)- ^i,2(s)| ~ e Л1>2($), полунаем
(Ai(s + 1) - Λι(*))β-'* + (Λι(β - 1) - Ai(e))c^ =
= 4гб7Л^Л2 (sin(ft - ft) + sin/?! - sin ft) e^'^-2^)*,
(8.3.17)
(A2(s + 1) - Л2(5))е"^ + (a2(s - 1) - Л2(«))е·* =
= 4tc7i4?sin/?1(coe/?i - 1)β·<^-2*>*.
Уравнения (8.3.17) нужно решить с начальными условиями
Ai(0) = C, Л2(0) = 0. (8.3.18)
Если выполняется условие Л2 < еС\ то из уравнений (8.3.17) и условий (8.3.18) в
первом приближении по е находим
ЛЛ.)=С, М.) ° *T**ft*. » -»"'1· «.адТ^д <■"·"-'■»- ("■»)
Отсюда видно, что модуль амплитуды Л2 периодически изменяется с ростом s,
достигая наибольших значений при s, близких к (2п — 1)π/ |ft — 2ft | (η = 1,2,...).
Следует, однако, иметь в виду, что решение (8.3.19) справедливо лишь при
достаточно малых значениях Л2. Соответствующее условие малости можно записать в
виде
cos 2ft -cos ft >47Csin/?!(l -cosft). (8.3.20)
Подставляя сюда выражения для ft и ft, получим ω/ω0 > yJ\~f2C2/(1 + 472C2).
Отсюда следует, что чем больше частота ω, тем меньше амплитуда второй
гармоники. Таким образом, более эффективная перекачка энергии во вторую гармонику
для рассматриваемой цепочки получается при низких частотах. Такой результат
получился потому, что при низких частотах лучше выполняется так называемое
условие синхронизма ft « 2ft, хотя для рассматриваемой цепочки точно оно не
выполняется нигде. Строгое выполнение условия синхронизма возможно для цепочки
с периодически чередующимися массами. Этот случай будет рассмотрен в
следующем пункте.
Рассмотрим теперь явление так называемой распадной неустойчивости. Это
явление аналогично комбинационному резонансу в нелинейных системах. За счет
квадратичной нелинейности в рассматриваемой цепочке, в принципе, могут
распространяться любые три волны с частотами ω\, ы2 и^з, удовлетворяющими условию
резонанса
w = wi±w2. (8.3.21)
В соответствии с этим будем искать решение уравнений (8.3.15) в виде
х, = А{8)е*1"*-**) + iMOe^'-M + A^e'^'M + к.с, (8.3.22)

142
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
где A(s), A\(s) и A2(s) — медленные функции s; ft β\ и ft — корни дисперсионного
уравнения, соответствующие частотам ω , ω ι иыг· Подставляя (8.3.22) в (8.3.15) и
приравнивая коэффициенты при е%ш*, е*Ы1* и е1Ы2*, получаем
(а{в + 1) - А{8))е-» + (Л(5 - 1) - Л(*))е" =
.Δ5 ♦ ft „:_&
= 6i67^i e*** sin γ sin ^y {
А . ft+ft
-Л2 sin г для ω — ω\ -\- ω2
2
A-ft
(8.3.23)
Л$ sin
2 2
для ω = ω\ — ω2,
(^Al(s+l)-Al(s))e-i^ + (<A1(s-l)-Al(s))ei^ =
= 16U7^e'
-ιΔ5
sin- sin τ<
Л^ sin —-— для ω = wi + u<2
4 · £ + #»
-Лг^ш —-—
(8.3.24)
для ω = ш\ — W2,
(a2(s + 1) - Л2(*))e"*2 + (Л2(5 - 1) - A2(s))e'^2 -
= 16ie7Sin «- sin — sin — <
1 2 2 2 \ -AMie·^
-»Δ5
Δ5
для ω = u>\ + u>2
ДЛЯ Ы = Wi — Ы2,
(8.3.25)
где Δ = β — ft =f ft — расстройка волновых чисел.
Будем считать, что на входе цепочки заданы колебания на частоте ω и имеется
слабое возмущение (порядка е) на одной из частот ω\ или и>2. Для определенности
положим
А(0) = С, Ai(0) = cD, Л2(0)=0. (8.3.26)
Тогда, по крайней мере для небольших номеров s, можно считать, что A(s) «С,
A\(s) ~ Л2(«) < £. В этом приближении уравнения (8.3.24), (8.3.25) являются
линейными и их частное решение можно искать в виде
Аг = Ciel"-**™*, A2 = С2е<а*'л/2)5,
(8.3.27)
где a — неизвестная величина. Подставляя (8.3.27) в уравнения (8.3.24), (8.3.25),
полагая Δ ~ € и учитывая, что при этом α тоже будет иметь порядок е) получаем
следующие уравнения для С\ и С2:
Δ\ β . ft ,
α - ι— ] Ci sin ft = -StyCsin — sin — \
A\ sin —-— для ω = ω\ + ω2
A · /? + &
—Л2 sin —-— для ω = ω\ — cj2,
(8.3.28)
β ,-_ . /3 . ft . /?-ft / Δ\ . / C5 flMw = wi+w2
-867CC1 sin - sin — sin —-— = ί a + г — J sin ft <
^ ^ * \ z / 1 —C2 для ω = u>i — α>2.

Гл. 8. Колебания в цепочках
143
Из условия совместности системы уравнений (8.3.28) находим уравнение для
величины о, решение которого можно записать в виде а = ±\JQ — Δ2/4 , где
Q = 16f VC2 sin2 £ sin β-φ- sin ^^ ( cos ^ cos ^ ) · (8·329)
/ βι β*Υ
VC0SyC0StJ
В случае ω = ω\ + u>2, когда /? > /?ι,2, значение Q является положительным, в случае
же u> = u>i — и>2 (β < /?ι) — отрицательным. Это значит, что во втором случае
коэффициент а всегда чисто мнимый, т.е. малое возмущение на входе цепочки по
мере распространения будет оставаться столь же малым. В первом же случае
коэффициент а может быть действительным, если
Q>A2/4. (8.3.30)
При выполнении условия (8.3.30) общее решение уравнений (8.3.24), (8.3.25) с учетом
(8.3.28) можно записать в виде
Ai(s) = (Спеа8 + С12е-"8)е-Ч*Ю8,
. (Cjx (α + tA/2)e«« - C*l2{a - iA/2)e'aS) sin ft i(^/2)s
П ' 6€ΐθ3ΐη(β/2)άη{β2/2)8ΐη{(β - β2)/2)
Из граничных условий (8.3.26) находим Сц и Сп'.
Таким образом, получаем
Ax(s) = cDUhas - ^shas] e"4^/2)*,
A,(S) - αΰ sin Ash as / Δ^\ <(Δ/2)β
"2W 87Csin(/?/2)sin(/?2/2)sin((/?~/?2)/2) V+472j
(8.3.31)
Найденное решение (8.3.31) показывает, что при выполнении условия (8.3.30) малое
возмущение на какой-либо частоте ωχ по мере распространения будет сильно
нарастать одновременно с появлением колебаний на частоте ω% = ω — ω ι. Это явление и
получило название распадной неустойчивости. Если условие (8.3.30) выполняется в
некотором диапазоне частот, то возрастать могут возмущения во всем этом
диапазоне. При этом, в зависимости от вида нелинейности (выбранная нами квадратичная
нелинейность представляет собой лишь некоторое приближение к истинной
нелинейности) может происходить либо формирование солитона (как в цепочке Тоды),
либо хаотизация колебаний.
Напомним, что решение (8.3.31) справедливо только для тех значений s, для
которых as < 1. При невыполнении этого условия найти общее решение уравнений
(8.3.23)-(8.3.25) сложно. Однако можно получить частное решение,
представляющее большой физический интерес. Действительно, непосредственной подстановкой

144
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
можно убедиться, что уравнения (8.3.23)-(8.3.25) имеют в первом приближении по
с следующее частное решение:
ch as — Bsh as/ '
(8.3.32)
de-WV* C2e-i((*/2)s-Ψ)
Ads) = T БТ ' Л2(5) = "Τ Б~Т '
ch as — Bsh as ch as — Bsh as
где Q определяется выражением (8.3.29), С = Л(0)у C\ = ^i(O), Ci = A2(0),
a=^Q + Qi-^-, Β = ψ-^, ¥? = arctg;
2v/Q-A2/4'
C? sin/?lSin((/?i+/?2)/2)
Ql—Qrt-z- о -2
C2 sin/W(/?/2)sin((/?-/?,)/2)sin((/?-/?2)/2) '
c = C·, / «»(/?,/2)
sin(/?/2)sin(/?2/2) Vein((/9-ft)/2)sin((^-/32)/2)coB(j82/2) '
Решение (8.3.32) существует при условии (8.3.30) и определенном соотношении
между Λι(0) и Д3(0).
Из найденного решения следует, что с ростом s модуль амплитуды колебаний на
основной частоте ω сначала уменьшается до значения |Л|т1П « &C/2y/Q, которое
достигается при s = s0, где s0 =
увеличивается до значения
L^I-^^r^R.
a \Q1+aB^Q-Ai/4
'), затем он
ии = с.,-?«1#Е|2!+ «и
aQ{\-B) a2Q(l-S)2
при s -> оо . Если Qi «С а2 (С? «С С2), то В « 1 - Qi/2a2 и as0 « Arth В > 1.
Выражение для |Л|оо при этом принимает вид |Л|оо = С{\ + Qi/Q)> т.е. |Л|оо
несколько больше начального значения А(0).
Модули амплитуд A\(s) и i42(s) вначале увеличиваются с ростом s до значений
Hi.dmax w С\ра/\/0\у достигаемых при s = si, где st = [(l/a)Arth В], а затем при
s —)· оо падают до нуля. Для случая Qi <^C а2 имеем si « so-
Полученные результаты означают, что при увеличении s вначале происходит
значительная перекачка энергии колебаний на частоте ω в колебания на более
низких частотах ω\ и и>2, а затем, наоборот, вся энергия вновь концентрируется в
колебаниях на основной частоте ω. Следует, однако, иметь в виду, что, во-первых,
эти результаты получены лишь для частного вида граничных условий, а во-вторых,
при наличии даже слабого затухания второй этап (увеличение A(s)) может не иметь
места.
1'Квадратные скобки означают выделение целой части.

Гл. 8. Колебания в цепочках
145
В силу неравенства нулю расстройки Δ явление распадной неустойчивости в
однородной цепочке может наблюдаться лишь при конечном значении амплитуды С.
Как будет показано в следующем пункте, в периодически неоднородной цепочке в
определенном диапазоне частот ω существуют такие частоты и/1) и и/2),
удовлетворяющие условию ω — α/1) + ω^2\ для которых расстройка Δ = β — β\ — β2 равна
нулю.
8,4. Колебания в нелинейнах цепочках с периодически
чередующимися элементами, обусловленные
гармоническими возмущениями на границе. Возбуждение
второй гармоники и распадная неустойчивость
Как уже говорилось, для цепочки с периодически чередующимися элементами
возможно строгое выполнение условия синхронизма. Это приводит к возможности
эффективной генерации второй гармоники. Покажем, что это, действительно, так.
Будем считать, что некоторая частота 2ώ и волновое число 2β наряду с ώ и β
удовлетворяют дисперсионному уравнению (8.2.4). Из этого условия можно найти
частоту ώ. Выражение для ώ удобно записать в виде
- = Jl-v/3^, (8.4..)
где u;o = \/ω\ + ω\ · Анализ показывает, что значение частоты ы, определяемое
выражением (8.4.1), всегда действительно. Однако, очевидно, что на выражение
(8.4.1) требуется наложить условия ώ < ωχ, ω2 < 2ώ < ω$. Эти условия выполняются,
если
2 - <3. (8.4.2)
,2
т
Ί
Последнее неравенство накладывает ограничение на ширину области
непрозрачности, т.е. на отношение масс m и М.
Таким образом, энергия колебаний на частоте ы, расположенной на акустической
ветви и определяемой выражением (8.4.1), при выполнении условия (8.4.2) должна
эффективно перекачиваться в энергию колебаний на частоте 2ы, которая
расположена на оптической ветви. Нетрудно показать, что если 1/3 < ω\Ιω\ < 3/4, т.е.
область непрозрачности не очень узкая, то sin2 β > 0.5 и β > π/4. Это значит, что
частота 2ώ будет расположена на оптической ветви с нормальной дисперсией.
Если же ω\/ω\ > 3/4, что соответствует узкой области непрозрачности, то β < π/4,
т.е. частота 2и> будет расположена на оптической ветви с аномальной дисперсией.
Условие синхронизма легко пояснить графически (рис. 8.15).
Чтобы рассчитать амплитуду второй гармоники, зададим уравнения цепочки в
виде
т'х$ + k{2xs - χ,+ι - ж,.ι) = с7*((ж,+1 - х9)2 - (х» - x,_i)2j, s = 1,3,...
(8.4.3)
Mi$ + k{2xs -x,+i -xs-\) = C7*((*»+! ~x')2 ~ (χ* ~ **-ι)2), * = 2,4,...

146
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Рис. 8.15. Иллюстрация условия волнового пространственно-временного синхронизма для
ω\Ιω\ > 3/4 (α) и ω?/ω| < 3/4 (6)
Решение уравнений (8.4.3) будем искать в форме
Αχ (*)ef"(wt-M + Λ2(*)β·(2ωί-Μ + к.с, s = 1, 3,...,
Βι («)e'<wt-M + a2(e)e,"(2u,t"^e) + к.с, 5 = 2,4,...,
(8.4.4)
где βχ и ω, β2 и 2ы попарно удовлетворяют дисперсионному уравнению (8.2.4).
Подставляя (8.4.4) в (8.4.3), в первом приближении по е получим следующие уравнения
для определения А\у2 и В\2:
(ты2 - 2k)Ax(s) + к[в1(в + l)e~ifil + Яф - 1)е''М-
-4к7*(я?Basing - A) + BMasinA - Л;Я2$т/?2)е-,Л5 = О,
{Ατηω2 - 2k)A2(s) +к(в2(з + 1)е~^2 + 52(s - l)et/b) +
+4ic-fkBi sin ft (Λ ι - #i cosft)e'A5 = 0,
(Λ/α;2 - 2*)^!(β) + k(Ax(s + l)e",/?1 + Λχ(* - l)e,7?1)-
-4u7Ar(^^2sin(/?2 - βχ)+A\B2sinβι - B^2sin/?2)e-iA5 = 0,
(4Мы2 - 2*)£2(s) -h Ar(^2(^ + 1)β-'* + Л2(* - l)e*a) +
+4te7*i4isin/?i(J5i - Λι cosft)e'A5 = 0,
(8.4.5)
(8.4.6)
где Δ = ft — 2A — расстройка волновых чисел. Начальные условия для уравнений
(8.4.5), (8.4.6), подобно (8.3.18), зададим в виде
Вх(0) = С, В2(0) = 0.
(8.4.7)
Из уравнений (8.4.5) выразим А\ и А2 через В\ и В2. В первом приближении по
е получим

Гл. 8. Колебания в цепочках
147
"2 V 92 91 ) )
(8.4.8)
2q2cosp2\ ω\ q\ >
Ιΐ-ω*/ωΙ /ΐ-4ω2/ω?
где qi = \ -, , . >,, 42 — \ -. ,·,,■) — отношения амплитуд В к А на
Haul — ω^/α», V 'ω'
стотах ω и 2ω соответственно, вычисленные в линейном приближении. Подставляя
(8.4.8) в (8.4.6), получим уравнения для В\ и В2:
Вх (s + 2)e-2i"' +Bi(s- 2)e2^' - 25,(s) cos2/3, =
= 8ti7^2 βΓβ2|^| (4 sin ft - — sin^2 J cos/?,+
Ц \w> ^ 4i )
+ — U sin ft - ^ sinft J cosA |e_<A*, (8.4.9)
B2(s + 2)e-2"'3 + B2(s - 2)e"p> - 2B2(s) cos 2β2 =
= 8t€7^B? — sin A (i^ cos ft- — cos 2/?, ) e'^s. (8.4.10)
ω\ ?ι VW 92 '
Г)е<д*.
В приближении B2 < eC решение уравнений (8.4.9), (8.4.10) с граничным
условием (8.4.7) в первом приближении по е имеет вид
Bi(s)=C,
(8.4.11)
ί
'?
Подставляя затем (8.4.11) в (8.4.8), найдем A\(s) и A2(s):
B2(s) = 4й7С2 ^ ^ J** ,д (4 cosft - 1 cos2ft) (е«" - 1)
ω$ q\ cos4/?i - cos 2/?2 V^f </2 /
gi ω£ qxq2 cos /?2
2(/2
cos 4/?i - cos 2/?2
(^ cos/?2 - — cos2/?i) (cos2/?ieiAs - cos/?2) + e,As J. (8.4.12)
Как и в случае однородной цепочки, при Δ φ 0 амплитуды B^{s) и A2(s)
изменяются периодически. Если же Δ = 0, т.е. β2 = 2/?ι, то

148 Часть П. Собственные и вынужденные колебания и волны
B2(s) = -ejC —2 - -2 - —
2ω2 Я\ \u>1 q2J cos ft
(8.4.13)
2w|gicos/?! у V^i 92/ V^i 92/
где
V>(«) = arc tg ^-i-5 ^4-
дополнительный сдвиг фаз между колебаниями легких и тяжелых шариков.
Как следует из (8.3.20), в выражениях (8.4.13) следует положить
2 2 / \ 1/2 / \ -1/2
U>5 ^5 ^2 ^2 \ ^1 ) \ U\)
W2\ \ ^2/ <*>1 / \ V wl/ ^2/
(8.4.14)
cos
W0*-s)K=7)·
cos 2ft = =F
N
<*>1/\ V wl/ w2
Здесь cos 2A < 0, если ω\)ω\ < 3/7, и cos 2ft > 0, если wj/wg > 3/7.
Таким образом, при полном синхронизме амплитуды второй гармоники
колебаний легких и тяжелых шариков растут с ростом s, причем до тех пор, пока
выполняется условие B2(s) < fC, амплитуда В2 растет линейно, а Лг — нелинейно
(рис. 8.16 а). Для тех значений номера 5, при которых указанное условие перестает
выполняться, решение (8.4.13) становится несправедливым. Найдем решение
уравнений (8.4.9), (8.4.10) в этом случае, ограничившись приближением нулевой
расстройки. При Δ = 0 указанные уравнения принимают вид
Вх(s + 2)<ГИ* +Вг{8- 2)e2ifil - 2Вг(s) cos2ft =
= 8ΐ67ί £^2sin2ft(^§ f2 - ^ cosft) + — (2 - ^ cosftH,
A \u\ \ Яч J Я2 \ qi J J
(8.4.15)
B2(s + 2)e~Ai(*1 + B2(s - 2)e4t'^ - 2B2(s) cos4ft =
= Siej ^ B\ ?1 (Ц - — ) sin ft cos 2ft,
^2 Я\ W 92/
где ω, gi, ^2 и ft определяются соотношениями (8.4.14). Непосредственной
подстановкой можно убедиться, что в первом приближении по е решение уравнений (8.4.15)

Гл. 8. Колебания в цепочках
149
Q2\A2\tC,\B2\/C
0.15 r
0.10
BV
fc, \в7
1 Ω
0.8
0.6
0.4
0,2
- V\
\
Л/С
\ V
\ \
y_V-
"2_,
^;i^d
0.05 У
О 1 2
? 5*
α 6
Рис. 8.16. Зависимости <& (/М/С (сплошные линии) и \Bj(/C (штриховые линии) от
$ = еуС(ш2/u>\)s на начальном участке (а); зависимости В\/С (сплошные линии) и \Bi\IC
(штриховые линии) от s во всем диапазоне (б) для Δ = 0, tyC = 0.02. Кривые 1
соответствуют ω^/ωχ = 1.3, 2 — ωτ/ωγ = 1.5
с граничными условиями (8.4.7) имеет вид
С
Вг(в) =
chas
CR,
B2{s\ — thas ,
α
(8.4.16)
где
ω\ 2gicos^i \ί2 u{)
a =
Μ <7i cos
ί» (I - 4) (4 (2- !L COS A) + 1 (2- i» CO. ft)) ·
Отсюда видно, что при достаточно больших номерах 5 должна происходить полная
перекачка энергии из основной гармоники во вторую (рис. 8.16 б). В
действительности, однако, из-за наличия затухания этого происходить не может: обе гармоники
рано или поздно затухнут.
Заметим, что в случае ограниченной цепочки волна, соответствующая второй
гармонике, ведет себя по-разному, в зависимости от того, к какому участку
оптической ветви она относится. Если она относится к участку с нормальной дисперсией,
то при удалении от входа цепочки, т.е. того конца, где приложен сигнал частоты
и, она нарастает. Если же эта волна относится к участку с аномальной дисперсией,
то при удалении от входа и приближении к другому концу цепочки она убывает.
Это наблюдалось экспериментально в работах В.Ф.Марченко при моделировании
нелинейных цепочек электрическими линиями.
Перейдем теперь к рассмотрению распадной неустойчивости. Как уже
отмечалось в предыдущем пункте, в периодически неоднородной цепочке в определенном
диапазоне частот ω существуют такие частоты иА1) и ω^2\ удовлетворяющие
условию ω = uA1) +uA2), для которых расстройка Δ = /?—β\ —/?2 равна нулю. Это значит,
что коэффициент усиления возмущений для этих частот будет максимальным, что

150
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
может привести к их постепенному выделению из всего спектра возмущений.
Действительно, из дисперсионного уравнения (8.2.4) следует, что
(1)
( \ ωΐ - ω2 ) - arcsin ( \ ωϊ - цА1)2 ] -
Δ = arcsin
-aid)
— arcsin
»(^>/«оа-(«-«(1,)а)·
Можно показать, что уравнение Δ = 0, имеет два действительных корня цД1) = ω$
и ω^ = Wq , которые удовлетворяют условию ω = u>q + Wq , если ω* < ω < ωκρ,
где
ω* = 2<x>0Jl - лД-^ , ωκρ = -у + Wcj^ --w|.
Таким образом, условия синхронизма выполняются в довольно узкой области
частот ω. Если u/ = u/*,tou)o = u>q ' = ы*/2, т.е. наибольшее усиление имеет вторая
субгармоника частоты ω. Если же и> = ыкр, то u/q = u>i, Wq = ωκρ — ω\ < ω\.
Расчет амплитуд при явлении распадной неустойчивости в периодически
неоднородной цепочке может быть проведен аналогично тому, как это было сделано при
рассмотрении возбуждения второй гармоники. В силу громоздкости расчета мы
его здесь приводить не будем.
В сильно нелинейной периодически неоднородной цепочке возможно образование
солитонов. Теоретическое исследование такого рода явлений проведено в работе
[558].
В заключение отметим, что именно возбуждением второй гармоники можно
объяснить результаты численных экспериментов Окады и др. [543] и физических
экспериментов В.Ф. Марченко, проведенных с нелинейными цепочками, имеющими
периодическую структуру. В тех и других экспериментах на вход цепочки подавался
импульс, из которого по мере распространения выделялась почти гармоническая
волна, распространяющаяся с меньшей скоростью. Появление такой волны можно
интерпретировать как возбуждение второй гармоники одной из спектральных
составляющих импульса, для которой выполняется условие синхронизма.
Глава 9. Шумоиндуцированные фазовые переходы
в нелинейных системах
9.1. Параметрическое возбуждение колебаний маятника
со случайно колеблющейся осью подвеса как
шумоиндуцированный фазовый переход
Рассмотренное в гл. 6 параметрическое возбуждение колебаний может
происходить при изменении собственной частоты осциллятора не только по
периодическому закону, но и случайным образом. Для определенности мы рассмотрим маятник

Гл. 9. Шумоиндуцироваяные фазовые переходы
151
со случайно колеблющейся осью подвеса, описываемый уравнением (6.2.14). Задача
подобного рода для осциллятора с линейной возвращающей силой, но с учетом
нелинейного трения, аналитически решалась в работах Р.Л. Стратоновича [298, 299]
и М.Ф. Диментберга [103] *). Как будет видно из дальнейшего, в случае
маятника нелинейности возвращающей силы оказывается достаточно, чтобы ограничить
амплитуду возбуждаемых колебаний. Однако чтобы исключить случайные
проворачивания маятника на угол кратный 2π, которые затрудняют анализ получаемых
результатов, мы, как и в [298, 299, 103], учли нелинейное трение [207, 496].
1. Теоретическое рассмотрение. Итак, рассмотрим уравнение
φ + 2β (1 + α<£2) Φ + "Ι (l + €(θ) sin Ψ = °> (9-1.1)
где ωο = \Jmbg/J — частота малых собственных колебаний маятника, β = H/2J
— коэффициент линейного трения, a — коэффициент нелинейного трения, g£(t) —
ускорение оси подвеса, представляющее собой сравнительно широкополосный
случайный процесс, имеющий отличную от нуля спектральную плотность на частоте
2ωο. Будем считать, что интенсивность колебаний оси подвеса сравнительно
невелика, так что колебания маятника можно считать настолько малыми, чтобы sm<p
можно было представить в виде
sin<p« (l -ηφ2)φ, (9.1.2)
где 7 — 1/6.
Приближенное аналитическое решение интересующей нас задачи может быть
получено, если предположить, что β/ω0 ~ е, Ίφ2 ~ е, ξ(ί) ~ у/1 2, где с —
некоторый формальный малый параметр, который в окончательных выражениях следует
положить равным единице. При этом уравнение (9.1.1) с учетом (9.1.2) удобно
переписать в следующем виде:
φ + ω2φ = с (-2/? (1 + αφ2) φ + ω2οΊ<Ρ3) ~ yfit{t) (l - П<р2) Ψ 3)> (9.1.3)
Уравнение (9.1.3) будем решать методом Крылова-Боголюбова с точностью до
второго приближения по малому параметру е. Для этого положим
φ = Л cos ф + tu\ + 62ti2 + ... ,
ji = e/i+c2/2 + ... , 0 = б^-М2Р2+... , (9.1.4)
где ф = u>ot+ф} «1,1*2, · · - > /ъ /г> · · · , Ή> ^2> · · · > неизвестные функции.
Используя процедуру метода Крылова-Боголюбова для стохастических уравнений (см.
[299, 177]), легко найти выражения для неизвестных функций /ι, /г и Fi (функция
!)В последней работе учитывался также аддитивный шум.
2)Здесь \fl перед флуктуационным членом имеет тот же смысл, что и на стр. 346 книги [299].
Такая запись целесообразна, потому что при этом спектральная плотность шума, которая входит
в окончательные выражения оказывается порядка е.
3)Некоторые математические вопросы, касающиеся уравнения такого вида, рассмотрены в
работах [586, 587].

152
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Fi дает лишь малые добавки к функции F\ и поэтому не представляет интереса).
Оставляя в функции ji только нелинейный член и подставляя найденные выражения
в уравнения (9.1.4), получаем
А = ί -/? (l + Ι {αωΐ + 7)лЛ + ^ξ^2ψ) Л, (9.1.5)
φ = -τω0-ϊΑ2 + u>0£cos2V>, (9.1.6)
о
где черта над выражением означает операцию его усреднения по времени. Как
показано в [299], в уравнении (9.1.5)
£sin2V = <£sin2V>) + Ci(*b (9.1.7)
где угловые скобки означают усреднение по статистическому ансамблю, ζ\(ί) —
случайный процесс, который можно считать белым шумом с нулевым средним
значением и интенсивностью К\, равной
Кг = ^/с(2ы0). (9.1.8)
В выражении (9.1.8) /с(2ыо) = / (£(*)£(' + r)) cos 2ω0τ dr — спектральная
плотность
процесса £(t) на частоте 2ыо- Величина (f sin2^) в формуле (9.1.7) вследствие
наличия корреляции между ξ и φ отлична от нуля и равна
Ы0 fCk v <*>0
<£ь\пЩ = ^κ(2ω0) = γΚι· (9.1.9)
Аналогично, в уравнении (9.1.6)
£со8*ф = (£сов2ф) + С2{г), (9.1.10)
где
о
(£сов*ф) = ^- ί (ξ(ί)ζ{1 + τ))sin2ш0тат = Му (9.1.11)
— со
Сг(0> как и в (9-1 -7), может рассматриваться как белый шум с нулевым средним
значением и интенсивностью К2у равной
К2= \ МО) + λ- /с(2ы0) J , (9.1.12)
Значение Μ определяется характером случайного процесса £(t): если ξ(ί) является
белым шумом, то Μ = 0; если же ξ(ί) имеет конечное время корреляции, то Μ φ 0.
Учитывая (9.1.7)—(9.1.12), перепишем уравнения (9.1.5) и (9.1.6) в следующем
виде:
λ = /u^l ^ _ ΙβηλΛ А + ^ ЛО(0, <£ = -^о7^42 +и;0М +ы0С2(0, (9.1.13)

Гл. 9. Шумоиндуцировалные фазовые переходы
153
где η = 1 — 4β/ω%Κι — параметр, определяющий превышение интенсивности шума
над пороговым значением, *γ — η + αω*^. Из второго уравнения (9Л.13) и выражения
для Μ видно, что при увеличении интенсивности случайной вибрации оси подвеса
средняя частота возбуждаемых колебаний маятника понижается как за счет
члена, пропорционального квадрату амплитуды, так и за счет М. Как будет видно из
дальнейшего, это понижение частоты проявляется в спектрах возбуждаемых
колебаний.
Уравнениям (9.1.13) соответствует следующее уравнение Фоккера-Планка:
*»{А,ф) _ 8 ({ω2 К, 3_.2
т ~ дл\\ 4 ч-^*)*»^))-
-ωο [VA*- Μ) -Лф± + -^ ш {АМЛ, Ф)) +
(9.1.14)
Κ7ωΙ д2гу(А,ф)
2 дф2
Стационарное решение уравнения (9.1.14), удовлетворяющее условию равенства
нулю потока вероятности, не зависит от ф. Его удобно записать в виде
^A^ = ^^{hdA'I^AdA)· (9Л·15)
Постоянная С определяется из условия нормировки / / w(A, φ) A dA άφ = 1. Про-
о о
интегрировав (9.1.15) по φ и вычислив интеграл под знаком экспоненты, найдем
выражение для плотности распределения амплитуды колебаний:
w(A) = СА2*-1 exp (-^l· A2) . (9.1.16)
V w0Ki /
/wgtfi V 1
Из условия нормировки находим
С = 2 I V 3/?7 J Γ(η)
\ О при η < О,
и, следовательно,
ί (^"^-.„pf w,.) при„>0)
w(A) = 2l \mJ Г(Ч) PV «2*ι / (91.17)
1 ί(Λ) при τ; < 0.
Тот факт, что при η < 0 плотность распределения амплитуд оказалась дельтаобраз-
ной, связан с отсутствием аддитивного шума.

154
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Используя выражение (9.1.17), можно найти (Л) и (Л2):
(А) =
wlKx rfo+1/2)
3/?7
Г(ч+1)
О
при η > О,
при η < О,
и2>
Κι
3/?7
О
—ι?
при 7? > О,
при г? < 0.
(9.1.18)
Отсюда видно, что при η > 0 имеет место параметрическое возбуждение
колебаний маятника за счет шумового воздействия. Это проявляется в том, что средние
значения амплитуды и квадрата амплитуды становятся отличными от нуля. Если
наблюдать такие колебания и не знать их причины, то можно прийти к заключению,
что они представляют собой хаотические автоколебания. Естественно возникает
вопрос, можно ли отличить наблюдаемый процесс от хаотических автоколебаний.
Этот вопрос будет рассмотрен ниже.
2. Результаты численного моделирования. Поскольку полученные
теоретические результаты, во-первых, не дают возможности найти форму колебаний
маятника, индуцированных шумом, и, во-вторых, являются приближенными, мы
исследовали решение уравнения (9.1.1) численно при β = 0.1, ωο = 1.
Исследование показало, что при увеличении интенсивности шума выше
критического значения (/скр = 0.8) средние значения мгновенной амплитуды
колебаний маятника, вычисленной при помощи преобразования Гильберта (см., например,
[290, 61]), и ее квадрата, как и следует из теории, становятся отличными от нуля и
затем растут. Соответствующие зависимости показаны на рис. 9.1.
Рис. 9.1. Зависимости (А) (а) и (Л2) (б) от спектральной плотности шума к(2) (точки).
Сплошными линиями показаны соответствующие теоретические зависимости,
вычисленные по формуле (12.1.18)
Мы видим, что на начальном участке они достаточно хорошо совпадают с
теоретическими зависимостями, определяемыми формулой (9.1.18), которые были
вычислены нами в предположении, что интенсивность шума близка к критическому
значению.

Гл. 9. Шумоиндуцированные фазовые переходы
155
Результаты численных расчетов при отсутствии нелинейного трения
приведены на рис. 9.2. Мы видим, что в непосредственной близости интенсивности шума
<Р,рад
0.21
0.1
0
-0.1
-0.2
ΤΊ
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
400 800 1200 1600
♦ t с
φ, рад/с
λ
_L
400
800 1200 1600
Г, с
a
φ, рад/с
0.2
-0.2
-0.1 0
φ > рад/с
0.1 0.2
800 1200 1600
U с
б
Рис. 9.2. Зависимости φ(ί) и φ(ί) при a = 0, к(2)/кКр = 1.01 (а) и к(2)/ккр
проекции соответствующих фазовых портретов на плоскость φ(ί)> φ(ί) (β)
20 30
<р,рад
1.06 (б);
к критическому значению маятник не проворачивается (см. рис. 9.2 а). Однако уже
при очень незначительном удалении интенсивности шума от критического
значения маятник начинает время от времени проворачиваться на угол, кратный 2π (см.
рис. 9.2 бив). Чтобы избежать этого, мы проводили все расчеты с учетом
нелинейного трения.
3· Перемежаемость типа «включено-выключено ж Расчет средней
длительности «ламинарной» фазы. Из рис. 9.2 α видно, что возбуждающиеся
колебания вблизи порога проявляют свойство особого рода перемежаемости, т.е. в течение
продолжительных промежутков времени маятник колеблется в непосредственной
близости от положения равновесия (так называемые «ламинарные» фазы), причем
эти слабые колебания сменяются короткими случайными всплесками
(«турбулентные» фазы). При удалении от порога длительность ламинарных фаз уменьшается,
а турбулентных увеличивается, и в конце концов ламинарные фазы постепенно
исчезают (рис. 9.3).
Указанная перемежаемость принципиально отличается от всех типов
перемежаемости, описанных, например, в [248, 333, 523] (см. также гл. 12), хотя их внешние
проявления подобны. Перемежаемость, наблюдаемая в случае маятника, относится
к типу «включено-выключено». Этот термин, который на английском языке звучит
как «on-off intermittency», был введен недавно в работе [557], хотя отображение,
приводящее к такому типу перемежаемости, было рассмотрено раньше А.С. Пиковским
[554], а сама перемежаемость была впервые получена в [412] на примере
двумерного отображения. Принципиальное отличие этого типа перемежаемости состоит в
том, что она может наблюдаться не только в динамических системах, но и в
системах, описываемых стохастическими уравнениями [429]. Именно это мы и имеем в

156
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
1200 1600
ty С
0 400
800 1200 1600
ί, с
a
1200 1600
ψ> рад/с
1200 1600
Рис. 9.3. Зависимости φ(ί), φ(ί) при a = 100, к(2)/ккр = 1.25 (α) и к(2)/ккр = 14 (б);
проекции соответствующих фазовых портретов на плоскость φ(ί)> ф(Ь) (в)
рассматриваемом случае маятника.
В работе [429] статистические свойства перемежаемости типа
«включено-выключено» были найдены на основе анализа отображения χη+ι = α(\ + ζη)χη + /(яп),
где ζη — некоторый случайный процесс, который может либо иметь
динамическое происхождение, либо быть шумом, α — бифуркационный параметр, f(xn) —
нелинейная функция, не содержащая линейного члена. Было получено, что средняя
длительность ламинарной фазы должна быть пропорциональна a~l. Мы рассчитаем
среднюю длительность ламинарной фазы, исходя из уравнений (9.1.13) для
амплитуды и фазы колебаний маятника и соответствующего им уравнения Фоккера-Планка
(9.1.14). Будем считать, что маятник колеблется в ламинарной фазе, если амплитуда
колебаний А не превышает некоторое значение е> которое является достаточно
малым. Тогда средняя длительность ламинарной фазы т£ будет определяться средним
временем случайного блуждания изображающей точки внутри круга радиуса ε на
плоскости φ, ψ. Это время приближенно может быть рассчитано (см. [168, 177, 248])
при помощи стационарного решения уравнения (9.1.14) с граничным условием
υ>(Α,φ)\Λ=< = 0.
(9.1.19)
Так как значение ε предполагается достаточно малым, мы можем в уравнении
(9.1.14) пренебречь членом (ί/4)β^[Λ2. При этом стационарное решение уравнения
(9.1.14) с граничным условием (9.1.19) принимает вид
(9.1.20)
„ „ u\K\ ( . 1 d . л2 Λ
где Go — значение потока вероятности G = —-— ι ηΑχυ — - — (Aw) J через
4 \ 2 аА )
бую замкнутую кривую внутри круга ε. Значение Go определяется из условия нор-
лк>

Гл. 9. Шумоиндуцированные фазовые переходы
157
мировки путем интегрирования выражения (9.1.20) по площади круга радиуса е.
Из этого условия находим
8πε 8πε
G^ =
ωΙΚ,η ωΙΚχ-Αβ'
(9.1.21)
Поскольку, достигнув границы указанного круга, изображающая точка, как
следует из первого уравнения (9.1.13), может либо ее пересечь (если в этот
момент А > 0), либо вернуться обратно (если А < 0), то средняя длительность
ламинарной фазы должна быть больше среднего времени первого достижения
границы, которое равно Gq1 [168]. Обозначим через ρ вероятность того, что
изображающая точка, достигнув границы круга радиуса ε, вернется обратно. Тогда
τε zz Gq^I — ρ) Σ°°=\ JP*~l- Суммируя этот ряд и подставляя выражение (9.1.21)
для Gq λ, получаем
8πε 16πε
τν=σί1(1-ΡΓ
*2*ιΐϊ(1-ρ)
(9.1.22)
•Ό'4'Д* -и) ω§(κ(2ω0) - κΚρ)(1 -ρ)
Отсюда следует, что в пределе бесконечно малых значений ε, когда ρ = 1/2,
средняя длительность ламинарной фазы обратно пропорциональна параметру η. Этот
результат согласуется с [429]. При
увеличении параметра ε указанная зависимость
нарушается, во-первых, потому что
вступает в игру отброшенный нелинейный член, и
во-вторых, потому что вероятность ρ при
конечных значениях ε уменьшается с
ростом η, причем значение ρ при η>
стремящемся к нулю, тем ближе к единице, чем
больше ε. При значении η = 3/?7e2/^o#i
вероятность ρ равна 1/2.
Обработка результатов численного
моделирования уравнения (9.1.1) показала, что
зависимость ге от κ(2ω0) — κκρ,
определяемая формулой (9.1.22) при ρ = 1/2, в случае
достаточно малых значений ε
удовлетворительно описывает соответствующие
численные зависимости. Это продемонстрировано
на рис. 9.4 [500].
4. Размерность аттрактора, соответствующего шумоиндуцированным
колебаниям маятника. Поскольку возбуждаемые колебания маятника вызваны
исключительно шумовым воздействием, можно было бы ожидать, что им должна
соответствовать бесконечно большая размерность соответствующего множества,
построенного в некотором бесконечномерном пространстве. Однако проведенные
нами расчеты корреляционной размерности как в обычном пространстве Такенса,
так и с использованием методики хорошо приспособленного базиса [490], показали,
что размерность является конечной. Об этом свидетельствует насыщение
корреляционной размерности при увеличении размерности пространства вложения.
Пример такого насыщения показан на рис. 9.5 а. При увеличении интенсивности шума
Рис. §Н Зависимости т€ от κ(2ωο) — ккр
при и>о = 1, ε = 0.06 (кружочки) и е = 0.1
(крестики). Сплошные линии —
соответствующие теоретические зависимости

158
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
5
а
10
η
ν
4.5
l·
г
Г °
о
о
О
о о
__1
о о о <
4.0
3.5
3.0
2.5
20
к(2)/дс,ф
Рис. 9.5.
жения η
тельной
Зависимость корреляционной размерности и от размерности пространства вло-
при к(2)/кКр = 125 (а); зависимость корреляционной размерности ν от относи-
спектральной плотности шума к(2)/кКр при а — 100 (б)
размерность слабо увеличивается, но остается конечной (см. рис. 9.5 б, где
приведена зависимость корреляционной размерности ν от относительной спектральной
плотности шума ас(2)/аскр.). Таким образом, как показало наше исследование,
корреляционная размерность не позволяет отличить шумоиндуцированные колебания
от хаотических колебаний динамического происхождения. Пример таких колебаний
был рассмотрен в предыдущей главе. Подчеркнем, что полученный результат
противоречит широко принятым представлениям, согласно которым именно с помощью
размерности можно отличить хаотические колебания в динамических системах от
случайных колебаний, обусловленных шумом (см. [248]). Правда, в последнее время
появилось несколько работ (см., например, [547, 610]), авторы которых показывают,
что шумовые сигналы, имеющие спектр типа 1//а, могут иметь конечную
корреляционную размерность (по крайней мере, для 1 < а < 3). Однако, как мы увидим
дальше, спектр наблюдаемых нами шумоиндуцированных колебаний не всегда
имеет вид 1//а, тем не менее их размерность получилась конечной.
В связи с тем, что размерность, соответствующая шумоиндуцированным
колебаниям маятника, является конечной, можно утверждать, что под действием
шума в некотором фазовом пространстве, характеризующем движение маятника,
например, в пространстве Такенса, индуцируется аттрактор. Однако этот аттрактор
является сильно зашумленным, о чем свидетельствует тот факт, что размерность
вложения, вычисленная как методом хорошо приспособленного базиса, так и
методом, основанным на процедуре Карунена-Лоэва [362], является сравнительно
большой.
5. Спектры и корреляционные функции. Очевидно, что значительный
интерес представляют спектры возбуждаемых колебаний маятника. Без учета
нелинейного трения и при интенсивностях шума, близких к критическому значению,
спектр колебаний имеет максимум на частоте, близкой к собственной (рис. 9.6 а).
При увеличении интенсивности шума этот максимум уменьшается и в конце
концов исчезает (рис. 9.6 6). В результате спектр становится монотонно спадающим,
подобным спектру фликкер-шума. При достаточно больших интенсивностях шу-

Гл. 9. Шумоиндуцированные фазовые переходы
159
0.16 0.31
Частота, Гц
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Частота, Гц
Рис, 9.6. Спектральные плотности решения уравнения (9.1.1) в децибеллах при a = 0,
/с(2)/«кР = 1.06 (а) и к(2)/ккр = 22 (б); а = 100, к(2)/ккр = 1.25 (г), к(2)/ккр = 4.6 (д),
к(2)/кКр = 14 (е). Аппроксимация спектральной плотности при a = 0, к(2)/кКр = 22
зависимостью 90 — 121g/ (β); аппроксимация спектральной плотности при α = 100,
к(2)//сКр = 14 участками двух прямых: 108 - 170/ для / < 0.06 и 101 - 60/ для / > 0.06
{ж)

160
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
ма спектр может быть аппроксимирован степенной зависимостью вида 1//", где
η = 12 для к(2)//скр — 22 (рис. 9.6 в). При наличии нелинейного трения поведение
спектра качественно является таким же (см. рис. 9.6 г, 3 и е). Только при
достаточно большой интенсивности шума, когда спектр становится монотонно спадающим,
в полулогарифмическом масштабе его удается аппроксимировать двумя участками
прямых (рис. 9.6 ж).
Корреляционные функции колебаний для параметров, соответствующих рис. 9.6 ζ
и е), приведены на рис. 9.7. Мы видим, что время корреляции колебаний, если его
К
i.Or
0.8 f
0.6К
0.4
Рис. 9.7. Корреляционные функции для решений уравнения (9.1.1) при a — 100,
к(2)/ккр = 1.25 (а) и к(2)/ккр = 14 (<5)
определить по ширине корреляционной функции на половинной высоте, достаточно
мало, так что утверждение авторов работ [547, 610] о том, что шумовые сигналы
со спектром 1//а имеют конечную размерность потому, что время корреляции для
них очень велико, в нашем случае требует уточнения.
6. Критерии Рытова-Диментберга. Вернемся теперь к вопросу о том,
можно ли отличить шумоиндуцированные колебания от хаотических колебаний
динамического происхождения. Подобный вопрос
был поставлен СМ. Рытовым [290] и
несколько позднее М.Ф. Диментбергом [102,
103] применительно к задаче различения
шумового сигнала, пропущенного через
линейный узкополосный фильтр, и
периодических, но эашумленных автоколебаний 4).
Там было показано, что в случае
эашумленных автоколебаний плотность
вероятностей для квадрата их мгновенной
амплитуды, которую в случае широкополосного
процесса следует определять при помощи
преобразования Гильберта, должна иметь
максимум при некотором конечном
значении этой амплитуды, тогда как для
шума, прошедшего через фильтр, она должна
монотонно уменьшаться. Можно ожидать,
Рис. 9.8. Гистограмма для распределения
вероятностей квадрата мгновенной
амплитуды колебаний, полученная при
обработке численного решения уравнения
(6.2.15) при В = 3.5, α = 2
4)Источник шума, приводящий к зашумлению автоколебаний может быть как аддитивным, так
и мультипликативным.

Гл. 9. Шумоиндуцированные фазовые переходы
161
что в случае хаотических колебаний динамического происхождения плотность
вероятностей для квадрата мгновенной амплитуды также должна иметь максимум
лри одном или нескольких конечных значениях амплитуды. Такой результат
получен нами для рассмотренных в предыдущей главе хаотических колебаний
маятника, вызванных гармоническими колебаниями оси подвеса. На рис. 9.8 показана
гистограмма для распределения вероятностей квадрата мгновенной амплитуды
колебаний, определенной путем преобразования Гильберта. Видно, что распределение
вероятностей не является монотонно спадающим, а имеет несколько максимумов.
В случае возбуждения колебаний маятника за счет случайной вибрации оси
подвеса распределение вероятностей для величины χ = ~j(A2, как следует из
теоретических расчетов, изложенных выше, равно w(x) = w(y/x/;y)/ (2у/ух), где w(\fx~]^f)
определяется выражением (9.1.17). Зависимость w(x) для η — 0.2
продемонстрирована на рис. 9.9 а. Мы видим, что плотность вероятности для квадрата амплитуды,
111 ПТГПТТТТтттеттгг^^
20 40 60
оЛ*
Рис. 9.9. Зависимость р(х) = (2*γη /C)w(x) при η = 0.2 (α) и гистограммы
распределения вероятностей для α А2, полученные при численном решении уравнения (9.1.1) для
к(2)/ккр = 1.25 (6) и к(2)/ккр = 14 (в)
вычисленная аналитически, монотонно уменьшается с ростом амплитуды. Такой же
результат получен и при численном моделировании уравнения (9.1.1) (рис. 9.9 бив).
Диментберг предложил также.другой вариант своего критерия [103], который
заключается в том, что вместо плотности вероятностей для квадрата мгновенной
амплитуды можно анализировать плотность вероятностей для самого
исследуемого процесса х(<). На частном примере Диментберг показал, что если плотность
вероятностей для положительных значений χ не является монотонно убывающей
функцией, то процесс x(t) является автоколебательным. Но если плотность
вероятностей для χ > 0 монотонно убывает, то однозначного ответа дать нельзя: процесс
x(t) может быть либо шумом, прошедшим через фильтр, либо сильно зашумлен-
ными автоколебаниями. Мы проверили второй вариант критерия Диментберга как
для шумоиндуцированных колебаний маятника, так и для хаотических колебаний,
обусловленных гармоническим параметрическим воздействием. Оказалось, что,
несмотря на указанную автором неоднозначность, этот вариант критерия также дает
правильные результаты. Сказанное продемонстрировано на рис. 9.10, где показаны
распределения вероятностей для угла поворота маятника φ в двух указанных выше
случаях.

162
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Рис. 9.10. Гистограммы распределения вероятностей угла φ (W(</?)) в случае шумоиндуци-
рованных колебаний маятника при к(2)//сКр = 14 (а) и хаотических колебаний, вызванных
гармоническим параметрическим воздействием (б)
Таким образом, несмотря на существенно нелинейное преобразование шума,
критерий Рытова-Диментберга в рассмотренных нами примерах оказался
справедливым. Безусловно, вопрос о справедливости указанного критерия в общем случае
и возможность его использования, когда распределение вероятностей для
рассматриваемого процесса не является четной функцией, требуют более детального
исследования.
7. Критерии Климонтовима об упорядоченности движения.
Возбуждение колебаний маятника за счет шумового параметрического воздействия можно
трактовать как возникновение в рассматриваемой системе при η = О
неравновесного фазового перехода 2-го рода, индуцированного случайными колебаниями оси
подвеса. В качестве параметра порядка, характеризующего этот переход, можно
принять либо (Л), либо {А2). При таком выборе параметра порядка, как следует из
(9.1.18) и рис. 9.1, критический индекс равен единице.
Заметим, что рассматриваемый шумоиндуцированный фазовый переход
принципиально отличается от описанных в ряде книг и статей (см., например, [325]), где
под этим термином понимается появление за счет мультипликативного шума
дополнительных максимумов в распределении вероятностей, главным образом, в
системах, обладающих свойством мультистабильности. Переход, о котором идет речь,
подобен рассмотренному в работах [625, 626] для систем, описываемых конечно-
разностными моделями дифференциальных уравнений в частных производных
определенного вида.
Для того чтобы убедиться, что при указанном переходе движение в системе
становится более упорядоченным, воспользуемся критерием, предложенным Ю.Л. Кли-
монтовичем [144, 145, 148], который заключается в следующем. В исследуемой
системе выбираются два состояния, соответствующие разным значениям
некоторого управляющего параметра а. Одно из этих состояний, соответствующее а = ао,
условно принимается за состояние физического хаоса. Плотность вероятности для
набора переменных X, описывающих состояние системы, обозначим w(X} а). Пред-

Гл. 9. Шумоиндуцировалные фазовые переходы
163
ставим w(X, α0) Ξ wo(X) в виде канонического распределения Гиббса
где Fo — свободная энергия, Н(Х, <ю) — функция Гамильтона, Do — температура
в соответствующих единицах. Обозначим
Fq(Dq) - Н(Х, ар)
Do ~ _Яэф
и примем ЯЭф за эффективную функцию Гамильтона, не зависящую от
параметра а. Очевидно, что среднее значение эффективной функции Гамильтона, равное
эффективной энергии, в общем случае зависит от а. Ю.Л. Климонтович
предлагает перенормировать начальное распределение вероятностей таким образом,
чтобы эффективная энергия в начальном состоянии (при α = α0) и в конечном (при
a = αο + Δα) совпадали. Для этого вводится перенормированная плотность
вероятности wq(X, α, Δα), удовлетворяющая условию
[ Нэфч>о(Х, a, Aa)dX= ί Η3φχν(Χ, а0 + Δα) cfX. (9.1.24)
В уравнении (9.1.24) плотность вероятности wo(X, α, Δα), как и wo(X), может быть
представлена в виде канонического распределения Гиббса
w0(X, α, Δα) = ехр (F^D)~ Язф) , (9.1.25)
где F(D) — эффективная свободная энергия, D — эффективная температура,
зависящая от Δα. Неизвестная функция F(D) определяется из условия нормировки
/
u>o(X, a, Aa)dX= 1, (9.1.26)
а зависимость D от Δα находится из уравнения (9.1.24). Сравнивая (9.1.23) и (9.1.25),
видим, что D(0) = 1 и F(l) = 0.
Климонтович утверждает, что если найденное таким образом значение D(Aa)
больше единицы, то состояние системы при α = α0 + Δα является более
упорядоченным, чем состояние при α = αο, т.е. в этом случае последнее правильно было
принято нами за состояние физического хаоса 5). После того, как состояние физического
хаоса определено (будем считать, что оно соответствует значению параметра а,
равному αο), в качестве количественной меры увеличения степени упорядоченности
движения при изменении α от αο до αο -Ι- Δα предлагается ввести разность энтропии
= — Ι &ο{Χ, я, Δα)1ηΐϋο(^, α, Δά)άΧ
5)Все это справедливо, если при обратном переходе от α κ α — Δα значение D получается меньше
единицы. В противном случае ситуация является более сложной. Как будет следовать из
полученных ниже результатов, в рассматриваемом случае именно первая, самая простая, ситуация имеет
место.

164
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
S = - / w(X, a0 + Aa)\nw(Xy a0 + Δα) dX.
Из условий нормировки и уравнения (9.1.24) следует, что
AS = S0-S= [win ^-dX
J u>o
Заметим, что величина AS, определяемая выражением (9.1.27), не может быть
отрицательной, даже если бы мы неправильно выбрали состояние физического хаоса,
т.е. получили бы, что D < 1 6). Но при этом она не характеризовала бы степень
упорядоченности движения. Таким образом, как уже говорилось, критерием перехода
к более упорядоченному состоянию является не Δ5 > 0, а условие £>(Δα) > 1.
Вернемся теперь к нашей задаче и примем за физический хаос состояние,
соответствующее η = T7o> а за состояние, степень упорядоченности которого мы хотим
определить, — состояние, соответствующее η > ηο· Полагая η} ηο <$С 1 и проделав
все указанные выше вычисления, мы найдем, что D = 1 + 2(η — ηο){1+2η + 3η2 +-. .)>
т.е. состояние физического хаоса выбрано нами правильно 7). Вычисление разности
энтропии SS довольно громоздко, но можно показать, что SS ~ η2(η — ηο).
Найденные выражения справедливы и при ηο = 0. Таким образом, мы показали, что при
рассмотренном выше фазовом переходе движение с точки зрения критерия Климон-
товича становится более упорядоченным, хотя степень упорядоченности
изменяется незначительно. С точки зрения примитивного здравого смысла этот результат,
как и известный результат Климонтовича [145], что при переходе от ламинарного
течения к турбулентному степень упорядоченности движения увеличивается,
кажется парадоксальным. Потому-то изложенный критерий Климонтовича вызывал
и вызывает неприятие у ряда исследователей, особенно тех, кто имеет дело
исключительно с динамическими системами, не рассматривая флуктуации. Однако, в
случае маятника полученный результат имеет простой физический смысл: по мере
роста интенсивности случайных колебаний оси подвеса все большая часть энергии
этих колебаний переходит в энергию значительно более упорядоченных колебаний
маятника.
8. Влияние аддитивного шума. С учетом аддитивного шума уравнение
колебаний рассматриваемого маятника может быть записано в следующем виде:
^ + 2/?(ΐ + οτ^2)^ + ω2(ΐ+ίι(<))βίη^==*ί2(0, (9.1.28)
где fc&CO — аддитивный шум, интенсивность которого можно изменять путем
изменения коэффициента к.
При наличии аддитивного шума порог возбуждения размывается и зависимость
дисперсии колебаний от превышения интенсивности шума над пороговым
значением становится плавной (рис. 9.11). Для сравнения показана соответствующая зави-
6) Это связано с тем, что, как нетрудно показать исходя из интегрального представления, In χ >
1 - 1/х.
7'Из этого выражения следует, что если бы мы положили т? < т?о, то величина D оказалась бы
меньше единицы. Таким образом, та простая ситуация, о которой говорилось выше, действительно,
имеет место.
(9.1.27)

Гл. 9. Шумоиндуцированные фазовые переходы
165
Рис. 9.11. Зависимость дисперсии угла отклонения маятника φ2 от к(2)/ккр при
наличии аддитивного шума с интенсивностью fc2£f ^ 0.0025£j (крестики) и в его отсутствие
(квадратики); сплошной линией показана прямая φ2 = 0.01151(к(2)/кКр — 1)
симость для случая, когда аддитивный шум отсутствует. Эта зависимость может
быть аппроксимирована прямой φ1 = 0.01151(к(2)/ккр(2) — 1). Кроме того,
слабый аддитивный шум приводит к тому, что явление перемежаемости начинает
наблюдаться при интенсивностях мультипликативного шума, меньших критического
значения (рис. 9.12).
φ, рад/с
0.2
0.1
о)
-0.1
-0.21
400 800 1200 1600
Рис. 9.12. Зависимости φ(ί) и ф{Ь) для к2Ц = 0.000125^, к(2)/ккр = 0.92
9.2. Автопараметрическое возбуждение колебаний
осциллятора с квадратичной нелинейностью
при аддитивном случайном воздействии
Рассмотрим осциллятор с квадратичной нелинейностью в возвращающей силе,
на который действует случайная внешняя сила. Тогда, как будет показано ниже,
при определенном значении параметра нелинейности в осцилляторе произойдет
неравновесный фазовый переход 2-го рода, индуцированный этой случайной силой.

166
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Механизм этого перехода аналогичен рассмотренному в предыдущем пункте.
Пусть рассматриваемый осциллятор описывается уравнением
χ + 2β{\ + αχ2)χ + ω%(1 + bx + jx2)x = wg*£(t), (9.2.1)
где коэффициент трения β является достаточно малым по сравнению с собственной
частотой осциллятора ыо, £(£) — некоторый случайный процесс с нулевым средним
значением, к — коэффициент, определяющий интенсивность шума,
действующего на систему, 6 — параметр, определяющий квадратичную нелинейность; член с
кубической нелинейностью в возвращающей силе, определяемой параметром 7,
введен для того, чтобы избежать ухода решения в бесконечность; нелинейное трение,
определяемое параметром а, необходимо для ограничения амплитуды
возбуждаемых колебаний после фазового перехода.
Чтобы показать, что указанный фазовый переход, действительно, имеет место,
сделаем в уравнении (9.2.1) замену переменных, положив
* = у + х(0, (9·2·2)
где \(t) — случайный процесс, представляющий собой решение уравнения
X + 20x + u>lx = u>№(t). (9.2,3)
Подставляя (9.2.2) в уравнение (9.2.1) и учитывая (9.2.3), получаем для переменной
у следующее уравнение:
у + 2/? (у + a(y + χ)3) + ω2 (у + b{y + χ)2 + η (у + χ)3) = 0. (9.2.4)
Ради простоты будем полагать, что спектральная плотность случайного
процесса £(t) сосредоточена в окрестности частоты 2а>о и не содержит составляющей на
частоте cjq. Тогда, поскольку правая часть уравнения (9.2.3) является
нерезонансной , колебания χ(ί) являются достаточно малыми. Для удобства введем формальный
малый параметр е, который в окончательных выражениях положим равным
единице, и будем считать, что β/ω0 ~ е, у ~ е, χ ~ у/е 8). Учитывая в уравнении (9.2.4)
только резонансные члены, перепишем это уравнение в виде
У + "оУ = ^ (-2)9(1 + ау2)у - ы027у3) - 2y/lbX(t)y. (9.2.5)
Уравнение (9.2.5) по виду совпадает с (9.1.3), только роль случайного
процесса £(t) играет 26χ(<). Поэтому все полученные в предыдущем пункте результаты
будут справедливыми, только, в соответствии с уравнением (9.2.3), спектральную
плотность κ(2ωο) нужно заменить на
ω2 4k2b2
Μ2κχ(2ω0) = 4кЧ3 9a)g+°4/?2 ic£(2u/0) « -γ- κξ(2ω0). (9.2.6)
Отсюда следует, что критическое значение параметра 6, при котором возникает
фазовый переход, приблизительно равно
^ * 3\Ьгк · (9·2·7)
8'Здесь у/е перед флуктуационным членом имеет тот же смысл, что и в предыдущем разделе.

Гл. 9. Шумоиндуцированные фазовые переходы
167
где Кг = к2К{(2и>0)/2.
Таким образом, согласно полученным результатам, при 6 < 6кр дисперсия
случайного процесса x(t) должна оставаться примерно постоянной и равной дисперсии
случайного процесса x(t); при 6 > 6кр должна появиться добавка к этой дисперсии,
обусловленная возбуждением колебаний переменной у, эта добавка должна
линейно нарастать с увеличением разности б2 — 62р. Однако следует иметь в виду, что
при переходе от уравнения (9.2.4) к уравнению (9.2.5) мы отбросили слабый
аддитивный шум, который приводит к тому, что точка фазового перехода несколько
размывается.
Если спектральная плотность случайного процесса ξ(ϊ) на частоте ω о отлична от
нуля, то теоретический анализ сильно затрудняется. Однако численное
моделирование уравнения (9.2.1), когда шум ξ(ί) является весьма широкополосным
(практически белым), показало, что качественно поведение решения этого уравнения
совпадает с описанным. В качестве примера на рис. 9.13 приведена зависимость дисперсии
случайного процесса x(t) (σ2 = χ2 — χ2) от параметра b2 при к = 1, ω0 = 1, β = 0.1,
Рис. 9ЛЗ. Зависимость σ2 от параметра Ь2 в диапазоне изменения Ь от 0 до 4 (а) и от О
до 5 (б) при а/о = 1, /3 = 0.1, а = 100, 7 = 6.25, к = 1. Участки прямых I описываются
уравнением σ2 = 0.0006(Ь2 - 2.25) + 0.0155, 2 — σ2 = 0.0034b2 - 0.033
a = 100, 7 = 6.25. Мы видим, что до b = 1 значение σ2 остается постоянным и
равным 0.0155. Дальше оно начинает несколько возрастать и в диапазоне от b % 2
до b яз 4 зависимость σ2 от Ь2 является приблизительно линейной, определяемой
формулой σ2 = 0.0006(62 — 2.25) + 0.0155. Отсюда можно сделать вывод, что
критическое значение параметра b равно 6кр = 1.5. Более точно критическое значение
параметра b может быть найдено при численном решении уравнений
Χ + 2βχ + ω2χ = ω№ξ{1),
у + 2/?(1 + ау2)у + ωΙ(\ + jy2)y + 2bXy = 0. (9.2.8)
Такое решение показало, что критическое значение параметра 6, действительно,
равно приблизительно 1.5 и что возбуждение колебаний переменной у
происходит, как и в случае рассмотренного выше маятника, через перемежаемость типа
«включено-выключено». Это видно из рис. 9.14 а.

168
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
WW
Рис. 9.14. Вид решении уравнения (9.2.8) (о) и (9.2.1) (б) при ы0 = 1, β = 0.1, α = 100,
7 = 6.25, k = 1, 6= 1.52
При увеличении параметра 6 выше четырех скорость роста дисперсии процесса
x(t) значительно увеличивается и зависимость <т2 от Ь2 может быть аппроксими-
х рована другой прямой, а именно, σ1 =
0.003462-0.033 (рис. 9.13 б).
На рис. 9.15 показана зависимость
среднего значения χ от б2. Мы видим, что
среднее значение переменной х, которое
отлично от нуля из-за наличия
квадратичной нелинейности, отрицательно и при
6 < 4 почти линейно нарастает по
модулю с ростом б2. При Ь > 4 рост χ
становится более быстрым.
При переходе параметра b через
критическое значение перемежаемость в
зависимости x(t) явно не проявляется (рис.
9.156).
Если зафиксировать значение
параметра 6, а изменять интенсивность
действующего шума путем изменения
коэффициента к, то σ2 и χ при малых к
оказываются приблизительно линейно зависящими от t, а не от i2, как можно было бы
ожидать (см. рис. 9.16, где приведены зависимости σ2 и χ от к/ккр для двух значений
-0.05
-0.10
-0.15
-0.20
Рис. 9.15. Зависимость χ от параметра б2
при ωο = 1, β = 0.1, α = 100, у = 6.25,
k* = 1. Сплошной линией показана прямая
χ = -0.004862
г ^х\.
Рис. 9.16. Зависимости σ2 (о) и χ (6) от k/kKp при ωο
6 = 1.5 (крестики) и 6 = 3 (кружочки)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1, β = 0.1, a = 100, 7 = 6.25,

Гл. 9. Шумоиндуцированные фазовые переходы
169
параметра 6). Интересно, что при одинаковых значениях отношения к/ккр
увеличение параметра b приводит к уменьшению дисперсии колебаний, тогда как при
одинаковых абсолютных значениях к дисперсия колебаний тем больше, чем больше
6. Среднее значение χ при одинаковых значениях отношения к/ккр оказывается тем
больше по модулю, чем больше 6, причем с увеличением отношения k/kKp
зависимость χ от k/kKp имеет тенденцию к насыщению, тем более ярко выраженную, чем
меньше Ь.
9.3. Стабилизация верхнего положения равновесия маятника,
обусловленная быстрыми случайными колебаниями
оси подвеса
В предыдущей главе мы показали, что высокочастотная гармоническая
вибрация оси подвеса приводит к стабилизации верхнего положения равновесия
маятника. Рассмотрим теперь случай, когда ускорение оси подвеса маятника является
достаточно широкополосным высокочастотным случайным процессом. В этом
случае уравнение (6.2.16) принимает вид
φ + 2βφ + (l + £(*)) sin ψ = 0. (9.3.1)
Если спектр случайного процесса ξ(ί) сосредоточен в достаточно
высокочастотной области и не содержит составляющих в зонах параметрического резонанса, то
флуктуации переменной φ, обусловленные случайными колебаниями оси подвеса,
будут малыми. Полагая в (9.3.1) φ = (φ) + &φ, где δφ <^ (φ), получаем
(φ) + 2β(φ) + ύη(φ) + сов(<р)№)6<р) = 0,
(9.3.2)
δφ + 2βδψ + cos(v?)<*v? + ξ{ί) sin(y?) = 0.
Одно из стационарных решений уравнений (9.3.2) имеет вид
(<р) = тг, δφ = 0. (9.3.3)
Это решение соответствует верхнему положению равновесия маятника,
устойчивостью которого мы интересуемся. Чтобы исследовать устойчивость, можно
записать линеаризованные уравнения для малых отклонений от стационарного решения
(9.3.3). Полагая {φ) = π + ψ, из (9.3.2) получаем следующие линеаризованные
уравнения для ф и δφ:
φ + 2βφ-φ- (ξ(ί)δ<ρ) = 0, (9.3.4)
δφ + 2βδφ -δφ- ζ(ί)φ = 0. (9.3.5)
В установившемся режиме решение уравнения (9.3.5) имеет вид
t
δΨ(1) = *+/?2 f (е"«-4'> - е»<*-«'>) *(«>(*') dt', (9.3.6)
-ОО

170
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
где piy2 = —β ± \/l + /?2 — корни характеристического уравнения ρ2 + 2βρ —1=0.
Отсюда находим
t
(ξ{ί)δφ)=2JTTWI (eMt_t')" eP2(t~0) тф'ш'] dt'- (9·3·7)
-οο
Полагая в этом выражении V — t = г и учитывая, что за время корреляции
случайного процесса £(t) значение φ не успевает существенно измениться, перепишем
(9.3.7) в следующей форме:
оо
(ты = - ^-?=ш ^> / (€_Р1Т -е-Р2Т)) <* (')ίί' + r»rfT· (9·3·8>
^ о
Чтобы вычислить интеграл в этом выражении, зададим корреляционную функцию
процесса ξ(ί) в виде (£(<)£(* + τ)) — a2e~<xr coswr, где σ2 = ακ(ω)/2 — дисперсия
случайного процесса ξ(ί), κ(ω) — значение спектральной плотности этого процесса
на центральной частоте, a — полуширина спектра процесса £(*). При этом из (9.3.8)
находим
σ2(ω2 - (pi + ot)(p2 + a))
При условии ω >► 1, /?, с* отсюда получаем
2
({(i)^>«-fjV(<)· (93.10)
Подставляя (9.3.10) в (9.3.4), получаем следующее уравнение для ф(():
ϊ> + 2βψ + ω2φ = 0, (9.3.11)
где
ω0 = >/<r2/u>2 - 1 (9.3.12)
— собственная частота малых колебаний маятника относительно верхнего
положения равновесия при β = 0. Из уравнения (9.3.11) следует, что среднее отклонение
маятника от верхнего положения равновесия будет затухать, т.е. положение
равновесия будет устойчивым, если частота ω$ является действительной, т.е.
σ2>ω2. (9.3.13)
Условие (9.3.13) эквивалентно (6.2.22), поскольку для гармонического процесса с
амплитудой В роль дисперсии играет величина В2/2.
Стабилизация верхнего положения равновесия маятника, обусловленная
случайной вибрацией оси подвеса, может рассматриваться как рождение в
соответствующем фазовом пространстве медленных переменных нового аттрактора,
индуцированного этой случайной вибрацией. Этот процесс можно трактовать как шумо-
индуцированный фазовый переход 2-го рода, в котором параметр σ2 играет роль
«температуры», а средняя частота колебаний относительно верхнего положения
равновесия (действительная часть частоты и>о) играет роль параметра порядка. При
этом соответствующий критический индекс равен 1/2.

Гл. 9. Шумоиндуцироваяные фазовые переходы
171
9-4. Шумоиндуцированные колебания в стандартной модели
детских эпидемий, обусловленные случайными
сезонными изменениями степени контакта с инфекцией
В гл. 7 мы рассмотрели регулярные и хаотические колебания количества
детских заболеваний в стандартной эпидемиологической модели при гармоническом
сезонном изменении степени контакта с инфекцией. Однако очевидно, что задание
изменения степени контакта со временем по гармоническому закону не
соответствует действительности. Ясно, что это изменение должно носить случайный характер,
хотя максимум спектра этого процесса должен соответствовать периоду 1 год.
Поэтому мы численно промоделировали уравнения (7.5.5), задав f(t) = χ(ί), где \(t)
— случайный процесс, представляющий собой решение уравнения
χ + 2πχ + 6ττ2χ = *£(*)>
(9.4.14)
гДе f (О — белый шум, к — коэффициент, который мы подбираем так, чтобы
дисперсия случайного процесса \(t) равнялась 1/2. Легко показать, что максимум
спектральной плотности процесса \(t) достигается при частоте ω = 2π. Результаты
моделирования уравнения (7.5.5) при тех же значениях параметров, что и на рис. 7.9,
и параметре Ь\, подобраннном так, чтобы дисперсия процесса x(t) примерно
совпадала с дисперсией этого же процесса при гармоническом изменении степени
контакта, представлены на рис. 9.17. Из этого рисунка видно, что возбуждаемые
W/k^^
Ιαλίυυυϋυϋυι^ IjLjJUL LuJ
MJ^JMjJU^
Рис. 9.17. Зависимости #(t), y(t), z(t) и проекция фазовой траектории на плоскость х, у при
[айном изменении степени конта*
Ьо = 1800год~1, κ(2π) = 1, bi = 0.24
случайном изменении степени контакта для m = 0.02 год *, α = 35.84 год *, g = 100 год ι,
колебания внешне очень слабо отличаются от тех, которые наблюдаются при
гармоническом изменении степени контакта (ср. с рис. 7.9). Весьма схожими являются
также их корреляционные функции. Пример таких корреляционных функций для
процесса x(t) продемонстрирован на рис. 9.18.
Однако существуют и отличия между этими двумя типами колебаний. Прежде
всего, имеется отличие в спектрах возбуждаемых колебаний. Как уже было указано
в гл. 7, при гармоническом изменении степени контакта спектр содержит
дискретную составляющую и максимумы на ее четных субгармониках (см. рис. 7.10). При

172
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Рис. 9.18. Корреляционные функции для процесса x(t) в случаях гармонического изменения
степени контакта (а) и случайного (б)
л 30
ь
|28
i 26
S 24
З22
§· 20
4>
5 18
-
I
■л
■
- ι
/ 1
7 Ч
/ V !
^w
^-ч*-
— Л L 1 1 1
0.5 1.0
1.5 2.0
Частота
2.5 3.0
случайном изменении степени контакта спектр имеет только один максимум на
частоте порядка собственной частоты системы (рис. 9.19).
Второе существенное различие наблюдается в корреляционной размерности и
емкости аттрактора, сконструированного в пространстве Такенса. В случае
гармонического изменения степени контакта при
увеличении размерности пространства
вложения, как и следовало ожидать,
измеряемые корреляционная размерность и емкость
насыщаются и остаются примерно
равными двум. При случайном изменении степени
контакта измеряемые корреляционная
размерность и емкость монотонно возрастают
с ростом размерности пространства
вложения, что говорит о том, что размерность
«аттрактора» в пространстве Такенса
является бесконечной (или, по крайней мере,
достаточно большой). Такое отличие
полученного здесь результата от случая шумоин-
дуцированных колебаний маятника (см.
выше), для которых корреляционная
размерность является конечной, можно объяснить тем, что значительный вклад в
возбуждение колебаний системы вносит аддитивная составляющая шума.
Наконец, третье отличие, как и следовало ожидать, заключается в распределении
вероятностей как для квадрата мгновенной амплитуды колебаний процесса x(t)y
так и для самого этого процесса. Это отличие продемонстрировано на рис. 9.20. Из
рисунка видно, что оба варианта критерия Рытова-Диментберга, как и в случае
маятника, оказываются справедливыми для рассматриваемой системы.
При увеличении параметра &ι дисперсия процесса x(t) увеличивается, причем,
начиная с некоторого значения b\ (b\ > 0.2), это увеличение происходит примерно
по линейному закону (рис. 9.21 а). Одновременно увеличивается и среднее значение
переменной x(t) (рис. 9.21 б). Если продлить прямую, аппроксимирующую
зависимость σ1 от Ь\ при Ь\ > 0.2, до пересечения с осью абсцисс, то получаем значение
Рис. 9.19. Спектральная плотность
процесса x(t) (в децибеллах) при случайном
изменении степени контакта

Гл. 9. Шумоиндуцировадные фазовые переходы
173
w 1<Г
ш 10
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0
30
25
20
15
10
5
А
1
Ϊ
1
I
/ill
к β Ι
1 1 1 L 1
-004 -0.02
0
0.02 0.04
8 ι
7
6
5 ι
4 '
3
2
1
0
ι
30
25
20
15
10
5
0
б\
" V
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.
/
1
- J
^<^Л _1 1
i
-0.04 -0.02 0 0.02 0.04
Рис. 9.20. Распределения вероятностей для квадрата мгновенной амплитуды колебаний
процесса x(t) при гармоническом изменении степени контакта (а) и при случайном (б);
распределения вероятностей для процесса x(i) при гармоническом изменении степени
контакта (в) и при случайном (г)
О2 x/S0
0.20
0.15
0.10
0.05
- a
-
о
Оу
о/
t
y\j
I
о /\
/о
ί
0,07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
1
-
-
L-o.
б
η 9
о
OS
I
О
У^2
1 L.
О
о
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ЬЛ
о
0.1
0.2
0.3
0.4
05
Рис. 9.21. Зависимости σ2 = (χ2 — x2)/Sq (α) и χ/So (б) от 6ι при m = 0.02год""1,
α = 35.84год""1, g — 100год"1, bo = 1800год-1; сплошной линией 1 показана прямая
<т2 = 0.52(bi - ОЛ), 2 — прямая x/S0 = 0.15(6ι - 0.1)
δι = 0.1. Можно показать, что это значение 6ι является критическим для
возникновения шумоиндуцированного фазового перехода при чисто мультипликативном

174 Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
случайном воздействии. Для этого в уравнениях (7.5.5) положим искусственно
аддитивную составляющую шума равной нулю. Тогда получим, что колебания не
возбуждаются вплоть до значения &i = &iKp ^ 0.1. При &ι > 0.1 возникает
неустойчивость, т.е. в некоторый случайный момент времени решение уходит на
бесконечность. Чтобы избежать этой неустойчивости, пришлось в правую часть второго
уравнения (7.5.5) добавить член O.lt/2. При этом мы убедились, что при Ь\ = 0.1
имеет место перемежаемость типа «включено-выключено» с очень редкими
турбулентными всплесками (рис. 9.22).
χ у ζ
*—
t t t
Рис. 9.22. Вид решения уравнений (7.5.5) при отсутствии аддитивной составляющей шума
для 6ι =0.1
Полученная зависимость σ1 от параметра Ь\ принципиально отличается от
соответствующей зависимости для шумоиндуцированных колебаний маятника со
случайно колеблющейся осью подвеса. В случае маятника линейной является
зависимость σ2 от превышения интенсивности шума над критическим значением. В
рассматриваемой системе интенсивность действующего шума пропорциональна Ь\.
Таким образом, если бы поведение рассматриваемой системы было бы аналогично
поведению указанного маятника, то линейной должна была бы быть зависимость
σ2 от б2, а не от Ь\. Вместе с тем полученная зависимость напоминает зависимость
дисперсии колебаний осциллятора с аддитивным шумом от коэффициента к при
постоянном значении параметра нелинейности 6, найденную в предыдущем пункте
и приведенную на рис. 9.16 а. Это наводит на мысль, что в изменении характера
зависимости повинна аддитивная составляющая шума в сочетании с наличием
квадратичной нелинейности.
9.5. Шумоиндуцированные фазовые переходы в нелинейных
цепочках
В работе [626] было показано, что в некоторых нелинейных цепочках и решетках
под влиянием мультипликативного шума могут происходить неравновесные
фазовые переходы второго рода, проявляющиеся в нарушении симметрии и появлении
постоянной составляющей («среднего поля»), В простейшем случае
рассматриваемые цепочки описываются уравнениями
ii = f(xi) + g(xi)ii(i) - γ (2xi - xf41 - *,--ι), (9.5.1)
где г — номер элемента цепочки, f(x%) — некоторая нечетная функция своего
аргумента, g(xi) — четная функция, £,(*) — достаточно широкополосные случайные
процессы, не коррелированные между собой. Заметим, что уравнения (9.5.1) мо-
И

Гл. 9. Шумоиндуцированные фазовые переходы
175
гут служить конечно-разностной моделью уравнения в частных производных типа
(5.3.40) с добавленным шумом.
Уравнение Фоккера-Планка, соответствующее уравнениям (9.5.1), имеет вид
(см. [299], стр.93)
dw
dw
= Σ ^ ( ( ~ЛХ') + у (Xi - χ»+ι - xi - 1) j «>+
где tu — многомерная плотность вероятностей, /с — спектральная плотность
шума на нулевой частоте. Проинтегрировав уравнение (9.5.2) по всем переменным
за исключением х,, получим уравнение для одномерной плотности вероятностей w
переменной х,·:
= έ((-/^)+Ι)(··-Λ/(ι'))»'+ϊ(^-(»!(")«')+»2^^))·<9-53)
оо
где Μ (xi) — (xj\x%) = / £jp{xj \xi) dxj — среднее значение переменной Xj при фик-
— сю
сированном значении переменной Χχ (условное среднее), p(xj\x{) — условная
плотность вероятности. В приближении так называемого среднего поля [626] условное
среднее заменяется на полное, т.е. полагается
со
M(xi) = (xi) = m = / Xiw(xi)dxi. (9.5.4)
— со
Стационарное решение уравнения (9.5.3) с учетом (9.5.4) имеет вид [299]
. С(т) ( 2 Г /(у) + Р(у - τη) \
w-{x) = 7йехр{-«( —Ш dy) ' (9·55)
где С(т) — нормировочная постоянная, определяемая следующим выражением:
-оо \ 0 /
Учитывая (9.5.4) и (9.5.5), получаем уравнение для определения среднего
значения т:
m^Fim), (9.5.7)
где

176
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Из (9.5.8) легко показать, что F(m) является нечетной функцией т. Поэтому
уравнение (9.5.7) всегда имеет решение m = 0. Если Ό = 0, то это решение является
единственным. Если же D > 0, то, начиная с некоторого значения интенсивности
шума /с, может появиться пара других решений, отличных от нуля (т = ±шо).
Анализ уравнения (9.5.7) при помощи компьютера показал, что условием существования
нетривиальных решений уравнения (9.5.7) является
dF
dm
> 1.
m=Q
В работе [626] функции f(x) и д(х) были заданы в виде
/(*) = -*(! +я2)2, 9{х) = \ + х\
(9.5.9)
(9.5.10)
Такой выбор функции д(х) означает, что на рассматриваемую систему действует
не только мультипликативный шум, но и аддитивный.
Из условия (9.5.9)с учетом (9.5.8) численно была определена граница фазового
перехода на плоскости параметров ас, D (см. рис. 9.23 а), а из уравнения (9.5.7)
D
18
16
14
12
10
8
6
уЛ
/
/
/
I /
- \у^ 1
1 1 _ 1 1 1 J 1 1 1 1
0 2 4 6 8
10 12 14 16 18 20
к
a
10 12 14 16 18 20
дс
б
Рис. 9.23. Граница возникновения фазового перехода в приближении среднего поля (а) и
соответствующая зависимость то от ее при D = 20 (б)
найдено значение т0 в зависимости от к при D = 20 (рис. 9.23 б).
Непосредственное определение значения т0 из уравнений (9.5.1) при помощи
компьютера показало, что вблизи левой границы на рис. 9.23 tf эти значения близки
к вычисленным в приближении среднего поля, тогда как при увеличении
интенсивности шума отличие становится весьма существенным. Это можно объяснить тем,
что из-за конечного времени корреляции уравнение Фоккера-Планка становится
несправедливым при больших интенсивностях шума (см. [299]).
Чтобы проследить влияние аддитивного шума, мы задали функцию д(х) в виде
д(х) = а2 + х2у где параметр а определяет интенсивность аддитивной составляющей
шума. Оказалось, что при уменьшении α граница фазового перехода на плоскости
к, D существенно опускается и смещается вправо.

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
177
Глава 10. Собственные и вынужденные волны в
ограниченных и неограниченных
сплошных средах
10.1* Волны с нормальной и аномальной дисперсией
Как известно, дисперсией, называется зависимость фазовой скорости волны от
ее частоты. При наличии дисперсии фазовая скорость, т.е. скорость
распространения монохроматической волны, отличается от так называемой групповой скорости,
т.е. скорости распространения группы волн — волнового пакета. Отличие может
состоять как в значениях указанных скоростей, так и в их направлениях. Напомним,
что закон дисперсии, при котором направления фазовой и групповой скоростей волн
совпадают, мы называем нормальным. Если же фазовая скорость противоположна
по направлению групповой скорости, то соответствующий закон дисперсии мы
называем аномальным.
Простейшим примером уравнения, описывающего линейные волны с
нормальным законом дисперсии, является линейное уравнение Клейна-Гордона, в
одномерном случае имеющее вид
д2и 2 д2у·
~Ш* ~° дх~*
Таким уравнением, в частности, описывается струна, лежащая на упругом
основании с линейными силами упругости. Дисперсионное уравнение для волн,
описываемых уравнением (10.1.1), следующее:
ω2 = с2к2 + 7. (10.1.2)
Отсюда находим фазовую и групповую скорости:
~с 1Г^-И« = 0. (10.1.1)
ω \/с2к2 + 7 άω с2к
"*-т = 1Чг^· ·*-λ-^ϊγγ;· (1013)
Таким образом, мы видим, что фазовая и групповая скорости в рассматриваемом
случае совпадают по направлению, т.е. закон дисперсии (10.1.2) является
нормальным. Если 7 = 0 (в этом случае уравнение Клейна-Гордона переходит в
классическое волновое уравнение), то Уф = νΓρ = с, что является следствием отсутствия,
дисперсии. При отсутствии дисперсии, как уже говорилось, монохроматические
волны любой частоты распространяются с одинаковой скоростью, вследствие
чего волновой пакет любой формы и = F(t — х/с), где F — произвольная функция,
распространяется без искажения. Поэтому общим решением одномерного волнового
уравнения является сумма двух встречных волн:
u{x,t) = Fi{t - х/с) + F2{t + х/с), (10.1.4)
где F\ и F2 - произвольные функции.
Простейшим модельным уравнением волн с аномальным законом дисперсии
является

178
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Соответствующее (10.1.5) дисперсионное уравнение для волн, распространяющихся
в направлении оси х, имеет вид
w* = 0. (10.1.6)
Отсюда находим г;ф = β/k2, vrp = —β/к2, т.е. г;гр = — νφ.
Покажем, что в определенных приближениях уравнением (10.1.5) описываются
ионизационные волны в низкотемпературной плазме и волны Россби в океане.
1. Ионизационные волны в плазме. Не касаясь здесь причин возбуждения
ионизационных волн (о них пойдет речь в гл. 17), рассмотрим основные
процессы в плазме, определяющие характер этих волн [178, 181]. Ионизационные волны,
как правило, возбуждаются в плазме положительного столба газового разряда. Их
групповая скорость направлена от катода к аноду, а фазовая скорость, наоборот,
направлена от анода к катоду. Параметры этих волн таковы, что относительное
изменение концентрации электронов главным образом определяется их диффузией на
стенки газоразрядной трубки и зависимостью частоты ионизации Ζ от
температуры электронов Т. Соответствующее уравнение для малых отклонений концентрации
электронов от стационарного значения имеет вид
ΘΝ Ζτ-l
ж = -^и' (10L7>
где N и U — относительные отклонения концентрации и температуры электронов
от стационарных значений по и То, Ζτ — логарифмическая производная от частоты
ионизации по температуре, г0 — время жизни электронов за счет диффузии на
стенки трубки.
Перенос энергии электронов вследствие теплопроводности в основном
уравновешивается изменением джоулева нагрева, т.е.
где W — относительное отклонение продольного электрического поля от
стационарного значения £Ό, 7 — безразмерный коэффициент теплопроводности
электронного газа.
Наконец, в предположении постоянства газоразрядного тока получаем
Из (10.1.8) и (10.1.9) находим
1%-Т."· <'·■'■■«
Дифференцируя теперь (10.1.7) по χ и учитывая (10.1.10), получаем замкнутое
уравнение для Ν:
02Ν Εο(Ζτ - 1) жг Λ
ад- + V r } N = 0. 10.1.11)
οίο χ утоТо ν '

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
179
Таким образом, мы показали, что изменение концентрации электронов в случае
ионизационной волны в рассматриваемом приближении действительно описывается
уравнением вида (10.1.5) *).
2. Планетарные волны в океане (волны н солитоны Россби). Рассмотрим
теперь так называемые планетарные волны в океане. Они были открыты Россби в
1939 г. [575] и получили впоследствии его имя. Эти волны могут возбуждаться под
действием порывов ветра. Их существование обусловлено зависимостью скорости
вращения Земли от широты места. Особенностями волн Россби являются их очень
большой период (порядка нескольких суток) и выделенное направление
распространения (они могут распространяться только с Востока на Запад).
Выведем уравнения для волн Россби в рамках простейшей модели, предложенной
в [517]. В этой модели океан локально представляется как тонкий слой жидкости
постоянной плотности, заключенный между двумя фиксированнными
параллельными горизонтальными плоскостями, причем предполагается, что этот слой жидкости
вращается вместе с Землей. Следуя [517], выберем в рассматриваемой
горизонтальной плоскости координаты х, у, где ось χ направлена на Восток, а ось у — на Север.
Предполагая, что вертикальные перемещения воды в океане отсутствуют и что вода
является идеальной несжимаемой жидкостью с постоянной плотностью /?о, запишем
уравнения движения с учетом сил Кориолиса в виде
fdu du du __ \ dp
fdv dv dv Λ^ \ dp , Λ
\m+uoi + vTy+mnU)=-i' (10112>
du dv __
dx dy
где u и ν — проекции скорости воды на оси χ и у соответственно, Ωη — проекция
вектора угловой скорости вращения Земли на внешнюю нормаль в точке с
координатами х, у. Введя функцию тока i>{x,y,t) так, что и = дф/ду, ν = —дф/дх,
перепишем уравнения (10.1.12) в виде
f d2φ dφ д2ф dφd2φ ^ дф\ dp
Ро
(д2ф ^j^_cty#V 2Ω 9±\__
\dtdy dy dxdy dx dy2 dx J dx
ι д2ф tyj^_tydhp_ ΟΩ — \--?l
didx dx dxdy dy dx2 dy) """ dy
(10.1.13)
Дифференцируя первое уравнение (10.1.13) по у, а второе по х, исключая давление
ρ и учитывая, что Ωη зависит только от у, получим одно уравнение для ф:
dAφ_L·dφdAφ dφdAφ^.dΦ ,1А11„ч
1) Более подробный вывод уравнений для ионизационных волн в низкотемпературной плазме с
учетом причин их возбуждения см. в гл. 17.

180
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
dSln А д2 д2
dy ' дх2 ду2
В линейном приближении уравнение (10.1.14) принимает вид
где β = 2 -j-^-, Δ = —- + tj-j — двумерный оператор Лапласа.
В работе [517] полагалось /? = const, что соответствует так называемому
приближению /^-плоскости. Так как άβ/dy = 2Ωη/Λ2, где R — радиус Земли, то вблизи
экватора, где параметр β имеет существенное значение и могут возбуждаться
волны Россби, значение Ωη мало и, следовательно, величина β изменяется мало. В этом
приближении уравнение (10.1.15) имеет частное решение в виде
ψ = ·φ0^χρ(ί{ωί + kxx + *уу)) . (10.1.16)
Отметим, что это решение является также точным частным решением
нелинейного уравнения (10.1.14). Подставляя (10.1.16) в (10.1.15), получаем дисперсионное
уравнение
"(** + *у) =/?**· (10.1.17)
Отсюда следует, во-первых, что ω > 0 лишь при кх > 0, т.е. для волн, фазовая
скорость которых направлена с Востока на Запад. Как уже указывалось, в этом
одна из особенностей волн Россби. Во-вторых, в силу малости параметра β частота
возбуждаемых волн достаточно мала, т.е. их период достаточно велик. В-третьих,
фазовая и групповая скорости волн Россби соответственно равны
ω βkx
V*2 + *2
_άω__ίάω_ άω\_( /?(fcg - kl)
~ dk~ \dkx' dkyj- [ (k2 + k2)2 '
(kl + k2)*!2 '
W-*2) W*ky
(10.1.18)
(*2 + *2)V
Учитывая, что направление фазовой скорости совпадает с направлением
волнового вектора к, из (10.1.18) можно найти угол ψ между направлениями фазовой и
групповой скоростей:
^ = arctg^ ^arctgp—^ + 7Г.
у
Отсюда видно, что направления фазовой и групповой скоростей для волн Россби не
совпадают, причем в случае ку/кх <£ 1 имеем φ « π, а |νΓρ| = υφ. Таким образом,
мы показали, что волны Россби обладают аномальной дисперсией. Заметим, что
при ку/кх <^ 1 уравнение (10.1.15) можно проинтегрировать по х. При этом оно
принимает вид (10.1.5).
Небольшие отклонения от приближения /^-плоскости рассмотрены в работах
[77, 78]. Там показано, что при β = /?(ft/), где е — малый параметр, волновое
число ку становится медленной функцией у} что означает искривление фронта
волны, а амплитуда волны Vo изменяется таким образом, что выполняется условие
V>oM62/) = const.

Гл. 10. Собственные н вынужденные волны в сплошных средах
181
В 1979 г. Флиэрлем теоретически было предсказано существование однополяр-
ного солитона Россби [408]. Этот солитон описывается выражением
/izr/ioch"4/3^, (10.1.19)
4α
где α = y/SgH/h0Q^, ξ — «бегущая» координата, h — ОН/Η — относительное
возмущение толщины слоя воды Я, h0 — амплитуда солитона. Солитон (10.1.19)
распространяется с Востока на Запад со скоростью г/, несколько большей, чем фазовая
скорость линейных волн Россби ι/ψ, а именно, ν « v<p(l + kho), где коэффициент
к » 0.2. Заметим, что солитон Россби несколько отличается от солитона Кортевега-
де Вриза (см. ниже), хотя очень на него похож. Ряд сведений о солитонах Россби
можно получить из книги [539].
10.2. Одномерные волны в нелинейных однородных
средах со слабой дисперсией, описываемых
уравнением Кортевега-де Вриза
Прежде всего отметим, что понятия слабой и сильной дисперсий являются
характеристиками не только среды, но и амплитуды распространяющейся волны. Если
амплитуда волны мала, то даже при малой дисперсии среды нелинейные эффекты
будут слабыми и волны можно считать сильно диспергирующими. При больших
амплитудах волн, наоборот, нелинейные эффекты будут сильными, а дисперсия будет
сказываться мало, т.е. такие волны следует считать слабо диспергирующими.
В случае слабой дисперсии квазилинейное рассмотрение оказывается
несправедливым, так как возникающие за счет нелинейности гармоники не являются малыми.
Наиболее распространенной математической моделью волн в однородных
нелинейных средах со слабой дисперсией является уравнение Кортевега-де Вриза (5.2.75).
1. Солитонные решения уравнения Кортевега-де Вриза. В связи со
свойством консервативности уравнение КдВ имеет частные решения в виде
стационарных волн. Прежде всего остановимся на решениях именно этого вида. Полагая
искомое решение и зависящим только от «бегущей» координаты ζ = χ — vt, получаем
следующее уравнение для функции η(ζ):
du . d3u
(« - ·) j7 +/> jS = 0· (1021>
Проинтегрировав уравнение (10.2.1), получим
Λ d2u (и — ι;)2 _ /,Λ Λ ~ч
βι?*~2=: ( *
Умножив далее уравнение (10.2.2) на du/άξ и снова проинтегрировав, найдем
f(|)%^ = Cl(«-v) + C, (10.2.3)

182
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
adu/άξ
1.5
Уравнение (10.2.3) описывает семейство интегральных кривых на фазовой плос-
u - ν du I 5/5
кости и - ν, du/άξ. В координатах —,-., α — , где a = ι/——η== , это семей-
ство представлено на рис. 10.1. Соответствующее указанному семейству уравнение
(10.2.2) имеет две особых точки 01,2, координаты которых на фазовой плоскости
равны («1,2 — ν) = ±у/2С\. Точка 0\ является особой точкой типа центра, а
точка 02 имеет тип седла. При 3C2/(4Ci\/2Ci) = С = —0.5 интегральная кривая,
определяемая уравнением (10.2.3), вырождается в особую точку Οχ, а при С = 0.5
проходит через особую точку 02 > разделяя области существования периодических
по ξ движений и непериодических, т.е. является
сепаратрисой. При |0| > 0.5 периодических решений
уравнения (10.2.2) не существует. Связи между
константами С\, Съ и ν определяются из граничных условий.
При этом одна из этих констант остается
неопределенной, что связано с консервативностью уравнения
КдВ.
Найдем решение уравнения (10.2.1), определяющее
солитон, т.е. уединенную волну с бесконечным
периодом. Как уже говорилось, такому решению
соответствует на фазовой плоскости движение по
сепаратрисе. Предполагая,что потоки энергии через границы
отсутствуют, т.е. и(±оо) = 0, находим С\ и Съ'.
С\ — v2/2y C2 = ν3 /Ъ. При этих значениях С\ и С2
решение уравнения (10.2.3) имеет вид
«(i) = >lch-2L/Ai), (ю.2.4)
Рис. 10.1. Семейство
интегральных кривых,
описываемых уравнением (10.2.3).
Кривая 1 соответствует
С = -0.45, 2 — С = 0, 3 —
<7 = 0.5, 4 — С = 1
где A — Zv. Отсюда видно, что солитон уравнения КдВ представляет собой
движущийся импульс, ширина которого тем меньше, а скорость тем больше, чем больше
его амплитуда.
Рассмотрим далее взаимодействие солитонов. Для этого удобно сначала перейти
в уравнении КдВ к новой переменной χ1 — χ/β1/3. Тогда это уравнение примет вид
du du d3u _
di dx dx3
(10.2.5)
где σ — β"*1/3, штрихи у переменной χ опущены. Положив в (10.2.5) и = θφ/dx и
проинтегрировав по х, получим уравнение для φ:
δφ
Ίϊί
2 \dx) + dx3
(10.2.6)
В уравнении (10.2.6) сделаем замену переменной, аналогичную замене Коула-Хопфа
(см. (10.7.26)):
12 дф
σφ = ^τ-χ-
(10.2.7)

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
183
Тогда для функции φ получим уравнение
, дФ дф ((д2ф\2 дфд3ф\
где
dt дх3'
(10.2.9)
В отличие от уравнения теплопроводности, к которому заменой Коула-Хопфа
сводится уравнение Бюргерса, уравнение (10.2.8) является нелинейным. Тем не менее
оно позволяет решить задачу о взаимодействии солитонов.
Пусть вначале имеется один солитон (10.2.4). Переходя к переменной ξ' — χ' — v't,
где χ' — χ/β1/3, ν' = ν/β1/3, перепишем выражение (10.2.4) в следующем виде:
·*>=$*■· (Щ-
(10.2.10)
где Af = Α/β1/3 = Зг/. Соответствующее (10,2.10) выражение для функции φ(ξ')
удобно представить в форме:
<р(0
2V3A
th
Η-
(10.2.11)
(В выражении (10.2.11), как и в последующих, все штрихи опущены.) Подставляя
(10.2.11) в (10.2.7), находим
(10.2.12)
4>{t) = l + exp\-\ljt\.
Отметим, что выражение (10.2.12) является решением уравнения Φ = 0, где Φ
определяется выражением (10.2.9).
В работе [438] было показано, что точное решение уравнения (10.2.8),
описывающее взаимодействие двух солитонов, имеет вид
ф(х, t) = 1 + φι + ф2 + φ\φι
(νΉΪ+\/ΑΓ)2 '
где
фг =exp(-v/i73it), i= 1,2,
(10.2.13)
(10.2.14)
и Αχ = Зг;,, & = χ — vtf — α,·, α» — величины, определяющие положение центров
солитонов в начальный момент времени. В справедливости решения (10.2.13) можно
убедиться непосредственной подстановкой.
В случае N взаимодействующих солитонов имеем
φ{x,t) = άet\\φmn ||, (10.2.15)
где фтп — &тп + 2t/>m\/Am/(\/Am + \fA^), а г/>т определяется выражением (10.2.14).

184
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Покажем, что решение (10.2.13) действительно описывает взаимодействие двух
солитонов. Из выражения (10.2.7), (10.2.13) и связи между и и φ следует, что
д2\пф Л^1 + ^2^2 + ^1^г(2(\/^2 + \/^7)2 + А2ф\ + Αιφ2)
ση = 12 а 2 = 4 7 г-ч ,
дх (l + ^i+V>2 + ^2)2
(10.2.16)
где ф2 = ^2 (\/^2- V^T) /(\/^2 + а/^7)2-
Пусть в начальный момент времени второй солитон расположен слева от первого
и движется с большей скоростью, т.е. имеет большую амплитуду (рис. 10.2). До
взаимодействия вблизи центра второго соли-
тона ф2 ~ 1, φι > 1 и выражение (10.2.16)
можно приближенно записать в виде
До взаимодействия
ση = 4А2
ф2
(1+Φ2Ϊ
(10.2.17)
После взаимодействия
В области центра первого солитона до
взаимодействия ф\ ~ 1, ф2 <с 1 и
ση = 4Аг
Φι
(10.2.18)
(1 + Vi)2'
* Из (10.2.17) и (10.2.18) следует, что до вза-
Рис. 10.2. Иллюстрация взаимодействия имодействия центры солитонов располагав
между двумя солитонами, описываемы- ются в точках x\t2(t) = Viy2t + яю,20> где
ми уравнением КдВ . у/А^ - у/Х\
х10 = αϊ и х2о = а2-2^/о/Л21п -у==—-=
— координаты центров солитонов в начальный момент времени. После
взаимодействия, когда солитоны разошлись на значительное расстояние, в области центра
второго солитона ф2 ~ 1, ф\ <^С 1 и
ση — 4Л2
Ф2
(1 + V>2)2'
В области же центра первого солитона после взаимодействия Vi ~ 1, Ψ2 3> 1 и
Ψι
(10.2.19)
ση = 4А\
(i + VO2
(10.2.20)
где φι = rpi(y/M-y/Ai)2/ (y/Ji+y/Al)2. Из (10.2.19) и (10.2.20) следует, что
центр второго солитона находится в точке x2(t) = v2t+a2) а центр первого солитона
— в точке χι (t) = vit + сц- 2^Щ~1 In ((л/Я;- чМГ)/(ч/Л7 + >/Я7)).
Из полученных результатов можно сделать вывод, что солитоны уравнения КдВ
при взаимодействии как бы проходят сквозь друг друга, не меняя своей формы и
скорости. Однако в области взаимодействия более быстрый солитон ускоряется,
а более медленный замедляется, вследствие чего происходит смещение центра бы-
строго солитона вперед на величину 2\ — In — 7=т= » а более медленного —-
V А2 у/Л2 + \Μι

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
185
0 /X у/М-у/М г,
назад на величину 2i/ — In _- -== · Описанному взаимодействию солитонов
V Λι у/А2 + V^4i
нетрудно сопоставить абсолютно упругое соударение двух частиц одинаковой
массы, двигающихся в одном направлении с различными скоростями.
2. Образование солитонов в полубезграниннои среде при возмущении
на границе. Если на вход среды, описываемой уравнением КдВ (5.2.75), подать
синусоидальное возмущение u(0}t) = Bcosut, то по мере распространения оно
будет трансформироваться, постепенно распадаясь на последовательность солитонов
(рис. 10.3 [643]). Если же входное возмущение по форме близко к солитону, то оно
будет распространяться почти без искажений (см., например, [256, 383]).
Рис. 10.3. Распад синусоидального возмущения, заданного на входе среды, описываемой
уравнением КдВ при β = 4.84 · ΙΟ"9, на последовательность солитонов. Кривой / показано
возмущение на входе среды, 2 — в точке χ = #*, 3 — в точке χ = З.бх*
10.3. Солитонные решения уравнения Буссинеска
Солитонные решения уравнения Буссинеска (5.2.68) были получены
аналитически и численно в работах [439, 440]. Приведем здесь некоторые результаты этих
работ. Полагая в (5.2.68) φ = Φ(ξ), где ξ = χ — vt, получаем для ф(ξ) следующее
уравнение:
ά4φ , 9 ά2φ ά2φ2
_JJ + (ΐ - ν2} _^ + β __ = 0β (103Л)
Интегрируя дважды уравнение (10.3.1) и полагая постоянные интегрирования
равными нулю, имеем
(10.3.2)
^ + (1-τ;2)τ/> + 6ψ2=0.
Солитонные решения уравнения (10.3.2) соответствуют движению по сепаратрисе
на фазовой плоскости, а сепаратриса существует лишь при \ν\ > 1. При выполнении
этого условия солитонные решения имеют следующий вид:
ψ = Αο\ι-2(νΑ(ξ-ζ0))
(10.3.3)

186
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
где амплитуда солитона А связана с его скоростью ν соотношением
ν = ± у/\ + \А . (10.3.4)
Выражение, описывающее взаимодействие двух солитонов, имеет вид
ф(ху г) = * , (10.3.5)
(ch^ch^ich^-hsh^sh^isht?)2 v '
где
1 ы (у^7- у^Ч4 {УМ- УА^4 - {у/Му, - ^Mv2)2
α = 2 (2(Аг + ,42)sh/? + V%^2ch/?) , ΰχ = v^Or-tM-ai), ΰ2 = \/^(^-^2<-«2),
aj и α2 — величины, определяющие расположение центров солитонов в начальный
момент времени.
Пусть до взаимодействия второй солитон находится справа от первого и
движется со скоростью V2 , меньшей ν\ (в частности, г;2 может быть отрицательной
величиной, т.е. солитоны могут двигаться навстречу друг другу). Тогда до тех
пор, пока расстояние между солитонами будет оставаться существенно больше их
ширины, выражение (10.3.5) приближенно может быть записано в виде
ф(х, t) = Αχ dT2(tf ι - /?) + Λ2 ch~2(i?2 + β). (10.3.6)
После взаимодействия, когда солитоны разойдутся достаточно далеко, будем иметь
ф(х, t) = Аг ch"2(i?i +β) + Α2 ch~2(t?2 - β). (10.3.7)
Из (10.3.6) и (10.3.7) следует, что центр первого солитона в результате
взаимодействия смещается на величину —2/?, а второго — на +2β. Если β < 0, то
взаимодействие солитонов уравнения Буссинеска происходит подобно взаимодействию
солитонов уравнения КдВ. В противном случае, наоборот, быстрый солитон
замедляется, а медленный ускоряется.
10.4. Солитонные решения кубического уравнения
Шредингера и уравнения Гинзбурга-Ландау
В гл. 5 были выведены уравнения Гинзбурга-Ландау и кубическое уравнение
Шредингера на примере задачи о распространении ограниченных волновых
пучков. В одномерном случае кубическое уравнение Шредингера (5.2.108) принимает
вид
• du d2u , ,ο Λ ,
1 л + ж + αΝ u = °· (1041)
Это уравнение имеет частное решение в виде гармонической волны с
изменяющейся во времени и пространстве амплитудой. Действительно, перейдем в уравнении
(10.4.1) к новой переменной U{x)t) по формуле
ti(x>0 = e"<(wt-*x)£/(«,<), (10.4.2)

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
187
где ω и к — произвольные величины. Подставляя (10.4.2) в (10.4.1), получаем
уравнение для U(x,t):
. du d2u
du
i-ZT+l^ + °U> + (u-k>)U + 2ik— = 0.
dt dx2
di
(10.4.3)
Частное решение уравнения (10.4.3) можно искать в виде бегущей волны U — υ(ξ),
где ξ = x — vt. Это решение должно удовлетворять обыкновенному
дифференциальному уравнению
d2U
di2
+ i(2k
«ξ
(10.4.4)
Легко видеть, что уравнение (10.4.4) может иметь периодические по ξ решения,
только если ν = 2к. При этом для U получаем уравнение Дуффинга
d2U
dt2
+ (ш-к2)и + aU3
0.
(10.4.5)
Если среда безгранична и на бесконечности возмущения должны отсутствовать, то
на параметры уравнения (10.4.5) нужно наложить следующие условия:
к2 -ω = β>0, α>0.
(10.4.6) «t
/ft.
J
1
г
При этих условиях решение уравнения (10.4.5) с
бесконечным периодом, соответствующее
движению по сепаратрисе на фазовой плоскости, имеет
вид
υ(ξ) -- \[Ц^1 (у/βή · (Ю.4.7)
Рис. 10.4. Солитон кубического
Решение (10.4.2) с учетом (10.4.7) описывает уравнения Шредингера
движущийся со скоростью ν = 2к солитон с
синусоидальным заполнением (рис. 10.4), причем, как следует из (10.4.6), ширина солитона
\j\f$ больше или порядка (в зависимости от частоты ω) «длины волны»
заполнения. Отметим также, что скорость солитона ν больше удвоенной фазовой скорости
синусоидального заполнения ν<ρ = ω/к.
Для одномерного уравнения Гинзбурга-Ландау (5.2.107), имеющего вид
(ди ди
Έ + αδχ-
д2и , |9
(10.4.8)
солитонное решение получается таким же, как и для кубического уравнения
Шредингера, только ζ нужно заменить на χ - at.
Задача о взаимодействии солитонов для кубического уравнения Шредингера и
для уравнения Гинзбурга-Ландау не решается такими простыми методами как для
уравнений КдВ и синус-Гордона. Однако эта задача может быть решена для всех
указанных типов уравнений так называемым методом обратной задачи рассеяния.
Этому методу посвящена обширная литература (см., например, [114, 115, 337]), и
поэтому здесь мы его касаться не будем.

188
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
10.5. Нелинейные волны, описываемые уравнениями
Борна-Инфельда, Клейна-Гордона и синус-Гордона
1. Решения уравнения Борна-Инфельда. Уравнение Борна-Инфельда, пред-
ставляющее собой одно из нелинейных обобщений волнового уравнения и имеющее
вид
ш-^жш-^-Ы )a*=0' (10-5Л)
интересно тем, что оно, подобно волновому уравнению, имеет точное решение в
виде бегущих волн произвольной формы. Однако, в отличие от волнового уравнения,
здесь сумма волн, бегущих навстречу друг другу, не является решением.
Решение, описывающее взаимодействие встречных волн, было найдено Б.М. Бар-
башовым и Н.А. Черниковым [24, 25]. Оно записывается следующим образом:
«(«,0 = /iW + /jW, (10.5.2)
где
2 7/ j* / \ \ 2
ρ = χ - t +
ί(Ψΐ<- '=—/(*£>)*■ "»-)
/ι (ρ) и /2(0*) — произвольные функции, описывающие формы бегущих навстречу
друг другу волн.
Если в начальный момент времени функции /ι и /2 локализованы в
пространстве, то до взаимодействия волн функция «(χ,ί) будет представлять собой сумму
fx(x-t) и /2(2+ 0· После взаимодействия, когда волны снова разойдутся, функция
и(х,£) будет определяться выражением (10.5.2) с учетом (10.5.3), где пределы σ и ρ
можно заменить соответственно на со и —со, т.е.
«(,,*) = *(.-*+ / (^) Л +fj, + t- J {"ψ)2 dP\ . (10.5.4)
Выражение (10.5.4) показывает, что после взаимодействия волны сохраняют свою
форму, но оказываются смещенными в направлениях, противоположных
направлениям их распространения. Таким образом, взаимодействие встречных волн,
описываемых уравнением Борна-Инфельда и первоначально локализованных в
пространстве, аналогично, как мы увидим ниже, взаимодействию солитонов.
2. Волны, описываемые уравнением Клейна-Гор дона. Нелинейное
уравнение Клейна-Гордона
ш~с2Ш+/(и) = °' (10·5·5)
где f(u) — нелинейная функция, как и уравнение Борна-Инфельда, является
нелинейным обобщением волнового уравнения. В общем случае оно не имеет решения в

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
189
виде бегущих волн, сохраняющих свою форму. Однако это уравнение может
описывать стационарную бегущую волну, форма которой не произвольна, а строго
определена ее амплитудой и периодом. Действительно, будем искать решение уравнения
(10.5.5) в виде
« = «(£)> (10.5.6)
где ξ = χ — vt, u(£) — периодическая функция £, ν — скорость волны 2). Функция
u(f) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
(ν2 - с2) 0 + /(«) = 0. (10.5.7)
Период искомой волны определяется граничными условиями. Так, для безграничной
среды период должен равняться бесконечности, а для среды длины /, замкнутой в
кольцо, период должен равняться //п, где η — любое целое число.
При f(u) = au-f bu3 уравнение (10.5.7) представляет собой уравнение Дуффин-
га, а при f(u) = sin u — уравнение колебаний маятника (см. гл. 6) 3). Прежде всего
остановимся на случае, когда среда безгранична. Как следует из гл. 6,
нетривиальное решение уравнения Дуффинга с бесконечным периодом может существовать
только тогда, когда коэффициенты α и 6 имеют разные знаки. Пусть для
определенности α > 0, b < 0. Тогда при ν > с имеются два решения уравнения (10.5.7) с
бесконечным периодом, соответствующие двум участкам сепаратрисы на фазовой
плоскости. Эти решения соответствуют двум перепадам, движущимся со
скоростью v. Форма перепадов описывается выражением
Ширина перепадов тем меньше, чем ближе значение ν к с. Примеры нарастающих
перепадов показаны на рис. 10.5 а. При ν < с уравнение (10.5.7) также имеет два
решения с бесконечным периодом. Они представляют собой положительный и
отрицательный импульсы, движущиеся со скоростью ν и описываемые выражением:
и = ±.
irh~1(\/^(*-v<>)· (10·5·9)
Такие импульсы часто называют «светлым» и «темным» солитонами. Как и в
предыдущем случае, ширина импульсов тем меньше, чем меньше разность между ν
и с. Примеры положительных импульсов показаны на рис. 10.5 б. Если граничные
условия при χ = ±оо требуют отсутствия возмущений, то из возможных решений
уравнения (10.5.7), описываемых выражениями (10.5.8) и (10.5.9), сразу же
выбираются последние. Очевидно, что в случае α < 0, Ь > 0 результаты будут теми же
самыми, только решение (10.5.8) будет соответствовать ν < с, а (10.5.9) — ν > с.
2)Решение (10.5.6) является частным случаем так называемого автомодельного решения, т.е.
решения, зависящего от комбинации независимых переменных χ и t% и потому описываемого
обыкновенным дифференциальным уравнением.
3)В последнем случае уравнение (10.5.5), как уже говорилось, называется уравнением синус-
Гордона.

190
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
У
l.Oj
0.5
О
-0.5l·
-1.0
[ V
У
Ι β
-2
2
Рис. 10.5. Солитоны уравнения Клейна-Гордона для /(и) = au + 6и3, где α > О, Ь < 0:
нарастающие перепады, движущиеся со скоростью ν > с (у = th(/3f)) (α), и положительные
импульсы, движущиеся со скоростью ν < с (у = l/ch(/3f)) (б). Сплошные линии
соответствуют β = 2, штриховые — 0 = 5, пунктирные — 0 = 10
Рассмотрим теперь полу безграничную среду, описываемую слабо нелинейным
уравнением Клейна-Гордона вида
d2u 2 л о ν3
(10.5.10)
где Δ — оператор Лапласа, f(u) — нелинейная функция, не содержащая линейного
члена, е — малый параметр. Будем интересоваться волнами, распространяющимися
вдоль оси ху и предположим, что на границе среды (при χ = 0) задано близкое к
гармоническому возмущение с амплитудой Л, слабо зависящей от у, ζ и t:
«(0,у,М) = A(ey,ez,€t)e'
+ к.с.
(10.5.11)
При е = 0 уравнение (10.5.10) с граничным условием (10.5.11) имеет частное
решение в виде плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси х:
uo = Ае-*1ш'-к*> + к.с,
где волновое число к определяется из дисперсионного уравнения
ы2 _ с2*2 _ β = Q
При е φ 0 решение уравнения (10.5.10) можно искать в виде
u(x,y,z,t) = u0 + eui(x)y)z)t)^eu2(x)y,z)t) +
(10.5.12)
(10.5.13)
(10.5.14)
где tio определяется выражением (10.5.12), в котором амплитуду А следует считать
медленно меняющейся комплексной функцией х, у, ζ и <, т.е. Л = Л(ех, еу, ezyet). В
гл. 5 было показано, что, используя метод Крылова-Боголюбова, для амплитуды А
можно получить следующее уравнение второго приближения по малому параметру
е:
.fdA
дА\ _σ_^Α_ <?_(&А_ д2А\
V дх ) + 2t>2 dt2 + 2ω V ду2 + dz2 )
е
2ω
+ — ) + — \А\2А = 0,
(10.5.15)

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
191
где ν — групповая скорость волны с учетом нелинейности, σ = /?c2/u>3 —
коэффициент, характеризующий дисперсию среды. Граничное условие для уравнения (10.5.15)
следует из (10.5.11).
В качестве примера рассмотрим случай, когда на вход среды подается
возмущение в форме солитона длительности г:
A(0,ey, с*,с<) =
cht/τ '
(10.5.16)
Легко показать, что такому граничному условию удовлетворяет решение уравнения
(10.5.15) в виде
A(x,tf)=^re",c*> (10.5.17)
chu/r
где ΰ = t — — ,
ν
имеем
Λ.
4ων
1
ΑπΤ
2ωσ
Αοωτ
— .Всилу (10.5.14), (10.5.12)
Таким образом, мы получили решение, близкое к плоской бегущей волне,
амплитуда которой имеет форму солитона, распространяющегося с групповой скоростью
v. Ширина солитона во времени равна г. Если А$ < ^β/cc/v, то длительность
солитона существенно больше периода волны, что соответствует условию
применимости использованного метода Крылова-Боголюбова. Величина к определяет
малую поправку к фазовой скорости волны, пропорциональную квадрату амплитуды.
Отметим, что член eu\(x,t) описывает малую третью гармонику волны, которая,
как можно показать, распространяется со скоростью, большей скорости основной
гармоники, и поэтому опережает ее.
3. Солитоны уравнения синус-Гордона. Рассмотрим теперь солитонные
решения уравнения синус-Гордона. Они имеют вид
при ν > с,
(10.5.18)
> при ν < с, (10.5Л9)
где ξ = χ — vt. Форма солитонов (10.5.18) и (10.5Л9) показана на рис. 10.6 α и б.
Представляет интерес исследование устойчивости различных решений
уравнения (10.5.7). Устойчивость периодических решений этого уравнения удобно
исследовать, используя вариационный метод Уизема [310, 311] (см. Приложение Б). При
этом оказывается, что устойчивыми являются такие периодические решения, для
которых период уменьшается с ростом амплитуды. Так, для случая f(u) = au + &u3,
где α > 0, Ь > 0, периодические решения существуют и устойчивы только при ν > с.

192 Часть П. Собственные и вынужденные колебания и волны
u/л и/л
α б
Рис. 10.6. Солитоны уравнения синус-Гордона при ν > с (а) и ν < с (6). Сплошные линии
соответствуют /3 = 2, штриховые — β = 5, пунктирные — β = 10, где β = |с2 - »>2|
Кривыми 1 показаны солитоны ιπ/π, 2 — xiij-n
При α > 0, 6 < 0, периодические решения существуют при любых значениях v.
Однако при ν > с они не являются устойчивыми. При ν < с устойчивы только те
периодические решения, для которых фазовые траектории охватывают все три
особых точки (это возможно, если энергия Ε в уравнении фазовых траекторий вида
(8.1.6) удовлетворяет условию Ε > α2/(4|6|)). Исследование устойчивости солито-
нов (10.5.8) и (10.5.9) показывает, что солитоны (10.5.8) неустойчивы, тогда как
солитоны (10.5.9) являются устойчивыми.
В случае уравнения синус-Гордона, когда f(u) = sin u, все периодические
решения уравнения (10.5.7) неустойчивы при любых υ. Решения же, для которых и
монотонно возрастает или убывает, являются устойчивыми. Что касается солитонных
решений уравнения синус-Гордона, то можно показать [294], что солитоны (10.5.19)
устойчивы, а (10.5.18) — неустойчивы.
Рассмотрим далее другие известные решения уравнения синус-Гордона. Эти
решения можно получать регулярным образом, используя так называемое
преобразование Беклунда [410, 311], идеи которого восходят к теории групп Ли [57]. Однако
здесь мы остановимся лишь на одном классе решений, который можно получить
путем перехода в исходном уравнении к новой переменной φ = tg(u/4). Уравнение
для переменной φ имеет вид
£-*£+*-М№-*(®'+*)'* ,10520)
Решение уравнения (10.5.20) будем искать в форме стоячей волны φ = Ψ(χ)Τ(*).
Подставляя это решение в уравнение (10.5.20), найдем уравнения для функций φ (ж)
и T(t). Нетрудно убедиться, что эти уравнения можно записать в виде
(f)2=i/T4+AT2-^· (?)2=?И+(1+А)ф2-'/)' (10·5·21)
где Α, μу ν - произвольные постоянные. Различным значениям этих постоянных
будут соответствовать разные решения. В частности, при А = ν2/(с2 - ν2), μ = 0,

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
193
ν = — А, где ν < с, получаем
T{t) = ch~l
vt
\Jv2 — С2 '
*(g =-sh
С у/у2 - С2
Таким образом,
и = 4агс tg
е
с Vt?2
ch
-ι vt \
y/v2^^)'
(10.5.22)
Решение (10.5.22), впервые полученное Перрингом и Скирмом [550], описывает
взаимодействие в момент времени t — 0 двух перепадов вида (10.5.19) (перепадов от
0 до 2π и от -2π до 0), движущихся навстречу друг
другу с одинаковой скоростью v. Действительно,
выражение (10.5.22) при достаточно больших по модулю
отрицательных значениях времени t принимает вид
(V Г / X + Vt \ ( Х- vt Х\\
u = 4arc t
(10.5.23)
Это выражение описывает два перепада, движущиеся
навстречу друг другу из точек χ = —ос их = +оо. При
достаточно больших положительных значениях времени
t выражение (10.5.22) можно преобразовать к виду
"ΐ
—-^
ί-0
ί>0
-JS^"
χ
χ
^ίΓ
Χ
u = 4агс
{ν Γ / χ — vt \
exp
χ + vt
Рис. 10.7. Взаимодействие
перепадов для уравнения
синус-Гордона: перепады
до взаимодействия (t < 0),
в момент взаимодействия
(t = 0), после
взаимодействия (t > 0)
у/с1 — ν2 )J I
(10.5.24)
Это выражение описывает те же два перепада, но
движущиеся друг от друга. Таким образом, взаимодействие
солитонов в данном случае можно трактовать как их столкновение и
последующее отталкивание друг от друга (рис. 10.7). Если провести известную аналогию
между солитонами и движущимися частицами, то такое взаимодействие подобно
абсолютно упругому удару с конечным временем соударения. Время соударения
можно вычислить, анализируя выражения (10.5.23) и (10.5.24). Оно равно Δι =
2(у/с2 - ν2/ν) 1п(г;/с). Задержка солитонов в результате столкновения объясняется
их замедлением в зоне взаимодействия.
Другое частное решение уравнения синус-Гордона получено В.М. Елеонским с
соавторами [391] и имеет вид
и = 4агс tg
ск cos ы<
ысЬ кх
(10.5.25)
где ω и к связаны соотношением ω2 + с2к2 = 1. Решению (10.5.25) соответствуют
функции T(t) = cosurt/ω, Ф(х) = ck/chkx, которые являются решением уравнений
(10.5.21) при λ = -u>2, μ = —1, ν — 0. Выражение (10.5.25) описывает пульсирующий
солитон. Такие солитоны часто называют бризерами [115].

194
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
10.6. Генерация второй гармоники и распадная неустойчивость
в слабо нелинейных средах с сильной дисперсией
Как мы уже отмечали, для расчета распространяющихся волн в слабо
нелинейных средах с сильной дисперсией можно использовать различные методы
возмущений, в частности, асимптотический метод (см. [181]). Однако, если в порождающей
системе возможен резонанс между какими-либо волнами, т.е. для этих волн
выполняются условия фазового синхронизма
Ση^ = °· Ση^=0' (10бЛ)
v$e u>j и kj — частоты волн и соответствующие им волновые числа, rij —
небольшие целые числа, то в порождающем решении следует учитывать все резонансные
моды. При выполнении условий (10.6.1) возможны такие нелинейные процессы, как
генерация второй гармоники, распадная неустойчивость и т.п.
В качестве примера рассмотрим распространение волн в полубесконечной
балке, лежащей на упругом основании. Уравнение изгибных колебаний такой балки в
предположении слабо нелинейных упругих сил можно записать в виде
pW + E1d^ + l3uz=~tu ' (10·6·2)
где ρ — погонная плотность, ΕΙ — жесткость балки на изгиб, fiu + eu2 — плотность
сил упругости. При 6 = 0 частное решение уравнения (10.6.2) имеет вид
u = Aei{wt~kx) + κ.α, (10.6.3)
где ω и к связаны дисперсионным уравнением
Elk4 - ρω2 + β = 0. (10.6.4)
Покажем, что существует такая частотам — ω\, для которой выполняется
условие синхронизма вида
ь>2 = 2ыь *2 = 2*ι, (10.6.5)
где и>2 и к2, как и ωγ и к\, должны удовлетворять дисперсионному уравнению
(10.6.4). Это условие позволяет найти ω\ и к\:
"ι = \ ΤΓ> *ι= 7^7 ■ (Ю.б.6)
Таким образом, для волн с частотами, близкими к частоте ωι, вторая гармоника
будет резонансной, и порождающее решение следует взять в виде
и = Лхе^-кх^ + Λ2β2·'<"*-**)-·'Δ* + к.с,
где Δ = к2 — 2к — расстройка волновых чисел, к2 — волновое число,
соответствующее частоте 2ω. Используя метод Крылова-Боголюбова, нетрудно получить

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
195
уравнения для амплитуд А\ и А2 в первом приближении по малому параметру е.
Они имеют вид
ψ + νιψ = ±.Α*Α2€-^, °£ + V3°± = j-AV*·, (Ю.6.7)
dt dx 2ρω at αχ Αρω ν
где ν\ = 2EIk3/ρω, v2 — Elk3/ρω — групповые скорости волн основной и удвоенной
частот (г>2 > ν\). В стационарном режиме амплитуды А\ и А2 будут не зависящими
от времени. Поэтому для них из (10.6.7) получим обыкновенные дифференциальные
уравнения
^ = ίΛΛΜ2β-ίΔ', d^l^02A\e^\ (10.6.8)
где /?! = 4еЕ1/к3, β2 = 4eEI/kl
Если на границе балки задать возмущение на частоте ω, то граничные условия
будут иметь вид
i4i(0) = AiOl Л2(0)=0. (10.6.9)
Чтобы получить решение уравнений (10.6.8) с граничными условиями (10.6.9),
прежде всего заметим, что уравнениям (10.6.8) соответствуют два закона сохранения:
\Αχ\_ + Цг]_ = congt) Δμ2|2 _ 2/?2 Re(A2A*2eiAx) = const (Ю.6.10)
Р\ Р2
Перейдя в уравнениях (10.6.8) к действительным амплитудам и фазам с помощью
преобразования Aj = |Л^|е*^ (j = 1,2), получим
^1 = /?1μ1|μ2|8ίηΦ, ^Ι=-/?2μ1|28ίηΦ,
(10.6.11)
^1=аи2|со.ф, ^р=-^21^1!со8Ф,
dx dx |A2|
где Φ = 2φ\— φ2+Δχ. В силу граничных условий (10.6.9) законы сохранения (10.6.10)
принимают вид
!М + М = ^о, Д|Л2|-2/?2И1|2со8Ф = 0. (10.6.12)
μι Ρ2 р\
Выразив из этих уравнений \А\\ и Φ через \А2\ и подставив их во второе уравнение
(10.6.11), получим для \А2\ следующее уравнение:
d\A2\
dx
.φ,-*^)·-η£ί.
Решение уравнения (10.6.13) с граничным условием (10.6.9) выражается через
эллиптический синус Якоби:
\A2\^Al0J^sn(AlQ]j^xM , (10.6.14)

196
Часть Η. Собственные и вынужденные колебания и волны
где модуль эллиптической функции к равен
А2 / / , 16/?!#
2
к = 1-<*^1У1 + -зР-Ч· (10·615)
Из (10.6.11), (10.6.12) находим
\А1\ = А10
N
1-ksn2
cos
Δ|Λ2| 1/ Δ \ Δ
(10.6.16)
Таким образом, мы получили, что амплитуды |Λι|, |Лг| и сдвиг фаз Φ изменяются
в зависимости от χ периодически, причем период их изменения тем больше, чем
меньше расстройка Δ. Если Δ = 0, то к= 1 и
Решение (10.6.17) аналогично решению (8.4.16), полученному в гл.8 для
периодически неоднородной цепочки. Аналогично можно провести расчет явления рас-
падной неустойчивости и других резонансных нелинейных явлений.
10.7. Одномерные волны в нелинейных однородных средах без
дисперсии. Простые, пилообразные и ударные волны
Поведение решения уравнения простых волн (5.2.30) достаточно хорошо
известно и широко освещено в многочисленных книгах и статьях. Мы здесь остановимся
только на одном свойстве этого решения, а именно, на явлении опрокидывания
волны. Общее решение уравнения (5.2.30) может быть записано в виде
« = /(*-*/*/(«)), (10.7.1)
где f — произвольная функция. Легко представить себе, что опрокидывание может
происходить только в том случае, когда dU/du > 0, т.е. скорость распространения
волны U тем больше, чем больше значение смещения и. Причиной опрокидывания
является то, что передний фронт волны по мере распространения становится все
круче и круче и, наконец, в некоторой точке (х = х*) производные du/дх и du/dt
обращаются в бесконечность. Чтобы найти координату этой точки,
продифференцируем (10.7.1) по t и по х:
т~ άξ at' дх~ άξ дх' * >
где
ξ,-t-x/Uiu). (10.7.3)

Гл. 10- Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
197
Из (10.7.3) следует, что
_dU_df_ 9ξ
U2(u) au άξ dt
s—
«=/(€)
dx
£/(«) V
χ dU df θξ
U(u) du άξ dx
)L
Отсюда находим
/(€)
(10.7.4)
S-"-
_x_dU_df_
U2(u) du άξ
-ι
«=/(f)
^1
dx
1
1
dt/
^y1
Подставляя (10.7.5) в (10.7.2), видим
ность при условии
т.
1 -
U(u) V t/2(ti) du
(10.7.5)
что du/dx и du/dt обращаются в бесконеч-
сй/ 4f
£/2(ti) <iu d£
= 0.
«=/«)
(10.7.6)
Уравнение (10.7.6) содержит два неизвестных: ζ и £. Чтобы получить еще одно
уравнение для этих неизвестных, можно продифференцировать первое из выражений
(10.7.4) по t с учетом (10.7.6). Тогда получим следующее дополнительное уравнение
для переменной ξ:
d? du + \di)
U(u) V
= 0.
(10.7.7)
«=/«)
Определив отсюда ξ, из уравнения (10.7.6) можно найти значение координаты х*,
при котором происходит опрокидывание волны.
В качестве примера рассмотрим случай, когда U(u) = с0+(7+1)«/2 (см. (5.2.39)),
где 7 — показатель адиабаты, Cq — скорость звуковой волны в линейной среде,
удовлетворяющая условию со 3> и, u(0,f) =r Βζοβωί. Β соответствии с (10.7.1) имеем
/(£) = Bcosu)^, и уравнение (10.7.7) в нулевом приближении по отношению В/с0
принимает вид cosw£ = 0. Отсюда следует, что df/άξ = — Βω sin ωξ = ±Βω.
Учитывая это, из (10.7.6) находим χ*:
х* = , l°\ д. (10.7.8)
(7 + l)wB
Из (10.78) видно, что чем больше амплитуда волны В и частота ы, тем быстрее
произойдет опрокидывание.
1. Волны в полубезграничной среде, возбуждаемые гармоническим
возмущением на границе. Пусть теперь на входе полубезграничной среды
задано гармоническое возмущение
«(0,<) = Bcoswt, (10.7.9)
возбуждающее акустическую волну, которая при достаточно малых амплитудах
возмущения может быть первоначально описана уравнением Римана. В
соответствии с (10.71) решение уравнения Римана с граничным условием (10.7.9) имеет
вид
u(x,t) = Βοοβω ( 77ГТ ~ Ч · (10.7.10)

198
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Пусть, как и выше, U(u) = с0 + (j+l)u/2 (см. также (5.2.39)), где η — показатель
адиабаты, Со — скорость звуковой волны в линейной среде, удовлетворяющая
условию Со ^> и. Тогда уравнение (10.7.10) относительно переменной и описывает волну,
передний фронт которой по мере распространения становится все круче и круче
(рис. 10.8). При χ = х* производная du/dt в определенные моменты времени обра-
0<*<Jt*
и*
JC-JC*
bv
Рис. 10.8. Эволюция фронта простой волны по мере распространения
щается в бесконечность, т.е. происходит опрокидывание. Значение х* определяется
выражением (10.7.8).
При χ > х* решение (10.7.10) для акустической волны перестает быть
справедливым 4). В этой области уже нельзя пренебрегать диссипативными эффектами, сколь
бы слабыми они ни были. Простейшим уравнением, учитывающим вязкость,
является уравнение Бюргерса (5.3.6). Благодаря вязкости, волны, описываемые этим
уравнением, не опрокидываются. Рассмотрим одно частное, но очень важное,
решение уравнения Бюргерса, соответствующее пилообразным волнам, которое было,
по существу, угадано Р.В.Хохловнм [296, 327, 328]. Его можно записать в виде
и =
1
l+t/τ
(χ αχ \
U~ath2a(l + */r)J'
(10.7.11)
где г и a — произвольные постоянные. Зависимость и/а от х/ат при различных
значениях а/а2т и t/τ представлена на рис. 10.9 а, б. Если решение (10.7.11) на
интервале —хо < я < £()> гДе хо — значение х, при котором функция и обращается
в нуль, периодически повторять, то получим периодическую по координате
волну (рис. 10.9 в), форма которой со временем изменяется от пилообразной до почти
синусоидальной.
Используя найденное частное решение уравнения Бюргерса, можно получить
выражение для формы волны в среде при гармоническом возмущении на входе для
всех значений х. Для этого сошьем решение вида (10.7.11) с решением (10.7.10) в
некоторой неизвестной пока точке χ = χο· Воспользовавшись условием и <С Со,
запишем (10.7.10) в следующем виде:
u(x,t) = «ι(χ, г) = Bcos(uj(t + Kux) - π/2Υ
(10.7.12)
где К = (7 4- 1)/2с§, г = t — х/со + π/Τω. Легко видеть, что функция ηχ(χ,τ)
обращается в нуль при г = πη/ω (η = 0,±1,±2,...). При том же условии и <С cq
4)Для волн других типов, например для волн на воде, решение (10.7.10) и при χ > х* может
описывать реальные физические процессы.

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
199
Рис. 10.9. Пилообразные волны, описываемые уравнением Бюргерса: зависимости и/а от
х/ат} определяемые формулой (10.7.11), при а/а2т = 0.1 (а) и а/а2т = 0.01 (б);
периодическая волна при а/а2 г = 0.01 (в). Сплошные линии соответствуют t/r = —0.5, штриховые
— t/τ =■ 0.5, пунктирные — t/τ = 0
частное решение уравнения Бюргерса вида (10.7.11), может быть представлено в
следующей форме:
«М—С.т):. (т+|)(1»+1/д(.»—— - -). 110.7.1.)
Постоянную α в решении (10.7.13) выберем так, чтобы оно обращалось в нуль при
г = ±π/ω. Из этого условия при достаточно малой вязкости, когда
<*<
и;2/?'
находим а ft* π/ω/?. Подставляя это значение α в (10.7.13), получаем
«2(*>r) =
2с2
7Г .
-th
πτ
(7+!)(/? +*) V^ 2αω(/? + χ)
(10.7.14)
(10.7.15)
где -π/ω < г < π/ω. Для других значений г функцию и2(х, г) будем периодически
повторять.
Неизвестную постоянную β и точку сшивания χ о найдем из условий, что при
χ = х0 максимальное значение U2(x,r) должно быть равно В и
<9u2(xo,r)
δτ
9ui(«0,r)
r=0
dr
(10.7.16)
r=0
При выполнении условия (10.7.14) максимальное значение ti2(x,r) достигается при
г = г0 <£ π/ω; в точке χ = χ о оно равно
«2(*ο,ϊό) «
2*cg
πβχ*
ω(7 + !)(/? + хо) /? + «о *

200
Часть II. Собственные и вынужденные колебания я волны
где х* определяется выражением (10.7.8). Полагая ti2(xo,n>) = #> находим одно из
уравнений, определяющих β и χ<>:
β+ $0 = *"£*.
(10.7.17)
Второе уравнение найдем из условия (ΙΟ.Ϋ.Ιβ). Дифференцируя (10.7.15) и (10.7.12)
по τ при χ = хо, находим
ди2(х0,т)
дт
2 „2
π'с;
дщ(х0,т)
т=0
aw2(7 + !)(/? + х0)2 ' дт
1
т=0
Хш - Хо
(10.7.18)
Подставляя (10.7.18) в условие (10.7.16) и учитывая уравнение (10.7.17), определяем
хо и β:
х0 = х*(\ - 2оыV), /?= (я·— 1)х* Л + ^Гг) ·
(10.7.19)
Из условия (10.7.14) с учетом выражений для β и х* следует, что х0 мало отличается
от х*, а /? » (π — 1)х*. На рис. 10.10 приведены графики решений (10.7.12) (для
χ < хо) и (10.7.15) (для χ > хо) в зависимости от г в интервале —π < ωτ < я\
Отметим, что условие малости диссипации (10.7.14) можно записать в виде
Re» 1,
(10.7.20)
-0.10
υ.ιν
0.05
0
-0.05
-Л ΙΟ
xlx*-\
х/х*-3
1 -1
ωτ/л
I
ωχΐπ
Рис. 10.10. Зависимости υ! = (7 + l)/2coti от ωτ/π в интервале —тг < ωτ < π построенные
по формуле (10.7.12) для г < х0 и по формуле (10.7.15) для χ > so, при (7 + 1)В/2с0 = 0.1,
аысо = Ю~3

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
201
где Re = Β/{2αωο\) = copoB/(u>b) — величина, называемая акустическим числом
Рейнолъдса, Ь - диссипативный коэффициент, определяемый вязкостью и
теплопроводностью (см. уравнение (5.3.19)). Физический смысл условия (10.7.20)
заключается в малости диссипативных эффектов по сравнению с нелинейными. Только при
выполнении этого условия для описания начального этапа распространения волны
(при χ < хо) можно использовать уравнение простых волн. Однако при χ > х0
диссипативными процессами нельзя пренебрегать даже при сколь угодно малых а.
Изменение коэффициента а влияет только на крутизну фронта найденных
пилообразных волн, но не на скорость их затухания. Поэтому затухание звуковых волн
часто называют нелинейным, подчеркивая тем самым, что оно связано с
нелинейным явлением опрокидывания. Если же коэффициент α достаточно велик, так что
условие (10.7.20) не выполняется, то для описания процесса распространения волн
в такой среде при любых значениях χ нужно пользоваться уравнением Бюргерса.
Так как заменой Коула-Хопфа (см. ниже) оно сводится к линейному уравнению
теплопроводности, то в принципе можно найти его точное решение,
удовлетворяющее любым граничным условиям. Однако практически сделать это удается лишь в
небольшом числе частных случаев.
2. Стационарные решения уравнения Бюргерса· Решение (10.7.11)
является затухающим во времени, т.е. оно описывает нестационарную волну. Однако
уравнение Бюргерса, несмотря на то, что оно справедливо для волн в диссипатив-
ной среде, допускает решения в форме стационарных бегущих волн. Такие решения
являются автомодельными и их можно искать в виде неизвестной функции от
координаты ξ = χ — vt, где υ — неизвестная скорость волны. Подставляя это решение
в уравнение Бюргерса (5.3.6), получим
du
<Рч
Общее решение уравнения (10.7.21) имеет вид
(10.7.21)
и = ν — у v2 — Cth
Vv^C
2α
(ί-ίο)
(10.7.22)
где С и ξο — произвольные постоянные, причем
постоянная ξο определяется выбором начала отсчета
времени. Чтобы определить постоянную С и скорость
волны ν, зададим граничные условия в виде и(—оо) = ui,
ti(-foo) = «2, где и\ > г/2 5)· Из этих условий следует,
что υ — (иι + иг)/2, С = u\U2· Подставляя найденные
значения оСв решение (10.7.22), получим
U\ -f U2 U\ — U2
th
0^w^~io))* (ioj'23)
и
0 ξ-ξ
Рис. 10.11. Форма
ударной волны, описываемой
уравнением Бюргерса для
их = 3.5, и2 = 0.7, α =0.75
Выражение (10.7.23) описывает одиночный перепад, движущийся со скоростью
ν — (иι + u2)/2 (рис. 10.11). Крутизна перепада тем больше, чем больше его высота
5) Можно показать, что при и\ < ui решения уравнения Бюргерса вида (10.7.22) не существует.

202
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
tii — ti2 и чем меньше коэффициент затухания а. Такой перепад, внешне похожий
на солитон, называется ударной волной. Если и2 = —и ι, то скорость ударной волны
равна нулю. При и\ 4- «2 < 0 волна движется влево, в противном случае — вправо.
Каким образом в диссипативной системе, где запасенная энергия должна
убывать со временем, может существовать стационарная волна? Для ответа на этот
вопрос запишем уравнение Бюргерса (5.3.6) в виде закона сохранения энергии
SW дР δφ д2и
где W = и3/6 и Ρ = —{d<p/dt)(d<p/dt + u2)/2 — плотность и поток энергии для
уравнения (5.3.6) для а = 0 (эти выражения легко полунить из (5.2.44) и (5.2.45),
положив в них U(и) -=. и). Интегрируя (10.7.24) по χ от —со до +оо, имеем
dE
"л"
= jtJ\Vdx = Р(-оо) - Р(+оо) - α J ^ ~ dx. (10.7.25)
Принимая во внимание уравнение (10.7.21), получим для Ρ следующее выражение:
~ 8 2 UJ '
Подставляя это выражение в правую часть уравнения (10.7.25), полагая du/άξ при
ξ = ±оо равным нулю и вычисляя интеграл по частям, найдем
dE _ и\-и$
оо
dt 8 ~aV I {%) άξ-
Отсюда следует, что баланс энергии ударной волны может поддерживаться только
за счет граничных условий, т.е. потоков энергии через границы среды.
3. Взаимодействие ударных волн, описываемых уравнением Бюргерса.
Примечательным свойством уравнения Бюргерса является то, что для него можно
найти точное общее решение. Это свойство обусловлено тем, что путем замены
переменной, предложенной независимо Дж.Коулом [377] и Э. Хопфом [447],
нелинейное уравнение Бюргерса сводится к линейному уравнению теплопроводности.
Эта замена переменной и переменной ф имеет вид
2а дф д(1пф)
Подставив (10.7.26) в уравнение (6.2.1) и проинтегрировав его по х, получим
уравнение теплопроводности
дф д2ф
Для уравнения (10.7.27) в принципе нетрудно записать решение в общем виде,
удовлетворяющее любым начальным и граничным условиям.

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
203
Переход к уравнению теплопроводности (10.7.27) позволяет рассмотреть
взаимодействие ударных волн, описываемых уравнением Бюргерса. С этой целью
запишем вначале выражение для функции ф} соответствующее одной ударной волне.
Подставляя в уравнение (10.7.26) выражение (10.7.23) и выбирая соответствующим
образом постоянную интегрирования, можно получить
где
Φ
1>2
ехр
Ф^Ф\ +^2ι
ttl,2(s-gl)
2α
4α
(10.7.28)
(10.7.29)
χι — координата центра ударной волны при t = 0. Из (10.7.28), (10.7.29) и (10.7.26)
следует, что решение уравнения Бюргерса, соответствующее ударной волне, можно
записать в виде
и\ф\ + иофъ
и= , / · (10.7.30)
фг+ф2 ^ '
Поскольку каждая из функций ф\у2 является решением линейного уравнения
теплопроводности (10.7.27), то и сумма трех подобных функций также будет решением
этого уравнения. Поэтому положим
Φ -Φΐ + ^2 + ^3,
где φιι2 определяются выражением (10.7.29),
«з(* ~ χ2) + u2(x2 - Si)
(10.7.31)
φζ = ехр
ult
2α 4α
(10.7.32)
u3 < w2, X2 - x\ > max(a/(ui - u2), <*/(u2 - u3)).
Решение уравнения Бюргерса, соответствующее
(10.7.31), имеет вид
и =
Щфх + Ц2У>2 + и3ф3
Ф\ + V>2 + V>3
(10.7.33)
О 2 jc
Рис. 10.12. Иллюстрация
взаимодействия ударных
ВОЛН ДЛЯ Щ = 2, U2 = О,
из = -1, a = 0.1, χι = 0,
#2 = 1· Кривая 1
соответствует t = 0, 2— t = 1/3,
3—ί = t· =2/3, 4 — * = 5
в точке χ = Χ2· Пер-
Покажем, что при указанных выше .условиях решение
(10.7.33) описывает две взаимодействующие ударные
волны. Действительно, при t = 0 решение (10.7.33)
определяет два перепада, один из которых (от и\ до и2)
расположен в точке χ = х\} а второй (от и2 до из)
вый перепад движется со скоростью ν\ = {и\ + и2)/2, а второй — со скоростью
t>2 = (г/2 + ^з)/2 < v1% Поэтому в некоторый момент времени t = ί* = 2 пер-
ιχι — гх3
вый перепад догоняет второй и дальше они сливаются, образуя один перепад,
имеющий большую величину (от щ до из) и движущийся со скоростью ν = (и\ + «з)/2.
Таким образом, если провести аналогию между взаимодействием ударных волн
и соударением частиц, то это взаимодействие аналогично полностью
неупругому удару, причем роль массы частиц играет величина перепада. Для
наглядности пример взаимодействия ударных волн, описываемых уравнением Бюргерса,
продемонстрирован на рис. 10.12.

204
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
Аналогичным образом можно рассмотреть взаимодействие большего числа
ударных волн для уравнения Бюргерса. Взаимодействие случайной последовательности
таких волн исследовано в работах О.В.Руденко и В.А.Хохловой [282, 283]. В этих
работах показано, что для получения статистических характеристик
взаимодействующих случайных ударных волн можно использовать кинетическое уравнение,
подобное уравнению Больцмана.
10.8. Вынужденные колебания струны под действием
распределенной гармонической внешней силы
Рассмотрим слабо нелинейную струну, на которую действует распределенная
по длине струны гармоническая внешняя сила. Пусть уравнение движения такой
струны и граничные условия имеют вид
S?+2i^+a2(i+7ti2)£=BWcosu;^ (ιο·8ΐ)
u(<,0) = ti(M) = 0, (10.8.2)
где I — длина струны. Установившееся решение уравнения (10.8.1) с граничными
условиями (10.8.2), соответствующее вынужденным колебаниям, можно искать в
форме
u{t,x) = A\{x)cosujt + A2{x)smu>t. (10.8.3)
Подставляя (10.8.3) в уравнение (10.8.1) и пренебрегая членами, содержащими
третьи гармоники, можно получить дифференциальные уравнения для амплитуд
А\(х) и Лг(^). Эти уравнения следует решить с граничными условиями
Л\(0) = ^ι(0 = А^(0) = ^2(0 = 0. Наиболее простое решение получается в
случае, когда В(х) = Bnsinknx} где кп = πη/l. При этом решение (10.8.3) удобно
записать в виде
u(t,x) = Ansmknxcos(u)t + φη). (10.8.4)
Подставляя (10.8.4) в уравнение (10.8.1), легко получить для Ап и φ следующие
уравнения:
2 Л
42 - R2 ίσιΛ - —
Ап-Вп, *<Ρ*-ω2_ω1{ι + {ζ/4)ΊΑΐ),
(10.8.5)
где ωη = akn. Уравнения (10.8.5) подобны (6.1.15), вследствие чего вид резонансных
кривых подобен изображенным на рис. 6.2.
При произвольной зависимости В(х) решение u(t,x) можно представить в виде
+ 4δ2ω2
u(t,x) = YJ Ansinfcnzcos(u^ + φη).
n=l
Если коэффициент затухания колебаний достаточно мал, а именно δ <^С тга//, то
зависимости Ап и φη от частоты ω приближенно будут определяться уравнениями
(1085), где Вп — соответствующий коэффициент разложения функции В(х) в ряд
Фурье.

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
205
10.9. Собственные волны в слабо неоднородных и слабо
нестационарных средах. Волновое действие как
адиабатический инвариант
Прежде всего рассмотрим линейные волны в одномерных средах, параметры
которых изменяются медленно на расстоянии порядка длины волны. Пусть среда
описывается системой уравнений в мастных производных вида
-^ = Ln> (10.9.1)
где и — вектор, a L - матрица, элементы которой являются линейными
дифференциальными операторами. В силу линейности системы справедлив принцип
суперпозиции волн, и поэтому без ограничения общности можно искать решение уравнений
(10.9.1) в виде
u = y(x)ept. (10.9.2)
При этом для вектора у(х) получим следующие уравнения:
Ly = ру. (10.9.3)
Уравнения (10.9.3) в совокупности с граничными условиями позволяют найти
собственные значения ρ и соответствующие им собственные векторы. Для
приближенного решения этой задачи мы будем предполагать, что параметры уравнений
(10.9.1) изменяются мало за время одного периода колебаний и на протяжении
одной длины волны. В этом случае можно использовать либо асимптотический метод
для больших собственных значений [305, 352], либо близкие к нему методы ВКБ
[319] и геометрической оптики. Описание и сравнение первых двух методов дается
в [181]. Метод геометрической оптики, широко применяемый в теории волн, описан
во многих книгах (см., например, [155]).
В качестве иллюстрации применения асимптотического метода рассмотрим
уравнения, описывающие распространение двух бегущих волн в слабо неоднородной
среде:
-ST = СПХ) -Ζ" + <*1ΐ(*)"ΐ + <*12(«)Η2>
ди2 . . ди2 ( . ,
— = Ci(x) -g— + α2ΐ(*)«1 + <*22(*)«2·
(10.9.4)
Подставляя (10.9.2) в (10.9.4), получаем следующие уравнения для yi^x):
dyi
* -I- «11W2/1 -Г <Ч2\х)У2 = ро\\х)У\>
(10.9.5)
-~ + ац(*)У1 + <М2(*)У2 = рМаОуь
-^ + a2l(«)yi + «22(^)У2 = рЫ*)У2>
где aij(x) = ocij(x)/ci{x), bi(x) - р/с<(аг), ij = 1,2.

206
Часть 11. Собственные и вынужденные колебания и волны
Представим у\(х) и у2{х) в виде суперпозиции двух частных решений, каждое
из которых разложим в ряд по р-1. Итак, положим
Vi{x) = Сгуц(х) + С2у,'2(*), г = 1,2, (10.9.6)
где
|Ы*)=«р(р/М0#) £ p-mv$4*). (10.9.7)
Подставляя (10.9.6), (10.9.7) в уравнения (10.9.5), получаем
оо / ι (m) \
т=0 \ /
(10.9.8)
оо /i (m) \
Σ Ρ""* "И" + ("(Μ*) - б2(^) + <*»(*)) «^ + ««(«М?* = 0.
т=0 \ /
Приравнивая в (10.9.8) коэффициенты при одинаковых степенях р, можно
последовательно найти все функции u\j(x). В результате получим
и^(1)=^ехр(-|а^(0^].
"Ь0^ = {ш-tw(1'Sij)+SijKj(x))ехр (" / а»ю *)'
' * ,
X
где Sij — символ Кронекера, Ki)2(x) = ± / т-ттт г~77\ <*£· Ограничиваясь только
J &ι(ξ)-&2(ξ)
о
выписанными здесь функциями, из (10.9.6) и (10.9.7) нахЬдим
„w = й-р^(Л(в-...(о)«)(. + ^2^^|^ +
+ ^ехр(/(Л({Но!!({))^_|нМ_,
t,2(*) = ^.ехр/Дрб^О-аиК))^
(10.9.9)
a2f(*)
62(г) -6ι(ι)
+ Cs«xp /(*<«-««.)« ,-i/«lЛ

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
207
Отметим, что в нулевом приближении решение (10.9.9) совпадаете решением
несвязанной системы уравнений (10.9.5), когда au = a^\ = 0. При этом функции уц(х)
и 2/22(я) описывают две невзаимодействующих волны, каждая из которых
распространяется со своей собственной скоростью. В первом приближении между этими
волнами проявляется связь, приводящая к тому, что при распространении одной
из волн в каждой точке системы за счет неоднородности возникает «отраженная»
волна, описываемая одной из функций у\2(х) или у2\(х)>
Рассмотренный асимптотический метод применим для любых линейных систем
со слабой неоднородностью. Если же исследуемая система является гамильтоновой
и для нее существует лагранжиан £, то для анализа таких систем весьма
эффективным является вариационный метод Уизема (см. Приложение Б). Для применения
этого метода исходные уравнения системы следует записать в лагранжевой форме:
д дс д дс ас Λ βχ
д7 λ— + 7Γ- л 7Г = ° )· (Ю.9.10)
at out oxj duXj ση ν
Как известно, уравнение (10,9.10) может быть получено как уравнение Эйлера
из вариационного принципа
S J i£(ut,ur,u,oc,et)cftdx = 0, (10.9.11)
где с — малый параметр, характеризующий степень неоднородности и
нестационарности среды.
Частное решение уравнения (10.9.10) можно искать в виде бегущей волны с
медленно меняющимися параметрами:
и = Α(*,χ)βχρ(ιψ(<,χ)) +к.с, (10.9.12)
где Α(ί,χ) — вектор медленно меняющихся комплексных амплитуд, ^(*,х) — фаза
волны. Полагая
^=a/(t,x), |^ = -М*,х)* J= 1.2,3, (10.9.13)
получим следующие уравнения, связывающие ω и к\у &2, &з:
ди dkj Λ dki dkj . . „ Λ Λ
^- + ^f = 0· егг^ i,J = 1·2·3· (10·914)
Подставим (10.9.12) в выражение для лагранжиана С и усредним по ψ,
пренебрегая производными от Α, ω, к и считая Α, ω, к и все медленно меняющиеся
параметры среды постоянными величинами. Тогда получим усредненный лагранжиан
С = £(w,k, A,ex,et). Уизем показал, что в первом приближении по малому
параметру с справедлив «усредненный» вариационный принцип, аналогичный (10.9.11),
т.е.
δ J J Ζ{ω = фи k = -Vx> A, ос, ct) dt dx = 0. (10.9.15)
6)3десь принята тензорная форма записи, т.е. по одинаковым индексам j = 1, 2,3
предполагается суммирование.

208
Часть П. Собственные и вынужденные колебания и волны
Соответствующие этому вариационному принципу уравнения Эйлера имеют вид
^- = 0, (10.9.16)
Ё£
θα
Хотя метод Уизема справедлив и для нелинейных систем, рассмотрим сначала
частный случай, когда система уравнений (10.9.10) является линейной. В этом
случае система уравнений (10.9.16) также является линейной относительно амплитуд
А\, ^2, ♦ ♦. Поэтому ее решение может быть представлено в виде
А = V(w,k)i4, (10.9.18)
где V(u;, k) — вектор коэффициентов распределения, А — одна из компонент
вектора А. Условие равенства нулю детерминанта системы (10.9.16) дает дисперсионное
уравнение
G(u;1kt€x,d) = 0. (10.9.19)
Легко показать, что С выражается через А следующим образом:
Ζ = G(u, k, ос, €t)A*. (10.9.20)
Из (10.9.19) следует, что С = 0. Этот факт отражает теорему вириала для
линейных систем (см. гл. 1): средние значения кинетической и потенциальной энергий
совпадают.
Преобразуем теперь уравнение (10.9.17), введя вектор групповой скорости
δω dkj dkj
можно найти j-ю компоненту групповой скорости:
с = duj/dk. Продифференцировав С по kj, получаем — — \- -^— — 0. Отсюда
Οω dC/dkj
c> = wr-jmi- (10·9-21)
Принимая во внимание (10.9.21), можно переписать уравнение (10.9.17) в виде
т1ь + з^Ы)=0- (10·9·22)
Это уравнение представляет собой закон сохранения так называемого волнового
действия дС/θω, которое является адиабатическим инвариантом для
распределенных систем. Уравнение (10.9.22) справедливо как для линейных, так и для
нелинейных систем.
По аналогии с формулой (1.2.14) волновое действие можно связать с усредненной
плотностью энергии W соотношением
дС W+C
^- = · (10.9.23
σω ω ν '

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
209
В линейном случае С = О и, следовательно, dC/θω = W/ω. Последнее означает,
что dC/θω в линейном случае равно числу квантов в единице объема. Отсюда ясно,
почему величина dC/θω названа волновым действием.
Покажем на примере нелинейного осциллятора с одной степенью свободы, что
величина dL/θω, где L — функция Лагранжа для этого осциллятора, совпадает с
действием J. Уравнение Лагранжа для такого осциллятора имеет вид
£EL· - —-Q
dt dq dq
Вычислим усредненную функцию Лагранжа для периодического движения с
периодом Τ = 2π/ω:
τ
Ldt. (10.9.24)
о
Учитывая, что L = qp — Ε, где ρ — dL/dq — обобщенный импульс, Ε энергия
осциллятора, из (10.9.24) находим
τ
I=^Jpqdt-E=^<fpdq-E.
о
Отсюда сразу следует, что
2* J
J = ±fpd4=d±.
Заметим, что из выражения для усредненного лагранжиана, кроме закона
сохранения волнового действия, следует также закон сохранения так называемого
волнового импульса, аналогичный (1.2.12):
^ + ^-7 (^ + <$.,Г) = 0, (10.9.25)
где Pi — компоненты вектора усредненной плотности импульса Ρ = \lW/ω. Легко
видеть, что в линейном случае
kW _ k W\k\ _ _k_W
ω |к| ω |к| сф *
где Сф = и>/|к| — - фазовая скорость волны.
10.10. Волны в слоистых средах с периодической структурой
Слоистыми называют среды, параметры которых изменяются вдоль одной из
координат, т.е. среды, состоящие как бы из слоев с разными свойствами. Наиболее
интересным и важным классом слоистых сред являются среды с периодически
чередующимися слоями. Исследование нелинейных волновых процессов в таких средах

210
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
сложно. Поэтому мы ограничимся лишь линейным приближением, причем
рассмотрим лишь наиболее простой пример, а именно среду, описываемую одномерным
волновым уравнением
где с(х) — периодическая функция х. Частное решение уравнения (10.10.1) можно
искать в виде
u(x,t) = y(x)eiu)t. (1О.10.2)
Подставляя (10.10.2) в (10.10.1), получаем для у(х) обыкновенное дифференциальное
уравнение
dx2
где k(x) = ω/ο(χ) — локальное волновое число. Это уравнение называется
уравнением Гельмгольца.
+ к2(х)у = 0,
(10.10.3)
1. Неоднородность в виде периодической последовательности
прямоугольных импульсов. Прежде всего рассмотрим случай, когда к(х) имеет вид
периодической последовательности прямоугольных
импульсов с периодом L = 2π/Κ (рис. 10.13). При этом
решение уравнения (10.10.3) на интервале χ от 0 до L будет
иметь вид
*2
У(х)
OIL χ
Рис. 1Θ.13. Зависимость к
последовательности
прямоугольных импульсов
Axeikl + A2e~ik*
Bieik* + S2e"ifca
для 0 < χ < /,
для I < χ < L.
(10.10.4)
С другой стороны, согласно теореме Флоке [409], частное
от χ в виде периодической решение уравНения (10.10.3) может быть представлено в
виде
y(x)=F(x)eiKX, (10.10.5)
где F(x) — периодическая функция с периодом L, κ = —{i/L) In μ, μ —
мультипликатор. Сравнивая (10.10.5) с (10.10.4), находим F(x):
F(*) =
(Axeik* +^)е^
(Bxeik* + B2e-ik') e~iH
для 0 < χ < /,
для I < χ < L.
(10.10.6)
Из условий периодичности и непрерывности функции F(x) и ее первой производной
получаем уравнения для определения величин А\} А2, Βχ и В2\
Aieik* + A2e-ik* = Bxeik* + B2e~ik*,
(Axeik* - A2e~ikl) кг = (Bieifca - B2e-ik*) k2y
Αχ + A2 = (Bxeik* + B2e~ik*) e~UL,
Ax(ki - к) - A2(kx + κ) = (Βχ(*2 - /c)e·'*' - B2(k2 + *)е-"*') е-"я1\
(10.10.7)

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
211
Чтобы система (10.10.7) имела нетривиальное решение, ее детерминант должен
быть равен нулю. Это условие дает уравнение для определения мультипликаторов μ:
μ2 - 2 (cosкг1cos k2(L - I) - - (y + ~\ sin kxlsin k2{L - I) J μ + 1 = 0. (10.10.8)
Из уравнения (10.10.8) следует, что произведение мультипликаторов μι и μ2 должно
быть равно единице (отсюда вытекает, что к\ = — к2 = к, где /ci2 = —(i/L) 1ημι2),
а также, что
μι +Μ2
= cos kL = cos^i/cos/:2(L -I)-- -—l· — ] sin kilsin k2(L - /). (10.10.9)
I \k2 k\)
Уравнение (10.10.9) определяет связь между частотой волны ω и ее «волновым»
числом к. Пример зависимости ω (l/c\ + (L — l)/c2) = k$L от kL при
коэффициенте модуляции m — {к2 — к\)/(к2 + к\) =. 0.2 приведен
на рис. 10.14. Из рисунка видно, что существуют
области частот ω у в которых уравнение (10.10.9) не имеет
действительного решения. Эти области расположены
вблизи значений ω равных ωη, которые
соответствуют коп = πη/L (п = 1,2,3,,..). С ростом η
ширина этих областей уменьшается, В указанных областях
\coskL\ > 1, т.е. значения к комплексны. Это означает,
что соответствующие волны по мере распространения
затухают. В связи с этим области частот, для которых
значения к комплексны, получили название областей
непрозрачности.
В соответствии с (10.10.5) для каждого значения
ω вне областей непрозрачности решение уравнения
(10.10.1) представляется в виде суперпозиции
бесконечного числа синусоидальных бегущих волн с волновыми
числами κ + jK (j = 0,±1,±2,...) и амплитудами, определяемыми
коэффициентами разложения периодической функции F(x) в ряд Фурье. Как можно видеть из
рис. 10.14, среди этих волн есть волны с нормальным законом дисперсии, т.е. волны,
для которых фазовая скорость совпадает по направлению с групповой, и волны с
аномальным законом дисперсии, т.е. волны, для которых фазовая скорость
противоположна по направлению групповой. Ситуация здесь напоминает распространение
«волн» в цепочке с периодически чередующимися элементами (см. гл.8). Отличие
только в том, что в сплошной среде число волн бесконечно.
2. Слабая гармоническая неоднородность. В случае, когда скорость с
изменяется достаточно слабо и эти изменения являются приблизительно
синусоидальными, уравнение (10.10.3) можно записать в виде
Рис. 10.14. Пример
зависимости koL от kL для
I = L/2, т = 0.2
dx2
^--| + fco(1 + ecos2Kx)y:=0,
(10.10.10)
где е — малый параметр, К = 2π/Ζ/, L — период неоднородности. За счет
неоднородности в каждой точке среды будет происходить отражение волн, которое в

212
Часть II. Собственные я вынужденные колебания и волны
случае периодической неоднородности является существенным. Так как
неоднородность предполагается слабой, то амплитуды волн, распространяющихся навстречу
друг другу, можно считать медленными функциями координаты х. Поэтому
решение уравнения (10.10.10) можно искать в виде
u = A+{ex)e-ikoX + A-(ex)eik°x.
(10.10.11)
Пренебрегая вторыми производными амплитуд Л+ и А-, отбрасывая высшие
пространственные гармоники и приравнивая члены при одинаковых показателях
экспоненты, получаем
dA+
dx
ikp
Τ
«2·Δγ
dA-
dx
ikp
Τ
(10.10.12)
где Δ = Ar0 - К — величина, характеризующая разницу между невозмущенной
длиной волны А = 2п/кр и периодом структуры L. Уравнения (10.10.12) описывают
связь между прямой и отраженной волнами. Они имеют интеграл,
соответствующий закону сохранения энергии волн. Действительно, из уравнений (10.10.12)
следует, что
d\A
±£ = 2lm{A.A\e2iAx) , ^-^ = - 21т(Л+Л*_е-2'д*)
dx
Отсюда находим d\A+\2/dx — d\A-\2/dx = 0, т.е.
|Л+|2- |Л_|2 = const.
(10.10.13)
Система уравнений (10.10.12) легко может быть сведена к одному уравнению
для Л+:
dx2 dx
Решение этого уравнения имеет вид
dA+ (ekpY
dx \ 4 )
А+ =0.
(10.10.14)
Л+(х) =
Ciexp
w-
Δ2 χ I + Сч ехр
-М-
Α2 χ
0»Δγ
Пусть Л+(0) = Л+0, Л+(оо) = 0 и Δ2 < (еАг0/4)2. Тогда d = 0, С2 = Л+0.
Следовательно,
Л+(х) = Л+0ехр
:(Ш^-«}
(10.10.15)
Подставляя (10.10.15) в (10.10.12), найдем амплитуду отраженной волны
Л_(х) = -—ΙΔ + iWl^l -ДЧАщехр
м-> = -£(*♦#)'-*')

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
213
Из (10.10.16) следует, что в рассмотренном случае малых расстроек Δ
коэффициент отражения волны от среды с периодической структурой (А- (0)/А+о) по модулю
равен единице, т.е. волна полностью отражается. Внутри среды амплитуды обеих
волн экспоненциально убывают с ростом χ тем быстрее, чем меньше расстройка и
чем больше коэффициент модуляции скорости с. Полоса частот падающей волны,
для которой выполняется условие Δ2 < (е&о/4)2, называется полосой
непрозрачности (или полосой непропускания). Вне этой полосы коэффициент отражения по
модулю меньше единицы, а амплитуды волн Л+ и Л_ не затухают, а осциллируют
при изменении координаты х.
10.11. Волновые пучки в нелинейных средах с дисперсией
В настоящей книге мы рассматриваем главным образом плоские волны,
поскольку такая идеализация приводит к наиболее простым уравнениям. Однако реально
плоских волн не бывает, а всегда приходится иметь дело с ограниченными в
пространстве изменениями величин, описывающих рассматриваемый волновой процесс.
Такие объекты часто называют волновыми пучками [68, 281]. Во многих случаях
приближение плоских" волн оказывается вполне достаточным и усложнения задачи
не требуется. Однако при исследовании таких важных эффектов как диффракция и
нелинейная рефракция, приводящая к самофокусировке и само дефокусировке,
необходимо рассмотрение именно волновых пучков. Как отмечалось в гл.5, для такого
рассмотрения в слабо нелинейных средах с достаточно сильной дисперсией
можно использовать кубическое уравнение Шредингера (5.2.108), а в средах со слабой
дисперсией — уравнение Хохлова-Заболотской (5,2.92).
Кубическое уравнение Шредингера было выведено в гл. 5 из уравнения для
медленно меняющейся амплитуды волны А = Л(ех,еу, 6Z,ei), полученном во втором
приближении по малому параметру е. Если пренебречь влиянием нелинейности на
групповую скорость волны ν, то последнее уравнение принимает вид
ЗА ΘΑ . σ д2А .с2 (д2А д2А\ . с „, 4Ч
Найдем решение уравнения (10.11.1) для полубезграничной среды, нелинейность
которой предполагается кубической, с заданным граничным условием на ее
входе. Рассмотрим два частных случая: 1)на входе среды задана монохроматическая
волна с плоским фронтом, амплитуда которой зависит от координат в поперечной
плоскости; 2) на входе среды задан временной импульс, не зависящий от поперечных
координат.
1. Самофокусировка и само дефокусировка волновых пучков. В первом
случае можно считать, что амплитуда А не зависит от времени и в уравнении
(10.11.1) можно положить dA/dt = 0. Далее, учитывая, что среда имеет кубическую
нелинейность, из (10.11.1) получаем кубическое уравнение Шредингера в форме
дА €
Ш ^г- = А±А - - \А\2А} (10.11.2)
ох сг
где к = ων/с2 — волновое число, Δ± = д2/ду2 + d2/dz2. Полагая в уравнении

214
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
(10.11.2) А = Аое ,/с^, где Ао — действительная амплитуда волны, φ
ваемый эйконал комплексной амплитуды, получаем
dA<> ^ l л л , ^дАодф ^ дА0 дф
так назы-
(10.11.3)
Прежде всего рассмотрим явление так называемой нелинейной рефракции, т.е.
искривления хода лучей вследствие нелинейности. Как будет видно из дальнейших
результатов, это явление в зависимости от характера нелинейности приводит либо
к самофокусировке, либо к самодефокусировке пучка. Рассмотрение будем
проводить в приближении геометрической оптики, когда членом (1/к2Ао)А±Ао во
втором уравнении (10.11.3) можно пренебречь. Кроме того, для простоты будем
считать, что параметры пучка зависят лишь от одной переменной у (так называемый
«щелевой» пучок). Тогда, учитывая, что тангенс угла наклона луча к оси χ в точке
(хуу) равен градиенту эйконала в поперечном направлении, т.е. к(х,у) = дф/ду>
перепишем уравнения (10.11.3) в виде
а/ дк а/
дх ду ду
дк дк д1
— + /с — +7— = 0,
дх ду ду
(10.11.4)
где 7 = e/2fc2c2 — параметр нелинейности, I = А2 — интенсивность пучка.
Уравнения (10.11.4) следует решить при заданных начальных распределениях 7(0, у) =
Iof(y) и /с(0,у) = jF(y). В общем случае это сделать невозможно. Поэтому
ограничимся рассмотрением частного случая пучка с начальным параболическим
профилем интенсивности
ί l~y2lal при y<ao
^ 0 при у > а0
где ао — начальная ширина пучка, и с начальным плоским фронтом {F(y) = 0). В
этом случае решение уравнений (10.11.4) для к можно искать в виде
к{х,у) = β{χ)ν,
(10.11.5)
где β(0) = 0. Подставляя (10.11.5) в первое уравнение (10.11.4), видим, что оно при
любой функции f(y) имеет автомодельное решение в форме
1(х, у) = /о/ уехр
X I \ X
- ί β(χ) dx\ J exp - ί β(χ) dx
(10.11.6)
Учитывая заданное выше выражение для /(у), из (10.11.6) получаем
{I0a0/a) (1 - у2/а2) при у<а
0 при у > а
/(*.»)=!
(10.11.7)

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
215
где α = αο exp
χ
j β{χ)άχ
— ширина пучка на расстоянии χ от входа в среду.
Подставив теперь (10.11.5) и (10.11.7) во второе уравнение (10.11.4) и учитывая, что
получаем уравнение для определения а(х):
d2a __ 27/0ар
dx2 а2
= 0.
(10.11.9)
Умножая обе части уравнения (10.11.9) на da/dx и интегрируя с учетом начальных
условий, найдем
(=)-♦"·('-?)·
(10.11.10)
Отсюда видно, что знак разности а — ао должен определяться знаком коэффициента
7: α — α0 > 0 при η > 0, и, наоборот, α — αο < 0 при 7 < 0. Это значит, что
за счет нелинейности при положительном значении η пучок расходится в процессе
распространения, а при отрицательном 7, наоборот, фокусируется.
Уравнение (10.11.10) может быть решено в неявной форме:
y/a{a - α0) + ^ In i JiL + J^—^ΐλ = 2N/^* при 7 > 0, (10.11.11)
± ( \Л*(а0 -α) - a0arctgW — J = 2^/pyjT^
Г0х при7<0. (10.11Л2)
Величина /?(ar) выражается через α(χ) по формуле: ,#(я) = (1/α(χ))(da/dx). Таким
образом, /?(х) > 0 при у > 0 и /?(х) < 0 при η < 0. В случае отрицательных значений
коэффициента 7 выражение (10.11.12) может быть преобразовано к виду
а(х) = aocos2
Отсюда следует, что ширина пучка обращается в нуль при
(2η — 1)παο
X = Хп =
п=1,2,....
(10.11.13)
(10.11.14)
4>/7/о
При достаточно малых значениях ж, когда \/ηΤ$χ <^С ао, левую часть уравнения
(10.11.11) можно разложить в ряд и получить явную зависимость а(х) для
расходящегося пучка:
/ 64 х2\
α(χ) = αο[ΐ + -ΊΙο^). (10.11.15)
Основываясь на полученных данных, можно построить ход лучей в случае
самофокусировки (рис. 10.15 а) и самодефокусировки (рис. 10.15 б).

216
Часть Л. Собственные и вынужденные колебания и волны
а б
Рис. 10.15. Ход лучей в случаях самофокусировки (а) и самодефокусировки (б) для пучка
с параболическим профилем
Найденное автомодельное поведение пучка и, в частности, его фокусировка в
одной точке, имеют место лишь для параболического профиля интенсивности. При
других профилях интенсивности различные лучи пересекают ось χ (при у < 0)
не в одной, а в различных точках (см., например, [68]). Это явление называется
нелинейной аберрацией пучка.
Отметим, что обращение в нуль ширины пучка при самофокусировке произошло
потому, что мы использовали приближение геометрической оптики, которое
справедливо лишь при условии к2а2 ^> 1. Физически это означает, что мы пренебрегли
явлением диффракции. Ниже мы покажем, к каким эффектам приводит учет этого
явления. Для этого, как и раньше, перейдем в уравнениях (10Л 1.3) к переменным
/ = Aq и к(хуу) = дф/dy и будем считать, что пучок является «щелевым». Тогда
получим следующие уравнения:
дх+ ду*Кду ' дх*К ду Ί ду~ 41k2 {ду3 Idydy2*
(10.11.16)
Рассмотрение будем проводить на примере пучка с начальным гауссовским
распределением интенсивности и с плоским фронтом, т.е.
/(0, у) = f(y) = /о ехр(-у2/«о)> *(0, у) = 0.
(10.11.17)
Будем считать, что приближенное решение уравнений (10.11.16) для /с(х,у) имеет
вид (10.11.5), где β(0) = 0. Тогда первое уравнение (10.11.16) имеет автомодельное
решение вида (10.11.6). Таким образом,
/(,>у) = /.^ехр(-^^)
(10.11.18)
где а(х) = а0ехр I / β(χ)άχ 1 — ширина пучка на расстоянии χ от входа в среду.
Подставляя теперь выражения (10.11.5) и (10.11.18) во второе уравнение (10.11.16)

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
217
и учитывая (ЮЛ 1.8), получаем уравнение для а:
g-^exp,V/«V^ = 0. (.0......)
Чтобы а зависело только от х, как мы предполагали, в уравнении (10.11.19)
следует положить ехр(—у2/а2) « 1, что, строго говоря, возможно лишь при у2 <С а2.
Заметим, что это приближение эквивалентно пренебрежению эффектом
нелинейной аберрации, причем при указанном условии пучок гауссовской формы ведет
себя так же, как параболической. Интегрируя в указанном приближении уравнение
(10.11.19), получаем
Из этого уравнения видно, что при 7 > 0 пучок, как и без учета диффракции,
должен расширяться, причем это расширение увеличивается за счет диффракции.
Если же 7 < 0, то ширина пучка может быть либо меньше первоначальной (при
преобладании нелинейных эффектов над диффракционными), либо больше ее, если
диффракционные эффекты преобладают над нелинейными. Из уравнения (10.11.20)
легко найти минимальную и максимальную ширину пучка при у < 0. Для этого
положим da/dx = 0. В результате получим, что при \Ь\ > 1, где b — 2^Iok2aQ -f 1,
пучок будет вначале сужаться до ширины amm = αο/|6), затем расширяться вновь
до значения ао и т.д.. Если — 1 < 6 < 0, то пучок вначале будет расширяться до
ширины атах = αο/|ό|, затем сужаться до ширины а0 и далее процесс будет, как и в
первом случае, повторяться периодически. В пограничном случае, когда )6| = 1, т.е.
\y\Iok2al = 1, пучок при распространении не будет изменять своей ширины. Если
же Ь > 0, то пучок будет монотонно расширяться.
Решение уравнения (10.11.20) в неявной форме имеет вид
^ = л. -..,(.. + «> + ^
χ
, 2y/b(a - a0)(ba + о0) + 26α - (δ - 1)α0 , η
in (бттк при6>0
^■2Wo,7<l*li+1)ao-.;«ga(W-l) при6<0.
|&-f 1|α0 Ι
(10.11.21)
Отсюда можно найти значения ж, при которых ширина пучка равна а0/|6|:
_*α0(|61+1)(2η-1)π
п" |26|3/2 ' η-χ'ζ>· ··
Как и следовало ожидать, при |6| ^> 1 найденное выражение для хп совпадает с
(10.11.14).
Из полученных результатов следует, что в нелинейной среде, кроме эффектов
самофокусировки или десамофокусировки пучка, должен возникнуть
дополнительный сдвиг фаз <р(я,у), зависящий от координат χ и у, т.е. должна возникнуть
поправка к волновому числу за счет диффракции и нелинейности (эта поправка равна

218
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
3φ/δχ). Если к(х}у) = дф/dy определяется выражением (10.11.5), то сдвиг фаз φ
равен:
^(*,y) = fcQ/?(*)t/2 + y>o(*)), (10.11.22)
где φ^{χ) — сдвиг фаз на оси пучка, который может быть определен из второго
уравнения (10.11.3) при у — 0. Полагая в этом уравнении
Aq(x,0) = /ο —,
α ' Α0 ду2
мы получаем следующее уравнение для φο{χ)'.
у=0
Л2'
где α определяется уравнением (10.11.20). Интегрируя уравнение (10.11.23) и
учитывая (10.11.21), находим
1 / . 2αο + (6-1)α π\ /l / о \ (Ьа Л 6*
(10.11.24)
2. Компрессия и расплывание импульсов в нелинейных средах с
дисперсией. Пусть на входе безграничной среды задан импульс гауссовской формы с
плоским фронтом, т.е.
Л(0,0 =Л0ехр(-/2/2ть2)1 (10.11.25)
где Ло — действительная амплитуда импульса, tq — его ширина. Перейдя в
уравнении (10.11.1) к координатам ξ = t — χ/ν, x и считая, что А не зависит от у и z, a
нелинейность среды является кубической, перепишем это уравнение в виде
с)А Я2 A f
2ikh ~*W=~? Wa* (ΐο·»·2β)
где σ = auj3/c6k2 = ak/v3. Уравнение (10.11.26) требуется решить с граничным
условием (10.11.25). Для решения этой задачи можно воспользоваться
результатами, полученными в предыдущем пункте. Действительно, в силу аналогии между
уравнениями (10.11.2) и (10.11.26), приближенное решение последнего может быть
записано в виде
Α(χ,ξ) = Ло1^- ехр (- ^щ - ΐφ(χ,ξή , (10.11.27)
где т(х) и <ρ(χ,ξ) определяются уравнениями

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
219
6 =
, 2yfr(r - то)(Ьт + гр) + 26г - (6 - 1)г0
In —— -^—r, -к ^ — ПРИ & > О
(6+1)α0
arcsin . ;' ' - sign (|6| - 1) при 6 < О,
|о+ 1|т0 I
(10.11.28)
ь« + 1, ^,о = ^(^2+ы^)). *м = ±£,
, 1 / . 2г0 + (6 - 1) яЛ \\(т Л (Ът \ Ьах
Отсюда следует, что импульс будет периодически сжиматься, если |6| > 1 и ^σ < 0,
где σ = d2<jj/dk2. В противном случае он будет расширяться либо периодически,
либо монотонно. Если
7^b3rg=_1 (Ю.11.29)
то импульс будет распространяться без изменения своей ширины, а сдвиг фаз φ
будет зависеть только от х, причем эта зависимость будет линейной, а именно,
Ϋ? ζτ σχ/ν3τ£. Заметим, что описанные результаты получены лишь приближенно.
Однако случай, когда импульс при распространении не изменяет своей
длительности, может быть рассмотрен точно. Для этого решение уравнения (10.11.26) будем
искать в виде
Л(*,0 = Л(Ое-^*, (10.11.30)
где Α(ξ) — неизвестная функция, g — неизвестный коэффициент. Подставляя
(10.11.30) в (10.11.26), получаем для А уравнение Дуффинга:
-^|2д+^^)л = 0. (10.11.31)
Граничному условию А(±оо) = 0 удовлетворяет решение этого уравнения,
соответствующее сепаратрисе на фазовой плоскости и имеющее вид
Л=сЪШ' (10Л1-32>
где го связано с q соотношением q = 1/2ν3τ$, а амплитуда импульса Л о связана с
его длительностью соотношением
-^-^—* = -2. (10.11.33)
Таким образом, полученное точное решение показывает, что
распространяться без искажений в рассматриваемой среде будет только импульс, имеющий форму
(10.11.32), причем между его амплитудой и длительностью должно выполняться
соотношение (10.11.33). Это соотношение отличается от найденного ранее
приближенного условия (10.11.29) коэффициентом 2. Таким же коэффициентом отличается
и фазовый сдвиг φ.

220
Часть II. Собственные и вынужденные колебания и волны
10.12. Волновые пучки в нелинейных средах без дисперсии.
Приближенные решения уравнения
Хохлова—Заболотской
Уравнение Хохлова-Заболотской было выведено в гл. 5. Для компоненты
скорости и оно имеет вид
д (ди (7+1)« ди\ с /,ηιοι*
Это уравнение описывает как слабонелинейные эффекты, так и диффракционные.
Как и в предыдущем пункте, будем рассматривать «щелевые» пучки, параметры
которых зависят лишь от одной поперечной координаты у. Зададим граничное
условие на входе рассматриваемой полубезграничной среды в форме
u{OyyyT) = u0F(y)<l>(T)} (10.12.2)
где функция F(y) описывает форму пучка, а Ф(г) — форму волны.
Для дальнейших расчетов удобно перейти в уравнении (10.12.1) к безразмерным
переменным U = w/tio, ί — ^>г, Λ" = ((7 + 1)щ/2с2)и>ху Υ = y/αο, где ω — некоторая
характерная частота волны, ао — ширина пучка на входе среды. В этих переменных
уравнение (10.12.1) принимает вид
где R = с2/(7 + 1)Μω'2αΙ — параметр, характеризующий соотношение между диф-
фракционными и нелинейными эффектами.
Рассмотрим прежде всего приближение так называемой геометрической
акустики, аналогичное приближению геометрической оптики, рассмотренному в
предыдущем пункте. В этом приближении параметр R является малым. Введем вместо
£ новую переменную ΰ = ξ - ωψ(Χ,Υ)/ε} где ф(Х> Υ) — функция, играющая роль
эйконала. Так как имеется произвол в выборе этой функции, будем считать, что
она описывается вторым уравнением (10.11.3) при к —> оо, т.е. удовлетворяет
уравнению эйконала в линейной среде без учета диффракции. В переменных Χ, Υ это
уравнение имеет вид:
дф ωϋ(3ψ\2 Λ
С учетом сделанной замены переменных и уравнения (10.12.4) уравнение для
функции U(X, Y, г?) принимает вид
± (dJL _и!*L\ - я f^R _ bL^JL dJL^^dJL d2±\ „η ,9^
du \ax duj ~ \oy* с θΥδΰ θυ с dd dY*J i^.^.dj
Используя малость параметра R, пренебрежем в правой части уравнения (10.12.5)
первым членом. Тогда это уравнение может быть проинтегрировано по ι?. В
результате получим
dU гт dU ujR / dU дф д2ф\

Гл. 10. Собственные и вынужденные волны в сплошных средах
221
Рассмотрим, например, распространение пучка с пилообразной формой волны,
имеющей бесконечно крутые фронты 7), т.е. положим
tf(0, Y,tf) = - F{Y) - , -π<ΰ<π. (10.12.7)
Предполагая, что форма волны не изменяется при распространении, будем искать-
решение уравнения (10.12.6) в виде
U{X,Y,u) = -A{XyY) -, -π < ΰ < π, (10.12.8)
7Γ
где A(XyY) — неизвестная «амплитуда» волны, удовлетворяющая условию
A(0,y) = F(y). (10.12.9)
Подставляя (10.12.8) в (10.12.6), для амплитуды пилообразной волны получим
уравнение
ЗА Α2 ωϋ/^ΘΑΘψ Ад2ф\ Л ,,л ,л ,лч
M + T + -{2WW + AW*)=»' (10Л2Л0)
Положив в (10.12.10) А = 1/В [68], получим для В линейное уравнение:
8В_
дх
1 ωΚ ( дВ дФ д2ф\
Подставим сюда частное решение уравнения (10.12.4), имеющее вид
^A'y)=4wfi(X-Xo)' (1012Л2)
где ΛΌ — величина, пропорциональная радиусу кривизны фронта волны на входе в
среду. В результате получим следующее уравнение для В:
Решение уравнения (10.12.13) с граничным условием (10.12.9) приведено в книге
[68]. Для А — 1/В оно имеет вид
*-т^<та)(1-тЧ,-&Кт^)Г(нш-,4>
Очевидно, что решение (10.12.14) справедливо лишь при X < Х0, так как при
приближении X к Хо амплитуда волны сильно возрастает и исходные уравнения
перестают быть справедливыми. Пусть, например,
F(y) = l-Y2/2. (10.12.15)
7)Такую волну часто тоже называют ударной.

222 Часть ΪΙ. Собственные и вынужденные колебания и волны
В соответствии с определением безразмерной координаты У ширина пучка на входе
равна единице, т.е. шириной мы называем значение координаты Υ, при котором
амплитуда А уменьшается вдвое. Подставляя (10.12.15) в (10.12.14), можно найти
относительную ширину пучка α в зависимости от X:
™-(-0(-^О-й)(-£"О-*)Г
Отсюда видно, что в зависимости от величины Хо ширина пучка может либо
уменьшаться за счет фокусировки (при достаточно малых значениях Xq), либо
увеличиваться за счет нелинейности (при больших Хо), Если на входе в среду фронт волны
является плоским, то Xq = оои фокусировка отсутствует. В этом случае
°*т = тШ (10ι21ί>
Отсюда следует, что при Χ ^$> π ширина пучка увеличивается в \/2 раз.

Часть III
Колебания и волны в активных системах.
Автоколебания и автоволны
Глава 11. Вынужденные колебания и волны в
активных неавтоколебательных системах
11.1. Усилители с сосредоточенными параметрами
Усилитель — это система, преобразующая и усиливающая сигнал, поступающий
на его вход (рис. 11.1). Очевидно, что, для того чтобы происходило усиление
сигнала, усилитель должен содержать источник
энергии, т.е. должен быть активной системой. В пер- x(t)
вую очередь рассмотрим линейный усилитель, а
именно, такой усилитель, коэффициент усиления
которого не зависит от величины входного сиг- Рис п л Блок.схема усилителя
нала. В этом случае справедлив принцип
суперпозиции, т.е. отдельные составляющие входного
сигнала x(t) усиливаются независимо друг от друга. Так как в усилителе
неизбежно присутствуют внутренние флуктуации, то их можно учесть, добавив к входному
сигналу x(t) некоторый эффективный шум £(<). Пусть x(t) = 0, а ξ(<) представляет
собой белый шум интенсивности N. Тогда спектральная плотность шума на выходе
усилителя будет определяться зависимостью коэффициента усиления к от
частоты входного сигнала ω. Пусть эта зависимость описывается комплексной функцией
ifc(uj). Тогда спектральная плотность шума на выходе усилителя κ(ω) = N\k(ui)\2.
Даже при малой интенсивности входного шума N шум на выходе усилителя
может быть достаточно большим, если коэффициент усиления усилителя велик.
Отсюда следует, что к описанию работы такого усилителя нельзя подходить с точки
зрения обычной теории динамических систем. Спектр шума на выходе
линейного усилителя при входном белом шуме определяется частотной характеристикой
усилителя. В случае ярко выраженного резонансного характера коэффициента
усиления сигнал на выходе такого усилителя по виду трудно отличить от сигнала на
выходе автоколебательной системы. Однако известно несколько полуэмпирических
критериев, по которым их можно различить. К таким критериям относится
критерий Рытова-Диментберга, о котором мы уже говорили в гл. 9. Согласно этому
критерию, система является автоколебательной, если плотность вероятностей для
квадрата мгновенной амплитуды, либо для одной из обобщенных координат
системы в области ее положительных значений, не является монотонно убывающей; и
наоборот, если указанная плотность вероятностей монотонно убывает, то система
является преобразователем шума. Другой критерий, который часто используется,
состоит в следующем. Произведем формально обработку исследуемого сигнала на
К
у (О

224
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
основе теоремы Такенса, как описано в гл. 3, и попытаемся вычислить размерность
«аттрактора» в сконструированном фазовом пространстве. Тогда, если при
увеличении размерности этого пространства (размерности вложения) вычисляемая
размерность «аттрактора» будет монотонно расти, не насыщаясь, как это должно было
бы иметь место в случае автоколебаний, то система является преобразователем
шума. Однако, как мы видели на примере маятника, возбуждаемого параметрически
действующим шумом (гл.9), этот критерий работает не всегда.
Если усилитель является нелинейным, то спектр шума на его выходе
значительно обогащается гармониками и комбинационными частотами. Форма спектра
существенно зависит от характера нелинейности и может иметь весьма сложный вид.
Кроме того, в таких усилителях, по-видимому, возможны шумоиндуцированные
фазовые переходы, подобные тем, которые мы рассматривали в гл.9.
11.2. Сплошные полуограниченные среды с конвективной
неустойчивостью
В активных полуограниченных средах возможно усиление волн в направлении их
распространения. Понятие направления распространения само требует уточнения.
Сделаем это для линейной среды с постоянными вдоль оси χ параметрами. Пусть
исследуемая волна задана в форме е1^*-**^ а дисперсионное уравнение системы
имеет вид
G(u;,*) = 0. (11.2.1)
Если при действительном значении частоты ω корень этого уравнения,
соответствующий интересующей нас волне, имеет малую мнимую часть, то волна по форме
близка к гармонической. В этом случае имеют смысл понятия фазовой и групповой
скоростей, введенные для действительных значений ω и к, и направление
распространения волны определяется направлением групповой скорости. Если же мнимая
часть соответствующего волнового числа при действительном ω достаточно
велика, то понятия фазовой и групповой скоростей теряют смысл. В этом случае
направление распространения волны можно определить следующим образом [213].
Если 1т к = у < О при Im ω = 6 —>· — со, то волна распространяется вдоль оси х. В
противном случае — она распространяется в противоположном направлении.
Физический смысл этого определения заключается в том, что вследствие
ограниченности поступаемой в реальную систему энергии при достаточно большом временном
нарастании волна в направлении распространения должна быть пространственно-
затухающей. Легко показать, что для волн, близких к гармоническим, так
определенное направление распространения совпадает с направлением групповой
скорости. Знание направления распространения волны необходимо для ответа на вопрос,
происходит ли в данной среде усиление волны или ее ослабление. Если волна
распространяется в направлении оси χ и при δ = О имеем у > 0, то волна усиливается.
В противном случае — ослабляется.
Системы, в которых возможно усиление волн, разделяют на конвективно и
абсолютно неустойчивые [213, 294]. Пусть в начальный момент времени t = 0 на систему
наложено возмущение в некоторой ограниченной области значений координаты х.
Если при стремлении t к бесконечности возмущение в любой точке с конечным
значением χ будет стремиться к нулю, а при я, стремящемся к бесконечности как ciy

Гл. П. Вынужденные колебания и волны в активных системах
225
где с — некоторая величина, называемая скоростью сноса, будет неограниченно
возрастать, то говорят, что такая система обладает конвективной (или сносовой)
неустойчивостью. Если же при стремлении t к бесконечности возмущение в
любой точке области начального возбуждения неограниченно возрастает, то система
называется абсолютно неустойчивой. Наличие абсолютной неустойчивости
означает, что в каждой точке системы имеется локальная обратная связь, т.е. каждая
точка работает как некоторый генератор. В системах же с конвективной
неустойчивостью локальной обратной связи нет. Поэтому такие системы при конечных
значениях χ представляют собой не генераторы, а усилители волн.
В книге [213] показано, что определить характер неустойчивости системы
можно на основе дисперсионного уравнения. Не повторяя здесь громоздких выкладок,
проведенных в [213], сформулируем критерий абсолютной неустойчивости:
система будет обладать абсолютной неустойчивостью, если в какой-либо области
частот ώ = Reu> при увеличении S от —оо до 0 два корня дисперсионного уравнения
(11.2.1), имеющие мнимые части разных знаков, сливаются на действительной оси,
т.е. появляется кратный действительный корень. Если же абсолютной
неустойчивости нет, а усиление волн в системе происходит, то такая система является
конвективно неустойчивой.
11.3. Взрывная неустойчивость
Рассмотрим один интересный эффект, который может иметь место при
распространении волн в активных нелинейных средах, приток энергии в которых зависит
от координат системы. Этот эффект заключается в возникновении так называемой
взрывной неустойчивости. Неустойчивость называется взрывной, если амплитуды
волн нарастают до бесконечности на конечном расстоянии от границы среды.
В качестве примера рассмотрим явление взрывной неустойчивости для волн в
полу бесконечной балке, лежащей на упругом основании и обладающей малым
нелинейным отрицательным трением. Уравнение волн в такой балке зададим в виде
д2и д4и ди
где б — малый параметр. Пусть на границе балки (при χ = 0) заданы возмущения
на частотах и>0, и>\ и ω2> для которых по крайней мере приближенно выполняется
условие фазового синхронизма, т.е.
w0 = wi+W2, Аго — *ι - к2 = Δ « *0. (11.3.2)
Порождающее решение уравнения (11.3.1) зададим в виде
и = A0ei{wot-koX) + Aje'^1'-*1*) + А2е^^к^ + к.с..
Легко показать, что в первом приближении по малому параметру € уравнения для
амплитуд Ао, А\ и А2 имеют вид
-*r + vo~-*~ = ό ММ^ , —ЗГ- +vi.2 -з—= о Л0А21е ,(11.3.3)
at ах 2pu>o dt αχ 2ρω1)2
где vj = 2Е1Щ/ρω} — групповая скорость волны с частотой u>j (j = 0,1,2). В

226
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
стационарном режиме из (11.3.3) получаем
^0 a Л л ,Ддг dA\2 α л л*
— = β0ΑλΑ2 е|Л*, —^ = β1)2Λ0Α21 е
-»Δ#
(11.3.4)
где 0j = €/(2ρωάυά).
Граничные условия для уравнений (11.3.4) зададим в виде
Ао{0) = Л00> Λι(0) = Л10, Л2(0) = А20. (11.3.5)
Решение уравнений (11.3.4) с граничными условиями (11.3.5) при Δ = 0 в общем
случае можно выразить в неявной форме через эллиптические интегралы 1-го рода.
Действительно, при Δ = 0 из (11.3.4) легко получить два закона сохранения
А2
\1 л2 \1 а1 а1 л2
A2
20
= C2,
(11.3.6)
0o 0\ 0o 0\ 0o 02 0o 01
где С\ и Ci — константы. Исключая с помощью этих законов А\ и Αι, получаем
следующее уравнение для амплитуды Aq:
^ = 1\J{Al ~ 0оСх)(А1 - 0ОС2), (11.3.7)
где 7 = V0102 ■ Решение этого уравнения в неявной форме имеет вид
F(y>,k)-F(vp0,k)=a7x, (11.3.8)
где F(ip, k) — эллиптический интеграл первого рода (к — модуль эллиптического
интеграла), <р0 = <р\Ао=Аво,
a - <
1
1
ψ = \
Л0
arctg
arcsin
V0O\C2
arccos ■
Ι ΑΙ - 0pCi
V ΆΙ - 0OC2
VPo~Ui~
r~cr
V yCi-Q
при
при
при
при
при
при
при
при
при
Ci,2<0, |Ci|>|Cj|,
Ci,2 > 0, d > С2,
С, < О, С2> О,
Ci,2<0, |Ci|>|C2|,
Ci,2 > 0, d> C2,
Ci < О, С2> 0,
Ci,2<0, |Сг|>|С3|,
Ci,2 > 0, d > С2,
Ci < 0, С2 > 0.

Гл. 11. Вынужденные колебания и волны в активных системах
227
Лишь при некоторых частных видах граничных условий решение (11.3.8)
выражается через элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них:
1) При Аю = \Ζβ\/βοΛ00) А20 = \7#>//Моо имеем С\ = С2 = 0 и
Α,· = Λ,·ο/(1-74>ο*) (j = 0,1,2).
(11.3.9)
Из (11.3.9) видно, что все амплитуды Aj возрастают с ростом координаты χ по
одинаковому закону, обращаясь в бесконечность при χ — 1/(7^оо)· Это явление как
раз и называется взрывной неустойчивостью.
2) При Аю φ \Ζβ\/βοΛο0) А2о = \/β2/βοΑοο имеем С\ φ 0, С2 = 0. Здесь следует
различать два случая: а) С\ > 0 и б) С\ < 0. В обоих случаях удается получить явные
выражения для всех амплитуд Aj. В случае а)
Ло =
100
cos 77i x - ч/^оо/ч? - 1 si
sin'
(11.3.10)
A^VfaCl
γ \/^oo/7? "~ 1 s*n ^77i x - cos 2771 χ
cos 771 χ - v^loo/7? ~ ! sin 77i x
A2 =
где 7i = \/βο\0\\. Из (11.3.10) следует, что амплитуды Aj (j =0,1,2) обращаются
в бесконечность при χ = хо = (l/77i)arctS 17ι/\/^οο ~ 7? ) ·
В случае б)
<4оо
Л0 =
ch77i^^ y/Aloh\ + ] sb77i«
(11 3.11)
Л! = ХМ[СГ[
^/ch2771 * ^ >Λοο/7ι ^ 1 sh277ix
ch77i* - У^оо/7? + lsh77i*
Амплитуды Aj обращаются в бесконечность при
1
χ = х0 = Аг th 1 =
771 v^o + 7?
3)При /М?о = /М20» /М?о > /Moo имеем Ci = С2 < 0 и
Лоо cos 771 з + 7i sin 77ix
71^10,20
Л0 — 7l 1 : > A\t2 = τ : . (11 Л. 12)
7ι со8 771ж - ^oosin77i;r 7i cos 771 χ - Лоо sin 77! χ
В этом случае, как видно из (11.3.12), амплитуды Aj также возрастают до
бесконечности при χ = хо, где х0 = (l/77i)arct,S (71 Moo)· Этот эффект имеет место
даже при Лоо = 0.
4)При β2Α\0 = /Mio» β0Α2ι0 < /Moo имеем С\ = C2 > 0 и
40och77ix-7ish771x
Л0 = 7ι г 1 г > ^ι,2
7i en 77ι х - Аоо sh 771*
71^10,
20
7ι сЬ 77ιх - ^00 sh 771х
(11.3.13)

228
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Так как у\ < Лоо, то при χ = х0 = (l/77i) Arth(7iMoo) все амплитуды Aj также
обращаются в бесконечность.
Следует ожидать, что при учете линейного трения в балке обращения амплитуд в
бесконечность не должно произойти. Однако их значения в некоторой точке χ = xq
могут быть достаточно большими.
Заметим, что, хотя уравнения (11.3.3) выведены нами для конкретной системы,
их вид является достаточно общим для любых сред с квадратичным отрицательным
трением. Поэтому полученные результаты также имеют достаточно общий
характер. В этом лишний раз проявляется универсальность законов теории колебаний и
волн.
Другим механизмом появления взрывной неустойчивости может быть
взаимодействие волн с положительной и отрицательной энергиями (относительно волн с
отрицательной энергией см. следующий пункт). Такой тип взрывной
неустойчивости экспериментально наблюдался и теоретически исследовался в работах [59, 60,
162, 516, 285, 286].
11.4. Волны с отрицательной энергией и связанная с ними
неустойчивость
Понятие волн с отрицательной энергией впервые было введено Л. Чу в 1951г.
[374] при исследовании волн в электронном потоке. Затем это понятие
использовалось во многих работах (см., например,
[603, 128, 129, 239, 266, 634, 240, 284]). Тот
факт, что волна имеет отрицательную
энергию, означает, что увеличение
амплитуды этой волны приводит к
уменьшению полной энергии волны и среды.
Следствием этого может быть эффект
нарастания волн с отрицательной
энергией при увеличении внутренних потерь в
среде (внутреннего трения). Очевидно,
что такой эффект возможен лишь в
активных средах, иначе он бы
противоречил второму началу термодинамики.
Ниже мы продемонстрируем возможность
существования волн с отрицательной энергией и рассмотрим их свойства на
простом примере безграничной мембраны, обтекаемой с одной стороны (при у > 0)
потоком жидкости, движущимся вдоль оси χ со скоростью U (рис. 11.2).
Задача о возбуждении волн в такой мембране безотносительно к понятию о
волнах с отрицательной энергией описана в книге [45]. В работе [361] показано, что
в рассматриваемой системе полная энергия при возбуждении волн в мембране
может уменьшаться, что свидетельствует о том, что энергия этих волн
отрицательна.
Если обозначить давление в движущейся жидкости через p{x,y,t), а давление с
другой стороны мембраны через р0, то уравнение колебаний мембраны будет иметь
Рис. 11.2. Одностороннее обтекание
безграничной мембраны

Гл. 11. Вынужденные колебания и волны в активных системах
229
вид
д2ч д2и
РоН-^-Т^=ро-р(х,ОЛ (ПАЛ)
где ро — плотность материала мембраны, h — толщина мембраны, Τ — натяжение.
Предполагая движение жидкости потенциальным с потенциалом φ, из уравнений
Эйлера в линейном приближении находим
\dt + дх)
p(x,y,t) = p^-£ + U-£)+po, (11.4.2)
где ρ — плотность жидкости. При условии несжимаемости жидкости потенциал φ
должен удовлетворять уравнению Лапласа
θ2φ θ2φ η
которое следует решить с граничным условием
ду
(дч тг ди\
Последнее следует из условия равенства смещений частиц жидкости и мембраны
при у — О в направлении, нормальном к границе.
Частное решение уравнений (11.4.1)-( 11.4.3) с граничным условием (11.4.4) в
линейном приближении можно искать в виде
и = tioe1'*"'-**), φ = My)et{wt-kx). (11.4.5)
Подставляя (11.4.5) в (11.4.3) и учитывая, что <р(х,оо) должно равняться нулю,
находим
<Ро(у) = Ве~кУ, (11.4.6)
где к = k sign Re к. Учитывая теперь граничное условие (11.4.4), определяем В:
В = l-(u-kU)uo. (11.4.7)
Таким образом, из (11.4.2) находим
р(ж,(М) = --(ω- H/)2ti + p0j (11.4.8)
/с
и следовательно, уравнение (11.4.1) принимает вид
Отсюда находим дисперсионное уравнение
G>, *) = p0hu2 - Тк2 + t (ω _ kU)2 = 0. (11.4.10)
/С

230
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Можно показать, что для каждого значения частоты ω уравнение (11.4.10)
определяет четыре волновых числа к (из них два могут быть комплексными), т.е. четыре
волны. Две из этих волн имеют групповые скорости, направленные вдоль потока, а
две другие — в противоположном направлении.
Если волновое число к считать заданным, то уравнение (11.4.10) можно
разрешить относительно частоты ω. Это решение имеет вид
-ш(Ч>+№-,>+,)} (im,>
где 6 = роНк/р} a = \jT j p§h — скорость упругих волн в мембране. Зависимости
ώ = (p0h/pa)u> отк = {poh/p)k для трех значений отношения Ufa в действительной
области значений волновых чисел к и частот ω показаны на рис. 11.3. Для сравнения
на том же рисунке показаны соответствующие зависимости при U ~ 0. Из рисунка
Рис. 11.3. Зависимости ώ от к для U = 0 (кривые 1 и I'), Ufa = 0.8 (2 и 2х), U/a = 1 (ЗиД
U/a = 1.2 (4 и 4'). Дисперсионные ветви, соответствующие знаку «+» перед радикалом в
выражении (11.4.11), обозначены цифрами 1, 2, 3, 4, а знаку ♦—» — 1', 2х, 3\ 4'. Штриховые
линии соответствуют волнам с отрицательной энергией
видно, что ветви ?, ί и ί в некотором диапазоне значений к имеют аномальную
дисперсию, т.е. групповые скорости соответствующих волн противоположны по
направлению их фазовым скоростям.
Из формулы (11.4.11) следует, что при U < ал/b + 1 частота ω является
действительной, но при
U >ау/Ъ+\ (11.4.12)
значения частоты ω всегда являются комплексными, что означает неустойчивость
возмущений в определенном диапазоне длин волн. Соответствующий диапазон
волновых чисел определяется из условия \к\ < (p/poh)(U/a — 1). Отсюда видно, что
в рассматриваемой модели неустойчивость может возникнуть лишь в
«сверхзвуковом» потоке, когда U > а. Отметим, что эта неустойчивость является конвективной
и поэтому сама по себе может привести лишь к усилению волн.
Для волн с действительными значениями ω и к средняя энергия сохраняется,
т.е. система является в среднем консервативной. Для вычисления средней энергии

Гл. 11. Вынужденные колебания и волны в активных системах
231
можно ввести некоторый эффективный усредненный лагранжиан £(ω,/:), который,
в соответствии с формулой (10.9.20) можно вычислить, зная дисперсионное
уравнение, а именно:
£(w>*) = G(w,ifc)tig> (11.4.13)
где G(w,fc) — левая часть дисперсионного уравнения. Из формулы (10.9.23)
следует, что среднее за период волны значение плотности энергии W выражается через
£(ω,&) по формуле W = ωδ€/θω. Отсюда, учитывая (11.4ЛЗ), находим
W = ωχι20—. (11.4.14)
οω
Дифференцируя G(u>, к) по ω, выражая ω через к по формуле (11.4.11) и подставляя
dG/δω в (11.4.14), получаем
W = T2pwt/tigsign kJl + № - Λ (Ы- 1). (11.4.15)
Отсюда видно, что для дисперсионных ветвей 1', 2*, 3* при положительных
значениях к, т.е. при условии и>к > 0, средняя энергия волн является отрицательной. Такие
ветви помечены на рис. 11.3 штриховыми линиями.
Покажем теперь, что наличие сил внутреннего трения в мембране приводит к
неустойчивости волн с отрицательной энергией. С учетом сил трения уравнение
(11.4.1) принимает вид
, d2u , du md2u
р0 ~№*р0 Έ~ Ί& = р°-р(*·0'*)· (п.4.16)
Подставляя сюда (11.4.5) и (11.4.8), получаем следующее дисперсионное
уравнение:
pohu;2 - Тк2 + £(ц> - Art/)2 - ip0hau> = 0. (11.4.17)
Κι
Предполагая, что коэффициент трения α достаточно мал, приближенное решение
уравнения (11.4.17) можно записать в виде
ω = ωο{ι + -θοΙ±^>—)■ (11418)
где G(w, к) — левая часть невозмущенного дисперсионного уравнения (11.4.10), и>о
— один из корней этого уравнения. Из (11.4.18) видно, что для волн с
отрицательной энергией, когда dG/'du>\w=WQ < 0, наличие сил трения действительно приводит
к неустойчивости этих волн.

232
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Глава 12. Некоторые общие сведения об
автоколебательных системах
12Л. Механизмы возбуждения автоколебаний и ограничения
их амплитуды в системах с малым числом степеней
свободы. Мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний
Наиболее известным механизмом возбуждения автоколебаний является так
называемое отрицательное трение (или отрицательное сопротивление). Для
определенности мы будем говорить только об отрицательном трении. Такой характер
трения может быть получен за счет обратной связи. Классическим примером системы,
в которой проявляет себя подобный механизм самовозбуждения, является ламповый
генератор, исследованный еще Ван-дер-Полем [627]. Обратная связь, приводящая к
возникновению отрицательного трения, называется положительной обратной
связью. Отрицательное трение может быть как линейным, так и нелинейным. Линейное
отрицательное трение приводит к самовозбуждению автоколебаний, т.е. к их
возникновению при сколь угодно малых начальных возмущениях. В простейшем случае
механизм самовозбуждения автоколебаний за счет линейного отрицательного
трения описывается уравнением вида
χ -/ii + ц}х = 0 {μ>0). (12.1.1)
Значение μ = О называется порогом самовозбуждения.
Если при переходе через порог самовозбуждения амплитуда автоколебаний
нарастает плавно, начиная с нулевого значения, то говорят, что возбуждение колебаний
происходит мягко. В противном случае, когда амплитуда автоколебаний нарастает
скачком, говорят о жестком возбуждении колебаний. При жестком возбуждении
автоколебания могут существовать и при отсутствии самовозбуждения, когда
линейное трение положительно. При этом для их возбуждения системе нужно
сообщить начальный толчок конечной величины. К возможности жесткого возбуждения
может привести наличие в системе нелинейного отрицательного трения. Модельное
уравнение для этого случая имеет вид
χ - (μ + ах2)х + ω%χ = 0 (а > 0). (12.1.2)
При μ < 0 самовозбуждение колебаний отсутствует, но устойчивый предельный
цикл в фазовом пространстве системы в определенном диапазоне значений μ
существует. При μ = 0 происходит так называемая обратная бифуркация Андронова и
система становится самовозбуждающейся *).
Другим весьма распространенным, хотя и менее известным, механизмом
возбуждения автоколебаний является так называемое инерционное взаимодействие
г)В западной литературе такал бифуркация, как и прямая бифуркация (рождение устойчивого
предельного цикла из устойчивой особой точки), известна как бифуркация Хопфа. Однако Хопф
классифицировал эти бифуркации только в 1942 г. [446], тогда как Андронов и Леонтович описали
их еще в 1939г. [5] (правда, только для систем с одной степенью свободы).

Гл. 12. Некоторые общие сведения об автоколебательных системах
233
между динамическими переменными, возникающее вследствие инерционности
цепи обратной связи. Автоколебательные системы с таким механизмом возбуждения
получили название систем с инерционным возбуждением.
Структурная схема простейших автоколебательных систем с инерционным
возбуждением показана на рис. 12.1. О математических моделях систем подобного
вида речь шла в гл. 5. Инерционное
взаимодействие между динамическими переменными,
как и отрицательное трение, может быть
как линейным, так и нелинейным.
Линейное взаимодействие при выполнении
определенных условий может приводить к
самовозбуждению автоколебаний, а нелинейное
— к жесткому возбуждению. Простейшие
модельные уравнения систем с линейным и Рис. 12.1. Блок-схема простейших ав-
нелинейным инерционными взаимодействи- токолебательных систем с инерционным
ями соответственно имеют вид (5.3.29) и возбуждением
(5.3.30).
Возможны и другие механизмы возбуждения автоколебаний, но в реальных
системах с малым числом степеней свободы они встречаются крайне редко.
Механизмы ограничения амплитуды автоколебаний в некоторой степени
подобны механизмам возбуждения, но принципиально должны иметь нелинейный
характер. Простейшим механизмом ограничения является нелинейная отрицательная
обратная связь, приводящая к нелинейному положительному трению. Основными
модельными уравнениями, описывающими этот механизмх являются уравнения Ван-
дер-Поля (5.3.24) и Релея (5.3.25). Если нелинейная обратная связь в системе,
приводящая к ограничению автоколебаний, является инерционной, то такие системы
получили название систем с инерционной нелинейностью. Простейшие уравнения
таких систем имеют вид (5.3.31).
12-2. Механизмы возбуждения автоколебаний в системах
с высокочастотными источниками энергии
В гл. 4 мы уже отмечали, что некоторые нелинейные системы с достаточно
высокочастотными (по сравнению с собственными ритмами системы) периодическими
источниками энергии удовлетворяют данному нами определению
автоколебательных систем. Остановимся на двух основных механизмах возбуждения колебаний в
таких системах.
Один из них связан с возникновением параметрического резонанса высокого
порядка. Такой механизм может проявляться в системах с малым по сравнению с
периодом возникающих автоколебаний временем взаимодействия с источником энергии.
При этом, как можно показать, система так регулирует поступление энергии, что
за время взаимодействия она получает толчки нужной величины и в нужной фазе.
В результате могут возбудиться колебания, частота которых в достаточно большое
целое число раз меньше частоты источника. При изменении частоты источника
частота возбуждаемых колебаний скачкообразно изменяется в небольших пределах,
оставаясь все время близкой к собственной частоте колебательного элемента систе-

Колебательный элемент!
Усилитель
Инерцион
ный элемент!
-Кх

234
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
мы (это достигается перескоками от одного целого числа к другому). Существенно,
что возбуждение колебаний в таких системах является жестким.
Другой механизм связан с возникновением комбинационного резонанса
высокого порядка. Он может проявиться в системах, состоящих из двух подсистем, одна
из которых эффективно откликается на высокочастотные внешние и внутренние
воздействия, а другая — на низкочастотные внутренние воздействия. За счет
нелинейного взаимодействия между подсистемами возникают комбинационные
частоты, так что колебания в «высокочастотной» подсистеме становятся
квазипериодическими. Вследствие нелинейного взаимодействия этих колебаний с колебаниями
источника происходит перекачка энергии высокочастотного источника в энергию
низкочастотных колебаний. Последние обладают всеми свойствами автоколебаний.
При этом в зависимости от вида нелинейности возможно как мягкое, так и жесткое
возбуждение этих автоколебаний.
12.3. Механизмы возбуждения автоколебаний в
распределенных системах. Абсолютная неустойчивость
как механизм возбуждения автоволн
Механизмы возбуждения автоколебаний в распределенных системах более
сложны и разнообразны, чем механизмы возбуждения автоколебаний в системах с малым
числом степеней свободы. Поэтому мы ограничимся лишь некоторым формальным
рассмотрением. Необходимым условием самовозбуждения автоколебаний в
распределенных системах является неустойчивость некоторых возмущений, приводящая
к их усилению в направлении распространения. Как уже говорилось в гл. 11,
системы, в которых возможно усиление возмущений, разделяют на конвективно и
абсолютно неустойчивые. Если#система является конвективно неустойчивой, то для
возбуждения в ней автоколебаний нужно создать обратную связь. Обычно
необходимая обратная связь возникает за счет многократного отражения волн от границ
системы. В кольцевых системах обратная связь возникает за счет многократного
прохождения одной и той же волны через активную среду.
В системах же с абсолютной неустойчивостью такая глобальная обратная связь
не является необходимой, так как в каждой точке такой системы имеется локальная
обратная связь, т.е. каждая точка работает как некоторый генератор.
Автоколебания, возбуждающиеся в системах с абсолютной неустойчивостью, принято называть
автоволнами.
12.4. Автоколебательные системы томсоновского и
релаксационного типов. Стохастические и
хаотические автоколебания
В зависимости от формы генерируемых периодических колебаний
автоколебательные системы делят на системы томсоновского и релаксационного типов.
Первые представляют собой слабо нелинейные системы, содержащие высоко добротный
колебательный элемент, и потому требующие для поддержания незатухающих
колебаний малого притока энергии от источника. Вследствие этого колебания, генери-

Гл. 12. Некоторые общие сведения об автоколебательных системах
235
руемые в таких системах, по форме близки к гармоническим, а их частота близка
к собственной частоте колебательного элемента. Системы второго типа, наоборот,
характеризуются большой нелинейностью и глубоким обменом энергии с
источником. Автоколебания в таких системах по форме очень далеки от гармонических и
в пределе имеют разрывный характер. Период автоколебаний, как правило,
определяется временем релаксации переходных процессов, что и обусловило название
указанных систем.
Как уже указывалось в гл.З, автоколебания в сильно нелинейных системах не
всегда являются периодическими, а могут иметь случайный характер. Такие
системы в зависимости от типа аттрактора мы будем называть стохастическими или
хаотическими. Определение стохастических и хаотических аттракторов было дано
в гл.З.
Заметим, что большинство аналитических методов исследования
автоколебательных систем (см., например, [177]) относится к системам томсоновского типа.
Небольшое число методов можно использовать для расчета релаксационных
колебаний в системах специального вида, описываемых дифференциальными
уравнениями с малыми параметрами при группе старших производных (см., например,
[64, 65, 76, 231]). Стохастические и хаотические системы, как правило, не
поддаются аналитическому исследованию. Правда, появившиеся совсем недавно методы,
связанные с так называемым «wavelet» преобразованием 2) [378], позволяют в
некоторых случаях получить приближенные решения для таких систем.
Указанное разделение автоколебательных систем на различные типы в
зависимости от формы генерируемых колебаний является условным в том смысле, что
одна и та же система при изменении параметров может переходить от одного типа
к другому. Так, вблизи порога самовозбуждения все системы, автоколебания в
которых возбуждаются мягко, можно отнести к системам томсоновского типа. При
значительном удалении от порога самовозбуждения автоколебания могут либо
принять релаксационный характер, либо стать стохастическими или хаотическими а).
Переход к стохастическим и хаотическим движениям при изменении параметра
возникает в результате потери устойчивости существующих ранее регулярных
движений. Основные пути, по которым такая потеря устойчивости может происходить,
имеют универсальный характер, не зависящий от вида уравнений, описывающих
систему. Они будут рассмотрены в следующем пункте. Если возбуждение
автоколебаний имеет жесткий характер, то стохастические или хаотические движения
могут возникнуть скачком при переходе через порог самовозбуждения. Такая
ситуация, как мы увидим ниже, имеет место в системе Лоренца в определенной области
параметров.
12.5· Возможные пути потери устойчивости регулярных
движений и возникновение хаоса и стохастичности
Рассмотрим основные возможные пути потери устойчивости регулярных
движений, сопровождающиеся переходом к хаосу или стохастичности.
2'К сожалению, этот термин пока не переведен на русский язык.
3>В системах с числом степеней свободы N > 2 колебания по мере удаления от порога
самовозбуждения могут стать также квазипериодическими с двумя и более несоизмеримыми частотами.

236
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
1. Сценарий Феигенбаума. Наиболее распространенным сценарием потери
устойчивости периодических движений и перехода к хаосу в реальных системах
является так называемый сценарий Феигенбаума, заключающийся в бесконечной
последовательности бифуркаций удвоения периода [398]. Следует отметить, что
существование таких последовательностей было известно математикам еще задолго
до работы Феигенбаума (см., например, работу А.Н. Шарковского [330]), однако
именно М.Фейгенбаум установил для этой серии бифуркаций универсальные
количественные закономерности. Основываясь на одномерном квадратичном
отображении, получившем затем его имя, Фейгенбаум показал, что значения параметра μ,
при которых происходят последовательные бифуркации удвоения периода, связаны
соотношением
|im /*»-/*"-! =f> (ШЛ)
η-κ» μη+1 - μη
где μη — значение μ, соответствующее п~й бифуркации, δ = 4.6692 ... —
универсальная константа, получившая название константы Феигенбаума. Из (12.5.1)
следует, что разности двух соседних бифуркационных значений μ (μη — μη-\) при
достаточно большом π образуют сходящуюся геометрическую прогрессию со
знаменателем q — S~l. При μ = μοο = Итп_юо ΑΉ в системе не остается ни одного
устойчивого цикла и имеет место стохастичность. При дальнейшем изменении
параметра μ вновь возникают устойчивые периодические движения различных
периодов, но их области притяжения в широких диапазонах изменения μ являются
малыми. Вследствие этого колебания в системе носят хаотический характер и им
соответствует хаотический аттрактор. Лишь в сравнительно узких областях
изменения μ возникающие устойчивые циклы имеют значительные области
притяжения, что позволяет их наблюдать. Эти области значений μ называются окнами
периодичности. Как правило, удается наблюдать циклы утроенного и
упятеренного периодов. Отметим, что переход к хаосу по сценарию Феигенбаума проявляется
в характерном изменении спектров автоколебаний [399, 537], что делает его легко
наблюдаемым,
2. Переход к хаосу через слияние устойчивого предельного цикла с
неустойчивым и последующее исчезновение обоих циклов. Другим весьма
распространенным сценарием потери устойчивости периодических движений является
слияние и последующее исчезновение устойчивого и неустойчивого циклов. В
результате такой бифуркации может возникнуть хаотическое движение,
характеризующееся свойством так называемой перемежаемости. Это свойство заключается в
том, что в фазовом пространстве изображающая точка долгие промежутки времени
движется вблизи исчезнувших циклов, т.е. совершает почти регулярные колебания
(так называемые «ламинарные» фазы). Эти долгие промежутки почти регулярного
движения перемежаются короткими промежутками нерегулярных всплесков
(«турбулентные» фазы). Средняя длительность ламинарных фаз может быть оценена при
рассмотрении модельного отображения (см., например, [187, 188, 441, 448]).
Если до слияния устойчивого и неустойчивого циклов (или неустойчивого
цикла и устойчивой особой точки) в фазовом пространстве системы уже существовал
хаотический или стохастический аттрактор, то перемежаемость не возникает.
Такая ситуация имеет место, например, в системе Лоренца при переходе к хаосу со
стороны малых значений параметра г.

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 237
3. Переход к хаосу нерез разрушение двумерного тора. Если до перехода
к хаосу в системе существовало устойчивое движение, соответствующее в фазовом
пространстве двумерному тору с периодической или квазипериодической обмоткой,
то при изменении параметра этот тор может разрушиться, вследствие чего
движение может стать хаотическим. Разрушение тора возможно различными путями,
например, в результате конечного числа бифуркаций удвоения его квазипериода
[463, 464], либо вследствие потери гладкости, либо в результате бифуркаций циклов
на самом торе [248]. Ряд примеров разрушения двумерного тора приведен в книге
[10].
4. Сценарий Рюэля-Такенса. В системах с достаточно большим числом
степеней свободы переход к хаосу при изменении параметра может происходить путем
смены устойчивого предельного цикла сначала двумерным, а затем трехмерным
тором- Как показали Рюэль и Такенс [578], потеря устойчивости трехмерного тора,
как правило, должна привести к рождению стохастического (или хаотического)
аттрактора, так как четырехмерный тор в случае общего положения неустойчив.
Более того, стохастический или хаотический аттрактор может родиться на
поверхности самого трехмерного тора, не приводя к его разрушению [248].
В заключение заметим, что в системах с разрывными характеристиками, в
частности с ударами, переходы к хаосу имеют некоторые особенности. В частности, они
могут происходить в результате конечной или бесконечной последовательности
бифуркаций удвоения периода, связанных с так называемой касательной бифуркацией
(или С-бифуркацией) (см., например, [551]), [316]). Интересно, что впервые
возможность удвоения периода в результате С-бифуркации была, по-видимому,
обнаружена М.И.Фейгиным в 1970 г. [315], еще до работ Фейгенбаума.
Глава 13. Примеры автоколебательных систем с
сосредоточенными параметрами
13.1. Ламповые и полупроводниковые генераторы.
Уравнения Ван-дер-Поля и Релея
Ламповые генераторы являются классическими примерами автоколебательных
систем, которые в простейших случаях можно описать уравнениями Ван-дер-Поля
или Релея. Именно им были посвящены первые работы Ван-дер-Поля [62, 627, 630]. В
дальнейшем электронные лампы были заменены полупроводниковыми триодами —
транзисторами, но основная суть работы этих генераторов осталась неизменной.
Структурная схема лампового или полупроводникового генератора может быть
представлена в виде, показанном на рис. 13.1, Колебательный контур включен на
вход нелинейного усилителя, выходной сигнал которого вызывает ЭДС индукции в
контуре. Ламповый и полупроводниковый генераторы отличаются только тем, на
каких активных элементах — лампах или транзисторах — построен усилитель.
Если обозначить через χ напряжение на входе усилителя, а через у — ток в

238
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
катушке L\> то уравнения колебаний в таком генераторе будут иметь вид
χ + RCx + LCx = My,
У = /(*),
(13.1.1)
(13.1.2)
где f(x) — нелинейная функция, описывающая характеристику усилителя. Из
функции f(x) удобно выделить линейный член Sox> имеющий смысл крутизны вольтам-
перной характеристики усилителя на линейном
-*— участке. Тогда, как следует из (13.1.2), имеем
"Τ-1 У=(5о + 5(х))х, (13.1.3)
где S(x) = df/dx — SO — функция,
обращающаяся в нуль при χ — 0.
Подставив (13.1.3) в уравнение (13.1.1) и
разделив обе его части на LC', получим
Рис. 13.1. Структурная схема
лампового или полупроводникового
генератора
х - Ιη - F(x))x
+ ω?χ = 0,
(13.1.4)
где η = (MSq — RC)/LC — величина,
пропорциональная линейному отрицательному
сопротивлению контура, возникающему за счет обратной связи, F(x) = —MS(x)/LC —
нелинейная функция, описывающая нелинейное сопротивление контура, ω0 = l/y/LC
— собственная частота колебательного контура. В случае, когда диапазон
изменения переменной χ в процессе автоколебаний не очень велик, функцию F(x) можно
разложить в ряд относительно χ = 0:
F{x) = χ + αχ2 + Sx3 + ....
(13.1.5)
Как будет видно из дальнейшего, члены ряда (13.1.5), содержащие нечетные
степени х, в первом приближении не влияют на амплитуду и частоту автоколебаний.
Поэтому их обычно не принимают .во внимание и ограничиваются лишь членами с
четными степенями х. В частности, если нелинейное сопротивление всегда
положительно, то можно положить F(x) = ax2. В этом случае путем замены переменных
г = ω0ί> xf = y/T/ηχ уравнение (13.1.4) сводится к уравнению Ван-дер-Поля (5.3.24)
χ — μ(1 — αχ2)χ + χ = 0,
(13.1.6)
где μ = η/ω0.
Если нелинейное положительное сопротивление зависит не от х, а от х, то вместо
уравнения Ван-дер-Поля можно получить уравнение Релея (5.3.25)
χ - μ(\ - αχ2)χ + χ = 0,
(13.1.7)
Уравнения (13.1.6) и (13Л.7) описывают как процессы самовозбуждения
автоколебаний (при μ > 0), так и процессы ограничения их амплитуды (при a > 0).
Фазовые портреты для уравнений (13.1.6) и (13.1.7) при μ < 1 примерно
одинаковы (рис. 13.2 а), а при μ > 1 существенно отличаются (рис. 13.2 6). В первом

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 239
Ван-дер-Поль Релей
где
Рис. 13.2. Фазовые портреты уравнений Ван-дер-Поля и Релея для μ < 1 (о) и μ = 5 (б);
решения уравнений Ван-дер-Поля и Релея (в) для μ = 5 (кривые 1 соответствуют x(t), 2 —
x(t))\ виды точечных отображении для уравнений Ван-дер-Поля и Релея в случаях μ С 1
(г) и μ ~ 1 ((?); качественная зависимость амплитуды автоколебаний Л от превышения над
порогом самовозбуждения μ для уравнений Ван-дер-Поля и Релея (е)
случае состояние равновесия является неустойчивой особой точкой типа фокуса, а
предельный цикл по форме близок к эллипсу. Перед выходом на предельный цикл
изображающая точка совершает много оборотов вокруг начала координат. Во
втором случае состояние равновесия является неустойчивой особой точкой типа узла, а

240
Часть Я/. Активные системы. Автоколебания и автоволны
предельные циклы имеют сложную форму. Время выхода изображающей точки на
предельный цикл очень мало. В качестве примера, решения уравнений Ван-дер-Поля
и Релея и соответствующие фазовые портреты для μ — Ъ показаны на рис. 13.2 β
и б. Мы видим, что для достаточно больших значений μ колебания близки к
разрывным. В то время как при μ <С 1 период автоколебаний практически не зависит
от μ и приблизительно равен периоду собственных колебаний контура То = 2тг,
при μ ^> 1 период автоколебаний полностью определяется значением параметра μ,
а именно Τ « δμ/Зл/З . Рассматривая процесс установления стационарных
автоколебаний, можно показать, что их время установления, часто называемое временем
релаксации, порядка /ι"1. Таким образом, при μ ^> 1 период автоколебаний обратно
пропорционален времени релаксации. Как уже отмечалось в предыдущей главе,
благодаря такой зависимости периода автоколебаний от времени релаксации и возник
сам термин «релаксационные автоколебания».
Уравнения Ван-дер-Поля и Релея играют очень большую и важную роль в теории
автоколебаний, так как они отражают самые существенные черты всех
автоколебательных систем с мягким возбуждением, а именно возможности самовозбуждения
колебаний (условие самовозбуждения μ > 0) и ограничения их амплитуды (условие
ограничения а > 0). Кроме того, эти уравнения могут описывать
автоколебательные системы как томсоновского (μ <С 1), так и релаксационного (μ ^> 1) типов.
Как уже говорилось, в системах томсоновского типа изменение энергии в
течение «периода» колебаний мало по сравнению с запасенной энергией. Это условие
отражается в малости параметра μ. Указанное свойство систем томсоновского
типа хорошо проявляется в форме фазового портрета (см. рис. 13.2 а) и в графике
точечного отображения при μ <^ 1 (см. рис. 13.2 г). Это отображение построено
следующим образом: в качестве секущей была выбрана прямая х = 0и построена
зависимость координаты n-й точки пересечения хп от координаты η — 1-й точки
пересечения хп_ь Из рис. 13.2 г видно, что точечное отображение прижимается к
биссектрисе, а установление стационарных автоколебаний происходит за большое
число «периодов». В случае μ ~ 1 вид точечного отображения показан на рис. 13.2 д.
При переходе через порог самовозбуждения амплитуда автоколебаний,
описываемых уравнениями Ван-дер-Поля и Релея, нарастает плавно (рис. 13.2 е). Как уже
говорилось, это признак систем с мягким возбуждением автоколебаний.
Если в разложении (13.1.5) коэффициент а отрицателен, то уравнение Ван-дер-
Поля не описывает процесс ограничения амплитуды автоколебаний. Наоборот, с
ростом амплитуды инкремент растет. Чтобы описать эффект ограничения
амплитуды в этом случае, рассмотрим уравнение более общего вида:
χ - (η - ах2 - βχ4)χ + χ = 0. (13.1.8)
Фазовые портреты для уравнения (13.1.8) при а < 0, β > 0 показаны на рис. 13.3
в двух случаях: η < 0 и η > 0. Если η* < η < 0, где η* — некоторое критическое
значение параметра η, определяемое коэффициентами а и β, то состояние равновесия
системы устойчиво, а фазовый портрет содержит устойчивый и неустойчивый
предельные циклы. При малых начальных возмущениях колебания затухают и система
приходит в состояние равновесия. При достаточно больших начальных
возмущениях изображающая точка выходит со временем на устойчивый предельный цикл, т.е.
возбуждаются автоколебания. При η = 0 неустойчивый цикл сливается с состояни-

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 241
Рис. 13.3. Фазовый портрет системы, описываемой уравнением (13.1.8) для a < 0, β > О,
η* < η < 0 (α) и для a < 0, β > 0, η > О (б); зависимости амплитуд устойчивого и
неустойчивого предельных циклов от параметра η (θ)
ем равновесия и передает ему свою неустойчивость. В результате остается только
устойчивый предельный цикл. Зависимости амплитуд устойчивого и неустойчивого
предельных циклов от параметра η показаны на рис. 13.3 е. Мы видим, что при
переходе через границу самовозбуждения (η = 0) амплитуда стационарных колебаний
должна нарасти скачком, если до зтого система находилась в состоянии равновесия.
Таким образом, уравнение (13.1.8) при a < 0, β > 0 описывает систему с жестким
возбуждением.
13.2. Фрикционная автоколебательная система
Кайдановского-Хайкина и маятник Фроуда
Автоколебательная система, предложенная Н.Л. Кайдановским и С.Э. Хайкиным
[131] (рис. 13.4 а), представляет собой массу т, укрепленную на пружине с жест-
Рис. 13.4. Фрикционная автоколебательная система Кайдановского-Хайкина (а);
зависимость силы сухого трения F от относительной скорости движения w = χ — υ (6)\ маятник
Фроуда (в)
костью к и лежащую на ленте, движущейся с некоторой скоростью v. Уравнение
колебаний массы m имеет вид
mx -f hx Η- F(x — ν) Η- kx = 0,
(13.2.1)

242 Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
где - hx — сила трения массы m о воздух, — F(x -v) — сила сухого трения между
массой и лентой, зависящая от относительной скорости w = χ — ν их движения.
При определенных условиях зависимость F(w) может иметь вид, показанный на
рис. 13.4 5, т.е. содержать падающий участок, соответствующий отрицательному
трению. Представляя F(x — ν) при малых χ как
F(x - υ) = F(v) - η{ν)χ + α(ν)χ3, (13.2.2)
легко свести уравнение (13.2.1) к уравнению Релея.
Маятник Фроуда (рис. 13.4 в) представляет собой физический маятник, муфта
которого В насажена на равномерно вращающийся вал А. Такой маятник описан
еще в трактате Релея [304]. Момент силы трения вала о муфту зависит от
относительной угловой скорости вращения муфты и вала Ω. Эта зависимость может иметь
вид, подобный показанному на рис. 13.4 б. Аппроксимируя ее подобно (13.2.2) и
введя соответствующие масштабы для углового отклонения маятника ψ и его
производной фу получим для φ уравнение Релея.
13-3· Осциллятор Бонхоффера-Ван-дер-Поля
Уравнения так называемого осциллятора Бонхоффера-Ван-дер-Поля [561]
описывают колебания напряжения на мембранах нервных клеток с учетом рефрактер-
ности. В безразмерных переменных они имеют вид
х3
х = х у + 10} y = c(x + a-by), (13.3.1)
где χ — напряжение на мембране, у — величина рефрактерности, α — радиус
мембраны, 6 — удельное сопротивление жидкости внутри мембраны, с — коэффициент,
пропорциональный температуре, /о — постоянная составляющая тока через
мембрану. Уравнения (13.3.1) имеют особую точку, определяемую уравнениями:
При значениях параметров, соответствующих реальной мембране, эти уравнения
имеют один действительный корень χ = хо, у = уо· Пусть, например, a = 0.7,
6 = 0.8, с = 0.1 [561]. Можно показать, что для этих значений параметров
особая точка является неустойчивым фокусом при 0.341 < Iq < 1.397 и устойчивым
фокусом при 0 < /о < 0.341 и /0 > 1.397. В случае, когда особая точка является
неустойчивым фокусом, она окружена устойчивым предельным циклом. Численное
моделирование уравнений (13.3.2) показало, что вблизи нижней (/он = 0.341) и
верхней (/ов = 1.397) границ самовозбуждения автоколебаний устойчивый фокус
окружен неустойчивым предельным циклом, т.е. осциллятор Бонхоффера-Ьан-дер-Поля
является автоколебательной системой с жестким возбуждением. Форма
автоколебаний и вид фазового портрета слабо зависят от параметра Iq. Период колебаний
растет при увеличении /о- Пример формы колебаний переменных х, у и
соответствующего фазового портрета показан на рис. 13.5.

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 243
Я
Рис. 13.5. Форма колебаний переменных χ и у (а) и вид фазового портрета (б) при /о = 0.6
Вводя отклонения от особой точки ξ = χ — х0, Ή = у— Уо и исключая из уравнений
(13.3.1) переменную η, получим одно уравнение для ξ:
£ _ (l _ Ьс - (ξ + χο)2)ζ + с ί 1 + Ь (xg - 1 + *0ί + у) ) ξ =
0.
(13.3.3)
Уравнение (13.3.3) отличается от уравнения Ван-дер-Поля как видом нелинейного
сопротивления, так и наличием реактивной нелинейности.
13.4. Простейшая модель гликолиза и сосредоточенный
вариант «брюсселятора»
Гликолиз представляет собой один из важнейших процессов жизнедеятельности
клеток. Основой этого процесса является реакция, происходящая под действием
света, превращения углеводов, содержащих шесть молекул углерода, в так
называемые трикарбоновые кислоты, содержащие три молекулы углерода. При некоторых
условиях процесс гликолиза имеет автоколебательный характер. Простейшая
математическая модель этого процесса в виде двух дифференциальных уравнений
первого порядка была предложена Дж. Хиггинсом в 1967 г. [437]. В безразмерных
переменных уравнения Хиггинса имеют вид
dx . dy ( \+β\
- = 1-ху, _ = ау(*-—j,
(13.4.1)
где а и β — некоторые коэффициенты, характеризующие скорость протекания
реакции на различных стадиях, χ и у — концентрации реагирующих веществ. В

244
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
области положительных значений χ и у, которые только и имеют физический смысл,
уравнения (13.4.1) имеют единственную особую точку с координатами хо = уо = 1.
Легко показать, что при α/(1 + β) — 1 < 0 эта особая точка является устойчивым
фокусом, а при а/(1 +/?) — 1 > 0 — неустойчивым фокусом. При потере
устойчивости рассматриваемой особой точки вокруг нее рождается устойчивый предельный
цикл. Параметры этого цикла могут быть рассчитаны в двух предельных случаях:
с < 1 и( > 1, где с = (а — (1 + β))/\/αβ(\ + β) . В первом случае возбуждаемые
автоколебания близки к гармоническим, а предельный цикл по форме близок к
эллипсу (рис. 13.6 а); во втором случае возбуждаемые колебания имеют релаксационный
У1
320
160
0
I
10
Рис. 13.6. Предельные циклы в модели гликолиза (13.4.1): α — β = 1 и малые значения
с (кривая 1 построена для a = 2.05 (t = 0.025), 2 — a = 2.15 (е = 0.075), 3 — α = 2.2
(ί = 0.1)); б — β — 10 и большие значения е (кривая 1 построена для α = 100 (е = 0.9),
кривая 2 — о = 200 (е = 1-4)). На рисунке β представлена форма колебаний переменных χ
и у для β = 10, α = 200
характер, а предельный цикл по форме близок к прямоугольному треугольнику
(рис. 13.6 6). Форма колебаний переменных χ и у при β = 10, α = 200 показана на
рис. 13.6 е. Из рисунка видно, что как x(t)} так и y(t) представляют собой
периодические последовательности импульсов треугольной формы. В моменты времени,
когда x(t) = 0, y(t) φ О, и наоборот.
«Брюсселятор» — это условное название определенной системы уравнений,
являющейся математической моделью колебательной химической реакции между
веществами Л, В, X и У, которая схематически может быть представлена в виде
А^Х, В + Х ->Y + Dy 2X + Y-»3X,
(13.4.2)
Предполагается, что вещество Ζ не реагирует ни с одним из реагентов и
выводится из реакции. Название «брюсселятор» рассматриваемая модель получила
потому, что она детально исследовалась в Брюсселе И. Пригожиным и его сотрудниками

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 245
[89, 254, 542]. Обозначая концентрации реагирующих веществ в (13.4.2)
соответствующими маленькими буквами и полагая α и 6 заданными, получим следующие
уравнения для рассматриваемого варианта брюсселятора:
х =г α - (6 + 1)я -1- х2у, у = Ьх
zV
(13.4.3)
Заметим, что уравнения (13.4.3) являются частным случаем уравнений более общего
вида, предложенных А.Тьюрингом [618].
Уравнения (13.4.3) имеют единственную особую точку с координатами χ == α,
у = b/a. Эта точка является устойчивым узлом при 77 = 6-1-а2 < —2а, устойчивым
фокусом при —2а < η < О, неустойчивым фокусом при 0 < η < 2а и неустойчивым
узлом при η > 2а. В тех случаях, когда особая точка является неустойчивой, т.е.
при η > О, она окружена устойчивым предельным циклом, форма которого зависит
от значения η. Если η <^С а, то предельный цикл близок по форме к эллипсу, тогда
как при ?/>аон близок к прямоугольному треугольнику. В последнем случае
генерируемые колебания имеют релаксационный характер. Форма предельного цикла
и решение уравнений (13.4.3) при α = 1, η = 1 показаны на рис. 13.7.
хА
4 к
О
у1
4 χ
Рис. 13.7, Форма предельного цикла для рассматриваемой модели брюсселятора (а) и
колебания переменных χ и у (б) при (6 — 1 — a2)/a2 = 1
Заметим, что уравнения (13.4.3) легко могут быть переписаны в форме одного
уравнения для переменной ξ = χ + у — а — 6/а:
ξ - ( η + 2αξ + ( 2а - Ь- ) ξ - (ξ + ζ)ζ )ξ + α2ξ = 0.
(13.4.4)
Вблизи порога самовозбуждения, когда »|«аи колебания являются близкими к
гармоническим, уравнение (13.4.4) сводится к уравнению Релея.
13.5. Сосредоточенная модель осциллятора Буравцева
В работе В.Н. Буравцева [56], опубликованной в 1983 г., изложены результаты
наблюдения своеобразного периодически повторяющегося фазового перехода.
Наблюдавшееся явление состоит в том, что в сосуде, содержащем слабый водный
раствор аммиака (или этанола) и поддерживаемом при постоянной температуре между
точками замерзания чистой воды и раствора, имеются периодические переходы
тонкого приповерхностного слоя из кристаллического состояния в жидкое. Это
явление качественно можно объяснить следующим образом. Аммиак, будучи летучим

246
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
веществом, испаряется с поверхности раствора быстрее, чем он диффундирует в
тонкий приповерхностный слой из более глубоких слоев. Это испарение вызывает
определенное уменьшение концентрации аммиака в приповерхностном слое. Из-за
того что температура замерзания раствора увеличивается при уменьшении
концентрации аммиака, этот слой раствора начинает замерзать. Образующиеся сегменты
льда замедляют испарение аммиака, приводя, благодаря диффузии из более
глубоких слоев, к некоторому увеличению его концентрации в приповерхностном слое.
Увеличение концентрации аммиака вызывает постепенное таяние льда, которое, в
свою очередь, приводит к увеличению испарения аммиака из приповерхностного
слоя. Таким образом, этот процесс является периодически повторяющимся.
Ниже мы рассмотрим одну из простейших математических моделей этого
явления, предложенную в работе [365]. Так как образующийся лед, как показывают
эксперименты, состоит из отдельных зародышей почти сферической формы, авторы
указанной работы предложили рассматривать динамику только одного зародыша.
Предполагается, что зародыш, имеющий форму шарика радиуса г, заключен в
кубический сосуд единичного объема (рис. 13.8 а). Предполагается также, что примесь
(летучее вещество) диффундирует в сосуд из некоторого резервуара, в котором
Рис. 13.8. К модели осциллятора Буравцева: α — ледяной зародыш в виде шарика радиуса
г; б — примеры изоклин горизонтальной (сплошная линия) и вертикальной (штриховые
линии) касательных на плоскости г, η/со для ki/ki = 5, q = 0.1, βοο = 3.1 (кривая I),
/Зсо = 3.06 (2), /Зсо =3(3)
ее концентрация со постоянна, и испаряется из верхнего приповерхностного слоя в
пространство, свободное от примеси. Считая лед свободным от примеси и
обозначая число молекул примеси внутри сосуда через п, можно определить концентрацию
примеси в сосуде как с = п/(1 — V), где V = 4пг3/3 — объем зародыша льда.
Полагая, что интенсивность испарения пропорциональна части поверхности сосуда,
свободной от льда, можно записать следующее уравнение баланса:
ή = *ι (с0 - γΖΓν) ~ *2^ ~5)
1- V
(13.5.1)
где к\ — коэффициент диффузии, &2 — коэффициент испарения, s = nr2 — площадь
поперечного сечения ледяного зародыша.
Эволюционное уравнение для радиуса зародыша может быть записано в форме

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 247
Онзагера [213]
дФ
г^-к —, (13.5.2)
где к — феноменологический кинетический коэффициент, Φ — потенциал Гиббса,
который для слабых растворов равен [211]
Ь^-О
Φ == μ,-ΔμΚ + ηΤί In у—7 - lj +an + aS, (13.5.3)
μι — химический потенциал чистой воды, Α μ = μι — μ$ — разность между
химическими потенциалами чистой воды и льда, Τ — абсолютная температура, σ —
величина, пропорциональная поверхностному натяжению, S = 4тгг2 — площадь
поверхности зародыша, α — некоторый коэффициент.
Обозначив К = 4πΔμκ, β = Τ/Δ/ι, q = 2σ/Δμ, перепишем уравнения (13.5.1) и
(13.5.2), с учетом (13.5.3), в виде
А =fci (со - ггу) - w - s> г~й · '= к U1~ * ггу)г" γ · (13·5·4)
Уравнения (13.5.4) в квадранте г > 0, η > 0, который только и имеет физический
смысл, имеют либо одну либо три особых точки. Одна из них, с координатами
г = 0, η = Агι со/(Агι + Аг2), соответствует отсутствию льда (на рис. 13.8 б эта точка
обозначена буквой А). Она всегда устойчива. Две другие особые точки существуют
только при β < /?Кр> где /?кр — определенное критическое значение β. Это является
следствием того факта, что для существования льда температура должна быть
достаточно низкой. Примеры изоклин горизонтальной и вертикальной касательных,
определяемых соответственно уравнениями ή = 0 и г — 0, показаны на рис. 13.8 б.
Точки пересечения этих изоклин, обозначенные буквами β и С, являются особыми
точками. Можно показать, что точка В всегда является седлом, тогда как
характер точки С существенно зависит от параметров. Если К ;§> к\, то сразу после
своего ррждения точка С является неустойчивым узлом, затем при
незначительном уменьшении параметра β она становится неустойчивым фокусом. Этот фокус
существует в узком диапазоне значений /?, а затем он последовательно
превращается сначала в устойчивый фокус и, далее, в устойчивый узел. Например, для
значений параметров, соответствующих рис. 13.8 б, и К/к\ = 500 точка С является
неустойчивым узлом при 3.0645 < /?со < /?Кр£о ^ 3.0653, неустойчивым фокусом при
3.0449 < βοο < 3.0645, устойчивым фокусом при 2.9 < /?с0 < 3.0449 и устойчивым
узлом при βοο < 2.9. В [365] показано, что точка С, будучи устойчивым фокусом,
теряет свою устойчивость путем слияния с неустойчивым предельным циклом. При
этом, однако, как показали численные расчеты, устойчивого предельного цикла не
существует и автоколебания оказываются невозможными. В этом проявляется
недостаток предложенной модели.
13.6. Часы и маятник Неймарка. Энергетический критерий
стохастизации автоколебаний
Механические часы представляют собой автоколебательную систему,
структурная схема которой грубо может быть разделена на три основных части: 1) колеба-

248
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
тельный элемент, например, маятник, балансир и т.п., 2) заводной механизм,
например гиря или пружина, и 3) спусковой механизм, связывающий колебательный
элемент с заводным механизмом. Спусковой механизм играет роль цепи обратной
связи в часах. Часы устроены так, что при определенных положениях
колебательного элемента спусковой механизм сообщает ему за счет энергии заводного механизма
некоторый импульс. Длительность этого импульса в различных конструкциях часов
бывает различна, но, как правило, он является весьма кратковременным.
Действует спусковой механизм обычно два раза за период колебаний вблизи прохождения
колебательным элементом положения равновесия.
Существует множество моделей часов, различающихся типами спусковых
механизмов (см. [29]). Мы остановимся только на простейшей из них — модели с ударами
и линейным трением в колебательном элементе [4]. Предположим, что при
прохождении через положение равновесия слева направо маятник часов получает
постоянный импульс величины р. Кроме того, будем считать, что при своем движении
маятник испытывает силу трения, пропорциональную его скорости. Предполагая
отклонение маятника от положения равновесия достаточно малым, уравнение его
движения можно записать в виде
χ + 2δζ+ωΙζ = ρΣδ{ί -*,),
(13.6.1)
где t$ (s = 1, 2, 3,.. .) — последовательные моменты времени, в которые происходят
удары. Фазовый портрет решения уравнения (13.6.1) показан на рис. 13.9 а.
Рис. 13.9. Фазовый портрет решения уравнения (13.6.1) (а) и зависимость хп от fn-i (<?)
Чтобы построить точечное отображение, соответствующее уравнению (13.6.1),
обозначим значение скорости непосредственно после η-го удара через хп.
Очевидно, что значение скорости до удара в тот же момент времени равно 7^п-ь где
7 = βχρ(2πδ/ω)} ω = \/ω% — δ2 . Отсюда следует, что
хп = ηχη-\ +Ρ·
(13.6.2)
Уравнение (13.6.2) описывает отображение точки хп-\ в точку хп. График этого
отображения показан на рис. 13.9 5. Неподвижная точка отображения
соответствует предельному циклу на фазовой плоскости.
Модель, предложенная Ю.И. Неймарком [247, 248] для демонстрации
возможности стохастических колебаний в динамических системах, представляет собой в
некотором роде «часы наоборот». Пусть имеется маятник с отрицательным трением,

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 249
например, маятник Фроуда. И пусть при прохождении положения равновесия со
скоростью χ > а, где а — некоторая заданная положительная величина, у
маятника отнимается постоянный импульс р. Тогда уравнение малых колебаний маятника
будет иметь вид
χ - 2δχ + ω\χ = -p£i(t - <,), (13.6.3)
s
где ts — моменты времени, в которые χ = 0 и χ > α. Из этого уравнения легко
получить, что последовательные значения скорости сразу после прохождения положения
равновесия слева направо связаны соотношением
7*η-ι -;
при 7*η-ι < а,
при 7*η-ι > α,
(13.6.4)
где 7 = ехр(2тг£/а>). Вид фазового портрета для уравнения (13.6.3) 1) и график
точечного отображения (13.6.4) для двух существенно различных случаев показаны
на рис. 13.10 а, 5, е. В обоих случаях отображение имеет две неподвижных точки с
Рис. 13.10. Фазовый портрет решения уравнения (13.6.3) (о); зависимости хп от хп-\ для
ρ < (у — l)a (6) и (у — \)α < ρ < α (β); стационарное распределение вероятностей для
значений у = хп при 7 = 1.171, ρ/α = 0.717 (г); осциллограмма колебаний переменной ж,
полученная путем численного решения уравнения (13.6.3) (д)
координатами х = 0их = р/(7— 1), причем обе они неустойчивы. В первом случае,
который имеет место при достаточно малых импульсах сброса, когда ρ < (7 — 1)α,
амплитуда колебаний скорости маятника, начиная с некоторого момента времени,
оказывается больше величины р/(у— 1) и затем неограниченно возрастает. Во
втором же случае, когда (7 — 1)α < ρ < а, поведение маятника зависит от начальных
условий: если jcq > ρ/{у — 1), то колебания, как и в первом случае, неограниченно
1) Заметим, что фазовое пространство для маятника Неймарка не является плоским, а
представляет собой двулистную плоскость.

250
Часть ///. Активные системы. Автоколебания и автоволны
возрастают, если же х0 < р/(у— 1), возникают стохастические колебания, которым
соответствует стохастический аттрактор. В последнем случае последовательные
преобразования точки х0 (т.е. Х\} i2> · · ·) всюду плотно заполняют отрезок J,
координаты концов которого равны α — ρ и α. Осциллограмма колебаний переменной
χ показана на рис. 13.10 с? для случая, когда имеет место стохастический режим
колебаний [248].
В силу простоты уравнения (13.6.3) и соответствующего ему точечного
отображения (13.6.4) удается аналитически вычислить стационарное распределение
вероятностей для значений у = хп [180, 183]. Пример такого распределения показан на
рис. 13.10,г.
Естественным обобщением уравнения (13.6.3) на случай слабо нелинейного
трения маятника является следующее уравнение [106]:
χ-2ί(1 -αχ2)χ+ωΙχ = -p^S(t-ts).
(13.6.5)
Из-за нелинейности точечное отображение для уравнения (13.6.5) аналитически
точно не может быть вычислено. Однако его характер достаточно очевиден, В
зависимости от параметров это отображение может быть таким, как показано на
рис. 13.11. В отличие от (13.6.4) отображение для уравнения (13.6.5) может иметь
Xnl
β Μ
χη-\ J *„-\ -> Λη-ι * -„-!
Рис. 13.11. Возможные виды точечного отображения для уравнения (13.6.5)
либо три (случаи α и б), либо одну (в и г) неподвижные точки. В случае а, когда
неподвижная точка М\ расположена ниже точки Л, в системе при любых начальных
условиях возбуждаются периодические колебания, соответствующие неподвижной
точке Μι- В случае б, отличающемся от α тем, что точка М\ расположена выше
точки А, в зависимости от начальных условий возбуждаются либо периодические,
либо хаотические колебания. В фазовом пространстве системы при этом
имеются два аттрактора: предельный цикл и странный аттрактор. Области притяжения
этих аттракторов разделены неустойчивым предельным циклом, соответствующим
неустойчивой неподвижной точке М\. Наконец, в случаях виг при любых
начальных условиях изображающая точка выходит на странный аттрактор. Отрезки
значений £п-ь соответствующих стационарным хаотическим колебаниям, помечены
на рис. 13.11 сплошными линиями и обозначены буквой J. Переход от случаев α и б
к случаям виг происходит в результате слияния и уничтожения устойчивой М^ и
неустойчивой М\ неподвижных точек, т.е. слияния и исчезновения устойчивого и
неустойчивого предельных циклов. Если точка слияния Mq расположена ниже
точки А (случай г), то до перехода странный аттрактор отсутствовал, а существовали

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 251
только устойчивый предельный цикл и непритягивающая гомоклиническая
структура. Слияние устойчивого и неустойчивого предельных циклов происходит как раз
в области этой структуры. После слияния указанная структура становится
притягивающей и образует хаотический аттрактор. Возникновение хаоса после такого
перехода сопровождается перемежаемостью (см. гл. 12). Если же точка слияния Мо
расположена выше точки Л (случай в), странный аттрактор существовал и до
перехода одновременно с устойчивым предельным циклом. Поскольку слияние
устойчивого цикла с неустойчивым происходит вне области аттрактора, перемежаемости
не возникает. При изменении параметра в обратную сторону должен наблюдаться
гистерезис, характерный для жестких переходов.
С энергетической точки зрения маятник Неймарка отличается от часов тем, что
в нем увеличение энергии колебаний происходит медленно за счет отрицательного
трения, сброс энергии, происходящий за счет удара, является быстрым. В часах
же, наоборот, энергия нарастает быстро за счет взаимодействия со спусковым
механизмом, а диссипирует медленно. Этот факт был использован Ю.И. Неймарком
при формулировке энергетического критерия хаотизации колебаний в
динамических системах [248]. Следует, однако, отметить, что применение этого критерия
для большинства систем представляет собой трудную, если не невозможную,
задачу, хотя бы из-за неопределенности понятия энергии для систем немеханического
происхождения.
13.7. Автоколебательные модели взаимодействия видов,
основанные на уравнениях Лотки-Вольтерра
Ниже мы рассмотрим две автоколебательные модели взаимодействия видов,
полученные путем ряда обобщений уравнений Лотки-Вольтерра и описанных в
работах [21, 277, 278, 583]. Уравнения одной из этих моделей имеют вид
х = kxx - ax-2L- -βχ\ У = -к2у + а2^г-. (13.7.1)
I +bx 1 + ох
При 6 = β = 0 уравнения (13.7.1) совпадают с уравнениями Лотки-Вольтерра
(5.2.7). Параметр 6 определяет ограничение роста численности хищников при
увеличении численности жертв. Параметр β описывает уменьшение скорости роста
численности жертв при увеличении этой численности, связанное с взаимной
конкуренцией между отдельными особями.
Уравнения (13.7.1) имеют либо две либо три особых точки. Одна из этих точек,
имеющая координаты χ = 0, у = 0 является седлом. Другая точка с координатами
х — χ0 = к2/(а2 - Ьк2), у = уо = (^1 - βχο)(1 + Ьх0)/сц существует при β < a2kxjk2,
Ь < (а2к\/к2 — /?)/&ι и является неустойчивым фокусом, когда
β < (3 - у/в) £- а2, Ьг < Ь < 62, (13.7.2)
*2
где
^-\(τ-τ^{τ-τί-'ττ\·
I \к2 ΛΓι у \к2 кх) кгк2 I

252
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
и устойчивым фокусом, когда условия (13.7.2) не выполняются. Третья точка с
координатами χ — kx/β, у — 0 является устойчивым фокусом, если вторая особая
точка не существует; в противном случае она является седлом. Если вторая особая
точка существует и устойчива, то она определяет стационарные значения
численности жертв и хищников. Если она не существует, то ситуация соответствует гибели
хищников. Но если вторая особая точка существует и не является устойчивой, то
стационарные колебания численности жертв и хищников имеют место. Из условия
неустойчивости (13.7.2) видно, что самовозбуждение колебаний возможно лишь при
условии, что параметр 6 превышает некоторое критическое значение.
Вторая из рассматриваемых моделей [583] описывается следующими
уравнениями:
χ = χ - ху+ (в - bz)x2y у = -у+ ху> ζ = -ηζ + bzx2. (13.7.3)
При b = β = 0 уравнения для χ и у могут быть сведены к (5.2.7).
Уравнения (13.7.3) описывают взаимодействие между двумя видами хищников,
численности которых определяются переменными у и г, и одним видом жертвы,
численность которой определяется переменной х. В отличие от модели, описываемой
уравнениями (13.7.1), в этой модели предполагается, что скорость роста
численности жертв увеличивается при увеличении самой этой численности, т.е. вместо
конкуренции имеет место «взаимопомощь». Именно это предположение делает
рассматриваемую систему способной к самовозбуждению. Кроме тривиальной особой
точки (х — у = ζ = 0), которая является неустойчивым узлом, уравнения' (13.7.3)
имеют еще две особых точки с координатами χ = 1, у = 1 + /?, г = 0их= \/Т/Ь,
у = 0, ζ = 1/«ν/τ& + β/b. Первая из них неустойчива при β > 0, причем ее
неустойчивость является колебательной, если 7 > Ь» β < 2(1 + \/2). Вторая особая точка
устойчива при η < b и апериодически неустойчива при η > Ь. Отсюда следует, что
при у > b все особые точки являются неустойчивыми; следовательно, при любых
начальных условиях должны возбуждаться автоколебания. Авторы работы [583]
исследовали поведение решений уравнений (13.7.3) как качественными методами, так
и численно. Они обнаружили, что в широком диапазоне параметров возбуждаемые
автоколебания являются хаотическими.
Заметим, что механизм самовозбуждения автоколебаний в этой системе
соответствует отрицательному трению: в окрестности колебательно неустойчивой особой
точки с координатами χ = 1, у = 1 +/?, г = 0 уравнения (13.7.3) сводятся к
уравнению
ί-/?ί + (1+/?)ί = 0,
где ξ = χ — 1.
13.8. Системы с инерционной нелинейностью
Понятие генератора с инерционной нелинейностью впервые было введено К.Ф.
Теодорчиком в 1945 г. [307, 308, 309], хотя системы такого типа рассматривались
и раньше (см., например, [525, 376]). Такой генератор (рис. 13.12 а) отличается от
обычного, структурная схема которого изображена на рис. 13.1, тем, что в
колебательный контур вместо обычного сопротивления R включают термистор, т.е.

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 253
R(T)
Л 1
1 i
1
X
Усилитель
a 6
Рис. 13.12. Блок-схемы генераторов с термистором (а) и с детектором (6)
сопротивление, величина которого сильно зависит от температуры. Поскольку
температура, в свою очередь, инерционно зависит от тока в колебательном контуре, то
наличие термистора вносит дополнительно еще полстепени свободы. Таким
образом, исследованная Теодорчиком модель генератора с инерционной нелинейностью
представляет собой автоколебательную систему с полутора степенями свободы, т.е.
с трехмерным фазовым пространством.
Как уже говорилось, поведение систем с полутора и более степенями свободы
может принципиально отличаться от поведения систем с одной степенью свободы.
Это отличие, в первую очередь, связано с выходом фазовых траекторий таких
систем из плоскости в пространство и, следовательно, с неприменимостью теоремы
Пуанкаре-Бенедиксона, которая утверждает, что предельными множествами любой
фазовой траектории на плоскости могут быть только отдельные точки или простые
замкнутые кривые. В фазовом пространстве таких систем предельные множества
могут иметь сложную фрактальную структуру. Именно такие предельные
множества называются странными аттракторами.
В модели, исследованной Теодорчиком, предполагалось, что усилитель все время
работает на линейном участке своей характеристики, т.е. вся нелинейность
сосредоточена в термисторе R(T). Это предположение не принципиально, однако оно
позволяет лучше выяснить роль именно инерционной нелинейности. При указанном
предположении уравнение рассматриваемого генератора имеет вид
Aisi 1 А = 0, (13.8.1)
L§ + «T)/ +
έ/('-*4)*"·
где / — ток в колебательном контуре, Μ — коэффициент взаимоиндукции, S —
крутизна вольтамперной характеристики усилителя на линейном участке. Чтобы
получить уравнение для температуры Т} предположим, что теплоотдача происходит
по закону Ньютона. Тогда получим
ЛТ
+ *Т = Я(Т)/2, (13.8.2)
тс
А
где m — масса нити термистора, с — ее удельная теплоемкость, к — коэффициент
теплоотдачи. Полагая сопротивление термистора Я(Т) равным R(T) = R0 + ЪЬТ,
преобразуем уравнения (13.8.1) и (13.8.2) к виду
ϊ-{μ- ЬТ)1 + ω\ΐ = уЫТ - а0Ы3 - сцбГ/3, Г + ΊΤ = α0/2 + αλΤΐ\ (13.8.3)

254 Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
где о>о = l/VLC} μ = и§М5 - Ro/L} 7 = k/mc, α0 = Ro/mc} αχ = bL/mc.
При достаточно малых μ и 7 (μ, 7 ^ ωο) систему уравнений (13.8.3) можно
приближенно решать асимптотическим методом Крылова-Боголюбова. Тогда, полагая
/ = Acos(ujt + <р)+ члены высших приближений, Τ = То+ члены высших
приближений, получим для Α, φ и Τ следующие укороченные уравнения 2):
Α=\(μ-νΓ)Α, ф=^уЬТ-^Ь(ао + агТ)А2} t = - 7Т + \ («о + *ιΤμ2.
(13.8.4)
Как отмечалось в [177], схема генератора с термистором неудобна для
экспериментальных исследований, так как она не позволяет менять параметры в широких
пределах. Более удобной является схема, предложенная Л.Н. Капцовым и
отличающаяся от рассмотренной тем, что роль инерционного элемента в ней играет не
термистор, а детектор (рис. 13.12 5). Напряжение, снимаемое с детектора,
изменяет крутизну вольтамперной характеристики усилителя и тем самым ограничивает
амплитуду колебаний. Степень инерционности определяется постоянной времени
детектора ЯДСД Ξ 1/7- Уравнения колебаний в таком генераторе имеют вид
ρ
« + —i + wjx = ΜωΙν, y = Sx} (13.8.5)
где S — крутизна вольтамперной характеристики усилителя, которую мы
предполагаем линейно зависящей от напряжения V, снимаемого с детектора, т.е.
S = So- \v. (13.8.6)
Подставляя (13.8.6) в (13.8.5) и исключая у, получим уравнение для χ в форме
х - (μ - bV)x + ω20χ = - bVx, (13.8.7)
где μ = WqMSo — R/L. Напряжение на выходе детектора V связано с напряжением
χ следующим уравнением:
V + yV = yf(x), (13.8.8)
где f(x) — нелинейная функция, вид которой определяется характеристикой
детектора. Если детектор является квадратичным, т.е. f(x) = ах2, то рассматриваемая
схема генератора будет полностью аналогичной схеме генератора с термистором.
В случае же линейного детектора, когда f(x) = Κϋ{χ)χ, где ύ(χ) — функция Хеви-
сайда, уравнения (13.8.7), (13.8.8) несколько отличаются от уравнений генератора с
термистором. Однако, как показали аналитические исследования и численные
расчеты, это отличие не является существенным и большинство процессов в том и
другом генераторах качественно протекают одинаково.
В области применимости укороченных уравнений (13.8.4) генератор с
инерционной нелинейностью при выполнении условия самовозбуждения μ > О будет
работать в периодическом режиме, причем колебания по форме будут очень близкими к
гармоническим (высшие гармоники имеют второй порядок по малому параметру).
2^В этих уравнениях индекс *0$ у температуры мы опускаем.

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 255
Можно показать [177], что при η < Αμ процесс установления этих колебаний
происходит колебательным образом с характерной частотой Ω = \Ζ~ϊ(μ — 7/4) ·
Колебательный характер процесса установления стационарного режима является одной
из отличительных особенностей генераторов с инерционной нелинейностью.
Если параметры μ и η не являются малыми, то колебания в генераторе с
инерционной нелинейностью, как правило, являются хаотическими. Эти режимы
колебаний в схеме генератора с детектором численно и экспериментально подробно
исследованы в работах B.C. Анищенко с сотрудниками. Обобщение результатов этих
работ дается в [10, 339, 340].
Модель Пиковского. В качестве другого примера автоколебательных систем
с инерционной нелинейностью мы рассмотрим одну из трехмерных моделей реакции
Белоусова-Жаботинского, предложенную и численно исследованную А.С. Пиковс-
ким в работе [553]. Уравнения модели имеют вид
i = /ix + y + 0.1z, у=-х, (ζ = -4(x + z + x3) + th (100(1+ 4z- 16x)), (13.8.9)
где ( — малый параметр. При численном моделировании уравнений (13.8.9) были
найдены как периодические, так и хаотические решения.
Нетрудно показать, что система (13.8.9) является системой с инерционной
нелинейностью: возбуждение автоколебаний в ней обусловлено отрицательным трением,
характеризуемым коэффициентом /ι, а ограничение амплитуды связано с
переменной ζ у инерционно зависящей от χ = —у.
13·9· Системы с инерционным возбуждением
Системы с инерционным возбуждением, рассмотренные в главах 5 и 12,
являются другим важным классом автоколебательных систем с полутора степенями
свободы. Блок-схема таких систем изображена на рис. 12.1. Пусть в уравнениях (5.3.29),
описывающих самовозбуждающиеся системы рассматриваемого класса, параметр
7 близок к 7кр> т.е. система находится вблизи порога самовозбуждения. Тогда для
приближенного решения уравнений (5.3.29) можно использовать асимптотический
метод Крылова-Боголюбова. Для этого уравнения (5.3*29) запишем в виде
χ + 2Sx +ωΐχ + ky = (f(x, i, у), у + 7кРУ - αχ = -e(f - 7кр)у + *<р(х, i, у), (13.9.1)
где е — малый параметр, который в окончательных выражениях следует положить
равным единице. Решение системы (13.9.1) при € = 0 можно представить в виде
ОХ
г = г0 = Aeiwt + к.с, у = у0 = — (7кР - %ω)Αβίωί + к.с, (13.9.2)
к
где А — комплексная амплитуда, ω — положительный действительный корень
характеристического уравнения
ω3 - ι(7κρ + 2ί)ω2 - (ω\ + 2δΊκρ)ω + ί(α^7κΡ + ak) = 0,
равный

256
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
В первом приближении по малому параметру е решение системы (13.9.1) будем
искать в виде
х = χ0 + б«, t/ = t/o + *v, (13.9.4)
где Х(ь Уо определяются выражениями (13.9.2), и и ν — неизвестные функции. В
соответствии с процедурой метода Крылова-Боголюбова (см.,например, [177])
получаем для А следующее укороченное уравнение:
dA _ δ (7κρ - l){" + гу) ι . w - Η γ ι * 15 fHQfl
dt ~ ω 2i + 7 + »w ^ 2(2δ + Ί + ίω)' ^2(2ί + 7 + ιω)^' l° ^
где
2*/w 2ir/u
/=— / /(*о,±о,Уо)е~1<4,'Л. φ-— \ <р{х0>хо>Уо)е %wtdt.
о о
Полагая в (13.9.5) Л = Ле'^ и разделяя действительную и мнимую части,
получим уравнения для действительной амплитуды А и фазы ф:
* = Z^nWTW (Щ6 + 7)(7кр" Ί)Α + δ (2iw Re ^'^ +
+ (u>2 + 7(2ί + 7)) Im (7*"''*) + *(2i + 7)Re far*) + *ω Im (9*-'*))),
(13.9.6)
* = ω> + (1 + Ί)>{ί& -Ы')Ы-ι)-γα№ + *" + ?»Re(7'"'*)"
- 2δω Im (7c*i0) + *" Re (^"^) - *(2i + u>) Im (pe"'"*))) ·
Вдали от границы самовозбуждения, когда 7 существенно меньше, чем 7кр>
Решение (13.9.4) не справедливо. При этом могут возникнуть хаотические
автоколебания. Для частного вида нелинейных функций / и φ такие режимы численно
наблюдались и исследовались в работах [182, 20, 344].
Хаотические или стохастические режимы могут возникать жестким образом и
при 7, близком к 7кр· Это может происходить тогда, когда уравнения (13.9.6) не
имеют стационарного решения, соответствующего устойчивому предельному
циклу. Именно такая ситуация имеет место для уравнений Лоренца (5.3.32) при г » 28,
σ = 10, 6 = 8/3. Как показано в гл. 5, уравнения Лоренца относится к классу систем
с инерционным возбуждением. Возникновение стохастичности в системе Лоренца
при значении параметра г вблизи 25 (σ = 10, Ь = 8/3) хорошо прослеживается
при рассмотрении эволюции приближенного одномерного точечного отображения
(рис. 13.13) [248]. Рисунок 13.13 а соответствует наличию только двух устойчивых
состояний равновесия 0\, Оч\ на рис. 13.13 5, кроме двух устойчивых состояний
равновесия 0\ и Ог, присутствуют два неустойчивых предельных цикла Γι и Гз;
рис. 13.13 β соответствует наличию двух устойчивых состояний равновесия (Οχ, Οι)
и стохастического аттрактора; на рис. 13.13 г изображен случай, когда состояния

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 257
AilJl ХАМ.Л
40
20
ЩДЩ]^\Д/\^^
-I I 1_
10
20 t
Рис. 13.13. Эволюция одномерного точенного отображения для уравнений Лоренца при
σ = 10, 6 = 8/3 и увеличении параметра г (а, б, в, г). Форма колебании переменных х, у,
ζ при σ = 10, 6 = 8/3, г = 28 (д)
равновесия 0\, Οι уже потеряли устойчивость и в системе остался только
стохастический аттрактор. Форма колебаний переменных я, у, ζ при σ = 10, 6 = 8/3,
г = 28 показана на рис. 13.13 с).
При достаточно больших значениях параметра г колебания в системе Лоренца
являются периодическими, но по форме далекими от гармонических. Их форму и
количественные характеристики в предельном случае очень больших значений г
удается приближенно рассчитать аналитически [590, 18, 343, 248]. При уменьшении
г переход к хаосу из зтой области происходит по сценарию Фейгенбаума. Внутри
области хаоса имеются еще несколько окон периодичности. Вообще вся картина
поведения решений уравнений Лоренца изучена достаточно хорошо.
К уравнениям систем с инерционным самовозбуждением сводится решение
многих физических задач. Ряд из них будет рассмотрен ниже.

258
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
1. Резонатор Гельмгольца с неравномерно нагретыми стенками.
Резонатор Гельмгольца с неравномерно нагретыми стенками описан еще в знаменитом
трактате Релея [304] и отнесен к классу так
называемых термомеханических систем. Системы
называются термомеханическими, если они
содержат механический колебательный элемент,
взаимодействующий с тепловым источником энергии.
В своем трактате Релей дал качественное
объяснение следующему явлению, которое было хорошо
известно стеклодувам. Если на конце стеклянной
трубки диаметром несколько миллиметров и
длиной порядка 10 см раздуть шарик, то часто, пока
шарик горяч, трубка издает звук. Частота этого
звучания хорошо соответствует формуле,
известной для собственной частоты резонатора
Гельмгольца — акустического резонатора, состоящего
из некоторой полости (часто шаровой формы) и трубки (горлышка) (рис. 13.14 а).
Как известно, собственная частота резонатора Гельмгольца равна
Рис. 13.14. Резонатор
Гельмгольца (а) и распределение
температуры стенок (б)
Wo =
(13.9.7)
гДе Ро — атмосферное давление, ро — плотность заполняющего резонатор газа
при атмосферном давлении, к = cp/cv — показатель адиабаты, равный отношению
удельной теплоемкости при постоянном давлении ср к удельной теплоемкости при
постоянном объеме сь, S — площадь поперечного сечения трубки, / — длина трубки,
V — объем полости резонатора.
Количественное объяснение описанного явления впервые было дано К.Ф. Теодор-
чиком [309], правда, не вполне корректно. Затем эта задача решалась в работе [203],
однако и там была допущена ошибка при выводе исходных уравнений.
Уравнение движения массы газа, заключенной в трубке, без учета сжимаемости
имеет вид
p0Slx = SAp(x), (13.9.8)
где χ — смещение газа, Ар(х) = р(х) — ро, р(я) — давление газа в полости. Для
вычисления Ар(х) воспользуемся уравнением состояния идеального газа и первым
законом термодинамики, которые в приближении достаточно малых значений χ
удобно записать в следующем виде:
pV = тсь(к — 1)Т, Q(x) = mcvd(x) + PoSx,
(13.9.9)
где m и Τ — масса и температура газа в полости, Q(x) — количество тепла,
полученное газом в полости при смещении газа в трубке на величину χ за счет
обмена с неравномерно нагретыми стенками, ΰ(χ) = Τ — То — изменение
температуры газа в полости при том же смещении (предполагается, что теплообмен в
полости происходит достаточно быстро, так что температуру газа во всех точках
можно считать одинаковой). При малых χ из первого уравнения (13.9.9) находим

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 259
Δρ(χ) = — (poS/V)x + (тсу(к — l)/V)u(x). Подставляя сюда ΰ(χ) из второго
уравнения (13.9.9), получаем
Ap(x) = -K^x+^Q(x). (13.9.10)
Таким образом, уравнение (13.9.8) принимает вид
PoSlx + к ^- χ = i^=i SQ(x). (13.9.11)
Отсюда, кстати, при Q(x) = 0 получаем формулу (13.9.7) для собственной частоты
резонатора Гельмголыда.
Будем считать, что обмен теплом движущегося газа со стенками происходит по
закону Ньютона, согласно которому скорость изменения количества тепла,
получаемого некоторым телом, пропорциональна разности температур окружающей среды
и данного тела. В рассматриваемом случае роль окружающей среды играют стенки
резонатора. Учтем, что после раздутия шарика температура стенок резонатора
быстро спадает в направлении от шарика к трубке. Распределение температуры
имеет вид, показанный на рис. 13.14 б 3). При колебаниях газ движется вдоль стенок
с изменяющейся температурой. Поэтому можно ввести некоторую эффективную
температуру стенок Тст, зависящую от величины смещения газа х. Эту
эффективную температуру можно задать в виде ТСТ(х) = То — огх + βχ3. Так как мгновенная
температура газа в полости Τ = То + t?, то закон Ньютона можно записать в виде
Q = К(тст(х) - Г) = - tf(a* - βχ3 + tf),
где К — коэффициент теплоотдачи. Подставляя сюда выражение для ΰ из второго
уравнения (13.9.9), получаем:
4 = -Κ((α-Ε°1)χ-βχ* + -2Λ, (13.9.12)
\Д mcvJ mcv J
Уравнения (13.9.11) и (13.9.12) можно записать в следующем виде:
£ + 2ii + wjjjc = kQ, Q + yQ = -ax + 6χ3, (13.9.13)
где S определяется трением газа о стенки трубки, и>о — собственная частота
резонатора, к = (к — 1)/т/, 7 = К/тсу, α = Α'(α — PoS/mcVy b = βΚ. Легко видеть, что
система (13.9.13) относится к классу уравнений (5.3.29), описывающих системы с
инерционным самовозбуждением. Самовозбуждение колебаний в рассматриваемой
системе может происходить только при достаточно большом значении градиента
температуры а. Даже при очень малом трении газа о стенки трубки, когда членом,
содержащим параметр δ можно пренебречь, существует отличное от нуля
критическое значение коэффициента а, ниже которого колебания не возбуждаются. Это
критическое значение равно акр |$=о = poS/mcv. При учете трения критическое
3)Так как мы положили, что в состоянии равновесия температура газа в полости равна То, то
следует считать, что средняя температура стенок резонатора также равна То-

260
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
значение коэффициента α зависит от параметра инерционности 7 и определяется
выражением
*кр -
= ^ + χΚ2+2ί7 + 72).
mc<
l^coswt
Таким образом, колебания возбуждаются тем легче, чем меньше поперечное
сечение трубки, чем больше масса газа, заключенного в полости и чем меньше параметр
инерционности 7· Заметим, что полученный результат принципиально отличается
от приведенного в книге [309]. Различие, главным образом, связано с тем, что
исходные уравнения, записанные К.Ф. Теодорчиком без вывода, отличаются от
уравнений (13.9.13).
Частота автоколебаний вблизи границы самовозбуждения равна ω = \/ωΙ + 2J7.
Если параметры δ и 7 достаточно малы, то частота автоколебаний близка к
собственной частоте резонатора Гельмгольца, что и наблюдается в эксперименте.
2. Нагретая проволока с грузом в середине. Ниже мы рассмотрим еще один
пример термомеханической автоколебательной системы. Пусть имеется невесомая
металлическая струна с грузом в середине, включенная
в цепь переменного тока частоты ω (рис. 13.15). Такая
струна при определенных условиях может совершать
автоколебания как в вертикальной плоскости, так и вокруг
оси 0102· Вертикальные колебания струны с грузом в
схеме, подобной той, которая изображена на рис. 13.15,
но содержащей дополнительно электромеханический
прерыватель, были подробно изучены К.Ф. Теодорчиком
[306, 309]. Экспериментально такие колебания в схеме,
приведенной на рис. 13.15, демонстрировались еще в 1924
г. Н.И.Добронравовым и А.И. Шальниковым в качестве
иллюстрации к курсу общей физики А.Ф. Иоффе
(по-видимому, эти демонстрации остались
неопубликованными, но о них со слов Шальникова сообщается в работе
[264]). Автоколебания струны вокруг оси 0χ02 впервые
экспериментально обнаружены и исследованы Я.Б. Дубо-
шинским и др. в 1971г. [264, 194]. Попытка теоретического рассмотрения
вертикальных колебаний струны в схеме без электромеханического прерывателя (см.
рис. 13.15) была предпринята А.С. Вермелем [66]. Однако в этой работе допущена
ошибка, приведшая к неверным результатам.
Ниже мы рассмотрим как вертикальные колебания струны с грузом,
изображенной на рис. 13.15, так и вращательные вокруг оси 0\Οι Уравнение вертикальных
колебаний груза массы m имеет вид
Рис. 13.15. Схематическое
изображение натянутой
металлической струны
с грузом в середине,
которая включена в
цепь переменного тока
частоты ω
тпх = mg — 2Fsin/?~ hx,
(13.9.14)
где F — сила натяжения струны, β = arcsinx//, / = \Jx2 -f L2 — половина
длины струны при температуре Т0 + ΰ, То — температура окружающей среды, 2L —
расстояние между опорами, h — коэффициент трения.
Сила натяжения F струны, нагретой до температуры То + ϋ за счет протекания

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 261
электрического тока 4), равна [210]:
F=ES*-W+°*)t (13.9.15)
«О
где Ε — модуль Юнга, S — площадь сечения струны, α — коэффициент линейного
теплового расширения, /о = \/xl + L2 — половина длины струны в ненатянутом
состоянии при ΰ = 0, χ о — провисание струны при ΰ = 0, m = 0. Считая, что
/ - /о <^С /(ь из (13.9.15) находим
( х2 — х2 \ χ
Fsin/?= £S( 2 ° -снМ-- (13.9.16)
Уравнение для разности температур ΰ запишем в предположении, что
охлаждение струны происходит по закону Ньютона с коэффициентом теплоотдачи </,
который, вообще говоря, зависит от модуля скорости. Если пренебречь этой
зависимостью, то уравнение для ΰ будет иметь вид
Г/2
mcu= -gtf+ -£(l+cos2wi), (13.9.17)
2R
где с — теплоемкость груза, R — электрическое сопротивление струны. При
нагревании струны и ее удлинении сопротивление R увеличивается 5), так что
R = Ло Π + βιΰ + β2 1-^) . (13.9.18)
где /?ι, /?2 - некоторые коэффициенты, причем коэффициент /?2 примерно равен
коэффициенту Пуассона. Будем считать, что за период колебаний тока в струне 2π/ω
температура струны не успевает существенно измениться и что собственная
частота колебаний струны ν лежит вне областей параметрического возбуждения струны
[268]. Принтом членом (Uq/2R)cos2uI в уравнении (13.9.17) можно пренебречь.
Стационарное решение хСТу uCT уравнений (13.9.14), (13.9.17), с учетом (13.9.16)
и (13.9.18), определяется следующей системой алгебраических уравнений:
E5fp ίχπ-χ* _2см?ст) =mg, ΰ€Ύ * U20/2R0q. (13.9.19)
Чтобы исследовать устойчивость стационарного решения (13.9.19), запишем
линеаризованные уравнения для отклонений ξ — (χ — хСт)/^о, 1 = (^ — ^ст)/^ст· Эти
уравнения удобно записать в виде
= -αξ,
где
ξ + 2&ξ + u2i = *v, ή ^
xCT ttiIq m/5
, 7=— (1+iMcT). a=^f/?2.
mc mc/o
4'Мы предполагаем, что теплопроводность струны достаточно велика, так что за период
колебаний температуры всех точек струны успевают стать одинаковыми.
^Изменение сопротивления при деформации называется тенэорезистивным эффектом.

262
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Отсюда видно, что данная система, как и рассмотренный выше резонатор Гель-
мгольца, относится к классу простейших систем с инерционным самовозбуждением,
описываемых уравнениями (5.3.29).
Условие самовозбуждения автоколебаний в такой системе можно записать в
форме
ak > 2ί(ι/2 + 2ί7 + 72)· (13.9.20)
Отсюда видно, что причиной самовозбуждения служит зависимость сопротивления
струны от ее деформации, отражаемая коэффициентом /?2· Условие
самовозбуждения (13.9.20) может выполняться только если инерционность изменения
температуры струны, отражаемая параметром 7*1, достаточно велика.
Перейдем теперь к рассмотрению вращательных автоколебаний струны.
Очевидно, что эти автоколебания могут возбуждаться лишь жестким образом за счет
зависимости коэффициента теплоотдачи q от модуля скорости движения струны.
Действительно, при этом условии колебания струны вызывают появление второй
гармоники в изменении температуры, что приводит к модуляции длины струны
на той же частоте. Это, в свою очередь, вызывает «параметрическую» подкачку
энергии в колебания струны.
Уравнение вращательных колебаний груза можно записать в виде
ά(τ2φ)
m ν Ύ) + Ητφ + mgr sin φ = 0, (13.9.21)
at
где г — расстояние от груза до оси 0ι02> Η — некоторый коэффициент трения. При
протекании тока по струне расстояние г изменяется за счет теплового удлинения
струны. Учитывая, что / = /о(1 + art?), находим
г = ^//2(1 + ш?)2-/,2. (13.9.22)
Уравнение для температуры ΰ запишем в виде (13.9.17). При рассмотрении
вращательных колебаний струны тензорезистивным эффектом можно пренебречь, но
зато следует учесть зависимость коэффициента теплоотдачи q от модуля скорости
движения груза. Поэтому положим
ί = ίο + ίι/(Η). (13.9.23)
где <7о — коэффициент теплоотдачи струны при покоящемся грузе, </ι — некоторый
коэффициент, υ — полная скорость груза, модуль которой равен
|v| = >/rV + г2 , (13.9.24)
f(\v\) — нелинейная функция, которая в некотором диапазоне значений |v| может
быть аппроксимирована формулой f(\v\) = y/\v\ [22]. С учетом (13.9.23) и (13.9.24)
уравнение (13.9.17) принимает вид
mod = -igo + qif(y/r2<P2 + ^))tf + ^ . (13.9.25)
где γηιΙ связаны соотношением (13.9.22).

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 263
Аналитический расчет амплитуд неустойчивого и устойчивого предельных
циклов удается провести в предположениях, что затухание #, отклонение
температуры ΰ от стационарного значения ΰ и значение q\ достаточно малы (порядка
некоторого малого параметра е). Тогда можно положить
г^г0 + еа(1+^ст)/о%, (13.9.26)·
го
где
/ст.
Учитывая (13.9.26) и полагая φ ~ у/су q\f{\v\)^CT ~ е, запишем уравнения (13.9.21)
и (13.9.25) в первом приближении по е:
φ+ωΐφ = с ί- 2δφ + ^ φ3 - a (1 + "f ст)/° (2^т? + foy)j , i) + 74 + 7itW(r<>M) = О,
(13.9.27)
где 2ί = Я/шго, Wq = 0/го> 7 = <7о/тс> 71 = 91/те. В нулевом приближении по е
решение первого уравнения (13.9.27) имеет вид
у> = 4cos(u>0* + ^). (13.9.28)
Подставляя (13.9.28) во второе уравнение (13.9.27) и разлагая /(r0Aj0| sin(u>0t + rp)\)
в ряд Фурье, можно найти ψ
η = 53 (Bn(Л) cos 2n(w0* + V>) + С„(Л) sin 2η(ω0* + V>)) , (13.9.29)
n = l
где коэффициенты Вп и Сп определяются через коэффициенты Фурье функции /.
Подставив теперь (13.9.28) и (13.9.29) в первое уравнение (13.9.27), считая А и ψ
медленно меняющимися функциями времени и учитывая только члены, содержащие
основную гармонику, получим следующие укороченные уравнения для амплитуды
А й фазы ф:
А= Ι-ί + -α ρ—— u;oCi(i4)li4, 0 = - — A* + -α- ^—— "oSiH).
(13.9.30)
Стационарное решение первого уравнения (13.9.30) дает значение амплитуды
неустойчивого цикла. Чтобы рассчитать амплитуду устойчивого цикла, нужно учесть
члены второго приближения по малому параметру е. В принципе это сделать
несложно, но выкладки получаются довольно громоздкими, вследствие чего мы их
здесь приводить не будем.
Отметим, что описанные выше автоколебания струн, по-видимому, могут
служить одной из причин раскачки проводов линий электропередачи даже в
безветренную погоду.
3. Модифицированный «брюсселятор». Если мы отбросим предположение,
что в схеме реакции (13.4.2) вещество Ζ не реагирует с другими веществами, то мы

264 Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
получим некоторый модифицированный брюсселятор. Одна из таких модификаций
была предложена М.С. Поляковой [177]. Она рассмотрела следующую схему реакции:
А-*Х, В + ХчУ + Д 2Х + Υ -+ ЗХ, X -+ Ζ, Ζ + Υ -+Х.
Уравнения для изменения концентраций реагирующих веществ, которые мы, как и
прежде, будем обозначать соответствующими строчными буквами, имеют вид
χ - а- (6 + l)x + x2y + yzy y = bx-x2y-yz} z = r(x-yz). (13.9.31)
Покажем, что система уравнений (13.9.31) относится к классу систем с
инерционным самовозбуждением. Для этого в уравнения (13.9.31) подставим ξ = х+у-хо-2/о>
η = ζ ζ0 + г(1 + ζΌ)ξ , С = * - *ο> где х0 = α, у0 = (6 - 1)/α, ζ0 = α2/(6 - 1)
— стационарные значения концентраций χ, у, ζ, и преобразуем эти уравнения к
следующему виду:
« = -С, »?+ 7* = "* + ¥>(*>»?, С), С + 2*С + "о£ = *? - /(*, ъСЬ (13.9.32)
где
. ^-О л-г^(6~1 + а2) α2 \ а26
а26 г(6-1 + а2) .6-1 / г(6-1+а2)^
"о = ггг 5—· * = —> ^.^о = -г(е-о^ ^л—J>
/к...о-к-о(,+с» + *с- ^^т^)- ^
Исключая из уравнений (13.9.32) переменную ζ, получим уравнения вида (5.3.29),
описывающие колебания в системах с инерционным самовозбуждением.
4. Автоколебания тела на воздушной подушке. Пример, который будет
рассмотрен ниже, касается множества задач об автоколебаниях тела в потоке газа
или жидкости. Строгая постановка таких задач требует решения уравнений в
частных производных. Однако в некоторых частных случаях эти задачи приближенно
могут быть сведены к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Полученные при этом уравнения можно трактовать как некоторые сосредоточенные
модели рассматриваемых процессов. Ниже мы покажем, что задача об
автоколебаниях тела на воздушной подушке путем ряда допущений сводится к сравнительно
простой модели [200], а именно, к уравнениям систем с инерционным
самовозбуждением вида (5.3.29).
Рассмотрим жесткую пластину массы ш, лежащую на воздушной подушке,
которая создается воздухом, выходящим через ряд отверстий (сопел) из камеры,
подсоединенной к насосу (рис. 13.16 а). Без учета трения пластины о воздух уравнение
движения пластины имеет вид
mh = F — тпд,
(13.9.33)

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 265
Рис. 13.16. Схематическое изображение жесткой пластины 2, лежащей на воздушной
подушке, которая создается воздухом, выходящим через сопла 3 из камеры i,
подсоединенной к насосу (а); зависимость величины то = тпо(л:,ра, />)/«o(pa)sin Ax, характеризующей
плотность потока массы, от Р/ра. (б)
где h — толщина воздушной подушки, F — аэродинамическая сила, определяемая
выражением
ь ι
F = 2 f f (p{x,z) - рк) dxdz,
о о
(13.9.34)
ра — атмосферное давление, p(x>z) — давление, создаваемое воздушной подушкой.
Чтобы вычислить ρ(χ,ζ), можно использовать уравнение, выведенное О. Рейно-
льдсом в его исследованиях газовой смазки [568]. Это уравнение может быть
получено из уравнений Навье-Стокса и уравнения непрерывности, если предположить,
что толщина подушки мала по сравнению с линейными размерами пластины и что
инерцией воздуха можно пренебречь. Последнее связано с тем фактом, что для
рассматриваемых процессов число Рейнольдса много больше единицы. Из первого
предположения следует, что
du
дх
du du dw
dz ду ' дх
dw dw dp dp dp
dz dy dy dx dz
(13.9.35)
где υ, ν и w — компоненты вектора скорости воздуха v. Пренебрегая в уравнениях
Навье-Стокса инерцией воздуха и зависимостью компонент скорости от χ и ζ (в
соответствии с (13.9.35)), мы получаем следующие уравнения:
d2u dp d2w
dp
dz'
(13.9.36)
dy2 dx * ' dy2
где η — динамическая вязкость.
Граничные условия для уравнений (13.9.36) следующие:
u(x,0,z) = u(xth,z) = 0, w(x,0,z) = w(xthtz) = 0.
Принимая во внимание эти условия и тот факт, что ρ слабо зависит от уу из (13.9.36)
находим
1 дР ι и\ ' 1 дР ( и\
u = Tndiy{y-hh w = Tr,Tzy{y-hY
(13.9.37)

266
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Используем теперь уравнение непрерывности, имеющее вид
^+ div(pv) = 0,
где ρ — плотность воздуха, связанная с давлением ρ некоторым уравнением
состояния. Интегрируя это уравнение по у от 0 до h и учитывая, что р, как и р, слабо
зависит от у, и что υ(χ, Ο, ζ) = 0, ν(χ, Λ, ζ) = Л, имеем
= 0.
~ / Oz \' J I
о
Подставляя в это уравнение выражения (13.9.37), получаем
Наиболее простые результаты имеют место, когда процессы, происходящие в
воздушной подушке, предполагаются изотермическими, т.е. ρ ~ р. В этом случае
уравнение (13.9.38) принимает вид
24,7 ^Г-Л U?" + !P7· (13·9·39)
Именно это уравнение называют уравнением Рейнольдса.
Пренебрегая обтеканием пластины, граничные условия для уравнения
(13.9.39) могут быть записаны в виде
р(*. Ь) = ра, р(0, ζ) = р(/, г) = ра. (13.9.40)
Кроме (13.9.40), нужно еще записать граничное условие на линии поддува (для
ζ = 0). С этой целью мы заменим дискретный ряд сопел непрерывной щелью.
Пренебрегая течением воздуха вдоль этой щели и полагая, что щель заканчивается
карманом определенного объема, мы можем записать для массы воздуха,
выходящего из щели, следующее условие баланса [265]:
д(роУ)
dt
= — т0(х,ро) - 2р0 / wdy} (13.9.41)
Ро J
где ро и ро — плотность и давление воздуха на линии поддува, V = Vq + hd, Vo —
объем кармана, приходящийся на единицу длины линии поддува, d — ширина кар-
мана вдоль оси ζ, (ρο/ρο)^ο(^,Ρο) — масса воздуха, выходящего из щели в единицу
времени на единице длины линии поддува, которая называется плотностью потока
массы. Плотность потока массы зависит как от давления ро на линии поддува, так
и от давления Ρ в камере поддува ]. Эмпирическая формула для этой зависимости
приведена в книге [265]. Ее удобно переписать в виде
mo(x,po,/?) = a(^,po,P)t?(p0//?), (13.9.42)

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 267
где а(х,ро> Р) — функция, характеризующая распределение плотности потока
массы вдоль линии поддува, ΰ(ρο/Р) — функция истечения. В соответствии с
граничными условиями (13.9.40) функция а(х,ро) должна обращаться в нуль при χ = 0 и
х = /. Поэтому приближенно ее можно задать в виде or (х, ро, Р) = (*о(Ро)\/Р/ро sin Ах
где А = π//,
(κ + 1)/2(κ-1)
/с — показатель адиабаты, Sd — площадь истечения на единицу длины линии
поддува. Функцию истечения ΰ(ρο/Ρ) можно аппроксимировать формулой Прандтля
{1 при г < 0.5,
, (13.9.44)
2у/г(\-г) при 0.5 < г < 1.
Теперь, подставляя (13.9.37) в (13.9.41), полагая р0 ~ Ро и пренебрегая hd по
сравнению с Vq, получим
V^^mo^PoH^^-
(13.9.45)
2=0
В общем случае, решение уравнений (13.9.33), (13.9.39) с граничными
условиями (13.9.40), (13.9.45) найти трудно, даже для стационарного режима. Поэтому
мы рассмотрим частный случай, предполагая, что давление воздуха ρ слабо
отличается от атмосферного [489]. В этом случае в выражениях (13.9.42), (13.9.43)
можно положить ро а* ра- Тогда, как следует из (13.9.42), (13.9.44), величина т0 Ξ
то(х,ра> P)/otQsm\x будет зависеть от Р/р&} как показано на рис. 13.16 5.
Полагая ρ = ρΛ+ρ> где ρ <£ ра> и учитывая, что d(ph)/dt » pa/i, мы запишем
уравнение (13.9.39) и граничные условия (13.9.40), (13.9.45) в следующей приближенной
форме:
i2^ =н*{В+В)> <ΐ3·9·46>
р(*> *) = Р(0, г) = р(/, ^) = 0, (13.9.47)
w dpo раЛ3 дро
Vo-^~ = Qfom0 sin Ах +
(13.9.48)
г = 0
Λ 6η dz
Учитывая приближенную формулу х(х — /) « — (8/7rA2)sinAx, можно искать
приближенное решение уравнения (13.9.46) с граничными условиями (13.9.47), (13.9.48)
в виде
р= т| i-^sinAxchA(6-z) + x(x--/)j ft + раТ(*) sin Ax shA(6 - ζ), (13.9.49)
где T(t) — неизвестная функция. Это решение точно удовлетворяет уравнению
(13.9.46) и приближенно граничным условиям (13.9.47). Из (13.9.48) находим
уравнение для T(t):
• PaAfr3 apmo 8 · 48r?(chA6 - 1) (, ΛΛ
6t|VbthA* PaV0shA6 ir\V0 itX43pAsh\b \ Λ ' l'«».».ouj

268
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Рассчитаем теперь силу F по формуле (13.9.34) с учетом (13.9.49). При этом
находим
F=^(chAfr-,)T+^(^shA6-l)A. (13.9.51)
Подставляя (13.9.51) в уравнение (13.9.33), получим следующее уравнение.
mh= ^^ f^shXb- Лл+ i^(chA6-l)r-m(7. (13.9.52)
Уравнения (13.9.52), (13.9.50) описывают движение пластины полностью. В
частности, из этих уравнений и (13.9.49) мы можем найти стационарные значения /ι, Τ
и ρ:
h = 1 /24r/a0mo(chA6~ 1)\1/3 ^ mgX2
А \ mgp^chXb / ' ст 4pa(chA6- 1) *
(13.9.53)
рст = рЛТст sin Ax sh А(6 — ζ).
Отсюда видно, что предположение ρ «С ра> которое было использовано выше,
справедливо, если mgX2shXb <& 4pa(ch Xb — 1). Это ограничение может быть выполнено
только в случае достаточно легкой пластины.
Чтобы исследовать устойчивость стационарного решения (13.9.53), удобно в
уравнения (13.9.52), (13.9.50) подставить
2тпд
αο/th А6 s ' jrAVbch2(A6/2) '
ξ = h - Лст, С = Τ - Tcr + _ У,Л^+ 1Т, 12/%,/оч{
и записать для этих величин следующие линеаризованные уравнения:
ί + 2δξ +ω20ξ = Κζ} С + 7С = -αί, (13.9.54)
где
?, P*9l (^Ь ХЬ 16\ 2__ 32ра ( ХЬ\2 ^^4р п
4m0 iL A6 3m0 47
Τ = ΤΪ77—Γth ΊΓ - « =
A2V0m5 2' Pal/0AshA6 »AV0 (ch (A6/2))2 '
Таким образом, мы показали, что рассматриваемая система сводится к уравнениям
вида (5.3.29), т.е. она относится к классу систем с инерционным самовозбуждением.
Условие самовозбуждения системы (13.9.54) легко может быть преобразовано к
виду:
Zg ( 7r3Afr _ %\ ( 4π Р&д212 λδ (t?Xb Xb _ 16\\
Лст >PaV12thA6 π2/ ^mA3Vo + (aom0)2thA6 2 V 12 2 IP))'
(13.9.55)

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 269
Поскольку Лст ~ («о^о)1^3, то условие (13.9.55) может быть выполнено только в
некотором диапазоне значений то (токр < то < mj) и при Vb > VbKp> где V0Kp —
некоторое критическое значение Ць
Выражение (13.9.3) для частоты автоколебаний вблизи порога самовозбуждения
может быть преобразовано к виду:
/ 3ff7
U γΛοτ(7 + 2ί)·
Отсюда следует, что для пластин малой массы, когда η ^> S, частота автоколебаний
увеличивается с ростом массы, потому что значение hcr уменьшается. Для пластин
сравнительно большой массы, когда η <^С ί, частота автоколебаний уменьшается с
ростом массы, потому что отношение ~i/hCT уменьшается.
Уравнения (13.9.52), (13.9.50) позволяют также без особого труда рассчитать
амплитуду автоколебаний вблизи порога самовозбуждения.
Описанная система была исследована экспериментально Б.П. Бакшисом.
Пластина имела линейные размеры / = 10см, b = 1 см и массу m = 100г. Отношение
давления Ρ в камере поддува к атмосферному было около 1.5. Для этих
параметров hCT & 0.5 мм. Возбуждающиеся автоколебания имели частоту ω/2π = 35 Гц и
амплитуду около 0.2 мм. Эти данные близки к расчетным значениям.
Заметим, что система, аналогичная рассмотренной, используется на практике с
целью автоматической сборки деталей [23].
13.10· Системы Ресслера и Чуа
По своей популярности и изученности система Ресслера (5.3.33) может
сравниться только с системой Лоренца. Изложим некоторые основные результаты
исследований этой системы.
Уравнения (5.3.33) либо вообще не имеют особых точек, либо имеют две особых
точки с координатами
ΛΊ.2 = 2 ± γ ~± - ed> yi,2 = -^1,2 = — ·
Отсюда видно, что особые точки существуют лишь при с > 2ved. Первая из этих
особых точек всегда неустойчива апериодически, а вторая может быть как
устойчивой, так и неустойчивой, причем неустойчивость второй особой точки может
иметь колебательный характер.
Система уравнений (5.3.33) впервые численно исследовалась О. Ресслером [576]
при е = d = 0.2 и изменении параметра с. В этом случае условие возникновения
колебательной неустойчивости второй особой точки совпадает с условием ее рождения.
Оказалось, что возникновение неустойчивости второй особой точки приводит к
мягкому возбуждению периодических автоколебаний, которые существуют до
значения с = 3.8. Затем возникает последовательность бифуркаций удвоения периода,
заканчивающаяся при с = 4.22. После этого в фазовом пространстве системы
возникает хаотический аттрактор, имеющий первоначально ярко выраженную слоистую

270
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
структуру. Последняя пропадает при с = 4.60. Возникновение слоистой структуры
для аттракторов, возникших в результате последовательности бифуркаций
удвоения, связано с так называемыми обратными бифуркациями удвоения [519, 184].
Система уравнений Чуа (5.3.36) интересна тем, что она является кусочно-линейной
и поэтому в принципе допускает аналитическое решение. При 6 > 0 система
имеет единственную особую точку с координатами χ = у = ζ = 0, которая является
колебательно неустойчивой, если b < 1 и а > акр, где
*««>= έ ()А+г=т -х) · (13Л01)
При 6 < 0 эта особая точка всегда неустойчива апериодически. Кроме этой особой
точки при b < 0 существуют еще две особых точки с координатами х\,2 = ±(с—6)/с,
2/1,2 = 0> ^1,2 = —ζι,2· Если с > 1, то эти точки всегда устойчивы, а если с < 1, то
они могут быть как устойчивыми, так и колебательно неустойчивыми. Условие
неустойчивости а > аф, где а* определяется формулой (13.10.1), в которой вместо
b следует поставить с. Таким образом, при 6 < 0, с < 1 и α > α* в системе не
существует устойчивых состояний равновесия. В этом случае возбуждаемые
колебания могут быть хаотическими. Например, возбуждение таких автоколебаний при
b = —1/7, с = 2/7, а = 7, 6.5 < β < 7.5 описано в работе [375]. Легко убедиться,
что для указанных значений параметров все особые точки уравнения (5.3.36)
являются неустойчивыми. В случае 0<6< 1 иа > акр возбуждаемые автоколебания
являются периодическими.
13Л1. Трехмерная модель иммунной реакции организма
и «орегонатор»
Простейшая математическая модель иммунной реакции организма,
описывающая изменения концентраций особого вида иммунных клеток — зрелых плазмаци-
тов (ζ), вырабатываемых ими антител (у) и антигена (х), вызванного наличием в
организме болезнетворных бактерий или вирусов, была предложена О.А. Смирновой
и Н.В. Степановой [295, 277]. Эта модель может быть представлена в виде
следующих уравнений:
х = βχ - хуу у = -у- Ху + σζ, i=-*(z-x). (13.11.1)
Здесь член кх описывает рост клеток ζ в присутствии антигена, член βχ
характеризует размножение носителей антигена в организме больного, члены — ху в первом
и втором уравнениях (13.11.1) описывают гибель антигенов и антител в результате
их взаимодействия, член σζ характеризует производство антител клетками ζ,
члены —кζ и —у описывают естественную гибель плаэмацитов ζ и антител у
соответственно. В книгах [277, 278] рассмотрена также некоторая модификация уравнений
(13.11.1), где вместо члена кх стоит некоторая нелинейная функция, учитывающая
ограничение скорости роста числа плаэмацитов при увеличении концентрации
антигена.
Отметим, что система уравнений (13.11.1), как и (13.7.3), представляет собой
некоторую разновидность автоколебательной модели взаимодействия двух видов

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 271
♦хищников», численности которых описываются переменными у и г, с «жертвой»,
численность которой определяется величиной х. В отличие от модели (13.7.3), здесь
♦хищник* вида у (антитела) «поедает» «жертву» (антиген) не непосредственно, а с
помощью другого «хищника» — зрелых плазмацитов.
Уравнения (13.11.1) имеют две особых точки с координатами χ = у = ζ = О
и χ = ζ = β/(σ — β) = xq, У = β· Отсюда видно, что вторая особая точка имеет
физический смысл, только если σ > β. Особая точка в начале координат при β >
О всегда неустойчива, а вторая особая точка может быть как устойчивой, так и
неустойчивой. Чтобы исследовать ее устойчивость, введем отклонения ξ = χ — х0)
η —у — β } ζ = ζ — хо- Из (13.11.1) получаем следующие линеаризованные уравнения
для отклонений £, η и ζ:
ζ = -χ0η -ξη, ή= -# - Ίη + σζ - ζη, ζ = *(ξ - С), (13.11.2)
где 7 = 1 +*ο = σ/(σ —/?). Исключая из уравнений (13.11.2) переменную ξ и полагая
X = С/х0> V" = ξ + (/?АК> получим для X и У следующие уравнения:
X + 2JX+u;2X = -ЛУ-^Х.Х.У), У + 7^ = аХ- —^—-^(Х, X, У), (13.11.3)
κ(σ — ρ)
где
ох «. 2 Λ /?(7 - *) 4 *σ /?
Λ бг — ρ
Система (13.11.3) отличается от уравнений систем с инерционным
самовозбуждением (5.3.29) тем, что она в отсутствие обратной связи имеет мнимую
собственную частоту (коэффициент ω% отрицателен), что соответствует седловому
состоянию равновесия. Это может привести к другому механизму самовозбуждения
колебаний: основным параметром, определяющим условие самовозбуждения,
является к, а не 7·
Характеристическое уравнение для системы (13.11.3) с учетом сделанных
обозначений имеет вид
fe4
р3+[^Ч5 + к)р>+к-^-^Р+0к = О.
Отсюда следует, что особая точка (х0. 0, Хо) является седло-узлом при 0 > \fak,
седло-фокусом при βκρ < 0 < у/ок и устойчивым фокусом 6) при 0 < /?кр, где
Αφ
*(σ + к) - ,/Ρ(σ + к)2 - 4ak(k2 - 1)
2(*-1)
Итак, при β > /?Кр исследуемая особая точка является неустойчивой. Если к
тому же β < \fvk, то неустойчивость имеет колебательный характер. В послед-
нем случае частота колебаний вблизи границы устойчивости приблизительно равна
у/(кс - βί*)Ι(σ - β) ъ y/ktf -к).
^Классификация особых точек для трехмерных систем приведена в [323, 58].

272 Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Качественное исследование системы (13Л 1.1), проведенное в работе [152],
показало, что при нарушении условия устойчивости нетривиальной особой точки вокруг
нее рождается устойчивый предельный цикл. Наличие предельного цикла
соответствует периодическому течению заболевания, что наблюдается для таких
хронических заболеваний, как малярия, лихорадка и т.п. При удалении от границы
устойчивости особой точки возникший предельный цикл может, в свою очередь, потерять
устойчивость и смениться хаотическим аттрактором.
Можно предположить, что модель (13.11.1) может описывать, кроме течения
хронических заболеваний, и повторяющиеся эпидемии и эпизоотии. Колебательный
характер многих эпидемий и эпизоотии в настоящее время твердо установлен.
Известно также, что эти колебания могут иметь хаотический характер [544, 585, 392].
Несколько позднее, в 1974 г., модель, названная «орегонатором», была
предложена Р. Фил дом и Р. Нойесом — сотрудниками университета штата Орегон [402]. Эта
модель представляет собой значительно упрощенную версию более сложной модели,
предложенной в 1972 г. [401] для качественного описания известной
автоколебательной химической реакции Белоусова-Жаботинского. Схема реакции,
соответствующая орегонатору, выглядит следующим образом:
A + Y -*Л>Р, X + Y -+2Р, А + X -+2Х + 2Z, 2Х -> Л + Ρ, Ζ->/ιΥ, (13.11.4)
Для реакции Белоусова-Жаботинского А = [ВгО^"], X = [НВгОг], У = [Вг~],
Z = [Ce4+], Р = [НОВг].
Единицы измерения концентраций реагирующих веществ Ху У, Ζ и масштаб
времени можно выбрать так, что уравнения реакции (13.11.4) будут иметь вид
χ = а(у- ху + х - дх2)> У = α~ι(-2/ -ху + fz)y ζ = μ(χ - ζ). (13.11.5)
Интересно заметить, что уравнения орегонатора (13.11.5) отличаются от
уравнений (13.11.1) только присутствием дополнительных членов в первом уравнении:
у и —дх2. По-видимому, эти члены не являются существенным, так как обе модели
ведут себя похожим образом.
Подобно (13.11.1) система уравнений (13.11.5) имеет две особых точки в первом
квадранте фазового пространства, одна из которых расположена в начале
координат, а другая имеет координаты
!-/-<? , /(l-/-g)2 , Т+7
х=,=,0=__+^___+_,
(13.11.6)
Легко показать, что особая точка в начале координат всегда апериодически
неустойчива. Исследование же устойчивости второй особой точки в общем случае
весьма громоздко. Поэтому ограничимся частным случаем, когда / = 1, £ <£ 1.
Именно эти значения параметров были выбраны в работе [402] при численном
моделировании системы уравнений (13.11.6). В этом случае xq a* у/2/д , t/o « 1- \ZF/2>

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 273
и характеристическое уравнение принимает вид
~з
■+:^+^(:-,)'+*—·
Отсюда видно, что рассматриваемая особая точка является седло-узлом при μ < α,
седло-фокусом при
- (^ - \) -3αμ<0, (13.11.7)
и устойчивым фокусом в противном случае.
В области параметров, где выполняется условие (13.11.7), данная особая точка
колебательно неустойчива и вокруг нее существует устойчивый предельный цикл.
Найденные численно в работе [402] проекции предельного цикла и соответствующие
ему формы колебаний концентраций я, у, ζ показаны на рис. 13.17.
1ηχ#
4
2
О
100
200
300
In z*
4
2
OF
ZL·
100
200
a
300
In
6
5
4
3
2
1
0
-1
In
6
5
4
3
2
1
0
-1
X
~C -ч
■^0\
• ι
-
: U
1 1 1 · 1 1 1 1
3-2-10 1
ζ
- /
-/
-<-^
■ \
V—
ι ι ι ι
3-2-10 1
6
2 3 4
In у
Л
. /
1 I 1 I
2 3 4
In у
Рис. 13.17. Форма автоколебаний переменных χ, у, ζ (α) и проекции соответствующего
предельного цикла (б) для a = 77.27, μ ~ 0.161, g = 8.375 · 10~6, / = 1
Система (13.11.5) путем исключения переменной χ и введения переменных
ξ = ζ - xq, i) = у — уо + (l/a/i)y0(2 - Хо) сводится к следующим уравнениям:
ξ + 2δξ + ωΐξ = -*q + αρ(£, £, q), τ) + 7q = αξ + — γ>(£, £, τ;),
Qf/i
(13.11.8)
где
2ί = /ι + α(1 + 2/ - 3yo), u;* = α/ι(1 + 2/ - Зуо) - (х0 - l)lto,
* = α/ι(ζ0- 1), 7 = α~ι(χ0 + 1), α = a"1 (aTV^teo + l)y0 + / - y0) ,

274 Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Легко видеть, что при указанных выше значениях параметров величина ω2 является
отрицательной, т.е. уравнения (13.11.8) и (13.11.3) имеют один и тот же вид.
Еще в 1973 г. Рюэлем [579] было высказано предположение, что в реакции Белоу-
сова-Жаботинского колебания концентраций могут быть не только
периодическими, но и хаотическими. Возможно, хаотические решения могут существовать и в
модели (13.11.5). В более сложной четырехмерной модели, полученной в
предположении, что в схеме (13.11.4) допускается протекание реакций в обоих направлениях,
такие решения действительно были найдены [619].
13.12. Простейшая модель экономического развития
человеческого общества
В 1990 г. Ю.И. Неймарком была предложена простейшая математическая модель,
позволяющая объяснить основные закономерности экономического развития
человеческого общества [250, 251]. Эта модель построена по принципу агрегированных
моделей типа «хищник-жертва» и упрощенно описывает взаимодействие двух
категорий людей, участвующих в производстве, — производителей (х) и управленцев
(у) — с произведенным и накопленным ими продуктом. Уравнения модели в
соответствующих масштабах можно записать в виде
х = (1-х-у + z)x} у = (-6 -су + az)y, (13.12.1)
( 2F при ζ > 0,
i= < (13.12.2)
[ F(\ +sign F) при z = 0,
где IF = g<p(y)x/(\ + βζ) — ex — fy — функция, описывающая производство и
потребление продукта, (р(у) — (1 + е\у)/(\ + еъу). Параметр д в функции F
характеризует уровень технологии общества, а функция <р(у), изменяющаяся в пределах
от 1 до 61/62» отражает зависимость производства продукта от количества
управленцев. Если 6χ > €2, то увеличение числа управленцев приводит к росту
производства, в противном случае, наоборот. Параметр β характеризует тот факт, что
производство продукта затрудняется при увеличении количества самого продукта,
в частности, из-за ограниченности сырья. Члены — ех и —fy в функции F
описывают потребление продукта производителями и управленцами. В уравнениях (13.12.1)
член (l+z)x характеризует рост количества производителей χ за счет пополнения из
числа других категорий населения, причем учитывается, что скорость роста
увеличивается при увеличении количества продукта ζ. Члены — х2 и —ух характеризуют
соответственно уменьшение количества производителей за счет конкуренции
между ними и перехода в управленцы в результате, например, обучения. Член (αζ — b)y
во втором уравнении описывает изменение числа управленцев у в зависимости от
количества продукта: если продукта много, число управленцев растет, если мало
— уменьшается. Член —су2 характеризует уменьшение числа управленцев за счет
конкуренции между ними.

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 275
Как отмечено в работе [141], модель (13Л2.1), (13.12.2) обладает следующими
недостатками. Во-первых, во втором уравнении (13.12.1) не учтен член,
характеризующий переход производителей в управленцы, соответствующий члену —ух в
первом уравнении. Этот член можно записать в виде dxy. Во-вторых, в
уравнении (13.12.2) члены, описывающие потребление продукта, не зависят от количества
продукта г, тогда как очевидно, что такая зависимость существует. В простейшем
виде, с учетом насыщения потребления, эту зависимость можно характеризовать
функцией, аналогичной <р(у). Наконец, в уравнении (13.12.2) не учтено потребление
продукта другими категориями населения. Принимая все это во внимание, можно
записать следующие модифицированные уравнения модели:
(13.12.4)
х = (1-ж-у + z)z, у = (-6 + dx - су + az)y} (13.12.3)
(2F при ζ > О,
F( 1 + sign F) при г = 0,
где
1 + l\V X , „ ч 1 + ΟλΖ
Очевидно, что потребление продукта должно расти с ростом количества продукта,
что будет происходить, если ίι > <Ь·
Отметим, что система уравнений (13.12.3), (13.12.4) содержит в себе как
составную часть уравнения «хищник-жертва» (5.2.7), причем роль хищника играют
управленцы, а роль жертвы — производители. Главное отличие (13.12.3), (13.12.4)
от (5.2.7) состоит в том, что управленцы «поедают» производителей не только
непосредственно, но и через производимый ими продукт.
В зависимости от параметров уравнения (13.12.3), (13.12.4) имеют разное число
особых точек, характеризующих стационарное состояние общества. Первая особая
точка расположена в начале координат и всегда неустойчива. Вторая особая точка,
имеющая координаты аг = 1, у = 0, ζ = 0, существует только при низком уровне
технологии, когда g < g* = e + у, и устойчива, если b > d. Естественно считать,
что последнее условие выполняется. В состоянии, соответствующем этой особой
точке, управленцы и накопленный продукт отсутствуют — все, что производится,
потребляется. Третья особая точка с координатами χ = 1 + ζο, У — 0, ζ = ζο, где zq
— неотрицательный корень уравнения
/?eJiz3+ U?(e + ii(7 + e)) + βδχ -9S2jz2 + (№ + Sl)(~f + e) + e-g(S2 + lj)z+g*-g = 0}
существует при д > д*. Легко показать, что эта точка устойчива при
b-d
и апериодически неустойчива при zq > zKp. Условие zq = ζκρ выполняется при
д = 9кр, где
(γ(α + d) + e{a + Ь)) (a + d + Sx (6 -d))(a + d + fi(b - d))
9Kp = ± '-* η ^-^r '-. (13.12.5)
(a + d)(a + b)(a + d + 62(b-d))

276
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
В области устойчивости данная особая точка соответствует такому состоянию
общества, при котором накопленный продукт имеется, но его еще недостаточно,
чтобы «прокормить» управленцев.
Наконец, при достаточно больших значениях уровня технологии д возможна еще
группа особых точек, определяемых уравнениями
(c-a)yo+6 + q _ (с + d)y0 + 6 - d mi9tf
х = ——\ , У = Уо, ζ- ——) , (13.12.6)
α + α α + α
где уо — неотрицательные корни уравнения
°тт%тЬ;^<^Ш· <■«■»■"
в котором χ и ζ определяются формулами (13.12.6). Отметим, что один из
корней уравнения (13.12.7) переходит через нуль при д = дкр, определяемом формулой
(13.12.5). В отличие от других, особые точки этой группы могут быть неустойчивы
как апериодически, так и колебательно. Согласно критерию Рауса-Гурвица условие
апериодической неустойчивости имеет вид
аз = ху((с - а)Ьг + (d + a)b2 + (с +3 d)i>) < 0, (13.12.8)
где
1+ίι* д Ι + eij/ ,1 + ίι* g(ti - €2)х
1 + ί2ζ l+/?:i + f2y' Μ + ί2* (l+^)(l + €2y)2 '
/?уж 1 + ciy ίι - ί2 , , , , ,
Условие же колебательной неустойчивости следующее:
αλα2-α3<0} (13.12.9)
где αϊ = χ + су 4* 6з, <*2 = ежу 4- (ж + су)63 4- x6i 4- dxy 4* ay62, a3 определяется
выражением (13.12.8).
Условие (13.12.9) удобно записать в виде
с<скр, (13.12.10)
где скр — некоторое критическое значение параметра конкуренции с, имеющее
положительную величину, начиная с некоторого значения параметра д>
определяющего уровень технологии общества. При увеличении д величина скр вначале быстро
(max)
растет до значения сКр , а затем начинает очень медленно уменьшаться,
стремясь к некоторому предельному значению сКр при д -> со. Скорость уменьшения
скр тем больпде, а предельное значение скр тем меньше, чем меньше параметр а,
характеризующий скорость роста числа управленцев в зависимости от количества
накопленного продукта, и чем больше отношение ei/e2, характеризующее влияние
управленцев на производство.

Гл. 13. Примеры Автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 277
Особые точки рассматриваемой группы соответствуют развитому обществу со
сравнительно высоким уровнем технологии. Возникновение колебательной
неустойчивости означает возможность рождения вокруг соответствующей особой точки
устойчивого предельного цикла или хаотического аттрактора, что может
имитировать кризисные явления в обществе, т.е. чередующиеся подъемы и спады
экономического развития.
При постоянном с, заключенном в интервале [cip , Ск™ах'], колебательная
неустойчивость имеет место лишь в ограниченном диапазоне изменения параметра
0, т.е. в этом случае при достаточно большом уровне технологии кризисы должны
перестать потрясать общество. Если же с < Скр , то кризисные явления не исчезают
даже при g —У оо.
Рассмотрим, как ведут себя координаты особых точек последней группы при
стремлении уровня технологии g к бесконечности. Нетрудно показать, что
характер их поведения существенно зависит от соотношениями между параметрами с
н а. Если с < ау т.е. конкуренция управленцев мала, а «едят» они много, то при
g -¥ оо количество продукта и число управленцев стремятся к конечным
значениям, а именно,
6+с Ь+а
*-> > у-* ,
а — с а — с
тогда как количество производителей χ стремится к нулю (при очень высоком
уровне технологии для производства конечного количества продукта требуется очень
мало производителей). Такой путь развития общества, безусловно, является
тупиковым. Если же с > а, то при увеличении уровня технологии g количество продукта,
как и числа производителей и управленцев, неограниченно увеличивается тем
быстрее, чем больше отношение ei/e2 и меньше ίι/ί2· Из (13.12.6), (13.12.7) следует,
что при достаточно больших значениях g имеем
_ *1<Ь (c — a)(a + d)g _с""~а _ с + d
У ~ WJ~i (с + d) (е(с - а) + /(а + d)) ' * ~ 7+1 У' * " TTd У'
т.е. ж, у и ζ увеличиваются пропорционально д. Очевидно, что такой путь развития
общества является прогрессивным.
В качестве иллюстрации на рис. 13.18 для ряда значений параметров показаны
зависимости координат особых точек от уровня технологии д. При этих значениях
параметров £* = 2}дкр = 7. Если е\ достаточно мало (е\ < ej), то уравнение (13.12.7)
не имеет корней в области д < дкр и имеет только один корень при д > дкр. Если
же 6ι > е*, то в области д* < gi{c\) < д < дк?} где gi(c\) — некоторое значение д,
слабо зависящее от параметра с, уравнение (13.12.7) имеет два корня, один из
которых соответствует апериодически неустойчивой особой точке, а второй — либо
устойчивой, либо колебательно неустойчивой особой точке (в зависимости от
параметра с). При д > дкр это уравнение имеет один корень, соответствующий особой
точке, которая также может быть либо устойчивой, либо колебательно
неустойчивой. Условие колебательной неустойчивости определяется неравенством (13.12.10).
На рис. 13.19 приведены зависимости скр от параметра д при различных значениях
параметров t\ n а. Мы видим, что значения скр слабо зависят от этих параметров,
причем Ск™**' < 0.8. Поэтому при а > а* ъ 0.8 все значения скр меньше а, тогда

278
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Рис. 13.18. Зависимости координат особых точек от уровня технологии д при 6 = 2,
fl = d = e = / = 7=l, β = 0.1, е2 = 1, ίι = 10, δ2 = 1, е, = 2 (α), ei = 4 (б),
ti = 10 (β). Кривые 1 соответствуют с = 2, 2 — с = 1, 3 — с = 0.5. Участки зависимостей,
соответствующие апериодически неустойчивым особым точкам показаны штриховыми
линиями, тогда как участки, соответствующие колебательно неустойчивым особым точкам
помечены крестиками
как при α < α* существуют значения скр большие а. В этом проявляется отличие
поведения системы при различных значениях параметра а.
Посмотрим теперь, как изменяются формы колебаний переменных я, у, ζ и
предельных циклов при изменении параметров системы. Как уже говорилось, при
постоянном значении с, заключенном в интервале [άρ , cj£ ], колебательная
неустойчивость имеет место лишь в ограниченном диапазоне изменения параметра
<;. Вблизи левой границы этого диапазона колебания переменных х, у, : по
форме близки к гармоническим. При удалении от границы форма колебаний сильно
искажается и они приобретают импульсный характер. При этом период колебаний
существенно увеличивается. При дальнейшем увеличении д и приближении к правой
границе устойчивости колебания приобретают вид все более острых импульсов. Та-

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 279
О 20 40 60
g
6
Рис. 13.19. Зависимости скр от д для 6 = 2, d = e = f = y = l>0 = 0.1, е2 = 1, Si = 10,
j3 = 1, ei = 2 (α), ei = 5 (6), ei = 10 (β). Кривые 1 соответствуют α = 0.15, кривые 2 —
α = 0.5, кривые 3 — α = 1
кое изменение формы колебаний связано с тем, что переход через правую границу
устойчивости является жестким. Действительно, при д = 30 соответствующая
особая точка является устойчивой. В то же время устойчивым является и предельный
цикл. Сказанное продемонстрировано на рис. 13.20.
Г^
///
///
/у
^»-
/ X
г
1 /
/'
\ /^Ί
J^s^ff·
\4
)
/
/
/
хС··* ···
Ί
' 3
.^
\ '">Г
Гч //
/ X/ 4\
/ К !
Г //\2
/ \ /
^ 1 / ^--^
г Li^*^^
"\
ч
^
^z/
^Х''""-г
"Л 3
и
£-30
U
1 ι
Г 1100 1105
У\
/у
4/ \
/ у
Л
)2
3.
7\]
Рис. 13.20. Формы колебаний переменной χ (вверху) и соответствующие предельные циклы
(внизу) для ei = 10, Ъ = 2.8, d = L4, a = 1.4, с = 0.7, д = 10 (а), у = 20 (б), д = 30 (в).
Кривые 1 представляют собой аксонометрические проекции предельных циклов; кривые
2,3,4 — проекции предельных циклов на плоскости (х} у), (х, г), (у, ζ) соответственно.
Звездочками показано положение проекций особых точек

280
Часть Я/. Активные системы. Автоколебания и автоволны
13.13. Модели голосового источника
В настоящее время известно много различных моделей процесса голосообразо-
вания. Обзор некоторых из этих моделей дан в книге В.Н.Сорокина [297]. Такие
модели очень важны, так как, во-первых, они способствуют лучшему пониманию
механизма явления голосообразования, а во-вторых, их можно использовать для
некоторых практических целей, например, для синтеза и распознавания речи [406], для
изучения различных речевых патологий [436] и т.п. Основными частями этих
моделей являются модели голосового источника — так называемых голосовых складок,
расположенных в гортани человека и животных. Устройство голосовых складок
довольно сложно. Оно описано, в частности, в книге [297]. На рис. 13.21 а
схематически приведен вертикальный разрез гортани человека, позаимствованный из [349]
_►
—^
—^
-^
_►
—►
—►
-**
Λ у
У
—
Т1~
1
L5L
[■J ■
щ\ —
2Г
1
J_
*о
Ί~
1
Р
0
0
^г
§
_i_
m
m
*2
~I~~
1
_£
"S
1
J_
6
τ
Η
f _
t ?
^2
И
f
Рис. 13.21. Схематическое изображение вертикального поперечного сечения глотки (о):
1 — голосовые мышцы, 2 — черпало-щитовидные мышцы, 3 — ложные голосовые складки,
4 — морганиевы желудочки; б — модель голосовых складок
и несколько упрощенный. Голосовые складки образованы связками двух мышц —
голосовой 1 и черпало-щитовидной 2 — и соединительными тканями. Над
голосовыми складками расположены так называемые ложные голосовые складки 3. Они
не содержат внутренних мышц, но играют важную роль при формировании
шипящих звуков. В случае удаления истинных голосовых складок ложные складки
иногда принимают на себя функции голосового источника [350]. Между истинными
и ложными голосовыми складками имеются некоторые расширения 4, которые
называются морганиевыми желудочками. Внутренние мышцы голосовых складок —
голосовая и черпало-щитовидная — при своем сокращении изменяют жесткость,
длину и форму складок, что приводит к изменению частоты основного тона
генерируемых колебаний.
Известно довольно много моделей голосовых складок, как довольно сложных
[612, 515, 613], так и сравнительно простых [460, 595, 360, 436, 596]. Степень
сложности той или иной модели определяется, главным образом, методом расчета
аэродинамических сил. Например, в широко известной двухмассовой модели Ишизаки и
Фланагана [460], как и в ее упрощенной версии, предложенной Херцелем и Кнудсе-
ном [436], аэродинамические силы вычисляются в квазистатическом приближении
на основе закона Бернулли, пренебрегая скоростью движения стенок голосовой
щели, вязкостью и инерционностью воздуха. Это является существенным недостатком

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 281
всех указанных моделей.
Ниже мы рассмотрим модель голосовых складок, предложенную в работах [195,
489] и свободную от этих недостатков. Эта модель представляет собой две
одинаковые жесткие пластины, прикрепленные при помощи пружин к стенкам трубы
прямоугольного (для простоты) сечения с поперечными размерами 2# χ / (рис. 13.21 б).
Под действием перепада давления АР = Р\ — Р2 в трубу поступает воздух из
резервуара достаточно большого объема V, что может привести к возникновению
автоколебаний пластин. Можно показать, что возбуждение автоколебаний пластин
в такой модели возможно, если каждая пластина обладает по крайней мере двумя
степенями свободы, т.е. может совершать как поступательное движение
перпендикулярно направлению потока, так и вращательное движение относительно оси
О, проходящей через центр масс. В этом отношении возбуждение автоколебаний
рассматриваемых пластин в некоторой степени подобно возникновению изгибно-
крутильного флаттера крыла самолета [303, 258, 181, 259].
Считая движение пластин полностью симметричным относительно середины
трубы, запишем уравнения движения одной из них в следующем виде:
mha+aha + k(ha-ha) + K{<p-<p) = F, J<p+P<p+K(<p-<p) + K(ha-ha) = Μ, (13.13.1)
где ha — полуширина щели при χ = α, α — абсцисса центра масс, φ — угол поворота
пластины относительно оси, проходящей через центр масс, ha и φ — значения ha и
φ при недеформированных пружинах, m — масса пластины, J — ее момент
инерции относительно оси, проходящей через центр масс, к = к\ + к2 + ^о — суммарная
жесткость пружин, К = к\а2 -f k2(b — α)2 — жесткость пружин на вращение, 6 —
ширина пластины вдоль потока, κ = к\а — к2(Ь — я) — коэффициент связи,
характеризующий влияние смещения центра масс пластины на ее поворот и наоборот, α
и β — коэффициенты трения, F и Μ — аэродинамические сила и момент, равные
ь ъ
F = / J р(х) dx, Μ = 1 J {χ - α)ρ{χ) dx, (13.13.2)
о о
р(х) — разность между давлением воздуха в щели между пластинами и
атмосферным давлением. Следует отметить, что уравнения (13.13.1) могут быть получены
методом Галеркина из уравнений изгибно-крутильных колебаний балки, лежащей на
упругом основании, если ограничиться только одной модой изгиба и одной модой
кручения.
Уравнения (13.13.1) удобно переписать в другой форме, использовав в качестве
независимых переменных So и S&, представляющих собой площади поперечного
сечения щели у концов пластин. В этих переменных уравнения (13.13.1) могут быть
записаны в виде
So + 2in5o + 2S12Sb + ω2(50 - So) + «ι(Sb - Sb) = F0|
(13.13.3)
Sb + 2SnSo + 2S22Sb +vl(Sb - §ь) + k2(S0 - So) = Fb,
где
Ь-αα α β α/α β \ &- α a a b- α β
Sn = —^ + ZU'Su=b{2^-2j)>S2l = —Sl2'S22=b2^ + —2J'

282
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
9 b- a k α К к /т ,, чч о α к b - α К */т ,. хх
w? = "Г ш+6 7+^7б <'+»·"<*-"». "* = 6 m+"T- 7 " ^ (•'-WM),
α/Ar АЛ /с 2ч b-a/к К\ к 2
"1=6(m-7j-Wi(J-rae)· К2 = -Г(т-7)+^Л('/-т(6-0))'
50 = 2/(Λβ + α£), S6 = 2/fAa-(6-a)£),
В отличие от обтекания крыла самолета, здесь обтекание пластин потоком
воздуха происходит только с одной стороны. Кроме того, в узкой щели между
пластинами существенной может оказаться вязкость воздуха. Поэтому воспользоваться
известными в задаче флаттера выражениями для аэродинамических сил мы не
можем. Чтобы вычислить эти силы, мы найдем приближенное решение двумерных
уравнений Навье-Стокса и уравнения непрерывности для несжимаемой жидкости.
Эти уравнения имеют вид
dvx dvx dvx 1 dp
dvv θνυ dvv I dp
(13.13.5)
где vXl vy — компоненты скорости воздуха, ρ — его плотность, ν — кинематическая
вязкость, Δ — двумерный оператор Лапласа.
Граничные условия для уравнений (13.13.5), (13.13.6) следующие:
М*,±М) = 0, vy(*.±M) = ±|£, (13.13.7)
где
h = hQ-x<p (13.13.8)
— полуширина щели в сечении с координатой х> Λο = Λα + αφ — полуширина щели
при χ = 0.
Проинтегрировав (13.13.6) по у с учетом граничных условий (13.13.7) и умножив
на i, получаем
g + f = 0, (13.13.9)
h
где u(x, t) = 21 I vx dy — объемная скорость потока, 5(x, t) = 2hl — площадь попе-
o
речного сечения щели. С учетом выражения (13.13.8) из (13.13.9) находим
и = «о - (So - 1хф)х, (13.13.10)

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 283
где щ = u(0,t), 5Ό = 5(0, t). Умножив далее уравнение (13.13.6) на νχ и сложив с
первым уравнением (13.13.5), получим
dvx dv2x d(vxvy) , 1 dp A h010in
π + ιί+*=--ρ&;+''Αυ·· <13Л8Л1>
Учитывая (13.13.10) и граничные условия (13.13.7), а также то, что при h <g[ 6
давление ρ слабо зависит от у, проинтегрируем уравнение (13.13.11) по у, пренебрегая
зависимостью ρ от у. В результате получим
at + dx l x
и2\ Л ,. vl2 S dp
где
2SI Г 2j 2S2
X=^Jvxdy, c = --=r
S2 ρ dx
IS2 dvt
(13.13.12)
dy
v=h
— коэффициенты, зависящие от формы профиля скорости (для пуазейлевского
профиля коэффициенты χ и ί не зависят от χ и равны χ = 6/5, е = 12; для равномерного
профиля с толщиной пограничного слоя 6ь имеем χ = 1, е = 4h/Sb)-
Подставив в (13.13.12) выражения (13.13.8), (13.13.10) и проинтегрировав по х,
получим для ρ следующее выражение:
Р = Ро-,(л(^-^)+в(1-^)+С1п| + ^-5о) + ^-^)),
(13.13.13)
где
= I (ч - bS°
2 \ So — Sb
(So — 2Sb)So + SoSb \
* 2(5o - Sb) +
(So - 2Sb)S0 + S(
2(5o - Sb)
tbl2u
OSb \ Г / bSo
2(So-Sb)\'
B =
ib2l2v
(So - Sb)3
Sb
(SoSb — SbSo),
r_ Ь f bX [3 2(5о-5ь)2 л /л „ So-Sby
C-s7^\s^^b[2So(So-Sb)2+So[So-SSoS^~S-bj
+ ^(S0-Sb)
+ »b(So-Sb)(l-2{s^Sb)2)
Uq +
bSo [So — 2Sb)S(
So — Sb
- 2Sb)So + SoSb I
2(5o - Sb) /'
2χ62(50 - Sb) SoSb - SbSp b2(S0Sb - SbS0) 3χ62(50 - Sb)2
(So-Sb)3 So-Sb (So-Sb)3 ' S(So-Sb)4
Подставляя теперь (13.13.13) в (13.13.2), вычислим F и Μ:
BrB-CiCln^-- D^D-ΕχΕ
Ьо j
Μ
' =ы1ро-р(Л1А
= b2l{r-po-p (λ2Α - B2B - C2Cln J* - D2D - Ё2е) ),
(13.13.14)

284
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
где г = 6/2 — а — отклонение центра масс от геометрического центра пластины,
~ _ Sp -Sb ^ _ J_ 1 jn 5^6 £ _ Λ 5б \" 5»
5о5ь ' So So — Sb So \ So J So — Sb
~ So - St £, (SO - Sb)(2So + £*)
i^ = —r— , ьг =
3
1 / 1 lnSb | 1 /5o +
SO — 5e> I SO — Si SO SO56 \ 2
^ = 1 Л , г50-5ь |
SO — Si I 6 So
Sb | r (50-5b)2'
δ So
1 + ^^ ι r с
+ 2(S„-Sb) Ь ,
Uo-5b b)lnsOj'
*-^((?-Ι-ί<*-*>)(-|)
В выражения (13.13.14) входят неизвестные величины ро и и<ь Чтобы их найти,
выразим давления на входе и выходе щели (ро = р|*=о и рь = pU=b) через
перепад давления в трубе ΔΡ, который будем считать заданным. Предполагая, что
справедливо квазистатическое приближение и используя формулу для перепада
динамического давления при плавном сужении потока [124], в нулевом приближении
по h/H имеем
2
po = AP-Cig|, (13.13.15)
где Ci — коэффициент гидравлического сопротивления, зависящий от формы скоса
при входе воздуха в щель и, вообще говоря, от числа Рейнольдса (1 < О < 2). Второе
граничное условие можно получить, используя выражение для перепада
динамического давления при резком расширении потока на выходе из щели [124] и формулу
(13.13.10) для χ = 6. Считая, что на выходе щели давление равно атмосферному,
имеем
рь = С221г(Ио-6^у^) · (131316)
где (г — коэффициент, зависящий от формы профиля скорости на выходе щели и
от числа Рейнольдса Re (при Re > 103 для равномерного профиля скорости ζ2 = 0,
для пуазейлевского профиля £г а* 0.6). Из (13.13.15), (13.13.16) и (13Д3.13) следует,
что
Δρ=ι(<Φ!(»°-*
+%^ В + С In J*· - (So - Sb)D - (S02 - S?)s) . (13.13.17)

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 285
Из выражений для силы F и момента М, действующих на пластины, удобно
исключить производную ύο, содержащуюся в коэффициенте С. Для этого найдем
Сиз выражения (13.13.17) и подставим его в (13.13.14). Тогда, с учетом (13.13.15),
для F и Μ получим следующие выражения:
где
F :
Μ
Аг =
= ры((1 + Сг)(^--
= "*((ί + «)("
2SI)
..^^(Sb + CtiSo + Sb)), Вг
Ci = Ci, £>ι = (5ο·
Δ — Ι , So — Sb
Αϊ - A2+ ςϊςΐ
°0^b
'x ^ " AlA + ΒχΒ + Dx D + El E)'
(13.13.18)
°2 ls^ ~ MA + ВгВ + °2° + ВД) '
1 . Sb So-Sbf. 56\->
So — Sb So SoSb ^ о о '
- 56)(l/2 + Ci), £1 = £i + (502 - 5Ь2)СЬ
C*2> ^2 =
. 5 ^° Sb n r — r
- &2 c!~o— °2> °2 — °2>
D2 = (So - Sb) Q - Yb + Ca) , S2 = S2 + (S2 - St)C2.
Уравнение (13.13.17) совместно с (13.13.3) и (13.13.18) образуют систему
дифференциальных уравнений для определения неизвестных величин So, Sb и щ. Эти
уравнения позволяют найти условия самовозбуждения автоколебаний.
Для определения формы автоколебаний следует иметь в виду, что в процессе
движения голосовые складки испытывают соударения друг с другом, что играет
большую роль в голосообразовании [297]. Поэтому к указанным выше уравнениям
мы должны добавить условия удара. Поскольку пластины предполагаются
абсолютно жесткими, то соударяться могут лишь концы пластин. Введя коэффициент
восстановления скорости при ударе R (R < 1), можем условия удара записать*
следующим образом:
AS0 = 5f - So = -(1 + Я)50~, Δ56 = 5+ - 5Ь~ = -(1 + Я)56~, (13.13.19)
где 5q"6 — значения 5о,б после удара, а 5о~6 — значения 5о,ь до удара.
Отметим, что при достаточно малом R удар может вести себя как
квазипластический [237], т.е. время контакта концов пластин может быть конечным.
Нетрудно показать, что звуковое давление справа от щели определяется
формулой:
Р, = |^ («(Μ)" ««(*)), (13.13.20)
где со — скорость звука, ист — стационарное значение объемной скорости и.
Таким образом, решив уравнения (13.13.17), (13.13.3) с учетом (13.13.18) и
воспользовавшись соотношением (13.13.10), можно из (13.13.20) найти форму колебаний
звукового давления.

286
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Стационарное решение уравнений (13.13.3) и (13.13.17) определяется из
следующей системы алгебраических уравнений:
ω?(5ο - So) + Ki(Sb - §ь) = F0, «§(Sb - Sb) + k2(S0 - S0) = Fb,
где Fo и Fb определяются выражениями (13.13.4), в которых
2«Μ3ι/
- u pu° (
So — Sb
ζ2 + —-ς 1 X +
So (So ~~ Sb)uo,
Μ -rF-
2(S0 - Sb)2
2i6/3i/
So (So — Sb)«o
J V So ISoSt J
(13.13.21)
(Здесь индексы «ст» для краткости опущены.) При χ = 1, ν = 0 выражения (13.13.21)
совпадают с выражениями для аэродинамических силы и момента, которые можно
получить, пренебрегая движением пластин, а используя лишь закон Бернулли (ср.
с [436]).
Параметры, необходимые для моделирования колебаний голосовых складок
человека можно оценить, исходя из данных, приведенных в книге [297]. Мы выберем
следующие значения параметров: Ci = 1-37, С2 = 0.2, χ = 1.2, е — 12,
ρ = 1.3 · 1(Г3г/см3, ν = 0.15см2/с, m = 0.15г, J = 0.004гсм2, к = 8 · 104г/с2,
К = 2400г:см2/с2, κ = 103г-см/с2, a = 40г/с, /? = 1 гсм2/с, α = 0.15см, 6 = 0.5см,
/ = 1.6 см, Ло = 0.07см, Нь = 0.06 см. Параметр АР будем варьировать.
На рис. 13.22 изображены зависимости от перепада давления АР стационарных
значений площади поперечного сечения голосовой щели на ее входе и выходе, а
также объемной скорости потока щ для указанных значений параметров.
0.5
0.4
0.3
0.2
А 1
Х°ь
-
1 1
^—
J 1 1 1 1 1 1
6 8
a
10
12 14
АЯ-Ю-3
12 14
АЯ-10"3
Рис. 13.22. Зависимости So (кривая 1), Sb (кривая 2) (а) и tio (б) от ΔΡ для указанных в
тексте значений параметров

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 287
Записав линеаризованные уравнения для отклонений от найденных
стационарных значений, можно найти условие самовозбуждения системы и частоту
автоколебаний на границе самовозбуждения. Если характеристическое уравнение системы
записать в форме
р5 + αιρ4 + α2ρ3 + α3ρ2 + α4ρ + α5 = 0, (13.13.22)
то условие самовозбуждения имеет вид
(αια2 - α3){α3α4 - α2α5) - (α\α4 - α5)2 < 0, (13.13.23)
а частота автоколебаний на границе возбуждения определяется выражением
ω = <β*ΕΞ. (13.13.24)
у a\ci2 — яз
Можно показать, что условие (13.13.23) удовлетворяется при АР > ΔΡκρ. Так, для
к = 103гсм/с2 получаем ΔΡκρ « 7000г/(смс2) = 7.2 см вод. ст. Критическое
значение объемной скорости щ, соответствующее этому значению ΔΡ, иокр ^ 600см3/с.
Частота автоколебаний вблизи нижней границы самовозбуждения / = ω/2π «
120 Гц. Полученные результаты согласуются с данными экспериментов.
Интересно отметить, что анализ устойчивости стационарного решения,
проведенный с использованием выражений для аэродинамических сил, вычисленных
исходя из одного только закона Бернулли, показывает, что для указанных выше
значений параметров стационарное решение теряет устойчивость при несколько
меньших значениях АР (ΔΡκρ « 5650г/(смс2)).
Численное моделирование уравнений (13.13.3), (13.13.4) с использованием
выражений для аэродинамических сил, которые получаются из закона Бернулли,
показало, что возбуждение автоколебаний получается жестким. Сразу после перехода
через порог самовозбуждения колебания имеют хаотический характер и значения
So и Sb достигают нуля (рис. 13.23 а). Это значит, что даже в непосредственной
близости от порога самовозбуждения необходимо учитывать соударения пластин.
При АР* > АР > АРкр колебания возбуждаются только при конечных
начальных отклонениях SO и (или) Sb от стационарных значений. При уменьшении АР
до значения АР* происходит переход от хаотических колебаний к периодическим
(рис. 13.23 5и в), причем этот переход не является плавным в том смысле, что
области хаоса чередуются с «окнами» периодичности. Для указанных выше значений
параметров АР* яз 3125г/(смс2). При уменьшении So и §ь порог
самовозбуждения понижается, а при их увеличении повышается. Так, например, при So = 0.15,
Sb = 0.129 получаем ΔΡκρ fc* 4340г/(смс2); тогда как при S0 = 0.3, §ь — 0.257 имеем
ΔΡΚρ « 7450г/(см-с2).
Кроме процесса возбуждения автоколебаний, описанная модель позволяет
объяснить и некоторые другие экспериментальные факты. Например, в работе [465]
изложены результаты экспериментов, проведенных с живыми голосовыми
складками человека. В этих экспериментах применялся механический вибратор,
возбуждающий колебания голосовых складок человека в диапазоне частот 30-300 Гц. При
исследовании семнадцати взрослых мужчин и девятнадцати женщин было
установлено, что в случае ненапряженных голосовых складок и у мужчин и у женщин
наблюдается один резонанс, причем резонансные частоты для мужчин лежат в

288
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволиы
0.5
0И ИН'Ч 1Ί IIЩ 14 Μ Η Π И Μ
Рис. 13.23. Эволюция форм колебании площадей щели So и Sb при изменении АР в
случае аэродинамических сил, вычисленных по закону Бернулли: о — хаотические колебания
при АР = 5700г/(см с2), б — периодические колебания с учетверенным периодом при
АР = 5000г/(см с2), β — хаотические колебания при АР =s 4200г/(смс2), г —
периодические колебания при АР = 3000г/(смс2)
диапазоне 91-145 Гц, а для женщин - в диапазоне 115-167 Гц. Для мужчин среднее
значение резонансной частоты (128 Гц) и средне-статистическое значение частоты
основного тона при фонации (129 Гц) примерно совпадают, тогда как для женщин
они значительно отличаются (среднее значение резонансной частоты равно 136 Гц, а
среднестатистическое значение частоты основного тона при фонации равно 240 Гц).
Измерения частотных характеристик напряженных складок непосредственно перед
началом произнесения звука с некоторой частотой основного тона /о проявили их
существенное различие для мужчин и женщин, а также для случаев низкой и
высокой частоты /о. У мужчин при низких частотах /о (порядка 100Гц) по-прежнему
наблюдался один резонанс, причем резонансная частота совпадала с /о- При
высоких частотах /о наблюдались два резонанса: один вблизи 100 Гц, а другой — на
частоте основного тона /о- У женщин всегда наблюдались два резонанса: один
также вблизи 100Гц, а другой — на частоте /о- Эти, факты свидетельствуют о том,
что голосовые складки имеют, по крайней мере, две собственных частоты, одна из
которых слабо зависит от натяжения складок, а другая полностью им определяет-

Гл. 13. Примеры автоколебательных систем с сосредоточенными параметрами 289
ся. Это легко объясняется в рамках рассмотренной модели, если предположить, что
связка голосовой и черпало-щитовидной мышц, натяжение которых определяет
частоту основного тона, проходит вблизи центра масс складок. При этом изменение
натяжения указанных мышц изменяет величину к0 в нашей модели, что должно
слабо сказываться на значении собственной частоты, близкой к парциальной частоте
вращательных колебаний пластин. В то же время оно должно существенно изменять
собственную частоту, близкую к парциальной частоте колебаний центра масс.
Если обе собственных частоты близки друг к другу, то при исследовании частотных
характеристик складок может наблюдаться только один резонанс (см. гл. 7).
13.14. Сосредоточенная модель «поющего» пламени
Эффект так называемого «поющего» пламени, подобно возбуждению звука в
резонаторе Гельмгольца с неравномерно нагретыми стенками, относится к
термомеханическим явлениям и описан в трактате Ρ елея [304].
Этот эффект известен со второй половины
восемнадцатого века и состоит в следующем. Если внутрь
достаточно длинной трубы небольшого диаметра поместить
газовую горелку (рис. 13.24 а), то при некоторых
условиях возникают интенсивные колебания воздуха в
трубе и пламени, приводящие к излучению звука. На основе
качественных представлений Релей показал, что пламя
может возбуждать колебания воздуха только тогда,
когда оно находится вблизи пучности давления и
колеблется так, что во время сжатия выделяется больше тепла,
чем во время разрежения. Количественное решение
задачи о возбуждении автоколебаний в этой системе на
основе одномерных уравнений Эйлера и связи давления
с выделенным при горении теплом впервые было дано
Ю.И.Неймарком и Г.В.Ароновичем [242]. Об этой
модели речь пойдет в гл. 17. Более простая модель,
основанная на замене трубы и подводящей пламя трубки двумя связанными
резонаторами Гельмгольца (рис. 13.24 6), приведена в книге Ю.И.Неймарка [247]. Ниже мы
рассмотрим некоторый модифицированный вариант этой модели.
Пусть резонатор 1 заполнен воздухом, а резонатор 2 — горючим газом.
Уравнения колебаний воздуха и газа в горлышках резонаторов <>ез учета пламени можно
записать в виде
Рис. 13.24. Схематическое
изображение «поющего»
пламени (а) и модель
«поющего» пламени в виде двух
связанных резонаторов
Гельмгольца (6*)
PihSix = -arii + SiApi, pihSiy = -а2у + 52(Δρ2 - Δρι),
(13.14.1)
где χ и у — смещения воздуха и газа в горлышках первого и второго резонаторов
соответственно, ίι и ί2 — длины горлышек, Si и S2 — их поперечные сечения, р\ и р2
— плотности воздуха и газа при атмосферном давлении, αϊ и α2 — коэффициенты
трения воздуха и газа о стенки резонаторов, Δρχ и Δρ2 — изменения давлений в
полостях резонаторов 1 и 2. Так как в полость первого резонатора поступает тепло
Q, то для Δρι в линейном приближении можно записать формулу, аналогичную
(13.9.10):

290
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Δρι = - «ι £- (Si* - S2y) + ^—- Q, (13.14.2)
ν ι κι
где ро — атмосферное давление, V\ — объем первого резонатора. В полости второго
резонатора происходящие процессы можно считать адиабатическими, и поэтому
Ap2 = -K2^S2y. (13.14.3)
Уравнение баланса для поступающего тепла можно записать в виде
^■=P2CrS2Try-Kuu (13.14.4)
где Тг — температура газа в полости второго резонатора, сг — теплоемкость газа,
К — коэффициент теплоотдачи. Первый член в правой части уравнения (13.14.4)
описывает количество тепла, поступающего в единицу времени в первый
резонатор из горлышка второго резонатора, второй член характеризует теплоотдачу в
окружающую среду. Величину ΰ\ в уравнении (13.14.4) выразим через Q из первого
закона термодинамики, т.е.
ΰ = Q-Po(51x-52y);
micv
где mi — масса воздуха в полости первого резонатора, с„ — удельная
теплоемкость воздуха при постоянном объеме. Подставляя (13.14.5) в уравнение (13.14.4),
перепишем его в виде
dQ
-£-+jQ = by + b1x- 62j/, (13.14.6)
где 7 = K/micVi b = p2CrS2Tr, Ьг = 7PoSb h = ypoS2.
Подставляя теперь (13.14.2) и (13.14.3) в уравнения (13.14.1), преобразуем
последние к виду
χ + 2ii i + ω\χ = σι у + kxQ, у + 2S2y + u\y = σ2χ - k2Q, (13.14.7)
где
pjljbj πΐχΐι m2l2 \k2Vi /
_ /Cip05;-H Vj Κι - 1 Vj
°* rnjlj Vx ' ' m,·^ Vi *
m2 — масса газа в полости второго резонатора, индекс j принимает значения 1 и
2, причем значение 3 нужно заменить на 1.
Уравнения (13.14.7) совместно с (13.14.6) описывают в линейном приближении
некоторую автоколебательную систему. Условие самовозбуждения этой системы и
частота автоколебаний вблизи границы самовозбуждения могут быть записаны в
виде (13.13.23) и (13.13.24) соответственно, где о, (j = 1, 2, ..., 5) —
коэффициенты характеристического уравнения системы, записанного в форме (13.13.22). Для
уравнений (13.14.7), (13.14.6)
αϊ = 7 + 2(ίι + ί2), α2 = 27(ίι + δ2) + ω\ + ω\ + 4ίαί2 + 6*2,

Гл. 14. Примеры автоколебательных систем с высокочастотными источниками 291
а3 = 7 (—+"1 V]?*2V\, + 4*1*0 + 2(М + ί2<"? + *i**2),
\Ki /Cil/2 + K2V1 /
V «1^2 + «2^1 /Cl/
Ш1т2^1^2
Здесь учтено, что
ш\к2 — σ2Ατι = 0, ω|^ι — a\k2 =
as =
1K2PqSiS2
πΐχπίϊΐιΐι
*2(*ι - 1)Ρο52
2 2
■Ί^2
σισ2
Κι«2Ρο·5Ί^2
m1^2'l'2 ГП1ТП2/1/2
Мы видим, что коэффициент as всегда положителен, т.е. состояние равновесия
системы может потерять свою устойчивость только колебательным образом, т.е. при
выполнении условия (13.13.23).
Условие (13.13.23) может быть записано в
виде
β>βκρ, (13.14.8)
где β = Ь(к\ - l)pili/(K\poSip2h).
Зависимость /?кр от 7/^1 показана на рис. 13.25
(кривая 1) βμκ2δ\/ωι = 0.1,р\ 1\ = 4/>2*2> Si = AS2}
/c2Vi = 9«iV2, δ2/δι = 3, «ι = 1.4. Мы видим,
что при очень малых значениях
коэффициента 7 автоколебания практически
невозможны, потому что критическое значение
параметра β очень велико. Когда η
увеличивается, значение βκρ резко падает, достигая
минимума при 7/^1 ъ 1-4, а затем снова
начинает медленно увеличиваться. Зависимость
относительной частоты автоколебаний вблизи
границы самовозбуждения от η/ω\ также по-
Рис. 13.25. Зависимости βκρ
(кривая 1) и ω/ω\ вблизи границы
самовозбуждения (кривая 2) от у/ш\ для
2*ι/"ι = °·1> ΡιΊ = W2, Si = 452,
K2Vi = 9kiV2, 62/δι = 3, κι = 1.4
казана на рис. 13.25 (кривая 2). Из рисунка видно, что частота автоколебаний всегда
ниже частоты u>i, но приближается к ней при увеличении коэффициента 7·
Глава 14. Примеры автоколебательных систем с
высокочастотными источниками энергии
14.1. Маятник Дубошинского, «гравитационная машина»
и молоточек Андреева
В работах Я.Б. Дубошинского с соавторами [107, 262, 263] предложена
экспериментальная установка и приведены результаты наблюдения колебаний маятника,
подвешенного над катушкой индуктивности, включенной в цепь переменного тока
(рис. 14.1). При малых начальных отклонениях от положения равновесия маятник
совершает очень малые вынужденные колебания на частоте внешней силы. При
увеличении начального отклонения наблюдалось возникновение стационарных
колебаний на частоте, близкой к собственной частоте колебаний маятника. При этом

292
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
оказываются возможными несколько устойчивых режимов колебаний с
различными значениями амплитуд и фаз. Возникновение того или иного режима зависит от
начальных условий. Ниже мы рассмотрим причины возбуждения колебаний такого
маятника.
Уравнение колебаний рассматриваемого маятника можно записать в виде
χ -f 2ίχ + ωΐ sin χ = /(χ, t),
(14.1.1)
где opsins — нелинейная сила, возвращающая маятник в положение равновесия,
f(xyt) — сила взаимодействия между маятником и катушкой. Для простоты
предположим, что сила взаимодействия f(x,t) имеет
вид
f{xj) = t?(62 - х2)Ф(х)Асо8сЛ,
где ΰ(ζ) — функция Хевисайда, Ф(х) — некоторая
функция. В большинстве работ, посвященных
теоретическому объяснению возбуждения колебаний
в подобной системе (см. например [82, 99, 100, 170,
191, 194, 197]) и численному моделированию [99],
функция Ф(х) выбиралась четной и равной
единице. В работе [55] исследован другой частный
случай, когда функция Ф(х) является нечетной и
равна sin х/2. Как следует из этих работ и будет
видно из дальнейшего, результаты существенно
зависят от четности функции Ф(х).
Будем рассматривать такие режимы
колебаний маятника, при которых амплитуда В много
больше интервала взаимодействия 6. При этом условии на интервале
взаимодействия движение маятника можно считать равномерным со скоростью ±Βι/, где ν
— неизвестная частота колебаний. Поэтому силу /(χ,ί) можно считать зависящей
только от времени t и амплитуды колебаний маятника В> т.е. можно положить
f(x}t) = F(B,t) = ΰ(ί - tn + ^W'n + ]£;-*)*('- tnMcoewt, (H.1.2)
где tn — последовательные моменты времени, когда маятник проходит через
положение равновесия, Ψ(ί — tn) = Φ Π — l)n(t — tn)Bu). Отметим, что уравнение (14.1.1)
даже при sin χ «ь χ является нелинейным из-за зависимости силы f(x,t) от
амплитуды колебаний В.
Если амплитуды колебаний маятника достаточно малы, то можно положить
sinx = χ и искать решение уравнения (14Л.1) в форме
Рис. 14.1. Схематическое
изображение маятника Дубошинского
х- В {t) сое (vt + <p{t)Y
(14.1.3)
где B(t) и φ(ί) — медленно меняющиеся амплитуда и фаза колебаний. Отметим, что
роль «медленного» времени, от которого зависят В и <р, может играть дискретное
время tn = (ηπ — φ) Ι ν Λ- π/2ι/.

Гд. 14. Примеры автоколебательных систем с высокочастотными источниками 293
В первом приближении по методу усреднения [229] из уравнения (14.1.1) с учетом
(14.1.2) и (14.1.3) получаем для В и φ следующие уравнения:
B=-SB-- F(B,t)sin(ut + (p)\ , ρ = -Δ F(B, t) cos(vt + φ) I , (14.1.4)
l/ In Vt> In
где Δ = ν — α>ο < ^ — расстройка между частотой колебаний ν и собственной
частотой маятника ωο, черта сверху означает усреднение по «быстрому» времени,
а индекс «т говорит о том, что это усреднение производится за n-й «период»
колебаний.
Рассмотрим два частных случая.
1. Ф(х) — четная функция, которую для простоты можно положить равной
единице. При этом после проведения операции усреднения в (14.1.4) с учетом условия
и > ν получаем
• сг> 2Л , ,чгг . ωπ . u>b . ω(ηπ — φ)
Β = -δΒ+ —(-1)η sin-— sin—- sin-^ ϊ-£
πω ν ' 2ί/ ι/Β ν
(14.1.5)
2Ab (vb . шЬ <*>6 \ . ._ . ωπ ω(ηπ — φ)
φ = - Δ + 7ργ -τ sin —?7 - cos -— (-1) sin ■— cos — — .
ψ πωΒ2 \шЬ uB vB) κ ] Ίν ν
Чтобы уравнения (14.1.5) имели стационарное решение, нужно, чтобы их правые
части не зависели от медленного времени <п, т.е. от номера п. Для этого достаточно
положить ν = Vm = ω/Μ, где Μ = 2m -f 1 — нечетное число. При этом
(-l)nsin — — r-sm-1, (-lrcos — — = cos — .
Обозначив ym = umB^b = В/Mb, перепишем уравнения (14.1.5) в виде
Ут =-*!*„ f I + — QmMsinM<pm ^ΞΙ^\
где
ω0 i(?m шж / -ι -η
Y?m = -Δ+ j- COsMy?m (ymSiny^ -СОву,,/),
<?« =(-ΐΓζιπ = (-ΐΓ 2Л
(14.1.6)
7r6iu;o^2 πbδωoM2
Стационарное решение уравнений (14.1.6) определяется из следующей системы
трансцендентных уравнений:
US. ^ «Si Д *" Ут ) ' & Ут'
(14.1.7)
smMy?m = ———:—^γ , cosMpro = Δ —-
(jJ0MQmsinym ' UO&Qm ym 8Ш J/m* - COS J/m'

294
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Исследуем устойчивость стационарных решений, определяемых уравнениями
(14.1.7), линеаризовав уравнения (14.1.6) относительно малых отклонений
ζ = ym — у^ , η = (pm — (pm · Линеаризованные уравнения имеют вид 1)
i = -* 1-
SQ
MQmw0 l
cos — sin Μψτη
Ут
Qm^O .1 %ж \
sin — cos M^>m η ,
Ут
(14.1.8)
VmVm \\\ Vfn J Ут Ут /
J sin Mv?mV ·
-i cosy,
sinym - —
Ут
Записав для системы (14.1.8) характеристическое уравнение, получим из него
следующие необходимые условия устойчивости найденных стационарных решений 2):
1
MQmu>0
"тУт
, MQmUQ . -
+ sin yn
"тУт
L ™*Vm_ _ ginу_Л ginΜφ^ > 0
\ Ут /
siny"1 — j8inM<pm +
> cos* Μ <pj (l + 4~Wm + 5^) > 0.
\\ Ут/ Ут J
Зависимости ряда устойчивых и неустойчивых значений стационарных
амплитуд Ут от относительной расстройки ξ = ω/ωο — Mo, где Mo = 51, приведены на
рис. 14.2 для Μ = Mo- Для близких значений Μ картина сместится вдоль оси ξ на
величину Μ — Mo и незначительно изменится 3).
Таким образом, как следует из полученных результатов, для каждого
фиксированного набора параметров внешней силы (А и ω) существует множество
устойчивых дискретных значений амплитуд колебаний маятника. Возбуждение колебаний
маятника с той или иной амплитудой определяется начальными условиями.
При нулевой расстройке наименьшие значения возможных стационарных
амплитуд Утку начиная с некоторого номера ку которое тем больше, чем меньше
амплитуда внешнего воздействия А и больше коэффициент затухания ί, не зависят от М,
Вт и ί, а приближенно определяются выражениями
1
Утк » η— ,
κπ
(14.1.9)
т.е. Втк « МЬ/кп.
*)При их записи индексы «ст > опускаем.
2) Достаточные условия можно получить лишь при исследовании на устойчивость исходного
уравнения системы (14.1.1).
3)Эти изменения связаны с незначительными изменениями числа М.

Гл. 14. Примеры автоколебательных систем с высокочастотными ясточяякамя 295
Из (14.1.9) и (14.1.2) следует, что времена взаимодействия маятника с внешней
силой в процессе стационарных колебаний с этими значениями амплитуд равны:
Тк =
26
2ЬМ
VmBmk wflmfc Путк
ЪкТ}
0.*
0.6
0.4
0.2
ч»
где Τ = 2π/ω — период внешнего воздействия.
Отсюда следует, что при колебаниях с
указанными значениями амплитуд среднее значение
силы за время взаимодействия приближенно
равно нулю. Этот кажущийся парадокс связан с
тем, что выражение (14.1.9) получено при
пренебрежении затуханием, когда для
поддержания колебаний не требуется притока энергии.
Как уже было отмечено, при плавном
изменении частоты воздействия ω амплитуда В
и частота колебаний маятника ν будут
скачкообразно изменяться. При этом возможен
гистерезис, т.е. значения амплитуды и частоты
колебаний маятника при увеличении ω могут не
совпадать со значениями тех же величин при
уменьшении ω.
2. Ф(х) — нечетная функция. В этом случае наиболее простой расчет получается,
если положить Ф(х) = signx, т.е.
0 0.5 1.0
ξ
Рис. 14.2. Зависимости ряда
устойчивых (сплошные линии) и
неустойчивых (штриховые линии)
стационарных значений амплитуд ут от
относительной расстройки ξ для
\Qm\ = 1, ωο/δ = 10, Μ = Mo
^*-<n) = (-l)nsign(*--<n).
(14.1.10)
Подставляя (14.1.10) в (14.1.2) и (14.1.4), получаем следующие уравнения для
амплитуды В и фазы φ:
2
• 4Л ωπ ( . u>6 \
В — -SB + — cos -— sin ——
πω 2u \ 2i/BJ
sin
ω(ηπ — φ)
φ=-Α(Β)-
4АЬ
u>6
ωπ .
пи,в*со*ъ;*тъ7в
(νΒ .
\ωο
(14.1.11)
sm -—— — cos n „ ,
2uB 2vB)
u)b \ ω(ηπ — φ)
-— cos — — .
Уравнения (14.1.11) имеют нетривиальное стационарное решение при условии,
что ν — i/m = ω/2τη} где т — любое целое число. Таким образом, в отличие от
предыдущего случая, частота стационарных автоколебаний здесь должна быть в
четное число раз меньше частоты воздействия. Этот результат согласуется с
работой [55]. Очевидно, что в общем случае, когда функция Ф(х) несимметрична, могут
возбуждаться как четные, так и нечетные субгармоники частоты воздействия,
однако их амплитуды зависят соответственно от нечетной и четной составляющих
функции Ф(х).
Отметим, что частота колебаний маятника ί/, хотя и должна быть в целое
число раз меньше частоты воздействия, всегда остается близкой к собственной (это
достигается соответствующим выбором системой числа М). Зависимость частоты

296
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
О
колебаний ν от частоты воздействия ω при достаточно больших Μ является весьма
слабой, в силу чего можно полагать, что необходимый признак автоколебаний —
независимость ритма от частоты источника — имеет место.
К рассмотренному здесь типу систем относится и так называемая
«гравитационная» машина [113] 4), модель которой изображена на рис. 14.3. Шарик, падая на
колеблющуюся пластину достаточно большой
массы, ускоряется, в результате чего могут
установиться стационарные колебания (периодические или
хаотические). Практически такая модель была
осуществлена В.К. Асташевым и использована в устрой-
К^^^^ ♦ Acos cut стве Для сканирования лазерного луча [15]. Модель
представляла собой пьезоэлектрическую пластинку
Рис. 14.3. Модель «гравитаци- с наклеенным на нее стеклом, питаемую от электри-
оннои машины! ческого генератора с частотой 200 кГц. На стекло
сверху падал упругий шарик и в результате
устанавливались периодические колебания шарика с частотой порядка 1 Гц.
Близкой к рассмотренному типу является также система, получившая название
«молоточек Андреева», которая предназначена для измерения амплитуд
сравнительно высокочастотных механических колебаний [3, 224].
14.2· Маятник Бетено, эффект Папалекси
и устройство Рытова
Рассматриваемые здесь системы, как и маятник Дубошинского, могут служить
преобразователями высокочастотных электрических колебаний в низкочастотные
механические. Начало экспериментальным исследованиям таких преобразователей
положено, по-видимому, в работе М.Бетено [351], который наблюдал
незатухающие колебания железного шарика, подвешенного на нити над торцом соленоида,
включенного в цепь переменного тока (рис. 14.4). Попытки теоретического
объяснения наблюдаемого явления, сделанные Бетено и впоследствии И. Рокаром [571], не
увенчались успехом. Н. Минорский [532] искусственно свел проблему к уравнению
Матье, хотя и правильно указал, что причиной возбуждения колебаний является
периодическое изменение эффективной длины маятника.
Уравнения малых колебаний маятника Бетено приближенно можно записать в
виде
тп12<р + аф + тд1<р = М{<р,1), — (b(y>)/) + Ш = U0 cosurt, (14.2.1)
где Μ (φ, Ι) = (ΙΙφ/2)άΦ/άφ — момент пондеромоторной силы, действующей на
шарик, Φ = L((p)I — магнитный поток, / — ток в цепи питания соленоида,
L(<p) — индуктивность соленоида, зависящая от положения железного шарика, Я
— его сопротивление. Пренебрегая зависимостью тока / от φ, можно положить
dbjdip - IdL/d<p.
4 * Такое название представляется не вполне удачным, поскольку энергия здесь черпается не иэ
гравитационного поля, а иэ высокочастотного источника, вызывающего колебания пластины.

Гл. 14. Примеры автоколебательных систем с высокочастотными источниками 297
При малых φ индуктивность L(<p) можно представить в виде полинома
L(<p) = L0(l + αχφ + α2^2),
(14.2.2)
>^\\\^\Ч\\\Ч\у\^^У|\^^У
где знаки и значения коэффициентов αϊ и а2 зависят
от положения равновесия шарика по отношению к
соленоиду. Тогда
Μ{φ, /) = (γ + w) L0I2l<p. (14.2.3)
Из второго уравнения (14.2.1) и выражения (14.2.2)
видно, что колебания тока в цепи соленоида могут
быть квазипериодическими с основными частотами ω
и у, где ν — частота колебаний маятника (эта частота
заранее неизвестна). Поэтому целесообразно сделать
замену переменных, положив
где
/ = ,4(sintf + y),
(14.2.4)
Рис. 14.4. Схема маятника
Бетено
R
L0u>
(14.2.5)
При достаточно большой добротности маятника, т.е. при достаточно малом
отношении <Ь/*Л где <Ь = a/2ml2 — коэффициент затухания, уравнения для переменных
φ и у с учетом (14.2.2)-( 14.2.4) можно записать в следующем виде:
£ + i/V= -(2ί2^-2ι/Δ^- ^φ (у + α2φ) ^2(sin* + у)2) , (14.2.6)
у + 2iiy + αϊ — ((sin Φ + y)<p) + α2 — ((sin Φ + y)^2) = 0, (14.2.7)
где с — малый параметр, который в окончательных выражениях следует положить
равным единице, Δ = ι/ —1/0 — расстройка между частотой колебаний и и
собственной частотой малых колебаний маятника и0 = \fg]l, &\ = R/2Lo- Если ίι ^> ί2,
что является вполне естественным условием, то ток в цепи соленоида
устанавливается значительно быстрее, чем колебания маятника. В силу этого для уравнения
(14.2.7) можно искать установившееся решение. Далее, если при решении уравнения
(14.2.6) ограничиться членами порядка 6, то уравнение (14.2.7) достаточно решить
в нулевом приближении по е. В этом приближении можно положить
φ = £cos(t/t + φι) Ξ Β cos χ.
(14.2.8)
Подставляя (14.2.8) в уравнение (14.2.7), можно найти установившееся решение
этого уравнения в виде тригонометрического ряда, содержащего бесконечное число
членов с комбинационными частотами ω + ji/, где j = 0, ±1, ±2, В силу
предположения о малости φ и представления L(<p) в виде (14.2.2) в этом решении следует

298
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
оставить только те слагаемые, которые при подстановке в уравнение (14.2.6)
дают члены не более высокой степени, чем В3. Нетрудно убедиться, что при этом
установившееся решение уравнения (14.2.7) можно искать в виде
2
у = в Σ (^ со8(ф+jx) + D> sin(*+■?*)) · (14·2·9)
Подставляя теперь (14.2.8) и (14.2.9) в уравнение (14.2.6) и считая, что амплитуда
В и фаза φ\ являются медленно меняющимися функциями времени, получим
следующие укороченные уравнения для В и ψχ\
В = ~(*2 + ^^(в1(С-2 - С2) + a2B(C^ - d)j\ В,
(14.2.10)
<&ι = - Δ - ^ L (l + B(2D0 + D_2 + D2) + Я2(С? + Я2)) + 3a2B2(D^ + D,)V
Чтобы найти коэффициенты Cj и Z)j, подставим (14.2.9) в (14.2.7) и ограничимся
членами порядка В. Учитывая, что ι/«ω, находим
п ω(ω2+4δ2)±2ν(ω2-4δ2) с D _ ω2
^»*-- (ΪΓ4ί?ρ ~S^B' °*>*-2(^ТЩа>в'
ω(ω2 + 4ί?) ± ί/(ω2 - 4ί?) f n ω2
°->™- (J + 4SW -*"· ^^-2ЙТ^)аь (14.2.11)
_ iiu» / 2ω*α2 \ w2 /ω2 - 4ί,2 2 \ D
Подставляя теперь (14.2.11) в уравнения (14.2.10), получим
В - ~ Г ' 4m/(u,2+4i2)a αια2β J β'
(14.2.12)
. I0aii42
^1 = -д-^^г
•♦^ (fcSK)·'-'·· *
Из уравнений (14.2.12) следует, что возбуждение колебаний маятника Бетено, как и
маятника Дубошинского, может происходить только жестко, причем необходимое
условие возбуждения имеет вид
(w2-4i12)a1a2>0. (14.2.13)
Условие (14.2.13) накладывает ограничения как на расположение маятника по
отношению к соленоиду, так и на параметры цепи питания. Жесткое возбуждение
связано с тем, что воздействие на маятник электромагнитных сил является
параметрическим. В случае силового воздействия, как мы увидим ниже, в подобных
системах возможно самовозбуждение колебаний.

Гл. 14. Примеры автоколебательных систем с высокочастотными источниками 299
В работе Н.Д. Папалекси [260] описан эксперимент, в котором наблюдалось
несинхронное вращение ротора электромотора, включенного в цепь переменного
тока, содержащую источник питания, конденсатор и сопротивление (рис. 14.5 а). При
теоретическом анализе этого явления учитывается, что мотор представляет собой
переменную индуктивность, периодически зависящую от угла поворота ротора. В
своей статье Папалекси указал на сходство наблюдаемого эффекта с возбуждением
колебаний маятника Бетено.
А/
О—ι
О-
Ц COS Φ Г tyC0S Q)t
Рис. 14.5. Схемы устройств Папалекси (о) и Рытова (б)
СМ. Рытовым [288] экспериментально исследована система, схематически
изображенная на рис. 14.5 5. При пропускании переменного тока от сети с частотой
50 Гц через проволочное кольцо L железная втулка массы М, надетая на
алюминиевую спицу, начинала совершать колебания, ограниченные двумя пружинами К.
Собственная частота колебаний втулки была около 15 Гц. Частота возбуждаемых
колебаний зависела от величины тока / в кольце, однако наиболее интенсивные
колебания, которые наблюдались в определенном диапазоне токов, имели
частоту, близкую к собственной. Возбуждение колебаний было жестким. Теоретическое
объяснение наблюдаемого явления Рытов, как и Минорский, свел к проблеме
параметрического возбуждения колебаний.
14.3. Электромеханические вибраторы. Емкостные
датчики малых смещений
Заметим, что в описанных выше экспериментах Бетено, Рытова и Дубошинского
сила, действующая на железное тело со стороны магнитного поля, создаваемого
током, зависела от смещения этого тела, вообще говоря, по двум причинам: во-
первых, за счет изменения расстояния от тела до источника магнитного поля, а
во-вторых, за счет изменения индуктивности катушки или витка при смещении
тела. Каждая из этих причин по отдельности, как мы убедились, может приводить
к возбуждению колебаний. Однако их совместный учет весьма сложен для расчета.
Поэтому при исследовании подобных систем целесообразно рассматривать модели,
в которых действует лишь какая-либо одна из указанных причин. Такой подход
справедлив, если одна из этих причин явно превалирует.
Реальной системой, в которой заведомо преобладает вторая из указанных
причин, является электромеханический вибратор, состоящий из упруго подвешенной

300
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
плиты, расположенной в поле электромагнита, в цепь питания которого включен
колебательный контур (рис. 14.6). Такой вибратор экспериментально исследован Ф.А.
Габараевым, М.А. Емельяновым и Б.И.Крюковым [80]. Уравнения вибратора имеют
вид
*1 (£(*)/) + R ^ + ±- = ϋοω ύηωί, m^+«^ + ** = П*, /), (14.3.1)
где χ — смещение плиты, m — масса плиты, к — жесткость пружин, a —
коэффициент трения плиты о воздух, L(x) — индуктивность катушки с
сердечником, которая зависит от величины зазора между
плитой и сердечником, определяемого смещением плиты х,
F(x, I) — (Ι/2)άΦ/άχ — пондеромоторная сила,
действующая на плиту, Φ = L(x)I — магнитный поток. Как и
для маятника Бетено, мы положим άΦ/dx = IdL/dx.
Если интересоваться только условиями
самовозбуждения автоколебаний, то индуктивность L(x) можно
представить в виде
L(x) = L0(l + αχχ),
(14.3.2)
6^cos art
Рис. 14.6. Схема
электромеханического вибратора
где знак и значение коэффициента αϊ зависят от
начала отсчета переменной ж, т.е. от положения равновесия
плиты. Тогда
F{xJ)=^l\
(14.3.3)
Как и в случае маятника Бетено, колебания тока в контуре являются
квазипериодическими с основными частотами ω и ι/, где ν — неизвестная частота колебаний
плиты. Сделаем замену переменных, аналогичную (14.2.4):
/ = ;4(sin* -hj/),
2 .^Ч"1/2
—*. *-м-зьз · *-
(14.3.4)
у/LqCq 2Lq
tgV> =
2ίι
—τ-—^0 , оч . При достаточно большой добротности механической части
о/(1- Щ/и2)
вибратора, т.е. при достаточно малом отношении bijv, где δ^ = a/2m —
коэффициент затухания колебаний плиты, уравнения для переменных χ и у с учетом
(14.3.2)-( 14.3.4) можно записать в следующем виде:
Loa\
х + v2x = - е Ы2х - 2ι/Δ* - -^- Л2(sin Φ + у)2) ,
d2 / \
У + 2Sxy + illy + «iA jgj (x(sin * + У)) = °>
(14.3.5)
(14.3.6)
где € — малый параметр, который в окончательных выражениях следует положить
равным единице, Δ = u^-vo — расстройка между частотой колебаний и и
собственной частотой колебаний плиты v$ = \/k/m.

Гл. 14. Примеры автоколебательных систем с высокочастотными источниками 301
Если δ\ ^> &2, то ток в контуре устанавливается значительно быстрее, чем
колебания плиты. В силу этого для уравнения (14.3.6) можно искать установившееся
решение. Далее, если при решении уравнения (14.3.5) мы хотим ограничиться
членами порядка е, то уравнение (14.3.6) достаточно решить в нулевом приближении
по е. В этом приближении
x = Bcosx, (14.3.7)
где χ = vt + φ. Подставляя это выражение в уравнение (14.3.6), можно найти
установившееся решение этого уравнения в виде тригонометрического ряда,
содержащего бесконечное число членов с комбинационными частотами ω + jv, где
j = 0, ±1, ±2, Мы ограничимся только теми членами этого ряда, которые при
подстановке в уравнение (14.3.5) дают члены, линейные по В. Нетрудно убедиться,
что при этом достаточно учесть только члены с j = ±1. Таким образом, решение
уравнения (14.3.6) будем искать в виде
у = B(Ci cos(V> + χ) + Dx 8ΐη(φ + x) + C-i cos(V> - χ) + D-i sin(V> - χ)). (14.3.8)
Подставляя (14.3.8) в уравнение (14.3.6), находим
αχδι(ω± ι/)3
Ci,-i = -
((<-/±ι/)2-Ω§) +4i?(w±i/)2 '
*.-i = -5
! ai(w± !/)'((« ± ι/)'-Ω?)
(14.3.9)
((ϋ/±ι/)2-Ω§) +4*?(ы±1/)3
Подставим теперь (14.3.8) с учетом (14.3.9) в уравнение (14.3.5) и будем считать
амплитуду В и фазу φ медленно меняющимися функциями времени. Тогда получим
следующие укороченные уравнения для В и φ:
В = (η - δ2)Β, ψ = -Α-^ A*{DX + £>_!), (14.3.10)
где
4тг/ 2L0((w2 - Ω^)2 + 4i2a;2j3
Из (14,3.10) и (14.3.11) следует, что условием самовозбуждения колебаний
является η > 02- Это условие может быть выполнено только если αϊ ф 0 and ω > ωκρ > Ωο,
где ωκρ — некоторое критическое значение частоты ω. Последнее неравенство
означает, что самовозбуждение колебаний возможно лишь на правом склоне
резонансной кривой. Это подтверждается результатами экспериментов. При фиксированном
значении ω равенство η = 6ъ определяет критическое значение напряжения
источника питания Щ, выше которого будет происходить самовозбуждение колебаний.
Зависимость Щ от частоты ω носит немонотонный характер и достигает минимума

302
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
104|-
103
102
10'
10°
/\ /
г I /
Ε I /
10
ω/όχ
Αν
0.45
-0.451
, k
10
ш/<5,
Рис. 14.7. Зависимости Щ = а?£/0* 1{2тЫб\б2) (а) и ΔΡ = 4(ί/ - »о)Ьот1/06*/(а*и%) (б) от
ы/<$1 для Ωο/Si = 10 (кривые 1) и Ωο = 0 (кривые 2)
при некотором значении ω = u>m, где u>m — некоторое значение ω. Эта зависимость
продемонстрирована на рис. 14.7 а для двух частных случаев: Ωο S> ίι и Ωο <^С <$ь В
первом случае u>m = Ωο + ίι/λ/5, а во втором случае u>m = у/86\.
Из второго уравнения (14.3.10) с учетом (14.3.9) можно найти частоту
автоколебаний вблизи границы самовозбуждения. Она равна
Щ +
α\ωΑ{ω2 - Ω2)
4Ι0τηί/0((ω2-Ω2)2 + 4ί2ω2)
ί/ο2·
(14.3.12)
3 ЛПТПГЬ
m
Зависимость отклонения частоты ν (ω) — ι/ο в относительных единицах от частоты
источника питания ω проиллюстрирована на рис. 14.7 б для тех же двух частных
случаев.
Если при аппроксимации индуктивности L(x) и расчете переменной у учесть
нелинейные члены, то можно вычислить амплитуду автоколебаний в
стационарном режиме и выяснить, каким образом происходит их
возбуждение (мягко или жестко). Этот расчет является
довольно громоздким, хотя и нетрудным с
принципиальной точки зрения. Поэтому мы его здесь приводить не
будем.
Рассмотрим теперь задачу о возбуждении колебаний
шарика на пружинке с подсоединенным к нему
емкостным датчиком малых смещений (рис. 14.8).
Неустойчивость такого датчика отмечалась в работах [48, 49, 51],
где этот датчик использовался в так называемых
экспериментах с пробными телами. Емкостной датчик
представляет собой конденсатор, одна из пластин которого
соединена с телом, смещение которого требуется измерить. Конденсатор включен
в электрический колебательный контур, содержащий источник переменного
напряжения. Эксперимент показывает, что в некотором диапазоне частот ω при
превышении напряжения {/о над некоторым критическим значением возникают
механические колебания тела, мешающие процессу измерения.
|£><=Ρ™ΉΗ
U^coscot
Рис. 14.8. Схема
емкостного датчика малых
смещений

Гл. 14. Примеры автоколебательных систем с высокочастотными источниками 303
Уравнения системы, изображенной на рис. 14.8, имеют вид
С4 Л 1
? + 2<М + «от^Т? = -Г coswi, x + 2S2x + ν\χ = F(z,?), (14.3.13)
C(#/ L m
где g — заряд на конденсаторе, С(х) = Со/(1 + я/^о) — емкость конденсатора при
смещении тела на величину я, Со = totS/do — емкость конденсатора при χ = 0, S
— площадь пластин конденсатора, е — диэлектрическая проницаемость материала
между пластинами конденсатора, €о — диэлектрическая проницаемость вакуума,
do — расстояние между пластинами конденсатора при недеформированной
пружине (х = 0), Ωο = l/y/LCo — собственная частота электрического колебательного
контура при χ = 0, m — масса тела,
totSq2 q2
F(x,q) =
2(rf0 + х)2СЦх) 2C0d0
— сила притяжения между пластинами конденсатора 5).
Сравнивая уравнения (14.3.13) и (14.3.1), видим, что они отличаются только
характером нелинейностей. Проведя выкладки, аналогичные изложенным выше, и
полагая χ в форме (14.3.7), получим для амплитуды В и фазы φ приближенные
уравнения вида (14.3.10), где
Ω* ((ω2 - Qg)(3u;2 + Ω2) + Αδ\ω2)
η = —- τ τ-^-iit/o2· (14.3.14)
2Lmd§((w2-n8)2 + 4ifc2J3
Отсюда видно, что самовозбуждение колебаний возможно в некотором диапазоне
частот ω у расположенном главным образом на правом склоне резонансной кривой.
Это соответствует выводам работ [48, 49, 51] и подтверждается
экспериментально. Из (14.3.14) следует также, что наименьшее критическое значение напряжения
источника питания, при котором возбуждаются автоколебания, получается при
некотором значении ω = u>m. Если контур достаточно добротен, т.е. Ωο ^> ίι, то
шт » Ωο +S\/y/E. Указанное наименьшее значение напряжения равно i/omin =
(24d0i?/5) γ/6Ιτηί2/Ω0Λ/5.
Аналогичный эффект самовозбуждения механических колебаний пробного тела
должен иметь место и в оптических датчиках малых смещений, где роль источника
высокочастотных колебаний играет свет [51]. Он наблюдался также
экспериментально при действии СВЧ-поля на крутильный маятник [50].
Подобный механизм самовозбуждения лежит в основе возникновения
механических автоколебаний резонаторов, заполненных каким-либо излучением, например,
электромагнитным. Так, в работе [137] наблюдались колебания стенок резонаторов,
используемых в мощных ускорителях на встречных пучках. В работах [32, 33, 34]
излагаются результаты наблюдения генерации упругих волн в диэлектрических
резонаторах, накачиваемых высокочастотным электромагнитным полем.
В заключение настоящей главы следует заметить, что системы, в которых
происходит фазовый переход под действием шума, приводящий к рождению
индуцированного аттрактора (примеры таких систем были рассмотрены в гл.9), также
5)Выражения для Со, С(х) и F(x1q) выписаны в приближении плоского конденсатора.

304
Часть III. Активные системы. Автоколебания й автоволны
обладают многими свойствами автоколебаний и по ряду признаков могут быть
отнесены к классу автоколебательных систем с переменными источниками энергии.
Глава 15. Примеры автоколебательных систем с
запаздыванием
15.1. Управляемые биологические системы
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом часто
используются в качестве математических моделей различных автоколебательных систем,
особенно систем автоматического управления. Так как многие процессы
жизнедеятельности высших живых организмов обусловлены управлением со стороны
центральной нервной системы, то их математическое описание также часто приводит
к таким уравнениям (см., например, [88, 418, 522]). Во многих случаях именно
наличие запаздывания является причиной возбуждения колебаний в рассматриваемых
моделях.
Системам с запаздыванием посвящено много книг (см., например, [279, 280]).
Аналитическое исследование таких систем сложно, так как они являются частным
случаем систем с бесконечным числом степеней свободы. Даже исследование
устойчивости состояний равновесия представляет собой трудную задачу, так как
сводится к определению знака действительных частей бесконечного числа корней
квазиполиномов. Часто для решения этой задачи используют так называемый метод
£>-разбиений, предложенный Ю.И.Неймарком [241, 247],
Красивый пример системы, в которой за счет задержки управляющего сигнала
возникают автоколебания, приведен в книге [594]. Небольшое пятно света
фокусируется на границе радужной оболочки и зрачка
и стабилизируется таким образом, что оно всегда
попадает на одно и то же место глаза. В ответ на
воздействие пятнышком света зрачок сокращается.
Так как при этом свет больше не попадает на эра-
I 1 1 1 »» чок, через некоторое время зрачок вновь рефлек-
0 6 ί, с ТОрНО расширяется. Теперь свет снова попадает на
Рис. 15.1. Пример стационар- кРай зрачка, что приводит к его сокращению. В ре-
ных колебаний площади зрачка зультате устанавливаются стационарные колебания
в эксперименте Старка площади зрачка, пример которых, взятый из
книги [594], показан на рис. 15.1. Видно, что колебания
имеют нерегулярный характер, но природа этой нерегулярности в [594] не
обсуждается.
В качестве других примеров биологических управляемых систем мы
рассмотрим некоторые модели процессов нормального и патологического дыхания и
процесса регенерации белых кровяных шариков (нейтрофилов), предложенные в
работах [418, 522]. Кроме того, будет рассмотрена модифицированная модель дыхания,
предложенная автором совместно с М.Г. Розенблюмом [493, 206].
1. Модели управления дыханием. Разрабатывал свою модель дыхания, Мэки
Sf

Гл. 15. Примеры автоколебательных систем с запаздыванием
305
и Гласе рассмотрели следующую схему управления. Углекислый газ СОг образуется
в тканях организма с некоторой постоянной скоростью λ и выводится из легких
путем вентиляции. Вентиляция V определяется как объем воздуха, проходящий через
легкие в течение одного вдоха, умноженный на частоту дыхания.
Предполагается, что в каждый данный момент времени она является монотонно возрастающей
функцией концентрации СОг в некоторый предыдущий момент времени. Задержка
во времени обусловлена в основном конечной скоростью течения крови от легких к
мозгу, где концентрация СОг измеряется специальными анатомическими
структурами, называемыми хеморецепторами.
Обозначая через χ парциальное давление С02 в крови, Мэки и Гласе
аппроксимировали зависимость V от хт = x(t — г) следующей формулой:
V/Vm
(15.1.1)
^) = ^-s^
где Vmi 6 и η — параметры. Зависимость (15.1.1) для
η = 25 изображена на рис. 15.2. Исходя из
сказанного выше и предположения, что скорость удаления
СОг пропорциональна произведению χ на V, для x(t)
можно записать следующее уравнение:
— = \-axV(xT)}
(15.1.2)
Рис. 15.2. Зависимость
относительной вентиляции легких
V/Vm от Хт/0, определяемая
формулой (15.1.1) при η = 25
где α — некоторый коэффициент
пропорциональности. Основываясь на физиологических данных,
авторы определили параметры модели: θ = 40 (73/7) 'п
мм рт.ст., Vm = 4/3 л/с, a = 0.0214 л"1, τ = 15 с,
λ = 0.1 мм рт.ст./с. Параметр η в процессе
численного моделирования изменялся.
Уравнения (15.1.1), (15.1.2) имеют в области положительных χ одну особую
точку χ = х*, V = V*, где х* —корень уравнения λ (0n + sn) = aVmxn+ly V* - V\Xr=x..
Исследование устойчивости этой особой точки можно провести методом D-разбие-
ний. В результате получаем, что данЯда особая точка колебательно неустойчива,
если V* < Sx* и
_ arccos (-У*/5аг*)
г > гкр =
ал/52х*э - I/*3
(15.1.3)
где 5 = dV/dr\xτ_χ.. Вблизи границы устойчивости период возбуждаемых
колебаний равен
Т = агссов(-У/Лг·) ' (15.1.4)
Если V* <С Sx*, что имеет место для указанного выше набора параметров, то
условие (15.1.3) принимает вид S > SKp, где SKp = π/(2ατχ*), а период Τ
приблизительно равен 4г. Условие (15.1.3) также эквивалентно требованию η > пкр. Для
указанных выше значений параметров SKp w 0.124 л/(с-мм рт.ст.), пкр « 46.59.
На рис. 15.3 α показан вид решения уравнений (15.1.1), (15.1.2) для указанных
выше значений параметров ип = 62.62 (х* = 40 мм рт. ст., S = (1/6) л/(смм рт. ст.),

306
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
3.0
Время, мин
Рис. 15.3. Решение уравнений (15.1.1), (15.1.2) при θ = 40 (73/7)1/п мм рт. ст., Vm = 4/3 л/с,
a = 0.0214 л-1, τ = 15 с, λ = 0.1 мм рт. ст./с, η = 62.62 (α); экспериментальная запись
дыхания Чейна-Стокса (б)
V* — 0.1167 л/с). Полученное решение напоминает огибающую изменения объема
легких при так называемом дыхании Чейна-Стокса. Пример такой
экспериментальной записи приведен на рис. 15.3 5, взятом иЭ работы [593] (см. также [522]).
Известно (см., например, обзор [385]), что такое дыхание наблюдается в условиях тяжелой,
жизненно опасной патологии, когда по какой-либо причине увеличивается время
прохождения крови от легких к хемочувствительным центрам мозга, либо за счет
повреждения нейронов ствола мозга повышается чувствительность вентиляции V к
концентрации СОг, т.е. увеличивается значение 5. Дыхание Чейна-Стокса
наблюдается также у здоровых людей, находящихся в условиях недостатка кислорода,
например высоко в горах.
Как видно из рис. 15.3 б, дыхание Чейна-Стокса носит ярко выраженный
нерегулярный характер. Подобного решения уравнений (15.1.1), (15.1.2) Мэки и Гласе
получить не смогли. Это послужило одной из причин почему мы решили изменить
описанную модель, учтя реально существующий центральный генератор,
расположенный в стволу мозга и управляющий дыхательным ритмом (см., например, [452]).
Сигнал этого генератора модулирует вентиляцию легких с частотой отдельных вдо-

Гл. 15. Примеры автоколебательных систем с запаздыванием
307
хов /. Считая форму модуляцию синусоидальной и учитывая, что вентиляция V не
может быть отрицательной, положим [493]
V{XtJ) = Vm ¥Τ^η 0 +«*2π/Ι).
(15.1.5)
Функция V(xT,t) может быть интерпретирована как «мгновенная» вентиляция. Ее
усреднение по «быстрому» времени дает медленно меняющуюся функцию,
описывающую изменение огибающей вентиляции легких. Мы предполагаем, что имеется
цепь обратной связи, приводящая к зависимости частоты / от парциального
давления СО2 в крови в момент времени t — τ. Не имея никаких представлений о реальной
100
Г, с
Рис. 15.4. Решение уравнении (15.1.2), (15.1.5), (15.1.6) для г = Зс, α = 0.0009Гц/(мм
рт.ст.) (а) и τ = 15с и а = 0 (б) .

308
Часть III· Активные системы. Автоколебания и автоволны
форме зтой зависимости, мы положили ее линейной, т.е.
/ = /о + а{хт - **),
(15.1.6)
где /о — частота нормального дыхания, которая определяется из условия одного
вдоха приблизительно за 4 с, т.е. /0 = 0.25 Гц, α — некоторый параметр.
Для г < гкр и а, изменяющемся в широком диапазоне, решение уравнения (15.1.2)
с учетом (15.1.5) и (15.1.6), найденное путем компьютерного моделирования,
соответствует нормальному дыханию, когда вентиляция V является периодической
функцией времени с основной частотой /о, а парциальное давление СОг в крови
почти не изменяется и равно х* (рис. 15.4 а). Для τ > гкр иа = 0 (модуляция часто-
V
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.8
0.6
0.4
0.2!
О
0.8
0.6
4
0.2
0
0.8
0.6
0.41
0.2
Рис. 15.5. Четыре трехминутных фрагмента решения уравнений (15.1.2), (15.1.5), (15.1.6)
для г = 15 с и α = 0.0009 Гц/мм рт.ст. (а); зависимость x(t)y соответствующая четвертому
фрагменту {б)

Гл. 15. Примеры автоколебательных систем с запаздыванием
309
ты отсутствует) решения являются квазипериодическими с основными частотами
/о и 1/4г. Пример такого решения показан на рис. 15.4 б. Подчеркнем, что частота
отдельных вдохов та же, что и для случая нормального дыхания. Для г > гкр и
α φ 0 решения получаются нерегулярными, причем зависимость от времени
вентиляции легких очень похожа на экспериментальную зависимость, изображенную
на рис. 15.3 б. Четыре трехминутных фрагмента такого решения представлены на
рис. 15.5. Интересно отметить, что высокочастотная компонента переменной V
проявляет себя очень слабо в колебаниях переменной я, как если бы последняя
усреднялась по «быстрому» времени. Как видно из рис. 15.5, частота дыхательных
движений при выбранных значениях параметров оказывается примерно в два раза выше,
чем в случае нормального дыхания (ср. с рис. 15.4 а). Этот факт нельзя объяснить
одной лишь модуляцией частоты центрального генератора, описываемой
формулой (15.1.6), так как при выбранных значениях параметров она составляет лишь
несколько процентов. По-видимому, значительное увеличение частоты*
обнаруженное нами, обусловлено сочетанием модуляции с сильной нелинейностью и наличием
запаздывания.
Для того чтобы убедиться, что основными причинами эффекта являются
модуляция и запаздывание, мы вычислили среднюю частоту дыхательных движений
по формуле /ь = 1/Ть, где Ть — средний
интервал между двумя последовательными
вдохами, как функцию α для ряда значений т.
Результаты представлены на рис. 15.6. Мы видим, что
средняя частота увеличивается при увеличении
глубины модуляции а, причем тем быстрее, чем
больше время запаздывания г. Таким образом,
наша модель продемонстрировала, что
модуляция частоты центрального генератора,
происходящая благодаря наличию особой цепи обратной
связи, приводит одновременно к двум важным
эффектам, типичным для дыхания Чейна-Стокса:
к нерегулярности самого процесса дыхания и к
учащению дыхательных движений.
Решение, полученное для г = 15 с и α = 00009
Гц/мм рт. ст., по виду является хаотическим. Это
следует как из зависимости x{t), показанной на
рис. 15.7 а (нижняя кривая), так и из вида проекции аттрактора системы на
плоскость х, dx/dt (рис. 15.7 5 внизу). Для сравнения на тех же рисунках приведены
соответствующие кривые для случая α = 0.
2. Модель Мэки-Тласса для процесса регенерации белых кровяных
шариков (нейтрофилов). При разработке модели процесса регенерации белых
кровяных шариков (нейтрофилов) Мэки и Гласе исходили из предположения, что
скорость увеличения концентрации нейтрофилов в крови υ зависит от концентрации
этих клеток в некоторый предыдущий момент времени, а именно
Рис. 15.6. Зависимости средней
частоты дыхательных движении Д
от параметра α для г = 12 с
(кривая 1), τ = 15с (2)иг= 18с (3)
ν(χτ) = αθχτ
1
1 + х?
(15.1.7)

Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
-0.075
-0.250
-0.425 V
-0.600
Рис. 15.7. Зависимости x(t) (α) и проекции аттрактора системы, описываемой уравнениями
(15.1.2), (15.1.5), (15.1.6), на плоскость x,dx/dt (<5) для случая, когда модуляция
отсутствует (вверху) и когда она присутствует (внизу)

Гл. 15. Примеры автоколебательных систем с запаздыванием
311
где χ — число нейтрофилов, приходящееся на 1 кг веса тела, отнесенное к величине
0, а, 0 и η — параметры. График функции ν(χ)/θα приведен на рис. 15.8 при η = 10.
впадая из костного мозга в кровь, нейтрофилы разрушаются с некоторой
скоростью. Таким образом, уравнение для относительной концентрации нейтрофилов χ
может быть записано в виде
dx xT
— = — Ьх + α
at 1 + х?
(15.1.8)
Уравнение (15.1.8) в области положительных значений χ имеет либо одну особую
точку (если α < 6), либо две (если α > 6). Координата одной из этих особых точек
х — 0, а другой — х = х* = (я/6 — Ι)1/".
Исследование устойчивости особых точек показывает, что при
a < 6, когда имеется лишь одна особая точка, она
всегда устойчива. Когда α > 6 и имеются две особых
точки, первая из них с координатой χ = 0 всегда
неустойчива, в то время как другая в зависимости от
параметров может быть как устойчивой, так и неустойчивой.
Исследование устойчивости этой особой точки
методом D-разбиений показывает, что она колебательно
неустойчива, если \S\ > 6 и
г > ткр =
1
VS*
= arc cos -r
б2 S
(15.1.9) Рис· 15.8. Зависимость ν /θα
от χ при π = 10
/ b /α \ΐ-ΐΛΛ
= 6(1—η-(- — 1) . Вблизи границы устойчивости
?г«. V a\b J J
пе-
1 dv
rAeS=edTT
риод колебаний равен Τ = 2кт/гхссоь (6/5). Если S < 0, то 2т < Τ < 4т.
Из физиологических данных авторы модели оценили значения параметров. Для
здоровых людей 6 = 0.1 сут.""1, α = 0.2 сут.""1, η = 10 и τ = 6 сут. Из условия (15.1.9)
следует, что при таких значениях параметров гкр «4.71 сут. и состояние равновесия
χ = х* неустойчиво. Действительно, численное интегрирование уравнения (15.1.8),
проведенное авторами при этих значениях параметров, показало наличие
периодических колебаний числа нейтрофилов с периодом около 20 суток. При увеличении
τ до 10 сут. решение принимает хаотический характер (рис. 15.9 6), и
обнаруживает сходство с медицинскими данными, полученными для больных хронической
лейкемией (рис. 15.9 а). Переход от периодического решения к хаотическому при
увеличении г от 6 сут. до 10 сут. происходил через последовательность
бифуркаций удвоения периода. Более детально уравнение (15.1.8) исследовалось в работах
[397, 422, 560]. Результаты этих исследований обобщены в книге [248].
3. Модели управления вертикальной позой. Еще одним примером
управляемых биологических систем является система управления вертикальной позой
человека [202]. Когда человек стоит, казалось бы, спокойно, его центр тяжести
обязательно совершает малые колебательные движения в горизонтальной плоскости.
Дело в том, что из-за довольно высокого расположения центра тяжести и
сравнительно малой площади опоры вертикальное положение тела само по себе
слабо устойчиво. Качания центра тяжести обусловлены управляющими воздействиями
со стороны центральной нервной системы (ЦНС), направленными на поддержание

312
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
600
500 600
Время, дни
Рис. 15.9. Пример медицинской записи зависимости от времени числа нейтрофилов N}
полученных для больных хронической лейкемией (о); решение уравнения (15.1.8) для 6 = 0.1
сут."1, a = 0.2 сут."1, η = 10, τ =s 10 сут. (б)
нужного положения тела. Информация о величине углов в суставах и скоростях их
изменений поступает в ЦНС от мышечных и суставных проприоцепторов —
специальных анатомических образований, играющих роль датчиков в системе управления
движениями. В ЦНС осуществляется обработка этой информации и формируется
управляющее воздействие, которое передается мышцам.
Малые колебания центра тяжести тела человека обычно регистрируются с
помощью специального прибора — стабилографа, представляющего собой платформу
в виде жесткой пластины, установленной на четырех тензометрических датчиках,
измеряющих смещение центра давления стоп на пластину в двух плоскостях:
фронтальной (влево-вправо) и саггитальной (вперед-назад). Как правило, полученные
записи колебаний — стабилограммы — имеют характер широкополосного
случайного процесса со спадающим спектром в области частот от нуля до 4-6 Гц. Пример
спектра таких стабилограмм, позаимствованный из [317] приведен на рис. 15.10 а.
Поэтому естественно, что первые модели колебаний центра тяжести тела
человека при поддержании вертикальной позы включали в себя источник случайных сил,
природа которого не уточнялась. Динамические модели рассматриваемых
колебаний были предложены М.Г. Розенблюмом и Г.И.Фирсовым [317, 490, 403]. В одной
из этих моделей тело человека рассматривалось как перевернутый маятник с одной
степенью свободы, т.е. предполагалось, что основной вклад в смещение центра
тяжести дает голеностопный сустав. Схема управления, как и в предшествующих
моделях, предполагалась простейшей: считалось, что управляющее воздействие фор-

Гл. 15. Примеры автоколебательных систем с запаздыванием
313
11.25 15.00
Частота, Гц
Рис. 15.10. Пример спектра человеческих стабилограмм (а); проекции аттрактора и спектр
функции <ρ(*)ι являющейся решением уравнения (15.1.10) при τ = 0.2с, ω2 = 0.1с""2,
λι =0.1, λ2 =0.5с~\ ci = 12с""2, с2 = 9с~2 (6)
/<**>>'
мируется в зависимости от отклонения суставного угла от заданного значения и
его производной, взятых в некоторый предыдущий момент времени t — г, где τ
заключено в диапазоне 0.14-0.5 с. При записи управляющего воздействия было учтено,
что характеристики проприоцепторов нелинейны. В целом уравнение модели имеет
вид
φ + ϊδφ + ω2φ + cxf(<p(t - r), λι) + с2/(^(< - τ), λ2) = 0, (15.1.10)
где /(у, Уо) = (у - Уо)*?(У - Уо) + (у + Уо)*? (Чу + Уо)), **(*) — функция Хевисайда,
уо — некоторое положительное число. Зависимость функции /(у, уо) от у приведена
на рис. 15.11.
Уравнение (15.1.10) моделировалось на компьютере при
τ = 0.2с, ω2 = 0.1с~2, λχ = 0.1, А2 = 0.5с"·1, сх = 12с~2 и
различных значениях параметра с2. Характер решения при
увеличении с2 изменялся от периодического (при с2 < 6с~2) до
хаотического. При с2 > 12 с"2 величина у>(<) нарастала до
бесконечности. Спектр колебаний φ{ί) в случае хаотического
решения оказался близким к экспериментально наблюдаемому (ср.
рис. 15.10 а и б). На рис. 15.10 6 показаны также проекции
аттрактора в фазовом пространстве, сконструированном из <p(t)
согласно процедуре Такенса и преобразованном с
использованием так называемого хорошо приспособленного базиса [490]. Переход от периоди-
Уо
Рис. 15.11.
Зависимость функции
/(у,Уо) от у

314
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
ческого решения к хаотическому при увеличении параметра С2 происходил через
удвоение и последующее разрушение соответствующего двумерного тора.
Зависимость корреляционной размерности аттрактора ν от параметра С2
показана на рис. 15.12. Низкие значения ν {у < 2), когда c<i изменяется между 7 и 9,
могут быть объяснены как недостаточной длиной
выборки , так и близостью процесса к периодическому.
Последнее вызывает численные трудности, связанные с
выявлением различия между тонким тором и
предельным циклом. Из рис. 15.12 видно, что при увеличении
параметра с^ значение ν первоначально
увеличивается, а затем начинает падать. Значения размерности в
диапазоне 9 < c<i < 11 оказались близкими к
значениям, полученным авторами модели из реальных стаби-
лограмм для здоровых испытуемых (ι/ = 2.1-=-2.3). При
различных нервных заболеваниях (болезнь Паркинсо-
на, рассеянный склероз, атаксия, некоторые
функциональные нарушения и т.д.) размерность либо
увеличивается, либо уменьшается в зависимости от
болезни. Изменение размерности можно объяснить
изменением параметров системы управления. Существенное
уменьшение размерности у больных неврозами и
функциональной истерией, по-видимому, может быть
связано с синхронизацией хаотических автоколебаний
неким периодическим сигналом, который поступает из
высших отделов ЦНС О возникновении такого сигнала свидетельствуют
электроэнцефалограммы больных с указанными заболеваниями.
Уравнения другой модели [403] имеют вид
<ρ + 2δφ + ω2(<ρ-ψ)=0, ψ + уф = -Cl/ (<p(t - т),\х) - c2f (<p{t - r), λ2), (15.1.11)
При 7>ί уравнения (15.1.11) сводятся к уравнению (15.1.10). Моделирование
уравнений (15.1.11) при помощи компьютера показало, что они также имеют
хаотические решения.
Рис. 15.12. Зависимость
корреляционной размерности
аттрактора в
сконструированном фазовом
пространстве от параметра сг,
рассчитанная из решения
уравнения (15.1.10)
15.2· Генератор Ван-дер-Поля-Дуффинга с дополнительной
запаздывающей обратной связью как модель
допплеровского автодина
Как известно [326], простейшей математической моделью допплеровского
автодина, применяющегося в системе ближней радиолокации, является уравнение Ван-
дер-Поля с дополнительным членом, описывающим отраженный от объекта сигнал
и играющим роль запаздывающей обратной связи. Некоторым усложнением этой
модели является замена уравнения Ван-дер-Поля более общим уравнением Ван-дер-
Поля- Дуффинга. С учетом запаздывающей обратной связи имеем
Ϊ - μ(\ - х2)х + u/S(l + jx2)x'= u>%kx(t - г),
(15.2.1)

Гл. 15. Примеры автоколебательных систем с запаздыванием
315
где к — коэффициент запаздывающей обратной связи, τ — время запаздывания,
которое в общем случае может быть функцией времени t.
В случае достаточно малых μ, к и η (μ <^С u>o, t<l,7< 1) решение уравнения
(15.2.1) можно искать в виде χ = Acos(u>t + φ), где А и φ — медленно меняющиеся
функции, ω ~ о>о — неизвестная частота стационарных колебаний. Укороченные
уравнения для функций А и φ следующие:
ϊ μ/, Л2\ ω0Ατ . . ,
Л= 2\ Ύ ) Υ sin(wr - φτ +
IP).
(15.2.2)
Зы07 .2 ωο* Λτ
<£ = —τ— Α — οος(ωτ - φτ + φ) + ω0 - ω,
где Ат = Α(< — τ), φτ — φ(ί — г). В стационарном режиме
/ и к
Аст = 2<\ sinwr, φ€Ύ = φ0, (15.2.3)
где <ро — произвольная постоянная, а ω определяется из уравнения
ω = ы0( 1 + -7 ( 1 — sinwr ) - -coswr ). (15.2.4)
2
Чтобы исследовать устойчивость стационарного решения (15.2.3), (15.2.4),
линеаризуем уравнения (15.2.2) относительно малых отклонений £ — А — АСТ)
η = [φ — у>ст)Απ·· Линеаризованные уравнения имеют вид
/ 3u>ofc \ > c^ofcsinwr . c^o^coswr ,
I - /* + ~2~ 8ΐηωτ1 ξ ξτ (η - ηΤ),
ί= -μ +
(15.2.5)
ωο
" = τ
67 ( 1 sinwr 1 + fccoscjr ]£ — fc£r cosu/r 4* Λ(τ/ — 77T)sinu;r
Из (15.2.5) находим характеристическое уравнение
ρ2 + (μ - ы0й (2 - е~рт) sinwr) p +
+u>oAr(l-e-pT) Г^(3-е-рг)- |sinu>r + (ω - ω0) cosur J =0. (15.2.6)
Полагая в (15.2.6) ρ = id и разделяя действительную и мнимую части, получим,
совместно с (15.2.4), три уравнения для определения ω, Ω и критического значения
коэффициента дополнительной обратной связи к (к = &ο)> определяющего границу
устойчивости:

316
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
ω —ыо = —[37(1 sinwr J - fccosu>r J, Ω2 — UokQsinwrsmQr +
(\ Ωτ ω2Ατ2
μδίηωτ — 2(ω — ω0) cosurjuok sin2 — 5-—(3 — 4α>βΩτ + cos2Qr) = О,
(μ — tJok(2 — cosQr)sinu;r) Ω
4
(15.2.7)
sinu>rsir^r+
2l2
«g*
4-ω0&(ω — ωο^οδωτδίηΩτ Η — (2 — cos Ωχ) sin Ωτ = 0.
Уравнение (15.2.1) численно моделировалось в работе [186] при ω0 = 1, μ = 0.1.
Параметры у, τ и к варьировались. При фиксированных значениях 7 и г (7 = 0.1,
τ = 30) и увеличении коэффициента запаздывающей обратной связи к наблюдалась
следующая эволюция решения. При малых к (0 < к < ко « 0.09) решение было
периодическим с основной частотой, слабо зависящей от к и примерно равной частоте
колебаний генератора без запаздывающей обратной связи. При к = ко это решение
становилось неустойчивым и возникало устойчивое квазипериодическое решение с
основными частотами ω = 1.068 и Ω = 0.182, соответствующее в фазовом
пространстве двумерному тору. Найденные значения ко, ω и Ω по порядку величины
совпадают с решением системы уравнений (15.2.7) для указанных выше значений
параметров (к0 = 0.057, ω = 1.071, Ω = 0.097). При дальнейшем увеличении к
наблюдались бифуркации удвоения квазипериода тора. Перэая бифуркация происходила
при к = к\ « 0.42, а вторая — при к = fc2 & 0.75. При к > кКр «1.7 спектр колебаний
становился сплошным, что свидетельствовало о возникновении хаоса.
При других значениях параметра нелинейности у и времени задержки τ
поведение системы было аналогичным описанному. Однако конкретные значения
коэффициента Аг, при которых происходили бифуркации рождения тора и удвоения
его квазипериода, изменялись. При увеличении времени задержки
соответствующие бифуркационные значения коэффициента к уменьшались, о чем
свидетельствует рис. 15.13 а, на котором приведены зависимости от г значений ко, к\ и &2 (при
7 = 0.1). При увеличении параметра нелинейности 7 бифуркационные значения ко-
Рис. 15.13. Зависимости бифуркационных значений к0 (кривая 1), к\ (2) и fo (3) от времени
задержки г для 7 = 0-1 (о); б — зависимость ι/ от к для 7=1» т = 40

Гл. 15. Примеры автоколебательных систем с запаэдывалием
317
эффициента к также уменьшаются.
Наблюдаемые бифуркационные переходы можно характеризовать наряду со
спектром изменением размерности аттрактора. Для этого на основе реализации
процесса z(t) согласно процедуре Такенса конструировалось фазовое пространство, в
котором вычислялась корреляционная размерность ι/. Зависимость и от к при η = 1,
τ = 40 (для этих значений параметров ко = 0.003, к\ = 0.025, А:2 = 0.045)
показана на рис. 15.13 б. Как и следовало ожидать, в области периодических колебаний
ν = 1, в области квазипериодических — ν = 2, в области хаоса величина ν плавно
нарастает с ростом Л, начиная от значения, равного двум.
15.3. Кольцевой оптический резонатор с внешним полем
(система Икеды)
Известно много работ, посвященных исследованию кольцевого оптического
резонатора с нелинейной поглощающей средой, в который поступает внешнее
световое поле (см., например, [456, 457]).
Схематическое изображение такого резонатора представлено
на рис. 15.14. Можно показать (см. например [248]),
что в случае достаточно слабого внешнего поля
уравнение для величины x(t)> характеризующей набег
фазы поля в поглощающей среде, может быть сведено
к виду
— = — χ -f A f(x — хт), (15.3.1) рис. 15.14. Схематическое
изображение кольцевого оптиче-
где /(я) = 1 + В(х) cos(x + x0), В(х) — гехр{{у\/6)х}, ского резонатора с нелинейной
г — коэффициент, пропорциональный коэффициен- поглощающей средой и внеш-
ту отражения зеркал, 7ι — величина, обратная попе- ним световым полем
речному времени релаксации среды, δ — расстройка
между частотой падающего света и частотой соответствующего атомного перехода
в поглощающей среде, хт = x(t — г), г — время обхода резонатора, х0 — некоторая
константа, зависящая от S и 71, Л — параметр, пропорциональный амплитуде
внешнего поля. Если воздействие света на среду является нерезонансным, т.е. ί !^> 7ь
то величину В(х) можно считать константой, равной г. Именно этот случай был
рассмотрен в работе [457], где уравнение (15.3.1) исследовалось численно. Ниже мы
тоже будем полагать В(х) = г.
В этом случае уравнение (15.3.1) имеет стационарное решение, определяемое
трансцендентным уравнением
Хст = Α*ί 1 -г ГСОв(хст
+ *о)). (15.3.2)
Для исследования устойчивости решения (15.3.2) положим в уравнении (15.3.1)
х = Хст+ξ и линеаризуем его относительно ξ. Тогда получим следующее уравнение:
^ = -ξ-ΟξΤ, (15.3.3)

318
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
где С = A2rsin(zcT-Hzo)- Характеристическое уравнение, соответствующее (15.3.3),
имеет вид
р+1+Се-рг =0. (15.3.4)
Из (15.3.4) следует, что исследуемое стационарное решение устойчиво, если \С\ < 1,
и апериодически неустойчиво, если С < — 1. При С > 1 решение может быть как
устойчивым (при С < Скр(т)), так и неустойчивым
(при С > Скр(г))), причем в этом случае
неустойчивость является колебательной. Граница колебательной
неустойчивости определяется равенством С = Скр =
\/1 + ы2, где ω — частота колебаний на границе
самовозбуждения, которая является наименьшим корнем
уравнения
tgwr + w = 0 (15.3.5)
при условии cos ω г < 0. На рис. 15.15 показана граница
колебательной неустойчивости Скр в зависимости от т.
Видим, что с ростом г эта граница существенно
понижается.
Численное моделирование уравнения (15.3.1),
результаты которого изложены в работе [457] при г = 0.6, г = 3.5, я о = 0, показало > что
решение этого уравнения, в зависимости от параметра Л, может быть либо
периодическим, либо хаотическим.
Рис. 15.15. Зависимость Скр
от г для уравнения Икеды
Глава 16. Примеры распределенных
автоколебательных систем с активными
элементами на границах
16.1. Система Витта. Конкуренция и синхронизация мод
Первыми работами, в которых рассматривались автоколебания в системах с
распределенными параметрами, были работы А.А. Витта [69, 70] и СП. Стрелкова [597],
-U
Активный
элемент
t 4=
о / χ
Рис. 16.1. Двухпроводная
линия с активным нелинейным
элементом на одном из концов
ы
выполненные в середине тридцатых годов нашего
столетия. Работы [69, 597] посвящены исследованию
двухпроводной линии, на одном конце которой
имеется нелинейный активный элемент (рис. 16.1),
обладающий отрицательным линейным сопротивлением.
Такая система в принципе не отличается от
простейшей автоколебательной системы, структурная схема
которой изображена на рис. 14.1, только роль
колебательного контура играет^ двухпроводная линия. Как
известно, ток / и напряжение V в линии связаны так
называемыми телеграфными уравнениями
ox at ox at
(16.1.1)

Гл. 16. Примеры распределенных автоколебательных систем
319
где Я, С и L — соответственно сопротивление, емкость и индуктивность линии,
приходящиеся на единицу длины. Исключая из этих уравнений /, получим для V
волновое уравнение с дополнительным членом, описывающим затухание волн:
d2V R3V 2d2V Л ,_ лч
где а = \j\jLC — скорость распространения волны. Уравнение (16.1.2) совпадает
по форме с уравнением затухающих колебаний струны.
Запишем теперь граничные условия. Предполагая, что ток через активный
элемент связан с напряжением на нем формулой
I = f(V) = S0V (l - щ), (16.1.3)
где So — величина, обратная модулю отрицательного линейного сопротивления,
Vo — некоторое значение напряжение, характеризующее нелинейные свойства
активного элемента, и подставляя (16.1.3) во второе уравнение (16.1.1), получим для
конца линии с координатой χ = 0 следующее условие:
dV ( V2 \ ( V2\ dV
Для конца линии с координатой χ = /, нагруженного на емкость Со, имеем dV/dt =
I/Co) откуда на основании второго уравнения (16.1.1) получаем
dV dV d2V
-θϊ = Ιί0°ΊΗ+ιο°Ίν- (161·5)
Таким образом, для расчета автоколебаний в линии нужно решить нелинейную
краевую задачу, определяемую уравнением (16.1.2) и граничными условиями (16.1.4) и
(16.1.5).
Заметим, что полученная математическая модель рассматриваемой системы
отличается от модели активной струны, приведенной в гл.5, тем, что здесь
нелинейный активный элемент не является равномерно распределенным по всей длине
струны, а сосредоточен на одном из концов.
В дальнейшем, согласно [69, 597], удобно перейти к безразмерным переменным
и параметрам, введя х' = х/1у V — at/ly u = V/Vq} μ = Rl/\fL/C, β = Со/С/,
S = Soy/L/CΙ μ. В этих переменных уравнение (16.1.2) и граничные условия (16.1.4)
и (16.1.5) примут вид 1)
32и ди д2и Λ ,
ди_
'дх
= μ25^1-^+μ5(ΐ-^)^ при χ = О,
(16.1.7)
ди „ди 0д2и
-δχ-=μβΈ + β&ϊ ПРИ * = L
' Штрихи далее опускаем.

320
Часть 111. Активные системы. Автоколебания и автоводны
Ниже будем предполагать, что параметр μ, равный отношению полного
активного сопротивления линии Я/ к ее волновому сопротивлению \JL/C, является малым.
В этом случае рассматриваемая система близка к линейной консервативной. Для
получения условий самовозбуждения линеаризуем систему уравнений (16.1.6), (16.1.7)
и отбросим член порядка μ2. При этом получим
d2u du d2u _
8ί2+μθ1 Эх2 ~ '
(16.1.8)
d« „du Л du adu a32u Л
Частное решение системы (16.1.8) при μ = 0 имеет вид
и = «о = Aco&u>xcos{u)t + φ), (16.1.9)
где А и φ — произвольные постоянные. Подставляя это решение в граничное
условие при χ = 1, получаем уравнение для определения собственных частот ω:
βω + tga/ = 0. (16.1.10)
Из (16.1.10) следует, что спектр собственных частот при β ф О, оо является
неэквидистантным. Это в дальнейшем позволит нам использовать при исследовании
системы (16.16), (16.1.7) асимптотический метод для слабо нелинейных волн в
средах с сильной дисперсией.
Частное решение системы (16.1.8) при μ ф 0 можно искать в виде и = eptU(x),
где U(x) — неизвестная функция. Подставляя это решение в (16.1.8) и пренебрегая
членами порядка μ2, находим
U(x) = А (l + !*) е*х + В (l - !*) е-'*, (16.1.11)
где А и В определяются из системы линейных однородных уравнений
(p(l +/I5) + £) Л - (р(1 - μ5) + |) В = О,
(16.1.12)
(p + /?P2 + f (р + /?р2 + 2/?р+ 1)) Ле"-(р-/?р2- |(р-^р2 + 2/?р- 1)) Ве~" = 0.
Приравнивая детерминант этой системы нулю, находим характеристическое
уравнение
p + p + ^Q-5)+p(|/»+I-5)+l)]
.[^-p-,(v(^-5)-p(^+i-5) + l)]
ер +
(16.113)
е~р = 0.
и соотношение между константами А и В. В первом приближении В = (1 + 2μ5)Α

Гл. 16. Примеры распределенных автоколебательных систем
321
Решение характеристического уравнения (16.1.13) можно представить в виде
ρ = S + гы, где ω — одна из собственных частот порождающей системы,
определяемая из уравнения (16.1.10), S — инкремент, имеющий порядок малого параметра
μ. Из (16.1.13) следует, что
/ 1+/?2ω2 1\
'"•{ι+β + Ι**8-*)· (16М4>
Отсюда находим условие самовозбуждения волн на частоте ω:
S>S»~2 1+/?2W2 · (16115)
Значение 5^ тем меньше, чем выше частотам. Таким образом, в рассматриваемом
случае прежде всего должны возбуждаться самые высокие моды. Это связано с тем,
что конец линии нагружен на конденсатор, сопротивление которого уменьшается с
ростом частоты.
Для расчета амплитуды колебаний в одномодовом режиме воспользуемся
асимптотическим методом. Будем искать решение уравнения (16.1.6) с граничными
условиями (161.7) в виде
τι = «ο + μΗι + ... , (16.1.16)
где uo — решение порождающей системы, определяемое выражением (16.1.9), в
котором А и φ удовлетворяют уравнениям
d4=»F+- ά1=μΦ+-> <1влл7>
tii, F и Φ — неизвестные функции. Подставляя (16.1.16) в уравнение (16.1.6) и
учитывая (16.117), получим следующее уравнение для функции и\:
^У~ - —^ = ω((Λ + 2F)sinH + ψ) + 2АФсовМ + ^)) coswx. (16.1.18)
Граничные условия для уравнения (16.1.18) следуют из (16.1.7):
дщ
дх
cos2(ωί + φ) IA sin(o>£ + φ),
)
(16.1.19)
Частное решение уравнения (16·. 1.18) с граничными условиями (16.1.19) можно
искать в виде
til = В\(\ + k\x)s\nwxcos{ut + у?) + £2(1 + &2*) cosu;xsin(w* -f у?) -f
+ члены, содержащие третью гармонику. (16.1.20)

322
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Подставляя (16.1.20) в (16.1.18), находим
Βι*ι = - ЛФ, В2к2 = - (f + | V (16.1.21)
Далее подставим (16.1.20) в граничные условия (16.1.19) и учтем (16.1.21). Тогда из
первого условия (16.1.19) найдем В\ =0, В2 = 5(1 — А2/А) А, а из второго с учетом
(16.1.10) и (16.1.21) определим F и Ф:
Таким образом, уравнения (16.1.17) принимают вид
2-!Й('-т)-'Ь £=0·
где 5^ определяется выражением (16.1.15). Уравнения (16.1.22) позволяют найти
стационарное значение амплитуды колебаний на частоте ω:
А2
-('-§)
Отметим, что поправка и ι к порождающему решению означает, что в первом
приближении по малому параметру волна в линии уже не имеет форму стоячей. Ее
можно представить в виде
и = Α ί 1 — — J cos(u>< 4*<^)coscJx + —-cos(u>* + φ — ωχ).
Здесь первый член описывает стоячую волну, а второй — бегущую слева направо.
В работе [69] найденное стационарное решение было исследовано на
устойчивость по отношению к возбуждению других мод. Было получено, что это решение
устойчиво для частот шу удовлетворяющих условию
/?V'- 2УГТ"1' (16.1.23)
Заметим, что условие возбуждения выполняется только для тех мод, для которых
Р 25-1
Это значит, что моды, частоты которых заключены в диапазоне
1 Γ~β Г * Γ~5β Г
^V25^T-1<W<^V253T-1
являются неустойчивыми, хотя для них и выполняются условия возбуждения. Этот
факт является следствием так называемой конкуренции мод.

Гл. 16. Примеры распределенных автоколебательных систем
323
Кроме одномодового режима генерации, интересно рассмотреть и условия
существования многомодовых режимов, в частности двухмодового и трехмодового.
Для этого решение уравнений (16.1.6), (16.1.7) будем искать в виде
и = ^2 A; coswjS cos(u>j< + <pj) + μ«ι + ...
(16.1.24)
где u)j — собственные частоты порождающей системы, определяемые уравнением
(16.1.10), Aj и ψ] удовлетворяют уравнениям
Подставляя (16.1.24) в уравнение (16.1.6) и граничные условия (16.1.7), получим для
щ уравнение
Э2щ д2щ
dt2 дх2
- ^ωj ((Aj ^2Fj) sm(ujt^φj)^2A^jCos(ujt^φj)\ cosu^z (16Л.25)
и граничные условия
дх
x=0
(16.1.26)
Проведя выкладки, аналогичные предыдущим, получим для двухмодового режима
следующие уравнения для амплитуд и фаз:
dA1>2 μ
dt ~ 2
l^.. ν 4 2 /
Λι>2' ^Γ"0'
(16.1.27)
где S£ (j = 1,2) определяются выражениями (16.1.15), где вместо ω нужно
подставить u>j. Отметим, что уравнения (16.1.27) по форме совпадают с
соответствующими уравнениями для амплитуд и фаз электрического поля в газовом лазере
(см. например [116]). Поэтому все приведенные здесь результаты имеют
достаточно универсальный характер.
Уравнения (16.1.27) имеют три стационарных решения:
А\ = 4(l-^-), А7 = 0, (16.1.28)
Λ1 = 0, Αΐ = 4(ΐ-?ψ-\ (16.1.29)
^ = 4з(1 + ^-2%)· лИ(1 + %"2%> <1влло>

324
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Условия существования решений (16.1.28) и (16.1.29) совпадают с условиями
возбуждения первой и второй моды соответственно. Условие существования решения
(16.1.30) имеет вид
S > max <
25:,
<7*
Оно может не выполняться, даже если выполняются условия возбуждения обеих
мод.
Исследуем устойчивость найденных решений в рамках укороченных уравнений
(16.1.27). Линеаризуя (16.1.27) относительно малых отклонений от решения (16.1.28),
получим
da, μ( S \ άα2_μ( S'Ul S \
Отсюда находим условие устойчивости решения (16.1.28): S > 2S„1 — S„ . Если в
этом условии положить о>2 = оо, т.е. S£3 — 1/2, то получим условие устойчивости
(16.1.23), найденное в [69]. Аналогичное условие устойчивости можно получить для
решения (16.1.29).
Исследование на устойчивость решения (16.1.30) показывает, что оно всегда
апериодически неустойчиво. Таким образом, в рассматриваемой системе из-за
конкуренции мод двухмодовый режим невозможен 2).
Кроме эффекта конкуренции мод, на поведение всякой автоволновой системы
оказывает большое влияние противоположный эффект, а именно синхронизация
мод. Под синхронизацией мод понимают режим, когда спектр мод становится
эквидистантным, т.е. разности частот всех соседних мод становятся одинаковыми.
Ради простоты ограничимся рассмотрением режима синхронизации трех мод.
Аналогично тому, как это было сделано для одномодового и двухмодового режимов, из
(16.1.26) можно найти неизвестные функции Fj и Ф^. Здесь только следует иметь в
виду, что частота моды, расположенной между двумя другими, может подстроиться
так, чтобы оказаться строго посредине. Это и означает возникновение
синхронизации мод. Вследствие этого нужно учесть соответствующие комбинационные члены.
В результате получаем следующие уравнения для амплитуд ^1,2,з и фаз <^1,2,з:
dAK,
dt
dA2
dt
ΑΙ
\ _ 1>0 _ _L _
A2
ywi,s
έ(·
- 1
^1,3,
A\ A\ A\ кАгАз
Ψ J -
Л2,
<fy>i,3 Λ d<p2 μΞ UA .
(16.1.31)
(16.1.32)
где S£ (j = 1,2, 3) определяется выражением (16.1.15), в котором вместо ω следует
поставить ω,·, 6 = (ωχ -f и>3)А*>2 — 1 — коэффициент, близкий к единице, Ψ = At + Φ,
2'В газовом лазере коэффициенты в уравнениях для амплитуд мод таковы, что такой режим
оказывается возможным [227].

Гл. 16. Примеры распределенных автоколебательных систем
325
Δ = ωχ + шз — 2α>2 — расстройка частоты, Φ = φι + φ$ — Ίψϊ
Уравнения (16.1.32) можно переписать в виде
— - А
~dt~2S;
μΞ
&ΛιΛ38Η1*.
разность фаз.
(16.1.33)
Wj
Стационарное решение уравнений (16.1.31), (16.1.33) соответствует режиму
синхронизации мод. Отметим, что в этом режиме, как следует из уравнений (16.1.32),
(16.1.33), d(p2/dt = Δ/2. Уравнения (16.1.31), (16.1.33) позволяют также
исследовать условия существования и устойчивости синхронного режима. В результате
получаем, что режим синхронизации мод возможен тогда, когда амплитуды всех
синхронизованных мод достаточно велики, т.е. величина S превышает некоторое
критическое значение.
*♦
tasssd
=пб
±—Чу
16.2. Явление Рийке
Так называемое явление Рийке было открыто в середине прошлого века [569].
Оно заключается в генерации звука достаточно длинной вертикально поставленной
трубой с открытыми концами, в которую помещена
раскаленная густая металлическая сетка (рис. 16.2 а).
Генерация продолжается до тех пор, пока проволочная
сетка не остывает. Из экспериментов известно, что явление
имеет место в том случае, если проволочная сетка
помещена в нижнюю часть трубы, на расстоянии примерно
четверти от ее нижнего конца. Подобно «поющему»
пламени, явление Рийке относится к категории
термомеханических автоколебательных явлений. Качественное
объяснение этого явления, как и других подобных ему,
было дано в трактате Релея «Теория звука» [304]. Однако
удовлетворительных количественных результатов до
недавнего времени не было известно. Ниже мы дадим
простейшую количественную теорию эффекта Рийке [203],
которая частично заимствована из работ Б.В. Раушенбаха [274]. Как показано в
этих работах, для объяснения эффекта Рийке нужно учесть направленный поток
воздуха в трубе, создаваемый нагретой сеткой (тяга) или сформированный
искусственно. Процессы, происходящие вблизи раскаленной сетки, являются весьма
сложными и не поддающимися простому описанию. Чтобы преодолеть эти сложности,
Раушенбах предложил окружить сетку некоторой областью σ (рис. 16.2 а), внутри
которой температурные градиенты являются существенными. Линейные размеры
этой области предполагаются значительно меньше длины трубы (и, следовательно,
длины волны возбуждаемого звука). Далее Раушенбах предложил не рассматривать
в деталях процессов, происходящих внутри области σ, а заменить ее некоторой
поверхностью Σ (рис. 16.2 б), для которой следует записать граничные условия. Как
будет показано ниже, на поверхности Σ имеются разрывы скорости и давления
воздуха.
Следуя этой идее Раушенбаха, можно для областей трубы 1 и 2 пренебречь
вязкостью и теплопроводностью воздуха и записать уравнения Эйлера и уравнение
-£,
Рис. 16.2. Схематическое
изображение эффекта
Рийке (а) и модель для
анализа этого эффекта (б)

326
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
непрерывности. В линейном приближении имеем
( ди ди\ др Л до до ди _ . ЛЛ v
р°{*+щд-г) + щ = 0> i+u<>Tx+f>orx = 0> (16·21>
где ρ — отклонение плотности воздуха от стационарного значения ρ0) ρ —
отклонение давления от стационарного знамения ро, щ — скорость направленного
движения воздуха, и — отклонение скорости воздуха от своего среднего значения,
равного скорости направленного движения. Считая процессы возбуждения звука в
областях 1 и 2 адиабатическими, можно из уравнений (16.2.1) и уравнения адиабаты
исключить р. В результате получим следующие уравнения:
(ди ди\ др др др 2 ди /,ЛЛЛч
ро{т+иодх-) + дх- = 0' m+uodx- + f>oad; = 0' (162·2)
где α = у/кро/ро — скорость звука, к = ср/сь — отношение теплоемкостей.
Выведем теперь граничные условия на поверхности разрыва Σ. С этой целью
воспользуемся для области σ уравнениями Эйлера, уравнением непрерывности и
первым началом термодинамики. С учетом уравнения состояния первое начало
термодинамики в линейном приближении может быть записано в виде
2
Q=PK~_V/5' (16·2·3)
где Q — отклонение количества тепла, сообщаемого воздуху, от стационарного
значения, 5 — площадь сечения трубы, / — длина области σ. Выразив из уравнения
(16.2.3) ρ через ρ и Q и подставив в уравнение непрерывности, получим
1 (др др /с- 1 dQ\ ди
где dQ/dt = dQ/dt + uodQ/dx. Проинтегрируем теперь уравнения Эйлера по
объему области σ, полагая, что ее длина / стремится к нулю. Принимая во внимание
гидравлическое сопротивление сетки [124], из первого уравнения Эйлера получим
(р2 ~Р\ + Cpouoii + р0и0(и2 - "ι))| = °> (16.2.5)
где индексы 1 и 2 относятся к областям I и 2 соответственно, ζ — коэффициент
гидравлического сопротивления, и » (и\ + и2)/2 — значение скорости и при χ = 0.
В результате интегрирования уравнения (16.2.4) имеем
(^(р2 - Pi + СйоЩЪ) + Ро(и2 - «ι)) [=о = ^- ^ · (16.2.6)
Предполагая, как обычно, что теплоотдача происходит по закону Ньютона и
учитывая, что коэффициент теплоотдачи сетки зависит от скорости обдува,
запишем уравнение баланса тепла в виде
^ = Ke(U)(Tc - Τ) + Κο(Τ0 - Τ), (16.2.7)

Гл. 16. Примеры распределенных автоколебательных систем
327
где KC(U) — коэффициент теплоотдачи сетки, К0 — коэффициент теплоотдачи в
окружающую среду, Тс — температура сетки, Τ — температура воздуха в области
<г, Го — температура окружающей среды, U = u0 + tl — скорость обдува сетки.
Из уравнения (16.2.7) следует, что стационарное значение температуры в области
σ равно
= Kc(u0)Tc + KqTq
Kc(u0) + Ко '
Полагая Τ = Т^ + ΰ и учитывая, что и <^С «о, перепишем уравнение (16.2.7) в
следующем виде
^ = -Я0 + Л«, (16.2.8)
is is t \ ι ы a Ko(Tc - То) dKc I
где К = Кс(щ) + До, А = ^ы + Ко Ж|у = «о-
Выразим теперь ύ через Q, учитывая первое начало термодинамики и уравнение
(16.2.3). В результате получим
*= — f—+—V (16.2.9)
где ρ « (pi + р2)/2 — значение давления ρ при χ = 0, m — масса воздуха в области
*> cv — удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме. Подставляя теперь
(16.2.9) в (16.2.8), получаем
dQ
-^ + 70 = Λ«-αιρ, (16.2.10)
где7 = К/(ктсь)} a\ = K/(poKcv). Уравнение (16.2.10) совместное (16.2.5) и (16.2.6)
полностью определяет условия разрыва на поверхности Σ.
Граничные условия на концах трубы зададим в виде
P\\x=-Lx = "^ltlllrs-ti, P2\x=L2 = Z2U2\z=Lv (16.2.11)
где Zj — акустические импедансы соответствующих концов.
Решение уравнений (16.2.2) с найденными выше условиями разрыва на
поверхности Σ и граничными условиями (16.2.11) приводит к следующему приближенному
характеристическому уравнению:
**$ ( \ 'АЛЛ
sincjr — βιηωίτϊ — т^) — гМС cos ωτ\ cos u>r2 —
7 + tw
Z\ + Z2 ыа
—t созыг -f — sinwri sincjr2 — ωΜτcosur = 0, (16.2.12)
poa 7 + tu
где β = (к — \)P\/(2poa2S) — коэффициент, пропорциональный разности
температур сетки и окружающей среды, коэффициенту теплоотдачи в окружающую среду
и производной от коэффициента теплоотдачи сетки по скорости обдува, Tj — Lj /a
— время распространения звуковой волны в j-й части трубы, г = Т\ + г2 — время
распространения звуковой волны во всей трубе, ω — комплексная частота
автоколебаний, Μ = щ/а — число Маха, а = (к — l)K/(KpoaScv). Уравнение (16.2.12)

328
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
получено в предположениях, что число Маха Μ, импедансы концов трубы и
коэффициент теплоотдачи в окружающую среду, определяющий значение коэффициента β,
достаточно малы. В этих же предположениях уравнение (16.2.12) может быть
приближенно решено. В результате получаем, что автоколебания могут возбуждаться
на частотах, близких к собственным для трубы длины L = L\ + L2. Эти
частоты определяются из уравнения sin u>r = 0, т.е. ω = ωη = πηα/L. Полагая теперь в
(16.2.12) ω = ωη — iSn +Ωη, где Sn — инкремент, соответствующий n-й собственной
частоте, Ωη — малая поправка к этой частоте, для δη и Ω„ получаем следующие
приближенные выражения:
,.,2
δη = -[-β
О. = £(/»:
(л)
sin2w„r1
sin 2ωη τ\
Ri + R2
p0a
lm{Zi+Z2)
— MQcos ωητ\ — a
72 + <4'
sin ωητ\
7^я
■sm
"птА
(16.2.13)
+ ωΜ,
Υ + ^η Ροα 72 + w£
где R\2 — действительные части импедансов Z12 на частоте ωη. Из (16.2.13)
следует, что инкремент δη может быть положительным только если sin 2ωητχ отрицателен
и по модулю превышает некоторое критическое значение. Отсюда следует, что в
случае расположения сетки в нижней части трубы возбуждаться могут только те
моды, номер которых удовлетворяет формуле 4(п — 1) + 3, причем оптимальным
будет расположение сетки на расстоянии L/4 от нижнего конца трубы. Этот вывод
согласуется с результатами экспериментов. Если же сетка расположена в верхней
части трубы, то возбуждаться могут те моды, номер которых удовлетворяет
формуле 4(п — 1) + 1, причем в этом случае оптимальным будет расположение сетки на
расстоянии L/4 от верхнего конца трубы.
Отметим, что, как следует из формулы (16.2.13), условие самовозбуждения
автоколебаний выполняется тем легче, чем параметр инерционности η ближе к своему
оптимальному значению 7опт = ^η·
Из экспериментов известно, что эффект Рийке наблюдается лишь в
определенном диапазоне скоростей направленного движения воздуха, т.е. чисел Маха Μ. Это
можно объяснить, если предположить, что зависимость коэффициента теплоотдачи
сетки Кс от U имеет вид, показанный на рис. 16.3 а. В этом случае коэффициент β
вначале быстро растет с ростом Μ, а затем медленно убывает (рис. 16.3 б). Вместе
с тем при увеличении Μ растет значение параметра инерционности η и возрастают
потери на преодоление гидравлического сопротивления сетки. Все это и приводит к
тому, что условие возбуждения звука (ίη > 0 для какого-нибудь значения п) может
выполняться лишь в некотором диапазоне чисел Маха Μ.
Рис. 16.3. Предполагаемая зависимость Кс от U (а) и зависимость β от Μ (б)

Гл. 16. Примеры распределенных автоколебательных систем
329
16.3. Распределенная модель «поющего* пламени
Явление «поющего» пламени было описано нами в гл. 13. Там же была
рассмотрена сосредоточенная модель этого явления в виде двух связанных резонаторов Гель-
мгольца. Ниже мы рассмотрим модель «поющего» пламени,
предложенную в работе Ю.И.Неймарка и Г.В.Ароновича [242] (см.
рис. 16.4). В отличие от работы [242] мы воспользуемся
изложенным выше методом Раушенбаха и заменим область σ,
окружающую пламя, граничной поверхностью Σ, для которой запишем
условия разрыва. Кроме того, мы не будем делать предположение
о том, что количество тепла, сообщенное пламенем,
пропорционально скорости потока газа в подводящей пламя трубке, а
воспользуемся уравнением баланса тепла, аналогичным (13.14.6). Как
и при рассмотрении эффекта Рийке, разделим трубу, в которой
возбуждается звук, на области J и 2, а также выделим область σ,
окружающую пламя (рис. 16.4). Пренебрегая направленным
движением воздуха в трубе и подводящей трубке, запишем для
областей 1 и 2 и подводящей трубки 3 уравнения, аналогичные (16.2.2):
-U
-L
du dp dp о du
Рис. 16.4.
Распределенная
модель «поющего»
пламени
По аналогии с (16.2.5) и (16.2.6) запишем условия разрыва на поверхности Σ в
виде
(P2-Pi)Uo =0, (t*-vi)|r=0 = ^^^> (1б·3·2)
где изменение количества тепла Q описывается уравнением:
f = А„и.-™.
(16.3.3)
βι — коэффициент пропорциональности между количеством тепла, сообщаемого
пламенем в единицу времени, и скоростью газа в подводящей трубке, К —
коэффициент теплоотдачи, ΰ — разность между температурой воздуха в области σ и
температурой окружающей среды. Подставляя в (16.3.3) выражение (16.2.9),
получаем
dQ
-^ + lQ = Л«з|*=о " «ιΡ. (16.3.4)
где 7 = K/Kmcv, αχ = К/крось.
К указанным условиям разрыва следует добавить граничные условия на концах
трубы и подводящей трубки:
PlU=-Li = - £lt>lU=-Li> P2\x=L2 = ^2^21.
X — L-2
(16.3.5)
Рз|* = -Ь3 = -^3^3|x=:-L3) (РЗ-Р)|*=0 = 24г>з|а:=0>
где Zi — акустические импедансы соответствующих концов.

330 Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Общее решение уравнений (16.3.1) для областей 1 и 2 и подводящей трубки 3
содержит шесть произвольных постоянных. Уравнения для этих постоянных следуют
из шести граничных условий ((16.3.2) и (16.3.5)). В эти граничные условия входит
неизвестное количество тепла, которое определяется уравнением (16.3.4). В
результате получаем систему семи линейных однородных уравнений, условие равенства
нулю детерминанта которой дает характеристическое уравнение. В приближении
достаточно малых значений импедансов и достаточно малого притока тепла оно
имеет вид
ιβω . . , . Ζ\ + Ζι αω
βιηωτ Η г- sincjTi sinu>T2 ctgu>T3 — г cosljt sinu;ri sinwrs = 0,
7 + tu poa 7 + ги
(16.3Д
где β — [к - \)fi\fpoa2S, a = (к - 1)αι/α£, tj = Lj/a, τ = τ\ + r2. Из уравнения ν
(16.3.6) следует, что самовозбуждение колебаний, как и в случае эффекта Рийке,
должно происходить на частоте, близкой к одной из собственных частот трубы
длины L = L\ + i/2- Эти частоты равны ωη = πηα/L. Инкремент δη и поправка к
частоте Ω„, соответствующие частоте ωη, приблизительно равны
α/ ωηη . 2 aw* . 2 Дх + Я2\
L \ γ+ω — ηζ 7 +ω""η Ρο<* /
(16.3.7)
а/ /Jw* . 2 а7^п . 2 lm(Zx+Z2)\
Ι\72+ωη γ+ω-η2 ρ0α )
где iZi2 — действительные части импедансов Z\%2 на частоте ωη. Из выражения
(16.3.7) видно, что самовозбукдение колебаний не может происходить, если на конце
подводящей трубки имеется узел скорости (со8и>„гз = 0) или если пламя находится
в узле давления (sinu>nri = 0). Кроме того, необходимым условием самовозбуждения
колебаний является ctgu>„r3 < 0. С другой стороны, если некоторые собственные
частоты основной трубы и подводящей трубки близки, то для соответствующей
частоты sinu>nT3 близок к нулю, т.е. имеет место резонанс. Это условие является
оптимальным для генерации звука.
Из формулы (16.3.7) следует, что условие самовозбуждения автоколебаний
может быть записано в виде β > /?κρ, причем /?кр обращается в бесконечность при
7 = 0 и 7 = оо. Минимальное значение /?кр достигается при 7 = <*>п- Этот
результат качественно совпадает с тем, что было получено для сосредоточенной модели
«поющего» пламени в виде двух связанных резонаторов Гельмгольца.
Глава 17. Примеры автоколебательных систем с
распределенными активными элементами
17.1. Лазеры. Конкуренция, синхронизация и хаотизация мод.
Оптические автосолитоны
Оптический квантовый генератор (лазер) представляет собой оптический
резонатор, заполненный активным веществом, излучающим световые волны. Резона-

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
331
<<=}
тор может быть либо линейным, образованным двумя зеркалами (рис. 17.1 а), либо
кольцевым, образованным тремя или четырьмя зеркалами (рис. 17.1 б). Активное
вещество — это таким образом подготовленное вещество, что у него на верхних
энергетических уровнях находится больше атомов или молекул, чем на нижних.
Как говорят, в активном веществе имеется инверсная заселенность уровней.
Инверсную заселенность можно создавать по-разному. Например, в газах она может
быть создана в результате столкновений атомов с электронами и друг с другом при
электрическом разряде. В твердых телах инверсную заселенность можно создать,
например, освещая рабочее вещество белым светом.
Процесс возбуждения света в лазерах происходит следующим образом. В
резонаторе всегда присутствует какое-то слабое световое поле (например, тепловое).
Проходя через активную среду, составляющая этого поля,
имеющая частоту, близкую к частоте одного из атомных
переходов, будет индуцировать излучение возбужденных
атомов. Интенсивность этого излучения
пропорциональна числу атомов, находящихся на верхнем уровне. С
другой стороны, будет происходить поглощение этой же
составляющей поля невозбужденными атомами.
Интенсивность поглощения пропорциональна числу атомов,
находящихся на нижнем уровне. Очевидно, что если на
верхнем уровне находится больше атомов, чем на нижнем, то
процесс излучения будет преобладать над процессом
поглощения и поле будет усиливаться. Если частота поля
близка к одной из собственных частот резонатора, то в ™ис- 17,1· Схематические
результате многократного прохождения через резонатор изображения линейного
интенсивность поля будет все возрастать, т.е. произой- (°) и кольцевого (б)
дет самовозбуждение колебаний. Если бы резонатор был лазеров
без потерь, то для самовозбуждения достаточно было бы
сколь угодно малого превышения населенности верхнего уровня по отношению к
нижнему..Из-за наличия потерь в резонаторе возникает некоторый конечный
порог самовозбуждения.
Посмотрим теперь, чем ограничивается амплитуда светового поля в лазере.
Если бы число атомов, находящихся на верхнем и нижнем уровнях, не изменялось при
излучении, то амплитуда поля нарастала бы до бесконечности. На самом же
деле число атомов, находящихся на верхнем уровне, за счет излучения уменьшается
при увеличении поля. Конечно, есть и обратный процесс: поле возбуждает атомы
за счет поглощения фотонов. Однако до тех пор, пока излучение преобладает над
поглощением, поле будет усиливаться, а число атомов на верхнем уровне падать.
Если бы резонатор был без потерь, то равновесие наступило бы тогда, когда
населенности на верхнем и нижнем уровнях сравнялись бы, что возможно лишь при
бесконечном значении амплитуды поля. Из-за наличия потерь в резонаторе
усиление поля прекращается и наступает равновесие при какой-то пороговой разности
населенностей, соответствующей конечному значению амплитуды поля.
В настоящее время известно достаточно много типов оптических квантовых
генераторов, различающихся между собой механизмом накачки. Это —
твердотельные, газовые, полупроводниковые, химические, газодинамические лазеры, лазеры

332
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
на органических красителях, на свободных электронах и др. Их описанию и
теории посвящена обширная литература. Мы укажем только несколько книг общего
характера, а именно [116, 322, 472, 604].
Исходными уравнениями для рассмотрения процессов в лазерах в рамках так
называемой полуклассической теории х) являются волновое уравнение для
электромагнитного поля и уравнения для элементов матрицы плотности рабочих уровней
активной среды. Поскольку линейные размеры резонатора много больше длины
световой волны, можно ограничиться приближением плоских волн и для поля S
записать следующее уравнение:
д2£ д£ о д2е д2Г
где V — поляризация активной среды, σ — проводимость, определяющая
распределенные потери в среде. Обычно, однако, в лазерах наиболее значительная часть
потерь обусловлена не проводимостью σ, а выходом излучения через зеркала
резонатора. Эти потери можно учесть, задавая соответствующие граничные условия.
Можно показать, что потери на зеркалах приводят к тому же коэффициенту
затухания, что и распределенные потери, соответствующие σ3φ = (с/4тг/) /J ln(l/rt),
где г, — коэффициент отражения i-го зеркала резонатора. Поэтому при
теоретических исследованиях часто полагают, что зеркала являются идеально отражающими,
а все потери — распределенными, причем учет этих потерь производится путем
введения эффективной добротности резонатора Q, определяемой из соотношения
ω/Q = 4π(σ + σ3φ), где ω — частота генерации.
Уравнение (17.1.1) является незамкнутым, так как в него входит неизвестная
функция V(x, t), которая выражается через недиагональные элементы матрицы
плотности pab и рьа- Для наиболее простого случая неподвижных атомов
V{X, t) = n(dbaPab + dabPba), (17.1.2)
где dab — матричный элемент дипольного момента, η —* число атомов в единице
объема.
В приближении двухуровневой среды элементы матрицы плотности можно
определить из следующей системы уравнений:
-?£- = - Г {dbapab - Pbadab)£ - Ία{Ρα -/>£0)),
-^ = тЫьаРаЬ ~ pbadab)S - ~1b{pb - р£0)), (17.1.3)
dpab * / \j с
—jr— = - tUabpab - Τ\Ρα~ Pb)dabt - -)abpab> Pba = Pab>
l) Термин «полуклассическая теория» означает, что для описания электромагнитного поля
используются классические уравнения Максвелла, а для описания процессов излучения и поглощения
поля атомами рабочего вещества используются квантовые уравнения.

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
333
где иаь — частота атомного перехода, 7а и 7ь — величины, обратные временам
жизни верхнего и нижнего уровней, 7аЬ — так называемая однородная ширина линии
усиления 2), pa и pi — населенности рабочих уровней в отсутствии поля.
Чтобы не усложнять картину, ниже будем считать, что 7а = 76 = 7- При этом
удобно от уравнений (17.1.3) перейти к уравнениям для поляризации V и разности
населенностей Μ = η(ρα — рь)'
W+2y* W+W°b+ h "€-0' ~θΓ+Ί{λί-Ν }" К^€Ж' (1714)
где N(°) = n(pa - pb ), V определяется выражением (17.1.2) 3). Уравнения (17.1.1),
(17.1.4) описывают автоволновую систему со сложной инерционной нелинейностью.
Наиболее просто исследовать эту систему для частного случая кольцевого лазера,
работающего в режиме однонаправленной генерации. Именно этот случай мы,
главным образом, будем дальше рассматривать.
Наиболее распространенным методом аналитического исследования процессов
в лазере является метод разложения решения уравнений (17.1.1), (17.1.4) по
собственным модам пустого резонатора [181]. Этим методом удается свести проблему
к исследованию некоторой эквивалентной (по отношению к определенному классу
явлений) автоколебательной системы с сосредоточенными параметрами, имеющей
небольшое число степеней свободы. В качестве примера будем искать решение
уравнений (17.1.1), (17.1.4) в виде разложения по трем модам — центральной и двум
боковым. При этом будем считать, что одна из собственных частот пустого
резонатора совпадает с частотой атомного перехода, т.е. ωη = 2nnc/l == ω^. Для
кольцевого лазера можно положить
з v ' з v y
(17.1.5)
N = Y^Njexv{i(n-j)(Qt-Kx))+ к.с, j = n-l,n, n + 1,
3
где kj = αλ,/c, Ω = ωj — u>j_i = 2тгс//, К = Ω/c. Считая Ej, Pj и Nj медленно
меняющимися функциями времени, получим для них следующие уравнения:
dt 2Q 3 } "
Ц± = -(7о6 + i(j - n)Q)pj + *Σ&ΐΣ{Ν*Εί+ϊ-η + ΝζΕΐ-„+η), (17.1.6)
k
dJll = -φ - 6,,я0!р) - i(n - j)ilNi - ^Ц^ E(E^+J-n - E'kPk-j+n),
где a = 4\dab\ 2/(^277аб) — параметр насыщения, iJ>n — символ Кронекера.
2) Для изолированных атомов ^об = (Ία + 7б)/2.
3)При выводе уравнений (17.1.4) учтено, что 7а& *С ^аЬ-

334
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Уравнения (17Л.6) описывают режим трехмодовой генерации в лазере. Однако,
как будет показано ниже, из-за достаточно сильной конкуренции мод при не очень
больших значениях превышения усиления над потерями, определяемого выражением
r/ = Qd-l, (17.1.7)
где d = πΐιηαΝ^ — параметр накачки, трехмодовый режим оказывается
неустойчивым, а устойчивым является одномодовый режим генерации на центральной
частоте 4). Чтобы исследовать область устойчивости этого режима, достаточно в
уравнениях (17.1.6) ограничиться линейными членами по Еп^\, Рп^\ и Νη^\. В этом
приближении уравнения (17.1.6) разбиваются на две независимые системы
уравнений для центральной и боковых мод:
dEn ωη ο · d
-dT=-2QEn-2™nPn>
<!£=-1аЬРп + *Ш1МпЕп} (17Л.8)
dEnT\ u;„Ti
^Jpi = _(7β6 Ψ ,Ώ)ΡηΤι + ^-ψ^{ΝηΕητ, + Νη±1Εη), (17.1.9)
^Η = -(7 ± «Ώ)ΛΤ„Τ1 - |(Ε„Ρη%, + Εη±ιΡ; - Ε'ηΡη±ι - Ε*ηψ1Ρη).
Легко показать, что стационарное решение уравнений (17.1.8)
eJSS = * Р" = 4^Е- N" = WTT)> (17110)
где η определяется выражением (17.1.7), является устойчивым. Поэтому остается
исследовать устойчивость состояния равновесия системы (17.1.9) при подстановке в
нее стационарного решения (17.1.10). При этом учтем, что в лазерах обычно
выполняется условие ω/Q <С 7> 7аЬ· При этом условии время установления поляризации и
разности населенностей является малым, и можно считать, что они успевают
отслеживать изменения поля. Выразив Рп-\ и ΛΓη_ι через Еп-\ и подставив их в первое
уравнение (17.1.9), получим
^-^(о-*«.-.+:♦.**).
(17.1.11)
dEn
— - —%пГ\^ ~~ в*)Еп+1 +π-ι ΒΙΕ у
dt 2Q
4^В газовых лазерах, которым соответствует так называемое неоднородное уширение линии
усиления, возникающее за счет движения атомов, конкуренция существенно слабее, и даже при
небольших превышениях над порогом возможны многомодовые режимы генерации с практически
независимыми модами.

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
335
где
*1 =
В,=
lab 2(7 - ίΩ)(7α6 - til) + ί7Ωί?
Таь-ίΏ 2 ((7
7α6
«Ω)(7α6 - *Ω) + 77α6*/)
(27α6 - ίΩ)7ν
7α6 - *Ώ 2((7 - ιΏ)(7α6 - ιΏ) -Η 77аЫ;)
Корни характеристического уравнения системы (17.1.11) в приближении
ωη+ια;η_ι ъ ω£ равны
Р1,2 = -2§(1-В1ТЯ2).
(17.1.12)
Легко видеть, что корень pi имеет большую действительную часть, чем рг-
Поэтому устойчивость будет определяться значением действительной части именно
этого корня. Следовательно, условие
устойчивости имеет вид 1 - Re(Bi + В2) < 0. Это условие
можно переписать в форме следующего
неравенства:
'-(*-£)
Δ2 + 2ί/(1 + τ;)<0, (17.1.13)
где Δ2 = Ω2/77α6· Неравенство (17.1.13)
определяет область значений превышения и
относительной межмодовой частоты, в которой одно-
модовый режим генерации на центральной
частоте устойчив по отношению к возмущениям
на соседних боковых модах. Граница области
устойчивости на плоскости Δ2, η для двух
частных случаев, когда 7 <С уаь и у = 7аб,
изображена на рис. 17.2. Из неравенства (17.1.13) следует,
что минимальное значение превышения, при котором одномодовый режим генера
ции может стать неустойчивым, равно
Рис. 17.2. Области неустойчивости
одномодового режима генерации на
центральной частоте для 7 <С 7аь
(область 1) и 7 = 7аб (область 2)
lab
Соответствующее ему значение Δ2 равно
37 . 72
27аь + Η
(17.1.14)
аЬ
li)=»)„
-2,Ь1п Ь7ь
Из выражения (17.1.12) для ρι)2 следует, что при условии 7 < 7аб> которое
обычно имеет место для твердотельных лазеров, даже внутри области устойчивости
одномодового режима генерации всякие отклонения от стационарных значений Еп, Р„
и Nn затухают очень медленно, причем затухание носит осциллирующий характер.
Аналогичный расчет устойчивости одномодового режима можно провести для
линейного лазера. При этом оказывается, что потеря устойчивости такого
режима наступает уже при очень малых превышениях усиления над потерями. Так, при

336
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
7 <^ lab условие неустойчивости имеет вид η > 3Ω2/7α&> где Ω = nc/l — межмодовая
частота для линейного лазера.
Найденное выше условие устойчивости одномодового режима генерации в
кольцевом лазере может быть получено и другим способом. Будем искать решение
системы уравнений (17.1.1), (17.1.4) методом медленно меняющихся амплитуд, полагая
£(z, t) = Ё(х, г)е'1ш*-к') + к.с, 7>(х, 0 = Τ" ^(*> 1)е^г'кх) + к.с., (17.1.15)
4тг
где ω — одна из собственных частот резонатора, совпадающая с частотой
атомного перехода, E(xyt) и P(x,t) — медленно меняющиеся амплитуды поля и
поляризации. Разность населенностей Ai(x>t) также будем считать медленно меняющейся
функцией. Пренебрегая вторыми производными, для Ε, Ρ и Μ получаем следующие
укороченные уравнения:
дЕ дЕ ω /й Е\ Λ дР /й _ Μ ~ν
ih+c1)x--2{p-q)=0> w+™[p-dim
(17.1.16)
^ + Ί{Μ - 7V(0)) + -L {ΡΕ* + P*E) = 0.
at lirn
Граничные условия для уравнений (17.1.16) без учета потерь на зеркалах резонатора
имеют вид
E(0yt) = E(l}t). (17.1.17)
Перейдем в уравнениях (17.1.16) к действительным амплитудам и фазам, полагая
Ε = Eexp(i(pi)y P = Pexp(ty>2)· Разделяя действительные и мнимые части, получим
дЕ дЕ ω(η , ч Я\ Λ
Ж + слГ-2(Рсов(^-^-д)=0·
дР ( Ы \
-^- + 7«6^-rf^)^cos(^-^2)J =0, (17.1.18)
Щ. + y(tf _ #«>)) + _L p^cos(^, - φι) = 0,
^ + е^ + ?1»^-^) = 0· Ж'^ШТ -(^-Ы = 0. (17.1.19)
Стационарное решение уравнений (17.1.18), (17.1.19), соответствующее одномо-
довому режиму генерации, определяется выражениями
Ε Ν(°)
cos(pict-^2ct)= 1, ^ = ~7Г' Νπ = γ—, αΕΐΎ-η. (17.1.20)
Чтобы исследовать устойчивость этого стационарного решения, положим в
уравнениях (17.1.18), (17.1.19)
N(0)
Ε = #ст + £(*,*), Р = Р*г + *ф(х,г), ΛΤ = ΛΤ<τΓ+-=Γ-ζ(χ,ί),

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
337
Считая отклонения от стационарного решения малыми, получим для них следующие
линеаризованные уравнения:
-ϊ(*-|)=ο.
dt+ дх
ж+Ч*-гЬ-с)=о· (17,21)
^+С^ + ё(Ф--ф2) = °· ^-%♦<·.-·,)=0. (17.1.22)
Поскольку системы уравнений (17.1.21) и (17.1.22) являются независимыми, то
прежде всего найдем условие устойчивости отклонений Φι и Ф2.
Полагая Φι 2 ~ ехр(—гтПя/с), где m — целое число, Ω = 2πο// — межмодовая
частота, найдем характеристическое уравнение системы (17.1.22), корни которого
при условии ω/Q <£[ уаь приближенно равны:
Pi « - 7аь, Р2 « tmQ ( 1 - ^г . 0 , ) .
V 2Q ιτηΩ + 7аб /
Отсюда легко убедиться, что возмущения фаз всегда устойчивы. Определив
аналогичным образом корни характеристического уравнения для системы (17.1.21),
получим, что неустойчивость легче всего может возникнуть для возмущений на
соседних модах, т.е. для m = ±1. При этом получаем условие устойчивости,
совпадающее с (17.1.13).
В той области параметров, где решение (17.1.20), соответствующее одномодо-
вому режиму генерации, неустойчиво, может возникнуть режим так называемой
самосинхронизации мод, В этом режиме световое поле будет представлять собой
периодическую последовательность импульсов, распространяющихся без искажений.
Эти импульсы, напоминающие по форме солитоны, могут быть названы автосоли-
тонами.
Расчет режима самосинхронизации мод представляет собой сложную задачу.
Наиболее естественным способом ее решения является разложение поля по
собственным модам пустого резонатора, как это делалось выше. Однако такой
способ приводит к большому числу нелинейных дифференциальных уравнений, что
затрудняет его использование. В частном случае кольцевого лазера,
работающего в режиме однонаправленной генерации, более удобным является приближенное
решение системы уравнений (17.1.16) или эквивалентных им уравнений (17.1.18),
(17.1.19) [570, 175]. С этой целью перейдем в уравнениях (17.1.18), (17.1.19) к
одному уравнению для амплитуды поля Е. При этом в силу устойчивости возмущений
фаз можно в (17.1.18), (17.1.19), положить cos(^>! — φ2) — 1. Тогда, исключая из
уравнений (17.1.18) переменные Ρ и Л/\ получим уравнение для Еу которое удобно
записать в следующем виде:

338
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
/ ω \ (д*Е _ 1 {д£2\\ (д2Е 1 ЗЕ ЭЕ\
yab + 2q)\ш2 E\m ))+ JahC\dxdt Едх dt) +
(д2Е Θ2Ε\ ω , _2 4Ε, (βζΕ дгЕ\
\ЗЕ (д2Е д2Е\ ,, , _,.Ш, д£Л ω 0£ „_ , ...
Если пренебречь потерями на зеркалах, то граничное условие для уравнения (17.1 ДЗ)
имеет вид
E(0,t) = E(l,t). (17,1.24)
Уравнение (17.1.23) с граничным условием (17.1.24) описывает волновые
процессы в некоторой нелинейной неконсервативной системе. В левую часть уравнения
(17.1.23) выделены консервативные члены, а в правую часть — неконсервативные.
Если неконсервативные члены малы, то решение уравнения (17.1.23) по форме будет
близко к одному из решений порождающей консервативной системы. Анализ
показывает, что это условие выполняется, если ω/Q <С 7α6· Ради простоты при
дальнейших расчетах будем считать, что у <^С уаь- Приближенное решение уравнения
(17.1.23) удобно искать методом Уизема (см. Приложение Б). Для этого
порождающую систему следует записать в форме уравнения Лагранжа. Чтобы это сделать,
перейдем к переменной и = 1п(аЕ2), для которой из (17.1.23) получим следующее
уравнение:
ω \ д2и д2и ω , tt ч ^
'+о7?ай-+^75-3-+ 7Т77-ь(е -η)Ε =
Vе6'1 2QJ dt2 ' Ia°"dxdt
__(<Ρυ, d3u \ du fd2u c d2u\ cd2udu ηωδχι
\dt3 *Cdxdt2) dt \dt2 + 2dxdt) 2dt2dx 2Q dt
-ТГ-О + е^^ + с^-т^ + с^-^-^ + с^. (17.1.25)
Для порождающего уравнения плотность функции Лагранжа имеет вид
„ \( u>\fdu\2 с дидм ω
+ α2(—-1J=0, (17.1.27)
Будем искать решение порождающего уравнения в виде стационарной бегущей
волны, зависящей от переменной ξ = Ш — Кх. Искомое решение должно
удовлетворять уравнению
£и
άξ2
Q Ω(7α6(Ω - Кс) + {w/2Q)QJ
Уравнение (17.1.27) удобно заменить следующей эквивалентной системой уравнении:
% = Qyz' ^ = -а(У-1)> (17.1.29)

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
339
где
1 1
2 dE
^E~d('
Первый интеграл уравнений (17.1.29),
представляющий собой уравнение фазовых траекторий на плоскости
у, 2, имеет вид
г2 + 2(у-1-1пу) = Л^,
(17.1.30)
1\
2
0
-2
1
^
Г Г
где А — произвольная постоянная. Примеры фазовых
траекторий для ряда значений Л приведены на рис. 17.3.
Минимальное и максимальное знамения функции у>
определяющие размах модуляции интенсивности поля в
лазере, находятся из уравнения
У
1-1оу=т.
Рис. 17.3. Примеры
фазовых траекторий для
А = 0.25 (кривая 1), А = 1
(2), А = 2 (3) и А = 3 (4)
(17.1.31)
Отсюда следует, что
f 1 — Л при
ехр(—Л2/2) при
Угшп —
Л<1,
Л»1,
Уп
-{
1+Л
Л2/2
при
при
Л<£ 1,
Л» 1.
Уравнение (17.1.30) описывает замкнутые кривые, т.е. периодические решения.
Налагая условие, чтобы период этих решений был равен 2тг, из первого уравнения
системы (17.1.29) имеем
Ушах
С* J yz Q J у
dy
V^-2(y-l-liiy)
(17.1.32)
Введя обозначение
So(A)
Ут»ж
•lf -
* J У
ymin
dy
найдем соотношение между α и Л:
^Л2-2(у-1-1пу)'
a = S0(A).
(17.1.33)
(17.1.34)
Выражение (17.1.34) с учетом (17.1.28) определяет связь между Ω и А' в зависимости
от Л, т.е. представляет собой нелинейное^дисперсионное уравнение. Это же самое
уравнение можно получить из условия дС/дА = 0. Действительно, как следует из
(17.1.26) и (17.1.28),
£= u 77ab du4
2Q a> Щ -Q^(e^nu)
(17.1.35)

340
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Учитывая, что
dti2 _ 2 — _ α Г zdy_ _ α f у/А2 - 2(у - 1 -lny)dy _ α
Уш.п
е"-г7и = г;(у-1пу-1п77)=:7?1—-hl-y-ln77J,
находим из (17.1.35)
4
3
2
1
1. 1 1
£ = ^7^(^51(л)^-т-1п^ <17Л
.36)
Дисперсионное уравнение (17.1.34) легко получается го
(17.1.36), если учесть, что dS\(A)/dA = *ASo{A).
Зависимость 5Ό от Л, определяемая выражением
(17.1.33) показана на рис. 17.4. При А > 1 имеем
So(j1) = -.
7Г
(17.1.37)
10
15
Подставим теперь найденное решение порождаю-
Рис. 17.4. Зависимость S0 от щего уравнения в правую часть уравнения (17.1.25) и
А, определяемая формулой вычислим работу диссипативных сил А, которая опре-
(17.1.33) деляется формулой А = {du/dt)Fy где F — правая
часть уравнения (17.1.25). Учитывая, что, как следует
из (17.1.28) и (17.1.34),
°-*»^(*-&)-Лч(*-^>)·
где Δ2 = Ω2/77ο6, находим
Л =
ω Τ lab
2Q S$(A)
((2η - A*St(A))((2Д2502(Л) - ,) £ - Д252(Л)) - 2„) (*f
)
Чтобы усреднить выражение для .4, заметим, что
(17.1.38)
Т(щ) =a2yz2 = £!fzdy=^ ] VA*-2(y-l-\ny)dy = S2(A).
Утю
Таким образом, принимая во внимание это соотношение и найденное выше
выражение для (du/άξ)2, из (17.1.38) получаем

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
341
^-i^U^-'W'-
-5
С учетом диссипативных сил уравнение Уизема имеет вид [181]
Подставив сюда выражения (17.1.36) и (17.1.39) и учитывая, что при условии ω/Q <С
7α6 Ω Рз с К = 27гтс/7, где m — целое число, имеем
|(*μλμ)δ) + £(*<">*'<Λ>Δ) ■ -g ^д*
(^-)^»-(5Ш-2)'^»+2"('Ш!+')
(17.1.41)
Численные расчеты показывают, что с большой точностью ^(Л) равно Si (Л).
Учитывая это, можно найти стационарные решения уравнения (17.1.41). Это уравнение
имеет три стационарных решения: А = 0, и
2A2Sl(A) = 3η ± ^η(η - 8). (17.1.42)
Первое решение соответствует одномодовому режиму генерации лазера, а второе
и третье — режимам самосинхронизации мод. Зная зависимость So (А), из (17.1.42)
можно определить величину А при фиксированных значениях η и Δ. Поскольку
Sq(A) > 1, то условиями существования решений, соответствующих синхронным
режимам, являются
Ч>8, Δ2< ^(3η+^η(η -8)).
Если Δ2 заключено в диапазоне
\ (Зт? - s/ф^Щ < Δ2 < I (з„ + v/^S)) ,
то существует лишь решение со знаком «+» перед радикалом. Этот диапазон
значений Δ соответствует области неустойчивости одномодового режима генерации.
При
·Δ2<^(3»?-^Ρ~8))
оба решения (17.1.42) существуют, причем первое из них всегда устойчиво, а второе
— неустойчиво. Таким образом, при достаточно малых значениях относительной
межмодовой частоты Δ и достаточно больших значениях превышения усиления над
потерями η устойчивыми могут быть как одномодовый режим генерации, так и

342
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоводны
режим самосинхронизации мод. В каком из этих режимов будет работать лазер,
зависит от начальных условий.
На основе вычисленной зависимости So{A) и уравнений (17.1.31), (17.1.42) легко
построить зависимости амплитуды импульсов поля a = у2 — у\ от превышения
усиления над потерями η при фиксированном значении Δ2 и от Δ2 при фиксированном
значении η. Примеры таких зависимостей приведены на рис. 17.5 а, б. На рис. 17.5 β
Ιό
20
15
10
5
ι/
/ Ά
/ l/\
/ /s
/ sy2
/ <у -И
/ // -<
" // '
ч '
Ι ι Ι ι / ι _J
25
20
15
10
5
\v \
г ν \
V \
г »U \
h\\ \
[ \\ \
ν \
L A \ \.
Г \\ ч N
λ ν \2
L JU LX
\2
60 0 20 40
1 *
Рис. 17.5. Зависимости амплитуды импульсов α = j/2 — y\ от η при Δ2 = 15 (кривая 1)
и Δ2 = 30 (2) (α) и от Δ2 при η = 9 (кривая 1) и η = 20 (2) (tf) (устойчивые значения
амплитуды импульсов показаны сплошными линиями, а неустойчивые — штриховыми).
Зависимости относительной длительности импульсов τ IT от η при Δ2 = 15 (кривая i) и
Δ2 = 30 (2) (β) и от Δ2 при η = 9 (кривая 1) и η = 20 (2) (г)
и г показаны соответствующие зависимости отношения длительности импульсов г
к интервалу между ними Τ = 2π/Ω, вычисленные на ЭВМ согласно формуле
г
Τ
1
π50(Λ)
Ут»:
/
dy
ш/2
Уу/А^^Щ^П^Ьу)'
Аналитически форма импульсов поля в режиме самосинхронизации мод может
быть найдена в предельном случае А ^> 1. В этом случае уравнениям (17.1.29) в
области больших значений у удовлетворяет решение
Α2 :-2Α2ζ A>uA2t
У=-^-сЬ -г-1) z = —Ath—-
* 2 2π 2π
(17.1.43)

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
343
Решение (17.1.43) описывает импульс с вершиной в точке ξ = 0. Определим дли-
2*
А2 1 /
тельность импульса г из энергетического соотношения — г = — / ydf, где
о
У a J z a J у ζ
о
Таким образом, г/Т = 2/Л2, т.е. при больших амплитудах импульсов их
длительность оказывается обратно пропорциональной амплитуде.
В заключение заметим, что в лазерах с линейным резонатором и в газовых
лазерах, как уже говорилось, одномодовый режим теряет устойчивость при очень
малых превышениях усиления над потерями. При этом, как правило, возникают
не режимы синхронизации мод, а режимы хаотической модуляции излучения,
связанные с возникновением динамического хаоса, обусловленного взаимодействием
многих мод.
17.2. Генераторы Ганна
Генераторы Ганна являются одной из разновидностей высокочастотных
полупроводниковых генераторов. Мы остановимся именно на них в силу того, что в
этих генераторах наблюдаются интересные эффекты, связанные с
синхронизацией мод и возбуждением автосолитонов, и в то же время их теория сравнительно
проста.
Эффект Ганна, на котором основана работа этих генераторов, был открыт в
1963г. Он состоит в том, что в некоторых типах полупроводников (например, в ар-
сениде галлия) при достаточно больших значениях напряженности электрического
поля подвижность электронов падает с ростом напряженности электрического поля
(см., например, [47]), что приводит к появлению отрицательного сопротивления и,
следовательно, к возможности самовозбуждения автоколебаний. Рассмотрим
кристалл полупроводника, помещенный в постоянное электрическое поле (рис. 17.6 а).
В определенных приближениях процессы в рассматриваемой системе можно
описать двумя уравнениями: уравнением Пуассона и уравнением непрерывности для
О
/
Рис. 17.6. Схематическое изображение кристалла полупроводника, помещенного в
постоянное электрическое поле Ε (α) и зависимость дрейфовой скорости электронов ν от Ε для
полупроводников типа арсенида галлия {б)

344
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
концентрации электронов 5). Вместо уравнения непрерывности можно
воспользоваться условием независимости полного тока от координаты χ и законом Ома для
замкнутой цепи. Итак, имеем уравнения
ι
^ = ^(n-no), j = env(E)-eD^ + -^™, e = jSRi + JEdx> (17.2.1)
О
где η — концентрация электронов» по — концентрация дырок, D — коэффициент
диффузии, Ε — продольное электрическое поле, е — диэлектрическая
проницаемость, S — э.д.с. источника питания, Я, — его внутреннее сопротивление (включая
сопротивление нагрузки), S — сечение кристалла, / — его длина, j — плотность
электрического тока, v(E) — дрейфовая скорость электронов. Зависимость v(E)
для полупроводников типа арсенида галлия показана на рис. 17.6 б. Из уравнений
(17.2.1) удобно исключить η и получить замкнутые уравнения для электрического
поля Ε и плотности тока j:
ι
^- + v(E)^ = D^+^(j-en0v(E))y 8 = jSRi + jEdx. (17.2.2)
0
Первое уравнение (17.2.2) похоже на уравнение Бюргерса (см. (5.3.6)), но отличается
от него членами, обеспечивающими возможность самовозбуждения колебаний.
Уравнения (17.2.1) имеют следующее стационарное решение:
n = n0, j = jo = en0v(Eo)y £ = j0SRi + E0l. (17.2.3)
Как будет видно из дальнейшего, это решение может быть неустойчивым, если
dv/dE\E=E < О, т.е. дифференциальная проводимость кристалла отрицательна.
Для исследования устойчивости и определения формы автоколебаний удобно в
уравнениях (17.2.2) перейти к безразмерным времени и координате и относительным
отклонениям от стационарного решения (17.2.3). Для этого положим
ξ=*ημχ r=4![en^(Eo)<) „«,,.)*,, J(r) = L-l,
€&0 ^0 &0 JO
где n0, Eoy jo — стационарные значения концентрации, поля и плотности тока,
определяемые уравнениями (17.2.3). В этих переменных имеем
l
^+(1 + ИЧ)| = ^ + Лг)-ПЧ J(r) = - -щ j »(€, τ) *, (17.2.4)
о
где V(w) = \v(E)/v(Eo)) — 1 — относительное отклонение дрейфовой
\ / \E=(w + l)Eo
скорости от стационарного значения, V = l4neno/eEov(Eo))D — безразмерный
5) Концентрация дырок предполагается равновесной и не зависящей от времени и координаты.

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
345
коэффициент диффузии, R — Eol/joS — омическое сопротивление кристалла в
стационарном состоянии, L = 4nenol/cEo — безразмерная длина кристалла.
Уравнения (17.2.4) следует дополнить граничными условиями. Различные типы
граничных условий для кристаллов полупроводников обсуждаются, например, во
второй главе книги [47]. Если полупроводник в среднем однороден и электрически
нейтрален, то, интегрируя первое уравнение (17.2.1) по длине кристалла,
получаем условие периодичности для напряженности электрического поля: #(0) = Е(1).
Отсюда следует, что
w(0) = w(L). (17.2.5)
Второе граничное условие не столь очевидно. Однако анализ показывает, что оно
не является существенным. Каким бы оно ни было, в кристалле практически всегда
может существовать лишь одна бегущая волна, распространяющаяся от катода к
аноду. Встречная волна во всех случаях затухает на расстоянии, много меньшем
длины волны и имеет малую амплитуду. При этом, как следует из (17.2.5), на длине
кристалла должно укладываться целое число волн, в силу чего величина J(r) не
должна зависеть от г, т.е. J(r) = J = const.
Прежде всего найдем условие самовозбуждения автоколебаний. Для этого мы
линеаризуем первое из уравнений (17.2.4), принимая во внимание, что в линейном
приближении V(w) = vew, где
_ Е0 dv
E=Eo
— значение логарифмической производной от дрейфовой скорости электронов по
полю в стационарном состоянии. Полагая далее w ~ ехр(рг — ife£), где к = 2nm/L
(τη = 1,2,...), J = 0, получим дисперсионное уравнение
p-ik + Vk2 + vE = 0. (17.2.6)
Отсюда находим ρ = δ + tw, где ω = к> δ = — (Vk2 4* ν ε)- Таким образом, как и
следовало ожидать, инкремент δ может быть положительным, только если υ ε < 0.
При этом наибольший инкремент будут иметь возмущения на первой моде (при
m = 1). Условие самовозбуждения автоколебаний имеет вид
vE<-V-jj. (17.2.7)
Оценим порядок различных членов в уравнении (17.2.6). Учитывая, что в
используемых в генераторах Ганна кристаллах Ό ~ 102см2/с, v(Eq) ~ 107см/с,
€Ео/4кеп0у(Ео) ~ 10~12с, а частота генерации порядка 1010Гц, имеем V ~ 1,
ω = к ~ ΙΟ"1, δ ~ 10""2- Таким образом, приближенно дисперсионное уравнение
(17.2.6) принимает вид ω = к> что говорит о том, что рассматриваемая система
обладает малой дисперсией. В связи с этим даже при малых превышениях над
порогом генерации для расчета стационарных автоколебаний нельзя воспользоваться
асимптотическим методом для слабо нелинейных систем. Однако положение
существенно облегчается тем, что в сделанном ранее приближении одной бегущей волны

346
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
уравнения (17.2.4) имеют автомодельное решение, зависящее только от одной
координаты η = ξ — «г, где u — неизвестная скорость волны. Для этого решения
уравнения (17.2.4) принимают вид
L—ut
V^-(l + V(w)-u)^ + J-V(w) = 0, J = -JL J W(4)dn. (17.2.8)
— UT
В силу граничного условия (17.2.5) нам требуется найти периодическое решение
уравнения (17.2.8) с периодом L. Для такого решения J = const.
Для дальнейших расчетов уравнение (17.2.8) удобно записать в фазовых
переменных w и N, где N = п/по — 1 = dw/άη. В этих переменных получаем
^ = N· ^ = ^((1 + v(tt,)-")(jV + 1,-J-1 + ")· {,7·2·9)
Из (17.2.9) находим уравнение фазовых траекторий:
^-W^^ — Чтг)-
Искомому решению соответствует замкнутая фазовая траектория с периодом L.
Поэтому неизвестная скорость и и значение J должны быть такими, чтобы
уравнение (17.2.10) описывало именно такую траекторию. Для этой траектории
RiLj
L
χν(η) άη = const. (17.2.11)
Из уравнений (17.2.9) видно, что величина w достигает своих минимального w\
и максимального и>2 значений при N = 0. Учитывая это, перепишем уравнение
(17.2.10) в виде эквивалентного интегрального уравнения ,
N - ЩЫ + 1) = I у (l + V{w) -и- J*l+~lU) dw. (17.2.12)
Отсюда следует, что
J(l + V(w)-u-J+l+-U^)dw = 0. (17.2.13)
ti/i
Чтобы фазовая траектория была замкнутой, соотношение (17.2.13) должно быть
справедливо как при N > 0, так и при N < 0. Очевидно, что это возможно только
в том случае, если
u = J+l. (17.2.14)

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
347
Подставляя (17.2.14) в (17.2.13), получаем
f(y(w)-j}dw = Ot (17.2.15)
откуда следует, что величина J равна среднему значению отклонения дрейфовой
скорости электронов, В связи с этим сразу виден физический смысл соотношения
(17.2.14): скорость генерируемой волны равна средней скорости дрейфа электронов.
Поскольку значение J, вообще говоря, зависит от амплитуды волны, то и скорость
волны должна зависеть от ее амплитуды.
Уравнение (17.2Л5) является одним из уравнений, связывающих неизвестные
параметры волны ΐϋι, υ>2 и J. Чтобы получить еще два уравнения для этих величин,
воспользуемся выражением (17.2.11) для J и тем условием, что волна должна иметь
период L. Отсюда, с учетом первого уравнения (17.2.9), соответственно получаем
следующие уравнения:
-/£·
(17.2.17)
Эти уравнения в совокупности с (17.2.15) позволяют полностью определить
параметры волны в стационарном режиме генерации.
Уравнение фазовой траектории (17.2.12) с учетом (17.2.14) принимает вид
N - \n(N + 1) = )- f (V(w) - j) dw. (17.2.18)
tt/i
Бели V является нечетной функцией w> то J = О и w\ = —tu2. Таким
образом, в этом случае постоянная составляющая электрического поля и ток в цепи при
наличии генерации совпадают со стационарными значениями, а колебания поля
происходят симметрично относительно стационарного значения Eq\ скорость волны не
зависит от ее амплитуды. В общем же случае J φ О и колебания поля не являются
симметричными.
Аналитическое решение уравнений (17.2.15), (17.2.17) и определение формы
волны возможно лишь в наиболее простом случае, когда V(w) = vew. При этом
уравнения (17.2.9) и (17.2.18) принимают вид
dw dN v г
■щ = »> *r^ + I>· (17·219)
w2 + 1—l[N-ln(N + l))=B2, (17.2.20)
\VE\ ^ '
где В = — w\ = W2 — амплитуда колебаний электрического поля. Чтобы определить
амплитуду В, воспользуемся уравнением (17.2.17) и перепишем его в другом виде с

348
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
учетом уравнений (17.2.19) и (17.2.20):
Из (17.1.32) следует, что уравнение (17.2.21) можно переписать в виде
1 = Wi^Ti So (\β^Β) . (17.2.22)
Напомним, что зависимость So(A) показана на рис. 17.4. Поскольку So(A) > 1,
уравнение (17.2.22) может иметь решение, только если выполняется условие
самовозбуждения (17.2.7). При увеличении \ve\ амплитуда колебаний В первоначально растет,
а затем при B\/\ve\/T> ^> 1 принимает постоянное значение, равное L/2 6).
Аналитические зависимости для формы волн концентрации и поля могут быть
получены в двух предельных случаях: (L/2n)y/\vE\JV - 1 <^С 1 и L\J\ve\/V > 1.
В первом случае в уравнениях (17.2.19) удобно перейти к новой переменной ζ =
\η(Ν + 1). Для этой переменной из (17.2.19) можно получить следующее уравнение:
0-^(е'-1) = О. (17.2.23)
Разлагая экспоненту в ряд с точностью до квадратичного члена разложения,
получим
άη
Решение этого уравнения можно выразить через эллиптические функции Якоби (см.
например, [181]):
Зк2 2( 1 Я^Н Л , 2к2 - 1
где к — модуль эллиптической функции, определяемый из условия периодичности
функции ζ с периодом L, т.е. из условия
1 \/¥i=4K<k>·
(l+H-k2)1/4
K(k) — полный эллиптический интеграл первого рода. Используя таблицы
эллиптических функций, можно определить формы колебаний концентрации и поля.
Во втором предельном случае, когда L\J\ve\/V > 1, уравнениям (17.2.19) в
области больших значений N удовлетворяет решение (см. для сравнения (17.1.43))
АТ \ve\L2 l_2M£ , L х \vb\L . dN
N=4irch 4ϋη-ι> w=2ih4l·^^^- <17·2·25>
6) Причина этого в том, что 50(Л) Л Α/π при А > 1.

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
349
Легко видеть из уравнений (17.2.19), что при N й* — 1
" = -(*-£).
(17.2.26)
Итак, мы показали, что при условии L\/\ve\/T> ^> 1 в генераторе Ганна должны
возбуждаться автосолитоны, описываемые выражениями (17.2.25). Это
подтверждается численным интегрированием уравнений (17.2.19). Результаты такого
интегрирования представлены на рис. 17.7 α и б. Мы видим, что при увеличении параметра
Рис. 17.7. Зависимости N (кривые 1) и w = (\vb\/V)1^2w (кривые 2) от ή = η/L и
соответствующие фазовые портреты для L(\ve\/V)1^2 = 7 (α) и L(\vb\/^)1^2 = 15 (б)
L\J\ve\/V волна концентрации электронов действительно становится близкой к
периодической последовательности автосолитонов, тогда как волна электрического
поля становится близкой к пилообразной.
17.3, Ионизационные волны (страты) в низкотемпературной
плазме
Плазма редко бывает в спокойном однородном состоянии. Обычно в ней из-за
различного рода неустойчивостей возбуждаются волны, получившие название
страты. Причин неустойчивости в плазме чрезвычайно много. Им посвящена обширная
литература. Здесь мы рассмотрим лишь один из видов неустойчивостей в
низкотемпературной плазме, а именно, так называемую ионизационную неустойчивость.
Этот вид неустойчивости особенно часто проявляет себя при работе газоразрядных
приборов, например, газовых лазеров, где низкотемпературная плазма образуется
в положительном столбе происходящего там тлеющего разряда. Основную роль в

350 Часть Ш. Активные системы. Автоколебания и автоволны
развитии ионизационной неустойчивости играет зависимость скорости ионизации
от температуры и концентрации электронов.
В низкотемпературной плазме возможны два типа страт: бегущие и стоячие.
Бегущие страты — это волны концентрации и температуры электронов, которые
распространяются и нарастают, как правило, в направлении от катода к аноду.
Об особенностях бегущих ионизационных волн уже кратко говорилось в гл. 10. Там
указывалось, что эти волны обладают аномальной дисперсией в том смысле, что у
них групповая скорость противоположна по направлению фазовой. Стоячие страты,
проявляющиеся в неизменном во времени пространственном расслоении плазмы,
представляют собой вырожденный вид волн с нулевой частотой и отличными от
нуля волновыми числами.
Впервые возбуждение бегущих и стоячих страт в плазме газового разряда
наблюдалось в конце прошлого столетия. Однако теоретические исследования этого
явления начались лишь с 50-х годов нашего столетия. Краткий обзор этих
исследований дается в [178].
Бегущие страты чаще всего наблюдаются в плазме инертных газов (неона,
гелия, аргона), а стоячие — молекулярных (водорода, азота). Как будет показано
ниже, это связано с существенным различием значений электрического поля в
инертных и молекулярных газах. В инертных газах электрическое поле сравнительно мало
из-за малости неупругих потерь энергии электронов при столкновениях с атомами,
а в молекулярных — велико. Малость электрического поля приводит к сильному
затуханию стоячих страт в направлении от катода к аноду, вследствие чего их
наблюдение в инертных газах затруднено. Затухание существенно уменьшается при
добавлении в инертный газ молекулярных примесей.
Ниже мы рассмотрим процессы возбуждения бегущих и стоячих страт на основе
гидродинамической модели. Эта модель включает в себя уравнения непрерывности
для заряда электронов и ионов, закон сохранения энергии электронов (энергия
ионов полагается равной нулю) и уравнение Пуассона для электрического поля. В
широко используемом приближении квазинейтральности плазмы 7) соответствующая
система уравнений преобразуется к виду [178, 181]
дп д / дп\ (дпдт д ( дт\\ / , ^ „ χ
/_ тдп &г\
где π — концентрация электронов (и ионов) на оси трубки, е — заряд электрона,
Τ — температура электронов в электрон-вольтах, /ie и μ, — подвижности
электронов и ионов, Da = μ,Τ — коэффициент диффузии электронов, обусловленный
подвижностью ионов (этот коэффициент называется коэффициентом амбиполяр-
ной диффузии), Ζ(η,Τ) — эффективная частота ионизации, Zq(T) = (2Λ/Η0)2μ^Τ
) Условие квазинейтральности состоит в равенстве концентраций электронов и ионов.

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
351
— величина, обратная диффузионному времени жизни электронов и ионов за счет
рекомбинации на стенках трубки, Яо — радиус трубки, Ε — продольная
составляющая напряженности электрического поля, j — плотность тока, Я(п,Т) — потери
энергии электронов в единицу времени за счет соударений, С> 71 и 7 — кинетические
коэффициенты, значения которых зависят от вида функции распределения
электронов по скоростям (для максвелловского распределения ^ = 2, -γι = 1/2, *γ = 1).
Уравнения (17.3.1) образуют замкнутую систему при условии заданного тока.
Если ток не является заданным, то к указанным уравнениям нужно добавить закон
Ома для замкнутой цепи:
L
S = jRiS+ I Edx, (17.3.2)
о
где ε — э.д.с. источника питания, Я, — его внутреннее сопротивление, S и L —
эффективное поперечное сечение и длина положительного столба в газоразрядной
трубке.
С целью лучшего понимания физической сущности рассматриваемых процессов
зададим простейшие граничные условия, соответствующие отсутствию возмущений
концентрации и температуры электронов на границах положительного столба:
n(0,0 = n{LJ) = п0, Т(0,0 = T(LJ) = To, (17.3.3)
где по и То — стационарные значения η и Т, которые определяются из уравнений,
следующих из (17.3.1), (17.3.2):
Ζ(ηο,Το) = Ζο(Το), μ*Ε\ = H(n0}T0)} jo = £ ~~^*L , jo = βη0μ€Ε0.
Для дальнейших расчетов удобно из уравнений (17.3.1), (17.3.2) исключить
электрическое поле Ε и перейти к безразмерным переменным
«.*·., T,ag«, λ,.ϊζ*. α.ΐςβ, j.Lik.
Jo Ό «ο -«ο Jo
Полученные уравнения с учетом граничных условий (17.3.1) удобно записать в виде
9N „ „ IT,d2N ., AI,d2U .. ,dNdU /tT „,
— -rrrU = (l + U) — +y1(l + N)-^T + (l+y1) —— + 4(U,Ν) - ryrU,
(17.3.4)
d2U dN _ l + J dU (N{N + 2)-J 7 dU\dN
7 d? + δξ ~ ° (1 + N)(l + U) θξ + V (N + l)2 1 + Ν δξ J δξ
7_ (dU\2 , (N-J)(N + J + 2)
1 + υ\δξ) + (N + 1)2([/ + 1) + ft^'
,_ Д f((l + J)N , N-UdN\
J-WTWJ {-ТПГ + ТТ7Г-дТ) ξ' (17·35)

352
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
где
Пг
= /2.4Г0\2/Го ΘΖ\ \
\EqRoJ yZ0 дТ\п=ПоТ=То у
С-71,
Я = EqL/JqS — сопротивление разряда по постоянному току, / = EqL/Tq —
безразмерная длина положительного столба. В левых частях уравнений (17.3.4) выделены
линейные консервативные члены, а в правых частях — нелинейные и
неконсервативные.
Для нахождения условий самовозбуждения страт уравнения (17.34), (17.3.5)
можно линеаризовать. Пренебрегая зависимостью Η от концентрации электронов,
получим
ΘΝ тг d2N d2U
64
эе
θζ>
7^ + ^ = «^ + 2(ЛГ-У) + Лт{/, (17.3.6)
ее θξ
di
ι
(17.3.7)
где
Vn~ \E0Ro) Z0 dn
h T° 6H
τ η (To) дт
ln=no,T=T0 "\J0J νχ lT=T0
Решение уравнений (17.3.6) можно представить в виде суммы двух частей: части,
описывающей бегущие волны, и синфазной компоненты, обусловленной модуляцией
тока разряда, т.е.
Щ,*) =
'(£с^* + Со\
е"* + Со\еГ, ϋ(ξ,ί)
&jCj
еЫ + VoCo \tpT, (17.3.8)
где /?j — комплексные корни дисперсионного уравнения
D-n , ^ , (β-ϊ)(ητ + Ίιβη
— коэффициенты распределения между амплитудами колебаний температуры и
концентрации электронов,
С0 =
Jo
(Ρ ~ 4n)hT/2riT + 1 '
(17.3.10)

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
353
J0 — амплитуда модуляции тока (J = JoepT). Подставляя (17.3.8) с учетом (17.3.10)
в (17.3.7), найдем связь между Со и другими коэффициентами Су.
ι 4
Чтобы найти комплексные волновые числа β^^ нужно решить уравнение (17.3.9).
В общем случае найти точное аналитическое решение этого уравнения сложно.
Поэтому рассмотрим два частных случая, соответствующих параметрам инертных и
молекулярных газов.
1. Инертные газы. В инертных газах параметр ητ, как правило, является
большим [178], вследствие чего можно ввести малый параметр е = ηγ <ζ Ι. Β
этом случае, как будет следовать из полученных ниже результатов, вблизи границы
возбуждения страт имеет место условие
|Р~'М|~€. (17.3.12)
ητ
При этом условии уодин из корней дисперсионного уравнения (17.3.9) имеет порядок
единицы, а остальные корни значительно больше его. Значение наименьшего корня
равно
βι = 2+(ρ-ηη)Ητ +о(С). (17.3.13)
ητ
Второй по величине корень равен
/% = - , ηΤ , + о(е). (17.3.14)
Наконец, остальные два корня равны
ητ
β*Α = ± у/Р^-Пп + irr1 г + о(€). (17.3.15)
Подставив теперь (17.3-8) в граничные условия и учитывая (17.3.10), получим
систему однородных уравнений для определения постоянных Cj. Из условия
равенства нулю детерминанта этой системы можно найти характеристическое
уравнение. Вследствие (17.3.13)—(17.3.15) это уравнение с точностью до членов порядка е
разбивается на два независимых уравнения, имеющих вид
е(Л-Л)1 -l + jj ((Д,здД)/?1 " ι)"' (1 - е^Ж3' " 1) = 0,
(17.3.16)
Как будет показано ниже, первое из них определяет условия возбуждения
бегущих страт, а второе — стоячих. Заметим, что уравнения (17.3Л6) можно было бы
получить сразу из граничных условий N(0) = N(1) = 0, если в решении (17.3.8)

354
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
ограничиться суммой только двух волн с волновыми числами β\ и /?з, либо /?з и /?4,
и учесть, что \β\\ «С |/fe|.
Прежде всего рассмотрим бегущие страты. Решение первого уравнения (17.3.16)
можно представить в виде
/fc = lM*) + iA, (17.3.17)
где it — действительное волновое число, принимающее дискретный ряд собственных
значений, ^о(^) ^ к — коэффициент пространственного нарастания волны, слабо
зависящий от ее волнового числа к и определяемый главным образом отношением
Ril/R. Полагая в (17.3.13) и (17.3.14) β2 « ι*, находим
A =2 + i*i, (17.3.18)
где к\ = hr/yk. Волна, соответствующая волновому числу /?2, является основной
ионизационной волной. Другая волна с волновым числом β\ является быстро
затухающей по координате в направлении от анода к катоду. Существование этой
волны было впервые предсказано теоретически в наших работах [171, 173], а
затем было обнаружено экспериментально рядом других исследователей. В случае,
когда разряд питается от источника с очень большим внутренним сопротивлением
и ток в цепи практически не изменяется, именно за счет этой волны осуществляется
обратная связь, которая приводит к самовозбуждению страт.
Подставляя (17.3.17) в дисперсионное уравнение (17.3.9), определим комплексные
собственные частоты р, связанные с собственными значениями к:
,-*-И-|£(.+ &)+£. (17...1Ч
где α = 1 - а/27- Из выражения (17.3.19) видно, что величина δ = Rep может
быть положительной, т.е. возможно самовозбуждение автоколебаний. Максимальное
значение δ равно
«.^-^ЕЙШИу..-.; („.,.2„,
оно достигается при
1/4 / «3 \ J/4
V 7 / V73(2a + <M/
Γ3.
Отсюда следует, что использованное в наших расчетах условие (17.3.12) является
справедливым.
Из (17.3.20) находим условие самовозбуждения бегущих страт:
,„>2(^±«)"2. (17.3.2,)
Таким образом, для самовозбуждения страт необходимо, чтобы величина ηη
была достаточно большой, т.е. чтобы скорость ионизации возрастала с ростом
концентрации значительно быстрее, чем первая степень концентрации. Это возможно
тогда, когда существенную роль играют многоступенчатые процессы ионизации с

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
355
участием метастабильных атомов и функция распределения электронов по энергиям
отличается от максвелловской [488].
В условие (17.3.21) входит величина Vo, равная коэффициенту
пространственного усиления основной ионизационной волны. Чтобы вычислить ^о, запишем первое
из комплексных уравнений (17.3.16) в виде системы двух действительных
уравнений:
ф01 = In
l + bexp((2 + tAT/7*)f)
l + 6exp((2 + »ftT/7*)f)
kl = 2πτη + arg \ E '- , (17.3.22)
1 -f b
1+6
(17.3.23)
где
•-^(•♦^(•♦^Η-κ^)·]-'}"'
m — целое число. Так как отношение Eq/Tq, согласно многочисленным
экспериментальным данным, имеет порядок 1 см, а длина положительного столба L обычно
не меньше нескольких сантиметров, то ехр(2/) ^> 1. Учитывая это, из формулы
(17.3.23) можно оценить величину ^о в двух предельных случаях. При Ril/R ^> е21
(источник питания близок к источнику тока) имеем |6| ^> 1 и ф$ = 2, т.е.
коэффициент пространственного усиления основной волны равен коэффициенту
пространственного затухания встречной волны. При Ril/R ^ е21 (этот случай почти всегда
имеет место на практике) е~21 <^С |6| <С 1 и
*-ИЗД1+&)(,+№))- <17324)
Формула (17.3.24) совместно с (17.3.22) позволяет вычислить ^о в широком
диапазоне параметров.
Нелинейные уравнения (17.3.4), (17.3.5) позволяют вычислить амплитуду
бегущих страт вблизи порога самовозбуждения и найти условия их мягкого и жесткого
возбуждения. Такой расчет изложен в монографии [181].
Перейдем далее к рассмотрению стоячих страт в инертных газах, условие
возбуждения которых можно получить из второго уравнения (17.3.16). Анализ
показывает, что условие возбуждения стоячих страт может выполняться лишь при
достаточно большом отношении Ril/R ^> 1, когда последним членом во втором уравнении
(17.3.16) можно пренебречь. При этом характеристическое уравнение принимает
вид
ехр((/?3-/?4)/) = 1. (17.3.25)
Отсюда следует, что /?з и /?4 должны иметь равные действительные части. Это
возможно только при действительном р. Подставляя в (17.3.25) выражение (17.3.15),
находим
Р-Рт = 1п-к2т, (17.3.26)

356
Часть 111. Активные системы. Автоколебания и автоволны
где km = πτη/l, τη — целое число. Отсюда видно, что все возмущения с
волновыми числами к < y/η^ могут апериодически нарастать со временем. Эта ситуация
напоминает генератор Ганна. Вопрос о том, какая длина волны будет в
стационарном режиме, может быть решен только на основе нелинейных уравнений (17.3.4),
в которых функции N и U следует считать независящими от времени. Задав вид
функции η(υ,Ν)} можно решить эти уравнения численно.
2. Молекулярные газы. Как отмечено выше, в молекулярных газах за счет
больших неупругих потерь энергии электронов возникает значительное
электрическое поле. Вследствие этого параметры туг и ηη оказываются существенно меньше,
чем в случае инертных газов. Если считать туг меньше или порядка е-1, ηη меньше
или порядка 1 и Лт ~ ^~\ где е — малый параметр, то два корня уравнения (17.3.9)
будут иметь порядок единицы, а другие два — порядок б"1/2. Эти две пары корней
определяются, соответственно, уравнениями
Ρ +ιΖ1/?+'7η-ρ-2^ = 0. (17.3.27)
Лт "Т
7/?2-/ιτ = 0, (17.3.28)
Корни уравнения (17.3.28) всегда являются действительными, а корни уравнения
(17.3.27) могут быть комплексными, если параметр ηη достаточно велик.
Возмущения, соответствующие действительным значениям /?, малы и быстро затухают на
расстоянии порядка е1/2. Поэтому при получении характеристического уравнения
их можно не учитывать. Ради простоты ограничимся случаем, когда плотность
тока j можно считать постоянной. Тогда характеристическое уравнение принимает
вид
ехр((/?!-/?2)/) =1, (17.3.29)
где /?хя2 — корни уравнения (17.3.27). Из (17.3.29) следует, что ρ должно быть
действительным и равным
2ητ Л г/т \ 7г2т2
" = Λ- = *·--^(1 + ^)—ρ-· (17·3·3°)
где т — целое число. Таким образом, в рассматриваемом приближении мы
получили, что только стоячие страты могут возбуждаться в молекулярных газах.
Возбуждение бегущих страт оказалось невозможным. Из (17.3.30) видно, что
необходимым условием возбуждения стоячих страт является
*>ν(ι+£) <»■»■>
Формула (17.3.30) аналогична (17.3.26), т.е. характер возбуждения стоячих страт
в инертных и молекулярных газах одинаков. Расчет амплитуды и формы
стоячих страт вблизи порога их возбуждения может быть произведен при условиях
туг/кт ~ € и ηη ~ с. В этом случае уравнения (17.3.4) при малых Ν (Ν ~ е1/2)
принимают вид 8)
d2N 1
-щг + ΌηΝ'+ tjtU + - (η2ηΝ2 + 2VnTNU + η2ΤΙΙ2) = 0, (17.3.32)
8)При записи этих уравнений мы ограничиваемся только квадратичными членами.

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
357
2N +ЛтС/=^+ЗЛГ2
h2TU2
(17.3.33)
где
Ч2п =
dN2
d2i
l/=0,7V=0
Ή2Τ —
д2ц
ди2
ΉηΤ
ητ
dNdu
d2h
t/=0,7V=0
ди2
i/=o,yv=o
lt/=0,N=0
Легко видеть, что правая часть уравнения (17.3.32) имеет порядок б1/2 по
отношению к левой части. Так как левая часть уравнения (17.3.32) не содержит
производных, мы можем выразить U через Ν, Ν2 и dN/άξ. Подставляя U в уравнение
(17.3.32), получим следующее приближенное уравнение:
d2N
di2
+ Θ2Ν + ρΝ2 = -2ψ
dN
"5Γ
(17.3.34)
где
θ =
In -
2ητ
/it
Ρ =
V2n
2τ?ηΤ 2l)2T
/ΐτ
/ι2,
Зут 21ΐ2τητ
. 2ΛΤ
Если пренебречь правой частью уравнения (17.3.34), то его решение можно
выразить через эллиптический синус Якоби:
Ν(ξ) =
2«2k2
2 2
)■
гдек^Ц-к4-]*2)-1/4,
sn2!i|o = Л+к2^ чЛ
-н^-кЛ
зк2 J'k
(17.3.35)
модуль
эллиптической функции. Можно показать, что решение уравнения (17.3.34) с учетом
правой части приближенно также определяется выражением (17.3.35), но с модулем
к, являющемся медленно изменяющейся функцией £, которая слабо уменьшается в
направлении от катода к аноду. Примеры зависимости ЛГ(£), полученные путем
численного решения уравнения (17.3.34), приведены на рис. 17.8 а. Из этого рисунка
видно, что на расстоянии двух-четырех длин волн от катода форма стоячих страт
уже близка к синусоидальной с медленно уменьшающейся амплитудой/
Действительно, при 1с< 1 мы получаем из (17.3.34), что
Ν{ζ)^Α{ξ)ύη^ξί
(17.3.36)
где Α(ξ) = 02k2(£)/3/>. Подставляя (17.3.36) в уравнение (17.3.34) и пренебрегая
нелинейными членами, получим уравнение для А, которое имеет решение
Α(ξ) = Лое~^. Итак, мы нашли, что длина волны стоячих страт на некотором
расстоянии от катода определяется только параметром θ и не зависит от
граничных условий на ближайшем к аноду конце положительного столба. Это согласуется с
известными экспериментальными данными. Граничные условия определяют только

358
Часть ///. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Катод
V\/VVW\AAAAAA^
уу\/\лл~- J
Рис. 17.8. Зависимость ρΝ/θ2 от ξ = θξ, рассчитанная численно для φ/θ = 0.025 (слева) и
φ/0 = 0.075 (справа) (а); форма стоячих страт в азоте для двух значений давления газа,
указанных цифрами возле соответствующей кривой (в мм рт.ст.) (б)
амплитуду страт. Действительно, полагая N(1) = 0, мы получим из (17.3.34)
следующее уравнение для определения собственных значений модуля эллиптической
функции к(/) = к/:
*,/ = 4тК(к/), (17.3.37)
где m — целое число, К(к/) — полный эллиптический интеграл первого рода. При
малых к/
Л/ к? Зк?\ vn ч π / к,2 9к,4\
В результате, из (17.3.37) находим
к' = iGiL ~') ' m=1·2'···"10· "о = entire {^}.
Наибольшее значение амплитуды Ло получается для m = 1; оно равно
802
Ло =
Ъу/\Ьр
v^-
le*.
Найденная форма стоячих страт для молекулярных газов хорошо согласуется с
экспериментальными данными. Это проиллюстрировано на рис. 17.8 5, где
приведены экспериментальные записи формы стоячих страт в азоте при двух значениях
давления [504].

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем 359
17.4. Модель генерации звуков Короткова
В 1905 г. русским врачом Н.С. Коротковым [154] был предложен метод
измерения кровяного давления, получивший в силу своей простоты весьма широкое
распространение в клинической практике. Этот метод состоит в следующем. На
предплечье накладывается резиновая манжета и закрепляется. В манжету накачивается
воздух до давления, превышающего максимальное давление крови в артерии. При
этом пульс оказывается полностью заглушённым. Давление воздуха в манжете
измеряется манометром. Затем давление в манжете плавно снижают со скоростью
приблизительно 3-5 мм рт.ст./с. Когда давление в манжете упадет до
некоторого значения, возникают и регистрируются в области локтевого сгиба характерные
звуки в виде щелчков, повторяющихся с каждым ударом сердца. Эти щелчки
называются звуками Короткова. При дальнейшем понижении давления в манжете звуки
сначала становятся все более громкими, а затем заглушаются и, наконец, исчезают.
Давление в манжете, при котором впервые появляются звуки Короткова,
принимают за максимальное (систолическое) кровяное давление, а давление в манжете, при
котором звуки исчезают — за минимальное (диастолическое). В силу того, что
регистрация возникающих звуков проводится путем прослушивания, метод часто
называют аускулыпаторным.
Несмотря на повсеместное применение метода Короткова и обилие
теоретических и экспериментальных работ, посвященных ему (обзор и обсуждение этих работ
даются, например в [97, 415]), полного понимания механизма возбуждения звуков
до сих пор не существует. Об этом свидетельствует непрекращающийся поток
работ, в которых прелагаются различные новые гипотезы, позволяющие, по мнению
авторов, объяснить происхождение указанных звуков. Ниже на сравнительно
простой модели мы покажем, что возбуждение звуков Короткова представляет собой
автоколебательный процесс.
Модель, предложенная в работе [199, 489] и названная двухканальным
генератором звука, изображена рис. 17.9. В камере I, подключенной к насосу и
имитирующей левый желудочек сердца,
создается постоянное (или медленно меняющееся со
временем) давление жидкости Pi и
обеспечивается ее постоянный (или медленно
меняющийся) расход Q. Сосуд 1 длины L\ содержит
пережатую часть с податливыми стенками
небольшой длины ί, сечение S которой может
изменяться; сечение остальной части сосуда
1 предполагается постоянным и равным 5ь
Этот сосуд моделирует артерию, в которой Рис' 17'9· Двухканальный генератор
измеряется давление. Сосуд 2 длины L2 имеет звУ*а как "о*** измерения кровяно-
постоянное сечение 52 и моделирует осталь- го Д***6™* методом Короткова
ные кровеносные сосуды, выходящие из левого
желудочка сердца. Пережатая часть сосуда 1 охвачена муфтой С, которая сделана
из виброупругого материала и моделирует ткани предплечья, окружающие
артерию, пережатую манжетой.
Для описания малых колебаний сечения пережатой части сосуда 1 в предполо-

360
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
жении его круглой формы и с учетом окружающей эту часть сосуда муфты С с
плотностью рм можно воспользоваться уравнением, выведенным в работе [95]. Это
уравнение имеет вид
■(*<*>*)
ds
m^d2s д
^Ro)W~Fx\"y"v'dx^
где Яо = Ло(^) — радиУс пережатой части сосуда I в стационарном состоянии,
+ о(Яо) -Qj- + f(S) =p-pB
(ПАЛ)
/+
£
Рис. 17.10. Типичная
зависимость
функции податливости
f(S). Вблизи кривой
показана форма
сечения сосуда при
соответствующих
значениях S
Ям — внешний радиус муфты, Τ — напряжение сосудистой
стенки, Ро — напряжение в муфте, a(Ro) = μ/TrR^ μ —
коэффициент эффективной динамической вязкости сосудистой
стенки и муфты, f(S) — функция податливости стенок
пережатой части сосуда 1, ρ — давление жидкости внутри сосуда,
Рви — внешнее давление. Характерный график функции f(S)
приведен на рис. 17.10.
Чтобы вычислить давление р, запишем уравнения
гидродинамики для несжимаемой жидкости. Преобразовав их
аналогично тому, как это было сделано при выводе уравнений
(16.13.8) и (16.13.11), можно получить следующие уравнения:
ds d(uS)
dt
дх
= о,
Po/d(uS)^ Qdu> \
^{-дГ+х8-дх- + €1/и) =
dp
дх
где ро
плотность жидкости, ν — кинематическая вязкость
R
2π (
(17.4.2)
(17.4.3)
rvx(r)dr
— усредненная по сечению скорость потока, vx(r) — продольная составляющая
скорости потока, R — радиус пережатой части сосуда i,
2nR dvx I
Х =
2π
5V
ί 2/W 2πί
/ rt£(r)dr, e = —
дг
— коэффициенты, зависящие от формы профиля скорости (для пуазейлевского
профиля χ = 4/3, € = 8тг). Отметим, что учет вязкости необходим для получения
правильной зависимости средней скорости потока и от сечения S в стационарном
режиме.
Стационарное решение уравнений (17.4.1)—(17.4.3) определяется уравнениями
u(x)S(x) = u0So, f(s(x)) - ± (k(Ro) g) = p(x) - pB
Po
du2 tvu(x)
x — +
dx
S(x)
)~ dx'
(17.4.4)

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
361
где So и «о — значения S(x) и и(х) при χ = 0. Из (17.4.4) видно, что стационарные
значения и, 5 и ρ из-за наличия вязкости зависят от я, однако эта зависимость
является слабой. Предполагая зависимость от χ линейной, находим
S(x) = So - ,//с, /g ό 2 х> w(x) = uo 1 + —7 v-
f'(S0)So - 2poXtig ^ S0(f'{So)So - 2PoXul)
P(x) - PB„ + /(So) - ^(5o)So.2^xtl2 . 07.4.5)
где/'(50)= W/rf5)|s=Se.
Граничные условия для уравнений (17.4.4), позволяющие определить So и щу
можно получить, выразив р(0) и р(/) через давление Р\ и расход Q. Учитывая, что
перепад давлений обусловлен как вязкостью [212], так и гидравлическими
сопротивлениями при изменении сечения сосуда [124], можно получить, что
р(0) = р,-(сн| + <,(|))^-^!2чА^З^,
i/Li2S0ti0 4p0k'(Q-u0So) / τ—rpz FT
+ <?ρο ^2 Hj2 \f™L2{Q - ti0So),
где Ci(So/Si) и C2(So/Si) — коэффициенты гидравлического сопротивления при
входе в пережатую часть сосуда 1 и выходе из нее, ζΊ,- и ζ2% — коэффициенты
гидравлического сопротивления при входе в сосуды ] и 2 соответственно, к* —
некоторый коэффициент, определяющий толщину пограничного слоя (этот коэффициент
может быть найден из эксперимента), L\\ — длина части сосуда 1 до его сужения,
L\2 — длина части сосуда 2 после сужения. Подставляя (17.4.5) в (17.4.6), получим
уравнения для So и щ:
о /row/'/* ^о ■ /· fso\\pouo , 4po*'So«o /—j—ъ /17il7x
P\ -Pbh = /(S0)+ I Си ^2 + &1 5" J )~2 S* V™L\iSoUo, (17.4.7)
4МЮ<ЮУ4-<^
- tz0So)2
2S?
ti/L12S0u0 4k'Sotio /——- 4k'(Q - u0S0) / 7-77: <^-r ,
+ £2 + —Έϊ— V™L\\Sou0 s \JmLi\Q - u0S0) +
+—, — r(f'(So)S0-poC2ui) =0. (17.4.8)
S0(f'(S0)S0-2poXul)X >

362 Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Отметим, что уравнение (17.4.8), строго говоря, справедливо лишь при So <£ Si·
С другой стороны, когда So ~ Si, т.е. сужение практически отсутствует,
коэффициенты Ci(So/S\) и C2{So/S\) близки к нулю, а коэффициент с можно считать
пренебрежимо малым. Чтобы сделать уравнение (17.4.8) приближенно пригодным
для всех значений So, положим
*©-*.(-$. *©-Ч-Ю·«-(-(If)
(17.4.9)
Ради упрощения аппроксимируем функцию /(So) в виде /(So) = «(So — O.OlSi).
Тогда, исходя из (17.4.8) с учетом (17.4.9), можно построить зависимости
относительной стационарной скорости потока U = «о/и>о\/^ь гДе wo = \/*//>о> от
относительного стационарного сечения So/S\. Примеры таких зависимостей для ряда
значений q = Q/u>0Siy/$i и l/y/^ϊ показаны на рис. 17.11.
Уравнение (17.4.7) позволяет построить зависимости относительного перепада
давлений Ар = (Pi — Pbh)/S\k от относительного стационарного сечения So/Si.
и υ
V Δρ
Sq/S\ Sq/Sj
Рис. 17.11. Зависимости относительной стационарной скорости потока U (а, б, в) и
относительного перепада давлений Δρ = (Pi — Pbh)/Sik (г) от относительного
стационарного поперечного сечения So/Si для l/S\/2 = 10 (α), l/S\12 = 12 (б, г, l/S\/2 = 14 (β),
q = Q/wqSx — 1 (кривые I), ς = 1.5 (2), g = 2 (3). Эти зависимости построены для
*' = ОД χ = 4/3, Сю = 1.2, Сзо = 0.4, ζι4 = С2. = 1.6, S2/Si = 10, Ln/S\12 = 20,
Li/S\12 = 140, L2/S\12 = 400, *ι//α>05Ί = .0021, a = /j/So(/>ok)1/2 = 0.015. Штриховые
линии показывают границы устойчивости стационарного состояния

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
363
Расчеты показали, что для всех рассмотренных значений параметров Δρ « So/S\.
Это видно из рис. 17Л1 г, где приведены зависимости Δρ от So/S\ Для Двух значений
g (g = 1 и д = 2).
Перейдем теперь к выводу условий самовозбуждения автоколебаний. Для этого
линеаризуем уравнения (17.4.1)—(17.4,3) относительно малых отклонений от
стационарного решения. В качестве малых отклонений удобно выбрать ξ — S — So,
η = ρ — ρο, Φ = uS — uoSo* Пренебрегая вязкостью, для £, η и φ получим следующие
линеаризованные уравнения:
(17.4.10)
'дф _ (βφ θζ\\ δη
Граничные условия для переменной η можно получить аналогично тому, как это
было сделано в стационарном случае. Они имеют вид
m = - />о
(х*°+И§:Ь-"°Ч>·
(17.4.11)
* = ^V^* + ft^-^c45rJ^-,l^) + ^—-si-**)'
где ξ0 = ί(ί,0), ft = ι?(*,0), Vo = V>(*,0), ξ, = ξ(*,/), φ = tj(*,/), *i = 4>(Μ).
Граничные условия для переменной χ получить значительно сложнее, поскольку
для их определения нужно решить задачу для всего сосуда 1, что аналитически
невозможно. Однако эти условия не играют роли для достаточно больших длин
волн, когда К к2 <С к. Оценки показывают, что для звуков Короткова это условие
выполняется. Будем искать частное решение уравнений (17.4.10) в виде
ξ(ί, χ) = Ае*1"*-к*\ η{ί, χ) = Ве*1ш'~к*\ φ{ί, χ) = Се'1ш*~к*\
Подставляя это решение в уравнения (17.4,10), найдем дисперсионное уравнение и
отношения амплитуд В/А и С/А:
(«_^ + iwA_^W2^fc_/^ = (, (17.4.12)
/ω2 \ С ω
( —+ 2xuo(fc«o-u>)J, д "Ι" (17.4.13)
£ _£ο_ /-a
Общее решение уравнений (17.4.10) имеет вид
ί(ί, х) = (Л1е-'*1Х + A2e~ik>*) e<wt, »,(*, г) = (Β,β-'*1* + B2e-'fc>*) e!
V(*,*)"= (С|в-*'*«" + C?e-<fcaXr) e<u",
(17.4.14)

364
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
где Ari2 — корни дисперсионного уравнения (17.4.12). Подставляя (17.4.14) в
граничные условия (17.4.11) и учитывая (17.4.13), получаем
— ( т" + 2χυ0(*ι«ο -ω))Αι + -^η- ( ^- + 2xu0(k2u0 -ω))Α2 +
oAri \ki ) b0k2 \k2 J
i<jj2L\\
(17.4.15)
1
S0k
iu)2L2
-Ht)(
A\t *l + j Л2е
""'Л =0.
Приравнивая нулю детерминант системы (17.4.15), найдем характеристическое
уравнение, из которого можно получить условие самовозбуждения автоколебаний и
их частоту вблизи границ самовозбуждения.
Оказывается, что автоколебания могут возбуждаться
только в конечной области на плоскости So/S\> U (см
рис. 17.11). Эта область тем больше, чем больше длина
/ пережатой части сосуда. Зависимости
относительной частоты автоколебаний Ω = w/cjq вблизи
нижней границы самовозбуждения от So/Si показаны на
рис. 17.12. Эти зависимости построены в
предположении, что p(Rq) не зависит от SO и равно ^>о/2.
Заметим, что самовозбуждение автоколебаний
происходит на низшей моде колебаний пережатой части
сосуда.
Рассмотренный механизм возбуждения звука
позволяет обосновать метод Короткова и объяснить ряд
установленных экспериментально закономерностей.
Как правило, наблюдаемые при уменьшении давления
в манжете звуковые эффекты делятся на четыре
фазы. Первая фаза — появление почти чистых тонов с
частотой от 100 до 300 Гц, когда давление в
манжете близко к систолическому давлению крови в
артерии. Вторая фаза — увеличение интенсивности звука
и расширение его спектра до интервала 20 Ч- 500 Гц (так называемая фаза шумов).
Третья фаза характеризуется сужением спектра звука при дальнейшем росте его
интенсивности. Наконец, четвертая фаза — это существенное уменьшение
амплитуды звука при давлении в манжете, близком к диастолическому давлению крови в
артерии.
Качественное объяснение этих фаз может быть дано на основе результатов,
полученных при исследовании изложенной модели. При постепенном уменьшении
Рис. 17.12.
1.0
Зависимости
относительной частоты
автоколебаний Ω = ω/ωο
вблизи нижней границы
самовозбуждения от So/Si для
i/si
1/2
10 (кривая J),
l/S]/2 = 12 (2), l/S]/2 = 14
(3). Остальные параметры те
же, что и на рис. 17.11

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
365
давления в манжете рвн сечение So пережатой части артерии в среднем возрастает
до тех пор, пока при максимальном давлении крови Pi max не начнет выполняться
условие возбуждения звука. Очевидно, что это происходит при рвн = pBHi < Pi max
При дальнейшем понижении давления в манжете диапазон давлений крови, в
котором выполняется условие возбуждения звука, вначале расширяется, а превышение
скорости потока над критическим значением в центре этого диапазона
увеличивается. Это должно приводить к увеличению интенсивности и длительности
щелчков. Вследствие увеличения интенсивности звука происходит усиление роли
нелинейности, что может привести к переходу в хаотический режим колебаний, т.е. к
существенному уширению спектра. Так можно объяснить появление шумовой
фазы. Затем колебания вновь могут стать регулярными, но их интенсивность может
продолжать расти до тех пор, пока максимальное превышение над порогом
генерации звука будет расти (третья фаза). Затем при уменьшении рвн превышение над
порогом генерации начнет уменьшаться, а диапазон давлений крови, где условие
возбуждения звука выполняется, как правило, будет смещаться в сторону меньших
значений. Это приведет к уменьшению амплитуды звуков и к смещению толчков в
сторону диастолической стадии сердечного цикла. Наконец, при некотором
значении давления в манжете рв„ = рВН2 звуки могут полностью исчезнуть. Как правило,
величина рВН2 близка к минимальному давлению крови Pi mjn, но несколько больше
его, поскольку при уменьшении давления Pi расход крови также уменьшается (см.,
например, [138]), что приводит к нарушению условия возбуждения звука. Таким
образом, измеряемая разность давлений ρΒΗι — Рвн2> как правило, меньше
перепада кровяного давления Pi max — Р\ mjn, причем их отличие тем больше, чем меньше
средний расход крови.
Перейдем теперь к объяснению известных аномалий, наблюдаемых при
измерении кровяного давления методом Короткова, на основе изложенной модели. Если
расход крови Q в систолической фазе достаточно велик, то, как видно из рис. 17.11,
условие возбуждения звука в систолической стадии сердечного цикла будет
выполняться практически при любом давлении в манжете ρΒΗ < ρΒΗι· Это приведет к
отсутствию четвертой фазы, что и наблюдается у некоторых больных при
введении адреналина в сердце, а также у тренированных спортсменов после физической
нагрузки [96, 97].
Наблюдаемое экспериментально при напряжении мышц плеча увеличение
частоты генерируемого звука и давления рвнь при котором он возникает, можно
объяснить следующим образом. При напряжении мышц, описываемом величиной Pq
в уравнении (17.4.1), увеличивается собственная частота колебаний стенки
пережатой части артерии, вследствие чего увеличивается и частота звука. Кроме того,
при напряжении мышц естественно ожидать некоторого увеличения расхода крови,
что должно привести к небольшому увеличению рвнь
Изложенные результаты позволяют объяснить также уменьшение амплитуды
звуков (вплоть до их полного исчезновения) и разности ρΒΗι — рВн2 при уменьшении
ширины манжеты. Как видно из рис. 17.11, это может быть связано с существенным
сужением диапазона перепада давлений, в котором выполняется условие
самовозбуждения звука. Наоборот, при больших длинах манжеты этот диапазон расширяется,
что может привести к большим ошибкам в измерении минимального давления
крови. Опыт показывает, что наилучшее соответствие ρΒΗι с систолическим давлением

366
Часть IIL Активные системы. Автоколебания и автоволны
и рВн2 с диастолическим для большинства взрослых получается при / = 12 -г 13 см.
Таким образом, исследование описанной модели показало, что измеряемые
методом Короткова давления определяются не только истинными артериальными
давлениями, но и средним расходом крови, т.е. свидетельствуют о работе сердца. Если
сердце обеспечивает малый расход крови, то измеряемая разность давлений мала.
17.5. Автоколебания ограниченной мембраны за счет
возбуждения волн с отрицательной энергией
В гл. 11 было показано, что обтекание с одной стороны бесконечной упругой
мембраны при достаточно большой скорости потока U является неустойчивым. В
случае ограниченной мембраны через отраженную от конца мембраны волну
возникает обратная связь. В комбинации с неустойчивостью эта обратная связь может
привести к возбуждению автоколебаний.
Пусть колебания мембраны описываются уравнением (11.4.16), где р(х, 0, t)
определяется выражением (11.4.8). В случае мембраны, закрепленной на концах,
граничные условия имеют вид
u(0, t) = ti(/, t) = 0, p(0,0, t) = p(/, 0, t) = p0, (17.5.1)
где / — длина мембраны в направлении оси х.
Если корни дисперсионного уравнения (11.4.17), соответствующие частоте ω,
обозначить через kj, где j = 1,2,3,4, то общее решение уравнения (11.4.16) и
выражение для р(я, 0, t) можно записать в виде
4 4
u(x,<) = £ А^*-к>*\ р(х,0,0 = ро - £ * Aj(u - kUfe^'-W. (17.5.2)
Подставляя теперь (17.5.2) в граничные условия (17.5.1), получим систему
четырех уравнений относительно неизвестных амплитуд Aj. Условие равенства нулю
детерминанта этой системы дает характеристическое уравнение, позволяющее, в
принципе, найти интересующее нас условие самовозбуждения автоколебаний.
Однако конкретные результаты в общем виде получить сложно. Поэтому ограничимся
рассмотрением частного случая, предположив, что «число Маха» Μ = Ufa имеет
порядок единицы и выполняется условие
p0hu/pa< 1. (17.5.3)
В этом случае, как мы увидим ниже, два корня дисперсионного уравнения (11.4.17)
имеют порядок ω /α, а два других корня по модулю существенно больше (порядка
p/poh)). В силу этих условий все корни дисперсионного уравнения (11.4.17) удается
приближенно вычислить:
1±,
poh
(w(a-0+ie!
*з,4«±—r~2Tf^x—Тг2~- (17.5.4)
Poh U pU2 '

Гл. 17. Примеры распределенных автоколебательных систем
367
Подставляя теперь (17.5.4) в (17.5.2) и затем в граничные условия (17.5.1), найдем
характеристическое уравнение. В первом приближении по малому параметру это
уравнение принимает вид
^{-2αν\${ω(ά-ι)+ία)} = 1' (1755)
Отсюда легко найти частоту возбуждаемых автоколебаний о>о и их инкремент δ.
Рассмотрим два частных случая:
1) Μ < 1. При этом
„( *2п2рМ2 \1/3
ωο = ^ω = υ{ρΡοΗ(1-Μη) (»=1.2..·.), (17.5.6)
. , αΜ2
ί=Ιιηω = 3(ΓΤΜΤ (17·5·7>
Отсюда видно, что за счет сил трения, характеризуемых коэффициентом а,
действительно, возникает самовозбуждение автоколебаний при любых значениях М.
Кроме того, инкремент тем больше, чем ближе значение числа Маха к единице.
Правда, условие применимости полученных результатов (17.5.3), которое при
подстановке в него вместо ω выражения (17.5.6) принимает вид
(*2n2p2h2M2Y
\12р2(\-М2))
накладывает ограничение на величину 1 — М2.
2) Μ > 1. При этом, как показано в гл. 11, неустойчивость имеет место и при
отсутствии сил трения, действующих на мембрану. Из уравнения (17.5.5) даже при
α = 0 следует, что частота ω является комплексной, причем
_U_ ( π2η2ρΜ2 \
Κβω~ 2 \l2p0h(M2-\)J
1/3
Ιτηω = ±\/3Recj.
Отсюда видно, что при «сверхзвуковом! обтекании и заданных граничных
условиях всегда должно происходить возбуждение автоколебаний, причем их инкремент
больше частоты. Это значит, что возбуждаемые колебания должны носить
релаксационный характер.

368
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Глава 18· Периодические воздействия на
автоколебательные системы.
Синхронизация и хаотизация
автоколебаний
18.1. Синхронизация периодических автоколебаний
внешней гармонической силой в системе,
описываемой уравнением Ван-дер-Поля-Дуффинга.
Два механизма синхронизации
Явление синхронизации периодических автоколебаний гармонической внешней
силой известно давно. Первыми теоретическими работами на эту тему были работы
Б. Ван-дер-Поля [627] и Е. Эпплтона [341]. Позднее большой вклад в теорию
синхронизации внесли работы Л.И. Мандельштама и Н.Д.Папалекси [221], показавших,
что при воздействии периодической внешней силы на автоколебательную систему
может наблюдаться ряд нелинейных резонансных явлений, получивших название
резонансое п-го рода. Эти явления заключаются в следующем. Бели частота
воздействия близка к частоте, которая в целое число раз больше или меньше частоты
свободных автоколебаний, то возникает синхронизация (или захват) частоты, т.е.
частота автоколебаний становится точно в то же целое число раз меньше или
больше частоты внешней силы. Если частота внешней силы близка к частоте свободных
автоколебаний, то говорят о синхронизации на основном тоне. Именно этому
явлению посвящены работы Ван*-дер-Поля и Эпплтона.
Вопросы синхронизации на основном тоне, гармониках и субгармониках
внешней силы подробно изложены в монографии [177]. Поэтому здесь мы остановимся
лишь на наиболее важной проблеме синхронизации — синхронизации на основном
тоне — когда наиболее ярко проявляются два различных механизма синхронизации.
Рассмотрим сначала автоколебательную систему с одной степенью свободы, на
которую действует гармоническая внешняя сила с частотой ω> близкой к частоте
свободных автоколебаний. Пусть ради простоты система описывается уравнением
В.ан-дер-Поля-Дуффинга
χ - μ(1 - ах7)х + α^(1 + Ί*2)* = и;%Всози>г. (18.1.1)
Произведя замену переменных ζ = Acos(wt + φ), χ = — ΑωΒΪη(ωί + <ρ)} можно
получить точные уравнения для амплитуды А и фазы φ. Если μ « ы0 и 5 « ^0)
где Ао = 2Д/а — амплитуда свободных автоколебаний, то эти уравнения можно
усреднить по времени [177]. Усредненные уравнения имеют вид
i = f (l-^-^sin*, ^ = Δ+|α>ο7^-^οο8^ (18.1.2)
где Δ = ωο — ω — расстройка частоты.
В синхронном режиме можно положить А = 0, φ = 0. Тогда, исключая из
полученных при этом уравнений <р, найдем уравнение для определения А:

Гл. 18. Периодические воздействия на автоколебательные системы
369
(0-9Ч(-¥)!)!-·
(18.1.3)
где Г = (3/8)о>о7^о = 3ω07/2α, 6 — ωοΒ/μΛ0. Зависимости А2/Л2, от относительной
расстройки Δ/μ для разных значений Гиб показаны на рис. 18.1. Границы устой-
Рис. 18.1. Зависимости А2/А% от относительной расстройки Δ/μ для Г = 0 (а) и Γ/μ = 0.2
(6): кривые 1 соответствуют б2 = 0.1, 2 — б2 = 4/27, 3— Ь2 = 0.2, 4 — Ь2 = 0.4; устойчивые
участки зависимостей показаны сплошными линиями, неустойчивые — штриховыми
чивых участков приведенных зависимостей определяют границы областей
синхронизации, которые мы обозначим через ±АС . Для частного случая Г = 0 мы имеем
Ас = Ас = Ас. Можно показать, что в этом случае относительная полуширина
области синхронизации Ac//i приблизительно равна 6/2 при t< 1 и
Дс _ л/862 - 1
μ ~ 4
(18.1.4)
при 6> >/8/27.
Рассмотрим теперь режим биений вне областей синхронизации. Прежде всего
предположим, что внешняя сила достаточно мала, так что выполняется условие
6 <£ 1. Тогда Ас /μ тоже много меньше единицы. В этом случае система
уравнений (18.1.2) содержит быструю и медленную переменные: А является быстрой
переменной, а φ — медленной. Вследствие этого в первом уравнении (18.1.2)
приближенно можно положить А = О, т.е. для амплитуды А искать установившееся
решение. Это решение имеет вид А = Ао(\ + а), где а = —(6/2) sin φ <С 1. Таким
образом, в первом приближении укороченное уравнение для фазы φ принимает вид
φ = А + Г - Ао cos у?, (18.1.5)
где Ао = μЬ/2. Из уравнения (18.1.5) видно, что Ас ' = Δο Τ Г; Ас = Ао при Г = 0.
Уравнение (18.1.5) легко может быть проинтегрировано. Его решение
получается следующим:

370
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
где to — момент времени, соответствующий φ = 0. Дифференцируя (18.1.6) по
времени, находим
(Δ + Γ)2-Δ^
Δ + Г + Д0сов (ν/(Δ + Г)2 - Δ§ (t - ίο))
Отсюда видно, что φ является периодической функцией времени с периодом
Т = 2*/у/(А + Г)*-А1
Модуль этой функции, усредненный за период, называется частотой биений. Она
равна
' (18.1.7)
Шб = \ф\ = у/(А + Г)*-А1
Амплитуда колебаний вне области синхронизации оказывается слабо промоду-
лированной относительно среднего значения Ао. Форма модуляции вблизи границы
области синхронизации является довольно сложной, а при удалении от границы
приближается к синусоидальной. Средняя частота модуляции равна ыб.
Переход от режима биений к режиму синхронизации при фиксированном
значении амплитуды внешней силы, т.е. ширины полосы синхронизации Δ0, и
уменьшении расстройки Δ (или при фиксированном значении расстройки и увеличении
амплитуды внешней силы) происходит за счет плавного уменьшения частоты
модуляции до нуля (рис. 18.2 α и б). В этом заключается один из механизмов
синхронизации, который работает при достаточно малых амплитудах внешней силы
[309].
При большой амплитуде внешней силы зависимость ω6 от расстройки Δ при
фиксированном Δο (или от Δο при фиксированном Δ) и механизм синхронизации
имеют другой характер. Продемонстрируем это на частном примере, когда Г = 0,
Рис. 18.2. Зависимости частоты биений и>б от расстройки Δ при фиксированной
полуширине области синхронизации Δ0 (α и β) и от Δο при фиксированном значении Δ (б и г) в
случае малых (а и б) и больших (в и г) амплитуд внешней силы (при Г = 0)

Гл. 18. Периодические воздействия на автоколебательные системы
371
6 ^> 1. В этом случае вблизи границы области синхронизации \ω — ыо| ^> μ. Сделав
в уравнении (18.1.1) замену переменных
х= Fcosut + y, (18.1.8)
где F = ω%Β/(ωΙ — ω2) — амплитуда вынужденных колебаний системы
(18.1.1) при μ = О, получим для у следующее уравнение:
y-hu;gi/ = /i(l-a(Fco8a;<-hs/)2)(y-Fa;8inu;0. (18.1.9)
Решение этого уравнения можно искать в виде
2/ = Ccos(u0* + φ), (18.1.10)
где С и φ — медленно меняющиеся функции времени. Подставляя (18.1.10) в (18.1.9),
получим для С я φ следующие укороченные уравнения:
<?=1('-|-ж)с' *=°· (18ЛЛ1)
Отсюда следует, что в стационарном режиме С = Ao\/l — 2F2/A\. Таким образом,
при при
Δ = Дс = ω011 - yJl-y/2^- J , (18.1.12)
амплитуда автоколебаний на частоте ыо обращается в нуль, т.е. наступает
синхронизация. При В <С Aq формула (18.1.12) переходит в (18.1.4) для 6 » 1. Вне области
синхронизации частота биений равна
<-/β = |Δ|· (18.1.13)
Этот механизм синхронизации, который имеет место для достаточно больших
амплитуд внешней силы, часто называют «синхронизацией гашением» [309]. Обратим
внимание на тот факт, что в этом случае при выходе из области синхронизации
частота биений возрастает скачком от нуля до Дс (рис. 18.2 β и г), а амплитуда биений
плавно нарастает от нуля. В реальных системах при таком механизме
синхронизации обычно имеет место гистерезис, т.е. выход из области синхронизации и вход в
нее происходят при разных значениях расстройки Δ (или разных значениях Дс).
Заметим, что режиму биений в цилиндрическом фазовом пространстве системы
(18.1.1) соответствует двумерный тор. Переход к режиму синхронизации в случае
малых амплитуд внешней силы связан с резонансом на этом торе, т.е. с появлением
на торе замкнутой траектории — цикла [4]. При больших амплитудах внешней силы
внутри области синхронизации в фазовом пространстве тор отсутствует, а имеется
предельный цикл. Переход из области синхронизации к режиму биений связан с
бифуркацией потери устойчивости этого цикла и рождением тора.
Следует иметь в виду, что в реальных системах оба механизма синхронизации
имеют место одновременно. В зависимости от параметров тот или иной механизм
может превалировать.

372
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволвы
Из самого определения синхронизации следует, что переход системы к
синхронному режиму есть переход от менее упорядоченного состояния в более
упорядоченное. Следовательно, синхронизация может рассматриваться как своеобразный
неравновесный фазовый переход первого или второго рода. Как известно, фазовый
переход характеризуется некоторым параметром порядка (или беспорядка). При
фазовых переходах первого рода параметр порядка увеличивается скачком и, как
правило, имеет место гистерезис. При фазовых переходах второго рода параметр
порядка увеличивается плавно. Это увеличение обычно следует степенному закону,
причем показатель степени называется критическим индексом. При таких
переходах гистерезис отсутствует. Выбор параметра порядка (или беспорядка) является
в некотором смысле произвольным. Например, в простейшем случае синхронизации
периодических автоколебаний гармонической внешней силой в качестве параметра
беспорядка можно выбрать частоту биений.
Вернемся к выражению (18.1.7) для частоты биений в случае малых амплитуд
внешней силы. Вблизи правой границы области синхронизации это выражение
может быть записано в виде ω^ ъ \/2Δο (Δ — Дс *)ll2. Подобное выражение может
быть записано и вблизи левой границы области синхронизации. Отсюда следует,
что в этом случае синхронизацию можно рассматривать как фазовый переход
второго рода с критическим индексом 1/2. При больших амплитудах внешней силы,
когда при переходе через границу области синхронизации частота биений
изменяется скачком, мы имеем фазовый переход первого рода.
18.2. Синхронизация периодических колебаний в генераторе с
инерционной нелинейностью и в более сложных системах
Рассмотрим теперь синхронизацию периодических автоколебаний в системе с
полутора степенями свободы, а именно, в генераторе с инерционной нелинейностью
в виде детектора, описываемом уравнениями (16.8.7), (16.8.8) с f(x) = Κΰ(χ)χ.
Пусть на этот генератор действует гармоническая внешняя сила Bcosut. Если
μ, 7 <& w<h то можно перейти к укороченным уравнениям для амплитуды А и фазы
φ, имеющим вид [177]
Α=1-(μ-αν)Α-?ψ*χηφ, ф = А-^сов<р, V = -7(v-^A (18.2.1)
где Δ = и>о — ω — расстройка между собственной частотой ωο и частотой внешней
силы ω. Стационарное решение уравнений (18.2.1), соответствующее синхронному
режиму, следующее:
2АА xr KA
С08<р= -, К = ,
где амплитуда А определяется уравнением
((·-£)!+4£)*И <18·">

Гл. 18. Периодические воздействия на автоколебательные системы
373
Здесь Ло = —77 — амплитуда автоколебании автономного генератора, о = ——. За-
αΚ μΑο
висимости А/ А о от Δ/μ, построенные согласно уравнению (18.2.2) для ряда
знамений амплитуд внешней силы, приведены на рис. 18.3. ЛМ0
Исследование найденного стационарного решения
на устойчивость приводит к следующему
характеристическому уравнению:
Р3 + (7 - 2<Ь)Р2 + {Si - 7(*1 + &2) + Δ2) р+
+7(ί1ί2 + Δ2)=0,
где *! = (/i/2)(l - 2А/Ао), <Ь = (μ/2)(1 - Л/Л0).
Используя критерий Рауса-Гурвица, находим
следующие условия устойчивости:
δχδ2 + Δ2 > 0,
(18.2.3)
7ί2(ίι+3ί2)-72(ίι+ί2)-2ί2(ί2 + Δ2)>0. (18.2.4)
Рис. 18.3. Зависимости А/Ао
от Δ /μ, построенные путем
решения уравнения (18.2.2)
при 6 = 0.1 (кривые 1),
6 = 0.25 (кривая 2), Ь = 0.5
(кривая 3). Кривая I
соответствует границе
неравенства (18.2.3), а кривая II —
границе неравенства (18.2.4)
для y/μ = 0.3. Устойчивые
участки зависимостей
показаны сплошными линиями, а
неустойчивые — штриховыми
На плоскости Δ/μ, А/Ао граница неравенства (18.2.3)
представляет собой эллипс (кривая I на рис. 18.3). При
переходе внутрь эллипса стационарное решение
теряет устойчивость апериодически. Граница
неравенства (18.2.4) представляет собой незамкнутую
кривую и зависит от отношения η/μ. На рис. 18.3 она
показана для η/μ = 0.3 (кривая И). При переходе через
эту границу сверху вниз стационарное решение
теряет устойчивость колебательным образом.
Вне области синхронизации колебания генератора
с инерционной нелинейностью могут иметь
довольно сложный характер. Экспериментальные и численные исследования, выполненные
Л.Н. Капцовым [135], показали, что в некотором диапазоне значений η
наблюдается так называемый пичковый режим. Характерной особенностью такого режима
является наличие коротких выбросов амплитуды колебаний — пичков. Между
этими выбросами амплитуда совершает малые колебания, частота которых несколько
больше расстройки Δ. Частота следования пичков при выходе из области
синхронизации плавно растет при увеличении расстройки, оставаясь все время меньше
значения >/Δ2 — Δ2, где Ас — полуширина области синхронизации. Высота
пичков с ростом расстройки Δ уменьшается и при некотором значении Δ пички
исчезают. Остается только слабая модуляция амплитуды. При уменьшении η область
расстроек, где существуют пички, сужается, частота следования пичков при
фиксированной расстройке и их ширина уменьшаются, а высота увеличивается.
Наоборот, при увеличении 7 область существования пичков расширяется, частота их
следования при фиксированной расстройке увеличивается, а высота уменьшается,
и при достаточно больших значениях η пички пропадают. Остается только
модуляция амплитуды с частотой, равной ^/Δ2 — Δ2, т.е. генератор начинает вести себя
как безинерционный.

374 Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
В книге [177] показано, что в случае генератора с инерционной нелинейностью
действуют те же два механизма синхронизации) которые были рассмотрены выше.
Частота биений при выходе из области синхронизации в случае малых амплитуд
внешней силы, когда Дс < μ, 7> равна ω^ s= yjΔ2 - Δ2, а в случае больших
амплитуд, когда Δ€ > min{7,/i}, ω6 = \/Δ2 + μιΔ*/(Δ2 + 2y2). При у -* оо последняя
формула переходит в выражение (18.1.13) для частоты биений генератора Ван-дер-
Поля.
Синхронизация автоколебаний периодической внешней силой наблюдалась
экспериментально во многих сложных системах, в том числе и в распределенных. Однако
теория этого явления до сих пор находится в зачаточном состоянии. Причина
такого положения заключается в огромных математических трудностях. Тем не менее,
некоторые частные задачи такого сорта были решены. В качестве примера можно
указать работу [179], в которой было проведено теоретическое исследование
синхронизации частоты страт посредством гармонической модуляции тока разряда.
18.3. Синхронизация генератора Ван-дер-Поля
с модулированной частотой
Рассмотрим /воздействие гармонической внешней силы на генератор Ван-дер-
Поля, собственная частота которого ώο промодулирована некоторым
периодическим сигналом, т.е. ώο = ωο + Ω/(ί), где f(t) — периодическая функция времени с
периодом г = 2π/ι/. Уравнение колебаний в такой системе имеет вид
χ - μ(1 - αζ2)χ + (ω0 + Ω/(*)) * = ω2Βοο*ωί. (18.3.1)
Без внешней силы автоколебания в системе (18.3.1) являются квазипериодическим
с двумя основными частотами ωο и v. В фазовом пространстве с координатами ж,
χ и f(t) этим колебаниям соответствует двумерный тор. Когда внешняя сила
действует, но синхронизация отсутствует, колебания являются квазипериодическими
с тремя основными частотами u;o, v и ω. В четырехмерном фазовом пространстве
с координатами ж, ж, f(t) и coso;t этим колебаниям соответствует трехмерный тор.
Отличительной особенностью рассматриваемой системы является то, что она
имеет бесконечное число областей расстроек между частотой внешней силы и
средней частотой свободных автоколебаний о>о, в которых средняя частота колебаний
постоянна и равна ω + m/, где η = 0, ±1, ±2, — Эти области расстроек мы назвали
областями синхронизации [174]. Бели амплитуда внешней силы достаточно мала,
а частота модуляции достаточно велика, то области синхронизации сравнительно
узки и расположены вблизи значений Δ = Δ„ = ηι/, где Δ = ωο — ω. В областях
синхронизации колебания системы являются квазипериодическими с основными
частотами ω и v. В указанном выше четырехмерном фазовом пространстве каждому
такому режиму синхронизации соответствует двумерный тор, а не предельный цикл,
как в случае синхронизации обычного генератора Ван-дер-Поля. При достаточно
малых амплитудах внешней силы этот двумерный тор может быть расположен на
трехмерном торе, что соответствует своеобразному резонансу на трехмерном торе.
Здесь имеется полная аналогия с возникновением предельного цикла на двумерном
торе при синхронизации обычного генератора Ван-дер-Поля, малой внешней силой.

Гл. 18. Периодические воздействия на автоколебательные системы
375
При выполнении условий μ<&ω}Δ<&ω>Ω<&ω,ι/<&ω можно от
уравнения (18.3Л) перейти к укороченным уравнениям для амплитуды и фазы колебаний,
имеющим вид
i=2(1"5)A~i^SinV' ^ = А-^С08*> + И/(<). (18.3.2)
где Ао = 2/у/а — амплитуда свободных автоколебаний генератора Ван-дер-Поля с
постоянной собственной частотой.
Бели амплитуда внешней силы В и все рассматриваемые значения расстроек Δ
достаточно малы, так что выполняются условия ωΒ/μΑο <£ 1, |Δ| <^ μ, то
амплитуда колебаний А близка к Ао, а уравнение для фазы φ можно записать в виде
φ = Δ - Δ0 cosy> + Ω/(*), (18.3.3)
где Δο = ωοΒ/2Αο — полуширина области синхронизации в отсутствие модуляции
частоты генератора.
Заметим, что к решению уравнения вида (18.3.3) сводится целый ряд
практически важных задач, таких как расчет вольтамперных характеристик контакта
Джозефсона в микроволновом поле [14, 172], частотных характеристик лазерных
гироскопов на колеблющемся основании [167] и др.
Рассмотрим наиболее простой случай, когда функция f(t) представляет собой
последовательность положительных и отрицательных импульсов прямоугольной
формы длительностью г/2, а именно
■{.:
для mr < t < (тп+ 1/2)гд
/(*) = < " (т = 0,±1,±2,...).
' * * для (го + l/2)r < t < (т + 1)г
Чтобы найти области синхронизации, требуется вычислить зависимость
частоты биений u>6 = Ы от расстройки Δ. С этой целью достаточно определить
изменение фазы φ за время г и разделить это изменение на г. В областях синхронизации
полученная величина должна быть постоянной и равной пи. Пусть в начале (т+ 1)-го
периода модуляции значение фазы φ равно у?т. Проинтегрируем уравнение (18.3.3)
на интервале времени от mr до (m+l/2)r и затем от (т+ 1/2)г до (го + 1)г. Тогда
получим следующие уравнения:
arctg faitg^y-j -arctg (aitg^y-J = *ι,
arctg fa2tg^) -arctg (a2tg^tl) =6
(18.3.4)
где

376
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
<р*т — значение фазы φ в момент времени t = (m -f l/2)r. Исключая из
уравнений (18.3.4) величину <р'т, выразим изменение фазы за (т + 1)-й период модуляции
А<рт = v?m+i — ψτη через значение фазы в начале этого периода <рт:
А<рт = 2arc tg «2(1 + «J)*»! - αι(1 + a2)tgb2 + fisin(ym H- χ)
^m 6 2a1a2 + (a? + al)tg61tg62-fico8(v?ro + x) v ;
где
R = 0β? - a2)2tg2 6, tg2 62 + (a2(l - a2)tgb! - ax(l - a2)tg62)2 ,
a2(l-af)tgfri -ai(l-a^)tg62
(a?-a?,)tgMg62
Поскольку параметры уравнения (18.3.5) не зависят от т, то в дальнейшем индекс
т у фазы можно опустить. Решение конечно-разностного уравнения (18.3.5)
позволяет определить как области синхронизации, так и зависимость частоты биений от
расстройки.
Как уже говорилось, в n-й области синхронизации изменение фазы за период
модуляции должно быть равно пит = 2тгп. Следовательно, в синхронном режиме
набег фазы к началу (т 4- 1)-го периода модуляции будет равен 2тгпт. Перейдем в
уравнении (18.3.5) к новой переменной
#пт = <Рт + Х- 2жпт. (18.3.6)
Тогда, опуская индекс т, получим следующее уравнение:
Αϋη = Jarctg—г ■ / 2 ■—2u l *, l 5 о 2πη· (18.3.7)
2axa2 + (af + a$)tg6itg62 - Rcostin
В режиме синхронизации At?n должно равняться нулю. Отсюда следует, что
02(1 + a?)tg6i - ai(l + a^)tg62 + Rsinun = 0. (18.3.8)
Уравнение (18.3.8) определяет значение фазы ύη в n-й области синхронизации.
Границы этой области определяются из уравнений
«2(1 + a?)tg6i - ai(l + a2)tg62 = ±R. (18.3.9)
Приближенное аналитическое решение уравнений (18.3.9) может быть получено
только в частных случаях. Прежде всего мы рассмотрим случай, когда амплитуда
модуляции частоты Ω много больше полуширины области синхронизации
генератора в отсутствие модуляции частоты Δο· В этом случае при расстройках Δ, не
слишком близких к Ω, и при не слишком больших значениях Δοτ будут выполнены
условия
До „t Δ^τ
Ω-|Δ|
«1,
Ω-|Δ|
< 1. (18.3.10)
При этих условиях уравнение (18.3.9) приближенно принимает вид
tg*i-tgi3 = ±-, (18.3.11)

Гл. 18. Периодические воздействия на автоколебательные системы
377
где
4Δ0Ω
fi=?i^4(tg6ltgb2)2+
((n-A)tg&i + (n + A)tg62)'
Ω2
Преобразуя в уравнении (18.3Л1) разность тангенсов, получим
^■"^•«щтйЬго· (1Μ·,3)
где Δ^η — границы n-й области синхронизации (п = 0,±1,±2,...). В силу
условий (18.3.10) Асп τ « 2πη и мы можем положить Асп — nu ± icn, где Scn < ι>·
Пренебрегая iCn в выражениях (18.3.12), получим
Г tg(Qr/
[ -ctg(Qr/
г/4) для четных п,
tg6i «tg62 w ^ ~ ,Λ , ч
г/4) для нечетных п.
Учитывая это соотношение, из (18.3.13) находим
4Δ0Ω ί |βίη(Ωτ/4) I для четных η,
|Ω2 - п2и2\т Ι | Cos(fir/4) | для нечетных η.
*cn=lf,2_n2i/2|rj , ,Λ ,.ч1 (18.3.14)
Как следует из выражения (18.3.14), ширина n-й области синхронизации, которая
равна 2icnj зависит от п. Наиболее сильно могут отличаться ширины четных и
нечетных областей. В частном случае, когда Ωτ/4 = (2fc+ 1)тг/2, где к — целое число,
нечетные области синхронизации пропадают, а остаются только четные области.
Ширины этих областей при малых η увеличиваются с ростом п, а при η > Ω/ν
уменьшаются. Наоборот, если Ωτ/4 = кп> то четные области синхронизации
исчезают, а нечетные остаются. Зависимость их ширины от η та же, как и в первом
случае.
При условиях (18.3.10) можно вычислить также частоту биений в окрестностях
областей синхронизации. Полагая изменение фазы ΰη за время г малым, заменим
в уравнении (18.3.7) конечное приращение Αύη/τ производной dtin/dt. При этом
уравнение (18.3.7) можно записать в виде
^ = in+icnsint?n, (18.3.15)
где δη = Δ — пи — расстройка частоты относительно центра n-й области
синхронизации. Уравнение (18.3.15) аналогично уравнению (18.1.5); поэтому с учетом (18.3.6)
мы получаем для частоты биений Ыб в окрестности n-й области синхронизации
следующее выражение:
и>б = nv+ s/Sl - <& . (18.3.16)
Пример зависимости относительной частоты биений uq/u от относительной
расстройки А/и приведен на рис. 18.4 а.

378
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Рис. 18.4. Зависимости относительной частоты биений ω^/u от относительной расстройки
Δ/ι/ при Δο/Ω = 0.1, ι//Ω = 0.3 (α) и при Δο/Ω = 1/\/2, ι//Ω = ν^/(2Α? + 1) (б)
Другой частный случай, для которого может быть найдено приближенное
аналитическое решение уравнения (18.3.9), — это случай достаточно малых расстроек,
когда выполняется условие
|Δ|<Ω-Δ0. (18.3.17)
При условии (18.3.17) в уравнении (18.3.9) можно положить
Подставляя (18.3.18) в (18.3.9), перепишем последнее в виде
ΩΔτ Д2 , ΩΔτ Δ$ __ 2 y/n2-Agr
sin
2^Ω2 - Δ* Ω2-Δ2 2ν/Ω2 - Δ* Ω2(Ω2 - Δ2)
2Δ2, χ/Ω2-Δ?,τ ΩΔτ
+ 7Γ5 iT7 COS — *— COS 7==
Ω* - Δ3
2 ν/Ω2 - Δ2, Ω
C08
-£-ο.
(18.3.19)
Решив уравнение (18.3.19) для sin Ρ*τ ^ находим
sin
2ν/Ω2 - Δ2, Ω V Ω2 4 4
• ΩΔτ .„Δο./. Δ? a >/Ω2-Δ^τ χ/Ω2-Δ2τ
sin —. „ ■ = ±2 — \/l--r£cos - :—— с08- :——
2ν/Ω2 - Δ2, Ω V Ω2 4 4
(18.3.20)
(18.3.21)
При Δο < Ω решение (18.3.20) переходит в (18.3.14) для четных η, а (18.3.21)
— в (18.3.14) для нечетных п. Это позволяет предположить, что при любых
соотношениях между Δο и Ω решения (18.3.20) и (18.3.21) справедливы для четных и
нечетных η соответственно.

Гл. 18. Периодические воздействия на автоколебательные системы
379
Из (18.3.20) и (18.3.21) получаем следующие выражения для границ n-й области
синхронизации:
Δ<±> = Ъ@ЕИ (πη ± arcsin (2£,)), (18.3.22)
где
. , χ/Ω* - ΑΙ Τ . УП2-Д§Т
Sin* -2 81П — - — ДЛЯ МвТНЫХ П,
4 4
[Jl-§a*&E3L„&^Si
для нечетных п.
Ширина п-й области синхронизации равна Δοί» — Асп , а ее центр расположен в
точке Δ = Δη = ηι/\/Ω2 — Δ^/Ω.
В качестве примера на рис. 18.4 б приведены области синхронизации,
рассчитанные по формуле (18.3.22) при Ω2 = 2Δ§ и γ/Ω2 - Δ§τ = Δ0τ = (2k + 1)π, где Jfc —
целое число. При этих параметрах ширины четных и нечетных областей
синхронизации совпадают и равны \/21//3, а центры областей синхронизации расположены
в точках Δ = Δη = nv/y/2. Таким образом, в этом случае ширины областей
синхронизации сравнимы с расстоянием между ними.
Результаты расчета областей синхронизации и частоты биений в случае, когда
модуляция частоты генератора является синусоидальной, достаточно подробно
изложены в книге [177].
18.4. Асинхронное подавление и асинхронное возбуждение
периодических автоколебаний
Уравнение (18.1.11) показывает, что при воздействии внешней силы на частотах,
достаточно далеких от резонанса, происходит уменьшение инкремента на
частоте свободных автоколебаний. Бели амплитуда внешней силы превышает некоторое
критическое значение
V2u;g
то автоколебания полностью гасятся, а в системе остаются только вынужденные
колебания на частоте ω. Это явление имеет место и в более сложных системах и
часто используется для подавления или ослабления нежелательных автоколебаний,
например, для подавления страт в плазме газового разряда путем высокочастотной
модуляции тока разряда [176, 178].
Подавление или ослабление автоколебаний при нерезонансном внешнем
воздействии происходит только в системах, где основную роль играет кубическая
нелинейность, приводящая к появлению нелинейного положительного трения. В более
сложных системах может иметь место обратный эффект: нерезонансное внешнее
воздействие может стимулировать возбуждение автоколебаний. Этот эффект был
назван Л.И.Мандельштамом и Н.Д.Папалекси асинхронным возбуждением [222].

380
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Продемонстрируем этот эффект на примере уравнения генератора с жестким
возбуждением и гармоническим внешним воздействием, описываемого уравнением
£+ (η - αχ2 + βχ4)χ + wjar = ω20Β совсЛ. (18.4.2)
Пусть частота внешней силы достаточно далека от резонансной. Тогда удобно
сделать замену переменных вида (18.1.8). При этом для переменной у получим
следующее уравнение:
у + ы%у =-(п-а(у + Fcosut)2 + /% + Fcosuit)4) (у - Fwsinurt)· (18.4.3)
Полагая теперь у = Ccos(u>o< + ф)} запишем укороченные уравнения для амплитуды
С и фазы φ
ύ = " I (η ~ ι(с2+2F2)~ ?(с4+6С2р2 + 3/г4))с' * = °* (18,4*4)
Отсюда видно, что внешнее воздействие влияет не только на линейное трение, но
и на нелинейное. Отсюда получаем следующее условие асинхронного возбуждения
автоколебаний:
aF2 3/?F4
~2 1-~Ч>0' (18·4,5)
Неравенство (18.4.5) при фиксированной амплитуде воздействия В определяет ту
область расстроек, в которой должно происходить асинхронное возбуждение
автоколебаний. Эта область расстроек заключена в интервале
Отсюда следует, что асинхронное возбуждение автоколебаний возможно лишь при
условии а2 > δβη, т.е. при достаточно большом нелинейном отрицательном трении.
При расстройках, меньших левой части неравенства (18.4.6), в системе могут
существовать только вынужденные колебания на частоте ω. При расстройках,
больших правой части неравенства (18.4.6), в зависимости от начальных условий в
системе возможны либо биения, либавынужденные колебания.
18.5. Хаотизация периодических автоколебаний при
периодическом внешнем воздействии
Из выражения (18.1.12) следует, что синхронизация колебаний в уравнении Ван-
дер-Поля-Дуффинга может происходить только при условии В < Ао/у/2 (по
крайней мере, синхронизация на основном тоне, которая здесь рассматривалась). В
противном случае может происходить либо синхронизация другого типа, либо
хаотизация периодических автоколебаний. Интересно отметить, что явление хаотизации
для уравнения Ван-дер-Поля было обнаружено еще в сороковых годах нашего
столетия в работах Μ .Л. Картрайт и Дж.Е. Литтлвуда [368] и Н. Левинсона [511] задолго
до появления понятия динамического хаоса. В этих работах путем использования

Гл. 18. Периодические воздействия на автоколебательные системы 381
качественных методов было показано, что уравнение Ван-дер-Поля с внешним
гармоническим воздействием при больших значениях параметра μ может иметь
нерегулярные установившиеся решения. В дальнейшем при численном моделировании
этого уравнения и более общего уравнения (18.1.1) такие решения действительно
были найдены. Было замечено, что в случае, когда автономный генератор является
томсоновского типа, т.е. μ <С &оУ хаотизация возможна лишь при η ^ 0 [105, 620] 1).
Если же колебания автономного генератора имеют характер, близкий к
релаксационному (μ > и>0), то хаотизация возможна и при 7 = 0, когда амплитуда внешней
силы не очень велика [104, 420, 548]. Этот факт согласуется с результатами
работ [368] и [511]. Так, например, хаотическое решение уравнения (18.1.1) при 7 = 0
было найдено А.С.Дмитриевым [104] для μ/ωο = 3, ω/ωο = 2.7, B/Aq = 1.25.
Заметим, что возможность хаотического решения уравнения Ван-дер-Поля в случае
μ/ω0 ^> 1 была также показана М. Леви [510] с помощью качественных методов и
Дж. Гуккенхаймером [426] посредством методов символической динамики.
Хаотизация автоколебаний за счет внешнего воздействия наблюдалась и в
генераторе с инерционной нелинейностью. Первые наблюдения такого рода были
сделаны Л.Н.Капцовым [135]. Он обнаружил, что при переходе от пичкового режима к
режиму слабой модуляции амплитуды в области малых 7 наблюдался режим, когда
изменения амплитуды и фазы автоколебаний имели хаотический характер.
Впоследствии подобный эффект численно и экспериментально исследовался B.C. Анищенко
с соавторами [7, 9]. Было показано, что переход к хаосу при увеличении параметра
μ происходит в результате конечного числа бифуркаций удвоения тора, после
чего возникает хаотический аттрактор. Число бифуркаций тем меньше, чем больше
амплитуда внешнего воздействия В. Этот результат согласуется с общими
заключениями К. Канеко [463, 464]. На примере двумерного отображения
*п+1 = 1 - Azl +cem2nyn, yn+i = уп + С + *хп
он показал, что число бифуркаций удвоения тора, предшествующих переходу к
хаосу при изменении параметра Л, конечно и определяется параметром связи 6.
Аналогичный переход к хаосу получается и при увеличении амплитуды внешнего
воздействия В при фиксированном значении μ.
Очевидно, что хаотизация автоколебаний в генераторе с инерционной
нелинейностью может происходить и при параметрическом внешнем воздействии на
частоте порядка частоты процесса установления. Детальное численное и
экспериментальное исследование этого явления было выполнено Л.Г. Безаевой и др. [30, 31] (см.
также [248]).
18.6. Синхронизация хаотических автоколебаний
периодическим внешним воздействием
Бели на автоколебательную систему, совершающую хаотические колебания,
подействовать гармонической внешней силой, то при определенных условиях возможен
переход от хаотических к периодическим колебаниям с периодом, кратным периоду
*)В действительности хаотизация возможна и при 7 = О, но при очень больших амплитудах
внешней силы.

382 Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
внешней силы. Этот переход впервые описан в работах [108, 163) 164, 165] и назван
синхронизацией хаотических автоколебаний. Существенно, что указанное явление
носит пороговый характер, т.е. возникает лишь при превышении амплитудой
воздействия некоторого критического значения, зависящего от частоты воздействия
резонансным образом. Минимальное значение амплитуды воздействия, при
которой наступает синхронизация на какой-либо частоте, было названо нами порогом
синхронизации. В случае систем, совершающих периодические автоколебания в
автономном режиме, порог синхронизации равен нулю. Бели же автономная система
совершает хаотические автоколебания, то синхронизирующее воздействие должно
преодолеть существующую в системе тенденцию к хаосу, что возможно лишь при
конечном значении амплитуды воздействия. Поэтому ненулевой порог
синхронизации может служить одним из критериев хаоса в динамических системах. В работе
[164] путем численного моделирования ряда простых трехмерных систем было
показано, что значение порога синхронизации связано универсальной степенной
зависимостью с максимальным ляпуновским показателем. Исследование более сложных
систем, в частности, системы Мэки-Гласса [189], обнаружило, что максимальный
ляпуновский показатель следует заменить метрической энтропией Колмогорова.
Следует, однако, отметить, что исследованные в указанных работах системы
имели один аттрактор. В случае же, когда автономная система имеет несколько
аттракторов, ситуация значительно сложнее. В работе [388] было рассмотрено
воздействие гармонической внешней силы на два связанных генератора с инерционным
самовозбуждением и численно показано, что степенная связь между порогом
синхронизации и энтропией автономной системы существует, но только вблизи
границы возникновения хаотических движений. Кроме того, было обнаружено, что
показатель степени не является универсальной величиной.
Численное определение областей синхронизации довольно сложно, так как
заранее неизвестно, на каких частотах следует воздействовать на исследуемую систему.
Простой алгоритм, предложенный М.Г. Розенблюмом [574] для быстрого
определения одной из частот внешней силы, при которой может произойти синхронизация,
несколько облегчает эту задачу. Указанный алгоритм основан на вычислении
мгновенной частоты сигнала с помощью преобразования Гильберта и выявлении
наиболее вероятного значения этой частоты.
Заметим, что при экспериментальных исследованиях хаотических
автоколебаний измерение порога синхронизации гораздо проще, чем определение других
количественных характеристик аттрактора. Такие измерения были проведены в работах
[30, 31] и [54]. В последней было показано, что порог синхронизации коррелирует с
фрактальной размерностью аттрактора.
В качестве примера рассмотрим синхронизацию хаотических колебаний в
системе с инерционным возбуждением, описываемой уравнениями
χ + 2δχ + х = -ky - 6х3 + Всо8 2ятЛ, у + у = χ - χ2 - χ3. (18.6.1)
Система (18.6.1) решалась на компьютере при к = 20, Ь = 17.5, 2ί = 0.75 [185].
Было найдено несколько областей синхронизации. В этих областях хаотический
аттрактор заменялся в зависимости от значений В ж ω двух-, трех-, четырех- или
шестиоборотным циклом. Интересно отметить, что два механизма синхронизации,
описанные в предыдущих разделах, проявляют себя и при синхронизации хаотичес-

Гл. 19. Взаимодействие автоколебательных систем
383
ких автоколебаний. Действительно, численные расчеты показали, что переходы из
областей синхронизации в область хаоса происходят по-разному в зависимости от
амплитуды внешнего воздействия. При сравнительно малых значениях В внутри
областей синхронизации в фазовом пространстве системы предельный цикл,
соответствующий синхронному режиму, расположен на двумерном торе. Переход от
синхронного режима к хаотическому при изменении частоты ω происходит через
режим биений. В фазовом пространстве этот переход соответствует разрушению
резонанса на торе и появлению на нем незамкнутой фазовой траектории. При
дальнейшем изменении ω происходит конечное число бифуркаций удвоения тора, после
чего рождается хаотический аттрактор.
При достаточно больших значениях В (В > Вкр, Вкр « 1.3) внутри области
синхронизации в фазовом пространстве системы тора нет, а есть предельный цикл.
Переход из области синхронизации в область Хаоса происходит путем
последовательности бифуркаций удвоения периода этого цикла.
Глава 19. Взаимодействие автоколебательных
систем
19.1. Взаимная синхронизация двух генераторов
периодических колебаний
Синхронизация периодических автоколебаний в связанных системах известна
давно. Впервые это явление, по-видимому, наблюдал Х.Гюйгенс еще в XVIIв. [98,
451]. Он обнаружил, что пара маятниковых часов, подвешенных на легкой балке,
лежащей на двух опорах, синхронизуется, т.е. маятники часов колеблются с
одинаковыми частотами. При этом фазы колебаний маятников оказываются
противоположными. Гюйгенс правильно понял, что причиной синхронизации являлось
незаметное движение балки.
В середине XIX в. Релей в своем знаменитом трактате ♦Теория звука» [304]
описал явление взаимной синхронизации органных труб. Он обнаружил, что две
органные трубы с близко расположенными концами звучат в унисон.
В начале XX в. после работ Эпплтона и Ван-дер-Поля начался бум. Явление
синхронизации обнаружили во многих связанных электрических, электромеханических
и радиотехнических системах. На эту тему появилось огромное количество работ.
Затем количество работ существенно уменьшилось, но в 60-70-х годах вновь
возник большой интерес к явлению синхронизации. Этому способствовало появление
лазерных гироскопов (см., например, монографию [116]). В этих приборах,
работа которых основана на измерении разности частот встречных волн в кольцевом
лазере, синхронизация играет вредную роль, существенно ограничивая их
чувствительность.
В качестве примера рассмотрим взаимную синхронизацию двух связанных
генераторов Ван-дер-Поля. Пусть уравнения системы имеют вид

384
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
ϊ\ -μι(1 -4c*ixJ)ii +ω^χι = cnx2 + ci2i2 + ci3x2,
(19.1.1)
ϊι ~^2(1 - 4a2s2)i2 + ω^2 =c2iii + c22ii + c23si.
Если коэффициенты /ii)2 и с|<; достаточно малы, а частоты ωχ и о>2 мало
отличаются друг от друга, то решение уравнений (19.1.1) можно искать в форме
*i,2 = ^i,2 cos(u>< + ^>1,2)> где ω = (ω\ + ω2)/2, Λι>2 и y>i)2 — медленно меняющиеся
функции времени. Укороченные уравнениям для амплитуд и фаз колебаний имеют
вид
Alt2 = ^ (1 - αι.2Λ?|2Μι|2 Τ ci|2A2|i βίη(Φ ± t?1(2), (19.1.2)
^ι,2 = ± £ - £iT^ii с°8(ф ± *i.a). (Ιβ.1.3)
^ ^1,2
где Φ = ψ\ — φ2 — разность фаз, Δ — ω\ — α>2 — расстройка частоты,
\/(ciiW2 -с13)2 + с?2ы2 \ДС21^2 - c23)2 + c^u/2
Cl = Τω И C2 = Τω
— модули коэффициентов линейной связи,
Ci2U> Л C22W
ΰχ = arc tg 5 и v2 = arc tg
cnw' - ci3 c2ia;2 - c23
— фазы коэффициентов линейной связи.
Из (19.1.3) следует уравнение для разности фаз Φ
Φ = Δ - ?ф-сов(Ф + ΰχ) + ^ii со8(Ф - ΰ2). (19.1.4)
Αι Αι
Это уравнение вместе с (19.1.2) образует замкнутую систему уравнений для
определения амплитуд Лι>2 и разности фаз Ф.
Уравнения (19.1.1) записаны для случая линейной связи между генераторами. В
общем случае возможна также нелинейная связь. Например, связь между модами в
лазерах, которая осуществляется через активную среду, является нелинейной [116,
142, 143, 169]. Поэтому в дальнейшем мы рассмотрим уравнения для амплитуд более
общего вида, чем (19.1.2), а именно
А1}2 = ^ψ (1 - "ι,2<2 - βι}2Α22Λ)Αι,2 Τ с1>2Л2>1 βίη(Φ ± tf1|2), (19.1.5)
где коэффициенты β\$ описывают нелинейную связь между генераторами.
В режиме синхронизации Ait2 = Φ = 0. Если линейная связь между генераторами
достаточно мала, так что
ci,2 < Ailf2 J—' —, (19.1.6)
«1,2

Гл. 19. Взаимодействие автоколебательных систем
385
то она слабо влияет на значения амплитуд колебаний. Поэтому исследуем раньше
стационарное решение уравнений (19.1.5) в отсутствие линейной связи. В этом
приближении уравнения (19.1.5) имеют четыре стационарных решения:
Л10 = Л20 = 0, (19.1.7)
Лю = 0, Л2о = 1/λ/5ϊ , (19.1.8)
Λιο = 1/\/άΓ, >bo = 0, (19.1.9)
α»=\Ι α2~β««■ л«>=\1tti~?* - (19лл°)
γαια2-ΑΑ у <*хс*2 - βιβ2
Бели условия возбуждения обоих генераторов выполняются, то решение (19.1.7)
неустойчиво. Условия устойчивости решений (19.1.8) и (19.1.9) имеют вид
соответственно
*2<А, αι<Α. (19.1.11)
В той области параметров, где условия (19.1.11) выполняются одновременно, в
зависимости от начальных условий будет генерировать тот или иной генератор, в
то время как колебания другого будут полностью подавлены. Такое подавление
колебаний одного из генераторов за счет нелинейной связи между ними получило
название конкурентного подавления. Оно аналогично конкурентному подавлению
мод, рассмотренному в главах 17,18. Если оба условия (19.1.11) не выполняются, то
устойчивым является решение (19.1.10), соответствующее колебаниям обоих
генераторов. Рассмотрим именно этот случай.
Подставляя (19.1.10) в уравнение (19.1.4) и полагая Φ = 0, получим уравнение,
которое может быть записано в виде
Д-Дссо8(Ф + 0) = О, (19.1.12)
где
Дс = \/с? —ΊΓ + с2 ^Мг - 2ciC2 **(* + **) (19.1.13)
V <*2 - Р\ <*1 ~ Р2
— полуширина области синхронизации в первом приближении по коэффициентам
линейной связи, а
0= ci(ai -fo)sint?i +ο2(<*2- /?i)sint?2
Ci(0C\ — /?2)cOSt?i — C2(<*2 ~ /?l)cOSt?2
Уравнение (19.1.12) при каждом фиксированном значении Δ имеет два решения
Δ
Φ 4- ϋ = ± arccos — . (19.1.14)
Исследование устойчивости этих решений приводит к следующему условию:
/<*ι - fh . /А
С\ \ / гг 81П(Ф
+ *ι) - с2 ι/ 2 f1 βίη(Φ - t>2) < 0. (19.1.15)

386 Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Отсюда следует, что устойчивым является решение (19.1 Л4) со знаком «—».
Поясним смысл полученного результата на примере, когда ΰχ = ΰ2 = & = 0. Если
генераторы не идентичны, то можно выделить из них ведущий и ведомый.
Например, если οχΑ2/Αχ > с2А\/А2, то ведущим является второй генератор. Найденное
условие устойчивости означает, что колебания ведомого генератора должны
запаздывать по фазе относительно ведущего. Кроме того, можно показать, что поправка
к амплитуде за счет связи для ведомого генератора положительна, а для ведущего
отрицательна. При αϊ = ot2 = « » β\ = βι = β, с\ = с2 = с> ^ι + ^2 = 0 (случай
идентичных генераторов) величина Ас обращается в нуль. В этом случае для
определения ширины области синхронизации требуется вычислить второе приближение.
Такой расчет проведен в книге [177]. В результате получается следующее уравнение
для разности фаз Φ в синхронном режиме: Δ — Acsin2(<I> + ΰχ) = 0, где
Δ.. С-+»)<« + »' . („.,.14
μιμ2(α-β)
Условие устойчивости (19.1.15) в этом случае также не справедливо.
Поведение идентичных генераторов внутри области синхронизации является
сложным. Здесь возможны скачки амплитуды и частоты колебаний, обусловленные
сменой устойчивых режимов. Подробнее об этом см. [177].
Уравнение (19.1.4) в случае слабой связи, когда А\ я* Аю и А2 ъ А2о, позволяет
вычислить частоту биений ω^ вблизи границы области синхронизации. Как и для
генератора Ван-дер-Поля, находящегося под воздействием гармонической внешней
силы, частота биений равна
α>6 = ^Δ2 - Δ2 . (19.1.17)
Выражение (19.1.17) справедливо, когда Δ <^С μι,2· При расстройках, сравнимых
с /ι1|2ϊ амплитуды Alf2 из уравнений (19.1.4), (19.1.5) исключить нельзя и нужно
рассматривать систему уравнений полностью. Такой расчет приближенно проведен
в книге [177]. В результате оказалось, что характер зависимости частоты биений от
расстройки зависит от суммы фаз коэффициентов связи ΰχ + ΰ2. В частности, при
ΰχ +ΰ2 = 0 кривая α>6(Δ) пересекает асимптоту Ыб = Δ в некоторой точке Δ = Δ*,
а затем проходит выше асимптоты. При ΰχ + ΰ2 = ±π зависимость частоты биений
о>б от расстройки Δ везде проходит ниже асимптоты, монотонно приближаясь к ней
при увеличении расстройки Δ. Качественные зависимости ω^(Α) в двух указанных
случаях показаны на рис. 19.1 а.
Рассмотрим теперь случай сильной линейной связи между генераторами,
предполагая, что генераторы являются идентичными, т.е. μι = μ2 = μ, αχ = α2 = α,
βχ = β2 = /?, α = с2 = с. Условие сильной связи запишем в виде с ^> μ. Будем
рассматривать два частных случая, когда ΰχ+ϋ2 = ±тг и ΰχ -f- ΰ2 = 0.
В первом случае стационарное решение уравнений (19.1.4), (19.1.5) имеет вид
A' = A^ = ^T0 + J\f^§' «,.(·+ *) = £. (19.1.18)
Решение (19.1.18) существует и устойчиво при Δ < 2с. Оно описывает синхронный
режим. Полуширина области синхронизации Ас = 2с. Заметим, что в
рассматриваемом случае ширина области синхронизации определяется тем же выражением, что
и при слабой связи.

Гл. 19. Взаимодействие автоколебательных систем
387
<щ
Рис, 19.L Качественные зависимости шь от Δ в случаях слабой (а) и сильной (6) линейной
связи при #ι + #2 = ±я* (кривые 1) и ϋι + #2 = О (кривые 2)
Чтобы найти решение вне области синхронизации, удобно перейти к новым
переменным χ = А\ + А\у у = А\ ~ А], и = 4ΛιΛ28ΐη(Φ + t?i), ν = 4ΛιΛ28ΐη(Φ + t?i).
Легко видеть, что переменные ж, у, и и υ связаны между собой алгебраическим
соотношением
4(*2-y2) = u2 + v2. (19.1.19)
В переменных я, у, и и ν система уравнений (19.1.3), (19.1.5) принимает вид
(19Л.20)
Λ * + /? ^ "-/? 2 t η ч
Ж = μ 11 2~ Χ)χ~μ ~Г~ у + Ctij У = μ(1 ~ ах^'
ύ = μ ί 1 — х J u + Αν + 4cs, ν = /ι ί 1 - * ^ л? J ν - Δ«.
В нулевом приближении по малому параметру μ/с уравнения (19Л.20) имеют
следующее решение:
с Δ
х = хо + —Bsin(Qt + ф)у у = уо, и = Bcos(Qt + tf>), v = ν0 - ^r £βιη(Ωί 4- φ),
где Ω = νΔ2 - 4с2 , а ζ0, Уо, ν0, В и У> — постоянные величины. Из условия (19.1.19)
следует, что ж0, Уо> *>о и В связаны между собой соотношениями:
4с*0 + Дг;о = 0, Я2 = 4(^-у2)
(19.1.22)
Будем рассматривать решение (19.1.21) как формулы перехода от быстрых
переменных X) у, и> ν к медленным переменным ж<>, Уо, *>о, В и ф. Учитывая (19.1.22),
выберем в качестве независимых переменных а?о, Уо и ф. Для них получим
следующие усредненные уравнения:
жо
/ α + β \
= μ\1 2~ж°)ж°' Уо=/|(1-а*о)Уо, ^ = 0. (19.1.23)
Стационарное решение этих уравнений имеет вид
2
ж0 =
α + β
, Уо = 0.
(19.1.24)

388
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Равенство нулю разности интенсивностей колебаний генераторов означает, что
модуляция их амплитуд в режиме биений происходит в фазе.
Частоту биений Ыб можно найти из соотношения
ύν — vu
Ф=7П 5Ϊ· (19.1.25)
4(х2 - у2)
Подставляя сюда (19.1.21), (19.1.22), (19.1.24) и усредняя по времени, находим о^ =
Ω =г \/Δ2 — 4с2 . Отсюда можно сделать вывод, что характер зависимости частоты
биений от расстройки Δ при сильной связи в рассматриваемом случае такой же,
как и при слабой связи.
Во втором случае, когда t?i -Ь t>2 = 0, стационарное решение уравнений (19.1.4),
(19.1.5) может быть найдено только приближенно. В нулевом приближении по μ/с
имеем
_ Δ2 + 4ο2 / Δ \
"1 - 2 (α(Δ2 + 2с2) + 2/?с2) V ν/Δ2 4-4с2/ *
^ = 2(α(Δ2 + 2^+2/?ο2) (* * у/А*+ 4*) ' (19Л"26)
сов(Ф + ΰχ) = Tl.
Можно показать, что решение (19.1.26), описывающее синхронный режим,
устойчиво при Δ2 — 2с2 < 0. Отсюда следует, что полуширина области синхронизации
Ас = у/2с.
Для расчета режима биений вне области синхронизации сделаем ту же замену
переменных, что и в предыдущем случае. Тогда для х, у, и и ν получим следующие
уравнения:
Λ α + β λ <*-β 2 · η ч _,
« = Ρ ( 1 2~ж/ ~ ^ ~2Γ~у ' ^М1"**)^™»
(19.1.27)
/ α+β \ ( α + β \
и = /i f 1 — χ I u + Δν — 4cy, ν = μ I 1 — χ 1 ν - Δη.
В нулевом приближении по малому параметру μ/c решение уравнений (19.1.26)
имеет вид
с Δ
х = х0, у = уо + — 5sin(0t + φ), и = i?cos(Ot+ ^>), v = ν0 - — J3sin(fit + ^),
(19.1.28)
где Ω = >/Δ2 4* 4с2 , a χο, Уо, νο, В иф — постоянные величины. Из условия (19.1.19)
получаем, что хо, Уо> *><ь В связаны между собой следующими соотношениями:
VQ
4с о Δ2/ 2 В2\
= дУо, »8=nr(«o-TJ· (19.1.29)
Рассматривая, как и раньше, решение (19.1.28) как формулы перехода от быстрых
переменных к медленным и выбирая в качестве независимых переменных х0, В и

Гл. 19. Взаимодействие автоколебательных систем
389
ψ, получим для них следующие усредненные уравнения:
А. = *((l " ^хо)хо - 1^(Δ^ - (Δ' - 2с>)В>)) ,
(19.1.30)
β = ρ(ΐ-((3α + /?)Ω2-(α-^)Δ2)^)Β, <U 0.
Уравнения (19Л.30) имеют два стационарных решения
4Ω2 8Ω2
Χο=(3α + /?)Ω2-(α-/?)Δ2' * ~ (За + /?)Ω2 - (а - /?)Δ2 ; (19Л·31)
2Ω2
*° = α(Ω* + Δ*)-Μ/^ β = °· (19U2)
Как следует из (19.1.29), для решения (19.1.31) уо = Щ = 0, а для решения (19.1.32)
Уо = ±*0Δ/Ω, vo = ±4χ0£/Ω. Из (19.1.28), (19.1.31) находим
A2lf2 = ^ (l ± ^ 8ΐπ(Ω* + V)) , tg (Φ + ΰι) = - ~ctg (Ω/ + φ).
Отсюда видно, что в режиме биений, описываемом решением (19.1.31), происходит
противофазная модуляция интенсивностей колебаний генераторов с частотой Ω и
глубиной 2c/Q. Решение (19.1.32) описывает режим синхронизации, для которого
выражения для интенсивностей А2, А\ и разности фаз Φ совпадают с (19.1.26).
Нетрудно показать, что частота биений ω^, как и в предыдущем случае равна
Ω. При Δ = Ас имеем Ω = VEc, т.е. при выходе из области синхронизации частота
биений изменяется скачком. Зависимости частоты биений от расстройки Δ для
обоих рассмотренных случаев представлены на рис. 19.1 б.
Из рис. 19.1 видно, что два механизма синхронизации, рассмотренные в
предыдущей главе, в случае взаимной синхронизации двух генераторов проявляют себя
.только при условии ϋχ + #2 = 0.
Заметим, что мы ограничились рассмотрением только случая, когда генераторы
связаны непосредственно друг с другом. Интересные особенности возникают при
синхронизации генераторов, связанных через некоторый пассивный колебательный
элемент, например, колебательный контур (166, 136]. К этой же задаче сводится и
пример синхронизации маятниковых часов, подвешенных на легкой балке, который
был описан Гюйгенсом.
19.2. Взаимная синхронизация трех и более связанных
генераторов периодических колебаний
Результаты детального исследования проблемы синхронизации трех и более
связанных генераторов изложены в работах [93, 276] и книге [177]. Интересное
численное исследование синхронизации четырех связанных генераторов Ван-дер-Поля
проведено в [109]. Здесь мы остановимся только на частном примере связанных в

390 Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
цепочку генераторов Ван-дер-Поля и Ван-дер-Поля-Дуффинга. Предполагая, что
на каждый генератор влияет только предыдущий, а параметры всех генераторов
за исключением собственных частот одинаковы, запишем уравнения цепочки
генераторов Ван-дер-Поля в виде
itj - μ(1 -ax*)ij+u>]xj = cii,_i 4- c2Xj-u j = 1,2,. ..,ΛΓ. (19.2.1)
При достаточно слабой связи, определяемой коэффициентами ci, с2 и μ <^ ω^
решение уравнений (19.2.1) можно искать в виде
*i = \(Raeiu"+ кс)> (19.2.2)
N
где ω = (Ι/Ν) Σ luj, Rj — комплексная амплитуда колебаний j-ro генератора. В
первом приближении по малым параметрам уравнение для Rj имеет вид
ki = 2 (1 + 2,'lf " bRj?)Ri+12(Cl ~ lf)Ri-u (19·23)
где Δ^ = Wj; — ω — расстройка частоты j-го генератора. Чтобы уравнение (19.2.3)
было справедливо для всех j от 1 до N, нужно наложить граничное условие До = 0.
Уравнение (19.2.3) эквивалентно двум следующим уравнениям для
действительных значений амплитуды Aj и фазы φ:
Aj = 2 О ~ 1^) Aj + ^(С1С°8Ф' - %™*i)4-u (19.2.4)
φ, = Ai - 5 (Cl Sin *' + S С°8Ф') ~^ ' (19.2.5)
где Φj = <pj· — ipj-i — разность фаз колебаний j-ro и j — 1-го генераторов. В случае
слабой связи в уравнениях для фаз (19.2.5) можно положить Aj « Ло = 2/л/с*.
Тогда получим систему уравнений для определения стационарных разностей фаз
Φj) соответствующих синхронному режиму:
Δ2 ι — -(cisin<&2 + —совФ2) = 0,
2 \ ω /
(19.2.6)
Ajj-i ~ 2 (βι(8ίηφ> ~sin*i-i)+ ~(cos^ *-СО8ф^-0) = °> i> 3,
где Ajj_i = Δ^· — Δ;·-ι = ljj —(jjj-\. Уравнения (19.2.6) позволяют найти как
значения Фу, так и ширину области синхронизации. Для частного случая N = 3 уравнения
(19.2.6) могут быть записаны в виде
Δ2,ι = с8ш(Ф2 + φ), Δ3>2 -Ι- Δ2>ι = С8Ш(Ф3 + Φ), (19.2.7)
где с = -л/с? + cl/ω2 , φ = arctg — .
I v <jJC\

Гл. 19. Взаимодействие автоколебательных систем
391
.. = Δλγ,λγ-ι = 0, то
Из (19.2.7) следует, что на плоскости Δ2,ι, Аз,2 область синхронизации
заключена внутри параллелограмма, ограниченного прямыми линиями, описываемыми
уравнениями Δ2,ι = ±с, Дз,2 = ±с — Дгд (см. рис. 19.2).
Если генераторы полностью идентичны, т.е. Δ2,ι = Аз,2 =
ОНИ СИНХРОНИЗУЮТСЯ И tgΦ2 = tgΦз = · · · = tg<fc;v = —C2/UJC1.
Принципиально иные результаты получаются, если в
уравнениях (19.2.1) учесть еще реактивную нелинейность,
т.е. в качестве исходных взять уравнения Ван-дер-Поля-
Дуффинга
ax?)xj + ω](1 + yx])xj = c1xj-1 + c2Xj-u
J = l,2 ΛΓ. (19.2.8)
μ(1
Уравнение для комплексной амплитуды Rj при зтом
принимает вид
*-ξ(·+*£-(ί-^0,*|,)*+
(19.2.9)
Рис. 19.2. Область
синхронизации на
плоскости Аг.ь Аз,2 в случае
цепочки трёх
генераторов с однонаправленной
связью
За счет однонаправленной связи между генераторами
их амплитуды растут при увеличении номера j. В силу
зависимости частоты свободных автоколебаний генераторов от их амплитуды, при
увеличении j* эти частоты также должны расти г). Поэтому, начиная с
некоторого номера j> генераторы даже при малых Δ^ выйдут из синхронизма. При этом
первоначально возникнет режим биений. Далее этот режим может перейти в
хаотический, о чем речь пойдет в следующем пункте.
19.3* Хаотизация автоколебаний в системе связанных
генераторов
При достаточно сильной связи между генераторами периодических колебаний
вместо их синхронизации может происходить хаотизация. Процесс хаотизации
наблюдался, например, в работах [8] и [132] при численном и экспериментальном
исследовании связанных генераторов с инерционной нелинейностью, каждый из
которых в свободном состоянии совершал периодические колебания, по форме близкие
к релаксационным. Подобный эффект описан В.И. Сбитневым [291, 292} для случая
взаимодействия двух популяций нейронов, каждая из которых содержит нейроны
двух типов: активаторы, численность которых характеризуется переменными ж»,
и ингибиторы, описываемые переменными у». Уравнения этой системы могут быть
записаны в виде
ii,2 = -xi,2 + th(uit2 + hit2Xit2--byit2) + i(x2ti-xit2)> 2/ι,2 = - ej/1,2 + * th (v+px1>2),
(19.3.1)
1) Для определенности полагаем η/ > О.

392
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
где Uj = щ — hj + b (j = 1,2), ν = νο — р. Уравнения (19.3.1) были численно решены
Сбитневым при фиксированных значениях параметров щ = 0.8, v0 = 4, 6 = 0.5,
ρ = 5, 6 = 0.005, 7 = 0.01, h2 = 1.141 и изменении параметра Αι в пределах от 1.11
до 1.16. В отсутствие связи (при 7 = 0) численность нейронов в любой из
рассматриваемых популяций колеблется периодически, т.е. уравнения (19.3.1) описывают
два генератора периодических колебаний. При Αι = h2 генераторы являются
идентичными и при наличии связи синхронизуются, причем в этом режиме колебания
также являются периодическими. Если Αι φ h2, то возможна хаотизация колебаний.
Сбитневым было показано, что переход от периодических колебаний к хаотическим
в рассматриваемой системе происходит через перемежаемость.
Как показано в работах [492, 354, 355], хаотизация колебаний имеет место и в
системе двух связанных электро-механических вибраторов (рис. 19.3), представляющих
шптй kffnl
а
§
с°11
■Фи
I I
ί «ι
ь
йттпттятпШ
к-Г
щщ
k/2_
иТПя
а
§
Рис. 19.3. Система двух связанных электро-механических вибраторов
собой генераторы с высокочастотными источниками энергии, каждый из которых
описывается уравнениями (18.3.1). Уравнения рассматриваемой связанной системы
имеют вид
dt2
£s(L(xit2)Iit2) + R ^JT + т£ = t/ousinu;*,
dt
Co
(19.3.2)
m 2' + a -^- 4- *i,2*i,2 + cx2)i = F(xlf2} Ilt2)y
где L(x) = L0(l + axx -h a2x2 4- a3x3), F(x,I) = (I2/2)dL(x)/dx. Система
уравнений (19.3.2) численно моделировалась при следующих значениях параметров: ω = 1,
1/у/Ци^ = 0.9, R/2L0 = 0.1, a/2m = 0.005, v/Jfci/m = 0.05, y/k2fm = 0.049, αϊ = 1,
α2 = —0.1, α3 = 0.1, Uo/Lq = 0.03, Lo/™ = 1. Параметр связи с варьировался.
В отсутствие связи (с = 0) оба вибратора совершали периодические колебания с
несколько различными периодами (рис. 19.4 а). Начиная с некоторого значения
коэффициента связи, происходила синхронизация этих колебаний (рис. 19.4 6). При
увеличении связи синхронный режим сохранялся, но период колебаний каждого
вибратора удваивался (рис. 19.4 в). Дальнейшее увеличение коэффициента связи вновь
приводило к обычному синхронному режиму (рис. 19.4 г). Наконец, при достаточно
сильной связи (с > 0.28) происходила хаотизация колебаний, что
продемонстрировано на рис. 19.4 А

Гл. 19. Взаимодействие автоколебательных систем
393
Рис. 19.4. Зависимости χι от времени и проекции фазовой траектории на плоскость χι, хг
при с = 0 (а), с = 0.0005 (<5), с s 0.0015 (β), с = 0.0025 (г) и с = 0.003 (д)
Режим хаотиэации в цепочке связанных генераторов Ван-дер-Поля-Дуффинга,
рассмотренной в предыдущем пункте, наблюдался в работе [83] при численном
моделировании уравнений (19.2.9). Как было указано
выше, благодаря тому, что связь между генераторами
является однонаправленной, амплитуды
автоколебаний и собственные частоты генераторов
увеличиваются при увеличении номера j. Поэтому, начиная с
некоторого значения j, генераторы выходят из синхро-
/
10 15 20 /
низма даже при малых значениях расстройки Δ;·. В
результате возникает режим биений, который затем
переходит в хаотический. Смена режимов колебаний
генераторов при увеличении номера ,;' определялась
по изменению ляпуновской размерности Dl
аттрактора в фазовом пространстве первых j генераторов.
Пример зависимости Dl от j, взятый из работы [83],
приведен на рис. 19.5. Существенно, что размерность не нарастает монотонно, а
Рис. 19.5. Зависимость
ляпуновской размерности Dl от j
при a = 8, μ = 1, с\ = 1,
Δ> = c2/2u/ = 0.855, 3u>7 = 40

394
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
имеет тенденцию к насыщению, что, вероятно, свидетельствует о синхронизации
возникших хаотических колебаний (см. ниже).
19*4» Взаимодействие между генераторами периодических
и хаотических колебаний
При взаимодействии генератора периодических колебаний с генератором
хаотических колебаний может произойти их синхронизация, в результате чего
колебания в обоих генераторах будут либо периодическими, либо хаотическими. Пример
такого взаимодействия был рассмотрен в работе [185], в которой численно
моделировались уравнения двух связанных генераторов, один из которых представляет
собой генератор Ван-дер-Поля, а другой — генератор с инерционным
возбуждением, описываемый уравнениями (18.6.1). Моделированная система уравнений имела
вид
х + 0.75х+х = -20y-17.5x3+citi, у+у = х-*2-ж3, ii-0.1(l-u2)u+w2u = с2х.
(19.4.1)
Случай С2 = 0 эквивалентен действию периодической внешней силы с некоторой
амплитудой В на генератор с инерционным возбуждением. Такое действие
рассматривалось в предыдущей главе. Величина В определяется коэффициентом связи с\.
В частности, с\ = 1 соответствует В = 2. Чтобы проследить влияние коэффициента
связи с2, были зафиксированы значения с\ = 1, ω = π. При с2 < спор «1.2
решение уравнений (19.4.1) оставалось периодическим с периодом Τ = 4, вдвое большим
периода колебаний автономного генератора Ван-дер-Поля. Это означает, что
происходила синхронизация хаотических колебаний первого генератора периодическими
колебаниями второго. При с2 = спор синхронизация нарушалась и возникали
биения, которые существовали в небольшом интервале значений с2. При дальнейшем
увеличении с2 первый генератор начинал колебаться хаотически и, в свою очередь,
вынуждал генератор Ван-дер-Поля также колебаться хаотически. При достаточно
больших значениях с2 спектры колебаний обоих генераторов становились
подобными как по ширине, так и по расположению пиков.
В случае, когда частота автономного генератора Ван-дер-Поля располагалась
вне зон синхронизации первого генератора при с2 = О, уже при малых значениях
с2 происходила хаотизация колебаний генератора Ван-дер-Поля. При дальнейшем
увеличении с2 ширина спектра генератора Ван-дер-Поля увеличивалась до ширины
спектра первого генератора в автономном режиме — происходила синхронизация
периодических колебаний генератора Ван-дер-Поля хаотическими колебаниями
генератора с инерционным возбуждением.
19.5. Взаимодействие генераторов хаотических колебаний.
Общее понятие синхронизации
Взаимодействие между двумя хаотическими автоколебательными системами,
как идентичными, так и различными, исследовалось в работе [185]. В частности,
изучалась система двух связанных одинаковых генераторов с инерционным воэбу-

Гл. 19. Взаимодействие автоколебательных систем
395
ждением, описываемая уравнениями
il,2+0.75il,2+«l,2 = -20yi,2-17'5Si2+CS2)l, У1.2 + У1.2 = *1,2-«1,2-"*1,2· (19.5.1)
При моделировании системы (19.4Л) начальные условия задавались так, чтобы в
отсутствие связи (при с = 0) колебания обоих генераторов были некоррелированы.
При увеличении связи корреляция все более возрастала, т.е. возникала
синхронизация. Пример взаимной корреляционной функции при с = 3 приведен на рис. 19.6 а.
Из рисунка видно, что корреляционная функция имеет максимум при г = 0, что
Рис. 19.6. Взаимная корреляционная функция ΒΧχΧ2(τ) в случаях двух связанных
идентичных генераторов с инерционным самовозбуждением при с = 3 (а) и двух связанных
различных генераторов с инерционным самовозбуждением при с = 1 (б)
говорит о том, что колебания генераторов происходят как бы в фазе.
Интересно отметить, что при синхронизации спектры колебаний генераторов существенно
изменялись, смещаясь в низкочастотную область.
Подобные результаты получаются при взаимодействии двух существенно
различных генераторов с инерционным возбуждением, описываемых уравнениями [185]
Х2 4- 0.5*2 + Ж2 = - ЮУ2 - 20Х2У2 4- CXi, у2 4- 0.1У2 = Х2 + *2>
х\ 4- 0.75xi 4- χι = - 20yi - 17.5х? 4- сх2, у\ 4- у\ = χι - х\ - х\
(19.5.2)
В отсутствие связи колебания обоих генераторов являются хаотическими и не
коррелированными между собой. Спектры колебаний отличаются как по ширине,
так и по расположению пичков. При увеличении коэффициента связи с ширины
спектров выравниваются, а частоты пичков сближаются. Кроме того, между
колебаниями генераторов возрастает корреляция. Пример взаимной корреляционной
функции процессов x\(t) и х2(*) показан на рис. 19.6 б. Ее первый максимум
расположен при τ φ 0, что указывает на некоторый «фазовый сдвиг» между колебаниями
обоих генераторов. В,этом проявляется аналогия с взаимодействием периодических
автоколебательных систем: в случае их синхронизации при наличии расстройки по
частоте колебания парциальных систем оказываются сдвинутыми по фазе, тогда
как при нулевой расстройке они синфазны.

396
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
По мере увеличения связи между генераторами, как идентичными, так и
различными, кроме роста степени корреляции, происходит уменьшение размерности
аттрактора связанной системы до размерности аттрактора, по крайней мере,
одного из взаимодействующих генераторов в автономном режиме. Условие
совпадения размерности аттрактора связанной системы с размерностью аттрактора, по
крайней мере, одной из взаимодействующих подсистем в отсутствие связи мы. и
будем называть синхронизацией автоколебаний. Это определение справедливо для
автоколебательных систем, совершающих как периодические, так и хаотические
колебания.
Сказанное продемонстрировано в работах [201, 492, 354, 355] путем численного
моделирования двух связанных осцилляторов Ресслера и двух связанных систем с
инерционным самовозбуждением, описываемых уравнениями (19.5.2).
Уравнения двух связанных осцилляторов Ресслера можно записать в виде
«1,2 = —У1,2-*1,2*1,2 + С*2,Ь S/1,2 = *l,2 + eyi,2, *1,2 = <*- 0*1,2 + *1,2*1,2· (19.5.3)
В работах [201, 492, 354, 355] значения параметров е = 0.15, d = 0.2, α = 10 были
заданы, а значения параметров Ь\у2 и с варьировались. При 6ι = Ьъ ~ Ь парциальные
системы являются идентичными. Для этого случая найденная зависимость
корреляционной размерности аттрактора связанной системы D от коэффициента связи с
показана на рис. 19.7 а. Мы видим, что размерность аттрактора связанной системы
Рис. 19.7. Зависимости корреляционной размерности аттрактора связанной системы D
от коэффициента связи с для идентичных осцилляторов Ресслера (о) и для различных
(б): штриховые линии показывают значение размерности аттрактора первого
осциллятора в автономном режиме (Αι); β — та же зависимость для двух связанных генераторов
с инерционным самовозбуждением: пунктирная линия показывает знамение парциальной
размерности для первого генератора (Dm), а штриховая — для второго (Dm)
становится приблизительно равной размерности аттрактора одного осциллятора
Ресслера в автономном режиме, только начиная с некоторого значения
коэффициента связи. Таким образом, взаимная синхронизация хаотических автоколебательных
систем, как и синхронизация хаотических систем внешним периодическим
воздействием, имеет пороговый характер.
Бели параметры парциальных систем несколько отличаются друг от друга,
синхронизация также имеет место, но при больших значениях коэффициента связи. В

Гл. 19. Взаимодействие автоколебательных систем
397
качестве примера на рис. 197 б показана зависимость от коэффициента связи с
корреляционной размерности аттрактора связанной системы D для Ь\ = 1, 62 = 0.98.
Для системы (19.5.2) в отсутствие связи размерности Dn\ и Д,2 существенно
различны. Начиная с некоторого значения коэффициента связи с размерность
аттрактора связанной системы D резко уменьшается почти до значения наибольшей
из размерностей подсистем (в данном случае до значения Dm) 2). Зависимость D
от с показана на рис. 19.7 е.
Плавное уменьшение размерности аттрактора связанной системы при
увеличении коэффициента связи в случаях идентичных или слабо отличающихся друг от
друга генераторов и сравнительно резкое ее падение в случае существенно
различных генераторов связаны с двумя различными механизмами синхронизации, о
которых говорилось в предыдущей главе. Мы видим, что эти механизмы проявляют
себя в системах с хаотическими движениями так же, как и в системах с
периодическими движениями.
Синхронизация хаотических колебаний в цепочке связанных генераторов с
инерционной нелинейностью численно и экспериментально исследовалась в работах B.C.
Анищенко с соавторами. Результаты этих работ
отражены в книге [10]. При численном моделировании
использовались следующие уравнения:
xj - (μ - Vj)ij + Zj = cxj-i,
(19.5.4)
где μ =
; = ι,2,
1
Рис. 19.8. Зависимость ляпу-
новской размерности Dl от
числа генераторов j для с < 10~3
(кривая 1), с « 0.05 (2), с = 0.10
(3), с = 0.20 (4), с = 1.00 (5)
1.16, 7 = 0-3, ti(zj) — функция Хевисайда,
.., 10. Параметр связи с варьировался. Для
указанных значений параметров каждый из
генераторов в автономном режиме генерировал
хаотические колебания, которым соответствовала Ляпунов-
екая размерность Z% = 2.187. Если бы
генераторы были независимыми, то размерность цепочки из
j генераторов Dl(J) должна была бы быть равной
jDn · При наличии связи за счет эффекта синхронизации размерность Dl{J)
должна быть меньше, чем jDn \ причем при увеличении j постепенно должно
наступить насыщение размерности. Найденная Анищенко и др. зависимость ляпу новской
размерности Дс от числа генераторов j для различных значений коэффициента
связи с представлена на рис. 19.8. Из рисунка видно, что насыщение размерности
наступает при тем меньших значениях j, чем больше связь. При этом с ростом
связи предельное значение размерности уменьшается. Следовало бы ожидать, что
при дальнейшем увеличении коэффициента связи размерность всей цепочки должна
уменьшиться до размерности i% \ соответствующей одному генератору.
1 ' '"- .1.1 ι·, ι Г I
3) Более детальное исследование зависимости D от коэффициента связи показало, что зга эааи*
симость не авллетсл гладкой, а существуют узкие окна периодичности.

398
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Глава 20. Примеры автоволн и диссипативных
структур в возбудимых средах
20.1. Автоволны горения. Модель волны переброса
Горение представляет собой химический процесс в среде, далекой от
термодинамического равновесия. При достаточно общих предположениях уравнения такого
процесса могут быть записаны в виде [63, 122]
^ = Fi(cbc2l...cfl)+divIJ, (20.1.1)
где Cj — концентрации реагирующих веществ, Fj(c\iC21 ·. сп) — функции,
описывающие локальное взаимодействие компонентов реакции, I, — поток диффузии,
соответствующий j-y веществу. Обычно предполагается, что
η
Ι* = Σ^*ν<*' (20.1.2)
где Djk — элементы матрицы диффузии. Диагональные элементы этой матрицы
называют коэффициентами самодиффузии, а не диагональные — коэффициентами
взаимной диффузии. Коэффициент взаимной диффузии Djk определяет поток j-ro
вещества, индуцированный градиентом концентрации fc-ro вещества.
Мы остановимся на простейшем уравнении вида (20.1.1), получившем
название модели волны переброса (см. гл.5). Как указано в гл.5, эта модель еще в
1937 г. была одновременно предложена А.Н.
Колмогоровым, Г.И.Петровским, Н. С. Писку новым [150] и
Р.Фишером [404]. Несколько позднее, в 1938 г. эта же модель
была использована Я.Б.Зельдовичем и Д.А.Франк-Ка-
менецким для описания волн горения [117, 118].
Полученные ими результаты обобщены в книгах [119, 120,
318]. Уравнение модели имеет вид (см.(5.3.40))
Рис. 20.1. Возможные виды ~ ~3
функции F(c) в уравнении — = F(c) + D ^-j . (20.1.3)
(20.1.3) (кривые 1 и 2) m ϋΧ
Обычно функция F(c) может быть представлена одной
из двух кривых, показанных на рис. 20.1. В первом случае функция F(c)
обращается в нуль в двух точках (с = 0, с = со), а во втором — в трех (с = 0, с = со и
с = с\). В качестве граничных условий зададим условия равенства нулю
производной концентрации с при χ = ±оо, т.е.
<9с
дх
= 0. (20.1.4)
аг=±оо
Легко видеть, что в первом случае состояние равновесия с = 0 апериодически не-
/F'iO)
устойчиво по отношению ко всем возмущениям с волновыми числами к < у —р—^ .

Гл. 20. Примеры автоволн и диссипативных структур
399
Вследствие этого происходит самовозбуждение автоволн. Во втором случае
состояние равновесия с = 0 устойчиво при малых отклонениях. Однако при наличии
начального возмущения, превышающего некоторое критическое значение, это
возмущение будет нарастать, приводя к возбуждению автоволн, т.е. имеет место жесткое
возбуждение.
Найдем форму возбужденной автоволны. Частное решение уравнения (20.1.3),
описывающее стационарную бегущую волну, определяется уравнением
rf2c rrdc „, ч
(20.1.5)
где ξ = χ — Vt, V — скорость волны. В фазовых координатах с, w = dc/άξ уравнение
(20.1.5) принимает вид
di~W' άξ " D D
Отсюда легко найти уравнение фазовых траекторий
^ dw ., _, х
Dw — + Vw + F(c) = 0.
dc
w.
(20.1.6)
(20.1.7)
Общее решение этого уравнения можно записать в виде w = /(с, V, С), где С —
произвольная постоянная. Ее, как и скорость V, можно определить из граничных
условий (20.1.4).
Прежде всего рассмотрим случай, когда F(c) равна нулю в двух точках, как это
показано кривой 1 на рис. 20.1. Решение уравнений (20.1.6), удовлетворяющее
граничным условиям (20.1.4), должно соответствовать фазо- wl
вой траектории, идущей из одной особой точки в другую.
Из этого условия получаем два соотношения:
/(0,К,С) = 0, /(со,1/,С) = 0.
Указанные соотношения позволяют вычислить V и С.
При этом оказывается, что V > Vb, где Vb = 2y/DF'(0)
— значение V, при котором особая точка с = 0, w = 0
превращается из устойчивого фокуса в устойчивый узел.
В сказанном можно убедиться, рассмотрев частный
случай, в котором уравнение (20.1.7) имеет аналитическое
решение. Пусть F(c) = с*с(с2 — с2). Тогда нетрудно
убедиться, что решение уравнения (20.1.7) имеет вид
с\
w = Сс(с— с0).
(20.1.8)
Рис. 20.2. Фазовая
траектория, соответствующая
волне переброса (а) и
форма этой волны (б)
Подставляя (20.1.8) в уравнение (20.1.7) и приравнивая
члены при одинаковых степенях с, находим С = \Ja/2D ,
V = ZcoyJaD/2. Учитывая, что F'(0) = acl, т.е. Vb = 2coy/aD, убеждаемся, что
V/Vo — 3/2\/2 > 1. Найденная фазовая траектория показана на рис. 20.2 а.
Учитывая, что w = dc/άξ, и интегрируя уравнение (20.1.8), получаем
с(0 =
со
1 + ехр(со^) '
(20.1.9)

400
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволяы
Формула (20Л .9) описывает стационарную волну в форме одиночного перепада,
бегущего со скоростью V в направлении оси χ (см. рис. 20.2 б). Заметим, что
распространение этого перепада обусловлено диффузией: его скорость пропорциональна
у/В.
Рассмотрим теперь другой случай, когда F(c) равна нулю в трех точках (рис. 20.1
кривая 2). При этом ограничимся частным случаем, когда F(c) — ас(с0 —с)(с—с\). В
этом случае, как и в рассмотренном выше, уравнение (20.1.7) имеет аналитическое
решение вида (20.1.8) с тем же значением постоянной С. Отличие имеется только в
выражении для скорости волны, которая получается равной V = (со — 2c\)yJaD/2.
Отсюда следует, что скорость волны может быть как положительной, так и
отрицательной: если с\ < со/2, то V > 0, в противном случае V < 0. Первый случай
соответствует распространению состояния «горения! (с = со), а второй —
распространению состояния равновесия (с = 0), т.е. «угасания пламени». В экологии (см.,
например [293]) первый случай называют волной размножения, а второй — волной
вымирания.
20.2. Автоволны в модели Фитц Хью-Нагумо
Как уже говорилось в гл. 5, обобщением модели волны переброса на случай
среды, которая после прохождения возмущения восстанавливает свои свойства,
является модель Фитц Хью-Нагумо, описываемая уравнениями
*« т., ч п&и θν г/ ч
(20.2.1)
где F(u, ν) = ti —u3—v, /(u,rv) = — e(6 + v-f au). При ν = const первое уравнение этой
модели по форме совпадает с (20.1.3). Уравнения (202.1) позволяет описать
формирование и распространение бегущих импульсов во многих физических и
биологических системах. В частности, эта модель в определенных приближениях описывает
особенности распространения нервных импульсов [123, 393, 394, 395]. Обычно
параметры системы (20.2.1) таковы, что она имеет три особых точки, определяемые
уравнениями
ν = - (6 + au), f(u, - (6 + au)) = (1 + а)и - ti3 + 6 = 0.
(20.2.2)
Значения координат особых точек легко находятся из графика функции F(u)>
приведенного на рис. 20.3 а. Точка с координатой и = «2 всегда неустойчива, а точки с
координатами щ и из устойчивы.
F(u,-<b+aU)
Рис. 20.3. Зависимости F(u) (а) и F(u, t/i) (6) при а = 0.5, 6 = 0.3

Гл. 20. Примеры автоволн и диссвпативных структур
401
Приближенное решение уравнений (20.2.1), соответствующее бегущему
импульсу, можно получить в предположении, что е <§С 1. Это условие означает, что
переменная и изменяется значительно быстрее, чем переменная v. Пусть до некоторого
момента времени t — to система находилась в устойчивом состоянии равновесия
с координатами u = tii, ν = νχ = —(6 + au\). И пусть при t = t0 возникло
некоторое возмущение, выведшее систему за пределы области притяжения исходного
состояния равновесия. Тогда, как будет показано ниже, в системе сформируется
стационарный импульс, бегущий с определенной скоростью V, значение которой
определяется параметрами системы. Импульс может бежать как в ту, так и в
другую сторону с одинаковой скоростью. Для приближенного расчета этого импульса
перепишем уравнения (20.2.1), введя бегущую координату ξ = t — x/V:
du Df . D d2u
J7 = /(«>«).
(20.2.3)
Формирование импульса начинается с образования в течение малого промежутка
времени (порядка единицы) при практически постоянном значении ν » ν\ перепада
от значения и\ до значения гц (рис. 20.4, участки 1), где гц — наибольший корень
-1.51
Рис. 20.4. Иллюстрация процесса формирования бегущего импульса в модели Фитц
Хыо-Нагумо: участки 1 соответствуют перепаду от значения и ι до щ, 3 — перепаду
от ύ до us, участки 2 и 4 соответствуют медленному изменению переменных и и υ. Эти
зависимости построены для a = 0.5, 6 = 0.3, е = 0.1
уравнения F(u} νχ) = ti — ti3 — v\ = 0. График функции F(ti, νχ) приведен на рис. 20.3
б. Непосредственной подстановкой в уравнения (20.2.3) можно убедиться, что этот
перепад описывается выражением
и =
«1 + «4β'
βξ
1 + еК '
где β = (3/2) (tij — tij). Скорость перепада равна
V = ±3(u1 + uA)y/D/2.
(20.2.4)
(20.2.5)
На следующем этапе переменные ti и ν начнут медленно изменяться, причем
переменная ti будет практически отслеживать изменения переменной v. Уравнения,

402
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
описывающие изменения переменных и и ν на, этом этапе, имеют вид
u-u3-v = 0, -^ = -e(6 + v + ati). (20.2.6)
«ζ
Эти уравнения нужно решить с начальными условиями ν(ξο) = νχ, ti(£0) = **4· Для
получения аналитического решения уравнений (20.2.6) их удобно переписать в
следующем виде
з du 6+(l+a)ti-ti3 /ЛЛЛ„ч
v = u-u' Щ = ( з«'-1 · (20·2·7)
Решение второго уравнения (20.2.7) может быть записано в неявной форме
("з-игКЗи?- 1) . ti-tii , (ti3 — «ι)(1 — 3ti|) ti — u2 ,
In 1 - m h
Δ «4 — tii Δ it4 — ti2
(20.2.8)
+ fa-t,0(»i»8-i)hiL^Lase( )a
Δ 114 — 113
Отсюда видно, что переменная и будет медленно расти со временем, а
переменная ν убывать (см. участки 2 на рис. 20.4). Эти изменения переменных и и ν будут
продолжаться до того, как они достигнут некоторых значений й и ν, после чего
снова возникнет перепад от значения й до значения щ, где 1x5 — наименьший
корень уравнения F(u, v) = 0. Этот перепад может быть описан тем же выражением
(20.2.4), в котором и\ следует заменить на ϋ, t«4 на щ и ζ на ξ — г, где г —
длительность импульса, определяемая, главным образом, длительностью медленных
изменений переменных и и v. Скорость этого перепада также определяется выражением
(20.2.5), в котором следует произвести ту же замену. В стационарном режиме
скорость второго перепада должна равняться скорости первого. Это условие позволяет
определить значения й и tis- В результате оказывается, что
til + "4
tx =
til +tl4
"5 = ό
+ γ 1 — ^(«ι + "4)2, .
-^1-|(«1+«4)2·
Далее переменная ν начнет медленно нарастать согласно уравнениям (20.2.6),
асимптотически приближаясь к значению ν = νχ, а переменная ti будет медленно
убывать, асимптотически приближаясь к значению ti = щ. В результате система
вернется в свое исходное состояние.
В то время, когда в системе существует импульс, она оказывается практически
нечувствительной к возмущениям. Это время называется периодом рефрактерно-
сти. Период рефрактерности порядка длительности импульса г, которая
определяется из выражения (20.2.8) при ti = й. Очевидно, что г имеет порядок 1/с.
Заметим, что рассмотренный процесс формирования импульса возможен только
если а?/2 < Ь < а.

Гл. 20. Примеры автоволн и диссип&тивиых структур
403
20.3. Автоволны в распределенном брюсселяторе и некоторых
других моделях биологических, химических и
экологических систем
В гл. 13 были изложены некоторые результаты исследования автоколебаний в
сосредоточенном варианте брюсселятора. Здесь мы рассмотрим распределенный
брюсселятор, описываемый уравнениями
l-.-p + D. + A + ftgf. |.(»-„). + βι£. ,20.3.,)
«(0,1) = »(',<), »(0,1) = »(',<), fj«M) = £(<><), |>,<> = ^ </,<)!
Граничные условия для системы (20.3.1) зададим двух типов:
(20.3.2)
£м-£<1.«)-£<М>-£р.О-о. (20.3.3,
Система уравнений (20.3.1) с граничными условиями (20.3.2) или (20.3.3) имеет,
в частности пространственно однородное стационарное решение и — α, ν = b/a.
Записав уравнения для малых отклонений от этого решения ( = и — α, η = ν — b/a
и полагая ξ — Aept~'kx} η = Bept~'kx> найдем дисперсионное уравнение
(р + 1 - 6 + Di*2)(p + α2 + D2k2) + a2b = 0 (20.3.4)
и отношение амплитуд В/А = (р + 1 — 6 + D\k2)/a2. Анализируя дисперсионное
уравнение (20.3.4), можно показать, что при 6 > 1 + а2 рассматриваемая система
обладает абсолютно неустойчивостью. Действительно, к = 0 является кратным
корнем уравнения (20.3.4) для значений р, являющихся корнями квадратного уравнения
р2 + (1 + а2 — Ь)р + а2 = 0. Это уравнение представляет собой характеристическое
уравнение для сосредоточенной версии брюсселятора, рассмотренной в гл. 13 (см.
уравнения (13.4.3)). При 6 > 1 + а2 оно имеет либо два действительных корня, либо
два комплексно-сопряженных корня с положительной действительной частью.
Уравнение (20.3.4), решаемое относительно fc, имеет четыре корня. Поэтому
общее решение линеаризованной системы уравнений для ζ и η имеет вид
4 4
*(*,<) = Σ Aje**-"^ η(χ,ί) = £в^-'*>, (20.3.5)
где к2 = —*ι, *4 = —*з· Подставляя (20.3.5) в граничные условия (20.32) и (20.3.3),
получим соответственно
4
2πη , 2πη
JJ (!_<>-»*;):= 0, т.е. кг = — или к3 =
sink\l sinkzl = 0, т.е., к\ = -т— или А:3 = —.
(20.3.6)

404
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
Подставляя (20.3.6) в (20.3.4), находим характеристические уравнения для первого
и второго типов граничных условий. Они могут быть записаны в виде
P2+(l-b + a2 + (Dl + D2)k2n)p + a2(l + Dik2n) + D2k2n(l-b + D1kZ) = 0, (20.3.7)
где кп = 2πη/1 для первого типа граничных условий и кп = πη/Ι для второго
типа граничных условий. Отсюда находим, что исследуемое стационарное решение
теряет устойчивость апериодически ддя-Значений b и Л„, удовлетворяющих условию
tr>bkn, (20.3.8)
где bkn = 1 + Dik* + α2(1 + Di*2)/Z>2*n, и колебательно, для
«.<*<**., (20.3.9)
где 6£ = 1 + α2 + (Di Η-Da)*2. Неравенство (20.3.9) может быть выполнено лишь при
условии, что £>2*п < д20 + (^1 "~ ^г)*п)> те- ПРИ Достаточно больших значениях
D\. Если £>i < D2, то неустойчивость может быть только апериодической.
При выполнении условия (20.3.8) в системе возбуждаются неподвижные,
периодические в пространстве структуры типа стоячих страт в газовом разряде. Эти
структуры в работах И. Пригожина с сотрудниками [89,254, 542] получили название
диссипатпивных структур. При выполнении же условия (20.3.9) в системе
возбуждаются бегущие волны. Расчет этих волн, как и диссипативных структур, в случае
достаточно малых превышений над порогом возбуждения приведен в книге [181].
Остановимся, в качестве примера, на образовании диссипативных структур.
Будем полагать, что условие колебательной неустойчивости (20.3.9) не может быть
выполнено, т.е. D2k% > α2(1 + (Di - D2)*2).
Как следует из (20.3.8), самовозбуждение диссипативных структур возможно
лишь при 6, превышающем определенное критическое значение, а именно
6 > 6КР = 1 + а
■о
Если 6 близко к 6кр, то только структура с волновым числом кп, ближайшим к
к0 = (a2/Di£>2) , будет возбуждаться. Обозначим это волновое число буквой к и
введем формальный малый параметр е2 ~ (b — δ*)/δ*, где
к.1 + Л^+Й! + йЙ.
dF-l- <*>·'·'·>
Будем проводить решение уравнений (20.3.1) асимптотическим методом. Для этого
сделаем замену переменных, положив
6
ti = a + ey, t/=- + e*. (20.3.11)
Для у и ζ получим следующие уравнения:

Гл. 20. Примеры автоволи и диссип&тивных структур
405
§_(b_1)lf-A-Dl?!!
= е ( - у + 2az + tyz + φ - Ьк)\у,
+ Ьку + α2 ζ - D2 -^ = - e(-y + 2az + tyz + e(6 - Ьк) J у.
(20.3.12)
dz_
dt
Решение системы уравнений (20.3.12) будем искать в виде
у= A(l)cosil>(t,z)+(yi+(2y2 + ... , ζ = VkA{t) cos ψ{1,χ)+(:ζι+ί2Ζ2 + ... , (20.3.13)
где φ(ί,χ) = кх 4- у(<), Λ(ί) an^ ¥>(*) — медленно меняющиеся амплитуда и фаза,
удовлетворяющие уравнениям
«ί2/ι(Λ) + ..., ^=е2*ЦЛ) + ..., (20.3.14)
Уь У2, · ·» *1» *2> · · · — неизвестные функции, V* = — (1+Di k2)/D2k2 — коэффициент
распределения. Подставляя (20.3.13) в уравнения (20.3.12) и приравнивая члены при
t и е2, находим
2(1 + Рхк2) - 6. 2(1 + Р1Л:2)-6*Д α2Κ2„ _ \
" = 2а(62„-Ы COS2^ *1 = 2^ ^"ЙГ^0"2^·
(6-6*-αΛ2)Λ, ^ = 0, (20.3.15)
<М D2*2 ,. . λ2.Α άψ
3 \ + Ргк2 t 2(1 + Ρ!*2)-^/ο, 0Α а.
где a = - — + я r-г— (3δ2* - 26* - 2 - 5£>ι*Τ). Знак коэффициент
4 £>2** 2α'(62* - &*)
та α можно оценить, если положить 6* « 6кр = (1 + /i)2, fc2 « fc2) = α2/μ£>2, где
/i = a\jD\jD2. Тогда получим, что a > 0, если /ii < μ < /i2, где μι « 0.207,
/ι2 » 2.418. Итак, при условии μι < μ < μ2 рассматриваемые структуры
возбуждаются мягко; в противном случае имеет место жесткое возбуждение.
Для получения формы структур в случае их жесткого возбуждения
рассмотренного приближения оказывается недостаточно. Качественное определение формы
структур возможно в предельном случае μ <& 1. Для этого случая во многих
статьях и книгах, начиная со статьи Б.С. Кернера и В.В. Осипова [139], утверждается,
что стационарные структуры при любых значениях параметра b имеют характер
коротких выбросов переменной и, чередующихся с участками медленных ее
изменений. Переменная ν при этом совершает очень слабые медленные колебания, близкие
к гармоническим. Однако, как показано А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузовым [65],
это утверждение справедливо только при 6 < 1, т.е. ниже порога самовозбуждения.
Причина состоит в том, что для возбуждения таких структур необходимо,
чтобы точка с координатой и = а, соответствующая состоянию равновесия системы
уравнений (20.3.1), была седловой особой точкой для уравнения
d2u . ,. _ 2Ь
Dx j^ + a - (6 + l)ti + и2 - = 0.
Легко видеть, что это возможно только при Ь < 1. При выполнении указанного

406
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
условия форма структур в первом приближении по малому параметру μ описывается
выражениями
6а(1 - Ь)
Ь
ехр(- ν/(1 - b)/Dx\x - L|)
(1 + exp(- νΌ-&)/£>!!* - 2,|))
ch (ax/v/il-bJDj)
Γ (0 < * < 21),
(20.3.16)
(0 < χ < L),
(L<x< 21),
u/a, av/b
, ^ b 3(1-6)
v(x) = —μ j—- г- л
a abs\i\aL/^{\-b)D2) [ ch (a(x - 2L)/y/(l - b)D2 )
где 2L — пространственный период структуры. Форма диссипативной
структуры, описываемая выражением (20.3.16), показана на рис. 20.5. При 6, близком к
единице, период структуры 2L приблизительно
равен 2π/Λ « 2π>/μ£>2/α. Число периодов структуры
определяется длиной системы /. Заметим, что
структуры подобного типа получили название контраст-
ных структур.
Кроме распределенного брюсселятора,
представляющего собой пример двухкомпонертной модели
автоволн и диссипативных структур, известны и
исследованы также некоторые другие модели.
Например, в экологии большую роль играет
распределенная модель «хищник-жертва» [293]. В химии для
объяснения возникновения так называемых ведущих
центров, наблюдаемых экспериментально при
колебательных химических реакциях типа реакции Бело
усова-Жаботинского, предложено несколько трех-
компонентных моделей: распределенный орегонатор,
модели, предложенные В.А.Васильевым и А.Н.Заи-
киным [63], М.С.Поляковой [181] и др.
Двумерные модели автоволн дают возможность
описать так называемые спиральные волныу наблюдаемые, в частности, в сердечной
мышце [123]. Заметим, что возможность возникновения спиральной волны вокруг
отверстия в среде теоретически была предсказана и обоснована в классической
работе Н. Винера и А. Розенблюта [638].
1.10
1.05
1.00
Ι Υ1 \\
-1 \7 / \
0 2 4
X/L
Рис. 20.5. Форма
диссипативных структур в
распределенной версии брюсселятора при
(1 - Ь)/Ъ = 0.1, μ = 0.01:
зависимость u(x/L)/a (кривая 1) и
av(x/L)/b (2)
20.4. Автоволны, описываемые обобщенным уравнением
Курамото—Сивашинского
Уравнение Курамото-Сивашинского и обобщенное уравнение, носящее то же
имя, были рассмотрены в гл. 5 (см. (5.3.44) и (5.3.45)). Подставлял в эти уравнения
и = bU, t = (γ/α2)τ и χ = ^/γ/afj, где 6 = α(α/η)χΙ2 для уравнения (5.3.44) и
b = alln(a/f) 12п для (5.3.45), получим следующие уравнения:
д2и д*и
δη2 + θη*
дт
θη
+ и-χ- + ^ + π = о,
(20.4.1)

Гл. 20. Примеры автоволя и диссипативиых структур
407
= 0,
(20.4.2)
д2и д*и а*и
δη1 +<Гдг? + δη*
где σ = β/y/ay. Важно отметить, что уравнения (20.4.1) и (20.4.2) являются
инвариантными относительно преобразования U -¥ —U, η —¥ —η и σ —► — σ.
Различным решениям уравнения (20.4.1) посвящено большое число работ (см.,
например, [540, 455, 370, 424, 617, 531]),В частности, стационарные решения этого
уравнения были численно найдены Д. Михельсоном [530]. Они описываются
уравнением
где С — произвольная постоянная, определяемая из граничных условий. Было
показано, что уравнение (20.4.3) имеет периодические, квазипериодические и
хаотические частные решения.
Частное решение уравнения (5.3.44), описывающее уединенную бегущую волну
в форме так называемого кинка, было впервые найдено Курамото [487]. Оно имеет
вид
η(ξ) = ν
1 +
2 2 V 2 /
(20.4.4)
где ξ = χ — vt} q = \J\la/197, v — (30a/19)g — скорость распространения кинка.
Форма кинка показана на рис. 20.6 а.
2u/Sv
4u/v
9ι
7
6
5
4
3
2
1
О
-10
и
β |
f
5 10
tf/2
Рис. 20.6. Кинк уравнения Курамото-Сивашинского (5.3.44) (а) и решения обобщенного
уравнения Курамото-Сивашинского (5.3.45) для σ = 4 (6) и σ = 12/\/47 (в)
Для ряда значений параметров η и σ частные решения уравнения (20.4.2),
описывающие бегущие автоволны, были получены Н.А.Кудряшовым с сотрудниками
как аналитически с использованием разложения Панлеве [161, 480, 481, 485], так и
численно [2, 486].
Прежде всего, рассмотрим случай η = 1. Для σ = 4 получено решение,
описывающее бегущую волну в виде уединенного импульса, который можно рассматривать
как автосолитон (рис. 20.6 б). Форма этого автосолитона определяется выражением
««)=§*-'
?('"*?)·
(20.4.5)

408
Часть 111. Активные системы. Автоколебания и автоволны
где q = \/<х/у> ν = 6aq — скорость автосолитона. Для σ = 12/\Д7 и <т = 16/>/73
найдены решения в виде волн переброса, описываемые соответственно следующими
выражениями:
■κ> = ϊ[·+(*ί-')1·
где q = y/a/Щ, ν = (60a/47)g,
-w-s
e + th|(tb!f + 5)+4ch-!^
где g = y/ar/737, ν = (90a/73)g. Форма первого из этих решений показана на
рис. 20.6 е.
Другим интересным решением является решение, описывающее периодические
бегущие волны. Как показано Кудряшовым, для того чтобы найти это решение при
σ = 4, нужно подставить в уравнение (20.4.2) новую переменную
dz
«С
где С\ — произвольная постоянная, а ζ — решение уравнения
•Л
(20.4.6)
в котором С = V — VT> i4 = (1 + Ci — V)/5.
Решение уравнения (20.4.6) выражается через эллиптический косинус Якоби в
виде
ζ = ζ0 + Βαι2«, k), (20.4.7)
где k2 = (1/2) (l - <V3/(100-C2)),
a2 =
B =
2^3 + (1 - 2k2)2 '
3Ck2
l-2k
2>
(20.4.8)
(20.4.9)
С = z0 + bA — произвольная постоянная.
Итак, решение уравнения (5.3.45) в случае среды длины / может быть записано
как
<*) = · + «^[с - 1 + *» (J£«, k) („В (Ji «ί, к) -
2a sn
(20.4.10)

Гл. 20. Примеры автоволя и диссипативных структур
409
Решение (20.4.10) содержит две произвольные постоянные С и v. Постоянная С
может быть определена из условия периодичности решения. Бели длина среды равна
/, то
а«/^- = 2К(к2), (20.4.11)
у η m
где К(к2) — полный эллиптический интеграл первого рода, m — целое число.
Подставляя (20.4.8) в (20.4.11), получим трансцендентное уравнение для квадрата
модуля эллиптической функции к. Можно показать, что это уравнение имеет решение
только если I > /кр = 2тг<у/тЛ* · Это решение легко может быть найдено
графическим путем.
Постоянная С выражается через к2 следующим образом:
С= /Ц'-»'» ■ (20.4.12)
^3 + (2к2-1)2
Подставляя далее (20.4.12) в (20.4.9), находим
Д= , 30к2 (20.4.13)
^/3+(2к2-1)2
Заметим, что значение скорости волны ν и число длин волн m не могут быть
найдены из условия периодичности. Вероятно, скорость ν определяется начальными
условиями. Значение m может быть оценено из следующих соображений. Любое
решение уравнения (5.3.45) в форме u = tip = const неустойчиво по отношению к
возмущениям с волновыми числами к < y/ajy. Это очевидно из дисперсионного
уравнения
ρ = *2(α - γ*2) + гк(щ - /?/с2), (20.4.14)
которое может быть получено из уравнения (5.3.45), если возмущения задать в виде
exp(pt—ίκχ). Отсюда видно, что инкремент будет наибольшим для к — ко = \/α/2η ,
т.е. для возмущений с длиной волны А = //т, которая* ближе всего к λ0 = 2π/κ0.
Это условие позволяет определить т.
Численное моделирование уравнения (5.3.45) с периодическими граничными
условиями [2, 486] показало, что при σ « 4, бегущая периодическая волна, близкая по
форме к волне, описываемой выражением (20.4.10), формируется со временем,
независимо от начальных условий. Пример формирования такой волны из белого шума,
заданного в начальный момент времени, показан на рис. 20.7 а, заимствованном из
[486]. Мы видим, что число длин волн m равно 5. Отношение Ι κ λ0 для указанных
выше значений параметров приблизительно равно 5.627. Таким образом, сделанная
оценка оказалась правильной.
При других значениях σ, удовлетворяющих условию σ > σκρ «0.3,
периодические бегущие волны также образуются, но их форма и амплитуда зависят от σ. Чем
больше σ, тем больше амплитуда волны. При σ < σκρ вместо периодических волн
формируются хаотические (см. рис. 20.7 <ί [486]).

410
Часть III. Активные системы. Автоколебания и автоволны
l.Or
0.81
0.61
0.41
0.21
г Г"[1Г" л
Рис. 20.7. Иллюстрация процесса образования стационарной волны из белого шума при
/ = 10, a = 0.25, 7 = Ю~2, σ = 4 (α) и σ = 0(5). Кривые 1 соответствуют £ = 0, 2 — t = 1,
3 — * = 2, 4 — t = 3 (о) и t = 4 (б), 5 — t = 4 (α) и t = 6 (tf), б — * = 5 (а) и * = 8 (<*), 7 —
t = 6 (а) и t = 10 (б), 8 — t = 8 (а) и t = 20 ((*)

Часть IV
Автоколебания в жидкостях и газах и
переходы к турбулентности
Мы выделили проблемы возбуждения автоколебаний в жидкостях и газах и переходов
к турбулентности в отдельную часть ввиду их специфичности и исключительного
интереса. Традиционно этими проблемами занималась и занимается гидродинамика. Однако
их рассмотрение с точки зрения теории колебании и волн является вполне оправданным и
очень полезным как для самой этой теории, так и для гидродинамики.
Глава 21. Конвективные структуры и
автоколебания в жидкостях и газах.
Переходы к турбулентности в
замкнутых течениях
21 Л. Неустойчивость Ρ елея-Тейлора и начальная стадия
возникновения термоконвекции в плоском слое
Неустойчивость границы раздела двух жидкостей с разными плотностями,
возникающая в случае, когда более тяжелая жидкость находится выше более легкой,
получила название неустойчивости Релея-Тейлора [564,
609]. Именно эта неустойчивость является причиной
возникновения конвективных валов в жидкости,
подогреваемой снизу. Рассмотрим эту неустойчивость,
исходя из линеаризованных уравнений Эйлера для
идеальной несжимаемой жидкости и уравнения
непрерывности. Пусть для простоты граница раздела
расположена перпендикулярно направлению силы тяжести Рис. 21.1. К теории неустой-
(рис.21.1). Проведем ось χ вдоль границы раздела, а чивости Релея-Тейлора
ось у — перпендикулярно к ней. Тогда будем иметь
следующие уравнения:
дщу2 1_ дрХ}2 dvi)2 _ 1_ дрХ)2 _ диХу2 dv\ti
9t " Plt2 дх ' dt " plt2 ду 9у дх + ду ~U* (П Л)
Граничные условия для уравнений (21.1.1) имеют вид
6(*,0 = С2(*,*) = С Pi(*,(M)=P2(*,(U), (21.1.2)
где Ci,2(s>0 — смещения вдоль оси у точек поверхности раздела. Так как
направленное смещение частиц жидкости вдоль поверхности раздела отсутствует, то
^ = »1,а(х,<М). (21.1.3)
~х
1

412 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
Сделаем в уравнениях (21.1.1) замену переменных, введя
Ρι,2 = Ρι,2 + />ι,2£ΙΛ (21.1.4)
Исключая из уравнений (21.1.1) переменные t*i>2 и νχ^, получим для давлений
р((х, у, t) (г =1,2) уравнение Лапласа
аар;(*,у,<) , 02рН*,у,*)_п
дх2 ду2
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям обращения в нуль
при у = ±оо, имеет вид
p\(x,y,t) = Лхе'М-**)***, p'2(x,y,t) = Аге^-^-х*. (21.1.5)
Подставив (21.1.5) во второе уравнение (21.1.1), найдем vi^(x,yyt):
Vl = JL Аге«»*-к'»кУу v2 = - — Лае··^*-*·)-*». (21.1.6)
Подставляя (21.1.5) и (21.1.6) с учетом (21.1.3) и (21.1.4) в граничные условия (21.1.2),
получаем для амплитуд Αχ и А^ следующие уравнения:
^ + ^=0, ^-^2 = A(l-^W (21.1.7)
Pi Pi ω2\ pxj
Условие равенства нулю детерминанта системы (21.1.7) дает дисперсионное
уравнение, которое можно записать в виде
ш2 = -кд&^. (21.1.8)
Р2 + Pi
Таким образом, при />2 > />ь т.е. когда более тяжелая жидкость находится
сверху, величина ω является чисто мнимой и все возмущения нарастают со временем.
Перейдем теперь к рассмотрению явления термоконвекции. Классическая задача
о термоконвекции относится к плоскому слою жидкости, подогреваемой снизу. При
достаточно малых градиентах температуры жидкость находится в стационарном
состоянии и конвекция отсутствует. При этом средние скорости частиц жидкости
равны нулю, а распределение температуры монотонно. При увеличении градиента
температуры описанное стационарное состояние теряет устойчивость и возникают
конвективные валы (см., например, [371]). Это проявляется в том, что более теплые
слои жидкости непрерывно поднимаются вверх, а более холодные — опускаются
вниз. Возникает двумерная структура, имеющая ярко выраженный регулярный
характер. При дальнейшем увеличении градиента температуры конвективные валы
в свою очередь становятся неустойчивыми и могут возникнуть трехмерные
структуры типа ячеек Бенара [89]. Дальше с ростом градиента температуры ячеистая
структура конвекции также теряет устойчивость и в конце концов возникает хаос
(турбулентность). В настоящем разделе будет рассмотрен начальный этап
возникновения конвекции, а именно, потеря устойчивости стационарного состояния.

Гл. 21. Конвективные структуры и автоколебания в жидкостях и газах 413
В качестве исходных используем уравнения Навье-Стокса, уравнение
непрерывности и уравнение теплопроводности. В так называемом приближении Буссинеска
эти уравнения можно записать в виде
du du du du 1 dp A dv dv dv dv 1 dp
at ox ay dz po ox at ox oy dz p0 dy
dw dw dw dw 1 dp Λ ,
-5Γ + υ-^ + ν^ + υ,-^ = -70Τζ+ι/Αυ> + α9ϋ' (21L9)
du dv dw n du du du du A . „
di+d-y + ^ = 0· m+udi + v^ + wdl = KAU + 0w'
где u, t/и to — составляющие скорости жидкости, po — плотность жидкости в
отсутствие подогрева, ρ — отклонение давления жидкости от статического
давления ро — Po9zi 9 — ускорение свободного падения, и — кинематическая вязкость,
α = —(l/po)dp/dT — коэффициент объемного расширения, ϋ — отклонение
температуры Τ от стационарного значения Τ^(ζ) = То — /?*, Т0 — температура на
нижней границе слоя жидкости, β — градиент температуры, к — коэффициент
теплопроводности.
Чтобы исследовать устойчивость стационарного состояния, соответствующего
отсутствию конвекции, линеаризуем уравнения (21.1.9) и исключим из этих
уравнений и, ν и р. Тогда получим уравнения для w и ϋ:
dAw
= ^(0 + 0)+"ΔΔ^ ^ = *At> + /?u>. (21.1.10)
Полагая толщину слоя жидкости равной Л, выведем для уравнений (21.1.10)
граничные условия. Поскольку температура на нижней и верхней границах жидкости
поддерживается постоянной, то
t?(s,y,0,0 = tf(*,y,M) = 0. (21.1.11)
Кроме того, очевидно, что
w(x)y)0)t) = w(x)y)h)t) = 0. (21.1.12)
Далее, если слой жидкости ограничен твердой неподвижной поверхностью, то на
ней горизонтальные составляющие скорости равны нулю. Отсюда и из уравнения
непрерывности следует, что на этой поверхности
dw
а7 = 0· (211лз)
Если же поверхность жидкости свободна, то на ней dp/dz = 0 и, как следует из
третьего уравнения (21.1.9) и граничных условий (21.1.11), (21.1.12), имеем
d2w
^ = 0. (21.1.14)
Будем искать решение уравнений (21.1.10) в виде
w = Wexpipt - i(kxx + kyy + kzz)\, ϋ = θexpipt - i(kxx + kyy + kzz)\. (21.1.15)

414 Часть /V. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
Подставляя (21.1.15) в (21.1.10), получаем
^4 + (2*> + £)*» + (*а + £)*а)^-2^* = о, £w-(*,2 + *2 + ^)* = o,
где k2 = k% + k%. Отсюда находим дисперсионное уравнение
(21.1.16)
М±*!р2 + (*? + *2)2 (1 + Pr)p + (kl + fey - ^ = 0, (21.1.17)
где Рг = ι//к — число Прандтля, Ra = afigh4/ni/ — число Релея. Уравнение (21.1.17)
относительно к2 является кубическим и поэтому имеет три корня. Если корни
некратные, то решение уравнений (21.1.10) с учетом (21.1.15) может быть
представлено в виде
з
w = 5^(А; sinkzjZ + Bj cos kzjZj expfpt — i(kTz + fcyy)J,
i=i
(21.1.18)
3
ΰ = 22 fy Mi s*n **iz + fy cos kzjz) expfp* — i(kxz + kyy)J ,
i=i
где Arzj — корни уравнения (21.1.17), $j = /?/(/c(fc2 + A:2) + p) — коэффициенты
распределения, Aj и Bj — произвольные постоянные. Подставив (21.1.18) в граничные
условия (21.1.11)—(21.1.14) и зная kzj, можно записать характеристическое
уравнение, связывающее ρ и к. Начиная с Релея [564], который первый решил наиболее
простую, хотя и физически нереальную, задачу о термоконвекции в плоском слое
со свободными границами, именно этот случай чаще всего рассматривается в
литературе. Дело в том, что другие случаи не поддаются аналитическому решению.
В случае свободных границ из граничных условий (21.1.11), (21.1.12) и (21Л.14)
находим, что Аъ = А$ = В\ = В2 = Въ = 0, kz\ = πη/Λ, где η = 1,2,—
Подставляя теперь найденные собственные значения волнового числа кг в
дисперсионное уравнение (21.1.17), можно найти зависимость ρ от к. Нетрудно
убедиться, что при действительных к значения ρ являются действительными, и поэтому
граница устойчивости определяется из условия ρ = 0. Полагая теперь в (21.1.16)
ρ = 0, к ζ = kzn = πη/Λ, найдем значения числа Релея Ra, соответствующие границе
устойчивости для kz = kzn: Ra = Ran = (π2η2 + k2h2)3/k2h2. Отсюда следует, что
граничное значение числа Релея минимально для η = 1 и к2 = к2 = n2/2h2. Это
минимальное значение граничного числа Релея, называемое критическим, равно
RaKp = 27тг4/4 к 657.5.
Решим для сравнения ту же задачу для случая, когда слой жидкости снизу
ограничен жесткой поверхностью, т.е. при ζ = 0 должно удовлетворяться граничное
условие (21.1.13). Так как мы интересуемся границей устойчивости, можно сразу
положить ρ = 0. При этом условии дисперсионное уравнение (21.1.17) имеет корень
тройной кратности
*' = (ί^)1/3-*2· <21ЛЛ9>

Гл. 21. Конвективные структуры и автоколебания в жидкостях и газах 415
В силу этого решение уравнений (21.1.10) может быть представлено в виде
ΰ = ((Αχ + Α2ζ + Α3ζ2)sinkzz + (Βλ + Β2ζ + Β3ζ2) cos kzz} exp(pt - i(kxx + kyy)\,
(21.1.20)
w = - ^ ((2Лз - 2(Я2 + 2B3z)kz - (*J + fc2)(^! + A2z + Л3г2)) sin *,*+
+ (2B3 + 2(Л2 + 2A3z)kz - (*J + *2)(Si + B2z + B3*2)) coskzz) χ
χ exp(pt - i(fc*x + *ууП.
Подставляя (21.1.20) в граничные условия (21.1.11)—(21.1.13) для нижней
поверхности и (21.1.14) для верхней поверхности, получим систему линейных однородных
уравнений относительно неизвестных постоянных Aj и Bj. Условие равенства нулю
детерминанта этой системы дает характеристическое уравнение, решение
которого совместно с (21.1.19) позволяет найти критическое число Релея. Оно получается
больше, чем для случая свободных границ [371].
Рассмотрим теперь нелинейные уравнения (21.1.9) вблизи границы
неустойчивости стационарного решения. Полагая в этих уравнениях ν = 0 и исключая из них
давление р, получим следующие уравнения:
du dw
S + ^ = 0. (21.1.21)
d&™ 9 , Α Α λ 32ϋ
-эГ + θϊ{uAw " wAu) = ** «ζ? + иААщ
θϋ du du A Λ Q
lt+udi + wTz=KAU + f}w'
(21.1.22)
где Δ — двумерный оператор Лапласа.
Введем малый параметр μ2 = β - /?кр, где βκρ = RaKp/ci//a^/i4, и произведем
в уравнениях (21.1.21), (21.1.22) замену переменных: и = jitii, w = μιν\} ΰ = /л?!.
Тогда уравнение (21.1.21) не изменится, а уравнения (21.1.22) примут вид
dAw δ2ϋ d
~3ϊ— agЪх2 ~uAAw~~μΊ&(uAw""™Δίχ)>
- κΔ0 - βκρυ) = μ (-"^Γ"™ 3J + /"") · )
Будем считать, что вблизи порога возбуждения возникают волны с
пространственным периодом, определяемым волновым числом к0, для которого критическое число
Релея минимально. Тогда для случая свободных границ слоя жидкости
приближенное решение уравнений (21.1.23), (21.1.21) вблизи порога возбуждения конвективных
)Индекс 1 здесь опущен.

416 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
валов можно искать в следующей форме:
w = Wn(t)sm — exP(""-^r ) ^ ^Z^Wnm^sm^JTexp \ T/^h ) + KX·'
u = - ίν^ί Wn(t) cos у exp (- ^=r- j +
_^nm(<)cos1-exp^--^-J 1 +к.с, (21.1.24)
„ /.ч . τζ / ΐπχ \ . ... . πζ . .,. . 2πζ
t? = eu(t)am η- exp I - -7=- 1 + /i0lo(<)s»n -г- + ^2о(08ш -у +
Σ. ... ηπζ / imirx\
9nm(t)sin — exp I - -7=- I + K.c,
где m, η = 1, 2. Подставляя (21.1.24) в уравнения (21.1.23) и приравнивая члены при
одинаковых гармониках, получаем
dWn 3i/jr2 «ί <»ιι _ 3κπ2 πμ2
(21.1.25)
άθ20 _ 4π2κ 2π
-^---лз-^-т^11'11·
Отметим, что в уравнения (21.1.25) не входят амплитуды мод W\21 W^i, W22, #12>
#ιο, #21 и 022· Путем введения новых переменных уравнения (21.1.25) можно свести
к уравнениям Лоренца (5.3.32). Для этого надо положить
rfler=Ra/RaKp.
Приближенное решение уравнений (21.1.25) может быть получено
асимптотическим методом Крылова-Боголюбова. Для этого положим
где e = /i2, cL4/(ft = ^Λ(Α) -f ... и wn,..., t?n,..., #2<h · · ·, Λ, ·.. — неизвестные
функции. Подставляя (21.1.26) в уравнения (21.1.25) и приравнивая члены при
первой степени е, получим систему уравнений относительно и>ц, 1>ц и #2о· Из условия
совместности этой системы найдем уравнение для A(t):

Гл. 21. Конвективные структуры и автоколебания в жидкостях и газах
417
Отсюда следует, что возбуждение конвективных валов происходит мягко и в
стационарном режиме
2<к>Д ίβ-βκρ . ™
«(«.*) = -ρΓ\/ΊζΓ
πζ
smTcoeWh + -
Λ/ χ 4ρΚρ /;
πχ
COS —·= h
л/2Н
Acp
. πζ πζ
81П -r* COS -τ=~
А \/2Л
+ ..
Рис. 21.2. Траектории
частиц жидкости вблизи
границы возбуждения
конвективных валов
Таким образом, вблизи границы возбуждения конвективных валов частицы
жидкости движутся по эллипсам (рис. 21.2).
Некоторые более сложные задачи, связанные с термоконвекцией, например,
термоконвекция во вращающейся жидкости или в слое, состоящем из двух несмешива-
ющихся жидкостей, рассмотрены в работах Ф. Буссе и др. (см., например, [366, 367].
21*2» Термоконвекция в тороидальной трубе.
Уравнения Лоренца
Бели при рассмотрении конвекции в плоском слое жидкости мы получили
уравнения Лоренца в качестве приближенных, то некоторое изменение постановки задачи
приводит к этим же уравнениям в качестве точных.
Рассмотрим конвективное течение жидкости в подогреваемой
снизу тороидальной трубе, расположенной в вертикальной
плоскости (рис. 21.3) [236, 577, 636]. Пусть труба
заполнена несжимаемой жидкостью, которая при температуре То
имеет плотность ро. Предполагается, что на стенках
трубы поддерживается некоторая стационарная температура
Th{<p)> являющаяся четной функцией угла φ. Кроме того,
будем предполагать, что температура и угловая скорость
жидкости одинаковы во всем поперечном сечении трубы, а
также что на жидкость действует сила трения,
пропорциональная ее скорости. Тогда, интегрируя уравнения
движения жидкости в приближении Буссинеска по площади
поперечного сечения и по углу φ, получим
Зш = -R2g Φ p8in<pd<p-hu>f (21.2.1)
Рис. 21.3.
Схематическое изображение
конвективного течения
жидкости в
тороидальной трубе,
расположенной в вертикальной
плоскости и
подогреваемой снизу
где J — момент инерции жидкости, R — средний радиус окружности, образуемой
трубой, ρ — плотность жидкости, зависящая от ее температуры Τ по закону
p = po(l-a(T-T0j),
(21.2.2)

418 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
h — коэффициент трения. Предполагая далее, что теплообмен между стенками
трубы и жидкостью пропорционален разности их температур, уравнение
теплопроводности можно записать в виде
Ж+«£ = -Чт-^>)+*0· (2123)
где К — коэффициент теплопередачи, к — коэффициент теплопроводности.
Разложим Τκ(φ) и Τ(φ,ί) в ряды Фурье по углу φ. Учитывая четность функции
Th((f), имеем
оо оо
ΤΗ(φ) = То +,£тпсовП¥>, Τ{φ,ί) = To + a0(t) + ^2[an(t) cos ηφ + bn(t) sin ηφ).
n=l n=l
(21.2.4)
Подставляя (21.2.2) и (21.2.4) в уравнения (21.2.1) и (21.2.3), получаем
3ώ- ap°j?R fei-/m, άι = -u;bl-(K + K)ai+KTly Ьг = ωαχ -{К + к)Ь1у (21.2.5)
άο = ~#αο, άη = -nu;bn-(K + η2κ)αη + ΚΤη> bn = ηωαη - (Κ + п2к)Ьп (η ф 1).
(21.2.6)
Мы видим, что в найденной системе уравнений (21.2.5), (21.2.6), которая
полностью эквивалентна исходной системе (21.2.1) и (21.2.3), первая группа уравнений,
объединенная под номером (21.2.5), не зависит от всех остальных. Именно эта
группа уравнений легко преобразуется к стандартной форме уравнений Лоренца
dx , ч dy dz
— = <r(2/-s), -^ = -y + rx-zxy — = xy-bzf
где
__ apogR2 m ___
о = A) r — n/ T, rr -Ί» σ == τ/ jr г » x =
2(Х + /с)Л *' J(A' + /c)' K+k'
21.3. Начальная стадия возникновения биоконвекции
Перейдем теперь к рассмотрению так называемого явления биоконвекции,
которое по своей природе аналогично термоконвекции [181]. Из экспериментов [507]
известно, что в водных суспензиях некоторых микроорганизмов спонтанно
возникают очень близкие к периодическим пространственно-временные структуры,
похожие на такие же структуры при термоконвекции (рис. 21.4). В опытах с
простейшей Tetrabymena pyriformis показано, что подобные структуры образуются только
тогда, ког^да глубина слоя суспензии и концентрация организмов превосходят
некоторые критические значения. Вид возникающей структуры зависит как от
глубины суспензии, так и от концентрации и подвижности микроорганизмов. Указанное
явление биоконвекции наблюдается только для организмов, способных совершать

Гл. 21. Конвективные структуры и автоколебания в жидкостях и газах 419
активные плавательные движения. Существенно при этом, что все организмы
преимущественно движутся вверх, против силы тяжести. Это явление получило
название «отрицательный геотаксис». В настоящее время наличие отрицательного
геотаксиса для целого ряда микроорганизмов, включая простейшую Tetrahymena pyri-
formts, твердо установлено. Так как плотность микроорганизмов несколько больше
плотности воды, то вследствие отрицательного геотаксиса плотность верхних
слоев суспензии становится больше плотности низлежащих слоев. Это и приводит к
возможности возникновения биоконвекции.
Математическая модель описанного явления была построена В. Чилдрессом, М.
Левандовским и Е.Шпигелем [372]. В соответствии с работой [372] выберем в
качестве динамических переменных составляющие вектора
скорости частиц суспензии V = {u>v,w} и концентрацию
микроорганизмов с = nVo, где η — среднее число
организмов в единице объема суспензии, Vo — объем,
занимаемый одним организмом 2). Через переменную с
плотность суспензии ρ можно представить в виде
Рис. 21.4. Схематическое
ρ = ро(\ — с) + ртс = ро(1 И- ас), (21.3.1) изображение движения
о о
микроорганизмов в
водной суспензии при
возникновении биоконвекции
где />о — плотность жидкости, рт — плотность
микроорганизмов, α = рт/ро — 1·
Будем считать, что концентрация микроорганизмов
достаточно мала (в большинстве экспериментов с аз 0.01), так что вязкость
суспензии можно считать не зависящей от характера распределения в ней
микроорганизмов. Тогда для компонент скорости частиц суспензии можно записать систему
уравнений Навье-Стокса и уравнения непрерывности, аналогичную (21.1.9). В
приближении, подобном приближению Буссинеска, эта система уравнений с учетом
(21.3.1) может быть представлена следующим образом:
du_ &u θυ, du__ 2_5p
dt dx dy dz po dx
dv dv dv dv 1 dp ,
-^r + ti^ + t; — + u>— = , -^ + ί/Δν, 21.3.2)
di dx dy dz po dy v '
dw dw dw dw I dp
W + u^ + vd^ + wdI = -7oTz + l/Aw-Q9C'
du dv dw dc ,. .
гДе J — вектор плотности потока организмов. Если считать, что скорость
микроорганизмов равна геометрической сумме скорости жидкости и скорости активного
плавания микроорганизмов относительно жидкости, и учесть, что движение микро-
организмов относительно жидкости состоит из двух компонент: движения вверх с
постоянной скоростью Wo (отрицательный геотаксис) и случайного движения,
аналогичного блужданию броуновской частицы и характеризуемого коэффициентом
диффузии D, то выражение для потока j можно записать в виде
j = C(V + W0k) - DVc, (21.3.4)
2) Величина с имеет смысл отношения объема микроорганизмов к общему объему суспензии.

420 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
где к — единичный вектор вдоль оси г.
При записи уравнений (21.3.2)—(21.3.4) мы предположили, что число
организмов в суспензии и их плотность являются неизменными во времени. На самом деле
организмы размножаются и число их изменяется. Однако этим фактом можно
пренебречь, если время наблюдения за процессами в суспензии существенно меньше
времени между двумя последовательными делениями организмов.
Выведем теперь граничные условия для уравнений (21.3.2)—(21.3.4). Так как
эксперименты проводились в широких плоских сосудах, то можно принять размеры
суспензии в горизонтальной плоскости бесконечными. Пусть нижняя граница
суспензии соответствует ζ = 0, а верхняя — ζ = Л. При ζ = 0 и ζ = Л потоки жидкости
и микроорганизмов отсутствуют, т.е.
и,(*,у,0,0 = Ч*,У,М)==0, j,|,=o=J.U*=0· {2\ХЬ)
Из (21.3.4) и (21.3.5) следует, что
KD£)L=KD£
= 0. (2L3.6)
z=h
Кроме того, будем считать, что нижняя граница суспензии ограничена твердой
поверхностью, а верхняя является свободной. Тогда для них можно получить условия
(21.1.13) и (21.1.14) соответственно. Таким образом,
dw
= 0 *=
«о ' Μ
= 0. (21.3.7)
1*=Л
Стационарное решение системы уравнений (21.3.2)—(21.3.4) имеет вид
n iWo \ PogacoD fW0 \
«ст = ^ст = ™ст = 0, сст = со ехр ί — ζ 1 , per = — exp ( — ζ 1 ,
(21.3.8)
где с0 — значение концентрации микроорганизмов при ζ = 0.
Линеаризуя уравнения (21.3.2)—(21.3.4) относительно малых отклонений от
стационарного решения (21.3.8) и исключая из полученных уравнений и, ν и ρ = ρ—рст>
найдем уравнения для w и с = c^. — с, аналогичные (21.1.10):
d&w (d2c д2с\ АА дс ПА_ хжг дс дсст /л олч
Уравнения (21.3.9) отличаются от (21.1.10) коэффициентом dc^/dz при w и
дополнительным членом Wodc/dz. Первое отличие не является существенным, так как для
невысокого сосуда (Λ «С D/Wo), Сст « с0 (1 + (W0/D)z) и dc^jdz fc* c0W0/D = const.
Решение уравнений (21.3.9) с граничными условиями (21.3.6)—(21.3.7) будем
проводить так же, как мы это делали для термоконвекции. Полагая в (21.3.9)
w
= Wexp(pt - i(k9x + kyy + *,*)), c = Cexpipt - i(kmx + *yy + kzz)Y (21.3.10)

Гл. 21. Конвективные структуры и автоколебания в жидкостях и газах 421
и подставляя (21.3.10) в (21.3.9), получаем
(21.3.11)
где k2 = k% + ky. Отсюда находим дисперсионное уравнение
к? + к2 2 /(*? + *2)2,, оч ., /j2 ,24w<A
+(*2 + *2)2 (*2 + *2 - .'ft, Ц£) - ^ = 0, (21.3.12)
где Рг = 1//D — аналог числа Π ранд тля, Ra = agcoW^h*/vD2 — аналог числа
Релея. Для мелких сосудов, когда Λ «С D/W0y членами к2 Wo/D можно пренебречь
по сравнению с к2. В этом приближении уравнение (21.3.12) окажется совпадающим
с соответствующим уравнением (21.1.17) для термоконвекции, в котором вместо ν
нужно поставить D. Таким образом, условие возникновения биоконвекции можно
записать в виде
vD2
"0*) > RaKp ^^ , (2L3.13)
где RaKp — критическое число Релея. Отсюда видно, что критическое значение
концентрации микроорганизмов особенно сильно зависит οι глубины сосуда h.
Найденные зависимости находятся в хорошем согласии с экспериментальными
наблюдениями.
В заключение заметим, что в биологической литературе давно описаны
вертикальные миграции зоопланктона [67]. Биологи называют самые различные причины
таких перемещений: отрицательный геотаксис, убегание от хищников, смена
дневных и ночных «пастбищ», наличие внутренних суточных ритмов и т.п. Независимо
от причин, вызывающих передвижение организмов в вертикальном направлении,
следствием его может быть возникновение конвекции, приводящей к
перемешиванию жидкости в водоеме. Последнее очень важно для жизнедеятельности водных
экологических систем, так как питательные минеральные вещества обычно
скапливаются на глубине, а потребляющий их фитопланктон обитает в верхних
освещенных слоях.
21.4. Возникновение турбулентности в течении Куэтта
между двумя коаксиальными вращающимися
цилиндрами
В замкнутых течениях из-за наличия обратной связи возникновение
турбулентности представляет собой автоколебательный процесс. Рассмотрим в качестве
примера течение Куэтта в зазоре между двумя вращающимися коаксиальными
цилиндрами. Для исследования устойчивости этого течения воспользуемся уравнением

422 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
непрерывности и уравнениями Навье-Стокса, записанными в цилиндрических
координатах г, φ и ζ, где ось ζ направлена по оси цилиндров [212]:
\(?Ψ - %)+% - °· S*™*-£ - - ? £+- (^ -5 - &) ·
9v2 , „ 1 с?р А
где операторы (vV) и Δ определяются формулами
, „ч β w„ а а А ι а / а \ ι а2 а2
^^аТ + Та^·'^ A = ;a7(ra7j + ^a^+a?·
К уравнениям (21.4Л) следует добавить граничные условия. Если внутренний
цилиндр, имеющий радиус R\y вращается с угловой скоростью Ωι, а внешний,
имеющий радиус Дг, — со скоростью Ω2, то граничные условия имеют вид
МДЬР>*) = Д1°Ь *>¥>№,<?>*) = ^2^2,
(21.4.2)
«γ(Λι,2, <Р> ζ) = νζ (Л1>2, ν?, ζ) = 0.
В достаточно длинных цилиндрах ламинарное осесимметричное течение имеет
только одну отличную от нуля компоненту скорости νφ = V(r), представляющую
собой решение уравнения
Давление в таком течении ро также зависит только от радиуса и описывается
уравнением
*-«£. (214.4)
dr r v '
Из (21.4.3) находим
V(r) = Ar+-, (21.4.5)
г
где постоянные Л и В определяются из граничных условий (21.4.2):
Чтобы исследовать устойчивость найденного ламинарного течения,
линеаризуем уравнения (21.4.1) относительно малых отклонений от этого течения,
определяемых компонентами скорости vr, νφ = νφ — V(r)} vz и давлением ρ = ρ — ρο· При
этом ограничимся рассмотрением лишь осесимметричных возмущений, поскольку

Гл. 21. Конвективные структуры и автоколебания в жидкостях и газах 423
в достаточно широкой области параметров именно они первыми теряют
устойчивость 3). Для таких возмущений линеаризованные уравнения (21.4.1) имеют вид
1 d(rvr) , θνζ _ п dvr 2V(r)vv _ 1 dp ( vr\
(21.4.7)
где
fry , dV(r) , V(r)vr / νφ\ 6vt l Эр ^
. ι d ( d \ a2 4.
Исключая из уравнений (21.4.7) давление р и полагая все остальные переменные,
входящие в эти уравнения, пропорциональными 5) ехр(р< — ikz)} из (21.4,7) и (21.4.2)
с учетом (21.4.5) получим
(21.4.8)
ρνφ + 2Avr = ν[Δτνφ - ^|j,
где
ь-МН)-*· ™-Ψ·*+ϊ-
Прежде всего решим поставленную задачу, пренебрегая вязкостью жидкости. В
этом приближении из уравнений (21.4.8) можно получить одно уравнение второго
порядка относительно радиальной составляющей скорости vr
Уравнение (21.4.9) следует решить с граничными условиями
vr(R1) = Vr(R2)=0. (21.4.10)
Для решения вопроса об устойчивости можно воспользоваться тем, что уравнение
(21.4.9) с граничными условиями (21.4.10) описывает самосопряженную краевую
задачу, для которой известна связь между собственными значениями и собственными
функциями (см., например, приложение 1 к книге [181]). Для получения этой связи
умножим уравнение (21.4.9) на υ*г и проинтегрируем по г от R\ до Д2. В результате
получим
/<'έ(?^)*·■*'(/|,ν|3Γ*·+^/Ω(Γ)Μ>Γ<,Γ = 0 (21411)
Hi Vfti Ri /
3) Заметим, что при не слишком малых по модулю отрицательных значениях отношения Ω2/Ω1
наиболее неустойчивыми являются неосесммметричмме ВОЭМущепнЯ [477}.
4) Знаки «~» над переменными υφ и ρ эдесь опущены.
5)Коэффициенты пропорциональности будем обозначать теми же буквами, что и
соответствующие переменные.

424 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
Первый интеграл можно вычислить по частям:
*[\ d (\ d(rvr)\J . d(rvr) |Дз Μ Шгч
dr.
(21.4.12)
Первое слагаемое здесь равно нулю в силу граничных условий (21.4.10). Подставляя
(21.4.12) в уравнение (21.4.11), получаем
о2 = -4*2Л
fn(r)\vr\2rdr I /I fei dr + k2 f\vr\2rdr
Ri VRi Hi
Отсюда сразу следует условие устойчивости
A fa(r)\vr\2rdr>0.
Ri
(21.4.13)
Бели цилиндры вращаются в одну сторону, то Ω (г) всюду положительно, и условие
(21.4.13) сводится к условию А > 0, т.е.
Ro
<'-£.
(21.4.14)
Οι _
Ω2 - Я?
Это условие может быть также легко получено из критерия Релея [565]. Согласно
этому критерию, ламинарное течение устойчиво, если для всех значений г
выполняется условие d(V(r)r)2/dr > 0.
Указанное условие Релея в случае
невязкой жидкости является необходимым
и достаточным. Отсюда следует, что при
вращении цилиндров в разные стороны,
когда, например, Ωχ > 0, Ω2 < 0,
ламинарное течение оказывается
неустойчивым при любых значениях Ωχ. Однако,
как показано Дж.Сингом [605] для
вязкой жидкости, критерий Релея дает
только достаточное, но не необходимое
условие устойчивости ламинарного течения.
Поэтому в случае вязкой жидкости
граница устойчивости получается конечной.
Важно отметить, что в случае, когда
цилиндры вращаются в одном
направлении, условия устойчивости ламинарного
течения в невязком приближении не
зависят от волнового числа к. Эта
зависимость возникает, если учесть вязкость
100 200
Q2/vy см"*2
Рис. 21.5. Граница устойчивости
ламинарного течения Куэтта между двумя
вращающимися цилиндрами, рассчитанная
Тейлором для R2/R1 = 1.13. Точки на
кривой — данные эксперимента,
проведенного Тейлором. Штриховой линией показана
граница устойчивости, рассчитанная в
невязком приближении для цилиндров,
вращающихся в одном направлении
жидкости. Учет вязкости впервые был произведен Г.Тейлором [608], которому
удалось решить задачу устойчивости осесимметричных возмущений для случая, когда

Гл. 21. Конвективные структуры и автоколебания в жидкостях и газах 425
зазор между цилиндрами достаточно мал, т.е. выполняется условие
(Дг — R\)/R\ "С 1· Введя некоторое число Τ = 4ΛΩι(Λ2 — R\)A/v2> получившее
впоследствии его имя, Тейлор показал, что неустойчивость возникает при условии
Τ > Ткр, где Ткр зависит от двух параметров: α = k(Ri — R\) и Ω2/Ω1.
Минимальное значение Ткр достигается при некотором значении безразмерного волнового
числа a = am, зависящем от Ω2/Ω1. Граница устойчивости на плоскости параметров
Ωι, Ω2 определяется уравнением Τ = Τκρ(α,η(Ω2/Ωι), Ω2/Ωι). Для R2/R1 = 1.13эта
граница изображена на рис. 21.5. Точками на кривой изображены
экспериментальные данные, полученные Тейлором. Видно, что эксперимент блестяще подтвердил
результаты теории. На этом же рисунке для сравнения приведена граница
устойчивости в невязком приближении для цилиндров, вращающихся в одну сторону.
При переходе через границу устойчивости ламинарного течения происходит
рождение тороидальных вихрей, получивших название вихрей Тейлора. Эти вихри
аналогичны конвективным валам, возникающим при потере устойчивости в слое
жидкости, подогреваемом снизу. Пространственный период вихрей Тейлора
определяется значением atm и, вообще говоря, длиной цилиндров. Как показывают
эксперименты, вихри Тейлора существуют и устойчивы лишь в узкой области на
плоскости параметров Ωι, Ω2. Дальше эти вихри теряют устойчивость и происходит
последовательная смена различных режимов, приводящая к хаосу —
турбулентности (см., например, [338, 382]).
Течение Куэтта между вращающимися цилиндрами является удобным объектом
для изучения турбулентности с точки зрения теории динамического хаоса. Именно
для такого течения между цилиндрами с отношением радиусов R1/R2 = 0.875 в
работе [359] впервые в гидродинамике была применена процедура обработки данных
Рис. 21.6. Проекции аттрактора на плоскость t/r(t), t/r(t+ τ) при τ = 130 мкс (α) и
соответствующие сечения Пуанкаре (<5) для значений Я/ЯКр, указанных в верхней части
рисунка.

426 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
<*>
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
30ι
V
ί_
0
+
0
U
*
* * *
' ' ■ | 1
11 12 13 14 15 1
R/R
6
эксперимента, основанная на теореме Такенса, которая позволяет
реконструировать аттрактор системы в фазовом пространстве конечной размерности.
Рисунок 21.6, взятый из [359], иллюстрирует
проекции аттрактора на плоскость vr (t), vr (t + r)
и соответствующие сечения Пуанкаре для
ряда значений Я/ДКр> где R — число Рейнольд-
са, пропорциональное угловой скорости
вращения внутреннего цилиндра, Дкр —
критическое число Рейнольдса, при котором
возникают вихри Тейлора. Сечения Пуанкаре
были получены сечением фазовых траекторий
в трехмерном пространстве с координатами
vr(t), vr(t + г), vr(t + 2т) плоскостью,
параллельной оси vr (t -f 2т) и проходящей через
Рис. 21.7. Зависимости емкости d штриховую линию на рис. 21.6 α. Авторы ра-
(крестики) и корреляционной раз- боты [359] вычисляли как емкость реконстру-
мерности ν (кружочки) аттрактора, Ированного аттрактора d} так и его корреля-
реконструированного в пространстве цИОнную размерность v. Результаты расчетов
Такенса, от отношения R/RKp представлены на рис. 21.7. Как видно из
рисунка, обе эти величины близки друг к другу и растут с ростом отношения R/RKp.
Глава 22. Турбулентность в струйных и отрывных
течениях
22.1. Эволюция представлений о турбулентности
с точки зрения теории колебаний
Известно, что при малых скоростях потока течение жидкости является
ламинарным, а при больших — турбулентным [212, 234, 386]. Задача о природе
турбулентности давно привлекала внимание исследователей. Как известно из воспоминаний
СМ. Рытова [289], в одной из бесед Г.С. Горелик заявил, что «турбулентность с ее
границей «самовозбуждения», с характерным гистерезисом ее возникновения и
исчезновения при увеличении и уменьшении скорости порождающего потока, с
первостепенной ролью нелинейности для ее развитого (стационарного) состояния — это
автоколебания. Их специфика заключена в том, что это автоколебания в сплошной
среде, т.е. в системе с чрезвычайно большим числом степеней свободы». На такой
же позиции, по существу, стоял и Л.Д. Ландау. Согласно представлениям Ландау
турбулентность возникает следующим образом. Вначале состояние равновесия,
соответствующее ламинарному течению, становится неустойчивым и возбуждаются
автоколебания на одной частоте. Для* амплитуды этих автоколебаний Ландау из
физических соображений записал феноменологическое уравнение, аналогичное
укороченному уравнению Ван-дер-Поля. «При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса,
— писал Ландау [209], — появляются последовательно все новые и новые периоды.
Что касается самих вновь появляющихся движений, то они имеют все более мелкие

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
427
масштабы». В результате, по гипотезе Ландау, устанавливаются многочастотные
автоколебания с несоизмеримыми частотами, т.е. квазипериодическое движение.
В фазовом пространстве таким автоколебаниям должен соответствовать
аттрактор в виде многомерного тора. При большом количестве частот такое движение
по своему виду мало отличается от хаотического, и поэтому развитая
турбулентность может восприниматься как случайный процесс. Несмотря на то, что теория
Ландау является феноменологической и не следует непосредственно из уравнений
гидродинамики, она долгое время не подвергалась сомнению и поддерживалась
почти всеми исследователями турбулентности. Дальнейшее развитие теория Ландау
получила в работах Дж. Стюарта [599, 600, 601, 602], который предложил способ
расчета коэффициентов, входящих в уравнения Ландау, основанный на приближенном
решении уравнения Навье-Стокса. Однако задаваемая Стюартом форма
приближенного решения в виде A(ct)e%(wt~kx) не является корректной с физической
точки зрения. Действительно, это решение описывает периодическую в пространстве
волну с заданным волновым числом ку амплитуда которой медленно изменяется во
времени. Строго говоря, такое решение справедливо лишь для кольцевого потока
длины L = 2πη/Ατ, где η — целое число, т.е. для потока с обратной связью.
Решение, задаваемое Стюартом, не учитывает конвективный характер неустойчивости
ламинарного течения.
В 70-х годах в связи с открытием динамического хаоса стал распространяться
взгляд на развитие турбулентности как на скачкообразное возникновение в
фазовом пространстве некоторых динамических переменных странного аттрактора
[578, 580]. В частности, эти взгляды неоднократно высказывались Ю.И. Неймарком,
что нашло отражение в книге [248]. Такие же представления изложены в последних
изданиях книг Л.Д. Ландау и ЕМ. Лифшица «Гидродинамика» [212] и А.С. Монина
и A.M. Яглома «Статистическая гидромеханика» [234]. Так как понятие странных
аттракторов, вообще говоря, относится только к автоколебаниям, то в этих
работах молчаливо предполагалось, что турбулентность представляет собой именно
автоколебательный процесс. Основываясь на представлении о турбулентности как
об автоколебаниях, группой авторов был опубликован ряд работ по моделированию
процесса развития турбулентности в виде цепочки генераторов с однонаправленной
связью [83, 255] и использованию таких характеристик, как корреляционная
размерность аттрактора, для количественного описания турбулентных потоков [476].
В работах [87, 204, 208, 494, 497] высказано предположение, что турбулентность,
возникающая в незамкнутых потоках жидкости, не является автоколебаниями и
потому к ней не применимы все описанные выше подходы. Это предположение
основано на том, что неустойчивость решений, соответствующих ламинарным
течениям в указанных потоках, является конвективной. Это значит, что возникшее в
некоторой точке потока возмущение не будет неограниченно нарастать во
времени (в линейном приближении), а будет сноситься вниз по потоку. Как уже
говорилось, из указанного свойства систем с конвективной неустойчивостью следует,
что такие системы сами по себе не являются автоколебательными, а представляют
собой лишь усилители возмущений х). Чтобы сделать подобную систему
автоколебательной, нужно ввести обратную связь, например, замкнув систему в кольцо.
Возмущения же неизбежно присутствуют во всех реальных системах как за счет
)Этот факт отмечен также в книге [13].

428 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
внешних причин (так называемые технические флуктуации), так и за счет
внутренних (естественные флуктуации). В уравнения гидродинамики эти возмущения
могут быть включены как внешние случайные силы, величина которых, в общем
случае, зависит от переменных, описывающих состояние системы. Расчет сил,
обусловленных естественными флуктуациями в гидродинамических потоках, на основе
флуктуационно-диссипационной теоремы выполнен Ю.Л. Климонтовичем [145].
Мы уже отмечали, что если коэффициент усиления какого-либо усилителя
достаточно мал, то наличием флуктуации можно пренебречь и считать, что сигнал
на выходе усилителя обусловлен лишь сигналом на его входе. В гидродинамических
же течениях коэффициент усиления, как правило, является достаточно большим. В
этом случае наличие флуктуации является принципиальным, так как именно они
определяют, по нашему мнению, наблюдаемые турбулентные возмущения. Отсюда
следует, что подход к исследованию турбулентности, как и к обычным усилителям
с большим коэффициентом усиления, в рамках теории динамических систем, без
учета флуктуации, не является адекватным. За счет усиленных флуктуации и
нелинейности в системе может возникнуть некоторый фазовый переход, при котором
она перейдет в качественно новое состояние. Можно полагать, что возникновение
турбулентности, характеризуемой наличием крупномасштабных, в высокой
степени регулярных структур, на фоне мелкомасштабных случайных движений, как раз
и представляет собой такой переход. Примеры шумоиндуцированных фазовых
переходов в простых системах, приводящих к возбуждению незатухающих колебаний,
были рассмотрены в гл. 9. В частности, было получено, что с точки зрения критерия
Климонтовича при таком переходе состояние системы становится более
упорядоченным. Аналогичный результат, как показано Ю.Л. Климонтовичем [145, 146, 147],
получается при переходе от ламинарного течения к турбулентному. Увеличение
степени упорядоченности движения системы при переходе к турбулентному
движению обусловлено тем, что при развитии турбулентности все большая часть энергии
хаотического движения молекул переходит в энергию относительно более
упорядоченного движения крупномасштабных вихрей. Этот результат в какой-то мере
подтверждает высказанные соображения о переходе к турбулентности как о шумо-
индуцированном фазовом переходе.
Как же быть тогда с теми признаками, на которые указал Горелик и
которые, казалось бы, характерны именно для автоколебательных систем? Прежде всего
слово «самовозбуждение» следует заменить словами «потеря устойчивости». Далее,
гистерезис «ее (турбулентности) возникновения и исчезновения при увеличении и
уменьшении скорости порождающего потока» вполне может быть объяснен
характером нелинейности коэффициента усиления. Наконец, первостепенная роль
нелинейности вполне реальна и для усилителя колебаний, поскольку, во-первых, при
достаточно большом коэффициенте усиления нелинейность может существенным
образом влиять на спектр сигнала на выходе усилителя, а во-вторых, комбинация
нелинейности и флуктуации может привести к возникновению индуцированных
аттракторов (и к флуктуационным переходам между ними).
Разумеется, все сказанное не относится к так называемым замкнутым течениям,
например, течению Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами или сферами
(см. гл. 21). В этих течениях, как уже отмечалось, имеется обратная связь, которая
приводит к тому, что такие системы становятся автоколебательными.

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
429
22.2. Численный эксперимент Никитина и его трактовка с
тонки зрения шумоиндуцированного фазового перехода
Косвенным свидетельством того, что турбулентность в незамкнутых потоках не
является автоколебаниями, может служить численный эксперимент Н.В. Никитина
[253] по моделированию турбулентного течения в трубах конечной длины.
Исследовалось течение в круглой трубе радиуса R с заданной скоростью во входном сечении
и с некоторыми (так называемыми «мягкими») граничными условиями в выходном
сечении, которые не приводят к появлению отраженной волны. Последние имеют
вид
д2и _ θ2ξ _92η
дх2"" дх2"" дх2 ~ '
где и — продольная компонента скорости течения, ξ и η — радиальная и угловая
компоненты завихренности Ω = rot V, V — вектор скорости течения в
цилиндрических координатах х} г, 0. Компоненты скорости во входном сечении трубы
задавались в форме
и = «о (l - ^Л + ARe (ti'(r)e-·"') coe0,
υ = ARe (v'tfe-***) costf, w = ,4Re (и/(г)е"·"') sin0,
где ν и w — радиальная и угловая компоненты скорости течения соответственно,
ti'(r), v'(r), w'(r) — собственные функции уравнения Орра-Зоммерфельда при
заданном действительном значении частоты ω) R — радиус трубы, А я ω — амплитуда
и частота возмущения.
Частота возмущения была выбрана равной ω = 0.36t«o/Я, а, скорость щ и радиус
трубы R соответствовали числу Рейнольдса, равному 4000. В начальный момент
времени во всем течении задавался пуазейлевский профиль скорости, т.е.
V|t=0 = {«о (l - ^) , 0, θ|.
При амплитуде возмущения Ау превышающей некоторое критическое значение,
через короткий промежуток временя в потоке появляются случайные
высокочастотные пульсации, захватывающие всю нижнюю часть трубы, начиная с
некоторого значения χ = а?о} слабо зависящего от расстояния г от оси трубы. Значение х0
тем меньше, чем больше амплитуда возмущения А. Возникновение турбулентных
пульсаций сопровождается существенным изменением профиля продольной
составляющей средней скорости потока: на оси трубы она уменьшается, а вблизи стенки
увеличивается. Мгновенные распределения продольной составляющей скорости в
установившемся режиме при А/щ = 0.04 показаны на ряс. 22.1, позаимствованном
из [253].
Бели постепенно уменьшать амплитуду периодического возмущения А, то
начиная с некоторого ее значения турбулентная область сносится потоком и течение в
трубе становится ламинарным. Как известно (см., например, [582, 91]), течение Пу-
азейля в круглой трубе, в отличие от течения Пуаэейля в плоском канале, обладает
тем свойством, что ламинарное течение при любых числах Рейнольдса устойчиво

430 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
Рис. 22.1. Мгновенные распределения продольной составляющей скорости в
установившемся режиме при A/uo = 0.04: α — вблизи оси трубы (г/Я = 0.02) и б — вблизи стенки
(г/Я = 0.93)
по отношению к бесконечно малым возмущениям. Однако в случае достаточно
больших чисел Рейнольдса такое течение оказывается неустойчивым по отношению к
возмущениям конечной величины. Если бы в отсутствие возмущения в системе
существовал аттрактор, соответствующий турбулентному режиму, и роль возмущения
сводилась бы только к тому, чтобы вывести фазовые траектории в область
притяжения этого аттрактора, то турбулентность не должна была бы исчезнуть при
снятии вызвавшего ее возмущения. Правда, в принципе возможна и иная ситуация,
когда аттрактор возникает под действием самого асинхронного возмущения (см.
[309, 177]). В этом случае он должен исчезнуть при снятии возмущения. Против
этой ситуации имеются следующие возражения: во-первых, как следует из общей
теории асинхронного возбуждения автоколебаний [309, 177], оно возможна только
в узком диапазоне параметров, тогда как переход к турбулентности наблюдался
Никитиным в широком диапазоне чисел Рейнольдса; во-вторых, асинхронное
возбуждение автоколебаний одинаково возможно как при положительной, так и при
отрицательной расстройке между частотой возбуждения и частотой возникающих
колебаний, тогда как переход к турбулентности наблюдался только при низких
частотах возбуждения.
Можно предположить, что наблюдаемое развитие турбулентности при А > Акр
объясняется возникновением некоторого шумоиндуцированного фазового
перехода, приводящего к образованию индуцированного аттрактора. Сходство, как
внешнее, так и статистических характеристик, возникающей при этом турбулентности с
турбулентностью в трубе при периодических граничных условиях [252], когда име-

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
431
ется обратная связь и возбуждаются автоколебания, говорит в пользу последнего
предположения. Внешнее сходство продемонстрировано на рис. 22.2, построенном
по данным Никитина. Бели эти предположения справедливы, то роль период иче-
Рис. 22.2. Вид турбулентных пульсации скорости в трубе с периодическими граничными
условиями (а) и в трубе с заданным гармоническим возмущением на входе (6)
ского возмущения на входе трубы при развитии турбулентности сводится к тому,
чтобы, во-первых, привести к появлению неустойчивости, и во-вторых,
инициировать возникновение фазового перехода, подобно тому, как это будет показано ниже
на примере маятника со случайно колеблющейся осью подвеса, рассмотренного в
гл.9.
Инициирование шумоиндуцированных колебании маятника со
случайно колеблющейся осью подвеса низкочастотным гармоническим
воздействием. Вернемся к вопросу о возбуждении колебаний маятника со случайно
колеблющейся осью подвеса (см. гл. 9). Бели интенсивность случайных колебаний оси
подвеса меньше порогового значения, то возбуждение колебаний маятника может
быть вызвано дополнительной низкочастотной вибрацией оси подвеса. Учет этой
вибрации можно произвести, если в уравнении (9.1.1) заменить ξ(t) на ξ(t)+α cos ωαί,
где а и ωα — величины, пропорциональные амплитуде и частоте дополнительного
ускорения оси подвеса. В случае, когда интенсивность случайных колебаний оси
подвеса превышает критическое значение, дополнительная низкочастотная
вибраций увеличивает интенсивность шумоиндуцированных колебаний. Результаты
численного решения уравнения (9.1.1) при κ(2ωο)/κκρ = 0.51 и различных значениях
амплитуды а представлены на рис. 22.3.
Мы видим, что в случае к(2) < /скр(2) эффект возбуждения колебаний при
увеличении амплитуды а имеет пороговый характер. При ωα = 0.318, «(2)/ккр(2) = 0.51
пороговое значение α оказалось равным приблизительно 1.1. Зависимость
среднеквадратичного отклонения угла поворота от разности между амплитудой
низкочастотного воздействия и ее критическим значением оказалась близкой .к линейной
(рис.22.4 а).
Как и в случае возбуждения колебаний за счет только случайных колебаний
оси подвеса, переход через порог возбуждения при дополнительной гармонической
вибрации происходит через перемежаемость типа «включено-выключено».
Зависимость средней длительности ламинарной фазы от превышения квадрата амплитуды
дополнительной вибрации а над пороговым значением а£р, показанная на рис. 22.4 б,

432 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
■4-4Ц-М
+ *► ·»ί α
ίί
-4—φ-
*t б
t β
Рис. 22.3. Зависимости φ(ί) и φ(ί) при ωο = 1, β = 0.1, a = 100, k = 0, к(2)/ккр = 0.51,
we = 0.318, a = 1.1 (α), α = 1.2 (б) и α = 1.5 (β)
Рис. 22.4. Зависимости (у3)1'2 (α) и средней длительности ламинарных фаз т« (б) от α
при ωα = 0.318, /с(2)/кКр(2) = 0.51, г = 0.002 (сплошными линиями на рисунке α проведена
прямая (у3)1'2 ~ 0»48(а — 1.1)), а на рисунке 6 — зависимость т9 = 220ε/(α2 — <*кр), где
акр = 1.15; точки — результаты численного моделирования
аналогична такой же зависимости от превышения интенсивности шума над
пороговым значением k(2uq)—ккр, представленной на рис. 9.5. Эта зависимость с
достаточной степенью точности может быть аппроксимирована формулой т€ = С*/(а2 — aj*p),
где С — некоторая постоянная, зависящая от ε. Как видно из рис. 22.3, при а > акр
возбуждающиеся колебания практически неотличимы от тех, которые возникают
только за счет шума, причем тем большей интенсивности, чем больше значение а.
Это означает, что низкочастотное воздействие инициирует возникновение фазового
перехода и рождение шумоиндуцированного аттрактора.
Возбуждение колебаний маятника за счет дополнительной низкочастотной
вибрации оси подвеса по своим проявлениям аналогично возбуждению турбулентности
низкочастотным возмущением во входном сечении трубы, рассмотренному выше.
Как и в случае турбулентности, если мы уберем дополнительную вибрацию, коле-

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
433
бания маятника постепенно затухнут. Вместе с тем эта дополнительная вибрация
внешне никак не сказывается на форме возбуждаемых колебаний. Тот же эффект
мы имеем и для турбулентности. Весьма интересно, что указанная аналогия
основана не на подобии уравнений движения, а на общности законов теории колебаний.
22.3. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца
Во второй половине прошлого века Гельмгольцем [430] и Кельвином [469] было
обнаружено, что плоская граница двух жидкостей, движущихся с разными
скоростями, неустойчива. Простой расчет этой
неустойчивости, основанный на уравнениях движения
идеальной жидкости в приближении нулевой толщины
пограничного слоя, содержится, например, в книге [212].
Использование уравнений идеальной жидкости оправдано,
потому что неустойчивость Кельвина-Гельмгольца
наблюдается в широком диапазоне чисел Рейнольдса и ее
характеристики слабо зависят от значения числа
Рейнольдса в этом диапазоне. Пусть движение жидкостей
происходит в направлении оси х, причем одна жидкость рис 22 5 К неустойчиво-
с плотностью Λ движется со скоростью Щ, а другая с сти Кельвина-Гельмгольца
плотностью р2 движется со скоростью (7г (рис. 22.5).
Таким образом, толщину пограничного слоя мы положили
равной нулю. Запишем для обеих жидкостей линеаризованные уравнения Эйлера и
уравнение непрерывности:
i
Pi
►
^
иг
» *
Рг
Г£Д
Ац1>2 + ц Ац1,2 _
dt ' дх р\у2 дх
2 θ
duit2
db\t2 . тт dvX%2
at
9vit2 .
дх
1 dpi,2
Pi,2 dy
(22.3.1)
0.
дх ду
Граничные условия для уравнений (22.3.1) имеют вид (ср. с (21.1.2))
Р1(*,(М)=Р2(*,(М), О(*,0 = С2(*,<)·
(22.3.2)
где Ci,2(*>*) — смещения вдоль оси у точек поверхности разрыва скорости в
соответствующей жидкости. Очевидно, что
#0,2 . тт #Cl,2 / Λ ,ч
(22.3.3)
Из уравнений (22.3.1) следует, что потенциалы скорое тей <pj, определяемые
соотношениями Uj = —d<pj/dx, Vj = —dtpj/dy, должны удовлетворять уравнению Лапласа
Ду>,=0 (j = 1,2).
Решение уравнений (22.3.4) можно искать в виде
w = *i(y)«<(4,"~*').
(22.3.4)
(22.3.5)

434 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
где Ф^'(у) — неизвестные функции. Подставляя (22.3.5) в (22.3.4) и учитывая, что
Φι (—со) и Фг(оо) должны обращаться в нуль, находим
Φι (У) = Ciek", Фэ(у) = С2е-*у. (22.3.6)
Из уравнений (22.3.1) следует также, что
Используя это соотношение, подставляя (22.3.5) с учетом (22.3.6) в граничные
условия (22.3.2) и принимая во внимание (22.3.3), получаем уравнения для неизвестных
постоянных С\ и Сг
ω - kU\ ω — kU2
Из условия равенства нулю детерминанта этой системы следует дисперсионное
уравнение
Pi(u - Wi)2 + /*(« - *l/2)2 = 0. (22.3.8)
Решая это уравнение относительно Л, находим
к = ш ^+^^-^)v^ . t22.3.9)
Из (22.3.9) можно сделать вывод, что возмущения любой частоты ω должны нараг
стать по мере распространения, причем коэффициент нарастания пропорционален
частоте ω и разности скоростей жидкостей. В этом и состоит явление, называемое
неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца. Можно показать, что эта неустойчивость
является конвективной (см., например, [449]). Вследствие неустойчивости вблизи
поверхности разрыва образуются вихри, которые движутся с некоторой скоростью
(7, имеющей порядок большей из скоростей течения жидкостей. Эти движущиеся
вихри часто называют гидродинамическими волнами [301].
Более сложное рассмотрение неустойчивости Кельвина-Гельмгольца было
проведено А. Скоттом [294]. Он показал, что учет сил тяжести и поверхностного
натяжения на границе раздела при определенных условиях может привести к абсолютной
неустойчивости.
22.4. Гидродинамические и акустические волны в дозвуковых
затопленных струях
Струя жидкости (или газа), истекающая в неограниченное пространство,
заполненное той же жидкостью (или тем же газом), называется затопленной струей
[212]. Ниже мы будем рассматривать именно такие струи. Заметим, что струя
представляет собой интереснейший и мало изученный с точки зрения теории колебаний
и волн объект. Течение жидкости в струе почти никогда не бывает ламинарным.

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
435
В силу неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в пограничном слое струи
возбуждаются и усиливаются гидродинамические волны, амплитуда которых
экспоненциально убывает вне пограничного слоя. Вследствие последнего факта
гидродинамические волны в струе могут быть отнесены к категории поверхностных волн.
Гидродинамические волны могут распространяться только вниз по потоку со
скоростью порядка скорости струи. Отличительной особенностью гидродинамических
волн является их случайный характер. Однако на фоне этой случайности
имеются сравнительно регулярные крупномасштабные образования — вихри, называемые
когерентными структурами (см., например, [85, 1, 38]).
Взаимодействуя с каким-либо препятствием или неоднородностью,
гидродинамические волны порождают акустические возмущения, распространяющиеся вверх
по потоку. В свою очередь, при встрече с препятствием или неоднородностью
акустические возмущения порождают гидродинамические и т.д. Так, при наличии
препятствия или неоднородности возникает обратная связь, которая может привести
к ряду важных эффектов, в частности, к возбуждению автоколебаний.
Возбуждение когерентных структур, как отмечено выше, обусловлено
неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца, но в их образовании основную роль играет
нелинейность. Как уже говорилось, за счет акустических возмущений в струйных
течениях возникает нелинейная обратная связь, приводящая к существенной
трансформации спектров пульсаций скорости жидкости и давления. Нелинейная обратная
связь, по-видимому, играет основную роль в возникновении так называемого
спаривания вихрей, наблюдающегося экспериментально в слое смешения струи 2) (см.,
например, [73]).
1. Основные свойства струнных течении. Профиль средней скорости.
Вытекая из сопла, струя жидкости или газа всегда значительно расширяется. Это
связано с наличием вязкости, благодаря которой соседние слои жидкости
вовлекаются в движение. При этом существенно изменяется профиль средней скорости
течения. Если на выходе из сопла профиль средней скорости является близким к
прямоугольному, то дальше он становится колоколообраэным (рис. 22.6 а).
Обычно выделяют три участка струи (рис. 22.6 6): начальный (I), где средняя скорость
течения на оси струи практически остается неизменной, переходной (II), где она
незначительно изменяется и основной (III), где средняя скорость течения на оси
струи уменьшается приблизительно по линейному закону.
Слой жидкости, в котором средняя скорость существенно изменяется,
называется пограничным слоем или слоем смешения. Интересно, что когерентные
структуры, как уже отмечено выше, образуются именно в этом слое. Как видно из
рис. 22.6 а, толщина пограничного слоя по мере удаления от сопла растет
приблизительно линейно с расстоянием. На расстоянии от сопла, равном длине начального
участка, толщина внутренней части пограничного слоя δ\ становится равной
половине ширины сопла (для плоской струи) или радиусу сопла для круглой струи, после
чего образуется сплошной пограничный слой.
В настоящее время имеется обширная литература, посвященная неустойчивости
пограничного слоя струи, его турбулизации и образованию в этом слое
крупномасштабных когерентных структур. Теория этих явлений основывается, главным
2) Понятие «слой смешения» мы будем употреблять в качестве синонима понятия «пограничный
слой*.

436 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
образом, на результатах, полученных либо прямым численным моделированием
[36, 425, 526], либо моделированием при помощи так называемого метода дискрет-
ных вихрей [37, 38, 342, 346, 459, 505, 506]. При использовании последнего
метода предполагается, что вихри уже
существуют, и рассматривается только их
движение и взаимодействие. Проблема
зарождения самих вихрей, т.е. проблема
неустойчивости ламинарного течения,
изучалась в сравнительно небольшом
количестве работ. Среди них стоит отметить
первую работу, выполненную еще Релеем
в 1879 г. [562]. В последние три
десятилетия этими вопросами, главным образом,
занимались А. Михалке [527, 528, 529], Д.
Крайтон и М.Гастер [379], П.Плашко
[555, 556] и ряд других исследователей
(см., например, [336]). В этих работах
задавались различные аппроксимации
профиля средней скорости и решались
линеаризованные уравнения Эйлера для
малых отклонений от средней скорости.
Поскольку коэффициенты этих уравнений
зависят от координат, их точное
аналитическое решение не может быть
получено. Численные расчеты, совершенные
указанными авторами, находятся в
качественном согласии с
экспериментальными данными. Некоторые нелинейные задачи неустойчивости слоя смешения в струях
и следах за,обтекаемым телом были решены С.Я. Герценштейном и А.Н. Сухоруко-
вым [84].
Профиль продольной составляющей средней скорости в различных работах
аппроксимируют по-разному. Однако при этой аппроксимации обычно принимают во
внимание ряд условий. Чтобы описать эти условия наиболее просто, ограничимся
рассмотрением плоской струи. При малых возмущениях компоненты средней
скорости и(хуу) и V(x,y) должны приближенно удовлетворять уравнениям Эйлера и
уравнению непрерывности
Рис. 22.6. Схематическое изображение
свободной затопленной струи,
иллюстрирующее изменение профиля ее средней
скорости и утолщение слоя смешения (а): кривые
I и 2 соответствуют внутренней и внешней
границам слоя смешения, и схематическая
зависимость относительной средней
скорости на оси струи от расстояния от сопла χ
(6):\ — начальный участок струи, II —
переходной участок, III — основной участок
"7Г + "Г-
ox оу
1 дро
Ро дх
ud± + vd.L = -LdJ±
дх ду ро ду
Эх ду
(22.4.1)
Бели пренебречь продольной составляющей градиента среднего давления, что
обычно справедливо в пределах начального участка струи, то в силу четности функции
U(x>y) относительно координаты у из первого уравнения (22.4.1) следует, что в
центральном сечении струи dU{x,0)/dx = 0, т.е. (7(ж,0) = Щ = const. Как
показывают эксперименты, это соотношение для начального участка струи выполняется
с высокой точностью, несмотря на наличие вязкости, которая его нарушает. За
пределами начального участка значение Uq монотонно уменьшается. Если теперь

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
437
умножить первое уравнение (22.4.1) на Uk (к = 0, 1, ...), а третье на ί/*+1 /(к + 1),
после чего, полагая dpo/dx = 0, сложить их друг с другом, то получим
Интегрируя уравнение (22.4.2) по у и полагая U равным нулю при у = ±оо,
получаем бесконечное число законов сохранения, представляющих собой частный случай
интегральных соотношений В.В. Голубева [38]:
оо
-^ f Uk+2(x,y)dy = 0. (22.4.3)
Первое из соотношений (22.4.3), соответствующее к = 0, имеет физический смысл
закона сохранения потока импульса, второе (к = 1) — закона сохранения потока
энергии. Физический смысл остальных соотношений не является столь очевидным.
Естественно, что при учете вязкости соотношения (22.4.Э) перестают
выполняться. Однако влияние вязкости на первое из указанных соотношений является весьма
слабым. Второе же соотношение принципиально изменяется, поскольку в его
правой части появляется член, описывающий диссипацию энергии и обусловленный,
главным образом, наличием так называемой турбулентной вязкости, которая
пропорциональна обычной вязкости и числу Рейнольдса 3) [212].
Бели считать, что при выходе из сопла профиль средней скорости имеет вид
прямоугольника, т.е.
>.у) = j
, Щ при \у\ < d,
О при \у\ > d,
где d — половина ширины сопла, то закон сохранения потока импульса можно
записать в виде
/■
U'(xyy)dy=UZd. (22.4.5)
о
В предположении, что диссипация энергии не зависит от координаты х, закон
сохранения потока энергии принимает вид
оо
/
U3(x} у) dy = Ugd - ex, (22.4.6)
где с — коэффициент, характеризующий диссипацию энергии.
Соотношение (22.4.5) позволяет найти связь между толщиной внутренней части
пограничного слоя и толщиной его внешней части, тогда как при помощи
соотношения (22.4.6) можно найти зависимость полной толщины пограничного слоя от
координаты х. Продемонстрируем это на двух примерах.
$^Для струй числа Рейнольдса, как правило, довольно велики*

438 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
Прежде всего, рассмотрим профиль продольной составляющей средней скорости
в форме трапеции, который описывается следующим выражением:
IUo при \у\ < d-ii(ar),
Uo (* ~ y + *o(«)~d) ПРИ d~Sl{x) - |У| ^ d+ *(*)·
О при \y\>d+S2(z)1
(22.4.7)
где ίχ(χ) — толщина внутренней части пограничного слоя, 6^{х) — толщина его
внешней части, So(x) = δ\(χ) + <Ь(я) — полная толщина пограничного слоя.
Подставляя (22.4.7) в соотношения (22.4.5), (22.4.6) и учитывая, что в пределах начального
участка Uo = const, находим
^(х) = Mil, io(*) = 12cx. (22.4.8)
О
Отсюда видно, что толщина пограничного слоя должна расти пропорционально
расстоянию от сопла, что соответствует данным эксперимента.
В качестве второго примера рассмотрим профиль средней скорости,
предложенный в [87] 4):
"<*.»> = т(1-""!ад)' (22"·9)
где q и г — некоторые параметры, которые, вообще говоря, зависят от х} а толщина
пограничного слоя &о(х) определяется из условий U = KUo при у — у\ = d — δ\(χ)
и U = (1 - K)Uo при у = у^ = d — δι(χ)} Κ — некоторый коэффициент, близкий
к единице. В [87] было выбрано К = 0.95. Из закона сохранения потока импульса
(22.4.5) получаем уравнение, связывающее неизвестные параметры q, r и Sq(x)
or τ — 2d 11 or
lnchJ^ + g-nrT+ln2----thjyT==0. (22.4.10)
6q\x) Щх) 2 2 ίο (x)
Еще два уравнения получаются из данного выше определения толщины
пограничного слоя. Полагая U = KUo при у = у\ и 17 = (1 — Л")17о при у = уг, получаем
2K = l-thqd-S}{.x)-r, 2(1-К) = 1-А,±±Ш=1. (22.4.11)
Отсюда находим
q(d - tfi(ar) - г) g(d+ ί3(χ) - г)
*(.) —АгЛ(^-1), Mz) '=Ατ«ι(2*-1),
т.е.
g = 2Arth(2^-l)»-ln(l-A:), г = <f + **(*) ~ ^И (22.4.12)
4'Профиль скорости подобного вида использовался также в работе [529].

Гл. 22. Турбулентность в струнных и отрывных течениях
439
Из (22.4.12) следует, мто параметр q не зависит от х, но зависит от определения
толщины пограничного слоя. При К = 0.95 имеем q « 3. Подставляя (22.4.12) в
уравнение (22.4.10), можно найти связь между ίι(χ) и 62(2). Приближенное
решение этого уравнения может быть найдено аналитически при условии qr/So(x) > 1.
В этом случае находим г « d + S0(x)/2q, т.е. δ2{χ)/δι(χ) » (g + l)/(g - 1). При q = 3
отношение δ2 κ δχ приближенно совпадает с тем же отношением в случае
трапециевидного профиля. Подставляя теперь (22.4.9) в соотношение (22.4.6), получаем
следующее уравнение
So{x) (l + Λ, jrL.) (3-th,^) = К**. (22.4.13)
Отсюда видно, что в общем случае зависимость δο(χ) здесь получается нелинейной.
Только при условии qr/So(x) 3> 1 эта зависимость приближенно имеет линейный
характер и при q = 3 совпадает с той, что была получена для трапециевидного
профиля.
Из уравнения непрерывности следует, что благодаря зависимости U от χ
поперечная составляющая средней скорости струи V(xy у) должна быть отлична от нуля.
В частности, для трапециевидного профиля продольной составляющей средней
скорости, определяемого выражением (22.4.7), находим
при \у\ <d-ii(ar),
Y{xyy) = -6U0c
(Μ-<0а-*?(*)
1/3
Ύ
при
при
|у|><* + Ы*).
(22.4.14)
При выводе этого выражения использовались формулы (22.4.8). Зависимости U(x, у)
ν/υ.
о
ухща
0.8
0.4
0
-0.4
-0.8
^\
■ \,
V у
V/
■* . , ,
Л
\
\
■ \ ■ 1
-4-3-2-101234
y/d
Рис. 22.7. Профили продольной и поперечной составляющих средней скорости,
определяемые выражениями (22.4.7) и (22.4.14), для χ = £Н/2 и χ = хн

440 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
и V(x> y)y определяемые выражениями (22.4.7) и (22.4.14), показаны на рис. 22.7 при
х = хн/2 и χ = хн.
В случае плавного профиля, описываемого выражением (22.4.9), пренебрегая
слабой зависимостью параметра готхи полагая К(а?,0) = 0, получаем для V(xyy)
следующее выражение:
К(а?,у) = g- sign
'Ш->ш-')-
(22.4.15)
-(•вд-М·^')-^
(3(\y\-d)/So(x)-r)
{U/60(z) + r)
Примеры зависимостей продольной и поперечной составляющих средней скорости
от у, вычисленных по формулам (22.4.9) и (22.4.15), представлены на рис. 22.8.
Рис. 22.3. Профили продольной и поперечной составляющих средней скорости,
определяемые выражениями (22.4.9) и (22.4.15), для χ = хн/2, χ = хн и χ = 2хн
2. Спектры пульсации гидродинамической скорости. Случайный
характер гидродинамических волн в струе проявляет себя, в частности, в том, что спектр
пульсаций скорости жидкости является сплошным. Однако этот спектр обычно
имеет максимум на некоторой частоте, Зависящей от расстояния от кромки сопла.
Множество экспериментов показывает, что частота /т, соответствующая максимуму

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
441
спектра, уменьшается при увеличении расстояния от сопла. Например, в случае
струи, вытекающей из круглого сопла диаметра D со скоростью {/о, вблизи сопла
число Струхаля Stm = fmD/Uo в слое смешения струи в зависимости от условий
истечения варьируется от 3 до 4, тогда как в конце начального участка Stm
оказывается заключенным в интервале от 0.25 до 0.4 [552, 363]. Следовательно, к концу
начального участка значение /т уменьшается примерно в 8 -г 16 раз. На оси струи
поведение спектра пульсаций скорости в зависимости от расстояния от сопла
отличается от описанного: изменение частоты, соответствующей максимуму спектра,
при удалении от сопла происходит значительно медленнее. Примеры эволюции
спектров при увеличении расстояния от сопла вдоль оси струи и внутри пограничного
слоя приведены на рис. 22.9 [498].
В большинстве работ, посвященных изучению различных процессов в струе (см.,
например, [38, 73, 444, 445]) описанное поведение спектра пульсаций внутри
пограничного слоя объясняется спариванием вихрей, о котором говорилось выше. После
спаривания расстояние между вихрями увеличивается вдвое, что должно
привести к уменьшению вдвое частоты их следования. Так как в пределах начального
участка круглой струи в зависимости от начальных условий истечения
наблюдается 3 4- 4 парных слияний кольцевых вихрей [502], то указанное выше уменьшение
частоты /т в общем согласуется с этим объяснением: действительно, 23_м = 8 ч-16.
Однако этот вывод противоречит результатам экспериментов, согласно которым
в обычных условиях уменьшение частоты происходит не скачкообразно, а'плавно
(см. рис. 22.10, где представлены экспериментальные зависимости числа Струхаля,
соответствующего максимуму спектра, от расстояния от сопла, полученные Р.А.
Петерсеном [552] (а) и авторами работы [498] (б)). Как следует из данных
работы [498]), в слое смешения найденная зависимость близка к Stm = D/xy тогда как
вдоль оси струи убывание числа Струхаля Stm с расстоянием от сопла происходит
значительно медленнее, а именно Stm » 0.67(D/x)1^3.
Для устранения противоречия, связанного с плавным уменьшением частоты,
соответствующей максимуму спектра, с расстоянием от сопла, авторы работ,
придерживающиеся указанной выше точки зрения, говорят о статистическом разбросе
мест спаривания [38, 73], или об их «пространственном дрожании» [445]. Однако
какого-либо объяснения причин этого разброса или дрожания в цитированных
работах не дается.
Указанное противоречие исчезает, если предположить, что причиной
появления весьма интенсивного максимума в спектре пульсаций в слое смешения струи
является нелинейная обратная связь 5). Вихри, распространяющиеся внутри слоя
смешения струи, являются пространственными неоднородностями,
индуцирующими акустические волны, распространяющиеся вверх по потоку. О наличии этих волн
свидетельствуют данные экспериментов Дж.Лауфера и П. Монкевица [502],
согласно которым высокочастотные пульсации скорости жидкости вблизи сопла являются
промодулированными низкочастотными пульсациями, частоты которых
соответствуют числам Струхаля St = 0.3 -f 0.5. О наличии такой модуляции можно судить
также по виду спектра пульсаций скорости вблизи сопла (см. рис. 22.9 β [498]). Мы
видим, что спектральная плотность имеет максимумы на основной частоте,
соответствующей числу Струхаля St = 3.2 и двух боковых частотах, соответствующих
) Подобное предположение высказано также в работе [529].

442 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
5» дб S, дб
5.0 a
5.0 6
5,
70
60
50
40
дб
■ v^
2.7 3.2 3.7
i ! ί
1 ί ι
ι Ι ι
*
β Ι
St
Рис. 22.9. Примеры эволюции спектральной плотности 5 пульсации продольной
компоненты скорости и при увеличении относительного расстояния от сопла x/D, где D — диаметр

Гл. 22. Турбулентность в струнных и отрывных течениях
443
Рис. 22.10. Экспериментальные зависимости числа Струхаля Stm, соответствующего
максимуму спектра, от относительного расстояния от сопла x/D на оси круглой струи и в
слое смешения: а — в слое смешения (данные Петерсена (сплошная линия — Stm = D/x)\
б — в слое смешения и на оси струи (данные работы [498]) (кружочки относятся к слою
смешения на расстоянии от оси струи, равном радиусу сопла, а квадратики — к оси струи;
сплошные линии — Stm = D/x и Stm = 0.67(D/ar)1^3)
Sti = 2.7 и St2 = 3.7. Таким образом, частота модуляции соответствует числу
Струхаля, равному 0.5.
Через указанные индуцированные акустические волны в каждом сечении струи
возникает нелинейная обратная связь. Из физических соображений ясно, что эта
связь должна иметь резонансный характер и быть наиболее сильной для
гидродинамических волн с частотой /т, связанной с координатой сечения χ условием
резонанса
GHH
(22.4.16)
где Uh ~- скорость гидродинамической волны, а — скорость акустической волны.
Из визуальных наблюдений и измерения пространственно-временных корреляций
следует, что Uh = 0.5 -f 0.7t/o· Если в выражении (22.4.16) пренебречь числом Маха
Μ = Uo/a и положить Uh/Uo = 0.5, N = 2, то получаем зависимость Stm = D/x}
которая совпадает с экспериментальными данными Петерсена [552] и др.
На оси струи, где в пределах начального участка пространственные
неоднородности являются слабыми, нелинейной обратной связи практически нет. Этим можно
объяснить тот факт, что частота, соответствующая максимуму спектра, убывает
с расстоянием существенно медленнее, чем в слое смешения (см. рис. 22.10 б).
Само же убывание, по-видимому, может быть объяснено смещением спектра в более
низкочастотную область с ростом интенсивности пульсаций, подобно тому, как это
имело место в случае шумоиндуцированных колебаний маятника (см. гл. 9).
Можно предположить, что описанное поведение спектра пульсаций, вызванное
нелинейной обратной связью, и возможность возникновения субгармонического
резонанса, когда сравнительно сильное возмущение с частотой /m(*i), возникшее в
сечении струи с координатой χ χ, достигает сечения с координатой Х2> Для которого
/т(*з) & /m(*i)/2, являются причинами наблюдаемого в эксперименте спаривания
вихрей [87].

444 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
&дб
10
0
x/D-0.2
5 St
80
60
x/D-
к*. A
>*4*
1.0
J
0 5 St '0 5 St
Рис. 22.11. Некоторые этапы эволюции спектра при увеличении x/D на расстоянии от оси
струи, равном радиусу сопла, в случае акустического воздействия на частоте,
соответствующей числу Струхаля 2.5
г о о о о
ιο"Ι
• Ш0ЮЕО
I »
4VM3QOOQCQ
I *
Возможность возникновения субгармонического резонанса подтверждается
характером эволюции спектра при наличии вблизи сопла высокочастотного акусти-
Stm ческого воздействия на струю (рис. 22.11 [498]).
Ю1Е I В этом случае спектры пульсаций скорости в
слое смешения в непосредственной близости от
сопла содержат дискретные составляющие на
частотах воздействия и ее высших гармониках.
При небольшом удалении от сопла в спектре
появляется вторая субгармоника, интенсивность
которой постепенно растет. Затем появляются
четвертая субгармоника, восьмая и так далее.
При дальнейшем увеличении расстояния от
сопла спектр становится монотонно спадающим.
Зависимость числа Струхаля,
соответствующего спектральной линии с наибольшей
интенсивностью от относительного расстояния от
сопла для струи с акустическим воздействием
на частоте, соответствующей числу Струхаля,
равном 3.54, была получена В.Кибенсом [471]
(рис. 22.12). Мы видим, что указанная
зависимость имеет ступенчатый характер с ярко выраженными явлениями гистерезиса.
При переходе от одной ступеньки к другой число Струхаля уменьшается вдвое.
ИГ1' .
10'1
10°
ю1
x/D
Рис. 22.12. Зависимость числа
Струхаля, соответствующего
спектральной линии с наибольшей
интенсивностью, от x/D для струи с
акустическим воздействием на частоте,
соответствующей числу Струхаля 3.54

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
445
Приверженцы той точки зрения, что уменьшение Stm при увеличении
расстояния от сопла обусловлено спариванием вихрей, пытаются объяснить этот факт
«локализацией» мест спаривания благодаря акустическому воздействию [38, 73]. При
этом причины локализации игнорируются и явления гистерезиса не обсуждаются.
Между тем, картина, представленная на рис. 22.12, легко может быть
интерпретирована как последовательное появление при увеличении χ субгармонических реэо-
нансов все более высокого порядка. Очевидно, что переход от субгармоничеркого
резонанса одного порядка к субгармоническому резонансу другого порядка может
сопровождаться гистерезисом, если в некотором диапазоне значений χ оба режима
являются устойчивыми. При переходе к субгармоническому резонансу более
высокого порядка частота колебаний должна уменьшаться вдвое. Как уже говорилось,
уменьшение частоты вдвое может проявлять себя в виде спаривания вихрей.
Следовательно, в этом случае также можно предположить, что наблюдаемая
экспериментально локализация мест спаривания вихрей при акустическом воздействии на
струю есть следствие, а не причина указанного поведения спектра возмущений.
3. Струя как усилитель акустических возмущении. Так как
неустойчивость, имеющая место в струе, текущей в покоящейся жидкости, является
конвективной 6), струя не является автоколебательной системой, а представляет
собой нелинейный усилитель возмущений, как внутренних, так и внешних.
Поскольку неустойчивость является достаточно сильной, то этот усилитель должен
обладать достаточно большим коэффициентом пространственного усиления. Если
вблизи среза сопла задать малое акустическое возмущение на некоторой частоте /0,
то в определенном диапазоне частот оно превращается в усиливающуюся
гидродинамическую волну той же частоты. Об этом свидетельствуют данные
экспериментов, представленные на рис. 22.13 [380] и 22.14 а [369]. На рис. 22.13 введе-
U.ZU
0.15
010
0.05
0.3
ι
' 0.2
ол}^^^
ι ι 1
U.4UI
0.15
0.10
0.05
^^——-—ι
/''jbi---—
{" 0.5
Μ "
1 I I I I
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Рис. 22.13. Зависимости е« от е«« при x/D = 4и различных значениях числа Струхаля,
проставленных возле кривых
ны обозначения: €u = {u2)x^2/Uq — средне-квадратичное значение относительных
пульсаций продольной составляющей гидродинамической скорости на оси струи и
tua = (uf)1^2/^ — средне-квадратичное значение относительных пульсаций
колебательной скорости в акустической волне. Из данных эксперимента, представлен-
в)При наличии встречного потока, благодаря которому может возникнуть локальная обратная
связь, неустойчивость может стать абсолютной [449, 450, 336].

446 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
ных на рис. 22Л3, следует, что при малых значениях *«,„, для которых
нелинейные эффекты играют незначительную роль, коэффициент усиления монотонно
растет с увеличением числа Струхаля. Этот рост продолжается, по крайней мере,
до St = 0.5. При увеличении сиа начинает проявлять себя нелинейное насыщение,
тем более заметно, чем больше число Струхаля. В результате оказывается, что для
достаточно больших значений eue значение еи увеличивается при увеличении числа
Струхаля от ОЛЬ до 0.3 (рис. 22.13 а) и уменьшается при дальнейшем увеличении
числа Струхаля (рис. 22.13 б). Акустическое возмущение на частоте,
соответствующей числу Струхаля, равному 0.3, является предпочтительным в том смысле, что
оно за счет комбинации эффектов линейного усиления и нелинейного насыщения
имеет наибольшую амплитуду. Из рис. 22.14 а видно, что коэффициент усиления
Рис. 22.14. Экспериментальная зависимость средне-квадратичного значения пульсации
гидродинамического давления ρ = j? в середине слоя смешения от χ = (x/D)St при
фиксированном значении амплитуды акустического воздействия и различных значениях числа
Струхаля (а) и теоретическая зависимость коэффициента усиления К осесимметричных
пульсаций давления в круглой струе от относительного расстояния от среза сопла χ /Я,
где R — радиус сопла, при r/R = 1.05, St = 0.5 (6)
гидродинамической волны немонотонно зависит от расстояния от среза сопла,
достигая максимума при x/D = (0.75-f 1.25)/St. Теоретическая зависимость, подобная
приведенной на рис. 22.14 а, была получена П. Плашко [556] путем приближенного
решения линеаризованных уравнений Эйлера для слабо расходящейся струи. Эта
зависимость показана на рис. 22.14 6. При этом Плашко показал, что наблюдаемая
немонотонная зависимость коэффициента усиления от расстояния от сопла
обусловлена расходимостью струи, а не нелинейными эффектами, как предполагалось
рядом исследователей.
4. Подавление и интенсификация турбулентности в струях слабым
периодическим воздействием и аналогия с подобными явлениями в
маятнике со случайно колеблющейся осью подвеса. Весьма интересным
проявлением нелинейных эффектов в струе является возможность управления
уровнем турбулентности и длиной начального участка струи с помощью слабого
акустического воздействия либо слабых вибраций сопла [71, 72, 86, 73]. В
зависимости от частоты воздействия происходит либо усиление когерентных структур (при
Ste = faD/Uo = 0.2 -г 0.6), сопровождающееся интенсификацией мелкомасштабных
турбулентных возмущений, либо их ослабление (при Ste = 1.5-5-5). Здесь /„ —
частота воздействия, D — диаметр сопла, Щ — скорость истечения из сопла. Оба

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
447
еи
15Г
x/D
0.75
0.005
Рис. 22.15. Экспериментальные кривые, показывающие изменение вдаль оси струи
относительных среднеквадратичных пульсаций продольной (eu = (u2)l(2/U0) (α) и радиальной
(ev = (f2)1'2/^) (*0 компонент скорости и относительной средней скорости потока U/Uo
(β) при низкочастотном воздействии с числом Струхаля равным 0.25 (светлые кружочки)
и высокочастотном с числом Струхаля равным 2.75 (темные кружочки); амплитуда
колебательной скорости в звуковой волне составляла 0.07% от С/о; для сравнения показаны
соответствующие зависимости при отсутствии воздействия (крестики). Экспериментальные
,(о> и ,<°)
зависимости коэффициентов подавления еи/е1»' (г) и c/ej,' (д), где е^' и е;,"' —
относительные пульсации продольной и поперечной компонент скорости в отсутствие
акустического воздействия, от давления, в высокочастотной акустической волне ра при St* = 2.35,
x/D = 8. е — Экспериментальные зависимости ett/c|» от числа Струхаля St* = St0/£>,
где θ — так называемая толщина потери импульса вблизи сопла, при χ/θ = 200 и
четырех значениях относительной амплитуды колебательной скорости в акустической волне (в
процентах к С/о): 0.5 (кружочки), 2.5 (плюсики), 3.5 (крестики), 4.5 (квадратики)

448 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
эффекта имеют место при превышении амплитудой воздействия некоторого
порогового значения. При низкочастотном воздействии увеличение амплитуды сначала
приводит к усилению эффекта, а затем к насыщению, когда дальнейшее увеличение
уровня воздействия не влияет на его результат. При высокочастотном воздействии
после достижения порогового уровня интенсивность турбулентности постепенно
уменьшается, достигает минимума, а затем с дальнейшим ростом интенсивности
результат воздействия меняется на обратный, т.е. вместо ослабления вихреообра-
зования происходит его интенсификация [73]. Аналогичные изменения уровня
турбулентности происходят и при изменении частоты воздействия при фиксированной
амплитуде [536].
В случае акустического воздействия описанные явления многократно наблюдаг
лись экспериментально различными исследователями (кроме указанных выше, см.
[85, 417, 453, 454, 644, 38]) в диапазоне амплитуд колебательной скорости в звуковой
волне от 0.05 до 5 % от Uq. Эффекты подавления и интенсификации
турбулентности акустическим воздействием проиллюстрированы на рис. 22.15, где приведены
данные работ [86, 417, 536]. Мы видим, что низкочастотное воздействие на струю
уменьшает длину начального участка и увеличивает коэффициент усиления
пульсаций на начальном участке. Высокочастотное воздействие, наоборот, существенно
увеличивает длину начального участка и уменьшает коэффициент усиления.
Рассмотрим теперь аналогичные явления в маятнике со случайно колеблющейся
осью подвеса. В этой главе мы уже говорили, что в случае, когда интенсивность
случайных колебаний оси подвеса маятника является недостаточной, чтобы возбудить
колебания, возбуждение может быть инициировано дополнительной
низкочастотной вибрацией оси подвеса. Здесь мы, прежде всего, рассмотрим влияние
дополнительной низкочастотной вибрации на уже существующие шумоиндуцированные
колебания маятника. В этом случае низкочастотная вибрация может заметно
интенсифицировать колебания маятника. Пример такой интенсификации показан на
рис. 22.16. Из рисунка видно, что, как и при низкочастотном периодическом
воздействии на струю, эффект интенсификации имеет пороговый характер, т.е. он
проявляется только при превышении амплитудой воздействия некоторого
критического значения. Кроме того, при не очень низкой частоте воздействия наблюдается
(=1)" <^Ш
Рис. 22.16. Зависимости (φ2)1** от амплитуды низкочастотной вибрации α при ωο = 1,
β s 0.1, a ss 100 и к(2)/кКр * 1-89, ω* = 0.3 (α), *(2)/«Κρ = 2.23, ω* = 1.5 (d)

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
449
эффект замедления роста интенсивности колебаний маятника с увеличением
амплитуды воздействия (рис. 22.16 б).
Рассмотрим теперь возможность ослабления шумоиндуцированных колебаний
маятника дополнительной высокочастотной вибрацией оси подвеса. Численное
моделирование уравнения (12.1.1) с заменой £(*) на£(<)+acosuaty гдеи/а > 2, показало,
что такая дополнительная вибрация, действительно, может привести к
существенному ослаблению шумоиндуцированных колебаний маятника вплоть до их полного
Рис. 22.17. Зависимости σ = (^)1/2 от а при w0 = 1, β = 0.1, а = 100, к(2)//скр = 5.6,
ωα = 3.5 (а), и/0 = 6 (6*), ωα = 11 (β), и\» = 19.75 (а) и зависимость <г/<то, где <то — значение
σ в отсутствие дополнительной вибрации, от ωα при к(2)//скр(2) = 5.6, α = 2.5 (кружочки),
а = 5 (плюсики), α — 10 (квадратики) и α = 20 (крестики) ( д)

450 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
подавления. Найденные зависимости средне-квадратичного отклонения маятника
от амплитуды воздействия при различных фиксированных значениях частоты и
от частоты при фиксированных значениях амплитуды представлены на рис. 22.17.
Мы видим, что при малых амплитудах высокочастотной вибрации она
практически не влияет на существующие колебания. Это соответствует экспериментам со
струями. Кроме того, в случае не очень больших частот дополнительной вибрации
при увеличении ее амплитуды интенсивность шумоиндуцированных колебаний, как
и турбулентности в струях, сначала уменьшается до определенного минимального
значения, которое тем меньше, чем больше частота вибрации, а затем начинает
увеличиваться. Правда, чем выше частота, тем при больших амплитудах
вибрации достигается это минимальное значение. При достаточно больших частотах
дополнительной вибрации колебания подавляются полностью. Похожие зависимости
получаются и при изменении частоты дополнительной вибрации при
фиксированной амплитуде. В этом случае при увеличении частоты интенсивность колебаний
маятника вначале резко уменьшается, достигает минимума, а затем начинает
плавно нарастать. При достаточно больших амплитудах в некотором диапазоне частот
происходит полное подавление шумоиндуцированных колебаний.
Подавление шумоиндуцированных колебаний маятника достаточно
высокочастотным дополнительным воздействием более детально продемонстрировано на рис.
22.18, где показаны зависимости от времени φ и φ для различных значений
амплитуды воздействия, частота которого равна 19.757. Видно, что при увеличении
амплитуды интенсивность шумоиндуцированных колебаний уменьшается и при этом
увеличивается длительность участков «ламинарных фаз». Таким образом,
подавление шумоиндуцированных колебаний маятника дополнительной
высокочастотной вибрацией, подобно их возбуждению, происходит через перемежаемость ти-
Рис. 22.18. Зависимости φ{ϊ) и ф(Ь) при ωο = 1, β = 0.1, a = 100, /с(2)/кКр(2) = 5.6, к = 0,
ωα = 19.757, α = 5 (о), α = 15 (б), α = 30 (β) и α = 40 (г)

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
451
па «включено-выключено*. Зависимость средней длительности «ламинарных фаз»
г от амплитуды вибрации а, найденная численно при е = 0.002, κ(2ω0)/κκρ = 5.6,
ωα = 19.757, показана на рис. 22.19. Полученная зависимость достаточно хорошо
аппроксимируется физически очевидной формулой г = Се/(а\р - а2), где акр = 41.75
— значение амплитуды а, при котором колебания подавляются полностью.
При наличии аддитивного шума, когда колебания маятника описываются
уравнением (9.1.28), полного подавления уже не происходит, однако оно является
весьма значительным, особенно в отношении
переменной φ. Об этом свидетельствует
рис. 22.20, где приведены зависимости от
времени (риф для двух значений
амплитуды воздействия, частота которого, как
и на рис. 22.18, равна 19.757. Из рисунка
видно, что увеличение амплитуды
воздействия, начиная с а « 40, практически не
влияет на степень подавления.
Заметим, чтю стимулирование и
подавление шумоиндуцированных колебаний
маятника происходит не только при
параметрическом гармоническом
воздействии, но и при силовом, причем
эффективность воздействия оказывается даже
больше.
Из сказанного следует, что, исходя из
аналогии с колебаниями маятника, можно
рекомендовать экспериментаторам,
занимающимся подавлением турбулентности в
струях периодическим воздействием, увеличивать частоту этого воздействия, чтобы
избежать нежелательного увеличения турбулентных пульсаций при увеличении
амплитуды воздействия.
20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
а
Рис. 22.19. Зависимость средней
длительности «ламинарных» фаз г от
амплитуды вибрации а при е = 0.002,
κ(2ωο)/κΚρ = 5.6, ωα = 19.757.
Сплошной линией показана зависимость
г = 475/(а£р - а2), где акр = 41.75
φ φ
[* ЦЦ <1И'И '<ЦliHifr'y'H^ptfr' t \тпйЫш\ *χ ι φ< OKU t
Рис. 22.20. Зависимости φ(ί) и <p(t) при наличии аддитивного шума, дисперсия которого
составляет 0.05 от дисперсии мультипликативного шума, а = 40 (а) и а = 50 (5).
Остальные параметры те же, что на рис. 22.18

452 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
22.5. Автоколебания в системах с обратной связью,
содержащих струю в качестве активного элемента
Поскольку, как уже говорилось выше, неустойчивость в струях является
конвективной, а не абсолютной, для возбуждения автоколебаний необходима
дополнительная обратная связь. В частности, такая связь возникает при наличии какого-либх»
препятствия на пути струи, например, плоского экрана 7) или клина. Другая
возможность появления дополнительной обратной связи — это замыкание потока, что
имеет место в аэродинамических трубах с так называемой открытой рабочей
частью.
1. Возбуждение звука при натекавши струи на плоский экран и клин.
Клиновые тона. При нормальном натекании струи жидкости на плоский экран
вблизи него происходит поворот потока на
90° и образуется так называемая
пристенная струя (рис. 22.21). Вихри, ударяющиеся
об экран, индуцируют акустическую волну,
распространяющуюся против потока. Эта
акустическая волна, попадая на кромку
сопла, в свою очередь, индуцирует
гидродинамическую волну, распространяющуюся вниз
по потоку. Так возникает обратная связь,
которая при не очень больших расстояниях
между кромкой сопла и экраном (xo/D < 8)
и при достаточно больших дозвуковых
скоростях струи (число Маха Mo = Uo/a
больше 0.6) приводит к резкому возрастанию
коэффициента усиления пульсаций на некоторых частотах и даже к возбуждению
мощных автоколебаний. Частота автоколебаний зависит от расстояния между
соплом и экраном, но всегда заключена в некотором диапазоне, примыкающем к
частоте максимума спектра пульсаций в конце начального участка струи [74, 75, 442, 443].
Автоколебательный режим характеризуется пронзительным звуком в дальнем
поле струи и большими динамическими нагрузками на экран. Экспериментальные
спектры звуковых колебаний в дальнем поле круглой струи, заимствованные из
работы [75], представлены на рис. 22.22.
На рис. 22.23 а, взятом из работы [443], продемонстрирована зависимость
основной частоты автоколебаний (в терминах чисел Струхаля) от относительного
расстояния xo/D между соплом и экраном при Мо = 0.9. Мы видим, что при изменении
расстояния между соплом и экраном происходят перескоки частоты авт околебаний
с одной моды на другую, причем имеет место гистерезис. Чтобы описать
наблюдаемую зависимость, авторы работы [443] использовали условие резонанса:, подобное
(22.4.16), а именно
Рис. 22.21. Схематическое изображение
круглой струи, натекающей на плоский
экран
^ + ^ = N.
Аг Аа
(22.5.1)
где Аг и Аа — длина гидродинамической и акустической волны соответственно, N —
7)Струи, натекающие на экран, принято называть импактными от английского слова impact,
что означает удар.

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
453
ЮдБ
целое число. Значения N> рассчитанные по формуле (22.5Л) из экспериментальных
данных, показаны на рис. 22.23 б.
Явления регенерации и возбуждения автоколебаний в принципе могут быть
рассчитаны путем использования некоторой модели свободной струи, позволяющей
определить коэффициент усиления
гидродинамической волны. Поскольку
возбуждение автоколебаний происходит в
результате взаимодействия
гидродинамических и акустических волн, нужно
задать два граничных условия (на
экране и на кромке сопла), которые
определяют преобразование волн одного типа
в волны другого типа. Строгий вывод
граничных условий представляет собой
весьма трудную задачу. Мы запишем эти
условия чисто формально в виде
R\Pr(*0,t) =Ра(Я(Ъ*)>
(22.5.2)
Pr(0,t) = Pro(0,<) + ft2Pa(0,t),
где рг — среднее по сечению струи
давление в гидродинамической волне, рго —
среднее давление в гидродинамической
волне в отсутствие обратной связи через
акустическую волну, ра — среднее
давление в акустической волне, Hi —
коэффициент преобразования
гидродинамической волйы в акустическую на экране, Я2
— коэффициент преобразования
акустической волны в гидродинамическую на
кромке сопла. Заметим, что
коэффициенты Ri и Дг могут быть комплексными и зависящими от частоты и скорости
потока.
Задавая в условиях (22.5.2) рг(х,*) = Рг(х)е*ш, ра(*,*) = Ра(*)е,Ш, где Ω = ω-ίδ
— комплексная частота колебаний, перепишем их в следующем виде:
0.8 St
0.8 St
Рис. 22.22. Спектры звука в дальнем поле
круглой струи при: α — М0 = 0.95, x0/D = 1
(1), хъ/D = 2 (2), xo/D = 4 (3), x0/D = 6
(4), so/D = 8 (5) и xo/D = 9 (6); б —
xo/D = 4, Mo = 0.63 (1), Mo = 0.73 (2),
Mo = 0.77 (3), Mo = 0.87 (4), M0 = 0.92 (5)
и Mo = 0.95 (6)
RiPr(xo) = РаЫ, Яг(0) = Рго(О) + Д2Ра(0).
(22.5.3)
Чтобы избежать решения сложной задачи усиления гидродинамической волны
в свободной струе, мы ограничимся феноменологическим выражением для
коэффициента усиления и запишем Рг(хо) в виде
РгЫ = /Г(St, Mo, *o) exp fbSxo - i ^р\ Pr(0), (22.5.4)
где Ur « 0.6ί/ο — скорость гидродинамической волны, if (St, M0,xo) —
коэффициент усиления гидродинамической волны в свободной струе при действительном

454 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
OOP OOP
2 4 6 8
xjD
Рис. 22.23. Зависимости числа Струхаля St, соответствующего основной частоте
автоколебании (а) и значение N, определяемое выражением (22.5.1) (6) от относительного
расстояния xo/D между соплом и экраном при Мо = 0.9
значении частоты Ω, являющийся функцией числа Струхаля St = ω£)/(2πί/ο)> числа
Маха Мо и расстояния между соплом и экраном хо· Для акустической волны можно
записать
(22.5.5)
Рт(*о) = вхр(<^)л(0).
Подставляя (22.5.4), (22.5.5) в (22.5.3), мы получим линейную систему уравнений
относительно Рг(хо) и Р&(хо)
RlPr(xo) - РаЫ = О,
К"1 (St, Мо, хо) exp (i j£\ Pr(xo) - Λ2 exp (- №λ Pa(s0) = Ρ*
(22.5.6)
(0).
Бели условие самовозбуждения автоколебаний, которое будет получено ниже, не
выполняется, то система будет работать как регенеративный усилитель [309] с
коэффициентом усиления 8)
Рг{хо)
РМО)
= Кг(ш) = tf(St, Мо, хо) (1 + #2(St, Mo, xo)R\R\-
-2AT(St, Мо, хо)RiД2 cos (^ + г) ) '
(22.5.7)
Отсюда видно, что коэффициент усиления будет наибольшим для частот ω = ω#,
удовлетворяющих условию резонанса (22.5.1). Заметим, что выражение (22.5.7)
справедливо при условии
K(St}M0yxo)RiR2 < 1 (22.5.8)
для всех St. Это условие означает, что обратной связи, имеющейся в системе,
недостаточно для самовозбуждения автоколебаний.
8) Длл простоты будем считать, что коэффициенты Λχ и R% являются действительными.

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
455
Если условие (22.5.8) не выполняется, то в системе будут самовозбуждаться
автоколебания и тогда в уравнениях (22.5.6) можно пренебречь величиной Рно(0). При
этом система уравнений (22.5.6) становится однородной. Условие равенства нулю
детерминанта этой системы дает характеристическое уравнение
RlR2K(St1M0yx0) = expjιΏχο (jf + ^) )· (22.5.9)
Решение этого комплексного уравнения при действительных значениях
коэффициентов R\ и Яг имеет вид
ω = ωΝ=™ί(±. + ΐγ\ (22.5.10)
δ = δΝ = ^- Λί + Л ln(Ai/Z2A-(StAff Μθ9 «ο)), (22.5.11)
где Stjv = wn^/2it(7o — число Струхаля, соответствующее N-у значению частоты
ω^ N — целое число. Легко видеть, что соотношение (22.5.10) можно
преобразовать к виду (22.5.1), которое было неоднократно проверено в экспериментах. Из
(22.5.11) следует, что возбуждение автоколебаний возможно (одно из значений &#
является положительным)^ если условие (22.5.8) не выполняется ни для одной из
частот ωχ. Это требование определяет диапазон значений Мо и а?о, в котором будет
происходить самовозбуждение автоколебаний.
Очевидно, что число N система должна выбирать так, чтобы K(StN> Mo, хо)/«о
было как можно больше. При этом оказывается, что число N растет с ростом яо>
так что число Струхаля Stjy изменяется в узком диапазоне (примерно от 0.32 до
0.4). Это условие может быть выполнено только начиная с некоторого значения
х0. Кроме того, из результатов экспериментов, изложенных в предыдущей главе,
следует, что коэффициент усиления K(St> Мо,а?о) падает при достаточно больших
значениях #о> Этим можно объяснить тот факт, что возбуждение автоколебаний
наблюдается только в ограниченном диапазоне значений аг0. Наконец, как следует из
работ, выполненных под руководством С.П.Стрелкова [39, 301, 302], коэффициент
усиления давления в гидродинамической волне растет при увеличении числа Маха
примерно пропорционально квадрату скорости потока. Это приводит к тому, что
автоколебания могут возбуждаться только при достаточно больших числах Маха.
Из полученных результатов можно сделать вывод, что частоты автоколебаний
и условие их возбуждения слабо зависят от модели свободной струи. В частности,
результаты решения задачи для простейшей модели струи с нулевой толщиной
пограничного слоя и введенными феноменологически вязкими потерями изложены в
работе [416]. Они дают качественно правильную зависимость частоты
автоколебаний от расстояния от сопла.
Аналогично проведенному расчету возбуждения автоколебаний при натекании
струи на экран можно решить подобную задачу для струи, натекающей на клин.
Звуковые колебания, возбуждающиеся при натекании струи на клин, известны
давно под названием «клиновых tohobi [153, 559]. Проведено много экспериментов по
определению частот возбуждаемого звука ω и их связи со скоростью струи Uq и

456 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
расстоянием от сопла до края клина хо· Обнаружено, что с хорошей точностью
выполняется соотношение ω = N(kUq/xo), где N = 1,2,3,..., причем возбуждение
звука начинается лишь при определенном минимальном значении zomin, зависящем
от скорости струи ί/o, формы клина и сопла. При увеличении х0 частота ω вначале
понижается, а затем при χ о ft* 2xomin она скачком удваивается. Дальнейшее
увеличение хо приводит к последовательным понижениям и скачкам частоты. Число
наблюдавшихся скачков доходило до четырех. Таким образом, мы видим, что
поведение струи, натекающей на клин, очень похоже на рассмотренное выше поведение
струи, натекающей на перпендикулярный к ней плоский экран.
2. Возбуждение звука в аэродинамических трубах с открытой рабочей
частью. В начале 40-х годов в связи с проблемами авиации появился цикл работ
о возбуждении мощного звука,
наблюдаемого в так называемых аэродинамических
трубах с открытой рабочей частью [39, 301, 302].
Простейшая схема такой трубы представлена
на рис. 22.24 а. Обратный канал, по которому
замыкается воздушный поток, образует
некоторый звуковой резонатор, благодаря чему
в определенных диапазонах скорости струи
возбуждаются мощные звуковые волны.
Частота этих волн зависит от скорости, но
всегда остается близкой к одной из собственных
частот резонатора. Это проиллюстрировано
на рис. 22.25 [302],
Возбуждение звуковых волн качественно
можно объяснить следующим образом. Вихри,
образующиеся в слое смешения струи воздуха,
ударяясь о кромку диффузора, создают
импульсы давления. Эти импульсы возбуждают
звуковые волны, распространяющиеся как по
обратному каналу, так и в открытой части
трубы в направлении, противоположном
движению воздуха в струе. Попадая на кромку
сопла в нужной фазе, эти звуковые волны, в свою очередь, стимулируют
образование вихрей, выполняя тем самым роль двух цепей обратной связи. Наличие этих
двух цепей обратной связи приводит к появлению регенерации, что, в свою
очередь, может привести к возбуждению автоколебаний. В цитированных выше
работах СП. Стрелкова, хотя и говорилось об автоколебаниях, по существу была решена
задача о вынужденных колебаниях в акустическом резонаторе при заданном
возмущении на одной из его границ.
Полное рассмотрение явлений, происходящих в аэродинамических трубах с
открытой рабочей частью, весьма сложно, так как требует детального описания
процесса образования вихрей и учета конфигурации обратного канала. Поэтому мы
ограничимся, как и раньше, феноменологическим описанием процесса усиления
вихрей в слое смешения струи и будем, следуя [301], рассматривать лишь простейшую
модель акустического резонатора, образуемого обратным каналом, в виде цилин-
Сопло
Диффузор
Обратный канал
( 0
» ι ^
0
Кромка
сопла
L χ
Кромка
дуффузора
Рис. 22.24. Простейшая схема
аэродинамической трубы с открытой
рабочей частью (а) и простейшая модель
акустического резонатора,
образованного обратным каналом, в виде
цилиндрической трубы с открытыми
концами (6)

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
457
дрической трубы длины L (рис. 22.24 6). С учетом затухания колебания звукового
давления в трубе в линейном приближении описываются уравнением
где ао — скорость звука в обратном канале, а — коэффициент затухания.
Подставляя в уравнение (22.5.12) p(x,t) = Р(х)е$ш, где Ω = ω - if, получим для Р(х)
следующее уравнение:
(22.5.12)
i£ + 1L (Ω - 2га)Р = 0. (22.5.13)
dx*
При α <^С αο/Ι/ общее решение уравнения
(22.5.13) приближенно имеет вид
«■>-4,+?b(v)+
♦•('-f )-(-*)■ (225U)
где А я В — произвольные постоянные,
которые могут быть найдены из граничных
условий. Эти условия приближенно можно
получить из следующих соображений.
Будем считать, что, ударяясь о кромку
диффузора, вихри возбуждают как
акустическую волну, распространяющуюся по
открытой части трубы вверх по потоку, так и
волну в акустическом резонаторе,
образованном закрытой частью трубы. Это может быть записано следующим образом:
RxPr(l) = Pm(i), Я3РГ(/) = P(L), (22.5.15)
где L — длина акустического резонатора. Полагая, что давление в
гидродинамической волне вблизи кромки сопла, индуцированное акустической волной в закрытой
части трубы, пропорционально dP/dx\m-o, запишем условие на кромке сопла в виде
а0 dP\
Рис. 22.25. Зависимости частоты /
(черные кружочки) и амплитуды А (светлые
кружочки) колебаний давления в слое
смешения струи от скорости Uq для
аэродинамической трубы с открытой
рабочей частью
Prt(0) + Я2Ра(0) + Д4^- -7-
= Рг(0).
(22.5.16)
г=0
ιΏ + a dx
Четвертое граничное условие зададим тем же, что и в работах [301, 302], а именно
Р(0) = 0. (22.5.17)
Связь между РГ{1) и Рг(0), Р»(/) и Ра(0) зададим в виде (22.5.4) и (22.5.5)
соответственно. Тогда, исключая из соотношений (22.5.15) и (22.5.16) Рг(0), Рг{1), Ра(0)
и Р»(0> получаем граничное условие для акустического резонатора при χ = L:
РЩ = JWSt. Μ.,.„) exp (^) (prt(0) + *£- £[ J χ
exp
ί ιΏ ( jj- + l- J ) - H,Pv2tf(St, Mo, so) · (22.5.18)

458 Часть /V. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
Подставляя теперь решение (22.5Л4) в граничные условия (22.5Л7) и (22.5.18),
получим уравнения для постоянных А и В. Решение этих уравнений в случае, когда
условие самовозбуждения автоколебаний не выполняется и частота Ω является
действительной величиной, имеет вид
А = -В = Яз*(St, Mo, xo) exp (- ^) Щ^-, (22.5.19)
где
Р = ,[1-Д1Я^вхр(-1П(± + 1))]8т(^^-Я3адехр(-^
ш/\
Резонансные частоты находятся из условия минимума |D|. В общем случае их
определение получается весьма громоздким. Поэтому ограничимся рассмотрением
частного случая, когда скорость струи настолько мала, что
RiR2k(St, Mo,xo) ~ fl3A|A:(St, мо, «о) ~ otL/a0 ~ e, (22.5.20)
где е <& 1 — малый параметр. В этом случае с точностью до членов порядка е имеем
η . , Ιίί αϊ QL
£> = tsin 1 cos
dO Go Go
-·ΛιΛ*«φ(-« (zTr + ζ)) 8ίη^ " *зЯ4*exp (- ί?) .
Отсюда видно, что \D\ является наименьшим при частотах Ω = ωη « nna0/L,
приблизительно совпадающих с собственными частотами трубы с открытыми
концами. Значения \D\n, соответствующие этим частотам, не зависят от коэффициентов
преобразования R\} Яг и равны
\D\n
№(-!)" - ЯзЯ4*сое ^ V + Я|Я^2sin2
πηα01
LUr
ηΐ/2
(22.5.21)
Минимальные значения \D\ достигаются при скоростях потока, удовлетворяющих
условию
щ- = т, (22.5.22)
где т — целое число, которое должно быть четным при нечетном η и нечетным
при четном п. Полученные здесь результаты, по существу, совпадают с расчетами,
приведенными в работах [301, 302].
Рассмотрим теперь случаи, когда условие самовозбуждения автоколебаний
выполняется. При этом, как уже отмечалось, в уравнениях для постоянных А и В
можно пренебречь членом, содержащим Рдо(0). Тогда получаем
характеристическое уравнение
D = 0, (22.5.23)

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
459
в котором частота Ω является комплексной величиной. Из комплексного уравнения
(22.5.23) находим уравнения, связывающие ω = Re Ω и δ = -ΙπιΩ. Эти уравнения
имеют вид
-RiRiKexpl -S I — + - smo» — + - sin — ch ^ '—+
\ \Ur a) J \Ur a) o0 a0
+R3lUKexp (- —J сое щ = 0,
- ЯЛ*«р(-* (£ + ;)) cos. (± + i)J sin ^ch £±
(22.5.24)
a)L
a)L
+RlR3Kexp[-&(— + -) Isinwf—+ -)coe —sh^-i
у \Ur a) J \Vr a) ao a0
/ SI \ wl
-^tfexp^-jsin-^O,
Уравнения (22.5.24) позволяют вычислить частоты автоколебаний и
соответствующие им инкременты. Эти уравнения справедливы только для положительных
значений инкремента. Их аналитическое решение может быть найдено только
приближенно при выполнении условия (22.5.20). При этом получаем, что автоколебания
могут возбуждаться только на частотах, близких к собственным частотам
акустического резонатора с открытыми концами, а инкремент, соответствующий п-й
собственной частоте равен
RzIUKfit, M0,xo)ao/ ЧЛ πηαΌ1 /οη . οη
δη = -α y— (-1)" cos -JTJ-- (22.5.25)
Отсюда видно, что инкремент может быть положительным только при условиях
JMWSt,M,,«,)«o > а (22 5 26)
L
(_1)»сов^<0. (22.5.27)
Условие (22.5.26) определяет критическую величину обратной связи, необходимую
для самовозбуждения автоколебаний, а условие (22.5.27) дает те диапазоны
скорости струи, в которых возможны автоколебания.
22.6. Дорожка Кармана, эоловы тона и срывной флаттер
Явление возбуждения звуковых колебаний при обтекании тел известно
мореплавателям с глубокой древности. Они замечали, что при сильном ветре мачты парусов,

460 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
'^SS
канаты и другие протяженные предметы начинали издавать звуки, получившие
название «эоловы тона*. Значительно позднее было выяснено, что возбуждение таких
звуков связано с образованием за обтекаемым телом приблизительно периодической
вихревой структуры, названной по имени одного из главных ее исследователей
«дорожкой Кармана» [467]. Вихри создают неоднородности поля скоростей в жидкости,
следствием чего является излучение звука [513, 514].
Вихревая дорожка Кармана представляет собой два ряда приблизительно
равноотстоящих, противоположно вращающихся вихрей, расположенных друг
относительно друга в шахматном порядке
(рис. 22.26). Карман показал, что отноше-
е- ние расстояния λ между двумя
соседними, одинаково вращающимися вихрями,
к расстоянию между обоими рядами ви-
м—ί—in хрей h равно константе, а именно, /ι/λ =
(ι~\ fT\ £ 0.283. Указанное соотношение является
^"^ ^*"^ следствием эмпирически установленного
Θ/*-ν Струхалем при исследовании генерации
V ) звука вращающейся проволокой [598] по-
/ стоянства определенной комбинации час-
Рис. 22.26. Вихревая дорожка Кармана (а) тоты звук& f диаметра проволоки D и
и ее схематическое изображение (б) скорости ее движения U. Эта комбина-
ция, равная fD/U} впоследствии была
названа числом Струхаля. Струхаль установил, что при изменении скорости вращения
проволоки в некотором диапазоне частота возбуждаемого звука получается такой,
что St « 0.2. Несоответствие этого значения числа Струхаля с тем, что установил
Карман, можно объяснить тем, что ширина следа за обтекаемым телом несколько
больше поперечных размеров обтекаемого тела. Качественное объяснение
экспериментов Струхаля было дано Релеем [563]. Однако до сих пор остается не вполне
ясным вопрос, является ли дорожка Кармана автоколебательным процессом или
же она, как и турбулентность в струях, возникает в результате некоторого
фазового перехода, вызванного флуктуациями 9). По некоторым своим проявлениям
срыв вихрей с поверхности плохо обтекаемого тела весьма напоминает
автоколебания. Во-первых, пульсации скорости потока и давления, вызванные этим срывом
вихрей, имеют довольно узкий спектр с ярко выраженным максимумом на
частоте, соответствующей числу Струхаля St « 0.2. Во-вторых, процесс срыва вихрей
можно синхронизовать, если заставить обтекаемое тело колебаться с некоторой
частотой. Автоколебательный характер процесса срыва вихрей с плохо обтекаемого
тела в принципе может быть объяснен следующим образом. Известно [212], что при
достаточно больших числах Рейнольдса поток жидкости срывается с поверхности
обтекаемого тела, а за телом образуется возвратное течение (как бы встречная
струя). Струя же жидкости во встречном потоке, как мы уже отмечали, может
обладать абсолютной неустойчивостью, что может быть причиной возбуждения
автоколебаний,
В качестве примера рассмотрим поперечное обтекание цилиндра. Четыре
случая такого обтекания описаны в литературе: 1) обтекание неподвижного цилиндра,
9)По непонятным причинам этот вопрос практически не обсуждается в литературе.

Гл. 22. Турбулентность в струйных и отрывных течениях
461
2) обтекание цилиндра, совершающего поперечные колебания с заданными частотой
и амплитудой, 3) обтекание упруго закрепленного цилиндра, способного совершать
поперечные изгибные колебания, 4) обтекание неподвижного цилиндра при
периодическом акустическом воздействии на поток.
1. Известно, что при обтекании неподвижного цилиндра происходят близкие к
периодическим срывы потока, которые приводят к образованию вихревой дорожки
Кармана. Многочисленные экспериментальные наблюдения показывают, что в
широком диапазоне скоростей потока основная частота срыва вихрей соответствует
числу Струхаля St » 0.2. Срыв вихрей приводит к пульсациям скорости потока
и давления. Пример записи пульсаций давления на поверхности цилиндра в
сечении, перпендикулярном потоку, приведен на рис. 22.27 (этот пример позаимствован
из книги [313]). Мы видим, что пульсации давления не являются периодическими,
однако явно содержат периодическую составляющую.
Рис. 22.27. Осциллограмма пульсаций давления на поверхности неподвижного цилиндра в
сечении, перпендикулярном потоку
Если цилиндр поместить в некоторый канал, то процесс образования вихрей и
обусловленной ими генерации звука может быть существенно усилен. Это
происходит тогда, когда частота срыва вихрей близка к одной из собственных частот
акустических колебаний в канале. При этом амплитуда звукового давления
существенно превышает соответствующую амплитуду при обтекании того же цилиндра
в безграничном потоке. Указанное явление иногда называют аэроакустическим
резонансом [125, 126, 26].
2. В случае обтекания колеблющегося цилиндра процесс срыва вихрей, вообще
говоря, является квазипериодическим, содержащим две основных частоты: частоту
колебаний цилиндра /о и частоту /, которую мы будем называть частотой срыва.
Если частота /о достаточно сильно отличается от частоты срыва вихрей с
поверхности неподвижного цилиндра, которую мы обозначим /^, то частота / близка к
/ст: вихри как бы не чувствуют, что цилиндр колеблется. При приближении частоты
/о к /ст частота срыва / начинает изменяться до значения /о: наступает
синхронизация. Ширина области синхронизации существенно зависит от амплитуды
колебаний цилиндра. Одни из первых экспериментов по синхронизации частоты срыва
вихрей за счет колебаний цилиндра были выполнены в России Л.П. Смирновым и
М.А.Павлихиной [257], а на Западе»Бишопом и Хассаном [353]. Кроме области
синхронизации на основной частоте, последние обнаружили синхронизацию на второй
и третьей субгармониках частоты колебаний цилиндра (о синхронизации
автоколебательных систем на субгармониках внешней силы см. [181]).

462 Часть IV. Автоколебания в жидкостях и газах и переходы к турбулентности
0.05 г
Рис. 22.28. Зависимость ASt от ASto.
Штриховой линией показана зависи-
мость ASt = ^/(Δ^ο)2 - (^Sto)g,
а штрих-пунктир ом — асимптота
ASt = ASto
Несколько позднее синхронизация срыва вихрей за счет колебаний цилиндра,
но только на основной частоте, наблюдалась JLX. Блюминой и К.К.Федяевским
[42, 313]. Зависимость ASt = (/ - fo)D/U0 от
ASt0 = (fcr - fo)D/U0} где D — диаметр
цилиндра, ί/ο — скорость набегающего потока,
построенная на основе экспериментальных
данных, приведенных в работе [313],
представлена на рис. 22.28. Мы видим, что эта
зависимость качественно совпадает с известной
зависимостью разности между частотой
колебаний генератора и частотой гармонической
внешней силы, действующей на этот
генератор, от расстройки между частотой
свободных колебаний генератора и частотой
воздействия (см. гл. 18). Для сравнения на том же
рисунке штриховой линией приведена
зависимость ASt = >/(ASto)2 - (ASto)? , где (ASt0)c
— полуширина области синхронизации. Эта
зависимость должна бы иметь место в случае
синхронизации генератора малой
периодической внешней силой. Однако, судя по тому, что
область синхронизации является достаточно широкой, амплитуда колебаний
цилиндра была значительной, что и привело к более крутой зависимости ASt от ASto.
3. Наконец, в третьем случае возможно явление, которое носит название срыеной
флаттер [258] или ветровой резонанс [130]. Это явление заключается в
возникновении интенсивных изгибных колебаний цилиндра (или любого другого протяженного
тела) поперек потока в том случае, когда одна из собственных частот этих
колебаний близка к частоте срыва вихрей с неподвижного цилиндра. Колебания такого
типа наблюдались неоднократно у стальных заводских труб, перископов
подводных лодок, мостов и т.п. (см., например, [571, 275, 258]). Эти колебания привели к
ряду серьезных катастроф, например, разрушению знаменитого Такомского моста
[90, 571].
В большинстве имеющихся работ явление срывного флаттера объясняют как
возникновение вынужденных резонансных колебаний под действием периодической
силы, вызванной срывом вихрей и имеющей заданную частоту, зависящую от
скорости потока, размеров и формы обтекаемого тела. Частота этой силы
определяется из условия постоянства числа Струхаля, о котором говорилось выше. Такое
объяснение вступает в противоречие с известными экспериментальными данными
относительно возникновения срывного флаттера достаточно длинных тросов,
обтекаемых течениями, имеющими различную скорость в разных точках троса. Это
противоречие связано с тем, что срывной флаттер не является вынужденными
колебаниями, а представляет собой, по-видимому, единый автоколебательный процесс,
подобный тому, который имеет место в генераторе с дополнительным
колебательным контуром [177]. Можно полагать, что все особенности этого процесса
(затягивание частоты и характерные зависимости амплитуд колебаний в генераторе и
контуре при изменении расстройки) должны наблюдаться и при возбуждении срыв-

Гл. 22. Турбулентность в струнных и отрывных течениях
463
ного флаттера. К сожалению, нам не известно, проводились ли исследования такого
рода.
4. Влияние акустического воздействия на вихреобразование в следе за
цилиндром исследовано в целом ряде работ (см., например, [86, 73, 121]). В [121]
экспериментально обнаружено, что при частоте весьма слабого акустического воздействия
/а, примерно в четыре раза большей, чем частота срыва вихрей с
неподвижного цилиндра for у наблюдается синхронизация на четвертой субгармонике частоты
воздействия, т.е. частота срыва вихрей Кармана становится равной / = /а/4. В
качестве физического механизма синхронизации таким слабым воздействием авторы
указывают на образование в сдвиговом слое за цилиндром так называемых вихрей
Блур-Геррарда [356, 633], следующих с частотой /„, и последующее слияние
четырех этих вихрей в один вихрь Кармана. По утверждению авторов данной работы
этот механизм синхронизации работает только на четных субгармониках частоты
воздействия, начиная с четвертой.

464
Приложение А
Приложение А. Преобразования Лиувилля-Грина и Лангера
Рассмотрим уравнение второго порядка вида
х + (λ2?ι (0 + <&(*))* = °> (Ал)
где Λ2 — большой параметр. Для получения приближенного решения этого уравнения
чаще всего используют метод ВКБ. Однако этот метод не дает правильных результатов,
если функция q\ (t) изменяет знак в какой-то момент времени t = to. В этом случае можно
воспользоваться так называемым преобразованием Лангера, являющимся особым случаем
преобразования Лиувилля-Грина. Поэтому прежде всего рассмотрим последнее
преобразование в случае, когда функция <?i(t) имеет постоянный знак во все моменты времени.
Совершим в уравнении (АЛ) замену переменных по формулам
t' = \φ(ί), x'(t') = 0(Ο*(ΟΙ,.,-»(Α-».') ι (Α.2)
где φ(ϊ) и ф(Ь) — произвольные функции. Выберем эти функции так, чтобы при λ -> оо
уравнение для функции x'(t') было бы уравнением с постоянными коэффициентами. Для
этого подставим (А.2) в исходное уравнение (АЛ):
Φ
dV λ Λ. ΊψψΛάχ' 1 (ψ 2φ2 ι2 \ , „ ,. Λ
^Ы*~^*~п5~^~*-АЧ) (Α·3)
Прежде всего потребуем, чтобы коэффициент при dx1 jdt1 обращался в нуль, т.е. чтобы
ф — 2фф/ф. Из этого требования находим связь между функциями φ и ф:
ф{Ь) = у/Щ. (А.4)
С учетом (А.4) уравнение (А.З) принимает вид
£♦$*--«"(£+£-£)«■. <">
где е = А-1 — малый параметр. Функцию ф(Ь) выберем так, чтобы при б = 0 уравнение
(А.5) имело вид
<Рх*
^p^+x'signgi =0. (А.6)
Из этого условия находим
<И*) = Ы"4· (А.7)
С учетом (А.4) получаем ψ = \/\qi |, т.е.
*' = \[у/Ы&.
(А.8)
Решая теперь уравнение (А.6) и принимая во внимание (А.2), (А.7), (А.8), получим
выражение для x(t)} совпадающее с В К Б-приближением.
Бели функция gi(t) изменяет знак, то функции φ(ί) и ф(Ь) в преобразовании (А.2)
следует подобрать так, чтобы преобразованное уравнение при больших Λ было таким, для
которого характер решения изменялся бы в момент изменения знака q\ от
колебательного к экспоненциальному (или наоборот). Простейшим уравнением, обладающим таким
свойством, является уравнение Эйри
ζ - tx = 0. (А.9)

Преобразования Лиувилля-Грина и Лаягера
465
Чтобы свести решение исходного уравнения (АЛ) к решению уравнения Эйри, положим в
уравнении (А.5)
*(*) - * - />(t'\\
где С (О — некоторая функция, имеющая нули той же кратности, что и функция qi(t).
Бели q\(t) имеет простой корень, то можно положить C(t') = — t* = — λν>(*)· В этом случае
для x'(t') получаем уравнение Эйри, а функция φ(ί) находится из уравнения Χφφ2 = -q\.
Иэ последнего уравнения следует, что
*·*<*)-§//-*£**· (АЛО)
Иэ (А.4) теперь определяем ф(Ь):
Общее решение уравнения Эйри имеет вид
x\t') = d Ai(t') + C2Bi(0, (A.12)
где Ai(t') и Bi(t') — функции Эйри 1-го и 2-го рода, определяемые интегралами
оо оо
Μ^ζ)β * Ζ008 Of *'*) Λ· Bi(z)β * / [exp ν 7 + ж7 +ein (τ + 'vlΛ'
О О
Асимптотические выражения для Ai(«) и Bi(«) имеют вид
.... 1 ί 2^eXP(-fiS/S) Щ>И Ζ^°°·
ι ί ^ехр(1г8/3) ч" *-400·
1 (=^T77CMU(-Z) +4J Ч* Ж->-°°·
Иэ приведенных асимптотических выражений для функций Эйри видно, что характер
решения (А. 12) при изменении знака t' изменяется нужным образом.
Из (А.2) и (А.12) имеем
*Ю = (" ^) (<?ιΑί(λ*(θ) +C,Bi(Av>(t))). (A.13)
При \t — to I -► оо решение (А.13) переходит в соответствующее приближение ВКБ.

466
Приложение Б
Приложение Б. Метод Уизема и устойчивость
периодических бегущих волн для уравнения Клейна—Гордона
Пусть имеется консервативная распределенная система, описываемая уравнением Ла-
гранжа
^.^.4-— — - — =0
dt dut дх дих ди
где С = £(u,ut,ux) — плотность функции Лагранжа. Предположим, что уравнение (Б.1)
имеет частное решение в виде стационарной периодической бегущей волны
и(М) = *(А,*), (Б.2)
где А — произвольная постоянная, имеющая смысл амплитуды или интенсивности волны,
а ΰ = ωί — кх — фаза волны. Для удобства можно считать, что период функции ф(А> ΰ)
по ϋ равен 2π (этим условием определяется выбор «частоты» ω). Предположим далее, что
в неустановившемся режиме решение уравнения (Б.1) можно искать в виде
и(М) = *(л(М), *(*,*)), (Б.З)
где
§£=«(*.'). ^ = -*(*, 0. (Б.4)
Λ(χ,ί), ω(χ, ί), k(xyt) — медленно меняющиеся функции. Тогда согласно методу,
предложенному и обоснованному Дж.Уиэемом [310, 311], для получения приближенных
уравнении, описывающих эволюцию функции А(х> t), ω(χ> t)> к(х> t) достаточно вычислить
усредненный по периоду 2 π лагранжиан и применить к нему известный вариационный принцип
механики Лагранжа.
Подставляя (Б.З) в выражение для лагранжиана £(u, uty ux) и усредняя его по
переменной #, получаем
2*
c(A,ot,ex) = ljc^^,-k^)de, (Б.5)
0
где ut = ω(χ,ί), ϋχ = —k(x>t). Из выражения (Б.5) и вариационного принципа следуют
уравнения:
Ц=0, (Б.6)
д_эс_д_дс_0
dtdw дхдк-0· (Б7)
Отметим, что уравнение (Б.6) является следствием периодичности функции φ и имеет
смысл нелинейного дисперсионного уравнения. Третье уравнение для неизвестных
функций A(xyt)> u>(x>t)> k(x,t) следует из (Б.4). Оно имеет вид
дш дк ,_ ν
Заметим, что уравнения (Б.6)-(Б.8) справедливы и для слабо неоднородных и слабо
нестационарных сред, когда С = £(u,ut,tix,et,саг), где е — малый параметр. Решение
уравнения Лагранжа в этом случае также можно искать в форме (Б.З) с учетом (Б.4). При
проведении операции усреднения (Б.5) величины tt и сх следует считать фиксированными,

Метод Уизема и устойчивость периодических бегущих волн
467
вследствие чего усредненный лагранжиан также будет зависеть от «медленного» времени
it и «медленной» координаты ex.
Используя уравнения (Б.6)-(Б.8), можно, в частности, решить задачу об устойчивости
периодических бегущих волн. Применим этот метод для решения такой задачи
применительно к уравнению Клейна-Гордона (5.2.22). Исследуемые периодические бегущие волны
определяются из уравнения
("2-c2fc2)g + /W = 0, (Б.9)
где ϋ = ωί — kx. Интегрируя уравнение (Б.9), получаем
— (%У+ЩФ) = В, (Б.10)
где
Щф)= I /(x)dx,
о
Ε — интенсивность волны. Уравнению (Б.9) соответствует функция Лагранжа
«-^(3)"'-"<♦>·
Усредняя выражение (Б.11) с учетом (Б.10), находим
Z=y/\w*-c*k*\F(E)-E, (Б.12)
где
F(E) = ±j φ\Ε-υ(φ)\άφ.
Подставляя (Б.12) в (Б.6), (Б.7) и учитывая (Б.8), получаем следующие уравнения для
неизвестных Еу ω и к:
y/\u>2-c2k*\F'(E) = 1, (Б.13)
д( шГ(Е) \ 2д ( kF(E) \ 8ш Эк_
где F'(E) = dF/dE.
Для дальнейших расчетов удобно ввести переменную ν = ω/к и с помощью уравнения
(Б.13) выразить переменные ω и к через ν и F'(E):
ω= h V , k= . 1 . (Б.15)
VV-c2|F'(S) yJW-c*\F'{E) '
Подставляя теперь (Б.15) в (Б. 14), получим следующие уравнения для Ε и ν:
д_ ( vF(E) \ Зд_ ( F(E) \
(Б.16)

468
Приложение Б
Будем считать, что в стационарном режиме Ε ss £*>, υ as vo» и рассмотрим малые
отклонения от этих стационарных значении. Полагая в уравнениях (Б. 16) Ε = £о + £,
ϋ = νο + rji получим следующие линеаризованные уравнения для ξ и 17:
nu)(„|+i.|).^l(|+wg),„.
(Б.17)
Решение уравнении (Б.17) можно искать в виде
ξ = Cie"-'KX, η = C^e"-'1". (Б.18)
Подставляя (Б.18) в уравнения (Б.17), получаем уравнения для амплитуд возмущении С\
иС2:
F'(Eo)(v0p - ic2K)Ci - °Τ(£^ (ρ - t*o*)C2 = О,
(Б.19)
Яё?"-*"***^'—^
(р - suok)Ci + а а _ 2 (νορ - ic2k)C2 = 0.
Чтобы система уравнении (Б.19) имела нетривиальное решение, ее детерминант должен
равняться нулю. Из этого условия находим дисперсионное уравнение
(F'(Eo))2 (vop - tc2*)2 + c2F(£o)F"(£,)(p - ίυ0κ)2 = 0.
Его решение относительно ρ имеет вид
Р =
( icvo ((f'(£0))2 + F(S>)F"(^A
t;g(F'(Fo)) + c'F(u>)F"(£o)\
±(«g - c2)F^)v^(So)F"(£o) 1 · (Б.20)
Из выражении (Б.18) и (Б.20) следует, что возмущения ξ т η будут ненарастающими во
времени только в случае F"(Eo) < 0, т.е. когда значения ρ являются чисто мнимыми. Из
соотношении (Б. 15) можно получить, что
F"(So)= "° **
2*^1^ - с* | <*Sls»*o'
где Τ = 2*/ω — период волны по времени. Таким образом, необходимое условие
устойчивости стационарной периодической волны для уравнения Клейна-Гордона состоит в том,
что ее период должен убывать с ростом интенсивности. Подчеркнем, что это условие
является необходимым, но не достаточным, поскольку оно. получено на основе анализа
устойчивости стационарных решений усредненных уравнений (см. [177, 181]).

Литература
1. Абрамович Г.Η., Гиршович Т.А., Крашенинников С.Ю., Секундов А.Н., Смирнова
И.П. Теория турбулентных струй. Москва: Наука, 1984.
2. Алексеев Α.Α., Кудрлшов Н.А. «Особенности нелинейных волн в диссипативно-
дисперсионных средах с неустойчивостью», Изв. АН СССР, МЖГ, 1990, Х*4, ее. 130-
136.
3. Андреев Н.Н. «Технический амплитудомер», Ж урн. прикл. физики, 1925, т. 2, в. 1-2,
се. 205-212.
4. Андронов А.А., Виттп Α.Α., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Москва: Гостехиэдат,
1937; Фиэматгиз, 1959; Наука, 1981.
5. Андронов Α.Α., Леонтпович Е.А. «Некоторые случаи зависимости предельных циклов
от параметров», Ученые записки ГГУ, 1939, т. 6, №3, ее. 3-33.
6. Андронов А.А. Собр.трудов. Москва: Изд-во АН СССР, 1956.
7. Анищенко B.C., Астахов В.В. «Бифуркационные явления в автостохастическом
генераторе при внешнем регулярном воздействии», ЖТФ, 1983, т. 53, в. 11, ее. 2165-2170.
8. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А. «Разрушение квазипериодического
движения за счет удвоений и стохастичность в системе связанных генераторов», Изв.
вузов, Радиофизика, 1984, т. 27, К· 5, ее. 565-575.
9. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А. «Эффекты синхронизации и
бифуркации синхронных и кваэипериодических колебаний в неавтономном генераторе»,
Изв. вузов, Радиофизика, 1985, т. 28, Х*9, се. 1112-1125.
10. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. Москва: Наука, 1990.
11. Арнольд В.И. «Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-
периодических движений при малом изменении функции Гамильтона», УМН, 1963,
т. 18, X* 5, ее. 13-40.
12. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Москва: Наука, 1974.
13. Артамонов К. И. Термогидроакустическая устойчивость. Москва: Машиностроение,
1982.
14. Асламазов А.Г., Ларкин А.И. «Эффект Джозефсона в точечных сверхпроводящих
контактах», Письма в ЖЭТФ, 1969, т. 9, X· 2, ее. 150-154.
15. Асташев В.К., Бабицкий В.И., Тресвлтский А.Н. «Сканатор для
фотоэлектрических устройств наведения на штрих меры в металлорежущих станках», Бюллетень
Изобретений, 1977, X* 43, с. 4.
16. Афраймович B.C., Рабинович М.И.\ Угодников А.Д. «Критические точки и "фазовые
переходы" в стохастическом поведении неавтономного ангармонического
осциллятора», Письма в ЖЭТФ, 1983, т. 38, в. 2, ее. 64-67.
17. Бабин А.В., Вишик М.И. «Аттракторы эволюционных уравнений с частными
производными и оценки их размерности», УМН, 1983, т. 38, в. 4, ее. 133-187.
18. Бабицкий В.И., Ланда П. С. «Автоколебания в системах с инерционным
возбуждением», ДАН СССР, 1982, т. 266, * 5, ее. 1087-1089.

470
Литература
19. Бабицкий В. И., Ланд а П.С. «Автоколебательные системы с инерционным
возбуждением», Динамика систем, Горький: иэд-во ГГУ, 1983, ее. 147-181.
20. Бабицкий В.И., Ланда П.С, Ольховой Λ.Φ., Перминов СМ. «Стохастическое
поведение автоколебательных систем с инерционным самовозбуждением», Динамика систем,
Горький: изд-во ГГУ, 1985, ее. 14-49.
21. Базыкин А. Д. «Система Вольтерра и уравнение Михаэлиса-Менте». В кн. Вопросы
математической генетики. Новосибирск: изд-во СО АН СССР, 1974, се. 103-143.
22. Баклан М.Е., Теодорчик К. Ф. «Выпрямление переменного тока колеблющейся тонкой
струной», ЖТФ, 1936, т. 6, в. 2, сс.298-301.
23. Бакшис Б.П., Римайтис В.К. «Автоматическая сборка с помощью пневмомолотков».
В кн. Автоматизация сборочных процессов. Рига: иэд-во РПИ, 1986, ее. 39-43.
24. Барбашов Б.М., Черникой Н.А. «Решение и квантование нелинейной двухмерной
модели типа поля Борна-Инфельда», ЖЭТФ, 1966, т. 50, К* 5, ее. 1296-1310.
25. Барбашов Б.М., Черникой Н.А. «Решение задачи о рассеянии двух плоских волн в
нелинейной скалярной теории поля типа Борна-Инфельда», ЖЭТФ, 1966, т. 51, №8,
се. 658-668.
26. Бардаханов СП., Лыгденов B.C. «Когерентные структуры в следе за плохо
обтекаемым телом и генерация звука в резонансных условиях», Изв. СО АН СССР, сер. техн.
наук, 1990, Х*2, ее. 36-40.
27. Баталова З.С. «О движениях ротора под влиянием внешней гармонической силы»,
Изв. АН СССР, МТТ, 1967, №2, се. 66-73.
28. Баутин Н.Н. «К теории синхронизации», ЖТФ, 1939, т. 9, Х*6, ее. 510-513.
29. Баутин Н.Н. «Динамические модели свободных часовых ходов». В сб. Памяти
А.А.Андронова. Москва: Изд. АН СССР, 1955, ее. 109-172.
30. Безаева Л.Г., Капцов Л.Н., Ланда П.С. «Порог синхронизации как критерий сто-
хастичности в генераторе с инерционной нелинейностью», ЖТФ, 1986, т. 56, Х*9,
се. 1849-1853.
31. 'Безаева Л.Г., Капцов Л.Н., Ланда П.С. «Исследование хаотической модуляции
колебаний в генераторе с инерционной нелинейностью при параметрическом внешнем
воздействии», Радиотехника и электроника, 1987, т. 32, Х*3, ее. 647-650.
32. Белокопытов Г.В. «Стрикционное параметрическое возбуждение в диэлектрических
резонаторах», Радиофизика, 1987, т. 30, Х*9, се. 1121-1129.
33. Белокопытов Г.В., Иванов И.В., Решетников М.Е., Чистлев В.А.
«Параметрические эффекты при стрикционном* взаимодействии электромагнитных и упругих
колебаний в диэлектрических резонаторах из танталата калия», Изв. АН СССР, Сер.
физ., 1987, т. 51, Х*12, сс.2208-2215.
34. Белокопытов Г.В., Иванов И.В., Чистлев В.А. «Стрикционная параметрическая
генерация в диэлектрических резонаторах из КТаОз», ЖТФ, 1988, т. 58, К* 7, се. 1381-
1387.
35. Белоусов Б.П. «Периодически действующая реакция и ее механизм». В сб. рефератов
по радиационной медицине. Москва: Медгиэ, 1959, се. 145-148; Химия и жизнь, 1982,
№ 7, се. 65-68.
36. Белоцерковсий О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. Москва:
Наука, 1984.
37. Белоцерковский СМ., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных
интегральных уравнениях и их примененение к аэродинамике, теории упругости,
электродинамике. Москва: Наука, 1985.
38. Белоцерковсий СМ., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов
методом дискретных вихрей. Москва: Наука, 1995.

Литература
471
39. Бендриков Г.Α., Стрелкой С.П.у Шубин Э.П. «Автоколебания в аэродинамичеких
трубах с открытой рабочей частью», ЖТФ, 1941, т. 11, в. 13-14, ее. 1194-1202.
40. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. Москва: Гостехиздат, 1941.
41. Блехман И. И. Вибрационная механика. Москва: Наука, 1994.
42. Блюмина Л.Х., Федлевский К. К. «Исследование влияния вынужденных колебании
цилиндра в воздушном потоке на механизм срыва вихрей», Изв. АН СССР, МЖГ, 1969,
Х*1, ее. 118-119.
43. Боголюбов Н.Н. «Теория возмущений в нелинейной механике». В сб. Ин-та строит,
механики АН УССР, 1950, т. 14, ее. 9-34.
44. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. Москва: Наука, 1974.
45. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. Москва:
Физматгиз, 1961.
46. Болотин В.В., Воробьев В.И., Семенов В.Α., Чернов В.К. «О параметрической
стабилизации неустойчивых форм равновесия механических систем», Изв. АН СССР,
МТТ, 1979, ХМ, се. 36-44.
47. Бонч-Бруевич В.Л., Звлгин И.П., Миронов А.Г. Доменная электрическая
неустойчивость в полупроводниках. Москва: Наука, 1972.
48. Брагинский В.Б., Минакова И.И. «Влияние системы измерения малых смещений на
динамические свойства механических колебательных систем», Вестник МГУ, Сер. 3,
1964, Х*1, ее. 83-85.
49. Брагинский В.Б. Физические эксперименты с пробными телами. Москва: Наука, 1970,
се. 29-34.
50. Брагинский В.Б., Манукин А.Б., Тихонов М.Ю. «Исследование диссипативных пон-
деромоторных эффектов электромагнитного излучения», ЖЭТФ, 1970, т. 58, Х*5,
ее. 1549-1552.
51. Брагинский В.Б., Манукин А.Б. Измерение малых сил в физических экспериментах.
Москва: Наука, 1974, се. 29-36.
52. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. Москва:
ИЛ, 1959.
53. Булгаков Б.В. Колебания. Москва: Гостехиздат, 1954.
54. Бумллене С, Пирагас К., Ченис А. «Исследование размерности странного
аттрактора и амплитудного порога синхронизации хаотических автоколебаний фототока в
n-Ge(Ni)», ФТП, 1990, т. 24, в. 9, се. 1509-1515.
55. Бункин Ф.В., Вощинский Ю.А. у Кравцов Ю.А. и др. «Об устойчивости колебаний
нелинейного осциллятора с высокочастотной нелинейной накачкой», ЖТФ, 1988, т. 58,
в. 11, ее. 2241-2244.
56. Буравцев В.И. «Периодический фазовый переход в растворе аммиака», Жури, физич.
химии, 1983, т. 57, X* 7, се. 1822-1824.
57. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Москва: Мир, 1976.
58. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных
колебаний. Москва: Наука, 1987.
59. Буи В.А.у Измайлов А.Н. «Взрывная неустойчивость в системах с электронным
пучком», ЖТФ, 1976, т. 46, в. 11, с. 2451.
60. Буц В .А. у Измайлов А.Н. «Генерирование В Ч-колебаний на основе взрывной
неустойчивости», ЖТФ, 1978, т. 48, в. 7, с. 1366.
61. Вайнштейн Л.А.у Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. Москва:
Наука, 1983.
62. Ван-дер-Полъ Б. Нелинейная теория электрических колебаний. Москва: Связьиздат,
1935.

472
Литература
63. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. Москва:
Наука, 1987.
64. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотическое разложение решении сингулярно
возмущенных уравнении. Москва: Наука, 1973.
65. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных
возмущений. Москва: Высшая школа, 1990.
66. Вермель А.С.чК вопросу о термореэистивных колебаниях». В сб. Некоторые вопросы
возбуждения незатухающих колебании. Владимир: изд-во ВГПИ, 1974, ее. 159-167.
67. Виноградов М.Е. Вертикальное распределение океанического зоопланктона. Москва:
Наука, 1968.
68. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое AM. Теория волн. Москва: Наука, 1979.
69. Витт А.А. «Распределенные автоколебательные системы», ЖТФ, 1934, т. 4, Х*1,
ее. 144-157.
70. Витт АЛ. «К теории скрипичной струны», ЖТФ, 1936, т. 6, в. 9, се. 1459-1479.
71. Власов Е.В., Гиневский А.С. «Акустическое воздействие на аэродинамические
характеристики турбулентной струи», Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, Х«4, ее. 133-138.
72. Власов Е.В., Гиневский А.С. «Генерация и подавление турбулентности в осесимме-
тричной турбулентной струе в присутствии акустического воздействия», Изв. АН
СССР, МЖГ, 1973, №6, се. 37-43.
73. Власов Е.В., Гиневский А.С. «Когерентные структуры в турбулентных струях и
следах». ВИНИТИ АН СССР, Итоги науки и техники, Механика жидкости и газа, 1986,
т. 20, се. 3-84.
74. Власов Е.В., Гиневский А.С, Каравосов Р.К., Уханова JI.H. «Исследование
резонансных режимов при натекании на экран дозвуковой турбулентной струи». В сб.
Промышленная аэродинамика вып. 1(33), Москва: Машиностроение, 1986, се. 277-280.
75. Власов Е.В., Гиневский А.С, Каравосов Р.К., Уханова JI.H. «Исследование
резонансных режимов при натекании на экран дозвуковой турбулентной струи». В кн.
Проблемы турбулентных течений. Москва: Наука, 1987, се. 115-122.
76. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных
систем. Москва: изд-во МГУ, 1971.
77. Волосов В.М. Асимптотические методы исследования нелинейных волн в
стратифицированной среде с приложениями к теории внутренних волн в океане. Москва: изд-во
МГУ, 1972.
78. Волосов В.М. «Нелинейные волны в неоднородных средах: Асимптотические методы
исследования с приложениями к задачам океанологии». В кн. Колебания нелинейных
систем. Киев: изд. Ин-та математики АН УССР, 1976, се. 5-172.
79. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Москва: Наука,
1976.
80. Габараев Ф.А., Емельянов М.А., Крюков Б.И. «Динамика электромагнитных
вибраторов с асинхронным возбуждением. Асинхронное автопараметрическое
возбуждение», Вибротехника, 1987, т. 2(59), се. 14-21.
81. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. Москва: изд-во МГУ, 1988.
82. Ганиев Р.Ф., Украинский Л.Е. Динамика частиц под действием вибраций. Киев: На-
укова Думка, 1975.
83. Гапоное-Грехов А.В., Рабинович М.И., Старобинец И.М. «Динамическая модель
пространственного развития турбулентности», Письма в ЖЭТФ, 1984, т. 39, в. 12,
ее.561-564.
84. Герценштейн С.Я., Сухорукое А.И. «О нелинейной эволюции двумерных и
трехмерных волн в слоях смешения», Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, X* 1, ее. 10-18.

Литература
473
85. Гиневский А.С. Теория турбулентных струи и следов. Москва: Машиностроение,
1969.
86. Гиневский А.С, Власов Е.В., Колесников А.В. Аэроакустичекие взаимодействия.
Москва: Машиностроение, 1978.
87. Гиневский А.С, Ланда П. С. «Возбуждение гидродинамических и акустических волн
в дозвуковых струйных и отрывных течениях», Прикладная Нелинейная Динамика,
1995, т.З, №2, ее. 42-59.
88. Гласе Л., Мэки М. От часов к хаосу (Ритмы жизни). Москва: Мир, 1991.
89. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и
флуктуации. Москва: Мир, 1973.
90. Голъденблат И.И. Современные проблемы колебаний и устойчивости инженерных
сооружении. Москва: Госстройиздат, 1948.
91. ГолъЭштик М.А., Штерн В.И. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность.
Новосибирск: Наука, 1977.
92. Горелик Г.С. Колебания и волны. Москва: Фиэматгиз, 1959.
93. Грачева И.Ю., Грибков Д.Α., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И. «Синхронные, много-
частотные и хаотические процессы в системах связанных генераторов»,
Электричество, 1987, X* 7, ее. 50-56.
94. Грибков Д.Α., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А., Кузнецов Ю.И., Ржаное А.Г.
«Восстановление дифференциальных уравнений автостохастических систем по
временной реализации одной динамической переменной процесса», ЖТФ, 1994, т. 64, X* 3,
ее. 1-12.
95. Григорян С.С, Сааклн Ю.З., Цатурлн А.К. «О механизме генерации звуков
Короткова», ДАН СССР, 1980, т. 251, №3, се. 570-574.
96. Григорлн С.С, Сааклн Ю.З., Цатурлн А.К. «О причинах возникновения
"бесконечного" тона Короткова», ДАН СССР, 1981, т. 259, К* 4, ее. 793-797.
97. Григорлн С. С, Сааклн Ю.З., Цатурлн А.К. «К теории метода Короткова»,
Биомеханика, 1984, № 15-16, ее. 54-75.
98. Гюйгенс X. Тртл мемуара по механике. Москва: изд-во АН СССР, 1951.
99. Дамгов В.Н., ДубошинскийД.Б., Дубошинский Я.Б. «Возбуждение стационарных
колебательных движений нелинейной по координате периодической силой», Докл. Болт.
АН, 1986, т. 39, X* 10, се. 63-66.
100. Дамгов В.Н., Дубошинский Д.Б., Дубошинский Я.Б. «Энергетика процесса
возбуждения стационарных колебательных движений нелинейной по координате
периодической силой», Докл. Болт. АН, 1987, т. 40, JM, се. 57-60.
101. Де Жен Я. Сверхпроводимость металлов и сплавов. Москва: Мир, 1968.
102. Диментберг М.Ф. «К задаче распознавания случайных вынужденных колебаний и
автоколебаний», Изв. АН СССР, МТТ, 1969, №6.
103. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний.
Москва: Наука, 1980.
104. Дмитриев А.С, Кислое В.Я. «Странный аттрактор в неавтономном уравнении Ван-
дер-Поля», Радиотехника и электроника, 1982, т. 27, № 12, се. 2454-2456.
105. Дмитриев А.С, Кислое В.Я., Спиро А.Г. «Хаотические колебания в неавтономном
генераторе с реактивной нелинейностью», РЭ, 1983, т. 28, №12, се. 2430-2439.
106. Дружиловскал Т.Я., Неймарк Ю.И. «Стохастические автоколебания нелинейного
осциллятора с ударным поглотителем энергии», ПММ, 1982, т. 46, в. 6, ее. 924-930.
107. Дубошинский Д.Б., Галкин Ю.В., Дубошинский Я.Б., Пеннер Д.И. «Аргументные
колебания». Уч. зап. Владимирск. гос. пед. и-та, 1972, т. 40, в. 6, се. 50-57.
108. Дудник Е.Н., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Романовский Ю.М. «Синхронизация в
системах со странным аттрактором», Вестник МГУ, сер. 3, 1983, т. 24, JM, се. 84-87.

474
Литература
109. Дудник Ε.Η,, Кузнецов Ю.И.} Минакова И.И. «Механизмы взаимной синхронизации в
системах генераторов с однонаправленными связями», Изв. вузов, Радиоэлектроника,
1984, т. 27, №7, ее. 37-41.
ПО. Жаботинский A.M. Концентрационные колебания. Москва: Наука, 1974.
111. Желудев Н.И., Макаров В.Α., Матвеева А.В., Свирко ЮМ. «Структура хаоса
при возбуждении нелинейного осциллятора гармонической внешней силой», Вестник
МГУ, сер.З, 1984, т. 25, №5, ее. 106-109.
112. Заболотская Е.А., Хохлов Р.В. «Квазиплоские волны в нелинейной акустике
ограниченных пучков», Акустический журнал, 1969, т. 15, № 1, ее. 40-47.
113- Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. Москва: Наука, 1984.
114. Захаров В.Е., Фаддеев Л.Д. «Уравнение Кортевега-де Фриса — вполне
интегрируемая гамильтонова система», Функциональный анализ и его приложения, 1971, т. 5,
№4, ее. 18-27.
115. Захаров В.Е., Манаков СВ., Новиков СП., Литаевский Л.Л. Теория солитонов.
Метод обратной задачи. Москва: Наука, 1980.
116. Зейгер С.Г., Климонтович Ю.Л., Ланд а Л.С, Ларионцев Е.Г., Фрадкин Э.Е.
Волновые и флуктуационные процессы в лазерах. Москва: Наука, 1974.
117. Зельдович Я.В., Франк-Каменецкий Д.А. «К теории однородного распространения
пламени», ДАН СССР, 1938, т. 19, №9, се. 693-698.
118. Зельдович Я.Б., Франк-Каменецкий Д. А. «Теория теплового распространения
пламени», Журн. физич. химии, 1938, т. 12, № 1, се. 100-105.
119. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.Л. Физика ударных волн и высокотемпературных
гидродинамических явлений. Москва: Наука, 1966.
120. Зельдович Я.В., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Михвиладзе Г.М.
Математическая теория горения и взрыва. Москва: Наука, 1980.
121. Зобнин А.В., Сущик М.М. «Влияние высокочастотного акустического поля на вихре-
образование в следе за цилиндром», Акуст. журнал, 1989, т. 35, ее. 62-66.
122. Зыков В. С. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. Москва: Наука,
1984.
123. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки.
Москва: Наука, 1978.
124. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. Москва:
Машиностроение, 1975.
125. Ильченко М.А., Руденко А.И., Эпштейн В.Л. «Исследование генерации вихревого
звука при обтекании профиля в канале», Акуст. журнал, 1980, т. 26, №5, ее. 708-717.
126. Ильченко М.А., Руденко А.Н., Селин Н.И. «Исследование некоторых особенностей
колебаний при обтекании профиля в канале», Акуст. журнал, 1982, т. 28, № 2, ее. 224-
227.
127. Ильяшенко Ю.С. «О размерности аттрактора /f-сжимающих систем в
бесконечномерном пространстве», Вестник МГУ, сер. 1, 1983, т. 24, №3, ее. 52-59.
128. Кадомцев Б.Б., Михайловский А.В., Тимофеев А.В. «Волны с отрицательной
энергией в диспергирующих средах», ЖЭТФ, 1964, т. 47, №6, се. 2266-2275.
129. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. Москва: Наука, 1976.
130. Казакевич М.И. Аэродинамика мостов. Москва: Транспорт, 1987.
131. Кайдановский Н.Л., Хайкин С.Э. «Механические релаксационные колебания», ЖТФ,
1933, т.З, в. 1, сс.91-109.
132. Кальянов Э.В., Лебедев М.Н. «Стохастические колебания в системе связанных
генераторов при наличии инерционности», РЭ, 1985, т. 30, №8, се. 1570-1576.
133. Капица П.Л. «Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке
подвеса», ЖЭТФ, 1951, т. 21, в. 5, сс.588-597.

Литература.
475
134. Капица П.Л. «Маятник с вибрирующим подвесом», УФН, 1951, т. 44, в. 1, ее. 7-20.
135. Капцов Л.Н. «Возникновение пичкового режима в неавтономном генераторе е
инерционной нелинейностью», Радиотехника и электроника, 1975, т. 20, в. 12, ее. 2496-
2499.
136. Карасев Α.Α., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И. «Взаимодействие на гармониках в
резонансно связанных генераторах», Радиотехника, 1994, №3, ее. 27-31.
137. Карлинер М.М., Шапиро В.Е., Шехтпман И.А. «Неустойчивость стенок резонаторов
под действием пондеромоторных сил электромагнитного поля», ЖТФ, 1966, т.36,
№11, ее. 2017-2027.
138. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. Москва: Мир,
1981.
139. Кернер Б. С, Осипов В.В. «Нелинейная теория стационарных страт в диссипативных
системах», ЖЭТФ, 1978, т. 74, в. 5, ее. 1675-1696.
140. Кернер Б.С, Осипов В.В. Автосолитоны. Москва: Наука, 1991.
141. Климов В.И., Ланда П.С. «Простейшая модель экономического развития общества»,
Прикладная Нелинейная Динамика, 1993, т. 1, №3-4, ее. 36-44.
142. Климонтович Ю.Л., Курлтов В.Н., Ланда П.С. «О синхронизации волн в газовом
лазере с кольцевым резонатором», ЖЭТФ, 1966, т. 51, в. 1/7, ее. 3-12.
143. Климонтович Ю.Л., Ланда П.С, Ларионцев Е.Г. «Об устойчивости режима
встречных волн в кольцевом газовом лазере», ЖЭТФ, 1967, т. 52, в. 6, се. 1616-1631.
144. Климонтович Ю.Л. «Проблемы статистической теории открытых систем: критерии
относительной степени упорядоченности состояний в процессах самоорганизации»,
УФН, 1989, т. 158, в. 1, се. 59-91.
145. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. Москва: Наука, 1990.
146. Климонтович Ю.Л. «Что же такое турбулентность?», Прикладная Нелинейная
Динамика, 1995, т.З, №2, ее./-37.
147. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. Москва: Наука, 1995.
148. Климонтович Ю.Л. «Критерии относительной степени упорядоченности открытых
систем», УФН, 1996, т. 166, № 11, се. 1231-1243.
149. Козлов В.В. «Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике»,
УМН, 1983, т. 38, №1, ее. 3-67.
150. Колмогоров А.И., Петровский Г.Г., Пискунов И.С. «Изучение уравнения диффузии
с источником вещества и его приложение к биологическим проблемам», Бюлл. МГУ,
Математика и механика, 1937, т. 1, в. 6, се. 1-26; Вопросы кибернетики, Москва: изд-
во АН СССР, 1975, в. 12-М, ее. 3-30.
151. Колмогоров А.И. «О сохранении условно периодических движений при малом
изменении функции Гамильтона», ДАН СССР, 1954, т. 98, К* 4, ее. 527-530.
152. Кондратьева Е.К., Минц P.M. «Исследование математической модели периодических
болезней». В сб. Методы качественной теории дифференциальных уравнений.
Горький: изд-во ГГУ, 1984.
153. Константинов Б .П. Гидродинамическое звукообразование и распространение звука
в ограниченной среде. Ленинград: Наука, 1974.
154. Короткое И.С. «К вопросу о методах исследования кровяного давления», Изв.
Императорской военно-медицинской академии, 1905, т. 11, №4, се. 365-367.
155. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И.. Геометрическая оптика неоднородных сред. Москва:
Наука, 1980.
156. Крускал М. Адиабатические инварианты. Москва: ИЛ, 1962.
157. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев: изд-во АН
УССР, 1937.

476
Литература
158. Крылов В. В. «Об излучении звука развивающимися трещинами», Акустич. журнал,
1983, т. 29, №6, ее. 790-798.
159. Крылов В.В., Пономарев Е.П., Сидорова СИ. «Влияние поверхностных волн,
распространяющихся вдоль берегов трещины, на спектры акустической эмиссии». I Всесоюз.
конф. «Акустическая эмиссия материалов и конструкций». Тез. докл., ч. 1. Ростов-на-
Дону, 1984, ее. 30-31.
160. Крылов В.В., Ланда П. С, Робсман В.А. «Модель развития акустической эмиссии как
хаотизация в связанных нелинейных осцилляторах», Акустич. журнал, 1993, т. 39, Х? 1,
ее. 108-122.
161. Кудрлшов И. А. «Точные с о ли тонные решения обобщенного эволюционного уравнения
волновой динамики», ПММ, 1988, т. 52, №3, ее. 465-470.
162. Кузелев М.В., Рухадзе АЛ. Электродинамика плотных электронных пучков в
плазме. Москва: Наука, 1990.
163. Кузнецов Ю.И., Мизулин В.В., Минакова И.И., Сильное Б.А. «Синхронизация
хаотических автоколебаний», ДАН СССР, 1984, т. 275, №6, се. 1388-1391.
164. Кузнецов Ю.И., Ланда П.С, Ольховой А.Ф., Перминов СМ. «Связь между
амплитудным порогом синхронизации и энтропией в стохастических автоколебательных
системах», ДАН СССР, 1985, т. 281, X* 2, се. 291-294.
165. Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Сильное Б.А. «Поведение автогенератора
хаотических колебаний при внешнем периодическом воздействии», Вестник МГУ, сер. 3, 1986,
т. 27, X* 2, се. 44-46.
166. Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Щедрина М.И. «Механизмы взаимной
синхронизации двух резонансно связанных генераторов», Вестник МГУ, сер. 3, 1990, т. 31, Х*3,
се. 94-96.
167. Курлтов В.Н., Ланда Л.С, Ларионцев Е.Г. «Частотные характеристики
кольцевого лазера на колеблющейся подставке», Изв. вузов,^Радиофизика, 1968, т. 11, ^ 12,
се. 1839-1847.
168. Ланда П.С, Стратоновии Р.Л. «К теории флуктуационных переходов различных
систем из одного стационарного состояния в другое», Вестник МГУ (физика,
астрономия), 1962, X^ 1, се. 33-45.
169. Ланда Л.С, Ларионцев Е.Г. «Режимы биений и синхронизации встречных волн во
вращающемся кольцевом газовом лазере», РЭ, 1970, т. 15, Х«6, се. 1214-1226.
170. Ланда Л.С, Дубошинский Я.Б. «К вопросу о нерезонансном возбуждении колебаний
маятника». В сб. Некоторые вопросы возбуждения незатухающих колебаний.
Владимир: изд-во ВГПИ, 1974, ее. 134-138.
171. Ланда Л.С, Пономарев Ю.В. «Собственные ионизационные волны в положительном
столбе разряда низкого давления», Письма в ЖТФ, 1975, т. 1, в. 16, се. 758-761.
172. Ланда Л.С, Таранкова И.Д. «Вольтамперные характеристики контактов Джозефсо-
на», РЭ, 1975, т. 20, X^2, ее. 353-359.
173. Ланда Л. С, Пономарев Ю.В. «Возбуждение ионизационных волн в низко
температурной плазме», РЭ, 1976, т. 21, X* 11, се. 2337-2343.
174. Ланда П. С, Таранкова И.Д. «Синхронизация генератора с модулированной
собственной частотой», РЭ, 1976, т. 21, X* 2, се. 260-265.
175. Ланда П.С} Выгодин В.А. «О самосинхронизации мод в лазерах», Квантовая
электроника, 1977, т. 4, X* 4, се. 769-775.
176. Ланда Л.С, Пономарев Ю.В., Садовский В.Н. «Ионизационные волны (страты) в
ограниченной низкотемпературной плазме», Изв. вузов, Радиофизика, 1978, т. 21,
ХН1, се. 1691-1701.
177. Ланда П. С Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. Москва:
Наука, 1980.

Литература
477
178. Ланда Л. С, Мискинова Н.А., Пономарев Ю.В. «Ионизационные волны в
низкотемпературной плазме», УФН, 1980, т. 132, в. 4, ее. 601-637.
179. Ланда Л.С, Сухотскова И. А. «Синхронизация частоты страт путем модуляции тока
разряда», Вестник МГУ, сер.З, 1981, т. 22, №5, сс.35-41.
180. Ланда Л.С, Стратонович Р.Л. «Расчет стационарного распределения вероятностей
для одного из простейших странных аттракторов», ДАН СССР, 1982, т. 267, JM,
ее. 832-836.
181. Ланда Л. С. Автоколебания в распределенных системах. Москва: Наука, 1983.
182. Ланда Л.С, Ольховой А.Ф., Лерминов СМ. «Исследование стохастических
автоколебаний в физических системах с инерционным самовозбуждением», Изв. вузов,
Радиофизика, 1983, т. 26, №5, ее. 566-572.
183. Ланда Л. С, Стратонович Р.Л. «Вероятностные характеристики стохастических
колебаний регулируемого маятника», Изв. АН СССР, МТТ, 1984, №4, ее. 26-31.
184. Ланда Л.С, Ольховой А.Ф., Лерминов СМ. «Эволюция спектров автоколебаний в
зоне стохастичности», Вестник МГУ, сер.З, 1984, т. 25, №3, се. 74-77.
185. Ланда П.С, Лерминов СМ. «Взаимодействие периодических и стохастических
автоколебаний», Изв. вузов, Радиофизика, 1985, т. 28, №4, ее. 424-427.
186. Ланда П.С, Лерминов СМ., Шаталова Г.Г., Дамгов В.И. «Стохастические
автоколебания в генераторе с дополнительной запаздывающей обратной связью»,
Радиотехника и электроника, 1986, т. 31, №4, се. 730-733.
187. Ланда Л.С, Стратонович Р.Л. «К теории перемежаемости», Изв. вузов,
Радиофизика, 1987, т. 30, №1, се. 65-69.
188. Ланда П.С «О влиянии шума на переходы к хаосу через перемежаемость», Вестник
МГУ, сер. 3, 1987, т. 28, № 5, ее. 22-27.
189. Ланда П.С, Лерминов СМ. «Синхронизация хаотических колебаний в системе
Маккея-Гласса», Изв. вузов, Радиофизика, 1987, т. 30, №3, се. 437-439.
190. Ланда Л.С, Четвериков В.И. «К вопросу о вычислении максимального ляпуновского
характеристического показателя по одной экспериментальной реализации», ЖТФ,
1988, т. 58, в.З, се. 433-441.
191. Ланда Л. С. «Преобразователи высокочастотных электрических колебаний в
низкочастотные механические», Машиноведение, 1988, №6, се. 90-95.
192. Ланда П.С, Розенблюм М.Г. «Об одном методе оценки размерности вложения
аттрактора по результатам эксперимента», ЖТФ, 1989, т. 59, № 1, ее. 13-20.
193. Ланда П.С, Розенблюм М.Г. «Сравнение методов конструирования фазового
пространства и определения размерности аттрактора по экспериментальным данным»,
ЖТФ, 1989, т. 59, № 11, ее. 1-6.
194. Ланда П.С, Дубошинский Я.Б. «Автоколебательные системы с высокочастотными
источниками энергии», УФН, 1989, т. 158, в. 4, се. 729-742.
195. Ланда Л.С, Руденко О.В. «О двух механизмах генерации звука», Акуст. журнал,
1989, т. 35, в. 5, ее. 855-862.
196. Ланда Л. С, Марченко В. Ф. «К линейной теории волн в средах с периодической
структурой», УФН, 1991, т. 161, №9, ее. 201-209.
197. Ланда Л.С «Электромеханические преобразователи автоколебательного типа»,
Вибротехника, 1991, №66, се. 129-153.
198. Ланда Л.С, Розенблюм М.Г. «Исследование хаотических колебаний пузырька в
жидкости под действием высокочастотного звукового поля». Tfc>. XI Всесоюзной
Акустической Конференции, секция Б, Москва, 1991, ее. 133-136.
199. Ланда Л.С «К теории акустического метода измерения кровяного давления», Акуст.
журнал, 1992, т. 38, № 4, ее. 71&-723.

478
Литература
200. Ланда П.С, Бакшис Б. П. «Расчет автоколебаний тела на воздушной подушке»,
Вибротехника, 1992, №68, ее. 11-18.
201. Ланда П.С, Розенблюм М.Г. «О синхронизации хаотических автоколебательных
систем», ДАН СССР, 1992, т. 324, X* 1, ее. 65-68.
202. Ланда П.С, Розенблюм М.Г. «Автоколебания в живых организмах», Природа, 1992,
№8, ее. 18-27.
203. Ланда П. С. «Генерация звуковых волн за счет их взаимодействия с источниками
тепла», Вестник МГУ, 1994, сер.З, т. 35, №6, ее. 51-60.
204. Ланда П.С. «Так что же такое турбулентность?», Прикладная Нелинейная Динамика,
1995, т.З, №2, се. 37-41.
205. Ланда П.С. «О возможном механизме синхронизации колебаний в
квазиконсервативных системах», Изв. РАН, МТТ, 1996, №5, ее. 25-28.
206. Ланда П.С. «Об одной модели системы управления дыханием», Биофизика, 1996, т.
41, №2, се. 494-501.
207. Ланда П.С, Заикин А. А. «Неравновесные шумоиндуцированные фазовые переходы в
простых системах», ЖЭТФ, 1997, т. 111, №1, с. 358.
208. Ланда П.С. «Возникновение турбулентности в незамкнутых течениях жидкости как
неравновесный шумоиндуцированный фазовый переход второго рода», ЖТФ, 1997,
т. 67, № 7.
209. Ландау Л.Д. «К проблеме турбулентности», ДАН СССР, 1944, т. 44, №8, се. 339-342.
210. Ландау Л.Д.у Лифшиц ЕМ. Теория упругости. Москва: Наука, 1965.
211. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, ч.1. Москва: Наука, 1976.
212. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Москва: Наука, 1986.
213. Лифшиц Е.М., Питпаевский Л.П. Физическая кинетика. Москва: Наука, 1979.
214. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. Москва: Наука, 1990.
215. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Москва: Гостехиздат, 1950.
216. Ляпунов A.M. Собр. соч., т. 1,2. Москва: изд-во АН СССР, 1954-1956.
217. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. Москва: Гостехиздат,
1956.
218. Манаков СВ. «О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных
динамических системах», ЖЭТФ, 1974, т. 67, в. 2(8), ее. 543-555.
219. Мандельштам Л.И. «Новое явление при рассеянии света». Собр. трудов, т. 1, Москва:
изд-во АН СССР, 1947, ее. 293-296.
220. Мандельштам Л.И. «О рассеянии света в кристаллах». Собр. трудов, т. 1, Москва:
изд-во АН СССР, 1947, ее. 305-317.
221. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д. «О явлениях резонанса п-го рода». Собр. трудов,
т. 2. Москва: изд-во АН СССР, 1947, ее. 13-62.
222. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д. «К теории асинхронного возбуждения». Собр.
трудов, т.2. Москва: изд-во АН СССР, 1947, се. 70-84.
223. Мандельштам Л.И. «Групповая скорость в кристаллической решетке». Собр. трудов,
т.2. Москва: изд-во АН СССР, 1947, ее. 334-338.
224. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. Собр. трудов, т. 4, Москва: изд-во АН
СССР, 1955.
225. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой
механике. Москва: Наука, 1972.
226. Маневич Л.И., Михлин Ю.В., Пилипчук В.Н. Метод нормальных колебаний для
существенно нелинейных систем. Москва: Наука, 1989.
227. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории
колебаний. Москва: Наука, 1988.

Литература
479
228. Митропольский Ю.А. Нестационарные процессы в нелинейных колебательных
системах. Киев: иэд-во АН УССР, 1955.
229. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова
думка, 1971.
230. Митропольский Ю.А., Лопатин А.К. Теоретико-групповой подход в
асимптотических методах нелинейной механики. Киев: Наукова думка, 1988.
231. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и
релаксационные колебания. Москва: Наука, 1975.
232. Μ озер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. Москва: Мир, 1973.
233. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. Москва: Наука, 1981.
234. Монин А.С, Яглом A.M. Статистическая гидромеханика (Теория турбулентности),
т.1. Санкт-Петербург, Гидрометеоиэдат, 1992.
235. Морозов А.Д. Системы, близкие к нелинейным интегрируемым. Горький: изд. ГГУ,
1983.
236. Моторова Э.А., Неймарк Ю.И. «Об устойчивости нелинейной распределенной модели
естественной циркуляции», Автоматика и телемеханика, 1974, №3, ее. 28-36.
237. Нагаев Р.Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударениями.
Москва: Наука, 1985.
238. Найфэ А. Введение в методы возмущений. Москва: Мир, 1984.
239. Незлин М.В. «Волны с отрицательной энергией и аномальный эффект Допплера»,
УФН, 1976, т. 120, ее. 481-495.
240. Незлин М.В. Динамика пучков в плазме. Москва: Энергоиздат, 1982.
241. Неймарк Ю.И. «D-раэбиение пространства квазиполиномов», ПММ, 1949, т. 13, №4,
се. 349-380.
242. Неймарк Ю.И., Аронович Г.В. «Об условиях самовозбуждения поющего пламени»,
ЖЭТФ, 1955, т. 28, в. 65, ее. 567-578.
243. Неймарк Ю.И. «Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний,
I, II, III», Изв. вузов, Радиофизика, 1958, т. 1, № 1, ее. 5-6, 41-66; № 2, ее. 95-117; № 5-6,
ее. 146-165.
244. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний.
Москва: Наука, 1972.
245. Неймарк Ю.И. «Гомоклинические структуры и резонансы», Динамика систем, в.9.
Горький: иэд-во ГГУ, 1976, се. 53-59.
246. Неймарк Ю.И. «Символическая динамика, порождаемая гомоклиническими
структурами», Дифференциальные уравнения, 1976, №2, се. 256-262.
247. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. Москва; Наука, 1978.
248. Неймарк Ю.И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. Москва: Наука,
1987.
249. Неймарк Ю.И. «Теория колебаний вчера и сегодня», Динамика систем (Качественно-
численное исследование динамических систем). Горький: иэд-во ГГУ, 1988, ее. 34-53.
250. Неймарк Ю.И. «Математическая модель производители - продукт - управленцы»,
Динамика систем (динамика, стохастичность, бифуркации). Горький: изд-во ГГУ,
1990, ее. 84-89.
251. Неймарк Ю.И. «Простые математические модели», Природа, 1991, К* И, се. 9-18.
252. Никитин Н.В. «Прямое численное моделирование трехмерных турбулентных течений
в трубах кругового сечения», Изв. РАН, МЖГ, 1994, №6, се. 14-26.
253. Никитин Н.В. «Пространственный подход к численному моделированию
турбулентности в трубах», ДАН, 1995, т. 343, №6, се. 767-770.
254. Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. Москва: Мир,
1979.

480
Литература
255. Осипов Г. В. «О развитии турбулентности по Ландау в дискретной модели потоковых
систем», Изв. вузов, Радиофизика, 1988, т. 31, №5, ее. 624-632.
256. Островский Л.Α., Попко В.В., Пелиновский Е.Н. «Уединенные электромагнитные
волны в нелинейных линиях», Изв. вузов, Радиофизика, 1972, т. 15, ее. 580-591.
257. Павлихина М.А., Смирнов JI.II. «Вихревой след при обтекании колеблющихся
цилиндров», Изв. АН СССР, ОТН, 1958, №8, се. 124-127.
258. Паноеко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем. Москва: Наука, 1979.
259. Паноеко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. Москва: Наука, 1991.
260. Папалекси И. Д. «Об одном случае параметрически связанных систем». Собр. трудов.
Москва: иэд-во АН СССР, 1948, ее. 208-217.
261. Партон В.З., Борисковский В. Г. Динамическая механика разрушения. Москва:
Машиностроение, 1985.
262. Пеннер Д.И., Дубошинский Я.Б., Дубошинский Д.Б., Козаков М.И. «Колебания
с саморегулирующимся временем взаимодействия», ДАН СССР, 1972, т. 204, №5,
ее. 1065-1067.
263. Пеннер Д.И., Дубошинский Д.Б., Козаков М.И. и др. «Асинхронное возбуждение
незатухающих колебаний», УФН, 1973, т. 109, в. 2, ее. 402-406.
264. Пеннер Д.И., Дубошинский Я.Б., Дубошинский Д.Б., Петросов В.Α., Поротников
А.А. «Параметрические термомеханические колебания». В кн. Некоторые вопросы
возбуждения незатухающих колебаний. Владимир: иэд-во ВГПИ, 1974, ее. 168-183.
265. Пинегин СВ., Табачников Ю.Б., Сипенков И.Е. Статические и динамические
характеристики газостатических опор. Москва: Наука, 1982.
266. Пирс Дж. Почти все о волнах. Москва: Мир, 1976.
267. Полак Л.С, Михайлов А.С. Самоорганизация в неравновесных физико-химических
системах. Москва: Наука, 1983.
268. Потапов A.M., Ступин В.В. «Термопараметрическое возбуждение нелинейных
колебаний струны», Проблемы математической и теоретической физики, 1985, № 5,
ее. 142-146.
269. Пригожий И. От существующего к возникающему. Москва: Наука, 1985.
270. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.:
ОГИЗ, 1947.
271. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр.труды, т. 1. Москва: Наука,
1971.
272. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Москва:
Наука, 1984.
273. Распознавание образов и медицинская диагностика. Под ред. Ю.И. Неймарка.
Москва: Наука, 1972.
274. Раушенбах Б.В. Вибрационное горение. Москва: Гостехиздат, 1961.
275. Рокар И. Неустойчивость в механике. Москва: Ил, 1959.
276. Романовский Ю.М. «О взаимной синхронизации многих автоколебательных систем,
связанных через общую среду», Изв. вузов, Радиофизика, 1972, т. 15, X* 5, ее. 718-724.
277. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д. С. Математическое
моделирование в биофизике. Москва: Наука, 1975.
278. Романовский Ю.М., Степанова И.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика.
Москва: Наука, 1984.
279. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. Москва: Наука,
1969.
280. Рубаник В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск:
иэд-во «УниверситетскоеР1985.

Литература
481
281. Руденко О.В., Солулн СИ. Теоретические основы нелинейной акустики. Москва:
Наука, 1975.
282. Руденко О. В., Хохлома В Л. «Кинетический подход к описанию одномерной
акустической турбулентности», Акуст. журнал, 1988, т. 34, в. 3, ее. 500-506.
283. Руденко О.В., Хохлоеа В.А. «Кинетическое уравнение одномерной акустической
турбулентности», Вестник МГУ, сер.З, 1989, т. 30, JM, ее. 164-169.
284. Рыбак С А. «Звуковые волны с отрицательной энергией», Акуст. журнал, 1980, т. 26,
в. 2, ее. 248-256.
285. Рыскин Н.М., Трубецкое Д.И. «Взрывная неустойчивость при взаимодействии двух-
скоростного электронного потока с обратной электромагнитной волной», Письма в
ЖТФ, 1995, т. 21, в. 12, с. 26.
286. Рыскин Н.М., Трубецкой Д.И. «Взрывная неустойчивость в системах типа "два вэа-
имодействующих электронных потока - электромагнитная волна"», Прикладная
Нелинейная Динамика, 1996, т. 4, Х*4,5, ее. 65-76.
287. Рытое СМ. «Модулированные колебания и волны». Т^уды ФИАН СССР, 1939, т. 2,
в.1, ее. 41-133.
288. Рытое СМ. «О параметрических колебаниях железного тела в переменном
магнитном поле», ЖЭТФ, 1944, т. 14, в. 9, ее. 370-378.
289. Рытое СМ. «Памяти Г.С.Горелика», УФН, 1957, т.62, в.4, ее.485-496.
290. Рытое СМ. Введение в статистическую радиофизику. Москва: Наука, 1966.
291. Сбитнее В.И. «Стохастичность в системе двух связанных вибраторов». В кн.
Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. Горький: ИПФ АН СССР, 1980,
ее. 46-56.
292. Сбитнее В. И. «Стохастичность в системе связанных осцилляторов». Тр. IX Меж д.
конф. по нелин. коле б., т. 3. Киев: Наукова думка, 1984, се. 477-479.
293. Сеирежее Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в
экологии. Москва: Наука, 1987.
294. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике.
Москва: Сов. Радио, 1977.
295. Смирнова О.Α., Степаноеа Н.В. «Математическая модель колебаний при
инфекционном иммунитете». В кн. Колебательные процессы в биологических и химических
системах. Пущино-на-Оке: изд. НЦБИ АН СССР, 1971, ее. 247-251.
296. Солулн СИ., Хохлое Р.В. «Распространение акустических волн конечной амплитуды
в диссипативной среде», Вестник МГУ, сер.З, 1961, №3, се. 52-61.
297. Сорокин В.Н. Теория речеобразования. Москва: Радио и связь, 1985.
298. Стратоноеич Р.Л., Романовский Ю.М. «Параметрическое воздействие случайной
силы на линейные и нелинейные колебательные системы», Науч. докл. высшей школы,
сер. фиэ.-мат., 1958, т.З, ее. 221-226.
299. Стратоноеич Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике. Москва:
Сов. Радио, 1961.
300. Стрелкое СП. «Маятник Фроуда», ЖТФ, 1933, т.З, в. 4, се. 563-570.
301. Стрелкое СП. «К теории автоколебаний в аэродинамической трубе с открытой
рабочей частью», ЖТФ, 1941, т. 11, в. 13-14, ее. 1203-1210.
302. Стрелкое СП., Бендрикое Г.Α., Смирное И.А. «Пульсации в аэродинамических
трубах и способы демпфирования их». Тр. ЦАГИ, 1946, X* 593.
303. Стрелков СП. Введение в теорию колебаний. Москва: Наука, 1964.
304. Стретт Д.В. (Релей) Теория звука, т.1,2. Москва: Гостехиэдат, 1955.
305. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих вопросах теории дифференциальных уравнений
и о разложении функций в ряды. Петроград, 1917.

482
Литература
306. Теодорчик К.Φ. «Термомеханические автоколебательные системы», Радиотехника,
1937, №6, ее. 5-15.
307. Теодорчик К.Ф. «Генераторы с инерционной нелинейностью», ДАН СССР, 1945, т. 50,
ее. 191-192.
308. Теодорчик К. Ф. «Автоколебательные системы с инерционной нелинейностью», ЖТФ,
1946, т. 16, в. 7, ее. 845-854.
309. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. Москва: Гостехиэдат, 1952.
310. Уизем Дж. «Вариационные методы и их приложение к волнам на воде». В кн.
Нелинейная теория распространения волн, под ред. Г.И. Баренблатта. Москва: Мир, 1970,
ее. 12-39.
311. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. Москва: Мир, 1977.
312. Уитшекер Е. Аналитическая динамика. Москва: Гостехиэдат, 1937.
313. Федяевский К.К., Блюмина JI.X. Гидродинамика отрывного обтекания тел. Москва:
Машиностроение, 1977.
314. Фейгенбаум М. «Универсальность в поведении нелинейных систем», УФН, 1983, т. 141,
в. 2, ее. 343-374.
315. Фейгин М.И. «Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях периодических
движений в кусочно-непрерывных системах», ПММ, 1970, т. 34, вып. 5, ее. 861-869.
316. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями.
Москва: Наука, 1994.
317. Фельдман М.С., Фирсов Г.И., Розенблюм М.Г. «Исследование одной биомеханической
системы». В кн. Методы и математическое обеспечение компьютерной обработки
экспериментальных данных в динамике машин. Москва: Наука, 1989, се. 259-277.
318. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. Москва:
Наука, 1967.
319. Фреман И., Фреман П.У. ВКБ-приближение. Москва: Мир, 1967.
320. Хакен Г. Синергетика. Москва: Мир, 1980.
321. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах
и устройствах. Москва: Мир, 1985.
322. Ханин Я.И. Динамика квантовых генераторов. Москва: Сов.Радио, 1975.
323. Халси Т. Нелинейные колебания в физических системах. Москва: Мир, 1968.
324. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов. Метод ВКБ. Москва: Мир, 1965.
325. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. Москва: Мир, 1987.
326. Хотунцев Ю.Л., Тамарчак Д.Я. Синхронизованные генераторы и автодины на
полупроводниковых приборах. Москва: Радио и связь, 1982.
327. Хохлов Р. В. «Теория ударных радиоволн в нелинейных линиях передачи»,
Радиотехника и электроника, 1961, т. 6, №6, ее. 917-925.
328. Хохлов Р.В. «О нелинейных волновых процессах», УФН, 1965, т. 87, в. 1, ее. 17-21.
329. Чириков Б.В., Шепеллнский Д.Л. «Стохастические колебания классических полей
Янга-Миллса», Письма в ЖЭТФ, 1981, т. 34, в. 4, се. 171-175.
330. Шарковский А.И. «Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в
себя», Укр. мат. журн., 1964, т. 26, К* 1, се. 61-71.
331. Шкадов В.Я. «Уединенные волны в слое вязкой жидкости», Изв. АН СССР, МЖГ,
1977, №1, се. 63-66.
332. Шмидт Г. Параметрические колебания. Москва: Мир, 1978.
333. Шустер Г. Детерминированный хаос. Москва: Мир, 1988.
334. Якубович В. Α., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах.
Москва: Наука, 1987.
335. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Москва: Наука, 1977.

Литература
483
336. Abid M.t Bracket Μ., Huerre P. «Linear hydrodynamic instability of circular jets with thin
shear layers», Eur. J. Mech., B/Fluids, 1993, v. 12, No 5, pp. 683-693.
337. Ablowitz M.J., Segur И. Solitons and the Inverse Scattering Transformation. Philadelphia,
SIAM, 1981.
338. Andereck CD., Liu S.S., Swinney H.L. «Flow regimes in a circular Couette system with
independently rotating cylinders», J. Fluid Mech., 1986, v. 164, pp. 155-183.
339. Anischenko V.S. Dynamical Chaos — Basic concepts. LeipzigrTeubner Texte, B. 14, 1987.
340. Anischenko V.S. Dynamical Chaos in Physical Systems. Leipzig rTeubner Texte, B. 22,
1988.
341. Appleton E. V. «The automatic synchronization of triode oscillator», Proc. of the Cambridge
Philos. Soc. (Math, and Phys. Sciences), 1922, v. 21.
342. Ashurst W.T. «Numerical simulation of turbulent mixing layers via vortex dynamics». In:
Turbulent Shear Flow 1. 2nd Int. Symp., London, 1979. Berlin:Springer, 1980.
343. Babitzky V.I., Landa P.S. «Auto-oscillation systems with inertial self-excitation», ZAMM,
1984, B.64, No 8, pp. 329-339.
344. Babitzky V.I., Landa P.S., Olkhovoy A.F., Perminov S.M. «Stochastical behaviour of auto-
oscillation systems with inertial self-excitation», ZAMM, 1986, B. 66, No 2, pp. 73-81.
345. Barone Α., Esposito F., Magee C.J., Scott A.C. «Theory and applications of the Sine-
Gordon equation», Rivista del Nuovo Cimento (2), 1971, v. 1, pp. 227-267.
346. Belotserkovsky S.M. «Study of the unsteady aerodynamics of lifting surfaces using the
computer», Ann. Rev. Fluid Mech., 1977, v. 9, pp. 469-494.
347. Benettin G., Galgani L. «Lyapunov characteristic exponents and stochasticity». In:
Intrinsic Stochasticity in Plasma, ed. by G. Laval and D. Gressilon. Orsay:Les editions de
physique courtaboeuf, 1979, pp. 93-114.
348. Benettin G., Galgani L., Giorgilli Α., Strelcyn J.M. «Lyapunov characteristic exponents
for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all
of them, P.1,2», Meccanica, 1980, v. 15, No 1, pp. 9-20, 21-30.
349. Berg van Den J., Moll J. «Zur anatomie des menschlichen musculus vocalis», Z. Anat.
Entwicklung, 1955, v. 118, pp. 465-470.
350. Berg van Den J., Moolenar-Bije A.J., Darnste Р.И. «Oesophageal speech», Folia Phoni-
atrica, 1958, v. 10, No 2, pp. 66-83.
351. Bethenod M.J. «Sur Tentretien du mouvement d'un pendule au moyen d'un courant al-
ternatif de frequence elevel par rapport a sa frequence propre», Comptes Rendus Ac. Sc.
(Paris), 1938, v. 207, No 19, pp. 847-849.
352. Birkhoff G.D. «On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential
equations containing a large parameter», Trans. Amer. Math. Soc, 1908, v. 9, pp. 219-231.
353. Bishop R.E.D., Hassan A. У. «The lift and drag forces on a circular cylinder oscillating in
a flowing fluid», Proc. Royal Soc. (London), 1964, v. A277, pp. 51-75.
354. Blekhman LL, Landa P.S., Rosenblum M.G. «Synchronization and chaotization
phenomena in oscillatory and rotatory dynamical systems». In: Nonlinear Dynamics: New
Theoretical and Apllied Results, ed. by J. Awrejcewicz. Berlin: Akademie Verlag, 1995, pp. 17-54.
355. Blekhman LL, Landa P.S., Rosenblum M.G. «Synchronization and chaotization in
interacting dynamical systems», Appl. Mech. Rev., 1995, v. 48, No 11, pp. 733-752.
356. Bloor M.S. «The transition to turbulence in the wake of circular cylinder», J. Fluid Mech.,
1964, v. 19, pp.290-304.
357. Born M.} Jnfeld L. «Foundations of a new field theory», Proc. Roy. Soc. (London), 1934,
v. 144A, pp. 425-451.
358. Boussinesq J. «Theorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectan-
gulaire horisontal, en communicpiant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensible-
ment pareilles de la surface au fond», J. Math. Pur-es Appl., 1972, v. 17, ser. 2, pp. 55-108.

484
Литература
359. Brandstater Α., Swift J., Swinney H.L., Wolf A. * Low-dimensional chaos in a hydrody-
namic system», Phys. Rev. Lett., 1983, v. 51, No 16, pp. 1442-1445.
360. Broad D. «The new theories of vocal fold vibration». In: Speech and Language: Advances
in Basic Research and Practice, ed. Lass N., New York: Academic Press, 1979.
361. Brooke B. «The threefold classification of unstable disturbances in flexible surfaces
bounding inviscid flows», J. Fluid Mech., 1963, v. 16, No 3, pp. 436-450.
362. Broomhead D.S., King G.P. «Extracting qualitative dynamics from experimental data»,
Physica D, 1986, v. 20, No 2-3, pp. 217-236.
363. Bruun H.H. «A time-domain evalution of the large-scale flow structure in a turbulent jet»,
Proc. Roy. Soc. (London), 1979, ν, Α367, No 1729, pp. 193-218.
364. Budinsky N.f Bounties T. «Stability of nonlinear modes and chaotic properties of ID
Fermi-Pasta-Ulam lattices», Physica D, 1983, v. 8, pp. 445-452.
365. Buravtsev V.N., Botin A.S., Malomed B.A. «The autowave phenomena on the surface of
crystallizing solution». In: Self-Organization, Autowaves and Structures Far From
Equilibrium, Ed. V.I. Krinsky, Moscow, 1984, pp. 59-63.
366. Busse F.H. «Convection driven zonal flows and vortices in the major planets», Chaos, 1994,
v.4, No 2, pp. 123-134.
367. Busse F.H., Clever R.M. «Nonlinear waves and thermal convection». In: Structure and
Dynamics of Nonlinear Waves in Fluids, ed. by A. Mielke and K. Kirchgassner, World
Scientific, 1995.
368. Cartwright M.L., Littlewood J.E. «On non-linear differential equations of the second order.
I. The equation y — k(\ — y2)y + y = 6Afccos(A£ + a), к large», J. London Math. Soc, 1945,
v. 20, pp. 180-189.
369. Chan Y.Y. «Spatial waves in turbulence jets», Phys. Fluids, 1974, v. 17, No 1, pp.46-53;
No 9, pp. 1667-1670.
370. Chang Hsueh-Chia. «Travelling waves on fluids interfaces: normal form analysis of the
Kuramoto-Sivashinsky equation», Phys. Fluids, 1986, v. 29, No 10, pp. 3142-3147.
371. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Oxford: Clarendon Press,
1961.
372. Childress W.S., Levandowsky M., Spiegel E.A. «Pattern formation in a suspension of
swimming microorganisms: Equations and stability theory», J. Fluid Mech., 1975, v. 69, No 3,
pp. 591-599.
373. Chirikov B.V. «An universal instability of many-dimensional oscillatory systems», Phys.
Rep., 1979, v. 52, No 5, pp. 263-379.
374. Chu L.J. «The kinetic power theorem». IRE Electron Devices Conference. Univertsity of
New Hempshire, June, 1951.
375. Chua L.O., Komuro M.t Matsumoto T. «The double scroll fam illy», IEEE Trans, Circuit
and Systems, 1986, v. 33, pp. 1073-1118.
376. Clopp J. General Radio Experimenter, 1944, v. 18, No 11-12.
377. Cole J.D. «On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics», Q. Appl. Math.,
1951, v. 9, pp. 225-236.
378. Combes J.M., Grossmann A.} Tchamitchian Ph., eds. Wavelets, Time-Frequency Methods
and Phase Space, Berlin: Springer, 1989.
379. Crighton D.G., Gaster M. «Stability of slowly diverging jet flow», J. Fluid Mech., 1976,
v. 77, pp. 397-413.
380. Crow 5.(7., Champagne F.H. «Orderly structure in jet turbulence», J.Fluid Mech., 1971,
v. 48, P.3, pp. 547-591.
381. Dietz K. «The incidence of infectious diseases under the influence of seasonal fluctuations».
Lect. Notes Biomath., 1976, v. 11, pp. 1-15.

Литература
485
382. DiPrima R.C., Swinney H.L. «Instabilities and the transition to chaotic Taylor vortex
in flow between two rotating coaxial cylinders». In: Hydrodynamic Instabilities and the
Transition to Turbulence. Ed. by H.L. Swinney and J.P. Gollub, Berlin-Heidelberg-New
York: Springer-Verlag, 1981.
383. Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Morris И.О. Solitons and Nonlinear Waves. London:
Academic Press Inc., 1982.
384. Domarkas V., Khuri-Yakub B.T., Kino G.S. «Length and depth resonances of surface
cracks and their use for crack size estimation», Appl. Phys. Lett., 1978, v. 33, pp. 557-559.
385. Dowell A.R., Buckley E., Cohen R.t Whalen R.E., Sieker И.О., Durham N.C. «Chein-
Stokes respiration», Arch. Int. Med., 1971, v. 127, pp. 712-726.
386. Drazin P.D., Reid W.H. Hydrodynamic Stability. Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1981.
387. Duffing G. Erzwungene Schwingungen bei veranderlicher Eigenfrequenz und ihre technis-
che Bedeutung. Braunschweig: Vieweg, 1918.
388. Dykman G.L, Landa P.S., Neimark Yu.I. «Synchronizing the chaotic oscillatios by external
force», Chaos, Solitons and Fractals, 1991, v. 1, No 4, pp. 339-353.
389. Eckhaus W. Asymptotic Analysis of Singular Perturbations. Amsterdam: North-Holland
Publ. Co., 1979.
390. Eilenberger G. Solitons. Mathematical Method for Physicists. Berlin: Springer, 1981.
391. Eleonsky V.M., Kulagin N.E., Silin V.P. Solitons: Phase portrait, bifurcations. Preprint
44, FIAN SSSR, Moscow, 1987.
392. Engbert R. and Drepper F.R. «Chance and chaos in population biology - models of
recurrent epidemics and food chain dynamics», Chaos, Solitons and FVactals, 1994, v. 4, No 7,
pp. 1147-1169.
393. Engelbrecht J., Tobias T. «On a model stationary nonlinear wave in an active medium»,
Proc. R. Soc. (London), 1987, v. A411, pp. 139-154.
394. Engelbrecht J. «On mathematical models for nerve-pulse transmission». In: Nonlinear Wave
Motion, ed. by A. Jeffrey. London: Longman Scientific & Technical; New York: John Wiley
L· Sons, 1989, pp. 54-70.
395. Engelbrecht J., Fusco D., Olivery F. «Nerve pulse transmission: recovery variable and rate-
type effects», Chaos, Solitons L· FVactals, 1992, v. 2, No 2, pp. 197-209.
396. Esche R. «Untersuchung der schwingungskavitation in flussigkeiten», Akust. Beih., 1952,
B. 4, pp. 208-234.
397. Farmer J.D. «Chaotic attractor of an infinite-dimensional dynamical system», Physica D,
1982, v. 4D, No 3, pp. 366-393.
398. Feigenbaum M.J. «Quantitative universality for a class of nonlinear transformatios», J.
Stat. Phys., 1978, v. 19, No 1, pp. 25-52.
399. Feigenbaum M.J. «The onset spectrum of turbulence», Phys. Lett., 1979, v. 74A, No 6,
pp. 375-378.
400. Fermi E., Pasta I., Ulam S. Studies of non-linear problems. Los Alamos Sci. Lab. Report
LA-1940, 1955.
401. Field R.J., Koros E., Noyes R.M. «Oscillations in chemical systems. II. Thorough analysis
of temporal oscillation in the Bromate-Cerium-Malonic acid system», J. Amer. Chem.
Soc, 1974, v.94, No 25, pp.8649-8664.
402. Field R.J., Noyes R.M. «Oscillations in chemical systems. IV. Limit cycle behavior in a
model of a real chemical reaction», J. Chem. Phys., 1974, v. 60, No 5, pp. 1877-1884.
403. Firsov G.L, Rosenblum M.G., Landa P.S. «Deterministic 1// fluctuations in biomechanical
system». AIP Conf. Proc. 285. Noise in Physical Systems and 1/f Fluctuations. New York:
AIP Press, 1993, pp. 716-719.
404. Fisher R. «The wave advance of advantageous genes», Ann. of Eugenics, 1937, v. 7, pp. 355-
369.

486
Литература
405. Fitz Hugh R. «Mathematical models of excitation and propagation in nerve». In: Biological
Engeneering, ed. by H.R Schwan. New York: McGraw-Hill, 1969, pp. 1-85.
406. Flanagan J.L. Speech Analysis, Synthesis and Perception. New York: Springer, 1972.
407. Flashka H. «On the Toda lattice II», Progr. Theor. Phys., 1974, v. 51, No 4, pp. 703-716.
408. Flier) G.R. «Planetary solitary waves», Polymode News, 1979, v. 62, No 1, pp. 7-14.
409. Floquet G. «Sur les equations diferentielles lineaires a coefficients periodiques». Ann. sci-
etifiques de 1 Ecole. Normale superieure, ser. 2, 1883, v. 12, No 1, p. 47.
410. Forsyth A.R. Theory of Differential Equations. V.6. New York: Dover Publications, 1959.
411. Fujisaka H, «Theory of diffusion and intermittency in chaotic system», Progr. Theor. Phys.,
1984, v. 71, No 3, pp. 513-523.
412. Fujisaka H., Yamada T, «A new intermittency in coupled dynamical systems», Progr.
Theor. Phys., 1985, v. 74, No 4, pp. 918-921.
413. Fukunaga K. Introducton to Statistical Pattern Recognition. New York: Academic Press,
1972.
414. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. «Method for solving the Korteweg
de Vries equation», Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19, pp. 1095-1097.
415. Geddes L.A. The Direct and Indirect Measurement of Blood Pressure. Chicago: Year Book
Medical Publishers, 1970.
416. Ginevsky A.S., Landa P.S., Zaikin A.A. «Self-excitation of impinging jets with regard to
acoustic feedback». Proc. of the Third Intern. Congr. on Air- and Structure- borne Sound
and Vibration. Montreal, Canada, 1994, pp. 1191-1198.
417. Ginevsky A.S. «Acoustic, vibrational, and aerodynamical methods of turbulent mixing
control in subsonic jets». Proc. of the Symp. "The Active Control of Vibrations" at Bath
University, 1994, pp. 203-207.
418. Glass L., Mackey M.C. «Pathological conditions resulting from instabilities in physiological
control systems», Ann. New York Acad. Sci., 1979, v. 316, pp. 214-235.
419. Gober M., Herzel H.f Graf H.-F. «Dimension analysis of El Nino/Southern oscillation time
series», Ann. Geophys., 1992, v. 10, pp. 729-734.
420. Grasman J., Nijmeijer Я., Veling E.J.M. «Singular perturbations and a mapping on an
interval for the forced van der Pol relaxation oscillator», Physica D, 1984, v. 13D, No 1-2,
pp. 195-210.
421. Grassberger P. «Generalized dimension of strange at tractors», Phys. Lett., 1983, v. 97A,
No 6, pp. 227-231.
422. Grassberger P., Procaccia L «Measuring the strageness of strange at tractors», Physica D,
1983, v.9D, No 1, pp. 189-208.
423. Grassberger P. «Generalized dimension of strange attractors», Phys. Rev. A, 1988, v. 38,
pp. 1649-1652.
424. Greene J.M., Kim 7.5. «The steady states of the Kuramoto-Sivashinsky equation», Physica
D, 1988, v.33, pp. 99-120.
425. Grinstein F.F., Oran E.S., Boris J.P. «Direct numerical simulation of axisymmetric jets»,
AIAA Journal, 1987, v. 25, No 4, pp. 92-98.
426. Guckenheimer 7. «Symbolic dynamics and relaxation oscillations», Physica D, 1980, v. ID,
pp. 227-235.
427. Hale 7. «Infinite dimensional dynamical systems». Lect. Notes in Math. Berlin: Springer,
1983, v. 1007, pp. 379-400.
428. Hausdorff F. «Dimension und Aufieres Man», Math. Ann., 1918, B. 79, H. 2, pp. 157-179.
429. Heagy J.F., Piatt N., Hammel S.M. «Characterization of on-off intermittency», Phys. Rev.
E, 1994, v. 49, pp. 1140-1150.
430. Helmholtz H.L.F. Uber discontinuierlich Flussigkeitsbewegungen. Monatsberichte konigl.
Berlin: Akad. Wissenschaften, 1868, pp. 215-228.

Литература
487
431. Непоп Μ., Heiles С. «The applicability of the third integral of motion; some numerical
experiments», Astronom. J., 1964, v. 69, No 1, pp. 73-79.
432. Непоп M. «Numerical study of quadratic area-preserving mappings», Q. Appl. Math., 1969,
v.27, pp. 291-312.
433. Henon M. «Integrals of the Toda lattice», Phys. Rev. B, 1974, v. 9, No 4, pp. 1921 1923.
434. Henon M. «A two-dimensional mapping with a strange attractor», Comm. Math. Phys.,
1976, v.50, No 1, pp. 69-77.
435. Herzel H., Kurths J., Landa P.S., Rosenblum M.G. «New aspects of detecting chaos in a
time series». In: Irreversible Processes and Selforganization, ed. W. Ebeling, H. Ulbricht.
Leipzig: Teubner, 1989, B. 23, pp. 65-75.
436. Herzel H. «Bifurcations and chaos in voice signals», Appl. Mech. Rev., 1993, v. 46, No 7,
pp. 399-413.
437. Higgins J. «The theory of oscillating reactions», Ind. and Engineering Chemistry, 1967,
v. 59, No 5, pp. 19-27.
438. Hirota R. «Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of
solitons», Phys. Rev. Lett., 1971, v.27, pp. 1192-1194.
439. Hirota R. «Exact envelope-soliton solutions of a nonlinear wave equation», J. Math. Phys.,
1973, v. 14, pp. 805-809.
440. Hirota R. «Exact N-soliton solutions of the wave equation of long waves in shallow-water
and in nonlinear lattices», J. Math. Phys., 1973, v. 14, pp. 810-815.
441. Hirsch J.E., Huberman B.A., Scalapino D.J. «Theory of intermittency», Phys. Rev. A,
1982, v.25A, No 1, pp. 519-532.
442. Ho Chih-Ming, Nosseir N.S. «Large coherent structures in an impinging jet». "Turbulent
Shear Flows 2. 2nd Int. Symp., London, 1979". Berlin, 1980, pp. 297-304.
443. Ho Chih-Ming, Nosseir N.S. «Dynamics of an impinging jet. Part 1. The feedback
phenomenon», J. Fluid Mech., 1981, v. 105, pp. 119-142.
444. Ho Chih-Ming. «Local and global dynamics of free shear layers». In: Numer. and Phys.
Aspects of Aerodyn. Flows. New York, 1982, pp. 521-533.
445. Ho Chih-Ming, Huerre P. «Perturbed free shear layers», Ann. Rev. Fluid Mech., 1984,
v..16, pp. 365-424.
446. Hopf E. «Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren Losung eines
differential Systems». Berl. Math.-Phys. Sachsische Akademie der Wissenschaften, B. 94, Leipzig,
1942, pp. 1-22.
447. Hopf E. «The partial differential equation ut + uux = μηχχ*^ Comm. Pure Appl. Math.,
1950, v.3, pp. 201-230.
448. Ни В., Rudnick J. «Exact solutions to the Feigenbaum renormalization-group equations
for intermittency», Phys. Rev. Lett., 1982, v. 48, No 24, pp. 1645-1648.
449. Huerre P., Monkewitz A. «Absolute and convective instabilities in free shear layers», J.
Fluid Mech., 1985, v. 159, pp. 151-168.
450. Huerre P., Monkewitz A. «Local and global instabilities in spatially developing flows», Ann.
Rev. Fluid Mech., 1990, v. 22, pp. 473-537.
451. Hugenii C. Horoloqium Oscilatorium. Parisiis, France, 1673.; The Pendulum Clock or
Geometrical Demonstrations Concerning the Motion of Pendula as Applied to Clocks.
Iowa State University Press, 1986.
452. Human Physiology, ed. by R. Schmidt and G. Thews. New-York: Springer, 1983.
453. Hussain A.K.M.F., Thompson C.A. «Controlled symmetric perturbation of the plain jet:
an experimental study in the initial region», J. Fluid Mech., 1980, v. 100, No 2, pp. 397-431.
454. Hussain A.K.M.F., Hasan M.A.Z. «Turbulence suppression in free turbulent shear flows
under controlled excitation, Part 2: Jet Noise Reduction», J. Fluid Mech., 1985, v. 150,
pp. 159-168.

488
Литература
455. Hyman J.M., Nicolaenko В. «The Kuramoto-Sivashinsky equation: a bridge between
PDE's and dynamical systems», Physica D, 1986, v. 18, pp. 113-126.
456. Ikeda K. «Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a
ring cavity system», Opt. Comm., 1979, v. 30, No 2, pp. 257-261.
457. Ikeda K., Daido #., Akimoto O. «Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light
from a ring cavity», Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, No 9, pp. 709-712.
458. Infeld E., Rowlands G. Nonlinear Waves, Solitons and Chaos. Cambridge: Cambridge
University Press, 1990.
459. Inoue O. «Vortex simulation of a turbulent mixing layer», A1AA Journal, 1985, v. 23, No
3, pp. 367-373.
460. Ishizaka K., Flanagan J.L. «Synthesis of voiced sounds from a two-mass model of the vocal
cords», Bell Syst. Techn. J., 1972, v. 51, pp. 1233-1268.
461. Ito H. «Successive subharmonic bifurcations and chaos in a nonlinear Mathieu equation»,
Progr. Theor. Phys. Japan, 1979, v. 61, No 3, pp. 815-824.
462. Izrailev F.M., Rabinovich Af.L, Ugodnikov A.D. «Approximate description of three-
dimensional dissipative systems», Phys. Lett., v.86A, No 6-7, pp. 321-325.
463. Kaneko K. «Doubling of torus», Progr. Theor. Phys. Japan, 1983, v. 69, No 6, pp. 1806-
1810.
464. Kaneko K. «Oscillations and doubling of torus», Progr. Theor. Phys. Japan, 1984, v. 72,
No 2, pp. 202-215.
465. Kaneko Т., Uchida K., Suzuki H. et al. «Mechanical properties of the vocal folds:
measurements in vivo». Vocal Fold Physiology Conf., Kurume, 1980, pp. 6a-1-10.
466. Kaplan J.L., Yorke J.A. «Chaotic behavior of multi-dimensional difference equations».
Lect. Notes in Math. Berlin: Springer, 1979, v. 730, pp. 204-227.
467. Karman Th. «liber den Mechanismus des Widerstandes, den ein bewegter in einer
Flussigkeit erfahrt». Gottingen Nachrichten, 1911, pp. 178-179; 1912, p. 186.
468. Katsuo N. «Experimental study on sonoluminescence and ultrasonic cavitation», J. Phys.
Soc. (Japan), 1961, v. 16, pp. 1450-1459.
469. Kelvin (Thomson W.) Mathematical and Physical Papers, v. 4. Cambridge: Cambridge
University Press, 1910.
470. Kerner B.S., Osipov V. V. Autosolitons: A New Approach to Problems of Self-Organization
and Turbulence. Dordrecht-Boston: Kluwer Academic Publishers, 1994.
471. Kibens V. «Discreate noise spectrum generated by an acoustically excited jet», AIAA
Journal, 1980, v. 18, No 4, pp. 434-441.
472. Kleen W., Muller R. Laser. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1969.
473. Koch B.P., Leven R. W.t Pompe B.} Wilke C. «Experimental evidence for chaotic behavior
of a parametrically forced pendulum», Phys. Lett., 1983, v. 96A, No 5, pp. 219-224.
474. Koch B.P., Leven R.W. «Subharmonic and homoclinic bifurcations in a parametrically
forced pendulum», Physica D, 1985, v. 16, No 1, pp. 1-13.
475. Korteweg D.J., de Vries G. «On the change of form of long waves advancing in a rectangular
channel, and on anew type of long stationary waves», Phil. Mag., 1895, v. 39, No 5, pp. 422-
443.
476. Kozlov V.V., Rabinovich M.I., Ramasanov M.P., Reiman A.M., Sushchik M.M.
«Correlation dimension of the flow and spatial development of dynamical chaos in boundary layer»,
Phys. Lett., 1988, v. 128, p. 479.
477. Krueger E.R., Gross Α., Di Prima R.C. «On the relative importance of Taylor-vortex and
non-axisymmetric modes in flow between rotating cylinders», J. Fluid Mech., 1966, v. 24,
No3, pp. 521-538.

Литература
489
478. Kruskal Μ.Ό. «Asymptotic theory of Hamilton!an and other systems with all solutions
nearly periodic». Intern. Atomic Energy Agency Conf. of Plasma Phys. and Controlled
Nuclear Fusion Research, Salzburg, 1961.
479. Kruskal M.D., Miura R.M., Gardner C.S., Zabusky N.J. «Korteweg de Vries equation
and generalizations. V. Uniqueness and nonexistence of polynomial conservation laws», J.
Math. Phys., 1970, v. 11, No 3, pp. 952-960.
480. Kudryashov N.A. «Exact solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation»,
Phys. Lett. A, 1990, v. 147, No 5-6, pp. 287-291.
481. Kudryashov N.A. «On types of nonlinear nonintegrable equations with exact solutions»,
Phys. Lett. A, 1991, v. 155, No 4-5, pp. 269-275.
482. Kudryashov N.A, «Truncated expansions and nonlinear integrable partial differential
equations», Phys. Lett. A, 1993, v. 178, pp. 99-104.
483. Kudryashov N.A. «Singular manifold equations and exact solutions for some nonlinear
partial differential equations», Phys. Lett. A, 1993, v. 182, pp. 356-362.
484. Kudryashov N.A. «Prom singular manifold equations to integrable evolution equations», J.
Phys. A: Math. Gen., 1994, v. 27, pp. 2457-2470.
485. Kudryashov N.A., Zargaryan Ε.Ό. «Solitary waves in active-dissipative dispersive media»,
J. Phys. A: Math. Gen., 1996, v. 29, No 24, pp. 8067-8077.
486. Kudryashov N.A., Gribov P.A. «Autowave processes on a fluid film flowing down on an
inclined plane». Тр. 24-й Школы-семинара «Анализ и синтез нелинейных колебательных
систем», С.-Петербург, 1997.
487. Kuramoto Y., Tsuzuki Т. «Persistent propagation of concentration waves in dissipative
media far from thermal equilibrium», Progr. Theor. Phys., 1976, v. 55, No 2, pp. 356-369.
488. Landa P.S., Ponomaryow Yu. V. «Influence of the metastable atoms lifetime on the running
striation excitation», J. de Physique, 1979, v. 40, No 7, pp. C7-223-C7-224.
489. Landa P.S., Rudenko O.V., Bakscis B.P. «Excitation of body self-oscillations and sound
generation in gas or fluid flows», Optica Acoust. Rev., 1990-1991, v. 1, No 3, pp. 277-290.
490. Landa P.S., Rosenblum M.G. «Time series analysis for system identification and
diagnostics», Physica D, 1991, v. 48, No 1, pp. 232-254.
491. Landa P.S., Rosenblum M.G. «Inaccuracy in quantification of chaotic motion», Chaos,
Solitons, and Fractals, 1992, v. 2, No 1, pp. 251-258.
492. Landa P.S., Rosenblum M.G. «Synchronization and chaotization of oscillations in coupled
self-oscillating systems», Appl. Mech. Rev., 1993, v. 46, No 7, pp. 414-426.
493. Landa P.S., Rosenblum M.G. «Modified Mackey-Glass model of respiration control», Phys.
Rev. E, 1995, v. 52, No 1, pp.R36-R39.
494. Landa P.S. Nonlinear Oscillations and Waves in Dynamical Systems. Dordrecht-Boston-
London: Kluwer Academic Publ., 1996.
495. Landa P.S., Firsov G.I., Robsman V.A. «A model of crack dynamics and acoustic emission
as a system of coupled nonlinear oscillators», J. Tech. Phys., 1996, v. 37, No3,4, pp. 513-
517.
496. Landa P.S., Zaikin A.A. «Noise-induced phase transitions in a pendulum with a randomly
vibrating suspension axis», Phys. Rev. E, 1996, v. 54, No 4, pp. 3535-3544.
497. Landa P.S. «Turbulence in nonclosed fluid flows as a noise-induced phase transition»,
Europhys. Lett., 1996, v. 36, No 6, pp. 401-406.
498. Landa P.S., Ginevsky A.S., Vlasov Ye.V., Zaikin A.A. «Turbulence and Coherent
Structures in Subsonic Submerged Jets. Control of the Turbulence», Bifurcations and Chaos,
1997.
499. Landa P.S. «Universality of oscillation theory laws. Types and role of mathematical
models», Discrete Dynamics in Nature and Society, 1997, v. 1, pp. 1-12.

490
Литература
500. Landa P.S., Zaikin Λ.Α., Rosenblum M.G., Kurths J. «On-off intermittency phenomena
in a pendulum with a randomly vibrating suspension axis», Chaos, Solitons and Fractals,
1997.
501. Landa P.S., Zaikin Α. Α., Rosenblum M.G., Kurths J. «Control of noise-induced oscillations
of a pendulum with a randomly vibrating suspension axis», Phys. Rev. E, 1997, v. 55, No 5.
502. Laufer J.} Monkevitz P. «On turbulent jet flows: a new perspective», ΑΙΑ A Pap., 1980, No
967.
503. Lauterborn W. «Acoustic chaos». In: Frontiers of Nonlinear Acoustics. Proc. of the 12th
ISNA, London, 1990, pp. 64-79.
504. Lee D.A., Garscadden A, «Standing striations as solution of the Pekarek equation». Proc.
of the X ICPIG, Oxford, 1971, p. 281.
505. Leonard A. «Computing three-dimensional incompressible flows with vortex elements»,
Ann. Rev. Fluid Mech., 1985, v. 17, pp. 523-599.
506. Leonard A, «Vortex methods for flow simulation», J. Comput. Phys., 1990, v. 37, p. 1298.
507. Levandowsky M., Childress W.S., Spiegel E.A., Hunter S.H. «A mathematical model of
pattern formation by swimming microorganisms», J. Protozool., 1975, v. 22, No 2, pp. 296-
306.
508. Leven R. W., Koch B.P. «Chaotic behavior of a parametrically excited damped pendulum»,
Phys. Lett., 1981, v.86A, No 2, pp. 71-74.
509. Leven R. W.} Pompe В., Wilke C.f Koch B.P. «Experiments on periodic and chaotic
motions of a parametrically forced pendulum», Physica D, 1985, v. 16, No 3, pp. 371-384.
510. Levi M. «Qualitative analysis of the periodically forced relaxation oscillations», Mem. of
Amer. Math. Soc, 1980, v. 32, No 244.
511. Levinson N. «A second order differential equation with singular solutions», Ann. of
Mathematics, 1949, v. 50, pp. 127-153.
512. Lewis P.M. «Vibration during acceleration through a critical speed», Trans, of the ASME,
1932, No 3.
513. Lighthill M.J. «On sound generated aerodynamically. I. General theory», Proc. Roy. Soc,
1952, V.A211, No 1107, pp. 564-587.
514. Lighthill Μ J. «On sound generated aerodynamically. II. Turbulence as a source of sound»,
Proc. Roy. Soc, 1954, v. A222, No 1148, pp. 1-32.
515. Liljencrants J. «Numerical simulations of glottal flow». In: Proc. EUROSPEECH, Genova,
1991.
516. Liu C.S., Tripath V.K. «Explosive instability in a backward wave oscillator», IEEE Trans.
Plasma Sci., 1993, v.PS-21, No 1, p. 191.
517. Longuet-Higgins M.S. «Planetary waves on a rotating sphere», P. 1 Proc. Roy. Soc A, 1964,
v.279, pp. 446-473; P.2 ibid., 1965, v. 284, pp. 40-68.
518. Lorenz E.N. «Deterministic nonperiodic flow», J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, No 2, pp. 130-
141.
519. Lorenz E.N. «Noisy periodicity and reverse bifurcation sequences», Ann. N.Y. Acad.Sci,
1980, v.357, p. 282-291.
520. Lotka A.J. «Undamped oscillations derived from the law of mass action», J. Amer. Chem.
Soc, 1920, v.42, No 8, pp. 1595-1599.
521. Lotka A.J. Elements of Physical Biology. Baltimora, 1925.
522. Mackey M.C., Glass L. «Oscillation and chaos in physiological control systems», Science,
1977, v. 197, No 4300, pp. 287-289.
523. Manneville P. Dissipative Structures and Weak Turbulence. New York: Academic, 1990.
524. McLaughlin J.B. «Period-doubling bifurcations and chaotic motion for a parametrically
forced pendulum», J. Stat. Phys., 1981, v. 24, No 2, pp. 375-388.

Литература
491
525. Meacham L.A. «The bridge-stabilized oscillator», Proc. IRE, 1938, v. 26, No 10, pp.1278-
1294.
526. Metcalfe R. W.t Riley J.J. «Direct numerical simulations of turbulent shear flows», Lect.
Notes Phys., 1981, v. 141, pp. 279-284.
527. Michalke A. «On spatially growing disturbances in an invisid shear layer», J. Fluid Mech.,
1965, v.23, P.3, pp. 521-544.
528. Michalke A. «The instability of free shear layer», Progr. Aerosp. Sci., 1972, v. 12, pp. 213-
239.
529. Michalke A. «Survey on jet instability theory», Progr. Aerosp. Sci., 1984, v. 21, No 3,
pp. 159-199.
530. Michelson D. «Steady solutions of the Kuramoto-Sivashinsky equation», Physica D, 1986,
v.19, No 1, pp. 89-111.
531. Michelson D. «Elementary particles as solutions of the Sivashinsky equation», Physica D,
1990, v.44, pp. 502-526.
532. Minorsky N. Nonlinear Oscillations. Prinston, New Jersey, New York, 1962.
533. Miura R.M., Gardner C.S., Kruskal M.D. «Korteweg-de Vries equation and
generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion», J. Math. Phys., 1968,
v.9, No 8, pp. 1204-1209.
534. Modelling the Dynamics of Biological Systems, ed. E. Mosekilde and O.G. Mouritsen.
Berlin: Springer-Verlag, 1995.
535. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. «An active pulse transmission line simulating nerve
axon», Proc. IRE, 1962, v. 50, pp. 2061-2070.
536. N alias amy M.t Hussain A.K.M.F. «Effects of excitation on turbulence levels in a shear
layer», Trans. ASME, 1989, v. Ill, pp. 102-104.
537. Nauenberg M., Rudnick J. «Universality and the power spectrum at the onset of chaos»,
Phys. Rev. B, 1981, v.24B, No 1, pp. 493-495.
538. Neimark Yu.l. «Some problems of the qualitative theory of vibrations», Advances in
mechanics, 1991, v. 14, No 3, pp. 87-102.
539. Nezlin M.V., Snezhkin E.N. Rossby Vortices and Spiral Structures. Berlin-Heidelberg-
New York-Tokyo: Springer-Verlag, 1991.
540. Nicolaenko В., Scheurer В., Temam R. «Some global dynamical properties of the
Kuramoto-Sivashinsky equations: nonlinear stability and attractors», Physica D, 1985,
v. 16, pp. 135-183.
541. Nicolaevsky E.S., Shchur L.N. Intersection of separatrices of periodical trajectories and
non-integrability of the classical Yang-Mills equations. Preprint ITEP-3, Moscow, 1983.
542. Nicolis G. «Stability and dissipative structures in open systems far from equilibrium».
Advances in Chemical Physics. V. 19. Ed. by I. Prigogine, S.A. Rice. New York-Sydney-
Toronto: Wiley-Intersci., 1971, pp. 209-324.
543. Okada Y., Watanabe S., Tanaca H. «Solitary wave in periodic nonlinear lattice», J. Phys.
Soc. Japan, 1990, v. 59, No 8, pp. 2647-2658.
544. Olsen L.F., Degn H. «Chaos in biological systems», Quarterly Review of Biophysics, 1985,
v. 18, No 2, pp. 165-225.
545. Olsen L.F., Schaffer W.M. «Chaos versus noisy periodicity: Alternative hypothesis for
childhood epidemics», Science, 1990, v. 249, pp. 499-504.
546. O'Malley Jr. Introduction to Singular Perturbations. New York: Academic Press, 1974.
547. Osborne A.R., Provenzale A. «Finite correlation dimension for stochastic systems with
power-law spectra», Physica D, 1989, v. 35, pp. 357-381.
548. Parker .5., Chua L.O. «A computer-assisted study of forced relaxation oscillations», IEEE
TVans. on Circuit and Systems, 1983, v. CA$-30, No 8, pp. 518-533.

492
Литература
549. Parlitz U., English V., Cheffczyk C, Lauterborn W. «Bifurcation structure of bubble
oscillators», Journ. Acoust. Soc. Amer., 1990, v. 88, No 2, pp. 1061-1077.
550. Perring J.K., Skyrme T.H.R. «A model unified field equation», Nucl. Phys., 1962, v. 31,
pp.550-555.
551. Peterka F,, Vacek J. «Transition to chaotic motion in mechanical systems with impacts»,
J. Sound and Vibration, 1992, v. 154, No 1, pp. 95-115.
552. Petersen R.A. «Influence of wave dispersion on vortex pairing in a jet», J. Fluid Mech.,
1978, v.89, No 3, pp. 469-495.
553. Pikovsky A.S. «A dynamical model for periodic and chaotic oscillations in the Belousov-
Zhabotinsky reaction», Phys. Lett., 1981, v.85A, No 1, pp. 13-16.
554. Pikovsky A.S. «On the interaction of strange at tractors», Z. Phys. B, Condenced Matter,
1984, v. 55, pp. 149-154.
555. Plaschko P. «Helical instabilities of slowly diverging jets», J. Fluid Mech., 1979, v. 92,
pp. 209-215.
556. Plaschko P. «Axial coherence functions of circular turbulent jets based on inviscidly
calculated damped modes», Phys. Fluids, 1983, v. 26, No 9, pp. 2368-2372.
557. Piatt N., Spiegel E.A., Tresser С «On-off interim ttency: a mechanism for bursting», Phys.
Rev. Lett., 1993, v.70, No 3, pp. 279-282.
558. Pnevmaticos St., Flytzanis N., Remoissenet M. «Soliton dynamics of nonlinear diatomic
lattices», Phys. Rev. B, 1986, v. 33, No 4, pp. 2308-2321.
559. Powell A. «On the edgetone», J. Acoust. Soc. Amer., 1961, v. 33, No 4, pp. 395-409.
560. Procaccia L, Grassberger P., Hentschel H.G.E. «On the characterization of chaotic
motions». Lect. Notes in Physics. Berlin: Springer, 1983, No 179, pp. 212-221.
561. Rajasekar S., Lakshmanan M. «Period-doubling bifurcations, chaos, phase-locking and
devil's staircase in a Bonhoeffer-van der Pol oscillator», Physica D, 1988, v. 32, pp. 146-152.
562. Rayleigh (Strutt J. W.) «On the instability of jets», Proc. London Math. Soc, 1879, v. 10,
pp. 4-13.
563. Rayleigh (Strutt J. W.) «The explanation of certain acoustical phenomena». Scientific
papers, Cambridge University Press, 1899, v. 1., pp. 348-354; «Acoustical observations». II.
Ibid, pp. 402-414.
564. Rayleigh (Strutt J. W.) «On convection currents in a horizontal layer of fluid when the
higher temperature is on the under side». Scientific papers, Cambridge University Press,
1916, v. 6, pp. 432-443.
565. Rayleigh (Strutt J. W.) «On the dynamics of revolving fluids». Scientific papers, Cambridge
University Press, 1916, v. 6, pp. 447-453.
566. Rayleigh (Strutt J. W.) «On the pressure developed in a liquid during the collapse of a
spherical cavity», Phylos. Mag., 1917, v. 34, pp. 93-98.
567. Renyi A. Probability Theory. Amsterdam, North-Holland, 1970.
568. Reynolds O. «On the flow of gases», Phil. Magazine and J. of Science, 1886, v. 21, pp. 185-
199.
569. Rijke P.L. «Notiy uber eine neue Art die in einer an beiden enden offenen rohre enthaltende
Luft in schwingungen zu versetze», Ann. Phys., 1859, B. 107, pp. 339-343.
570. Risken Я,, Nummedal K. «Self-pulsing in lasers», J. Appl. Phys., 1968, v. 39, No 10,
pp. 4662-4672.
571. Rocard Y. Dynamique Generate des Vibrations. Paris, Masson et C,e, Editeurs, 1949.
572. Rosenberg R.M. «The normal modes of nonlinear n-degree-of-freedom systems», J. Appl.
Mech. Trans. ASME, 1962, v. 29, pp. 7-14.
573. Rosenberg R.M. «On nonlinear vibrations of systems with many degrees of freedom». In:
Adv. Appl. Mech., New York: Acad. Press, 1966, v. 9, pp. 156-243.

Литература
493
574. Rosenblum M.G. «A characteristic frequency of chaotic dynamical system», Chaos, Soli tons
L· fractals, 1993, v.3, No 6, pp. 617-626.
575. Rossby C.G. et al. «Relation between variations in the intensity of the zonal circulation of
the atmosphere and the displacements of the semi-permanent centers of action», J. Marine
Res., 1939, v. 2, pp. 38-55.
576. Rossler O.E. «An equation for continuous chaos», Phys. Lett., 1976, v. 57A, No 5, pp. 397-
398.
577. Rubenj'eld L.A., Siegman W.L. «Nonlinear dynamic theory for a double-diffusive convection
model», SIAM J. Appl. Math., 1977, v. 32, p. 871.
578. Ruelle D.t Tokens F. «On the nature of turbulence», Comm. Math. Phys., 1971, v. 20, No
2, pp. 167-192.
579. Ruelle D. «Some comments on chemical oscillations», TVans. New York Acad. SciM 1973,
v.35, Ser.II, No 1, pp. 66-71.
580. Ruelle D. «Strange at tractors as a mathematical explanation of turbulence». Lect. Notes
in Phys., Statistical Models and TYirbulence, 1975, v. 12, p. 292.
581. Russell 7.5. Report on Waves. British Association Reports, 1844.
582. Sal wen #., Grosch C.E. «The stability of Poieeuille flow in a pipe of circular cross-section»,
J. Fluid Mech., 1971, v. 54, No 1, pp. 93-112.
583. Samardzija N., Greller L.D. «Explosive route to chaos through a fractal torus in a
generalized Lotka-Volterra model», Bull, of Mathemat. Biology, 1988, v. 50, No 5, pp. 465-491.
584. Sanders J. A. and Verhulst F. Averaging Methods in Nonlinear Dynamical Systems. New
York: Springer-Verlag, 1985.
585. Schaffer W.M. «Order and chaos in ecological systems», Ecology, 1985, v. 66, pp. 93-106.
586. Schenk-Hoppe K.R. «Stochastic Hopf bifurcation: an example», Int. J. Non-Linear Mech.,
1996, v. 31, No 5, pp. 685-692.
587. Schenk-Hoppe K.R. Attractors and invariant measures of the stochastic Duffing-van der
Pol equation. Tech. Report, 1996, No 369, Universitat Bremen.
588. Schiff L.I. «Nonlinear meson theory of nuclear forces», Phys. Rev., 1951, v. 84, No 1, pp. 1-
589. Schmidt G.t Seisl M. «Subharmonic vibrations and chaos in forced nonlinear oscillators»,
ZAMM, 1993, v. 2, pp. 93-107.
590. Shimizu T. «Analytic form of the simplest limit cycle in the Lorenz model», Physica A,
1979, v. 97, No 2, pp. 383-398.
591. Sivashinsky G.L «Nonlinear analysis of hydrodynamic instability in laminar flames», Acta
Astronautica, 1977, v. 4, pp. 1117-1206.
592. Sivashinsky G.L «Instabilities, pattern formation, and turbulence in flames», Ann. Rev.
Fluid Mech., 1983, v. 15, pp. 179-199.
593. Specht H.t Fruhmann G. «Incidence of periodic breathing in 2000 subjects without
pulmonary or neurological disease», Bull. Physiopathol. Resp., 1972, v. 8, pp. 1075-1083.
594. Stark L. W. Neurological Control Systems: Studies in Bioengineering. New York: Plenum,
1968.
595. Stevens K.N. «Physics of laryngeal behavior and larynx modes», Phonetica, 1977, v. 34,
pp:264-279.
596. Story B.H., Titze LR. «Voice simulation with a body-cover model of the vocal folds», J.
Acoust. Soc. Amer., 1995, v. 97, No 2, pp. 1249-1260.
597. Strelkow S.P. «Zur Theorie der Schwingungserzeugung in Lechersystemen», Technical
Physics of the USSR, 1935, v. 2, No 2-3, pp. 1-16.
598. Strouhal V. «Uber eine besondere Art der Tonerregung», Ann. Phys., 1878, v. 5, No 10,
pp. 216-251.
599. Stuart J.T. «On the nonlinear mechanics of hydrodynamic stability», J. Fluid Mech., 1958,
v.4, No 1, pp. 1-21.

494
Литература
600. Stuart J.Т. «On the nonlinear mechanics of wave disturbances in stable and unstable
parallel flows, P. b, J. Fluid Mech., 1960, v. 9, No 3, pp. 353-370.
601. Stuart J.T. ♦Hydrodynamic stability», Appl. Mech. Rev., 1965, v. 18, No 7, pp. 523-531.
602. Stuart J.T. «Nonlinear stability theory», Ann. Rev. Fluid Mech., 1971, v.3, pp.347-370.
603. Sturrock P.A. «In what sense do slow waves carry negative energy?»J. Appl. Phys., 1960,
v. 31, £p. 2052-2056.
604. Svelto O. Principles of Lasers. Heyden, London, New York, 1976.
605. Synge J.L. «On the stability of a viscous liquid between two rotating coaxial cylinders»,
Proc. R. Soc. (London), 1938, v. A67, p. 250.
606. Szemplinska-Stupnicka Wf «On the phenomenon of the combination type resonance in
nonlinear two-degree-of-freedom systems», Int. J. Non-Linear Mech., 1969, v. 4, pp. 335-359.
607. Tokens F. «Detecting strange attractors in turbulence». Lect. Notes in Math. Berlin-
Heidelberg-New York: Springer, 1981, No 898, pp. 366-381.
608. Taylor G.I. «Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders», Philos.
TVans. Roy. Soc. London, 1923, v. A223, pp. 289-343.
609. Taylor G.L «The instability of liquid surface when accelerated in a direction perpendicular
to their planes, I»f Proc. Roy. Soc. (London), Ser. A, 1950, v.201, pp.192-196.
610. Theiler J. «Some comments on the correlation dimension of 1//Q noise», Phys. Lett. A,
1991, v. 155, No 8,9, pp.480-493.
611. Thompson J.M.T., McRobie F.A. «Indeterminate bifurcations and the global dynamics
of driven oscillators». l9t European Nonlinear Oscillations Conference. Proceedings of
the International Conference held in Hamburg, August 16-20, 1993, ed. E.Kreuzer and
G.Schmidt. Berlin: Akademie Verlag GmbH, 1993, pp. 107-128.
612. Titze I.R., Talkin D.T. «A theoretical study of the effects of various laryngeal
configurations on the acoustics of phonation», J. Acoust. Soc. Amer., 1979, No 6, pp. 60-74.
613. Titze I.R. ed. Vocal Fold Physiology: New Frontiers in Basic Science. San Diego: Singular
Publ. Group, 1992.
614. Toda M. «Waves in nonlinear lattice», Progr. Theor. Phys. Suppl., 1970, No 45, pp. 174-200.
615. Toda M. «Studies of a nonlinear lattice», Phys. Rep., 1975, v. 18, No 1, pp. 1-123.
616. Topper J., Kawahara T. «Approximate equations for long nonlinear waves on viscous fluid»,
J. Phys. Soc. Japan, 1978, v. 44, No 2, pp. 663-666.
617. Tsvelodub O.Yu., Trifonov Yu.Ya. «On steady-state travelling solutions of an evolution
equation describing the behaviour of disturbances in active dissfpative media», Physica D,
1989, v.39, No 2-3, pp. 336-351.
618. Turing A.M. «The chemical basis of morphogenesis», Philos. Trans. Roy. Soc, 1952,
V.B237, No 641, pp. 37-72.
619. Turner J.S., Roux J.-C, McCormick W.D., Swinney H.L. «Alternating periodic and
chaotic regimes in a chemical reaction - experiment and theory», Phys. Lett., 1981, v.85A, No
1, pp. 9-12.
620. Veda Y.} Akamatsu N. «Chaotically transitional phenomena in the forced negative-
resistance oscillator», IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1981, v. CAS-28, No 3,
pp. 217-223.
621. Veda Y., Thomsen 7.5., Rasmussen J., Mosekilde E. «Behavior of the solution to Duffing's
equation for large forcing amplitudes». 1st European Nonlinear Oscillations Conference.
Proceedings of the International Conference held in Hamburg, August 16-20 1993, ed.
E.Kreuzer and G.Schmidt. Berlin: Akademie Verlag GmbH, 1993, pp. 149-166.
622. Vlam S.M. «On some statistical properties of dynamical systems». Proc. 4th Berkley Symp.
on Math. Stat, and Probability, Berkley-Los Angeles, 1961, v.3, pp.315-320.
623. Vallis G.K. «El Nino : A chaotic dynamical system?» Science, 1986, v. 232, pp. 243-245.

Литература.
495
624. Vallis G.K. «Conceptual models of El Nino and the Southern Oscillation», J. Geophys.
Res., 1988, v. 93, pp. 13979-13991.
625. Van den Broeck C, Parrondo J.M.R., Armero J, Hernandez-Μachado A. «Mean field
model for spatially extended systems in the presence of multiplicative noise», Phys. Rev.
E, 1994, v.49, No 4, pp. 2639-2643.
626. Van den Broeck C, Parrondo J.M.R., Toral R. «Noise-induced nonequilibrium phase
transition», Phys. Rev. Lett., 1994, v. 73, No 25, pp. 3395-3398.
627. Van der Pol B. «A theory of the amplitude of free and forced triode vibration», Radio
Rev., 1920, v. 1, pp. 701-725.
628. Van der Pol B. «On relaxation oscillation», Phil. Mag., 1926, v. 2, No 7, pp. 978-992.
629. Van der Pol В., van der Mark M. «The heartbeat considered as a relaxation oscillation
and an electrical model of the heart», Phil. Mag., 1928, v. 6, No 6, pp. 763-775.
630. Van der Pol B. Selected scientific papers. Amsterdam: North-Holland Publ.Co., 1960.
631. Vavriv D.M., Ryabov V.R., Sharapov S.A., Ito H.Af. «Chaotic states of weakly and
strongly nonlinear oscillators with quasiperiodic excitation», Phys. Rev. E, 1996, v. 53, No 1,
pp. 103-114.
632. Volterra V. Legons sur la Theorie Mathematique de la Lutte pour la Vie. Paris: Gauthier-
Villars, 1931.
633. Wei Т., Smith C.R. «Secondary vortices in the wake of circular cylinder», J. Fluid Mech.,
1986, v. 169, pp. 513-533.
634. Wetland J., Wilhelmsson H. Coherent Nonlinear Interaction of Waves in Plasmas. Oxford,
New York, Toronto, Sydney, Paris, FVankfurt: Pergamon Press, 1977.
635. Weiss J., Tabor M.t Carnevale G. «The Painleve property for partial differential equation-
s», J. Math. Phys., 1983, v. 24, No 6, pp. 1405-1413.
636. Welander P. «On the oscillatory instability of a differentially heated fluid loop», J. Fluid
Mech., 1967, v. 29, p. 17.
637. Whittaker E.T. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies.
Cambridge: Cambridge University Press, 1964.
638. Wiener N., Rosenblueth A. «The mathematical formulation of the problem of conduction
of impulses in a network connected exitable elements, specifically in cardiac muscle», Arch.
Inst. Cardiol. Мех., 1946, v. 16, pp. 205-265.
639. Wolf A.f Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. «Determining Lyapunov exponents from
a time series», Physica D, 1985, v. 16, No 3„ pp. 285-317.
640. Yamamoto Т., Hayashi S. «Combination tones of differential type in nonlinear vibratory
systems», Bull. JSME, 1964, v. 7, p. 690.
641. Yang C.N., Mills R.L. «Conservation of isotopic spin and isotopic Gauge invariance», Phys.
Rev., 1954, v.96, No 1, pp. 191-195.
642. Young L.S. «Dimension, entropy and Lyapunov exponents», Ergod. Theory L· Dyn.
Systems, 1982, v. 2, P. 1, pp. 109-124.
643. Zabusky N.J., Kruskal M.D. «Interaction of solitons in a colli si onl ess plasma and recurrence
of an initial states», Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, No 6, pp. 240-243.
644. Zaman K.M.B.Q., Hussain A.K.M.F. «Turbulence suppression in free shear flows by
controlled excitation», J. Fluid Mech., 1981, v. 103, pp. 133-159.
645. Zaslavsky G.M. «The simplest case of a strange attractor», Phys. Lett., 1978, v.69A, No
3, pp. 145-147.
646. Zisook A.B. «Universal effects of dissipation in two-dimensional mappings», Phys. Rev.,
1981, v.24, No 3, pp. 1640-1642.

Научное издание
Л АН ДА Полина Соломоновна
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Редактор Д.А. Миртова
ИБ № 41870
ЛР №020297 от 27.11.91.
Подписано в печать 8.08.97. Формат 70x100/16
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 31. Уч.-изд. 44,33.
Тираж 1000 экз. Заказ тип. № 2183 С-022
Издательская фирма «Физико-математическая литература» РАН
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., д.6