мате
К. БЛАТТЕР
Вейвлет-анализ
Основы теории
tfxhcx :

МИР
математики
цифровая обработка сигналов
К. БЛАТТЕР
Вейвлет-анализ.
Основы теории
Перевод с немецкого
Т.Э. Кренкеля
под редакцией А. Г. Кюркчана
Рекомендовано кафедрой прикладной
математики МТУ СИ в качестве
учебного пособия для студентов,
обучающихся по направлению
подготовки «Прикладная математика»
ТЕХНОСФЕРА
Москва
2004

К. Блаттер
Вейвлет-анализ. Основы теории
Москва, 2004. - 280 с. ISBN 5-94836-033-4
Первое полноценное учебное пособие по новой, быстроразвивающейся
математической дисциплине - теории вейвлетов. До сих пор такие учебники
на русском языке не выходили. Книга дополнена упражнениями, что делает
ее отличным пособием для студентов старших курсов и аспирантов, специа-
специалистов по теории связи, заинтересованных в современных методах обра-
обработки сигналов.
Christian Blatter
Wavelets -
Eine Einfiihning
© 1998, Friedr. Vieweg & Sohn
\ferlagsgesellschaft mbH,
Braunschweig/Wiesbaden
© 2004, ЗАО «РИЦ «Техносфера»
перевод на русский язык,
оригинал-макет, оформление.
ISBN 5-94836-033-4
ISBN 1-56881-095-4 (нем.)

Содержание
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие автора 8
Как читать эту книгу 10
Глава 1.
Постановка задачи 12
1.1. Центральная тема анализа 12
1.2. Ряды Фурье 16
1.3. Преобразование Фурье 21
1.4. Взвешенное преобразование Фурье 23
1.5. Вейвлетное преобразование 26
1.6. Вейвлет Хаара 34
Глава 2.
Фурье-анализ 43
2.1. Ряды Фурье 43
2.2. Преобразование Фурье на Ж 48
2.3. Принцип неопределенности Гейзенберга 65
2.4. Теорема отсчетов Котельникова- Шеннона 69
Глава 3.
Непрерывное вейвлет-преобразование 78
3.1. Определения и примеры 78
3.2. Формула Планшереля 86
3.3. Формулы обращения 91
3.4. Функция ядра 96
3.5. Убывание вейвлет-преобразования 100
Глава 4.
Фреймы 109
4.1. Геометрические соображения 109
4.2. Общее понятие фрейма 119
4.3. Дискретное вейвлет-преобразование 124
4.4. Доказательство теоремы D.10) 135

Содержание
Глава 5.
Мультиразрешающий анализ (МРА) 141
5.1. Аксиоматическое описание 142
5.2. Масштабирующая функция 148
5.3. Построения в частотной области 157
5.4. Алгоритмы 173
Глава 6.
Ортонормированные вейвлеты с компактным
носителем 182
6.1. Основная идея 182
6.2. Алгебраические конструкции 194
6.3. Двоичная интерполяция 203
6.4. Сплайн вейвлеты 215
Задачи 228
Сайты в Интернете по теории вейвлетов 232
Список литературы 234
Приложение А.
Применение вейвлетов в обработке сигналов и
вейвлеты Соболева-Жамалова 236
А1. Применение вейвлетов в обработке изображений 236
А2. Вейвлеты Соболева-Жамалова 244
Приложение Б.
Использование техники вейвлетов в математи-
математической теории дифракции 256
Б. 1. Вейвлеты в технике метода продолженных граничных усло-
условий 256
Б.2. Вейвлеты и метод дискретных источников 262
Предметный указатель 272

Предисловие редактора перевода
Вейвлеты были введены сравнительно недавно, в конце 1980-х. Вей-
влет-анализ может быть охарактеризован как альтернатива клас-
классическому взвешенному анализу Фурье. Строительными блоками
взвешенного анализа Фурье являются синусы и косинусы (волны),
умноженные на скользящее окно. Они обычно называются частотно-
временными атомами. В вейвлет-анализе окно изначально являет-
является осциллирующим и называется «материнским вейвлетом». Вместо
умножения на синусы и косинусы этот вейвлет произвольно сдвига-
сдвигается и растягивается по временной оси. Таким образом, генерирую-
генерирующий (или материнский) вейвлет образует другие вейвлеты, которые
являются строительными блоками вейвлет-анализа. Эти растяжения
соответствуют различным степеням увеличения, а вейвлеты выпол-
выполняют роль масштабно-временных атомов вейвлет-анализа.
Анализ Фурье, взвешенный анализ Фурье и вейвлет-анализ осно-
основаны на одной и той же концепции. Во всех трех случаях, анализ
функции заключается в вычислении всех корреляций между задан-
заданной функцией и частотно-временными или масштабно-временными
атомами. Синтез производится в предположении, что эти атомы
образуют ортонормированный базис.
Среди специалистов по численному анализу и обработке изобра-
изображений принято считать, что величина, обратная масштабу, являет-
является частотой: малые масштабы соответствуют низким частотам, а
большие масштабы соответствуют высоким частотам. Кроме того,
значительно различающиеся масштабы должны давать независимую
(т. е. неизбыточную) информацию о сигнале.
Вейвлеты неявно присутствовали в математике, физике, обработ-
обработке сигналов и изображений и численном анализе задолго до того, как
они получили статус отдельного научного направления.
В чистой математике были созданы три алгоритма, которые долж-
должны были устранить некоторые недостатки стандартного разложения
в ряд Фурье. Эти трудности возникают тогда, когда необходимо из-
измерить степень гладкости функции. Например, простейшие нормы,
основанные на квадратичных оценках, могут быть легко извлече-
извлечены из коэффициентов Фурье. Но как только необходимо получить

Предисловие редактора перевода
оценки в пространствах Lp или Нр, коэффициенты Фурье не дают
ответа. Решение этой задачи достигается с помощью базиса Ха-
ара A909), ортонормированной системы Франклина A927) и
теории Литтлвуда — Пэли A930).
Позднее широко начало использоваться воспроизводящее тож-
тождество Кальдер она A960) и атомарные декомпозиции A972).
Теория Литтлвуда-Пэли и атомарные декомпозиции играют ключе-
ключевую роль в разделе теории операторов, созданной Кальдероном, Зиг-
Зигмундом и их школой, которая известна как теория Кальдерона-
Зигмунда. Непосредственно перед появлением веивлетов Бочкарев
A978) и независимо Стромберг A981) использовали такой подход
для решения известной задачи геометрии банаховых пространств:
существование специального безусловного базиса в гильбертовых
пространствах и в пространствах Харди.
В области обработки сигналов и изображений происходила по-
подобная и одновременная эволюция от стандартного взвешенного анали-
анализа Фурье, которая привела к некоторым дискретным вариантам вос-
воспроизводящего тождества Кальдерона. Габор A946) ввел частот-
частотно-временные атомы в обработке речевых сигналов; Круазье,
Эстебан и Галанд создали кодирование поддиапазонов в обра-
обработке сигналов A975), и непосредственно после этого Бурт и Адель-
сон описали пирамидальные алгоритмы в обработке изображе-
изображений A982).
Таким образом вейвлеты, неявно присутствовали в нескольких
научных областях, но никто не знал, что, например, теория Литтл-
Литтлвуда-Пэлим и пирамидальные алгоритмы Бурта-Адельсона опи-
описывают одно и то же явление. Унификация в виде мультиразреша-
ющего анализа Малла A989) и веивлетов с компактным носи-
носителем Добеши A988) вызвала шок. Вейвлет-анализ объединил в се-
себе эвристические методы и приемы, которые в виде протовейвлетов
уже давно использовались в различных областях науки и техники,
что собственно и объясняет его быстрое и повсеместное признание.
Книга Кристиана Блаттера представляет собой наиболее мето-
методически грамотно построенное учебное пособие по начальному изу-
изучению основ теории вейвлет-анализа. Она была выбрана из огромно-
огромного количества монографий по теории веивлетов (сейчас имеется по-
порядка 150 книг, посвященных различным аспектам вейвлет-анали-
вейвлет-анализа) именно по этой причине. Это одна из первых книг по вейвлет-
анализу, издаваемая на русском языке.

Предисловие редактора перевода
Учитывал, что она может быть использована для односеместро-
вого курса лекций (в МТУСИ такой курс под названием «Гармони-
«Гармонический анализ и быстрые алгоритмы» читается в весеннем семестре
для студентов 3-го курса), редактор и переводчик дополнили ее за-
задачами, составленными с использованием материала книг Кайзера
[К] и Малла (S. Mallat, A wavelet tour of signal processing, Second Edi-
Edition, Academic Press, San Diego, 1999). Кроме того, книга снабжена
списком сайтов в Интернете, где читатель сможет найти текущую
информацию по вейвлетам, а также приложениями переводчика и
редактора, посвященными отдельным аспектам применения вейвле-
тов в обработке сигналов и к решению задач математической фи-
физики. Приложение А написано Т.Э. Кренкелем, Приложение Б —
А.Г. Кюркчаном.

Предисловие автора
Эта книга не претендует ни на роль фундаментального ретроспек-
ретроспективного обзора, ни на роль монографии энциклопедического харак-
характера. Скорее всего это взгляд работающего математика на предмет,
который как никакой другой после изобретения Быстрого Преобра-
Преобразования Фурье стимулировал теорию аппроксимации и вдохновил
исследователей во многих различных областях прикладной матема-
математики. Первоначально я предполагал прочитать в течение одного се-
семестра курс для студентов Высшей Технической Школы (Цюрих),
чтобы ввести их в мир вейвлетов, начиная с основ. Разумеется,
ранее такой курс там не читался. Однако в результате благодаря
одобрительным отзывам моих коллег и слушателей и появилось это
пособие.
Мне казалось, что идеальная группа для такого курса должна со-
состоять из старшекурсников и выпускников, обладающих знаниями
основ анализа, разбирающихся в теоремах сходимости, но не име-
имеющих практического опыта, скажем, в Фурье анализе. В глубине
души я наделся, что мои лекции будут также посещать специалисты
в технических областях. На самом деле так и произошло, и позднее
я понял, что наибольший отклик лекции получили именно у этих
слушателей.
Содержание книги можно вкратце охарактеризовать следующим
образом: вводная Глава 1 представляет собой взгляд с высоты пти-
птичьего полета на различные способы представления сигналов; имен-
именно здесь впервые появляются вейвлеты Хаара. Глава 2 служит в пер-
первую очередь введением в Фурье анализ (без доказательств); в ней
также обсуждаются две теоремы, которые определяют пределы при-
применимости теории сигналов: принцип неопределенности Гейзенбер-
га и теорема отсчетов Шеннона. В Главе 3 мы, наконец, уже гото-
готовы рассматривать непрерывное вейвлет-преобразование. В Главе 4,
озаглавленной «Фреймы», описывается общая концепция, позволяю-
позволяющая трактовать непрерывное и дискретное вейвлет-преобразования
с единой точки зрения. После всего этого, мы, наконец, приступа-
приступаем к основному: мультиразрешающему анализу с его быстрыми ал-
алгоритмами в Главе 5 и конструированию вейвлетов с компактным

Предисловие автора
носителем в Главе 6. Книга завершается кратким рассмотрением
сплайн-вейвлетов в Параграфе 6.4.
Вследствие ограниченного объема не были затронуты некоторые
вопросы, такие как: биортогональные системы, двумерные вейвле-
ты, отсутствует также и подробное описание приложений. Далее, я
решил не излагать теорию обобщенных функций. Это означает, что
в книге отсутствует описание пространств Соболева, нет обсужде-
обсуждения поточечной сходимости, нет также аппроксимации вейвлетов и
теоремы Пэли - Винера. К счастью, имеется одно благоприятное об-
обстоятельство, заключающееся в доказательстве того, что вейвлеты
Добеши на самом деле имеют компактный носитель.
При написании книги я пользовался трудами других авторов. В
первую очередь, это замечательная работа Ингрид Добеши «Десять
лекций по вейвлетам» [D] и в несколько меньшей степени [L], которая
в то время (зимний семестр 1996-97) была единственной имеющейся
книгой на немецком языке. Некоторые параграфы тесно связаны с
книгой Кайзера «Пособие по вейвлетам» [К]. Что же касается дру-
других ссылок, то в конце книги читатель найдет список литературы. Я
преднамеренно не расширял его и воздержался от воспроизведения
значительно более обширной, но не модернизированной библиогра-
библиографии, приведенной в [D] и [L]. Значительно более полный и совре-
современный A998) список литературы содержится в книге [Ви], причем
подход этих авторов к изложению теории вейвлетов наиболее близок
к принятому нами.
Несколько замечаний по поводу рисунков. Большинство графи-
графиков математически задаваемых функций было сначала просчитано с
помощью пакета Mathematica, распечатано с помощью команды Plot
и затем окончательно оформлено с помощью графического пакета
«Canvas». Несколько рисунков, например, Рис.3.7 и 6.1 были созда-
созданы с помощью бинарных преобразований на языке «Think Pascal»,
затем распечатаны в буквенном формате и окончательно оформле-
оформлены фотометодами.
Эта книга впервые была издана на немецком языке в издатель-
издательстве «Vieweg-Verlag».
Я признателен Клаусу Петерсу, который дал возможность осуще-
осуществить издание этой книга на английском языке, а также его сотруд-
сотрудникам, переработавшим мой первоначальный перевод, выполненный
на школьном английском.
Кристиан Блаттер
Цюрих, 14 августа 1998 г.

Как читать эту книгу
Эта книга состоит из шести глав, каждая из которых разделена на
некоторое количество параграфов. Формулы, используемые в следу-
следующем ниже тексте, нумеруются в скобках в соответствии с главой.
Например B.1) — первая формула второй главы.
Новые термины набраны курсивом в том месте, где впервые да-
дается их определение. Точное место первого появления нового терми-
термина приводится в предметном указателе в конце книги.
Предложения и теоремы нумеруются по главам, например, на-
набранное жирным шрифтом обозначение D.3) означает третью тео-
теорему в Главе 4. Формулировки теорем набраны курсивом. Символ
■ обозначает конец доказательства.
Некоторые примеры имеют пояснительный характер, а некото-
некоторые описывают довольно интересные случаи, полученные с помощью
общей теории. Нумерация примеров в каждой главе своя. Символ D
означает окончание примера.
Семейство объектов са с множеством индексов / (называемое
для краткости массивом) обозначается как
(са\ае I) =:с.,
\а обозначает характеристическую функцию множества А, а 1х —
тождественное отображение векторного пространства X.
Если е соответственно а\,..., аг являются данными векторами
векторного пространства X, то (е) соответственно span (oi, ..., аг)
обозначают линейные оболочки е и соответственно а*.
R* := R \ {0} обозначает мультипликативную группу действи-
действительных чисел.
R^_ := R* х R обозначает (а, Ь)-плоскость «разрезанную на две
половины». Отметим, что на соответствующих рисунках ось а рас-
расположена вертикально, а ось b горизонтально, как разъяснено в Па-
Параграфе 1.5.

Как читать эту книгу I I
Символ J без верхнего и нижнего пределов всегда обозначает
интеграл по всей R по мере Лебега:
J
оо
f(t)dt:= У/(О А-
— оо
Аналогичным образом, суммы ]Г без верхнего и нижнего преде-
k
лов обозначают суммы по всему множеству Z:
к к=-оо
Преобразование Фурье обозначается как
а формула обращения Фурье, иногда называемая обратным преобра-
преобразованием Фурье, обозначается как
Через j£ f обозначается iV-струя функции / (полином Тейлора
порядка N) в точке а € R, записываемая как
Символ еа обозначает функцию
Если / — комплекснозначная функция, определенная на X := R
или X := Z, то а(/) и &(/) обозначают левый и правый край носителя
функции /, соответственно:
a(f) := inf {х в X \f(x) ф 0 } , 6(/) := sup {х € X \f{x) ф 0 } .
Временной сигнал просто является функцией / : R —> С.

ГЛАВА I
ПОСТАНОВКА
ЗАДАЧИ
I.I. Центральная тема анализа
Аппроксимация, соответственно представление, произвольной извест-
известной или неизвестной функции / посредством специальных функций
может рассматриваться как центральная тема анализа. «Специаль-
«Специальные функции» здесь понимаются как функции, принадлежащие неко-
некоторому каталогу, например, одночлены t ►—► tk, к € N или функции
вида t ►—► ect, где с € С — параметр. Как правило, такие функ-
функции хорошо определены, легко вычислимы и обладают интересными
аналитическими свойствами. В частности, они включают в себя и
проявляют очевидные или скрытые симметрии в зависимости от си-
ситуации.
Для установления основных идей рассмотрим (данную или неиз-
неизвестную) функцию
/ : R -> С,
предполагая, что / достаточное число раз дифференцируема в окрест-
окрестности U точки а € Ш. Такая функция может быть аппроксимирова-
нав U полиномами Тейлора
к=о *'
(струями для краткости) с ошибкой, которая может быть количе-
количественно оценена. При определенных предположениях функция / мо-
может быть представлена своим рядом Тейлора, т. е.
k=0 '"*
для всех t, принадлежащих некоторой окрестности U' С U.

LL Центральная тема анализа
Общая установка, следовательно, такая: в зависимости от кон-
конкретной ситуации выбирается семейство (еа \а € /) базисных функ-
функций t ь-> еа(£), причем множество индексов / может быть дискрет-
дискретным или «непрерывным». При этом аппроксимация некоторой более
или менее произвольной функции / посредством еа принимает вид
N
k=i
с коэффициентами с&, которые подлежат определению. Представле-
Представление f имеет вид
/(*) = 5>аеа(*); A.2)
или же записывается в виде интеграла по множеству индексов /:
f(t) = Jdac(a)ea(t). A.3)
В идеале в нашем распоряжении имеется ровно столько базис-
базисных функций, сколько необходимо для представления любой функ-
функции / рассматриваемого типа в виде A.2) или A.3). Операция, ко-
которая ставит в соответствие заданной функции / соответствующий
вектор коэффициентов или массив (са \а € /) будем называть ана-
анализом f по отношению к семейству (еа \а € /). Коэффициенты са
особенно легко находятся, если базисные функции еа ортонормиро-
ваны (см. ниже). В случае разложения Тейлора A.1) коэффициенты
могут определяться в процессе рекуррентного вычисления все бо-
более высоких производных /, а, скажем, в случае так называемой
аппроксимации по Чебышеву вовсе нет формул для коэффициентов
с*;, хотя они и определяются однозначно.
Обратная операция, которая использует заданный вектор коэф-
коэффициентов (са \ос € /) в качестве входа и в результате которой на
выходе получается сама функция, называется синтезом f посред-
посредством еа.
Пример 1.1. Пусть х-интервал [0,L] представляет собой модель
стержня 5, проводящего тепло (см. Рис. 1.1). Переменная темпера-
температура этого стержня, изменяющаяся во времени и пространстве, опи-
описывается функцией (х, t) ►—► и (х, £), которая удовлетворяет одномер-
одномерному уравнению теплопроводности A-4).

Глава 1. Постановка задачи
t=°2S; (i4)
здесь а > 0 — материальная константа. Распределение начальной
температуры х ►—► / (х) по длине стержня задано, а также заданы
граничные условия, заключающиеся в том, что температура на кон-
концах стержня все время поддерживается равной нулю. Вдоль стерж-
стержня, т. е. при 0 < х < L, не происходит теплообмена с окружающей
средой. Задача состоит в нахождении результирующей флуктуации
температуры и (•, •) вдоль стержня.
S
Рис. 1.1.
В связи с этой задачей оказывается полезной следующая проце-
процедура, называемая разделением переменнных. Определим функцию
U (•, •), записываемую в виде
удовлетворяющую A.4) и равную нулю на концах стержня. Семей-
Семейство функций, удовлетворяющих этим условиям, задается в следую-
следующем виде:
Uk(x,t) :=ехрГ^
Так как условия, накладываемые на Uk, линейные и однородные,
то из этого следует, что произвольные линейные комбинации
k=\
функций Uk также являются решениями уравнения теплопроводно-
теплопроводности, принимающими нулевые значения на концах стержня. Поэтому

1.1. Центральная тема анализа
мы получаем решение исходной задачи, если мы можем определить
коэффициенты Ck таким образом, чтобы выполнялось и начальное
условие и (х, 0) = f(x). Это означает, что мы должны гарантировать
выполнение равенства
J^ f(x) @<x<L). A.5)
к=\
Как раз в этом месте возникает вопрос, является ли система
функций
ек{х) :=sin — (keN^i),
«полной», т.е. достаточно ли она богата, чтобы допустить предста-
представление произвольной заданной функции / : ]0,L] —> Ш в виде A.5).
Ответ на этот вопрос положительный, что и доказывается в теории
рядов Фурье (см. ниже). □
По мере нашего продвижения возникает еще одна проблема: если
функция / анализируется или синтезируется не только теоретиче-
теоретически или умозрительно, но и конкретно, например, как при анализе
ЭКГ или записей климатических изменений, то тогда для проведе-
проведения расчетов становится почти обязательной частичная или полная
дискретизация. Дискретизация относится, с одной стороны, к кон-
конкретному семейству базисных функций (в случае, если последнее
не было продискретизировано изначально), а, с другой стороны, к
пространству, параметризованному независимой переменной t (или
х, х,...). В последнем случае значения всех возникающих функций
(заданных или неизвестных) оцениваются, измеряются или вычисля-
вычисляются только в дискретных точках
t := kf (fcGZ,r>0 фиксировано).
Тот факт, что значения функции f(t) сами представлены в ком-
компьютере только в «проквантованном» виде, а не с «бесконечной точ-
точностью», нам здесь безразлично.
Вейвлеты — это новые системы базисных функций, используе-
используемые для представления, фильтрации, сжатия, хранения и т. д. любо-
любого из «сигналов»
/ : Шп -► С.
В случае, если п = 1, переменная t представляет время и мы име-
имеем дело с временными сигналами f : Ш —> С. Случай п = 2 относится

Глава 1. Постановка задачи
к обработке изображений. Конкретным примером является пред-
представление и хранение миллиардов отпечатков пальцев в компьютер-
компьютерной системе ФБР [1]. Мы будем рассматривать эти вейвлеты, кратко
напомнив некоторые факты из теории рядов Фурье и преобразова-
преобразования Фурье. Более подробные сведения по анализу Фурье приведены
в Параграфах 2.1 и 2.2.
1.2. Ряды Фурье
Ряды Фурье касаются 2тг-периодических функций
что может быть записано и иначе / : М/2тг —> С. «Естественной»
областью определения такой функции является единичная окруж-
окружность S1 на комплексной ^-плоскости, см. Рис. 1.2. На S1 бесконечное
число точек t + 2&тг, k E Z, эквивалентных по модулю 2тг, предста-
представлено одной точкой z = elt.
t-2n
t+2n
Рис. 1.2.
Выражая одночленные степенные функции
с использованием переменной £, получаем тригонометрические ба-
базисные функции или чистые гармоники
ек
С,
t
(fc <E
(К сожалению, для этих функций не существует общепринятого обо-
обозначения, поэтому здесь мы обозначаем их как жирное е.)
Естественное скалярное произведение для функций / : М/2тг —> С

1.2. Ряды Фурье 17
определяется следующим образом
f(t)g(t)dt. A.6)
Функции ек — ортонормированы:
и, в частности, они линейно независимы. Из общих принципов ли-
линейной алгебры получаем, что
A.7)
есть «к-я координата / по отношению к базису (е* \к Е Z)», а
N N
5^ или sN (t) := ^Г скегкь
k=-N k=-N
является ортогональной проекцией / на подпространство
UN := span (е_лг,..., 1,..., eN),
образованное всеми линейными комбинациями1 ек с \к\ < N. Явля-
Являясь основанием перпендикуляра из / на Un (см- Рис- 1-3), точка stv
является ближайшей к / среди всех точек Un. Говоря таким обра-
образом, мы предполагаем, что в нашем функциональном пространстве
принята функция расстояния
d(f,g):=\\f-g\\:= I 2^у |/(*) — £г(*)|2^* 1 ,
соответствующая скалярному произведению A.6).
Вышесказанное составляет наиболее простую часть излагаемо-
излагаемого материала. Однако, что важно и что доказывается значительно
более сложно, это то, что система (ек \ к G Z) обладает полнотой:
любая допустимая функция / : М/2тг —> С пред ставима своим (бес-
1span означает «линейная оболочка».

18 Глава 1. Постановка задачи
конечным) рядом Фурье
£ ckeikt,
k=-oo
что означает, что в некотором смысле, который должен быть уточнен
в каждом конкретном случае, имеет место сходимость lim sn = f
TV—юо
ИЛИ
оо
к=-оо
Более подробно эта ситуация будет рассмотрена в Параграфе 2.1.
Рис. 1.3.
Что можно сказать здесь о «дискретизации»? Система (е& \к Е Z)
уже дискретна: в нее входят только целые частоты к. В численных
расчетах, естественно, приходится ограничиваться конечным диа-
диапазоном частот [-N, ...,iV], поэтому в этом случае вместо предста-
представления A.8) существуют только аппроксимации s^.
Если же дискретизация производится и по отношению к времен-
временной переменной £, то приходим к так называемому дискретном пре-
преобразованию Фурье (ДПФ). Последнее является чисто алгебраиче-
алгебраическим объектом, т.к. вопросы сходимости не являются здесь глав-
главными. Дискретное преобразование Фурье приобрело огромную по-
популярность после изобретения быстрых алгоритмов (Кули и Тьюки,
1965; но имеются предшественники). Ключевой фразой здесь явля-
является — быстрое преобразование Фурье (БПФ).
Ниже будет показано, что вейвлеты с самого начала структу-
структурированы для выполнения быстрых алгоритмов. Именно это обсто-

1.2. Ряды Фурье
ятельство послужило мощным импульсом для их использования в
различных прикладных областях в течение нескольких последних лет.
«Преобразование Фурье», которое ставит в соответствие 2тг-пе-
риодической функции / ее массив коэффициентов Фурье (ck \к G Z),
рассматривает / в качестве «глобального объекта». В частности, в
этом случае нет никакой локализации по временной оси. В массиве
т.е. в простой таблице значений /, информация об / сохраняется в
таком виде, что становится возможной непосредственная и точная
локализация индивидуальных деталей (например, локальных экстре-
экстремумов, точек поворота и т. д.) на временной оси. В отличие от этого
свойства таблицы (у^\ 0 < к < N), каждый отдельный коэффициент
Фурье Ck содержит информацию об /, относящуюся ко всей обла-
области определения /. Рассматривая с*, невозможно определить, где /
имеет, например, максимум или скачок.
Пример 1.2. Разрывная функция
{§ (тг - t) (О < t < 2тг),
О (* = 0),
/(* + 2тг) V*
(Рис. 1.4) имеет следующее представление в виде ряда Фурье:
\
Данный ряд действительно представляет / во всех точках £, но схо-
сходится он «равномерно плохо»: так как коэффициенты £ убывают
очень медленно при к —► оо, то в каждой точке t ф 0 (mod27r) сходи-
сходимость зависит от осцилляции к н-> sin (kt).
Более того, проявляется явление Гиббса: любая частичная сумма
stv ряда Фурье превосходит максимальное значение функции, рав-
равное ^, в некоторой точке tw около нуля приблизительно на 18%.
Таким образом, если нам необходимо провести анализ Фурье
функции р, изображенной на Рис. 1.5, то сразу надо смириться с
тем, что вследствие скачка непрерывности в точке £о эта функция
имеет ряд Фурье, плохо сходящийся всюду. Более того, рассматри-

20 Глава 1. Постановка задачи
вая только Ck, нельзя установить расположение скачка, хотя как раз
это и может быть самой интересной деталью д. □
Рис. 1.4.
2тг
Рис. 1.5.
Если же функция / аппроксимируется с помощью вейвлетов, то
в этом случае совершенно определенно наличествует некоторый тип
локализации; более того, эта локализация скроена по мерке: детали
переходных процессов (кратковременные детали) функции /, такие,
например, как скачки или отмеченные пики могут быть легко лока-
локализованы при непосредственном рассмотрении вейвлетных коэффи-
коэффициентов, в то время как более медленные изменения / запоминаются
в более глубоких слоях иерархии коэффициентов и автоматически
представляются в более мелком масштабе; как следствие этого, они
менее точно локализуются на временной оси.

1.3. Преобразование Фурье
1.3. Преобразование Фурье
Преобразование Фурье на Ш предназначено для анализа и синтеза
функций
: К —у (L
с использованием чистых гармоник
еа : Ш -+ С, t н-> eiat A.9)
в качестве базисных функций, но в этом случае действительные ча-
частоты а произвольны. Другими словами, множество индексов равно
Ш и тем самым изоморфно (т. е. структурно эквивалентно) области
определения рассматриваемой функции /.
Соответствующее скалярное произведение имеет вид
оо
оно является основным элементом так называемой £2-теории (по-
(подробнее см. Параграф 2.2). Так как функции еа не принадлежат
L2, то нет смысла говорить об их ортонормированности — скаляр-
скалярное произведение (еа,е@) не определено. Тем не менее, допустимо и
имеет смысл для подавляющего большинства функций / Е L2 опре-
определить «вектор коэффициентов» ( f (а) \а Е Ш ) с помощью формулы
Функция
/:М->С, а^Т(а)
называется преобразованием Фурье, иногда^ также спектральной
функцией, функции /. Конкретное значение / (а) можно рассматри-
рассматривать как комплексную амплитуду, с которой частота а входит в
сигнал /. И снова в этом случае отсутствует локализация по^отно-
шению к переменной t: невозможно определить по значению / (а), в
какой момент времени появилась «метка» а.
В области обработки изображений используется двумерное пре-
преобразование Фурье. Изображение можно рассматривать как неко-
некоторый ландшафт. В различных областях изображения оно обладает

Глава 1. Постановка задачи
совершенно различной текстурой (лес, свежевспаханное поле, озеро,
облака и т.п.). Эти текстуры приводят к появлению характерных
черт в преобразовании Фурье / : Ш2 —> С изображения. И снова,
рассматривая функцию /, можно, очевидно, сказать, какие тексту-
текстуры имеются в исходном изображении, но нельзя определить в каком
месте изображения они встречаются. По этой причине нет смысла
подвергать преобразованию Фурье изображение целиком. Вместо
этого оно делится на небольшие квадраты, которые могут считать-
считаться обладающими однородной текстурой, и уже затем эти небольшие
квадраты подвергаются преобразованию Фурье.
Одновременная локализация по отношению к обеим переменным
t и а в пределах одного массива данных достижима только с опре-
определенными ограничениями, и эти ограничения не могут быть пре-
преодолены даже с помощью вейвлетов. «Импульс колебаний», распо-
расположенный во временном интервале [to — h,to + h] (и = 0 вне него)
и сосредоточенный в диапазоне частот [ао — £,ао + 6\, где h > О,
S > 0 произвольно малы, не существует. Количественным выра-
выражением этого фундаментального факта является принцип неопреде-
неопределенности Гейзенберга
оо
t2\f(t)\2dt
A.10)
(см. Параграф 2.3). В этом выражении первый множитель слева
является некоторой мерой «протяженности» графика / по времен-
временной оси, а второй множитель — мерой «протяженности» / nojocn
частот (Рис. 1.6). Неравенство A.10) означает, что графики / и / не
могут одновременно обладать единичным ярко выраженным вспле-
всплеском в начале координат. Равенство в A.10) достигается на функ-
функциях, кратных 11—► ехр (—с£2), с > 0, и только на них.
Рис. 1.6.

Ц. Взвешенное преобразование Фурье
Для подходящих функций / : Ш —> С определена формула обра-
обращения преобразования Фурье
оо оо
= 4= [ f(*)eiatda или / = -^= [ daf(a)ea. A.11)
л/2тг 7 л/2тг J
Эта формула представляет или, соответственно, синтезирует функ-
функцию / в виде интегральной суперпозиции чистых гармоник A.9).
Она безусловно фундаментальна с точки зрения теоретических рас-
рассмотрений, но для практических целей она содержит значительно
больше, чем это необходимо: реальные сигналы очень слабы или да-
даже тождественно равны нулю вне некоторого интервала / на вре-
временной оси. Исследователю известно это с самого начала, и он не-
незаинтересован в синтезировании сигнала вне этого интервала. В то
же время формула обращения A.11) воспроизводит значения функ-
функции во всех точках временной оси; в частности, для того, чтобы
добиться «тождественного равенства нулю» на Ш \ I за счет взаим-
взаимного подавления еа, требуются значительные усилия.
1.4. Взвешенное преобразование Фурье
Как, возможно, уже стало понятным из того, что мы сказали в двух
последних параграфах, мы стремимся получить такой «тип данных»,
который позволял бы легко находить или извлекать как временную
(или пространственную), так и частотную информацию о сигнале
/ : Ш —► С. Музыкальная партитура как раз и является таким ти-
типом данных с нужными характеристиками: если вы умеете читать
музыкальную нотацию и вам дана партитура, то вы сразу видите,
в какой момент времени звучит та или иная частота.
Так называемое взвешенное преобразование Фурье (ВПФI пред-
представляет непрерывную версию такого типа данных. Однако, одно-
одновременная локализация (разумеется, в пределах фундаментальных
ограничений) по отношению к временной и частотной переменным
осуществляется за счет введения огромной избыточности по той
причине, что в этом случае множество индексов получающегося век-
вектора данных
хЭто преобразование часто называют также оконным преобразованием Фурье,
а функцию g(t) (см. ниже) — функцией окна.

Глава 1. Постановка задачи
является двумерным, в то время как с его помощью кодируется
функция одного действительного переменного t.
ВПФ описывается следующим образом: сначала выбирается и
фиксируется весовая функция g : Ш —> М^о- Функция g должна
иметь «общую массу» 1 и быть более или менее сконцентрирован-
сконцентрированной в окрестности t = О, что означает, что она должна иметь ком-
компактный носитель, содержащий 0 (см. Рис. 1.7) или по крайней мере
иметь максимум при t = О и быстро убывать при \t\ —> оо. Часто
используемая весовая функция имеет вид
(^) AЛ2)
где а — фиксированный параметр. (Обычно эта функция обознача-
обозначается N @, <т), но принятое нами обозначение совпадает с обозначени-
обозначением A.14), часто используемым в теории вейвлетов.) Соответствую-
Соответствующее преобразование часто называется преобразованием Габора, так
как Деннис Габор (Нобелевский лауреат по физике, 1971) был одним
их первых, кто систематически использовал ВПФ. В частности, он
обратил внимание на то, что весовая функция N^o в некотором
смысле является оптимальной.
Рис. 1.7.
Для заданного sGi, функция
gs : t •-► g (t - s)
представляет собой весовую функцию g, сдвинутую на «(вправо, ес-
если s > 0). Мы оставляем функции A.9) нашими основными зависи-
зависимостями, описывающими колебания, и определяем взвешенное пре-
преобразование
Gf : R х R -н. С, (a, s) i-> Gf (а, s)

Ц. Взвешенное преобразование Фурье
функции / как
оо
Gf (а, з) := -±= [ f (t) g(t-s) e~iatdt. A.13)
V2?r J
—oo
Если мы выберем, например, весовую функцию д, изображен-
изображенную на Рис. 1.7, то формула A.13) может быть проинтерпретирова-
проинтерпретирована следующим образом: величина Gf (a, s) представляет в некото-
некотором смысле комплексную амплитуду, с которой чистая гармоника
еа присутствует в / в течение временного интервала [s — h,s + h].
Если в течение этого интервала, среди прочих, прозвучит «нота» а,
то \Gf (a,s)| будет большой.
Так как информация об / в Gf представлена с избыточностью,
то существует несколько формул обращения для взвешенного пре-
преобразования Фурье f ^ Gf (см. [К], Параграф 2.3). Для практи-
практических вычислений, разумеется, следует использовать дискретный
вариант ВПФ, используя равномерное подразбиение как оси £, так
и оси а.
Рис. 1.8.
Для постоянного весового окна ширины 2/г (соответственно, ~
2а в случае A.12)) при \а\ > \ «основной волновой пакет» t •-►
*-> 9(t — s) e~iat имеет форму, изображенную на Рис. 1.8. Пусть те-
теперь заданный сигнал содержит всего несколько колебаний частоты
а на интервале [s — /г, s + /г], которые занимают очень небольшую

Глава 1. Постановка задачи
часть интервала. Значение Gf (a, s) при этом будет достаточно ве-
велико, но «основной волновой пакет», изображенный на Рис. 1.8, не
дает возможности найти локализацию таких коротких импульсов с
достаточной точностью.
В самом низу диапазона, т.е. для частот \а <С ^| , дела обсто-
обстоят еще хуже. В этом случае «основной волновой пакет» имеет фор-
форму, изображенную на Рис. 1.9. Если сигнал / содержит (возможно,
представляющую наибольший интерес) колебательную компоненту
характеристической частоты \а <С ^|, то преобразование G не об-
обнаружит ее: весовое окно, изображенное на Рис. 1.9, слишком узко,
чтобы охватить хотя бы один полный период такой низкой частоты.
Рис. 1.9.
1.5. Вейвлетное преобразование
Для того, чтобы четко сформулировать, что же существенно нового
содержится в веивлетном преобразовании (ВП) по сравнению с ПФ и
ВПФ, описанными в предыдущих параграфах, мы кратко повторим
основные положения последнего из них:
- Преобразование Фурье функций / : Е
альную анализирующую функцию t i—»
С использует специ-
oit
ег , которая обладает
множеством замечательных аналитических свойств. Эта ана-
анализирующая функция, растянутая в соответствии с действи-

1.5. Вейвлетное преобразование
тельным параметром частоты а, появляется в виде t 1—► ега в
формулах преобразования.
- Взвешенное преобразование Фурье использует эту же самую
анализирующую функцию 11—► е**, а также ее растянутые вер-
версии. Единственным дополнительным элементом является по-
подвижная, но в остальном -жестко фиксированная весовая функ-
функция д. Отметим, что имеется некоторая свобода в выборе этой
весовой функции,
Основная модель вейвлетного преобразования также действует
на комплексно-значных временных сигналах / : Ш —> С. Сначала
выбирается подходящий анализирующий вейвлет, который также
называется материнским вейвлетом или просто вейвлетом, х \—>
ф(х). На Рис. 1.10 изображен ф, имеющий компактный носитель
[0, L]. Растянутые и сдвинутые копии веивлета ф мы будем называть
вейвлетными функциями. «Основные волновые пакеты», используе-
используемые для анализа временных сигналов /, собственно и являются та-
такими вейвлетными функциями, и для них мы примем следующее обо-
обозначение:
1
фауЬ : R -> С, t\
,1/2
ф
A.14)
Рис. 1.10.
Двойной индекс (а, 6), появляющийся здесь, принадлежит множе-
множеству R* х Ш или R>o х EL Переменная а называется масштабирующим

Глава 1. Постановка задачи
параметром, а Ь — параметром сдвига. Множитель 1/ \а\ ' в A.14)
непринципиален и носит технический характер, он используется для
того, чтобы гарантировать ||</>а,ь|| = 1-
0<а<1
Рис. 1.11.
Как становится очевидным из рассмотрения Рис. 1.11 и 1.12, ши-
ширина «основного волнового пакета» или «основного окна» растет про-
пропорционально |а|, и для всех значений а и Ь это окно представляет
единственную и полную копию анализирующего вейвлета. О приво-
приводимых ниже фактах следует оговориться с самого начала:
- Значения масштабирующего параметра а по модулю 0 < \а\ <^ 1
соответствуют очень узким окнам и служат для точной лока-
локализованной регистрации высокой частоты соответствующих
переходных процессов, имеющихся в сигнале /.
- Значения масштабирующего параметра а по модулю \а\ ^> 1
соответствуют очень широким окнам и служат для регистра-
регистрации медленных процессов или длинноволновых колебательных
составляющих /.
Благодаря всему сказанному выше становится ясным, что вей-
влетное преобразование
W/ : Ш* х Ш -> С, (а, Ь) н-+ W/ (а, Ь)

1.5. Вейвлетное преобразование 29
временного сигнала / определяется следующим образом:
W/(a,6) :=</,« = :4т
вместо W/, так как
aL
Рис. 1.12.
Более корректно мы должны писать
получающийся массив данных
(W/(a,6)|(o,6)eR'xR)
зависит от вейвлета ф, выбранного в самом начале. Во всех тех слу-
случаях, когда рассматривается только один вейвлет, можно и не ис-
использовать обозначение W^.
Областью определения преобразования W/ является плоскость
(а, 6), Так как переменная Ь описывает сдвиг по временной оси, то
в теории вейвлетов принято 6-ось располагать горизонтально, а а-
ось вертикально в отличие от обычного расположения осей, соот-
соответствующих первому и второму множителям декартового произ-
произведения.
Как будет показано в Параграфе 3.3, для вейвлетного преобра-
преобразования также существует формула обращения. Эта формула пред-
представляет исходный сигнал / в виде «линейной комбинации» базисных
функций фа,ь с коэффициентами, равными значениям W/ (a, b) вей-
вейвлетного преобразования. Для того, чтобы установить такую фор-
формулу, необходимо определить «элемент объема» на множестве индек-
индексов М* х Ш.
Если функции фа,ь заданы в виде A.14), то получаем
с константой Сф, зависящей только от выбранного ф (Теорема C.7)).

Глава 1. Постановка задачи
Принципиально важным обстоятельством в описанной выше си-
ситуации является то, что по оси масштабирования (вейвлетного ана-
аналога частотной оси) преимущественно используется логарифмиче-
логарифмический масштаб. Подобное положение, возможно, известно читателю
из акустики или музыки: равные шаги тональности соответствуют
равным частотным отношениям uj2/oj\ (например, 5 : 4 для основ-
основной трети), а не равным частотным разностям изъ —и\.
Этот факт становится особенно очевидным, когда в качестве
следующего шага мы дискретизируем множество индексов R>o x R:
мы выбираем шаг растяжения а > 1 (обычно используется значе-
значение а := 2) и рассматриваем далее только дискретное множество
множителей растяжения
ar := ar (r e Z).
Отметим, что большим числам г G Z соответствуют большие
множители растяжения аг > 0. Что же касается параметра сдвига,
то мы не можем просто выбрать базовый шаг /3 > 0 и затем исполь-
использовать единственную решетку значений сдвига bk := kfi (k G Z), как
в случае преобразования Фурье. На самом деле происходит следу-
следующее: при более тонких масштабах при меньших значениях г необ-
необходимо использовать соответственно меньший шаг сдвига, для того
чтобы все было в порядке. Например, на уровне аг на плоскости
(а, Ь) (а располагается вертикально, Ь горизонтально!) мы выбираем
в качестве значений решетки числа
Ъг,к := кагр (к е Ъ)
(см. Рис. 4.4). Это означает, что последовательные Ьг^ располагают-
располагаются на расстоянии аг/3 друг от друга. Такой выбор, как показывает
простое наблюдение, является вполне естественным. В частности,
такой выбор решетки соответствует оптимальной точной локализа-
локализации высоких частот и/или переходных процессов в анализируемом
временном сигнале /.
В таком духе мы устанавливаем существование дискретной груп-
группы самоподобий, связывающей R, с одной стороны, и *ф и его про-
масштабированные версии, с другой стороны. Систематическое ис-
использование этой группы приводит к так называемому мультираз-
решающему анализу и связанным с ним быстрым алгоритмом. По-
Последний, обычно именуемый быстрым вейвлетным преобразованием

. 1.5. Вейвлетное преобразование 31
(БВП), используется для вычисления еейелетных коэффициентов
а также для реконструкции (т. е. синтеза) сигнала / из сохраненных
данных cr,fc.
В отличие от жестких рамок Фурье-анализа, в выборе анали-
анализирующего вейвлета ф мы располагаем большой свободой. В сущ-
сущности, достаточно быть уверенным, что ф принадлежит L1 П L2 и
сю
что / ф (t) dt = 0. В зависимости от обстоятельств и требований,
—сю
всегда можно добиться того, что
- ф имеет компактный носитель,
- вейвлетные функции («основные волновые пакеты»)
фТ,„ (t) := 2-r^
принадлежащие к описанной дискретизации, являются орто-
нормированными,
- существуют быстрые алгоритмы,
- ф дифференцируем требуемое число раз,
- вейвлетные коэффициенты обладают оптимальным убыванием
при г —> — оо,
- и так далее.
По мере изложения, мы будем сталкиваться в главах этой книги с
различными «знаменитыми» вейвлетами ф — некоторые из них зада-
задаются простыми формулами, другие конструируются теоретически,
но во всех случаях мы будем приводить численную или графическую
реализацию рассматриваемых вейвлетов. Они будут появляться в
следующем порядке (слева стоит номер соответствующего рисунка):
A.13) вейвлет Хаара,
C.4) мексиканская шляпа,
C.5) модулированная гауссова кривая,
C.9) производная гауссовой кривой,
D.8) вейвлет Добеши - Гроссмана - Мейера с а = 2,/3 = 1,
E.4) вейвлет Мейера,
F.4) вейвлет Добеши зФ,
F.6) вейвлет Добеши 2ф,
F.9) вейвлет Бэттла-Лемарье с п = 1,
F.11) вейвлет Бэттла-Лемарье с п = 3 .

Глава 1. Постановка задачи
Основная цель данной книги — дать математические основы
вейвлет-анализа в виде, доступном для студентов. Тем не менее,
мы считаем необходимым и даже обязательным дать краткий об-
обзор приложений этой новой теории.
Фурье-анализ является мощным инструментом как для матема-
математических, так и для прикладных исследований. В математике он, в
первую очередь, используется в теории линейных уравнений в част-
частных производных. Простой модельный пример такого типа прило-
приложения приведен в Примере 1.1. В приложениях теория Фурье ис-
используется для моделирования, описания и анализа любых простран-
пространственных или временных периодических явлений, если говорить о
наиболее очевидных применениях. Эффективность преобразования
Фурье связана, в первую очередь, со свойствами инвариантности и
симметрии чистых гармоник еа .
Изобретение вейвлетов, напротив, было напрямую связано с прак-
практическими приложениями (если быть более точным, с анализом сей-
сейсмических волн). Аналитические свойства вейвлетов сложнее по срав-
сравнению с аналогичными свойствами чистых гармоник еа. В резуль-
результате их использование в пределах самой математики, т.е. как ин-
инструмента для работающего математика, было до недавнего време-
времени ограничено (но сейчас положение начинает меняться — хороший
пример такого типа можно найти в [М], Глава 5).
С наибольшим успехом вейвлеты были использованы в двух при-
прикладных областях — обработке сигналов и в обработке изображе-
изображений. Обработка сигналов в первую очередь связана с временными
сигналами, и поэтому использует «одномерные» вейвлеты, теория
которых представлена в данной книге. В области обработки изобра-
изображений используются двумерные вейвлеты. Теория этих двумерных
вейвлетов является отчасти непосредственным «возведением в ква-
квадрат» одномерной теории, но имеются и принципиальные отличия.
Эта часть теории в книге не рассматривается.
Под обработкой в первую очередь понимается сжатие времен-
временных сигналов или изображений, а также их анализ, «очищение», фильт-
фильтрация, эффективное хранение, извлечение и передача. В теории ин-
информации изображение обычно рассматривается как реализация слу-
случайного процесса, в пределе это может быть просто отображение
двоичных строк без всякой корреляции между соседними элемен-
элементами изображения. Однако в реальном изображении (или звуко-
звуковом документе) имеются типические участки с высокой плотностью

1.5. Вейвлетное преобразование
информации наряду с участками, которые почти не несут никако-
никакого содержания (например, безоблачное небо). Предположим теперь,
что данное изображение подвергается (дискретному) вейвлетному
преобразованию, что приводит к возникновению большого массива
данных cr,k- Тогда легко можно отфильтровать те коэффициенты
cr,k величины которых превосходят некоторый порог. Только эти
коэффициенты сг^ подлежат хранению или передаче. Именно та-
таким образом (и здесь мы говорим о самой сути всего построения)
в каждой области изображения можно выразить в точности ровно
столько содержания изображения на единицу площади, сколько на
самом деле его там имеется. То есть, говоря иными словами, дина-
динамическая адаптация разрешения изображения к изменяющейся ло-
локальной плотности информации позволяет достигать значительных
величин коэффициента сжатия без заметного ухудшения общего ка-
качества изображения.
Читатель, который заинтересован в более глубоком и деталь-
детальном изучении различных приложений веивлетов, может обратиться
к книгам [Be], [С] и [D'], которые содержат статьи различных авто-
авторов, или к [L], Глава 3. Вычислительные и программистские аспекты
обработки сигналов и изображений с применением веивлетов приве-
приведены в [W]. Как новое описательное средство, вейвлеты нашли свое
место и в различных областях математической физики, см. в этом
отношении [К], Часть 2.
Заключим этот параграф кратким историческим замечанием.
Предшественники веивлетов появились уже в 1910 году (см. следу-
следующий параграф), хотя и без такого звучного обозначения. В те-
течение последующих десятилетий ряд ученых в области связи пред-
предпринимали попытки преодолеть отмеченные выше недостатки Фу-
Фурье-анализа или ВПФ с помощью различных вейвлетоподобных кон-
конструкций. Следует еще здесь отметить знаменитую интегральную
формулу Кальдерона A964), который в известном смысле является
крестным отцом формулы обращения для веивлетного преобразо-
преобразования. Однако, основной прорыв произошел в конце 80-х годов в
связи с аксиоматическим описанием мультиразрешающего анализа
( Малла и Мейер [12]) и построением ортонормированных веивлетов
(Ингрид Добеши [3]), обладающих компактным носителем. За более
подробной информацией о развитии событий в этой области, под-
подкрепленной обширной библиографией (до 1992 года включительно),
мы отсылаем читателя к стандартному учебнику [D].
2 - 10643

34 Глава 1. Постановка задачи
1.6. Вейвлет Хаара
Многие важные аспекты теории вейвлетов можно представить и
оценить, рассматривая один из самых простых вейвлетов, так на-
называемый вейвлет Хаара. Для того, чтобы осуществить это, нам
не надо никаких предварительных знаний, напротив, все делается
очень просто. Вейвлет Хаара будет многократно появляться в по-
последующих главах и будет служить наглядным примером в течение
всей книги.
В 1910 году венгерский математик Альфред Хаар первым описал
полную ортонормированную систему для гильбертова пространства
L2 := L2 (Ж) и доказал, что это пространство изоморфно простран-
пространству
12:={(ск\ке
|2
< оо
к=0
квадратично-суммируемых последовательностей. В соответствии с
предметом нашего исследования теперь мы можем рассматривать
базисные функции, введенные Хааром, как растянутые и сдвинутые
копии некоторого вейвлета </>, описанного в предыдущем Парагра-
Параграфе 1.5.
Вейвлет Хаара представляет собой следующую простую ступен-
ступенчатую функцию:
1 @<х<§),
-1 (|<х<1),
0 (в других случаях)
(см. Рис. 1.13). Этот вейвлет *ф =: фнааг имеет компактный носи-
носитель; более того, очевидно, что
сю сю
JiP(x)=O j \ф{х)\2
iP(x)=O, j \ф{х)\2<1х = \.
—сю
Вейвлет Хаара хорошо локализован во временной области, но^
к сожалению, не является непрерывным. Преобразование Фурье г/>

1.6. Вейвлет Хаара 35
вейвлета фнааг вычисляется следующим образом:
1/2 1
х:=0
i sin2 (a/4) _ia/
4 a/4
A.15)
Рис. 1.13. Вейвлет Xaapa
Четная функция ф имеет максимум на частоте Qo = 4,6622 (см.
Рис. 1.14) и убывает как 1/а при а —> оо. В результате можно ска-
сказать, что ф «достаточно хорошо» локализована на частоте Qo, но
разрывность фнааг приводит к медленному убыванию ф на беско-
бесконечности.
Рис. 1.14.

36 Глава 1. Постановка задачи
Используя фнааг в качестве эталона, образуем вейвлетные функции
Фг,к @ := 2-r/2V>Haa
(см. Рис. 1.15). Функция Vv,fc имеет в качестве своего носителя ин-
интервал
/г,*:=[Ь2г,(А; + 1)-2г[
длины 2Г. Повторим еще раз: большим значениям г соответствуют
большие интервалы Ir^k , и соответствующие вейвлетные функции
фГук имитируют длинные «волны». Амплитуда фг^ выбирается таким
образом, что
сю
J \1>(t)\2
— сю
\1>r,k(t)\2dt = l A.17)
для всех г и для всех А:. Однако на самом деле можно утверждать
значительно большее:
Фг,к, II*.. Л
Рис. 1.15.
A.1) Функции фг,1е (г G Z, A: G Z) образуют ортонормированный ба-
базис пространства L2 (R).
Доказательство. Если А: ф /, то функции фг^ и ^г,/ (с одним и тем
же г!) имеют непересекающиеся носители, и немедленно получаем,
что
(Фг,к,Фг,1)=0 (*#/).
Если, с другой стороны, 5 < г, тогда Vv,fc постоянна (= —1,0 или 1)
на носителе ф8,1 (см. Рис. 1.16). Поэтому мы имеем
и, с учетом A.17) из этого следует, что фг^ действительно образуют
ортонормированную систему.

1.6. Вейвлет Хаара
II
| |
I I
Рис. 1.16.
Перейдем теперь к самому важному моменту: мы должны по-
показать, что любая / G L2 может быть аппроксимирована с любой
степенью точности (в метрике L2) конечной линейной комбинацией
фг,к- Такие линейные комбинации мы будем называть вейвлетными
полиномами. Исходя из общих принципов, достаточно рассмотреть
/ : R —> С следующего типа:
Существуют т^Оип^О такие, что
(а) /(*) = 0 (|z| ^ 2т) и
(б) / является ступенчатой функцией, постоянной на интервалах
1-п,к ДЛИНЫ 2~п.
Образуем теперь последовательность (Фг \r ^ — п) вейвлетных по-
полиномов
к
следующим образом: начиная с тонких деталей сигнала /, мы будем
рекуррентно вычислять остаток /г := / — Фг, который при сохра-
сохранении тонких деталей становится все более протяженным по мере
продолжения вычислений. Это, в частности, означает, что в преде-
пределе при г —> оо низкочастотные составляющие / обрабатываются в
последнюю очередь. В этом вейвлет-анализ прямо противоположен
Фурье-анализу или синтезу.
Начнем конструирование с
Ф_п:=0, /_„:=/.
Для шага индукции г ~» г' := г+1 сделаем следующее предположение

. 38 Глава 1. Постановка задачи
(которое, очевидно, выполняется при г := —га):
Аг: Вейвлетный полином Фг и остаток fr определены таким обра-
образом, что
/ = Фг + /г A.18)
и так, что fr постоянен на каждом из интервалов Ir,k- Значение
fr на Ir,k, обозначаемое /г,&, есть не что иное, как среднее
значение исходной функции / на интервале Ir,k-
Определим теперь следующие величины:
$r',k := ~ (fr,2k - fr,2k+l) » fr',k '•= X (fr,2k + i
(см. Рис. 1.17) и положим
cr',k •= 2r /2Sr',k (сравни с нормировкой фг,к)
/; (ж) := /г/,* (ж G /г/,л).
Тогда A.18) верно с г' вместо г, функция /г/ постоянна на интер-
интервалах /Г/,А;, и /г/^ является средним значением / на /Г',*; другими
словами: Аг/ выполнено.
I
/г,*
/r,2fc+l
^ . 1
Рис. 1.17.
Начиная с г := — га , после га 4- ш подобных шагов получаем фор-
формулу
(
j=-n+l V А-

1.6. Вейвлет Хаара
Остаток fm постоянен на интервалах /т^ длины 2т. Отметим, од-
однако, что по крайней мере две величины
А := /m,-i = среднему / на [-2т,0[ и
В := /т,о = среднему / на [0,2т[
отличны от нуля; вплоть до этого момента все рассматриваемые
функции были = 0 для \х\ ^ 2т.
Мы можем продолжить нашу процедуру удвоения для еще необ-
необработанного остатка /т. Еще после р шагов получаем
fm = /^ I 2_^^j,kWj,k I t- Jm+p,
j=m+l \ к /
где функция fm+p постоянна на двух интервалах [—2т+р, 0[, [0,2т+р[
и = 0 вне них. Так как / тождественно равна нулю вне интервала
[—2m,2m[, то из этого следует, что
/ ■ л — 9~Р4 / ■ Л — 9~рR
Уго+р,-1 — ^ Л» М+р,0 — ^ ■L''
Поэтому мы получаем
сю
м/ м2 _ /|/ /r\|2 at _ om+P ^9~2p Ml2 -I- 2~2р 1Я12>\ П 20^
||/т+р|| — / \Jm-\-p \х)\ ах — * \* \Л\ -г & \D\ \ ^l.zu;
|2 + \В\2 ■ Tvl\
Полагая р —> оо, мы окончательно получаем
||/ - Фт+Р|| = ||/т+р||< С ■ 2-р/2 -, 0,
что и требовалось доказать. ■
Доказательство теоремы A.1) является конструктивным в том
смысле, что оно доставляет нам еще и алгоритм вычисления вей-
влетных коэффициентов Cj,k и, что самое важное, он является не
каким-нибудь старым алгоритмом, а так называемым быстрым ал-
алгоритмом. В этом легко убедиться, просто подсчитав число арифме-
арифметических операций, необходимых для проведения полного анализа.
Исходная функция / определяется с помощью
N := 2 • 2т • 2П
своих значений. Первый шаг редукции касается N/2 пар интервалов

Глава 1. Постановка задачи
и требует только двух сложений на одну пару (деление на 2 , как
и масштабирование A.19), не учитывается). Каждый последующий
шаг редукции требует в два раза меньшего числа операций по срав-
сравнению с предыдущим; более того, имеет смысл прервать процесс
после т + п шагов. Это означает, что для определения всех коэффи-
коэффициентов Cj,k, необходимо выполнить всего
арифметических операций, причем зависимость от длины входа ли-
линейная. Как мы увидим в Параграфе 5.4, реконструкция /, исполь-
использующая Cj,k как вход, может быть выполнена с использованием при-
примерно того же числа операций. Для сравнения: для умножения век-
вектора длины N на квадратную матрицу порядка N требуется 0(N2)
арифметических операций.
Наиболее примечательные алгоритмические факты, с которыми
мы столкнулись здесь, вовсе не являются спецификой вейвлета Хаа-
ра, напротив, они как раз закономерны, так как все вейвлеты ^,ив
том числе фнааг, связаны с мультиразрешающим анализом. За более
подробной информацией мы отсылаем читателя к Параграфу 5.4.
Заключая этот параграф и тем самым вводную главу, обратим
внимание на некоторый парадокс, который обычно ставит в тупик
новичков. Он заключается в следующем: все вейвлетные функции
Vv,fc (включая и те, которые мы встретим позже) имеют среднее
значение 0:
сю
г
:0 (r,fc€Z).
Как же можно аппроксимировать, например, кусочно-постоян-
кусочно-постоянную функцию /, изображенную на Рис. 1.18, с помощью линейных
комбинаций таких функций?
Действительно, аппроксимация Фг —> / (г —> оо) имеет место в
L2 во многих смыслах, в том числе и поточечно, но не в L1. Послед-
Последнее можно, формально, представить следующим образом:
Функционал
ОО
•с, /-> [ №&

1.6. Вейвлет Хаара
непрерывен в L1, и для функции /, изображенной на Рис. 1.18, имеем
i(f) > 0 . Так как, с другой стороны, для всех аппроксимирующих
функций выполняется равенство i (Фг) =0, мы не можем иметь ра-
равенства Итг_юо Фг = / в L1.
Рис. 1.18.
То, что происходит на самом деле, наилучшим образом можно
проиллюстрировать с помощью следующего примера: будем аппрок-
аппроксимировать функцию
) (в противном случае)
с помощью процедуры, использованной при доказательстве теоремы
A.1). Для того, чтобы упростить рассмотрение, заменим вейвлет-
ные функции фг,к, определенные в соответствии с A.16), функциями
т.е. нормирующий множитель в A.16) опущен. Дополнительно вве-
введем функции
@ < t < 2Г),
(в противном случае)
9r(t) := { J
0);
они связаны с фГук рекуррентной формулой
_ 1 ~ 1
в чем легко убедиться, взглянув на Рис. 1.19.
Из последнего уравнения по индукции следует, что
/ X—^ 1т 1 / л\
7 = 1

Глава 1. Постановка задачи
4'
Рис. 1.19.
Здесь сумма, стоящая в правой части, является аппроксимирующим
вейвлетным полиномом Фг, появившимся в доказательстве теоре-
теоремы A.1), а член дг/2т постоянен на интервале /г,о и поэтому пред-
представляет остаток /г. Теперь мы пришли к следующему: функция ф,
аппроксимируемая вейвлетными полиномами Фг, имеет своим носи-
носителем интервал [0,1[, но носители аппроксимирующих функций Фг
становятся все шире по временной оси. Различие, которое «по при-
причинам среднего значения» обязательно существует между ф и Фг,
размазывается по все увеличивающейся области: Фг принимает зна-
значение 1 — ^ на интервале [0,1[ и значение —~г на интервале [1,2Г[.
Как и ожидалось, получаем
сю
J
fr(t)dt = l= / ф(Ь)Л Vr
и кроме того
оо),
последнее находится в согласии с A.20) и, окончательно, получаем,
что верна формула
lim И*)-*г(*I= lim |/r(t)|=0 V*,
г—юо г—>сю
и что даже имеет место равномерная сходимость по t .

ГЛАВА 2
ФУРЬЕ-АНАЛИЗ
Наиболее важным инструментом в создании теории вейвлетов слу-
служит Фурье-анализ. Изложение в последующих главах во многом опи-
опирается на хорошо известные теоремы и формулы, относящиеся к ря-
рядам Фурье, а также на основные представления о преобразовании
Фурье на Ж. Эти сведения представлены в последующих параграфах
в виде обзора и так, чтобы их можно было просто использовать в
дальнейшем. За доказательствами мы отсылаем читателя к соответ-
соответствующим учебникам, например, [2], [5], [10], [15]. В Параграфах 2.3
и 2.4 мы дадим объяснение принципа неопределенности Гейзенбер-
га и теоремы отсчетов Котельникова- Шеннона. Эти две теоремы
указывают на определенные принципиальные ограничения в теории
сигналов и впоследствии часто играют решающую, но иногда скры-
скрытую роль во всем, что связано с вейвлетами.
2.1. Ряды Фурье
В качестве основной среды мы будем рассматривать функциональ-
функциональное пространство L\ := I? (М/2тг). Точками этого пространства
являются измеримые функции / : Ж —► С, которые имеют период 2тг:
и для которых интеграл
2тг
л dt
конечен. Если быть точным, пространство L2O состоит из классов
эквивалентности таких функций; две функции / и #, отличающи-
отличающиеся лишь на множестве значений t меры 0, рассматриваются как
одна и та же точка в L\. Среди прочего из этого вытекает следую-
следующее: функция / 6 Lq, о которой неизвестно ничего дополнительно,

Глава 2. Фурье-анализ
не имеет определенных значений в отдельных точках. При этом нет
смысла говорить, например, о значении /@). Требуется некоторое
время, чтобы привыкнуть к такому необычному поведению функ-
ь
ций. С другой стороны, произвольные интегралы f f(t)dt имеют
вполне определенное значение.
Формула
2тг
. С этим скалярным произ-
произ1/2
определяет скалярное произведение
ведением связана норма
и функция расстояния d(f,g) := \\f — g\\. По отношению к этой
функции расстояния наше пространство 1?о является полным ме-
метрическим пространством, что означает, что последовательность
Коши функций fn € L\ автоматически сходится к некоторой точке
/ € Lq. В целом (не следует забывать, что 1?о является также век-
векторным пространством над С) пространство .
(комплексного) гильбертова пространства.
Функции
ek : t »-► elkt = cos(Atf) 4- г sin(Atf)
имеют период 2тг, и вследствие соотношений
2л
I 1
A(i-k)t j± J
ei(j-k)t
является примером
(k € Z)
-к)
2тг
U =
= 0
к),
они образуют ортонормированную систему в L2O.
Любая /gLq имеет коэффициенты Фурье
2тг
B.1)
Коэффициенты с* представляют собой не что иное, как коорди-
координаты / по отношению к ортонормированному базису (е^ |А; G Z),

2.1. Ряды Фурье
ср. с аналогичными формулами для векторов евклидова простран-
пространства Rn. Приводимую ниже так называемую лемму Римана-Лебега
достаточно легко доказать.
B.1) lim ck = 0.
к—>±оо
Но центральным результатом L20 -теории является формула Пар-
сев аля. Она гласит, что скалярное произведение любых двух функ-
функций / и g 6 L2O совпадает с «формальным скалярным произведением»
соответствующих векторов коэффициентов / и #:
B.2) Для произвольных f,geLl справедливо равенство
оо
к= — оо
в частности, имеем J] \ск\2 — ||/||2.
*=-оо
Используя коэффициенты Фурье функции /, образуем ряд
называемый (формальным) рядом Фурье функции /. Обычно запи-
записывают
/(*)-]Гс*еш B.3)
к
для того, чтобы выразить факт, что ряд B.2) соответствует данной
функции /.
Аналогии между геометриями L\ и Шп приводят к предположе-
предположению, что ряд B.2) в некотором смысле «представляет» функцию /.
В связи с эти можно сказать следующее: ряд B.2) имеет частичные
суммы
N
sN(t) := £ скеш.
k=-N
В Параграфе 1.2 мы уже отметили, что sn представляет собой не
что иное, как ортогональную проекцию / на BN + 1)-мерное под-
подпространство
Un -= $рап(е_лг,...,1,...,ел0 С L2O.

Глава 2. Фурье-анализ
В частности, вектор sjsr ортогонален к f — sjsr (см. Рис. 1.3). Из этого
по теореме Пифагора следует, что
- Е
k=-N
Учитывая B.2), мы, следовательно, заключаем: lim ||/ — sn\\ = О,
что позволяет утверждать: ~*
B.3) Формальный ряд Фурье функции f £ l?o сходится к f в смысле
метрики L\.
Для большинства практических приложений необходимо значи-
значительно большее, а именно, теорема, гарантирующая поточечную
сходимость sn к / для достаточно регулярных функций. Наиболее
глубоким результатом в этом направлении является теорема Карле-
сона A966). Ее доказательство настолько сложное, что оно обычно
не приводится в стандартных учебниках по рядам Фурье. Так как
мы используем ее в нескольких местах, то приведем здесь ее фор-
формулировку:
B.4) Частичные суммы s^it) функции f £ L2O сходятся к f(t) поч-
почти для всех t.
Следующие теоремы доказываются проще. В этих теоремах воз-
возникает понятие «вариации» функции / : М/2тг —► С (здесь мы рассма-
рассматриваем собственно сами функции, а не классы эквивалентности).
Это понятие вводится следующим образом: произвольному разбие-
разбиению интервала [0,2тг]
Т : 0 = *0 < *i < *2 < • • • < *п = 2тг
соответствует сумма приращений
(Обратите внимание, что здесь суммируются абсолютные значения
приращений!) Полная вариация V(f) 2тг-периодической функции /
является верхней гранью этих сумм по всем разбиениям Т. Если V(f)
конечна, то / называется функцией ограниченной вариации. Можно
рассматривать функцию t —► f(t) как параметрическое представле-
представление замкнутой кривой 7 на комплексной плоскости. В свете такой
интерпретации величина V(f) есть не что иное, как длина L(f) этой

2.1. Ряды Фурье
кривой. Если, например, / кусочно непрерывно дифференцируема, то
о
B.5) Пусть функция f : М/2тг —► С — непрерывная и ограничен-
ограниченной вариации. Тогда частичные суммы SN(t) ряда Фурье функции /
сходятся при N —► оо равномерно к f на Ш/2п.
Используя идею вариации, мы можем сформулировать следую-
следующую «количественную версию» леммы Римана-Лебега:
B.6) Обозначим через f^ производную порядка г, г ^ 0, функции
f : М/2тг —► С. Если /(г) непрерывна и V (/(г)) =: V конечна, то
1 Л| о И |Г+1 '
2тг|А:|
Вышесказанное может быть резюмировано следующим образом:
чем более гладка функция /, тем быстрее убывают ее коэффициенты
Фурье Ck при к —► ±оо. Теорема B.6) может быть обращена:
B.7) Если коэффициенты Ck удовлетворяют оценке вида
оо
при некотром е > 0, то функция f(t) := Ylck^tkt n0 меньшей мере
к
г раз непрерывно дифференцируема.
Доказательство. В случае, когда ряд, определяющий функцию /,
дифференцируется почленно р раз, мы получаем
Оценка
показывает, что получаемый ряд является равномерно сходящимся
(к непрерывной функции) при р ^ г. Фактически, для таких р этот
ряд представляет f(p\ так что в итоге получаем / € Сг. Ш

Глава 2. Фурье-анализ
Факты, описываемые теоремами B.6) и B.7), снова окажутся
востребованными, когда мы перейдем к Фурье-анализу на R и будут
иметь решающие последствия для гладкости наших вейвлетов; мы
еще вернемся к этому.
Заключим этот параграф, записывая соответствующие формулы
для ряда, Фурье и его коэффициентов для случая периода произволь-
произвольной длины L > О вместо 2тг. Для L := 2тг эти формулы принимают
вид B.1) и B.3), и то же справедливо для формулы Парсеваля.
B.8) Пусть f : R —► С периодическая функция с периодом L > О
L
и пусть J |/ (х)\ dx < oo. Тогда формальный ряд Фурье функции f
о
записывается в виде
1 Lr
f(x) - J2 Cke2k"ix/L, ck:=^ f{x)e-2k«ix'Ldx, B.4)
и формула Парсеваля принимает вид
Доказательство. Функция g(t) := f (^) является 2тг-периодичес-
кой, поэтому выражения B.4) получаются простой заменой перемен-
переменных. Из B.2) следует, что для L-периодических функций должно
выполняться равенство вида
к=-оо
\ck\2=Cj\f(x)\2dx.
Функция f(t) := 1 имеет коэффициенты Фурье с* = #0* > что дает
Г — 1
0 - Г-
2.2. Преобразование Фурье на R
Обозначение: начиная с данного момента и до конца книги, знак
интеграла / без верхнего и нижнего пределов обозначает интеграл

2.2. Преобразование Фурье на R
по отношению к мере Лебега на R, распространенный на всю дей-
действительную ось:
Jf(t)dt:= I f{t) dt.
Фурье-анализ на Ж определяется не одной, а по меньшей мере
тремя различными теориями в зависимости от выбранного функци-
функционального пространства. Все эти теории имеют дело с функциями
типа
/ : R -» С; B.5)
которые мы для краткости будем называть временными сигналами.
Пространство L1 состоит из измеримых функций B.5), для ко-
которых интеграл
(индекс 1 относится к типу пространства) конечен. Если быть бо-
более точным, это пространство состоит из классов эквивалентности
таких функций. Аналогично, пространство L2 состоит из функций
B.5), для которых интеграл
|/(t)|2dt=:||/||2
(здесь верхний индекс 2 обозначает показатель степени) конечен.
Третьим из этих пространств является пространство Шварца S.
Его элементами являются функции B.5) со следующими свойствами:
/ обладают производными всех порядков (символически,
/ € С°° (М)), и при |*| —► оо все производные стремятся к 0 быстрее,
чем любая отрицательная степень 1/ \t\n. Примерами таких функций
являются
t н-+ e"c'2 (с> 0), 11
cosh t
На Рис. 2.1 показаны взаимные включения этих пространств. Все
вейвлеты, представляющие какую-либо практическую ценность, при-
принадлежат пересечению L1 П L2, так что для них справедлива как
^-теория, так и 1^2-теория. Знаменитая «мексиканская шляпа» (см.
Рис. 3.4) принадлежит даже S.

Глава 2. Фурье-анализ
Рис. 2.1.
Преобразование Фурье f функции / Е L1 определяется как ин-
интеграл
/(£):=—J f(t)e-^dt (£€R). B.6)
Определение / в математической литературе неоднозначно. В до-
дополнение к приведенному нами интегралу встречаются также запи-
записи вида
?-2^dt
J
и другие. Содержание теории, конечно, не зависит от таких замен,
но формулы приобретают несколько другой вид.
При заданном £ е R вполне определенное значение /(£) может
быть проинтерпретировано следующим образом: / (£) есть комплекс-
комплексная амплитуда, с которой чистое колебание е^ представлено в /.
Проиллюстрируем это с помощью следующего «мысленного экспери-
эксперимента»: рассмотрим временной сигнал /, значения которого осцил-
осциллируют вблизи начала координат (не обязательно по окружностям)
с угловой частотой, приблизительно равной £, в течение некоторого
промежутка времени и очень малы в остальные моменты времени.
Если / обозначает временной интервал такого колебательного дви-
движения, то arg (/ (t) е~г&) близок к постоянной на / и интеграл
/
.,,*-«* dt
i
имеет большую абсолютную величину, т. к. при этом мало взаимное

2.2. Преобразование Фурье на R
аннулирование. Интеграл по дополнению
/
R\I
напротив, обладает очень малой величиной, так как значения сигна-
сигнала f(t) более или менее постоянны на R\/, а е^ осциллирует быстро и
гармонически, так что в процессе суммирования на Ш\1 происходит
довольно значительное взаимное уничтожение.
B.9) Преобразование Фурье f функции f G L1 автоматически
является непрерывным. Более того, имеем
lim /@=0.
£—►±00
Исчезновение / при ±оо, представляет собой не что иное, как
версию леммы Римана-Лебега для преобразования Фурье.
Выведем теперь несколько правил для вычисления преобразова-
преобразований Фурье функций, полученных из некоторой заданной функции /
сдвигом, растяжением и т. п.
Для любого временного сигнала / и произвольного h G Ш функ-
функция Thf определяется как
Thf(t):=f(t-h).
Рис. 2.2.
Если h положительна, то Ть сдвигает график / на h вправо (см.
Рис. 2.2). Пусть / е L1 и g(t) := Thf(t). Тогда преобразование Фурье
g вычисляется следующим образом:
?@ = 4= [fit - h)e-** A = 4= [f(t')e-*{t'+h)dt' = е~^ПО ■
V2тг J у2тг J

Глава 2. Фурье-анализ
Тем самым доказано наше первое правило:
(П1) (Г„/)Л (О = е-«*/@ ,
которое может быть выражено словами следующим образом: если
/ сдвигается на h вправо по временной оси, то ее преобразование
Фурье / приобретает множитель е-^.
Снова рассмотрим произвольный сигнал / G L1 и промодулируем
/ чистым колебанием е^, и £ R; таким образом, мы рассматриваем
функцию g(t) := eluJtf(t). Преобразование Фурье д определяется как
4=
л/2тг
Таким образом, мы получили правило, которое в некотором смысле
«дуально» к (Ш):
(П2) (е./)Л (£) = /(£-«).
Словами: если сигнал / промодулирован еш, то график / сдвигается
на и (вправо, если и > 0) по частотной оси.
Рассуждая философски, можно сказать, что теория Фурье за-
заключается в систематическом использовании сдвиговой симметрии.
В теории веивлетов растяжения по временной оси играют еще бо- •
лее значительную роль. По этой причине мы должны исследовать,
как преобразование Фурье ведет себя при операции Da, которая для
произвольного a G R* определяется как
Daf(t)
-'Ю-
Эффект воздействия Da на график сигнала / изображен на Рис. 2.3
для случая а := 3. Если \а\ > 1, то <?(/) растянут горизонтально на
множитель |а|, а для \а\ < 1 сжат горизонтально на множитель \а\.
Если а < 0, то тогда дополнительно G(f) зеркально отражается
относительно вертикальной оси. Определим, таким образом, g(t) :=
:= Daf(t). Для вычисления <7 проведем замену переменной
t := at' (tf в R), dt = \a\ dt'
(абсолютная величина Якобиана!) и получим

2.2. Преобразование Фурье на R 53
Таким образом, мы доказали формулу
(ПЗ) (Daf)A (О = |<
(a = 3)
Рис. 2.3.
В отношении графиков / и / это означает следующее: если гра-
график / растянут горизонтально на множитель а > 1, то график /
сжимается горизонтально на дробь ^ < 1 от его исходной длины; бо-
более того, он масштабируется по вертикальной оси на множитель \а\.
Для любых двух заданных функций / и д G L1 их свертка опре-
определяется как
/ * д(х) := J f(x - t)g(t) dt (х e R).
В любом случае объект / * д является элементом L1. Это означает,
что априорно речь идет только о классе эквивалентности функций.
В большинстве конкретных случаев, однако, / * д является впол-
вполне хорошей функцией с определенными значениями. Можно сказать
даже больше: функция / * д является, по меньшей мере, такой сте-
степени гладкости, как самая гладкая из двух функций / и д. Типич-
Типичным применением свертки является так называемая регуляризация
заданной функции / с помощью гладких горбообразных функций
д£ 6 С°°. Функции д£ имеют общую массу J g£ (t) dt = 1 и тожде-
тождественно равны нулю вне интервала [—е,е] (см. Рис. 2.4). Тогда вели-
величина / * д£ (х) может рассматриваться как взвешенное среднее зна-
значений / в е-окрестности х. Таким образом, С°°-функция f£ := f *g£
является «е-окрашенной» версией заданной функции /.

54 Глава 2. Фуръе-анализ
С помощью теоремы Фубини (о замене порядка интегрирования)
теперь мы легко можем вычислить преобразование Фурье / * д:
U
(x - t)g(t) <k)e-*' dx
= -±= J f(x-t)g(t)e-**d(x,t)
RR
RxR
|-c—
A
/ ■'%
/hi-:
w
Щ
к
*;*
\
о-, JMX-i
Рис. 2.4.
По правилу (Ш), получающийся внутренний интеграл принима-
принимает значение %/2тге~г^/ (£), в котором только множитель е~г^1 зави-
зависит от t. Поэтому мы можем дальше продолжить цепочку равенств
следующим образом:
Наше вычисление привело к доказательству так называемой те-
теоремы о свертке
B.10) (/*0)Л@
Словесное выражение этой теоремы таково: преобразование Фу-
Фурье свертки двух функций fug равно поточечному произведению
их преобразований Фурье.
Перейдем теперь к L2-теории. В L2 скалярное произведение опре-
определено как
(f,9):= I f(t)W)dt. B.7)

2.2. Преобразование Фурье на R
Для любых двух функций /, д Е L2 их скалярное произведение
есть вполне определенное комплексное число. Любая / е L2 имеет
конечную 2-норму, или просто норму для краткости
откуда легко доказывается неравенство Шварца
К/,0>1< 11/11 Ы1- B-8)
Хотя L2 является гильбертовым пространством, как и L2, но не
все результаты переносимы. Для общей функции / G L2, интеграл
Фурье B.6) не обязательно существует: так как е^ не является эле-
элементом L2, то этот интеграл не может рассматриваться как скаляр-
скалярное произведение -4= (/, е^). К счастью, подмножество X := L1 ПЬ2
плотно в L2, и это делает возможным распространить преобразова-
преобразование Фурье
определенное на X формулой B.6), единственным образом на все
L2. Это означает, конечно, что преобразование Фурье функции / G
L2\X становится достижимым только с помощью дополнительного
предельного перехода. Разбираясь в деталях можно прийти к следу-
следующему выводу: преобразование Фурье / функции / G L2, о которой
больше ничего неизвестно, снова является Ь2-объектом, т.е. клас-
классом эквивалентности функций, и, следовательно, не имеет вполне
определенных значений в индивидуальных точках £ G R. Но как
отображение
F:L2^ L2,
преобразование Фурье вполне определено и биективно (это чудо!).
На самом деле, верно большее: F является изометрией по отноше-
отношению к скалярному произведению B.7). Аналитически это выража-
выражается следующей теоремой, называемой формулой Парсеваля - План-
шереля:
B.11) Для произвольных f ,g G L2 имеем

Глава 2. Фурье-анализ
или в полной записи
В частности,
{O\2dt = J\f(t)\2dt.
или
Периодическая функция / может быть восстановлена по ее коэф-
коэффициентам Фурье си = f (к) суммированием ряда. В подобном же
духе существует процедура восстановления (называемая формулой
обращения) для преобразования Фурье. При этом преобразование
Фурье / временного сигнала / рассматривается как вход, и исход-
исходный сигнал / воспроизводится с помощью процесса суммирования.
В учебниках по Фурье-анализу можно найти различные подходы к
формуле обращения при все большем ослаблении предположений о /
и /. Изложим здесь следующий вариант:
B.12) Если f и f обе принадлежат L1, то
почти всюду, в частности, во всех точках t, где f непрерывна.
Эта формула может быть записана в «абстрактном» виде
который может быть проинтерпретирован следующим образом: ис-
исходный сигнал представляет собой линейную комбинацию чистых
колебаний всех возможных частот ( G 1, если быть более точ-
точным, любое индивидуальное колебание е^ присутствует в f с ком-
комплексной амплитудой f (£) (ср. наши замечания после определения
B.6) /).
В Теореме B.12) сделаны предположения не только об исходном
сигнале /, но также и о /. В связи с этим зададим следующий вопрос:
как свойства / (непрерывность, убывание на бесконечности и т. д.)
связаны с подобными свойствами /? В общих чертах об этом можно
сказать следующее: чем большей степенью гладкости обладает вре-
временной сигнал /, тем быстрее убывание / (£) при |£| —> оо. Отражая

2.2. Преобразование Фурье на
это свойство логически, получаем следующее дуальное утверждение:
чем быстрее исходный сигнал убывает при \t\ —> оо, тем более глад-
гладким или регулярным является его преобразование Фурье /. (Следуя
общему соглашению, мы используем слово регулярный, чтобы пере-
передать не совсем точное понятие гладкости.) Функция / принадлежа-
принадлежащая пространству Шварца 5, является «супергладкой», и вследствие
этого ее преобразование Фурье убывает «супербыстро». С другой
стороны, / и все ее производные убывают «супербыстро» и как след-
следствие получаем «супергладкость» /. В итоге оказывается, что F,
ограниченное на 5, отображает это пространство биективно само
на себя.
Желательно сформулировать описанный выше принцип более точ-
точно, т.е. более количественным образом. Гладкость (регулярность)
функции наиболее просто выражается через количество раз, кото-
которое она может быть непрерывно продифференцирована. Поэтому
в первую очередь мы должны исследовать взаимосвязь между пре-
преобразованием Фурье и дифференцированием.
Пусть / есть С1-функция и предположим, что /, как и /', инте-
интегрируема, т.е. принадлежат L1. Тогда в любом случае существует
lim f(t) = О (упражнение!), и интегрирование по частям интегра-
t—► rfcoo
ла Фурье B.6) дает
/ /'(«) е-*' dt = f(t) в'*' !,%_«, + г£ / f(t) e"*' Л,
J Т I J
откуда мы получаем следующее правило для вычисления преобразо-
преобразования Фурье производной:
(П4) 7'@ =*/(«•
Продолжая в таком же духе, получаем, по крайней мере фор-
формально, для произвольных г ^ 0 формулу
Предположим, например, что наш сигнал / непрерывно диффе-
дифференцируем г раз и что производные /(*) @ ^ к ^ г) принадлежат L1.
Тогда применима формула B.9), а Теорема B.9), примененная к
f(r\ гарантирует, что
lim КГ/@ = 0.
4—>±оо

Глава 2. Фурье-анализ
Это читается следующим образом: при описанных обстоятельствах пре-
преобразование Фурье f убывает на бесконечности (т. е. при \(\ —> оо)
быстрее у чем 1/ |£|г.
Применяя B.11) вместо B.9), мы приходим к аналогичному
результату: если при соответствующих предположениях относи-
относительно производных /(*) @ ^ к ^ г), интеграл f\f^(t)\ dt коне-
2
чен, то интеграл f |£|2г / (£) d£ также конечен, что означает,
что функция f должна убывать соответствующим образом на
бесконечности.
В противоположность рассмотрению в последнем параграфе мы
начнем снова, но на этот раз с временных сигналов /, которые бы-
быстро убывают на бесконечности. Рассмотрим / G L1, убывающий
при \t\ —> оо по крайней мере настолько быстро, чтобы гаранти-
гарантировать сходимость интеграла f \t\ • \f(t)\ dt. Будем обозначать, для
краткости, функцию t ь-> tf(t) через tf и предположим, что tf G Ll.
Вычислим теперь производную /. Для этого запишем
h
Здесь подынтегральное выражение
может быть оценено следующим образом:
По теореме Лебега (о переходе к пределу под знаком интеграла) мы
приходим к выводу, что производная
существует. Если рассматривать последнее уравнение справа нале-
налево, то получаем следующее правило для вычисления преобразования
Фурье tf:
(П5)

2.2. Преобразование Фурье на R
Вследствие B.9) функция f/J даже непрерывна. По индукции
легко доказывается, что следующее утверждение верно при любом
г^1:
B.13) Предположим, что f £ Ll убывает достаточно быстро при
\t\ —> оо, чтобы гарантировать конечность интеграла f \t\r \f(t)\ dt.
Тогда преобразование Фурье f no крайней мере г раз непрерывно
дифференцируемо. Более того,
(Я(г) (О = (-0Г(*7)А@- B-ю)
Экстремальный случай быстрого убывания имеет место тогда,
когда временной сигнал / е L1 имеет фактически компактный но-
носитель. Если supp (/) С [—6,6], мы можем записать
ь
j №e~Kt &. B.11)
ПО ==
-ь
Заметим, что мы заменили переменную частоты £jia С, так как
произошло важное событие: преобразование Фурье / стало целой
голоморфной функцией комплексного переменного £ = £ + щ. Огля-
Оглядываясь назад, мы замечаем, что для сходимости интеграла Фурье
B.6) в общем случае решающим обстоятельством является то, что-
чтобы множитель ё~%& оставался ограниченным при \t\ —> ±оо. Теперь
в интеграле B.11) на конечном интервале, множитель е~г^1 имеет
следующую оценку для комплексного £:
Это показывает, что интеграл B.11) сходится для произвольных
значений (еС,и так же, как в доказательстве (П5) из этого следу-
следует, что B.11) можно дифференцировать в смысле теории функций
комплексного переменного по отношению к переменной £. Более то-
того, для самого / существует оценка в виде
-ь
Таким образом, размер носителя / определяет скорость возра-
возрастания целой функции £ \—> / (С) в вертикальном направлении. Так

Глава 2. Фуръе-анализ
как преобразование Фурье / оказывается в этом случае целой голо-
голоморфной функцией, то, очевидно, что / не может иметь компакт-
компактного носителя, если таковым обладает /. Иными словами, сигнал с
ограниченной полосой частот (см. Параграф 2.4) не может иметь
компактного носителя.
Заключим этот параграф несколькими примерами.
Пример 2.1. Пусть а > О и рассмотрим функцию / := 1[-а,а]- Ее
преобразование Фурье вычисляется следующим образом:
Частота £ = О выделенная. С помощью отдельного вычисления или,
вычисляя предел lim / (£), получаем
2
—(
7Г
■\67ie
—а
Рис. 2.5.
На Рис. 2.5 приведены графики / и /. В литературе по теории
сигналов очень часто используется так называемая sine-функция,
которая определяется как
sine (a;) :=
1 (х = 0)

2.2. Преобразование Фурье на
и является целой голоморфной функцией х, когда х рассматривает-
рассматривается как комплексная переменная. Используя эту функцию мы можем
записать наш результат в следующем виде:
(![-«,.]) @ = у-«sine (o0. B-12)
В качестве упражнения по использованию наших правил мы вы-
вычислим преобразование Фурье веивлета Хаара (см. Параграф 1.6)
еще раз. Вейвлет Хаара, рассматриваемый как элемент простран-
пространства L1, может быть записан в следующем виде:
WHaar — [о,|] [1,1] — \ \~\,\\ \ \~\i\\
Теперь, используя правило (Ш), можно непосредственно получить
Фнааг ИЗ B.12):
sin tf/4) = г ii/2 sin2
2г £/4
что согласуется с полученным ранее результатом.
Функция
0@ :=![-«..](О-е**
моделирует некоторый процесс, который начинается точно в мо-
момент времени t := —а и резко обрывается в момент времени t := a.
В промежутке мы наблюдаем чистое колебание частоты (если быть
более точным, угловой скорости) ojq. Фурье преобразование отно-
относится к этому процессу как всеобщему, охватывающему всю вре-
временную ось. Правило (П2) дает в этом случае:
Как и следовало ожидать, функция # имеет более или менее вы-
выраженный максимум на частоте £ := ш0 (см. Рис. 2.6). Но вследствие
скачков непрерывности д в моменты времени t := ±a, абсолютное
значение \д\ убывает очень медленно при |£| —> оо; фактически, 7} не
принадлежит даже L1. □

Глава 2. Фурье-анализ
Рис. 2.6.
Пример 2.2. Преобразование Фурье функции
1
go(t) := Nlt0(t) :=
легче всего вычислить, используя методы теории функций комплекс-
комплексного переменного. Вследствие того, что до вещественная и четная, ее
преобразование Фурье <7о также будет вещественной и четной функ-
функцией. Поэтому достаточно рассматривать случай £ > 0. Исходя из
#о, будем рассматривать функцию f(z) := е"*2/2, голоморфную на
всей комплексной плоскости, и нарисуем прямоугольник Я, изобра-
изображенный на Рис. 2.7. Так как в конце мы перейдем к пределу а —> оо,
то мы можем предположить с самого начала, что а ^ £ > 0; заметим,
что £ здесь фиксировано.
Из интегральной теоремы Коши следует, что J f(z) dz = 0. По-
dR
этому получаем
f f(z) dz = J f{z) dz + J f(z) dz- J f(z) dz,
a0
7+
что кратко может быть записано как
Для 1\ мы используем параметрическое представление
Gi : t >-► z(t) :=t + i£ (-a < * < а)

2.2. Преобразование Фурье на R 63
и получаем
Bпд0 (О +оA)) (а-» оо).
Рис. 2.7.
Интеграл /q может быть записан в виде
а
Io= [ e"'2/2 dt = у/2^ + оA) (а -+ оо).
B.13)
7-'
R
-а
0
к 7+
B.14)
Здесь мы использовали хорошо известный интеграл теории веро-
вероятностей, который может быть вычислен без перехода в комплекс-
комплексную область..Для вычисления остающихся интегралов 1± используем
параметрическое представление
и получаем
7± : t ^ z(t) :=±a + it @
. Г ( a2±2iat-t2\ . .
1± = I exp I 1 idt.
Вследствие того, что а ^ ^, для последнего интеграла существует

64 Глава 2. Фурье-анализ
следующая оценка:
|/±1 < /exp (-(a~fJ(a + i)) dt < /exp (-| (a - t)) dt =
0 0
= ... = - (l - e"a2/2) = o(l) (a - oo).
Таким образом доказано /i = Jo + o(l) (a —> oo); следовательно,
из B.13) и B.14), переходя к пределу а —> оо, получаем
Как мы видим, функция N\ $ имеет своим преобразованием Фу-
Фурье тождественную копию исходной функции, но определенную на
оси £.
В заключение приведем пример вычисления преобразования Фу-
Фурье «волнового пакета»
g(t) := Nay0(t) cos (uot) = _ exp ( - —
(см. Рис. 2.8). Для этого мы используем наши правила. Во-первых,
ЛГ^о = ^Dago, так что по правилу (ПЗ) получаем
К этому выражению применяем правило (П2) и получаем
Как мы видим, преобразование Фурье «волнового пакета» имеет два
пика в двух точках ±cjo на частотной оси, и эти пики становятся
все более ярко выраженными по мере увеличения а, т. е. когда число
колебаний частоты cjo, наблюдаемых нами, становится все больше и
больше. □
Другие формулы преобразования Фурье различных функций со-
содержатся в обширных таблицах [13].

2.3. Принцип неопределенности Гейзенберга 65J
Рис. 2.8.
2.3. Принцип неопределенности Гейзенберга
Мы уже упоминали в нескольких местах, что временной сигнал / и
его преобразование Фурье / не могут быть одновременно локализо-
локализованы в небольшой области временной и, соответственно, частотной
оси.
- Правило масштабирования (ПЗ) означает, что график / рас-
растягивается в горизонтальном направлении (и дополнительно
становится более плоским, благодаря вертикальному масшта-
масштабированию), когда график / сжимается горизонтально.
- Преобразование Фурье чистого колебания, срезанного вне ±а,
имеет в качестве носителя все Мине является даже абсолютно
интегрируемым при |£| —> оо.
- Временной сигнал с компактным носителем не может иметь
ограниченную полосу частот (см. Параграф 2.4).
- Подобного рода наблюдения могут быть продолжены, но это
мы предоставляем читателю.
Описанное здесь достаточно интуитивно явление получило свое
численное выражение в виде известного принципа неопределенности
Гейзенберга, который представляет собой теорему Фурье-анализа,
играющую важную роль в квантовой механике. В квантовой меха-
механике движение частицы описывается «абстрактно» с помощью не-
3 - 10643

Глава 2. Фурье-анализ
которой функции ф Е 5 (никак не связанной с вейвлетами) следую-
следующим образом: функция fx(x) •= \Ф(Х)\ интерпретируется как плот-
плотность вероятности координаты X этой частицы, рассматриваемой
как случайная величина, а /р (£) := |V>(£)|2 является соответствую-
соответствующей плотностью ее момента Р. Принцип неопределенности утвер-
утверждает в виде точного неравенства, что эти две плотности не могут
одновременно обладать единственным выделенным пиком.
Здесь мы молчаливо предполагаем, что ф Е L2, и в соответствии
с вероятностной интерпретацией,
\Щ\2 = Jfx(x)dx=l.
Jx2fx(x)dx = Jx2\i>(x)\2dx =: \\хф\\2
Величина
является математическим ожиданием случайной величины X2 и, сле-
следовательно, мерой горизонтальной протяженности функции ф. Ана-
Аналогично, интеграл
/p (о <%=j
e
можно рассматривать как меру протяженности ф по оси частот.
При помощи этих величин принцип неопределенности Гейзенберга
может быть сформулирован следующим образом:
B.14) Пусть ф — произвольная функция из L2. Тогда
\\*Ф\\-Щ\>\\М2, B-15)
где левая часть может принимать значение оо. Равенство выпол-
выполняется только на функциях, совпадающих ежи е~сх ,с > 0 с точ-
точностью до постоянного множителя.
Доказательство. Если \\хф\\ = оо или ||£^>|| = оо, то доказывать
нечего. В этом случае по крайней мере одна из двух функций ф и ф опре-
определенно является «очень протяженной». Поэтому можно предположить,
что левая часть B.15) конечна, и доказать сначала это неравенство
для функций ф G S. При таких дополнительных предположениях во-
вопросы сходимости не возникают; в частности, lim х \ф (х)\2 = 0.
X—»±ОО

2.3. Принцип неопределенности Гейзенберга
Преобразование Фурье ф может быть устранено из B.15) с по-
помощью правила (П4) и формулы Парсеваля B.11). Получаем
№\\ = Ш = \\Ф%
откуда следует, что неравенство B.15) эквивалентно следующему:
Ы\\ ■ W\\ > \ша- B-16)
Теперь по неравенству Шварца B.8) получаем
\\хф\\ • \\ф'\\ > \{хгр,ф')\ ^ |Яе(а^'>1- B-17)
Здесь правая часть может быть вычислена следующим образом:
2Ке(хф,ф') = (хф,ф') + (ф',хф) =
= х\ф(х)\
-оо
— оо
Если подставить это выражение в правую часть B.17), то получим
неравенство B.16).
Для того, чтобы закончить доказательство, нам надо избавиться
от предположения, что ф G 5. Так как S плотно в L2, то простое
рассуждение об аппроксимации (которое мы оставляем в качестве
упражнения) приводит к желаемому результату.
В B.15) получаем равенство, если и только если оба отношения
^ в B.17) на самом деле являются равенствами, а для того, чтобы
это было верно, необходимо, в первую очередь, чтобы два вектора
хф и ф1 G L2 были бы линейно зависимыми. Поэтому должно суще-
существовать такое /л + iv e С, что
ф'(х) = (а* + ги)хф(х) (х е Ш). B.18)
Решения этого дифференциального уравнения имеют вид
ф(х) := Се(м+-)*2/2? с е с?
причем ф является элементом L2, если и только если /х =: —с отри-
отрицательно. Для того, чтобы второе ^ в B.17) было бы равенством,
(хф,фг) должно быть действительным. Учитывая B.18), мы прихо-
приходим к следующему условию
(хф,ф') = (хф, (/х + ги)хф) = (/х - м)\\хф\\2 G R,
так что v должно быть равно нулю. □

Глава 2. Фурье-анализ
В соответствии с этой теоремой две функции ф, ф не могут быть
четко локализованы при х := О, £ := 0: по крайней мере одно из
чисел ||хг/>||2 и ||£г/>||2 будет ^ ||г/>||2/2. Конечно, то же самое верно
для произвольной пары (хо,£о) вмест0 @,0):
B.15) Для любой ф Е L2 и произвольных xq Е Ш, £о € R справедливо
неравенство
Здесь через \\(х — аго)^|| и ||(£ — £о)^|| обозначены выражения
ч 1/2 , f ^ v 1/2
(х-хоJ\ф(х)\2ёх) и ( ]
а
соответственно.
Доказательство. Введем вспомогательную функцию
и вычислим
\\9\\2=
\\tg\\2 = Jt2m + хо)\2 = fi*- хоJ\ф(х)\2Aх.
Записывал д в виде
0(*)=е-*°*Л(*), Л@-Л*+ я?о),
и используя правила (П2) и (Ш), мы получаем
д(т) = Л(т + Со) = е«°С-+<°> /(г
Это означает, что
IMI2 = /т2|/(г + &)|2dr = / « "
Если теперь мы применим B.14) к функции д и подставим зна-
значения, полученные для \\g\\, \\tg\\ и ||т</||, то мы получим требуемую
формулу. ■

2.4- Теорема отсчетов Котельникова-Шеннона
2.4. Теорема отсчетов
Котельникова-Шеннона1
Теорема отсчетов Котельникова-Шеннона дает удивительный от-
ответ на следующий вопрос: возможно ли восстановление временного
сигнала / по его дискретным значениям (f(kT)\k Е Z) полностью,
т. е. для всех значений непрерывной переменной tl Без дополнитель-
дополнительных предположений относительно / ответ на этот вопрос, конечно,
отрицательный, так как в открытых интервалах между точками от-
отсчетов кТ график функции / может быть заполнен более или менее
произвольно.
Теорема отсчетов имеет интересную историю; см. [9] в качестве
исторического обзора. Известно, что представление в виде ряда, да-
даваемое теоремой Шеннона, было известно задолго до Шеннона под
названием кардинального ряда.
Функция f e L1 называется функцией с П-ограниченным спек-
спектром, если ее преобразование Фурье / тождественно равно нулю
при |£| > П:
Теорема Котельникова-Шеннона утверждает, что функция с П-
ограниченным спектром может быть восстановлена полностью по
ее значениям
(/(*T|fc€Z)), Г:=£, B.19)
полученным в дискретные моменты времени кТ. Под «полностью»
мы понимаем то, что во всех точках i G К мы можем получить
точное исходное значение /(£). Самое удивительное, что, рассуждая
здраво, в этом нет ничего удивительного: временной сигнал с огра-
ограниченным спектром / автоматически является целой голоморфной
функцией комплексного переменного t (ср. соответствующее утвер-
утверждение о преобразовании Фурье временного сигнала, имеющего ком-
компактный носитель), и хорошо известно, что такая функция опре-
определяется на всем С по ее значениям на сравнительно «умеренном»
множестве. Так что единственность следует из общих принципов,
но теорема Котельникова-Шеннона дает еще и формулу для /.
В B.19) оговорено некоторое жесткое соотношение между шири-
шириной полосы П и интервалом дискретизации Т. Об этом еще многое
1В отечественной литературе эта теорема известна как теорема Котельникова.
(Прим. переводчика.)

Глава 2. Фурье-анализ
можно сказать, и мы вернемся к этому вопросу ниже. А сейчас до-
достаточно следующего: все гармонические составляющие е^, действи-
действительно входящие в состав /, имеют период длиной ^ 2тг/П. Таким
образом, требование Т := тг/П гарантирует, что любое чистое коле-
колебание, возможно присутствующее в /, будет подвергнуто по мень-
меньшей мере двум отсчетам на период колебания. Приведем формули-
формулировку теоремы отсчетов (Рис. 2.9):
<TKL'
Рис. 2.9.
B.16) Пусть непрерывная функция / : К —> С есть функция с
п-ограниченным спектром и предположим, что f удовлетворяет
оценке вида
(t -♦ ±оо)
Пусть Т := тг/п. Тогда
f(t) = 22 f(kT)sinc ("(* -kT)) (* e r).
fc=-oo
B.20)
B.21)
В литературе формальный ряд, записанный в B.21), называет-
называется кардинальным рядом. Так как sine-функция ограничена на М, то
предположение B.20) гарантирует, что кардинальный ряд равно-
равномерно сходится на Ш и таким образом представляет функцию /,
непрерывную на всей временной оси. Соотношения sine (ктт) = ёОк
означают, что функция / автоматически интерполирует данные зна-
значения f(kT). Это означает, что кардинальный ряд может быть ис-
использован как непрерывный интерполянт для данных (f(kT)\k G Z).
даже в тех случаях, когда / не принадлежит к функциям с ограни-
ограниченным спектром.
Из всего того, что было сказано об / следует, что ничуть не
ограничивая общности, мы можем предположить с самого начала,

2.4- Теорема отсчетов Котельников а - Шеннона
что она непрерывная. Предположение B.20) может быть ослаблено.
Доказательство. Вследствие B.20) функция / принадлежит LlC\L2
и по B.9) обладает непрерывным преобразованием Фурье. Так как
/ тождественно равна нулю при |£| > П, то она также принадлежит
L1, и правая часть формулы обращения B.12) дает непрерывную
функцию t*-+f(t), которая совпадает с / почти всюду и фактически
f(t) = -L / №е^в£ = -±= [ /(Ое*Ч (t € К). B.22)
V 2тг J л у/2-к J
-п
Так как / непрерывна, то получаем /(—П) = /(П) = 0, и можно
сказать, что на ^-интервале [—П, п] функция / совпадает с некото-
некоторой периодической функцией F, имеющей период 2П:
НО = F(O (-п^^ U). B.23)
Эта функция F Е Ь2(Ш/Bп)) может быть разложена в ряд Фурье
в соответствии с формулами B.8):
ПО- Е <*е2*-«/<2П>, B.24)
k=-oo
и, как мы знаем, по теореме Карлесона B.4) записанный здесь ряд
сходится для почти всех £ к истинному значению функции F(£).
Коэффициенты с* вычисляются следующим образом:
2к*'BП) ^J К2**'™ . B.25)
Сравнивая это выражение с B.22), мы видим, что последний ин-
интеграл можно интерпретировать как значение функции /, поэтому
получаем
у2тг у2тг
Ck = ~2п^1) = ~2П~^ *'
и формула B.24) принимает вид
f(kT)e~ikn (для почти всех ^ € К). B.26)

72 Глава 2. Фурье-анализ
Учитывая B.23), мы поэтому можем заменить B.22) на
_^ к=-оо
Вследствие B.20) ряд, стоящий под знаком интеграла, сходится
равномерно, и мы можем интегрировать его почленно:
к=-оо
Последний интеграл вычисляется следующим образом:
/>-*D^ = fcos((t.
J J
sin(U(t - кТ)) = (гф кТ)
-п -п
2
t-kT
= 2Hsinc (П(* - кТ)) (t G R),
и таким образом мы доказали, что
Частота (точнее, угловая скорость) ft := тг/Т называется часто-
частотой Найквиста для выбранного интервала дискретизации Т. Вели-
Величина, обратная интервалу дискретизации Т, представляет собой
число отсчетов на единицу времени и называется скоростью дис-
дискретизации. Скорость дискретизации Т~1 := П/тг называется ско-
скоростью Найквиста для функций с П-ограниченным спектром.
Предположим теперь, что задана некоторая скорость дискрети-
дискретизации, например, Т := 40000 1/сек. Что можно сказать, когда дей-
действительная ширина спектра П' дискретизируемой функции / боль-
больше, чем частота Найквиста П := тг/Т? Для того, чтобы ответить
на этот вопрос, мы должны еще раз обратиться к доказательству
теоремы. В действительности предположение о том, что / тожде-
тождественно равна нулю вне интервала [—П, П] используется только в
B.22) и B.25) в местах, обозначенных А и В. Если это предположе-
предположение не выполняется, т.е., если истинная ширина полосы частот П'

2.4- Теорема отсчетов Котельникова ~Шеннона
функции / больше чем П = тг/Т, то тогда в местах А и В уже не
существует равенства, и кардинальный ряд уже не представляет /.
Какую же другую функцию представляет тогда кардинальный
ряд? Можно было бы предположить, что гармонические компонен-
компоненты е^ с частотами |£| > П просто отфильтровываются, так что
кардинальный ряд на самом деле представляет функцию
-ft
К сожалению, эта гипотеза неверна. В действительности, име-
имеет место новое явление. Оно называется наложением и доставляет
много неприятностей в различных областях техники (телефонной
связи, компьютерной томографии и т.п.), где обязательно происхо-
происходит дискретизация аналоговых сигналов.
Положение вещей становится более ясным, когда мы рассматри-
рассматриваем функцию /, которая только «немного» субдискретизирована.
Мы предполагаем, что
п < п' < зп
и что /(£) = 0 при |f | > П'. Тогда можно записать (ср. B.22))
ft7
-ft
Если мы сделаем подстановку
£ := £' ± 2П (-П < f; < П)
в двух внешних интегралах, стоящих справа, то егкТ^ = егкТ^ (так
как 2ПТ = 2тг), и мы получаем
ft
f(kT) = -^J (НО + № - 2П) + fa + 2u))eikTt <% B.27)
-ft.
Таким образом, мы приходим к рассмотрению непрерывной функ-

Глава 2. Фурье-анализ
ции д € L2, преобразование Фурье которой равно
9@ :=
№ >
B.28)
Вследствие B.27), функция д удовлетворяет соотношению
д(кТ) =
-±=
J
= f(kT) (к е
Мы понимаем, что д обладает тем же самым кардинальным рядом,
что и /, но д является, в отличие от /, действительно функцией с
П-ограниченным спектром. Это означает, что общий кардинальный
ряд для / и д представляет не /, ар, и мы приходим к следующему
общему выводу: если истинная ширина полосы П' функции / больше,
чем частота Найквиста П := тг/Т, то высокочастотные составляю-
составляющие функции / не «забываются» или просто отфильтровываются
кардинальным рядом, а появляются внутри полосы, претерпев вол-
волшебный сдвиг по частоте. Кардинальный ряд дает функцию д с П-
ограниченным спектром, преобразование Фурье которой р опреде-
определяется выражением B.28) и изображено на Рис. 2.10.
f*€
Рис. 2.10. Эффект наложения
В то время, как су б дискретизация приводит, как мы видели, к
нежелательному эффекту наложения, умелое применение гипердис-
гипердискретизации может быть использовано для увеличения скорости схо-
сходимости. Покажем, как это может быть осуществлено.
Пусть скорость дискретизации Т~1 задана и пусть п := -к/Т —
соответствующая частота Найквиста. Мы предполагаем, что рас-

2-4- Теорема отсчетов Котельникова-Шеннона
сматриваемые сигналы / являются функциями с Неограниченным
спектром, причем п' < п. Пусть вспомогательная функция q G L2
определена с помощью ее преобразования Фурье:
П).
Заметим, что q, кроме значений параметров П и (]', никак не
связана с /. На Рис. 2.11 представлены графики рассматриваемых
функций q и типичной /.
п
Рис. 2.11.
Сигнал / удовлетворяет условиям теоремы B.16), поэтому B.26)
верно, и мы имеем право записать
Далее, нам известно, что /(£) тождественно равно нулю при П' ^
|^| ^ П . В интервале |^| < U' мы имеем $(^) = 1. Это означает,

76 Глава 2. Фурье-анализ
что, начиная с B.22), мы можем проводить следующие вычисления:
п п
4
/ 4=
тг 7 v2tt
-Q -Q
= ^/( £
«=-oo _Q
Используя сокращение
ft
7i(P\pist> —• О(я) B 2Q)
-ft
мы видим, что кардинальный ряд B.21) приобретает новый вид
оо
/(«)= £ f(kT)Q(t-kT). B.30)
Для того, чтобы можно было судить о заявленном улучшении схо-
сходимости, нам необходимо иметь выражение «универсальной» (т.е.
независящей от /) функции Q в явном виде. Так как q есть четная
функция, то интеграл B.29) вычисляется следующим образом:
-Q
sin(Us)
~ 2us тг2 - (П -
Отсюда немедленно получаем
±) (N -00).

2.4- Теорема отсчетов Котельникова - Шеннона
Рассмотрим пример. Гипердискретизация временного сигнала /
в два раза означает, что П' = |П. Представим себе, что мы хотим
восстановить сигнал / во временном интервале [О, Т]. Для сравнения
B.30) и B.21) мы должны оценить порядок величины множителя
Q(t - kT) в B.30) при |&| -> оо. Она равна
2тг^4 1
При упрощении мы использовали соотношение ПТ = тг. Сравните
это с кардинальным рядом B.21): порядок величины соответствую-
соответствующего множителя sinc(n(£ — кТ)) при |Л:| —> оо значительно больше,
а именно
Из этого следует, что используя B.21), приходится учитывать в не-
несколько раз больше членов по сравнению с B.30) для того, чтобы
гарантировать такой же порядок точности.

ГЛАВА 3
НЕПРЕРЫВНОЕ
ВЕЙВЛЕТ-
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
3.1. Определения и примеры
Функция ф : Ш —♦ С, удовлетворяющая условиям
феь\ \\Ф\\ = 1 C.1)
2*/т?
2
da =: С^ < оо, C.2)
называется вейвлетом. Эти два условия представляют собой тот
минимум, который необходим для работоспособности теории, опи-
описываемой в данной главе. Все вейвлеты, встречаемые на практи-
практике, являются также L1 -функциями, большинство из них непрерывны
(это не относится к вейвлетам Хаара), многие дифференцируемы, а
вейвлеты, пользующиеся наибольшей популярностью (если не в при-
приложениях, то как математические объекты), обладают компактным
носителем.
Удовлетворяет или нет предлагаемая функция ф Е L2 условию
C.2), может быть установлено простым ее рассмотрением. Вот по-
почему приводимый ниже критерий является полезным, по крайней
мере для представляющих интерес вейвлетов; кроме того, он дает
еще и интуитивно понятную интерпретацию условия C.2):
C.1) Для функций ф 6 L2, удовлетворяющих условию Ьф G L1, т. е.
/ И \Ф @1 ^ < °°> условие C.2) эквивалентно следующему:
оо
tp(t)dt = O или ф@) = 0. C.3)

3.1. Определения и примеры
Согласно этому предложению вейвлет имеет среднее значение,
равное 0. Из этого мы можем заключить, что график Q (ф) вейвлета
ф, как большинство графиков «волн», частично находится выше и
частично ниже оси времени.
Доказательство. Функция ф описанного вида автоматически при-
принадлежит L1 и
В силу B.9) преобразование Фурье ф непрерывно. Тогда инте-
интеграл C.2) может сходиться лишь при условии ф @) = 0.
Обратно: условие гф е L1 означает ф е С1 вследствие B.13).
Пусть
Теперь, если ф@) = 0, то по теореме о среднем значении дифферен-
дифференциального исчисления
и мы получаем оценку
г
1|2
J
<оо.
Предположим теперь, что определенный вейвлет выбран и зафик-
зафиксирован. Тогда функция
называется вейвлет-преобразованием временного сигнала / Е L2 по
отношению к ф. Областью определения Wf служит (а, 6)-плоскость,
«разрезанная на две половины», т.е. множество
Ш2_ :=
Снова отметим, что в теории вейвлетов ось а масштабируется
вертикально, а ось Ь горизонтально (см., например, Рис. 3.7). Очень
часто область Wf ограничивается положительными значениями а.

Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
В этом случае необходимо незначительно изменить условие C.2)
(см. ниже).
Wf является функцией двух действительных переменных, поэто-
поэтому ее графическое представление осуществляется не так просто, как
/ или /. Мы отсылаем читателя к примеру 3.5, где изложен вариант
представления, легко реализуемый на компьютере.
Предположим, что вейвлет ф выбран раз и навсегда. Для произ-
произвольного о/О пусть
^a(t) := —^
функция, полученная из ф с помощью растяжения его графика го-
горизонтально от 0 с множителем |а|, отражением относительно вер-
вертикальной оси в случае а < О, и, наконец, соответствующего мас-
масштабирования в вертикальном направлении, что дает
Если после такого процесса растяжения функция фа сдвигает-
сдвигается по временной оси на величину b (вправо, если b > 0), получаем
функцию
Фа,ъA) '•= Фа{1 — Ь) = U2^ ( ) ' $-5)
появившуюся в интеграле C.4) (см. Рис. 3.1). Очевидно, что спра-
справедливо следующее
\\фаД = 1 V(a,b) eRi.
Используя фа,ь, мы можем записать определение C.4) вейвлет-
преобразования в виде скалярного произведения:
Wf(a,b) = (/,^в,б). (З.б)
Во-первых, это означает, что в каждой точке (a, b) G I* xl
вейвлет-преобразование Wf имеет вполне определенное значение
Wf(a, b) и, во-вторых, что в соответствии с неравенством Шварца
Wf равномерно ограничено на Ш2_:
Ь)\^ II/H V(a,6)elR2_. C.7)

3.1. Определения и примеры 81
Вычислим теперь преобразования Фурье функций фа,ь- В соот-
соответствии с правилом (ПЗ) получаем
откуда, используя правило (Ш), примененное к C.5), получаем:
C.8)
Фа,ь<
Рис. 3.1.
Учитывая B.11) (равенство Парсеваля) и C.6), можно записать
Wf(a,b) в следующем виде:
Wf(a, Ъ) = (/, фа,ь) = \а\1/2 J / (О e
C.9)
Последний интеграл можно рассматривать как интеграл Фурье; бо-
более точно, он дает преобразование Фурье L1 -функции
C.10)
записанное как функция переменной Ь. Итак, мы доказали следую-
следующее предложение:
C.2) Для фиксированного а ф 0 функция
может рассматриваться как преобразование Фурье функции Fa,
определенной формулой C.10).
Благодаря B.9) можно заключить, что, в частности, функция
Wf непрерывна на горизонтальных прямых а = const и стермится
на них к нулю при b —► ±оо.

Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
Пример 3.1. Функция ф := фнааг, очевидно, является вейвлетом в
смысле общего определения. Если а > О, то
Ф
и, следовательно,
fl
-1 (b+%^t<b'+a),
О (в других случаях)
Ь+а/2
a,b) = -j=l J f(t)dt- J f(t)dt =
\ 6 6+а/
fb+a/2
I/л.)*-I
Ь+а/2
Это показывает, что (за исключением нормализующего множи-
множителя) значение Wf(a, b) представляет собой разность между двумя
средними значениями /, причем эти средние берутся по двум сосед-
соседним интервалам длины | в окрестности 6, как показано на Рис. 3.2.
6+а
Рис. 3.2.
Эту же величину Wf(a, b) можно рассматривать с совершенно
другой точки зрения:
Ь+а/2
Wf(
a,b) = -j= J

3.1. Определения и примеры
Ь+а/2 I t+a/2
-а/2
Записанная в такой форме величина Wf(a,b) появляется как взве-
взвешенное среднее производной /' по интервалу [6, Ь + а]. На Рис. 3.3
изображен график весовой функции, относящейся к этой второй ин-
интерпретации Wf(a, b). П
Ь+а
+
-1 ° i
Рис. 3.3.
Пример 3.2. Рассмотрим функцию
ф (t) := 4=тг~1/4 A - t2) в"'2/2, C.11)
где числовой множитель (=: 7) выбран так, чтобы выполнялось ра-
равенство \\ф\\ = 1. График ф изображен на Рис. 3.4 и по форме напо-
напоминает «мексиканскую шляпу».
Легко проверяется, что ф (t) = -jg" (t), где g(t) := e~l*I2 обозна-
обозначает гауссову кривую. В Примере 2.2 мы вычислили преобразование
Фурье этой функции и обнаружили, что оно равно д. Заключаем, ис-
используя правило (П4), что
В частности, получаем ф @) = 0, и из Предложения C.1) следует,
что эта функция ф действительно является веивлетом. По очевид-
очевидным причинам этот вейвлет называется «мексиканской шляпой». D

Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
Рис. 3.4. Мексиканская шляпа
Рис. 3.5. Модулированная гауссова кривая
Пример 3.3. На Рис. 3.5 изображен график модулированной гаус-
гауссовой кривой. Эта кривая получается следующим образом: в первую
очередь выбирается и фиксируется основная частота и > 0. С точки
зрения практических нужд выбор и := 5 оказывается предпочти-
предпочтительным (см. [D]). Совершенно очевидно, что «волновой пакет»
является вполне подходящим кандидатом в качестве «ключевой кри-
кривой». Но, к сожалению, условие х@) = 0 не выполняется. По этой
причине мы несколько модифицируем \ к ВИДУ
и теперь следует выбрать подходящую величину А. Правило (П2)
дает
и, следовательно, ф @) = е~и I2 — А. Это означает, что, выбрав

3.1. Определения и примеры
А := е~и /2, мы удовлетворяем условию C.3). Таким образом, комп-
лекснозначная функция
в принципе приемлема в качестве вейвлета. Функция ф, данная этой
формулой, не нормирована. Мы оставляем читателю в качестве уп-
упражнения довести до конца необходимые вычисления. □
Пример 3.4. Произвольная функция ф £ L2 П L1, имеющая норму
1, среднее 0 и обладающая компактным носителем, автоматически
является вейвлетом: пусть ф (t) = 0 при \t\ > Ь. Функция h(t) :=
:= \t\ l[_b,b](t) очевидно принадлежит L2, таким образом
и приведенное выше утверждение следует из C.1). □
Пример 3.5. Ниже приводится пример визуализации вейвлет-пре-
образования заданного временного сигнала / в виде функции двух
действительных переменных. В качестве анализирующего вейвлета
мы выбираем «мексиканскую шляпу» C.11). Предположим, что вре-
временной сигнал / представляет собой суперпозицию трех «записей»
Ш-{ 2-2|* + 2| (-3^-1),
| 0 (в противном случае),
1 - cos Bтг£) @ ^ * ^ 3),
О (в противном случае),
1A-совEтг«)) D$t$6),
/з(*) := \ п , ,
О (в противном случае),
(см. Рис. 3.6) с соответственно подобранными коэффициентами:
f{t) := 2,88З/1 (t) + l,205/2(t) +0,968/3(t). C-12)
Для того, чтобы компенсировать естественное убывание Wf(a, b)
при а —» 0 (см. Теорему C.15) ниже), мы изображаем график плот-

Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
ности функции
1
w(a,b) := -зд \Wf(a,b)\ @ < а ^ 0,4)
вместо Wf. Коэффициенты, появляющиеся в C.12), были выбраны с
таким расчетом, чтобы три компоненты iui, г^2, и>з принимали одно
и то же максимальное значение гитах = 10 в рассматриваемой (а, Ь)-
области. Рис. 3.7 содержит 480 х 768 пикселей, каждый из которых
представляет точку (а, Ь) в указанном прямоугольнике. Для каждо-
каждого пикселя вычислялось его контрольное число р := w(a,b)/wmSiX;
затем каждый пиксель раскрашивался в полутонах черно-белого с
вероятностью р, используя генератор случайных чисел. □
Рис. 3.6.
3.2. Формула Планшереля
В вейвлет-преобразовании в качестве входа используются функции
/ £ L2 (R), а на выходе получаются функции Wf : R2. —* С. Если
в такой ситуации нам необходимо установить формулу Планшереля
то, естественно, возникает необходимость определения скалярного
произведения для функций и : R2. —* С. Для определения скаляр-
скалярного произведения нам необходимо определение меры на множестве
R2_ := R* х R. Первое, что приходит на ум, это мера Лебега dadb,
но в данном случае она неприемлема по следующей причине: пере-
переменные а и b находятся не в равном положении, как, например, пе-
переменные х и у на евклидовой плоскости. Рассматривая интеграл
C.4), определяющий вейвлет-преобразование, мы замечаем, что точ-
точка (a, b) € Mi неявно используется для характеризации аффинного
преобразования
Sa b : R -> R, T^t:=ar + b

3.2. Формула Планшереля 87
временной оси. Из этого уже очевидно, что множитель растяжения
\а\ значительно более важен, чем переменная сдвига Ь.
-2
Рис. 3.7. Вейвлет-преобразование функции /, заданной формулой C.12); см.
Рис. 3.6.
Множество
Aff(R):={sa,6| (a,!))GR2_}
C.13)
таких аффинных преобразований образует топологическую группу
по отношению к о (т.е. композиции) и является носителем «есте-
«естественной» меры dfi, именуемой левоинвариантной мерой Хаара. Фор-
Формула C.13) определяет параметризацию группы Aff (R) множеством
R, так что мера dfi является естественной мерой, присущей плоско-
плоскости (a, b). Выражение для dfi = dfi(a, b) может быть записано в явном
виде
d^i = d/x(a, b) := —~ da db.
\a\
C.14)
Приведенное объяснение служит только эвристической мотива-
мотивацией выбора именно меры C.14) на множестве R2_, а не какой-либо
другой. Более подробные сведения о мере Хаара читатель может

88 Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
найти в [8] или [16], но общая теория меры Хаара в этой книге не
понадобится.
Решив этот вопрос, мы можем говорить о гильбертовом про-
пространстве
dadb"
Я := I? (К1,ф) = I? R* x R,
\а\2
скалярное произведение в котором определено следующим образом
/ \ Г / l\~7—T\dadb
(u,v)H:= / ti(a,fc)v(a,fc)—2-.
R{ и
Введя все необходимые понятия, теперь мы можем окончательно
сформулировать теорему Планшереля.
C.3) Пусть ф — произвольный вейвлет и пусть W обозначает со-
соответствующее вейвлет-преобразование. Тогда для всех f,g€L2
справедливо следующее равенство:
Доказательство. Мы работаем с функцией Fa, определенной в
C.10), и пусть функция Ga определяется аналогично по д. Используя
C.2) и B.11), мы получаем последовательно
(Wf,Wg)H =
= / f Fa(-b)Ga(-b)db^ =
a'Ga)^= C.15)
TiOgiO J\%
2 da
Внутренний интеграл в последней строке (=: Q) очевидным образом

3.2. Формула Планшереля
равен нулю при £ = 0, а для £ ф О подстановка
а:=| (e'€R-), da=^
(абсолютная величина якобиана!) дает для Q следующее значение
2
(а)
-da = —
Z7T
не зависящее от £. Поэтому мы можем продолжить цепочку уравне-
уравнений C.15)
(Wf,Wg)H = 2
По теореме Фубини получающееся выражение подтверждает все
проделанные нами ранее формальные манипуляции. ■
Прежде, чем проанализировать эту теорему и ее следствия, пред-
представим некоторые альтернативные версии C.3).
Во многих случаях учитывается только масштабирующий мно-
множитель |а|, т. е. вейвлет-преобразование Wf ограничено на верхнюю
полуплоскость
и на R> определена та же мера C.14), как и прежде. Пусть
dadb\
Я' := L2
= L2
>0
x R
• и2j
является соответствующим гильбертовым пространством. Если мы
настаиваем на том, что уже «половина вейвлет-преобразования»
W Г R> допускает формулу Планшереля, тогда наш вейвлет ф дол-
должен удовлетворять определенному условию симметрии, а именно
<о >о
Это условие автоматически выполняется, если ф является сим-
симметричным (т. е. четным) или вещественно-значным: если ф сим-
симметрично, то ф также симметрично и если ф вещественно-значная
функция, тогда ф (-£) =ф(£).

Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
C.4) Пусть ф — вейвлет, удовлетворяющий условию симметрии
C.16), и пусть W обозначает соответствующее вейвлет-преобра-
вейвлет-преобразование. Тогда для всех f,g€L2 справедливо следующее:
<Wf,Wg)Ht=C'i(f,g).
Доказательство. Теперь цепочка уравнений, аналогичных C.15),
читается следующим образом:
{Wf,Wg)H, =
>о
Внутренний интеграл в последней строчке (=: Qf) очевидным обра-
образом равен нулю при £ = 0. Если £ > 0, то подстановка
а := — (а' €
ч , da'
>o), da =—
приводит к
>o >o
Подобным же образом, в случае £ < 0, подстановка
da'
о! , , ™ v , da!
а := j (a' e R<o), da = —
дает
2 da'/ |g|
2da
ы
<0 <0
Теперь, поступая как и раньше, получаем:
,W д) Н1 = 2ж
Повторный взгляд на доказательство теоремы C.3) показывает,
что билинейность формулы Планшереля по отношению к перемен-
переменным / и д позволяет получить существенное обобщение этой те-

3.3. Формулы обращения
оремы: можно преобразовывать / и д с помощью двух различных
вейвлетов при сохранении формулы типа C.3). Этот факт, конеч-
конечно, увеличивает гибкость вейвлет-преобразования как для анализа,
так и для синтеза временных сигналов /.
C.5) Пусть ф и х — два вейвлета и предположим, что интеграл
к*
определен, т. е. конечен. Если \У<ф и Wx обозначают вейвлет-пре-
вейвлет-преобразования по отношению к ф и \, то для произвольных f,geL2
верно следующее:
(Wtf,Wxg)H=Ctx(f,g).
Доказательство. Доказательство повторяет рассуждения в C.3)
с функцией Fa, определенной формулой C.10), как и раньше. В то
же время Ga, как очевидно, должно быть заменено на
Детали мы оставляем читателю. ■
Полученные в этом параграфе формулы лучше всего могут быть
поняты в контексте топологических групп и их представлений. Ко-
Короткое, но очень доходчивое изложение этого можно найти в [L],
Раздел 1.6.
3.3. Формулы обращения
Непрерывное вейвлет-преобразование преобразует заданный времен-
временной сигнал, т. е. функцию / одного действительного переменного
в функцию Wf двух действительных переменных а и Ь. Выражаясь
фигурально, теперь вместо оо1 данных мы получаем оо2 данных, а
это означает, что / представлена в данных (Wf(a, b) (a,b) G MM
с очень высокой избыточностью. Не должно вызывать удивления,
что это обстоятельство существенно облегчает восстановление ис-
исходного сигнала / по Wf. Фактически для вейвлет-преобразования
существует не одна формула обращения, как в случае преобразова-
преобразования Фурье, а произвольное число таких формул. Как мы увидим в

92 Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
следующем параграфе, даже подходящего набора дискретных зна-
значений
достаточно для полного восстановления /. Другими словами, для
вейвлет-преобразования существует теорема типа Котельникова-
Шеннона.
В чисто теоретико-множественных понятиях множество Mi име-
имеет «такое же число» точек, что и К. и, следовательно, существует
«эквивалентно много» функций вида и : IR'i —> С что и функций / :
Ш —> С. Тем не менее, не вызывает сомнения, что не каждое теоре-
теоретически возможное множество данных (и (а, Ь) (а, b) E М?_) может в
действительности существовать в качестве вейвлет-преобразования не-
некоторой функции / Е L2. Сказанное означает, что значения Wf(a, b)
истинных вейвлет-преобразований должны быть коррелированны
между собой пока еще загадочным образом. Мы вернемся к этому
вопросу в Параграфе 3.4.
Нам понадобится следующая лемма о регуляризации:
C.6) Пусть
обозначает нормальное распределение со среднеквадратическим от-
отклонением а и предположим, что функция f G L1 непрерывна в
некоторой данной точке х. Тогда
Дт+(/*<,„)(*) = /(*).
Доказательство. Пусть дано е > 0. Существует h > 0 (не завися-
зависящее от а) такое, что
\f(x-t)-f(x)\<e (|i|<ft).
Вследствие того, что / ga (t) dt = 1, мы можем записать
(/ * 9а) (X) - f{x) = J (f(x -t)- f{x)) 9ait) dt,
и получить следующую оценку:
К/* a,) (*)-/(*)!<

3.3. Формулы обращения 93^
< J \f(x-t)-f(x)\ga(t)dt+ J (\f(x-t)\ + \f(x)\)ga(t)dt
\tfeh
(x)\ J ga(t)dt.
-h
Здесь первый интеграл справа имеет значение < 1, a ga(h) так же,
как и последний интеграл стремится к 0 при а —> 0+ (см. Рис. 3.8).
Таким образом, можно подобрать сто такое, что для всех а < сто
верно следующее:
1(/*0<г)(*)-/(*)|<2е.
Так как е > 0 было произвольным, то доказательство завершено. ■
Отметим в качестве дополнения следующее равенство, справед-
справедливое для произвольной / G L2 :
V/ * 9сг) \Х) = \J-,J-x9<t) • (o.lo)
Левая часть C.18) по определению равна / / (t) ga(x — t)dt, но то
же самое верно и для правой части, так как да вещественно симме-
симметричная (т.е. четная) функция.
Рис. 3.8.
Формула Планшереля C.3) может быть записана в следующем
виде:
(f,9) = ^Г
C.19)

Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
Полагал д := Тхда, из этой формулы получим
\a\2
R2_ ' '
так что с использованием C.18) имеем
^ C.20)
Устремим теперь а —> 0+ с обеих сторон C.20) и воспользуемся
Леммой C.6). Это приводит к следующей формуле восстановления
для нашего временного сигнала /:
C.7) Пусть х — точка непрерывности временного сигнала /. При
соответствующих предположениях о f и ф верно следующее ра-
равенство
£ f ^ C.21)
= ■£- f
Доказательство. Осуществление предельного перехода под знаком
интеграла в C.20) довольно тонкое дело. За полным доказатель-
доказательством мы отсылаем читателя к [D]. ■
Формула C.21) может рассматриваться «абстрактно» как утвер-
утверждение
/ * /'^И7(а,Ь)^а,ьО- C.22)
W J
R2_
Записанная в такой форме, она представляет исходный сигнал /
в виде суперпозиции («линейной комбинации») вейвлетных функций
фа,ь, причем значения Wf(a, b) вейвлет-преобразования являются ко-
коэффициентами. Между прочим, справедливость C.22) в так называ-
называемом «слабом смысле» может рассматриваться как непосредственное
следствие формулы Планшереля C.3). Здесь мы сошлемся на следу-
следующий функционально-аналитический трюк: любой вектор / G L2
обладает вторым («слабым») представлением в виде непрерывного
сопряженно-линейного функционала, а именно
</,.):£2-С, g~{f,g);

3.3. Формулы обращения
и любой непрерывный сопряженно-линейный функционал ф : 1? —> С
принадлежит вполне определенной /. Если теперь мы рассмотрим
формулу Планшереля в виде C.19) при фиксированной / и перемен-
переменной д Е L2, то она утверждает не больше и не меньше чем, что
Это утверждение может быть выражено словами следующим обра-
образом: «слабая версия» / может быть извлечена из Wf наложением
функционалов (фа,ь,'), используя значения Wf(a,b) как коэффици-
коэффициенты. Формальное согласование с C.22) очевидно.
Из двух вариантов C.4) и C.5) формулы Планшереля в таком
же духе выводятся следующие формулы восстановления:
C.8) При соответствующих предположениях о регулярности, по-
получаем
если ф удовлетворяет условию симметрии C.16), и аналогично
№ = -J
если величина С^х (см. C.17)^ определена.
Последняя формула может быть прочитана следующим образом:
По этой формуле восстановление / производится с использованием
другого множества вейвлетных функций, отличных от тех, которые
использовались при анализе /. Мы столкнемся с такого рода пар-
парным анализом-синтезом в связи с дискретным вариантом вейвлет-
преобразования.

Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
3.4. Функция ядра
Формула C.22) может быть перефразирована следующим образом:
отображение
L /(-) C-23)
является тождественным отображением. Если при этом говорится
о разложении операторной единицы, то это понимается почти что
в химическом смысле: отображение id : L2 —> L2 в первую очередь
разлагается на его (а, 6)-составляющие и в итоге рекристаллизуется
в виде интеграла C.22) или C.23). Разложения операторных единиц
встречаются уже на самом элементарном уровне: если (ei,...,en)
ортонормированный базис евклидова пространства Шп, то формула
к=\
тождественно верна для xgM"; другими словами, отображение
п
к=\
является тождественным. Имеется, однако, существенное отличие
от C.22) или C.23): векторы е^ A ^ к ^ п) линейно независимы, а
функции гра^ь нет. В Параграфах 4.1 и 4.2 мы обсудим эти вопросы
еще раз и в более общей постановке.
В данный момент мы рассматриваем Н := L2 (М?_,с?/х). Из C.3)
мы получаем неравенство
показывающее, что вейвлет-преобразование W : L2 —> Н является
непрерывным отображением. Пусть
U:={WfeH\feL2} —
пространство значений. В рассматриваемом случае существует обрат-
обратное отображение
где обращение W~l задается (по крайней мере формально) в соот-

3.4- Функция ядра
ветствии с C.22) как
Пространство U, состоящее из всех вейвлет-преобразований Wf,
f G L2, является собственным подпространством Н. Мы знаем, на-
например, что функции и £ U имеют вполне определенное значение
во всех точках (a, b) G М2., и каждая отдельная и G U глобально
ограничена в соответствии с C.7):
:= 8Щ>{и(а,Ь)
6 Ш2.} < оо.
Однако, верно даже большее: функциональное пространство U
допускает так называемое воспроизводящее ядро, а это означает,
что значения любой данной и G U коррелированы на больших рас-
расстояниях, как и в случае голоморфных функций.
Мы напоминаем читателю, что голоморфные функции облада-
обладают воспроизводящим свойством, которое заключается в следующем:
пусть G С С область с границей 3G и предположим, что / голоморф-
голоморфна в открытом множестве ft D G U dG. Тогда
^- d( (zeG).
dG
Рассмотрим фиксированное и G U. Тогда существует / G L2,
такая, что и = Wf. С учетом C.3) мы можем записать
и(а,Ь) = (/,фа,ъ) = pj-
! С* C-24)
= — (u,W^a<b)H ((a,b) €K2_).
Если мы хотим представить правую часть C.24) в виде инте-
интеграла, мы должны выразить \Уфа,ь как функцию новых перемен-
переменных а', Ь'. Для этого мы рассматриваем веивлетную функцию фа,ь
как временной сигнал и из C.6) выводим следующее выражение для
\¥фа,ь(а',Ь'):
4 - 10643

98 Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
Подставляя его в C.24), мы окончательно получаем
и{а,Ъ) = 77" / ^{а^Ъ'Цфа^Фа'Л')-?1-*-.
W J \а'\
R2_
Функция
К(а,Ъ,а',Ъ'):=(фа',ь>,Фа,ь)
вполне определена во всех точках (а, 6, а', Ь') G М?_ х №?_ и называется
воспроизводящим ядром для функций и G U. Итак, мы доказали
следующую теорему:
C.9) (Сф, U и К такие, как определено в тексте.) Для произволь-
произвольной и G U и (а, 6) G Mi имеем
и(а,Ь) = -1- [К(а,Ь,а',Ь')и(а',Ь')^. C.
W J \а'\
25)
Пример 3.6. Вычислим ядро, соответствующее следующему вей-
влету:
at
(см. Рис. 3.9). Числовой множитель был выбран так, чтобы обес-
обеспечить равенство ||^|| = 1. С учетом правила (П4) и Примера 2.2
получаем
Рис. 3.9. Производная гауссовской кривой

3.4- Функция ядра 99
Если мы ограничимся положительными значениями а, то воспро-
воспроизводящая формула C.25) примет вид
а'Ь')ч(а'Ь')^
и(а,Ь) = ± [К(а,Ь,а',Ь')ч(а',Ь')^-,
где Сф определяется C.16) и вычисляется следующим образом:
^ 2
С
Г Ф@ С 2 Г
'ф=2тг —-— d£ = 4у^ / £е~£ d£ = 2у^ / e~udu = 2у/^.
>0 0 0
Так как мы будем получать K(a,b,a',b') с использованием фор-
формулы Парсеваля, то нам потребуется фа,ь- Правило C.8) дает
а также аналогичную формулу для фа',ь'- Теперь мы можем записать
К(а,Ь,а',ЪГ)= (фа>,ь>,Фа,ь) =
= _La3/2a/3/2 Г ei(b-bf)^2e-(a4a'2)e/2d^
л/тг J
Полученный интеграл можно рассматривать как интеграл Фурье,
фактически
К(а, 6, а/, 6;) = 2\/2а3/V3/2G (&' - Ъ), C.26)
где функция G(-) имеет вид
Для сокращения письма обозначим у/а2 Л- а'2 =: А. Так как функ-
функция £ н-► е~£ I2 воспроизводится при преобразовании Фурье, то со-
согласно правилу (ПЗ) преобразование Фурье функции д(£) := е~^А^ I2
может быть записано в виде
д(Х) = ^е-(-М)'/»,
и с помощью B.13) мы получаем
6(х) = -(д)"(х) = ± (Л2 - х2) е-<*/А)а/2.

Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
Подставляя это выражение в C.26), мы окончательно получаем
Л3/2Л'3/2
К(а,Ъ,а',Ь') =
(А2 - х2
где х := Ь' — Ь и А := у а2 + а'2.
П
Пример 3.7. Мы оставляем читателю в качестве упражнения вы-
вычисление С!ф и воспроизводящее ядро для вейвлета Хаара. Так как в
этом случае скалярные произведения {фа\ьчФауь) могут быть немед-
немедленно определены по соответствующим графикам (см. Рис. ЗЛО), то
не возникает необходимости в использовании преобразования Фу-
Фурье. Другой отличительной стороной этого вычисления является то,
что необходимо рассматривать много различных случаев, так что в
итоге мы не получаем простого выражения для функции ядра К.П
fe+q, .fe'+a'
Рис. 3.10.
3.5. Убывание вейвлет-преобразования
В этом параграфе мы исследуем асимптотические свойства функции
(а, Ь) н-► Wf(a, b) при а —» 0. Значения Wf(a, 6), соответствующие
аргументам \а\ <^С 1, содержат информацию о высокочастотных и
(или) кратких по времени (переходных, как принято говорить в те-
теории сигналов) составляющих /. Как мы видели в случае преобразо-
преобразования Фурье, разрывы сигнала / приводят к медленному убыванию

3.5. Убывание вейвлет-преобразования
f (£) при £ —> ±оо. Как следствие, формула обращения (на прак-
практике подходящая дискретизация и (или) усечение этой формулы)
дает очень плохую сходимость даже в тех областях временной оси,
где функция / обладает хорошим поведением, например, бесконеч-
бесконечно дифференцируема. В случае вейвлет-преобразования это явление
замедления сходимости может быть локализовано: если временной
сигнал / гладкий в окрестности t = 6, то Wf(a, b) сходится очень
быстро к 0 при а —> 0; и только в областях, где временной сигнал /
имеет острые пики или скачки, мы встречаемся с медленным убы-
убыванием W/(a, b) при а —> 0.
Обстоятельства, о которых мы только что упомянули, имеют
очень важные практические последствия: при цифровой обработке
временного сигнала / вычисляются (соответственно, измеряются) и
хранятся только значения вейвлет-преобразования Wf(a, 6), т. е. ве-
величины сг?£ := WfBr,k2k). Теперь, если сигнал обладает хорошими
свойствами на очень больших участках временной оси, скажем, не-
несколько раз дифференцируем, то в этом случае коэффициенты сг^ в
своей подавляющей части становятся столь малыми, что они могут
быть приравнены к нулю. В этом направлении можно достигнуть
совершенно невероятной скорости сжатия данных: только те сг^,
абсолютная величина которых превосходит некоторый порог, вооб-
вообще учитываются, затем сохраняются и впоследствии используются
для восстановления /. Обширный объем проведенных вычислений с
очевидностью демонстрирует, что этих «существенных» сг^ впол-
вполне достаточно для восстановления исходного сигнала / с требуемой
точностью. Дальнейшая информация по этому вопросу содержится
в статье [19].
Мы начнем с двух относительно простых утверждений.
C.10) Предположим, что выбран вейвлет ф с гф Е L1. Пусть вре-
временной сигнал f Е L2 глобально ограничен и предположим, что f
непрерывен по Гельдеру в точке Ь, т. е. существует a G ]0,1] та-
такое, что в окрестности b справедлива оценка вида
\f(t)-f(b)\^C\t-b\a. C.27)
Тогда
b)^C'\a\a+K C.28)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай а > 0. Так как
функция / ограничена, то мы можем предполагать (увеличивая С в

102 Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
случае необходимости), что C.27) верно для всех t G Ш. Вследствие
того, что J ф (t) dt = О, мы получаем
Wf(a, b) = -^J (f{t) - f(b)) ф (t-^j dt
и, следовательно,
\Wf(a, b)\<^
dt.
Произведя подстановку t := b + ay (—oo < у < оо) в интеграле,
стоящем справа, получаем
С\а\а+? J \у\а\ф(у)\ dy.
Т.к. а ^ 1, то \у\а ^ 1 4- \у\, следовательно, по предположению о
ф последний интеграл имеет конечное значение, и C.28) доказано.И
Непрерывная по Липшицу функция / G L2 по необходимости
ограничена и всюду непрерывна по Гельдеру с показателем а = 1.
Таким образом, мы имеем следующее следствие:
C.11) Предположим, что выбран вейвлет ф с гф G L1. Если вре-
временной сигнал f G L2 глобально непрерывен по Липшицу, то суще-
существует константа С, не зависящая от Ь, такая, что
\Wf(a,b)\^C\a\3/2.
Существуют различные варианты утверждений, обратных к дан-
данным (см., например, [D]). В качестве такого примера, приведем фор-
формулировку следующей теоремы; за доказатачьством читатель отсы-
отсылается к [D].
C.12) Предположим, что выбран вейвлет ф с компактным носи-
носителем. Если f G L2 является непрерывным временным сигналом,
вейвлет-преобразование которого удовлетворяет оценке вида
\Wf(a,b)\^C\a\a+1* ((o,6)€R2_)
для некоторого a G ]0,1], то f глобально непрерывен по Гельдеру
с показателем а.
Приводимые ниже теоремы более тонкого свойства. Основной
урок, который мы из них извлекаем, заключается в том, что для то-

3.5. Убывание вейвлет-преобразования
го, чтобы оптимизировать асимптотические свойства нашего вей-
вейвлет-преобразования Wf, мы должны накладывать дополнительные
условия на выбираемый вейвлет ф. При этом не затрагивается ре-
регулярность ф, но оказывается что необходимо расширить основное
требование J ф (t) dt = О на более высокие моменты.
Отмеченное выше направление конструирования вейвлетов осно-
основывается на следующих определениях: для произвольного к е N ве-
величина
оо (в противном случае).
называется к-моментом ф Е L1. Вейвлет ф является вейвлетом по-
порядка N, если для него выполняются следующие условия:
гмф е L1; Mk (ф) = О @ < к < N - 1), MN (ф) =: 7 ^ 0.
Если специально ничего не оговаривается, то порядок вейвлета
равен 1 по определению. Симметричные вейвлеты имеют порядок
^ 2, если мы предполагаем существование соответствующих момен-
моментов. Из B.13) следует, что преобразование Фурье ф вейвлета поряд-
порядка N непрерывно дифференцируемо N раз, а условия на моменты
принимают вид
Из этого следует, что разложение Тейлора ф в окрестности 0
имеет вид
ф(£) = j'£N -f высшие члены, У Ф 0- C.29)
C.13) Предположим, что выбранный вейвлет имеет порядок N и
обладает компактным носителем. Если временной сигнал f G L2
принадлежит классу CN в окрестности U точки Ъ, то
Wf(a, Ъ) = |a|N+* G7W (b) + оA)) (а -> 0), C.30)
где i := sgnN(a)j/№ .
Доказательство. Пусть ф (t) = 0 при |£| > Т. Достаточно рассмо-
рассмотреть случай а > 0 и с самого начала можно предположить, что а
настолько мало, что весь интервал [Ь — аТ, Ь + аТ) содержится в U.
Функция / имеет разложение Тейлора с центром в точке Ь: для
данного t G U существует г между Ь и t такое, что

104 Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
/О О1\
; [)J [)(t b)N
где ведущий член в правой части может быть развернут в виде
N
k=0
Это означает, что для вычисления
Wf(a, b) := a~1/2 f f(t) ф {{t - b) /a) dt
нам потребуются, среди прочего, следующие интегралы:
г
В итоге мы получаем
и теперь нам надо оценить величину ошибки R, получающейся из-
за остаточного члена в C.31). С использованием подстановки t :=
:= Ь + at' (—Т ^ tf ^ Т) член R может быть записан в следующем
виде:
(r) - /GV) F)) *"W) di'.
-т
Последний интеграл предполагает, что мы должны ввести вспо-
вспомогательную функцию
w(ft):= sup \fiN)(r) - fW (Ь)\

3.5. Убывание вейвлет-преобразования
по предположению о / получаем
lim и (h) = 0. C.32)
h—►0+
Так как (переменная) точка т, как известно, лежит между Ь и t =
= Ь + at', то теперь мы можем оценить R следующим образом:
т
w(a\t'\)\t'\N№(t')\dt'^
-т
т
<^f-u;(aT)J\t'\N\rP(t')\dt'.
-т
По предположению о ф последний интеграл конечен, и вследствие
C.32) мы получаем требуемый результат
Д = а"+*оA) (а->0). ■
В соответствии с этой теоремой скорость убывания вейвлет-пре-
образования при а —> 0 определяется порядком N выбранного вей-
вейвлета, по крайней мере в тех областях осей Ь и соответственно £,
где / достаточно гладкая. Можно сказать даже больше: множитель
пропорциональности в асимптотической формуле C.30) фактически
является точным значением f^N\b) N-oik производной / в точке 6,
что означает, что «расширение»
а н- Wf(a, Ъ) (а -> 0)
может быть использовано как измерительное устройство этой вели-
величины. В любом случае, по причинам, указанным в начале параграфа,
желательно выбирать вейвлет (при данных обстоятельствах) с воз-
возможно большим порядком N.
В случаях, когда гладкость / меньше, чем обеспечивается поряд-
порядком выбранного вейвлета, следующее обобщение C.11) дает общую
оценку убывания:
C.14) Предположим, что выбран вейвлет ф порядка N. Если вре-
временной сигнал f G L2 принадлежит классу Сг, г < N, и если f^
непрерывна по Липшицу, то существует постоянная С, не завися-
зависящая от Ь, такая, что
\Wf(a,b)\^C\a\r+* .

106 Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование
Доказательство. Мы снова можем предположить, что а > 0. Вы-
Вычисляя разложение Тейлора / в произвольной точке Ь Е М, получаем
(ср. с C.31))
где точка г находится между Ь и t. Так как г < N, то только оста-
остаточный член дает вклад в Wf(a, 6); так что мы получаем
Так как точка г лежит между Ь и £ = 6 + at', то по предположению
о функции / мы уверены в том, что
f{r)(r)-f{r)(b)\^Clipa\t'\
для подходящей Сцр. Поэтому мы можем оценить Wf(a, b) следую-
следующим образом:
\Wf{a, Ь)| < ^^-1 \t'\r+1 IV @1 dt'.
Здесь последний интеграл конечен по предположению о ф. Ш
Мы завершаем этот параграф исследованием того, как «скачки»
временного сигнала / влияют на убывание вейвлет-преобразования
Wf. В нашей терминологии г-скачок, г ^ 0 временного сигнала /
является изолированным разрывом r-ой производной / в некоторой
точке b еЖ:
/М {Ь+) _ /W F_) _ д.
Кроме этого предполагается, что все производные /^ порядка ^ г
непрерывны в окрестности точки Ь. Относительно таких скачков
мы докажем следующее:
C.15) Предположим, что выбранный вейвлет ф имеет порядок N
и обладает компактным носителем. Если временной сигнал f G L2
имеет r-скачок, г < N, в точке Ь, то
где константа С не зависит от f'.

3.5. Убывание вейвлет-преобразованил
Левая часть Рис. 3.7 является иллюстрацией к этой теореме для
случая г = 1, N = 2.
Доказательство. Так же, как и при доказательстве C.13) мы
предполагаем, что ф (t) = 0 для \t\ > Т. Без ограничения общно-
общности можно положить 6 = 0; более того, достаточно рассматривать
предел а —> 0+. Вместо C.31) мы теперь имеем
для некоторого г между 0 и t и аналогично для £ < 0. Полагая
/(г) @+) + fir) @_) _
2 ~:Л'
мы получаем следующее представление /, справедливое для всех t ф 0:
Л A f(r) (r) - f(r) @±)
/@ = й-1/^) + ^ + Ijsgnt ■ f + L-ZL-LJVEltr.
Здесь знак «=Ь> следует интерпретировать как «-h» при t > 0 и как
«—» при t < 0. Вследствие того, что N > г эта формула означает
W/(a,0) = ^тг / (ysgnt + (/«г» (г) - /М @±))) <rV ^) dt
"> (г) - /(
-т
C.33)
Полагая
т
2г!
-т
мы получаем
■* -hi?.
Осталось оценить член ошибки R. Для этого мы используем вспо-
вспомогательную функцию
u>(h):= sup |/(r)(r)-/(r)(()±)|,
определенную при h > 0, где снова знак «±» интерпретируется как

108 Глава 3. Непрерывное вейвлетп-преобразование
«+» при г > 0 и как «—» при т < 0. По предположению о / имеем
lim и (h) = 0. C.34)
Переменная точка т в интеграле C.33) лежит между 0 и t = at'.
Это означает, что остаток R имеет оценку следующего вида:
т т
~uj(aT) J \t\r \^
-T -T
Так как интеграл в правой части этого уравнения конечен, мы с
помощью C.34) приходим к выводу, что справедлива формула

ГЛАВА 4
ФРЕЙМЫ
Общее понятие «фрейма» позволит нам представить непрерывное
вейвлет-преобразование и его дискретную версию (которая будет
представлена позже) с единой функционально-аналитической точки
зрения. Следующие два параграфа, 4.1 и 4.2, в основном заимство-
заимствованы из [К], где такой унифицированный подход к описанию этих
двух теорий изложен особенно ясно.
Опишем общую идею в несколько строк: фреймом называется
набор векторов а. := I а? £ Е / J гильбертова пространства X, кото-
который достаточно обширен, для того, чтобы гарантировать, что не
существует ни одного вектора х Е X, кроме нуля, который был бы
ортогонален всем at. В инфинитезимальном случае это гарантиро-
гарантировать не так просто. Векторы а,£ не должны быть линейно незави-
независимыми, не говоря уже об ортонормированности. Вследствие этого,
можно сказать, что фреймы в общем являются «избыточными» на-
наборами векторов.
4.1. Геометрические соображения
Для того, чтобы ознакомиться с предлагаемой концепцией фреймов
рассмотрим следующую ситуацию:
Пусть X конечномерное комплексное гильбертово пространство:
dim X =: п < оо, и предположим, что заданы г векторов а\,..., ar G X.
Число г этих векторов больше, чем размерность п пространства X.
С помощью векторов aj построим отображение
Т : X -> Сг, х .-> Тх; (Tx)j := (ж, а,-) A < j < г).
Обозначая канонический базис Сг =: Y через (ei,...,ег), мы можем
записать отображение Т в следующем виде:
г
Га: = 53 (ж, а,-} е,-. D.1)

110 Глава 4- Фреймы
Так как X имеет размерность п, то пространство образов
U :=im (Г):=
х G
может иметь размерность не больше п, и поэтому £/ является соб-
собственным подпространством r-мерного пространства Y в случае
г > п (см. Рис. 4.1).
Рис. 4.1.
Теперь мы хотим получить ответы на следующие вопросы: Од-
Однозначно ли определяется вектор х G X его образом у := Тх G У?
Или, иначе: является ли Т инъективным отображением? Или, выра-
выразим это третьим способом: кегТ = О? И, если ответ утвердительный,
то можно ли восстановить вектор х по его образу у?
Если Т инъективно (из чего, в принципе, следует его обрати-
обратимость), то данный набор а. := (а\, ..., аг) векторов a,j G X называ-
называется фреймом для (конечномерного) гильбертова пространства X,
а отображение Т называется фреймовым оператором, соответству-
соответствующим данному набору а..
Если мы определим на пространстве Y каноническое скалярное
произведение
D.2)
k=i
то пространство Y тоже станет гильбертовым. Такое положение ве-
вещей может быть описано и в более сложном виде, а именно, как
Y = L2({l,...,r},#). To есть предполагается, что векторы у eY
могут рассматриваться как комплекснозначные функции

4.1. Геометрические соображения
а значок # обозначает, как обычно, считающую меру, которая при-
присваивает каждой точке рассматриваемой области меру (массу) 1.
В этом случае отображение Т становится отображением между
гильбертовыми пространствами, и поэтому можно рассматривать
сопряженное отображение Т* : Y —► X. Оно характеризуется сле-
следующим равенством:
(х,Т*у)х = (Tx,y)Y Ух ЕХ,\/уе Y.
В частности, имеем
(x,T*ej) = (Tx,ej) = (j-ая координата Тх) = (x,uj) Vх 6 X,
что позволяет записать
T*ej = aj (I < j < г). D.3)
Если мы образуем композицию отображения Т с отображением
Г*, то мы получим оператор Грама (см. сноску1 ниже)
G := Г*Г : X -> X,
отображение из X в X. Применяя отображение Т* к обеим сторонам
D.1), мы получаем, вследствие D.3), следующую формулу для G:
г
Gx = J2(^aj)aJ- D.4)
i=i
Рассматривая ядра, мы можем утверждать следующее:
kerT = kerG. D.5)
Доказательство. Из условия Тх = 0, разумеется, следует, что
Gx = 0, а равенство
||Гх||2 = (Тх, Тх) = (Г*Гх, х) = (Gx, x) D.6)
доказывает обратное. ■
Формула D.5) позволяет сделать следующий вывод:
D.1) Отображение Т : X —► Y является инъективнъш, если и
только если соответствующий оператор Грама G := Т*Т : X —► X
невырожден.
1 Матрица Грама или грамиан набора векторов аь € X по определению явля-
является матрицей скалярных произведений (afc,^/)- Это не матрица G, а матрица
отображения ТТ* :У —► У.

Глава 4. Фреймы
Рассмотрим оператор Грама подробнее. Вследствие того, что для
произвольных ж, и б X имеем
(or, Gu) = (х, Т*Ти) = (Тх, Ти) = (Т*Тх, и) = (Gx, и), D.7)
мы приходим к заключению, что оператор G самосопряженный. Из
этого следует, что все его собственные значения Л^ вещественные,
и, больше того, если Л является собственным значением G, а х Ф О
соответствующим собственным вектором, то из D.6) следует
что, в свою очередь, означает А ^ 0. Мы упорядочиваем Ai по воз-
возрастанию следующим образом:
0 ^ А := Ai ^ А2 ^ ... ^ Ап =: В.
По той же причине существует ортонормированный базис (ё\, ..., ёп)
пространства X, который диагонализирует G. По отношению к это-
этому базису образ вектора х = (х\,..., хп) задается в следующем виде:
Gx = (Ai^i,..., \пхп). Вычисляя \\Tx\\ с использованием этих ко-
координат, получаем
||2
к=1
>А\
Эти неравенства будут играть существенную роль в дальнейшем
изложении. Сейчас же ограничимся следующим утверждением:
D.2) Набор а. = (ai, ..., аг) векторов является фреймом для (ко-
(конечномерного) гильбертова пространства X, если и только если
существуют константы В ^ А > 0 такие, что
А \\x\\2 < \\Tx\\2 < В \\xf VxeX.
Числа В ^ А > 0 являются константами фрейма а9. Если А = Б,
то фрейм а. называется жестким фреймом. В этом случае имеем
что означает, что Т отображает X в существенном изометрически
на U, а оператор Грама, соответствующий жесткому фрейму, имеет
вид

4-1. Геометрические соображения 113
где 1х обозначает тождественное отображение векторного простран-
пространства X.
Пример 4.1. Пусть X пространство С2, снабженное каноническим
скалярным произведением D.2). Для произвольно выбранного числа
г ^ 2 мы полагаем и := е2пг/г и определяем г единичных векторов
uj-.= ±=(ш*,п?) @<j^r-l).
С (первая координата)
Рис. 4.2.
На Рис.4.2 изображены первые координаты векторов aj. Теперь мы
исследуем соответствующий фреймовый оператор Г : X —► Сг. Для
общего вектора х = (х\,Х2) G X имеем
(Га:),. = (x,aj) = -= (ххпР + х2ш>)
и, следовательно,
r-l
'i=o
^
(где стрелкой вверх мы обозначили использование Х^j=o ^^ = ^) •
Получившееся равенство показывает, что набор а. = (ai, ..., ar-i)
является жестким фреймом с фреймовой константой А = г/2. Мож-
Можно рассматривать величину г/2 как меру избыточности фрейма а9.

I 14 Глава 4- Фреймы
Ясно, что для С2 подойдут два любых соответствующим образом
подобранных вектора. □
Пример 4.2. Пусть а. = (а\, ..., ап) ортонормированный базис
гильбертова пространства X. Если Т является соответствующим
фреймовым оператором, то
Из этого следует, что а. является жестким фреймом с фреймовой
константой А = 1. □
Пример 4.3. Для того, чтобы подкрепить геометрическую ин-
интуицию, мы рассмотрим в данном последнем примере следующую
вещественную ситуацию: пусть
slj = (aji, aj2, aj3) A ^ j ^ 3) D.8)
три линейно независимых вектора в евклидовом пространстве R3.
Записывая три вектора-строки D.8) один под другим, получаем не-
невырожденную матрицу C х 3) [М]. Фреймовый оператор Т отобра-
отображает общий вектор х £ R3 на вектор
Тх:=
\к=1 к=1 к=1
Вычисление
приводит к появлению квадратичной формы Q, матричные элемен-
элементы которой Qk,i определяются следующим образом:
з
Qk,i := ^

4-1. Геометрические соображения
В данном случае мы имеем не скалярные произведения а^, а
скалярные произведения вектор ое-столбцов [М]. Приведенная вы-
выше формула для Qk,i эквивалентна матричному уравнению [Q] =
— [М]'' [М], где штрих обозначает транспонирование. Из этого сле-
следует, что симметричная матрица [Q] также невырождена, и поэто-
поэтому квадратичная форма Q является положительно определенной.
Это означает, что Q принимает некоторое максимальное значение
В и положительное минимальное значение А на единичной сфере
S2 С М3, из чего мы незамедлительно заключаем, что эти три данных
вектора образуют фрейм с фреймовыми константами В ^ А > 0. □
Теперь мы обратимся ко второму вопросу: Как вектор х £ X
может быть восстановлен по его образу у := Тх?
Таким образом, мы предполагаем, что набор а. = (ai, ..., аг)
уже является фреймом и пусть G : X —► X соответствующий опера-
оператор Грама. Так как оператор G невырожден, то он имеет обратный
G~l : X —> X. Используя G, мы определяем отображение
5 := G~lT* : Y -> X.
Формула
ST = G~lT*T = G~lG = lx D.9)
показывает, что 5 является левым обратным к фреймовому опера-
оператору Т, и поэтому может быть использован для восстановления х по
у — Тх. Если фрейм а. жесткий, то
G~l = —lx и, следовательно, 5 = ~тТ*.
л. л.
Это значит, что в случае жесткого фрейма обратное преобразова-
преобразование 5 получается непосредственно, т.е. без вычисления обратной
матрицы. Составляя теперь другую композицию 5 и Т, получаем
отображение
Р := TS : Y -> У.
С геометрической точки зрения эта ситуация может быть описана
следующим образом:
D.3) Оператор Р := TS является оператором ортогонального
проектирования пространства Y на подпространство U := im (T).
Доказательство. Пусть Рц — ортогональный проектор Y на, U.
Любой вектор у £ Y единственным образом может быть предста-

116 Глава 4- Фреймы
влен в виде разложения
у = и + v, и = РиУ €U, v e U1-.
Для векторов и = Тх £ U формула D.9) приводит к равенству Ри ■
= TSTx = Tx = u. Для v eU1- получаем
(х, T*v) = (Тх,v) = 0 Ух еХ.
Отсюда следует, что T*v = 0, а это, в свою очередь, дает Pv ■
= T(G-1T*)v = 0.
В итоге мы получаем
Py = Pu + Pv = u = Puy У у € У,
что и требовалось доказать. I
Рис. 4.3.
Предложение D.3) может быть проинтерпретировано следую-
следующим образом (см. Рис. 4.3): 5-образом х := Su вектора и £ U явля-
является однозначно определенный вектор х £ X, Т-образом которого
служит данный и, а 5-образом х := Sy произвольного у £ Y явля-
является такой вектор х £ X, Т-образ которого наиболее близок к за-
заданному у. Таким образом, мы получили простое геометрическое
описание отображения 5.
Теперь перейдем к следующему шагу: используя G~l, определим
векторы
dj :=G-laj еХ A< j<r).
Набор а. := (ai, ..., dr) называется дуальным фреймом по отноше-
отношению к фрейму а9. Если данный фрейм а. жесткий, то dj совпадает с
uj с точностью до постоянного множителя ^. В приведенной ниже

4.1. Геометрические соображения 117
теореме мы суммируем сказанное о взаимосвязи между фреймом а.
и дуальным к нему а9.
D.4) Пусть а. — фрейм с фреймовыми константами В ^ А > О и
пусть а. — соответствующий дуальный фрейм. Тогда верно сле-
следующее:
(а) Два фрейма а. и а. совместно образуют разрешение единицы
для пространства X:
г
х = 2_2 (ж' аз) uj Vx G X.
(б) Образ Sy произвольного вектора у = (j/i, ..., yr) G Y записы-
записывается в виде
(в) Набор а. является фреймом с фреймовыми константами -^ >
(г) Фреймом, дуальным ка9, является а9; в частности, справедли-
справедлива следующая, зеркальная по отношению к (а), формула:
г
х = Y^ (ж, hj) uj Ухе X.
i=i
Доказательство, (а) Используя D.4), немедленно получаем
х = G-1 (Gx) = G~l \Т (*, aj) aJ ]
(б) Формула D.3) означает
(в) Пусть Т фреймовый оператор, соответствующий набору а9.
Так как G самосопряженный, то таковым является и G~l. Теперь
мы имеем
(fx) = {x,aj) = (x^-'aj) = (G^x^j) = (Т (G^x)).

I 18 Глава 4- Фреймы
для всех х и для всех j. Это доказывает, что
f = TG'\ D.10)
а D.6), в свою очередь, дает
fxf = \\Т (G-1x)f = (G (О*) ,G-1z) = {x,G~lx) .
Существует ортонормированный базис (ёь ... ,ёп) пространства
X, который диагонализирует как G, так и G~l. Используя этот ба-
базис, мы теперь получаем требуемые оценки:
(г) С помощью D.10) можно получить следующее выражение для
оператора Грама E, соответствующего набору а9:
G := f*f = G-lT*TG~l = G.
Это означает, что dj := G~lhj = Gdj = a,j для всех j, что и требо-
требовалось доказать. ■
Если г > п := dim(X), то dj линейно зависимы, и поэтому су-
существует бесконечно много представлений данного вектора х G X
в виде линейной комбинации dj. Среди них представление D.4) (а)
выделяется следующим образом:
г
D.5) Пусть а. и а. — дуальные фреймы, и пусть х = ^ £jdj —
i=i
произвольное представление вектора х G X в виде линейной ком-
комбинации dj. Тогда
причем знак равенства имеет место лишь когда £j = {x,a,j) для
1 < J < г.
Доказательство. Рассмотрим точку (£i, ..., £г) =: у Е Y. Соглас-
Согласно D.4) (б) имеем х — Sy, и из D.3) следует Тх = TSy = РиУ- Это
сразу дает
цгхц2 = над2 < IMI2.

4.2. Общее понятие фрейма
Здесь знак равенства возможен лишь в случае, если у = Риу = Тх.
Выражая эти геометрические факты в координатах, получаем утвер-
утверждения данной теоремы. ■
Содержание Теоремы D.5) может быть выражено словами в сле-
следующем виде: «естественное» представление D.4) (а) использует
наименьшее количество «энергии коэффициентов».
4.2. Общее понятие фрейма
Геометрический (и конечномерный) анализ, приведенный в преды-
предыдущем параграфе, подготовил нас к следующим общим положениям:
X является комплексным гильбертовым пространством, векторы
которого обозначаются буквами /, h и т. п. Можно полагать, что X
бесконечномерно.
М является «абстрактным» множеством точек га. На множестве
М определена мера /х, которая присваивает каждому измеримому
подмножеству Е С М его «массу» или «объем» fi(E) G [0, оо]. Из-
Измеримые подмножества образуют так называемую а-алгебру Т, и
предполагается, что всякое «разумное» подмножество Е С М при-
принадлежит Т. В соответствии с общими принципами считается, что
затем можно определить интегральное исчисление для функций на
М и имеет смысл, например, говорить о гильбертовом пространстве
Y := L2(M,/x). Пара (М,/х) представляет собой обобщение пары
({1, 2, ..., г}, #), которая играла такую важную роль в предыду-
предыдущем параграфе.
Больше того, если задано семейство h9 := (hm \m G M) векторов
hm G X, пространство М с мерой служит индексным множеством
этого семейства. Векторы hm (аналоги a,j из Параграфа 4.1) можно
рассматривать как «измерительные зонды», с помощью которых мы
хотим исследовать отдельные векторы / G X во всех подробностях.
В Параграфе 1.5 мы преднамеренно говорили о «эталонных объек-
объектах», хотя имелись в виду те же самые «измерительные зонды».
Фактически, для заданного / G X, в нашем распоряжении (чи-
(численно, экспериментально, концептуально или как-то иначе) оказы-
оказывается семейство всех скалярных произведений
Tf(m):=(f,hm) (meM).
Таким образом, мы получаем массив (Tf (т) | т G М), который
представляет собой не что иное, как функцию Tf : М —> С. Ин-

120 Глава 4- Фреймы
теграл, определенный на М, позволяет нам теперь количественно
описывать измерительный процесс: £2-интеграл
||r/||2:=||T/(m)|2d/i(m) « оо), D.11)
м
очевидно, является естественной мерой для количества информации,
собранной таким образом о функции /.
Сказанное позволяет нам дать следующее определение. Семей-
Семейство h9 является фреймом, если выполняются следующие условия:
- функция Т/ является /х-измеримой для всех / G X, так что
интеграл D.11) всегда определен;
- существуют константы В ^ А > О такие, что
||||||||||||
(а) (б)
Неравенство (б) здесь гарантирует, что фреймовый оператор
Г:Х->СМ, /мГ/
является ограниченным оператором из X в Y := L2 (М,/х). Нера-
Неравенство (а), в большинстве случаев играющее главную роль, служит
гарантией того, что Т инъективен, что означает, что потери ин-
информации в процессе / н-> Т/ не происходит.
Сейчас мы дадим определение «базиса Рисса», которое будет иг-
играть определенную роль в связи с дискретным вейвлет-преобразова-
нием. Здесь множество М изначально является счетным, а /х являет-
является считающей мерой # на М. Семейство h9 = (hm\ m G M) векторов
hm G X называется базисом Рисса X, если выполняются следующие
условия:
- span (h9) = X;
- существуют константы В ^ А > 0 такие, что
D.12)
(в) — ^
Е^
m
Совместно эти условия говорят о том, что отображение

4.2. Общее понятие фрейма
является ограниченным оператором, имеющим ограниченный обрат-
обратный К~1 : X -> /2(М) .
Связь между двумя концепциями — «фрейма» и «базиса Рисса»—
не является очевидной, так как эти два определения относятся к
двум совершенно разным понятиям. Поэтому представляется целе-
целесообразным доказать следующее предложение:
D.6) Базис Рисса h9 с константами В ^ А > О автоматически
является фреймом с А и В в качестве фреймовых констант.
Доказательство. Пусть (em| га Е М) является каноническим ор-
тонормированным базисом /2(М). Тогда имеем Кет = hm и, следо-
следовательно,
Тх := ^ fa Лш> еш = ^ (х, Кеш) еш = ^ (К*х, еш) еш = К*х
mm m
для всех х G X. Исходя из общих принципов функционального ана-
анализа, условия D.12) означают аналогичные неравенства для К* = Т.
Это означает, что мы также имеем
A\\ff^\\Tff^B\\f\\2. я
Приводимое ниже несколько неопределенное утверждение не так
уже и далеко от истины: базис Рисса является счетным фреймом,
векторы которого линейно независимы и остаются таковыми даже
«в пределе». Другими словами, неравенство (в) в D.12) гарантирует
невозможность представления нетривиальной линейной комбинаци-
комбинацией ^2£mhm нулевого вектора.
m
В конечномерном случае обращение G~l оператора Грама и ду-
дуальный фрейм а. могут быть вычислены с помощью обращения неко-
некоторой матрицы. В данном случае надо найти обращение оператора
G : X -> X, dim(X) = оо.
Это может быть осуществлено с помощью итеративной процеду-
процедуры, скорость сходимости которой связана с дробью ^: чем ближе
эта дробь к 1, тем лучше сходимость нашей процедуры. На самом
деле, нам необходимо доказать следующее:
D.7) Предположим, что h9 является фреймом для X с фреймовы-
фреймовыми константами В ^ А > 0, и пусть у Е X произвольный вектор.

122 Глава 4- Фреймы
Если последовательность х9 определяется рекуррентно как
2
х0 := 0, хп+1 := хп + (у - Gzn) (п ^ 0),
^т. ~Т~ -О
mo lim xn = G~ly.
П—+ОО
На практике (то есть, скажем, в численных расчетах векторов
фрейма dj := G~1a,j) описанная процедура завершается, как только
приращения д+# (у — Gxn) становятся пренебрежимо малыми.
Доказательство. Мы рассмотрим вспомогательный оператор
r1g
С использованием R итерационная формула может быть переписана
в виде
2
Xn+1 := А + ВУ + п'
G является положительно определенным самосопряженным опера-
оператором, и по предположению о Т мы знаем, что Alx ^ G ^ В1х
(такие неравенства имеют смысл в этом случае!). Это означает
\\ 2— —2—'
так что мы получаем следующую оценку для нормы R:
Используя принцип сжатия (т.е. общую теорему о неподвижной
точке), мы приходим к выводу, что lim хп =: х G X существует и,
п—изо
более того, что
Последнее уравнение означает, что у — Gx = 0, откуда х = G~ly,
что и требовалось доказать. ■
В данный момент очевидны два приложения изложенных здесь
концепций: первое — конечномерная модель, рассмотренная в Пара-
Параграфе 4.1, и, второе — непрерывное вейвлет-преобразование, рас-
рассмотренное в Главе 3. Вернемся вновь к последнему и проинтерпре-
проинтерпретируем его в рамках функционально-аналитического подхода, изло-
изложенного в данном параграфе.

4-2. Общее понятие фрейма 123
X является пространством L2 (R) временных сигналов /, а М —
множеством
R2_ := |
снабженным мерой d/j, := dadb/ \а\2. Гильбертово пространство Y :=
:= L2 (М) является пространством L2 (R?_,d/x), которое было обо-
обозначено как Н в Главе 3.
После того, как вейвлет гр выбран, определим вейвлетные функ-
функции
и образуем семейство
1>.:=A>а,ь\ (a,b)eR2_)
векторов 1ра,ь £ L2. Соответствующий фреймовый оператор Т пре-
преобразует любую функцию / G L2 в функцию Tf : R?_ —* С в соот-
соответствии с предписанием
Tf (а, Ъ) := (/, фа,ь) = Wf(a, Ь) ((а, Ь) € R2_).
Таким образом, вейвлет-преобразование W представляет собой
не что иное, как фреймовый оператор Т, соответствующий семей-
семейству ф9. Затем по Теореме C.3) получаем
IIW7II2 = с, Ц/Ц2 v/eL2,
где константа С^ определяется как
R*
% С использованием понятий, определенных в данной главе, мы мо-
можем выразить этот факт следующим образом:
D.8) Пусть ф — произвольный вейвлет. Тогда семейство фт явля-
является жестким фреймом с фреймовой константой Сф.
С учетом этой теоремы обращение оператора Грама дается фор-
формулой G~l = -^-lx-, и дуальный фрейм ф9 совпадает с фт с точно-
точностью до одного и того же постоянного множителя:

Глава 4- Фреймы
Если мы теперь применим формулу D.4) (а), которая восстана-
восстанавливает вектор х Е X по величинам {Тх)- := (я, а) ■ в данной ситуа-
ситуации, то мы получим следующее:
/= fdadbwf{ab) 1^ 6 V/6L2 D13)
J \а\ W
Это согласуется с C.7) (соответственно C.21). Следует, однако,
отметить, что D.4) (а) относится к конечномерной модели, так что
справедливость D.13) не гарантируется в данной ситуации. Факти-
Фактически формула D.13) справедлива только в «слабом» смысле или же
при более сильных предположениях об / и ф (см. замечания на этот
счет в Параграфе 3.3).
4.3. Дискретное вейвлет-преобразование
Теорема Котельникова-Шеннона (Параграф 2.4) позволяет осуще-
осуществлять полное восстановление временного сигнала / с ограничен-
ограниченным спектром по дискретному набору (f (kT) \k Е Z) отсчетов. В
этом параграфе мы собираемся достигнуть подобных же результа-
результатов в области вейвлет-преобразования. Данные, которые мы будем
использовать для восстановления /, теперь уже не значения функ-
функции, взятые в равноотстоящие моменты времени кТ, а результаты
«вейвлетных измерений» (/, ^о,б), а именно, соответствующим обра-
образом выбранные значения вейвлет-преобразования Wf : R?_ —> С. Сле-
Следует всегда помнить, что данный сигнал / кодируется в его вейвлет-
преобразование с огромной избыточностью. При таких обстоятель-
обстоятельствах, не должно вызывать удивления, что дискретного множества
1У/-значений уже достаточно для восстановления данного / как L2-
объекта или даже поточечно, причем даже без предположения об
ограниченности спектра временного сигнала.
Опишем теперь класс «решеток» на (а, &)-шюскости, которые мы
будем использовать для дискретизации функции Wf: сначала выби-
выбирается шаг растяжения а > 1 (обычный выбор а = 2) и базовый
шаг /3 > 0 (хорошим выбором является /3 = 1). Эти два параме-
параметра характеризуют выбранную решетку и в дальнейшем считаются
фиксированными. Затем полагаем
ат := <тт, Ът,п := nam/3 (m, n G Z),

4-3. Дискретное вейвлет-преобразование
и, используя эти числа, образуем счетное множество
М := {(am,6m,n) |m,n G Z} С R%,
изображенное на Рис. 4.4. Заметим, что отрицательные значения а
далее не рассматриваются. Со структурной точки зрения, например,
для целей адресации индивидуальных точек М мы, очевидно, можем
считать М ~ Z х Z.
(т = 0)
(т<0)
Рис. 4.4.
Следующий вопрос, который мы задаем: какой должна быть кор-
корректно заданная мера на этом М? Каждая точка (am,bm,n) e M
представляет прямоугольник Rm,n, имеющий ширину amf3 и высоту
ату/а - ат/у/а на плоскости (a, b) (см. Рис. 4.5), и прямоугольники
Rm,n покрывают всю верхнюю полуплоскость R> без пересечений.
/i-площадь прямоугольника Rm,n вычисляется следующим образом:
и, следовательно, не зависит от т и п. Это решающее наблюдение
приводит нас к выбору считающей меры # в качестве меры на мно-

126 Глава 4- Фреймы
жестве М ~ Z2, так что пространство Y в данном параграфе есть
F:=/2(Z2).
Рис. 4.5.
Предположим теперь, что вейвлет ф выбран раз и навсегда. Из
полного множества вейвлетных функций фа,ь, (а<>Ь) G М2. мы сохра-
сохраняем только те, которые относятся к точкам (am,bm,n) G М, и, ко-
конечно, эти функции записываются с новыми адресами: фа^^а^р ='•
='• Фт,п- Это означает, что теперь мы имеем семейство
состоящее из следующих вейвлетных функций:
-пат
= а
a~mt - п/3) .
Соответствующий фреймовый оператор Т : / н-> Т/ связан с
вейвлет-преобразованием W : f н-> W/ с помощью следующей фор-
формулы:
Tf(m,n) := (/,^m,n> = W(am,6m,n) ((m,n) G Z2) . D.14)
Теперь мы готовы задать ключевые вопросы данного параграфа:
При каких предположениях о ф, а и /3 мы можем быть уверены,
что набор фщ на самом деле является фреймом и какие фреймовые
константы мы получаем в итоге?
Рассматривая второй вопрос, в [D] (Теорема 3.3.1), доказывается
следующее:

4.3. Дискретное вейвлет-преобразование
D.9) Пусть ф — вейвлет и пусть С-, С+ определены следующим
образом:
С_ :=2
<о >о
Если семейство фт, соответствующее заданным размерам шагов
а и /3, является на самом деле фреймом, то получаемые в результа-
результате фреймовые константы В ^ А > 0 удовлетворяют следующим
нер ав енств ам:
Л . min |С_,С+}
ploga
В частности, равенство А = В возможно только тогда, когда
С- = С+. Это является следствием того, что мы не рассматриваем
отрицательных значений а; ср. с аналогичным условием в Теореме
C.4). За доказательством D.9) мы отсылаем читателей к [D].
Все это хорошо, но то, что нам действительно надо, это теорема
следующего рода: при каких точно описываемых обстоятельствах
нам гарантируется, что набор ф. является фреймом, с фреймовыми
константами В ^ А > О, подчиняющимися ограничениям, обусло-
обусловленным заранее. Предположим, что шаг растяжения а > 1 задан.
Вейвлет ф называется допустимым с точки зрения обсуждаемых
целей, если его преобразование Фурье ф удовлетворяет условиям (а)
и (б), записанным ниже.
(а) Существуют константы а > 0, р > 0 и С, такие, что
Г с if Г (lfl<i)>
^ С л,..^ DЛ5)
Это условие фактически безобидно и служит для введения кон-
констант а, р и С. Если, например, мы имеем Ьф G L1 и ф' есть
функция ограниченной вариации, то оценки вида D.15) спра-
справедливы при а = 1и/?=|.
(б) Существует константа А' > 0 такая, что
D.16)
Так как левая часть D.16) инвариантна по отношению к пре-
преобразованиям £ н-> сг£, то достаточно проверить справедливость не-

Глава 4- Фреймы
равенства в области 1 ^ |£| ^ а. Согласно этому условию нули ф не
могут находиться в положении «логарифмического заговора». Та-
Таким образом, в частности, исключается тот случай, когда носитель
ф содержится в единственном интервале вида ]&, ab[. Предположим,
например, что ф имеет конечный порядок N. Тогда, в соответствии
с C.29), существует h > О с
и D.16) выполняется.
Для достижения целей нашего обсуждения назовем константы а,
р, С и А' параметрами ф. После всех этих приготовлений мы можем,
наконец, сформулировать основную теорему этой главы:
D.10) Пусть шаг растяжения а > 1 задан и предположим, что ф
есть допустимый вейвлет с параметрами а, р, С и А'. Тогда суще-
существуют константы /Зо, В' и С такие, что верно следующее: для
любого базового шага C < (Зо семейство фт — (фт,п \(т,п) G Z2)
является фреймом с фреймовыми константами
B(B' +
Мы отложим доказательство этой теоремы до следующего пара-
параграфа. В данный момент нам будет достаточно следующего эври-
эвристического аргумента:
Мы должны показать, что оператор Т удовлетворяет условию
фрейма
ЧЧВЦ/112 v/ei2. D.17)
В соответствии с D.14) мы имеем
II27II2 = £ \Tf (m, n)f = J2
m,n m,n
Теперь, приведенные выше соображения относительно прямоуголь-
прямоугольников Rm,n, показывают, что правая часть этого уравнения по су-
существу может рассматриваться как сумма Римана для интеграла
1
л%
и согласно Теореме C.4) этот интеграл имеет значение CL

4-3. Дискретное вейвлет-преобразование
По этой причине вполне правдоподобно, что для достаточно малых
а > 1 и достаточно малых (} > О значения ||Т/||2 и ||/||2 имеют один
и тот же порядок, что и требуется в соответствии с D.17). Тео-
Теорема D.10) показывает, что в действительности достаточно очень
слабых предположений о ф, чтобы гарантировать, что данные
(Tf(m,n)\ (m,n)€Z2) D.19)
содержат все черты анализируемой функции / при условии, что
/3 достаточно мало; в частности, в этом случае вполне приемлемо
принять а := 2.
Для восстановления исходного сигнала по данным D.19) нам не-
необходим фрейм ф9 дуальный ф9. Если фрейм ф9 не является жест-
жестким, то мы должны вычислять V>m,n, используя предписание
Фт,п := G-1 (фт,п).
К сожалению, фш,п не могут быть получены из одного единствен-
единственного ф просто растяжением и сдвигом, если конечно ф, с самого на-
начала, не выбран в очень специальном виде. Следующие соображения
прояснят эту ситуацию:
Два оператора
И
5:L2->L2, Sf(t):=f(t-0)
являются унитарными, и поэтому мы имеем D* = D~l и5* = S~l.
Рассмотрим теперь оператор Грама G, заданный в виде
т,п
Используя D, мы получаем
и, следовательно,
D
5 - 10643

130 Глава 4- Фреймы
' Фгп-1,п) Фт,п = ]Г) (^ Г>~1'Фгп,п) Фт,п
т,п
Очевидно, что в этом случае G г также коммутирует с D, и мы
получаем
Фт,п = G-1 (фт,п) = G~lDm (фо,п) = ^mG (фо,п); D.20)
то есть имеем,
$m,n(t) =
К сожалению, G и S не коммутируют, так что приведенные выше
вычисления D.20) не могут быть повторены. Причина заключается в
следующем: функции Sipmin, появляющиеся в правой части формулы
не могут быть идентифицированы с некоторыми фт'уП', как это име-
имеет место в случае Di/;min; на самом деле, они выглядят следующим
образом:
и в общем случае множитель (п + а т) не является целым. Из данно-
данного наблюдения можно заключить, что дуальные вейвлетные функ-
функции xpo,n, п € Z не связаны друг с другом простым образом, так что
их приходится определять индивидуально.
По причинам, объясненным выше, в большинстве случаев весьма
желательно выбрать жесткий фрейм гр9 с самого начала. Приводи-
Приводимая ниже теорема показывает, что такой выбор возможен:
D.11) Предположим, что преобразование Фурье ф вейвлета ф име-
имеет компактный носитель в интервале I := [о;, о/], о/ > и > 0 и что
f; ЩатО\2 = Л'>0 A< |< а).
т= — оо
Тогда набор фт = (ipm,n | (jn,n) GZ2), соответствующий шагу рас-

4-3. Дискретное вейвлет-преобразование 131
тяжения а и произвольному базовому шагу
является жестким фреймом для вещественнозначных временных
сигналов f Е L2.
Доказательство. Без ограничения общности мы можем предполо-
предположить, что
0 ~ -^-. D.21)
(jj — (jj
Учитывая формулу Парсеваля B.11) и правило C.8), получаем
II ./II / _j \ J ' Ч^т,п I / _j / Mv r v" s/
т,п т,п
Вводя вспомогательную функцию
мы можем записать \\Tf\\ в виде
1|гт-1/ц2 \ ^ т I /л\ fitter171 вЕас \ ^ тп |/^ |2
\\Tf\\ = 2_^а 9@е ?«? = 2^а \ч™\ >
т,п ' т,п
где Qmn определяется следующим образом:
Qmn '•= / 9 (О егпа ^d£
a~mI
(отметим, что функция g тождественно равна нулю вне интервала
а~т1). Функции
являются тригонометрическими базисными функциями для интер-
интервала, имеющего длину
a_m2£=a_m(w,_w)
в частности, для интервала а~т1. Это означает, что Qmn являются
фактически коэффициентами Фурье; формулы B.8) дают

132 Глава 4- Фреймы
и, суммируя по п (при фиксированном га), получаем
сг~т/
>0
В месте расположения стрелки | мы воспользовались формулой Пар-
севаля для периода длиной а~т • 2тг//3 в соответствии с B.8). Таким
образом, мы окончательно получаем
|Qran|2 = ?j
тп,п
>0
/
>0
Только в самом конце мы используем предположение, что / дол-
должен быть вещественнозначным. В этом случае справедливо тожде-
ство /(-О = 7@- ■
Теперь мы приступаем к задаче построения вейвлета ф, кото-
который соответствовал бы предположениям Теоремы D.11). Так как
эти предположения относятся к преобразованию Фурье ф, то имеет
смысл начать именно с него. В следующем примере, построенном
Добеши-Гроссманном-Мейером, подходящее ф записывается в ви-
виде простых формул; сам вейвлет ф во временной области тогда дол-
должен вычисляться численно. Такое обращение преобразования Фурье
относится к одной функции и может быть выполнено однократно и
далее не выполняться, предшествуя вейвлет-анализу произвольного
временного сигнала /.
Пример 4.4. Нам потребуется вспомогательная функция
(О (хКО),
v (х) := | Юх3 - 15х4 + 6а:5 @ < х < 1), D.22)
{
(или некоторые другие функции с подобными свойствами). В интер-

4.3. Дискретное вейвлет-преобразование 133
вале 0 ^ х ^ 1 эта функция может быть записана в виде
v{x) :=30 ft2(l-tJdt.
о
«, X
Рассматривая подынтегральное выражение в правой части (см.
Рис. 4.6), мы видим, что оно имеет нули кратности два в точках
t = 0 и t = 1, везде, кроме этих точек положительно и симметрично
относительно точки t = |. Из этого следует, что v(x) возрастает
монотонно от 0 до 1 на интервале 0 ^ х ^ 1, имеет С2-переходы в
точках х = 0 и х = 1, и, более того, упомянутая выше симметрия
приводит к тождеству
1/A -х) = 1-й (х) VxGR, D.23)
которое будет еще использовано в дальнейшем.
Пусть а > 1 и /3 > 0 заданы и положим
._ 2тг / ._ 2 .
Ш1~ (а2-1H' " ''~а ^
в этом случае условие D.21) выполнено. Определим теперь ф с но-

134 Глава 4- Фреймы
сителем / := [о;, о/] следующей формулой:
D-24)
О
(в других случаях)
(см. Рис. 4.7). Появившаяся здесь константа А' определяется из усло-
условия \\ф\\ = 1.
(<7 = 2, /3=1)
Как мы уже отмечали ранее, функция
инвариантна по отношению к преобразованию £ »-> сг£. Если мы
ограничимся рассмотрением ^-интервала [а;, ста;], то мы увидим, что
только два члена, соответствующие т = 0 и т = 1, вносят суще-
существенный вклад в Ф (£), поэтому мы имеем
* (О =
= Л' (sin2 gi/ (х)) + cos2 (|^
где мы использовали обозначение
его; — а;
Вот все, что мы хотели сказать о ф. Вейвлет (комплекснозначный)
ф, имеющий своим преобразованием Фурье данную функцию ф, изо-
изображен на Рис. 4.8. Видно, что Re (ф) является четной функцией, а
Im (ф) нечетной. Мы еще вернемся к этому примеру в Параграфе 5.3.
□

4-4- Доказательство теоремы D.10) 135
Рис. 4.8. Вейвлет Добеши-Гроссмана-Мейера (значения шагов а = 2, /3 = 1)
4.4. Доказательство теоремы D.10)
Приводимое доказательство в основном соответствует [D], Пара-
Параграф 3.3.2.
Доказательство. Мы столкнулись с задачей как можно более точ-
точной оценки суммы, стоящей в правой части D.18). Начнем с C.9):
Wf(a,b) = \a\1/2
Вводя вспомогательную функцию
запишем
Wf(a
2тг/6
,nb) = |a|1/2 />*£*(? +'у
D.25)
D.26)

136 Глава 4- Фреймы
где мы по умолчанию предполагаем, что Ь ^ 0. Функция
периодическая, с периодом ^. Вследствие формул B.8) мы поэтому
можем интерпретировать D.26) как
Суммируя по п, мы получаем
2
D.27)
где мы в конце использовали формулу Парсеваля для периода длины
2тг
т
2п (см. B.8)). Рассмотрим более подробно последний интеграл:
2тг/6 2тг/6
о k,i
2тг/6
Осуществив подстановку £ + l^f- =: £', продолжим запись
2тг/6 2(/+1)тг/6
/
J
*»' 2/тг/б
Подставим теперь последнее выражение в D.27), что приводит к
следующему промежуточному результату:

4-4- Доказательство теоремы D.10) 137
Теперь мы положим
а := ат, Ь := ат0 (га в Z)
и, суммируя теперь и по га, окончательно имеем
£ J £<?*»»• D-28)
т,п ^ k,m
Раскрывая Qkm, появляющиеся в правой части, с использованием
определения D.25) функции р, получим следующее выражение:
Оказывается, что члены с к = О в D.28) вносят основной вклад в
ЦТ/1| . По этой причине мы собираем все члены Qkm с к ф 0 в один
остаточный член Q и записываем D.28) в виде
ЦТ/112 = j (J |/(of £ |v4<7m0|2df + QJ •
Мы должны теперь рассматривать основной член и остаток в со-
совокупности. Для того, чтобы сделать ясной основную линию рассу-
рассуждений, сформулируем следующую лемму:
D.12) Пусть ф — допустимый вейвлет с параметрами а, р, С и
А'. Тогда существует константа В' такая, что
и, что еще важнее, имеем
\Q\ ^ C'p+o II/H2 D.29)
с константой С, которая не зависит от /3.
Применяя эту лемму и, конечно, определение D.16) параметра А'
мы получаем неравенства
2j (А' - С'р+») II/H2 < ЦГ/112 < j (В' + С'?*") II/H2 ,
которые появляются в формулировке теоремы. Это завершает до-
доказательство теоремы D.10) по модулю леммы. ■

Глава 4- Фреймы
Осталось доказать Лемму D.12).
Доказательство. Для того, чтобы оценить сумму ^,
приведенную выше, мы должны рассматривать члены, соответству-
соответствующие ш<0итH раздельно, используя соответствующее нера-
неравенство, касающееся ф, в каждом из двух случаев. Действуя таким
образом, получаем
что и требовалось.
Мы переходим теперь к D.29), но доказательство в этом случае
будет длиннее. Мы рассматриваем Qkm как скалярное произведение,
используя подходящее разложение различных множителей, появляю-
появляющихся в определении Qkm- При этом, используя неравенство Шварца,
мы получаем
\Q.
кт\
Если мы используем подстановку f 4- 2ктг/ (am/3) =: £' во втором
множителе, то эта формула примет вид
\Qk
1/2
Для получения оценки D.29) мы теперь должны просуммировать
\Qkm\ по всем к ^ Он всем т. Для внутренней суммы (по отношению
к га) мы используем неравенство Шварца в виде

что приводит к
44- Доказательство теоремы D.10) 139
1/2
D.30)
Для того, чтобы оценить суммы J2 ПОД знаками интегралов, вве-
т
дем вспомогательную функцию
где, как и раньше, достаточно взять супремум по множеству £ та-
таких, что 1 < |£| ^ а. С использованием этой функции </(•) неравен-
неравенство D.30) принимает следующий вид:
D.31)
При оценке q{-) мы с самого начала можем предположить, что
/3 ^ тг, и поэтому необходимо рассматривать значения q (s) только
для |s| ^ 2. Как и в первой части леммы, мы должны рассматривать
члены, соответствующие т < 0 и т ^ 0. Для этого расщепим д(-)
на две части
q-(s):= sup
:= SUP
так что в любом случае
Рассмотрим сначала случай m < 0. Неравенства
совместно дают
D.32)
:<ти 1*1 >2

140 Глава 4- Фреймы
Следовательно, предположения о ф позволяют получить оценку
Беря теперь сумму по всем т < О, получаем
Я(») <
В случае m > 0 рассуждаем следующим образом: по меньшей
мере одно из двух чисел |сгт£| и |сгт£ 4- s\ будет ^ |s| /2 (отметим,
что £ и s могут иметь различные знаки) и по крайней мере одно ^
|сгт£|. Обе величины |s| /2 и |сгт£| не менее 1. Так как
С для
всех ^, эти соображения позволяют прийти к следующему выводу:
С2 min
1
1
Беря сумму по всем т ^ 0, мы видим, что </+ (•) может быть оценена
следующим образом:
Я+
Вследствие D.32) получаем
и, следовательно,
(* # 0).
Подставляя это выражение в D.31) и выполняя суммирование по
всем к Ф 0, мы окончательно получаем требуемую оценку для Q:
\Q\ < С'/?1+> ||/||2 .
Легко проверяется, что введенные константы Ci, ..., С4 и С не
зависят от /3. Ш

ГЛАВА 5
МУЛЬТИРАЗРЕШАЮЩИЙ
АНАЛИЗ (МРА)
Триумфальный прогресс использования вейвлетов в огромном спек-
спектре приложений, связан, в первую очередь, с так называемыми «бы-
«быстрыми алгоритмами» (быстрое вейвлетное преобразование-БВП),
которые в свою очередь получаются в результате тщательного вы-
выбора первичного вейвлета ф. До сих пор при выборе определенно-
определенного первичного вейвлета учитывались только некоторые «техниче-
ские«условия такие, например, как ггф £ L1 или ф £ Сг при некото-
некоторых г^Ои, разумеется, ф@) = 0 или, более точно, ф должен быть
определенного порядка N > 1.
Функции тригонометрического базиса еа : t —> егаЬ выделяют-
выделяются следующим линейным воспроизводящим свойством: если такая
функция подвергается действию оператора сдвига Т^, то она про-
просто умножается на постоянный множитель
Thea = e-iahea.
Напротив, в теории вейвлетов основной операцией является масшта-
масштабирование, т.е. для любого а £ Е* операция
Da : ф \—► Иаф, Паф(Ь) := '
По отношению к этой операции рассматриваемые до сих пор вейвле-
ты не ведут себя нужным образом (за исключением фнааг)- Действи-
Действительно, их графики становятся плоскими или сжимаются в напра-
направлении временной оси в соответствии со значением а, но при этом
они не обладают никаким воспроизводящим свойством в том смы-
смысле, что масштабированная версия ф может быть каким-либо иным
образом связана с исходным ф. В дискретном случае фактически
используются только целочисленные итерации одного единственно-
единственного оператора масштабирования Da, a > 1, описывающего растяже-
растяжение. Начиная с данного момента и до конца книги, будем полагать

Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
а := 2, что соответствует случаю, наиболее часто встречающему-
встречающемуся на практике. Если теперь выбрать первичный вейвлет, который
в определенном смысле «самовоспроизводится» при воздействии на
него масштабирования Дг, то при этом возникают новые и крайне
желательные явления, которые и образуют основу «мультиразреша-
ющего анализа».
Если быть более точным, то положение вещей таково, что пер-
первичный вейвлет ф удовлетворяет линейному тождеству, имеющему
следующий вид:
k=0
Это тождество содержит в себе аналогичные линейные выраже-
выражения между скалярными произведениями (/,фп,к) и (/,фп+\ук), и по-
поэтому эти скалярные произведения (вейвлетные коэффициенты /) не
требуют довольно однообразного повторного интегрирования при
переходе от одного уровня растяжения к следующему. Определя-
Определяющие уравнения будут выглядеть несколько иначе, но общая идея
остается справедливой.
5.1. Аксиоматическое описание
В параграфе 4.3 была осуществлена дискретизация непрерывного
вейвлетного преобразования, и, как было показано, счетного мно-
множества «вейвлетных измерений» (Tf(m,n) |(m,n) G Z2) достаточно
для получения полной реконструкции функции / в смысле сходи-
сходимости по норме L2, поточечной сходимости и т.д., в зависимости
от определенных условий. Мультиразрешающий анализ дискретен
изначально, и вейвлетные функции ф^ образуют ортонормирован-
ный базис L2 по построению. Вследствие этого нет необходимости
ВЫЧИСЛЯТЬ НИ ОДНОЙ tpj^k-
Перейдем теперь к формальному определению мультиразрешаю-
щего анализа, сокращенно, МРА. Это определение состоит из трех
пунктов (а)-(в):
(а) Двусторонняя последовательность (Vj \j G Z) замкнутых под-
подпространств L2. Эти Vj упорядочены по включению:
... С V2 С Vi С Vq С V-i С ... С Vj С Vj-i С ... С L2 E.1)

5.1. Аксиоматическое описание
(меньшие значения j соответствуют болшим пространствам
V}!), и выполняются следующие условия:
Pl^j = W (аксиома отделимости), E.2)
j
(аксиома полноты). E.3)
Следующее интуитивное описание будет полезным в будущем:
временные сигналы / € Vj содержат в себе только такие де-
детали, которые проявляются на интервалах размером > V по
временной оси. Чем большие отрицательные значения прини-
принимает j, тем более тонкие детали могут появляться в / € Vj, и
«в пределе» любая функция / € L2 может быть представлена
через функции fj € Vj.
(б) Подпространства Vj связаны друг с другом жестким масшта-
масштабирующим свойством:
Vj+1=D2(Vj) VjeZ. E.4)
В отношении временных сигналов это может быть выражено
следующим образом:
f€Vj <* /(У-) 6 Vo. E-5)
(в) Vo содержит по одному базисному вектору на каждый шаг мас-
масштабирования. Более точно, существует функция ф € L2 П L1,
такая, что ее сдвиги (ф(- — к) \к € Z) образуют ортонормиро-
ванный базис Vo. Эта функция ф, обычно называемая масшта-
масштабирующей функцией МРА, является определяющим элементом
всего построения.
Замечание: некоторые авторы используют упорядочение подпро-
подпространств Vj в обратном направлении по сравнению с E.1). Мы будем
придерживаться упорядочения, предложенного в [D].
В соответствии с условием (в), пространство Vo может быть опи-
описано как множество временных сигналов / следующим образом:
Vo = if € L2 f(t) = Y,ck<t>(t ~ к), £ Ы2 < °° \ ■ E-6)
l к к )

Глава 5. Мулыпиразрешающий анализ (МРА)
Используя ф как шаблон, мы можем теперь определить функции
4>jtk(t) := 2-^2ф (^^) = 2-^ф (± - *) (j, к в Z),
которые находятся в очевидном соответствии с формулами, опреде-
определяющими вейвлетные функции ipm,n. Как теперь немедленно следует
из (б), семейство (<t>j,k I A; € Z). образует ортонормированный базис
Vj, а две последовательные функции ф^^ и Фз,к+\ связаны между
собой сдвигом на величину 2К
В соответствии с нашими замечаниями относительно условия (а),
ортогональную проекцию Pj пространства L2 на подпространство
Vj можно рассматривать как низкочастотный фильтр: образ Pjf
временного сигнала / € L2 содержит все характерные черты /, го-
горизонтальная протяженность которых по временной оси равна 2J
или более. Проектор Pj определяется следующей формулой:
к=-оо
Пример 5.1. Простейший пример МРА получается следующим
образом: выбираем ф := 1[Од[ и полагаем
Vo := {/ € L2 | / постоянна на интервалах [А:, А: Ч-1[} ,
Vj := D2i(V0)(j ф 0).
Условия (б) и (в) выполняются в явном виде; справедливо и упо-
упорядочение E.1). Выполнимость аксиомы отделимости E.2) очевид-
очевидна, а полнота E.3) является непосредственным следствием того, что
кусочно-постоянные функции со скачками в двоично-рациональных
точках к-2i плотны в L2. Если применить к данному примеру общие
конструкции, описанные в Параграфах 5.1-5.3, то получим вейвлет
Хаара. Вышесказанное будет использовано в последующих приме-
примерах. □
Вследствие упорядочения по включению E.1) ф},к не могут в ан-
ансамбле образовывать «большой» ортонормированный базис в L2. Для
этой цели мы образуем, кроме последовательности пространств Vj,
систему (Wj | j e Z) попарно ортогональных подпространств Wj С
С L2, получаемую следующим образом: Wj есть пространство, до-
добавленное при переходе от Vj к следующему большему пространству

5.1. Аксиоматическое описание
Vj-i в последовательности E.1). Под таким интуитивным описани-
описанием мы, конечно, подразумеваем следующее: Wj является ортогональ-
ортогональным дополнением Vj в Vj-\. Из сказанного естественно следует, что
Vj-г = Vj 0 Wj, WjLVj V j G Z; E.8)
более того, все устроено таким образом, что формулы аналогичные
E.4) и E.5), а, именно,
Wj+1 = D2(Wj) и соотв. feWj <& /Bj-) € Wo, E.9)
остаются справедливыми (проверка справедливости этих формул
предоставляется читателю).
Имея в виду цепочку E.1) и определение E.8) Wj, можно сфор-
сформулировать следующее утверждение:
E.1) Если система (Vj\ j G Z) обладает свойством (а) МРА, то
соответствующие подпространства Wj попарно ортогональны и
более того
(BjWj = L2 (ортогональная прямая сумма). E.10)
Доказательство. Если г > j, то W{ С V{-\ С Vj, и, используя E.8),
можно заключить, что VFj_LVFj.
Для доказательства E.10) необходимо использовать как условие
полноты E.3), так и условие отделимости E.2). Необходимо дока-
доказать, что совместное выполнение условий / G L2 и
f±Wj VjeZ
означает, что / = 0.
Пусть дано е > 0. Вследствие E.3) существуют ^ и ^о £ Vj0
такие, что ||/ — ho\\ < е; для простоты можем предположить, что
jo = 0. При выбранном таким образом ho G Vo существуют такие
hi eVi и gi eWi, что
h0 = hi + gi;
подобным же образом существуют h2 G V2 и g2 G W2 такие , что
hi = h2 + g2.
Продолжая аналогично по убывающей цепочке Vo D V\ D V2 D ...,

Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
после п шагов получаем представление
к=1
Так как все векторы, появляющиеся в правой части этого урав-
уравнения, ортогональны друг другу, то получаем
им2+х>*||2 = ||/*о||2 Vn-
fc=i
Это означает, что ряд ^2 \\9k\\ сходится, когда ряд Yl^o^k СХО-
СХОДНО
дится в L2, откуда в свою очередь следует существование предела
lim hn =: h.
п—юо
Рассмотрим фиксированный индекс j G Z. Для всех п ^ j имеем
hn G Vn С Vj, а так как Vj замкнуто, то из этого следует h G Vj.
Так как это справедливо при всех j, то из E.2) следует что h = 0.
Из этого вытекает, что
оо
к=0
Теперь, по предположению, функция / ортогональна всем дк G Wk,
откуда имеем, что
</,Ло> = £</,£*> = 0.
к=о
По теореме Пифагора получаем неравенство:
11/112 = 11/-М2-ИМ2<£2.
Так как величина е произвольна, то мы приходим к заключению,
что / = 0 почти всюду. ■
Обозначим через Qj оператор ортогонального проектирования
L2 на Wj. Исходя из общих соображений и E.8), получаем
Qj=Pj-1-Pj соотв. Pj-i=Pj+Qj.
Выше было сказано, что оператор проектирования Pj интерпре-
интерпретируется как низкочастотный фильтр. Продолжая этот ход рассу-
рассуждений, можно сказать, что Pj-if сохраняет все черты или детали

5.1. Аксиоматическое описание
сигнала /, имеющие протяженность ^ 2J l по временной оси. Соот-
Соответственно при образовании разности Pj-if — Pjf = Qjf из Pj-if
удаляются все детали с протяженностью по времени ^ 2J. Поэтому
Qj можно рассматривать как тип фильтра, сохраняющего или соот-
соответственно выделяющего из / те черты или детали, которые име-
имеют временную протяженность ~ 2J/v/27 Можно изложить сказанное
иначе: мы получаем более детальное описание Pj_i/, присоединяя
к Pjf, содержащему все детали / временной протяженности 2J и
более, детали размера ~ 2^ /у/2, со держащиеся в векторе Qjf.
Рассматривая ортогональное разложение
У_! = V0 Ф Wo,
мы можем выдвинуть следующее простое предположение: для того,
чтобы определить пространство V_i, нам необходимы два базисных
вектора единичной длины, но по определению Vo мы уже имеем один
базисный вектор единичной длины. Следовательно, Wo также зада-
задается одним базисным вектором единичной длины; более того, из со-
соображений симметрии можно устроить все так, чтобы базисные век-
векторы Wo были целочисленными сдвигами одной единственной функ-
функции ф точно таким же образом, как базисные векторы Vq являются
целочисленными сдвигами единственной функции ф. Другими слова-
словами, можно надеяться, что мы можем найти такую функцию ф € L2,
что множество (?/>(• — k) \ к £ Z) образует ортонормированный ба-
базис Wo.
Такая функция будет являться первичным вейвлетом. Если поло-
положить в дальнейшем, что
) (J ) U ez,i€ Z),
как это было обговорено в начале Параграфа 4.3, то семейство
(Ф^к I к е Z)
(индекс j фиксирован) является ортонормированным базисом Wj,
а ортогональная проекция Qj : L2 —> Wj определяется следующим
выражением:
оо
Qjf= Е <•

Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
Множество всех ^^, т.е. семейство
будет являться ортонормированным вейвлетным базисом всего про-
пространства L2 в соответствии с Утверждением E.1). Следующие па-
параграфы посвящены реализации этой идеи. В случае особенно про-
простого и наглядного примера 5.1, приведенное выше простое пред-
предположение является действительно верным, что связано с тем, что
носители функций фо,к не перекрываются и, как легко увидеть, ф :=
•= Фнааг удовлетворяет всем требуемым условиям.
5.2. Масштабирующая функция
Масштабирующая функция ф является альфой и омегой любого муль-
тиразрешающего анализа. После того как ф выбрана, пространство
Vo определяется формулой E.6), остальные Vj определяются в соот-
соответствии с E.5), a Wj характеризуются E.8). При выборе ф = фо,о €
£ L2 П L1 необходимо удовлетворить трем условиям.
Во-первых, фо,к<, к € Z должны быть ортонормированными. Если
фо^ получаемые из ф, не являются ортонормированными то можно
воспользоваться процедурой ортогонализации Грама-Шмидта. В
следующем параграфе мы рассмотрим «ортогонализационный трюк»
([D]), который позволяет превращать семейство 0о,. в ортонорми-
рованную систему, индивидуальные члены которой связаны друг с
другом целочисленными сдвигами по временной оси.
Во-вторых, следует гарантировать выполнение условий E.2) (от-
(отделимость) и E.3) (полнота). Эти вопросы будут рассмотрены в кон-
конце данного параграфа. Пока же мы приведем следующий результат
(Теорема E.8)): слабое условие нормировки
ф(х)Aх
= 1 соотв.
E-11)
необходимо и достаточно для выполнения E.2) и E.3).
Наконец, в-третьих, нам необходимо учитывать менее очевид-
очевидное, но самое важное обстоятельство, заключающееся в том, что
мы должны быть уверены, что упорядочение по включению E.1) вы-
выполняется. Возможность доказать справедливость следующей леммы
предоставляется читателю:

5.2. Масштабирующая функция
E.2) Предположим, что ф G L2 и ф ф 0. Определим Vq в соответ-
соответствии с E.6), а остальные Vj в соответствии с E.5). Если при
этом включение Vo С V_i верно, то и все включения E.1) справед-
справедливы.
Сказанное приводит нас к основному положению, или говоря дру-
другими словами, к точному свойству масштабирующей функции ф, ко-
которое и позволяет использовать ее, в первую очередь, для мульти-
разрешающего анализа.
E.3) Для выполнения включения Vo С V_i необходимо и достаточ-
достаточно выполнение равенства вида
оо
ф(г) = у/2 ]Р ккфB1-к) (для почти всех t e R) E.12)
к=-оо
с вектором коэффициентов h. G /2(Z).
Доказательство. Соотношения E.5) и E.6) означают
и поэтому для того, чтобы выполнялось ф £ Vo С V_i условие E.12)
необходимо.
И наоборот, из равенства E.12) для произвольного / G Z следует
равенство
оо
ф{Ь - I) = у/2 ^2 Ь>кФ{2г - (к + 2/)) (для почти всех t € R),
и вследствие этого получаем
оо
м 2^ У vii v/ e ъ.
к=-оо
Из приведенных выше соображений следует, что произвольная
линейная комбинация фо^ принадлежит V_i и, следовательно, вклю-
включение Vq С V-i справедливо. ■
Равенство E.12) называется уравнением масштабирования и, как
уже было сказано, управляет всем мультиразрешающим анализом.
В частности, как мы увидим из Теоремы F.1) и соответственно из

Глава 5. Мультиразрешающий анализ (МРА)
F.2) вектор коэффициентов ho определяет масштабирующую функ-
функцию ф однозначно. Коэффициенты hk появляются также и в соот-
соответствующих алгоритмах; фактически, они в большей или меньшей
мере определяют все. При проведении вычислений нет необходимо-
необходимости постоянно обращаться ни к масштабирующей функции ф, ни
к соответствующему первичному вейвлету (который мы в скором
времени построим). Это свойство сильно отличает МРА от анали-
анализа Фурье, в котором необходимо многократно вычислять значения
функции ег^.
Уравнение масштабирования описывает своего рода «самоподо-
«самоподобие». Его можно сравнить с уравнением системы итерирующих функ-
функций (СИФ)
K=\Jfi(K),
описывающим фрактальные множества. В этом уравнении fi явля-
являются сжимающими конгруэнциями евклидовой плоскости. Подоб-
Подобным же образом отображения г \—> t := \(т + к), играющие основную
роль в теории вейвлетов, являются сжимающими конгруэнциями ве-
вещественной оси. То, что масштабирующая функция должна обла-
обладать воспроизводящим свойством E.12), является, очевидно, очень
сильным ограничением при выборе подобной функции.
Коэффициенты hk также не могут быть выбраны произвольно.
Разумеется, мы должны убедиться в том, что фо^ образуют орто-
нормированный базис Vq. Так как скалярное произведение в L2 ин-
инвариантно относительно сдвигов, то уравнения
необходимы и достаточны для этого. Совместно с E.12) это дает
SOn = I Ф&- п]фЩйг = 2 ]Г hkhi I фBг -2п-
J J
- 2п - ^(tf-l)dtf = ]Г hkhiS2nW =
Очевидно, что для того, чтобы фо,к образовывали ортонормирован-
ный базис, необходимо, чтобы hk удовлетворяли так называемым

5.2. Масштабирующая функция 151
отношеньям состоятельности:
E.4)
2n = <W Vn G Z;
в частности, необходимо, чтобы 2 l^fcl = 1-
к
Соответственно сейчас мы докажем определенное линейное отно-
отношение для hk. Условие q ф 0 не играет особой роли вследствие E.11).
E.5) Пусть h <E ll{Z) и пусть J ф{Ь) dt =: q ф 0. Тогда
£ hk = у/2.
к=-оо
Доказательство. Интегрирование уравнения масштабирования
E.12) по t в пределах от — N до N дает
N
-N
Так как
N
J
-N
2N-k
-2N-k
E.13)
2N-k
мы можем применить теорему Лебега к сумме, стоящей в правой
части E.13). Полагая N —► оо в E.13), получаем
1 V-
из чего следует утверждение теоремы. ■
Однако следует соблюдать осторожность: даже если вектор ко-
коэффициентов h. E /2(Z) удовлетворяет соотношениям E.4) и (E.5),
мы не можем быть уверены, что существует подходящая функция ф
удовлетворяющая уравнению масштабирования E.12).
Предположим на время, что мы располагаем мультиразрешаю-
щим анализом, удовлетворяющим условиям (а)-(в). Если мы запи-

152 Глава 5. Мультиразрешающий анализ (МРА)
шем E.12) в виде
к
то в соответствии с общими свойствами ортонормированных бази-
базисов получаем формулу
hk "=■ (<ф,ф_\ д.) {к £ Z), E.14)
Скалярное произведение (ф, ф-\,к) может быть отлично от нуля лишь
в том случае, если носители ф и ф-\,к перекрываются. Таким обра-
образом, формула E.12) приводит нас к выводу:
E.6) Если масштабирующая функция ф имеет компактный носи-
носитель, то только конечное число hk отлично от 0.
Можно утверждать даже больше. С этой целью для произвольной
функции / : R —> С определим величины
a(f) := inf {х | /(*) / 0 } ^ -(X), b(f) := sup {x \ f(x) ф 0 } < оо.
Таким образом, а(/) и b(f) соответственно являются «левым кон-
концом» и «правым концом» носителя /. В следующей теореме мы пред-
предполагаем для простоты, что ф хорошая функция, а не просто элемент
пространства I?.
E.7) Если масштабирующая функция ф имеет компактный носи-
носитель, то величины а := а{ф) и b :— Ь{ф) — это целые числа, и
количество hk, отличных от 0, не более множества тех из них,
для которых а < к ^Ь.
Доказательство. Имеем
а(Ф-1,к) = ^(а(ф) + *), 6@-1,*) = ^(НФ) + *)■
В соответствии с E.6), целые
fcmin := niin {к | hk ф 0} , fcmax := max {к \ hk ф 0}
вполне определены. Рассматривая правую часть выражения E.12)
как суперпозицию конгруэнтных графиков, сдвинутых по отноше-
отношению друг к другу на величины, равные |, и, применяя а(-) и Ь(-) к
обеим сторонам равенства, убеждаемся в справедливости:
а = а(ф-1,кт{п) = ^ (а + fcmin), Ь = 6@-i,jbmaJ = ~(b + fcmax).

5.2. Масштабирующая функция 153
Последние два уравнения немедленно приводят к выводу, что
fcmin = a, fcmax = Ь\ в частности получаем hahb ф 0. ■
Принимая во внимание, что только hk играют роль в числен-
численных алгоритмах, два последних предложения делают очевидным тот
факт, что конструирование масштабирующих функций с компакт-
компактным носителем представляет собой не только академический инте-
интерес. Но нам предстоит еще долгий путь, чтобы достигнуть цели.
Пример 5.2. Вследствие того, что 1[Од[ = 1г0 ц + hi i[ масштаби-
масштабирующая функция
Ф := Фнааг := 1[о,1[>
рассмотренная в Примере 5.1 удовлетворяет масштабирующему ра-
равенству
ф(г) = фBг) + фBг - 1) соотв. ф = -т=Ф-1,о + -дФ-hi
(см. Рис. 5.1). Следовательно, в данном примере имеем
Ло = Л1 = 4=' Л*. = 0 VA;gZ\{0,1}. E.15)
V2
Легко проверить, что утверждения E.4), E.5) и E.7) выполня-
выполняются в данном примере. □
Рис. 5.1.
В заключительной части этого параграфа мы займемся задачей,
решение которой мы до сих пор откладывали: мы должны сформули-
сформулировать точные ограничения, накладываемые на масштабирующую
функцию ф, которые гарантируют отделимость E.2) и полноту E.3),

154 Глава 5. Мультиразрешаюгций анализ (МРА)
получаемого в результате семейства подпространств (Vj \ j G Z).
Приводимая ниже теорема показывает, что при очень слабых огра-
ограничениях, накладываемых на ф, условие E.11), записанное в начале
параграфа, в действительности является единственным для выпол-
выполнимости этих аксиом.
E.8) Пусть масштабирующая функция ф G L2 удовлетворяет оцен-
оценке вида
j^ (*eR) E.16)
и семейство (фо,к I к £ Z) образует ортонор мир о ванный базис Vq.
Тогда, во-первых, выполняется аксиома отделимости:
j
и, во-вторых, если и только если интеграл j ф(Ь) dt =:q no абсолют-
абсолютной величине равен 1, то выполняется аксиома полноты |J V} = L2.
j
Доказательство. Любая / G Vo может быть представлена в виде
/ = ЕЛ<Яь гДе Е1Л12 = ||/2|| < оо. В силу E.16) имеем следую-
следующую оценку:
к
(с другой постоянной С), а это означает, благодаря неравенству
Шварца, что
I/ (*)| < Y11^1 № (* - *I < С II/H (для почти всех V* € R).
к
Вследствие того, что / £ Vo была выбрана произвольно, можно, та-
таким образом, утверждать, что
Ц/11^ := esssup \f(t)\ < С \\f\\ V/ € Vo.
teR
Для заданного g e Vj функция / := gB^-) принадлежит Vo, по-
поэтому можно утверждать следующее:
Следовательно , если такой g принадлежит всем Vj(j > 0) одновре-
одновременно, то это возможно, только если ЦдЦ^ = 0, отсюда д = 0. Это
доказывает E.17).

5.2. Масштабирующая функция
Пространство V := Ц/ К/ инвариантно по отношению к сдвигам
Tk (к £ Z) и растяжениям D2j (j G Z); с другой стороны, ступен-
ступенчатые функции со скачками в двоично-рациональных точках к • 2J
плотны в L2. Поэтому для доказательства второго утверждения до-
достаточно доказать следующее:
Функция f := l[-i,i[ принадлежит V, если и только если \q\ = 1.
Отношение / £ V может быть описано следующим образом: функ-
функция / может быть аппроксимирована в смысле L2 сколь угодно точ-
точно ее проекциями P-jf при j —> оо, т. е.
lim P4f = f.
В соответствии с общими принципами это эквивалентно
lim ||Р_,/||2 = Ц/Ц2 = 2. E.18)
:/->оо
Зафиксируем на время j > 0. Из E.7) следует
и, значит,
цр_,/н2 = $>12.
к
Коэффициенты Ck могут быть вычислены следующим образом:
1 1 N-k
ск = jj~iJ^)dt = 2j/2 [ ф{2Н-к)(И = 2~j/2 [ ~fi(f)dtf,
-1 -1 -N-k
E.19)
где мы обозначили 2J =: N для краткости.
Ниже буква С обозначает различные положительные постоян-
постоянные, которые могут зависеть от выбранной масштабирующей функ-
функции </>, но не от j ( соответственно N) и &, а буква 0 обозначает
различные комплексные числа с абсолютной величиной < 1.
Из E.16) для произвольного а > 0 получаем оценку
оо
\<j>(t)\dt<2j^dt=^. E.20)

156 Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
Для того, чтобы обеспечить большую свободу при последующем
обсуждении сходимости, выберем теперь е G ]0,1]. Из E.20) следует,
что существует такое М G N, что
E.21)
Приступим теперь к оценке интеграла, стоящего в правой час-
части E.19). Мы можем предположить с самого начала, что N := 2J^ М,
и рассматривать три случая:
(а) Если \к\ ^ N - М, то получаем -N -к < -N + (N - М) = -М
и аналогично N — к ^ N — (N — М) = М. Вследствие E.21)
можно заключить, что
ск = 2-j/2(q + Qe),
откуда легко получить
(б) Если N — М < \к\
, то неравенство
N-k
\-N-k
означает, что имеет место оценка |сл| ^ 2
(в) Если |&| > N + М и, скажем, к > 0, то для верхнего предела
рассматриваемого интеграла получаем N-k ^ -М < 0. С уче-
учетом E.20) это означает, что соответствующие ск оцениваются
как
'"«■-- A:-TV-
Суммируя по всем таким к, получаем
с2
(к - Щ2
Учитывая соответствующие номера к в двух случаях (а) и (б),

5.3. Построения в частотной области 157
мы получаем следующее представление ||Р_^/||2:
= B • Bj - М) + lJ~j{\q\2 + Све) + 2"'"вDМС + £) =
= B |<?|2 + Све) + 2->вBМ(|д|2 + С) + 4МС + ■£)•
М
Полагая j —> оо, можно заключить, что
lim ||Р_,./||2 = 2|д|2 + Све.
J—оо
Так как е > 0 произвольно, то очевидно, что E.18) справедливо,
если и только если \q\ = 1. ■
5.3. Построения в частотной области
Мультиразрешающий анализ «инвариантен» (а) по отношению к це-
целочисленным сдвигам по временной оси и (б) по отношению к ра-
растяжениям, кратным степеням 2. Для того, чтобы в полной мере
использовать эту внутреннюю симметрию, нам следует перевести
фактическое построение допустимых масштабирующих функций ф
и соответствующих первичных вейвлетов ф в частотную область
(«область Фурье»). Как следствие такого перехода нам предстоит,
например, выразить ортонормированность фо^ = ф(- — к) в терми-
терминах свойств ф; конечно, нам потребуется отображение уравнения
масштабирования в частотную область и т. д.
Для произвольной функции ф Е L2 можно записать
2тг
Интеграл в правой части можно рассматривать как интеграл по
Z х [0,2тг]. Если изменить порядок интегрирования и суммирования,
то функция

158 Глава 5. Мультиразрешаюгций анализ (МРА)
представляет собой новый внутренний интеграл. По теореме Фуби-
ни Ф определена почти всюду, сначала на [0,2тг], а затем на всем R
как 2тг-периодическая, и поэтому
2тг
О
Докажем, в первую очередь, следующую лемму:
E.9) Целочисленные сдвиги фк := ф(- — к) произвольной функции
ф £ L2 образуют ортонор мир о ванную систему, если и только если
выполняется следующее равенство:
^ Л 2 1
Ф (£) := 22 Ф (£ + 2тг/) = — (для почти всех (ER). E.22)
Доказательство. Из соображений симметрии достаточно рассмо-
рассмотреть скалярные произведения вида (</>о, </>&). Они вычисляются сле-
следующим образом:
(Фо,Фк) = (
2тг 2тг
= 2тгФ(-к).
Это означает, что условие ортонормированности (фо,ф]е) =
эквивалентно
а последнее, очевидно, означает, что Ф (£) = ^ почти всюду. ■
Следующим пунктом нашей программы является уравнение мас-
масштабирования
ф(t) = у/2^НкфBt - к) (для почти всех t e R). E.23)
к
Беря преобразование Фурье от обеих частей E.23), мы получаем,

5.3. Построения, в частотной области 159
используя правила (Ш) и (П2), равенство
Рассматривая эту формулу, мы вводим (пока только формально)
функцию
которую будем называть производящей функцией мультиразрешаю-
щего анализа. Вследствие того, что \\h.\\ = 1, ряд E.24) по Теореме
B.4) сходится почти всюду и определяет Н как 2тг-периодическую
функцию. В том случае, если лишь конечное число hk не равняется
нулю, Н является тригонометрическим полиномом.
Очевидно теперь, что уравнение масштабирования E.23) в ча-
частотной области записывается как
=* (!)*(!)•
E.25)
Таким образом, можно сказать, что «сверточное» уравнение E.23)
в частотной области заменяется на относительно простое функцио-
функциональное уравнение, характеризуемое поточечным умножением зна-
значений функций.
Если ф является масштабирующей функцией, то E.22) и E.25)
выполняются одновременно, и поэтому можно записать следующую
цепочку уравнений:
-?К!)ГКЙ
■(К1)Г*КНН
Так как ^ здесь произвольно, то можно заключить, что условие состо-
состоятельности E.4) в частотной области принимает следующий вид:

Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
E.10) Производящая функция Н мулътиразрешающего анализа удо-
удовлетворяет равенству
\Н (и)\2 + \Н (и + тг)|2 = 1 (почти для всех и £ Щ.
Это, конечно, означает, что Н равномерно ограничена на R:
|Я(о;)|<1 (и€Щ. E.26)
Более того, так как по E.11) ф@) Ф О, то из E.25) следует, что
Н@) = 1 и, следовательно, из E.10) получаем #(тг) = 0.
Наша следующая цель заключается в том, чтобы как можно более
подробно описать пространство Wo, т.е. ортогональное дополнение
Vo в большем пространстве V-\. Обладая таким описанием, мы по-
получаем возможность дать явную формулу возможного первичного
вейвлета ф, принадлежащего данной масштабирующей функции ф.
Начнем с V_i. Любая / G V_i может быть представлена в виде
/ = X)/**-i.*. fk = (f,4>-i,k) (*eZ),
к
и, беря преобразование Фурье от обеих частей, получаем (ср. с ана-
аналогичными вычислениями для масштабирующей функции ф)
E-27)
Введем (по аналогии с тем, как это было сделано для функции Н
выше) функцию
"*/@:= 4? £/*«"'*• E-28)
При этом формула E.27) переписывается в виде
ПО = т, @ ф (|) . E.29)
Ряд E.28) сходится почти всюду для £ G М/2тг; поэтому можно
сказать, что представление E.29) справедливо для почти всех £ £ R.
Приведенная выше цепочка рассуждений может быть обращена:
если E.29) справедливо для некоторой функции т/ £ 1^, то / £ V_i.
Функция / £ Wo С V-i ортогональна Vo, и поэтому как след-
следствие получаем (/,фо,к) = 0 для всех к £ Z. Это, в свою очередь,

5.3. Построения в частотной области 161
означает, что
2тг
Y,/К + 2*0 ф((. + 2тг!) 1 e**«de = 0 Vfc€Z
для такой функции /. Последнее утверждение возможно только если
периодическая функция
равна нулю для почти всех £ Е М/2тг. В последней сумме мы снова
разделяем частичные суммы, соответствующие четным и нечетным
значениям Z, затем выражаем / с помощью E.29) и аналогично ф
с помощью E.25), обращая внимание на то, что т/ и Н являют-
являются 2тг-периодическими. В итоге мы получаем следующую цепочку
уравнений, в конце которой мы снова используем E.9):
0 = ]Г/(С + 4тгО ф(£ + 4тг/) + ]Г/ (f + 2тг + 4тг/)<£(£ + 2тг + 4тг1) =
2
^ + тг + 2тг/ 1
Оказывается, что мы доказали следующее равенство:
rrtf (и) Н (и) 4- rrtf (oj + ir) H (oj + ir) =0 (для почти всех wGR).
E.30)
Формулы E.10) и E.30) вместе могут быть перефразированы
следующим образом: для (почти) всех фиксированных и вектор
есть единичный вектор в унитарном пространстве С2, а вектор
ш/ := (т/ (и), rrtf (ш + тг))
ортогонален к Н.
6 - 10643

162 Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
Легко видеть, что Н и следующий вектор
Н' :=
совместно образуют ортонормированный базис С2. В соответствии
с общими принципами это означает, что
m/:=A(w)H', E.31)
где коэффициент Л (uj) определяется по формуле
Л (uj) = (ш/, Н') = га/ (uj) Я (uj + тг) - га/ (uj + тг) Я (uj).
Функция uj \—► А (о;) удовлетворяет равенству Л {uj 4- тг) = —Л (о;),
следовательно существует 2тг-периодическая функция */ такая, что
Л (о;) = eiwv Buj) . E.32)
Подставляя это выражение в E.31) и выделяя первую составляющую
вектора, получаем следующее представление т/:
ш/ (о;) = eia;i/ Ba;) Я(а; + тг).
Подставляя это в E.29), окончательно получаем для / следующее
выражение
2*/ (О Я Г| + Л
ф f^\ (для почти всех ^ G R). E.33)
Проведенное обсуждение приводит нас к следующей теореме:
E.11) Функция f G L2 принадлежит пространству Wo, если и
только если существует функция v(-) E L2 такая, что f может
быть записана в виде E.33).
Доказательство. Мы уже показали, что f e Wo означает суще-
существование 2тг-периодической функции v : Ж —> С такой, что / имеет
представление в виде E.33). Решая E.32) относительно v (•), мы по-
получаем выражение v (£) — е~^/2А (£/2) и из E.31) получаем
И012 =
А - =

5.3. Построения в частотной области 163
Это означает, что
2тг
IM|2 :=
{w+7г)|2)
Наоборот, если E.33) верно при некоторой v (•) Е
лучаем E.29) с
^, то мы по-
поВследствие E.26) мы заключаем, что га/ G 1^, а это, в свою
очередь, означает, что / G VIi. Более того, справедливо
т/ := (т/ (о;), т/ (о; + тг)) = eia;i/ Ba;) (#(и; + 7г), -Я (a;)) =
что доказывает, что вектор т/ ортогонален к Н почти для всех uj.
Это означает, что E.30) верно для почти всех о;; с другой стороны,
для f G V-i это эквивалентно тому, что /_LVo. H
Используя равенство E.33), мы теперь определим первичный вей-
вейвлет ф, соответствующий данной ф, следующей формулой:
E.34)
Оказывается, что, получив такую запись, мы достигли цели:
E.12) Если первичный вейвлет ф определен формулой E.34), то
система функций (фоук \k e Z) образует ортонормированный базис Wo.
Доказательство. Согласно E.9) ортонормированность фо^ дока-
доказывается с помощью следующих вычислений:

Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
Так как 1 Е 1^, то из E.11) теперь следует, что ф Е Wo, откуда
понятно, что все целочисленные сдвиги фо,к также принадлежат Wo-
С другой стороны, рассмотрим произвольную / Е Wo- По Тео-
Теореме E.11) и соответственно из E.33) и E.34) нам известно, что
существует v (•) Е L2O такая, что
/ (£) = v (О ф(£) (для почти всех £ Е Ш). E.35)
Функция */(•) может быть разложена в ряд Фурье Х^е~г*^, и по
к
теореме Карлесона B.4) этот ряд сходится почти всюду к v (£). Из
этого следует, что мы можем заменить E.35) на
почти всех ^ G R).
к
Теперь очевидно, что это ничто иное, как преобразование Фурье
представления
Y^- к) соотв. f = ^2
к к
где стоящий справа ряд сходится в L2. Все вместе доказывает, что
фо,к, разумеется, образует ортонормированный базис в Wo. Ш
Масштабирующая функция ф не определяет соответствующий
первичный вейвлет ф однозначно, и вследствие этого формула E.34)
может в определенной мере изменяться. Например, допускается до-
дополнение ее множителями etae~lN^ с a G М, N G Z. Дополнительный
множитель e~lNt в ф соответствует сдвигу графика ф на N единиц
вправо. В таком же духе, в зависимости от обстоятельств, можно
добиться того, чтобы ф имел такой же носитель, что и ф.
Формула E.34) дает только выражение для преобразования Фу-
Фурье вейвлета ф. Для получения собственно функции ф необходимо
перейти от E.34) обратно во временную область. Используя E.24),

5.3. Построения в частотной области
получаем
где в самом конце мы произвели подстановку к := — к1 — 1 (&' Е
Следовательно, формула E.34) может быть заменена на
V (О = -7= > (-1) АГьТе-1**/2^ " • E-36)
В соответствии с правилами (Ш) и (ПЗ) последняя формула —
это не что иное, как преобразование Фурье представления
■■-к). E.37)
к
Для получения формул более удобного вида положим
—1) ti-k-1 ='. дк- (o.ooj
При этом E.37) принимает вид
ф({) = \/2^2дкфBг- к), E.39)
к
т. е. имеет точно такую же структуру, что уравнение масштабиро-
масштабирования E.12). Возможно и другое приемлемое определение дк в виде
\к
9к := (-1)" Ь2*-!-*. E.40)
Если, например, отличны от нуля только /ifc,0 ^ к ^ 2iV — 1, то из
E.40) следует, что то же самое справедливо и для дк, и все сумми-
суммирования в соответствующих алгоритмах (см. Параграф 5.4) прово-
проводятся по множеству индексов {0,1, ..., 2iV — 1}.
Изложим полученные выше результаты в виде следующей теоремы:
E.13) Положим, что (Vj \ j G Z) задает мультиразрешающий ана-
анализ с масштабирующей функцией ф и производящей функцией Н и
пусть первичный вейвлет ф определяется посредством E.34) и со-

Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
ответственно E.37). Тогда система функций
(VM Ij € Z, k e Z), tfM (t) :=
лвллегасл ортонормир о ванным вейвлетным базисом Ь2(Ш).
Доказательство. Рассмотрим фиксированный индекс j Е Z. Так
как согласно E.12) t/>o,fc образуют ортонормированный базис Wo,
то, как непосредственно следует после небольших вычислений из
принципа E.9), (ф^к | & Е Z) образуют ортонормированный базис
Wj. Утверждение теоремы теперь следует из Предложения E.1). ■
Пример 5.3. В качестве первого примера снова рассмотрим муль-
тиразрешающий анализ Хаара (см. Пример 5.2). Теперь мы уже мо-
можем сконструировать первичный вейвлет ф в соответствии с по-
положениями общей теории. Легко убедиться в том, что ф := фнааг
имеет в качестве преобразования Фурье функцию
С другой стороны, подставляя теперь значения hk, вычисленные
в E.15), в E.24), получаем следующую производящую функцию:
Я (О - ~= A + е-«) = cos |e-*/2. E.42)
Очевидно, что в этом случае функциональное уравнение E.25)
выполняется. Формула E.34) теперь дает
-г sin2 ($/4) i£/2
что совпадает с A.15) с точностью до множителя — ё1^. Это озна-
означает, что ф, который мы здесь создали, сдвинут на одну единицу
влево и умножен на —1 по сравнению со «стандартным» вейвлетом
Хаара. Этот факт подтверждается, если мы теперь вычислим дк с
помощью E.38):
1 ^ ^

5.3. Построения в частотной области 167
полагая все остальные gk равными нулю. Это дает
_ 1 1
соответственно ф (t) = ф Bt + 1) — ф Bt + 2), как отмечалось выше.
Читатель может самостоятельно убедиться в том, что альтернатив-
альтернативное определение E.40) коэффициентов gk (в данном случае N = 1)
приводит к стандартному фнааг, который обладает носителем, со-
совпадающим с носителем фнааг- П
Пример 5.4. В качестве второго примера рассмотрим так называ-
называемый вейвлет Мейера. Для его создания мы снова используем вспо-
вспомогательную функцию
|0 (Ж 0),
v (х) := I Юж3 - 15ж4 + 6ж5 @ ^ х ^ 1),
I 1 (х>1),
изображенную на Рис. 4.6 (эта v (•) не имеет ничего общего с функ-
функцией !/(•), появившейся в Теореме E.11)). Положим
Ьсое (fi
о (К| > f)
(см. Рис.5.2). Это задание определяет функцию ф G L2, о которой
мы сразу можем утверждать следующее: из того факта, что ^ имеет
компактный носитель, следует, что ф G С°° и поскольку ф G С2
предположение E.16) Теоремы E.8) удовлетворяется для ф; более
того, имеем
как это требуется для Ц^ ^S = £2 (см. E.8)).
В соответствии с Предложением E.9) исследуем теперь функцию
Даже беглого взгляда на Рис. 5.2 достаточно для того, чтобы убе-
убедиться в выполнении условия E.22) в интервале £ G [^, ^-]. В этом

168 Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
интервале только два члена, соответствующие / = 0 и / = 1, вообще
дают вклад в Ф (£). Вследствие
1/A-2?) = 1-1/B?) (ХЕШ)
получаем, что при
х
Т" справедливо
что и требовалось.
-4тг/3
Определим теперь (совершенно произвольно) 2тг-периодическую
функцию
Н (О := V^ ^2 Ф Bf + 47г/) E-43)
(для каждого заданного £ G М — это конечная сумма!) и убедим-
убедимся, что Н и ф фактически связаны друг с другом функциональным
уравнением
имеет в качестве своего носи-
носичто соответствует общей теории.
Доказательство. Функция £ н-> ф (| J
теля интервал [— ^, ^f] . С другой стороны, все функции ф (• 4- 4тг/),
соответствующие / ^ 0, тождественно равны нулю на этом интер-

5.3. Построения в частотной области
вале. Поэтому как мы уже знаем
н B
E.44)
Но для ф на носителе [-^, у] верно равенство ф (§ J = -4^ . Это
означает, что при всех £ правая часть E.44) равна ф (£), как и долж-
должно быть. ■
Согласно только что доказанному, функция ф удовлетворяет так-
также и уравнению масштабирования, и поэтому все требования муль-
тиразрешающего анализа выполнены. Формула E.34) дает следую-
следующее выражение для допустимого первичного веивлета в этом случае:
4тг/)ф (|) =
2тг) + ф(£ - 2тг))
Соответствующий ^ называется вейвлетом Мейера. Легко прове-
проверить, что данный вейвлет с точностью до «фазового множителя»
ег^/2 представляет собой не что иное, как вейвлет Добеши - Гроссма-
Гроссмана-Мейера D.24), соответствующий размерам шага а := 2, C := 1.
За деталями мы отсылаем читателя к Примеру 4.4. В этом примере
x/tj^k образуют только фрейм. Благодаря дополнительному множи-
множителю ег^/2, полученному из общей теории, теперь мы даже имеем в
своем распоряжении ортонормированный вейвлетный базис.
На Рис. 5.3 и 5.4 приведены масштабирующая функция ф и соб-
собственно вейвлет Мейера ф во временной области. □
В начале Параграфа 5.2 были приведены три группы требова-
требований, которым должна удовлетворять масштабирующая функция ф:
во-первых, 0о,к должны образовывать ортонормированную систему,
во-вторых, должно выполняться условие нормировки E.11), обеспе-
обеспечивающее отделимость и полноту, и, в-третьих, естественно, долж-
должно иметь место уравнение масштабирования. В завершение насто-
настоящего параграфа мы продемонстрируем, каким образом данная ф,
удовлетворяющая только второму и третьему из указанных усло-
условий, может быть усовершенствована таким образом, что получаю-
получающаяся ф# является масштабирующей функцией, принадлежащей к

Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
тому же исчерпыванию (Vj \ j Е Z) пространства L2 и такой, что ее
целочисленные сдвиги ф# (• — к) образуют фактически ортонорми-
рованную систему.
Рис. 5.3. Масштабирующая функция веивлета Мейера
Рис. 5.4. Вейвлет Мейера
E.14) Предположим, что функция ф G LlC\L2 удовлетворяет урав-
уравнению масштабирования, а также условию J ф (t) dt ф 0 и пусть
пространства Vj С L2 определяются как в E.5)-E.6). Тогда, если
существуют константы В ^ А> 0 такие, что
\
'-=^2
27г1)\
(для почти всех £е Ж),

5.3. Построения в частотной области
справедливо следующее:
(а) Семейство (ф(- — к) \ к Е Z) образует базис Рисса в Vo; в
частности, оно является фреймом для Vo с фреймовыми констан-
константами 2жА и 2кВ.
(б) Если определить функцию ф# через ее преобразование Фурье
Ф(О
Ф* (О :=
то ф# определяет мультиразрешающий анализ с теми же про-
пространствами Vj. Это означает, в частности, что функции
{ф* (• - к) | к е Z) образуют ортонормированный базис Vo.
Доказательство, (а) Мы покажем, что для произвольной
верны следующие неравенства:
Преобразование Фурье функции / определяется как
Т =
и поэтому мы получаем
2тг
'/
Е «
Аналогичным образом доказывается неравенство для А, а Тео-
Теорема D.6) показывает, что ф{- — к) тем более образуют фрейм.
(б) Так как ф Е L1, то функция ф непрерывна, а это означает в
свою очередь, что непрерывны
1
/2тгФ
, ф#.
Две из этих функций \/2тгФ и 1/\/2тгФ принадлежат L2,. Обозначая

172 Глава 5. Мультиразрешающий анализ (МРА)
коэффициенты Фурье функции 1/\/2тгФ через а*, получаем
: = У^ а>ке~гк^ (для почти всех
и следовательно
ф* (£) = ^ аке~1к*>ф(£) (для почти всех f € R).
Переводя последнее уравнение во временную область, мы прихо-
приходим к заключению, что
а это в свою очередь означает, что V^ С Vo. Подобным же образом,
используя разложение Фурье ч/2тгФ, доказывается включение Vo С
С Vqf. Из сказанного следует, что каждое пространство Vj совпа-
совпадает с соответствующим Vj.
То, что ф* (• -к) ортонормированны, непосредственно следует
из E.9).
Но наше доказательство еще не закончено. Необходимо еще пока-
показать, что ф# удовлетворяет условию нормировки E.11), что эквива-
эквивалентно утверждению, что для Vj выполняются аксиомы отделимости
и полноты.
Так как Vo С F_i, то модифицированная масштабирующая функ-
функция ф# также удовлетворяет некоторому уравнению масштабирова-
масштабирования, а также равенству вида E.25):
# (О = Я#(|) £#(|). E.45)
По предположению о ф имеем ф @) ^0 и, следовательно, также
Ф* @) ф 0.
Отсюда мы можем заключить из E.45), что Я#@) = 1 и, более
того, что Н# непрерывна в окрестности нуля. Так как Н# удовле-
удовлетворяет равенству E.10), то получаем Н# (тг) = 0. Докажем теперь,
что верно следующее:
0#Bтг/) = О V/eZ\{0}.
Доказательство. Для любого данного / ф 0 существуют г G N и
п G Z, такие, что / = 2гBп + 1). Если соотношение E.45) применить

5.4- Алгоритмы 173
рекуррентно г раз, то получим получаем
г-1
ф#Bтг1) = ДЯ# Br~j Bn + 1) тг) ## (Bп + 1) тг) ф* (Bп + 1) тг) = О
вследствие того, что Н# равна нулю при значениях аргумента, крат-
кратных нечетному количеству тг. ■
В силу только что доказанного получаем теперь
как и требуется в соответствии с E.11).
5.4. Алгоритмы
На время мы прервем изложение общей теории для того, чтобы нако-
наконец представить «быстрые алгоритмы», о которых мы неоднократ-
неоднократно говорили в предыдущих главах. В рамках мультиразрешающего
анализа такие алгоритмы получаются почти автоматически в от-
отличие от Фурье-анализа, для которого потребовались века от его
изобретения (Леонардом Эйлером) до появления БПФ.
Возможно, у читателя сложилось впечатление, что многочислен-
многочисленные множители у/2 и 4=, появляющиеся в предыдущих параграфах,
представляют собой нечто излишнее и их можно было бы избежать
при более тщательном рассмотрении определений и обозначений.
Истина же заключается в том, что все приведенные нами соглаше-
соглашения вполне оправданы: все построено таким образом, что эти мно-
множители встречаются не чаще, чем тогда, когда они действительно
необходимы, а именно при повторных численных расчетах.
Генератором, который приводит в действие быстрые вейвлетные
алгоритмы, является уравнение масштабирования
k) E.46)
совместно с аналогичным уравнением для ф. Последнее, в соответ-
соответствии с E.39), может быть записано в виде
k), E.47)

Глава 5. Мулыпиразрешающий анализ (МРА)
и коэффициенты д^ в E.47) связаны с hk в соответствии с E.38) или
E.40). Из E.46) для произвольных.; € Z, n е Z выводится равенство
£ Л^ (гРГ " 2П " *) •
Это может быть записано в виде соотношения
<А?> = 2^^^i-i,2n+ik Vj, Vn, E.48)
которое представляет собой рекуррентную формулу (j>j-\,. ~> 0j,..
Аналогично получаем из E.47) формулу
^> = ^29k(l>j-i,2n+k Vj, Vn, E.49)
которая позволяет переходить от массива </>j-i,. к массиву ifrj,..
Теперь мы переходим к анализу временного сигнала / Е L2, про-
проделав который, мы намерены снова его синтезировать, чтобы полу-
получить его в исходном виде. Во всем этом процессе следует выбрать
самый тонкий масштаб; мы можем предположить, что он связан с
j = 0. Поэтому анализ начинается с вычисления
ао,к := (f,<t>o,k) := J f(t)(/>(t-k)dt.
Эти величины могут быть вычислены, например, с помощью чи-
численного интегрирования. Возможен и такой случай, когда / изна-
изначально задается в виде дискретного массива (/ (к) \ к Е Z). В подоб-
подобных обстоятельствах просто полагаем
ао,л :=/(*) (*€Z).
Это не столь натянуто, принимая во внимание тот факт, что
/ ф (t) dt = 1 и в особенности в том случае, когда ф имеет неболь-
небольшой по протяженности носитель и последовательные значения / не
сильно отличаются. Таким образом, в дальнейшем обсуждении на-
наше основное допущение в отношении / может быть сформулировано
следующим образом:
Pof = /,ао,кФо,к-
к
Далее вейвлетный анализ происходит в направлении возрастаю-
возрастающих значений j, а это означает — в направлении волн все большей

5.4- Алгоритмы
длины или соответственно все более протяженных деталей сигна-
сигнала /. Опишем теперь непосредственно шаг j — 1 -w j. Пусть j > 1 и
положим
Pj-if = ^2<ij-i,k<l>j-i,k , Q>j-i,k = {f^j-i,k) , E.50)
A:
где величины a^-i,* известны и хранятся в виде массива. Интуитив-
Интуитивно понятно, что изображение Pj-if описывает все детали / протя-
протяженности > 2-7' по временной оси (в Параграфе 5.1 было приведе-
приведено подробное обсуждение). Нашей первоочередной задачей является
вычисление величин a,j,n (n E Z). Используя E.48), получаем
так что мы можем записать следующую рекуррентную формулу для
перехода от aj_i,# к а^,.:
Массив а^,# содержит информацию о следующем более грубом при-
приближении /, а именно
А:
Приближения Pj-if и Pj/ связаны друг с другом формулой
где Qj определяет ортогональную проекцию на Wj. Образ Qjf со-
содержит все детали /, которые имеют временную протяженность по-
порядка ~ 2-7/л/2. Так как (i)j,k I к Е Z) образует ортонормированный
базис W}, мы можем записать
Qjf = '%2dj,kil>j,k,
к
и с учетом E.49) коэффициенты, появляющиеся в этой формуле,
определяются как
Выражая скалярные произведения справа с помощью E.50), мы
тем самым получаем следующую формулу для «диагонального» шага

Глава 5. Мультиразрешающий анализ (МРА)
ОТ CLj-i m К
Та информация о временном сигнале / , которая была получена
при переходе от Pjf к Pj-if , теперь запоминается в массиве dj,..
В отличие от «промежуточных» величин о^* , dj,k действительно
являются коэффициентами вейвлетов.
В итоге мы получаем следующую каскадную схему, в ходе выпол-
выполнения которой на каждом шаге сигнал / загрубляется на множитель
два, и в то же самое время из него извлекаются детали, имеющие
временную протяженность порядка ~ 2J/\/2:
h h h h h
E.51)
Вейвлетный анализ E.51) данного временного сигнала / закан-
заканчивается после J шагов, где число J определяется естественным
образом (см. ниже). Зададим теперь следующий вопрос: Сколько
арифметических операций необходимо для проведения этого ана-
анализа? Для установления основных идей сначала предположим, что
масштабирующая функция ф имеет компактный носитель. Как мы
знаем из E.7) в этом случае числа а (ф) и b (ф) целые. В соответствии
с обозначениями, которые используются ниже при рассмотрении из-
известных примеров, примем, что
Как следует из E.7), только коэффициенты hk с 0 ^ к ^ 2N — 1
отличны от нуля, и то же самое относится к дь, если принято согла-
соглашение E.40).
Введем следующие обозначения: если х. произвольный массив с
множеством индексов Z, то формулы
supp (x.) С [р, q[, length (x.) ^ q - р
выражают тот факт, что по большей мере Xk, р ^ к ^ q не рав-
равны нулю и что по крайней мере рассматривается и соответственно
запоминается q — р отдельных членов (числа р и q не обязательно
целые).

5.4- Алгоритмы
В массиве ао,. записана вся используемая информация о времен-
временном сигнале /. Для простоты предположим, например,
supp (а0,.) С [0,2J [, length (а0,.) = 2J.
Мы утверждаем, что при описанных обстоятельствах носители
массивов о,,, ограничены следующим образом:
supp (ajt.) С [-2N + 2,2J~i [ (j > 0). E.52)
Доказательство. Для j = 0 утверждение верно по определению.
Для шага j — 1 -w j можно предположить, что j > 1 и что
supp (а,_1,.) С [-2ЛГ + 2,<?[, q := 2J~^~l\
Вследствие
2ЛГ-1
компонента а^,п может быть не равна нулю, только если два множе-
множества
{2п,2п + 1,...,2п + 2ЛГ-1} и [-2ЛГ + 2,д[
имеют непустое пересечение, а для этого необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись неравенства
2n< q Л 2п + 2АГ - 1 > -2АГ + 2.
Первое неравенство означает, что п < q/2 = 2J~J, а второе что
n>-2JV+f.
Таким образом, мы можем заключить, что supp (a?,.) ограничен,
как утверждается в E.52). ■
Формула E.52) означает, что процесс заканчивается за J шагов,
так как после этого supp (a?,.) остается неизменным при [—2АГ + 2, 0].
Какое количество умножений требуется для осуществления вычисле-
вычислений? (Для простоты мы пренебрегаем сложениями.)
Вычисление определенного значения а^,п требует по большей ме-
мере length (h.) = 2N умножений. С другой стороны, из E.52) мы
получаем
length (a,-.) ^ 2J~i + 2N-2 (j > 0),
и для length (dj^) мы очевидно имеем ту же оценку. Учитывая все
вместе, мы получаем следующую верхнюю оценку для общего числа

Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
/х умножений, необходимых для полного анализа данного сигнала /:
j
fi^2'2N-J2 B J~j + 2АГ - 2) = 4АГ BJ - 1 + J BАГ - 2)).
Это означает
/х ^ 21ength (Л.) length (а0,.) A + о A)),
т. е. число требуемых операций линейно зависит от длины входа.
Начиная с ао,. и действуя описанным выше способом, мы за J > 1
шагов вычисляем массивы коэффициентов
di,., d2,., ..., dj,., aj,.
(прюмежуточные массивы или массивы «врюменного хранения» ао,.,...,
oj-i,. более не нужны). Общая длина этих массивов приблизитель-
приблизительно равна length (ао,.), так что на первый взгляд мы ничего не вы-
выигрываем в объеме памяти. Но здесь следует иметь в виду, что
определенные массивы коэффициентов dj,m будут содержать длин-
длинные последовательности не принимаемых в расчет значений d^*, за-
зависящих от тонкой структуры временного сигнала / в различных
участках временной оси. Отбрасывая все djtk, величины которых
по абсолютной величине меньше некоторого порога, и очищая со-
соответствующие ячейки памяти, мы достигаем значительных коэф-
коэффициентов сжатия без существенной потери информации. За более
подробными примерами мы отсылаем читателя к [19].
Перейдем теперь к процедуре синтеза: при этом мы получим ал-
алгоритм такой же сложности. Так как шаг j — 1 -w j соответствует
замене ортонормированного базиса </>j-i,. пространства V}_i на со-
соответствующий ортонормированный базис 0j,. U^j,.» TO обратный
шаг j' -w j — 1 не требует обращения какой-нибудь матрицы. Более
подробно:
Pj-if = Pjf + Qjf = $^aifft0ifft + ]T
к к
и, следовательно,
Скалярные произведения, стоящие справа, могут быть вычисле-
вычислены с помощью E.48) и E.49):

5-4- Алгоритмы
так что в результате получаем следующую формулу синтеза:
Таким образом, мы получаем в качестве дополнения к E.51) «вос-
«восходящий» каскад, который использует массивы коэффициентов
как исходные данные и окончательно получает ао,., т. е. Pof в каче-
качестве выхода:
Оставляем читателю в качестве упражнения вычисление общего
числа умножений /х, необходимых для синтеза. Получаемое число
будет приблизительно в два раза больше соответствующего числа
умножений flfiui «нисходящего» каскада E.51).
Заключенные в рамки формулы анализа и синтеза указывают на
то, что для начала конкретных вычислений нам необходимо иметь
только таблицу hk и д^. Ни масштабирующую функция ф, ни вей-
влет ф не надо запоминать ни численно, ни в каком другом виде, и
их не надо восстанавливать после окончания вычислений. (Кстати,
вообще можно не иметь никакого представления о соответствующей
теории).
В [D] читатель может найти большое количество таких таблиц;
они относятся к различным вейвлетам ^, которые по различным
причинам доказали свою эффективность. Приводимый на следую-
следующей странице пример подобной таблицы относится к так называе-
называемому вейвлету Добеши з^? имеющему носитель [0,5].

Глава 5. Мулътиразрешающий анализ (МРА)
к
0
1
2
3
4
5
hk
0,3326705529500825
0,8068915093110924
0,4598775021184914
-0,1350110200102546
-0,0854412738820267
0,0352262918857095
9k = (-1)%-*
0,0352262918857095
0,0854412738820267
-0,1350110200102546
-0,4598775021184914
0,8068915093110924
-0,3326705529500825
E.53)
Мы сконструируем этот вейвлет в Примере 6.3 ab ovo, и только
там мы увидим, как появляются табулированные значения hk-
Пример 5.5. (Продолжение 5.4) Мы еще не вычислили hk, соот-
соответствующие вейвлету Мейера. Сделаем это теперь. Производящая
функция Н (•) задается формулой E.43) и является четной функ-
функцией, так же как и масштабирующая функция ф. Таким образом,
принимая во внимание E.24), последовательно получаем
4тг/)оов(*0 de.
В последней сумме только член, соответствующий / = 0, вносит су-
существенный вклад в интеграл, откуда получаем
hk = h.k = ^= / £B0 сое
v ж J
о
Эти интегралы должны быть посчитаны численно. Вследствие^
того, что в построении используется функция v (•), получающаяся ф
имеет 4-скачок в двух точках ±^р и 3-скачок в точках =Ь^; за ис-
исключением этих точек она бесконечно-дифференцируема. Это озна-
означает (см. пример 1.2), что при к —> оо коэффициенты hk убывают
только как 1/к4. Численные расчеты дают следующие величины:

5.4- Алгоритмы
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
hk = h-k
0,748791
0,442347
-0,039431
-0,127928
0,033278
0,057120
-0,025807
-0,025310
0,016000
0,009538
-0,008556
к
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
hk = h-k
-0,002451
-0,003416
0,000058
-0,000647
0,000225
-0,000329
0,000061
0,000333
-0,000231
-0,000059
0,000174
к
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
hk = h—k
-0,000115
-0,000027
0,000115
-0,000067
-0,000028
0,000066
-0,000040
-0,000015
0,000046
-0,000027

ГЛАВА 6
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ
ВЕЙВЛЕТЫ
С КОМПАКТНЫМ
НОСИТЕЛЕМ
6.1. Основная идея
Мы ставим перед собой задачу получения масштабирующей функ-
функции ф : R —> С, обладающей следующими свойствами:
(а) ф £ L2, supp (ф) компактен,
(б) ф(г) = >/2Х>*0B* - к) соответственно ф(£) = Н (§) ф UY
(в) / ф (t) dt = 1 соответственно ф @) =
,2
2
(г) J ф(г) ф(г — k)dt = Sok соответственно Y1 \Ф (^ + 2тг/) = ^.
Если все эти условия выполнены, то согласно Теореме E.13) су-
существует ортонормированный базис вейвлетов il)j,k с компактным
носителем. ^
Из условия (а) немедленно следует ф € L1 и ф € С°°; более то-
того, как следует из E.6) только конечное число коэффициентов hk
отлично от нуля. Из этого следует, что производящая функция
я ю-£!>-"•
является тригонометрическим полиномом, удовлетворяющим равен-
равенству
2 тг)|2 = 1 (£€R), F.1)
и имеющим следующие специальные значения Н @) = 1,Я(тг) = 0;
см. E.10)).
Систематическое построение полиномов с этими свойствами явля-
является алгебраической задачей, которой мы займемся в следующем

6.1. Основная идея
параграфе. Сейчас же мы будем предполагать, что в нашем распо-
распоряжении имеется такая Н и начнем с того, что покажем, что со-
соответствующая масштабирующая функция 0, если таковая вообще
существует, однозначно определяется с помощью Н.
Применяя (б) г раз рекуррентно, получаем
и поэтому, вследствие (в),
\2J)
если бесконечное произведение сходится. В связи с этим докажем
следующее:
F.1) Пусть производящая функция Н е С1 удовлетворяет равен-
равенству F.1), а также Н@) = 1. Тогда произведение F.2) сходится
локально равномерно на Ш к функции ф е L2.
Доказательство. Полагая
|@|
и используя теорему о среднем дифференциального исчисления, по-
получаем
откуда можно заключить
1
«(*)-
Так как ^2 J = 1, то это в соответствии с общими принципами
означает, что произведение F.2) сходится локально равномерно к
непрерывной функции ф : R —> С. ^
Для того, чтобы доказать, что ф G L2, нам необходимо несколь-
несколько изменить предельный переход от Н к ф с помощью «срезающей
функции». С этой целью положим

184 Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
и определим рекуррентно как в (б),
Это означает, что
Для любого данного £ £ R существует го такое, что
-2г7г<£<2гтг Vr>r0,
и таким образом «срезающий множитель» в F.4) не оказывает ника-
никакого эффекта как только г > tq. Поэтому сравнивая с F.2), получаем
доказательство того, что
более того, мы имеем также и локально равномерную сходимость fr.
Следующим пунктом, который мы рассмотрим, является доказа-
доказательство следующей леммы:
F.2) Для каждого г ^ 0 семейство (fr (• — k) \k £ R)представляет
собой ортонормир о ванную систему.
Доказательство. Вследствие Предложения E.9) утверждение лем-
леммы эквивалентно следующему:
2 1
> (£ + 2тг/) = — (г ^ 0.) F.5)
Теперь рекуррентная формула F.3) для fr дает возможность по-
получить следующую рекуррентную формулу для функций Фг :
(О =
Так как утверждение F.5) очевидно верно при г = 0, то последнее
уравнение и F.1) совместно означают справедливость этого выра-
выражения для всех г ^ 0. ■

6.1. Основная идея
В частности, мы имеем ||/г|| =1 для всех г ^ 0. Используя лем-
лемму Фату, мы следовательно приходим к заключению о предельной
функции ф:
2
2
\ф@ de<limsup/ /r@
I r—юо J I
Это доказывает, что ф Е L2. Ш
Установив существование масштабирующей функции 0, соответ-
соответствующей данной Я, мы теперь должны уделить внимание supp (ф).
Каким образом мы можем удостовериться, что масштабирующая
функция F.2) действительно имеет компактный носитель, при том,
что только конечное число hk не равно нулю? Функции /г, кото-
которые использовались при доказательстве Теоремы F.1), сходящиеся
к ф в L2, определенно не имеют компактного носителя; фактически,
они являются голоморфными функциями комплексной переменной £,
вследствие того, что множества supp (fr) компактны.
Для того, чтобы получить контроль над supp @), мы должны
проводить рассмотрение непосредственно во временной области. По-
Поэтому предположим, что
|Л*/0} 0,
b(h.):=max{k\hk^0} = 2N-1. [ ' j
Если получаемая функция ф в действительности имеет компактный
носитель, то, как мы знаем из E.7), последний ограничен снизу ве-
величиной а(ф) = 0 и сверху величиной Ь(ф) = 2N — 1. Теперь мы
сформируем вторую последовательность (gr \r ^ 0), которая сходится
в некотором смысле к ф; но на этот раз мы удостоверимся, что носи-
носители всех gr лежат в интервале [0,2N — 1], к чему мы и стремились.
Для определения такой последовательности мы напомним вос-
воспроизводящее свойство 0, содержащееся в уравнении масштабиро-
масштабирования E.12). Оно может быть выражено следующим образом: мас-
масштабирующая функция ф является неподвиоюной точкой преобра-
преобразования
27V-1
S:L2-+L2, g^ Sg; Sg(t) := V2 ^ hkgBt - k).
k=o
В функциональном анализе обычная процедура нахождения непо-
неподвижной точки некоторого преобразования 5 состоит в следующем:

186 Глава 6. Ортонормир о ванные вейвлеты с компактным носителем
выбирают подходящую начальную точку до и определяют рекур-
рентно последовательность (gr \r ^ 0) по формуле
дг+г := Sgr (г ^ 0). F.7)
Если начальная точка выбрана удачно, то последовательность схо-
сходится ко вполне определенной неподвижной точке ф преобразова-
преобразования 5. Учитывая E.11), в данном случае мы выбираем до := 1[од[
и определяем последовательность (gr \r ^ 0) в соответствии с F.7).
В первую очередь, мы докажем, что
supp Ы С [0,2N - 1] Vr ^ 0. F.8)
Доказательство. Так как N ^ 1, то утверждение верно при г = 0.
Если F.8) верно для некоторого г, то величина gr+i(t) = Sgr(t)
должна равняться нулю, за исключением того случая, когда два мно-
множества
{2*-BЛГ-1),...,2*-1,2*} и [0,2ЛГ-1]
имеют непустое пересечение; для того, чтобы это имело место долж-
должны выполняться следующие неравенства:
2* ^ 0 Л It - (IN - 1) < 2N - 1,
что эквивалентно тому, что 0 < t < 2AT — 1. ■
Действие 5 в частотной области очевидно дается соотношением
Производя итерацию г раз, получаем для gr формулу
Теперь согласно E.41) мы получаем
до{о = Ж~*/Чпс&) {6-9)
и, следовательно,
lim Зо ( — 1 = ,
r^ooy°\2rJ y/2i
Это означает, что, по крайней мере, в частотной области мы полу-

6.1. Основная идея
чаем то, к чему стремились, а именно
где сходимость является локально равномерной на R.
Скорость сходимости gr к ф существенно зависит от свойств ре-
регулярности 0, о которых на данный момент ничего неизвестно. Из-
Известно только, что «функция» ф принадлежит пространству L2. Тем
не менее, имеет смысл обсудить носитель ф. Утверждение
supp (ф) С [0,2ЛГ-1]
может быть верным, если выполняется условие
Л\[0,2ЛГ-1]
а для последнего достаточно, чтобы ф была бы ортогональна всем
тест-функциям и £ С2, имеющим компактный носитель, не пере-
пересекающийся с интервалом [0,27V — 1]. Это в точности то, что мы
собираемся доказать в следующей лемме:
F.3) Пусть и £ С2 имеет компактный носитель, пересечение ко-
которого с интервалом [0,2N — 1] — пустое множество. Тогда
,.>./
(ф,и) = j </>(t)u(t)dt = O.
Доказательство. Пусть задано е > 0. По условиям, наложенным
на г/, мы знаем, что и £ L1, и поэтому существует такое М > 0, что
e.
Фиксируя М, можно получить такое г ^ 0, что
|Sr(O-?(O| <c (-М<£<М)
более того, из E.26) и F.9) следует, что

188 Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
Вследствие F.8) носители дг и и не пересекаются, поэтому можно
записать
@, и) = (дг, и) + (ф- дг, и) = 0 + (ф - gr, uj ,
так что мы получаем оценку
м
-M
Так как е > 0 была выбрана произвольной, то получаем @, г/) = О,
что и доказывает лемму. ■
В итоге получаем следующую теорему:
F.4) Пусть вектор коэффициентов h. ограничен, как в F.6), и
соответствующая функция Н удовлетворяет равенству F.1), а
также Н @) = 1. Тогда уравнение масштабирования допускает
единственное решение ф G L2, и ф имеет компактный носитель в
интервале [0,27V - 1].
Кстати, итеративная процедура, которую мы использовали в до-
доказательстве F.4) может быть с успехом использована для реаль-
реального численного конструирования ф. На Рис. 6.1 и 6.3 изображены
ступенчатые аппроксимирующие функции gr совместно с ограничи-
ограничивающей масштабирующей функцией ф.
С учетом F.1) и соответственно F.4) масштабирующая функ-
функция ф однозначно определяется посредством Н и в явном виде за-
записывается при помощи F.2). Из сказанного следует естественная
процедура: выбирается тригонометрический полином iif, удовлетво-
удовлетворяющий равенству F.1), а также Н@) = 1 и с помощью F.2) опре-
определяется ф. Тогда условия (а), (б) и (в), приведенные в начале па-
параграфа, выполняются автоматически, и остается только доказать
(г). Следующий пример показывает, что условия состоятельности,
выраженные F.1), необходимы, но, к сожалению, не достаточны для
справедливости (г).

6.1. Основная идея
Рис. 6.1. Итеративное построение масштабирующей функции Добеши
Пример 6.1. Исходя из Примера 5.3, мы определяем
Равенство F.1) в этом случае выполняется:
\Н @|2 + \Н ({ + тг)|2 = cos2 | + cos2 ^1 = 1.
Однозначно определенное решение функционального уравнения
(б), которое удовлетворяет также и (в), может быть записано в яв-
явном виде; оно имеет вид
1 -шп sin
3£/2 '
Беря обратное преобразование Фурье получаем
(О < t < 3),
(в противном случае).
Нетрудно увидеть, что функции фо^ = Ф(- — к) (к £ Z) не являются
ортонормированными. С другой стороны, можно показать, что ^,л>
полученные из данной конкретной 0, образуют жесткий фрейм для
L2 (см. [D], Предложение 6.3.2.). □
Предлагались различные дополнительные предположения отно-
относительно Н для того, чтобы выполнялось условие (г). Собственно

190 Глава 6. Ортпонормированные вейвлетпы с компактным носителем
требуется очень немногое. Ниже мы рассмотрим два возможных
подхода. Приводимый ниже вариант принадлежит Малла [12]:
F.5) Предположим, что производящая функция Н £ С1 удовле-
удовлетворяет равенству F.1) и Н@) = 1, а также дополнительному
условию
(£) FЛ0)
(k G Z) обра-
обраи пусть ф определена как в F.2). Тогда функции
зуют ортонор мир о ванный базис Vo.
Доказательство. Мы должны показать, что ортонормированность
F.2) функций /г (• — к) сохраняется в пределе. Именно в этом месте
требуется дополнительное предположение F.10).
Если |£| < тг, то Я (f/2-*) ф 0 для всех j ^ 1, а это означает, по
определению сходимости бесконечного произведения, что ф (f) ф 0.
Вследствие локальной равномерной сходимости в F.2) нам известно,
что ф непрерывна и поэтому существует S > 0 такая, что
* (КК*)- F.П)
Путем недолгих размышлений можно показать, что функция fr
может быть записана в следующем альтернативном виде:
0
(-2гтг ^ f < 2гтг),
(в противном случае).
С учетом F.11) это означает, что верна универсальная оценка
и поэтому в заключительной формуле
J<l>(t)<l>(t-k)dt=
= lim
r^oo
можно воспользоваться теоремой Лебега (о предельном переходе под
знаком интеграла). ■

6.1. Основная идея
Пример 6.1. (Продолжение.) Для того, чтобы показать, что же
является недопустимым в данном примере, вычислим
Рассмотрим теперь точки £г := |2гтг (г ^ 1). В соответствии с
последней формулой получаем
для всех г ^ 1. Так как £г стремится к бесконечности при г —► оо,
то кажется невероятным, что /J имеют общую интегрируемую
мажоранту.
Глубинная причина рассматриваемого здесь явления заключает-
заключается в следующем: действие
D : М/2тг — М/2тг, f ^ 2£
имеет замкнутую орбиту
(&, ..., &_i), & := £>&_i V*, £п = &, FЛ2)
такую, что \Н (£k)\ = 1 Для всех ^? а именно для циклов длины два
(т"'Т"}* Как раз побочным эффектом условия F.10) и является
запрещение орбит такого типа. В этом можно убедиться следующим
образом: условие F.10) означает
переменная £ рассматривается по модулю 2тг. Пусть F.12) произ-
произвольная замкнутая орбита D. В двоичном представлении (по не-
необходимости периодическом) |^ по модулю 1 в некотором месте
встречается каждая из двух последовательностей 01 или 10. Но это
означает, что после конечного числа шагов точка £^£о попадает в
интервал [§> ^f ]; поэтому рассматриваемая орбита необходимо со-
содержит точки £j для которых \Н (£j)| < 1. □
Лаутон [11] нашел более алгебраичное условие, которое подоб-
подобным же образом гарантирует ортонормированность функций фо^-
Мы снова предполагаем выполнение F.6); тогда по Теореме F.4)
получаем а (ф) = 0 и Ь (ф) = 2N - 1.

192 Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
Рассмотрим числа
am := (Ф,Фо,т) = ]Ф(г) ф(г- m)dt (m € Z).
Вследствие того, что supp (ф) С [0,2N — 1], все ат с \т\ ^ 2N — 1
автоматически равны нулю. Благодаря уравнению масштабирова-
масштабирования E.12) имеем
ат = 2 Y^ hkhi I ФBг- к)фBг-2т - l)dt
Если произвести замену переменной суммирования / в соответ-
соответствии с I := п + к — 2т, где п новая переменная, то мы получим
Otn. F.13)
Именно таким образом в игру вводится квадратная матрица А :=
:= [Атп] порядка AN — 3, элементы которой определяются как
]>-2т (Н,|п|<2ЛГ-1). F.14)
к
Формула F.13) может быть прочитана как ат = ^Атпап, что
п
означает что вектор а. является собственным вектором А, соответ-
соответствующим собственному значению 1. Специальный вектор
Р. := @,..., 0,1,0,..., 0), т.е. 0т = 6От (\m\<2N- 1)
является собственным вектором А, также соответствующим соб-
собственному значению 1; вследствие F.1) и соответственно E.4) имеем
Y^k-2m = $0,т = Prn (M < 2N - 1) .
n jfe
После всего проделанного можно сформулировать следующую
теорему:
F.6) Пусть длина вектора коэффициентов hm ограничена соотно-
соотношениями F.6), соответствующая функция Н удовлетворяет ра-
равенству F.1) и Н@) = 1, о масштабирующая функция ф опреде-

6.1. Основная идея
ляетсл выражением F.2). Если 1 является простым собственным
значением матрицы А, то функции фо^ (k Е Z) ортонормировапы.
Доказательство. По предположению относительно А существует
число с £ С*, такое, что а. = с/?.; это означает, что все ат =
= (ф,фо,т), соответствующие т ф 0, равны нулю, как и утвержда-
утверждалось, и ао = с ф 0. Вычисления, выполненные при доказательстве
E.9), показывают, что при этих обстоятельствах справедливо ра-
равенство:
.
Теперь, если / = 2Г Bп + 1) ф 0, то вычисление
г-1
фBп1) = Yl H Br~j Bп + 1) тг) • Я (Bп + 1) тг) ф(Bп + 1) тг) = 0,
F.15)
повторенное как в доказательстве E.14), показывает, что на самом
деле
=1. В
Пример 6.1. (Продолжение.) В данном примере мы полагаем, что
N = 2, a hk принимают следующие значения:
_ _ 1 _ _
л/2'
Подставляя эти значения в F.14), получаем матрицу
0 1/2 0 0 0
А =
1 0 0 1/2 0
0 0 10 0
0 1/2 0 0 1
0 0 0 1/2 0
(строки и столбцы нумеруются от —2 до 2), имеющую собственные
значения
-1, -\, \, 1,1-
Собственное пространство, соответствующее собственному значе-
значению 1, — двумерное; оно образовано векторами A,2,0,2,1) и, ко-
конечно, @,0,1,0,0). □
7 - 10643

Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
До сих пор мы не затрагивали вопрос о регулярности получаемых
описанным выше способом масштабирующих функций. Из Рис. 6.1
(соответственно 6.5) и 6.3 видно что ф имеет достаточно изрезанный
вид. Так как подобная ф появляется только в виде предела некото-
некоторого «фрактального» процесса, но не может быть записана в виде
простого выражения, то^исследование ее регулярности, будь то че-
через скорость убывания ф (£) при |^| —► оо или с помощью тщатель-
тщательного анализа оператора 5, является делом деликатным и требует
достаточно тонких оценок различного рода. В этом направлении,
например, можно доказать, что масштабирующая функция Добеши
30 и соответствующий ей вейвлет %ф уже непрерывно дифференци-
дифференцируемы, и более того, порядок дифференцируемости возрастает в су-
существенном линейно ( с коэффициентом пропорциональности ~ 0,2)
по N. За подробностями мы отсылаем читателя к [D], Глава 7, или
к статье [7].
6.2. Алгебраические конструкции
В свете результатов, которые были представлены в последнем пара-
параграфе, остается только следующая алгебраическая задача: нам нуж-
нужно найти тригонометрические полиномы, которые удовлетворяют
соотношению
и, конечно, условию Н @) = 1. Здесь мы ограничимся случаем лишь
действительных коэффициентов /i^; соответствующие масштаби-
масштабирующие функции ф, как и вейвлеты ф, также будут вещественно-
значными.
В соответствии с E.34) преобразование Фурье ф задается следу-
следующей формулой:
Теперь, в связи с тем, что было сказано в Параграфе 3.5 (см., напри-
например, Теорему C.13)), мы заинтересованы в том, чтобы наш вейвлет
ф имел, по возможности, как можно более высокий порядок N. В со-
соответствии с C.29) это эквивалентно требованию, чтобы ф имело
ноль как можно более высокого порядка N в точке £ = 0. Как след-

6.2. Алгебраические конструкции 195
ствие, производящая функция Н должна иметь ноль порядка N ^> 1
при £ = тг. Этот факт можно выразить очень изящно следующим
образом
н@= "*
Вместо того, чтобы рассматривать Н, переключимся временно
на рассмотрение функции
М (О := \Н @|2 = Я (О Я (-0 ^ 0, F.16)
которая должна удовлетворять линейному равенству
М@ + М(£ + тг) = 1. F.17)
Из соображений симметрии функция М является полиномом от
cos£ и содержит множитель
поэтому мы можем записать
M(O=(coe2|J A @,
J
F.18)
где Р также является некоторым полиномом. Теперь введем новую
переменную у := sin |. Это приводит к тому, что
А (О = P(cos£) = РA - 22/) =: Р(у), F.19)
где Р снова некоторый полином. С учетом сказанного, F.18) при-
принимает вид
Вследствие того, что
COS2 ( -=-5- ] = Sill- j; = у
И
равенство F.17), записанное с переменной у, принимает следующий
вид:
2/) = 1. F.20)

Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
В первую очередь, эта формула справедлива при 0 ^ у < 1,
но, используя общие понятия голоморфных функций, мы можем за-
заключить, что она остается верной и для произвольных у £ С.
По теореме разложения на простые дроби существуют единствен-
единственные коэффициенты Ck, С'к такие, что
N г N г,
1 = V*— | у °fc
у»а-у)"~кук £iU-v)"
и из соображений симметрии получаем, что С* = С'к для всех к.
Освобождаясь от знаменателей, мы можем сделать вывод, что су-
существует полином Pn степени < N — 1 такой, что
(l-y)NPN(y)+yNPN(l-y) = l
и Pn является единственным полиномиальным решением F.20), име-
имеющим степень < N — 1. Далее, легко видеть, что любое решение Р
уравнения F.20) удовлетворяет также равенству
В частности, оно выполняется и в случае Pn, что позволяет нам
сделать следующий вывод:
г, / ч -N-i D , ч v^ f-N\ . ч* ^ (N + к - 1\ к
Pn (у) = Jo 'Pn (у) = J2 [ и ("») = z2 { к )» •
F.21)
Здесь мы использовали тот факт, что та часть P/v, в которую
входит множитель yN , не дает никакого вклада в $~1Pn- Таким
образом, теперь решение F.20), имеющее наименьшую возможную
степень, определено в явном виде: это правая часть F.21).
Пусть теперь Р произвольное решение F.20). Тогда
A - yf (P (у) - PN (у)) + yN (P A-у)- PN (I -y))=0 F.22)
и, следовательно,
P(y)-PN(y)=yNP*(y)
для некоторого полинома Р*. Если мы подставим это выражение
снова в F.20), то получим

6.2. Алгебраические конструкции
что эквивалентно следующему
Р*(у) = R A - 2у) = R (cos£), R нечетно.
Так как с тем же успехом приведенные выше рассуждения можно
провести и в обратном порядке, то тем самым доказана следующая
теорема:
F.7) Тригонометрический полином М (•) удовлетворяет равенству
F'.17), если и только если он имеет следующий вид:
Здесь
P(y) = PN(y)+yNR(l-2y),
где Pn определен как в F.21), a R — произвольный нечетный по-
полином.
С учетом F.16) подобная функция М() представляет интерес,
только если Р удовлетворяет дополнительному условию
Р(У)^О @ < 2/ < 1).
При Р := Pn это условие очевидным образом выполняется.
Вот все, что мы можем сказать о допустимых функциях М, ко-
которые связаны с Н соотношением F.16). Для того, чтобы получить
сами производящие функции Я, мы должны, так сказать, «извлечь
корень квадратный из М». При выполнении этой операции мы долж-
должны позаботиться только о множителе
•иь
введенном в F.18). Для выполнения поставленной задачи нам по-
поможет удивительная лемма Рисса. Она формулируется следующим
образом:
F.8) Если
а (о = J2ak cos
А:=0
*
и если А(£) > 0 для действительных £, в частности А@) = 1, то

198 Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
существует тригонометрический полином
k=0
с действительными коэффициентами bk, причем В @) = 1, такой,
что
А@=-В(ОЯ(-0, F.23)
тождественно по £.
Доказательство. Функция А (•) может быть представлена в виде
произведения
п
А@=апЦ(со8£-С1), F.24)
j=i
где Cj действительные или появляются комплексно сопряженными
парами. Введем комплексную переменную z, записывая е~%^ =: z.
Тогда F.24) переходит в
(^Л F.25)
При исследовании индивидуальных множителей, появляющихся
в F.25), нам необходимо использовать хорошо известные свойства
отображения z >—> (z + z~x) /2, а также равенство
£±^1-1+^1 = -!(*- ,)(z-l-a) («#0). F.26)
(а) Если Cj G М и \cj\ > 1, то существует такое s G К*, что с^ =
= E + s) /2. Используя F.26), вследствие этого получаем:
Z + Z'1 1 v / _i v
— 2 С^ = " 2^ '{Z " S)' ^ S) *
(б) Если Cj G К и \cj\ < 1, то существует s = ега ф ±1 такое, что
= cos а.
Это означает, что А (£) содержит множитель cos £ — cos а, кото-
который не совместим с условием А (£) ^ 0 (£ Е R) кроме случая, когда
он появляется четное число раз. В связи с этим существует jf такое,

6.2. Алгебраические конструкции 199
что су = Cj, и, используя F.26), мы получаем равенство
4^
= j (* - eia) (г - e"ia) (z-1 - eia) (z~l - e~iQ) =
= - • (z2 - 2zcosa + l) • (г - 22; cosa + l).
(в) Если Cj ^ К, то существуют, во-первых, j1 такое, что су = cj и,
во-вторых, s G С* такое, что
2' J О
Снова используя F.26), мы получаем
~2йе (s) z+|s|2)' B~2Re {s) z~x + |s|2)
Суммируя все сказанное, становится ясным, что можно комби-
комбинировать и группировать множители, появляющиеся в F.25), таким
образом, что А (£) приобретает следующий вид:
А (О = CQ (z) Q (z-1) = CQ (е-*) Q (е«).
П
В этой записи Q (z) = ^ qkZk представляет собой полином с дей-
к=0
ствительными коэффициентами (/&, а константа С G С* получается
в результате группировки ап и различных численных множителей,
появляющихся в (а)-(в). Дополнительное условие А@) = 1 дает С =
= 1/(QA)J. Следовательно, если мы положим В (£) := Q (e~^) /Q(l),
то F.23) верно и тем самым лемма доказана. ■
Разложение F.23) определено неоднозначно, так как в случаях (а)
и (в) взаимная замена s и s приводит к другому разложению соот-
соответствующего частичного произведения А (•). Такая, хоть и незначи-

Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
тельная, неоднозначность позволяет добиться более симметричного
вида получаемой масштабирующей функции и, соответственно, свя-
связанного с ней вейвлета.
Предположим, что N задано. Если мы выберем, ради простоты,
Р := pNj то А (•) в этом случае представляет собой полином степени
N — 1 по cos£, а В (•) полином степени N — 1 по е~%^. В этом случае
производящая функция
имеет степень 2N — 1 по е~г^, а носитель соответствующей мас-
масштабирующей функции (=: мФ) оказывается равным интервалу
[0,2N — 1]. Вейвлеты n^, получаемые из мФ, называются вейвлета-
ми Добеши.
Пример 6.2. В случае N = 1 мы, конечно, получаем вейвлет Хаара.
Формула F.21) дает Pi (у) = 1, что, в свою очередь, приводит к
Р (cos£) = 1, В (£) = 1, так что в итоге мы получаем
что согласуется с E.42). □
Случай N = 2 будет подробно рассмотрен в следующем парагра-
параграфе, а случай N = 3 рассматривается ниже в Примере 6.3. В [D], Та-
Таблица 6.1, приведены векторы коэффициентов (hk |0 < к < 2N — 1),
соответствующие вейвлетам Добеши мф, с 16 верными знаками для
2 < N < 10. В [L] , Таблица 2.3, можно найти эти коэффициенты с
шестью верными знаками для N от 2 до 5.
Пример 6.3. Рассмотрим теперь подробно случай N = 3, выбирая
Р(у) ■■= Рз(у) = Q + (J)y + Qy = i + Зу + бу2.
Подставляя
JL (e-2i« _ 4е-*« + 6 -

в F.19), мы получаем
6.2. Алгебраические конструкции
Рис. 6.2 подтверждает, что А (£) ^ 0 и таким образом имеет
смысл продолжить вычисления. В данном конкретном случае функ-
функция В (£) имеет вид В (£) = bo + Ь\е~г^ + Ь2е~2г^, так что мы должны
сравнить коэффициенты в равенстве
2*) (bo
Ь2е2*) = |e
10--
Рис. 6.2.
Из соображений симметрии достаточно проверить коэффициен-
коэффициенты, соответствующие е~2г*, е~г* и 1. Таким образом, мы получаем
три уравнения
3 9 19
8' 4 4
Так как А@) = Р@) = 1, то Лемма F.8) гарантирует, что мы
можем найти действительные решения Fо, fci, b2), которые удовле-
удовлетворяют дополнительному условию &о + &i + b2 = 1. Если мы ис-
используем это условие для того, чтобы исключить bo + b2 из второго
уравнения в F.27), то для Ь\ мы получаем квадратное уравнение
Ь\ - Ь\ - | = 0, что, в свою очередь, приводит к
i±vT6 L L 1т>/То
t>i = 2 ' Ь° + °2 = 2 '
Мы оставляем читателям возможность провести вычисления при
выборе верхних знаков в этих выражениях, что приведет к комплекс-

202 Глава 6. Ортонормир о ванные вейвлеты с компактным носителем
ным решениям bo и &2- Это, в свою очередь, означает, что мы опреде-
определенно получаем bi = (l — \/lO) /2 и, вследствие первого уравнения в
F.27), можно сказать, что bo и Ьъ являются решениями квадратного
уравнения
2 1 + VT6 3 .
Х — *+8=°-
Выбирая произвольно (скажем, не совсем ...) между двумя воз-
возможными комбинациями знаков, получаем
2
e
+ 4
и поэтому производящая функция окончательно имеет следующий
вид:
■e-«
32 32
Той части Я, которая здесь приведена, достаточно для непосред-
непосредственного нахождения ho и h\:
к =
32
32
что согласуется с данными, приведенными в Таблице E.53). Оста-
Оставляем читателям в качестве упражнения вычисление остальных hk
для того, чтобы убедиться в том, что мы получаем вектор коэффи-
коэффициентов h9, соответствующий вейвлету Добеши зф.
На рисунках 6.3 и 6.4 изображены функции зф и зф во временной
области. D

6.3. Двоичная интерполяция 203
Рис. 6.3. Масштабирующая функция Добеши
Рис. 6.4. Вейвлет Добеши
6.3. Двоичная интерполяция
В двух предыдущих параграфах мы получали масштабирующие функ-
функции и соответствующие вейвлеты с помощью построений в частот-
частотной области, а также в качестве предельных функций некоторой
итеративной процедуры. Однако, ни в одном из приведенных подхо-

204 Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
дов мы не обсуждали сходимость во временной области. Теперь мы
рассмотрим третий, прямой метод конструирования масштабирую-
масштабирующих функций ф. Этот метод без применения предельного перехода
дает точные значения ф (х) во всех «двоично-рациональных» точках
х 6 R. Именно с помощью этого метода достигаются наилучшие
результаты в смысле регулярности, например, для вейвлетов Добе-
ши кф.
Для того, чтобы установить основные идеи, предположим, что в
дальнейшем выполняется N > 1 и, более того, что
а (/».)= О, b(h.)=2N-l,
как уже предполагалось в связи с вейвлетами Добеши. Введем сле-
следу ющие полезные сокращения:
{О, 1, ...,2JV-1}=:J, RJ=:X.
Для описания двоично-рациональных чисел используем удобное
обозначение
{к • 2"г | к € Z} =: Dr (r e N), U Dr =: D,
вследствие этого мы получаем включения
Z = Do С Di С ... С Dr С Ю>г+1 С ... С D,
и D плотно в R.
Теперь уравнение масштабирования принимает вид
2ЛГ-1
ф (t) = v/2 J2 hk<t> B* - *), *oft2/v-i ф 0. F.28)
«Прямой метод» основывается на следующих трех простых фактах:
- Если t G Dr для некоторого г ^ 1, то числа 2t — к (к G J) при-
принадлежат Dr_i.
- Если t < 0, то числа 2t — к (к 6 J) также меньше 0.
- Если t > 2N - 1, то числа 2t - к (к е J) также > 27V - 1.
В связи с этими фактами уравнение масштабирования F.28) позво-
позволяет нам вычислять значения ф последовательно на
Di\Db, D2\Di, Оз\В2, •••»
и, следовательно, на всем D, если только эти значения были опре-
определены предварительно на Do = Z. Более того, если ф(к) = 0 для

6.3. Двоичная интерполяция
к 6 Z<o и к 6 Z>2tv-i с самого начала, то тогда автоматически
ф(Ь) = 0 для всех t 6 D<oU^>2./v-i- (Фактически имеем также
ф @) = ф BN - 1) = 0. Последнее связано с вычислением ф \Z.)
Теперь обратимся к ф\Ъ: в любом случае общее присваивание
0(*):=О (keZ\J)
согласуется с F.28). Следовательно, мы получаем систему однород-
однородных уравнений ф (j) = л/^^^кФ Bj — к), или, что эквивалентно,
Ф U) =
27V-1
к=0
@
2N -
F.29)
для вектора (ф (j)\ j € J) =: а. Это означает, что матрица (J x J)
В = [Bjk], £ifc := V2h2j.k ((j, k)eJxJ)
должна иметь собственный вектор о, соответствующий собственно-
собственному значению 1. В связи с этим мы должны доказать следующее:
F.9) Матрица В всегда имеет собственное значение, равное 1. Ес-
Если это собственное значение простое, то тогда существует един-
единственный соответствующий собственный вектор а такой, что
$>* = 1. F.30)
Доказательство. В качестве иллюстрации к этой теореме рассмо-
рассмотрим матрицу В для случая N = 3:
h0 0 0 0 0 0
Л2 hi h0 0 0 0
/i4 ^з ^2 hi ho 0
0 /*5 ^4 ^3 ^2 ^1
0 0 0 /г5 ^4 ^з
0 0 0 0 0 Л5
F.31)
Для доказательства рассмотрим суммы элементов столбцов матри-
матрицы В. Для этого снова обратимся к производящей функции Н, за-
записанной в виде E.24). Вследствие

206 Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
получаем в дополнение к E.5) уравнение
I
так что верно следующее:
Беглый взгляд на F.31) дает возможность увидеть, что матрица
В (по крайней мере в случае N = 3) обладает постоянными суммами
элементов столбцов, равными единице. Конечно, это верно и в общем
случае:
2N-1 27V-1 ( у/2^2h2i = 1 (/счетное),
g V g j = 1 (fcHe4eTHOe);
достаточно легко убедиться в том, что для каждого k E J в сумму
входят все /i2/ # 0 и, соответственно, все /i2/+i # 0. То, что мы уста-
установили, может быть выражено другими словами следующим обра-
образом: вектор е := A1 j E J) является собственным вектором матри-
матрицы В', соответствующим собственному значению 1. Если это имеет
место, то матрица В также имеет собственное значение 1, а соот-
соответствующий собственный вектор а ф 0.
Для доказательства второй части теоремы заметим следующее:
в соответствии с общими положениями (см. [6], Параграф 58, Те-
Теорема 1) наше пространство X является прямой суммой двух В-
инвариантных подпространств U и V таких, что В — 1х нильпо-
тентна на U и обратима на V. Поэтому характеристический по-
полином q (Л) матрицы В может быть разложен на множители в ви-
виде q(X) = (Л — 1)т qi (Л), где т := dim(U). Теперь по предполо-
предположению о q(-) получаем т = 1. Из этого следует, что U = (а) и
dim(F) = dim(X) - 1.
Для любого у €V существует х Е V такой, что у = Вх — ж, и из
этого мы делаем вывод, что
(е,2/> = (е,Вх) - (е,х) = {В'е,х) - (е,х) = 0.
Это доказывает, что F С (еI. После вычисления размерностей мы

6.3. Двоичная интерполяция 207^
получаем, что V = (е) . Вследствие того, что а $ V, это означает
что является достаточным, чтобы показать, что сумма, стоящая сле-
слева, может быть нормализована к 1. ■
Условие F.30), и, соответственно, Y1 Ф(к) = 1 появляются вовсе
kzJ
не произвольно. По существу, получаем следующую теорему
(ср. F.1)):
F.10) Предположим, что производящая функция Н такая же, как
и в Теореме F.1) и что ф Е L2 определена как бесконечное произ-
произведение F.2). Если ф в действительности непрерывная функция,
удовлетворяющая оценке вида
то выполняется следующее равенство:
(х-к) = 1 (xeR). F.32)
А:
Доказательство. По предположению о ф вспомогательная функция
р(*) :=£>(*-*)
А:
является непрерывной периодической функцией с периодом 1, коэф-
коэффициенты Фурье которой имеют вид
1 1
cj= I g (x) e-2jnixdx = '$2 [ф(х-к) e-2jni(
о к о
= J ф (х) e~2^ixdx = у/2^ф Bj7r) = SOj (j € Z),
где в конце мы использовали F.15). Из этого следует, что, как и
утверждалось, g имеет постоянное значение, равное 1. ■
Для N > 2 масштабирующие функции Добеши мФ непрерывны.
Ниже мы докажем непрерывность 20- Относительно общего слу-
случая отсылаем читателя к [D], глава 7 и к [4], [7]. Непрерывность

Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
означает, что лг0 удовлетворяют соответствующим им уравнениям
масштабирования тождественно по t; более того, для них справед-
справедливо равенство F.32). (Последнее утверждение верно также и для
\Ф = Фнааг)-
Возвращаясь к F.29), мы видим, что численное конструирова-
конструирование кФ осуществляется следующим образом: в соответствии с не-
некоторыми общими соображениями система F.29) имеет решение
(Ф U) I 3 £ J) —'• а> такое, что J3 Ф М = 1- Все остальные ф (к) при-
keJ
равниваются к нулю, г, ^ф\Ъ теперь фиксирована. (Если кратность
собственного значения 1 матрицы В фактически равна 1, то нф\Ъ
однозначно определяется системой F.29). Начиная с мФ \ % после-
последовательно проводятся вычисления значений мФ(х) во всех точках
хбВс использованием итеративной процедуры, описанной нами
выше. Очевидно, что этого достаточно для графического предста-
представления ф, но это еще не все: в принципе величина лг0 (х) теперь вычи-
вычислима в каждой точке хбК, так как мФ непрерывна и D плотно в R.
Мы заключим этот параграф следующей теоремой, относящейся
к случаю N = 2 :
F.11) Масштабирующая функция Добеши ^Ф непрерывна.
В нашем доказательстве мы будем использовать двоичную ре-
рекуррентную процедуру, описанную выше. Заметим, что здесь запре-
запрещено использовать равенство F.32), напротив, оно будет получено
как один из результатов в ходе доказательства. Наше изложение
тесно связано с доказательством, приведенном в [14].
Доказательство. Мы начнем как и в Примере 6.3: в соответствии
с F.21) имеем
и, следовательно,
= Р2 (sin2 ! j = 1 + 2sin2 | = 2- cos£.
Применим к А(£) лемму Рисса F.8). Если мы сравним коэффици-
коэффициенты в равенстве
(Ъо + Ье-*) (Ъо + М*) = 2 - \ (е« + е"«),

6.3. Двоичная интерполяция 209
то получим два уравнения
2 2 _ _ 1
о i > 0 1 2*
Мы выбираем решение (b0, bi) = ((l + >/3) /2, (l - y/S) /2), которое
приводит к
= | (l + л/§ + (З + >/§) e-« + (З - ч/з) e-2i« + (l -
причем условие Я @) = 1 также удовлетворяется. Таким образом,
мы получаем следующую таблицу, представляющую вектор коэффи-
коэффициентов /г.:
Ло = -L г +4л/3 = 0,4829629131445341,
Л = 1 i+v? = 0,8365163037378079,
V2 4
Л2 = -L3/3 = 0,2241438680420134,
v^ 4
Л3 = -i= г ~ = -0,1294095225512604.
л/2 4
Все дальнейшие вычисления будут проводиться в следующей обла-
области действительных чисел:
Множество D [\/3] является, очевидно, кольцом, а сопряжение (ком-
(комплексные числа далее в этом параграфе не рассматриваются)
z = х + уу/3 н-> J := ж - у\/3 (ж, yGi)
является автоморфизмом D [\/3], который оставляет элементы основ-
основного кольца D на месте. Следующие два числа будут играть особую

210 Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
роль в последующих вычислениях:
1 4- л/5
= 0,6830...,
а :=
= -0,1830....
4 '— ' 4
Если а и а подставить в уравнение масштабирования F.28), то оно
принимает вид
ф (t) = аф Bt) + A - а) ф Bt - 1) + A - а) ф Bt -2) + аф Bt - 3),
F.33)
и, аналогично, система уравнений F.29) принимает вид
0@)
0A)
ф{2)
0C)
а
1 — а 1—а а
а 1 — а 1—а
ф@)
0B)
0C)
. F.34)
Система F.34) имеет в точности одно решение, которое удовлетво-
удовлетворяет также F.30), а именно,
' 0@)
0A)
0B)
0C)
0
2а
2S
0
Как уже дважды говорилось выше, мы предполагаем, что ф(к) := 0
для всех остальных fcGR. Тогда ф (•) определяются рекуррентно для
всех D по F.33). Мы утверждаем, что получаемая функция ф : D —► R
обладает свойствами, описанными ниже.
F.12) Для всех х 6 D верно следующее:
(&)Ф(х)ев[у/5\, (в)
(б)фC-х)=\
(г)
Доказательство. Для х Е Do = ^ утверждения (а)-(в) справедли-
справедливы. Для того, чтобы убедиться в справедливости (г) \ Z, запишем
ф\Ъъ виде
ф (х) = 2a6xi + 2а6х2 (х € Z).
Тогда
ф(х-к)= 2а6х-кЛ + 256x-kt2 = 2а6я-ик + 25$я_2,* (ж, * € Z),

6.3. Двоичная интерполяция 211
из чего следует справедливость следующей цепочки уравнении для
произвольного iGZ:
к к к
= 2а (х - 1) + 2а (х - 2) = х - 2а - 4а.
Предположим теперь справедливость утверждений (а)-(г) для
всех хбОги рассмотрим произвольное t E Dr+i. Все числа 2t — к
принадлежат Dr, поэтому, как немедленно следует из F.33), ф(г)
принадлежит D [\/3]. Учитывая (б) и (в) , получаем
- t) = аф(Ь - 2t) + A - а) ф{Ъ - 2t) +
+ A - а) ф D - 2t) + аф C - 2t) =
= аф Bt - 3) + A - а) ф Bt -2)+
+ A - a) ф Bt - 1) + аф Bt) = ф (t)
- к) = ^2(афBг - 2fc) + A - а)ф{2г -2к- 1)+
- 2fc - 2) + аф{2г -2к- 3)) =
Окончательно, по индукции для (г):
(афBt - 2*0 + A - а) фBt - 2к - 1) +
+ A - а) ф Bt - 2к - 2) + аф Bt -2k- 3)) =

^212 Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
= Y, (ok + A - а) (* - 1)) ф Bt - 2А;)+
(A - а) * + а (* - 1)) 0 B* - 2* - 1) =
+ 1) - 1 - 2а) 0 B* - 2* - 1) =
= - B* - 2а - 4а) + а - 1 = t - 2а - 4а.
В последней части мы несколько раз использовали соотношение
2а + 2а=1. ■
В данном доказательстве по индукции свойство (г) появляет-
появляется неожиданным образом. В действительности это свойство может
быть связано с общими принципами и так же, как (в) теоретически
обосновывается в Теореме F.10).
Рассмотрим теперь формулы F.12) (в) и (г), когда х ограничено
интервалом 0 ^ х ^ 1. Так как supp (ф) = [0,3], то мы получаем два
уравнения
ф(х) + ф(х + 1) + ф(х + 2) = 1
-ф (х + 1) - 2ф (х + 2) = х - 2а - 4а,
и, используя процедуру исключения, получаем из них следующие
формулы:
ф (х + 1) = -2ф (х) + х + 2а
(хеВ,0^х^1). F.35)
ф(х + 2) = ф(х)-х + 2а К > \ >
На время мы ограничимся интервалом [0, 1] по х. В связи с тем,
что supp (ф) = [0,3], для значений х из этого интервала, число чле-
членов в уравнении масштабирования может быть уменьшено следую-
следующим образом:
(афBх) (a:6D,0<*<*),
\ аф{2х) + A-а)фBх-1) (х € D, |< х ^ 1).

6.3. Двоичная интерполяция
Вторая строка в F.36) все еще не имеет оптимальной формы. Если
| ^ х ^ 1, то существует и £ [0,1] такое, что 2х = и + 1. Используя
первую формулу из F.35), мы, следовательно, можем записать
ф Bх) = ф(и + 1) = -2ф (и) + и + 2а = -2ф Bх - 1) + 2х - 1 + 2а
и поэтому
афBх)+ A-а)фBх-1) =
= (-2а + 1 - а) ф Bх - 1) + 2ах - а + 2а2 =
-.
Это означает, что мы можем заменить F.36) на
(афBХ) («eD,0 *.**),
| аф Bх - 1) + 2ах + \ (ж е D, | < ж < 1) .
Таким образом, мы получаем схему воспроизведения ф, относя-
относящуюся только к интервалу [0,1]. В обеих строках F.37) в правой
части стоит единственное слагаемое с ф и что более важно, что ко-
коэффициенты при этих слагаемых имеют абсолютную величину < 1.
Этот факт является основным в нашем доказательстве непрерывно-
непрерывности. Обозначим через X пространство всех непрерывных функций
/ : [0,1] —► R, принимающих значения 0 и 2а при 0 и 1 соответствен-
соответственно и снабженное метрикой
d(f,g):= sup \f(x)-g(x)\.
Из общих принципов известно, что X является полным метрическим
пространством. Теперь мы утверждаем, что верно следующее пред-
предложение:
F.13) Формула
определяет сжимающее отображение Т : X —► X; более точно,
имеет место неравенство
d (T/, Tg) ^ad(f,g) V /, д <Е X. F.39)
Доказательство. Если /@) = 0 и /A) = 2а, то также Т/@) = 0 и
Т/A) = 2а. Более того, мы имеем Tf (|) = 2а2, причем это справед-

Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
ливо независимо от того, вычисляем ли мы это значение, пользуясь
первой или второй строкой F.38). При рассмотрении F.38) стано-
становится ясно, что для любой / Е X образ Tf непрерывен на каждом
из полуинтервалов [0, |] и [|, l], и, как следствие этого, Tf непре-
непрерывен на всем [0,1]. Таким образом, мы показали, что Т является
хорошо определенным отображением из Л' в Л'.
Пусть теперь /ир две произвольные функции из X. При 0 ^
^ х < | получаем
\Tf{x)-Tg(x)\=a\f{2x)-gBx)\^ad(f,g),
а при \ < х ^ 1 верно следующее:
\Tf(x)-Tg(x)\ =
= \(afBx - 1) + 2ах + 1/4) - (agBx - 1) + 2ах + 1/4)| =
= |а||/B* - 1) - дBх - 1)| ^ \a\d{f,g).
Так как \а\ < а(< 1), то, следовательно, имеем \Tf(x) — Тд(х)\ ^
^ ad(f,g) для всех х Е [0,1], и тем самым F.39) доказано. ■
Из F.13), по общей теореме о неподвижной точке, следует, что
существует единственная функция /* е X, такая, что Tf* = /*. Эта
функция /* совпадает в точках В р| [0,1] с функцией ф : D —► R, полу-
полученной ранее, вследствие того, что в точках 0 и 1 функция /* имеет
те же значения, что и функция 0, а также вследствие того, что вос-
воспроизводящая схема F.38), примененная к / := /* (=> Tf = /*), пе-
переходит в воспроизводящую схему F.37) для функции ф \ (Df) [0,1]).
Из этого следует, что наша функция ф : В —► R, ограниченная на
О < х < 1, обладает непрерывным продолжением на весь [0,1]. Те-
Теперь из F.35) можно заключить, что такие непрерывные продол-
продолжения существуют также в интервалах [1,2] и [2,3], а равенство по
определению ф(х) := 0 вне интервала [0,3] делает тривиальным не-
непрерывное продолжение.
Просуммируем результаты, полученные нами выше:
F.14) Существует единственное непрерывное продолжение функ-
функции ф : R —» R, имеющее своим носителем [0,3] и удовлетворяющее,
тождественно по х, следующим уравнениям:
з
k-Q

6.4- Сплайн вейвлеты
3
Доказательство, (а) Функция и(х) := ф(х) — Y1 Ь,кфBх - к) не-
прерывна и равна нулю во всех точках D, следовательно и (х) = 0.
В любом ограниченном интервале на оси х левая часть в (б) есть
конечная сумма и является поэтому непрерывной функцией v (•). Со-
Согласно F.12) (в) эта функция принимает значение 1 во всех точках
D, поэтому получаем v (х) = 1 на всей оси действительных чисел.
Таким же образом получается равенство (в) из F.12) (г). ■
Функция ф : R —► R, которую мы здесь сконструировали, фак-
фактически является масштабирующей функцией Добеши 2Ф, так как
F.14) (а) означает
а из F.14) (б) получаем, что
з 1 2 1
V 2тг ф @) — / ф (х) их —■ I / ф [х ~\~ к) dx — I / ф (*р ~\~ k) dx = 1.
о о к~° о к
Все вместе это означает, что F.2) верно. Из этого следует, что
наша функция ф есть «оригинал», т.е. единственная масштабирую-
масштабирующая функция во временной области, соответствующая вектору коэф-
коэффициентов (/io, ..., /13)- Эта функция, по определению, есть ^Ф- До
настоящего момента она была представлена нами только в виде ф. Ш
На Рис 6.5 и 6.6 изображены функции ъф и 2ф- Эти рисунки были
построены с помощью описанной рекуррентной процедуры. В ка-
каждом случае было вычислено 3 • 256 значений.
6.4. Сплайн вейвлеты
В этом последнем параграфе мы сконструируем так называемые
вейвлеты Бэттла-Лемарье. Исходным материалом являются сплай-
сплайны, и именно поэтому указанные вейвлеты иногда называются сплайн
вейвлетами, хотя сами они уже не являются сплайнами. В то же са-
самое время вейвлеты Бэттла-Лемарье, в противоречие с названием
настоящего параграфа, не обладают также и компактным носите-
носителем. Тем не менее, тот формализм, который мы развили в преды-

216 Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
дущих параграфах, также может быть использован для анализа и
этих вейвлетов. Но все по порядку!
Рис. 6.5. Масштабирующая функция Добеши 2</>
--Уз
4- -2а
Рис. 6.6. Вейвлет Добеши
Еще раз обратившись к уравнению масштабирования, записанно-
записанному в виде E.25), можно заметить, что если даны две пары @i,#i)
<t>2,H2), которые удовлетворяют этому уравнению, то пара
(ф1ф2,Н1Н2)

6.4- Сплайн вейвлеты
также ему удовлетворяет. Умножению в частотной области соот-
соответствует свертка во временной области; другими словами, если ф\
и 02 являются масштабирующими функциями, то ф\ * фъ также удо-
удовлетворяет уравнению масштабирования. Поэтому, отправляясь от
Фо := Фнааг и используя рекуррентную схему фп+х := фо*фп (n ^ 0),
мы получаем последовательность все более регулярных функций, ко-
которые a priori удовлетворяют уравнениям масштабирования и по
этой причине могут быть потенциально полезны при конструиро-
конструировании вейвлетов.
Мы в некоторой степени изменим обозначения вследствие то-
того, что получаемые таким образом функции первоначально появи-
появились в численном анализе под названием В-сплайнов (от «базовых
сплайнов»), где они имеют первостепенное значение в общей теории
сплайновой аппроксимации. В литературе можно встретить различ-
различные обозначения, и среди них приводимое ниже, которое наилучшим
образом соответствует нашим целям:
L @<*<1),
) (в противном случае),
F.40)
Вп+1 (х) := (Во * Вп) (х) = f Bn (t) dt (n £ 0).
X-l
Выполняя непосредственные вычисления, можно найти, что, на-
например, кубический В-сплайн задается следующими формулами:
в (х)
3[Х) * ВгD-х) B^ж^4),
0 (в противном случае).
На Рис.6.7 изображены графики В\, В2 и В3.
Простое подтверждение следующих положений мы оставляем чи-
читателю:
supp (Вп) = [0,п + 1], I Bn (x) dx = \ (n ^ 0);
более того,

218 Глава 6. Ортонор мир о ванные вейвлеты с компактным носителем
Так как для всех практических целей Во = фнаап то в соответ-
соответствии с E.41)
0 12 3 4
Рис. 6.7. Масштабирующая функция Бэттла-Лемарье, схютветствующая п — 1
Теорема о свертке B.10) позволяет преобразовать рекуррент-
рекуррентную формулу F.40) в следующее соотношение:
Вп+1 (О = у^Д, (О Вп (О = e-*/2sinc @ Вп (О,
и, накапливая произведения, получаем
Вп (О = -j== (e-*/2sinc @ ) " (n ^ 0). F.41)
Следующие результаты немедленно следуют из такого предста-
представления Вп:
Вп @) =
1
(п > 0),
№ - оо).
F.42)
В связи с тем, что было сказано в начале настоящего параграфа,
следует ожидать, что каждый В-сплайн Вп удовлетворяет уравне-
уравнению масштабирования. На самом деле мы имеем следующий результат:
"sine | - | =
2^/4
cos -
4

6.4- Сплайн вейвлеты 219
и следовательно
Это означает, что
Д,@ = Я»(|)Д.(§), F.43)
где производящая функция Нп определяется как
Я„ @ := (е-*'2 cos f ) "+' = (j^fl) "^ • F-44)
Как мы видим, коэффициенты hk (фактически, ftjj. ) функции ifn
имеют следующие значения:
О (в противном случае),
так что уравнение масштабирования во временной области прини-
принимает следующий вид:
В (х) = \ ( | в Bх к) (х G. М.)
к=0 ^ '
То, что Вп должны удовлетворять таким равенствам, вовсе не оче-
очевидно из их определения.
Для того, чтобы проверить, возможно ли использование Вп в ка-
качестве масштабирующей функции, мы должны согласно E.9) рас-
рассмотреть 2тг-периодическую функцию
F.45)
Вследствие F.42) ряд, стоящий справа, сходится равномерно. Из
этого следует, что Фп является непрерывной функцией (позже мы
выразим Фп в явном виде). Более того, используя F.41) и неравен-
неравенство
sin а: 2

220 Глава 6. Ортпонормированные вейвлетпы с компактным носителем
мы получаем следующую оценку:
2п+2 .. , о \ 2п+2
U)
2 1
2тг
sin K/2)
При указанных обстоятельствах существуют числа В ^ А > О
(В и А зависят от п), такие, что
и с учетом части (а) Теоремы E.14) мы приходим к выводу, что
сдвиги Вп{- — k) (fcGZ) образуют базис Рисса пространства
Vb:=span(Bn(--*)|*eZ).
Доказательство следующей леммы будет проведено позднее:
F.15) Существуют полиномы рп степени п такие, что верно сле-
следующее:
Полиномы рп вычисляются рекуррентно и имеют рациональные ко-
коэффициенты.
Предположим теперь, что выбрано п ^ 1, а все остальное опре-
определится по ходу изложения. Часть (б) Теоремы E.14) описывает
процедуру ортонормирования; в частности, там приводится форму-
формула для «определенной» масштабирующей функции ф, соответствую-
соответствующей выбранному п, означающая, что сдвиги ф(- - к) (к G Z) мас-
масштабирующей функции ф фактически ортонормированы. Формула,
о которой идет речь, имеет вид
АЮ (в.46)
Для того, чтобы получить выражение для ф во временной обла-
области, разложим функцию l/\/Pn (cos£) B РЯД Фурье:
Подставляя это разложение в F.46) и применяя правило (Ш), мы
окончательно получаем следующее представление масштабирующей

6.4- Сплайн вейвлеты 221
функции ф, соответствующей выбранному п:
ф (х) = ^ СкВп (х — к). F.47)
к
Следует учитывать, однако, что появляющиеся здесь коэффици-
коэффициенты
*=с-к = ±1 cos^; « (*>о>
должны определяться численно один за одним.
Так как 1/\/рп (cos£) является вещественно-аналитической 2тг-
периодической функцией, то с* убывают экспоненциально, когда
\к\ —> оо: существует /9 < 1 такое, что
|Cfc|^C/9|fc| V*,
и так как supp (Вп) = [0,п + 1], из этого легко следует, что ф(х)
также экспоненциально убывает, когда \х\ —> оо. Но компактный
носитель Вп утрачивается в процессе ортогонализации.
Действуя в соответствии с общей теорией, нам в дальнейшем
понадобится модифицированная производящая функция Я#, а для
того, чтобы работать с вейвлетом ф, соответствующим описанной
выше 0, нам необходимы коэффициенты hf в представлении
Из F.46) вследствие F.43) мы получаем, что
pn(cosQ I Pn(cosQ
n{<)\l
Pn (c
Отсюда с помощью F.44) мы получаем следующее представление:
из которого уже очевидно, что ф имеет порядок п + 1. Корень ква-
квадратный, стоящий справа, следует разложить в ряд Фурье:
рп (cos

222 Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
здесь снова коэффициенты
(rn<z £\
£ (А; ^ 0) F.50)
надо находить численно один за другим. Сравнивая коэффициенты
в F.48) и F.49), мы получаем следующую формулу для hf:
2
Только теперь мы оказались в ситуации, когда мы можем присту-
приступить к вычислению вейвлета Бэттла-Лемарье или сплайн-вейвлета
ф, соответствующего выбранному п. В соответствии с E.37) и F.47)
мы получаем
* (t) =
k i
(-l)k-1htk_lcr.kBnBt-r).
г к
Это означает, что мы должны ввести новое множество коэффици-
коэффициентов
Ьг := у/2^ (-1)* h^k_1cr-k,
к
после чего можно записать
Сколько слагаемых этого разложения в действительности должно
учитываться, лучше всего определять в «текущем режиме».
Последняя формула завершает наше рассмотрение. Осталось при-
привести доказательство Леммы F.15).
Доказательство. Подставляя F.41) в определение F.45) Фп полу-
получаем
n2n+2
\2 + ™

6.4- Сплайн вейвлеты 223
где мы ввели вспомогательную функцию
2п+2 *
Легко проверяется, что
откуда получается следующая рекуррентная формула для Фп:
Остается только перевести это предписание в более удобную форму.
Так как Во(- — к) (к eZ) фактически являются ортонормирован-
ными, то из этого следует, что Фо (£) = ^г. Полагая cos£ =: у, мы
вводим новую переменную у и записываем Фп в следующем виде:
Займемся теперь подстановкой этого выражения в F.52). При
этом надо учитывать следующие правила дифференцирования:
d , • ^ d & d 1л 2\ <?
При такой подстановке рекуррентная формула F.52) принимает вид
Рп(у) =
Pn-i(y)\
)
(l-V)n
F.53)
где точка «'» обозначает дифференцирование по переменной у. Вы-
Вычисляя последовательно
(Pn-i(y)X _ Pn-i Pn-i
V(l-2/)V ""(l-y)n+ (l-y)^1'
Pn-l , о Pn-1 ^ , 1Ч Рп-1

224 Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
мы избавляемся от знаменателя в F.53):
Рп{у) = пBп^
+ A + у) (A - yJpn-i + 2пA - у)рп-\ + п(п
Это выражение можно несколько упростить, группируя подоб-
подобные члены. Поступая таким образом, мы получаем окончательную
рекуррентную формулу для рп:
Рп{у) =
пBп +
+ A - у)Bп + Bп - l)y)Pn-i
Легко видеть, что рп — это полином степени п от переменной у =
= cos£, если Pn-i имел степень п — 1. ■
Если воспользоваться этой рекуррентной формулой и проводить
вычисления на одном из пакетов символьных вычислений, то мы
получим следующие полиномы:
М) B + )
= б^о B72 + 29?2/ +
и так далее.
Пример 6.4. В случае п = 1, используя F.50) и F.51), получаем
таблицу коэффициентов hf (табл. 6.1).
Масштабирующая функция ф и вейвлет Бэттла-Лемарье ф, со-
соответствующие п = 1, изображены на Рис. 6.8 и 6.9. Обе функции
кусочно-линейные.
Проводя те же самые вычисления для п = 3, находим, что те-
теперь hf убывают значительно медленнее, чем раньше при \г\ —> оо.
Вследствие этого в приводимой таблице 6.2 даны значения hf толь-
только с шестью десятичными знаками после запятой, хотя они были
рассчитаны с использованием пакета Mathematica® с 14 верными
десятичными знаками.

6.4- Сплайн вейвлеты
Таблица 6.1.
г
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
hf=hf_r
0,8176464014
0,3972970868
-0,0691009838
-0,0519453464
0,0169710467
0,0099905948
-0,0038832619
-0,0022019510
0,0009233709
0,0005116360
-0,0002242963
-0,0001226863
0,0000553563
0,0000300112
-0,0000138188
-0,0000074444
г
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
hf = hf_r
0,0000034798
0,0000018656
-0,0000008823
-0,0000004712
0,0000002249
0,0000001198
-0,0000000576
-0,0000000306
0,0000000148
0,0000000078
-0,0000000038
-0,0000000020
0,0000000010
0,0000000005
0,0000000003
-0,0000000001
Рис. 6.8. Масштабирующая функция Бэттла-Лемарье, соответствующая п = 1
8-10643

Глава 6. Ортонормированные вейвлеты с компактным носителем
Рис. 6.9. Вейвлет Бэттла-Лемарье, соответствующий п = 1
Масштабирующая функция ф и вейвлет Бэттла-Лемарье ф, соот-
соответствующие п = 3, изображены на Рис. 6.10 и 6.11. □
Таблица 6.2.
г
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
h? = hf_r
0,766130
0,433923
-0,050202
-0,110037
0,032081
0,042068
-0,017176
-0,017982
0,008685
0,008201
-0,004354
-0,003882
0,002187
0,001882
-0,001104
г
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
hf = hf_r
-0,000927
0,000560
0,000462
-0,000285
-0,000232
0,000146
0,000118
-0,000075
-0,000060
0,000039
0,000031
-0,000020
-0,000016
0,000010
0,000008

6.4- Сплайн вейвлеты 111
-2
Рис. в.1О. Масштабирующая функция Бэттла-Лемарье, соответствующая п = 3
Рис. 6.11. Вейвлет Бэттла-Лемарье, соответствующий п = 3

Задачи
1. Разложите функцию f(t) = sint в ряд по степенному базису {tn},
п = О,1,2,... Является ли этот базис ортогональным?
2. Следующие три вектора образуют базис: ei = A,2, 1); е2 =
= A, 0, —2); ез = @, 4, 5). Является ли этот базис ортонормирован-
ным? Если нет, образуйте ортонормированный базис при помощи
линейной комбинации е&, fc = 1, 2, 3.
3. Пусть ei = A, 0) и е2 = (О, 1) — единичные векторы двумерного
евклидового пространства. Пусть xi = B, 3) и х2(-1, 2) — еди-
единичные векторы неортогонального базиса. Определите координаты
точки w по отношению к этому неортогональному базису, если ее
евклидовы координаты есть C, 1).
4. Проверьте, что операция взятия комплексного сопряжения от пре-
преобразования Фурье функции / € L2(-oo, оо) подчинена следующему
тождеству
7@ =/(-О
для всех £ € Ш.
5. Проверьте, что условие
эквивалентно следующему условию для моментов
оо
/ tjf(t)dt = O
для любых положительных целых чисел j.
6. Проверьте, что для любой функции ф € L2(—оо, оо) нормализован-
нормализованная функция, определяемая соотношением ф^ (t) := 2^2ф B4 — к)

Задачи 229
для j, к € Z, t e R имеет ту же самую £2-норму, что и ф:
{t)\2 dt, j,k€Z.
= J
7. Показать, что если {ф(г — к)\ к 6 Z} есть базис Рисса простран-
пространства Vo = {ф(г - к)\ к € Z}, то (<t>jik | A; 6Z) есть базис Рисса 1^- =
= {Фз,кA) \к еЪ) для фиксированного j € Z. То есть из
акфA-к)
следует
i«*i2
к=-оо
к=-оо
к=-оо
с теми же самыми константами А и В.
8. Пусть {ei, e2} ортонормированный базис на плоскости. Докажи-
Докажите, что три вектора
ei у/3 . ei VS
0i = ei, 02 = -— + -^-ег, 0з = —5 ^-e2
образуют жесткий фрейм с константами А = В = 3/2 .
9. Пусть для любого 0 ^ к < К, {^k,n}nez является ортонормиро-
ванным базисом гильбертова пространства. Докажите, что объеди-
объединение этих К ортонормированных базисов {е^,п}, n€Z, 0 ^ к < К
является жестким фреймом с константами А = В = К.
10. Докажите, что если К € Z \ {0}, то
{ек [п] = ехр (г2тгА:п/ (KN))}0<k<KN
является жестким фреймом С^. Вычислите константы этого фрейма.
11. Докажите, что если К € К \ {0}, то
{ек (t) = ехр (i27rkt/K)}keZ
является жестким фреймом пространства L2 [0,1]. Вычислите кон-
константы этого фрейма.

230 Задачи
12. Пусть # = l[-u;o,u;o]- Докажите, что система функций
{g (t - пщ) exp (i27rt/uo)}{kn)eZ2
является ортонормированным базисом пространства L2 (R).
13. Показать, что гауссова функция ф(г) = е~ь не может быть вы-
выбрана в качестве масштабирующей функции. (Указание: Предполо-
Предположим, что е * может быть записана в виде е * =
к=-оо
для некоторой последовательности (а* | к € Z) из Z2, что имеет ме-
место, если е~* € Vo С VLi. Теперь покажите путем взятия преобра-
преобразования Фурье от обеих частей равенства и сравнения результатов,
что это ведет к противоречию).
14. Расщепите функцию
№ = 1 1, \<t<X,
у 0 в других случаях
в сумму масштабирующей функции и вейвлета, т.е. представьте в
виде разложения по базису пространства Vo 0 Wq .
15. Запишите вейвлет-разложение функции
5, 0<*<£,
_ J з, \<t<\,
1 - < t < 1
О в других случаях
16. По данному вектору данных у = (г/о, у\, • • •, 2/2n-i) длины N = 2п
запишите вейвлет-разложение соответствующей функции / (построй-
(постройте график)
f{x) = соф(х) +
j=0 k=0
где ф(х) = 1[0,1[, фгк — вейвлет Хаара. п = 3, у = A,0, -3,2,1,0,1,2).
Найти коэффициенты со, djk, j = 0, 1, 2; 0 ^ А; ^ V; — 1.
17. (Компьютерный эксперимент.) Используя весовые коэффициен-
коэффициенты h и д для системы Хаара при N = 8, напишите программу ал-

Задачи 231
горитма Малла (см. Приложение А1) для анализа и синтеза массива
данных 512 х 512.
18. (Компьютерный эксперимент.) Используя средства CAB Maple V
(>readlib (bspline)):
(а) проверьте свойства .В-сплайнов, указанные в (А2.5), для сплай-
сплайнов первой, второй и третьей степени,
(б) выведите на печать графики этих сплайнов и их производных,
(в) вычислите преобразование Фурье этих сплайнов (непосредствен-
(непосредственно и с использованием теоремы о свертке). Выведите на печать
графики спектров Фурье этих .В-сплайнов,
(г) постройте график функции распределения случайной величи-
величины для которой соответствующий сплайн является плотностью
вероятностей.

Сайты в Интернете по теории вейвлетов
1. AccuPress. (математическое обеспечение сжатия изображений с
применением вейвлетов), Aware, Inc. http://www.aware.com
2. Adapted Waveform Analysis Library, v2.0, Fast Mathematical Al-
Algorithms and Hardware Corporation, victor@math.wustl.edu
3. A WA S-.Adapted Wavelet Analysis Library, v3, Fast Mathematical
Algorithms and. Hardware Corporation, victor@math.wustl.edu
4. epic (pyramid wavelet coder). Contact Eero P. Simoncelli, eero-
Qmedia.mit.edu whitechapel.media.mit.edu:/pub/epic.tar.Z
5. The Mult irate Signal Processing Group, University of Wisconsin-
Madison, http://saigon.ece.wisc.edu/~ waveweb/QMF.html
6. hcompress (сжатие изображений с применением вейвлетов),
stsci.edu:/software/hcompress/hcompress.tar.Z
7. LIFTPACK. Contact Gabriel Fernandez, fernande@cs.sc.edu
http://www.cs.sc.edu/fernande/liftpack/beta.html
8. Orthonormal bases of compactly supported wavelets, I. Daubechies.
Journal of Applied and Computational Harmonic Analysis, http://
wuarchive.wustl.edu/~acha rice-wlet (математическое обеспе-
обеспечение по вейвлетам), cml.rice.edu:/pub/dsp/software/rice-wlet-
tools.tar.Z
10. SAD AM. Contact Fionn Murtagh, fmurtagh@cdsxb6.u-strasbr.fr
11. scalable (двух- и трехмерное преобразование поддиапазонов),
scalable@robotics.eecs.berkeley.edu robotics.eecs.berkeley.edu:
/pub/multimedia/ scalable2.tar.Z
12. Self-diffusion maps from wavelet de-noised NMR images, G. Sar-
ty and E. Kendall, Journal of Magnetic Resonance, Series B,
111A996). pp. 50-60. http://maya.usask.ca/sarty /sartyOl.tar.Z
13. The wavelet-based synthesis for the fractional Brownian motion
proposed by F. Sellan and Y. Meyer: Remarks and fast implemen-
implementation, by P. Abry and F. Sellan. Journal of Applied and Compu-
Computational Harmonic Analysis, http://wuarchive.wustl.edu/~acha
14. WavBox Software, WBTS. http://www.wavbox.com
15. WaveLab.701, http://playfair.stanford.edu/~waveweb
16. Wavelet Explorer, Wolfram Research, http://www.wolfram.com/wsn

Сайты в Интернете по теории вейвлетов
17. Wavelets in a Box, Academic Press, Inc. Contact Charles Glaser,
cbglaser@aol.com
18. Wavelet Toolbox, Cambridge University Technical Services Ltd.
Contact David Newland, den@eng.cam.ac.uk
19. wavethresh (математическое обеспечение по вейвлетам на язы-
языке S), gpn@maths.bath.uk gdr.bath.ac.uk:/pub/masgpn/wave-
thresh2.2.Z
20. wvlt (пакет программ для вейвлет-преобразований на язы-
языке С). Contact Bob Lewis, bobl@cs.ubc.ca http://www.cs.ubc.ca
/nest/imager/contributions/bobl/wvlt/top.html
21. ftp: //daisy/uwaterloo.ca/pub/maple/S.3/share/daub
22. ftp://info.mcs.anl.gov/pub/W-transform
23. ftp://mu.ceremade.dauphine.fr/pub/software
24. ftp://pandemonium.physics.missouri.edu/pub/wavelets
25. http://http.hg.eso.org/midas-info http://iaks-www.ira.uka.de/
iaks-beth/wavelet/software http://jazz.rice.edu/software/RWT
28. http://summus.com
29. http://www.amara.com/wwbdev/wwbdev.html
30. http://www.atinternet.fr/image
31. http://www.c3.lanl.gov/~cjhamil/wavelets/main.html
32. http://www.cis.upenn.edu/~eero/epic.html
33. http://www.dfw.net/~ncody
34. http://www.infinop.com
35. http://www.intergalact.com/macwavelets/macwavelets.html
36. http://www.harc.edu/HARCC.html
37. http://www.math.yale.edu/pub/wavelets/software
38. http://www.mathworks.com/wavelet.html
39. ftp://www.pd.uwa.edu.au/pub/wavelets
40. http://www.swin.edu.au/chem/bio/s-l-code/wpacfracl.htm
41. http://www.statci.com/wavelets.html
42. http://www.tsc.uvigo.es/~wavelets/uni-wave.html
43. http://www.vni.com
Воспользовавшись поисковой системой Netscape, наберите в окне
поиска «Wavelet digest» и нажав «Search», вы получите много полез-
полезной информации о вейвлетах. В частности, на сайте http://www.
wavelet.org/wavelet/index.html вы найдете ежемесячный электрон-
электронный журнал «Wavelet digest» (редактор Wim Sweldens), в котором
сообщается текущая информация о вейвлетах. С персоналией по
вейвлетам можно познакомиться на сайте Андреаса Клаппенеккера
http://iaks-www.ira.uka.de/home/klappi/people.html
9 - 10643

Список литературы
Книги по вейвлетам
[Be] John J. Benedetto and Michael W. Frazier eds.: Wavelets: Nathe-
matics and applications. CRC Press 1994.
[Bu] C. Sidney Burrus, Ramesh A. Gopinath and Haitao Guo: Intro-
Introduction to wavelets and wavelet transforms. Prentice Hall 1998.
[C] Charles K. Chui: An introduction to wavelets. Academic Press
1992. Имеется русский перевод: К. Чуй: Введение в вейвлеты.
М.: Мир, 2001.
[C] Charles К. Chui ed.: Wavelets. A tutorial in theory and applica-
applications. Academic Press 1992.
[D] Ingrid Daubechies: Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF Regional
Conference Series in Applied Mathematics, SIAM 1992. Имеется
русский перевод: И. Добеши: Десять лекций по вейвлетам.
Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
[D'] Ingrid Daubechies ed.: Different perspectives on wavelets. Proc.
Symp. Appl. Math. 47, Amer. Math. Soc. 1993.
[K] Gerald Kaiser: A friendly guide to wavelets. Birkhauser 1994.
[L] Alfred K. Louis, Peter Mafiund Andreas Rieder: Wavelets, Theorie
und Anwendungen. Teubner 1994.
[M] Yves Meyer: Ondelettes et operateurs, I: Ondelettes. Hermann 1990.
The same in English: Wavelets and operators. Cambridge Univer-
University Press 1992.
[M] Mladen Victor Wickerhauser: Adapted wavelet analysis from theory
to software. А К Peters 1994.
Статьи и учебный материал
[1] Christopher M. Brislawn: Fingerprints go digital. AMS Noties
42A1) A995), 1278-1283.
[2] Paul L. Butzer and Rolf J. Nessel: Fourier analysis and approxi-
approximation. Vol. I: One-dimensional theory. Birkhauser 1971.
[3] Ingrid Daubechies: Orthonormal bases of compactly supported wa-
wavelets. Communications on Pure and Applied Mathematics 41
A988), 909-996.

Список литературы
[4] Ingrid Daubechies and Jeffrey V. Lagarias: Two-scale difference
equations I. Existence and global regularity of solutions. SIAM J.
Math. Anal. 22 A991), 1388-1410.
[5] R. E. Edwards: Fourier series. A modern introduction. Holt, Rine-
hart and Winston 1967.
[6] Paul R. Halmos: Finite-dimensional vector spaces. D. Van Nos-
trand Company 1958.
[7] Christopher Heil and David Colella: Dilation equations and the
smoothness of compactly supported wavelets. [Be], 163-201.
[8] Edwin Hewitt and Kenneth A. Ross: Abstract harmonic analysis,
Vol. I and II. Springer 1963/1970.
[9] J.R. Higgins: Five short stories about the cardinal series. Bulletin
of the Amer. Math. Soc. (New Series) 12 A985), 45-89.
[10] Thomas W. Korner: Fourier analysis. Cambridge University Press
1988.
[11] Wayne M. Lawton: Necessary and sufficient conditions for con-
constructing orthonormal wavelet bases. J. Math. Phys. 32A) A991),
57-61.
[12] Stephane G. Mallat: Multiresolution approximations and wavelet
orthonormal bases ofL2(R). Trans. Amer. Soc. 315 A989), 69-87.
[13] Fritz Oberhettinger: Tabellen zur Fourier- Transformation. Springer
1957.
[14] David Pollen: Daubechies7 scaling function on [0,3]. [C], 3-14.
[15] Walter Rudin: Real and complex analysis, 2nd ed. McGrow-Hill
1974.
[16] Walter Schempp und Bernd Dreseler: Einfuhrung in die harmoni-
sche Analyse. Teubner 1980.
[17] Robert S. Strichartz: How to make wavelets. Am. Math. Monthly
100, 539-556.
[18] Robert S. Strichartz: Construction of orthonormal wavelets. [Be],
23-50.
[19] James S. Walker: Fourier analysis and wavelet analysis. AMS No-
Notices 44F) A997), 658-670.
Программное обеспечение
[Y] Digital Diagnostic Corporation and Yale University: Wavelet pack-
packet laboratory for Windows. А К Peters 1993.

Приложение А
Применение вейвлетов в обработке сигналов
и вейвлеты Соболева-Жамалова
Цель данного приложения: дать представление о наиболее привле-
привлекательной области приложения теории вейвлетов в технике, а имен-
именно, в обработке изображений и, в первую очередь, в системах сжатия
изображений. Кроме того дополнительно излагается теория вейвле-
вейвлетов Соболева, которые представляют собой обобщение известных
вейвлетов Франклина.
AI. Применение вейвлетов в обработке
изображений
Появление мультиразрешающего анализа (МРА) датируется 1989
г., когда появилась статья Стефана Малла [1]. Мультиразрешаю-
щее представление дает простую иерархическую концепцию для ин-
интерпретации информации, содержащейся в изображении. В общем
случае при различных разрешениях детали изображения характе-
характеризуют различные физические структуры сцены. При грубом раз-
разрешении эти детали соответствуют структурам больших размеров,
которые соответствуют «контексту» изображения. В связи с этим
естественно сначала анализировать детали изображения при гру-
грубом разрешении, а затем уже постепенно увеличивать разрешение.
Такая стратегия перехода от грубого к высокому разрешению ча-
часто используется в различных методах обработки изображений и
фактически навеяна аналогиями с инструментами теории зрения
[2], с которыми Малла был знаком. Таким образом, появление МРА
еще раз подтверждает известный тезис о том, что антропоморфный
фактор играет значительную роль в развитии техники.
Модель теории вейвлетов может быть легко обобщена на любые
размерности п > 0. Рассмотрим двумерный случай, соответствую-
соответствующий приложениям, связанным с обработкой изображений. В этом

A1. Применение вейвлетов в обработке изображений
случае сигнал представляет собой функцию f(x,y) Е L2(E2). Муль-
тиразрешающая аппроксимация L2(E2) представляет собой последо-
последовательность подпространств L2(E2)
... с V2-2 С V2-i С V2o С V2i С ... V2j С Vii+i С ... С L2, (АЛ)
которые удовлетворяют аксиомам отделимости и полноты (см. Па-
Параграф 5.1). Отметим, что шаг растяжения выбран равным 2, а по-
порядок включения выбран противоположным по сравнению с приня-
принятым в основном тексте книги (большему значению j соответству-
соответствует большее пространство V2j). Пусть (V2j)jeZ — описанная выше,
мультиразрешающая аппроксимация L2(E2). Аппроксимация сигна-
сигнала f(x,y) при разрешении 2J равна его ортогональной проекции
на векторное пространство V2j. Оператор проектирования на под-
подпространство V2j обозначим через A2j. Можно показать, что суще-
существует единственная масштабирующая функция Ф (х, у) растяжения,
сдвиги которой дают ортонормированныи базис каждого простран-
пространства V2j . Пусть Ф2з(х,у) = 22-?Ф BJх,2Jу). Семейство функций
образует ортонормированныи базис пространства V2j. Множитель
2~J нормирует каждую функцию в норме L2(E2). Функция Ф(х,у)
определена единственным образом по отношению к выбранной муль-
тиразрешающей аппроксимации L2(E2).
Опишем частный случай сепарабельных мультиразрешающих ап-
аппроксимаций пространства L2(E2), впервые предложенных Ивом Мей-
ером [3]. Для таких мультиразрешающих аппроксимаций каждое
пространство V2j может быть представлено в виде тензорного про-
произведения двух одинаковых подпространств L2(E)
Последовательность векторных пространств (V2j)j£Z образует
мультиразрешающую аппроксимацию L2(E2), если и только если
(у2\) €Z является мультиразрешающей аппроксимацией простран-
пространства L2(E). В этом случае легко показать, что масштабирующая
функция Ф(х,у) может быть записана в виде
Ф(х,у) =ф(х)ф(у),
где ф (х) является одномерной масштабирующей функцией мульти-
мультиразрешающей аппроксимации (V^) €Z- В случае такой сепарабель-

Приложение А
ной мультиразрешающей аппроксимации особое значение придает-
придается горизонтальному и вертикальному направлению в изображении.
Ортогональный базис У2з при этом записывается в виде
= B-'&, (х - 2-Ы) ф» (у - 2->m))(n>m)€Z2.
Следовательно, аппроксимация изображения f(x,y) при разрешении
2-? характеризуется множеством скалярных произведений
</ = (</(*,2/),<Ь (« - 2->п) фг, {У -
где A%jf называется дискретной аппроксимацией /. Очевидно, что
при j < О дискретная аппроксимация изображения A^f содержит
2^N пикселей. Предполагается, что исходное изображение симме-
симметрично относительно горизонтальных и вертикальных границ.
Так же, как и в одномерном случае, разность информации меж-
между аппроксимацией функции f(x,y) при разрешении 2^+1 и 2J на-
назовем детализированным изображением при разрешении 2J. Такое
изображение равно ортогональной проекции изображения на орто-
ортогональное дополнение У^з в V2j+i. Пусть И^ является таким ортого-
ортогональным дополнением. Приводимая ниже теорема утверждает, что
мы можем построить ортонормированный базис W2j с помощью мас-
масштабирования и сдвигов трех вейвлетных функций Ф1 (ж, у), Ф2(ж, у)
и
(АЛ) Пусть (V2i)j£z — сепарабелъная мулътиразрешающая ап-
аппроксимация L2(E2). Пусть Ф(х,у) = ф(х)ф(у) — соответству-
соответствующая ей двумерная масштабирующая функция. И пусть ф(х) —
одномерный вейвлет, соответствующий масштабирующей функ-
функции ф(х). Тогда три «вейвлета»
Уг(х,у) = ф(х)ф(у), У2(х,у)=ф(х)ф(у), У3(х,у)=ф(х)ф(у)
являются такими, что
(А.З)
n,m)€Z2

Al. Применение вейвлетов в обработке изображений 239
образуют ортонормир о ванный базис W2j и
-^Ij (х - 2~in,y- 2-im) ,
образуют ортонормированный базис пространства L2(R2).
Доказательство. Пусть (V2j)-£Z мультиразрешающаяаппроксима-
мультиразрешающаяаппроксимация L2(R2) такая, что для любого j EZ
V2J = V2\®V2\, (А.4)
где (У2з) ■£% есть мультиразрешающая аппроксимация L2 (К). Мы
хотим доказать, что семейство функций
-^2i (х - 2">п) 02J (?/ - 2-J'm) , (A.5)
"^2i (x - 2-in) ф23 (у - 2-im) ) {nm)ez2
является ортонормированным базисом W2j. Векторное простран-
пространство W2j есть ортогональное дополнение V2j в V2j+i. Пусть W^
ортогональное дополнение V2\ в V^+i. Выражение (А.4) позволяет
записать
Это может быть переписано в виде
Ортогональное дополнение V2j в V^i+i, следовательно, имеет вид
w2J = (v2\ 0 w2\) е (w2\ 0 v^) e (w2\ 0 ^). (a.g)
Семейство функций (у/2~зф& (х — 2~Jn) J является ортонор-
ортонормированным базисом V2j, a lу/2~эф2з (x — 2~^n)\ образуют ор-
тонормированный базис W2\. Из (А.б) следует, что (А.5) является
ортонормированным базисом W2j. Векторное пространство L2(E2)
может быть записано в виде прямой суммы ортогональных про-
пространств W2j
L2(E2) = е W2J.

Приложение А
Следовательно, семейство функций
\~3ф2з \Х — 2~^П) ф2з (У —
образует ортонормированный базис L2(R2). ■
Опишем теперь алгоритм Малла анализа изображений. Разность
информации между A^j+if и A*jf равна ортогональной проекции
f(x,y) на W2j и определяется скалярными произведениями f(x,y)
с каждым из векторов ортонормированного базиса W2j. Теорема
(АЛ) говорит о том, что эта информационная разность задается
тремя детализированными изображениями:
у),91, (x-2-%,!/-2-%)))Mez2) (A.7)
D22if = «/(*,»), Ф22, (х - 2-4» - 2->m)))(n m)ez2 , (A.8)
^ »), *i (х - 2-*п,у- 2-jm)))(n m)€Z2 . (A.9)
Так же, как и в случае одномерных сигналов, можно показать,
что в случае двух измерений скалярные произведения, которые опре-
определяют A^jf, D^jfi D^jf и D^jf, равны результатам взятия равно-
равномерных отсчетов для соответствующих двумерных сверток. Так как
три вейвлета Ф1(ж,^/), Ф2(х,у) и Ф3(х,у) записываются в виде про-
произведения функций ф и ф, то такие свертки записываются в виде
К f = ((/(*,У) * Фъ{-х)фг,(-у)) B"Ч2-jm))(nm)eZ2, (АЛО)
Dlf= {(f(x,y) *ф2>(-х)ф»(-у)) B-jn,2-jm))(n
Dlf = ((Пх,у)**2*(-х)ф2,(-у)) B--*n,2->m))(nim)eza • (A.13)
Выражения с (АЛО) по (А.13) показывают, что в двумерном слу-
случае, A^jf и D^j вычисляются с помощью раздельной фильтрации
сигнала по абсциссе и ординате.
Таким образом, вейвлетное разложение можно интерпретировать
как разложение сигнала на множество независимых, пространствен-
пространственно ориентированных частотных каналов. Если предположить, что
ф(х) и ф{х) представляют, соответственно, идеальный низкочастот-
низкочастотный и идеальный полосовой фильтр, то в частотной области изобра-

Al. Применение вейвлетов в обработке изображений
жение A^j+if разлагается на A^f, D^jf, D^jf и D^f. Изображение
A^j f соответствует низким частотам (будем обозначать это через
НН, т. е. вхождение в двумерную свертку ф соответствует Н, а вхо-
вхождение ф соответствует В, причем учитывается порядок вхожде-
вхождения, т.е. пространственная ориентация), изображение D^f (HB)
соответствует вертикальным высоким частотам (горизонтальным
краям), изображение D\uj (BH) соответствует горизонтальным вы-
высоким частотам (вертикальным краям), а изображение D^f (BB)
соответствует высоким частотам в обоих направлениях (углам).
Для любого J > О исходное дискретное изображение Aff, полу-
полученное при разрешении 1, полностью представимо 3 J + 1 дискрет-
дискретными изображениями
Это множество изображений называется ортогональным вейвлет-
ным представлением в случае размерности два. Изображение А%_, f
является грубой аппроксимацией при разрешении 2~^, а изображе-
изображения D^jf дают детализированные сигналы для различных ориен-
ориентации и разрешений. Такое разложение можно проинтерпретиро-
проинтерпретировать как разложение исходного изображения по ортонормирован-
ному веивлетному базису или как разложение изображения на мно-
множество независимых каналов, как это имеет место в модели Марра
человеческого зрения [2]. Независимость определяется ортогональ-
ортогональностью вейвлетных функций. Если исходное изображение содержит
N пикселей, то каждое изображение A^f, D^f, D^jf, D\jf содер-
содержит по 23 N пикселей (j < 0). Общее число пикселей в этом новом
представлении равно числу пикселей исходного изображения, и по-
поэтому мы не увеличиваем объем данных.
В двумерном случае, как и в одномерном, может быть использо-
использован пирамидальный алгоритм. Двумерное вейвлетное преобразова-
преобразованием можно рассматривать как одномерные веивлетные преобразо-
преобразования по осям х и у. На каждом шаге мы разлагаем A^j+i f на четыре
составляющие Л^/, D^f, D^f и D^f. Алгоритм начинает работу
с дискретного исходного изображения Aff, соответствующего раз-
разрешению 2° = 1. Всего выполняется —1 ^ j ^ — J шагов. Каждый
шаг разбивается на два этапа: на первом этапе производится сверт-
свертка строк A^j+if с импульсными характеристиками h и д, причем
сохраняется результат только каждой второй свертки, т. е. произ-
производится прореживание с кратностью 2. Отметим, что оба фильтра

Приложение А
имеют конечную импульсную характеристику (КИХ), причем пер-
первый является фильтром нижних частот (Н), а второй фильтром вы-
высоких частот (В). Полученный после выполнения первого этапа мас-
массив обрабатывается на втором этапе в вертикальном направлении
(по столбцам) с помощью свертки столбцов с импульсными харак-
характеристиками тех же самых фильтров с последующим прореживани-
прореживанием в два раза (т.е. запоминается только каждый второй столбец).
Таким образом, после каждого шага двумерного вейвлетного раз-
разложения, двумерный входной массив проектируется на четыре ча-
частотных подпространства
НН
вн
нв
вв
Обычно выбирается J = 3, и при этом дальнейшему подразбиению
подвергается частотный поддиапазон НН. Результат такого анали-
анализа исходного изображения с помощью алгоритма Малла имеет сле-
следующий вид:
ннн,
ннн
ннв,
ннн
ннн,
ннв
ннв
ннв
нв, нн
нн, нв
нв, нн
вн
нв
вв
Это так называемое октавное разбиение или вейвлетное разложение
изображения на неравные частотные поддиапазоны. Обычно самый
низкочастотный поддиапазон (ннн, ннн) содержит 64 х 64 пикселей.
Восстановление (синтез) изображения производится с помощью
того же пирамидального алгоритма, но «вывернутого наизнанку».
На каждом шаге алгоритма изображение A^j+if восстанавливается
по A**j /, D\j /, D*j f и D\j. Между каждым из столбцов изображений
A^jf, D^jf, D^jf и D\j мы добавляем столбцы, содержащие только
нули (эта операция является обратной по отношению к прорежи-
прореживанию) , и сворачиваем строки полученных массивов с импульсными

A1. Применение вейвлетов в обработке изображений
характеристиками h и д. На этом первый этап (обработка строк) ал-
алгоритма восстановления на данном шаге заканчивается. На втором
этапе (обработка по столбцам) между каждой из строк полученного
изображения добавляем строки, содержащие только нули, и снова
проводим свертку по столбцам с импульсными характеристиками
h и д (эти импульсные характеристики соответствуют квадратур-
квадратурным зеркальным фильтрам). Изображение Aff восстанавливается
по его вейвлет-преобразованию повторением такого процесса для
—J ^ 3 ^ ~~ 1- Если использовать представление чисел с плавающей
запятой, то восстановление получается чрезвычайно точным.
Описанный алгоритм Малла анализа-синтеза изображения не за-
зависит от выбора h, g и h, g. Эти импульсные характеристики опре-
определяются выбором конкретного типа вейвлета. Обычно алгоритм
Малла применяется совместно с зеркальным симметрированием ис-
исходного изображения, о чем уже говорилось выше.
Перейдем теперь к рассмотрению сжатия изображений с при-
применением вейвлетов. Ясно, что в случае сжатия мы должны обла-
обладать некоторой стратегией устранения незначимых коэффициентов
в вейвлетном разложении изображения, полученном в результате
применения алгортима Малла для анализа изображения. После то-
того, как незначимые (в смысле некоторого критерия) коэффициен-
коэффициенты устранены, осуществляется восстановление изображения по ал-
алгоритму синтеза, но, естественно, восстановленное таким образом
изображение уже не является идеально восстановленным, а сжатым.
Кратко опишем алгоритм сжатия изображения [4], основанный
на вейвлетном разложении. После того, как получено дискретное
вейвлет-преобразование (ДВП) изображения, все коэффициенты вейвлет-
преобразования должны быть упорядочены таким образом, чтобы
коэффициенты, соответствующие более грубому разрешению, пред-
предшествовали коэффициентам, относящимся к тонкому разрешению.
Типичная зигзагообразная развертка октавного разбиения имеет
вид
ННН, ННН
ННВ, ННН
ННН, ННВ
нв, нн
нн, нв
нв, нв
в, н
н, в
в, в

Приложение А
Коэффициент вейвлет-преобразования считается значимым, ес-
если он по абсолютной величине > 77, где 77 — выбранное значение
порога. В противном случае коэффициент вейвлет-преобразования
считается незначимым.
В современных кодеках (кодер-декодер), применяемых для сжа-
сжатия неподвижных изображений, используются алгоритмы вложенно-
вложенного дерева нулей Шапиро [5], кодового дерева Сайда и Перлмана [6]
и недавно предложенный Тьяном и Уэллсом разностно-вейвлетный
алгоритм [7], основанный на кодировании разностного множества.
Относительно дальнейшей информации о сравнительных характери-
характеристиках этих и других подобных алгоритмов мы отсылаем читателя
к книгам [8] и [9], где содержится также обширная информация о
других возможных областях применения вейвлет-преобразований.
А2. Вейвлеты Соболева-Жамалова
Система ортонормированных функций, обобщающая систему Хаара
и состоящая из кусочно-линейных функций, была предложена Фран-
Франклином в 1928 г. [10]. То, что система Франклина представляет собой
безусловный базис (базис Рисса или фрейм в современной термино-
терминологии), было доказано Бочкаревым в 1978 г. [11] (см. также [12, 13]).
Однако, до появления основного инструмента теории вейвлетов —
МРА эта область математических знаний обслуживала в основном
теорию ортонормированных рядов [14, 15] и только в последнее де-
десятилетие получила свое естественное и практическое применение
в теории сплайн-вейвлетов. Сплайн-вейвлет Франклина представля-
представляют собой систему кусочно-линейных ортонормированных функций,
образующих базис Рисса в пространстве Lp (R) A < р < оо). Сплайн-
вейвлеты Соболева-Жамалова, являющиеся непосредственным обоб-
обобщением веивлета Франклина, возникли в теории квадратурных фор-
формул, развитой С. Л. Соболевым и его школой [16], и представляют
собой ортонормированную систему кусочно-полиномиальных функ-
функций на вещественной оси.
Пусть Vo пространство всех функций / G L2 (R), которые не-
непрерывны на R и линейны при ограничении на каждый интервал
вида [&,& + 1], к G Z. Определим Vj, j G Z как пространство всех
функций / G L2 (Ж) таких, что / B~-7-) G Vo. Функции, принадлежа-
принадлежащие Vj, непрерывны наМи линейны на каждом из интервалов вида
[2"■*'&, 2~i(k + 1)], к G Z. Очевидно, что все условия МРА удовлетво-

A2. Вейвлеты Соболева-Жамалова
ряются такой последовательностью подпространств, и нам остается
только найти такую масштабирующую функцию ф Е Vo, целочислен-
целочисленные сдвиги которой образовывали бы ортонормированныи базис Vo.
Очевидно, что последовательность значений {/ (k)}keZ полно-
полностью определяет любую функцию / Е Vq. Фактически, последова-
последовательность {/ (к)}ке% должна принадлежать гильбертову простран-
пространству квадратичносуммируемых последовательностей I2 (Z) и, нао-
наоборот, каждая такая последовательность определяет единственную
функцию / G Vo. Мы должны доказать следующее двойное неравен-
неравенство:
Вследствие линейности / на [к, к + 1] можно записать
fc+i 1
J \f(x)\2 dx = J [A - t) /(*) + tf(k + I)]2 dt
к О
2 f №f(k
з
Отметим теперь, что
2
Ho
/(*)/(*+!)
3 3
AJ{k)}2 + [f(k + l)]2
ос *+1
II2
f \fW
и, следовательно, записанные выше неравенства дают нам (А. 15),
так как
к
Пусть дана функция «шапочка»:
х @<ж<1),
А(х)= { 2-х A<х<2),
О (в противном случае)

246 Приложение А
Очевидно, что любая / G Vo может быть представлена в виде
Если х — Х[од]> т0 получаем \ (О — e~*2 S£% ' и' так как
— X * X » то отсюда следует, что
Из формулы (А. 16) следует, что
где т/ (^) — 2тг-периодическая функция на R, принадлежащая L2 (Т).
Фактически,
Таким образом мы доказали следующую теорему:
(А.2) Функция f G L2 (R) принадлежит Vo, если и только если
m/ G L2 (Т). Более того,
Элементы пространства Vo могут быть охарактеризованы и иначе:
(А.З) Функция f G L2 (R) принадлежит Vo, если и только если
£2/ (О является 2тг-периодической функцией на R.
Доказательство. Из Теоремы (А.2) немедленно следует, что, если
/ G Vo, то
является 2тг-периодической функцией на R.

A2. Вейвлеты Соболева-Жамалова 247
Предположим теперь, что £2/(£) — 2тг-периодическая функция
на R. Определим
4 sin2
2тг-периодичность рассматриваемых функции и ограниченность функ-
ции 16 . 4(£/2) на I1"?71"] позволяет нам получить
/(О
- / 16sin4 dg < с/ |
IIl2(r)-
Так как /л € L2 (Т), то мы можем записать ее ряд Фурье в виде
< °° • Так как Д (О =
т0 получаем
у;
где г*Д(а;) = А(х — к). Беря обратное преобразование Фурье, полу-
получаем
/(*) = ][>(*) Д(*-* + 1).
Это показывает, что / G Vo, так как {Д (• — &) : к G Z} является
базисом Vo. ■
Мы хотим доказать, что последовательность подпространств
{Vj\ j> € Z} образует МРА. Масштабирующая функция 0 должна при-
принадлежать пространству Vo, которое было охарактеризовано в Те-
Теоремах (А.2) и (А.З). Вейвлет ф должен принадлежать простран-
пространству V\. Две характеризации этого пространства легко получаются
из приведенных выше теорем.

248 Приложение А
(А.4) Пусть д G L2 (Ж), тогда (a) g G V\, если и только если
где rrig — 4тг-периодическая функция, принадлежащая L2([0,4тг]).
Более того,
(б) g G V\, если и только если £2#(О является 4тг-периодической
функцией на R.
Доказательство. Для g G L2 (R) определим f(x) = g(x/2). Тогда g
принадлежит Vi, если и только если / принадлежит Vo- Более того,
/ (^) = 2^B^). Этот результат непосредственно следует из харак-
теризации Vo, данной в Теоремах (А.2) и (А.З). ■
Система функций {А (• — к)\ к € Z} образует базис Vo, но не явля-
является ортонормированной системой функций. Как мы уже отмечали
выше, нам необходимо найти масштабирующую функцию ф, для ко-
которой {</>(• — к) \ к G Z} является ортонормированным базисом Vo.
Как известно, ортонормированность системы {ф (• — к) \ к G Z} экви-
эквивалентна выполнению следующего условия:
^ 2
ф (^ + 2&тг) = 1 почти для всех (gM. (a-1?)
По Теореме (А.2)
где гпф является 2тг-периодической функцией, принадлежащей L2 (Т).
Из (А. 17) тогда получаем
(А.19)
= 16 sin4 (ф) \тф (Of Y г •
Следующая лемма дает нам значение бесконечной суммы в пра-
правой части равенства.

A2. Вейвлеты Соболева-Жамалова
(А.5) Для любого £ Е R получаем
Доказательство. Лемма доказывается двукратным дифференци-
дифференцированием равенства
V 4 sin2 (£/2)"
Для доказательства справедливости этого равенства рассмотрим функ-
функцию х = Х[од]- Так как
е
и {х (* — к) I & Е Z} является ортонормированной системой в L2 (R),
то, используя (А. 15), мы получаем следующий результат:
i= Tm
к к
Продолжим теперь поиск масштабирующей функции ф. Равен-
Равенство (А. 19) и Лемма (А.5) дают нам следующий результат:
\ (A.20)
Из этого следует, что ортнормированность системы функций
{</>(• — к) | к G Z} полностью определяет абсолютные значения гпф и
ф (см. (А.18)). Мы выбираем
Проделывая приведенные выше шаги в обратном направлении,
мы видим, что,.если ф определяется по формуле (А.21), то ф удовле-
удовлетворяет (А. 17) и, следовательно, {ф (• — к) | к G Z} является ортонор-
ортонормированной системой в Vo. Эта система функций и есть система
Франклина. Покажем теперь, что система Франклина кроме того
10 - 10643

Приложение А
полна в Vo. Для этого рассмотрим биекцию из Vo в L2 (Т), задавае-
задаваемую / t—> rrtf (см. Теорему (А.2)). Полнота сдвигов ф эквивалентна
полноте системы {тф (£)е~гк^ : к Е Z} в L2 (Т). Так как
(l - § sin* (C/2)) "* = (! + ! cose)
ограничена сверху и снизу на Т, то (А.20) показывает, что полнота
приведенной выше системы эквивалентна хорошо известной полно-
полноте системы {е~гк^ : к Е Z} в L2 (Т). Это и доказывает желаемый
результат.
Система Франклина получается в результате применения метода
ортогонализации Шмидта к базису Шаудера [17]. Перейдем к рас-
рассмотрению обобщения систем Франклина, т.е. к системам Собо-
Соболева. Очевидно, что \ — Х[од] — Д)(#M и так как Д (х) — ^i(^) —
= (Д) * ^о) (ж)? то для построения кусочно-полиномиальных базисов
нам потребуется более подробно описать свойства Б-сплайнов.
(А.6) Для каждого п ^ 0 В-сплайн Вп+\(х) = (Во * Вп) (х) облада-
обладает следующими свойствами:
A) Вп+1(х)еСп;
B) Bn+i(x) \[k, k + 1], k € Z — полином степени п + 1;
C) supp5n+1(ar) = [O,n + 2];
D) Bn+1 (ar) > 0 для 0 < x < n + 2;
E) ZBn+i(x-k) = lVx;
F) fBn+1(x)dx=l;
G) B;+1(x) = Bn(a!)-Bn(a;-l)/
(8) 5n_|_i(x) может быть вычислен по Вп(х) с помощью следую-
следующего равенства:
Вп+1(х) = -Вп(х) + П+ ~ХВп(х - 1);
п п
(9) Bn+\(x) симметричен относительно своего центра (п + 2)/2.
Первый базис Соболева, отличный от базиса Шаудера, состо-
состоит из кусочно-кубических функций, т. е. допускает представление
{(А * А) (• — к)\ к € Z}, второй базис Соболева, соответственно, име-
имеет вид {(А * А * А) (• — к) | к G Z} и состоит из кусочно-полиноми-
кусочно-полиномиальных функций пятой степени и т. д. Очевидно, что базису Шау-
Шаудера соответствует п = 0, первому базису Соболева п = 2 и т. д.,

A2. Вейвлеты Соболева-Жамалова 251
поэтому обозначим п = 2М — 2. Теперь легко можно переформу-
переформулировать характеризационные Теоремы (А.2) и (А.З) для базисов
Соболева относительно принадлежности / Е L2 (Ж) пространству
У02М~\ М = 1, 2, 3, .... Так как при М = 2
(А * А)Л (О = А (О • А (О = (А (ОJ = е-
то в общем случае
, М = 1, 2, 3, ...
и, следовательно,
(А.27) Функция f eL2 (Ж) принадлежит V2M~\ М = 1, 2, 3, ...,
w только если
2М
) т/ (О,
где т/ — 2тт-периодическая функция, принадлежащая L2 (Т).
Соответственно,
(А.З7) Функция f eL2 (Ж) принадлежит V2M~l, М = 1, 2, 3, ...,
еа/ш w только если £2М/ (£) является 2тг-периодической функцией
на Ж.
В лемме (А.5) теперь используется более общее дифференциро-
дифференцирование
1 1 Л2М
где к; = 1/sin2 (£/2), а Лм (w;) — производные полиномы или поли-
полиномы Жамалова, полученные впервые 3. Ж. Жамаловым [16, стр.
753] в начале 70-х при построении оптимальных квадратурных фор-
формул. Там же приведены рекуррентные формулы для их вычисления.
Первые полиномы Жамалова для М = 1, 2, 3, 4 имеют следующий

Приложение А
вид:
Ai(w) = 6w2 - Aw,
A2(w) = 120w3 - 120w2
A3(w) = 5040w4 - 6720w3 + 2016w2 -
A4(w) = 362880w5 - 604800w4 + 282240w3 - 3264(W2
По Теореме А.2'
Ф@=
ш ф@, ,,3,,
где Ш0 является 2тг-периодической функцией, принадлежащей L2 (Т).
Из (А. 17) в общем случае получаем
= 22M+2sin2M+2
M = l, 2,3, ....
Из равенства (А.22) и обобщения Леммы (А.5) получаем:
К @1 =
Мы выбираем
Рассуждая как и выше, мы видим, что, если ф определяется по фор-
формуле (А.24), то ф удовлетворяет ((А. 17)) и, следовательно, множе-
множество функций {ф(- — к) | fc G Z} является ортонормированной систе-
системой вУ02М"\М = 1, 2, 3, — Эти системы функций и есть системы
Соболева. Ясно, что система Франклина является частным случаем
при М = 1. Доказательство полноты систем Соболева проводится
точно так же, как и доказательство полноты для системы Франкли-
Франклина и опирается на ограниченность сверху и снизу на Т функции ш^,
определенной формулой (А.23).

A2. Вейвлеты Соболева-Жамалова
Таким образом, мы получили МРА, jv^! j G z|, где VfM~l
есть множество непрерывных функций, принадлежащих L2 (R), ко-
которые кусочно-полиномиальны (степень полиномов равна 2М — 1,
М — 1, 2, 3, ...) на каждом из интервалов вида [2~Jfc,2~J (к + 1)],
к G Z, и масштабирующая функция описывается формулой (А.24).
Низкочастотный фильтр то такого МРА, связанный с выбранной
выше масштабирующей функцией ф, может быть получен из урав-
уравнения масштабирования ф B£) = то (£) ф (£):
то @ =
ФШ Bвт(€/2))(Лм(ОL (А25)
Ортонормированный вейвлет ^, связанный с только что описан-
описанным МРА, удовлетворяет следующему уравнению:
2M
(А.26)
Все изложенное выше может быть сведено в следующую теорему:
(А.7) Для каждого j G Z, пусть V2M~l, М = 1, 2, 3, ... подпро-
подпространство L2 (R) всех непрерывных функций на Ш, которые кусоч-
кусочно-полиномиальны на каждом интервале вида [2~Jfc,2~J (k + 1)],
fc G Z. Тогда последовательность I V2M~l\ j g Z> образует МРА
для L2 (R). Соответствующая масштабирующая функция опреде-
определяется формулой (А.24)- Ортонормированный вейвлет ф, связан-
связанный с этой масштабирующей функцией, удовлетворяет выражению

Список литературы к приложению А
(e/4)
(A.27)
Полученные вейвлеты называются вейвлетами Соболева - Жа-
малова. Как очевидно, они являются нечетными вейвлетами Бэттла-
Лемарье, первые два из которых приведены в конце параграфа 6.4
основного текста книги. Частный случай М = 1 соответствует вей-
влету Франклина. Свойства вейвлетов Бэттла-Лемарье приведены
в [18].
Список литературы к приложению А
[1] S. G. Mallat, A theory for signal decomposition: the wavelet rep-
representation, IEEE Trans, on pattern analysis and machine intelli-
intelligence, vol. 11, No. 7, 1989, pp. 674-693.
[2] D. Marr, Vision, Freeman, New York, 1983.
[3] Y. Meyer, Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algebres
d'operateurs, Bourbaki seminar, no. 662, 1985-1986.
[4] A. Cohen, I. Daubechies, J. Feauveau, Biorthogonal bases of com-
compactly supported wavelets, Communications on Pure and Applied
Mathematics, vol. 45, 1992, pp. 485-560.
[5] J. M. Shapiro, Embedded image coding using zerotrees of wavelet
coefficients, IEEE Trans. Signal Processing, IP-41, 1993, pp. 3445-
3462.
[6] A. Said, W. A. Pearlman, A new fast and efficient image codec
based on set partitioning in hierarchial trees, IEEE Trans. Cir.
Syst. Video. Tech., vol. 6, no. 3, 1996, pp. 243-250.
[7] J. Tian, R. O. Wells, Jr, Embedded image coding using wavelet-
difference-reduction, in Wavelet Image and Video Compression
(P. Topiwala, Ed.), Kluwer Academic Publ, Norwell, MA, 1998,
pp. 289-301.
[8] H.L. Resnikoff, R.O. Wells, Jr, Wavelet analysis. The scalable
structure of information, Springer-Verlag, New York, 1998.
[9] M. Vetterli, J. Kovacevic, Wavelets and subband coding, Prentice
Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1995.
[10] Ph. Franklin, A set of continuous orthogonal functions, Math.
Ann., vol. 100, 1928, pp. 522-529.

Список литературы к приложению А
[11] С. В. Бочкарев, Метод усреднений в теории ортогональных ря-
рядов и некоторые вопросы теории базисов, Труды Математиче-
Математического Института им. В. А. Стеклова, том. 146, 1978.
[12] J. О. Stromberg, A modified Franklin system and higher order
spline systems on Rn as unconditional basis for Hardy spaces, in
Conference in honor of A. Zygmund (W. Beckner, Ed.), Vol.11,
Wasdsword, 1981, pp.475-493.
[13] P. Wojtaszczyk, The Franklin system is an unconditional basis in
Я1, Arkiv fur Mat., vol. 20, No. 2, 1982, pp. 293-300.
[14] С. Качмаж, Г. Штейнгауз, Теория ортогональных рядов, ГИ
ФМЛ, Москва, 1958.
[15] Г. Алексич, Проблемы сходимости ортогональных рядов, ИИЛ,
Москва, 1963.
[16] С. Л. Соболев, Введение в теорию кубатурных формул, «Нау-
«Наука», Москва, 1974.
[17] В. Л. Данилов и др., Математический анализ. Функции, пре-
пределы, ряды, цепные дроби, ГИ ФМЛ, Москва, 1961.
[18] Е. Hernandez, G. Weiss, A first course on wavelets, CRC Press,
Boca Raton, 1996.

Приложение Б
Использование техники вейвлетов в математической
теории дифракции
Б. I. Вейвлеты в технике метода продолженных
граничных условий
Основные приложения теории вейвлетов связаны, прежде всего, с
квантовой физикой и цифровой обработкой сигналов (например, в
системе сжатия изображений JPEG2000 используется разложение
изображения по вейвлетному базису [1]). Имеется лишь сравнитель-
сравнительно небольшое число публикаций, посвященных применению вейвле-
вейвлетов к решению краевых задач математической физики (см., напри-
например, [2, 3] и приведенную там библиографию). В этом приложении
обсуждается применение дискретных вейвлет-разложений к реше-
решению краевых задач для уравнения Гельмгольца [4]. Однако основные
идеи легко переносятся и на другие эллиптические уравнения.
Одним из широко распространенных способов решения краевых
задач для эллиптических уравнений является сведение их к инте-
интегральным уравнениям 1-го или П-го рода [5]. Ядра таких уравнений
являются обычно фундаментальными решениями соответствующих
дифференциальных уравнений в частных производных и (или) их
производными и имеют, таким образом, особенности при совпаде-
совпадении аргументов. Отмеченное обстоятельство обусловливает целый
ряд трудностей при численной реализации тех или иных алгорит-
алгоритмов решения этих интегральных уравнений.
В работе [б] предложен подход, позволяющий избавиться от по-
подобных затруднений и строить простые и эффективные алгоритмы
решения соответствующих краевых задач.
Рассмотрим существо обсуждаемого метода на примере реше-
решения граничных задач для уравнения Гельмгольца. Основная идея
метода, как уже отмечалось, с точностью до деталей технического
характера переносится на другие уравнения эллиптического типа.

Б.1. Вейвлеты в технике продолженных граничных условий
Пусть для определенности речь идет о решении внешней крае-
краевой задачи для уравнения Гельмгольца, т. е. о задаче дифракции на
компактном рассеивателе, занимающем область пространства D{.
В математической постановке такая задача сводится к нахождению
в области De = Ш2 \ Di (или R3 \ Di) решения и1 уравнения Гельм-
Гельмгольца
удовлетворяющего на границе 5 области Di некоторым краевым
условиям, например, вида
(СШ + £_Л) =о, (Б.2)
дп s
где а, /? = const, и = и0 +и1 — полное, и0 — падающее (первичное)
поля, а также условию на бесконечности [5]. Таким образом, в обла-
области De искомая функция и1 (г) является вещественно аналитической
[7], и в силу этого она приближенно удовлетворяет условию (Б.2) и
в некоторой окрестности границы 5, лежащей в De. Если граница
такова, что возможно аналитическое продолжение функции и1 (г) в
область Di [8, 9], то упомянутая окрестность лежит по обе стороны
границы 5.
В силу того, что любое численное решение краевой задачи (Б.1),
(Б.2) (в том числе и базирующееся на строгом алгоритме), являет-
является приближенным, использование приближенных граничных условий
вместо точных вполне допустимо, учитывая корректность по Ада-
мару [5] задачи (Б.1), (Б.2). Так, например, вместо строгой поста-
постановки (Б.1), (Б.2) краевой задачи можно решать задачу с граничным
условием
дп Ss
= 0, (Б.З)
в котором Ss — поверхность, проведенная в области De на неко-
некотором достаточно малом расстоянии S от поверхности 5. Такое из-
изменение постановки задачи позволяет избавиться от ряда серьезных
вычислительных трудностей. В частности, при сведении краевой за-
задачи (Б.1), (Б.З) к интегральным уравнениям ядра таких уравне-
уравнений не будут иметь особенностей, в результате чего многие вычи-
вычислительные проблемы, связанные с наличием особенностей в ядрах
уравнений, будут сняты.
Итак, пусть для определенности граница 5 — кусочно гладкая.
Пусть также сначала речь идет о решении внешней краевой задачи

258 Приложение Б
Дирихле для области вне D( (т.е. в (Б.2) а = 1, /3 = 0). В качестве
Ss выберем кусочно гладкую поверхность, содержащую 5 и такую,
что поверхность S охватывает все особенности аналитического про-
продолжения решения и\(г) краевой задачи (Б.1), (Б.З) внутрь Ss [8, 9].
Тогда решение задачи (Б.1), (Б.З) может быть сведено к следующему
интегральному уравнению Фредгольма I рода [10, 8]
v(rs)K(rs6;rs)ds = ili(rSs) (Б.4)
относительно неизвестной функции ji(fs) — плотности тока. Ядром
уравнения (Б.4) является фундаментальное решение уравнения (Б.1).
Применительно к уравнению (Б.4) может быть сформулирована
следующая теорема существования [б] (см. также [11, 9]):
(Б.1) Пусть простая замкнутая поверхность S такова, что к не
является собственным значением внутренней однородной задачи
Дирихле для области внутри S. Тогда уравнение (Б.4) разрешимо
в том и только в том случае, если S охватывает все особенности
решения и](г) краевой задачи (Б.1), (Б.З).
Нетрудно показать, что при выполнении условий теоремы урав-
уравнение (Б.4) имеет единственное решение.
Можно также показать, что в так называемой дальней зоне, т. е.
при кг ^> 1, равномерно (по угловым переменным в сферической
системе координат) \ul(f) — и\(г)\ = оF).
В качестве примера применения предлагаемой методики рассмо-
рассмотрим задачу дифракции плоской электромагнитной волны, падаю-
падающей под углом (ро к оси я, на идеально проводящую бесконечно тон-
тонкую ленту. В случае, когда электрический вектор Е падающего поля
ориентирован вдоль ленты, т. е. имеет только одну составляющую:
Е = izEz, для функции и = Ez будем иметь однородную краевую
задачу Дирихле (а = 1, /? = 0). Граница 5 представляет собой в рас-
рассматриваемом случае отрезок —а ^ х ^ а, у = 0. В качестве 5^ здесь
нужно было бы взять в соответствии с теоремой существования эл-
эллипс с межфокусным отрезком [—а, а] и малой полуосью, равной S.
Однако, в силу симметрии рассеянного волнового поля и1 (г) отно-
относительно оси у = 0 в качестве границы Ss может быть взят отрезок
—а < х ^ а, у — 8. Задача (Б.1), (Б.З) может быть, таким образом,

Б.1. Вейвлеты в технике продолженных граничных условий
сведена к следующему интегральному уравнению Фредгольма I рода
I(t)H^\k\J(x - tJ + б2) dt = - exp(-ikx cos(fo - i
/
a.
(Б.5)
В этом уравнении параметр 6 > О фиксирован (его величина зависит
от желаемой точности расчетов), ядро не имеет особенностей при
совпадении аргументов, поэтому уравнение (Б.5) можно решать, не
прибегая к каким-либо ухищрениям, связанным с выделением осо-
особенностей в ядре.
Наиболее распространенным способом решения уравнений типа
(Б.5) является схема Галеркина, в соответствии с которой неизвест-
неизвестная функция I(t) ищется в виде разложения
I(t)=J2cnfn(t) (Б.6)
П
по некоторой полной системе функций. Для точного представления
I(t) мы должны взять бесконечно много слагаемых в (Б.б). Однако
на практике, задаваясь некоторой конечной погрешностью аппрок-
аппроксимации, ограничиваются конечным числом N слагаемых в правой
части (Б.б). Представив подобным образом функцию I(t) в уравне-
уравнении (Б.5), получим
N
п=1
где через L мы обозначили интегральный оператор в в (Б.5), а через
ф — правую часть. Далее, спроектировав полученное равенство на
некоторый базис (£т| т = 1, ..., М), мы получим систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициен-
коэффициентов сп:
N
J2°n itm,Lfn) = (£т,Ф), m = 1, ..., М. (Б.7)
п=1
Решение этой системы дает коэффициенты сп и тем самым — ре-
решение интегрального уравнения. Часто в качестве £т берут дельта-
функции £т = 6(а — ат), где ат — точки дискретизации интервала
a G [0,2тг[ (точки коллокации).

Приложение Б
Весьма эффективным для представления I(t) является использо-
использование вейвлетных базисов [2, 3], когда искомая функция I(t) ищется в
виде суммы масштабирующих функций и вейвлетов (см. Гл. 5). В со-
соответствии с основными положениями мультиразрешающего анали-
анализа (см. Параграф 5.1) мы можем записать
L2 = Vm 0 Wm е Wm-г е • • • Vm. (Б.8)
Записанное соотношение по существу означает, что для V f(t) G L2
справедливо (при т = 0):
оо оо оо
/(*)= Yl <***(*) + £ E dJ^-Jk(t), (Б.9)
к= — оо j=0 fc= —оо
где
^(*) := 2-з/2ф{2-Ч - к), j G Z, fc G Z.
Соотношение (Б.9) и является основой дальнейшего анализа. В со-
соответствии с (Б.9) в случае использования, например, вейвлетов Ха-
ара такое представление искомой функции в (Б.5) будет иметь сле-
следующий вид [б, 4]:
оо У-1
I(t) = co<h(t) + J2 H (l-**oH*^-jib@, (БЛ0)
j=0fc=-2J-1
где в качестве фо (t) выбрана характеристическая функция интерва-
интервала [—а, а] (В-сплайн нулевого порядка)
1, -а < * < а,
0, *[-а,а[,
a \l)ik{t) = 2^2ф0BП - ко), причем
Фо(г) = фоBг + а) - фоBг - а).
Аналогичным образом решается задача и в случае, когда вдоль
ленты ориентирован вектор Н падающего поля. При этом в краевом
условии (Б.2) для неизвестной функции и = Hz следует положить
а = 0, Р = 1 (однородная краевая задача Неймана). С использовани-
использованием разложений, аналогичных, например, (Б. 10) для функции Im(t),
задача снова может быть сведена к алгебраической системе вида
(Б.7) [б].
Рассмотрим в качестве примера решение задачи дифракции плос-
плоской Е-поляризованной волны, падающей под углом (ро = 90° на ленту

Б.1. Вейвлеты в технике продолженных граничных условий
полушириной ка = \/80. При количестве М неизвестных в системе
(Б.7), равном 32, результаты с графической точностью совпали с
приведенными в работе [12].
На рис. Б.1 приведена величина «невязки» краевого условия в точ-
точках границы 5д, лежащих между точками коллокации для случая
дифракции Е-поляризованного поля на ленте с ка = л/80- Кривая 1
соответствует М = 64, кб = 0,01, кривая 2 — М = 64, кб = 0,001.
Видно, что в среднем по ширине ленты величина невязки весьма ма-
мала (менее 10~4). Результаты для кб = 0,01 и кб = 0,001 отличают-
отличаются мало. На рис. Б.2 приведены аналогичные результаты для случая
М = 128. Обозначения те же, что и на рис. Б.1. Видно, что здесь
точность выше по крайней мере на порядок. Отметим, что обеспе-
обеспечить столь высокую точность решения задачи в ее первоначальной
постановке (с граничными условиями (Б.2)) было бы довольно сложно.
log А
0г
-1
-2
-3
-5
20
40
60
80
N
Рис. Б.1. Невязка краевого условия в задаче дифракции на ленте полуши-
полушириной ка — \/80 при М — 64, ipo — тг/2
На рис. Б.З, Б.4 приведены графики величины невязки при ре-
решении рассматриваемой задачи на основе излагаемой здесь техники
(рис. Б.З) и стандартной техники токовых интегральных уравнений,
получаемых с использованием граничных условий (Б.2) (рис. Б.4).
Причем в последнем случае соответствующее интегральное уравне-
уравнение со слабо сингулярным ядром решалось методом Крылова-Бо-

Приложение Б
голюбова [13]. В обоих случаях количество базисных функций было
взято одинаковым и равным 32. Невязка краевого условия вычисля-
вычислялась на отрезке —а ^ х ^ а, у — 8 при кё = 0,01. Видно, что при ре-
решении задачи на основе метода продолженных граничных условий и
техники веивлетов достигается на порядок более высокая точность,
чем при использовании стандартной техники токовых интегральных
уравнений.
Рис. Б.2. Невязка краевого условия в задаче дифракции на ленте полуши-
полушириной ка = \/80 при М = 128, <£>о = тг/2
В работе [14] рассмотрены многочисленные примеры применения
изложенного здесь подхода к решению задач дифракции волн на
тонких экранах.
Б.2. Вейвлеты и метод дискретных источников
Рассмотрим теперь иной подход, идейные основы которого были за-
заложены в работах Купрадзе и Алексидзе и который может быть про-
проинтерпретирован с точки зрения техники веивлетов. Речь идет о так
называемом методе дискретных источников (см., например, [15]).
Вернемся к решению краевой задачи (Б.1)-(Б.2) в двумерном слу-
случае. Если граница 5 такова, что возможно аналитическое продол-
продолжение функции и1 (г) в область Z);, то для решения и1 (г) краевой

Б. 2. Вейвлеты и метод дискретных источников
задачи имеет место представление вида
= ^Jl(fz)Hi2)(k\P- fz\)da, (Б.11)
в котором /(ге) — так называемый вспомогательный ток, носите-
носителем которого является некоторый замкнутый контур Е внутри 5,
который будем считать нерезонансным, т. е. таким, что внутренняя
однородная краевая задача Дирихле для области внутри Е имеет
только тривиальное решение [10]. Теперь краевая задача (Б.1)-(Б.2)
может быть сведена к решению следующего интегрального уравне-
уравнения Фредгольма 1-го рода
l- J
= -u°(rs),
где fs — радиус-вектор некоторой точки на 5.
Рис. Б.З. Невязка краевого условия в задаче дифракции на ленте полуши-
полушириной ка — \/80 при М = 32, ipo — тг/4
Уравнение (Б.12) разрешимо лишь при условии, что Е охваты-
охватывает все особенности аналитического продолжения функции и1 (г)
в область внутри 5. Более того, имеет место следующая теорема
[10,9], в некотором смысле «сопряженная» теореме (Б.1):
(Б.2) Пусть простая замкнутая кривая Е такова, что к не явля-
является собственным значением внутренней однородной задачи Ди-
Дирихле для области внутри Е. Тогда уравнение (Б.12) разрешимо в

264 Приложение Б
том и только в том случае, если Е охватывает все особенности
решения и1 (г) краевой задачи (Б.1)-(Б.2).
-1.3
Рис. Б.4. Невязка краевого условия при решении задачи о дифракции на
ленте полушириной ka = v^80 методом токовых интегральных
уравнений (М = 32, <ро = тг/4)
Нетрудно показать, что при выполнении условий теоремы (Б.2)
уравнение (Б. 12) имеет единственное решение.
Для дальнейшего нам будет удобно параметризовать контуры S
и Е. Пусть для простоты оба контура — звездные. Тогда в качестве
параметра можно взять полярный угол. Таким образом, положим
rs = г(а), О < а < 2тг; гЕ = р@), 0 < в < 2тг,
l-I(fv) da = ц@) dO; -u°(fs) = ф(а).
В результате уравнение (Б. 12) примет следующий вид
2тг
Jfi@)H{02)(k\fs - Ъ\)<Ю = ф(а), а е [0,2тг[,
о
где теперь
ll/2
\fs ~Ъ\= [г2{а) + Р2(О) - 2r(a)p@) cos(a - в)]
(Б.13)
(Б.14)
Найдя из уравнения (Б.13) неизвестную функцию //(#), мы смо-
сможем выразить решение задачи (Б.1)-(Б.2) при помощи интеграла
(Б.11).

Б.2. Вейвлеты и метод дискретных источников
В соответствии с (Б.8) для любой квадратично интегрируемой
функции / имеет место равенство
т
f = Pmf+ $3 Qif>
j=-oo
где Pm, Qj — операторы ортогонального проектирования на под-
подпространства Vm, Wj, соответственно. Пусть т —► — оо. В силу
свойства E.3) мультиразрешающего анализа будем иметь Pmf —► /.
Основываясь на этих положениях, будем искать /х(#) в виде следую-
следующей суммы
25-1
/х@) « J2 »ьФ-*А0), (БЛ5)
fc=O
где ф-8^{0) = 2s/2(f)Bs0 — 2тгА:), причем ф(Ь) := 1[о,2тг[ — характери-
характеристическая функция интервала. Подставляя (Б.15) в (Б.11), мы полу-
получим
Если число N = 28 — I достаточно велико, то в силу гладкости
функции Щ '(•) (поскольку г ф ге) ее можно считать постоянной
на интервалах интегрирования, где отличны от нуля
В результате формула (Б. 16) примет вид
N
где f£fc — радиус-вектор точки на контуре Е, соответствующей но-
номеру к.
Имеет место следующая теорема ([15]):
(Б.З) Пусть Е — нерезонансный контур и пусть точки П* с
радиусами-векторами г^к расположены всюду плотно на Т,, т. е.
{ftfc}^_0 = Е, а г — радиус-вектор произвольной точки на S, то-
тогда система функций < Щ2'(к\г — rzk |) > полна в L2(S).
Теоремы (Б.2), (Б.З) лежат в основе так называемого метода
дискретных (или вспомогательных) источников (МДИ). В соответ-
соответствии с этим методом приближенное решение краевой задачи (Б.1)-

Приложение Б
(Б.2) ищется в виде суммы (Б. 17), коэффициенты а* в которой опре-
определяются из следующей системы алгебраических уравнений
N
^акН{о2)(к\г8гп - Ък\) = -tiVsJ, m = 0, 1, ..., М, (Б.18)
к=0
где rsm — радиусы-векторы точек коллокации на S. Система (Б.18)
получается при подстановке представления (Б. 17) в краевое усло-
условие (Б.2). Таким образом, определив коэффициенты а* из (Б.18) и
подставив их в (Б. 17), мы получим приближенное решение краевой
задачи (Б.1)-(Б.2). Поскольку уравнению (Б.1) и условию на бес-
бесконечности соотношение (Б. 17) удовлетворяет автоматически, то
точность полученного приближенного решения можно оценить по
степени выполнения краевого условия (величине невязки) в точках
контура 5, не совпадающих с точками коллокации. Изложенный ме-
метод весьма прост алгоритмически и обладает чрезвычайно высоким
быстродействием.
При практической реализации предложенной выше схемы очень
важным становится вопрос о выборе вспомогательного контура Е
внутри S. Дело в том, что теорема существования оставляет здесь
довольно большой произвол. Кроме того, не ясно где и как выбирать
точки коллокации на S.
В работе [16] на ряде примеров решения задач рассеяния волн ме-
методом дискретных источников было показано, что контур Е должен
быть построен в результате аналитической деформации контура 5.
Причем наименьшая невязка min А выполнения краевого условия в
точках контура 5, лежащих между точками коллокации, достигает-
достигается в случае, когда контур Е плотно «натянут» на особенности вол-
волнового поля и1 (г) ([16]).
Поэтому, в соответствии с [16], перепишем соотношение (Б. 14)
следующим образом
\rS - Ы = {{reia - peie){re-ia - ре"»)]1'2 .
Введем комплексные переменные
Тогда соотношение (Б. 14) примет следующий вид

Б.2. Вейвлеты и метод дискретных источников
Если в (Б.19) в G [0,2тг[, т.е. 0" = О, то переменная я е С, где
С — контур на комплексной плоскости z, соответствующий S при
отображении (Б. 19) и геометрически тождественный ему. Однако,
если параметр в сделать комплексным, т. е. положить в" ф 0, то кон-
контур С начнет деформироваться, в частности, при положительных в"
сжиматься. Положив затем
ге = М, №=arg<;, (Б.20)
мы найдем геометрию контура Е, который и примем в качестве
нового носителя вспомогательного тока, причем теперь контур Е
выбран не произвольным образом внутри 5, а является результатом
аналитической деформации 5. Такого рода деформация возможна
до тех пор, пока отображение (Б. 19) остается взаимнооднозначным
Точки, в которых нарушается эта взаимная однозначность удовле-
удовлетворяют соотношению:
я' = [Р'(в)+1р(в)}е1$=О, (Б.21)
причем берутся во внимание лишь те корни, которым соответствуют
точки на комплексной плоскости z, лежащие внутри контура С :
я@), в Е [0,2тг[. Эти точки, а также особые точки функции u°(f)\s
при ее аналитическом продолжении в область внутри S образуют
множество так называемых главных особенностей дифракционного
поля и1 (г) [9]. Охват контуром S этих особенностей достаточен для
разрешимости уравнения (Б. 12).
В случае фигур, имеющих явное аналитическое выражение, кор-
корни уравнения (Б.21) могут быть найдены аналитически, поэтому
вычисление подходящего в" не составляет хруда. Заметим, что ес-
если и0(г) — поле плоской волны, то особые точки функции u°(r)\s
совпадают с корнями уравнения (Б.21). Как и в [16] будем характе-
характеризовать положение контура Е при помощи параметра S Е]0,1[, при-
причем 0 соответствует случаю, когда Е проходит через особые точки,
а 1 — случаю, когда Е совпадает с S.
На рис. Б.5 изображены траектории движения точек с исходного
контура S четырехлистника на вспомогательные — Ei, подобный
исходному 5, и Ег, полученный его аналитической деформацией.
Видно, что в последнем случае точки движутся по кратчайшим пу-
путям. В результате матрицы алгебраических систем, соответствую-
соответствующих аналитической деформации контура, имеют явно выраженную
главную диагональ и, как следствие, лучшую обусловленность.

268 Приложение Б
120
30
240
300
Рис. Б.5. Траектории движения точек с исходного контура S четырехлист-
ника на вспомогательные Ei, подобный исходному S, и Ег, полу-
полученный его аналитической деформацией
Выполненные исследования ([16-18]) показали, что построение
вспомогательного контура Е путем описанной аналитической де-
деформации контура S обеспечивает устойчивость при высокой точ-
точности численного алгоритма. Такой способ построения носителя Е
лежит в основе модифицированного метода дискретных источников
(ММДИ) ([16-18]).
В соответствии с ММДИ алгоритм составления системы (Б. 18)
выглядит следующим образом. Сначала на контуре S выбираются
точки коллокации, например, путем равномерного разбиения интер-
интервала [0,2тг[. Затем эти точки «проектируются» в соответствии с со-
соотношениями (Б. 19), (Б.20) на контур S и в полученные на S точки
помещаются источники Hq (k\fsm — rsj-
Проиллюстрируем изложенную методику на примере решения за-
задачи дифракции плоской волны
и0 = ехр{— ikrcos((p —
(Б.22)

Б.2. Вейвлеты и метод дискретных источников
на цилиндре с направляющей в виде многолистника
г (а) = аA + tcosqa), 0 ^ t < 1, q = 2, 3, ...
Особенности дифракционного поля найдем из (Б.21) (см. [8]):
<^т = А ехр (г ] , т = 0,1, ...q — 1,
V Я J
ад[я+
Степень близости контура £ к множеству особенностей будем,
как уже указывалось, характеризовать параметром S.
На рис. Б.б построена зависимость невязки lg А от S для различ-
различных параметров деформации t, причем здесь S задает положение
вспомогательного контура между вершиной лепестка и соответству-
соответствующей особой точкой (Б.23). Вспомогательный контур, показанный
на врезке рис. Б.б, получен аналитической деформацией исходного
контура многолистника и соответствует значению S = 0,01. Резуль-
Результаты соответствующих расчетов изображены на рисунке сплошны-
сплошными линиями. Штрих-пунктирными линиями показаны результаты,
полученные при выборе в качестве £ контура, подобного S. Пара-
Параметр S здесь изменялся в пределах от 0,99 до 0,01. Расчеты были
выполнены для пятилистника при ка = 10, <^о — тг/2. Число урав-
уравнений в системе (Б. 18) было взято равным 128. Цифрой 1 обозна-
обозначены кривые, соответствующие значению t = 0,1, цифрой 2 — для
t = 0,5. Видно, что при построении £ путем аналитической де-
деформации S величина невязки монотонно убывает с уменьшением S.
В более сложных ситуациях для получения требуемой точности рас-
расчетов необходимо более плотно «натягивать» контур £ на особенно-
особенности, т.е. брать еще меньшие значения параметра S [18].
Приведенные результаты показывают высокую эффективность
применения вейвлетов в качестве базисных функций при решении
интегральных уравнений (систем интегральных уравнений) Фред-
гольма первого рода. Кроме того, описанный здесь новый подход
к численному решению краевых задач теории дифракции и антенн
(метод продолженных граничных условий) дает возможность тех-
технически просто строить высокоэффективные алгоритмы, позволя-
позволяющие производить вычисления с достаточно высокой и контроли-
контролируемой точностью вплоть до квазиоптического диапазона частот.

Список литературы к приложению Б
Изложенные в работе подходы и методы допускают естественное
обобщение на трехмерные векторные задачи и др.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Рис. Б.6. Зависимость невязки lg Д от S для различных параметров дефор-
деформации t в задаче дифракции плоской волны на цилиндре с напра-
направляющей в виде пятилистника
Список литературы к приложению Б
[1] Добеши #., Десять лекций по вейвлетам, Ижевск: НИЦ «Регу-
«Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
[2] Chui С.К., Wavelets: A Mathematical Tool for signal Analysis,
SIAM. Philadelphia, 1997.
[3] Goswami J.C., Chan A.K., Fundamentals of Wavelets: Theory, Al-
Algorithms and Applications, A Wiley — Interscience Publ. John
Wiley&Sons, Inc, 1999.
[4] Kyurkchan A.G., Minaev S.A. Using of the wavelet technique for
the solution of the wave diffraction problems, Journal of Quanti-
Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer, v.89(l-4), 2004, p. 219-
236.
[5] Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической фи-
физики, M.: Наука, 1972.
[б] Кюркчан А.Г., Анютин А.П., Метод продолженных гранич-
граничных условий и вейвлеты.// Доклады РАН, т. 385, №3, 2002,
с. 309-313.

Список литературы к приложению Б
[7] Курант Р., Уравнения с частными производными. М.: Мир,
1964.
[8] Апельцин В.Ф., Кюркчан А.Г., Аналитические свойства вол-
волновых полей, Глава II, М.: МГУ 1990.
[9] Кюркчан А.Г., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е., Особенности
продолжения волновых полей// УФН, т. 166, №12, 1996, с. 1285-
1308.
[10] Кюркчан А.Г. О методе вспомогательных токов и источников
в задачах дифракции волн.// РЭ. т. 29. №11. 1984, с. 2129-2139.
[11] Кюркчан А.Г., Представление дифракционных полей волновы-
волновыми потенциалами и метод вспомогательных токов в задаче ди-
дифракции электромагнитных волн.// Р и Э, т. 31, №1, 1986,
с. 20-27.
[12] Уфимцев П.Я., Метод краевых волн в физической теории ди-
дифракции. М.: Сов. Радио. 1961.
[13] Захаров Е.В., Пименов Ю.В., Численный анализ дифракции
радиоволн. М.: Радио и Связь.1982.
[14] Анютин А.П., Кюркчан А.Г., Решение задач теории дифрак-
дифракции и антенн с использованием метода продолженных гранич-
граничных условий и техники вейвлетов.// Р и Э, т. 49, №1, 2004,
с. 15-23.
[15] Алексидзе М.А., Фундаментальные функции в приближенных
решениях граничных задач, М., Наука, 1991.
[16] Кюркчан А.Г., Минаев С.А., Соловейчик А.Л., Модификация
метода дискретных источников на основе априорной инфор-
информации об особенностях дифракционного поля// Р и Э, т. 46,
№6, 2001, с. 666-672.
[17] Anioutine A.P., Kyurkchan A.G. and Minaev S.A., About a uni-
universal modification to the method of discrete sources and its appli-
application, Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer,
v. 79-80, 2003, p 509-520.
[18] Анютин А.П., Кюркчан А.Г., Минаев С.А., Модифицирован-
Модифицированный метод дискретных источников// Р и Э, т. 47, №8, 2002, с.
955-960.

Предметный указатель
fc-момент, 103
г-скачок, 106
sine-функция, 60
В-сплайн, 217
кубический, 217
алгоритм Малла, 240
анализ, 13
мультиразрешающий, 30
базис Рисса, 120
вариация полная, 46
вейвлет, 27
Бэттла-Лемарье, 215
Добеши, 200
Мейера, 169
анализирующий, 27
допустимый, 127
материнский, 27
порядка N, 103
вейвлетный полином, 37
вейвлеты, 15
воспроизводящее ядро, 97
временной сигнал, 11, 49
гармоники чистые, 16
двоично-рациональные числа,
204
детализированное изображение,
238
дискретная аппроксимация, 238
кардинальный ряд, 69
Карлесона теорема, 46
константы фрейма, 112
коэффициенты
Фурье, 19, 44
вейвлетные, 31
локализация, 19
массив, 10
масштабирования
уравнение, 149
масштабирующая функция, 143
мера
Хаара левоинвариантная, 87
считающая, 111
модулированная гауссова кри-
кривая, 84
Найквиста
скорость, 72
частота, 72
наложение, 73
норма, 44
оператор Грама, 111
ортогональное веивлетное пред-
представление, 241
отделимости аксиома, 143
отображение сопряженное, 111
параметр
масштабирующий, 28
сдвига, 28
Парсеваля формула, 45
Парсеваля - Планшереля фор-
формула, 55

Планшереля формула, 88
полная система, 17
полноты аксиома, 143
преобразование
Габора, 24
Фурье, 11, 21, 50
быстрое (БПФ), 18
взвешенное, 23
дискретное (ДПФ), 18
обратное, 11, 23
вейвлетное, 28
взвешенное, 24
принцип неопределенности
Гейзенберга, 22, 65
производящая функция, 159
пространство
гильбертово, 44
метрическое
полное, 44
прямой метод, 204
разделение переменнных, 14
разложение операторной
единицы, 96
регуляризация, 53
Римана-Лебега лемма, 45
ряд
Фурье, 18
кардинальный, 70
свертка функций, 53
система Франклина, 249
системы Соболева, 250, 252
скалярное произведение, 44, 88
скорость дискретизации, 72
состоятельности отношения, 151
Предметный указатель
сплайн вейвлеты, 215
струя, 12
теорема
о свертке, 54
отсчетов, 70
уравнение
масштабирования, 149
теплопроводности, 13
формула
обращения
для преобразования Фу-
Фурье, 56
обращения Фурье, 11
фрейм, 120
дуальный, 116
жесткий, 112
фреймовый оператор, 120
функции базисные тригономе-
тригонометрические, 16
функция
вейвлетная, 27
весовая, 24
ограниченной вариации, 46
производящая, 159
с ^-ограниченным спектром,
69
спектральная, 21
Фурье-анализ, 32
шаг
базовый, 30, 124
растяжения, 30, 124
Шварца
неравенство, 55
пространство, 49

Заявки на книги присылайте по адресу:
125319 Москва, а/я 594
Издательство «Техносфера»
e-mail: knigi@technosphera.ru
sales@technosphera.ru
факс: @95) 956 33 46
В заявке обязательно указывайте
свой почтовый адрес!
Подробная информация о книгах на сайте
http://www.technosphera.ru
К. Блаттер
Вейвлет-анализ. Основы теории
Компьютерная верстка — С.А. Кулешов
Дизайн книжных серий — С. Ю. Биричев
Ответственный за выпуск — Л. Ф. Соловейчик
Формат 84х 108 1 /32. Печать офсетная.
Гарнитура Computer modern LaTeX.
Печл. 17,5. Тираж 3000 экз. Зак. № 10643
Бумага офсет № 1, плотность 65 т/и1.
Издательство «Техносфера»
Москва, ул. Тверская, дом40 строение 3
Диапозитивы изготовлены ООО «Европолиграфик»
Отпечатано в ППП «Типография «Наука»
Академиздатцентра «Наука» РАН,
121099 Москва, Шубинский пер., 6