Машиностроение. Энциклопедический справочник. Раздел 1. Инженерные расчёты в машиностроении. Том 1. Книга 2 - Чудаков Е.А., Диментберг Ф.М., Бычков Д.В., Коломийцев А.А., Королев И.С., Красонтович Ю.Ф.

Автор: Чудаков Е.А. Диментберг Ф.М. Бычков Д.В. Коломийцев А.А. Королев И.С. Красонтович Ю.Ф.

Теги: инженерия машиностроение энциклопедический справочник инженерные расчеты

Год: 1947

Похожие

Машиностроение. Энциклопедический справочник. Раздел 1. Инженерные расчёты в машиностроении. Том 1. Книга 1

Машиностроение. Энциклопедический справочник. Том 11

Машиностроение. Энциклопедический справочник. Инженерные расчеты в машиностроении. Том 2

Увлекательная инженерная книга

Текст

МАШИНОСТРОЕНИЕ
ЭНЦИКЛОПЕДИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ
Председатель Совета и главный редактор
акад. Е. А. ЧУДАКОВ
С. А. АКОПОВ, И. И. АРТОБОЛЕВСКИЙ, Н. С. АЧЕРКАН, И. М. БЕСПРОЗВАННЫЙ,
Н. Т. ГУДЦОВ, В. И. ДИКУШИН, А. И. ЕФРЕМОВ, В. К. ЗАПОРОЖЕЦ,' А. И. ЗИМИН,
Н. С. КАЗАКОВ, М. В. КИРПИЧЕВ, В. М. КОВАН, Ю. П. КОНЮШАЯ, А. А. ЛИПГАРТ,
В. А. МАЛЫШЕВ, Л. К. МАРТЕНС, Л. М. МАРИЕНБАХ, Г. А. НИКОЛАЕВ, И. А. ОДИНГ
(зам. председателя Редсовета), Е. О. ПАТОН, Л. К. РАМЗИН, Н. Н. РУБЦОВ, М. А. САВЕРИН
(зам. председателя Редсовета), И. И. СЕМЕНЧЕНКО, С. В. СЕРЕНСЕН, К. К. ХРЕНОВ,
М. М. ХРУЩОВ, Н. А. ШАМИН, А. Н. ШЕЛЕСТ, Л. Я- ШУХГАЛЬТЕР (зам. главного редактора),
А. С. ЯКОВЛЕВ
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ИНЖЕНЕРНЫЕ РАСЧЁТЫ
В МАШИНОСТРОЕНИИ
ТОМ 1
Книга вторая
Ответственный редактор
проф., д-р техн. наук М. А. САВЕРИН
ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА - 1 У 4 7

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЧАСТЬ
Зам. начальника издательства Д. М. Польский. Начальник производствен-
ного отдела Машгиза С. А. Соловьев. Техн. редактор Т. Ф. Соколова.
Зав. корректорской С. А. Трзпьяноз. Корректор В. Г. Миписен. Худож-
ник-оформитель А. Л. Бгльский. Руководитель графин, бюро Н. Н. Петров.
Графики и ксилографы А. М. Тетерин, А. Ф. Иванацкая, В. С- Киреева,
М. И. Серебренников, С. М. Лотохин.
Полиграфические работы выполнены в 1-й типографии Машгиза. Директор
типографии Н. И. Панин. Зав. производством Л. О. Магагиза Я- И. Лебедев.
Зав. производством типографии Н. С Кондрот. Набор и вёрстка произве-
дены под руководством | И. М- Жабрева , технолога О. Я- Васина.
Печатью руководили М. П. Седов и технолог С. М. Сундакоя. Брошп-
ровочно-переплётные работы выполнялись под руководством И. И. Смир-
нова. Тиснением руководила Д. Г. Бглова. Матрицы и стереотипы изго-
товлены под руководством И- М. Беспалова. Типографская корректура
проведена под руководством Е. А. Беляйкина.
Бумага фабрики им. Володарского. Ледерин Щелковской фабрики. Картон
Калининской фабрики. Шрифт изготовлен на 1-м и 2-м шрифтолитейных
заводах.
Кн. вторая 1-го тома сдана в производство 2/III 1946 г. Подписана к пе-
чати 28/VIII 1947 г. А06680. Заказ 2173. Бумага 70x108'/™. Уч-изд. листов 53.
Печатных листов 29. Тираж 50 000. 1-й завод 1—25 000.
Адрес типографии: Ленинград, ул. Моасеенко, д. 10.

АВТОРЫ ТОМА
Д. В. БЫЧКОВ, проф., д-р техн. наук; Ф. М. ДИМЕНТБЕРГ, ст. научн. сотр., канд.
техн. наук; А. А. КОЛОМИЙЦЕВ. доц., канд. техн. наук; И. С. КОРОЛЕВ, инж.;
Ю. Ф. КРАСОНТОВИЧ, инж.; Н. И. ПРИГОРОВСКИЙ, проф., д-р техн.
наук; А. Р. РЖАНИЦЫН, ст. научн. сотр., д-р техн. наук; С. В. СЕРЕНСЕН,
действ, член АН УССР; И. М. ТЕТЕЛЬБАУМ, доц., канд. техн. наук; А. А. УМАН-
СКИЙ, проф., д-р техн. наук.
НАУЧНЫЕ РЕДАКТОРЫ
СЕРЕНСЕН С. В., действительный член АН УССР (гл. [ — IV), НЕКРАСОВ А. И., академик (гл. I),
БЛИЗНЯНСКИЙ А. С., инж. (терминология и обозначения).
*
Редактор графических материалов инж. В. Г. КАРГАНОВ
*
Редактор-организатор тома Б. А. ЛАДЫЖЕНСКАЯ
*
Зав. редакцией А. Н. КЛУШИНА
Адрес редакции: Москва, Третьяковский пр., д. 1, Машгиз.
Главная редакция энциклопедического справочника .Машиностроение"'.

СОДЕРЖАНИЕ
От редактора VI
Глава 1. ОБЩАЯ МЕХАНИКА (инж.И.С. Ко-
ролев) 1
Кинематика точки 1
Кинематика твёрдого тела 6
Статика 14
Динамика точки 26
Динамика системы 32
Глава И. СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИ-
СТЕМ 49
Основные понятия и зависимости (ст. научн.
сотр., канд. техн. наук Ф. М. Димент-
берг) . . 49
Расчёт балок и криволинейных стержней
(Ф. М. Даментберг) 52
Расчёт рам (Ф. М. Даментберг) 70
Расчёт ферм (Ф. М. Даментберг) 95
Экспериментальные методы определения уси-
лий в стержневых системах (проф., д-р
техн. наук Н. И. Пригоровский) 109
Глава III. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
(доц., канд. техн. наук И. М. Тетель-
баум) 121
Основные понятия. Колебания системы с одной
степенью свободы 121
Колебания системы с несколькими степенями
свободы 129
Колебания стержней, пружин и пластинок . . 131
Поперечные колебания стержней и критиче-
ские скорости прямых валов переменного се-
чения 134
Крутильные колебания валов 139
Демпфирование и способы устранения или
уменьшения вибраций 150
Динамика фундаментов и виброизоляция . . 154
Экспериментальное определение колебаний . 156
Моделирование в применении к задачам дина-
мики 159
Глава IV. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИА-
ЛОВ 165
Основные положения (проф., д-р техн. наук
Н. И. Прагоровский) 165
Растяжение и сжатие, сдвиг, кручение стерж-
ней (Н. И. Пригоровский) 196
Поперечный изгиб балок (И. И. Пригоров-
ский) 2!t
Сложное сопротивление (Н. И. Пригоровский) 249
Напряжения и деформации в кривых брусьях
(доц., канд. техн. наук А. А. Коломийцез) 257
Пластинки и сосуды (Я. И. Пригоровский) . 262
Устойчивость (А. А. Коломийцев) 281
Тонкостенные стержни (проф., д-р техн.
наук Д. В. Бычков) 298
Расчёт на устойчивость тонкостенных стерж-
ней открытого профиля (ст. научн. сотр.,
д-р техн. наук А. Р. Ржаницын) .... 317
Кривые тонкостенные стержни (проф., д-р
техн. наук А. А. Уманский) 331
Тонкостенные трубы и стержни с замкнутым
профилем (А. А. Уманский) 342
Напряжения и деформации в толстостенных
оболочках (А. А. Коломийцев) 3tO
Контактные напряжения (Н. И. Пригоровский) 353
Напряжения от сил инерции в стержнях и
в быстровращающихся дисках и шкивах
(А. А. Коломийцев) 361
Термические напряжения (А. А. Коломийцев) 369
Напряжение в стержнях, трубах и дисках за
пределами упругости (А. А. Коломийцев) 372
Экспериментальные методы исследования рас-
пределения напряжений (Н. И. Пригоров-
ский) 382
Глава V. ПРОЧНОСТЬ. 417
Основные понятия (действ, член АН УССР
С. В. Сервисен) 417
Пластичность и прочность материала (С. В. Се-
ренсен) 417
Прочность детали (С. В. Серенсен) 427
Запасы прочности и допускаемые напряжения
(С. В. Серенсен) 437
Экспериментальное определение прочности
(С. В. Серенсен) 43»
Справочные данные по расчёту прочности
(инж. Ю. Ф. Красонтович) 441

ОТ РЕДАКТОРА
Во второй книге первого тома приведены сведения по механике, статике стерж-
невых систем, механическим колебаниям, сопротивлению материалов и общим
вопросам прочности. Таким образом, настоящая книга охватывает основы динами-
ческих и прочностных расчётов машин и конструкций в машиностроении.
Рост напряжённости и скоростей движения машин, повышение температур и
давлений, применение всё более разнообразных материалов и конструктивных форм
обусловливают необходимость широкого использования в современном машино-
строении теоретических и экспериментальных методов строительной механики.
В связи с этим в настоящей книге уделено значительное внимание упругим коле-
баниям, методам определения частот собственных колебаний, освещены вопросы
демпфирования, амортизации, а также использования моделирования для вибра-
ционных расчётов.
Прочность машин надлежит рассматривать в непосредственной связи с харак-
тером действующих усилий и особенностями механических свойств материалов.
Поэтому наряду с расчётами в пределах упругости освещаются методы определе-
ния несущей способности деталей машин с учётом пластических деформаций и,
в частности, ползучести в условиях высоких температур. Значительное внимание
уделяется сопротивлению усталости при действии переменных напряжений, влия-
нию конструктивных форм и абсолютных размеров на прочность; освещены выра-
ботанные у нас методы расчёта на усталость.
Учитывая широкое применение тонкостенных профилей в современных кон-
струкциях, в главу, посвященную сопротивлению материалов, включены специаль-
ные методы расчёта тонкостенных профилей на прочность и устойчивость, осно-
ванные на разработанной в СССР теории этого вопроса.
Сложность конструктивных форм и условий нагружения деталей машин заста-
вляет всё в большей степени прибегать к экспериментальным методам определе-
ния действительных напряжений, возникающих в деталях'. В главе „Сопротивление
материалов" освещены современные способы опытного определения напряжений,
которые должны занять надлежащее место в работе лабораторий машиностроитель-
ных заводов и научно-исследовательских институтов.
Расчёты металлоконструкций обеспечены современными методами определения
усилий и перемещений в стержневых системах как плоских, так и пространствен-
ных; при этом затронуты не только аналитические, но и экспериментальные спо-
собы решения относящихся сюда задач путём моделирования.
Большой диапазон механических свойств ныне применяемых в машиностроении
материалов, а также существенное влияние, которое технология обработки дета-
лей оказывает на их сопротивление действующим усилиям, требуют от оценки

ОТ РЕДАКТОРА VII
прочности и расчета деталей целесообразного использования тгх механических
свойств, которые устанавливаются при испытании материалов, а также правильных
теоретических представлений об условиях разрушений. В связи с этим в книгу
включена глава об общих вопросах прочности, содержащая в числе прочих также
ряд справочных данных о влиянии на прочность концентрации напряжений и тех-
нологии обработки.
Приведённые в настоящей книге методы и данные находятся в непосредствен-
ной связи с вопросами расчёта и конструирования деталей машин, изложенными
во втором томе Справочника, а также с рядом специализированных сведений по
этому вопросу, приводимых в томах раздела „Конструирование машин". Подроб-
ные сведения о механических свойствах конструкционных материалов и влиянии
на прочность технологических факторов приводятся в третьем и четвёртом томах
Справочника.
Значительная помощь авторам и редакции была оказана со стороны лиц, при-
влечённых для рецензирования отдельных глав и статей,' их программ, структуры
и содержания. За ценные советы и указания выражаем благодарность акаде-
мику А. И. Некрасову (гл. I); проф., д-ру техн. наук А. А. Уланскому (гл. II);
проф., д-ру техн. наук Б. Г. Либровичу, канд. техн. наук В. К. Житомирскому
(гл. III); коллективу кафедры „Сопротивление материалов" Московского высшего
технического училища им. Баумана во главе с проф., д-ром техн. наук Г. А. Ни-
колаевым, заслуженному деятелю науки и техники РСФСР проф., д-ру техн. наук
Е. Н. Тихомирову, проф., д-ру техн. наук Н. П. Щапову (гл. IV и V).
С особой признательностью необходимо отметить значительную работу по
научному редактированию, которую провёл член Редакционного Совета „Справоч-
ника" действительный член АН УССР С. В. Сервисен.
Главная редакция энциклопедического справочника „Машиностроение" просит
читателей направлять в адрес Главной редакции все критические замечания и
пожелания по содержанию настоящей книги. Они будут использованы в дальней-
шей работе над материалами Справочника.
М. Саверин

Глава I
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Прямолинейное движение точки
Закон движения. Положение точки на при-
мой определяется её расстоянием S от фи-
ксированной точки О этой прямой (начало счёта
расстояний). Рас-
Z» Z- стояние 5 в одну
q /у сторону считается
положительным, в
другую — отрица-
тельным (фиг. 1).
Фиг. 1. Законом дви-
жения точки
называется зависимость расстояния S от вре-
мени л а именно
Скорость. Средней скоростью v
прямолинейного движения точки называется
отношение расстояния, пройденного точкой, к
промежутку времени At—-1->— th в течение
которого оно было пройдено
нпе называется ускоренным. Если знаки v
и а различны, то абсолютная величина скорости
уменьшается, и движение называется за-
медленным.
Основные задачи кинематики прямоли-
нейного движения (при t = О, S = 0, v = #0).
1) Дано: S = S(t). Найти: v и а.
dS
d-S
cp~
Д5
At'
2) Дано: v ~ v {t). Найти: S и а.
S=\vdt, « = ?.
о
3) Дано: v = v (S). Найти: / и а.
s
, [• dS dv
О
4) Дано: а — a (t). Найти: 5 и v.
t t
v — vo +¦ J a dU S — \ v dt.
о 6
5) Дано: a — a (S). Найти: i и v.
И с т и н 11 о и скоро с т ь ю v, или просто
с к о р о с т ь ю, называется предел отношения
при М. стремящемся к нулю, т. е.
lim
dS
'dt '
Ускорение. Средним ускорением
л прямолинейного движения точки за про-
межуток времени At называется отношение
приращения ее скорости Av к At:
v(tJ~v (tj _ Дк
"<!> ~ ~~ t7~ t, "~ Д7 ¦
И с т и н н ы м ускорением а точки в
момент времени t, или просто ускорен и-
Av
с м, называется предел отношения
стремящемся к нулю:
a ¦--- lim _*.?. = ^- = c
' t dt
d2S
при At,
Ьсли знаки v и а одинаковы, то скорость
чо абсолютной величине возрастает, и движе-
/ a
"I / 2 i о С jn
v = \/ vb + 2\adS,
r 5
6) Дано: а = a (v). Найти: / и 5.
vdv
vtt vn
Графическое представление прямолиней-
ного движения.
1) Гр а ф и к время — путь (график t—S)
(фиг. 2) изображает зависимость 5 от времени t.
Средняя скорость точки за промежуток вре-
мени от /j до t2
Истинная скорость точки в момент времени t
dt
Соотношения vcp tg а. и v --- tg 3 имеют
место только в том случае, если масштабы
для t и для 5 одинаковы.

ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД.
Если из точки Р, расположенной на рас-
стоянии единицы слева от точки О, провести
прямые PC и PC, параллельные соответст-
венно секущей и касательной к кривой / — S,
то длины отрезков ОС и ОС, отсекаемых на
оси ординат этими прямыми, равны, соответ-
ственно, средней скорости vcp и истинной ско-
рости v. Это построение не зависит от при-
нятых масштабов для t и 5.
2) График время — скорость (гра-
фик t—v) (фиг. 3) изображает зависимость
скорости v от времени t
t-v
г-гцг—т;
для S будет равен масштабу для скорости.
Это построение имеет место при любом вы-
боре масштабов для t и v.
1 О
Фиг. 4.
3) Г р а ф и к р а с с т о я н и е — с'к о р о с т ь
(график S — v) (фиг. 5) изображает зависи-
мость скорости v от расстояния 6\
По графику S — v можно построить гра-
фик 6' — t. Для этого проводятся прямые, пер-
пендикулярные лучам, соединяющим точку Р,
расположенную справа от точки О на расстоя-
нии единицы, с точками 1, 2, 3 и т. д. Точки /,
2, .?,... являются проекциями средних ординат
s-t
Фиг. 3.
Фиг. 5.
Среднее ускорение точки за промежуток
времени от Ц до t2
- v (А)
и-и
tga.
Истинное ускорение точки в момент вре-
мени t
(при условии равенства масштабов для t и v).
Длины отрезков ОС и ОС, измеренные в мас-
штабе скоростей, равны соответственно уско-
рениям а } и а (построение аналогично ука-
занному выше, в п. 1).
Расстояние, проходимое точкой за проме-
жуток времени от tx до t2, равно величине
площади, ограниченной осью Ot, кривой t—v
и двумя прямыми, параллельными оси ординат
и проходящими через точки tx и t2, разделён-
ной на произведение щ-пу, где щ—длина
масштаба t и nv—длина масштаба v.
По графику t—v можно построить график
t — Л' (фиг. 4). Для этого проводятся прямые,
параллельные лучам, соединяющим точку Р,
расположенную слева от точки О на расстоянии
единицы, с точками 1, 2, 3,... Точки /, 2, 3,...
являются проекциями средних ординат гра-
фика t — v на ось Ov. Масштабно оси ординат
графика 6' — v на ось Ov. При этом построе
нии длина масштаба t
где ns~ длина масштаба S и nv — длина мас-
штаба V.
Равномерное движение точки. Движение
точки называется равномерным, если её
скорость постоянна во всё время движения.
При равномерном движении скорость точки
v = -р где S — расстояние, проходимое за вре-
мя t.
ФИ1 6.
Фиг. 7.
В этом случае графиком время — скорость
(фиг. 6) является прямая линия, параллельная
оси Ot. Графиком время — расстояние (фиг. 7)

ГЛ. I]
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
является прямая линия S = vt, наклонённая
к оси Ot под углом а, где tg а — v.
Равномерно-переменное движение точки.
Движение точки называется равномерно-
переменным, если её ускорение а постоян-
но во всё время движения, при этом движение
называется равномерно-ускоренным,
если абсолютная величина скорости увеличи-
вается (знаки v и а одинаковы), и равно-
мерно-замедленным, если абсолютная
величина скорости уменьшается (знаки v и
а — разные).
При равномерно-переменном движении сред-
нее ускорение точки за любой промежуток
времени равно её истинному ускорению
где v\, v2 — скорости точки и Sb S2 — её рас-
стояния от начала счета в моменты времени Ц
и t2. ¦
Средняя скорость точки
Истинная скорость точки
v = at + v0,
где vq — скорость при t = 0.
Расстояние, проходимое точкой за время t.
2
2а
Фиг. 8.
Графиком вре-
мя—скорость здесь
является прямая
линия v — at-\-VQ.
Графиком вре-
мя — расстояние
является парабола
(фиг. 8), ось кото-
рой наклонена к оси ординат под углом р, где
'g 0 = Щ-
Свободное падение тел на поверхности Земли проис-
ходит, если пренебречь сопротивлением воздуха, равно-
мерно ускоренно с ускорением ^=9,81 мюек1. Если тело
брошено с высоты Н с начальной скоростью, равной
нулю, то времй падения t и скорость в конце падения
v равны
Если тело брошено вертикально вверх с начальной ско-
ростью v, то высота Н подъёма тела и время подъёма t
равны
v* v
Н ~~, t - --.
2? g
Гармоническое колебательное движение
точки. Прямолинейное движение точки, совер-
шающееся по закону
5= Asin
называется гармоническим колеба-
тельным движением. В рассматривае-
мом случае начало О отсчёта расстояний S
выбрано так, что наибольшие отклонения от
него в ту или другую сторону прямой движе-
ния одинаковы и равны А; точка О называется
центром колебания, а величина А — ам-
плитудой колебания. Расстояние между
крайними положениями точки равно 2А и
называется размахом колебания.
Начиная от любого момента времени I,
через промежуток времени 1 ~ — точка воз-
вращается в прежнее положение с прежней
скоростью и ускорением. Г называется перио-
дом колебания. Число колебаний точки в се
кунду / называется частотой колебания;
J T 2it '
где ш = 2тт«/ называется угловой или
круговой частотой колебания,
Угол ш t -\- «р называется фазой колеба-
н и я; ср называется начальной фазой
колебания.
Криволинейное движение точки
Закон движения. Траектория. Закон дви-
жения точки определяет её положение в лю-
бой момент времени. В прямоугольной системе
координат этот закон
выражается зависимо-
стью её координат х,
у, z от времени i:
= z(t),
или векторно г = г (t),
где г — радиус-вектор /?
точки, проведённый фиг. 9.
из начала координат.
Кривая, по которой движется точка, назы-
вается траекторией.
Уравнение траектории получается исклю-
чением времени из уравнений, выражающих
закон движения точки.
Закон движения точки может быть задан
зависимостью дуги траектории 5 от времени t
(фиг. 9)
S = S(t).
Скорость. Средней скоростью точ-
ки за промежуток времени At называется
вектор \ср, рав-
ный отноше-
нию перемеще-
ния Дг точки
(фиг. 10) к At
Истинном
скоростью
точки в момент
времени t, или
просто скоро-
стью, назы-
вается вектор V, равный пределу отношения
-^ при At, стремящемся к нулю:
v = lim 77= —.
и
Фиг. 10.

ОБЩАЯ МЕХАНИКА
Проекции скорости на оси координат равны
Ж
dx dy dz
а* ¦ vy ~dT > vz 17 •
dt * "У dt
Величина скорости
v- ^
dt
\dt
Направление скорости определяется коси-
нусами её углов с осями координат:
dx
^ x_ __ ^^Jl
COS V, V) = -¦ - -— • ;п=г=г==
cos (v, z) = - - = —------
Tt
Ускорение. Средним ускорением
точки за промежуток времени М называет-
ся вектор а равный отношению прираще-
ния скорости Av -=• v (t + ДО — v @ к Д?
(фиг. 11, а и б):
Истинным ускорением точки
в момент времени t, или ускорением
v(tj
б)
№
Фиг. 11.
называется вектор а, равный пределу отно-
шения -тт при М, стремящемся к нулю:
тт
Av
dv
tf2r
Проекции ускорения на оси координат
_ d*x _ d'2y _ d2z
°х - ~dP' аУ ~~ dP ' пг ~ "dF '
Величина ускорения
Направление ускорения определяется ко-
синусами углов его вектора с осями коорди-
нат:
/(?)'+(¦
)
I at*)
[РАЗД. I
cos (а, у) — -^— — — ——
a -tA(d3x\2 , / dy\2 1 _сРгУ2
cos (a, z)= — =
jd.4
dt,
10
Вектор ускорения а лежит в соприкасаю-
щейся плоскости траектории.
Проекция ускорения на касательную к траек-
тории а(^ = ~(фиг. 12) и называется каса-
тельным и л и тан- т xlt)
генциальным уско-
рением точки. Про-
екция ускорения на глав-
ную нормаль к траекто-
рии а^ = — и назы-
вается нормальным уско-
рением точки; р—радиус
кривизны траектории.
Проекция ускорения на
бинормаль равна нулю.
Полное ускорение точки
t
Фиг. 12.
dv
п0.
где tn и ti0 — единичные векторы, направлен-
ные вдоль касательной и главной нормали
траектории. Полное ускорение всегда направ-
лено в сторону вогнутости траектории.
Величина полного ускорения
л/~I dv \и
а==У \ГЖ)
Если точка движется с постоянной по се-
UV
ж
личине скоростью, то a<t] = ~ = Q. Нормаль-
ное ускорение а}- =¦ — обращается в нуль
в тех точках, где р = оо (точки перегиба
траектории), или в тех точках, где v — О.
Если скорость возрастает (а^>0), то пол-
ное ускорение уклоняется от главной норма-
ли в сторону движения. Если скорость убы-
вает («^ < 0), то это уклонение происходит
в сторону, обратную движению.
Угол (д. между главной нормалью и полным
ускорением определяется из уравнения
dv
Путь. Время движения. Путь S, проходи-
мый точкой за промежуток времени от tx
до f2, равен
U
U

ГЛ. 1]
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Время движения точки на пути от Sl до S»
J v(S>
где Si и 52 — расстояния точки от начала
счёта.
Плоское движение точки. Скорость и
ускорение в полярных координатах. В по-
лярных координатах
закон движения точки
выражается зависи-
мостью её полярных
координат г и у от
времени t:
r = r{t),
<Р = <F СО-
Фиг. 13. Проекция скоро-
сти на направление
полярного радиуса-вектора (фиг. 13)
_ dr
Vr ~~ ~dt '
Проекция скорости на направление, пер-
пендикулярное радиусу-вектору и направлен-
ное в сторону положительного отсчёта угла <р,
v „ = г *- = г* со,
-? dt
где ш — угловая скорость вращения радиуса-
вектора.
Величина полной скорости
У(-
Фиг. 14.
Проекция ускоре-
ния на направление
полярного радиуса-
вектора (фиг. 14)
d2r ( dtp\2
ar-"W~r \~Tt) •
Проекция ускоре-
ния на направление,
перпендикулярное ра-
диусу-вектору,
Если радиус-вектор г поворачивается про-
тив часовой стрелки, то площадь F считается
положительной, и в системе прямоугольных
координат
dF ] / dy ax \
"dt' ~ ~2 \X~df -У ~~<п~! '
Фиг" 15"
где хну — координаты
точки.
Круговое движение
точки. Скорость круго-
вого движения точки
v — R w,
ds
где oj 1= —- — угловая
скорость вращения ра-
диуса-вектора точки, про-
ведённого из центра круга, а /? — радиус круга
(фиг. 16).
Касательное ускорение
где е = — — угловое ускорение радиуса-век-
тора.
Нормальное ускорение
а- _-ж = /?шл
Величина полного ускорцния
При движении с постоянной по величине
линейной скоростью v угловая скорость ш так-
же постоянна. В этом случае ? — 0; а(^ = 0.
Фиг. 16.
Фиг. 17.
Величина полного ускорения
а = Va\ 4- а\ =
- 1/ Г d±r
[г d^ -4- 2 — • dcp I3
Vr dp ^ l dt "dTi
Секториальной скоростью точ-
к и называется предел отношения — — при М,
стремящемся к нулю; Д/"" — приращение пло-
щади, описываемой радиусом-вектором точки
за время М (фиг. 15л
Секториальная скорость
Полное ускорение а сводится к одному нор-
мальному ускорению aSn\ т. е. а = а(п\
В системе прямоугольных координат
(фиг. 17) закон кругового движения с постоян-
ной по величине скоростью выражается следу-
ющими уравнениями:
х = R cos (ш* -f <Ро). У ^ R sin (<ot -f <f о),
где чр0—значение угла у при ^ = 0.
Относительное движение точки
Относительное движение точки. Если
имеется несколько тел, движущихся друг
относительно друга произвольным образом,
то движение некоторой точки относительно

ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД.
одного из этих тел принимается за основное
и условно называется „абсолютным" дви-
жением. Движение точки относительно
других тел называется относительным
движением.
Если движение некоторой точки М от-
носительно некоторого тела А рассматривается
как „абсолютное", то скорость v и ускорение
а точки М относительно тела А называются
.абсолютными". Аналогично, если дви-
жение точки М относительно другого тела В,
движущегося произвольным образом относи-
тельно тела А, рассматривается как относи-
тельное, то скорость v0 и ускорение а0 точки М
относительно тела В называются относи-
тельными.
Скорость \п и ускорение ал той точки те-
ла В в его движении относительно тела А, с
которой в данный момент времени совпадает
точка М, называются переносной ско-
ростью и переносным ускорением
точки М. Движение тела В относительно тела
А называется в этом случае переносным
движением.
Сложение скоростей. При любом относи-
тельном движении точки её абсолютная ско-
рость v равна геометрической сумме перенос-
ной vn и относительной v0 скоростей
Сложение ускорений. Абсолютное ускоре-
ние а точки равно геометрической сумме трёх
ускорений: переносного an, относительного а0
н поворотного (или ускорения Кориоли-
са) а«:
а = ал + а0 + а«.
Если переносное движение поступательно
(вращение отсутствует), то а«=0 и а = ал +
+ а0.
Поворотное ускорение
ак — 2u>-tvsin (w»Vo).
где ад — угловая скорость переносного движе-
ния, а угол to, Vo—угол между вектором
мгновенной угловой скорости переносного
Фиг 18.
движения и вектором относительной скорости
точки. Вектор ак направлен перпендикулярно
векторам w и v0. Для получения направления
поворотного ускорения следует составляющую
относительной скорости v0 в плоскости, перпен-
дикулярной «о (фиг. 18), повернуть на 90° в сто-
рону вращения переносного движения, считая
при этом, что мгновенная ось вращения про-
ходит через ту точку, относительное движе-
ние которой рассматривается.
Пример. Стержень CD, перпендикулярный АВ
(фиг, 1й), вращается около оси Ал с угловой скоростью
и»,, а стержень СМ, перпендикулярный CD, вращается
около него с угловой скоростью со,.
Относительная ско-
И
Отстеая
рость v0 точки М
где а — длина стержня
СМ.
где <р— угол между wt и
СМ, Ускорение Кориоли-
са ъ.к точки М
uirvos\n[y ¦{¦ —
2 ш,.ша.а cos 9
Фиг. 19.
и направлено перпендикулярно v0 и ш, в сторону, ука-
занную на чертеже.
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
Поступательное движение
Поступательное движение твёрдого тела.
Поступательным движением твёр-
дого тела называется такое движение, при
котором любая прямая, неизменно связанная
с телом, остаётся параллельной сама себе.
При поступательном движении траектории
всех точек тела—конгруентные кривые.
При поступательном движении скорости
всех точек тела одинаковы и скорость любой
точки тела называется поступательной
скоростью тела.
Ускорения точек твёрдого тела. Ускоре-
ния всех точек тела одинаковы, и ускорение
любой точки тела называется ускорением
тела при поступательном дв ижении.
Сложение поступательных движений. Если
тело С движется поступательно относительно
тела В со скоростью \св и ускорением асв,
а тело В движется поступательно относитель-
но тела А со скоростью у^д и ускорением
авл> т0 тело С относительно тела А движется
поступательно со скоростью
и ускорением
Вращение твёрдого тела
неподвижной оси
вокруг
Вращение тела около оси. Закон враще-
ния. Вращением тела около непо-
движной оси называется такое движение,
при котором одна его прямая (ось вращения)
остаётся неподвижной.
Положение тела, вращающегося вокруг оси
АВ (фиг. 2и), определяется углом у между
плоскостями а и 3. проходящими через ось
вращения. Плоскость а неподвижна; плоскость р
подвижна и неизменно связана с телом.
Закон вращения тела определяется
зависимостью угла <р от времени, т. е.
? = ? @-

ГЛ. I)
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
Угловая скорость. Средняя угловаяско-
ростьтела за промежуток времени от _j
до /2
«р D) — ? (h)
Истиннаяугловая скорость тела,
или угловая скорость в момент времени t,
lim
Jlili
A/ ->- 0
-——
Если to > 0, то тело вращается в сторону
положительного отсчёта угла ср; если w <" О,
то вращение происхо-
дит в обратном напра-
влении.
Если о. —= const во
всё время движения,
то вращение назы-
вается равномер-
н ы м.
В общем случае со
является функцией
времени.
Угловая скорость
изображается векто-
ром и (фиг. 20), по
абсолютной величине угло-
Направлен
Фиг. 20.
величине равным
вой скорости ш, т. е. равным
вектор со по оси вращения так, что если смо-
треть вдоль него, то вращение тела видно со-
вершающимся по часовой стрелке.
Угловое ускорение. Среднее угловое
ускорение тела за промежуток времени
от tt до t-2
ш (.,)
ср
Истинное угловое ускорение
тела, или угловое ускорение в момент вре-
мени t,
. =_ lim
i (t + A t) — u> (t) do)
Tt dt
dp
Если абсолютная величина со возрастает
(знаки со и е одинаковы), то вращение назы-
вается ускоренным; если абсолютная ве-
личина со убывает (знаки ш и г — разные),
вращение называется замедленным.
Угловое ускорение изображается вектором
s (фиг. 20), по величине равным абсолютной
величине углового ускорения ей направленным
в ту же сторону, что и вектор <о, если знаки со
и s одинаковы, и в сторону, противоположную
(о, если знаки со и е разные.
Скорости точек тела. Скорость точки
тела, находящейся на расстоянии d от оси
вращения,
Ускорения точек тела. Тангенциаль-
ное ускорение д^' точки, находящейся на
расстоянии d от оси вращения,
Нормальное ускорение <г
-— _ • ш .
Полное ускорение
а = yjhtf))*
При со = const
е __ 0; ait) — 0; а — я(") = d _
Основные зависимости между
t (при t = 0; ср = 0; _ _. со0).
1) Дано: ср = ср (f). Найти: <а и е.
со, г И
to = —~— , е = ' .
dt ' dt2
2) Дано: со _= со (/). Найти: ср и е.
t
о
3) Дано: to = ш (^). Найти: t и е.
t
= ( со dt,
dt
4) Дано: г = е (^). Найти: ср и со.
t
_= to0 -f- \ е rf., ср = A to dt.
о о
5) Дано: s = е (ср). Найти: i и со.
6) Дано: s = е (со). Найти: t и ср.
CD (О
>= f _____ .= f ____
) е ' I в "
Ввиду полной аналогии зависимостей между
ср, <о, s и . при вращательном движении тела
и между S, », а и ( при прямолинейном дви-
жении точки графические методы изображе-
ния прямолинейного движения точки полно-
стью переносятся на вращательное движение
тела.
Равномерное вращение твёрдого тела.
Равномерным вращением называется
вращение с постоянной угловой скоростью.
При равномерном вращении средняя угло-
вая скорость со^ за любой промежуток вре-
мени равна истинной угловой скоро-
сти ш:
где ср — угол поворота тела за время L
Равномерно-пепеменное вращательное
движение твёрдого тела. Равномерно-
переменным вращательным дви-
жением называется такое дзижение, угло-
вое ускорение которого постоянно.
Вращение называется равномерно-
ускоренным, если абсолютная величина
угловой скорости возрастает (знаки со и е
одинаковы), и равномерн о-з амедлен-
н ы м, если величина угловой скорости убывает
(знаки ш и е разные).

ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. 1
При равномерно переменном вращении
среднее угловое ускорение е за любой про-
межуток времени равно истинному угловому
ускорению
где со,, ш2 и cpj, ф2 — угловые скорости и углы
поворота" в моменты времени /, и t%.
Средняя угловая скорость за время от /j до ?>
ср 2
Истинная угловая скорость в момент вре-
мени t
со = е? -j- со0,
где <оп—значение ш при ^ = 0.
Угол поворота
0'
Плоско-параллельное движение твёрдого
тела
Плоско-параллельное движение твёрдо-
го тела. Плоско-параллельным дви-
жением твёрдого тела называется та-
кое движение, при котором все точки тела
движутся параллельно некоторой неподвижной
плоскости. Движения точек тела, расположен-
ных на прямой, перпендикулярной этой пло-
скости, одинаковы. Для определения движения
всего тела достаточно знать движение его
точек, расположенных в одной из плоскостей,
параллельных неподвижной плоскости. Та-
ким образом изучение плоско-параллельного
движения тела сводится к изучению дви-
жения плоской фигуры в её плоскости.
Пусть х'О'у' и
\У' /-" "\ хОу—прямоуголь-
ные координатные
оси в неподвиж-
ной плоскости и в
плоскости, неиз-
менно скреплённой
с движущейся пло-
ской фигурой (фиг.
21). Положение
плоской фигуры
определяется коор-
динатами х'о, у'о
подвижного начала О и углом ср между осями
Ох' и Ох.
Закон движения плоской фигуры выра-
жается зависимостью хо, у0 и ср от времени
х'о = *'о@; У'о =У'о(*У> '¦? = ? СО-
Закон движения любой точки плоской фи-
гуры с координатами х и у будет
л-'@ = х'о -f л'cos -.f (/) — у sin ср (/);
У@ =У'о+х sln ? (О-hycos ф (/).
Мгновенный центр вращения. Скорости
точек. Центроиды. Перемещение плоской
фигуры в её плоскости за промежуток времени
Д? может быть получено поворотом ее на угол
Фиг. 21.
Д-.р около некоторого центра, называемого
центром конечного вращения. Точка, явля-
ющаяся предельным положением центра конеч-
ного вращения, при
М, стремящемся к ^/, л ^- ^ v
нулю, называется
мгновенным
центром вра-
щения плоской
фигуры. Предел
отношения — ( при
М, стремящемся к
нулю, называется
мгновенной угловой
плоской фигуры:
ш— lim —
У"
Фиг. 22.
скорость ю
В каждый момент времени скорость мгно-
венного центра вращения равна нулю.
Мгновенное движение фигуры таково, что
она вращается с мгновенной угловой скоро-
стью w около мгновенного центра вращении />
(фиг. 22).
Скорости точек Аи А2, Л3,... направлены
по перпендикулярам к отрезкам РАЬ РА-,,
РАг,... и соответственно равны vx — ш^,, г2 =-
— <jid2, у3 = «'(/;,.", где dx, d2, dn — расстоя-
ния точек от центра Р.
Если известны направления скоростей двух
точек А и В фигуры, то мгновенный центр
вращения есть точка пересечения прямых,
проведённых через точки А и В и перпен-
дикулярных направлениям их скоростей
(фиг. 23).
Геометрическое место мгновенных центров
вращения на неподвижной плоскости назы-
вается неподвижной центроидой (кри-
\
Фиг. 23.
Фиг. 24.
вая а) (фиг. 24). Геометрическое место мгно-
венных центров вращения на подвижной плос-
кости называется подвижной центро-
идой (кривая ft). Геометрически при движе-
нии фигуры подвижная центроида катится без
скольжения по неподвижной центроиде. Цен-
троиды соприкасаются в мгновенном центре
вращения. Если считать, что неподвижная плос-
кость движется относительно подвижной (обра-
щение движения), то центроида <? будет непо-
движной, а центроида а — подвижной.
По скорости точки А и направлению ско-
рости точки В фигуры можно определить ско-
рость любой её точки С (фиг. 25).
Пересечение перпендикуляров к направле-
ниям скоростей точек А и В определяет поло-
жение мгновенного центра вращения Я. Так

ГЛ. 1]
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
как
мы находим:
причём скорость vq пер-
пендикулярна прямой PC
и направлена в сторону
вращения.
Если направления скоро-
стей точек А и В парал-
лельны (фиг. 26, а и б),
то для определения скоро-
стей точек фигуры необ-
ходимо знать величины и
направления скоростей обе-
их точек. В этом случае
мгновенный центр враще-
ния Р находится на пере-
сечении прямых, проходящих через начала и
концы векторов скоростей этих точек.
Если скорости точек Аи В равны, т. е. Уд —
= v#, то мгновенный центр вращения лежит
Фт;г. 25.
Фиг. 26.
в бесконечности. В этом случае фигура дви-
жется поступательно, т. е. без вращения.
Проекции скоростей концов отрезка АВ
плоской фигуры
(фиг. 27) на его
направление равны
между собой, т. е.
ВВ' = АА .
Эта теорема по-
зволяет строить
скорости точек фи-
гуры графически.
Даны: скорость уд
точки А и на-
правление скорости точки В (фиг. 28).
От точки С откладываем вектор СС, рав-
ный проекции АА' скорости уд на СА. Пер-
Фиг. 27.
Фиг. 28.
иендикуляр АС, проведённый через точку С,
отсекает на перпендикуляре PC, проведённом
через точку С, отрезок СС" = v^.
Движение плоской фигуры можно предста-
вить состоящим из поступательного движения
системы координат х"Оу" (фиг. 29) с началом
в произвольной точке О фигуры и осями,
параллельными осям неподвижной системы
х'и'у', и вращения с угловой скоростью
относи-
rfcp
тельно системы ко
ординат х"Оу" (вра-
щение фигуры от-
носительно точ-
ки О). Угловая ско-
рость <о не зависит
от выбора точки О
и равна угловой
скорости враще-
ния фигуры во-
круг мгновенного
центра вращения.
Угловая скорость w изображается векто-
ром (о, проходящим через точку О перпен-
дикулярно плоскости фигуры.
Скорость произвольной точки А фигуры
складывается из скорости \д точки О фигуры
и из скорости vA0 точки А от вращения фигуры
около точки О, т. е. *
Фиг, 29.
Скорость \А0 по величина равна ao
Ускорения точек. Мгновенный центр
ускорений. Ускорение ад произвольной
точки А фигуры складывается из ускоре-
ния slq точки U фигуры и из ускорения ало
точки А от вращения фигуры около точки О
(фиг. 30), т. е.
ад = ао +
где а^'до
ускорения адо и
вляющая ускорения
: &у"ао -+- av''Ao-
тангенциальная составляющая
*
нормальная соста-
= UA-^r- = UA-г,
где е =
dt
—-угловое ускорение фигуры
(е не зависит от выбора точки О) *
Точка фигуры, полное ускорение которой
в данный момент времени равно нулю, назы-
вается мгновен-
ным центром
ускорений.
Фиг. 30.
Фиг. 31.
Для нахождения мгновенного центра уско-
рений следует отложить от точки О в напра-
влении а0 отрезок ОВ —
а0
+ ш1
(фиг. 31) и
* Угловое ускорение е изображается вектором г,
проходящим через точку О и направленным перпенди-
кулярно плоскости фигуры.

10
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД.
повернуть его на угол ц, tg jj. = -^1 в сторону
вращения, если знаки е и ш одинаковы, и
в сторону, противоположную вращению, если
их знаки разные. Точка В займёт положение В'
мгновенного центра ускорений.
Движение твёрдого тела около
неподвижной точки
Движение тела около неподвижной
точки. Для определения положения тела,
имеющего одну неподвижную точку О
(фиг. 32), выбираются неподвижная Ox'y'z' и
подвижная Охуг
" (неизменно скре-
плённая с телом)
прямоугольные си-
стемы координат.
Положение тела
определяется уг-
лом <р между осью
ОК, которая яв-
ляется прямой пе-
ресечения плоско-
стей x'O'yJ яхОу,
и осью Ох, уг-
лом <Ь между осями
Ох' и ОК и углом
6 между осями Oz'
называются углами
Фиг. 32.
и О
и Oz. Углы
Эйлера.
Закон движения тела определяется зависи-
мостью углов Эйлера от времени:
<р =
= ф @, 6 -
Мгновенная ось вращения. Аксоиды.
Мгновенная угловая скорость. Перемеще-
ние твёрдого тела, имеющего одну неподвиж-
ную точку, за промежуток времени от t до
t -\- M осуществляется его поворотом около
некоторой оси на угол Дй. Эта ось в своём
предельном положении при Д*-> 0 называется
мгновенной осью вращения тела.
Предел отношения при Д^, стремя-
щемся . к нулю, называется мгновенной
угловой скоростью тела:
*>== lim ^. = J^
At + O A' dt
В каждый момент времени тело вращается
около мгновенной оси вращения а с мгновен-
ной угловой скоростью 
(фиг. 33).
Геометрическое место
мгновенных осей вращения
в неподвижной системе ко-
ординат образует поверх-
ность Л, которая называется
неподвижным аксои-
дом (фиг. 33). Геометриче-
ское место мгновенных осей
вращения в самом движу-
щемся теле образует поверх-
ность В, которая называется
подвижным аксои-
дом.
Геометрически при движении тела подвиж-
ный аксоид катится без скольжения по непо-
движному аксоиду. Аксоиды соприкасаются по
мгновенной оси вращения.
Фиг. 33.
Мгновенная угловая скорость изображается
вектором (а, по величине равным 1ш| и напра-
вленным по оси вращения так, чтобы, смотря
вдоль него, видеть вращение тела совершаю-
щимся по часовой стрелке.
Проекции <ах, <оу, ш2 угловой скорости
тела на оси подвижной системы координат
выражаются через эйлеровы углы у, <\>, 6 при
помощи кинематических уравнений Эйлера:
шх = -~- sin 6 sin \
= -~- sin 6 sin ? -+¦
dii r
= ~- sin 6 cos <р —
dt
db
dt
cos
Проекции скоростей точек на подвижные
оси координат с началом в неподвижной точке
выражаются формулами
Vx = UiyZ — шг_у, Vy — WZX — H)XZ,
Vz — (Лху — WyZ,
где х, у, z — координаты точки.
Вместо обозначений шх, ту, шг часто поль-
зуются также обозначениями р, q, r, где будет
р = шх. q = wy, r = (ог.
Если тело вращается около оси, проходящей
через неподвижную точку О (фиг. 34, а и б)
Фиг. 34.
с постоянной ' по величине угловой скоро-
стью (о2, а эта ось вращается с постоянной
угловой скоростью <% около оси, проходящей
через ту же неподвижную точку, то результи-
рующее движение, которое совершает тело,
называется регулярной прецессией.
Неподвижным и подвижным аксоидом этого
движения являются соответственно конусы
(А) и (В), и тело в каждый момент времени
вращается с угловой скоростью to = a)t -+- о>5
вокруг общей образующей этих конусов.
Прецессия называется прямой, если угол
между векторами еох.и <о2 острый; в этом слу-
чае подвижный конус касается неподвижного
с внешней стороны (фиг. 34, а). Если угол
между (*>! и оK тупой, то подвижный конус
касается неподвижного с внутренней стороны
(фиг. 34, б); в этом случае прецессия назы-
вается обратной.
Мгновенное угловое ускорение тела.
Ускорения точек тела. Мгновенным
угловым ускорением тела, движуще-
гося около неподвижной точки О (фиг. 35),
называется вектор е, равный пределу отноше-
Дш . ,
ния -д—при М, стремящемся к нулю:

ГЛ. I]
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
11
Ускорение а произвольной точки М склады-
вается из двух составляющих аш и ае (фиг. 36):
а = аш + as.
Составляющая аш называется центростре-
мительной составляющей ускоре-
ния и направлена
по прямой, перпен-
дикулярной оси
вращения и пере-
секающей её. Со-
ставляющая аЕ на-
зывается в р а ща-
йш
Фиг. 36.
тельной составляющей ускоре-
ния и направлена по касательной к окружно-
сти с центром В, лежащим на прямой, по ко-
торой направлен вектор s, причём BM_[_s.
Составляющая as направлена так, что, смотря
вдоль s, видно вращение вектора ае по часовой
стрелке *.
По величине центростремительное ускоре-
2
ние аш = и&.АМ =-дт* > где v—скорость точки.
Величина вращательного ускорения
Общий случай движения твёрдого тела
Общее движение твёрдого тела. Всякое
перемещение твёрдого тела за промежуток
времени от t до t -f kt можно осуществить
путём поступательного перемещения его вдоль
некоторой оси на вектор Ду и затем пово-
рота на угол ДЙ во-
круг той же оси **.
Эта ось в её пре-
дельном положении
при At—*0 назы-
вается мгновен-
ной осью вр аще-
ния и скольже-
ния.
В каждый момент
времени движение
тела происходит так,
что тело скользит
вдоль мгновенной оси "
скольжения — враще-
ния с поступательной скоростью v ==
1 - ^ V
= lim _— и вращается около этой оси с угло-
фиг. 37.
вой скоростью to
* Правило для направления а? соответствует правилу
для направления ш.
*¦ Поворот на угол Д2 изображается вектором Д2, по
величине равным углу поворота и направленным по оси
вращения так, чтобы, смотря вдоль него, видеть вра-
щение тела по часовой стрелке.
Геометрическое место мгновенных осей
скольжения — вращения в неподвижном теле
образует поверхность (Л), которая называется
неподвижным аксоидом. Геометриче-
ское место мгновенных осей скольжения —
вращения в самом движущемся теле обра-
зует поверхность (В), которая называется п о-
движным аксоидом. Аксоиды соприка-
саются по мгновенной оси скольжения — вра-
щения а (фиг. 37j. Движение тела происходит
как качение со скольжением вдоль оси а по-
движного аксоида (В) по неподвижному аксои-
ду И)-
Если в произвольной точке О (фиг. 38)
тела поместить начало прямоугольной системы
координат Ox"y"z",
'оси которой па-
раллельны осям
неподвижной си-
стемы координат
Ох'у'г', то движе-
ние тела относи-
тельно системы ко-
ординат Ох'у 'г'
будет складывать-
ся из переносного /,
поступательного х
движения системы
координат Ох"у"г"
II относительного движения (вращение около
точки О) тела относительно системы коорди-
нат Ох"у" г".
Закон движения тела выражается зависи-
мостью от времени координат подвижного на-
чала xQ, у0, г0 и углов », <\>, Ь, определяющих
положение тела относительно системы коор-
динат Ox"y"z", т. е.
xo = x'o(t), y'0=y'0(t), z'0 = z'0{t),
<р = ? (О, ф = | @. е = 8 (*)•
Скорость Vq подвижного начала О назы-
вается поступательной скоростью
тела, измеряемой скоростью точки О, и за-
висит от выбора точки О.
Угловая скорость ю и угловое ускорение а
движения тела относительно системы коорди-
нат ux"y"z" не зависят от выбора точки О и
называются соответственно угловой ско-
ростью и угловым ускорением тела.
Фиг. 38.
Фиг. 39.
Скорости точек тела. Скорость v^ произ-
вольной точки М складывается из скорости vq
подвижного начала О (фиг. 39) и относитель-

12
ОБШАЯ -МЕХАНИКА
[РАЗД. 1
ной скорости V/ifo точки М от движения тела
относительно системы координат Ox"y"z":
Ускорения точек. Ускорение а произволь-
ной точки М складывается из ускорения а^
подвижного начала О (фиг. 39) и относитель-
ного ускорения аМо точки М от движения тела
относительно системы координат Ох"у"г":
а = а0
a.M0,
поэтому
а = а0
Сложение скоростей твёрдого тела
Сложение скоростей. В общем случае дви-
жения скорости точек твёрдого тела опре-
деляются поступательной скоростью v тела и
его угловой скоростью to. Если тело Л] имеет от-
носительно тела А поступательную скорость \1
и угловую скорость <ль тело Л2 имеет относи-
тельно тела Л] поступательную скорость v2 и
угловую скорость (о2 и т- д- к' наконец, если
тело Ап имеет относительно тела Ап_± посту-
пательную скорость V/j и угловую скорость to,,,
то поступательная скорость v и угловая ско-
рость w результирующего движения, которое
совершает тело Ап относительно тела А, назы-
ваются результирующими скоро-
стями тела; скорости v1t toj; Vo, юэ;...; vn,
<о„ составляющих движений называются со-
ставляющими скоростями.
Сложение поступательных скоростей.
Если составляющими скоростями являются по-
ступательные скорости v,,vs,..., \„, то резуль-
тирующей скоростью тела будет поступательная
скорость v, равная геометрической сумме со-
ставляющих скоростей, т. е.
V = Vi
Сложение угловых скоростей около осей,
пересекающихся в одной точке. Если соста-
вляющими скоростями являются угловые ско-
рости fO]t О>2,
о)л, направленные по осям,
пересекающимся в одной точке О, то резуль-
тирующей скоростью тела будет угловая ско-
рость to, направленная по оси, проходящей
через ту же точку О, и равная геометрической
сумме составляющих скоростей, т. е.
tl) = (Oj -f (Й2 -|- • • • -j- О)и.
Пример. Коническая шестерня А радиуса гг и ше-
стерня В радиуса г2 (фиг. 40, а) вращаются вокруг двух
взаимно перпендикулярных осей, проходящих через
точку О; абсолютная угловая скорость ш, шестерни А
* Поворотное ускорение здесь отсутствует, так как
система координат Ox"y"z" движется поступательно
(без вращения).
задана. Определить абсолютную угловую скорость и>*
шестерни В и относительную угловую скорость ш3 ше-
стерни В относительно шестерни А. Так как u)a=u>,-f-
4-ш3, то, проводя через начало и конец вектора ш,
(фиг. 40, б) прямые, параллельные направлениям векто-
р
ров
ш3 = wl ctg a = <о, -
*+<°l-= io,l/
Сложение угловых скоростей около па-
раллельных осей.
1) Составляющие угловые ско-
рости о>! и to2 направлены в одну
сторону (фиг. 41). В этом случае резуль-
i тирующей скоростью те-
ла будет угловая ско-
рость to, по величине
Шг i
Аг
(О
Фиг. 41.
Фиг. 42.
равная <о = ш1 -f Ш2 и направленная в ту же
сторону. Вектор о> лежит в плоскости векторов
to, и св2 и делит расстояние между ними на части,
обратно пропорциональные их величинам, т. е.
Д/4]: АА2 = ш2 : ш,.
2) Составляющие угловые ско-
рости о^ и ш2 направлены в разные
стороны, причём аKч>ш1 (фиг. 42). В этом
случае результирующей угловой скоростью
будет угловая скорость ш, по величине равная
си = (в2 — ojj и направленная в сторону боль-
шего по величине вектора о>2.
Вектор w лежит в плоскости векторов wj и
w2 и проходит через точку А, лежащую вне
отрезка АХА2 на рас-
стоянии, удовлетво-
ряющем условию
АЛг: AA'i = ш2: ш,.
Угловую скорость
всегда можно произ-
вольно разложить на
две угловые скорости,
направленные в одну
или в прямо противо-
положные стороны.
' Фиг. 43.
Пример. Для зубчатых колёс А и В, оси которых
связаны водилом О,О2 (фиг. 43), определить угловые
скорости шестерни В: <о3 относительно водила и <х> от-
носительно зубчатого колеса А; угловая скорость во-
дила ш,. Все три угловые скорости шх, <л, и ш напра-
влены в одну сторону, так как ось вращения с угловой
скоростью о.) расположена между осями составляющих
движений

ГЛ. I]
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
13
откуда
о> = и, 4- Ш2 =
-у-)
3) Сложение угловых скоростей
около произвольного числа па-
раллельных осей. Если a»j, (о2,•••> шя —
составляющие угловые скорости, a colt co2,...,
со„ — проекции (с учётом знака) этих скоростей
на ось Oz прямоугольной системы координат
Oxyz с плоскостью хОу, перпендикулярной век-
торам со1% ш2,..., шп (фиг. 44), то проекция
вектора результирующей угловой скорости
о> на ось Oz
со —- ojj -j- (о.) -L-. . . _|_ ш^_
Координаты точки пересечения плоскости
хОу результирующей угловой скоростью равны
<»,¦*,
Ч !~<»пхп
У
-1- <»2 Н
где jtj, Ух, х2, У2>---<хп> Уп — координаты точек
пересечения плоскости хОу составляющими
угловыми скоростями u>j, со2,..., со„.
Если с^ -\- со2 -\- ... + ып —- G, то движение
приводится к паре угловых скоростей.
4) Пара угловых скоростей. Две
угловые скорости (фиг. 45), равные по величине
(со] = <о2), но противо-
/Z у положные по напра-
/Щ \у / влению, называются
JL-L У— / парой угловых
*~С/ г<&2 / скоростей.
—f Расстояние d ме-
Фиг. 45. жду векторами со5 и ш2
называется плечом
пары. Плоскость, в
которой расположены векторы сох и ш2, назы-
вается плоскостью пары.
Моментом пары называется вектор v,
по величине равный произведению величины
угловой скорости на плечо
и направленный перпендикулярно плоскости
пары так, чтобы, смотря вдоль него, видеть
вращение векторов сох и со2 совершающимся по
часовой стрелке.
Если составляющие угловые скорости u^
и со2 образуют пару угловых скоростей, то
результирующей угловой скоростью будет по-
ступательная скорость v, равная моменту этой
пары.
фиг-
Поступательную скорость всегда можно
разложить на произвольное количество нар.
Если составляю-
щие угловые скорости
образуют несколько
пар с моментами V], v2,
..., \п, то результи-
рующей скоростью бу-
дет поступательная
скорость v, равная
V=Vj -т- V.3+ ... + V,,.
Моментом вектора со, приложенного в точке В
относительно некоторой точки Л, называется
вектор vA (фиг. 46), по величине равный про-
изведению длин вектора со и вектора АВ, на
синус угла между ними:
иА -- Л5-о)-sin (АВ, со).
Направлен вектор v^ по перпендикуляру
к векторам АВ и со так, что, смотря вдоль
него, видим вращение на наименьший угол
вектора АВ до его совпадения с вектором со,
совершающимся по часовой стрелке. Обо-
значается момент так:
Общий случай сложения скоростей твёр-
дого тела. Угловую скорость со, приложенную
в точке А (фиг. 47), можно разложить на век-
тор со, приложенный в произвольной точке В,
и на пару угловых скоростей с моментом уд,
равным моменту вектора ю, приложенного
в точке А относительно точки В. Следова-
тельно, угловую скорость <о можно переносить
из точки А в про-
извольную точку В,
-ал
Фиг. 47.
Фиг. 48.
присоединяя к ней при этом поступательную
скорость \в, равную
Если составляющими скоростями являются
поступательные скорости v]( v2, ..., vm и угло-
вые скорости со,, со2, ..., шл, приложенные
в произвольных точках (фиг. 48), то путём
переноса угловых скоростей в произвольно
выбранную точку О с присоединением при
этом соответствующих поступательных скоро-
стей voi= ^о(шг) получим результирующую
поступательную скорость
v = v, + уа +...-+- vm + ЪМ0(ь>{)
и результирующую угловую скорость
О) = СО] -\- U>2 -j- . . . 4- Шя,
приложенную в точке О. Векторы v и со назы-
ваются главным моментом иглавным
вектором системы векторов \ь v2,..., \т
и coj, <о2,... сол относительно центра приведе-
ния О. При перемещении центра приведения
вектор со и составляющая v' вектора v в

14
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. 1
направлении со не изменяются, а вектор v и его
составляющая v" в направлении, перпенди-
кулярном со, изменяются. Приведение векторов
к центру О имеет следующие случаи:
1) со^гО, v 'фО. На прямой, перпендикулярной
плоскости v и со (фиг. 49), берём точку 0 так,
чтобы ОО'= — и линейная скорость точки О'
от угловой скорости со была прямо противопо-
ложна скорости v". Тогда по приведению ско-
ростей тела к точке О' скорости приведутся
к мгновенной угловой
скорости со и поступа-
тельной скорости v', на-
} правленной вдоль век-
тора со, — случай кине-
матического вин-
V1
,7) т а. Величина р = — на-
0V
Фиг. 49.
зывается параметром
винта.
2) ш^гО, vr = 0. Пре-
дыдущее построение при-
водит к угловой скорости «о, приложенной
в точке О'.
3) со = 0, v^O. Система векторов приво-
дится к поступательной скорости v.
4) со = 0, v = 0. Скорости всех точек тела
равны нулю.
СТАТИКА
Основные положения
Сила. Сила, приложенная к телу, изобра-
жается вектором, по величине равным вели-
чине силы, направленным в сторону её дей-
ствия и приложенным в точке её приложения.
В абсолютно твёрдом теле силу можно пере-
носить вдоль её линии действия без измене-
ния её действия на тело.
В прямоугольной системе координат сила
определяется её проекциями на оси координат.
Проекции X и Y силы Р, расположенной
в плоскости хОу, равны:
X=Pcosa, У = Я sin a,
где a — угол между силой Р и осью Ох.
Проекции X, Y, Z силы Р, расположенной
в пространстве, равны:
где a, р, 7 — углы, образуемые силой с осями
координат Ox, Оу, Oz.
Эквивалентные системы сил. Равнодей-
ствующая. Две системы сил называются
эквивалентными, если их действие на
одно и то же тело одинаково. Если система
сил эквивалентна одной силе, то последняя
называется их равнодействующей.
Закон параллелограма сил. Разложение
силы. Условие равновесия двух сил, при-
ложенных к твёрдому телу. Две силы Р1
и Ро (фиг. 50), приложенные в одной и той же
точке, эквивалентны одной силе Р, приложен-
ной в той же точке и направленной по диаго-
нали параллелограма, построенного на силах
Р, и Р..
Чтобы найти равнодействующую Р несколь-
ких сил Pv Р2, Рз. Р4 (число сил произвольно),
приложенных в одной точке О (фиг. 51), нужно
от конца вектора Pt провести отрезок АВ,
параллельный и
равный вектору Р2,
затем от точки В
провести отрезок
ВС, параллельный
и равный вектору
Р3, и т. д. Замы-
кающая сторона
OD многоугольни- фИГ. 50
ка сил OABCD
является равнодействующей Р.
Чтобы силу в плоскости разложить по двум
направлениям а и $ (фиг. 52), нужно через
конец силы провести прямые, параллельные
прямым аир.
Чтобы силу Р в пространстве разложить по
трём направлениям а, ? и y (фиг. 53), нужно
сначала разложить её по направлениям у и t,
где i — линия пересечения плоскостей чОР
и <хОр, а затем её составляющую по направле-
нию t разложить по на-
правлениям а и 3-
Фиг. 52.
Связи. Реакции связей. Силы внутренние
и внешние. Связями называются тела,
которые стесняют свободу движения тела или
системы тел. Силы, действующие со стороны
связей, называются реакциями связей.
Если, например, тело может вращаться около
оси, то ось является связью, а силы, действу-
ющие на тело со стороны оси, будут реакци-
ями связи.
Связи называются неос вобождающими,
если тело может освободиться от связей только
путём их разрушения. Если тело может быть
освобождено от связей без их разрушения,
то связи называются освобождающими.
Координатами тела или системы
тел называются геометрические параметры,
определяющие положение тела или системы.
Число этих параметров называется числом
степеней свободы тела илисисте-

171. 1J
СТАТИКА
15
м ы тел (при условии, что эти параметры
не зависят друг от друга). Свободной на-
зывается система, в которой связи осуществля-
ются только телами, входящими в эту систему.
Силы, действующие на систему тел со сто-
роны тел, не принадлежащих рассматриваемой
системе, называются внешними силами,
а силы, действующие между самими телами
системы, называются внутренними.
Силы, которые не являются реакциями свя-
зей, называются активными силами.
Реакции связей называются пассивными
силами.
Уравновешивающаяся система сил. Си-
стема сил называется у р а в н о в е ш и в а ю-
щейся или находящейся в равно-
весии, если, действуя на свободное твёрдое
тело, находящееся в покое, она не сообщает
телу движения.
Принцип наложения новых связей. Прин-
цип отвердения. Равновесие тела (системы
тел) не нарушается от наложения на
¦тело (систему тел) новых связей; в част-
ности, равновесие системы тел не нару-
шается, если все тела связать между собой
неизменно (принцип отвердения).
Трение. Трение скольжения. Если
некоторое тело А движется по поверхности
другого тела В (фиг. 54) со скоростью v, то
на тело А дейст-
вует со стороны
тела В сила
трения скольже-
ния F, лежащая в
плоскости сопри-
косновения тел и
направленная в
сторону, противо-
положную относи-
тельной скоростиу.
Сила трения F —
=f-R, где/? —нор-
мальная реакция
тела В, f—коэ-
фициент трения скольжения.
Коэфициент трения зависит от материала и
состояния трущихся поверхностей (обработка,
температура и др.) а также от величины от-
носительной скорости v. Характер зависимости
коэфициента трения от скорости изображён
на фиг. 55.
Значение коэфициента трения при v = О
(точнее — в тот момент, в который тело выво-
дится из состояния равновесия)
называется статическим
Г*. коэфициентом трения
\^ /с, или коэ-
фициентом
трения по-
коя.
Значения коэ-
фициентов тре-
ния скольжения приведены в томе II, гл. 111.
Тело остаётся в покое на поверхности
другого тела при соблюдении неравенства
Фиг. 54.
Фиг. 55.
р
гДе Fc—fc4R- Угол
определяе-
1<с cc 9 р
мый равенством tg?=/c, называется углом
трения. Если около нормали On описать
прямой конус (конус трения), раствор
которого равен 2«р (фиг. 56), то для равнове-
сия тела направление силы Р должно прохо-
дить внутри конуса трения. Если все силы ле-
жат в одной плоскости, то вместо конуса тре-
ния рассматривается угол трения.
Трение качения.
О При качении катка (ко-
леса, шара) к его оси
Фиг. 56.
'77777777777Щ777777777/.
Фиг. 57.
(центру) должна быть приложена сила F, что-
бы преодолеть сопротивление трения качения,
которое возникает в точке А соприкосновения
тела с поверхностью (фиг. 57). Момент сил со-
противления относительно точки А называется
моментом сопротивления при ка-
чении. Так как момент сопротивления про-
порционален величине нормальной реакции R
поверхности, a R = Q — момент сопротивления.
где к — коэфициент трения при качении;
k имеет размерность длины.
Качение осуществляется, если
F-r>M = k-Q или ^
где г — радиус катка.
Равновесие тел под действием сил, линии
действия которых пересекаются в одной
точке
Сложение сходящейся системы сил. Рав-
нодействующая. Равнодействующая Р системы
сил (число их произвольно), линии действия
которых пересекаются в точке О (фиг. 58),
равна их геометрической сумме и проходит
через точку О:
Проекции равнодействующей Р на оси коор-
динат с началом в произвольной точке равны
z=zx + z2 + z3 ¦+¦ z^.
Xb Yb Zi и т. д.—
проекции сил Рх, Ра,
Рз и Р4.
Условия равнове-
сия. Равнодействую-
щая Р равна нулю, если
система сил находится Фиг 68
в равновесии.
Для равновесия сходящейся системы сил
необходимо и достаточно удовлетворить равен
ства

16
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. 1
фиг. 59.
Равновесие тел под действием сил,
расположенных в плоскости
Сложение двух параллельных сил, напра-
вленных в одну сторону (фиг. 59). Равнодей-
ствующая Р СИЛ Pi И
Р2 по величине равна
сумме составляющих
сил, параллельна им и
направлена в ту же
сторону.
Расстояния от точ-
ки С приложения рав-
нодействующей до то-
чек приложения составляющих сил удовлетво-
АС Р s>
ряютпропорции-р„- = -^- >точка С всегда рас-
положена на отрезке АВ.
Сложение двух параллельных сил, напра-
вленных в разные стороны. Равнодейству-
ющая Р двух сил Pj и \><i (фиг. 60) по вели-
чине равна их разности, па-
раллельна им и направлена
в сторону большей силы.
Расстояние от точки прило-
жения С равнодействующей
до точек приложения соста-
вляющих сил удовлетворяет
АС Р3
пропорции -bjt = -р^-; точка
С всегда расположена вне
отрезка АВ.
Момент силы. Пара сил.
Момент пары. Моментом силы Р (фиг. 61)
относительно точки А называется произведение
величины силы Р на расстояние (плечо) d or
точки А до линии действия силы:
Момент силы считается положительным,если
вращение силы вокруг точки А происходит
против часовой стрелки. При таком условии
для знака момента
где X, Y — проекции силы, а х,у — координаты
точки приложения силы.
Две равные по величине, но противоположно
направленные силы Рх и Р2 называются парой
Фиг. 61.
Фиг. 62.
сил (фиг. 62). Расстояние а между линиями
действия сил пары называется плечом
пары. Моментом М пары называется
произведение величины силы на плечо
Момент пары положителен, если вращение
сил, составляющих пару, происходит против ча-
совой стрелки:
Момент пары равен сумме моментов сил, её
составляющих, относительно любой точки В
плоскости.
Преобразование пар в плоскости. Сложе-
ние пар. Две пары эквивалентны, если их
моменты равны. Поэтому пару сил, без изме-
нения её действия на тело, можно произвольно
переносить в плоскости её действия, а плечо
и величину составляющих её сил преобразо-
вывать, сохраняя при этом равенство момента
пары.
Если на тело действует несколько пар с мо-
ментами Мл, М-2, ¦ •., Мп, то они эквивалентны
одной паре с моментом М = М\ + М<> + • • • -+-
-тМп.
Перенос силы в плоскости. Силу Р, при-
ложенную в точке А (фиг. 63), не изменяя её
действия на тело, можно
перенести в произволь-
ную точку В, присоеди-
нив при этом к ней пару
с моментом
Приведение сил. Если фиг 63-
на тело действуют силы
Р,, Р2,..., Р/, (фиг. 64), то путём переноса
каждой силы Рг- в точку А с присоедине-
нием соответствующей пары с моментом
Mi — МА(Р() система сил приведётся к силе
Р = Pj -\- Р2 + • • • ¦+¦ Рд, приложенной в точке А,
и к паре с моментом Ма — ^, Ma(Pj).
Сила Р называется результирующей сил
Рь Г2,.... Рп- Момент МА называется глав-
ным моментом этих
сил относительно цен-
тра приведения А.
При перемене цен-
тра приведения ре-
зультирующая Р не
изменяется, а момент
МА изменяется.
Приведение систе-
мы сил к центру А
имеет следующие слу-
чаи:
1) РфО; МАф0. Система сил может быть
приведена к одной равнодействующей, прило-
женной в точке В (фиг. 64), на расстоянии от
М я
Р, равном АВ ¦¦= —~ , и равной силе Р. Знак мо-
мента силы Р, приложенной в точке В, отно-
сительно точки А, должен быть одинаков со
знаком момента МА.
2) Р = 0, МАф{). Для любого центра приведе-
ния силы приводятся к паре сил с моментом М^-
3) Р — и и МА = U. Силы находятся в рав-
новесии.
Условия равновесия плоской системы сил.
Если силы Pj, Р2 ,..., Нл находятся в равно-
весии, то после приведения их к произвольному
центру О
Эти условия являются необходимыми и до-
статочными для равновесия плоской системы
сил. В прямоугольной системе координат с на-
чалом в центре О эти условия имеют вид:

ГЛ. I]
СТАТИКА
17
где Xi, Yi — проекции сил, a xi, у{ — коорди-
наты точек приложения сил.
Необходимым и достаточным для равнове-
сия плоской системы сил является одно из
следующих условий:
1) сумма моментов всех сил относительно
каждого из трёх не лежащих на одной прямой
центров равна нулю;
2) сумма моментов всех сил относительно
каждого из двух произвольных центров равна
нулю, и сумма проекций всех сил на ось, не
перпендикулярную прямой, соединяющей эти
центры, равна нулю.
Необходимыми и достаточными условиями
равновесия системы параллельных сил в пло-
скости являются равенство нулю суммы их
проекций на ось, параллельную силам, и ра-
венство нулю суммы моментов всех сил отно-
сительно произвольного центра.
Необходимыми и достаточными условиями
равновесия плоской системы параллельных сил
являются также равенство нулю суммы момен-
тов всех сил относительно каждой из двух
произвольных точек, расположенных в их пло-
скости и не лежащих на прямой, параллель-
ной силам.
Равновесие тел под действием сил, рас-
положенных произвольно в пространстве
Момент силы относительно точки и оси.
Моментом силы Р относительно
точки А (фиг. 65) называется вектор Л1д(Р),
п п по величине равный про-
изведению величины си-
лы Р на величину век-
тора АВ, соединяющего
точку А с точкой В, и на
фиг. 65 СИНУС Угла между векто-
рами Р и АВ:
/\
МА(Р)\ = P-AB-sin (P.AB).
Момент направлен перпендикулярно пло-
скости Р и АВ так, чтобы, смотря вдоль
него, видеть поворот вектора АВ на на-
именьший угол до совпадения -его направле-
ния с вектором Р, совершающимся по часо-
вой стрелке.
Моментом силы Р относительно оси а
(фиг. 66) называется проекция на эту ось мо-
мента силы Р относительно любой точки этой
Фиг. 66.
плоскости, перпендикулярной оси я, a d— рас-
стояние от оси а до составляющей Pj. Момент
относительно оси положителен, если, смотря
вдоль оси, мы видим, что составляющая Рх
вращает по часовой стрелке.
Моменты силы Р относительно координатных
осей равны
Му (Р) = zX—xZ;
Mz(P)=xY—yX,
где X, Y, Z — проекции силы, а х, у, z — ко-
ординаты точки её приложения.
Пара сил. Момент пары. Две равные по
величине, но противоположно направленные
силы Р! и Р2 (фиг. 67) называются парой сил.
Расстояние а между линиями действия сил па-
ры называется плечом
пары. Плоскость, в кото-
рой расположены силы па-
ры, называется плоско-
стью действия пары.
Пара сил не имеет равно-
действующей.
Моментом пары на-
зывается вектор М, по ве-
личине равный Pta = Р2а,
направленный перпендикулярно плоскости дей-
ствия пары так, чтобы, смотря вдоль него,
видеть вращение сил, составляющих пару,
происходящим по часовой стрелке. Точка при-
ложения вектора М произвольна.
Момент пары равен сумме моментов относи-
тельно произвольной точки сил, составляющих
пару.
Эквивалентность пар. Сложение пар. Две
пары эквивалентны, если их моменты равны.
Несколько пар с моментами М,, М2,..., М„ эк-
вивалентны одной паре с моментом M = M1-j-
лц!4м
Фиг. 67.
ц
Перенос силы в пространстве. Силу Р,при
ложенную в точке А (фиг. 68), можно перенести,
не изменяя её действия на тело, параллельно
самой себе в произвольную точку В, присо-
единив к ней пару с моментом Мд = Мд(Р).
Приведение сил. Если на тело действует
система сил Plt Р2,—, P« (фиг. 69), то путём
перенесения каждой
силы Р,- в произволь-
ную точку А с при-
соединением соответ-
ствующей пары с мо-
ментом М^4/ = М^4(Р/)
приведём систему сил
Р Р РЬ
Фиг. 68.
оси и обозначается Ма (Р). По величине мо-
мент силы относительно оси |/Ив (P)j = Р, -d,
где Рх — величина составляющей Р± силы Р в
-Р
к силе Р = Рг + Р2-Ь
-}-...-{-?„, приложен-
ной в точке А, и паре
с моментом Мд = ИЛА1 + МА2 Л-...+ ^Л
Сила Р и момент Мд называются соответ-
ственно главным вектором (или резуль-
тирующей) и главным моментом си-
стемы сил относительно центра приведе-
ния А.
При изменейии центра приведения сила Р
и составляющая Мдх вектора Мд по напра-
влению вектора Р не изменяются; вектор Мд
и его составляющая M^v по направлению, пер-
пендикулярному Р, изменяются.

18
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
(РАЗД. J
Приведение сил имеет следующие случаи:
1) Р-^-0; М.Аф0. Система сил приводится к
силе Р, приложенной в точке В, и паре с мо-
ментом Мдт, направленным #по направлению
силы Р (фиг. 69). Точка В расположена на пер-
"Р,
Фиг. 69.
иендикуляре к плоскости векторов Мд и Р так,
что величина момента силы Р, приложенной
в точке А, относительно точки В равна МА,и
т.е. АВ =-^-.иМв(Р) направлен прямо про-
тивоположно вектору Мдч.
Сила и пара сил с моментом, направленным
по силе, называются ди н ам ой или дина-
мическим винтом. Прямая, вдоль кото-
рой располагается динамический винт, назы-
вается центральной осью системы сил.
Пространственная система сил в общем слу-
чае приводится к динаме. -
2) Р-^0; Жм~0. Предыдущее построение
приводит к одной силе Р. Система сил имеет
равнодействующую.
3) Р = 0; Мл фи. Система сил приводится к
паре с моментом Мд.
4) Р = 0; Мд = 0. Силы находятся в равно-
весии.
Условия равновесия сил. Если простран-
ственная система сил Р]( Р2,.., Рл находится в
равновесии, то её главный вектор Р и главный
момент Mq относительно произвольного цен-
тра О равны нулю. Эти условия являются не-
обходимыми и достаточными для равновесия
пространственной системы сил. В проекциях
на оси прямоугольной системы координат с
началом в центре О уравнения равновесия
пространственной системы сил имеют вид:
= ^(yiZt-ZiYt) = 0;
где X;, Yj, Zj — проекции сил, а x;, yh z{ — ко-
ординаты точек приложения сил.
Для системы п параллельных сил необходи-
мыми и достаточными условиями равновесия
являются:
Zx + Z2 +. ... + Zn = 0,
где Mxj и Myi — суммы моментов всех сил от-
носительно осей Ох и Оу, причём ось Ог на-
правлена параллельно силам.
Условия равновесия несвободного тела.
Если твёрдое тело находится в равновесии, то
• все действующие на него силы, как активные,
так и реакции связей, удовлетворяют уравне-
ниям равновесия сил. Те уравнения равновесия,
в которые входят реакции связей, служат для
определения этих реакций.
Если число неизвестных реакций больше чис-
ла уравнений равновесия, то задача назы-
вается статически неопределимой,
так как в этом случае из уравнений статики
реакции определить нельзя.
Уравнения, в которые реакции связей не
входят, называются условиями равнове-
сия активных сил, приложенных к телу.
1) Если тело имеет неподвижную точку, то
условием его равновесия будет равенство ну-
лю суммы моментов всех активных сил отно-
сительно этой точки, или равенство нулю ка-
ждой из трёх сумм моментов всех активных сил
относительно трёх осей, проходящих через не-
подвижную точку и не лежащих в одной пло-
скости.
2) Если тело может вращаться вокруг непо-
движной оси, то условие его равновесия будет
равенство нулю суммы моментов всех актив-
ных сил, действующих на тело, относительно
этой оси.
3) Если тело может перемещаться винтовым
движением вдоль оси, то условием его равно-
весия будет равенство нулю суммы проекций
на эту ось всех активных сил и равенство ну-
лю суммы моментов всех активных сил отно- '
сительно этой оси.
Параллельные силы. Центр тяжести
Параллельные силы. Центр параллельных
сил. Если для системы параллельных сил (фиг. 70)
Р = Pj + Р2 + Р3 + ... + Р„ ф 0, то силы имеют
равнодействующую, рав-
ную вектору Р, точка
приложения которой О
определяется последова-
тельным сложением сил
системы. Порядок сложе-
ния сил произволен.
Точка О, полученная
таким построением, на-
зывается центром
параллельных сил.
Через эту точку всегда
проходит равнодействую-
щая этой системы сил,
если силы системы поворачивать на один и
тот же угол, оставляя параллельными и не
меняя точек приложения.
Координаты х0, yQ, z0 центра параллельных
сил определяются выражениями
Фиг. 70.
где Xj,yt. г,—-координаты точек приложения сил.
Выражения PtXi, P^y^ Ppi называются ста-
тическими моментами силы Р,- относительно
плоскостей yz, zx и ху.

ГЛ. I]
СТАТИКА
19
Центр тяжести. Разобьём тело на элемен-
тарные частицы с массами dm и приложим к
ним параллельные силы, по величине пропор-
циональные dm и направленные в одну сторо-
ну. Центр такой системы параллельных сил
называется центром масс или центром
тяжести тела (силы тяжести, приложен-
ные к dm, практически параллельны и пропор-
циональны dm).
Координаты xq, yo, zq центра тяжести тела
равны
j х dm \ydm [zdm
хо = ~м~' Уо = ~лГ' zo = ~~M~'
где х, у, z — координаты массы dm, a M —
масса тела. Интегралы берутся по всему объёму
тела.
Выражения xdm, у dm, zdm называются ста-
тическими моментами массы dm от-
носительно плоскостей yz, zx, xy; выражения
\ х dm, \y dm, \zdm—статическими
моментами всего тела относительно
плоскостей yz, zx, xy.
Если тело однородно с плотностью р, то
dm = p d V, М = р V, где d V и V— соответ-
ственно объёмы масс dm и М; координаты
центра тяжести тела равны
[xdV \ у dV [ zdV
л0 " у ' JO у » *O V '
Аналогично для поверхности
j xdF \ydF
zdP
где dF и F — элемент поверхности и площадь
поверхности; для линии
Г xdS
xo=L~s—
[ydS
Уо=—§-
где dS и 5 — элемент линии и длина линии.
Центром тяжести объёма, площади или линии
называется центр тяжести массы, равномерно
заполняющей объём, поверхность или линию.
Для плоской поверхности или линии центр
тяжести лежит в их плоскости. Координаты
центра тяжести площади
( xdt
У о
[ xdS [ydS
xo- s . Уо- —s~-
Выражения j x dF, §ydF для площади и
xdS, ^ydS для линии называются стати-
ческими моментами соответственно от-
носительно осей у и х плоской площади и
плоской линии.
Теоремы Гульден а-П а п п у с а
1. Площадь поверхности, полученная враще-
нием плоской линии около оси, лежащей в
её плоскости, но её не пересекающей, равна
длине этой линии, умноженной на длину ок-
ружности, описанной центром тяжести этой
линии.
2. Объём тела вращения, полученного от
вращения плоской фигуры около оси, лежа-
щей в плоскости этой фигуры, но её не пере-
секающей, равен произведению площади этой
фигуры на длину окружности, описанной цен-
тром тяжести этой фигуры.
Методы нахождения центра тяжести.
Если однородное тело имеет центр, плоскость
или ось симметрии, то центр тяжести этого
тела лежит в соответствующих элементах сим-
метрии. Координаты х0, уо, zq центра тяжести
нескольких тел с масссами Mv М2, . • •, Мп
равны
л°-~ё^Р У*-~ШГ' '°~"s^T'.
где x-v уf, zt — координаты центров тяжести
отдельных тел.
Этим правилом пользуются тогда, когда
тело можно разбить на части, центры тяжести
которых легко определить.
Если тело имеет полости, то их можно счи-
тать дважды заполненными положительной и
отрицательной массами аналогично для объё-
мов, площадей и линий).
Для определения центра тяжести плоской
фигуры опытным путём фигуру подвешивают
ло очереди за две различные точки А и В.
Центр тяжести фигуры находится в точке
пересечения отвесов, проходящих через точки
А и В.
Графическое определение центра тяже-
сти плоской фигуры. Фигура разбивается на
части, для которых положение центров тяже-
сти известно точно или приближённо (фиг. 71).
К центрам тяжести частей прикладывают си-
стему параллельных сил 1, 2, 3, по величине
пропорциональных площадям частей. Для сил
1,2, 3 строится силовой многоугольник
(фиг. 71, б) и верёвочный многоугольник
(фиг. 71, а) (см. графостатику). Центр тяжести
фигуры лежит на прямой, параллельной силам
и проходящей через точку А пересечения пер-
вого а и последнего Ь лучей верёвочного
многоугольника. Далее силы поворачиваются
на один и тот же угол, и строится новый ве-
рёвочный многоугольник. Центр тяжести О
есть точка пересечения прямых, проходящих
через точки А и А'.
Если силы повёрнуты на 90°, то стороны
у.', $\ y' и &' будут перпендикулярны соответ-
ственно сторонам я, C, у и 8. Это замечание
облегчает построение второго силового много-
угольника.
Для фигур, имеющих ось симметрии, доста-
точно строить один силовой многоугольник,
так как центр тяжести фигуры расположен на
оси симметрии.
Центры тяжести линий, поверхностей и
тел. Центр тяжести обозначен буквой 5.

20
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. I
Таблице 1
Периметр треугольника. Ак, В„ С, — середины сторон
о, b, c.S находится в центре круга, вписанного в треугольник А^В^у
Расстояние центра тяжести от стороны треугольника а
S-4
(Ь+с)
где ha — высота, соответствующая стороне а
Периметр параллелограма. S находится в точке пере-
сечения диагоналей
Дуга круга.
Расстояние S от центра круга
180°/- ¦ sina _t(t'
/,U-
при а0 = &0 л?5 = 0,6366л;
а0 =45° ^5 = О.9ООЗг;
а' = 30° xs = 0,9549/-;
' 2
при а0 < 45° приближённо можно принимать д:^ " ~sh (ошибки меньше 1°/0)
Площадь треугольника. S находится на пересечении ме-
диан. Расстояние S до середины одной из сторон равно одной трети ме-
дианы этой стороны. Если ЛГ], уи гх\ хй, у3, z3; x3, y3, zs — координаты
вершин треугольника, то координаты его центра тяжести
Tr1
Площадь параллелограма. 5 находится на пересечении
диагоналей
Площадь трапеции. 5 находится на прямой, соединяющей
середины М и N параллельных сторон. Расстояния ha и hf, равны
\М В
h - h ±
а~Т ' a
2а+ Ь
а-\-Ь
Графическое построение:
а) На продолжениях параллельных сторон откладывают отрезки
ВЕ=а и CF=- Ь (фиг. a); EF пересекает MN в точке S.
б) Разлагают трапецию на два треугольника (фиг. Ь), имеющих центры
тяжести в 5, и 5,. Прямая S,Si пересекает MN в точке 5
Площадь четырёхугольника. Четырёхугольник делится
одной диагональю на два треугольника с центрами тяжести в St и
S3 и другой диагональю на два треугольника с центрами тяжести в S3
и 54. 5 находится в точке пересечения прямых S,S3 и S3St

ГЛ. I]
СТАТИКА
21
Продолжение табл. 1
Круговой сектор. Расстояние 5 от центра О
J!_ г sin a
Т' а
:38,2
г sin e r*t
где F — площадь сектора, а а — угол в радианах
Круговой сегмент. Расстояние S от центра О
t3 2 г3 sin3 о _ 4 г sin'«
XS~W~F=*H F =~3~* 2a— sin* a '
| где а — угол в радианах, я F — площадь сегмента
Площадь части кругового кольца. Расстояние 5 от
центра О
2 /У — г3 sin а /?3 — г3 sin «
*5 ~~ Т " В*-г* ' ~~? 38>2 /?_г« ' "Г3" '
где а — угол в радианах
Эллиптический сегмент. Центр тяжести 5 сегмента ABC,
отсекаемого хордой, параллельной большой оси, совпадает с центром
тяжести сегмента А'В'С, отсекаемого той же хордой от вписанного
круга. Центр тяжести 5, сегмента Л^С, эллипса совпадает с центром
тяжести сегмента A\B\QX круга
Площади, ограниченные параболой,
для S,
3 3 .
для 5,
% 10 S3
Сферическая поверхность шарового пояса
(в частности сегмента)
5 находится на середине высоты
1
Боковая поверхность правильной пирамиды и
прямого конуса. 5 лежит на отрезке, соединяющем вершину с
центром тяжести основания, на расстоянии от основания, равном одной
трети длины этого отрезка

22
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. 1
Продолжение табл. 1
Боковая поверхность прямого усечённого ко-
нуса. Расстояние 5 от большего основания
х _А
S~ 3 R+r'
где R и г — радиусы большего и меньшего оснований; h — высота
Объём призмы и цилиндра с параллельными ос-
нованиями. 5 находится в середине линии, соединяющей центры
тяжести оснований
Объём наклонно усечённого прямого круглого
цилиндра: ху — плоскость симметрии, h — длина оси, а — угол на
клона сечения к плоскости основания, т — радиус основания
Л /¦' • tg3 a
XS = T + %Ъ~ ''
г* ¦ \g а
4Л
Объём цилиндрической подковы
__3_ 3
XS ~ Щ*'Н' yS " 32
Для цилиндрической поверхности сплошной под-
ковы
1
xs~TkR'
1
Для объёма полой подковы
XS " 1б~ К (i?s Г Лз):
yS *
S * 32 к (Я» — й3)
Объём пирамиды и конуса. S находится на отрезке, со-
единяющем вершину с центром тяжести основания на расстоянии от
основания, равном одной четверти длины этого отрезка
Объём усечённой пирамиды. Л и S — площади парал-
лельных оснований; h — высота. Расстояние центра тяжести от основа-
ния А
_ h t j^ + 2 УА8 + ЗВ
5 4 a + VJb + b

ГЛ. Ц
СТАТИКА
23
Продолжение табл. 1
Объём усечённого кругового конуса.
ft и г— радиусы параллельных оснований; Л —высота.
Расстояние центра тяжести от основания радиуса R
+ 2Rr
+ г*
Объём обелиска. Расстояние центра тяжести
от основания аЪ
h ab 4- abj
rS = T '
Объём клина. Расстояние центра тяжести от
основания
ft a + а,
S 2 2a + a,
Объём шарового сегмента
3 Bг — ЛJ
4 (Зг - й) '
Для полушара
5 = 4 (Зг - К)
rS= XS
Объём полого полушара. Расстояние центра
тяжести от экваториальной плоскости
3 R* - г*
S 8 R3 - г» '
где /? и г — соответственно наружный и внутренний
радиусы
Объём шарового сектора
Расстояние центра тяжести от центра шара
где h — высота сегмента
Объём параболоида вращения. 5 нахо-
дится на оси вращения на расстоянии одной трети высоты
от основания
Объём трёхосного эллипсоида. Если а
b, с — полуоси, то координаты центра тяжести октанта
(восьмая часть)
3 3 Я

24
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. !
Работа. Мощность. Потенциальная
энергия
Работа силы. Работой постоянной силы Р,
приложенной к точке М, при перемещении
точки М по прямолинейному пути (фиг. 72)
называется про-
изведение проек-
ции силы на на-
- <^— правление пути
°> на длину переме-
Фиг. 72. щения BBj.
-п
Работа А = ВВХ-Р-cos (BB1( P).
Если сила направлена по направлению пере-
мещения, то работа положительна и равна
А = ВВ\-Р\ если сила направлена в прямо
противоположную перемещению сторону, то
работа отрицательна и равна А — —ВВ^-Р.
Если угол между направлением силы и пере-
мещения острый, то работа положительна; если
этот угол тупой, то работа отрицательна, и
если этот угол прямой, то работа равна нулю.
При элементарном перемещении ММ' точки
(фиг. 73) элементарная работа силы Р ДЛ —
= ММ''P-cos (Р,ММ'), или в проекциях
на оси координат А А = X dx -f- Y dy ~f- Z dz,
где X, Y, Z — проекции
силы, a dx, dy, dz —
проекции перемещения
точки M.
Работа силы Р на пути
от С до В
в
Фиг. 73.
А = \{Xdx +
С
+ Zdz),
где интеграл берётся вдоль всего пути СВ.
При графическом изображении работы
(фиг. 74) по оси абсцисс откладывается рас-
Фиг. 74.
стояние S, а по оси ординат — проекция Pv
силы Р на направление скорости точки при-
ложения силы Р.
Работа силы Р на пути от S\ до S2 равна
величине площади S\S2DC, разделённой на
произведение nsnPv, где ns и пр —длины
масштабов 5 и Pv.
Мощность. Мощностью N в момент вре-
мени t называется предел отношения работы,
произведённой за промежуток времени At, к
этому промежутку времени при At, стремя-
щемся к нулю:
dt
dt
dt
где v
N = P-v-cos (P,v),
скорость точки.
Если мощность постоянна, то она равна
работе А за любой промежуток времени от
?, до *а, делённой на этот промежуток времени,
т. е.
Л/= А
*¦-*. '
Отношение мощности N& расходуемой на
преодоление полезных сопротивлений в ма-
шине, к мощности N, расходуемой на приве-
дение машины в движение, называется к о э ф и-
циентом полезного действия ма-
шины*
Потенциальная энергия. Если силы, дей-
ствующие на некоторую систему, таковы, что
их работа при перемещении системы из одного
положения в любое другое положение не за-
висит от способа перемещения, а зависит
только от начального и конечного положений
системы, то функция (/ (qlt q2, ..., qn), где
qh q2, ..., qn — параметры, определяющие
положение системы, равная работе этих сил
при перемещении системы из начального поло-
жения Sq в любое другое положение S, назы-
вается силовой функцией сил, действую-
щих на систему. Функция П (qb q^, ¦¦., qa)*
равная П = — U, называется потенциаль-
ной функци ей, или силовым потен-
циалом. Силы, обладающие вышеуказанным
свойством, называются силами, имеющими
потенциал.
Если силы, действующие на систему, имеют
потенциал, то система имеет потенциальную
энергию.
Потенциальной энергией системы
в некотором положении S называется работа
приложенных к ней сил при перемещении си-
стемы из положения 5 в некоторое фиксиро-
ванное положение So. Потенциальная энергия
системы измеряется потенциальной функцией
Я (<7i, q2. • ¦ •. Яп)-
Если сила Р, действующая на точку, обла-
дает потенциалом, то силовая функция для
силы Р
s
U {x,y, z) = \{X dx +Ydy f Z dz).
i
Проекции силы Р будут
X— —
dx
dy ' ^ dz
Сила, имеющая потенциал, зависит только от
координат точки.
Потенциальная энергия точки с массой т.
находящейся в поле сил тяжести, (
П (х, у, z) = m-g-z,
где g— ускорение свободного падения, г —
координата точки вдоль оси, направленной
вертикально вверх.
Потенциальная энергия тяжёлого тела
n=Gz,
где G — вес тела, г — координата его центра
тяжести (ось г направлена вертикально вверх).
Принцип возможных перемещений. Воз
можным перемещением тела или си-
стемы тел называется всякое бесконечно малое
перемещение тела или системы тел, допускае

гл.
СТАТИКА
25
мое связями. Перемещение называется осво-
бождающим, если система при этом пере-
мещении освобождается от некоторых связей;
если система не освобождается от связей, пе-
ремещение называется неосвобожда ro-
ut и м.
Связи называются идеальными, если при
всяком возможном перемещении системы ра-
бота реакций связей равна нулю.
Принцип возможных перемеще-
ний: если система с идеальными связями
находится в равновесии, то при всяком её
возможном перемещении работа всех при-
ложенных к ней активных сил равна нулю
для неосвобождающихперемещений и меньше
нуля—для освобождающих перемещений, т»,е.
если Р,— активные силы, a or/—возможные
перемещения точек приложения сил, то в слу-
чае равновесия системы
(а)
Условие (а) в проекциях на оси координат
2 № bXi + Yilyi + Zt8:,)<0, (а')
где Xt, Yi, Zi—проекции активных сил, Ьх{,
lyh Ьг{ — проекции перемещений точек при-
ложения этих сил.
Условия (а) или (а'), рассматриваемые со
знаком равенства, называются уравнениями
возможных работ.
Для системы с п степенями свободы можно
составить, исходя из условий (а) или (а'), по
числу параметров qb q3,..., qn, определяющих
положение системы, п условий равновесия, из
которых можно определить значение параме-
тров qu q2 qn.
При составлении уравнений возможных ра-
бот перемещения рассматриваются неосвобож-
дающими. В предполагаемом положении равно-
весия системы выполнение неравенств (а) или
(а') проверяется для освобождающих переме-
щений (если такие имеются).
Из уравнений возможных работ можно опре-
делить реакции связей, действующие на системы,
находящиеся в равновесии. Для этого система
освобождается от некоторых связей, реакции
которых заменяются активными силами; соста-
вляются уравнения .возможных работ для пере-
мещений, допускаемых оставшимися связями;
но этим уравнениям определяются реакции
связей (в частности, усилия между отдельными
телами системы).
Если активные силы, действующие на си-
стему, имеют потенциал, то в положении рав-
новесия системы
дП
дп
дп
где П (qlt q*,,..., qa) — потенциальная энергия
системы, обусловленная внешними силами.
Если в положении равновесия потенциальная
энергия имеет минимум — равновесие устойчи-
вое, максимум — равновесие неустойчивое; если
потенциальная энергия постоянна, то равновесие
безразличное.
Для тяжёлого тела /7 = Gz, где G — вес
тела, z — координата центра тяжести (ось z на-
правлена вертикально вверх). Равновесие тела
будет устойчивым при наинизшем положении
центра тяжести.
Графостатика
Многоугольник сил и верёвочный много-
угольник. Графическое условие равновесия
плоской системы сил. Если от точки А отло-
жить последовательно силы /, 2,3 и 4 плоской
системы сил /, 2, 3, 4
(фиг. 75, а), то получится
многоугольник ABCDE
(фиг. 75, б), который назы-
вается многоугольни-
ком сил 1, 2, 3, 4.
Если для сходящейся си-
стемы сил многоугольник
сил замкнут, то она нахо-
дится в равновесии.
На фиг. 76, б изображён ,
многоугольник сил фиг. а>
76, а. Точка О называется
полюсом (полюс — про-
извольная точка). Прямые
а, 12, 23 и со, соединяющие вершины много-
угольника сил с полюсом, называются л у-
ч а м и многоугольника сил.
Проведём через точку k (произвольная точка
прямой действия силы /) лучи а и 12, парал-
лельные одноимённым лучам многоугольника
сил; через точку / пересечения луча 12 с пря-
Фиг. 75.
Фиг. 76
мой действия силы 2 проведём луч 23, парал-
лельный лучу 23 многоугольника сил до пере-
сечения с прямой действия силы 3 и, наконец,
через точку т проведём аналогично луч <о.
Полученный таким построением многоугольник
(многоугольник, образованный лучами а, 12, 23
С ¦
Фиг. 77.
и ш) называется верёвочным много-
угольником, или многоугольником
Вариньона.
Если многоугольник сил не замкнут, то силы
имеют равнодействующую Р, по величине к
направлению равную замыкающей AD много-
угольника сил (фиг. 76). Точка п пересечения
лучей а и <о фиг. 76, а является точкой при-
ложения равнодействующей;
Если силовой многоугольник замкнут
(фиг. 77, б), а верёвочный многоугольник не
замкнут (фиг. 77, а), то силы /, 2,3 приводятся
к паре сил, направленных по лучам а и ш и по

ОБЩАЯ МЕХАНИКА
(РАЗД. 1
величине равных длинам (измеренным в мас-
штабе сил) лучей а и со фиг. 77, о. Момент этой
пары равен AO-d, где d— расстояние между
лучами а и со фиг. 77, а. Составляющая этой
пары, действующая по лучу а верёвочного
многоугольника, имеет направление вектора АО
фиг. 77, б.
Если многоугольник сил (фиг. 78, б) и верё-
вочный многоугольник (фиг. 78, а) замкнуты,
то силы находятся в равновесии.
Приведённые построения справедливы для
любого числа сил. Нумерация сил произвольна.
Фиг. 78.
Но после того, как силы перенумерованы, по-
строение верёвочного многоугольника начи-
нается с точки, лежащей на прямой действия
силы 1.
Графическое изображение моментов си-
лы. Многоугольник моментов. Угол, образо-
ванный лучами а и со (фиг. 79, а), вершина О кото-
рого расположена справа от силы Р на произ-
вольном расстоянии Л от её линии действия,на-
зывается моментным углом силы Р.
Вершина О называется полюсом, h — по-
люсным расстоянием. Луч а, проходя-
щий через начало силы, называется первым
лучом; луч со, проходящий через конец си-
лы, — вторым лучом.
Параллельным переносом моментного угла
поместим полюс О на линию действия силы Р
(фиг. 79, б). Мо-
мент силы Р от-
носительно про-
извольной точ-
ки М плоско-
сти моментного
угла будет ра-
вен произведе-
нию длины от-
резка АВ, отсе-
каемого лучами
аи со на прямой
t, параллельной силе Р и проходящей через
точку М, на полюсное расстояние /г, т. е.
Мм (Р) = AB-ti. Полюсное расстояние h из-
меряется в масштабе длин; длина отрезка АВ
измеряется в масштабе сил. Отрезок АВ счи-
тается направленным от точки А, лежащей на
первом луче а, к точке В, лежащей на втором
луче со. Длина отрезка АВ берётся со знаком
плюс, если отрезок направлен вниз. При этом
условии момент положителен, если вращение
силы Р вокруг точки /И происходит по часовой
стрелке.
Если для системы параллельных сил 1, 2, 3
(фиг. 80, а) построены силовой многоугольник
(фиг. 80, б) и многоугольник Вариньона
(фиг. 80, а), то лучи а, 12, 23 и со на фиг. 80, а
образуют многоугольник, который называется
многоугольником моментов сил 1,
2, 3. Лучи а и 12 образуют моментный угол
силы 1 с вершиной в точке Л; лучи 12 и
23—моментный угол силы 2 с вершиной
Фиг. 79.
в точке В; лучи 23 и ш — моментный угол
силы 3 с вершиной в точке С.
Сумма моментов сил /, 2, 3 относительно
произвольной точки М равна произведению
полюсного расстояния h (фиг. 80, б) на алге-
браическую сумму длин отрезков Ni^D, DE и
ЕМ-2, отсекаемых лучами моментных углов сил /,
2, 3 на прямой t, проходящей через точку М
и параллельной силам. Эта сумма моментов
равна также произведению полюсного расстоя-
ния h на длину отрезка MjM2, отсекаемого на
прямой t первым и последним лучом много-
угольника моментов. Длина отрезка ЩЩ
положительна, если отрезок направлен вниз.
Отрезки прямой t измеряются в масштабе
сил, полюсное расстояние — в масштабе длин.
Фиг
Приведённое построение справедливо для
любого числа параллельных сил, направленных
в одну или в разные стороны.
Если многоугольник сил и многоугольник-
моментов замкнуты (лучи о и со совпадают), то
силы находятся в равновесии. Если многоуголь-
ник сил замкнут, а многоугольник моментов
не замкнут (лучи а и со параллельны), то силы
приводятся к паре.
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Основные положения
Материальная точка. Материальной
точкой называется геометрическая точка,
которой приписывается некоторая масса.
Понятие материальной точки вводится в том
случае, когда движение материальной частицы
или тела достаточно рассматривать, как дви-
жение точки.
Сила. Воздействие тела А на тело В, резуль-
татом которого является получение телом В
ускорения, называется силой. Если на тело В
действует несколько тел, то каждое из них
сообщает телу В ускорение такое, как если бы
оно одно действовало на тело В. Если несколько
тел сообщают телу В ускорения, геометриче-
ская сумма которых равна нулю, то тело В
находится в равновесии.
Сила имеет величину, направление и точку
приложения; изображается вектором (см.
стр. 14).
Масса. Действие одной и той же силы на
разные тела различно вследствие того, что
тела в отношении такого воздействия обла-
дают различным качеством. Это качество
называется инертностью тел.
Массой тела называется мера его инерт-
ности.

ГЛ. I]
ДИНАМИКА ТОЧКИ
27
Закон инерции A-й закон Ньютона). Мате-
риальная точка, если на неё не действуют
силы, находится в покое или в состоянии
прямолинейного и равномерного движения
(закон инерции).
Движение точки можно рассматривать толь-
ко по отношению некоторого тела, или по отно-
шению системы координат, неизменно связанной
с этим телом. Закон инерции действителен не
во всех системах координат (см. стр. 31). Си-
стемы координат, в которых действителен закон
инерции, называются инерциальными
системами координат. Те системы
координат, в которых закон инерции не дей-
ствителен, называются неинерциальными
системами координат.
Систему координат, связанную с Землёй,
можно рассматривать, как инерциальную толь-
ко с известным приближением. Система коор-
динат, связанная с неподвижными звёздами,
является инерциальной с той степенью точно-
сти, которая доступна современным измерениям.
Основной закон динамики B-й закон Нью-
тона). Ускорение, которое сообщает сила
точке, по величине равно величине силщ-де-
лённой на массу точки, и по направлению
совпадает с направлением силы, т. е.
__ _р
т '
ИЛИ
та = Р,
где а— ускорение, т — масса, Р — сила.
Основной закон динамики действителен толь-
ко в инерциальных системах координат (см.
выше). В неинерциальных системах коор-
динат основной закон динамики выполняется
тогда, когда к обычным силам (силы взаимо-
действия между материальными телами) приба-
вляются силы инерции.'
Закон независимости действия сил. Если
на материальную точку действует одновре-
менно несколько сил, то ускорение этой точ-
ка равно геометрической сумме ускорений,
которые точка получает при действии ка-
ждой силы в отдельности, т. е.
а = aj + а2 + Ь а„,
где аа, а2,..., ал — ускорения, сообщаемые точ-
ке силами Рь Ра,..., Р„ в отдельности. По
основному закону динамики
Закон равенства действия и противодей-
ствия C-й закон Ньютона). Силы, с которы-
ми действуют друг на друга две материаль-
ные точки, равны между собой по величине
и направлены в противоположные стороны.
Закон всемирного тяготения. Две матери-
альные точки притягивают друг друга сила-
ми, по величине прямо пропорциональными
произведению их масс и обратно пропорци-
ональными квадрату расстояния между
ними:
' = f—
где г — расстояние между точками, а / — коэ-
фициент пропорциональности, который назы-
вается гравитационной постоянной. В системе
CGS
/=6,66-1(Г8
Прямолинейное движение точки
Диференциальное уравнение прямоли-
нейного движения точки. При прямолинейном
движении материальной точки все силы, дей-
ствующие на точку, приводятся к одной силе,
направленной вдоль прямой, по которой точка
движется.
В общем случае движения сила зависит от
времени, от положения точки на прямой и от
скорости движения. Если т — масса точки, 5 —
её координата на оси движения, X(tt S, -~j-) —
сила, действующая на точку, то по основно-
му закону динамики
dS
dt
Общее решение этого уравнения 5 —
= 5 (t, Сь С2) содержит две постоянные Сх и С2,
которые определяются по значениям расстоя-
ния Sq и скорости точки vG при t = t0 из урав-
нений
•So — 5 (/д. Clt С2);
dS{t,C,,Ca) I
— dt \t = ta.
Количество движения. Импульс силы.
Закон количества движения. Количеством
движения материальной точки называется про-
изведение её массы на скорость, т. е. mv.
Элементарным импульсом силы
за промежуток времени dt называется произ-
ведение силы на этот промежуток времени,
т. е. Xdt.
Импульсом силы за конечный
промежуток времени от tx до /2 на-
зывается сумма её элементарных импульсов
за этот промежуток времени, т. е. \ X dt.
/,
Закон количества движения: ди-
ференциал количества движения точки ра-
вен элементарному импульсу действующей
на неё силы:
d(mv) = Xdt.
За конечный промежуток време-
н и: изменение количества движения точки
за промежуток времени от ^ до t2 равно
импульсу действующей на неё силы за тот
же промежуток времени:
и
mv2— mv\ = \ X dt,
•i
где V\ и и2 — скорости точки в моменты вре-
мени tx и t2.
Живая сила. Закон живых сил. Закон
сохранения энергии. Живой силой или кине-
тической энергией точки называется произве-
дение её массы на половину квадрата скоро-
сти, т. е. т. —о~-
Закон живой силы: диференциал
живой силы точки за время dt равен элемен-
тарной работе приложенной к ней силы
за тот же промежуток времена:
где dS — перемещение точки за время dt.

28
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. 1
В конечной форме: изменение живой силы
точки за промежуток времени от tx до t2
равно работе приложенной к точке силы
за тот же промежуток времени:
где индексы 1 и 2 относятся к моментам вре-
мени I] И t2.
Если сила имеет потенциал, то по закону
живых сил
где /7 — потенциальная энергия точки и индек-
сы 1 и 2 относятся к двум произвольным мо-
ментам времени.
Сумма кинетической и потенциальной энер-
гий точки называется её полной механической
энергией. При движении точки под действием
потенциальной силы справедлив закон сохра-
нения механической энергии.
Если сила зависит только от расстояния, то
она имеет потенциал и её силовая функция
5
. U(S)= \X(S)dS,
где So — фиксированная точка.
Криволинейное движение точки
Движение свободной точки*
Диференциальные уравнения свобод-
ного движения точки
d?x у I, dx dy dz \
dt* \ ' ' У' ' dt ' dt ' dt i '
dt ' dt ' dt
dx dy dz
dt ' dt
dt
)¦
где t — время, m — масса точки, х, у, г — её
прямоугольные координаты, X, Y, Z— сумма
проекций на оси координат всех действующих
на точку сил,. которые в общем случае явля-
ются функциями времени, координат точки и
о dx dy dz
её скоростей-r,^f,4f.
Общий интеграл уравнений дви-
жения
X = X (t, С], С2, С8, С4, С5, С6),
У=У(*,сг, с2, с3, с4, с5, с6),
z = z(t, clt с2, с3, с4, с5, с6)
содержит шесть постоянных с1г с2, с3, c,4 c5> c6t
которые определяются по значениям координат
*о. Уо> го точки и проекций на оси координат
vox> Щу> Щг её скорости в начальный момент
времени t0 из уравнений
х0 = х (t0, cv с2, с3, с4, сь, с6);
Уо = .У('о. cv c2, сь,с4, сь, с6);
г0 = z (/„, clt с2, с3, с4, сь, с6);
дх (/._с„ са, с3, сА, с„ ct)
1-*ы \
vox
dt
„ — дУ ('• с" с» сз. С4, С5, Са)
v0y — Jf - ¦ -
_ dz (t, clt ca, cs, cit c6, cb)
v0
(a)
dt
Пример. Рассмотрим движение точки с массой т
в поле сил тяжести. Ось Ог направлена вертикально
вверх
d*x
О, т
(Pi
dt'
- mg,
где g — ускорение свободного падения.
Интегралы этих уравнений
х = с,/ -f- cv у — сг t -f q,
В начальный момент времени /0 = 0 точка находилась
в начале координат и скорость v0 точки была распо-
ложена в плоскости xOz под углом а к горизонту, т. е.
V г — V • COS о, V v = О, V ,= V • Sin а.
Составляя уравнения (а) и решая их, находим
откуда
с6 = t>0-sin а, сь = О,
.vo-t-cos а, .у = 0, ? = wo
— gts.
Траектория точки—парабола, расположенная в пло-
скости хОг с осью, параллельной оси Ог.
Количество движения точки. Импульс
силы. Закон количества движения. Коли
чеством движения материальной
точки называется вектор, равный произведе-
нию массы точки на её скорость, т. е. т\\ его
проекции на оси координат
mvx, mvv, mvz,
где Vj(, Vy, vz — проекции скорости.
Элементарным импульсом силы
Р за промежуток времени dt называется
вектор, равный произведению силы на про-
межуток времени, т. е. Pdt.
Проекции элементарного импульса силы на
оси координат
X dt, Ydt, Zdt,
где X, Y, Z — проекции силы.
Импульсом силы за промежуток времени от
tx до /2 называется геометрическая сумма её
элементарных импульсов за этот промежуток
B
Р di; его проекции на оси коор-
динат
Udt, frdt, \zdt.
• Точка называется свободной, если её движение не
стеснено никакими связями.
Закон количества движения: ди-
ференциал количества движенич точки за

ГЛ. I]
ДИНАМИКА ТОЧКИ
29
промежуток времени dt равен элементар-
ному импульсу за тот же промежуток
времени всех действующих на точку сил:
d (mv) = РЛ
или в проекциях на оси координат
d (tnvx) = Xdt, d (mvy) — Y dt, d (mvz) — Z dt,
где Р — равнодействующая всех действующих
на точку сил, а X, К, Z—проекции равнодей-
ствующей на оси координат.
Закон количества движения в
конечной форме: изменение количества
движения точки за промежуток времени
tx до t2 равно импульсу всех действующих
на точку сил за тот же промежуток вре-
мени:
/rav
— mVi = J P dt,
t
где Vj и v2 — скорости точки в моменты вре-
мени tx и t%.
В проекциях на оси координат
г"
= J X dt,
= j Ydt,
j Ydt, mviz~mvlz = \ Z dt.
Момент количества движения точки.
Закон моментов количества движения. За-
кон площадей. Моментом количества
движения Mo (wv) точки М относительно
центра О (фиг. 81) называется момент вектора
её количества движения т\ относительно
этого центра. Момент количества движе-
ния точки — вектор величиной |/W0(/nv)| =
- OM-mv-sin (OM.mv).
Момент количества
движения направлен
перпендикулярно пло-
ОМ
Мотп
Фиг, Я.
скости векторов
и от v так, чтобы, смо-
тря вдоль него, видеть
вращение вектора ОМ
на наименьший угол
до его совпадения с
вектором т v, совер-
шающимся по часовой стрелке.
Проекция на ось а момента количества дви-
жения точки относительно произвольной точки
оси а называется моментом количе-
ства движения точки относи-
тельно этой оси М%{т\).
Проекции момента количества движения
точки относительно начала координат на оси
координат (моменты количества дви-
жения относительно осей коорди-
н а т):
AlOl(«v) = «(*-?-,?),
где х, у, z — координаты точки.
Закон моментов количества
движения точки: производная по време-
ни момента количества движения точки
относительно некоторого центра О равна
сумме моментов всех сил, действующих на
точку, относительно того же центра,
где Р — равнодействующая всех сил, действую-
щих на точку.
Закон моментов количества движения в
проекциях на оси координат с началом в
точке О:
dx
dz
а
(а)
где X, У, Z — проекции равнодействующей
всех сил, действующих на точку, на оси коор-
динат.
Если момент силы, действующей на точку,
относительно некоторого центра О равен нулю
во всё время движения, то момент количества
движения точки относительно того же центра
постоянен по величине и направлению.
Траектория точки в этом случае располо-
жена в плоскости, перпендикулярной вектору
момента количества движения. В системе ко-
ординат хОу, расположенной в плоскости дви-
жения точки,
Tt y~dT! -c-
Выражение [ x — —у ~^-) равно удвоенной
секториальной скорости -тт- точки. Поэтому
Оп dF
Zm-n- = с. {6)
Интегрируя уравнение (б) при условии F = О
при t = 0, получаем
F- c t
т. е. площадь, описываемая радиусом-векто-
ром ОМ (фиг. 82), пропорциональна времени
(закон площадей).
Если момент силы, действующей на точку,
относительно некоторой оси, равен нулю во
всё время движения, то
проекция точки на пло-
скость, перпендикуляр-
ную этой оси, движется
по закону площадей.
Живая сила. Закон
живых сил. Закон со-
хранения энергии. Ж и-
вой си л ой, или ки-
нетической энер-
гией Т материальной точки, назы-
вается произведение её массы на половину
квадрата скорости:
— m 2 •
Закон живых сил: диференциалживой
силы точки за промежуток времени dt равен
Фиг. 82.

ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. I
элементарной работе всех действующих на
точку сил за этот промежуток времени:
d (m v~) = Xdx + Ydy + Zdz,
где X, Y, Z' — проекции равнодействующей
сил, действующих на точку, на оси координат,
dx, dv, dz — проекции перемещения точки.
Закон живой силы в конечной
форме: изменение живой силы точки за
промежуток времени от tt до t2 равно ра-
боте всех действующих на точку сил за
тот оке промежуток времени:
и
-Ц- = §(Xdx + Ydy + Zdz),
где vx и f2 — скорости точки в моменты вре-
мени /] и t2-
Если силы, действующие на точку, имеют
потенциал, то по закону живых сил
где Пх и Я3 — значения потенциальной энергии
точки в моменты времени ?, и /г.
Сумма кинетической и потенциальной энер-
гий точки называется её полной механической
энергией. Таким образом при движении точки
под действием силы, имеющей потенциал, её
полная механическая энергия остаётся постоян-
ной (закон сохранения энергии).
Движение несвободной точки*
Закон живых сил для несвободной точки.
Если точка движется по гладкой (без трения)
поверхности или линии, то работа силы реак-
ции связи равна нулю. Закон живых сил в
этом случае будет: диференциал живой
силы точки за промежуток времени dt
равен элементарной работе всех активных
сил, действующих на точку, за тот же
промежуток времени, т. е.
d ( ^f) = X dx 4- Ydy 4- Zdz,
где X, Y, Z — проекции равнодействующей
активных сил.
Если активные силы имеют потенциал, то
по закону сохранения механической энергии
т 3- + Я (л-ь уь *,)=
П (X,, у2, г,),
где П (х, у, г) — потенциальная энергия
точки, и индексы 1 и 2 относятся к двум произ-
вольным моментам времени.
Принцип Даламбера. Силой инерции
материальной точки называется сила, равная
произведению со знаком
минус массы т точки на
её ускорение а, т. е.
— та. Эта сила к самой
точке не приложена, а
является геометрической
суммой сил, действую-
щих со стороны точки
на те тела, с которыми
она взаимодействует при
своём движении. Напри-
Фиг. 83.
мер, если точка с массой т, привязанная к нити,
вращается около центра О с постоянной угло-
вой скоростью ш, то её ускорение а по вели-
чине равно ш"г и направлено к центру О
(фиг. 83). Сила инерции — та приложена к нити
и направлена от центра О. Сила инерции
в рассмотренном примере называется центро-
бежной силой инерции Р:
Р = т «о» г =
9'H
тг,
где v — линейная скорость точки, а л — число
оборотов в минуту.
Принцип Даламбера: если силу
инерции точки считать условно приложен-
ной к самой точке, то активные силы Р
(Р —равнодействующая активных сил),
действующие на точку, сила реакции свя-
зей R и сила инерции точки — та. находятся
в равновесии:
Р 4- R — гпъ. = О,
и, следовательно, к этим силам применимы
законы равновесия сил, пересекающихся в
одной точке.
Принципом Даламбера удобно пользоваться
при решении задач, связанных с движением
несвободной точки.
Пример. Точка А с массой т, подвешенная на нити
в точке О (фиг. 84), описывает горизонтальную окруж-
ность (конический маятник).
Определить скорость v точки и
натяжение Т нити. Маятник откло-
няется от вертикали на угол а;
длина нити О А = /.
На точку действуют две силы:
вес Р = mg и натяжение нити Т.
Её сила инерции:
V
m —г-.—- .
/ sin о.
Проектируем на оси координат
все силы, действующие на точку,
и силу инерции:
— Т sin a = О,
I sin a
Т cos а - mg = 0.
Решая эти уравнения, получаем
Т = —— , v = sin а 1/ ^—
Движение точки по кривой. При дви-
жении точки по кривой линии уравнение
P + R — /яа = 0 (см.
выше) преобразуется
в уравнения проекций
на касательную i,
главную нормаль п
и на бинормаль Ь
траектории (фиг. 85),
что даёт (для случая
гладкой кривой)
Фиг. 85.
dv
m — = РП -f- Rn;
* Точка называется несвободной, если она вынужде-
на двигаться по поверхности или линии.
где р — радиус первой кривизны траектории.

ГЛ. I]
ДИНАМИКА ТОЧКИ
31
Из первого уравнения (принимая во внима-
ние, что ^- — ^. где 5 —длина дуги) опре-
деляется закон движения точки, из второго и
третьего — проекции реакции R на нормаль и
бинормаль.
Математическим маятником на-
зывается материальная точка, движущаяся по
дуге окружности под дей-
ствием силы тяжести.
Рассмотрим случай,
когда окружность рас-
положена в вертикальной
плоскости (фиг. 86): т —
масса точки, ОМ = 1 —
длина маятника, ? — угол
отклонения маятника от
вертикали. Составляем
уравнения (а):
Фиг. 86.
ml [¦?} = — mscos т + R-
(i)
B)
Так как маятник плоский и сила тяжести
расположена в его плоскости, то из третьего
уравнения получаем Яъ = 0.
Если угол ср мал (случай малых колебаний),
то sin cp ^ cp, cos <p si 1, и уравнения A) и B)
принимают вид:
dt*
A')
Величина реакции поверхности
Относительное движение точки
Силы инерции в системах координат,
обладающих ускорением. Диференциаль-
ное уравнение относительного движения
точки. O'?y)C — инерциальная система коор-
динат и Oxyz — система координат, движу-
щаяся произвольным образом относительно
системы координат O'?y)?. Для точки, движу-
щейся произвольным образом относительно
этих систем координат,
та. = Р,
(а)
где а — ускорение точки относительно системы
координат 0'§y]C, P — равнодействующая всех
действующих на точку сил. По теореме сло-
жения ускорений
где an, a0 и ак — переносное, относительное и
поворотное ускорения точки. Внеся выраже-
ние а в уравнение (а), получим
тл,- = Р — т&„ — та„
B1
о = р -Ь (—
/иая).
(а')
Интегрируя уравнение (Г), получаем
<р = «р0 cos]/ -у t, где ср0 — отклонение маятника
при t — 0; при этом мы приняли, что начальная
угловая скорость маятника равна нулю, т. е.
что при t = Q -^ =0. Точка совершает гармо-
нические колебания с периодом Т— 2ъу ~-.
Реакция R определяется из уравнения B').
Движение точки по поверхности. При
движении точки по гладкой поверхности,
уравнение которой /(х, у, z) = 0, проекции
реакции поверхности на прямоугольные оси
координат равны
df
ду'
где X — некоторый множитель,
функцией координат.
Уравнения движения точки
сРх
дг
дх
являющийся
ду'
д/
где х, у, z — координаты точки, A', Y, Z— проек-
ции активной силы на оси координат.
Эти уравнения интегрируются совместно
с уравнением связи
f(x,y,z) = 0.
Уравнение (а') называется д и ф е р е н-
циальным уравнением относи-
тельного движения точки.
Члены — тл„ и—та,, называются, соответ-
ственно, силой инерции от перенос-
ного движения и силой инерции
Кориолиса (происходит от наличия дви-
жения точки относительно системы координат
Oxyz и от вращения самой системы координат
Oxyz).
Эти силы инерции появляются только в си-
стемах координат, которые сами обладают
ускорением (наличие ал и вращения) относи-
тельно инерциальных систем координат. Силы
инерции вводятся для того, чтобы сохранить
основной закон динамики в системах коор-
динат, обладающих ускорением. В прежнем
виде, когда учитываются силы, связанные
только с механическим взаимодействием тел
при рассмотрении относительного движения
точки, основной закон динамики недействи-
телен.
Основной закон динамики для относитель-
ного движения после введения сил инерции:
произведение массы точки на её относи-
тельное ускорение равно геометрической
сумме всех сил (как сил, связанных с меха-
ническим взаимодействием тел, так и сил
инерции), действующих на точку.
Если Р = 0, т. е. на точку не действуют
силы, связанные с механическим взаимодей-
ствием тел, она всё же будет двигаться с ус-
корением; в общем, случае — непрямолинейно-
и неравномерно. Таким образом в системах

32
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
(РАЗД. 1
координат, которые сами обладают ускорением,
закон инерции не выполняется (неинерциаль-
яые системы координат).
Земной шар представляет собой систему
координат, обладающую ускорением. При
падении тел с большой высоты наблюдается
отклонение падающих тел от вертикали в на-
правлении к востоку, объясняющееся дей-
ствием сил инерции Кориолиса на падающее
тело. Действием сил инерции Кориолиса объ-
ясняется также известный эффект вращения
плоскости колебания маятника Фуко.
Пример. Если доска, на которой
подвешен маятник с массой т (фиг. 87),
поднимается вверх с ускорением а, то
на маятник действуют сила веса mg
и сила инерции та, направленная вниз.
Сумма этих сил равна tn(g-\-a); по-
этому период колебаний маятника Т —
¦= 2тс I/ . Если доска опускается
Фиг. 87.
с ускорением а, то Т = 1/ • .
У g-a
Если доска свободно падает, то
а = g и Т -• оо, т. е. колебаний маят-
ника не будет.
Закон живых сил для относитель-
ного движения точки: диференциал
живой силы точки равен элементарной ра-
боте сил, приложенных к точке, плюс эле-
ментарная работа силы инерции от пере-
носного движения:
-\-Z dz —
dx — ma dy —
dz.
где dx, dy, dz— проекции перемещения точки
ea оси координат; Л', Y, Z — проекции силы,
— mar
ции от переносного движения.
Вследствие того, что сила инерции Кориоли-
са направлена перпендикулярно относительной
скорости, работа силы инерции Кориолиса
равна нулю.
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
Основные положения
Механическая система. Меха ни ческой
системой материальных точек на-
зывается система, в которой движение каждой
точки зависит от положения и движения
остальных точек. Примером механической си-
стемы может служить твёрдое тело, в котором
расстояние между любыми двумя точками
остаётся неизменным.
Количество движения системы. Закон
количества движения. Закон движения цен-
тра масс. Количеством движения
системы материальных точек с мас-
сами т^, т2, ..., тп называется вектор Q,
равный геометрической сумме количеств дви-
жения всех её точек;
Q =
т2 v2
тп \п.
Количество движения системы равно ко-
личеству движения центра масс системы, если
считать, что в нём сосредоточена масса всех
точек системы, т. е.
Q = /И V*
где \с — скорость центра масс; М — масса
всей системы.
Закон количества движения: гео-
метрическая производная по времени коли-
чества движения системы равна геометриг
ческой сумме всех внешних сил, действую
щих на систему,
dt
или в проекциях на оси координат
dt
!5!
dt
Qxi Qy> Oz — проекции вектора количества дви
жения, Х^ Fv, ZN—проекции внешних сил Р,
Для движения центра масс имеем
или в проекциях
dv,
М
dt
=2*,.
dvr
dt
-s-
dt
М~ =
Таким образом центр масс системы дви-
жется, как материальная точка с массой,
равной массе всей системы, к которой при-
ложены все действующие на систему внешние
силы (закон движения центра масс).
Например, центр тяжести брошенного тела
движется так, как движется свободная мате-
риальная точка в поле сил тяжести, т. е. по
параболе.
Если на систему внешние силы не действуют,
то её центр масс движется прямолинейно и
равномерно.
Пример. Внутренний диаметр трубки d — 200 мм
(фиг. 88), скорость воды в ней v — 10 м/сек. Определить
силу, с которой колено А В, изогнутое под прямым углом,
будет отрываться от фланцев
А и В в горизонтальном на-
правлении.
Изменение за время dt про-
екции на ось лг-ов количества
движения воды, заключённой
в трубе АВ, равно количеству
движения воды, вытекающей
за то же время через сече-
ние АА, т. е.
4
Фиг. 88.
где g — ускорение свободного
падения.
По закону количества движения
- = X.
(¦>
где X — проекция на ось .с-ов силы, действующей н«
воду, заключённую в трубке А В.
Подставляя в уравнение (а) значение dQx найдём
4 - 103 g
= 320 кг.
Искомая сила по величине равна силе X (если пре-
небречь силой давления жидкости в сечении АА) и на-
правлена в прямопротивоположную сторону.

ГЛ. I]
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
33
Момент количества движения системы.
Закон моментов количества движения. За-
кон площадей. Моментом количества
движения системы материальных
точек относительно некоторого
центра О называется вектор Lq, равный
сумме моментов количества движения всех то-
чек системы относительно того же центра
Его проекции на оси прямоугольной системы
координат с началом в центре О (моменты
количества движения системы относительно
осей координат) равны
dz^ dyv
lit
где xv, jyv, zv — координаты точек системы.
Момент количества движения системы отно-
сительно некоторого центра О равен моменту
относительно того же центра количества движе-
ния центра масс системы, в котором сосре-
доточена масса всей системы, плюс момент ко-
личества движения системы относительно цен-
тра масс для её движения относительно подвиж-
ной системы координат (движение относительно
центра масс), имеющей начало в центре масс и
оси, параллельные осям основной системы.
Закон моментов количества дви-
жения: производная по времени момента
количества движения системы относительно
некоторого неподвижного центра О равна
сумме моментов всех внешних сил, действу-
ющих на систему, относительно того же
центра:
В проекциях на оси прямоугольной системы
координат с началом в центре О:
Jf
~df~X-> Ж ) =
т. е. произзодная, по времени момента коли-
чества движения системы относительно оси
равна сумме моментов относительно той же
оси всех внешних сил, действующих на систему.
Для движения системы относительно центра
масс закон моментов количества движения
относительно центра масс выражается так же,
как он выражается для любой неподвижной
точки при движении системы относительно
неподвижной системы координат.
Если момент внешних сил относительно не-
которой оси (например, относительно оси Ог)
постоянно равен нулю, то
Обозначая через —- секториа.льную ско-
рость проекции точки с номером ч на пло-
скость хОу, имеем
dt
= 2-
щ
поэтому
2'"* dt
Интегрируя, получим
^v _ С
т^ —j7~ — ~2~'
при условии, что при t — О 2 тч Л» = 0' т- е-
площади отсчитываются от тех положений
проекций точек, которые они занимали при
Таким образом, если сумма моментов внеш-
них сил, действующих на систему, относи-г
тельно некоторой оси постоянно равна нулю,
то сумма произведений масс точек на соот-
ветствующие площади, описываемые радиу-
сами-векторами проекций этик точек на
плоскость.перпендикулярную оси, изменяется
пропорционально времени (закон пло-
щадей).
Живая сила системы. Закон живых сил
Живой силой или кинетической
энергией системы называется сумма
живых сил всех её точек
^=2 Т m4V4'
Живая сила системы равна живой силе
центра масс, в котором сосредоточена масса
всей системы, плюс живая сила системы при
её движении относительно центра масс.
Закон живых сил: диференциалживой
силы системы за элемент времени dt равен
сумме элементарных работ всех (внутренних
и внешних) сил, действующих на систему:
где X(ve), F1/), Zf> — проекции внешних сил,
Х^\ У[1\ Z^ — проекции внутренних сил.
За конечный промежуток времени: измене-
ние живой силы системы за промежуток
времени от tx до t2 равно работе всех прило-
женных к системе сил за тот же промежу-
ток времени:
Для твёрдого тела работа внутренних сил
равна нулю; поэтому
где С — постоянная.

34
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД.
Если внутренние силы имеют потенциал, то,
обозначая через г№ потенциальную энергию
системы, Обусловленную внутренними силами
(внутренняя потенциальная энер-
гия системы), имеем
где индексы 1 и 2 относятся к моментам
времени tt и t%. Если и внешние силы имеют
потенциал, то полная механическая энергия
системы
fjie)—потенциальная энергия системы, обу-
словленная внешними силами (внешняя
потенциальная энергия системы),
с течением времени не изменяется (за кон
сохранения механической энер-
гии).
Пример. Маховое колесо, вращавшееся с начальной
угловой скоростью, равной 6о об/мин, остановилось,
сделав 109,8 оборота. Определить момент сил трения
в подшипниках вала махового колеса (момент сил тре-
ния относительно оси вала) (момент инерции J махового
колеса относительно его оси J = Л06 кгм< сек*).
По закону живых сил изменение живой силы махо-
вого колеса за промежуток времени от начала движения
до остановки равно работе сил трения в подшипниках
за тот же промежуток времени.
Таким образом, обозначая через ш начальную угло-
вую скорость махового колеса, через Мтр — момент сил
трения и через ср — угол поворота махового колеса за
указанный промежуток времени, получим
Отсюда, подставляя значения ш = 2тс сек"
lU9,8>2n радиан, получим
М
тр'
=8,75 кгм.
Принцип Даламбера. Принцип Даламбера
заключается в том, что при движении си-
стемы в каждый момент времени силы инер-
ции точек системы, активные силы, действу-
ющие на точки системы, и силы реакции
связей находятся в равновесии и, следова-
тельно, к этим силам применимы все теоремы
статики.
В частности, к этим силам применимы усло-
вия равновесия сил, действующих на твёрдое
тело. Если — m^av — силы инерции, Pv— актив-
ные силы, Rv — реакции связей, то геометри-
ческая сумма этих сил и сумма моментов
этих сил относительно произвольной точки О
должны быть равны нулю:
2 (-
(а)
Так как по закону равенства действия и про-
тиводействия внутренние силы, действующие
между двумя любыми точками системы, равны
по величине и направлены в прямопротивопо-
ложные стороны, то для всех внутренних
сил Р^ системы
Поэтому внутренние силы системы в уравне-
ния (а) не вводятся.
Внутренние усилия, действующие между
частями системы, определяются из уравне-
ний (а), составленных для отдельных частей си-
стемы, для которых искомые усилия являются
внешними силами.
Для произвольной системы (вообще изме-
няемой) уравнения (а) являются необходи-
мыми, но недостаточными условиями равно-
весия приложенных к системе сил. Эти урав-
нения выражают необходимые и достаточные
условия равновесия только для сил, приложен-
ных к твёрдому телу. Общим приёмом для
получения необходимых и достаточных усло-
вий равновесия сил, приложенных к произволь
ной системе, является применение принципа
возможных перемещений.
Для системы имеем —
— mv—-—проекции сил инерции точек си-
стемы на оси координат, Х^, Fv, Zv — проекции
активных сил (как внутренних, так и внешних),
действующих на точки системы. Применяя
к данной системе совместно с принципом Да-
ламбера принцип возможных перемещений,
получим следующее уравнение Далам-
бера — Л а г р а н ж а:
2 (*, - *,%) **,+2( *-*&) >*+
где 8лг^ 6уч, 5.zv — возможные перемещения
точек системы. Независимых между собой
уравнений (б) можно составить столько, сколько
независимых перемещений имеет система.
Пример. Груз D весом Р = 2 т поднимается равно-
ускоренно с ускорением с=5 м/сек3; АВ=ВС (фиг. 89t
Определим, пользуясь принципом Даламбера, добавочные
Фиг. 89.
давления на опоры Л и С, возникающие при подъёме
груза. Добавочные давления R опор на балку уравнове-
шиваются силой инерции груза, т. е.
1П0ГР
2Д=. w а; 2Я=Ю2О/сг; й=510 кг.
S
Каждая опора испытывает добавочное давление 510 кг.
Уравнения Лагранжа. Принцип Гамиль-
тона. Пусть положение системы определяется
независимыми параметрами qv q2, .... дя

гл. щ
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
35
^обобщённые координаты). Обобщённой
силой Qv, отнесённой к координате ^.назы-
вается отношение работы 5ЛУ, производимой
всеми силами (как внутренними, так и внешни-
ми), действующими на систему, при бесконечно
малом изменении одной координаты #, на
величину Ьдч к этому бесконечно малоку
изменению bq4, т. е.
Количество ЬА вычисляется по формуле
где Хн, Kv, Z,— проекции сил, х^, yv гч —
координаты точек приложения сил.
При вычислении 8/4 следует иметь в виду,
что в случае твёрдого тела работа его вну-
тренних сил равна нулю, ив М она не входит.
Для идеальных связей работа реакций связей
равна нулю и также в ЬА не входит.
Если внутренние и внешние силы имеют
потенциал, то
п --™-
где П—потенциальная энергия системы, обусло-
вленная внутренними и внешними силами (п о л-
ная потенциальная энергия системы).
Уравнения Лагранжа для системы с идеаль-
ными связями
системы, зависящая от
» Ча и от производных
qn этих параметров.
потенциал, то вводится
где Г—живая сила
параметров gv q2* • • •
но времени qv q2, ...
Если силы имеют
функция Лагранжа L, равная разности
между кинетической энергией Т и полной
потенциальной энергией Ц системы L — Т— П.
Уравнения Лагранжа в этом случае имеют
вид:
называется
Действием S по Гамильтону
следующий интеграл:
с __
Принцип Гамильтона. Если сравнить
истинное движение системы из её положе-
ния в момент времени tt в некоторое дру-
гое положение в момент времени /2 с дру-
гими кинематически возможными (допуска-
емыми связями) для системы движениями
из. того же начального положения в то же
конечное положение и за тот же проме-
жуток времени (т. е. при этом для вариаций
координат должно быть 6^ = 0 при t = ti
at — tp в остальном все Ьq4 произвольны),
то для истинного движения вариация дей-
ствия по Гамильтону равна нулю, т. е.
8 \(Т —
Моменты инерции i я i
Моменты инерции тел. Моментом
инерции Jff тела относи те л ь н 6
оси// называется сумма прбизвёдений масс
его частиц dm на квадрат расстояний а этих
частиц до оси Н:
Момент инерции относительно оси можна
иредставить в виде /=Af-/C^, где Af —масса
тела, а Кн — р 'а д и у с ' инерции тела
относительно оси//.
Полярным моментом инерции Jpo
тела относительно полюса О назы-
вается сумма произведений масс его частиц
dm на квадрат расстояния г этих частиц до
нолюса О.
Если тело однородно с объёмной плотностью
р„ то dm=p dV, где dV-^ элемент объёма, и
Выражения ta2dV и Jr2dV называются
осевым и полярным моментами
инерции объёма. Аналогично для поверх-
ностей и линий.
Если Jxt Jy, Jz —• моменты инерции относи-
тельно осей прямоугольной системы координат,
a Jpo — полярный момент инерции относительно
начала координат, то
Если Jq— момент инерции относительно
оси С, проходящей через центр тяжести,
a Jjj—момент инерции относительно оси,
параллельной (оси ,С и ртстоящей от йеё на
расстоянии d, то Jfj= Jq-{-M-d?.
Центробежным моментом инер-
ции 4„ тела относительно коорди-
натных плоскостей уг и zx называется
сумма произведений масс его чадтиц dm на'
произведения ху расстояний частиц до эти;*
плоскостей:
Центробежный момент инерции — положи-
телен, отрицателен или равен нулю.
Геометрические центробежные моменты
инерции объёмов, поверхностей и линий опре-
деляются аналогично геометрическим осевому
и полярному моментам инерции. ¦
Если хс, ус, гс—координаты центра тяжести
тела, Сх', у'', г' — прямоугольная система коор-
динат с началом в центре тяжести и с осями
Сх', Су', Cz\ параллельными соответственно
осям Ох, ОV, Oz, то . ;г .
= Jy'z'
МУс*с.
= Jx'y' + МхсУс1
Через каждую точку пространства
провести три взаимно; перпендикулярные ochV
х, у, zn для вторых Jxy, Jyz, /zX равны нулю;1
Такие рсн^ называются г а а в н; ы ми о с я, ми

36
ОБШАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. 1
инерции для данной точки, для центра
тяжести — главными центральными
о с.я м и инерции.
Главные оси инерции для точек тела, лежа-
ших на главных центральных осях инерции,
параллельны главным центральным осям инер-
ции.
Ось симметрии для однородного тела
является одной из главных осей инерции для
любой точки этой оси. Если однородное тело
имеес плоскость симметрии, то для любой
точки этой плоскости одна из главных осей
инерции перпендикулярна этой плоскости.
Осевые моменты инерции для главных осей
инерции называются главными момен-
тами инерции и обозначаются через А, В
и С (А > В > С).
Момент инерции .///для оси Н, проходящей
через начало прямоугольной системы коорди-
нат Охуг и образующей с осями координат
углы «, р и f
JH = Jx cos2 a -|- Jy cos3 {3 -f-
-f- /2cos3 7 — 2Jyz cos P cos 7 — 2JzX cos y cos a —
— 2JXy cos a cos p.
Если оси координат — главные оси инерции, то
JH= A coss a + В cos2 з _|_ С cos* т-
Если вдоль осей Н, проходящих через произ-
вольную точку О, отложить (от точки О)
отрезки длиной —-^—, где k—постоянная вели-
чина, то их концы лежат на эллипсоиде,
который называется эллипсоидом инер-
ции для точки О. Его уравнение, отнесённое
к главным осям инерции,
¦
Г
i
—V
__ л
Моменты инерции плоских фигур. Осе-
вым моментом инерции J//плоской
фигуры относительно оси Н,лежащей
в её плоскости, называется сумма произведе-
ний элементов dF её площади на квадрат рас-
стояний а этих элементов до оси Н:
JH = J as dF.
Момент инерции Jfj можно представить в
виде Jh—P^^H' где F~площадь фигуры,
а Кц — радиус инерции фигуры от-
носительно оси //.
Полярным моментом инерции Jpo
плоской фигуры относительно полюса и,
лежащего в её плоскости, называется сумма
произведений элементов dF её площади на
квадрат расстояния г этих элементов до
полюса О:
Центробежным моментом инер-
ции JXy плоской фигуры относительно осей
прямоугольной системы координат хОу, лежа-
щей в плоскости фигуры, называется сумма
произведений элементов dF её" площади на
произведение ху расстояний этих элементов
соответственно от осей у и х:
Jxy = §ху dF.
Аналогично определяются моменты инерции
для плоских линий; во всех определениях dF
заменяется элементом линии aS.
Для любых прямоугольных осей координат
хОу
Если С — ось, проходящая через центр
тяжести фигуры, и Н—ось, параллельная С,
то
где d—расстояние между осями.
Для произвольного полюса О
Jpo^Jpc+F-r*,
где г — расстояние полюса О от центра тяже-
сти.
Если для прямоугольной системы координат
х'Су' с началом в центре тяжести С фигуры
оси Сх' и Су' — параллельны, соответственно
осям Ох и (Jy, то
Через каждую точку О плоскости можно
провести прямоугольную систему координат
хОу, для которой Jxy = 0. Её оси называются
главными осями инерции фигуры для
точки О (для центра тяжести — главные
центральные оси инерции).
Ось симметрии фигуры является главной
осью для каждой точки этой оси.
Осевые моменты инерции относительно глав-
ных осей инерции называются главными
моментами инерции и обозначаются
через А и В (А^СВ) (для главных централь-
ных осей инерции — главными цен-
тральными моментами инерции).
Углы «о и 7q "И 90°, образуемые главными
осями инерции с осью Ох, определяются из
уравнения
2Jrtl
Главные моменты инерции для этих осей
В =
Для оси Н, образующей с осью Ох угол а,
JH=JX cos2 а + Jy s\n?a—JXy sin 2а;
если оси координат — главные оси инерции,
то
Jh= A cos2 a + В sin2 a.
Если по оси Ох отложить отрезки О А' = А
и 08' ¦= В (фиг. 90) и на отрезке А'В', как
на диаметре, построить круг (круг Мора), то,
проводя из точки А' прямую AD, наклонён-
ную к оси х-ов под углом а, имеем: для си-
стемы координат х'Оу' с осью Ох', наклонён-
ной к оси Ох под углом a: Jx, — OG
(EG 1 Ox), Jy, - OF (FD _L Ox) и Jxv = FD

гл. ц
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
37
(отрезок FD положителен, если направлен
вниз, считая от F к D).
Если вдоль осей И, проходящих через точку
D
величина, то их концы лежат на эллипсе
(первый эллипс инерции). Его уравнение,
отнесённое к главным осям инерции,
¦«»
\У1Г)
У _ 1;
TJM'
\V~b~)
Кх и К —радиусы инерции относительно осей
координат; iH — радиус инерции для оси //,
проходящей через начало координат. Если вдоль
осей отложить (начиная от начала координат)
отрезки, длины которых равны-
, то их кон-
Фиг. 90.
О, отложить
которых
О)
(от точки
равна у= , где
отрезки, длина
k — постоянная
цы лежат на эллипсе (второй эллипс инерции).
Его полуоси: Ку—по оси Ох и Кх— по оси Оу.
Радиус инерции Кн для оси Н равен длине
перпендикуляра, опущенного из центра второ-
го эллипса инерции на его касательную, парал-
лельную оси И.
Моменты инерции линий, поверхностей и тел
(тела и фигуры предполагаются однородными)
Таблица 2
Обозначения: М — масса тела,
., р_—соответственно объёмные, поверхностные и линейные плотности;
индекс при / обозначает ось, относительно которой берётся осевой момент инерции; индекс при У„ обозначает
полюс, относительно которого берётся полярный момент инерции
прямая линия длиной I; одна конечная точка лежит на
оси //, другая — в расстоянии г от оси:
Дуга круга
где а — угол в радианах
Треугольник; 5 — центр тяжести треугольника
x ^F 4 == 2 ' У = ^F" 36 "= 18 ' г ^F 12
¦ М
где Jff — момент инерции по отношению к оси, преходящей чере:
точку U, перпендикулярно оси АС.
?P\ T
[b№ h \bi + b*) bh [ha — by _
If 12 18 \~M
гр\_36 ' 12 18 J "• 36
Для любой оси, проходящей через центр тяжести, имеет место
'5-* 12
где еи еа, е3 — расстояния вершин от оси

38
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
Продолжение табл. 2
Четырёхугольник. Неправильный четырёхугольник
+ А»
Параллелограм
12
jDDi sin , sin" f
_ = М
24
Прямоугольник
3 ~J 3 '
\
Равнобедренная трапеция. А— высота.
_ А8 (а + Щ _ Л3 a + 3ft
'a-Pjr H m~q- • a + b '
= Р
F 12
А3 (За -f b)
'Р
12
JL rf — b*
'PF 48 e —ft
Аа _3я + ft .
:Л1Т '^Tft"'
36
a + ft
M
24 '
_A» а2 + 4flft + ft"
18 ' (a + bY
Правильный многоугольник. Если а — сторона,
л — число сторон, г — радиус вписанного, R — радиус описанного
круга, то для всякой проходящей через центр оси Я будет:
паг A2Г3 + а2)
96
• M
48
¦¦М
б/?3 - я»
24
Круг. Для диаметра
л г» я а4
Jpo*=p -~^~
•-Mi
Полукруг. Для ограничивающего диаметра (ось х-ов) и
линии симметрии (ось у-ов)
Для центра
Для центра тяжести
32
32
Круговое кольцо: наружный радиус #, мутренний г.
rF 4
4 '

гл. ц
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
39
Продолжение табл. 2
Круговой сектор
г* 2а it/-4
(если сектор составляет л-ю часть площади круга).
Для центра тяжести S
1 ЬГ* (л 8 **\ М **[л
Круговой сегмент
г* { \ 2 sin 2a -sin4a\
М -f\\— -q ¦ 2 sin 2 )
¦И 4\1+2 2a-sin 2a Г
r* I 2 1 \
,=P -i-Ba--vsin2a--Tsin4a) -
' г i \ з о '
r3 f 1 2 sin 2a — sin 4a"\
2 \ 6 2a — sill 2a '
Эллипс. Диаметр la — ось х, диаметр 26 — ось у, центр
полюс.
nab3 b* ъо?Ь g д*
Парабола
. 4abs ft»
VF 15 S
32a3b
1бя3й „ 12а»
г VF 105
35
Прямоугольный параллелепипед. Оси л, у, 2
проходят через центр тяжести и параллельны сторонам а, Ь, с:
Прямой круглый цилиндр. г — радиус основания,
Л—высота; ось г параллельна образующим и проходит через
центр тяжести 5; ось q проходит через центр тяжести и перпен-
дикулярна оси г;
Jz — ? \r—s— = М -zr- ;
Боковая поверхность цплиндра
Jz =pf.2

40
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. I
Продолжение табл. 2
Полый цилиндр. R и г — наружный и внутрен-
ний радиусы,Л — высота; оси, как в прямом цилиндре:
Прямая призма и прямой цилиндр с пло-
шадью сечения F и высотой А. Конечные плоскости парал-
лельны. Полярная ось ZZ проходит через центр тяжести S
и параллельна рёбрам; экваториальная ось qq проходит
через центр тяжести и перпендикулярна оси ZZ. Момент
инерции площади F относительно оси qq равен /„, отно^
сительно оси ZZ равен ]г.
S + н'я) '•
Прямая пирамида и прямой конус.
Отвес Л (одновременно ось г), опущенный из вершины на
площадь основания F, проходит через центр тяжести по-
следнего; ось q перпендикулярна оси г и проходит через
центр тяжести; момент инерции основания относительно
оси z равен iz, а относительно проекции оси q на основа-
ние равен iq :
J -о h i • J -о (F H% + Л i \
Прямоугольная пирамида. Основание — пря-
моугольник со сторонами в и ft; высота — А; оси, - как
при прямом конусе; ось q параллельна стороне а:
$ 2 ба
20
abh
:М
ЗА»
4
20
Прямой круглый конус. Радиус основания —г,
высота—Л, образующая — f; оси,-как при прямом
конусе:
4")

ГЛ. I]
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
41
Продолжение табл. 2
Боковая поверхность конуса, г — радиус основания,
t—образующая; ось г— ось симметрии:
кг3* „ г3
Усечённый круглый конус. R и г — радиусы осно-
ваний, Л —высота; ось г — ось симметрии:
_ «Л R5 — rs „ 3 R5— t*
Я —
10 R3 -
Боковая поверхность усечённого конуса.
R и г—радиусы оснований, t — образующая; ось г — ось симметрии:
11 J
2 ' R — r
Ш а р. Радиус равен г. Для диаметра:
П о л у ш а р. Если начало координат — в центре и ось г пер-
пендикулярна ограничивающей плоскости диаметра, г — радиус
шара, то
4гсг5 |*
Полый шар. R и г— наружный и внутренний радиусы; для
диаметра:
/ 8я ,т « м 2 /? — л*
Поверхность шара. Для диаметра:

42
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
. 1
Продолжение табл. 2
Шаровой сегмент с высотой Л; радиус шара — т. Отно-
сительно оси симметрии:
„ ft 20/1 — 15rft
Ж- з^-А
Шаровой сектор. Высота сегмента — А, радиус шара — г.
Относительно оси симметрии:
¦'- PlA?" (Зг- А) = Ж 4 (Зг - А)
Кольцо. Образующая площадь F симметрична относительно
прямой mm, параллельной оси вращения z; ось q перпендикулярна
оси г; момент инерции образующей площади относительно оси m
равен iOT, относительно оси q равен ?„:
Круговое кольцо. Радиус образующей окружности—а,
ось q— любой диаметр в экваториальной плоскости; гг — ось вра-
щения:
Эллиптическое кольцо. Полуось a — в экваториаль-
ной плоскости; полуось Ь — параллельна оси вращения гг\ ось q —
любой диаметр в экваториальной плоскости:
R — расстояние Ц. т. эллиптического кольца до оси zz.
Динамика твёрдого тела
Вращение твёрдого тела около оси. Мо-
мент количества движения тела относительно
оси вращения z
Lz = .A»,
где J—момент инерции тела относительно
оси вращения; ш—угловая скорость тела.
Живая сила тела
Уравнение движения тела
положительным, если она вращает тело в
сторону положительного отсчёта угла ^)-
Вращающий момент Мг="?,Мг(?^) в об-
щем случае зависит от времени t, от угла пово-
d <p
— т т с
— di ' т- е-
рота <f и от угловой скорости
Интегрируя уравнение движения, получаем:
Постоянные С] и с2 определяются по началь-
ным значениям угла сс0 и угловой скорости ш,,
в начальный момент времени /0 из уравнений:
где ^ — угол поворота тела, Pv—силы, дей-
ствующие на тело (момент силы Pv считается
ОH:
t, си с,)
dt
/=/«,.

(ГЛ. I]
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
43
Если М = 0 во всё время движения, то
угловое ускорение е = —~ = 0, и вращение
будет равномерным. Если Мг постоянен во
всё время движения, то вращение будет рав-
номерно-переменным с постоянным ускорением
Ось вращения не испытывает добавочных
давлений от вращения тела только в том случае,
когда вращение происходит около одной из
главных центральных осей инерции тела.
Такая ось называется свободной осью
вращения. Около свободной оси вращения
тело, оставаясь свободным, вращается без воз-
действия на него внешних сил с постоянной
угловой скоростью.
Физическим маятником называется
тело, колеблющееся около неподвижной оси
под действием силы тяжести.
Центр тяжести тела С лежит в плоскости
чертежа (фиг. 91), и тело вращается вокруг
горизонтальной оси, проходящей через точку О.
Уравнение движения
dfl
— — ni'ga sin <f,
(a)
где m — масса тела; g — ускорение свободного
падения.
Уравнение (а) можно представить так:
Уравнение (а') совпадает с уравнением
Jo
математического маятника длиной I = — ;
та
следовательно, закон движения математиче-
ского маятника одинаков (при одинаковых на-
чальных условиях)
с законом движе-
ния рассматривае-
мого физического
маятника. Длина /
математического
маятника назы-
вается приве-
дённой дли-
ной физиче-
ского маят-
ника.
Период малых
колебаний физи-
ческого маятни-
Фиг. 91.
ка 7 =
па
Если /с — радиус инер-
ции тела относительно оси, проходящей через
центр тяжести и параллельной реи вращения,
то приведённая длина / = а + 3, где
8 = —. Точка О', расположенная на прямой,
проходящей через ось вращения и центр тя-
жести на расстоянии (в сторону центра тяже-
сти), равном приведённой длине /, называется
центром качания м а ятни к а. Если за
ось вращения принять ось, параллельную
первоначальной оси и проходящую через
центр качания, то период колебания маятника
не изменится.
Плоско-параллельное движение твёрдого
тела. При плоско-параллельном движении поло-
жение тела определяется координатами Л&УС
его центра масс С относительно неподвижной
системы координат хОу (фиг. 92) и углом <р
между осью Сх" подвижной системы коор-
динат х"Су", неизменно скреплённой с телом
и имеющей начало в центре масс, и осью Сх',
также подвижной системы координат х'Су*
с началом в центре масс, но оси которой парал-
лельны осям неподвижной системы координат.
Уравнения движения тела:
М
(a)
где Jq -— момент инерции тела относительно
оси, перпендикулярной плоскости движения
и проходящей че-
рез центр масс,
Х^ Y4 — проек-
ции внешних сил,
x''v У v " коорди-
наты точек при-
ложения внешних
сил.
Первые два из
уравнений (а) по-
лучаются Примене- Фиг. 92.
нием закона дви-
жения центра масс,
а последнее — применением закона моментов
количества движения для движения тела отно-
сительно центра масс (движение относительно
системы координат х'Су').
Если имеются связи, препятствующие телу
двигаться в плоскости произвольным образом,
то положение тела определяется двумя или
одним параметром. В этом случае хс, ус и щ
выражаются через эти параметры, и уравне-
ния (а) служат для определения закона дви-
жения тела и для определения реакций связи.
Живая сила тела
Применением закона живых сил получаем
уравнение
Применением закона количества движения
относительно точки О получаем уравнение
(в)
Уравнения (б) и (в) являются следствием
уравнений (а) и потому не могут дополнять
систему (а), а могут только заменить любое
из её уравнений.
Движение твёрдого тела около непо-
движной т<>чки. Проекции момента количества
движения тела на оси координат с началом в
неподвижной точке и с осями, совпадающими
с направлениями главных осей инерции тела
для неподвижной точки, равны
= В coy, Lg=C«>g

44
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. 1
где А, В, С— главные моменты инерции,
а <ох, и>у, <az — проекции угловой скорости тела.
Живая сила тела
Т = -L
9+ В
Уравнения движения тела, отнесённые к
указанным выше подвижным осям координат:
у I /A /"*4 — АЛ •
«- dt | \~ "t-x-y '"z>
Mx, My, Mz — суммы моментов всех действу-
ющих на тело внешних сил относительно осей
координат.
Эти уравнения (динамические урав-
нения Эйлера) интегрируются совместно
с кинематическими уравнениями Эйлера (см.
стр. Ю).
Общее движение твёрдого тела. В общем
случае движение тела определяется движением
его центра масс и движением тела относитель-
но системы координат с началом в центре
масс и с осями, параллельными осям основной
системы координат (движение относительно
центра масс).
Движение центра масс определяется по за-
кону движения центра масс. Для движения
относительно центра масс применимы динами-
ческие уравнения Эйлера, причём силы инер-
ции от поступательного движения подвижной
системы координат в эти уравнения не входят.
Гироскоп. Гироскопом называется
тело, быстро вращающееся около оси динами-
ческой симметрии*.
Произведение момента инерции J относи-
тельно оси динамической симметрии гироскопа
на величину его угловой скорости вращения а>
относительно оси динамической симметрии на-
зывается собственным моментом гироскопа
Пусть ось вращения А гироскопа (фиг. 93)
вращается с угловой скоростью ш1 вокруг не-
' В <*)
со,
б>
W
с моментом, равным G, приложить к гиро-
скопу, то эта пара буЭет стремиться по-
вернуть на наименьший угол ось А гироско-
па, так, чтобы векторы ш и wj были па-
раллельны и направлены в одну сторону
(фиг. 93, б).
Момент G называется гироскопиче-
ским моментом. Возникновение гироско-
пического момента влечёт за собой возникно-
вение добавочных реак-
ций подшипников оси А.
Эти реакции приводятся
к паре сил, момент ко-
торой вычисляется из
условия её равновесия
с гироскопическим мо-
ментом.
Если волчок (фиг. 94)
вращается относитель-
но своей оси с угловой
скоростью о), то паде-
ния волчка не будет по-
тому, что его прецес-
сия (вращение вокруг вертикали) с угловой
скоростью «>1 создаёт гироскопический момент,
в данном случае называемый восстанавли-
вающим моментом. Гироскопический мо-
мент J wwj sin 6 уравновешивает пару сил, со-
стоящую из веса гироскопа Р и реакции опо-
ры, т. е. J wo»! sin 8 = Pa sin б, откуда скорость
Pa
прецессии <°i = y^j •
Пример (фиг. 95). Диск с моментом инерции от-
носительно оси вращения У-^200 кгм-cetf1 делает
Фиг. 94.
Фиг. 95.
п =1000 оборотов в минуту. Определить добавочное
давление на подшипники при повороте диска около
вертикальной оси с угловой скоростью ш, = ттгсек "
Гироскопический момент О =» У иш,, где ш —
угловая скорость диска. Так как пара сил R и
— R (реакции подшипников) уравновешивает гироско-
пический момент, то
откуда
/?•* = .
Ушш.
> 2100 кг.
Фиг. 93.
которой оси В. Силы инерции частиц гироско-
па приводятся к паре сил с моментом G, по ве-
личине равным G — J uxtfj sin 0, где 6 — угол
между угловыми скоростями ш и <*>,.
Момент G перпендикулярен векторам <о и wv
и его направление определяется следующим
правилом (правило Г р ю э): если пару сил
* Осью динамической симметрии тела называется
ось симметрии для масс его частиц. Геометрическая
ось симметрии однородного тела является его осью
динамической симметрии.
Удар
Основные положения. Ударом назы-
вается механический процесс, протекающий при
действии на тело сил очень большой величины
(ударные силы) в течение короткого про-
межутка времени (например, при столкновении
тел).
Если Р — ударная сила и г—время удара (про-
межуток времени, в течение которого произошёл
удар), то Р = J Prft называется ударным

ГЛ. I]
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
45
импульсом или мгновенной силой.
Его проекции на оси прямоугольной системы
координат:
где X, Y, Z — проекции ударных сил.
Во время удара действием неударных
сил (конечные силы) можно прене-
брегать.
Скорости точек тела во вр?мя удара изме-
няются на конечную величину; перемещения
точек тела — бесконечно малы. Так как про-
межуток времени удара бесконечно мал, то
удар рассматривают, как мгновенное измене-
ние скоростей точек тела под действием удар-
ных сил.
Закон количества движения при
ударе: изменение количества движения си-
стемы за время удара равно сумме внешних
(от внешних ударных сил) ударных импульсов,
приложенных к системе:
Для движения центра масс системы
где М — масса системы, Дус— изменение ско-
рости центра масс системы.
Закон моментов количества дви-
жения при ударе: изменение момента
количества движения системы, взятого от-
носительно некоторого центра О, за время
удара, равно сумме моментов всех внешних
ударных импульсов относительно того оке
центра:
где ДЬ—изменение момента количества дви-
жения системы.
Для движения системы относительно центра
масс закон моментов количества движения от-
носительно центра масс выражается так же,
как и для любой неподвижной точки при дви-
жении системы относительно неподвижной си-
стемы координат.
Если на тело или систему тел мгновенно на-
ложить связи, то произойдёт удар, так как во
время наложения связей они разовьют удар-
ные силы.
При мгновенном наложении связей происхо-
дит потеря живой силы системы.
Если vv, у„' и Т, Г соответственно скоро-
сти частиц системы и живые силы системы до
и после наложения связей, то для потерянной
живой силы системы
где my — массы частиц системы.
Таким образом при мгновенном наложении
связей потерянная живая сила системы равна
её живой силе, соответствующей потерянным
скоростям (теорема Карно).
Удар твёрдых тел. Прямая, проходящая
через точку соприкосновения тел при ударе,
направленная по относительной скорости их
центров масс в начале удара, называется л и-
нией удара. Нормаль к поверхностям со-
ударяющихся тел в точке их соприкосновения
называется нормалью удара. Если линия
удара проходит через центр масс тела, то удар
называется центральным; в противном
случае удар называется эксцентричным.
Если линия удара перпендикулярна плоскости
соприкосновения соударяющихся тел — удар
прямой; если не перпендикулярна — удар
косой.
Процесс протекания удара разбивается на
два периода: первый период длится от начала
соприкосновения тел (начало удара) до момен-
та их наибольшего сближения, причём проис-
ходит сплющивание поверхностей тел в точке
их соприкосновения; второй период длится от
конца первого периода до начала полного разъ-
единения тел (окончание удара). В этот пе-
риод сплющивание поверхностей исчезает пол-
ностью или частично; при этом конечная ве-
личина составляющей, перпендикулярной пло-
скости соприкосновения/ относительной скоро-
сти точек соприкосновения соударяющихся тел
вообще не достигает своей прежней величины.
Ньютон высказал гипотезу о том, что отно-
шение абсолютной величины составляющей,
перпендикулярной плоскости соприкоснове-
ния, относительной скорости точек сопри-
косновения соударяющихся тел в конце уда-
ра к абсолютной величине той же соста-
вляющей в начале удара, есть некоторая фи-
зическая константа k, зависящая только от
материала соударяющихся тел. Эта констан-
та называется коэфициентом восста-
новления
Если k — 1, то удар называется вполне упру-
гим; если k—О — вполне неупругим; в
промежуточных случаях @<Л<Ч) удар на-
зывается не вполне упругим.
Общий случай удара двух тел. В общем
случае движения скорости точек твёрдого те-
ла определяются шестью величинами: тремя
проекциями скорости центра масс тела на оси
неподвижной прямоугольной системы коорди-
нат и тремя проекциями угловой скорости те-
ла на оси прямоугольной системы координат, с
началом в центре масс, в его движении отно-
сительно центра масс. При ударе эти величи-
ны претерпевают мгновенное изменение, и в
случае удара двух тел для определения этих
величин в конце удара требуется двенадцать
уравнений. Эти уравнения получаются следую-
щим образом.
Соударяющиеся тела абсолютно
гладкие. Обозначим через i/]Jr, vly, vu
проекции на оси неподвижной системы коор-
динат Oxvz (ось Ох направлена по нормали
удара) (фиг. 96) скорости Vj центра масс С3
тела / в начале удара и через v'lx, v\y, v\z—
те же величины в конце удара. Через u>1Xl,
f-iyi» ^izi обозначим проекции угловой скоро-
сти <аЛ тела / на оси координат С:х^у^гг,
направленные по главным центральным осям
инерции тела /, в начале удара и через ш'^,,
ш'1у1, m\Zi — те же величины в конце удара.
Аналогично для тела // обозначим через v2x,
Щу> ®2г> ^2Л:. v'iy v''iz\ <°2Х*> Ш2у3, W2z*', <°'?xa>
ш'2уа, ш'да, те же величины, что и для тела /.

46
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. I
Применяя закон моментов количества дви-
жения относительно точки А соприкосновения
тел для каждого тела в отдельности, получаем
Фиг. 96.
шесть уравнений; в проекциях на оси коорди-
нат CjXjjVjZj для первого тела и на оси C2x%y%z2
для второго тела имеем:
в начале удара и vА x hva —те же вели-
чины в конце удара. Эти проекции в уравне-
нии A2) следует выразить через vXx, v\x\ f2jt.
Соударяющиеся тела абсолютно
шероховатые (скольжение поверхностей
соприкасающихся тел невозможно). В этом
случае ударный импульс направлен не по нор-
мали удара и из указанных выше уравнений
имеют место только уравнения A), .. F),
A1) и A2). Остальные уравнения получаются
следующим образом: два уравнения — из того
условия, что проекции на оси Ov и Oz суммы
количеств движения обоих тел во время удара
не изменяются, а именно:
г,) ^А*! [.Ум (»']*,
\хы {v\
[>'2A (*2
~V\z)~z\A\v\y
— v\x)—x\A^izx
-v2z) — z2A(v2ya
~ V2x) X2A (V2za
-vlyi)]~0; A)
-*,,,)'J=0; B)
-vlXj)]=0; C)
-v2Vi)] = b (V
-«W]=°: E)
-f M2v2y =
M2v2y
A3)
M2v2г =Mtv\2
Afj и Af2—массы тел / и //,* At, Bv Ct и Л2,
В%, С2 — главные центральные моменты инер-
/ //
% 2 р
ции тел / и //; х1А, у1А. гы и х2А, у2А,
координаты
координат
точки
соприкосновения
С v
2А —
осях
ixt' v\yt' v\ z
р
и С2х2у2г2; vUt, vlyit
проекции на оси коор-
е1г, и vixt' \yt \ ztрц
динат С^у^г скорости центра масс тела /
соответственно до и после удара; v2x, v2y,
V2z3 и v2Xi, v2yj v2Zi — проекции на оси коор-
динат C^y^z% скорости центра масс тела
// до и после удара; эти проекции в уравне-
ниях A), B), C) и D), E), F) следует выразить
через vlx, vly, Vyt v\x, v\y, v\z и v2x, v2y,
V2zi *lx< V2y'V2z'
Применив к каждому телу в отдельности
закон количества движения в проекциях на оси
Оу и Oz, получим (ударный импульс Р перпен-
дикулярен плоскости yOz) следующие четыре
уравнения:
K{vly-vly) = 0- G)
MlD-»iz)=0; (8)
M2(v'2y — v2y) = 0; (9)
Затем, применив закон количества движения
к обеим телам вместе, в проекции на ось Ох
получим
Mxvu + M2V2X = Mxv\x -I- M2v'2x. A1)
Принимая гипотезу Ньютона, получим по-
следнее уравнение:
A4)
Ввиду отсутствия
скольжения во время уда-
ра составляющие в пло-
скости yOz скоростей то-
чек Ах и Ао соприкосновения тел в конце уда-
ра равны; из этого условия получим последние
два уравнения:
«л,, = *у. <15>.
, ту f| flOl
Проекции скоростей точек А\ и А2 в урав-
нениях A5) и A6) следует выразить через
v\y> vlz> V2y V2z'> "lv^i' mlz,'-'" W2zj-
Соударяющиеся тела не вполне
шероховаты Если во время удара проис-
ходит скольжение поверхностей, то из уравне-
ний, указанных выше, применимы уравнения A),
... F). A1), A2), A3) и A4). Остальные урав-
нения получаются применением закона коли-
чества движения к одному из тел.
Г1усть % — ось, направленная по направлению
скольжения поверхности тела II относительно
тела /. Так как величина тангенциального удар-
ного импульса между телами (этот импульс
направлен по оси t) будет равна /-Р, где
/ — коэфициент трения скольжения, а Р — ве-
личина нормального ударного импульса, то
проекции на оси Ох, Оу и Oz ударного им-
пульса, действующего на тело II, будут соот-
ветственно равны
Р, — fP cos?, — /Psintp,
где <р — угол между осями Оу и ¦*.; применив
закон количества движения к телу //, получим:
vAlX
МЖо'2у — v2y) = —/ • Р cos r,
M2(v'2z — v2z) = —/• P sin «p.
A9)
A3x
A2)
где vA x и vA x—¦ Проекции на нормаль удара
скоростей точек соприкосновения тел /и //
Величина нормального ударного импульса
между телами определяется во всех случаях
из уравнения A7).
В частных случаях удара тел число неизвест-
ных величин бывает меньше двенадцати, и для

гл. щ
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
47
их определения достаточно использовать только
часть указанных уравнений.
Пример 1. Шар массы т, движущийся со скоростью
%, направленной перпендикулярно оси стержня
(фиг. 97), ударяет в покоящийся стержень на расстоянии
\
Фиг. 97.
ft от его центра тяжести С. Определим скорости шара
я стержня в конце удара (удар не вполне упругий и со-
ударяющиеся тела абсолютно гладкие).
Обозначим через v и ^скорости в конце удара со-
ответственно шара и центра масс стержня (эти скорости
будут иметь направление, перпендикулярное оси стерж-
ня, так как ударный импульс между шаром и стержнем
яе имеет составляющей, направленной вдоль стержня).
Применяя ко всей системе в целом закон количества
движения, в проекциях на ось *-ов, перпендикулярную
оси стержня, имеем ,
= mv -\- Mvc,
A)
где М - масса стержня.
Применив к одному стержню закон моментов коли-
чества движения относительно точки соприкосновения,
% проекции на ось, перпендикулярную плоскости черте-
жа, получим
-Mv
B)
где ie — радиус инерции стержня относительно оси,
перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей
через центр тяжести стержня, а «о — угловая скорость
стержня в конце удара. Вводим коэфициент восстано-
Решая совместно уравнения A), B) и C), имеем
М
- A + ft)
1 —
1 +
М
Величина vn нормальной составляющей скорости
шара в конце удара определится на основании гипотезы
Ньютона;
где vn — величина нормальной составляющей скорости
шара в начале удара, a k — коэфициент восстановле-
ния. Если а — угол падения шара, а р — угол его OTDa-
жения, то, так как va — -— и
« tga
tga
Величину Р ударного им-
пульса между шаром и
плоскостью определим при-
менением к шару закона ко- .
личества движения. Именно,
в проекциях на нормаль удара имеем
V
Фиг. 98.
Выражая v и vn через v и о, получим
Р = Mv A + *) cos о.
Прямой центральный удар (отно-
сительное движение тел предполагается посту-
пательным). /W, и М% — массы соударяющихся
тел, t>j и v2 — скорости тел (рассматриваются
со знаками -f- или — в зависимости от их
направления вдоль линии удара) до удара; vx
и v'2 — скорости тел после удара.
По закону количества движения, учитывая
то, что на тела внешние силы не действуют,
A)
где v — общая скорость тел в конце первого
периода удара.
Коэфициент восстановления
Величину Р ударного импульса, действующего между
шаром и стер'жнем, определим применением закона ко-
личества движения к шару
mv — mv0 =• — Р,
откуда, заменяя » её найденным значением, получим
р М A -f- k)v0
¦ "" х ba , М '
, г /^ то
с
Пример 2. Абсолютно гладкий однородный шар
шесы М, движущийся поступательно со скоростью v,
ударяется об абсолютно гладкую плоскость (фиг. 98).
В конце удара шар будет обладать только поступатель-
ной скоростью v', что следует из закона моментов коли-
чества движения относительно центра масс С шара,
применённого к движению шара относительно его центра
масс, ибо ударный импульс между шаром и плоскостью
проходит через центр масс шара. Так как ударный
импульс перпендикулярен плоскости, то поэтому тан-
генциальные составляющие v^ и v/ скоростей шара
свэтэетственно в начале и в конце удара будут равны
Из уравнений A) и B) имеем:
B)
Изменение количества движения каждого
тела равно
Д Qi = ~ д <?2 = Мх (v[ — v,) = - М2 (v2—щ) -
Потерянная живая сила тел
3 '9
Vi — »i
9 'J
Va — Щ
Чтг /1

48
ОБЩАЯ МЕХАНИКА
[РАЗД. I
Для вполне упругого удара: k=l, Т—7" = 0,
, __ (Ж. - М„) у, + 2 Ж2г>„.
f _ чм1у1 - (Mt - м3) Vj
V2~ Mt+M3
При М\ =¦ М% имеем
г
при f2 = 0 имеем
v'[ = v л - ' ~~
Для вполне неупругого удара: k =-0, v\ = как и ЧентР масс с> и отстоять от оси вра-
, щения на расстоянии, равном
где Jz — момент инерции тела относительно
оси вращения, М — масса тела, d — расстояние
центра масс от оси вращения *.
Точка А называется центром удара.
Например, рассмотрим маятниковый копёр
Шарпи (фиг. 100), применяемый при ударном
испытании материа-
лов. ,*-,
Основной частью "ЪХС
этого прибора являет-
ся массивный маятник,
вращающийся около
оси О и снабжённый
при испытании мате-
риалов на излом сталь-
ным ножом т.
Маятник, падая с
некоторой высоты,
определяемой углом а,
ударяет по образцу п
и после его разрушения отклоняется на высоту,
меньшую первоначальной и определяемую уг-
лом р. По разности высот маятника, соответ-
ствующих углам аи^, определяется энергия,
расходуемая на излом образца.
Для того чтобы при работе прибора не
происходило потери живой силы маятника на
упругую деформацию оси, необходимо, чтобы
ударный импульс, развивающийся между но-
жом и образцом, не передавался на ось, т. е.
нож маятника должен быть помещён в центре
удара. Если М—масса маятника, У—момент
инерции маятника относительно оси вращения
и d — расстояние от оси вращения центра
тяжести С маятника, то нож маятника должен
находиться от оси вращения на расстоянии
1
Удар тел, вращающихся около
оси. Если для твёрдого тела, вращающегося
около оси z, ш0 и toj—угловые скорости до и
после удара, то по теореме моментов коли-
чества движения
где Jz—момент инерции тела относительно
оси вращения, a Pv — внешние ударные им-
пульсы, действующие на тело *.
В случае удара тела, вращающегося около
оси г (фиг. 99), его ось вращения не испытывает
Фиг 100.
Фиг. 99.
ударных импульсов, при выполнении следую-
щих условий: 1) ось вращения должна быть
главной осью инерции тела для одной из своих
точек О; 2) внешний ударный импульс должен
лежать в плоскости, перпендикулярной оси
вращения и проходящей через точку О; 3) удар-
ный импульс должен быть перпендикулярен
плоскости, проходящей через центр масс
тела и ось вращения; 4) точка А пересечения
линии действия ударного импульса с упомяну-
той в условии 3 плоскостью должна нахо-
диться с той же стороны от оси вращения,
Если соударяются два тела, вращающиеся
около осей 1 и 2, то для величин
/И! = ~ ; /И2= —s-; v1 = a1 cojj v2 = a2«>2;
i t i i
vl=a1ioi; Vi = a%ш a; v = ax Sj = а2щ,
где Jlt J2— моменты инерции тел относительно
осей вращения, av a2—расстояния от осей
вращения точки соприкосновения, ш3, ш2 и «,',
со, — угловые скорости тел соответственно до
и после удара и Q» , Q2 — их угловые скорости
в конце первого периода удара, имеют место
все формулы прямого центрального удара.
* Моменты ударных импульсов реакций оси в это
уравнение не входят, так как эти моменты равны нулю.
* Точка А находится на расстоянии приведённой
длины физического маятника от оси вращения.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Ж у к о в с к и й Н. Г., Полное собрание сочинений,
лекции, вып. 3 и 6, НКАП СССР ГИОП, М.-Л.
1939.
2. К и р п и ч е в В. Л., Основание графической ста-
тики, М. - Л. 1933.
3. Лойцянский Л. Г. и Лурье А. И., Курс тео-
ретической механики, ч. I и II, Гостехиздат, М. — Л.
Т940.
4. Некрасов А. И., Курс теоретической механики
в векторном изложении, т. I и II, ОГИЗ, Гостех-
издат, 1945—1946.
5. Н и к о л а и Е. Л., Теоретическая механика, ч. I, И
и III. ГОНТИ, Л. - М. 1938 и 1939.
6. Tlmoshenko S. a. Young D. H., Engineering
mechanics, New York a. London, 1940.

Глава II
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ
Цель статического расчёта
Целью статического расчёта какой-либо
конструкции или её детали является опреде-
ление её внутренних усилий и деформаций.
Определение усилий служит основанием для
решения вопроса о прочности; определение
деформаций необходимо для суждения о жёст-
кости. Статический расчёт производится как
при проектировании новой, так и при поверке
существующей конструкции.
Расчётная схема стержневой системы
Для того чтобы расчёт был возможен, реаль-
ную конструкцию нужно заменить некоторой
идеальной расчётной схемой. Те конструкции,
которые не являются сплошными, монолитными
(подобно, например, литым станинам и т. п.),
а состоят из элементов, один из размеров ко-
торых мал по сравнению с другими, приводятся
к расчётной схеме стержневой систе-
м ы; в этой схеме элементы конструкции, со-
единённые между собой тем или иным спосо-
бом, например заклёпками или сваркой, заме-
няются стержнями.
Расчётная схема стержневой системы наме-
чается по геометрическим осям, т. е. по линиям,
соединяющим центры тяжести сечений элемен-
тов (фиг. 1). Вместо
реальных соедине-
Г = 1
Lr
Фиг. 1.
ний в расчётной схеме принимаются либо шар-
нирные узлы, либо жёсткие узлы. В шарнир-
ном узле возможен свободный поворот стерж-
ня, в жёстком же узле при повороте одного
стержня все стержни узла поворачиваются на
один и тот же угол. Система называется гео-
метрически неизменяемой, если она
не допускает взаимного перемещения её ча-
стей без их деформации.
С кинематической точки зрения расчётная
схема может быть:
а) геометрически изменяемой (фиг. 2),
б) геометрически неизменяемой и непо-
движной с необходимым числом связей (фиг. 3)
в) геометрически неизменяемой и непо-
движной с лишними связями (фиг. 4)
На практике допускается применение кон-
струкций, построенных только по расчётным
схемам „б" и „в" из указанных категорий.
К элементарным стержневым системам от-
носятся балки, т. е. стержни, работающие
преимущественно на из-
гиб, а также криволиней-
ные стержни.
Стержневые системы,
неизменяемость которых
обусловлена жёсткостью
узлов и которые теря-
ют неизменяемость, если
узлы вообразить шарнир-
ными, называются рамами (фиг. 5).
Стержни рам работают на изгиб, продоль-
ные и поперечные силы; в пространственных
рамах имеет место ещё и кручение.
Стержневые системы, геометрическая неиз-
меняемость которых обусловлена их геоме-
Фиг. 2.
Фиг. 3.
Фиг. 4.
Фиг. 5.
трической схемой и сохраняется независимо
от того, являются ли соединения шарнирными
или жёсткими, называются фермами (фиг. б).
Фермы работают преимущественно под на-
грузками, приложенными в узлах; стержни
ферм работают главным образом на продоль-
ные силы.
В том случае, когда на ферму с жёсткими
узлами действует неузловая нагрузка, элемен-
ты фермы работают на
изгиб и вся ферма рабо-
тает как рама.
Возможны стержне-
вые системы смешанного
типа, которые в некото-
рой части могут рассма-
триваться как ферма, а в некоторой—как рама.
При выборе расчётной схемы необходимо
иметь в виду, что реальная схема может обла-
дать значительной „телесностью", т. е. до-
статочно большими поперечными размерами
элементов по сравнению с их длинами, в связи
с чем замена этих элементов тонкими стерж-
нями будет необоснованной. Может оказаться,
что дли расчёта усилий подобная замена впол-
Фиг. 6.

50
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
(РАЗД. 3
не удовлетворительна, тогда как для опреде-
ления деформаций она совершенно недопу-
стима. При выборе расчётной схемы возможна
большая или меньшая идеализация действи-
тельной схемы, зависящая от сложности по-
следней. Чем больше расхождение между
расчётной и действительной схемами, тем вы-
ше должен быть назначаемый запас проч-
ности.
Нагрузки, действующие на систему
Различают следующие виды нагрузок.
а) По характеру изменения:
Статическая нагрузка — нагрузка,
интенсивность и положение которой не зави-
сят от времени или изменяются столь медлен-
но, что введение в расчёт сил инерции не
является необходимым.
Динамическая нагрузка — нагруз-
ка, интенсивность и положение которой из-
меняются во времени столь быстро, что ста-
новится необходимым введение в расчёт сил
инерции.
Подвижная нагрузка — нагрузка,ко-
торая может занимать различное положение
(например поезд, тележка с грузом).
б) По характеру передачи на конструкцию:
Сосредоточенная нагрузка—на-
грузка в виде одной силы.
Сплошная нагрузка — нагрузка, рас-
пределённая непрерывно по данной линии так,
что её интенсивность во всех точках остаётся
конечной.
Моментная нагрузка — нагрузка в
виде одной пары, действующей в точке.
Кроме того, в статических расчётах разли-
чают:
Постоянную нагрузку — нагрузку,
которая принимается действующей всегда (на-
пример собственный вес), и
Временную нагрузку — нагрузку,
которая может вводиться или не вводиться
в расчёт (например подвижная нагрузка, ветер,
изменение температуры и т. п.).
Если возможны различные комбинации на-
грузок, выявляется невыгоднейшая на-
грузка, т. е. та совокупность постоянной и
временной нагрузок, которая даёт предельное
значение усилия в том или ином элементе
(или перемещения). Невыгоднейшая нагрузка
является расчётной для данного элемента.
Внутренние усилия
Если разрезать какой-нибудь элемент и
мысленно отбросить его часть, расположенную
по одну сторону от сечения, то действие от-
брошенной части может быть заменено ста-
тически эквивалентной системой сил, которые
являются по отношению к элементу внутрен-
ними усилиями. В стержневых системах вну-
тренние усилия сводятся к следующим компо-
нентам:
а) проекция сил на направление оси стерж-
ня (или касательной), называемая продоль-
ной силой;
61 проекция сил на направление, перпенди-
кулярное оси стержня (или направление нор-
мали), называемая поперечной силой;
в) момент сил относительно прямой, парал-
лельной касательной и проходящей через центр
изгиба сечения,называемый крутящим мо-
ментом;
г) проекция момента сил относительно цен-
тра тяжести сечения на направление, перпен-
дикулярное оси стержня, называемая изги-
бающим моментом.
Принцип независимости действия сил
(принцип сложения)
В обычных расчётах стержневых систем
предполагается, что нагрузки и деформации
связаны линейной зависимостью и что пере-
мещения, вызванные одной или несколькими
нагрузками, малы по сравнению с размерами
элементов системы, и, следовательно, расчёт-
ная схема до и после деформации одна и та
же. Отсюда вытекает следующий принцип
учёта совместного действия нескольких нагру-
зок: усилия и перемещения, вы-
званные совокупностью несколь-
ких нагрузок, равны сумме уси-
лий и перемещений, вызванных
каждой из нагрузок в отдельно-
сти. Возможны исключительные случаи, к ко-
торым этот принцип неприменим (например про-
дольно-поперечный изгиб).
Статическая определимость и статическая
неопределимость. Метод расчёта
Система статически определима,
если она геометрически неизменяема и вну-
тренние усилия её элементов при любой на-
грузке могут быть найдены из условий ста-
тики неизменяемой системы.
Геометрически неизменяемая неподвижная
система с необходимым числом связей статиче-
ски определима.
Система статически неопредели-
м а, если внутренние усилия её элементов при
любой нагрузке не могут быть найдены из
условий статики неизменяемой системы.
Система с лишними связями статически не-
определима. Число лишних связей называется
степенью статической неопреде-
лимости.
В статически определимых системах изме-
нение температуры вызывает только переме-
щения и не вызывает усилий. В статически
неопределимых системах изменение темпера-
туры вызывает и перемещения, и усилия.
Для определения усилий статически опре-
делимой системы используются условия рав-
новесия, которые должны выполняться как
для всей системы, так и для любой её части.
Чтобы определить усилия в каком-нибудь эле-
менте, нужно провести разрез, проходящий
через этот элемент (способ сечений), и мыслен-
но отбросить часть системы, расположенную
по одну сторону от разреза. Для оставшейся
части составляется в общем случае шесть
уравнений равновесия:
в которые входят нагрузка и неизвестные
силы и из которых эти силы определяются.
Для определения усилий статически не-
определимой системы к условиям равновесия

ГЛ. И]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ
51
присоединяются условия, характеризующие де-
формации. Число таких условий должно быть
равно числу лишних неизвестных, или, что то
же, числу лишних связей в системе.
Энергия деформации
Под действием сил (нагрузки) и изменения
температуры отдельные точки деформируемой
системы получают перемещения; действующие
силы совершают при этом работу.
Величины, характеризующие изменение по-
ложения системы, называются обобщён-
ными координатами и обозначаются
через qb q2,...,qn.
Обобщёнными координатами могут быть
прогибы отдельных точек, углы поворота уз-
лов, взаимные углы поворота стержней и т. п.
Обобщёнными силами, соответству-
ющими обобщённым координатам <7j, q>,..., qn,
называются такие усилия (силы, пары или их
комбинации) Qb Q%,..., Qn, работа которых,
совершаемая при малом изменении координат
о<7, выражается следующим образом:
ЬА = Q.cq, + Qtbqz н + Qnlqn. A)
Соответствие обобщённых сил и обобщён-
ных координат может быть представлено сле-
дующим образом:
Для систем, подчиняющихся , закону Гука,
т. е. линейному соотношению деформаций и
внешних сил, обобщённые координаты выра-
жаются линейной однородной функцией обоб-
щённых сил:
ql = anQt + al2Q2 +
Чг = «2iQi + O22Q2 +
+ amQn;)
h a2nQn>
Qn = <*
\-annQn, ,
C)
где коэфициенты а^ являются характеристи-
ками системы, зависящими от её упругих
свойств. Обратно, обобщённые силы являются
линейными функциями обобщённых координат:
Qi = buQi + *i2?2 + b1BqB + • • • + blnqn;
Qz = b2i4i + ь&Яъ + *23?3 ^ f b2nqn;
Qn =
h
где коэфициенты Ь-^ могут быть выражены;
через dik путём решения линейных уравнений.
Потенциальная энергия деформации упругой
системы равна половине суммы произведений
обобщённых сил на соответствующие коорди-
наты (теорема Клапейрона):
4 С?з<7з +•••' + Qn4n) E)
Обобщённая координата
1. Проекция перемещения точки на заданное напра-
вление
2. Взаимное перемещение двух точек
о. Проекция угла поворота в точке на заданную
плоскость
4. Проекция на заданную плоскость взаимного угла
поворота в двух точках
Обобщённая сила
1. Сосредоточенная сила в этой точке, параллельная
заданному направлению
2. Две разные а противоположно направленные силы
в этих точках
3. Сосредоточенная пара в этой точке, параллельная
заданной плоскости
4. Две сосредоточенные паоы в этих точках, действу-
ющие в заданной плоскости, равные и противопо-
ложно направленные
При деформировании системы внутренние
силы совершают работу SIF. На основании
принципа возможных перемещений
S (А + W) = 0.
Работа внутренних сил 8 W существенно отри-
цательна. Она равна по величине и противопо-
ложна по знаку изменению ЪП потенциальной
энергии П системы, в силу чего
3 (А — П) = 0.
Выражение для изменения потенциальной
энергии получается в следующем виде:
Потенциальная энергия является функцией
обобщённых координат qh q^---,qn и харак-
теризуется начальным и конечным положе-
ниями системы; изменение потенциальной энер-
гии может быть представлено в виде:
-.„ дп ¦> , дп -._ ,
дП
Отсюда получаются соотношения Лагранжа:
дП q dJl _ q дП __ ~ 2)
справедливые для любой деформируемой си-
стемы.
и, следовательно, выражается квадратичной
формой обобщённых сил:
п
= 2 *«
и точно так же квадратичной формой обоб-
щённых координат:
G)
обладают свойством
Коэфициенты atk и Ь[
взаимности: д,-#= а^ и
Теорема Кастильяно
Диференцирование уравнения E) по Q,- даёт
следующую зависимость:
(8)
т. е. частная производная потен-
циальной энергиипо обобщённой
силе равна обобщённой коорди-

52
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД.
нате (теорема Кастильяно). Этой теоремой
можно пользоваться для определения переме-
щений. Если в качестве обобщённых сил при-
нять реакции Хь Х2,— лишних закреплений,
то условие отсутствия перемещений в лишних
закреплениях сводится к соотношениям
дп
'- = 0,
I'l - о
ал,
дП
= 0,
(9)
называемым началом наименьшей ра-
боты и дающим необходимые условия для
определения лишних неизвестных в статически
неопределимых системах.
Теорема взаимности Бетти
Рассматриваются два состояния упругой
системы: одно при действии сил Q/, Q'2>-" и
при соответствующих им перемещениях q\',
q,',..., qn', другое — при действии сил Q/',
Qz",... и при соответствующих им перемеще-
ниях <7j", q¦/',..., qn". Выразив работу сил Qt'
на перемещениях q" и Q{' на q{ л получаем
соотношение (теорема Бетти)
т. е. работа сил первого состояния на пере-
мещении второго состояния равна работе
сил второго состояния на перемещении пер-
вого состояния.
Способ Максвелла-Мора
Способ Максвелла-Мора является универ-
сальным для определения перемещений и для
решения статически неопределимых упругих
стержневых систем. Он основан на применении
принципа возможных перемещений. Пусть Qu
Q?,..., Qn и <7i» ^2>¦ • ¦' Яп будут обобщённые
внешние силы и соответствующие им обоб-
щённые координаты—перемещения системы; S,,
Ss,..., Sn и sb %... — внутренние силы и соот-
ветствующие им координаты. На основании
принципа возможных перемещений
(Qi<7rr-Q2<72+- • -)-(V
•).= 0. A1)
По Максвеллу-Мору составляется выражение
работы внешних и внутренних сил некоторого
воображаемого состояния /, в котором дей-
ствует единственная обобщённая сила (сила,
момент или две равные и противоположно
направленные силы или два равных и противо-
положно направленных момента), равная еди-
нице, на перемещениях внешних и внутренних—
действительного состояния, которое получается
в результате действия заданных внешних сил
и изменения температуры.
Работа внешних сил войдёт в первую поло-
вину левой части уравнения A1) в виде одного
члена, содержащего неизвестную координату;
вторая половина левой части, если в ней sb
s2,... выразить через внутренние силы, будет
содержать произведения внутренних сил одного
и другого состояний. Отсюда может быть най-
дено перемещение системы, внутренние усилия
которой известны.
Если требуется найти лишние неизвестные
Xj, -ЛГ2,..., Хп, то можно выбрать несколько
состояний /, в каждом из которых действует
обобщённая сила в направлении лишней неиз-
вестной. Перемещение в направлении лишней
неизвестной равно нулю, поэтому первая поло-
вина левой части уравнения пропадает, вторая
же половина будет содержать внутренние уси-
лия, зависящие линейно от неизвестных. Число
состояний I может быть взято равным числу
лишних неизвестных, отсюда получаются необ-
ходимые уравнения (линейные), из которых
эти неизвестные определяются.
Формулы, которыми пользуются при при-
менении способа Максвелла-Мора, приведены
на стр. 63, 70 и 101.
РАСЧЕТ БАЛОК И КРИВОЛИНЕЙНЫХ
СТЕРЖНЕЙ
Неразрезные многопролётные балки
на жёстких опорах
Неразрезная балка по фиг. 7 имеет одну
шарнирно-неподвижную опору и ряд шарнирно-
подвижных опор. Число лишних неизвестных
в такой балке равно числу промежуточных
опор. Неразрезная балка по фиг. 8 имеет по
концам защемляющие (одну неподвижную, дру-
0
1
3 4 5
¦"//Я
Фиг. 7.
ЛГЪ.
гую подвижную) опоры и ряд промежуточных
шарнирно-подвижных опор. В такой балке число
лишних неизвестных равно числу промежуточ-
0
4
Фиг. 8.
ных опор плюс по одной неизвестной на каж-
дую защемляющую опору.
Для расчёта неразрезной балки в общем
случае применяется следующий приём: за не-
известные принимаются изгибающие моменты
над опорами; балка разрезается и превращается
в ряд простых балок, находящихся под дей-
ствием нагрузки и неизвестных опорных
моментов; затем составляется уравнение,
выражающее то условие, что от совместного
действия нагруз-
ки инеизвестных
опорных момен- '^"-' W" M» Л *V>
тов упругая ли- {"* J)? —Г)
ния слева и „_, 1» „ 1*+> Л
справа от лю-
бой опоры имеет Фиг. 9.
одну и ту же
касательную.
Для балки постоянного сечения указанное
условие выражается следующим уравне-
нием трёх моментов:
1п
где Мп_1, Мп, М„+\—моменты на опорах
п—1, ли л-f-l; ln, /„_j_i — длины двух по-
следовательных пролётов ли п+1 (фиг. 9);
9.п ап, Qn _|_ j Ьп _j_ j — статические моменты от-
носительно (л—1)-й и (п -\- 1)-й опор пло-

гл
РАСЧЁТ БАЛОК И КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
53
щадей эпюр изгибающих моментов п-го и
(zi-j-l)-ro пролётов как простых балок от за-
данной нагруз
l~%-t JT^1"] ки (Фиг- *())-
Л Если схема
неразрезной
балки соответ-
ствует фиг. 7, то
число уравне-
ний равно числу
Продолжение табл. 1
Фиг. 10.
промежуточных опор, если фиг. 8, то число
уравнений равно числу всех опор.В этом слу-
чае первое уравнение трёх моментов имеет вид
2М0 + М1 = — -^—. A3)
Правые части уравнений называются грузо-
выми членами, и их значение для раз-
личных нагрузок можно определять по табл. 1.
Таблица J
Грузовые члены уравнения трёх моментов (?У= const)
/ — длина пролёта,
9 — площадь эпюры моментов простой балки,
2Ь
= —-"- — левая фиктивная реакция,
/7
г
лини
Р-)
/
Ln
Р
Л
pl'L
- правая фиктивная реакция.
Р
—
»&-
,р
(т|ИТГГм|
1\
ртщттш
1
-г
1
10
А
Г
Ф ~~~
ф ""~"
О -
АФ =
*Ф=ТГ[
ВФ=?{
*Р о/
Од
аФ~ еГ
Q _
* —
РаЬ
~6Г
~Ы~
2
9
В4
ЫA
(/2
=±
РаЬ
2
-(/
b -
+
'-f
12
7 —
-/
_ !
I9
c*
t)
-)
!?2-
2
-0
b)
a)
\
-1
P
3ca)
:2)
ca)
12
I *_ t
Ф 180
Зф *= 130 ?
12
с a b
io
QP
-J
Для балки переменного сечения уравнение
трёх моментов принимает следующий вид:
где углы р„, $п
входящие в это урав-
нение, показаны на
фиг. П. Эти величины
для каждого пролёта
определяются отдель-
но графо-аналитиче-
ским или графическим
способом.
После решения си-
стемы уравнений трёх
моментов все опор-
ные моменты стано-
вятся известны и каж-
дый пролёт рассматри-
вается как простая
балка, находящаяся
Miff
t t 1

54
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
(РАЗЯ. I
Опорный момент
Неразрезные балки с равными пролётами и треугольной нагрузкой
Изгибающие моменты и опорные реакции
¦]¦
=-0,2679
= l, 2, . . ., л — 1)
Обозначение
¦
Наибольшие значения
пролётных моментов
Опорные реакции
мг
м3
м.
м5
Mi
Щ\
мт
MIV
My
Мщ
R«
R,
Й
Rt
R-
Л, ¦
2
— 0,06250
—
—
—
0 00400
0,06700
—
—
—
O.O2OQ
0,6250
°,354i
_
—
Число пролётов
3
—0,01480
—0,05187
—
-—
0,00662
0,00951
0,04683
_
—
—
0,0222
0,2000
o,5333
0.2445
—
—
4
—0.01:115
- 0,01785
— 0.04240
—
0,00254
0,00893
0,00954
0,03605
—
—
0,0097
0,1295
0,2321
0,4419
0.1868
—
5
—0,00650
—0,01308
—0,01760
—0,03560
000188
0,00482
O',OOQ2I
0,00878
0,02929
—
O,OO68
0,0701
0,1638
0,2256
0,3736
O,I5II
6
-0,00467
—0.00912
—0,01442
—0,01653
— O.O^OOO
0,00124
O.O0355
0,00509
0,00883
0,00796
0,02467
0,0046
0,0558
O,IIO2
0,1699
0.2103
0,3224
0,1208
Множитель
PI
PI
PI
PI
PI
PI
PI
PI
PI
PI
PI
P
P
P
P
P
P
P
под совокупным воздействием нагрузки и опор-
ных моментов.
Для случая, когда одна или несколько опор
дают осадку, величина которой известна
(фиг. 12), уравнение трёх моментов принимаем
вид:
а) для балки постоянного сечения:
~dn + 1), A5)
где Е—модуль упругости; J—момент инерции
сечения балки;
б) для балки переменного сечения:
где Ьп и 9л+1 —углы поворота линии, соеди-
няющих концы л-го и {п-\-\)-то пролётов,
вызванные осадкой
(фиг. 12).
Совместное вли-
яние нагрузки и
осадки опор учи-
тывается по прин-
ципу сложения.
Фиг. 12.
Мг
«л-1
Для неразрезных балок с равными пролё-
тами на стр. 54—57 приведены табл. 2-4,
позволяющие во многих случаях избежать ре-
шения уравнений.
Неразрезные многопролётные балки
на упругих опорах
Опоры этих балок способны перемещаться
в вертикальном направлении в зависимости от
давления на опору. Предполагается, что пере-
мещение опоры и давление на неё связаны
линейной зависимостью
8 = »/?,
где 5 — вертикальное перемещение опоры;/? —
давление на опору; е—коэфициент податливо-
сти опоры, т. е. перемещение опоры, соответ-
ствующее давлению, равному единице.
За лишние неизвестные в неразрезной балке
на упругих опорах принимаются, как и в не-
разрезной балке на жёстких опорах, изгибаю-
щие моменты над опорами. Для определения
этих величин служит следующее уравне-
ние пяти моментов, связывающее мо-
менты последовательных пяти опор:
1
hi+l
Я ?Л A \~ ~\ Г)
\1п Ы +1/
jln+'1
1п + 1
A7)

ГЛ. II]
РАСЧЁТ БАЛОК И КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
55
Таблица 3
Неразрезные балки с равными пролётами /, нагруженные равномерно распределённой нагрузкой
или сосредоточенными грузами одинаковой интенсивности и величины
Изгибающие моменты, опорные реакции и прогибы
Приведённые в таблицах коэфиииенты для изгибающих моментов должны быть умножены на рР или Р1, коэфи-
рИ
циенты для опорных реакций —на pi или Р, коэфициенты для прогибов— на -^гг или
— .
Изгибающие моменты положительны, если они вызывают растяжение с нижней стороны балки.
Опорные реакции положительны, если они направлены вверх.
а) Два равных пролёта
Случай нагрузки
I ¦ t и / «я»
АШШиУг
• "*• »
1
Опорные
моменты
мв
— о, Т250
—0,0625
—о, 1875
—0,0938
-о.ЗЗЗЗ
—0,1667
Пролётные
щ
0,0703
о,о957
0,1563
0,2031
0,2222
0,2778
моменты
0,0703
—
0,1563
0,2222
Опорные реакции
RA
о,375°
о,4375
0,3125
0,4063
О,66б7
O.8333
RB
1,2500
0,6250
i»375°
0,6875
2,6667
1.3333
RC
о.375°
—0,0625
0,3125
— 0,0938
0,6667
—0,1667
Прогиб
в пролёте
0,00520
0,00906
0,00915
0,01502
0,01470
0,02505
б) Три равных пролёта
Случай нагрузки
Опорные
IHIIIIIIIUf
t'llllllllllfH'^
л»
\р
\р
*
\РС
D
X
Jl
—0,0500
0,0500
— 0,0500 ! —0,0500
—0,1167
—0,0667
-0,0333
0,0167 i —
Пролётные
0,0800
0,1013
0,0250
0,0750
Опорные реакции
RA
Re \ Rd
0,4000
-0,0500
0,4500
0,3833
0,4333
-0,1500 j - 0,1500
i
—0,0750 1 —0,0750
0,1750 1 0,1000
—0,0750
- 0,0750 0,2125
—0,1750 - 0,0500
0,0250
-0,2607 —0,2667
- o, 1333
—0,1333
— 0,3111
-0,1778
-ОДЗЗЗ
-о. 1333
- 0,0889
о,О444
0,350°
— 0,0750
0,4250
0,3250
1,1000
o,55°°
o,55°°
1,2000
0,6500
05500
0,5500
0,4500
—0,0500
0,4500
-0,0333
0,0167
Прогиб
в пролёте
/I
0,0068
0,0099
0,0088
1,1500
o,575o
°,575°
1,1500
o,575°
°,575°
O.725O ;—0,1500
0,3500 i O,OII5
-0,0750
0,4250
— 0,0500
0,0250
O,Ol62
0,0146
0,0667
0,^889
O.7333
—о, 1333
о,86б7
0,6889
0,8222
2,2667
1ЛЗЗЗ
1,1333
2,5333
i,4ooo
2,2667
L3333
1.3333
0,8667
— 0,2667
°,7333
—ОДЗЗЗ
0,8667
—0,0889
О.О444
0,0272
0,0244
/11
0,0005
0,0068
0,0021
0,0115
0,0021
O.O18Q

56
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД.
в) Четыре равных
Случай нагрузки
Г г Г 1"
\р
Опорные моменты
мв
0,1071
0.0536
ОД2О5
0.0357
0,0669
0,0491
-0,1607
-0,0804
-о, 1808
0,0536
-0,1004
-0,0737
МС
— 0,0714
— о,оз57
— o,oi8o
—0,1071
0,0178
— 0,0534
0,1072
0,0536
0,0268
0,1607,
0,0268
0,0804
MD
— 0,1071
— 0,0536
— 0,0580
— 0,0357
— о оо45
o,oi34
—0,1607
— 0,0804
— 0,0871
—0,0536
— 0,0067
0,0201
0,0771
00996
0.0720
0,0938
О,2ОО8
ОД597
Пролётные
Ми
0,0364
0,0700
0,0561
0,1462
о 1428
о I73Q ,__
/t ft
-0,1429
-0,3214
-0,0952
-0,1784
• 0.1309
—00952
—0,0480
-0,2857
—0.1424
-о 2857
-0,1429
-о, 1547
-0,0952
-o.ong
0,0357
0,2381
02857
0,2263
0,2738
0,194а
0,2222
О,1О86
г) Много равных пролётов
Случай нагрузки
\L
\p \p
Опорнче моменты
MB
МС
М,
м.
Пролётные моменты
All
-00774
0,0180
-°.°539
— о,о8зз
— 0,0528
— 0,0670
-0,1585
— 0,0710
— о, Ti6ij — 0,1250
о 0270
— о,о8о4
— 0,0792
— 0,1005
— 0,0833
0,0778
0,0938
-0,0528: —
-0,1056 —
-0,0792
0,1584
Щ\
Опорные реакции
0,0339
0,0744
0,0417
0,0722
0,0394
0,1708
0,1830
0,1127
0,1708
0,1206
о,3943
O.4333
- 0,0473
O.3995
-0,0710
1.134°
0,6514
0,5407
Rcm
O.5749
1,2009
0,7280
0,5616
0,9464
0,6114
- i
0,567c
1.1341
0,6005
1.2010
/Г
Art
Л Л
0,2819
-0,1787
-O,I26l
- 0,2064
0,0480
-ОД437
— 0,222a —0,222a
- 0,1408—0,1408
-0,1787 - 0,2816
0,2393
0,2737
0,1017
0,2013
0,7181
0,8213
-0,1261
0.1925
0,1203
2.3574
1,1085
I.9O45
^1997
1.1785
2.357°

ГЛ. II]
РАСЧЁТ БАЛОК И КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
57
пролёта
Продолжение табл. 3
моменты
жш
0,0364
00807
0,0561
O,Il6l
0,1830
0,1428
0,1111
0,2222
0,2222
0,0771
0,0977
0,1697
0,2065
0.2381
0,2818
А
0,3929
0,4464
°>37°5
-O.O357
о,4331
—0.0491
O.3393
0,4196
0,3192
—0,0536
о,399>
—о о737
0,7*43
о 8573
0,6788
— 0,0952
O,82l6
— 0,1309
Опорные реакции
В
1,1428
о,57!5
1,2232
О,4б43
0,6516
0,5448
I.2I43
0,6072
1.3348
0,4464
0,7276
0,5670
2,3810
1,1906
2,595О
0,9056
1.4043
i,ii94
С
0,9286
0,4642
0,3573
1,1428
— о, 1070
о,57"
0,8928
0,4464
0,2858
1.2*43
— 0,1607
0,6072
1,8094
0,0043
0,6190
2,3792
-0.2853
1,1895
D
1,1428
O.57I5
о.598о
0,4643
0,0267
— 0,0802
1,2143
0,6072
0,6472
0,4464
0,0402
— O,I2O5
2,3810
1,1906
1,2618
0,9056
0,0713
- 0,2138
Е
0,3929
- 0,0536
о,442о
-0,0357
- о,оо45
o,oi34
O.3393
— о,о8о4
0,4130
—0,0536
— 0,0067
0,0201
O.7I43
— 0,1428
о,8454
- 0.О952
—о,ои9
о,о357
Прогиб в пролёте
Л
о.ообз
0,0096
о,оо88
о OIO9
o,oi59
o,oi47
0,0177
0.О265
о,о244
Ai
0,0019
о,оо56
0,0041
о.оиз
о,оо57
0,0l8;j
'.„
0,0074
0,0125
0,0206
Неразрезные балки с консолями
Опорные моменты а реакции
Таблица 4
Случай нагрузки
fo 1 2 3 4
JcW ' ' '
l" p\
0 1 2 3 4 \
ft - • »
Jfu/J
!?
о
с
о
5 о
2
з
4
2
Q
4
Опорные моменты
Мо
—I
— т
_,
j
— т
-I
Рс
O.25
О,20б7
О,2б78
О,2О
о,2858
Рс
_
— 0,0667
- 0,0714
— I
О,2О
— 0,1429
Рс
м3
_
O.OI79
— I
0,2858
Рс
_
-
—
-I
Рс
Ro
I +1.25
I -\- I 267
1 + 1,208
i + 1.5° -
I -j- 1,20
I -f- 1,286
р
с
т
с
1
с
т
с
с
1
т
R:
-1.5°
—1,6о
—1,6о7
—З.оо
— 1,2О
-1.7*4
Р
с
~Т
с
1
с
т
с
1.
с
1
Y
Опорные
Я.
О,25
о,4о
о,429
1 + Х.5С
—1,2О
о,857
Р
реакции
с
Г
с
1
с
т
с
с
1
с
Ra
- 0,067
— 0,107
-
I 4~ 1,20
— 1,714
Р
С
1
с
г
1
с
1
o,oi8
-
1 о<; С
I -|- 1,286 -
р
гДе ел_1» ел> еЛ4-1 — коэфициенты податливости жёсткостями и равноподатливыми опорами
ОПОр; ln_2, I _v /„, /,/+,, /л+2—ДЛИНЫ Про- УПЯВНеНИб- ПЯТИ мпмрнтпр м,р»т пи„.
b
лётов; <р*> ср" + 1 —углы поворота концевых
сечений на л-й опоре при условии, что балка
разрезана на опорах; А°п _,, А°п, л\ + х — опор-
ные реакции в предположении, что балка раз-
резана на опорах.
Для балки с равными пролётами, равными
уравнение пяти моментов имеет вид:
|_1A-4а) + Л^яD + б7) +
+*!+i)'.

58
где
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РЛЗД.
6?7
A8)
При составлении уравнений пяти моментов
нужно иметь в виду, что первое уравнение
составляется для п = 1 (фиг. 13,), поэтому для
а) для
конца . .
заделанного
для опёртого кон-
свободного
ь
1_удаб,
I
ибнение
пение
2
i
> 4
\
(
5
ца
в) для
конца
Предварительно
4
у = 0 и у' = 0;
v =0 и У =0,
МД^Р
делается подстановка
4
т —у -jgj , х/и — ?, после чего уравнение A9)
принимает вид:
X
Фиг. 13.
него Afn_2 =
, -. = 0; для второго
Общий интеграл уравнения B1) имеет сле-
дующее выражение:
у (§) = АС F) 4 fiC F) 4 СС" (?) 4
уравнения ЛТЯ_2= 0. Общая схема уравнений
для восьмипролётной балки будет иметь сле-
дующий вид:
5
1 / С
^ jp (/) rf/. B2)
о
4-
Z33M2 4 833М3 4 S34M4 4 S35M5
542^2 4 $43^3 4" §44 М4 4" S45^5 + 54(
^04^4 4" ^65^5 4 S6G
875/И5 4 о7й
fe 4- S5
6 4 S
6 -г о77/И7 =
Функции С(?), С (;\ С" (с)
С" (k) и их производные да-
ются в табл. 5.
В частных случаях нагрузки
общий интеграл имеет следую-
щие выражения:
а) при сплошной равномер-
ной нагрузке р, начинающейся
от точки л = а, § = am = a:
Число неизвестных и число уравнений здесь
такое же, как и в неразрезной балке с жёст-
кими опорами. Между коэфициентами суще-
ствует соотношение bik = Ь^.
Балки на сплошном упругом основании
Сплошным упругим основанием под балкой
называется основание, реакция которого рас-
пределена непрерывно по длине балки и имеет
интенсивность в любой точке, пропорциональ-
ную прогибу балки в этой точке *. Интенсив-
ность реакции q (x) связана с прогибом у (х)
следующей зависимостью:
у Ej1 =
4
4 CC" (?) 4
4 DC" ($, 4 ||? [1 - СF —а)]; B3)
а
б) при сосредоточенном грузе /¦* в точке
-а:
v E) =
4 ВС (?) 4 СС" (?) 4
B4)
в) при сосредоточенном моменте Мо в точ-
ке $ = а:
где k — постоянная, называемая к о э ф и ц и-
ентом упругого основания, отнесён-
ная ко всей ширине балки и имеющая размер-
ность кг/см7. Связь балки с основанием пред-
полагается двухсторонней, т. е. сохраняющей-
ся и при отрицательных прогибах (вверх).
Диференциальное уравнение упругой линии
балки постоянного сечения, лежащей на сплош-
ном упругом основании и находящейся под
действием сплошной нагрузки/; (х)
(фиг. 14), имеет вид:
EJy™(x) + ky(x) = p(x), A9)
где EJ — жёсткость балки; р (х) —
интенсивность сплошной нагруз-
ки — непрерывная функция или
функция с разрывами первого рода.
Для определения функции про-
гиба у — у (х) необходимо про-
интегрировать уравнение A9) и,
кроме того, удовлетворить усло-
виям на концах балки, а именно:
4 DC" (?)
4 «С E) 4 СС" E) 4
°
С" E
B5)
Символ перед последним членом уравне-
а
ний B3), B4) и B5) означает, что этот член
вводится для значений 5 > а.
Таблица 5
Функ-
ция
од
С'E)
С"($)
С'"{\)
Выражение функции
ch % cos ?
sh $ cos ? — ch % sin $
— 2 sh \ sin 5
—2(sh$cos?4ch?sin5)
1-я
производ-
ная
C'(i)
t"(?)
С"(ё)
-4CE)
2-я
производ-
ная
с®
С'"®
-4C(S)
-4С'F)
3-я
производ-
ная
CW(S)
-4СE)
-4С'(«)
- 4С"(?)
* Упругое основание, реакции которого обусло-
«лены не только поогибами, но и поворотами сечении
ш™ AоментаыеР реакции) рассмотрено в книге
а. а. Уманского [17].
Другие величины —• углы наклона касатель-
ной "изгибающие моменты и поперечные
силы определяются диференцированием урав-
нения B2):

ГЛ. 11]
РАСЧЁТ БАЛОК И КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
59
tg а = у' (?) = АС
CU
4DC E) — т f C" & — *>Р О л- <26>
о
О A» (t) dt; B7)
Af (?) =у (?) = AC" (?) + ВС" (?) — 4СС F) — 4DC (?) — Т 1 с"' E "
о
(? (?) = у" ($) = ЛС"' (?) — 4ВС E) — 4СС (?) — 4DC" (?) + 4 Г С (? — t) p (t) dt. B8)
о
Постоянные А, В, С и D определяются из
условий на концах балки при ? = 0 и ? =.
= 1т = X.
Функции С (с), С'(?\ ?"(?) иС"(«)имеют
следующие значения при ? = 0:
С @) = 1, С @) = С" @) = С" @) = 0. B9)
Кроме того, все интегралы, стоящие в пра-
вых частях уравнений B2), B6>, B7) и B8),
при S = 0 пропадают. При определении посто-
янных Л, jB, Си D из условий на концах? — 0
и g = X две из этих постоянных всегда обра-
щаются в нуль и
остаются всего лишь
две постоянные, ко-
Из условий на левом конце (свободном) А = С = 0.
Из условий на правом конце (защемлённом)
ВС (X) + ОС"(Ц +
4- ?- [С (X — Р) — С(Х - «)] ~ С (X — т) = 0:
ВС"(Х) — 4?>С(Х) +
+ ¦?- [С (X — р) - С (X - а)] - ~ С" (X - Y) = 0.
Отсюда
?» =
4 С (X) Ф (X)
4С <Ц С (X)
с (к) ф (м
+
+
Ф' (X) С
С" (X) С
- С (X) Ф1
'" (А) .
'" (X) '
'(X)
4С (X) С (X) + С" (X) С" (X) "
Г*1
\
\-аА
-1
Фиг. 14.
Фиг. 15.
торые определяются решением двух линейных
уравнений.
Например, если левый конец свободен, а
правый заделан, то на основании уравне-
ний B0) и B9) А = С ¦= 0 и остаются два
уравнения для определения постоянных:
х
ВС (к) + DC" (X) — -J- I" С (X — t) p {t) dt = 0;
о
X
fiC'/ (X) — 4DC(X) — -jr Г С" (k~t) p (t) dt = 0.
о
Пример (фиг. 15).
а) Уравнение упругой линии на участке 0 < д- < а:
j/ © = АС К) + ВС (i) + СС" К) + ?>С" (?);
б) то же, на участке а < х < Ь:
у (Ь) = АС (?) + ВС E) + СС" (;) + DC" (?) +
+ -J [l - С (S - «)] ;
в) то же, на участке b < х < с:
j/ (?) = АС (?) + ВС E) + СС" {I) + DC" (?) +
8 D
fe ft
+ СС" E) + ?>С" E) + -f [С F - Э) - С (с - «)];
г) то же. на участке с < х < /;
у (Е) = АС (S) + ВС E) + СС" i?) + DC'"(t) +
+ f- [С (Е - Р) - С ft - а)] - -~ С F - Т).
ф (Х) = - -^- [С (X - Р) - С (X - а)] + -L- - С (X - у);
Ф' (Х)= - -|- [С (X - Р) _ С'(Х — а)] + ~ С" (X - Т).
Для некоторых частных случаев приведены
готовые формулы (табл. 6). В этих формулах
приняты следующие обозначения:
С(?-):= ch?- cos s;
С (S) = sh g cos 5 — ch 5 sin 6;
С" (?) = — 2sh S sin $;
C'" (?) — — 2 (sh ? cos 5 — ch ? sin ?);
e(z) = c (?) -{счо + 4 cw («);
?че) = -с(е) + сче)—I;cE);
f (?) = - С E) + С" (?) - ^С" (?);
^(с) = 2С(е)-С(;) + С"(ё);
N — ch 4Х + cos ik;
T, sh 4X — sin 4X
V =
N
ch4X-
N
sh4X +
N
sh2X +
cos 4>
sin 4X
sin 2\;
ch 2X + cos 2X + 2
-ch2X
— ch 2X
n '
+ cos 2X
я '
— cos 2X + 3

60
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. 1
1аблица 6
Балки на сплошном упругом основании
Формулы заимствованы из книги Э. Корневица и Г. Эндера [5]
V "~к~
т ~= 1/ TWi > хт == ?• 1т = л, am = а
У ш
Схема балки
Г
f
\
У
\ Р
f f
\ \
%////// ', У///////'/////-
t
У
м
, f?—.
7?///'///'//УЛуууууууууа
г-^Х
ту
С"
Уравнение реакций q = kv
q — гт \zuL,{z) ¦— с (?) 4~ v • ^ w]
Для правой половины
? = Рт [т иС® ~? С'Ю — Т vC"($]
Для участка АВ
Для участка ?С
Для правой половины
л = Рт — \4:С0)С(^) + С 0*)?"(%)]
Для правой половины
9 — AJqTJZ 1 „ J С ^-в^ | „ С> ^>J
1 ~\
--и'С"{,)\
Для правой половины
Уравнение изгибающих моментов
р г j j
-|WC49]
Для правой половины
М - Р Г1 иС"(;) Х С'"@ +
И , 1 и"
Для участка ЛБ
M = -f- Г- /1,^F) - ^соЯ
Для участка ZJC
/> Г ] J HI h
— ¦ 7/Г1Л 2 ^TI 2 ''•''
_C2CE)-ZJC'(?)]
Для правой половины
м ==: — — — [^'('0^' (^)—^ О')^!^)
/71 Т1
\] \ VC"(c) C(') \ WC'(~) 1
Для правой половины
г 1 ^ J
1 <• I
4-T«C'@j
Для правой половины
М = _ Л!о Гу Б6-/"(^) — DC'(S)J
D = i u'C(X) 4- j v'C"(K)Jr±-C"'(k)

ГЛ. Ill
РАСЧЕТ БАЛОК И КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
61
Продолжение табл. 6
Схема балки
Г, .Г)
' р
Ту
и
1
Г*
Р
i
1
=г -'"^.^У//Т—-~
г'
г*
Р
/
1"
Я 1 И
С"
Уравнение реакции q = ky
Для правой половины
, = *^.Il-4C'WC(9-C-WCE)]
Для участка /4В
Для участка ВС
q — уу[/12С(?) -f В2С'(Л) f C2C($) +
4- D2CWE)]
j 1 1 /« 1-
Полубесконечная балка
ОР/"Ч
Бесконечная балка
Для правой половины
Полубесконечная балка
Для правой половины
? = p{l+i[C'"(X)C«)-C4X)C'«)])
Для правой половины
Г 1 /. 1 »
q — Pm\ 2 wC{<z) 2 С'(;)
Уравнение изгибающих моментов
Для правой половины
Для участка АВ
Для участка ВС
М = — ~[jA.,C"(z) + у B2C"{V) —
-C2C(?)-D2C'«)]
Для правой половины
р 1 -
ОТ 8
Для правой половины
Для правой половины
Р Г 1 1
^ ОТ L 8 ^^ (*) 8 ^ (^ ~Г"
Таблицы числовых значений приведённых функций имеются в книге Э. Корневица и Г. Эндера. Функции,
отличающиеся лишь множителем от С, С, С" и С" (функции А. Н. Крылова), имеются в настоящем спра-
вочнике в гл. .Математика".
Линии влияния для балок (изгибающего момента, поперечной силы, про-
гиба и т. п.), вызванное движением единич-
Одним из способов расчёта стержней на ного груза постоянного направления вдоль
подвижную нагрузку служат линии влияния. стержня. Для балок рассматривается движе-
Линия влияния есть диаграмма, изобра- ние груза, действующего перпендикулярно оси
жающая изменение какой-нибудь величины балки.

62
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
Если уравнение линии влияния для какой-
нибудь величины 5 есть у = у(х), то при дей-
ствии одного груза Р эта величина выражается
формулой 5 = Ру, где у — ордината линии
влияния под грузом. Если на балку действует
п грузов Pj, Я2 >—» Рт то величина 5 выражается
формулой
Опорные реакции простой балки (фиг.18,а),
вызванные действием груза Р = 1 на расстоя-
нии х от левой опоры, выражаются так:
л / \ 1-Х
C0)
где V; — ордината линии влияния иод грузом Р{
(фиг. 16, а).
Фиг. 16.
При действии сплошной нагрузки постоян-
ной интенсивности р величина 5 выражается
формулой
S = pQ, C1)
где Q — площадь линии влияния в пределах
действия нагрузки.
При действии сплошной нагрузки перемен-
ной интенсивности р — р{х) величина 5 выра-
жается формулой
C2)
где интеграл распространяется на длину, под-
верженную действию нагрузки (фиг. 16, б).
Линии влияния для консолей и простых
балок. Для сечения консоли на расстоянии
а от конца (фиг. 17, а) изгибающий момент и
поперечная сила,
дей а -~
j
вызванные дей-
ствием груза Р = 1
на расстоянии х
от конца, выража-
ются следующими
уравнениями:
Q
М
Фиг. 17.
Фиг. 18.
для
М(а,х) — — 8 (а—х) \
Q(a,x) = —1
М{а,х) = Q{a,x) для х > а.
а.
Графическое изображение линий влияния
момента и поперечной силы показано на
фиг. 17, б и в.
Изгибающие моменты и поперечные силы
для сечения балки на расстоянии а от левой
опоры при действии груза Р = 1 на расстоя-
нии х от левой опоры будут
М(а,х) = ВA — а)^~ A—а) при 0 < х < а;
М{а,х) = Аа — ~-^- а при а < х < /;
=—? = — -*- при 0 < х < а;
= А —
при a
< /.
Линии влияния опорных реакций, изгиба-
ющих моментов и поперечных сил изображены
на фиг. 18, б, в и г.
Линии влияния для статически неопре-
делимых балок. Линии влияния для изгиба-
ющих моментов, поперечных сил и опорных
реакций статически неопределимых балок кри-
волинейны. Их построение производится по
следующему праъппу.чтобы построить линию
влияния в какой-нибудь точке балки для
какого-нибудь обобщённого усилия (изгибаю-
щего момента или поперечной силы), необхо-
димо балку разрезать в этой точке и сооб-
щить ей обобщённое перемещение в напра-
влении силы, равное единице. Полученная
упругая линия представит собой линию влия-
ния для искомой обобщённой силы.
Так, например, если требуется построить
линию влияния для поперечной силы в точке
х — а однопролётной защемлённой балки
(фиг. 19, а), следует раз-
резать балку в точке
х = а и раздвинуть кон-
цы левой и правой ча-
стей на единицу, не по-
ворачивая при этом кон-
цевые сечения одно от-
носительно другого. Ука-
занное перемещение есть
обобщённая координата,
отвечающая обобщённой
силе, линия влияния
которой определяется,
т. е. поперечной силе в точке х = а, а вся
упругая линия в целом есть искомая линия
влияния (фиг. 19, б). Если требуется найти ли-
нию влияния для левого опорного момента в
той же балке, то нужно ввести шарнир в ле-
вом конце балки и повернуть конец балки на
угол, равный единице (фиг. 19, в). Упругая ли-
ния представит собой линию влияния левого
опорного момента.
Указанный принцип построения линий влия-
ния вытекает из теоремы взаимности
работ Бетти: „если заданы два различных
состояния упругой системы, то работа сил
первого состояния, системы на перемещениях
второго состояния равна работе сил вто-
рого состояния на перемещениях первого
состояния". За первое состояние принимается
Фиг. 19.

ГЛ. II]
РАСЧЁТ БАЛОК И КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
63
состояние, соответствующее действию различ-
ных грузов и той обобщённой силы, для кото-
рой ищется линия влияния, за второе — состоя-
ние, в котором системе сообщено единичное
обобщённое перемещение (фиг. 19, а и в рас-
смотренного примера). На основании теоремы
Бетти
-У.РУ + А*А-1 = AV0, МА = У.РУ,
Искомая проекция перемещения выражается
формулой
4* — J ?7 "I" J Ff- ¦ J OF
C3)
Фиг. 20.
Фиг. 21.
Момент
т. е. опорный момент выражается как сумма
произведений грузов на ординаты упругой ли-
нии второго состояния, а, следовательно, эта
упругая линия и есть линия влияния для опор-
ного момента. Чтобы получить линию
влияния для прогиба (или угла пово-
рота сечения) в какой-нибудь точке
статически определимой или статиче-
ски неопределимой балки, необхо-
димо в этой точке приложить силу
(или соответственно пару), равную
единице. Полу-
ченная упругая
линия предста-
вит собой ли-
нию влияния для
прогиба (или
угла поворота)
в точке ^фиг.2э%
б и в).
Указанный
способ построе-
ния линий влия-
ния совершенно одинаков как для
однопролётных, так и для многопро-
лётных балок. Для неразрезных и
однопролётных статически неопреде-
лимых балок на стр. 63—66 даны табл. 7,
7а и 76.
Определение перемещений стерж-
ней способом Максвелла-Мора
Прогибы и углы поворота стерж-
ней под действием различных на-
грузок и изменения температуры
определяются универсальным спосо-
бом Максвелла-Мора, применимым
к статически определимым, статиче-
ски неопределимым, к прямолинейным
и криволинейным, плоским и про-
странственным стержням.
а) Статически опреде-
лимые пло-
ские стержни.
Пусть требуется
определить про-
екцию на прямую
тп перемещения
точки С стержня,
изображённого на
фиг. 21, под дей-
ствием нагрузки
и изменения темпе-
ратуры. При при-
менении способа
Мора рассматри-
ваются два состояния стержня:
а) состояние а — при действии
указанных факторов (фиг. 21, а);
б) состояние i — при действии
одной силы, равной единице, в точке
С в направлении тп (фиг. 21, б).
где Ма, Na, Qa — изгибающие моменты, про-
дольные и поперечные силы, соответствующие
состоянию а; М^ Nh Q-t — то же, соответствую-
щие состоянию /; Us — элемент дуги стержня;
Е— модуль упругости; J— экваториальный мо-
мент инерции сечения стержня относительно
оси z\ F~площадь сечения стержня; х — коэ-
Таблица 7
Ординаты линий влияния для неразрезных балок с двумя,
тремя и четырьмя пролётами
а) Два равных пролёта
2. о
[_ 03
о
I
2
3
4
5
6
7
8
9
ю
и
12
Ординаты линии влияния
1
Изгибающие моменты в точках
2
о | о
0,1323
0,0988
о,оо77
0,0402
0,0172
о
— о.оюб
— 0,0154
— 0,0156
— 0,0123
— о,ооб8
о
0,0976
0,1976
O.I354
0,0803
O.O343
о
— О,О212
— 0,0309
— О,О313
— O.O247
- O.OI35
о
3
о
0,0632
0,1298
O.2O3I
O.I205
о,0516
о
0,0318
0,0463
0,0469
0,0370
О.О2ОЗ
о
4
о
0,0285
0,0619
0,1041
0,1606
0,0687
0
— 0,0424
— 0,0617
— 0,0626
— 0,0494
— 0,0270
0
5
0
— 0,0060
— o,oo5i
0,0051
0,0340
0,0860
0
— 0,0530
— 0,0772
— О>О7Й2
— 0,0617
— 0,0338
0
6
0
— 0,0405
— 0,0740
— 0,0938
— 0,0926
— 0,0636
0 '
- 0,0636
— 0.0020
- 0,0938
— 0.0740
— 0,0405
Попереч-
ные силы
1,000
°>793
O.593
о,4оо
0,241
о, юз
о
— 0,064
— О,О93
— 0,094
— о,о74
— 0,041
1
Ординаты линии влияния моментов должны быть умножены
на пролёт /.

64
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. !
фициент, зависящий от формы сечения; а—коэ-
фициент линейного расширения; / — равно-
мерное изменение температуры; f — разность
увеличения температуры верхнего и нижнего
крайних волокон стержня при неравномерном
нагреве; Л — высота сечения стержня.
Интегралы берутся по длине стержня.
Если требуется определить угол поворота се-
чения в точке С, то в состоянии /вместо единич-
ной силы нужно приложить пару с моментом,
равным единице Формула остаётся без изме-
нения.
На практике почти всегда пренебрегают
третьим интегралом формулы C3) ввиду его
ничтожной величины, а во многих случаях
пренебрегают также и вторым интегралом,
что соответствует пренебрежению влиянием
поперечных и продольных сил на переме-
щения.
Для прямых балок при отсутствии влияния
температуры формула перемещений прини-
мает вид:
is Ma dx
1 а C4)
f Mt Ma dx
=J EJ
Пример 1. Кривой стержень с осью, изогнутой по
окружности, находится под действием двух сил (фиг. 22).
Р
Интеграл берётся по длине стержня.
Фиг. 22
Определить взаимное расхождение концов А и В и
взаимный поворот этих сечений.
Для определения перемещений пользуемся форму-
лой C4).
Продолжение табл. 7
точи
ffl
Груз
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
го
и
Г2
13
14
*5
i6
17
18
1
0
0,1318
0.0980
0,0667
0,0391
0 0165
0
— 0,0095
— 0,0132
— 0 0125
— 0 0000
— 0,0044
0
0,0028
0,0041
0,0042
0,0033
0,0018
0
2
0
0 0967
0,10.60
013ЗЗ
0.0782
0,0329
0
— 0,0190
— 0,0263
— 0,0250
— 0,0181
— 0,0088
0
0,0057
0,0082
0,0083
0,0066
0.0036
0
Изгибающие
3
о
o,o6i8
0,1273
0,2000
0.1174
0,0495
0
— 0,0285
— °.°395
-0.0375
— 0,0271
— 0,0131
о
0,0085
0,0123
O.OI25
о,оо99
о,оо54
о
4
о
O.O2&7
0,0585
0,1000
о,15°5
0,0659
о
— 0,0379
— 0,0526
— 0,0500
— 0,0362
- 0,0175
о
о,онз
0,0165
0,0167
0,0132
0,0072
о
i
б) Три равных
пролёта
Ординаты линии влияния
моменты в точках
5
о
— 0,0083
— О OIO2
о,оооо
0,0289
0,0826
о
— OO474
— 0,0658
— 0,0625
— 0,0452
— О O2I9
о
0,0141
О, 020Э
0,0208
0,0165
0,0000
о
6
о
- 0,0432
— 0,0790
— О IOOO
— 0,0987
— 0,0677
о
—0.0569
-0,0789
— 0,0750
- °.°543
— О ,О2ОЧ
О
0,0169
о,0247
0,0250
0,0197
о.ою8
о
7
о
— 0,0342
— о 0625
— 0,0792
— 0,0782
— 0,0536
о
0,0872
0,0364
о,оо8з
— О.0О28
— 0,0030
о
О,ОО28
0,0041
0,0042
о.оозЗ
о ooi8
0
8
0
— 0,0252
— 0,0461
— 0,0583
— 0,0576
— О.0395
0
0,0644
0,1516
0,0917
0,0487
0,0191
0
— о,от13
- 0,0105
— 0,0167
— 0,0132
— 0,0072
0
9
0
— 0,0162
— 0,0296
— 0,0375
— 0,0370
—0,0254
0
0 0418
0,1002
0,1750
0
0
Поперечные
Qo-Qa
1,00000
0,7901
°'5877
о,40оо
0,2346
0,0990
о
— 0.0569
— о,о7&)
— 0.0750
— O.O543
— 0,0263
о
0,0169
O.O247
0,0250
o,oi97
о,ою8
о
0
0,0540
0,0987
0,1250
0,1234
0,0846
1,0000
0,8639
0,6913
0,5000
0.3087
0,1361
0
— 0,0846
— 0,1234
— 0,1250
— 0,0987
— 0,0540
0
Опор-
ная ре-
акция
Я.
о
0,2039
о, 51 ю
0,7250
о,8888
0,9850
1,0000
0,9208
о,77оа
°.575о
о, 3630
о, 1624
о
— 0,1015
— 0,1481
— 0,1500
— 0,1184
— 0,0648
•J
Ординаты линии влияния моментов должны быть умножены на пролёг I.

Продолжение табл. 7
в) Четыре равных пролёта
точке
а
т
о.
о
I
2
3
4
5
6
7
8
9
ю
и
12
13
14
15
10
17
18
19
2О
21
22
23
24
• Ординаты линии влияния
1
о
0,1318
о,о979
о,о666
0,0391
0,0164
о
— 0,0094
— 0,0130
— 0.0123
- о,оо88
- О.СО42
о
0,0026
O.OO35
о,ооз4
О,0О24
0,0012
о
— о,ооо8
— О, ООН
— О, ООН
— о,ооо9
— о,ооо5
о
2
о
0,0966
0,1958
о, 1332
0,0781
0,0328
о
— o,oi88
— О,О2бо
— 0,0246
— 0,0176
— о, 0084
о
0,0051
0,0071
0,0067
0,0049
О,ОО24
о
— 0,0015
— 0,0022
— 0,0022
— o,ooi8
— 0,0010
0
3
0
0,0617
0,1271
0 1998
0,1172
0,0494
0
— 0,0283
— 0,0390
— 0,0369
— 0,0265
— 0,0127
0
0,0077
0,0106
0,0101
0,0073
0,0035
0
— 0,0024
- 0,0033
— 0,0034
— 0,0020
—0,0015
0
4
0
0,0266
0,0582
0,0997
0,1562
0,0657
0
-0,0377
- 0,0520
— 0,0491
- 0,0353
— 0,0169
0
0,0102
0.0141
0,0134
0,0097
0,0047
0
— 0,0030
—0,0044
- 0,0045
— 0,0035
— 0,0019
0
Изгибающие моменть
5
о
— 0,0084
— о.оюб
— о,ооо4
4 0,0285
40,0823
о
— 0,0471
— 0,0650
- 0,0614
— 0,0441
- 0,0211
0
0,0128
0,0177
0,0168
0,0121
0,0059
0
— 0,0038
— 0,0055
— 0,0056
— 0,0044
— 0,0024
0
6
0
— 0,0434
— о,о793
— 0,1004
— 0.0992
0,0681
0
— 0,0565
— 0,0780
~ °io737
— 0,0529
о
O.O153
О. 0212
0,0201
0,0145
0,0070
о
— о,оо45
— о.ообб
— о,со&7
— 0,0053
— 0,0029
о
7
о
— O.O343
— О,об2б
— О,О792
— 0,0782
— O.O537
о
4 о, 0872
4 0,0365
4 о,оо85
— О.СО26
— о,ооз5
о
O.OO26
О,ООЗб
о, 0034
О,0О24
0,0012
О
— о.ооов
— О, ООН
— О, ООН
— о,ооо9
— 0,0005
о
в точках
8
о
— 0,0251
— Q.O459
— 0,0580
— о,о573
-о,оз93
о
0,0640
о, 15^9
0,0907
O.O477
0,0183
о
— 0,0101
— 0,0141
- o,oi34
— о,оо97
— 0,0047
о
0,0030
0,0044
о.оо45
о,ооз5
о
9
о
— о,0159
— 0,0291
— 0,0368
— 0,0364
— O.O249
о
о О4Н
0,0987
о. 1730
0,0981
0,0403
о
— 0,0229
— 0,0317
— О,ОЗО2
— O,O2l8
— o,oio6
о
о,оо68
о,оо99
O.OIOI
0,0079
о,оо43
о
10
о
— о,оо68
— O.OI24
— 0,0156
-0.0154
— о.оюб
о
o,oi79
0,0464
о,о885
о, 1483
0,0020
О
— 0,0356
— O.O493
— 0,0469
— о,оз39
— 0,0164
о
o,oio6
o,oi54
0,0156
O.OI23
о,оо68
о
11
о
O.OO24
О.0О44
0,0056
о,оо55
0,0038
о
- 0,0051
— O.OO59
4 0,0041
4 о озз8
4 0,0840
о
- 0,0483
0,0670
о,об37
0,0461
O.O223
О
O.OI44
О,О2О9
0,0212
o,oi68
0,0092
0
12
0
0,0116
0,0212
0,0268
0,0265
0,0182
0
— 0,0281
— 0,0582
— 0,0804
- 0,0846
— 0,0610
0
0
0
Поперечные силы
Qo-Q»
1,0000
0,7899
0.5874
0,3996
0,2341
0,0986
0
— 0,0565
0.0780
0,0737
0,0529
0,0253
°
0,0153
О,О212
О,О2О1
o,oi45
0,0070
о
— о,оо45
— о.ообб
— 0,0067
—0,0058
— О.ОО29
о
Q«-Q>3
0
0.0550
0,1005
0,1272
¦0,1257
0,0863
1,0000
0,8617
0,6865
0,4933
0,3016
0,1310
0
— 0,0763
— 0,1058
— 0,1005
— 0,0727
— 0,0351
0
0,0227
0,0331
0,0335
0,0265
0.0145
0
Опорные
Я,
о
0,2651
о,5131
0,7276
0,8916
0,9877
1,0000
0,9182
0,7645
0.5670
0.3545
0,1563
о
— 0,0916
— 0,1270
— 0,1205
— 0,0872
— 0,0421
о
0,0272
о>°397
0,0402
0,0323
0,0174
о
реакции
#3
о
-ооб95
— о,1270
— о,е6о7
— 0,1588
— 0,1090
о
о, 1734
0.3862
0,6072
0,8042
о,9453
1,0000
°,9453
0,8042
0,6072
0,3862
о, 1734
о
— 0,1090
-0,1588
— 0,1607
— 0,1270
- 0,0695
0
Ординаты линии влияния моментов должны быть умножены на пролёт
СП
ел

Таблица 7 а
Однопролётная балка с одним защемлённым и одним опёртым концом
б) Поперечные силы
М
М
о) Изгибающие моменты
Сечение
xjl
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
°>7
о,8
о,9
— 0,0855
+ o,oi3
+ о оиб
+ O.OIOI
+ 0,0087
0,2
— о, 144
— о,0495
+ о,о45
+ о,оз9
+ о,°335
+ 0,0072: + 0,0280
+ 0,0058
+ О,О2О4
+ 0,0043 + o,oi68
+ О,ОО29: + О,ОИ2
+ 0,0014
+ 0,0056
0,3
-0,1785
— 0,0907
— о.ооз
+ 0,085
+ 0,073
+ о,обо8
+ 0,0485
+ 0,0365
+ O.O243
+ O,OI2I
Положение
0,4
— 0,192
- O.TJ28
груза xjl
0,5
- 0
— 0
— 0,0336!- о
+ O.O457
+о,1249
+ о, ю4
+ о 0832
+ 0,0624
+ 0
+ 0
+ 0
+ 0
+ 0
187.S
п88
050
0188
0875
1563
125
OQ37
+ o,o4i6| + 0,0625
+ 0,0208
+ 0
0312
0,6
— О
— о
— о
+ о
+ о
+ о
+ о
+ о
+ о
1бо
III2
O545
OO25
O592
lib
0,7
— 0,1365
— 0,0925
— 0,0490
— 0,0055
+ 0,0381
+ о, 0818
1728+0,1254
1296 + 0,1691
0864
+ 0,0432
+ 0,1127
+ 0,0564
0,8
— 0,096
— 0,0665
— 0,0368
— 0,0072
+ О,О224
+ O.O52O
+ o,o8i6
+ 0,1112
+ 0,1408
+ 0,0704
0,9
— 0,0495
0,0345
— 0,0190
— 0,0046
+ 0,0103
+ 0,0252
+ 0,0302
+ 0,0552
+ 0,0701
+ 0,0850
Положе-
ние груза
х/1
Верхняя
линия . .
линия . .
0,0
1,000
о
0,1
0,986
—o,oi4
0,2
о,944
- 0,056
0,3
о,879
—0,121
0,4
O.792
- о,зо8
0,5
о,688
—О,312
0,6
о,5бо
-0,440
0,7
о,43б
-0,564
0,8
0,296
-0,704
0,9
о, 149
-0,851
1,0
0
1,ОО
Для поперечной силы левее сечения следует взять ординату нижней линии,
для поперечной силы правее сечения — ординату верхней линии.
Однопролётная балка с двумя защемлёнными концами
о) Изгибающие моменты
Таблица 76
Сечение
х'1 .
о,о
О I
0,2
°<3
о,4
о.5
0,1
— о o8i
+ 0,0162
+ 0,0124
+ o,ooq6
0,2
— 0.128
- 0,0384
-4- о,05Т2
+ о,о_;о8
+ 0,0078.+ 0,0304
+ О.ОО5
+ 0, О2О
0,3
-ОД47
- о,о686
+ 0,0098
+ 0,0882
+ о,об66
+ о,о45
Положение груза xjl
0,4
-0,144
— 0,0792
+ 0,0144
+ 0,0504
+ 0,1152
+ 0,080
0,5
-0,125
- 0*075
+ 0,0250
+ 0,0250
+ 0,0750
+ О,125
0,6
— 0,096
- о,о6о8
— 0,0256
0,7
— о
-- о
- о
+ 0,0096) + о
+ 0,04481 + 0
+ о о8о
+ о
обз
0414
oio8
ooi8
0234
.045
0,8
—0,032
— 0,0216
— 0,0112
— 0,0008
+ 0,0096
+ 0,020
0,9
— 0,000.
— 0,0062
— 0,0034
— 0 оооб
+ 0,0022
+ о,оо5
Ординаты линии влияния моментов должны быть умножены на пролёт Л
б) Поперечные силы
Положе-
ние груза
х/1
Верхняя
линия . .
Нижняя
линия . .
0,0
1,000
о
0,1
о,972
—0,028
0,2
0,896
—О,Ю4
0,3
0,784
—O,2l6
0,4
0,648
- 0,352
0,5
0,500
—0,500
0,6
0,352
0,7
0,216
—0,648 —0,784
0,8
0,104
-0,896
0,9
0,028
- 0,972
1,0
0
— 1,000
Ординаты линии влияния моментом должны быть умножены на пролёт
Для поперечной силы левее сечения следует взять ординату нижней линии,
для поперечной силы правее сечения — ординату верхней линии.

ГЛ. II]
РАСЧЁТ БАЛОК И КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
67
Для определения прогиба рассматриваем состояние
а (фиг. 22, а) и состояние Г (фиг. 22, б). Выражаем изги-
бающие моменты как функции дуги:
Ма — о(о < <р < у | ; М{ = ЬаA - cos tp);
Ма = — Pa cos 9 I — < <p <it J .
Взаимное расхождение точек А я В:
ааA—cos(p)cosccad(p
EJ
Для определения взаимного угла поворота принимаем
состояние ( согласно фиг. 22,в.
Моменты как функции дуги:
Ма = - Pa cos 9; (-|-< <? О \ ; Л1,- = 1.
Взаимный угол поворота точек А и В:
it/2
2Ра3
= —E-j-\ sin u - sin -j- ] = + -wr ¦
Пример 2. Консоль находится под действием сплош-
ной равномерной нагрузки (фиг. 23). Определить прогиб
конца консоли.- Соответствующие состояния а и i изоб-
ражены на фиг. 23, а и б.
px>
2
1 • х = — л-.
Искомый прогиб определяем
по формуле C4):
' рх3 их
8?У V
О
Пример 3. Консольная
балка находится под действием
сплошной равномерной нагруз-
ки (фиг. 24). Найти угол пово-
рота конца С.
Состояния аи/ изображены на фиг. 24, а и 6.
Ма = - Щ- @ < х < a); Mt =
1;
па?
Ма = - i~ (I + а - х) (а < х < I + а);
- 1.
Искомый угол поворота:
I + а
С рх* , , р ра* •
J Тшйх+ J . -ЙЕ7 <'+ а - х) dx:-
ра3 раЧ pa? la I \
= 6?7 + 4?У = 2?7 \^Т + TJ '
Интегралы вычислены отдельно по участкам 0 —а и
а - (/ + а). .
Для прямых балок постоянного сечения
определение перемещений облегчается
благодаря возможно-
сти упрощённого вы-
числения интеграла
) ~Еу— ПО СПОСОбу
Верещагина. Этот спо-
соб применим к тому
случаю, когда EJ =
= const и одно из урав-
нений моментов (Ма
или Mi) линейно и, следовательно, эпюра
изгибающих моментов прямолинейна. Если
Mt = т + л*, ?У = const, то
Фиг. 24.
ь Ь
С М: Ма dX if/
=^jrc, C5)
т. е. интеграл может быть определён как
разделённое на EJ произведение площади
эпюры Qa на орди-
нату уе второй эпюры,
расположенную под
центром тяжести пер-
вой (фиг. 25).
Если эпюра со-
стоит из прямолиней-
ных участков, то вы-
числение возможно
вести отдельно по уча-
сткам, применяя к
каждому из участков
указанный способ. -
Пример I. Определить по способу Верещагина про-
гиб консоли, изображённой на фиг.! 23.
Эпюра Ма изображается параболой, эпюра М{ —
прямой. Прогиб по формуле C5) выражается следующим
оСразом:
±i ±P*JJP1' ' ¦
1
1
1
m\\
1;
I
'ТТТТПТТ
! '!¦'! 1111
i-
Mt
щтТПТПТ
Ihllllllll
птттПТ
ш\
\\W\\\
шин
Фиг. 25.
?/234
8EJ
Пример 2. Определить по способу Верещагина про-
гиб конца консоли балки, изображённой на фиг. 26.
Эпюра Ма изобра-
жается двумя параболи-
ческими треугольниками,*
эпюра М.—двумя прямоли-
нейными треугольниками.
Часть эпюры Ма< распо-
ложенная в пролёте балки,
представляет собой алге-
браическую сумму тре-
угольника DAB и парабо-
лического сегмента DFB;
для каждой из слагающих
площадей положение цен-
тра тяжести известно.
Искомый прогиб выразится так:
и
Фиг. 26.
" EJ \ 6 А й+ 4 3 ° 8 ' 3 1 2 j
АаЧ -
Для различных форм „перемножаемых
эпюр составлена табл. 8 (стр. 68).

68
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
Таблица интегралов JjWjM^ ds
Основание всех площадей — s
Таблица 8
ft, i
е \"е
sh
sh
BА4+As)
Л3с4 — Л4с3]
е
*! Bf2 -
12
12
f ^B*7
Таблица 9
Усилия и перемещения кругового стержня
М, N, Q — изгибающий момент, продольная и поперечная сила в произвольном сечении
8у, 6Х, 6 — вертикальнее и горизонтальное перемещения и угол поворота конца
/
/
e м
,
M
— Pr sin 
Pr3
EJ
A
b
sin2a^
4
— cos aI
2
Рл3 A
?7
-2 sin
— cos»)»
2
/3
I2 "
EJ
Pr3
EJ
9
A-
(a-
COSa)
Sin a)

ГЛ. II]
РАСЧЁТ БАЛОК И КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
69
Продолжение табл. 9
Схема
М
-Мл
N
— cos ср)! — рг A— cos <f)
pr sin ер
—pr2 (cp —sin e)
/>/¦ sin te
— cos ©)
^-(l-cosa)
t>r<_ A — cos of
EJ 2
¦у [sin °
sin 2a
4
— о cos c
EJ
— sin a)
pr* /3a_
€!\ ?-
EJ L 2
— «sin « + ¦
EJ
?1
EJ
(a — sin a)
EJ [-2 +
+ cos a — 1
Таблица JO
Усилия и перемещения кругового стержня под нагрузкой, перпендикулярной его плоскости
EJ
Отношение жесткостей изгиба и кручения Х= - —
Схема
Момент изгиба пер-
пендикулярно пл. ху
М
Pr sin ср
Af0 sin -f
Мо cos cp
/7Г2 A — COS <p)
Крутящий момент
Pr{\ — cos-f)
— MqCOS cp
Mo sin cp
рГ2 (cp Sjn ^
Перемещение
Перемещение, перпендикулярное пл. ху
Pr3 I 1 4- ЗХ , X — 1 . n m . \
о, = -^tf —-=— a 4 — sin za — J,k sin a
Угол поворота вокруг оси jtr
Одг = % fi+A a + ^ sIn 2al
¦* ?Л 2 4 J
Угол поворота вокруг оси у
р Л1ОГ1 +Х X — 1 . п 1
Перемещение, перпендикулярное пл. ху
bz = -pj [A — cos aJ -J- X (a — sin aJj
6) Статически неопределимые
плоские стержни. Для статически не-
определимых стержней формулы C3) и C4)
сохраняются в силе; состояния а и / та-
кие же, как для статически определимых стерж-
ней. Однако возможно упрощение, основан-
ное на важном свойстве интегралов, входящих
в эти уравнения, а именно: интегралы не
изменяются, если в состоянии i вместо
фактической схемы стержня принять лю-
бую неизменяемую схему, полученную из
заданной статически неопределимой схе-
мы путём удаления лишних связей. Отсюда
вытекает, что при определении перемещений
статически неопределимого стержня в со-
стоянии / можно без
ущерба для результата
удалить все лишние связи,
т. е. превратить схему
стержня в статически
определимую.
Пример. Определить про-
гиб в середине балки, заще-
млённой обоими концами, при
действии сплошной равномер-
ной нагрузки согласно схеме
фиг. 27.
Состояние а соответствует
фиг. 27, а, я состояние i можно
принять либо по схеме фиг. 27, б,
либо по схеме фиг. 27, в.
Фиг. 27.

70
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
Прогиб в первом случае выражается следующим
образом:
~~ EJ { 24 2 8 8 2 3 16/ ~~ 384EJ'
во втором случае:
— ejT Ус
~~ EJ \~~ 24 2 4 ' 8 "б 8 1 384Я7'
Оба результата тождественны.
Тот же результат получится, если принять состоя-
ние i по статически неопределимой схеме, т. е. при заще-
млённых концах,
в) Статически определимые
пространственные стержни. Пере-
мещения пространственных стержней опреде-
ляются по формуле
м)
EJ
М? М* ds
*
GTy
'YAM*ads
,ds
EF
EF
ds
EF
+ \NiatdS,
C6)
где My, Mya, Mz, Mza — изгибающие момен-
ты относительно осей у и z\ Qf, Q^, Qf,
Qza — поперечные силы; Mf, Mxa — крутящие
моменты; Nj, Na— продольные силы; F— пло-
щадь сечения; Jy, Jz —моменты инерции относи-
тельно осей у и г; Тх — коэфициент кручения;
%У и %z—коэфициенты, зависящие от формы
сечения; / — повышение температуры. Индексы
i а а указывают соответственно состояния
i и а.
Пример. Определить прогиб конца стержня, имеющего
форму части окружности, под действием силы, пер-
пендикулярной плоскости стержня
! р (фиг. 28).
О ^ Изгибающий и крутящий мо-
~~ менты:
Ма =Pr sin tp;
Mi =r sin <p;
С
Фиг. 28.
Ma = Pr A-cos <pj; M i - /-A-cos <p).
Прргиб:
t =
~ f
о
P/-3 /1 + 3X
I
~^j J
о
~T~ Sm ~ S1" °"
EJ
РАСЧЕТ РАМ
Общие положения
Рамой называется стержневая система,
в которой для обеспечения неизменяемости
стержни соединены между собой во всех или
некоторых узлах жёстко и которая теряет
неизменяемость, если жёсткие узлы заменить
шарнирными (фиг. 29, а).
Жёсткость узла характеризуется тем, что
касательные к упругим линиям стержней
в узле после деформации
образуют между собой тот
же угол, что оси стержней
до деформации (фиг. 29,6).
Примечание. Системы
с несмещающимися узлами и
имеющие структуру, сходную с
,рамной" (фиг. 30), также отно-
сятся к настоящему разделу,
поскольку в отношении способа
б)
Фиг. 29.
Фиг. 30.
расчёта они не отличаются от рам, хотя и являются
по строгому определению фермами.
При расчёте рам принимаются следующие
допущения:
1. Упругие перемещения, вызванные на-
грузкой, малы по сравнению с размерами
конструкции, ввиду чего может быть приме-
нён принцип сложения, заключающийся в том,
что усилия или перемещения от совокупности
нагрузок определяются как сумма усилий или
перемещений, вызванных каждой нагрузкой
в отдельности.
2. Влияние нормальных и поперечных сил,
действующих в элементах, на деформации не-
значительно и им можно пренебречь.
По характеру взаимного расположения
стержней рамы делятся на плоские, т. е.
такие, у которых оси всех стержней и нагруз-
ки (в том числе и опорные реакции) лежат
в одной плоскости, и на пространствен-
ные, у которых оси стержней могут быть
расположены не в одной плоскости.
Рамы могут быть статически определимы-
ми и статически неопределимыми. Большин-
ство рам, встречающихся на практике, отно-
сится к категории статически неопределимых.
Статически определимые рамы рассчиты-
ваются как кривые или ломаные стержни.
Плоские рамы
Опоры. В плоских рамах применяются
опоры следующего типа:
а) защемляющая неподвижная опора
(фиг. 31, а),
б) защемляющая подвижная опора (фиг. 31, б),

ГЛ. П]
РАСЧЁТ РАМ
71
неподвижная опора
подвижная опора
в) цилиндрическая
(фиг. 31, в),
г) цилиндрическая
(фиг. 31, г).
Построение эпюр изгибающих моментов,
продольных и поперечных сил статически
определимых плоских рам. Усилия в стати-
чески определимых рамах определяются из
условия равновесия. При заданной нагрузке
усилия определяются в зависимости от устрой-
ства опор либо непосредственно, либо после
предварительного определения опорных ре-
акций.
Для определения усилий в каком-нибудь
сечении производится мысленный разрез через
данное сечение (способ сечений) и часть, рас-
положенная по одну сторону сечения, отбра-
сывается и заменяется эквивалентной систе-
мой сил. Момент этой системы сил относи-
тельно прямой, проходящей через центр тя-
жести сечения перпендикулярно плоскости
рамы, называется изгибающим момен-
том в рассматриваемом сечении; проекция
сил на ось рассечённого стержня — и р о-
дольной силой; проекция сил на
прямую, перпендикулярную оси стержня в
его плоскости (нормаль), — поперечной
силой.
Знаки моментов и сил. Для изгиба-
ющих моментов знак не устанавливается, а
эпюра откладывается
У J? в сторону растянутого
© ^^ \ f(ps волокна изогнутого
jr\ J^ \ стержня. Продольная
а\ ^?j сила считается поло-
жительной, если она
отвечает растяжению,
отрицательной, — если
отвечает сжатию. По-
перечная сила считается положительной
или отрицательной в зависимости от схе-
мы её действия (фиг. 32, а или соответст-
венно 32, б).
Пример 1. Определить изгибающие моменты, про-
дольные и поперечные силы в элементах рамы, изобра-
жённой на фиг. 33, и построить соответствующие эпюры.
Пользуясь спо-
собом сечений и
двигаясь от пра-
Фиг. 32.
чек и т. п., вызванные нагрузкой или измене-
нием температуры (см. „Определение пере-
мещений стержней", стр. 63).
Пример 1. Определить горизонтальную составляю-
щую перемещения конца А рамы, изображённой на
фиг. 35, находящейся под
действием силы Р.
Состояния а и i с
эпюрами изгибающих мо-
ментов изображены на
фиг. 35, бив. Поскольку
ищется перемещение в го-
ризонтальном направлении,
единичная сила состояния
I направлена горизон-
тально.
Перемещение опреде-
ляется по способу Вере-
щагина.
ta — 2EA,
Pah, 2h3 - h
EJ~ 2
Пример 2. Определить взаимное расхождение точек
А и В рамы, изображённой на фиг. 36.
Фиг. 36.
Искомое перемещение выражается так:
°х — { 4 + 2 )\ 2 С) EJ, +
Пример 3. Определить угол поворота
рамы, изображённой на фиг. 37, а.
Рс
сечения D
Фиг. 33.
Фиг. 34.
Состояния аи/ показаны на фиг. 37, бив.
В состоянии i действует единичный момент в точке D.
При перемножении эпюр состояний а и г эпюры
разбиваются на участки;
вого свободного конца рамы, определяем все необходимые
величины. Эпюры изображены на фнг. 33, б, в и г.
Пример 2. То же для рамы на фиг. 34. Для этой
рамы предварительно из условий равновесия опреде-
ляются опорные реакции, а затем уже строятся эпюры.
Определение перемещений статически
определимых рам. Для определения переме-
щений служит универсальный способ Макс-
велла-Мора, позволяющий определять про-
гибы, углы поворота, взаимное сближение то-
Mt Ma ds
t Ma ds
EJ
В
С Mi Ma di
J EJ ="
PaV la 2 1_
\EJ 2 3 2
2 3
D
5 PaVT
2 2-2 6 4 EJ
AEJ 8
3Pa*VT
PaV 2 a l 2 1
2 ~2~ ~Y TEf
32 EJ

72
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
Определение числа лишних неизвестных
плоской рамы Число Л лишних неизвестных
определяется по формуле
— з,
C7)
где К—число независимых замкнутых конту-
ров рамы; Ш — число внутренних шарниров;
Со — число опорных стержней.
Число К определяется по минимальному
числу разрезов, которое нужно сделать, чтобы
уничтожить замкнутые контуры; Со = 2 для
цилиндрической неподвижной опоры и С'о = 1
для цилиндрической подвижной опоры.
Расчёт плоских рам с одной лишней
неизвестной. При наличии лишних закрепле-
ний рама статически неопределима и её уси-
лия определяются с помощью составленных
дополнительно к уравнениям равновесия урав-
нений, выражающих условия деформаций.
Количество лишних закреплений называется
степенью статической неопре-
делимости.
В простейшем случае рама имеет одну
лишнюю неизвестную, т. е. однократно стати-
чески неопределима.
Для расчёта необходимо предварительно
наметить лишнюю связь, т. е. связь, усилие
которой принимается за лишнюю неизвестную.
Удаление лишней связи в случае одной лиш-
ней неизвестной превращает раму в стати-
чески определимую. Система, получающаяся
в результате удаления лишней связи, назы-
вается основной статически опре-
делимой системой; выбор лишней неиз-
вестной равносилен выбору основной стати-
чески определимой схемы рамы. При этом
выборе необходимо руководствоваться следую-
щим правилом: при удалении лишней связи
система должна остаться неизменяемой.
Например, в раме, изображённой на фиг. 38,
нельзя удалить связь ВСъ опоре
В, так как при этом конец
стойки В приобретёт подвиж-
ность перпендикулярно линии
АВ, или, что то же, нельзя
принять за неизвестную со-
ставляющую реакции по этому
направлению, так как в этом
случае рама теряет неизменяе-
мость,
расчёта статически неопределимой
Фиг. 38.
Схема
рамы следующая:
1) удаляется лишняя связь и её действие
заменяется неизвестной силой — реакцией;
2) определяется составляющая перемеще-
ния рамы в направлении удалённой связи,
вызванная действием: а) нагрузки, изменения
температуры и б) неизвестной силы—реак-
ции;
3) составляется уравнение, выражающее
условие, что общая составляющая перемеще-
ния в статически неопределимой раме от на-
грузки (и температуры) и неизвестной силы
(реакции) равна нулю. Из составленного урав-
нения определяется неизвестная сила, т. е.
лишняя неизвестная.
После определения лишней неизвестной из-
гибающие моменты, продольные и поперечные
силы определяются так же, как и в статически
определимой раме.
Окончательно изгибающие моменты, про-
дольные и поперечные силы в статически не-
определимой раме выражаются формулами
М = Мо + МЛХ; N =
Q=Qo+ Qi
где M, N, Q — изгибающие моменты, продоль-
ные и поперечные силы в статически неопре-
делимой раме под действием нагрузки; Л4С,
М)> <?о — то же в статически определимой раме;
AJ], A/,, Qi—то же при действии одной силы
Х= 1.
Пример 1. Построить эпюры изгибающих моментов,
продольных и поперечных сил для рамы, изображённой
на фиг. 39.
За лишнюю неизвестную принимаем горизонтальную
составляющую реакций (распор рамы).
В опоре В удаляем одну связь — опоре сообщаем
подвижность в горизонтальном направлении. В получен-
Фир, 39.
ной статически определимой раме вместо удалённой связи
прикладываем неизвестную силу X (фиг. 39, б). Эпюры
изгибающих моментов от нагрузки и от силы X = 1 изо-
бражены на фиг. 39, в и г.
Перемещения в направлении отброшенной связи от
нагрузки и от силы Х—1 определяем" „перемножением"
эпюр. Получаем:
а) перемещение от нагрузки:
д =
EJ
Ра?а
г- 2
— Ра?
2EJ
б) перемещение от силы Х=1:
1
"ej
а2 _2_
~2 3~
Горизонтальное перемещение опоры В от нагрузки
и от силы X в статически неопределимой раме должно
быть равно нулю, что выражается следующим уравне-
нием:
д + VS - о - Рп* + -А- *- v- О
EJ
откуда
X =¦
10
¦ Р.
а}
"~Шщщ|'
Пример 2. Построить эпюры
изгибающих моментов, продоль-
ных и поперечных сил для си-
стемы, изображённой на фиг. 40.
За лишнюю неизвестную при-
нимаем момент в верхнем сече-
нии стойки. После введения в
этом сечении шарнира получаем
статически определимую систе-
му — консольную балку со стой-
кой. В образованном шарнире дей-
ствуют два равных и противопо-
ложно направленных момента, ве-
личина которых неизвестна и
должка быть определена. Эпюры
изгибающих моментов от нагрузки и от неизвестного
момента изображены на фиг. 40, бив. Определяем
взаимный угол поворота сечений стойки в месте
разреза:
Фиг. 40.

ГЛ. II]
РАСЧЁТ РАМ
73
а) от нагрузки:
Pal 2
2?7, 3
Pal _
3EJ, '
б) от момента X = 1:
Лишняя неизвестная — момент вверху стойки:
X = „-
Pal
1 +
/ft \ '
При построении эпюр необходимо иметь в
виду следующее:
1. Эпюра изгибающих моментов в раме
полностью определяет эпюры продольных и
поперечных сил.
Поперечная сила Q в стержне АВ опреде-
ляется по формуле
где Мд и Мв — изгибающие моменты на кон-
цах А и В; Qo—поперечная сила в стержне,
принимаемом за свободно лежащую балку.
Продольные силы определяются из условий
равновесия.
2. Если шарнирная схема системы является
статически определимой фермой, то продоль-
ные силы определяются с помощью диаграммы
Максвелла-Кремоны (см. „Расчет ферм").
3. Если шарнирная схема системы является
статически неопределимой фермой, то для
определения продольных сил стержней не-
обходимо учитывать продольные деформации
стержней.
Расчёт плоских рам со многими лиш-
ними неизвестными. Метод сил. Метод
решения, в котором за лишние неизвестные
принимаются усилия, называется методом сил.
Общая схема расчёта по методу сил следующая:
намечается основная статически определимая
система, которая получается из заданной схемы
рамы путем удаления всех лишних связей. Дей-
ствие отброшенных связей заменяется силами
Хх. Х2, .. ¦, Хп. Вдоль каждой отброшенной
связи определяются перемещения, вызванные
нагрузкой и каждой из неизвестных сил. Затем
составляются уравнения, выражающие условие,
что под действием нагрузки и всех неизвест-
ных сил перемещения вдоль связей равны
нулю. Число уравнений точно равно числу
лишних неизвестных. Если обозначить через
Д,, До, ..., Ап перемещения вдоль отброшенных
связей 1,2,'..., п, вызванные нагрузкой и из-
менением температуры, через Ь-^ (/, k =
= 1, 2, ..., п) — перемещение в направле-
нии /-й отброшенной связи, вызванное единич-
ной силой, действующей вдоль /г-й неизвест-
ной, то система уравнений примет вид:
-f-
+ Ь1а Хп = 0;
\- l,nXn = 0;
n = 0.
C8)
Система уравнений C8) называется кано-
нической системой уравнений
метода сил. Коэфициенты уравнений Д,-, 1ц,
bik представляют собой перемещения и опре-
деляются по способу Максвелла-Мора
(см. стр.63):
C9)
где Ma — изгибающие моменты в основной
статически определимой системе от нагрузки;
Mi и Mk — то же от единичных сил, действу-
ющих в направлении лишних неизвестных;
t — изменение температуры.
Коэфициенты о,-,- называются главными
перемещениями, коэфициенты 3,-^ — п о б о ч-
н ы м и перемещениями. Коэфициенты эти свя-
заны соотношением 3^ = Ьф т. е. перемеще-
ние вдоль /-й неизвестной, вызванное единич-
ной силой вдоль /г-й неизвестной, равно пере-
мещению вдоль k-Pi неизвестной, вызванному
единичной силой вдоль /-й неизвестной
(закон взаимности перемещений
Максвелла). Из системы уравнений C8) опре-
деляются все неизвестные Х\, Х%, ..., Хп.
Изгибающий момент М, продольная сила N
и поперечная сила Q в каком-нибудь сечении
выражаются следующим образом:
М = Мо
XnNn;
XnQn,
где индексом нуль обозначены соответствую-
щие усилия основной статически определимой
схемы, индексом / — усилия, вызванные еди-
ничной силой вдоль г-й неизвестной
(/=1,2,..., п). Результат расчёта статически
неопределимой системы зависит от моментов
инерции сечений, длин и модулей упругости
элементов. Результат не меняется, если эти
величины для всех элементов увеличить или
уменьшить в одинаковое число раз.
Пример. Замкнутая четырёхугольная рама находится
под действием силы Р = 110 кг (фиг. 41). Построить эпюры
моментов, продольных и поперечных сил.
Делаем разрез в произвольном сечении и заменяем
де'йствие одной отрезанной части на другую моментом.
Фиг. 41.
продольной силой и поперечной силой. Все три величины
неизвестны. Поэтому замкнутый контур содержит три
лишние неизвестные. Заданная замкнутая рама,
следовательно, трёхкратно статически неопределима.
Для получения основной статически определимой си-
стемы разрезаем в верхней части правую стойку и в сече-
нии прикладываем неизвестные: а) изгибающий моментХ1Р
б) продольную силу Х3 и в) поперечную силу Х3.

74
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
833, 812, 513> 6,3 [фор-
Определяем Д,, Да, Д3, 8llf S^,
мула A3)]:
Ai = — 200 000,
Д2 = — 9 600 000,
Д3 = -2 666 667,
8„ = 183,3,
S22 = 291 900,
633 = 40 440,
8,3 = 6100,
8,3 = 767,
823 = 10 700.
Каноническая система уравнений:
-200 000 + 183.3Х, + 6100Х, + 767Л'3 = 0;
-9 600 000 + 6100Х, + 291 900Х, + 10 700Х3 = 0;
-2 66S 667 + 767Х, + 10 700Х2 + 40 440Х3=0.
Решение уравнений даёт Л", = — 662 кгсм, Х-, — 44,24 кг,
Лз=66,9 кг. Эпюры изгибающих моментов, продольных
и поперечных сил изображены на фиг. 42, а, б и в.
Эпюра М
Фиг. 42.
При большом числе неизвестных решение
системы канонических уравнений становится
затруднительным, поэтому на практике нужно
стремиться к упрощению уравнений. Одним
из способов упрощения является такой выбор
лишних неизвестных, при котором обращаются
в нуль все побочные перемещения или часть
их. Другой способ заключается в том, что
взамен уже выбранных лишних неизвестных
вводятся такие их линейные комбинации
(групповые силы), которые обращают в нуль
ряд побочных коэфициентов. Наконец, неко-
торые коэфициенты могут быть приняты рав-
ными нулю вследствие их малости, что равно-
сильно упрощению расчётной схемы рамы.
Если рама симметрична, то уменьше-
ние числа неизвестных достигается путём пре-
образования нагрузки в симметричную и анти-
симметричную (способ Андрэ). Например, сим-
метричная рама на фиг. 43, находящаяся под
Фиг. 43.
действием силы Р, может быть рассчитана
дважды: по схеме фиг. 43, б (симметричной)
и по схеме фиг. 43, в (антисимметричной). Пер-
вая из этих схем равносильна полураме с по-
движной защемляющей опорой С и содержит
две неизвестные, вторая — равносильна полу-
раме с цилиндрической подвижной опорой С
и содержит одну неизвестную.
Усилия в заданной раме получаются сло-
жением усилий симметричной и антисимметрич-
ной схем.
Более сложный случай преобразования на-
грузки показан на фиг. 44 — расчёт замкнутой
рамы с тремя неизвестными заменяется расчё-
том четырёх рам с одной неизвестной.
1
i
i
С
-
! f
( <
r ^
Фиг
f
f 1
— i
{¦
1 ^
44
i^
i
Л
1
1
(
\
1
(
——
1
t
I
—~ u!
i
t ]
Метод перемещений. Для уменьше-
ния числа неизвестных при расчёте многократно
статически неопределимых рам иногда оказы-
вается целесообразным принять в качестве не-
известных перемещения. При этом число не-
известных в уравнениях получается значи-
тельно меньше, чем в уравнениях по методу
сил. Такой метод расчёта называется мето-
дом перемещений. Если за неизвестные
принимаются углы поворота узлов, то метод
носит название метода угловых пере-
мещений.
Для составления уравнений приняты следую-
щие обозначения: <?т— угол поворота /и-го узла
рамы, cf; —углы
поворота узлов,
расположенных
на противопо-
ложных концах
стержней, схо-
дящихся в т-и
узле, bmi — пе-
ремещение m-го узла относительно /-го узла
(фиг. 45). Кроме того,
Фиг. 45.
ш ~1ш'
Неизвестными являются Ф и Д; число их
равно числу узлов рамы плюс число линейно
независимых перемещений, которым обладает
шарнирная схема рамы (последнее равно числу
опор, которые нужно ввести, чтобы все узлы
рамы были неподвижны).
Условие равновесия узла даёт следующее
уравнение:
<40)
Число таких уравнений равно числу узлов
рамы.
Если величины А известны '(в частности,
они могут быть равны нулю), то число урав-
нений D0) достаточно для решения задачи.
После определения из системы уравнений
величин Ф определяются изгибающие моменты
в концах стержней по формуле
Mm; =
D1)
В формулах D0) и D1) Мп обозначает кон-
цевой изгибающий момент, определённый
в предположении, что каждый стержень есть
однопролётная, защемлённая по концам балка.

ГЛ. II]
РАСЧЁТ РАМ
75
Метод распределения узловых
моментов (метод Кросса). Этот ме-
тод очень удобен для практического примене-
ния. Достоинством является возможность полу-
чения численного результата с любой степенью
точности при малом числе уравнений или совсем
без уравнений. Расчёт ведётся совершенно
механически по заранее установленному тра-
фарету и при помощи минимального количества
формул простейшего вида.
Расчёт по методу Кросса распадается на
два этапа: I этап — расчёт при неподвижных
узлах; II этап — учёт перемещений узлов. Для
систем, узлы которых не могут смещаться,
второй этап отпадает, а вместе с ним отпадают
вообще какие бы то ни было уравнения.
/ этап расчёта
1) Мысленно вводятся закрепления, препят-
ствующие перемещению узлов. Число закрепле-
ний равно числу степеней свободы той кине-
матической цепи, которая получится, если все
жёсткие узлы рамы заменить шарнирными
(фиг. 46).
2) В системе с неподвижными узлами вре-
менно вводятся во всех узлах, кроме шар-
нирных, „моментные" связи, препятствующие
повороту узлов.
Этим каждый стер-
жень превращается
в отдельную балку,
защемлённую по
концам (если на од-
ном конце стержня
шарнир, то—в бал-
ку, защемлённую
на одном конце).
Определяются моменты защемления таких балок
от нагрузки. Рассматривается какой-нибудь
узел А, в котором сходится ряд стержней, из
которых некоторые загружены, и определяется
алгебраическая сумма моментов защемления
в данном узле. Моменты считаются положи-
тельными, если они действуют на узел по
часовой стрелке. Найденная алгебраическая
сумма есть „неуравновешенный" момент &МА
узла А, воспринимаемый введённой моментной
связью.
3) Временно введённая моментная связь
уничтожается, для чего к узлу прикладывается
момент, равный по величине и противополож-
ный по знаку неуравновешенному моменту.
Этот момент распределяется между всеми
стержнями, сходящимися в узле А, пропорцио-
нально жёсткостям X стержней. Таким образом
на долю /-го стержня приходится часть не-
уравновешенного момента (с противоположным
знаком), определяемая по формуле
Мл = — Д МА м = — ША ^- , D2)
2 X
где Хг — жёсткость данного стержня, ^\—сум-
ма жёсткостей всех стержней, сходящихся
а узле А. Распределение охватывает также и
те стержни, от нагрузки которых образовался
неуравновешенный момент. Множитель^ = ——
2jX
называется коэфициентом распределения.
Значения жёсткости X следующие:
Фиг. 47.
а) для стержня, присоединённого к противо-
положному узлу жёстко,
Х = 4; D3)
б) для стержня, присоединённого к противо-
положному узлу шарнирно,
Х = 4-4-. D4)
Возникающие на противоположных концах
fajtfA Xj
стержней моменты равны у- ^— (фиг. 47).
Эти моменты алгебраически складываются с не-
уравновешенными моментами узлов, смежных
с узлом А, и являются
„вторичными" по отно-
шению к ним.
Далее рассматри-
вается смежный узел, на-
пример В, на котором
повторяется операция
распределения неуравно-
вешенного момента с об-
ратным знаком,после че-
го на узел А от В через
стержень ВА перейдёт
вторичный неуравнове-
шенный момент, который при повторном цикле
снова распределяется, как и первый. Распре-
деление неуравновешенных моментов как на-
чальных, так и вторичных выполняется для
всех узлов рамы.
С увеличением числа циклов абсолютная
величина неуравновешенных моментов убывает.
Распределение прекращается, когда абсолютная
величина неуравновешенных моментов стано-
вится достаточно малой.
Вычисления ведутся в табличной форме.
4) После суммирования всех отдельных мо-
ментов, получающихся по схеме защемлённого
стержня и в результате всех распределений
моментов, получаются окончательные изгибаю-
щие моменты стержня, а затем эпюра изгибаю-
щих моментов для рамы.
5) Определяются реакции в закреплениях,
введённых для придания неподвижности узлам.
// этап расчёта
1) Уничтожаются последовательно по одному
все закрепления, введённые для придания не-
подвижности узлам. Раме сообщаются переме-
щения, ставшие возможными в результате сня-
тия каждого закрепления; число таких независи-
мых перемещений равно числу введённых
ранее закреплений. Для каждого перемещения
строится эпюра изгибающих моментов по ме-
тоду, не отличающемуся от указанного выше
(I этап), с той только разницей, что роль на-
груженных защемлённых стержней играют
стержни, смещаемые без поворота концов; на-
чальные неуравновешенные моменты по кон-
цам таких стержней равны -у -у (или -у -у
при одном шарнирном конце), где о — пере-
мещение узла, перпендикулярное стержню
(фиг. 48).
Величина fi берётся произвольной, например,
равной единице.
2) Определяются силы Rxb /?12. • • •. Rnm
действующие взамен отброшенных закреплений
и возникающие при каждом из указанных

76
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД.
перемещений (/?,# — сила вдоль /-го закрепле-
ния при k-м перемещении).
3) Ищется такая линейная комбинация выше-
сказанных перемещений рамы, при которой
силы Rik, будучи алгебраиче-
ски сложены с реакциями RiP
закреплений рамы по схе-
ме I этапа расчёта, дают
нули.
Это условие выражается сле-
дующими уравнениями:
/?,, -f а2^2 -I 1- Rm = 0;
R2P+ «1^21 + «2^22 Н h Яая = 0;
Rnp+aiRn\ + а-2^п2-\ \-Rnn = о.
D5)
„^л; D6)
Из написанной системы уравнений опре-
деляются неизвестные множители a]t а2,..., а„.
4) Окончательно изгибающие моменты М,
продольные и поперечные силы N и Q выра-
зятся формулами:
-f.
где /Vfj, Л/j, Pj — изгибающие моменты, про-
дольные и поперечные силы рамы с неподвиж-
ными узлами; M-v N-v Qi, {i — 1, 2,..., n) — то
же при перемещениях, сообщённых раме при
удалении закреплений.
Пример. Определить изгибающие моменты в раме,
изображённой на фиг. 49.
Жёсткости (изменённые в одинаковое число раз) [фор-
мула D3)]:
\ = \л=2; Х3=2,5; ХЙ=Х7=2,5; >.4=Х5=Ха=10.
Коэфициенты распределения моментов [формула D2)]:
|Н=0,167; |И- 0,833; ^ - ^ = 0,405; ^= 0,082;
\>.В= 0,102; цС= О666. уС- рС^= 0jl67; ц.О= о,8;
Н = 0,2;
р=30 кг/см
U;
— J/7-
Г/7
1200кг
s\ .
= 0,8; V-f= 0,2.
1 этап:
Моменты защемления:
12
= — М\ = ~i - 4500 кгсм.
-30
J
Фиг. 49.
Расчёт выполняем в табл. А.
В верхней строке выписываем
моменты защемления, которое
суммируем по узлам. Суммы
записываем в графах неуравно-
вешенных моментов ДЛГ. Далее
знаки ДЛГ изменяем и произво-
дим распределение величин ДМ в узлах по коэфициен-
там распределения (х, значения которых вписываем зара-
нее. После распределения величин ЛМ заполняем сле-
дующую строку — строку вторичных моментов, равных
о со ¦*«
6
со«8
СО н tJ- П О\\0
О О СО ¦* щ С1 COCO СО Г- О О Ю -3- ¦* -ч
ОСО С^ in in СЧ с~-с~~ С^-vO СЧ СЧ н н |
н V I I
I I
ююсо со со со
Г t> м м О О
СО "ч* "Ч
I I
м СО СО 1ОЮ
in t> с
сч и
С^ м м О О О\О*С0 Об СЧ СЧ w «
*" СО СО т -т I t I |
со м со q. -f о о
г- ю\о со г^ « 6 Л i^- cs еГ н- 'v
t^mco со м
Ю О О Г-\О н 1>О\сГсо0 О ^ г-\
tJ- O'iH П -<J-\O rt" CO "^1" СО ГО i-" |
Cl M О С^ П СЧ Tf -f н м CO CO* СЧ ci Co' CO
CO COCO ЩСОШИСО 1Л1ПС0ЯН н ,
rj- -i-CO CO " н м м , | |
' I I I I ' ' !
о ом^я o'o'cio died rr сч" - -' w
'-"Till11
8 SffifficB-^Rjafi-^S j-*^**
О О iflifl't+ininH мСО„
о о о осо со о о со со юоо
Till
1П 43 н
Ri/5 (N t> м м -rf uOOO O" fi CO CO CO CO ,
Г- СЧ Th\g СОН^СО-^^м^^ ^
I f
to со со
I
со и h о
i I I i
«ICO м ь н
, ,
I I
in m m со со н о
Ю -4- i-i
1П1П С0СО0О1ПЮ
cocoQQcqoo Q Q d. di -* ¦*
'I I
inin
Si coco 0)t4>5iS<t4S
гч> со со « n i 1 i
M H j 1 I I I

II. Перемещение 1
Таблица Б
(к примеру на стр. 76)
J
ША
-Зоб
Зоб
132
— 132
-7i
71
З2
—32
—16
16
7
-7
—3.4
3.4
о
/зел А
0,167
51
—22
12
5
3
—I
о,6
38,6
0,833
*i
—306
255
132
—но
~7i
59
З2
-27
—16
13
7
-6
-3.4
2,8
-38,6
шв
1500
—15°°
—650
650
347
-347
-155
155
78
-78
—35
35
16,5
-16,5
-7,85
7.85
о
0,082
123
53
-28
13
—6
3
-1.3
0.65
-88,65
Узел В
0,408
—6l2
265
I27
— 141,5
-55
63
3°
-32
-13.5
14
6,5
-6,75
—3
3.2
-355.15
0,408
»!
—6l2
-5ОО
265
152
— 141,5
-68
63
34
—32
-15.5
14
—6,75
—3.35
3.2
-841
0,102
<
1500
— 153
— 15°
67
68
- Зб
— 32
16
14
— 8
— 6
4
3
— 1.7
— i»5
0,8
1284,6
|А =
АМС
1500
—1500
-455
45б
2O4
— 2O4
— IO2
IO2
47
—47
—22
22
Ю
—IO
—4-9
4.9
о
Узел
0,666
— IOOO
-Зоб
3°4
132
-136
—71
68
З2
-31
-i6
14
7
-6,68
—34
3,3
—1009,8
С
0,167
мс
—250
76
—34
—31
17
-8
4
-1.65
о,8
-195.8
0,167
ж?
i5°°
—250
— 15°
76
72
-34
~3i
17
15
—8
—6
4
3
-1,66
—1,5
о,8
I2O5.6
V- =
ш°
15°°
—15°°
-676
676
324
—324
—141
141
66
-66
-3°
3°
14
—14
-6,4
6,4
о
Узел U
0,800
М8
— I2O0
—боо
54O
290
— 2бо
-123
из
58
-53
— 26
24
12
— II
-5.5
5-1
-1236,5
0,200
Мп
15°°
-Зоо
-%
136
34
-64
—18
28
8
-13
—4
6
2
—3
-0,9
1.3
1236,5
ДУИЯ
15°°
—1500
-7^5
725
Зо8
-3°8
— 147
147
65
-65
-з°
30
14
— 14
-6,33
•6,33
о
-Узел Е
0,800
Ма
0
— I2OO
—боо
58о
27O
— 246
—130
И7
56,5
-52
— 26
24
12
— II
-5-5
5
— 12О6
0,200
Ai!f
1500
—300
-125
145
38
—62
-17
30
8,5
—13
— 4
6
в
—3
-о,83
1.33
12об
II. Перемещение 2
Таблица В
(к примеру на стр. 76)
Узел А
ША
I2OO
— I2OO
-245
245
IS?
-IS?
—39
39
31
—31
—6,8
6,8
5.7
—5.7
о
0,167
Mf
I20O
— 20О
41
—31
7
—5
1,1
—I,O
IOI2.I
0,833
м}
— IOOO
-245
2O4
IS?
-156
—39
32
31
—20
-6,8
5.7
5.7
—4.7
¦ —IOI2.I
Узел В
р. =
I2O0
— I2OO
- 917
917
190
—I9O
—153
153
33
-33
— 28
28
6,25
-6,25
о
0,082
„8
М2
I2OO
-98
75
-15,5
12
—2,7
2,3
-о,5
1172,6
0.408
в
-49°
—5°°
374
IO2
-77.5
-78
б2,5
i6
—13-5
— 13
2,8
-2,55
-605,85
0,408
Q
-49°
-417
82
—77-5
—66
62,5
14
-13.5
—12
Ц.4
2,75
—2,55
-53L9
0,101
— 122
94
6
-19.5
16
3
—3,3
-3
2,9
-0,65
-34.85
Узел С
|а =
шс
1250
- 1250
—245
245
197
-197
-43
43
Зб
-36
-8,з
8,3
7.2
-7,2
о
0,666
МЬ
-834
-245
163
187
—131
—Ь9
29
31
—24
-6,8
5.5
5-7
-4,8
-863,4
0,167
МА
1250
— 2О8
41
—зз
7
—6
1.4
— 1,2О
1051.2
0,167
—2О8
41
IO
—33
—4
7
5
-6
—1,5
1,4
1.5
— 1,20
—187,8
—61
— 61
89
-89
—28
28
29
-29
-7.1
7-1
6,95
-6,95
0
Узел D
0,800
М»
49
42
— 71
—18
22
21
-23
-5-5
5.7
5-5
—5.55
22,15
0,200
Mq
-61
12
47
—18
—10
6
8
—6
—1,6
1.4
1.45
— 1.4°
—22,15
Узел Е
ШЕ
— Ю4
Ю4
45
—45
-52
52
14
—14
—14
14
3.55
-3.55
о
0,800
мЕ
83
24,5
-зб
-35.5
42
и
— и
— и
и
2,85
-2,85
78
0,20)
МЕ
—Ю4
21
2O.5
-9
-1б,5
1О
3
-3
-3
3
о.7
—о,7
-78

78
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
половинам моментов, полученных при распределении. из которых определяем неизвестные множители: «, = —5,34
Схема распределения следующая: и аа = — 5,30.
Узел В
8500 •*-
Л1„
450J
М,
4000
-8500 > -695
-3470
— 3470 — 865
Узел В
Мо
-432
Узел А
М, <--
-1735
Эпюра изгибающих моментов показана на фиг. 50,'а.
Реакции в закреплгниях определяем из условия равно-
весия:
М? -г
к
мо + мв
— Rx- 598 кг.
= 580 кг.
Узе л С
„ Мь
-1735
Искомую эпюру изгибающих моментов слагаем из
эпюры /, эпюры II, 1, умноженной на 5,34, и эпюры II, 2,
—<ад
тТ~'л?
11 этап
1) Удаляем закрепление в опоре Е и раме сообщаем
перемещение //, / (фиг. Е0, б). Защемляющие моменты
= М? ~ М* =
= -^- X = 1500.
Распределение моментов производим в табл. Б.
Реакции в?иС определяем из условия равновесия:
_7- = - 123,3;
М
j* i?n = 128,7.
Эпюра моментов приведена на фиг. 50,6.
2) Удаляем закрепление в опоре С и раме
сообщаем перемещение II, 2, при котором
узлы С и Е остаются на одной вертикали
(фиг. 50, в).
Защемляющие моменты
«12 I18S.3 в) 6Я2 f fflTf z)
Фиг. 50.
умноженной на 5,30. Она изображена на фиг. 50, г. Сло-
жение эпюр выполняем в табл. Г.
Таблица Г
(к примеру на стр. 76)
М\ = М ? =
jWJp = 1250.
Распределение моментов производим в
табл. В.
Реакции в ? и С определяем из условия
равновесия:
+
«и =
мв
м
+
к
F
1
м»
+ м*
ма
м
I, I
- —~ tfia = — 133.
Эпюра моментов дана на фиг. 50, г.
Далее составляем систему из двух
уравнений: ...... ,
— 580 + ЙЗ^За, -, 8о, = 0,
-г 598 — 128,7k, + 133a, = 0,
—
2
М*
мз
д
Л*4
мв
М5
М*
мв
м$
м*
1
214.32
428,65
-529
-Ю57.3
1226,98
—428,65
- 4072.55
i8o9,9
— 2161,66
3319.95
-3469.2
934,68
25,35
3469.2
—25.35
19.3
38.6
-44.32
-88,65
-195,8
-38,6
—355.15
-841
—IOO9.8
1284
1236,5
12О5,6
12О6
—1236,5
— 12Об
¦^11 2
III2
IO12.I
и86,з
1172,6
1051,2
— IOI2,I
-605,85
-531,9
-863,4
-З4.85
—22,15
—187,8
-78
22,15
78
5,34Х
юз,о
2О6
—237
-473
—Ю45
-2О6
—1896
—449°
— 5392
6855
66о5
6440
6440
-66о5
6440
5,30Х
МП,2
5895
5365
6285
62IO
557°
-5365
—32IO
-2818
—4575
-184,5
-117.5
-995
—413
,5
413
М
6212
бооо
5519
4680
Ъ752
— бооо
-9178
—5499
—12 129
999°
3019
.6380
6052
-3°*9
-&О52

ГЛ. II]
РАСЧЁТ РАМ
79
Пространственные рамы
К пространственным рамам относятся рамы,
оси стержней которых не ограничены требова-
нием расположения в одной плоскости, и рамы
плоские, но работающие под нагрузкой, пер-
пендикулярной их плоскости.
Опоры пространственных рам. В про-
странственных рамах возможны опоры следу-
ющего вида (числа в скобках обозначают
число связей):
1. Защемляющая неподвижная опора F),
фиг. 51, о.
2. Защемляющая линейно-подвижная опора
E), фиг. 51,E.
3. Цилиндрическая неподвижная опора E),
фиг. 51, я.
4. Цилиндрическая линейно-подвижная опо-
ра D), фиг. 51, г.
5. Шаровая неподвижная опора C),фиг. 51Д
Фиг. 51.
6. Линейно-подвижная шаровая опора B),
фиг. 51, е.
7. Плоско-подвижная шаровая опора (/),
фиг. 51, ж.
Число лишних неизвестных в простран-
ственной раме. Число Л лишних неизвест-
ных в пространственной раме определяется
по формуле
Л7 6С+С(п- 6 У, D7)
где С—число стержней рамы (не считая стерж-
ней, примыкающих к раме только одним кон-
цом); Со—число опорных связей; У—число узлов.
Построение эпюр изгибающих и крутя-
щих моментов, продольных и поперечных
сил пространственной статически опреде-
лимой рамы. В статически определимой раме
усилия определяются либо непосредственно,
при движении от свободного конца, либо после
определения опорных реакций.
Для определения усилий в каком-нибудь
сечении проводится разрез через это сечение
и мысленно отбрасывается часть, расположен-
ная по одну сторону от этого сечения. Силы,
действующие на отброшенную часть, заменя-
ются эквивалентной системой, которая приво-
дится в точке сечения к следующим составля-
ющим: изгибающему моменту в плоскости ху,
изгибающему моменту в плоскости, перпенди-
кулярной ху, поперечной силе в плоскости
ху, поперечной силе в плоскости, перпендику-
лярной ху, продольной силе и крутящему
моменту. !
На фиг. 52 изображены все эпюры для рамы
со свободным концом, находящейся прд дей-
ствием грузаР на конце.
Определение перемещений простран-
ственной статически определимой рамы.
Для определения перемещений пространствен-
ной статически определимой рамы служит уни-
версальная формула Максвелла-Мора с учётом
кручения (стр. 70).
Пример. Определить прогиб конца рамы по фиг. 52.
Эпюры изгибающих и крутящих моментов изобра-
жены на фиг. 52, бив.
Эпюра М
Фиг. 52.
Прогиб определяем по формуле C6) (стр. 70).
Ph'h 2 h , Pb-b 2 t
2
Pbab
tJ,
ay
3 EJh
Phah
~EJnr '
Phbh
GTb
Jay
Jaz
Расчёт одноконтурных пространствен-
ных рам. Пространственный замкнутый контур
(фиг. 53) содержит шесть неизвестных, за ко-
торые можно принять шесть компонент уси-
лий в произвольно сделанном разрезе. Для
расчёта необходимо найти эти неизвестные;
для этого пользуются методом сил, приводя-
щим к системе шести уравнений с шестью
неизвестными.
Контур разрезается в произвольном сече-
нии, и тем самым система превращается в ста-
тически определимую.
Взаимодействие отре- |«у
занных частей заме-
няется двумя равными
Фяг. S3.
Фиг. 54.
и противоположно направленными системами
сил, каждая из которых сводится к продольной
силе, проекциям поперечной силы в плоско-
сти ху и в плоскости, перпендикулярной ху,
крутящему моменту и изгибающим моментам
относительно оси z и оси, лежащей в плоско-
сти лгу (фиг. 54). Эти шесть компонент явля-
ются неизвестными. Они определяются из усло-
вия, что взаимное перемещение сечений, относя-
щихся к обеим отрезанным частям, от действия
шести вышеуказанных компонент и нагрузки
равно нулю. Условие выражается следующими
уравнениями:

80
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
Д4
Д5
841/V
4
8бз?>г
4
4
= 0;
= о;
= 0'
= 0;
= 0;
= 0.
Определяем перемещения:
Ра2 2 а Ра3
D8)
2 3 EJAB
Pa3 1
Paa
Значения коэфициентов — как для плоских
рам: Дг — перемещение вдоль г-й неизвест-
ной от нагрузки; о,-* — перемещение вдоль
/-й неизвестной, вызванное единичной силой
(обобщённой), действующей вдоль k-й не-
известной.
Перемещения определяются по способу
Максвелла-Мора.
Решением системы уравнений D8) опреде-
ляются все шесть неизвестных.
Для рам частного вида возможны различ-
ные упрощения системы D8). В частности,
использование симметрии приводит к умень-
шению числа неизвестных.
Пример. Изгиб плоской рамы силами, перпен-
дикулярными её плоскости (фиг. 55).
а) Сплошная рав-
номерная нагрузка.
Вследствие симметрии кру-
тящий момент, поперечная
сила и продольная сила в
середине стержня равны
нулю, поэтому остаётся
одна неизвестная — изги-
бающий момент в середи-
не стержня ВС. Разрезаем
стержень ВС по
оси симметрии
и находим вза-
имный угол по-
ворота сечений
правой и левой
отрезанных по-
ловин от дей-
ствия нагрузки
и двух проти-
воположно на-
правленных мо-
Фиг. 55.
ментов, равных
единице, дей-
ствующих на
эти половины в месте разреза. Эпюры изгибающих и
крутящих моментов показаны на фиг. 55, б, в, г, д.
Вычисляем перемещения:
А,— 2 -^
*а \
pb2
... Е JBC
b + 6 - .-
о тАВ
)¦•
8ц—е>—+2
е>—+2-Ят •
&BC GTAB
Уравнение деформаций Д, + Хоп = 0, откуда
А,
рЬ* I
-я-
3 -
JBC
б) Сосредоточенная с и л а 2Р в углу В. Эту
нагрузку разбиваем по способу Андрэ на две нагрузки
(фиг. 56, а и б). Первая схема сводится к двум независи-
мым консолям, вторая даёт две лишние неизвестные: вер-
тикальную поперечную силу и крутящий момент в сере-
дине пролёта стержня ВС.
Эпюры изгибающих и крутящих моментов от нагрузки
и единичных сил в направлении неизвестных изображены
на фиг. 56, в, г, д, е, ж из.
Фиг. 56.
11= 2 3 EJAB + 2 2 2 3 2EJBC
2 2GTAB 3EJAB 1 24EJBC ' 407АВ '
а3
2EJAB'>
~У л/"•*/' •
-* EJAB r 2GTBC
Неизвестные определяем из системы уравнений:
Ai 4 «..Jfi -+ «.Л = о;
Да 4 8ai-^i + 822*з = 0;
,.0„4 — О,-
X,
Sl Аз — S12
Расчёт пространственных рам по мето-
ду распределения моментов. Некоторые про-
странственные рамы (как, например, изобра-
жённые на фиг. 57) целесообразно рассчиты-
вать по методу распределения моментов.
Благодаря прямоугольной форме горизонталь-
ные и вертикальные контуры их работают
независимо — каждый под нагрузкой в своей
плоскости.
Как и для плоских рам, расчёт распадает-
ся на два этапа: I этап — расчёт при непо-
движных узлах и II этап — учёт перемещений
узлов. При отсутствии подвижности узлов или
при пренебрежении ею II этап расчёта отпа-
дает.
I этап. Предполагая узлы неподвижными
считают их неповорачивающимися, а все эле-

гл. us
РАСЧЁТ РАМ
81
менты — отдельными защемлённы-
ми стержнями. Возникающие при
этом „неуравновешенные" момен-
ты с противоположным знаком
распределяются в узле между
стержнями пропорционально их
жёсткостям, причём стержни, рас-
положенные в плоскости неурав-
новешенного момента, подвергают-
Таблица Д
(к примеру на стр.81)
I. Изгиб рамы CABD (фиг 58, в)
ДЛГ4
— 0,928
0,928
— O.O74
0,074
— О,О28
О,О28
— 0,0022
О,ОО22
О
Узел А
0,270
»t
0,251
0,020
0,0076
0,0006
0,279
0,350
— 0,928
о,325
— о,о74
о,озб
— о,оа8
0,0098
— 0,0022
о,ооо8
— 0,670
= 0,139
0,380
мАкр
о,353
О,О28
o,oio6
о,ооо8
о,391
С- =
ШВ
+ 0,422
— О,422
o,i6a
— 0,162
0,013
— 0,013
0,0049
— 0,0049
0
Узел В
0,270
— о,п4
-O.O44
— о.ооз5
— о,оо13
— 0,163
0,350
Ml
-fo,4^2
- 0,148
0,162
—0,057
0,013
— 0^0045
0,0049
— 0,0017
0,391
-0,081
0,380
мВкр
о
— о,гбо
— о.обг
— O,OO=jO
— 0,0019
— 0,228
Фиг. 57.
ся изгибу и для них коэфициент
жёсткости X =-г ' "'
шарнире
конце), а
не напряжены. Эпюра изгибающих моментов может быть определена,
как для плоской рамы. Вторая схема является асимметричной относи-
тельно оси, проходящей через середины М я N стержней АА' и ВВ'.
а]
на противоположном
стержни, перпендику-
плоскости неуравнове-
лярные
шенного момента, подвергаются
кручению и соответствующий ко-
эфициент жёсткости для них X =
= -?- — (значения Т для се-
чений различной формы приведе-
ны в разделе „Сопротивление ма-
териалов, Кручение стержней")»
(или X = 0 при шаровом шарнире на противопо-
ложном конце).
При распределении момента в узле А поль-
зуются формулой
Мга = - ША ^. D9)
„Вторичные моменты", т. е. моменты на про-
тивоположных концах стержней, действующие
на узлы, смежные с узлом А, после распреде-
ления равны: а) для изгибаемых стержней —
0,5 MiA, б) для скручиваемых стержней — MiA.
Дальнейшее распределение выполняется так
же, как и в плоской раме. После определения
эпюры изгибающих и крутящих моментов на-
ходятся реакции в закреплениях, введён-
ных временно для создания неподвижности
узлов.
II этап. При расчёте перемещений узлов
раме сообщается столько различных переме-
щений, сколько степеней свободы имеет её
шарнирная схема. От каждого такого переме-
щения определяются эпюра изгибающих и кру-
тящих моментов и соответствующие реакции
в закреплениях. Затем подбирается такая ком-
бинация эпюр от нагрузки и всех указанных
перемещений, при которой реакции всех за-
креплений обращаются в нуль.
Пример. Построить эпюру изгибающих моментов для
рамы, изображённой на фиг. 57.
Для упрощения приводим нагрузку к двум схемам:
фиг. 58, а и б. Первая схема сводится к двум одинако-
вым плоским рамам CABD и C'A'B'D', работающим по-
рознь; стержни АА' и ВВ' свободно поворачиваются и
Фиг. 58.
Вводим закрепления в точках В и В', препятствующие
сдвигам рам CABD и C'A'B'D' в их плоскостях, а также
закрепления, препятствующие сдвигам рам САА'С и
DBB'D'. В первом этапе расчёта определяем эпюру
изгибающих и крутящих моментов в табл. Д, в которой
производим распределение узловых моментов. Получаем
следующие величины коэфициентов и моментов.
Коэфициенты жёсткости при изгибе з плоско-
сти CABD:
Х,=>2=1.33; Хз=]
=1,87.
Коэфициенты распределения:
= 0,270; [И = 0,350; ^=0,380.
о i
И = 0,270; [И
1 о
Моменты защемления:
М8- -"-рР=0,422 тм.
Сообщаем рамам CABD. C'A'B'D' кАА'В'В сме-
щения параллельно стержню 3 (фиг. 59, а). При этом
благодаря асимметрии можно рассматривать только рамы
CABD и MABN и притом только в пределах их поло-
вин (фиг. 59, б).
Коэфициенты жёсткости:
а) для рамы CABD:
>i3=2,6; Х, = 1,33; л//» =1,87;
б) для рамы MABN:
Х3=0,938; Ц=Х8=1,41; \КР =0,634.
Коэфициенты распределения для рамы CABD;
и.А=0,229; иД=0,448; у.^=0,323.
1 1 3 7
Коэфициенты распределения для рамы MABN'-
^=
^=
i*f=0,315; ^=0,473; ^f = 0,212.
О / 1

82
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
II. Перемещение 1
Рама CABD
Таблица Е Определяем величины коэфициентов и
(к примеру на стр. 81) моментов.
Коэфициенты жёсткости в раме С ал С':
Рама MABN
Узел
С
м-
-6.6.5
0,70
-5,89
V- —
ША
— 6,65
+6.65
о
Узел А
0,229
-6,65
1.52
-5.13
0,448
«i
2,98
2,98
0,323
мАкр
2.Г5
2Д5
ША
— 7.O5
+ 7-°5
о
Узел Д
0,473
-7.°5
3.33
— 3.72
0,315
Ж*
2,22
2,22
0,212
Aff **
1.5°
1.5»
Таблица Ж
(к примеру на стр. 81)
II. Перемещение 2
Рама САА'С Рама MABN
Х^О.75; Х,=3,90; >>3 =0,50.
Коэфициенты распределения:
^=0,146; ^=0,757; }И = 0,097.
Коэфициенты жёсткости в раме
ABB'А1:
Х8=0.938; >--=!,41; )., = 0,634.
Коэфициенты распределения:
|х^=0,315; \хА =0,473; iH=0,212.
3 / '1
Начальные моменты в стержнях от
перемещения:
Узел
С
1
-3,8!
, 0,28
— 3.53
и. —
Д/ИЛ
-3.81
3,8i
о
Узел А
0,146
МА
-3,8т
— 3.29
0,757
М^
2,88
2,88
0,097
м%«р
о.37
о.37
ДЛ1А
3 14
- 3.14
о
Узел Л
0,315
МА
ЗД4
2Д5
0,473
м7
- 1.485
- 1,485
0,212
МА кр
— 0,665
— 0,665
Распределение моментов выполняем в
табл. Ж.
Реактивные силы от перемещения 11,2:
1,2
0.9
1,485
0.6
= —2,47.
Начальные моменты в стержнях при смещении узлов :
и) в раме CABD:
6) в раме MABN:
МА- М
0,5/7
Х7=-7,05.
В табл. Е производим распределение моментов в ра-
мах CABD и MABN независимо одна от другой.
Фиг. 59.
Реактивные силы от перемещения 11, 1:
м' 1,2 0,6 >( м 0,5-1,8
Далее сообщаем рамам САА1 С и ABB'А' перемеще-
ние параллельно стержню 7 (фиг. 60, а).
Дополнительные уравнения:
30,8 «1 — 2,47 aL, = 0,144:
— 2,47e, + 16,18 a, = 0,
откуда ?, =0,00474, i*=0,00072.
Следоиательно, эпюра изгибающих моментов от на-
грузки по схеме фиг. 58, б равна эпюре 1+о,00474хэпюра
II, 1+0;00072хэпюра II, 2. Но, как видно из расчёта, коэ-
фициенты а, и Oj, в особенности as ничтожно малы, ввиду
чего можно считать в данном случае окончательной
эпюру I.
Эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки
получим от сложения эпюр по схеме фиг. 58, а и по
схеме фиг. 58, б.
При наличии двух-трёх секций расчёт
на вертикальную нагрузку всегда можно вести
в предположении неподвижности узлов.
Кривые и ломаные стержни, нагруженные
перпендикулярно их плоскости
(Заимствовано из статьи М. Б. Ремеза [12])
Круговая балка. Круговая балка
под сплошной равномерной на-
грузкой. Действие частичной нагрузки,рас-
Фиг. 61.
Фиг. 60.
Здесь снова благодаря антисимметрии можно рассма-
тривать половины рам САМ и МАК (фиг. 60, б).
положенной несимметрично в пролёте (фиг. 61),
может быть представлено как сумма действий
нагрузок: а) симметричной (фиг. 62) и б) анти-
симметричной (фиг. 63).

ГЛ. II]
РАСЧЁТ РАМ
83
Таблица 11
Формулы для расчёта однопролётных рам
(Положительные моменты вызываю! растяжение
с внутренней стороны рамы)
С В
Продолжение табл. 11
_ Pab 3A—p) /г
Pah 3?fe+2(l-f?)

84
р-ршщ
«*9 "Я
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. !
Продолжение табл. 11
__ РаЬг 1 , 2Э—-jl"!
d — —~ \_щ ~г Ж" J
\м - PabX l 2Э~П
\мс-—-гЫ-Ж1
N2 = 6ft + 1
Л = MD — 1Щ
м
шах " 8
'в
Ph я* + l
2 ~Nt
Ph ЗА
Таблица 12
Формулы для расчёта замкнутых прямоугольных ран
(положительные моменты вызывают растяжение
с внутренней стороны рамы)
Г
А Л.
•'S * J3
jj. = l -f- 6ft + m
У, _ а
77а Г
Pi
2
1 —2a
md]
¦ 1.—2«1
L v ' a J
ft, m, a, v, ц—как для случая 1
Ab-
Z?
ст^
а) Нагрузка на элементе CD
^- D 12 ftv
б) Нагрузка на элементе АВ
'Л В 12 Ь
ky m, v, р.—как для случая 1
- B
1 + 3ft B—
, от, v, [x — как для случая 1
мв) 4 L 6v ^ ^ J
М q | рЛа Г ft + Зот
ft, ап, v, (j. — как для случая 1
t* J
лшшзз
7 1
J, J2
Jtttttt*
/P
T
1
— 7 ~Г
12

ГЛ. 11]
РАСЧЁТ РАМ
85
Таблица 13
Формулы для расчёта колец (заимствовано из книги Roark [20])
Mlt Nu Qu M, N и Q положительны, если они направлены, как указано на чертеже.
Обозначения: Е—модуль упругости, У—момент инерции сечения; у ~ вес 1 м* жид-
кости, z = sin а, и = cos о, s -- sin 6, с = cos Н, п — sin 9, е = cos <р, » —sin fi, w = cos р,
8^. и S — увеличения диаметра кольца в направлениях х и у.
М = Рг @,3183 —
max ( + /И) = 0,3183 Рг при о = 0
max ( — М) = - 0,1817 Рг при а = ~
= 4-0,137-^
@<<x<6) (e<a<>)
= P [0,3183 и F — sc) — u] N= P [0,3183 и F — sc)]
Q = P [0,3183 г (sc — в) + г] Q = P [0,3183 г (jc — 6)]
| S* = 1!7 [0,6366 (s - ев) + -у (л? — 6)]
p,3 i
8y = -Jj- [0,6366 (s — ев) + с + 4 52 — Л
И = Af о @,6366 a - -y) M = Mo (o,6366 u + -1]
@<a<7t)
N = 0,6366 -^ и Q — — 0,6366 -^ г
ma* (+ /Vf) = + -y Af0.
max( —Af) = —^-Af0
@ < a < 0)
M = /Vfо [0,3183 B ш + 6) - 1 ]
Л; = ЛЬ o,6366 ш
Af = Af0 [0,3183 B «s + в)]
= -^2- 0,6366 ;
м
Q =z __ ^0 0,6366 25
0,6366 Z5
.= -^@,6366 6 —
= -fr (°-6366
?7
— 1)
V
Af
Q
-Pr @,3183 a +
= P@,3183« + ,
= P (и —0,3183*
г —0,8183)
)
')
cx — ¦—
Af =
Л/ =
0,1366 —
0,1488 ~
Pr@,1817 + 0,31
0,3183 Pa
= —0,3183 Pz
83 u)

86
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 13
ШШВр
М = Pr[o,3183№ — 58—с) 4-s-
N == Р @,3183 ас*)
О = — 0,3183
п
,й<«<т)
!-58 — С) 4-2 — -j-.
Л/ = Р@,3183ис24-2)
Q = Р (и — 0,3183 2С-)
_ 0,6366 и
М = Рг [0,3183 («с» - 58 -
/V = 0,3183 Рис*
С? = — 0,3183 РгФ
— 0,6366 И 4- с) + 0,7854]
М = Рг [0,3183 E6 + с 4-
Л/ = Р @,3183 as* + 2)
Q = P(u~ 0,3183 г«з)
^ I? [4"
— 1)—5 4- г); М = Яг [0,3183 (s8 -f-c-|-
N = P @,3183 И52)
Q=—P @,3183 г**)
2 + 2) + °'6366 E8 + с - 1) - 2s]
c + 9) + °'6366 E9 4- с - 1) - 5]
@<а<8) (&<<*<?)
М = Рг [0,3183 (я «р 4- « — *9 — Л* = ^ [0,3183 (л? 4- е — 5в — .
— с — us2 4- ип2) — п 4- *] — с ~ «s2 4- ил2) — л 4- г]
Л/ = Р [0,3183 а (л2 — 52)] N = P [0,3183 и (л» — 52) 4- г]
Q = P [0,3183 г (s3 — л2)] Q = Я [0,3183 г (s2 — «2) ^_ Hj
2я
М = Рг [0,3183 (лср 4- е —56 — с — us* 4- z^«2)]
TV = Я [0,3183 м(л2~52)]
С? = Р [0,3183 г E2 — пЩ
3 г = -]57 ~ч" (^2 ~Ь гаа) "Ь 0,6386 (п'о -\- е — ^8 —
>. —-
(пе 4- ? — sc — 8) 4- 0,6366 (л? 4- в — s8 — с) 4- 5 — п\
@ < a < 8)
и т-
max N=-i-P-j raax(— /И) = ^-Pr (-^ ctg6) под каждым грузо-vr
Радиальные перемещения точки приложения груза -^ I JL (_ 4- -j) —^-
Радиальное перемещение в точках а=0, 26. 46 и т. д. -^(-i, -)
(наружу)
(-i,
\ Ч s
(внутрь)
@<а<8)
м = мг —
— pfi \sz~0,106153A — в)]
N = — рг @,1061 5% 4- sz)
Q = рг @,1061 бЗг — 5«)
г _ 2РГ' Г ! Л_ 5' ^
°х — ¦gj" |_~4" ' "г 12
6v ~ 1-7 L Тг" ^' Т Тг""'
(8<а<тг)
Af = M-i —
¦РГ" [0,106IS» A-Й) ~^- (S2 4" 8f2)]
7V= — pr @,1061 5% 4- z2)
— 0,3183 (-— 4- 4-^ + 4" — s)l
\ 2 4 '4 /J

ГЛ. II)
РАСЧЁТ РАМ
87
Продолжение табл. !3
ШШр
х = рг* [о,3183 [\ е
Af = Af, —/>г2 (-у
Л/ = — prz*
Q — — przu
8* = ~El\} + 2 S3
I [52 s*c 6s
/И = М1 — pr* [sz - -у
N = —prsz
Q = —prsu
2 + 5 — °'3183 <9 + ЗИ + 29 S
4е + т + т ~ 0>3183
{pr
/W, = 0,305 pfi
Il = — 0,02653 pr
l , l ,, .„
-у /УГЦ -t- -y /?r( 1 — 2J U
Ж7
/va [0,3183 D 5-6c +i-SC3 + {M
pr [0,3183 D ^ + 4 «c2 — 0*) + с — l]
Af = Afx —
Q = — Д^г — /7Г A — uj г
Af = M1 —
Q = —
c~2u)
— c)u
— рг(\—с)г
4+a
л
Af = <М!-
Af = Afx —
Nxr{\ - c) +
— c)-[ -^-\—^-c— u)\
—и)и] N-
Af, = pr2[c —0,3183 Fc —в) —1] Л/, =-/?r [0,3183E-вс) + с— 1]
@<а<б) (ООО)
уИ = yV7x — iVjr(l — и) - pr*0—u. — sz) M — Mx — Nxril—u) -prs{cu—u)
N = Д/,« + pr (sz -\- и — 1) ¦ . N = S'iU + pr(u — t и)
- N\Z -\- pr (su — z) Q — — Nxz -f- /?r (сг — z)
Ъх = 2p? [i? + 0,3183 в - 0,5633s\, где б < 4
Ъу = -^ [-^ + 0,3183 6 + -?- - 1,6817 5 ^-"j

88
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД.!
Продолжение табл, 13
в У/
= Рг {0,15915 [sO + с
u(s2 — rfi) — z (sc + 6 + ne + <p) —
F < a < 2ir — <p)
M = Pr @,15915 [ 58 + с — щ — e + и (s2 — nP) — z (sc + 6 + ne + <p)
Bтс— cp<a<27i)
— Pr @,15915 [ s6 + ^ — n <p — e + u E2 — /i2) — z {sc + 6 + ne +
-a (* + n)] + ± (s + 3n) + z]
@<a<6) и Bтс— «p<a<2»)
W = Я [0,15915 (ад2 — un* — zsc — 28 - zne — гср) + z]
Q = P[0,15915(— s — n — zs2 + 2л2 — i/5c — мб — une — u«p) 4- u]
F<а<2тг — <р)
iV = P [0,15915 (us2 - ил2 — zsc —zb — zne — гу)\
Q = P [0,15915 (— s — n — 252 + zn2 - use — ub — une — щ\\
@<a<6)
[0,3183 (iw —
F < a < 2*)
Af = Af0 [0,3183 (as - zc
j
/V =
2 j "J
^ [0,3183 BC — us)]
^-° [0,3183B5 + ИС
+ т ~ y) + t]
/V = — ^-° [0,3183 (гс — us))
Q = - ^ [0,3183 («y+ uc +
= pfi A + 7Г — Л2 + а2Г \ max ( + ^f ) — М, — -z- pr2
— pr [uz j — тег ) max (— ЛГ) == — 0,642 pr2
— pr ( аи + -§- — та ) при о = 1,3 G4,6°)
8Л = 0,4292 -р?
3„ = - 0.4674 ~г
Mi = ОГ2 f-ij- + С + 6s —TCS -f S2^ M = РГ (s2 rr)
@<a<6) F<a<7i)
M — Mx — Ntr(l — u) -j- M — MY — Ntr A — u) +
-f pr2 (a.z A- u~\) + P^2 (a 2 + ы — 1 —• tt2 -}- ~s)
N = ^и + Praz N = ^u + pr (az — t.z)
Q = — ^2 + prau Q = — Л^г + pr(au — тш)
^ = ^[i^(H-^2-4s) + 2F5 + ^I
2,4574 +
e — 2s) + 2(es + c)]
= 7rs (-1 + 4 и - 4¦ «г
= у/ A + Т и - -2- « +
= Y г2 D а« + т z ~ Т
= Mj max (— M) = — 0,321
при а = 1,3G4,6°)
:) ол.= 0,2145-g:
5V = —0,2337 -V~
У to

ГЛ. II]
РАСЧЁТ РАМ
89
Продолжение табл. 13
, . —.
-sm 23)
¦ I . \ 2 8 r 2 ' 8 4 •"- i ' - ~ ' 2 " I
— ~ir" \-*- f2 — да + да2 4- 0,3183 (~vw ~ 8да2 -
\ * \ 4 2 ^ 4
+ T/-3
— a) —
— W -f
Л* = Mj — W,r(l — а) - Frz
f f
A/ = A/iM — Fz 4- ?r2
[ ц; — да'-'
\~ (p — tw)
= —N1z — Fu + № \-=- C — iraf; —
— z\w — да2 —
V-
При З < -f
При P>4
= i 0,1366/уз—YA5 0,3183» — 0,
— 0,2783те-
0,3467 vw + 0,2217p + да -f
16
= -^ Г — 0,1488 Fr* - № @,1591» — 0,4773pw + 0,71 \vw + -^
f +
¦(ЛГ
T
Шг
6s. с . s
„/1 л , 6s. с . s
= у/ (T - T5 + '2 + T T T
@<a<6)
J ^ = Tr (
6
s . Ь
T + T
и . о. г т. s
2^4 2
= IJt Г-|! - 25 4- 0,6356 (bs + c) + 0,578 1
T + 4 + °'636S @s + c) - с ~ 0,8703
T + 4
Ml = yrs |0,6366 I'-i- Рш f- P — 4 w + -^-vw — -i- P»3
4- 4И + 0.3183 Fr A 4- с + bs - тг 5 4- s2)
= yrs [~ — w 4- w3 4- 0,3183 D- »да — -J- P^3 —
@<a<e; (e<a<p)
Af = Afj —^r(l — аL- Л1 = Afi -N^A — и)+
4- 7 /'314-г — да -г wu I + ifs [ -f- — да 4- дай I — /*/¦ (
+ т"*.(-|-

90
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 13
Л/ = Nyu 4- 0,3183 Fus* +
4- yr2 j-^ — w 4- w?i |
0,3183 /^2 4-
N = Ntu 4- /=" @,3183 Ы52 — ;
о / olZ . \
~^~ "* 12 w + a/«
(? = — Л^*—/40,3183 га*
) = _Мг — /•-
-f
!НЗг52 4-«L-уг2/^-
При 3<-у
[0,3183 A 4- 6s 4- с) 4- -J — si — Y/-5 /0,1533 Э + -^ -
— 0,3183 v + 0,3183 ?ге> - 0,2783 vw\ J
При ^ > ^
bx = v?-7 j Fr* [0,3183 A 4- §s 4- c) + -f — s 1 — 7Г5 f 0,3183 с —
?y I L 4 J V
— 0,31ЬЗ Зк; — 0,3467 t/w + 0,2217 p + ro-f^-^- -KJ- — ~
[• ¦ 7J J»
-0,4773 p
Q =
M =
Fr3 [0,3183 (85 4- c) 4- -J- 0
a» 4- 0,711 iw -\—^g Э2 s"
Mi = —0,01132 Pr
'c + 6) — 0,5671 — 7f5 @,1591» —
J I
1 0 Wi W.I g
-? —0,3927 pU
/ 1
Л/, = — 0,07958 P
max ( + M) = 0,01456 Pr при а = 1,166 F6,8°)
max (— /W) = — 0,01456 Pr при a = 1,975 A13,2°)
Af (a) = — M(tz — a);
(
\ <a< 2)
Pr |0,23S68tt + Л* --
4-0,15915 az— ~\
= Я@,
= P@
15915 аг — 0,07958 u)
15915 «и — 0,07958 2) Q
M = 0 при а = ~
12 <a<7\)
= Pr (o,23868u 4- 0,15915 az —
Л^ = Р @,15915хг — 0,0795й и—\
= P @,15915 a« — 0,07958 z — -1«]

ГЛ. II]
РАСЧЕТ РАМ
91
Продолжение табл. ?3
@<а<8)
о,23868ы — ~
М = Рг Ги,23868и — ~z +
+ 0,15915 (ог + 6s + с - uc*)\ + 0,15915 (az + 6s + с —г/с*)]
JV = P [0,15915 («г— щ*) —
— 0,07958]
= P [0,15915 (a u — г-
N = P ГО, 15915 (az — uc2) +
+ 0,07958 u — v ¦
= P [0,15915(au—z +
= 4у [0,3183E6 4- с) - \(
Sv = ~е7 [°-3183
ТEС + 6) ~ Т ~
= 0
= тг» [0,3183 /4
= т/-2 [0,3183 (-| vw — 4 3 — ~
Qi = о
•у а г — и» + ши — X I -y az + « —
я <[ тт) М = Mi — A^jr(l — и) +
max Л/j = — 0,0683 у/* при 3 = -|
max iVj = 2yr2 при 3 — ^
. _ 23 — sin 23
Все моменты = 0 при 3 = "
— 1
— коэфициент, зависящий от отношения а: b
а
~Ъ ~
fe =
1,0
0 318
1.1
0,295
1,2
0,274
1,3
0,255
1,4
0,243
1,5
0,227
1,6
0,216
1,7
0,205
1,8
0,195
1,9
0,185
2,0
0,175
2,10
0,167
2.20
0,161
2,30
0,155
2,40
0,150
2,50
0,145

92
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1РАЗД. I
а) Симметричная нагрузка (фиг. 62).
Лишняя неизвестная—изгибающий момент X
в средней точке. Уравнения изгибающих
моментов М и крутящих моментов Мк:
1-й участок @<;ср < у):
М = X cos «р;
Мк= X sin cp;
2-й участок
М — Xcosy — /»r2[l— cos (cp — у)];
Мк— X sin ф —pr2 [('f—у) — sin (cp— у)];
3-й участок (р<^9<Са):
М = X cos 9 — ^г2 2 sin Цр sin (cp
G-
¦В
Фиг. 62.
Неизвестный изгибающий момент X опре-
деляется по формуле:
д L \ \ 2 3/1 1 2i Хг '
где
^,=2 [2(sinp— sin у) 4-(^-—З) cos $ — (а—у) cosy];
&2--2 cos a. [sin (ж — у) — sin (а — 3)];
*,=^4 C — у) cos а;
Д'г-2а(Х-'- 1) —(X— 1) sin 2 а;
6) Антисимметричная нагрузка (фиг. 63).
Лишние неизвестные—крутящий момент У
и поперечная сила Z в средней точке балки.
Уравнения изгибающих моментов М и кру-
тящих моментов AiK:
1-й участок @<ср<у):
М = — К sin ср — Zr sin cp;
2-й участок (СЮ
= — sin ч(У-\- Zr) + pr2 [I — cos (
Мк = cos f (Г + Zr) — Zr-f
+ Рг*[(ч — Т) — sin (<р — у)];
3-й участок (^<Cr<C7-):
М -= — sin cp ( К + Zr) +
у)];
М к = cos tp (Г f- Zr) — Zr -f
[C - y) - 2 sin Цр cos (9 - L+J)] .
Фиг. 63.
Лишние неизвестные определяются по фор-
мулам:
-4ft8 sinot] Х4-
Х +
Z = — [ [sin a (ft4 4- ?5 — ¦
4- sin а (kx — ?й) — kRkQ
где
?4=2[(сх — Э) sin Э — (а — yjsiny—2(cos ^—cosy)];
kb— kt tg а; *в= /г3 tg а; А-7= 2 а 4- sin 2 а;
*8= (9-T) (Ц11-*) -f-cos(«-p)-cos(a-T);
ftp-- 2 a — sin 2 a; ki0= a — sin a;
Д2= a [2a (X 4-1) + (X — 1) sin 2 a] — 4 X sin2 a.
Коэфициенты kx, kv и ft2 для некоторых
частных значений X, р'и
у даны в табл. 14.
Круговая балка
с сосредоточен-
ной нагрузкой. Дей-
ствие груза 2Р, распо-
ложенного несимметрич-
но в пролёте (фиг. 64),
может быть представле-
но как сумма действий
двух нагрузок:
Значения коэфициентов kx,
Фиг. 64.
Таблица 14
Г " '
°.5
J.O
1-5
З.О
2,5
3,5
4,5
5.5
6,5
7»5
8,5
1
O.254
°.254
°,254
Ц254
°.254
о. 254
O.254
о.с-54
О.:254
о, 254
о, 254
} =. 45е 7 =
*у
+ о,°553
+ 0,0535
-I- 0,0520
+ 0,0507
+ о, 0496
-f 0,0478
+ 0,0463
+ 0.0451
+ 0,0441
+ 0,0432
+ 0,0425
kz
°. 479
0,476
O.473
о, 471
о,4С9
0,466
о,459
о, 459
0,458
O.458
Oi457
Kx
0.273
о.?73
O1273
O|273
o,273
Oi273
0,273
0,273
0,273
0,273
0.27З
? = 90' y =
+ 0,0700
+0,0760
+0,0735
+0,0714
+00694
+0,0662
+0,0638
+0,0616
+0,0600
+ 0,0586
+0,0573
0
Кг
o,548
o,543
°i538
o,534
°.53i
o,528
O.521
o,5i8
o,5*5
0.512
0,510
p = 90* у = 45е
Kx
0,0194
0,0104
0,0194
0 0194
0,0194
0,0194
0,0194
0,010.4
0,0194
0,0194
0,0194
"у
+o,o237
+ O,O225
+ O.O2I5
+О,О5Ю6
+O,I983
+o,ooi8
+0,0175
+0,0166
+0,0159
+ 0,0153
+ 0,0148
Кг
o,o68-
0,0666
0,0640
0,0633
0,0619
0,0593
O.O579
",0503
0.0551
0,0540
0,0531

Значения коэфициентов kx, ky. kz
a = 90°
Таблица 13
I
0.5
1,0
1.5
2,0
2:5
3,5
4,5
5.5
6.5
7.5
8.5
Kx
0,63662
0,63662
0,63662
0,63662
0,63662
0,63662
0.63662
0,63662
0,63662
0,63662
0,63662
ky
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
к
2
Kx
0.39925
0,39925
0,39925
0.39925
0,39925
0,39925
0,39925
0,39925
0,39925
0,39925
0,39025
P = 15»
ky
0,07191
0,07007
0,06851
0,06716
0,06598
0,06403
0,06248
0,06121
0,06016
0,05928
0 05852
Кг
0,7270
0,7238
0,7211
0,7187
0,7166
0,7132
0,7105
0,7083
0,7064
0,7049
0,7036
р = зо°
Kx
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
O,2
0,2
0,2
0,2
0,2
8
8
8
8
8
8
e8
[8
[8
t8
8
ky
0,00084
0,08780
0,08521
0,08298
0,08103
0,07780
0,07523
0,07314
0,07140
0,06.993
0,06868
0,4766
0,4712
0,4667
0,4628
0,4594
0.4537
0,4492
0, 4455
0,4425
o,4399
4 4377
0,0966
0,0966
0,096b
0,0966
0,0966
0,0966
0,0966
0,0966
0,0966
0,0966
0,0966
p = 45°
ky
0,07483
0,07164
0,06892
0,06657
0,06453
0,06113
0,05843
0,056^3
0,05441
0,05287
0,05155
к,
*
0,2683
0,2627
o,2579
0,2538
0,2502
o,2443
о,2395
о,2357
0.2325
0,2298
O.2275
Kx
0,02963
0,02963
0,02963
0,02963
0,02963
0,02963
0,02963
0,02963
0,02963
0,02963
0,02063
p = 60°
*y
0,04283
0,04054
0,03860
0,03692
0,03545
0,03303
0,03110
0,02053
0,0^822
0,02712
0,02618
Kz
0,1164
0,1124
0,1090
0,1060
0,1035
0,0992
0,0958
0,0931
o, 0008
0,0889
0,0872
Kx
0,00378
0,00378
0,00378
0,00378
0,00378
0,00378
0,00378
0,00370
0,00378
0,00378
0,00378
p = 75°
ky
0,01280
0,01196
0,01124
0,01063
0,от009
0,00020
0,00849
o,oo"Qi
0,00743
0,00705
о.ообба
Kz
0,0276
0,0261
0,0249
0,0238
0,0229
0,0213
0,0201
O.OXOT
0,01.82
0,0175
O,O TOO
Значения коэфициентов kx,
о = 60°
Таблица 16
\
°5
1,0
1.5
2,0
2,5
3,5
4,5
5.5
6,5
7.5
8,5
Kx
o,48957
0.47746
0,46846
0,46150
O.45595
0,44767
0,44180
0,43740
0,43400
0,43128
0,42905
к
0°
У
о
I
-}
0
к
20"
0,32967
0,31825
0,30976
0,30319
0,29796
5
0,28460
0.28046
о, 27725
0,27468
0,27258
0.20135
0,19186
0,18480
о, 17935
о, 17500
0,16851
о, 16391
0,16046
о.15779
о, 15566
о, 15392
0,0407а
0,04008
0,03948
0,03892
0,03840
0,03746
0,03662
O.O35S8
0,03521
0,03461
0,03406
°,497*
о, 4942
о, 4891
о,4845
0,4805
о,477°
O.4738
0,4709
04683
О,1Об21
о,оо953
O.O9455
0,09071
0,08765
0,08307
0,07983
0,07740
0,07552
0,07402
0,07279
0,03404
о.оЗЗЗ6
0,03273
0,03214
O.O3I59
0,03058
0,02970
0,02891
0,02820
O.O27U5
0,02698
= 40°
0,2930
0,2897
0,2867
0,2839
O,28l2
0,2765
О,2722
0,2684
0,2651
О,2б2О
0,2593
0,04341
О,О3979
О,О37Ю
O.O35O2
О,О3336
0,03089
,93
0,02782
О,02б8о
О,О2599
°.°2533
0,01989
O,OI94°
0,01894
0,01851
o,oi8ii
0,01739
0,01675
0,01618
0,01566
0,01520
0,01478
50°
о,оо975
о,оо868
0,00788
о,оо7~&
0.00677
о,оо6оз
0,00551
0,00512
0,00482
0,00458
0,00438
о,ообю
0,00592
O.OO575
О.0О559
<>,оо544 |
0,00517 i
0,0049а '
0,00472
0,00452
O.OO435
0,0341
0,0332
0,0324
0,0316
0,0309
с.ояф
0,0284
O.O274
0,0265
о,о257
о, оо \ о

94
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. 1
а) симметричной (фиг. 65),
б) антисимметричной (фиг. 66).
а) Симметричная нагрузка (фиг. 65).
Лишняя неизвестная — изгибающий момент
X в средней точке балки.
Уравнения изгибаю-
^—^-""¦^ щих моментов М и кру-
/ I \ тящих моментов Мк1
^~^ _,<*- 1-й участок @<<р<р):
Ломаная в плане балка из двух равных
колен. Балка с распределённой на-
грузкой. Действие нагрузки на одной поло-
вине представляется как сумма действий двух
нагрузок: а) симметричной, б) антисимметрич-
ной.
а) Симметричная нагрузка (фиг. 67).
Лишняя неизвестная — момент X в точке
излома балки — определяется по формуле
Х-
(m-J> — mf) + —- (лха3—
1
2 (sin3 a -j- ^ cos2 а)
pa*-k pa>
У
Фиг. 65. 2-й участок (i3<<f<a):
М = X cos <р — Pr sin (ер — р);
М,, = .A* sin cp — Pr [1 — cos (<p — '?)).
Неизвестный изгибающий момент опре-
деляется по формуле
X = 2<х*" + Ы pr = kxPr,
где
kn — 2 (cos р — cos ») —
~ (•* — Р) sin Р — sin a sin (a — p);
Ajy = sin a sin (¦* — P) — (a — p) sin p.
cos2 a -|-4 X. sin' a
Фиг. 68.
б) Антисимметричная нагрузка (фиг. 68).
Лишние неизвестные — момент У и попе-
речная сила Z в точке излома балки — опре-
деляются по формулам
а - от,) {(mt + otJ (т<? + т? —6) —8j} 2 cos <х
pa2 =. kypa";
С) Антисимметричная нагрузка (фиг. 66\
Лишние неизвестные—крутящий момент Y
и поперечная сила Z в средней точке балки.
Уравнение изгиба-
ющих моментов М и кру-
тящих моментов Мк;
1-й участок @<'f<P):
-от,а —6) -8] -
М — — К sin ср — Zrsin
Z/-;
Фиг.
2-й участок
= — sin <p(F+ Zr) + Prsin(f —
А!ж = cos «p (К+Zr)—
r[l— cos(<p — р)].
Z = \-g- («з - т,)
—2~ cos a
Коэфициенты kx, kv и Аг для некоторых
значений а и л. при т^ = 0 и т2 = 1 даны в
табл. 17.
Балка с сосредоточенной на-
грузкой. Действие груза на одной половине
может быть представлено как сумма действий
двух нагрузок: а) симметричной, б) антисим-
метричной.
а) Симметричная нагрузка (фиг, 69).
Лишняя неизвестная — момент X в точке
излома балки — определяется по формуле
v (! — т>* sm а
х ^ 2 fsT^TTT^Tj" Ра = ^^Ра-
Лишние неизвестные определяются по фор-
мулам
У = V
— t- I(*i3sin a
]4 sin a) X—
Фиг. 69.
Фиг. 70.
где
A]g — 2 [(a — p) cos p + cos a sin (a — P) —
— 2 (sin a —sin p)J;
A'l4 = («-P)-sinC — B);
*j5 = 2 [(a — p) cos p — cos a sin (a — p)].
Коэфициенты Лл., Л_у и kz для некоторых
частных значений аир при а = 90° и а = 69°
даны в табл. 15 и 16.
б) Антисимметричная нагрузка (фиг. 70).
Лишние неизвестные — момент Y и попе-
речная сила Z — определяются по формулам
у _ — ОТ A — /И)' р . D
P=kzP.
Коэфициенты /ед-, йу и Лг для некоторых
значений а и X при /л = 0,5 даны в табл. 18.

ГЛ. II]
РАСЧЁТ ФЕРМ
95
Значения коэфициентов кх, ky, k?
Таблица 17
X
о.5
1,О
1.5
2,0
2,5
3.5
4,5
5.5
6,5
7,5
8.5
ОДЗЗЗЗ
о,о8зЗЗ
o,o6o6i
0,04762
0,03922
0,02899
0,02299
0,01905
0,01626
0,01418
0,01258
о = 30°
ky
— O,O5774
—0,04124
—0,03208
—0,02624
—0,02221
—0,01698
— O,OI375
-O,OII55
-0,О0995
—О,О0875
—о, 00780
O.45OOI
0,42857
0,41667
0,40909
о,4°385
ог397°°
0,39286
о.зоооо
o,38793
0*38637
0,38513
а = 45°
*х
°Д57Г4
0,11785
0,09428
0,07857
0,06734
0,05238
0,04285
0,03626
0,03143
0,02773
0,02481
ky
—0,03928
—0,02357
— 0,01684
—0,01310
—0,01071
—0,00786
—0,00620
—0,00512
—0,00437
—0,00380
—0,00337
kz
0,41666
0,40000
0,39286
0,38889
0,38636
о,38334
0,38158
0,38043
0,37964
о,379оЗ
0,37857
а - 60°
*х
0,16496
о, 14434
0,12830
о,И547
о,Ю497
о,о8882
0,07698
0,06792
0,06077
0,05498
0,0502с
ky
—0.02381
— 0,01282
—0,00877
— 0,00667
—0,00538
-0,00388
—0,00303
—0,00249
—0,00211
— 0,00183
— 0,00162
0,39286
0,48462
0,38158
0,38000
0,37904
0.37791
0,37727
0,37087
0,37658
о,37637
0,37622
Таблица 18
I,О
1>5
2,0
2,5
3.5
4,5
5,5
6,5
7-5
8,5
kx
0,10000
0,00250
0.04545
0,0357!
0,02941
0,02174
0,01724
0,01429
0,01220
0,01064
0.00943
0 -— 30'
ky
— 0.08660
—0,0618»
—0 04811
—O.O3937
—0,03331
—0,02547
—0,02062
— 0,01732
—0,01493
—0.01312
—0.01170
Значения коэф
kz
0.42500
0,39286
0,37500
0,36364
o,35577
о,34559
0,33929
0,33500
0,33189
0,32954
0,32770
kx
0,11785
0,08839
0,07071
0,05893
0,05051
0,03928
0,03214
0,02720
0,02357
0.02080
0,01861
нциентов kx, kv, kz
a. = 45°
ky j kz
—0,05893
—0,03536
—0,02525
—0,01964
—0,01607
—0,01179
—0,00930
—0,00769
-0,00655
—0,00570
—0,00505
0,37500
0,35000
0,33928
0,33333
0,32954
0,32501
0,32236
0,32066
0,31945
0,31855
0,31786
kx
0,12372
0,10825
0,09622
0,08660
0,07873
0,06662
0,05774
0,05094
0,04558
0,04124
0,03765
a -- 60°
ky
—0.03571
—0,01923
—0.01316
— 0,01006
—0,00806
—0,00581
-0,00455
-0,00373
—0,00316
—0,00275
—0.00243
O.33928
0,32692
0,32237
0,32000
0,31855
0,31686
0,31591
0,31530
0,31487
0,31456
0,31432
РАСЧЁТ ФЕРМ
Общие определения
Фермой называется геометрически неизме-
няемая стержневая система, сохраняющая гео-
метрическую неизменяемость и в том случае,
если все её узлы предположить шарнирными
(фиг. 71, а и б).
В большинстве случаев действительные узлы
фермы не являются шарнирами, а только пред-
полагаются шарнирами для упрощения расчёта.
с основанием и налагающее связи на её пере-
мещения. Ферма прикрепляется к основанию
отдельными узлами (точками), поэтому опора
может налагать на перемещения фермы три,
две или одну связь.
В плоских фермах опора может содержать
две или одну связь.
Опорная реакция есть равнодейству-
ющая системы сил, заменяющих действие опоры
на ферму. Опорные реакции определяются
внешней нагрузкой на ферму и зависят от
устройства опор.
а)
АЛЛ
Фиг. 71.
Если узлы фермы выполнены как действитель-
ные шарниры, то ферма называется шарнир-
ной.
Стержни ферм работают главным образом
на растяжение и сжатие. По характеру распо-
ложения стержней и направлений действующих
внешних сил фермы делятся на п л о с к и е, т. е.
такие, в которых оси всех стержней и напра-
вления действующих внешних сил, включая
опорные реакции, лежат в одной плоскости,
и пространственные, в которых оси
стержней не ограничены условием расположе-
ния в одной плоскости.
Опоры и опорные реакции. Опора
фермы есть устройство, соединяющее ферму
Основные расчётные положения
1. Цель расчёта фермы—определе-
ние усилий в её элементах (стержнях) и пере-
мещений (прогибов), вызванных нагрузкой.
2. Допущения, принимаемые при расчёте
ферм:
а) Ферма является шарнирной, следователь-
но, сила, передаваемая каждому стержню,
действует строго по оси стержня.
б) Опоры фермы представляют идеальные
(не имеющие трения) связи.
в) Упругие перемещения фермы весьма
малы по сравнению с размерами фермы, по-
этому геометрическая схема деформированной
фермы принимается такой же, как и схема
фермы до деформации. Это позволяет приме-
нить принцип сложения, заключающийся в том,
что усилия (или перемещения), вызванные
несколькими нагрузками, определяются как
алгебраическая сумма усилий (или перемеще-

96
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
(РАЗД.
ний), вызванных каждой из этих нагрузок
в отдельности.
3. Метод расчёта. Ферма стати-
ч е с к и определим а, если усилия, пере-
даваемые каждому её элементу (в том числе
и опорные реакции) при произвольной на-
грузке, могут быть найдены из условий статики
неизменяемой системы (предполагается, что
все стержни являются абсолютно твёрдыми).
В этом случае используются шесть уравнений
равновесия:
2 X = 0; 2 Мх = 0;
= 0;
2
2
Мг =
для плоской фермы используются три уравне-
ния: S X = 0, 2F = 0hS/Wz=:0, которые дей-
ствительны как для всей фермы, так и для
любой её части.
Для определения усилий в тех или иных
элементах мысленно вырезается часть фермы
с таким расчётом, чтобы разрез проходил через
эти элементы (стержни). Действие отброшен-
ной части фермы на вырезанную часть заме-
няется внутренними усилиями, действующими
в этих элементах. Для вырезанной части соста-
вляются уравнения равновесия, в которые
входят неизвестные усилия, определяемые из
этих уравнений.
Уравнения равновесия решаются аналити-
ческим или графическим путём.
Ферма статически неопределима,
если усилия, передаваемые её элементам при
произвольной нагрузке, не могут быть найдены
из условий статики неизменяемой системы.
В этом случае для расчёта используются со-
вместно условия статики и условия деформации.
Плоские фермы
Образование плоской фермы и проверка
её геометрической неизменяемости.Плоская
ферма, образованная из основного треугольника
последовательным присоединением каждого по-
следующего шарнира двумя стержнями, не
составляющими одной прямой, называется про-
стейшей. Простейшая ферма статически
определима.
Путём замены (перестановки) стержней из
простейшей фермы можно получить различные
системы. Например, ферма а (фиг. 72) может
быть преобразована в ферму б путём замены
стержня ab на cd.
Обратно, некоторые плоские фермы, не
являющиеся простейшими, можно путём после-
довательной перестановки стержней пре-
образовать в простейшие. На таком преобразо-
вании основана проверка геометрической не-
изменяемости заданной конструкции. Проверка
геометрической неизменяемости обязатель-
на для всякой проектируемой и подлежащей
расчёту фермы.
Фиг. 73.
Заданная стержневая система геометри-
чески неизменяема только тогда, когда число
стержней и узлов в ней связано соотно-
шением
С = 2У — 3, E0)
где С и У—числа стержней и узлов системы.
Указанный признак необходим, но не доста-
точен. Так, например, в следующих исключи-
тельных случаях системы не являются гео-
метрически неизменяемыми:
а) если два соседних стержня образуют
одну прямую линию (фиг. 73, стержни ас и cb);
б) если три неизменяе-
мые части системы соедине-
ны между собой тремя шар-
нирами, расположенными
на одной прямой (фиг. 74);
в) если две неизменяе-
мые части системы соеди-
нены тремя стержнями, пе-
ресекающимися в одной точке (фиг. 75).
Приведённые случаи „а", ,.б" и „в" со-
ответствуют мгновенной изменяемо-
с т и. Последняя может иметь место при доста-
точном числе стер-
жней (связей), если
связи не независимы.
В этих случаях при
действии нагрузки си-
стема получает пере-
мещение без дефор-
мации стержней, но ь
следующее мгновение
после начального пе-
ремещения система
теряет изменяемость.
Применение мгно-
венно изменяемых систем в конструкциях
недопустимо, так как нагрузка вызывает
в них значительные напряжения.
Элементы и классификация плоских ферм
Верхний (нижний) пояс плоских ферм—
совокупность стержней, составляющих верхнюю
(нижнюю) часть контура фермы.
Решётка фермы —совокупность стерж-
ней, расположенных между поясами фермы.
Стойка — вертикаль-
ный стержень, соединяющий
узлы верхнего и нижнего
поясов (стержень ab, фиг. 76).
Раскос — наклонный
стержень, соединяющий уз-
лы верхнего и нижнего поя-
сов (стержень cb, фиг. 76).
Полураскос — наклонный стержень, со-
единяющий узел пояса с промежуточной точ-
Фиг. 75.
аса
Фиг.
ХАЛЛ/
Фиг. 77.
Фиг. 78.
Фиг. 79.
кой раскоса или стойки
(стержень de, фиг. 76).
Простая раскосная, тре-
угольная и полураскосная
решётки представлены на
фиг. 77—79.
Затяжка — стержень, соединяющий опор-
ные или промежуточные узлы арки (стержень
АВ или ab, фиг. 80).

ГЛ. II]
РАСЧЁТ ФЕРМ
97
Подкос — наклонный стержень, поддер-
живающий ферму или балку и работающий
на сжатие (стержень fg, фиг. 81).
Подвеска — вертикальный стержень (в
том числе и стойка фермы), работающий на
растяжение только от на-
грузки, приложенной к двум
соседним панелям.
Арочная ферма—
ферма, у которой при на-
грузке сверху вниз гори-
зонтальные составляющие
опорных реакций (горизонтальный распор) на-
правлены внутрь пролёта.
Опоры плоскойфермы могут содер-
жать две или одну связь. Цилиндрическая не-
подвижная опора, допускающая лишь враще-
Фиг. 81.
Фиг. 82.
Фиг. 83.
ние вокруг определённой оси (фиг. 82), содер-
жит две связи; цилиндрическая подвижная
опора, допускающая вращение вокруг опреде-
лённой оси и поступательное перемещение
Таблица 19
si
Схема
10
Наименование
Балочная ферма
Ферма-консоль
Висячая ферма
Трёхшарнирная
арочная ферма
Двухшарнирная
арочная ферма
Бесшарнирная
арочная ферма
Консольно-
арочная ферма
Консольно-
балочная ферма
Параболическая
балочная ферма
Байтовая ферма
параллельно определённой прямой (фиг. 83),
содержит одну связь. Первая из этих опор
может быть заменена двумя опорными стерж-
нями, вторая — одним.
В цилиндрической неподвижной опоре
реакция проходит через центр шарнира, вели-
чина и направление реакции неизвестны. В ци-
линдрической подвижной опоре реакция про-
ходит через центр шарнира перпендикулярно
прямой, параллельно которой возможно пере-
мещение; неизвестна только величина реакции.
В табл. 19 даётся примерная классифика-
ция основных типов плоских ферм.
Определение усилий в статически опре-
делимых плоских фермах. Два основ-
ных случая уравновешивания сил
на плоскости.
Для сил, проходящих в плоскости через
одну точку, статика даёт уравнения
2
Для любой плоской системы сил имеем три
уравнения:
Вместо двух уравнений проекций и одного
уравнения моментов можно использовать три
уравнения моментов при условии, что три
моментные точки не лежат на одной прямой.
Простейшими случаями являются опреде-
ление усилий в двух стержнях, в пересечении
которых действует сила, и определение усилий
в трёх стержнях, не пересекающихся в одной
течке.
1-й слунаИ. Требуется уравновесить задан-
ную силу Р двумя силами, линии действия ко-
b
торых 1 а 2 заданы и пересекаются на линии
Р (фиг. 84).
Решение. Строится замкнутый треуголь-
ник ОаЬО, у которого стороны Оа, ab и ЪО
параллельны направлениям Р, 1 и 2. ab = Рх
и ЪО—Р% суть искомые силы. Замкнутость
треугольника сил означает равновесие сил,
проходящих через точку А.
2-й случай. Требуется уравновесить задан-
ную силу Р тремя силами, не пересекающа-
Фиг. Я5.
мися в одной точке и не параллельными, ли-
нии действия которых 1,2nd заданы.
Решение способом Кульмана
(фиг. 85). Сначала уравновешивается сила Р
двумя силами: первая направлена по оси /,
а вторая — по прямой АВ, где А — точка пе-
ресечения Р с /, а В—точка пересечения ли-

98
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
ний 2 и 3, что приводит к 1-му случаю. Спер-
ва строится замкнутый треугольник сил Oab,
где С)а = Р, аЪ — составляющая вдоль линии
АВ и 1Ю—-составляющая вдоль линии /^Да-
лее Та уравновешивается двумя силами ас и
cb, направленными вдоль линий 2 и 3. В ре-
зультате получается четырёхугольник Куль-
мана, дающий графическое решение задачи.
Решение способом Риттера. Этот
способ основан на составлении уравнения мо-
ментов, причём в качестве моментной точки
выбирается точка пересечения линий двух
неизвестных сил (точка Риттера). Моменты
этих сил относительно точки Риттера равны
нулю, и уравнение будет содержать только
одно неизвестное — величину третьей силы.
При определении составляющей / точкой Рит-
После этого силу Р уравновешиваем двумя силами, ча-
правления которых известны, что выполняется с помошью
силового треугольника A-й случай).
Фиг. 86.
тера будет точка пересечения линий 2 и 3,
при определении составляющей 2 точкой Рит-
тера будет пересечение линий / и 3 и т. д.
Уравнение для определения составляю-
щей / (фиг. 86):
Ра — A'jOj = О,
откуда
1 а.
При составлении уравнений моментов при-
нимается какое-либо определённое направле-
ние искомой силы; если в результате решения
уравнения Xt окажется отрицательным, то на-
правление силы следует изменить на противо-
положное.
Способ Риттера неприменим, если две пря-
мые, определяющие точку Риттера, параллель-
ны (фиг. 87). В этом случае применяется спо-
соб проекций. Перпендикулярно линиям
2 и 3 проводится ось v. Далее составляется
уравнение проекций всех сил на эту ось: по-
лучается уравнение с одним неизвестным:
Р cos а — Х1 cos 04 = 0,
откуда
v Р cos о
Л1 = cos а, •
К указанным двум основным случаям уравно-
вешивания сил сводятся расчёты усилий в
плоских статически определимых фермах.
Определение р е а кций опор. Рас-
чёт фермы начинается с определения реакций
опор. В статически определимой ферме можно
реакции опор найти из уравнений статики. При
определении реакций вся ферма в целом рас-
сматривается как твёрдое тело и нагрузки заме-
няются одной равнодействующей.
Пример 1. Балочная ферма с цилиндрической непо-
движной опорой слева и цилиндрической подвижной опорой
справа. Равнодействующая нагрузка Р действует наклон-
но (фиг. 88).
Реакция Rg опоры В перпендикулярна линии, вдоль
которой возможно движение опоры, т. е. направлена верти-
кально. Линия действия реакции Р,д опоры А проходит
через центр опоры. Через В проводим вертикальную
прямую до пересечения с Р, затем точку пересечения
соединяем с А, что определяет направление левой реакции.
Фиг. 88.
Пример 2. Такая же ферма, но с цилиндрической
подвижной опорой В справа, допускающей перемещение
по наклонной линии (фиг. 89). Реакции определяем так же,
как в примере 1; но с той разницей, что направление ре-
акции Rq опоры В наклонно.
Фиг. 89.
Если сила Р параллельна направлению реакции /?g, то
обе реакции параллельны силе Р и определяются при
помощи уравнений моментов.
Пример 3. Ферма, имеющая три опорных стержня
(фиг. 90).
Уравновесив силу Р, действующую на ферму, тремя
силами, линии действия которых направлены по осям опор-
ных стержней, находим опорные реакции, в данном случае
Фиг. 90.
усилия опорных стержней. Задача сводится ко 2-му случаю
и решается, например, по способу Кульмана.
Задача неразрешима при опорных стержнях, пересе-
кающихся в одной точке или параллельных.
Пример 4. Трёхшарнирная арка (фиг. 91). Реакции
опор А и В определяем отдельно для нагрузки Я„ дей-
ствующей на левой половине, полагая правую половину
ненагруженной, и отдельно для нагрузки Р3, действующей
О)
Фиг. 91.
на правой половине, полагая левую половину неиагружен-
ной (фиг. 91, б). В каждом случае нагруженная половина
арки рассматривается как отдельная ферма, а ненагружен-
ная — как опорный стержень. Реакции #д и Rg при
нагрузках Р, и Р2, действующих совместно, получаем
геометрическим сложением реакций, определённых для
Р, и Р„ раздельно.

ГЛ. И]
РАСЧЁТ ФЕРМ
99
Определение усилий при непо-
движной нагрузке. Способ сечений. Для
нахождения усилий (продольных сил) лишь в
отдельных стержнях проводится мысленно
разрез через три стерж-
/р ня, в числе которых на-
ходится определяемый.
Г/'{ А 71 Одна часть фермы отбра-
Y / / сывается, и её действие
^i^yX <!л заменяется усилиями
N3 1 стержней. Эти усилия
R\ определяются из усло-
вий равновесия B-й слу-
фиг. 92. чай уравновешивания).
Если сила направлена
от стержня, то усилие растягивающее, если
к стержню, то сжимающее. Здесь возможны
способы Кульмана и Риттера (фиг. 92).
Диаграмма Максвелла-Кремоны. Этот спо-
соб позволяет одновременно определить уси-
лия всех стержней. Он основан на рассмотре-
нии равновесия узлов, причём расчёт начи-
нается с узла, имеющего два стержня, а затем
последовательно обходятся все узлы — от од-
ного к другому. Нагрузка предполагается дей-
ствующей в узлах. В обычных случаях в
каждом последующем узле остаётся два неиз-
вестных усилия и определение их приводит
к 1-му случаю уравновешивания. При равно-
весии узла многоугольник сил, действующих
в узле, будет замкнут. Совокупность силовых
многоугольников для всех узлов образует
компактную фигуру — диаграмму Максвелла-
Кремоны.
На фиг. 93 показан пример построения
диаграммы Максвелла-Кремоны для фермы
с параллельными поясами, нагруженной верти-
кальными силами. Для удобства каждый стер-
жень обозначается по двум смежным участкам
iiOm ,10m if От \Ют .
\ 2 \ 3 У 4 I 5 1
Ют
&г12\ ft! to | 9 j8 j 7JL
j 30m 30m 30m Wtn 3Qm j
@0 m WDir,
1
>
a /
iX X
f \/ X
л Л|
а
\
\
\
>
/
/
/
<
\
ЮОт
7
8
9,2
3
5*10
б
V
12
Фиг. 93.
(например, раскос Ь-—с, панель 3—е). По-
строение начинается с отложения в масштабе
всех сил, действующих на узлы, по ходу часо-
вой стрелки, включая и опорные реакции.
Далее строится треугольник усилий для левого
опорного узла. Левая опорная реакция 12—1
уравновешивается усилиями / — а и а—12,
величина которых измеряется в масштабе по
треугольнику, входящему в состав диаграммы.
Знаки усилий определяются при обходе тре-
угольника. Реакция 12 — / направлена вверх,
усилие 1—а — к узлу, т. е. стержень сжат, а
усилие а —12—от узла, т. е. стержень растя-
нут.
Далее определяются усилия в стержнях
следующего узла нижнего пояса: здесь усилие
/2-я известно, а усилия 11 — Ь и Ь — а снова
определяются из условия равновесия узла
построением многоугольника а —12—11 — Ь.
Путём последовательного обхода всех узлов
и построения каждый раз силового много-
угольника определяются усилия всех стержней.
Правильность построения проверяется замы-
канием последнего многоугольника (правая
опора).
При построении диаграммы Максвелла-Кре-
моны соблюдаются следующие правила:
1) Силы предполагаются действующими в
узлах.
2) Действующие силы (нагрузка) и опор-
ные реакции откладываются на диаграмме в
определённом порядке относительно фермы,
например, по часовой стрелке; переход от узла
к узлу совершается также в последовательном
порядке.
3) Силы, действующие в точке (узле),
образуют на диаграмме замкнутый много-
угольник.
4) Построение диаграммы начинается от
узла, в котором сходятся два стержня.
5) Усилие стержня, действующее на какой-
нибудь узел в одном направлении, действует
на соседний узел, расположенный на другом
конце стержня в противоположном напра-
влении.
6) Растягивающие усилия направлены от
узла, сжимающие—^к узлу.
7) Если в ненагруженном узле сходятся
два стержня, то усилия обоих стержней рав-
ны нулю.
8) Если в ненагруженном узле сходятся
три стержня, причём два из них составляют
одну прямую линию, то усилие в третьем
стержне равно нулю.
В тех случаях, когда при построении диа-
граммы Максвелла-Кремоны в одном из узлов
оказывается более двух неизвестных усилий,
усилие одного из стержней определяется спо-
собом сечений.
В случае неузловой нагрузки (нагрузки в
пределах панели) для построения диаграммы
Максвелла-Кремоны нагрузку панели следует
заменить статически эквивалентной системой
из двух сил, действующих в узлах по концам
панели; в добавление к продольной силе панель
будет испытывать изгиб как балка.
Определение усилий при подвиж-
ной нагрузке. Для расчёта усилий при
подвижной нагрузке пользуются методом л и-
ний влияния. Линия влияния представляет
собой диаграмму, изображающую изменение
силы или перемещения, вызванное движением
вдоль фермы груза, равного единице и посто-
янного направления.
Если ордината линии влияния какого-нибудь
усилия (перемещения) в точке под грузом Р
равна у, то усилие (перемещение) равно Ру.
Если одновременно действует несколько гру-
зов Р„ Р%, ¦.., Рл и ординаты линии влия-
ния в соответствующих точках равны yh

100
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
У*-' •>Уп< то искомая величина выражается фор-
мулой
При действии распределённой нагрузки по-
стоянной интенсивности р искомая величина
выражается формулой р9., где Q — часть пло-
щади линии влияния, расположенная в пре-
делах действия нагрузки. Если р — р(х) пере-
менно, то искомая величина выражается фор-
мулой
ь
S=fp(x)y(x)dx,
где интеграл берётся в пределах действия на-
грузки.
Расчёт с помощью линий влияния состоит
из: а) построения линии влияния и б) загруже-
ния линии влияния невыгоднейшим образом.
Построение линии влияния для
усилий показано на примере фермы с парал-
лельными поя-
з * сами (фиг. 94).
Движение еди-
ничного груза
здесь—по ниж-
нему поясу.
Общим спо-
собом построе-
ния линий влия-
ния является
способ сечений.
Для панели 2—3
/vw верхнего поя-
са проводится
сечение т. — п
и составляется
уравнение мо-
ментов относи-
тельно точки
Риттера 7. При
расположении
единичного груза левее точки 7 и при усло-
вии, что часть фермы, находящаяся левее се-
чения т—п, отброшена, уравнение моментов
для правой части будет
Фиг. 94.
откуда
2А
Это — уравнение линии влияния для усилия
N23, справедливое на участке 7—В. При рас-
положении единичного груза правее сечения
т — п уравнение моментов левой части отно-
сительно точки Риттера при условии, что от-
брошена правая часть фермы, будет
I 1-х I
л; 1~х
откуда N23 = — 2Л "
Это — уравнение линии влияния для усилия
М>з» справедливое на участке А — 7. Вся линия
влияния изображается на фигуре заштрихован-
ным треугольником.
Для панели в—7 нижнего пояса точкой Рит-
тера служит точка 2. Построение линии влия-
ния — как для панели 2— 3, но с той разни-
цей, что левый и правый участки линии влия-
ния, определяемые как прямые, пересекаю-
щиеся под точкой 2, действительны только в
пределах А—6 и соответственно 7—В; в пре-
делах же панели 6—7 благодаря узловой, а не
непосредственной передаче груза на панель
линия влияния изменяется по прямой линии,
соединяющей точки а и Ъ.
Для раскоса 2—7 точка Риттера уходит в
бесконечность, поэтому используется способ
проекций. При расположении груза левее точ-
ки 7 из условия равновесия проекций сил на
вертикальную прямую получается:
N27 cosa -f В = N27 cos a -f 1 j — 0,
откуда
l cos a
При расположении груза правее точки 7
из условий равновесия левой части получается:
— N27COsa4-;4 = — N27cosa4-1 — = 0,
откуда Л/,7 = -^ .
Точки end левого и правого участков ли-
нии влияния, расположенные под узлами 6 и 7,
должны быть соединены прямой линией, после
чего линия влияния получает форму двух за-
штрихованных треугольников.
При помощи линии влияния опреде-
ляется невыгоднейшее распол оже-
ние нагрузки, для чего необходимо за-
грузить линию влияния. При этом нужно руко-
водствоваться следующим:
1. Загружать однозначные участки линии
влияния порознь.
2. При наличии системы сосредоточенных
грузов наибольшая расчётная величина соответ-
ствует расположению одного из грузов над
переломом линии влияния.
Невыгоднейшее расположение нагрузки
устанавливается пробными попытками, и здесь
нельзя указать общего правила, так как оно
в значительной степени зависит от формы
линии влияния и характера нагрузки.
Определение перемещений (прогибов).
Способ Вильо. Этот способ даёт воз-
можность построить диаграмму перемещений
всех узлов фермы, если известны удлинения
отдельных стержней.
Пусть дан стержень аЪ (фиг. 95, а), у кото-
рого конец а неподвижен, а конец b переме-
стился в точку Ь'. Перемещение bb' = А можно
представить как геометрическую сумму удли-
нения ЫР стержня и перемещения b"b't вы-
званного поворотом стержня. Направление bb"
параллельно, а направление b"b' — перпенди-
кулярно оси стержня. Если конец а имеет своё
перемещение аа' (фиг. 95, в), то перемещение
bb' конца b представляется геометрической
суммой трёх перемещений: поступательного
bb" = аа', удлинения Ъ"ЬШ и поворота b"'b\

ГЛ. II]
РАСЧЁТ ФЕРМ
101
Геометрическое сложение производится от-
дельно от изображения стержня и в любом
масштабе (фиг. 95, б, г).
Если требуется найти перемещение узла /',
в котором сходятся два стержня (фиг. 96, а),
удлинения которых известны, то для каждого
из стержней откладывается от произволь-
ной точки О отрезок, равный удлинению
стержня и параллельный его направлению,
а затем через концы этих отрезков прово-
дятся перпендикуляры до их взаимной встречи
в точке /.
Вектор Oi изобразит ^перемещение узла.
Если заданы, кроме того, перемещения кон-
цов а и b стержней (фиг. 96, б), то сначала от
а) к
точки О откладываются эти отрезки, а затем
выполняется вышеуказанное построение.
Зная удлинения отдельных стержней, можно
построить перемещения всех узлов фермы.
Построение начинается от неподвижного узла.
Получающаяся в результате диаграмма носит
название диаграммы Вильо.
Пример. Определение перемещения узлов фермы, изо-
бражённой на фиг. 97.
При построении диаграммы Вильо один какой-нибудь
узел принимается неподвижным, а направление одного из
примыкающих к нему стержней неизменным. В нашем
примере за неподвижные приняты узел 5 и направление
стержня 5—2. Начиная от узла 5 и переходя к узлам
2, I, 3, . . . , строим (фиг. 97, б) диаграмму относитель-
ных перемещений, соответствующую пунктирному изо-
бражению деформированной фермы на фиг. 97, а. Чтобы
Фиг. 97.
удовлетворить опорным условиям, а именно: неизменности
левой опоры и расположению правой опоры на прямой
АВ после деформации, необходимо произвести дополни-
тельное смещение всей фермы в целом в её плоскости.
Сначала перемещаем А' в А (поступательное переме-
щение всей фермы), что соответствует переносу полюса
О диаграммы в точку а. Затем вращаем ферму вокруг А
до совпадения В' с прямой АВ, что на диаграмме изо-
бразится картиной вращения фермы, представляющей
фигуру, подобную ферме и повёрнутую на 90°. Переме-
щение любого узла в результате только одного враще-
ния даётся вектором, соединяющим точку а' с изображе-
нием этого узла на картине вращения. Окончательное пе-
ремещение любого узла представляется вектором, соеди-
няющим соответствующие данному узлу точки картины
вращения и диаграммы относительных перемещений (на-
пример, 2'—2t 3'- 3 и т. д.).
По диаграмме перемещений строим линию прогибов
пояса (фиг. 97, в).
Способ Максвелла-Мора. Этот
способ даёт возможность вычислить одно
какое-нибудь перемещение (прогиб, сближение
двух узлов, угол поворота и т. п.) по извест-
ным удлинениям или усилиям стержней.
Для применения этого способа необходимо
знать:
1. Усилия Л/о стержней от действия нагруз-
ки, соответствующей тому состоянию системы,
для которого определяется перемещение.
2. Усилия Л/i стержней, соответствующие
такому воображаемому состоянию системы,
при котором в узле, перемещение которого
ищется, действует единичная сила, направлен-
ная вдоль искомого перемещения.
Кроме того, должны быть известны длины /,
площади сечений F стержней и модуль упру-
гости Е.
Перемещение выражается формулой Мак-
свелла-Мора:
= 2
NrN,l
EF
E1)
на
в которой суммирование распространено
все стержни фермы.
Примечание. Если ищется величина взаимного
сближения двух каких-нибудь узлов фермы, то в вооб-
ражаемом состоянии нужно к рассматриваемым узлам
приложить две силы, равные единице и противопо-
ложно направленные, действующие в сторону сближе-
ния узлов. Если нужно определить угол поворота
стержня, соединяющего узлы А и В, то в воображае-
мом состоянии надо приложить по концам А л В стерж-
ня две силы, образующие пару с моментом, равным
единице.
Пример. Определить прогиб среднего узла нижнего
пояса фермы под действием двух грузов (фиг. 98, а).
i
Ч»'
f/
/з
~
г
\
4
a)
\ A
12.00-
80m
\
\
\
_i
80m
Фиг. 98.
Воображаемое состояние при грузе, равном единице,
изображено на фиг. 98, б.
Вычисление перемещения удобно вести в табличной
форме (табл. 3).
Таблица 3
ЖНЯ
c.
X
t» f_ 03
Зя'З?
^ a* tt
l
F
0
1
NuN,l
F
3
4
5
3
3
3
O,OT
O,OI
O,OI
O.OI
500
300
300
300
—100
— 60
60
60
-5/8
-3:4
3/8
31250
13 5°°
6750
6 750

102
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
Принимая модуль упругости ?'=2,1 • WmJM", получаем
прогиб
А
Определение усилий в статически не-
определимых плоских фермах. Ферма, имею-
щая лишние опорные закрепления, называется
внешне статически неопределимой; ферма,
имеющая лишние стержни — внутренне ста-
тически неопределимой.
В статически неопределимой ферме усилия,
передаваемые её элементам при произвольной
нагрузке, не могут быть найдены из условий
статики неизменяемой системы и определя-
ются из совместного рассмотрения условий
статики и условий деформации. Предполагая
деформации упругими (закон Гука) и малыми,
можно составить дополнительно столько урав-
нений, сколько „лишних" элементов содержит
ферма.
Выбор лишних неизвестных должен быть
сделан таким образом, чтобы по удалении
элемента, усилие которого принято за лишнюю
неизвестную, осталась статически определимая
ферма. Остающаяся система называется основ-
ной статически определимой системой.
Для определения усилий статически неопре-
делимой фермы необходимо найти все лиш-
ние неизвестные, т. е. усилия в лишних эле-
ментах. Дополнительные уравнения для опре-
деления этих усилий составляются по следую-
щему правилу:
1. Мысленно удаляется лишний элемент
(стержень или связь) и его действие на ферму
заменяется неизвестными силами.
2. В полученной основной статически опре-
делимой ферме определяется взаимное пере-
мещение узлов, к которым был присоединён
удалённый стержень (или прогиб точки, в ко-
торой отброшена опора) под действием:
а) нагрузки (включая и действие темпера-
туры) и
б) неизвестных сил.
3. Составляется уравнение, приравнивающее
указанное взаимное перемещение (или прогиб)
от совместного действия нагрузки и неизвест-
ных сил величине деформации лишнего эле-
мента в статически неопределимой системе.
Таких уравнений ровно столько, сколько лиш-
них элементов в ферме.
Перемещения вычисляются по способу Макс-
велла-Мора.
Пример 1. Ферма на трёх опорах (фиг. 99, а). Средняя
опора—стержень. Система—с одной лишней неизвестной.
2т
Фиг. 99.
Принимаем за лишнюю неизвестную реакцию X сред-
ней опоры. Отбросив средний стержень, найдём усилия
АГ; стержней, а затем перемещение Д среднего узла С
нижнего пояса в направлении отброшенного стержня.
Приложив в узле С единичную силу, найдём усилия ЛГ,
стержней и аналогичное перемещение 8 от единичной
силы.
Перемещение Д точки С от нагрузки найдётся по фор-
муле
EF '
перемещение 8 точки С от силы X — 1 в направлении
этой силы — по формуле
EF
Общее перемещение точки С от нагрузки и неизвест-
ной реакции должно быть равно удлинению стержня, т. е.
Д + Х& = -
EF.
откуда
{Здесь 1Х и Fx — длина и площадь сечения лишнего
стержня.)
Если опора абсолютно жестка, то перемещение точки
С должно быть равно нулю, т. е.
д + хь = о,
откуда
х=-т
Окончательно усилие N в статически неопределимой
ферме определяется по формуле
N = No ,
Численное решение приведено в табл. И.
Таблица И
1
о.
о
I
2
4
5
6
8
9
ю
и
?7=
Л7
¦
—1.333
—1.333
+0,667
+0,667
—1.333
о
+ 1,890
+о,945
—O.945
—о.ЗЗЗ
-о,333
+о,6б7
+о,6б7
-о.ЗЗЗ
+ 1,ООО
+°L72
—0,472
—о,945
NoNll
EF
+о,445
+о,445
+о,445
+о,445
+ о,445
0
+0,890
—Oi445
+ 0,890
N1
1
EF
+о,ш
+0,111
+o,445
+0,445
+0,111
+ 1,000
+0,322
+0,222
+ 0,890
XN,
+o,333
+o,333
-0,667
—0,667
+О.ЗЗЗ
—1,000
-0,472
+0,472
+O.945
II
—1,000
—1,000
0
0
—1,000
—1,000
+1,418
+1,418
0
ад/
EF
+ З.56;
EF
+ 3.557;
- _3^— = - 1 00
3,557 =
Пример 2. Ферма с двумя лишними элементами
(фиг. 100, а).
Принимаем за лишние неизвестные Хг — опорную ре-
акцию С и Х2—усилие раскоса 12. Отбрасываем опору С
и раскос 12. В основной статически определимой системе
(той же, что на фиг. 99, б) определяем прогиб Дх узла С
и взаимное перемещение Д! концов раскоса 12 под дей-
ствием нагрузки, а затем находим те же величины от
нагрузки в воображаемых состояниях (фиг. 99, в, 100, 6).

ГЛ. II]
РАСЧЁТ ФЕРМ
103
Имеем
EF
EF ' " Zj EF
8.1 =
Уравнения для определения лишних неизвестных:
Ai + 8iA + 8,A. = O,
Д1 + 5а1 X, + SjjXj ='— X, j?_.
?FX'
откуда определяем неизвестные XY и Xt.
В этих уравнениях 61Я = 631.
Фиг. 100.
Окончательно любое усилие N статически неопреде-
лимой фермы выражается формулой
Численное решение приведено в табл. К.
При наличии многих неизвестных система
уравнений имеет следующий вид:
E2)
Д2 -f- Ь-^Хг -\- §22-^24" ¦¦¦-\
(
— и — лп FPn j .
EFn
ние в направлении 1-й. неизвестной, вызванное
единичной /г-й неизвестной.
Коэфициенты 8,-^ связаны соотношением
bik=bki (закон взаимности перемещений).
Значения правых частей уравнений E2),
поставленные в скобках, соответствуют слу-
чаю, когда Хь Х2, . . . , Хп суть усилия
стержней, принятые за лишние неизвестные.
Значения лишних неизвестных зависят от.
площадей сечений, длин элементов и модулей
упругости. Решение, однако, не изменяется,
если эти величины для всех элементов уве-
личить или уменьшить в одинаковое число раз.
Расчёт ферм с нецентрированными узла-
ми и неразрезным поясом. Часто встреча-
ются фермы, у которых стержни решётки (стой-
ка и раскосы) присоединяются к поясу эксцен-
трично, т. е. стержни узла не пересекаются в
одной точке.
При этом неизменяемость конструкции обес-
печивается тем, что элементы (в особенности
пояс) в действительности являются неразрез-
ными и работают на изгиб. Например, ферма
на фиг. 101, а является неизменяемой, если
предположить пояса неразрезными (стойки
можно считать шарнирноприсоединёнными). Для
расчёта таких ферм, являющихся в большин-
стве случаев статически неопределимыми, пол-
ностью применим вышеизложенный метод, но
с тем добавлением, что при определении пере-
Фиг. 101.
В этих уравнениях bj— \'H~i— пере- мещений от нагрузки и от лишних неизвест
^™ ных в дополнение к продольным деформациям
"е!^!!Ие „°^0ЛН„°Л„„С^Т^ес_к.И- определимой уЧИТЫВаются деформации изгиба элементов.
р
системы в направлении /-й лишней неизвест-
ной от нагрузки, Ьщ = Jj—ef перемеще-
р
учитываются деформации
Если отбросить (фиг. 101, б) лишние эле-
менты— раскос 2 и стойку 5, то получится
статически определимая система. Воображае-
Таблица К
i
2
4
5
7
9
1
EF
Nn
— i,333
—1,333
+0,667
+0,667
— 1,333
0
+ 1,890
+0,945
—0,945
-о,333
-0,333
-о.ЗЗЗ
0
+ 1,000
+0,472
—0,472
-O.945
N
0
-0,707
-0,707
0
0
— 0,707
-0,707
0
+ 1,000
0
1 =
EF
+о,445
+о,445
+0,445
+о,445
+O.445
о
о
+0,890
—о,445
+0,890
+ 3,56
N0N3l
EF
0
+о,945
-O.945
0
0
0
0
0
+О.945
0
+1,418
Nil
EF
+ 0,111
+0,111
+ o,445
+o,445
+0,111
0
+ 1,000
+ 0,222
+0,222
+0,890
+3,557
Nil
EF
0
+0,500
+0,500
0
0
+0,500
+0,500
0
+ 1,000
0
+3,000
EF
0
+0,236
-0,472
0
0
0
—0,707
0
—0,472
0
—1,416
+o,443
+o,443
-0,886
-0,886
+O.443
0
—1,326
—0,626
+0,626
+ 1,254
0
+0,584
+0,584
0
0
+0,584
+0,584
0
-0,825
0
N=N0+X1N1+
+ XSN3
—0,890
— 0,306
+0,365
—0,219
—0,890
+0,584
—0,742
+ 1,264
+0,746
+0,309
3,56 + 3.557-Xi — 1,416*3 = о
i,4i8 — 1,416X1 + з.оооХ, = —
\ X, = - 1,326
/ X, = - 0,825

104
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. 1
мые состояния при действии единичных сил
показаны на фиг. 101, в и г.
Перемещения выражаются следующими фор-
EJ
Г момаах .
E3)
.Фиг. 102.
b'J
Здесь члены, содержащие суммы, распростра-
нены на все стержни решётки и относятся к
перемещениям,вызванным деформациями растя-
жения и сжатия, члены же, содержащие ин-
тегралы, учитывают деформации изгиба пояса.
В них Мо — ординаты эпюры изгибающих мо-
ментов от нагрузки Mit M2 — то же от
единичных лишних неизвестных, J — моменты
инерции сечений. Интегралы берутся по всей
длине изгибаемых эле-
ур//р//А>/////мл>м/7ф ментов. Вычисление та-
\ Y | / ких интегралов см. в
N*» ..у разделе „Расчёт балок и
криволинейных стерж-
ней" (стр. 67).
Если эксцентриситеты в узлах малы, то мож-
но приближённо рассчитать ферму по стати-
чески определимой схеме следующим спосо-
бом: сначала найти усилия стержней, прене-
брегая их эксцентриситетом, а затем, прило-
жив найденные усилия в действительных точ-
ках их присоединения к поясам, рассчитать
последние на изгиб, как обыкновенные балки.
К подобному же типу ферм относится так-
же шпренгельная балка (фиг. 102). Для расчёта
последней за лишнюю неизвестную прини-
мается усилие в тяже.
Расчёт ферм с учётом жёсткости узлов.
Расчёт фермы с учётом жёсткости узлов имеет
целью определить дополнительные напря-
жения в стержнях и соединениях, вызванные
изгибающими моментами, возникающими в ре-
зультате жёсткого соединения стержней в уз-
лах (заклёпочные или сварные соединения). Эти
дополнительные напряжения могут достигать
1Г0% от напряжений, вычисленных по схеме
шарнирной фермы. Однако в противополож-
ность напряжениям шарнирной схемы, которые
являются основными и вытекающими из
условия равновесия, напряжения от жёсткости
узлов носят характер добавочных напря-
жений (подобно напряжениям от концентрации
и другим местным напряжениям) и при оценке
прочности конструкции их не следует пере-
оценивать. Эффект этих добавочных напря-
жений тем больше, чем короче и толще стерж-
ни, поэтому расчёт их может иметь суще-
ственное значение для конструкций с рез-
ко выраженными утолщениями элементов, с
очень толстыми стойками (например, литые
конструкции).
Фермы с жёсткими узлами многократно ста-
тически неопределимы. Приводимый ниже при-
ближённый расчёт, применимый в практике,
основан на следующих допущениях:
а) продольные силы стержней, а также пе-
ремещения узлов одинаковы для фермы с жё-
сткими узлами и соответствующей ей шарнир-
ной фермы;
б) влияние продольных сил на изгиб стерж-
ней незначительно и им можно пренебречь.
Расчёт, следовательно, сводится только к
определению изгибающих моментов, действу-
ющих по концам
стержней фермы.
В основу положе-
но рассмотрение
совместных дефор-
маций всех узлов
фермы с использо-
ванием свойства
неизменности уг-
лов между каса-
тельными к упру-
гим линиям стерж-
ней в каждом узле
до и после дефор-
мации (фиг. 103).
За неизвестные
принимаются вели-
чины, пропорцио-
нальные углам поворота узлов фермы в плос-
кости (см. „Расчёт рам*, метод перемещений).
Если ут — угол поворота /я-го узла, <р,- —
углы поворота узлов, расположенных на про-
тивоположных концах стержней, сходящихся
в т-м узле, omi — перемещение m-го узла от-
носительно /-го узла, Ф/л/==г^ — Угол поворо-
lmi
та стержня mi и, кроме того,
Фт= 2Е Тя, Ф, - 2Е -„, Ьт, = 2Ebmi, Xm/= JJ™t
4ni
то условие равновесия узла может быть выра-
жено следующим уравнением:
Между углами поворота и моментами на кон-
цах стержней существует соотношение
Фиг. 103.
где Mmt — момент, действующий от т-то узла
на стержень mi. Положительное значение Mmi
соответствует
действию мо-
мента по часо-
вой стрелке; по-
ложительные
значения
Ф
Фиг. 104.
Ф; И -г И СООТ-
ветствуют по-
воротам узлов или стержня по часовой стрелке
(фиг. 104). Порядок расчёта:
1) Определяются продольные силы стерж-
ней в предположении шарнирности узлов.
2) Строится диаграмма Вильо, из которой
определяются относительные перемещения уз-
лов (составляющие omi перемещений, перпен-
дикулярные осям стержней) и затем углы
<bmi = J^i поворота стержней.
lmi

ГЛ. II]
РАСЧЁТ ФЕРМ
105
3) Для каждого узла составляется уравне-
ние E4). Из полученной системы уравнений
определяются все величины Ф.
4) Определяются концевые моменты стерж-
ней по уравнению E5).
Пример. Рассчитать ферму с жёсткими узлами, изобра-
жённую на фиг. 105.
3 -800 5 '1290 0
100D кг
Фиг. 105.
Таблица Jh
(к примеру на стр. 105)
Стержень
I—2
i-3
2 3
2-4
3-4
3-5
4—5
4-7
5-6
5-7
6-7
л
ч«„
2S?
Э*ч
§ з- ш
С о*.
29,44
58.49
i6,oo
29,44
29,42
52.35
26,48
45.48
52,35
20,58
14,70
Длина
1 в см
32O
49°.7
37=
32O
49O.7
32O
372
32O
32O
490,7
372
1 Момент
инерции
J в см*
I2l8
4490
94.8
1218
805
3978
75O
1907
39/8
358
288
к J
3.8о
9.15
°»255
3.8о
i,6o
12,43
2,О2
5,96
12,43
0,731
о 774
ЗД
1
6оа,4
521
385,6
583,2
426,6
714,6
223,6
648,6
5i8,6
294,2
о
д
229O
4768
98
2214
7оо
888о
452
3864
6440
214
о
Строим (фиг. 106) увеличенную
в 2Е раз диаграмму Вильо, из ко-
торой определяем величины — —
lmi
стержней; эти величины заносим в
табл. Л.
Уравнения для определения не-
известных записываем в табличной
форме (табл. М).
Решение уравнений выполняем
методом последовательных прибли-
жений. Первое приближение по-
лучается по формуле
Ф' =
0.6J
Фиг. 106.
Определение величин Ф и мо-
ментов дано в табл. Н. Вычисле-
ния выполнены по второму прибли-
жению неизвестных.
Таблица М
(к примеру на стр. 105)
Узел
4
2
I
3
5
Ф' =
Ф"'=
26,76
3.8°
1,бо
2,О2
212
213.5
212,5
Ф3
3.8о
15.71
3.8о
о, 225
10
196.5
196.5
Фд
З^о
25.9°
9.4
182
I7I.5
171,6
Ф3
i.6o
О,225
9Д5
4б,87
12,43
2О5,5
2O4
2O4
2,О2
12,43
55-23
229.5
235.5
235.9
згЦ-
7230
4602
7058
I4 446
15 936
1-е прибл.
2-е „
3-е .
Пространственные фермы
Образование пространственной фермы
и проверка ее геометрической неизменяе-
мости. Простейшим неизменяемым элементом
пространственной фермы является тетраэдр, об-
разованный из треугольника, к которому при-
соединён при помощи трёх стержней четвёртый
шарнир, не лежащий в плоскости треугольни-
ка. Ферма, образованная из основного тетраэдра
последовательным присоединением каждый раз
нового узла к трём существующим, называется
простейшей. Простейшая ферма всегда
статически определима. Произвольная стати-
чески определимая ферма путём замены (пе-
рестановки) стержней может быть преобразо-
вана в простейшую.
Критерий неизменяемости статически опре-
делимой фермы выражается следующей зави-
симостью:
( — х Л/ fi . / ^f\\
^¦ф — О& U, {OVf
где C^ — число стержней фермы, У—число
узлов (шарниров).
Для прикрепления фермы к основанию слу-
жат опоры. Каждая опора фермы налагает свя-
зи на перемещения отдельной точки, поэтому
опора может содержать три, две и одну связь.
Соответственно этому различают следую-
щие типы опор:
а) неподвижная шаровая опора, допускаю-
щая только вращение вокруг любой оси? про-
ходящей через неподвижную точку (фиг. 107);
Фиг. 107.
Фиг. 108.
б) плоско-подвижная шаровая опора, допу-
скающая вращение вокруг любой оси, прохо-
дящей через неподвижную точку, и поступа-
тельное перемещение вдоль определённой пря-
мой (фиг. 108);
в) линейно-подвижная шаровая опора, до-
пускающая вращение вокруг любой оси, про-
ходящей через неподвиж-
ную точку, и поступатель-
ное перемещение в некото-
рой определённой плоскости
(фиг. 109).
Опорные устройства ти-
пов „а", „б" и „в" эквива-
лентны трём, двум и одному
опорным стержням.
Минимальное число опорных стержней для
прикрепления фермы к основанию — шесть.
Критерий неизменяемости для статически
определимой фермы, прикреплённой к основа-
нию при помощи опорных стержней в коли-
честве Со. будет
СФ + Со = Ж- E7)
При преобразовании фермы путём замены
стержней внутренние стержни можно заменять
опорными, и наоборот.
Уравновешивание сил в пространстве.
Основным способом изображения простран-
ственных сил является способ проекций на две
Фиг. 109.

106
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. !
Таблица Н
(к примеру на стр. 105)
т
>>
I
4
i
\
5
Стерж-
ни
i—3
1—2
Ф,-
2—1
2-3
2-4
f
Ф,-
3-!
3—2
3—4
3-5
Фз-
4—a
4—3
4-5
4-7
*«-
5—3
5-4
5-6
Ф5 -
^mi i .
4768
2290
д
3EX.— — 7058
181,7
2290
98
2214
4602
196,0
4768
98
700
8880
14446
205,5
2314
700
452
3864
7230
311,8
8880
45a
6440
15986
229,5
-9,!5
- З.80
tk -= 12,95 3ZX—-
22). = 25,90
-3,80
— 0,255
- 3,8o
7.855
15.7!
- 9.15
- 0,255
— 1,60
— 12,43
- 23.435
46,87
— З.80
— 1,60
— 2,02
5«96
13.38
26,76
— 12,43
— 2,02
0,731
12,43
27,611
55.222
-****;
205,5
196,0
- 5ЯФ; = D433)
3IA.= 38,85
I7I.5
205,5
213,5
C088)
23,56
I7L5
196,0
213,5
235.5
(956l)
7О.ЗО
196,0
205.5
229,5
E7X4)
3418
205,5
211,8
A3 005)
69,67
1880
.745
S^-=2625
ф1 = I7L5
-_65i
52
= —811
— 15Ч
Ф, - 191,6
-= — 1569
= — 50
341
= 2925
- 4885
фз =¦ 204,0
- - 745
•= — 463
— 1516
Ф« - 213,5
= — 2553
¦= — 428
— 2981
Ф5 - 235,5
<-
343
2O4
547
(i-3)
393 393
171,5 2O4
5б4.5 597
343
196.5
539.5
A-2)
393
213,5
606,5
B-1) B-3) B-4)
4o8 408
171,5 196,5
597,5 604,5
408 408
213,5 235.5
621,5 643,5
C-i) C-2) (S—4) C-5)
427 427
196,5 204
623,5 631
427 427
235,5 0
662,5 427
D-3) D—3) D-5) D-7)
471 471
204 313,5
675 684,5
471 47!
0 0
47! 471
E-3) E-4; E-7) E-6)
s
e
S'
— 5000
— 2050
— 2145
- 152
— 2305
— 5300
- 153
- 995
-7990
— 2370
— IOIO
-1338
— 2545
(-1273)
-8390
—1382
— 344
B925)
Изги-
баю-
щий
момент
M"
в кгсм
— 232
+240
+ 8
+ 145
— 54
— 9i
о
— 532
- 55
— 295
-j-890
+ 8
- 156
— 310
— 886
+ 1319
— зз
B591)
-f- 49O
— 93O
— 130
+ 59°
+ 20
C515)
Пример. Ф,!
3SX
=•181,7;
-в, Ф - 2&р. Ф, -
31Х- 2\Ф.
Ш
взаимно перпендикулярные плоскости. При
проектировании заданной системы сил, нахо-
дящейся в равновесии, на горизонтальную и
вертикальную плоскости получаются две пло-
ские системы сил, каждая из которых также
находится в равновесии.
Для равновесия точки в пространстве ста-
тика даёт три уравнения, для равновесия
тела — шесть уравнений.
Основными случаями уравновешивания сил
в пространстве являются следующие.
1-й случай. Требуется уравновесить задан-
ную силу Р тремя силами, оси которых пере-
секаются в одной точке, лежащей на линии
действия Р.
Решение (графическое). Проектируем
ось силы Р и оси 1, 2, 3 на горизонтальную
и вертикальную плоскости проекции (фиг. 110).
Силу Р уравновешиваем сначала двумя сила-
ми, одна из которых направлена вдоль оси /,
а другая лежит в плоскости, содержащей оси
2 и 3. Вторую составляющую по изменении
её направления на противоположное уравно-
вешиваем силами, действующими по осям 2
7058 — 2625
25,9°
и 3. Решение проводится в одной горизонталь-
ной плоскости. Если направление силы Р вер-
тикально (фиг. 111), то из сил 1, 2, 3 в гори-
Фиг. ПО. Фиг. 111.
зонтальной плоскости составляем замкнутый
треугольник в произвольном масштабе. Проек-
тируя эти силы на вертикальную плоскость,
получаем замыкающую вертикальную силу,

ГЛ. II]
РАСЧЁТ ФЕРМ
107
которую принимаем за Р и которая опреде-
ляет масштаб построения.
Решение задачи невозможно, если оси 7,
2, 3 лежат в одной плоскости.
2-й случай. Требуется уравновесить задан-
ную силу Р шестью силами, оси которых 1,
2, 3,..., 6* расположены в пространстве
произвольно.
Решение. Составляем шесть уравнений
равновесия из условий равенства нулю момен-
тов относительно шести произвольных прямых
пространства. Из этих уравнений определяем
неизвестные силы. Решение значительно упро-
щается, если каждая моментная прямая пере-
секает несколько заданных осей. Как известно,
всегда можно провести прямую, пересекаю-
щую четыре заданные прямые, поэтому число
неизвестных в одном уравнении можно свести
к двум. В некоторых случаях удаётся пересечь
прямой пять заданных прямых, что приводит
к одному неизвестному. Определение секущих
прямых производится методами начертатель-
ной геометрии.
Определение усилий в статически опре-
делимых пространственных фермах. При
расчёте неизменяемых ферм предварительно
удаляются опоры и определяются опорные
боковой вид
узле, то усилия в этих шести стержнях опре-
деляются по 2-му случаю.
Если шесть стержней расположены так,
что все они могут быть пересечены одной
прямой, решение задачи невозможно. Это со-
ответствует изменяемости системы.
Способ непосредственного ура-
вновешивания сил. Если в ферме
имеется какой-нибудь трёхстержневой узел,
стержни которого не лежат в одной плоско-
сти, то расчёт начинается с этого узла непо-
средственным уравновешиванием нагрузки узла
силами, действующими вдоль стержней, что
приводит к 1-му случаю. После этого пере-
ходят к новому узлу, содержащему три не-
известных усилия, и т. д. Возможность про-
вести таким способом расчёт всей фермы за-
висит от геометрической структуры фермы.
При этом необходимо учитывать следую-
щее:
1) если в ненагруженном узле сходятся три
стержня, не лежащие в одной плоскости, то
усилия в них равны нулю;
2) если в ненагруженном узле все стержни,
за исключением одного, лежат в одной пло-
скости, то усилие в этом стержне равно нулю.
Пример расчёта фермы по способу не-
посредственного уравновешивания показан на
фиг. 112.
Способ разложения на плоские
фермы. Если в заданной пространственной
ферме плоские грани представляют собой ста-
тически определимые плоские фермы, узлы
которых, расположенные по рёбрам, являются
общими для двух смежных граней, то система
усилий, удовлетворяющая условиям равновесия
отдельных плоских ферм, является в то же
время в силу единственности решением про-
странственной задачи.
Чтобы свести задачу к расчёту плоских
ферм, необходимо нагрузку, действующую в
узлах, расположенных по рёбрам, разложить
на составляющие в плоскостях граней фермы,
Фиг. 112.
реакции, которые затем присоединяются к
нагрузкам. Так как в статически определимой
ферме опоры статически определимы, т. е.
имеют необходимое и достаточное число свя-
зей, то задача сводится к рассмотренным
выше двум случаям.
Способ сечения через шесть
стержней. Если удаётся провести разрез
через шесть стержней, не сходящихся в одном
а затем эти грани рассмотреть как отдельные
плоские фермы, находящиеся под действием
своих составляющих.
Для расчёта фермы, изображённой на
фиг. 113, сила Р разлагается на составляющие:
а) вдоль ребра аа^, б) вдоль ребра аЪ и
в) вдоль ребра ае. Первая составляющая вызо-
вет только усилия в ребре, вторая — только в
плоской грани аЪаф^ третья — только в пло-

108
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. !
ской грани aeatffr Расчёт каждой грани произ-
водится по правилам расчёта плоской фермы.
Пользуясь принципом сложения, можно найти
усилия от совместного
действия всех соста-
вляющих.
Способ М а й о -
р а. Этот способ осно-
ван на решении про-
странственных задач
с помощью только
одной плоскости про-
екции. Свободный век-
тор в пространстве,
имеющий координаты
X, Y и Z, изобра-
жается на горизон-
тальной плоскости
скользящим вектором
с проекциями X, Y и
моментом Мг вокруг
полюса изображения, равным Zk, где k—мас-
штабная постоянная. Следовательно, любой из
пространственных сил, проходящих через по-
стоянную точку, отвечает на горизонтальной
плоскости (так называемой „картинной плос-
кости") определённая сила, которая геометри-
чески равна горизонтальной проекции заданной
силы и момент которой вокруг полюса про-
порционален вертикальной проекции заданной
силы.
Плечо d изображающей силы относительно
полюса О определяется по формуле d = k tg a,
где а — угол между направлением заданной
боковой вид
образом задача на равновесие пространствен-
ных сил, приложенных в точке, заменяется
задачей на равновесие сил в плоскости; раз-
ложение силы на три направления, не ле-
жащих в одной плоскости, заменяется разло-
жением в плоскости силы по трём не пересе-
кающимся в одной точке прямым.
Равновесие узла пространственной фермы
эквивалентно равновесию некоторой плоской
фигуры.
Для заданной пространственной фермы
строится соответствующая плоская стержне-
вая система; каждой группе стержней, лежа-
щих в одной плоскости, соответствует на изо-
бражении группа стержней, проходящая через
одну точку. Для плоского изображения фермы.
Полюс
Фиг. 114.
по Майору, можно построить диаграмму уси-
лий /V,-', которые равны горизонтальным проек-
циям усилий Л/,- заданной пространственной
5~а
§)
4-С
Фиг. 115.
силы и горизонтальной плоскостью. Графиче- фермы. Усилия пространственной фермы затем
ское построение изображения показано на определяются по формуле
фиг. 114. г jt
Если три заданные силы лежат в одной ДУ; = N{ у 1 + -rV-» E8)
плоскости, то их изображения на картинной
плоскости проходят через одну точку. Таким где dj—полюсное расстояние.

ГЛ. 11]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ
109
Пример определения усилий показан на
фиг. 115. Последовательность обхода узлов:
1—2—3—4—5. На фиг. 115, б дано изображе-
ние стержней фермы на плане, по Майору, на
фиг. 115, в — диаграмма усилий в плане.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМАХ
(при статических нагрузках)
Применение
Экспериментальные методы позволяют пу-
тём измерений определить внутренние усилия
в поперечных сечениях стержневых систем
(балках, фермах, рамах). Применяются для
проверки расчётных схем конструкций и для
определения усилий в тех случаях, когда рас-
чётные методы оказываются недостаточными.
Используются взамен чисто теоретического
расчёта сложных стержневых систем и при
составлении эскизного проекта конструкций.
Экспериментальные исследования стержне-
вых систем применяются для решения следую-
щих задач:
а) Облегчение расчёта стержневой систе-
мы путём замены части или всех вычислений
непосредственными измерениями на натуре или
чаще на модели, построенной с сохранением
силового и геометрического подобий с дей-
ствительной конструкцией.
б) Изучение работы конструкции для выявле-
ния истинных запасов её прочности и устой-
чивости. Установление влияния факторов, ска-
зывающихся на работе конструкции, но не под-
дающихся расчётной оценке (состояние кон-
струкции, условия сопряжения отдельных ча-
стей, качество выполнения соединений, свой-
ства применённого материала и т. д.).
Вторая группа задач здесь не рассмотрена,
так как она связана со специфическими осо-
бенностями работы изучаемой конструкции.
Примеры применения экспериментальных
методов к исследованию строительных кон-
струкций см. [1, б, 8, 13, 14].
Измерения на самих конструкциях
Измерения непосредственно на самих
конструкциях (фермах, рамах) являются един-
ственным надёжным способом определения
усилий (а также напряжений, жёсткости, проч-
ности, устойчивости) в стержневых системах
в случаях, плохо поддающихся расчёту или
моделированию. Экспериментальное определе-
ние усилий ведётся двумя способами: изме-
рением деформаций (прямой метод) с
помощью тензометров, устанавливаемых в от-
дельных сечениях, и измерением пере-
мещений, т. е. прогибов и углов поворота
(косвенный метод) в отдельных точках и сече-
ниях конструкции.
Способы нагружения. Если величина
действительной нагрузки, прилагаемой к кон-
струкции, известна, то измерения деформаций
и перемещений выполняются с воспроизведе-
нием условий нагружения, возможно более
близких к действительным, для которых опре-
деляются внутренние усилия. Способ нагруже-
ния конструкции при эксперименте устанавли-
вается в зависимости от типа конструкции,
величины и характера нагрузки и других
условий. Как правило, более выгодным оказы-
Область применения и оценка различных методов экспериментального исследования
Метод экспериментального
исследования
Основное применение
Недостатки и ограничения метода
1. Измерения деформаций и пере-
мещений на самих конструкциях
в лабораторных условиях и в усло-
виях эксплоатации
2. Метод механических моделей:
а) Модель, полностью воспроиз-
водящая конструкцию
Определение усилий (и напряже-
ний) в поперечных сечениях стерж-
ней готовых конструкций. Проверка
расчётных схем. Определение жёст-
кости отдельных элементов и конст-
рукции в целом. Определение нагру-
зок, действующих на конструкцию
Применим только для готовых
конструкций. В некоторых случаях
осуществление нагрузки и измере-
ний затруднительно
Определение усилий в поперечных
сечениях стержней конструкции.
Проверка расчётных схем. Опреде-
ление жёсткости конструкции в
целом, особенно для сложных схем
Затруднения в изготовлении мо-
дели и проведении эксперимента
б) Прозрачная модель из опти-
чески активного материала
Определение усилий (и напряже-
ний) в элементах конструкции по
известным нагрузкам. Выбор кон-
струкции с наиболее равномерным
распределением напряжений
Исследование пространственных
систем оказывается сложным. Иссле-
дования возможны только при де-
формациях в пределах упругости
в) Упрощённая модель под на-
грузкой, соответствующей действи-
тельной
г) Использование единичных пе-
ремещений модели (метод линий
влияния)
Замена чисто расчётных способов
определения усилий в статически
неопределимых системах экспери-
ментальными
Применим главным образом для
плоских систем
3. Метод электрического моде-
лирования
Определение усилий в попереч-
ных сечениях стержней конструкции.
Замена расчётных способов опреде-
ления усилий экспериментальным,
в котором расчёт стержневой кон-
струкции заменён эксперименюм на
электрической модели
Необходима специальная электро
измерительная аппаратура

по
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
вается не универсальное, а изготовленное для
каждого отдельного исследования нагрузочное
устройство.
Для замера деформаций, вызываемых соб-
ственным весом конструкции и частей
машины, при проведении измерений необходимо
нагружение конструкции дополнительной на-
грузкой, распределённой подобно собственному
весу. Взамен этого для упрощения экспе-
римента могут быть осуществлены два пово-
рота (например, у оси колёс) от положения,
для которого определяются усилия в несущей
конструкции от собственного веса. Пусть До х
и До 2 — приращения отсчётов по индикаторам
деформаций (например, по тензометрам), полу-
чаемые при вращении исследуемой конструк-
ции (фермы, рамы) относительно какой-либо
оси из положения 0 в положения 1 и 2. Углы
поворота, отсчитываемые в одну сторону от
положения 0 до положения 1 и 2, обознача-
ются oj и а%. Приращение А отсчёта по инди-
катору деформации (например, тензометру),
соответствующее действию собственного веса
конструкции и частей машины, в положении О
было бы равно
Vising -Д02 sin аг
Д =
sin а, A — cos oa) — sin Oj, A — cos a^)
При повороте на углы aj = + 30°; а2 = — 30°;
Нагрузочные приспособления должны обес-
печивать точную передачу нагрузок на иссле-
дуемую конструкцию (ферму, раму) и допу-
скать возможность постепенного увеличения
нагрузки.
Нагрузка производится ступенями с после-
дующей каждый раз разгрузкой и постепенно
доводится до максимальной величины. После
каждой ступени нагрузки производятся отсчёты
но приборам. Такой порядок позволяет во-
время прекратить дальнейшее увеличение на-
грузки и позволяет установить изменение за-
кона нарастания деформаций с нагружением.
Кроме того, увеличивается число отсчётов,
чем достигаются большая точность и контроль.
Тензометрирование. Если в задачу исследо-
вания не входит измерение местных напряже-
ний, то для определения усилий тензометры
устанавливаются в сечениях, удалённых от мест,
где распределение напряжений неизвестно
(или выполняется тарировка на детали).
Тензометры позволяют производить замер
удлинений вдоль базы тензометра. Принципы
измерения удлинений и описание применяе-
мых тензометров—см. т. 1, кн. 2, а также
т. 3 справочника.
Для заданной чувствительности прибора
точность измерений тем выше, чем больше
абсолютная величина измеряемой деформации.
Поэтому при определении изгибающих момен-
тов следует избегать размещения тензометров
возле нейтральной оси стержня, выбирая при
этом сечения с возможно большей величиной
изгибающих моментов, но вне зоны концен-
трации напряжений. В фермах со стержнями,
работающими на продольное усилие, тензоме-
тры устанавливаются в средней части стержней.
Для определения эпюр усилий по длине
ненагруженного стержня необходимо опреде-
лить усилия по крайней мере для двух сече-
ний между узлами. По усилиям, найденным
в этих сечениях, подсчитываются усилия по
концам стержня.
Если распределение продольных деформа-
ций подчинено закону плоскости (монолитный
не тонкостенный стержень, например, круглого
или прямоугольного сечения), топри.вне-
центровом растяжении или сжатии
стержня для определения усилий доста-
точно в рассматриваемом сечении установить
три тензометра /, 2, 3 (фиг. 116) с базой
вдоль длины стержня.
Обозначения:
Aj, Д2, Д3 — приращения отсчётов по тензо-
метрам У, 2, 3 при нагружении конструкции;
Фиг. 116. Расположение трёх тензоме-
тров в сечении.
щ и Sj, т2 и s2, 1Щ и 53 — соответственно
масштабы и базы для этих тензометров;
^> Jxi Jy—площадь и моменты инерции от-
носительно главных центральных осей хну
сечения;
N, Mx, My — продольное усилие и изгиба-
ющие моменты в сечении относительно осей
хну.
Нормальные напряжения вдоль
волокон стержня в местах установки
тензометров 1, 2, 3 выражаются через прира-
щения Д5, А%, Дз по тензометрам так:
Е Л Е л Е , /сп\
jj = /ijj 02 = Дг; Оз == %• (О")
Здесь ? — модуль продольной упругости
материала стержня.
Продольное усилие N и изгибающие мо-
менты Мх, My могут быть определены лишь
при таком расположении тензометров /, 2 и 3,
при котором координаты хну (в плоскости
поперечного сечения) точек установки тензо-
метров были бы связаны следующей зависи-
мостью:
— хг) у2
F1)
В таком случае
продольное усилие в сечении
N =
— Уьх\)
з8];
F2)

ГЛ. II]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ
111
изгибающие моменты
мх = -? К*» ~ *2) «1 + (*i
+ (¦*»—*iKl;
j
Му = -} [(у3 — .Уз) Н + (Уз —Л)
F3)
Для определения скручивающего мо-
мента Мк в сечении стержня по крайней
мере один тензометр устанавливается под
углом 45° к направлению волокна стержня.
При этом должны быть известны: а) зави-
симость средней (на длине базы) величины
касательного напряжения т от момента
кручения Мк (см. раздел „Скручивание*,
гл. VI); icp=.CMK и б) среднее (на длине
базы) значение нормальных напряжений а
вдоль стержня (замеряется тензометром, уста-
навливаемым вдоль стержня). Тогда
М., =
1
а A + (*)
ср
]• F4)
Здесь Д — приращение отсчётов по тензо-
метру, установленному под углом 45° к напра-
влению волокон и нормально к поверхности
стержня; т и s — масштаб и база для этого
тензометра; Е—модуль продольной упруго-
сти; (д. — коэфициент Пуассона материала
стержня.
Если распределение деформаций по сече-
нию не подчинено закону плоскости (составное
сечение, тонкостенный стержень и др.), то
необходимо устанавливать при внецентренном
растяжении или сжатии в сечении более трёх
тензометров.
Для общего случая стержня любой формы
с любым соотношением размеров (работаю-
щего в пределах пропорциональности), распо-
ложенного между двумя узлами конструкции,
может быть подобрана такая установка шести
тензометров в одном сечении, при которой
приращение отсчётов по тензометрам опре-
деляет значения всех шести величин: N,
Afj, /Wjj, MK, Qj, Qn по длине стержня.
Предварительно проводятся эксперименты
со стержнем, имеющим ту же форму, размеры
и материал, что и исследуемый стержень
в конструкции. Стержень последовательно
нагружается единичными силами и моментами:
JV=1; Af, = l; Mu = l; ЛГК=1; Q1=i;
Qjj = 1, прилагаемыми к тому концу стержня,
действие на который от узла необходимо
определить. Для повышения точности измере-
ний расположение и база тензометров подби-
раются такими, чтобы приращение отсчётов
по каждому из тензометров вызывалось пре-
имущественно каким-либо одним из усилий.
Далее экспериментально устанавливается за-
висимость между единичными величинами ка-
ждого из усилий и приращениями отсчётов по
тензометрам (тарировка на детали). Имея тари-
ровку стержня и зная приращения отсчётов
по тензометрам, установленным на стержень
нагружаемой конструкции, можно, пользуясь
линейной зависимостью, определить усилия,
передаваемые от узла на стержень. Для про-
верки рекомендуется устанавливать контроль-
ные тензометры.
К онтр о л ь р езу л ь татов тензоме-
трирования проводится уравновешиванием
экспериментально полученных усилий по сумме
проекций и по сумме моментов усилий, дей-
ствующих на каждый узел конструкции. Ошиб-
ки измерения равны
Y,np.N УМ
ьм = „-—^1°°%; дм = -#^ioo<Vn.
Тщательно проведённые тензометрами Гу-
генбергера измерения позволяют определить
величины продольных сил и изгибающих мо-
ментов в стальных фермах и рамах с точно-
стью около ^ 5%.
Так как расчёт усилий построен на ряде
допущений, то при проверке расчётной схемы,
конструкции следует требовать лишь пример-
ного совпадения данных эксперимента и рас-
чёта. Примеры определения усилий в фермах
авиаконструкций см. [3] и в сельскохозяй-
ственных машинах см. [9].
Измерение перемещений. Внутренние уси-
лия, возникающие в стержнях, могут быть
определены путём измерения перемещений
(прогибов, углов поворота) в ряде точек кон-
струкции. Этот способ имеет по сравнению
с тензометрированием то преимущество, что
удаётся избежать искажающего влияния мест-
ных деформаций на отсчёты по приборам. Од-
нако при этом требуется провести измерения
для нескольких сечений стержня.
Изгибающий момент М в сече-
нии стержня, работающего на изгиб, на
основании зависимости М = EJ -трг находится!
^ dv
по замерам прогибов у его оси или углов —f-
поворота сечений стержня. Здесь EJ — жёст-
кость стержня в рассматриваемом сечении-
Изгибающий момент Мх в сечении х выра-
жается через прогибы ух __ ^, ух, ух , Ах
замеренные для близко расположенных сече-
ний с координатами х — Ах, х, х-\-Ах, так:
Mr = EJ
Достигаемая при этом точность определе-
ния изгибающего момента в сечении не велика.
Изгибающие моменты Мд и М&
в защемлениях А и В стержня нахо-
дятся по замерам углов поворота ср и ув тл
относительным поперечным перемещениям Ъ
концов А и В стержня:
'А =
ЬАВ
2?У
—
— 3
— 3 —J + Мв.
Здесь EJ — постоянная жёсткость стержня,.
/Ид и Мв — опорные моменты балки в пред-
положении её защемления по концам. Поворот
узлов по часовой стрелке считается положи-
тельным; перемещение одного конца стержня no-
отношению к другому считается положитель-
ным, если линия, соединяющая их концы, пово-
рачивается по часовой стрелке. Момент, дей-
ствующий от узла на стержень, положителен,
если он вызывает поворот по часовой стрелке

112
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
Продольное усилие в элементе кон-
струкции определяется величиной полного
удлинения или укорочения, если по длине эле-
мента продольное усилие и площадь попереч-
ного сечения остаются постоянными.
На фиг. 117 приведён пример определения
продольного усилия и дополнительного из-
гиба в плоско-
сти /—// путём
измерения об-
щей деформа-
ции в случае,
когда тензоме-
тры непосредст-
венно на стерж-
не установить
нельзя.
Аналогично
замеряется уси-
\д лие затяжки
Фиг. 117. Установка зеркал для
измерения деформаций болта: а и
б — рычаги; 5 — зеркала.
болта. Если Д/—
осевое удлине-
ние, получаемое
при затяжке болта длиной / и площадью сече-
ния F, то усилие затяжки
где Е— модуль упругости материала болта.
Измерение перемещений позволяет опреде-
лить действительную жёсткость конструкции,
если величина и распределение прилагаемой
при эксперименте нагрузки известны, или, на-
оборот, определить величины приложенной
нагрузки (или усилий) и характер её распре-
Фиг. 118. Определение
жёсткости или нагруз-
ки изгибаемого вала.
деления, если жёсткость конструкции (или её
отдельных элементов) известна. Например, для
определения нагрузки X пофиг. 118
4-1 + ~ f — d —
А -В А В j EJX
EJt
откуда
**>•
F7)
мх
Здесь Q — площадь эпюры -j-^ , соответ-
Jx
ствующей силеХ=1; 9* и 9В — замеряемые
углы.
Аналогично по замеру угла закручивания
может быть найден скручивающий момент
вала или жёсткость на кручение.
Получение линий влияния. На основании
уравнений F2) — F4) или F6) путём экспери-
мента на конструкции могут быть получены
линии влияния. Деформации (и напряжения),
входящие в эти уравнения, замеряются при пере-
мещении по конструкции сосредоточенной на-
грузки Р или при приложении этой нагрузки
в ряде сечений. Отношение усилия, определяе-
мого по замерам на основании перечисленных
уравнений, к величине нагрузки Р даёт орди-
нату линии влияния рассматриваемого усилия
для сечения, в котором приложена нагрузка.
Применение механических моделей
Условия подобия модели и натуры. При
построении моделей конструкций с целью
определения усилий в стержнях при статиче-
ской нагрузке должно быть соблюдено геоме-
трическое и силовое подобия [2].
Условия подобия для напряжений и усилий
в плоской стержневой системе при равен-
стве относительных деформаций
в натуре и модели выражаются так:
, i*L _ Ffl _ я ¦
6 = е > Л' ~ EF ~
М'=
~
V =a.t; <J = o'|;.
Здесь а — масштаб геометрического подо-
бия, равный отношению какого-либо геометри-
ческого размера в модели к соответству-
ющему размеру в натуре; Э — масштаб сило-
вого подобия (подобия нагрузки и усилий), т. е.
отношение величины силы в модели к вели-
чине силы в натуре; N и N', М и М', с и
о' — продольные усилия, изгибающие моменты
и напряжения соответственно в натуре и в
модели; F и F',JuJ',i = ]/"-? и /' = ]/"?. —
площади поперечных сечений, моменты инер-
ции и радиусы инерции сечений стержней на-
туры и модели; s и г' — относительные про-
дольные деформации в натуре и модели.
Сначала выбирается масштаб а геометри-
ческого подобия. По известному а определя-
ются радиусы инерции для сечений стержней
модели. Выбор материала модели обычно не
вполне произволен, так что Е' также задано.
В широких пределах возможно менять /-"', из-
меняя а. Это позволяет выбрать а так, чтобы
напряжения в модели не достигали опасных
величин.
Если стержни конструкции работают на
изгиб и высота сечения мала по сравнению
с длиной отдельных участков, то для соблю-
дения подобия в усилиях размеры сечений
модели подбираются так, чтобы моменты инер-
ции сечений модели были пропорциональны
моментам инерции соответствующих сечений
стержней натуры. Если толщина модели по-
стоянна, то высота сечений стержней модели
должна быть пропорциональна кубическим
корням из величин моментов инерции сечений
стержней натуры. Требования пропорциональ-
ности площадей поперечных сечений и равен-
е ,
ства -g- (отношение модуля продольной упру-
гости к модулю сдвига материалов модели и
натуры) обычно для изгибаемых стержней не
удовлетворяются, поэтому деформации от про-
дольных и поперечных сил в модели воспро-
изводятся неточно. Эта ошибка для стержне-
вых систем, работающих на изгиб, не имеет

ГЛ. II]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ
113
большого значения, так как деформации от
продольных и поперечных сил не оказывают
заметного влияния при условии, что высоты
сечений (по отношению к пролётам) в модели
не слишком завышены. В противном случае
поперечные силы и изгибающие моменты
получаются несколько уменьшенными.
Если стержни нагружены продольными уси-
лиями (ферма), то должна быть соблюдена про-
порциональность в площадях поперечных сече-
ний стержней модели и натуры. Условия подо-
бия см. также гл. IV, „Поляризационно-опти-
ческий метод исследования напряжений".
Модели, полностью воспроизводящие
конструкцию. В этом случае модель обычно
строится в уменьшенном масштабе, но с пол-
ным соблюдением геометрического и силового
подобий. Модель может быть использована для
определения возникающих деформаций и уси-
лий и для проверки конструкции при её про-
ектировании.
Измерения на модели заключаются в опре-
делении деформации и перемещений в зависи-
мости от величины приложенной нагрузки.
Деформации и усилия в модели находятся
так же, как и при измерениях на самих кон-
струкциях.
Прозрачные модели из оптически актив-
ного материала. Если модель изготовлена
из оптически активного материала (бакелит,
целлулоид и т. п.) то по картине полос (см. гл.
1У,„Поляризационно-оптический метод иссле-
дования напряжений"), получаемой на экране
поляризационной установки, определяются без
дополнительных измерений напряжения вдоль
крайних волокон стержней модели.
Каждая полоса соответствует определённой
величине наибольшего касательного напряже-
ния tmax= "' ~ °3. В точках ненагруженного
контура одно из главных напряжений (зг или г2)
равно нулю, и места выхода полос на контур
определяют эпюру нормальных напряжений
вдоль контура.
Поляризационно-оптический метод с при-
менением моделей из оптически активного
Фиг. 119. Картина полос линий, равных tmax = ~Ч>~ ~)
в плоской модели безраскосной фермы с жёсткими
узлами.
материала позволяет быстро определять не
только усилия в сечении стержней, но и на-
пряжения возле узлов и в других зонах кон-
струкции. Этот метод в настоящее время ио-
ззоляет исследовать усилия и напряжения
также й в пространственных системах.
На фиг. 119 приведена картина полос для
безраскосной плоской фермы. Расположение
полос в стержне между узлами зависит от ве-
личин и соотношений поперечной силы Q, из-
гибающего момента М и продольной силы N
в стержне.
На фиг. 120 дана картина полос для от-
дельного выделенного элемента длиной /, не
воспринимающего непосредственно внешней на-
Фиг. 120. Схема построения эпюр нормальных на-
.- пряжений по верхнему и нижнему"--контурам стержня
рамы.
грузки. На концах стержня длиной от :/2 Л до 1 А
непосредственно примыкающих к узлам, ска-
зывается концентрация напряжений, и эти
участки не рассматриваются. Точки выхода
полос на верхний и нижний контуры стержня
дают в модели эпюры нормальных напряже-
ний с в крайних волокнах:
з — а0 т.
Порядковые номера т' и т" полос на верх-
нем и нижнем контурах стержня в каком-либо
его сечении и относительное расстояние с
между нулевыми точками Ох и 0% (фиг. 12Q)
определяют значения N, М и Q в стержне:
m' + m"
m» - m"
(в рассматривае-
мом сечении);
Q = — bheo-i
3c
m' 4-m"
2
h
He'
F9)
Здесь b и h — ширина и высота попереч-
ного прямоугольного сечения стержня плоской
модели, а0 — постоянная материала модели для
данной его толщины, т. е. разность нормальных
напряжений в точках контура модели, лежа-
щих на двух соседних полосах.
На фиг. 121 приведены картины полос
в стержне постоянного сечения высотой h
и длиной 1 — 7,,5 h для некоторых соотноше-
ний величин внутренних усилий.
Упрощённые модели под нагрузкой,
соответствующей действительной. Упро-
щённая модель воспроизводит не конструкцию,

114
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
Л?? 4
п
987
m,=-mz, п = ~г; n-o
8 7 6 5 4 3 2 s
2 3 4 5 6 7 8 9 W
10 9 8 7 6 5 4
3.S 4
6 ' 7 •
1 0,25 0 0,25
Ю
М=Мг\ Q=Q; N=
Фиг. 121. Картина полос для прямого стержня рамы.

ГЛ. II]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ
115
а её расчётную схему. Модель выполняется
из стальных или латунных полос; целлулоид-
ные модели, склеиваемые ацетоном, могут да-
вать худший результат из-за влияния крипа.
Метод, основанный на измере-
нии перемещений. Измерение угловых
и линейных перемещений узлов такой модели
при её нагружении позволяет установить уси-
лия в статически неопределимых плоских ра-
мах. Зависимость между изгибающими мо-
ментами по концам стержня модели и переме-
щениями этих концов дана уравнением F6).
Модель выполняется геометрически подоб-
ной рассчитываемой конструкции, причём
сохраняется соотношение жёсткостей сечений
стержней натуры и модели.
Пример установки приведён на фиг. 122.
Модель двухпролётной рамы выполнена из
листовой латуни толщиной около 1 мм. Шар-
нирные опоры рамы осуществляются с помощью
скоб А, к которым рама крепится цилиндри-
ческими валиками. Сосредоточенная нагрузка
через динамометр В осуществляется с помощью
проволочной винтовой стяжки. Для наблюдения
за перемещением узлов к ним с помощью
Фиг. 122. Упрощённая модель рамы под нагрузкой.
зажимов Е крепятся алюминиевые указатели.
Горизонтальные перемещения рамы и свобод-
ных концов указателей при нагружении заме-
ряются с помощью измерительных микро-
скопов F.
Метод, основанный на опреде-
лении точек перегиба в стержнях
модели [11]. Прибор „Нупубест" (Nullpunkt
Bestimmer или сокращенно „Nupubest") позво-
ляет установить с помощью измерителя кри-
визны (сферометра) положение точек перегиба
упругой линии модели, неразрезной балки или
плоской статически неопределимой рамы, т. е.
положение нулевых точек эпюры изгибающих
моментов. После их определения нулевые точки
переносятся на схему рассчитываемой рамы, и
эти точки для заданной нагрузки рассматри-
ваются как шарниры. Полученная схема являет-
ся статически определимой, и для неё эпюра
изгибающих моментов строится, как обычно.
Набор гибких стальных полос и узловых
соединений „Нупубеста" позволяет собрать
модель по заданной статически неопределимой
схеме. Изгиб полос происходит в плоскости их
наименьшей жёсткости. Модель может быть
собрана для схем со стержнями, имеющими
прямую ось постоянного или почти постоянного
сечения.
Если нагрузка, прилагаемая к стержню, за-
дана несколькими силами, то она, на основа-
нии расчёта шарнирной однопролётной балки,
может быть приведена к одной силе, вызы-
вающей по концам те же углы поворота.
Точность расчёта с помощью такого при-
бора не очень велика (ошибка порядка 10%),
так как при замере сферометром положение
нулевой точки моментов получается в преде-
лах длины базы прибора; кроме того, возни-
кают ошибки в связи с большой деформацией
модели. Преимуществом метода является то, что
крупные ошибки при пользовании „Нупубестом*
невозможны, так как прибор даёт лишь поло-
жение нулевых точек. При пользовании „Нупу-
бестом" вычислительная работа при расчёте
плоских рам с высокой степенью статической
неопределимости, как показывает практика вы-
числительных бюро, сокращается в 10—20 раз.
Метод единичных перемещений (метод
линий влияния). Рекомендуется применение
целлулоидных моделей, так как при примене-
нии метода единичных перемещений
Крип целлулоида не влияет на измерения.
Применение механических моделей в
Массачузетсском институте технологии
(США) см. [20].
Метод Беггса. К статически не-
определимой системе, как плоской, так
и пространственной, работающей в пре-
делах пропорциональности, применима
теорема Мюллер-Бреслау: ординаты ли-
ний влияния для усилия (реакции, попе-
речной силы, момента и т. п.). в какой-
либо связи численно равны прогибам,
получаемым в конструкции (или её мо-
дели), когда эта связь отброшена и в
направлении связи дано перемещение,
равное единице.
При применении метода Беггса стер-
жень модели п раз статически неопреде-
лимой системы разрезается по попереч-
ному сечению, для которого опреде-
ляется усилие X}. Затем осуществляется
относительное перемещение Si,i^n~^ двух се-
чений по месту разреза, соответствующее ис-
комому усилило. Например, если необходимо
определить продольное усилие в сечении
стержня, то осуществляется относительное пе-
ремещение сечений, примыкающих к плоскости
разреза, в направлении оси стержня без относи-
тельного сдвига и поворота этих сечений (по-
перечные сечения раздвигаются на величину
3i,i )•
Искомое усилие Хь возникающее в п раз
статически неопределимой системе под дей-
ствием силы Р=1, равно
,(«-!)
(я-1)
G0)
Перемещение ЬЬр возникает в модели
при осуществлении перемещения 8i,i и
измеряется в точке приложения к конструк-
ции силы Р и по направлению действия силы.

116
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД. I
Индекс (п — 1) обозначает, что перемещения
берутся в (л—1) раз статически неопределимой
системе, получающейся при освобождении за-
данной системы от связи с усилием Х\.
Если модель собрана из гибких полос, то пе-
ремещения велики и могут быть легко осуще-
ствлены и измерены. Упругая линия модели пе-
реносится на бумагу с сохранением масштаба.
Если модель жестка, то перемещения незначи-
тельны и для их осуществления и измерения
необходимы специальные приспособления.
На фиг. 123 показан деформатор Бегг-
са, позволяющий с большой точностью осу-
ществлять относительные перемещения сече-
ний ОО и О'О' модели в её плоскости. К ка-
Фиг. 123. Деформатор Беггса.
ждому из этих сечений прикреплена стальная
деталь с двумя V-образными вырезами. Обе
детали прижаты друг к другу сильными пру-
жинами и могут быть раздвинуты клиньями К
при установке в вырезы закалённых стальных
цилиндров — калибров. В исходном положении,
когда поставлены калибры Zf, напряжения в
модели отсутствуют.
Для осуществления относительных переме-
щений сечений ОО и О'О' два нормальных
калибра Zf) заменяются парой других следую-
щим образом.
а) Для осуществления относительного
продольного смещения щ нормальные
калибры Zo заменяются цилиндрами Zn сначала
меньшего, а затем большего диаметра. Отно-
сительное перемещение сечений м0 = \ у^2 , где
а —разность в диаметрах цилиндров.
б) Для осуществления относительного
поперечного перемещения vn нор-
мальные калибры заменяются парой цилин-
дров Zq, имеющих фаски; цилиндры вставляются
в вырез сначала фасками вправо, затем фаска-
ми влево. Относительный сдвиг сечений vn =
= м- У2, где р.— стрелка сегмента фаски ци-
линдра.
в) Для осуществления относительного
поворота ср0 сечений нормальные калибры за-
меняются двумя цилиндрами Zm разного диа-
метра. Относительный угол поворота сечений
<Ро —v V*2, где v—отношение разности диаме-
тров цилиндров Zm к половине расстояния ме-
жду их осями.
Осуществление относительных перемещений
последовательно в ту и в другую сторону не-
обходимо для компенсации возможных погреш-
ностей при измерениях. Последовательные уста-
новки цилиндров показаны на фиг. 124 (поло-
жения / и И).
Перемещение по любому направлению точ-
ки модели, соответствующей месту приложе-
ния к конструкции внешней сосредоточенной
силы, замеряется при помощи микроскопа с
точностью порядка 0,001—0,002 мм; микроскоп
прилагается к комплекту деформаторов. В ка-
ждой точке измерений на модели наносятся два
взаимно перпендикулярных направления, соот-
ветствующих положительному направлению
внешней силы. Перед измерением микроскоп
устанавливается так, чтобы ось микрометри-
ческого винта располагалась в квадранте,
образуемом этими направлениями внешней
силы.
Если т — увеличение микроскопа, то дей-
ствительные перемещения оказываются в т
раз меньшими. Продольные и поперечные си-
лы N и О выражаются в единицах силы, как и
внешние сосредоточенные нагрузки; масштаб
геометрического подобия модели не влияет на
эксперимент. Изгибающий момент М в модели
зависит ещё и от её размеров, причём «-крат-
ное увеличение модели приводит к л-кратному
увеличению моментов. Если масштаб модели
1:л, то истинный момент равен п-М.
Модель располагается обычно в горизон-
тальном положении на чертёжной доске. Для
уменьшения трения при деформировании мо-
дели под неё подкладываются стальные шари-
ки. Неравномерный нагрев модели может при-
вести к значительным ошибкам. Однако при
тщательном проведении эксперимента метод
Беггса позволяет определить статически не-
определимое усилие в самых сложных кон-
струкциях весьма точно, с ошибкой в преде-
лах ±3<V0.
Так как модель может полностью отображать
форму натуры, то упрощающие допущения при
применении метода Беггса оказываются мень-
шими, чем при обычном расчёте.
Фиг. 124. Схема калибров к деформатору
Беггса и их установка.
Определение усилий в неразрезных балках
и плоских рамах со стержнями постоянного
и переменного сечения может производиться на
упрощённых картонных моделях. Мо-
дель укрепляется на чертёжном столе в верти-
кальном положении. На стержни наклеивается
миллиметровая бумага и на ней отмечаются
точки, перемещения которых наблюдаются.
Прогибы, вызываемые единичными перемеще-

Л. II]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ
11:7
ниями, соответствующими отброшенным связям
статически неопределимой модели, измеряются
с 30-кратным увеличением с помощью катето-
метра, устанавливаемого на расстоянии 3—4 м
от модели. Расхождение в результатах расчёта
и эксперимента составляет 5 — 15% и может
быть отнесено не только к неточности экспе-
риментального метода, но и неточности анали-
тического расчёта, вы-
полненного без учёта
влияния деформаций от
продольных и попереч-
ных сил.
Метод шарни-
ров (метод Эль-Ва-
хеда). Метод основан на
теореме, согласно кото-
рой ординаты линии влия-
ния какого-либо статиче-
ски неопределимого уси-
лия X выражаются в не-
котором масштабе разно-
стью линий прогибов у
и у\, вызываемых одной
и той же произволь-
но выбранной нагрузкой
(или перемещением) в
заданной системе и в
системе с выключенной
связью [11]:
ную подвижность.. Ординаты на фиг. 125.дают
соответствующие линии влияния для рассма-
триваемого сечения.
Модель изготовляется из целлулоида.
Метод Эль-Вахеда может быть применён как
к плоским, так и к пространственным системам
(стержневым, плитам и др.). По данным [10]
точность этого метода выше, чем метода Беггса.
л— д ¦
G!)
Здесь величина Д, являющаяся коэфициентом
пропорциональности, представляет собой пере-
мещение, соответствующее выброшенной свя-
зи, от действия рассматриваемой нагрузки.
Нагрузка, вызывающая прогибы у и уь произ-
вольна но величине, распределению и напра-
влению, но должна быть в обеих системах одна
и та же (и не должна в модели вызывать на-
пряжения выше предела пропорциональности).
Применение этого метода показано на
фиг. 125. Все четыре упругие линии получаются
ггп
Фиг. 125. Линии влияния, полученные по методу Эль-
Вахеда: о — для изгибающего момента; б — для про-
дольной силы; в — для поперечной силы.
от одной и той же нагрузки Р; при этом гори-
зонтальный стержень рамы в том его сечении,
для которого строится линия влияния, снабжён
в случае а шарниром, в случае о имеет про-
дольную подвижность и в случае в — попереч-
Фиг. 126. Континостат Готшалка.
Континостат Готшалка. Прибор
предназначен для моделирования расчётной
схемы конструкции и состоит из массивной
линейки (фиг. 126), по которой передвигаются
ползуны, разделяющие массивную линейку на
пролёты требуемой длины. Расположенные пер-
пендикулярно линейке стержни могут быть
установлены на одинаковых или разных уро-
внях. Эти стержни являются опорами для гибкой
стальной линейки. Гибкая линейка может быть
сделана переменного сечения наложением до-
полнительных полос.
Для получения линии влияния опорной реак-
ции неразрезной балки соответствующая опора
устанавливается выше или ниже других. Изо-
гнутая при этом стальная линейка обводится
карандашом на бумаге. Прогибы измеряются
непосредственно по чертежу. Для получения
в каком-либо пролёте линии влияния попереч-
ной силы все споры, расположенные по одну
сторону этого пролёта, смещаются на одну и
ту же величину. Линия влияния изгибающего
момента балки получается с помощью двух
тонких стальных линеек, концы которых посред-
ством особой детали соединяются под углом.
На фиг. 126 показано получение линии
влияния для изгибающих моментов в сечениях
и на левой опоре одного из пролётов неразрез-
ной балки. Огибающая вершин линий влияния
получается передвижением вдоль опор сталь-
ной линейки, имеющей перелом.
Набор деталей континостата позволяет
собирать различные модели плоских рам.
Электрическое моделирование* (см.также
гл. 111, „Моделирование в применении к зада-
чам динамики"). Измерения заключаются в на-
хождении распределения токов в электрической
цепи, моделирующей рассматриваемую конст-
рукцию. Метод основан на совпадении уравне-
ний для усилий и деформации в конструкции
Составлено при участии А. К. Прейсс.

118
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
(РАЗД.1
с уравнениями для электрического тока в цепи.
См. также [5].
Моделирование балок. Аналогия для
балок основана на совпадении уравнений
для
конструкции
dMx
dx л'
d*Mx
dx* чх*
для электриче-
ской цепи
<ШХ !
dx г F х'
dx* eF1*'
Электрическая аналогия позволяет приведённый рас-
чёт заменить измерением сил тока в цепи (фиг. 128, б).
Сопротивления г, и г„ проводников, моделирующих балки,
должны быть пропорциональны их гибкостям, т. е.
EJt EJX
= k
= kH
G2)
Здесь Mx, Qx, qx — изгибающий момент,
поперечная сила и интенсивность погонной
нагрузки в сечении х; Ux, Ix, ix — напряже-
ние, сила тока и подведённый ток, распреде-
лённый по длине проводника, в сечении х про-
водника, моделирующего рассматриваемую
конструкцию; е = — — удельная проводи-
мость; р — удельное сопротивление материала
проводника; F—площадь его поперечного се-
чения.
Пример 1. Балка на двух опорах, нагруженная со-
средоточенной силой (фиг. 127, а).
Для определения опорных реакций, поперечных сил
и изгибающих моментов составляется электрическая
модель (фиг. 127, б). Роль балки играет проводник со-
где
fi
Для
r\-
масштаб модели.
k = 1
32
~w.
1 т/а
27
ом; Г2 = -?j
— -r ом;
= — = 0,843.
Расчёт усилий в конструкции может быть
заменён не измерениями по электрической мо-
дели, а расчётом токов в соответствующей
электрической цепи.
Моделирование шарнирных ферм. Ана-
логия для ферм основана на совпадении
следующих уравнений:
1-е условие:
для конструкции:
]1.6m
a)
Л
I
p-
5m
-йм-у
с
i
, \
A
/
\J> '
fy-Зм
=3m
4m
(уравнение равновесия сил
для электрической цепи:
(первый закон Кирхгофа).
-"^ 2-е условие:
В
Л- = о
узле);
(условие минимума
альной энергии);
Ln'n
= 0
G3)
1.6 к
Фиг. 127. Статически определимая
балка (о) и её модель F).
ЛЛЛЛЛ—1#
(условие минимума тепловых
потерь в электрической цепи).
Здесь Р — усилия в параллель-
ных стержнях, образующих узел
(в случае стержней, сход ящихся под
углом, рассматриваются горизон-
тальные и вертикальные проекции
усилий); Рп — усилие в стержне п;
податливость стержня п;
СГ/1
Фиг. 128. Система из перекре-
щивающихся балок (а) и её
модель {б).
противлением, например, 5 ом, а сила Р представлена
величиной тока / = 4 а. Сила тока и напряжение в сече-
ниях замеряются амперметром / и вольтметром V. Из-
меренные сила тока / и напряжение U по длине про-
водника дают эпюры поперечной силы Q и изгибающего
момента М.
Пример 2. Перекрещивающиеся балки (фиг. 128, а).
Сила X, воспринимаемая балкой CD, равна
V ^.
р-1\
i — сила тока в проводниках
электрической цепи, сходящихся
в узле; in и гп — сила тока и со-
противление проводника, соответ-
ствующего стержню п.
Плоские шарнирные фермы, имеющие гори-
зонтальные пояса, стойки и раскосы, модели-
руются двумя контурами: одним для всех го-
ризонтальных и другим для всех вертикальных
элементов фермы. Сопротивления, моделирую-
щие раскосы, включаются как в первый, так
и во второй контуры. Эти сопротивления свя-
заны между собой трансформаторами. Коэфи-
циент трансформации т зависит от отношения
усилий (токов), определяемого наклоном стерж-
ня:
т =
где У, и У3 —моменты инерции сечений балок АВ и CD.
При 7t =2Уа по приведённой формуле сила X =2,71 /и.
Отсюда А = В = 1,145 т п С ~ D= 1,355 т.
гор
5
верт
гор
'верт
= tga.
G4)
Здесь Ргор и Рверт —горизонтальные и

ГЛ. Ill
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИИ
119
вертикальные составляющие усилия, действую-
щего в наклонном стержне, или внешней силы;
(- и i ^ — соответствующие моделирующие
токи; а — угол наклона стержня по отноше-
нию ' к вертикальной оси. Введение транс-
форматора в электрическую цепь не приводит
к ошибкам при измерениях, так как внутрен-
ние сопротивления обмоток малы по сравнению
с сопротивлениями внешней цепи. При экспе-
рименте применяется переменный ток. Отдель-
ные токи, представляющие собой внешние на-
грузки на ферму и реакции опор, должны
совпадать по фазе.
При исследовании пространственной
стержневой системы необходимо иметь три
контура, которые совмещаются в одну плос-
кость. В этом случае каждый наклонный стер-
жень представлен тремя сопротивлениями и
двумя трансформаторами,
Величины токов и сопротивлений, модели-
рующих нагрузки и стержни фермы, выбирают-
ся так же, как и при моделировании балок.
Токи подводятся в местах, соответствующих
гочкам приложения нагрузок и реакции в кон-
струкции. Собственный вес конструкции при-
лагается в узлах фермы.
Продольные деформации в каждом стержне
пропорциональны падению напряжения на со-
ответствующих сопротивлениях, т. е.
. , PI ir 1нг\
A'=-?F=-p-- ( }
Коэфициент пропорциональности 3 = kk\
где ?___?_ и k' =-у- • Здесь / — сила тока в про-
W
воднике, соответствующем стержню, восприни-
мающему усилие Р.
В случае симметричной системы можно
моделировать только повторяющуюся часть
конструкции.
Пример 1. Простейшая
статически неопределимая
ферма (фиг. 129, а).
Электрическая модель
этой фермы дана на фиг.
129,6". Через гтп обозна-
чены сопротивления стер-
жня т.п.
Если углы а наклона
стержней И и 23 равны, то
для трансформаторов Тр. 1 и
Тр. 2 коэфициенты транс-
формации т равны. При
а — 45" От] = ma = 1.
Пример 2. Статически
неопределимая крановая
ферма (фиг. 1, а).
Один контур (фиг.
130, б) моделирует гори-
зонтальные пояса, вто-
рой — вертикальные стой-
ки. Раскосы включены в
оба контура.
На схеме фиг. 130 дана
модель только статически
неопределимой части фер-
мы. Дейетвие примыкаю-
щих стержней воспроизво-
дится токами, подводимы-
ми к точкам I и 11 (гори-
зонтальные составляющие
в стержнях / и 13), III
(вертикальная составляю-
щая в стержне УЗ), IV и V
(усилия в стержнях 8, 4 и
18), А, В v. С (внешние
вертикальные нагрузки и вертикальная составляющая
нагрузки в стержне 18).
В выполненной конструкции модели наибольшая
ошибка при экспериментальном определении усилий по
схеме фиг. 130 не превосходила 494 A8].
е, верю
Фиг. 129. Статически
определимая ферма
и её модель {б).
(а)
Моделирование для плоских рам и ферм
с жёсткими узлами. Если пренебрегать де-
формацией от продольных сил, то для ненагру-
6 7 8
с)
ЛЛЛЛЛЛ/1 у—*/Р
ЛЛЛЛЛЛ/ '
76 Тр Гор.
vwwv-Q-j
ллллллл—J—*—-»
Верш
Фиг. 1?0. Крановая ферма (а) и модель (б)
статически неопределимой части фермы.
женного стержня с жёсткими узлами уравнения
равновесия и деформации записываются так:
МА + МВ 4- QI = 0;
ТЕГ
3EJ'
G6)
иАВ-
Здесь Мд и Мв~
моменты по кон-
цам (в узлах) А и
В стержня, 9д и
ср? — углы пово-
рота узлов А и В,
бд3— относитель-
ное поперечное пе-
ремещение узлов
Л и В.
Электрическая
схема, удовлетво-
ряющая уравне-
ниям G6), приве-
дена на фиг. 131, а.
Условное обо-
значение такого
блока с точками
выводов указано
на фиг. 131, б. Точ-
ка G включения
блока — общая.
Соответствую-
щее соединение та-
ких блоков в об-
щую схему позво-
ляет воспроизво-
дить любую слож-
ную конструкцию с жёсткими узлами.
Для моделирования жёсткого узла
(фиг. 132, а) четыре блока (см. фиг. 131) соеди-
б)
Фиг. 131. Модель стержня пло-
ской рамы или фермы с жёст-
кими узлами.
О
ое
о
о
О
о
о
о
О

120
СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
[РАЗД.
няются в схему (фиг. 132, б). Равенство углов
поворота концов всех стержней в узле до-
стигается применением трансформаторов с
коэфициентом трансформации т — 1. Схема
трансформатора дана на фиг. 132, в.
Фиг. 132. Модель жёсткого узла с четырьмя стержнями.
Пример. Электрическая схема рамы с большим
числом узлов (фиг. 133, а и б).
Так как относительные вертикальные перемещения
стержней, составляющих горизонтальные пояса, равны
нулю, то концы, обозначенные на блоках через 8^ и од
для блоков 1 — 9 остаются не включёнными в схему. Бо-
ковое перемещение всех стоек панелей одного и того же
ряда уравнивается введением трансформаторов тока.
В местах заделки <р = 0 и 6 = 0; в соответствии с этим
концы блоков 10, 13, 16 и 19 в схему не включены и
остаются свободными. Внешние нагрузки, которые моде-
лируются переменным током, воспроизводятся токами в
точках Ри Р, и Р3 модели. Реакции опор воспроизводятся
токами в точках А^ А2, А3 и At.
Если внешние силы приложены не в плоскости рамы,
каждая сила разлагается в общем случае на три соста-
вляющие, параллельные осям координат, и затем действие
составляющих одного и того же направления исследуется
отдельно. Во многих случаях достаточно рассмотреть
действие составляющих одного направления.
Сравнение результатов расчёта и электрического
моделирования показывает [18], что абсолютные вели-
чины по!решностей невелики; значительная относительная
погрешность, получаемая для стержней и узлов, в кото-
рых определяемая величина оказывается меньшей, прак-
тически приемлема.
Взамен непосредственного построения по
заданной схеме конструкции её модели элек-
трическое моделирование может быть осуще-
ствлено на основании уравнений, составлен-
ных для рассчитываемой конструкции; решение
этих уравнений выполняется с помощью элек-
о
a) '&
D *
¦О
i
<Г
7*~~
V//,
л,
A
JS
A**
3
A3
/s
A
Фиг. 133. Модель трёхъярусной трёхпролётной
плоской рамы с нагрузкой вдоль панелей.
трического счётно-решающего устройства. Не-
удобство такого способа по сравнению с непо-
средственным построением модели заключается
в необходимости путём предварительного под-
счёта находить коэфициенты и свободные члены
уравнений для рассматриваемой конструкции.
Электрическое моделирование динамиче-
ских систем см. в гл. III.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
L. Б е з у х о в К. И., Испытание инженерных кон-
струкций, ОНТИ. 1937.
2. Бридж мен А., Анализ размерностей, ОНТИ,
1934.
3. Голованов И П., Методы измерения напряже-
ний при статическом испытании конструкций само-
лётов, „Труды ЦАГИ", вып. 378.
4. Г о р б у н о в Б. Н. и У м а н с к и й А. А., Статика
пространственных систем, Госстройиздат, 19:!?.
5. Гутенмахер Л. И., Электрическое моделиро-
вание, изд АН СС< Р, 19+3.
t. К а ч у р и н В. К., Крыжа новский В. И.,
Обследование мостов, Гострансиздат, 1332.
7. К о р н е в и ц У. и Э н д е р 1'., Формулы для
расчёта балок на упругом основании, Госстройиз-
дат, 1932.
8. Н и л е н д е р Ю. А.. Испытание сооружений. Спра-
вочник инженера-проектировщика, т. 2, Госстройиз-
дат, 19.44.
9. П р и г о р о в с к и п H. И., Исследование усилий и
напряжений в деталях сельхоз. машин, сб. „Доклады
по динамической прочности", Инст. машиноведения,
изд. АН СССР, 1946.
10. Рабинович И. М., Курс строительной механики
стержневых систем, ч. 1, Госстройиздат, 1938; ч. 2,
Госстройиздаг, 1940.
11. Рабинович И М., Механический расчёт. Спра-
вочник проектировщика промсооружений, т. 2, рас-
чётно-теоретический, Госстройиздат, 1934.
12. Ремез М. Б., К вопросу о расчёте криволиней-
ных и ломаных и плане балок. „Труды Ленингрядсяого
института инженеров промышл. строительства",
вып. 5, 1938.
13. Сборник ЦНИИПС, „Исследования действитель-
ной работы строительных конструкций промышлен-
ных цехов", под ред. С. А. Бернштенна, 1938.
14. Сборник ЦНИИПС, „Исследование металлических
конструкций", под ред. 11. С. Стрелецкого, 1940.
15. Справочник проектировщика промсооружений, т. 2,
pai-чётно-теоретический, Госстройиздат, 1933.
16 Тимошенко С. П., Курс статики сооружений,
Госсгройиздат, 1932.
17. У м а н с к и и А. А., Специальный курс строитель-
ной механики, ч. 1, Госетройиздат, 1935; ч. 2, Гос-
стройиздат. 1940.
18. В u s h V , Structural analysis by Electric Curent Analo-
gies, „Journ. of Franclin Institute" № 3, 1934.
19. NorrisC, Modei analysis of Structures, Proc. Exper,
Strees Analysis, v. I, № 1, 1943.
20. Roark R. J., Formulas for Stress and Strain, New
York a. London 1943.

Глава III
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. КОЛЕБАНИЯ
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Кинематика колебательного движения
Гармоническое движение определяется
следующим выражением для перемещения х:
х = A sin (W
A)
где А — амплитуда гармонического колебания
в см для поступательных и в радианах для
угловых перемеще-
ний; v — фазовый угол
в радианах, опреде-
ляемый начальными
условиями движения
или общим началом
отсчёта для ряда со-
поставляемых движе-
ний; (о — угловая ча-
стота колебаний в
1/сек; t—время в сек.
В графической ин-
терпретации (фиг. 1)
перемещение х соот-
ветствует проекции
Фиг. 1. Векторная диа-
грамма гармонического
колебания.
вектора А, вращаю-
щегося с угловой ско-
ростью <о, на верти-
кальную ось. Здесь х0 соответствует началу
движения (t = 0).
Частота колебаний выражается следую-
щим образом:
ш = 2тг/ = — = — N; B)
здесь to — угловая частота колебаний в 1/сек;
f—частота в гц, т. е. число колебаний в се-
кунду; Т—период колебания в секунду; N—-чи-
сло колебаний в минуту.
Сложение гармонических колебаний оди-
наковой частоты и одинакового направления
даёт гармоническое колебание той же частоты.
Амплитуда результирующего колебания пред-
ставляет геометрическую сумму амплитуд
составляющих колебаний (пример для сло-
жения двух составляющих Аг и /52 показан
на фиг. 2).
Представление о характере движения при
сложении гармонических колебаний одного на-
правления, но различных частот со, и ш2 можно
получить из векторной диаграммы фиг. 2,
предположив, что векторы Аг и А2 вращаются
С раЗЛИЧНЫМИ УГЛОВЫМИ СКОРОСТЯМИ OJ] И <и2.
Если частоты и>1 и <о2 мало различаются между
собой, то расхождение векторов Аг и Л2 проис-
ходит весьма медленно и результирующее дви-
жение можно охарактеризовать как гармониче-
ское колебание с периодически изменяющейся
амплитудой — так
называемое бие- Ц
ние (см фиг. 3 для
случая Аг — /42).
В общем случае
наложения гармо-
нических колеба-
ний различных ча-
стот получается не¦
гармоническое пе-
риодическое дви-
жение. Методы ре-
шения обратной за-
дачи —нахождение
гармонических со-
ставляющих данного периодического движения
или любой другой периодически изменяющейся
величины — приведены в т. 1, кн. I, гл. I,
„Математика".
Если данная точка принимает участие в
двух гармонических колебаниях одинаковой
Фиг. 2. Сложение гармони-
ческих колебаний.
Фиг. 3. Биение при сложении двух гармонических коле-
баний равных амплитуд.
частоты, но различного направления, то дви-
жение в общем случае происходит по эллип-
тической траектории. В частном случае,
когда сдвиг фаз составляющих колебаний равен
нулю, траектория превращается в прямую
линию. Если сдвиг фаз двух взаимно перпен-
дикулярных колебаний равных амплитуд со-
ставляет -—, т. е. 90э, траектория представляет
собой окружность.
При сложении гармонических колебаний
различных частот и направлений результирую-

122
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД. i
щие движения имеют сложные замкнутые
траектории, так называемые кривые Лиссажу.
Затухающие колебания (фиг. 4) опре-
деляются выражением
х = Aoe~~atsin (со* + <?),
Фиг. 4. Затухающие колебания.
где а характеризует затухание колебаний
[остальные обозначения те же, что и в фор-
муле A)].
Декремент затухания 0, представляющий
натуральный логарифм отношения амплитуд,
следующих одна за другой через один период,
выражается следующим образом [см. также
формулы A4) и A5)]:
/
D)
{обозначения формул A) и C)]. Если колебания
имеют нарастающую амплитуду, то коэфициент
а в формуле C) приобретает знак плюс, а увели-
чение амплитуды будет характеризоваться ло-
гарифмическим инкрементом нарастания
колебаний.
Свободные колебания системы с одной
степенью свободы при отсутствии сил
сопротивления
Системой с одной степенью свободы
называется такая система, геометрическое по-
ложение которой определяется лишь одной ве-
личиной.
При отклонении массы т (фиг. 5) от поло-
жения равновесия упругая связь создаёт вос-
станавливающую силу. В линейной
системе масса т постоянна, а вос-
станавливающая сила ,и пропор-
циональна деформации х упругой
связи:
=Cnx = jX кг,
E)
где Сп — жёсткость в кг/см; 8 —
податливость в см/кг.
На фиг. 6 показано определе-
ние суммарной жёсткости при раз-
личных способах соединения упру-
гих элементов.
Если массе т (фиг. 5) сообщить
некоторое начальное перемещение
и скорость, то она будет совершать
при отсутствии рассеяния энергии
гармоническое движение, выражаемое форму-
лой
Фиг. 5.
Схема про-
стейшей
колебатель-
ной си-
стемы.
х = х$ cos wr0 t-\ sin ш
= о sin (wrot + ?),
t =
F)
где дг0 — начальное перемещение в см; v0 —
начальная скорость в см/сек; шг0 — угловая
частота собственных колебаний (при отсутствии
сил сопротивления), равная
1/сек;
G)
здесь Сп — жёсткость в кг/см; т — масса в
кгсек^/см; амплитуда свободных колебаний
а =
фазовый угол
= arctg
(8)
(9)
>СЬ^1
к
ПпраллелЬмое
соединение
с,
„ „ ПараллеяШе
(,-L,*L?'L3 соединение
Л
С,
ЛА/\Г
с,
МЛ/
?, С 2 С3
соединение
ЛЛЛ)—» С=
- - Смешанное
!_ соединение
С г С, С3
Фиг. 6. Соединение упругих элементов.
Энергия при колебаниях преобразуется
из потенциальной в кинетическую и наоборот.
При амплитудном отклонении от положения
равновесия скорость системы, а следовательно,
и запас кинетической энергии равны нулю.
Запас потенциальной энергии при этом со-
ставляет
п _ С/г
¦Umax = —п
A0)
При прохождении положения равновесия
запас потенциальной энергии равен нулю, ско-
рость равна v = <uAOtf, запас кинетической энер-
гии составляет
шах =
Т
A0а)
При свободных колебаниях без рассеяния
энергии или подвода её со стороны
A06)
ТТ гр
max L max'
Колебательные системы с поступатель-
ным перемещением (продольные и
поперечные колебания) и колеба-
тельные системы с вращательным переме-
щекием (крутильные колебания) име-
ют подобные расчётные формулы. В табл. 1 по-
казано взаимное соответствие величин для
обоих видов колебаний; имея формулы для
одного вида колебаний и заменив в них по
табл. 1 все величины соответствующими ве-
личинами для другого вида колебаний, можно
получить 'формулы для последнего.

ГЛ. Ill]
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
123
Таолица 1
Крутильные колебания
Угловое перемещение ср
в радианах
Момент силы М в кгсм
Момент инерции массы 9
в кгсмсек?
Жёсткость С в кгсм
Податливость
е =¦ — Цкгсм
Сопротивление,отнесён-
ное к единичной угло-
вой скорости, S в кгсм сек
Угловая частота соб-
ственных колебаний
V
Q
-к- в 1/сек
Поперечные и продоль-
ные колебания
Линейное перемещение
х, у в см
Сила Q в кг
Масса m в кгсек*]см
Жёсткость Сц в кг/см
Податливость
3 = -=- в см/кг
Сопротивление,отнесён-
ное к единичной линей-
ной скорости, йв кг сек/см
Угловая частота соб-
ственных колебаний
в 1/сек
Некоторые системы одинаково просто при-
водятся к обоим видам колебаний.
Пример. Приведение системы так называемого ры-
чажного маятника (фиг. 7). Для малых перемещений здесь
может быть принята любая из двух следующих расчёт-
ных схем:
1. Масса m совершает крутильные колебания вокруг
шарнира О, причём пружина создаёт некоторую кру-
гильную жёсткость.
При перемещении массы m на угол <р возникает вос-
станавливающий момент М=Сп<ра2; отсюда жёсткость
Сп — жёсткость балки в кг/см, измеряемая си-
лой, которая, будучи приложена в точке Х\,
вызовет в этой точке прогиб балки, равный
единице перемещения 1 см.
Жёсткость балки Сп при этом находится
из условий статического изгиба. Типичные
случаи расчёта представлены на фиг. 9.
Фиг. 8. Невесомая балка с сосредоточенной
массой m в точке xt.
При соотношениях между сосредоточенной
массой m и распределенной массой р/ —
значения частот собственных колебаний по
формуле G) отличаются от точных решений
с учётом распределённых масс не более чем
на 20/0.
Частоты собственных колебаний конструк-
ции или балки с одной сосредоточенной мас-
сой выражаются через статический прогиб
следующим образом:
Ш2 =Сп=У_ст
r° m G
(И)
Фиг. 7. Рычажный маятник.
М
с"
2. Пружина жёсткостью С совершает продольные
колебания, будучи нагружена некоторой эквивалентной
массой на конце.
Эквивалентная масса в точке В составляет т
э
9 ia
<а — = — т. Для угловой частоты сооственных колеба-
а2 ай
ний получаем тот же результат:
m9
Определение частот собственных коле-
баний конструкций или балок с сосредо-
точенной массой также производится по фор-
муле G), если распределённой массой конструк-
ции или балки по сравнению с сосредоточен-
ной массой можно пренебречь.
Для балки, несущей одну сосредоточенную
массу (фиг. 8), в формулу G) входят т — масса,
сосредоточенная в точке x\t в кг секшем и
где G — вес сосредоточенной массы т в кг;
g — ускорение свободного падения; уст— ста-
С~— —С о2. Момент инерции массы т (массой стержня jj
пренебрегаем) равен 4 = ml'J; отсюда угловая частота соб-
ственных колебаний
и
т
1
— о -
11.2 -—
щ
— !-¦¦- Ь -*-
BJ 3 (а + bK
—-^
h—?-+«—О ——'
Я/ 1а (а + ft)s
а;1й3
(За + 4Ь)
Фиг. 9. Формулы расчёта частот собственных колеба-
ний невесомой балки с сосредоточенной массой.
тический прогиб в см в точке расположения
сосредоточенной массы под действием её веса.
Число собственных колебаний в минуту со-
ставит
Л/ =
З^сот
¦ш/~Уст
У Зои
(Па)
Для невесомой балки или вала, несущего
несколько сосредоточенных масс, низшая угло-
вая частота собственных колебаний может быть
приближённо (с преувеличением) найдена по
следующей формуле, предложенной Дункер-
леем:
1
1
-2+...
A2)

124
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД. Г
где ш.— угловые частоты собственных коле-
баний балки, несущей только одну массу пц
(/=1, 2, 3,...), или
1 ъУст1
где ут,-— статический прогиб в точке располо-
жения массы /я,- под действием её веса для
балки, несущей только одну указанную массу.
Применение формул A2) и A2а) для опре-
деления низшей частоты собственных колебаний
балки или вала с несколькими сосредоточен-
ными массами приводит к правильным резуль-
татам при условии, что форма упругих линий
при колебаниях для каждой из составляющих
систем с одной массой близка к форме упругой
линии колебаний заданной системы.
где значения шг н а — те же, что и в фор-
муле A3).
Первый член выражения A6) представляет
затухающие свободные колебания, начальная
амплитуда которых а0 и фазовый угол ср опре-
деляются начальными условиями движения.
Второй член выражения A6) представляет
вынужденные колебания, имеющие частоту воз-
буждающей силы. Вынужденные колебания
продолжаются в течение всего времени дей-
ствия возбуждающей силы, в то время как сво-
бодные колебания вследствие наличия сопро-
тивления быстро исчезают. При рассмотрении
длительных колебаний принимается во внима-
ние лишь второй член.
Амплитуда вынужденных колебаний опре-
деляется по формуле
Свободные колебания системы с одной
степенью свободы при наличии сил
сопротивления
Движение массы т (фиг. 5) при наличии
рассеяния энергии, представляющее собой за-
тухающие колебания, выражается формулой
_
ё~ at
sin (<art + ср).
A3)
Обозначения те же, что и в формуле F).
Угловая частота собственных колебаний при
наличии сил сопротивления равна
где
»г = ]/ «,* — <*2 1/сек,
Г~С~ k
г0 У т 1т>
здесь k — сила сопротивления, отнесённая к
единице скорости, в гсгсек/см.
При очень больших сопротивлениях а~^шг
движение теряет колебательный характер и
становится апериодическим.
Декремент затухания равен [см. также D)]
по «=2Т1 * ПЛ\
При малых декрементах &^0,3 принимается,
что o)r ^ и>г . Ошибка при этом не превы-
шает 0,5%.
Рассеяние энергии за один период колеба-
ний &W, отнесённое к запасу энергии в начале
данного периода W, составляет
w =1 —
При малых значениях
05)
A5а)
Вынужденные колебания системы с одной
степенью свободы
Движение массы т (фиг. 5) под действием
внешней возбуждающей силы, изменяющейся
по периодическому закону Q sin со/, выражается
формулой
х =. аое ~ at sin (u>r* -f <p) + Л sin (Ы — i), A6)
A7)
где И о—статическое перемещение от силы Qr
равной амплитуде периодической возбуждаю-
сь
щей силы, т. е. Ао — -??—',<» — угловая частота
вынужденных колебаний; шг = I/ — : у—ко-
эфициент сопротивления (коэфициент демпфи-
рования, затухания, заглушения):
ог0
При малых декрементах
A8)
A8а)
Сдвиг фаз между перемещением и дей-
ствующей силой при вынужденных колебаниях
arctg
A9)
Отношение -т- = X назо1вается коэфициен-

том динамичности или коэфициентомуси-
ления.
Па фиг. 10 представлены резонансные кри-
вые, т. е. зависимость к от
для различных
значений у.
Чем меньше ч, тем сильнее проявляются
условия резонанса, т. е. резкого возраста-
ния амплитуд вынужденных колебаний при
определённых частотах, которые близки к ча-
стотам собственных колебаний.
В непосредственной близости от резонанса
величину амплитуды вынужденных колебаний
ограничивает лишь сопротивление систем.
В области частот, сравнительно далёких от
резонанса, величина сопротивления почти не
оказывает влияния на амплитуды колебаний.
При практических расчётах вместо по-
строения точной резонансной кривой с учётом
сопротивления часто ограничиваются рассмо-
трением двух предельных случаев:

ГЛ. Ill]
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
125
1) вынужденных
нерезонансных
при отсутствии сопротивления
А —
Wo/
колебаний
B0)
2) резонансных колебаний при данном со-
противлении
л=~- B0а)
О 0,25 Q5 0,75 W 125 1.5 1,75 ZO 2,25 Wr
Фиг. 10. Зависимость коэфициента усиления от частоты
при возбуждающей силе постоянной амплитуды.
Действие периодической силы полигар-
монического состава. Суммарное перемеще-
ние линейной системы получается путём нало-
жения результатов действия всех гармо-
нических составляющих внешней силы, рассма-
триваемых в отдельности. Каждая гармониче-
ская составляющая возбуждающей силы вос-
принимается колебательной системой по-раз-
ному, так как будет иметь своё определённое
О) „
значение — и соответствующий ему ко-
эфициент усиления. Основной динамический
эффект следует обычно ожидать от тех гармо-
нических составляющих периодической силы,
частоты которых близки к резонансной, т. е.
от так называемых околорезонансных гармони-
ческих, если только величина их не слишком
мала по сравнению с другими гармоническими
составляющими возбуждающей силы.
Резонансные колебания при отсутствии
сопротивления. При весьма малых сопро-
тивлениях нельзя пренебречь в формуле A6)
составляющей свободных колебаний, возни-
кающей при соответствующих начальных усло-
виях движения. В подобных случаях, если ча-
стота возбуждающей силы близка к частоте
собственных колебаний, образуется биение.
При совпадении частот w и шгп имеют место
условия резонанса и при отсутствии сопроти-
вления перемещение составляет
д
* = _«*.8|п< B1)
т. е. при продолжительном воздействии перио-
дической возбуждающей силы амплитуда ко-
лебаний массы т со временем неограниченно
возрастала бы (при условии, что ход явления не
нарушится привходящими обстоятельствами —
поломкой деталей, ограничением перемеще-
ний и т. д.).
Силы возбуждения
Возбуждающая сила приложена непо-
средственно к массе системы (фиг. 11).
1. Периодическое возбуждение создаётся
под действием сил инерции движущихся ча-
стей механизмов, ^^
как, например, по-
казано на фиг. 11,а, ,х С
JIlU JUHV/ 11 И U/X11 • 1 1 . Ч , »» ^
где при вращении й) ЯЛ/\/\/*
7777777,
////////////////А/.
ллл/ь ттщ
Фиг. 11. Способы приложе-
ния периодических возбужда-
ющих сил.
неуравновешенной
массы т§ реакция
в точке закрепле-
ния О периодиче- *.
ски изменяет своё ®
направление и даёт
изменяющуюся по
синусоиде соста- «. л а .* .
вляющую в напра- "> y/Wv
влении колебаний.
Если сосредоточен-
ная масса т значи-
тельно больше, чем
т0, колебательную
систему можно счи-
тать линейной.
Подобные условия возбуждения создаются
и при наличии неуравновешенных вращаю-
щихся частей машин. Кроме того, подобный
принцип широко используется в так называ-
емых инерционных вибраторах для искус-
ственного возбуждения колебаний при испы-
таниях.
Амплитуда возбуждающей силы составляет
Q ~ шо/*о ш'<? (обозначения см. на фиг. 11, а), при-
чём <» в 1/сек — угловая частота возбуждаю-
щей силы, равная угловой скорости вращения
масгы mtv Амплитуда возбуждающей силы из-
меняется пропорционально квадрату частоты,
и форма резонансных кривых соответственно
видоизменяется. Амплитуда вынужденных ко-
лебаний составляет
где
:. B2)
На фиг. 12 представлены кривые значе-
ний Х, в зависимости от — для различных зна-
чений у.
2. Периодическое возбуждение создаётся
под действием давления газов или паров
(фиг. 11,6), как это в сочетании с силами инер-
ции имеет место в поршневых двигателях и
компрессорах. Подобное возбуждение, в част-
ности, является причиной возникновения кру-
тильных колебаний валов двигателей.
3. Периодическое возбуждение может быть
вызвано электромагнитным воздействием

126
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД. 1
(фиг. 11,в). При прохождении переменного тока
i — Is\na>t через обмотку электромагнита воз-
буждающая сила, пропорциональная квадрату
силы тока, будет иметь периодическую соста-
вляющую двойной частоты по сравнению
с частотой переменного тока. Между силой
тока и возбуждающей силой существует за-
висимость
Q = const + kl2cos 2o>t.
B3)
Если на магнитное поле переменного тока
наложить значительно более сильное постоян-
0
0.5
'.О
1.5
Фиг. 12. Зависимость коэфициента усиления от частоты
при амплитуде возбуждающей силы, изменяющейся
пропорционально квадрату частоты.
ное магнитное поле, создаваемое дополнитель-
ной обмоткой постоянного тока, т. е. создать
так называемую поляризацию, то периоди-
ческое возбуждение в этом случае приблизи-
тельно пропорционально силе переменного тока
и имеет одинаковую с ним частоту:
Q =
k2f sin со?)з st const -f-
2/2j/0/j2/ sin (ot. B3a)
Возбуждающая сила передаётся через
упругую связь (фиг. 13).
1. Вынужденные колебания возбуждаются
путём периодического принудительного пере-
мещения закреплённого конца упругого эле-
мента системы, например, с помощью криво-
/77
б)
Фиг. 13. Способы приложения перио-
дических возбуждающих сил.
шинного механизма (фиг. 13, а). Если переме-
щение происходит по закону хг = г sin <nt, то
возбуждающая сила равна Q = Cr sin со/.
2. Возбуждающая сила передаётся (фиг. 13,E)
через дополнительную упругую связь, имею-
щую жёсткость Сь- Если перемещение конца
дополнительной связи происходит по закону
xI = /'sina< то возбуждающая сила будет
равна О = Сьг sin Ы. Частота собственных
колебаний основной системы вследствие нали-
чия дополнительной упругой связи составит
o)r0 =
C+Cb
Колебания нелинейных систем
Псевдогармоническими называются коле-
бания систем, у которых упругий элемент
имеет нелинейную характеристику, т. е. отсут-
ствует прямая пропорциональность между
величиной восстанавливающей силы и переме-
щением.
В зависимости от формы нелинейной ха-
рактеристики резонансные кривые при псевдо-
гармонических колебаниях приобретают вид,
изображённый на фиг. 14 (кривые 2 и 3). Здесь
Фиг. 14. Резонансные кривые при псевдогар-
монических колебаниях.
кривые / соответствуют линейной характери-
стике, т. е. постоянной жёсткости системы.
Кривые 2 соответствуют мягкой характери-
стике, т. е. уменьшению жёсткости при увели-
чении амплитуды, а кривые 3—жёсткой
характеристике, т. е. увеличению жёсткости
при увеличении амплитуды. За пределами зоны,
ограниченной на фиг. 14 ординатами тип,
каждой данной частоте возбуждающей силы
соответствуют три различных значения ампли-
туды; среднее из этих значений неустойчиво
и совершенно не проявляется в действитель-
ности, что касается относительной устойчи-
вости двух других значений амплитуды, то при
возникающих обычно небольших нарушениях
режима весьма вероятен срыв колебаний с
больших амплитуд на малые. При очень плав-
ном изменении частоты возбуждающей силы
может наблюдаться „затягивание" на большие
амплитуды.
Между формой нелинейных характеристик
упругого элемента и формой резонансных
кривых существует определённая связь. Если
характеристика упругого элемента, например,
муфты, при крутильных колебаниях выражается
функцией вида
= С
?4
B4)

ГЛ. Ill]
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
127
причём нелинейные члены малы, то ампли-
туда колебаний приближённо составляет
.4-
где Аос —статическая угловая деформация, со-
ответствующая статически приложенной ампли-
туде возбуждающего момента при линейной
жёсткости С; шГа —угловая частота резонанс-
ных колебаний при линейной жёсткости С;
2 4
+ 1
^ 2
5_ _7
6 ' 8
4 6
/А6 + .
B46)
Чётные степени разложения М (ср) [см. фор-
мулу B4)], определяющие несимметричность
характеристики при положительных и отрица-
7.
ЦлЛЛЛЛЛЛл."-
^}-иллллллл/\лллл—|—vvwwwvww—
(-лллллллллл-
Фиг. 15. Ломаные характеристики
упругих элементов.
тельных перемещениях, в первом приближении
не оказывают влияния на величину В, приводя
лишь к появлению дополнительной постоянной
деформации упругого элемента.
Точность формулы B4а) уменьшается с уве-
личением В, а также с уменьшением частоты
возбуждения.
Для приближённого построения резонанс-
ной кривой псевдогармонических колебаний
системы с одной степенью свободы следует
задаваться значениями амплитуды А и опре-
делять соответствующие им значения
выражения
чении амплитуды А откладываются по обе сто-
роны от этой оси значения квадратного корня
из выражения B4в). Для нелинейной системы
порядок построения сохраняется, но ось искри-
вляется в соответствии с зависимостью
-^ *= \ + 2В,
B4г)
т. е. резонансная кривая линейной системы
с частотой собственных колебаний шГо пере-
носится параллельно оси абсцисс и распола-
гается относительно искривлённой оси [урав-
нение B4г)].
Кроме параболических характеристик упру-
гого элемента, встречаются ломаные характе-
ристики (фиг. 15), применяющиеся, например,
Фиг. 16. Резонансные кривые при
ломаных характеристиках.
в упругих муфтах авиамоторов. Частными слу-
чаями характеристик этого типа являются слу-
чаи наличия зазора между упругими элемен-
тами и корпусом муфты и предварительной
затяжки пружин муфты. Резонансные кривые
при ломаных характеристиках изображены на
фиг. 16, причём уравнение искривлённой оси
имеет вид
- = 1 -1 v -' arcsin ~- -f
-Г-Sr-X. B5)
где С" и С" — жёсткости участков ломаной
характеристики; а0 — полная деформация пер-
су
вого линейного участка; ш| = — ; 6 —- момент
инерции массы системы.
из /«-
B4в)
Для линейной системы при В = 0 построе-
ние резонансной кривой по формуле B4в)
представляется следующим образом.
Проводится вертикальная ось, соответству-
ющая значению (—) = 1, и для разных зна-
Фиг. 17. Резонансные кривые при наличии зазора
(А. И. Лурье и А. И. Чекмарев).
Приближённое выражение для искривлён-
ной оси в формуле B5) будет тем точнее, чем
амплитуда больше, т. е. А > а0.
На фиг. 17 изображены резонансные кри-
вые при наличии зазора.
Квазигармоническими называются коле
бания систем, параметры которых — масса или
жёсткость — не являются постоянными и пред-
ставляют периодические функции времени.

128
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД. I
К ним относятся крутильные колебания враща-
ющихся систем кривошипно-шатунных меха-
низмов, имеющих переменный по обороту
момент инерции, а также поперечные колеба-
ния вращающихся валов или роторов несим-
метричного сечения с переменным по обороту
экваториальным моментом инерции, т е. пере-
менной жёсткости.
При определённых частотах изменения па-
раметра 2 сод, для таких систем возникают
условия образования отдельных резонансов и
резонансных критических областей, в которых
амплитуда колебаний значительно возрастает.
Наиболее широкой является область резонанс-
ных частот первого порядка, когда частота
изменения параметра равна удвоенной частоте
собственных колебаний системы uife = «Ог
Приближённо граничные частоты этой области
определяются формулой
1±«
B6)
при a<cl, причём применительно к крутиль-
ным колебаниям системы с одной степенью
свободы
17/
B7а)
где 6 = — 212±~2— — средний момент инер-
ции массы в кгсмсек2; С—крутильная жёст-
кость системы в кгсм. Для поперечных коле-
баний вала несимметричного сечения
Сп max — Сп ruin .
4Сп ср
2 Сп ср
СпсР =
+
т
п mill
среднее значе-
ние изгибной жёсткости вала или ротора в кг\см;
т — масса ротора в кгсек'2/см.
Другие резонансные условия соответствуют
кратным значениям от ш^., т. е. шог — пшк, где
п - 2; й = 3 и т. д. Для значений п (кроме еди-
ницы) критические зоны отсутствуют либо столь
узки, что практически их можно считать соот-
ветствующими лишь одному значению частоты.
Для валов, у которых главные моменты
инерции поперечного сечения различны, одному
обороту вала соответствуют два цикла изме-
нения жёсткости. Наибольшее значение имеют
критические состояния, возникающие при усло-
вии, что угловая скорость вала равна или
вдвое меньше его угловой частоты собствен-
ных колебаний.
Неустановившиеся процессы
Для переходного состояния упругой систе-
мы с одной степенью свободы перемещение со-
средоточенной массы для любого момента вре-
мени находится интегрированием по формуле
х =
' 51ПШЛ0(/
где F(t) — закон изменения возбуждающей
силы во времени, а все остальные обозна-
чения соответствуют формулам D), (б) и A3).
Примеры применения формулы B8).
1. Определение деформации в системе без
затухания (а = 0), находившейся ранее в покое
(t — 0; Xq ~ 0; v0 = 0), при внезапном прило-
жении постоянной силы F. В соответствии
с формулой B8)
Го 0
F
= -=- A — cos ш
Аст(\ —cos wrct), B8а)
т. е. при внезапном приложении силы F мак-
симальная деформация (а следовательно, и уси-
лие в упругом элементе) в два раза больше
статической деформации Аст и наступает
через половину периода собственных коле-
баний.
2. Прохождение резонансной зоны при по-
стоянной скорости изменения частоты возбуж-
дения. Здесь F(t) = Q cos (Л/2 + ср).
Движение представляет собой вибрацию
переменной частоты с резко изменяющимися
амплитудами отдельных циклов.
На фиг. 18 показаны вычисленные по
формуле B8) значения коэфициента усиле-
ш ,
ния к в зависимости от (т. е. отно-
шения мгновенной частоты возбуждающей
силы к частоте собственных колебаний) при
Фиг. 18. Резонансные кривые при прохождении
резонансной зоны для различных скоростей
повышения частоты (F. M. Lewis).
разных скоростях прохождения резонансной
зоны. С увеличением скорости изменения ча-
стоты резонансный пик снижается.
Коэфициент затухания здесь принят у = 0,05.
3, Определение динамической перегрузки
вала электромотора. При непосредственном
включении короткозамкнутого асинхронного
мотора в сеть в начале пусковой момент имеет
пульсирующий характер:
= Мно р/ p'
+ с cos (сог* + ?2 + d cos (W + /3))). B86)

ГЛ. Ill]
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
129
где Мнон—номинальный момент в начале пу-
ска; и> — угловая частота переменного тока;
шг — частота собственных колебаний; осталь-
ные параметры определяются характеристи-
ками мотора и сети. Так как пульсиру-
ющий момент [см.
выражение B86)]
воздействует на
упругую систему,
состоящую из ро-
тора мотора, при-
водимого объекта
и упругого звена —
вала, то в зависи-
мости от значения
частоты собствен-
ных крутильных
колебаний этой си-
стемы в валу могут
возникнуть значи-
тельные напряже-
В основание метода сил положена канони-
ческая система уравнений вида:
+•. • -f \inXn +4t = 0;
+ + h^ + A °J B9)
Пнвм
_
/
7
0,1 0,1 0.3 0.4 OJ
Фиг. 19. Закручивающие мо-
менты в валу асинхронного дви-
гателя при пуске (Л. М. Wahl).
ния. Вычисленный
по формуле B8) (приспособленной к случаю
крутильных колебаний) переходный момент
на валу может даже при
отсутствии резонанса в
несколько раз превысить
номинальный пусковой
момент. На фиг. 19
показана зависимость
где Хг — обобщённые силы, приложенные к
рассматриваемой системе; о/а — коэфициенты
(числа) влияния для сил; Д,- — обобщённые
перемещения точек системы.
При свободных колебаниях приложенными
силами являются силы инерции сосредоточен-
ных масс системы (распределённые массы так-
же приводятся к сосредоточенным), т. е. при пе-
ремещении точки приложения массы i по закону
Д/ = ^sin(<o*-t-<p) B9а)
значение силы, приложенной в точке /, вы-
разится так:
Хг = — /и;шМ/ sin И + <р). B96)
После подстановки выражений B9а) и B96)
в уравнения B9) получается преобразованная
система:
Н f-
я = 0;
м
тн
где
— максимальный
закручивающий момент на валу.
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Упругой системой с л степенями свободы
называется такая система, геометрическое по-
ложение масс которой в каждый момент вре-
мени определяется значениями п независимых
величин. Число частот собственных колеба-
ний системы равно числу её степеней свободы.
Наименьшая из частот собственных колеба-
ний называется низшей, основной. Другие ча-
стоты собственных колебаний называются
высшими. Частоты собственных колебаний
располагаются в порядке возрастания и .ка-
ждой из них присваивается порядковый номер
(порядок частоты).
Каждой частоте собственных колебаний
системы соответствует определённая форма
колебаний, т. е. распределение относитель-
ных амплитудных отклонений масс от поло-
жения равновесия. Точки системы, не отклоня-
ющиеся от положения равновесия при коле-
баниях, называются узловыми. Число узлов для
какой-либо формы колебаний равно порядку
соответствующей ей частоты собственных
колебаний.
Частоты собственных колебаний упругих
систем с сосредоточенными массами (рам-
ные системы, балки, валы при условии приве-
дения распределённых масс этих систем к сосре-
доточенным) определяются по коэфициентам
влияния, полученным из статического расчёта,
и величинам сосредоточенных масс.
Статический расчёт стержневых систем вы-
полняется в строительной механике (см. гл. II)
методом сил или методом деформаций.
B9в)
Лз + ----Н3лиюпа>2— 1)Л„=0.
Резонансные частоты определяются из
условия, что амплитуды колебаний сосредото-
ченных масс А; удовлетворяют не нулевым
значениям. Для этого необходимо, чтобы опре-
делитель системы обратился в нуль. Урав-
нение B9 г), соответствующее этому усло-
вию, называется вековым уравнением, или
уравнением частот:
= 0.B9г)
где bjk — коэфициенты (числа) влияния для
сил, определяемые для данной упругой системы
(балка, вал и пр.) методами строительной
механики; mt—-массы, сосредоточенные в точ-
ках 1, 2, • • •, п.
Уравнение B9г) может быть приведено к
виду
B9д)
где
1=1
п п
_ JL V V
~ 2! -л Lk
п п п
*з= ~зГ
i =i / =1 *=:
й Т. Д.

130
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД. S
Исходя из метода перемещений, т. е.
составления уравнений равновесия сил, можно
уравнение частот выразить также с помощью
Л7,
/77,,
/77,
Фиг. 20. Эквивалентные системы продольных
и крутильных колебаний.
коэфициентов (чисел) влияния для перемеще-
ний Cik упругой системы:
= 0.C0)
С,
Уравнение частот в форме B9г) обычно
служит для определения частот собственных
изгибных колебаний балок, рам и т. д., а в
форме C0) —для определения частот собствен-
ных крутильных колебаний валов или продоль-
ных колебаний систем, состоящих из пружин
и стержней, несущих сосредоточенные массы.
Последние два типа задач совершенно
аналогичны в отношении методов расчёта.
Так, например (фиг. 20), аналогом схемы а рас-
2 С (И, + Ч2>
-—
9,
ф
ф
с
в,
т
в) в.
чёта крутильных колебаний служит схема б
расчёта продольных колебаний, в которой со-
средоточенные массы rrij в кгсекг1см соответ
ствуют моментам инерции 6г в кгсмсен?, а
аксиальные жёсткости Сщ в кг\см соответ-
ствуют жёсткостям при кручении С\ в кгсм.
Для цепных систем вида, изображённого
на фиг. 20 (см. также стр. 1<±6), в уравнении
частот C0) многие коэфициенты С,-* равны
нулю. В обозначениях фиг. 20, принятых обычно
при расчёте крутильных колебаний валов,
уравнение частот имеет вид:
=0. C1а)
-с,
Для разветвлённой системы, изображенной
на фиг. 52, е, представляющей развитие цепоч-
ных систем крутильных колебаний в связи с
применением редукторных передач, уравнение
частот может быть представлено в виде еле
дующего определителя:
о
c
—с,
=0. C16)
2 Сп
_ 4
в»
<
(
1
>
<
(
ft
<
<
г 2\я, ' т,
-)
Фиг. 21. Частоты собственных колебаний систем с несколькими массами.

ГЛ. Ill]
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ, ПРУЖИН И ПЛАСТИНОК
131
То же уравнение в обычной форме будет
иметь вид:
..2 Г"_Ш "
С,
(^И?в^
4 [8,9, <В3-94) , вД (9, + »,) ,
г —с^г I г~г г
Решение уравнений частот производится
известными способами численного решения
алгебраических уравнений.
По Терских уравнение частот представляется
в виде цепной дроби:
О = f)i(iJ 1
*12 е3ш2 — JL__. C2)
«23 _^_ 1
где е
1
-1 -1
кг с м
Формулы для определения частот соб-
ственных колебаний простейших систем при-
ведены на фиг. 21.
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ, ПРУЖИН
И ПЛАСТИНОК
Продольные колебания стержней
Частоты собственных продольных коле-
баний призматического стержня (фиг. 22а),
заделанного одним концом и несущего на дру-
гом конце сосредоточенную мас-
су, определяются по формуле
C3)
где Е— модуль упругости ма-
териала стержня при растяже-
нии в кг/см'г; g — ускорение
свободного падения в см/сек2;
7 — удельный вес материала
стержня в кг\смъ; I — длина
стержня в см; C — корни урав-
нения
Mg3 = 4". C4)
Фиг. 22а.
т
Фиг. 226.
где а — отношение массы, со-
средоточенной на конце стерж-
ня, к массе стержня.
Решение уравнения C4) удоб-
нее всего производить графи-
ческим путём. Значения наименьшего корня
уравнения C4), соответствующего основной
частоте колебаний системы, даны в табл. 2.
Таблица 2
1
а.
o,oi
°>°5
о,ю
0,2О
°'3°
0-4°
°i5°
в
O.IO
0,22
0,32
о,43
°»5а
о, 59
0.65
1
а
о,6о
0,70
о,8о
0,90
1,ОО
1,5°
0,70
о.75
°.79
О,82
о,8б
0,98
1
а
2,О
З.о
4,о
5. о
6,о
7>°
Pi
i,ii
1,2О
1.27
1>32
1.37
1,39
1
а
8,о
9.о
ю,о
15.о
2О,О
оо
Pi
t,4O
Е.41
С42
.47
,53
t.57
Формула C3)
в другом виде:
может быть представлена
C5)
Ус- cm
где Услт — статическая деформация стержня
под действием его веса, приложенного целиком
к незакреплённому концу. Если масса стержня
меньше, чем масса, сосредоточенная на его
конце, то для определения основной частоты,
колебаний служит формула
(Зб>
где ^—приведённая деформация; упр —
= Ум.cm{1 + i) .* Ум. cm— статическая дефор-
мация стержня под действием веса сосредо-
точенной массы; а — отношение массы, сосре-
доточенной на конце, к массе стержня.
Для стержня, несущего на одном конце
сосредоточенную массу и 'имеющего второй
конец свободным, частоты собственных про-
дольных колебаний определяются по формуле
C3) или C5). При этом для каждого случая
значения $ находятся путём графического
решения уравнения
tg3 + pa = 0. C7)
В общем случае стержня, несущего на
концах сосредоточенные массы те, и т2, часто-
ты собственных продольных колебаний опре-
деляются по формуле C3) или C5), Причём
значения $ находятся из уравнения
1ь? -— оо 1 ' \°°)
где oj и Oj — соответственно отношения сосре-
доточенных масс fflj и и2 к распределённой
массе стержня.
Определение частот собственных продоль-
ных колебаний призматического стержня, не
несущего сосредоточенных масс, производится
в зависимости от условий закрепления концов
по следующим формулам:
для стержня, имеющего оба конца свобод-
ными или жёстко закреплёнными,
Т * Ус-ст
для стержня с одним свободным и другим
закреплённым концом
21
BА-1)тс
Ус-cm
D0)
где k — целое число, соответствующее порядку
частоты собственных колебаний. Остальные
обозначения те же, что ив формулах C3) и C5).
Колебания витых пружин
Частоты собственных продольных коле-
баний витых пружин приближённо определя-
ются по формулам для продольных колебаний
призматических стержней. Для коротких пру-
жин при этом возможны значительные погреш-
ности вследствие влияния заделки концевых

132
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД. I
витков. При расчёте предполагается также,
что отдельные витки пружины не приходят
между собой в соприкосновение, т. е. жёст-
кость пружины при колебании остаётся неиз-
менной. Вследствие этого рекомендуется
производить экспериментальную проверку ре-
зультатов расчёта.
Для пружины (фиг. 226), закреплённой одним
концом и несущей на другом сосредоточенную
массу, по сравнению с которой собственной
массой пружины можно пренебречь, применя-
ются формулы G) и A1).
При пользовании этими формулами жёст-
кость определяется обычными методами сопро-
тивления материалов, как сила, соответствую-
щая единичной деформации. Например, для
цилиндрических пружин из круглой проволоки
жёсткость равна
¦г/см, D1)
где G — модуль упругости при сдвиге в кг см2;
d — диаметр проволоки в см; D — диаметр
витка в см; п — число рабочих витков.
Определение частот собственных продоль-
ных колебаний цилиндрической пружины с учё-
том её массы производится по формуле C5).
При этом fi определяется, как и в предыдущем
изложении, в зависимости от условий заделки
и нагружения на концах из уравнений C4),
C7) и C8).
Пример определения основной частоты собствен-
ных, колебаний.
Пружина зажата с обеих сторон. Из формул C9)
т D1) для *=1; ус. ст^---- =—~(
XD1
dra
полу-
чаем выражение основной частоты собственных коле-
баний для цилиндрических пружин из круглой про-
волоки
wl = 22-2l^rl/~f 1/сек. («)
где d — диаметр проволоки в см; D — диаметр витка
в см; п — число витков; G — модуль упругости при
сдвиге в kzjcm'; 7 — удельный вес* в кг/см'-1.
Для стальных пружин число собственных колебаний
в минуту составляет
Nt = 2148 • 103
А_
D2а)
Для пружины, закреплённой одним концом
и несущей сосредоточенную массу на другом,
основная частота продольных колебаний нахо-
дится по формуле C6), если сосредоточенная
масса равна или больше массы пружины.
Входящая в формулу C6) величина у
определяется по формуле
У по У л
D3)
где ум ст — статическая деформация пружины
под действием веса сосредоточенной на её
конце массы в см; а — отношение массы,
сосредоточенной на конце пружины, к массе
пружины; k — коэфициент приведённой массы
пружины, учитывающий, какая часть распре-
делённой массы пружины должна быть при-
ложена к массе, сосредоточенной на конце.
Для цилиндрической пружины, так же как
и для призматического стержня, ? = !/3.
Для конической пружины, проекцией которой
на плоскость основания является архимедова
спираль, коэфициент приведённой массы зави-
сит от соотношения радиусов пружины у места
закрепления ^и у сосредоточенной массы /?2.
12 3
Фиг. 23. Приведённая масса конической пружины.
По Пономарёву и Шершевскому [18]
р 3/п10 — 10/и6-(- 15т2—-8
С = 15 («а — 1) 0"* — О2 '
D4)
где т = у/. Зависимость $ = / (т) приведе-
на на фиг. 23.
Соотношение частот собственных про-
дольных и крутильных колебаний вокруг
оси пружины массы, укреплённой на пружине,
составляет
D5)
o>ft R у i _ р
где К — радиус инерции сосредоточенной мас-
сы относительно оси пружины; R — радиус вит-
ков пружины; [J- — коэфициент Пуассона для
материала пружины.
Расчёт частот собственных поперечных
колебаний балок постоянного сечения
(Определение частот собственных колебаний неве-
сомых балок с сосредоточенными массами показано
выше, стр. 123.)
Частоты собственных колебаний для
балок постоянного сечения с равномерно
распределённой массой определяются по фор-
муле
D6)
где Е—модуль упру-
гости в кг/см2; J — мо-
мент инерции попе-
речного сечения балки
в см4; I — длина балки
ь см; р — масса еди-
ницы длины балки в
кгсек°/см2; Хй—посто-
янная для собственных
колебаний порядка k.
Значения постоян-
ной а для разных слу-
чаев закрепления:
1. Для жёстко заде-
ланной консоли с
сосредоточенной мас-
сой т на конце зави-
симость X = /
приведена для низшей
частоты на фиг. 24.
Кривая, относящаяся
к данному случаю, от-
мечена схематическим
изображением балки.
Отношение —- обо-
значено а. Значение X
Фиг. 24. Зависимость Х„
от а для консоли с сосре-
доточенной массоЗ на кон-
це и консоли с сосредото-
ченной массой посредине.
Значения а отсчитываются
по радиусам.

ГЛ. III]
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ, ПРУЖИН И ПЛАСТИНОК
133
для низшей угловой частоты собственных ко-
лебаний приближённо составляет при Х<с1,0
3,00 .
ос +
при 1 < X < 1,875
1а =
а + 0,363
D7)
D8)
Для жёстко заделанной консоли с сосредо-
точенной массой посредине зависимость да =
=/(<*) для низшей частоты также приведена
на фиг. 24.
При отсутствии сосредоточенной массы
а. = 0 (фиг. 25) значения Х# для первых трёх
частот собственных колебаний консоли равны
X, — 1,875; Х2 = 4,694; Х3 = 7,855.
2. Для двухопорной балки (фиг. 26)
с сосредоточенной массой посредине пролёта
зависимость l^j —f\^j для основной частоты
изображена на фиг. 27.
Фиг. ?5.
Фиг. 26.
При отсутствии сосредоточенной массы зна-
чения X для первых трёх частот собственных
\
\
1 1 1 1
1 1 1 1
111!
ТТТг
0.6
'0 0,5 tfi К
Фиг. 27. Зависимость
Фиг. 28.
Фиг. 29.
от а для основной частоты
собственных колебаний двух-
опорной балки постоянного
сечения с массой посредине
- [16].
фиг. 30.
колебаний двухопорной балки с равномерно
распределённой массой равны
\t = 7t; Х2 = 2л; Х3 = 3ti; ...; Хг- = /тг.
3. Для балки с жёстко закреплёнными
концами (фиг. 28) и балки со свободными
концами (фиг. 29)
Хх = 4,73; Х2 = 7,853; Х3 = 10,996.
4. Для балки с одним жёстко закреплён-
ным и другим опёртым концом (фиг. 30)
\ = 3,927; Х2 = 7,069; л3 = 10,21.
5. Значения X] для низшей частоты некото-
рых многоопорных балок и валов постоян-
ного сечения могут быть получены из фиг. 3i.
/
j
J
I
i
I
J
/
II
f
/
1
/
/
f
1
/
1/
!
.—1
L
--!
—I
.—1
-4
—4
^ 1
я
—.g
"I
—/
и-'
—*
—
2
/
^7 Q204 0,60,8 I 1.2 14 16 18 2 2J?2* 262.8 3
ФИГ. 31. 3aBHCHMOCTbXj -~ IOj/J у -?J ОТ —
для двухпролётных балок постоянного се-
чения [15].
на которой изображены кривые значений tt
для различных соотношений размеров пролё-
тов /j и /2. Здесь Xj приведено к длине 1и т. е.
х? гт
со. = — -|/ — .
1 /f |/ р
Колебания мембран, пластинок, дисков,
колец
Частота собственных колебаний мем-
браны (т. е. идеально гибкой однородной
пластинки, равномерно натянутой по контуру)
равна
о = а]/ — 1/сек,
Т г m '
D9)
где р — натяжение на единицу периметра
в кг/см; m — масса мембраны в кгсек2/см.
Значения постоянной а для круглой мем-
браны приведены в табл. 3, где п—число
диаметров, а 5— число концентрических окруж-
ностей, которые являются узловыми линиями
при данной форме колебаний.
Таблица 3
*~—~^_ п
s ^~-~—
I
2
3
4
•
4.261
9.784
15.339
20,901
1
6,792
12,43^
i8,o3i
23.614
2
9.1С2
14910
20,506
26,225
3
11,306
17,290
23.072
28.756
Для основной частоты собственных коле-
баний мембран других конфигураций зна-
чения а составляют:

134
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД.
Таблица За
Конфигурация мембраны
Квадрат
Ккадрант (четверть круга)
Сектор 60°
Прямоуголь 'ик с отношением сторон 3 : 2
Равносторонний треугольник
Полукруг
Прямоугольник с отношением сторон 2: 1
Прямоугольник с отношением сторон 3 : 1
Частота собственных колебаний
стинки равна
°г = А у ~ 1/сек,
пла-
E0)
где pf — масса единицы площади в кгсек2\смг;
D — жёсткость пластинки.
12 A — fx2
где Е — модуль упругости в кг/см2; h — тол-
щина пластинки в см; (* — коэфициент Пуас-
сона (ниже при определении значений а в табл.
4 и 5 принято [д. = 0,3).
Для прямоугольной пластинки с опёр-
тыми краями
/Я W) \
E06)
где а и Ь — размеры пластинки в см; ink —
целые числа, характеризующие форму колеба-
ний (для основной частоты / —?= 1).
Для круглой пластинки радиусом
г см
Л=7?- E0в)
Для пластинки, жёстко закреплённой по
контуру, значения а даны в табл. 4 (п — число
узловых диаметров, 5 — число узловых окруж-
ностей):
Таблица 4
I
9
3
0
Ю,21
39,78
88,00
1
21,22
2
34,84
Для свободной круглой пластинки значе-
ния а даны в табл. 5.
Таблица Ь
I
2
3
0
_
9,076
38,52
1
2O,S2
59.86
2
5-251
35,24
3
12,23
52,9i
Для д и с к а, т. е. круглой пластинки, жёстко
закреплённой в центре, если формы колеба-
ний связаны с образованием узловых диа-
метров, а имеют такие же значения, как и при
соответствующих им формах колебаний свобод-
ной пластинки (табл. 5). Низшей форме коле-
баний диска без узловых диаметров (зонтич-
ной: s = 0; п = 0) соответствует а = 3,75.
Частота собственных колебаний вра-
щающегося диска ш возрастает вследствие
действия центробежных сил
вр
?02 1/сек,
E1)
где шг— угловая частота собственных колеба-
ний диска из формулы E0); Q— угловая ско-
рость вращения диска в 1/сек; величины В
для диска постоянной толщины имеют сле-
дующие значения (табл. 6):
Таблица 6
п
В
1
1
2 J 3
2,35 4.°5
Частота изгибных колебаний одно-
родного кольца в его плоскости равна
1/сек,
E2)
где /— целое число, характеризующее форму
колебаний (основной частоте соответствует
/ = 2); R — радиус кольца в см; р — масса еди-
ницы длины кольца в кгсек^-см; EJ — жёст-
кость на изгиб в кгсм-. Подставляя в фор-
мулу E2) значения i — 3, i ~ 4 ... и т. д.,
получаем частоты обертонов.
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
И КРИТИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ ПРЯМЫХ
ВАЛОВ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Для определения частот собственных колеба-
ний стержней и критических скоростей валов
переменного сечения могут быть применены
приближённый энергетический метод Рейлея,
метод Стодола, а также ряд методов последо-
вательных приближений. Критическими
скоростями называются такие, при кото-
рых движение вала становится динамически
неустойчивым и возникают большие колебания.
Такие состояния образуются прежде всего при
совпадении угловой скорости вала с угловыми
частотами его собственных колебаний.
Энергетический метод Рейлея
По энергетическому методу основная
частота собственных колебаний стержней
или валов переменного сечения определяется
по формуле
E3)
где у (х) — ординаты прогибов упругой линии
стержня в си под действием статически при-
ложенной распределённой нагрузки р(х) в кг/см;
Р (х)—погонная масса стержня в кг е<2/см2.
Приближение по вышеприведённой формуле
будет получаться тем большим, чем ближе
совпадает форма принятой статической упру-
гой линии изгиба с формой упругой линии

гл. щ
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
135
собственных колебаний. Хорошее совпадение
для определения основной частоты собственных
колебаний даёт упругая линия от равномерно
распределённой нагрузки р (л) = const или от
нагрузки собственного веса. Можно исходить
также из упругой линии изгиба от сосредото-
ченных сил. Однако точность расчёта в этом
случае будет зависеть от рационального выбо-
ра места расположения сосредоточенных сил.
Если последние приложены в конце консольных
и в середине двухопорных пролётов, ошибка
в определении первой частоты собственных
колебаний не превышает обычно 2—3%.
При определении исходной упругой линии
для многоопорных балок необходимо в смеж-
ных пролётах изменять знак распределённой
нагрузки или сосредоточенных сил. Определе-
ние статических упругих линий производится
обычными методами строительной механики.
Расчётная формула для определения первой
частоты собственных колебаний консоли при
использовании упругой линии от сосредото-
ченной силы на конце имеет следующий вид:
V
р (I) у (О
E4)
где Р (/) и у (/) — соответственно статическая
сила и прогиб на конце консоли.
Если кроме распределённой массы имеется
также ряд сосредоточенных масс m-v то в зна-
менателе формул E3) и E4) прибавляется под
я
корнем член 2 У (¦*/) ть гДе У (xi) —ординаты
1
упругой линии для точек, в которых располо-
жены соответствующие массы т,.
Для консоли с сосредоточенной массой т (/)
на конце
V
р (t)y (D
f p (x) уЦх) dx + m (/) у (t)
E4а)
Примеры применения различных
форм статической упругой линии
для определения частот собствен-
ных колебаний.
Рассмотрим определение первой частоты
собственных колебаний консольного стержня
переменного сечения.
Данные расчёта стержня приведены в табл. 7.
Таблица 7
X
I
0,0
0,1
0,2
P,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
lI>o
PW
M<»
1,000
0,95°
0,895
0,841
0,790
0,735
0,683
0,630
0,578
®»5Э5
о» 473
ПО)
A*)
,ooo
,115
,250
[,412
[,608
.«47
2,143
2,516
2,996
>;,б2б
.4^7
Dp
0,000
0,005
0,020
0,045
0,080
0,124
0,178
0,241
0,310
0,386
0.465
?(x) n2
№ p
0.0000
0,0000
0,0004
0,0017
0,0051
0,0113
O,O2l6
OO366
O,O555
0,0782
0,1024
Do
0,000
0,002
0,000
0,020
0,035
0,051
0,071
0,093
0,115
0,138
0,162
p(x) 2
p{v) p
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0010
0,0019
0,0035
0,0055
0,0077
0,0100
0,0124
Здесь -~— отношение момента инерции
сечения в месте заделки (х = 0) к моменту
инерции сечения х; I—длина консольного
стержня; -~ отношение й
погонной массы
стержня для сечения х к погонной массе в
рп
месте заделки; ур (х) = —щ- Dp (x) — ор-
динаты статической упругой линии от сосре-
доточенной силы; ур {х) = -?]~ Dp (x) — ор-
динаты статической упругой линии от равно-
мерно распределённой нагрузки.
Определение интегралов в формулах E4)
и E4а) производим численным путём, пользуясь
формулой трапеции. В данном примере при 10
участках
-4-
P @) 2
10
аналогично
Из табл. 7 получаем „
?n* = 0,2616; У\п :
В случае применения упругой линии от
сосредоточенной силы, приложенной на конце,
E46)
Получаем
Zap ' *У "fW
Близкий результат получается и в случае
использования для того же примера упругой
линии от равномерно распределённой нагрузки:
E4в)
р )
Другой вариант энергетического метода
используется в тех случаях, когда нет заранее
определённой статической упругой линич, а из-
вестна фо4ша собственных колебаний для
системы, аналогичной рассматриваемой по

136
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД. I
УСЛОВИЯМ Закрепления И Сопряжений, НО Имею- собой отношений ординат упругих линий ув и Гц, для
щей стержни постоянного сечения и равно- ряда точек вала.
мерно распределённую массу. Как видно из табл. 8, для данного примера среднее
При этом угловая частота собственных
колебаний определяется по формуле
, E5)
значение
Г Ув 1
отношения I —¦— равно ?09,5, при1
клонение от него для отдельных точек не превышает
2,5%. Таким образом, здесь
1/сек.
где Е—модуль упругости
в кг/см"; J(x) — мо-
менты инерции сечений
в см*; у (х)—ординаты
упругой линии колеба-
ний аналогичной балки
или вала постоянного се-
чения с равномерно рас-
пределённой массой; ос-
тальные величины объяс-
нены выше.
Формы колебаний двух-
опорной балки постоянно-
го сечения с равномерно
распределённой массой
представляют собой си-
нусоиды
42 4? 50 52
40кг
= у( у
где k— 1,2, 3,..., оо, или,
если принять у [-^J = 1,
Ук (х) = sin Ъъ Т •
Расчёт первой
критической скорости
по методу Стодола
Пример. Расчёт двухопор-
ного вала переменного сече-
ния, несущего ряд нагрузок
(фиг. 32).
Прежде всего строим ста-
тическую упругую линию
вала от действия сил веса.
Затем, задавшись какой-нибудь угловой скоростью
вращения вала 2U, определяем центробежные силы масс
системы, исходя из прогибов от сил веса.
Для массы i центробежная сила будет равна
Z7
где т.— масса в кгсек'/см; у8 — ордината упругой ли-
нии изгиба от веса в см; 2„ — угловая скорость вала,
задаваемая обычно числом, кратным десяти; в данном
примере принимаем ii0 ¦= 10 1/сек.
После этого строим упругую линию от центробеж-
ных сил с ординатами уш. Если форма полученной
таким образом упругой линии близка к форме упру-
гой линии от сил веса, то первую критическую ско-
рость определяем по формуле
Фиг. 32. К примеру расчёта первой критической скорости двухопорного вала по
методу Стодола: а — статическая упругая линия; б— эпюра изгибающих момен-
тов; в —упругая линия от центробежных сил [15].
Таблица 8
Г-1 -
E6)
среднее значение из близких между
й
%
I
2
3
4
5
6
7
8
9
ю
и
12
Q
кг
12
42
42
5°
52
63
6о
6о
65
7°
ю
4°
s
if
а
O.OI22
O.O429
О.0429
о,о5ю
о,о53о
0,0642
O,o6l2
0,0612
0,0662
0,0714
0,0102
0,0408
У
в см
2OI
322
322
322
322
322
322
322
322
322
2OI
87,6
Ув
В СМ
1.42
2,14
2,35
2,52
2.6з
2,65
2,6о
2,47
2,27
2,ОО
1,35
1,55
р.
в кг
J-73
9,2
Ю,1
12,850
13,9
17
15,9
15-1
i5,i
14,3
1,4
6,3
У
в см
0.00675
о,о
о,о
о,о
о, о
о,о
о,о
O.OJ
ОЗ
ч
22
27
28
24
i8
o,oio8
O.OO945
0,0063
0,0072
Ув
Ли
2IO.5
2о8
2О5
2О6,3
2O7
2O7
2O9.2
2О9,2
2IO
212
214
215
Отклоне-
ние в % от
1—1
[ УШ \ср
о.5
-о,7
— 1,6
— 1,5
—1,2
— 1,2
О
о
о
I
2
2,5
5Н
2514
Среднее значение ——-=209,5.

ГЛ. III]
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
137
Метод последовательных приближений
Если расхождение между заданной и полу-
ченной упругими линиями получается значи-
тельным, то следует, приняв полученную упру-
гую линию в качестве исходной, повторить
расчёт в описанной выше последовательности.
По методу Граммеля уточнённое значе-
ние для частоты собственных колебаний
или критической скорости находится по дан-
ным предыдущего приближения из формулы
E7)
где /я,- — массы системы в кгсек^/см; у^п__ц —
ординаты упругой линии, которая предвари-
тельно задаётся для первого приближения или
получается из расчёта предыдущего прибли-
жения, в ел; _уг-(П) — ординаты упругой линии,
полученной от центробежных сил или сил
инерции при заданной угловой частоте или
угловой скорости вращения вала а>0.
Определение высших частот собственных
колебаний балок и критических скоростей
валов
Если положение узлов колебаний, т. е. то-
чек, неподвижных при данной форме коле-
баний, известно, например, в силу симметрич-
ности системы, задача сводится к определению
основной частоты или первой критической
скорости изменённой системы, имеющей до-
полнительные опоры в узловых точках.
При заранее неизвестном положении узло-
вых точек необходимо задаться им, руковод-
ствуясь правилом, что если к системе присо-
единить п добавочных опор, то основная ча-
стота такой видоизменённой системы при
изменении положения опор будет максимальной
при совпадении добавочных опор с узлами
л-ro обертона, и этот максимум будет равен ча-
стоте л-го обертона первоначальной системы.
При расположении на валу постоян-
ного сечения (фиг. 33) дополнительной
опоры непосредственно у левой основной
опоры (lt = 0) пер-
вая частота собст-
венных колебаний
вала будет ш,, а
форма колебаний
будет иметь вид
кривой Уцп) • При
различных положе-
ниях дополнитель-
ной опоры между
основными опора-
ми первая частота
собственных коле-
баний вала будет
изменяться в зави-
симости от отно-
шения -у- , причём
при увеличении
этого отношения
от нуля частота
собственных колебаний увеличивается до неко-
торого максимума, после чего начинает
I /,//
Фиг. 33. Изменение частоты
собственных колебаний вала
постоянного сечения в зависи-
мости от положения дополни-
тельной опоры.
уменьшаться. Максимальная величина ча-
стоты соответствует первому обертону или
второй критической скорости вала, а вели-
чина /j, при которой она получается, соответ-
ствует расположению узла колебаний. Как
видно из фиг. 33, небольшая ошибка в оценке
места расположения узла приводит лишь
к ничтожной погрешности в определении ча-
стоты или критической скорости, причём эта
ошибка всегда будет в сторону преуменьше-
ния. Таким образом для валов, работающих
в диапазоне между первой и второй критиче-
скими скоростями, действительный частотный
запас всегда будет больше расчётного, полу-
ченного при приближённом определении рас-
положения узла колебаний.
Для того чтобы выбрать положение допол-
нительной опоры возможно ближе к узлу ко-
лебаний, следует руководствоваться тем сооб-
ражением, что опорная реакция в ней должна
быть равна нулю. Для простоты при этом вал
нагружается равномерно распределённой на-
грузкой, претерпевающей разрыв и меняющей
направление в месте установки дополнитель-
ной опоры.
Высшие частоты собственных колебаний
стержней переменного сечения приближённо
определяются по формуле
E8)
щ/щ
где ^^ определяется для стержня постоянного
сечения, аналогичного рассматриваемому по
условиям закрепления и сопряжения [см.
стр. 132 и 133 и формулу D6)].
С увеличением порядка колебания k точ-
ность формулы E8) возрастает.
Допускаемые соотношения между рабочей
угловой скоростью вала Q и критической
скоростью <л,{
При работе в докритической зоне
При работе в зоне между первой и второй
критическими скоростями
1,4ш, <Q<0,7o)]b
Влияние побочных факторов на частоты
собственных колебаний балок
и критические скорости валов
Влияние податливости опор. Выше при-
нималось, что опоры являются абсолютно
жёсткими. Податливость опор приводит к по-
нижению частот собственных колебаний.
Пример. Если для системы, изображённой на фиг. 34,
жёсткости обеих опор в плоскости колебаний равны
между собой и составляют кажлая Со, а жёсткость
балки, определённая в соответствии с фиг. 9, соста-
вляет Q>, то обшая жёсткость системы равна
1
E9)
1
Сб
2СО
Отношение частоты собственных колебаний балки,
определённой с учётом податливости опор, к частоте

138
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД.
собственных колебаний, определённой без учёта этой
податливости, составляет
V'¦+?'
F0)
Зависимость F0) изображена на фиг. 35.
*c*/cs
Фиг. 34. Схема к при- Фиг. 35. Поправка на жёст-
меру учёта жёсткости кость опор [15].
опор.
Влияние поперечных сил. Это влияние
не учитывается при расчёте частот собствен-
ных колебаний стержней и валов, у которых
размеры поперечного сечения малы по сравне-
нию с длиной. Учёт влияния поперечных сил
имеет значение для коротких стержней, для
длинных же стержней — только при опреде-
лении частот собственных колебаний высших
порядков, когда между узловыми поперечными
сечениями заключаются сравнительно неболь
шие участки.
Пример. Влияние поперечных сил показано на
фиг. 36 для круглого вала постоянного сечения
//<
4
*
'У
_ -
a i г з
7 8 9 17а
о
¦ЧУ-
Фиг. 86. Поправка на влияние Фиг. 37. Схема к
поперечных сил [15]. примеру учёта
влияния попереч-
ных сил.
4фиг. 37). Здесь представлена зависимость «/(-т
при различных значениях <р, где ~— — отношение ча-
стоты собственных колебаний, определённой с учётом
поперечных сил, к частоте, определённой без учёта
этих сил; —-; отношение длины к диаметру вала;
а
¦ф =——— отношение размеров по фиг. 37, характери-
зующее расположение сосредоточенной массы.
Влияние статически приложенной про-
дольной силы. Для первой частоты собствен-
ных колебаний это влияние учитывается фор-
мулой
пр
±7Г-« F1)
где
низшая частота собственных коле-
шая частота собственных колебаний при отсут-
ствии продольной силы; D— — отношение про-
*^кр Г
дольной силы к критической силе для продоль-
ного изгибав плоскости колебаний. При растя-
гивающей силе под корнем берётся знак плюс,
при сжимающей — знак минус.
Влияние инерции поворота масс. Момент
от сил инерции поворота какой-либо массы
системы, возникающей благодаря повороту
сечений при поперечных колебаниях, равен
i = — 6? «вар,
F2)
где 6,-— экваториальный момент инерции мас-
сы / вокруг оси поворота в кгсмсек; ш — уг-
ловая частота колебаний в 1/сек; 3 — ампли-
туда угла поворота. Момент от сил инерции
поворота масс увеличивает изгиб, т. е. пони-
жает частоту собственных колебаний.
Отношение частоты собственных колебаний
с учётом инерции поворота к частоте собст-
венных колебаний, определённой без учёта
инерции поворота, равно
где, кроме встречающихся выше обозначений,
0/ — моменты инерции сосредоточенных масс
относительно оси поворота в /еггмеек2; Цх')—
момент инерции распределённой массы стерж-
ня на единицу длины в кгсек?; у'(х) для ма-
лых колебаний принимается равной амплитуде
угла поворота.
Так как в формулу F3) входят значения
не только ординат упругой линии, но и углов
поворота, то для правильного учёта влияния
Л-
баний при наличии продольной силы; ш — низ-
>иг. 38. Влияние гироскопического
эффекта на форму эпюры моментов.
инерции поворота необходимо, чтобы приня-
тая упругая линия хорошо совпадала с формой
собственных колебаний.
Влияние гироскопических моментов масс.
Гироскопический момент какой-либо массы

ГЛ. Ill)
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ
139
вращающегося вала, возникающий благодаря
отклонению оси вращения, равен
Mt = (bri - в,) ^ = 6,- (q{ - 1) о^, F4)
где bpi — полярный момент инерции массы /
б„.
вокруг оси вращения в кгсмсек2) Ц{~ -Л; и> —
угловая скорость вала; остальные обозначения
те же, что и в формуле F2).
Формула F4) относится к случаю положи-
тельной прецессии, т. е. когда угловая скорость
плоскости изогнутого вала равна по величине
и совпадает по направлению с угловой ско-
ростью вала, что обычно имеет место при раз-
гоне от нуля до критической скорости. Так как
qi*^> 1, гироскопический момент в данном слу-
чае уменьшает изгиб вала, т. е. повышает
критическую скорость. Получающиеся при этом
эпюры моментов для простейшего примера по-
казаны на фиг. 38.
В некоторых случаях при наличии возбу-
ждающих сил соответствующей частоты может
появиться отрицательная прецессия, т. е. вра-
щение плоскости изогнутого вала с угловой
скоростью, равной по величине, но противопо-
ложной по направлению угловой скорости вала.
При этом гироскопический момент какой-
либо массы будет равен
t = - (b
F5)
[обозначения те же, что и в формулах F2) и
F4)]. В данном случае гироскопический эффект
понижает критическую скорость вала.
Отношение критической скорости вала с
учётом гироскопического эффекта к критиче-
ской скорости, определённой без учёта этого
эффекта, равно:
при положительной прецессии
/ 9{x) y*(x)dx + L 6, (gi- l)y> {x{)
шь 1 / . _ o^ i
* n '•
f p Сг).уа(дг) dx + Ti mi y3 (jr^
0 1 F6)
при отрицательной прецессии
{x)dx + %mi у" (х0
1 F7)
Обозначения те же, что и в формулах F3)
и F4).
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ
Определение моментов инерции месс
системы
Момент инерции массы цилиндрического
участка вала.
кгсмсек*,
6 = -т- ~
F8)
где т — удельный вес в кг/см9; g — ускорение
свободного падения в см/сек2; / — длина уча-
стка вала в см; d -диаметр участка вала в см.
Параллелепипед
0 =
—
Г
Л J--
0
1
be)
•Л-
1 If
--1ICNI
—г
12 "*
с
D»
16
?>иг. 39.
л
*
Л—
ж
Кх
Г
-~Л
X >-
Kx =
С
D
3
>
т
и
>
D,
1
f
/—t
Цилиндр
0-
т~
г i1
Радиусы инерции правильных
It
or-
их
Т H^f
- + f6- +v
Z
С
п
12
^•fi—ф-^
a D%
¦ч
JL
А —
i
Т
геометрических тел (продолжение на
2
с
а
х-
X ¦ «^
-f Л' да.
12
1^
^¦г- 8 +
фиг 40).

140
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗЯ. 1
Конус
О «
О -^ D-IT
Усечённый конус
А
ъ — Х
3D'
Параболоид
Top
Л-4-
*- 12 : 16
Шар
6
(СПЛОШНОЙ)
G = -„- (D3-d3)
О
(полый)
--1
Х~ 4 + 16
Д3 , 5
Полый цилиндр G = j- (D2 — d2) Li
T
-t-fJ—л
its
т
Л —
!—/1
^
,__^J=:.JL,
! D3 . за1 . „
1
t 4]—Ж^^
ьз
•CJC5
12 ' 16
»
I 1
D
К —¦
D"-
X
^—io"
Cfc
у lx
d
(Д5-
Фиг. 40. Радиусы инерции правильных геометрических тел (продолжение).

ГЛ. Ill]
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ
141
Моменты инерции некоторых правиль-
ных геометрических тел могут быть опре-
делены по фиг. 39 и 40 и по формуле
Ьх^ — Кгх кгсмсек*, F9)
где 6л- — момент инерции относительно оси X
в кгсмсек1; G — вес тела в кг; Кх — радиус
инерции в см; ¦{ — удельный вес в кг\смъ;
g- 981 — ускорение свободного падения в
см] сек2; а, Ь, с, d, D, L, R — линейные раз-
меры по фиг. 39 и 40 в см.
Моменты инерции неправильных тел
определяются графическими методами.
Пример. Определение момента инерции щеки колена
вала поршневого двигателя.
Проводим из центра вала (фиг. 41, а и б) ряд цилин-
дрических сечений и подсчитываем их площади. По
а*Ю
Фиг. 41. Графическое определение момента инерции
половины щеки коленчатого вала [10]. Порядок построе-
ния показан стрелками для точки а.
полученным значениям площадей, отложенных для соот-
ветствующих радиусов, строим кривую / (фиг. 41, в).
Затем производим графическое умножение ординат этой
кривой на квадрат отношения соответствующих им ра-
диусов к любому выбранному радиусу R, получаем кри-
вую //. Порядок построения для точки а показан на
фиг. 41, в стрелками. Измерив площадь F, ограниченную
кривой // и осью абсцисс, получим с учётом масштаба
чертежа значение момента инерции по формуле
6=-I-tfV, G0)
где, кроме обозначений, приведённых в тексте, f —
удельный вес в кг/см3; g — ускорение свободного паде-
ния в J2
Опытное определение моментов инерции
масс. 1. Метод крутильных колеба-
ний. Для определения момента инерции; Ьх
относительно оси х, проходящей через центр тя-
жести, тело подвешивается при помощи тросов
так, чтобы ось л: была вертикальна, затем ему
придаются малые крутильные колебания во-
круг этой оси и определяется период колеба-
ний Т. Затем к испытуемому телу симметрично
прикрепляются две равные дополнительные
массы, величина которых т и расстояние до
оси вращения R известны. После определения
и в этом случае экспериментальным путём
периода колебаний Т% момент инерции массы
подсчитывается по формуле
\
G1)
6*= -72^
I 2 — ' 1
2. Метод качаний. Предварительно
находится положение центра тяжести тела,
затем тело подвешивается или опирается на
777777777777777,
Фиг. 42. Экспериментальное определение мо-
мента инерции ротора с помощью специальных
подвесок.
призмы так, чтобы оно могло свободно коле-
баться, как физический маятник. При этом
измеряется расстояние от оси качаний до центра
тяжести /, вес тела Q и период колебаний 7.
Момент инерции определяется по формуле
TVG G
(ix = —~± — -^/2 жнеек?. G2)
х 4тс2 g
Если центр тяжести тела совпадает с осью
вращения, как, например, у роторов электри-
ческих машин, на шейки ротора надеваются
подвески, снабжённые опорными призмами,
соответственно сдвинутыми для
получения расстояния / относи-
тельно оси вала (фиг. 42).
3. Метод параллель-
ного подвешивания.
Тело подвешивается при по-
мощи двух или трёх тросов
одинаковой длины, которые рас-
полагаются симметрично от-
носительно вертикальной оси
колебаний, как показано на
фиг. 43. Период крутильных
колебаний такой системы отно-
сительно вертикальной оси
составляет
Фиг. 43. Экспе-
риментальное
определение
момента инер-
ции с помощью
двойного под-
веса.
7 = 2
сек.,
G3)
где / — длина троса; а — расстояние от каждого
из тросов до оси вращения; g — ускорение
свободного падения; К.— радиус инерции. По
формуле G3) определяется К и по формуле F9)
подсчитывается значение fiv.
Момент инерции масс кривошипно ша-
тунного механизма для разных положений
кривошипа различен в связи с участием посту-
пательно перемещающихся масс механизма
в крутильных колебаниях вала.
Среднее значение момента инерции масс
кривошипно-шатунного механизма за оборот
составляет
±( ) (f^-)] «2, G4)

142
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД. 1
где бд. — момент инерции колена в кгсмсек2
тш1 — часть массы шатуна, отнесённая к цап-
фе кривошипа, в кгсек'*/см; /яш2—часть мас-
сы шатуна, отнесённая к центру пальца или
крейцкопфа; тп — масса поршня; R — радиус
колена в см; L — длина шатуна (между цен-
трами цапф) в см;
G6)
где тш — масса шатуна; Ъш — момент инер-
ции шатуна относительно центра пальца
поршня или крейцкопфа.
о
При-у-=0,35 тш\ = 0,6 тш,
при — = 0,5 тш\ =
тш2 =
где 5 — расстояние от центра тяжести шатуна
до цапфы кривошипа; /. — длина шатуна.
Обычно, так как /?г <C4Z.2, то
кгсмсвк^ (Т7\
где Gn — вес поршня в кг; Gш — вес шатуна
в кг; g — 981 — ускорение свободного падения
в см/сек5.
Момент инерции гребного винта.
= k -—- кгсмсек2.
g
G8)
Приведённая формула отличается от фор-
мулы F9) наличием поправочного коэфициен-
та k, учитывающего массу увлекаемой винтом
воды.
Значение k для различных винтов
(по В. К. Житомирскому)
k
Стальной четырёхлопастный винт 1,35
Бронзовый „ . 1,30
Стальной трёхлопастный . 1,45
Бронзовый . .1,40
Для бинтов дио-
до 3 *
25.O
УМ
f,25
t,00
0,75
7,50
7. PS
if I ? 3 4 5 6
Фиг. 44. Значения G№ в тм1 для гребных винтов в
зависимости от диаметра в м [14]: /— винты стальные;
2—винты бронзовые; 3—винты с бронзовыми лопа-
стями и стальными втулками.
11
Для бантов' диа
ром о/п 3 до
20,0
бронэоб, лопас/пи
стольн. б/771/лпа
бронзовые у?опасти
стальная б/пулка
/5,0
На фиг. 44 приведены кривые значений
в тмг для гребных винтов в зависимости от
диаметра винта в м.
Моменты инерции электритсскчх машин
приводятся в каталогах заводов-изготовителей.
Определение податливости элементов
системы
Податливость участка вала.
e—®Lk- —
1
кгсм
G9)
где G — модуль упругости при сдвиге в кг/см2;
I — длина участка вала в см; d — диаметр
участка вала в см; kt — коэфициент, имеющий
следующие значения:
1. Для сплошного цилиндрического вала
2. Для полого цилиндрического вала
где йл — диаметр сверления в см.
3. Для сплошного конического вала
(80)
если в формулу G9) подставляется больший
диаметр конического участка, и
d
"Г
(82)
если в формулу G9) подставляется меньший
диаметр конического участка.
Здесь d — больший диаметр конического
участка в см; dx — меньший диаметр кониче-
ского участка в см; а — поправочный коэфи-
циент, учитывающий влияние отно-
l d O%
шения —— и —т- на податливость ко-
\г38
Шкала j
0,8
0.7
0.5
о,з-
Z23
т?7
-18
16
14
12
Фиг.45. Номограмма для опре-
деления поправочного коэфи-
циенга а ъ % (Зиманенко и
Житомирский). Пример.
—- » 0,8;-^—»-1,18;а=-««.
йк а.
12

ГЛ. 1111
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ
143
нического перехода. Коэфициент а может быть
определён с помощью номограммы (фиг. 45).
Для конического вала с цилиндрическим
сверлением
кк.ц~*к.с'Ьц, (83)
где kK c — коэфициент для сплошного кониче-
ского вала тех же размеров; k — коэфициент
для полого цилиндрического вала с наружным
диаметром, равным меньшему диаметру кони-
ческого вала (d3).
4. Для вала, ослабленного шпоночными ка-
навками,
nh \4
__ i
а )
(84)
где h — глубина шпоночной канавки в см;
п — коэфициент, зависящий от числа и распо-
ложения шпонок и имеющий следующие зна-
чения:
п
Для одной врезной шпонки ¦ . . 0,5
Для двух ровных шпонок под углом 90° 1,0
Для двух ровных шпонок под углом
180° 1,2
Для двух тангенциальных шпонок под
углом 120° • . . . • . . 0,4
Податливость фланцевого соединения
принимается равной податливости цилиндри-
ческого вала, длина которого равна суммар-
ной толщине фланцев, а диаметр равен диа-
метру осевой окружности фланцевых болтов.
Податливость ступенчатого перехода,
т. е. дополнительная податливость в месте
изменения диаметра валов (на которую должна
быть увеличена сумма податливостей обоих
сопряжённых участков вала), определяется
формулой
32
е = —т^
где
(86)
d\ — меньший диаметр в см; d., — больший диа-
метр в см; X — фиктивное приращение длины
вала диаметром аг и укорочение вала диаме-
тром d%, ^факт — фиктивная длина вала диаме-
тром dlt эквивалентная податливости перехода.
На фиг. 46 изображены найденные опытным
путём зависимости _Фаг^Ц _ fi d*.
1,0 W
2,2 2j6 3,0 14 3,8
4>иг. 46. Кривые податливости ступенчатых пере-
ходов (по данным ВТИ, С. Зиманенко, В. Жито-
мирскому и по Портеру)
Сплошные кривые построены по данным
ВТИ; нижняя кривая относится к переходам
с закруглениями, радиус которых r<C 0,lrf,
средняя — к переходам без закруглений (г = 0)
и длиной утолщённой части больше 2UV а верх-
няя— к переходам с г=0 и длиной утолщён-
ной части меньше 2dx.
Пунктирная кривая построена по данным
опытов Портера при г ^0,1.
Податливость перехода от вала к сту
пице определяется, как и в предыдущем слу-
чае. Значение отношения —j-, где d—диа-
метр вала, принимается в пределах от 0,25
до 0,33 (меньшие значения соответствуют прес-
совой посадке).
Податливость колена вала. По Зеельману
32 Г/t +0,9ft ¦ //fe + 0,
¦ТГГчК 1/лйсл.
(87)
где все линейные размеры в см указаны
на фиг. 47; К — эмпирический коэфициент,
определяемый по фиг. 48; G — модуль упру-
гости при сдвиге в кг/см2; Е — модуль упру-
гости при растяжении в кг/см2.
Фиг. 47. Эскиз колен» вала.
20 30 40 50 60,
Диоме/пр цилиндра д см
70
Фиг. 48. Диаграмма для определения коэфи-
циента К, по Зеельмаму, в зависимости <>т
диаметра цилиндра в см для различных отно-
шений хода поршня к диаметру цилиндра.
По Картеру
(88)
Обозначения — те же.

144
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД. I
По С. П. Тимошенко:
при свободном перемещении шеек
о _ 32 Г I, +0.9ft L
Зтг
"
bh3
l/кгсм; (89)
при полном защемлении шеек
32 ["/, + 0.96 / /А + 0.9ft
Dl- d
-* 1 f
-•" --rfT i-,T7 \ кгсек.
(90)
Если обозначить действительную податли-
вость через е, то ?3 <^ е < ес. Здесь
1. Сосредоточенные массы считаются при-
ложенными при укреплении их на фланцах —
к торцу фланца, при соединении с помощью
ступиц — к среднему сечению ступиц или к
плоскости спиц.
2. Суммирование податливостей отдельных
элементов вала на участках между сосредото-
ченными массами производится с учётом по-
датливости переходов от одних диаметров к
другим и переходов к ступице.
3. Распределённый момент инерции массы
короткого участка вала заменяется двумя сосре-
доточенными моментами инерции половинной
величины, приложенными на концах.
Приведение моментов инерции распреде-
лённых масс длинных участков вало-
провода (например, гребных валов) прибли-
жённо производится следующим образом.
0,9 (^ +
бJ (Л*
A3*3G
+ б2) /?
71G
16/js
-4)
*G\
ЫЕ
mkR
(Dt~4
4) й/
4i?3
)-+ WE
VE
!1>2[
'о [
Щ
2
k ~
4)
R
bh
(91)
Обозначения — те же, что и выше.
Податливость ремённой передачи (фиг.49),
приведённая к валу А, составит
e =¦¦ —2— ' jkzcm,
(92)
где гА—радиус шкива
А в см; F—площадь
сечения ремня в см";
I— длина ведущей ча-
сти в см; Е—модуль
упругости ремня в
Фиг. 49. Ремённая передача. KZ/CM2.
Величина пода-
тливости сложных элементов определяется
экспериментально. Целью опыта является по-
строение характеристики М =/(?)> которое
выполняется по нескольким экспериментально
полученным точкам.
Единичный опыт даже
при заведомо линей-
ной характеристике,
но при наличии неко-
торого зазора может
привести к ошибке.
Пусть перемеще-
нию ср( соответствует
момент Мг (фиг. 50).
<р ~9 Ограничившись лишь
одним измерением, мы
нашли бы, что жёст-
кость элемента равна
м
Сг — —. Произведь же несколько опытов, при
наличии зазора ОВ получим, что жёсткость
элемента равна —— — Со, т. е. больше 6V
Составление расчётной схемы
Допущения, вводимые при составлении
динамической схемы для расчёта крутиль-
ных колебаний.
Фиг. 50. Определение
жёсткости.
К каждой из сосредоточенных масс, огра-
ничивающих рассматриваемый участок, при-
бавляется одна треть момента инерции части
его, расположенной между данной массой и
узлом колебаний. Расположение узла на уча-
стке определяется предварительно из-рас-
чёта упрощённой схемы рассматриваемой си-
стемы.
При определении высших частот собствен-
ных колебаний и форм упругой линии очень
длинного вала указанный выше способ может
привести к значительным ошибкам даже в том
случае, когда распределённый момент инерции
данного вала весьма мал по сравнению с мо-
ментами инерции ограничивающих его сосредо-
точенных масс [см. формулу (96)j.
Расчётная схема изображается, как показа-
но на фиг. 51, для установки дизель-генератора.
Фиг. 51. Эскиз и эквивалентная расчётная схема дя-
зельгенераторной установки: / — поршневая группу:
2 — компрессор; 3 — масса маховика и генератора.
Моменты инерции в,- выражаются в кюмсек1
или приводятся к массам в кгсе«2/см, отнесён-
ным к определённому радиусу инерции.

ГЛ. Ill]
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ
145
Податливости элементов e-t выражаются в
Цкгсм или в виде эквивалентных длин цилин-
дрического вала определённого диаметра. Вме-
сто податливостей могут быть указаны жёст-
1
кости С{ = ~jjt в кгсм.
Приведение систем с зубчатыми переда-
чами (фиг. 52, а и б).
1. Для системы а (фиг. 52) получается
эквивалентная схема б, в которой
(93).
;(93а)
(936)
(93в)
(93г)
где §i и С/ — моменты
инерции и жёсткости
в соответствии с обо-
значениями на чер-
теже а л и Яь— ЧИСЛЭ
оборотов В минуту
валов а и Ь.
4. Более сложные случаи систем с зуб-
чатыми передачами приводятся к разветвлёв-
Фиг. 52. а, б, в — расчётные
схемы систем с зубчатыми
передачами.
При б2 = О получается схема в.
2. Для системы фиг. 52, г получается схе-
ма е, приведённая к валу а с числом оборотов
Ьа, в которой
Ь, = 0 • (94)
С, =¦¦ Са;
3. Для
которой
= ad + ec[?-) +Ч«7): (94а)
(946)
(94в)
(94г)
(94д)
(94е)
системы д получается схема е, в
Oi = 90 ; (95)
= °б
(956)
(95в)
(95г)
(95д)
(95е)
Фиг. 52. г, д, е — расчётные схемы систем с зубчатыми
передачами.
ным схемам, состоящим из нескольких сопря-
жённых рядных ветвей, как изображено на
схеме фиг. 52, ж.
Фиг. 52. ж — расчётные схемы систем с зубчатыvn
передачами.
Определение частот собственных колебаний
Определение частот собственных кру-
тильных колебаний длинного стержня или
вала при различных условиях закрепления
его концов и различных соотношениях момен-
тов инерции масс, сосредоточенных на его
концах, производится аналогично определению
частот собственных продольных колебаний по
формулам C3), C4), C7) и C8).
При этом формуле C3) соответствует формула
-Ал/'91.
1/сек,'
(96)
где G — модуль упругости материала вала при
сдвиге в кг/см?; I—длина вала в см; р —ко-
рень уравнения, определяемый из уравнений
C4), C7) или C8), в зависимости от условий
на концах вала. В этих уравнениях а для дан-
ного случая — отношение момента инерции
массы, сосредоточенной на конце вала, к мо-
менту инерции массы вала. Остальные обо-
значения формулы (96) такие же, как и фор-
мулы C3).
Определение частот собственных кру
тильных колебаний путём решения уравне-
ний частот Терских C2) производится пробными
подстановками значений ш. Расчёты упро-
щаются благодаря разработанным и vi табли-
цам [10].
Определение частот и форм собственных
колебаний цепочных систем по методу Толле
производится путём последовательных прибли-
жений. Для цепочных систем со многими сте-

146
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД.
пенями свободы при этом получаются не только
значения частот, но и соответствующие им
формы упругой линии закрутки вала.
Расчёт цепочной системы из пяти масс
(фиг. 53) сведён в табл. 9. Здесь / — порядко-
вый номер
массы; 6г- —
моменты
инерции масс
системы в
кгсмсегс2;
v—жё-
и первому участку вала, и получаем относи-
тельную амплитуду второй массы а2. Исходя
из последней, получаем значения as и т. д.
В конце расчёта получаем значение /? оста-
точного момента сил инерции; последнее при
/
*Ж
Фиг. 53. Расчётная схема системы
из пяти масс.
сткости уча-
стков вало-
провода в
кгсм; а> —
расчётная
угловая частота крутильных колебаний в 1/сек;
а,- — относительные амплитуды углов закрутки;
R — остаточный момент в кгсм.
При расчёте по методу Толле прежде всего
задаёмся приближённым значением собствен-
ной частоты колебаний, используя решения
упрощённых схем (см. фиг. 21). Для данного
примера приближённое значение основной
частоты собственных колебаний получаем.
Фиг. 54. Диаграмма остаточных моментов (по Толле).
частоте собственных колебаний должно быть
равно нулю. Значение /?фО означает, что
в табл. 9 необходимо изменить величину ш и
повторить расчёт.
Процесс интерполяции при нахождении точ-
ных значений частот собственных колебаний
облегчается построением диаграммы остаточ-
Таблица 9
S
о
о.
%
I
2
3
4
5
6
7
8
9
Параметры
системы
/Ч i+1)
i
1,2
2
2,3
3
3.4
4
4,5
5
t
в кгсмсек
1
ci(i+l)
в \\кгсм
15
ю
З.оз • ю-6
2
4 ¦ Ю
2
4 ¦ ю-6
2
0-е приближение
и>»=1,7.104
а ¦
г
i
La. в. to2
n ' *
Ci (i+1)
ю ->
- 1,275 -e
- 0,275 -»
— 0 631 <-
— 0,906 -»•
— 0,710 <~
— 1,616 ->
— 0,490 <-
— 2,106 ->
— а..9. ша
r 1
¦
i
0
— 25,5 • ю4
- 25,5 • io'
4,68 • to4
1
— 20,82 ¦ io4
3,08 ¦ io4
— 17,74 • io4
5.50 ¦ 10*
— 12,24 ¦ IO*
7,16 • io4
#—5,07 Ю4
1-е приближение
a.
1
i
ci (l+l)
1,0
—1,80
— 0,80
— 0,51
-1,31
— 0,42
-M3
— 0,088
— 1,818
/^ = 6
— a. 8. u>2
1 1
i
-EVi
0
— 36,0.10*
— 36,0 • 10*
19,2 • io4
— 16,8-io4
6,29 • 10*
— 10,51- io4
8,30 ¦ 10*
— 2,21.10*
8,72 • io4
51 ¦ 10'
2-е приближение
a.
1
i
? a. 6. ш»
Ci (i+1)
1,0
- 1.575
— o,575
— 0,588
— 1,163
- 0,586
- i,749
— 0,292
— 2,041
— a. в. u>a
1 1
i
7 G ' " • U)"
0
— 31.5 • io4
— 31,5 • io«
12,07 • IO*
—19,43-10*
4,78 • 10*
— 14,65-ю4
7.34 • Ю*
— 7,30 io4
8,57 ¦ 10*
,27•io4
Примечание
Обозначения
величий дли не-
чётных строк
таблицы
Обозначения
величин для
чётных строк
таблицы
Последователь-
ность вычислении
показана стрел-
ками
объединив массы б2 ,63, 64 и 65 в одну, прило-
женную в их общем центре тяжести. Решив
полученную систему из двух масс по формуле
ных моментов, которая представляет зависи-
6,6
(96а)
,еп
(см. фиг. 21), находим значение <о2 = 1,70-104.
Задавшись единичной амплитудой закрутки
первой массы а} = 1, определяем последова-
тельно по ходу стрелок табл. 9 значения вели-
чин в строках, соответствующих первой массе
Подобная диаграмма схематически изобра-
жена на фиг. 54.
Как видно из чертежа, кривая имеет ряд
пересечений с осью абсцисс, соответствующих
значениям частот собственных колебаний. Для
выяснения вида кривой можно вести расчёт с
помощью логарифмической линейки, а вблизи
точных значений искомых частот более точно —
на арифмометре.

Ill]
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ
147
Последовательные приближения можно по-
лучить и чисто аналитическим путём, поль-
зуясь методом Зехтинга. При этом последую-
щее приближение находится по формуле
(97)
в которую подставляются данные из расчёта
по Толле для предыдущего приближения.
Для приводимого примера получаем, по
Зехтингу,
4 =
f1
26,8
37,42
-2,38-104 -2,4-104;
= 2,08-104 ~2,1 • 104;
7,17-105
35,47
и>2 ~ о
= 2,02-104;
Расчёт разветвлённых систем. Для опре-
деления частоты собственных колебаний раз-
ветвлённой системы (фиг. 52, б, е), имеющей п
рядных ветвей, сопряжённых в точке у, рас-
чёт для каждой из ветвей системы [A), B),
C), ... (л)] ведётся в табличной форме, при-
чём необходимо задаться единичными относи-
тельными амплитудами углов закрутки для
крайних масс F(i)i, бэдь 6CI, - -. , 6(n)i):
аAI ~ аBI = аCI = - • • = «(„)! = 1.
В результате для принятой расчётной ча-
стоты ш получаются значения относительных
амплитуд в точке сопряжения (а,^ а,^
йC) у > • ¦' а(п) у) и значения остаточных момен-
тов (/?A), ^?B)»'/?C)» ••-. Я(я))- Принятая ча-
стота со будет соответствовать частоте собствен-
ных колебаний системы в том случае, если
выполнено условие
{п)
Лт _ о. (в»)
Определение возбуждающих моментов
Крутильные колебания возбуждаются глав-
ным образом моментами от сил давления пара
или газа в цилиндрах двигателей и воздуха
в цилиндрах компрессоров, а также от сил
инерции поступательно движущихся частей
кривошипных механизмов.
Гармонические крутящие моменты от
сил давления пара, газа или воздуха опре-
деляются на основании диаграммы танген-
циальных сил путём разложения кривой мето-
дами гармонического анализа на составляю-
щие ряда. Фурье (см. гл. 1, т. 1, кн. 1):
М = ЛТ0 + Л*! sin @/ + ft) +
-f M2 sin B0* -+- ъ) + ...
где О. — угловая скорость вращения вала; v —
порядок гармонической составляющей; /Hv —
амплитуда гармонической составляющей;
?—фазовый угол гармонической составляющей.
Здесь S = -4~, где л-—-число оборотов вала
в минуту, a v = ~ = —, где ш и N— соответ-
ственно частота и число колебаний в минуту
данной гармонической составляющей.
В четырёхтактных двигателях период тан-
генциальных сил соответствует двум оборотам
вала, что приводит для принятого выше опре-
деления v к появлению Wro, lV2"ro» 2llrro
и т. д. порядков. В другой системе обозначе-
ний порядок гармонических составляющих вы
ражается по отношению к основному периоду
и обозначается только целыми числами.
В табл. 10 приведены примерные дан-
ные гармонического анализа для различных
типов двигателей по Кер-Вильсону. При этом
значения амплитуд гармонических составляю-
щих выражены через гармонические коэфи-
циенты Cv в процентах от среднего индика-
торного давления. Таким образом
100
-— Rkzcm, A00)
где D — диаметр поршня и R — радиус криво-
шипа в см.
Таблица 10
I
о
и
к
X
га а
эрядок 1
ставляю
г- °
С о
°.5
i
i.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8,5
9_
ю
ю,5
и
и,5
, 12
Двигатели внутреннего сгорания
Четырёх-
тактные
остого ,
ВИЯ
Q.S-
G u
4о
4°
4°
35
3°
25
2О
15
IO
8
6
4.5
3.5
3,о
2,5
2,О
i,5
1,О
о,8
о,7
о,6
о.5
о,4
о.З
t
О)
ойного
ВИЯ
ffi t-
Ч о
55
6
55
7°
4°
ю
25
3°
15
7
9
9
5-2
2,О
3.7
4,о
2,2
1,О
1,2
1,4
о,9
о,5
о,6
о,6
Двухтактные
простого
действия
нопорш-
вые
О X
_
8о
—
7°
—
5°
—
3°
—
16
—
9
6
—
4
2
—
1,4
I,O
—
О.6
аппозит
1МИ
ршнями
а о
U X С
хбо
—
14°
—
IOO
—
6о
—
32
—
i8
—
12
8
—
4
2,8
2,0
—
1,2
ОЙНОГО
ВИЯ
01 hi
=< о
12
—
I4O
—
2О
_
6о
—
14
—
г8
—
4
8
2
—
2,8
—
1,О
—
1,2
2
S
те
1 S
зровые i
—
—
15
—
75
—
12
—
4
—
3
¦—
i,5
—
1,О
—
—
—
Для приближённого определения амплитуд
гармонических составляющих порядков выше
третьего (v = 3; 3,5; 4; 4,5 ... ) лёгких двига-
телей служит формула Тейлора — Морриса
= 1,26-,
(Ю0а)
где v >• 3 — порядок гармонической составля-
ющей; е — степень сжатия, т. е. отношение

148
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
(РАЗД. 1
полного объёма цилиндра двигателя к объёму
камеры сгорания.
В каждом отдельном случае необходимо
учитывать зависимость значений р}, а следо-
вательно, и значений Сч от изменения числа
оборотов двигателя.
Для авиационных и судовых установок с
гребными винтами существует отношение
Ей
Ph
п1
A01)
Гармонические крутящие моменты от сил
инерции поступательно движущихся масс
кривошипного механизма
/ИG> = Г,
кгсм,
A02)
где 7*v—гармонический коэфициент от сил
инерции; m— масса поступательно движущихся
частей в кгсек^/см, т. е. поршня и части ша-
туна, т = тш2+ гнп [см. формулу G4)]; R —
радиус кривошипа в см; 9. — угловая скорость
вращения вала в 1/сек.
Основной период крутящего момента от
сил инерции соответствует одному обороту
вала. Следовательно, составляющие от сил
инерции будут содержаться лишь в гармони-
ческих моментах тех порядков, которые вы-
ражаются целыми числами. При расчёте до-
статочно учитывать гармонические моменты
1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков. Все они вы-
ражаются лишь через синусные составляющие
М(Т) = М(ТI sin Ш + М(ТJ sin 2Q/
+ M{T)Z sin ЗШ -f Mm sin 4Qt.
A03)
Значения гармонических коэфициентов сле-
дующие:
Л = 0,25^;
Г8 = _ 0,50;
A04)
A04а)
A046)
/ /Л2
Г4 = — °'25(т) '
длина ша-
где R — радиус кривошипа;
туна..,
Гармонические крутящие моменты от сил
инерции поступательно движущихся масс гео-
метрически складываются с гармоническими
составляющими моментов от сил давления га-
зов соответствующих порядков. Последние при
этом удобно выражать при помощи косинус-
ных и синусных компонентов:
<Vi ш) ^
R кгсм;
A05)
Учёт совместного действия нескольких
цилиндров
Построение фазовых диаграмм. Сдвж
фаз между гармоническими составляющими
одного и того же порядка в разных цилиндрах
двигателя внутреннего сгорания определяется
путём построения фазовых диаграмм. Вид фа-
зовых диаграмм существенно зависит от по-
рядка чередования вспышек.
Пример. Построение фазовых диаграмм для дизель-
генераторной установки, имеющей шестиколенный вал
(фиг. 55), у которого соответственно совпадают напра-
вления кривошипов 1-го и 6-го, 3-го и 4-го, 2-го и 5-го
цилиндров.
Для фазовой диаграммы гармонических первого по-
рядка расположение векторов, представляющих собой
ЦилиндрЫ
диаграм/vioi
,-2.3-4-5-6
Z а,-Ю90
Г
6v
f г
4
Порядок гармонических
0,5—3,5— 6,5- 9,5\l-4-7-10
25585\
Фиг. 55. Фазовые и векторные диаграммы для вала
шестицилиндрового четырёхтактного двигателя [14]. По-
рядок вспышек: 1—3—5—6—4—2.
10U
TCD2
—.- R кгсм.
4
A05а)
При этом гармонические составляющие кру-
тящего момента от сил давления газов из
формулы A00) равны
М(ф sin (vQ/
= Al
(e),
cos
A056)
амплитуды моментов, совпадает с расположением криво-
шипов. Такой же вид будут иметь здесь фазовые диа-
граммы для гармонических моментов порядков 4, 7,
10, ... , 1 .+ 3» и для порядков 2, 5, 8,. . , 2 -4- 3«, но при
обратном чередовании векторов, так как 2-120° = 240°
= 12и°.
Для половинной гармоники с периодом в два обо-
рота вала сдвигу фаз между вспышками в данном при-
мере соответствует угол 12и°-0,5 = 61°. Подобные же
фазовые диаграммы получаются для гармонических по-
рядков 3,5, 6,5, 9,5, . 1. , а также для порядков 2,5, 5,5,
8,5, 11,5. .. Для гармоник порядков 1,5, 4,5, 7,5.. . век-
торы располагаются под углом 120°. 1,5 — 180°. В завися-

ГЛ. Ill]
КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ
149
мости от изменения порядка чередования вспышек
меняется направление отдельных векторов. Для порядков,
равных и кратных трём, сдвиг фаз между вспышками
соответствует углам, равным или кратным 3-120"—360°,
т. е. все векторы совпадают.
Гармонические порядки, для которых век-
горы всех цилиндров совпадают, называются
сильными или мажорными, остальные гармо-
нические носят название слабых или минор-
ных.
Построение векторных диаграмм. В звез-
дообразных моторах, действующих на один
кривошип, гармонические составляющие оди-
наковой частоты для различных цилиндров
могут быть заменены их равнодействующей.
При этом все минорные гармонические взаимно
ослабляются или в идеальном случае, если
пренебречь кинематикой прицепных шатунов,
взаимно уничтожаются. В рядных моторах
гармонические моменты приложены в разных
точках вала, имеющих различные амплитуды
колебаний.
При расчёте амплитуд резонансных коле-
баний необходимо определять геометрическую
сумму ЦЛ^а,-, где Мг- вектор гармониче-
ского момента, приложенного к /-й массе;
<1{ — относительная амплитуда колебаний /-й
массы.
Относительные амплитуды определяются в
зависимости от формы упругой линии соб-
ственных колебаний, как показано в табл. 8.
Амплитуда колебаний для первой массы
(финимается равной единице.
Для рядных моторов с однотипными ци-
линдрами геометрическая сумма Ц М{а{ —
-- М, ? а/, где щ — векторы, равные по вели-
чине относительным амплитудам упругой ли-
нии закрутки вала и совпадающие по напра-
влению с векторами моментов, приложенных
в данных точках.
Геометрическая сумма У, at определяется,
как показано на фиг. 55 для примера шести-
коленного вала, путём построения многоуголь-
ника векторов.
Необходимо учитывать возможное расхо-
ждение значений моментов для отдельных ци-
линдров, что особенно существенно при рас-
чёте слабых гармонических. В некоторых слу-
чаях такое расхождение достигает 5°/о для
стационарных дизелей и 20°/Ь для авиацион-
ных двигателей.
В компрессорах сильное влияние на ре-
жим возбуждающих моментов оказывает ре-
гулировка производительности установки, в
особенности отключение отдельных цилин-
дров.
В судовых турбинных установ-
ках периодический возбуждающий момент
может создаваться также гребным винтом
вследствие прохождения лопастей вблизи руля
или других устройств, искажающих поле давле-
ний вокруг лопасти. По данным различных
авторов, приведённым у Кер-Вильсона [14], пе-
риодические изменения крутящего момента
винта могут составлять 5 — 10% от полного
значения момента, что делает необходимым
расчёт крутильных колебаний и для установок
с турбинным приводом.
Аналогичным источником возбуждения мо-
гут явиться и некоторые воздуходувные
устройства.
Определение амплитуд вынужденных
колебаний
Расчёт амплитуд. Для системы с одной
степенью свободы амплитуда вынужденных
колебаний определяется по формуле A7).
Для цепочных линейных систем со многими
степенями свободы, если не прибегать к та
бличному методу Толле, амплитуды вынужден-
ных колебаний приближённо определяются по
схеме Кер-Вильсона.
Вводится понятие об „амплитуде равнове-
сия", аналогичное статической деформации од-
номассовой системы и представляющее за-
крутку для точки, относительная амплитуда ко-
торой принята равной единице, т. е. обычно
для свободного конца вала двигателя
для рядных моторов
А>=-
A06)
A07)
где М , — амплитуда гармонической составля
ющей возбуждающего момента для одного ци-
линдра рядного двигателя; 2а/ — векториаль-
ная сумма относительных амплитуд (см.
фиг. 55); 2^*ai — эффективный момент инер-
ции системы, отнесённый к свободному концу
вала двигателя, представляющий произведение
моментов инерции масс на квадраты относи-
тельных амплитуд колебаний вала.
Амплитуда свободного конца вала при вы-
нужденных колебаниях определяется по фор-
муле A7), в которую подставляется значение Ло
из формул A06) и A07).
При совпадении формы вынужденных и сво-
бодных колебаний коэфициент усилениях для зо-
ны, далёкой от резонанса ( —<0,75 и — >1,25 ),
может приниматься равным
1
A08)
для резонансных колебаний
A09)
где, кроме ранее встречающихся обозначений,
Srf — демпфирующие моменты, приложенные
к элементам системы, отнесённые к единице
угловой скорости, в кгсмсек; ад — относитель-
ные амплитуды точек приложения демпфирую-
щих моментов.
Если демпфирующие моменты отнесены
к цилиндрам рядного двигатели и приняты
равными, то 2^2^ = 5^2*1» где а<1—от~
носительные амплитуды для всех цилиндров.
Действительная амплитуда резонансных ко-
лебаний, соответствующая единичной относи-

150
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
1РАЗД.
тельной амплитуде упругой линии закрутки
вала, равна
A10)
На стр. 150—152 приведены способы опре-
деления демпфирующих моментов, по которым
находятся коэфициенты усиления при резо-
нансе. Действие сил полигармонического со-
става учитывается, как указано на стр. 125.
По значениям амплитуд колебаний масс си-
стемы строятся диаграммы амплитуд закрутки
наиболее напряжённого участка вала или диа-
граммы максимальных напряжений в нём.
Подобная диаграмма приведена на фиг. 56.
По оси абсцисс здесь отложено число оборотов
установки в минуту, а по оси ординат — зна-
чения абсолютных углов закрутки Ai—\i—\)
А г А;.
40
60
Фиг. 56. Резонансные кривые для судовой уста-
новки. Частота собственных колебаний одно-
узловой формы — 165,5 колебаний в минуту.
Частота собственных колебаний днухузловой
формы —1041 колебаний в минуту: 7 —амплитуда,
соответствующая допускаемому напряжению;
2 — нормальное число оборотов установки.
для наиболее напряжённого участка валопро-
вода (i—1), L На вертикальных осях указаны
порядки гармонических составляющих, кото-
рые попадают в резонанс при данном числе
оборотов, называемом „критическим". Если
провести горизонталь, соответствующую ам-
плитуде закрутки для допустимого напряжения,
то пересечение её с кривыми амплитуд даёт
пределы оборотов, в которых будут появляться
недопустимые напряжения в материале. По-
лученные таким образом пределы оборотов
позволяют оценить „запретные зоны" чисел
оборотов.
Задачи торсиографирования. Расчётные
методы определения амплитуд крутильных ко-
лебаний вала и напряжений в нём являются
ориентировочными, так как вопрос об опреде-
лении демпфирования в элементах системы ещё
недостаточно изучен и, кроме того, при расчётах
введён ряд упрощающих допущений. Приме-
нение этих методов, однако, полезно в каче-
стве предварительных расчётов и даёт возмож-
ность правильно оценить относительный эффект
отдельных гармонических составляющих в свя-
зи с гармоническим составом возбуждающих
моментов. Методы определения частот соб-
ственных колебаний системы и форм упругой
линии закрутки вала являются более точными.
Для надёжного определения действитель-
ных ординат упругой линии закрутки вала и
напряжений в нём следует базироваться на
данных торсиографирования установки или
непосредственного измерения динамических
моментов в участках вала при помощи тензо-
графов (стр. 156—158).
Предварительным расчётом определяются
(см. стр. 146) частоты собственных крутиль-
ных колебаний и относительные ординаты
упругих линий закрутки вала, соответствую-
щие критическим числам оборотов, находя-
щимся в пределах интересующего нас диапа-
зона. Затем по соотношению абсолютной и
относительной амплитуд в месте торсиографи-
рования производится пропорциональный пе-
ресчёт всех относительных ординат упругой
линии закрутки вала. При этом для проверки
найденной расчётным путём формы упругой
линии торсиографирование желательно про-
изводить по крайней мере в двух точках си-
стемы, что, однако, на практике не всегда воз-
можно.
ДЕМПФИРОВАНИЕ И СПОСОБЫ
УСТРАНЕНИЯ ИЛИ УМЕНЬШЕНИЯ
ВИБРАЦИЙ
Линейное сопротивление
Вязкое трение жидкой и газообразной
среды при умеренных скоростях, а также
электрическое демпфирование представляют
собой линейное сопротивление, рассмотренное
выше, на стр. 124.
При рассмотрении малых колебаний, нала-
гающихся на установившееся движение, на-
пример, на вращение вала при крутильных
колебаниях, к линейному сопротивлению при-
водятся и сопротивления, подчиняющиеся бо-
лее сложным зависимостям от абсолютной
скорости. Если сопротивление представляет
некоторую сложную функцию абсолютной
угловой скорости М(ОI то, выделив лишь
крутильные колебания, получим коэфициент
сопротивления, пропорциональный угловой
скорости колебаний:
S = M'(QU), (Ill)
где i\ — средняя угловая скорость вращения
вала. При расчётах часто принимается
4(Й = ййг и для малых колебаний
A12)
Нелинейные сопротивления
Нелинейными сопротивлениями, встречаю-
щимися при вибрационных расчётах, являются
сопротивление сухого кулоновского трения,
рассеяние энергии в материале („механический
гистерезис") и др.
Сопротивление сухого трения прини-
мается постоянным по величине и направлен-
ным всегда в сторону, противоположную дви-
жению. Частота собственных колебаний систе-
мы с постоянным трением не отличается от
частоты собственных колебаний той же систе-
мы при отсутствии трения. Амплитуда свобод-
ных колебаний за каждый период убывает на
постоянную величину, равную для системы
с одной степенью свободы
. Го
—А ^ .
A13)
где Fq — сила трения в кг; Сп — жёсткость
упругого элемента в кг-см.

ГЛ. HI]
ДЕМПФИРОВАНИЕ И СПОСОБЫ УСТРАНЕНИЯ ВИБРАЦИЙ
151
При достижении амплитуд, меньших чем
тЛ, движение прекращается.
Учёт постоянного сопротивления при вы-
нужденных колебаниях показан в табл. 11.
Рассеяние энергии в материале за один
период при переменном однородном деформи-
ровании является функцией амплитуды дефор-
мации а вида
&W = рат кг с u
A14)
где параметры р и т характеризуют материал.
Декремент затухания в общем случае зависит
от амплитуды колебаний. В соответствии
с формулой A5а)
A14а)
1W ~~ С„
Убывание амплитуды при свободных коле-
баниях будет происходить пропорционально
т — 1 степени её абсолютной величины
= ft/I = -<— ,> ГП
A146)
Для различных металлов значения т нахо-
дятся в пределах от 2 до 3,5. Для стали раз-
личные авторы указывают значения т = 2,3 —
3,17. При теоретическом анализе для упро-
щения обычно рассматриваются идеализиро-
ванные случаи ш = 2 и т = 3.
При неоднородном распределении напря-
жений декремент затухания определяется по
формуле A5а), причём &W п W представляют
интегральные выражения, зависящие от рас-
пределения напряжений.
В табл. 11 приведены основные формулы
для различных видов сопротивлений, соста-
вленные в предположении, что декременты за-
тухания невелики (ft < 0,3).
Принятые здесь обозначения соответствуют
формулам A5), A7), A13), A14) A20), A21).
Демпфирование крутильных колебаний
валов поршневых двигателей
Демпфирование в этом случае ещё мало
изучено, и в настоящее время возможен лишь
весьма приближённый учёт сопротивлений раз-
личных видов потерь при крутильных ко-
лебаниях валов. Этот учёт может вестись
двумя путями:
1) пользование коэфициентами демпфиро-
вания, суммарно учитывающими потери в си-
стеме;
2) выявление основных видов потерь, ха-
рактерных для системы при данной форме
колебания.
В табл. 12 приведены вероятные пределы
общих коэфициентов усиления в резонансе
для различных типов двигателей.
Определение коэфициентов сопротивления
для различных видов потерь
при крутильных колебаниях
Коэфициент сопротивления механической
или электрической нагрузки определяется
формулой A12).
При г = 1 и М = Ш
h
si
г- О
5 S
О о.
О <"
sc
ei
^~
3
•^_
^
V
—ч
l
1. ,J
Эр
* I
5 s
ВИНВ9Э1ГОН

152
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
{РАЗД.
Таблица 12
Тип двигателя
Лёгкие быстроход-
ные двигатели вну-
треннего сгорания
(авиационные и авто-
мобильные) .....
Тяжёлые двигатели
внутреннего сгораиия
(стационарные и судо-
вые)
То же
Паровые машины .
ю—зо
2О—4°
3°— 7°
IO—2О
Форма упругой
линии
Узел колебаний вне
поршневой группы
То же
Узел колебаний в
пределах поршневой
группы
Узел колебаний вне
поршневой группы
М 71620-30
Q — * — я 0,736
кгсмсек =
Ре
'—? кгсмсек,
nJ
A15)
где Ре — мощность на валу в кет; п — число
оборотов в минуту.
При г = 2 и М = kQ.*, что имеет место
в центробежных вентиляторах и воздухо-
дувках, для малых колебаний скорости, возни-
кающих при крутильных колебаниях, коэфи-
циент сопротивления приблизительно равен
*е
= 2-9,3.105^2" кгсмсек
A16)
z = 3,5;
= /К>3'6; 5 = 3,5-9,3.105—f . A17)
п2
Другие авторы указывают для гребных вин-
тов 2 = 2 — 3, причём полученный по фор-
муле A12) демпфирующий момент должен
быть удвоен вследствие различия в условиях
работы винта при постоянной скорости и при
колебаниях.
Для синхронной машины, снабжённой успо-
коительной клеткой и работающей параллельно
с сетью, коэфициент сопротивления составляет
100 Р
S = 9,3 -g- 106 mf —f кгсмсек,
где U — электродвижущая сила генератора
в e» Uc—противоэлектродвижущая сила приём-
ников, например, моторов или аккумуляторной
батареи, в в\ U—Uc — потери напряжения в
активном сопротивлении цепи генератора. Если
генератор работает только на осветительную
нагрузку, Uc — 0.
Формула A19) применима и к генератору
переменного тока, работающему отдельно на
внешнее сопротивление, т. е. при отсутствии
параллельной работы с другими.
Потери внутреннего трения в материале
вала
Потери на гистерезис являются функцией
амплитуды деформации или соответствующего
ей напряжения в материале и резко возра-
стают с их увеличением. Если общие потери
в системе велики, а амплитуды резонансных
колебаний малы, то в общем балансе потерь
потери гистерезиса составляют лишь неболь-
шую часть.
При резонансных колебаниях с небольшим
общим затуханием ограничение амплитуды ко-
лебаний в основном может происходить за
счёт потерь внутреннего трения в материале
вала. В этом случае применим следующий при-
ближённый способ расчёта амплитуд резонан-
сных колебаний Кер-Вильсона.
Определяется так называемое „напряжение
равновесия"
кг/см3, A20)
3
16
Для гребных винтов при малых колеба- где С
ниях и постоянной скорости судна по Кер-
Вильсону
ГИЙ момент, соответствующий узловому
участку упругой линии закрутки вала /(/+ 1),
находится по табл. 9 расчёта по Толле; А^ —
амплитуда равновесия [формулы A06) и A07)];
D — внешний диаметр вала в см; d—диаметр
сверления для полого вала в см.
Коэфициент усиления при резонансе
К
A18)
A21)
где К — коэфициент, характеризующий свой-
ства материала, приведён в табл. 13 (по
[14], 2-е изд.).
Таблица 13
где Ре—эффективная мощность на валу в кет;
п — число оборотов в минуту; mf — отношение
входного момента (при скольжении 5%) к
эффективному; при нормальном выполне-
нии клетки mf может быть принято рав-
ным 0,65
Коэфициент сопротивления для генератора
постоянного тока, работающего на внешнюю
нагрузку, равен
9,3-105^4
л2
U
U-Uc
A19)
Сорт стали
Углеродистая: С—0,21°/» • ¦ •
С-0,3% . . .
Никелевая: Ni—3,0%
Хромоникелевая: CrNi . . • •
1
Предел
прочности
в кг/см*
47°°
58оо
74°°
945°
К
!
2ОО
270
бго

ГЛ. Ill]
ДЕМПФИРОВАНИЕ И СПОСОБЫ УСТРАНЕНИЯ ВИБРАЦИЙ
153
Напряжение в материале узлового участка
валопровода г составляет
=r Xrt0 = К
кг/см2.
A22)
Способы устранения или уменьшения
вибраций
Демпферы представляют собой устройства,
предназначенные для уменьшения амплитуд
колебаний. Демпферы располагаются в точках
системы, имеющих наибольшие амплитуды
колебаний, или в точках, в которых помеще-
ние демпфера изолирует систему от действия
возбуждающих сил.
Демпфер трения основан на введении
сил трения в колебательную систему. Введе-
ние дополнительных сил сопротивления при
крутильных колебаниях, если последние на-
кладываются на вращательное
движение вала, осуществляется x
следующим образом: вместе "
Фиг. 57. Демпфер сухого
трения.
Фиг. 58. Си
стеиа с дина
мическим
демпфером.
с основной системой вращается маховик, увле-
каемый в движение силами трения, иногда
в сочетании с действием весьма слабых пру-
жин.
В установившемся режиме маховик будет
вращаться равномерно, и если основная си-
стема вследствие крутильных колебаний
вращается неравномерно, то между ней и ма-
ховиком возникают силы сопротивления, со-
здающие демпфирование.
В ряде конструкций демпферов используется
сухое трение. Примером является демпфер,
схема которого изображена на фиг. 57.
Демпфер состоит из двух маховичков а,
свободно вращающихся на втулке Л, соединён-
ной с валом. Между маховичками и втулкой
при помощи пружин зажаты тормозные ко-
лодки с.
Применяются и демпферы вязкого трения,
в которых при колебаниях жидкость (масло)
продавливается из одной полости в другую
через отверстия в лопатках.
Динамический демпфер представляет со-
бой колебательную систему малых размеров,
имеющую частоту собственных колебаний, рав-
ную частоте возбуждающей силы и присо-
единяемую к основной системе для устранения
вибраций.
Для системы, изображённой на фиг. 58,
в которой т и С — масса и жёсткость основ-
ных элементов, ttiq и Cq — то же элементов
динамического демпфера, перемещение мас-
сы т под действием периодической возбужда-
ющей силы Q cos Ы составляет
Сд _
(С +• Сд - тш*}(Сд-~тдю*)—Сд2
а перемещение массы демпфера
Qcosvt, A23)
со*. A24)
Чтобы устранить вибрации массы т, т. е.
получить х = О (при отсутствии сопротивле-
ния), необходимо выполнить условие настройки
демпфера: м = л/ __
г "'д
При этом перемещение массы демпфера
составит
О
= — _i_ COS
сд
он.
A25)
Минимальные размеры демпфера опреде-
ляются допускаемой амплитудой перемещения
его массы и прочностью его упругого эле-
мента. Следует подчеркнуть, что подобный ди-
намический демпфер может устранить вибра-
ции лишь при какой-либо одной заданной ча
стоте возбуждения. При других частотах воз-
буждения будут происходить колебания си-
стемы, причём присоединение динамического
демпфера, увеличивая число степеней свободы
на единицу, прибавляет ещё одну резонансную
частоту.
В качестве динамических демпферов для
крутильных колебаний вращающегося вала ши-
рокое применение получили так называемые
маятниковые демпферы. В последнее врем»
их начинают применять и для устранения по-
перечных колебаний коленчатых валов.
Если установка работает с переменным чи-
слом оборотов, причём с изменением числа
оборотов изменяется и частота возбуждения
(судовые двигатели, авиамоторы и пр.), то
обычный динамический демпфер, имеющий по-
стоянную частоту собственных колебаний, не
всегда достигает цели. Маятниковый демпфер
Сарацина—Тейлора обладает тем свойством, что
его частота собственных колебаний изменяется
прямо пропорционально изменению числа обо-
ротов, и он таким образом „снимает* задан-
ную гармоническую составляющую возбужде-
ния во всём диапазоне рабочих оборотов
установки. Частота собственных колебаний
маятникового демпфера равна
A26)
где Q — угловая скорость вращения вала
в 1/сек; R—расстояние от оси вала до центра
тяжести маятника ъсм; г — приведённая длина
маятника в см. Частота колебаний не зависит
от массы демпфера. Последняя определяется
лишь допустимой амплитудой перемещения
маятника.
Примером маятникового демпфера является
конструкция Чильтона (фиг. 59), в которой
использованы подвижные противовесы. Бла-
годаря двойному (бифилярному) подвесу здесь

154
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД.I
удаётся получить весьма малую приведённую
длину маятников. Порядок гармонической со-
ставляющей, на которую настроен бифиляр-
ный маятниковый демпфер, т. е. отношение
Фиг. 59, Маятниковый демпфер.
круговой частоты его собственных колебаний
к угловой скорости вала, составляет
Q
'-(dj-tfa)
"d\ -d> ~~
A27)
где R — расстояние от оси вала до центра
тяжести маятника; dt — диаметр отверстий
в противовесе; d2— диаметр валиков. Тра-
ектория противовеса представляет дугу ок-
ружности радиуса dt — d2.
Введение маятниковых демпферов в ряд-
ные системы приводит, как показано на фиг. 60,
Фиг. 60. Схема системы с динамиче-
ским демпфером.
к разветвленным динамическим схемам. Здесь
маятниковый демпфер рассматривается как
добавочная одномассовая система; момент
инерции массы маятника составляет 6^ = /га/?2
Эквивалентная жёсткость получается из ра-
венства
откуда
Са =
(«=-')*
Эквивалентная жёсткость демпфера при из-
менении числа оборотов вала изменяется про-
порционально Q2.
Изменение масс, жёсткостей и усло-
вий возбуждения колебательной системы
также является весьма действенным средством
устранения вибраций, как это следует
из рассмотрения резонансной кривой фиг. 10.
При изменении параметров системы, попав-
шей в резонанс, изменяется её частота соб-
ственных колебаний, и система выводится
из резонанса. Аналогичные результаты полу-
чаются при изменении частоты возбуждения,
например, путём изменения рабочего числа
оборотов, если частота возбуждения с ним
связана. Уменьшение амплитуд колебаний мо-
жет быть также получено уменьшением или
устранением возбуждающих сил. Так, напри-
мер, тщательная балансировка приводит к
уменьшению возбуждения, создаваемого вра-
щающимися неуравновешенными массами.
В поршневых двигателях для уменьшения
крутильных колебаний может потребоваться
изменение порядка вспышек.
Установка упругих муфт (линейных и
нелинейных), гидромуфт и индукционных
муфт также приводит к радикальному изме-
нению динамических систем крутильных ко-
лебаний.
Гидромуфты (турбомуфты) состо-
ят из ведущего и ведомого роторов, механи-
чески не связанных между собой и действую-
щих соответственно по принципу центробеж-
ного насоса и турбины, причём передача
вращающего момента происходит с помощью
циркулирующей жидкости. Такая муфта раз-
деляет динамическую систему на две самосто-
ятельные части. При этом, если источник
возбуждения крутильных колебаний имеется
лишь в одной из этих частей, то другая со-
вершенно изолируется.
Индукционные муфты подобным же
образом разделяют систему. Ведущая часть
муфты имеет обмотку постоянного тока, созда-
ющую магнитное поле, которое, пересекая
ведомую часть, снабжённую короткозамкнутой
обмоткой, увлекает её за собой с небольшим
скольжением.
Для изменения частот собственных колеба-
ний путём введения в систему дополнитель-
ных упругих элементов используются различ-
ные конструктивные приёмы, например, уста-
новка упругих муфт, подпружинивание венцов
зубчатых колёс в редукторных передачах,
упругие втулки для воздушных винтов в авиа-
ционных моторах и т. д.
Применение нелинейных упругих элементов
для срыва колебаний показано на стр. 126.
ДИНАМИКА ФУНДАМЕНТОВ
И ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ
Колебания фундаментов
при периодической нагрузке
Вынужденные и резонансные колеба-
ния фундаментов возникают вследствие пе-
риодического воздействия неуравновешенных
машин, установленных на них. Допускаемая
амплитуда вынужденных колебаний в расчётах
фундаментов принимается до 0,1 — 0,2 мм.
Схема неуравновешенной машины на
массивном блочном * фундаменте показана
на фиг. 61. Здесь а соответствует верти-
кальным колебаниям фундамента, б — коле-
баниям сдвига, а в — вращательным коле-
баниям фундамента. Пружины, указанные в
схемах, соответствуют упругости основания —
* Динамика рамных фундаментов —см. список лите-
ратуры [21].

ГЛ. Ill]
ДИНАМИКА ФУНДАМЕНТОВ И ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ
155
грунта или виброизоляцни. Все указанные
виды колебаний в общем случае являются
связанными. Если же центр тяжести общей
массы фундамента и машины и центр тяжести
Фиг. 61. Схема машины на фундаменте.
подошвы фундамента находятся на одной
вертикальной оси, то вертикальные колебания
могут рассматриваться независимо.
Частота собственных вертикальных ко-
лебаний при указанном выше условии располо-
жения центра тяжести составляет
,F
1/сек,
A28)
где т—масса машины и фундамента в кгсек?/см;
сг—коэфициент упругого сжатия грунта или
виброизоляционного слоя в кг/см5; F—пло-
щадь подошвы фундамента в см'*.
Амплитуда колебаний фундамента опре-
деляется по формуле A7).
Коэфициент усиления X в формуле A7)
характеризует в данном случае отношение
силы, передаваемой фундаментом через грунт
или виброизоляцию, к возбуждающей силе и
называется степенью изоляции.
Условие виброизоляции заключается в
том, что частота собственных колебаний ма-
шины и фундамента должна быть весьма мала
по сравнению с частотой возбуждающей силы,
1 , п
-С 1. Практически жела-
-Y-i
гельно иметь ^Vs
Частоты связанных колебаний вращения
и сдвига фундамента при указанном выше в
настоящем разделе условии расположения
центра тяжести составляют
где, кроме обозначений уравнения A28),
сх — коэфициент упругого сдвига грунта;
т/г2
А=1 — -г—'. A32)
Ориентировочные значения коэфициен-
тов упругости различных грунтов приве-
дены в табл. 14 (по Д. Д. Баркану).
Таблица 14
1
Характер грунта
Слабые илистые грунты или
грунты органического про-
Глины и суглинки:
а) слабые, пластичные . . .
б) пластичные
Пески:
а) рыхлые .
б) средней плотности ....
в) плотные . .
Гравелистые грунты сред-
ней плотности
Лёсс и лёссовидный сугли-
нок ...
С- ДЛЯ
F > 10 л2
о,5—i,o
1,0—2,0
2,О—4i°
i,o — 1,5
1.5—3.5
2-5-4*°
2.5—4,0
4.О—5.°
сх для
F> 10 м-
х,о - 2,о
3,о—4,о
—
2,О—3,°
—
—
3.° -4.о
u?o =
i [ «f + 4 ± j/( »? + ш"J " 4*Mimn ] 1/сек. A29)
Здесь
Qh
1/сек,
A30)
где сщ — коэфициент упругого неравномерного
сжатия грунта в кг/см*; Jy — момент инерции
площади подошвы фундамента относительно
оси вращения в см; Q — вес фундамента в см4;
h — расстояние центра тяжести машины и
фундамента до подошвы в кгсмсек2; fH — мо-
менты инерции массы машины и фундамента
относительно оси вращения, проходящей в пло-
скости подошвы через её центр тяжести, пер-
пендикулярно плоскости колебаний в кгсмсек2;
/• — площадь подошвы фундамента в м3;
ct — коэфициент упругого равномерного сжатия
грунта в кг/см3;
с — коэфициент упругого сдвига грунта в кг/см*:
с9 — коэфициент упругого неравномерного сжатия
грунта в кг/смя.
Вибропрокладки и амортизаторы
Понижение частоты собственных коле-
баний и виброизоляция машины, установленной
на жёстком основании или междуэтажном пе-
рекрытии, могут быть достигнуты применением
стальных амортизаторов или вибропро-
кладок из органических материалов (резина,
пробка, прессованные прокладки).
Вибропрокладки оказывают на систему так-
же значительное демпфирующее действие,
приводящее к снижению амплитуд колебаний
в резонансной зоне при выну-
жденных колебаниях и к быстро-
му затуханию свободных коле-
баний. Увеличение демпфиро-
вания является весьма положительным фак-
тором, так как хотя в нормальных условиях ра-
бота при резонансных частотах не происходит,
всё же необходимо считаться с возможностью
случайного образования условий резонанса, а
также с необходимостью смягчения колебаний
при неизбежном проходе через резонанс.
Ориентировочные значения коэфициентов
упругости различных вибропрокладок нахо-
дятся в пределах с= 10 — 40 кг!смъ.
Ориентировочные значения коэфициен-
тов усиления в резонансе при различных
способах виброизоляции составляют:
1/сек,
A31)
Плиты из прессованных пробковых крошек . . 8 — ю
Плиты из искусственной резины (чёрного
фактиса) 3—5

156
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
|РАЗД. 1
Плиты из антивибрита спрессованная мешоч-
ная ткань, пропитанная битумом} ........ ¦)
Плиты из натуральной пробки ia
Стальные амортизационные конструкции (без
специальных демпферов) • . . . • 15 —
Колебания фундаментов при ударной
нагрузке
При ударной нагрузке возникают свободные
колебания фундаментов.
Частоты и амплитуды свободных коле-
баний фундамента при vdape бабы о шабот
в простейшем случае определяются по фор-
муле F). Максимальное отклонение шабота
произойдёт через четверть периода колебаний
и приближённо составит при центральном ударе
а — ^, A33)
2
где v(j — начальная скорость фундамента при
ударе бабы о шабот; <ог — частота собственных
вертикальных колебаний;
vo=v(l + «)
A34)
где v — конечная скорость падения бабы;
s—коэфициент восстановления при ударе;
Gi—вес бабы; О2 — вес шабота. Коэфициент г
составляет 0,3 — 0,7. Меньшие значения соот-
ветствуют удару по горячей, а большие — по
холодной поковке.
Допускаемые величины амплитуд колебаний
для молотов достигают 2.0 мм*.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЛЕБАНИЙ
Приборы для измерения колебаний
Классификация приборов для динамических
измерении
Г
Измеряемая
величина
Частота
Перемещение
Деформация,
напряжение
в материале
Скорость
Ускорение
Приборы для
измерения ампли-
тудных значений
Частотомер,стро-
боскоп
Виброметр (про-
дольные и попе-
речные колеба-
ния)
Торсиометр(кру-
тильные колеба-
ния)
Тензометр
Тахометр
Акселерометр
Приборы для
регистрации изме-
нения значений
во времени
Запись колеба-
ний. Осциллограф
Виброграф (про-
дольные и попе-
речные колеба-
ния)
Торсиограф(кру-
тильные колеба-
ния)
Тензограф
Тахограф
Акселерограф
* Расчёт фундаментов под молоты {21}.
Динамические измерения
Измерение частоты колебаний. Простей-
ший тип частотомера состоит из набора консоль-
ных пружинных пластинок, из которых каж-
дая последующая настроена на частоту собствен-
ных колебаний, несколько большую, чем преды-
дущая. При установке частотомера на вибрирую-
щую конструкцию в наиболее интенсивное дви-
жение приходят те пластинки, которые попа-
дают в резонанс. По частоте собственных коле-
баний резонирующих пластинок определяется
частота колебаний конструкций. Другой тип ча-
стотомера представляет пружинную консольную
полоску переменной длины. Изменением длины
свободной части консоли полоска приводится
в резонанс, причём резонансная частота отсчи-
тывается но нанесённой на консоли шкале.
Во многих случаях частота колебаний опре-
деляется из записи процесса колебаний во
времени.
Стробоскоп — прибор, дающий короткие
периодические вспышки света, при освеще-
нии которыми тело, совершающее быстрое
периодическое колебательное или вращатель-
ное движение, будет казаться медленно дви-
гающимся или неподвижным, если частоты
вспышек совпадут с частотой колебаний. По
частоте вспышек, дающих неподвижное изо-
бражение, можно судить о частоте колебаний
системы.
Измерение абсолютного динамического
перемещения производится путём определе-
ния взаимного расположения двух частей изме-
рительного прибора, одна из которых прикре-
плена к рассматриваемому элементу колеблю-
щегося тела, а другая к сейсмической массе.
Сейсмической массой называется масса,
упруго связанная с колеблющейся систе-
мой так, что частота собственных колебаний
добавочной системы в несколько раз меньше
частоты измеряемых колебаний системы. При
этом сейсмическая масса практически не уча-
ствует в колебательном движении. Схема ви-
брометра для вертикальных колебаний по-
казана на фиг. 62. Здесь т — сейсмическая
масса.
При крутильных колебаниях сейсмическая
масса выполняется в виде маховичка, связан-
ного при помощи весьма
эластичных пружин с вра
щающимся валом, совер-
шающим крутильные ко-
лебания; вращение махо-
вичка при этом происхо-
дит с постоянной ско-
ростью, равной средней
скорости вала. Приборы
с вращающейся сейсми-
ческой массой примени-
мы для регистрации ко-
лебательных процессов,
налагающихся на устано-
вившееся вращательное
движение вала.
Измерение ускорений основано на следую-
щем принципе. К исследуемому элементу при-
соединяется масса через упругую связь (пру-
жину) так, что частота собственных колебаний
присоединяемой системы в несколько раз выше
частоты колебаний исследуемой системы. При
этом измеряется деформация упругой связи.
Фиг. 62. Схема вибро-
метра со стрелочный
индикатором.

ГЛ. III]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
157
которая пропорциональна ускорению иссле-
дуемого элемента. Для расширения частот-
ного диапазона прибора необходимо введение
значительного демпфирования у= 1,0— 1,5.
Определение деформаций и напряжений
производится путём измерения относительного
перемещения двух точек на деформируемой
поверхности. Расстояние между точками изме-
рения называется базой прибора. (Определе-
ние деформаций и напряжений в статических
условиях см. гл. II.)
Определение частот собственных коле-
баний и коэфициентов затухания:
1. В системе посредством удара возбу-
ждаются свободные колебания, по записи кото-
рых устанавливаются их частоты. Декремент
системы определяется по убыванию амплитуды
последующих циклов.
2. К системе прилагается гармоническая
возбуждающая сила, изменением частоты ко-
торой устанавливаются резонансные состояния
к соответствующие им частоты собственных
колебаний. По величине резонансных ампли-
туд определяются коэфициенты усиления в ре-
зонансе и обратные им коэфициенты затухания.
Принципы действия приборов
для динамических измерений
Приборы для динамических измерений
в большинстве случаев основаны на опре-
делении динамических перемещений. Для из-
мерения и записи перемещений используются
принципы: 1) механические, 2) оптические,
3) стробоскопические и 4) электрические,
а также их комбинации.
В механических приборах динамическое
перемещение передаётся записывающему перу
или указательной стрелке с помощью рычажной
системы. Такой способ обычно применим при
колебаниях до 200 периодов в секунду, причём
увеличение отсчёта по сравнению с измеряемой
величиной обычно доводится до 20—30-крат-
ного. Другой способ механической записи
заключается в том, что твёрдое остриё, свя-
занное с вибрирующим телом, царапая мягкую
целлулоидную ленту, наносит на ней диаграмму
движения. Нанесённая запись рассматривается
в микроскоп. Получаемое при этом увеличение
лимитируется необходимостью расположить
в поле микроскопа полный цикл колебаний и
составляет 10—15.
При оптическом способе наблюдается или
фотографируется перемещение светового луча,
идущего от определённой точки системы. Та-
кой способ применим во всём диапазоне ча-
стот механических колебаний, и увеличение от-
счёта достигает 103 раз (а в комбинации с ме-
ханическим увеличением и больше).
При стробоскопическом способе вибри
рующая система рассматривается в стробоско-
пическом освещении с помощью оптических
приборов.
Электрические приборы для динамических
измерений основаны на следующих принципах:
1) генерация электрических напряжений, 2) из-
менение параметра электрической цепи (индук-
тивности, ёмкости, сопротивления) в процессе
механических колебаний. Увеличение, т. е. от-
ношение перемещения указателя по шкале
прибора к измеряемому перемещению для элек-
трических схем получается до 10Б раз. Для
достижения больших увеличений требуется
применение специальных мер обеспечения по-
вышенной стабильности электрической аппара-
туры.
В электрических приборах первого из ука-
занных типов в обмотке индуктируется напря-
жение вследствие взаимных вибрационных
перемещений обмотки и магнитного поля. Ма-
гнитное поле создаётся постоянным магнитом
или электромагнитом с помощью специальной
обмотки постоянного тока. Магнитная система
как более массивная обычно используется
в качестве сейсмической массы вибрографов
и торсиографов. В некоторых конструкциях
приборов напряжение индуктируется вслед-
ствие изменения магнитного поля при пере-
мещении железного сердечника. Индуктирован-
ное напряжение пропорционально скорости
относительного движения, и при регистрации
электрических напряжений получается диа-
грамма скоростей. Для того чтобы получить
значения перемещений, индуктированное напря-
жение подаётся на интегрирующий контур,
представляющий последовательно включённые
ёмкость и значительное омическое сопроти-
вление. Напряжение на клеммах ёмкости про-
порционально динамическому перемещению и,
будучи усилено, поступает на осциллограф,
который в данном случае записывает перемен
ную составляющую динамического перемеще-
ния. Для получения ускорений индуктированное
напряжение соответственно подаётся в электри
ческое диференцирующее устройство.
Низшая граница диапазона частот измеряе-
мых колебаний обычно определяется здесь ча-
стотой собственных колебаний сейсмической
массы и характеристиками применяемых элек
тронных (ламповых)усилителей. Высшая грани-
ца определяется частотными характеристиками
осциллографа. Проще всего обеспечиваются
измерения в диапазоне 30—300 гц, однако
техника электрических измерений позволяет
осуществить аппаратуру для измерения и реги-
страции механических колебаний во всём диа-
пазоне частот механических колебаний.
В приборах второго из указанных видов
измерительный орган- датчик представляет со-
бой электрическое сопротивление (омическое,
индуктивное, ёмкостное), величина которого
изменяется с изменением перемещения. В ка-
честве датчиков омического сопротивления зна-
чительное применение в тензометрии получили
проволочные и угольные датчики, дей-
ствие которых основано на изменении омиче-
ского сопротивления при деформировании.
Проволочные датчики изготовляются из кон
стантана или специального сплава „изоэластик"
Проволока диаметром в несколько десятков
микронов зигзагообразно (в 10—15 рядов) на
клеивается на бумажное основание, которое
в свою очередь прикрепляется к испытуемому
объекту. Датчики имеют базу порядка 5—50 мм.
Второй тип датчиков представляет собой уголь-
ную пластинку, столбик или нанесённый слой.
При большей чувствительности по сравнению
с первыми угольные датчики значительно
уступают проволочным в отношении линейно-
сти характеристики. Датчики омического со-
противления из всех типов датчиков являются
наиболее лёгкими.
Индукционные датчики основаны на изме-
нении магнитного сопротивления сердечников

158
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД. 1
при перемещении якоря. Обычно они осу-
ществляются по диференциальной схеме в виде
комбинации двух датчиков с одним якорем, как
показано на фиг. 63.
База таких датчиков для динамических
измерений составляет 5—30 мм.
Датчики включаются в схему измеритель-
ного моста Уитстона (фиг. 64), в диагонали
которого находится измерительный прибор,
реагирующий на изменение сопротивле-
ния датчика. Питание
измерительной схемы
осуществляется обыч-
но переменным то-
ком, частота которого
(несущая частота)
выбирается значи-
тельно выше частоты
механических колеба-
ний. Характер записи
осциллографа, вклю-
чённого в диагональ
измерительного моста,
показан на фиг. 65,/.
Механические коле-
бания соответствуют
линии /, огибающей
кривую переменного тока несущей частоты.
Если в измерительное устройство включить
выпрямитель, запись приобретает вид фиг. 65Д
В приборах данного типа регистрируются не
только переменные, но и постоянные составляю-
щие перемещений (например, статическая де-
формация). Для датчиков омического сопроти-
Фиг. 63. Индукционный
датчик: 1 — якорь; 2 — ка-
тушки; 3 - магнитопровод.
<
5
Фиг. 64. Схема измерительного
моста: /—- диференциальный ин-
дукционный датчик; 2 — плечи
измерительного моста; 3 — гене-
ратор высокой частоты; 4 —уси-
литель; 5 — выпрямитель; б—ос-
циллограф.
вления применяются также более простые из-
мерительные мостики с питанием от постоян-
ного тока.
Электрические приборы могут применяться
для измерения и регистрации переменных
давлений. Это достигается двумя спосо-
бами: прикреплением датчика сопротивления
к элементам манометров, деформирующимся
под действием давления, и путём использова-
ния пьезоэффекта. Пьезоэлектрический эф-
фект состоит в образовании электрических
зарядов под действием давления на кристаллы.
При больших давлениях применяются кри-
сталлы кварца, при меньших — кристаллы
сегнетовой соли. Электрическое напряжение,
возникающее под действием давления в кри-
сталлическом датчике, после усиления записы-
вается осциллографом.
Тарировка приборов. Для определения
масштаба показаний приборов или проверки
их градуировки при линейных перемещениях
используются различные вибрационные плат-
формы, „столики", закон движения которых
известен. При крутильных колебаниях исполь-
зуются устройства, в которых достигается пе-
риодическое изменение скорости вращения
вала. Для этого, например, применяется шар-
нир Гука.
Запись линейных колебаний называется
виброграммой, а запись крутильных — торсио-
граммой. Запись ко-
лебаний системы дол-
жна сопровождаться
на той же ленте
или плёнке параллель-
ной записью масшта-
ба времени и отметки
оборотов (если коле-
бания связаны с вра-
щением). ДЛЯ мае- фиг_ 65 запись осцилло-
штаба времени ис- графа,
пользуется запись ко-
лебаний известной и стабильной частоты (ка-
мертон, зуммер с камертоном, ток стабилизи-
рованной частоты, а иногда электрическая
сеть 50 гц). Отметки оборотов производятся
замыканием вращающегося контакта.
Вибраторы
При динамических испытаниях часто воз-
никает необходимость в искусственном со-
здании гармонических возбуждающих сил или
моментов.
Центробежные вибраторы. Простейший
способ гармонического возбуждения основан
на использовании цен-
тробежных сил неура-
вновешенных враща-
ющихся масс. Если не-
уравновешенная мас-
са т, расположенная
на расстоянии г от оси
(фиг. 66), вращается с
угловой скоростью со,
то проекция центро-
Фиг. 66. Схема простей-
шего центробежного воз-
будителя.
бежной силы на вер-
тикальную ось равна
/яг«Jcos Ы, а на горизонтальную ось тгш2 sin<at.
Конструкция, на которой установлен по-
добный возбудитель, испытывает моногармо-
ническое возбуждение одновременно в двух
Фиг. 67. Схема одкокомпонентного возбудителя.
взаимно перпендикулярных направлениях. Для
создания возбуждающей силы, действующей
только в одном направлении, соединяются два
одинаковых возбудителя вышеприведённого
типа, вращающиеся в противоположные сто-

ГЛ. III]
МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИМЕНЕНИИ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ
159
роны с одинаковой скоростью и фазовым уг-
лом. Подобное соединение можно осуществить,
например, с помощью зубчатого зацепления,
как показано на фиг. 67. Вертикальные соста-
вляющие суммируются и создают пульсирую-
щую силу Р = 2/игоJ cos <ot, горизонтальные
составляющие уравновешиваются. При сдвиге
фаз на 180° (фиг. 68) возбудитель развивает
(л)
Фиг. 68- Схема возбудителя вибромомента.
вибромомент М = amru>2 cos Ы, не нагружая
конструкцию поперечными силами. Передача
вращения производится от электромотора с по-
мощью гибкого вала или ремённой передачи,
податливость которых должна быть во много
раз больше податливости элементов исследуе-
мой системы.
Электрическое возбуждение колебаний
осуществляется следующим образом. Обмот-
ка электромагнита,
создающего пуль-
сирующую силу,
питается от элек-
трического генера-
тора переменного
тока, частота кото-
рого изменяется в
необходимых пре-
делах. В качестве
генераторов ис-
пользуются лампо-
вые генераторы
или электромашин-
ные генераторы по-
вышенной частоты.
Изменение часто-
ты электрического
тока даёт возмож-
ность исследовать
системы в широком
Фиг. 69. Электрическое воз-
буждение колебаний.
поведение механической
диапазоне частот.
Электрические методы позволяют получить
резонансные колебания также путём создания
автоколебательной системы. Простейшая схе-
ма приведена на фиг. 69. Электромагнит /, при-
тягивая упругую пластинку, размыкает питаю-
щую его цепь и замыкает цепь электромаг-
нита 2. Последний притягивает пластинку в
противоположном направлении, замыкая цепь
электромагнита 1. Пластинка приходит в перио-
дическое движение с частотой её собственных
колебаний. В более мощных установках, на-
пример, при испытании турбинных лопаток,
прерывание тока производится в электронных
или ионных приборах, причём роль контактов
сводится лишь к управлению этими приборами.
Для приведения испытываемой детали в дви-
жение ей сообщается толчок.
МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИМЕНЕНИИ
К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ
Назначение моделей
Динамические исследования и расчёты на
практике часто сопряжены с весьма трудоём-
кими вычислениями. В подобных случаях боль-
шую помощь может оказать моделирование
исходной системы, при котором вычисления
заменяются измерениями на специальных мо-
делях. При решении задач динамики упругих си-
стем применяются механические и электри-
ческие модели.
Механические модели
Частоты собственных колебаний модели
шмЬ' геометрически подобной исходной систе-
ме и выполненной из того же материала, от-
носятся к частотам собственных колебаний
исходной системы u>ck обратно пропорциональ-
но линейным размерам модели 1м{ и исходной
системы /„, •
A35)
Геометрического подобия исходной систе-
мы и модели не требуется, если сопоставле-
ние производится в относительных (безраз-
мерных) величинах.
При осуществлении модели динамической
системы с конечным числом степеней свободы
необходимо обеспечить одинаковые соотноше-
ния между соответственными параметрами
(при равенстве коэфициентов усиления в ре-
зонансе), а именно:
1. Массы (или моменты инерции масс) мо-
дели должны относиться между собой, как со-
ответствующие сосредоточенные массы (или
моменты инерции масс) исходной системы:
: Щм:
A36}
2. Коэфициенты (числа) влияния или жёст-
кости элементов модели должны относиться
между собой, как соответствующие им коэфи-
циенты (числа) влияния или жёсткости исход-
ной системы:
8,: о,: о3:... = 8U: о2м : S3jl:... A37>
Ci:C2:C2:...=ClM:CiM:QM:... A37a>
Соотношение частот собственных колеба-
ний модели и исходной системы равно
-«*
ЩЧ
*Я;„ 8,-
ИЛИ
/ 11Ц K^lM
I/ Cj/Щм
A38)
A38a)
Возбуждение свободных колебаний в модели
производится посредством удара. Запись зату-
хающих колебаний даёт при этом возможность.

160
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
{РАЗД. 1
определить низшие частоты собственных ко-
лебаний.
Возбуждение вынужденных колебаний в мо-
дели производится при помощи вибраторов
(см. стр. 158). Измерение амплитуд колебаний
при изменении частоты возбуждения даёт воз-
можность определить резонансные кривые
системы.
Примеры моделирования
1. Модель для определения частот собствен-
ных поперечных колебаний стержня или вала
переменного сечения (собственной массой ко-
торого можно пренебречь), несущего сосре-
Z
Фиг. 70. Механическая модель крутильных колебаний
вала авиационного мотора с нелинейной муфтой.
доточенные массы, осуществляется в виде по-
добного же стержня с соблюдением условий
закрепления и нагрузки; при этом относитель-
ные размеры длин участков модели прини-
маются большими, чем её относительные по
перечные размеры:
._..
В модели такой стержень переменного се-
чения сохраняет для линейных перемещений
требуемое соответствие параметров при мень-
шей жёсткости, т. е. при более низких часто-
тах колебаний, что облегчает проведение из-
мерений. Соотношение частот собственных
колебаний модели и исходной системы при
этом равно
2. Модель для определения крутильных ко-
лебаний вала рядного авиационного двигателя,
•снабжённого нелинейной муфтой, показана на
фиг. 70. Массы 1 воспроизводят моменты
инерции масс дзигателя, массы 2—винта. Жёст-
кости участков коленчатого вала соответствуют
/кёсткостям участков вала 3. Нелинейная муфта
моделируется так, чтобы имелась возможность
изменять её характеристики. Ломаные харак-
теристики (см. стр. 127) получаются сочета-
нием плоских пружин 4 и спиральных пружин
с предварительной затяжкой 5. Возбуждение
колебаний производится инерционными воз-
будителями 6 (см. стр. 158), которые благодаря
взаимному смещению неуравновешенных масс
воспроизводят также сдвиг фаз между отдель-
ными составляющими. Показаны две группы
возбудителей для одновременного возбуждения
системы силами двух различных частот. При-
вод каждой группы осуществляется при по-
мощи гибких валов 7 через коробку скоростей
от мотора 8 с широкой регулировкой числа
оборотов.
Электрические модели
Возможность лёгкого осуществления элек
трических схем, параметры которых удобно
регулируются в широких пределах, создаёт
значительные перспективы использования элек-
трических колебательных контуров в качестве
моделей динамических систем при проведении
вибрационных расчётов, особенно если они
связаны с исследованием многочисленных ва-
риантов. Электрическое моделирование в обла-
сти динамики хорошо сочетается с происхо-
дящим в последнее время широким внедрением
электрических приборов для динамических из-
мерений, в особенности для вибрографирования
и торсиографирования.
Существуют две системы электромехани
ческих аналогий. В первой системе энергия
магнитного поля соответствует кинетической
энергии, а энергия электрического поля — по-
тенциальной. Во второй системе, наоборот,
энергия магнитного поля соответствует потен-
циальной энергии, а энергия электрического
поля — кинетической.
Сопоставление механических и электриче
ских величин приведено в табл. 15.
Каждому уравнению баланса сил динамиче
ской системы в модели, составленной по пер-
вой системе аналогий, соответствует уравне-
ние баланса напряже-
ний определённого
замкнутого контура
схемы, а в модели,
но второй системе
аналогий,—уравнение /. С д
баланса токов опре- г^^пр-ГТ-^П
делённого узла схемы, о) Щ) [
Для системы с од- t ~—^ 1
ной степенью свободы
(фиг. 71) уравнение
динамического равно- л/ ц\
весия, в котором в
качестве переменной
принята скорость, фиг 71 Электромеханиче.
имеет вид ские аналогии для системы
с одной степенью свободы.
A40)
Уравнению A40) в электрической модели
(фиг. 71, б), составленной по второй системе
аналогий, соответствует
(HI)
Уравнению A40) в электрической модели
(фиг. 71, а), составленной по первой системе
аналогий, соответствует
<142)
При гармонических вынужденных колеба-
исях отношение амплитуды приложенной силы

гл ш;
МОДЕЛИРОВАНИЕ В.ПРИМЕНЕНИИ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ
161
Q(t) = Qm cos (wt -f cp) к амплитуде динамиче-
ской скорости v = Vm cos (ot (так называемый
механический импеданц) для системы, изо-
бражённой на фиг. 71, на основании уравне-
ния A40) составляет [см. также формулу A7)J
Z — '*jh —
A43)
Формула A43) выражает закон Ома для
механической системы. Аналогично в соответ-
Фиг. 72. Электромеханические аналогии для цепочной
системы.
ствии с законом Ома для электрической цепи
(фиг. 71, а) её полное или кажущееся сопро-
тивление (электрический импеданц) равно
A44)
Полная или кажущаяся проводимость (элек-
трический адмитанц) электрической цепи (фиг.
71,6) равна
A45)
Цепочной динамической схеме (см.„Расчёт
крутильных и продольных колебаний", стр. 146)
соответствует электрическая модель а (фиг. 72)
по первой и модель б по второй системе ана-
логий. Для разветвлённой системы электриче-
ские модели представлены на фиг. 73.
Динам ическому демпферу (см. стр. 153) в пер-
вой системе аналогий соответствует электри-
ческий фильтр—„пробка" (фиг. 74, а), сопро-
тивление которой для избранной частоты зна-
чительно больше, чем для других частот (со-
противление идеального фильтра равно оо). Во
второй системе аналогий (фиг. 74, б), наоборот,
сопротивление демпфера для заданной частоты
равно нулю, т. е. соответствует взаимной ком-
пенсации индуктивного и ёмкостного сопро-
тивлений. Условие настройки электрической
схемы демпфера для частоты ш составляет
A46)
Для моделирования нелинейных систем так-
же могут быть использованы электрические
а)
б) -
Фиг. 73. Электромеханические аналогии
для разветвлённой системы.
схемы. Сопротивление сухого трения воспро-
изводится при помощи соответствующего вклю-
чения электрических выпрямителей, например,
газотронов. При псевдогармонических колеба-
ниях для моделирования нелинейных упругих
/ТППГЧ
—^ Ъ—
1Д
Д
—ППП—1|—
Фиг. 74. Электрические схемы моделей динамического
демпфера.
элементов возможно использование нелиней-
ных свойств ферромагнитных материалов.
При квазигармонических колебаниях пери-
одическое изменение параметра может быть
осуществлено, например, при помощи дроссе-
лей, у которых магнитное сопротивление разом-
кнутого сердечника изменяется при прохожде-
нии в зазоре сердечника зубцов вращающегося
железного диска.

162
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗД. )
«З'/Лч Барабан с оюто-
Гт~-) диаграммой
Анализатор
звуковых
частот
Катодный Вольтметр
Катодный
осциллограф
Фиг. 75: а — принципиальная схема электри-
ческого расчётного стенда;б — схема работы
датчика созбуждаюших сил; /—мотор дат-
чика; 2 — фогодиагоамма; 3 — проекционные
лампы; 4 — фотоэлементы и с):отокаскады
усиления; ДГ — электротахометр: Т— ука-
затель числа оборотов [22].

ГЛ. III]
МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИМЕНЕНИИ К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ
163
Таблица 15
Перемещение х
п dx
Скорость v =¦ —т-
dt
Сила Q
Виртуальная работа Qdx
Масса т
Податливость е
Коэфициент влияния для сил 5
Сопротивление потерь К
Гармоническое колебание
х = A sin tot
v = wA cos mi = Vm cos tut
Q = Qm cos (tot + <c)
Механический импеданц
Z — m
Динамическая жёсткость
Динамический модуль
Электрические величины
1-я система аналогий
Электрический заряд q
Сила тока i = —~
Напряжение и
udq
Самоиндукция L
Ёмкость С
Омическое сопротивление R
Переменный ток
i = I cos u>/
а = U cos (tot -f- <p)
Электрический импеданц
(полное или кажущееся сопроти-
вление)
и
1
2-я система аналогий
Магнитное нотокосцепление V
Напряжение ы==-зт"
Сила тока ?
Ёмкость С
Самоиндукция L
Взаимоиндукция М
Омическая проводимость -^~
Переменный ток
н = U cos tot
i = / cos (tot -f- <p)
Электрический адмитанц
(полная или кажущаяся проводи-
мость)
К= —
При применении электрических моделей,
так же как и для механических моделей, нет
необходимости в таком подборе параметров,
при котором соблюдалось бы равенство частот
собственных колебаний исходной механической
системы и электрической модели. Для обеспе-
чения точного подобия всех форм колебаний
обеих систем необходимо получить лишь оди-
наковые соотношения между соответственными
элементами механической системы и модели,
а также одинакозые коэфициенты усиления
в резонансе. Если при первой системе анало-
гий задаться определённым механическим мас-
штабом электрических напряжений, соответ-
ствующих внешним возбуждающим силам, то
в этом же масштабе получаются значения
динамических сил в элементах системы. Подоб-
ные же зависимости для токов имеют место
при второй системе аналогий.
Внутреннее сопротивление источников на-
пряжения при первой системе аналогий дол-
жно быть весьма мало, а внутреннее сопро-
тивление источников тока при второй системе
аналогий весьма велико по сравнению с импе-
данцем модели.
Условиям внезапной нагрузки или разгруз-
ки динамической системы, при которой воз-
никают свободные колебания, в электрической
модели соответствуют условия включения или
отключения постоянного тока или напряжения.
Вынужденные гармонические колебания — пе-
ременный ток различной частоты — в электри-
ческих цепях создаются электрическими гене-
раторами, электромагнитными при низких ча-
стотах и электронными (ламповыми) для более
высоких частот. Электрическая аппаратура
даёт возможность не только осуществить в
модели гармоническое возбуждение, но и вос-
произвести сложные полигармонические элек-
трические импульсы, имеющие заданную форму
возбуждающих сил механической системы, и
таким образом устранить необходимость раз-
ложения на гармонические составляющие с
последующим обратным сложением результа-
тов воздействия на систему каждой отдельной
составляющей. С помощью осциллографа и
другой электроизмерительной аппаратуры осу-
ществляются измерение и регистрация процесса
изменения усилий или перемещений во вре-
мени, выраженных в электрических вели-
чинах.
На фиг. 75 дана принципиальная схема раз-
работанного автором [22] электрического стенда
для определения частот и форм собственных
колебаний и исследования вынужденных коле-
баний систем со многими степенями свободы
при полигармоническом возбуждении в ряде
точек. Стенд предназначается для расчёта кру-
тильных колебаний валов авиамоторов, причём
результаты, а именно диаграммы изменений
динамических моментов в участках вала при
различном числе оборотов, непосредственно
воспроизводятся на экране осциллографа.
Получение периодических электрических
импульсов, имеющих форму заданной диа-
граммы возбуждающих сил, производится при
помощи фотоэлектрического устройства — дат-
чика. На вал, приводимый во вращение эле-
ктромотором / с широкой регулировкой числа
оборотов, насажен прозрачный барабан из
плексигласа, в который вставлена фотодиа-
грамма 2 из киноплёнки (фиг. 76, а), изготовлен-
ная путём фоторепродукции с чертежа боль-
шого масштаба. Фотодиаграмма похожа на

164
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[РАЗЯ. I
сильно увеличенную фонограмму кинозвуко-
записи. Проходя мимо щелей осветительных
устройств 3, обладающих равномерным свето-
распределением, диаграмма модулирует свето-
вой поток, который попадает на активную
поверхность фотоэлементов 4. Фототоки уси-
ливаются фотоусилителями, имеющими в ивов-
. б)
•Ьиг. 76. а—фотодиаграмма; б—её
воспроизведение на экране осцил-
лографа.
кодимом диапазоне частот малые амплитуд-
ные и фазовые искажения и мощность того
же порядка, что и у звуковоспроизводящей
аппаратуры. Фотоэлементы расположены по
окружности, так что каждый канал воспро-
изводит одну и ту же периодическую кривую,
но с заданным сдвигом фаз для определённого
колена вала и включается в соответствующую
ячейку электрической модели сообразно приня-
тому порядку чередования вспышек. Регулиров-
ка масштаба электрических импульсов дости-
гается изменением накала или положения
проекционных ламп.
Выбор частоты моделирования требует со-
вместной оценки ряда факторов. Повышение
частоты необходимо для уменьшения величин
ёмкостей и индуктивностей элементов модели
для получения в ней требуемых коэфициентов
усиления в резонансе и имеет значительные
преимущества с точки зрения конструирования
усилителей. Ограничение частоты, обусловлен-
ное конструкцией механической части дат-
чика, связано с выбором измерительных
устройств, а также устранением искажений,
вызываемых контуром фотоэлемента и пара-
зитными влияниями.
Избранный диапазон 100 — 4500 гц соот-
ветствует звуковым частотам, что составляет
10—15-кратное увеличение по сравнению с
действительными. При этом для осуществле-
ния элементов модели требуются ёмкости раз-
мером от сотых долей до нескольких микро-
фарад и индуктивности от сотых долей до не-
скольких генри. Для дросселей стабильной ин-
дуктивности при необходимом здесь коэфи-
циенте усиления в резонансе 20 — 30 целесо-
образно применять прессованные сердечники
и другие магнитные материалы для пупинов-
ских катушек. Для элементов ёмкости исполь-
зуются обычные в технике связи типы кон-
денсаторов.
Повышение частоты возбуждения при уме-
ренном числе оборотов вала датчика дости-
гается путём размещения по окружности бара-
бана нескольких одинаковых циклов фото-
диаграммы (например, для шестиколенного
вала — диаграмма из семи циклов).
Процесс изменения упругих моментов в эле-
ментах вала записывается катодным осцилло-
графом, который также осуществляет контроль
возбуждающих сил (см. фиг. 76, а).
Подключение измерительного устройства к
различным элементам модели производится на
панели управления при помощи штепсельных
гнёзд, размещённых на изображении соответ-
ствующих элементов динамической схемы вала.
Для определения частот и форм собствен-
ных колебаний вместо датчика используется
ламповый генератор с широким отградуиро-
ванным диапазоном изменения частоты, а в
качестве измерительного устройства при моно-
гармоническом возбуждении—катодный вольт-
метр.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. К р ы л о в А. Н., Диференциальные уравнения мате-
матической физики, Гостехтеоретиздат, М. 1934.
2. Тимошенко С. П., Теория колебаний в инженер-
ном деле, Гостехтеоретиздат, Л. 1934.
i. Ден-Гартог Дж. П., Теория колебаний, Гос-
техиздат. М 1942.
4. Biezeno u. Gram m el, Technische Dynamik,
J. Snringer, Berlin 1939.
5. Л о Й ц я н с к и й Л. Г. и Лурье А. И., Теорети-
ческая механика, т. III, Л. 1934.
S. С е р е н с е н С. В., Т е т е л ь б а у м И. М. и При-
г о р о в с к и й Н. И. Динамическая прочность в
машиностроении, Машгиз, М. 1945.
7. К р ы л о в Н. М, и Б о г о л ю б о в Н. Н., Новые
методы нелинейной механики, М. 1935.
8. А н д р о н о в А. А. и X а й к и н С. Э., Теория коле-
баний, ч. 1, М. - Л. 1937.
9. Л у р ь е А. И., Операционное исчисление в прило-
жениях к задачам механики, М. 1938.
10. Т е р с к и х 8. П., Крутильные колебания силовых
установок, кн. 1, Судпромгиз, Л. 1910.
П. Гопп Ю. А., Демпферы крутильных колебаний
коленчатых валов быстроходных двигателей, ГНТИ
Укр., Харьков 1938.
12 Нейман И. Ш., Динамика авиационных двигате-
лей, Оборонгиз, М. 19пО.
13. Л у р ь е И. А., Крутильные колебания в дизельных
установках, Л. 1940.
14. К е r-VV i I s о п W , Practical solution of torsional vib-
ration prob'ems, Chapman & Hall, London, vol. 1,1940.
vol. II, 1941.
15. H о 1 b а Т., Rerechnungsverfahren zur Bestimtnung der
kritischen Drehzahlen von geraden WelUn, J. Springer,
Berlin 1936.
16. Г'о г е н е м з е р К. и П р а г е р В., Динамика со-
оружений, M. 1936.
17. Л у н ц Е. Б., О поперечных колебаниях валов, 1935.
18. П о н о м а р е в С. Д., Расчёт и конструкция виты!
пружин, ОНГИ, М. 1938.
19 Берн штейн С. А., Основы динамики сооруже-
ний. Стройиздат, М. 1911.
20. Б а р к а н Д. Д., Расчёт и проектирование фунда-
ментов под машины с динамическими нагрузками.
Стройиздат, М. 1938.
21. Промстройпроект. Справочник проектировщика про-
мышленных сооружений, т. IV, ч. Ill, разд. V—XII
(фундаменты под машины).
22. Тетельбаум И. М.. Электрическое моделирова-
ние крутильных колебаний валов поршневых двига-
телей, Труды ЦИАМ № 87, Оборонгиз, М. 1945.

Глава IV
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Классификация нагрузок
Имеются различные способы приложения
нагрузок, но для большинства целей достаточно
их различать: 1) по характеру распределе-
ния сил, 2) по характеру действия нагрузок,
3) по режимам деформирования.
3. К нагрузкам, различаемым го характеру
распределения сил, относятся объёмные на-
грузки, поверхностные нагрузки, погонные нагрузки и
сосредоточенные силы.
Объёмные нагрузки — приложенные ко
всем чястицам объема рассчитываемой детали (соб-
ственный вес, силы инерции и пр.). Интенсивность объ-
сила (т. кг \
ёмных нагрузок = I —- , —— I .
у длина3 \м3 см*'
Поверхностные нагрузки — распреде-
,, сила (т
ленные по поверхности. Интенсивность = —-—а(,Т
кг \
— .К поверхностным нагрузкам относятся давления,
см''
передаваемые на стенки сосуда, напряжения и пр.
Погонные нагрузки — распределённые на
., сила (т кг\ ,.
протяжении длины. Интенсивность = • — , — .К
v длина \м см'
погонным нагрузкам относятся собственный вес балки,
распределённый по её длине, вес нити и т. п.
Сосредоточенные силы рассматриваются
приложенными в точке. Это — приближённое представле-
ние силы, передаваемой через площадку, размеры кото-
рой малы по сравнению с расстояниями от этой пло-
щадки до рассматриваемой точки детали. Сосредоточен-
ные силы измеряются в единицах силы {т, кг).
2. К нагрузкам, различаемым по характеру их
действия, относятся непродолжительные и продол-
жительные статические нагрузки, повторные и динами-
ческие нагрузки.
Непродолжительные и продолжи-
г е льнь. t статические нагрузки. Нагрузка
прилагается постепенно так, что во всякий момент
времени деталь находится в равновесии. На1рузка уве-
личивается до некоторого максимума, поддерживается
на этом значении ограниченное время и не возобно-
вляется столь часто, чтобы следовало считаться с уста-
лостью (непродолжительная статическая нагрузка). При
продолжительной статической нагрузке максимальная
нагрузка достигается гакже постепенно и затем сохра-
няется длительное время, в течение которого деформа-
ция заметно возрастает (явление ползучести); по-
ведение материала определяется длительным статиче-
ским испытанием при температуре, имеющейся в усло-
виях работы детали.
Повторные нагрузки. Нагрузки или на-
пряжения прилагаются, а затем полностью или частично
устраняются большое число раз в быстрой последова-
тельности. Число повторений нагрузок столь значительно,
что необходимо считаться с усталостью материала.
Динамические нагрузки возникают при
наличии ускорений, которые необходимо учитывать.
Имеют место или при движении детали по заданному
закону (например, шатун, вращающийся диск), или при
соударении деталей. В первом случае по эффекту, ко-
торый дают возникающие напряжения, нагрузка соответ-
ствует статической; во втором случае (нагрузка малой
продолжительности)достигаются значительные скорости
изменения нагрузок, и сопротивление материала оказы-
вается иным, чем при статической нагрузке.
Нельзя указать резкой границы между этими раз-
личными по характеру действия нагрузками, и, кроме
того, возможны наложения различных типов нагрузок.
3. О нагрузках, различаемых по режимам де-
формирования, см. в гл. V.
Свойства при деформировании в пределах
упругости
Диаграммы деформации и её характер-
ные точки (механические свойства мате-
риалов) см. в т. 3.
Для любого случая деформации закон
Гука формулируется так: деформация про-
порциональна нагрузке. При простом растя-
жении (или сжатии) стержня (или образца) за-
кон Гука [6] выражает прямую пропорциональ-
ность между напряжением а ——=- в попереч-
ном сечении и относительной продольной
Л Л Д1
деформацией е = — и записывается так:
* = ?г, A)
Р — усилие в сечении в кг; F — первона-
чальная площадь поперечного сечения в см;
Д/— абсолютное удлинение или укорочение в см
участка стержня длиной / см-, Коэфициент F.
(размерность напряжения) называется моду-
лем продольной упругости (моду-
лем Юнга) и зависит от материала. Вместо
Е иногда пользуются обратной величиной
а = -гг , называемой коэфициентом уп-
ругости материала.
Значения а и е, получаемые при простом
растяжении (или сжатии), откладываются в не-
котором масштабе по вертикальной (а) и го-
ризонтальной (г) осям. Прямая линия на полу-
чаемой диаграмме деформации выражает собой
закон Гука и записывается уравнением A).
Наклон этой прямой к оси и, найденной с учё-
том масштабов диаграммы, выражает вели-
чину Е.
Если диаграмма деформации даётся кривой
линией (материал не подчиняется закону Гука),
то в уравнении A) Е рассматривается как
переменное или вместо A) пользуются сте-
пенным законом
*~ Е
принимая Е за постоянное. По данным Баха,
для чугуна т—1,07, для бетона т = 1,11 —1,16.

166
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Чтобы не пользоваться степенным законом,
кривую диаграммы деформации заменяют двумя
или более прямыми. Однако в большинстве
практических расчётов криволинейную часть
диаграммы заменяют хордой, считая Е посто-
янным.
Выражение закона Гука при сложном на-
пряжённом состоянии — см. стр. 185 и в случае
анизотропного материала — см. [78, 104].
Продольная деформация е сопровождается
поперечной деформацией: при рас-
тяжении (сжатии) стержня происходит умень-
шение (увеличение) поперечных размеров.
Размер а в поперечном сечении переходит
в размер ах.
Абсолютная поперечная дефор-
мация &а = а — аг. Относительная
> Аа
поперечная деформация е=—.
При напряжениях в пределах пропорцио-
нальности е' = — [ле. Безразмерная величина {л
называется коэфициентом Пуассона
и зависит от материала (табл. 1).
Упругие свойства изотропного однород-
ного материала *, работающего в пределах
пропорциональности, определяются двумя упру-
гими характеристиками. Если за одну харак-
теристику принято Е, то за вторую прини-
мается или коэфициент Пуассона ji, или м о-
дуль сдвига G (табл. 1).
1
Коэфициент Пуассонау
о
устанавливается из опыта на простое растяже-
ние и сжатие в пределах пропорциональности:
относительная поперечная деформация е1
" относительная продольная деформация е
При отсутствии поперечной деформации
(л — 0 (для пробки). Вместо ji иногда пользу-
ются обратной величиной — пуассоновым
1
отношением m = — •
Модуль сдвига G — коэфициент про-
порциональности между величиной угловой
деформации сдвига у и вызвавшим её касатель-
ным напряжением т:
t=Gy B)
(закон Гука при сдвиге).
Имеется для изотропных материалов сле-
дующая зависимость между Е, р. и G:
Е
Для сталей принимают f* = ^~
о
Отношение приращения ДУ0 объёма к пер-
воначальному объёму Vn называется отно-
сительным изменением объёма.
При простом растяжении или сжатии для изо-
тропного материала
* Материал называется изотропным, если его
свойства по всем направлениям одинаковы. Металлы
с достаточным приближением при изучении деформаций
рассматриваются как изотропный и однородный материал;
дезориентированное расположение мелких кристаллов
создаёт так называемую квазиизотропию матери-
ала.
AV,
о _
= ± (l-
При }л = -п (для резины) объём при растя-
жении и сжатии остается неизменным.
Таблица 1
Средние значения Е, G и ^ для некоторых материалов (при комнатной температуре) [6]
Наименование материала
Модуль продольной
упругости Е
в кг/см*
(i,6 — 2,0) ю9
B,0 — 2,1) ю9
2,1-IOe
(i,i5- 1,to) io»
r i,55 • 10е
A,1— 1,3I0»
1,15 • io9
@91—0,99) 10е
@,67—0,71) 10е
@,70—0 75) io9
0,84 • io11
0,17 ¦ 10»
@,42—0,49) 10е
@,06—0,10J io3
@,025—0,030) 10е
@,15—0,23) 10е
@,09—0,12) 10е
@,004—0,01) 10е
@,015—0,12) 10е
@,06-0,10) io9
0,1 • io1'
@,49-0,63) 10е
@,02 -0,06) io3
@,017 — 0,020) 10е
0,00008 • io8
@,002—0,006) io9
@,005—0,014) io9
@,006—0,015) ю3
Модуль сдвига О
в kz\cMx
7.7 • io5
8,1 ¦ IO5
8,1 • io5
4,5 ¦ 105
—
4,9 • io5
4,2 • io5
C,5—3.7) i°B
B,4_2,7) IO5
B,6—2,7) io5
3,2 • IO5
0,70 • io5
—
—
—
—
@,045—0,065) io5 *
@,045-0,065) io3*
@,03—0,40) io5
—
@,28—0,3) io5
B,1-2,3) IO3
@,07-0,21) io5
@,06—0,07) 10s
—
_
—
—
Коэфициент
Пуассона р.
(отвлечённое
число)
O,28
0,24 -0,28
0,25-0,30
0,23X0,27
—
—
0,32-0,35
0,32-0,42
0,32-0,36
—
0,27
0,42
—
—
—
0,16—0,18
—
—
—
—
—
0,24-0,27
0,35—0,38
0,39
0,47
—
—
Сварочное железо
Литое железо и углеродистые стали . . . .
Хро.чоникелевые стали
Стальное литьё
Чугун серый, белый
Ковкий чугун .
Медь холоднотянутая, прокатная
Фосфористая бронза катаная
Латунь холоднотянутая . .
Алюминиевый сплав литейный
Дюраль, алюминий технический
Цинк катаный ' . .
Свинец
Известняк, гранит
Кладка из известняка, гранита
Кладка из кирпича
Бетон при пределе прочности 100 — 200
кг/см*
Дерево вдоль волокон
Дерево поперёк волокон
Фанера авиационная
Тексюлит, фибра
Лёд
Стекло
Бакелит (без наполнителей)
Целлулоид
Каучук
Ремни кожаные
Ремни тканые хлопчатобумажные
Канаты пеньковые
При кручении.

гл. IV]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
167
При обычных расчётах предполагается, что упругие
свойства большинства металлов при напряжениях, мень-
ших предела пропорциональности, являются постоянными
я не зависят от обычных атмосферных изменений тем-
пературы, от ранее приложенных нагрузок и их величины,
термических обработок и пр.
Это предположение не всегда можно делать, если
необходимо получить точные зависимости между напря-
жениями и деформациями.
Различные условия влияют на величины упругих
характеристик следующим образом.
Для сталей. 1) Упругие характеристики Е, G и
|л слабо зависят от состава и термической обработки.
2) Растяжение и сжатие с напряжениями, большими
предела пропорциональности, иногда вызывают умень-
шение модуля Е при последующем умеренном напряже-
нии того же знака и снижают предел пропорциональ-
ности при перенапряжении противсположного знака.
3) Напряжение сдвига, большее предела пропорциональ-
ности, вызывает уменьшение модуля G при последующем
умеренном напряжении. При сочетании растяжения и
сдвига модуль G меньше, чем при чистом сдвиге. 4) В
связи с ползучестью при растяжении и сжатии в пре-
делах упругости деформация получается меньшая при,
быстром нагружении, чем при медленном; при быстром
(адиабатическом) испытании получается большее значе-
ние Е, чем при медленном (изотермическом). 5) Тепло-
вой эффект, сопровождающий изменение объёиа, отсут-
ствует при кручении, поэтому модуль G, применяемый
при расчётах на кручение, более независим от скорости
нагружения, чем модуль Е, применяемый при расчётах
на растяжение и сжатие.
При мгновенном нарастании нагрузки (удар) модуль
упругости стали приблизительно тог же, как и при
статической нагрузке, но предел пропорциональности
выше.
Для сплавов цветных литых и кова-
ных; для дерева и чугуна. 1) Различные
прочные алюминиевые сплавы имеют модуль упругости Е,
одинаковый при растяжении и сжатии. 2) Модуль упру-
гости латуни, бронзы (и меди) заметно зависит от термо-
обработки. 3) Дерено имеет значительно более высокий
предел упругости и больший модуль упругости при бы-
строй нагрузке, чем при медленной. 4) При первом
приложении нагрузки чугун даёт заметную остаточную
деформацию даже при малых напряжениях, но после не-
скольких повторений напряжений этой же величины ма-
териал становится упругим в пределах этих напряже-
ний. 5) Модуль упругости'чугуна зависит от его состава
и при растяжении несколько меньше, чем при сжатии.
Упругие характеристики для
анизотропного м а т е р и а л а—см. [68,
1U4J.
Пластическая деформация при простом
растяжении — сжатии
Критерии пластичности и пластическое де-
формирование при сложном напряжённом
состоянии — см. стр. 189.
Применение теории пластических деформа-
ций— см. стр. 193, 372.
Технологические пластические деформа-
ции— см. т. 6, гл. II и [71].
Прочность— см. гл. V.
Пластичностью называется способность
материала сохранять полностью или частично
получившуюся под действием внешних сил де-
формацию по прекращению действия этих сил.
В зависимости от соотношения величин оста-
точной и упругой деформаций, получаемых
перед наступлением разрушения образца, мате-
риал считается пластическим или хрупким.
Однако пластичность и хрупкость не являются
качествами, которые могут быть отнесены
только к материалу: один и тот же материал
в зависимости от характера напряжённого
состояния, температуры и скорости дефор-
мирования может проявлять себя как пла-
стичный или как хрупкий (см. гл. V, а также
[24, 25]).
Механизм пластических дефор-
маций связан с большим числом различных
явлений: скольжением, образованием двойни-
ков, разрушением структуры, изменением
положения атомов вследствие их теплового
движения [53]. Этим определяется большое
разнообразие деформаций в пластической об-
ласти.
Диаграмма деформирования
изображает зависимость напряжения от де-
формации. Различные формы перехода от упру-
т
Фиг. 1. Вид диаграмм растяжения для пластических ма-
териалов (Р — усилия, Д/ — абсолютная продольная де-
формация): а и б — переход от упругого к пластиче-
скому состоянию для мягкой стали; в — диаграмма растя-
жения типа „меди" (при нагрузке и разгрузке); г -диаграм-
ма растяжения типа „железа" (при нагрузке и разгрузке).
Упрощённые формы кривых „напряжение — деформа-
ция" (tg tp = E; tg <Pi=?",): д —идеальная пластичность;
е—линейное упрочнение с площадкой текучести; ж—сте-
пенное упрочнение.
гого состояния к пластическому, изображаемые
диаграммой деформации, даны на фиг. 1. При
напряжениях за пределом упругости полная
продольная относительная деформация е со-
стоит из двух частей: упругой ев, исчезающей
при разгрузке, и остаточной (пластической) гр,
остающейся при разгрузке:
При пластическом деформировании зависи-
мость между напряжениями а и относитель-
ными деформациями е принято выражать сле-
дующим образом:
а) идеальная пластичность (без упрочне-
ния) (фиг. 1, д — диаграмма Прандтля)
Оу
при
при е^>~-;
б) упрочнение по линейному закону
(фиг. 1, е)
а = Ег при е <; - •? ;
а = Оу при
О—т")' при '

168
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
Если горизонтальный участок диаграммы
отсутствует, то ео = -^- и
Е
а = Ег при е<;-^-;
а — Е ?n -\- D \\ I е при е ^ %\
\ в I
в) упрочнение по степенному закону
(фиг. 1, ж)
а = Ее при
а = а5 при
Е '
о.
= а, — ПРИ
Здесь ? —• модуль продольной упругости;
D — коэфициент упрочнения, опреде-
ляемый наклоном по диаграмме на участке
упрочнения (см. фиг. \,е)\ ~s—предел текучести;
е0 и 0<^т<; 1— постоянные, зависящие от мате-
„ E — D .
риала. Величина ——— = л называется к о э-
фициентом разупрочнения и харак-
теризует понижение напряжения за пределом
упругости по сравнению с его значением по
закону Гука.
В истинной диаграмме растя-
жения (фиг. 2) по ординатам откладываются
напряжения 5, определяемые исходя из вели-
чины площади /•"] в месте наибольшего суже-
ния образца (по шейке), получаемой при ка-
ждом данном значении растягивающей образец
силы Р:
Р
5
(истинное напряжение). По мере
роста пластической деформации материал ока-
зывает ей всё боль-
шее сопротивление
(упрочнение
материала), и
истинное напряже-
ние растёт до са-
мого момента раз-
рушения. Ордината
истинной диаграм-
мы растяжения,
соответствующая
наибольшему уси-
лию в образце, на-
Фиг. 2. Истинная диаграмма
растяжения.
зывается истин-
ным пределом
проч ноет и
(истинным времен-
ным сопротивлением). Ордината sk в конце
кривой, соответствующая усилию в образце
при разрыве, называется напряжением при
разрыве и связана с так называемым сопро-
тивлением материала отрыву [87].
По оси абсцисс в истинной диаграмме
растяжения (фиг. 2) откладывается одна из
следующих величин:
относительное сужение в шейке
" 100%,
где F и F] — первоначальная площадь попе-
речного сечения и площадь сечения шейки
при каждом значении Р;
полное относительное удлинение образца
в шейке
истинное относительное удлинение
г=1ПА-.
'о
где /]—длина при нагрузке Р; /0 — началь
ная длина образца.
Координаты диаграмм деформации для
сложного напряженного состояния см. стр. 190.
Основные механические свой-
ства материала при деформирова-
нии за пределом упругости [25,87]
определяются следующими величинами: преде-
лом тек*учести сг5, коэфициентом упрочнения D.
разрушающим напряжением s#; величины пла-
стической деформации при разрушении 80 и
удельной вязкости а (полная площадь диаграм-
мы деформаций) выражаются через эти три
основные характеристики:
D
а =
2D
(если не учитывать упругие деформации ввиду
их малости по сравнению с пластическими и
если принять упрочнение по линейному закону).
2. Стадии пластических деформаций раз-
личаются по величине пластической деформа-
ции по сравнению с упругой:
1) Начало текучести — пластические
(остаточные) деформации одного порядка с
упругими. В момент начала появления пласти-
ческой деформации на металлах, способных к
удлинению, можно наблюдать фигуры теку-
чести (линии Людерса — Гартмана) — следы
слоев скольжения. Для мягкой стали слои сколь-
жения почти совпадают с плоскостями наиболь-
ших касательных напряжений.
2) Пластическое состояние при
малых деформациях — пластические
деформации велики по сравнению с упругими,
но малы по сравнению с поперечными раз-
мерами детали. Если направления главных на-
пряжений при деформации не меняются, то
а) направления главных удлинений совпадают
с направлениями главных напряжений; б) объём
материала можно считать неизменяющимся;
в) диаграммы Мора для деформаций и напря-
жений геометрически подобны (см. стр. 191).
'Л) Пластичность при больших
деформациях (технологические пласти-
ческие деформации) — поперечные размеры
детали меняются значительно (деформации при
прокатке, штамповке и пр.) — см. т. 6, гл. П.
3. Поседение материалов га пределом
упругости и влияние времени [25, 70]. По-
ведение материалов за пределом упругости
рассматривается в „механике материалов"
и оказывается различным для различных мате-
риалов; зависит от скорости деформирования,
температуры, напряжённого состояния и пр.
Наклёпом называется повышение жёст-
кости материала (т. е. повышение предела те-
кучести, предела пропорциональности), дости-
гаемое путём пластического деформирования.

ГЛ. IV)
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
169
Наклёп можно наблюдать при растяжении за
пределом упругости: при повторном растяже-
нии материал будет иметь упругие свойства до
напряжений, соответствующих первоначально-
му растяжению (закон Герстнера). Если
между разгрузкой и последующей нагрузкой
пройдёт значительное время, то предел текуче-
сти повышается дополнительно, что даёт на
диаграмме деформирования острый пик (м е-
ханическое старение) — кривая 1—2
фиг, 1г. Предел текучести понижается (раз-
упрочнение) в результате деформирования
с напряжениями противоположного знака (э ф-
фект Баушингера).
Упругим гистерезисом называется
неоднозначность напряжений (деформаций), со-
ответствующих данной деформации (напряже-
нию), получаемая при деформировании в пре-
делах упругости. Явление .упругого гисте-
резиса имеет место как в пластических, так
и в хрупких материалах. Обусловленная упру-
гим гистерезисом петля замкнутого цикла на
диаграмме деформирования называется пет-
лёй гистерезиса. Величина площади петли
гистерезиса определяет собой количество энер-
гии, рассеянной за один цикл деформации, и
характеризует способность материала погло-
щать колебания; отношение площади петли ги-
стерезиса к наибольшей работе деформации,
отвечающей симметричному циклу, называется
относительным затуханием (о по-
нятии циклической вязкости см. т. 3).
Последействием называется изме-
нение напряжённого состояния или деформации,
получаемое с течением времени после прило-
жения (или снятия) нагрузки или наложения
связей. При этом могут происходить изменения
деформаций во времени при неизменной на-
грузке (ползучесть, или крип) или из-
менение напряжения при постоянной деформа-
ции (релаксация).
Ползучесть (крип) выражается в непрерыв-
ном, хотя и медленном, росте деформации при
постоянной нагрузке. Для стали явление крипа
является существенным при температурах вы-
ше 300—400° С даже при наличии невысоких
напряжений. Деформация ползучести
определяется как общая величина полученной
при ползучести пластической деформации за
данный промежуток времени. Скорость
ползучести определяется как скорость
пластической деформации при ползучести в
рассматриваемый момент времени; скорость
ползучести резко возрастает с повышением
температуры.
Пределом ползучести называется
напряжение, при котором скорость ползучести
принимает определённую величину, задаваемую
техническими условиями, например, 0,0001%
в час.
Кривая ползучести строится на ос-
новании длительных испытаний образцов на
растяжение при постоянной нагрузке в коор-
динатах пластическое удлинение гр (орди-
ната) и время или логарифм времени t (абс-
цисса). Начальный период ползучести соот-
ветствует выпуклой части кривой ползучести,
и разупрочнения под влиянием высокой тем-
пературы приводит к прекращению понижения
скорости деформации. Второй период пол-
зучести соответствует этой установившейся
скорости vc деформации (участок наклонной
прямой в кривой ползучести). Третий период
ползучести соответствует образованию шейки
в образце и увеличению скорости деформации
до наступления разрыва (вогнутый участок
кривой ползучести). Для расчёта необходимы
кривые крипа, полученные для различных зна-
чений напряжений (значительно меньших пре-
дела прочности) в пределах начального и вто-
рого периодов крипа.
Для металлов, пригодных к работе в усло-
виях повышенных температур, принимаются
для начального и второго периода ползучести
зависимости:
tfp = («o — vc)f+vc
когда скорость деформации vp
^
падает
от начальной величины %; в конце начального
периода взаимодействие упрочнения от наклёпа
t
Здесь / и F = I fdt — функции времени; vQ —
о
— A-B0-Bj и Vc^C-Dg-Dj-—начальная и
наименьшая скорости ползучести, являющиеся
постоянными для материала и выражаемые
указанным образом через постоянные А и С,
функциональные зависимости В^ Da,BjViDj
от напряжений а и температур Г (получены
экспериментально для металлов различными
исследователями) [50].
Использование в расчёте некоторых из
этих зависимостей см. стр. 372 и [5, 50, 56].
При больших значениях времени t кривая вр
может быть заменена прямой
причём скорость ползучести vp становится
близкой к постоянной
При расчёте на ползучесть при
изменяющихся напряжениях ис-
пользуются кривые ползучести, полученные
для постоянных напряжений и температур; при
этом принимается допущение: 1) скорость пол-
зучести vp зависит только от напряжения о,
действующего в рассматриваемый момент вре-
мени, и от величины ползучести ? (Надаи) [113]
или 2) скорость ползучести vp зависит только
от напряжения а и от времени t, в течение
которого происходила деформация ползучести
(Зодерберг).
Действительная величина на-
пряжения в пределах большого
диапазона температур и скоро-
стей деформации (для температур от
—Ш' до -)-67ОэС и истинных скоростей де-
_ g i 1
формации от 10 сек. до 0,5 сек. ме-
таллов) при растяжении в области вторичной
ползучести может быть выражена двумя ве-
личинами— истинной деформацией е и испра-
вленной на скорость деформации температурой
Тт [НО]:

170
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. 1
При этом
Т/1
vc.o
где Т — абсолютная температура испытания;
vc — постоянная истинная скорость ползучести;
k и vc о — постоянные, зависящие от матери-
ала. Действительная величина напряжения а в
образце, подвергающемся начальной или
третьей стадии ползучести, является приблизи-
тельно функцией той же величины Тт и де-
формации ?, если в предыдущем уравнении
принять величину vc равной средней скорости
деформации — •
Ползучесть при трёхмерном напряжённом
состоянии см. стр. 195 и 372.
Примеры расчёта на ползучесть см. стр.
372—382, а также [5, 47, 50, 56].
Релаксацией называется снижение напря-
жения в образце или детали при неизменной
деформации, равной её начальному значению s0-
Релаксация наблюдается примерно при тех
же условиях, что и ползучесть. Снижение на-
пряжений при релаксации происходит за счёт
постепенного уменьшения упругой деформа-
ции ?,. и нарастания на ту же величину пла-
стической деформации ер:
ве-\-вр = е0 = const (закон релаксации).
Уравнение Максвелла упруго-
вязкой деформации даёт зависимость
напряжения от скорости — деформирования
материала в следующей форме:
da _ de a
dt~ di~T' W
где Т - постоянная, называемая временем
релаксации.
Если время релаксации очень велико, то
из уравнения (а) вытекает закон Гука: а = Е в.
Если Т конечно, то при постоянном приложен-
ном напряжении получается закон вязко-
сти Ньютона (закон последействия):
de
где т) = ЕТ - коэфициент вязкости.
В случае постоянной деформации
а = а0 е т
и в случае постоянной скорости деформации
-~ ds
• = «%« Г+^Г
Теория Больцмана — Вольтерра [70],
позволяющая наиболее полно оценить влияние
времени, основана на следующих положениях:
а) тело, испытавшее деформацию в прошлом,
деформируется повторно иначе, чем в первый
раз. Уменьшение напряжений при повторной
деформации тем больше, чем значительнее и
дольше была первая деформация и чем ко-
роче время прошедшее после момента первой
деформации; б) при наличии в прошлом мно-
гократных деформаций вызванные ими умень-
шения напряжений не зависят друг от друга.
Если выбрать за начало отсчёта времени
тот момент, когда тело впервые подверглось
деформации, то основное уравнение Больцмана,
связывающее для одноосного напряжённого
состояния напряжение а и деформацию е в
момент t, записывается так:
— J7(/—
(b)
Функция f(t — т) зависит от материала
Е -
Если принять f(t -т) = ^г
, то уравне-
ние (Ь) даёт закон Максвелла.
Теория Больцмана — Вольтерра даёт удовле-
творительные результаты для таких материалов,
как каучук, смола, бакелит, целлулоид [11], где
учёт последействия необходим.
При рассмотрении релаксации
в металлах применяются следующие опре-
деления и зависимости:
Пластическая деформация при релаксации
где а0 — начальное напряжение; а — напряжение
в момент времени /; Е — модуль продольной
упругости.
Скорость изменения напряжения при ре-
лаксации (скорость релаксации)
da
dt
d?p
dt
(чистая релаксация).
Скорость нарастания пластической де-
формации при релаксации
VP~ dt
принимается за скорость ползучести, что мо-
жет быть сделано лишь условно, так как при
релаксации общая длина не меняется, а при
ползучести происходит пластическая деформа-
ция за счёт увеличения длины. При таком
d?«
допущении скорость ползучести vp = -—?- и
da
скорость релаксации vr = —- связаны зави-
симостью
tV = Evp.
Скорость vp с напряжением а в каждый
данный момент времени связывается зави-
симостью
а
v„ = v' sh
vn = аа"
(Надаи)
(Бейли)
Напряжения а для любого времени t
с начальным напряжением ао связываются
зависимостью
tEv'
7
(Надаи)

гл. IV!
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
171
1
а(п — \)Е
ц-&-\
• (Бейли)
Здесь v', а', а, п — величины, зависящие от
материала и температуры.
Кривые релаксации для данного ма-
териала и заданных деформаций строятся в
координатах напряжение а (по ординате) и
время или логарифм времени t (по абсциссе).
Примеры расчёта на релаксацию при ли-
нейном напряжённом состоянии см. [5, 47,
50, 56].
4. Влияние скорости деформирования.
Вязкостью материала вусловиях
пластического течения называется
способность материала деформироваться (течь)
под действием постоянного напряжения. Наи-
большее касательное напряжение тп
при
вязко-пластическом течении больше некото-
рой постоянной k и является линейной функ-
цией наибольшей скорости v деформации:
Здесь k — пластическая постоянная; yj— ко-
эфициент вязкости. При вязко-пластическом
течении: 1) направления наибольшего каса-
тельного напряжения и наибольшей скорости
совпадают, 2) материал считается несжимае-
мым. Подробнее см. [32].
Построение механических мо-
делей для иллюстрации явлений гистерезиса,
релаксации, крипа и пр. см. [36. 102].
Напряжения (при упругих и пластических
деформациях)
Основные определения:
1. Тело (деталь), деформированное под
действием приложенных к нему нагрузок, на-
ходится в состоянии так называемого упру-
гого равновесия. Смещение во взаим-
ном положении частиц материала, соответству-
ющее деформации, сопровождается измене-
нием внутренних сил взаимодействия между
этими частицами. Эти силы называются вну-
тренними силами упругости и явля-
ются следствием тех или иных воздействий на
деталь.
Отношение силы, действующей на неболь-
шую часть сечения mm (фиг. 3), к величине
площади этой части сечения приближается к
некоторому определённому пределу, если эту
площадь уменьшать до бесконечно малых раз-
меров. Предел этого отношения определяет
интенсивность внутренних сил,
действующих на данную площадку рассматри-
ваемой точки А тела, и называется напря-
жением. Напряжения различны не только
в различных точках данного сечения mm
рассматриваемого тела, но различны в одной
и той же точке для различно наклонённых в
ней площадок.
Если через элементарную площадку dF
(фиг. 3) от отбрасываемой части тела на рас-
сматриваемую передаётся элементарная сила
dP, то полное напряжение в точке (х, у, г) по
площадке с нормалью п равно
dp
При этом: 1) поскольку элементарная пло-
щадка dF рассматривается как бесконечно
малая, равнодействующая сила dP проходит
через центр тяжести площадки dF; 2^ напра-
вление напряжения рп совпадает с направле-
нием элементарной силы dP, передаваемой че-
рез площадку dF; таким образом напряжение
на заданной элементарной площадке имеет
величину и направление; 3) сила dP действия
части / тела на часть // по площадке dF равна
по величине, но обратна по направлению силе
действия части // тела на часть / (закон
действия и п р о т и во д е й с т в и я); зна-
ки напряжений, с которыми одна часть дей-
ствует на другую, принимаются за одинаковые;
4) внешние силы, приложенные к рассматри-
ваемой части детали (с учётом сил инерции),
вместе с внутренними силами, действующими
Фиг. 3.
на рассматриваемую часть в местах проведён-
ного разреза, удовлетворяют уравнениям ста-
тики.
Полное напряжение рп, действующее на
данную элементарную площадку, в общем слу-
чае направлено под некоторым углом v к нор-
мали п.
Составляющая полного напряжения, нор-
мальная к площадке, на которую оно дей-
ствует, называется нормальным напря-
жением по данной площадке в рассматри-
ваемой точке и обозначается а. Для площадки
с нормалью п
аП = pn cos v.
Составляющая полного напряжения, рас-
положенная в плоскости площадки, на которую
действует это напряжение, называется каса-
тельным напряжением и обозначается т.
Для площадки с нормалью п
in = pn sin v.
2. Правило знаков для напряже-
ний: а) Для нормальных напряжений при-
нято следующее правило знаков: нормальное
напряжение считается положительным, если
оно растягивающее, и отрицательным, если
оно сжимающее.
б) Для касательных напряжений обычно
применяется одно из следующих правил:
Касательное напряжение, действующее
на площадку, у которой внешняя нормаль
(идущая от рассматриваемой части материала)

172
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
{РАЗД. I
совпадает с положительным направлением
координатной оси, считается положительным,
если оно направлено в сторону положительной
координатной оси, и наоборот (правило, при-
меняемое в теории упругости при анализе
общего случая напряжённого состояния) [30,
52, 58].
Касательное напряжение считается поло-
жительным, если оно направлено так, что
внешняя нормаль для совпадения по напра-
влению с ним должна быть повёрнута по ча-
совой стрелке на 90°, и наоборот (правило,
применяемое в курсах сопротивления мате-
риалов и в случае линейного или плоского на-
пряжённого состояния) [6].
3. Размерность напряжений:
площадь (длина) • (время)8
Расчёт напряжений обычно ведётся в
кг/см? или кг/мм2. Кроме величины напря-
жение имеет направление.
Напряжённое состояние в точке
1. Основные соотношения для
напряжений. Для получения соотношений
между напряжениями, действующими по раз-
личным площадкам в рассматриваемой точке,
можно воспользоваться следующей основной
зависимостью для напряжений в данной точке:
1) Проекция на нормаль щ к площадке 2
полного напряжения ри действующего на пло-
щадку 1, равна проекции на нормаль щ к пло-
щадке / полного напряжения р%, действующего
на площадку 2:
пр.(Л2)А = пр.(П1)р2 D)
(закон взаимности напряжений).
Проекции составляются на положитель-
ные направления нормалей П\ и щ, которые
идут наружу от той части тела, на которую
действуют напряжения pt и р2.
Отсюда:
а) Если площадка / перпендикулярна пло-
щадке 2, то составляющая т касательного на-
пряжения, действующего по первой площадке,
перпендикулярная линии пересечения этих
площадок, равна составляющей %' касатель-
ного напряжения, действующей по второй пло-
щадке и перпендикулярной той же линии,
т. е.
х = т' E)
(закон взаимности или закон пар-
ности касательных напряжений).
Между направлениями этих напряжений
имеется следующая зависимость: если напря-
жение т направлено к линии пересечения пло-
щадок, то и напряжение т' направлено к этой
же линии, и наоборот.
б) Пусть две элементарные площадки / и2,
приведённые в рассматриваемой точке, обра-
зуют между собой бесконечно малый угол d-f
и пересекаются по некоторому ребру. Напря-
жения, действующие « по площадкам 1 и 2
в плоскости, перпендикулярной этому ребру,
могут быть обозначены соответственно
на площадке /: а2 и Т],
на площадке 2: oi + -p- dy и х, + -^i da.
Применяя к этим напряжениям закон вза-
имности, получим следующую диференциаль-
ную зависимость:
Эта формула выражает условие экс-
тремума для нормальных напря-
жений в данной точке. Оно гласит: нормаль-
ные напряжения в данной точке достигают
экстремума на тех площадках, по которым
касательные напряжения равны нулю.
2. Обозначение составляющих
напряжений. При анализе напряжений в
какой-либо точке детали плоскостями, па-
раллельными координатным плоскостям yz, zx
и ху, выделяется в этой точке элементарная
призма (фиг. 4). Размеры выделенного эле-
мента предполагаются бесконечно малыми, так
Фиг. 4.
что по каждой из граней действуют равномер-
но распределённые напряжения. Полные на-
пряжения рх, ру, рг, приходящиеся на каждую
из его граней, имеющих нормали, параллель-
ные соответственно координатным осям Ох.
Оу, Ог, можно заменить составляющими
или компонентами этих напряжений:
Рх '• од-, rXy, txz;
ру\ ХуХ Qy, tyg,
Рг'- *гх> ЧУ' ci-
Первый индекс обозначает направление
нормали к площадке, на которую действует
рассматриваемое напряжение, а второй ин-
декс— направление, которому параллельна эта
составляющая напряжения. Обозначенные на
фиг. 4 составляющие напряжений являются
положительными *.
Полные касательные напряжения по ка-
ждой из граней элемента равны геометриче-
ской сумме составляющих:
По закону взаимности касательных напря-
жений тху = хух, xxz = хгх; хуг = хгу.
* В английской и американской литературе приме-
няются следующие обозначения компонентов напряжений.
Рх • XXi Ху, Хг\
Ру\ Гх, Yy, Yz\
Рг '• Zx< Zy Zz*

ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
173
Напряжения в рассматривае-
мой точке опреде л я юте я шестью
величинами [52, 58]:
тремя нормальными напряжениями ах, av, аг;
тремя составляющими -касательных напря-
жений ixy = ХуХ\ ххг = хгх; 1уг = хгу, или
тремя главными напряжениями аи a2, сг3;
тремя углами, определяющими направление
этих трёх главных напряжений (см. стр. 176).
3. Зависимости между соста-
вляющими напряжений. Составляющие
напряжений ад-, су, зг, xxv = тух, ixz = xzX,
Хуг = Tzy действуют в рассматриваемой точке
по площадкам, параллельным координатным
плоскостям системы Охуг. Если при рассмо-
трении напряжений в данной точке взять но-
вые повёрнутые координатные оси х,, yv zv
тп пг> гпяням пяпятитрпкным новым кппптшнят- Напряженное состояние в рассматриваемой точке.
ТО ПО граням, параллельным НОВЫМ координат определяемое шестью составляющими в.г, <т , a t
ным плоскостям, будут действовать в рассма- т может рассматриваться как *Сим^етргичн^й
трИВаеМОИ ТОЧКе составляющие напряжении т*-зор-^торого ранга (теНзор напряжений). Поэтому при-
ах , о« , аг , хх у = iy..v.'> ххлгл == ^г-,хх\ менимо сформулированное выше известное в тензорном
1 . анализе правило преобразования компонентов при пере-
Угг1 г\У\' ходе к новым координатным осям [52].
Таблица 2
Зависимости для напряжений по различным площадкам в рассматриваемой точке детали*
Направления напряжений и углов поворота, обозначенные на чертеже в тексте таблицы, считаются положитель-
ными. Если при вычислениях напряжений или углов по приведённым формулам величина получается отрицательной,
то её направление — обратное предположенному на чертеже.
Обозначенные для наклонных площадок напряжения действуют на заштрихованную часть материала.
Для определения составляющих напряже-
ний в новой системе тгоординат применяется
правило: необходимо умножить каждое из
составляющих его в старой системе на два
соответствующих направляющих косинуса и
сложить полученные произведения; из двух
индексов каждого из этих косинусов первый
тождественен с одним из индексов искомого
напряжения, второй — с одним из индексов
того напряжения, на которое в данном случае
умножаем *.
Уравнения, необходимые для вычисления
напряжений по наклонным площадкам, приве-
дены в табл. 2.
Напряжённое состояние
Формулы для напряжений по наклонным площадкам, главных напряжений
и наибольших касательных напряжений
1. Линейное напряжённое состоя-
ние
= — a sin 2?.
A)
Формулы A) справедливы и для наклонной под углом ? площадке, не
перпендикулярной плоскости чертежа.
Главные напряжения равны а и 0 (при ср=О и <р=90°).
Наибольшие и наименьшие касательные напряжения
ттах, min = ± "у " W
(для всех площадок, имеющих нормаль под углом 45° и 135° к направлению а).
2. Плоское напряжённое состояние.
Чистый сдвиг
Г'-Г
»y = — t sin 2tp; I
¦t^ = x cos 2<p. J
Главные напряжения a, = x и j2 = — x (при <р = 135° и f
Наибольшие и наименьшие касательные напряжения
¦^шах, min = ± т (ПРИ <Р = О и <р =90').
A)
B)
Определение напряжений по наклонным площадкам, не перпендику-
лярным плоскости чертежа,— см. напряжённое состояние 6 в этой таблице.
3. Плоское напряжённое состояние.
Заданы напряжения • по главным
площадкам
U)
<j = a, cos2 <p -(- з., sin" <p;
Тщ = — (Jj — аа) sin 2<р.
Главные напряжения равны ^ и о, (при <р=0 и ср=9О°).
Наибольшие и наименьшие касательные напряжения
1
,
(при 9=45° или <р = 135°).
Эти значения касательных напряжений являются наибольшими и наи-
меньшими для площадок, перпендикулярных плоскости чертежа.
Если 3j и зэ имеют противоположные знаки, то наибольшее или наимень-
шее касательные напряжения в рассматриваемой точке детали действуют по
площадке, наклонённой под углом 45° или 135° к большему по абсолютной
величине главному напряжению (т, или аа) и параллельной направлению
другого главного напряжения (з4или а,).
Определение напряжений по наклонным площадкам, не перпендикуляр-
ным плоскости чертежа,— см. напряжённое состояние 6 в этой таблице.
* Табл. 2 может быть использована при составлении формул для деформаций по различным направлениям в рас-
сматриваемой точке, если, сохраняя индексы, заменить а на t и х на-^- (см. стр. 183). Нормаль к площадке, не
имеющей напряжения, соответствует направлению, в котором деформация равна нулю.

174
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД I
Продолжение табл. 2
Напряжённое состояние
Формулы для напряжений по наклонным площадкам, главных напряжений
и наибольших касательных напряжений
4. Плоское напряжённое состояние.
Простое растяжение или сжатие
с чистым сдвигом
Г=г
• -о-а (* + cos 2<р)—т sin 2(p;j
= — <J sin 2<р + т cos 2<p-
0)
)
Главные напряжения по площадкам, перпендикулярным плоскости чер
тежа:
Угол <р = ip0 для главных площадок определяется из формулы
Формула C) даёт два значения: <р0 и <р„ =<ра +90°, т. е. определяет
нормали к обеим главным площадкам.
Подстановка в формулу A) для зш величины да' или »" определяет, ка-
Т 0 0
кому из главных напряжений, а, или =га, соответствует этот угол наклона.
Наибольшее и наименьшее касательные напряжения
/
действуют по площадкам, расположенным под углом 45° к главным пло-
щадкам. Определение напряжений по наклонным площадкам, не перпенди-
кулярным плоскости чертежа,—см. напряжённое состояние 6 в этой таблице.
5. Плоское напряжённое состояние.
Общий случай. Напряжения по
площадкам, перпендикулярным к
плоскости, свободной от напря-
жений
-— ( и' — в") cos 2tp — т sin 2w;
A)
j' — а"\ sin 2(p -(- т cos 2cp.
Главные напряжения по площадке, перпендикулярной плоскости чертежа:
, > . B)
Угол <р = <р0 для главных площадок определяется по формуле
C)
Формула C) даёт два значения: <р' и <р" =<Р' +9^°» т. е. определяет нор-
0 и О
мали к обеим главным площадкам.
Подстановка в формулу A) для т„ величины <р; или <р" определяет, ка-
кому из главных напряжений, и, или ва. соответствует этот угол наклона.
Наибольшие и наименьшие касательные напряжения
W. mm=± У \ 2 J
D)
действуют по площадкам, расположенным под углом 45° к главным
щадкам.
6. Плоское напряжённое состоя-
ние. Общий случай. Напряжения по
площадкам, наклонённым к плоско-
сти, свободной от напряжений
На площадках 1 и 2дейетвуют напряжения з', т' и ч", х"= х'. На-
клонная площадка расположена под углом ty к площадке 5, свободной от
напряжений, и перпендикулярна площадке 2
По площадке, наклонённой под углом ф. равнодействующее напряжение
р параллельно равнодействующему напряжению р' и ему пропорционально
р =
Составляющая касательного напряжения, параллельная площадке 3:
х'ф = тг sin ф. ' B)
Составляющая
Рф=а' sln<V-
C)
Нормальное напряжение по площадке, наклонённой под углом ф:
D)
Полная величина касательного напряжения по наклонённой площадке
E)
Произвольная наклонная площадка (на чертеже заштрихована) образует
угол ф с площадкой 3, свободной от напряжений, а линия их пересечения ab
образует угол <р с площадкой 1, имеющей напряжения и' и т . Для опре-
деления напряжений по такой площадке следует сначала на основании фор-
мулы для напряжённого состояния 5 по заданным значениям а', т', а",
т."'—х' и t: определить напряжения по площадке, перпендикулярной линии ab,
после чего по приведённым здесь формулам определятся напряжения по
наклонной площадке, заданной углами (риф.

ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
175
Продолжение табл. 2
Напряжённое состояние
Формулы для напряжений по наклонным площадкам, главных напряжений
и наибольших касательных напряжений
7. Объёмное напряжённое состояние
Заданы главные напряжения <ги
По площадке с нормалью я нормальное напряжение
т„=»i cos2 (л, х)-\- a3cosa(n, у) + о3 cos* (я, z) A)
и полное касательное напряжение
хп = "I/ OiCOSa (Л, х) + Jj COS5 (Л, у) + 5, COS» (Я, 2).
B)
Наибольшие и наименьшие касательные напряжения действуют по пло-
шадкам, наклонённым-под углом 45° к направлениям двух главных напряже-
ний, и равны их полуразности.
По площадке, равнонаклонённой к трём главным напряжениям (пло-
щадка результирующего сдвига), касательное напряжение равно
и нормальное напряжение равно
8. Объёмное напряжённое состояние.
Общий случай
"В рассматриваемой точке заданы составляющие напряжений по трём
взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным координатным осям
Ох, Оу, Ог.
Нормальное напряжение по наклонной площадке с нормалью п:
а = a^COS3 (п, X) + a COS2 (Л, у) +
(
COS2 (я, Z) + 2т COS (л, .*) СОв (П,у) +
A)
Составляющая касательного напряжения по площадке с нормалью л,
параллельная прямой пи лежащей в плоскости площадки:
х„„ cos (п, х) cos (п, г) + 2т cos (n, у) cos (я, г).
-г = 2э„ cos (n, x) cos (я,, д) + 2з cos (л, v) cos (л,, у) +
я. яг * у
+ 2и cos (я, г) cos (пи г) + 2т I cos (л, х) cos (r^, _у) + cos (л, у) cos (я,, х) I +
+ 2т „cos (я, jy) cos (л,, 2)+cos (л, z) cos{nlty)\ + 2т cos (п, х) cos (n},z) +
+ cos (л, z) cos (лн 3C)J . B)
Составляющие напряжения по площадке с нормалью л, параллельные
осям х, у, г:
рх =ах cos (л, х) + iXy cos (л, у) + ixz cos (л, г); \
Ру =Оу COS (Л, Д>) + т„г COS (Л, Z) + tyx COS (Л, Х)\ \ C)
рг =uz cos (л, z) + izx cos (л, л:) + %Zy cos (я, .у). J
По площадке с нормалью я полное напряжение
Рп = у
Pr+Pv+P*
D)
и направлено к нормали п под углом v, определяемым из уравнения
cos v =
где полное касательное напряжение
л
»-°л ¦ E)
Главные напряжения alt оа, аа в рассматриваемой точке равны трём
корням j уравнения
._(.
*
• — 'v-t..- —
yz
'¦ху)
F)
Направление каждого из этих главных напряжений определяется тремя
направляющими косинусами углов a, ft, f, образуемых с осями Ох, Оу, Ог.
Направляющие косинусы определяются из системы следующих уравнений
при замене з величиной рассматриваемого главного напряжения:
( "х ~~~ " ) cos " + ^ху cos Р + тлг2 cos 7 = °! \
-Ху cos о + fiy — a) cos р + TyZ cos y = 0; L ™
Тд.^ cos а + т2у cos Р + (агг — а\ COS -jf = 0. j
При этом
cos2 а + cos2 р + cos2 •[— 1 G')
(см. пример 2, стр. 177).

176
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 2
Напряжённое состояние
Формулы для напряжений по наклонным площадкам, главных напряжений
и наибольших касательных напряжений
Р. Плоское напряжённое состоя-
ние.
Рассматривается точка, лежащая
на контуре плоской детали (нагрузка
приложена в плоскости детали и рав-
номерно распределена ло толшине де-
тали)
У
Контур детали
A)
Контурные условия в точках контакта деталей:
axc.os<?+ sxysm<? = - qx.
а У sin ф + т Ху cos<p = — qy
Составляющие qx, qy давления, направленные на материал, считаются
в уравнениях A) положительными.
Для ненагруженного контура
¦:х cos <р + т ху sin (р = 0;
Ну sin <р + тХу cos <р
Главные напряжения определяются по формулам напряжённого состояния 5.
= 0; 1
= 0. J
10. Объёмное напряжённое со-
стоянае.
Рассматривается точка на поверх
ности объёмной детали
Граничные условия в точках поверхности контакта деталей:
cos (п,г) = — Ч
<гх cos (п,х) + т cos (п,у) +
т cos (n,x) + a cos (п.у) + ryZ cos (n,z) = —q
т
y;
(I)
7
Элемент поверхности,
ограничивающей деталь
Элементарная площадка на поверхности в рассматриваемой точке имеет
нормаль п. Составляющие qx, q „, ^поверхностного давления, направлен-
ные на материал, считаются в уравнениях A) положительными.
Для ненагруженной элементарной площадки поверхности детали в
уравнениях A): Чх-Яу = с1г= 0>
Главные напряжения определяются по формулам напряжённого со-
стояния 8.
Пример 1. В некоторой точке детали известны компо-
ненты напряжений:
о = 1000 кг/см1, <гу = 0, ог = —600 кг/см';
T*y"V000 кг!см': >
zy
1600 кг/см*.
—1500 кг/см*;
ZX XZ
Найти полное напряжение рп, нормальное напряжение
» и полное касательное напряжение %п по площадке,
нормаль л к которой имеет направляющие косинусы
cos (я, х) = -L, cos (л, у) = -2~, cos (я, z) = ^=^.
По формулам C) для напряжённого состояния 8
(табл. 2) находим
Рж = 2130 кг\см%, р = — 560 кг/см\ рг= -370 кг\см*.
Полное напряжение Р„= 2230 кг/смй. По формулам A)
и E) (см. там же) »п = + 523 кг/см\ хп= 2170 kzjcm1.
4. Главные напряжения в рас-
сматриваемой точке. В каждой точке
напряжённой детали имеются по крайней мере
три взалмно перпендикулярные площадки, по
которым касательные напряженля равны нулю.
Эти площадки называются главными пло-
щадками в рассматриваемой точке. Дей-
ствующие на главные площадки нормальные
напряжения называются
пряжениями.
Главные напряжения
главными на
обозначаются
и <j3, причём большее с учётом знака глав-
ное напряжение обозначается av а меньшее
с учётом знака обозначается а3. Таким обра-
зом а]^а3^а3. Главные напряжения ^ и а3
дают экстремальные значения* нор-
мальных напряжений в рассматривае-
мой точке.
Между главными напряжениями о1э а2, о3
и напряжениями по любым трём взаимно пер-
пендикулярным площадкам в рассматриваемой
точке имеются следующие зависимости (усло-
вия инвариантности для компо-
нентов напряжений) [30, 52]:
2
XZ '
Положение главных площадок и величины
главных напряжений определяются по напря-
жениям в других площадках на основании
формул, приведённых в табл. 2.

ГЛ. IV!
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
177
Пример 2. Заданы составляющие напряжений:
<*г =+ 1000 кг/см3; т = т = +750 кг/см*;
= о.
Найти главные напряжения и углы, образованные глав-
ными напряжениями с осью г.
Из уравнения F) для напряженного состояния 8 (табл. 2)
находим
з* — ев — т»г = 0, где т» = -с' + т» = 850*.
откуда
», = + 1486 кг1см'; з, = 0; и, = —486 кг/слР.
Напряжённое состояние оказывается плоским.
Уравнения G) и G') той же таблицы дают
cos' в -f cos' (J + cos' т = 1; ucosa — т cos т = 0;
ucosp — *vrcos y= 0,
откуда
з
cos | = cos (о, г) = -.
Подставляя последовательно вместо о найденные зна-
чения о„ a,, о,, находим
и г) = 29°502';
и„ г) = 90°; ^ (и,, г) = 119°50'.
5. Типы напряжённого состоя-
ния в рассматриваемой точке.
1) Если из трёх главных напряжений в рас-
сматриваемой точке два равны нулю, то имеет
место линейное (или одноосное) на-
пряжённое состояние. Равнодействующее
напряжение по любой наклонной площадке
параллельно одной и той же прямой, по кото-
рой действует главное напряжение, не равное
нулю. По любой площадке, параллельной дей-
ствующему главному напряжению, нормальные
и касательные напряжения равны нулю.
Линейное напряжённое состояние полу-
чается, например, в точках растягиваемой
полосы и в волокнах балки при чистом изгибе.
2) Если из трёх главных напряжений в рас-
сматриваемой точке одно равно нулю, то полу-
чается случай плоского (или двухосно-
го) напряжённого состояния. Рав-
нодействующее напряжение по любой наклон-
ной площадке параллельно одной и той же
плоскости, в которой действуют два главных
напряжения, не равные нулю. Плоское напря-
жённое состояние можно рассматривать как
наложение двух линейных напряжённых со-
стояний.
Плоское напряжённое состояние получает-
ся, например, в точках ненагруженной поверх-
ности детали пространственной формы. Оба
главных напряжения действуют в плоскости,
касательной в рассматриваемой точке к по-
верхности детали.
3) Если ни одно из главных напряжений не
равно нулю, то напряжённое состояние в рас-
сматриваемой точке называется объёмным
(или трёхосным) напряжённым со-
стоянием.
Объёмное напряжённое состояние, заданное соста-
вляющими напряжений
V
хху
можно рассматривать как сумму двух напряжённых
состояний: плоского напряжённого состояния 1 и все-
стороннего равномерного сжатия (гидростатическое да-
вление) или растяжения II:
'з у-
12 Том 1, кн. II
ху ух' хг zx' у г zy>
0. 0, 0.
Применяется также разложение на
«; 0,
где
'гу\
называется
средним нормальным напряжением.
Напряжённое состояние I называется д е в и а т о -
ром и не вызывает изменения объёма при деформации
элемента. Для него имеются три взаимно перпендикуляр-
ные площадки, по которым действуют только касатель-
ные напряжения (чистый сдвиг). Это напряжён-
ное состояние соответствует изменению формы элемента
с заданным напряжённым состоянием. В напряжённом
состоянии II отсутствуют касательные напряжения, и
оно называется ига ровымтензором.
В большинстве внутренних точек и в местах контакта
деталей имеет место объёмное напряжённое состояние.
Часто напряжённое состояние, являющееся в действи-
тельности объёмным, в расчётах рассматривается как
плоское, если компоненты напряжений по третьей пло-
щадке малы или если из-за сложности расчёта не пред-
ставляется возможным их учесть.
Если напряжённое состояние задано составляющими
напряжений не по главным площадкам, то для определе-
ния, к какому типу оно относится, необходимо по
формулам для напряжённых состояний 5 и 8 табл. 2 опре-
делить главные напряжения (см. пример 2 на этой
странице).
6. Контурные, или граничные,
условия для напряжений связывают в точ-
ках поверхности детали напряжения по различ-
ным площадкам с приложенным давлением
(нагрузкой). Элементарная площадка на на-
ружной поверхности детали рассматривается
как одна из наклонных площадок, на которую
действует приложенное давление. Запись гра-
ничных условий — см. напряжённое состояние
9 и 10 (табл. 2).
7. Поверхности напряжений при-
меняются для наглядного изображения на-
пряжённого состояния в рассматриваемой
точке.
Поверхность нормальных напряжений
(поверхность напряжений по Коши). Отре-
зок нормали к площадке, заключённый между
началом координат и точкой пересечения
с поверхностью напряжений, даёт величину
нормального напряжения по заданной пло-
щадке.
Эллипсоид напряжений записы-
вается уравнением
х% v^ г2
—s n .т~ == !•
Величины искомых напряжений по наклон-
ным площадкам представляются радиусами-
векторами, концы которых лежат на поверх-
ности эллипсоида напряжений.
Напряжение, представленное радиусом-век-
тором эллипсоида напряжений, действует на
площадку, параллельную плоскости, касатель-
ной к направляющей поверхности напряжений,
в точке пересечения её с данным радиусом-
вектором. Уравнение направляющей по-
верхности напряжений записывается
так:
Полуоси эллипсоида напряже-
ний дают величины и направления главных
напряжений Cj, o2, a3. Если три главных напря-
жения равны между собой, то эллипсоид пре-
вращается в шар, и всякие три взаимно пер-

178
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
пендикулярные направления суть главные. Если
два главных напряжения равны между собой,
то эллипсоид напряжений является эллип-
соидом вращения. Если равные главные
напряжения имеют одинаковый знак, то по
всем площадкам, в которых лежит ось вра-
щения, напряжения будут одинаковы и нор-
мальны к этим площадкам. Если одно из
главных напряжений равно нулю, то поверх-
ность эллипсоида превращается в плоскость
эллипса (эллипс напряженней напря-
жения на всех площадках лежат в одной пло-
скости (плоское напряжённое состояние). Если
два главных напряжения равны нулю, то эллип-
соид обращается в отрезок прямой, ко-
торому параллельны напряжения по всем пло-
щадкам (линейное напряжённое состояние).
8. Круги Мора позволяют графическим
построением без вычислений находить число-
вые зависимости между составляющими напря-
жений в рассматриваемой точке *. Круги Мора
вычерчиваются по известным напряжениям
в трёх взаимно перпендикулярных площадках
в данной точке.
Задача 1. Заданы при плоском напря-
жённом состоянииглавныенапряжения
з, и сг, <3j по двум главным площадкам
(пл. А и пл. В). Требуется графически представить
напряжения по площадкам, перпендикулярным площад-
ке, свободной от напряжений.
Проводятся (фиг. 5) взаимно перпендикулярные оси о
и t и в плоскости (з, х) наносятся точки А и В, координаты
которых в некотором масштабе A см чертежа = т кг\см^~)
равны напряжениям, действующим по главным площадкам
ллВ
Фиг. 5. Круг Мора для плоского напряжённого состояния,
построенный по главным напряжениям з, и з3.
А и В. На отрезке АВ, как на диаметре, проводится
окружность с центром С. Любая точка В окружности
имеет две координаты, равные нормальному и касатель-
ному напряжениям а„, и т„ по наклонной площадке D,
нормаль к которой образует с направлением j; угол (р.
Угол <р получается между осью а и прямой, соединяющей
левую точку В круга с точкой В. Если элемент, в кото-
ром рассматриваются напряжения, вычерчен так, что
большее (с учётом знака) главное напряжение з, парал-
лельно оси з, то прямая BI) будет параллельна нормали
п к площадке, проведённой в элементе, по которой напря-
жения з„, и т,р равны координатам точки В.
Отрезок OD даёт величину и направление полного
напряжения по площадке с наклоном <р.
Если з, = з2, то круг Мора переходит в точку, лежа-
щую на оси о.
Задача 2. Для плоского напряжённого
состояния заданы напряжения з', т' и
а", т" = | т' | по двум взаимно перпенди-
кулярным площадкам, нормальным к площад-
ке, свободной от напряжений. Требуется определить глав-
ные напряжения з, и з2.
Расположим элемент так, чтобы большее (с учётом
знака) нормальное напряжение было горизонтальным.
* С помощью кругов Мора не решается задача, когда
объёмное напряжённое состояние задано напряжениями
по наклонным площадкам и требуется определить главные
напряжения. Эта задача связана с решением кубического
уравнения (см. напряжённое состояние 8, табл. 2).
Наносятся точки В' и В", координаты которых равны
заданным напряжениям по площадкам D' и IT" (фиг. 6).
Пересечение прямой В В" с осью о определяет центр С
круга. Расстояния точек А и В круга до оси х дают
главные напряжения з, и сг3. Для определения в элементе
тВ'
Фиг. 6. Круг Мора для плоского напряжённого состоя-
ния, построенный по напряжениям о', V, a", t"«=t'.
направлений главных напряжений следует снести точку
В' в положение ?>,'; прямая, соединяющая левую точку
В круга с точкой их', даёт направление в элементе боль-
шего главного напряжения з,.
Из чертежа
2 т'
tg 2<p0 =
Любая точка В на окружности определяет зф и т„ по
площадке, нормаль к которой с а образует ?_DBD' =<p.
Задача 3. Заданы главные напряжения
», и jj плоского напряжённого состоя-
н и я. Требуется представить напряжения по всем пло-
щадкам в рассматриваемой точке, перпендикулярным и
не перпендикулярным площадке, свободной от напря-
жений.
Положение любой наклонной площадки определяется
двумя углами: углом <р, который образует на плоскости,
свободной от напряжений, след рассматриваемой пло-
щадки со следом главной площадки, имеющей о,, и углом
ф наклона рассматриваемой площадки к площадке, сво-
бодной от напряжений (фиг. 7, а, б, в).
Напряжённое состояние по любой наклонной площадке
изображается с помощью трёх кругов Мора (фиг. 7), ко-
Фиг. 7. Изображение напряжений по любой
площадке при плоском напряжённом состоя-
нии.
торые проводятся в плоскости (з, т) через точки с коор-
динатами (з,, 0), (з3, 0j @, 0), соответствующие заданным
главным площадкам. Центры С», Са, Сца окружностей
лежат на оси а.

ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
179
Геометрическое представление напряжений по всевоз-
можным площадкам (<р, ty) даётся точками, находящимися
между этими окружностями или на них. Эта область на
фиг. 7 заштрихована.
Для получения точки D^ ^r> имеющей координаты
з„ л,о и т,- j и, и соответствующей площадке с любыми
заданными (р = <ро и Ф = Фо> делается построение, указан-
ное на фиг. 7.
Наибольшее и наименьшее касательные напряжения
выражаются величиной радиуса большего круга
и действуют по площадкам (О, -j-j и ^0, -т—п ]•
Задача 4. Для объёмного напряжён-
ного состояния заданы главные пло-
щадки и действующие по ним главные
напряжения аи а2, а3. Определить напряжения по
наклонной площадке, нормаль к которой образует углы
р с главными направлениями 1, 2, 3 (фиг. 8, справа).
Фиг. 8. Изображение напряжений по любой площадке
при объёмном напряжённом состоянии. Заданы а,, а3, а3.
Заданное напряжённое состояние является объёмным
и может быть разложено на плоское напряжённое состо-
яние I с главными напряжениями а, — а3, а3 — з3, 0
и всестороннее равномерное сжатие (или растяжение) II
с напряжением &3.
Поэтому для заданного объёмного напряжённого состо-
яния круги Мора (фиг. 8) вычерчиваются, как в задаче 3,
но ось ¦: сдвигается влево на величину о3. Круг Мора для
всех площадок с заданным углом f вычерчивается, как
круг в примере 3, с заданным углом ф0. Аналогично про-
водятся два круга с заданными углами аир. Точка D
(а, р, y) получается, как точка пересечения трёх кругов,
из которых один является контрольным.
Так как получаются две точки D (a, (J, f)>T0 из построе-
ния знак касательного напряжения тв( р( ~ определить
нельзя.
Верхним и нижним точкам трёх кругов фиг. 8 соответ-
ствуют шесть площадок, по которым касательные напря-
жения имеют экстремум
а) Аналитический способ. Если состояние
I задано главными напряжениями а1 и а1» а со-
стояние II — главными напряжениями и11 и а11
и направления а и а11 образуют между собой
угол X, то для результирующего напряжённого
состояния угол сро наклона главных направле-
ний к направлению а1 и величины главных
напряжений определяются из формул
(o1I-a»)8in2X
;
О, о = -
'1,2
± (aj - *;) cos 2 % ± (а1 - а») cos B X - <po)j .
б) Графический способ. Напряжённые со-
стояния I и II заданы кругами Мора. Сложе-
ние выполняется так: центры кругов совме-
щаются (фиг. 9), а оси а для обоих кругов рас-
полагаются под углом 2Х, где 1 — угол между
напряжениями а1 и о11. Величина радиуса ре-
зультирующего круга Мора и направление оси о
для него (угол 2f0) находятся построением
параллелограма на радиусах исходных кругов.
Расстояние от центра до оси т круга Мора
для результирующего напряжённого состояния
равно алгебраической сумме этих расстояний
в диаграммах исходных состояний I и II.
3) При сложении напряжённых состояний
в общем случае, когда главные направления ис-
= -j;
= ±
Фиг. 9. Сложение плоского напряжённого
состояния с помощью круга Mopa:ip' и
(р — углы наклона нормалей площадок
в I и II напряжённых состояниях с напра-
max'mln - 2
Площадки расположены параллельно направлению
одного из главных напряжений и пересекают два других
под углом 45°.
9. Сложение напряжённых состоя-
ний в рассматриваемой точке.
1) Заданы два напряжённых состояния, име-
ющих одинаковые главные направления. Ре-
зультирующее напряжённое состояние имеет
те же главные направления, и главные напряже-
ния по ним равны алгебраической сумме глав-
ных напряжений заданных состояний.
2) Заданы в общем случае два плоских на-
пряжённых состояния I и II. Результирующее
напряжённое состояние, получаемое при их
наложении, может быть найдено следующими
способами.
ходных напряжённых состоянии не совпадают,
результирующее суммарное напряжённое со-
стояние находится алгебраическим сло-
жением компонентов напряжённых состоя-
ний, отнесённых к одним и тем же координат-
ным площадкам.
Напряжённое состояние детали
1. Виды напряжённого состоя-
ниядетали. Напряжённое состояние на рас-
сматриваемом участке детали называется
однородным напряжённым состоя-
нием, если во всех точках имеются оди-
наковые напряжения (например, в случае рав-
номерно растягиваемого стержня постоянного
сечения).

180
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
1РАЗД. I
В случае однородного напряжённого состоя-
ния достаточно рассмотреть напряжённое со-
стояние в одной точке детали.
Если напряжения в различных точках де-
тали неодинаковые, то напряжённое состояние
называется неоднородным. Для изобра-
жения распределения напряжений применяют
различные системы изолиний, соединяющих точ-
ки детали, имеющие постоянную величину той
или другой составляющей напряжения или по-
стоянное направление этой составляющей.
2. Методы изображения распре-
деления напряжений (см. также стр.382
и т. 3). Для полного изображения напряжений на
ненагруженной поверхности детали необходимо
в каждой точке указать величины главных на-
пряжений и их направления. Распределение на-
пряжений наносится на чертеже детали или для
наглядности на поверхности модели детали [108].
1) Изоклинами называются линии, соеди-
няющие точки, имеющие одно и то же направ-
ление главных напряжений. Уравнение изо-
клин для плоского поля напряжений записы-
вается так:
tg 2(р0 =
¦= const
(см. формулу C), напряжённого состояния 5,
табл. 2).
Меняя параметр f0, получаем ту или дру-
гую изоклину. Имея поле изоклин для всех
параметров <р0 (например, через 5 или 21j2°),
можно построить поле траекторий главных на-
пряжений. Изоклины могут быть непосредст-
венно получены с помощью поляризационно-
оптической установки (см. стр. 382 и т. 3).
2) Траектории главных напряжений, или
азостаты, образуют собой системы кривых, ка-
сательные к которым дают направления глав-
ных напряжений в точке касания. Кривые си-
стем пересекаются под прямым углом, и одна
система кривых определяет другую (фиг. 10, б).
Густота сетки главных напряжений про-
извольна, но должна быть достаточной для
определения в любой точке направлений обоах
Имеет место следующий закон непре-
рывности силового потока вдоль
ненагруженного контура: напряжение
увеличивается пропорционально уменьшению
расстояния между траекториями напряжений
вдоль края.
Диференциальное уравнение траекторий
в плоском поле напряжений записывается так:
dx _ 1 Oj, — <sx .
dy = 2 ' 'xZ~ ±
const = tg
(см. формулу B), для напряжённого состоя-
ния 5, табл. 2).
Траектории главных напряжений вычерчи-
ваются по полю изоклин или же получаются
непосредственно экспериментально методом
покрытия (см. стр. 382).
3) Изохроматическими линиями (и ли-
ниями полос) называют линии, соединяющие
точки, имеющие одинаковые величины наиболь-
ших касательных напряжений ттах. При при-
менении белого света на экране поляризацион-
ной установки для исследования напряжений,
эти линии получаются в виде цветных полос
одинаковой окраски (изохром) (см. т. 3).
Уравнение изохромы записывается так:
°y\2
4- хху = const = т;шах.
(см. формулу D) для напряженного состоя-
ния 5, табл. 2).
Меняя параметр tmax. получаем ту или
другую изохрому.
4) Линии равных главных напряжений
представляют собой системы кривых, соединя-
ющих точки, имеющие одинаковую величину
главных напряжений. Каждая линия равных
главных напряжений может быть отмечена не
величиной напряжений, а отношением к номи-
нальному напряжению (фиг. 10, в, г).
Линии равных главных напряжений ах и <т2 в
точках поверхности детали можно для нагляд-
ности рассматривать как горизонтали поверх-
г)
д)
е)
Фиг. 10. Плоская деталь (крюк): а— схема нагрузки и размеры; б — траектории напряжений: сплошные линии — траек-
тории растяжения, пунктирные — траектории сжатия; в и г — линии равных растягивающих и сжимающих напря-
р
деений; номинальное напряжение ан= —— , где Ь и h — размеры прямоугольного сечения по mm; д — эпюры кон-
турных напряжений;*?—эпюры напряжения в поперечном сечении тт.
главных напряжений. Чертёж более нагляден,
если траектории выходят равномерно из сече-
аия с равномерно распределёнными напряже-
ниями.
ностей, называемых поверхностями на-
пряжений 5] и а2. Отметки этих линий-го-
ризонталей называют „отметками напряжений"
[105]. Наибольшая отметка напряжений даёт

ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
181
величину к о э ф и ц и е н т а концентрации
(см., например, стр. 197 и 225).
5) Эпюра напряжений на контуре откла-
дывается в виде ординат, нормальных к кон-
туру, и даёт в некотором масштабе величины
напряжений в точках контура детали (фиг. 10, д).
В случае вогнутого края эпюры удобнее откла-
дывать на прямолинейной развёртке контура.
В точках ненагруженного контура плоской
детали главное напряжение, нормальное к кон-
туру, равно нулю, и остаётся лишь главное на-
пряжение, действующее вдоль контура; оно на-
зывается тангенциальным нормаль-
ным напряжением и обозначается а^.
6) Эпюры напряжений в поперечных сече-
ниях дают величины той или другой состав-
ляющей напряжений, действующих в точках
рассматриваемого сечения. Обычно строятся
эпюры нормальных и касательных напряжений
а и т, действующих на площадки поперечного
сечения (фиг. 10, е). Эти напряжения являются
исходными при расчётах.
3. Концентрация напряжений яв-
ляется результатом перераспределения напря-
жений в местах резкого изменения контуров
продольных и поперечных сечений. В деталях-
машин концентрация напряжений вызывается
надрезом, вырезом, шейкой, шпоночной ка-
навкой, резьбой, отверстием, изменением фор-
мы сечения, переходом от одного диаметра к
другому, выступающими рёбрами, неровностью
поверхности, царапиной или меткой, закалоч-
ной трещиной или трещиной от правки,
коррозийными повреждениями, включениями
и порами в металле и пр. С этих мест могут
развиваться усталостные трещины, а также по
этим местам могут происходить изломы деталей
из хрупкого материала. В каком именно месте
в зоне концентрации получается наибольшая
величина напряжений зависит от конфигура-
ции неровности, от способа приложения на-
грузки и других условий, влияющих на рас-
пределение напряжений.
Величину наибольшего напряжения в зоне
концентрации (пик напряжений) выра-
жают как произведение номинального напря-¦
жения ан или хн на так называемый коэфици-
ент концентрации аа или ат, величина которого
больше единицы:
Коэфициентом концентрации
называется отношение наибольшего напряже-
ния в зоне концентрации к номинальному
напряжению. Номинальное напряжение равно
величине напряжения (наибольшего) при от-
сутствии концентрации. Номинальное напряже-
ние вычисляется для бруса по одной из следую-
щих элементарных формул сопротивления ма-
териалов:
°н = 4- F)
(при центральном растяжении — сжатии),
пн ~ W
(при поперечном изгибе),
(при скручивании).
Fа)
FЬ)
Здесь Р, Мь, Mt—продольное усилие,
изгибающий момент, момент кручения для
поперечного сечения, где имеется концентра-
ция напряжений; F, W — площадь и момент со-
противления сечения обычно (делается соот-
ветствующая оговорка) с учётом ослабления
сечения; ^ — момент сопротивления на кру-
чение, определяемый в зависимости от типа
сечения (см. табл. 5).
Коэфициент концентрации напряжений при
выполнении расчёта в зависимости от соотно-
шения размеров и способа приложения на-
грузки берётся по графикам, полученным тео-
ретически или экспериментально для данного
типа концентрации. Пластические деформации,
возникающие при напряжениях выше предела
пропорциональности, способствуют уменьше-
нию величины действительной концентрации
напряжений (см. гл. V).
Для качественной оценки кон-
центрации напряжений контур детали на
основании гидродинамической аналогии (см.
стр. 405) может рассматриваться как край
плоского сосуда, по которому протекает жид-
кость. Линии тока жидкости у края сосуда
совпадают с траекториями напряжений. Более
плавный переход с большим радиксом даёт
уменьшение скорости движения жидкости
у края сосуда и соответственно с этим умень-
шает концентрацию напряжений у контура
детали. На фиг. 11, а и б показано, как увели-
Фиг. 11. Сопряжение двух участков вала круговой гал-
телью. Относительные величины наибольших напряжений:
14 11 17 2 3
(фиг. а), —j— (фиг. б), —J— (фиг. в), ——(фиг. г).
г
чение радиуса в месте сопряжения двух уча-
стков разных диаметров изгибаемого вала
способствует уменьшению концентрации напря-
жений. Сопряжение (фиг. 11, в) может быть
использовано, если условия места или кон-
струкции не позволяют поставить хорошую
галтель большего диаметра. Фиг. 11, г даёт при-
мер значительной концентрации напряжений.
Пик напряжений создаётся на участке с
меньшим диаметром в начале перехода. Ско-
рость движения возле врезающегося в поток
Фиг. 12. Траектории напряжений у края.
жидкости выступа может быть уменьшена,
если расположить несколько уменьшающихся
выступов (фиг. 12). Плавное уменьшение на

182
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
некоторую величину диаметра болта перед
нарезкой уменьшает концентрацию напряжений
в нарезке.
На фиг. 13 дано несколько случаев из воз-
можного большого числа примеров снижения
Фиг. 13. Случай концентрации напряжений. /— сопряже-
ние гладкой и нарезанной частей стойки;2—способы
уменьшения концентрации напряжений у отверстия ;,3—спо-
соб уменьшения напряжений в месте сопряжения двух
участков вала: а —значительная концентрация напряже-
ний; б — улучшенная форма; 4 — траектории напряжений
у выступающей части вала: а— большая, б — меньшая
концентрация напряжений; 5 —уменьшение концентрации
напряжений: а — в шейке, б — в щеке коленчатого вала.
•ной линейной (продольной) деформа-
ц и е й по оси х в точке А и равно
A (dx) = ~ dx.
' dx
Относительная линейная (про-
дольная) деформация по осям х, у, z
_ A (dx) _ ди . A(dy) dv . \
х dx ~ дх' у ~~ dy dy'
_ A (dz) __ dw
?г ~ ~dz~ = ~Ы '
G)
(при малых деформациях),
Положительная линейная деформация соот
ветствует удлинению, отрицательная — укоро-
чению.
Изменение прямых углов между гранями
выделенного параллелепипеда представляет
собой относительный сдвиг, или у г
ловую деформацию. Так как
tg*
дх
ди
dz
dw
ди
dz '
то относительные сдвиги (угловые деформации)
в точке А в плоскостях Охг, Оху, Oyz через
перемещения и, v, w этой точки выражаются
так:
dv ,du. dw да
у дх ду' гх дх дг
dw , да
(8)
концентрации напряжений путём улучшения
формы деталей.
Применение экспериментальных методов
см. стр. 382.
Деформации (в упругой и пластической
областях)
Деформации при простом растяжении и
сжатии — см. стр. 165.
Основные определения [30, 52]. При ана-
лизе деформаций в заданной точке А тела
в общем случае выделяется бесконечно малый
параллелепипед с рёбрами dx, dy, dz и рас-
сматриваются проекции на координатные пло-
скости перемещений этого параллелепипеда.
Две точки А и В с расстоянием между ними
dx и координатами .г, у, г и (х -f- dx), у, z
перейдут (фиг. 14) после деформации в точки
Л, и Bi с координатами:
(при малых деформациях).
Относительный сдвиг считается положи-
тельным, если угол между направлением граней,
точка
х -f- w; у -)- v; z + w;
точка В{.
, . . . ди
х -f- dx -г- и ¦+¦ -г— ах;
1 дх
~d~x '
dw
Увеличение расстояния в направлении оси
х между точками А и В является абсолют-
Фиг. 14. Деформация и перемещение элемента
в плоскости, параллельной (х, в).
параллельных положительным направлениям
координатных осей, уменьшается, и наоборот.
Компонентами деформации назы-
ваются шесть величин:

ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
183
которые полностью определяют состояние
деформации в рассматриваемой точке. Дефор-
мация в рассматриваемой точке взамен этого
может быть задана следующими шестью ве-
личинами:
тремя главными деформациями еа, е2, е3;
тремя углами, определяющими направление
этих трёх главных деформаций.
Относительное изменение
объёма (объёмное расширение) в рассма-
триваемой точке
dv . dw
дх
(при малых деформациях).
Зависимости между деформациями в
рассматриваемой точке.
1. Формулы для составляющих
деформаций в любом заданном на-
правлении. Относительная линейная дефор-
мация гг в любом заданном направлении г в рас-
сматриваемой точке выражается через компо-
ненты деформаций по координатным осям
х, у, z в этой же точке следующим образом:
ег = ех cos2 (r,x) 4- ?y cos2 (r,y) -\-&г cos2 (г,г) -f
-f -(ху cos (r,x) cos (r\y) 4-Yyz cos (Г'У) cos (г-г)-г-
-+¦ т2д cos (r,x) cos (r,z). (9)
Здесь cos (r,x), cos (r,y), cos (r,z) — косинусы
углов, составляемых направлением г, вдоль
которого находится деформация еп с осями
v, у, z.
Относительный сдвиг в рассма-
триваемой точке между двумя вза-
имно перпендикулярными пря-
мыми/] и г2 через компоненты деформаций
но координатным осям выражается так:
Тг„ ri = 2 е* cos (rvx) cos (r2,x) 4-
+ 2eycos (rvy)cos (r2,y)-\-2e2 cos(rvz)cos(r2,z)^-
-\-1xy[co& (rvx) cos (r2l>¦) 4-cos {rvy) cos(ra,jf)] -f
4- tyz[cos (rby) cos (/-2,z) 4- cos (rvz) cos (r2,^)] 4-
4- тг* [cos (r^) cos (r2,jf) 4- cos (rux) cos (r2,.y)].
Как следует из структуры формул для гг и
T/v га состояние деформации, так же как и
напряжённое состояние, выражается как сим-
метричный тензор (тензор деформа-
ц и и) [52]. Отсюда имеем правило:
Зависимости для деформации по раз-
личным направлениям могут быть получены
из соответствующих зависимостей для на-
пряжений, если в последних, сохраняя те
же индексы, а заменить на г и х заменить
на н- (аналогия между деформация-
ми и напряжениями). При составлении
этих зависимостей площадке, на которую дей-
ствует напряжение, соответствует её нормаль,
в направления которой происходит дефор-
мация (см. табл. 2, стр. 173).
Пример. По направлению осей х и у заданы относи-
тельные удлинения ех, ty и относительный сдвиг fXy
Выразить относительную линейную деформацию е„ в на-
правлении г образующем угол <р с осью х в плоскости
ху, и относительный сдвиг -уср между направлением г
и ему перпендикулярным направлением г лежащим
в той же плоскости.
Пользуясь формулами для напряженного состояния 5
табл. 2, выписываем требуемые формулы:
T<f—(«r - ву) sin 2? + Ixy c°s 2<Р.
2. Главные деформации. Главные
направления деформаций в рассматриваемой
точке — три взаимно перпендикулярных на-
правления, для которых угловые деформации
равны нулю. Линейные деформации по глав-
ным направлениям называются главными
деформациями.
Главные деформации обозначаются е.,,
е2 и е3, причём с учётом знака ег !> г2 >- е3. Глав-
ные деформации ег и е8 дают экстремальные
значения линейных деформаций в рассматри-
ваемой точке.
Между главными деформациями еь е2, ?д и
линейными деформациями е^, гу, вг по любым
трём взаимно перпендикулярным осям в рас-
сматриваемой точке имеется зависимость
Ч + ?у + е2 = Ч + ^2 4- Ч = д = const,
где Д — относительное изменение объёма.
Два других инварианта для деформаций за-
писываются аналогично инвариантам напряжён-
ного состояния (см. стр. 176).
3. Типы деформаций. По аналогии
с линейным и плоским напряжёнными со-
стояниями могут быть линейное и пло-
ское состояние деформации, когда
две (или одна) главные деформации равны нулю.
В общем случае состояние деформации объ-
ёмное, при котором ни одна из главных дефор-
маций не равна нулю.
Объёмную деформацию, заданную
составляющими
вх> еу> V> Ixy 1yz> ~tzx>
можно, применяя принцип наложения, рас-
сматривать как сумму двух состояний дефор-
маций — девиатора деформации I и
шарового тензора деформации П:
II:
где г =
е,
4- гу 4-
е; О, О,
ч + ч + ч
о,
Для де-
формации II изменение углов равно нулю, так
как составляющие сдвига отсутствуют; линей-
ные деформации по всем направлениям равны
между собой. Деформация II содержит в себе
всю величину объёмного расширения заданной
деформации, тогда как в состоянии I объёмное
расширение равно нулю (чистый сдвиг).
Однородной деформацией назы-
вается такая, при которой перемещения и, v,
w являются линейными функциями координат
точек детали. При однородной дефопмации
все точки тела деформируются одинаково.
Свойства однородной деформации [52]:
а) прямые линии при деформации остаются
прямыми,
б) параллельные прямые остаются парал-
лельными,
в) все прямые, имеющие одинаковое напра-
вление, растягиваются или укорачиваются в
одном и том же отношении,

184
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗЛ I
г) сфера преобразуется в эллипсоид (элл ип-
соид деформации), а любые три её
взаимно перпендикулярные диаметра — в со-
пряжённые оси эллипсоида,
д) существует три взаимно перпендикуляр-
ных направления, которые остаются таковыми
же и после деформации; сами эти направле-
ния в результате деформации изменяются,
причём до деформации они представляли на-
правления главных осей деформации.
В общем случае деформация в пределах
малого объёма может рассматриваться как
однородная.
Простейшие типы однородной
деформации:
а) Простое удлинение (например, в
направлении оси х):
и — ех\ v = 0; w = 0.
Относительное удлинение по оси х:
При отрицательном е — простое сжатие,
б) Простой сдвиг (например, в плос-
кости xz):
и — fz; v = 0; w = 0.
Все плоскости, параллельные ху, пере-
местятся в направлении оси х, не изменяя
своего взаимного расстояния. Относительный
сдвиг в плоскости xz:
ди dw
в) Р а вном е р ное растяжение по
трём осям (без изменения форм ы):
и = ex) v = еу, w = ez.
Углы остаются постоянными.
г) Растяжение (например, по оси х) с
сохранением объёма:
где
и = ex; v = — е у\ w — — e'z.
в' = 1 —
4. Поверхности деформации дают
наглядное изображение деформаций в рассма-
триваемой точке и аналогичны поверхно-
стям напряжений (стр. 177).
5. Круги Мора для деформаций позво-
ляют графическим построением без вычислений
находить числовые зависимости между со-
ставляющими деформаций в рассматриваемой
точке. Круги Мора для деформаций вычерчи-
ваются по известным деформациям для трёх
взаимно перпендикулярных направлений в рас-
сматриваемой точке.
Способ вычерчивания кругов Мора для
деформаций. Круг Мора для деформаций вы-
черчивается так же, как круг Мора для напря-
жений, причём вместо величин сг и х откладыва-
ются соответственно величины е и -^; напра-
вления нормалей к площадкам для напряжений
соответствуют направлениям, для которых
рассматривается деформация.
Различные случаи построения — см. круги
Мора для напряжений, стр. 178.
Пример. Для двух взаимно перпендикулярных напра-
влений А и В заданы относительные линейные деформации
о - и о и относительный сдвиг f Определить
главные деформации е, и t, и их направление. Решение
см. на фиг. 15.
Фиг. 15. Круг Мора для деформаций.
6. Сложение деформаций. Заданы
в рассматриваемой точке два состояния де-
формации: I — с главными деформациями е1 и
е1 и И—с главными деформациями tn и е11 •
Угол между направлениями с1 и е11 равен X
На основании аналогии между напряже-
ниями . и деформациями результирующее со-
стояние деформации находится так же, как и
результирующее напряжённое состояние (см
стр. 179). При этом главные деформации »',
е1, еп, г11 рассматриваются как главные на
пряжения j , ст, а11 , а11 .
Зависимости между напряжениями
и деформациями в упругой области
В случае упругого изотропного материала
главные оси напряжений совпадают в каждой
точке с главными осями деформаций. Упругие
свойства изотропного материала определяются
двумя независимыми постоянными (к о э ф и-
циентами упругости).
Зависимости между коэфициентами упру-
гости см. в табл. 3
Числовые значения упругих постоянных
для некоторых материалов см. в табл. 1.
1. Л и не иное напряжённое состоя
н и е. В соответствии с законом Гука между
главным напряжением а и главной деформа-
цией s и между касательными напряжениями т
по любым двум взаимно перпендикулярным
площадкам и углом относительного сдвига 7
для этих площадок имеют место зависимости
а = Ев и т = Gf-
Относительная поперечная деформация е'
и относительное изменение объёма А также
прямо пропорциональны о.

ГЛ. IV|
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
185
Таблица S
Зависимости между коэфициентами упругости для изотропного материала
Коэфициент упругости,
выраженный через:
Модуль продольной упругости
(модуль Юнга) Е
Модуль сдвига О
Коэфициент Пуассона ц
Постоянная Ляме X
A +
1
3
Е, \ь
Е
Е
2 A-М
И-
Н-К1-
1
1 — 2 (J
2f)
L
Е
G
Е
20
G(E-
C0-
GE
3CG-
0
2G)
Е)
-Е)
2A
1 -
2 1
3 1
+ (x)G
G
1*
2и-
+ t* Q
3X + 2G
Х + С °
X
2(Х + G)
(l + 2 G \
\ з '
2. Всестороннее равномерное
(гидростатическое) сжатие. Напря-
жения ах = а„ = о, = — а и xrv = zrr^=iyZ — Q.
Составляющие деформаций через составля
ющие напряжений выражаются так:
Деформации сдвига отсутствуют.
Относительное изменение объёма Д =
К '
Относительные линейные деформации по
всем направлениям одинаковы и равны
До
3. Плоское напряжённое состоя-
ние. Площадка, свободная от напряжений,
нормальна оси г.
аг = °; *» = *гУ = о.
Составляющие деформаций через соста-
вляющие напряжений выражаются так:
1A - и) ^ -
G
A1)
Составляющие напряжений через составля-
ющие деформаций выражаются так:
<Ъ = 0- + 2G) е^ + иу
су = (X + 2G) е^ + Х?д
5. Общий случай напряжённого
состояния [30, 52, 58]. Главные деформа-
ции ej, e2, е3 через главные напряжения et, 03,
а3 выражаются так:
Ъг
Чу
A0)
1 Г 1
= ?[°2~f*(°i f "8)J;
A2а)
Составляющие напряжений через соста-
вляющие деформаций выражаются так:
= Ъ.< = \v = 0; хжу =
A0а)
Главные напряжения через главные дефор
мации выражаются так:
ох = ХД — 206^
02 = ХД —2Gs2;
a3 = ХД — 2Gc3-
Здесь X — постоянная Ляме (см. табл. 3);
G — модуль сдвига; Д = Sj^ + e2 -J- % — относи
тельное изменение объёма.
Составляющие деформаций по осям коор
динат х, у, г через составляющие напряжений
по координатным площадкам выражаются так:
4. Плоская деформация. Плоскость
деформации совпадает с плоскостью Ох у.
6г = °; Ъю = Т> = 0.
= ¦j «у — и (<»* + »*) ;

186
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. 1
Составляющие напряжений по координат-
ным площадкам через составляющие дефор-
маций по осям координат х, у, z при указан-
ных выше обозначениях выражаются так:
ах = ХД •
ву = ХД •
о, = ХД -
1
*ху —
\xz>
6. Выражение зависимости меж-
ду напряжениями и деформациями
с помощью кругов Мора. Аналогия
между напряжениями и деформациями (см.
стр. 183) позволяет от круга Мора для напря-
жений легко перейти к кругу Мора для дефор-
маций, и наоборот:
а) Плоское напряжённое состояние.
Круг Мора для напряжений и круг Мора
для деформаций совмещены; начало коорди-
нат в обеих диаграммах различное (фиг. 16,а).
Если масштаб в диаграмме напряжений тн,
т. е. 1 см чертежа даёт напряжение тн кг/см*,
Круг для ч
деформации
Фиг. 16. Зависимость между кругами Мора для напряже-
ний и деформаций: а и 6" — при плоском напряжённом со-
стоянии, в —при объёмном напряжённом состоянии (опре-
деление точки С графически показано пунктиром).
го круг Мора для напряжений о и т будет
являться и кругом Мора для деформаций е и ~-,
если для деформаций принять масштаб
1 -bfi
A см чертежа = т$ см/см).
Здесь (л — коэфициент Пуассона.
Расстояния от центра С круга Мора до
начала координат Он (для напряжения) и 0$
(для деформаций) связаны зависимостью
Начала координат и центры кругов
Мора совмещены (фиг. 16, б). Радиус круга
Мора для деформаций CDd с радиусом круга
Мора для напряжений CDH связан зависимостью
Зависимость между масштабами*.
т-д — —~Е~~тн
A см чертежа == т$ см /см).
б) Общий случай объёмного напряжённого
состояния. При совмещении кругов Мора для
напряжений с кругами Мора для деформаций
(фиг. 16, в) масштабы для деформаций т^ и
для напряжений тн связаны соотношением
тн __ Е
тд ~ ! + V-'
а расстояния от начал координат Он и 0$ до
точки С, имеющей абсциссу % и совпа-
дающей с точкой, имеющей абсциссу
соотношением
1 —
СО,? 1 - 2ц '
Энергия деформации
Под действием нагрузок упругое тело де
формируется и силы совершают некоторую
работу. Предполагается, что материал изо-
тропный, напряжения не превосходят предела
упругости и нагрузки уравновешиваются вну-
тренними усилиями (статическая на-
грузка). Работа внешних сил равна внутрен
ней потенциальной энер гии деформа
ции тела. Величина потенциальной энергии не
зависит от порядка, в каком прилагались к
телу нагрузки, а зависит от их конечной ве-
личины.
Общая потенциальная энергия П деформи
рованного тела находится суммированием по
тенциальной энергии по всем элементам объё-
ма тела:
Энергия UU в элементарном объёме dV
где По — потенциальная энергия элементар-
ного объёма, отнесённая к величине этого
объёма (относительная величина
потенциальной энергии) [58, 78].
1. Линейное напряжённое состояние
П0(я) = §: П0(е) - -|-,
где Е—модуль продольной упругости; г —от-
носительная продольная деформация в напра
влении главного напряжения и.
2. Чистый сдвиг в одной плоскости
по(х) = 2^; по(т) = -21;
где G — модуль сдвига, 7 — относительный
сдвиг; т = Gy —- напряжение сдвига.

[Л. IV)
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
187
3. Плоское напряжённое состояние
"ху>
П0(е.7) = -2*(гх + s^,J + G D + ер + 2~^>;
°х-. cyi xxy — напряжения по взаимно перпен-
дикулярным площадкам, расположенным пер-
пендикулярно плоскости ху, свободной от
напряжений, е^, еу, ixy — относительные де-
формации; А — постоянная Ляме (см. табл. 3).
Если olt c2 и elt e2 — главные напряжения и
главные деформации, то
П() (\ + ф
4. Объёмное напряжённое состояние
Если oj, о2. а3 и еъ s2, е8 — главные напря-
жения и главные деформации, то
По («1, «2 ,<*з) — Q
— 2(a2a3
= G |^~^ (e,
A3а)
При этом полная величина По относитель-
ной потенциальной энергии может быть пред-
ставлена как сумма
По = П0(о) + П0(#),
где энергия изменения объёма
И°(о)- 18 /С
и энергия изменения формы
П/дб) = j
— объёмный модуль упругости).
Общие принципы и методы механики
деформируемого тела
Диференциальные уравнения
теории упругости — см. [52, 58].
Математическое решение задачи распреде-
ления напряжений при плоском напряжённом
состоянии (плоская задача теории
упругости) — см. [52].
1. Уравнения движения и уравнения
статики (см. гл. I). Эти уравнения совместно
с законом Гука и экспериментально устанавли-
ваемыми значениями упругих постоянных ма
териала являются основой для решения боль-
шинства задач сопротивления материалов. При
выводе формул для напряжений в сечении
делается разрез и одна часть тела (например,
часть //, см. фиг. 3, стр. 171) отбрасывается.
На оставшуюся часть тела (часть /) действуют
приложенные к ней внешние нагрузки и вну-
тренние усилия в местах разреза. Все эти си-
лы (с учётом сил инерции части /) удовлетво-
ряют уравнениям статики. Если известен за-
кон распределения напряжений по сечению,
то искомые напряжения в месте разреза мо-
гут быть затем определены из условия стати-
ческой эквивалентности (метод сечения).
2. Принцип наложения (принцип незави-
симости действия сил). За некоторыми исклю-
чениями, эффект, получаемый в упругой
системе (например, напряжения, деформации,
энергия деформации), при каком-либо оконча-
тельном состоянии будет один и тот же неза-
висимо от того, приложены ли действующие
силы одновременно или в какой-либо после-
довательности. Напряжения или деформации,
вызываемые действием нескольких сил, прила-
гаемых одновременно, равны сумме значений
этих величин, получаемых от действия каждой
силы в отдельности (но энергия деформации,
вызываемая действием нескольких сил, при-
лагаемых одновременно, не равна сумме энер-
гий, получаемых от приложения каждой силы
в отдельности).
Принцип не применим, если некоторые из
сил вызывают деформации, в связи с которыми
другие силы производят эффект, который они
не могли бы давать иначе.
Примеры неприменимости принципа наложения:
1. Балка с продольной и поперечной нагрузкой. Поперечная
нагрузка вызывает перемещения, которые дают возмож-
ность продольной нагрузке вызывать изгиб. 2. Деформа-
ция такова, что необходимо учитывать изменение геоме-
трических соотношений в системе. 3. Деформация проис-
ходит за пределом пропорциональности.
а) Закон пропорциональности
между деформацией и нагрузкой,
применимый к деталям и конструкциям, изго-
товленным из материала, подчиняющегося за-
кону Гука; увеличение нагрузки на каждую
последующую единицу вызывает ту же дефор-
мацию, как и первая нагрузка, равная единице.
б)Закон взаимности работ для
упругих систем: сумма работ первой
системы сил на соответствующих им переме-
щениях, вызванных второй системой сил, рав-
на сумме работ второй системы сид на соот-
ветствующих им перемещениях, вызванных
первой системой сил (теорема Бетти).
(Определение понятия перемещения, соответ-
ствующего силе, — см. далее, стр. 188).
Общая формулировка закона взаимности
работ упрощается, если в первой и второй

188
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
системах сил содержится всего по одной силе
P-i и Р2, приложенных соответственно в точ-
ках 1 я 2. Пусть сила Р, вызывает в точке 2
соответствующее Р2 перемещение Д2, j, a
сила Р% вызывает в точке / соответствую-
щее Р] перемещение Д,,2. Тогда при Pj = Р2
получаем
ДЗ| 1 = ^1» 2
(теорема Максвелла о взаимности
перемещений).
Для горизонтальной балки и вертикальной
нагрузки теорема о взаимности перемещений
формулируется так: нагрузка, приложенная
в точке 1, вызывает в точке 2 то же самое
перемещение, какое нагрузка вызывает в точ-
ке /, если её приложить в точке 2.
Закон пропорциональности между нагруз-
кой и деформацией и закон взаимности при-
менимы в тех же случаях, когда применим
принцип наложения.
3. Определение перемещений с помощью
подсчёта энергии. Энергия деформации П
представляет собой механическую энергию, за-
ключённую в упругой системе, и вычисляется
по отношению к первоначальному состоянию,
в котором перемещения равны нулю, а темпе-
ратура имеет некоторое начальное значение.
Способ подсчёта энергии деформации — см.
стр. 186.
Работа силы выражается как произведение
силы на соответствующее ей перемещение. П е-
ремещением, соответствующим
данной силе, называется перемещение, ко-
торое, будучи умноженным на величину этой
силы, даст величину работы данной силы.
Таблица 4
Перемещения и соответствующие им силы
Перемещение
Проекция на направле-
ние 1—1 полного прогиба
в точке А
Взаимное изменение рао
стояния между точками
А и В
Угол поворота в точ-
ке А
Взаимный угол поворо-
та в заданной плоскости
двух сечений в точках
А и В
Соответствующая сила
Сосредоточенная сила,
направленная по линии
1—1 и приложенная в
точке А
Две равные и противо-
положно направленные
силы, действующие по
линии АВ и приложен-
ные к точкам А и В
Момент, приложенный
в точке А и действую-
щий в плоскости, в ко-
торой рассматривается
угол поворота
Два равных и противо-
положных момента, дей-
ствующих в заданной
плоскости и приложен-
ных к сечениям в точках
А и В
а) Если упругая система подвергнута дей-
ствию статической нагрузки, то работа Л,
совершённая внешними нагрузками, равна
энергии деформации П, приобретенной систе-
мой А = П.
Эта зависимость непосредственно исполь-
зуется для определения перемещений при
действии одной силы: перемещение, соответ-
ствующее силе и вызванное её действием,
равно удвоенной величине энергии деформа-
ции П от действия этой силы, делённой на
величину силы.
б) Метод единичной силы (метод
Максвелла — Мора) для определения переме-
щений в упругих системах. К заданной упру-
гой системе прилагается внешняя сила, равная
единице (единичная сила), соответствующая
искомому перемещению, вызванному заданной
системой сил. Искомое перемещение численно
равно работе единичной силы на перемеще-
ниях, вызванных заданной нагрузкой; эта рабо-
та равна работе внутренних усилий, получае-
мых от заданных нагрузок, на деформациях,
вызванных единичной силой (см. гл. II). При этом,
если необходимо определить полный прогиб,
направление которого неизвестно, то сначала
отдельно определяются горизонтальная и вер-
тикальная составляющие.
Метод единичной силы даёт общий и наибо-
лее удобный способ определения перемещений.
в) Теорема Кастильяно. Переме-
щение, вызванное нагрузками Plt Р2,...,
Pj,..., Рп, в упругой системе равно частной
производной от энергии деформации П по силе
Р}, соответствующей искомому перемещению:
При этом энергия деформации соста-
вляется от действия всех заданных сил и дол-
жна быть выражена как функция силы Pt.
Сила, соответствующая перемещению Д,
упруго деформируемой системы, имеющей
перемещения Аь Д2,..., Д,-,..., Дл, может
быть найдена как частная производная по
перемещению At энергии деформации, выра-
женной через Д,-:
р. —
* 1
дП
В частности, если в рассматриваемой точке i
составляющая сила Р/ в направлении пере-
мещения Д,- равна нулю, то
дА;
= 0.
4. Если усилие в опорной или внутренней
связи в точке / обозначено Р,-, то, учитывая
неразрывность материала, на основании тео-
ремы Кастильяно, условие деформа-
ции статически неопределимой
системы, рассчитываемой по методу сил.
записывается так:
Из этого уравнения, которое может быть
написано для всех точек упругой системы,
следует, что из всех возможных по условиям
равновесия значений усилий (и напряжений)
возникают в действительности те, при кото-
рых величина П энергии деформации системы
имеет наименьшее значение (начало наи-
меньшей работы).
5. Начало возможных перемещений.
Возможные перемещения в случае упругого
тела — любые малые перемещения, допуска-
емые по условиям неразрывности материала и

ГЛ. IVJ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
189
условиям закрепления. При этих возможных
перемещениях действующие силы и напряже-
ния, соответствующие положению равновесия,
рассматриваются постоянными. Увеличение
одного из перемещений, например Alf соот-
ветствующего силе Pv влечёт за собой рабо-
ту силы Pi, эта работа представляет собой
уменьшение потенциальной энергии At нагруз-
ки Р1 и равно произведению величины Рг на
приращение At.
Если обозначить /42, As, . . . , Ап — потен-
циальные энергии нагрузок Р2, Рг,..., Рп, то
изменение в величине Дг не изменит значе-
ний Аъ Л3, . . . , Ап. Изменение в полной вели-
чине П будет зависеть только от изменения Av
При увеличении uj на бесконечно малую ве-
личину
Тот же результат получится по отношению
к другим возможным перемещениям, так что
8 (А + П) = О
(вариационное уравнение Лагран-
жа для упругого тела) [41].
Здесь (А + П)—общая потенциальная энер-
гия упругой системы, равная сумме потенци-
альной энергии нагрузок (внешних и объёмных)
и энергии деформации.
Начало возможных перемещений для упру-
гой системы формулируется так: перемещения,
которые происходят в упругой системе под
действием заданных сил, таковы, что общая
потенциальная энергия имеет максимум или
минимум; потенциальная энергия имеет ми-
нимум, если равновесие устойчивое.
Начало возможных перемещений даёт
удобный метод для приближённого решения
задач упругого равновесия (метод Ритца, ме-
тод Галеркина).
6. Принцип Сен-Венана. Если совокуп-
ность усилий, действующих на небольшой уча-
сток поверхности тела, заменить какой-либо
статически эквивалентной системой сил, при-
ложенных к тому же участку, то такая замена
не вызовет заметного изменения в напряжён-
ном состоянии и деформациях частей тела, не
находящихся вблизи упомянутого участка. На-
пример, напряжения в поперечном сечении скру-
чиваемого вала, удалённом от торца на рас-
стоянии, равном или большем диаметра вала,
можно считать одними и теми же независимо
от способа распределения по торцу сил, созда-
ющих скручивающий момент данной величины.
В некоторых случаях необходима более
широкая формулировка принципа Сен-Ве-
яана [15].
Зависимости между напряжениями
и деформациями в пластической области
Пластические деформации при линейном
одноосном напряжённом состоянии — см.
стр. 167.
Теория напряжений и деформаций — см.
стр. 172 и 182.
Математическая теория пластичности — см.
[42, 73], обзор работ по теории пластично-
сти—см. [72].
Систематическое изложение теории пласти-
ческих деформаций применительно к техниче-
ским задачам — см. [53, 73].
Экспериментальные методы исследования
деформаций — см. стр. 382.
1. Критерии пластичности в общем слу-
чае напряжённого состояния дают зависимость
между главными напряжениями (или компо-
нентами напряжений) при наступлении пласти-
ческого состояния в данной точке:
Наиболее оправдываемый вид функции /
даётся гипотезами Геста — Мора и Губер —
Генки — Мизеса.
а) По гипотезе Геста — Мора пла-
стичность в основном определяется наиболь-
шими касательными напряжениями, и условие
пластичности записывается так:
A4)
Здесь ох и а3 — наибольшее и наименьшее глав-
ные напряжения, X — коэфициент, характери-
зующий влияние нормальных напряжений на
образование пластических деформаций:
где vs и xs — пределы текучести для простого
(одноосного) растяжения и для сдвига.
Если нормальное напряжение не оказывает
влияния на возникновение пластических дефор-
маций, то Х=0, <js=2tiS, и гипотеза Геста—Мора
совпадает с гипотезой наибольших
касательных напряжений.
В теории пластичности Сен-Ве-
нана используется критерий небольших ка-
сательных напряжений; предполагается, что
при пластическом состоянии наибольшее каса-
тельное напряжение сохраняет постоянную
величину, зависящую от материала, т. е.
о, = 2zs = max
Ч — g3
gl — g2
связаны
Главные касательные напряжения
g2 — g3 . „. __ g3 — gl , _ gi —
- 2 ' a 2 ' 3~~1
соотношением tj + T2 + тз = 0-
Площадки с наибольшими касательными
напряжениями являются для пластических зон
площадками скольжения; при этом
в каждой точке имеется две площадки сколь-
жения, каждая из которых делит пополам угол
между двумя главными направлениями и сов-
падает с третьим. Поверхности сколь-
жения имеют своими касательными плоско-
стями площадки скольжения и образуют два
семейства взаимно ортогональных поверхно-
стей.
В системе координат (xlt ^ ^з) все напря-
жённые состояния выражаются точками пло-
скости гх 4- "^2 + тз = 0 и пластическое состоя-
ние по условию, принятому Сен-Венаном,
изображается точками шестигранника,

190
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
получаемого
с гранями:
в пересечении этой плоскости
=.. На-
-ч-
- 2"'
куба; здесь cs—предел текучести при про-
стом растяжении.
В системе координат (з1? о2, а3) пластическое
напряжённое состояние изображается точками
шестигранной призмы, ось которой об-
разует с осями координат равные углы, а ос-
нованием является правильный шестиугольник
длиной сторон, равной л/
б) По гипотезе Губер — Генки-
Ми з е с а при пластическом состоянии мате-
риала интенсивность 5 касательного напряже-
ния постоянна:
V
A5)
При этом интенсивностью каса-
тельного напряжения (Генки) назы-
вается величина
~~азJ+(ff3 ~~
или в компонентах тензора напряжений
V<i
Таким образом в главных напряжениях
В компонентах тензора напряжений
(ву _ ОгJ + (ag _ „J2 + (а, _ 0^K
Предел текучести при сдвиге
Интенсивность касательного напряжения 5
непосредственно связана с величиной
Ъ = -J у (*а —
°зJ
так называемого октаэдрического ка-
сательного напряжения (Надаи) [113].
представляющего собой полное касательное
напряжение, действующее на площадке, равно-
наклонённой к направлениям трёх главных
напряжений о1? о2, а3 (о к т а э д р и ч е с к и е
площадки); косинусы углов с главными
осями нормали к октаэдрическим площадкам
в рассматриваемой точке равны j_
У 3
правление в октаэдрической плоскости, по
которому направлено тл, находится геометри-
ческим сложением составляющих хл>1, zn,2,
хл.з, полученных отдельно от a,, сг2, о3, как
показано на фиг. 17, а и #. Октаэдриче-
ское нормальное напряжение оя
равно средней величине а из трёх главных
напряжений
Фиг. 17. Напряжения по октаэдрической площадке: а—со-
ставляющие ал3 и гя,3 нормального и касательного
октаэдрических напряжений, соответствующие главному
напряжению а8; б -составляющие тЛI) хл 2 т„3 каса-
тельного октаэдрического напряжения тл' соответству-
ющие главным напряжениям в„ 53, аа-' в — главные
сдвиги т„ Т„, Т3 и вектор т результирующего сдвига в
октаэдрической плоскости;? —зависимость хп и ул (диа-
грамма Роша): О—естественное начальное состояние, О,—
нулевое состояние, определяемое точкой Л; д — упро-
щённая зависимость (тД1 у^) (по схеме Прандтля);1д<{)=0:
tg9,-0,.
Таким образом условие пластичности по
Губер — Генки — Мизесу может быть записано
в следующей форме
A5а)
3
при этом величина октаэдрического нормаль-
ного напряжения не влияет на образование
пластических деформаций.

Л. 1VJ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
191
Гипотеза Губер — Генки — Мизеса может
трактоваться как критерий пластич-
ности, основанный на потенциальной
энер г и и изменения формы: при пластическом
состоянии удельная работа а упругой деформа-
ции формы есть величина постоянная (Генки)
|? = const.
Условие пластичности Губер—Генки —Ми-
зеса имеет место [33, 35] при таком нагруже-
нии, когда интенсивность деформа-
ции сдвига возрастает монотонно, т. е.
когда её величина, обозначаемая Е, в каждый
последующий момент не меньше, чем во все
предыдущие. При этом под интенсивно-
стью деформации сдвига понимается ве-
личина
или, в компонентах тензора деформации,
Здесь
= Ц/(е -е)а U -г 2 г - е )* =
" 3 Г
(квадратами и произведениями перемещений и
деформаций можно пренебречь по сравнению
с их первыми степенями), а также увеличи-
вающаяся интенсивность деформации Е (а к-
тивнаядеформация); при рассмотрении
деформации, когда происходит уменьшение ин-
тенсивности Е (пассивная деформа-
ц и я), необходимо в уравнения дополнительна
ввести закон разгрузки [33, 35].
1) Теория Генки [19] обобщает закон
Гука на пластическое состояние на основа-
нии гипотез:
а) направления главных нормальных на-
пряжений совпадают с направлениями соответ-
ствующих главных линейных деформаций;
б) объёмная деформация пропорциональна
среднему нормальному напряжению, т. е.
8 =
1—2(А
2 О + Ю G
(а)
где G — модуль сдвига; р — коэфициент Пуас-
сона;
в) главные касательные напряжения про-
порциональны главным деформациям сдвига
(подобие кругов Мора для деформаций и на-
пряжений), т. е.
g2 — °з °з — gi _ qi — g2 2G
H— 4~~ 4 — «i""ei— ea~ Ф
Функция ф называется модулем пла-
стичности.
На основании приведённых условий полу-
чается обычный вид зависимостей Генки
представляет собой октаэдрический
сдвиг, получаемый между нормалью к окта-
эдрической площадке и линией действия
напряжения тп, a
?з> Y2 = ?1 — ез">
р п ^ 2 1
Тз — si — Ч — главные деформации сдвига.
В системе координат (xh t2, г3) пласти-
ческое состояние изображается точками
Go
окружности радиуса —?=,описанного
около шестиугольника, соответствующего тео-
рии Сен-Венана. В системе координат (х,,
а2, <?з) пластическое состояние изображается
точками поверхности кругового
описанного
цилиндра радиусаТ/ —
около шестиугольной призмы Сен-Венана
и имеющего ось, равнонаклонённую к осям
координат.
2. Законы пластической деформации
(уравнения пластичности) дают зависимости
между напряжениями, деформациями и скоро-
стями деформаций. Основными теориями пла-
стичности являются теория Генки и теория
Сен-Венана—Мизеса. которые исходят из гипо-
тез, получивших лишь ограниченную экспери-
ментальную проверку для отдельных типов на-
пряжённых состояний. Кроме того, предпола-
гается, что имеют место малые деформации
г = 2О.[в/""
A6)
(/=1, 2, 3),
или через интенсивность деформаций Е и ин-
тенсивность напряжений 5
G
(b)
или через октаэдрическое касательное напря-
жение хп и октаэдрический сдвиг in
_ Ф
ln — ~(j~n- A6a>
Трём уравнениям A6) отвечают уравнение (а>
и шесть уравнений Генки в компонентах
тензора деформации:
—о); Ьх =
Ф
A6b)
где е =

192
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
1РАЗД. 1
При <р = 1 уравнения Генки переходят
в уравнения Гука.
Если материал при пластическом дефор-
мировании принять несжимаемым, т. е. если
с = 0, то уравнения Генки упрощаются:
Ф / ¦ ч
Ч = ^=r (uj — о)
(/ = 1, 2, 3) A6с)
Эта упрощённая теория Генки
может быть принята* при чисто пластическом
состоянии, т. е. когда пластическая область
охватывает весь объём деформируемой де-
тали [8, 73].
Условием пластичности с упроч-
вением, по Шмидту [73], называется
зависимость общего вида между интенсив-
ностью касательного напряжения S и интен-
сивностью деформации сдвига Е:
(с)
деформаций сдвига;
к зависимости
аг — а _о2 —о
h
это условие приводит
Х.О %
где а =
+ Ч +
Введение в теории Сен-Венана скорости не
имеет целью учесть влияние скорости на со
противление деформированию, а позволяет свя
зать развитие напряжений при деформировании
с бесконечно малыми деформациями, вызыва-
емыми напряжениями в каждый данный мо-
мент времени [33, 35].
Принятым по теории Сен-Венана — Мизеса
гипотезам соответствуют следующие уравне-
ния в компонентах напряжений и скоростей
деформаций:
- Оу — О О« СТ О, О
ъу -
В предположении несжимаемости материала
условие (с) записывается так:
(«з — ^вJ + (ff8 — *iM + (
Вид функций F и / устанавливается
экспериментально на основании опытов на
п
простое растяжение; k =
Условие (Ь) является частным случаем
условия (с) при F=l.
Принимаются вместо зависимости (с) сле-
дующие упрощённые зависимости (Е—моно-
тонно увеличивающаяся интенсивность дефор-
маций):
На основании (d) между интенсивностью
касательного напряжения S и интенсивностью
скорости деформации сдвига L имеется зави-
симость
где функция х называется модулем пла-
стичности.
При этом интенсивность ско-
рости деформации сдвига через глав
ные скорости линейных деформаций выра-
жается следующим образом:
L = |/-|
и через компоненты тензора скорости дефор-
маций
(X, -
(Кх - Х„)« + ±
линейная зависимость:
5= GE (диаграмма Генки) при
линейное упрочнение:
т
S — k (тЕ + (д.) для Е > " ;
степенное упрочнение:
О === К * ftt • tL ДЛЯ
2) Теория Сен-Венана — Мизеса
исходит из следующих трёх гипотез:
а) направления главных нормальных на-
пряжений о,, <у3, а3 и направления главных
скоростей Х„ Аз, Х3 линейных деформаций со-
впадают;
б) материал несжимаем, так что в точке
средняя скорость деформации
Из теории Сен-Венана—Мизеса как частный
случай можно получить теорию Генки, если
в процессе деформирования всё время 1) оста-
ются постоянными направления главных на-
пряжений и 2) сохраняется постоянное отно-
шение между наибольшими касательными на-
пряжениями [33, 34].
3) Условием пластичности с
упрочнением, по Одквисту [114], на-
зывается зависимость общего вида между ин-
тенсивностью касательного напряжения S и
интенсивностью скорости деформации сдвига I
S = k-F(L).
Функция F определяется свойствами мате-
риала; k =
в) главные касательные напряжения про-
порциональны главным скоростям pv f/2, н^
Приведённые зависимости имеют место при
монотонном увеличении L.
3. Законы механического подобия (при
отсутствии объёмных сил).
1. Пластические напряжённые состояния
в геометрически подобных телах являются
подобными (подобие траекторий главных на-

ГЛ. IV1
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
193
пряжений), если они имеют в подобных точ-
ках подобие граничных условий, одни и те
же условия упрочнения материала и одинако-
вые значения безразмерных величин \х, ~~ ?
—. —г . Здесь р. — коэфициент Пуассона,
Р «
р — напряжение, и — модуль сдвига, qs — пре-
дел текучести, 8 — перемещение, / — линейный
размер. Таким образом в геометрически по-
добных деталях, материал которых имеет одни
и те же условия упрочнения, перемещения
соответствующих точек будут относиться как
размеры, если нагрузки относятся как модули
упругости [33, 73].
4. Решение задач упруго-пластического
равновесия [8, 34, 35, 73]. При вычислении
напряжений и деформаций в упруго-пластиче-
ской области составляются: 1) обычные усло-
вия равновесия, 2) условия совместности для
относительных деформаций или их скоростей,
3) уравнения пластичности, дающие зависи-
мости между напряжениями и деформациями,
4) условия пластичности, 5) граничные усло-
вия.
Соответствие между шестью
компонентами напряжения и ше-
стью компонентами деформации
является при пластических деформациях
с упрочнением однозначным, как и при упру-
гих деформациях. В случае идеальной пла-
стичности при данных шести компонентах на-
пряжений пять компонентов деформации опре-
деляются однозначно при произвольно задан-
ном шестом.
Чисто пластическим состоянием
называется такое, при котором во всех точках
детали достигаются пластические деформации
и вовсе отсутствуют зоны упругих деформа-
ций. При упруг о-п ластическом состоя-
нии в пределах детали имеются зоны как пла-
стических, так и упругих деформаций. Гра-
ницы упругой и пластической зон
определяются из условия непрерывности ком-
понентов напряжений и перемещений [73].
а) Простейшими задачами упруго-пла-
стического равновесия называются такие,
в которых напряжённое состояние зависит от
одной координаты. К ним относятся следую-
щие задачи, решённые для любого закона
упрочнения [73,113]: а) цилиндрическая толсто-
стенная труба под действием внешнего и вну-
треннего давления, б) цилиндрический стер-
жень под действием осевых сил и скручива-
ющих моментов, в) полый шар под действием
внутреннего и внешнего давления. Решение
этих задач по упрощённой теории см. [8].
б) Задачи упруго-пластического круче-
ния и чистого кручения, решённые для ряда
форм сечений, а также скручивание ступенча-
тых и конической формы валов см. [73].
в) Задачи плоской деформации сводятся
к рассмотрению бесконечно длинного цилин-
дра или призмы, находящихся под действием
сил, перпендикулярных образующим и равно-
мерно распределённых по их длине.
Если на основании упрощённой теории
принять главное напряжение о3 в направле-
нии 2, перпендикулярном плоскости дефор-
ности записывается в форме
К - ^J + 4т*ху = 4*2 (а)
или
ot — о2 = 4?2. (b)
Здесь а,, а2 и ах, ау, ixy — главные напряже-
ния и напряжения по осям л и у в плоскости
деформации. В уравнениях (а) и (Ь) по тео-
рии Сен-Венана k = -^ =xs, по теории Гу-
бер— Генки — Мизеса k — —^ = т.
Уз
Плоско деформированные состояния, полу-
ченные исходя из теории Сен-Венана и Гу-
бер — Генки — Мизеса, совпадают, так как
условия пластичности (а) или (Ь) для обеих
теорий различаются лишь в постоянной пра-
вой части.
Поверхности скольжения явля-
ются цилиндрическими с образующими, парал-
лельными оси Z, и в пересечении с плоскостью
деформации (ху) дают два семейства ортого-
нальных линий — сетку линий скольжения.
Условие пластичности (а) и уравнения рав-
новесия
бу
(с)
описывают пластическое состояние при пло-
ской деформации. Так как в эти три уравне-
ния входят три неизвестных, то при задан-
ных на контуре нагрузках задача пластиче-
ской плоской деформации оказывается стати-
чески определимой.
Система уравнений (а) и (с) обладает
двумя семействами характеристик, совпада-
ющих с сеткой линий скольжения. Решение
уравнений плоской пластической деформации
получается или в замкнутой форме для ряда
частных случаев, или ведётся численным мето-
дом, который заключается в отыскании значе-
ний в конечном числе узловых точек сетки
характеристик.
Компоненты перемещения их, иу при
известных напряжениях находятся интегриро-
ванием уравнений
дх
диу
ду
диу
~дх
¦+,
ду
Применение теории плоского деформиро-
ванного состояния — см. решение следующих
задач [73, 91]: а) распределение напряжений
в пластических зонах возле свободных и. на-
груженных отверстий, б) давление штампа на
упруго-пластическое тело (при отсутствии
и наличии сил трения), в) сжатие.и волочение
полосы.
г) Задачи плоского напряжённого . со-
стояния сводятся к рассмотрению „тонкой
пластинки под действием сил,: приложенных
к её контуру параллельно средней плоскости
пластинки (плоскость ху) и равномерно рас-
пределённых по её толщине.
Условия пластичности по теории Сен-Венана
мации, то
, и условие пластич-
(при 9&оу
= 2 (а* - | **
¦*:' " (При
(d)

194
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. i
Условие пластичности по Губеру —Мизесу
Система уравнений (с) вместе с условием
пластичности (d) или (е) даёт три уравнения
с тремя неизвестными ах, оу, хху, так что при
статических контурных данных пластическая
задача плоского напряжённого состояния
является статически определимой.
Методы решения задач плоского напряжён-
ного состояния см. [73].
Применение теории плоского
напряжённого состояния см. реше-
ние следующих задач [53, 73]: а) напряжённое
состояние в растягиваемой пластинке, имеющей
вырез; б) волочение узкой пластической полосы
сквозь жёсткую матрицу [73]; в) пластическая
деформация балок.
д) Теория упруго-пластического изгиба
пластин и оболочек принимает известную
гипотезу о неизменности нормалей и условие
пластичности Мизеса
или более общее,
по Шмидту,
2
учитывающее упрочнение
V
Здесь а и р—криволинейные координаты
в срединной поверхности оболочки (пластинки).
Применение теории пластич-
ности к плитам и оболочкам см. ре-
шение задач: а) осесимметрично нагружённые
изгибаемые круговые и кольцевые пластинки;
б) круговая цилиндрическая оболочка, нагру-
жённая осесимметричным кольцевым давле-
нием, равномерно распределённым на некото-
ром участке вдоль образующей [73]', в) устой-
чивость пластин и оболочек за пределом
упругости [35].
е) Применение теории пластичности
к решению контактной задачи см. [36].
5. Конечные пластические деформа-
ции [113]. Если деформации значительны, то
вместо условных деформаций
а' Ь' с'
— 1
е2 =
(первоначальные размеры элемента равны а,
Ь, с) пользуются истинными деформациями
ej, e2, Ц, определяемыми по отношению к дей-
ствительным разменам а', Ь', с' элемента, по-
лучаемым в процессе деформации.
Приращения истинных линейных деформа-
ций
,— da' J— db' ,— dc1
d d d
Истинные линейные деформации
a' ,/i,4
- = ln(l + e1).
^ = ln(l+ej). A8)
Условие постоянства объёма, принимаемое
при значительных деформациях, даёт
"ei + Ч + Ч = 0.
г - дТ „
Скорость и = -дт- истинной деформации
через скорость и = —ц- условной деформации
записывается так:
Истинные главные сдвиги
li = 4 — Ч = 1" A + е„) — 1П A + е3); |
J2 =3 -Ч «= In A + е3) - In A + ЧУ> B0)
причём
Бесконечно малое приращение d\n окта-
эдрического сдвига выражает искажение пра-
вильного октаэдра в каждом промежуточном
состоянии деформации и записывается так:
— 2
2 /
n= "з-у
d?2).
(а)
Если при пластическом деформировании
соблюдается условие
ef?j = с • dev
где с — постоянная, то из уравнения (а)
(b)
Между октаэдрическим касательным на-
пряжением тл и октаэдрическим сдвигом
fn принимается для всего диапазона конечных
деформаций и различных случаев напря-
жённого состояния данного материала одна и
та же зависимость
Различие между 7 и 7 существенно лишь
при весьма больших -у (более 200%).
При значительных пластических деформа
циях можно считать, что: 1) упругая часть де-
формации мала и поэтому может не учиты-
ваться (в отдельных случаях, например, при
определении напряжений, получаемых после
холодной обработки со значительными де-
формациями, необходимо учитывать упругую
деформацию, хотя она и мала); 2) направления
главных напряжений совпадают с направле-
ниями главных деформаций и скоростей де-
формаций. В общем случае пластического те-
чения предполагается, что: 1) главные на-
правления деформаций изменяют своё на-
правление по отношению к осям деформи-
руемого элемента материала и по отношению
к неподвижным осям в пространстве; 2) на-
правления главных напряжений не совпадают
с направлением главных деформаций.

ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
195
Основные случаи: а) Простое рас-
тяжение или сжатие. Обозначения: Р —
растягивающая стержень сила; /0 и Fo —
первоначальная длина и площадь поперечного
сечения; / и F— их величины при деформации
стержня. Главное напряжение ^ действует в
направлении силы Р, так что с3 = а3 — 0 и
Например, при прокатке широкого металли-
ческого листа с размера t0 на размер / отно-
сительное уменьшение толщины равно
Истинное напряжение
A+е);
= е,.
(о, = а; е, = е), (с)
где расчётное напряжение с = -~-.
Л)
С помощью формулы (с) условная диа-
грамма (а, е), полученная испытанием образца
на растяжение, может быть перестроена на
истинную диаграмму (j,, г).
Октаэдрическое касательное напряжение
и октаэдрический сдвиг
le ; (l + e1). (e)
При замене с помощью формул (d) и (е)
а и е на ха и -{п диаграмма (а, е) пере-
страивается на диаграмму (zn, ^п).
б) Чистый сдвиг. В этом случае
(l+_e,H1+??)el!Le8 = 0.
Так как е8 = 0; е2 = — ?j и с = —1. то
-о-81
. М\
Л^. I I
!^J^
Фиг. 18. Пластическая деформация
элемента при чистом сдвиге.
Сдвиг
в) Сдвиг при скручивании. Окружность
радиуса, равного единице, начерченная в пло-
скости действия касательных напряжений,
переходит в эллипс с полуосями 1 Ч- ?n I -j- 62;
третья главная деформация вд = 0. Так как
Eg = 0, ТО
ег = — ц и с = — 1.
Октаэдрический сдвиг выражается через
условный сдвиг
-VI- (f)
Если для данного материала кривая хп =
—/(Т ) получается путём испытания на кру-
чение стержня круглого поперечного сечения,
то величины х„ находятся по моменту круче-
ния, а 7„ — с помощью формулы (f) по вели-
(г—радиус сечения, /—длина
чине 7 = j
/
и <р — угол закручивания стержня).
Применение теории конечных пластических
деформаций к вопросам прокатки металлов
см. т. 6, гл. II.
6. Условия ползучести. Определение ско
ростей главных деформаций в функции главных
напряжений и температуры производится по
уравнениям Бейли [96], которые построены,
исходя из следующих положений, подтверждён-
ных экспериментом: а) ползучесть обусловлена
наличием касательных напряжений и не связана
с нормальными напряжениями, перпендикуляр-
ными плоскости сдвига; б) скорости ползучести
по направлениям главных напряжений являются
главными скоростями; в) величина каждой иэ
главных скоростей ползучести определяется
максимальными касательными напряжениями,
дающими проекцию на направление скорости,
и удельной энергией изменения формы; г) де-
формация ползучести происходит без измене-
ния объема. Уравнения Бейли не принимают
во внимание начальный период ползучести.
По Н. М. Беляеву [7], в качестве условий
ползучести принимаются основные уравнения
пластичности: при t/^const в уравнении A6а)уя
меняется в связи с изменением ^ как функции
времени и действующих напряжений; функ-
ция ф устанавливается из опыта на ползучесть
при простом растяжении.
Подробнее полный анализ ползучести на
основе общих уравнений теории пластичности
и применения метода последовательных прира-
щений см. [.г0].
Учёт релаксации при пластическом
деформировании в общем случае напряжён-
ного состояния — см. [7, 50, 96J.

196
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.I
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ, СДВИГ,
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
Центральное растяжение и сжатие
1. Прямой стержень. Нормальные напря-
жения в поперечных сечениях призматиче-
ского стержня (фиг. 19), достаточно удалён-
ных от мест приложения сил, выражаются
формулой
3 =-^ • A)
F — площадь поперечного сечения. Если сила Р
приложена в центре тяжести торца, то в се-
чении на расстоянии h от торца, равном раз-
Участон равномерного
распределения напряжении
\
Фиг. 19. Простое растяжение: а — растягиваемый стер-
жень; б — равнодействующее напряжение р^ по площадке
mm; в — составляющие а~ и т^ равнодействующего
напряжения р„; г и д — нормальное и касательное напря-
жения а_ и т„, действующие на выделенный элемент
стержня.
меру сечения, отклонение от равномерного
распределения напряжений не превосходит 3%.
Распределение напряжений в местах приложе-
ния силы — см. стр. 353.
Если стержень имеет ослабление отверстием,
выточкой и т. п., то при центральном прило-
жении силы в ослабленном сечении величина
среднего напряжения находится из формулы
A), где вместо F берётся полезная площадь
'нетто = * брутто 'ослаб-
Определение наибольшей величины напря-
жения в местах ослабления стержня — см.
стр. 197.
В формуле A) величина Р представляет со-
бой продольное усилие в рассматриваемом се-
чении стержня. В данном случае, когда стер-
жень прямой, сила приложена на конце и влия-
нием собственного веса можно пренебречь,
усилия во всех сечениях постоянны и равны
приложенной внешней нагрузке Р.
Продольное усилие в общем случае
(см. стр. 230) равно сумме проекций на нор-
маль к рассматриваемому сечению нагрузок,
действующих на деталь по одну сторону от
этого сечения. Эпюра продольных уси-
лий представляет собой график этих усилий
для всех сечений стержня.
В любой точке стержня на участке равно-
мерного распределения напряжений имеет
место линейное напряжённое состояние.
Определение напряжений по косому сече
нию, обозначенному на фиг. 19, см. табл. 2
(стр. 173).
2. Для определения напряжений в стер-
жне с плавно меняющимся сечением мож-
но воспользоваться формулами для напряже-
ний в клине (фиг. 20) постоянной толщины b
[78].
Главные напряжения
_ . Pcos e
°h ~ Ыг '
где
k =
а + к- sin 2а
Для точек поперечного сечения
Pcos4 8
Ъх
а,, = k
Р sin2 28
Abx
Р cos2 6 sin 26
XrV ¦= х
ух
Разность между наибольшими и наимень-
шими значениями zx в сечении возрастает
с увеличением а. При а = 15° эта разность со-
ставляет 13,5% от среднего напряжения, по-
Фиг. 20. Плоский клин.
лу чаемого делением силы Р на площадь се-
чения по тт.
В коническом стержне по мере уменьшения
угла конусности распределение напряжений
приближается к равномерному.
Резкое изменение сечения приводит к кон-
центрации напряжений.
3. Концентрация напряжений (при де
формациях в пределах упругости) [45, 54, 77,
108. 116].
Эффективный коэфициент концентрации —
см. гл. V.
1) Стержень с сопряжением
частей по круговой галтели. На
фиг. 21 (справа вверху) указан способ нагру-
жения плоского стержня и даны обозначения
его размеров.

ГЛ. IV)
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ, СДВИГ, КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
197
Наибольшее напряжение ашах возникает
в более узкой части у начала закругления:
фика фиг. 22. Пользование графиком и опреде-
ление коэфициента концентрации для стержня
круглого сечения см. выше, п. 1.
Номинальное напряжение
где b — толщина стержня.
Коэфициент концентрации аа берётся по гра-
фику фиг. 21 в зависимости от отноше-
Р Н
ний -*— и -г- где р — радиус закругления.
Л Л
Для значений
h *
промежуточных между теми.
для которых приведены кривые, следует при-
менять линейную интерполяцию.
О 0,1 0,2 0,3 ОЛ 0.5 0,6 0,7 0,6 0,9
фиг. 21. Коэфициенты концентрации для пло-
ского стержня с сопряжением частей по кру-
говой галтели.
Примгр. Полоса имеет Н = 100 мм; й =¦= 70 мм;
И . ,„ р
15 мм. Находим отношения — =-
t ... Н
=_ 43 — — 021
ддя Z- = о,21 по графику при '. — 1,20 имеем
га Л
Ж ш
а, = 1,48, а при -г— 1,50 имеем а„ = 1.67. Интерпо-
лируя, для -jt'*"= i.43 получаем а, = 1,63 или, округлённо,
«- = 1.65.
Для стержня круглого попереч-
ного сечения производится пересчёт
но формуле Крита:
круг
= 0,75 апл -fO.26.
C)
Здесь а^г — искомый коэфициент концен-
трации для стержня круглого поперечного
сечения; апл — коэфициент концентрации для
соответствующего плоского стержня (с тем
же контуром продольного разреза).
2) Стержень с надрезом полу-
круглой формы. Коэфициенты концентра-
ции и наибольшие напряжения для пло-
ского стержня определяются с помощью гра-
2,8
2,6
г,г
2,0
1,8
16
1,0
All
\\
IV
\\
\
Л
^- л
\\
\\
V
\
~fr
1)
А
/
\
ч
12—
i_ ,
ч
\
)
1—^
t
-С
G-
*—:
¦—
u_.t
тт
(
о q/ аг qj Q4 а^ ofio^ofiWt.
Фиг. 22. Коэфициенты концентрации для пло-
ского стержня с надрезом полукруглой фор-
р
мы. Номинальное' напряжение ая = -гт-*
ЬН
где Ь — толщина стержня.
3) Плоский стержень с односто-
ронним неглубоким надрезом —- см.
фиг. 23.
4) Плоский стержень со свобод-
ным отверстием. При наличии в растя-
гиваемом или сжимаемом стержне круглого
отверстия наибольшие напряжения возникают
у краёв отверстия по концам диаметра, рас-
положенного перпендикулярно направлению
0.05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 ¦?
Фиг. 23. Коэфициент концентрации для
плоского стержня с односторонним неглу-
боким надрезом. Номинальное напряжение
т„== ¦-—, где Ь — толщина стержня.
о h
нагрузки. Приводимые ниже данные приме-
нимы не только к плоскому стержню, но
и для зон деталей, имеющих однородное ли-
нейное или плоское напряжённое состояние
(при малых размерах отверстия).
Полоса с центральным отверстием. Коэ-
фициенты концентрации напряжений и распре-
деление напряжений вдоль контура —см. фиг. 24.

198
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. I
ч
~-
>
1
1
!
1
1
Ё
р
-Ь
—-
-
¦
ТО 0,1 0,2 0,3 O,ff 0,5 0,6 0,74i
Фиг. 24. Полоса с центральным отверстием: а — коэфициенты концентрации;
S — распределение напряжений; в — эпюра тангенциальных напряжений вдоль
р
контура отверстия. Номинальное напряжение зн =• ——-—, где Ь — тол-
щина полосы.
Круглое отверстие у края полосы (при
At >• 4/) — см. фиг. 25, а. Отрицательные значе-
шее напряжение. возникает ъ
точке А. См. также [90J.
Круглое отверстие в ши-
рокой полосе, усиленное под
крепляющим кольцом той же
толщины, но из другого мате-
риала (фиг. 26) (решение Г. Н.
Савина). Тангенциальные на-
пряжения в точках А, В (коль
цо)и С (полоса)
°А, В,С= °V
Величины а, даны ниже в
таблице для следующих значе
ний модуля сдвига и коэфи-
циента Пуассона: сталь — G =
= 8,1 • 105 кг\см* [х = 0,3; медь-
G = 4,42-105 кг/см2; ц = 0,3.
Отверстие овальной фор-
мы при определении концен-
трации напряжений заменяется
эллиптическим с условием со-
хранения радиуса р. Величины
Способ соедине-
ния кольца
с полосой
Кольцо припаяно
Кольцо плотно
вставлено*. . .
ние
d
•/•
'•/..
'и
Стальное
кольцо в мед-
ной полосе
А
4.41
4.5Ь
4,95
1,62
Точки
В
2.25
2,97
4.24
—1,б2
С
1,3°
1,66
2.35
З.00
Медное коль-
цо в стальной
А
1.75
1,86
1,74
о.49
полосе
Точки
В
o,9i
1,34
1,52
—0,49
С
2,l6
2,4°
2,76
З.00
* Натяг е = 0,0513 ¦ 10 ^зО (стальное кольцо в мед-
ной полосе); s =0,0268 ¦ 10~~^jD (медное Кольцов стальной
полосе).
Наложением получается решение для двуосного
напряжённого состояния.
Сеч по т-т
а
Фиг. 25. Коэфициенты концентрации для по-
лосы с отверстием: а—отверстие у края; но-
р
минальное напряжение Ск= .. . г- где Ь-
толшина полосы; б—круглое отверстие
с подкрепляющим кольцом; коэфициент к) =
Jt-b)h
bd
Фиг. 26.
2а и 26 фиг. 27 пред-
ставляют собой размеры
заменяющего эллипса в
направлениях попереч-
ном и продольном по от-
ношению к нагрузкам:
где Ь — толщина полосы.
аия а дают для точки /// сжимающие напря-
жения.
Круглое отверстие,усиленное подкрепля-
ющим кольцом, — см. фиг. 25, б. Наиболь-
Широкая полоса с
эллиптическим отвер-
стием. Наибольшие на-
Фиг. 27. Способ пере
хода от овального от-
верстия к эллиптиче-
скому.

ГЛ. IV]
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ, СДВИГ, КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
199
пряжения возникают в точке А фиг. 28. Гра-
фик фиг. 28 применим при И^>8а.
Система отверстий, расположенных
по фиг. 29. Номинальные напряжения подсчи-
тываются в предположении, что отверстий
Наибольшие напряжения amaI = <х3ак возни-
кают в точках возле закруглений (фиг. 31, б)
или на них (фиг. 31, а).
Схема раз5ивИи
отверстии
tMMMM
Фиг. 28. Коэфициенты кон-
центрации для полосы с
центральным эллиптиче-
ским отверстием.
Фиг. 29. Коэфициенты концентрации в полосе с расположением круглых отверстий:
а — по прямоугольникам; б—по треугольникам (t = tx или t—tyB соответствии
с направлением напряжения).
нет. Коэфициенты концентрации даны на гра-
фике фиг. 29.
Однорядное расположение круглых от-
верстий— см. фиг. 30. Номинальные напря-
жения вычисляются с учётом ослабления.
5) Конец плоского стержня с
круглым отверстием передаёт на-
грузку на болт или заклёпку — см.
фиг. 32.
11 К* Н 11 f t М М t"tf*
111 ¦
1,8
a
W
ч
N
й
not
^^
а
{
•—,
О 0,1 0,2 0,3 ОА 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0%
,б,
HiiiUI
a)
A
1НЖП1
5)
2,5
2.0
1,5
КО
Фиг. 31. Квадратное отверстие в плоском стержне.
6) Стержень круглого сечения
с резьбой. Для форм резьбы, приведённой
на фиг. 33, коэфициент концентрации, найден-
ный теоретически:
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 %
Фиг. 30. Коэфициенты концентрации при одноряд
ном расположении круглых отверстий при растяже
нии: а — по двум направлениям; б — в одном на
правлении. Номинальное напряжение [ ^
Плоский стержень с квадратным отвер-
стием, снабжённым закруглениями в углах.
Коэфициент концентрации находится по фор-
мулам Инглиса:
«в = 1 + 2 т/"- (для фиг. 31, а);
г Р
_l_j_2|/ y— (формула Нейбер
У р
а).
t
-4П1+#
±-?L | (для фиг. 31, tf).
У? t
Здесь отношение глубины резьбы к
р
радиусу закругления по дну впадины. Коэфи-
b
циент 7» зависящий от отношения — шага к глу-
бине резьбы, определяется по графику фиг. 32.
Номинальное напряжение находится по мень-
шему сечению бол га в резьбе.
По данным измерений на плоских моде-
лях для обычных форм резьбы величина а3
колеблется от 2 до 3, причём большие
значения аа относятся к болтам меньших диа-
метров.
7) Гиперболический профиль
надреза и эллиптический профиль
отверстия. Значения коэфициентов концен-
трации для этих случаев получены теорети-
чески Нейбером. Коэфициенты концентра-

200
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. !
ции определяются по номограммам фиг. 66
(стр. 229). В прилагаемой к фиг. 66 таблице
(стр.228) даны типы стержней, случаи нагрузки,
:гмшзб 4
/00005'A)Ш-0,35
I ,0.0005'W}
00005"$
0,0005"$' Ц
0,0005" B)\т-
\u0005"W]B'H-
величины номинальных напряжений с указанием
номеров кривых и шкал, которыми следует
пользоваться. Там же см. пример пользования
номограммами.
4
лл
U,J
пв
Of
Ч'
Пв
и,о
ПЧ
flh
Ufi
лч
U,J
f\t
П 1
I
/
1
1
f
/
-4—
нар*
0.050H 0/5 0?0 0?5(WQ.35Q?tQQfi5Q,5QQ,55($OOp50\
0 t Z 3 4 5 6 7 8 9 10 It 12 /3 /4 f5f
Фиг. 33. Значения у для стержня с нарезкой.
:Фиг. 32. Коэфициенты концентрации для напряже-
ний в конце полосы, передающей нагрузку на болт
или заклёпку. Номинальное напряжение ан =
Р
== гп Тп?г » гДе * — толщина полосы. Посадки:
(Н — а)о
1—скользяшая; 2— прессовая; 3— горячая.
4. Расчёт на прочность для стержней
с постоянными или постепенно изменяющимися
сечениями производится в зависимости от ха-
рактера действующих напряжений и свойств
материала по формулам в приведенной ниже
таблице. Обозначения: Я—продольное усилие,
X арактер действующих
напряжений и свойства
материала
Пластичный мате-
риал при статической
нагрузке
При отсутствии концентрации
напряжений
При наличии концентрации напряжений
= R
-=/?.
нетто
если материал нечувствителен к концентрации на-
пряжений. Если материал чувствителен к концен-
трации напряжений, то берётся формула (*) для
хрупкого материала
Хрупкий материал
при статической на-
грузке
При действии пере-
менных напряжений
а —максимальное
max
напряжение цикла
(см. гл. V)
= /?,
F к п
нетто 7
если материал чувствителен к концентрации напря-
жений.
k — коэфициент, отражающий влияние концен-
| трации напряжений, абсолютных размеров и эксцен-
триситета приложения нагрузки (см. гл. V)
(°г)с
шал г п
нетто
(я \ , — предел усталости с учётом
абсолютных размеров и влияния по-
верхности (см. гл. VI
¦=R,
нетто
/<з \ — предел усталости для детали, определяе-
мый по диаграмме Смита (см. гл. V)
Запас прочности:
—масштабный фак-
тор;
—характеристика
диаграммы Сми-
та (см. гл. V)
з и з _ известные напряжения цик- „
•11 »И Г 1 U
)л~~ 9ФФективный коэфициент концентрации;
и „ _ амплитуда и среднее напряжение цикла
л а (см. гл. V)
(об ограничении применения этой формулы, а так-
же данные для её использования — см. гл. V)

ГЛ. IV)
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ, СДВИГ. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
20!
F — площадь поперечного сечения, я — запас
прочности; R — допускаемое напряжение; as —
предел текучести; аь — предел прочности.
При расчётах на прочность формулы та-
блицы применяются для решения следующих
типов задач.
Проверка прочности:
Р
D)
Определение размеров попе-
речного сечения;
Р„*ттп = ~. E)
сечения, I — полная длина стержня, y — удель-
ный вес материала стержня, Е — модуль про-
дольной упругости и R — допускаемое напря-
жение, то при постоянном поперечном сече-
нии напряжение в верхнем сечении в месте
заделки
+l^R
требуемая площадь поперечного сечения
F- _^~-
R - т/
и абсолютное удлинение
Определение до пускаем ого уси-
лия:
"доп ' л
R-
F)
Если Р—сжимающее усилие, то необходи-
ма проверка на устойчивость — см. стр. 281.
5. Деформация стержня и работа де-
формации (в пределах пропорциональности).
Абсолютная продольная дефор-
мация М (полное удлинение или укорочение)
стержня постоянного сечения при одной и
той же величине усилия Р в сечениях:
Относительная продольная де-
формация г и о т но с и т ел ь на я попе-
речная деформация г':
Потенциальная энергия дефор-
мации для стержня длиной / при напряже-
нии а и относительной деформации е:
1 а2 ?е2
П = i-PA/ = 1FF/= —-/=¦/.
АбсолютноеудлинениеД/ стерж-
ня переменного сечения при плавном
изменении размеров на длине от х = 0 до
х = <
1 i'Pdx
Gа)
где р — площадь поперечного сечения с коор-
динатой х.
Потенциальная энергия дефор-
мации стержня постоянного и пе-
ременного сечений
6. Учёт собственного веса. При значи-
тельной длине стержня (подъёмные канаты,
штанги) необходим учёт собственного веса
стержня.
Если Р — усилие в нижнем сечении растя-
гиваемого стержня, F—площадь поперечного
В стержне равного сопротивле-
ния напряжение в каждом сечении постоянно
и равно допускаемому; стержень будет иметь
наименьший вес. Площадь поперечного сече-
ния стержня равного сопротивления является
переменной и на расстоянии х от свободного
конца определяется по формуле
с- Р
Здесь F0 = Ti — площадь поперечного се-
И
чения у свободного конца; е — основание на-
турального логарифма.
Для простоты изготовления стержень рав
ного сопротивления заменяется ступенча
т ы м. Плош,адь сечения первой ступени
Р _
/?
площадь сечения л-и ступени
где /] и /„ — длины 1-й и л-й ступеней.
Расчёт гибких нитей. В каждом се-
чении нити возникает только растягивающее
усилие S, направленное по касательной к кри-
вой провеса (к нити).
1) Если стрела провеса f мала по срав-
нению с пролётом I, то нагрузка q от соб-
ственного веса нити принимается постоянной на
Ч
Фиг. 34.
единицу длины пролёта; гибкая нить распола-
гается по параболе. Если начало коорди-
нат взято в нижней точке нити, то для обозна-
чений фиг. 34 получаются зависимости, при-
ведённые в следующей таблице (стр. 202):

202
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. I
Уравнение гибкой
нити
Натяжение нити в
низшей точке и гори-
зонтальная составля-
ющая полного натя-
жения в сечении (рас-
пор)
Стрела провеса
Вертикальные со-
ставляющие натяже-
ния в точках подвеса
Наибольшее натя-
жение
Условие прочности
(F— расчётная пло-
щадь поперечного се-
чения нити; Я — допу-
скаемое напряжение
при расчёте по пло-
щади F)
Полная длина нити
При равных уровнях подвеса нити
дх>
уг=~ш
н *Р
W
'"V
Cft*
gl
— ^
S "хЛ+ P
max 2 r lo/1
(возле точек подвеса)
/———р-
3/
Уровни точек подвеса нити отличаются
на величину Л
у = ~ш
да1 gb*
~ If ~ Of
/ - ^-~
ср %Н *
да* д , I Hh \3
7" ~ %Н ~ 27? { 2 ~ gl) '
. _gl>> g (I Hh\i
' 8Я 2# V 2 gl )
ql H(f7-f^
A 2 I
ql H(ft -ft)
max
(возле более высокой точки подвеса)
__ max
*шах~ р ^
2 / / / \
3 \~в" + ~Т/
При Л= ^-jj наиболее низкая точка нити совпа-
Zti
дает с одной из точек подвеса
Изменение температуры нити
с t0 на t изменяет её длину по двум причи-
яам —из-за температурного расширения и в
связи с изменением натяжения нити.
Если точки подвеса нити на одинаковом
уровне и /0 — стрела провеса нити при t0, то
для температуры t стрела провеса / этой
яити определяется из уравнения
3»/»«-/о)
8
_ = 0
64 EF
Здесь а — температурный коэфициент линейно-
го расширения.
Исходя из получаемой по этой формуле
величины /, находится натяжение Н при темпе-
ратуре t
qP
И =
W
2) Если стрела провеса велика по срав-
нению с пролётом, то нагрузку q (вес ни-
ти) следует принимать постоянной по длине
яити. Если точки подвеса нити на одинако-
вом уровне, то нить располагается по цепной
линии:
Н , qx
< начало координат в низшей точке).
Оси х и у направлены горизонтально и
вертикально. Распор Н вычисляется прибли-
жённо по стреле провеса /:
Наибольшее натяжение 6'max — H-\-qf.
Условие прочности отах = —^- ¦< R;
Р — расчётная площадь поперечного сечения
нити; R — допускаемое напряжение при рас-
чёте по площади F.
3) Нить нагружена сосредоточенным гру-
зом (весом нити можно пренебречь). Точки
подвеса нити на одном уровне. Обозначения:
длина пролёта — /, стрела провеса—/, отно-
шение — = п.
Наибольшее натяжение в нити при поло-
женин груза Р в середине пролёта
Для применяемых в практике значений П
получаются следующие значения Smax:
Равномерно рас-
пределённый груз
2,55 Р
3,16 Р
3,78 Р
Л
20
25
30
Сосредоточен-
ный груз
4,36 Р
5,-13 Р
6,49 Р

ГЛ. 1\П
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ. СДВИГ» КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
203
Чистый сдвиг
Поперечное сечение детали считается ра-
ботающим на чистый сдвиг, если в рассма-
триваемом сечении возникают касательные на-
пряжения, а нормальные напряжения отсут-
ствуют (ими можно пренебречь). Разрушение
по сечению, работающему на чистый сдвиг,
в случае стальной детали называют срезом,
в случае дерева и бетона — с к а л ы в а
аие м.
Обозначения: Q — перерезывающая сила,
F — площадь поперечного сечения детали, вос-
принимающая эту силу.
Касательные напряжения х при срезе бол-
тов, заклёпок, шпонок и т. п. принимаются
равномерно распределёнными по поперечно-
му сечению [6, 118]:
«*¦
1. Расчёт на прочность. Расчёт на срез
обычно ведётся только для статических усло-
вий.
При проверке прочности
х - р - п -
(8)
где х5—предел прочности при срезе, опре-
деляемый экспериментально; Rs— допускае-
мое напряжение на срез. Приближённо можно
принимать Rs = @,5 -т- 0,8) Rz, где Rz — до-
пускаемое напряжение на растяжение.
П р и о п р е д е л е н и и площади среза
(9)
При определении допускаемой
перерезывающей силы
Одоп = ™* (Ю)
Явление чистого сдвига в болтах, заклёп-
ках и пр. осложняется наличием смятия и
изгиба, неравномерностью распределения на-
пряжений в сечении, поэтому приведённый
расчёт на чистый сдвиг является услов-
ным.
В площадках, перпендикулярных напра-
влению х, возникают касательные напряже-
ния х' = х (закон парности каса-
тельных напряжений).
По другим площадкам, перпендикулярным
плоскости действия напряжения х и х', возни-
кают и нормальные, и касательные напряжения,
определяемые в зависимости от наклона пло-
щадки (см. табл. 2). В площадках, наклонён-
ных под углом 45° к площадкам чистого сдвига,
действуют наибольшие и наимень-
шие нормальные напряжения:
2. Деформация сдвига выражается в том,
что под действием касательных напряжений
прямые углы элемента ACDti (фиг. 35) иска-
жаются; элемент переходит в положение
ACDB. Величина перекоса у прямого угла
называется относительным сдвигом.
Смещение s одного сечения по его напра-
влению относительно соседнего, расположен-
ного параллельно с
ним на расстоя-
нии а, называется
абсолютным
сдвигом
где G — модуль
сдвига.
В связи с ма-
лостью деформа-
ций в пределах
упругости прини-
мается
s
s- = уа; Т = — •
Фиг. 35. Деформация при
чистом сдвиге.
Продольные деформации в направлении
диагоналей AD и ВС квадрата ACDB являются
главными и дают величины наибольшего
удлинения и укорочения при чистом сдвиге:
е1.2 = =*=
1+1*
о,
где Е—модуль продольной упругости; f* —
коэфициент Пуассона.
Зависимость между напряжениями и дефор-
мациями при сдвиге в пределах пропорцио-
нальности выражается законом Гука при
сдвиге:
х = G г.
Для изотропного
сдвига
материала
Е
модуль
~ 2A +
Для сталей принимают
=т и
о-1в.
Изменение объёма при чистом
сдвиге отсутствует.
Потенциальная энергия дефор-
мации для участка стержня длиной а
(в предположении равномерного распределе-
ния касательных напряжений по поперечному
сечению).
Сдвиг при поперечном изгибе — см. стр. 223.
3. Концентрация напряжений. Перерас-
пределение напряжений, вызванное круг-
лым отверстием в полосе, работающей
в пределах пропорциональности на чистый
сдвиг, показано на фиг. 36. Растягивающие и
сжимающие напряжения на контуре отверстия
достигают величины 4 х, где х — касательное
• напряжение чистого сдвига.
Если отверстие имеет эллиптиче-
скую ф о р м у, то для определения коэфи-
циента концентрации ах следует пользоваться
графиком фиг. 37. Наибольшее касательное
напряжение возникает в точках А и равно
Хшах = ot, хн
A3)

204
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
Для случая II на фиг. 37 показано опре-
деление угла t] для нахождения положения
наиболее напряжённой точки А.
Для вала момент М, передаваемый от ка-
ждого шкива, определяется по мощности N
в л. с, передаваемой шкивом, и числу п оборо-
тов вала в 1 мин.:
М = 71 620 ?L
A4)
Фнг. 36. Распределение контурных
напряжений по отверстию при
чистом сдвиге.
Концентрация напряжений при поперечной
силе с изгибом — см. стр. 226.
Эпюра скручивающих момен-
тов— график, построенный на чертеже оси
вала, дающий скручивающие моменты для
каждого сечения вала.
2. Стержень круглого сечения. Попереч-
ные сечения при скручивании стержня из изо-
тропного материала остаются плоскими, а ра-
диусы — прямыми. Любая пара поперечных се-
чений, взятых между собой на одинаковых
расстояниях, поворачивается друг по отноше-
нию друга на один и тот же угол и при ма-
лости деформации расстояние между сечениями
не меняется.
В поперечном сечении и в диаметральных
сечениях вала на расстоянии р от центра воз-
никают только касательные напряже-
м.
A5)
«Г
6
5
4
3
2
t
1
5 а/Ь
/б/-/бо/=Тц направленные по перпендикуляру к радиусу.
. //-' 21 н jp (CMi) -полярный момент инерции
сечения:
A6)
Величины Jp
jp для круглых сплошного и
полого сечений — см. табл. 5 (стр. 206).
Наибольшие касательные на-
пряжения в поперечном сечении возни-
кают в крайних точках сечения (р = -^-):
Wn
A7)
(— a
Фиг. 37. Коэфициенты концентрации для напряжений
у отверстия при чистом сдвиге (Н > а).
Кручение
1. Скручивающие моменты (моменты кру-
чения) и их определение. Если к концу
прямого стержня приложены силы, которые
приводятся к паре сил в плоскости, перпенди-
кулярной оси стержня, то стержень работает
на чистое кручение. Через каждое се-
чение стержня передаётся скручивающий
момент Мк, который равен сумме моментов
всех пар, приложенных по одну сторону от
рассматриваемого сечения. При действии на
стержень поперечных сил скручивающий мо-
мент находится как момент внешних сил, рас-
положенных по одну сторону от сечения,
при этом момент подсчитывается по отноше-
нию оси, проходящей через центр изгиба (см.
стр. 251 и 309) перпендикулярно плоскости
сечения. В случае тонкостенного стержня кру-
чение при некоторых условиях может быть
также вызвано продольной силой или момен-
том, действующим в плоскости, перпендику-
лярной сечению стержня (см. стр. 298).
Величины полярного момента (мо-
дуля) сопротивления для круглых
сплошного и полого сечений — см. 1 и 2,
табл. 5.
Если вал ступенчатый или имеются выточ-
ки, канавки и пр., то напряжение гтах, найден-
ное по предыдущей формуле, является номи-
нальным и действительные напряжения
могут быть большими (см. стр. 205).
По касательным напряжениям, возника
ющим в поперечных и диаметральных сечениях
вала, могут быть определены нормальные и ка-
сательные напряжения для любой площадки в
рассматриваемой точке вала (см. табл. 2).
В точке С фиг. 38, лежащей у поверхности вала,
главные напряжения
\з =
Мл
wri
а2 =0. A8)
Главные напряжения аг и о2 действуют по
площадкам, расположенным под углом 45° к
оси вала перпендикулярно поверхности вала в
рассматриваемой точке.
Деформация элемента вала при скру-
чивании показана на фиг. 39.
Относительный сдвиг
Р
где G — модуль сдвига материала вала.
A9)

ГЛ. IV1
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ, СДВИГ, КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
205
Угол закручивания «р вала, т. е. по-
ворот в плоскости, перпендикулярной оси,
одного конца вала по отношению к другому
МЛ
(закон Г у к а при кручении).
Здесь Jn — полярный момент инерции сече-
ния; Мк — скручивающий момент, постоянный
моменту сопротивления Wp и полярному мо-
менту инерции Jp.
Работа упругих сил для участка
стержня длиной /
П = 2Мк* •
где у через Мк выражается по предыдущей
формуле.
Фиг. 38. Напряжения при скручивании вала круглого сечения: я — на
поверхности; бив—в плоскости поперечного сечения сплошного
и полого валов.
Фиг. 39. Деформация сдвига при
кручении: ODC и О"В{АХ площад-
ки в плоскостях поперечных сече-
ний.
по длине / вала; GJp — жёсткость вала круг-
лого сечения при кручении.
Если вал ступенчатый или Мк меняет-
ся по длине вала, то угол закручивания нахо-
дится как алгебраическая сумма углов по от-
дельным участкам:
-I V ^
G АА Jp
Значения Мк берутся из эпюры скручиваю-
щих моментов.
Работа упругих сил участка вала
с постоянным моментом Мк, длиной / при скру-
чивании
2GJ*
2/
8G
3. Стержень некруглого сечения. Попе-
речные сечения и радиусы при кручении
искривляются. В связи с этим касательные на-
пряжения распределяются по более сложному
закону, чем для стержня круглого сечения.
Точки, наиболее удалённые от центра тяже-
сти сечения, не совпадают с точками, имею-
щими наибольшие касательные напряжения.
Для всех видов сечения наибольшие
касательные напряжения ттах и
угол закручивания^ выражаются фор-
мулами, подобными формулам для стержня с
круглым сечением:
—
<Р =
GJ.
B1)
B1а)
Напряжение гтах направлено по касательной
к контуру сечения.
Значения WK [смь) и JK (смА) * для различных
форм сечения даны в табл. 5. Только для
круглого сечения W,, и J^ равны полярному
* В расчёте тонкостенных оалок величина JK обо-
значена Jd. см. стр. 309.
4. Концентрация напряжений (при дефор-
мациях в пределах упругости).
Эффективный коэфициент концентрации —
см. гл. V.
1)Вал с сопряжением частей по
круговой галтели. Наибольшие напря-
жения 'тах возникают в сечении с меньшим
диаметром у начала галтели (фиг. 40).
Пользование графиком — см. стр. 197.
О 0,02 - Q04 0,06 0,08 010 012-5
' а
Фиг. 40. Коэфициенты концентрации для вала
с сопряжением частей по круговой галтели.
Л1
Номинальное напряжение ты
Н
2) Вал с выточкой полукруглой
формы — см. фиг. 41.
3) Стержень круглого попереч-
ного сечения, имеющий нарезку. При
форме поверхности нарезки, приведённой на
фиг. 33, коэфициент концентрации
°ч —
- (формула Нейбера).

206
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. I
Таблица 5
Формулы для напряжений и угла закручивания при кручении [89, 1Щ
Сечение бруса постоянное на длине I (см). Скручивающий момент М к (кгсм), наибольшее касательное напряжение
в сечении -с (кг/см*), полный угол закручивания бруса длиной / (см) обозначен <р (радиан), модуль сдвига G (кг1см*).
момент сопротивления при кручении WK (см3), жёсткость на кручение GJK (кг • см?). Размеры сечения в см.
Величина JK при расчёте тонкостенных балок обозначена У^
Мк МК1
Общие формулы: * = ; <р = - -
Форма и размеры попе-
речного сечения
Формулы для J к (геометрическая харак-
теристика жёсткости при кручении)
Формулы для наибольших касательных
напряжений и точки сечения, где они воз-
никают
/. Сплошное круглое
сечение
— полярный момент инерции сечения
Мк
(в точках возле контура сечения)
2. Полое круглое сечение
[1 - а*] т 0,2еР [1 -««),
3Afv М и
—
0,1 Д* [l-a«J,
Jp - полярный момент инерции сечения
[] ;[ ]
(в точках возле наружного контура сечения);
d
(в точках возле внутреннего контура сечения)
3. Круглое сечение
с аксцентричным отвер-
стием j Где
32
*'=! +
[1 _ .., j.
16*'
16
4a>
32а»
1 — а»
(I - *>) A - а4) A -
4о= B+12а'+ 19а4 + 28а"+18а8
A,7а%Aв~в<)
A - e»TTl - а4) 0 - ав) A - о»)
4. Круговое незамкнутое
кольцо постоянной
толщины; t мало по
сравнению с г (средний
радиус)
блг + 1,88 ..
Т= BпгЬУ "М*
(в точках внутреннего и наружного круго-
вых контуров сечения)
5. Круглое сечение с кру
говым вырезом
JK= k'R\
к' — по таблице, в зависимости от вели-
Ми
(по дну выреза), к — по та-
блице, в зависимости от величины ~=
г
R
k
k'
о
-.5,
о,о5
о,8о
о,ю
О,82
0,20
o,8i
1,46
0,40
0,76
1,22
0,60
0,66
0,9a
0,80
0.,
1,00
0,3s
o,sa
1,5°
0,142

гл. IV)
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ, СДВИГ, КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
207
Продолжение табл. 5-
Форма и размеры попе-
речного сечения
Формулы для JK (геометрическая харак-
теристика жёсткости при кручении)
Формулы для наибольших касательных
напряжений и точки сечения, где они воз-
никают
6. Сечение вала с лыской
г
7. Сплошное эллипти-
ческое сечение;
Полое эллиптическое
сечение
~Н - Нв - ^1-
ьн ~ ьв
— - _^?. - «<ri
hu bu
2) JK= 18.9Z5*;
1в
^»!d-.n
Э,15-^- + 0,7
11,4 '
(в конце малой полуоси);
т
Т: = "лГ
(в конце большой полуоси)
(в конце малой полуоси);
т
(в конце большой полуоси)
9. Эллиптическое кольцо
постоянной толщины.
Длина средней линии,
обозначенной пунктиром,
s = к (а + Ь -8) ^1 +
' (а + bI J
(прибл.)
(при малом 8 напряжения распределены
равномерно)
10. Квадратное сечение
0.1406 о'
WK- 0,208a»;
_ Мк
Х~ 0,208а3
(в серединах сторон).
В углах касательное напряжение равно нулю

208
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 5
Форма и размеры попе-
речного сечения
Формулы для JK (геометрическая харак-
теристика жёсткости при кручении)
Формулы для наибольших касательных
напряжений и точки сечения, где они воз-
никают
Сплошное прямо-
угольное сечение
(приближённо)
ли
JK — k'ab3 (по точному решению Сен-
Венана),
где k' — из таблицы Сен-Венана, в за-
W'K= hub* (более точно),
где к — из таблицы Сен-Венана в зави-
симости от ¦
Ь '
висимости от
т= ——- (в серединах длинных сторон);
WK
т, = A,x (в серединах коротких сторон),
где fe, — из таблицы Сен- Венана в зави-
симости от
В углах касательное напряжение равно
нулю
Таблица Сен-Венана
а
~Ь~
I,OO
0,208
1,оо
о, 141
1,2О
O.2I9
°. 93
одбб
1.50
0,231
0,86
0,196
1.75
0,239
0,82
0,214
2,00
0,246
O.79
0,229
3,50
0,258
о,77
0,249
З.00
0,267
0,75
0,263
0,282
о,14
О.28Т
5.оо
0,291
о. 74
0,20.1
6,оо
о,299
°.74
O.29Q
8,оо
0,307
о.74
°,3°7
ю,оо
O.3I2
о,74
О.ЗГ2
о
0
о.ЗЗЗ
°.333
12. Вытянутый прямо-
угольник
13. Полый прямоуг ольник
JK= ~ (п - 0,63)Ь'
к = ~(п-0,63)Ь»;
(в точках длинной стороны, исключая точки,
близкие к углам);
т, - 0,74 т
(в середине короткой стороны)
_ 28», (о-8)'^
*~ аЬ + Ь\ - 5>
28, (а - 8) (Ь - «,)
(в средней части длинной стороны);
М
Tl~ 28 (а - 8) (Ь - 5,)
(в средней части короткой стороны).
При отсутствии достаточных закруглений
напряжения во внутренних углах могут быть
больше [см. формулу B3) стр. 211].

гл.
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ, СДВИГ, КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
209
Продолжение табл. 5
Форма и размеры попе-
речного сечения
Формулы для JK (геометрическая харак-
теристика жёсткости при кручении)
Формулы для наибольших касательных
напряжений и точки сечения, где они воз-
никают
14. Равносторонний
треугольник
К =
80
20М,
20
(в серединах сторон).
В углах касательное напряжение равно кулю
15. Правильный шести-
или восьмиугольник.
Площадь сечения = F
JK =
Для шестиугольника к' = 0,133.
Для восьмиугольника k' = 0,130
Х~ kdF
(в середине сторон).
Для шестиугольника k = 0,217.
Для восьмиугольника k = 0,223.
Непосредственно в самих углах касательное
напряжение равно нулю
16. Равнобочная трапеция
или треугольник.
С — центр тяжести тра-
пеции
В отношении жёсткости при кручении трапециеобразное и треугольное сечения могут
быть приведены к прямоугольному сечению (показанному пунктиром) той же высоты,
дающему ту же величину JK. Ширину b (или а), входящую в формулу JK для прямо-
угольного сечения (см. п. 11), находят построением, указанным на чертеже (слева)
П. Сечение в форме кли-
на; u> 4fti
a[b\ — b\\
18. Кольцо тонкостенное
произвольной формы
постоянной толщины.
s — длина средней линии,
обозначенной пунктиром;
F — площадь внутри
средней линии кольца
К =
AF4
- 0,105
(в точках длинных сторон ближе к широкому
основанию)
Т~ 28/
(при малом Ь напряжения распределены
равномерно)
79. Кольцо произвольной
формы переменной
толщины, s и F — см.
п. 18. Толщина в каком-
либо месте=8
К =
(формула Бредта)
Напряжение в точках на АВ:
Т~ 21F '
наибольшее т там, где 8 — наименьшее

210
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 5
Форма и размеры попе-
речного сечения
Формулы для JK (геометрическая харак-
теристика жёсткости при кручении)
Формулы для наибольших касательных
напряжений и точки сечения, где они воз
никают
20. Вытянутое сечение,
имеющее ось симметрии,
s — длина; F — площадь
сечения; J — момент
инерции по отношению
к оси симметрии
1 +16
Fs'
U— s ——
21. Вытянутое сечение
любой формы. 8 — тол-
щина нормально к сред-
ней линии; F — площадь
поперечного сечения;
ds — элементарная длина
по средней линии
где С
)
= f 8» ds
22. Сплошное сечение
компактной формы без
входящих углов. J —
полярный момент инер-
ции сечения по отноше-
нию к центру тяжести;
F — площадь сечения
40/
23. Двутавр с полками
постоянной толщины.
г — радиус закругления;
/)—диаметр наибольшего
вписываемого круга;
8 = Ь, если b < d
b = d, если d d
8. = d, если d > b
24. Однотавр с полкой
постоянной толщины.
г, D, 8 и IJJ — как в п. 23
25. Сечение в форме уголь
ника; г и D — как в п. 23;
b>d
@.15 +0.10-f
f)
JK = J + J + aDl
н к к
Для сплошных сечений неправильной
формы наибольшие касательные напряже-
ния можно принять возле точек касания
вписанного в контур сечения круга наи-
большего диаметра D и возле входящих
углов.
Если эта точка на прямой или выпуклой
части сечения, то
,- Мкс
-у- <-.
где
С=-
1 +
(-?-¦?)]
D— диаметр большего вписанного круга;
г — радиус закругления контура в точке
касания;
F — площадь сечения.
Если точка касания вписанного круга рас
положена на входящей части контура, то
Мк
--с
JK
С=-
1 +
16Я1
- 0,238
D, r, F — имеют те же значения, а ф — угол
(в радианах), на который поворачивается ка-
сательная при обходе по входящей части
контура
а= —0,15 +0,10
5i
0,07 + 0,076

ГЛ. IV]
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ, СДВИГ, КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
211
Продолжение табл. 5
Форма и размеры попе-
речного сечения
26. Сечение прокатных
балок. Рассматриваются
составленными из прямо-
угольников с размерами
bi X 8 t, причём b-t ><&¦
Г Г L-f
Формулы для J' (геометрическая харак-
теристика жёсткости при кручении)
'.-Ь.?(*Л)-
/=1
Значения о (по Феплю):
| а=1,30;
] 1,30 > ее > 1.0С
а=1,00;
: -j- «=1,17
Формулы для наибольших касательных
напряжений и точки сечения, где они воз-
никают
Наибольшее напряжение возникает в сред-
ней части прямоугольника, имеющего наи-
большую ширину 8 :
max
мк
1 ^, ,. SQ. max
При малом радиусе закругления напряже-
ния во входящем угле могут быть больше
[см. формулу B3I.
См. также стр. 309.
1
ления вала к диаметру вала меньше тл, то коэфициент кон-
центрации az = 2,0. Если продольное отверстие имеет форму
эллипса, то при малых размерах отверстия по отношению
к диаметру вала а^ находится по графику фиг. 42 в зависи-
мости от отношения -г полуосей эллипса. Наибольшее на-
пряжение — в точке А.
3,0
2,0
1,0
0 0.05 0,10 0.15 0,20 4
d
Фиг. 41. Коэфициенты концентра-
ции для вала с выточкой полу-
круглой формы. Номинальное
напряжение
\
\
<<
\
4^
/
1
ч
S
0
,\
-4
1
ч
—»
Фиг. 42. Коэфициенты концентрации
для вала с продольным отверстием не-
больших размеров. Номинальное на-
мк
пряжение-c^
f
о,г 0,3 ол
Фиг. 43. Коэфициенты кон-
центрации для вала круглого
сечения с шпоночным выре-
зом. Номинальное напряже-
ние
Здесь — — отношение глубины нарезки к ра-
диусу закругления впадины нарезки. Коэфици-
b
ент г, зависящий от ~г, определяется из гра-
фика фиг. 33. Номинальное напряжение нахо-
дится по сечению с меньшим диаметром.
4) Вал диаметром D с попереч-
ным отверстием. Если отношение попе-
речного размера отверстия к диаметру вала
меньше -г, то коэфициент концентрации на-
пряжений находится по графику фиг. 37 для
чистого сдвига.
Для круглого отверстия малого диаметра
*. = 2. Наибольшее напряжение возникает
на поверхности вала по контуру отверстия.
5) Вал с продольным отверстием.
Если отношение диаметра продольного свер-
0.2D3
6) Вал круглого сечения со шпо-
ночным пазом. Ксли шпоночный вырез
выполнен по полуокружности и отношение
диаметра выреза к диаметру сечения вала
равно 0,2, то коэфициент концентрации ах =2,0.
Для шпоночного (и шлицевого) выреза
Ъ
прямоугольного сечения при отношениях т- =
= 2,5; -ту = 0,1; -г = 1,7 коэфициенты кон-
центрации даны на фиг. 43.
7) Прокатный профиль. На контуре
входящего угла профиля, скруглённого радиу-
сом р, со стороны более широкой части сече-
ния создаётся концентрация напряжений. Коэ-
фициент концентрации [18]
az = 1,74 ]7 -
(формула Треффца).
B3)

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
Наибольшее напряжение хтах = аттл. Но-
минальное напряжение ън находится по п. 26
табл. 5 (см. формулу для ъ) для прямоуголь-
ника шириной Ьтах.
8) Гиперболический профиль
надреза и эллиптический про-
филь отверстия. Коэфициенты концен-
трации определяются по номограммам Нейбера
(фиг. 66). В таблице, прилагаемой к фиг. 66
(стр. 228), даны типы стержней, случаи нагруз-
ки, величины номинальных напряжений с ука-
занием номеров кривых и шкал, которыми сле-
дует пользоваться. Пример определения коэ-
фициента концентрации см. стр. 227.
5. Расчет на прочность при кручении
для стержней с постоянным или медленно из-
меняющимся сечением производится в зависи-
мости от характера действующих напряжений
и свойств материала по формулам в приве-
дённой ниже таблице. Обозначения: Мк —
скручивающий момент; WK — величина, зави-
сящая от размеров и формы сечения (см. табл. 5),
п — запас прочности (см. гл. V); Rs — допу-
скаемое напряжение при кручении (см. гл. V);
~SK — предел текучести при кручении; тйк—пре-
дел прочности (временное сопротивление) при
кручении; Ms — скручивающий момент, соот-
ветствующий пределу несущей способности
(см. стр. 273). Для стержня с круглым сече-
71
нием Ms = jn d%xs, где d—диаметр сечения;
для стержней с некруглым сечением Ms опре-
деляется экспериментально или по методу ана-
логии (см. стр. 410).
При расчётах на прочность формулы, при-
ведённые в таблице, применяются для реше-
ния следующих типов задач:
проверка прочности:
W~
B4)
определение размеров попереч-
ного сечения:
B5)
1
Характер действующих
напряжений и свойства
материала
Пластичный материал
при статической нагрузке
Запас прочности
Хрупкий материал при
статической нагрузке
При действии перемен-
ных напряжений.
х — максимальное
max
напряжение цикла
(см. гл. V)
Запас прочности:
*„—масштабный фактор;
ф—характеристика диа-
граммы Смита (см.
гл. V)
При отсутствии концентрации
напряжений
max" WK~ n ~Ks
п М*
при использовании несущей способно-
сти, связанной с пластическими деформа-
циями
, - М« ЧК R
max WK n **
Tmax „ RS'
(rr)$ — предел усталости с учётом аб-
солютных размеров и влияния поверх-
ности (см. гл. V)
"~ 1
tux- известные напряжения цикла
(см. гл. V)
При наличии концентрации напряжений
Мк V „
max ~ WK n s
(если материал нечувствителен к концен-
трации напряжений).
Если материал чувствителен к концентра-
ции напряжений, то берётся формула (*)
для хрупкого материала.
по моменту Ms предельной несущей спо-
собности (Ms — определяется экспери-
ментально)
М« ХЬк г т
max WK kxn *s K >
(если материал чувствителен к концентра-
ции напряжений), йт — коэфициент, отра-
жающий влияние концентрации напря-
жений и абсолютных размеров (см. гл. V)
^тах (Тл)<Э „
max wK n s,
("*г)д ~ предел усталости, определяемый
по диаграмме Смита (см. гл. V)
т- 1
Здесь (ftT)d — эффективный коэфициент
концентрации; т и т^ — амплитуда и сред-
нее напряжение цикла (об ограничении при-
менения этой формулы, а также данные для
её использования — см. гл. V)

ГЛ. IV]
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ, СДВИГ, КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
213
определение допускаемого скру-
чивающего момента:
MK,6on=WKRs. B6)
6. Мембранная аналогия Прандтля (ана-
логия с мыльной плёнкой). [68, 78]. Экспе-
риментальное решение — см. стр. 405.
При выполнении расчёта аналогия позво-
ляет наметить характер распределения каса-
тельных напряжений тв сечении произвольной
формы при кручении стержня и затем опре-
делить величину напряжений. Распределение
напряжений % сопоставляется с формой, ко-
торую принимает тонкая мембрана (мыльная
плёнка), натянутая на плоском контуре, имею-
щем форму сечения, и подвергнутая с одной
стороны равномерному давлению р (кг/см2)
Пленка
ГПТТТТТТТк^
и \ й \\ н \
Фиг. 44. Метод мембранной аналогии. Прямоуголь-
ное сечение.
Мембрана должна иметь малые прогибы. Тогда
(фиг. 44):
1) горизонтали поверхности мембраны яв-
ляются линиями касательных на-
пряжений, т. е. касательная it к гори-
зонтали в любой точке даёт направление каса-
тельного напряжения х в соответствующей
точке сечения;
2) объём V между поверхностью мембраны
н плоскостью контура (объём холмика напря-
жений) пропорционален скручивающему мо-
менту
MK = 2cV; (a)
3) в каждой точке поверхности мембраны
наибольшая величина тангенса угла наклона
касательной tgx^a пропорциональна каса-
тельному напряжению в соответствующей
точке сечения
т = с tg о; (Ь)
4) если постоянное натяжение мембраны
обозначено q (кг/см), то между величинами,
относящимися к скручиваемому стержню и к
мембране, имеется соотношение
мк Р
Jk Я
В случае полого сечения внутренняя часть,
соответствующая пустоте в сечении, рассма-
тривается как жёсткая невесомая пластинка,
воспринимающая давление р и могущая пере-
мещаться по вертикали. Уровень, который
займёт пластинка, определяется из условия
равенства нулю суммы проекций на направле-
ние сил р, приложенных к пластинке.
Пример применения. Сечение —длинный прямоуголь
ник размерами b\h. Если влиянием короткой стороны
Ь пренебречь, то давление, при-
ходящееся на площадь &ДЛ,
уравновешивается вертикаль-
ными составляющими натяже-
ния участка ДА плёнки у края
(фиг. 45)
Отсюда
и на основании формул (а) и (Ь)
рЬ мк
хтах-сатах ~с 2~ ~~f~'
Сечение плёнки, парал-
лельное короткой стороне, даёт
параболу с высотой в середине
f — —
Фиг. 45. Метод мем-
бранной аналогии. Сече-
ние — вытянутый пря-
моугольник.
Объём холмика напряжений (параболический ци
линдр), учитывая уменьшение его по концам.
=-§ (|- «
-0,62 Ь) =|. Щ.. ? (А^
Отсюда
рЬ
= 3
ft2 (Й-0,626)
7. Пружины, работающие на кручение.
Обозначения: D = 2г — средний диаметр пру-
жины, т. е. расстояние от оси пружины до
центра тяжести сечения рассматриваемого вит-
ка; d, a, b — соответственно диаметр сечения
витка, высота сечения (размер сечения, парал-
лельный оси пружины), ширина сечения; л —
число витков; / — общая осадка или удлине-
ние пружины под действием нагрузки Р; Е и
G — модуль продольной упругости и модуль
сдвига материала пружины; Rs — допуска-
емое касательное напряжение при расчёте пру-
жины (см. гл. V).
Если наклон витка пружины мал (а ^15°).
то напряжения и осадку вычисляют, учитывая
лишь скручивающие моменты Мк в поперечных
сечениях пружины:
Р
MK=2D B7>
См. также т. 2.
1) Цилиндрическая винтовая пру
жина с круглым сечением (фиг.46,а).
ШР
5
ВпСРР
малом
При большом шаге пружины в правую
часть формулы для /вводится множитель, рав-
ный (cos2 а 4-- sins а). Наибольшее напряже
ние тшах возникает в крайних точках сечения

214
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
витка, расположенных со стороны оси пру-
жины.
2) Цилиндрическая винтовая
пружина с прямоугольным се-
чением (фиг. 46, б):
DP . „
7~ 4СЛ
(при малом шаге);
Jk и k — см. табл. 5.
а) б) в) г)
Фиг. 46. Пружины, работающие на кручение.
При большом шаге пружины в правую часть
формулы для / вводится множитель (cos2 а -\-
+!•?¦'«••>•
3) Коническая пружина с круг-
лым сечением (фиг. 46, в):
8D/J .p
шаге);
L-
4 D*L P
Г те d* G
- развёрнутая
<при малом шаге); L — развёрнутая длина
пружины.
4) Коническая пружина с прямо-
угольным сечением (фиг. 46, г):
_ DP D^LP
' Rs'> f— ~8GJ~'
Определение kw. JK — см. табл. 5.
5) Пружин а, имеющая форму усе-
чённого конуса. Формула для хшах
остаётся той же, что в п. 3 и 4. Для опреде-
ления осадки / необходимо в формулах для
указанных случаев вместо D2 взять D2-\-Dl ;
здесь D и Do—наибольший и наименьший
средние диаметры пружины.
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
Общие понятия
Поперечный изгиб бруса вызывается
внешними моментами, действующими в пло-
скостях, проходящих через ось бруса (чи-
стый изгиб), и внешними силами, перпен-
дикулярными оси бруса (поперечный
изгиб). Осью бруса называется линия, со-
единяющая центры тяжести поперечных се-
чений. При поперечном изгибе ось бруса
искривляется. Брус, работающий на изгиб, на-
зывается балкой.
Простой (или прямой) изгиб по-
лучается, если изгибающий момент действует
в плоскости, заключающей в себе главную
ось поперечного сечения балки (главная
плоскость балки).
Нормальные напряжения о дают в сечении
внутренние силы, которые приводятся к ста-
тически эквивалентной им паре сил — изги-
бающему моменту М. Касательные на-
пряжения т дают в сечении внутренние силы,
которые приводятся к их равнодействующей
поперечной (или перерезывающей)
силе Q. При вычислении напряжений с и т
сначала требуется найти М и Q.
Условия возникновения скручивающих мо-
ментов при действии поперечной нагрузки—
см. стр. 251.
Поперечные силы и изгибающие
моменты
Поперечная сила Q(x) в каком-либо
поперечном сечении с координатой х равна
алгебраической сумме всех внешних сил, дей-
ствующих по одну сторону от рассматривае-
мого сечения (слева или справа). Поперечная
сила считается положительной, если внешние
нагрузки, действующие на левую (правую).
часть балки, дают равнодействующую, на-
правленную вверх (вниз), и наоборот (балка
предполагается горизонтальной).
Изгибающий момент М(х) в ка-
ком-либо поперечном сечении с координатойх
равен алгебраической сумме моментов внеш-
них сил, действующих по одну сторону от
рассматриваемого сечения (слева или спра-
ва) по отношению к центральной оси этого
поперечного сечения. Изгибающий момент
ЛЦх) считается положительным, если внеш-
ние нагрузки, действующие на левую (правую)
часть балки, дают момент по (против) часовой
стрелке, и наоборот. Иначе: изгибающий мо-
мент считается положительным, если балка
имеет выпуклость вниз, и наоборот.
При подсчёте Q (х) и М (х) в балках на
двух опорах необходимо сначала определить
опорные реакции. Если балка с одной стороны
опоры не имеет (консоль), то можно, пользуясь
той частью балки, где опоры нет, находить
Q (х) и М (х) без предварительного определе-
ния опорных реакций.
Определение опорных реакций — см. гл. П.
При соблюдении указанных выше правил
знаков между интенсивностью внешней на-
грузки р (х), поперечной силой Q (х) и изги-
бающим моментом М(х) в сечении х балки
имеются зависимости
Q(x) =
dx '
dM(x)
dx
A)
B)
(теорема Журавско го).
График значений Q (х) и М (х) для по-
перечных сечений балки называется эпю-
рой поперечных сил и соответственно
эпюрой изгибающих моментов. При
вычерчивании эпюр Q (х) и М(х) приме-
няется следующее правило знаков: положи-
тельные Q (х) и М (х) откладываются вверх,
отрицательные — вниз.
1. Аналитический способ построения
эпюр Q (х) и М (х):
1) Внешняя нагрузка — сплошная
переменной интенсивности р (х)
(фиг. 47); в частном случае р (х) = const

ГЛ. IV)
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
215
Поперечная сила и изгибающий момент
подсчитываются по формулам
Q(x) = А + § р(х) dx;
М(х) = Af0 + j Q(x) dx = MQ + Ax
Ртах
Mfx) Mmax
Фиг. 47. Эпюры p(.t),
Q(jr),iM(-*). Масштаб ор-
динат: дляр(д:) 1 си* =
"=т.р кг/см; для Q(t)
1 cM = m.Q кг; для ЛГ(.дг)
1 см—ти кгсм.
C)
Постоянные А и Ма соответственно равны
Q(x) и М(х) для х = 0. Интегрирование ве-
дется в пределах от х = 0
(начало участка балки)
до значения х, опреде-
ляющего на данном
участке сечение, в кото-
ром ищется усилие.
Графики Q(x) и М{х)
могут быть вычерчены
по точкам для ряда зна-
чений х на основании
уравнений C).
Из геометрических со-
ображений легко полу-
чить следующие зависи-
мости:
а) Тангенс угла на-
клона к оси х, касатель-
ной к линии Q(x), ра-
вен интенсивности р(х)
внешней нагрузки в сечении, где взята точка
касания:
tg a = р(х).
б) Тангенс угла наклона к оси х, касатель-
ной к линии М(х), равен поперечной силе Q(x)
в сечении, где взята точка касания:
tg р = Q(x).
в) Изгибающий момент М(х) равен площади
Qv эпюры Q между ординатой х = 0 и ор-
динатой в сечении х, сложенной с величиной
изгибающего момента Мо в сечении х = 0:
М(х) = Мо + J Q(x) dx = Мд + Qx• (За)
г) Поперечная сила Q{x) имеет максимум
или минимум в том сечении, где р(х) = 0.
д) Линия Q(x) имеет точку перегиба там,
где р(х) имеет максимум или минимум.
е) Изгибающий момент М(х) имеет макси-
мум или минимум в сечении, где Q(x) = 0.
ж) Линия М(х) имеет точку перегиба там,
где Q(x) имеет максимум или минимум.
2) Внешняя нагрузка — сосредо-
точенные силы. Перечисленные выше
в п. 1 правила сохраняются. При действии
только сосредоточенных сил Я,, Р2,... (фиг. 48)
на участке между двумя соседними силами по-
перечная сила остаётся постоянной, а изги-
бающий момент изменяется по закону прямой.
Линия Q(x) имеет вид ступенчатой линии, а
линия М(х) — многоугольник.
Для построения эпюр Q{x) и М (х) удоб-
но делать подсчёт ряда отдельных значений
Q(x) и М(х) для всех сечений, расположен-
ных на бесконечно малом расстоянии слева
и справа от мест приложения сосредоточен-
ных сил.
Пример. Балка нагружена сосредоточенными силами
(фиг. 48). Сначала определяются опорные реакции А и В.
Далее находятся отдельные значения Q{x) и М(х) в се-
чениях рядом с сосредоточенными силами:
Qa = А (в сечении a); Q = А (в сечении 1); Q —
= А — Р (в сечении 1') и т. д.; Ма — 0 (в сечении а);
Mi = М = Ас (в сечениях / и /'); М = М — Асх —
1 1 % 2
— Р (со — с ) (в сечениях 2 и 2') и т. д.Откладывая эти зна-
чения Q(jr) и Л1(х) в виде ординат в выбранном масштабе
и соединяя последова-
тельно концы ординат
прямыми, получаем
эпюры Q(x) и М(х).
Наибольший изгибаю-
щий момент—под внеш-
ней силой в том сече-
нии, где поперечная
сила меняет знак.
3) Внешняя
нагрузка — со-
средоточен-
ные моменты.
При действии толь-
ко сосредоточен-
ных моментов Mv
М2, • ¦ • поперечная
сила на всём про-
тяжении между
опорами не ме-
няется, а изгибаю-
щий момент остаёт-
ся постоянным по
отдельным участ-
кам балки между
местами приложе- •
ния внешних мо-
ментов. Если балка — консоль, то поперечная
сила равна нулю (фиг. 49, а). Если балка рас-
положена на опорах (фиг. 49, б), то возникаю-
щие вертикальные реакции вызывают попереч-
ные силы.
М(х)
Фиг. 48. Эпюры Q{x) и М(х)
для балки на двух шарнирных
опорах с сосредоточенными
нагрузками.
%
Чо
асф
т
J
0
' ^imiiiiiii
J
.1111
\
4
&
^
Фиг. 49. Эпюры Q(x) и М{х) для балок, нагружён-
ных сосредоточенными моментами.
4) Сложение эпюр. Любой слу-
чай нагрузки. Эпюры Q(x) и М{х) могут
быть построены отдельно от сосредоточенных
нагрузок и от сплошной нагрузки (фиг. 50).
Путём алгебраического сложения ординат эпюр
для отдельных нагрузок (принцип наложения)
получаются результирующие эпюры Q{x) и
М(х) для заданной сложной нагрузки.
Эпюры Q(x) и М(х) могут быть построены
без разложения нагрузки на простейшие: урав-
нения C) составляются для каждого отдель-
ного участка балки между точками приложения
внешних сосредоточенных сил и моментов.
5) Балка с любым направлением
сосредоточенных сил, перпенди-
кулярных оси. В этом случае расклады-
вают каждую силу на составляющие в главных

216
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. 1
плоскостях балки (или в горизонтальной и вер-
тикальной плоскостях) и вычерчивают для обе-
их групп сил отдельные эпюры Q (х) и М (х).
Геометрическое сложение для отдельных се-
Гипотенуза г, построенная, как по катетам, по зна-
чениям My^=v и Mfj — ft, даёт в рассматриваемом се-
чении вала величину суммарного изгибающего момента
Фиг. 50. Метод наложения (сложения)
эпюр.
чений значений Q (х) и М (х) даёт полную вели-
чину поперечных сил и моментов для этих се-
чений (суммарные Q и суммарные М).
Пример. На вал (фиг. 51) действуют силы, прило-
женные касательно к окружностям шкивов /, 2, 3. Равно-
действующие Р натяжений 5 в концах ремня пере-
носятся на ось вала О. Составляющие по вертикальному
Фиг. 51. Построение эпюры МСуММ для вала прн
поперечных нагрузках разного направления. Подшип-
ники вала рассматриваются как шарнирные опоры.
в горизонтальному направлениям этих равнодействую-
щих равны:
Vr1 = P1sina,; Vs=Pa sin «2; V3-P3 sinot3;
#i=PiCOS e^; Hz=P^cos *2', H3=P3cosa3.
К нагрузкам V прибавляются веса G шкивов. От верти-
кальных и горизонтальных нагрузок отдельно опреде-
ляются опорные реакции Ay, By, Ajj, Вц и строят-
ся эпюры изгибающих моментов My и Mjf.
М
сумм
Му+Мн.
2. Графический способ построения эпюр
Q (х) и М (х). Для заданных внешних сил Ри
Р2,... строятся (см. гл. I) силовой много-
угольник и соответствующий ему верёвочный
многоугольник. Для получения опорных реак-
ций в балке на двух опорах (фиг. 52) прово-
дятся крайние лучи до их пересечения в точках
а и Ъ с линиями действия опорных реакций.
В этих точках в поле сил оба крайних луча, за-
меняющие собой равнодействующую всех сил,
разлагаются по направлению реакций и замы-
кающей аЪ. Проведением в силовом много-
угольнике через полюс луча OS, параллельного
Г
Фиг. 52. а — эпюры М (х) и Q (х), полученные графически;
сосредоточенные силы в пролёте; б— балка с консолями;
в — балка со сплошной равномерной нагрузкой.
замыкающей ab, находятся опорные реакции
А и В.
Для получения в каком-либо сечении х
балки изгибающего моментам (л:) = QAr следует
измерить отрезок у в масштабе расстояний
поля сил A см чертежа = т метров) и умно-

ГЛ. IVI
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
217
жить его на полюсное расстояние, измеренное
в масштабе плана сил A см чертежа = п тонн).
М(х) = (тп) уН (тм).
Изгибающие моменты по длине балки
изменяются по тому же закону, что и вели-
чины отрезков у заштрихованной на фиг. 52, а
площади. Масштаб получен-
ной эпюры моментов: 1 см
чертежа = тп Н тм.
Эпюра поперечных сил
Q (х) получается графически
переносом соответствую-
щих ординат из силового
многоугольника,как показа-
но в нижней части фиг. 52, и.
Для балки с консолями
построение эпюры изгибаю-
щих моментов дано на
фиг. 52, б.
Для балки со сплошной
нагрузкой эпюра фиг. 52, в
строится тем же.способом.
Грузы располагаются на бес-
конечно малых расстоя-
ниях, и верёвочный много-
угольник обращается в ве-
рёвочную кривую. Для вы-
черчивания верёвочной кри-
вой сплошная нагрузка за-
меняется рядом сосредото-
ченных сил 1, 2, 3; ...,
строится по ним верёвочный
многоугольник и вписывает-
ся в него верёвочная кривая.
Эпюры Q (х) и М (х) статически неопреде-
лимых балок — см. гл. II, а также [6, 57].
3. Значения опорных реакций, уравне-
ния Q Хх) и М (х) для основных случаев на-
грузки статически определимых и защемлён-
ных балок даны в готовом виде в табл. 9.
В случае любой более сложной нагрузки мож-
но её представить как наложение простейших
нагрузок, рассмотренных в табл. 9. Алгебраиче-
ское сложение опорных реакций Q (х) и М (х),
взятых по табл. 9, даёт искомые величины реак-
ций и усилий для заданной сложной нагрузки.
Напряжения в балках. Расчёт
на прочность
Если одна из главных осей сечения балки
лежит в плоскости действия изгибающего
момента, то другая главная ось, перпендику-
лярная первой, является нейтральной
линией. Нейтральная линия проходит через
центр тяжести сечения. В точках сечения,
лежащих на нейтральной линии, не возникает
в поперечном сечении нормальных напряжений.
Нейтральные линии сечений образуют ней-
тральный слой балки. По одну сторону
нейтрального слоя находится часть балки, рабо-
тающая на растяжение, по другую — на сжатие.
Волокно балки (фиг. 53), расположенное
на расстоянии у от нейтрального слоя испы-
тывает относительную линейную деформацию
Здесь dx — расстояние между двумя попе
речными сечениями, образующими при изгибе
между собой угол dy; p — радиус кривизны
оси балки при её деформации.
Линейному закону, выраженному форму-
лой D), для деформации соответствует при
0"=бтщ
Нейтральная
Фиг. 53. Зависимости между деформациями и напряжени-
ями при чистом изгибе. Изгибающий момент в главной
плоскости балки.
постоянном величине модуля упругости Е ли-
нейный закон для напряжений (гипотеза Навье):
М
E)
Здесь М — изгибающий момент рассматри-
ваемого сечения; J — момент инерции сечения
по отношению к нейтральной линии.
Линейный закон распределения продоль-
ных деформаций неприменим для коротких
балок (приблизительное отношение длины /
к высоте h сечения балки —г- < 6), а также
в зонах концентрации напряжений и местной
деформации, вызванной сосредоточенной силой.
Решение задач см. стр. 227 и 382.
1. Напряжения, вызываемые изгибаю-
щим моментом в прямых балках при дефор-
мациях в пределах пропорциональности.
Главная ось сечения балки (фиг. 53) лежит
в плоскости ху действия изгибающего момен-
та М. Центробежный момент инерции сечения
dx
-у
D)
(прямая балка).
Нейтральная линия (ось z) перпендикулярна
плоскости действия изгибающего момента.
Нормальное напряжение в поперечном сечении
М
° = -j-y, G)
где J — осевой момент инерции сечения по
отношению к нейтральной линии, совпадаю-
щей с осью z и проходящей через центр тя-
жести сечения; у — расстояние от оси z до
точки сечения, в которой определяется а.
Наибольшие нормальные напряжения в се-
чении возникают в точках, наиболее удалён-
ных от нейтральной линии:
(8)

218
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Площади, положение центра тяжести, моменты инерции и радиусы инерции
для основных форм сечений [89, 116]
Таблица 6
Форма сечения
Площадь
сечения
F
Расстояния у>! иуз
от центральной
оси 1 1 до край-
них точек сечения
Моменты инерции
У, и Ja и моменты
сопротивления
J
-Ч шах
^1 max
по отношению к осям
1 1 я2 2
Радиусы инерции
1. Квадрат
1
\
h
h
1
Любая центральная ось—главная
12
6
эллипс инерции—круг
2. Квадрат. Балка поставлена
на ребро
F=a>
Ly?-XyJ
Любая центральная ось — главная
'I—,- 12 .
№,= ^=0,118 А3.
Срезка верхнего и
нижнего углов уве-
личивает Wt; при
срезке углов на '/ш
диагонали W дости-
гает максимума,
равного 0,124 h3
эллипс инерции—круг
3. Квадратное полое сечение
г
у2
F = Я» — Аа
= Л =
12
Hl-h4
Любая центральная ось —главная
эллипс инерции—круг
4. Прямоугольник
2
F = bh
*,=
ft/23.
12 :
bh\
6 ;
"ТГ1
i, = 0.289Л; f, = 0,289ft
Оси 11 и 2 2— главные
центральные
5. Сечение из двух равных
прямоугольников
У у =
н
b
12
12
F= b(H-h)
12
0,289ft
У
Оси / / и 2 2 — главные
центральные

ГЛ. IV]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
219
Продолжение табл. б
Форма сечения
Площадь
Расстояния ух иуа
от центральной
оси 1 1 до край-
них точек сечения
Моменты инерции
У, и J% и моменты
сопротивления
-^lmax
по отношению к осям
1 1 и 2 2
Радиусы
инерции
6. Повёрнутый прямоугольник
F = bh
_ Л coso-f-ftsina
J=-
_bh Aacossa-T-&ssin!la
~ 6 ' A cos a-\- b sin «
Ось 11 — центральная
12
7. Симметричное сечение, со-
ставленное из прямоугольников
F=BH + bh
Н
Ось 11 — главная централь-
ная
W =
BH* -\-bh*
12
BH3 + bh*
BH3 + W
12 EЯ + ftA)
8. Симметричное сечение, со-
ставленное из прямоугольников
Ось 11 — главная Централь-
ная
F=BH — bh
Н
BH3 —
12
ВН3-
bh?
- bh*
,,=/.
BH3 - bh*
12 (BH — bh)
9. Несимметричное сечение, со-
ставленное из прямоугольников
F=aH + bc
( _ 1 аН* -f- be'
(l~T' аН + Ьс
у'=Н-у,
Ось 11— центральная
i / « .,»
\ = — I ДУ1 — *"
^!= —i- (ДЛЯ НИЖНИХ
волокон);
W = -Л" (Для верх-
них волокон);
10. Несимметричный двутавр,
составленный из прямо-
угольников а — Ь — Ьх
Ось 11 — главная центральная
+ Ai) + 5с
—Bh
Й- I
<з - ¦
'3^1 1
+ by'*—b h'
-I"
II
1 = — (для нижних
волокон);
W =—г (Ддя верхних
волокон)

220
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 6
Форма сечения
1
Ось ;
j
Ось /
.. Треугольник
О
1 — центральная
12. Трапеция
с, у^^^П
t l
L— ?_J
1 — центральная
13. Правильный многоугольник
(
• n сторонами
J 2
\
1
\
Оси /
14.
a 2 — главные
тральные
цен-
Сплошной круг
Любая
ч
центральная ось —
главная
15. Круглое сечение,
1
L
Люба*
Оси .'
( центральная с
главная
16. Полукруг
2
г
полое:
-\
JCb —
1 и 2 2 — главные
центральные
17. Круговой сегмент
Площадь
сечения
F
1
„ (b+b')h
4
F=— (Z)J— d?
4
Г~ 8
Расстояния _у, и_у2
от центральной
оси 1 1 до край-
них точек сечения
1
' 2
Ух -Т*
b -f- 2b'
>J 3(b + b') П'
1 3 (b + b')
2 sin a '
a
y' 2 tea
a
Ух 2
D
Ух j"
yx = 0,2122d;
y^ - 0,2878d
Cm.
Моменты инерции
У, и /а и моменты
сопротивления
IT/ ^3
max
по отношению к осям
1 1 и 2 2
W!— -г^- (для нижних
волокон);
Wi ¦¦ -йт- (Для верх-
них волокон)
- /Z @ 1 'l^t' т 0 )t
C6F + ft')
,w -A /
' Л
волокон)
( ' М
/^ 1 D_yi " Я 1
7 •
24
, _ \ -^а /
1 48
64
» 0,05 D4( 1 — а*);
32
« 0,Ш3 A — а1)
У2=0,00686d*;
J — «0 0°5d*
128
график фиг. 54
Радиусы
к-у
и=У 1
i =
Г
1 _1 /
1/
г
i Л/
инерции
-? и
г
i сечения
0.236Л
+
+
>>
to
II
9 1
6Vi — Л
94 '
48
_ d
эллипс инерции — круг
(/)• + #) ;
эллипс инерции — круг
ii=C
4

ГЛ. IV)
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
221
Продолжение табл. б
Форма сечения
18. I
в»
Оси ;
<руговой сектор
Y
1 и 2
^^
/ft*?'
2 — главные
центральные
19. Половина круглого
1
¦ j,
т
J L1
Kvr
111
>;
полого
Ось / 1—главная центральная
20
Г
Тонкое кольцо
f\
'+
i
Любая центральная ось—главная
21. Сектоо тонкого
\
I
2
<Ж^5
?
1 л 2
2—гл
центральные
кольца
у
22. Сплошной эллипс
i;
О"
1
L
У?
Оси /
1
к
И^
w_
Г и 2 2
•i
; *.
|
t
у,
— главные
центральные
Площадь
сечения
F
D'
4
8
F=*Dt
F=* " ab
4
Расстояния yt и у3
от центральной
оси / / до край-
них точек сечения
,Dt 2sinay
,21 3a '
1 v /
sin a
У ~D ч» ' •
¦'l oa
2
y>.—-^,— X
D1 + Dd + dP
D + d
' D
D
.Vi— 2
D 1 sin а
У1 2 1 a
— cos a j;
' DI sin a\
I ¦ ]
a
-Vl 2 '
Л- 2
Моменты инерции
Jl и Уа и моменты
сопротивления
Y' ^гаах "
IF У*
по отношению к осям
1 1 и 22
Л = j-l a + sin a cos e—
16 Sin» a\
9a J '
D*
/а =-^т- (a— sin a cos «)
волокон);
W -—у (для верхних
у,
волокон);
2 Л
1 ?> sin к
Jj = 0.Р0686 (О* — </*)—
0,0177 D? (D-d)
D + d
Если отношение —
очень мало:
3
/=0,038^!
Л - — t;
~" 4
Л=~о~( a+sine cos a—
2 sin» a \
a J'
Ji=—~ (a — sin * cos «);
Wt = —- (для нижних
W =—у- (для верхних
волокон);
,V7 2J«
? itc*A t r -nab*
'"" 64 ' * 64 '
Wl~ 32 '
na ft'
1Г'~ 32
Радиусы
*.=
>
I,
e
«
s
/
«
<o
a
cos
+
r
II
инерции
/~~JT
F
Г,
Т
в
а»
в
и
сечения
S
о
в
а
¦-
в
V
/¦
у
с» к
II
.—
—=
i—0.353 О
e
1
a
о
в
п
+
а
',-
h ¦
a
4
й
" 4
и
«
.5
1
>
1
-г

222
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
Продолжение табл. б
Форма сечения
Площадь
сечения
F
Расстояния yt и у3
от центральной
оси 1 1 АО край-
них точек сечения
Моменты инерции
Л и J2 и моменты
сопротивления
-^2 max
по отношению к осям
1 1 и 2 2
23. Полый эллипс
й-(л—I*.);
Оси 1 1 и 2 2 — главные
центральные
24. Сечение волнистого желе-
за. Волны составлены из пара-
болических дуг. F, J, W— на
1 м ширины
.-JaM-».•:)
— / Bft
+ 5.2А)
*,= !(*+ 2,6/);
а = 1 (ft - 2,6/);
2Л
/ BЬ + 5,2Л)
h+ t
25. Сечение балочного волни-
стого железа. Волна имеет
форму дуги круга. F, J, W— на
1 м ширины
i
Л =-7( T«- + fcJA, +
+ A.J /.
где
A +
2
rzbh
где
з V
2Л
A+ i
26. Сечение железнодорожных
рельсов с обычным отношением
между размерами сечения. Вы-
сота рельса к (см) (формулы
приближённые)
F т 0,238 Л»
у, т 0,5 Л
7, м 0,032 Л*;
Wi * 0.C61 h3
f, ~ 0,37 Л
27. Сечение прокатных балок
стандартных размеров. Высота
сечения А (ел*) (формулы при-
ближённые)
(ft + 2K
Двутавр на ребро Wx * — -=-.—— (см3)
Швеллер на ребро Wt ~ -—гт— (см3)
ol
28. Сечение любой формы.
Формулы могут быть исподьзо-
ваны только для ориентировоч-
ной оценки величины момента
инерции и момента сопроти-
вления относительно централь-
ной оси
Для сплошного сечения Jt m
\ЧЬ
F1
Для сплошного симметричного сечения W2 » ~2п~
/=•* Г F (b - h) I .
Для полого сечения У, ~ —— 5 Н ^—т-,—- /
6J L on i
Для полого симметричного сечения W, ~ — 5 Ч ., f
Зо L on j
F—площадь внутри наружного контура сечения;
А и Ь — высота и ширина сечения;
s и / — длина периметра и толщина (для полого сечения)
с ошибкой при-
близительно до
15%
с ошибкой при-
близительно до
25%

ГЛ. IV]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
223
В зависимости от формы сечения могут
быть следующие случаи:
а) Центр тяжести сечения не
расположен в середине высоты
сечения. Расстояния от нейтральной линии
до крайних сжатых и растянутых волокон не
равны между собой. Расчёт напряжений для
этих волокон ведётся отдельно:
к нейтральной линии части сечения, отсекае-
мой прямой, параллельной нейтральной линии
и проведённой от неё на расстоянии у.
Сечение ограничено криволи-
нейным контуром (или наклонными ли
ниями). Сила Q направлена по оси симметрии
сечения. Касательное напряжение у контура
м_
J-
м
м
W
W
X/OF/lP
0.1203-
(8а)
0J0
где
-^-=W, — =W (8b)
У
Ух
У,
моменты (модули) сопротивления
сечения для растягиваемой и сжа-
той сторон балки.
б) Центр тяжести сече-
ния расположен в сере-
дине высоты сечения. В та-
ком случае у1 = уш = -у и W'=
= W— W. Величины наибольших
растягивающих и сжимающих на-
пряжений равны между собой-
0.02
О 0J 0,2 0,3 0?
И/О
0 0.1 Q? 0.3 Oft 0,5 0,6 0/0,80,9 {О
И/О
Фиг. 54. Неполный круг и сегмент. Положение центра тяжести (раз-
мер х), площадь F, момент сопротивления W, момент инерции J в зави-
симости от — ¦— (шкалы слева — для левых кривых, шкалы справа — для
правых кривых).
м
h
М
Значения J и W даны в табл. 6 и на фиг. 54.
Для сечений, не имеющих оси сим-
метрии, в случае, если плоскость действия
изгибающего момента совпадает с главной
центральной осью сечения, также применимы
формулы F) — (9).
Однако необходимо учитывать дополнитель-
ные напряжения, возникающие в связи с кру-
чением — см. стр. 251 и 298.
Если ось балки криволинейная, то
приведённые выше формулы применимы с до-
статочной точностью лишь в случае малого
искривления оси. Получаемая ошибка зависит
от отношения радиуса R6 искривления оси к
R
высоте h сечения балки. При —^^510 ошибка
в случае прямоугольного сечения не превос-
ходит 3,20/0 (см. стр. 257).
Расчёт напряжений в тонкостенных бал-
ках — см. стр. 298.
2. Напряжения в поперечном сечении,
вызванные поперечной силой. Поперечная
сила Q при Н1ЛИЧИИ изгибающего момента
даёт в поперечном сечении касательные на-
пряжения т.
Прямоугольное сечение. Попереч-
ная сила Q совпадает с осью симметрии сечения.
Касательные напряжения на расстоянии у от
нейтральной оси параллельны Q, постоянны
по ширине сечения и вычисляются по фор-
муле
сечения направлено вдоль контура и вычи-
сляется по формуле
QS
Jb cos в
A0а)
Здесь 6 — наклон по отношению к напра-
влению Q, касательной к контуру в рассматри-
ваемой точке; Ь — ширина сечения в этом же
месте.
Для основных форм сечений распределе-
ние касательных напряжений -с — см. фиг. 55.
Сечения тонкостенных балок — см. стр. 298.
3. Главные напряжения. В точках 1 и 2
(фиг. 56, а), наиболее удалённых от нейтраль-
ной линии, получается линейное напряжённое
состояние. Главное напряжение по площадке
М
поперечного сечения а = =, где М и W —
изгибающий момент и момент сопротивления
для рассматриваемого сечения тт. Два
других главных напряжения равны нулю.
В точках 3, лежащих на нейтральной линии
балки, имеет место чистый сдвиг. Величины т
и i' = 1 находятся по формулам A0) и A0а).
Главные напряжения а1 3 = + х действуют по
взаимно перпендикулярным площадям, распо-
ложенным иод углом 45° к нейтральному слою
балки и плоскости поперечного сечения. Глав-
ное напряжение а2 = 0 относится к площадке,
перпендикулярной нейтральному слою и попе-
речному сечению балки
В точках 4, расположенных на расстоянии у
от нейтральной линии, главные напряжения
где J — момент инерции всего сечения относи-
тельно нейтральной линии; Ъ — ширина сече-
ния; 5 — статический момент по отношению
+ 4т^
(И)

224
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
{РАЗД.
2—квадрат, поставленный на ребро:
6Q 17 ft V ,1 3 Q
/—прямоугольник: ty = -^~ \.~2~i ~ y Г T = ~2~ ~wT '
3—круг:т=—^j- -^ s-f — I — (на нейтральной линии), где г — расстояние от центра тяжести сеченая
1,591
шах *=
-кольцевое сечение (тонкостенное): т = 2 ¦
Q (Л'-ЛО „
5—двутавр: т,
Момент инерции по отношению к нейтральной линии: Jx ~
bh3 -(Ь- *,) А,
12 ~
Фиг. 55. Касательные напряжения при поперечном изгибе.
Углы ср0 наклона к нейтральному слою нор- части у начала закругления (точка А, фиг. 57).
малей двух взаимно перпендикулярных главных Наибольшее напряжение в плоском стержне
площадок, на которые действуют эти главные
напряжения (фиг. 56, б), определяются из фор- ашат = аяан ; A2)
мулы
„ 2ху номинальное напряжение
tg2fo = -rZ-- (Па)
Наибольшие касательные напряжения
к, min = + тг
(lib)
М
Коэфициент концентрации а0 берётся по
Здесь ay, ^-напряжения в рассматриваемой графику фиг. 57; Ъ - ширина сечения балки,
точке по площадкам поперечного сечения
Фиг. 56. Распределение напряжений по высоте
сечения балки.
и определяемые по формулам G), A0), A0а).
Главное напряжение а2 = 0и относится к пло-
щадке, перпендикулярной нейтральному слою
и поперечному сечению балки.
4. Концентрация напряжений (при дефор-
мациях в пределах пропорциональности).
Эффективный коэфициент концентрации —
см. гл. V.
' 0~ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0/ 0,8 0,9fi/h
Фиг. 57. Коэфициенты концентрации при изгибе в плоско»
1) Стержень С сопряжением ЧЭ- стержне с сопряжением частей по круговой галтелв
гтр« ппк-nvrnnnu гяптртти Няибплк о—схема нагружения балки и эпюры номинальных напр»-
СТеи ПО КруГОВОИ галтели. ПаиООЛЬ- жений; <5_Эпюры номинальных и действительных напр»
шие. напряжения оща1 возникают в более узкой жений по сечению тт.

ГЛ. IV]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
225
Если стержень имеет круглое сечение, то
коэфициент концентрации
0,25
(см. стр. 197).
2) Стержень с надрезом полу-
круглой формы. Коэфициенты концентра-
ции даны на графике фиг. 58. Если стержень
имеет круглое поперечное
сечение, то применяют фор-
мулу пересчёта:
метром d <! ~~-h определяется по графику фиг. 60
о
в зависимости от формы отверстия. При этом
М
где J— момент инерции сечения нетто. Резуль-
таты подсчёта достаточно точны, если уА <; с.
Mlh--2D0
ММ50—
H/h425
HMJO
(см. стр. 197).
3) Плоский стер-
жень с остроуголь-
ным надрезом. При ма-
лой глубине t надреза для
0,5 0,6 07 0,8 0,9 P/h
Фиг. 58. Коэфициенты концентрации при изгибе плоского
стержня с надрезами и полукруглой формы. Номиналь-
ное напряжение зя = -jrp- ¦
малого радиуса р по дну надреза коэфициент
концентрации аа в зависимости от угла р над-
реза приведён на фиг. 59. Ширина сечения
равна Ь. При необходимости уменьшить кон-
центрацию напряжений рекомендуется увели-
чивать радиус р по
дну надреза,как по-
казано на фиг. 59.
4) Влияние
отверстий. При
определении кон-
центрации напря-
жений у отверстий
малого размера по
сравнению с шири-
ной и высотой бал-
ки можно пользо-
ваться коэфициен-
тами концентрации
для простого растя-
жения — сжатия.
8
\
?=0,139
л
\
0 60° 120° 180 $
При этом номи-
нальное напряже-
ние ая находится
для волокна, по ко-
торому получается
концентрация на-
пряжений.
Коэфициент концентрации <ха при наличии
на оси плоской балки малого отверстия диа-
Фиг. 59. Коэфициенты концен-
трации при изгибе плоского
стержня с остроугольными над-
резами. Номинальное напря-
ЬМ
жение °н = щ^
а 1
Фиг. 60. Коэфициенты концентрации при изгибе
балки с центральным отверстием; уд < с.
Вал круглого сечения с поперечным от-
верстием в плоскости изгиба (фиг. 61). Наи-
большие напряжения возникают у краёв отвер-
стия в точках, лежащих на концах диаме-
тра, перпендикулярного направлению оси
стержня:
5) Вал с напре с совкой, имею-
щей острый край. Коэфициенты кон-
центрации аа даны на графике фиг. 62 в зави-
симости от отношения длины ступицы / к диа-
метру вала d и отношения нормальных (сред-
них) давлений р в напрессованной детали
(натяг) к номинальному напряжению aw от из-
гиба вала. Наибольшее нормальное напряжение,
получаемое на краю ступицы:
45
2,8
2.6
[
\
\
\
ч
1
4
\
S,
Ч
•ч
ч^
f
1
—т
_1
¦р—
J
ъ
«ч«
14
0,08 0,12 0,16 0?0 Q24 0.28 0,32 a/d
Фиг. 61. Коэфициенты концентрации для вала
круглого сечения с поперечным отверстием в
плоскости изгиба. Номинальное напряжение
Л1
6) Входящие углы. Сопряжение
двух концов плоских стержней
(жёсткий угол) — см. фиг. 63. По графикам

226
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
2.0
IS
10 0 0.2 0.4 0.6 O,8~VT V l/Q
Фиг. 62. Коэфидиенты концентра-
ции для вала с напрессовкой. Но-
М
минальное напряжение ан = ¦ ¦ ,
-
-
1
1
1 /
'?&
/
у.
/>
/
s
/
.—
У
^Л
.—¦
——'
р/би - U^
*—-
О? 0,4 US Opfilb 0 Q? Off ОБ Oj&fi/h
Фиг. 63. Коэфициенты концентрации при сопряжении двух стержней: а—чи-
стый изгиб; б и a — изгиб с поперечной силой. Номинальное напряжение
6Рс
фиг. 63 для чистого изгиба и для изгиба
с поперечной силой, отвечающему одному из
„ с
соотношении —
Л
бНонтур%
180
можно получить, применяя
ft А'
Входящий угол в основании зуба. Шири-
на сечения Ь. Наибольшее растягивающее
напряжение в основании зуба
Ph
4
Внцтр. кра
Фиг. 64. Распределение напряжений по внутреннему кон-
туру при сопряжении двух стержней (в % по отношению
} Чистыи изгиб-
пересчёт по пропорции, величины <х9 для лю-
, с
ООГО -г- •
п
Распределение напряжений при чистом из-
гибе по контуру закругления приведено на
фиг. 64 для различных j- .
<*в
3.0
Коэфициенты концентрации аа и обозначе-
ние размера t см. на фиг. 65.
7) Гиперболический профиль
надреза и эллиптический профиль
отверстия. Значения коэфициентов концен-
трации определяются по номограммам Нейбе-
ра [54] (фиг. 66). В таблице к номограммам
(гтр. 228) даны типы стержней и надрезов, спо-
собы нагрузки, величины номинальных напря-
жений и номера кривых и шкал, которыми
следует пользоваться.
Профиль надреза — гиперболический, про-
филь отверстия — эллиптический. Коэфициент
концентрации для мелких надрезов обозна-
чен a'k, для глубоких надрезов - ak. Для надреза
любой промежуточной глубины коэфициент
концентрации ak определяется по интерполя-
ционной зависимости
Фиг. 65. Коэфициенты концентрации а3 в основании зуба: а — обозначение размеров: ABC — квадратная парабола,
вписываемая в контур, как показано на чертеже; размер /—между точками касания; 6— о3 при а с 0, р =0, <р=90°;
« — «„ при в = 0, 9 = SO't ~т= 0,225; г —распределение напряжений по контуру (слева-сжатие, справа—растяжение))
при -L = 0,23; -у- = 0,56; а = 0; р = 15е; <р = 90°.

ГЛ. IV}
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
227
Прамеры. 1. Определить коэфициент концентрации
для плоского стержня с местным симметричным утоне-
нием при чистом изгибе. Форма ослабления принимается
по типу / таблицы. Размеры: а — 95 мм, t = 15 мм,
( = 2.5 мм.
Подсчитывается:
\Г
\ - 2.45;
, 6.16.
Этому геометрическому типу и рассматриваемому
случаю нагрузки (чистый изгиб) соответствуют шкала ft
и кривая 2 верхней номограммы. На этой номограмме от
значения [/ — = 6,16 проводим вертикальную линию до
' Р
пересечения с кривой 2. От точки пересечения прово-
дится горизонталь до пересечения её с осью ординат.
От этой точки пересечения проводится прямая через точку
1/ — =2,45 на шкале b левой части номограммы. К полу-
" Р
чившейся наклонной линии проводится касательная окруж-
ность с центром О (на номограмме не нанесена, точка
касания обозначена кружком). Радиус этой окружности
наёт величину искомого коэфициента концентрации
аы = 4,28 т 4,3 ( •= а3).
2. Определить коэфициент концентрации для полого
стержня круглого поперечного сечения при чистом изгибе,
имеющего выточку по форме типа 5, указанной в левой
части таблицы. Размеры: г — 25 ми; а - 13 мм, t — 36 мм;
»=4 мм.
Подсчитываем:
V 7 ~
3,00,
У
Этому геометрическому типу и случаю нагрузки
(чистый изгиб) соответствуют шкала b и кривая 5 на верх-
ней номограмме и кривая 2 на нижней номограмме.
На верхней номограмме делаются те же построения.
что и в предыдущем примере для
= 3,00. Радиус окружности с центром О, касательной к
наклонной прямой, даёт величину вспомогательного коэфи-
циента а = 3,6, соответствующего /--юо .
Шкала для этих коэфициентов нанесена по оси абс-
цисс налево в нижней номограмме. По нижней номограм-
ме от точки т/ — = 2,50 проводится вертикаль до
пересечения с кривой 2 и от точки пересечения прово-
дится горизонталь до пересечения с осью ординат. По-
следняя точка пересечения соединяется прямой с точкой
«j на левой части оси абсцисс. Радиус окружности каса-
тельной к этой наклонной прямой даёт величину искомого
коэфициента концентрации (а)/--* «> = 2,08 ~ 2,1 ( = аа).
8) Учёт местных напряжений. Вблизи
точки приложения сосредоточенной силы воз-
никают местные перераспределения напряже-
ний. Напряжения, дополнительные к получае-
мым по элементарным формулам G) и A0), на-
ходятся одним из следующих способов:
а) Дополнительные местные напряжения
вычисляются по формулам контактных на-
пряжений (для зоны приложения сосредоточен-
ной силы).
б) Дополнительные местные напряжения о-'х
и аг по площадкам поперечного сечения под
силой и по площадке, к ней перпендикулярной,
для балки прямоугольного сечения находятся
по формулам
р
яу~ *h
у \3
h
1 + 3tf-j-
(приближённые формулы Тимошенко) [78].
Здесь Р — величина сосредоточенного давле-
ния на единицу ширины балки; h — высота
сечения балки; у — расстояние от оси балки
до рассматриваемой точки сечения, отсчиты-
ваемое в направлении силы Р.
в) Точное решение, полученное методами
теории упругости F8, 78), позволяет дополни-
тельные местные напряжения выразить так:
Р
T-V =ТЛ
(метод Кармана и Зеевальда).
Значения а, {}, у даны на графиках фиг. 67
" У х /,
для различных отношении ^- и -¦¦• (/г — высота
сечения). На основании графиков можно уста-
новить, что местные напряжения очень быстро
уменьшаются с увеличением расстояния от точ-
ки приложения силы, и на расстоянии, равном
высоте балки, ими можйо пренебречь.
5. Расчёт на прочность. Расчёт на проч-
ность при изгибе для балок с постоянным или
медленно изменяющимся сечением при отсут-
ствии концентрации напряжений производится
в зависимости от характера действующих на-
пряжений и свойств материала по следующим
формулам:
1) Для пластичных материалов при стати-
ческой нагрузке по пределу текучести:
A3)
W
где Rb — допускаемое напряжение при изгибе
(см. гл. V); при использовании несущей спо-
собности, связанной с пластическими дефор-
мациями, запас прочности определяется по
формуле
/И,
A3а)
Здесь Ms — изгибающий момент, соответ-
ствующий пределу несущей способности, опре-
деляется расчётом 1см. стр. 373) или экспери-
ментально (см. стр. 382); при полной проверке
прочности для пластичных материалов расчёт
производят, исходя из приведённого напря
жения:
"яр
A3Ь)
2) Для хрупких материалов при статиче-
ской нагрузке расчёт производится по пределу
прочности при изгибе <зь:
~ ~~W ~ /Г ~ *"
Если сечение несимметрично относительно ней-
тральной оси,то расчёт производится отдельно
для наиболее растянутого и наиболее ежа

228
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Таблица к фиг. 66.
Тип надреза
Способ
нагрузки
Формула для номинальных
напряжений
Растяжение i
N
2sa
Мелкий
надрез
Глубокий
надрез
кривая
Изгиб
Щвд
Растяжение
Изгиб
Растяжение
N
6ЛЬ
JV
2sa
Изгиб
злу
2* {Л3 —
Вспомо-
гательный
коэфициент
/f
кривая
-аз
Растяжение
Изгиб
Сдвиг
Кручение
N
ка3
АМЬ
па3
1.23Q
па3
2Mt
b
b
а
а
Ь
b
6
7
8
9
5
5
-
-
-
-
1
2
Любое симметричное сечение
* S — статический момент верхней части сечения по отношению к нейтральной линии; У— момент инерции всею
поперечного сечения по отношению к нейтральной линии.
** F — площадь, ограниченная средней линией стенки, обозначенной пунктиром.

ГЛ. IV]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
S
229
У=0
1
1
а
<1
i
1
¦ i
I
•
1р1?51р 0/54500,250 0?50?00?51р \251pO
О)
Фиг. 66. Коэфициенты концентрации по Нейберу.
У=0
I
1
У=-
¦fi/4
i
i
i
1
/9.
1
ш
1
р
S8
9000*
1
X
h
tJS 1J25 1,0 0,750,500,25 0 0?5 0.500/51,0 1,251$0
б)
1JS1?5
0.750,5 0^5 0
6}
Фиг. 67. Распределение напряжений в месте приложения сосредоточенной силы. Балка прямоугольного сечения
шириной b и высотой ft. Нагрузка Р на единицу ширины балки.

230
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. I
того волокна по соответствующим пределам
прочности:
Mr
n ~~ z'
A3d)
При полной проверке прочности расчёт про-
изводят, исходя из приведённого напряже-
ния
*- (i3e)
3) При действии переменных напряжений
расчёт производится по пределу усталости
(зг) для детали при изгибе, определяемому по
диаграмме Смита (см. гл. V):
М
max__
нетто
П
A3f)
или определяется запас прочности но фор-
муле
Здесь (ka)d — эффективный коэфициент концен-
трации; av и от — амплитуда и среднее на-
пряжение цикла (об ограничении применения
этой формулы, а также данные для её ис-
пользования — см. гл. V). Полная проверка
прочности при наличии концентрации напря-
жений и действии переменных напряжений
обычно не производится.
При расчёте на прочность формулы A3)—
A3g) применяются к решению следующих ти-
пов задач:
1) Проверка прочности (по крайним
волокнам балки):
Tyf ^ Rb\
A4)
(по скалыванию в нейтральном слое). Здесь хтях
иодсчитывается по формулам A0) и A0а)
(см. фиг. 55); Rs— допускаемое касательное
напряжение. Для прямоугольного сечения с
размерами Ъ и h
Х = A5)
где Q — поперечная сила.
При полной проверке прочности (для лю-
бого элемента балки) приведённое напряжение
(по 1-й теории прочности);
(но 3-й теории прочности).
Здесь а и г — нормальное и касательное
напряжения по площадке поперечного сечения
в рассматриваемой точке балки.
При полной проверке прочности наиболее
опасная точка находится в сечении, в котором
одновременно и изгибающий момент, и попе-
речная сила достигают наибольшей величины,
и в такой точке этого сечения, где о и -с одно-
временно имеют возможно большую величину..
Эти условия имеют место при проверке проч-
ности балок с резким изменением ширины
сечения (двутавровая балка).
2) Определение размеров попе-
речного сечения. Осевой момент сопро-
тивления
1Г=^2!«. A6)
Сечение круглое сплошное. Диаметр се-
чения
мт
Сечение круглое полое. Внешний диаметр
сечения
D =
(Г
где а = — — отношение внутреннего и внеш-
него диаметров вала.
Сечение прямоугольное. Высота сечения
(размер сечения в плоскости изгиба)
где а = . отношение ширины (размер, па-
раллельный нейтральной линии) к высоте се-
чения. Для квадратного сечения а = 1.
Подбор сечения двутавровых балок—см. т. 2.
3) При определении допускаемой
нагрузки по напряжениям в крайних
волокнах
/Ишах= WRb- A7)
Величина допускаемой нагрузки опреде-
ляется через Мтяг с помощью эпюры М.
6. Балка из разнородных материалов,
расположенных слоями. Разнородные эле-
менты, из которых составлена балка, должны
быть соединены так, чтобы обеспечивалась их
совместная работа. В таком случае попереч-
ные сечения балки при чистом изгибе остаются
плоскими. Предполагается, что плоскость сим-
метрии сечения совпадает с плоскостью дей-
ствия изгибающего момента М и поперечной
силы Q.
Обозначения: F— площадка/-й части по-
перечного сечения, имеющей материал с моду-
лем продольной упругости Е\ у о—координата
центра тяжести приведённой площади сечения,
через который проходит нейтральная линия;
J — момент инерции площадки / по отношению
к нейтральной линии; Ev — модуль упругости
для материала рассматриваемой площадки, рас-
положенной на расстоянии у от нейтральной
линии; Оу и 1у — нормальное и касательное на-
пряжения в сечении на расстоянии_у; 5 — стати-
ческий момент площадки i, расположенной

ГЛ. IV]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
231
на расстоянии у по отношению к нейтральной
линии; b — ширина сечения на расстоянии у;
tte и hH— расстояния до верхних и нижних воло-
кон от нейтральной линии; ze и ак — нормаль-
ное напряжение в этих волокнах.
При работе всех частей сечения в преде-
лах пропорциональности
МЕ„
т., =
Суммы составляются по всем / площадкам
сечения, кроме величины ^ESчаСти ял» кото-
рая находится для части сечения, расположен-
ной выше (или ниже) слоя балки, находяще-
гося на расстоянии у (см. также [52]).
Пример. Для сечения балки из пластмассы, армирован-
ной стальным прутком (фиг. 68), определить изгибающий
момент М так, чтобы напряжения не превосходили пре-
, ппастмосса
-20 -
'Нейтральная линия
Сталь
Фиг. 68. Сечение балки из двух
материалов.
дела пропорциональности. Даны: модули упругости Ест=
= 2 • 106 кг/см*; Епластм = 6-10* кг/см1 и предел пропор-
циональности а = ЗООЭ kzjcm1 (сталь) и а = 300 кг/см'
(пластмасса).
Моменты инерции по отношению к нейтральной линии:
стальной части Jcm= 0,167 см*, части из пластмассы
¦^пластм = 1>833 см*.
Полный изгибающий момент при пределе пропорцио-
нальности в стальной части
3000 B-10е-0,167 + 6- 10* • 1,833» ,„.
Мет = ' FTO^S } " 133° КгСМ'
в части из пластмассы
300B'10»' 0,167 + 6-10'- 1,833)
пласт — б"-10*-1,0
Искомый момент М = 1330 кгем.
М
¦ 2220 кгем.
7. Стрела прогиба в зависимости от напря-
жений. Обозначения: / — стрела прогиба; а —
напряжения в крайних волокнах; Р — полная
нагрузка на балку; EJ—жёсткость балки на
изгиб; / — пролёт балки; _утах — расстояние от
нейтральной линии до крайних волокон.
"Ушах С1 '
Таблица 7
Значение постоянных с„ сг, ся, входящих в за-
висимости между прогибом и напряжением (другие
случаи нагрузок и опорных закреплений балок см. табл. 9)
Г
Балка
Консоль
То же
Два конца сво-
бодно опёрты
То же
Оба конца заще-
млены
То же
Один конец сво-
бодно опёрт, дру-
гой защемлён
То же
Консоль
То же
Два конца сво-
бодно опёрты
Нагрузка
Сосредоточенная
Равномерно рас-
пределённая. . . .
Сосредоточенная
в середине про-
лёта
Равномерно рас-
пределённая . . .
Сосредоточенная
в середине про-
лёта
Равномерно рас-
пределённая . . .
Сосредоточенная
в середине про-
лёта
Равномерно рас-
пределённая . . .
Равномерно воз-
растающая от кон-
ца к опоре ....
Равномерно воз-
растающая отопо-
ры к концу . . .
Равномерно воз-
растающая от кон-
цов к середине
пролёта
i
2
8
g
12
16/
*
128/
3
s/«
6
с,
3
8
48
384/«
192
384
7в8/
187
15
•0/
/и
6о
С
Ч,
7,
Via
*/«»
'/si
'/я
7/
чш
"/«о
/10
При прочих равных условиях прогиб в
балке пропорционален напряжению и обратно
пропорционален модулю упругости Е материа-
ла балки и расстоянию от нейтральной линии
до крайнего волокна.
При одном и том же пролёте балка мень-
шей высоты имеет большую деформацию, чем
балка с большей высотой сечения при том же
напряжении в крайних волокнах. Балка задан-
ной высоты сечения, имеющая пролёт в два
раза больший, получит тот же прогиб при
напряжениях в четыре раза меньших.
8. Балки переменного сечения. Формулы
G), (9), A0) являются для балки переменного
сечения приближёнными.
1) Балка в виде клина. В балке
(фиг. 69), имеющей форму клина постоянной
Коэфициенты cv с, и с3 = —даны в табл. 7.
Фиг. 69. Изгиб балки в форме клина.
ширины Ь, распределение напряжений при на-
грузке силой Яна конце чисто радиальное [78].
= 2 PcosB
1 2х — sin 2а Ы

232
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
Таблица 8
Балки равного сопротивления изгибу
допускаемые напряжения на изгиб; / — стрела прогис
Продольный разрез и поперечное
б
Изменение попереч-
ного сечения
Форма контура про-
.дольного разреза
Формула для расчёта разме-
ров поперечных сечений
/. Балка защемлена одним концом. Сосредоточенная сила Р
на конце балки
Прямоугольники
одинаковой ширины b
и переменной высоты у
Прямоугольник оди-
наковой высоты h
и переменной шири-
ны у
Упругая линия — дуга круга
1а) Верхнее очерта-
ние—прямая, ниж-
нее — квадратная пара-
бола
16)Квадратная пара-
бола
J}P_
bRb л'
1ГрТ
8P f J_
' еь l^T
Прямые линии
6Я
6Р1
Eb\ h
Круги диаметром у
Кубическая парабола
32Р
//, Балка защемлена одним концом. Нагрузка р, равномерно распределён
ная по длине балки
Прямоугольники оди-
наковой ширины и
переменной высоты у
Полная нагрузка — pi
Прямые линии
у = х
л = /
У bR
III. Балка на двух опорах. Сосредоточенная сила Р в точке С
Прямоугольники оди-
наковой ширины b и
переменной высоты у
Верхнее очертание —
две квадратные пара-
болы
6Ра
blRb
IV. Балка на двух опорах. Нагрузка р, равномерно распределённая
по длине балки
Прямоугольники оди-
наковой ширины b и
переменной высоты у
Полная нагрузка = pi
Верхнее очертание —
V. Подвижная сосредоточенная
Прямоугольники оди-
наковой ширины Ь и
переменной высоты у
Верхнее очертание -
эллипс
сила
-Г3
\ /
h
Р
2 1
"I
V»
ZPI

ГЛ. IV]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
233
В поперечном сечении
_ My 4 tg3asin46
Zx ~~ Т ТЗ ' 2а — Sin 2a "
Р 1бу2 tg3asin46
2n
Sin 2а
Здесь J =
ту ;
1 = bh; M = Px и h — высота
рассматриваемого поперечного сечения.
Наибольшие нормальные и касательные
напряжения при 9 = -п;+а:
_ _,RMh. = P
amax, min — J ' 2 ' Ттах, min ' р'
Значение коэфициентов Р и -\ в зависимости
от угла а приведены в следующей таблице:
а
Р
Т
5°
1,ОО
З.оо
го"
о,97
2,91
15"
°.95
2,84
2О"
О.91
2,72
2) Бал ка с продолговатым отвер-
стием (фиг. 70). Расчёт напряжений необхо-
димо вести с учётом дополнительного мест-
ного изгиба. Наибольшее нормальное напря-
жение
_ Ра ,_Рс_
°- -W ± 4lFj '
где W и W1 — моменты сопротивления всего
сечения и части, лежащей выше или ниже
отверстия.
В случае больших размеров отверстия уси-
лия в балке находятся по методу расчёта ста-
тически неопределимых
стержневых систем с
жёсткими узлами — см.
гл. II. В углах возни-
кает концентрация на-
пряжений — см. стр. 226.
3) Балка.равного
сопротивления
имеет во всех попереч-
ных сечениях одинако-
вую величину наиболь-
шего напряжения в крайних волокнах:
Фиг. 70 Балка с удли-
нённым отверстием.
Rb — допускаемое напряжение на изгиб.
Наименьший размер сечения у концов бал-
ки, где изгибающие моменты приближаются к
нулю, определяется из условия прочности но
касательным напряжениям:
(балка прямоугольного сечения с размерами
b и Л);
d =
(балка круглого сечения диаметром d).
Здесь (?шах — поперечная сила у концов;
Rs — допускаемое напряжение на срез.
4) Балки со ступенчатым измене-
нием сечения. Вместо балок равного со-
противления практически применяются балки
со ступенчатым изменением сечения.
Для получения ступенчатого вала между
диаметром d0
t*msiir —•
= 4 j/"-?™
и наибольшим
намечается несколько
промежуточных диаметров du d%, d3,..., rfmax и
вычисляются соответствующие диаметрам cf0»
rfj, d2, d3,..., rfmax, моменты сопротивления
TV/ tZCi ^ ^ IV/ Twt* j шу. П1ЭХ
"'О ~~Q9~* 1 qo > • • • » wmax qo
Произведение этих моментов сопротивления
на допускаемое напряжение Rb даёт величину
допускаемого момента для каждого участка
вала. На эпюре моментов проводится ряд го-
ризонтальных линий с ординатами, равными
W0R, WxR, W2R,..., Wrnax ^» точки пересече,
ния этих линий с эпюрой моментов определяют
длину и положение участков вала с диаметрами
Аналогично устанавливаются места обрывов
листов клёпаной и сварной балок (см. т. 2).
Пример. I = 120 см; а = 70 см; ft = 50 см; Р = 5000 кг;
Rb = 400 кг/си2; Rs = 250 кг/см3 (фиг. 71). Опорные
реакции:
пп п 5000 • 70
°° В
. 5000 ¦ 50
А = 120
29°°
-Г-
32-5000-50- 70
,. 120-400
2900
, , Г 290
-4У 1ГГ
Принимая из условия нагревания диаметры цапф рав-
ными 10 см, можно диаметры участков вала взять равными
do= 10 см; йх — 12 см; d3 = 14 см; daiax = 16 см.
1Й--5000
-70 см-
-50 см-
Й--2100
B--29Q0
Фиг. 71. Определение длин отдельных участков ступен-
чатого вала. Ординаты эпюры допускаемых изгибающих
P
моментов равны Mgon = WRb, где W=
Для каждого из этих диаметров находятся величины
WRb, равные допускаемым изгибающим моментам, и
проводятся горизонтали на эпюре изгибающих моментов.
Округлением полученных длин участков окончательно

234
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
устанавливается форма вала. Эпюра действительных до-
пускаемых моментов не должна пересекать эпюру мо-
ментов от нагрузки.
Перемещения в балках
1. Основные уравнения. Между кривизной
— упругой линии (изогнутая ось балки)
и изгибающим моментом М (х) в сечении х
имеется зависимость (учитывается лишь де-
формация изгиба).
М{х)
EJ
A8)
где EJ — жёсткость на изгиб; р (х) — радиус
кривизны упругой линии в сечении х.
Геометрическая зависимость между кривиз-
ной —, прогибом у и координатой х упругой
Р
1
р (X)
{при малых прогибах) и
щри больших прогибах).
Диференциальное
упругой линии
d'ty __ М (х)
уравнение
A8а)
(при малых прогибах, учитывая лишь дефор-
мацию изгиба).
Диференциальные зависимости
для интенсивности р (х) сплошной нагрузки,
перерезывающей силы Q (х), изгибающего мо-
мента М (х), угла 6(х) поворота сечения и
прогиба у{х) в сечении х:
dx
(EJy) = EJ b (x);
A9)
Если жёсткость балки постоянна, то в
уравнениях A9) EJ выносится из-под знака
диференциала.
Экстремальное значение прогиба у — при
О ~ 0; однако прогиб наибольшей величины
может быть и при 6^0, например, в конце
консоли. Кривизна -—— = 0 (р = оо) в сече-
нии, имеющем М (х) — 0.
Правило знаков. В уравнениях A9)
положительными считаются нагрузки Р и
р (х), направленные вверх, Q (х) — действую-
щие слева от сечения вверх, М (х) — дей-
ствующие на левую часть балки по часовой
стрелке, —г~г— при выпуклости балки вниз;
Р W)
Цх) = -—— —при повороте сечения против
часовой стрелки, ух — при прогибе вверх.
2. Определение 6 и у с помощью
табл. 9 и графика фиг. 72. Значения в
и у для случаев балок постоянной жёсткости
EJ, не приведённых в табл. 9, могут быть
'О Q1 0.2 0.3 Oft 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 П1
Фиг. 72. Деформация балки переменной ширины Ьх и
постоянной толщины А; Утах ; л = —— •
12 оа
найдены комбинированием случаев, приведён-
ных в табл. 9.
Пример. Задана свободно опёртая на двух опорах
балка постоянного сечения пролётом /, имеющая слева
консоль длиной а. Консоль нагружена сплошной равно-
мерной нагрузкой р. Определить прогиб у на конце
консоли.
Прогиб на конце жёстко защемлённой консоли (слу-
чай 3, табл. 9)
^ = "Ш~ '
Вертикальное перемещение конца консоли в связи
с поворотом на угол в сечения балки над левой опорой
(случай 12)
I
EJ
Искомая величина полного прогиба на конце консоли
, J><P_(a_ ,J_\
' ~ 'i + ** ~ ЗЕТ V 4 3 /
(прогиб вниз).
3. Определение 6 и у непосредственным
интегрированием диференциального урав-
нения упругой линии. Если изгибающие мо-
менты М (л) или величины жёсткости EJ на
различных участках балки выражаются в
функции х различными уравнениями, то состав-
ляется столько диференциальных уравнений
A8а), сколько таких участков имеет балка.
Общее число постоянных интегрирования
вдвое больше числа участков. Уравнения для

ГЛ. IV]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
235
Таблица 9
Формулы для балок постоянного поперечного сечения [89, 116)
Р — сосредоточенная сила или полная нагрузка в кг; р — интенсивность сплошной нагрузки в кг/см; Мо — внешний
изгибающий момент в кгсм; Q — поперечная сила в кг; М — изгибающий момент в кгсм; _у —прогиб (см) в сечении
с координатой х (см); 8 — угол поворота на конце балки в радианах; / = утях — стрела прогиба в см; Е — модуль
продольной упругости в кг/см* материала балки. Горизонтальная ось, проведённая в поперечном сечении через его
центр тяжести, является главной осью сечения и по отношению к ней момент инерции обозначен J в см*.
Правило знаков: все величины, имеющие направления, обозначенные на чертеже, считаются положительными.
Реакции, направленные на чертеже вверх, поперечная сила Q и изгибающий момент М, действующие на левую
часть балки вверх и по часовой стрелке, считаются положительными. Перемещения балки (прогибы, углы пово-
рота), показанные на чертежах в таблице, считаются положительными.
Схема балки и нагрузки
Опорные
реакции
и поперечные
силы
Уравнение изгибаю-
щего момента; наиболь-
ший изгибающий
момент; место наиболь-
шего изгибающего
момента
Уравнение упругой линии, стрела
прогиба, углы поворота концов
балки
/. Статически определимые случаи (формулы для опорных реакций, поперечных
сил и изгибающих моментов применимы и в случае переменного сечения)
\. Консоль. Сила на конце
— X
2. Консоль. Сила в пролёте
В = Я,
Q = - Р
М = — Рх;
max M = 0;
max {-М) = - Р1 (в В)
В = Р;
Q = 0
(от А до Г);
Q = -P
!ОТ / ДО В)
j 3. Консоль. Сплошная равномерная
нагрузка
P-pi -P
Ж = 0
(от Л до /);
М = — Р (х — Ь)
(от 1 до В);
max М = 0
(от А до 1);
max (— М) = — Ра
(в В)
В = Р = pi;
max M = 0;
M) -
(в б)
оР
max (-M) - - Y
Р
рп
РР
* = ~ ^7 (в л»
(от А до /);
У = g^[ (х ~ bf - За' (х-Ь) + 2»"]
(от / до В);
А),
Ра1
= - 2EJ (от А Ао
= Ш
РР
4. Консоль. Сплошная нагрузка по
треугольнику
5. Консоль. Момент на конце
* = --!•?¦*
max Ж = 0;
max(-jW)= ~ PI
О
(в В)
В
Q
= 0;
= 0
Ж =
max M
(от Л
Жо;
= м0
до J3)
у =
/ =
J>p_
15Я/
; • =
Г2?У(В Д)
2EJ
(P — 2U

236
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД !
Продолжение табл. 9
Схема балки и нагрузки
6. Консоль. Момент в пролёте
Опорные
реакции
и поперечные
силы
В = 0;
Q = 0
Уравнение изгибаю-
щего момента ;наибо ль- Уравнение упругой линии, стрела
ший изгибающий |
момент; место наиболь-
шего изгибающего
момента
М=0 (от А до 1);
М-М0(от 1 до В);
max М = Мо (от 1 до В)
прогиба, углы поворота концов
балки
А до
у = — 2?7 [(•*-* +¦ а?~1а{х—1+а) +о2
(от / до В);
в = -J7T (°т ^ ло ;)
7. Балка, свободно опёртая по концам.
Сила в середине пролёта
--"- 2 '
_ ?.
(от А до Л;
Р
Т
«=-?
(от / до
ЛГ = -i- P.v
(от А до /);
(от / до В);
„ Р1
max M = - -
(прих = — )
C/'.v — 4лг3) (от Д до 1);
Р'а , ..
8. Балка, свободно опёртая по концам.
Сила в пролёте
ко-
| 9. Балка, свободно опёртая по концам.
Сплошная равномерная нагрузка
В=Р
(от А до /);
(от 7 до В)
М-р--, х
(от A jxo J);
(от / до В);
Ж = Р
(в /)
max Ж = Р -у-
А =
2 '
Б = f/- ;
10. Балка, свободно опёртая по кон-
цам. Нагрузка по треугольнику
ip-
3 '
max jM —
при х — —
L.
max Л1 = 0.128Р/,
при х - 0,577/
(от А до 7);
(от 1 АО В);
при х =а 1/ —а (а+ 26);
48?7
Р
6EJ
или приближённо
-4Ь*) (когда
(в В)
рх
1 Ш
Ш EJ'
при .г = - ;
*=€r I**
Рх
/=0,01304—, при дг = 0,5192;
7 РР
180" EJ
8 РР
(в А);

ГЛ. IV]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
237
Продолжение табл. 9
Схема балки и нагрузки
Опорные
реакции
и поперечные
силы
Уравнение изгибаю-
щего момента;наиболь-' Уравнение упругой линии, стрела
ший изгибающий
момент; место наиболь-
шего изгибающего
момента
прогиба, углы поворота концов
балки
11. Балка, свободно опёртая по концам
Нагрузка по треугольникам
-;
(от А до /);
2 l
—4-
(от А до /);
Р Г
(от / до В);
max М = -х Р1
о
(в /)
РР
60EJ
(в /);
•=!¦?<¦*•
(от / до
12. Балка, свободно опёртая по концам
Момент над опорой
I '
Q= -
ма
max Ж = Мо (в
6EJI I
/ = 0,0642
^
при г = 0,422/;
13. Балка, свободно опёртая по концам.
Момент в пролёте
Q--T
(от А до 1)\
(от / до В);
max М — Аа + Af0
(справа от /);
шах (— М) = Аа
(слева от /)
У —
_ Мо
6EJ
(от А до /);
3x>+Bl + 3
(от 7 до В);
= -6^(?-3?) <¦*>
14. Свободно опёртая балка с одной
консолью, нагруженной на конце
А = —
D
Т'
(от Л до Б);
<?= -Р
(от В до 7)
Рсх
" Г~
(от А до В);
М ~ — Pxt
(от / до В);
max M = 0;
max (— М) = — Р1
(в В)
Р Рс (х* х \
У - jTj' -§ yj3 — j) (от А Д° В)<
У ~ Е/ 6\1с1 I c+ ~
(от 1 до В);
15. Свободно опёртая балка с двумя
равными консолями. Нагрузка
сплошная равномерная.
Расстояние х принято от точки О.
А...*.
<?= ~РХ,
при х < с;
при 1 + су х> с
М
— , при х ¦< с;
2 V х
при (Л-с) >
а /
„ Р(а—4г)
max M=—— ' ;
о
max(-Af)=-^-.
Опасное сечение в А
и В (при г > 0,207а) и
между Л и В (при
с < 0,207а)
р
EJ
Уравнение упругой линии может
быть составлено на основании прин-
ципа наложения, пользуясь данными
пп. 3, 9, 12.
Точка перегиба упругой линии
при

238
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
Продолжение табл. 9
Схема балки и нагрузки
Опорные
реакции
и поперечные
силы
Уравнение изгибаю-
щегомомента; наиболь-
ший изгибающий
момент;место наиболь-
шего изгибающего
момента
Уравнение упругой линии, стрела
прогиба, углы поворота концов
балки
16. Один конец свободно опёрт, дру-
гой жёстко защемлён. Сила в се-
редине
17. Один конец свободно опёрт, дру-
гой жёстко защемлён. Сила в про-
лёте
//. Статически неопределимые случаи
5 и-
(от А до /);
(от 1 до В);
max М =2 pi (в 7);
о
шах {— М)~ - ~
(в S)
V 16
(от А до /);
Q=-1-±P
(от / до В)
Р(ЪаЧ-а3
Й=Р- А;
Л!в=уХ
/оа+2дР-За3П
(достигает наи-
большей вели-
чины при а =
= 0,423/);
(от А до /);
Q = A -P
(от 1 до В)
Л1 = >1дг (от Л до 7);
М=Ах— Р(х— 1+ а)
(от 7 до Л);
max Ж=.А A—а)
(в 7);
наибольшее значе-
ние =0,174Р/,
при a=0,634/;
шах (— Ai) — — Ma
(в В)
наибольшее значе-
ние =— 0.193Р/,
при а=0.423/
У =
96EJ
(от А до /);
[зРдг+16 [х - -i)'_ 5x*\
(от 1 до -6); :
an
/=0,0093 -^ . . ¦
при лг=0,447/;
P/a
У= - Qgjl А (х* — ЗГ»-г) +
Ют А до /)
+ Р [ Зя2лг - (л; - by] } (от 7 до В);
при а=0,586/ стрела прогиба в точ-
ке У и /=0,0098 ^ ;
18. Один конец свободно опёрт, дру-
гой жёстко защемлён. Сплошная
равномерная нагрузка
P-pl
19. Один конец свободно опёрт, дру-
гой жёстко защемлён. Момент над
свободной опорой
3 Af0.
!' — •
2 "Г
9
maX/ ~28 '
шах (— М) =
(в В)
шахЖ=Л10 (в
(в S)
/=0,0054
Р/3
ю
рр_
4&EJ
при дг=0,421/;
(в А)
Af,?'
при х = —
>=ш <¦ *

ГЛ. IV)
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
239
Продолжение табл. 9
Схема балки и нагрузки
Опорные
реакции
и поперечные
силы
Уравнение изгибаю-
щего момента-, наиболь-
ший изгибающий
момент; место наиболь-
шего изгибающего
момента
Уравнение упругой линии, стрела
прогиба, углы поворота концов
балки
20. Один конец свободно опёрт, дру-
гой жёстко защемлён. Момент в про-
лёте.
3
2~
Жо(Т-а>
Q = A
(от А до В)
М - Ах (от А до 7);
М = Ах+М0 (от 7 до В)
max Ж =
_ м rt 3fl(P-aa)-|
(в 7 справа);
max ( — Ж) = — Мд
(в В)
при а < 0,275/;
max ( — Ж) = Аа
(в 1 слева)
при а > 0,2751
Мо ГР-а
EJ
У = -гЛ
ГР-а'
[ 4Р (
¦Ь (/ — а)дг
(от А до 7);
л-' + а
(от 7 до
Жо
--4-Т Т]
(в Л)
21. Оба конца жёстко защемлены.
Сила в середине
М
, = В = -Р;
Р1
(от А до /)
«--4-
(от 7 до В)
¦ 1
(от А до /);
У -
(от 7 до В);
max Ж. - 4" Pl (в 0;
О
х(-Л1) ^- Р1
(в А и В)
48ЯУ '
/-
дг8—3/л-») (от А до /);
РР
192 EJ
(в /)
22. Оба конца жёстко защемлены.
Сила в пролёте
Ж„_р^_+д^
М —
(от А до 7);
РаЬ'
Ax —
X (За + 6);
Раа
— х
X Cft + a);
— Р (д: — а) (от 7 до В)
ab1
(от А до 7);
в-
max Л! = —
+ Аау-
Q=A
(от А до 7)
Q - А -Р
(от 7 до В)
(в 7);
max ( — М) — — М .
(если а <*);
наибольшее значение —
0,148 Р/ при"
max ( — М) — — Л1
(если а > ft) при
(от 7 до В);
Р а'61
при д: — ;
2а/
(За + ftI
(если а > ft);
_2 _Р_ a'ft3
EJ
при jt - /—
3ft+a
Cft + af
(если а < ft)
23. Оба конца жёстко защемлены.
Сплошная равномерная нагрузка
-— (х —
max Ж =
*-?(>-?)
24
при х = — ;
2475Л
РР
max (— Ж) = —
(в А и В)
12

240
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 9
Схема балки и нагрузки
24. Оба конца жёстко защемлены.
Момент в пролёте
Опорные
реакции
и поперечные
силы
X (al-a?);
B= e-jjS X
X (al - a');
X D/a—За2—Z3)
X B1а—За1);
Q=A
Уравнение изгибаю-
щего момента; наиболь-
ший изгибающий
момент; место наиболь-
шего изгибающего
момента
(от А до /);
M- — MA + Ax+M0
(от I до В);
гаахЛ1=Л10Х
X 4
(справа от /);
тах(— М)=М0 х
(слева от /)
Уравнение упругой линии, стрела
прогиба, углы поворота концов
балки
(от А до /);
- (Мо - М А ) (Зд:» - Ых + ЗР)]
(от / до В).
Наибольший прогиб вверх (или вниз
2МА
ПРИ ДГ=—г-
или при дг = / —
Я/. Влияние смещения опор а изменения температуры
25. Один конец свободно опёрт, дру-
гой жёстко защемлён. Осадка сво-
бодной опоры = 1 (см) *
2G. Один конец свободно опёрт, дру-
гой защемлён. Поворот защемлённого
конца А на угол = 1 (радиан)
ZJ
Р
27. Оба конца жёстко защемлены.
Поворот одного защемлённого кон-
ца А на угол = 1 (радиан)
А =
В =
6EJ
6EJ
МА = ~-
мв =
Q= ~
2EJ ,
"Т1
6EJ
.. 3EJ .
М = -—х;
шах М = 0;
max (— М) = /F-
(в В)
= Ц±A -х);
E
—
.. 3EJ . я.
max M = —— (в А)
у -
jA
/ = 1
в = §7
9 = 0
(в А);
(в В)
/=0,
9 = 1
193/
(в А);
при
0,422 /;
(в В)
9FJ
М^~\2
max M =
(в А);
max (— М) —
(в В)
3Т
4EJ
I
2EJ
у = |
-2х» + IX
при .г = —
27
в = 1 (в А);
6 = 0 (в В)
28. Оба конца не поворачиваются.
Осадка одной опоры = 1 (см) *
А =
12EJ
;
AI = i?ll_2TJ;
max M = -yj- (в А) ;
max (— Ж) = —
(в В);
/ = 1 (в А);
= 0 (в А и В)

ГЛ. IV]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
241
Продолжение табл. 9
Схема балки и нагрузки
Опорные
реакции
и поперечные
силы
Уравнение изгибаю-
щего момента; наиболь-
ший изгибающий
момент; место наиболь-
шего изгибающего
момента
Уравнение упругой линии, стрела
прогиба, углы поворота концов
балки
29. Один конец закреплён на подвиж-
ной шарнирной опоре, а другой жёст-
I ко защемлён. Изменение темпера-
| туры по высоте h сечения по закону
прямой. Приращение температуры
в верхних и нижних волокнах tt и L-,
а—коэфициент линейного расширения
А - — В -
За ((, - /,) EJ
: ш
мв =
м =
Ct — /a) EJx
За ((, - /2) F.J
шах М —
(в В);
max ( - М) = 0 (в А)
30. Оба конца не поворачиваются.
Изменение температуры по высоте h
сечения по закону прямой. Прираще-
ние температуры в верхних и нижних
волокнах /, и 4'- коэфициент ли-
нейного расширения
JS
кривизна с учётом
деформации
1 *(А - /,) /3.v
л
/ = - О,'
при х —-
А = В = 0:
мА=мв=
a (t, - tj) EJ
: _ .
Если опоры
не имеют гори-
зонтальной по-
движности, то
#=' (t,-t3)EF,
где F — пло-
щадь попереч-
ного сечения
11"
„ а (/, - /„) EJ
шах М = ——
h
ют А до В)
= 0 (от А до В);
* При осадке, равной /, все приведённые в таблице значения должны быть увеличены и / раз.
определения постоянных интегрирования со-
ставляются путём рассмотрения 0 и у в опор-
ных сечениях, в сопряжениях участков и
в шарнирах.
Таблица Уа
Наименование
сечения
Жёстко заше-
млённый конец .
Шарнирно опёр-
тый конец ....
Шарнирная про-
межуточная опо-
ра у балки с кон-
солью
Сечение балки с
шарниром ....
Сечение сопря-
жения участков
балки (сечение
раздела нагрузок,
заданных различ-
ными законами) .
*5 «<и
i s s
pi
° 5 X a
S.43S
^О.Ж ?
о С « И
2 о о о
о НО.
_ W О g
Дна
Одно
Три
Одно
Два
Что выражают уравнения
для определения постоян-
ных интегрирования (ин-
дексы п и л означают, что
соответствующие величи-
ны относятся к правому и
левому концам соседних
участков интегрирования)
¦
_V-0; H = 0
у^0
уп = у л = °; цп = нл
Уп = У л
Уп = У л : «л = "л
Общее число постоянных интегрирования
сводится к двум.
4. Графоаналитический метод. Исполь-
зуется сходство диференциальных уравнений,
связывающих прогиб у с изгибающим момен-
том М и изгибающий момент М с интенсив-
ностью нагрузкир (аналогия Мора):
По способу Клебша начало координат х
сечения для каждого из участков принимается
в крайнем (левом) сечении балки и при ин-
тегрировании уравнения A8а) для каждого
участка берётся интеграл от выражения мо-
мента силы Р в виде
Р (с—х) dx —
P{c-xf
О Г
Вычисление EJy no M (х) может вестись
так же, как вычисление М(х) по р(х). Орди-
наты эпюр М(х), поделённые на значения EJ,
рассматриваются для каждого значения х как
фиктивная нагрузка рф, т. е. принимается
М(х)
В таком случае поперечная сила Q^ в се-
чении х от фиктивной нагрузки рф равна уг-
лу 6 поворота сечения, для которого подсчи-
тано Цф\
Ъ(х) = <Зф. B0а)
Фиктивный изгибающий момент Мф в сече-
нии х от фиктивной нагрузки рф равен про-
гибу у в сечении, для которого подсчитан Мф.
У = Мф. B0Ь)
Правило знаков. Если изгибающий
момент /И (х) положительный, то фиктивная
М(х)
нагрузка Рф ~ —frr~ считается положитедь-

242
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. !
ной и направляется вверх. Нагрузка рф, рас-
положенная в левой части балки и напра-
вленная вверх, даёт Рф положительное; в
таком случае угол поворота сечения 8(х) —
:— Q^ считается положительным и направлен
против часовой стрелки. Фиктивный изгиба-
ющий момент Мф в сечении д:, полученный
по Рф, действующей на левую часть балки по
часовой стрелке, считается положительным;
прогиб у = Мф в сечении х так же положи-
телен (направлен вверх).
Длина участков фиктивной балки та же,
что действительной, но опоры и условия со-
пряжения участков в фиктивной балке вы-
бираются так, чтобы удовлетворялись условия
с деформации, име-
ющиеся в действи-
тельной балке. Вы-
бор опор фиктив-
ной балки не за-
висит от нагруз-
ки, приложенной
к действительной
балке.
Пример 1. Сила Р
приложена в середине
пролёта балки, имею-
щей ?7=const (фиг. 73).
Составить формулы
для прогиба /с и
угла поворота 8С на
конце консоли.
Положительная эпюра действительных изгибающих
моментов М даёт положительную фиктивную нагрузку
Рф = —pj, т. е. направленную вверх. В соответствии
с тем, что прогибы действительной балки в точках А тл В
равны нулю, фиктивная балка имеет в этих точках шар-
Таблица 10
Схемы действительной и соответствующей
ей фиктивной балок
Фиг. 73. Определение переме-
щений в балке графоаналитиче-
ским методом.
Схема соответствующей
ей фиктивной балки
* Фиктивная нагрузка уравновешена (условия дефор-
мации для заданной статически неопределимой балки).
ниры (см. табл. 10). /с и Ъс равны Мф ч Q ф ъ сечении
С фиктивной балки:
РР
(Положительный прогиб — вверх);
8- = В rf, —
PI
8EJ
(положительный угол поворота—против часовой стрелки).
5. Общее уравнение упругой линии. На
чало координат берётся в левой точке балки
(фиг. 74). Нагруз-
ки р и Р, на-
правленные вверх,
и внешние момен-
ты Мо, направлен-
ные по часовой
стрелке, считаются
поло ж ительн ы м и.
Прогиб у вверх и
угол поворота 6
против часовой
стрелки считаются
положительными.
Тогда в сечении х
= 8@)
Фиг. 74. Обозначение размеров
и нагрузок. Обозначенные на
чертеже нагрузки — положи
тельные.
2tJ
WEJ ~
Р(х-Хр)*
р(х — хру
2AEJ
B1)
(для балки постоянной жёсткости EJ = const).
Знак суммы относится к нагрузкам, рас-
положенным слева от сечения х. В уравне-
ниях B1) предполагается, что сплошная рав-
номерная нагрузка р приложена на участке
от х (левый конец участка) до х'^-х(пра-
вый конец участка). Поэтому, если хр < х,
то в формулы B1) вводится слагаемое от
нагрузки = —р, прилагаемой справа от сече-
ния хр <i х.
Постоянные у @) и 6 @) представляют со-
бой прогиб и угол поворота левого сечения
балки (х = 0) и определяются по условиям
закрепления.
Общий случай балки переменного сечения
и балки с неравномерной нагрузкой — см. [82].
Пример 1. Консоль, EJ= const и нагрузка по фиг. 75.
На участке от х = 0 до х = с
Н (х) = 9 @.1
.EJ
На участке
до л- = /
2EJ '
х = (
Фиг. 75. Пример опреде-
ления перемещений в балке
по общему уравнению
упругой линии.
Ь(Х):
М х
Ь (О) + —gj-
Р (х - cf
Р(х - cf
@) и у @) находятся из условий в (/) = 0, .у (f) = 0

ГЛ. IVI
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
243
Пример 2. Защемлённая с двух концов балка по-
стоянного сечения длиной I со сплошной равномерной
нагрузкой р:
Н (х) -= 6 @) + МА
у = у уО) + в @) ¦
6EJ
2F.J
Ах3
рл'
7AEJ
Постоянные в @) и у @) и статически неопредели-
мые величины оперных реакций ЛТд и Л на левой
опоре находятся по этим уравнениям из условий
О @) пг ft G) = 0; у @) = у (I) = 0.
6. Метод единичной силы (метод Мо-
ра) — см. гл. II.
7. Метод последовательного перехода
по участкам балки. Балка разбивается на
несколько участков таким образом, чтобы
на протяжении каждого участка жёсткость EJ
была постоянной, а изгибающий момент ме-
нялся по закону прямой (нагрузка балки — в
виде сосредоточенных сил). Сплошная нагрузка
должна быть заменена сосредоточенными си-
лами.
Обозначения: Mi_1 и Mt — изгибаю-
щие моменты в начале и в конце участка /;
xi_1 и Х{ — расстояние вдоль оси балки от
выбранной начальной точки до сечений в начале
и конце участка /; (Ax)i = xi— xi__l — длина
участка / балки; EJ; — жёсткость на изгиб
участка / балки.
В таком случае наклон касательной, прове-
дённой к оси балки в конце участка / (в сече-
нии с координатой х$, по отношению к каса-
тельной в начальной точке (х = 0) балки
(прямая аЬ — см. пример ниже):
EJ; ~
dxli
ордината прогиба в сечении xv измеренная
по отношению к касательной в начальной
точке балки (jc = O):*
У
EJt
¦+
Здесь Cli_l и C2i_l — наклон касатель-
ной к оси балки и прогиб в начале участка /
(сечение с координатой -V;_i) по отношению
к касательной, проведённой в начальной точке
балки (х = 0).
Вычисления по этим формулам ведутся,
начиная от любой точки балки, в которой
принимается х = 0. Удобнее вычисление начи-
нать с сечения, для которого касательная рас-
положена горизонтально. Если балка располо-
жена на двух опорах, то вычисления удобнее
вести в обе стороны от середины балки к ее
концам; расстояния x-t в обоих направлениях
от начального сечения х = 0 могут быть при-
няты положительными.
Если необходимо определить прогиб в ка-
ком-либо сечении внутри участка, то участок
делится на два и это сечение рассматривается
как граница двух участков.
Пример. Найти упругую линию для вала (фиг. 76)
со ступенчатым изменением сечения диаметром d,=6cM
и Ja —4 см.
Отдельные участки /, 2, 3, 4, 5 вала намечаются, как
показано на фиг. 76.
Жёсткости по участкам.-
(Я/), = (?7), = г-Ю^О.Оа-б* - 129,5-10» кгсм* ^
г^ 13,0-10* тем';
(Л7)„ = (?JK = (EJ), = 2-10»-0,05-44 = 2,56'Ю1 тем'.
1-й у ч а с т о к:
dy 15,00 + 11,25 15
dx
13,0 • 104
- =15,12-ID 4 = С,;
Й=075т -йИиО-ЙЧ&г
\ЗпюраМ(тм)'
прогибы
Фиг. 76. Пример аналитического определения пере-
мещений в балке переменного сечения.
2-й участок. В начале участка
^ = 15,12 • 10~4; у = 119,0 КГ;
dj/ _ 11,25+7,50 15
dx ~ 2 " ' 2,56 • 10т +
+ 15,12 -10~4= 69,62 • Ш~4=С,;
2 • 11,25 + 7,50 :
У -
2,56 • 10*
• +
+ 15,12 10 4 15+ 119,0 10 4 = 784,5 • 10" 4=С,-
3-й участок. В начале участка
^ = 69.62.10"; ^ = 784,5 •
У= '1-LtA • -o-c^inr- + 69-62 • Ю 4 + 784,5 • 10 4
6 2,56 ¦ 10*
= 1578 ¦ 10'

244
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
4-й участок. В начале участка приник
-?__„:,_„.
dy _ 15,00 + 7,50 __15__ ¦
_____ _ ¦—1— • 13(Г ,q_ -!-,»¦
_ • 15,00 + 7,50
15а
6 13 • 104
5-й у ч а с т о к. В начале участка
- _= 108,2 • 10
= С,;
= С».
dy
X
dy _ 7,50 • 15
^ = 12,9 • 10
dx
у - 108,2 • 10
dx
2 • 2.56 • 1
t +12,9- 10 4 - 34,9
10
у _=
15 ¦ 12,9 ¦ 10 ~
2 ¦ 7.50
15-
(j 2.56 • Ш' '
+ 108,2 ¦ Ю~4 = 511,7 • 10~4
dy
По найденным значениям —^ и у делается, как
показано на фиг. 76, пересчёт величин прогибов и
наклонов касательной к упругой линии по отношению
к прямой, соединяющей правую (конец 3-го участка)
и левую (конец 5-го участка) опоры. Эта прямая,
соединяющая опоры балки, остаётся горизонтальной, а
исходная касательная аЪ (в точке х = 0) имеет наклон
1578 • 10 4- 511,7 • Ю
-4
70
— 15,3 ¦ 10 "радиан.
Тангенсы углов наклона касательных к упругой линии
в местах сопряжения участков соответственно равны
15,3 -10"~4
(в сечении, где приложена сила Р2);
A5,12-15,3) 10~4= —0,2 ¦ 10~4
(сопряжение участков 1 и 2);
F9,62-15,3) 10~4 = 54,3 • 10~4
(сопряжение участков 2 и 3);
(83,5-15,3) 10 ~4- 68,2 • 10~4
(над опорой Л);
(—12,9—15,3) 10~4 = — 28,2 • 10~4
(сопряжение участков 4 и 5);
( - 34,9 — 15,3) 10~4 = - 50,2 • 10~4
(над опорой В).
Величины ординат между прямыми ab и a,blt указан-
ные на чертеже, находятся из подобия соответствующих
треугольников.
Графический метод. Решение диференци-
альных уравнений
d?y _ М(х)
EJ
выполняется графическим построением двух
верёвочных многоугольников. Замыкающая
проводится в зависимости от условий закре-
пления балки.
Если линейный масштаб построения даёт
на 1 см чертежа т см натуры, а силовой на
1 см чертежа — N кг, то при полюсном рас-
стоянии Hi первого многоугольника, равном
hi см чертежа, вертикальный отрезок между
замыкающей и верёвочной кривой в I см даёт
изгибающий момент М = /Zj Nm кгсм. Далее:
¦ 1 си2 площади этой эпюры принимается за
фиктивную нагрузку, равную
i
/jj kzcm^kicm.
Если при вычерчивании второго верёвоч-
ного многоугольника принять 1 см чертежа
h'.nfiN
равным —-р-г—, а полюсное расстояние //2рав-
иым /z2 см чертежа, то вертикальная ордината
верёвочного многоугольника в 1 см даёт прогиб
mh-x (см).
EJ
Эта зависимость позволяет по заданному
масштабу п ординат упругой линии найти вели-
чину he, полюсного расстояния.
а)
y____L__J
012 Зсм
Фиг. 77. Графическое построение упругой линии для
балки переменного сечения. ,
Пример построения упругой линии для вала
со ступенчатым изменением сечения приведён
на фиг. 77. Стрела прогиба
1
f=-j;Hymax
1
2
go 106Д4,4_м_Х500 кгсм
X C,4 см X Ю см/см) = 0,034 см.
Масштаб сил: 1 см — 500 кг/см; масштаб
длин: 1 см = 10 см.

ГЛ. IV]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
245
9. Дополнительные влияния на прогиб.
Поперечная сила Q вызывает дополни-
тельный прогиб. Дополнительный прогиб от
поперечной силы необходимо учитывать при
высоте сечения порядка одной четверти про-
лёта балки или большей. Диференциальное
уравнение упругой линии с учётом дефор-
мации изгиба и сдвига:
dx"
EJ
где р (х) ¦— интенсивность сплошной нагрузки;
М(х) ¦— изгибающий момент в сечении х; EJ—
жёсткость на изгиб; GF — жёсткость на сдвиг
(произведение модуля сдвига G на площадь
поперечного сечения /•); k—коэфициент, учи-
тывающий неравномерность распределения
сдвигов по сечению балки: для круга k = 1,11;
для прямоугольника k — 1,2; для двутавра
k = от 2 до 2,9.
Частный случай: консоль с силой Р на
конце длиной /, с высотой прямоугольника
сечения h и жёсткостью на изгиб EJ. Стрела
прогиба с учётом сдвигов
_
¦' =
ЗЁ1
Для стали с = 0,75; для дерева с =6,0.
Местные деформации, вызванные
сосредоточенной силой, дают дополнительный
прогиб.
Частный случай: дополнительный прогиб
от местных деформаций, вызванных силой,
приложенной к балке прямоугольного сече-
ния на двух опорах, равен величине
/-)•
где Л и /—высота сечения и пролёт балки; ? —
модуль продольной упругости.
Энергия деформации изгиба
Для балки на участке от х — 0 до к = с
М(х)
при а =
•у энергия деформации изгиба
jt = O F ' 0
где У —момент инерции сечения; М(х) — изги-
бающий момент в сечении х.
Если нейтральная линия не совпадает с глав-
ной осью сечения (косой изгиб), то необходимо
полный изгибающий момент разложить на два
составляющих момента по отношению к обеим
главным осям сечения. Полная энергия дефор-
мации равна сумме отдельных значений, полу-
чаемых от обеих составляющих, рассмотрен-
ных отдельно.
Энергия деформации от касательных напря-
жений для балки на участке от х — 0 до х = с
х=0 {F)
где F— площадь поперечного сечения; Q(x) —
поперечная сила в сечении х. Для круглого
прямоугольного сечения
F
k = 1,2. Для
двутавра и швеллера — — площади сечения
стенки (Q совпадает со средней линией
стенки).
Полная величина энергии деформации по-
лучается сложением величин, получаемых по
уравнениям B2) и B2а).
Продольно-поперечный изгиб *
1. Обычная теория изгиба с растяжением
или сжатием стержней предполагает, что
стержни настолько жёстки, что влиянием про-
дольной силы на изгиб можно пренебречь.
В стержнях со значительной гибкостью при-
нимается во внимание, что изгиб также зави-
сит от продольной силы, растягивающей или
сжимающей данный стержень, а также от той
начальной изогнутой формы, которую имел
стержень к моменту появления нагрузки.
Приводимые ниже формулы относятся к
случаю продольно-поперечного из-
гиба стержней малой кривизны,
т. е. стержней, у которых высота сечения ма-
ла в сравнении с начальным радиусом искри-
вления и у которых прогибы до и после дефор-
мации малы по сравнению с пролётом. Кроме
того, предполагается, что сечение стержня
вдоль его длины постоянно. Изгиб тонких
стержней в общем случае см. [59].
В обозначениях, принятых на фиг. 78, при
наличии растягивающей силы N диференциаль-
ное уравнение упругой линии имеет вид
B3)
где EJ — жёсткость; v — начальное искривле-
ние (известная функция).
N _?
Фиг. 78. Обозначение размеров и нагрузок.
Общий интеграл уравнения B3) при дей-
ствии растягивающей силы выражается так:
у = Ах -\- Агкх ¦+- A^U(kx) -f-
X
+ AKV{kx) + ~j Г V [k (jf-S)] p(i) dl, B3a,
о
где
U(kx) = ch kx — \\
V(kx) = sh kx — kx; k --
tJ
* Составлено канд. техн. наук Ф. М. Димемтбергом.

246
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. 1
Общий интеграл диференциального урав
нения B3) при действии сжимающей силы Л':
где
B2kx 4- B3U*(kx) +
k о
(J*(kx) = 1 — sin Ал:;
1/*(/глг) — Лл: — sin x; k~
B3b)
JL
EJ
Для сплошной равномерной нагрузки р,
действующей, начиная сл = а:
_у = Ах + Л *-* + Л3?/(*лг) + A4V(kx) —
р Л2
Л/ 2
(при растягивающей силе);
у = В, + В2 ^ + BzU*(kx) + Л4 1/*(/cjc) -
ЛГ 2
(при сжимающей силе).
Для сосредоточенного груза Р, действую
щего в точке х = а:
у = Al-\-A2 kx + A3U(kx) + A4V(kx) +
= Bx -f
B3U*(kx) 4-
V* Г* (x - a
Последний член суммы вводится только
для значений х~^> а.
Для сосредоточенной пары Мо в точке
х — а:
у = А{ 4- Ао kx 4 A3U(kx) 4- AAV{kx) +
"I*
- В,
* (kx) 4- B4*
Последний член суммы вводится только
для значений х^>а. Все постоянные Ah
Л2, ¦ • ¦ , Ап и Bj, В2, ¦ . , Вп определяются
из условий на концах стержня.
При одной и той же продольной силе
влияние нескольких различных поперечных
нагрузок можно определять по принципу на-
ложения.
Для простейших случаев, встречающихся
в практике, дана табл. П.
2. Графическое решение с помощью
круговой диаграммы. Весьма простое и на-
глядное графическое определение изгибаю-
щих моментов в случае изгиба со сжатием
может быть достигнуто с помощью круговой
диаграммы (метод Н. Г. Ченцова). Если, пре-
образуя исходное диференциальное уравне-
ние B3), для случая сжимающей силы за
менить EJ — на М(х), то уравнение пред
dxi
ставится в виде
-= р(х).
B3с)
Для р (х) = const общий интеграл уравнения B3)
может быть представлен так:
М(х) = с cos (kx — г) 4- ?- ,
Л2
B3d)
где с и s — постоянные.
Выражение в правой части уравнения B3d)
имеет следующую геометрическую интерпрета-
цию: пусть ОА — начальное направление, соот-
ветствующее углу kx = 0 (фиг. 79, а), от кото-
рого по часовой стрелке откладываются углы
д)
Фиг. 79. Круги Ченцова для определения изгибающих
моментов при изгибе сжатием.
kx. На луче, проведённом под углом е, от-
кладывается радиус-вектор ОС = с, на кото-
ром, как на диаметре, строится окружность.
Расстоянию х от левой опоры соответствует
угол kx и радиус-вектор ОХ — с cos (kx — e).
что равно изгибающему моменту при р — 0.
При этом на концах х = 0 и х = 1 действуют
пары Мд = ОА и Мв = ОВ. Поперечная сила
О в точке х равна — kcsin(kx — е) и, следо-
вательно, изображается умноженным на k от-
резком ХС.

ГЛ. IV]
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
247
Таблица 11
Таблица прогибов и изгибающих моментов при продольно-поперечном изгибе [57]
i/"N' kl
Обозначения: I— пролёт, k— у -ру , и = 7Г ¦ Значения функций /, <р и -/ — см. табл. 12
=-05?
р
п Л
а -1
N \
А
1 х=0
N
Схема
А
N
L
.1
N
Уравнение упругой линии
Уравнение изгибающих
моментов
РР ГЬЫгх _ sh_fc.
kb sh kx
EJ BиK [ 2« sh 2г/
+ sh к (х — а) — к (х - а)
(при х < а последний член в ква-
дратной скобке отбрасывается)
EJ{?u)a \ sh 2и 2а J
Л1,Р [sh к {I — х) ft (/—*)].
sh ~
Ж,/2 Г 1
•У "К
2EJBuy ch и
sh ftft sh ft*
sh2w
+ sh ft (.v — a)
(при x < а последний член в ква-
дратной скобке отбрасывается)
М - М
Ж |
sh k (I ~ x)
sh 2a
ЯУ BиJ I sh 2и 2и
— 1
/1\ \1
у \ 2 ) ~ 2?У BнJ [ch и
2ch м
sh kx
1 sh2a
2ch u
;тш «
?7B«L [ ch и
_
v = 6 sin -j- (начальная упругая
линия);
1 + «
iM @) = - ~ <Po
M
Nb
1 + a
NP
EJBuY [\ ch
, a2 —
„ ___ 1 1
ch a j th д
0.51
-Vl0)^ 38lS/l(tt)
*V
v=-.— A cos \ (начальная упру-
2 1 Z J гая линия);
NP
¦V-TF.
mP
~EJ
sh kx
shu
1
J
Ж—
м-
rnP
ftjr sh &е\
"~ 2и + "sh2aJ ;
max Af при х = т- arch
ft
/sh 2и \
l 2и j
ft6t-.r
2 и
sin ftft sin
EJ BuK
+ k (x — a) — sin k (x
-a)]
x=/
(при x < а последний член в ква-
дратной скобке отбрасывается)
М
2а
sin kb sin j
sin 2и
+ sin k {x — a)
(при .г < a последний член в ква-
дратной скобке отбрасывается)

248
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. I
Продолжение табл. 11
г
/V
/V
to
Схема
V
M
f
N
Уравнение упругой линии
MJ* Г k(l — х) sin А(? —д->
ШBиУ [ 2м sin 2м
уШ« _4^L ft Х_
"М 2 I itJClu)- I cos//
Уравнение изгибающих
моментов
А
*-0.5l
у
sin Ад-
sin2«
2EJ{2uf cos и
/Vf = — Л1,
/VI
.И
sin A (I x) _
sinA-tr
3 sin 2и
¦> 2 cos м
cos kx \
cos 2k I
Л1@) = ¦
_. . icf (начальная упругая
)~o sin — линия);
iV* . гд
^—j— sin -у- ; а
1 -)- а /
EJ BuY
-f-
.V @) =
cosAjt
~
tgu'
84 ?У
Л* (и)
l--. (\ " coi ^1
!aJ 1 sin и I
М @)-^-<«,*(«)
г,„?. Л _ cos— ^ (начальная упру-
2 I Z ) гая линия),
т1- /
Л7-
г.'а/:7
1 +
n
ЯУ BмJ \ 6/ 'A2 sin 2u
1х
б'
_ mlK fsin /?д- /?д1
72нJ [sln-2a~"«J
max M при
/"sin '2u\
Таким образом диаграмма при р — 0 и
концевых моментах Мд и Мд представляется
частью круга, ограниченной хордами ОА и 08
и дугой АСВ.
При заданных моментах Мд и .Мд «а кон-
цах и продольной сжимающей силе N посто-
янные сне определяются обратным путём:
строится угол АО В — Ы (фиг. 79, а), причём
ОА = Мд и О# = Мв, и проводится окруж-
ность через точки А, О и В. Диаметр ОС
определяет множитель с и угол е.
Для рфО и двух пар Мд и AfB по концам,
изгибающих стержень в одну сторону и раз-
гружающих его, строится сначала дуга
CD окружности радиуса -— из центра О
(фиг, 79, б), затем откладываются отрезки
СА = Мд и D? = Mg. Через точки Д О и В
проводится вторая окружность. Изгибающий
момент в точке х изображается отрезком ЕХ;
вся диаграмма изображается заштрихованной
площадью между двумя окружностями. При

ГЛ. IV|
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
249
Таблица 12
Таблица значений функций /„ (и), /, (и), <с0 («), <?i («). X (и), <Pi* («), X* (и), Л* («), <Ро* («), /о* («t
для продольно — поперечного изгиба
! -
о,
о-5
i,5
2,О
2,5
З.о
3,5
4,о
4,5
5,о
5,5
6,о
6,5
7,°
7,5
8,о
8,5
9,°
9,5
Ю,о
И,о -
и.5
12,О
<Ро* (в)
/о* (U)
и*
W («)
/с* (Я)
/о (Я)
1,000
о,9о8
О.711
о,'з8о
O,28l
0,213
0,166
0,132
0,107
0,088
0,074
0,063
0,054
0,047
0,041
0,036
0,032
0,029
0,026
0,024
. 0,021
0,020
0,018
0,016
/.(и)
I
о
о
о
о
ооо
97°
9O9
8i7
715
0,617
о
о
529
453
о 388
о,зз5
0,291
0,223
о, 197
о, 175
о,
156
0,141
о; 127
о,
о,

0,096
о,
о,
о88
o8l
°,°75
0,069
0
1,000
1,000
0,90
1,504
1,494
0
1
1
1
1
1
1,00с
O.9O5
0,704
0,367
О,2б8
О,2ОО
о, 153
О,12О
о>°97
O.O79
O.O55
о,о47
0,041
0,036
0,031
0,028
O.O25
О,О22
0,020
o,oi8
0,017
0,015
0,014
,10
,004
,004
,оо
7°4
690
)
1,000
о,972
O.8Q4
0,788
0,673
0,563
0,467
0,386
0,320
0,267
0,224
0,162
o,i39
0,121
o,io6
о!о83
о,°74
о.обб
о,обо
О,°54
0,050
о,о45
0,042
О,2О
I,Ol6
1,016
I.»
1,989
1,962
1,000
0,984
0,939
0,876
0,806
0,736
0,672
0,614
0,563
0,519
0,480
0,417
0,391
0,367
0,347
0,328
0,311
0,206
0,283
0,270
0,250
0,248
0,238
0,229
•
0,30
1,038
х.°37
I,2O
2,441
2,4ОО
и
о,оо
о,5о
I,OO
1,10
1,20
1,30
1.40
1,50
1,60
1,70
l,8o
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
0
1
1
1
3
3
?,* («)
1,000
1,0300
1,1304
1,1617
1,1979
1,2396
1,2878
1,3434
1,4078
1,4830
I.57IO
1,675°
1,7993
1-9494
2,1336
2,3641
.4°
,073
,070
,3°
240
181
Z* («)
1,000
1,0171
1.0737
1,0912
1,1114
1 -1345
1,1610
1,1915
1,2266
1,2673
I,37°4
1,4365
1.5157
1,6124
1.7325
/
1
1
1
i
i
1
1
1
1
i
i
1* (в)
000
,0256
.1113
,1379
1686
2039
2445
2914
3455
4085
4821
1,5689
1,6722
1
1
1
0,50
1,117
1,114
1,40
4,938
4,822
7967
9492
1392
0
1
1
1,
и
2,4O
2.45
2,50
2,55
2,60
2.65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,oo
3,o5
З,10
r-
60
176
173
45
6,940
6,790
<?,*(«)
2,6595
2,8404
3,0502
3,2964
З.5890
3.9422
4,3766
4.9233
5.6315
6,5865
7-9343
9,99>5
13,506
20,863
45.923
00
0,7c
X*
(a)
1,8854
1,9786
2,0864
2,2124
2,3617
2,54i5
2,7619
З.0386
3,3964
3.8774
4,555o
5.5875
7,3686
11,031
23,566
CO
1,255
1,250
1,50
11,670
11,490
/,* (и)
2,3822
2,5307
2,7027
2,9043
3,435
3,432o
3,7863
4.23'7
4,8082
5,5852
6,6798
8,3503
11,201
17,168
37.484
00
0.80
1,361
1,354
П
-.0
CO
действии пар Ma и Мв, изгибающих стержень
S-образно, отрезки С А и DB откладываются
в разные стороны от дуги CD (фиг. 79, б).
Если МА = Мв = 0, то диаграмма получает
вид заштрихованной лунки, изображённой на
фиг. 79, г. В этом случае
kl
-9-
kl
Для случая стержня с сосредоточенным
грузом Р на расстоянии х = а от левого
конца и парами Ма и Мв на концах диа-
грамма строится с помощью двух окружностей.
Откладываются отрезки ОА = Ма и ОВ — Мв
(/_ АОВ — kl), а затем луч ON, соответствую-
щий углу ka. Далее ищутся две окружности,
которые удовлетворяют следующим условиям:
они, во-первых, проходят через О, А и соот-
ветственно О, В, во-вторых, пересекаются на
прямой ON в некоторой точке D и, в-третьих,
отрезок прямой, перпендикулярной ON
в точке D, заключённый внутри окружностей,
равен -т- . Эти условия — условия на концах
и условия сопряжения в точке х = а под
грузом. Действительно, ОА и ОВ — моменты
на концах, 0D — момент под грузом, одина-
ковый для левого и правого участков стержня,
k - DC и к - DE— поперечные силы слева и
справа от груза, сумма абсолютных величин
которых равна Р. Построение показано на
фиг. 79, д. Вся диаграмма состоит из заштрихо-
ванных участков. На фиг. 79, е показана диа-
грамма при Ма —Мв = 0.
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
1. Определение усилий и напряжений.
Сложные сопротивления различаются по соче-
таниям простейших сопротивлений (растяже-
ние или сжатие, сдвиг, кручение, изгиб). В об-
щем случае действия нагрузок в
поперечном сечении детали (фиг. 80)
могут быть шесть внутренних
усилий: Л', Qh Q2> MK, Мь М.2.
Для определения усилий в рассматриваемом
сечении проводят три оси сечения: оси 1 н 2,
проходящие через центр тяжести поперечного

250
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
сечения и являющиеся главными осями сече-
ния, и ось О, перпендикулярную плоскости
рассматриваемого сечения и проходящую через
центр изгиба сечения.
Фиг. 80. Обозначение осей при определении
усилий при расчёте на сложное сопротивление.
Продольное усилие Л/, вызывающее
равномерное растяжение или сжатие в сече-
нии, равняется сумме проекций на ось О нагру-
зок, приложенных к детали по одну сторону
(например, слева) от рассматриваемого сече-
ния (см. стр. 196).
Момент кручения Мк находится по
сумме моментов этих нагрузок по отношению
к оси, перпендикулярной плоскости рассма-
триваемого сечения и проходящей через центр
изгиба (см. стр. 204).
Поперечные силы Q\ и Q2 равны
проекциям соответственно на ось 1 и 2 в рас-
сматриваемом сечении нагрузок, приложенных
к детали по одну сторону (например, слева)
от рассматриваемого сечения (см. стр. 203
и 223).
Изгибающие моменты Mi и М2
равны соответственно суммам моментов этих
нагрузок по отношению к осям 1 и 2 (см.
стр. 214).
Для каждого из этих усилий в отдельности
определяются с помощью формул, относящихся
к данному виду сопротивления, вызываемые
ими в сечении напряжения и складываются
алгебраически (а) или геометрически (х) (см.
стр. 187).
В случае прямоугольного сечения распре-
деление напряжений в сечении для каждого
из усилий показано на фиг. 81. Усилия N,
Mi и vW2 вызывают в точках сечения нормаль-
ные напряжения aN, oMl и <^щ, Qb Q% и
Мк — касательные напряжения xq , xq2 и ^Мк.
Полное нормальное напряжение асумм в какой-
либо точке сечения равняется алгебраической
сумме нормальных напряжений:
13сумм = ± аЛГ ± »Л1, ±аЖ2 ¦ A)
Полное касательное напряжение ^CVMM в
точке сечения находится как алгебраическая
сумма. На контуре сечения касательные напря-
жения от поперечной силы и момента круче-
ния совпадают с касательной к контуру и, как
параллельные, складываются алгебраически:
"' — ± Z
'сумм
MK
(в точке А);
(в точке В).
(la)
(lb)
В углах прямоугольного сечения хсумм=0
Знак плюс или минус выбирается в зависи-
мости от направления действующих усилий
и положения рассматриваемой точки в се-
чении.
В точках поперечного сечения
(фиг. 81) получается плоское напряжённое
состояние. Главные напряжения определяются
по формулам
'1.3
__асумм , 1
—2~ ±2
сумм
-f-
(сечение любой формы при любых усилиях);
Величины аСуММ и хсумм подсчитываются по
формулам A), (la), (lb).
Если сечение круглое (сплошное или
полое), то центральные взаимно перпендикуляр-
ные оси / и 2 могут быть для подсчётов уси-
Фиг. 81. Распределение напряжений а и т в поперечном
сечении, вызываемых отдельными усилиями.
лий ориентированы любым образом (в случае
круглого сечения косой изгиб отсутствует),
и после вычислений М\, /И2 и Qi, Q2 находятся:
суммарный изгибающий момент
М
с vmm. изг
суммарная поперечная сила
Рсумм
Вычисление потенциальной
энергии и перемещений при сложном
сопротивлении — см. гл. II.
Основными случаями сложного сопротивле-
ния являются: а) косой изгиб — сочетание
изгибов в двух главных плоскостях бруса;
б) внеце нтр енное действие про-
дольной силы (сжатие или растя-
жение с изгибом) при наличии в сечении
продольной силы Д/ в сочетании с одним или
двумя изгибающими моментами Mi и Л42;
в) изгиб с кручением; г) изгиб с
кручением и продольной силой;
д) общий случай сложного сопро-
тивления, когда в сечении действуют все
шесть усилий.
2. Центр изгиба (см. также стр. 303). Попе-
речная нагрузка, кроме изгиба, вызывает скру-
чивание бруса, если плоскость действия по-
перечной нагрузки не проходит через центр
изгиба (точка С, табл. 13).

ГЛ. IV!
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
251
Таблица 13
Положение центра изгиба [43, 48, 116] *
О — центр тяжести сечения, С — центр изгиба,
р.—коэфициент Пуассона
Продолжение табл. 13
Форма сечения
1 Равнобедренный
треугольник
1 Положение центра изгиба
_ 2Л 9—Пи-
"*г~135 ' 1 + |Г~
При малом tp:
2_. . М
Т5
15 1 + ц
2. Прямоугольный
треугольник
- Ь-
15 \\Tv- }'
ЧЬ I 1+Зн-
3. Полукру!
3+4и
\. Сегмент квадратной
параболы
Удлинённый:
4, . 4Л 1+За
35 1 + а
Укороченный:
>^>ж-т^
h
о. Удлинённый
симметричный
профиль
6. Сектор тонкого
кругового трубчатого
сечения
I Для полной трубы
С \ \ с разрезом (9 = 0):
Форма сечения
Положение центра изгиба
7. Угольник
с равными
полками
8. Неравнобокий
угольник
У,
А
10. Тавр
См. также табл. 31 (стр. 307).
Центр изгиба—на
пересечении
средних линий полок
Прямоугольник /: раз-
меры— b1h1; по отношению
к оси ух момент инер-
ции—/!.
Прямоугольник //: раз
меры—6аЛ3; по отношению
к оси _у, момент инер-
ции—J3.
1
2
1
2
Л Л
Л
1 Л+Л
hJ
ху
! где J — центробежный
i xy * v
| момент инерции половины
! сечения по отношению к
|осям х и у; J —момент
Iинерции полной площади
1по отношению к оси х.
При постоянном Ь
с 47
с Л 4-У, "
Ji и У,—моменты инерции
но отношению к оси
полок 1 и 2

252
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
Г
Форма сечения
Продолжение табл. 13 При расчёте нормальных напряжений в по-
перечном сечении при косом изгибе изгиба-
Положение центра изгиба
12. Зетовое сечение
(с равными полками)
Центр изгиба совпа-
дает с центром тяжести
сечения
13. Составное сечение.
Главные центральные оси
составляющих площадок
между собой параллельны
с.п
L
* а
О Он
is
оо
5 s
я 6
я о
Если сечение имеет две оси симметрии
(круг, прямоугольник и т. п.), то центр изгиба
лежит на пересечении этих осей (в центре
тяжести сечения).
Если сечение имеет одну ось симметрии,
то центр изгиба лежит на этой оси. Положе-
ния центра изгиба см. в табл. 13.
Если центр изгиба лежит в плоскости дей-
ствия изгибающего момента, то расчёт напря-
жений ведётся по формулам для простого
изгиба. Если центр изгиба не лежит в пло-
скости действия изгибающего момента, то в по-
перечном сечении возникают напряжения от
момента Мо, действующего в плоскости попе-
речного сечения и равного сумме моментов сил,
действующих по одну сторону от рассматри-
ваемого сечения, по отношению оси, перпенди-
кулярной плоскости поперечного сечения,
проходящей через центр изгиба (см. также
стр. 298).
3. Косой изгиб. Плоскость действия изги-
бающего момента М пересекает плоскость
поперечного сечения балки по прямой, кото-
рая не совпадает с главной центральной осью
сечения 1 или 2 (фиг. 82). Нейтральная линия
проходит через центр тяжести сечения и не
перпендикулярна плоскости действия изги-
бающего момента (фиг. 83).
Угол Й, образуемый плоскостью действия
изгибающего момента и главной центральной
осью 2 сечения, и угол а, образуемый ней-
тральной линией с главной центральной осью
1 сечения, связаны зависимостью
Фиг. 82. Направление нагрузки, яьгзыйаютей косой
изгиб.
ющий момент М заменяется двумя составляю-
щими моментами Mi и /И2, действующими по
отношению к главным центральным осям / и 2
сечения:
= М cos 6;
Мшл 6.
Отдельно от каждого составляющего мо-
мента Мх и М2 находятся нормальные напря-
Фиг. 83. Косой изгиб. Напряжения и прогибы.
жения и' и а" в рассматриваемой точке А
сечения и складываются алгебраически:
, B)
где/? —допускаемое напряжение при расчете
на изгиб.
Для а' и о" выблрается знак плюс или ми-
нус в зависимости or того, растяжение или
сжатие в рассматриваемой точке вызывает
каждый из моментов М^ и М2.
Уравнение нейтральной линии:
cos 6 sin 0 _
—f- Уг + —г— У\ -1 О-
J J
Bа)
где У] и J2—главные центральные моменты инер-
ции сечения по отношению к осям / и 2.
где ух и _у2 — координаты нейтральной линии
по отношению к осям 1 п 2.

ГЛ. IV]
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
253
Распределение суммарных напряжений в се-
чении подчинено закону плоскости и выра-
жается формулой
М
-—=z=. V,
]/ J\ C0S2 a + j\ Sil
Наибольшие напряжения возникают в точ-
ках А] и А2 сечения, наиболее удалённых от
нейтральной линии (при v — vv v = v%).
Касательные напряжения в рас-
сматриваемой точке поперечного сечения на-
ходятся по формулам A0) и A0а) (стр. 223) от-
дельно от составляющих Qx и Q2 поперечной
силы по главным осям 1 и 2 сечения.
Полное касательное напряжение в точке
поперечного сечения равно геометрической
сумме составляющих напряжений, полученных
от Qx и О2.
Прогиб балки происходит в напра-
влении, перпендикулярном нейтральной линии.
Полный прогиб / находится как геометриче-
ская сумма прогибов /j и /2, вызываемых из-
гибающими моментами в главных плоскостях
/ и 2 балки (фиг. 83):
tg a ^- fJ: . Bb)
4. Внецентренное действие продольной
силы (растяжение или сжатие с изгибом).
Сила Р направлена по прямой, параллельной
оси стержня (фиг. 84). Для определения на-
пряжений в сечении mm находятся рассто-
яния e-L и е2 до центральных главных осей
сечения / и 2 от точки С пересечения линии
действия силы Р с плоскостью поперечного
сечения.
В точке А сечения mm возникают нор-
мальные напряжения
_ 4- -Ira. v, 4- -—-2
Р_
F
}2<R
C)
моме
(сложение напряжений, соответствующих цен-
тральной продольной силе Р и двум изгибаю-
щим моментам Мх — Рех и М2 = Ре2). Здесь
1 "': — \ ~Ь ~~ радиусы инерции
сечения для главных центральных осей / и 2;
R — допускаемое напряжение. Точки сечения,
в которых нормальное напряжение с равно ну-
лю, образуют нейтральную линию.
Уравнение нейтральной линии:
1-Г--72-У1+ %Уг-~ 0, (За)
Для построения нейтральной линии проще
всего вычислить отрезки ал и аъ отсекаемые
ею на осях / и 2:
аг ~- — --; а,=—1-^-. (ЗЬ)
Нейтральная линия расположена по дру-
гую сторону центра тяжести сечения, чем точ-
ка С, через которую в сечении проходит ли-
ния действия продольной
силы. Касательные к кон-
туру сечения, параллель-
ные нейтральной линии,
дают на контуре две точ-
ки, в которых возникают
наибольшие растягива-
ющие и сжимающие на-
пряжения. Величины этих
напряжений не должны
превосходить допускае-
мые напряжения. Поло-
жение точки С и поло-
жение нейтральной линяй
связаны между собой
уравнениями (За). Если
точка приложения силы
перемещается по неко-
торой прямой, то ней-
тральная линия вра-
щается вокруг некото-
рой точки. Обратно, вра-
щение нейтральной ли-
нии связано с перемеще-
нием силы Р по пря-
мой. Точка приложения
силы и соответствующая
нейтральная линия явля-
ются сопряжёнными.
Ядром сечения на-
зывается область (во-
круг центра тяжести се-
чения), через точки ко-
торой может проходить линия действия про-
дольной силы Р, не вызывая в сечении напряже-
ний разных знаков. Чтобы получить очертание
ядра, необходимо дать нейтральной линии не-
сколько положений, касательных к контуру се-
чения, и для них вычислить координаты Уцы
У2(]л точки, через которую проходит линия дей-
ствия силы Р. Если flj и с2 — отрезки, отсе-
каемые на осях / и 2 прямой, касательной к
контуру, то
Фиг. 84. Внецептретхе
растяжение.
> Уцщ
Положение нейтральной линии 00 для за-
данного точкой С положения силы может
находиться графическим построением по
фиг. 85, а. Такое я*е построение на фиг. 85, б
использовано для вычерчивания ядра сечения
угольника.
Прямоугольное сечение. Сила Р
в сечении mm фиг. 86 проходит через точ-
ку В, лежащую на главной оси 2 так, что сила
имеет эксцентриситет е в направлении оси 2.
Полное напряжение в крайних точках сечения
где уг и у2 ~~
к осям 1 и 2.
координаты по отношению
— а' 4- а" — — I 1 ¦—
где R — допускаемое напряжение.

254
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗЛ.
Если допускаемое напряжение на изгиб Rt,
значительно отличается от допускаемого на-
пряжения на растяжение Rz, что имеет место
<9
Фиг. 85. Построение: а — нейтральной линии; б — ядра
сечения.
Если продольная сила сжимаю-
щ а я, то необходима проверка стержня на
устойчивость.
Если при действии продольной силы возни-
кают прогибы, то необходимо учесть соответ
Фиг. 87. Графическое построение эпюры
о для прямоугольного сечения при вне-
центренном действии продольной силы.
для хрупких материалов, например, чугуна, то
в случае растяжения
в случае сжатия в формуле Cd) Rz заменяется
Rd (допускаемое напряжение на сжатие).
Для определения напряжения в крайних
точках применяется следующий графический
\Р
т
т
б)
Ре
Фиг. 86. Внецентренное растяжение:
а и б— эпюры напряжений, соответ-
ствующие центральной продольной
силе Р и изгибающему моменту М;
в — суммарная эпюра напряжений для
внецентренного действия продольной
силы (еа = О; ег — е).
способ: в центре тяжести О прямоугольного
сечения с размерами b и h (фиг. 87) отклады-
вается отрезок, представляющий собой среднее
р
напряжение о' = ^—; проводится прямая K'S
до пересечения ее в точке D с направлением
внецентренной силы Р. Точку 5 соединяют
с точкой К"- Из точек D и Е проводятся пря-
мые, параллельные АВ, до пересечения в Ах
и f?i с перпендикулярами, восставленными
в А и В к поперечному сечению. График
АВАф\ даёт эпюру нормальных напряжений,
вызываемых в прямоугольном сечении силой Р.
ствующие прогибам дополнительные изгибаю
щие моменты (см. стр. 245).
Расчёт прочности при действии перемен
ных напряжений см. гл. V.
Таблица 14
Форма и наименьшая ширина гш;п ядра сечения
Форма поперечного сече-
ния и форма ядра сечения
Размеры ядра сечения
'min=0.»79fl
Прямоугольник
Треугольник
равнобедренный
bh
rmin
Форма ядра подобна се-
чению

ГЛ. IV]
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
255
Продолжение табл. 14
Форма поперечного сече-
ния и форма ядра сечения
Полый прямоугольник
2
Размеры ядра сечения
А, Ъ^ - As
А
•о
t
1
]
Восьмиугольник
При ?>! = Aj = а, и
Ь2 — /г3 = а2 (квадрат)
'•mm =0-2256 R-
Если восьмиугольник по-
лый [радиусы описанных
кругов наружного Rit
внутреннего Ru толщина
стенки равна 0,924 (i^—/?!)]
= 0,2256 /?
Круг полый
Тонкостенная груба
5. Изгиб и кручение [7,77]. 1. В об-
щем случае, когда поперечное
сечение не круг (сплошной или по-
лый), суммарный изгибающий момент М и
поперечная сила Q в сечении разлагаются
на составляющие М-± и М2, Qi и Q2 по
главным осям / и 2 сечения. Отдельно от
Mv М2, Qi, (?2 и момента кручения МК нахо-
дятся соответствующие им нормальные (от
Mh М2) и касательные (от Qh Q2, MK) напря-
жения в сечении для всех точек, в которых от
каждого из усилий эти напряжения достигают
наибольшей величины. При этом нормальные
напряжения находятся по формулам
M, I ' M., /
•'I - J2
Касательные напряжения от поперечных сил
и от момента кручения
Величины kx, k2, Wк зависят как от формы
и размеров сечения, так и положения точки
в сечении, для которой находятся напряжения
тл tn т.. . Для всех этих точек сечения,
vi. Va- Мк
в которых напряжения от каждого из усилий
достигают наибольшей величины, находятся
алгебраическая сумма а нормальных напря-
жений (от Мх и М2) и геометрическая сумма -.
касательных напряжений (от Qu Q2, MK).
В точках сечения, где а или х имеют макси-
мальные значения, определяется приведённое
напряжение, по которому производится рас-
чёт на прочность.
Для хрупких материалов приве
денное напряжение
апр = 0,5 a + 0,5
+ 4т2
A-я теория прочности);
для пластичных
C-я теория прочности).
Расчёт на прочность производится в зави-
симости от характера действующих напряже-
ний и свойств материала.
При статической нагрузке и
пластичном материале расчёт ведёте»
по пределу текучести:
для хрупких материалов по пределу
прочности при растяжении (если a—растягиваю-
щее)
= 0,5а +0,5
4x2 =
: = Л*Dа)
или при сжатии (если о — сжимающее)
спр =0,5а + 0,5 ]/"а"М~4т2 = (-^ - Rd Db>
B-я теория прочности).
Если разрушение может возникнуть о т
среза, то расчёт производится по формуле
-пр
0,5
4x2
Dс >
При наличии концентрации на-
пряжений и статической на грузки
учёт влияния концентрации осуществляется
введением у каждого из компонентов на-
пряжений о и х коэфициентов k^ и kx, отра-
жающих влияние формы и концентрации напря-
жений на прочность. Запас прочности

256
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
н этом случае вычисляется по формуле
(см. гл. V):
]/Л ,2 + ",2
где
Если расчёт производится по предель-
ной несущей способности с учётом
пластических деформаций, то запас прочности
определяется по предыдущей формуле, причём
в случае одновременного действия изгиба и
кручения
M M
П-. =
Дли
Пи =
-- ~v T ®m
и при одновременном действии растяжения и
кручения
Рз MSK
п3=~р; п,= -м-
(К)д
где а„
= _ __
Y~firf
Для
(Kh
где <sms и xms — средние напряжения цикла,
при которых максимальные напряжения дости-
гают предела текучести (подробнее см. гл. V).
Приближённо запас прочности может опре-
деляться по формуле
У "% + П\
Если имеются диаграммы Смита, получен-
ные путём испытаний материала детали, то
запас прочности определяется по той же фор-
муле, причём cr!J и тп устанавливаются по
диаграммам Смита для материала с учётом
влияния концентрации напряжений и других
факторов (см. гл. V).
При наличии данных об основных харак-
теристиках прочности а—1, т -j, Оу и т;. а так-
же коэфициентах (|/9 и |»х, характеризующих
форму диаграммы Смита, запас прочности
определяется по той же формуле:
При действии переменных на-
пряжений, если имеется диаграмма Смита,
полученная испытанием детали при перемен-
ном изгибе (или растяжении — сжатии) и при
переменном кручении, то определяются сна-
чала по этим диаграммам пределы прочности
а^ и т^ > соответствующие асимметриям цик-
лов для нормальных и касательных напряже-
ний (см. гл. V). Далее определяется
максимальные номинальные
напряжения в детали. По ним запас прочности
«Л
2. Если поперечное сечение к р у г-
л о е, то расчёт ведётся по приведённому мо-
менту Мпр. Суммарный изгибающий момент
М
E)
сумм-азг =VM]+ М[,
где М1 и М2 — изгибающие моменты по отно-
шению к любым двум взаимно перпендикуляр-
ным осям сечения 1 и 2.
Для круглого поперечного сечения при
отсутствии концентрации напряжений или при
нечувствительности материала к концентра-
ции расчёт производится по приведённому
моменту:
Мпр =0,5 Мсумм. азг + 0,5 Vl№cyMM. ^ + Ml
A-я теория прочности);
Мар - 0,35 Мсумм. аэг + 0,65 Ум\умм. пзг^М{
B-я теория прочности);
сумм- изг
C-я теория прочности).
Мк — момент кручения.
Условие прочности
__ Мпр о
где W — осевой момент сопротивления круг-
лого сечения; R — допускаемое напряжение
(см. гл. V).
Диаметр d сплошного вала определяется
по формуле
rf =
32 М
DP .
R
Eа)
Наружный диаметр D полого вала опре-
деляется по формуле
М,
A-а*)/
где d — внутренний ди-аметр.
D'

ГЛ. IV]
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В КРИВЫХ БРУСЬЯХ
257
3. Для прямоугольного сечения
расчёт ведётся по приведённому напряжению
апр. Если плоскость изгибающего момента и
плоскость действия поперечной силы напра-
влены параллельно длинной стороне h прямо-
угольника (фиг. 88), то наибольшие нормаль-
ные напряжения а получаются на коротких
сторонах прямоугольника, а наибольшие каса-
тельные напряжения х на нейтральной ли-
нии //:
_ 6Мг ш __ Мк j_ 3 Qi
" "" ~9~ ~hh '
где УИ] — изгибающий момент по отношению
к главной оси 1; Мк — момент кручения;
отношению к главным осям / и 2; N—продоль-
ная сила и /-' — площадь поперечного сечения.
Напряжение х с помощью соответствую-
щих формул вычисляется для точек сечения
по крутящему моменту Мк и перерезывающей
силе Qi и Q2-
Приведённое напряжение вычис-
ляется по формулам:
для хрупких материалов
сПр-г0,5 и + 0,5 уа^ТТх"
A-я теория прочности);
для пластичных материалов
C-я теория прочности).
По 2-й теории прочности:
ъпр = 0,35 а -4- 0,65 ]/"а2 4-4х2.
Проверка прочности производится по наиболь-
шей величине
Jnp-
Фиг. 88. Эпюра зл„ при изгибе и кручении.
Допускаемое напряжение для хрупких мате-
риалов
Qi — поперечная сила в главной плоскости, со-
держащей ось 2; k — коэфициент из табл. 5.
Для точек сечения, в которых а и х имеют
максимальные значения, вычисляются приве-
дённые напряжения:
апр = 0,5 а + 0,5 ]/2"-рк2"
A-я теория прочности);
znp = 0,35 а + 0,65 у а2 + 4x2
np ,
B-я теория прочности);
р
C-я теория прочности).
Распределение напряжений, вызванных кру-
чением по плоскости поперечного сечения —
см. табл. 5.
Проверка прочности производится по наи-
большей величине опр:
•„<*¦
Допускаемое напряжение для хрупких
материалов R = — (при растяжении) или
R — 1М. (при сжатии).
Допускаемое напряжение для и л а с г и ч-
ных материалов
6. Изгиб и кручение с продольной силой
(общий случай сложного сопроти-
вления). При любой форме сечения расчёт
ведётся по приведённому напряжению
В этом случае для любой точки сечения
а ~ °сумма — ~J~ У\ 4" ~Т^~У2 ~Ь ~~р~ •
где Mi и . М2 — изгибающие моменты; J-x и
J2 — главные моменты инерции сечения по
(при растяжении) или
R = ^М
п
(при сжатии).
Допускаемое напряжение для пластичных
материалов
R = —.
п
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
В КРИВЫХ БРУСЬЯХ
Изгиб кривых брусьев
Рассматриваются кривые брусья, у кото-
рых: а) имеется плоскость симметрии; б) ось
(геометрическое место центров тяжести по-
перечных сечений)—плоская кривая, лежащая
в плоскости симметрии; в) внешние силы дей-
ствуют в той же плоскости симметрии.
Брусья малой кривизны, у кото-
рых отношение радиуса кривизны (Rq) к вы-
in. a
Фиг. 89.
соте поперечного сечения (/?), —- >- 5, можно
без большой погрешности рассчитывать по
обычным формулам для прямых брусьев.
1. Напряжения в кривом брусе. Напря-
жение от изгибающего момента М в рас-

258
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. i
стоянии з1 от нейтрального слоя
(фиг. 89) определяется по формуле:
Fvo (р — v)
В этой формуле М — изгибаю-
щий момент в рассматриваемом
сечении, считается положитель-
ным, если увеличивает кривизну
бруса; у—расстояние от нейтраль-
ной линии до волокна, где опреде-
ляется напряжение, считается по-
ложительным, если направлено от
центра кривизны бруса; F — пло-
щадь поперечного сечения; у0—
- ; Rq — р — расстояние нейтраль-
ной линии от центра тяжести се-
чения; р — радиус кривизны ней-
трального слоя.
Из этой формулы следует, что:
1)нормальные напряжения по вы-
соте сечения изменяются по гипер-
болическому закону; 2) нейтраль-
ная линия смещается от центра
тяжести сечения к центру кри-
визны оси бруса.
В наиболее удалённых от ней-
тральной линии волокнах наиболь-
шие напряжения
Mhx . Mho
О -—: — • (J z=z _j i_
Fyo Ri ' Fyo #2'
где ^ и /?2 -- расстояния от ней-
тральной линии до наиболее уда-
лённых волокон; R2 и Rt — наруж-
ный и внутренний радиусы бруса
(фиг. 89).
Если помимо изгибающего мо-
мента в поперечном сечении дей-
ствует продольная сила Л/, то нор-
мальные напряжения в попереч -
ном сечении от М и N
Таблица 15
о — —
—v)
В этой формуле за положитель-
ную принимается растягивающая
сила N.
При действии поперечной силы
Q без большой погрешности можно
считать, что касательные напряже-
ния от Q по поперечному сечению
распределяются так же, как и в
прямом брусе.
В табл. 15 приводятся значе-
ния р для различных форм сече-
ний кривого бруса.
В случае кривых брусьев пря-
моугольного и круглого сечений
напряжение во внутреннем волок-
не может быть подсчитано по фор-
муле
а,- ¦-= о*,-
и в наружном волокне по фор-
а0 ^
Смещение нейтральной линии
Примечание. Значение о следует вычислять с помощью 50-f>
счётной линейки.

ГЛ. IV]
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В КРИВЫХ БРУСЬЯХ
259
где а — наибольшее напряжение, определяе-
мое без учёта кривизны.
Значения коэфициентов /г,- и А-о в зависи-
мости от -— для прямоугольного сечения и
в зависимости от -~ для круглого сечения
приведены в табл. 16.
Таблица 16
R,
h
*i
К
Ra
d
*i
К
О.6
2,89
о. 57
«.6
3.41
о .54
°> 7
2,ГЗ
0,63
°.7
:>, 4О
о.со
о,8
1.79
0,67
о,8
i,q6
0,65
0,9
1.63
0,70
0,9
о,68
l,O
°73
1,о
1,Ь2
о,71
1.5
1.3O
o,8i
1,5
!.33
°.79
2
1,2О
о,85
о,84
з
1,12
о,до
3
1,4
о,8д
4
I.OQ
0,92
1,1О
о,91
5
i,o7
о,94
1,о8
°>93
Графический метод нахожде-
ния радиуса кривизны нейтраль-
ного слоя. Графический метод даёт воз-
можность найти положение нейтральной ли-
нии для кривых брусьев, когда форма попе-
речного сечения не может быть выражена
аналитически.
Радиус кривизны нейтральной линии (спо-
соб Орлина) (фиг. 90)
Удвоенный отрезок DC на рассматривае-
мом горизонте даёт ширину площади преоб-
разованного сечения
Преобразованная площадь получается при
повторении указанного построения для ряда
Нейтр.
линия *
Фиг. 90.
Фиг. 91.
горизонтов (на фиг. 91 преобразованная пло-
щадь заштрихована).
2. Упругая линия кругового кривого
бруса. Если обозначить через р радиус
кривизны осевой линии кольца до деформа-
ции, и — малые радиальные перемещения от-
дельных точек кольца, "'S — р du— длины эле-
ментов кольца, М — изгибающий момент в се-
чениях кольца, то диференциальное уравне-
ние упругой линии тонкого кривого бруса
с круговой осевой линией
сРи и М
Us* Л" "?г ^ ~ ~Ю
здесь /?, — расстояние от центра кривизны до
внутреннего волокна; <1> = ~ , где F — пло-
щадь поперечного сечения бруса, Fq — пло-
щадь преобразованного сечения.
Площадь преобразованного сечения
Fn- f —
где v — расстояние от внутреннего волокна до
площадки dF\ Fq можно определить как с по-
мощью графоаналитического способа, так и
графически.
При использовании графоаналитического
способа сечение разбивается на полоски;
по средней длине каждой полоски х подсчигы-
ваются преобразованные длины х':
За положительные принимаются момент М,
уменьшающий кривизну бруса, и перемеще-
ние и, направленное от центра кольца.
Пример. Составить уравнение перемещений отдель-
ных точек кольца, нагруженного двумя силами Р(фиг. 92).
Подставляя значение изгибаюикго момента
М
— COS <f> j
в диференциальное уравнение
упругой линии, получим
еРи , и Рр ( 2 )
<isa
р3 / 2
Общий интеграл этою
уравнения
и — A cos 9 + В sin 9 т
Из условий симметрии
du
~- = 0 при »=0и
По полученным значениям .v' строится
кривая, ограничивающая площадь преобразо-
ванного сечения.
При графическом построении (фиг. 91) из
центра кривизны О проводится к контуру се-
чения луч ОВ и второй, параллельный ему,
луч АС из точки А.
находятся постоянные интегрирования А и В.
Окончательно
Яр3
Яр3
Ро»
9 sin f —:• cosy.
Используя это уравнение, можно для разных углов <р
определить соответствующие радиальные перемещения
точек кольца и вычертить упругую линию.

260
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД.
3. Деформации кривых брусьев. Пере-
мещения сечений кривых брусьев опреде-
ляются по методу Мора.
Если #0>A,5ч- 3) Л, то достаточно точно
перемещения можно определять так же, как
и для прямых брусьев.
Если /?0 < A,5 -г- 3) h, то искомое переме-
щение
А = % + % 4- <W + До-
где
Например, если требуется определить гори-
зонтальное перемещение свободного сечения
бруса (фиг. РЗ), то Мр, Np и QP — изгибающий
момент, продольная сила и поперечная сила
в сечениях бруса от заданной нагрузки
(фиг. 93,«); Мь Nb Qi — изгибающий момент,
продольная сила и поперечная сила в сечениях
а)
— перемещение от действия изгибающего мо-
мента;
/О
1 ч
Фиг. 93.
s бруса от единичной силы, приложенной в том
перемещение от действия продольной силы; сечении, где ищется перемещение, по напра-
влению перемещения (фиг. 93, б).
Коэфициент k зависит от формы сечения:
для прямоугольного сечения ?=1,2; для круг-
лого сечения k = 1,11.
Значения перемещений и значения наиболь-
ших изгибающих моментов для некоторых сла-
бо искривленных брусьев (брусьев, у которых
' ,5 ч-3) Л) приведены в табл. 17.
NiMPds
— перемещение от совместного действия изги-
бающего момента и продольной силы;
k С
^Q== ~G~F J Qp®1 ds
s
— перемещение от действия поперечной силы
(см. гл. II).
^0.) ) р
За положительный момент принят момент,
увеличивающий кривизну бруса.
Об изгибе брусьев двоякой кривизны см. [Н|.
Таблица 17
Вид кривого бруса
MA = PR,
MA = PRQ
MA = 2PR0
MA = PRQ
MA =P(RB + D
Перемещение л
Вертикальное перемещение концевого
сечения
PR*
Д = 0,785 -~
Горизонтальное перемещение конце-
вого сечения
PR'
Горизонтальное перемещение конце-
вого сечения
PR*
Л - 0,356 ~^-
Вертикальное перемещение концевого
сечения
3
PR
Горизонтальное перемещение конце-
вого сечения
PR
Д = 1.571 -^
Сближение концевых сечений
* = ^|r+*G'-*^+1*)J

ГЛ. IV]
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В КРИВЫХ БРУСЬЯХ
261
Продолжение табл. 17
Перемещение Д
Сближение концевых сечений
з
Д=9,42^-
= 2Р/?0 A + cos 45"
Мд =0,318 Р/?„;
/VI g — — 0,182РА\
Сближение концевых сечений
з
дя 39,88-^
Увеличение вертикального диаметра
PRo
Д = 0,149-т
Уменьшение горизонтального диаметр,
prI
Д = 0,137 —gy
При а — 0, 20, 40 и т. д.
при 9. = 6, 36, 58 и т. д.
Радиальные перемещения точек
кольца: при а = 0, 29, 46 и т. д.
д = _ ^? \l _ _i_ _ ft cos61
4?7 L 9 sin 9 sin2 8J '
при а-в, 39, 58 и т. д.
,._,"*'[ 1 (la, sin 26 ) 1
2ЯУ Lsin28\2 4/8
Мв = МА + 0,Ь PR(
Мд=Мд + 0,5 Р (/?,
1,14 R"
: - 0,5 Р/?„
-Ro + 2/
Угол поворота конца пружины
_PRoS_
т EJ '
где 5 — длина бруса
Изгиб кривых труб
При изгибе трубы её поперечное сечение
сплющивается. Благодаря сплющиванию труба
становится менее жёсткой.
1. Трубы круглого сечения. По Карману,
коэфициент уменьшения жёсткости
где 5 —толщина стенки трубы; /?0—радиус
кривизны оси трубы, г — средний радиус попе-
речного сечения трубы.
При определении деформации трубы в фор-
мулы для определения перемещений брусьев
со сплошными сечениями следует вместо мо-
мента инерции поперечного сечения трубы /
подставлять произведение kJ.
Если Ro велико по сравнению с г. нормаль-
ные напряжения при изгибе могут быть най-
дены по формуле
kj

262
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
'РАЗД. I
где а — напряжение в расстоянии^ от ней-
трального слоя: М — изгибающий момент; J —
осевой момент инерции поперечного сечения;
к - коэфициент уменьшения жёсткости;
Наибольшее напряжение в кривой трубе
3rnax I ~2T '
где d — внешний диаметр трубы,
2
1 3k |/"ЗВ
Например, при
sR0
h
°,3
i,98
°>5
i,3°
о,88
2. Труба квадратного сечения. Для тон-
кой трубы квадратного сечения коэфициент
уменьшения жёсткости
0,0270
Ь*
k =
1+0,0656
где b — сторона квадрата; Ro — радиус осевой
линии трубы; ^ — толщина стенки трубы.
Наибольшее напряжение в трубе
Mb
max 2kJ '
где J—осевой момент инерции сечения трубы.
ПЛАСТИНКИ И СОСУДЫ
Выбор допускаемых напряжений — см. гл. V.
Изгиб пластинок
1. Расчёт тонких плит. Тонкими плитами
называются пластинки, у которых толщина мала
но сравнению с прочими размерами, а прогибы
малы по сравнению с толщиной. Приводимые
в табл. 18 формулы достаточно точны, если
толщина плиты приблизительно не более 1/4
или i/5 наименьшего размера в плоскости
плиты и наибольший прогиб не более */2 от
толщины плиты [16, 86, 122].
Расчётные формулы тонких плит основаны
на следующих допущениях: а) плита плоская,
толщина плиты лостоянная и материал плиты
изотропный и однородный; б) все нагрузки
(и реакции) нормальны к плоскости плиты;
в) в плите нигде не превзойдён предел про-
порциональности.
При этих условиях справедливы следующие
гипотезы о характере деформаций тонких плит:
а) срединная плоскость плиты
(плоскость, проведённая в середине между
верхней и нижней гранями плиты) не испыты-
вает растяжений (нейтральная пло-
скость );
б) линии, перпендикулярные срединной
плоскости, остаются при деформации плиты
прямыми и нормальными к срединной поверх-
ности, в которую превращается срединная
плоскость (гипотеза неизменности
нормалей).
В поперечных сечениях плиты нормаль
ные напряжения пропорциональны расстоянию
от срединной плоскости и имеют наибольшую
величину в точ-
ках поверхности
плиты.
Напряжения ол,
распределённые по
всей толщине сече- ^
ний (фиг. 94) плит, |
связаны с их равно- I
действующими Мх,
My (изгибающие Фиг. 94.
моменты), Мху (мо-
мент кручения), Qx, Qy (поперечные силы).
отнесёнными к единице длины сечения, еле
дующими зависимостями:
Мх = Кгг dz; My = [ayz dz;
Mxv = ^xyz dz;
Qx ~ v-xz^z; Qv = \zvzdz.
Изгиб удлинённой прямоуголь-
ной плиты (изгиб по цилиндриче-
ской поверхности). Расстояние по оси л
между двумя противоположными опёртыми
краями плиты равно I (пролёт). Расстояние
(ширина плиты) между двумя другими сторо-
нами (опёртыми или неопёртыми) значительно
большее (равно приблизительно 4/ или боль-
ше). Нагрузка — равномерная по ширине.
В таком случае средний по ширине плиты
участок изгибается по цилиндрической по-
верхности.
В сечениях х изгибающий момент Мх для
полосы размером 1 см по оси у, находится
как в простой балке пролётом /.
Напряжения на расстоянии г от срединной
плоскости
F.
V.E
-'-A-ц») р"
Кривизна в плоскости xz срединной по-
верхности
_1_ _ М
Р D
где D — -jTj—j- .77- (цилиндрическая
i _ I I P* /

ГЛ. IV]
ПЛАСТИНКИ И СОСУДЫ
263
жёсткость); s — толщина пластинки; Е —
модуль продольной упругости; \х — коэфициент
Пуассона материала пластинки.
Чистый изгиб плиты вызывается изги-
бающими моментами Мх и My, действую-
щими на элемент s dx dy плиты в плоскостях
xz и yz. Кривизны — и — в плоскостях
Р* ?у
xz и уг являются главными кривизнами
срединной поверхности в рассматриваемой
точке.
Зависимость между изгибающими момен-
тами и кривизнами срединной поверхности
плиты
Ут ~=^
0,239 Pin а
i l 1
Mv= D I -- + (д. —
- V ?v ?x
0)
Нормальные напряжения в сечениях
плиты, выраженные через кривизны,
A -
1 1 \
г ,^ — i 2
B)
Обозначения величин в формулах A) и B)
указаны выше.
Расчёт напряжений, прогибов
и углов поворотов в тонких пли-
г а х для основных случаев нагрузки, формы
контура плиты и способа опирания см. в
табл. 18.
Применяя принцип наложения, можно полу-
чить решение для других случаев, не указан-
ных в таблице.
Пояснения к пользованию фор-
мулами для плоских пластинок постоянной
толщины (табл. 18):
1) При определении напряжений
от сосредоточенной силы, приложен-
ной в действительности по малой окружности
радиуса г0, необходимо в формулах табл. 18
при r§<^\,7t величину г0 заменить на экви-
валентный радиус Ь, определяемый [116]
по формуле
Ь = уГ\,6 г^Ч-52 -0,675s.
2) Формулы табл. 18 дают прогибы только
от деформаций изгиба. Дополнительный про-
гиб от действия касательных напряжений в тон-
ких плитах, приведённых в табл. 18, можно не
учитывать. Исключение составляют круглые
плиты с круговым вырезом, если толщина s
плиты более */3 разности наружного и вну-
треннего диаметров (свободно опёртые края)
или более !/6 этой разности (один или два края
защемлены). В этих случаях к прогибам, по-
лучаемым на основании табл. 18, необходимо
добавить прогибы у^ от касательных напря-
жений:
(для случая 13);
' — G • $
(для случаев 14, 19 и 21);
2 In
v 0,375р& /О1 . . \ \
ух = _il_ 2 In а - I + —
U • S \ а<= /
(для случаев 15 и 20).
2. Расчёт гибких пластинок. Если в тон-
кой плите прогиб достигает не менее чем при-
близительно !/2 толщины плиты, то срединная
поверхность получает заметные деформации,
напряжения от изгиба остаются существенными
(гибкая пластинка). Необходимо учи-
тывать влияние на напряжения изгиба и на
прогибы напряжений, действующих в средин-
ной поверхности. Эти напряжения растяжения
уравновешиваются радиальными усилиями от
опор (распор) или кольцевым сжатием, если
край по горизонтали не закреплён. В тонких
пластинках кольцевое сжатие воспринимается
связями.
Если существуют эти условия, то пластинка
оказывается в действительности более жёсткой,
чем это даёт расчёт по теории тонких плит.
При этом напряжения для данной нагрузки ока-
зываются меньшими, а напряжения для дан-
ного прогиба оказываются большими, чем по
обычному расчёту плит.
Определение напряжений из-
гиба в гибкой пластинке, изгибаемой
по цилиндрической поверхности и имеющей
заданные напряжения в срединной плоскости
(цепные напряжения), см. [122].
Определение (с учётом влияния свя-
зей) цепных напряжений в гибких
пластинках, гнущихся по цилиндрической по-
верхности, см. [122].
Приближённые формулы для
расчёта прогибов и напряжений
в основных случаях поперечной нагрузки гиб-
ких пластинок — см. табл. 19. Для подсчёта
наибольшего напряжения а сначала из первого
уравнения находится наибольший прогиб г,
а затем найденная величина z подставляется
в формулу для а.
3. Расчёт абсолютно гибких пластин
(мембран). Пластинка в связи с большой гиб-
костью не воспринимает изгибающих и скручи-
вающихмомснтов.Поперечная нагрузка воспри-
нимается усилиями, действующими в срединной
плоскости. Если мембрана имеет небольшое
начальное натяжение, то с изменением попе-
речной нагрузки натяжение меняется. Если с
изменением поперечной нагрузки натяжение
меняется незначительно (мембрана с большим
начальным натяжением), то натяжение считают
постоянным (как в плёнке).
См. подробнее [18, 122].
4. Толстые плиты. Если толщина плиты
превышает приблизительно х\л или 1/5 вели-
чины пролёта, то теория изгиба тонких плит
недостаточно точна.
Решения, получаемые по точной теории
плит, см. [18, 78].

264
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
Таблица 18
Формулы для плоских пластинок постоянной толщины [16, 116]
Обозначения: Р— полная нагрузка в кг; р — интенсивность распределённой нагрузки в кг/см'; s— толщина пластинки
в см; г — напряжение в точках поверхности пластинки в кг/см2, положительное при растяжении в верхнем слое пла-
стинки; w — вертикальный прогиб в см; прогиб, направленный вниз, считается положительным; 9 — угол наклона,
измеряемый от горизонтали, в радианах; Е — модуль продольной упругости в кг/см2; т — , где ц. — коэфициент
Пуассона; С — точка на поверхности пластинки и г — её расстояние от центра пластинки. Индексы R, Т, А и В при
• обозначают соответственно радиальное и тангенциальное направление и направления вдоль размеров а и Ь. Основа-
ние логарифмов е = 2,7183 (!п х = 2,3026 1)
Способ нагрузки
Формулы для напряжении и перемещений
Круглая сплошная пластинка постоянной толщины
<Э
1. Край опёрт. Равно-
мерная сплошная на-
грузка
Р = рш3
В точке С
зр
fe ЗР (m2 —
w =
C/nf
8к Em3ss | 2 (m + 1) 2a3 m + 1
В центре ЗР ,„ , „ .
ЗЯ(/я— 1)E/п 4-1) a
По краю
2- Я
2. Край опёрт. Равно-
мерная нагрузка на части
поверхности, ограничен-
ной концентрической ок-
ружностью радиуса г„.
точке С при л < гп
ЗР
аР. ~ ~" 2it m*2
+ 1) In — - (m - l)^-2 -
+ «-?-
4л
ЗР (m1
16к ?• m2 s3
2 (от — 1) /•" (а2—г2)
о
(от-f l)a2
8от (а3 — r>)
¦ffl+1 J '
+ —-
точке С при г у г0
A2/я + 4) (а2--О 2 (от
(т + 1) а*
В центре
max^=V = -^?[m + (OT+l)ln^- ги-1)^|:
4) а' « « Gт-3) л
_-i— — 4л In ~~ ~;—i—:;—
4r)ln^
шах v = ^?~
16 ?»n
Для очень малого т (сосредоточенная сила)
ЗР (т — 1) (Зт -+
max w = * -р
По краю ^ ЗР(я1-1)д

ГЛ. IV]
ПЛАСТИНКИ И СОСУДЫ
265
Продолжение табл. 18
1
Способ нагрузки
3. Край опёрт. Равно-.
мерная нагрузка по кон-
центрической
сти радиусе
I
1
I
1
[ окружно-
го
р 1
4. Край опёрт. Равно-
мерная нагрузка по экс-
центричной
окружности
малого радиуса /¦„.
Нагрузка
Расстояния
АС = г,;
ft
АВ = ах.
Р2г
^)-
V
Формулы для
В точке С при г < г„
ЧР 1
гпахзЯ °Г 2*ms* [
ЗР (от3 -
W~ 2г. Ет
! *\ п
\ 0/ Го
В точке С при г > г
0
напряжений и перемещений
j
2
[от — 1) 4- (от + 1) In '
г
- 1) \ (Зот + 1) (а2 - л-)
Г11
In
Т 2ъгпз* L( ' l "*
ЗР (от3 — \) (Зот + 1) (а2
^ ~ 2к Я Л3 L 2 (от +
В центре
ЗР (от2 - 1) Г3
Под силой
ЗР
_
}
71 -
1 2 (от + 1)
2
,, (от - 1) г {а
— г \_ 0
— т
«> 2 (от 4- 1) а2
а '°
Т + (« - 1) РГ - (ff
i -• 1
rv
f 1)а2-(от-1)Гв
2 (от 4-1) Г
а— е
В точке С
i
°R lmax aI
w = -[Ko ( r\-bo ar] +
+ Ka( r\ — b.2
Здесь
K_ 2{m+
"
K_2Cm ч
„ Dот +
- (9w
m'Es" 3Bot
\
С
0
1)
(от 4- 1) In fi
1 4- (от 4- 1) In -^~
0
(от 4- 1) In ^i 4- (от -
от + (от + 1) In —
а3 ) 4- Ki (/¦! - *,ал
4- с3а'/-П cos 2tp j .
Pie3 - bgae* + caa?)
9 Eот + 1) К *а*
- 1
P {<+ — Ь^+СаСРе*)
3(9от + 1) Ктм«
+
+
12 (от2- 1) ' " 2 (от +
4от + 1
1и~2(/и + 1)' с
1 —
P (e4 — йцае3 4- caa2e2)
1)(оот 4- l)Kna№
1) 3 {Am + 1)
1) ' ff' 2СЗ/П+1)'
от —
(m — 1) .
2a3J '
2)
J-
(W l) 2a=J '
1) ''[(a2- /¦¦-')!
2 (от 4- 1) a2 J •
2 Ы
Л
^o JJ •
u
' 4 (а - еУ J
1)
+ c,a3r, j cos <p +
бот 4- 1 бот 4-
2 (Зот + 1) ' Сз~ Am +
2 Eot 4- 1)
J ~ 4от + 1 '
1
1

266
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 18
Способ нагрузки
5. Край закреплён и мо-
жет поворачиваться. Мо-
мент в центре
тт
6. Край опёрт и заще-
млён. Равномерная сплош-
ная нагрузка Р = pica*
Р
7. Край опёрт и заще-
млён. Равномерная нагруз-
ка по площади, ограни-
¦ окружностью радиуса г
Р
^ III ПИ gs
Формулы для напряжений и перемещений
В точке С
По краю
В центре
В точке С при г < г„
ЗР
— ЗР
Т ~ 2тсОТ5а
ЗР(от~ —
т
R
^' Г/ от 4- 1 \ 2 {а
R 4м2л, [^1+ от j ^
0 49аа
(rn + 0,7a)-
8г. ms'2 [ а2
- - ЗР- [ +3/ ( + 1 I
ЗР (от2 — 1) г (а2 — га)"
ЗР ЗР
Г
1
(ч
w 16uEm's/*
В точке С при r> rr
ЗР
-ЗР
V " 2тсот52
' \6kEi
По краю
*R
В центре
*R ~ 3Г ~ 1
1
и
Г
= ?
3/-
ЗР (/л + 1)
JP ' 7" S.-./7W*
ЗР (от3 — Г) а-
16 1С ? /71 .V
J
1 a 1 Г1)
"* V 'о/ г, a
m+ ' ° 7 r fw+ } Ier + (
»4-l) In a ¦*¦ (от ^ 1) ^ (r
1) Г з / + 4r^ ]n a *
ж5я \ la? / ~ R' о
-J ,« + l) in a- +(«+!)-
где г < 0,588 a;
0
L °
При малом г (сосредоточенная нагрузка)
ЗР(от2 — l)aa
й "I
|
J
(Ottl -f
m 4-3)
" 4-
ОТ - 1)
n-i)
a
>0,588
i
rl-
a J
0 J
" ¦
9 1 '
1
r* °
0
rl 1
4t* J
„ , J
-. max J/?.
1
J

ГЛ. IV)
ПЛАСТИНКИ И СОСУДЫ
267
Продолжение табл. 18
Способ нагрузки
8. Край опёрт и заще-
млён. Равномерная нагруз-
ка по концентричной
окружности радиуса г
9. Край опёрт и заще-
млён. Равномерная нагруз-
ка по эксцентричной
окружности малого ради-
уса г . Нагоузка в А
10. Край опёрт и заще-
млён. Момент в центре
В
1
В
п
в
в
точке С
R = •/¦
w — -
точке С
центре
> краю
Формулы
при г < /
г
— ЗР
при т > ги
"
(т +1) 1
ЗР
А? ~ 4^
— ЗР
ЗР(ш--
'R =
точке нагрузки
точке С
По краю
— ЗР
а
ЗР
При г—г
где
u
EmKs:
ЗР
1
1
V
(т
1)
(' ,
V1
+
—
для напряжений и
2 In —
i +1)( 2
+ 1)^2 1
lJ,X +
J (ТО2 _ 1)
ЗР
Г 2пт
l)ln ^f
0
при г <
1} I-1- С
I2 V
л" 1
2 (а- е? J
ъм
4и
52Г
[l 4-
> Г
5
0
- /¦•-') - (
f l [*
1 2 \
= max а.
4'" Ч
- + (т +
0,6 (а -
(/я + 1)
т
0,laJ
перемещений
\
')
,+
\
')
)
при
г
а
а*
1)
е).
\ ...
j
In
в + 0,28а)=
= max j, при г
A in _2_
u/ ''о
- (т - 1) -
•¦> (г2 4- r ^
\ ¦ г1 In
г > 0,31 а
\
г' 1
0_ _
г In e/"'
гп > 0,6 (л
2 @,45а — г0
0,45 АГа
г
In fl
1 1
1 ¦
0 i
max
1 •
< 0,3ia;
-4
i
J

268
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 18
Способ нагрузки
Формулы для напряжений и перемещений
В точке С при г < г
11. Реакция в виде рав-
номерного давления по
нижней поверхности. На-
грузка Р по площади,
ограниченной концентри-
ческой окружностью ра-
диуса г0.
Р = ртУ
2nms3
ЗР
(от + 1) in + -г И 1
(от - 1) -
(от - 1)
C/я + 1) /•
(от + 3) г3
„ 7от + 3
/л 4- 1
т +
(а3-г) (л,-л)
В точке С при г У- г
ЗР I,
j г, = — -
it
C/я 4- !)/¦"
4а2 j
ЗР (/и» - 1)
« = „_Р_,л—{ ( ^ + 4л" | In —- +
(я - 1).
m + 1
В центре
max :n =
(/л
ЗР
2ms
3P(m3- 1)
max w — -
\QtiEm*
1) Г i a s /
,- 4r In + 2r
/ 3/я + 1
m + 1
При малом гв (сосредоточенная нагрузка)
ЗР (m — 1) Gm + 3) a2
max да =
12. Опоры отсутствуют.
Равномерно распределён-
ный момент по краю
В любой точке
В точке С
В центре
По краю
6 (от — 1) Ж (а" — г2)
6 (ал — 1) Ма*
——jj-—
12 (ОТ — 1) jWa
6= _1А- . -
Emss
Круглая пластинка с концентрическим отверстием
13. Внешний край опёрт.
Равномерная нагрузка по
поверхности
Р = рт. (а3 - *в)
iii.ll UIIII
По внутреннему краю
Зр
max 3=5 j = —
4 (/в—1) —
In-=-
Если Ь очень мало,
шах з = ву =
а2*5 (Зот 4- 1)
2(т 4-1)
4/я^2
Зр (/я2 — 1) Г а* (блуЛ)^ J>4 G/л 4- 3)
2~т2 Es" [~8(т+\) 8 (/л"+ 1)
а3*3 C/я 4- 1) , а 2а2*4 (т +
¦— „ , гт 1П — т~

ГЛ. IV)
ПЛАСТИНКИ И СОСУДЫ
269
Способ нагрузки
I 14. Внешний край опёрт.
Равномерная нагрузка
по внутреннему краю
15. Внутренний край опёрт.
Равномерная нагрузка
по поверхности
Р = рт. (а- — ft2)
illlll ШП
16. Внешний край опёрт и
защемлён. Равномерная
нагрузка по поверхности
Р --= pit {а* — ft2)
11A11 НИИ
17. Внешний край опёрт и
защемлён. Равномерная
нагрузка по внутреннему
краю
Продолжение табл. 18
Формулы для напряжений и перемещений
По внутреннему краю
ЗР Г 2а2 (,
max з = ir = — v
' 2 тсот55 [ а-
ft2
max w =
(от + 1) "^ (от - 1)(а2-Н 1 b
По внутреннему краю
max z — <sT =
— 4a4 (m + 1) la —— +
По внешнему краю
та
4ms2 (a2 — ft2)
+ ft4 (от - 1) - a4 (+3I
16?от2л-3 ' l
&* E/re+l) — a-'ft2 A2/re + 4) —
(m -1)
u3) (m -1) ( П Т
По внешнему краю
(m — 1) — 4b* (m+1) In ~+а^Ь-{гп+\)
max an= ,— - \ a- — 2 b- A
R 4*2L
По внутреннему краю
a2 (m —
max i-r— —
и1 — ft* — 4a-ft2 In —
3Г~ 4 OTi2 I ~as(rn—T) + ft2 (от + 1) I '
max „ = ^.^1> I «4 + 5ft4 - 6«2ft2 + 8ft* In \
[8ft6 (m+1) - 4a-ft4 (m + 3) + 4a4ft2 (от + 1)] lg -^- — 16a-ft4
2fts (m -
a (m — U + ft2
По внешнему краю
2отй- — 2ft- (от + 1) In -r-
- 1+
max in =
По внутреннему краю
3P
3P {rri2 — 1)
-max j, если — < 2,4.
ft
ma- (m -- !) — mb2 (ot + 1) —2 (ot^— 1) a'2 In —
a- (m — l) + b~2 (m + 1)
— max а, если -- > 2,4;
ft
2mft3 (a2 — ft2) + 6ft1 (m-t-1) - 2a2ft- Gm+3) In ¦ -
+ 4a2ft2 (m+1) I In
~~aF(m — Tj"+i"(OT +1)
a2 (от — 1 ) + ?)а (ot+1)
¦ 2 i

270
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
Продолжение табл.
Способ нагрузки
18. Внешний край опёрт
и защемлён, внутренний
край защемлён. Равно-
мерная нагрузка по по-
верхности
Р = рп(а* - Ь)
р
IWIII iJilil
JK-o-Hi
19. Внешний край опёрт
и защемлён, внутренний
край защемлён. Равно-
мерная нагрузка по вну-
треннему краю
1 Р )
20. Внутренний край оперт
и защемлён. Равномер-
ная нагрузка по поверх-
Р = or (a» - ft»)
Р
nun iijim
21. Внутренний край опёрт
и защемлён. Равномер-
ная нагрузка по внеш-
нему краю
Р .
22. Внешний край защемлён.
Равномерные радиаль-
ные моменты по внут-
реннему краю
М М \
Формулы для напряжений и перемещений
По внешнему краю
Зо f 4ft* /(
, is у а о у
По внутреннему краю
Лр Г, , „ 4aV- I,
R 4i2 v ' а? — ft2 \
max w——-- la* + 3<>4 — 4asft2 — 4aaft2 In —
16 тЧ-.у1 | b
, iP \\ 2*' /in 'Ml
L \ /J
По внутреннему краю
ЗР Г, ?й2 /a \
max an = -—г 1 — „ — In —.-
К 2ks3 [ а2 — ft2 ^ ft j
ЗР(отй— 1) Г „ .„ 4a2ft2
По внутреннему краю
Г а
L
По внешнему крат
г \ 1
/I
я \
ft I
(\п
(от
гр (от* — 1) \ а" Gт+о) : ft» (от — 1) — a*ft2 (от+7)
ШЗХда Km'Es3 ( aa(OT+1) + fta
от —
- 4a=fts \а~ (от — l)+ft2Cn+l) I In у — 16a4ft5(OT+l)
a'2 (OT+lL-ft- (от — 1)
По внутреннему краю
Г 2a2(/ra+l)ln -_+tt=(m-l)-
«2ft4 /, а
- *• Aп т
») 1
1L-4 а о
— «-ft4 Gm -
' \ 91 \
1
-1
- ft3 (от — 1) j
max "R- 2rf [ a* (m+l)+ft* (от - 1)
По внешнему краю
г
ЗР (от2 — 1) I a4 COT4-1) — й4 (от — 1)
4OT2TiJ?i3 «2(OT-flL-ft2
L
— 7а
(от-
- 8 maW In -j- - \а?Ьг (т 4-1) (ln ~ j
По внутреннему краю
_ 6Л1 ИМ (т' — 1) j
R j2 ot?s3 1 а- (от -
По внешнему краю
6Л11 2OTfta
(>' 1
J
Jft2(OT4-l) -
-l)+ft2(OT4-l)
-Ь)
9

r;i. iv
ПЛАСТИНКИ И СОСУДЫ
271
Продолжение табл. 18
Способ нагрузки
Формулы для напряжений и перемещений
23. Внутренний край заще-
млён. Равномерные ради-
альные моменты по внеш-
нему краю
По внутреннему краю
ам
max „R= - _
2та*
По внешнему краю:
6М
(т + 1) а» -йот-ТI>5
6Л1 (nV—1)
max w = ~^~-
а* — а"&2 —
а» (т -f 1) + 6s (от -
24. Края не защемлены и
не опёрты. Равномерные
радиальные моменты по
внешнему и внутреннему
краям
8 точке С
'/? =
V
j
12 (от2— 1) 1<
w= ~ - "•' i-у) I'
(^ - МЬ)
от -1
])
~ b
Эллиптическая пластинка сплошная, а=
25. Край опёрт. Сплошная
равномерная нагрузка
В центре j = — —
?7
0,3125B —a) p 6»
= may: з; max ге»=-
@,146-0,1*) рУ
для и-^-5"
26. Край опёрт. Равномерная
нагрузка по концентри-
ческому кругу малого
радиуса г
В центре
зя
йх w=— —3 @,19—0,07 а) (при !* = -j-
27. Край закреплён. Равно-
мерная нагрузка по кон-
центрическому кругу ма-
лого радиуса г0
В центре
- 0,3761 ;
Pb* @,815 — 0,026?)
max w— 5 —3 •- (для max w принято ;л=0,3)
Квадратная пластинка сплошная
28. Край опёрт сверху и сни-
зу (углы прижаты). Равно-
мерная сплошная нагруз-
ка по поверхности
29. Край закреплён (углы
удерживаются). Равно-
мерная нагрузка по кон-
центрическому кругу
малого радиуса гй
В центре
0,2208 ра* (от + I)
з = —i— =-
A ms*
В центре
0,0487 ра* (т' - 1)
a; max w=— —i—
0,1391Ра2 (от3 — 1)

272
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 18
Способ нагрузки
{ 30. Край опёрт только сни-
j зу. Равномерная сплошная
I нагрузка по поверхности
31. Край опёрт только сни-
зу. Равномерная нагрузка
по концентрическому кру-
гу малого радиуса г„
32. Край защемлён и опёрт.
Равномерная сплошная на-
грузка по поверхности
33. Край защемлён и опёрт.
Равномерная нагрузка по
концентрическому кругу
малого радиуса г,,
34. Все края опёрты. Равно-
мерная сплошная нагруз-
ка р по поверхности
Формулы для напряжений и перемещений
В центре по диагональному сечению
0,2214ра2 .
0,0443 ра1
В углах по диагональному сечению
0,2778 ра2
з = —-—=maxi (для (л = 0,3
То же, что и в случае 29
В середине края
В центре пластинки
0,308 ра-
бр (т + 1) ап
0,0138ра*
A7ms-
(для ^ = 0,3)
В центре
ЗР
In — (от + 1)
0,0624 (от2 — Ц Ра*
m-Es3
г-о-
Прямоугольная пластинка сплошная —-=а<1
В центре
__ — рУ1 @,225 + 0,382а2 — 0,320а3)
OJbpb1
0,1422 pb* .
v = max я; max w = ¦¦-=—— (при ^ = 0,3)
) Izs A + 2,21 o.a)
35. Все края опёрты. Равно-
мерная нагрузка по кон-
центрическому кругу ма-
лого радиуса гп
В центре
зо — —
35 =
0,203 P№ (от2 — 1)
OT2/:i-3 A + 0,462V4)"
В центре -j = csg = 3 —тх , где З -- из таблицы
\ a
\
о
O,2
0,4
O.6
o,8
i,O
0
1,82
i,39
1,12
0,92
0,76
b=a
0,2
1,82
1,28
1,07
0,90
0,76
0,63
0,4
0,84
0,72
0.52
0,6
1,12
0,90
0,72
0,60
0,51
0,42
0,8
о,93
0,76
0,62
°,52
0,42
о,35
1,0
0,76
0,63
0,52
о,43
0,2
0,4
0,8
1,2 1.4 ' 0
0,4
0,8 ! 1,2
1,6
1,78
i,39
1,10
0,90
o,75
2,00
1,43
1,13
0,91
0,76
0,62
1.55
1,00
0,82
0,68
o,57
1,12
o,95
o,8o
0,68
o,57
o,47
0,84
o,74
0,62
o,53
o,45
0,38
o,75
0,64
o,55
o,47
0,40
°,33
i,73
1,32
1,04
0,87
0,71
1,64
i,3i
1,08
0,90
0,76
0,61
1,20
1,03
o,88
0,76
0,63
°,53
o,97
0,84
o,74
0,64
o,54
o,45
7 0,78
0,68
0,60
o,54
°,44
0,38
2,0
0,64
o,57
0,50
o,44
0,38
0,30
(при i*=0,3

ГЛ. IV)
ПЛАСТИНКИ И СОСУДЫ
273
Продолжение табл. 18
Способ нагрузки
Формулы для напряжений и перемещений
37. Все края защемлены.
Сплошная равномерная на-
грузка
В середине длинной стороны og =
О
В середине короткой стороны зд = '
В центре пластинки с?^= ----' '^ ;
__ 0,054 рй2 A + 2а2 — а4) _
А- ^о ,
(формулы для ag при [j.=0,3; другие формулы при ;а=С
0,0234/л!L
38. Все края защемлены, j
Равномерная нагрузка в |
центре пластинки на круге |
малого радиуса г„
В центре
где Э имеет следующую величину: —= 4 2
= 0,072 0,0816 0,0624
,' 39. Длинные края заще-
! млены, короткие опёрты.
j Равномерная сплошная на-
грузка по поверхности
В середине длинной стороны
В центре пластинки
25= A + 0,2 а4)
4s2 A + 0,4 а<) '
2>рЬ- A + 0,3 а9)
(при и.=0)
40. Короткие края заще-
млены, длинные опёрты.
Равномерная сплошная на-
грузка по поверхности
В середине короткой стороны
QJ5pb2
В центре пластинки
0,75 pb-
41. Одна длинная сторона
защемлена, другая свобод-
на, короткие стороны опёр-
ты. Сплошная равномер-
ная нагрузка
42. Одна длинная сторона
зажата, три другие опёр-
ты. Сплошная равномер-
ная нагрузка на поверхно-
сти
s"- A + 0,8 о? + 6а1)
0,09р62 A + За2)
" S* A + а.*)
(при ц.=0)
В середине защемлённой стороны
В середине свободной стороны
°А=~
1,37рд*
Es3 A — Юа?)
(при ,а=0,3)
г pb1
pb
; max w= -« ^— ,
где р и а - по таблице:
а
~~Ь
Р
i
о,5о
0,030
1.5
о,66
0,046
2,0
о.73
о,о54
2,5
°,74
0,056
З.о
°.74
°.°57
3.5
о.75
0,058
4,о
о,75
0,058
(при |а=0,3)

274
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД.
Продолжение табл. 18
Способ нагрузки
43. Одна короткая сторо-
на зажата, другие три
опёрты. Сплошная равно-
мерная нагрузка на по-
верхности
Формулы для напряжений и перемещений
pbl
где 3 и а - по таблице:
2,о I 2,5
3° 3.5
о
° .5°
0,030
0,67
0,071
о. 73
O.IOI
°>74
0,122
о,75
0,132
о. 137
о,75
ОЛ39
(при yi=0,3
44. Одна короткая сто-
рона свободна, другие три
опёрты. Сплошная равно-
мерная нагрузка по по-
верхности
max w— a
где fi и 1 — по таблице.
а
Ь
i
о,67
°, 14°
1.5
«V77
о, i6o
2,О | 4i°
о, 165 ! о, 167
(при у.=0,3)
45. Одна длинная сто- 1
рона свободна, другие три
опёрты. Сплошная равно- J где 9 и . - по таблице:
мерная нагрузка по по- !
верхности , _
max w = a *^,
0,67
0,140
1.5
о,45 j о,зо
o,io6 о,о8о
(при р.=0,3)
Пластинка по полукольцу
46. Наружный край сво-
бодно опёрт, внутренние
свободны. Сплошная рав-
номерная нагрузка
В точке А
брсЬ
край В
b 111/. 2 с \ 1, 2 с¦ \ с 1 „ (наибольшее касат
Т 3 ; [Cl I ~ Tl ~ь) + Cl I Y2 ТГ Т\ ное напряжение
|чке В
24pcW (Ь \\\ г2г. ,_ г2ТС с] ,
= —W-j— I —— .,- \С\ ch — -(¦ с, ch -^—h — (наи
ель-
е).
В точке В
больший прогиб).
Здесь
Г
К — по таблице в зависимости от значений
b — с
Ь + с
Ь'+ с
= 0,05 о,ю о,2 о,з о,4 о,5 о,6 0,7 о,8 0,9 '.о
/С=2,33 2,2о 1,95 г.75 г.58 1,44 1.32 1,22 1,13 1,06 i.o

гл. iv]
ПЛАСТИНКИ И СОСУДЫ
271
Формулы расчёта гибких пластинок [122]
Обозначения^ — равномерно распределённая по поверхности пластинки нагрузка з кг/см1; о
ср
Таблица 19
напряжение в сре-
динной поверхности в кг/см1; я — напряжения от изгиба в кг/см"; т = - + з — полная величина наибольшего напря
max ср
жения; г — наибольший прогиб в см; s — толщина пластинки в см; а — радиус или наименьший размер пластинки в см:
Ь—наибольший размер пластинки в см; Е—модуль продольной упругости в кг/см"; jj- — коэфициент Пуассона.
Формулы пластинки, нагрузки
и условия на опорах
1. Круглая пластинка. Равномерно
распределённая нагрузка. Край просто
опёрт (не защемлён и не удержи-
вается, нет распора)
Расчётные формулы
pa"
Es4
63 A - D) \ * / I ~
2. Круглая пластинка. Равномерно
распределённая нагрузка. Край опёрт
и зашемлён, но не удерживается
?.s-2 Г 1,238 / г
'max" „¦_> |~7^7"Н
/га' _ _J6_ /
cJ< ~ 3A—ja»)'
/ г N2
0,294—1 I (в центре)
AV Г 4 / z \\
-=3 = -flT rrr^lrjj{украя|
x e' [l -i*. W / 2 U i
3. Круглая пластинка. Равномерно
распределённая нагрузка. Край опёрт,
зашемлён и удерживается
4. Прямоугольная пластинка. Равно-
мерно распределённая нагрузка. Края
опёрты и удерживаются (распор), но
не защемлены
5. Квадратная плита. Сосредоточен-
ная сила Р в центре. Края опёрты или
защемлены
pa*
16
,
=0,476 E
(у края);
16p A -
a =0,976 E\ — Mb центре);
= 3 + j (у края) [см. формулы D) и G)];
(в центре) определяется по формуле E)
12 U'
ь
B—
max 8{1 _ и
СР ~~ 32A
(В центре плиты); 110)
5za Г 2 — а1 a
• '¦ \- —
\
ft J
(в центре плиты)
A1)
Начальный прогиб (провисание) zH, вызванный собственным весом или др)
гой нагрузкой, находится по формулам табл. 18 (случай29 или 33). По формуле
A2)
находят у0 — прогиб, вызванный силой Р, и полный прогиб z = zQ + г .
В формуле A2) с, = 87, са = 28 при просто опёртых краях и с, = 192, с, = 36
при защемлённых краях.
Нагрузка, воспринимаемая изгибом, равна kP, где
1
A3)
к -
| Нагрузка, воспринимаемая натяжением пластинки, равна A — к)Р.
\ Напряжение а от силы kP находится по табл. 18 (случай 30 или 34)
i Полное напряжение
з — а + о (в центре пластинки)
max ср
Прогиб в центре
6. Круглая мембрана (абсолютно гиб- j
кая пластинка). Равномерная нагрузка. •
Край удерживается. Диаметр мем- |
браны - 2о ; Напряжения
г = 0,662 а-»/ ??-
У Es
а
max ср
0,423
3/
I/
(в центре);
о =з = 0,328 I/ ----- i.y края)
шах ср у 95

276
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Тонкостенные сосуды*
Тонкостенный сосуд рассматривается как
оболочка, т. е. тонкостенная пластинка, имею-
щая начальную кривизну в одном или двух на-
правлениях. Форма оболочки (сосуда) задаётся
её срединной поверхностью, точки
которой расположены на равных расстояниях
между внутренней и внешней поверхностями
оболочки. Разрез, которым делается сечение
оболочки, предполагается перпендикулярным
срединной поверхности.
В оболочкахвращения сечение сре-
динной поверхности оболочки плоскостью,
совпадающей с осью вращения, называется м е-
ридиональны м; сечение, перпендикуляр-
ное оси вращения, называется кольцевым.
Если толщина s стенки сосуда, имеющего
форму поверхности вращения, мала по срав-
нению с радиусом R её кривизны и меридио-
нальные кривые не имеют резких перегибов,
то нормальные напряжения при действии непре-
рывного внутреннего давления, симметричного
относительно оси вращения, распределяются
по толщине равномерно (мембранные на-
пряжения). При этом предполагается, что
внешние силы, равномерно распределённые по
краю оболочки, направлены по касательным
к меридианам.
Если в какой-либо точке сосуда ^ — напря-
жение в меридиональном направлении (мери-
* См. также раздел „Тонкостенные трубы и стержни
с замкнутым профилем".
диональное напряжение), с2 — на-
пряжение, параллельное кольцевым сечениям
(кольцевое, напряжение), Rt и R2 —
радиусы кривизны срединной поверхности в
рассматриваемой точке меридиональной кри-
вой и в направлении, перпендикулярном мери-
диану, 5—-толщина оболочки, р — интенсив-
ность внутреннего давления, то уравнение
равновесия в рассматриваемой точке запи-
сывается так:
5 ij2._
#1 #2 ~
(уравнение Лапласа).
Деформации, возникающие от мембранных
напряжений, вызывают некоторый изгиб стенки.
Напряжения изгиба существенны в местах
резкого изменения толщины стенки, неравно-
мерности в нагрузке, возле опорного контура
и в местах разрыва непрерывности меридио-
нальных кривых (меридиан состоит из пере-
секающихся или касательных друг к другу
кривых). Напряжения изгиба весьма быстро
затухают при удалении от зоны указаиного
нарушения непрерывности [28, 46].
Расчётные формулы для наи-
больших напряжений и перемещений
в тонкостенных сосудах см. в табл. 20.
Расчёт толстостенных сосудов
и труб см. стр. 350.
Выбор величины допускаемого
напряжения см. в гл. V.-
Таблица 20
Формулы для напряжений и деформаций в тонкостенных сосудах [17, 18, 116]
Обозначения: р — давление в кг/см?; <т, и <у2 — меридиональные и кольцевые напряжения в срединной поверх-
ности (положительные при растяжении) в кг/см3; <з и а — меридиональные и кольцевые изгибные напряжения в точ-
ках поверхности сосуда (положительные при растяжении на выпуклой стороне поверхности) в кг/см2; -с — касательные
напряжения в кг/см*; Мо и М(х) — изгибающие моменты, постоянные по кольцу, в кгсм на 1 пог. см кольца (положи-
тельные при направлении, обозначенном на чертеже); Qo и Q (лг) — поперечные усилия, действующие по площадкам,
перпендикулярным поверхности и меридиану, в кг на 1 пог. см кольца (положительные при направлении, обозначен-
ном на чертеже); х — расстояние вдоль меридиана от края сосуда в см; радиальные перемещения в еж,-направленные
от центра кривизны поверхности, считаются положительными; 9 — угол поворота касательной к меридиану в радиа-
нах; Л?, — срединный радиус кривизны по меридиану в см; Ra — срединный радиус кривизны в плоскости, нормаль-
ной к меридиану в см; R — радиус кольца в см; s — толщина стенки в см; Е— модуль продольной упругости в кг/см1;
(i. — коэфициент Пуассона.
D =
6М
12 A-
Форма сосуда и вид нагрузки
Расчётные формулы
Напряжения в срединной поверхности
1. Цилиндр. Равномерное вну-
треннее (или внешнее) давление/)
в кг':смг
pR . nR
1 2s s
Радиальное перемещение равно
R
(х, —
2. Сфера. Равномерное внутрен-
нее (или внешнее) давление р
в кг\см?
Радиальное перемещение равно
4?- а - (*)•

ГЛ. IV]
ПЛАСТИНКИ И СОСУДЫ
277
Продолжение табл. 20
Форма сосуда и вид нагрузки
Расчётные формулы
3. Конический
сосуд. Равно-
мерное внутрен-
нее (или внеш-
нее) давление р
в кг/см1
4. Кониче- \
ский сосуд.
Наполнен
до уровня d
жидкостью
с удельным
весом у
в кг/сл0
5. Поверхность
вращения. Рав-
номерное вну-
треннее (или на-
ружное) давле-
ние
^5 , _L_
Is COS a ' г~ s cos а
На высоте у от дна
yV tg a I 2
' 25 cos i ' " * '
iax з,=—'—— /при v=—-rfi
1 16,? cos a \ v y 4 I
As cos a
при^=— d
_
Радиальное перемещение равно
("в ~
Изгибные напряжения в точках поверхности сосуда
6. Цилиндр. Радиальная нагрузка, В точках на оси .г
распределённая по малой пло-
щади радиуса Ь, удалённой от
края цилиндра
^- [o,42 In -^ 1 , где 3=0,215 + 0,5 Г-
*§ 1 , где 3=
L x J L 2
В точках окружности, к которой приложена сила (обозначена пунктиром),
-1 '/
V — расстояние по окружности,
max
3' = -^Го
1 s* [
max о = -—
у Г
—— (под нагрузкой).
о 215/? 6w-1
,42 In —^—г Ь ~v (П0Д нагрузкой);
Для точек на оси х перемещение равно
( е—ах) ( cos Рдг + sin
Q .
0,3125
Уменьшение диаметра (по линии нагрузки) под действием двух равных
0,27 PR"
обратно направленных сил равно —р~Т~ •
7. Цилиндр. Та же нагрузка, но
приложенная на малом расстоя-
нии с от неопёртого конца ци-
линдра (см. фигуру п . 6)
I - \ ( е \1
max Oj = I max s, при силе, удаленной от конца цилиндра) г— I
\ / \ 0,2/? /
(при е > 0,2i? нагрузка может рассматриваться удалённой от края);
max а2 = I maxa2 при силе, удалённой от конца цилиндра
(при е + Ь > 0,7./? нагрузка может рассматриваться удалённой от края).
Радиальное перемещение под нагрузкой равно
^0,35-
[(
(при е > 2R нагрузка может рассматриваться удалённой от края)

278
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
!РАЗД. I
Продолжение табл. 20
Форма сосуда и вид нагрузки
Расчётные формулы
! 8. Цилиндр. Равномерная нагруз-j
j ка р в кг/см, распределённая по!
окружности ;
i
max yVf = —j- (под нагрузкой); maxat = ^ ;
(cos Хх + sin lx)]- ~p l^-e ~Xx sin
Радиальное перемещение равно
2Es
Наибольшее кольцевое напряжение за = —-=--—- (под нагрузкой).
9. Цилиндр с подкрепляющим
кольцом площадью сечения F. Рав-
номерное внутреннее (или наруж-
ное) давление р в кг/см3
Мо = 0,304 pRs _—^=- )
(Aig = 0,304 pRs при жёстком кольце или диске);
F — cs \
I Qtl --= 0,78 р 1 Rs при жёстком
Qo = 0,78 р VRs
кольце или диске).
Наибольшее продольное напряжение от изгиба равно ~— (по краю
кольца). Формулы для случаев 10 и 11 могут быть использованы для опре-
деления М (х), и,' и Q (х) в других сечениях.
Давление от кольца на единицу длины окружности равно 2Q0.
Формулы применимы, если соседние подкрепляющие кольца находятся на
расстоянии > -г- .
Полное напряжение вдоль образующей цилиндра, равное з, + я,', пре-
восходит нормальное напряжение за по кольцу за исключением случаев,
когда расстояние между подкрепляющими кольцами < —— l/"/?s
10. Цилиндр. Равномерная ради-
альная нагрузка Q,, в кг/см по
окружности на конце цилиндра
W = -у Qu'-"" sm Ь-J max Л/ = 0,322-у- при л=-^\
Q (x)=Qtl е- Хх (cos /л - sin U); с,' =
, 1.932 Qo
max j, - - - ; j3'=iaj,';
Кольцевые напряжения
Радиальное перемещение равно „J^g ; ^=o~ni
(на конце).
11. Равномерно распределённые
радиальные моменты А1Ь в кгсм\см
на конце цилиндра
/ * Inn
Л1 (.г) = Л1о ^ ^"r (cos )o:-l-sin \х)\ шах уИ = Л10 (на конце)
Q (x) = 2\Moe~'kx sin )а% max Q-0,644 ХЖ0 I при r=.-^
, _ 6MJx)
ai -- - si -
Кольцевые напряжения
max з, =
5»
(cos Ъг— sin Xx)
2M
Радиальное перемещение равно -x

ГЛ. IVj
ПЛАСТИНКИ И СОСУДЫ
279
Продолжение табл. 20
Форма сосуда и вид нагрузки
12. Поверхность вращения. Равно-
мерная радиальная нагрузка Qa
в кг/см по окружности по краю со-
суда
Расчётные формулы
М (лг)= -?- 4- Qo е~Хх sin U; max Ж = 0,322 ~- ~~ Qo ( при х = ^
шах „' = 1,932 |~-<|:
Кольцевые напряжения
on 2Q О
max з2= d"-^2*- (на конце); t = " .
Радиальное перемещение равно
Для полусферы
8=-
ШГ sin *¦
f = -7 и /? = '
13. Поверхность вращения. Равно-
мерный радиальный момент Мо
в кгсм/см по окружности по краю
сосуда
14. Цилиндре плоским дном. Рав-
номерное внутреннее (или наруж-
ное) давление р в кг/сма
М (х) = -?- е Ух Ма (c
max Af = ЛГ„ (на конце); Q (x)=2 | —-j * e~~ * XM0 sin b-x;
max Q=0,644 I -^- ) ХЛ10 при
, - 6Л1(лг)
3,'= ; max с, =-
Кольцевые напряжения
3=2Ха -^- е-Хх ^ (cos Хл: - sin Хд-);
шах з2=2 — --0 Ха (на конце);
1М„ cos \xt
Радиальное перемещение равно —^^sin <p;
з |
^L.We, ^0
Es,
A-
Х./Г5,
Здесь величины D, относятся к дну, a D3 и >.а — к цилиндру. Напряжения
в цилиндре находятся путём сложения напряжений, соответствующих р
(случай 1), Qo (случай 10) и Мо (случай 11).
Напряжение в дне находится как в круглой пластинке (см. табл. 18)
путём сложения напряжений, соответствующих р, MQ, и радиальных напря-
жений —^

280
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
Продолжение табл. 20
Форма сосуда и вид нагрузки
Расчётные формулы
15. Цилиндр с полусферическим
дном. Равномерное внутреннее (или
внешнее) давление р в kzjcm
с B
J 12A —
A - П -
2 (l+c'U) A+с3!?)
и Aj относятся к дну.
Если Si = s2, то Мо = 0; Qo — -?- .
Напряжения в цилиндре находятся наложением напряжений, соответ-
ствующих р (случай 1), Qo (случай 10) и Мо (случай 11).
Напряжения в дне находятся наложением напряжений, соответствую-
щих р (случай 2), Qo (случай 12) и Мо (случай 13)
16. Труба с фланцем, прикре-
плённая болтами. Равномерное
внутреннее давление р в кг/см".
Продольная сила, растягивающая
трубу, обозначена Р в кг
»_ " тх )(s +0,2325 fl\)p-2T3(h + 0,5377/) P
2s )
1,860/5+7", \h"- j 2+0,1160— Г, +1,6103/ft+0,866/2
V s J
Mn = ¦
0+hT3P - 0,5 sp[ /=- — 7",
где f=Yas; Г, = "A~(rf2 — я2)'
_ 3,58
1,5 Tsh — 3,464^
%¦ In
-a2) L3
Продольные напряжения от изгиба
,_6Л1„
3i — —Г •
Радиальные напряжения во фланце от изгиба
Напряжения в цилиндре от продольной силы
Р+ръ \а s
j Наибольшие напряжения в цилиндре равны <г,' + и,.
i
Радиальные напряжения во фланце (без учёта изгиба фланца)
Тангенциальные изгибные напряжения во фланце
1,49 P In -¦ - +
+ 0,447 Р (б2 - а2) J.
Тангенциальные кольцевые напряжения во фланце
Наибольшие радиальные напряжения во фланце равны V + 3i (сжатие на
внешней поверхности соединения с цилиндром). Наибольшие тангенциальные
напряжения во фланце равны aa'+tr2 (растяжение на внутренней поверхности
соединения с цилиндром).

ГЛ. IV]
УСТОЙЧИВОСТЬ
281
УСТОЙЧИВОСТЬ
Основные положения
Расчёт деталей, один или два размера се-
чения которых малы по сравнению с длиной
(или вообще с третьим основным размером),
должен производиться не только на прочность,
но и на устойчивость. К таким деталям от-
носятся длинные и относительно тонкие стер-
жни или стержни с тонкостенными сечениями,
тонкие плиты и пластинки, оболочки и ряд
других.
Явление потери устойчивости заключается
в возникновении больших и быстро нараста-
ющих деформаций детали или конструкции при
медленном приближении действующих на них
нагрузок к определённым значениям, назы-
ваемым критическими.
Потеря устойчивости приводит обычно к
разрушению детали или конструкции, поэтому
допускаемые нагрузки Р должны быть мень-
ше критических Ркр, и отношение
кр,
кр
называется запасом устойчивости.
В отдельных случаях допускается работа
конструкций и после потери устойчивости,
если несущая способность их не оказывается
потерянной.
Расчёт на устойчивость заключается в
определении критических нагрузок или соот-
ветствующих им критических напряжений.
При устойчивом равновесии упруго дефор-
мированной детали или конструкции полная
потенциальная энергия, равная работе внеш-
них сил и потенциальной энергии деформа-
ции (А -4- U), должна обладать минимумом
(следствие начала возможных перемещений).
Это соответствует условию равенства нулю
первой вариации (на всех возможных переме-
щениях) от полной энергии
о (Л + U) = О
при положительном значении второй вариации
82 (Л + U) > 0.
При неустойчивом равновесии упруго де-
формированной конструкции
Критическое состояние перехода к не-
устойчивому равновесию, т. е. потеря устой-
чивости, определяется из условия, что на
всех возможных перемещениях
= 0.
A)
Припер. Стержень длиной / с площадью поперечного
сечения F ис жёсткостью EJ (фиг. 95) сжат между
двумя плоскостями силами Р. Требуется определить
критическое значение силы Р.
Предполагаем, что упругая линия имеет синусоидаль-
ную форму
у = f sin л :-т-,
причём / — стрела прогиба, малая величина по сравне-
нию с длиной стержня I.
Вычисляем приращения .перемещений и усилий, воз-
никшие в результате выпучивания стержня:
приращение удлинения стерж-
ня составляет
dx
41
укорочение невыпученного
стержня составляет
м =
EF;
сжимающее усилие при выпу-
чивании вследствие возникно-
вения удлинения уменьшается
до величины
Фиг. 95.
Р, =
_
41 ' 1 '
Вычисляем потенциальную энергию деформаций-
~\ 2EF +
J 2EJ-
М = PJ sin к -- и j- = Р.
Выражая U через Р, согласно приведённой выше за-
висимости и оставляя величины до 2-го порядка мало-
сти, получим
D2!
75 Л
U = - — Р — Р + Р'
4EF 41 J 4EFi
В данном случае возможные перемещения выбраны
так, что концы стержня остаются в покое, поэтому точки
приложения Р не перемещаются и, следовательно, вариа-
ции потенциальной энергии внешних сил равны нулю.
Вариации полной энергии составят
ЦА + U) =bU = о
(в выражения для U входят только приращения 2-го
порядка малости) и
Переход к неустойчивому состоянию соответствует по
условию A)
/2 / Рк
pL (
При этом в первом условии принимаются
во внимание лишь члены 1-го порядка мало-
сти, во втором — члены порядка малости до
2-го включительно.
1. Условия A) дают общий метод расчёта
критических усилий по энергетическому кри-
терию.
2. Энергетический критерий упрощается,
когда выражения для потенциальной энергии
внешних усилий пропорциональны квадрату
возможных малых перемещений деформируе-
мой конструкции или детали. В этом случае
условия A) сводятся к равенству работы

282
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
]РАЗД.
внешних сил А и потенциальной энергии
деформации U:
A = U. B)
Пример. Тонкая прямоугольная плита с размерами 2а
и 26 и толщиной h (фиг. У6) сжата усилиями погонной
интенсивности рх и ра.
Требуется определить критические значения усилий
при свободном опирании плиты.
7
Принимая, что уравнение срединной поверхности
выпучившейся плиты имеет вид
. КХ
w = / cos ^— cos
1CV
-----
по формуле для потенциальной энергии деформации по
лучим:
U = 0,258
При отсутствии деформаций в срединной поверхности
плиты уменьшение расстояния между точками приложе
ния нагрузки составит
т.у
la
Работа сил р, и р3 на этих перемещениях равна
А - \ Да p.h dу +¦ \ 4><p3h dx - g- Г* l^i — + Р* f I
—b —a
Уравнение для определения критических нагрузок из
условия А = U выражается так:
'*кр b
~ = 0,258
. (а5 + ft1)'
Условие Л = U положено в основу уравнения устой-
чивости Бриана—Тимошенко [75].
3. Метод Релея—Ритца основывается на
принципе минимума для возможных переме-
щений упругой системы. Общая формулировка
условий минимума дана уравнениями A).
При использовании этого метода вычисляются
энергия деформации и работа внешних сил на
возможных перемещениях, причём упругие
перемещения конструкции задаются в виде
ряда
У = а\У\
+
где у\, у%, у3' ¦ ¦ ¦ — функции, удовлетворяю-
щие граничным условиям; av а2, аг, . . . - по-
стоянные коэфициенты, определяемые из усло-
вий минимума полной энергии системы урав
нений A).
Пример. Стержень переменного сечения длиной I, за-
деланный одним концом, сжимается силой Р (фиг. 97)
Определить критическое значение силы.
Уравнение упругой линии задаётся в форме
у = at cos 2j- +
Зкх 5-ах
-- + a5cos ~-
Вертикальное смещение конца стержня составляет
работа внешней силы на этом смещении
I
dx;
Р
А == 7Г
потенциальная энергия деформации
U - \ Zl±. I -г^г. I dJT.
С EJr /dJy\'
) 2 \dx>)
О
Фиг. 97.
где Jx — момент инерции поперечного сечения в расстоя-
нии х от заделки.
Условие B) приводит к выражению
I
rf.r
C)
dyV
dx)
dx
Подставив в это равенство выражение для у через в„
а3, а6, . . . , следует их определить из условия мини
мума для значения РКд.
4. Метод Б. Г. Галеркина. Как и в преды
дущем методе, возможные перемещения дефор
мируемой конструкции задаются рядом
У = ед + «2Уг + <*3уз + . . .
Если диференциальное уравнение при
потере устойчивости детали (стержня, плиты
оболочки) выражается зависимостью
F(y,yII,ylw,P) = 0,
то составляется вытекающая из условий ми-
нимума система уравнений
j J F (у, у11, yiV, Р) у. dx dz - 0, D)
где у{ — произвольная функция, удовлетво-
ряющая граничным условиям. Эта система
уравнений после интегрирования даёт систему
/ линейных уравнений для определения a-t.
Равенство нулю детерминанта этой системы
даёт уравнение для определения критических
значений усилий, действующих на деталь или
конструкцию.
Пример. Стержень, заделанный одним концом, другим
концом опирается на скользящую опору и нагружен сжи-
мающей силой Р (фиг. 98). Опреде-
I ¦* ' лить критическое значение этой силы.
' _ Уравнение D) для сжатого стержня
I " выразится так:
Принимая уравнение упругой линии
с одним параметром
Фиг.
'= в, cos — - cos
2< j

ГЛ.IVi
УСТОЙЧИВОСТЬ
283
и подставляя в предыдущее уравнение, получим (при EJ =
= const):
EJ
J LI 2,
3iur
cos ——— I dx — P
| Зге \a 3tt.V I / iur inX
- Wcos -2T\ (cos ir -cos ir
Отсюда после интегрирования
1+3* €-
У _ ««Я/
5. Метод разыскания фундаментальных
функций и значений заключается в инте-
грировании однородного диференциального
уравнения или их системы деформированной
при потере устойчивости конструкции (или
детали).
Интегралы этих уравнений, отличные от
нуля, существуют при определённых значениях
коэфициентов этих уравнений, называемых
собственными или фундаментальными; так же
называются функции, являющиеся в этом случае
интегралами уравнений и удовлетворяющие
граничным условиям.
Разыскивая эти интегралы в виде функций
с постоянными неопределёнными по величине
коэфициентами, получаем из системы диферен-
циальных уравнений систему линейных без
свободных членов для определения постоянных
коэфициентов.
Равенство нулю детерминанта этой системы
даёт уравнение для определения критических
усилий, т. е. собственных значений, соответ-
ствующих формам потери устойчивости.
Пример. Стержень длиной I, шарнирно опёртый по
концам, сжат силой Р (фиг. 95). Требуется найти крити-
ческое значение силы Р.
Диференциальное уравнение деформированного продоль-
ной силой стержня имеет вид
EJ --~2 -{- Ру = 0 или -т^ + №у = 9.
Р
где ft* = Wf .
Интегралы этого уравнения разыскиваются в форме
у = A sin kx + В cos kx.
Удовлетворение граничных условий
У _ п ~ °' у — = °' у" — О ~ °' у" — = °'
требует, чтобы В = Он sin kl = 0, откуда собственное
значение
А» = тй~, где т = 1, 2, 3, ...
Наименьшее значение Рк- составляет
к-
Р
Кроме перечисленных более употребитель-
ных методов в ряде задач удобно использова-
ние других приёмов (последовательных при-
ближений, конечных разностей и др.), которые
освещены в специальной литературе [94, 75,
27, 86].
Устойчивость прямолинейных стержней
постоянного сечения
1. Продольный изгиб в пределах пропор-
циональности. Критическая сила для сжатых
стержней постоянного сечения за исключением
стержней с тонкостенным незамкнутым профи-
лем (см. стр. 298) определяется по формуле
Эйлера
Р =
кр
где Jmin —наименьший момент инерции попе-
речного сечения (здесь имеется в виду, что
при наличии шарнирно закреплённых концов
ось шарнира совпадает с главной осью инерции
сечения, относительно которой момент инерции
минимальный); (а — коэфициент длины, завися-
щий от способа закрепления концов стержня
и характера распределения внутренних сил
но длине стержня; ц[ — приведённая длина
стержня.
Критическое напряжение при этом будет
где Х =
min
— гибкость стержня, представляю-
щая отношение р/ приведённой длины стерж-
ня к imin наименьшему радиусу инерции по-
. . | / Jmin
наимень-
перечного сечения;
ший радиус инерции поперечного сечения.
Значения коэфициента длины \х приведены
для различных схем нагружения в табл. 21.
Если условия на концах сжимаемого стержня
в обеих главных плоскостях различны, то для
определения критической силы необходимы
сравнительные вычисления в обеих плоско-
стях.
Так как на практике часто имеет место не-
достаточно жёсткое защемление концов стерж-
ней в случаях 3 и 5 табл. 21, то эти случаи при-
ближаются к первому. Например, когда концы
стержня прикреплены на заклёпках, принимают
Если в условиях нагрузки по случаю 1 стер-
жень удерживается против смещения в точках,
которые разделяют общую длину стержня на
п равных частей, то длину между соседними
точками надо рассматривать как длину стержня.
Критическая сила для стержней в случаях
совместного действия сосредоточенной и рас-
пределённой нагрузок приведена в табл. 21а.
Допускаемая нагрузка и допускаемое на-
пряжение определяются по формулам
р .
доп
Ркр
где п — запас устойчивости.
Влияние эксцентриситета. Всякий
сжимаемый стержень в конструкции работает
не в идеальных условиях. Так как стержень
всегда имеет некоторую начальную кривизну,
а сила действует эксцентрично, то одновре-
менно со сжатием стержня происходит его
изгиб-

284
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Таблица 21
Схема
нагружения
Характеристика
закрепления
Стержень со свобод-
ными концами (шар-
нирно-опёртый)
Стержень с одним
свободным и другим
заделанным концом
Стержень с заде-
ланными концами
Концы стержня мо-
гут перемещаться в
поперечном направле-
нии, но не могут по-
ворачиваться
Один конец стерж-
ня заделан, другой
шарнирно закреплён и
может перемещаться
по прямой, совпадаю-
щей с направлением
заделки
Стержень с одним
заделанным концом и
другим свободным.
Сжимающаяся нагруз-
ка равномерно рас-
пределена вдоль оси
стержня
Стержень с одним за-
деланным концом и
/ругим свободным.
Интенсивность рас-
пределённой вдоль
оси сжимающей на-
грузки изменяется по
закону:
Продолжение табл. 21
Схема
нагружения
Характеристика
закрепления
Стержень с одним
заделанным концом и
другим свободным.
Интенсивность рас-
пределённой вдоль
оси сжимающей на-
грузки изменяется по
закону:
0,782
Стержень с одним
заделанным концом и
другим свободным;
нагружён двумя со-
средоточенными си-
лами по 0,5 Р, как
указано на схеме
1.545
Стержень с одним
заделанным концом и
другим свободным;
нагружён двумя со-
средоточенными си-
2 , Р
лами -— Р и --¦- , как
о о
указано на схеме
Стержень с шар-
нирно закреплёнными
концами; нагружён
сосредоточенными си-
лами Р,, Рг и Р, как
указано на схеме
При-
бли-
жённо
Эксцентриситет в приложении силы не
влияет на величину критической силы, но уве-
личивает деформацию стержня. При очень
больших эксцентриситетах расчёт надо произ-
водить и на прочность, и на устойчивость и
основываться на более опасном.
2. Устойчивость прямолинейных стерж-
ней за пределом пропорциональности. Кри-
тическое напряжение в пределах пропорцио-
нальности в зависимости от гибкости А опре-
деляется по формуле Эйлера
С уменьшением гибкости критическое на-
пряжение возрастает по гиперболе Эйлера
и достигает предела пропорциональности,
(фиг. 99). При критических напряжениях,
больших чем предел пропорциональности, фор-
мула Эйлера для определения критических на-
пряжений является неприменимой. Условие
применимости формул Эйлера может быть за-
писано в виде
где о — предел пропорциональности.

ГЛ. IV]
УСТОЙЧИВОСТЬ
285
Таблица 21а
Схема
нагружения
Характеристика
закрепления
АР+9>
-д
Стержень с шарнирно
закреплёнными концами.
Загружён силой Р и рав-
номерно распределённой
нагрузкой с интенсивно-
стью q
Стержень с одним за-
деланным концом и дру-
гим свободным. Загружён
силой Р и равномерно
распределённой нагруз-
кой с интенсивностью q
ql
На фиг. 99 зависимость Гет-
майера показана прямой (для
сталей), проходящей через точ-
ку о = а0 при X = 0 и че-
рез точку - =а„ при X=
Z:, где
пре-
дел пропорциональности.
В американской практике
применяется формула Джон-
сона
коэфициенты аои Ъ которой при-
ведены в следующей таблице:
f
Материал
Сталь угле-
родистая . . .
Сталь никеле-
вая
Чугун . . .
Дерево . . .
в кг[смй
28оо
3850
42OO
280
ь
0,0937
о, 1757
о,оо88
Предел
для
^шах
1.12
JQ-
7°
I4O
j
Это условие, например, для Ст. 3 (а =
= 2000 кг/см*, Е=2Л№ кг/см*) имеет вид
X > 100.
Заделка концов стержней за пределом про-
порциональности незначительно влияет на
устойчивость стержней, и поэтому при прак-
тических расчётах влиянием заделки следует
пренебрегать.
При очень малых значениях X критические
напряжения достигают предела текучести, и в
этом случае расчёт следует производить на
простое сжатие.
Критические напряжения за пределом про-
порциональности определяются как по эмпи-
рическим формулам (например, Тетмайера,
Джонсона), так и с помощью аналитического
метода (Энгессера — Кармана).
По Тетмайеру, критические напряжения за
пределом пропорциональности можно опре-
делять по следующей формуле:
По Джонсону, напряжение изменяется по
параболе (фиг. 99), которая проходит через
точку а = cj0 при X = 0 и через точку,
в которой она сопрягается с гиперболой Эй-
V
*\
1
Парабола ДЖонсоно
А V в г,
- Прямая
Тетмайера
К^Гипербола
\ Эйлера
А
Фиг. 99.
лера и имеет общую касательную (при а =
коэфициенты а0, Ьг и Ьг которой, а также пре-
делы применимости формулы в зависимости
от X приведены в следующей таблице:
Материал
Сталь малоугле-
родистая
Сталь средне-
углеродистая . . .
Никелевая сталь
Чугун .....
Дерево ..¦'...
в кг[см*
335о
7760
293
0,00368
0,00185
0,00493
0,01546
о,оэ?б-2
ь3
0,00007
Пределы
для
min
ю
5
X
max
105
00
86
80
100
ч
Пример. Определить запас устойчивости тела шатуна
круглого сечения при действии силы Р = 10000 кг. Длина
шатуна I = 875 мм, диаметр тела шатуна d = 62 мм.
Материал — стальная поковка (? =f 2,1 • Ю3 кг/см*).
Решение.
Радиус инерции i = -—=-— = 1,55 см.
4 4
56,5 < 105.
По Тетмайеру, критическое напряжение
I 87,5
Гибкость ). = —г- = 7-??
1,О'Э
О = 3350 A — 0,00185 ¦ 56,5) == 3000 кг\см\
и так как среднее сжимающее напряжение
Р 10 000
30,19
= 314 кг[см\
то запас устойчивости равен
акр
nv = =
3000
14
:9,5.

286
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. (
Аналитический метод (Энгессера — Кар-
мана) определения критических напряжений
за пределом пропорциональности основывается
на следующих допущениях: 1) поперечные се-
чения стержня при его изгибе остаются плос-
кими; 2) на сжатой стороне стержня при его
изгибе вместо модуля Юнга Е вводится модуль
Кармана
Е -*
где а — сжимающее напряжение; е — соответ-
ствующее относительное сжатие.
Критическое напряжение по Энгессеру—
Карману
В эту формулу вместо модуля Юнга Е
входит так называемый модуль продольного
изгиба Т.
Модуль продольного изгиба находится сле-
дующим образом:
1) устанавливается положение
нейтральной линии х х (фиг. 100)
при изгибе стержня из условия
где Si и S2 — статические момен-
ты площадей F\ и F2 (площади / и
// фиг. 100) относительно нейтраль-
ной линии;
2) определяются значения мо-
ментов инерции 7j и J2 площадей
/*! и F% относительно нейтраль-
ной линии;
определяется модуль продольного изгиба
EJ, EKJ2
где J — момент инерции всего сечения стержня.
В случае прямоугольного сечения
100.
Если принять, что форма сечения незначи-
тельно влияет на модуль продольного изгиба
Т (что подтверждается подробным анализом),
3200
гш
1600
800
__
_1
\
1
/
кривая /
Кармами
а/ге
\
\
Ь,
г-
Гипербала_
%3йлера%
по tso А
Фиг. 101.
бнр кг/см2
3000
2A00 —Н
woo -
Сталь
Cm 5
СтЗ
Т
1
1
ж
¦*.
i
\
\
\
N
ются последовательно значениями- сКр >¦ ар
и для 'каждого значения <зКр определяют Ек,
Т и л.
Построенная таким образом расчётная кри-
вая критических напряжений для стали с пре-
делом текучести <т5 = 2400 кг/см2 изображена
на фиг. 101.
3. Расчёт по допускаемому напряжению
на устойчивость. В нормах СССР принято,
что для гибкостей X > 105 кривая критических
напряжений представляет гиперболу Эйлера,
для гибкостей л < 60 переходит в прямую, со-
ответствующую пределу текучести стали, и для
гибкостей 105>А>60 представляет переход-
ную кривую, близкую к кривой Кармана.
На фиг. 102 изображены кривые критических
напряжений для сталей Ст.З, Ст.5 и спец. стали.
Пределы текучести
этих сталей 2400,
3000 и 3600 кг/см*.
Стержни с гиб-
костями \ <^ 60 на
растяжение и сжа-
тие равнопрочны,
при гибкостях Г>60
для равнопрочно-
сти на растяже-
ние и сжатие дол-
жно производить-
ся усиление сече-
ний при сжатии
пропорцио н а л ь н о
уменьшению отно-
шения критического напряжения к пределу
текучести — пропорционально коэфициенту
Кривая коэфициенга «.' в зависимости от
гибкости а приведена на фиг. 103.
При наличии эксцентриситета кривая кри-
тических напряжений изменяется приблизи-
тельно по тому же закону, что и при действии
центральных сил,
но имеет меньшие ср
ординаты, убываю-
щие по мере уве-
личения эксцен-
триситета*. Наибо-
лее активны малые
эксцентриситеты,
затем влияние их
затухает. Наибо-
лее существенно
эксцентр иситеты
влияют на стержни
большой гибкости.
40 S0 120 160 А
Фиг. 102.
ИЗ
0,6
0,4
0,2
0
>
\
п
N
.
ч
\
S
к.
S
s
40 SO № WO А
Фиг. 103.
Эксцентриситет и начальная кривизна в нор-
мах СССР учитываются специальным коэфи-
циентом ф — / (А) уменьшения критических на-
пряжений.
При расчёте на устойчивость допускаемое
напряжение на устойчивость /?у определяется
через допускаемое напряжение на прочность
но формуле
можно последнюю формулу распространить и
на другие сечения (непрямоугольные).
Для получения кривой критических напря- не м*огиумтебю-ь ;чтвеинАы' "p^I^^SST^'SSS
жении за пределом пропорциональности зада- вильности изготовления и т. д.).

ГЛ. IV]
УСТОЙЧИВОСТЬ
287
где Rd — допускаемое напряжение на простое
сжатие; <р — коэфициент понижения напряже-
ния.
Для материалов, имеющих предел текуче-
сти (сталь),
i О Т
Для материалов, не имеющих предела те-
кучести (чугун),
где obd — предел прочности (временное сопро-
тивление) при сжатии.
В табл. 22 приведены значения коэфи-
циентов для сталей и чугуна в зависимости от
гибкости X по ГОСТ 960-41.
Таблица 22
Гиб-
кость
о
ю
2О
3°
40
5°
bo
?о
80
00
100
но
I2O
I3O
140
15о
IOO
170
180
190
Стали
Ст. 1, Ст. 2,
Ст. 3, Ст. 4
о.99
о.об
о,94
О,92
0,89
о,8б
o,8i
O.75
0,69
0,60
0,52
O.45
0,40
0,36
0,32
0,29
0,26
0.23
0,21
0,19
Сталь
Ст. 5
i
о,о8
°>95
0,92
0,89
о,86
О,82
0,76
о,7о
О,б2
o,5i
<МЗ
о,37
о.ЗЗ
О,29-
О,2б
0,24
О,21
о, 19
о,17
о.хб
Сталь повышен-
ного качества
Оу > 3200 кг/см2
i
о.97
о,95
0,91
0,87
о,8з
о, 79
о,72
0,65
о,55
о.43
о,35
о,зо
о.аб
0,23
О,21
о, 19
о,17
о,15
о, 14
о,13
Чугун
i
о,97
О.91
o,8i
0,69
°,57
о,44
о.34
О,2б
О,2О
O,l6
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Для дерева по ОСТ 7447:
для гибкости А < 75
для гибкости А ^> 75
3100
Эти формулы дают возможность непосред-
ственного определения размеров поперечного
сечения сжатых стержней без пробных под-
становок.
Пример. Подобрать сечение стержня двутаврового се-
чения с шарнирно закреплёнными концами, если его длина
1= 350 см, сжимающая сила Я = 25 0С0 кг. Материал
стержня — сталь Ст. 3. Допускаемое напряжение на про-
стое сжатие Rd = 1400 кг/см1 (Ст. 3).
Зададимся коэфициентом <? = 0,5. Тогда площадь попе-
речного сечения стержня
F —
_Р 25 000
<?R~d = 0,5-1400
= 35,7 см'.
По сортаменту прокатной стали наиболее подходит
двутавр № 20а. Для этого двутавра F = 35,5 см'1,
' min = 2.12 см.
Наибольшая гибкость стержня
_350_
2,12
= 165.
довательно, площадь сечения принятого двутавра недо-
статочна (Ry — 0,275-1400 = 385 кг/см-, было принято
Ry = 0,5-1400 = 700 кг/см2);
Увеличивая сечение, используем двутавр № 24Ь
(F= 52.6 см2, /min = 2.38 см).
Гибкость X = ~-= 147 и соответственно <р»0,33.
Действительное напряжение к поперечном сечении
_ Р 25 000
* ~~ F ~ 52,6
= 475 кг/см".
допускаемое напряжение
Rv= 0,33-1400 = 462 кг\см*.
Материал перенапряжён на 100 == 2,8Н, что
475
допустимо.
Устойчивость прямолинейных стержней
переменного сечения
В случае стержня (фиг. 104), симметричного
относительно своей средней части, у которого
средняя часть имеет постоянный момент инер-
ции Jo, а крайние ча-
сти имеют переменные
И 1
V
¦
•с
Р
Р
Фиг. 104.
Фиг. 105.
моменты инерции сечений, изменяющиеся по
закону
критическая сила определяется по формуле
ЕА
/2 ¦
Ркр = k
Используя табл. 22 (применяя интерполирование), нахо-
дим, что этой гибкости соответствует <р = 0,275, и, сле-
где коэфициент k зависит от отношения —-
j I
и —, а также и от показателя п. В отноше-
но
нии -— величина J1 представляет момент инер-
ции концевого сечения:
/ г п
I I \
— Чл7"' '
Случай п=\ соответствует условию, что
толщина стержня постоянна, а меняется лишь
ширина.
Случай п = 3 соответствует условию, что
ширина стержня постоянна и изменяется лишь
толщина.
Случай п — 4 соответствует условию, что
концы стержня представляют собой усечён-
ные конусы.
Случай —= 0 соответствует условию, что
у стержня средняя часть призматической
формы отсутствует.
Значения коэфициентов k приведены
в табл. 23.
В случае стержня (фиг. 105) с одним закре-
плённым концом, а другим свободным, моменты

288
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Таблица 23
Закон изменения
1
П7
L T L
тму
[7
1 "
U-i
г
i—
\
\ л
V „
Д#
AV
1
/ 1
/ 1
/
момента инерции
Л
V
i-«—
а>Ь
I
/
t
i
=./
л
лоАВ
и
77/
4&
i
i
X ,_
Хо 1
//А
/А
а
¦ф/
по А в
b x
/////,
УУ/ул
лууу'/
/уу//
ч
~~-
й
ПО на
t>
щ
ь —
\
1
Характер
закрепления
концов стержня
Концы стерж-
ня шарнирно
оперты
Концы стерж-
ня защемлены
Концы стерж-
ня шарнирно
опёрты
Концы стерж-
ня защемлены
Концы стерж-
ня шарнирно
оперты
ня защемлены
\ h
А \
Л \
О,2
о,4
о,6
о,8
О,2
о,4
о,6
о,8
О,2
о,4
о,6
о,8
0,2
о,4
о,6
о,8
O.I
О,2
о,4
о,6
о,8
о,4
о,6
о,8
0
6,48
7,oi
7,86
8,6i
9.27
20,36
26,16
31.04
35.4O
5.01
6,14
7.52
8,50
9>23
18,48
25.32
3°.72
35.32
4,8i
6,02
7,48
8,47
9.23
18 23
25-23
30,68
35.ЯЗ
0,2
7.58
7.99
8,59
9,12
9,53
22,36
27,80
32,20
36,00
6,32
7.31
8,38
9,02
20,88
27,20
31,06
35.9б
6,11
7,20
8,33
9>О1
,9,49
20.71
27-13
3L94
35.96
0,4
3,63
8,90
9.19
9-55
9,68
2342
28,96
32,92
36.36
7.84
8,49
9,12
9-4б
9,69
22,64
28,40
32,72
36,32
7,68
8,42
9,ю
945
9,69
22,49
28,33
32,69
0,6
9,46
9.63
9.7°
9,76
9.82
25,44
3°,2О
33,8о
36.84
9,14
9,39
9,62
9,74
23,96
29.52
33.56
Зб,8о
9,о8
9.38
9,62
9.74
9.8i
23,80
29,46
33-54
36,78
0,8
9,82
9,82
Р.83
Q.85
9,86
20,ОО
33,о8
35.8о
37.84
9,77
9.8i
0,84
0.85
27,24
3244
35-60
37-So
9.77
9,80
9,84
9,85
9,86
27,03
32,35
35.56
3780
инерции сечений которого изменяются по
закону
'-*?)'¦
критическая сила определяется по формуле
где k — коэфициент, зависящий от отношения
где k—коэфициент, зависящий от отноше-
„ Л а
НИИ у И — .
Значения k приведены в следующей та-
блице:
Jo
и от показателя п.
k приведены в
Значения коэфициентов
табл. 23, в столбце — — Q-
Б случае стержня, симметричного относи-
тельно своей средней части, у которого сред-
няя часть имеет постоянный момент инерции
сечения Jo, а крайние части — постоянные
моменты инерции J^ (фиг. 106), критическая
сила определяется по формуле
р _ kEJ0
"р — /г '
X
o,oi
О,1
О, 2
о,4
о,б
о,8
0,2
ОД5
1.47
2,8о
5.O9
6,98
8.55
Значения k при
0,4
O.27.
2,4О
4.22
6,68
8,19
9,i8
0,6
0,60
4,5О
6,69
8.51
9,24
9,63
а
~г
0,8
2,26
8.59
9.33
9.67
9.78
9.84
4
Т -
к .
i
Л-
р
t
1
Фиг. 106.
В случае стержня (фиг. 107), симметрич-
ного относительно своего среднего сечения, с

ГЛ. IV]
УСТОЙЧИВОСТЬ
289
постоянной площадью поперечного сечения
(например, стержень, составленный из четы-
рёх уголков), критическая сила определяется
по формуле
где Ло—момент инерции среднего сечения;
Jx — момент инерции концевого сечения; k —
коэфициент, зависящий от отношения -у.
Численные значения коэфициента k приве-
дены в следующей таблице:
Л
Л
k
0,1
5.4°
0,2
6,38
0,3
7.07
0,4
7.62
0,5
8,08
0,6
8,51
0,7
8,90
0,8
9.25
0,9
9'57
В случае стержня (фиг. 108) призматиче-
ского сечения с шарнирно закреплёнными кон-
цами, имеющего уменьшение пло-
щади поперечного сечения на про-
тяжении небольшого участка d
(например, заклё-
почным отверсти-
ем) в расстоянии а
от середины стер-
жня, фактическую
длину стержня сле-
дует увеличить на
. J—
ь—d
cos
Фиг. 107.
Фиг. 108.
где J — момент
инерции попереч-
ного сечения стер-
жня; Jt — момент
инерции ослаблен-
ного участка. Кри-
тическая сила
РкР .
Пример. Найти допускаемую нагрузку для стойки
из листовой стали, изображённой на. фиг. 109, если запас
устойчивости п = 6.
Р
Фиг. 109.
Решение. Минимальные моменты инерции конце-
вых сечений стойки
и их соотношение
Jo ~ 2,75 U>b-
Так как минимальные моменты инерции сечений
стойки изменяются по закону J~ = J ——, то я = 1.
Тогда из графы
критическая сила
EJ
0 табл. 23 коэфициент ?=8,61,
кр
и допускаемая нагрузка
Р
кР
4750
¦¦ 790 кг.
Устойчивость составных стержней
Составные стержни, состоящие из парал-
лельных поясов, соединённых решётками из
диагоналей и распорок (фиг. ПО) или планка-
Фиг, по.
ми (фиг. 111), в меньшей степени сопротивля-
ются внешним силам, чем сплошные, имеющие
ту же площадь поперечного сечения и ту же
гибкость.
1. Составные стержни с решётками. По
Тимошенко, для составного стержня, если
число панелей велико (п > 4 — 5),
где
У гтт:
В этих формулах / — длина составного
стержня; J—момент инерции поперечного се-
чения составного стержня; а — угол между
диагональю и распоркой; Fd — площадь попе-
речного сечения диагонали; /-# — площадь попе-
речного сечения распорки.
Если решётка имеет двойные диагонали
(фиг. ПО, б), то вместо Fd в формулу надо под-
ставить 2Fd.
Если стержень коробчатого сечения с решёт-
ками, имеющими двойные диагонали (фиг. ПО, в),
то вместо Fd в формулу надо подста-
вить 4Fd.
Если стержень не имеет распорок (фиг. 110, г),
то угол а следует измерять, как указано на
чертеже, и в формуле для ^ отбросить член,
включающий площадь сечения распорки.

290
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Для общего случая (любое число панелей)
критическая сила, по Мизесу,
imfn — минимальный радиус инерции сечения
составного стержня.
При этом в выражениях -f значение модуля
упругости Е следует заменить значением мо-
дуля продольного изгиба Т (см. стр. 286).
1
где р =
~площадь по"
/I
неречного сечения пояса; Fd — площадь
поперечного сечения диагонали; А2 и
v — коэфициенты, зависящие от числа
нанелей.
Значения коэфициентов к'г и v для
некоторых чисел панелей приведены
в следующей таблице:
я
ft*
2
I,2l6
о,6667
3
1,070
0,3167
4
i.t>35
0,1778
5
I,O2O
O,II25
10
1,004
o,o26q
00
1
0
2. Составные стержни с поперечными
планками (фиг. 111). Критическая сила опре-
деляется в этом случае по формуле
где, если допустить, что жесткость попереч-
ных планок очень велика,
При учёте деформаций планок
1
4J
a Jr
В этих формулах J—момент инерции сече-
ния составного стержня (на фиг. Ill —момент
инерции сечения двух
швеллеров относи-
-. i ¦ -¦+ | тельно оси хх); I —
* ' ц ' ]"* ! ' длина составного стер-
жня; а—длина панели;
л =
число пане-
Фиг. 111'.
лей; h — расстояние
между центрами тяже-
сти поясов; Ир — пло-
щадь сечения пояса;
Jp — момент инерции
сечения пояса от-
носительно собствен-
ной центральной оси
(на фиг 111 — момент
инерции сечения пояса относительно оси х х')\
Jr — момент инерции сечения планок отно-
сительно собственной центральной оси (на
фиг. 111—момент инерции поперечных сече-
ний двух планок относительно оси уу).
3. Устойчивость составных стержней за
пределом пропорциональности. Рассматри-
вая составной стержень как сплошной, но не с
действительной длиной /, а соответственно
приведённой длиной /j = 7/. критические на-
пряжения можно определить по одной из эм-
пирических формул по гибкости X = -г^-, где
fi
Фиг. Ша.
Фиг. Шб.
4. Общая теория устойчивости упругих
стержней*. Для фермы с шарнирными узла-
ми примем обозначения: начальная длина стер-
жня между двумя любыми стержнями ink —
lib', длина того же стержня после нагружения
фермы—а;ъ\ площадь сечения стержня — Fik)
a;k—угол между стержнем ik и принятой осью
л; Xk и Yk — компоненты внешней нагрузки,
приложенной к узлу к.
Тогда уравнения равновесия для узла k будут
U
yr\FikE (aib — hh) cos alk
i
2-
hk
A)
Значение кпитической нагрузки находится
из условия, что при бесконечно малом смеще-
нии системы из первоначального положения
равновесия система удерживается в равнове-
сии в этом смещённом положении.
Пусть Ъх/, и byk — компоненты малого сме-
щения узла k, а ьх; и 5у,-— то же для узла/.
Из п-остых геометрических соображений
(фиг. 111а) очевидно, что малое изменение Ьа^
длины стержня ik и малое изменение Ц^
угла alk, соответствующие вышеуказанным
малым смещениям, будут
lai
(bxk — bxt) cos aik + (byk-by{) sin aii%;
Ьаць — (Ьхь — ЬхА sin aik +
+ (by k —by{) COS aik\.
ik
Подставляя а^ + Ьа,^ вместо а^ и aik + btik
вместо aik в уравнения A), получаем у авне-
ния равновесия для новой конфигурации си-
стемы:
cos aikoaik —
-У
hk
h~k~~
\ C)
Г
Hk
ik) cos aik
0.
Теория была развита Мизес.

ГЛ. IV]
УСТОЙЧИВОСТЬ
291
Составляя такие уравнения для всех узлов и
подставляя вместо hoik и ш^ их значения из
уравнений B), получаем столько однородных
линейных уравнений для определения Ьх и
Ъу, сколько имеется независимых смещений
Ьх и Ьу.
Принятая смещённая фопма равновесия
становится возможной, когда эти уравнения
могут дать для смещений Ьх и Ьу решения,
отличные от нуля.
Критическое значение нагрузки получается
путём приравнивания к нулю детерминанта
системы уравнений C).
Пример. Найти критическую нагрузку для стержней,
изображённых на фиг. 1116.
Решение. Так как шарниры / и 3 неподвижны,
то имеются только два независимых смещения - Ьха и 1у,.
Изменения длин а1а и ам и углов <х13 и е^, согласно
уравнению B) будут
8а1а—8лга cos <
8ви ш= 8уа; бац, = (— бх, sin «1а + 6уа cos ос1а);
Подставляя эти значения в уравнения C), получаем
FaE sin «,„ cos a,
= 0,
F, E sin a,2 COS ai
•^
+
+ =^± \ = 0.
Приравнивая к нулю детерминант этих уравнений,
получим критическое значение нагрузки Р:
_ Fl3E sin a COS1 a
Устойчивость криволинейных стержней
1. Круговое кольцо (фиг. 112). Замкнутое
круговое кольцо, подверженное действию рас-
пределённого нормального давления, теряет
свою устойчивость, искривляясь в своей плос-
кости и принимая
2 эллипсоидальную
форму при крити-
ческом давлении
Ркр — у^з '
где EJX — жёст-
кость изгиба се-
чения кольца от-
носительно оси се-
чения, параллель-
Фиг. 112. ной оси. кольца;
R — средний ра-
диус кольца.
Кроме плоской формы изгиба, может по-
явиться пространственная, при которой кольцо
выпучится не и своей плоскости.
Если при искривлении кольца давление ос-
таётся направленным параллельно неискривлён-
нои плоскости кольца, то критическое давле-
ние
9 Eh
EJ,
"кр 4 -f- х
где х =
Здесь EJ2 — жёсткость изгиба сечения коль-
ца относительно оси сечения, перпендикуляр-
ной оси кольца; GJH— жёсткость кручения.
Если давление после искривления остаётся
направленным к центру кольца, то
12 EJ2
Ркр — 4 4- х /?з *
2. Круговая арка постоянного сечения.
Концы арки заделаны (фиг. 113).
Арка, подверженная действию распределённого
нормального давления,
теряет свою устойчи- р
вость, искривляясь в сво- ' ^ J '
ей плоскости при кри-
тическом давлении
Ркр = К ?>3 '
где EJ} — жёсткость из-
гиба сечения относи-
тельно оси сечения, пер-
пендикулярной плоскости арки; kx — коэфи-
циент. зависящий от угла а.
Значения kx приведены в табл. 24.
Фиг. ПЗ.
Таблица 24
Таблица 2д
2а
Зо°
6о°
9о°
12О°
i8o°
15°°
294
73.3
32,4
18,1
8
—
143
35
15
8
3
4.76
*¦
6o,i
12,6
i,85
0,69
о,6о
2а
45°
9о°
i8o°
2700
3600
При пространственной форме потери устой-
чивости (арка выпучивается из своей плос-
кости) критическое давление
Ркр = h -j^ »
где EJ% — жёсткость изгиба сечения относи-
тельно оси сечения, параллельной плоскости
арки; &2 — коэфициент, значения которого для
некоторых значений угла а даны в табл. 25.
При вычислении k2 при-
нято, что и = 0,3 и
р
х = -q у = 0,65.
"Концы арки шар-
нирно опёрты (фиг.
114). Потеря устойчивости
в плоскости арки происхо-
дит при критическом да-
влении
Фиг. 114.
Ркр
где &з — коэфициент, зависящий от угла а.

292
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Значения kB приведены в табл. 24.
При пространственной форме потери устой-
чивости наименьшее критическое давление
то критические величины сил находятся из
уравнения
где * =
Устойчивость при кручении
Устойчивость вала при кручении. Длин-
ный вал, скручиваемый парами сил, приложен-
ными по концам, при потере устойчивости
искривляется по винтовой линии.
Критическое значение крутящего момента
определяется по формуле
_ 2nEJ
где EJ — жёсткость вала при изгибе; / — дли-
на вала.
Если вал, скручиваемый парами сил Мк,
одновременно сжимается силами Р по концам,
При пользовании этой формулой при из-
вестной продольной силе определяется кру-
тящий момент, соответствующий потере устой-
чивости; при известном крутящем моменте
определяется критическая продольная сила.
Устойчивость плоской формы изгиба
Стержень, изгибаемый в плоскости наи-
большей жёсткости, при потере устойчивости
начинает выпучиваться (изгибаться в плоско-
сти наименьшей жёсткости и одновременно
скручиваться). Плоская форма изгиба пере-
стаёт быть устойчивой.
В табл. 26 приведены значения критиче-
ских сил для стержней с узким прямоуголь-
ным сечением при различных случаях нагрузок.
Об устойчивости балок двутаврового се-
чения см. стр. 298.
Таблица 26
hb3
hb
Обозначения: А— высота сечения балки; Ь — ширина сечения; / — длина балки; ЕЗ ¦= Е —— — наимень-
шая жёсткость при изгибе; GJK = Gkb3h — жёсткость при кручении (см. табл. 5); х — коэфициент. зависящий от
отношения
значения этого коэфициента следующие:
1
GJK
1
Х
о,5о
АИ
о,45
0,40
17,82
°>35
19-<Ч
о,3о
2I.OI
о,25
24, ю
О,2О
29,11
О 14
37.88
о,ю
111,6
Все формулы, приведённые в таблице, верны, если наибольшие напряжения изгиба меньше предела про-
порциональности.
Случай нагрузки
Значение критической
нагрузки
Стержень изгибается парами сил М,
приложенными по концам. Концы балки
могут свободно поворачиваться относитель-
но осей х и у
Нагрузка та же, но концы балки заще-
млены (торцовые сечения относительно вер-
тикальных осей поворачиваться не могут)
EJGJK
М
кр
Стержень с одним закреплённым концом
нагружен сосредоточенной силой на сво-
бодном конце. Точка приложения нагрузки
отствит от оси стержня на расстоянии а
4,013
кр-
GJK

ГЛ. IV]
УСТОЙЧИВОСТЬ
293
Продолжение табл. 26
Случай нагрузки
Значение критической
нагрузки
Стержень нагружен сосредоточенной си-
лой посредине. Закрепления шарнирные.
Точка приложения нагрузки отстоит от
оси стержня на расстоянии а
Закрепления шарнирные. Нагрузка при-
ложена на расстоянии с от ближайшей
опоры на оси стержня
16,93
3,48
Кр
EJGJK
Стержень закреплён, как и в преды-
дущем случае. Нагрузка, действующая
на него, равномерно распределена по длине
i Ш±Ш ШШ1
Стержень, заделанный концами, нагружен
посредине сосредоточенной силой. Точка
приложения нагрузки находится на оси
стержня
Ркр
26,6 У EJGJK
Стержень, заделанный одним концом,
нагружен равномерно распределённой на-
грузкой
12,85
Устойчивость пластинок
Когда сжимающие или сдвигающие силы,
расположенные в срединной плоскости пла-
стинок, достигают критических значений,
появляются перемещения, перпендикулярные
срединной плоскости, и пластинки выпучива-
ются.
Ниже приводятся наименьшие критические
напряжения для различных пластинок и спо-
собов нагрузок.
Приняты следующие общие обозначения:
h — толщина пластинки; а — длина пластинки;
b— ширина пластинки; D —
жёсткость пластинки.
1. Прямоугольная пластинка сжата рав-
номерно распределёнными усилиями, па-
раллельными оси ОХ (фиг. 115). Наимень-
шее критическое напряжение
ft"
Фиг. 115.
где k — коэфициент, зависящий от отношения
а
-г, значения которого следует брать из табл. 27.
Таблица 27
1) Для случая, когда все четыре края пластинки
а
k
0,3
27
о,3
I3.2
о,4
8,41
о,5
6,25
о.
5.14
°,7
4.53
о,8
4,2О
оперты:
о.9
4,О4
I
4
1.3
4.13
1.4
4.47
1.5
4.34
2 — СО
~ 4.о

294
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
Продолжение табл. 27
2) Для случая, когда три края пластинки опёрты и один из краёв у = О или у = b свобо-
ден:
а
k
o,5
4,40
1,0
1,44
1,2
i,i35
1-4
i,6
o,835
i,8
°,755
2,О
0,698
2,5
о,6ю
3,о
0,564
4.о
0,516
5-0
0,506
3) Для случая, когда поперечные края х = 0 и х = а опёрты, продольный край у = О
заделан и продольный край у =¦ b свободен:
а
~Ь~
k
1,0
1,70
1,1
1,56
1.2
1.47
1.3
1,41
1.4
1,36
1.5
i,34
1,6
1.33
1>7
1.33
1,8
1,34
1.9
1,36
2
1,38
2,2
1.45
2,4
1,47
со
1,328
4) Для случая, когда поперечные края х = 0 и х = а опёрты и продольные края у = О
и у =. Ъ заделаны:
а
k
0,4
9,44
о,5
7.69
0,6
7.05
°>7
7,сю
о,8
7-29
о,9
7.83
1,О
7'69
5) Для случая, когда поперечные края х = 0 и х = а заделаны и продольные края
у = 0 и у —¦ b опёрты:
а
0
k
0,6
13.38
0,8
8,73
1,0
6,74
1,2
5.84
1.4
5,45
1,6
5-34
г>7
5-33
1,73
5.33
i,8
5.18
2
4,85
2,5
4,52
2,8з
4.5°
З.о
4-41
6) Для случая, когда все края заделаны:
а
k
1
9.4
2
8,15
3
7,8
7.3
2) Если концы пластинки заделаны, то при
а
Т
¦со
2. Прямоугольная пластинка сжата
двумя сосредоточенными силами. Силы
приложены посередине более длинных
сторон (фиг. 116). В этом случае критическая
сила
Р -h
1) Если концы пластинки опёрты, коэфи-
циент k следует брать из следующей таблицы:
\Р
Фиг. 116.
3. Прямоугольная -пластинка сжата рав-
номерно распределенными усилиями вдоль
одной оси и одновременно сжата или рас-
тянута вдоль другой оси (фиг. 117).
1) Края пластинки опёрты. Когда а = b
а
k
1
1,49
2
1,03
3
1,00
со
1,СЮ
V = 2
Т1Ю
В общем случае
л*

ГЛ. IV]
УСТОЙЧИВОСТЬ
295
где рх — усилие, действующее на единицу
длины поперечного края пластинки; ру — уси-
лие, действующее на единицу длины продоль-
ного края пластинки; т и п — число полуволн,
которые образуются вдоль оси хну при по-
тере пластинкой устойчивости.
При расчёте находятся такие значения т
и п, при которых критические сжимающие
усилия оказываются наименьшими [75].
Фиг. 117.
2) Все края пластинки заделаны. Когда а=Ь
в«Р=5'33 Тёк"
4. Прямоугольная пластинка нагружена
усилиями, линейно распределёнными по
двум противоположным сторонам (фиг. 118).
/7 —
Фиг. 118.
Внешнее усилие в срединной плоскости изме-
няется по закону:
-аТУ
Критическое напряжение в этом случае
где k — коэфициент, значения которого для
случая, когда края пластинки опёрты, следует
брать из следующей таблицы:
а
1,О
9.4
1,2
8,о
1.4
7,3
1.5
7.1
1,6
7>°
1,8
6,8
2,О
6,6
2-5
6,3
3
6,1
I
Фиг. 119.
Для случая, когда края пластинки заделаны,
значения k следует брать из следующей таб-
лицы:
а
Т
k
i
15.4
2
".5
ОО
9.1
6. Обшивка, как пластинка, работающая
на сдвиг после потери устойчивости
(фиг. 120). Пластинка, нагруженная по контуру
где k — коэфициент, значения которого для
случая опёртых краёв пластинки приведены
в табл. 28.
Таблица 28
Чистый из-
гиб ....
Изгиб и 1
сжатие . . |
\ а
\т
а \
2
1.333
I
о,8
0,667
о,4
29Д
18.7
I5-1
13.3
ю,8
о,6
24,1
12,9
9,7
8,3
о.75
24,1
и.5
8,4
7-1
6,1
о,8
24,4
8,1
6-9
6,о
1,0
25,6
7.8
6,6
5.8
1.5
24,1
11,5
8,4
К
5. Прямоугольная пластинка нагружена
по контуру равномерно распределёнными
касательными усилиями (фиг. 119). Крити-
ческое напряжение в этом случае
и •
сдвигающими силами, если края её свободны,
быстро поддаётся разрушению после достиже-
ния момента потери устойчивости.
Если же края пластинки подкреплены жёст-
кими на изгиб стержнями, то такая система
может выдержать нагрузки значительно боль-
шие той критической, при которой пластинка
теряет устойчивость от сдвига.
Напряжения растяжения в пластинке (обшив-
ке) для случая абсолютно жёсткого на изгиб
ионтура после потери устойчивости от сдвига
и образования диагонального поля растяжения
2т
sin 2a
где х — расчётное касательное напряжение;
а — угол между направлением складок и ли-
нией контура пластинки.
Угол а принимается равным 40 — 50°.
При —
-^-<1 а<45\

296
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
7. Круглая пластинка нагружена по кон-
туру равномерно распределёнными сжи-
мающими усилиями (фиг. 121). Наименьшее
критическое напряже-
ние у контура сплош-
ной пластины
V
= k
где R— радиус пла-
стины; в случае опёр-
тых краёв коэфици-
ент k — 0,425, в слу-
Фиг 121 чае зажатых краёв
к = 1,49.
Для пластины с круглым отверстием ра-
г
диуса г коэфициент k зависит от отношения — •
К
Значения коэфициента k приведены в сле-
дующей таблице:
г
~R
k
(наружные края
опёрты)
k
(наружная кром-
ка защемлена) . .
од
0,40
1,42
0,2
О.ЗО5
1,35
о.З
о.ЗЗ
1.47
о.4
О,28
i,8o
о,5
°255
2-52
о,9
о. 195
Пример. Найти критическое напряжение в стенках
балки коробчатого сечения (фиг. 122). Балка подвержена
чистому изгибу. Высота балки //==800 мм; ширина полки
В = 640 мм; толщина стенки /г=8 мм.
Материал — сталь (Е = 2 ¦ UP кг/см3;
|х = 0,3).
Решение. Листы полок и стенок
можно рассматривать как длинные пря-
моугольные пластинки. Жёсткость
пластинок
D
ЕК*
12 A -
2 • 10е ¦ 0,83
= 9,4 • 10*.
12 A — 0,32)
Полку можно рассматривать как пластинку, подвержен-
ную сжатию равномерно распределёнными усилиями
(фиг. 1M). Если считать, что все края пластинки опёрты
(что идёт в запас устойчивости), из табл. 27 находим ко-
эфициент k = 4 и критическое напряжение:
= 4
тс2 • 9,4 • 10*
———!
64a • 0,8
ИЗО кг/см'.
Стенку можно рассматривать как пластинку, подвер-
женную изгибу в её плоскости (фиг. 118).
Из табл. 28 коэфициент А = 24,1.
Тогда критическое напряжение
¦к ¦ 9,4 • 10'
80J • U,8
= 4360 кг/см*,
т. е. выше предела упругости. Приведённая формула здесь
не применима, и для оценки несущей способности следует
использовать экспериментальные данные.
Устойчивость оболочек
1. Цилиндрическая тонкостенная труба
подвержена осевому сжатию (фиг. 123).
1) П о т е р я устойчивости в пре-
делах пропорциональности. В слу-
чае опёртых краёв (защемление отсутствует)
вся труба в целом теряет устойчивость при
критической силе
и критическом напряжении
где /—длина трубы; R — радиус срединной
поверхности трубы; h — толщина стенки трубы
(малая по сравнению с R).
Возможна местная потеря устойчивости
(появляются на трубе впадины и отдулины),
мало зависящая от длины трубы.
По Зандену—Тбльке,
как в случае симметричной
деформации (образуются
симметричные относительно
оси трубы складки), так и
в случае несимметричной
(появляются впадины и от-
дулины) наименьшие крити-
ческая сила и напряжение
*р -
2 тг
Eh
Фиг. 123.
2) Потеря устойчивости за пре-
делом пропорциональности. Крити-
ческое напряжение меньше предела пропорци-
ональности при
h ^сп ,
ао^ 2000—10000
что для труб с пределом пропорциональности
R ^ 100 ' 600"
Если критическое напряжение больше пре-
дела пропорциональности, критическая сила,
по Геккелеру,
где Ек— модуль Кармана (см. стр. 286).
Р
Потеря
устойчивоспш
~8 упругой
области
О Ю0 300
500 700
Фиг. 124.
900
На фиг. 124 изображена зависимость кри-
h
тическои силы РКр от отношения — для сталь-
ной трубы при толщине стенки h = 1 мм.

ГЛ. IV]
УСТОЙЧИВОСТЬ
297
2. Цилиндрическая тонкостенная труба
подвержена действию внешнего равно-
мерно распределённого нормального да-
вления (фиг. 125).
1) Потеря устойчивости в преде-
лах пропори и о нальности. Для длин-
ной трубы (длина /
велика по сравнению
с радиусом R) крити-
ческое давление
Фиг. 125.
гкр 4A п.2) R3
где / — длина трубы;
h — толщина стенки;
R—радиус срединной
поверхности трубы.
Эта формула при-
менима, когда
I > 4,9 R
В случае коротких труб с днищами или
рёбрами жёсткости на концах критическое
давление
Eh
+
(„2—
L 1
N
В этих выражениях / — длина трубы;
п — число полуволн, на которые подразделя-
ются при потере устойчивости параллельные
круги трубы.
В нижеследующей таблице приведены зна-
. R I
чения п в зависимости от отношении— и —=
h /?'
при которых критические давления оказыва-
ются минимальными.'
1
R
оо
Ю
5
2
R
h
250
2
4
5
8
200
а
3
4
6
50
3
2
3
о
25
2
2
3
4
В следующей таблице приведены крити-
ческие давления для стальных труб (Е — 2 X
X Ю6 KtjCM') в зависимости от отношений
f
[Ч™ -1
R Ч^
/ Ч,^
о
0,1
О,2
о,3
о,4
о.5
0,4
O.O35
o,i8
о,37
0,56
0,76
°.97
Критические
0,8
о,а8
1,0
2,1
3-2
4>5
5,5
1,2
о.95
2.9
5,9
9.3
и,6
15
1,6
2,25
6,6
13
18
25
32
давления
2,0
4,4
12,3
21
32 .
45
55
2,4
7.6
*7
37
51
7°
87
2,8
12
23
47
76
IOI
132
3,2
i8
3i
об
ш
140
IOO
2) Потеря устойчивости за пре-
делом пропорциональности. В слу-
чае очень длинной трубы критическое давле-
ние по формуле Саусвелла
h gp
R
~ЁЖ
где <зр — предел пропорциональности ярв
сжатии.
В случае коротких труб, по Тимошенко,
Ркр
где ркр — критическое давление, найденное па
формуле, верной в пределах пропорциональ-
ности; k — поправочный коэфициент, учиты-
вающий уменьшение критических напряжений
за пределом пропорциональности (берётся та-
ким же, как и в случае потери устойчивости
прямолинейным стержнем при простом сжатии).
Пример. Размеры трубы: /= 1000 мм, # = 500 мм»
Л ¦ 10 мм.
Критическое давление по таблице
р'Кр= 55 кг1смл,
соответствующее критическое напряжение
а'к„ = —у. = 2750 кг/см3.
Теоретическому напряжению я взятому на гипер-
боле Эйлера (фиг. 99), соответствует критическое напря-
жение по Тетмайеру 0^=2100 кг/см*. Тогда А== yf^x =
= 0,76 и ркр= 0,76 • 55 = 42 кг/см1.
3. Цилиндрическая тонкостенная труба
подвержена кручению (фиг. 126). При по-
тере устойчивости трубы в целом критиче-
ское значение крутящего момента
•кр
где R — радиус трубы; h— толщина стенки
трубы; /—длина трубы.
М
В случае длинной трубы
М ~
ткр ~
КР A — р) I'
При местной потере устойчивости (обра-
зуются винтовые складки) наименьший кри-
тический момент
кр
= 1,83 E
и критическое касательное напряжение
= 0,292

298
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
/ / О \1,5
Когда-5-> 15,5 \-7~-) , труба теряет устой-
R \ It /
чивость в целом; в противном случае проис-
ходит местная потеря устойчивости.
4. Цилиндрическая тонкостенная труба
подвержена изгибу. По Бразиеру, крити-
ческое значение изгибающего момента и кри-
тическое напряжение
м _ RlflE g _ 0,32Eh
При достижении изгибающим моментом
критического значения сильно возрастают про-
гибы (значительно превышая вычисленные по
элементарной теории изгиба).
5. Цилиндрическая оболочка, ограничен-
ная двумя прямолинейными образующими и
двумя параллельными кругами,
подвержена осевому сжатию
(фиг. 127). При малом угле аи зна-
чительной длине / оболочка теряет
свою устойчивость при критиче-
ском напряжении
, ?а2
кр 3A—М-') о 4 и*
Wrie а — центральный угол; R —
радиус средней поверхности обо-
лочки; Ь = Ra.—ширяна оболочки.
Если центральный угол а не мал
и длина I оболочки того же по-
рядка, что и ширина Ь, то
Eh
Фиг. 127.
6. Эллипсоидальная оболочка (эллипсоид
вращения около малой оси) подвержена
внутреннему гидростатическому давлению.
а
Если отношение полуосей -у> у 2. то наи-
большее сжимающее напряжение в оболочке
(в направлении параллельных кругов) у эква-
тора
где р = —— — минимальный радиус кривизны
а
меридиана у экватора; о —радиус экватора
(большая полуось эллипса).
Критическое внутреннее давление для
такой оболочки
^КР 1/Т71 7&\ о, — 2р й2 •
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ
СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Общие положения
1. В машиностроении часто встречаются
конструкции, состоящие из отдельных тонко-
стенных элементов—стержней.
Под тонкостенными стержнями подразуме-
ваются цилиндрической или призматической
формы брусья, все три измерения которых
выражаются величинами разных порядков,
а именно: длина значительно преобладает над
размерами контура (средней линии) попереч-
ного сечения, а размеры контура преобладают
над толщиной сечения.
Тонкостенные стержни могут иметь в попе-
речном сечении либо замкнутое, либб откры-
тое (незамкнутое) очертание. В первом случае
раЗота тонкостенного стержня сравнительно
мало отличается от работы сплошного стержня,
и при отсутствии деформации контура сече-
ния и деформаций сдвига нормальные напря-
жения по сечению замкнутого профиля распро-
страняются по плоскостному закону независимо
от точки приложения нагрузки в плоскости
поперечного сечения (см. также стр. 342).
Для тонкостенных стержней открытого
профиля (фиг. 128, а) закон плоских сечений
имеет ограниченную область применения. Он
соблюдается только при определённом способе
приложения поперечной нагрузки в плоскости
поперечного сечения, а именно, когда равно-
действующая проходит через так называемый
центр изгиба сечения. Если же равнодействую-
щая внешней поперечной нагрузки не прохо-
дит через центр изгиба, то стержень будет
находиться в условиях сложного сопротивле-
ния под действием изгиба и кручения. При этом
сечения, плоские до деформации, в результате
деформации искривляются, и в стержне возни-
кают дополнительные нормальные и касатель-
ные напряжения, достигающие во многих слу-
чаях весьма больших значений. Это искривле-
ние называется депланацией сечения.
Следует различать чистое и стеснённое
кручение.
Чистым, или сенвенановским, кру-
чением называется такое закручивание
стержня, при котором все поперечные сечения
его свободны от нормальных напряжений, а ка-
сательные напряжения распределены по всем
сечениям одинаково.
Стеснённым кручением называется
такое кручение, при котором имеются те или
иные препятствия свободному искривлению се-
чений. Продольные перемещения точек сече-
ния в этом случае стеснены, и кручение сопро-
вождается появлением нормальных напряжений.
Препятствие свободному искривлению по-
перечных сечений может быть осуществлено
различными способами. Например, можно при-
варить к торцам стержня достаточно жёсткие
из своей плоскости диафрагмы (фиг. 128, б)
или один конец стержня защемить в стену,
а к другому приложить закручивающий мо-
мент (фиг. 128, б). Кручение может сопровож-
даться продольными напряжениями не только
при наличии специальных конструктивных за-
щемлений, но и в случае изменения закручи-
вающего момента или размеров поперечного
сечения по длине стержня. Это явление проще
всего иллюстрировать на примере двутавровой
балки, закреплённой обоими концами и под-
верженной по своей длине действию скручи-
вающего момента. В полках балки в этом
случае появятся продольные напряжения, не-
равномерно распределённые по ширине их,
а потому вызывающие изгиб полок. При этом
верхняя и нижняя полки будут изгибаться в раз-
ные стороны относительно вертикальной оси
(фиг. 12«, г).

гл. ivj
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
299
Часть внешнего закручивающего момента
передаётся вдоль балки от сечения к сечению
посредством чистого кручения, вызывающего
депланацию сечений и только касательные
д)
Фиг. «8.
напряжения.. Другая же часть его, сопрово-
ждаемая изгибом полок, вызывает нормальные
напряжения, вследствие которых в полках
появляются дополнительные срезывающие
силы. Эти срезывающие силы, направленные
в обеих полках в разные стороны, передают от
сечения к сечению вторую часть закручиваю-
щего момента.
Изгиб элементов профиля имеет место во
всех случаях кручения со стеснённым искри-
влением поперечных сечений за исключением
профилей, состоящих из пучка пластинок
(уголков, тавров и т. п.). Поэтому стеснён-
ное кручение также называется изгнбным
кручением. Для того чтобы яснее пред-
ставить себе разницу деформаций балки при
чистом и стеснённом кручении, на фиг. 128, д
изображена та же двутавровая балка, нахо-
дящаяся в условиях чистого кручения.
2. Наиболее общую теорию расчёта тон-
костенных стержней на совместное действие
изгиба и кручения дал проф. В. 3. Власов
[15]; результаты экспериментальной проверки
этой теории и практические приёмы расчёта
см. [12]*. См. также [64—66].
В основу этой теории положены следую-
щие две гипотезы:
а) деформации сдвига в средней поверх-
ности профиля равны нулю и
б) контур поперечного сечения не дефор-
мируется, т. е. проекция расстояния между
любыми двумя точками поперечного сечения
на плоскость поперечного сечения остаётся
постоянной при переходе стержня в дефор-
мированное состояние.
Продольные перемещения точек средней
поверхности профиля, сопутствующие депла-
нации сечения при кручении, и соответствую-
щие им нормальные напряжения при стеснён-
ном кручении распределяются по сечению по
закону секториальных площадей.
Секториальной площадью назы-
вается удвоенная площадь, заключённая между
дугой (или ломаной) контура сечения (фиг.
128, е) и двумя прямыми (радиусами-векто-
рами), соединяющими концы этой дуги с цен-
тром изгиба.
Площадь эта считается положитель-
ной, если она описывается подвижным ради-
усом-вектором (на фиг. 128, е радиусом AM)
против движения часовой стрелки.
Секториальная площадь является третьей
секториальной координатой (кро-
ме двух линейных х и у), характеризующей
каждую точку контура сечения тонкостенного
стержня. Секториальная координата обозна-
чается буквой со и измеряется в см2.
Для определения секториальных координат,
кроме центра изгиба, необходимо знать началь-
ную точку отсчёта, для которой секториальная
координата равна нулю. Точка эта называется
секториальной нулевой точкой
и на фиг. 128, е обозначена буквой Мо.
Центром изгиба называется особая
центральная точка сечения, обладающая тем
свойством, что если действующие на стер-
жень внешние силы для данного поперечного
сечения его приводятся к равнодействующей,
проходящей через эту точку, и если нормаль-
ные напряжения на концах стержня равны нулю
или распределены по плоскостному закону,
то стержень в рассматриваемом сечении будет
находиться только в условиях изгиба.
* Терминология и обозначения для новых силевьи
и геометрических факторов, связанных с теорией рас-
чёта тонкостенных стержней на. кручение, вриняты
такие же, как в книгах [15, 12].

300
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
3. При расчёте открытых тонкостенных
стержней на кручение необходимо вычислять
следующие новые геометрические ха-
рактеристики тонкостенных профилей,
связанные с законом секториальных площадей:
секториальный статический мо-
мент
$..< =
0)
(измеряется в см*);
сектор иально- линейные стати-
ческие моменты
^ = J «лг dF
F
S =\ uydF
F
B)
C)
(измеряются в см5);
секториальный момент инерции
-J
D)
(измеряется в см6);
секториальный момент сопро-
тивления
W =
E)
(измеряется в см*),
где «max — секториальная координата, отве-
чающая одной из крайних точек контура се-
чения.
Интегралы A) — C) могут быть величинами
положительными, отрицательными и равными
нулю; интеграл D) — величина существенно
положительная.
Кроме перечисленных секториальных харак-
теристик, встречается ещё основная геоме-
трическая характеристика, характеризующая
сопротивляемость стержня чистому кручению.
Она зависит главным образом от толщины сте-
нок и периметра профиля и очень мало от
формы сечения. Эта величина называется м о-
ментом инерции при чистом кру-
чении и определяется по формуле
F)
3
где Ь и s — высота (ширина) и толщина от-
дельных прямоугольников, из которых соста-
влен профиль; 7 — опытный коэфициент, зави-
сящий от формы сечения.
Измеряется J^ в см*.
4. Действующие на тонкостенный стержень
внешние силы следует разлагать на со-
ставляющие и выделять компоненты, вызы-
вающие только стеснённое кручение.
Если, например, на тонкостенный стержень
в плоскости произвольного поперечного се-
чения его действует сосредоточенная сила Р,
отстоящая от центра изгиба сечения на расстоя-
нии е (фиг. 129, й), то силу эту следует пере-
нести параллельно самой себе в центр изгиба,
добавив при этом пару с моментом Ре. Под
воздействием первой при соответствующих
опорных закреплениях стержень будет нахо-
диться только в условиях изгиба (фиг. 129, б),
а под воздействием второй—только в условиях
кручения (фиг. 129,6).
Подобное же приведение сил следует про
изводить и в том случае, если на стержень
Фиг. 129.
будет действовать не сосредоточенная, а рас-
пределённая по всей длине стержня (или по ее
части) поперечная нагрузка.
Интенсивность крутильного воздействия
распределённой по длине стержня поперечной
нагрузки обозначается буквой т (измеряется
в кг).
Если в произвольном сечении тонкостен-
ного стержня действует сосредоточенная пара
с моментом М, плоскость действия которой
параллельна линии центров изгиба и отстоит
от неё на расстоянии е (фиг. 130, а), то стер-
жень под действием этой пары будет также
находиться в условиях сложного сопротивления
изгибу и кручению. Эту пару всегда можно за-
менить такой же парой с моментом М, дей-
ствующей в плоскости, параллельной плоскости
заданного момента
и проходящей че-
рез центр изгиба
(фиг. 130,0), и со-
вокупностью двух
параллельных, рав-
ны х,противополож-
но направленных
пар — заданной и
действующей в
плоскости, прохо-
дящей через центр
изгиба (фиг. 130, в).
Подобная совокуп-
ность двух пар на-
зывается б и п а-
рой сил.
Пара, действующая в плоскости, проходя
щей через центр изгиба, будет только изгибать
стержень; бипара же — только закручивать
Расстояние е между плоскостями пар, со-
ставляющих бипару, называется плечом
б и п а р ы, а. произведение момента одной из
пар ка плечо бипары — моментом б и
пары или бимоментом и обозначается
через В (измеряется в кгсм2).
Бимомент является величиной скаляр-
ной, так как его можно рассматривать как
скалярное произведение двух векторов: век-
тора момента и вектора плеча или вектора
силы и вектора площади.

гл. ivj
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
301
Изгиб+кручение
Подобное же разложение сил для распре-
делённых по длине стержня моментов пред-
ставлено на фиг. 131, где через Ь обозначена
интенсивность распределения бимоментов по
длине стержня. Измеряется Ь в кгсм.
Отклонение от закона плоских сечений в
тонкостенных стержнях имеет место не толь-
ко при действии
на них поперечных
нагрузок, не про-
ходящих через
центр изгиба, но
также и от дей-
ствия продольных
сил, приложенных
по концам, по всей
длине или в про-
извольных сече-
ниях стержня.
Задача расчёта
тонкостенных стер-
Фиг. 131.
жнеи на действие
продольных сил
С вопросом учёта
приходится встре-
имеет большое значение.
влияния продольных сил
чаться при расчёте сжато-изогнутых стержней,
при расчёте элементов конструктивного офор-
мления стержня по длине, т. е. при расчёте диа-
фрагм,-планок и других типов решёток', при учё-
те влияния эксцентричности прикрепления
стержня на опорах, при расчёте внутренних на-
пряжений в сварных балках от продольных
швов и т. п.
Если в произвольной точке К средней
поверхности тонкостенного стержня действует
продольная сдвигающая сила Р (фиг. 132, а), не
Мо (сектор.нулевая
точка)
Р
а) 6)
Растяжение+изгиб+кручение Растяжение + изгиб
Д (центр, изгиба) w p.a
Щцр.
¦go'ussufu)
изгиб* кручение
Р-а
д)
Кручение
Фиг. 132.
проходящая ни через одну из секториальных
нулевых точек сечения, то стержень будет на-
ходиться в условиях сложного сопротивления
под действием растяжения (сжатия), изгиба
и кручения.
Силу эту всегда можно заменить такой же
силой Р, проходящей через секториальную ну-
левую точку сечения (фиг. 132, б), парой с мо-
ментом Ра, действующей в плоскости, парал-
лельной продольной плоскости, проходящей
через точку приложения заданной силы Ри рас-
сматриваемую секториальную нулевую точку
(фиг. 132, г), и, наконец, бипарой с бимоментом
В = Рае (фиг. 132, д) или В = Ра (фиг. 132, в),
где о — секториальная координата точки при-
ложения заданной силы Р.
Под действием силы стержень будет испы-
тывать растяжение и изгиб, под действием
пары — только изгиб, бипара же будет только
закручивать стержень.
Результат этого вывода не изменится, если
продольная сила Я будет приложена вне конту-
ра сечения стержня и передаваться на него при
помощи тонкостенной консоли, прикреплённой
к некоторой точке контура и удовлетворяющей
условию несмещаемости относительно контура
сечения в его плоскости (фиг. 132, е). В этом
случае сила Р будет вызывать бимомент, опре-
деляемый той же формулой В = А», где под
величиной со следует понимать секториальную
координату точки приложения силы на консоли,
считая последнюю элементом контура сечения,
отсчитанную относительно центра изгиба и сек-
ториальной нулевой точки основного сечения
стержня.
На фиг. 132, е соответствующая секториаль-
ная площадь заштрихована.
Путём указанных преобразований сил явле-
ние стеснённого кручения всегда можно
выделить из общего случая сложного сопро-
тивления тонкостенного стержня.
5. Деформации и напряжения, возникающие
в тонкостенном стержне при стеснённом кру-
чении, определяются из диференциального
уравнения равновесия
в
IV
?2 0" =
G)
где в — угол закручивания стержня; т (г) —
интенсивность изменения по длине стержня
внешних распределённых закручивающих мо-
ментов; b'(z) — производная по г интенсивно-
сти изменения по длине стержня внешних
распределённых бимоментов;
(8)
k — 1/ —
*"V EJ
— упругая изгибн о-к рутильная ха-
рактеристика стержня (измеряется в
см~1). В формуле (8) ?7Ш — секториаль-
ная жёсткость тонкостенного стержня;
QJd — жёсткость стержня при чистом
кручении, или сенвенановская
жёсткость.
Уравнение G) называется д и ф е р е н-
циальным уравнением упругой ли-
нии углов закручивания (по анало-
гии с диференциальным уравнением балки при
изгибе).
Общий интеграл уравнения G) можно за-
писать:
в = A sh kz 4- В ch kz + Cz + D +/(«),

302
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
{РАЗД.
где f(z)— частный интеграл уравнения G)i
«ависящий от характера загружения балки;
A sh kz + В ch kz + Cz + D
— общий интеграл соответствующего однород-
ного уравнения; А, В, С и D — произвольные
яостоянные интегрирования, определяемые из
граничных условий.
Так, например, в случае стержня, относи-'
тельно депланаций шарнирно опёртого по
концам (фиг. 133, а), эти граничные условия
будут следующие:
при z = 0 6 = 0 и в" = 0;
при z = I в = 0 и 6" = 0. .
Опоры, закрепляющие конец или проме-
жуточное сечение стержня от закручивания
(в = 0), но не препятствующие свободной де-
планаций соответствующего сечения стержня
(шарнирные относительно депла-
наций), обозначаются, как показано на
фиг. 133, а, в виде двух перпендикулярно рас-
vfitx
Фиг. 133.
положенных к оси стержня стерженьков, а
опоры, закрепляющие конец стержня от
закручивания и депланаций (в =
= 0 и в" = 0), — в виде двух таких же стер-
женьков и, кроме того, в виде дополнительной
пластинки, прикреплённой к торцу стержня.
На фиг. 133, б изображена проекция этой пла-
стинки.
6. Для расчёта тонкостенных стержней на
кручение введены следующие новые сило-
вые факторы, связанные с законом секто-
риальных площадей.
И з г и б н о-к рутящий бимомент, или
просто бимомент,
в... =
(9)
(измеряется в кгсм2) и и з г и б н о-к рутя-
щий момент
- Jw dw =
F
6"
A0)
(измеряется в кгсм), где а и ¦zs — соответ-
ственно нормальное напряжение и сдвигающая
сила в произвольной точке сечения стержня
с координатой ш; n(z)u> — произведение интен-
сивности распределения по длине стержня
внешних продольных сил п(г) на секториаль-
ную координату <о, через которую проходит
линия действия этих сил.
Первое слагаемое правой части выражения
представляет первую производную от
по г, т. е.
A1)
При отсутствии продольных сил [n(z) = 0]
Мш = Вш. A2)
Формула A2) выражает диференци-
альную зависимо с -т ь между изгибно-
крутящим моментом Мш и изгибно-крутящим
бимоментом Вш. Зависимость эта, аналогич-
ная известной из сопротивления материалов
теореме Журавского—Шведлера, при наличии
продольной нагрузки, как показывает формула
A1), не соблюдается.
Касательные напряжения по толщине стенки
профиля при стеснённом кручении распреде-
ляются неравномерно и приводятся, кроме
сдвигающих сил is, ещё и к крутящему мо-
менту (сенвенановскомукрутящему
моменту) Мк, относящемуся к чистому кру-
чению стержня:
MK = GJU& A3)
(измеряется в кгсм).
Алгебраическая сумма L изгибно-крутя-
щего и сенвенановского крутящего моментов
называется общим крутящим момен-
том,
L = М„+Мк=-Е^в>"+О^е'-п(г)«>. A4)
7. Если тонкостенный стержень находится
в условиях стеснённого кручения, то s попе-
речных сечениях его возникают нормальные
и сопутствующие им касательные напряжения.
Первые из них называются секториаль-
ными нормальными напряжениями
и обозначаются через ош. Будем считать, что
по толщине стенки профиля они распределя-
ются равномерно.
Касательные напряжения в крайних точках
сечения бруса, боковая поверхность которого
свободна от напряжений, всегда направлены по
касательной к контуру (фиг. 134, а). Вслед-
ствие малой толщины стенки профиля по
сравнению с общими его размерами принимают,
что при переходе от точки А к точке В на-
правление касательных напряжений меняется
незначительно. Поэтому считают, что касатель-
ные напряжения в любой точке тонкостенного
профиля направлены параллельно касательной
к дуге контура и по толщине стенки при стес-
нённом кручении меняются по линейному за-
кону (фиг. 134, б).
При этих допущениях нормальные напря-
жения приводятся к одним только нормаль-
ным усилиям, действующим вдоль образующих
средней поверхности профиля, а касательные
напряжения приводятся к сдвигающим силам,
действующим по направлению касательной
к дуге контура (фиг. 134, в) и крутящим
моментам, возникающим вследствие разности
касательных напряжений в крайних точках
стенки профиля (фиг. 134, г). Первые из них —

ГЛ. IV]
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
303
секториальные касательные на-
пряжения— обозначаются через тш, а по-
следние, соответствующие чистому
кручению, — через гк .
Перечисленные напряжения определяются
по следующим формулам:
Секториальные геометрические
характеристики
1. Координаты центра изгиба тонкостен-
ного профиля определяются по формулам:
A5)
A8)
MKs
max т:* =
A6)
A7)
где Вш , Мш и Мк — изгибно-крутящий би-
момент, изгибно-крутящий момент и сенве-
нановский крутящий момент в соответству-
Фиг. 134.
ющем сечении стержня; о> в формуле A5)—сек-
ториальная координата точки контура сечения,
в которой определяется нормальное напряже-
ние, а в формуле A6) — секториальная коор-
дината точки сечения, через которую проходит
S°™c= \ °> dF' —
линия действия продольных сил;
секториальныи статический момент отсечённой
части сечения, заключённой между начальной
точкой контура, для которой хш = 0, и той
точкой, где т^ вычисляется; s—толщина стенки
сечения в точке, где определяется касатель-
ное напряжение.
Формулы A5) и A6) для определения
секториальных нормальных и секториальных
касательных напряжений по виду аналогичны
соответствующим формулам из теории изгиба
нетонкостенных балок. Формула A7) известна
из теории чистого кручения. Определяемые
по ней наибольшие величлны касательных на-
пряжений получаются посредине наружного
края наиболее толстого прямоугольника про-
филя.
где в числителях стоят секториально-линей-
ные статические моменты относительно произ-
вольного полюса (точки) В и главных цен-
тральных осей сечения хну, а в знаменг-
теле —главные экваториальные моменты инер-
ции Jx и Jy.
Формулы A8) по виду напоминают
соответствующие формулы для определения
о
координат центра тяжести сечения (х9 = ——-
и у0 = - *-J с той лишь разницей, что
числители последних выражают статические
моменты, а знаменатели — площади.
За начальный полюс отсчёта В может быть
принята произвольная точка, взятая в плоско-
сти сечения, от которой и отсчитываются по
направлению главных осей сечения х и у иско-
мые координаты % и ау. Знаки в формулах A8)
установлены в соответствии с принятым пра-
вилом отсчёта положительных секториальных
координат и положительных направлений глав-
ных осей х и у (фиг. 128, е).
Центр изгиба любого профиля, имеющего ось
симметрии, лежит на этой оси. Если же про-
филь имеет две оси симметрии, то центр изгиба
лежит на пересечении этих осей, т. е. совпадает
с центром тяжести сечения.
Центр изгиба любого профиля (уголкового,
таврового или крестового), состоящего из пучка
пластинок, находится в точке пересечения осей
сечения отдельных граней.
2. Секториальная нулевая точка сечения,
служащая началом отсчёта секториальных коор-
динат, находится из условия равенства нулю
секториального статического момента сечения
с полюсом в центре изгиба А, т. е. из условия
= о,
A9)
выражающего ту мысль, что равнодействующая
нормальных напряжений, возникших только от
кручения стержня, для всего поперечного се-
чения его равна нулю.
Условию A9), как правило, удовлетворяют
не одна, а несколько точек профиля,сектори-
альные координаты которых равны нулю. Та
секториальная нулевая точка, которая нахо-
дится на кратчайшем расстоянии от центра
изгиба,называется главной сек то риал ь-
ной точкой.
Для профилей, имеющих одну ось симме-
трии, главная секториальная точка совпадает
с точкой пересеченая контура сечения с этой
осью (фчг. 135).
Для профилей, имеющих две оси симметрии,
главная секториальная точка совпадает с цен-
тром изгиба и, следовательно, с центром тя-
жести сечения.

304
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Секториальвые геометрические характеристики прокатных
двутавров (ОСТ 10016-39)
Таблица 29
ш
№
профиля
Секториаль-
ный момент
инерции
Ло
в см?
Секториальная
площадь для
крайней точки
профиля
w шах
в см'
Секториальный
момент сопроти-
вления
W
в см*
Момент инерции
при чистом
кручении
Jd
в см*
Упругая изгибно-
крутильная
характеристика
GJd
14
16
18
{i
33
\\
45
55
бо
644.3
1353
2560
4879
8219
13 121
13857
22 773
23930
33 799
35426
52987
55 414
76704
80 114
83612
107 160
in 780
116 520
154 820
161 210
167 760
228 900
237 95°
247 210
376 630
390 770
405 220
611 990
633 900
656 270
906 350
937 220
968 720
1 349 900
1 393 200
1 437 3°o
15.25
20,10
25.54
32,25
38,90
46,15
47-°5
55-91
56,90
65.57
76,68
77.92
89-75
100.69
102,21
115,10
116.85
118,51
134.13
136,00
159-75
161,86
163,96
187,10
189,44
I9L79
216,79
219,36
221,94
251,22
254,04
256,86
42,26
67,33
100,23
151,30
311,28
284,31
294.50
407,33
420,55
524,15
540,25
690,99
711,21
867,93
892,60
917.50
1064,3
1093,6
1123,3
1344,0
1379,6
1415,6
1706,6
r749.°
1793,3
2357.6
2414,4
2471.5
3270,9
3346,2
3421,8
4180,8
4272,5
4364,8
5373,4
5484,2
5595-7
2,873
4.243
5.911
8,406
14,81
17,85
20,32
24,08
25,57
30,12
31,93
37.60
08,83
45,78
55,23
46,19
54-49
65,74
56,85
66,72
79-99
68,75
80,68
©6,55
95,3i
131,8
131,2
174,9
159,9
182,7
211,5
195,5
221,9
255,3
0,04122
o,o3457
0,02966
0,02562
0,02295
0,02074
0,02215
0,01844
0,01958
0,01698
0,01800
0,01515
0,01608
0,01389
0,01473
0.01587
0.01281
0,01363
0,01466
0,01183
0,01256
0,01348
0,01070
0,01137
0,01220
0,009819
0,01041
0,01113
0,009038
0,009504
0,01007
0,008198
0,008617
0,009119
0,007427
0,007790
0,008226
Примечание. При вычислении к приняты G = 800 000 «г/сж'; Е =» 2 100 000 кг/см*,

ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
305
Таблица 30
Секториальные геометрические характеристики прокатных
швеллеров (ОСТ 10017-39)
№
профиля
5
6,5
8
ю
12
и. 1 а
14 1 ь
!б I Я
16 \ b
18 I a
IO I b
2o 1 a
20 I b
22 / 8
22 \ b
к
24 { b
27 { b
I C
к
3o { b
Ic
к
33 < b
Ic
fa
36 { b
Ic
k'
40 <. ь
Ic
Координата
центра из-
гиба
X
п
в см
1,о8
i,i5
1,22
1,34
1,48
1,58
1,39
1,68
1.48
1,83
1-57
1.94
1.73
2,07
1,86
2,Ю
1,88
1.6?
2,14
1,91
1,7°
2,26
2.ОЗ
1,8о
2,25
2,О2
i,8o
2.47
2,24
2,О2
2,43
2,21
2,00
Сектори-
альный мо-
мент инер-
ции
J
ш
в см?
24,91
64,88
141,8
354.8
768,3
I 512
i 7и
2 760
ЗО99
4 745
5292
7698
8560
ii 593
12 85з
15 326
17 оо7
18640
Я4 337
26883
29 355
36 645
40436
44 ю4
52630
57 844
62890
92 189
1оо43°
io8 42O
148 loo
i6o 100
171 870
Секториальные пло-
щади
в см*
2,7О
3.86
5.15
7,19
9,54
I2.O3
11.46
14,74
14,ОЗ
17,68
1б,83
21,27
20,24
24,84
23-63
27.48
2б,Ю
24,9х
31,85
3°,23
28,82
37-21
35,23
33,59
41.39
39-27
3744
49-5O
47,3°
45-36
55,78
53,51
51,51
в см*
4,26
б.об
8,75
12,71
17-31
22,63
23-85
28,63
ЗО.О9
35,32
37-O2
42,46
44.45
49-6о
51-88
55,21
57.15
6о,о9
66,46
69-39
72, ю
76,54
79-98
8з,о6
88,54
92,27
95,69
IO4.55
io8,5i
II2,l8
121,67
125,86
129,80
Секториальные моменты
сопротивления
W
в см*
9,22
i6,8o
27,57
49,35
8о,51
125,74
149,32
187,23
220,87
268,41
314-50
Зб1,95
422,87
466,69
544.42
557.74
651,56
748,35
764,11
889,34
ioi8,6
984,87
1147-8
1313,0
1271,7
1473-2
1679,8
1862,2
2123,4
2390,2
2655,1
2991,7
333б,4
W
ш,
в см*
5,85
Ю,21
l6,2O
27,92
44,39
66,85
71.75
06,40
103,00
134,34
142,95
181,28
192,57
233,73
247.95
277,59
294,5о
310,21
366,19
387,42
407,14
478,78
505,61
53О,97
594,43
626,93
657.23
881,77
925,54
966,48
1217,2
1272,1
1324,0
Момент
инерции
при чистом
кручении
Jd
в см*
I.35O
1,497
i,94o
2,727
3.634
4,8i5
6,248
б.зоб
8,227
8,128
ю,5о
9,84
12,50
и,66
14,бо
13,21
i6,47
21,31
16,25
20,34
26,34
20,39
25,oi
31,75
24,29
29.92
38.O4
38,91
46,56
57, т8
59,74
70,78
85,72
Упругая изгиб-
но-крутильная
характеристика
г~
* л/^ d
в см
о, 1437
O.O9375
0,07219
0,05411
0,04245
0,03483
0,03730
0,02950
0,03180
O.O2555
O.O2749
О,О22О7
O.O2359
0,01958
о,о2079
O,Ol8l2
0,01921
0,02087
0,01595
0,01698
0,01848
0,01456
0,01535
0,01656
0,01326
0,01404
0,01518
0,01268
0,01329
0,01417
0,01240
0,01298
0,01378
Примечание. При вычислении k приняты 0 = 800 000 кг/см*; ?=2 100 000 кг/см*.

ЗС6
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
Для уголковых, тавровых и крестовых про-
филей главная секториальная точка совпадает
с центром изгиба, т. е. находится в точке
пересечения осей сечения отдельных граней.
, \Мв(Сект.нулв&точка)
Фиг. 135.
3. При определении координат центра из-
гиба и секториальных моментов инерции сим-
метричных тонкостенных профилей можно
пользоваться следующей теоремой.
Дели сечение сплошного незамкнутого
профиля имеет одну (или две) ось сим-
метрии и сечение может быть разложено
на элементы, из которых каждый .имеет
свою ось симметрии, совпадающую с осью
симметрии всего сечения, то:
а) координата центра изгиба этого
составного сечения, отсчитанная от центра
изгиба какого-либо из элементов (начало
отсчёта), равна сумме произведений эква-
ториальных моментов инерции остальных
элементов относительно оси симметрии
сечения на расстояния центров изгиба их
от начала отсчёта, делённой на эквато-
риальный момент инерции относительно
оси симметрии всего составного сечения;
б) секториальный момент инерции этого
составного сечения равен сумме собствен-
ных секториальных моментов инерции
(относительно своих центров изгиба) плюс
сумма произведений экваториальных мо-
ментов инерции отдельных элементов,
взятых попарно,
на квадраты рас-
стояний между
центрами изгиба
их, делённая на
экваториальный
момент инерции
относительно оси
симметрии всего
составного сече-
ния.
Теорема позво-
ляет свести до-
вольно сложную
задачу определе-
ния секториальных
геометрическихха-
рактеристик не-
замкнутых профи-
лей к простым фор-
мулам, содержащим обыкновенные эквато-
риальные моменты инерции и собственные
секториальные моменты инерции элементов,
составляющих сложный профиль, которые
можно взять непосредственно из сортамента
или из готовых таблиц. Она позволяет также
вычислять секториальные моменты инерции
независимо от нахождения Центра изгиба со-
Фиг. 136.
ставного профиля, что имеет существенное
значение.
Для профиля, который может рассматри-
ваться состоящим из трёх элементов (фиг. 136)
(элементы 1 и 3 на фигуре заштрихованы,
а элемент 2 не заштрихован), формулы для
определения координаты центра изгиба и сек-
ториального момента инерции имеют вид:
а) координата центра изгиба, отсчитанная
от центра изгиба элемента 3,
Лу С23 .
ау3 ==
B0)
б) секториальный момент инерции
—- B1)
Jy
В формулах B0) и B1) Jly, Jiy и J3y —
экваториальные моменты инерции отдельных
элементов, на которые разлагается профиль,
относительно оси симметрии профиля; Уу—-
экваториальный момент инерции всего сечения
относительно той же оси; У1шд. У2(ил и У3ш —
собственные секториальные моменты инерции
отдельных элементов, составляющих профиль,
относительно своих центров изгиба и своих
главных секториальных точек; с12, с13 и с23 —
расстояния между центрами изгиба соответ-
ствующих элементов профиля.
Для прокатных двутавров по ОСТ 10016-39
и прокатных швеллеров по ОСТ 10017-39 сек-
ториальные геометрические характеристики
даны в табл. 29 и 30.
Для некоторых наиболее часто встречаю-
щихся в практике составных симметричных
металлических профилей координату центра из-
гиба и секториальный момент инерции можно
определять по готовым формулам табл. 31.
Координаты центра изгиба и секториаль-
ные геометрические характеристики несим-
метричных тонкостенных профилей или про-
филей с одной осью симметрии, не удовлетво-
ряющих условиям сформулированной выше
теоремы и отсутствующих в табл. 31, следует
определять по общим приёмам и формулам
[12, 15].
4. Секториальные координаты характер-
ных точек контура сечения с полюсом в
центре изгиба и с началом отсчёта в любой из
секториальных нулевых точек сечения следует
определять или непосредственно из эпюры
главных секториальных площадей (если тако-
вая построена), или путём вычисления по
формуле
"А = «о- »°D - ^ A - -По) 4- сп (? - So). B2)
где ?, г] и (oD — линейные и секториальная
координаты рассматриваемой точки контура
отсчитываемые от главных центральных осей,
центра изгиба и главной секториальной точки
соответствующего элемента сечения; ?0, tj0 и
w°D — линейные и секториальные координаты
главной секториальной точки всего сечения,
отсчитанные от главных центральных осей,
центра изгиба и главной секториальной точки

ГЛ. IV]
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
307
Таблица 31
Формулы координат центра изгиба и секториальных
моментов инерции некоторых металлических
профилей
Продолжение табл. 31
Сечение
f $_
У
,- 1
I
III! /"
1У
t
-e
'-Tl
U-T
с:
m
Щ
1 D?
J
П
У
co|c\j
И
2
1
—г
¦С;
|
ц I
У
1
I
J
¦it-
I
Координата
центра
изгиба
Л
УЗиЛ
v 7
У
l.r
av "~7
7 Л
ft
27 Л
У
Секториальный
ции 7U)
7 Ла
2
7
О/ / ,-3
"J\X 2x
7 '
X
Jlxbl
+ 6
/1Ш + У2«О +
1>/ 2у
' 7
У
7 /г''
_J'_
47 7 Ла
*у зу
7
Сечение
г
/.
у—<
а;
• 1
1 V- ^т—
t
1
4
I.
±
~п
v J
J
!
— Л -С
1
2
А
/
Координата
центра
изгиба
в
1
Ъ
(М
Н
1
Секториальный
момент инер-
ции 7И
7 А> _
¦У 4 :
7'i Л'
7
27. +27, г> +
1<О 1ТГ)
+ 27i r (а +•
+ а^)а +
3
+ 8^/а[/а-
Принятые в таблице обозначения
А — центр изгиба профиля;
?>,, D2, D3 — центры изгиба отдельных элемен-
тов профиля;
1, 2, 3 — номера элементов, составляющих
профиль;
7,7— экваториальные моменты инерции
х У всего сечения относительно ука-
занных на чертеже осей;
JWJ2x'Jly'J2y,
ЗУ \ху' 1т)
7,7
— экваториальные моменты инерции
отдельных элементов профиля от-
носительно указанных на чертеже
осей: первый индекс — номер эле-
мента, второй индекс — ось;
7 — секториальные моменты инерции
du> отдельных элементов относительно
собственных центров изгиба;
Fx — площадь элемента номер 1.
соответствующего элемента сечения; с^ не —
проекции расстояния от центра изгиба рас-
сматриваемого элемента сечения до центра
изгиба всего сечения на главные оси элемента.
5. Учёт наличия отверстий для заклёпок
или болтов при вычислении секториальных
геометрических характеристик металлических
профилей производится путём вычитания со-
ответствующей характеристики отверстия, счи-
тая его отрицательным элементом сечения
профиля, по следующим формулам:
а) секториально-линейные статические мо-
менты (для определения центра изгиба)
B3)
В
б) секториальный статический момент
р
отв.
А '
в) секториальный момент инерции
юта с 2
ч> готвшА\отеу
B4)
B5)
B6)

308
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. !
В формулах B3) — B6) Fome — площадь
сечения отверстия; <л^тв— секториальная ко-
ордината центра тяжести отверстия относи-
а) Координата центра изгиба по фор-
муле 8 табл. 31 с поправкой на ослабление сечения от-
верстиями по формуле B4), равна
- Jlx) 2а - 2Fome т*п
тельно полюса В (начала
отсчёта секториальных
координат); ш^"в—то же
х (нетто)
х(нетто)
[2-18,51-5,21-3,8 — E3,2 + 18,51-5,212)] 2-7,3—2-1,7-1,55-72-0,475 2465,9
:2,1 СМ.
7E3^-18,5! -5.21Ч
относительно центра из-
гиба всего сечения A; al _
и Ь — координаты центра тяжести всего сече-
ния в главных центральных осях сечения от-
верстия.
При вычислении координат центра изгиба
и секториальных моментов инерции сечения
по формулам B0) и B1) или по формулам
табл. 31 учёт наличия отверстий следует про-
изводить, принимая входящие в эти формулы
величины площадей, моментов инерции и рас-
стояний до центров тяжести и центров изгиба
отдельных элементов, составляющих профиль,
с учётом соответствующего ослабления их
отверстиями, т. е. нетто, а не брутто.
Пример J. Определить секториалнные геометри-
ческие характеристики профиля, составленного из двух
прокатных швеллеров № 14а и листа 186 Хб мм с У4^'
том ослабления сечения отверстиями для заклёпок
(фиг. 137, а).
Этот профиль применяется в качестве ригеля обму-
ровочного щита прямоточного котла.
Геометрические размеры и характеристики швел-
а № 14а (фиг. 137, б) беру та
12
б) С е к т о р и а л ь н ы й момент инерции
по формуле (8) табл. 31, с поправкой на ослабление се-
чения отверстиями по формуле B6), равен
"'(нетто) UoD 17> *•
[]
Ja + а )* +
' х
> вычисляется по формуле B2):
или, пользуясь обозначениями на фиг. 137, а,
± (я + «^ ) »я Т тл] -
ах ~~ п) т
отверстию, ниж-
(ота)
лера
табл. 30:
сортамента
(верхние знаки относятся к верхнему
ние — к нижнему). Тогда
Jw (нетто) = 2 ' 1512-5 + 2 • 563'7 • 1<92' + 2 <53-2 +
+ 18,51 • 5,21s) • G,3 + 2,1)*+
-8— 2,1» + 8 ¦ 1S.51 ¦ 3,8 • 7,3 • [3,8 • 7,3 -
h*=\A см; й = 5,8гж; d = 0,6 см; t = 0,95 см;
F= 18,51 см*: Jx = 563,7 см1; Jv = 53,2 см1;
г0 — 1,71 см; ха = 1,58 см; Jw *~ 1512,5 см6;
ш, = 12,03 см3; ш, = 22,63 см3.
¦•¦ 12
-G,3 + 2,1) 5,21] — 2 - 1,7 - 1,55 B,1 -0,475)» 7' =
= 18 896 см\
в) Секториальные координаты край-
них точек контура. Пронумеруем крайние точки
контура, как указано на фиг. 137, в, и определим секто
риальные координаты их по формуле B2), где ?0, т).„
Шр — линейные и секториальная координаты
главной секториальной точки всего сечения по
отношению к главным осям, центру изгиба и
главной секториальной точке верхнего швел
лера. Они равны (фиг. 137, а)
?„ = а = 7,3 см;
\ (/- ^ + *о ) - - C,5 + 1,71) =--
„ = — 5,21 см;
4,—
= — A,58 + 0,30 + 3,8) 7,3 = — 41,46 см'
площадь шд на фиг. 137, в заштрихована).
Проекции расстояния ?),Д от центра из-
гиба верхнего швеллера до центра изгиба
всего сечения на главные оси швел-
лера равны
с, ¦== а + ах — 7,3 + 2,1 = 9,4 см;
\ =-C.5-*«)=- C.5-
— 1,58) = — 1,92 см.
Тогда по формуле B2)
+ 5,21
41,46 — 9,4 (т) +
1,92 (? -7,3).
Фиг. 137.
Подставляя в эту формулу зна-
чения координат ?, 7) и «)?) для
соответствующих крайних точек
контура, получим
W, = - ш4 = 12,03 + 41,46 -
-9,40 (—1,41 + 5,21) - 1.92Х
X(—6,53 — 7,3) = 44,32 см*;
ujj = — ш, = — 22,63 + 41,46 -
— 9,40 D,09 + 5,21) — 1.92Х
Х(— 6,53 — 7,3)= — 42,04 см\

ГЛ. IV]
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
309
u«'e = _ ш?1в =22,63+41,46 — 9,40 D,04 + 5,21)— 1.92X
XF,:3 — 7,3j = — 21,85 см";
листа = _ 2,1 . 9,3 = _ 19,53 см';
листа
10 3
- — ш«
1О„ = — (IV ==
= — 20,69 см'.
г) С е к т о р и а л ъ и ы е моменты сопроти-
вления. По формуле E)
Таблица 32
Поправочные коэфициенты а к формуле момента
инерции при чистом кручении Jd — аЦ ~g—(при опре-
делении величины Jj для прокатных двутавров и швел-
леров за толщину полок j следует принимать среднюю
величину)
= - W
4ш :
=426 см';
U),
Моменты инерции при чистом кручении
Моменты инерции при чистом кручении Jd
определяются по формуле F), в которую вхо-
дит поправочный коэфициент о, зависящий от
фирмы сечения стержня. Величину этого коэ-
фициента для прокатных и некоторых состав-
ных металлических профилей следует прини-
мать по табл. 32.
Значения Jd для прокатных двутавров по
ОСТ 10016-ЗР, швеллеров по ОСТ 10017-39,
равнобоких уголков по ОСТ 10014-39 и не-
равнобоких уголков по ОСТ 10015-39 даны в
табл. 29, 30, 33 и 34.
Для профилей, со-
ставленных из прокат-
ных двутавров, швел-
леров или уголков,
соединённых между
Профиль
Уголок
Прокатный двутавр
Прокатный швеллер
Сварной двутавр при наличии поперечных
рёбер жёсткости, приваренных к стенке и к
поясным листам
Сварной тавр по типу, изображённому на
фиг. 138, а, с приваренными к стенке и полкам
треугольными рёбрами ,
Клёпаный двутавр при разложении сечения
по фиг. 138, б и в
а) для балок без горизонтальных листов
(фиг. 138, б)
б) для балок с горизонтальными листами
(фиг. 138, з)
1,2
1,12
1.5
их следует брать из сортамента или опреде-
лять по формуле F).
Пример 2. Определить величину Jd для клёпаного
двутавра, составленного из вертикального листа 1000х
X Ю мм, четырёх уголков 100X100X10 и двух горизон-
тальных листов 240X10 мм (фиг. 138, в).
15 15
собой не более чем
одним рядом заклёпок
или сварным швом по
одной кромке, по типу
сечений, изображён-
ных на фиг. 139,
величину Jd следует определять по формуле
III
-t-
B7)
Фиг. 138.
По формуле F) и табл. 32
= 0,5 4-
о
¦ 151,3 см*.
-Ф
Пример 3. Определить величину Jd для профиля при-
мера I (фиг. 137, а).
По формуле B7) и табл. 30
Фиг. 139.
где JЛ , J
1 ,11 ЛИ
— значения J* для
отдельных элементов, составляющих профиль;
Jd = ^7 + jTCma= 2.4.815 + \ 18,6-0,63 = 10,97 см*.
Изгибно-крутильные силовые факторы
1. Если тонкостенный стержень находится
в условиях только стеснённого кручения, то
нормальные и касательные напряжения, воз-
никающие в любом поперечном сечении его,
приводятся к трём силовым факторам: изгибно-
крутящему бимоменту Вш, изгибно-крутящему
моменту Мш и крутящему моменту Мк.

310
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Моменты инерции при чистом кручении прокатных равнобоких уголков
(ОСТ 10014-39)
Таблица 33
t
T~
1
1
d
%
1
'4
'УУУУУУУУУ"/У7>СГ?<
¦—^ «J T
b
в лш
4o
45
5°
d
мм
3
4
3
4
4
5
4
5
4
5
6
4
5
6
5
6
в см*
0,03330
0,07680
0,04230
0,09813
°,«95
0,2292
0,1408
0,2708
0,1621
0,3125
0,5328
0,1835
c,3542
0,6048
O,3958
0,6768
b
MM
60
65
75
80
90
d
MM
5
6
8
6
8
10
6
8
10
12
6
8
10
8
10
T2
14
Jd
в см*
0,4792
0,8208
1,911
0,8928
2,082
4,000
1,037
2,423
4,667
7.949
1.109
2-594
5,000
2,935
5,667
9,677
15.18
b
в мм
IOO
120
130
1
rf
MM
:
:
8
to
12
4
16
ro
?2
4
гб
[О
Г2
[4
гб
Г2
»4
Jd
3.277
6,333
10,83
17,01
25,12
7.667
13,13
20,67
з° 58
43.i6
8,333
14,28
22,49
33-31
l6,59
26,15
b
в мм
15°
i8o
200
220
230
d
мм
i6
18
20
14
16
18
16
10
20
24
30
16
20
24
28
24
Л*
в см4
38.78
54,82
74.67
3164
46.97
66,48
52.43
74,26
Ю1,з
173.2
333°
57-89
II2.O
191,7
3oi,5
2ОО,9
Таблица 34
Моменты инерции при чистом кручении прокатных неравнобоких уголков
(ОСТ 10015-39)
-—
1
j
/
'У)
[ Of
•—b—*ч \
в
в
мм
35
6о
75
b
в
мм
4о
5°
с/
в
3
4
4
5
4
6
5
6
8
5
6
8
ю
в си4
0,04230
0,09813
o,io88
о,2о8о
ОД515
0,4968
о,3958
0,6768
1,57°
0,5000
0,8568
1,997
3,833
В
в
мм
8о
до
IOO
I2O
13°
ь
мм
55
6о
75
8о
QO
d
в
мм
6
8
ю
6
8
ю
8
IO
12
8
IO
12
8
IO
12
14
f
в см*
0,9288
2,167
4,167
1,О37
2.423
4,667
2,850
5.5OO
9 389
3.277
6,333
ю,8з
3,6i8
7,000
11,98
18,84
в
в м ч
15°
i8o
200
200
b
в
мм
IOO
I2O
I2O
15°
d
в
мм
го
12
ч
16
12
14
1б
12
14
16
12
16
18
2О
В СМ*
8,ооо
I3.71
21,58
3L95
i6,59
26,15
38,78
17,74
27,98
4L5I
19.47
45,6о
64,54
88,оо
Первый из них определяется по формуле (9),
второй — по формуле A0) и третий — по фор-
муле A3)
Изгибно-крутящий бимомент Вш изобра-
жается в виде бипары, и за положительный
принимается бимомент,
который соответствует
положительному (про-
тив часовой стрелки)за-
кручиванию левой части
стержня, если смотреть
на неё со стороны пра-
вой части.
Для вертикально рас-
положенных двухполоч-
ных профилей (двутав-
ров, швеллеров и т. п.)
положительный бимо-
мент изгибает верхнюю полку стержня выпу-
клостью, а нижнюю — вогнутостью к наблюда-
телю, смотрящему так, что положительная ось
стержня z направлена для него слева на-
право.
Для горизонтально расположенных двухпо
лочных профилей положительный бимомент
изгибает ближайшую к наблюдателю полку
выпуклостью вниз, а заднюю — выпуклостью
вверх. Указанное правило знаков для Бш по-
казано на фиг. 140.

ГЛ. IV]
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
311
Уравнения изгибно-крутящих бимоментов,
эпюры и максимальные значения их для неко-
торых случаев загружения и различных случаев
опирания стержня по концам представлены в
табл. 35.
Формулы и числовые значения безразмер-
ных коэфициентов, входящих в выражения
максимальных бимоментов, зависящих от про-
изведения изгибно-крутильной характеристики
стержня k—~\/ Ч~А на пролёт его /, даны в
У Wo,
табл. 36.
Изгибно-крутящие бимоменты для случаев
загружения стержня, не представленных в
табл. 35, а также изгибно-крутящие и крутя-
щие моменты Мш и Мк следует определять по
общим формулам [12. 15].
2. Определение опорных изгибно-крутящих
бимоментов в неразрезных многопролёт-
ных тонкостенных балках на жёстких опо-
рах следует определять, пользуясь уравне-
нием трёх бимоментов, которое для
Таблица 35
Формулы и эпюры изгибно-крутящих бимоментов Вш в однопролётных балках
(Формулы и числовые значения коэфициентов, входящих в максимальные значения Bw , зависящих от произведения
изгибно-крутильной характеристики стержня k =
на пролёт I, даны в табл. 36)
Схема балки и характер
загружения
h/РПГ
в
r~Jf
'I
A*
L
V.
\7\ (
"$77
2
I I
г
У
f
r-
A
r~— Z —¦"•
[ ,
i
. j
p
L
I
Эпюра
Ш
1
1
1
n
HI
41
Illl
к
i
II
^.
-41
lie
Тпт
NJ|
M
ту
M
fill
ГТТтгп^
LLJ I-j-i 11 lj.
|{ЙШ>^
w
тттгП
jjllllji/
njx
f
-
]
<u A)
shftni
2/
<в B)
/
яг
Ш А2
5ш A
Уравнение
¦D ch /гг
^ ch kl
sh ft (i г)
M kl ch ft/
m
ch kl + ch ft*l
M \( ^h fci
ftchft/ [[ "n ni
ch fo — ch kl sh te •
M
k ch kl
h kl Л
2 Jj
5 7h~ft7
ch ftl l Л1
kl
ch n~
M sh to
Ch-2"
Максимальные значения
г =0
г = /
г-0
г = о
'-4-
_ ;
2
.?> ^ — ziu
"ш == В
Дл =Ж»
вт = /лг2с
гш = лш
О а
Ш -—¦ & А
в„=вв
©ш = тРр
В — Ml f
w 2 J

312
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
1РАЗД. I
Схема балки и характер
загружения
Продолжение табл. 35
Эпюра
Уравненке
Максимальные значения
в =
ft3
kl ch ft — - z
1-
Вш =
= от/у
A)
M
2ft
sh
Ml
2
- ch kz
1 + ft/ sh «-ch ftZ-
ft/ ch ft/ - sh ft/
ml1
2
Т
н
l
W ch ft/ - sh kl
X
__M\ shkz
B) - V [ft/ ch kl - shftT X
- sh ft Iz - .I
«-Й опоры (фиг. 141) балки выражается еле- тивная опорная реакция в /z-j-1-м пролёте
дующим образом: Они равны произведению секториальной жёст-
/ / v кости соответствующего пролёта балки на дс-
"п— 1 '/г^л + ¦"« \1п гп ~г 'л+1 гя+1) -f- планацию опорного сечения:
tip __
B8)
где /л и /л+1 — приведённые длины пролётов,
смежных с опорой п,
/я
^ш{п) и ^ш (я+1) ~~ секториальные моменты инер-
ции сечения балки в л-м и /z-f-1-м про-
лётах; Ушлл—совершенно произвольный сек-
ториальный момент инерции, входящий как в
левую, так и в правую часть уравнения B8);
г и ^-безразмерные коэфициенты. зависящие от
величины kl, формулы и числовые значения
которых даны в табл. 36; R'%' np и 1<^'+лхев —
правая фиктивная (от бимоментной нагрузки)
опорная реакция в л-м пролёте и левая фик-
wte
Фиг. 141.
Для случая загружения равномерно распре-
делёнными по всему пролёту закручивающими
моментами интенсивности т
C0)
При сосредоточенном посередине пролета
закручивающем моменте М
^А~ ^в^ ~2~Р' С'1)
где t и р — безразмерные коэфициенты, дан-
ные в табл. 36.

ГЛ. IV]
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
313
Таблица 36
Формулы коэфициентов
с
и
kl ch kl — shkl f
r
kH3 sh kl
1
a ~~ ch kl
kl
sh kl — sh —
it
kl ch ft/
ы
sh kl — 2 sh -^
с —~*
kl sh kl — 2 ch kl + 2
rH3 sh ftl
klshkl — chkl+l
ft2/3 ch kl
kl sh kl — ch kl +1
- s -
~ kl ch kl — shkl
P =
t =
kl
0,0
3,1
3,2
з>3
0,4
0,6
з,7
0,8
1,0
г ,2
r,4
1,6
1,8
2,0
2>5
3,o
3.5
4,o
5,o
6,o
7,0
8,0
0,0
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
kl
I
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
o,5
o,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1.4
1,6
1,8
2,0
2,5
3.0
3,5
4,0
5,0
6.O
7>o
8,0
9,o
0,0
1,0
2,0
3o
4,0
4.0
fn
•2gf
r
o,3333
0,3331
0,3324
0,3298
0,3279
0,3256
0,3229
0.3199
0,3166
0,3130
0,3052
0 2966
0,2875
0,2781
0,2687
0,2452
0,2239
0,2046
0,1877
0,1600
0,1389
0,1225
0,1094
0,0988
0,0900
0,0826
0,0764
0,0710
0,0663
0,0622
d
0,5000
0,4990
o,4959
0,4909
0,4843
0,4762
0,4670
0,4569
0,4461
o,435i
0,4239
0,4017
0,3805
0,3607
0,3425
0,3258
0,2902
0,2612
0,2371
0,2166
0,1837
0,1584
0,1385
0,1227
0,1099
0,0993
0,0905
0,0831
0,0768
0,0714
0,0666
r +s-f
as + r = с
s
0,1667
0,1665
0,1659
0,1649
0,1636
0,1620
O.I599
0,1576
0,1550
0,1522
0,1491
0,1424
O.I351
0,1275
0,1198
0,1121
0,0939
0,0778
0,0644
0,0533
o,o373
0,0270
0,0201
°-oi55
0,0123
0,0100
0,00826
0,00694
0,00592
0,00510
0,00445
j
0,04167
0,04165
0,04162
0,04156
0,04147
0,04136
0,04123
0,04108
0,04090
0,04070
0,04048
0,03998
0,03940
0,03875
0,03804
0,03727
0,03515
0,03284
0,03044
0,02803
0,02347
0,01946
0,01609
0,01333
0,01111
0,00933
0,00789
0,00074
0,00580
0,00504
0,00441
kl (kl ch kl —
kl
- kl sh —
shkl)
1) — sh kl
k?P sh kl
Зависимости между
sb + t
ar + s
-fc
-bf
shkl-
-kl
kH2 sh kl
th kl
0 = :
sh i
kl
ch*' 1
2
'- w*«
/ =
hi
tl k^"u —-
2
kH3 sh kl
sh kl — 2
h = —
fc/
kl ch kl П
коэфициентами
bf + с -
/ (a + 1) =
Численные значения
t
0,08333
0,08325
0,08294
0,08258
0,08202
0,08129
0,08044
0,07943
0,07825
0,07709
0,07577
0,07285
0,06970
0,06639
0,06299
0,05960
0,05142
0,04406
0,03772
0,03237
0,02421
0,01856
0,01459
0,01172
0,00960
0,00800
0,00676
0,00579
0,00501
0,00437
0,00385
V
0,3125
0,3124
0,3123
o,3
0,3107
0,3099
0,3085
0,3071
0,3056
0,3038
0,3018
0,2974
0,2924
0,2869
0,2809
0,2747
0,2581
0,2411
0,2244
0,2085
0,1803
0,1569
ОД379
0,1224
0,1097
0,0993
0,0905
0,0831
0,0768
0,0714
0,0666
P
0,1250
0,1248
0,1244
0,1239
0,1229
0,1218
0,1205
0,1189
0,1172
0,1153
0,1132
0.1087
0,1037
0,0985
0,0933
0.0880
0,0753
0,0639
0,0541
0,0459
o,o335
0,0250
0,0192
0,0151
0,0121
0,00987
0,00820
0,00691
0,00590
0,00509
0.00444
w
0,2500
0,2499
0,2496
0,2492
0,2486
0,2479
0,2470
0,2460
0,2446
0,2435
0,2420
0,2387
0,2350
0,2309
0,2265
0,2218
0,2095
0,1968
0,1844
0,1725
0,1513
ОД337
0,1191
0,1071
0,0972
0,0889
0,0818
0,0758
0,0705
0,0659
0,0619
b
» b
f(r-s) =
2 (s + g) -
коэфициентов
a
1,0000
0,9960
0,9803
0,9566
0,9250
0,8868
0,8435
0,7967
o,7477
0,6977
0,6480
0,5522
0,4649
°>38?
0
0,3218
0,2658
0,1631
0,0993
0,0603
0,0366
0,0135 _
0,496 •
0,182 •
0,671 ¦
0,247 •
0,908 •
o,334 •
0,123 ¦
0,452 ¦
0,166 •
0,612 •
0—'
0—2
со 3
ю-3
со—4
m-4
to—4
to 5
[o_-5
to—°
и
O.375Q
o,3748
o,3744
°,37v
0,3728
0,37
5
0,3700
0,3683
0,3663
0,3640
0,3616
0,3560
o,3497
0,3428
o,3354
0,3275
0,3067
0,2853
0,2644
0,2445
0,2092
0,18c
0,1566
0,13
-6
0,1222
0,1096
0,0992
0,0905
0,0831
0,0768
0,0713
b
1,0000
0,9972
0,9869
0,9710
0,9499
0,9242
0,8951
0,8634
0,8301
O-7959
0,7616
0,6947
0,6324
0,5760
0,5260
0,4820
0,3946
0,3317
0,2852
0,2498
0,2000
0,1667
0,1429
0,1251
0,1111
0,1000
0,0909
0,0833
0,0769
0,0714
0,0667
h
0,0000
0,00124
0,00491
0,0108
0,0187
0,0281
0,0388
0,0503
0,0622
0,0743
0,0862
0,1087
0,1286
0,1453
0,1590
0,1696
0,1857
0,1907
0,1890
0,1834
0,1674
0,1501
0,1342
0,1204
0,1086
0,0987
0,0902
0,0820
0,0767
0,0713
0,0666
ch kl — 1
kl sh kl
kl sh kl —
2 ch kl + 2
kl (kl ch kl — sh kl)
shkl —2 sh
~ kl(ch kl -
t 2(r-
f d — v =
с
0,5000
o,49&8
0,4951
0,4891
0,4812
0,4715
0,4605
0,4485
o,4358
0,4228
0,4097
0,3838
o,3594
0,3370
0,3167
0,2985
0,2607
0,2316
0,2085
0,1896
0,1605
0,1390
0,1225
0,1094
0,0988
0,0900
0,0826
0,0764
0,0710
0,0663
0,0622
kl
2
1)
• g) — 1
1 b (f — v)
f
0,5000
0,4906
0,4983
0,4963
o,4934
0,4898
0,4855
0,4805
0,4749
0,4688
0,4621
o,4475
0,4317
0,4150
o,3979
0,3808
o,3393
0,3017
0,2690
0,2410
0,1973
0,1658
0,1426
0,1249
0,1111
0,1000
0,0909
0,0833
0,0769
0,0714
0,0667
* \ n
0,08333
0,08332
0,08328
0,08321
0,08312
0,08300
0,08284
0,08266
0,08246
0,08223
0,08198
0,08140
0,08073
0,07999
0,07915
0,07825
0,07577
0,07303
0,07012
0,06717
0,06136
0,05597
0,05115
0,04692
0,04322
0,04001 e
0,03^19
0,03475
0,03254
0,03061
O.O288Q
0,2500
0,2499
0,2496
0,2495
0,2492
0,2487
0,2482
0,2475
0,2467
0,2459
0,2449
0,2428
0,2403
0,2375
0,2344
0,2311
0,2218
0,2117
0,2011
0,1904
0,1697
0,1509
0,1345
0,1205
0,1087
0,0087
0,0902
0,0829
0,0767
0,0713
0,0666

314
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
При других нагрузках значения 6Д и Ъв
для определения R$ и R% по формулам B9)
имеются в [12].
Пример 4. Определить опорный изгибно-крутящий
бимомент в консольной балке пролётом 1=2 м, загружен-
ной равномерно распределённой по всему пролёту на-
грузкой интенсивности q = 0,6 т/м, приложенной с поло-
жительным эксцентриситетом ех = 2 см и сосредоточен-
ной на свободном конце силой Р = 1 т с положительным
Л
Фиг. 142.
эксцентриситетом е, — 3 см. Сечение балки — двутавр
№ 30а (фиг. 142).
По формулам C) и B) табл. 35 искомая величина би-
момента равна
В1П = mPc+MW.
По табл. 29: Ы = 2,78.
По табл. 36: с = 0,245 и Ъ = 0,359.
Тогда
В ,.,==333 000 кгсм*.
Пример 5. Определить опорный бимомент В, — в двух-
пролётной балке, изображенной на фиг. 143. Сечение бал-
ки — двутавр № 60а.
Уравнение B8) для заданной балки:
По табл. 29
klt = 5,94; kU = 4,46.
т=П0кг **** М=320кг.м
Фиг. 143.
По формулам C0) и C1) и табл. 36
,3
<p. пр
ml.
484- 10е
рф. лев _ ^2 Ра = 232-
I 2
Коэфициент при 5j равен /,r1+/,/iJ = 217 f^-
Тогда
Напряжения при кручении и при
совместном действии изгиба и кручения
В тонкостенном стержне, находящемся в
условиях только стеснённого кручения, возни-
кают сокториальные нормальные, секториаль-
ные кясмтельные и касательные напряжения
прг; чисюм кручении, определяемые по фор-
мулам (ii~) — A7).
Формула A5) показывает, что нормаль-
ные напряжения при стеснённом круче-
нии распределяются по сечению по закону
секториальных площадей, который изобра-
жается графически в виде эпюры главных сек-
ториальных координат с полюсом в центре из-
гиба и с началом отсчёта в главной сектори-
альной точке сечения, построенной на конту-
ре соответствующего сечения тонкостенного
стержня.
Например, для двутаврового профиля (фиг.
144, а) эпюра эта имеет вид, изображённый на
фиг. 144, б.
Из этой эпюры видно, что при положитель-
ном изгибно-крутящем бимоменте В<о волокна
Фиг. 14-1
справа от стенки в верхней полке будут
сжаты, а в нижней растянуты, слева от стен-
ки— наоборот; поэтому сечение не останется
плоским, а примет вид, . изображённый на
фиг. 128,г.
Для швеллера (фиг. 145, а) эпюра главных
секториальных координат представлена на
фиг. 145,5.
Фиг. 145.
Касательные напряжения при
изгибе тонкостенного стержня, вызванные
поперечной силой, действующей по направле-
нию оси у, определяются по формуле
C2)
Эти напряжения направлены по контуру
тонкостенного стержня и равномерно распре-
делены по толщине сечения. Входящая в фор-
мулу C2) толщина s измеряется не параллель-
но нейтральной оси, а нормально к контуру. При
вычислении момента инерции в этой формуле
(как вообще в формулах при расчёте тонко-

ГЛ. IV]
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
315
стенных стержней) следует пренебрегать соб-
ственными моментами инерции элементов се-
чения относительно их продольных осей; это
вытекает из принятого положения о том, что
нормальные напряжения по толщине стенки
распределяются равномерно.
При постоянной толщине стенок элемен-
тов профиля эпюра распределения касательных
напряжений по сечению при изгибе будет гро-
порциональна соответствующей эпюре измене-
ния по контуру величины статического момен-
та отсечённой части S°xm относительно ней-
тральной оси. На фиг. 146 и 147 представлены
Фиг. 146.
Фиг. 147.
эпюры S°vmc для двутавра (фиг. 144, а) и для
швеллера (фиг. 145, а). Стрелками показаны на-
правления касательных напряжений тх при по-
ложительном направлении (вверх) поперечной
силы Qv.
На фиг. 148 и 149 изображены эпюры S°ymc
для тех же профилей и стрелками показаны
Фиг. 148.
направления iy при положительном направле-
нии (вправо) поперечной силы Qy.
Эпюра распределения по сечению секто-
ра а л ь н ы х касательных напряже-
ний, определяемых формулой A6), при по-
стоянной толщине стенок профиля, очевидно,
будет пропорциональна соответствующей эпю-
Для рассмотренных
и швеллерного профилей эпюры 5^отс
ре секториальных статических моментов отсе-
чённой части сечения S™c=z\<»dF.
Fomc
выше двутаврового
построе-
ны на фиг. 150 и 151. Стрелками на этих фи-
гурах показаны направления касательных на-
пряжений тш при поло-
жительном (против ча-
совой стрелки) закручи-
вании стержня. При по-
строении их были исполь-
зованы эпюры главных
секториальных коорди-
нат (фиг. 144, б и 145, б),
так как ординаты эпюры
S°^nc представляют пло-
щадь пройденной части
эпюры ш, считая от край-
них точек сечения, умно-
женную на толщину стен-
ки s. Поэтому отдель-
ные участки эпюры S^™
обычно имеют параболическое и в исключи-
тельных случаях прямолинейное очертание.
(b-2or,)hb
rfiflf
У
X
ITftlK
Фиг. 150.
I
'otxfh
¦s,
Фиг. 151.
Касательные напряжения, соот-
ветствующие чистому кручению по
толщине стенок профиля, в отличие от каса-
тельных напряжений при изгибе и секториаль-
ных касательных напряжений, постоянных по
толщине стенки, распределяются по линейному
закону с нулевой линией по средней линии се-
чения (фиг. 134, г).
Наибольшая величина этих напряжений
получается по середине наружных краёв пря-
моугольников, составляющих профиль, и опре-
деляется по формуле A7). Jd в этой формуле —
момент инерции при чистом кручении, кото-
рый вводится в неё без поправочного коэфи-
циента а.
5. При практических расчётах тонкостенных
стержней, находящихся в условиях стеснённого
кручения, проверку нормальных на-
пряжений следует производить по формуле
где В^ —расчётный изгибно-крутящий бимо-
мент; Ц7Ш—секториальный момент сопроти-

316
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. !
вления, определяемый по формуле E), а для
прокатных двутавров и швеллеров величину
его можно брать непосредственно из табл. 29
и 30.
Для того чтобы установить, в каких точках
следует производить проверку секториальных
нормальных напряжений, следует пользоваться
эпюрой главных секториальных координат.
Проверку нормальных напряжений в тон-
костенных стержнях, находящихся в условиях
сложного сопротивления, в самом общем слу-
чае следует производить по следующей ч е-
тырёхчленной формуле
N М
+ + + ±±^±
wy — wa
где первое слагаемое — нормальное напряже-
ние от продольной силы, второе и третье —
от изгиба в главных плоскостях у и х про-
филя и последнее — от стеснённого кручения.
Проверку нормальных напряжений в дву-
тавровых балках, находящихся в условиях по-
перечного изгиба и кручения, с учётом кру-
чения следует производить даже при малых
эксцентриситетах приложения нагрузки.
Например, при пролёте балки 1 = 6 м и при
эксцентриситете приложения равномерно рас-
пределённой по длине её нагрузки, равном толь-
ко 1 см, учёт кручения повышает нормальные
напряжения от 3,1% для Т№ 16 до 16,5% для
Т № 60а. С увеличением эксцентриситета этот
процент повышения напряжений пропорцио-
нально увеличивается.
Проверку касательных напряжений в тонко-
стенных стержнях, находящихся в условиях
стеснённого кручения или совместного действия
изгиба и кручения, следует производить, поль-
зуясь указаниями и примерами, приведёнными
в книге [12].
Проверку касательных напряжений в со-
ставных металлических двутавровых балках,
находящихся в условиях совместного действия
изгиба и кручения, с учётом кручения следует
производить лишь при больших, превышающих
половину высоты балки эксцентриситетах при-
ложения поперечной нагрузки.
При малых же эксцентриситетах можно огра-
ничиться проверкой касательных напряжений,
возникающих в двутавровом стержне, только
от изгиба без учёта кручения.
Пример 6. Определить расчётные нормальные напря-
жения от изгиба и кручения в ригеле обмуровочного
щита прямоточного котла
/Л
11
1=2м
Фиг. 15а.
Сечение с указанием всех размеров изображено на
фиг. 137, а. Пролёт, условия закрепления на опорах и ха-
рактер загружения представлены на фиг. 152 п Ш, а.
Выпишем геометрические характеристики, вычислен-
ные в примерах 1 и 3:
Jx (нетто) = 1174-7 см*; Уш (нетто) = 18 8?6 см':
Jd = 10,97 см*; *х = 2,1 см;
Ц74 7 и 74 7
wl.x = "TtT™ = Ш см*> W2x = ^^- = 126 см';
Щш = 426 см*; U?2tD = - 44) см*;
/ ajd
= 1/ -у— = 0,0149 см~1;
kl - 2,98.
Максимальный изгибно-крутящий бимомент по фор
муле 10 табл. 35 и табл. 36
_ 8B0 + 0,3 — 2,1) 200а
тР
~ ~ " 2^
= 57,36 • 10' кгсм.
0,197 гг
Максимальный изгибающий момент в том же сечении
балки
Мх =^- = 4000) кгсм.
Нормальные напряжения от изгиба и кручения ft
точках /, 2, 4 и 5 ^иг. 1.17, в)
¦ + °lu> = -
= - 1476 кг/,
Л.
W
1 со
— г
/2.г
кг!,см\
Рациональные типы и отношения между
размерами некоторых тонкостенных
профилей
1. Исследования [12] влияния формы сече-
ния тонкостенного стержня на секториальную
жёсткость его при кручении ?УШ показывают
следующее:
а) Наибольшей секториальной жёсткостью
обладает профиль Z-образного сечения
(фиг. 153, а); при одних и тех же размерах вы-
а)
б)
д)
Фиг. 153.
соты стенки и ширины полок он в среднем
в 1,4 раза жёстче швеллера и в 2—3 раза
жёстче двутавра.
б) Отгибы концов полок Z-образного профи-
ля (фиг. 153, б) внутрь сечения секториальной
жёсткости его не увеличивают.

ГЛ. IV]
РАСЧЁТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
317
в) Отгибы концов полок швеллера внутрь
сечения (фиг. 153, б) значительно увеличивают
его секториальную жёсткость, а отгибы нару-
жу (фиг. 153, г), наоборот, уменьшают её.
г) Несимметричный относительно оси х
двутавр (фиг. 153, д) при одной и той же высоте
стенки, как у симметричного двутавра, оказы-
вается менее жёстким, чем последний, при этом
чем больше разница в ширинах верхней и ниж-
ней полок, тем менее жёсток профиль, так как
в таком случае он больше приближается но
типу к тавровому профилю, для которого сек-
ториальная жёсткость равна нулю.
д) Отгибы полок двутавра как внутрь, так
и наружу уменьшают его секториальную жёст-
кость, причём при одних и тех же размерах вы-
соты стенки, ширины полки и величины отгиба
профиль с отгибами внутрь жёстче профиля
с отгибами наружу в 1,2 —1,8 раза.
е) Секториальная жёсткость уголковых про-
филей равна нулю. Уголки же с отгибами полок
внутрь (фиг. 153, е) или наружу (фчг. 153, ж)
обладают секториальной жёсткостью, которая
по мере увеличения отгибов увеличивается,
достигая своего максимума при отгибах внутрь,
равных величине полки.
2. Для некоторых наиболее простых, при-
меняемых в практике типов профилей секто-
риальные геометрические характеристики ис-
следованы более подробно и в более общем
"иде.
а) Двутавровый профиль имеет
наибольший секториальный момент инерции
(шах 7Ш) при следующих отношениях его эле-
ментов (фиг. 154):
Ftt = 0,3/?и Fcm - 0,4 Р,
Г
-ь-
Фиг. 154.
JU
—ь—j t
Фиг. 155.
или в другом выражении, когда
Ъ = 0,75А-^-.
s
Наибольший секториальный момент сопро-
тивления (max Ww) двутавровый профиль
имеет при
Fn ~ г cm — "о" Fi
или в другом выражении, когда b=h -l^L .
б) Швеллерный профиль имеет
наибольший секториальный момент инерции
при следующих отношениях его элементов
(фиг. 155):
tn = 0,26Э F и Fст = 0,462 Ft
или в другом выражении, когда 6=0,582 h ~°ж .
Наибольшие секторйальные моменты со-
противления швеллерный профиль имеет при
следующих отношениях его элементов:
max Wiu) при Fn = 0,306 F и Fcm = 0.3SSF
max «72ш при Fn = 0,232 F n Fcm = 0,535 F.
в) Z-об разный профиль (фиг. 156)
имеет наибольший секториальный момент
инерции при таких же
соотношениях площа- ;
дей полки и стенки,
как и в швеллере, а
именно при
Fn = 0,269 F
" Fcm = 0,462 F.
t
pern
Фиг. 156.
Наибольшие сек-
торйальные моменты
сопротивления Z-об-
разный профиль имеет
max Wlto при
Fn = 0,306 F
И FCOT = 0,388 F
(как и для швеллера) и max U72u) при
/=•„ = 0,188 F и Fcm = 0,624 F.
РАСЧЁТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Основные расчётные положения
Тонкостенные стержни открытого жёсткого
профиля в отличие от монолитных стержней
теряют устойчивость не только изгибаясь, но
и закручиваясь вокруг своей продольной оси
(фиг. 157). Теория устойчивости от-
крытых тонкостенных стержней наи- Р\
более полно разработана проф. В. 3. V
Власовым [15] (см.также [12,64,65^66]). Т
Эта теория учитывает лишь отно-
сительно малые деформации, причём,
аналогично обычному продольному
изгибу, процесс выпучивания стержня
представляется как появление при
некотором критическом значении на-
грузки неопределённых по величине
дополнительных перемещений. Воз-
никают перемещения трёх видов: ? и
Tj — поступательные перемещения се-
чений стержня в направлении глав-
ных осей инерции сечения х, у и
6 — вращение сечений вокруг оси,
проходящей через центры изгиба се>
чений. На дополнительных переме-
щениях внутренние и внешние уси-
лия производят работу, которая со-
гласно основному принципу возмож-
ных перемещений должна равняться
нулю. Поэтому перемещения ?, -q и О
оказываются связанными между со-
бой системой трёх диференциальных
уравнений. Первое уравнение выра-
жает собой условие равенства нулю
работы всех сил на перемещениях ?, р\
второе — то же на перемещениях т( '
и третье —на закручиваниях в. фиг. 157.

318
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
В уравнения входит как работа основных сил
на перемещениях ?, г\ и 6, так и работа допол-
нительных сил упругости, вызванных переме-
щениями ?, у] и 6. Эти уравнения называются
основными диференциальными
уравнениями устойчивости; для
случая постоянной сжимающей силы они
имеют вид
\
EJ
y
P ?" + (ау — еу) Р 6" = 0;
v)~ •(')
- ey) P %" - (ax - ex) X
ZJwQlV+[P
GJd]V' + (a.
Здесь P—сжимающая сила, вызывающая
выпучивание стержня; ех и еу—эксцентриси-
теты её приложения в главных центральных
осях инерции сечения х и у; EJX и EJy —
жёсткость стержня при изгибе в направлении
главных осей; ?УШ — секториальная жёсткость
стержня; GJa — жёсткость стержня при чи-
стом кручении (по Сен-Венану); ах и av— коор-
динаты центра изгиба, в главных осях инер-
ции сечения;
Г = Р2 + 4 + ау .
где р2 =
са инерции;
Jx -f- Jy
квадрат полярного радиу-
Uv
9х = -??--*л\
^Jy
где Ux = f
F
9У- 2Jx — a?'
Uv= \(jfl±y2)XdF
F
новые геометрические характеристики сече-
ния.
Система уравнений A) может иметь отлич-
ные от нуля решения для перемещений ?, т)
и G лишь при некоторых значениях сжимаю-
щей силы Р, определяемых заданными гранич-
ными условиями. Эти значения называются
критическими.
Наименьшее. сжимающее критическое
усилие соответствует безразличному состоя-
нию равновесия. Приближаясь к этому состоя-
нию, стержень начинает сильно деформиро-
ваться и теряет в конце-концов несущую спо-
собность.
В простейшем случае граничных условий,
соответствующих шарнирному опиранию по
обоим концам и свободным торцам стержня,
s = 5' = т) = yf= 6 = 6" = 0 приг = 0иг=/,
где z—координата, отсчитываемая вдоль длины
стержня; / — длина стержня, можно искать ре-
шение уравнений A) в виде
Л sin
t] = В sin —.- ;
e=.Csin-y-,
где А, В и С — некоторые постоянные.
B)
Подставив выражения B) в уравнения A)
тгг
и сократив на sin -.-, получим систему обык-
новенных линейных уравнений без правой
части. Отличные от нуля значения А, В и С
возможны лишь в том случае, если детерми-
нант полученных уравнений будет равен нулю.
Таким образом условие выпучивания
стержня в данном случае имеет вид
— P, 0,
0, Px —
Pdy,
Pdx,
= 0. C)
Здесь введены следующие обозначения:
Ру — -^~ ; Рх = -р— :
J2/-3
Г2 '
Рх и Ру — представляют собой обычные
эйлеровские критические силы при продоль-
ном изгибе в направлении осей х и у; dx и
dy — эксцентриситеты приложения силы Р от-
носительно осей, проходящих через центр из-
гиба сечения параллельно главным осям
инерции.
Раскрыв определитель C), получим
Ао + AtP + A gPa .г а3/** = о, D)
где
Рх Ру;
Основным свойством уравнения D) является
наличие во всех случаях трёх действитель-
ных корней для Ру дающих критические значе-
ния для сжимающей силы Рх, Р2 и Р3. Трём
критическим силам соответствуют три формы
потери устойчивости стержня Каждая из этих
форм характеризуется закручиванием сечений
стержня вокруг определённой линии, парал-
лельной оси стержня. Из трёх форм потери
устойчивости практическое значение имеет
лишь та, которая соответствует наименьшей
критической силе.
Форма потери устойчивости, при кото-
рой возникает закручивание 0, называется
изгибно-крутильной формой по-
тери устойчивости. При этой форме
каждое сечение поворачивается вокруг некото-
рой мгновенной оси, параллельной оси стержня.
Если при потере устойчивости все сечения
стержня поступательно перемещаются в своей
плоскости без закручивания, то такая форма
называется изгиб и ой формой потери
устойчивости.

ГЛ. IV]
РАСЧЁТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
319
Изгибным формам, происходящим в пло-
скости главных осей инерции сечения, соответ-
ствуют эйлеровские критические силы Рх и Ру.
Изгибно-крутильным формам соответствуют
изгибно-крутильные силы Р,, Р2 и Я3, опреде-
ляемые из уравнения D). Из свойств этого
уравнения вытекает, что наименьшая из кри-
тических сил Ри Р2 и Ps не может быть
больше наименьшей из величин Рг и А,.
Расчёт за пределом упругости
для центрального сжатия
Значения критических сил, определённые
в предположении упругой работы материала,
оказываются неправильными, если напряжения,
соответствующие этим силам, превышают пре-
дел пропорциональности материала стержня.
В действительности критические силы не могут
превысить величину Fas, где ~s — предел те-
кучести, a F—площадь сечения, т.е. не могут
быть больше силы, вызывающей текучесть по
всему сечению стержня при сжатии последнего
без продольного изгиба.
Расчёт стержней, сжатых за пределом упру-
гости, производится на основании теории, учи-
тывающей снижение модуля упругости при
больших осевых напряжениях, а также раз-
грузку, происходящую в части сечения стержня
при выпучивании. Практический метод расчёта
заключается в применении таблицы или графи-
ка коэфициентов снижения допускаемых на-
пряжений при сжатии, представляющих собой
отношение
Fa*
где Ркр и скр — фактические критические
сила и продольное напряжение. Величина tp
зависит от гибкости стержня А. и в очень
слабой степени — от формы поперечного сече-
ния стержня; поэтому во всех нормах даётся
только одна кривая ср = ср (А) для всех форм
поперечного сечения сплошных стержней (см.
стр. 281).
Эту кривую ср можно применить и к рас-
чёту тонкостенных стержней, если заменить
обычную гибкость стержня А. некоторой новой
изгибно-крутильной гибкостью ~кик. В осталь-
ном расчёт остаётся, как и для сплошных
стержней.
Приведённая гибкость \ик определяется как
обычная гибкость сплошного стержня, соот-
ветствующая данной критической силе, опре-
делённой в предположении упругой работы
материала.
Между обычной гибкостью А. и критической
сжимающей силой Ркр существует соотноше-
ние
кр
поэтому
= ф
где Рг — наименьшее из изгибно-крутильных
критических усилий данного стержня.
Таким обра, ом расчёт центрально сжатых
тонкостенных стержней на устойчивость за
пределом упругости сводится к определению
величины Аа/е и величины ср по кривой
«р = ср(А.) = ср(АНЛГ), после чего стержень про-
веряется по формуле.
/=>
где Rd — допускаемое напряжение на сжатие.
Учёт граничных условий
Граничные условия характеризуют степень
подвижности обоих концевых сечений в отно-
шении каждой из трёх составляющих возмож-
ного перемещения: ?, tq и 6. Относительно
каждой из этих составляющих стержень может
иметь в данном сечении следующие типы гра-
ничных условий: 1) шарнир, 2) защемле-
ние, 3) опор а, 4) свободное переме-
щение.
Физическое и геометрическое содержание
названных типов граничных условий ясно, пока
речь идёт о поступательных смещениях ? и yj.
Что касается закручивания 6, то шарнир
при кручении F" — 0) образуется в том
случае, когда ничто не препятствует искри-
влению сечения по секториальному закону
(депланации сечения). Это имеет место
тогда, когда закреплено от взаимных продоль-
ных перемещений не более трёх точек сече-
ния, не лежащих на одной прямой. Практи-
чески шарнир при кручении имеет место лишь
в случае свободного торца стержня, без нали-
чия вблизи него планки или жёсткой из своей
плоскости диафрагмы.
Защемление против кручения
F' — 0) осуществляется при опирании всего
торцового сечения стержня (в случае J(O ф 0)
на абсолютно жёсткую плоскость или при за-
креплении от взаимных продольных смещений
не менее четырёх точек сечения. При этом необ-
ходимо, чтобы главные секториальные коорди-
наты закреплённых точек, отложенные из этих
точек в определённом масштабе перпендику-
лярно сечению, не образовывали бы одну пло-
скость, так как в этом случае опять-таки
была бы возможна депланация сечения. Практи-
чески защемление против кручения возникает
при наличии на конце стержня жёсткого пре-
пятствия депланации: планки, жёсткой опор-
ной плиты и т. п.
Опора при кручении F = 0) пред-
ставляет собой препятствие, мешающее пово-
роту сечения в его плоскости, т. е. закрепле-
ние сечения против поворота в его плоскости.
Свободное перемещение, наобо-
рот, выражается отсутствием препятствия по-
вороту сечения в его плоскости.
Комбинируя перечисленные граничные усло-
вия, получим следующие возможные способы
опирания одного конца стержня: 1) шарнир и
свободное перемещение — свободный конец
стержня; 2) шарнир и опора —шарнирное опи-
рание; 3) защемление и свободное перемеще-
ние — подвижное защемление; 4) защемление
и опора—неподвижное защемление или за-
делка.
Наконец, комбинируя эти способы опирания
на обоих концах стержня и исключая случаи,
когда стержень оказывается подвижным, по-
лучим шесть основных типов закрепления
стержня, показанных в табл. 37.

320
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Таблица 37
Типы закрепления стержней, граничные условия и коэфициенты приведения длин
(Через ? обозначена одна из величин ?, т), 6)
Схема
1. Неподвижное
защемление
///
V////////
1
1
Неподвижное
защемление
2. Подвижное
защемление
///
'4
V?///,
1
1
Неподвижное
защемление
2а. Неподвижное
защемление
У////Л
bs
1
***
L
Подвижное
защемление
3. Шарнирное
опираьие
>~<
ъ
?
i
44
i
Неподвижное
защемление
За. Неподвижное
защемление
ш
1
1
Шарнирное
опирание
Граничные
условия на
верхнем
и нижнем
концах
С = V = 0
С = X.'" = 0
с = v = о
с = с = о
С = С = 0
С = С =0
С = ;' =0
С = С" = 0
Коэфициент
приведения
длины
лр 0> '
'"/> '
/ .. ;
пр 1
1 nil
1пр °'11
пр
Схема
4. Свободный
конец
|
Неподвижное
защемление
4а. Неподвижное
защемление
т
щ
Свободный
конец
5. Шарнирное
опирание
(О—
г/.
т
7
1
***
J
Подвижное
защемление
5а. Подвижное
защемление
и.
н
//.
Г
1
1
«
L
Шарнирное
опирание
6. Шарнирное
опирание
J
Ч
V/,
J
Шарнирное
опирание
Граничные
условия на
верхнем
и нижнем
концах
с"=о
С = С' = С" = 0
с = с = cw= о
С" -= 0
с = :'=о
С = С" = 0
с = cw =0
С = С" = 0
с = с" = о
С == С" = 0
Коэфициент
приведения
длины
1 21
пр
1 21
1пр 1

ГЛ. IV]
РАСЧЁТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
321
Так как 2-й, 3-й, 4-й и 5-й типы закрепления,
как несимметричные, можно переворачивать, то
общее количество типов закрепления стержня
становится равным десяти. Эти десять типов
закрепления могут иметь место относительно
каждой из составляющих дополнительного пе-
ремещения ?, Y) И 6.
Кроме рассмотренных типов граничных
условий, могут быть ещё промежуточные типы,
к которым относятся упругое защемление и
упругая опора. Упругое защемление является
средним между шарниром и полным защемле-
нием, а упругая опора — средним между опорой
и свободным перемещением. Поэтому можно
приближённо определить критические нагруз-
ки тонкостенных стержней при наличии этих
типов граничных условий как средние между
двумя их значениями, определёнными при за-
мене упругого защемления шарниром и пол-
ным защемлением или соответственно для
упругой опоры жёсткой опорой и свободным
перемещением.
Граничные условия, аналитические выра-
жения которых на обоих концах стержня
одинаковы для всех трёх составляющих ;, tj
и 9, называются однотипными. Случай
шарнирного опирания по обоим концам стер-
жня для всех трёх составляющих дополни-
тельного перемещения сечения является
основным.
Любые однотипные граничные условия
можно свести к основному случаю граничных
условий путём замены действительной длины
стержня приведённой длиной. Значения коэфи-
циентов приведения получаются при этом та-
кие же, как при обычном продольном изгибе,
(табл. 37).
Граничные условия называются неодно-
типными, если хотя бы для одного из трёх
составляющих перемещения ?, г\ и 6 аналити-
ческое выражение граничных условий не сов-
падает с аналитическим выражением для
двух других составляющих. При неоднотипных
граничных условиях определение критической
силы сильно усложняется и приходится при
менять приближённые методы. Практический
способ определения критических сил в случае
неоднотипных граничных условий, основанный
на применении к этой задаче метода акад.
Галеркина, разработан А. Л. Гольденвейзером
[21]. В этом способе критические усилия
определяются по уравнению D), но величины,
входящие в это уравнение, умножаются на
коэфициенты, зависящие от сочетаний гранич-
ных условий. Именно жёсткости EJX, EJV
и Н/ш умножаются на коэфициенты а^, aT
и аее, зависящие исключительно от выражения
граничных условий для соответствующей со-
ставляющей перемещения ?, -ц и 6. Кроме того,
величины dx и dy — эксцентриситеты прило-
жения силы Р относительно центра изгиба —
умножаются соответственно на коэфициенты а?ч
и arf). Эти коэфициенты зависят от выражения
граничных условий для составляющей 6 и для
составляющей ? (для коэфициента а-й) или т(
(для коэфициента атЧ). Значения коэфициен-
тов ev (С — 5, f], 9) и ofy (С = 6, т)) даны
в табл. 38, причём последние коэфициенты
№
по
пор.
i
2
2а
3
За
4
4а
5
5а
6
Нижний
конец
Неподвиж-
ное заще-
мление
Неподвиж-
ное защем-
ление
Подвижное
защемле-
ние
Неподвиж-
ное заще-
мление
Шарнирное
опирание
Неподвиж-
ное заще-
мление
Свободный
конец
Подвижное
защемле-
ние
Шарнирное
опирание
Шарнирное
опирание
Верхний
конец
Неподвиж-
ное защемле-
ние
Подвижное
защемление . .
Неподвиж-
ное защемле-
ние
Шарнирное
опирание . . .
Неподвиж-
ное защемле-
ние
Свободный
конец
Неподвиж-
ное защемле-
ние
Шарнирное
опирание . . .
Подвижное
защемление . .
Шарнирное
опирание . . .
1
i
0,0076
о,оо
0,766
0,766
—о,и4
—о,и4
О, 127
о, 127
с, 780
Топравочные коэфициенты affl и
2
0,0076
i
°>ззб
0,489
0,0077
-6,875
—г> 8=;6
—**¦' j^
7.4O4
0,780
с. 106
при
2а
0,0076
о.ЗЗб
i
°-°77
—0,489
— 2,856
-6,875
0,780
7-4°4
o,io6
П р и м е ч а и и с. Поправочные коэфициенты а и
a.L к величинам dx
различных граничных условиях
о
о,766
- 0.489
0,0077
I
1,445
т 460
—0,0697
о,и8
0,228
о,8т7
За
о,7б6
0,0077
—0,489
1,445
i
— о,0697
1.469
О,228
о,п8
0,817
4
—0,114
-6,875
—2,856
1.469
—0,0697
1
0,891
1
0,629
1,318
<хт. к величинам d и
4а
—о,И4
-2,856
—6,875
--0,0607
1,469
0,891
i
0,629
I
i,3'8
d даны
5
0,127
7-4O4
0,780
о,и8
0,228
I
0,629
1
0,406
0,717
и d*y
5а
0,127
0,780
7>4°4
0,228
о,и8
0,629
1
0,406
1
0,717
в квадрате
Таблица 38
6
0,780
o,io6
o,io6
0,817
0,817
1,318
1,318
0,717
0,717
1
i *х>
а в
¦&_
СП
oj в э
2 _^
х ш s
°е =s
° S
4,ооо
1,000
1,000
2,000
2,000
0,250
0,250
О.250
0,250
1,000
так как вели-
чины dx и d входят в расчётные формулы только в квадрате.

322
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. 1
находятся в ней на пересечении графы, соот-
ветствующей заданным граничным условиям
по б, и строки, соответствующей заданным
граничным условиям по ? или т). Величины ех
и ву — эксцентриситеты приложения сил Р
относительно центра тяжести — при этом ме-
тоде остаются в уравнении D) без изменения.
Частные случаи расчёта
Для внецентренно сжатых тонкостенных
стержней величина критической силы изме-
няется при изменении эксцентриситета её при-
ложения. Нетрудно построить кривые эксцен-
триситетов приложения силы Р в плоскости
торцового сечения, соответствующих одной
и той же величине наименьшей критической
силы. Эти кривые при одновременном выпол-
нении неравенств Р<РХ, Р<ЦРу и Р<РШ
представляют собой эллипсы с осями, парал-
лельными главным осям инерции сечения
(фиг. 158). Наиболь-
шему значению кри-
i /ь/Ял-дической силы Р соот-
ветствует предельный
случай эллипса, пре-
вратившегося в отре-
зок прямой, проходя-
щей через центр из-
гиба сечения. При
приложении силы Р
в точках этого от-
резка, в том числе к
центру изгиба, полу-
чается наибольшее
возможное значение
критического усилия.
Кривые, изображён-
ные на фиг. 158,
являются изоста-
б а м и [65] или л и-
ниями равной
устойч ивости.
Следует заметить, что
Фиг. 158 здесь предполагается
приложение внецен-
тренной нагрузки к торцам не в виде сосре-
доточенного усилия, а в виде плоскостной
эпюры напряжений, равнодействующая кото-
рых проходит через точку ех, еу.
В случае сечения, у которого ось у является
осью симметрии, при действии равнодейству-
ющей внешней силы в плоскости симметрии
(ех = 0) из уравнения D) выделяется корень,
соответствующий выпучиванию стержня в пло-
скости симметрии и равный обычной эйлеров-
ской силе Рх. Для нахождения остальных кри-
тических сил надо решить квадратное уравне-
ние
0, E)
где
"о = г*РуРш ,
<*!=- г*Рш - (г2 + 2»уе
уеу)
— d/.
Расчётной критической силой будет мень-
шее из значений Рх и обоих корней уравне-
ния E).
Для некоторых частных случаев основные
формулы определения критической силы упро-
щаются:
1) Сечение несимметричное. Си-
ла Р приложена на линии цен-
тров изгиба ех = ах, еу — av:
¦ ау ах а.
2) Сечение имеет две оси сим-
метрии. Сила приложена на оси
0
симметрии еу
р
h +
У (ру~
3) Сечение несимметричное. Си-
ла приложена в центре тяжести
(центральное сжатие) ех = еу = 0.
Уравнение определения критической силы:
~А0 4-~AX Р + А~2 Р2 + 1Ьрз = о,
где
4) Сечение с одной осью симме-
трии. Сила приложена в центре
тяжести er = ev — 0:
Рх\ Ръ =
2(>2—а\
5) Сечение имеет две оси симме-
трии. Сила приложена в центре
тяжести ех = еу = 0:
Если стержень обладает в поперечном се-
чении двумя осями симметрии и сила Р при-
ложена в центре симметрии, являющемся так-
же центром изгиба и центром тяжести сече-
ния, то критическая сила будет равна наи-
меньшей из величин Рх, Ру и Рш. Формы
выпучивания стержня здесь будут изгибные,
соответствующие значениям Р = Рх и Р — Ру,
и крутильная форма с закручиванием сечений
вокруг оси симметрии, соответствующая зна-
чению Р = Рш.
В общем случае несимметричного или не-
симметрично загруженного сечения приходится

ГЛ. IV]
РАСЧЁТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
323
для нахождения Р решать кубическое урав-
нение D), наименьший корень которого может
быть определён по формуле
' кр —
— Al
У
• F)
Точность определения Ркр по
этой формуле, представляющей цх, _ ц _|_
собой определённую степень
приближения метода Греф- ц , _ у _|_
фе решения алгебраических
уравнений, является величиной порядка 1%.
Определение величин Ux и Uy
В формулы определения критической силы
внецентренно сжатого тонкостенного стержня
входят новые геометрические характеристики
сечения Ux и Uy, равные
Ux =
dF.
Если контур сечения стержня состоит из
прямолинейных отрезков постоянной толщины,
то величины Ux и Vу удобно определять по
формулам:
[
где JPv JXi, Jyx и Л, у, — полярный, эквато-
риальный и центробежный моменты инерции
сечения относительно осей Х\, у\, Sxl и 5^ —
статические моменты инерции относительно
тех же осей; F—площадь сечения.
Переход от центральных осей х,у к другим,
параллельным им, х' = х -\- ал и у' —у -\- Ь],
производится по несколько более простым
формулам:
a\ + bX)F+2bxJxy\ | ^
Л + 2МУ + &i W + а?) F + 2aiJxy I
По этим формулам удобно вычислять вели-
чины Ux и иу также и в том случае, когда
стержень состоит не только из прокатных
профилей, но и из отдельных листов, примы-
кающих друг к другу под прямыми углами.
В формулах (8) и (9) следует особое вни-
мание обращать на знаки центробежных мо-
ментов инерции, которые зависят от ориен-
тировки рассматриваемого сечения относитель-
но осей координат.
Определив Ux и Uy для произвольных цен
тральных осей, мы можем затем перейти к глав-
ным центральным осям сечения по формулам
Ux — Ux COS a. 4- Uу Sin а; 1
0 у A0)
Uу — Uy COS а — Ux Sin а, J
где а — угол наклона главной оси инерции л0
к первоначально взятой оси х.
{¦=1
Л
D
G)
Здесь Fi — площадь каждого участка; x-ta,
>'icu xic и yic—координаты начала и конца /-го
прямолинейного участка контура; хц, и уц,—
координаты середины этого участка. Сумми-
рование производится по всем участкам, из
которых состоит контур сечения стержня. В
случае переменной толщины участков контура
формулы G) можно рассматривать как прибли-
жённые, дающие такую погрешность, какую
даёт обычно формула Симпсона.
Если сечение имеет одну ось симметрии,
то одна из величин Ux и Uy обращается в нуль.
В случае сечения с двумя осями симметрии
обе величины Ux и Uy будут равны нулю.
Если стержень составлен из прокатных
профилей, то определение величин Ux и Uy
удобно производить, пользуясь приводимыми
таблицами значений Ux и Uy для прокатных
уголков и швеллеров (табл. 39—41) и прави-
лом, что величина Ux или Uy, вычисленная
относительно каких-либо осей для всего сече-
ния, равна сумме Ux и Uy всех отдельных ча-
стей сечения, вычисленных относительно тех
же осей.
Переход от произвольных нецентральных
прямоугольных осей хх и уг к другим, парал-
лельным им, х% — хг-\-а, У2=У1~\-Ь, произво-
дится по формулам:
Ux, = Ux, 4- aJpi +-2tfЛ-, 4- 2bJXiyi 4- C«2
Uy, = Uy, 4- bJPl 4- 2bJyt 4- 2aJXiyi + C62
Устойчивость стержней, закреплённых
вдоль линии
Часто бывает, что стержень имеет по сво-
ей длине связи, препятствующие перемещению
отдельных сечений. Эти связи соединяются
со стержнем в точках поперечного сечения,
вообще говоря, не совпадающих с центром
изгиба.
Если этих связей несколько на протяжении
длины стержня и расположены они настолько
часто, что можно не опасаться выпучивания
стержня в промежутках между связями, то
можно рассматривать стержень, как закреплён-
ный одной непрерывной связью, фиксирующей
неподвижно определённую линию на поверх-
ности стержня, параллельную его оси.
На степень подвижности каждого сечения на-
кладываются ограничения, уменьшающие число
степеней свободы каждого сечения до двух
или единицы. Несмотря на эти ограничения,
стержень всё же может терять устойчивость
при действии продольной силы.
Случай наложения двух непрерывных свя-
зей, оставляющих сечению одну степень сво-
боды в её плоскости, эквивалентен шарнир-
ному закреплению точек пересечения этих
связей С, которые во всех случаях должны
4- Щ SXi + 2abSyi 4- я (о2 4- ft2) F; \
4- «2) Syt + 2abSXl + b (д2 4. ^ ^ f (8)

324
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
Таблица 39
Таблица величин Ux , Uy и г- для равнобоких уголков (ОСТ 10014-39)
b в мм
25
»
35
4о
45
5о
6о
65
d в мм
3
4
3
4
4
5
4
5
4
5
6
4
5
6
5
6
5
6
8
б
8
ю
«**
0,1887
0,3985
0,4809
1,076
1,238
2,1О2
2,451
3-73O
4.391
4-948
5.974
7-O71
8,о4б
и,i6
12,75
24.30
28,03
3442
39-44
48,85
56,50
ла в см*
,,..з
,«,
1,792
1.747
2.55°
«ов
3.574
3,481
4.74
4,619
4,513
6,оз4
5,925
5.82O
„-
7.276
ю.,96
10,658
10,365
12,502
12,210
и,885
Ь в мм
8о
9°
too
120
130
d в мм
6
8
ю
12
6
8
ю
8
ш
12
14
8
IO
12
Ч
1б
ю
12
Ч
тб
18
ю
Vx=Vy.c*
72-38
*«.
io6,i
109,8
93,58
,4
137.9
194.2
230,0
261,7
=93,3
303,8
362.1
413,9
458,9
506,2
769,0
886,4
991,8
1101
1100
1060.
r% в см*
16,505
16,147
15,774
19,244
18,884
18,535
24,024
23,686
23,210
22,8O3
29,895
29,548
29.022
28,508
28,045
43.178 i
42,712
42,058
41.717
40,845
5X.O63
b в мм
.*>
i
180
230
d в мм
12
14
16
12
14
16
18
20
14
16
18
16
18
20
24
30
16
20
24
28
24
UX=U ъсж
1234
I39o
1527
2254
2573
2846
«
3329
5458
6oi4
6662
9393
io38
1126
1297
157l
1342
1677
1938
2176
2349
г3 в см*
50,557
49,863
4,,S,
67,925
67,211
66,440
65,691
59.930
98,556
97,645
96,674
121,073
120,147
119,150
116,449
113.3ц
147-795
I45.346
142,865
140,639
156,964

ГЛ. IV] РАСЧЁТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ 325
i
У/
ч,
У/.
У
t
///////А ъ
ь \ »"
Таблица 40
Таблица величин U , U и г'1 для неравнобоких уголков (ОСТ 10015-39)
В в мм
45
6а
75
8о
до
IOO
b в лл
3°
4°
5°
55
6о
75
d в мм
3
4
5
4
6
5
6
8
5
6
8
ю
6
8
ю
6
8
ю
8
ю
12
f7XBVW5
О,5988
О,73О2
1,212
1.594
4.138
5.5ОЗ
17.15
19,02
23.18
43.58
49-13
6i:o8
70,62
65,92
82,37
9580
105,8
133.1
152.4
231.5
269,2
З13.1
U в см>
0,2450
0,2906
0,4040
O-4549
1.773
2,3°6
7,128
8,240
9,890
17,86
20,83
25.49
3O.5I
29.60
36,51
43-77
44.O9
54.85
66,88
123,1
146,2
163,7
г1 в см2
2,413
2.357
2,66э
2,632
4.553
4,411
7.3°4
7.218
7-°53
io,8i8
10,719
10,507
10,296
12,232
11,968
11,771
14.897
14.641
14.44°
19.004
18,621
18-379
В в мм
I2O .
15°
i8o
200
200
b в мм
So
IOO
120
120
15°
d в мм
8
ю
12
8
10
12
14
IO
12
14
1б
12
14
l6
12
14
1б
12
IO
I8
2O
U . в см5
434.о
524.8
6О2,3
637.3
767,0
869.3
973-°
I34O
1534
1727
1899
327°
37°4
4Ш
4532
4887
5725
5754
7об9
7893
854°
\иувгм*
187.5
222,5
252,8
293.4
35ОД
4°3.5
448,9
571.6
662,9
74°.°
828,0
I436
IO2O
1787
i6?9
2045
2109
2053
3925
4297
4636
г2 в см2
24.88.5
24,608
24.235
29,518
29,058
28,772
28,407
37-353
З7.°32
Зб,6оо
36,172
52,481
51,973
51.478
61,042
6о,5ю
59.958
99-541
98Д34
9б,9Ю
93.Ю1

326
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
1У
Таблица 41
Таблица величин U и г2 для прокатных швеллеров (ОСТ 10017-39)
/— "
№
профиля
5
6
8
5
IO
12
18
a
b
a
b
a
b
t/ в см'
13.58
25.34
56,67
122,8
234.6
416,8
500,3
694,8
826,5
1116
1215
г" в см'
10,85
H.27
18,59
25-75
34.59
44.42
4i,45
54,9i
50.90
67,14
61,85
профиля
1
24
27
a
b
a
b
a
b
с
a
b
с
UyncM>
1628
1903
2301
2661
2952
ЗЗ76
3756
4418
4860
5521
г'2 в см2
81,6
76,0
94.5
90,8
111,9
104,4
98,6
134.7
126,0
119,1
№
профиля
3°
33
36
4°
a
b
с
a
b
с
a
b
с
a
b
с
U в cms
6564
7147
7869
8767
9784
10720
13610
15020
16150
22080
24100
25730
Л2 В CM*
IO3.3
153.3
145.9
190,0
178,4
-»
226,6
214,3
204,5
266,3
253.8
243.6
оставаться неподвижными (фиг. 159). Стержень
здесь имеет возможность деформироваться,
лишь закручиваясь относительно линии С на
переменный по длине угол 6С.
Для дополнительных перемещений при
действии сжимающей силы здесь будет только
одно уравнение устойчивости, выражающее
равенство нулю работы всех сил на дополни-
тельных перемещениях 0с:
сечения стержня, взятый относительно точки С
и равный
ГШ 6'v - GJdb"c 4- Р 8*1
сх +
Су — координаты неподвижно
С
Здесь сх и Су р
закреплённой точки С сечения в главных осях
инерции; J0^ — секториальный момент инерции
где шс—секториальная пло-
щадь, отсчитанная из точки
С, как из полюса, и от
начальной точки, подобран-
ной из условия J (»с dF = 0.
F
Величина Jcw выражается
через основные геометриче-
ские характеристики сече-
ния:
-f (cv— ayf Jy. A3) Фиг. 159.

ГЛ. IV] РАСЧЁТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
327
При шарнирном опирании концов стержня
FС = 8^ = 0 при г = 0и2 = 1) согласно урав-
нению A1) критическая сила равна
+ с:, + е.
а в случае центрального сжатия (ех = еу = 0)
GJd
Р„„ =
A5)
Предполагается, что стержень может свобод-
но скользить вдоль шарнира. В противном слу-
чае при большой жёсткости связей, препят-
ствующих сдвигу вдоль шарнира, дополнитель-
ные напряжения, возникающие в момент потери
устойчивости в точке С, должны равняться
нулю. При этом в выражениях A1)—A5)
секториальный момент J0^ следует заменить
величиной 1еш, равной
где шс — секториальная площадь, отсчитанная
из точки С, как из полюса, и с нулевой точ-
кой, помещённой также в точке С. Интеграл
J шс dF при этом может не быть равным нулю.
Секториальный момент инерции^ получается,
естественно, больше, чем j?, определяе-
мый по формуле A3), и равен следующему
выражению:
F,
Z = Ji + (ех - ах)* Jx + (су- ау? Jy
где F— площадь сечения, а
k = шс (<0 = <°о (с) + {су — ау) х(с) +
+ (сх — ах) у (с);
шо(с), х(с) и у (с) здесь означают глав-
ную секториальную координату и декартовы
координаты в главных центральных осях для
точки С закрепления сечений.
Устойчивость стержней, жёстко
скреплённых с оболочкой
Случай наложения одной непрерывной связи
создаёт в поперечном разрезе подвижную
опору для сечения. В этом случае каждое
сечение имеет две степени свободы (фиг. 160).
Практически данный
случай осуществляет-
ся при соединении
стержня с гибкой обо-
лочкой, препятствую-
? щей стержню переме-
щаться в одном опре-
делённом направле-
нии, но не мешающей
поступательному пе-
Фиг. 160. ремещению сечения
в другом направлении и закручиванию его
вокруг любой оси, лежащей в плоскости обо-
лочки. Оболочка может не воспринимать про-
дольных усилий, параллельных стержню, или,
что равносильно, примыкающие к оболочке
волокна стержня могут свободно перемещаться
вдоль своего направления. В этом случае по-
ступаем следующим образом.
Определяем В—центр изгиба стержня, скре-
плённого с оболочкой. Он, очевидно, должен
лежать на оболочке, так как иначе стержень
должен был бы смещаться в плоскости обо-
лочки.
Эпюра секториальных площадей, построен-
ных из центра изгиба, должна быть взаимно
нулевой с эпюрой напряжений, возникающих
в сечениях при поступательном перемещении
последних. Из этого условия можно получить
Здесь ось с параллельна оболочке, а
ось Y] перпендикулярна к ней; Ь$, Ь~ — коор-
динаты центра изгиба стержня, скреплённого
с оболочкой; й?, а^ — координаты центра из-
гиба свободного стержня. Начало координат
расположено в центре тяжести сечения. Вели-
чина b , равная расстоянию от центра тяжести
сечения до оболочки, задана, как и все прочие
величины, входящие в формулу A6), кроме
искомой величины Ь^.
Если оболочка параллельна одной из глав-
ных осей инерции, то центр изгиба В стержня,
скреплённого с оболочкой, является проекцией
на плоскость оболочки центра изгиба А сво-
бодного стержня (фиг. 160), так как центро-
бежный момент инерции У?т в формуле A6)
обращается в нуль.
Система диференциальных уравнений устой-
чивости будет состоять в рассматриваемом
случае из двух:
A.7)
В уравнениях A7) х и у—главные централь-
ные оси инерции стержня, оси ? и ч\ — те же,
что в формуле A6); Ьв — поворот вокруг центра
изгиба В, т) — перемещение в направлении
оси Y), перпендикулярной плоскости оболочки;
Ju — секториальный момент инерции, взятый
относительно точки В, который может быть
определён по формуле
4 - Н dF=Jm+ (bx~ axfj +
F
+ (by - Лу)а Jx = Л> -f (ft6 _ae J ^ +
(ft - a^) (Ьщ - a,) J^ .

328
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
В основном случае граничных условий yj =
= у]" = Ъв = %в = 0 при х — О и х — I полу-
чаем условия устойчивости в виде детерми-
нантного уравнения
t ~
GJd - Р
Ъу
которое в раскрытом виде будет
A8)
где
данным стержнем, можно считать бесконечно
большой. При этом эпюра продольных напря-
жений в стержне обязательно должна иметь
нулевые точки в местах примыкания стержня
к оболочке, а равнодействующая дополнитель-
^ - 7Ь
= 0,
ных продольных напряжений в сечении стер-
жня может быть не равна нулю (фиг. 161).
В этом случае в уравнениях A6) и A9)
момент инерции J^ следует брать относитель-
но оси, совпадающей с сечением оболочки, а
координату центра изгиба В, расположенного
на оболочке, определять по формуле
Ьг dr =
<»(c)bTjF
где ш(с) — главная секториальная координата
точки прикрепления стержня к оболочке, от-
считанная из центра изгиба; b — расстояние
от центра тяжести стержня до оболочки;
Л — момент инерции стержня относительно
оболочки. У^ следует определять по формуле
Если стержень имеет одну ось симметрии,
перпендикулярную оболочке, и если нагруз-
ка на стержень действует в этой плоскости сим-
метрии (ех = <?? = 0), то уравнение A8) распа-
дается на два независимых уравнения (так как
h-e% = 0):
EJ ^_Р-0
A9)
Первое уравнение даёт обычную эйлеров-
скую критическую силу, а второе — критиче-
скую силу для
I1) стержня, шарнир-
но закреплённого
В ? по линии В—пе-
ресечения оболоч-
ки с плоскостью
симметрии. Эта по-
следняя критиче-
ская сила полу-
чается из форму-
Фиг. 161. ЛЫ О4) ПРИ еХ =
= сх — 0 и замене
су на by.
Если оболочка может воспринимать про-
дольные усилия, то в расчёт следует вводить
увеличенное сечение, включающее сечение
стержня и определённый участок оболочки.
В частности, во многих случаях площадь
сечения оболочки, совместно работающей с
или непосредственно путём построения и
интегрирования по самой себе эпюры секто-
риальных площадей, отсчитанных из точки В
как из полюса, и с нулевой точкой, совпадаю-
щей с точкой прикрепления стержня к обо-
лочке.
Устойчивость плоской формы изгиба
тонкостенных стержней, загруженных
поперечной нагрузкой
Из общих диференциальных уравнений
устойчивости тонкостенного стержня {15] вы-
текают, как частный случай, диференциаль-
ные уравнения устойчивости плоской формы
изгиба тонкостенных балок, нагруженных вер-
тикальной поперечной нагрузкой.
Для случая балки с одной осью симметрии
в сечении диференциальные уравнения устой-
чивости будут
4- ?/
+ (Л^б)" = 0;
GJd 6" - 23у (Мл
B0)
Кроме прежних обозначений, здесь введены
Мх—изгибающий момент, действующий в пло-
скости симметрии балки; qt — поперечная на-
грузка в плоскости симметрии балки; dy - орд№
ната линии приложения нагрузки q°y над цен-
тром изгиба сечения.
Если нагрузка приложена выше центров
изгиба, то расстояние dy считается отри-
цательным.

ГЛ. IV] РАСЧЁТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ 329
Таблица 42
Схема загружения и закрепления
концов стержня
Граничные
условия
При 2 = 0
и z = /
е = -о = в =
=5 = V =
= (("= О
Уравнение для опреде-
ления критической на-
грузки для стержня с
одной осью симметрии
\
Критическая нагрузка для стержня
с двумя осями симметрии
Tff/VT?
При г = 0
и z = I
' = 0" = и
4- 94,
(
-(8000 EJUi
EJ.,
- E9.7 d +
— B910 ?7@
Я
пш
При 2 = 0
= 8" = 0;
при z =I
л
— 7i = ') =
Р - C63,8^
Я7У^
+ 183,4 Р /
p K1
- (86 600 EJ,O +
EJV
'=0: + 4200 PGJ^ -/- =0
При
при 2=г
(
EJ
,4rf
EJV
+ 101,2 i*GJd)—+- = 0
кр
-р УrEJ~v (86 600?Уш +4 200 l"GJd)
B0 900?'-/о>
/
ПВ
A
/ t
При г=0
и 2=Z
71'==0'=О
При 2=0
При г = О
и г=г
- A307 d +
EJ У
- F48 0QOEJM
?
P*p-CHd ~
EJV У
— A14 800?7(o +
EJ,
+ 2820/2G7d) ~-f- = 0
кр
—^- ]/?"^, A14 800Я7
8.
P
При 2=0
и 2=Z
EJy
— (95 600?7ш +
+9680FG7d) ~f - 0
2
EJV У
)
EJy
-~|j- T^7J7y (95 600?7

330
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД.
Для решения уравнений B0) можно при-
менить метод акад. Б. Г. Галёркина, положив,
например, для случая шарнирного опирания
обоих концов балки в отношении перемеще-
ний ? и 6 приближённо
6 = A sin у-; 6 = В sin у .
После подстановки этих выражений в урав-
нения B0), умножения на sin — , интегриро-
вания в пределах от 0 до / и ряда упрощений
получается квадратное уравнение, в котором
неизвестной является величина критической на-
грузки [64, 65]. При других граничных условиях
для ? и 6 берутся приближённые выражения,
удовлетворяющие заданным граничным усло-
виям.
Квадратные уравнения для определения кри-
тической нагрузки для некоторых случаев гра-
ничных условий приведены в табл. 42. Решив
эти уравнения, получаем два значения крити-
ческой нагрузки, одно из которых положитель-
ное, а другое — отрицательное. Первое соот-
ветствует случаю приложения вертикальной
нагрузки по вертикали вниз, второе — действию
нагрузки вверх. Найденные значения нагрузки
остаются справедливыми при условии, что
основные напряжения в балке, вызываемые этой
нагрузкой, не превышают предела упругости.
Если поперечное сечение имеет две оси
¦симметрии, то в квадратных уравнениях вели-
чину р_у следует положить равной нулю.
Если, кроме того, нагрузка приложена в
центре тяжести сечения (dy->0 и Ру = О), то
вместо квадратных уравнений получаем сразу
два равных и противоположных по знаку
значения критической нагрузки, приведённых
в последней графе табл. 42.
Примеры расчёта тонкостенных стержней
на устойчивость
1. Определить критическую силу для колонны длиной
/ — 14 м и сечения, показанного на фиг. 162. Сжимающая
сила действует в плоскости симметрии с эксцентрисите-
том ех — 0, ty — 75 см. Колонна внизу жёстко заделана
относительно изгиба и кручения, верхний конец колонны
свободен. Материал колонны — сталь, Е — 2 100 000 кг/см'.
G « Q.4E.
Приведённая длина колонны 1пр — 21 (см. табл 37):
„р
2800 см.
Геометрические характеристики сечения:
F - 529,6 см*; Jx - 2 235 000 см1; Jy = 99 400 см*;
4-Л
4407 см>; Jd - 812.2 ¦
ах <= 0, Ду ¦= 0, Ux = 0, Uу — 0— из условия симме-
трии;
dX = ех — ах = 0; ^ = ej' — ау •= 75 СЛ
Определяем величины Р^. , Ру и Рш :
262-103 кг; Pv -
5902 • 103 кг;
пр
пр
EJ..
пр
GJd
= 1467 • 10s «г.
Определяем критическую силу Р по формуле 2-го
частного случая расчёта (стр. 322):
Я, - 214 • 10s кг.
Так как Р., < Рх ^ то форма потери устойчивости
будет изгибно-;крутильная.
2. Эту же колонну требуется рассчитать на продоль-
ную силу, приложенную с эксцентриситетом ву = 25 см,
ех = 75 см.
Вычисляем коэфициенты уравнения D):
<40 ~ - г*РхРуРш = - 9997 • 1018;
А, - -
Л, = r*PxPw + А^Р^Ру, +
, — 0 — из условий симметрии сечения.
А, = 47 820-10»;
,2\ „
2?хе
25 - 0 = 25
-4
75 - 0 - 75 см;
Ла = -267-10»;
А3 =
1843.
Получаем кубическое уравнение
1843 Р» - 267 • 10е Р» + 47 820 -ЮМ Р - 9997 ¦ Ю18 - 0.
Решая его по формуле F^, находим наименьший ко-
рень:
ркр- -J- -
- 209 680 кг.
Точный метод решения кубического уравнения даёт
РКр — 209 700 кг. Ошибка в пределах точности вычи-
слений.
3. Пусть в предыдущем случае колонна шарнирно
закреплена по линии пересечения оси стенки и' полки,
противоположной той, к
которой приложена на-
грузка. Тогда
О;
75 cm;
П
¦ 75 см; ах = а,
1У
За
U50*100*19
L100WO*10
Фиг. 162.
1С
2а 2Ь
¦—5-
2с
-3-
ЗЬ\
ЗС
Фиг. 163.
По формуле A3)
у Jv " 2751 ' 10<> СМ"
Критическая сила определяется по формуле A4), в
которой вследствие симметрии сечения следует положить
U ,. = ?/„ - О:
GJ
-- -374 °°°кг
4. Определить величины Ь'х и Uv для несимметрич-
ного профиля (фиг. 163). Определяем" сначала UXi и i/y|
относительно осей хх и у,, проходящих через центр тя-
жести сечения параллельно стенкам профиля.
Вычисления по формулам G) ведём в табличной
форме. Номера участков показаны на фиг. 163.

ГЛ. IV]
КРИВЫЕ ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
331
№ точек
ia
ib
1С
2a
2b
2C
3a
3b
X\
-5
5
-5
—5
+3
+3
+3
+3
Уг
+ 7
+ 3
— I
Ml
+7
—i
74
34
26
26
2
10
58
10
90
-37°
— 170
— 130
—1180
— 130
—2
3°
-180
174
3°
270
564
+
CN г-ч
IO2
— 26
9OO
-26
— 2
— IO
-44
406
—10
—810
— 444
п (множитель)
i
4
1
1
4
1
1
4
1
8
8
16
- 9440
-864
9024
E—1280
7200
—352
—7104
=-42,7 см*;
1280
= -213 ел*.
Главная ось л: наклонена к оси лг, под углом а = 37в28'.
По формулам A0) находим
Uу = Uу cos о — UXt sine = 195 см1;
Ux = UXi cos 0 + Uу sin a = 143 смь.
5. Рассчитать на устойчивость подкрановую балку
пролётом I = 14 м, шарнирно опёртую обоими концами,
в отношении перемещения Е, т,
и 8. Сечение балки изобра-
жено на фиг. 164.
Нагрузка сосредоточенная,
приложена в середине пролёта
на высоте 17 см над центром
изгиба.
Геометрические характери-
стики сечения:
Jx = 240 000 см1;
]у - 2780см1; Jd = 176,5 см1;
Jw = 1560 000 см*;
а у = — 35,1 см;
Ux = 2,542 • 10» см*;
$у = -S7 av - 40>5 см''
ZJx '
dy — — 17 см (знак минус, так
как нагрузка приложена над
Фиг. 164. центром изгиба при положи-
тельном направлении прогибов
у — вниз).
Для определения критического значения нагрузки
берём в табл. 42 случай 2, соответствующий заданным
граничным условиям и нагрузки, и выписываем квадратное
уравнение:
Р1р ~ E9'7dy + 43>8Эу ) -3—— -
В данном случае коэфициенты этого уравнения бу-
дут равны 1,62 ¦ 103 и — 73,9 • 10е, а само уравнение
Р2кр - 1,62 -дар- 73,9 • 10» = 0.
Решая это уравнение, получаем
Ркр = 800 ± 8600 кг.
Так как нас интересует нагрузка, действующая сверху
вниз, т. е. в положительном направлении оси у то надо
взять тот знак, который даёт положительное значение Рк
Ркр = 800 + 860О = 9400 кг.
При этой нагрузке максимальные напряжения в балке
будут
9400- 1400- A00 — 40,1)
4 • 240 000
- = 823 кг/см".
- B 910EJW
EJd
= 0.
что меньше предела упругости стали ае = 2000 кг/см1.
Следовательно, расчёт даёт правильное значение крити-
ческой нагрузки.
Изложенная выше теория устойчивости
тонкостенных стержней относится только к
стержням открытого профиля. Замкнутые про-
фили согласно данной теории теряют устой-
чивость при сжатии лишь по изгибным фор-
мам, без кручения.
Превращение открытого стержня в замкну-
тый равносильно уменьшению одной степени
свободы поперечного сечения в его собственной
плоскости, а именно способности закручи-
ваться, что в общем случае приводит, как и
всякое наложение связей, к увеличению критиче-
ской силы. Поэтому при прочих равных усло-
виях следует отдавать предпочтение замкнутому
профилю перед открытым. Если полностью пре-
вратить открытый профиль в замкнутый нельзя,
то часто бывает выгодно поставить планки или
решётку, превращающие стержень в частично
или упруго замкнутый. Чем больше жёсткость
решётки или планок, тем больше приближается
стержень к стержню замкнутого профиля, а кри-
тические силы соответственно к эйлеровской
критической силе, вызывающей выпучивание в
плоскости наименьшей жёсткости стержня по
изгибной форме.
КРИВЫЕ ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
Типичными примерами таких стержней могут
служить монорельсы на закруглении, эркеры,
станины, элементы вагонных рам, кольцевые
фундаменты и барабаны, несущие нагрузку,
перпендикулярную плоскости кривизны.
Если кривой стержень имеет сплошное,
толстостенное или круглое трубчатое сечение,
то определение усилий (построение эпюр) и
проверка прочности делается по элементарным
правилам строительной механики и сопроти-
вления материалов.
При тонкостенном открытом профиле играют
роль две системы касательных напряжений,
в совокупности эквивалентные крутящему мо-
менту L: 1) касательные напряжения свобод-
ного или чистого кручения; эти напряжения
определяются по формулам Сен-Венана для не-
круглых профилей; 2) касательные напряжения
стеснённого или изгибного кручения. Одна

332
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗП I
часть крутящего момента воспринимается на-
пряжениями свободного кручения (Мк) и дру-
гая — напряжениями изгибного кручения (Mw).
Наряду с этим возникают нормальные напря-
жения изгибного кручения, зависящие от би-
моментов В.
Особенностями обладают стержни с нуле-
вой жёсткостью изгибного кручения, а также
стержни с исчезающей жёсткостью свобод-
ного кручения. К первой категории относятся
профили, у которых оси ламелей (полок) пе-
ресекаются в одной точке (типичные при-
меры— полоса, угольник, тавр, крест). Каса-
тельные усилия, направленные по осям полок,
не могут образовать крутящей пары. Ко второй
категории — стержни, выполненные из очень
тонкого листового материала (авиационные про-
фили, составные двутавры, швеллеры и зеты
из тонкой стенки и двух профильных поясов,
чаще всего угольников). У стержней первой
категории касательные и нормальные напря-
жения изгибного кручения равны нулю. Расчёт
не отличается от случая сплошного сечения.
У стержней второй категории касательными
напряжениями свободного кручения можно пре-
небречь. Расчёт на изгибное кручение произ-
водится, как указано ниже.
Открытые тонкостенные сечения, как пра-
вило, плохо сопротивляются скручиванию (воз-
никают большие напряжения и деформации).
Поэтому для кривых стержней, нагруженных
перпендикулярно плоскости кривизны, их сле-
дует применять только в случае конструк-
тивной необходимости (например, для моно-
рельсов). Целесообразно переходить к закры-
тым, трубчатым сечениям, обладающим несрав-
ненно большим сопротивлением скручиванию.
Значительного повышения жёсткости можно,
достигнуть также путём постановки планок,
превращающих длинный стержень с открытым
профилем в цепь чередующихся открытых и
замкнутых коротких стержней.
Теорию расчёта и её применение см. также
[81, 83—85, 101].
Плоский кривой стержень с двутавровым
профилем, нагруженный перпендикулярно
плоскости кривизны
(монорельс на закруглении)
Наиболее важной является нагрузка, пер-
пендикулярная плоскости кривизны (плоскости
симметрии).
Определение вертикальных поперечных сил
Qe и изгибающих моментов Мв, а также сум-
марных крутящих моментов L для внешне ста-
тически определимых случаев требует лишь
применения условий статики. Построение
эпюр бимоментов В, крутящих моментов из-
гибного кручения Мш и крутящих моментов
свободного кручения Мк требует интегриро-
вания диференциального уравнения:
A)
EJm
Здесь р — радиус кривизны оси центров из-
гиба бруса; тк — погонная интенсивность рас-
пределённой крутящей моментной нагрузки.
Основные соотношения. Выделим
элемент длиной du, не несущий сосредоточен-
ных нагрузок (фиг. 165, а). Элемент нагружен
распределённой нагрузкой р кг\см и распре-
делённой крутящей нагрузкой тк кгсм\см.
Действие отброшенных частей приводится к
изгибающим в вертикальной плоскости момен-
там Мв и Мв -f- dMa, вертикальным попереч-
a) L
Фиг. 165.
ным силам Q8 и Qe-\-dQe, крутящим моментам
L и L-\-dL. Суммарные моменты и поперечные
силы, изгибающие в плоскости кривизны (гори-
зонтальной), равны нулю. На фиг. 165, б мо-
менты показаны в виде векторов.
Уравнение моментов относительно оси, со-
впадающей с du (уравнение проекций вектор-
моментов на ось du), даёт
dL
M8
B.)
Крутящий момент L равен сумме моментов
свободного и стеснённого (изгибного) кручения
(фиг. 165, в, г):
C)
Диференцируя равенство B) и принимая во
внимание уравнение A), имеем
D)
Пусть 6К — абсолютный угол закручивания,
считаемый положительным, если при взгляде
на правый торец элемента мы увидим вра-
щение против часовой стрелки (т. е. в том же
направлении, что и положительный крутящий
момент). Мп, Qn, yn — изгибающий момент, по-
перечная сила и прогиб верхней полки в сво-
ей плоскости (фиг. 165, в, г). Для нижней полки

ГЛ. IV]
КРИВЫЕ ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
333
величины усилий и перемещений будут такие
же, но противоположного направления:
E)
где Jn—момент инерции полки в своей пло-
скости.
>< — ~щ;'т; <а)
(с)
Подставляя в равенство C) значения Мк
и Мф, получим диференциальное уравнение
для моментов, изгибающих полку в своей
плоскости:
M"nh-
Обозначим
2GJ
ln EJnh
d _
М,
F)
Mnh = В;
G)
(8)
(бимомент В имеет размерность кгсм1 или
тм''-, см. стр. 138); Ju> — так называемый секто-
риальный момент инерции).
Из равенств (а) и (с) следует:
EJm
A0)
После подстановки значений из равенств
G) — (9) уравнение F) принимает вид A).
Случай кругового очертания оси. При
постоянной жёсткости и постоянном радиусе
кривизны (р = const) усилия могут быть вы-
ражены через начальные параметры и мест-
ную нагрузку. Начальными параметрами яв-
ляются усилия в начальном (нулевом) сечении.
Целесообразно пользоваться полярными коор-
динатами, взяв за аргумент центральный угол <р
(фиг. 166, а).
Уравнение эпюры Qe фиг. 166, б:
(П)
A2)
A3)
Слагаемые в квадратных скобках выра-
жают влияние местной нагрузки на участке
0 — ц> на усилие в сечении «р. Влияние сосре-
доточенных нагрузок — сил (Р), крутящих (К)
и изгибающих (Н) моментов—идентично влия-
Уравнение эпюры Мв:
Мв (ср) = Мв @) cos ? — L @) sin <p +
+ Qe(O)psin<p+[Afe(*)].
Уравнение эпюры L:
L (<р) = L @) cos ер + Мв @) sin
4Qe@)p(l — cos
нию однотипных начальных параметров Qe @),
L @), Мв @). Аргумент ср „функций влияния"
начальных параметров заменяется соответ-
( ( срр,(? _ ?н). Так,
р
срр),
ственно на
например,
[L (
При наличии сплошной нагрузки сосредо-
точенные факторы заменяются элементарными
Фиг. 166.
факторами ткр d<\>, mgp dty, pp d<h, а суммы —
интегралами. Например, в случае вертикаль-
ной сплошной нагрузки
,? "
[L (ср)] = — р2 \ р (ф) [1 — cos ('f — ф)] dty,
о
причём р должна быть предварительно выра-
жена в функции центрального угла.
В случае равномерных сплошных нагрузок
на всём участке 0 — со погонной интенсивности
р кг/см, тк кгсмсм, тв кгсм/см получаем
[Мв («)] = т8 р sin cp — тк? A — cos ?) —
—рр2 A —¦ coscp);
[L (9)] = mw p sin 9 -+- m8 p A — cos ?) —
— PP2('f — sin о).
A4)
Усилия Мв и Qg дают нормальные и каса-
тельные напряжения от вертикального изгиба.
Для выяснения нормальных напряжений от
кручения необходимо знать бимомент В, ко-
торому пропорциональны изгибающие моменты
полок (м„ ~-т~в\, а для выяснения касатель-
ных напряжений — крутящие моменты-/Иши Мк.
Диференциальное уравнение A) при аргу-
менте ср представится так:
A5)

334
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Здесь
= ру -
GJa
р) выражает влияние местной нагрузки.
Интегрирование уравнения A5) по методу
начальных параметров даёт уравнения эпюр.
Уравнение эпюры В:
В (<р) = В @) ch ft, 9 + -f
@) sh ft, cp +
4- —^ Мв @) (ch ft, 9 —
[I@)-p<?e@)](shft,?-
A7)
Уравнение эпюры
При изучении действия сосредоточенной
пары Нп, изгибающей одну полку в её пло-
скости, пару следует заменить приложенным
ко всему сечению горизонтально изгибающим
сосредоточенным моментом Нг и сосредото-
„ _ ,, h „
ченным бимоментом С=НП^-.В этом случае
Действие распределённых нагрузок полу-
чается интегрированием действий элементар-
ных факторов р\> Ар, МвР^Ь '
Пример. Двутавровая балка № 30а, изогнутая по
дуге круга р = 200 еж, свободно опёрта на три равноот-
стоящие опоры* и нагружена силой (принятой условно) Р=
= 10 000 кг в сечении т. Центральные углы между опор-
ными радиусами равны 30°. Определим усилия и напря-
жения в сечении под силой и над средней опорой
(фиг. 167, а).
ft'f+1
Мв @) (ft, sh kx cp + sin <p) -
Д— [L @) - р О @)J (ch ft, 9 - cos 9) + -г" s (°) sh k\ ? + t^-ь («P)l- ^18)
Уравнение эпюры Мк пол'
вычитания A8) из A3):
или в развёрнутом виде:
;аетСЯ путём Вертикальные опорные реакции И_д, Кд и Vq на-
ходятся из условий равновесия моментов относительно
горизонтальных осей ВС, АС, АВ (фиг. 167, б):
Л
''' VA =3860 кг; VB = 7455 кг: Vc = — 1317 кг.
ft, 4"
cos ? +ch
sin т ~sh *l?)
2
1 —I—
Развёртывание слагаемых в квадратных
скобках, выражающих влияние местной на-
грузки, производится по указанным выше пра-
вилам: каждый сосредоточенный фактор
влияет на впереди лежащее усилие так же,
как и однотипное с фактором начальное уси-
лие, при условии, что начало совпадает с точ-
кой приложения фактора. В функциях влияния
аргумент 9 заменяется на 9 — 9г
Необходимо обратить внимание на особен-
ности действия сосредоточенной крутящей
пары К. Исследование показывает, что этот
фактор даёт в том же сечении скачкообраз-
ное приращение Mw и не отражается на Мк.
Таким образом L и А4Ш изменяются одинаково.
Влияние К эквивалентно приращению началь-
ных параметров L @) и Мш @) на одну и ту
же величину К. Поэтому функция влияния
фактора К равна сумме функций влияния,
стоящих при L @) и Мш @) с аргументом 9 — 9,
к
вместо 9- Например, при действии трёх фак-
торов Н, К, Р получается
= ^-r-fsh*,(?— т )
ft, \ 'К
. A9)
Начало отсчёта углов поместим на левом конце. Из
пяти начальных параметров четыре оказываются извест-
ными: Qe @) = VA = 3860 кг; Mg@) = 0; I@) = 0; B@) = 0.
Неизвестный начальный параметр Мф @).
Фиг. 167.
* Имеются в виду опоры, развивающие вертикаль-
ные реакции; общее число опорных закреплений (связей)
должно быть равно шести.
J—- [sh kx (?-
ft, sin (9
k\+1
[chft,(9—9я)-<
r [sh *i <* -
"T
— *isin (? -

ГЛ. IV]
КРИВЫЕ ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
335
Изгибающие и суммарные крутящие моменты най-
дутся по формулам A2) и A3):
ЖвA5°)=3860 • 200 • 0,2588=199793,6 кгсм;
L @)=3860 • 200 A - 0,9659)=26 325 кгсм;
Л*вC0°)=3860 • 200 ¦ 0,5 — 10 000 • 200 • 0,2588 =
= — 131 600 кгсм;
L C0°) = 3860 -20 A-0,8660) -10 000- 200A -0,9659) =
= 35 248 кгсм.
Для определения В (<?) и Мш (tp) по формулам A7) и
A8) необходимо предварительно найти Мш @). Восполь-
зуемся условием свободного опирания на правом конце:
Bfo) 0
c
Вычисляем для двутавра № 30а:
]d = -L V fti»=-i-[2.12,2 . 1,44"+
= 31,226 см1;
= 81567,36 см»;
Е=2 ¦ 10е кг/см3; G-0,8 • 10» кг/см*;
fc.=f
-^= 2,492.
Множители, входящие в уравнения A7) и A8)
р-200 см; -^-=80,2 см;
= 27,74 см;
= 11,13 см;
й,
= 2226
ftf+l) /zf+1
Числовые значения функций
= 0,1387.
15°
30°
45°
6о°
<р рад.
O,26l8
0,5236
о,7854
1,0472
0,654
1,306
1,961
2,614
сЬЛ <р
I,22l6o
1,9984
3.62O59
6,86748
sh k <p
0,70164
i.7IO3
3,48287
6,79024
COS <f
0,9659
0,8660
0,7071
0,5000
sin f
0,2588
0,5000
0,7071
0,8660
&-
0,648
1,248
i.765
2,162
Уравнение ? (ер ) = BF0e)=0 в числовом виде:
80,2 Мш @)' 6,790+2226 - 3860 F,790 - 2,162) -
2226 ¦ 10 000 C,483-1,765)+2226 . 7455 A,710—1,248)=0.
Откуда Мт @)= —16 879 кгсм.
Определяем В (?) и Мш (ср) по формулам A7) и A8).
Сводная таблица усилий
к
э1
и
А
m
В
МЪ
в кгсл
о
199 791
— 131 боо
В
в кгсм^
о
-488 977
461858
Ж
в кгсм
-1б 875
6765
16 599
мк
в «гсж
16875
19560
г8 649
в кг
386о
386о
—6140
—6140
1315
Геометрические данные двутавра № 30а: У^. =
= 8950 см*; Jy = 400 сж«; 1*^ = 597 см*; Wy - 63,5слг3
Толщина стенки scm =0,9сл«. Толщина полки sn =1,44сл.
Теоретическая высота между центрами полок h — 30 —
- 1,44 = 28,56 см. Jd - 31,23 см*.
Максимальное нормальное напряжение в крайней
фибре полки:
Мв
м.
- 874 кг/см1.
В двух из четырех угловых точках сечения напряже-
ния обязательно будут суммироваться с одним знаком.
Касательное напряжение в стенке на оси х (при от-
х
ношении •=— = 25,7 — см. сортамент):
max x.m = — ¦
= 830 кг/см'
Напряжение в стенке, в месте сопряжения с полкой»
по предыдущей формуле:
, 6140 • 12.6 • 1,44 . 14,28 _
'с/и 8950 :0.9 ~ + 564 ~ 7 1С ¦
Напряжение в полке, в месте сопряжения со стенкой"
200 0,9
•»« | ^ I = 2 М4
6765 ¦ 2 ¦ 1,44 ¦ 12,6»
+ 28,56 • 400- 1,44-8
1 44
564 W +
= 1293,6 кг 1см".
Здесь первое слагаемое относится к вертикальному
изгибу (погонное касательное усилие в корне полки равно
половине усилия в стенке), второе — к свободному кру-
чению (напряжения пропорциональны толщинам), третье —
{ г, М°> 6765 \
к изгибу полки в своей плоскости 1 Qn = —г— = «q-cs
Следует иметь в виду, что действительные максимальные
напряжения в месте перехода полки в стенку могут су-
щественно отличаться от полученных элементарным
путём (концентрация напряжений).
Статически неопределимое закрепление.
Примером может служить опирание кривой
в плане балки на четыре опоры, полная заделка
обоих концов и т. п. Усилия лишних связей
определяются из уравнений деформации, напри-
мер, из условия, что прогиб в сечении четвёр-
той опоры равен нулю. Уравнения эпюр пе-
ремещений могут быть получены непосред-
ственно или путём интегрирования из уравне-
ний эпюр усилий.
Уравнение эпюры углов поворота полки
в своей плоскости [см. формулы (а), стр. 333]:
«„ (?) = ?-Л (*) = ^eL<?> =
B0)
Углы поворота полки пропорциональны кру-
тящему моменту свободного кручения. В случае
заделки полок, препятствующей их повороту,
должно быть Мк = 0; следовательно
Ma=L. B1 >
Уравнение эпюры углов закручивания
B2)
Сюда подставляется М (<\>) из уравнения A9).

336
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Вертикальные прогибы (перпендикулярные
плоскости кривизны) состоят из двух компо-
нентов: 1) прогиба, зависящего от кривизны
Мв
вв = — - - в плоскости изгиба, и 2) прогиба,
зависящего от степени кручения в/(. = — - .
На основании аналогии Мора полный прогиб
равен изгибающему в горизонтальной пло-
скости (плоскости кривизны) моменту от двух
фиктивных нагрузок в той же плоскости: по-
перечной, интенсивностью -~- , и продольной.
интенсивностью
GJn
При этом необходимо
учесть фиктивные реакции в начальном сече-
нии — прогиб у в @) и углы поворота вв @) и
<М0)
исключительно поперечными силами при из-
гибе полок в своих плоскостях. Кроме того,
при весьма малой толщине криволинейная (ци-
линдрическая) стенка не воспринимает нор-
мальных напряжений в поперечном сечении *.
Изгибающий момент воспринимается одними
нормальными силами полок, а погонное каса-
тельное усилие в стенке имеет постоянное
значение по высоте стенки.
Напряжённое состояние в каждом сечении
характеризуется семью факторами (усилиями):
шестью обычными моментами и силами Мв,
Мг, L, Q8, Q2, N, и седьмым фактором —
двумя равными и противоположными по знаку
моментами +М„, изгибающими полки в проти-
воположные стороны. Величина Mnh—B назы-
вается бимоментом. Её мы будем рассматри-
вать в качестве усилия наравне с остальными.
Для равновесия стержня в пространстве
необходимо, чтобы были удовлетворены не
= м*
@) + ев @) о sin -? 4-
sin (т -
B3)
Подстановка выражений Мв (•!>) и Мк (ф) из
уравнений A2) и A9) и интегрирование дают
уравнение эпюры прогибов в функции угла ср
в зависимости от семи начальных параметров.
При вычислении интегралов с переменным
верхним пределом применяются формулы
Г
\ ch &] -f
cos
fef 4- 1
1
(th ki с sin <f + *i sh
4 1
ch kt 9 sin ф rfiy =
sh *j <f cos
— (— ch kl 9 cos 9 + К sn *i ? sin 'f )">
-• (sh kx 9 sin 9 -j- &j ch kx 9 cos
sh fex <p sin cs d'^ — —^ (— sh k-f c; cos -f + ^1 ch kx z, sin cp).
*:41
В отдельных случаях реакции и при стати-
чески неопределимом закреплении находятся
из условий равновесия. Например, если криво-
линейная балка, опёртая на 4 опоры, располо-
женные в плане симметрично относительно оси,
загружена симметрично относительно той же
оси, то реакции попарно равны и легко опре-
деляются из уравнений хмоментов.
Случай исчезающей жёсткости кручения
двутаврового профиля
Момент инерции при свободном кручении
Jd — - ^ &s3 убывает пропорционально кубу
толщины. При профиле сравнительно больших
габаритов, но малой толщины (s < 5 мм) можно
в первом приближении игнорировать крутя-
щие моменты свободного кручения и считать,
что внешний крутящий момент воспринимается
только 6 условий равновесия твёрдого тела, но
и седьмое условие — равновесие моментов,
действующих'на одну из полок в её плоскости,
или условие равновесия бимоментов. При
GJd = 0 стержень, отделённый от опор, пред-
ставляет собой однократно изменяемую ки-
нематическую цепь (сво-
бодный механизм) — си-
стему с одной сте-
пенью свободы дефор-
мации. Для его закре-
пления необходимо семь
B4) связей. При закрепле-
нии шестью связями со-
храняется одна степень
свободы перемещения.
Определение момен-
тов Мп, изгибающих
полки в своей плоско-
сти, или бимоментов
В = Mnh. В простейшем случае консоли каждая
сила или пара заменяется тремя силами,
именно: двумя силами, действующими в плоско-
стях поло'к, и одной силой, перпендикулярной
плоскостям полок. Определение усилий Мп, Qw
Nn в каждой из полок от нагрузок, дейст-
вующих в их же плоскостях, а также сум-
марных усилий Мв, L, Ов от сил, перпендику-
лярных плоскости кривизны (вертикальных), а
значит, и определение нормальных {Nn-=
— — Ма) и поперечных сил i Qn = -/,] в
h " J ' V, h )
полках делается по общим правилам.
* Это следует из основного уравнения теории тонко-
стенных сосудов: — -)—- =
Pi Pa
= 0 И

ГЛ. IV]
КРИВЫЕ ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
337
Найдём момент Мп в сечении т. верхней
полки консоли, нагруженной одной вертикаль-
ной силой Р (фиг. 168, о). В вертикальных и
горизонтальных сечениях стенки действует
постоянное погон-
ное касательное
(сдвигающее) уси-
лие (фиг. 168, б)
Ч=Ъ. B5)
а)
Г
в)
Верхняя полка
находится под воз-
действием равно-
мерно распреде-
лённой вдоль кри-
вой продольной
сдвигающей наг-
рузки той же ин-
тенсивности q =
Р
——, направленной
п
противоположно
усилию верхнего
края стенки. На
фиг. 168, в показан
план оси верхней
полки, причём си-
ла изображенакру-
жком с точкой
(острие стрелки).
Изгибающий момент в сечении т равен
Фиг. 168.
М„ =
=TQ- B6>
Здесь й — удвоенная площадь сегмента,
заштрихованного на фиг. 168, в.
Бимомент в сечении га:
В = Мп h = PQ.
B6')
Равнодействующая касательных усилий на
дуге Am:
h
B7)
где а — длина хорды Am. Проектируя равно-
действующую на касательную и нормаль к оси
стержня в сечении т, получим нормальную и
поперечную силу в полке. Расстояние равно-
действующей от хорды Am найдём из урав-
нения моментов относительно любой точки
хорды: Td = q Q, откуда
а
B8)
_, dMn _ dB
Так как -^ = Qn, то ^ = L, откуда
B9)
Эпюра бимо ментов есть инте-
гральная кривая от эпюры крутя-
щих моментов. В данном случае В @) = 0:
L (щ) = Рг( и
и
В = Г Prt dut = PQ.
B9')
Момент, действующий на всё сечение, ра-
вен Ра. Он изобразится вектором, перпенди-
кулярным Am. Компоненты вектор-момента
Фиг. 169.
вдоль нормали к оси бруса и вдоль оси (ка-
сательной) дают вертикальный изгибающий
(Мв) и крутящий (Z.) моменты. Разделив эти
моменты на h, получаем нормальную и по-
перечную силы полки Nn и Qn.
Консоль может быть загружена несколь-
кими силами, приложенными как непосред-
ственно вдоль образующих стенки, так и к
тонкостенным отросткам. Течение потоков
касательных усилий q или пропорциональных
им потоков элементарных внешних изгибаю-
щих моментов, равных Qe, устанавливается
так: сила Р, направленная вверх по отноше-
нию к верхнему поясу, играет роль источника,
сила, направленная вниз,—роль стока (фиг. 169).
Во всех случаях бимомент получается как
алгебраическая сумма выражений вида B6'):
%^ P.O. <"Vl\
Знак устанавливается по положениям равно-
действующих отдельных потоков.
Условия равновесия целого стержня не
изменятся, если мы дополним его незагружен-
ным отростком любой конфигурации в плане,
примыкающим в любом сечении. Уравнение
бимоментов может быть составлено относи-
тельно любой точки, соединённой любой кри-
вой или прямой линией с осью стержня.
Балка со свободными концами. Тонко-
стенная криволинейная балка (фиг. 170, а)
опёрта на 4 вертикальных опорных стержня
и закреплена тремя горизонтальными стер-
жнями в плоскости нижнего пояса (полки).
Нагрузка — вертикальная сила Р. Определим
усилия опорных стержней (реакции). Усилия
горизонтальных стержней равны нулю. Для
определения вертикальных реакций V-,, V2,
V3, V4 можно воспользоваться тремя уравнени-
ями моментов относительно осей 1 2, 2 3
и 3 4 и уравнением равновесия бимоментов
относительно правого торца балки:
На фиг. 170, б площадь -^- Q2J5 заштрихована.
Задача сводится к решению системы четырёх
уравнений, из которых три содержат по два

338
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
неизвестных, а одно — все четыре неизвест-
ных.
Каждая реакция определяется из одного
уравнения с одним неизвестным. В силу усло-
вия равновесия "S\ Z = 0 каждый поток, вы-
ходящий из источника, должен заканчиваться
стоком с тем же расходом. За точкой 4 сум-
марный поток 0в равен нулю, и
V4=P—V1 — V2—V»
Число неизвестных уменьшается до трёх.
Далее следует воспользоваться произволом
в выборе полюса при составлении условия
равновесия бимоментов. Геометрическое место
точек, относительно которых бимомент, зави-
сящий от Vv равен нулю, есть прямая равно-
Полагая Р= 1,
флюенты V2:
получим уравнение ин-
действующая потока / 4. Расстояние этой
прямой, параллельной хорде 1 4, от хорды
равно —— (фиг. 170, в). Точно так же находятся
линии действия равнодействующих потоков
от V2, VB, а также от И. Последняя равнодей-
ствующая Рат± известна не только по поло-
жению, но и по величине. Составив уравне-
ния моментов „сил" относительно точек С2&
C1S,C12, получим каждую из „сил" Vx "l4, V2a24,
V3 аы из одного уравнения с одним неиз-
вестным. Вместо аналитического расчёта мож-
но произвести графическое разложение „силы"
Pomi на три направления по Кульману. Раз-
делив найденные силы на аз4, a2i, a34, найдём
У1? V2, V3, а затем и V4.
Инфлюенты реакций. Если приходится ве-
сти расчёт для нескольких положений нагруз-
ки, целесообразно построить инфлюенты реак-
ций. В общем виде выражение для одной из
реакций, например, V2 из уравнения бимомен-
тов относительно полюса сз3, будет
Р о
24
«13 #24
/и4
C1)
Ордината инфлюенты реакции V2 пропор-
циональна удвоенной* площади сектора с по-
люсом Cj3» ометаемого подвижным радиусом-
вектором, начиная от неподвижного радиуса-
вектора С13— 4 и кончая радиусом-вектором
С13 — т. Очевидно, в точках 1, 3 я 4 ординаты
равны нулю. Поэтому ометанпе площади мож-
но начинать от любого из радиусов-векторов
Сп — Л С]3 — 3, CiS — 4. В точке 2 ордината
равна единице. Знак приращения площади Q
связан с направлением вращения подвижного
радиуса-вектора. В данном случае вращению
по часовой стрелке приписывается знак (-f).
В соответствии с этим поставлены знака на ча-
стных площадях (флг. 170, в), из которых скла-
дывается удвоенная секториальная площадь Q.
Приблизительный вид инфлюенты показан на
фиг. 170, г. Изменяя масштаб ординат, т. е. при-
нимая за единицу какую-либо другую ординату
вместо тB, можно получить инфлюенты реак-
ции V2 при другом расположении опорного
стержня 2. Диаграмма на фиг. 170, г изображает
инфлюенты усилия произвольного четвёртого
опорного стержня при фиксированном распо-
ложении трёх опорных стержней — /, 3, 4.
Нагрузка парой сил в плоскости верх-
него пояса. Предположим, что верхний пояс
(полка) загружен парой с моментом Мп, вра-
щающ iM против часовой стрелки (ф^г. 170, б).
Составляя уравнение бимоментовогносительно
полюса С]3, найдём
Здесь Q ^2 — удвоенная площадь сектора
с полюсом С13 и дугой ш4.
" V24 «24 rf,8
Аналогично определяются другие верти-
кальные реакции. Горизонтальные реакции
в этом случае не равны нулю.-
Деплгнация. Инфлюента усилия в опорном
стержне может быть представлена как диа-
грамма вертикальных бесконечно малых воз-
можных перемещений механизма, который по-
лучается из заданной конструкции после уда-
ления опорного стержня.
Так как три точки (/, 3, 4) ф шсированы,
то диаграмма на фиг. 170, г характеризует вы-
ход точек оси стержня из плоскости кр!В1зны
стержня, илидепланацию оси. Плоскость
полок при возможном перемещении механизма
также искажается.
Ординаты инфлюенты и ординаты диа-
граммы вертикальных перемещений wm оси
(иначе—эпюры депланации) согласно уравнению
C1) пропорц юнальны удвоенным секториаль-
ным площадям, ометаемым подвижным ради-
усом-вектором, начлная от неподвижного ради-
уса-вектора, соедшяюдего полюс с одной из
нулевых точек. Поэтому вел [чина 9т назы-
вается единичной депланацией в дан-
ной точке т.
Величину коэф щчента пропорциональности
между wm и 9.т найдём, примени начало
возможных перемещений к механизму, загру-
женному napjfl Mn и уравновешенному вер-
тикальной силой Vm.
Уравнен ie вфгуальных работ Мп8-{-
-f- Vmwm = О» гДе ^ — угол поворота верхней

ГЛ. IV]
КРИВЫЕ ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
339
полки вокруг полюса (оси) С13. В случае рав-
новесия Мп и Vm связаны зависимостью, ана-
логичной формуле '32). Заменив в формуле C2)
индекс 2 на т, найдём
wm = b9.m. C3)
Здесь Ь = —
п
относительный угол вра-
щения верхней полки относительно нижней;
считаются положительными: wm — при переме-
щении вверх; 0 - при вращении верхней полки
против часовой стрелки; 9. — при вращении
радиуса-вектора по часовой стрелке. При дру-
гих правилах знаки соответственно меняются.
Угол относительного вращения полок О пол-
ностью характеризует перемещения механизма.
Относительный угол закручивания стержня
также численно равен 0:
в к (и) = — 0. C4)
Закручивание стержня сопровождается
искажением (депланацией) плоскостей попе-
речных сечений благодаря взаимному враще-
нию полок (стр. 134 и ел.).
Замкнутая (кольцевая) тонкостенная
балка с исчезающей жёсткостью свободно-
го кручения (фиг. 171, а). Система является
жёсткой, поэтому для её закрепления достаточ-
но шести стержней,
в частности, трёх
вертикальных и
трёх не пересекаю-
щихся в одной точ-
ке горизонтальных
в плоскости одного
из поясов. Усилия
опорных стержней
определяются из
шести условий рав-
новесия твёрдого
тела.
В случае на-
грузки одной вер-
Фиг. 171. тикальной силой
эта сила и три вер-
тикальные реакции связаны симметричными за-
висимостями. Обозначим сумму двух противо-
положных реакций через V, тогда (фиг. 171, б)
а)
а-\-с '
VB= V
.. Ь
b-\-d '
- = Р. C5)
'ь- c + d ' " b-
Найдя из последнего равенства V и под-
ставляя в три других, найдём Va, Vb* Ус-
Уравнение равневесия моментов, действу-
ющих на отсечённую верхнюю полку (урав-
нение равновесия бимоментов), даёт для попе-
речной силы в панели АВ значение
Qar= -V-
Q
0'6)
Здесь О — удвоенная площадь, охватыва-
емая средней линией стенки. 9Ав, 9.вс, 9.CD,
Q. DA — удвоенные площади отдельных сек-
торов:
о* b9.DA - dQAB
CD ^CD ' b 4- d "•
U~BC a"AB
a -f- с
C6')
Остальные поперечные силы можно найти
круговой подстановкой с переменой знака из
формул C6) и C6'), а также при помощи за-
ранее определённых реакций. Разделив попе-
речные силы на Л, получаем погонные каса-
тельные усилия, нагружающие верхний и ниж-
ний кольцевые пояса (полки). Расчёт их де-
лается по правилам для плоских систем.
В случае пары в плоскости верх-
него пояса вертикальные реакции равны
нулю. Поперечная сила и погонное касатель-
ное усилие во всей стенке имеют постоянное
значение (формула Бредта):
Mh
M
C7)
В случае силы в плоскости одного из по*-
сов, например, верхнего, поперечные силы
в стенках на каждом отдельном участке
(АВ, НС, С А) постоянны. Они определяются
при помощи треугольника равнодействующих
касательных усилий в стенках, стороны кото-
рого параллельны хордам А В, ВС, СА и от-
&АВ &RC &ГА
стоят от них на расстояниях —- , —^, —^3.
аАВ &ВС ^СА
Составляя уравнения моментов относительно
вершин треугольника, находим каждую попе-
речную силу из одного уравнения с одним
неизвестным. Затем можно определить и вер-
тикальные реакции, как разности поперечных
сил в смежных панелях.
Определение упругих перемещений.
Формула Максвелла — Мора для упругих пере-
мещений тонкостенного стержня с исчезающей
жёсткостью свободного кручения имеет вид
Д =
смовм,
du
EJe
I-
du
GJd
B° Bdu
f*a Qe Qb du С В Bdu
J GT. + J ?/. +
Г М°г Mzdu С
J E-J7- + )
x, Q, Q, du
J
du
EF,
C8)
Индексом в (вертикальный) отмечены уси-
лия М и Q, действующие при нагрузке, пер-
пендикулярной плоскости кривизны, индексом
г (горизонтальный) — усилия от нагрузки в
плоскости кривизны, нулём в степени отме-
чены грузовые состояния; чертой сверху —
единичные состояния.
В случае двухпоясного профиля со стенкой,
работающей на чистый сдвиг (см. выше), имеем
Л —
Л3
Л2
* г ~
Здесь Fz, Зг — площадь пояса (полки) и
момент инерции относительно вертикальной
оси. Техника расчёта выясняется на при-
мерах.

340
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. !
Примеры. 1. Определить относительный угол враще-
ния & плоскостей полок кольцевой тонкостенной балки,
учитывая только деформацию сдвига стенки. Обобщённой
силой, соответствующей искомому обобщённому переме-
щению Ь, является момент В. Поперечная сила в стенке от
Д = 1 равна ~Q8 = const =--, где Q—удвоенная площадь,
охватываемая контуром стенки в плане. Если Qg— попе-
речная сила в стенке от заданных внешних нагрузок, то
п о О
Э О du , Г Qadu
Gft7 ==2Л,
e
Gs
C9)
Если заданными нагрузками являются две уравнове-
шенные пары в плоскостях поясов (крутящий момент L),
го
Ча = const *= -— .
При О = const имеем
D0)
Формула D0) часто применяется при расчёте тонко-
стенных цилиндрических оболочек.
2. Тонкостенное кольцо (фиг. 172, а) загружено че-
тырьмя уравновешенными силами Р= I. Определить про-
гиб точки А относительно
плоскости BCD. В данном
случае грузовое и единич-
ное состояния совпадают.
Учитываем только дефор-
мацию изгиба полок в
своих плоскостях и дефор-
мацию сдвига стенки:
Фиг. 173.
Несмотря на статическую неопределимость ^ольца,
условия симметрии позволяют^ построить эпюры Qg и В
(фиг. 172, б, в). Величины Qe на отдельных участках
равны + 0,5. При построении эпюры В следует учесть,
что в сечениях, делящих пополам углы между диаме-
трами AD и ВС, бимоменты равны нулю
г2 Yt
В (<р) = 0,5 2 = —<р —
Искомое перемещение
r(r+d) (sin tp+cos <p — 1).
Qhs
in (p+cos <р—1
D1)
0
3. Построена эпюра бимоментов В0 (и) тонкостенной
консоли от некоторой нагрузки (фиг. 173, а, б). Определить
вертикальный прогиб произвольной точки т тонкостен-
ного отростка, угол поворота отростка в своей плос-
кости и найти положение точки т из условия, что
прогиб равен нулю (центр вращения отростка). На осно-
вании формулы Максвелла—Мора прогиб равен
В0 В du
В°(и)
я/»
(и) da.
D2)
Если считать
фиктивной нагрузкой, то выра-
жение D2) можно истолковать как бимомент в точке т от
фиктивной нагрузки консоли, имеющей в А свободный
конец и в В-заделку (аналогия с графоаналитическим
методом определения деформации балок). Нагрузим от-
росток парой в его плоскости с моментом, равным еди-
нице. Бимоменты от этой нагрузки равны В (и) = 1 • у(и).
Следовательно, угол поворота отростка
0 =
{и)
у (и) du.
D3)
Угол поворота интерпретируется как фиктивный кру-
тящий момент относительно оси, совпадающей с осью
стенки отростка в плане. Очевидно, неподвижная точка
отростка т' (центр вращения) находится от т на рассто-
янии d = -ф—. Относительно точки т' бимомент от фик-
тивной нагрузки равен нулю.
Статически неопределимые конструкции.
Расчёт по методу сил сводится, как всегда, к
выбору основной системы и неизвестных, со-
ставлению и решению системы канонических
уравнений. Коэфициенты и свободные члены
вычисляются поформулеМаксвелла—МораC8).
Криволинейная тонкостенная
балка с заделанными концами (эр-
кер). Конструкция 7 раз статически неопреде-
лима. При нагрузке, перпендикулярной пло-
скости кривизны, число неизвестных умень-
шается до четырёх (фиг. 174, а). Основную си-
стему целесообразно выбрать в виде двух
консолей, заделанных
одним концом. Неиз-
вестными являются
бимомент Хь верти-
кально изгибающий
момент Х2, крутящий
момент Х3 и верти-
кальная поперечная
сила в стенке Х±. На
фиг. 174, б показаны
компоненты трёх пер-
вых лишних неизвест-
ных, относящиеся к
верхней полке, а так-
же неизвестное Х± в
виде сил, перпендику-
лярныхплоскости чер-
тежа (кружок с точ-
кой и кружок с крести-
ком). Характер сим-
метрии эпюр от еди-
ничных лишних неиз-
вестных позволяет за-
ключить, что
Oiq = Оси = Ооа == Ооо = Qia = 0A = Оол = Оло =
Фиг. 174,
523
— °24 — '
Система канонических уравнений имеет
вид:
)
2)
3)
4) 3434444 + 4;7
Для полного разделения неизвестных в урав-
нениях достаточно перенести неизвестные

ГЛ. IV)
КРИВЫЕ ТОЛСТОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
341
в точки С и D (фиг. 174, в). Точка С назы-
вается упругим центром тяжести,
точка D — упругим центром изгиба.
Положение этих точек определяется отрезками
D4)
°11
d= ЦМ_. D5)
В формулы D4) и D5) входят 4 коэфици-
ента, вычисляемые в соответствии с фиг. 174, б.
Система уравнений с разделёнными неиз-
вестными будет
В этих уравнениях S^^S^; SggsSg^; o22 и
824 вычисляются для схемы по фиг. 174, в.
При неодинаковых полках или стенке,
смещённой относительно оси симметрии обеих
полок, целесообразно рассматривать каждую
полку как самостоятельный плоский брус (пло-
скую раму), не вводя обобщённых усилий, в
частности, бимомента. При заделанных концах
будем иметь по три неизвестных для каждой
плоской рамы и одно неизвестное — попереч-
ную силу в сечении стенки, а всего, как и в
примере, рассмотренном выше, 7 неизвест-
ных. Две двухшарнирные рамы, соединённые
тонкой стенкой, — трижды статически неопре-
делимая конструкция.
Тонкостенная балка на упругом осно-
вании значительней податливости. Случай
трёх вертикальных опор. Упругое
основание может заменить все (или часть) вер-
тикальные опоры, необ-
ходимые для закрепле-
ния тонкостенной балки
со свободными концами.
При сравнительно жёст-
кой балке или, что экви-
валентно, весьма подат-
ливом основании допу-
стимо принять, что про-
гибы до следуют закону
перемещений механизма
тонкостенной балки. На
фиг. 175, а показана бал-
ка на упругом основа-
нии, опёртая, кроме того,
в трёх точках. На осно-
вании кинематических
соображений ось враще-
ния верхней полки отно-
сительно нижней опре-
делится точкой D — пе-
ресечения равнодей-
ствующих постоянных касательных усилий
вдоль стенок АВ и ВС (фиг. 175, б).
Вследствие упругости основания напряже-
ния а по оси подошвы пропорциональны проги-
бам w. Имеем
w (и) = — Ш (и); а (и) = &k0Q (a).
Здесь в — отнесённый к высоте балки угол
взаимного вращения полок, равный относи-
Фиг. 175.
тельному углу QK' закручивания смежных
сечений балки; Q (и) — удвоенная площадь
сектора с полюсом D, начальным радиусом-
вектором DB (или DA, или DC — безразлично)
и подвижным радиусом-вектором Dm; эпюра Q
показана на фиг. 175, в. Через k0 обозначен
коэфициент жёсткости упругого основания,
который предполагается постоянным. Величина
его в окончательную формулу напряжений не
входит.
Уравнение равновесия бимоментов отно-
сительно оси D
\ a (a) Q (и) dF — PQ, (аР) = 0.
ABC
Подставляя сюда значение or (и), находим
k0#, а затем и окончательное значение
Q(a).
Р-2 (U)
Нормальное напряжение по оси подошвы
равно бимоменту внешней нагрузки, делённому
на секториальный момент инерции площади
подошвы, рассматриваемой в виде узкой по-
лосы, и умноженному на удвоенную площадь
сектора, характеризующего положение точки
и (секториальную координату):
D6)
Сила Р (фиг. 175) даёт на участке подошвы
АВ растягивающее напряжение, на участке
ВС — сжимающее.
Определив напряжение а из уравнений
моментов относительно осей АВ, ВС и АС,
находим реакции Vq, Кд, Vb- Следует под-
черкнуть, что в эти уравнения войдут сла-
гаемые, зависящие от а.
Случай отсутствия вертикаль-
ных опор. Нормальные напряжения по оси
подошвы определяются по формуле вне-
центренного сжатия с добавочным членом
-1L
«/у
Мх
В
-rQ. D7)
J
Формула D7) тождественна с четырёх-
членной формулой проф. В. 3. Власова (см.
стр. 316); Р — вертикальный компонент равно-
действующей внешних нагрузок; А1у, Мх —
изгибающие моменты относительно главных
центральных осей; В — бимомент относитель-
но центра изгиба площади подошвы, рассматри-
ваемой в виде узкой криволинейной полосы
(тонкостенного профиля); F, Jv, Jx JQ — соот-
ветствующие геометрические характеристики
площади подошвы.
Тонкостенные кривые стержни
с произвольной конфигурацией
поперечного сечения
, Все зависимости, выведенные для кривых
двутавров, сохраняются при произвольной
конфигурации открытых профилей (швеллеры,
зеты, клёпаные и сварные сложные открытые
сечения). Стержень с любой конфигурацией

342
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
профиля можно рассчитывать по формулам,
выведенным' для случая двутавра. Достаточно:
1) плоскость кривизны провести через линию
центров изгиба сечений; линия, соединяющая
центры изгиба, играет такую же роль, как
и ось стенки двутавра в плане; 2) крутящие
моменты подсчитывать для осей, касательных
к линии центров изгиба, а вертикально изгиба-
ющие—для осей, нормальных к линии центров
изгиба (а не к линии центров тяжести); 3) би-
момент определять по второму способу, т. е.
как такую функцию длины дуги линии центров
изгиба, производная от которой равна кру-
тящему моменту изгибного кручения [см.
формулу B9)]; 4) напряжения определять по
формуле
Р Mv Мк В
вытекающей из гипотезы секториальных пло-
щадей.
Пример 1. Стержень в виде консоли, заделанной
одним концом, нагружён силой, перпендикулярной пло-
скости кривизны на свободном конце (фиг. 176, а). Опре-
Дитррагма
Фиг. 176.
делить бимомент в сечении заделки, пренебрегая жёст-
костью свободного кручения. Крутящий момент в сечении
и равен L (и) = Рг («). Бимомент в сечении и,
и, и,
В (а,) = В (о) + Г L (и) du = 0 + Р Г т (и) da = PS (а,).
О
О
Здесь 2 (иг) — удвоенная площадь сектора, заштри-
хованного на фиг. 176, б. Результат совпадает с B6'),
полученным для тонкостенного двутавра, при условии,
Фиг. 177.
что ось стенки в плане сливается с линией центров из-
гиба заданного профиля. Положение оси центров тяже-
сти при этом роли не играет *.
Пример 2. Швеллер, изогнутый по дуге круга, заде-
лан одним концом и нагружён на свободном конце силой,
проходящей через центр тяжести (фиг. 177). Составить
уравнение эпюры бимоментов. При прокатных профилях
нормального сортамента жёсткостью свободного кручения
пренебречь нельзя. Следует воспользоваться формулами
A1)-A8). Начало отсчёта углов поместим на свободном
конце. Известные начальные параметры:в(>.))=О;?(О).=Ра;
Mg @)=0; Qe @)=P. Единственный неизвестный началь-
ный параметр М^ @) определим из условия полной за-
делки другого конца: в^ (<р,) = 0, откуда Мк (?,)
а значит, Мш (<Pi) = L (<р,), или
Р
0,
Мш @) ch ft, «p, -
k +1
(а — р) (ch ft, <p, — cos <p,) =
— Р{?- (Р -a) cos<pj.
@), а затем и уравнение
Отсюда определяются
В (<р) из выражения A7).
ТОНКОСТЕННЫЕ ТРУБЫ И СТЕРЖНИ
С ЗАМКНУТЫМ ПРОФИЛЕМ*
Круглые трубы
Примерами могут служить безнапорные сво-
боднонесущие газопроводы, а также дымовые
трубы.
Как нормальные, так и касательные напря-
жения считаются распределёнными равномерно
по толщине стенки. Вектор касательного напря-
жения в попереч-
ном сечении на-
правлен по каса-
тельной к оси стен-
ки. Положение точ-
ки срединной по-
верхности стенки
в поперечном се-
чении трубы удоб-
но характеризо-
вать угловой коор-
динато! JJ (фиг.
178). Отсчёт угла 0
делается от пло-
скости изгиба (т. е.
от оси, перпен-
дикулярной ней-
тральной линии
при изгибе).
Момент инер-
тру-
Фиг. 178.
ции сечения
бы J = nR*s.
Момент сопротивления W — izR2s.
Нормальное напряжение при изгибе
М
0)
напряжение достигает
М
При 3 = 0 и р = п
максимума:
Касательное усилие на единицу длины пе-
риметра (погонное касательное усилие) q = ts
определяется по формуле
„/«_ OSQ)_ Q
J
sin
B)
Оно достигает максимума на нейтральной
оси при
r.R '
* Расчёт на изгиб, как всегда, требует определения
моментов относительно главных центральных осей.
Подробнее см. [70, 80, 84).

ГЛ. IV]
ТОНКОСТЕННЫЕ ТРУБЫ И СТЕРЖНИ С ЗАМКНУТЫМ ПРОФИЛЕМ
343
Погонное касательное усилие при кручении
определяется по формуле Бредта *:
Здесь Q— удвоенная площадь сечения трубы,
очерченная средней линией стенки.
Касательное напряжение определяется пу-
тём деления погонного касательного усилия
на толщину стенки s.
Величина погонного касательного усилия
является исходной для расчёта заклёпочных
и сварных швов в по-
перечных и продоль-
ных сечениях безна-
порной трубы (фиг.
179).
Толщина стенки
определяется в ре-
зультате поверки нор-
мальных напряжений
в крайних волокнах
и касательных напря-
жений на уровне ней-
тральной оси.
Критическое сжимающее напряжение, при
котором происходит местная потеря устойчи-
вости (образование вмятин в сжатой зоне),
можно определить по формуле Лоренца — Ти-
мошенко, исправленной Карманом **:
Фиг. 179.
±
D)
Если определённое по этой формуле напря-
жение превосходит предел пропорционально-
сти, то допустимо пользоваться прямолиней-
ной зависимостью типа формулы Тетмайера:
E)
Коэфициент а определится из условий
1) ар = 0,194 j?i; 2)«,^
Для мягкой стали можно принять Е =
=2Л№кг/см* ?р=2-1№ кг/см*; ао=31ОО кг/см*
(по Тетмайеру). Тогда предельное значение
-—- = 194 и формула для неупругой области
будет
3100 — 5,8-?.
S
Eа)
. При других механических характеристиках,
принимая о0 =. 0,65-^, получаем
При пользовании формулой EЬ) должны
быть соблюдены условия:
1) 0,65^^; 2) А < 0,194-.
s <jp
* Тот же результат получается по формуле с поляр-
ным моментом инерции q = z=—r~R где J =2У =
Jp P
** Формула выведена для случая чистого сжатия
и потому даёт для изгиба критическое напряжение
с запасом.
По эмпирической формуле Осгуда крити-
ческое напряжение при изгибе труб равно
зкр = ср ^р где ср — числовой коэфициент;
of — условный предел текучести, или напря-
2
жение, при котором Е\ = -тг- Е.
о
Числовой коэфициент определяется по фор-
муле
__ 1,525 k
9 ~ k + 1,4 '
ГДе* = а7*Й-
Формула Осгуда имеет в виду материал
без площадки текучести. В случае мягкой
стали допустимо принять а/ = as.
Пример. Размеры сечения тгубы Р = 1цилл;
г = 10 мм. Материал — мягкая сталь: Е= 2 -10е кг/см*
's =2200 кг/см3; R - 45 < 19+. Применим формулу E'):
акр = 3100 — 5,8 • 45 = 2810 кг/см>.
По формуле Осгуда
ft =10,1;
акр *" 29
Расчёт шпангоутов (колец) на сосредо-
точенные поперечные нагрузки. Если труба
нагружена значительными сосредоточенными
нагрузками в плоскостях поперечных сечений
(усилия оттяжек дымовое трубы, реакции
опор газопровода, нагрузки от смотрового
мостика и т. п.), то обязательно устройство
шпангоутов (колец), жёстких на изгиб, в ви-
де полосы (ребра), угольника, тавра и т. п.
Радиус нейтральной линии кольца при изгибе
пр
Фиг. 180.
обозначим г. Будем отличать три случая рас-
положения кольца: симметричное относитель-
но стенки трубы: г = R (фиг. 180, а), внутрен-
нее расположение: r<^R
(ф ir. 180, б) и наруж-
ное расположение: r> R
(фиг. 180, в)
Кольцо представляет
собой трижды статиче-
ски неопределимую зам-
кнутую систему (раму),
нагруженную заданными
сосредоточенным»! на-
грузками, уравновешен-
ными разностью каса-
тельных усилии в стенке
трубы, действующих сле-
ва и справа от кольца
(фиг. 181).
Погонная интенсивность результирующих
касательных усилий, передающихся на кольцо,
в случае одной радиально направленной со-
средоточенной силы Р определяется по фор-
муле
Фиг. 181.

344
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
Я (Р) = Чпр — Члеш = —-j
-(Опр-Рлее)^1---^ F)
или на основании формулы B)
q C) = ~ sin 3.
7t/C
Изгибающий . момент в сечении 3 кольца
от действия лишних неизвестных М @), N @),
\Р
N@)
Фиг. 182.
(?@) и касательного усилия, передаваемого
стенкой (фиг. 182),
М C) = М @) -f- Д/ @) tf(l — cos 3) +
?
+ Q @) # sin 3 - f Я (Р) Л». (а)
U
Здесь rfa) — cR d$ — удвоенная площадь эле-
ментарного сектора, заштрихованного на фиг.
182. Плечо
с = R - г cos C — 30 =
= R — r (cos 3 cos 3/ -f sin 3 sin fo).
Подстановка в выражение (а) и интегри-
рование дают
М C) = М @) + tf@) # A — cos 3) +
-f Q @) R sin 3-h ^- (R cos 3+r-|-sin 3- tf ) . (b)
Определив лишние неизвестные по прави-
лам расчёта статически неопределимых систем
и подставив их в формулу (Ь), находим урав-
нение эпюры изгибающих моментов:
М C) = ~ {$ sin 3 + ~ cos 3 - \}=PrkM. G)
Следует отметить, что М($) не зависит от R.
График для безразмерного коэфициента k^
формулы G) представлен на фиг. 183.
Уравнения эпюр нормальной и поперечной
силы:
Р /2R 1
= to \F C0S Р
\
. . 2/?
Г COS 3 — Р COS 3 I =
(8)
Т sin Р ~~ 2"sin Э J =
Положительный знак усилий соответствует
направлениям М@), N@), Q@> на фиг. 182,
Графики для безразмерных коэфициентов k^
и kq формул (8) и (9) (фиг. 184 и 185) даны для
трёх значений:-р = 0,8;т> = 1 и„ = 1,2.
0,10
0,05
-0,05
-0,10
-0,15
-оло
/
1
1
1
ft
4
\
/
/
(
9
0°
\р
ОТ-"
ц
р
\
\
1
\
\
ЧГ -
1
/
/
/
I
J/
j
1
\
\
\
270°
\
\
\
360
Фиг 183.
360*
Фиг. 184.
(9)
Фиг. 185.

ГЛ. IV1
ТОНКОСТЕННЫЕ ТРУБЫ И СТЕРЖНИ С ЗАМКНУТЫМ ПРОФИЛЕМ
345
В случае нагрузки сосредоточенным (крутя-
щим трубу и изгибающим кольцо) моментом L
(фиг. 186) уравнения эпюр усилий будут
L
A0)
М (р) = Мо- (sin 3 - 4 ) ЛГ0 kM; A1)
-~
= ^° kN;
A2)
= PkN; A6)
A7)
Графики для коэфициентов k и ^q фор-
мул A5) и A7) даны на фиг. 189 и 190. Коэфи-
циент ?/у формулы A6) имеет то же значение,
Графики для коэфициентов kM, kN, kQ фор-
мул A1) —A3) см. на фиг. 186—188.
При нагрузке тангенциальной силой, дей-
ствующей на расстоянии г от центра, труба
испытывает одновременно изгиб и кручение.
Уравнения эпюр @ ^ {2 ^ к):
A4)
; A5)
/оч Рг C
(Р) = ^(у- sin p-p cos
/7 ОТ
ЛОТ
0,lJ
/
а
k
i
1
9
*k
j
\
J
\
\
\
\
18Ou
\
\
\
\
\
\27O°
\
:
*<^
360
/
Фиг. 186.
ИЗО
0,20
0,10
0
-0,10
-0,20
-0,30
\
\
\
i
\
\
9
s
f
У
1
1
18
1
1
1
/
/
f
\
\
s
270°
Ц
0~J
X
\
\
\
%
\
\
\
360
~
Фиг. 188.
Ям
от
004
QJ32
0
•от
-w
-0.06
-0.08
\
\
\
Iff
\
/
1
Щ
\r
\f
1
/
/
/
j
r
\
w
\
1
1
180°
p
I
\
\
r
\
1
I
к
i
/
4-
7Г
f\
70°
\
\
360*
Фиг. 189.
Фиг. 187.
Фиг. 190.

346
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
что и kn в случае радиальной силы (см. график
фиг. 185). •
Тангенциальная сила Р действует на рас-
стоянии R от центра. Уравнения эпюр:
A8)
М
= -^ (
2 sin р - ^
cos
A9)
B0
= 2^ C sin
Т cos ? ~ 0 =
График для kM формулы A9) даётся на
фиг. 191; график kN формулы B0) тождествен
с графиком фиг. 190, причём надо поло-
жить о = 1; график kq формулы B1) тождест-
вен с графиком фиг. 185.
При произвольном расположении сосредо-
точенной нагрузки она заменяется тремя ком-
-от
Фиг. 191.
понентам'и — радиальной силой, тангенциаль-
ной силой и сосредоточенным моментом. Окон-
чательные эпюры Му /V, Q получаются путём
суммирования частных эпюр от действия от-
дельных компонентов.
Проверка сечендя кольца делается по фор-
мулам сложного сопротивления, причём в со-
став рабочего сечения можно включить часть
стенки трубы (поясок) шириной Ь яз 10 — 15s.
Наиболее напряжёнными оказываются крайние
волокна кольца, удалённые от стенки трубы.
Влияние кольца на напряжённое состояние
трубы обычно не учитывается.
Передача сосредоточенных нагрузок
вдоль образующих трубы. Если труба в виде
консоли закреплена в нескольких точках пер-
вого кольца (фдг. 192), то эффект сосредото-
ченных реакций можно считать распространя-
ющимся только на первый отсек (считая от за-
крепления до второго кольца). Расчётная схема
первого барабана получается в виде замкну-
Фиг. 192.
той двухпоясной тонкостенной балки, нагру-
женной сосредоточенными силами и опёртой
на упругое основание. В местах передачи со-
средоточенных сил
следует поставить про-
дольные стержни-
стрингеры (в пределах
первого барабана).
Опорное (первое)
кольцо рассчитывает-
ся по приведённым -
здесь графикам на
действие сосредото-
ченных нагрузок в его
плоскости и, кроме
того, как пояс (полка) тонкостенной балки по
правилам, указанным в предыдущем разделе.
Действие распределённых нагрузок. При
отсутствии шпангоутов нагрузка, распределён-
ная вдоль образующей, вызывает в элементар-
ных кольцах, выделенных сечениями, нормаль-
ными к оси, такой же эффект, какой сосредо-
точенная нагрузка вызывает в шпангоутах.
Таким образом если, например, горизонталь-
ная труба несёт нагрузку вдоль верхней обра-
зующей, причём её вес на 1 пог. см равен р,
то поперечные изгибающие моменты в стенке
трубы на 1 пог. см могут быть определены
по формуле G) с заменой Р на р.
Пример. Труба /-=45 см, s—l см несёт нагрузку от
мостика р= 140 кг/и = 1,4 •-г\см. Наибольший момент
по формуле G) в сечении нагрузки, т. е. при р = тс, p<j-
вен
лг„
'max
Нормальное напряжение
_ 15-6
°max — ГГ12
— • — = 15 кгсм/см.
А те
?0 кг/см3.
Тонкостенные стержни с замкнутым
профилем
Важное достоинство стержней с замкнутым
профилем состоит в том, что они несравненно
лучше, чем открытые, сопротивляются скручи-
ванию, в особенности свободному. В то время
как при свободном кручении открытого стерж-
ня крутящая пара воспринимается касательны-
ми напряжениями, действующими на малых
плечах (одного порядка с толщиной стенки),
в случае замкнутых стержней плечи одного
порядка с общими размерами сечения.
Касательные напряжения в замкнутых тон-
костенных профилях можно считать распреде-
лён-ными равномерно по толщине стенки s и
оперировать с величиной погонного касатель-
ного усилия q — is. Вектор q направлен по
касательной к средней линии стенки в попе-
речном сечении. Если q — const, то замкнутый
контур средней линии стенки в некотором
масштабе представляет собой одновременно
и план сил, и силовой многоугольник. Отсюда
следует, что замкнутый потек усилий qdu
эквивалентен паре. Взяв момент относительно
произвольного полюса О (фиг. 193), находим
= q(X> dj>=
B2)
Здесь а>к — удвоенная площадь, охватывае-
мая контуром средней линии стенки.

ГЛ. IV]
ТОНКОСТЕННЫЕ ТРУБЫ И СТЕРЖНИ С ЗАМКНУТЫМ ПРОФИЛЕМ
347
Из соотношения B2) вытекает формула
Бредта, дающая касательное напряжение при
кручении стержня с замкнутым тонкостенным
профилем произвольной конфигурации:
q L
х = — =
S 0>
B3)
Следует заметить, что статически возмож-
ными при кручении являются и непостоянные
Фиг. 193.
по периметру потоки касательных усилий
q ф. const. Однако из условий равновесия
J^jAT = 0 элемента dadx можно тотчас заклю-
чить, что в этом случае по сторонам du долж-
ны действовать нормальные напряжения. Та-
ким образом формула Бредта относится к слу-
чаю свободного кручения, когда перемещения
точек поперечных сечений в продольном на-
правлении ничем не стеснены, либо же когда
поперечное сечение принадлежит к категории
недепланирующих (т. е. остающихся плоскими
при кручении, например, сечение круглой
трубы).
Деформации. Контур поперечных сечений,
как и в случае открытых профилей, считаем
недеформируемым в своей плоскости. Малый
отсек длиной dx можно интерпретировать как
две жёсткие только в своей плоскости пла-
стинки, соединённые тонкой стенкой (фиг. 194,а).
Фиг. 194.
Найдём: 1) угол закручивания' в^ и 2) раз-
ность ?# — ?д проекций перемещений точек
А и В на ось X при закручивании передней
пластинки относительно задней вокруг некото-
рой оси 00'. Погонное касательное усилие q (и)
в стенке считается заданным.
Подобные вопросы удобно решаются при
помощи начала возможных перемещений в при-
менении к соответствующей жёсткой модели
или к механизму. Жёсткая модель показана
на фиг. 194, б. Нагрузив переднюю пластинку
моментом 1=1 в её плоскости, находим
q = — = const и по формуле Максвелла —
Мора получаем угол закручивания
откуда
dx
q (u) du
Gs
B4)
Угол вж не зависит от положения оси 00'-
При q (и) — — = const (свободное кручение)
О „=-='-
du
Gs
B5)
Для решения второй задачи устраним соот-
ветствующую связь, именно, будем считать
стенку разрезанной по образующей ВВ'. Полу-
ченный механизм можно уравновесить парой
в плоскости верхнего пояса. Нагрузим систему
в точке В силой Р = 1, направленной вдоль ВВ'.
Тогда передний диск окажется под воздей-
ствием момента, передаваемого касательными
Р 1
усилиями q — — =
h dx
от стенки и равного
AB-
Этот момент вращает по
часовой стрелке. Уравновешивающий момент
в плоскости верхнего пояса должен вращать
против часовой стрелки. Перемещение — угол
d®lc, на котором производит работу этот момент,
считаем положительным при вращении диска
против часовой стрелки. Принцип виртуаль-
ных работ даёт
, ч du
откуда
: — «д = — '
АВ dx
О
в
B6)
АВ
Сюда следует подставить $'к из формул
B4) или B5). Если в п авой части равенства B6)
произвести интегрирование по замкнутому кон-
туру и положить kB — %а — 0. то мы снова
придём к формуле B4). С другой стороны, ра-
венство B6) действительно и для открытого
профиля, но только величину в^ следует счи-
тать независимой от касательного усилия q (и).
Если в этом случае пренебречь деформацией
сдвига, то получим
ние $В — «А = е* ШАВ
известное соотноше-
Депланация
Подставим в
(Г —
JGs
при свободном кручении,
равенство B6) величину
о
и вынесем величину в'

348
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
за скобки. Выражение в скобках обозначим
через «о:
"\4В= ШАВ~
JGs
При Gs = const имеем
С du
)Gs-
АВ
lAB-
B7)
B8)
B8а)
Здесь через ин обозначен периметр сред-
ней линии стенки; иАВ — длина дуги АВ. При
Gs ф const целесообразно умножить и раз-
делить второе слагаемое B8) на постоянное
du
число Gc$с и обозначить
Gcsc = аи;
du' = ин' (приведённый периметр):
О) . г, =
V U
АВ
B8Ь)
Очевидно, единичная депланация о замкну-
того профиля . равна единичной^ депланации
профиля открытого (т. е. удвоенной секториаль-
ной площади) минус величина, пропорциональ-
ная дуге (приведённой) между исследуемыми
точками. Если зафиксировать точку А в каче-
стве начальной, то равенство B8Ь) удобно
представить в виде
о = (о -4- ш
АВ А АВ
АВ
B8с)
Пользуясь соотношением B8с), можно по-
строить эпюру единичной депланации, если
известны центр вращения О и величина «>°д
в начальной точке.
Промер. Построить эпюру ш для прямоугольного ко-
робчатого профиля, принимая центр вращения в О и
полагая о> = 0. Модуль уп-
ругости G = const. Толщины
противоположных стенок оди-
наковы. Принимаем GfJ c = G,
\ sa
Находим
2ab.
2ab
Эпюра.
Фиг. 195.
ab
2 /_?_4-_
-bs.
asb
asb + bs
"lab
25,
= 0.
Остальные ш определяются по симметрии (фиг. 195).
„ а о
Отметим, что яри —=— имеем ш^=0, и вся эпюра
получается нулевой: прямоугольный профиль, у кото-
рого толщины стенок пропорциональны длинам сторон
при кручении вокруг центра симметрии, остаётся
плоским.
При постоянной толщине стенки не
депланируют круговой профиль (труба), а также
все профили, представляющие собой много-
угольники, описанные около круга.
Более общий признак отсутствия депла-
нации состоит в следующем. Если сечение
остаётся плоским, то относительный сдвиг сте-
нок, а значит и касательные усилия q пропор-
циональны длинам перпендикуляров, опущен-
ных из центра кручения на касательную
к стенке. Относительный угол закручивания
получается равным
Здесь Jc = ф г2 dF — так
называемый
направленный полярный момент
инерции. Отличие его от обычного поляр-
ного момента инерции в том, что плечи г не
совпадают с радиусами-векторами точек сече-
ния, а равны упомянутым выше перпендику-
лярам.
С другой стороны, при свободном круче-
нии имеем
где на основании формулы B5) при G = consi
Условие отсутствия депланации состоит
в равенстве
Безразмерная величина
Jc
C2)
носит название коэфициента искажа-
емости или коэфициента деплана-
ции. Чем fj. ближе к единице, тем депланация
(в среднем) больше; чем ц ближе к нулю, тем
менее искажается плоскость сечения при сво-
бодном кручении.
Для прямоугольного профиля
Jd
asb + bsa '
ab
sa + asb) J
^ = 1--^- =
bsaf •
C4)
C5)
или
Условие отсутствия депланации asb
b
a b
Стеснённое кручение в случае замкну-
того профиля с двумя осями симметрии.
Ось кручения проходит через центры симме-'
трии сечений. Нормальные напряжения счи-

ГЛ. IV]
ТОНКОСТЕННЫЕ ТРУБЫ И СТЕРЖНИ С ЗАМКНУТЫМ ПРОФИЛЕМ
349
таются пропорциональными ординатам эпюры
единичной депланации. Нулевые точки этой
эпюры лежат на осях симметрии профиля.
Нормальное напряжение выражается через
так называемый бимомент В (х):
1—(I).
C6)
Здесь ./- — так называемый бимомент
инерции поперечного сечения. Эта
геометрическая характеристика, вычисленная
по эпюре со, имеет размерность см&:
C7)
Структура J*> совпадает со структурой сек-
ториального момента инерции открытого про-
филя J-.
ш
Для прямоугольного коробчатого профиля
(фиг. 195)
J* = »* ~24~ <a5*
Эпюра бимоментов получается в результате
интегрирования диференциального уравнения
стеснённого кручения
GJa
C8)
При ;л == 1 это уравнение совпадает с урав-
нением для случая открытого профиля. Отли-
чие состоит в присутствии множителя р— ко-
эфициента искажаемости [см. формулу C2)].
Момент инерции при свободном кручении вычи-
сляется по формуле C0). Причина различия ди-
ференциальных уравнений для случаев откры-
того и замкнутого профилей состоит в том,
что во втором случае уже нельзя считать депла-
нации пропорциональными относительному
углу закручивания. Зависимость &к" = —~рТ^
заменяется более сложной зависимостью. ш
Условие полной заделки имеет вид
В1 =
C8а)
Производная от бамомента в сечении
заделки равна внешнему крутящему момен-
ту, умноженному на козфициент искажа-
емости.
Касательные напряжения при стеснённом
кручении стержней с замкнутым профилем
рекомендуется определять по формуле Бредта.
В случае произвольной (несимметричной)
конфигурации профиля эпюра депланации
строится при полюсе, совпадающем с центром
изгиба (стр. 350). Нулевая точка определяется
из условия ф ш dF = 0 аналогично случаю от-
крытого профиля.
Уравнения эпюры бимоментов
для стержня с одним полностью
заделанным и другим свободным
концом (фиг. 196): ft2=
1) Сосредоточенный момент L* на свобод-
ном конце (фиг. 196, а):
, C9)
\Bmax\ = В @) = - I* T- - th k4- D0)
Фиг. 196.
th k2l
2) Сосредоточенный крутящий момент L* на
расстоянии и от заделки (фиг. 196, б) приж < m
D1)
D2)
3) Равномерно распределённая крутящая
моментная нагрузка (фиг. 196, е):
В (х) =» тк1 ~ [ sh k2x -
~th
hJ
<44>
Расчёт на изгиб. Определение центра
изгиба. Нормальные напряжения при изгибе
определяются по обычным правилам, исходя
из линейного распределения напряжений (фор-
мула Навье). Для построения эпюры касатель-
ных усилий q (и) необходимо знать величину
q в каком-либо одном месте поперечного се-
чения.
Проще всего задача решается для про-
филей с двумя осями симметрии (фиг. 197, а).
Поперечная сила Q переносится на параллель-
ную ей ось симметрии с добавлением крутя-
щей пары L—Qa. Сила даёт эпюру q, пока-
занную на фиг. 197, б. По условиям симметрии
q на оси Оу равно нулю. Построение делается
(QSu)
по уравнению q (и) = —т— , где S (и) — стати-
J х
ческий момент отсечённой части относительно

350
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
РАЗД. 1
нейтральности оси. Крутящая пара, если пре-
небречь эффектом стеснённого кручения, даёт
L
постоянное касательное усилие q = ¦— =
= const (фиг. 197, в). Суммарная эпюра q дана
на фиг. 197, г.
В случае одной оси симметрии (фиг. 198, а)
следует профиль предварительно считать раз-
резанным в каком-либо месте, например, на
оси Ох в точке А. Эпюра q для полученной
таким образом .основной системы* строится
Фиг. 197.
Фиг. 198.
без затруднений, начиная от точки А. Опре-
деляется положение равнодействующей —Q
усилий q (фиг. 198, б).
Совокупность сил Q и —Q даёт пару
L = Qa, вызывающую постоянное усилие q —
= — (фиг. 198, в). Суммарная эпюра показана
на фиг. 198, г.
Существует положение силы Q, при кото-
ром относительный угол закручивания обра-
щается в нуль. Если найти два направления
сил например, для сил, параллельных главным
осям инерции сечения), то точка пересечения
их даёт центр изгиба замкнутого
профиля. Если профиль имеет ось симме-
трии, то центр изгиба лежит на этой оси, так
что достаточно найти одну величину, характе-
ризующую его положение. У профиля с двумя
осями симметрии центр изгиба совпадает
с центром тяжести.
Вь.нснив положение центра изгиба, можно
при произвольной нагрузке силами и парами
выделить внешние крутящие моменты, необ-
ходимые для расчёта на стеснённое кручение.
Если при расчёте на стеснённое крученле
нормальные напряжения считаются пропорцио-
нальными депланац ям при свободном круче-
нии, то, как следствие, закручьван .е теорети-
чески происходит вокруг оси центров изгиба.
Пусть qy(u) — погонное касательное уси-
лие от изгиба основной системы (разрезанного
профиля) произвольной силой Qy. Удобно
брать Qy = JA, тогда ординаты эпюры
qv(u) равны статическим моментам отсечён-
ной (вышележащей) части профиля относи-
тельно оси х.
Угол закручивания замкнутого профиля,
считая его загруженным усилиями q{u), наосно-
вании формулы B4) равен вл = — ф—^—
Дополнительное постоянное погонное усилие q,
даёт угол ^^-Фр По уеловию
Отсюда
q («) du
(J> q (и) dm1
. D5)
Постоянное касательное усилие #0, анну-
лирующее угол закручивания, равно среднему
по приведённому периметру значению уси-
лия qy (и) от изгиба основной системы,
взятому с обратным знаком. При постоян-
ном значении Gs достаточно найти площадь
qy (и) и разделить её на периметр ик. Пло-
щадь суммарной эпюры qy (и) -\- q$ при этом
оказывается равной нулю.
Абсцисса центра изгиба определится поло-
жением равнодействующей суммарных усилий
(Яу (") +. Яо)-
Ординату центра изгиба найдём, проделав
те же операции для нагрузки силой Qx. Центр
изгиба замкнутого профиля всегда лежит вну-
три его контура, если контур выпуклый.
Другой способ определения координат
центра изгиба основан на пользовании эпюрой
единичной депланации ш, построенной при
произвольном полюсе и произвольной нулевой
точке.
Абсцисса и ордината определяются по тем
же формулам, что и в случае открытого про-
филя, но вместо эпюры секториальных пло-
щадей си берётся эпюра единичной депланации
<о замкнутого профиля.
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
В ТОЛСТОСТЕННЫХ ОБОЛОЧКАХ
ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ, ПОДВЕРЖЕННЫЕ
ДАВЛЕНИЮ
Напряжения в толстостенном цилиндре
В толстостенном цилиндре с постоянной
толщиной стенок, подверженном действию
равномерно распределённых внутренних и
наружных давлений р{ и ра по граням эле-
мента тп п,'п', выделенного двумя радиальными
плоскостями и двумя концентрическими ци-
линдрическими поверхностями, действуют толь-'
ко нормальные напряжения (фиг. 199).

ГЛ. IV]
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ТОЛСТОСТЕННЫХ ОБОЛОЧКАХ
351
Напряжение, действующее в радиальном
направлении,
»
Ro
напряжение, действующее в тангенциальном
направлении,
Го
Ro — i
Rl
где Ro и r0 — наружный и внутренний радиусы
цилиндра; г— радиус, на котором определяются
напряжения.
Если цилиндр растягивается продольной
силой Р. то в осевом направлении возникает
Фиг. 199.
нормальное напряжение, равномерно распре-
делённое по площади поперечного сечения
цилиндра:
У внешней поверхности цилиндра:
У внутренней поверхности цилиндра:
{ат)г=г0= pi
Rl + rl
— Рс
2Rl
<»—г0
R' —
Последнее напряжение обычно является
наибольшим. На большее касательное напря-
жение у внутренней поверхности цилиндра
Rl
ттах — (Pi—Pa) D^ J> '
1\ о — 'и
Во всех формулах за положительные при-
няты направленля давлений на фиг. 199.
Еслл цлл.шдр подвержен действию только
внутреннего давления, то наибольшее
нормальное напряжение возникает у внутрен-
ней поверхности цилиндра; оно равно
(ar)max= Pi
Ro
Наибольшее касательное напряжение так-
же действует у внутренней поверхности цилин-
дра:
= Pi
Когда цилиндр подвержен действию толь-
ко наружного давления, то наибольшее
нормальное напряжение возникает у внутрен-
ней поверхности цилиндра; оно равно:
= —Ра
2Rl
o — r0
У внутренней поверхности цилиндра дей-
ствует и наибольшее касательное напряжение:
— — Ра
Ко — Га
Условия прочности. При расчёте цилиндра
из пластического материала по 3-й теории
прочности условием прочности является
^max < "jf- ИЛИ Ттах < /?._ ,
где Ттах ~ наибольшее касательное напряже-
ние в цилиндре (у внутренней поверхности
цилиндра); Rz — допускаемое напряжение на
растяжение; /?т —допускаемое касатель-
ное напряжение.
Если известен внутренний радиус цилин-
дра Ад, то при заданных давлениях ра и р-.
для цилиндра без днищ наружный
радиус трубы должен быть
Ра)
, если pf>p&;
Ro>ro
/;
р
._:2р-а, если Pi<pa.
При одном внутреннем давлении
г, . ЛГ Rz
Rr*\ R2-2Pi'
При одном внешнем давлении
7?
Для цилиндра с днищами в слу-
чае, когда р,->рЯ' применимы для Ro те же
зависимости, что и для цилиндра без днищ.
Если Pi<Cpa, то
R,

352
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
При одном внешнем давлении
(Об условиях прочности за пределом упруго-
сти см. стр. 372).
Деформации цилиндра
Радиальное перемещение любой точки стен-
ки цилиндра может быть найдено по формуле
1 — и* Г| * i ° * & ~ i
Ц — Ра)
1 е (R:~K)r •
где Е — модуль Юнга; ,и—коэфициент Пуассо-
на; г — расстояние от оси цилиндра до точки,
перемещение которой определяется.
Если цилиндр подвержен действию только
внутреннего давления, то радиальное пе-
ремещение на внутренней поверхности будет
равно
l +
Rl
+ f*
Если на цилиндр действует только внеш-
нее давление, то радиальное перемещение
аа наружной поверхности будет:
rJRo+Го \
'Г~ i\n * ** П. \ Т? У I
\ '^-о о /
Пример. Определить напряжения, возникающие при на-
саживании одного стального цилиндра на другой (фиг. 200),
если радиальный натяг (раз-
ность радиусов до насажи-
вания) составляет Д = 0,05 мм.
Размеры наружного цилиндра:
ffn = с = 60 мм, го= Ь = 40 мм.
Размеры внутреннего цилиндра:
Ra = Ь = 40 мм, го — а = 2О мм.
Модуль Юнга Е= 2,1 • 10е
кг/см*.
Решение. После наса-
живания наружного цилиндра
на внутренний по поверхности
касания возникает давление,
которое увеличивает внутрен-
ний радиус наружного ци-
линдра и уменьшает наружный
радиус внутреннего цилин-
дра.
Сумма этих изменений
радиусов равна радиальному
натягу
Фиг. 200.
Отсюда
ЕЫ
b
- а2) (с"
)=д-
— а2)
Обычно наибольшие напряжения имеют место на вну-
тренней поверхности наружного цилиндра, где
р (Ь* +
R
—'- — 1600 кг/см-;
с2 — Ь-
= — р = — 615 кг\см%.
Наибольшее касательное напряжение у этой же по-
верхности
хшах =-Р-^^ = Ш° *г/сл*2-
Если полый цилиндр (втулка) насаживается на сплош-
ной цилиндр (вал), то при решении следует считать а — 0.
Скреплённый цилиндр (скреплённая труба)
При заданном внутреннем давлении в ци-
линдре нельзя, сколько бы ни увеличивали тол-
щину стенки цилиндра, уменьшить напряжение,
действующее у внутренней поверхности в тан-
генциальном напряжении, больше чем до опре-
делённой величины.
Для дальнейшего уменьшения напряжений
в цилиндре приходится применять не сплошной
цилиндр, а состоящий из двух насаживаемых
один на другой с натягом (так называемый
скреплённый цилиндр).
Давления от насаживания вызывают сжи-
мающие напряжения в тангенциальном напра-
влении у внутренней поверхности внутреннего
цилиндра, которые уменьшают растягивающие
напряжения, возникающие от внутреннего да-
вления.
На фиг. 201 пунктирной линией показана
эпюра напряжений в цилиндре со сплошной
стенкой толщиной с—а,
подверженном внутрен-
нему давлению.
Сплошной линией
изображена кривая на-
пряжений в скреплённом
цилиндре, которые полу-
чаются в результате сум-
мирования напряжений
в сплошном цилиндре с
напряжениями от наса-
живания.
Обозначим: а — внутренний радиус скре-
плённого цилиндра; с — внешний радиус скре-
плённого цилиндра; Ь — радиус поверхности
соприкосновения цилиндров; Д — радиаль-
ный натяг между скреплёнными цилиндрами;
ра — внутреннее давление; рс — наружное
давление.
При наивыгоднейшем соотношении радиу-
сов труб a, b и с и наивыгоднейшем натяге Д
наибольшее касательное напряжение в каждой
трубе (расчётное по 3-й теории прочности) бу-
дет минимальным [53].
Это напряжение
Фиг. 201.
^тах — 2(С — а) '
Соответствующее соотношение радиусов и
радиальный натяг определяются по формулам
Ь =
= -?-(pa~ рс).
ТОЛСТОСТЕННЫЙ ПОЛЫЙ ШАР, ПОДВЕРЖЕННЫЙ
ДАВЛЕНИЮ
Напряжения в толстостенном полом шаре
В толстостенном полом шаре с постоянной
толщиной стенок, подверженном действию рав-
номерно распределённых внешнего и внутрен-
него давлений ра и /*,- по граням элемента,
выделенного двумя сферическими и четырьмя
радиальными плоскостями, действуют только
нормальные напряжения (фиг. 202).

ГЛ. IV]
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
353
Напряжения, действующие в тангенциальных
направлениях в расстоянии г от центра шара,
2гЗ)
— Ра
Напряжение, действующее в радиальном
направлении,
R Pi
r*{R%-t%)
г3 (Rb г3)
Здесь Rq и г0 —наружный и внутренний ради-
усы шара.
Фиг. 202.
От внутренних давлений макси-
мальное напряжение, действующее в танген-
циальном направлении, возникает у внутрен-
ней поверхности:
/0 ч =
Pi
Максимальное радиальное напряжение
От внешних давлений максималь-
ное напряжение, действующее в тангенциаль-
ном направлении, возникает у внутренней по-
верхности
(о ) = (а ) = _ 3R3°
Максимальное радиальное
(у внешней поверхности)
напряжение
Условия прочности. Условие прочности
по 3-й теории:
Если известен внутренний радиус шара, то
при заданных давлениях ра и pf наружный
радиус шара должен быть
D "^ р •%/ _г,
, если Pi>pa\
/ Rr-Jlpt-Рй' "** Р1<Р"
Деформации шара
Если шар подвержен действию только
внутреннего давления, радиальное пере-
мещение внутренней поверхности
г0Г R
радиальное перемещение внешней поверхности
Если шар подвержен действию тол ь к о
внешнего давления, радиальное пере-
мещение внутренней поверхности
го —
радиальное перемещение внешней поверхности
До Г /-S -f- 2/?g
-f8) 0 —!*> — I* J -
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
По теории Герца [46, 781 давления между
двумя соприкасающимися цилиндрами и ди-
сками с параллельными осями распределяются
на площади контакта по эллиптическому
закону (фиг. 203). Пло-
щадь контакта — прямо-
угольник, две стороны
которого параллельны
осям цилиндров. Давле-
ния между пересекающи-
мися цилиндрами, а так-
же двумя деталями,
ограниченными криволи-
нейными поверхностями,
распределяются на пло-
щадке контакта по за-
кону поверхности эллип-
соида; площадка кон-
такта — эллипс.
Эллиптический за-
кон распределения да-
влений получен в теории
Герца при следующих
допущениях:
1) материалы сопри-
касающихся деталей сле-
дуют закону Гука;
2) линейные размеры поверхности контакта
для цилиндров (в плоскости их поперечных се-
чений) малы по сравнению с радиусами кри-
визны соприкасающихся поверхностей;
3) сжимающая сила направлена по нормали
к площади контакта;
4) давления, распределённые по площади
контакта, направлены по нормали к ней.
Так как линейные размеры площадки кон-
такта малы, то напряжения внутри детали возле
площадки контакта могут определяться в пред-
положении, что поверхность детали в месте
контакта ограничена плоскостью, к которой
Фиг. 203. Контакт двух
цилиндров длиной Ь:
1 — цилиндр из мате-
риала с упругими по-
стоянными Ei и [Aj; 2 —
то же с EQ и щ; 3 —
эллиптический закон
нагрузки по площад-
ке размерами 2а и Ь.

354
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
приложено давление, распределённое по эллип-
тическому закону.
Для цилиндров с параллельными
осями распределение давлений по длине
цилиндра остаётся постоянным. Напряжения
в точке цилиндра, лежащей по оси давления
на глубине у (фиг. 204), равны
в плоскости yz
Здесь ах и оу — главные нормальные напряже-
ния, действующие по площадкам, перпендику-
лярным осям хну (фиг. 204, a); az — главные
-0,2A,0 -Oftan -ОВпп -OSQo -1
Фиг. 204. Распределение напряжений в цилиндре
при контакте в точках, лежащих на оси давле-
ния. Наибольшее подповерхностное касательное
напряжение на глубине у0 = 0,786 а.
напряжения, действующие по площадкам, ле-
жащим в плоскости поперечного сечения ци-
линдра; у. — коэфицлент Пуассона; <7о—наиболь-
шее давление по площадке контакта в kzjcm2.
Определение размера а см. в табл. 43.
Наибольшие касательные напряжения
в плоскости ху (фиг. 204, б)
У
2а V
Касательные напряжения в плоскости хг
значительно меньше.
При контакте цилиндров с пересе-
кающимися осями или двух деталей,
ограниченных криволинейными поверхностями,
контакт происходит по площадке эллипса
с полуосями а и Ъ. Если а и Ъ известны
(см. табл. 43), то величина наибольшего давле-
ния <?о в центре площадки контакта
4V 2 тшб 4
где Р—полное давление.
Если принять оси х vi у соответственно
по полуосям а и Ь площади контакта, то глав-
ные напряжения а центре площади контакта
равны
,-A-2,- Ь
- A—
На концах осей эллипса площади контакта
растягивающее напряжение в радиальном на-
правлении равно сжимающему напряжению,
действующему по касательной к эллипсу [4].
На конце большой полуоси
<*z = 0; °х = — °у =
=-A-2,0 ?0
JL
[l-§Arth«]
(опасная точка).
На конце малой полуоси
*« = 0; о* = — <зу ==
Здесь
= —, эксцентриситет эллипса
е = V1 ~ Р2-
В этих точках имеет место чистый сдвиг
и наибольшие касательные напряжения: на
конце большой полуоси
= A — 2fi) g0 j% [- Arth e — 1
(опасная точка) на конце малой полуоси
= A -2|») 9о|(l - \arctg I).
Эти наибольшие касательные напряжения
возрастают по мере увеличения эксцентриси-
тета эллипса, т. е. по мере приближения эллил-
са к вытянутой полоске (контакт цилиндров).
При е <С 0i&9 наибольшее тшах получается

ГЛ. IV]
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
355
в конце большой полуоси, а при е>0,89—
в центре эллипса давления.
Если рассматривать точки внутри детали,
то наибольшее касательное напряжение полу-
чится в точке, лежащей на линии давления
на глубине г0, равной от 0,506 до 0,78*, где
b — наименьшая полуось эллипса. Величина
этого напряжения вычисляется приближённо
по формуле
Формулы для определения наибольших
напряжений и величины сближения двух
деталей для различных случаев контакта —
см. в табл. 43.
Расчётные формулы для контакта двух
параллельных цилиндров представлены
номограммами фиг. 205 и 206 [115]. Коэфициент
4
0,4 i
0,7 А
w -
V '
1
7
*тах%
2
W-
0J z
0,2 i.
-Q5-
ГЧ4
,-#¦=
Г2
^-20
Фиг. 205. Номограмма для расчёта контактных напряже-
ний при цилиндрических поверхностях с параллельными
осями: Еа — меньший модуль упругости в 10е kzjcm*;
imax — наибольшее подповерхностное касательное на-
пряжение в 10s кг/см'; д0 — наибольшее давление по пло-
р
щадке контакта в 103 кг\см*\ р' = - удвоенная вели-
_ "ri
чина давления Р в кг, отнесенная к диаметральному сече-
нию цилиндра с меньшим диаметром. Соединение шкал
производится в порядке их номеров.
Пуассона f* = 0,3. Изменение (х в пределах от
0,25 до 0,35 может дать изменения в величи-
нах 9о (наибольшее давление по площадке
контакта) и а Bа — ширина площадки кон-
такта) не более + 2°/в.
Пример. Модуль упругости обоих цилиндров одина-
ковый: Еа = Е(, = 2,1 ¦ 10е кг/см1. Радиусы цилиндров:
Гг=Ю см; Гц= оо (плоскость). Длина цилиндра Ь=30 см.
Полное давление Р=21000 кг.
Удвоенное давление, отнес'ённое к диаметральному
сечению меньшего диаметра:
Соединение шкал на номограмме производится в по-
рядке их номеров. По шкале 7 (фиг. 2J5) находим
до= 5,0-Ю3 кг/см2 и ттах = ^>5-103 кг{см*. По номограмме
а
фиг. 206 для —?-=5,0 яр' =70 кг\см* находим а' =0,0090
и 0,786 ¦ а' =0,0071. Отсюда ширина площадки контакта
2а—2 • 0,0090 • 30=0,54 см и глубина области наибольших
касательных напряжений _уо = 0,0071 • 30=0,21 см.
7Ш-
10000
20000
Фиг. 206. Номограмма для расчёта контактных напряжений
при цилиндрических поверхностях с параллельными осями:
2а — 2а'г, — ширина площадки контакта; 0,786а'л! —
глубина области с наибольшим касательным напряже-
нием.
При перекатывании цилиндра изменение
напряжений ах, ву, аг, хху, получаемых в точ-
ке, имеющей наибольшие касательные напря-
жения (при расположении цилиндра над этой
точкой), дано на фиг. 207.
Расчётные формулы для контакта двух
деталей, ограниченных сферическими по-
верхностями, представлены номограммами
фиг. 208 и 20Э [115].
Соединение шкал делается в порядке их но-
меров.
Решение контактной задачи при геометри-
ческих условиях контакта, более общих, чем
принятые в теории Герца, см. [93].
Для сжатия двух цилиндров, сумма кривизн
которых весьма мала (например, передача

356
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. !
давления от цапфы на подшипник),
теория Герца неприменима. Реше-
ние задачи — см. [92].
Для рпределения напряжений
и деформаций в посадках и на
прессовках деталей применя-
ются экспериментальные и расчёт-
ные методы. Трудность решения
контактных задач этого типа свя-
зана с влиянием на возникающие
"напряжения условий натяга, кон-
струкции напрессованных дета-
лей, отклонений (неточностей) в
изготовлении поверхностей, по
которым осуществляется сопря-
жение, и других условий. В ка-
честве примера на фиг. 210 при-
водится результат эксперимен-
тального исследования влияния
формы края напрессованной сту-
пицы на возникающие в валу на-
пряжения.
Напряжения и деформации при
напрессовке цилиндров — см.
стр. 350.
Фиг. 207. Линии влияния для <s к, а„ , а2 и zxy в точке цилиндра
с наибольшим касательным напряжением (для у0 = 0,786а); (х и X. — коэ-
фициенты Пуассона и Ляме.
Фиг. 208. Контакт тел со сферическими поверхностями:
Е а^Еь — модули упругости в 108 кг/слР; с/0 — наиболь-
шее давление по площадке контакта в кг/см*; р' =-ъ~
г
давление Р в кг, отнесённое к диаметральному сечению
шара меньшего диаметра.
L2W
Фиг. 209. Контакт тел по сферическим поверхностям:
р
р' — -— , давление Р в кг, отнесённое к диаметральному
сечению шара меньшего диаметра d; q0 — наибольшее
давление по площадке контакта в кг\и&.

ГЛ. IV]
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
357
Таблица 43
Формулы для наибольших напряжений и перемещений в деталях при контакте [4, 116]
Обозначения: Р — полное давление в кг; р — нагрузка на единицу длины цилиндра или единицу толщины пластинки
в кг/см; q — среднее давление на единицу площади контакта в кг/см3; q0 — наибольшее давление по линии кон-
такта, равное наибольшему сжимающему напряжению, в кг/см'1; max т —наибольшее касательное напряжение; max о,—
наибольшее растягивающее напряжение; с — радиус площадки контакта по кругу или ширина прямоугольной пло-
щадки контакта; а и b — наибольшая и наименьшая полуоси эллиптической площадки контакта; w—величина
сближения по линии давления точек обеих деталей, удалённых от зон контакта (или величина перемещения в на-
правлении, параллельном давлению по отношению к неподвижной точке, удалённой от зоны контакта); Е — модуль
продольной упругости; (а — коэфициент Пуассона.
Случай контакта
1. Цилиндр и де-
таль, ограниченная
ПЛОСКОСТЬЮ
7/////////////////
9. ТТилинттыг пя-
раллельными осями
Р
С) ^
U Т
3. Цилиндр и де-
таль с цилиндриче-
ской канавкой
А
Р
/'"л—F~F
L—о, —j.
4. Цилиндры, пе-
ресекающиеся под
прямым углом
Р
/л—
- — -*-^f «a
Формулы
Г
6 г
для размеров площадки
r 2
L Et
2")
2 .
E* J'
Уменьшение размера диаметра цилиндра
Если ?, =
При Е =
= JEj = ?¦ и р.
2,1 • 10е кг/сл
с =
e [1 = 0,25:
0,0015 VpD
то с = 2,15 "
'; $0 = 820-
контакта и
0 798
наибольших
/
напряжений
^1,x - A
между двумя сжимающими его гран
/1 2D \
1/ ^5^ > <?в =
= 0,591 -|/~?
E
D
/ — и max -с = 250 т/ -^-
(на глубине, равной 0,393 с от поверхности контакта)
с ¦— 1,о
Если Ях =
с = 1,6
Если Я, =
«, р и X
О,
а
9
X
l/ D
r
= Я,=?и р.
1/ p л"~
1
= ?4 = ?¦ и (J.
с =
3
l = p.a = 0,3,
/ p
y ?\
n 1 ^ — ^
~D 1 —?~
1-^1
' iE1 J '
TO
DtDa
! A — (J.2) p
? ic
= [*, = 0,3, то
2 15 l/ ^
/
| / P^.D,
V
зависят от <
1
o,9o8
i
a,«8o
' D — D '
Г 1 2
I ^1
L ^
r
V
отношения -
"iV,
1,045
0,765 •
2,060
-~ и даны
2
i,i58
0,632
2,O25
?о 0.''
/2 ,4
(з+1п
1
- ; q0 — 0,"
<f0 = 0,591 ¦
2 -1
2
Е3 J '
pa
l-p|)
Г
)81/ 1
1/ X
/ Di
У " D
/
1
?98Tj /
r -
/ I? A -
К р? Ai
D, + Ds
в следующей таблице:
3
i.35°
O,4&2
1-95°
4
1.505
0,400
1,875
P^0T
2
—|X j 1 -
+ Da
T\ T\
p гч~г>—
L_L.
D3
1,5P # ,
~ «eft '
6
1,767
0,308'
1,770
1
ими
a
2
и,
-
—
10
a,i75
O.22I
I,6l3

358
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 43
Случай контакта
Формулы для размеров площадки контакта и наибольших напряжений
5. Деталь, огра-
ниченная сфериче-
ской поверхностью,
и деталь, ограни-
ченная плоскостью
Т777777777777У77/'
6. Обе детали
ограничены выпу-
клыми сферически-
ми поверхностями
(два шара)
3 Г~ Т)П
Если ?, = ?, = 2 • 10е кг/см"; (i, = ц, = 0,25, то а = 0,0098 а Л/ Р ' $- .
Для этих значений Е и р. и для ~-~ от 1 до 8
и
1 93 3
max x = Цг-^гг- т / ~Чг . гДе Ri = ~тг &и Ri = ~2~ D'
<2
№)
0-271
с = 0,721 1/
PD
; q0 = 0,918
.г -- —
1/ Г 1 — t-f 1 — 1*2
3 /~ pd 3 А яя'
Если Я, = ?j = ? и |Aj = щ = 0,3, то с = 0,881 l/ -^-; д0 = 0,6161/ -^ ;
maxo, = 0,133 Q',,; ш»=1,55
max т = —- qa
Есл
maxt = — qn; max j, = 0,133 ^
7. Деталь, огра-
ниченная выпуклой
сферической по-
верхностью, и де-
таль, имеющая сфе-
рическое углубле-
ние
р j 2~Т 3 Г (Dl ~ D*Y
fli-o, L ?. ^ J I/ fi-f-J i-i«|
Если Е,=ЕШ=Е и 11^^=0,3, то с=0,881
max х = -- ^0; max з, = 0,133 g0
8. Общий случай
контакта двух де-
талей
Дет. 2.
Мет./
В точке контакта наибольшие и наименьшие радиусы кривизны 7?j и R^ — в детали
и /?„ и /?2 —в детали 2. Соответственно— , ——• , —; главные кривизны в пер-
пендикулярных плоскостях. Плоскость кривизны — (деталь /) с плоскостью кривизны —\
H К
Hi
(деталь 2) образуют угол <р. Тогда
3/"
) ру у р
1.5Р 3/"~Р8~ ,. о 3/"Р5~ , 3/~~РГ
*=-ыг- а=ау -w'' ъ^\ -V'w=xy w
R,
+
R2 R2

ГЛ. IV]
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
359
Продолжение табл. 43
I
Случай
контакта
9. Сосредоточен-
ия сила Р; деталь,
ограниченная пло-
скостью (упругое
полупространство)
[18]
,
1
1
<
р
0
г
1
L
• г —
у?
10. Жёсткий ци-
линдрический
лтамп радиуса /?,
тередаюший давле-
¦ше Р, i
i деталь,
эграниченная пло-
зкостью (упругое
юлу пространство)
щ
\Р
щ
rjcj- I
ft-J
ъ
где 9 =
е
а
Р
X
В
0°
оо
о
-
Формуль
8
3
arccos
10°
6,6l2
O,3I9
O,85I
м-
3.778
о,4о8
I.22O
для
размеров площадки контакта
ЕА
-А)
V
30°
2.731
о,493
1.453
35U
2.397
¦
о,53о
1-55°
и наибольших напряжений
1
40°
2,136
0,567
1.637
точке с координатами х, у, z:
г
1 ?
xzx
р ,
тс
1
г3
г* '
с "
тс
г»
1 t;
45"
1,926
0,604
i,7°9
Р I
J
1
( 1
\R*
50°
1.754
0,641
1,772
ZX'
1*
it
1 \
Z /
55"
„«„
0,678
1,8г8
1 —
3
2 ,
\
60°
1,486
0,717
1.875
2р. /
1
65°
1.378
Q.759
1,912
I
[г (г-
Г хуг , 1
1 ^
, и xZy находятся по формулам, аналогичны!*
Перемещение в направлении
силь
(И
Р (для точки z)
¦V-)P
[2A
для
-2A
3
qx и
1 + *^
Величина перемещения штампа в направлении давления:
Сжимающее напряжение в точке
•
max 5
min <j=
-
Р A
- (Д.-)
1RE
С детали, равное
Р
2г.Я У)?2
1
70й
1,284
о,8ог
L944
г)
\ / 1
) \ R
75°
1,202
0,846
Bг-
(г-г
. ху(Чг-
хгх-
контактному давлению
= оо (у края штампа);
Р
- (под
центром штампа
)
80°
1,128
1.985
г) л:1
)зГа
h ) "
85е
I,o6i
0,944
1,996
г \
90°
I,OO
1,00
2,00
J'
в этой точке:

360
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Продолжение табл. 43
Случай контакта
Формулы для размеров площадки контакта и наибольших напряжений
11. Равномерное
давление р в кг/см3
по площади круга
радиуса R; деталь,
ограниченная пло-
скостью (упругое
полупространство)
Величина перемещения точек плоскости, ограничивающих полупространство в напрапле
нии давления:
2/7/? A - |А2) .
-——^-g——— (в центре);
с" (У края).
max w —
Наибольшее касательное напряжение
тахт=:0,33 р
(в точке упругой детали под центром площади контакта на глубине, равной 0,638 R).
12. Равномерное
давление р в кг/см2
по квадратной пло-
щадке; деталь, огра-
ниченная плоско-
стью (упругое по-
лупространство)
Величина перемещения точек плоскости, ограничивающих полупространство, в иаправле
нии давления:
2,?АрЬ A _ [j.2)
max да=у? (в центре):
(в углах);
(среднее).
1
1
Е
,22pb(l
Е
,90 рЬ{\
к
-1*»)
13. Нагрузка, при-
ложенная по линии,
нормальной к пла-
стинке
В любой точке (исключая точки контакта) з = —— (сжатие).
Точки, лежащие на одной окружности диаметра d (круг Бусинеска), касательной в точке
контакта к прямой ss, имеют одно и то же радиальное сжимающее напряжение
Чр 1
а, - —!— • ¦ = const
14. Давление жёст-
кого штампа на уп-
ругую пластинку.
Давление р на еди-
ницу толщины пла-
стинки
Сжимающее напряжение в точке С пластинки, равное контактному давлению в этой
точке,
15. Равномерное
давление по краю
пластинки на уча-
стке длиной L
Напряжения в точке С: в = 0,318 р (a+sin a) (сжатие);
т = 0,318 р sin a.
Величины перемещения
точки Ot.
1п
_ Xl 1П
t J
точки О.,:
w — вертикальное перемещение точки О! или О3 по отношению к удалённой точке А

ГЛ. IV]
НАПРЯЖЕНИЯ ОТ СИЛ ИНЕРЦИИ
361
Схема нагрузки
ш
JP
р
?
1Ш\
1 ТТ t
р
схема
сопряжении
?L
а-ортш
a=o,O37fi к=2&
Фиг. 210. Влияние формы края ступицы на
напряжения "^дх в точке Л вала при напрес-
совке без изгиба по данным измерений поля-
ризационно-оптическим методом на плоских
прозрачных моделях из бакелита (см. стр. 394).
В точке А напряжение т = kp.
3) Стержень вращается; ось вра-
щения параллельна оси стержня
(фиг. 213). Наибольший изгибающий момент
в стержне, если концы
стержня закреплены шар-
нирно,
М max =
2 /2
Фиг. 213.
если концы защемлены,
.. Ff /?«J 12
/Итах = т^:
В этих формулах F — площадь сечения
стержня; R — расстояние от оси стержня до
оси вращения.
Наибольшее напряжение в стержне
W
НАПРЯЖЕНИЯ ОТ СИЛ ИНЕРЦИИ
В СТЕРЖНЯХ И В БЫСТРОВРАЩА-
ЮЩИХСЯ ДИСКАХ И ШКИВАХ
Рассматриваются случаи, когда при опре-
делении ускорений и сил инерции можно пре-
небрегать деформациями рассчитываемых де-
талей в связи с их малостью по сравнению с
линейными размерами.
где W—осевой момент сопротивления сечения.
4) Ось стержня наклонена к оси
вр ащения (фиг. 214). Наибольший изгиба-
ющий момент, действующий
у оси вращения,
у/7 0J/3 .
-^тах = —с sin 2a,
Фиг. 214.
Напряжения в стержнях
При определении напряжений в стержне
находятся значения сил инерции отдельных
элементов стержня по заданному движению и
расчёт от этих сил ведётся так же, как и в
случае статически действующих сил.
Напряжения в прямолинейных стержнях
постоянного сечения.
1) Стержень движется прямоли-
нейно по направлению своей оси
(фиг. 211). Наибольшее нормаль-
ное напряжение в стержне у за-
креплённого сечения
Фиг. 211.
= — О,
где / — длина стержня; а — ускорение стерж-
ня; у— удельный вес материала; g—ускоре-
ние свободного падения.
2) Стержень вращается; ось вра-
щения перпендикулярна оси стер-
жня (фиг. 212). Нормальное на-
пряжение в стержне в расстоянии
L от оси вращения
1Щ
где
ния.
Л
угловая скорость враще-
Фиг. 212.
где а — угол между осью стержня и осью
вращения.
Наибольшая растягивающая сила, действую-
щая у оси вращения,
Ртах =
Sin2 a.
Наибольшее нормальное напряжение у оси
вращения
Ртах
где Яг — допускаемое нормальное напряжение
на растяжение.
5) Всеточкистержня описывают
окружности радиуса R (спарник)
(фиг. 215). Наибольший изгибающий момент
действует в среднем се-
чении стержня, когда
угол между радиусом
кривошипа и стержнем
а = 90°; он равен Г,Т\ и/
/Итах =
/2
Фиг. 215.
6) Один конец стержня описыва-
ет окружностьрадиуса R, д р у г о й—
движется поступательно (шатун)
(фиг. 216). Если длина шатуна в несколько

362
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
раз больше радиуса кривошипа /?, то самое
невыгодное положение шатун будет занимать
при угле поворота кривошипа а = 90е. Наи-
больший изгибающий
момент при этом по-
Д ложении, действую-
щий в расстоянии
X = ¦-/= ОТ ТОЧКИ Л,
Фиг. 216. У 3
Напряжения в прямолинейных стержнях
переменного селения. Приближённый метод
определения напряжений приводится в при-
мере.
Прамгр. Проверить прочность стержня, изображён-
ного на фиг. 217. Стержень разбиваем на ряд частей i=
= 1, 2, 3, ... сечениями, перпендикулярными его оси.
Подсчитываем объ-
ёмы и веса этих ча- / { | ¦] г { / { /
стей: vt и "[Vf.
Определяем радиу-
сы центров тяжести т
этих частей г^ —
Определяем цен-
тробежные силы инер-
ции этих частей:
Р.=
Фиг. 217.
Напряжение в каком-либо сечении, например, в се-
чении III III,
>Тв« 1-1
III III
FIII III
Точность решения повышается с увеличением числа
частей, на которые разбивается стержень, особенно в
удалении от оси вращения.
Напряжения в криволинейных стерж-
нях. 1) Кольцо вращается в своей
плоскости (фиг. 218). Если толщина сече-
ния кольца мала по сравнению
со средним радиусом R, то
нормальное напряжение в по-
перечном сечении быстро вра-
щающегося кольца
Фиг. 218.
7»3
где v = mR — окружная скорость на среднем
радиусе кольца.
Значения напряжений в стальных кольцах,
в зависимости от окружной скорости, приве-
дены в следующей таблице:
v в Mjceic
з В KSJCM
25
5о
5о
2ОО
75
450
IOO
8оо
15°
i8oo
2ОО
32OO
250
5ООО
ЗОО
72ОО
Абсолютное радиальное удлинение кольца
(увеличение радиуса)
l\~ Eg '
где Е — модуль Юнга..
2)Кольцо вращается вокруг сво-
его диаметра (фиг.219). Наибольшая рас-
тягивающая сила действует
в сечениях А и В, через ко-
торые проходит ось враще-
ния,
N =
'vmax
g
В этих же сечениях воз-
никает наибольший изгибаю-
щий момент
Наибольшее напряжение
^'шах _|_ ''
°max ~ \%Г~
Увеличение радиуса кольца в направлении,
перпендикулярном оси вращения,
где J— осевой момент инерции сечения стержня
кольца.
Напряжения во вращающихся дисках
1. Диск постоянной толщины. Нормальные
напряжения в расстоянии г от центра диска
в тангенциальном направлении
в радиальном направлении
где /?0 — радиус диска; г0 — радиус отверстия;
\х — коэфициент Пуассона.
На фиг. 220 изображены эпюры напряже-
ний при отношении радиусов г0: Ro — 0,25.
В диске с отверстием наибольшее
нормальное напряжение возникает у внутрен-
него края диска:
Напряжение, действующее в радиальном
направлении в этом месте, з^ = 0.
В диске без отверстия наибольшие
нормальные напряжения возникают в центре:

ГЛ. IV]
НАПРЯЖЕНИЯ ОТ СИЛ ИНЕРЦИИ
363
В этом случае наибольшее напряжение,
действующее в тангенциальном направлении,
в два раза меньше, чем в диске с очень малым
отверстием.
Если на внешнем и внутреннем краях дей-
ствуют нормальные напряжения аа и Sj (фиг.221),
Фиг. 220.
Фиг. 221.
то к напряжениям от центробежных сил при-
бавляются напряжения от са и с,-.
Суммарные напряжения в этом случае
в расстоянии г от центра диска в тангенциаль-
ном направлении
1 Г2
0' 0
*о-
>2 Г2
1 +
R
радиальном направлении
Vm2 I
4-
— г2
'о
/
1'
й\1~ *
Наибольшее напряжение обычно имеет
место у внутреннего края диска и действует
в тангенциальном направлении.
2. Диск постоянной толщины с ободом
и втулкой. На фиг. 222 показаны составные
Фиг. 222.
части диска с напряжениями, действующими
по их внутренним и наружным контурам.
Изгибом обода и втулки, удерживаемых в
средних своих плоскостях диском, пренебрегаем.
Условие равенства радиальных перемеще-
ний обода и наружного диаметра диска даёт
уравнение
аТк RK = (°Г! — 1"я )#i. 0)
где RK — средний радиус обода; /?t—вну-
тренний радиус обода; о^ —радиальное на-
пряжение у наружной поверхности диска.
Среднее нормальное напряжение, действующее
в тангенциальном направлении от собственных
центробежных сил обода, внешней нагрузки
ра и от действия диска ср .
g
где в свою очередь vK — скорость на среднем
радиусе обода; Ьо — ширина обода; sq — толщи-
на обода; s — толщина диска; RQ — наружный
радиус обода.
Нормальное напряжение, действующее в
тангенциальном направлении у наружного края
диска:
R\-R\
где в свою очередь R2 — наружный радиус
втулки; <sR —радиальное напряжение у вну-
треннего отверстия диска.
Условие равенства радиальных перемеще-
ний внутренней поверхности диска и наружной
поверхности втулки даёт уравнение
* ??~ ~"*~ / •¦ ~ *_ Г'
B)
где Ьв — ширина втулки; oys — нормальное на-
пряжение, действующее в тангенциальном
направлении у внутренней поверхности диска:
- l?[0 -1*)
C
,
Ri — R2
с —нормальное напряжение, действующее
п
в тангенциальном направлении у наружной
поверхности втулки:
где в свою очередь г0 — внутренний радиус
втулки; р( — напряжение на внутренней поверх-
ности втулки.
¦ Из уравнений A) и B), которые целесооб-
разно решать после подстановки числовых

364
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
значений известных величин, находятся неиз-
вестные aD и а„.
Напряжение, действующее в тангенциаль-
ном направлении у внутренней поверхности
втулки,
'о]
Обычно максимальными напряжениями явля-
ются радиальное напряжение в плоском диске
у втулки и напряжение, действующее в тан-
генциальном направлении у внутреннего края
втулки.
Условия прочности. Так как напря-
жения aD и и aD и от обычно однозначны,
Кг '1' «2 *
а напряжения ср =ра и ат. — разных знаков,
«/ i
то по 3-й теории прочности условия прочности
диска:
<R2;
Если в диске имеются отверстия, то напря-
жение на окружности отверстия превышает на-
пряжение в том же месте цельного диска по
меньшей мере в 2 раза. Если при этом одно
из напряжений ау или а„ мало, то наибольшее
напряжение на краю отверстия поднимается
до величины, в 3 раза большей напряжений
в том же месте сплошного диска.
3. Диск равного сопротивления. 1) Диск
без отверстия (фиг. 223). В диске рав-
ного сопротивления в любом расстоянии от оси
вращения нормальные
напряжения, действую-
Фиг. 223.
Фиг. 224.
щие в радиальном и тангенциальном напра-
влениях, равны напряжению у наружного края
диска:
2) Диск равного сопротивления
с ободом (фиг. 224). Условие равенства ра-
диальных перемещений обода и диска- даёт
уравнение
где RK — средний радиус обода; R± — внутрен-
ний диаметр обода; zTk — среднее нормальное
напряжение, действующее в ободе в тангенци-
альном направлении от собственных центро-
бежных сил обода, внешней нагрузки ра и со
стороны диска т.
где в свою очередь v — окружная скорость
на среднем радиусе обода; s$ — толщина обода;
Ьо — ширина обода; Ro — наружный радиус
обода; s-, — толщина диска у обода.
При расчёте на прочность, исходя из вели-
чины а = Rz, находят st либо по известной
величине ^ находят а.
3) Диск равного сопротивления
с ободом и втулкой
(фиг. 225). В сплошном ди-
ске равного сопротивления
с ободом средняя часть ди-
ска может быть заменена
втулкой.
Условие равенства ради-
альных перемещений на-
ружной поверхности втулки
и внутренней поверхности
диска даёт уравнение фиг 225
где a — напряжение в диске равного сопроти-
вления; R2 — наружный радиус втулки; г^ —
внутренний радиус втулки; s2 — толщина диска
у наружного радиуса втулки; Ьв — ширина
втулки.
Из этого уравнения можно, например, найти
ширину втулки Ьв, если её толщина, радиус
отверстия и и известны.
Наибольшее нормальное напряжение на
внутренней поверхности втулки, действующее
в тангенциальном направлении,
Толщина диска в расстоянии г от центра
где ^ — толщина диска у наружного края.
Удлинение .радиуса* диска равного сопро-
тивления
Условия прочности диска равного сопроти-
вления (у втулки) по 3-й теории прочности
— ( — Pi) = Pi + °7-

ГЛ. IVJ
НАПРЯЖЕНИЯ ОТ СИЛ ИНЕРЦИИ
365
4. Диск конического сечения (фиг. 226).
В расстоянии г от центра диска нормальные
напряжения, действующие в тангенциальном
и радиальном направлениях:
Фиг. 226.
Значения kp, kT, plt р%,
и до для разных отноше-
ний -~- приведены в табл. 44.
Таблица 44
г
R
о
о,о5
о,ю
о,15
О,2О
о.зо
о, 4°
о,5о
о,6о
о,7°
о,8о
о,9°
1,00
kR
0Д655
0,1709
ОД753
0,1782
ОД794
0,1761
0,1694
0,1560
ОД355
0,1094
0,0805
0,0442
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1655
1695
i725
*749
1763
1767
1739
1675
1579
1445
1286
IIOO
0840
1.435
1,497
1.559
1,627
1,707
1,898
2,151
2,501
3,021
3.860
5.5бЗ
10,620
00
Ях
1.435
L475
i,5i8
1.565
1,617
1.738
1,890
2,090
2,369
2,794
3-557
5-554
00
Pi
со
—273.4°°
— 66.62O
— 28,680
— 15,54°
— 6,371
- 3.158
— 1.743
- 0,0988
— 0,5670
— O.2971
— O.I2O3
о
оо
288,600
77,280
36,55»
21,9Ю
10,890
6,915
4.944
3.8i6
3,102
2,614
2,263
2,051
Т = 1,1Ы0~"Б#*л9т(или для стали т =
— 8,7-10~8/?2л2), где/? — расстояние от оси
вращения до вершины конуса; п — число обо-
ротов диска в минуту.
Значения коэфициентов А и В находятся
из условий равенства радиальных напряжений
во внешнем и внутреннем краях диска внеш-
ним напряжениям/^ ира:
при r = r0
при г = R{)
aR
= + ра
Пример. Найти напряжения у внутреннего края сталь-
ного диска, если/?,- =0, Ра =200 кг/см1, п =2500 об/мин.
Размеры диска: R = 300 мм, Ra = 210 мм, го = ЗО мм
(фиг. 226).
Из табл. 44 выписываем.-
Внутрен-
няя поверх-
ность ...
поверхность
г
R~
O.I
о,7
kR
O.I753
0,1094
'г
0,1725
ОЛ445
Pi
1.559
З.860
Q\
1,518
s.794
Ри
—66,620
—0,5670
77,280
3.IO2
т = •
кг/см11.
Приравнивая радиальные напряжения на внутреннем
и внешнем краях диска внешним напряжениям pi = 0 и
ра = 200 кг/см'2, получаем/
при г = г0 0 = 489 • 0,1753 +Д . 1,559 + В(— 66,620);
при л = /?„ 200 = 489 . 0,1094+Л • 3,860+Л (-0,5670),
откуда А = 38,29; В = 2,21.
Нормальные напряжения, действующие в тангенциаль-
ном направлении у внутреннего края диска (при /¦=/•(,),
ij.= 313 кг/см*.
5. Расчёт диска любого профиля путём
разбивки его на участки постоянной тол
щины (по методу Яновского). Примем ниже-
следующие обозначения: г — радиальное рас-
стояние любой точки диска от его оси вра-
щения; хк — толщина диска в расстоянии гк от
оси вращения; oR — нормальное напряжение,
действующее в радиальном направлении; sT —
нормальное напряжение, действующее в танген-
циальном направлении.
Диск любого профиля заменяется диском
ступенчатого профиля, толщины ступенек ко-
торого одинаковы с толщинами истинного про-
филя только в средних сечениях (фиг. 227).
Условимся: 1) вести нумерацию от втулки
к ободу; 2) у величин, относящихся к погра-
ничным поверхностям ступенек, ставить снизу
номер соседней ступеньки со стороны втулки;
3) величины, относящиеся к серединам ступе-
нек, отмечать номером ступеньки (внизу) и
звёздочкой (*) вверху; 4) напряжения в слоях,
пограничных с поверхностями раздела, разли-
чать постановкой штриха у величин, относя-
щихся к слоям, находящимся ближе к ободу.
На фиг. 227 показаны обозначения толщин
ступенек, радиальных напряжений, радиусов
в разных расстояниях от оси вращения.
/
1
1
I
1
Шк-t
Хк-t
\
\
1
Фиг. 227.
В целях облегчения расчёта целесообразно
определить вспомогательные величины — по-
стоянные
0+нОт' " (
зависящие от расстояния гк
. V2
тк-\
Эти величины определяются для каждой
ступеньки к диска.
Расчёт вспомогательных величин удобно
вести в табличной форме.
Расчёт диска по ступенькам от ступицы к
ободу производится для двух случаев: 1) диска,
вращающегося с заданной скоростью о>; 2) ди-
ска невращающегося.
Первый расчёт (о> ф 0). 1) Задаются
напряжениями (aR)o и (а^о У внутренней
поверхности втулки, первым — равным

366
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
ожидаемому напряжению от натяга, вторым—
произвольно.
2) Находятся сумма и разность напряжений
aR и °г У нижней поверхности первой (к — 1)
ступеньки:
б. Определение напряжений в диске,
отвечающих заданным условиям. Напряже-
ния в диске, отвечающие заданным условиям,
находятся по формулам
3) Находятся сумма и разность этих на-
пряжений у внешней поверхности первой
ступеньки по формулам
Do + Ьх
К1
4) Находится радиальное напряжение у
внешней поверхности первой ступеньки по
формуле
где (зд)/ и (sf)/ — напряжения, полученные
по первому расчёту; (s^)// и (^т)п — напряже-
ния, полученные по второму расчёту; k —
коэфициент, определяемый из условия равен-
ства радиального напряжения у обода интен-
сивности заданной нагрузки от центробеж-
ных сил, приложенных к ободу извне:
k =
5) Находится приращение радиального на-
пряжения при переходе от первой ко второй
ступеньке:
6) Находится приращение суммы и разности
радиального и тангенциального напряжений у
нижней поверхности второй (к = 2) ступеньки;
= 1,
ADj = - 0,7 (Д
7) Находятся сумма и разность этих на-
пряжений у нижней поверхности второй сту-
пеньки по формулам
8) Находятся сумма и разность радиаль-
ного и тангенциального напряжений у верхней
поверхности второй ступеньки по формулам
— S,
Iz't ?>2 =
h
Далее расчёт продолжается аналогично
п. 4—8 и т. д. до последней ступеньки.
Напряжения в срединных поверхностях
ступенек подсчитываются по формулам
к- «-г- «> к - ^ ;
к — номер ступеньки.
Весь расчёт производится в табличной
форме.
Второй расчёт (ш = 0). Так как рас-
чёт производится в предположении, что диск
не вращается, то вспомогательные величины
в этом расчёте а^Ои Ьк = 0.
Радиальным напряжением (а^)'о у внутрен-
ней поверхности втулки задаются таким же,
как и в первом расчёте, тангенциальным (ат)'о—
произвольно.
Самый расчёт производится совершенно
так же, как и в первом случае. Расчёт обычно
производят в табличной форме.
где (<з#)п1 — радиальное напряжение у наруж-
ной поверхности обода по первому расчёту;
{?ц)пи — радиальное напряжение у наружной
поверхности обода по второму расчёту; (в%)п—
интенсивность нагрузки на поверхности дбода
от центробежных сил, приложенных извне.
Исходные напряжения у внутренней по-
верхности втулки (первой ступеньки) для
окончательного расчёта диска, отвечающие
заданным условиям, будут
По этим исходным напряжениям рассчиты-
ваются напряжения в ди-
ске так же, как и в первом
расчёте.
Все расчёты дают до-
статочную точность при ис-
пользовании 50-см счётной
линейки.
Пример [95]. Произвести про-
верочный расчёт диска, изобра-
жённого на фиг. 228.
Диск вращается со скоростью
я = 3000 об/мин (ш =314,1 1/сек).
Интенсивность нагрузки от цен-
тробежных сил, приложенных к
внешней поверхности обода, равна
50U кг/см*.
Решение. Разбиваем диск
на 12 ступенек, из которых 10 сту-
пенек заменяют среднюю часть
диска переменной толщины.
Радиусы и толщины ступенек
выписаны в графах 2 и 8 табл. 45,
Вспомогательные постоянные:
Фиг. 228.
A + Н-) Т
A — ц) т 0,7 ¦ 0,0078
2
1.3-
4
•981
0,0078
• 981
= 193 540 см1/кгсе0;
= 718 680 сМЧкгсек*.
Вспомогательные величины, зависящие от расстояния
от оси вращения, выписаны в табл. 45
Имея вспомогательные величины, производим расчёт
диска от ступеньки к ступеньке при вращении.

ГЛ. 1VI
НАПРЯЖЕНИЯ ОТ СИЛ ИНЕРЦИИ
367
Таблица 45
1
Номер
ступеньки
к
i
я
3
4
5
6
7
8
л
У
13
о
I
2*
2
3*
3
4*
4
5*
5
6*
6
7*
7
8*
8
9*
9
ю*
IO
II*
II
13
2
гл в см
8,о
13,О
14,о
1б,О
18,0
2О,О
22,5
25.°
27-5
Зо,°
32,5
35,о
37.5
4°,°
42,5
45
47-5
52.5
55-°
57-5
6о,о
66,О
3
2
Г* в см*
64
324
4оо
506,25
625
756,25
9°о
i°56,25
1225
1406,25
i6oo
1806,25
2025
2256,25
2500
2756,25
3025
3306,25
3600
4356
4
2,25°
1,361
1.778
1,266
1.563
1,266
I.2IO
1,44°
i!i48
1,306
1,129
1,266
1,114
1.235
1,102
1,210
1.09З
1,190
1,210
5
8о,оо
56,00
112, ОО
68,00
144,°°
IO6.25
225.OO
131,25
275.ОО
156,25
181,25
375,00
2Об,25
425.OO
231,25
475.OO
256,25
525,оо
281,25
575 .оо
75б.оо
6
ак в кг/см?
4°,8
2б,5
57,1
34,7
73.4
54,2
,7
66,9
14°,з
79,7
92,4
191,2
105,1
2l6,7
-9
342,3
130,7
267,7
143,4
29З.1
385.4
7
bK в кг/см*
35,7
42,7
21,2
5°>7
ЗЗД
79-2
39,8
92,1
46,7
юз.о
53,5
и8,8
6о,з
132,2
67,1
145.8
74,о
159-3
8о,9
172,9
329,4
8
ХквММ
но
69,3
о
3 >i
28,9
26,4
24.O
21,7
, /
19,4
17 I
15 о
i3,o
28,0
9
ч
0,631
°-549
° >757
°.9i5
о 911
0,903
о 8qj.
0,883
0,876
о,86ч
2,161
—
10
°, 585
О, 823
О,32Ю
0,0929
O.OQ77
О,Ю74
O,Il86
О 1Ч2Ч
О I4l6
, 4
0 1588
, э
—О.ВД7
—
Примечание. К каждому номеру десяти средних ступенек с переменной толщиной относятся две строчки
таблицы, из которых отмеченная звездочкой относится к срединной, а без пометки—к наружной поверхности ступенек.
Задаёмся (о#H =—50 кг/см1 (ожидаемое напряжение
от натяга); (з)о =1500 кг/сл'. Затем по приведённым выше
формулам подсчитываем последовательно, начиная от пер-
вой ступеньки, значения величин S/(,_1, DK_i> §Kt DHt
CR)k' (Дзг)к«л5«' Л?>«- C/?)*. (°г)к' и вьшисываем
их в соответствующие графы табл. 46.
Таблица 46
Затем также производим расчёт неподвижного диск»
(со =0).
Задаёмся: ( о Д = - 50 кг/см'; (а^ = 1200 кг/см'.
Необходимые величины по второму расчёту выписаны
в табл. 47.
Таблица 47
1
,J
I
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
4
1450
1677
2303
2692
2739
2768
3786
2796
звоо
2791
2778
1643
з
7
""о
—528
—234
—i86
-156
-138
-123
—112
- 97
— 86
527
4
t4*
1409
1620
223O
^577
2599
2OO2
2595
2579
2558
2523
2485
1358
15
—99
-65
—39
—15
7
28
73
б25
"?
352
640
ио8
1338
1332
132°
i3°5
1286
1265
1236
12О6
7
ъ
526
356
124
142
155
17°
196
—648
8
268
683
462
1б2
169
i84
2OI
221
233
255
—842
9
—144
-368
— 249
- 87
— 99
—ю8
-119
—125
—137
454
10 | И
352
7
1398
1396
139°
1383
1373
1361
1320
_558
*—?
о
15°°
i°57
i°37
"З1
1239
1275
1297
131°
1317
1321
13^9
1315
io85
941
1
i
а
3
4
5
б
7
8
9
ю
II
12
2
1
1
°
1376
1980
2404
2560
2734
2939
3184
3483
3837
4281
2581
3
|
1250
434
— 82
4
со*
и5о
1376
io8o
—280^2404
—збз 2560
—2772734
—315 2939
-373 3184
—455 3483
—559 3837
-7О1
327
4281
2581
5
556
244
— 52
— 179
-i83
—2O4
—241
—294
—368
—462
-589
270
6 | 7
¦ft:
297
566
1016
1291
I37I
1469
I59°
1739
1925
2150
2435
1
I?4
465
326
120
134
158
189
231
273
341
-1308
8
со*
226
604
424
156
174
205
245
299
354
444
—1700
9
—133
-326
—228
-84
— 94
—in
-132
—161
-191
-239
916
10
0;
11
J
—501200
¦*y/
528
1022
1312
1389
1482
1607
1757
1951
2172
2461
1127
5
847
957
1091
1171
1251
1332
1427
1532
1665
1819
1454
1425
По первому расчёту напряжение, действующее в ра-
диальном направлении у поверхности обода (ft = 12),
316
По второму расчёту это же напряжение
) = 1155 кг1см'-
Примечание. В графах 10 и 11 для первой и
последней ступенек вместо напряжения в серединной
поверхности даны напряжения у нижней и верхней поверх-
ностей этих ступенек.
Так как по условию задания интенсивность нагрузки
от центробежных сил у поверхности обода

368
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
то коэфициент
Ибо
Находим исходные напряжения для определения на-
пряжений в диске, отвечающих заданным условиям:
(aR)'o = — 50 A+0,1592) = - 58 кг/см1;
(зт\ = 1500 + 0,1592.1200 = 1691 кг/см3.
Так же как и в предыдущих расчётах, находим зна-
чения величин, входящих в табл. 48, и получаем в гра-
фах 10 и 11 значения действительных напряжений
"R и аТ в ступеньках диска.
Таблица 48
1
а
i
а
3
4
5
б
7
8
9
ю
и
12
2
I
- *
,633
1895
2617
3°74
3145
32O2
3253
ЗЗО2
3354
34°i
3459
2052
3
1
1749
630
— 42
-277
—227
—2ОО
-188
— 182
—188
-199
578
4
«0*
1592
i838
2544
2959
3005
3036
3062
3085
3133
3166
1677
5
с?
793
378
6
-127
— 94
— 71
— 53
— 4°
— 32
— 24
— 22
667
6
ь;
?
399
73«
1269
1543
1549
1553
1557
1562
1572
1578
1594
7
д
233
боо
4°7
143
151
1б7
185
2O7
222
25O
-857
8
3°3
779
53о
i86
197
217
240
269
289
326
—1114
9
-163
—420
-285
—100
—106
—117
—129
-145
-156
—*75
боо
10
*
?
58
399
696
1299
1бо6
i6i6
1626
1639
1652
1671
1687
1712
J737
500
11
*
«з
1691
IIQ4
1172
1282
14*3
1462
1496
1522
1544
1565
1583
i6o4
1167
7. Напряжения в быстро вращающемся
полом валу. В достаточном удалении от кон-
цов вала (где деформацию можно считать
плоской) нормальное напряжение от сил инер-
ции, действующее в радиальном направлении
а%, действующее в тангенциальном направле-
ний су- и действующее в осевом направлении
ъх у внутренней поверхности вала:
aR = 0;
1 — и, 4р" 1 —
ах = -—¦— ¦ ~(/?2 _
у внешней поверхности вала:
1—
4?
И-
3-2^
1 _ p,
Напряжения во вращающихся маховиках
Обозначим (фиг. 229): R — средний ра-
диус обода; F — площадь поперечного сече-
ния обода; J—осевой момент инерции попе-
речного сечения обода; /^—
среднюю площадь попереч-
ного сечения спицы; 2х—
угол между осями соседних
спиц; о—угловую скорость
вращения маховика; v —
= to/?—окружную скорость
обода; у—удельный вес ма-
териала.
Приняты допущения, что:
1) площадь спицы постоянна;
2)спица имеет длину R;
3) толщина обода мала по сравнению с радиу-
с»м маховика.
Статически неопределимая сила, растяги-
вающая спицу и изгибающая обод,
Фиг. 229.
Y_2
где
g Д2
J J
fl (а) = 2Шч\~Т~ + 27;
1 /Sin 2а
1
Значения функций fx fa) и /2 (х) для раз-
личного числа спиц л приведены в следу-
ющей таблице:
п
Л («)
4
0,643
о,оо6о8
6
O.957
0,00169
8
1.274
0,00076
Изгибающий момент Мо и продольная сила
Nq, действующие в сечении обода, делящем
угол между спицами пополам,
1
2 \sina
g
2 Sin a
За положительные приняты изгибающий
момент, увеличивающий кривизну обода (рас-
тягивающий внешние волокна), и растягиваю-
щая сила.
Изгибающий момент и продольная сила в
любом сечении обода
где R— наружный; г —внутренний радиус вала.
Если на внутренней и внешней поверхно-
стях вала действуют наружные давления, то к
напряжениям от сил инерции надо прибавить
напряжения, возникающие от давлений (см.
стр. 350).
X cos cp
2 sin a
где cp — угол между средним сечением обода
и сечением, в котором определяются М и N.

ГЛ. IV)
ТЕРМИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
369
Растягивающее усилие в сечении спицы
в расстоянии г от оси маховика
где (A/j)y — центробежная сила инерции части
спицы длиной R — г.
В случае спицы постоянного сечения
Пример. Найти напряжения, возникающие в ободе
чугунного маховика, при окружной скорости вращения
v = 30 м/сек (фиг. 230).
Число спиц я — 6 (а = 30°). Средний радиус обода
R ~ 192 см. Площадь сечения обода F — 200 см3. Мо-
Фиг. 230
мент инерции сечения обода J = 4260 см*. Момент со-
противления сечения обода W = 535 см1.
Площадь среднего сечения спицы (сечение спицы
эллиптическое)
Fi = г. • 4,25 • 8,5 = ПО см?.
Удельный вес чугуна f = 0,00725 кг/см*
Статически неопределимая сила
v - — °'00725 • 200 • 3000'
3 981 ~Х
Х-
1Ч22 200
200— 0,00169+0,957+ -^
В сечении между спицами изгибающий момент
1560- 392 f 1 6 \
Мв = ^— I -г-з I = 13 500 кгсм.
2 ^0,о тс '
продольная сила
_ 0,П0725 • 200 ¦ ЗГОО* 1560
0 ~ 981 21O5
11 740 кг.
Наибольшее -напряжение в сечении между спицами
(во внешнем волокне)
13 500 11740
3 = -Т5=- + —^г- = 84 кг/см3.
535
200
В сечении обода у спиц (ср = а) изгибающий момент
Af' = 13 500 -
5
и,о
0.2593 = 26 500 кгсм,
продольная сила
, _ 0,00725 • 200 ¦ 3000а
N 981
1560
2- 0,6
0,966= И 790 кг.
Наибольшее напряжение в этом сечении (во внутрен-
нем волокне)
26 5С0 и 790
3 +1O9«/A
Напряжение в спице у обода
а = ^- = 18 кг!см\
ТЕРМИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Обозначим: ? — модуль Юнга; а — коэфи-
циент линейного расширения; (л — коэфициент
Пуассона.
Предполагается, что а и jx не изменяются с
изменением температуры* и напряжения во всех
случаях не превышают предела упругости.
Термические напряжения в стержнях
1. Если концы прямолинейного однородного
стержня закреплены (фиг. 231), то при возра-
стании температуры на величину ДГ в нём
появятся напряжения сжатия:
2. Если прямолинейный стержень прямо-
угольного сечения нагревается так, что темпе-
ратура на одной его поверхности выше, чем
на противоположной поверхности, на величину
Д7\ причём температура между поверхностями
изменяется линейно, то стержень искривится
по дуге круга и радиус кривизны его оси
будет
h
где h — высота стержня.
Если концы стержня при этом защемлены,
то на более нагретой стороне стержня возник-
_^_
Фиг. 232.
нут напряжения сжатия, а на более холодной
напряжения растяжения:
3. Если два жёстко соединённых между со-
бой стержня из различных материалов (фиг. 232)
равномерно нагреваются и оси их остаются
прямолинейными, то в стержнях возникают на-
пряжения, которые могут быть найдены из
уравнений
где Fx и Pi — площади поперечных сечений
стержней.
В этих уравнениях индексом 1 отмечены
величины, относящиеся к первому стержню,
индексом 2 — величины, относящиеся ко вто-
рому стержню.
Термические напряжения в пластинках
1. Если все края плоской пластинки закре-
плены, то при её равномерном нагревании
в ней возникнут напряжения сжатия:
2. Если края пластинки не закреплены и
пластинка нагревается так, что на одной её
где F *= к 7,5 • 3,75 = 88,2 см3 — площадь сечения спицы «Свойства материалов при повышенных температурах
у обода. приводятся в т. 3.

370
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
поверхности температура выше, чем на другой,
на величину ДГ, причём температура между
поверхностями изменяется линейно, то пла-
стинка изогнётся по шаровой поверхности. Ра
диус кривизны серединной поверхности будет
__ s
Р~~~а~К?'
где s — толщина пластинки.
Если у этой пластинки края защемлены, то
на наиболее нагретой стороне возникнут на-
пряжения сжатия, а на холодной — напряжения
растяжения
'_ ДУа?
а-± 0-РО '
Можно считать, что такие же напряжения
возникнут в сферической или цилиндрической
оболочке с защемлёнными по контуру краями.
3. Если в круглой пластинке (фиг. 233)
с незакреплёнными краями температура из-
Фиг. 233
Фиг. 234.
меняется только вдоль радиуса, то нормаль-
ные напряжения в расстоянии г от цен-
тра пластинки равны:
действующее в радиальном направлении
R г
~D2 J Г'
О О
действующее в тангенциальном направлении
R
„Г „ . i
где/?—радиус пластинки; Г = Тг— Тт1л> где
в свою очередь Тг — температура в расстоя-
нии г от центра пластинки; Г min — наимень-
шая температура в пластинке.
4. Если в круглой пластинке с незакреплён-
ными краями нагрета только внутренняя часть
с малым радиусом а (фиг. 234), то в пла-
стинке возникнут нормальные напряжения
в радиальном и тангенциальном направлениях:
внутри нагретой части
<Jd = Gf— q-ДГ аЕ]
вне нагретой части
°/? ~ °7" == лГ ^ ТлЕ jjj, <
где ДГ—разность температур внутренней и
наружной частей пластинки.
Из этих напряжений внутри нагретой части
0^ и оу— сжимающие, вне нагретой части <sR —
сжимающее и $т— растягивающее.
Термические напряжения в тонкостенных
трубах
1. Труба бесконечной длины. Темпера
туры внутренней и наружной частей посто-
янны. Можно считать, что температура между
наружной поверхностью трубы и внутренней
изменяется линейно.
Тогда наибольшее сжимающее напряжение
на более нагретой стороне и наибольшее рас-
тягивающее на более холодной стороне
ЕаАТ
а в
+
где ДГ—разность температур внутренней и
наружной поверхностей трубы; sj- — напря-
жение, действующее в тангенциальном на-
правлении; Ojp — напряжение, действующее
в осевом направлении.
2. Труба конечной длины со свободными
концами. Температуры внутренней и наруж-
ной поверхностей у
постоянны (фиг.
235). Наибольшие
напряжения (у вну-
тренней или наруж-
ной поверхности)
в расстоянии х от
Свободного КОНЦа фиг. 235
трубы равны:
действующее в осевом направлении
?аДГ
2A -Ц)
О-*);
действующее в тангенциальном направлении
где 5 — толщина стенки трубы; с — средний
радиус трубы,
<р = е ~ $х (cos $х + sin px);
ф = е ~®х (cos §х — sin fU), Э =
Графики функций <р и ф имеют волну
с постепенно убывающей амплитудой. Графики
этих функций см. G7].
В большом удале-
^у/\ нии от концов трубы
tff/T^sfis. напряжения ах и nj
имеют те же значе-
ния, что и в беско
нечно длинной трубе
Полоска, выделен-
Фиг. 236. Ная двумя продоль-
ными (меридиональ-
ными) сечениями из трубы (фиг. 236), изги
бается к свободному концу.
Её прогиб на конце трубы
1 + а а ДГ
232
Угол наклона касательной к её оси на конце
трубы
(dy\ __ l-T-p аДГ
\dx) ~~ Г" ' ~^~ '

ГЛ. 1V)
ТЕРМИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
371
3. Влияние различных условий на кон-
цах трубы. Если на конце трубы действуют
равномерно распределён-
ные по окружности стен-
ки внешний момент Мо
и нагрузка #о (фиг. 237),
то осевое напряжение
в стенке от них
A
Фиг. 237
sin p x\ x — расстояние от конца
где Ф = е
трубы.
Напряжение, действующее в тангенциаль-
ном направлении от /Ио и q$ (у внутренней
или наружной поверхности):
»г
где 8 — е cos fl х.
Прогиб полоски, выделенной из трубы, на
конце трубы
, Л 1 — д2
у' = 6
Угол наклона касательной этой полоски
на конце трубы
\dx
Для получения полных напряжений в стенке
грубы надо к напряжениям ах и qt от действия
Мо и #о прибавить напряжения от температуры
J, И Ну.
Величины Mq и q0 устанавливаются, исходя
из условий на концах трубы.
Пример. Определить напряжения в чугунном цилиндре
Ц5= ) • 10» кг/см', а = 11 • 10~ 6, [х = 0,25), если темпе-
ратура внутри выше, чем снаружи, на 50° С (ДГ=, 0° С),
Опоры цилиндра настолько
жёсткие, что прогиб на кон-
цах цилиндра равен нулю
(фиг. 238). Внешний момент
может быть принят равным
нулю (Мо = 0).
Наружный диаметр цилин-
дра jj = о2о мм, внутренний
d = 475 мм, длина цилиндра
I = 750 мм.
Решение: с = 25 см.
s - 2,5 см.
Фиг. 838
¦х ^, "¦/¦ = 0,164 см
Прогиб от температуры и нагрузки на конце цилиндра
У + У "" 2В1 ' 7~ + &Es*~ ' *" ~ °
Отсюда
Es* a AT
12 A - ц) Р *
Напряжения от температуры и нагрузки на конце трубы
х х == •
так как Л10 = 0 и при х — 0
(р = 1, 4>=al, 9 = 1 и Ф = 0.
После подстановки известных величин в последнее
уравнение получим
tsj. + чт= 270 кг/см'.
Напряжение в среднем сечении цилиндра |при .г ==— j ^
•jt - 3Т = -s-f "-^Г = 367 кг/см\
75
так как при $х = 0,164 — = 6, можно считать
9 = 0, ф = 0. в = 0 и Ф = 0.
Термические напряжения
в толстостенных трубах (цилиндрах)
Предполагается, что: 1) труба очень длин
ная; 2) концы трубы свободны; 3) температура
в любой точке трубы зависит лишь от рас-
стояния этой точки до оси трубы: 4) обе
поверхности трубы свободны от усилий.
Можно считать, что при установившемся
тепловом потоке температура в любой точке
трубы
t —
In
где /?0 — наружный радиус трубы; г0 — вну
тренний радиус трубы; 7\ - температура вну -
тренней поверхности трубы; Г2 — температура
наружной поверхности трубы.
Нормальные напряжения в радиальном
и тангенциальном направлениях на любом ра-
диусе равны
Еа
Г
•*= г=
Еа
|
^¦\trdr+:
где
l-i
tr dr = -тг* —
2
<r rfr— /
в тех пре
делах, которые входят в уравнения о„
Напряжения у поверхностей трубы
'"о
на наружной поверхности
62,7

372
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
Осевые нормальные напряжения ах у вну-
тренней и наружной поверхностей трубы, если
концы трубы свободны, равны нормальным
напряжениям, действующим в тангенциальном
направлении у этих же поверхностей, т. е.
вх — ат при г — г0 и при г ~ /?0.
НАПРЯЖЕНИЕ В СТЕРЖНЯХ, ТРУБАХ
И ДИСКАХ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Пластичностью называется способ-
ность к образованию остаточных деформаций.
Сопротивление пластическим деформациям
зависит от рода материала, температуры, ско-
рости деформации и типа напряжённого со-
стояния.
Увеличение температуры резко понижает
сопротивление пластическим деформациям ма-
териала. Увеличение скорости деформации по-
вышает это сопротивление.
Высокие значения сопротивлений пластиче-
ским деформациям соответствуют типам на-
пряжённых состояний, в которых касательные
напряжения малы.
По критерию Генки—Губер—1Мизеса возник-
новение пластических деформаций наступает
тогда, когда между главными напряжениями
зь а2, а8 и пределом текучести при простом
растяжении и сжатии <ss имеет место равен-
ство
В случае чистого сдвига (когда aj = —а2
и с3 = U) течение (возникновение пластиче-
ских деформаций) наступает при
а, =
При значительных пластических деформа-
циях:
1) объём материала принимается неизменя-
емым, и, следовательно,
где &i, е2 и е8 — главные относительные у дли
нения (сжатия);
2) направления главных относительных
удлинений совпадают с направлениями глав-
ных напряжений;
3) разности главных относительных удли-
нений пропорциональны разностям главных
напряжений, т. е.
(СГо Со)
\ tt О/
= (е2 — (
: (а3 — oj) : fa
-з) : (?з — ei) :
Растяжение
— ч)
(?1-
е2).
Если е — относительное удлинение; Р—рас-
тягивающая сила; t0—первоначальная пло-
Р
щадь сечения стержня и ао = —, то истинное
га
напряжение
С помощью этой зависимости построена
кривая истинных напряжений о = / (е) (фиг. 239).
-Если известна а =
= f (е), нагрузка Р
определяется в за-
висимости от е:
р _
Р =
1+?' __
Для нахождения [_, -
максимальной на-
грузки от нача-
ла координат диа-
граммы истинных напряжений следует отло
жить влево отрезок, равный единице, и из кон-
ца его провести касательную к кривой. Точка
касания А определяет удлинение и напряже-
ние, при которых брус воспринимает наиболь-
шую нагрузку.
Зависимость между истинным напряжением
и удлинением для ряда материалов имеет вид
где k — постоянный коэфициент.
Если на диаграмме (фиг. 239) кривая — го
ризонтальная линия,
а = const,
то нагрузка уменьшается по равносторонней
гиперболе.
Кручение цилиндрического стержня
круглого сечения
Предполагается, что при закручивании
стержня круглого сечения его поперечные
сечения поворачиваются одно относительно
другого, оставаясь плоски-
ми. При этом угол сдвига \
в расстоянии г .от центра
стержня (фиг. 240)
где <fi — угол закручивания
на единицу длины стержня.
Касательное напряжение
при кручении представляет
функцию от угла сдвига
Фиг. 240.
На фиг. 241 представлена диаграмма каса-
тельных напряжений.
Если известна зависимость между сдвигом
и напряжением (фиг. 241) и известен наиболь-
ший сдвиг (у поверхности стержня) -/max = tpi R,
где R — радиус бруса, то крутящий момент
г» г» max
м = —
*и
т. е. крутящий момент равен моменту инерции
площади, ограниченной кривой х = /(у) отно-
сительно оси % (фиг. 241), умноженному на
—, где ?1=
R

гл. ivi
НАПРЯЖЕНИЕ В СТЕРЖНЯХ, ТРУБАХ И ДИСКАХ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
373
Если на основании испытаний известна
зависимость /И =/(<р), то
Напряжение от момента М — АВ (фиг. 242)
равно
где ВС определяется построением касательной
BD к кривой моментов.
Если металл имеет резко выраженный пре-
дел текучести и если остаточная деформация
Фиг. 242.
не превосходит нескольких процентов, то можно
для пластического кручения принять идеали-
зированную диаграмму, состоящую из наклон-
ной прямой, соответствующей упругой дефор-
мации, и горизонтальной прямой, соответству-
ющей пластической деформации (фиг. 243).
При предельном состоянии, когда исчерпы-
вается полностью грузоподъёмность стержня
(нагрузка, воспринимаемая стержнем, пере-
стаёт возрастать), зона упругих напряжений
1
Фиг. 243.
Фиг. 244
исчезает. Эпюра напряжений при этом состоя-
нии изображена на фиг. 244.
Предельный крутящий момент
где R — радиус сечения стержня; xs — предел
текучести при кручении.
При статической нагрузке опас-
ным состоянием является предельное, и расчёт
сечения можно вести по формуле
Мдоп <
М,
где п — запас прочности; М$оп— допускаемый
крутящий момент.
О кручении призматических стержней раз-
личных сечений, а также о кручении ступен-
чатых и конических валов см. [73].
Изгиб бруса
1. Пластический изгиб бруса. Предпола
гается, что брус нагружен силами, перпенди-
кулярными его оси и действующими в одной
из плоскостей, проходящей через главную ось
поперечного сечения, и что поперечные сече-
ния бруса при изгибе поворачиваются одно от-
носительно другого, оставаясь плоскими.
В случае, когда из опыта известна форма
кривой (фиг. 245) растяжения и сжатия и если
известно наибольшее напряжение, например о,
то изгибающий момент для бруса прямоуголь-
ного сечения находится по формуле
- So
е2J
где h — высота сечения бруса; b — ширина се-
чения бруса; Ej и е2 — удлинения крайних воло-
кон, которые находятся из условия равенства
Фиг. 245.
площадей А± и А2 (фиг. 246), ограниченных кри-
вой сжатия и кривой растяжения (фиг. 245):
П Е1
= \f(e)de. Л,- [/(г) as.
6"j и 52—статические моменты площадей А]
и А2 относительно оси а
J
Кривизна бруса
1 = ei ±_Е?
р "л '
Угол наклона касательной (фиг. 247)
г" "~2Л
Если известна за-
висимость между из-
гибающим моментом
М и углом <р наклона
касательной к изогну-
той оси бруса, то наи- Фиг 247
большие напряжения
в брусе прямоугольного сечения определяются
из формулы
+ а2 9 rfcp
Здесь соотношение между а2 и at находится
по наблюдённым значениям удлинений «1 и ev
из условия
в] dB] = зо rfe2.

374
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. I
Пример. Материал имеет одинаковые диаграммы
растяжения и сжатия.
Зависимость между М и <? дана на фиг. 248. Найти
наибольшее напряжение.
В данном случае Е,==еа, Л, — dts и, следовательно
•i - »j.
Тогда из уравнения A) получаем:
Jv У2 и ^з — моменты инерции этих площадей
относительно этой же оси, то
Из этого уравнения, задаваясь, например,
значением _у2, находятся величины yv а и с.
Изгибающий момент
М — S2a -+- J2c + E, —
C)
где Лий — высота и ширина прямоугольного сечения,
М «я АС — изгибающий момент; <р —— = АВ (фиг. 248).
Для металла, имеющего резко выраженный
предел текучести <ss, кривую деформаций
б
м
1
Фиг. 248.
Фиг. 249
можно заменить идеальной диаграммой из
трёх прямых линий (фиг. 249).
При
?<; — s.s з = — as — const;
Пример. Определить ординаты зон пластичности у,
и у3 в опасном сечении изгибаемого бруса прямоуголь-
ного сечения (фиг. 251).
В данном случае симметричного сечения более про
сто определить границы зон пластичности не из уравне
Фиг. 251
ния C), а из написанного для данного случая условия
равенства изгибающего момента М сумме моментов вну-
тренних сил.
Обозначив расстояния от нейтральной оси до зон
пластичности через у0, будем иметь
М
a = ac = const.
где as — предел текучести при простом растя-
жении; е — относительное удлинение; es —
относительное удлинение при начале теку-
чести.
Внутри стержня при переходе напряжений
за предел текучести имеется область упругих
и область пластических деформаций.
На фиг. 250 изображена балка с областями
упругих и пластических (заштрихованы) дефор-
\р
F,
Пластич. обл.
Фиг. 250
маций, её поперечное сечение и эпюра напря-
жений в сечении под силой.
Как видно, по площади Ft поперечного
сечения действует напряжение а = as; по пло-
щади Fv—напряжение а = а + су; по площади
Л"8 — напряжение а = — as, где
.. . 2о.«
У\—Уъ У\ — У%
04 и Уч — ординаты, отделяющие пластиче-
ские области от упругих).
Если обозначить через Sv S2 и S3 стати-
ческие моменты площадей Fb F2 и F3 отно-
сительно основания сечения 00 -и через
Отсюда находятся значения у0, ух и у,.
2. Предельная нагрузка для прямого
бруса. При росте загружения балки в её опас-
ном сечении растёт область пластических де-
формаций до тех пор, пока она не займёт всего
протяжения сечения. Тогда эпюра напряжений
представляет собой два прямоугольника, раз-
делённых бесконечно тонкой прослойкой упру-
гого ядра (фиг. 252), при этом работоспособ-
ность сечения будет исчерпана полностью —
балка теряет несущую способность, т. е. спо
собность поддерживать нагрузку.
Дальнейшее возрастание нагрузки вызовет
поворот сечения без повышения напряжений,
которые достигли высшего предела.
В сечении образуется так называемый пла-
стический шарнир, допускающий относитель-
ный поворот сечений балки под действием по
стоянного момента.
Момент, который может принять пластиче-
ский шарнир, определяемый предельной эпюрой
напряжений (фиг. 252), называется п р е д е л ь-
у? Пласт,
шарнир
Фиг. 252.
ыым моментом, а вызывающая его на
грузка в статически определимой балке—-пре
дельной нагрузкой.

ГЛ. IV] НАПРЯЖЕНИЕ В СТЕРЖНЯХ, ТРУБАХ И ДИСКАХ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
375
Таблица 49
Условие равенства сумм растягивающих
и сжимающих сил по поперечному сечению
(фиг. 252) даёт
где jh\ — площадь растянутой части сечения;
F2 — площадь сжатой части сечения.
Из этого условия находится положение
нейтральной линии.
Предельный изгибающий момент
где 5j и S2 — статические моменты верхней
и нижней половин площади сечения относи-
тельно нейтральной линии (берутся по абсо-
лютной величине).
В случае симметричного сечения
5, = 52 = S и Мпр = 2Sas.
Значения сумм статических моментов верх-
ней и нижней частей площади сечения бруса
относительно нейтральной линии для разных
форм сечения приведены в табл. 49.
Условие прочности при расчёте по пре-
дельной нагрузке имеет вид
где п —- запас прочности; Мдоп —допускаемый
момент.
Если система статически неопределима, то
при возникновении в одном её сечении пре-
дельного момента Мпр она несущей способно-
сти не теряет и может работать далее только
с постоянным значением момента в точке
шарнира, т. е. как
система на одну
степень статиче-
ской неопредели-
мости меньшая.
Например, в
двухпролётной бал-
ке в наиболее на-
гружённом сечении
момент может до-
стигнуть значения
/VI
пру
после этого
увеличение момен-
Фиг. 253. та остановится, и
балка будет рабо-
тать при дальнейшем увеличении нагрузки,
как две разрезные балки, связанные постоян-
ным моментом М пр (если шарнир образовался
на опоре) (фиг. 253), или как одноконсольная
балка, связанная с подвесной балкой двумя
постоянными силами, образующими постоян-
ный момент Мпр (если шарнир образовался
в пролёте) (фиг. 254).
Фиг. 254.
Предельная нагрузка Р, например, для бал-
ки, изображённой на фиг. 253, находится из
условия, что изгибающий момент под силой Р,
в статически определимой балке, загруженной
силой Р, и опорным моментом над опорой Мпр
достигнет предельного значения.
Если имеем систему т раз статически не-
определимую, то она может стать статически
изменяемой и разрушится только после по-
явления в перенапряжённых сечениях т -\- 1
пластических шарниров.
Расчёт несущей способности балки произ-
водится только при статической нагрузке.
Толстостенная труба, подверженная
внутреннему давлению
1. Толстостенная труба, которая не мо-
жет удлиняться в осевом направлении(е^-О).
Если давление в трубе постепенно увеличи-
вается, начиная с нуля, то в трубе сначала воз-
никнут только упругие деформации.
По гипотезе Генки—Губер—Мизеса первые
признаки пластической деформации у внутрен-
ней поверхности трубы получаются при да-
влении
где os — предел текучести при простом растя-
жении; г0 — внутренний радиус трубы; /?0 —
наружный радиус трубы.

376
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. !
При р^>ро в поперечном сечении трубы
возникает кольцевая пластическая область
(фиг. 255).
Давление р, соответствующее возникнове-
нию пластической деформации в области,
ограниченной радиусом г$.:
R?
Нормальные напряжения в упругой обла-
сти в расстоянии г от центра трубы при
; г, равны:
действующее в радиаль-
ном направлении
1
Пласт,
сбл
действующее в тангенциаль-
на, ном направлении
обя
Фиг. 255 ' ~ ,/~о-
действующее в осевом направлении
Нормальные напряжения в пластической
области при r<^rs равны
2а,
где и = - ;« = -*-;7-
— коэфициент
Пуассона.
Пластическая деформация во всех точках
трубы возникает при внутреннем давлении
Нормальные на-
пряжения в трубе в
расстоянии г от цен-
тра трубы равны
Фиг. 256.
На фиг. 256 изображены кривые распреде-
ления напряжений о^, аТ и ^ по толщине
трубы.
2. Толстостенная труба, в которой от-
сутствуют осевые напряжения (?х = 0) (на
пример, случай плоского кольца). Пластиче-
ская деформация во всех точках трубы может
появиться только в
по
трубах с соотно-
шением радиусов
!<^< 2,963.
Давление, при
котором эта пла-
стическая, дефор-
мация возникает,
зависит от отноше-
ния — Эта зави-
2,0
г,5
1,0
05
О
-1,155
-—м
Ц2 0,U Ofi Qfl f
Фиг. 257.
симость дана на
фиг. 257.
Наибольшее внутреннее давление не »ре
восходит значения
Pmax
V*
Нормальные напряжения в расстоянии г or
центра трубы равны:
действующее в радиальном направлении
действующее в тангенциальном направлении
._ **
где в — параметр, связанный с расстоянием
следующей зависимостью
е
V б)
cos 6.
Распределение напряжений о^ и ат по тол-
щине трубы (кольца) приведено на фиг. 258.
Ofi
OJB
/
У
1,1*5-
/
/
/
\
/
Ofi
0,2
О
-1,2 -Ofi -0,4 0 0,1*
Фиг. 258.
На этой фигуре напряжения выражены в за-
висимости от расстояния г точки кольца от
центра.
3. Частичная пластическая деформация
в бесконечно упругом теле с длинным ци-
линдрическим отверстием. Если пластическая

ГЛ. IV]
НАПРЯЖЕНИЕ В СТЕРЖНЯХ, ТРУБАХ И ДИСКАХ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
377
деформация проникла до глубины г = rs, то
напряжения в пластической области (при r<?js)
по гипотезе Генки — Губер — Мизеса будут
21n^ ;
V3
УЗ г
Давление, вызывающее такую деформацию,
равно
Нормальные напряжения в упругой обла-
—"—у?
о* =0.
В обеих областях радиальное перемещение
выражается формулой
Эпюры напряжений в обеих областях изо-
бражены на фиг. 259.
Пластич обл
Фиг. 259.
Более подробные сведения о напряжениях
и деформациях в толстостенных трубах
гм. [8].
Повышение прочности труб путём
автофретирования
Идеальная труба, обладающая максималь-
ным сопротивлением на прочность при дей-
ствии внутреннего давления, может быть со-
ставлена из очень большого числа слоев, на-
детых друг на друга с идеальным натяжением
(наилучшим скреплением) (см. стр. 352). В пре-
деле это число слоев стремится к бесконеч-
ности.
Простой трубе можно сообщить все свой-
ства идеальной трубы с помощью автофрети-
рования.
Сущность метода автофретирования заклю-
чается в следующем. При действии давления
внутри трубы, превышающего предел упруго-
сти, в стенках трубы возникают остаточные
деформации, которые после прекращения да-
вления препятствуют возвращению вышеле-
жащих упругих слоев в исходное положение
Вышележащие слои вызывают давления
на нижние, и таким образом создаётся со-
стояние, соответствующее непрерывному скре-
плению.
Кроме непрерывного скрепления, в трубе
возникает наклёп металла, в результате кото-
рого после автофретирования получается повы-
шение предела упругости материала, которое
в дальнейших расчётах во внимание не при-
нимается, идя в запас прочности.
Существуют два режима автофретирования:
1) режим, соответствующий общей пере-
грузке, при котором все слои трубы получают
остаточные деформации;
2) режим, соответствующий частичной пере-
грузке (полуупругий режим), при котором
остаточные деформации простираются до ра-
диуса между внутренним и внешним радиусами
трубы.
При полуупругом режиме имеется мень-
шая вероятность разрывов автофретированных
труб и требуется меньшее давление при авто-
фретировании для достижения требуемой проч-
ности.
После автофретирования во внутренних
слоях трубы может быть вызвано напряжение
сжатия, равное пределу упругости, и если счи-
тать, что предел упругости не изменяется в
результате появления остаточных деформаций,,
то при этом упругое сопротивление трубы
увеличивается в два раза по сравнению с не-
автофретированной трубой из того же мате-
риала и тех же размеров.
Расчёт трубы, автофретированной при
полуупругом режиме. При расчёте задают-
ся радиусом г пограничной зоны остаточных
деформаций и определяют прочность готовой
трубы.
Если запас прочности при выбранном ра-
диусе пограничной зоны остаточных деформа-
ций оказывается достаточным, то определяют
давление автофретирования и величины
полных и остаточных деформаций.
Если расчётные величины деформаций на-
столько малы, что не будут улавливаться из-
мерительными устройствами, необходимо уве-
личить давление автофретирования.
При расчёте стволов орудий обычно считают
достаточным запас прочности п ^5 1,2.
Диаметры трубы могут быть измерены: на-
ружный — индикатором с точностью до 0,01 мм,
внутренний — звездкой с точностью до
0,02 мм.
В нижеприведённых формулах для давле-
ний принято, что коэфициент упрочнения
при сдвиге равен 800 кг/мм2 (обычно коэфи-
циент упрочнения при сдвиге в каждом от-
дельном случае экспериментально не опреде-
ляется).
Обозначим: ае — предел упругости метал-
ла; Е — модуль Юнга; /?0 — внутренний ра-
диус готовой трубы; Rx — наружный радиус-
готовой трубы; />тах — максимальное внутрен-
нее давление в трубе; р$ — давление, соответ-
ствующее предельной несущей способности
по пределу упругости; ра — давление автофре-
тирования.
Порядок расчёта. 1) Задаёмся зна-
чением радиуса г пограничной зоны остаточных
деформаций:

378
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. I
2) Определяем давление, соответствующее
предельной несущей способности готовой
трубы:
-О
3) Определяем запас прочности:
Ртах
4) Устанавливаем размеры заготовки:
наружный радиус
внутренний радиус
где «! и е0 — радиальные припуски. (Обычно
радиальный припуск elt измеренный в мм,
численно равен длине трубы, измеренной в м\
радиальный припуск е0 на 6 мм больше ех).
5) Определяем необходимое давление авто-
фретирования:
A+ 325
'о
iue 1 _ _1
6) Определяем деформацию наружного ра
диуса после автофретирования:
где
7) Определяем деформацию внутреннего
радиуса после автофретирования:
Дг' '
ДГ„ = В'2 —г- ^0 -
8) Определяем деформацию наружного ра
дяуса под давлением автофретирования:
О расчёте автофретированных труб при
режиме, соответствующем сплошной перегруз-
ке, см. B6, 71).
Напряжения в быстро вращающихся
цилиндрах и дисках
1, Плоская деформация вращающегося
цилиндра (осевые удлинения гх = const).
Радиальное удлинение сплошного цилиндра
Нормальные напряжения, действующие в
радиальном и тангенциальном направлениях в
любом расстоянии г от центра:
Осевое напряжение
где у — удельный вес материала; ш — угловая
скорость цилиндра; /?0—наружный радиус ци
линдра; as — предел текучести; g—ускорение
свободного падения.
В свободно вращающемся цилиндре, ко
торый может свободно сокращаться в осевом
направлении, окружная скорость, при которой
пластическая деформация получается во всем
цилиндре, равна
Нормальные напряжения при этой скорости
9D = аг—.
Пластическая деформация в цилиндре ыа
чинается в точках оси, когда окружная ско
рость равна
= вЛ 1-2
где (л — коэфициент Пуассона.
При A = 1/8 (сталь)
v' ='1,764
Начиная с момента возникновения пла
стической деформации, увеличение .скорости
примерно на 13% приводит в пластическое
состояние материал всего цилиндра.
Эпюры напряжений в цилиндре в момент
начала пластической деформации (только у оси
Фиг. 261.
цилиндра) изображены на фиг. 260 и в момент,
когда в пластическом состоянии находится
весь цилиндр, изображены на фиг. 261.

ГЛ. IV!
НАПРЯЖЕНИЕ В СТЕРЖНЯХ, ТРУБАХ И ДИСКАХ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
379
2. Сплошной диск постоянной толщины.
Пластическая деформация в диске по гипотезе
Сен-Венана начинается на его оси при окруж-
ной скорости
В случае стального диска ^ == ^
„=l,56l/M-.
При возрастании скорости до v — 1,7
весь диск перейдёт в пластическое состояние.
Эпюры напря-
$т жений в диске по-
стоянной толщины
изображены на фиг.
262 в момент нача-
ла пластической де-
формации и на фиг.
263 — при полной
пластической де-
формации всего
диска.
3. Диск с от-
верстием. Пласти-
ческая деформация
в диске с отвер-
стием по гипотезе
Сен-Венана начи-
нается при окруж-
ной скорости, опре-
деляемой значе-
нием
с
Фиг. 263.
где ^ — коэфициент Пуассона г0— внутренний
радиус диска; /?о — наружный радиус диска.
При скорости, определяемой значением
пластическая деформация дойдёт до наруж-
ного края диска.
Упруг.обл.
Пласт, обл.
Фиг. 264.
На фиг. 264 показан пример распределения
напряжений во вращающемся диске с отвер-
стием в состоянии а — начала пластической де-
формации (только у внутренней поверхности),
б— в наполовину пластическом состоянии и
в — в пластическом состоянии во всём диске.
Остаточные напряжения
Если в одной части тела под действием
внешних сил получается пластическая дефор-
мация, то после прекращения действия внеш-
них сил в зонах пластической деформации и
смежных с ними возникают остаточные напря-
жения.
В металлах, имеющих хорошо выраженный
предел текучести, остаточные напряжения
о0 = а* —а',
где о* — напряжения, возникающие при пла-
стической деформации; а' — идеальные напря-
жения, которые возникли бы, если бы тело
было идеально упругим.
Пример. Определить остаточные напряжения, полу-
чающиеся при кручении стального стержня круглого се-
чения при переходе за предел
текучести и при последующей
разгрузке.
Эпюра идеальных напряже-
ний т' на фиг. 265 изображена
прямой ОБ. Эпюра пластиче-
ских деформаций изображена
ломаной линией ОАВ.
Если пренебречь влиянием
упрочнения (наклёпа), то оста-
точные напряжения
Эпюра остаточных напряже-
ний на фиг. 265 заштрихована.
Фиг. 265
Ползучесть (крип)
Растяжение. Кривые ползучести при по
стоянных напряжениях оь а2 и а8 приведены
на фиг. 266 в координатах: удлинение е —
ордината и время t — абсцисса.
Величина пластической деформации ползу-
чести за время t равна
1 - ef + vct,
где vc — скорость ползучести при установив-
шейся ползучести (во время второго периода);
tc-vctQ—отрезок, отсекаемый прямой устано-
вившейся ползучести на оси ординат (фиг. 266).
Время первого периода ползучести (не-
установившейся) уменьшается с увеличением
температуры и напряжения.
Скорость ползучести значительно возра-
стает при повышении температуры.
е
Фиг. 266
Экспериментально обоснована следующая
зависимость между скоростью ползучести и
напряжением при ползучести:
v-ач11.

380
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
где а и л — постоянные, зависящие от мате-
риала и температуры.
Значения постоянных п и п для разных
температур и сталей приведены в таблице 49а.
1 ~
Материал
Сталь 0,39% С кова-
Сталь 0,30°/0 С ....
. 0,45°/0 С ....
. 2,0%Ni;0,8%Cr;
0,4% Mo ....
. 2,0%Ni;0,8%Cr;
0,4% Mo .....
. 1,4% Mn; 0,3% С
. NiCrMo ....
1 . NiCrMo ....
. 12% Cr ....
Нержавеющий чугун
12,0% Cr; 3,0% W;
0,4 Mn
Темпе-
ратура
в °C
400
480
45 i
458
451
500
454
55°
Таблица 49a
а(смЧкг)п1лень
43-3 • то~31
97,8 ¦ 10-22
28,8 . 10—r 7
2O,7 • IO~2I
ii,8 • 10—J7
15,4-ю-w
11,8 • 10-22
a3>3 • IO x*
n
8,6
6,9
6.5
3.2
3.°
4-7
2.7
1.3
4.4
1.9
В связи с влиянием ползучести на пере-
распределение напряжений в деталях машин
иногда ограничивают скорости ползучести.
Так, Бауманом даются следующие допу-
скаемые скорости ползучести в час [30]: ди-
ски паровых турбин—10~°/0, фланцевые бол-
ты— 10~6%. паропроводы со сварными шва-
ми— 10 ~6°/о. трубки пароперегревателей
A0-3н-1(Г4)°/о.
Деформация ползучести
s - гс + aant;
Приближённое значение деформации ползу-
чести
е и aont
По этим уравнениям можно:
1) определить деформацию ползучести в
некоторый момент времени для данных вели-
чин напряжения и температуры;
2) определить допускаемое напряжение по
допускаемой деформации ползучести для за-
данного отрезка времени при данной темпе-
ратуре.
При упрощённом расчёте на ползучесть
затянутых скрепляющих деталей принимают,
что напряжение во время ползучести остаётся
постоянным. Тогда из уравнения
где »о и а0 — начальные деформация и напря-
жение в детали, Е — модуль Юнга, находится
время, в течение которого начальные напря-
жения уменьшаются до нуля.
По времени / можно установить как часто,
например, следует подтягивать болты, рабо-
тающие при высоких температурах.
В действительности эта формула даёт пре-
уменьшенное значение времени t, так как
скорость ползучести с уменьшением напряже-
ния падает.
Если при расчёте можно считать, что де-
формация затянутых деталей остаётся посто-
янной, то задача является релаксационной, и
напряжения следует рассматривать завися-
щими от времени. Например, в болтах, стяги-
вающих фланцы паропроводов, при увеличе-
нии деформа-
ции ползучести ?
уменьшается
упругая дефор-
мация.
Если а„-- на-
чальное напря-
жение растяже-
ния в болтах;
з — напряжение
9%
0,9
0,7
к 6
Время
фиг. 267.
8 годы
в них в момент 0
времени t\ E—
модуль Юнга
материала бол-
тов; а и п - постоянные, то время /, через
которое напряжение а0 уменьшается до зна-
чения о. определится уравнением
1
1
{п-\)оЕ
\Л~1
A)
Это уравнение получено без учёта началь-
ной и остаточной деформаций прокладок. На
фиг. 267 приведенд кривая t в зависимости
а
от отношения —, построенная по уравне-
ао
нию A) для среднеуглеродистой стали.
Кручение. Скорость угловой деформации
ползучести при кручении определяется уравне-
нием
где Д] ил — опытные коэфициенты, завися-
щие от температуры и материала *.
На основании гипотез плоских сечений
и прямолинейных радиусов и предположения,
что угловые деформации (сдвига) пропорцио-
нальны скоростям ползучести, напряжения в
брусе круглого сечения в точках на окруж-
ности радиуса р могут быть определены из
уравнения
1
Aid
Зп+\
где М — крутящий момент; d — диаметр бруса;
JK — полярный момент инерции сечения.
Эти напряжения не зависят от времени.
На фиг. 268 изображены эпюры касатель-
ных напряжений при кручении: / — упругих
напряжений, 2 — напряжений при ползучести
при п => 6.
Относительный угол закручивания бруса
для момента времени t равен (если прене-
бречь первым периодом ползучести, т. е. при
постоянной скорости ползучести)
Md\n (
~2J7) \
Зп + 1 \"
An }
* Так, например, Everett в результате опытов с тон-
костенными стальными трубами были получены коэфици-
енты для стали с 0,34% С: при t = 400° С п = 9,16 и
ах - 5,78 -Ю-19 и при / = 5С0°С п- 3,33 и а, =
= 1,95 ¦ 10—2.

ГЛ. IV}
НАПРЯЖЕНИЕ В СТЕРЖНЯХ, ТРУБАХ И ДИСКАХ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
361
Изгиб *. На основании гипотезы плоских
сечений и предположения, что деформации
пропорциональны скоро-
стям ползучести» нор-
мальные напряжения при
изгибе в брусе прямо-
угольного сечения в рас-
стоянии v от нейтрально-
го слоя'
2у\ я 2л+1
Зл
где М — изгибающий мо-
Фиг. 268. мент; я— высота сече-
ния бруса; J—момент
инерции сечения относительно нейтральной
линии.
Эти напряжения не зависят от времени.
На фиг. 268а изображены эпюры нормаль-
ных напряжений при изгибе: / — эпюра упругих
Zy/hy^ №
Фиг.-268а.
напряжений; 2— эпюра напряжений ползучести
при п — 6 и 3 — эпюра напряжений при пол-
зучести при п = 10.
Кривизна бруса — в момент времени t
определяется из уравнения
?М
' Р
где для бруса прямоугольного сечения ши-
риной Ь
\2n+i
2 + Г
п ,
где в свою очередь а и п — постоянные, за
висящие от температуры и материала.
Диференциальное уравнение изогнутой оси
балки
D №у
t dx- ~~
Для балки на двух опорах длиной / и на-
груженной силой Р, приложенной по середине,
максимальный прогиб (под силой)
D
* Эмпирическая теория изгиба стальных балок при
ползучести см. Davis E. A., Creep metals at high tempe-
ratures In bending, .Trans. ASME", 1937, 59A—29.
Ползучесть при объёмном напряжённом
состоянии *. Бейли [96] предложил следующие
формулы:
Главные скорости- деформации
т~1
= 2
{*" сохраняет тот же знак, что и xfj.
При линейном напряжении (растяжении)
3-| = 3^ Go =— З3 ^^ Of
о t о
а следовательно, как и было выше принято
(стр. 379),
v — а<зп.
Дополнительная постоянная величина т, по
Бейли, определяется опытным путём и полу-
чается равной 2 —2,5 для стали и 4 для свинца.
Тепсел и Джонсон тоже опытным путём
определили для стали т = 0. Внесение опыт-
ной величины т ф 1 весьма усложняет рас-
чётные формулы и в общем случае не увя-
зано с принятыми в теории пластичности
принципами обобщённых напряжений и де-
формаций, а также постоянством объёма.
Гипотезы теории пластичности удовлетво-
ряются при значении т =• 1, что одновременно
сильно упрощает расчётные формулы. Анализ
опытных данных, полученных Бейли, Тепселом
и Джонсоном, Муром и др., показывает, что
для отступления от значения т = 1 не имеется
достаточных обоснований.
Если остановиться на этом предположении,
то
3
а (УЗ S)n
'x
оя) [/ = 1, 2, 3). B)
Если скорость ползучести при растяжении
связана с напряжением не степенной, а какой-
либо другой зависимостью,
Из формулы C)
L
т. е. имеет место теория Сен-Венана, причём
Компоненты скоростей деформации будут,
следовательно, равны
, УЗ /A/3 5),
и т, д.;
и т. д.
В частности, при степенной зависимости
aSn (ix — ал) и т. д.;
и т"
* Автор — инж. М. Н. Шрайбер.

382
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Применение к ползучести теории Генки,
разработанное Н. М. Беляевым, даёт ана
логичный результат.
Учитывая, что ползучесть охватывает весь
объём материала, по упрощённой теории Генки
Для чистого растяжения
3G
= /(«)'.
поэтому
или в компонентах деформации (см. стр. 191
192)
(°х-°п)* и т. д.;
и т. д.
Ввиду постоянства напряжённого состоя-
ния в процессе деформирования теории Сен
Венана и Генки - Беляева для ползучести
эквивалентны.
При плоском напряжённом состоянии
имеем
,-0;
5-4-"
Уз
Главные скорости деформации
3 —
( ^ + °) 2 ^
если
то
B-а) в?;
я - 1
р,-
I»,—g-(l-
В случае тонкостенных сосудов под
давлением при цилиндрической форме коль-
цевые напряжения равны
a,—g-.
где р- внутреннее давление; R- радиус ци
линдра; В-толщина стенки.
Осевые напряжения
<j2 - 0,5 cj;
Эти равенства, особенно второе, находят
экспериментальное подтверждение в опытах
Бейли, Нортона, Мура и др.
В случае кручения и осевого растяжения
тонкостенных цилиндрических трубок для
осевых, кольцевых и угловых скоростей де-
формации соответственно
< п - 1
**У
В случае кручения тонкостенной ци-
линдрической трубки, подвергаемой вну-
треннему давлению, для тех же компонен
тов скорости деформации
я+1 " .
3 \~Т / pR W.
а ~— ) 1 +
\ Ь ) [
я — 1
+ 4
¦0;
**¦»>
Мк \л
-2(тГ~«(^)
+ 4
п - \
Г 2
Wo-0.
Последние два случая обычно применяются
при экспериментах для изучения пласти-
ческого деформирования ползучести в пло-
ском напряжённом состоянии.
Статически неопределимые случаи, когда
заранее определены некоторые граничные де-
формации, связаны с одновременным проте-
канием явлений ползучести и релаксации и
представляют задачу, для практического ре-
шения которой имеется ещё мало данных.
Приложение метода последовательных при-
ближений к расчёту вращающихся дисков
осуществлено К. Д. Миртовым [50].
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НАПРЯЖЕНИЙ
Общая характеристика
Экспериментальные методы являются един
ственным средством исследования распреде-
ления напряжений в случае сложной конфи-
гурации детали, так как теоретические ре-
шения дают возможность найти напряжения
лишь для простейших случаев. Исследование
распределения напряжений в детали, вызывае-
мых известной нагрузкой, проводится в лабо
раторных условиях."
Исследования динамических усилий »а ра
ботающих машинах см. в т. 3.
Развитие экспериментальных методов в
СССР см. [48].

ГЛ. !\П ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
383
Основные экспериментальные методы исследования распределения напряжений *
Таблица 50
Метод
Тензоме-
трирова-
HUt
Количественная
2; S»
х <и х а
О X Х^
и S 5"™4
>> >>с^^
0,5—2,0
и боль-
ше
оценка
(ориентир.)
№ V
s и
ж К
g = ч
S" и О
0
«ч2
и^-Гх
2 'Z
10-25
кг/гл*3
Недостатки метода
Преимущества
метода
Рекомендуемое
применение метода
Рентге-
нотензоме-
трия
(рентгено-
графиче-
ский метод
исследова-
ния напря-
жений)
До 0,5-
2.0
Сотые
доли мил-
лиметра
1. Напряжения могут
быть непосредственно
замерены только на по-
верхности детали
2. Габариты сущест-
вующих типов мало-
базных тензометров
слишком велики. Для
измерений на малых
участках (в галтелях)
базы недостаточно малы
3. Существующие
малобазные тензоме-
тры (база 0,5 -¦ 2,0 мм)
позволяют вести изме-
рения только при ста-
тической нагрузке
4. Для отыскания не-
посредственно тензо-
метрированием наи-
больших напряжений
требуется установка
тензометров в большом
числе точек
5. Уступает другим
методам при качествен-
ной оценке и отыскании
улучшенной формы де-
тали
200 — 500
кг/см" (не-
зависимо
от величи-
ны измеряе-
мого напря-
жения)
1. Малая точность,
особенно для твёрдых
сталей
2. Большая затрата
времени при исследо-
вании распределения
напряжений на поверх-
ности детали
3. Громоздкость
аппаратуры
1. Возможность ис-
следования на нату-
ральных деталях при
любой их конфигура-
ции, при больших раз-
мерах конструкции(при
наличии подходящего
тензометра)
2. Полностью опре-
деляется напряжённое
состояние в рассматри-
ваемой точке
3. Если допустима
база 3 — 5 мм, то ме-
тод применим во всех
случаях динамической
нагрузки и для изме-
рений на движущихся
деталях (датчики со-
противления)
4. Применим для ис-
следований при упру-
гих и пластических де-
формациях
При необходимости
вести измерения на на
туральных деталях
(сложность формы
большие размеры кон-
струкции, трудность
моделирования и пр.)
Рекомендуется в со-
четании с методом по-
крытий. Для увеличе-
ния деформаций тензо-
метрирование ведётся
на моделях из легки
сплавов
1. Исследования на
натуральных деталях
при любой конфигура-
ции
2. Исследования с
учётом структуры ма-
териала
3. Определение соб-|
ственных и темпера-
турных напряжений, |
напряжений при раз-
личных видах нагрузок
Для физических ис-
следований; для опре-
деления начал>ных на-
пряжения
Метод
покрытий
Порядка
100 кг/см3
(без приме-
нения тен-
зометров)
1. Точность измере-
ния в зонах с напряже-
ниями 1000-2000 кг1см*
порядка 10-20°/,,. Ма-
лая точность для сжа-
той зоны детали (если
не применять тензоме-
тров)
2. Неприменим для
исследований в мало-
доступных местах и в
малонапряжённых зо-
нах
3. Если покрытие не
тарированное, то опре-
деляются только на-
правление главных де-
формаций и наиболее
напряжённые зоны
4. На свойствах по-
крытия сказываются
различные условия
эксперимента (влаж-
ность, температура
и пр.)
1. Быстрота и просто-
та исследования. При
наличии качественного
покрытия является для
практического приме-
нения лучшим методом
исследования распреде-
ления напряжений.
2. Во всех случаях
лучший метод для вы-
явления наиболее на-
пряжённых зон, для по-
лучения траекторий
напряжений и каче-
ственной оценки напря-
жений.
3. Применим к дета-
лям любой формы
Для выявления наи
более напряжённых зон
и определения напра-
вления главных дефор-
маций (напряжений)
Рекомендуется в со-
четании с методом тен-
зометрирования и для
практических исследо-
ваний, не требующих
высокой точности
Применим для иссле-
дования напряжений во
вращающихся деталях
и при ударе
• См. также т. 3, гл. III.

384
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
1РАЗД. 1
Продолжение табл. SO
i Метод
!
:
Поляри-
зационно-
оптиче-
ский метод
асследова-
ния на про-
зрачных
моделях
(плоских и
пространст-
венных)
Метод
аналогии
(мембран-
ной, гидро-
динамиче-
ской, элек-
трической)
Количественная оценка
(ориентир.)
Участок
усреднения
по длине
(база) в мм
0.
Участок
усреднения
по толщине
в мм
Для пло-
ских моде-
лей—О, для
пространст-
венных мо-
делей—1-2
мм
Достигаемая
точность
(для сталь-
ных деталей)
Порядка
5% и выше
2 - Ь%
и выше
Недостатки метода
1. Применение моде-
лей из специального
материала
2. Сложность экспе-
римента на объёмных
моделях
3. Трудность .модели-
рования в некоторых
случаях (сборные де-
тали, контактная зада-
ча, при ударных на-
грузках и др.)
4. Недостаточен для
исследований при дина-
мических нагрузках де-
талей
1. Ограниченность
использования отдель-
ных аналогий
2. Необходимость
применения специаль-
ных моделирующих
установок
Преимущества
метода
1. Возможность про-
ведения исследования
с нужной степенью
точности
2. Возможность про-
ведения полного ана-
лиза напряжений (на
поверхности, внутри
детали, в недоступных
местах)
3. Быстрота и про-
стота исследований(для
решения практических
задач на плоских мо-
делях)
4. Получение нагляд-
ной картины распреде-
ления напряжений
5. Удобство выбора
рациональной формы
детали и анализа влия-
ния формы детали и
расположения нагрузки
на распределение на-
пряжений
1. Возможность экс-
периментального опре-
деления величин, кото-
рые не могут быть най-
дены другими мето-
дами
2. Наглядность, до-
стигаемая в некоторых
методах аналогии (мем-
бранной, гидродинами-
ческой), позволяющая
сделать качественную
оценку без проведения
эксперимента
3. Возможность по-
становки эксперимента
с требуемой степенью
точности
4. Использование при
расчётах
Рекомендуемое
применение метода
При полном анализе
напряжений в детали
и при исследовании на-
пряжений в недоступ-
ных для тензометриро-
вания зонах
При выборе формы
детали. Как практиче-
ский метод исследова-
ния распределения на-
пряжений (при кон-
струировании и рас-
чёте)
Для исследования на-
пряжений во вращаю-
щихся деталях (пло-
ских, объёмных)
Для исследования
напряжений при круче-
нии вала переменного
диаметра и стержня со
сложной формой сече-
ния
Для определения на-
пряжений в детали с
плоским напряжённым
состоянием, в плитах,
в деталях, имеющих
ось симметрии, и др.
При составлении рас-
чётных формул (напри-
мер, для деформаций
и напряжений при скру-
чивании тонкостенных
профилей)
Как метод экспери-
ментального решения
уравнений различного
вида (особенно на
электрических моде-
лях)
Исследование распределения напряжений
в детали позволяет: 1) определять действи-
тельные величины напряжений, в частности в
зонах концентраций, в зависимости от формы
и размеров детали, характера распределения и
величины прилагаемой нагрузки; 2) сравнивать
различные формы детали и выбирать форму,
дающую наименьшие напряжения.
Перечень современных методов исследова-
ния распределения напряжений см. в табл. 50.
Для решения практических задач, связанных
с проектированием и усовершенствованием
формы деталей, основными в настоящее время
являются методы тензометрирования, покры-
тий, поляризационно-оптического исследования
на прозрачных моделях (плоских и объёмных).
Эти методы применяются независимо или в их
¦сочетании.
Метод тензометрирования
Тензометры, точность тензометрирования
см. в т. 3.
1. Основание метода. Тензометра
рованием называется измерение деформа-
ций, выполняемое с помощью приборов (тен-
зометров). Требуемое значительное увеличе-
ние тензометров достигается механическим,
оптическим, электрическим и другими спосо-
бами.
Тензометры устанавливаются в отдельных
местах поверхности детали. Приращение отсчё-
та по тензометру, получаемое при нагружении
детали, даёт в масштабе прибора величину за-
меряемой деформации. Измерение выполняется
на натуральной детали или её модели.

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 385
Модель, применяемая при статическом
тензометрировании, подобна по форме иссле-
дуемой детали и выполняется из того же ма-
териала, что и деталь, или из материала, даю-
щего большие деформации (дюраль, пластмасса
и др.). Масштаб модели в зависимости от кон-
фигурации и размеров детали может быть с
увеличением или уменьшением; может модели-
роваться часть детали. Пересчёт от напряжений
модели к натуре—см. также „Поляризационно-
оптический метод", стр. 394 и т. 3.
Нагрузка при статическом тензометри-
ровании осуществляется в лабораторных усло-
виях с помощью нагрузочных приспособлений
или испытательной машины. Характер распре-
деления нагрузки, на которую ведётся тензо-
метрирование, должен соответствовать типич-
ным условиям при работе машины.
Измеряемые деформации. Обыч-
но при тензометрировании измеряется про-
дольная деформация (удлинение или укороче-
ние) на поверхности детали (по действи-
тельному волокну) или на некотором
расстоянии от поверхности (по фиктивному
волокну). Длина отрезка, на котором про-
изводится измерение, равная расстоянию между
ножками тензометра (или длине наклеиваемого
датчика), называется базой тензометра.
Для определения деформаций сдвига при-
меняются приборы, измеряющие изменение угла
между взаимно перпендикулярными направле-
ниями на поверхности детали.
Применяются также специальные тензо-
метры для определения измерения кривизны
поверхности [117].
Определение напряжений по из-
меренным деформациям выполняется в пред-
положении, что материал детали (модели) изо-
тропный, и для него справедлив закон Гука.
Эти условия при тензометрировании деталей
машин можно для обычных условий принять
как достаточно точные. При тензометрирова-
нии деталей из чугуна рекомендуется предва-
рительно произвести несколько циклов на-
грузки и разгрузки для достижения постоян-
ства упругих характеристик ?", G, р.. Тензо-
метрирование можно вести и при пластиче-
ских деформациях (определение напряжений
по измеренным деформациям здесь не рас-
сматривается; общие данные см. стр. 171).
Выбор базы тензометра в связи
с характером распределения на-
пряжений в детали. Если база тензо-
метра и градиент напряжений (изменение на-
пряжения на единице длины базы) обозначены
s и т], то ошибка в определении пика напря-
жения, вызываемая усреднением на длине базы,
оценивается в зависимости от вида эпюры
напряжений величиной напряжения
1 1
Градиент напряжений т] в деталях машин,
особенно в зонах концентрации, весьма значи-
телен; в этих случаях необходимо применять
тензометры с возможно малой базой. Пример,
показывающий влияние длины базы, см. на
фиг. 269.
Места установки тензометров
выбираются в зависимости от задачи исследо-
вания:
/) Необходимо найти напряжения по
всей или на части поверхности детали.
На поверхности детали намечается сетка, и из-
мерения тензометрами выполняются в узлах
сетки (число узлов может доходить до сотен).
2) Необходимо найти наибольшие напря-
жения на поверхности детали. Если места
наибольших напряжений заранее не известны,
то тензометры устанавливаются по достаточно
густо расположенным точкам на поверхности
детали, и находится распределение напряже-
ний в зонах макси-
мумов. Целесооб-
разно сначала вос-
пользоваться по-
крытием, что поз-
волит непосредст-
венно установить
наиболее напря-
жённую зону дета-
ли и направление
наибольших дефор-
маций.
Число уста-
новок тензо-
метров в ка-
ждой точке и
число требуе-
мых нагруже-
н и й. Когда неиз-
вестны направле-
ния главных на-
пряжений, то тен-
зометры в каждой
исследуемой точ-
ке устанавлива-
ются по трём на-
правлениям, обыч-
но под следующи-
ми углами к на-
правлению, вы-
бранному в данной
точке за основное:
О, 45, 90° (прямо-
угольная розетка)
или 0, 60, 12)°
(равноугольная розетка или дельта-тензометр).
Тензометр по четвёртому направлению мо-
жет устанавливаться для контроля и повыше-
ния точности.
Для повышения точности результатов из-
мерения тензометрирование производится по-
вторно (обычно три раза). Тензометры уста-
навливаются серединами баз над исследуемой
точкой.
Рентгентензометрия — см. [48, 100, 103].
2. Определение деформаций и напряже-
ний по данным тензометрирования. Средняя
(на длине базы тензометра) относительная линей-
ная деформация на поверхности детали, по-
лучаемая при измерении удлинений или уко-
рочений,
• база 5 мм
База 2 мм
Фиг. 269. Распределение на-
пряжений по внешнему конту-
ру АВ тела шатуна, получен-
ное тензометрированием при
двух база к тензометров [48].
А
ms
О)
Здесь (As) — удлинение или укорочение
базы тензометра в мм; А — приращение отсчё-
тов по шкале тензометра при нагрузке детали;
т — увеличение тензометра; s—база тензо-
метра в мм.

386
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
Таблица 51
Определение главных деформаций в, и е3 по относительным деформациям вдоль базы тензометров
Тип напряжённого состояния
и расположение тензометров
SIIS
О О (LI О
О 4S н
Формулы для под-
счёта главных дефор-
маций s, и е3
Построение круга Мора для деформаций
1. Линейное напряжённое
состояние
тензометра
2. Линейное напряжённое
состояние
3. Линейное
состояние
напряжённое
Величинае9
определяет
масштаб
отрезка L
4. Плоское напряжённое
состояние или плоская де-
формация
?„>?«
е,-?0;
е =е00

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 387
Продолжение табл. 51
Тип напряжённого состояния
и расположение тензометров
Формулы для под-
счёта главных дефор-
маций е, и еа
Построение круга Мора для деформаций
5. Плоское напряжённое
состояние или плоская де-
формация
2 cos <p,
— ±
6. Плоское напряжённое со-
стояние или плоская дефор-
мация. Углы установки тен-
зометров 0, 45, 90°
I I
7. Плоское напряжённое со-
стояние или плоская дефор-
мация. Углы установки тен-
зометров 0, 60, 120° (дель-
та-тензометр)
8. Плоское напряжённое со-
стояние или плоская дефор-
мация. Углы установки тен-
зометров 0, + <р, — <р
¦н
Is
of
>s+8
b)
.° +
ш
Ш
Е — (р Sip
tg V,
2 A — cos 2?) е0
? — « вм
- : I
2 sin ю sin 2cp0
388,
Определение главных напряжений по главным удлинениям g и g (или g ) производится по формуле C) —см. стр.
:, а также т. 3. ' " •

388
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
При измерении продольных деформаций е
при линейном напряжённом состоя-
нии (растягиваемый или сжимаемый стержень,
крайние волокна балки при изгибе и т. п.)
база тензометра ориентируется по направлению
главного напряжения а, которое определяется
по формуле
JL Д B)
Д.
ms
Здесь Е— модуль продольной упругости
материала детали.
При плоском напряжённом со-
стоянии, когда направление главных дефор-
маций (напряжений) неизвестно, необходимо
измерение линейных деформаций по трём на-
правлениям (измерения в четвёртом направле-
нии производятся для контроля или повыше-
ния точности).
Если направление главных деформаций (на-
пряжений) известно (например, найдено с по-
мощью метода покрытия), то необходим замер
деформаций по двум направлениям.
Фиг. 270. а — определение удлинений по внутрен-
нему волокну АВ\ б—установка тензометра Гу-
генбергера с базой s на поверхности; в — на
стойках. Положение после деформации обозна-
чено 2'.
Расчётные формулы и геометрический спо-
соб для определения по данным тензометри-
рования главных деформаций и их направле-
ний в рассматриваемой точке см. в табл. 51.
Общие зависимости между деформациями
по различным направлениям в рассматривае-
мой точке — см. стр. 183.
Подсчёт главных напряжений
cj и а2 по главным деформациям
?i и е2, найденным с помощью тензометриро-
вания на ненагруженной поверхности детали,
производится (при деформациях в пределах
упругости) по формулам
' * A-м
Здесь Е и (л—модуль продольной упругости
и коэфициент Пуассона материала детали (или
её модели), на которой ведётся измерение.
Изображение напряжений, дей-
ствующих в точках поверхности детали, см.
стр. 180.
Определение напряжений во
внутренних слоях детали тензо-
метрированием на наружных волокнах может
быть сделано, если распределение удлинений
по толщине детали подчинено известному за-
кону. Производятся измерения удлинения на
поверхности детали и на подставках высотой
10 — 20 мм, укрепляемых на поверхности де-
тали (фиг. 270). Удлинение. Ау на глубине у
от поверхности (при линейном законе распре-
деления напряжений)
Дд — Д
Д „ = А V •
у а у
Здесь До и Д—увеличение расстояния ме-
жду точками на подставках высотой а и удли-
нение на поверхности детали.
Определение напряжений в
зоне концентрации тензоме-
Фиг. 271. Определение напряжений по
методу Фишера.
тром с переменной базой (метод
Фишера). Одно острие тензометра устанавли-
вается неподвижно в точке О, а другое — по-
следовательно в ряде точек, близко располо-
женных одна возле другой на прямой Ох,
вдоль которой ведутся измерения (фиг. 271, а).
Во всех замерах обеспечивается одинаковая
нагрузка и каждый раз измеряется база при-
бора и полученная деформация. Измеренные
удлинения откладываются в виде ординат ? в
соответствующей точке замера (фиг. 271, б).
Деформация вх равна тангенсу наклона каса-
тельной к этой кривой в соответствующей
точке:
х dx s
Метод позволяет определять напряжения непо-
средственно в точках концентрации; наиболее
применим при измерениях на плоской поверх-
ности.
3. Основные типы тензометров и их ха-
рактеристики. Перечень основных типов см.
в табл. 52.
Современные малобазные тензометры для
статических исследований распределения на-
пряжений в деталях машин удовлетворяют сле-
дующим условиям (см. также [69, 117]).
1. База тензометра для измерения линей-
ных деформаций в зонах концен грации напря-
жений берётся порядка 1—2 мм. Для обеспе-

ГЛ. IV) ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
389
Таблица 52
Тип и год
опубликования
Типа
Гугенбергера
A924 г.)
Оптико-меха-
нический типа
Лер A934 г.)
Оптико-меха-
нический типа
Майбах A932 г.)
Оптико-меха-
нический типа
Петерсона
A935 г.)
Зеркальный
с большим
оптическим
рычагом
A936 г.)
Фотоэлектри-
ческий
A942 г.)
Индуктивный
Центрального
института авиа-
моторострое-
ния (ЦИАМ)
A942 г.)
Индуктивный
типа Лер
A938 г.)
Малогабарит-
ный инлуктив-
иый
A937 г.)
Данные по типам тензометров для
Принцип действия
Тензометры для
Механическое уве-
личение деформации
с помощью рычажной
передачи
Увеличение дости-
гается рычажной пе-
редачей и оптически
при помощи микро-
скопа
Увеличение дости-
гается механически
фрикционным враще-
нием валика малого
диаметра и с помощью
микроскопа
Увеличение дости-
гается одиночным ры-
чагом и оптически
с помощью микроско-
па
Увеличение дости-
гается механически и
с помощью пучка лу-
чей, отражаемого зер-
калом на шкалу
Относительное пе-
ремещение ножек
тензометра передаёт-
ся с увеличением 1 :25
на две сетки с череду-
ющимися полосами,
пересекаемые пучком
света, направляемого
на фотоэлемент. Не
требует усилителя то-
ка
Индуктивный ди-
ференциальный тензо-
метр. Механическое
увеличение 5 раз. Снаб-
жён усилителем тока
Индуктивный тен-
зометр. Механическое
увеличение5раз. Снаб-
жён усилителем тока
Индуктивный тен-
зометр. Механическое
увеличение 2,5 раза.
Снабжён усилителем
База
s
в мм
Габаритные
размеры в
мм (высота
над поверх-
ностью де-
тали, шири-
на, размер
вдоль базы)
статических измерений в деталях
Увели-
чение
т $
Ш ^
Дости-
гаемая
при ми-
нималь-
ной базе
точ-
ность в
кг/см3
(для ста-
ли)
измерения линейных деформаций
ю ; 2о
2
2-15
2,О
i,5
i.5; 3,°;
6,о
i.o ; 2,о
2,0
°.5-5.о
150X15X50
35X15X15
35Хю X 15
поХюХю
40X20X15
57X20X15
35X10X10
37X15X15
18X10X12
IOOO — 3000
IO ООО
Зооо
45оо
Ю ООО
До зооо°
До 50 0О0
50 000
До з° оо°
25
25
IOO
5о
4о
2О
IO
Ю
5о
Примечание
Надёжность и простота в работе.
Широко применяется при тензометри-
ровании и других измерениях. Недо-
статок — большие габариты и база
Увеличение микроскопом — 100.
Сочленение — упругие шарниры.
Приспособлен для измерения на гал-
телях в валах и других деталях
Наконечники прибора припаивают-
ся или приклеиваются. Прибор прост,
лёгок и компактен. Недостаток —
мёртвый ход и неопределённость базы
(фиг. 272)
Простота конструкции. Недоста-
ток — большая высота прибора и не-
обходимость установки микроскопа
(фиг. 273)
Необходимо место для прохода
светового пучка. В тензометре типа
Юнкере расстояние до рейки прини-
мается 1500 мм (фиг. 274). Тензометр
типа Лоренца см. „Заводская лабо-
ратория" № 4, 1938.
К этому типу относятся тензо-
метры Лера и Дженерал Моторс
См. „Труды ЦИАМ" № 66, 1945.
Имеет приспособления для изме-
рений в малодоступных местах дета-
лей
Отличается малыми габаритами.
Снабжён установочными устройства-
ми
* Отношение величины перемещения стрелки индикатора по шкале к удлинению (или укорочению) базы тензо-
метра.

390
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
Продолжение табл. 52
Тип и год
опубликования
Проволочный,
электрического
с опротивления
(ЦАГИ, Инсти-
тут машинове-
дения АН СССР
и др.).
Тензометр с пе-
ременной базой
A932 г.)
Оптико-механи-
ческий типа
Лера и индук-
тивный Руда-
шевского
Принцип действия
Датчик из проволо-
ки диаметром 25 — 50
микрон (или угольный),
меняющий электриче-
ское сопротивление при
деформации. Наклеи-
вается на поверхность
детали. Отсчёт по
стрелке или регистра-
ция
В тензометрах
Рюль и Фишера изме-
рительное устройство
аналогично тензоме-
тру Мартенса
Тензометры для
Относительный
сдвиг даёт сближение
наконечников тензо-
метра. Расстояние ме-
ждунеподвижными ос-
триями 5 мм
База
s
в мм
3 — 2О
и более
_
Габаритные
размеры в
мм (высота
над поверх-
ностью де-
тали, шири-
на, размер
вдоль базы)
Высота про-
волочного
датчика
о,2 мм;
ширина
1—5 мм в
зависимо-
сти от ба-
зы
165X30X40
Увели-
чение
т
До 2о ооо
и выше
2500
Дости-
гаемая
при ми-
нималь-
ной базе
точ-
ность Е
KZJCM^
(для
стали)
2О
и выше
25
измерения деформаций сдвига
2,0
10X25X15
Зооо
IOO
Примечание
Используется для измерения в од-
ном или нескольких направлениях.
Применим для динамических измере-
ний. Подробнее см. в т. 3.
По линии замера находится непре-
рывная кривая изменения деформа-
ции. Метод применим для исследо-
ваний в надрезах плоских деталей
Удобен для измерения касательных
напряжений в выточках валов и дру-
гих деталях машин.
Тензометр Майзеля для измерения
трёх компонентов деформаций см.
„Доклады АН СССР" № 3, 1939.
Фиг. 272. Тензометр Майбаха, устано-
вленный на щеке статически нагружае-
мого коленчатого вала: я —тензо-
метр; Ь — микроскоп.
чения для стальной детали точности отсчёта
напряжений ^ 50 кг/см^, соответствующей из-
менению базы 0,025—0,050 р, необходимое уве-
личение прибора т равно 10000 — 20000.
2. Габариты
j* Микроскоп
Тензометр
Дер&атель
База
тензометра
Отдерете
Фиг. 273. Схема установки тензо-
метра при измерении деформаций
по краю отверстия вала.
прибора (или
его части), ук-
репляемого на
детали, должны
быть ограниче-
ны как по вы-
соте, так и в
плане. Ножки
прибора долж-
ны иметь до-
статочный угол
заострения для
возможно сти
установки тен-
зометра в углу-
блениях и на
криволинейной
Фиг. 274. Зеркальный тензометр, установленный
в галтели коленчатого вала: а — корпус тензо-
метра; вис — контрольное и рабочее зеркала;
d — держатель.
поверхности. Применяются крепления к ножкам
сменных частей, обеспечивающих измерения
деформаций в углублениях различной формы.
3. Должны быть обеспечены стабильность по-
казаний и установки прибора, надёжность в ра-
боте, возможность тарировки, компенсация на
изменения температуры и т. п. Прибор должен
крепиться на поверхности детали в любых по-
ложениях. Должна быть обеспечена определён-
ность базы, особенно при малых базах. Размер
в направлении, перпендикулярном базе, острия
ножек, которые передают деформацию, не дол-
жен быть более 0,2—0,5 мм.
4. Крепление тензометра должно быть про-
стым в связи с необходимостью вести замеры
в большом числе точек поверхности детали.
Прижатие ножек тензометра к поверхности де-
тали производится силой 0,3—1,0 кг. Крепле-
ние достигается с помощью струбцинок, рези-
новых присосок, электромагнита, припайкой
(металл Вуда), приклейкой (бакелитовый или
целлулоидный клей, цементы), специальными

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
391
прецизионными установочными устройствами
и пр.
5. При измерении деформаций сдвига база
прибора не должна превышать 2—5 мм и об-
щее увеличение прибора должно быть не ме-
нее га —5000. При этом будет обеспечена точ-
ность определения напряжений t на стальных
деталях 75—25 kzjcm*. Прочие требования те
же, что и при измерении линейных дефор-
маций.
В связи с разнообразием условий измерения
целесообразно наряду с малобазным тензоме-
тром применение тензометра с переменной ба-
зой или набора тензометров с базами от 5 до
20 мм, с меньшим увеличением при большей
базе.
На фиг. 272, 273 и 274 показаны примеры
установок малобазных тензометров при изме-
рениях.
4. Применение тензометров.
1) Распределение напряжений в
точках наружной поверхности трубы возле
отверстия в стенке найдено путём тензо-
метрирования по
узлам сетки, пока-
занной на фиг. 275.
На развёрнутой в
плоскость (фиг.
276) поверхности
стенки показаны
найденные напра-
вления главных на-
пряжений и их ве-
личины. Растяги-
вающие (отрезок в
одну линию) и сжи-
мающие (отрезок
в две линии) напряжения отложены в указан-
ном на чертеже масштабе.
риментальная проверка распределения напря-
жений, причём опытный образец детали может
80 70 60
Фиг. 275. Сетки с узлами, обо-
значающими место установки
тензометров.
/
/
J
—
- <
J
|
I
J
J<
SI
и
t <
-
7
, t
• к
L к
? L
( t
r
/ f
^'
i
T .5
• ' '
¦ »-
L V >
. L '
<
ч
I
' 6
-A
Фиг. 276. Поле напряжений.
2) Сопоставление и выбор
формы детали. Распределение напря-
жений по сопряжению щеки с коренной шейкой
коленчатого вала, полученное с помощью фо-
тоэлектрического тензометра с 1,Ъ-мм базой,
показано на фиг. 277. Подрезка с плавным пе-
реходом, применяемая в коренной шейке, не
дала для основных нагрузок при принятых раз-
мерах вала улучшения по сравнению с преж-
ней конструкцией.
3) Проверка проектируемой де-
тали. Перед тем как выполнить окончатель-
ный чертёж детали, иногда проводится экспе-
Для преЖтО
формы I
40 Для ноЗор
формы//
Средн.нщяЛ.
Фиг. 277. Распределение напряжений по контуру сопря
жения щеки с шейкой коленчатого вала [100].
быть выполнен упрощённо (отливкой вместо
ковки, из другого материала и т. п.).
Напряжения, полученные при тензометриро-
вании, умноже-
ны на отношение
действительных
нагрузок, полу-
чаемых при ра-
боте машины, к
нагрузкам, при-
нятым при экс-
перименте. Эти
напряжения для
основных точек
детали откла-
дываются на
диаграмме, ха-
рактеризующей
прочность мате-
риала при пере-
менных напря-
жениях. Гра-
фик флг. 278 показывает, что в рассматри-
ваемом случае напряжения не выходят из до-
пускаемых пределов.
4) Анализ поломок. Пример. Трещи-
на в коленчатом валу начиналась у галтели
средней шейки и развивалась через щёку к
выкружке соседней шейки (фиг. 279). Вели-
чины напряжений, полученных в лабораторных
условиях тензометрированием при изгибе, пере-
Предел усталости,
/исправленный по
масшт. фактору
Фиг. 278. Сопоставление напряже-
ний, полученных тензометрирова-
нием для точек шатуна [109].
/Не исправленный
предел ycma/i
{для образца)
Начало трещин
Фиг. 279. Сопоставление напряжений в опасных точках
А а В щеки коленчатого вала при различных условиях
работы [109].

392
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
считывались на рабочие нагрузки коленча-
того вала и откладывались на диаграмме уста-
лостной прочности. Напряжения на выкружке
со стороны боковых шеек В хорошо уклады-
ваются (точки В) в диаграмму, тогда как на-
пряжения со стороны средней шейки А. откуда
начиналась трещина, выходят из диаграммы
(точки А). Этим устанавливается причина по-
ломки: недостаток конструкции (форма, раз-
меры) коленчатого вала, а не дефект мате-
риала.
Метод покрытий
1. Основание метода. Покрытие наносится
тонким слоем на поверхность исследуемой дета-
ли или её модели, выполненной из того же ма-
териала или из материала, допускающего боль-
шую деформацию (сплавы, пластмассы и т. п.).
В большинстве случаев пользуются покры-
тием, которое получает трещины при нагрузке
или разгрузке детали (метод линий раз-
рыва в покрытии). Трещины в покрытии
располагаются перпендикулярно направлению
наибольших деформаций, возникающих в точ-
ках поверхности детали при её нагрузке (или
разгрузке).
Покрытие должно давать линии разрыва
при напряжениях в точках поверхности детали,
меньших предела пропорциональности мате-
риала детали (для возможности исследования
напряжений в пределах пропорциональности).
Существующие покрытия позволяют получить
линии разрыва в покрытии при относительных
удлинениях е_ порядка 0,00035.
Покрытие должно быть достаточно эластич-
ным, с тем чтобы развитие трещин в покры-
тии строго следовало за развитием деформа-
ций в поверхности детали. Это свойство при
нагружении исследуемой детали наблюдается
в том, что трещина .течёт" по мере возраста-
ния нагрузки, а не получается мгновенно
в виде длинной линии разрыва.
Покрытие должно иметь надлежащую проч-
ность скрепления с поверхностью детали.
Тарированное покрытие должно обеспечи-
вать образование в нём трещин при опреде-
лённой величине деформации.
Простейшая методика заключается в сле-
дующем. Для стальных деталей можно приме-
нять канифольно-целлулоидный лак [60, 63].
Целлулоид вводится во избежание излишней
хрупкости. Количественное соотношение в ве-
совых частях зависит от качества и состояния
канифоли и может быть следующим: очищенная
канифоль специальной обработки — 34 вес. ч.,
целлулоид — ] вес. ч.; растворитель (амилаце-
тат, спирт, сероуглерод) — 30 вес. ч. Последо-
вательно растворяются целлулоид и канифоль.
Во избежание испарения растворение ведётся
без нагрева.
Получение тонкого слоя покрытия дости-
гается окунанием детали или с помощью плос-
кой малярной кисти (поверхность детали рас-
полагается вертикально) или пульверизатора.
Нанесение слоя после некоторой просушки
следует повторить два или три раза. Толщина
покрытия 0,07—0,15мм, может быть в различных
местах несколько различной. Специальной обра-
ботки поверхности детали перед нанесением
покрытия не требуется (достаточно очистки
металлической щёткой). Видимость трещин уве-
личивается, если поверхность детали даёт от-
ражение света (полировка поверхности, слой
алюминиевого лака, никелировка). Применяется
травление поверхности детали по покрытию,
содержащему трещины. При применении лака
с амилацетатным растворителем необходим
следующий режим сушки: в течение 1—2 час.
нагрев до 80° С, выдержка 80—90 час. при 80° С,
снижение температуры в течение 4—6 час. При
таком режиме достигается полное высушива-
ние покрытия, так что дальнейшая сушка не
делает покрытие, изготовленное по указанной
рецептуре, более чувствительным (фиг. 280).
При этом разрыв в покрытии будет происхо-
дить при относительной деформации ?разр =
_3 5-10~4, что соответствует напряжению в рас-
тягиваемой стальной полосе аразр = 700 кг/см2
(отклонение от указанных величин в преде-
лах + 15%).
Лак с сероуглеродным растворителем обес-
печивает при экспериментах величину ьразр =
= 7,0-10 ~4 и наносится без последующего
нагрева для его просушивания.
Условия, влияющие на образова-
ние трещин в покрытии: а) Изменение
толщины покрытия в пределах от 0.07 до
0,15 мм не сказывается значительно на вели-
Oposp кг/см г
3000
2500
2000
1500
Зависимость jo^^ f T-f^]
бо=700кг/смг
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ft.T час
Фиг. 280. Величина постоянной <зразр в зависимости от
температуры и времени сушки покрытия, нанесённого на
тарировочную стальную балочку.
чине ?разр- С увеличением деформации густота
трещин растёт. После того как расстояние
между трещинами достигнет приблизительно
пятикратной толщины покрытия, густота тре-
щин не увеличивается.
б) Влияние времени сушки для указан-
ной выше рецептуры
покрытия дано на
фиг. 280.- Лак с серо-
углеродным раствори-
телем даёт трещины
не менее чем через
3 часа после начала
сушки. Оптимальная
продолжительность
сушки 15 — 24 часа.
Сушка больше 24 час.
приводит к непра-
вильному расположе-
нию линий разрыва в
покрытии.
в) Температура и
влажность влияют
значительно. На фиг.
\
N
Зависимость!
N
Цхвр,
ч
Sfffft
s
/CUM
1
ость
n°
(браэр
i »
t°c
30
Z5
20
15
о т 40
281 дана зависимость
влажности и темпера-
туры сушки при гразр
Фиг. 281. Влажность и тем-
пература сушки при
=7 • 10~4 (время суш-
= разр
ки 15—24 часа).

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 393
=7,0-КГ для 12 марок покрытия, применяе-
мого в США (фиг. 281 и 282) [100].
г) Крип. Величина деформации при раз-
рыве покрытия зависит от времени нагру-
жения. Рекомендуется при исследовании мед-
ленное нагружение деталей (в течение К) мин.).
График фиг. 282 позволяет вносить поправки
-разр
алого
18
ю
14
12
омою
8
с
6)
Фиг.
-
— —
- —
- —
282.
ю юо то то
Время сек
Влияние крипа на еразр.
в величины
нагружения.
д) Пузырьки, получаемые в покрытии при
его нанесении на поверхность детали, способ-
ствуют повышению чувствительности и задер-
живают распространение трещин в зоны с
меньшими деформациями.
2. Проведение эксперимента и примене-
ние метода. После того как покрытие подго-
товлено, осуществляется нагружение детали по
той схеме нагрузки, для которой ведётся иссле-
дование распределения напряжений.
а) Покрытие не обладает постоянством
е . При эксперименте прилагается полная ве-
личина нагрузки, с тем чтобы в возможно боль-
шей части поверхности получить линии разры-
ва, определяющие направление главных дефор-
маций (траектории напряжений). Полученная
система линий разрыва фотографируется или
наносится на чертёж детали (фиг. 283—285).
Если направление деформаций найдено, то
затем в ряде точек с помощью тензометров
в направлении линии разрыва и перпенди-
кулярно ей замеряются
главные деформации et и
е2", по ним на основании
формулы C) (стр. 388)
определяются главные
напряжения.
Для определения на-
правлений главных де-
формаций в сжатых зо-
нах необходимо покры-
вать лаком деталь в
нагружённом состоянии
и трещины в покрытии
получить при разгрузке.
Взамен этого можно при-
менить быструю раз-
грузку, которая приво-
дит к образованию ли-
ний разрыва в сжатой
зоне.
б) Линии разрыва
в покрытии возникают
при определённой вели-
чине ьразр. В таком слу-
чае количественная оцен-
ка напряжений, возни-
кающих в детали, мо-
жет быть сделана (если
пренебрегать влиянием
второго главного напряжения <т2 на величину
наибольшей деформации) без применения тен-
зометров [60].
При проведении экспериментов необходимо
определение величин нагрузок Рэкспер, при ко-
торых в различных местах детали.появляются
трещины в покрытии. По величине Р9кспер на-
грузки, вызывающей при эксперименте в ка-
¦„*?:'•'••
Фиг. 283. Трещины в
покрытии при чистом
скручивании сталь-
ного стержня круг-
лого сечения.
\\W\\\
Фиг. 284. Трещины в покрытии растягиваемой полосы с отверстием (а) и траектории главных напря-
жений, полученные поляризационно-оптическим методом (б). Сплошные и пунктирные линии соответ-
ственно—траектории растягивающих и сжимающих напряжений; S — особые точки [98].

394
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
кой-либо точке линию разрыва, и по постоян-
ной покрытия вразр — Егразр можно найти ве-
личину а наиболь-
шего растягиваю-
щего напряжения
в этой точке де-
тали при действии
на деталь нагруз-
ки Р, прилагаемой
в действительных
условиях работы
детали:
D)
вкспер
Значения р =
ПОЛу-
Фиг. 285. Линии разрыва в по- __ разр
крытии шатуна коленчатого р
вала. экс пер
ченные для некото-
рых точек стального звена цепи, приведены
в таблице (фиг. 286). Например, для точки 5
06 = Ш Р ~ 3H Р кг<см2>
где действительная нагрузка Р на деталь выра-
жена в кг.
К
V
о
I
а
3
5
13
14
Рэкспер
в кг
IOO
25°
34°
азо
8о
igo
со.
н
а:
<и
S
а
М-
at
о
7.°
2,8
2,1
З.о
8,6
6,3
Фиг. 286. Обозначение точек и
направлений распространения
трещин при увеличении на-
грузки.
Для надёжного
определения вели-
чины а„„о„ ОДНО-
разр
временно с нане-
сением покрытия
на исследуемую
деталь наносится покрытие на стальную по-
лосу (тарировочная балка) и в ней с помо-
щью, например, тензометра Гугенбергера за-
меряется аразр.
Метод линий разрыва в покрытии приме-
ним также для исследования напряжений
в быстро вращающихся деталях и при удар-
ных нагрузках. Наблюдения за образованием
трещин в покрытии вращающихся деталей ве-
дутся с помощью стробоскопа. Числа оборотов
детали увеличиваются ступенями. На фиг. 287
в качестве примера даны результаты исследо-
вания с помощью покрытия [109], полученные
для двух вариантов ротора с различной толщи-
ной обода (разница в толщинах 20%). Модель
ротора выполнена из бакелита, дающего боль-
шие деформации. Наибольшее число оборотов
модели при эксперименте 8000 в минуту. Иссле-
дование показывает, что при более тонком
J400 #50
Фиг. 287. Исследование напряжений в роторе: располо-
жение линий разрыва в покрытии и напряжения в кг/см1
при п = 8000 об/мин.
ободе наибольшие напряжения в роторе на
25% меньше, чем в роторе с более толстым
ободом.
Кроме линий разрыва, в покрытии может
быть использовано отслаивание покры-
тия от поверхности детали, вызываемое де-
формацией сжатия, а также и другие методы
покрытий.
Поляризационно-оптический метод
(метод фотоупругости)
Аппаратура, изготовление материала моде-
лей, проведение исследований, дополнитель-
ные методы см. в т. 3.
1. Основание метода [39, 78]. Измерения
основаны на том, что большинство прозрачных
изотропных материалов (стекло, целлулоид,
фенолформальдегидные пластмассы) под дей-
ствием деформаций (напряжений) становится
двоякопреломляющим. Полученная оптическая
анизотропия прямым образом связана с возни-
кающими деформациями (напряжениями) и мо-
жет быть легко измерена оптическим методом.
Исследования ведутся на прозрачных моде-
лях той же формы, что и изучаемая деталь.
К модели статически прилагается нагрузка, рас-
положенная подобно заданной, на которую ве-
дётся исследование; исследования могут также
вестись при динамических нагрузках. Оптиче-
ские измерения, произведённые в деформиро-
ванной модели, определяют возникающие в ней
напряжения; по ним устанавливается аналогич-
ная система напряжений в детали.
Материал, из которого изготовляется модель,
однороден и в пределах нагрузок при экспе-
рименте подчиняется закону Гука. В соответ-
ствии с этим получаемое решенке применимо
к деталям, выполненным из однородного мате-
риала и работающим в пределах пропорцио-
нальности.
2. Оптика напряжений [39]. См. также
т. 3. Естественный неполяризованный свет со-
гласно волновой теории можно рассматривать
как колебание частиц эфира в направлениях,
поперечных к световому лучу. Такой свет

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 395
схематически изображается радиусами-векто-
рами, идущими по всем поперечным к лучу
направлениям (фиг. 288, а).
Плоско или линейно поляризо-
ванный свет характеризуется колеба-
ниями в одной плоскости (фиг. 288, б) и полу-
чается из естественного пропусканием через
Фиг. 288. Схема естественного и поляризованного света:
а — естественный; б — плоско поляризованный; в — поля-
ризованный по кругу влево; г — эллиптически поляризо-
ванный.
поляризатор (поляризационная призма, поля-
роид). При круговой поляризации
плоскость поляризации поворачивается так, что
радиус-вектор ОА амплитуды колебания опи-
сывает круг (фиг. 288, в). При поляриза-
ции по эллипсу колебания меняются как
по направлению, так и по амплитуде (фиг.288, г).
Поляризация по кругу и эллиптическая дости-
гается установкой за поляризатором нормаль-
но к лучу „пластинки четверть волны". Если
оптическая ось „пластинки четверть волны"
повёрнута по отношению к плоскости поляриза-
ции на угол ос = 45° по (против) часовой стрел-
ке, то плоско поляризованный свет преобра-
зуется в поляризованный по кругу вправо (вле-
во); если 45°>а>0 или 0>>а> — 45°, то
свет будет эллиптически поляризованным.
Действие поляризационной уста-
новки (полярископа). Волна поляризо-
ванного монохроматического света, идущая от
поляризатора, проходя через плоскую нагру-
женную модель (фиг. 289), разделяется на две,
имеющие в модели разные скорости. Пло-
скость колебания для каждой из этих волн сов-
падает с плоскостью действия главных напря-
жений а1 и о2. Вследствие различия скоростей
для обеих волн между ними возникает линей-
ная разность хода 8, которая при данной
толщине d модели оказывается пропорцио-
нальной разности главных напряжений, т. е.
8 = т к = С (ctj — а2) (закон В е р т г е й м а).
Если за моделью поставить вторую поля-
ризационную призму или поляроид (анализа-
тор), то обе волны, имеющие разность хода 8,
будут интерферировать.
Оптические оси поляризатора и анализато-
ра скрещены (обычное рабочее положение) или
параллельны.
Разность главных напряжений
(ffj — а2) в любой точке модели, равная удвоен-
ной величине наибольшего касательного на-
пряжения ттах в этой точке, выражается так:
— ff2
0)
Нормальное напряжение аК0нт, действую-
щее в точке ненагруженного контура модели
по касательной к контуру, равно разности глав-
ных напряжений в этой точке, так как глав-
ное напряжение, нормальное к контуру, равно
нулю; отсюда
-ст- С2)
В формулах A) и B) X — длина волны мо-
нохроматического света, применяемого в по-
ляризационной установке для исследования
напряжений; т — целое или дробное число
значений X, укладывающееся в разности хода 5;
С — оптическая постоянная, зависящая от
материала и толщины модели.
С увеличением толщины d модели из дан-
ного материала при той же величине (ах — а2)
наблюдаемая на экране величина т порядко-
вого номера полосы интерференции увеличи-
вается, так что
°1 — а2 = 2 Тщах = T^ZT т Aа)
(в точках внутри контура модели),
__ _Х_
аконт ~~~Cr.il т
Bа)
(в точках ненагруженного контура модели).
Здесь Со — оптическая постоянная мате-
риала при толщине модели 1 см, d — тол-
щина модели в см.
Если rf— 1,0 еж и т = 1, то на контуре
модели напряжение
Отсюда
— а2 = 2 хгпах —
При этом
C)
D)
E)
F)
1.0)
Оптическая постоянная sov"; и <V'"' для
толщин модели d см и 1,0 см зависит от ма-
териала модели и длины волны X монохрома-
тического света в полярископе.
Направлениеб,
Фиг. 289. Схема действия поляризационной установки для
исследования напряжений: / — источник света;2 —поляри-
затор; 3 — модель; 4 — анализатор; 5 — экран.
„Пластинки четверть волны", поставлен-
ные между поляризатором, моделью и анали-
затором (на фиг. 289 не показаны), позволяют

396
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. 1
замерить разность хода 8 при совпадении пло-
скости поляризации, даваемой поляризатором,
с направлением главного напряжения (устра-
няются изоклины).
Изображение модели на экране со-
провождается картиной интерференции по всем
точкам внутри контура модели. Часть экрана,
не занятая моделью, будет при скрещенных
поляризаторе и анализаторе тёмной (неосве-
щённой). В местах экрана, соответствующих
точкам модели с т, равным целому числу волн,
освещённость минимальная и с т, отличным
от целого числа наполовину, — максимальная.
Таким образом в точках, где 8 = О, X, 2Х,
3 X . . или т — 0, 1, 2, 3 . . . — тёмные
места экрана; где S = */2 X, И/г h 2l/2 X ...
или т = 1/2» W2» 22/г> ... — места наиболь-
шей освещённости экрана.
На изображении модели получаются свет-
лые и тёмные полосы разных порядков т.
Точки, лежащие на одной и той же полосе,
соответствуют одинаковым т (т. е. S) или оди-
наковым <?! — с2 = 2тта, (фиг. 290, а) в плоской
модели.
Для определения изоклин (см.
стр. 180) применяется та же установка по
клин. На фиг. 290, б показана одна из изоклин.
Подробнее см. т. 3
Точки, в которых ct-l = а2 = 0 (так назы-
ваемые особые точки траекторий главных
напряжений), соответствуют местам, которые
остаются всегда тёмными при любом положе-
нии скрещенных поляризатора и анализатора;
при применении белого света и круговой по-
ляризации они соответствуют тёмным (неокра-
шенным) местам экрана.
Белый свет в установке применяется при
получении изоклин и выявлении особых точек.
Зависимости Aа) и Bа) остаются справедли-
выми, но должны быть применены к каждой
монохроматической составляющей спектра бе-
лого света. Отдельные точки модели согласно
зависимостям A) и B) вызывают погасание
соответствующих составляющих белого света,
так что изображение модели на экране будет
окрашенным. Места, имеющие на экране оди-
наковую окраску, называются изохромами
и соответствуют точкам модели с одинаковой
величиной сг] — з2 = 2тта:х.
При больших значениях 8 (т ^> 4 -f- 5)
окраска исчезает. Поэтому не следует пользо-
ваться белым светом для замера разности хода
Полосы
по А А
у-0
Фиг. 290. а—картина полос, полученная при круговой поляризации и монохроматическом свете; <5-поле
полос, перенесённое на чертёж, и изоклины для угла 45°. Модель постоянной толщины й. Напря-
d
жения в детали пересчитываются умножением на отношение —у •
схеме фиг. 289, со скрещенными поляризато-
ром и анализатором и без включения „пласти-
нок четверть волны". Точки модели, имеющие
одинаковое направление главных напряжений,
совпадающее с плоскостью поляризации поля-
ризатора, на экране соединены тёмной изокли-
ной.
Для лучшей видимости изоклины уста-
новку переключают на белый источник света,
увеличивают его интенсивность и уменьшают
нагрузку модели. Поворачивая (относительно
оси полярископа) поляризатор и скрещенный
с ним анализатор через 5 или 2,5°(для отдель-
ных зон и через меньшие углы), получают си-
стему достаточно густо расположенных изо-
8 на плоских моделях (толщиной ]> 3 — 5 мм),
выполненных из материала с высокой опти-
ческой чувствительностью.
3. Материал для изготовления моде-
лей. Характеристики материалов приведены
в табл. 53.
Размер плоских моделей в их плоскости
ограничен устойчивостью модели и размерами
плитки, из которой модель изготовляется. Наи-
больший размер модели обычно порядка 100 —
150 мм. Размеры пространственных моделей
ограничены размерами блока.
Способы изготовления ма-
териала и обработки моде-
лей см. в т. 3.

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 397
Таблица 53
Характеристика материалов, применяемых в поляризационно-оптическом методе (при ^=20° С)
Материал
Стекло
Целлулоид . . .
Желатина ....
Фенолит
Тролон
Марблет ото-
жжённый (США) .
Бакелит ВТ-61—
893 (США)
Материал ИМ-44
(типа висхомлита).
0
(при зелёном
светофильтре)
X = 546,1 ту.
i6o—500
30 -60
0,02
11,0
то Ч
12,5
11,8
12,0
Предел проч-
ности на
разрыв
"вр в кг\смг
350—600
—
75°
Зоо
1200
15°°
Предел про-
порциональ-
ности а
В KZJCM?
280—400
—
Зоо
IOO
2ОО
5оо
5оо
Порядковый
номер полосы т
при пределе
пропорциональ-
ности
9
—
27
IO
16
36
45
Модуль
упругости Е
в кг/слР
6,4 • ю*
1,4—2,8 • ю*
о,4
з.з • ю4
2.4 • IO*
3,7 • ю4
4,2 • IO*
4.3 • к>4
Коэфициент
Пуассона (i
0,25
0,33-0,38
—
—
0,40
°.37
о.зб
Определение оптической по-
стоянной материала производится испыта-
нием по схеме фиг. 291 балочки, выполненной
Эксперимент.
Растянутая зона
Фиг. 291. Тарировочная балка и картина полос, полу-
ченная для неё при круглой поляризации и монохромати-
ческом свете. Материал — висхомлит.
из плитки или блока. Принимают / — 10-f-15 см',
Л=1-г- 1,5 см; а —2м; d = 5 ч-8 мм; на-
грузка до Р = 10 ч-25 кг. На участке чистого
изгиба в точках А и В (фиг. 291) можно при
нагрузке Р отсчитать на верхнем и нижнем
краях балки порядковые номера полос тд= 10,2
и тв = 9,9 (рекомендуется при тарировке иметь
т,д и тв порядка 8—15).
Тарировка с помощью полярископа даёт
величину:
1) оптической постоянной при толщине d
модели
\1Ра
О =
0 (тА + тВ) d№
при толщине d= 1,0 см модели
„ A,0) _ (a) d .
кг\смР-\ G)
Gа)
2) оценки однородности оптических свойств
100%.
= (тА — тв)
у («А + mB).
При правильной технике эксперимента
должно быть Д < 5%.
4. Моделирование. Исследования на мо-
делях возможно как для деталей, ограничен-
ных ОДНИМ КОНТурОМ (ОДНОСВЯЗНЫЙ KOHTypJ,
так и для деталей с многосвязным контуром.
Модель детали выполняется с соблюАснйём
условий подобия [39, 44].
Масштабом а геометрического
подобия называется отношение длины
отрезка, взятого на детали, к длине соответ-
ствующего ему отрезка на модели. Все рас-
стояния на модели выполняются в одном и
том же масштабе геометрического подобия.
Углы, имеющиеся в детали, на модели оста-
ются без изменения.
Масштабом р с ил о вого подо б и я
называется отношение равнодействующих на-
грузок, приложенных к соответствующим уча-
сткам детали и модели.
Условия контакта деталей: дли-
ны соответствующих участков контакта в де-
тали и в модели должны получаться с тем же
масштабом геометрического подобия. Отсюда,
считая деформацию в пределах упругости и
принимая козфициенты Пуассона для модели
и детали одинаковыми, имеем зависимость
(8)
Здесь Е1дет, Е<?дет, EiMod, Е2мод-можуш про-
дольной упругости материалов деталей и их
моделей для частей 1 и 2, находящихся в кон-
такте. Если пара элементов, находящихся в
контакте, выполнена из одного материала,
то должно быть
Е
мод
(8а)
Соблюдение условий (8) и (8а) достигается
подбором материала моделей или выбором

398
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
масштабов аир. Если исследуются напряже-
ния в одном элементе пары, то условия кон-
такта могут удовлетворяться соответству-
ющим изменением радиуса в неисследуемой
части в месте контакта.
Зависимость между напряже-
ниями в детали и модели. Если мо-
дель выполнена с соблюдением масштабов гео-
метрического и силового подобий и условий
контакта, то при нагрузке натуры и модели в
пределах пропорциональности
djtod Р /пч
адет = 7Г-, ~ амод (9)
(плоские деталь и модель);
_ 3
адет — "Т5 ^
(9')
(объёмные деталь и модель).
Здесь <умод и а#ет — напряжения, измерен-
ные в модели, и искомые напряжения в де-
тали; dMOg и dQem — толщины в рассматривае-
мом месте модели и детали.
Если плоская модель имеет мно-
го с в я з н ы й контур (одно или больше от-
верстий) и равнодействующая усилий, прило-
женных к какому-либо контуру, не равна ну-
лю, то при деформациях в пределах пропор-
циональности при отсутствии объёмных сил
распределение напряжений зависит, хотя и не-
значительно (в пределах порядка ^ 1О°/о)» от
величины коэфициента Пуассона 139]. Если
это влияние необходимо учесть и коэфициент
Пуассона ц. материала детали не равен коэфи-
циенту Пуассона fjJ модели /, то необходимо
исследовать напряжения и во второй модели //,
111
имеющей
адет'-
Напряжения в детали [44]
gl II
_ " ЛЮд
S-
p. - p.
.11
A0)
Здесь а1 и о11 — напряжения, замеренные в
моделях I и II.
Относительные деформации в
детали и модели (плоской или объёмной)
равны, если при деформации в пределах
пропорциональности
Тогда
¦¦мод
—с .« _
— амод> °дет- —
(П)
мод
К дет = гКМод> идет ~ аимод* {*¦* )
Здесь гдет и ?M0d, адет и амод, Едет нЕмод-
относительные деформации, напряжения и мо-
дули продольной упругости материала детали
и подобной модели; Rdem и RMod, идет и имод-
усилия (например, опорные реакции) и пере-
мещения (например, прогибы) в детали и мо-
дели.
Проектирование модели. Не во
всех случаях в модели полностью воспроизво-
дится натура: 1) модель полностью воспроиз-
водит деталь только в исследуемой части;
2) форма детали воспроизводится упрощённо.
Упрощение связано с возможностями экспери-
мента. Например, распределение напряжений
в объёмной детали оценивается с помощью
плоской модели. Правильно оценить допускае-
мую при этом ошибку, не производя допол-
нительных экспериментов или при отсутствии
необходимых расчётных данных, нельзя.
Пример выбора модели в зависимости от
экспериментальных возможностей приведён
на фиг. 292 (на примере детали металлургиче-
ского оборудования).
Место
скрепления
0.67Р
0J3P
По аа
R2
(выборка)
Фиг. 292. Выбор модели: а — объёмная модель. Полное соблюдение подобия. При измерениях может
быть применён метод замораживания, метод рассеянного света и использованы измерения при односто-
роннем монтаже; б— модель из оптически активного и оптически неактивного (например, плекси-
гласа) материалов. Соблюдаются радиусы в плоскости xz. Применяется метод просвечивания; в—плоская
модель с выборкой или без выборки углубления, подобного имеющемуся на натуре. Массивная часть А
обеспечивает условия совместной работы правой и левой боковин детали; г—исследование обеих боко-
вин ведётся отдельно. Распределение нагрузки между боковинами принимается из расчёта по правилам
строительной механики. Плоские модели выполняются с выборкой или без выборки углубления.

ГЛ. IV ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 399
Метод полос является наиболее эффектив-
ным для решения практических задач. За-
ключается в определении напряжений по кар-
Фиг. 293. Нарастание картины полос при чистом
изгибе. Величины изгибающих моментов М соот-
ветственно 0,4; 0,7; 10,0; 13,0; 18,0; 34,0; 60,0 кгсм.
Размеры: высота 15,0 и 20 мм; радиус закругле-
ния 5,5 мм; толщина 3,5 мм [88].
тине полос, получаемой на плоских моделях из
материала с высокой оптической чувствитель-
ностью, при круговой поляризации и монохро-
матическом свете (обычно зелёном с длиной
волны X = 5461 А) в полярископе.
При применении метода: а) Достаточно по-
лучить один фотоснимок картины полос, снаб-
жённый их порядковыми номерами т. б) Поряд-
ковые номера т полос устанавливаются наблю-
дением за нарастанием их по мере увеличения
нагрузки, начиная от нуля (см. фиг. 293), или
по фотоснимку, имеющему точку aj — а2 = 0,
т. е. полосу т=0, от которой ведётся счёт по-
рядковых номеров, в) Картина полос позволяет
определить сг — ^2=^rmax B любой точке мо-
дели и напряжения оконт вдоль ненагружен-
ного контура; величиной и знаком оконт на-
пряжённое состояние в точках ненагруженного
контура определяется полностью.
Определение порядкового но-
мера т: а) Нулевая полоса т=0 устана-
вливается при круговой поляризации на экране,
если включить в установке белый свет (снять
светофильтр): полоса нулевого порядка будет
тёмной, а все прочие окрашенными. В точке, где
напряжения равны нулю, /и=0.
б) Порядковый номер т полос устанавли-
вается счётом их на фотоснимке от полосы т =
= 0 или в сложных случаях наблюдением за
полосами на экране при нагружении модели
(при нагружении модели полоса передвигается,
но её порядковый номер т сохраняется).
в) Величина т для точки, не лежащей
на полосе, устанавливается интерполяцией.
По краю модели т. устанавливается для
истинного контура,
Номера /77 полос
10
определяемого по
расстояниям а и Ь
до меток на мо-
дели (фиг. 294);
способ экстрапо-
ляции для точек
контура — см. фиг.
294. Правильнее
добиваться полной
чёткости контура,
что всегда можно
сделать, если мо-
дель правильно из-
готовлена (см.т.З).
Определе-
ние знака
нормальных
напряжений
на ненагруженном
контуре делается
путём компенса-
ции. Взамен клино-
вого компенсатора
(см. т. 3) можно
использовать об-
разчик оптическо-
го материала, име-
ющий в результате
хранения заметный
краевой эффект.
Участок между краем и нулевой полосой
ненагруженного образчика, располагающийся
от края на расстоянии, равном V'4 — 1 тол"
щины образчика, вызывает такой же опти-
ческий эффект, как сжимающие напряжения
(при материале ИМ-44). Наблюдения, ука-
занные на фиг. 295, удобнее вести, передви-
гая образчик перпендикулярно контуру. Места
ненагруженного контура с различными зна-
ками нормальных напряжений разделяются
точкой т — 0.
Видимый контур
тинный контур
ti
видимый контур
Фиг. 294. Определение т для
точки, не лежащей на полосе.

400
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Определение напряжений по
картине полос [61]. Случай 1. Могут
быть вычислены напряжения в какой-либо
из точек модели (например, в сечении / /
фиг. 296, а). В этом случае постоянная опти-
Зпюра т
-У*
Фиг. 295. Определение знака напряжений:
а — краевой эффект в образчике оптического
материала (висхомлит) в результате хранения;
бив — смещение полосы возле контура мо-
дели, наблюдаемое через край образчика при
растяжении (б) и сжатии (в) вдоль контуров.
ческого материала с</<*) и величина нагрузки,
приложенной к модели, могут не определяться.
В точке С ненагруженного контура детали
напряжение
_ тс _
сдет— ~ аном< дет —
снолс> дет*
A2)
где номинальное напряжение в сечении 00
детали оном,дет=
1
дет
т. bPdemj.
О» дет "О»demL "О»дет
N
Случай II. Ни в одной из точек модели
напряжения заранее неизвестны (фиг. 296, б).
При эксперименте должны быть определены
постоянная материала а^ и нагрузка Рмод
модели.
В любой точке С ненагруженного контура
детали напряжение
Змод, С
мод
- —, _ моо р
"дет, С ~ -рГ-Г V Л— ^ет,
1дет
где
*мод, С —'
e. (На)
В
оптиче-
формулах A2) —A4а) а^1
ская постоянная материала при толщине мо-
дели 1,0 см; а — масштаб геометрического
подобия; ddem и dMod — толщины детали и мо-
дели в см; Рмод и Р^ет — нагрузки, приложен-
ные к модели и детали.
При одинаковых размерах детали и модели
1.0
гмод
lc P
дет
» •
мод
A5)
dem
Примеры применения метода
полос, а) Определение коэфициентов кон-
центрации. Картина полос соответствует слу-
чаю 1 (см. выше).
Для сечения, содержащего точку С концен-
трации напряжений, и сечения / У, по кото-
рому определяется номинальное напряжение,
обозначены соответственно: Fq и F— площади
поперечного сечения; Wq hW — моменты со-
противления; тт&х и т - порядковые номера
полос; Nq и N, Mq и М — величины продоль-
ных сил и изгибающих моментов. Коэфициент
Фиг. 296. Схемы для определения напряжений: а — случай I; б- случай II.
Здесь do, дет, hb,Qem, го,дет—размеры де- концентрации, отнесённый к номинальному на-
тали, соответствующие размерам d0, Ло, rQ мо- пряжению в сечении:
Дели б
Дели.
При Л/ = 0 (изгиб) т'1 = -т =
р
при изгибе
С ~
дет>
аном> дет —
I г/Л»
^дет г0у дет
дет дет
A3а)
s m Mc W
при продольном усилии
а° пГ ' ~N^~F
A6a)

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
401
Динамометр
подкладка\ \п
винт ч х
Фиг. 297. Исследование распределения на-
пряжений: а—картина полос для левой бо-
ковины; б— чертёж модели правой боко-
вины (масштаб подобия а = 1); в— по-
рядковые номера т полос. Напряжения:
вА,С=±0'24 тА,С рдет;
iR= + 0,25mBPdem- Нагрузка модели:
рмод = °i ' ' тср ' рдин **
в 18 JL з,6 @,68 ¦ 1,30) = 58 кг.
6,8
г-37
По mm
1-й случ.нагруэ. \
модели j
П-й ел уч. нагрлщ
модели '
ПеЬая боковина Правая боковина
Если модель имеет значительный на-
чальный оптический эффект, то в формулах
A6) и A6а)
' I * «10
т.—.__ = /я,-..-4- /Я/-.; /я = tn -4- fit .
шах с# —*— с7 -^*
Здесь /wc и т' — порядковые номера
полос в нагруженной модели, а т" и /я* —
до нагрузки.
б) Определение напряжений в точках
контура детали. Картина полос переносится
яа чертёж полностью или отмечаются на кон-
Фиг. 298. Влияние выреза в стенке зубчатого колеса.
туре только наибольшее тт и номинальное
т
ном'
Прршер, выполненный для плоской модели,
фиг. 292, приведён на фиг. 297. Усилие Рмод
определено с помощью оптического динамо-
метра. Усилие Рдет, приходящееся на каждую
боковину детали фиг. 292, определяется рас-
чётом или путём динамических измерений при
работе машины. Если величина Р^ет неизве-
стна, то для различных точек детали будет
найдено лишь соотношение напряжений.
в) Оценка формы деталей. Пример 1.
Влияние на напряжения облегчающих выре-
зов в стенке плоского зубчатого колеса опре-
деляется фиг. 298. Знание действительной
величины нагрузки, действующей на зуб, не
обязательно. По фиг. 298 можно видеть, что
вырезы принятых размеров не дают напря-
жений, больших чем в основании зуба. При-
мер^. Оценка влияния формы в месте со-
пряжения вала и ступицы при напрессовке.
Порядковые номера полос (фиг. 299) пропор-
циональны величинам наибольших касательных
напряжений i:max. Оказывается, что скруглён-
ный угол ступицы даёт наименее благоприят-
ный результат.
г) Выбор формы детали. Могут быть
использованы траектории напряжений. Изгото-
вляется модель по первоначальной упрощённой
форме детали и для неё с помощью поля-
рископа получаются траектории напряжений
(фиг. 300, а). Полученные траектории напря-
жений намечают улучшенную форму детали,
по которой изготовляется вторая модель
(фиг. 300, б). Траектории напряжений, получен-
ные для второй модели, дают следующее при-
ближение к совершенной форме. После того как
найден улучшенный контур плоской детали,
получающуюся в сечении неравномерность рас-
пределения напряжений можно уменьшать с
помощью местных утолщений (фиг. 300, в). По-
строение траекторий напряжений требует боль-
шой затраты времени, и этот способ теперь не
применяется.
Проще пользоваться непосредственно на-
блюдаемой на экране картиной полос. Рассма-
тривается картина полос в существующей фор-
ме детали. В месте концентрации напряжений
изменяется контур детали или увеличивается

402
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. J
Фиг. 300. Выбор формы детали
по ходу траекторий напря-
жений.
Фиг. 299. Оценка формы в месте сопряжения вала и ступицы: а—плоская модель;
, , ттах
о—примеры картин полос; в—результаты эксперимента: я = .
Форма
Существующая форма
Промежуточная форма
Улучшенная форма
Оценка
формы
= 9,0
А=1,5
= 7,8
д~1,3
= 6,0
я=1,01
Эпюры распределения
напряжений
по контуру
Существующая
форма
Фиг. 301. Улучшение формы детали кузнечного оборудования.
... . отгаах
Коэфициент койцентрации k — .
тном.
размер сечения детали, с тем чтобы порядко-
вый номер полосы был меньше. Полученная
форма исследуется вновь. Изменение конфигу-
рации делается нужным образом дальше, при-
чём каждый раз отмечается наибольший по-
рядковый номер полосы в наиболее напряжён-
ной зоне. Относительная величина уменьше-
ния порядкового номера ха-
г рактеризует степень улуч-
шения формы.
Пример улучшения конфигурации за
счёт подреза в менее напряжённой
зоне при стеснённых габаритах детали
приведён на фиг. 301. Улучшение формы
с применением выборки материала умень-
шает жёсткость детали, что при удар-
ной нагрузке способствует и уменьше-
нию усилия.
Разделение главных напряжений —
см. т. 3.
6. Исследования на объёмных мо-
делях.
улучшенная формь ^ Односторонний монтаж
всех частей поляризационной установки
позволяет проводить исследование про-
странственных тонкостенных оболочек.
Поляризованный луч, пройдя одну стенку
оболочки и попадая на нормально по-
ставленное зеркало, отражается, по тому
же пути возвращается и поступает в
анализатор. При прохождении лучом
стенки модели в одном и том же месте
получается удваивание разности хода.
2) Метод погружения заклю-
чается в том, что объёмная нагружён-
ная модель погружается в сосуд с пло-
скопараллельными стенками, наполнен-
ный жидкостью с тем же коэфициен-
том преломления Яд, что и материал
модели (для материала типа висхом-
лит пц = 1,64). Подбор иммерсионных
жидкостей см в т. 3. Параллельные
лучи, поступающие от поляризатора
установки, проходят через объёмную
модель, оставаясь параллельными и не рас-
сеиваясь её криволинейной поверхностью.
Получаемая на экране полярископа интер-
ференционная картина в каждой точке даёт
некоторый суммарный эффект прохожде-
ния луча через всю толщину модели. Ве-
личины напряжений будут определяться до-

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 403
статочно точно только в том случае, если
по толщине модели они меняются незначи-
тельно.
3) Модель из двух материалов:
оптически неактивного и активного (метод Фав-
ра). Метод может быть использован для изу-
чения напряжений в накладках и частях под-
крепляющих конструкций. Элемент, в котором
определяется напряжение, выполняется из
оптически активного материала, а остальная
часть — из оптически неактивного (например,
плексигласа).
4) Тонкий слой из оптически
активного материала укрепляется на
отражающем покрытии поверхности объёмной
модели, которая может быть непрозрачной
(Менаже). Измерения ведутся на односторон-
ней установке.
5) Тонкий слой из поляроида и
оптически активного материала
наклеивается на поверхности прозрачной мо-
дели (Тимби и Гедрик). На нагружённую мо-
дель направляется параллельный пучок есте-
ственного света.
Указанные выше методы или имеют огра-
ниченное применение, или недостаточно усо-
вершенствованы [49].
6) Методы „замораживания" (Макс-
велл, Оппель, Хетени) основаны на том, что
применяемые фенолформальдегидные пласт-
массы имеют двухфазную структуру: при на-
греве до 80—110° С одна часть материала
размягчается (резол), другая (резит) остаётся
упругой. Прилагаемой нагрузке будет противо-
стоять упругий неразмягчающийся скелет.
Если затем, не снимая нагрузки, модель охла-
дить до комнатной температуры, то размяг-
чившаяся при нагреве часть снова застывает
(„замораживается") и будет удерживать по-
лученную деформацию в скелете и при сня-
тии нагрузки. Это деформированное состоя-
ние не нарушится при последующем распили-
вании объёмной модели на тонкие пластинки
@,7 — 2,0 мм), так как размягчающаяся часть
составляет значительно большую часть всего
объёма материала и так как равновесие между
скелетом и застывшей частью существует в
объёме молекулярных размеров. В каждой вы-
резанной из объёмной модели пластинке опре-
деляются напряжения. Нагрев вырезанной пла-
стинки (или целой модели) приводит к „размо-
раживанию", что позволяет непосредственным
измерением установить деформации внутри
объёма модели. Скелет, воспринимающий на-
грузку нагретой модели, подчиняется законам
упругости.
Способы измерений в срезах:
а) Прямое просвечивание параллельным
пучком света, поляризованного по кругу или
линейно. Наибольшие нормальные напряжения,
имеющиеся в объёмной модели в плоскости
среза, при нормальном просвечивании среза
действуют так же, как главные напряжения
aj и о2 в плоской модели. При этом напряже-
ния, нормальные к срезу, влияния не оказы-
вают.
б) Косое просвечивание (методом пово-
рота). Косое просвечивание в одном положе-
нии параллельным пучком поляризованного
света, даёт то же, что рассмотрение одного ко-
сого среза, нормального к пучку (см. п. „а").
Косое просвечивание в трёх направлениях по-
зволяет, как правило, с помощью одного среза
установить направления трёх главных напря-
жений и величину разности между ними для
всех точек модели, лежащих в плоскости сре-
за. Удобно применить поляризационный кри-
сталлооптический микроскоп со столиком Фе-
дорова для осуществления поворотов.
в) Конический пучок поляризованного
света позволяет с помощью одного среза
установить направления трёх главных напря-
жений и разность их величин для всех точек
среза. Измерения ведутся на поляризационном
кристаллографическом микроскопе.
г) Механические измерения деформаций
внутри объёмной модели, осуществляемые
с применением „размораживания", могут быть
выполнены с достаточной точностью+ 0,001 мм
на оптиметре. Позволяют в сочетании с мето-
дами, указанными в п. „б" и „в", непосред-
ственно определить величину каждого из трёх
главных напряжений в отдельности.
Примеры применения метода „заморажива-
ния" см. на фиг. 302—305. ;,¦
Недостатки метода замораживания:
а) необходимость разрезки модели; б) значи-
тельные деформации модели и другие явления,
получаемые при её нагреве, которые могут на-
рушить условия моделирования; в) трудность
при измерениях в срезах учесть начальный оп-
тический эффект, имевшийся в модели до на-
грузки.
Преимуществом метода является возмож-
ность использования обычной методики изме-
рений, применяемой для плоских моделей. Вся
мгтодика заморажизания проверена на мате-
риале типа висхомлита.
7) Метод рассеянного света [20,
127]. Тонкий пучок поляризованного света, про-
пускаемый через модель, даёт в каждой точке
внутри модели в направлении, перпендикуляр-
ном ходу пучка, т. е. в сторону, рассеянный свет.
Интерференция рассеянного света связана с
коэфициентом преломления, а следовательно,
и деформацией в каждой точке. Таким обра-
зом наблюдением со стороны обнаруживается
не суммарный эффект прохождения пучком
всей модели, а влияние каждой точки, лежащей
на линии пучка. Такой „оптический щуп" мо-
жет действовать сразу по целой плоскости се-
ченля модели, если последняя освещается не
тонким пучком, а тонкой полосой поляризован-
ного света.
Разность главных нормальных напряжений,
лежащих в плоскости, перпендикулярной
проходящему лучу,
Л1-*»
A7)
Здесь s — расстояние между соседними
полосами интерференции рассеянного света,
измеряемое в направлении первичного пучка,
соA>0) — оптическая постоянная модели, опре-
деляемая обычным образом.
В знаменатель правой частл уравнения
A7) в общем случае нужно ввести множи-
тель k, учитывающий „эффект поворота":

404
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
Здесь -± — отношение поворота dy осей
квазиглавных напряжений аА и а# к относи-
тельной угловой разности хода rfy для двух ко-
лебаний проходящего луча, выраженной в ра-
дианах. Увеличение нагрузки на модель умень-
шает величину поправочного коэфициента k,
dtp
который уже при 2 -^ < 0,3 может в формулу
A7) не вводиться.
Юкг
Сйатие
Фит. 302. Объёмная модель клапана, опёртого по кольцу Ал: а—картина полос в диаметральном срезе
замороженной модели; б — полученная по ней эпюра радиальных напряжений. Нагрузка модели
чрезмерно велика.
т=Юкг/смг\Р
щека
Фиг. 303. Средние ве-
личины касательных на-
пряжений т, передавае-
мых полой шейкой ко-
ленчатого вала. Замеры
выполнены в попереч-
ном срезе шейки замо-
роженной модели.
Преимущества метода! а) отсутствует не-
обходимость разрезки модели; б) условия мо-
делирования легче выполняются, чем при при-
менении метода „замораживания"; в) облег-
чается учёт начального оптического эффекта.
Фиг. 304. Распределение касательных напряжений •:
при скручивании, определяемое по одному срезу (а)
под углом 45° к оси двутавра. Эпюра напряжений -в
по контуру (б) и картина полос (в).
Фиг. 305. Исследование распределения напряжений в де-
тали сложной формы: а—срезы, снятые в „замороженной*
модели, и её нагрузка; б — полученные измерением на
срезах эпюры относительных величин наибольших каса-
тельных напряжений в точках поверхности

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 405
Исследования напряжений во вращаю-
щихся деталях. При периодическом движении
применим стробоскопический метод.
Наблюдение за картиной полос в плоской мо-
дели ведётся при её вращении в рабочем поле
поляризационной установки.
Кажущаяся неподвижность модели будет
полной, если экранирующий диск вращается
(безынерционная лампа вспыхивает) синхрон-
но с наблюдаемой моделью:
NM
ik
A8)
где k = 0, 1, 2,.., Здесь N и я — число обо-
ротов в секунду рассматриваемой модели и
экранирующего диска (или число вспышек
лампы); М — число одинаковых положений мо-
дели в пределах одного оборота (кратность
модели); /— число щелей в диске (для вспы-
хивающей лампы /=1). Для непрерывности
зрительного впечатления разрыв видимости
должен быть < Vis сек-> т-е- 'm~s> 15-
Применяется панорамная призма, уста-
навливаемая в узком пучке света в поляриза-
ционной установке. Действительная неподвиж-
ность изображения модели достигается при
половинной скорости вращения призмы в ту
же сторону, чго и модели.
Метод „замораживания". Модель
изфенолформальдегидной пластмассы вместе с
приспособлением для её вращения устана-
вливается в термостате. Модель приводится во
Фиг. 306. Картина полос, полученная в неподвижной
модели диска после замораживания при вращении.
Число оборотов 3000 в минуту.
вращение. Температура в термостате в тече-
аие 1—2 час. поднимается до 110° С (модель из
материала типа висхомлита) и выдерживается
'/а— 1 час (в зависимости от толщины модели)
до равномерного прогревания. Далее темпера-
тура в течение 3 — 4 час. снижается до ком-
иатной, и вращение модели прекращается. Чи-
сло оборотов должно быть таким, чтобы на-
пряжение во вращающейся модели не превос-
ходило предела пропорциональности нагретого
натериала (см. т. 3).
Модель может быть плоской или объёмной.
После проведения замораживания исследова-
ние напряжений ведётся, как и в случае иссле-
дования с обычной статической нагрузкой
(фиг. 306).
Этот метод применим для исследований на-
пряжений от собственного веса.
7. Исследования при переменных и
ударных нагрузках. Выполнение всех усло-
вий моделирования, особенно для ударных на-
грузок, затрудняется тем, что сказывается раз-
личие механических свойств материалов де-
тали и модели.
Кинематографический метод даёт
запись на движущуюся плёнку изображения
полос (см. стр. 399), меняющихся во времени.
Скорость движения плёнки, её чувствитель-
ность и яркость источника света выбираются
в зависимости от скорости исследуемого дина-
мического процесса и способа регистрации.
При кинематографическом методе иссле-
дования удара регистрируется или положение
полос в сечении (Туци и Нисида), или тёмной
нулевой линии, получаемой с помощью компен-
сатора (Тесар).
Запись напряжений при вибрациях [29J
осуществляется киноаппаратом с числом сним-
ков до 64 в секунду. Применяются также вы-
сокоскоростные киносъёмочные аппараты с
200 — 300 снимков в секунду и лупы времени
с числом снимков до 1200, 3000, 80Э0 и 64 000
в секунду. Современная микросекундная фо-
тография (однократный снимок или после-
довательные снимки через равные интервалы
времени) позволяет при наблюдении картины
полос в модели из оптического материала
ограничиваться экспозициями, измеряемыми
микросекундами [99].
Метод аналогии
Методы аналогии основаны на подобиях,
которые имеются не между самими (различ-
ными) явлениями,амежду математическими за
висимостями в этих явлениях (Максвелл). Ис-
пользование метода заключается в замене вы-
числительного решения того или другого урав-
нения экспериментальным решением, прове-
дённым на другом физическом явлении, в ко-
тором измерения выполняются наиболее легко
и точно. Метод при составлении теоретических
зависимостей применяется для наглядной оцент
ки без осуществления эксперимента (см.
стр. 213) и для качественной оценки формы
детали (см. стр. 181).
1. Скручивание стержня постоянного
сечения при упругих деформациях.
Применение гидродинамических аналогий
см. [68, 105].
Мембранная аналогия, а) Анало-
гия с мембраной (плёнкой), нагруженной
с одной стороны избыточным давлением
(аналогия Прандтля). На плоском контуре,
имеющем форму исследуемого сечения скру-
чиваемого стержня, натягивается тонкая плёнка
(мыльная, резиновая, белковая), работающая
с равномерным натяжением q. Создаётся одно-
стороннее давление р, которое должно быть
незначительным, с тем чтобы наибольший на-
клон плёнки был мал, т. е. угол а наклона к

406
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
плоскости контура, касательной к плёнке, не
должен превосходить приблизительно 30° *.
Горизонтали выпуклой мембраны дают тра-
ектории напряжений. По ординатам z плёнки,
найденным путём замеров, определяются каса-
тельные напряжения т в точках поперечного
сечения и геометрическая характеристика JK
сечения, входящая в величину жёсткости скру-
чиваемого стержня:
М
t J
Здесь V= l^zdx dy — объём между пло-
скостью контура и поверхностью мембраны;
dz
tga = величина ската поверхности мем-
браны в рассматриваемой точке (в направле-
нии нормали п к траектории касательных на-
пряжений); Мк — скручивающий момент, опре-
деляемый по нагрузке, приложенной к стерж-
ню. Величина k = 2 — зависит от условий
эксперимента (натяжения q в плёнке и да-
Еления р).
Угол закручивания единицы длины стержня
» = -#b Aа)
где G — модуль сдвига материала стержня.
Для определения k применяется один из
следующих способов:
1) Одновременно осуществляется одно и то
же давление на мембраны, натянутые на кон-
туре исследуемой формы, и на круглом диа-
метром d. По замерам ординат обеих плёнок
12.
V
>круг
иссл. формы.
Здесь шкруг—площадь диаметрального сече-
ния объёма, ограниченного плёнкой и пло-
скостью круглого контура.
2) Используются значения напряжений т<
вдоль какой-либо из траекторий напряжений,
например, вдоль контура сечения, выраженные
через Мк\
FMK
__2FMK
*k —
,ds
Здесь F—площадь, ограниченная замкну-
той траекторией напряжений; ds — элемент
длины траектории.
Если сечение полое и его внутренний
контур совпадает с траекторией касатель-
ных напряжений сплошного сечения с та-
ким же наружным контуром, то распреде-
ление напряжений будет то же, что в соответ-
ствующей части сплошного сечения; при про-
ведении эксперимента внутренний контур
можно укрепить на произвольной высоте.
Если внутренний контур не совпадает
с траекторией напряжений сплошного се-
чения, то при моделировании его нельзя за-
* При этих условиях ординаты zx» плёнки удовле-
творяют с достаточной точностью тому же диференциаль-
ному уравнению Пуассона, что и функция напряжений
ц» (х,у) при кручении для упругих деформаций — см.
157, 78].
крепить на произвольном уровне п. Каждую
внутреннюю полость многосвязного сечения
следует рассматривать как невесомую жёсткую
пластинку. Правильное положение пластинки,
соответствующей внутренней полости, будет то,
которое она, будучи невесомой и имея воз-
можность перемещаться по вертикали, заняла
бы под действием избыточного давления, оста-
ваясь горизонтальной (фиг. 307). При правяль-
но выбранных путём повторных проб значе-
ниях Alt /?21..., hn при данном избыточном да-
влении р на каждом внутреннем контуре 1,
Жесткие пластинки
Пленка
Фиг. 307. Мембранная аналогия для сечения
с многосвязным контуром (прогибы даны
в увеличенном масштабе).
2, . . . , п должно удовлетворяться уравнение
равновесия невесомой пластинки, соответству-
ющее условию однозначности осевого переме-
щения точек каждого из контуров стержня:
B)
Здесь Fo — площадь, ограниченная данным
внутренним контуром; ds — элемент его
длины.
Взамен подбора путём проб нужных высот
ht, Л2, . . . , пп пластинок ординаты искомой
поверхности z (л\ у) можно составить из орди-
нат 2], 22 . . . , zn поверхностей плёнок, по-
лученных при разных произвольных по вы-
соте установках пластинок:
с2г2
C)
При этом Cj -f c2 -f- . . . -\-сп=\. При
подстановке выражения C) для z в формулу
B) получается (п— 1) уравнений для опреде-
ления коэфициентов уравнения C).
б) Мембрана без избыточного давления
(р = 0). Контур, на который натягивается
плёнка, имеет в плане (плоскости ху) форму
исследуемого сечения скручиваемого стержня,
а ординаты контура берутся равными
1
D)
Для односвязного контура (сплошное сече-
ние) С = 0.
Масштаб с выбирается так, чтобы наиболь-
ший наклон max i% а плёнки, натянутой без из-
быточного давления на таком пространственном
контуре, был мал (наибольший угол а наклона

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
407
к плоскости ху, касательной к плёнке, не дол-
жен превосходить приблизительно 30°)*.
Внутри контура замеряются ординаты
г(х,у). Составляющие касательного напряже-
ния ixz zy2 и полное напряжение х в плоскости
поперечного сечения в точке (х, у) подсчиты-
ваются по замеренным г (х, у) с помэщыо фор-
мул
с ду J
L д2
с дх
х = У^ху* +¦ V- E)
Угол закручивания единицы длины стержня
GJK
Eа)
Здесь Мк — скручивающий момент, подсчи-
тываемый по нагрузкам стержня; G — модуль
сдвига для материала стержня. Величина JK
находится интегрированием в пределах пло-
щади F, ограниченной контуром:
При построении траекторий касательных
напряжений подсчитываются величины
(б)
равные ординатам плёнки, натянутой на пло-
ском контуре и подвергнутой одностороннему
давлению. Кривые, соединяющие точки с по-
стоянными значениями величин F), дают траек-
тории касательных напряжений в сечении.
Исследование полых сечений по методу
Фёппля см. [62].
* При этих условиях ординаты г (х, у) плёнки внутри
контура удовлетворяют с достаточной точностью тому
же диференциальному уравнению Лапласа, что и функ-
ция кручения <р (х, у) при упругих деформациях стерж-
ня, см. [58, 78].
в) Размер модели. Размер контура плёнки
может не равняться размеру контура сечения
стержня (натуры).
Если отношение размеров 1Н поперечного
сечения и 1М модели обозначено х =~- (мас-
м
штаб геометрического подобля), то для раз-
меров контура модели
G)
Значения iM и JKtM находятся для разме-
ров контура модели непосредственно по фор-
мулам (\), E) и EЬ).
г) Установки для измерений по методу
мембранной аналогии. По условиям анало-
гии необходимо, чтобы мембрана имела равно-
мерное натяжение, не сопротивлялась изгибу
и имела малые прогибы г. Этим условиям
наилучшим образом удовлетворяют слабо на-
груженная мыльная плёнка или плёнка из
жидкого белка. Упрощение измерений, но с
уменьшением точности достигается при при-
менении тонкой резиновой плёнки (толщиной
0,05 мм).
Ординаты плёнки должны быть малыми,
чтобы наибольший угол наклона поверхности
не превосходил 20—30°, когда ошибка из-за
несоблюдения условля аналогии составляет
около 3—5%.
Установка для проведения экспериментов
должна обеспечивать: 1) возможность натяже-
ния мембраны на контуре требуемой формы;
2) осуществление одностороннего избыточного
давления, поддерживаемого достаточно дли-
тельное время (при плоском контуре), или
натяжение мембраны с требуемыми ордина-
тами на контуре; 3) измерение с необходимой
точностью ординат (^0,001—0,01 мм) плёнки
и её наклонов; 4) достаточную быстроту
измерений в связи с неустойчивостью мыль-
ной плёнки и возможным изменением давле-
ния.
Основные установки, применяемые в ме-
тоде мембранной аналогии, см. [58, 62].
Способы измерений в методе мембранной аналогии [62]
Характеристика установки и способа измерений
Фотографируется изображение прямоугольной сетки,
отражённое от поверхности мыльной плёнки. Обра-
ботка фотоснимка определяет ординаты и наклоны
поверхности плёнки
Коробка специальной конструкции обеспечивает
длительность сохранения мыльной плёнки. Ординаты
плёнки измеряются остриём микрометра. С помощью
оптической трубы, снабжённой угломером, могут
непосредственно определяться наклоны плёнки. Из-
мерения ведутся по точкам
Производится измерение нг клонов в отдельных точках
мыльной плёнки путём отсчёта углов в обеих плоско-
стях вертикально направленного луча после его отра-
жения от плёнки. Общая ошибка в определении вели-
чин напряжений оценивается в ±5!|/0
Преимущества и недостатки
Недостаточная точность для сечений
с резкими изменениями контура
Простота установки. Достигается
непосредственное определение накло-
нов в плёнке, т. е. кривых равных
напряжений
Необходимы длительные измерения
на самой плёнке
Удобство работы. Достигается непо-
средственное определение наклонов в
плёнке
Необходимы длительные измерения
на самой плёнке и введение поправок
на высоты- точек плёнки
Автор и дата опу-
бликования
Антее, 1906 г.
Гриффите и Тейлор,
19i7 г.
Квест, 1933 г.

408
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
(РАЗД. 1
Продолжение
Характеристика установки и способа измерений
Фотографируется изображение концентрических
кругов, отражённое мыльной плёнкой. Изображение
даёт линии равных касательных напряжений в сече-
нии скручиваемого стержня
Преимущества и недостатки
Быстрота в проведении самого экс-
перимента
Малая точность для зон концентра-
ции напряжений
Автор и дата опу-
бликования
Пиккар, 1927 г.; Блох
1939 г. (Харьков, Ма
шинрстроительный ин-
ститут)
Мыльная (белковая) плёнка, покрытая ликоподием
или серным цветом и освещенная рассеянным светом,
фотографируется с помощью стереофотоаппарата. По-
лученный двойной фотоснимок обрабатывается на сте-
реокомпараторе. Ошибка в определении величин на-
пряжений порядка 5 — 10%
Быстрота в проведении эксперимен-
та. Необходима аппаратура для обра-
ботки стереофотоснимков (может быть
использована геодезическая аппара-
тура)
Тиль, 1934 г.; Приго-
ровский(Висхом), 1937 г
Используется мениск, получаемый на поверхности
раздела двух жидкостей приблизительно одного
удельного веса—хлортолуола и слабого раствора сер-
ной кислоты. Момент касания платиновым острием
микрометра мениска обнаруживается по замыканию
цепи электрического тока. Точность измерения орди-
нат ±0,002 мм
Поверхность мениска менее чувст-
вительна, чем мыльная плёнка, к слу-
чайным колебаниям температуры, да-
вления и пр.
Пиккарт
1927 г.
Жоннэ
Автоматическая запись кривых равных касательных
напряжений на фотобумаге. Точки мыльной плёнки,
в которых имеется равный наклон, находятся с по-
мощью тонкого пучка света при движении каретки. За-
пись кривых равных наклонов для всего сечения вы-
полняется в 10—30 мин.
Быстрота записи линий равных каса-
тельных напряжений и высокая точ-
ность. Оправдывает себя при проведе-
нии большого числа исследований.
Прибор требует тонкой регулировки
Рейхенбехер, 1939 г.
С помощью наклеиваемых резиновых колец дости-
гается предварительное равномерное натяжение рези-
новой плёнки, укрепляемой под плоским диском,
имеющим вырез исследуемой формы. С поверхности
плёнки при одностороннем избыточном давлении
снимается парафиновый слепок. Срезка слоев слепка,
выполненная, например, на токарном станке, даёт траек-
тории касательных напряжений, объём и наклоны по-
верхности. Для прямоугольного сечения ошибка в опре-
делении напряжений порядка ±5%
Установка может быть легко изго-
товлена и эксперимент проводится
быстро и простыми средствами. Легко
используется для получения зон пла-
стических деформаций
Для сечений сложной формы точ-
ность недостаточна
Копф иВебер,1934г.;
Пригоровский (Висхом)
1937 г.
На фиг. 308 приводится экспериментальное
решение, полученное с помощью мыльной плён-
ки с избыточным давлением. Измерение ор-
Фиг. 308. Траектория касательных напряжений и эпюра
напряжений % на контуре для сечения грядиля плуга.
Жёсткость на кручение GJK = 0,0097 Gh1 кг/см*.
динат выполнено стереофотограммометриче-
ским способом.
Метод электрической анало-
гии, а) Плоское поле. В стационарном пло-
ском электрическом поле, не имеющем внутри
источников, намечается контур, имеющий ту
же форму, что и исследуемое сечение скручи-
ваемого стержня. В точках контура должны
быть созданы потенциалы [58, 62]
1
С (*2-КУ2) + С.
(8)
Для односвязного контура С = 0. Масштаб с
выбирается из условий эксперимента.
Внутри контура замеряются потенциалы
v (х, у). Составляющие касательного напряже-
ния и полное напряжение в плоскости попе-
речного сечения в точке (х, у) подсчитыва-
ются по замеренным v (х, у) с помощью
формул E). Формула для угла закручивания
получается на основании уравнений Eа) и EЬ)
при замене z на v. Траектории касательных
напряжений совпадают с линиями равных ве-
личин:
v(x,y)= [±
Fа)
В случае стержня с многосвязным конту-
ром сечения при эксперименте задаются по-
следовательно рядом значений постоянных С,
входящих в формулу (8). Правильное значе-
ние С устанавливается после числовой обра-
ботки экспериментальных величин из условия
равенства нулю расхода тока на каждом из
контуров
-=г— ds = 0. (9)
ds v '

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
409
В случае полого вала начало координат
выбирается в центре круглого контура (х* -f-
-j-j/2=/?q), a постоянная для некруглого контура
принимается равной нулю. Круглый контур вы-
аолняется в виде изолированной шины, высокая
электропроводность которой обеспечивает по-
стоянство потенциала vs = -~- cR^ -+- С на
контуре.
Неизвестная постоянная С получается из-
мерением потенциала vs на металлической
шине. Пересчёт с размеров модели к разме-
рам сечения стержня (натуры) — см. фор-
мулу G).
Установка с непосредственным подводом
требуемых потенциалов. Модель выпол-
няется в виде манганинового листа, на котором
намечается контур исследуемого сечения. В
ряде точек контура создаются потенциалы, удо-
влетворяющие уравнению (8). Регулировка по-
тенциалов на контуре достигается последова-
тельным приближением. Лучше не добиваться
точной регулировки, а после замеров потен-
циалов внутри контура провести вторые изме-
рения по новым контурным потенциалам, рав-
ным полученным на контуре погрешностям
при первых измерениях.
Точки с одними и теми же потенциалами
соединяются медной полосой. Измерение на-
пряжений v внутри поля делается с помощью
переменного проволочного сопротивления в
относительных потенциалах [97].
Для получения плоского поля с более рав-
номерной электропроводностью металлическая
пластинка заменяется слоем жидкости. Для
возможности повышения потенциалов приме-
няется переменный ток. Необходима постоян-
ная проверка электромодели контролем вели-
чин потенциалов на контуре.
Установка с плавным изменением по-
тенциалов на контуре [23]. Исследуемое се-
чение моделируется в виде области электро-
лита слабой концентрации (дестиллированная
вода), окружённой электролитом сильной кон-
центрации (водный раствор лимоннокислого
натрия или соды). Жидкости разделяются стен-
кой, расположенной по контуру исследуемого
сечения и имеющей прерывистый контакт
(изолированные пластинки из латуни или хро-
моникелевой стали). Потенциалы в точках
контура определяются шириной Ъ трубки с
электролитом сильной концентрации:
$
ds
A0)
Здесь ds — элемент контура; k — постоян-
ная, определяемая условиями эксперимента.
Неточность экспериментального решения
для сечения в виде сегмента оценивается
1— 2% (для угла закручивания) и 3—5% (для
наибольших напряжений) [31].
б) Двухмерная сетчатая электрическая
модель составляется из ряда отдельных сопро-
тивлений и конденсаторов, соединяемых в узлах
сетки. Выделяемая часть сетки с узлами в од-
ной плоскости соответствует форме исследуе-
мого сечения. Замена непрерывной области сет-
чатой эквивалентна замене диференциального
уравнения соответствующим приближённым в
конечных разностях. Число узлов сеток внутри
области должно быть достаточно большим. При
уменьшении шага сетки вдвое погрешность-
приближённо равна одной трети разности ре-
шений при совпадении контуров заданного и
сетки. Все граничные реостаты, соответствую-
щие сторонам сетки, пересечённым контуром
рассматриваемой области, устанавливаются по
величинам, пропорциональным отрезкам сторов
сетки между узловой и граничной точками.
Сетка из сопротивлений (фиг. 309) позво-
ляет решать уравнение Лапласа; числовая об-
работка ведётся по формулам E) и EЬ).
Измерение производится компенсационным ме-
Фиг. 309. Схема включения интегратора для решения
уравнения Лапласа.
тодом при помощи нулевого индикатора и из-
мерительного потенциометра, на который от
самостоятельного источника питания подаётся
такое же напряжение, как и на делитель напря-
жения.
Сетка, к узловым точкам которой присоеди-
нены конденсаторы одинаковой мощности
(фиг. 310), даёт возможность решать уравнение
Фиг. 310. Схема электрической сетки для решения
уравнения Пуассона.
Пуассона. Числовая обработка выполняется на
основании формул A). Вторые концы всех кон-
денсаторов присоединяются к одной и той же
точке делителя напряжений vQ — const. На сет-

410
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. F
ке коротким замыканием выделяется область,
подобная заданному сечению скручиваемого
стержня; к этому контуру присоединяется на-
чальная точка делителя напряжений. Искомое
напряжение v в узлах сетки измеряется по
отношению к напряжению контура, где v = 0.
Симметричная часть может рассматри-
ваться независимо от остальной части сечения.
Погрешность решения с помощью сетчатой
области, имеющей контур средней сложности,
при 400 узлах оценивается 2 — 5%, если на-
бор констант установки и измерения выполнены
с точностью ±0,2э/0.
2. Скручивание стержня постоянного се-
чения при пластических деформациях (при
идеальной пластичности). При пластических де-
формациях во всех точках сечения скручивае-
мого стержня напряжения определяются при
помощи поверхности пластических напря-
жений, опирающейся на контур рассматривае-
мого поперечного сечения и имеющей посто-
янный скат tg а, пропорциональный величине
предела текучести т5 материала стержня (по-
верхность естественного откоса). Поверхность
пластических напряжений воспроизводится на
шаблоне, имеющем форму исследуемого сече-
ния, вырезанном, например, из картона. Ша-
блон располагается горизонтально и засыпается
кучей сухого песка с углом естественного от-
коса. Горизонтали полученной поверхности
определяют направления пластических напря-
жений. Скат tg а принимается за величину Ту,
а удвоенный объём V, ограниченный плоско-
стью контура и поверхностью напряжений,
выражает величину момента кручения.
Если сечение имеет одно или несколько
отверстий, то поверхность равного наклона
опирается на плоские кривые, имеющие форму
Фиг. 311. Поверхности пла-
стических напряжений для
сечения с отверстием: а—
латунный шаблон; б—по-
верхность напряжений, об-
разованная песком; в —
траектории напряжений.
внутренних и наруж-
ных контуров сече-
ния и расположенные
на разных высотах па-
раллельно плоскости
gj сечения. Для опре-
деления этих вы-
сот применяется правило: плоскость, в кото-
рой располагается каждый внутренний контур,
должна быть поднята на высоту, которой до-
стигает образующая поверхности равного на-
клона, идущая от наружного контура и являю-
щаяся кратчайшей между внешним контуром
и контуром отверстия.
На фиг. 311 показана модель для сечения
вала с круглым отверстием. Поверхность
естественного откоса песка получается в виде
двух конусов, пересекающихся в гребне по
эллипсу.
Если скручивающий момент не достигает
величины /Итах, соответствующей пластической
деформации во всех точках сечения, то имеются
область FnA пластической деформации и об-
ласть Fynp упругой деформации (упруго-пла-
стическое скручивание). Областям Fпл и Fynp
сечения соответствуют ординаты поверхности
пластических и поверхности упругих напря-
жений. Границы пластической и упругой обла-
стей сечения являются проекциями на пло-
скость поперечного сечения линий, по кото-
рым происходит касание этих поверхностей.
Эксперимент по методу аналогии при упру-
го-пластическом скручивании производится
следующим образом. Кусок картона, имеющий
форму поперечного сечения, покрывается кучей
песка с естественным углом откоса. По этой
форме с пропорционально уменьшенной вели-
чиной ската над контуром сечения ставится
„крыша" и её основание затягивается мыльной
или резиновой плёнкой. Мембрана со стороны,
противоположной
„крыше", подвер-
гается избыточно-
му равномерному
давлению. При по-
вышении давления
часть мембраны
будет касаться
„крыши", поста-
вленной над сече-
нием. В местах по-
перечного сечения
стержня, соответ-
ствующих точкам
под частями мем-
браны, касающи-
мися поверхности естественного откоса, про-
исходит пластическая деформация, а в осталь-
ной части сечения материал будет работать
как упругий. Поверхность напряжений соста-
вляется поверхностью естественного откоса
и криволинейной поверхностью мембраны
(фиг. 312). Полное касательное напряжение в
любой точке (х, у) сечения выражается вели-
чиной ската поверхности напряжения, а скру-
чивающий момент Мк равен удвоенному объё-
му V, ограниченному плоскостью контура и
поверхностью напряжений. С увеличением да-
вления на мембрану упругая область умень-
шается в соответствии с увеличением объёма V,
т. е. с увеличением скручивающего момента Мк.
Для исследования напряжений при пласти-
ческих деформациях может быть также приме-
нён метод электрической аналогии. Электро-
интегратор [22], с сетчатой областью, позво-
ляет также решать задачи для анизотропного
материала.
3. Скручивание вала переменного диа-
метра. В электрической модели Якобсена
используется аналогия между электрическим
потоком, пронизывающим электропроводящую
пластинку, и потоком момента кручения, пере-
даваемого скручиваемым валом. Подобно тому
как силовые трубки, представляемые внутри
вала, воспринимают одинаковые части скручи-
ваемого момента (т. е. для гладкого круглого
вала их сечения имеют одинаковые полярные
Фиг. 312. Поверхность напря-
жений при упруго-пластиче-
ском кручении. Ординаты по-
верхности показаны в увели-
ченном масштабе (по усло-
вию аналогии

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
411
моменты инерции), в электрической модели
каждая трубка принимает на себя одинаковые
доли общего электрического потока (т. е. по
закону Ома площади их сечений равны). Пло-
щадь Дг-ft сечения полоски в электрической мо-
дели должна быть пропорциональна полярному
моменту инерции kjp — ЬгЪпгъ сечения, соот-
ветствующего силовой трубке вала. Это усло-
вие выполняется, если
h=ki*. A1)
т. е. контур поперечного сечения модели дол-
жен быть выполнен по кубической параболе.
Проекция модели на её основание даёт в некото-
ром масштабе продольное сечение вала.
В модели Якобсена электропроводящая пла-
стинка длиной до 60 мм и толщиной до 25 мм
(фиг. 313, а) выполняется из стали. Необхо-
димо строгое по-
стоянство силы то-
ка / и равномер-
ный подвод тока в
местах его входа и
выхода; последнее
достигается при-
пайкой на всю
ширину пластинки
толстых медных
электродов.
Ь\
Фиг. 313. Модель Якобсена: а — форма стальной модели;
б—эквипотенциальные и силовые линии; в — сечение
модели; г—распределение потенциалов и пропорциональ-
ных им напряжений по контуру.
В установке Тума и Баутца [78, 108] рас-
пределение токов замеряется в слое воды.
Изменение толщины слоя обеспечивается соот-
ветствующим профилем парафлнового дна со-
суда.
Потенциал по краю АСВ модели (фиг. 313, б)
может измеряться при помощи чувствитель-
ного гальванометра, к контактам которого при-
соединяются две острые иглы, наглухо скреп-
лённые на неизменном расстоянии 1,5 — 2,6 мм
друг от друга. Перемещая иглы по длине
выкружки, можно найти зону наибольшего па-
дения потенциала и измерить его величину.
Отношение наибольшего падения напряжения
(Дг»)шах к падению напряжения {±v)H в точке В,
удалённой от выкружки, даёт величину коэфл-
циента концентрации:
( }
Линии равных потенциалов дают так назы-
ваемые линии деформации, т. е. линии пере-
сечения продольной диаметральной плоскости
вала с поверхностями, в которых лежат точки
вала, имеющие радиусы с одинаковыми углами
поворота относительно оси вала. Перпенди-
кулярные им силовые линии получаются
геометрическим построением и представляют
собой пересечение силовых трубок с продоль-
ной диаметральной плоскостью вала.
Силовые линии тождественны также с ли-
ниями тока в потенциальном потоке
жидкости. Осуществляемый при эксперименте
плоский поток жидкости должен быть ограни-
чен контуром, геометрически подобным мери-
диональному сечению исследуемого вала. Для
создания параллельного потока может быть
применён аппарат типа Геле-Шау [108]. Для фо-
тографирования линий тока в погок вводятся
струи окрашенной жидкости.
4 Касательные напряжения в попереч-
ном сечении балки при изгибе. Теоретиче-
ски задача решена для сечений в виде круга,
прямоугольника, треугольника и некоторых
других форм сечения [78]. Для прочих форм
сечения распределение касательных напряже-
ний при изгибе в пределах пропорциональ-
ности может быть установлено эксперимен-
тально по методу аналогии.
Составляющие касательных напряжений
в поперечном сечении, вызванных поперечной
силой Р, параллельной главной оси х сечения:
_ дер
Xxz= ду
Ру2
27 ' 2A +
-у г
дх -
A3)
Здесь J—момент инерции сечения по от-
ношению к главной оси у сечения, перпенди-
кулярной направлению силы Р; \>. — коэфициент
Пуассона материала балки.
Значения ср (>с, у) функции напряжений равны
ординатам ненагруженной тонкой мембраны
(аналогия Мейнеза), натянутой на простран-
ственном контуре, имеющем в проекции форму
сечения. Ординаты контура должны быть про-
порциональны величинам
f— + const.
^ 2A+ fx) 3
Для соблюдения с достаточной точностью
условия аналогии необходимо, чтобы разность
Фиг. 314. Распределение касательных напряжений в дву-
тавровом сечении. Поперечная сила Р направлена по оси х:
а _ горизонтали мыльной плёнки; б — линии равных каса-
тельных напряжений zxz = т -=-; в — линии равных каса-
Р
тельных напряжении Ту2 — п -_ .
ординат плёнки не превосходила приблизи-
тельно одной десятой наибольшего размера
горизонтальной проекции контура. Создава-
емые на контуре ординаты плёнки, пропор-

412
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД.
циональные ср5, могут быть уменьшены введе-
нием новой функции «pj вместо <р:
<f = <pi -f- ax -j- fty;
а и b — произвольные постоянные, подбирае-
мые так, чтобы уменьшить разность орди-
нах (plts на контуре.
Наклоны —- и -—- определяются графи-
чески по горизонталям поверхности плёнки,
полученным одним из приёмов, указанным на
СТр. 407—408.
Метод применим к сечению балки с много-
связным контуром. Экспериментальное реше-
ние для двутавра приведено на фиг. 314.
Аналогично используется плоская электри-
ческая модель.
5. Плоское напряжённое состояние.
Плиты. Общий случай, а) На контуре де-
тали, находящейся в плоском напряжённом
состоянии, сумма главных напряжений
(ai + °2)s находится путём расчёта или с по-
мощью поляризационно-оптического метода.
Сумма главных напряжений для точек внутри
контура может быть найдена с помощью не-
нагруженной мембраны или плоского электри-
ческого поля (или сетчатой области), не име-
ющей внутри источников (аналогия Ден-Гар-
тога) *. Если принять для ординат плёнки или
потенциалов электрического поля на контуре,
подобном контуру исследуемой плоской дета-
ли, значения, пропорциональные (ji + cz)si то
искомые величины (aj + о2) будут найдены по
замерам внутри контура.
б) Линии равных поперечных деформаций
(изопахики) и линии равных поворотов элемен-
тов (частиц) в плоско напряжённой упругой
системе соответствуют линиям тока и эквипо-
тенциальным линиям жидкости (непрерывной,
однородной, несжимаемой). Компоненты пере-
мещений в плоском поле напряжений соответ-
ствуют скоростям потенциального потока
жидкости (обратное неверно).
Аналогия между системой траекторий в пло-
ском поле напряжений и линиями тока и экви-
потенциальными линиями жидкости даёт сле-
дующие зависимости:
1) всегда можно найти плоское поле напря-
жений, имеющее систему траекторий, совпа-
дающих с линиями тока и эквипотенциальными
линиями заданного потока жидкости;
2) поток жидкости, у которого линии тока
и эквипотенциальные линии совпадают с тра-
екториями заданного поля напряжений, может
быть найден только, если плоское поле напря-
жений имеет изотермическую систему траек-
торий напряжений (т. е. если в каждой точке
отрезки между соседними траекториями для
обоих главных напряжений равны);
3) если в плоской напряжённой системе кон-
тур не нагружен, то переменное расстояние ме-
жду точками ненагруженного контура и траек-
торией напряжений, ближайшей к контуру,
обратно пропорционально величине главного
напряжения, действующего вдоль контура. Это
правило позволяет по траекториям напряжений,
определять коэфициенты концентрации;
• Сумма главных напряжений (<г, + и3) детали, находя-
щейся в плоском напряжённом состоянии, удовле-
творяет диференциальному уравнению Лапласа [58].
4) если получается изотермическая система
траекторий напряжений, то напряжения вдоль
ненагруженного контура, очерченного по дуге
круга (или по прямой), равны нулю.
Зависимость между плоским полем напря-
жений и движением вязкой жидкости см. [46].
Постановку эксперимента по методу ги-
дродинамической аналогии см. [108].
в) Расчёт плит, расчёт по заданным на-
грузкам и деформациям напряжений в плоской
детали и другие применения эксперименталь-
ного решения бигармонического уравнения
см. [22, 120].
г) Распределение напряжений и деформа-
ций в общем случае объёмного напряжённого
состояния детали моделируется с помощью
пространственной электрической сетки, содер-
жащей сопротивления, ёмкости и индуктив-
ности. Моделирование может быть выполнено
для неоднородного материала, для деформаций
в пределах пропорциональности и для нелиней-
ной зависимости между напряжениями и де-
формациями. Компоненты напряжений, возни-
кающих в упругом теле, соответствуют силе то-
ка в электрической модели, а деформации—на-
пряжению тока, или наоборот. Основные зави-
симости для напряжений и деформаций в упру-
гом теле эквивалентны основным уравнениям
для электрической системы: 1) закон Гука со-
ответствует закону Ома; 2) уравнения равно-
весия соответствуют второму закону Кирхгофа,
по которому сумма токов, подводимых к ка-
ждому узлу, равна нулю; 3) условия совмест-
ности (неразрывности) деформаций соответ-
ствуют первому закону Кирхгофа, по которо-
му сумма напряжений по каждому замкнуто-
му ходу равна нулю.
Построение электрических моделей для
объёмного напряжённого состояния детали
см. [22, 107].
Прочие методы
1. Метод отверстий применим как для
определения напряжений, вызываемых нагруз-
кой, так и остаточных напряжений. Исследо-
вания проводятся на натуральных деталях
и их моделях. В рассматриваемой точке детали
с поверхности просверливается отверстие диа-
метром d, глубиной 1,5 —2,0d, и определяются
вызванные этим деформации. Отверстие должно
быть малого диаметра, с тем чтобы зона влия-
ния отверстия (имеющая диаметр порядка 6d)
не выходила за пределы участка детали с одно-
родным напряжённым состоянием. Метод при-
меним к исследованию напряжений на поверх-
ности объёмной детали, если на глубине
1,5 — 2d напряжение меняется незначительно.
Линейное напряжённое состоя-
ние в рассматриваемой точке детали. Де-
лается замер изменения расстояния между точ-
ками А и В (фиг. 315, а), полученного в резуль-
тате просверливания отверстия в нагруженной
детали. Замер изменения расстояния АВ опре-
деляет величину а, если заранее с помощью
эксперимента или расчёта найти зависимость
изменения этого расстояния от напряжения а
и дать для применяемого материала, диаметра
отверстия и расстояния АВ эту зависимость
в виде тарировочной кривой. Если напряже-
ние сг в детали меньше 40% величины пре-
дела пропорциональности материала детали, то

ГЛ. IV] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 413
изменение расстояния АВ и величина о про-
порциональны.
Удобнее вести замер изменения расстояния
между точками А и А' или В и В'. Точки А'
и В' должны быть от центра отверстия на рас-
стоянии не менее За (вне зоны влияния отвер-
стия). В таком случае удвоенное изменение
расстояния А'А (или В'В) равно изменению
расстояния АВ, по которому устанавливается з.
Плоское напряжённое состоя-
ние с главными напряжениями С] и с2. Из-
мерив изменение расстояний по диаметрам АВ
и CD (фиг. 315, б), совпадающим с направле-
а) , б
6)
Фиг. 315. Метод отверстий для напряжён-
ных состояний: а—линейного; б—плоского.
ниями aj и о2, можно, применяя принцип на-
ложения, с помощью указанной выше кривой
тарировки определить ах и с2.
Если главные направления неизвестны, то
деформации, получаемые в результате просвер-
ливания, измеряются по трём направлениям
и делается соответствующий пересчёт (см,
стр. 386).
Метод отверстий применяется к прозрач-
ным моделям для определения суммы главных
напряжений—см. стр. 394 и т. 3.
2. Метод поперечных деформаций осно-
ван на том, что в любой точке детали или её
модели, находящейся в плоском напряжённом
состоянии, изменение Ad её толщины d свя-
зано с суммой главных напряжений (<jt -+- о2)
зависимостью
Ad = — -р d (uj 4- <*г). A4)
Здесь Е — модуль продольной упругости;
|j. — коэфициент Пуассона для материала иссле-
дуемой детали или модели.
На ненагруженном контуре одно из глав-
ных напряжений равно нулю, так что на осно-
вании формулы A4) напряжение вдоль ненагру-
женного контура
Е
*конт = —¦ -^ д«- (На)
Коэфициент концентрации для исследуемой
формы плоской детали находится как отноше-
ние поперечной деформации в точке концен-
трации к поперечной деформации в месте
номинальных напряжений. В этом случае зна-
ние величины — не требуется.
Весьма малые величины поперечных дефор-
маций Ad измеряются механическим или опти-
ческим методом. Подробнее см. „Поляриза-
ционно-оптический метод\ т. 3.
Недостатки метода — трудность замера ма-
лых величин поперечных деформаций и воз-
можность применения метода только к плоским
деталям.
3. Применение хрупкого материала [119].
Из хрупкого материала, который имеет диа-
грамму напряжение — удлинение, близкую к
прямой вплоть до разрушения, изготовляется
модель исследуемой детали. Из этого же ма-
териала изготовляется образец, в котором на-
пряжение по месту его разрушения может быть
рассчитано или измерено. Затем производятся
испытания образца и модели до излома. Испы-
тание образца устанавливает величину предела
прочности материала модели, а испытание мо-
дели определяет нагрузку, при которой в наи-
более напряжённой точке модели достигается
предел прочности. Отсюда находится искомое
соотношение между наибольшим напряжением
детали и прилагаемой нагрузкой. То же самое
отношение между нагрузкой и наибольшим на-
пряжением должно сохраняться в детали,выпол-
ненной из упругого материала, при условии,
что напряжение в детали не превосходит пре-
дела пропорциональности.
Точность метода невелика, так как трудно
получить материал с одними и теми же свой-
ствами для образца и модели и с вполне опре-
делённой величиной напряжения при разру-
шении.
Подходящими материалами являются гипс,
цемент, эбонит, стекло.
Недостаток метода — низкая точность и воз-
можность оценивать только наибольшие напря-
жения.
4. Применение материала с резко выра-
женным пределом текучести. Подходящим
материалом для изготовления моделей являются
малоуглеродистая сталь и цветные сплавы.
Нагрузка, прилагаемая к модели, увеличивает-
ся постепенно. Достижение в наиболее напря-
жённой зоне предела текучести наблюдается
по первому отслаиванию окалины или пред-
варительно нанесённого тонкого слоя хрупкого
цементного или другого покрытия. Вместо по-
крытий можно применять полировку поверх-
ности: момент начала текучести и наиболее на-
пряжённые зоны детали устанавливаются по
появлению линий Людерса. Если предел теку-
чести материала известен, то экспериментом
будет установлена нагрузка, при которой в
наиболее напряжённой точке возникает на-
пряжение, равное пределу текучести.
Для повышения точности следует применять
модели возможно больших размеров. В зави-
симости от материала модели образование те-
кучести может зависеть от типа напряжённого
состояния в наиболее напряжённой зоне. По-
этому величина предела текучести для мате-
риала модели должна устанавливаться по испы-
танию образца с аналогичным напряжённым
состоянием.
Недостаток метода — невысокая точность,
возможность оценить упругие напряжения
лишь для места начала развития линий теку-
чести.
5. Измерение по остаточным деформа-
циям. Модель изготовляется из мягкого мате-
риала, например, из мягкой меди или свинца, в
котором остаточные деформации приблизи-
тельно пропорциональны приложенному напря-
жению. На поверхности модели, изготовленной

414
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. ]
из такого материала, предварительно наносится
сетка. Искажение сетки в различных точках мо-
дели, сохранившееся после разгрузки модели,
используется для оценки напряжений: измене-
ние расстояний между линиями сетки и углы
перекоса сетки определяют вызываемые нагруз-
кой нормальные и касательные напряжения по
линиям сетки. Пересчёт на главные напряже-
ния— см. стр. 182.
Измерения выполняются с помощью микро-
скопа с малым увеличением, установленного на
компараторе. Следует применять модели воз-
можно больших размеров.
Точность метода невелика.
6. Применение модели из материала
с большими деформациями. Обычно приме-
няется резина. На поверхности резиновой мо-
дели, изготовленной по форме исследуемой
детали, наносится тушью сетка. Искажения
сетки, получаемые при нагрузке, могут быть
легко измерены и дают наглядную картину
распределения деформаций. Измерением вели-
чины перекоса сетки и удлинения или укоро-
чения её сторон можно найти величины на-
пряжений в отдельных зонах модели (способ
пересчёта — см. стр. 182, 386).
Коэфициенты концентрации, полученные из-
мерением на модели, обычно оказываются мень-
шими действительных, так как: а) модель при
нагрузке принимает форму с более равномер-
ным распределением напряжений; б) нелиней-
ная зависимость между деформациями и напря-
жениями приводит к сглаживанию напряжений
в зонах концентрации.
Следует проводить исследование с одной
и той же моделью при разных величинах де-
формации и экстраполировать результаты к ну-
левой нагрузке.
Преимущества в смысле постоянства модуля
упругости Е и коэфициента Пуассона \х имеет
масса, состоящая из глицерина и желатины.
Перед нанесением сетки рекомендуется
предварительная тренировка резиновой модели;
этим устраняется влияние начальных деформа-
ций, получаемых в процессе изготовления.
Сетку рекомендуется наносить до вырезки паза,
надреза и других мест, создающих концентра-
цию. При количественных измерениях наиболь-
шее удлинение не должно превышать 30—40%.
Для числовой обработки картина деформации
фотографируется через 20—30 мин. после на-
гружения; кроме того, сетка должна быть сфо-
тографирована перед нагрузкой. Во избежание
боковых выпучиваний модель выравнивается
наложением стеклянной пластинки. Рекомен-
дуется рядом с моделью иметь масштаб, кото-
рый снимается при каждом фотографировании
искажённой сетки. Сопряжения резиновой мо-
дели с деревянными и стальными частями на-
грузочного устройства должны быть выпол-
нены так, чтобы не возникали силы трения,
препятствующие деформации модели.
Пример проведённого исследования с коли-
чественной оценкой напряжений см. [121].
7. Методы исследования пластических
деформаций. Измерение твёрдости
вдавливанием является методом опреде-
ления пластических деформаций. Использова-
ние тарировки по гладкому образцу позволяет
применить метод для приближённой оценки
местных контактных напряжений в зоне пла-
стического деформирования.
Линии Людерса позволяют получить
наглядную картину развития пластических де-
формаций, но метод применим только к вы-
явлению напряжений при малых пластических
деформациях и только к материалам, дающим
на диаграмме деформирования зуб текучести
(цветные сплавы и некоторые стали).
Метод карбидного анализа, раз-
работанный для специальных сталей, позво-
ляет вести исследования пластических дефор-
маций как на поверхности детали, так и внутри
неё. Метод использует то обстоятельство, что
при пластической деформации стали в холод-
ном состоянии происходит выпадение карби-
дов, причём количество выпадающих карбидов
зависит от степени пластического деформиро-
вания в рассматриваемой зоне [38].
Так же может быть использовано превра-
щение -у ->¦а в немагнитных сталях при их
пластическом деформировании. Количество
выделяемой магнитной фазы зависит от сте-
пени пластической деформации в рассматри-
ваемой зоне [1].
Метод фотосетки — см. [1С0].
8. Методы определения начальных на-
пряжений—см. соответствующий раздел в т. 3.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Акимов Г., Певзнер Л., Исследование пре-
вращений в яустенитовых сталях, „Журнал техниче-
ской физики",' т VI, вып. I, 1936.
2. Аксенов Г. И., Обнаружение упругих напряже-
ний в металлах рентгеновским методом, „Журнал
технической физики", вып. VI, 1929.
3. Афанасьев А. М. и др., Ссорник задач по рас-
чёту тонкостенных конструкций, под ред. А. А. Уман-
ского, Оборонгиз, М. 1941.
4. Беляев Н. М., Местные напряжения при сжатии
упругих тел, сб. „Инженерные сооружения и строи-
тельная механика", изд. „Путь', 1924.
5. Беляев Н. М., Применение теории пластических
деформаций к расчётам на ползучесть деталей при
высоких температурах, „Известия ОТН АН СССР"
.Ns 7, 1943.
6. Беляев Н. М., Сопротивление материалов, изд. 4-е,
Гостехиздат, М.— Л. 1У45.
7. Беляев Н. М., Теории пластических деформа-
ций, „Труды конференции по пластическим дефор-
мациям", изд. АН СССИ, 1938.
8. Беляев Н. М. и Синицкий А. К., Напря-
жения и деформации в толстостенных цилиндрах при
jnpyi о-пластическом состоянии материала, „Изве-
стия ОГМ АН СССР" № 2 и 4, 1938.
9. Б л е Й х Ф., Стальные конструкции, т. I, перев.
с нем., Госстройиздат, М. 1939.
10. Бриджмен А., Анализ размерностей, перев.
с англ., ОНГИ, М. — Л. 1У34.
11. Броне кий А. П., Явление последействия в твёр-
дом теле, „Прикладная математика и механика*
№ 1, 1941.
12. Бычков Д. В. и М р о ш. и н с к и й А. К., Кру-
чение металлических балок, Стройиздат, М. — Л.
1914.
13. Вагнер Г., Об оболочке как элементе конструк-
ции самолёта (сб. переводов), Оборонгиз, М. 1У34*.
14. Вальтер П. А.. Об изгибе брусьев двоякой
кривизны „Труды ЦАГИ-, вып. 23.
15. Власов Ь. 3., Тонкостенные упругие стержни,
Стройиздат, М. - Л. 1940.
16. Г а л ё р к и н Б. Г., Упругие тонкие плиты, ОНТИ,
М. — Л. 1933.
17. Галёркин Б. Г. и П'ерельман Я- И.,
Напряжения и перемещения в круговом цилиндриче-
ском трубопроводе, „Известия научно-исследователь-
ского института гидротехники" № 27, 1940.
18. Геккелёр И., Статика упругого тела, перев.
с нем., ОНТИ, М. - Л. 1931.

ГЛ. IV]
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
415
19. Генки Г., Пространственная задача упругого и 54.
пластического равновесия, „Изв. ОТН АН СССР"
№ 2, 1937. 55.
20. Гинзбург В. Л., Об исследовании напряжений gg.
оптическим методом, „Журнал технической физики",
вып. 3, 1944. 57.
21. Гольденвейзер А. Л., Устойчивость тонко-
стенных стержней при действии продольной силы 58.
в зависимости от граничных условий, „Труды лабо-
ратории строительной механики". М. — Л. 1941. 59.
22. Гутенмахер Л. И., Электрическое моделирова-
ние, изд. ЭНИН АН СССР, 1942. 60.
23. Гутман С. Г., Применение метода электроанало-
гии к решению задач теории упругости, сб. „Труды
конференции по оптическому методу изучения на-
пряжений*, 1957. 51
24. Давиденков Н. Н., Механические свойства и
испытание материалов, Кубуч, Л. 1933. 52
25. Л а в и д е н к о в Н. Н., Некоторые проблемы ме-
ханики материалов, Лениздат, Л. 1943.
26. Д е-л я Ш е з, Расчёт автофретированных орудий,
Оборонгиз, М. 1940. 53.
27. Д инн и к А. Н.. Устойчивость упругих систем,
ОНТИ, М. - Л. 1935. 64
28. Дишингер Ф., Оболочки, перев. с нем., ОНТИ,
М. — Л. 1932.
29. Д о б р о г у р с к и й С. О., К вопросу о напряже- gg
ниях и усилиях при ударе, сб. Ин-та машиноведения
АН СССР. „Вопросы расчёта и конструирования де-
талей машин", 1942.
30. Дымов А. И., Строительная механика машин,
ГТТИ, М. - Л. 1933. 66
31. Енгалычев С. А., Применение метода электро-
аналогии к исследованию кручения стержней, „Ин-
женерный сборник" Ин-та механики АН СССР, т. I,
вып. 2. g7.
32. Ильюшин А. А., К вопросу о вязко-пластиче-
ском течении металла, „Труды конференции по g8
пластическим деформациям", изд. АН СССР, 1933:
Деформация вязко-пластического тела, „Учёные «о
записки МГУ", М. 1940.
33. Ильюшин А. А., Некоторые вопросы теории
пластических деформаций, „Прикладная математика 70
и механика" вып. 4, 1943.
34. Ильюшин А. А., Приближённая теория упруго-
пластических деформаций асимметричной оболочки, 71
„Прикладная математика и механика" № 1, 1944.
35. И л ь ю ш и н А. А., Устойчивость пластинок и обо- 72.
лочек. „Прикладная математика и механика" № 5
и 8, 1944.
36. И ш л и н с к и й А. Ю., Плоская деформация при 73.
наличии линейного упрочнения, „Прикладная матема-
тика и механика", вып 1, 1941. 74.
37. И ш л и н с к и й А. Ю., Осесимметричная задача
пластичности и испытания по Бринелю, „Прикладная 75.
математика и механика" № 3, 1944.
38. К и ш к и н С. Т., Физическая природа упрочнения 76.
стали, „Техника воздушного флота" № 10/11, 1943.
39. Кокер Э., Файлон А., Оптический метод ис-
следования напряжений, перев. с англ., ОНТИ,
М. -- Л. 1936.
40. Кузнецов В. Д., Физика твёрдого тела, т. II, 77.
Томск 1940.
41. Л е й б е н з о н Л. С, Вариационные методы реше- 78.
ния задач теории упругости, Гостехиздат, М. — Л.
1943. 79.
42. Л е й б е н з о н Л. С. Элементы математической тео-
рии пластичности, ОНТИ, 1943. 80.
43. Л е й 6 е н з о н Л. С, Краткий курс теории упру-
гости, Гостехиздат, М. — Л. 1942.
44. Л е х н и ц к и й С. Г., О переходе от напряжений 81.
в прозрачной модели к напряжениям в действитель-
ной детали, сб. ЛГУ «Экспериментальные методы
определения напряжении". 1935.
45. Лихарев К. К., Расчётно-справочные данные по
местным напряжениям, изд. МВТУ, 1940.
46. Л я в А., Математическая теория упругости, перев. 82.
с англ., ОНТИ. М. — Л. 1935.
47. Малинин Н. Н, Расчёты на растяжение, изгиб 83.
и кручение при крипе, „Вестник машиностроения"
№ 9-10. 1945.
48. Механика за 30 лет, сб., Гостехтеоретиздат, 1947. 84.
49. М и н д л и н Р., Новости оптического метода, перев.
с англ. „Успехи физических наук", т. XXIII, вып. 1,
1940. 85.
?0. Миртов К. Д.. Применение теории пластичности
к расчёту деталей на длительное сопротивление. 86.
„Труды конференции ВВА им. Жуковского", изд.
ВВА, т. 2, вып. 1, 1946. . 87.
51. Морозов А. А. и Ф о г т Ф. Ф., Трубопроводы
гидроэлектрических установок, Энергоиздат, М. 1934. °8.
52. Мусхелишвили Н. И., Некоторые задачи тео-
рии упругости, изд. АН СССР, 1933. 89.
63. Н а д а и А., Пластичность, перев. с англ., ОНТИ,
М. - Л. 1936. 90.
Н е й б е р Т., Концентрация напряжений, • перев.
с нем. ОГИЗг1947.
О д и н г И. А , Прочность металлов, ОНТИ, 1937.
О дин г И. А Релаксация и ползучесть металлов,
изд. ЦНИИТМАШ, 1946.
Папкович П. Ф„ Строительная механика
корабля, ч. 1 и II, Судпромгиз, 1941.
Папкович П. Ф., Теория упругости, Оборон-
гиз, Л. — М. 1939.
Попов Е п., Изгиб тонких стержней, ОГИЗ,
1947.
Пригоровский Н. И., Определение напряже-
ний методом линий разрыва в покрытии, „Инженер-
ный сборник" Ин-та механики АН СССР, т. I, вып. 1,
1941.
Пригоровский Н. И.. Применение метода по-
лос, „Вестник инженеров и техников" № 2, 1940.
Пригоровский Н. И., Экспериментальное
решение задачи кручения, сб. ВИСХОМ, „Расчёт и
проектирование деталей сельскохозяйственных ма-
шин", Машгиз, М. 1933.
Прокофьев И. П., „Вестник инженеров и тех-
ников" № 7, 1936.
Р е п м а н Ю. В., Устойчивость плоской формы
изгиба тонкостенных стержней, „Труды лаборатории
строительной механики", М. — Л. 1941.
Р ж а н и ц ы н А. Р., Сложное сопротивление
тонкостенных профилей с недеформируемым конту-
ром в пределах и за пределом упругости, сб.
ЦНИПС „Труды лаборатории строительной механи-
ки", М. — Л. 1941.
Р ж а н и ц ы н А. Р., Экспериментальное исследо-
вание устойчивости внецентренно сжатых тонкостен-
ных профилей, „Строительная промышленность"
№ 3. 1940.
Седов Л. И., Методы теории размерностей и по-
добия в механике, Гостехиздат, 1944.
С е р е н с е н С. В., Основы технической теории
упругости, ОНТИ, М. — Л. 1934.
С е р е н с е н С. В., Тензометры и тензографы
в машиностроении, „Вестник металлопромышлен-
ности" № 10, 1935.
Слонимский Г. Л., О законах деформации
реальных материалов', „Журнал технической физики",
т. IX, вып. 20, 1939.
Смирно в-А л я е в Г. А., Теория автоскрепле-
ния цилиндров, Оборонгиз, М. 1940.
Соколовский» В. В., Обзоры некоторых работ
по теории пластичности. „Прикладная математика и
механика"., т. IX, вып. 6, 1945.
Соколовский В. В., Теория пластичности, изд.
АН СССР, 1946.
Стрелецкий Н. С. и Гениев А. Н., Основы
метатлических конструкций, ОНТИ, 1935.
Тимошенко С. П., Устойчивость упругих си-
стем, перев. с англ., ОГИЗ, 1946.
Тимошенко С. П., Об устойчивости плоской
формы изгиба двутавровой балки, „Изв. СПБ.
Политехнического института", т. 4—5, 1905—1906;
Об устойчивости упругих систем, „Известия
КПИ", 1910.
Тимошенко С. П., Сопротивление материалов,
ч. I и II, ОНТИ, М. - Л. 1946.
Тимошенко С. П., Теория упругости, перев.
с англ., ОНТИ, Л. — М. 1934.
Уманский А. А., Кручение и изгиб тонкостен-
ных авиаконструкций, Оборонгиз, М. 1939.
Уманский А. А., О нормальных напряжениях
при кручении крыла самолёта, ,Техника воздушного-
флота" № 12, 1940.
Уманский А. А., 1) О расчёте плоских кривых
тонкостенных стержней с конечной жёсткостью
свободного кручения; 2) Расчёт тонкостенных
криволинейных балок, „Труды научно-технической
конференции Военно-воздушной академии им. Жу-
ковского", Самолётная секция, вып. 2, 1944.
Уманский А. А., Специальный курс строитель-
ной механики, ч. I, ОНТИ, М. — Л. 19;i5.
Уманский А. А., В о л ь м и р А. С, Расчёт
кольцевых шпангоутов тонкостенных газопроводов,
1943 („Отчёт НИО ВВА им. Жуковского").
Уманский А. А., Во ль мир А. С., Кали-
нин Н. Г., Расчёт надземных газопроводов, 1942
(„Отчёт НИО ВВА им. Жуковского").
Уманский А. А., Расчёт монорельса на закруг-
лении. Труды Внииптмаш, 1947.
Феппль А. иФеппль Л., Сила и деформа-
ция, т. 1 и 2, ОНТИ, М. - Л. 1936.
Фридман Я- Б., Механические свойства мате-
риалов, Оборонгиз, 1946.
Фрохт М., Фотоупругость, перев. с англ., ОГИЗ,
1947.
X ю т т е. Справочник для инженеров, т. II, перев.
с нем., М. 1937.
Ч е н ц о в Н. Г., О напряжениях в растянутой

416
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
[РАЗД. I
пластинке с подкрепленным круглым отверстием,
„Труды ЦАГИ", вып. 383, 1938.
¦91.Шевченко К. Н., Применение теории пластич-
ности к вопросу прокатки металлов, „Прикладная
математика и механика" № 3, 1941; № 5, 1942.
92. Ш т а е р м а н И. Яч Местные деформации при
сжатии упругих круговых цилиндров, радиусы кото-
рых почти равны, „Доклады Академии Наук" № 3,
т. XXIX, 1940.
¦93. Ш т а е р м а н И. Я-> 1) Обобщение теории Герца
местных деформаций при сжатии, „Доклады Акаде-
мии Наук", 1940, т. XXIV, № 3; 2) К вопросу о мест-
ных деформациях при сжатии упругих тел, там же,
1941, т. XXXI, № 8.
94. Ш т а е р м а н И. Я-. Пиковский А. А.,
Основы теории устойчивости строительных конструк-
ций, Госстройиздат, М. 1939.
95. Яновский М. И., Судовые паровые турбины,
ОНТИ, М. -Л. 1937. .
96. В a i 1 е у R. W., The utilization of creeptest data in
engineering design, Proc. Inst. of Mech. Eng., v. 131,
London 1935.
97. В i e z e n о С. u. G г a m m e 1 К., Technlscne Dyna-
mik, Berlin 1939.
98. D ц r e 11 i A., Experimental determination of the iso-
static line, „Journ. Appi. Mech." № 14, 1942.
99. E g 1 e s E., High-speed photography and its applica-
tion to industrial problems, „Journ. of Scient. Instrutri."
№ 9, 1941.
100. Experimental stress analysis, „Proc. of the Soc. for
Exper. Stress Analysis", v. I, № 1, 2; v. II, № 1, 2;
v. 1I, № 1, 2 Edited by С LIpson a. W. M. Murray,
101. Palibusc h-W e g n e r, Berechnung der Beanspru-
chiing krelsformiger Ringspante,' „Luftfahrtforschung",
Bd. 18, 22/IV, 1941.
102. From H., Nachwirkung und Hysteresis, „Handbuch
def physik. und techn. Mechanlk", Bd. IV, Leipzig 1931.
103. Glocker R. R6ntgenographlsche Messung von
elastischen Spannurigen, .Handbuch d. Werkstoffprufung",
Springer, 1940.
104. „Handbuch d. Physik", Springer.
105. Hetenyl M., On similarities between stress and
flow, „Journ. Appl. Physics", 1941.
106. К a opus R., Drillknicken zentrischgedruckter Stabe
mit offenem Profil im elestischen Bereich, „Luftfahrtfor-
echung", Bd. 14, № 9, 1937.
107. К г о n A., Equivalent current of the elastic field.
„Journ. Appl. Mech." № 3, 1944.
108. L e h r E., Spannunsverteilung in Konstruktionsele-
menten, Berlin 1934.
109. LipsonC, Methods of stress determination in engl
nes Parts, „Journ. SAE", April 1941
110. MacGregor, Fisher, A velocity-modified
temperature for the plastic flow of metals, „Journ. Appl
Mech." № 1, 1946.
111. M a r i n J., Mechanical properties of material and de-
sign, 1942.
112. Murrey W., A photoelastic study in vibration.
„Journ. Appl. Mech." № 8, 1941.
113. N a d a i A., Plastic behavior of metals in the harde-
ning range, „Journ. Appl. Physics", March 1937.
114. О d q u i s t F., Plasticitets theory. Stockholm 1934.
115. Orton R., Applying theory of elasticity In practical
design, „Machine design" № 10, 1941.
116. R о а г k R., Formulas for stress and strain, Ne»
York, 1943.
117. R б t sc h e r F. u. Jaschke R., Dehnungsmessungen
und Ihre Auswertung, Berlin 1939.
118. Salmon E. H., The elesticity and strength of
materials, London 1931.
119. S e e 1 у F. В., Advanced mechanic of materials, 1938.
120. Southwell R., Relaxation methods In engineering
science, Oxford University Press, 1940.
121. S t о d о 1 a A., Die Nebenspannungen in rasch utnlau-
fenden Scheibenradern, „Zeitschr. VD1", 1907.
122. Tlmoshenko S., Theory of plates and shells.
McGraw-Hill Book Co, New York 1940.
123. Wagner H., Verdrehung und Knickung von offenen
Profilen Festschrift 25-Jahre T. N. Danzig, Verlag Kafter-
mann, Danzig 1929.
124. Wagner H., u. Pretscher W., Verdrehung
und Knickung von offenen Profilen, „Luftfahrlforschung*
№ 6, Bd. Ii, 1934.
125. Watson E., Aids for analysing high speeds action,
„General Electric Review" № 10, 1941.
126. WeberC, Bildung und in geraden Balken, 1924,
„Obertragung des Drehmomentes in Balken mlt doppel-
flanschigem Querschnitt, „Zeitschrift fur angewandte
Mathematik und Mechanik", Bd. 6, 1926.
127. Weller H., Three-dimentional photoelasticltyusing
scattered light, „Journ. Appl. Physics" № 8, 1941.
128. Westergoard H., Stresses in concrete pavements
computed by theoretical analysis, Public Roads, USA,
v. 7, № 2, 1926.

Глава V
ПРОЧНОСТЬ
основные понятия
Прочность, долговечность, вязкость. Под
прочностью материала или детали пони-
мается их способность сопротивляться дей-
ствию механических усилий. Обычно под этим
подразумевается сопротивление разру-
шению. В ряде случаев оказывается суще-
ственным сопротивление пластиче-
ским деформациям, так как появление
последних может нарушить работу деталей
и узлов.
Если нагрузка действует продолжительно
и под её влиянием происходят длительно про-
текающие изменения в материале (ползучесть,
усталость), то сопротивляемость материала
и деталей определяется не только усилиями
и напряжениями, но также временем, что ха-
рактеризуется понятием долговечности.
При весьма быстром (ударном) нарастании
нагрузки и протекании деформации сопроти-
вляемость может характеризоваться величиной
энергии, необходимой для разрушения детали
или узла или образования в них пластических
деформаций. Способность поглощать энергию
не разрушаясь называется вязкостью.
Прочность материала и прочность дета-
ли. Благодаря неравномерности распределения
напряжений в деталях возникновение разруше-
ний или пластических деформаций в наиболее
напряжённых местах во многих случаях ещё
не приводит к разрушению детали в целом.
Это является в большинстве случаев след-
ствием пластичности материала и возникающего
в процессе роста нагрузки перераспределения
напряжений и деформаций. Если пластические
деформации отсутствуют и разрушение являет-
ся хрупким, то нарушение прочности мате-
риала в одной из наиболее напряжённых зон
приводит к разрушению всей детали.
При хрупком разрушении прочность детали
определяется наибольшими напряжениями.
При разрушении, связанном со
значительными пластическими дефор-
мациями, прочность детали определяется
наибольшими усилиями (силами, моментами),
выдерживаемыми ею в процессе деформирова-
ния.
Определить действительные напряжения в
деталях после пластической деформации к мо-
менту их разрушения обычно оказывается
невозможным. Поэтому расчёт по характери-
стикам прочности материала и величинам дей-
ствующих напряжений приобретает условный
характер и связан с методом определения
напряжений. В этом случае находит примене-
ние оценка прочности по усилиям.
Запас прочности в напряжениях пред-
ставляет собой отношение предела прочности
(или предела текучести) материала к действу-
ющему в детали напряжению, определяемому
расчётом или экспериментально.
Запас прочности в усилиях представляет
собой отношение предельного усилия, выдер-
живаемого деталью, к действующему на него
усилию. Предельное усилие определяется рас-
чётом или экспериментально.
Запас долговечности является отношением
общей длительности непрерывной работы де-
тали под напряжением к общей длительности
непрерывной её работы до разрушения под
тем же напряжением и обычно определяется
экспериментально.
Запас вязкости характеризует опасность
хрупкого разрушения и может быть выражен
через температуры, в зависимости от критиче-
ской температуры, хрупкости детали и темпе-
ратуры эксплоатации детали [5] (см. стр. 436,
.Прочность детали").
Основные факторы, влияющие на проч-
ность: 1) условия нагрузки — скорость
деформирования, переменный характер дефор-
мирования, температура, среда;
2) конструктивные факторы —
форма детали, абсолютные размеры детали,
способ приложения нагрузки к ней, тип напря-
жённого состояния (одноосное, плоское, объём-
ное), степень его неоднородности (наличие
градиентов, концентрации);
3) технологические факторы —
неоднородность механических свойств, наличие
остаточных напряжений, характер механиче-
ской и термической обработки и др.
ПЛАСТИЧНОСТЬ И ПРОЧНОСТЬ
МАТЕРИАЛА
Пластичность и прочность в условиях
статической нагрузки
Процесс деформирования определяется
обобщённой диаграммой зависимости между
истинными касательными напряжениями
/ кг/мм2 и наибольшими относительными
углами сдвига т (диаграмма Лудвика) *. Типы
* В ряде случаев процесс деформирования даётся
зависимостью между октаэдрическим касательным на-
пряжением и октаэдрическим сдвигом (гл. IV, «Основ-
ные положения"), однако разница между обоими спосо-
бами изображения незначительна.

418
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. 1
кривых такой диаграммы для ряда металлов
приведены на фиг. 1 [24]. Истинное касательное
напряжение вычисляется по действующему
усилию и размерам сечения по формулам для
*г/
'М
100
f
V
.—
—'
4
2
——
— ' ¦
—-
— ¦—
— —
о too % zoo
Фиг. 1. Обобщённая диаграмма деформи-
рования: 1 — хромансиль ЗОХГСА; 2 — чу-
гун; 3 — дуралюмин; 4 — сплав АК-4;
5 — алюминий (по Я- Б. Фридману).
или сдвига у, или относительного сужения, или
наибольшего истинного удлинения.
Проявление пластичности зависит от напря-
жённого состояния. При всестороннем сжатии
материалы хрупкие при одноосном напряжён-
ном состоянии становятся пластичными (на-
пример, при вдавливании шарика в поверхность
детали из чугуна, из закалённой до высокой
твёрдости стали). При напряженном состоянии,
близком к всестороннему растяжению, мате-
риалы пластичные при одноосном напряжённом
состоянии становятся склонными к хрупкости
(например, разрыв без значительных пласти-
ческих деформаций стержня из конструкцион-
ной стали с нарезкой на поверхности). Метал-
лы, подвергнутые прокатке или штамповке,
могут обладать большей пластичностью вдоль,
чем поперёк волокон. Повышение температуры
повышает пластичность (за исключением не-
которых аномалий) при данном напряжённом
состоянии. Повышение скорости деформирова-
ния снижает пластичность, если скорости
являются весьма значительными.
По характеристикам диаграммы деформи-
рования пластичность Т (наибольший сдвиг)
определяется из зависимости
Фиг. 2. Схематизированная
диаграмма деформирования.
растяжения, кручения или изгиба за пределами
упругости (гл. IV, „Напряжения в стержнях, тру-
бах и дисках за пределами упругости"), а также
по результатам специальных исследований.
Диаграмма деформирования с достаточной
точностью для большинства металлов схемати-
зируется двумя прямыми (фиг. 2), причём ос-
новными характеристиками диаграммы явля-
ются предел теку-
чести zs; предел
прочности tK\ коэ-
фициент упрочне-
ния D = \%у.
Коэфициент
упрочнения в на-
чальной стадии
пластических де-
формаций, соответ-
ствующей пределу
текучести, отли-
чается от его ве-
личины D для об-
ласти больших
пластических де-
формаций. Истинная диаграмма деформирова-
ния лучше всего получается из опыта на кру-
чение, при котором более точно определяются
напряжения за пределом текучести.
Процесс деформирования при различных
типах напряжённого состояния сводится к за-
висимости t — 7> получаемой путём пересчёта
деформаций на максимальный сдвиг и опреде-
ления соответствующих касательных напряже-
ний. При этом в зависимости от типа напря-
жённого состояния и анизотропии механиче-
ских свойств диаграмма деформирования мо-
жет заканчиваться при различных значениях -f
в связи с тем, что разрушение происходит на
разных стадиях пластической деформации.
Пластичностью материала при данном на-
пряжённом состоянии называется способность
сохранять полученные при нагрузке дефор-
мации. Максимальная пластичность характери-
зуется наибольшей деформацией, возникающей
перед разрушением и измеряемой величинами
1 ~~ D
Вязкость при данном напряжённом состоя-
нии характеризуется величиной механической
энергии, которую поглощает материал при раз-
рушении в необратимой форме. Эта энергия А
измеряется площадью диаграммы зависимости
истинных напряжений от деформаций (х, ^-диа-
грамма, либо а, е-диаграмма, где г = 1п-? —
*0
истинное удлинение; 1п — длина образца на
данной стадии деформации). Эта энергия выра-
жается через основные параметры диаграммы:
л
D
\ /
Вязкость материала возрастает при напря-
жённых состояниях, способствующих пла-
стичности, и уменьшается при напряжён-
ных состояниях, стесняющих пластические
деформации. Повышение температуры повы-
шает вязкость, снижение температуры обычно
её 'уменьшает. При снижении температуры
у ряда металлов, особенно у железных спла-
вов, наблюдается резко выраженное падение
вязкости (в частности, явление хладноломко-
сти). При повышении температуры в некото-
рых сталях наблюдается снижение вязкости
(синеломкость, красноломкость).
Хрупкость является свойством, противопо-
ложным вязкости, и проявляется в способности
разрушаться без заметного поглощения меха-
нической энергии в необратимой форме, т. е.
разрушаться без значительных пластических
деформаций. Хрупкость может быть вызвана:
1) малой пластичностью материала (при напря-
жённых состояниях, способствующих проявле-
нию пластичности); 2) тем или иным типом на-
пряжённого состояния, затрудняющим образо-
вание пластических деформаций; 3) темпера-
турными условиями, вызывающими снижение
вязкости; 4) повышением скорости деформи-
рования; 5) влиянием абсолютных размеров
и других факторов.

ГЛ. V]
ПЛАСТИЧНОСТЬ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛА
419
Сопротивление материала пластическим
деформациям в начальной их стадии харак-
теризуется величиной предела упругости ае и
предела текучести as. Эти пределы опре-
деляются как напряжения, соответствующие
определённой остаточной деформации. Для
предела упругости эта условно задаваемая
величина пластической деформации прини-
мается 0,001—0,005%, для предела текучести
при растяжении 0,2%, при кручении 0,3%.
Сопротивление большим пластическим де-
формациям характеризуется также коэфи-
циентом упрочнения D', чем больше этот коэ-
фициент, тем выше упрочнение. Переход от
малых к большим пластическим деформациям
происходит непрерывно, а в связи с этим коэ-
., фициент упроч-
кг/мм2
80
60
20
t
-ж
20
ьо бе 80 %
Фиг. 3. Истинные диаграммы дефор-
мирования для углеродистой стали
(по Кёрберу).
нения постепен-
но уменьшается
от значений,
близких к мо-
дулю упругости,
до значений D,
соответствую-
щих области
больших дефор-
маций, где оно
может быть при-
нято приблизи-
тельно постоян-
ным.
На фиг. 3 при-
ведены истин-
ные диаграммы
растяжения для углеродистых сталей [53] в
координатах s, <]>. где <\> — относительное суже-
ние сечения шейки. С повышением содержа-
ния углерода модуль D увеличивается, но он
не зависит от степени пластической дефор-
мации.
Прочность материала характеризуется его
сопротивляемостью разрушению под действием
механических напряжений. В зависимости от
типа напряжённого состояния, условий дефор-
мирования (температура, скорость) и механи-
ческих свойств материала разрушению пред-
шествует та или иная стадия пластических де-
формаций. Эти пластические деформации вы-
зывают, с одной стороны, перераспределение
напряжений, с другой — наклёп (см. гл. IV)
и связанное с ним упрочнение металла, т. е.
повышение его сопротивления действующим
напряжениям. При достижении напряжениями
величин, соответствующих пределу прочности,
разрушение можно предполагать происходящим
двояким образом: путём среза и путём отрыва.
Возникновение того или иного типа разрушения
является характерным для данного металла и
его структурного состояния, а также зависит
от условий, при которых происходит разруше-
ние. При вязком разрушении, которому пред-
шествуют пластические деформации, разруше-
ние обычно происходит от среза, т. е. при
преимущественном влиянии касательных на-
пряжений. В связи с этим сопротивление
срезу tK характеризуется величиной макси-
мального касательного напряжения. Изредка
наблюдается разрушение от отрыва после
пластической деформации (магналий). Разру-
шение от отрыва является характерным для
хрупких разрушений, которые возникают при
отсутствии заметных пластических деформаций.
Такое разрушение происходит при преиму-
щественном влиянии нормальных напряжений,
причём в ряде случаев оказывается характер-
ной величина не максимальных нормальных
напряжений, а величина . максимальных удли-
нений. Поэтому сопротивление отрыву sK вы-
ражается в величинах максимальных (растяги-
вающих) напряжений или в величинах макси-
мальных приведённых напряжений по гипотезе
наибольших удлинений—см. стр. 420 [2].
С повышением температуры сопротивление
срезу падает, а сопротивление отрыву изме-
няется незначительно. В связи с этим повы-
шение температуры обычно увеличивает пла-
стичность и вязкость, а понижение темпера-
туры— наоборот. При определённых темпера-
турах проявление хладноломкости у железных
сплавов находит своё объяснение в том. что
сопротивление срезу с понижением темпера-
туры повышается настолько, что оказывается
выше сопротивления отрыву, и хрупкое раз-
рушение происходит от отрыва (схема А. Ф.
Иоффе). Сопротивление отрыву тесно связано
с прочностью границ зёрен. Снижение между-
кристаллического сцепления под влиянием
различных структурных изменений (вторичные
выделения по границам зёрен, междукристал-
лическое окисление и т. д.) приводит к сни-
жению сопротивления отрыву. Это проявляется
в возникновении тепловой хрупкости, в хруп-
ких разрушениях после деформаций ползучести
/ / //
Фиг. 4. Поверхность пределов прочности.
при длительном действии высоких температур
и напряжений.
При напряжённых состояниях, удалённых
от условий всестороннего сжатия или всесто-
роннего растяжения, можно приближённо счи-
тать, что сопротивление срезу не зависит от
нормальных напряжений, действующих по
площадкам наибольших касательных напря-
жений. Однако в условиях гидростатического
сжатия опыты [27] показывают значительное
увеличение сопротивления срезу, а в условиях
всестороннего растяжения снижение этого со-
противления. Таким образом в этой области
напряжённых состояний (например, для кон-
тактных напряжений) следует основываться
на соответствующих опытных данных.
В общем случае условия прочности могут
быть охарактеризованы поверхностью в коор-
динатах alf a2. аз< которая является геометри-
ческим местом точек, характеризующих пре-
дельное по прочности напряжённое состояние.
На фиг. 4 приведена гипотетическая форма

420
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
такой поверхности для изотропных материалов.
Эта поверхность имеет ось симметрии, прохо-
дящую через начало координат и равнонакло-
нённую к осям. В сторону отрицательного
октанта всестороннего сжатия эта поверхность
открыта, точка К на оси симметрии, т. е.
вершина поверхности, характеризует прочность
при всестороннем растяжении. Пересечения
этой поверхности с плоскостями координат
дают кривые, характеризующие прочность при
плоском напряжённом состоянии.
Прочность при сложном напряжённом со-
стоянии характеризуется гипотезами прочности.
В зависимости от состояния материала перед
разрушением (хрупкого или пластичного) и
его свойств оказывается применимой та или
иная гипотеза прочности.
Гипотеза прочности по Сен-Ве-
на н у основывается на предположении, что
разрушение происходит, когда наибольшее
удлинение достигает предельной величины,
т. е. условие прочности выразится так:
зз> = °г>. B)
где для хрупких материалов и состояний
Эта гипотеза во многих случаях подходит
к условиям хрупких разрушений, при помощи
её можно объяснить возникновение продоль-
ного (столбчатого) разрушения при сжатии и
разрушения при двустороннем сжатии.
Гипотеза Геста —Мора основы-
вается на преимущественном влиянии при раз-
рушении касательных напряжений, но отра-
жает также влияние нормальных.
Каждому плоскому напряжённому состоя-
нию, соответствующему началу разрушения, от-
вечает предельный круг Мора (по прочности).
Огибающая таких кругов Мора даёт предель-
ную кривую. Форма огибающей кривой свя-
зана с условиями и типом разрушения. Эта
кривая обычно имеет две ветви (фиг. 5).
Ветвь АВ огибает круги Мора для напряжён-
Фиг. 5. Предельная кривая прочности
(по Гесту—Мору).
аых состояний, вызывающих разрушение после
образования значительных пластических де-
формаций при преимущественном влиянии ка-
сательных напряжений. Ветвь АВ слабо накло-
нена к оси s, этот наклон несколько увеличи-
вается с увеличением объёмности напряжён-
ного состояния, т. е. с возрастанием величины
среднего главного напряжения о2 (пунктирная
линия А'В').
Ветвь DC огибает круги Мора для напря-
жённых состояний, вызывающих разрушение
без значительных пластических деформаций
при преимущественном влиянии нормальных
напряжений. Для сжимающих напряжений эта
схема предусматривает только разрушения при
преимущественном влиянии касательных на-
пряжений (срез). Для материалов пластичных
при одноосном напряжённом состоянии пре-
дельная кривая CD отстоит тем дальше от
оси т, чем пластичнее материал.
Для материалов хрупких при одноосном
напряжённом состоянии предельная кривая CD
приближается к оси т, а предельная кривая АВ
удаляется от оси х Таким образом при напря-
-< Ц 0 б-@-
Фиг. 6. Схематизированные типы предельных кривы»
и характер разрушений.
жённых состояниях чистого сдвига могут воз-
никать разрушения от отрыва. Возможные
схемы расположения предельных кривых
и соответствующие им типы разрушений для
основных напряжённых состояний представлены
на фиг. 6, где разрушения от среза обозначены
стрелками вдоль линии разрушения, а от от-
рыва — перпендикулярно линии разрушения.
Этими схемами не предусматривается наблю-
даемое в некоторых материалах разрушение
при сжатии, сопровождающееся отрывом
в направлении, перпендикулярном действую-
щим силам (столбчатое разрушение).
Для напряжённых состояний,
ограничиваемых предельной кри-
вой по срезу (кривые АВ, А 'В' на фиг. 5),
условие прочности по гипотезе Геста — Мора,
выражается формулой
а3),
C)
где olf а3 — наибольшее и наименьшее глав
ные напряжения; ib — предел прочности на срез,
определяемый как условное напряжение, соот-
ветствующее максимальному усилию при
срезе; X = 2 — 1; а# — предел прочности
на растяжение, определяемый как условное
напряжение, соответствующее максимальному
усилию при разрыве.
Коэфициент X может иметь и иное значе-
ние, устанавливаемое экспериментально, в част-
ности, в том случае, когда круг Мора для растя-
жения не касается предельной кривой по срезу.

ГЛ. V)
ПЛАСТИЧНОСТЬ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛА
421
Для напряжённых состояний,
ограничиваемых предельной кри-
вой по отрыву (кривая CD), критерием
прочности принимается в качестве первого
приближения гипотеза Рэнкина, причём усло-
вие прочности для хрупких состояний выра-
жается так:
пряжённому состоянию соответствует луч, про-
ходящий через начало координат, под утлой,
max
тангенс которого равняется отношению .
Например, луч Od соответствует одноосному
растяжению: шах = -=-, луч Ос — кручению:
где аь — предел прочности на растяжение, вы-
числяемый как условное разрушающее напря-
жение при одноосном растяжении.
Для материалов, разрушение которых но-
сит хрупкий характер и подчиняется гипотезе
наибольших удлинений, в качестве о1 должно
приниматься приведённое напряжение по Сен-
Венану.
При напряжённых состояниях, для которых
перед разрушением происходит некоторая
пластическая деформация, применение указан-
ных условий прочности является условным,
однако переход к критериям, выраженным
через истинные напряжения, затруднён отсут-
ствием расчётных и экспериментальных мето-
дов определения этих напряжений в деталях.
Условия прочности и диаграмма деформи-
рования (по Давиденкову и Фридману) [6,24,25].
В зависимости от типа напряжённого состоя-
ния и свойств материала, а также условий де-
формирования диа-
грамма деформи-
рования будет из-
меняться. С повы-
шением объёмно-
сти напряжённого
состояния (в обла-
сти растягивающих
главных напряже-
ний) и с увеличе-
нием хрупкости ма-
териала (при оди-
наковых напряжён-
ных состояниях)
диаграмма дефор-
мирования полу-
чает всё больший
наклонправой(пла-
стической) ветви
и становится всё короче по направлению де-
формаций. Схема деформирования и условий
разрушения приведена на фиг. 7 [6].
Кривая ab соответствует напряжённым со-
стояниям и материалам, допускающим боль-
шую пластическую деформацию. Кривая ас со-
ответствует материалам меньшей пластичности.
Кривая ad характерна для напряжённых со-
стояний и материалов, не допускающих значи-
тельных пластических деформаций (склонных
к хрупкости). Конечные точки первых двух
линий лежат на кривой АВ, представляющей
предельную кривую прочности по срезу. Ко-
нечная точка линии ad лежит на кривой
CD — предельной кривой прочности по отрыву.
Возникновение различных типов разруше-
ний и связь их с диаграммой деформирова-
ния находят объяснение на диаграммах меха-
нического состояния [25] фиг. 8.
С левой стороны наносят на диаграмме наи-
большие нормальные напряжения smax и наи-
большие касательные tmax, возникающие при
данном напряжённом состоянии. Каждому на-
Фиг. 7. Схема деформирования
и разрушения (по Н. Н. Да-
виденкову).
= 1, луч Ob — местному вдавливанию:
max
*max ^ 5max- Первые два луча заканчиваются
на прямой CD, ограничивающей прочность по
отрыву; smax — sK. Третий луч заканчивается
на прямой АВ, ограничивающей прочность по
при этом sK — предел проч-
Фиг. 8. Схема деформирования и разрушения
(по Я. Б. Фридману).
ности на отрыв, определённый как истинное
нормальное напряжение; tK—предел проч-
ности на срез, определённый как истинное ка-
сательное напряжение.
На диаграмме также нанесена горизонталь,
соответствующая пределу текучести zs. Пере-
сечение лучей с этой горизонталью опреде-
ляет начало текучести.
С правой стороны графика даны диаграммы
деформирования t— у, конечные ординаты кото-
рых соответствуют ординатам левого графика.
Каждому материалу свойственны опреде-
лённые величины Tj, tK, sK и определённое
положение предельных прямых (направление
этих прямых, параллельное осям координат,
не учитывает ряда факторов, в том числе взаим-
ного влияния нормальных и касательных на-
пряжений на условия текучести и разрушения).
Величины напряжений наносятся на диаграмму
независимо от направления площадок, по ко-
торым они действуют.
Пластичность и прочность при длительно
действующей статической нагрузке
и повышенной температуре
Статические характеристики, полученные
обычными методами кратковременных испыта-
ний, пригодны для определения пластичности
и прочности лишь до определённых темпера-
тур, а именно: для нелегированных сталей до
300—350° С; легированных — до 350-—450° С;
для лёгких металлов до 50—150° С.
При более высоких температурах пластич-
ность и прочность становятся зависимыми от
длительности действия напряжений. Пластиче-
ские деформации при таких температурах воз
растают с течением времени действия напря-

422
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. 1
жений; возникает явление ползучести (крипа),
а прочность уменьшается в связи с развитием
хрупкости металла. С этими двумя факторами
в основном приходится считаться при оценке
прочности и пластичности материала при по-
вышенных температурах.
Процесс деформирования при повышен-
ных температурах характеризуется диаграм-
мой т — у (фиг. 9). Чем выше температура,
тем ниже предел текучести ts и коэфицнент
упрочнения D. Разру-
шающее напряжение и
предел прочности также
понижаются.
Пластичность мате-
риалов при недлитель-
ном действии статиче-
ских напряжений с повы-
шением температуры, как
правило, возрастает. На
фиг. 10, например, приве-
дены графики изменения
относительного сужения
при разрыве ф в зависи-
мости от температуры для
некоторых сталей [31].
Для аустенитных хромоникелевых сталей
типа 18-8 с повышением температуры пластич-
ность уменьшается. На фиг. 11 приведены гра
фики изменения сжатия шейки в зависимости
от температуры испытания [47]. Для углеро-
дистых сталей в зависимости от примесей на-
блюдается снижение вязкости при температу-
рах 200—400° С (синеломкость) и при темпе-
ратурах 900—1000° С (красноломкость).
стическим деформациям при действии на ме-
талл статических напряжений в условиях вы-
соких температур. Весь процесс образования
этих деформаций изображается диаграммой
ползучести, представленной на фиг. 13. По оси
t,<tt<t3
Фиг. 9. Диаграмма
деформирования в
зависимости от тем-
пературы.
-
4"
/
J
60\
•20
93 20k 316 Ь26 538 6k8 760 ГС
Фиг. 10. Изменение относительного сужения в
зависимости от температуры: 1 — никелевая сталь
@,23% С, 4,95% N1); 2 — хромоникелевая сталь
@,41% С, 1,79% Ni, 1,24°/0 Сг); 3—хромовольфрамо-
вая сталь @,40% С, 0,26% W, 7,9379 Сг); 4 — хро-
мокремнистая сталь @,48% С, 3,54% Si, 9,16% Сг)
(по Кларку — Уайту).
Сопротивление материала пластическим
деформациям с повышением температур
уменьшается, так как предел текучести и коэ-
фициент упрочнения падают. На фиг. 12 пред-
ставлены в качестве примера графики измене-
ния предела текучести при растяжении в зави-
симости от температуры для трёх конструкци-
онных сталей [31].
Ползучесть. Существенной характеристи-
кой сопротивления пластическим деформа-
циям является предел ползучести (см. гл. IV,
стр. 169). Предел ползучести характеризует
сопротивление длительно развивающимся пла-
U00 500 600 700 800 900
Фиг. 11. Изменение относительного сужения в за-
висимо гщ от температуры для стали 18-8 (по
Ноуэ.1лу1; / — горячекатанная; 2— закалка 1040" С;
3 - закалка 1150° С; 4 — закалка 1260° С.
абсцисс откладывается время, по оси орди-
нат — относительные удлинения. При малых
величинах напряжений пластические дефор-
мации с течением времени затухают (кривые
Фиг. 12. Изме
нение предела
текучести с
температурой:
7—углеродистая
сталь @,34% С);
2- углеродистая
сталь @,55% С);
никелеваясталь
@,18% С, 1,56%
1, 2, 3). При больших напряжениях скорость
деформаций ползучести устанавливается по-
стоянной (кривые 4, 5) и материал по про-
шествии определённого времени действия на-
пряжений разру-
шается. При напря-
жениях ещё боль-
ших (кривая 6)
процесс деформа-
ции следует разде-
лить на три пе-
риода: первый, в
пределах которого
скорость деформа-
ции от своего на-
чального значения
уменьшается до
значения Vc, COOT- Фиг. 13. Кривые ползучести.
ветствующего пе-
риоду постоянной скорости деформаций пол-
зучести; второй, в пределах которого эта ско-
рость остаётся постоянной, и третий, при ко-
тором скорость возрастает перед разрушением.
С повышением температуры сопротивление
ползучести уменьшается. На фиг. 14 [11] пред-
ставлена зависимость предела ползучести от
температуры для аустенитнои хромоникелевой
стали (типа 18-8).

ГЛ. V]
ПЛАСТИЧНОСТЬ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛА
423
Прочность материала при повышенных
температурах характеризуется пределом дли-
тельной прочности abt. Этим пределом является
предел прочности в условных или истинных
напряжениях, определённый при данных тем-
пературе и длительности действия напряжений.
Предел длитель-
ной прочности в
условных напряже-
ниях для легиро-
ванных сталей мо-
жет быть меньше
предела ползуче-
сти. В этом случае
расчёт на проч-
ность является ис-
ходным для опре-
деления размера
детали. Снижение
предела длитель-
кг/ммг,
16.8
5,6
\
\
21
400 500 600 700 800 °С
«риг. 14. Пределы ползучести
в зависимости от температу-
ры для стали 18-=8: /—1°/0 за
10000 час; 2— 1с/„ за 100000 час.
(по Кинцелу).
нои прочности ха-
рактеризуется диа-
граммой зависимо-
сти предела дли-
0T времени при различ-
тельной прочности
ных температурах.
На фиг. 15 [60] в качестве примера дана
диаграмма, на которой по оси ординат отло-
жен предел длительной прочности aw, a по
оси абсцисс — время.
Сопротивление отрыву при длительном
действии напряжений оказывает влияние на
прочность в том случае, если сопротивление
пластическим деформациям в условиях повы-
шенных температур оказывается выше, чем
сопротивление отрыву. Это зависит от свойств
материала, типа напряжённого состояния и
тивлением разрушению (область Б справа). При
весьма малых длительностях службы проч-
ность может определяться характеристиками
сопротивления пластическим деформациям при
однократном нагружении, т. е. пределами теку-
чести. На фиг. 18 представлена диаграмма из-
кг/*
50
30
20
in
—
\
¦-^_
10
,/
100
'2
1
Чае /t
Фиг. 16. Предел длительной прочности в зависимости
от продолжительности действия напряжения: 1 — хромо-
никелемолибденовая сталь (улучшенная) @,120/о С,
0,78:1/0Сг, 1,6% Ni, 0,79% Мо); 2—хромомолибденовован,.
диевая сталь (улучшенная) @, 20% С, 1,26% Сг, 1,40% Мо.
0,63% V). Образцы с полукруглым надрезом.
менения предела текучести o<j2 и предела
ползучести A% за 100 час.) в зависимости от
температуры для хромоникеле-
вольфрамовой стали в ото-
жжённом состоянии [12] (по
М. П. Марковец).
Q705
часоб
Фиг. 15. Изменение предела длительной прочности
е зависимости от температуры и длительности напря-
жений для хромомолибденовокремнистой стали @,1% С,
1.55% S1, 4,88% Сг, 0,51% Мо).
температуры. В.качестве примера на фиг. 16
представлены графики изменения предела дли-
тельной прочности от времени действия на-
пряжений на образцах с полукруглым над-
резом [54].
На фиг. 17 для CrMoVa стали сопоста-
влены пределы длительной прочности aw для
образцов гладких и с концентрацией напря-
жений, также нанесена линия ас предела пол-
зучести, соответствующего скорости ползу-
чести 0,0010/0 в час. В зависимости от того,
какая из величин (cbt или ас) выше для за-
данной длительности службы, прочность опре-
деляется либо сопроти"лением пластическим
деформациям (область А слева), либо сопро-
кг
мм*
60
40
20
2500 5000 7500 W000 час.
Фиг. 17. Кривые длительной проч-
ности для CrMoVa стали: /—с над-
резом; 2— без надреза; 3— предел
ползучести (по Тум и Рихардт).
i
ч
6
-—-
7
.
кг
мм2
40
35
30
25
20
15
10
5
500600700 °С
Фиг. 18. Пре-
делы текучести
и ползучести
для стали.
V
\
¦
\
\
\
1
0,2
\
ч
Пластичность и прочность
при скоростной (ударной) нагрузке
Процесс деформирования зависит при ско-
ростной нагрузке от температуры и скорости
деформирования. В результате такого нагруже-
ния наступает вязкое или хрупкое разрушение.
В области вязкой диаграмма дефор-
мирования имеет тот же характер, что и при
статической нагрузке, причём с увеличением
скорости увеличиваются пределы текучести и
прочности (главным образом первый). Дефор-
мация, измеряемая сужением шейки, с увели-
чением скорости снижается незначительно.
В области хрупкой диаграмма дефор-
мирования почти не имеет пластической об-
ласти и разрушение наступает от отрыва под
действием нормальных напряжений.
Критическая температура хрупкости
является той температурой, ниже которой
в материале при данном напряжённом состоя-
нии и прочих равных условиях наступает
хрупкое разрушение, а выше которой —вязкое.
Углеродистым сталям свойственен резко выра-
женный переход к хрупкости, легированным —
постепенный переход с соответствующим ин-

424
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
тервалом критических температур. Цветные
сплавы не имеют критических температур
хрупкости. Их вязкость в широком диапазоне
температур изменяется незначительно.
На фиг. 19 приведена в качестве примера
диаграмма изменения ударной вязкости (а^) в за-
висимости от тем-
пературы для ста-
ли и латуни. Рас-
положение крити-
ческого интервала
температур связа-
но с термической и
холодной обработ-
кой стали, а также
с другими техноло-
гическими факто-
рами (см. т. 3 и 4).
Характер на-
Ю
•SO -ЬО
+W '80 Г
Фиг. 19. Ударная вязкость в
зависимости от температуры:
/ — малоуглеродистая сталь;
2 — хромоникелевая сталь;
3 — латунь.
пряженного со-
стояния влияет на
ударное разруше-
ние.
В области вязкой в первом приближе-
нии могут быть применены те же критерии
пластичности, что и в статических условиях.
Напряжённые состояния, затрудняющие об-
разование пластических деформаций (малые
касательные напряжения при больших нор-
мальных), способствуют переходу к хрупкому
разрушению.
В области хрупкой прочность зависит
от сопротивления отрыву и главным образом
от величины наибольших растягивающих нор-
мальных напряжений. Сопротивление хрупкому
разрушению может оцениваться также величи-
ной механической энергии, необходимой для
разрушения.
Пластичность и прочность
при переменных напряжениях
Характеристики переменной напряжён-
ности. Переменными напряжениями
называются напряжения, величина которых
периодически изменяется во времени, т. е.
повторяется циклически.
Цикл напряжений — замкнутая одно-
кратная смена напряжений, соответствующая
полному периоду их изменения (фиг. 20).
Н аи б ол ь шее напряжени е цикла
<jmax — наибольшее по алгебраической вели-
чине напряжение цикла.
Наименьшее напряжение цикла
Jmin— наименьшее по алгебраической величине
напряжение цикла.
Средние напряжения цикла
Zfn _ —_—1 — алгебраическая полусумма
наибольшего и наименьшего напряжений цикла.
Амплитуда цикла av=
алгебраическая полуразность наибольшего
я наименьшего напряжений цикла.
Коэфициент асимметрии цикла (коэфи-
— отношение
циент амплитуды) г =
наименьшего напряжения цикла к наиболь-
шему напряжению цикла, взятое с алгебраи-
ческим знаком.
Симметричный цикл имеет наиболь-
шее и наименьшее напряжения одинаковыми
по величине, но противоположными по знаку;
/¦= —1. Величинам, характеризующим такой
цикл, присваивается индекс — I.
Асимметричный цикл с неодинако-
выми по величине наибольшим и наименьшим
напряжениями. Величинам, характеризующим
цикл, присваивается индекс, соответствующий
величине коэфициента асимметрии.
Пульсирующий цикл имеет наимень-
шее напряжение, равное нулю; г = 0.
6
Фиг. 20. Диаграмма циклического изменения
напряжений.
Форма цикла — форма кривой измене-
ния напряжений во времени.
Частота действия напряжений —
число полных циклов изменения напряжений
за единицу времени (за минуту или секунду).
Зависимость деформаций от напряжений
изображается при помощи диаграммы цикли-
ческого деформирования (фиг. 21). По оси
Фиг. 21. Диаграмма цикли-
ческого деформирования.
Фиг. 22. Петля упругого
гистерезиса.
абсцисс откладывается деформация, по оси
ординат—напряжение. Вследствие неидеальной
упругости даже в том случае, когда макси-
мальные напряжения цикла не превышают
условного предела упругости, линия нагруз-
ки аЪс не совпадает с линией разгрузки cda;
кривая деформаций представляет собой петлю,
называемую петлёй гистерезиса. Пло-
щадь этой петли характеризует энергию, по-
глощаемую материалом в необратимой форме
за один цикл деформирования.
Форма петли зависит в основном от ампли-
туды цикла и от числа циклов, предшество
вавших данному. С увеличением амплитуды
напряжений площадь петли сначала увеличи-
вается примерно пропорционально амплитуде.
В этой области гистерезис характеризуется
как упругий, и его петля имеет форму,
представленную на фиг. 22, со свойственным
ей торможением величины деформации после
её реверса, что связано с эффектом упругого
последействия (гл. IV, стр. 169, „Основные по-
нятия"). По достижении амплитудой напряже
ний определённой величины начинается бы

гл. vl
ПЛАСТИЧНОСТЬ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛА
425
стрый рост петли гистерезиса (фиг. 23), где по
оси абсцисс отложена амплитуда напряжений,
по оси ординат — величина энергии, соответ-
ствующая площади петли гистерезиса. В этой
области гистерезис характеризуется как пла-
стический, и его петля имеет форму, пред-
ставленную на фиг. 24, со свойственным ей
торможением величины напряжений перед
реверсом деформации. По мере увеличения
числа циклов характер гистерезиса, площадь и
форма петли изменяются в результате изме-
нения пластических свойств в процессе цикли-
ческой деформации, а иногда и структурных
изменений в матери-
але с течением вре- б
мени.
Фкт. 23 Энергия гистере-
зиса в зависимости от
амплитуды напряжения.
Фиг. 24. Петля пластиче-
ского гистерезиса.
Пластичность материала при переменных
напряжениях проявляется в необратимости
процесса циклического деформирования, Ши-
рину петли гистерезиса иногда принимают как
характеристику циклической вязкости [15]. Пла-
стичность при переменных напряжениях за-
висит от типа напряжённого состояния. Она
тем больше, чем выше относительная величина
касательных напряжений (например, при пере-
менном сдвиге выше, чем при одноосном рас-
тяжении — сжатии).
При симметричном цикле пластичность
обычно не проявляется в образовании общих
остаточных деформаций материала, а эти оста-
точные деформации локализуются в микро-
объёмах.
При асимметричном цикле и напряжениях,
превышающих предел упругости, возникают
общие остаточные деформации, соответству-
ющие приблизительно максимальному напря-
жению цикла.
Сопротивление пластическим деформа-
циям при переменных напряжениях харак-
теризуется пределом упругости. Этот предел
может определяться для сталей в этом случае
как напряжение, при котором начинает заметно
повышаться температура металла в процессе
циклического деформирования. Предел упру-
гости в условиях циклического деформирова-
ния может также определяться по усилению
нарастания деформаций с увеличением напря-
жений, когда наступает отклонение от линей-
ной зависимости между этими величинами. Ве-
личина этого предела зависит от числа циклов
напряжений, которым предварительно подвер-
гался металл, от структурных изменений и
тепловых воздействий.
Прочность и долговечность при перемен-
ных напряжениях характеризуются диаграм-
мой усталости (диаграммой Велера). По оси
абсцисс откладывается число циклов до раз-
рушения от усталости, по оси ординат — соот-
ветствующее максимальное напряжение цикла.
Диаграмма изображается либо в линейном
(фиг. 25), либо в логарифмическом масштабе
(фиг. 26). Ордината каждой точки диаграммы
определяет прочность, абсцисса—долговечность
материала при определённой величине напря-
жений цикла. Наибольшее напряжение цикла,
которое выдерживает материал при числе ци-
клов, не превышающем некоторого значения N,
называется ограниченным пределом
усталости.
При линейном масштабе кривая усталости
для сталей имеет выраженный асимптотический
характер, а в логарифмическом масштабе кри-
вая распадается на две прямые, правая из ко-
торых параллельна оси числа циклов. Для лёг-
ких сплавов, а также при наличии коррозии
правая часть кривой непрерывно понижается;
таким же свойством обладают кривые уста-
лости для закалённых до высокой твёрдости
сталей.
Наибольшее напряжение цикла, которое мо-
жет выдержать материал без разрушения при
весьма большом (условно задаваемом) числе
циклов напряжений, называется пределом
\
—-.
о
0 1 2 3 U 5 6 7:WSN
Фиг. 25. Кривая усталости в линейном
масштабе.
усталости. Эти напряжения соответствуют
асимптотической части кривой усталости.
Коэфициент асимметрии цикла, для кото-
рого даётся предел усталости, указывается
соответствующим индексом: при симметричном
цикле — 1, при пульсирующем цикле — 0, при
любой асимметрии — г.
Долговечностью называют число цик-
лов, необходимое для разрушения материала
при данном цикле напряжений.
На прочность и долговечность при пере-
менных напряжениях оказывают существенное
влияние характер
напряжённого со- в,
стояния, асимме-
трия цикла, со-
стояние поверхно-
сти. Незначитель-
ное влияние ока-
зывают форма цик-
ла и частота из-
менения напряже- /#? ю3 10° Ю5 10s Ю7 /0*л
ний, а также воз-
никновение пауз
при циклическом
деформировании. В
отдельных случаях (мягкие стали) паузы суще-
ственно сказываются на долговечности.
Прочность в зависимости от асимметрии
цикла характеризуется диаграммой зависимо-
сти максимального напряжения цикла атах.
соответствующего пределу усталости или теку-
чести, от среднего напряжения цикла оот. Эта
диаграмма называется диаграммой Сми-
та (фиг. 27). Кривая, ограничивающая диа-
грамму, как в области растягивающих напря
о
\ А
N
о
V
к
о
о
Фиг. 26. Кривая усталости
в логарифмическом масштабе.

426
ПРОЧНОСТЬ
(РАЗД.
жений ат, так и в области сжимающих, состоит
из двух участков. В первом Umax соответствует
пределам усталости, во втором — пределам те-
кучести; при этом во вторых участках сущест-
вует, кроме кривой пределов текучести, кри-
вая пределов усталости, нанесённая пунктиром.
Эта кривая характеризует прочность материа-
ла после того, как он получил остаточную де-
формацию в соответствии с величинами дей-
ствующих напряжений. Для того чтобы на диа-
грамме Смита получить величину предела уста-
лости или предела текучести, соответствую-
щего заданному коэфициенту асимметрии г.
Фиг. 27. Диаграмма Смита.
достаточно через начало координат провести
луч под углом р к оси <зт. При этом
tg Р =
!+/¦•
E)
Этот луч отсечёт на кривой величину
искомого предела.
Диаграмма Смита строится не только для
пределов усталости, но и для ограниченных пре-
делов усталости, как показано тонкими линиями
на фиг. 27.
Другим способом изображения характери-
стик прочности в зависимости от асимметрии
цикла является диаграмма Хея (фиг. 28).
о,,
N104
Фиг. 28. Диаграмма Хея.
Б этой диаграмме по оси абсцисс отклады-
вается среднее напряжение цикла ат, по оси
ординат — амплитуда цикла qv, соответствую-
щая пределу усталости или текучести. Кривая,
ограничивающая диаграмму, состоит из двух
участков. В первом а^ соответствует пределам
усталости, во втором — пределам текучести.
Эта кривая имеет то же происхождение,
что и на диаграмме Смита. Для того чтобы
по диаграмме Хея получить величину ампли-
туды, соответствующую пределу усталости или
текучести при заданном коэфициенте ампли-
туды, достаточно через начало координат про-
вести луч под углом f к оси ст; при этом
(б)
Этот луч отсечёт на кривой величину иско-
мой амплитуды.
Диаграмма Хея строится также не только для
пределов усталости, но и для ограниченных
пределов усталости, как показано на фиг. 28
тонкими линиями.
При повышенной температуре и асимметрич-
ных циклах переменных напряжений в мате-
риале может возникать ползучесть, и потому
предельная кривая на диаграмме Смита будет
ограничиваться пределами ползучести и пре-
делами прочности на отрыв; при этом усталост-
ный участок кривой может полностью отсут-
ствовать. На фиг. 29 в качестве примера пред-
ставлена диаграмма
Смита для средне-
углеродистой стали.
При высокой темпе-
ратуре все ординаты
предельной линии
определяются преде-
лами ползучести при
скорости ползучести
10~3% в час и заканчи-
ваются ординатой, со-
ответствующей сопро-
тивлению отрыву.
Критерий проч-
ности для пластичных
материалов при на-
пряжённых состояни-
ях с симметрич-
ным цикл ом осно-
вывается на гипотезе
Губера—Генки — Ми-
Фиг. 29. Диаграмма Смита
для среднеуглеродистой
стали @,6% С) при темпе-
ратуре 20° (сплошная ли-
ния) и 500° С (пунктирная
линия).
зеса и в этом случае (с введением поправоч-
ных коэфициентов) [22] выражается формулой
>.V
Oit,CJot, =
где alv и а3г, — амплитуды главных напряжений;
и_2 — предел усталости по нормальным на-
пряжениям; -с_1 —предел усталости по каса-
тельным напряжениям. По гипотезе наиболь-
ших касательных напряжений условия проч-
ности выразятся формулой
Si». — "ч». ==
(8)
Для частного случая напряжённого состоя-
ния изгиба и кручения или растяже-
ния и кручения с симметричными цик-
лами это условие выразится так:
._1;+(^-v-i.
(9)

ГЛ. V)
ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛИ
427
Если каждый из компонентов изменяется
по асимметричному циклу, то усло-
вие прочности принимается в форме
A0)
где Qf _ предел усталости или текучести для
асимметрии цикла, свойственной нормальным
напряжениям; хг — предел усталости или теку-
чести для асимметрии цикла, свойственной
касательным напряжениям.
Для общего случая плоского напряжённого
состояния с различными асимметриями цикла
каждого из компонентов условия прочности
могут быть выражены через приведённые
к асимметричному циклу напряжения <sr и хг
Приведение осуществляется по выражениям
(И)
где
Ч "Г" tx V
2x
— ; 4ч- —-
Для плоского напряжённого состояния, задан-
ного компонентами сх, ау, хху, по u гипотезе
наибольших касательных напряжений условие
прочности выразится так:
A2)
I—^г-J +4L"=rJ -'¦
При введении поправочных коэфициентов это
условие выражается следующим образом:
понентов напряжённого состояния не сказы-
вается на прочности (в области напряжённых
состояний с преимущественным влиянием ка-
сательных напряжений).
Частота изменения напряжений и форма
цикла не сказываются на условиях прочности
в пределах обычного диапазона этих характе-
ристик режима напряжённости и для обычыой
концентрации напряжений.
ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛИ
Прочность при статических напряжениях
Основными случаями расчёта являются:
I) расчёт на сопротивление пластическим де-
формациям (по пластичности); 2) расчёт на
прочность при пластическом состоянии мате-
риала; 3) расчёт на прочность при хрупком
состоянии материала. Вопрос о том, следует ли
производить расчёт при пластическом или хруп-
ком состоянии, решается в зависимости от
свойств материала, характера и условий его
напряжённости согласно изложенному выше.
Следует иметь в виду, что с увеличением аб-
солютных размеров склонность к хрупкому раз-
рушению возрастает. Более надёжные данные
о возможности хрупкого разрушения могут
быть получены на основе экспериментальных
наблюдений.
Расчёт на прочность заключается в опре-
делении запаса прочности (коэфициента
безопасности) п. Запас прочности является
отношением разрушающих (или вызывающих
недопустимые пластические деформации) уси-
лий Qp к действующим усилиям Q и выра-
жается следующим образом:
A6)
2
-1
iPrv)
-1
ху
-1
¦1. A3)
Для материалов хрупких при однородных
напряжённых состояниях (литые металлы — чу-
гун, лёгкие сплавы) для симметричных циклов
более применимой является гипотеза Геста —
Мора. Условия прочности в этом случае при-
мут следующий вид:
«1» — °в»=2*_, —*_!(<»!„ + Одр), A4)
где t_j—предел усталости для касательных
напряжений; Х—1 — коэфициент, характеризу-
ющий влияние нормальных напряжений:
¦—1.
Для частного случая напряжённого состоя-
ния изгиба и кручения или растя-
жения и кручения это условие выразит-
ся формулой
A—A11)o* + 4t» + 4*_i*_1« = 4tL1. A5)
При использовании условий прочности
предполагается, что фаза действия ком-
В величине Qp должно быть отражено влияние
конструктивных и технологических факторов
на.прочность, а также влияние режима на-
грузки (статический, переменный, ударный,
длительный при повышенных температурах).
Во многих случаях запас прочности может
определяться по напряжениям а, действующим
в опасных точках детали, и напряжениям о„,
характеризующим механические свойства мате-
риала:
«=2l. A7)
В зависимости от характера нагрузки и со-
стояния материала (пластического или хруп-
кого) величина ар является пределом теку-
чести as, пределом прочности с$, пределом
усталости ог и т. д.
Тип напряжённого состояния (одноосный,
плоский, объёмный) обычно отражается в са-
мих выражениях для запаса прочности, как
изложено далее.
Расчёт на прочность может также произво-
диться по допускаемым напряже-
ниям R.
Напряжённость материала детали в этом
случае характеризуется номинальными напря-
жениями, и концентрация напряжений не учи-
тывается. Напряжения определяются по фор-
мулам сопротивления материалов (гл. IV).

428
прочность
| РАЗД. !
Прочность материала, влияние конструктив-
ных, технологических факторов и влияние ре-
жима напряжённости на прочность обычно от-
ражаются на величине допускаемого напряже-
ния R. В эту величину включается также запас
прочности.
Тип напряжённого состояния должен при-
ниматься во внимание при определении номи-
нальных напряжений, которые вычисляются
как приведённые аг. Условие прочности при
расчёте по допускаемым напряжениям
<V < /?, A8)
где чт — приведённое напряжение (гл. IV).
Расчёт на сопротивление пластическим
деформациям при однородном напряжён-
ном состоянии или близком к нему, т. е.
при растяжении или сжатии деталей любой
формы поперечного сечения, при изгибе и
кручении тонкостенных деталей (если послед-
ние не теряют устойчивости до появления пла-
стических деформаций), производится путём
определения запаса прочности (по пластично-
сти) по формулам:
1) для растяжения или сжатия
л. = —
2) для кручения или сдвига
л.,
A9)
B0)
3) для сложного напряжённого состояния
при сочетании нормальных и касательных на-
пряжений
<.--?. B1)
где а и -с — действующие напряжения; <зг — при-
ведённые напряжения, вычисляемые по фор-
муле
При более жёстких требованиях к сохране-
нию упругости в условиях нагружения рас-
чёт должен производиться по пределу упру-
гости и в приведённых формулах предел теку-
чести должен быть заменён пределом упру-
гости Qg.
При неоднородном напряжённом состоянии
(например при изгибе, кручении деталей сплош-
ных сечений, для толстостенных сосудов) запас
прочности определяется в усилиях по формулам:
1) при действии изгибающих или крутящих
моментов
Ms
М
B2)
2) при действии внутреннего давления
я* = -^; B3)
3) при одновременном действии изгиба и
кручения или растяжения и кручения
п.,=
B4)
где Ms — момент, соответствующий пределу
текучести, устанавливаемый экспериментально
как момент, при котором возникает опреде-
лённая, условно задаваемая величина оста-
точной деформации; ^ — давление, соответ-
ствующее пределу текучести, определяемое
экспериментально, как указано выше; М — дей-
ствующий момент; q— действующее давление;
nsa—запас прочности по изгибу или растяже-
нию; nsx — запас прочности по кручению.
При наличии концентрации на-
пряжений (например, напряжения у попе-
речных отверстий, галтелей сопряжений, у на-
резки и др.) запас прочности определяется по
усилиям Ps и Ms, соответствующим пределам
текучести при наличии концентрации напряже-
ний. Эти усилия определяются эксперименталь-
но на основе условно задаваемой величины
остаточных деформаций. Запас прочности по
ним определяется так же, как в предыдущем
случае. Следует иметь в виду, что концентра-
ция напряжений увеличивает сопротивление
пластическим деформациям, и усилия, соот-
ветствующие пределу текучести вне зон кон-
центрации, получаются меньшими; по ним
обычно и должен производиться расчёт.
Расчёт на прочность при пластическом
состоянии материала. При однородном напря-
жённом состоянии запас прочности опреде-
ляется по усилиям, вызывающим напряжения,
равные пределу текучести материала; Рр и Мр
(сила и момент):
1) при растяжении или сжатии
• п = -Р- B5)
2) при изгибе или кручении (тонкостенные
конструкции)
п =
/И '
B6)
3) при одновременном действии изгиба и
кручения
п= B7)
V п] + п\ '
где п.; — запас прочности по изгибу (или рас-
тяжению); лх— запас прочности по кручению.
При неоднородном напряжённом состоянии
запас прочности определяется в усилиях по
формулам:
1) при действии изгибающих или крутящих
моментов (детали со сплошным или толсто-
стенным сечением)
* = Ж; B5а)
2) при действии внутреннего давления
п = ^; B6а)
3) при одновременном действии изгиба и
кручения или растяжения и кручения
п =
V*.
B7а)
где Msi~ момент, соответствующий предельному
пластическому состоянию детали (называемый
также моментом предельной несущей способ-

ГЛ. V|
ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛИ
429
ности), определяемый расчётом или экспери-
ментально (гл. IV, см. стр. 372); qsi — давление,
соответствующее предельному пластическому
состоянию толстостенного сосуда; я, — запас
прочности по изгибу или растяжению; лх — за-
пас прочности по кручению.
При определении моментов Msi, соответству-
ющих предельным напряжённым состояниям,
следует иметь в виду увеличение этих напря-
жений с уменьшением абсолютных размеров
при одних и тех же свойствах материала. Дан-
ные о масштабном факторе при статических
напряжениях см. справочные данные по рас-
чёту на прочность в конце главы.
При наличии концентрации на-
пряжений запас прочности п устанавли-
вается по разрушающим усилиям Рр и Мр (сила
и момент), определяемым экспериментально:
1) при растяжении или сжатии
п = ^ B56)
(Рр должно определяться с соблюдением воз-
можных в конструкции эксцентриситетов пере-
дачи усилия);
2) при изгибе или кручении
М
B66)
где Р — действующее усилие; М — действую-
щий момент.
Если имеются экспериментальные данные
о влиянии концентрации напряжений на проч-
ность при статических напряжениях, запас
прочности определяется по формулам:
1) для нормальных напряжений
=1г4; B8)
2) для касательных напряжений
B9)
3) при сочетании нормальных и касатель-
ных напряжений
" i=, C0)
где о и т — действующие номинальные напря-
жения; 0? — предел прочности (временное со-
противление) при растяжении или сжатии; т& —
предел прочности (временное сопротивление)
при сдвиге (кручении); А3 — эффективный коэ-
фициент концентрации (коэфициент действия
надреза) для статических нормальных напря-
жений с учётом влияния эксцентриситета при-
ложения нагрузки; kz — эффективный коэфи-
циент концентрации для статических касатель-
ных напряжений.
Коэфициенты &а и kx определяются экспери-
ментально, как отношение предела прочности
ab, ib при отсутствии концентрации к пределу
Си
прочности при её наличии oft', zb'\ k% = ~,
ч'
Обычно при пластичном состоянии мате-
риала в детали и центральном приложении
нагрузки кш < 1, Л, <С 1-
При наличии концентрации возникает
склонность к хрупкому разрушению в условиях
статической нагрузки при следующих обстоя-
тельствах: 1) при увеличении абсолютных раз-
меров; 2) понижении температуры; 3) увеличе-
нии эксцентриситета прилагаемых осевых
усилий (при растяжении), i
Расчёт на прочность при хрупком со-
стоянии материала. При однородном
напряжённом состоянии (растяжение
или сжатие, тонкостенные детали) запас проч-
ности детали определяется по формулам, вы-
текающим из условий прочности материала:
1) для растяжения или сжатия
я = ^-, C1)
2) для кручения и среза
п = —
т
C2)
3) для сложного напряжённого состояния
« = ^-, C3)
где аь — предел прочности соответственно при
растяжении, сжатии или изгибе; т$— предел
прочности при кручении и срезе; аЛ— приве-
дённое напряжение:
C4)
Для материалов, следующих гипотезе Сен-
Венана, приведённое напряжение составляет
о, - 0,35а + 0,65 Л/ о2 + 4 (^- )\».
C5)
При неоднородном напряжён-
ном состоянии (изгиб, кручение) запас
прочности определяется по тем же формулам,
что и при однородном напряжённом состоянии,
но в случае изгиба <зь является пределом проч-
ности при изгибе, который при хрупких со-
стояниях материала обычно отличается от
пределов прочности при растяжении и сжатии.
При наличии концент р аци и на-
пряжений для деталей из материалов одно-
родных и чувствительных к концентрации
(закалённая сталь) в расчёт вводятся коэфи-
циенты концентрации а, и ог, соответствую-
щие распределению напряжений, в предполо-
жении совершенной упругости (см. гл. IV,
„Растяжение и сжатие, сдвиг, кручение стерж-
ней" стр. 196). Если имеются данные об эффек-
тивных коэфициентах концентрации, то ими
следует заменить а9 и ат (соответственно).
Запасы прочности определяются по формулам:
1) при растяжении, сжатии, изгибе
я — -^- • /ч«\
2) при кручении
Си -С
C7)
3) при сложном напряжённом состоянии
Ъ
-. C8)

430
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
Для деталей из материалов неоднородных
(серый чугун) и нечувствительных к концен-
трации напряжений запасы прочности опреде-
ляются без учёта влияния концентрации по
формулам C3) —C5).
Прочность при переменных напряжениях
Основные случаи расчёта. 1) Расчёт на
прочность без ограничения числа циклов
нагружения, т. е. при весьма длительном
действии переменных напряжений (когда об-
щее число циклов их действия превышает де-
сятки и сотни миллионов). Характеристикой
сопротивляемости в этом случае являются
пределы усталости.
2) Расчёт на прочность при ограниче-
нии числа циклов нагружения (установив-
шийся режим), т. е. расчёт на определённую
долговечность. Характеристикой сопротивляе-
мости в этом случае являются ограниченные
пределы усталости и соответствующие им
количества циклов.
3) Расчёт на прочность при изменяю-
щемся цикле переменных напряжений (не-
установившийся режим). Характеристикой
прочности является кривая усталости. Расчёт
ведётся в связи с долговечностью.
Фактор неоднородности напряжённого
состояния, формы и абсолютных размеров
в расчёте. Сопротивление усталости зависит
от неоднородности напряжённого состояния,
имеющей место в стержнях со сплошным сече-
нием при изгибе, кручении, в кривых брусьях,
толстостенных резервуарах и в ряде других слу-
чаев. При расчёте на прочность должны быть
использованы по возможности пределы устало-
сти, определённые экспериментально при соот-
ветствующих напряжённых состояниях (при рас-
чёте на изгиб — полученные испытаниями на
повторный изгиб o_i; при расчёте на круче-
ние — полученные испытанием на повторное
кручение t-jj при расчёте для других типов
напряжённых состояний следует выбирать пре-
делы усталости, полученные для близких по
неоднородности напряжённых состояний).
Сопротивление усталости в сильной степе-
ни зависит от геометрических очертаний де-
тали, когда последние вызывают концентрацию
напряжений. Это влияние характеризуется э ф-
фективным коэфициентом концен-
трации напряжений k (коэфициентом
действия надреза), представляющим собой от-
ношение предела усталости без концентрации
к пределу усталости при наличии концентрации
(обычно для одних и тех же размеров образ-
цов). Обычно k определяется для симметрич-
ного цикла изменения напряжений:
при действии нормальных напряжений
при действии касательных напряжений
k -
D0)
где (<J-i)ft и {i-\)k — пределы усталости при
наличии концентрации напряжений (в номи-
нальных напряжениях) на лабораторных образ-
цах обычных размеров.
Эффективный коэфициент концентрации
для детали обычно определяется как отноше-
ние предела усталости на лабораторном образце
без концентрации к пределу усталости, полу-
ченному на детали или модели соответствую-
щей её части в натуральную величину:
(*,
•aid*
D1)
где
(_j)^fe—предел усталости детали (в на
ТУРУ)-
Величина эффективного коэфициента кон-
центрации ka и kz зависит от распределения
напряжений в детали, от её материала и абсо-
лютных размеров, а также от обработки и со-
стояния поверхности (наличия коррозии).
Влияние абсолютных размеров характери-
зуется масштабным фактором е:
D2)
где (<3-\)k — предел усталости лабораторного
образца той же конфигурации, что и деталь
в зонах концентрации.
В ряде случаев эффективный коэфициент
концентрации (ЛаH определяется по пределу
усталости (o~i)q образца подобной формы, но
уменьшенных размеров диаметром d:
D3)
Эффективный коэфициент концентрации для
лабораторного образца диаметром 7—10 мм
подобной формы
К = (kJo ~ • D4>
где ?о — масштабный фактор для образца диа-
метром d без концентрации; е0/г — масштабный
фактор для такого же образца с концентрацией.
Кривые значений вдк в зависимости от ти-
па концентрации и характера материала приве-
дены в справочных данных по расчёту проч-
ности (в конце главы).
Для детали в натуру эффективный коэфи-
циент концентрации
D5)
4 "" Чн
?$k — значение масштабного фактора для раз-
мера детали в натуре.
Коэфициенты е^ определяются по кривой
масштабного фактора при наличии концентра-
ции напряжений (см. фиг. 37).
Приближённые значения {kz)d (отнесённые
к пределу усталости на лабораторном образце
или модели диаметром d) могут быть при от-
сутствии опытных данных также получены
приближённо по эмпирической формуле
_. D6)
1—1
(*¦
(Kh
D-d
где (kg )k — наибольшая величина эффектив-
ного коэфициента концентрации, соответству-
ющая размеру Dk', D^ — размер детали, начи-
ная с которого прекращается заметное влия-
ние масштабного фактора; D — размер детали
в сечении, в котором определяется эффектив-
ный коэфиниент концентрации напряжений;

ГЛ. V]
ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛИ
431
d — размер образца или модели, на котором
определялся эффективный коэфициент (kaH;
т — показатель степени, равный 0,5—0,7 для
изгиба, для кручения он достигает значения 1,0.
Для размера D^ могут быть приведены
лишь ориентировочные величины: при обыч-
ном качестве обработки поверхности (резцом,
шлифовка) для сталей повышенной твёрдости
и при значительной концентрации напряжений
?)ft = 50—100 мм; для сталей средней твёрдо-
сти и при умеренных концентрациях D^ =
= 100-250 мм.
Величина (ku)k при отсутствии экспери-
ментальных данных может приниматься
Если коэфициент (йаH определён на лабо-
раторных образцах обычных размеров, то пре-
дел усталости детали тех же очертаний
D7)
где &дь — масштабный фактор при наличии
концентрации напряжений; а~г — предел уста-
лости на лабораторном образце без концентра-
ции напряжений.
При определении коэфициента (Й0)о на об-
разцах или моделях увеличенных размеров —
предел усталости детали тех же очертаний
[в связи с зависимостями D4) и D5)]:
(«L-i)d* = -_— = Z ' D°)
где (?3) а = (&0)o z~~ (как указано выше).
В случае определения коэфициента (kg)^
на образцах или моделях тех же размеров,
что и деталь, предел усталости детали
(п \ — (в~'0ед _ (g—l)d /ла\
где гд — масштабный фактор для детали при
отсутствии концентрации напряжений.
Значения е$ берутся из графика фиг. 37
для масштабного фактора при отсутствии кон-
центрации напряжений. В этом случае для диа-
метров до 20 мм снижение предела усталости
не превышает 5% и потому во внимание мо-
жет не приниматься.
Если для детали заданной формы и из за-
данного материала эффективные коэфициенты
концентрации неизвестны, то они могут быть
приближённо определены по коэфициентам
концентрации а (при совершенной упругости
материала) (см. гл. IV) из следующих зави-
симостей:
*, = 1 + ?(а,— 1) E0)
К = 1 + я К - 1).
E1)
где q — коэфициент чувствительности к кон-
центрации напряжений, равный 0,4—0,8.
При выборе величины q следует иметь
в виду следующее: 1) меньшие величины
соответствуют мягким сталям, большие — ста-
лям высокой прочности; 2) меньшие величины
соответствуют малым абсолютным размерам
детали; 3) при касательных напряжениях зна
чения q получаются меньшими, чем при нор-
мальных напряжениях.
Материалы с большой структурной неод-
нородностью (чугун, литые лёгкие сплавы)
нечувствительны к концентрации напряжений-
В материалах, весьма чувствительных
к концентрации напряжений,
Коррозия, связанная с сухим трением, кор-
розия, вызванная жидкой средой, и дефекты
механической обработки повышают влияние
концентрации на прочность и в отдельных
случаях /гэ>ад. Данные по влиянию этих
факторов на действие концентрации напря-
жения приведены в конце главы, а также
в т. 3 и 4.
Влияние обработки и состояния поверх-
ности на прочность учитывается в расчёте-
путём соответствующего изменения предел»
усталости при помощи коэфициента поверхно-
стной чувствительности Д. Предел усталости
°_1 с учётом влияния состояния поверх-
ности
где (о_1) —предел усталости, полученный на
лабораторном образце с полированной поверх
ностью.
Значения Д для различных металлов и со
стояний поверхности приведены в конце главы.
Влияние на прочность различных обрабо-
ток, упрочняющих поверхностный слой (наклёп,
химико-термическая обработка), обычно при
расчёте во внимание не принимается. Для де-
талей эти обработки могут существенно влиять
на прочность в зонах концентрации напряже-
ний, уменьшая её влияние. В расчёте это влия-
ние может быть в настоящее время отражено
лишь на основании опытных данных, получен-
ных для условий, соответствующих рассчиты-
ваемой детали.
При асимметричном цикле изменения на-
пряжений влияние концентраций, напряжений,
абсолютных размеров (масштабный фактор),
обработки и состояния поверхности учиты-
ваются только по отношению к амплитуде
напряжений av.
Расчёт на прочность при одноосном
растяжении—сжатии, изгибе и кручении для
неограниченного числа циклов действия
напряжений. Цикл напряжений, действующих
в детали, должен быть задан максимальным
и минимальным значениями номинальных на-
пряжении о
по которым опре-
деляется коэфициент асимметрии г =
среднее напряжение цикла
3 -1- О
max ' mm
'min
E3)
и амплитуда цикла
— CTmin
E4)
Основными факторами, которые прини-
маются во внимание при расчёте, являются
концентрации напряжений, абсолютные раз-
меры, асимметрия цикла напряжений [20].

432
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД.
Если известна диаграмма Смита
(см. фиг. 27) для рассчитываемой де-
тали, полученная соответствующими испы-
таниями на усталость, то по коэфициенту
асимметрии г —
Jmin
определяется тангенс угла
отсекающего на
наклона луча tg % = = ¦ ¦ ,
кривой диаграммы максимальное напряжение
цикла (аг)д, соответствующее пределу уста-
лости или текучести.
Запас прочности при действии нормальных
напряжений
E5)
при действии касательных напряжений
Ы
п =
Определение запаса прочности таким об-
разом предполагает постоянство асимметрии
цикла напряжений при возрастании нагрузок,
действующих на деталь вплоть до её разру-
шения. Если при расчёте неизвестны условия
возрастания нагрузок и возможность измене-
ния асимметрии циклов при этом, то опреде-
ление запасов прочности производится в пред-
положении сохранения этой асимметрии при
всех условиях нагружения.
Если известнадиаграмма Смита
для материала деталей (спрямлённая),
то предел усталости аг как максимальное на-
пряжение цикла, соответствующее асимметрии
цикла напряжений, действующих в детали
(но определённый на обычном лабораторном об-
разце), устанавливается по этой диаграмме как
ордината предельной линии, отсекаемой лучом,
проведённым под углом 0 к оси ст (фиг. 27).
При этом
где edk — масштабный фактор при наличии
концентрации напряжений для размеров и
формы детали и согласно формуле D2); (&а)а —
эффективный коэфициент концентрации для де-
тали согласно формуле D1).
Качество обработки поверхности должно
быть отражено в диаграмме Смита для мате-
риала.
Запас прочности
я =
E6)
Для случая растяжения — сжатия и для
случая изгиба должны быть использованы
соответствующие диаграммы Смита.
При переменном кручении используется
диаграмма Смита для кручения; при этом
Запас прочности
E7)
Схематизированная (спрямлённая) диаграм-
ма Смита строится по следующим механиче-
ским характеристикам: по пределу усталости
при симметричном цикле c_j, ^—i» по пре-
делу текучести as, zs; по пределу усталости
для коэфициента асимметрии, равного нулю
(пульсирующий цикл), а о, i0, или по пределу
усталости аг и %г для одного из коэфициентов
асимметрии меньших нуля, если а0 > os или
>
Диаграмма строится в координатах от,
зтах (фиг. 30). При go<Cgs диаграмма строится
следующим образом: для <sm = 0 наносится точ-
ка А с ординатой а_,, для ат = ~ наносится
точка В с ординатой aQ, Для Qm = °s наносится
точка С с ординатой as. Через точки А
и В проводится прямая до пересечения
с горизонталью,
проведённой че-
рез точку С, в
точке D. Ветвь,
соответствующая
минимальным на-
пряжениям цикла
CFK, наносится
как две прямые
KL и CF (пунктир
на фиг. 30).
Для случая
о0 >» as схематизи-
рованная диаграм-
ма строится сле-
дующим образом
(фиг. 31): для
ат = 0 наносится
точка А с орди-
натой а_1, для Jm=
= атг наносится точка В с ординатой аг, рав-
ной пределу усталости при коэфициенте асим-
н
Фиг. 30. Схематизированная
диаграмма Смита при *q < os
метрии г; для ат = as наносится точка С с
ординатой Оу. Через точки А я В проводится
прямая до пересечения с горизонталью, про-
ходящей через точку С, в точке D.
Для сталей с со>°5 в том случае, когда
известен предел усталости о0 (при этом напря-
жении в материале возникает некоторая пла-
стическая деформация), при построении диа-
граммы после нанесения точки А наносится

ГЛ. V]
ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛИ
433
точка Е с абсциссой ат = -#- и ординатой
°тах — ао и проводится прямая Л?", которая
пересекает ту же горизонталь, проходящую
через точку С.
Расчёт по схематизированным диаграммам
Смита позволяет использовать приведённые да-
лее расчётные формулы для запаса прочности.
При асимметрии цикла, удовлетворяющей
условию
при
\
где ams — абсцисса точки D на схематизиро-
ванной диаграмме (см. фиг. 28),
n=-fc- °=1 E8)
Edk
В последней формуле
Значения <\> для различных металлов и ти-
пов нагрузки приведены в конце главы.
При асимметрии цикла, удовлетворяющей
условию
прочность определяется сопротивлением пла-
стическим деформациям и запас прочности со-
ставляет
E9)
Следует иметь в виду, что предел текуче-
сти ?s и напряжение ams при наличии концен-
трации напряжений повышаются, и в расчётах
следует использовать величины as, полученные
экспериментально для соответствующих кон-
центраций напряжений.
Если допустить в детали остаточные дефор-
мации той или иной величины, то запас проч-
ности будет определяться параметрами кри-
вой пределов усталости, отличающейся от
участка DC схематизированной диаграммы Сми-
та на фиг. 30. В этом случае кривая пойдёт
выше, и выражение для запаса прочности при-
мет вид
п = °п к , F0)
4k
где влиС определяют более высокое под дей-
ствием наклёпа расположение прямой пределов
усталости.
Для случая действия касательных напряже-
ний от кручения пользуются формулами при
-1
F1)
~-dk
— 1
F2)
'dk
В тех случаях, когда бывает известно изме-
нение силовых факторов, приводящих к пере-
грузке и разрушению (или пластическому де-
формированию) детали, опргделение запасов
прочности должно производиться в соответ-
ствии с этими изменениями. В связи с этим
запас прочности может вычисляться отдельно
по изменению статической напряжённости (на-
пример, при начальной статической затяжке
болтовых соединений), в этом случае он со-
ставляет
п
F3)
где (vm)r — предельное статическое напряже-
ние по диаграмме Смита с учётом влияния
наложенной постоянной по амплитуде пере-
менной напряжённости.
Если статическая напряжённость остаётся
неизменной, а возможно изменение переменной
напряжённости (благодаря, например, возник-
новению упругих колебаний в машине), то за-
пас прочности составит
nv =
(о За)
где (av)r — предельная амплитуда по диаграмме
Смита с учётом влияния постоянной статиче-
ской напряжённости.
Если статическая бтах
и переменная напря-
жённость возрастает
по различным зако-
номерностям по мере
перехода к предель-
ному состоянию и за-
висимость между omaj
и от характеризуется
некоторой функцией
атах — fiQm)' Т0 за*
пас прочности может
определяться[9] путём
нанесения на диаграмму Смита (фиг. 32) зави-
симости amax=/ (am) и отыскания точки D пере-
сечения этой кривой с кривой диаграммы
Смита, ордината которой обозначена аг. Если
напряжённое состояние в детали характери-
зуется точкой k с максимальным напряже-
Фиг. 32.
нием стах •= ат -\ , то запас прочности со-
ставит
п=-*-. F3Ь)
шах
Расчёт на прочность при одновременном
действии изгиба и кручения или растяже-
ния—сжатия и кручения (для неограничен-
ного числа циклов действия напряжений) [21].
Если известна схематизированная диаграмма
Смита для детали при переменном изгибе или
растяжении - сжатии и переменном кручении,
то по коэфициентам асимметрии Га, по нор-

434
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. 1
мальным напряжениям и /ч по касательным из
диаграмм определяются пределы усталости <зга
и тг! как ординаты, отсечённые лучами под
углами соответственно 3* и ?х:
2 2
tg fa = 1 i , и tg р, = ¦
Запас прочности
1-Г-/Ч
л =
ЛаЛХ
где Лз =
— запас прочности по нормаль-
ным напряжениям; лх
—запас прочно-
сти по касательным напряжениям.
Если известны диаграммы Смита (спрям-
лённые) для материала детали, то сначала по
этим диаграммам определяются пределы уста-
лости или текучести an и 1л-:, соответствующие
асимметриям циклов напряжений, действующих
в детали. Эти пределы прочности отсекаются
лучами под углами Pj и рх соответственно:
fex
Запас прочности
Tlaflz
F4)
где
Лз =
Лх =
Если даны результаты испытаний на уста-
лость при одновременном действии двух уси-
лий (например, изгибающего и крутящего мо-
'= const
Фиг. 33.
ментов) в виде графика (фиг. 33), связываю-
щего предельные значения этих усилий при
различных их соотношениях, то запас прочно-
сти определяется по формуле F4), где
(MU32)t
/и,
М
пр
Действующие моменты Мазг, М„р определяют
положение точки К на диаграмме. Значения
соответствующих предельных моментов (Мазг)р
и (Мпр)р получаются на графике проведением
линии, характеризующей закон возрастания
этих моментов при переходе к предельным
значениям: Мизг = f(Mnp). Обычно прини-
мается пропорциональное возрастание обоих
моментов -г/r' = const; в этом случае доста-
точно провести луч от начала координат через
точку k до пересечения в F с предельной
линией.
Расчёт на прочность для общего случая
плоского и объёмного напряжённых состоя-
ний (для неограниченного числа циклов дей-
ствия напряжений). Для общего случая пло-
ского напряжённого состояния напряжения
задаются составляющими ах, ov. zxy, каждая из
которых может иметь свою асимметрию цикла,
характеризуемую коэфициентами асимметрии
гх' гу> гху Запас прочности определяется
из формулы A2) по формуле
J_ = f (°rv)x - 0/-Л12+ 4 Г Ьгу)ху? (б5)
Здесь (arv)x, {vrv)y* (^rv)xy являются
приведёнными напряжениями цикла с учётом
влияния концентрации напряжений по диа-
граммам Смита для соответствующей асим-
метрии циклов.
При объёмном напряжённом состоянии запас
прочности может определяться по наиболь-
шему касательному напряжению
по формуле
л =
F6)
где (vrv)i — приведённое к симметричному
циклу наибольшее главное напряжение;
(arvh — приведённое к тому же циклу наи-
меньшее главное напряжение.
Следует иметь в виду, что если все главные
напряжения являются с-кимающими, то условия
призедения существенно отличаются от значе-
ний этих же характеристик, полученных при
разных знаках главных напряжений (например,
при испытании на кручение и на изгиб или
растяжение). В таких случаях для расчёта
должны использоваться пределы прочности,
полученные при близких по характеру напря-
жённых состояниях, например, пределы уста-
лости при повторных контактных напряже-
ниях.
Расчёт на прочность деталей из мате-
риалов, склонных к хрупкому разрушению
под влиянием нормальных напряжений
(чугун). Запас прочности определяется по наи-
большему (алгебраически) главному напряже-
нию на прочность при растяжении а1Шах или
по наименьшему (алгебраически) главному
напряжению на прочность при сжатии а3тах
и используется меньший из них. Запас проч-
ности по наибольшему напряжению ajmax опре-
деляется по формуле
«1 =
F7)
где а17. — предел усталости при асимметрии
цикла, свойственной напряжению cj (опреде-
ляется по диаграмме Смита, как показано вы-

ГЛ. V]
ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛИ
435
ше); kia—эффективный коэфициент концен-
трации для этого напряжения.
Для конструкционных сплавов, склонных к
хрупкому разрушению и нечувствительных к
концентрации напряжений (чугун, литьё из
лёгких сплавов), ka =1.
Запас прочности на сжатие
п5 =
F8)
где о3г — предел усталости при асимметрии
цикла, свойственной напряжениям а3 (опреде-
ляется по диаграмме Смита в области отрица-
тельных ат); kS(J — эффективный коэфициент
концентрации для этого напряжения.
Для материалов, нечувствительных к кон-
центрации напряжений, ksa = 1.
Расчёт на прочность при растяжении —
сжатии, кручении и одновременном дей-
ствии изгиба и кручения в том случае, когда
нет данных для построения схематизированной
диаграммы Смита, может производиться по
формулам [8]:
для растяжения — сжатия
для кручения
п = —
F9)
G0)
1 +
для случая одновременного действия изгиба
и кручения
При одновременном действии изгиба и кру-
чения запас прочности при ограниченном ко-
личестве циклов
nN =
G4)
Расчёт при неустановившихся режимах
переменных напряжений [18]. Неустановив-
шийся режим действия напряжений характери-
зуется величинами напряжений а; и соответ-
ствующими числами циклов их действия Л/,-.
Для расчёта определяется коэфициент долго-
вечности
r"T~
G5)
Здесь Аг? — база определения предела уста-
лости для материала детали; аг — напряжение,
по отношению к которому вычисляется коэфи-
циент k; m — показатель степени наклонной
ветви кривой усталости (для случая изгиба и
кручения т^Л—10, для случая контактных на-
пряжений т^З). Надёжнее определять их,по
кривым усталости, полученным для подобных
деталей или моделей.
По коэфициенту долговечности вычисляется
приведённое (эквивалентное) напряжение
Зэ = "долг'
G6)
По напряжению аэ производится расчёт на
прочность так же, как при установившемся
режиме переменных напряжений.
, G1)
где <i_1, x^-j — пределы усталости на изгиб и
на кручение при симметричном цикле; (k^)^ и
(k?)d — эффективные коэфициенты концентра-
ции для детали по формуле D1).
Запасы прочности, вычисленные по этим
выражениям, оказываются преувеличенными.
Расчёт на прочность при ограниченном
числе циклов действия переменных напря-
жений. При ограниченном числе циклов Л/
повторения напряжений за всё время экспло-
атации детали её запас прочности для .случая
растяжения — сжатия выражается формулой
для случая кручения
• G2)
G3)
где а,.дг — ограниченный предел усталости по
нормальным напряжениям (растяжение—сжа-
тие, изгиб); irN — ограниченный предел уста-
лости по касательным напряжениям. Эти пре-
делы усталости берутся по кривой усталости.
Расчёт прочности при ударных нагрузках
Основные случаи расчёта. При расчёте
деталей под нагрузками ударного характера
следует различать три основных случая:
а) определение запаса прочности при одно-
кратном ударе;
б) определение запаса вязкости при одно-
кратном ударе;
в) определение запаса прочности при по-
вторном ударе.
Условия перехода от вязкого разрушения
к хрупкому зависят от свойств металл^ (его
хладноломкости), от температуры и скбрости
деформирования, а также от типа напря-
жённого состояния и абсолютных размеров
детали. Критическая температура и темпера-
турный интервал хрупкости, определённый
для материала (см. ..Пластичность'и прочность
материала", стр. 417, И т. 3), дают лиьчь срав-
нительное представление о возможности хруп-
кого разрушения (для детали из материала
с более высокой критической температурой
хрупкое разрушение наступит скорее). Досто-
верные . данные о характере разрушения при
ударной нагрузке могут быть получены путём
соответствующего испытания деталей на удар

436
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
или на основании научения поломок, воз-
никающих в эксплоатационных условлях.
Расчёт на прочность. Для расчёта необхо-
димо знать действительные усилия и напряже-
ния, возникающие в детали. Определение их
расчётным путём в большинстве случаев не
представляется возможным, поэтому их обыч-
но устанавливают экспериментально. В ряде
случаев для определённых деталей на основе
эксплоатационного опыта и данных расчёта
могут быть рекомендованы динамические коэ-
фкциенты, на которые должны быть умножены
статические усилия, приложенные к детали
при отсутствии удара.
Если напряжения а, возникающие при ударе,
представляется возможным определить, то
запас прочности при вязком состоянии
а
при хрупком состоянии
где а^—сопротивление отрыву.
Расчёт при по-
вторной ударной
нагрузке. При мно-
гократном повто-
рении ударной на-
грузки в мате-
риале детали воз-
никают процессы
усталости и раз-
рушение приобре-
тает прогресси-
. „. _ .. рующий характер.
Фиг. 34. Определение условной V пяг„ятя „ ,,-.„„
критической температуры Д'1Л уасчсш а эшм
хрупкости. случае необходимо
знать напряжения,
возникающие в детали при ударе. Расчёт
в этом случае сводится к расчёту на пере-
менные напряжения (см. выше). Для этого
должны быть определены величины напряже-
ний и число их повторений, возникающих при
ударах.
Расчёт на вязкость. Во избежание хруп-
кого разрушения необходимо, чтобы 7 —
критическая температура (абсолютная) хруп-
кости для детали — была ниже температуры
её эксплоатации. Температурный запас вяз-
кости по Давиденкову определяется [5] по
формуле
G7)
где 7"о — температура (абсолютная), при кото-
рой работает деталь; Тк — критическая темпе-
ратура хрупкости для детали.
Запас вязкости равен нулю или отрица-
телен, если при ударе возникает хрупкое со-
стояние. В случае резкого перехода к хруп-
кому состоянию Ткр определяется по резкому
изменению вязкости с понижением темпера-
туры.
При постепенном появлении хрупкости за
условную критическую температуру может
быть принята температура, соответствующая
некоторому условному снижению вязкости
(энергии разрушения), например, на 40%
(фиг. 34).
Расчёт прочности при повышенных
температурах
Основные случаи расчёта. При расчёте
деталей, работающих в условиях повышен-
ных температур, различаются три основных
случая:
а) расчёт на ползучесть (крип), т. е. на
сопротивление пластическим деформациям;
б) расчёт на прочность в условиях длитель-
ного действия статических напряжений;
в) расчёт на прочность в условиях длитель-
ного действия переменных напряжений.
Расчёт на ползучесть следует производить
после того, как будет установлено, что дли-
тельная прочность обеспечена, • т. е. после
расчёта по б) или в).
Расчёты производятся в предположении,
что температура в течение длительного вре-
мени изменяется незначительно. Влияние тем-
пературы на прочность принимается во внима-
ние для сталей при температурах, превышаю-
щих 300—400° С, для лёгких сплавов — при
температурах, превышающих 50—150° С.
Расчёт на прочность при статических
напряжениях производится по пределу дли-
тельной прочности Gbt (см- СТР- 423), который
определяется по опытным данным для мате-
риала в зависимости от общей длительности
работы детали в часах и температуры. Запас
прочности составляет п =
где а — наи-
большее нормальное растягивающее напряже-
ние, действующее в детали.
Если имеет место концентрация напряжений,
то аы должен определяться на образцах соот-
ветствующей формы. При расчётах следует
иметь в виду, что благодаря ползучести не-
однородное распределение напряжений в де-
тали изменяется и напряжения должны подсчи-
тываться с учётом пластических деформаций
(см. гл. IV). Разрушения при длительном
действии высоких температур носят обычно
хрупкий характер, и потому расчёт может про-
изводиться по наибольшим растягивающим
нормальным напряжениям.
Расчёт на прочность при переменных
напряжениях. При симметричных или близких
к ним циклах переменных напряжений запас
прочности определяется по пределу устало-
сти (з_!)г, соответствующему температуре ра-
боты детали:
п
В ряде случаев, особенно при высоких тем-
пературах, предел ползучести оказывается
ниже предела усталости, и прочность опре-
деляется по пределу ползучести, как указано
ниже.
При значительной асимметрии цикла стано-
вится возможным статическое разрушение,
и расчёт запаса производится так же, как в
предыдущем пункте.
Расчёт на ползучесть [44]. Расчёт осно-
вывается на экспериментально устанавливае-
мом законе скорости образований пластиче-
ских деформаций ползучести:
vc = А аот, G8)
где А и m — опытные постоянные.

ГЛ. V]
ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ И ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
437
Для каждого интервала температур А и т
имеют свои значения. При расчёте в зависи-
мости от условий работы детали принимается
определённая величина относительной оста-
точной деформации, которую допускают за
задаваемый срок службы.
Когда для службы детали имеют решаю-
щее значение перемещения, например, прогибы,
возникающие в результате ползучести, тогда
б
600
300
200
ЮО
\
•s.
\
\
0.1%
од
"ал
•-—
550
600
650
700
750Х
Фиг. 35. Допускаемые напряжения при повышенных
температурах для стали 0,12% С, 12'/0 Сг.
допускаемые напряжения устанавливаются
в зависимости от допустимых остаточных
перемещений.
Задаваясь bq=vcT (например, 0,2% в год), из
приведённой формулы для данной температуры
получают значение допускаемых напряжений.
На фиг. 35 приведены полученные таким
образом при простом растяжении значения
допускаемых напряжений в зависимости от
температуры и допускаемой скорости пол-
зучести для хромистой стали A2% Сг).
При плоском напряжённом состоянии, осно-
вываясь на теории Зодерберга, допускаемое
главное напряжение (R{)c составляет
№)с=; ^ Р9)
/га-1
На фиг. 36 для различных значений —
показателей т даны значения
Поль-
зуясь этой диаграммой, по заданному ——
°1
ш
Re
пя
аи
с
¦?--~—
т--2
~7h-S ~~
т-8
—^з
i
-W 0,8 0,6 0,4 0.2 0
0.2 0,1* 0,6 0,8 *W^-
о»
Фиг. 36. Допускаемые главные напряжения при повы-
шенных температурах.
и значению т для данного материала, а также
располагая допускаемым напряжением для про-
стого растяжения, находим величину допускае-
мого главного напряжения. Подробнее расчёт
на ползучесть изложен з гл. IV.
ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ И ДОПУСКАЕМЫЕ
НАПРЯЖЕНИЯ
При определении запасов прочности дета-
лей расчётным путём, изложенным выше, при-
нимаются во внимание следующие важнейшие
факторы:
1) характер действующих усилий и напря-
жений (статический, переменный, ударный, дли-
тельный);
2) силовая схема конструкции (влияние
статической неопределимости и деформаций);
3) тип напряжённого состояния, концентра-
ция растяжений и абсолютные размеры детали;
4) качество и состояние поверхности.
На основании экспериментальных и теоре-
тических данных эти факторы количественно
учитываются при подсчёте запаса прочности.
Величина определённого таким образом за-
паса прочности п должна отражать факторы,
связанные с особенностями конструкции маши-
ны и ее эксплоатации, технологии её изгото-
вления, а также другие факторы, не поддаю-
щиеся расчёту. К этим факторам относятся:
1) достоверность определения усилий и напря-
жений, действующих в детали; 2) однородность
строения и механических свойств материала
детали, наличие начальной напряжённости и зон,
упрочнённых специальными технологическими
обработками, если они не учитываются в рас-
чёте; 3) особые требования безопасности.
Для того чтобы отразить эти факторы, за-
пас прочности может быть выражен как произ-
ведение
п = щпгпъ, (80)
где пг — коэфициент, характеризующий степень
достоверности определения усилий и напря-
жений; л2 — коэфициент, характеризующий
степень однородности механических свойств
материала детали и условий её изготовления;
л3 — коэфициент, характеризующий повыше-
ние прочности из соображений особой без-
опасности.
Каждое значение фактора я,-, входящего в
запас прочности, следует рассматривать как
имеющее определённую степень вероятности,
и сама величина п{ подчиняется закону ста-
тистического распределения. В связи с этим
величина общего запаса прочности п должна
рассматриваться как подчиняющаяся статисти-
ческому распределению, являющемуся произ-
ведением распределений каждого из составляю-
щих коэфициентов щ [23]. Благодаря отсут-
ствию в большинстве случаев данных о распре-
делении значений отдельных я,- используется
их простое произведение, что идёт в запас,
так как с весьма большой вероятностью
тах-Сл^Яз.. .)<(п1)та(л2)тах%)тах...
Коэфициент, связанный с достоверностью
определения усилий и напряжений
Нагрузки и напряжения, вводимые в рас-
чёт запаса прочности, обычно соответствуют
определённым установившимся режимам ра-
боты машины. При запуске, остановке, времен-
ных перегрузках и при других изменениях
режима усилия обычно возрастают, что должно
быть учтено соответствующим увеличением
запаса прочности либо учтено при расчёте
согласно формулам G5) и G6).

438
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
Величина соответствующего коэфициента щ
находится в пределах 1,0—1,5. В отдельных
случаях весьма резких изменений режима и
ударного действия нагрузки необходимо спе-
циальное определение этих нагрузок и введе-
ние их в расчёт.
При определении усилий, действующих на
отдельные детали, по усилиям, действующим
на целый узел (например, в болтовом соеди-
нении или в многоопорном валу), возможны
значительные погрешности, связанные с не-
соответствием расчётных силовых схем фак-
тическим условиям деформирования узла и
деталей. В деталях возникают также усилия,
связанные с условиями сборки (начальная на-
пряжённость) и тепловыми деформациями.
¦ При вычислении напряжений по действую-
щим усилиям обычно используются формулы
сопротивления материалов; в качестве основ-
ной поправки к ним вводится эффект концентра-;
ции напряжений, который учитывается в рас-
чёте. В большинстве случаев формулы сопро-
тивления материалов дают лишь грубое при-
ближение для величины напряжений в деталях.
Действительное их распределение с большей
достоверностью устанавливается эксперимен-
тально.
Несоответствие между расчётными усилия-
ми и напряжениями, фактически действующи-
ми в детали, должно также учитываться ко-
эфициентом nv Соответствующие значения nt
обычно находятся в пределах 1,0—1,5.
Сочетание погрешностей в установлении
нагрузок и в определении внутренних усилий
и напряжений, а в некоторых случаях требова-
ния жёсткости конструкции (например, в стан-
ках) могут потребовать увеличения щ до зна-
чений 3—4.
Коэфициент, связанный со свойствами
материала и условиями изготовления
детали
Неоднородность свойств материала и на-
чальная напряжённость детали тесно связаны
с условиями её изготовления.
Для статической нагрузки и при
пластичности материала неоднородность не-
значительно сказывается на прочности. Соот-
ветствующие значения коэфициентов п2 при
расчёте запаса прочности по пределу текуче-
сти составляют «2 = 1,3—1.5. Для стального
литья этот коэфициент увеличивается до 2. Для
чугуна п2 — 1,5—2 при расчёте по пределу
прочности и с учётом влияния формы сечения
на прочность. Для литых лёгких сплавов я2 =
= 1,5—2.
Для переменных напряжений и
для кованого материала при расчёте по пре-
делу усталости (с учётом указанных выше
факторов) коэфициент п2 = 1,3—1,7. Для сталь-
ного литья п2 = 1,5—2,0. Для чугуна л2 = 2—3,
для лёгких сплавов п2 = 1,5—2,0.
Коэфициент, связанный с особыми
условиями безопасности
Коэфициент «з характеризует особые тре-
бования безопасности. Он вводится в тех слу-
чаях, когда от надёжности детали зависят
безаварийная работа ответственных конструк-
ций и сооружений, безопасность людей и т. д.
Этот коэфициент, обеспечивая дополнительный
запас прочности, принимается в пределах
1—1,5.
Общий запас прочности
Величина общего запаса прочности,
п = щп2щ в зависимости от типа детали,
условий её работы, изготовления, способов
расчёта и других факторов колеблется в пре-
делах 1,3—6.
Нижние значения коэфициентов nlt n2 и щ
могут приниматься для деталей машин, изго-
товляемых из высококачественных однород-
ных и тщательно контролируемых по свой-
ствам материалов, при высоком уровне техно-
логии производства и эксплоатации машины, а
также в тех случаях, когда необходимо по воз-
можности снизить вес конструкций. Верхние
значения коэфициентов принимаются для дета-
лей, имеющих по условиям производства боль-
шую неоднородность механических свойств; для
деталей, точные величины нагрузок на которые
неизвестны, и для деталей, не поддающихся
по сложности своей формы удовлетворитель-
ному расчёту [20].
Если расчёт производится без учёта пере-
численных выше факторов (влияние концентра-
ции напряжений, абсолютных размеров и т. д.)
и без учёта характеристик прочности, соот-
ветствующих условиям работы металла, то ве-
личины запасов прочности должны приниматься
более высокими [2]—до л= 10—15.
Для деталей определённых типов машин и
при определённой методике их расчёта запас
прочности устанавливается на основе опыта
доводки и эксплоатации машин, статики резуль-
татов расчёта аналогичных деталей существу-
ющих машин, изучения аварийного материала,
а в отдельных случаях — по результатам спе-
циально поставленных испытаний. Эти запасы
прочности приводятся в главах т. 2, „Детали
машин".
Общий запас прочности п может быть раз-
ложен на произведение большего числа, чем
по формуле (80), коэфициентов, отражающих
влияние отдельных факторов на прочность.
Подбор значений этих коэфициентов по Одингу
должен основываться на практическом опыте
конструирования и данных экспериментальных
исследований прочности [15].
Приведённые выше значения носят ориенти-
ровочный характер и могут использоваться при
отсутствии более определённых и специализи-
рованных данных.
Определение допускаемых напряжений
При расчёте типизированных деталей ма-
шин на прочность обычно пользуются допу-
скаемыми напряжениями /?, т. е. теми наиболь-
шими номинальными напряжениями, при кото-
рых обеспечивается необходимая надёжность
детали. В величине допускаемого напряжения
должно быть отражено влияние режима напря-
жений, концентрации, абсолютных размеров,
а также должны быть учтены необходимые за-
пасы прочности на перегрузку, неоднородность
свойств материала и др.
Допускаемые напряжения обычно устана-
вливаются для материала при трёх основных
режимах нагрузки: при статической нагрузке
/?j, при изменении напряжений от нуля до

ГЛ. V]
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧНОСТИ
439
максимума /?ц и при изменении напряжений
по симметричному циклу Rlu. Величины допу-
скаемых напряжений включают в себя влия-
ние некоторой средней, типичной для деталей
машин, концентрации напряжений (а = 2-т-3).
В связи с влиянием усталости для каждого ре-
жима - принимаются различные запасы проч-
ности [16]. На величинах допускаемых напря-
жений в ряде случаев отражаются требования
к жёсткости деталей.
Допускаемые напряжения на растяжение
Rz и на сжатие Rd для пластичных и одно-
родных материалов обычно равны друг другу:
Rz — Rd. Для материалов хрупких и неоднород-
ных обычно Rz < Rd, и их значения устанавли-
ваются на основании результатов испытаний
на растяжение и на сжатие:
R,
Допускаемые напряжения на сдвиг Rs (при
кручении) находятся в зависимости от допу-
скаемых напряжений на растяжение для
пластичных материалов из соотношения
Rs = 0,5 -f- 0,6 Rz,
для хрупких материалов
Rs = 0,8 -~ 1,0 Rz.
Для чугуна отношение -j~-~ принимает раз-
личные значения в зависимости от формы
поперечного сечения [1].
Допускаемые напряжения на срез при рас-
чёте заклёпочных, сварных и других соедине-
ний устанавливаются на основании опытов на
разрушение срезом в условиях, близких к ра-
боте соединений. Для определения этих напря-
жений не могут быть использованы обычные
соотношения.
Допускаемые напряжения при изгибе Rb для
пластичных кованых и прокатанных материалов
принимаются такими же, как при растяжении
и сжатии, хотя они несколько зависят от формы
сечения. Для материалов менее однородных и
хрупких допускаемые напряжения на изгиб
определяются на основании соответствующих
опытов. Для чугуна Rb зависит от формы и
абсолютных размеров поперечного сечения, а
также от наличия литейной корки.
По Баху [1] между Rz и Rb существует
зависимость
е
(81)
где (л. — коэфициент, зависящий от формы
сечения и наличия корки, он составляет от
1,0 до 1,33; большие значения соответствуют
несимметричным сечениям и отсутствию литей-
ной корки; е — расстояние от центра тяжести
до наиболее напряжённого волокна; z^ — рас-
стояние от центра тяжести сечения до центра
тяжести части сечения, расположенной по ту
же сторону от нейтральной линии, проходящей
через центр тяжести сечения, что и наиболее
напряжённое волокно.
Для деталей, работающих в условиях повы-
шенных температур, при определении допускае-
мых напряжений должно быть учтено измене-
ние механических свойств с температурой и
возникновение ползучести (см. „Пластичность
и прочность материала", стр. 417, и т. 2 и 3).
Более точно допускаемые напряжения для
материала детали определяются в зависимости
от режима изменения напряжений и концен-
трации по схематизированным диаграммам
Смита. Сначала по диаграмме определяется
соответствующий предел усталости сг. Для
этого через начало координат проводится луч
под углом р, причём
Чк ат
где av — амплитуда номинальных напряжений
в детали; ат — среднее номинальное напряже-
ние в детали; kz — эффективный коэфициент
концентрации на образце; ?$к — масштабный
фактор.
Допускаемое напряжение
Р — Т
т п
(82)
где п — запас прочности.
Рекомендуемые величины допускаемых на-
пряжений для деталей типовых машин и кон-
струкций приводятся в главах „Детали машин"
(т. 2) применительно к определённым методам
расчёта, условиям изготовления и эксплоата-
ции.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПРОЧНОСТИ
Некоторые данные, необходимые для рас-
чёта на прочность, должны устанавливаться
экспериментально. К ним относятся характе-
ристики механической прочности материалов,
факторы влияния формы и абсолютных разме-
ров на прочность, во многих случаях данные
о нагрузках и распределении напряжений (по
последнему вопросу см. гл. II, III, IV).
По механическим характеристикам мате-
риалов имеется обширный справочный мате-
риал (см. т. 3 и 4, а также „Справочные данные
по расчёту прочности", стр. 441).
К специальным экспериментам по прочности
приходится прибегать главным образом для
выяснения влияния формы, абсолютных раз-
меров и технологии изготовления деталей на
сопротивляемость нагрузкам определённого
характера. Для этого производятся испыта-
ния деталей в натуру или испытания их
моделей.
Испытания деталей при действии
статических усилий
Ниже перечисляются различные цели испы-
тания деталей при действии статическихусилий.
Определение распределения внутренних
усилий в детали и конструкции при опреде-
лённой схеме её загружения (получение экспе-
риментальной эпюры изгибающих или крутя-
щих моментов, осевых сил, величины лишних
неизвестных — см. гл. II),

440
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. 1
Определение напряжений, возникающих
в отдельных частях детали, и установление
их распределения при заданной схеме загруз-
ки; этим проверяется применимость формул
для расчёта напряжений и вводятся экспери-
ментальные поправки к ним (см. гл. IV).
Определение усилий и напряжений, со-
ответствующих началу возникновения пла-
стических деформаций в детали, т. е. уси-
лий, соответствующих пределу текучести. Это
достигается статической загрузкой детали на
испытательной машине, на стенде или (в от-
дельных случаях) в самой машине, элементом
которой является деталь. В процессе загрузки
и разгрузки при увеличении усилия по ступе-
ням замеряются деформации и определяются
те нагрузки и напряжения, при которых возни-
кает пластическая деформация условно зада-
ваемой величины. Схема приложения усилий
должна соответствовать типичным условиям
наибольшей загруженности детали в конструк-
ции.
Определение предельной несущей спо-
собности детали, т. е. определение того наи-
большего усилия, которое выдерживает деталь
в процессе деформирования за пределами упру-
гости. Для этого деталь нагружается на испы-
тательной машине или стенде постепенно воз-
растающими нагрузками вплоть до исчерпания
несущей способности, после чего усилия, не-
обходимые для дальнейшего деформирования,
начинают уменьшаться. Схема загрузки должна
соответствовать типичным условиям нагруже-
ния детали.
Определение нагрузок, разрушающих
деталь, производится дляслучаев хрупкого раз-
рушения, когда в процессе деформирования до
разрушения не возникают значительные пла-
стические деформации (детали из хрупкого ма-
териала или детали, обладающие значительной
концентрацией напряжений). При испытании
определяются наибольшее усилие, разрушаю-
щее деталь, и соответствующие величины на-
пряжений. При этих испытаниях на растяжение
существенное значение приобретает эксцен-
тричность приложения нагрузок, которая силь-
но влияет на эффективность концентрации на-
пряжений в условиях растяжения.
Определение жёсткости детали необходи-
мо для вибрационных расчётов, вычисления
лишних неизвестных, расчёта деформаций кон-
струкций (см. гл. II, III и IV). Определение
жёсткости производится путём измерения де-
формаций деталей в пределах упругости при её
загружении по определённым силовым схемам
(кручение, изгиб, осевые силы), характерным
для условий деформирования деталей при ра-
боте в машине.
Испытание детали при действии
переменных усилий и напряжений
Такие испытания обычно имеют целью
определение пределов усталости и демпфирую-
щих свойств деталей, а также характеристик,
необходимых для расчёта.
Испытание деталей на усталость в связи
с их формой и технологией изготовления,
а также выявлением мест, наиболее опасных в
смысле возникновения разрушения. Испытание
осуществляется на специальных машинах или
стендах, причём силовая схема загружения и
условия передачи усилий на деталь должны
обеспечивать типичное разрушение, наблюдае-
мое при испытании или эксплоатации машины
(если такие данные имеются). Если испытания
производятся для вновь проектируемой детали,
то силовая схема и режим изменения усилий
должны определяться данными расчёта.
Для получения кривой усталости и предела
усталости должно быть подвергнуто испыта-
ниям несколько одинаковых деталей, при раз-
личных величинах нагрузки. Каждая деталь ис-
пытывается только при одной величине усилия,
повторно прилагаемого до разрушения или до
достижения числа циклов, обусловливающего
предел усталости. Для определения предела
усталости стальных деталей число циклов по-
вторения нагрузки должно составлять от 10 до
50 млн. и выше. При испытании деталей из лёг-
ких сплавов в условиях действия коррозии,
а также при высоких температурах число цик-
лов устанавливается в соответствии с возмож-
ной общей длительностью работы детали под
нагрузкой при эксплоатации. Кривая усталости
для детали строится так же, как при испытании
образцов материала (см. „Пластичность и проч-
ность материала", стр. 417).
Испытание моделей деталей на уста-
лость позволяет получить приблизительные
данные о сопротивляемости деталей перемен-
ным усилиям. Модели должны быть геометри-*
чески подобны деталям в натуру, и условия
их изготовления должны по возможности бли-
же воспроизводить механические свойства ма-
териала детали, её остаточную напряжённость,
особенности обработки и качество поверхности.
При определении масштаба модели следует
иметь в виду, что заметное влияние абсолют-
ных размеров на усталость наблюдается при
размерах сечений, меньших 50 — 40 мм, поэто-
му при моделировании крупных деталей неже-
лательно назначать меньшие сечения. Испыта-
ние должно производиться по схемам загруже-
ния, свойственным деталям в натуру.
Испытание деталей при действии удар-
ных нагрузок. Такими испытаниями устана-
вливается возможность хрупкого разрушения
детали и сопротивляемость при ударе. Испы-
тание осуществляется на копрах и позволяет
определить величину энергии, затрачиваемой
на разрушение (при хрупком изломе) или до-
ведение детали до определённой стадии пла-
стической деформации (при вязком сопроти-
влении материала детали). Данные, которые
непосредственно могут быть использованы в
расчёте, получаются из ударного испытания
с определением усилий и напряжений, вызы-
вающих разрушение. Испытания на повторный
удар проводятся аналогично испытаниям на
усталость. Результаты даются в виде кривой
усталости с ординатами, выраженными в энер-
гии.
Определение запаса прочности
по результатам испытаний
Испытаниями устанавливаются величины
сил и моментов Qa и Мэ, необходимых для
разрушения детали или доведения её до опре-
делённой стадии пластической деформации
(предела текучести, предельной несущей спо-
собности) при загружениях, близких к усло-
виям работы детали.

ГЛ. V]
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ПО РАСЧЁТУ ПРОЧНОСТИ
441
Если .усилиями, действующими на деталь
в условиях эксплоатации, являются Q и /И,
то запасы прочности выражаются формулами
= о или п==м
(83)
Если по усилиям растяжения — сжатия или
переменного изгиба запас прочности составляет
п3 5 а по усилиям кручения nTt то запас проч-
: ности при одновременном действии этих уси-
лий может вычисляться приближённо по зави-
симости
(84)
При назначении допускаемых величин п для
работающей детали следует исходить из сооб-
ражений, приведённых на стр. 437 и 438. При
этом щ = 1, так как при определении запаса
прочности по данным испытаний деталей фак-
тор неоднородности свойств и технологических
влияний отражён в величинах усилий, устана-
вливаемых экспериментально.
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ПО РАСЧЁТУ
ПРОЧНОСТИ
Масштабный фактор [28, 39, 43]
Изменение предела усталости с увеличе-
нием абсолютных размеров детали зависит от
материала детали, качества поверхности и
типа напряжённого состояния.
Это изменение характеризуется масштаб-
ным фактором ?, представляющим собой от-
ношение предела усталости детали данных
€-
ко
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5 —
Фиг. 37. Влияние абсолютных размеров на предел усталости
стали: 1 — углеродистая сталь при отсутствии концентра-
ции напряжений; 2 — легированные стали (з^ = 100 —
120 кг/мм'2) при отсутствии концентрации напряжений
и углеродистая сталь при наличии умеренной концентра-
ции напряжений (поперечные отверстия при —т- =0,25,
галтели при —-— = 0,1, напрессовки); 3 — легированные
стали (з^ = 100 — 120 кг/ж.м2) при наличии концентрации
напряжений; 4 — стали при весьма большой концентра-
ции напряжений (нарезка болтов).
размеров к пределу усталости геометрически
подобного образца диаметром 10 мм из того
же материала:
N
\
г-
ч
'"Ч
\
Ч
ч
ч.
Ч
"S
*ч
44—
ч^__
Масштабный фактор связан с характером
распределения напряжений в сечениях детали.
При равномерном распределении напряжения
масштабный фактор проявляется слабее, чем
при наличии концентрации напряжений.
Наибольшее снижение предела усталости
при увеличении абсолютных размеров по
сравнению с данными, полученными на образце
10
б_
(e-iUo
V4
\
\2
Ю /5 20 25 30
50 d
Фиг. 38. Влияние абсолютных
размеров на предел усталости
лёгких сплавов: 1 — при изгибе
при отсутствии концентрации
напряжений; 2 — при наличии
концентрации напряжений.
диаметром 10 мм,
достигает для ста- ^"
ли 50% и для лёг- ; о
ких сплавов—око- nQ
ло 300/0. "•*
На фиг. 37 при- 0,в
ведены кривые qj
масштабного фак- пя
тора е для гладких
стальных образцов
при изгибе и кру-
чении и для образ-
цов с концентра-
цией напряжений
при всех видах на-
пряжённого состояния в зависимости от абсо-
лютных размеров. На фиг. 38 приведены ана-
логичные кривые для образцов из лёгких
сплавов.
Кривые масштабного фактора, приведён-
ные на фиг. 37 и 38, дают лишь приближённую
оценку влияния абсолютных размеров на проч-
ность при переменных напряжениях. По неко-
торым данным при весьма тщательной поли-
ровке поверхности стальных образцов мас-
штабный фактор проявляется только при ма-
лых образцах диаметром до 20—25 мм, причём
изменение предела усталости не превос-
ходит 25°/0. Масштабный фактор может в зна-
чительной мере изменяться в зависимости от
геометрических очертаний детали, её макро-
структуры, технологии изготовления и т. д.
Поэтому для получения надёжных данных не-
обходимо проводить соответствующие экспе-
рименты.
Факторы концентрации напряжений
Ниже приведены значения эффективных
коэфициентов концентрации напряжений:
(а ~) /- \
(*з)°-(*_1)о«
[см. формулу D3)].
(--l)
'OK
/г
(
-1
X
1
t
L
¦
0.1 0,2 0.3 0? rid
Фиг. 39. Коэфициент концентрации на-
пряжений для вала с уступом и гал-
телью при изгибе: /)=60 мм; rf—30 мм:
1 — для стали с пределом прочности
210 \\
(см. „Прочность детали", стр. 430).
3 — а
р р
кг/мм3; 2—^=100 кг\мм\
. =80 кг/мм"; 4—j^=60-40 кг/мм".

442
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
Галтели сопряжений [35, 39]. Зна-
чения эффективных коэфициентов концентра-
K*-t
0,8
0,6
0.2
Кто
2,2
2,0
',6
IA
12
1,0
ь
1
щ
И-
"а —Щ-
з
1.0 1.2 1.4 f,6
0.1
0.2 r/d
Фиг. 40. Изменение ко- Фиг. 41. Коэфициент кон-
эфициента концентрации центрации напряжений для
напряжений фиг. 39 в за- вала с уступом и галтелью
висимости от отношения при кручении d = 12,5 мм;
D
D
= 1,4; / — Для стали
= 12Э кг/мм* 2 — аь =
диаметров вала —
а
ции напряжений при симметричном цикле для
вала со ступенчатым изменением диаметра от d
к D и с переход-
ной галтелью,
выполненной по
дуге окружно-
сти радиуса г,
приведены на
фиг. 39 и 40 для
изгиба и на фиг.
41 и 42 для кру-
чения (кривые
фиг. 39 и 41 по-
лучены на ос-
новании опы-
тов с образца-
ми диаметром
НО мм при из-
гибе и опы-
тов с образца-
ми диаметром
12,5 мм при
кручении).
Поперечные отверстия [35, 39].
Графики для определения эффективного коэфи-
циента концентрации напряжений при симме-
тричном цикле
для круглого
стального вала
с поперечным
отверстием при
изгибе, круче-
нии и растя-
жении—сжатии
приведены на
фиг. 43, 44. Гра-
фики построены
на основании
данных экспе-
риментов с об-
разцами диа-
метром 7,5 и
0
Фиг. 42. Изменение коэфициента
концентрации напряжения фиг. 41
в зависимости от отношения диа-
D
метров вала — .
2.0
2
н
r
f-
UO 60 80 " 100 120
Фиг. 43. Коэфициент концентра-
ции напряжений для вала с по-
перечным отверстием при из-
гибе и растяжении — сжатии
^-—0,15—-0,25: 7-верхнийпредел,
rf=30 мм; 2— среднее значение,
d=7,5 мм.
30 мм при от-
ношении диа-
метра отверстия
к диаметру вала
4-=0,15-0,25.
а
Эффективный коэфициент концентрации
напряжений при симметричном цикле для вала
из дуралюмина диаметром 30 мм с попереч-
ным отверстием при —- =0,1 — 0,15 при кру-
чении kx «2 — 2,5.
При использовании приведённых здесь дан-
ных по коэфлциентам концентрации напряже-
ний для подсчёта
номинальных на- ^то
пряжений при на-
личии попереч-
ного отверстия ?,0
необходимо учи-
тывать уменьше-
ние момента инер- ft
цяи поперечного '
сечения вслед-
ствие наличия от- iq
верстия. • «о бо во Ю0 120
Кольцевые б H-ijmz
выточки [39]. . лл „ . b
Чяячения 4(hfhpir Фиг- 44. Коэфициент концентра-
^яачсния Эффек- ции напряжений для вала с попе-
ТИВНЫХ КОЭфи- речным отверстием при кручении.
циентов концен- « = 0>15_025. ,_верхний пре.
трации при из- d
гибе для круглого дел' d = ™?ма1^Г* "
стального вала с
кольцевой выточ-
кой полукруглого профиля приведены
фиг. 45.
Прессовые посадки [29, 45,
Основными факторами, определяющлми
Кл
на
50].
ве-
Фиг. 45. Коэфициент концентрации для вала
с кольцевой выточкой при изгибе: 1— для стали
с пределом прочности 3^=45 кг/мм2; 2—а —
=6окг/мм?; 3—^ь=80кг/мм2; 4—1^ = 100 кг/мм3; 5 -
яь - 120 кг/мм*.
личину эффективного коэфициента концен-
трации, являются: а) напряжённое состояние
Натяг h?%<, |
ftjj для схем А а Б определяется
по фаг. 47
Фиг. 46. Схемы нагружения внешними
силами напрессованных на вал деталей;
А — втулка не передаёт на вал внешних
нагрузок, за исключением крутящего
момента; Б — втулка передаёт на вал по-
перечную силу; В — втулка передаёт на
вал поперечную силу и изгибающий мо-
мент.
вала; б) конфигурация и условия нагружения
напрессованной детали внешними силами;
в) величина удельного давления на поверхно-

ГЛ. V]
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ПО РАСЧЁТУ ПРОЧНОСТИ
443
сти соприкосновения вала и втулки; г) предел
прочности материала вала и твёрдость ма-
териала втулки; д) абсолютные размеры (диа-
метр вала); е) обработка поверхности вала под
втулкой (наклёп, азотирование, поверхностная
закалка).
На фиг. 46 и 47 показаны различные слу-
чаи нагружения напрессованной втулки внеш-
ними силами и
приведены значе-
ния эффективного
коэфициента кон-
центрации напря-
жений при изгибе.
На фиг. 48 пока-
зано влияние кон-
фигурации втулки
на коэфициент кон-
центрации при ус-
ловиях нагруженная
втулки по схе-
мам An Б (фиг. 46).
Фиг. 47. Коэфициент концен-
трации напряжений для вала
с напрессованной втулкой при
нагружении по схемам А к Б
(фиг. 46): d = 55 мм; а^ =
=50 kzjmm?, втулка из мягкой
стали.
График фиг. 49
служит для пере-
счёта коэфициен-
тов концентрации
фиг. 46 и 47 на предел прочности материала
вала, отличный от а^ — 50 кг/мм% для легиро-
ванных и углеродистых сталей.
График фиг. 50 показывает изменение коэ-
фициента концентрации напряжений в зависи-
мости от удельного давления на поверхность
поверхность 8апо
азотирована на 0,2'
1
для й ц 5 фиг46
t——ir —i
Фиг. 48. Конструктивные и технологические мероприятия
по снижению коэфициента концентрации напряжений
для валов с напрессованными втулками при нагружении
по схемам А и Б (фиг. 46): d — 50 мм; ай = 50 кг/мм2.
соприкосновения вала и втулки. При удель-
ном давлении, превосходящем 600 кг/см2, коэ-
фициент концентрации изменяется незначи-
тельно.
Для учёта влияния материала втулки зна-
чения коэфициентов концентрации напряже-
ний, найденные по фиг. 46 и 47, должны быть
умножены на коэфициенты пересчёта, при-
ведённые в табл. 1.
Таблица 1
Влияние материала втулки
Материал втулки
Коэфициент пере-
счёта для ?д ....
Мягк
стал!
1,О
Цементо-
ванная и за-
каленная
сталь
1,25
Брон
о.75
Деталь, напрессованная на вал, часто бы-
вает закреплена с помощью шпонки. В этом
случае возникает концентрация напряжения
от давления напрессованной детали и от шпо-
ночной канавки; тогда вычисляют коэфициенты
концентрации напряжений отдельно для на-
прессовки и для шпоночной канавки и прини-
мают при расчёте больший из этих двух коэфи-
циентов. Некоторые данные по коэфициентам
концентрации напряжений для валов из лёгких
сплавов с напрессованными деталями приве-
дены в табл. 2.
Все приведённые выше данные, касаю-
щиеся прессовых посадок, относятся только
к случаю изгиба вала при симметричном цикле
К8
16
12
Ю
0.8
kQ 60 80 ЮО бь кг/м»?
Фиг. 49. Относительное изменение
коэфициента концентрации напряже-
ний для стального вала с напрессован-
ной втулкой в зависимости от пре-
дела прочности стали.
напряжения и не могут быть использованы
при иных напряжённых состояниях, например
при переменном кручении или растяжении.
Резьба болтов и шпилек [47]. Основ-
ными факторами, влияющими на прочность
болтов и шпилек при переменных нагруз-
ках, являются материал и конструктивные
формы болта и
гайки и условия
нагружения соеди-
нения.
Болты и шпчль-
ки обычно рабо-
тают при наличии
Значительной пред- фиг> 50 Изме„енИе коэфициен-
варительнои за- та концентрации напряжений в
ТЯЖКИ И, СЛедова- зависимости от давления напрес-
тельно, при боль- совки-
шой асимметрии
цикла напряжения с положительным коэфи-
циентом амплитуды.
На диаграммах Смита для нарезанной части
стальных болтов амплитуда напряжения в боль-
шом интервале значений среднего напряжения
цикла остаётся почти постоянной. В области
высоких значений средних напряжений цикла
максимальное напряжение ограничивается пре-
делом текучести материала в условиях кон-
центрации напряжений, обусловленной нарез-
кой. Предел текучести стали в этих условиях
превышает предел текучести, определённый
при растяжении гладкого образца, на 10 -20°/,,
при нарезанной резьбе и на 30 —50°/0 при на-
катанной резьбе, причём более высокие зна-
чения соответствуют сталям с более высоким
пределом прочности. На флг. 51 приведена
диаграмма Смита для болтов диаметром 1" из
мягкой углеродистой стали.
Предельная амплитуда цикла напряжения,
т. е. амплитуда, определяющая при данном
б р .кг/ммг

444
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. 1
Таблица 2
Коэфициенты концентрации напряжений для валов из лёгких
сплавов
Характер нагружения
втулки
Втулка не передаёт внеш-
ней нагрузки (тип А, фиг. 46)
Втулка передаёт на вал
поперечную силу и изгибаю-
щий момент (тип В, фиг. 46)
гр вала
Диаме!
в мм
9.5
17.5
Эффективный коэфициент
концентрации
Электрон
а^ = 34 кг/мм3
1,24
1.4
Дуралюмин
в = 37 - 45
° кг1мм?
1.77
2,о8
7
п
й
в
***
0
среднем напряжении предел усталости при бес-
конечно большом числе циклов, в случае угле-
родистой стали почти не зависит от предела
прочности и для болтов диаметром 10 мм
при нормальной гайке и метрической нарезке
составляет приблизительно 6 кг\мм\
Значения предельной амплитуды цикла для
болтов из легированных сталей приведены
на графике фиг. 52
в зависимости от
предела прочности
стали в нормали-
зованном состоя-
нии. Повышение
предела прочности
стали при других
видах термообра-
ботки практически
не влияет на ве-
Фиг. 51. Диаграмма Смита для ЛИЧИНу предельной
болтов диаметром 1" из мягкой амПЛИТуДЫ ЦИКЛ а.
стали @,07% с,- *ь = 4з кг\мм-). Закругление ос-
нования профиля
нарезки (резьба Витворта), применение гаек
с разгружающими выточками и чугунных или
дуралевых гаек и накатка резьбы повышают
прочность стальных болтов при переменных
нагрузках (табл. 3).
При увеличении диаметра болта предель-
ная амплитуда цикла уменьшается. График
относительного изменения предельной ампли-
туды цикла в зависимости от диаметра болта
представлен на фиг. 37, кривая 4.
Значительное уменьшение среднего напря-
жения цикла вследствие, например, самопро-
извольного отвинчивания гайки и исчезнове-
60 Ю 80 90 бь
Фиг. 52. Изменение предельной ам-
плитуды цикла напряжения для бол-
тов из легированных сталей в зави-
симости от предела прочности стали
в нормализованном состоянии.
ния предварительной затяжки
сильно понижает предельную
амплитуду цикла напряжения,
так как при появлении знако-
переменной нагрузки зазор в нарезке придаёт
нагрузке ударный характер. Предел усталости
стальных болтов при симметричном цикле на-
пряжения растяжение — сжатие на 25—30%,
ниже предельной амплитуды цикла напряжения
с положительным коэфициентом амплитуды.
В случае болтов из лёгких сплавов пре-
дельная амплитуда цикла уменьшается при
увеличении среднего напряжения цикла. Тип
нарезки и конструктивные формы гайки почти
не влияют на прочность болтов из лёгких
сплавов при переменных нагрузках. В области
высоких значений средних напряжений макси-
мальное напряже-
ние цикла для бол-
/
/
г
/
/
Г
Г
/
/
/
•г/
~6
/
'/
/
//
vt
//
'Л
/
У
/
ft
/
ю
20 б
Фиг. 53. Диаграмма Смита для
болтов из дуралюмина (j^ —
— 45 кг/мм3): / — болты М8Х
X 1,25;2-болты М14Х1.5.
Фиг. 54. Диаграмма
Смита длл болтов диа-
метром 16 мм из элек-
трона (з? = 30 кг/мм').
тов из лёгких сплавов ограничивается ^пре-
делом текучести материала.
Диаграммы Смита для болтов из дуралю-
мина и электрона представлены на фиг. 53 и 54.
Таблица J
Повышение предельной амплитуды цикла напряжения для стальных болтов при различных конструктивных
улучшениях
Характер конструктивных изменений
Резьба Витворта
вместо метрической
резьбы, близкой по
шагу
Нормальная гайка
ft8d
Накатывание
резьбы вместо
нарезания
Нормальная
гайка h=0,8d
15 -
Применение стальной гай-
ки с круговой разгружающей
выточкой вместо нормальной
Применение чугун-
ной или дуралевой
гайки вместо стальной
Высокая гайка
Болт, винт ввёрнутый
i корпус вместо
шпильки с гайкой.
257.

ГЛ. VI
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ПО РАСЧЁТУ ПРОЧНОСТИ
445
Шпоночные канавки и шлицы [39, 45].
Эффективный коэфициент концентрации зави-
сит от геометрических очертаний шпоночной
канавки, от предела прочности вала, от вида
напряжённого состояния и от диаметра вала
(масштабного фактора).
Значения эффективного коэфициента кон-
центрации при изгибе и кручении для вала
диаметром 30 мм при двух вариантах шпоноч-
ных канавок (фиг. 55) приведены в табл. 4.
Й
Фиг. 55. Две конструкции вала
(к табл. 4).
Таблица 4
Коэфициенты концентрации для валов со шпо-
ночными канавками при изгибе и кручении
Материал вала
Углеродистая
сталь, 0,1% С ...
То же 0,15% С .
То же 0,35% С .
То же 0,6% С .
Хромоникелеввя
сталь, 0,75% Сг,
3,5 Ni
в кг\мм
37
43
59
88
82
Эффективные коэфи-
циенты концентрации
при изгибе
конструкции
по фиг. 55, А
L9
1.75
1.85
2,5
при круче-
нии конст-
рукции по
фиг. 55, Б
1.55
2,25
При использовании данных табл. 4 номи-
нальные напряжения следует вычислять, не
учитывая уменьшения момента инерции попе-
речного сечения вала, вызванного наличием
шпоночной канавки.
Данные табл. 4
получены при отсут-
ствии напрессованной
на вал детали. При
наличии напрессован-
ной на вал со сколько-
нибудь значительным
натягом детали не-
обходимо определить
коэфициент концен-
трации, обусловлен-
ный прессовой посадкой, и вести расчёт по
большему из двух коэфициентов концентрации.
На фиг. 56 приведены сечения двух типов
шлицевых валиков диаметром 15 мм из хромо-
никелевой стали с пределом прочности а^, = 80
kzjmm2 и значения эффективных коэфициентов
концентрации напряжений при кручении.
При использовании данных фиг. 56 номи-
нальные напряжения необходимо вычислять,
исходя из момента инерции сечения вала,
ослабленного шлицами.
Фиг. 56. Два типа шпоноч-
ных валиков: А— kz =1,09;
Б- kx = 1,92.
Влияние обработки и состояния поверхно-
сти на прочность металла при переменных
напряжениях [19]
Влияние обработки и состояния поверхно-
сти на прочность металла при переменных на-
пряжениях оценивается коэфициентом поверх-
ностной чувствительности материала, пред-
ставляющим собой относительное понижение
предела усталости при симметричном цикле
напряжения, обусловленное той или иной об-
работкой или состоянием поверхности, по срав-
нению с полированным образцом:
л [а-^)пол~ (а -\)обр
— *)пол
При известном значении коэфициента по-
верхностной чувствительности Д предел уста-
лости определяется по формуле
— 1
обр
«(¦_:
Коэфициенты поверхностной чувствитель-
ности при кручении приближённо опреде-
ляются из зависимости (Д)-с ^^ О,6Д.
Влияние обработки поверхности. О б ра-
ботка резанием [32,38]. Обработка ре-
занием оказывает влияние на предел усталости
при отсутствии иных факторов концентрации.
При наличии значительной концентрации на-
i<5_, Подача мм/об /ш
0 0,1 0,2 0,32 ОМ йП7
38
35
Фиг. 57. Зависимость предела усталости
обточенного образца из хромоникелевой
стали от микрогеометрии поверхности (по
Кепке): — о j= const; s = const;
—.—.—.— 1/ _ = const.
пряжений влияние обработки резанием являет-
ся второстепенным и при расчёте может не
учитываться.
Коэфициент поверхностной чувствитель-
ности металла при обработке резанием связан
с микрогеометрией поверхности и с состоя-
нием поверхностного слоя. В качестве пара-
метров, характеризующих микрогеометрию по-
верхности, выбираются величины у _. где
?—глубина канавки от резца; г—радиус закруг-
ления профиля канавки у дна; s — величина

446
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
подачи. Характер изменения предела уста-
лости в зависимости от этих двух параметров
показан на фиг. 57 (стр. 415) для круглых образ-
цов диаметром 7 мм из хромоникелевой стали
с обточенной поверхностью.
Коэфициент поверхностной чувствитель-
ности Д при обработке резанием увеличивается
при увеличении параметров
/?¦
s. При
малых значениях подачи коэфициент Д сравни-
тельно мало изменяется при изменении пара-
метра
Vf
при больших значениях подачи
увеличение этого параметра вызывает весьма
быстрое возрастание коэфициента поверхно-
стной чувствительности.
Повышенная скорость резания повышает
предел усталости стали при малой величине
подачи и понижает его при большой подаче.
Ориентировочные значения изменения пре-
дела усталости углеродистой стали при высо-
ких скоростях резания приведены в табл. 5.
Таблица 5
Влияние скорости резания на предел усталости
Подача
в мм/об
Глубина ре-
зания в мм
Скорость
резания в
м/мин
22,6
125
25
IOO
Предел
усталости
при изгибе
в кг/мм*
33
35
29
26,4
Изменение
предела
усталости
в %
+6%
-9%
Коэфициент поверхностной чувствительно-
сти, согласно формуле E2), для стали увеличи-
вается с повышением предела прочности стали
(фиг. 58).
0,2
oLJ
U0 60 80 100 120 бь кг!ммг
Фиг. 58. Коэфициент поверхностной чув-
ствительности стали при изгибе: / — по-
лированная поверхность: 2^- шлифован-
ная поверхность; .?—грубо обточенная по-
верхность.
я
2
1
и——
-г
Таблица 6
Коэфициент Д для дур-
алюмина, ^=50 кг/мм3
Данные по коэфициенту поверхностной
чувствительности дуралюмина приведены в
табл. 6.
Коэфициенты по-
верхностной чувстви-
тельности для чугуна
и лёгких сплавов
весьма низки, и можно
считать, что предел
усталости этих мате-
риалов не зависит от
вида обработки реза-
нием.
Обработка на-
клёпом [33,56]. Обработка поверхности
наклёпом повышает предел усталости металла
вследствие увеличения твёрдости поверхност-
Вид обработки
Полировка .
Грубая об-
точка ....
А
о,о
О,1
ного слоя и образования в нём сжимающих
остаточных напряжений.
Наибольшее повышение предела усталости
получается при некоторой экспериментально
устанавливаемой степени наклёпа.
Относительное повышение предела уста-
лости при наклёпе для образцов с концентра-
цией напряжения больше, чем для гладких
образцов.
Приблизительные данные по повышению
предела усталости стали при наклёпе деталей
различной конфигурации приведены в табл. 7.
Термохимическая обработка
(цементация и азотирование) [26, 56]. Це-
ментация и азотирование поверхности повы-
шают прочность стальных деталей при пе-
ременных напряжениях. Повышение прочности
оказывается особенно значительным при нали-
чии концентрации напряжений. В этом случае
при эффективном коэфициенте концентрации
для термохимически необработанного малого
образца порядка k? — 2 — 2,5 цементация и
особенно азотирование повышают предел
усталости надрезанного образца до величины
предела усталости обработанного гладкого
образца.
При весьма большой концентрации напря-
жений предел усталости термохимически обра-
ботанного образца с концентрацией напряже-
ний оказывается ниже предела усталости глад-
П г
0,б\
0.5г 1
0,4
0.3
0,2
вР 80 ЮР 120 6Ь «W
Фиг. 59. Коэфициент поверхностной чув-
ствительности стали- при наличии окалины
после прокатки или ковки.
кого обработанного образца, но всё же зна-
чительно выше предела усталости необрабо-
танного образца с концентрацией напряжений.
Чистота механической обработки поверхности
перед цементацией или азотированием не вли-
яет на предел усталости образца после этих ви-
дов обработки. Цементация и азотирование зна-
чительно повышают предел усталости стали
в условиях коррозии.
Ориентировочные данные по повышению
предела усталости стали при термохимической
обработке образцов малых диаметров приве-
дены в табл. 8.
Повышение предела усталости крупных
деталей в результате термохимической обра-
ботки меньше, чем для малых образцов
Как и в случае наклёпа, азотирование и це-
ментация приводят к оптимальным результатам
только при определённом соотношении между
толщиной азотированного или цементован-
ного слоя и поперечными размерами детали,
зависящем от напряжённого состояния детали
и наличия факторов концентрации напряже-
ний. Это соотношение может быть найдено в
каждом отдельном случае с помощью экспе-
римента.
Влияние состояния поверхности [33, 34].
Предел усталости материала деталей зави-
сит от состояния их поверхности. Наличие на

ГЛ. V]
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ПО РАСЧЁТУ ПРОЧНОСТИ
447
Таблица 7
Влияние наклёпа на предел усталости стали
Материал
Углеродистая
сталь 0,48э/0С
То же
То же
Хромоникеле-
вая сталь
Хромоникеле-
вольфрамовая
сталь
Хромомолиб-
деновая сталь
в
кг/мм3
6-5
б25
б25
8о
9о —ioo
120—130
до
Форма образца
или детали
Круглый гладкий
образец
й-\%1 мм
Круглый, глад-
кий образец
rf=25,4 мм
Гладкий вал d—
— 50,8 мм с на-
прессованной
втулкой. Натяг —
Галтель шейки
коленчатого вала
d—A4,5 мм;
/¦=1,5 мм
Круглый образец
d=60 мм с попе-
речным отЕер-
стием а=Ь мм
Шлицевой валик
Круглый, глад-
кий образец
d=16 мм
о
о
Ск S
та О
х5
Изгиб
Изгиб
Изгиб
Круче-
ние
Круче-
ние
Круче-
ние
Изгиб
К
или
Rx
1,0
1,0
2,3
1,86
1,64
—
Ориентировочный режим
наклёпа
метод наклёпа
Холодная вы-
тяжка за преде-
лом текучести
Накатка роликом
°рол = 37 мм =
- 1,46 d. Радиус
закругления про-
филя R = 8 мм —
=0,315 d. Подача
0,4 мм/об
Накатка роликом
D = 74 мм = 1А6 d.
/? = 16 лfлt=0,315'^.
Подача 0,4 мм<об
Накатка роликом
D = 60 hm,R=2mm.
Ось ролика накло-
нена к оси шейкк
под углом 45°
Обжатие краёв
отверстия профи-
лированным пуан-
соном
Наклёп основа-
ния профиля шли-
цев роликом
Обдувка сталь-
ной дробью, дав-
ление воздуха —
3-4 am
усилие
в кг
985
545
35°°
28 ООО—3° °°°
i6o
>ное по-
вёрдо-
ности
3 f «
н - ф
и ^
^ — ~
1,25
1.3-1.5
г.4—1.5
Предел
усталости
В fC? ^ *''
I
I С
VO И
28,1
25.4
ю,6
8,5
14
16.5
s
. о
га с

3S
31,4
24,2
14
22
22,5
г пре-
ости
3 >,
О ч
с S
1-35
1,24
2,3
1,65
1.57
1.36
1.3
Предел устало-
сти
грубо
от-
шлифованной
или обточенной
детали повы-
шается до вели-
чины
предела
усталости поли-
рованной де-
тали
поверхности окалины после ковки, прокат*
ки (фиг. 59) или термообработки понижает
предел усталости стали, особенно для сталей
с высоким пределом прочности. Обезуглерожи-
вание поверхности пружин при термообработ-
ке может привести к понижению предела уста-
лости пружинной стали на 40 — 50%.
В табл. 9 приведены ориентировочные
данные по коэфициентам поверхностной чув-
ствительности стали (cj, = 80 кг/ммЪ) при нали-
чии на поверхности окалины после термооб-
работки и после удаления окалины различ-
ными методами.
Наличие литейной корки на поверхности
чугунных деталей понижает предел усталости
по сравнению с обработанными деталями на
10 -г- 200/0.
Наличие литейной корки или окалины по-
сле ковки на поверхности деталей из лёгких
сплавов понижает их прочность при перемен-
ных напряжениях (табл. 10).
Некоторые защитные покрытия против кор-
розии понижают предел усталости металла
(при отсутствии корродирующей среды) по
сравнению с основным металлом без покры-
тия (табл. 11).

448
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
Таблица 8
Материал
Хромоникеле-
молибденовая
сталь
То же
Хромомолиб-
деновая сталь
Хромоникеле-
молибденовая
сталь
То же
То же
Влияние термохимической обработки на
%
в
кг/мм1
127—130
127—13°
7О—I2O
7<Э—I2O
7О—I2O
Форма образца или
детали
Круглый гладкий
d — 14 мм
Круглый, rf=14 мм
с поперечным отвер-
стием а —2 мм
Круглый образец
й=ЛА мм с галтелью
/¦=7 мм
Круглые гладкие об-
разцы d = 7,5—14 мм
Круглый образец
d = 5 мм с треуголь-
ным надрезом глуби-
ной /=0,3 мм и углом
при вершине 60°
Круглый, d=10 мм
с надрезом, профиль
которого совпадает с
профилем метрической
нарезки 10 мм
Напряжён-
ное состоя-
ние
Изгиб
Кручение
Изгиб
Кручение
Кручение
Изгиб
Кручение
Растяже-
ние
Изгиб
ft,
или
*т
1,О
1,О
1,82
2,о8
1,О
I.O
1,6
З,06
предел усталости стали
Термохимическая
обработка
Вид обработки
Цементация
Цементация
после сверле-
ния отверстия
' Цементация
Азотирова-
ние
То же
То же
Толщи-
на слоя
в мм
О,2
0,2
О,2 —О,3
О,2— О,3
0,2—О,8
о,35-о,5
°.35—о,5
Предел
лости в
без об-
работки
62
25
34
12
21,5
уста-
яг/лш2
после
обра-
ботки
7°
31,5
Н
29
54
та-
¦5 °
? >>
а §
Зшо
Сеч
1ДЗ
1,2б
1,29
2,41
1,31
1,2 — 1,5
1,1 — 1.2
2.5
Влияние надреза пол-
ностью
вано
12,5
компенсиро-
5°,25
4,°
Влияние надреза пол-
ностью
вано
компенсиро-
Влияние коррозии на прочность металла
при переменных напряжениях [53]. Воз-
действие на металл корродирующей среды
при одновременном действии знакоперемен-
ной нагрузки значительно понижает предел
Таблица 9
Влияние окалины на коэфициент поверхностной
чувствительности при изгибе
* Таблица 10
Коэфициенты Д для лёгких сплавов при изгибе
в зависимости от состояния поверхности
Состояние поверхности
С окалиной после термообработки
После удаления окалины:
травлением кислотой
обдувкой крупным песком (сред-
ний размер песчинки 0,8 мм) ....
обдувкой весьма мелким песком
(пылью)
обдувкой круглой стальной дробью
(средний размер зерна 0,5 мм)....
Д
о,13
0,22
0,22
0,21
О
Материал
Дуралюмин а^ =
= 50 кг/мм3
То же
Электрон
То же
Состояние поверхности
После полировки и
травления в хромовой
После полировки
и анодного оксидиро-
вания
При наличии литей-
ной корки
После удаления ли-
тейной коркиобдувкой
песком
При наличии окалины
после ковки или про-
Д
О,2
0,27
о,з5 - 0,5
о
о. 15 — °.38
усталости металла и изменяет вид кривой уста-
лости. Горизонтальный участок кривой уста-
лости в условиях коррозии исчезает, и предел
усталости непрерывно уменьшается при увели-
чении числа циклов напряжения. В силу этого
предел усталости в условиях коррозии всегда
задаётся с указанием числа циклов, к которо-
му он относится.
Таблица 11
Влияние покрытий на предел усталости стали
при отсутствии корродирующей среды
Вид покрытия
Цинкование горячее
Цинкование гальваническое ....
Хромирование
i
Д
О,О5 — О,25
о
о
о,о5 — о.з

ГЛ. V]
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ПО РАСЧЁТУ ПРОЧНОСТИ
449
Пределы усталости стали при изгибе в условиях коррозии
Таблица 12
Тип стали
Углеродистая ....
То же
Никелевая
Хромоникелевая . .
Хромо молибденовая
Нержавеющая хро-
мистая
Нержавеющая хро-
моникелевая
Содержание основных
легирующих элементов
o,i — о,з% С
°,з — °,° % с
3 - 5% Ni
3.5% Ni; 0,3 — 0,7% Cr
1 — 1/2% Cr; 0,3% Mo
13 - 15% Cr
18% Cr; 8 — 12% N4
4
в кг'мм-
4° — 5°
5° - 7°
65 -
65 — но
8о — loo
80 - 125
90 — 105
Пресная вода
'-1
в кг\мм-
н — 13
1б-19
i8 — 20
16 — 18
15 — 16
23 — 27
30 - 35
база испыта-
ния в циклах
IO — 2О • ю"
2О • Ю°
IO — 2О • Юп
IO — 2О • Юв
5о ¦ го"
IO — 2О • IO6
Морская вода
в кг/мм2
8- и
ю - 13
9 — и
7 — 9
15- i8
22 — 25
база испыта-
ния в циклах
IO — 2О • ТО*
1О — 2О ¦ Ю8
2О — 5° ¦ 1О"
5° ¦ 1О<!
IO — 2О • 1о"
Коррозия образца до его испытания на уста-
лость понижает предел усталости на 20—30%,
но не изменяет обычного вида кривой усталости.
Предел усталости в условиях коррозии
зависит от типа материала, от предела проч-
ности, от характера корродирующей среды
и от наличия защитных противокоррозийных
покрытий. Предел усталости стали в усло-
виях коррозии несколько повышается с увели-
чением предела прочности стали, однако зна-
чительно медленнее, чем предел усталости
стали при отсутствии коррозии. Ориентировоч-
ные данные по пределам усталости сталей,
медных сплавов и лёгких сплавов в условиях
коррозии в пресной и морской воде приве-
дены в табл. 12—14.
На фиг. 60 приведён график зависимости
предела усталости стали при коррозии в прес-
б ной воде от пре-
дела прочности,
дополняющий
табл. 12.
Соотноше-
ния между пре-
делами устало-
сти при изгибе,
кручении и рас-
тяжении — сжа-
тии остаются в
¦¦MW
2
20 U0 60 80
Фиг. 60. Предел усталости
углеродистых и легированных
сталей: 1 — при отсутствии
коррозии; 2 — в условиях кор-
розии в пресной воде.
условиях кор-
розии приблизительно теми же. что и при от-
сутствии коррозии. При значительном увели-
чении числа циклов напряжения (свыше 50-Ю6
Таблица 13
Пределы усталости медных сплавов при изгибе
в условиях коррозии
Тип
сплава
Латунь
Бронза
Основ-
ные
присад-
ки
15-39^
Zn
"sf
га
Зо—бо
40—6о
При отсутст-
вии коррозии
со °^
J *
п-17
15—2°
3
с
si§
то S s
ю • юв
IO • 1Об
В пресной или
соленой воде
Ю.5-Н.5
13-х6
а
1" *
то то s
vo г- а
5о ¦ ю"
5о • го6
циклов) расхождение между пределами устало-
сти при изгибе и растяжении — сжатии умень-
шается.
Состояние поверхности не влияет на пре-
дел усталости металла в условиях коррозии;
в зависимости от состояния поверхности не-
сколько изменяется только верхняя часть кри-
вой усталости.
Действие коррозии меняет вид диаграммы
Смита при несимметричных циклах напряже-
ния растяжения —сжатия. При растягивающих
средних напряжениях цикла предельная ампли-
Таблица 14
Пределы
Тип
сплава
Дуралю-
мин . . .
Литые
алюминие-
вые спла-
вы ...
Электрон
усталости лёгких сплавов при
в
1
ш
•о
в
27—5°
i8—19
17—29
условиях
Пресная
-3.
1 1?
1
5,4—7,5
5,5
3—4
10
коррозии
вода
вин
я
« 3
т С
то и
О S
2О •
2О ¦
X
Я
ч
X
S
а
а
¦ ю"
ю"
изгибе
Морская вода
1
4,8—7
4,5—6
2,5-3,5
ния
то
я S
m с
то о
о s
Ю4-5О
IO-5-2O
IO-5-2O
И
то
ч
X
S
Cf
са
¦ ю6
• IO8
• юя
туда цикла почти не изменяется при увели-
чении среднего напряжения цикла, и кри-
вые максимального и минимального напря-
жений цикла превращаются в две параллель-
лово 1206т
-J-+ изгиб *г/м»и
1 I I I
УU0 80Тт
Кручение
-во • • • ш
Фиг. 61. Диаграммы Смита для хромо-
никелевой стали: 1 — при отсутствии
коррозии; 2 — в условиях коррозии
в морской воде.
ные прямые. При сжимающих средних напря-
жениях цикла влияние коррозии быстро умень-
шается, и при циклах, расположенных полно-
стью в области сжатия, диаграмма Смита для
металла, работающего в условиях коррозии,

450
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
незначительно отличается от диаграммы, по-
лученной при отсутствии коррозии (фиг. 61).
Масштабный эффект в условиях коррозии
проявляется слабее, чем при отсутствии кор-
розии, и в области диаметров 10 — 60 мм не
обнаруживается вовсе.
При наличии в детали концентрации напря-
жений и при работе в условиях коррозии
Таблица 15
Влияние концентрации напряжений при отсутствии
коррозии и в условиях коррозии
Тип образца
Гладкий
С галтелью ....
С поперечным от-
верстием
При отсутствии
коррозии
2,5
2,91
При коррозии
в пресной воде
1,О
i,i8
i,37
общее понижение предела усталости меньше,
чем вычисленное путём наложения эффекта
концентрации и коррозии, действующих раздель-
но. Верхняя часть кривой усталости при этом
определяется в основном концентрацией на-
пряжений, нижняя
часть главным об-
разом влиянием
корродирующей
среды. При доста-
точно большой базе
испытания E0-106
циклов) пределы
усталости в усло-
виях коррозии для
гладкого образца
и для образца с
концентрацией на-
пряжений оказы-
ю
Фиг. 62. Кривые усталости для
гладкого образца и образцов
с концентрацией напряжений:
1 и 2 — образец с галтелью и
образец с поперечным отвер-
стием при испытании в отсут-
ствие коррозии; 3, 4 и 5 — глад-
кий образец и образцы с гал-
телью и поперечным отвер-
стием при коррозии в пресной
воде (сталь SAE 3140, з _ \ =
- 63,5 кг/мм2).
510s 10е 5ЮВЮ' 510' 10е N ваются почти
наковыми (фиг. 62).
В табл. 15 приве-
дены значения коэ-
фициентов концен-
трации напряже-
ний для трёх образ-
цов при отсутствии
коррозии и при
коррозии.
Для повышения
предела усталости
металла в условиях коррозии применяются за-
щитные покрытия и обработка поверхности
(табл. 16 и 17).
Механические характеристики основ-
ных конструкционных металлов [3, 20].
В табл. 18 — 22 приведены средние значе-
ния пределов прочности при растяжении (вре-
менного сопротивления), предела текучести,
относительного удлинения при разрыве, пре-
дела усталости при изгибе и удельной ударной
вязкости для наиболее распространённых типов
стали, чугуна и лёгких сплавов. Кроме того,
приведены эмпирические соотношения между
статическими и усталостными характеристи-
ками прочности и между различными уста-
лостными характеристиками прочности. Более
подробные данные по механическим харак-
теристикам см. т. 3, 4.
Усталостные характеристики, помещённые
в таблицах, а также эмпирические соотноше-
ния найдены для малых образцов диаметром
7,5—10 мм, поэтому при использовании этих
Таблица 16
Влияние защитных покрытий и обработки
поверхности на предел усталости стали от изгиба
в условиях коррозии
Вид покрытия
Цинкование
горячее . . .
Цинкование
гальваниче-
ское
Кадмирова-
ние
Хромирова-
ние
Азотирова-
ние
Накатка
гладкого
круглого об-
разца роли-
ком (наклёп) .
Толщина слоя
в мм
0,03—0,07
0,005—0,03
0,05—0,15
о,2—о,5
Относитель-
ное изменение
j__1 на воз-
духе
о,95—о,75
1,О
0,95—0,75
1,25
1.2—1,3
Относитель-
ное повыше-
ние a_j при
коррозии
2—2,5
2-2,5
2—2,5
1,2—1,3
3—4
2—2,5
Ваза испыта-
ния в циклах
io-s-50 • ю"
IO4-25 • то"
2ОО • ю"
I0O • IOS
50 • 10
данных в расчёте деталей необходимо учиты-
вать влияние абсолютных размеров на проч-
ность, особенно в связи с концентрацией на-
пряжений (см. стр. 430).
56-
Таблица 17
Предел усталости закалённого дуралюмина
при изгибе в условиях коррозии в солёной воде
при различных покрытиях
Вид покрытия
Без покрытия . . .
Покрытие целлю-
лозным лаком ....
Анодное оксидиро-
Анодное оксидиро-
вание и покрытие
целлюлозным лаком
Цинкование галь-
ваническое
Без покрытия и при
отсутствии корро-
зии
База испытания
10 • 10° циклов
й
со
ь
5,1
6,8
7.4
12,9
ю,5
14,1
ышение
вызван-
покры-
л
СО "^ а}
1,О
1,33
1,45
2,54
2,об
База испытания
50 • 10е циклов
са
4,7
6,7
7,о
и,9
9,9
13,9
ышение
вызван-
покры-
VI
JTSS
l,°
i,43
1,5
2,54
2,1
Необходимо учитывать также, что приведён-
ные ниже механические характеристики пред-
ставляют собой средние значения, и в прак-
тике возможны отклонения этих значений
в сторону снижения, особенно в случае лёг-
ких сплавов, для которых характерен большой
разброс механических характеристик.

ГЛ. V]
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ПО РАСЧЁТУ ПРОЧНОСТИ
451
Механические характеристики стали.
Статические характеристики прочности и пре-
делы усталости при симметричном цикле для
наиболее распространённых типов сталей при-
ведены в табл. 18.
Таблица 18
Механические характеристики сталей
О так
Тип стали
Углеродистая
0,15% С
Углеродистая
0,25% С
Углеродистая
0.35% С
Углеродистая
0 45% С
Углеродистая
0,6% С
Хромистая
1 0 Сг .
Хромоникелевая
0,65% Сг; 1,2% Ni .
Хромомолибдено-
вая
1,0% Сг; 0,25% Мо
Хромоникеле-
вольфрамовая
1,5% Сг; 4,5% Ni;
1,0% W
и
35—45
43—55
52—65
6о—74
^^ ю
67—87
/ /
84
9°
к>7

ь"
2О
24
28
42
О
5°
7О
1
75
94
85
о"*
Ю
О
ю
27
i8
18
14
*о
8
14
12
II
12
!Й
П
О
17—22
*
IQ—24
у о
22—3°
25—34
31—38
48
, 4°
48
54-59
еа
у
3,5—13
13—18
15—2о
18—22
^
24
—
29-31
я
«8*
7.°
15
9
Фиг. 63. Типовые диаграммы
Смита для стали (см. табл. 19):
Типовые спрямлённые диаграммы Смита для
расчёта прочности при несимметричном цикле
напряжения приведены на фиг. 63. Необходи-
мые для построения диаграмм Смита данные
сведены в табл. 19.
Для определения усталостных характери-
стик типов сталей, не указанных в таблицах,
можно пользоваться эмпирическими соотноше-
ниями между статическими и усталостными
характеристиками.
Отношение предела усталости стали при
изгибе к пределу прочности изменяется в пре-
делах 0,3—0,65 в зависимости от предела проч-
ности стали и от
её микрострук-
туры. Предель-
ные значения
0,3 и 0,65 отно- р
сятся соответ- ,U'
ственно к мар- °т
тенситной стру-
ктуре и к струк-
туре, основной
составляющей
которой являет-
ся феррит, ред-
ко встречаю-
щийся в кон-
струкционных
сталях. Для
обычно приме- 2з_1—ч0
няемых кон- <v= ^ ;
струкционных _з
сталей отноше- , _ *s —1 .
ние предела ус- "^ l ~ "V
талости при из-
гибе к пределу прочности укладывается в бо-
лее узкий интервал значений — 0,44 -г- 0,58, и
предел усталости при изгибе можно подсчи-
тать по формулам
а-, = 0,53 вь.~ 0,00041 aft2
(верхняя граница области разброса значений);
а_1 = 0,44 аь
(нижняя граница области разброса значений)
или по графику фиг. 64, построенному по этим
формулам.
Предел усталости стали при изгибе и симме-
тричном цикле напряжения связан с пределами
усталости при других видах напряжённого со-
стояния и при асимметричном цикле напряжения
следующими эмпирическими соотношениями:
Параметры диаграмм Смита для сталей
Таблица 19
Марка или тип стали
Изгиб
Растяжение—сжатие
Кручение
Углеродистая
0,12% С
Углеродистая
0,25% С
Углеродистая
0,35% С ......
Углеродистая
0,45% С
Углеродистая
о,е°/0 с
Хромоникелевая
3,5% Ni-, 0,75% Сг .
То же
Хромоникелевая
4,5% Ni; 1,3% Сг .
Хромоникелеволь-
фрамовая
4% Ni; 1,1% Сг . .
37
45
55
65
75
83
98
«5
26
30
37
43
50
6д
8i
109
17
18,5
24
27,5
32,5
36
41
51
53
30
35
44
47
52
55
67
87
10,4
12,2
14.З
18,7
23.З
48
51,6
64,0
72,0
0,132
0,06
0,09
0,17
0,25
0,31
0,23
0,22
13,5
37
25
34
41
43
53
60
12,5
13,8
i8
21,6
48,5
49.5
68,5
65 73
0,08
0,06
0,11
о,3
о, 13
о, 14
14
19
26
6i
23
26
37
42
57
4
5
4.35
7
7
19,6
2О,9
29,8
З2-6
о,о8
о,о8
одб
0,05

452
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
———^~ = 0,7 (растяжение — сжатие, сим-
метричный] цикл);
= 0,55-*- 0,58 (кручение, симметрич-
0-1
ный цикл);
—— =1,6-5-1,8 (изгиб, пульсирующий
пульсирую-
цикл);
-^L_ = 1,9 -г- 2,0 (кручение,
щий цикл).
Ориентировка образца относительно на-
правления волокон поковки влияет на предел
усталости ста-
ли. Усталост-
ные характери-
стики, получен-
ные на попереч-
ных образцах,
оказываются
ниже характе-
ристик, полу-
ченных на про-
Ю0 120' Д°льных образ-
ец кг/ммг цах, на 10—150/0
для
ГП
<
г
<
rt'31
¦
60 80
Фиг. 64. Зависимость предела уста- ДЛ? С™Л^Ч**
лости стали при изгибе и симме- ней прочности и
тричном цикле напряжения от пре- на 20—ЗО°/о ДЛЯ
дела прочности. сталей ВЫСОКОЙ
прочности.
Механические характеристики чугуна.
Данные по механическим характеристикам не-
Таблица 20
Механические характеристики чугуна
Тип
чугуна
Серый . .
Легирован-
ный; 0,6% Сг,
1,5% Ni, 0,6%
Mo
Ковкий . .
аь в '
Растя-
жение
18—27
Зб—43
4Я-58
кг/мм*
Сжа-
тие
75-«>5
135— !55
СГ | В
Изгиб
9.О—15
*3
кг/мм3
Растя-
жение-
сжатие
3,5-7.5
7,5
22
В
кг/мм?
Круче-
ние
7,5
15
Таблица 21
Механические характеристики алюминиевых
Тип сплава
Алюминий (99%) .
Алюминий (99%) .
Дуралюмин 4,3% Си
Дуралюмин 2,5% Си
Дуралюмин 2,5%Си
Силумин 5%Si . .
Силумин 12% Si . .
сплавов
Состояние
сплава
Отожжённый
Нагартованный
Закалённый
Отожжённый
Закалённый
Отлитый в зе-
млю
То же
3
в*
ч
42
2О
3°
13
i8
а
ь°
З.о
10
=4
до
17
6,о
8,о
а
ю
12
15
23
24
6,о
6,о
и
1
в1
4,°
5,°
и
13
ю
4,5
4,°
которых сортов чугуна приведены в табл. 20-
Диаграммы Смита для четырёх марок чугуна
Фиг. 65. Диаграмма
Смита"для серого > чу-
гуна (eg = 18 кг/мм?) при
растяжении — сжатии.
Фиг. 66. Диаграмма.Смита для
серого чугуна (з^ = 25 кг/мм3)
при растяжении —сжатии.
кг/мм'
Ю20 30 ЬО бткг/мм'
представлены на фиг. 65-69. Все эти данные
относятся к механически обработанным образ-
цам диаметром
7,5—10 мм. На-
личие литейной
корки понижает
предел устало-
сти чугуна на
10—200/0. Тер-
мообработка ле-
гированного чу-
гуна и отжиг
ковкого чугуна
почти не изме-
няют их предела
усталости, не-
смотря на зна-
чительное изме-
нение предела
прочности. Зна-
чения предела
усталости чу-
гуна, отлитого в земляную форму, и чугуна,
отлитого в кокиль, почти одинаковы. Для
Фиг." 67. Диаграмма Смита для ков-
кого" чугуна (з&=42 кг/мм3) при
растяжении — сжатии.
&тах
/
/
/
/
/
/
/•
А
/
го
«г
W
Фиг. 68. Диаграмма
Смита для ковкого чугуна
з^ =42 кг/мм3) при кручении.
Фиг. 69. Диаграмма
Смита для дуралю-
мина (»?=59 /3)
приближённого определения предела усталости
чугуна при кручении можно пользоваться эм-
пирическими соотношениями:
—1
= 0,75 — 0,9;
= 1,2 - 1,3.
Механические характеристики алюми-
ниевых сплавов. Данные по механическим
характеристикам литых и деформируемых алю-
миниевых сплавов приведены в табл. 21. Диа-
грамма Смита для дуралюмина с пределом
прочности а$ = 59 кг/мм2 приведена на фиг. 69.

ГЛ. VI
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ПО РАСЧЁТУ ПРОЧНОСТИ
453
Для приближённого определения предела уста-
лости алюминиевых сплавов при кручении мож-
но пользоваться эмпирическими соотношениями:
= 0,55 — 0,58;
= 1,4 — 2,0.
Механические характеристики магние-
вых сплавов. Данные по механическим харак-
теристикам литых и
деформируемых ма-
гниевых сплавов при-
ведены в табл. 22.
бтах
20
>5
W
5
О
/
/
/
/
V
/
f
г а
Ш4
Фиг. 70. Диаграммы Смита для
магниевых сплавов при изгибе. МЙЗ
Таблица 22
Механические характеристики магниевых сплавов
Типы
сплавов
Деформи-
руемые . .
Литые .
"Ь в
кг/мм*
з6—за
^-27
°s в
кг/мм1
16—24
IO—12
810
в %
IO -I2
7—ю
»_1 в
кг/мм*
и—16
8—ю
д.* в
кгм\слР
°.7
0,3—0,45
определена на малых
* Удельная ударная вязкость ^
образцах DVM.
Диаграммы Смита для некоторых магниевых
сплавов приведены на фиг. 70 и 71.
5 бт кг/мм?'
МЛ 5
Фиг. 71. Диаграммы Смита для магниевых
сплавов при растяжении — сжатии.
Для определения усталостных характери-
стик магниевых сплавов при асимметричном
цикле и при растяжении—сжатии и кручении
в табл. 23 приведены приближённые соотно-
шения между этими характеристиками и пре-
делом усталости при изгибе и симметричном
цикле напряжения.
Влияние температуры на механические
характеристики конструкционных метал-
лов. Предел прочности, предел текучести и
Таблица 23
Эмпирические соотношения между усталостными
характеристиками магниевых сплавов
Напряжённое
состояние
Изгиб
Растяжение-
сжатие . . . .
Растяжение . . .
Сжатие
Кручение . . . .
Соотноше-
ние
Литые
сплавы
1-2—1,5
о.5
°,55-о,75
1.25-2,5
о,6—о,9
Деформи-
руемые
сплавы
1,4—1,6
о.б
O.45—о
\00 200 300 U00 500 t° О ЮО 200 300 Ш 500 Г
Фиг. 72. Относи-
тельное изменение
механических ха-
рактеристик стали
при повышенной
температуре:!
a—nff — углероди-
стой и хромонике-
левой стали; б —
<j^: / — углероди-
стая сталь(
<б-,)
ко
0.8
'
0
—
—у
¦¦
4d
И
О ЮО 200 300 U00 500 f
аль@,33°/0С);
, 0,87% Сг).
@,36% С);
2 — углеродистая сталь @,62% С); 3— хромо-
никелевая сталь @,36% С, 4,6% Ni, 1,36% Сг).
2 — хромоникелевая сталь B% Ni,
в — о 2 '• 1 — углеродистая сталь
предел усталости металлов при низких темпе-
ратурах повышаются, а при повышенных
б —
Фиг. 73. Отно-
сительное из-
менение меха-
нических харак-
теристик маг-
ниевых спла-
вов при по-
вышенной тем-
пературе:
в — 0 1.
температурах понижаются. Характер измене-
ния этих величин для стали и лёгких сплавов
показан на фиг. 72 и 73.

454
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
Эффект концентрации напряжений
и масштабный эффект при статических
нагрузках [42]
Концентрация напряжения. Наличие
концентрации напряжений приводит к мест-
ному повышению напряжений, затрудняя одно-
временно образование пластических деформа-
Таблица 24
Эффективный коэфициент концентрации
статическом растяжении
Материал
образца
Сталь 0,05% С ...
„ 0,17% С ...
, 0,35% С ...
„ 0,64% С ...
Алюминий
Дуралюмин .....
Электрон деформи-
руемый
Электрон; литьё в
кокиль
''I
\
Ш^. -
V.
кг
KZJMM?
43,9
47,7
58,3
85,8
9.9
51.5
3i,4
15
k3
о-
К
О,б2 "
о.73
о,87
о.57
о>92
о,88
Йз
К
К
°!74
о.99
_
5
при
К
O.95
о.97
О,12
I.O9
I.O7
ций. Предел прочности при наличии концен-
трации напряжения оказывается обычно повы-
шенным по сравнению с гладким образцом
в случае вязкого разрушения и пониженным
в случае хрупкого разрушения.
Фиг. 74. Коэфициент концентрации при
статическом растяжении для круглого
образца с кольцевым надрезом из мягкой
стали (а. — 45 кг/мм1).
Эффективным коэфициентом концентрации
напряжения при статических нагрузках назы-
вается отношение предела прочности гладкого
образца при данном напряжённом состоянии
к пределу прочности образца с концентрацией
напряжений при то*м же напряжённом состо-
янии.
Значения коэфициента концентрации при
статическом растяжении для различных мате-
риалов и факторов концентраций приведены
в табл. 24. Характер изменения коэфициента
концентрации при растяжении для круглого
образца из мягкой стали с кольцевым надре-
зом в зависимости от глубины надреза пока-
зан на графике фиг. 74, в зависимости от
температуры при испытании —на графике
фиг. 75.
Величина радиуса закругления дна над-
реза не влияет на коэфициент концентрации
при статическом
растяжении для
стали.
Значения коэ-
фициента концен-
трации при изгибе
образцов прямо-
угольного попереч-
ного сечения для
различных факто-
ров концентрации
и различных мате-
риалов приведены
в табл. 25. Зависи-
мость коэфициента
концентрации при
изгибе для образца
прямоугольного се-
чения с острым над-
резом от глубины
надреза показана
-100
Фиг. 75. Зависимость коэфи-
циента концентрации при ста-
тическом растяжении от тем-
пературы испытания для стали
(О,64°/О С, <*Ь= 85,5 кг 1мм*).
на фиг. 76.
Нарезка болтов представляет пример кон-
струкции, при которой материал работает в
условиях концентрации напряжений часто при
одновременном растяжении и изгибе благо-
даря неточности опорной поверхности.
^ Таблица 25
Эффективный коэфициент концентрации
при статическом изгибе
Материал образца
Сталь 0,04% С . . .
» 0,47% С . . .
Алюминиевый сплав
4,3% Си
Дуралюмин
Электрон деформи-
руемый
Электрон; литьё в
землю
7°
Зб
52
31
15
10
в %
ft,
90
134
69
93
60
33
i,54
1.43
1,33
i,43
1,61
1,35
i,33
Характер изменения коэфициента концен-
трации в зависимости от угла наклона опор-
ной плоскости для болтов диаметром 20 мм
из двух марок стали показан на фиг. 77.
Коэфициенты концентрации фиг. 77 отне-
сены к номинальному напряжению в сечении
нарезанной части болта, вычисленному без
учёта изгиба болта.
Значения коэфициентов концентрации при
кручении для различных факторов концентра-
ции и различных материалов приведены в
табл. 26.

ГЛ. V]
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ПО РАСЧЁТУ ПРОЧНОСТИ
455
Таблица 26
Эффективный коэфициент концентрации напряжений при статическом кручении
Материал
кг/мм2
кг/мм?
в %
ft.
К
Сталь 0,05% С
0,16% С
1,04% С
„ 0,64% С нормализованная
„ 0,64% С закалённая . . .
Дуралюмин
3°
37
37 ,6
44
7°
19,2
42
5°,3
56,5
79,3
84,4
37
31
27
II
13
7
67
43
31
56
33
56,2
57,i
67,9
76,6
78,4
37,3
°,95
о,93
i,o6
I,OI
1,об
»—йЗ&
Характер изменения коэфициента концен-
трации при сжатии для чугунного образца с
кольцевым надрезом показан на фиг. 78.
1
5 |>
; ь. / /
L2W-
ml
rs
1 ,
Г
ч>
J
v А-
•с
f
*
1
б 02 OA. 06 0.8 B/h
Фиг. 76. Коэфициент концентрации
при статическом изгибе для стержня
прямоугольного поперечного сечения
с треугольным надрезом; / — углеро-
дистая сталь @,04% С; ^=3? кг/мм2);
2—углеродистая сталь @,47% С; <^^=
=70 кг/мм2); 3—дураль (и/,=35 кгЫи'2).
При понижении температуры испытания
образцов с концентрацией напряжения при
статических нагрузках ниже некоторого пре-
дела, Определяемого типом материала и харак-
тером концентрации напряжения, имеет место
быстрое повышение коэфициента концентрации
соответственно переходу к хрупкому разруше-
нлю (см. стр. 417 и ел.). Увеличение скорости
деформации при испытаниях перемещает этот
температурный предел в области более высо-
ких температур.
Примеры расчётов прочности при переменных
напряжениях. 1. Расчёт приставного вала
дизельной установки. Схема вала предста-
влена на фиг. 79. На вал насажены маховик, ротор ге-
нератора и ротор возбудителя.
Вес маховика Qt — 4500 кг; ротора генератора Qs =
= 3180 кг; ротора возбудителя Q3 = ^50 кг.
Мощность дизеля — 600 л. с. Число оборотов — 300
в минуту. Вал выполнен из Ст. 45, з^, = 60 кг/мм2.
Определение реакций опор, изгибающих и крутящего
моментов-
. 4500- 177+3180. 115 —250 • 46
Л - 248 = 46Э° Кг'
В = 4500 + 31S0 + 250 — 4650 = 3280 кг.
Эпюра изгибающих моментов представлена на фиг. 80.
Крутящий момент
(¦Mt)m = 71 62° ~ = 143 20° кгсм'
Путём торсиографирования вала было установлено
наличие переменного крутящего момента (M?v —
= 393 000 кгем.
\
\
\
\
•ss/л
\
-гоми
(.0 10 3D
Фиг. 77. Эффективный коэфициент
концентрации напряжений для бол-
тов 7) Л мм из хромоникелевой и
хромоникелемолибденовой стали
при статическом растяжении и ко-
сой опорной поверхности: 1— а. =
= 137 кг/мм2; 8^=10%; ак =
= 2 кгм\см?\ 2—з^=143 кг/мм2; & =
= 12°/.,; аА= 4 /сгл/сл*2; 5 — з.=
= 122 и/и2; 8^=14%; ak =
= 10 лг^'сж2. ^
Определение опасного сечения и номинальных на-
пряжений. Наиболее напряжённым является сечение / —/,
где деиству.от значительный изгибающий и крутящий мо-
Фиг. 78. Эффектив-
ный коэфициент
концентрации на-
пряжений при ста-
тическом сжатии
для надрезанного
образца из серого
чугуна.
Фиг. 79. Приставной вал дизельной установки.
менты и имеется концентрация напряжения в месте на-
прессовки ступицы, d = 200 мм;
Мъ = 338 000 кгем; {М^т = 143 20) кгем;
Щ^? = 430 кг/см*;
(Mt)v = 393 000 кгем;
143 200
1572
= 91 кг/см2;
= ~ 203 = 786 см3;
Wt = 2 • 78S = 1572 см* т^ = ^~ = 250 кг/смК
М Определение коэфициента концентрации и мас-
штабного фактора. Коэфициент концентрации для на-
прессовки при изгибе находим по фиг. 47 для отношения

456
ПРОЧНОСТЬ
[РАЗД. I
-j = — - = 1,6, для d = 50 мм и а^г=50 кг/мм11 и затем
пересчитываем на предел прочности j. - 60 кг/мм2 по
кривой фиг. 49.
При изгибе
= 0,57;
= 0,89;
-71см*
(*т)о
3180кг
0.6
-62см
-115см
16 см
*j = (V)o -7- = 2,4 • 0,89 = 2,14.
При кручении
ЗЗООООхгсм з38000кгсм
W /\
11500 кг см
340000 иг см
kz =
= 0,57-
- 0,89
z = (*гH -~ =1.44 • 0,89 = 1,28.
Определение запаса прочности. Материал вала —
Ст. 45; ib = 60 кг/мм2; as - 32 кг/мм2; тА, = 22,0 кг\мм\
з_] =28 кг/мм2; j_j =16 лтг/ло*2;
2? 1 -
_ = 0,17;
= 0(см. табл. 19).
28
2,14- 4,3
0,57
16
Фиг. 80. Эпюра изгибающих и крутя-
щих моментов к фиг. 79.
Концентрацию напряжения для шпоночной канавки,
возникающую на дне канавки при кручении, не учиты-
ваем, так как концентрация напряжения от напрессовки
имеет место на поверхности вала. Масштабный фактор
находим, пользуясь кривыми / и 2 фиг. Й7.
1.28-2,5
= 1,73;
= 2,85;
2,852
= M
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Б а х К., Детали машин, изд. „Книга", М. 1929.
2. Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Гостех-
издат, 1945.
3. Б э к А., Магний и его сплавы, М., 1941.
4. Г а ф Д ж., Усталость металлов, ОНТИ, 1935.
5. Д а в и д е н к о в Н. Н., Проблема удара в металло-
, ведении, изд. АН СССР, 1938.
6. Давиденков Н. Н., Динамические испытания
металлов, ОНТИ, 1936.
7. Добровольский В. А., Детали машин, Машгиз,
1945.
8. Дымов А. И., Строительная механика машин, Гос-
техтеоретиздат, 1933.
9. Кин^ельман Д., „Труды ЛВВА", вып. 8, 1946.
10. К и н а с о ш в и л и Р. С., „Труды ЦИАМ» № 55, 1943.
П. Кинцел А. Б., Высокохромистые нержавеющие и
жароупорные стали, Металлургиздат, 1945.
12. М а р к о в е ц М. Б., „Техника воздушного флота",
Гостехиздат, 1929.
13. Н а д а и А., Пластичность, ОНТИ, 1936.
14. О дин г И. А., Прочность металлов, ОНТИ, 1937.
15. О д и н г И. А., Допускаемые напряжения в машино-
строении и циклическая прочность металлов, Машгиз,
1944.
16. Р е т ш е р Ф., Детали машин, Госмашметиздат, 1934.
17. Р е ш е т о в Д. Н., Расчёт деталей станков, Машгиз,
1945.
18. Р е ш е т о в Д. Н., Руководящие материалы ЭНИМС
по расчёту станков, 1944.
19. С е р е н с е н С. В., „Вестник металлопромышлен-
ности" № 1, 1940.
20. С е р е н с е н С. В., Тетельбаум И. М.,
ПригоровскийН. И., Динамическая прочность
в машиностроении, Машгиз, 1945.
21. С е р е н с е н С. В., „Вестник машиностроения" № 6,
1943.
22. С е р е н с е н С. В., „Инженерный сборник", т. 1,
вып. 1, 1940.
23. Стрелецкий Н. С., Основы статистического
учёта коэфициента запаса, 1946.
24. Ф р и д м а н Я. Б., Деформация и разрушение
металла при статических и ударных нагрузках, Обо-
ронгиз, 1946.
25. Ф р и д м а н Я. Б., Механические свойства металлов,
Оборонгиз, 1946.
26. В а г d g e 11 W. E., „Metal Treatment" № 34, 1940.
27. Bridgman, „Journal of Applied Physics" M 3,
28. В u с h m a n n W.. „Zeitschrift d. VDI" № 21—22, 1943.
29. Buckwalter, Horger, „Transactions of ASM",
v. 25, March 1937.
30. С a 2 a u d R., Perso'uz L., La fatigue des metaux,
Paris 1937.
31. С 1 a r k C, WhiteA., .Univ. Michigan Bulletin"
№ 11, 1928.
32. Dauerfesiigkeits-Schaubilder, „Zeitschrift d. VDI",
19ЗД-1934 Beilage.
33. D о 1 a n, Benninger, „Machine Design" № 7, 1940.
34. F г у J. H., К e h 1 G. L., „Transactions of ASM", 193S.
35. H e г о 1 d W., „Zeitschrift d. VDI" M 18, 1937.
36. Herold W., Die Wechselfestigkeit metallisher Werk-
stoffe. Wien 1934.
37. H о r gr e г О. J., „Transactions of ASME", 1935.
38. К б p k e, „Metallwlrtschaft" № 47, 49, ?0, 1940.
39. L e h r E., „Technisches Zentralblatt lur praktische
Metallbearbeitung" № 17—18, 1937.
40. Lehr E., „Technisches Zentralblatt fur praktische
Metallbearbeitung" № 1, 2, 1941.
41. M a r i n J. Working stresses, 1940.
42. M a 11 a e s K., „Luftfahrtforschung" № i_2, 1938.
43. Moors H. F., Morkovin D., Proceedings of
ASTM. 1942, 1943.
44. Newell The book of stainless steels, Cleveland 1935.
45. P e t e r s о n R. E., Proceedings of AS!M, part II,
1932.
46. P e t e r s о n R. E., W a h 1, „Journal of Applied
Mechanics" № 1, 19J6.
47. P о m p, H e m p e 1, „Mitteiiungen aus KWI fur
Eisenforschung" № 19, 1936.
48. Prevention of the failure of metals under repeated
stress, New-York 1941
49. S i e b e 1, „Handbuch f. Werkstoffpriifung", 1940.
50. T e n - В о s с ht „Vorlesungen fiber Maschinenelemente"
№ 22, 1940.
51. Thura A., R a u t z, „Mitteilungen aus Materialprii-
fungs Anstalt an der Technischen Hochschule" № 8,
Darmstadt.
52. T h u m A , F e d e r n, Spannungszustand urd Bruc-
hausbildung\ J. Springer, 1939.
53. T h u m A , О с h s. Korrosion und Damrfestiekeit,
VDI. Verlag, Berlin 1937.
54. T h u m A., Wunderlich E., Dauerfestigkeit von
Konstruktionsteilen an ?inspannungen, Nabenitzen und
ahnlichen Kraftargriffstellen.
55. W h i t e A, „ transactions ASM" № 1, 1938.
?6. W i e g a n d H., Sctielnost, „Archiv fur das
Eisenhiittenwesen" № 9, 1939.

Замеченные опечатки
1
Стр.
12
21
123
123
124
ni
1O1
132
134
140
143
144
151
155
165
258
263
269
275
285
292
294
318
389
429
42:)
44 d
434
Строка
1-я сверху, правая колонка
Табл. 1, 2-я графа. 5-я строка
сверху, в знаменателе
12-я снизу, левая колонка
Фиг. 9, 4, в числителе
27-я снизу, правая колонка
о-я сверху, левая колонка
9-я сверху, правая колонка,
в знаменателе
14-я сверху, правая колонка,
в знаменателе
Фиг. 40, 1-й ряд сверху
2-я снизу, правая колонка,
в знаменателе
14-я сверху, левая колонка,
в знаменателе
Табл. 11, 5-я графа, 1-я строка
снизу
11-я сверху, левая колонка
11-я снизу, правая колонка
11 —12-я сверху, левая колонка
17-я снизу, левая колонка
Табл. 18, 2-я графа, 8-я строка
сн::зу, в знаменателе
Табл. 19, 2-я графа, 19-я строка
снизу
Табл. 21а, 4-я графа, 1-я строка
снизу
3-я сверху, правая колонка
1-я снизу, правая колонка
24-я сверху, левая
колонка
Табл. 52, 3-я графа, 3-я строка
снизу
3-я снизу, правая колонка
1-я снизу, правая колонка,
в знаменателе
Ч-Q PHT-T4V ПРИЖГ КТ1 ППНКЯ
О л \,tlrLjy t ЛСоап IVUJIUHKcl
2-я снизу, левая колонка, и 2-я.,
5-я и 7-я сверху, правая ко-
лонка
Напечатано
ш3
2A — sin2 a
' & т-
X1 {а + &K
8
+ *°г у С,С*
VI - v-
Vi-Р
,,2 3 (L2 + D-) к2 (8L- + 3D")
V-r 80 х 80
2 3 A* + О2)
лж - 8 + «
d\ + d\
Afe
'А
«С
' Т ~ а-
~ у m
К ОСИ а
от центра
ro<h7t.
а (ш — 1) + b* (m + 1)
| B — a2) z + 4л- \>. (z + 4s)~|
I e ' Ь \
-1Г-
т = f +
1,0; 2,0
«т = -—- ;
«а
~2Т +
,. (М«р)р
по М
71 мпр
М
пр
Должно быть
ш2
2а - sin 2а
-= — т.
12 (а + by
Д I 1 3 V 2 i if г
Vl + a
VTT~P
д,2 (8L2+3D2) K1 ,3(D + D2)
х 80 х 80
К2 3 (I2 + D2)
х 80
D4 - d4
X 1
2r2 FE
А ^
Г Pi
~V m
К ОСИ Е
к центру
г0 < 1,7^.
а* (т — 1) + й2 (т + 1)
Г B - (;.-) г + 4.у а (г + 4$I
L J
+ W"
,^ = 0,292Я (*-V'5.
а-2 = р- +
2,0; 4,0
я* - ^х~ :
аат
-у- +
fiP /If
Поправки
1. I la стр. 6, 7, 9 и 10 — 14 в тексте обозначения ш, z> и 2 с соответствующими индексами, приведенные в за-
висимостях, связанных с чертежами, на которых они обозначают векторные величины, считать векторами и чи-
тать ¦~j ~ и -о,
2. На стр. 68, в 1-й графе снизу табл. 9, на схеме направление силы Р в конце кругового стержня горизон-
тальное.
Энциклопедический справочник „Машиностроение", т. 1, кн. 2-я. Зак.2173.