Текст
                    CHARLES D. HOLLAND
fV'l ’ I/Г ICO ГЧ/Ж ₽» о Г\’ E >’ 'Г
I) I *4 11
depahtment of chemical
ENGINEERING AGRICULTURAL
AND MECHANICAL
COLLEGE. OF TEXAS
PR E NT' 1 GE - HALL, INC.
ENGLEWOOD CLIFFS,
NEW JERSEU'19€>3

На дом | не выдается ЧАРЛЬЗ Д.ХОАЛДНД VlHOIOKOVlIIOlI ЕМТНЛЯ (,1/1 >1 ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО Б. Ц. ГЕНКИНОЙ под редакцией ПРО ср. В. IM. ПЛАТОНОВА м 23/\/\"Г ЕЛЬСТ в о ,.хи мип" МОСКВА • 1969
УДК 66.048.3,011 X 71 Ч. Д. Холланд. Многокомпонентная ректификация Монография посвящена расчетам ректификационного разделения многокомпонентных смесей с применением вычи- слительной техники. Подробно изложены методики расчета основных параметров паро-жидкостного равновесия, решения уравнений балансов для обычных и сложных ректификацион- ных колонн. Большое внимание уделено проблеме сходимости расчетов. В монографию включены главы (в сокращенном виде) «Азеотропная и экстрактивная ректификация'» и «Расчет эффективности тарелок» из книги В. Д. Смита «Расчеты равновесных ступенчатых процессов» (Нью-Йорк, 1963 г.). Монография охватывает практически все промышленные процессы разделения и представляет поэтому большой инте- рес для научных и инженерно-технических работников хими- ческой, газовой и других отраслей промышленности, в кото- рых применяется фракционирование многокомпонентных смесей. Книга может быть полезна для преподавателей, аспи- рантов и студентов. В книге содержится 100 таблиц, 69 рисунков и 116 би- блиографических ссылок. 3-14-2 39-68
СОДЕРЖАНИЕ От редактора ....................................... И* Предисловие] автора................................. 12 Глава I Расчет процесса многокомпонентной ректификации. Основ- ные понятия ........................................ 13 Общие положения............................... 13 Метод последовательных приближений............ 14 Условные обозначения.......................... 23 Литература ................................... 23 Глава II Расчет температур кипения, температур точки росы и паро-жидкостного равновесия ..................... 24 Общие положения............................... 24 Расчет систем, содержащих летучие двухфазные компоненты................................... 24 Расчет систем, содержащих однофазные компоненты 29 Расчет паро-жидкостного равновесия............ 30 Расчет адиабатического процесса однократного испарения.......................... 37 Расчеты паро-жидкостного равновесия на ЭВЦМ 44 Условные обозначения ......................... 59 Задачи ....................................... 61 Литература ................................... 62 Глава III Расчет процесса ректификации в простых колоннах ... 63 Общие положения.................... 64 Методика Тиле и Геддеса............ 67 Способ простых итераций ................ 73 0
Независимость количеств отдельных компонентов х>т направления расчета........................... 74 Решение уравнений материального баланса при помощи матриц .................................. 78 Методика Льюиса и Матисона........................ 82 Условные обозначения............................. 86 Задачи ........................................... 87 Литература ....................................... 89 Глава IV Методы сходимости расчета.............................. 90 0-метод сходимости ............................... 90 Метод сходимости Харпа — Боннера.................. 99 .Методика Льюиса и Матисона в сочетании с 6-ме- тодом сходимости Пайзера......................... 104 Релаксационная методика расчета.................. 105 Применение способа Ньютока — Рафсона для рас- чета процесса многокомпонентной ректификации 114 Сравнение методов сходимости..................... 115 Условные обозначения ............................ 117 Задачи .......................................... 118 Литература ...................................... 119 Глава V Расчет простых колонн с учетом тепловых балансов . . . 120 Обычный метод составления тепловых балансов 120 Методика Тиле и Геддеса в сочетании с обычным методом составления тепловых балансов............ 122 Метод постоянного состава....................... 128 Применение Q-метода при составлении тепловых балансов .,...................................... 131 Методика Льюиса и Матисона в сочетании с урав- нением теплового баланса ........................ 136 Условные обозначения............................. 137 Задачи .......................................... 138 Литература....................................... 139 Глава VI Усовершенствование расчета простых колонн............. 140 Уменьшение погрешности вычисления (округления) 140 Однофазные компоненты............................ 145 Расчет температурных профилей ................... 148 Нераспределяющпеся компоненты ................... 150 Задание различных условий для расчета .... 155 Условные обозначения ............................ 159 Задачи .......................................... 159 Литература . 160 6
Глава [¥Ц) Расчет сложных колонн............................... 161 Метод сходимости .............................. 161 Уравнения материальных балансов................ 165 Сведение к минимуму погрешности вычислений (округления)................................... 168 Нераспределяющиеся компоненты ................. 170 Примеры расчета ............................... 174 Абсорберы с кипятильниками (фракционирующие абсорберы)..................................... 177 Условные обозначения .......................... 180 Задачи ........................................ 180 Литература..................................... 182 Глава VIII Абсорберы и отпарные колонны........................ 183 Абсорберы...................................... 183 Отпарные колонны............................... 192 Различные заданные условия для расчета абсор- беров и отпарных колонн........................ 198 Условные обозначения.......................... 200 Задачи ........................................ 200 Литература..................................... 201 Глава IX Азеотропная и экстрактивная ректификация. Б. Д. Смит 202 Предсказание отклонений от идеальности .... 203 Основные расчетные зависимости........... 212 Азеотропная ректификация................. 219 Экстрактивная ректификация ................... 229 Условные обозначения.................... 230 Литература............................... 231 Глава X Простые и сложные колонны с полным возвратом флегмы 232 Простые колонны......................... 232 Сложные колонны......................... 237 Примеры расчета......................... 240 Условные обозначения.................... 243 Задачи ....................................... 243 Литература ................................... 244 7
Глава XI Простые и сложные колонны при минимальной флегме (проверочный расчет) ........................ 245 Простые колонны ...................v . . . 245 Примеры расчета ......................... 261 Сложные колонны ......................... 263 Примеры расчета ......................... 269 Условные обозначения .................. 273 Задачи .................................. 273 Литература .............................. 273 Глава XII Простые и сложные колонны при минимальной флегме (проектный расчет) ............................ 274 Простые колонны ......................... 274 Сложные колонны ......................... 281 Условные обозначения .................... 286 Задачи .................................. 286 Литература .............................. 286 Глава XIII Расчет ректификационных колонн с боковыми стриппинг- секциями ...................................... 287 Материальные балансы .................... 287 Метод сходимости ........................ 290 Примеры расчета ......................... 295 Условные обозначения .................... 297 Задачи .................................. 297 Литература .............................. 297 Глава XIV 0-Метод сходимости для систем ректификационных колонн 298 Система простых колонн .................. 298 Система сложных колонн .................. 303 Условные обозначения .................... 304 Задачи .................................. 304 Глава XV ь. Использование эффективности тарелок при расчете колонн 306 Модифицированная эффективность тарелки по Мерфри .................................. 306 Модифицированная эффективность испарения . . . 309 Эффективность теплопередачи ............. 310 8
Использование модифицированной эффективности тарелки по Мерфри при расчете простых колонн 311 Использование эффективности испарения при рас- чете простых колонн................................. 315 Сочетание эффективности тарелки по Мерфри и эф- фективности испарения .............................. 315 Использование эффективности испарения при расчете сложных колонн.............................. 316 Примеры расчета .................................... 317 Условные обозначения................................ 323 Задачи ............................................. 323 Литература ......................................... 324 Глава XVI Определение эффективностей тарелок........ 325 Глава XVII Расчет эффективности (к. п. д.) тарелок. Б. Д. Смит . . . 330 Определение среднего к. п. д. тарелки............... 330 Расчет к. п. д. тарелки по методике A. I. CJi. Е. 337 Условные обозначения................................ 343 Литература ......................................... 344
ОТ РЕДАКТОРА Термодинамические расчеты многокомпонентной ректификации являются одним из первых объектов применения вычислительной техники в химической технологии. В настоящее время такие расчеты проводятся многими исследовательскими и проектными организациями. Как известно, основные вычислительные трудности, возника- ющие при решении этой задачи, связаны с проблемой достижения сходимости итерационного расчета. Книга Ч. Холланда «Много- компонентная ректификация» является монографией, посвящен- ной в основном систематическому изложению одного из наиболее эффективных методов сходимости расчета — 0-методу. В книге рассматривается применение этого метода и приводится решение различных задач многокомпонентной ректификации, включая расчет колонн с полным возвратом флегмы и при минимальной флегме, сложных колонн, установок со стриппинг-секциями ит. д» Описаны различные подходы к расчету.процесса многокомпонент- ной ректификации: методика расчета «от тарелки к тарелке», когда в качестве независимых переменных выбраны составы продуктов разделения (автор называет ее методикой Льюиса и Матисона); методика независимого определения концентраций, когда в качестве независимых переменных принята температура фаз на тарелках (методика Тиле и Геддеса). Последняя методика применяется наиболее широко и рекомендуется для сочетания с 0-методом сходимости. Большой практический интерес пред- ставляет также (Хметод составления тепловых балансов. В связи с узкой направленностью книги (0-метод сходимости) и поскольку в отечественной литературе и практике расчета 0-метод пока еще не получил распространения, редактор счел нецелесообразным давать ссылки на исследования советских ученых в области термодинамического расчета многокомпонентной ректификации на электронно-вычислительных цифровых машинах (ЭВЦМ). При переводе опущены главы по фазовому равновесию 10
многокомпонентных смесей, так как эти данные приведены в оте- чественной литературе. Редактор дал краткое дополнение (см. главу II), касающееся применения современных аналитических методик расчета фазо- вого равновесия в многокомпонентных системах, используемых при машинных методах расчета. В перевод монографии Ч. Холланда включены главы «Азео- тропная и экстрактивная ректификация» и «Расчет эффективности тарелок» (в сокращенном виде) из одновременно вышедшей книги: В. D. Smith «Design of equilibrium stage Processes» (New York, 1963). Первая из названных глав дает представление об особенностях расчета ректификации смесей с третьим компонентом, а вторая излагает методику Американского института химических инже- неров по расчету эффективности промышленнных ситчатых и кол- пачковых тарелок. Монография Ч. Холланда может оказаться полезной всем, кто хочет иметь достаточно надежные методики расчета много- компонентной ректификации на ЭВЦМ. Но отметим, что некоторые практические рекомендации автора (например, для решения системы уравнений способом Ньютона — Рафсона при расчете ректификационных колонн со стриппинг-секциями) неточны и подлежат дальнейшей корректировке. в. м. ПЛАТОНОВ
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА Книга «Многокомпонентная ректификация» является первой мо- нографией, в которой систематически изложены методики числен- ного решения задач разделения многокомпонентных смесей. Появление в последнее десятилетие быстродействующих элек- тронно-вычислительных цифровых машин изменило подход к рас- чету ректификации: вместо применения упрощенных моделей процесса, допускающих аналитическое решение, исследователи получили возможность находить решение методом постепенного приближения. Часть итеративной методики расчета, согласно которой про- водится последовательное улучшение (корректировка) значений независимых переменных, обеспечивающее решение задачи, назы- вается методом сходимости. Основное внимание в данной книге и уделяется рассмотрению методов сходимости и уравнений, которыми описывают работу установок различного типа, а не изложению технологических соображений по выбору конкретной ректификационной установки для получения заданного разде- ления. Методики расчета и методы сходимости, предлагаемые в книге, опробованы путем решения большого числа разнообразных задач. В большинстве глав (VII—XVII) для расчета применен 0-метод сходимости, поскольку никаким другим единым методом нельзя решить описанные в этих главах случаи. В первых пяти главах представлены другие методы сходимости. Описаны также специаль- ные случаи применения методик расчета (для сложной колонны, для колонн с полным возвратом флегмы и при минимальной флегме; для системы колонн с рециркуляцией и, наконец, мето- дика определения эффективностей тарелок). Если настоящая книга будет использована в качестве учебного материала, рекомендуется изучать первые семь глав. Остальные главы мало связаны одна с другой и могут рассматриваться в произвольной последовательности. Ч. ХОЛЛАНД
ГЛАВА I РАСЧЕТ ПРОЦЕССА МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ РЕКТИФИКАЦИИ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Общие положения С появлением быстродействующих вычислитель- ных машин стало возможно проведение точного расчета процесса многокомпонентной ректифи- кации вместо применения приближенных методов расчета, осно- ванных на различных упрощающих допущениях. В настоящей книге излагаются некоторые методы расчета, позволяющие эффек- тивно решать указанную задачу. Решение направлено на полу- чение последовательного приближения искомых переменных к зна- чениям, удовлетворяющим одновременно всем уравнениям, опи- сывающим систему. Все рассматриваемые способы связаны с нахождением устано- вившегося состояния системы; при этом согласно закону сохране- ния масс, выражающему условие материального баланса Вход—Выход = О Кроме того, по первому закону термодинамики имеем: ДЯ + А£Й+А£П=(2-]Г# (1,2) Обычно кинетическая и потенциальная энергии системы изменяются в соответствии с производимой внешней работой, поэтому ДЯ=(? (1,3) Это уравнение служит основой теплового баланса ректифи- кационной системы. Помимо указанных фундаментальных зако- нов, одним из важнейших условий, описывающих процесс, является условие физического равновесия, которое согласно закону Генри yi = Klxi (1,4) определяет равновесие i-того компонента; хотя К является 13
функцией давления, температуры и состава смеси, влиянием последнего часто пренебрегают. Использование основных принципов, записанных уравнениями (1,1), (1,3) и (1,4), дает возможность описать любую систему многокомпонентной ректификации. К сожалению, получающаяся система алгебраических уравнений нелинейна, что исключает возможность аналитического решения. Такое решение возможно только при принятии определенных упрощающих допуще- ний 1-3. Метод последовательных приближений Уравнения, описывающие процесс многокомпонентной ректифи- кации, не имеют явного выражения относительно искомых вели- чин, поэтому задача решается только численными методами. Процедура заключается в постепенном подборе значений не известных до удовлетворения одновременно всем уравнениям системы. Решить эту задачу после первого приближения удается только в отдельных случаях. Обычно полученные результаты служат для выполнения второго приближения, которое (как и все последующие) должно проводиться по алгоритму, обеспечи- вающему наибольшую эффективность. При выполнении подобных расчетов вручную новые значения искомых переменных выбирают по-разному, основываясь на различных логических соображениях, которые могут меняться в процессе расчета. Однако для успешного решения задачи на цифровых машинах алгоритм последовательных приближений должен быть строго установлен. Ниже описаны некоторые извест- ные приемы решения задач методом последовательных прибли- жений. Способ простых итераций. Излагаемый прием в литературе обобщенно называют способом итераций. Поскольку выражения «число итераций» и «число приближений» часто считают синони- мами, термин «простые итерации» выбран для обозначения обыч- ной последовательности вычислений. При решении задачи методом последовательных приближений простые итерации представляются наиболее естественным приемом. Однако эти итерации не всегда дают решение задачи, т. е. не всегда сходятся. Этот недостаток часто остается незамеченным, так как, получая плохо сходящуюся последовательность значений переменных, оператор применяет более эффективный прием. Особенности способа простых итераций лучше всего проиллю- стрировать следующим примером. Предположим, что необходимо найти значение х, удовлетворяющее уравнению г—1г-2 = 0 (1,5) Li 14
2 6 Рис. 1-1. Сходимость способа простых птераций при угловом коэффициенте функции, меньшем единицы. г Ответ х = 4 очевиден, поэтому решим задачу способом простых итераций. Уравнение (1,5) можно записать в виде где индекс п — номер приближения. L Для n-ного приближения независимую переменную обозначают через х№ и вычисляют значение агй+1 (зависимая переменная) у для (п 1)-го приближения. Таким образом, задача состоит L в том, чтобы найти такое предположительное значение х, которое при подстановке в правую часть уравнения (1,6) даст значение, равное самому себе. В способе простых итераций принимают, что । первое предположительное (начальное) значение х выбирается произвольно. Для второй итерации принимается значение х. найденное в результате первой итерации, и т. д. Результаты итерации, начатые со значения xt = 1, представлены на рис. 1-1. Отметим, что угловой коэффициент линии хн+1 = / (хп) меньше единицы и способ простых итераций в этом случае дает решение х 4. Возьмем в качестве независимого переменного другое значе- ние х в уравнении (1,5). В этом случае уравнение (1,5) преобра- зуется: хп-ц—2хп 4 (1,7) 15
На рис. 1-2 показано, что применение способа простых итера- ций при начальном значении независимой переменной х, меньшем чем 4, дает (вычисляемые) значения х, прогрессивно уменьшаю- щиеся и удаляющиеся от искомого решения х ~ 4. Если на- чальные значения х больше 4, то значения zBbl4 прогрессивно увеличиваются, также удаляясь от искомого решения. Способ простых итераций при таком решении задачи оказывается не- пригодным, так как угловой коэффициент функции (1,7) больше единицы. Если угловой коэффициент функции определяется предполагаемым значением х, способ простых итераций может сходиться или расходиться в зависимости от начального значения этого х. Проиллюстрируем данный вывод. Пусть необходимо определить корни следующего уравнения: х2 — 4х — 4 — 0 (1,8) Применяя известные формулы, легко найдем корни х = = 2-\-2]/г2 их — 2 — 2]/2. Если принять х с коэффициентом Рис. 1-2. Отсутствие сходимости способа простых итераций при угловом коэффициенте функции, большем единицы. 16
Принятое значение х Рис. 1-3. Зависимость сходимости способа про- стых итераций от начального значения х в случае, если угловой коэффициент функции определяется этим значением х. —4 за зависимую переменную, то уравнение (1,8) можно пере- писать: »я+1=j 4— 1 U.9) Для начальных значений х, меньших чем 2 4- 2ф/Г2, способ простых итераций дает значение корня х = 2 — 2 | ' 2 (рис. 1-3). Для любого начального значения х, большего чем 2 + 2)^2, способом простых итераций нельзя получить значения другого корня. Для доказательства рассмотрим правую часть уравнения (1,9), обозначив ее как самостоятельную функцию / (ж). Тогда уравнение (1,9) запишется в виде x — f (х) (1,10) где / (х) = 1/<х2 — 1. Исследования показывают, что достаточное условие сходи- мости способа простых итераций выражается неравенством (til) dx I 2 Ч. Д. Холланд. 17
в окрестности искомого значения корня. Это условие не является необходимым, так как всегда имеется вероятность того, что иско- moq решение для х будет выбрано в качестве предположительного значения х в первом приближении. Для системы трех независимых уравнений, содержащих три переменные х, у, z x=h (-г, у, z) ' у = /2(х, у, z) (1,12) Z=/3 (*, У, 2) достаточными условиями сходимости способа простых итераций в окрестности искомого значения корня являются следующие неравенства: 1 5/t | дх + 5/2 ! , | дх | 5/з дх < 1 dh ду + 5/2 ду -j- 5/з ду < 1 (1,13) 5/1 5/2 5/3 dz "Г dz dz <Г 1 I J Этот критерий сходимости простых итераций установил Ниль- сен4. который показал также, что если сумма указанных произ- водных существенно не меньше единицы, то сходимость очень медленная. Способ простых итераций как таковой применяется редко. поскольку во многих случаях его сходимость оказывается слиш- ком медленной. После получения какого-либо значения перемен- ной можно целенаправленно выбрать величину следующего приближения прп помощи различных, обеспечивающих сходи- мость расчета способов, применение которых во многих случаях оказывается столь же трудным, как и аналитическое решение задач. Предложенный способ сходимости обычно проверяют решением разнообразных численных примеров. Способ простых итераций редко применяют ко всей задаче в целом; чаще всего его исполь- зуют на отдельных стадиях решения более сложной задачи. Рассмотренные свойства простых итераций служат важной основой для интерпретации численных результатов, полученных при решении сложных задач. Способ Ньютона. Одним из часто применяемых способов ре- шения задачи методом последовательных приближений является способ, предложенный Ньютоном. Допустим, что необходимо найти значение х, при котором / (ж) = 0. Способ Ньютона состоит в использовании прп итерациях двух первых членов ряда Тейлора для / (ж) в окрестности некоторого значения ж, скажем хп: /(*) = / (^«) -г /' (*„) (-Т — х„) (ГЛ4) 18
Рис. 1-4. Графическая иллюстрация способа Ньютона. В данном случае используют только два первых члена ряда, поэтому и в общем виде они являются приближенным значением функции / (х). Далее допустим, что при значении х = х11+1 функция / (х) = 0. При этом уравнение (1,14), примет вид: I Х^П/ Графически способ Ньютона можно рассматривать как линей- ную экстраполяцию функции (рис. 1-4) в точке [хп, / (т„)] до значения (хп+1, 0). Наклон экстраполяционной линии составляет f (хп). Если функция / (х) линейна, то значение для xn+lt рас- считанное в результате первого приближения, является искомым. На рис. 1-4 показано применение способа Ньютона для на- хождения положительного корня (х ~ 2~j-2]/^2), который удо- влетворял бы уравнению (1,8). Простые итерации в этом случае не дают решения; способ Ньютона, наоборот, обеспечивает быструю сходимость до искомого результата. Кроме того, оче- видно, что если начальное значение х лежит вправо от х -- 2, то способ Ньютона дает сходимость при значении корня х — = (2-4-21 2). В случае, когда начальная величина х лежит влево от х = 2, этот способ дает сходимость при корне х — — (2 —2"|/2). Если взято начальное значение х — 2, способ Ньютона оказывается непригодным, так как /' (2) = 0. Если же, наконец, в окрестности значения искомого корня оказывается точка перегиба, указанный способ может не дать сходимости5. Прежде чем применять способ Ньютона, следует определить поведение функции в окрестности.значения корня и соответственно 2* 19
Принятое значение т Рис. 1-5. Графическая иллюстрация способа интерполирования. выбрать начальное значе- ние х. Ниже рассмотрены некоторые коррективы, которые следует вносить при применении способа Ньютона к функциям, содержащим несколько корней, если такая не- обходимость возникнет. Несмотря на то, что спо- соб Ньютона имеет неко- торые недостатки, его можно успешно исполь- зовать для решения мно- гих задач методом после- довательных приближе- ний. Способ интерполирова- ния. Некоторые ограни- чения способа Ньютона можно обойти применением способа интерполирования6 (1,1-4). Прежде всего выбирают два произвольных значения х и вы- числяют отвечающие им значения функции. Допустим, что хх = 2, а х2 = 6,5; это соответственно дает / (2) = —8 и f (6,5) — — 12,25. Далее, предполагают, что две указанные точки соеди- нены прямой (рис. 1-5), пересекающей ось для х при х = 3,777; найденное значение х лучше, чем х = 2 или х = 6,5. При х3 = = 3,777 значение для / (л;3) соответственно равно —4,86. После соединения прямой двух последних точек (6,5 и 12,25) и (3,777 и —4,86) получается еще более улучшенное значение для х (х = — 4,55). Проводя подобные вычисления, находят искомое значение корня. Формулу интерполяции выводят следующим образом. Уравне- ние для прямой линии, соединяющей точки хп, / (хп) и хп+1, / имеет вид: / — __ / (х„) — / (х,г+1) уг-- /Г -г _ J* , (1,1.6) Допустим, что / (т) = 0. Тогда, получаем: — искомое значение х, при котором решая уравнение (1,16) относительно rr/i+2, хД (а?я+1) Д-в+1/(Д-д) / (Д-?г+1) / (Д'л) (1.17) Очевидно, способ интерполирования, приемлем даже в случае непригодности способа Ньютона, т. е. если взято значение х, дающее f (х) = 0. Если же функция линейна, искомое значение х определяется, так же как и при способе Ньютона, уже после 20
первого приближения. Необходимо учесть и то, что для расчета производной не требуется знания следующего значения х. Однако при применении способа Ньютона для функций, имеющих несколько корней, нужно проводить расчеты в интервале, со- держащем искомые корни. Способ Ньютона — Рафсона. Распространение способа Нью- тона на функции с несколькими переменными называется спо- собом Ньютона — Рафсона4. Этот способ обосновывается аналогично способу Ньютона. Примем, что определен ряд значений для х и у, при которых одновременно (хг, у) = 0 и /2 (ж, у) ~ 0. Если выразить каж- дую функцию в виде ряда Тейлора в окрестности значений х„ и уп и опустить все члены, содержащие производные высшего порядка, получаются следующие уравнения: /1 !/) = /, У.) +й/1(д",!''') (*-*.) 4- (1Л8) h (*. У) = к <?„, у„) + 3/2 (1,19) v JL> U U Для значений (я„+1, уя+1), дающих Д (яг„+1, ун+1) = = /2 у,г+1) = 0 уравнения (1,18) и (1,19) приводятся соответ- ственно к уравнениям /1 + = О (1,20) С/*А* 4/ у dfo dfv Д^ы + ^7- А'/,г+1=0 (1,21) С/*Х- Cz u Здесь AjOi+l Юг+1 Уп Понятно, что функции и их производные определяют при х = хп и у -- уп. Задача сводится к двум уравнениям с двумя неизвестными (Л^)1+1 и Дуп+1). Значения, рассчитанные после п приближений: (#,г+1) и (у„+1) — берутся в качестве исходных значений для (п + 1)-го приближения. Эта процедура повторяется до получения значений корней с желаемой точностью. Графическая интерпретация способа Ньютона — Рафсона пред- ставлена на рис. 1-6. Уравнение (1,20) можно изобразить гео- метрически в виде проекций на плоскости, параллельных плос- костям — х п — у. Эти проекции начинаются в точке /х (хя, р„) на поверхности функции Д (х, у) и кончаются в точке (жй+1, уя+1). На рис. Г-6 показано, что первая проекция имеет наклон ~ и начинается в точке /х (хп, уи). Проекция, параллельная . dft г' плоскости Д — уг, имеет наклон Эта проекция кончается 21
в точке (л!„+1, y)t+i), лежащей в плоскости х — у. Геометрическая интерпретация уравнения (1,21) аналогична (см. рис. 1-6). Следует подчеркнуть, что Ля;г+1 и Дг/„+1 имеют для обеих функций одно и то же значение (см. рис. 1-6). Помимо этого, необходимо отметить, что, если и /2 линейны относительно обеих переменных, искомые значения для х и у определяются после первого приближения. Сходимость способа Ньютона — Рафсона рекомендуется иссле- довать путем непосредственного применения этого метода к реше- нию различных задач, стоящих перед исследователем. Следует изучить использование различных начальных значений перемен- ных. Если интерес представляют только положительные значе- ния корней, а при промежуточном приближении получаются отрицательные значения переменных, необходимо предусмотреть возможность выбора новых значений переменных для следующего приближения. Как уже указывалось, целесообразно непосред- ственное испытание способа в отношении сходимости, так как труднее аналитически доказать сходимость или несходимость способа Ньютопа — Рафсона для данной системы уравнений, чем найти конкретные условия, при которых получалась бы сходимость до желаемого результата для одних начальных усло- вий и несходимость для других. В данной главе рассмотрены только четыре способа решения задач методом последовательных приближений, которые наиболее часто будут встречаться в дальнейшем. Кроме этих способов имеются и другие, например описанные Нильсеном4. Рис. 1-6. Графическая иллюстрация способа Ньютона — Рафсона. 22
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ* Ki — коэффициент пропорциональности между мольными долями компонента i в паровой и жидкой фазах при равновесии (iji = K^i). Q — тепло, потребляемое единицей массы перерабатываемого ве- щества. Ws — внешняя работа системы, приходящаяся на единицу массы перерабатываемого вещества. а;,- — мольная доля компонента I в жидкой фазе. хп, хп+1 — независимые и зависимые переменные для n-ного приближения при всех изложенных способах, кроме интерполирования. Прп последнем способе независимые переменные имеют обозна- чения х„ и а зависимая переменная — хп+ч. i/j — мольная доля компонента с в паровой фазе. ДЯ — изменение энтальпии единицы массы перерабатываемого ве- щества. SE-k — изменение кинетической энергии единицы массы перерабаты- ваемого вещества. ЛЕ„ — изменение потенциальной энергии единицы массы перерабаты- ваемого вещества. ЛИТЕРАТУРА 1. А с г i vos, Andreas, Amundson N. R., Chem. Eng. Sci., 4, 29 (1949). 2. Murdoch P G., Chem. Eng. Progr., 44, 855 (1948). 3. Underwood A. J. V., Chem. Eng. Progr., 44, 603 (1948). 4. N i e 1 s e n K. L., Methods in Numerical Analysis, New York, Momil- lan Co., 1957, p. 199. 5. Sokol nikoff I. S., Sokolnikoff E. S., Higher Mathematics of Engineers and Physicists, 2nd ed., New York, MacGraw-Hill Book Com- pany, Inc., 1941, p. 101. * Условные обозначения приводятся в конце каждой главы. —Доп, ред
ГЛАВА II РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУР КИПЕНИЯ, ТЕМПЕРАТУР ТОЧКИ РОСЫ И ПАРО-ЖИДКОСТНОГО РАВНОВЕСИЯ Общие положения Методики расчета температур кипения, точки росы и паро-жидкостного равновесия рассмот- рены отдельно, поскольку каждая из них входит как составная часть во все алгоритмы расчета процесса много- компонентной ректификации. Обычно все компоненты описыва- емой системы летучи, т. е. могут присутствовать в обеих фазах. Однако в данной главе разбираются также случаи, когда легкие и тяжелые компоненты находятся в одной фазе. Принимается, что константа Кi для каждого компонента i не зависит от состава и является только функцией температуры и давления, а энтальпии чистых компонентов не зависят от давления и являются только функцией температуры. Энтальпия смеси при заданной темпера- туре Т берется как сумма произведений энтальпий чистых ком- понентов (определенных для данного значения 71) на их мольную долю в смеси. Расчет систем, содержащих летучие двухфазные компоненты Для того чтобы двухфазная многокомпонентная система находи- лась в состоянии равновесия, температуры и давления в обеих фазах должны быть одинаковы. Если две фазы будут в равно- весии, одностороннего перехода вещества из одной фазы в другую (или изменения состава) не наблюдается. В такой системе пар находится при температуре точки росы, а жидкость в равнове- сии с паром — при температуре кипения, причем это одна и та же температура. Поэтому при проведении последующих расчетов термин «температура кипения» и «температура точки росы» при- меняется в следующих случаях: если температура равновесия рассчитывается на основе состава жидкой фазы, то ее называют температурой кипения, а если на основе состава пара — температурой точки росы. 24
Расчет температуры кипения. Часто встречающейся задачей является определение температуры кипения для заданных соста- вов жидкости и общего давления. В случае применения к системе закона Генри (у. = К4х() получают с уравнений. Поскольку сумма значений г/, равна единице, то для (с — i) значение у. не- известно. Значение К = / (71) можно выразить в виде полинома; так как сумма значений yi равна единице, то такая система из с уравнений с с неизвестными [(с — 1) значений для yi и темпера- тура] сводится к одному уравнению с одним неизвестным: (пл) »—1 Необходимо определить значение Т, удовлетворяющее уравне- нию (11,1). Применение способов решения такого типа задач, описанных в главе I, облегчается, если переписать уравнение (11,1) в следующем виде: 2^-1 (п,2) 1=1 Таким образом, нужно найти некоторое значение 7\ при котором / (Т) = 0. Поскольку каждое значение К4 возрастает с температурой, то / (У) имеет только один положительный корень. Для определения искомого корня используется способ Ньютона. Если считать, что Тп — значение Т, полученное после п после- довательных приближений, то улучшенное значение Т (обозна- чается как Тп+1) для (п 4- 1)-го приближения определяют по формуле Ньютона: (п.з) Первая производная от / (71) равна: ’-=1 Если К4 = at.+ &Т + с/Т'1 + dtT3, где a., bit с. и d. — кон- станты, то /4^)= (bi + 2^^+3^^) »==i Способ Ньютона для расчета температур кипения применили Амундсон и Понтинен1, а также Листер и др. 2. Они установили, что этот способ дает очень быструю сходимость при определении температуры кипения. Тем не менее методика расчета все же должна включать и некоторую проверку для того, чтобы 25
Рис. П-1. Применение способа Нью- тона к расчету температуры кипения. Рис. П-2. Применение способа Нью- тона к расчету температуры кипения. исключить применение в расчете температур, выходящих за пределы интервала зависимости К — / (Т). Для расчета температуры кипения используют также способ интерполирования. Применение его начинают с выбора двух произвольных значений для Т в пределах интервала аппрокси- мации зависимости К = f (71). Обозначив эти два значения через Тп и Тп+1, способом интерполирования находят следующее улучшенное значение для Т: Тп+2 = ТпЦТп+д-ТпЛ (Тп) ЦТп+1)-ЦТп) (И,4) Последующее улучшенное значение температуры Тп+3 опре- деляют, исходя из Тп+1 и Tn+i. Каждая величина Т, рассчиты- ваемая таким образом, подлежит проверке для того, чтобы установить, находится ли она в пределах, взятых для аппрок- симирующих полиномов. Рис. П-1 и П-2 наглядно иллюстрируют необходимость про- верки этого условия. Если зависимость / (Т7) — вогнутая кривая, как показано на рис. П-1, то можно получить значение Г, которое превышает верхнее допустимое ограничение. В данном случае вместо того, чтобы взять это значение У, рассчитывают его сле- дующее улучшенное значение _Tn+l + TU.L. П + 2 о (П.5) Однако если в результате ряда последовательных приближе- ний получают значение Т £> L , то это означает, что темпера- тура кипения смеси может быть больше чем Ти L . После того как эта ситуация повторится несколько раз, проверяется температура кипения, равная Tv L . В случае когда f(T) — выпуклая кривая (см. рис. П,2), можно получить значение T<ZTV При этом берут улучшенное значение 7*, которое определяется как _ Tn^ + TL L * #+2 2 (П.6) 26
Если несколько последовательных приближений дают T<TL L ? то это значит, что температура кипения предположительно ниже нижнего предела ТL L . Аналогично, если указанное явление наблюдается заданное количество раз. то за температуру кипения можно принимать температуру, равную ТL L . Расчет температуры точки росы. В этой задаче заданы значе- ния (с — 1) мольных долей в паровой фазе и общее давление; требуется определить температуру точки росы. Хотя отдельные значения х. неизвестны, известно, что их сумма равна единице. Так как х. =?= y.Kt, то С »=1! тогда можно записать в виде функционала: С —1 (И’8) Для применения способа Ньютона необходимо знать значение первой производной: С [у/ i гр\ ( У i \ / d& г \ F <7>=_ 1^1 Температуру точки росы можно определить при помощи способа Ньютона или интерполированием, аналогично тому, как выше определялись температуры кипения. Расчет температур кипения и температур точки росы через относительные летучести. Данный расчет очень удобен для слу- чаев, когда относительные летучести не зависят от температуры. Тем не менее он применим и к системам, состоящим из компонен- тов, относительные летучести которых изменяются в зависимости от температуры. Относительная летучесть определяется по фор- муле а в случае применения закона Генри как «£ = Кь (II 10) Ведущим компонентом (индекс Ъ) обычно является один из компонентов смеси. Для ведущего компонента уь/хь = Кь и а6 = = 1,0. Выражения, необходимые для расчета температур кипения и точки росы получают следующим образом. 27
Для любого компонента <п-н) УЬ х К-Ъ / х 7 это выражение можно представить как £=«Л (И,12) Ль Сложение обеих частей уравнения (11,12) для всех компонентов дает: С -^-= или --- (11,13) »=1 У a(xf Исключая Кь из уравнений (11,12) и (11,13), получают: = (ц,14) Т «Л *=1 Аналогично можно легко показать что С Кь= "У %- (П.15) г=1 И (П,16) 2 1=1 Если относительные летучести не зависят от температуры, то значение Къ, отвечающее заданному ряду значений х. или г/., рассчитывают соответственно по уравнениям (П,13 и 11,15). Температуру, при которой получается рассчитанное значение Кь, легко найти по графику зависимости К/} от температуры или при помощи аналитической зависимости Т как функции Кь (по поли- ному) . Для расчета температуры кипения при изменении относитель- ных летучестей в зависимости от температуры способы Ньютона и интерполирования удобнее применять, если уравнение (11,13) преобразовать следующим образом: 1{Т)—КЬ---------- (11,17) ‘=i 28
При использовании способа Ньютона необходимо определять первую производную: 2 х* (d^i/dT) f'(.r)=^-+^-,--75- <п>18> 2а»ж» I \ »=i / Аналогично этому для расчета точки росы при применении способа Ньютона или интерполирования рекомендуется исполь- зовать следующую форму уравнения (11,15): F(T) --Kb~ ^yi/at (НЛ9) i=i Первой производной F (Т) является Г(7,-4^+(и'2о) »=1 Расчет температуры кипения и точки росы соответственно по уравнениям (П,17) и (11,19) проводят так же, как было опи- сано при решении уравнения (11,2). Применение способа интерполирования при расчете темпера- тур кипения и точки росы через относительные летучести связано с меньшим объемом программирования, чем в случае применения способа Ньютона. Расчет систем, содержащих однофазные компоненты Однофазный легкий компонент L определяют как компонент, который присутствует только в паровой фазе. Константа фазового равновесия данного компонента К — оо. Однофазный легкий ком- понент называют также инертным или неконденсирующимся газом. Компонент, присутствующий только в жидкой фазе, является однофазным тяжелым компонентом и обозначается индексом Н. Когда однофазные легкие и тяжелые компоненты находятся в соответствующих фазах системы в состоянии равновесия, расчет температуры системы проводится аналогично ранее описанному. Температуру кипения вычисляют по уравнению (11,22), которое выводится следующим образом. При сложении всех летучих компонентов в каждой части выражения у. = К.х. получают следующее выражение: 1 2 — 2 Ktxi L i^=H, L (H,21) 29
Поскольку все величины Кн равны нулю, то тяжелые одно- фазные компоненты можно не включать в сумму значений Кх.. Сумма мольных долей однофазных легких компонентов в паровой фазе обозначена как ^ут. Значение К. для летучих компонентов определяют при общем давлении системы и температуре кипения смеси. Мольные доли летучих компонентов в жидкой фазе вы- числяют с учетом количеств однофазных тяжелых компонентов, присутствующих в жидкости. Записывая уравнение (11,21) в виде функции, получают: f(T)= У (11.22) L \ L / Температура кипения соответствует такому положительному значению Т, при котором / (Г) = 0. Обычно задачу, прежде чем решить, формулируют следующим образом: определить тем- пературу кипения смеси, если известны состав жидкой фазы, общая мольная доля однофазных легких компонентов / У у \ L / и общее давление системы. Расчет можно производить при помощи итераций Ньютона или способом интерполирования (см главу I). Аналогично уравнению (И,22) можно легко получить следу- ющее выражение для расчета точки росы: f <п= 2 (п~3) i=£H,L \ И / В данной главе описано применение способов Ньютона и интер- полирования для решения функций / (Т) и F (Г) с целью опре- деления температур кипения и точек росы смеси. Нижний предел точности расчета, который может потребоваться в этом случае, равняется примерно 10~6. Другими словами, расчет температуры кипения смеси следует продолжать до тех пор, пока не будет найдено значение Т, при котором |/(Л , (11,24) Стремление к большей точности расчета может привести к резкому увеличению числа приближений. Расчет паро-жидкостного равновесия Установление паро-жидкостного равновесия соответствует обога- щению многокомпонентной смеси, достигаемому на одной равно- весной ступени. При этом смесь, состоящая из легких и тяжелых компонентов, можно разделить на паровую и жидкую части, что наблюдается при поступлении питания в ректификационную колонну. 30
В общем виде задача расчета паро-жидкостного равновесия для процесса многокомпонентной ректификации формулируется следующим образом. Задан состав исходной смеси. Требуется определить общие количества пара и жидкости (в молях) и составы фаз, находящихся в равновесии при заданных температуре и дав- лении. Ниже приводится методика решения задачи этого типа. Расчет количеств пара и жидкости (все компоненты летучи, т. е. могут находиться в обеих фазах). Питание, имеющее задан- ный состав, можно разделить на две фазы, если заданная темпе- ратура равновесия Т F лежит между температурой кипения Гкнп. и температурой точки росы Тт при данном давлении. Отсюда Тр удовлетворяет обоим условиям /(7,р)>0 (11,25) ?'(TF)>0 (11,26) где указанные f(TF) и F (Тр) определяют как /(гг)= (И,27) *=1 F (2>) = У р 1 (11,28) 1—1 Другой способ заключается в сравнении температур Тква^ и 7',г_ . Это требует предварительного определения температур кипения и точки росы для состава питания, рассчитываемых путем нахождения таких значений Т, при которых соответственно /(Г) = 0 и F (Т) = 0. Приводимый ниже вывод уравнений для расчета паро-жидкост- ного равновесия заимствован из литературы3. Если при задан- ных температуре и давлении смесь состоит из двух фаз, то при установившемся состоянии справедливо следующее уравнение материального баланса компонента i: FXi — VFyFi (II,29) Поскольку рассматривается равновесный процесс, то FXl=VFyFi+1^- (11,30) AFi Далее с учетом равенства F — VF~\~ Lp находят: FX ------'—Г~ (И,31) 31
гг Разделив числитель и знаменатель уравнения (П,31)Тна F и проведя преобразования, получаем следующее выражение: Уп— i (11,32) F и KF J Суммирование по всем компонентам для обеих частей уравне- ния (П,32) дает: ,= 2j, —П <"’33) 1=1 f Для удобства ЦИЮ р (Ар) обозначим Lf]F через ip и определим функ- (П,34) Искомое решение этого уравнения находят, если ф>'0 при условии р(ф) = О. Состав пара VF при паро-жидкостном равно- весии получают подстановкой этого же значения ф в уравнение (11,32). Состав соответствующей жидкости LF можно рассчитать через константу равновесия xF,—yFJKFi. С целью изучения особенности функции р(ф) и применения способа Ньютона для ее решения необходимо найти производную: р' С »=1 (11,35) - где функция р (ф) содержит с корней, из которых только два имеют физический смысл: значение ф = 0 и искомый корень Ф = фг. Поскольку р (0) ~ 0, р' (0) <3 0, р" (0) << 0 и р (1) »> 0, то мини- мум функции находится между ф = 0 и ф — 1. График этой функ- ции (рис. П-З) иллюстрирует, что г искомый корень фг больше, чем зна- Рис. П-З. График функции тени0 ф, при котором р (ф) мини- р (ф). мально, но меньше единицы. Если 32
в качестве начального значения принимают ф = 1, то способ Ньютона дает сходимость к искомому корню фг, поскольку зна- чения р (ф), р' (ip) и р" (ip) положительны при всех значениях ip, удовлетворяющих условию: фг ф 1. Если ф <Z ipm принято в качестве первого допускаемого значе- ния корня то, применяя способ Ньютона, получают корень ф — 0, так как 0 < ф < ф„(, р (ip) < 0 и р' (ip) < 0. На рис. П-З показаны также графики функции р (ip) для слу- чаев, когда 'Гр Гт. р и Тр ^кпи.» Определение ip способом Ньютона иллюстрирует следующий численный пример. Пример П-1. Данный пример представляет собой видоизменение задачп, которую решали Браун и др. 4. Однако для усложнения этой задачи при решении ее по уравнениям (11,34) и (11,35) вместо температуры ларо-жидкост- ного равновесия 43,3е С указанными авторами была задана температура 65,6' С. Браун и др. получили величину фг = 0,93, а в данном примере найдено значение г[у = 0,457. Условия и решение задачи приведены в табл. 1. ТАБЛИЦА Т Условия и решение примера П-1 Условия (1<’=1 /ноль) Решение (первое т)риближение ^1=1,0) X х (1 — 1 /К) компонент X К v (1-1/К) 11 —<1 — 1/К)]1 с2 0,0079 16,2 0,1280 1,9465 Сз 0,1321 5,2 0,6869 2,8851 изо-С4 0,0849 2,6 0,2207 0,3531 /(’Сд 0,2690 1,98 0.5326 0,5219 ПЗО-С5 0,0589 0,91 0,0536 —0,0049 »-С5 0,1321 0,72 0,0951 —0,0266 св 0,3151 0,28 0,0882 —0,0635 1,8051 5,6116 * Показатели К определяли при t — 65,56 °C и избыточном давлении р=3,5 пш. Детально разобрано первое приближение, а для остальных приближений даны только конечные результаты. При первом приближении рассчитаны величины р (i):,) = 0,8051 и р' (фх) — 5,6116. Определение ф, проведенное по формуле Ньютона, дало величину ф2 = 0,8565. Дальнейшие итерации привели к следующим .значениям указанных величин: При- ближе- ние 2 р(ф2) = 0,3671; 3 р(фз) = 0,1206; 4 р(ф4) = 0,0261; Результаты р' (Фг) =1.8370; /ЛФз) = 0,8237; Р' Ш = 0,4927; Фз = 0,6567 ф4 —0,5102 ф 5 = 0,4573* •Исходя из 4’6 = 0,4573, получено р 0|ч)= S = 0,00246 и окончательное значение т]р» = 0,4511. 3 Ч. Д. Холланд, 33
Условие и решение примера И-2 ТАБЛИЦА 2 Условия ( S FX =1,0; Г=1,25 люлъ) \г + L / Решение (первое приближение Ф& = 0,1884) компонент к * и= X х (1—1/К) 1-% (1-1 /К) [1-+6 (1-1/кр Однофаз- ный легкий 0,2000 оо 0,2464 0,3036 С2 0,0063 16,2 0,0076 0,0086 Сз 0,1057 5,2 0,1247 0,1188 изо-С^ 0,0679 2,6 0,0768 0,0535 и-С4 0,2152 1,98 0,2873 0,1295 изо-Сй 0,471 0,91 —0,0462 —0,0045 н-С5 0,1057 0,72 0,0985 -0,0357 с6 0,2521 0,28 0,1698 —0,2941 0,2797 * Показатели к определили при 4 = 65,5 6° С и избыточном давлении р = 3,5 ат В табл. 2 приведены условия и решения примера П-2. В результате первого приближения рассчитаны следующие значения р (гр). При- 'ближе- Результаты ние 1 р(ф2) =0,4276; р' (Ф2) = 2,0877; фз —0,4297 2 Р(Фз) —0,1443; р' (фз) = 0,9001; ф4=0,2694 3 д(ф4) = 0,9375; р' (ф4) = 0,4622; ф3 = 0.1884 4 р(ф5)^ 0,0074; Р' (ф5) = 0,2797; ф6 = 0,162 Следует указать, что уравнение (11,34) можно решить также способом интерполирования. Изучение графика р (ф) показывает, что получаемая при этом способе сходимость к искомому корню обеспечивается, если первые два значения ф (применявшиеся для начала интерполирования) дают положительные значения для р (ф). Величина ф = 1 удовлетворяет этому условию и при- нимается в качестве первого (ф^ значения ф. Второе значение ф выбирают следующим образом. Произвольно берут какую-либо величину ф = фк, лежащую между ф — О и ф = 1. Если р (ф)я<0, то исследуется значение ф, равное (1 + фк)/2. Величины ф, близкие к фх, проверяются до тех пор, пока не будет найдено значение ф2, при котором р (ф) 0. Применение значений ф4 я ф2 позволяет определить улуч- шенное значение ф3 по формуле интерполирования [см. уравне- ние (1,17)]. 34
Условия паро-жидкостного равновесия можно описать уравне- ниями, имеющими другую форму. Например, если ур. заменить в уравнении (11,29), то получают следующее выражение: С (11,36) производная которого ^>=2[i-Ai-4.)F (I737) 1=1 Буквой ф обозначено отношение V IF. В этом случае задача сводится к нахождению положительного значения, т. е. Ч7 > О, при котором Р (Ч7) = 0. Для значении Ч7, лежащих в интервале 0 Ч7^!, функция Р (Ч7) аналогична показанной на рис. П-З для р (ф). При применении способа Ньютона для решения уравне- ния (11,37), когда Р (Ч7) = 0, сходимость к искомому положитель- ному корню обеспечивается в том случае, если начальное значе- ние Чг ~ 1. Расчет количества пара и жидкости (присутствуют однофазные компоненты). Если питание содержит как однофазные легкие и тяжелые компоненты, так и летучие компоненты, функция р (ф) для расчета паро-жидкостного равновесия принимает вид При этом для однофазных легких компонентов (ijKгг)=0. Решение уравнения (11,38), имеющее физический смысл, можно получить для любых значений температур и давлений. Для величины Т, лежащей в интервале между нулем и беско- нечностью, значение ф, при котором р (ф) = 0, лежит внутри следующего интервала: 2 х/ >Фг> (11,39) Н Нижнее ограничение для фг соответствует существованию жидкой фазы, состоящей только из однофазных тяжелых компо- нентов, а верхнее ограничение отвечает образованию жидкой фазы, включающей все компоненты, кроме однофазных легких компонентов. Для питания, которое состоит из однофазных легких и лету- чих двухфазных компонентов, существует значение ф, имеющее физический смысл и дающее р (ф) = 0, если исходная температура 3* 35
фазового равновесия ниже температуры точки росы при данном давлении, т. е. F(Tf)>Q (11,40) Здесь F(Tp) определяют по уравнению (11,28); при этом питание можно разделить на две фазы. Для 0 •< TF Тт р (питания) значения ф>0, при котором р(ф) = О, имеют следующие ограничения: (П,41) >L Аналогично для питания, состоящего из однофазных тяжелых и летучих двухфазных компонентов, также существует значение ф, имеющее физический смысл и дающее р (ф) = 0, если исходная температура фазового равновесия выше температуры кипения (для состава питания) при данном давлении, т. е. /(^)>0 (11,42) Здесь / (Тр) определяют по уравнению (11,27). При этом пита- ние можно разделить на две фазы. ДдяТв,„.<Г_< оо значения фг имеют следующие ограничения: 2хя<фг<1 (11,43) н Верхнее и нижнее теоретические ограничения для темпера- туры, которыми являются нуль и бесконечность, в практических условиях можно заменить значениями Tv L и Т7 L Для систем, содержащих один и более летучих двухфазных компонентов, а также однофазные легкие или однофазные тяжелые компоненты, функция Р (Т) имеет вид ' <IU4) Понятно, для однофазного тяжелого компонента значение &FH = 0. Следует отметить, что при нахождении корня уравнения Р (Ф) = о для значений ф > 0 с помощью итераций Ньютона или интерполированием в качестве первого значения принимают наибольшее, имеющее физический смысл и определяемое следу- ющим уравнением: 41=^4 =2*; (11,45) *=/ г 36
Аналогично для функции F (Чг) находят наибольшее физически возможное значение Чг, которое рассчитывается так: У РХ( -= 2 х< (ПЛ0) i : II Применение уравнения (11,44) иллюстрируется решением при- водимого ниже примера. Пример II-2. При добавлении 0,25 моль однофазного легкого (инертного) компонента к 1 моль углеводородов, имеющих состав, описанный в примере П-1, получают состав питания, приведенный в табл. 2 для данного примера. Применяя способ Ньютона с первым значением Sfx,7(F)=o,8 после пяти приближений получаем: Тг = Гг/^-=0,162 2^-1 = 0,0074 »=1 Расчет адиабатического процесса однократного испарения Наиболее часто возникают два типа задач, рассматриваемых ниже. Сформулируем первую задачу: известны температура и давле- ние однократного испарения; необходимо определить темпера- туру питания, которая соответствует адиабатическому ведению процесса. Во второй задаче следует установить температуру однократного испарения и составы равновесных фаз, если известны температура исходной смеси и давление однократного испарения (задача дросселирования). Определение температуры питания, необходимой для проведе- ния однократного испарения при заданных условиях. Вначале определяют количество пара, образовавшегося в процессе одно- кратного испарения при соответствующих составах xFi и yf.. В данном случае энтальпию каждой фазы находят по формуле: (П.47) С i=l И с нFtypi 1=1 (П.48) 37
Таким образом, энтальпия питания, обеспечивающая адиаба- тическое ведение процесса однократного испарения, определяется уравнением / vF \ / lf \ р~ j F' \ —p~J bp (11,49) Задача теперь сводится к нахождению температуры питания, соответствующей этому значению Н. Если все компоненты летучи, энтальпию жидкого питания рассчитывают по формуле (11,50) /=1 Для питания, содержащего однофазные тяжелые компоненты, энтальпию вычисляют аналогично. Допустим, что функция 6)( (Тп) характеризуется выражением Ьп(Тп) = Н-Нп (11,51) где Н — значение энтальпии, вычисленное по уравнению (11,49); Нп — значение энтальпии, определенное по уравнению (11,50), для принятой температуры Тп. Искомой будет температура питания, при которой б,г (Тп) = 0. Для нахождения этого значения температуры можно применить способ Ньютона или интерполирование. Определение TF и количества фаз при заданных давлении однократного испарения и энтальпии питания. Помимо указан- ных выше условий, предполагается, что процесс однократного испарения проводится адиабатически. Ниже описаны два варианта решения этой задачи. При первом варианте пользуются способом интерполирования следующим образом. Для каждой из двух температур однократного испарения Тп и Тп+1, которые удовлетворяют необходимым условиям образо- вания двух фаз, уравнение (11,34) пли (11,36) решают для LF (или Пр) при помощи итераций Ньютона или интерполирова- нием. Затем по уравнению (11,49) вычисляют общую энтальпию питания, соответствующую каждому из указанных значений Т. Примем, что Н — заданная энтальпия питания; Нп, Н„+1 — энтальпии питания, определяемые уравнением (11,49) для темпе- ратур однократного испарения Тп и Г„+1; 6,2 = Н — Нп. Определив эти величины, находят улучшенное значение темпе- ратуры однократного испарения по формуле интерполирования: Тп,2 б„+1Г„ — м,;+1 (11,52) Если рассчитанное по уравнению (11,52) значение Тп+2 для питания, состоящего только из летучих компонентов, оказывается меньше температуры кипения или больше температуры точки 38
росы для состава питания при заданном давлении, то это значение заменяют соответственно на Тп+2 = + (11,53) пли Т , 4-Т п+1 г т. р. Т и+2g---------- (11,04) Для решения задачи данного типа по способу Ньютона — Раф- сона необходимо выразить тепловой баланс [уравнение (11,49)] как функцию только двух переменных Lp (или Уг) и Т F. Фор- мулы для материального баланса [уравнения (11,34) и (11,36), являются именно такими уравнениями. При другом подходе используют уравнение (11,36), выражая его через (Чг,71). Урав- нение (11,49) выражают также через эти переменные путем исклю- чения XF. и yFi. Значения yF. исключают следующим образом. Рассмотрим функцию С (Г1.55) 1=1 Поскольку VFyFi =FX{ ~ЬрХр., уравнение (11,55) приводится к виду Vp^F~^^^^F ^рН(хр)р. (11.56) С где Н (X)F= HFiX.—энтальпия 1 моль пара, определенная для состава 1=1 Г и прп температуре однократного испарения: H(xF)F = ^ if Fix Fi—am аль- г= 1 пия 1 моль пара, определенная для состава жидкости, образовавшейся прп однократном испарении и температуре испарения. Подставляя значения ГFHF из уравнения (11.56) в выраже- ние (11,49), получаем формулу FU-FH(X)f Lf [Н (%f)f (11.57) Здесь Н = Н (X) F - 1 (1 - Т) [Н (xF)F~ hF] (11,58) Аналогично тому, как было выведено уравнение (11,32), полу- чают, что XFi=~ 1 —Y(l—XF;)’ (П’59) 39
0 1,0 V=Vr/F Рис. П-4. График функции Р2(Т, Г): 1 — для относительно низких темпе- ратур; 2 — для относительно высоких температур. При помощи этого выражения с значений хр. можно выразить через переменные Чг и Т. Отсюда искомая функция, представля- ющая тепловой баланс, будет Р2 (чг!7’)=(1—1р) -Я-Я(Х)р где kFi~Нpi — hFi — теплота испа- рения компонента i при темпера- туре и давлении однократного испаре- ния. График функции Р2 (Т, Т} приведен на рис. II-4. Легко пока- зать, что 1\ (О, Т) >> Р2 (1, Т) и что отношения дР2 (0, T)/dxV и дР2 (1, T)/dW меньше нуля. Вторые производные функции Р2 по 4J' показывают, что при некоторой промежуточной температуре функция имеет точку перегиба. Для нахождения ряда значений V и Т, при которых одновре- менно Рг Р21), по способу Ньютона — Рафсона необходимо знать частные производные и Р2 по Т. Частную производную Pt по Т определяют из уравнения (11,37), а частная производная Т имеет вид дР! (Y. Т) дТ (11.61) Производные функции Р2 (¥, Т) будут следующими: дР2 (T. Т) 'V’ ^FiXiKFi t=l (Н.62) ар2 (Т, Т) _ дТ (П.63) 40
По способу Ньютона — Рафсона (см. главу I) решают следу- ющие уравнения, линейные по отношению ЛЧГ и ДГ: 0=P1J (w)Д¥+(^г)дг (1Ш) 0 = ДГ (11.65) В этих уравнениях и дт = Гн+1-Л, где индексы п и п 1 — соответственно принятые и вычисленные значения переменных. Функции Рг и Р2 и их производные, входящие в уравнения (11,64) и (11,65), определяют при значениях Т = и Т = Тп. После решения этих уравнений относительно ДгР и Д71 рассчиты- вают новые значения переменных для следующего приближения: Тп+1--=Тп^-ЬТ Необходимо отметить, что сходимость по Ньютону — Рафсону до искомого значения наблюдается в том случае, если применяется следующая методика расчетов. В качестве первого значения Чг берется [если в питании содержатся однофазные тяжелые компоненты, ЧГ1 определяется по уравнению (11,46)]. Если при расчетах получают отрицательное значение для Чг„+1, то это значение отбрасывают, а вместо него берется дг. д Т Чг„+1- —9 " (11,66) Аналогично в качестве первой величины для температуры следует брать значение, лежащее между температурами кипения и точки росы (при заданном давлении). Если при расчетах полу- чают значение Гя+1 меньше T^v или больше (для питания, состоящего из одних летучих компонентов), то это значение отбрасывают, а берут Т -1- т (1167) или Для иллюстрации решения задачи однократного испарения на основе уравнения теплового баланса (равенство энтальпий) рассмотрены примеры II-3 11-5. 41
ТАБЛИЦА 3 Состав исходной смеси для примеров П-З, П-4, П-5 Компонент FXi —.— Компонент FX. с2н4 2,0 С3Н8 10,0 с2н6 3,0 н-С4 60,0 С3Н6 5,0 изо-С± 20,0 Пример П-З. Жидкое питание указанного состава необходимо подверг- нуть адиабатическому однократному испарению при давлении 21 ат и тем- пературе 315,5° С. Найти количество образовавшегося пара (в моль) и энталь- пию питания. Пример П-4. Жидкое питание с энтальпией 30 750 кдж/(«кал-кг_1-люль_1) нужно подвергнуть адиабатическому однократному испарению при давле- нии 21 ат. Найти количество образовавшегося пара (в моль) и температуру однократного испарения способом интерполирования. Пример П-5. Условия аналогичны примеру П-4. Найти количество образовавшегося пара (в моль) и температуру однократного испарения способом Ньютона — Рафсона. Составы исходной смеси для примеров П-З—П-5 приведены в табл. 3. Данные примеры являются одной и той же задачей, но решенной различными путями. Количество пара для примера П-З найдено при помощи итера- ций Ньютона по уравнению (111,36), а соответствующая энтальпия вычислена по уравнению (11,49). Результаты приведены в табл. 4. Для примера П-З получены также следующие результаты:» Т.................. 0,1508 Lf................. 84,92 Pf ................. 15-08 Н* ................. 30 750 * В кдж!(ккал-кг~г • моль-1). По способу Ньютона требуется шесть приближений для полу- чения значения с точностью С ^xFi~^ 4=1 ТАБЛИЦА 4 Найденные составы паровой и жидкой фаз для примеров П-З, П-4, П-5 Компонент xFi УР1 Компонент xFi VFi с2н4 0,012427 0,062634 c3Hs 0,090999 0,150671 С2н6 0,020753 0,082058 M.W-C4 0,203308 0,180872 СзН6 0,044231 0,082478 К-С4 0,628193 0,442870 42
ТАБЛИЦА 5 Результаты решения примера 11-4 Заданная температура однократного испарения * °C хр- Значение 4е, дающее Pi (Чг) = 0 для заданной температуры Корректированная температура однократно! о испареш я °C номера приближений, при которых Pi (49 = 0 90,55 0,63812 8 101,67 0,68388 4 93,30 93,30 0,11534 7 92,94 92,94 0,13713 7 93,35 93,35 0,15152 7 93,33 93,33 0,15096 7 93,33 * ТкИ[1. = 87’85° С 11 Тг. р. = Ю4,07°С. Поскольку в качестве условия для примера П-5 принята энтальпия питания, полученная в результате решения примера П-4 (табл. 4 и 5), то отсюда следует, что оба примера имеют одно общее решение. Искомые значения для Т и Т определены по уравнениям (11,36) и (11,52). Как указывалось ранее, при каждом значении Т, най- денном из выражения (11,52), уравнение (11,36) решается для значения Т, которое дает Рг (Ф, Т) 0. Расчеты можно проводить по способу Ньютона или интерполированием. В данном случае был принят способ Ньютона. Полученные результаты приведены выше (см. табл. 4). Пример П-5 иллюстрирует применение итераций Ньютона — Рафсона для решения задачи с условиями, аналогичными усло- виям примера П-4. Этот способ применяется следующим образом. Сначала по уравнениям (11,36), (11,37) и (11,60) — (11,63) опре- деляют функции Р±, Р2 и пх частные производные для заданных значений и Т (т. е. — 1 и Т — 96,00° С); затем решается Результаты решения примера 11-5 ТАБЛИЦА 6 Заданные значения Pt Рг Корректированные значения т Ч т 1,0 204,72 0,13011 —519,6 0,27291 198 01 0,27291 198,01 0,01482 —559,9 0,16468 198,36 0,16468 198,36 0,002887 —4,004 0,15178 199,58 0,15178 199,88 0,0001919 0,2852 0,15088 200,00 015088 200,00 0,000001 0,00195 0,15087 200,00 43
уравнение Ньютона — Рафсона [уравнения (11,64) и (11,65)] одновременно для и АТ и, исходя из полученных данных, определяют улучшенные значения для Ч1' и Т. Повторение этой процедуры позволяет получить результаты, приведенные для данного примера в табл. 4 и 6. При сравнении способа Ньютона — Рафсона с интерполиро- ванием первый имеет некоторое преимущество. * * * ★ При переводе данной книги Ч. Холланда главы, посвященные термо- динамике равновесия жидкость — пар, опущены. Эти главы содержат изве- стные данные Келлога, Де-Пристера, Эдмистера, диаграммы NGAA, а также ряд полуэмпирических уравнений для определения коэффициентов актив- ности (Воля, Маргулеса, Ван-Лаара, Редлиха — Кистера и др.). Ниже описаны наиболее точные аналитические методы фазового равновесия в мно- гокомпонентных системах, получивших наибольшее применение в последнее время. — Доп. ред. * Расчеты паро-жидкостного равновесия на ЭВЦМ * В книге Ч. Холланда рассматривается ряд методик расчета паро-жидкостного равновесия, однако во всех случаях прини- мается допущение, что константы фазового равновесия являются функцией температуры и общего давления. Такое допущение справедливо только для идеальных жидких и газовых смесей. Между тем углеводородные системы (даже легкие углеводороды каждого гомологического ряда) не являются идеальными смесями. Особенно существенны отклонения от указанного допущения для систем, содержащих значительные количества более тяжелого углеводорода (например, С4 или С5). Экспериментальные данные показывают, что погрешность в определении константы К = = / (р, 71) может составлять 40%. Еще большие отклонения от идеальных смесей могут давать другие сложные системы, обра- зующиеся при различных органических синтезах. Следует подчеркнуть, что внимание к точному определению констант фазового равновесия для целей статического расчета ректификации по теоретическим ступеням разделения (тарелкам) является совершенно оправданным, даже в том случае, когда значения эффективности реальных тарелок представляются доста- точно неопределенными. Дело в том, что в оптимальных режимах работы ректификационных колонн, т. е. при небольших избытках флегмового числа5 (о = 1,1—1,15) зависимость тепловой на- грузки на дефлегматор от числа тарелок весьма слабая, поэтому она не является определяющей. В то же время нагрузка на де- флегматор сильно зависит от степени обогащения на каждой та- релке, а также от состава продуктов разделения, которые в свою очередь определяются константами фазового равновесия. Иными * Раздел написан проф. В. М. Платоновым. 44
словами, правильное определение энергозатрат на разделение данной смеси связано с достоверностью констант фазового равно- весия. Поэтому в последние годы уделяется большое внимание развитию точных соотношений для равновесия жидкость — пар, удобных для машинных методов расчета. Обобщенные соотношения для расчета равновесия жидкость — пар в углеводородных смесях, развитые Чао и Сидером 6. Известно, что для неидеальных газовых смесей и растворов константа фазового равновесия, помимо параметров состояния Т и Р, зависит также от состава равновесных фаз. Согласно рассматриваемой методике константа фазового равно- весия определяется тремя факторами X<=^-=v? (11.09) где — коэффициент летучести (фугитивности) чистого i-того компонента в жидкой фазе; у, — коэффициент активности i-того компонента в жидкой фазе (в растворе); — коэффициент летучести i-того компонента в паровой смеси. Авторы выбрали именно такую форму для выражения кон- станты фазового равновесия, чтобы максимально использовать методы, изложенные в литературе, для определения отдельных величин в уравнении (11,69). Коэффициент v® = /?jL/Р вычисляется по принципу соответ- ственных состояний, модифицированному Питцером 7. Коэффициент v® вычисляется из уравнения lg V®—lg v'0! Н-со lg v‘1’ (11,70) где значения и vW зависят только от приведенных параметров состояния Тг и Рг: }ё^^А^^ + А2Тг + А3Т^^А^ + (А5-'гА6Тг+А7Т^ Рг + + G48-M97\)P?-lgP,. (11,71) lg v(i) =—4.238934-8,65808Гг--^^ — 3,15224713 —0,025 (Pr— 0,6) (JA.ll) где vC0)—коэффициент летучести в жидкой фазе для простых жидкостей, характеризующихся нулевым значением ацентрического фактора <0; v(1) — корреляционный параметр. Ниже приведены значения коэффициентов в уравнении (11,71) (табл. 6а). 45
ТАБЛИЦА 6 а ТАБЛИЦА 66 Коэф- фи- циент Простые ЖИДКОСТИ Метан Водород До 5,75748 2,43840 1,96718 Ai —3,01761 —2,24550 1,02972 Аз —4,98500 —0,34084 —0,054009 Аз 2,02299 0,00212 0,0005288 Л4 0 —0,00223 0 Л5 0,08427 0,10486 0,008585 Лб 0,26667 —0,03691 0 А? —0,31138 0 0 Ад —0,02655 0 0 А» 0,02883 0 0 Коэф- фи- циент Простые жидкости Метан Водород Ао 2,05135 1,36822 1,50709 Ai — 2,10899 —1,54831 2,74283 Аз 0 0 —0,02110 Аз —0,19396 0,02889 0,00011 Ад 0,02282 —0,01076 0 А& 0,08852 0,10486 0,008585 Ав 0 —0,02529 0 А? —0,00872 0 0 Ад —0,00353 0 0 Ад 0,00203 0 0 Коэффициент Yf = Л/(я^/“,е) определяется на основе теории регулярных растворов по уравнению Гильдебранда lnVf= (П.73) При определении у, необходимо знать значения двух констант для каждого компонента: молярного объема жидкости Vf и па- раметра растворимости Величина 6 является усредненным зна- чением параметра растворимости смеси: (4,74) Величину 6. можно определить по формуле Гильдебранда \Е. 6г_~г (П,75) где ^Еу — теплота испарения. Коэффициент Ф. = /{/у{Р находят по уравнению состояния Редлиха — Квонга: In Ф4.= (г —1) —In (z — ВР) где А2 4 В In (И,76) 1 А* 1—h' В 7 ВР h~--- z (4,77) В h Здесь А = 2 yiA i в 2 i i А 0,4278 Тс2.,5 \0,5 Рс^2’5 ) ^ = 0,0867 Tei РаТ 46
Коэффициент летучести чистого компонента в жидкой фазе является основным сомножителем в уравнении (11,69), опреде- ляющим значение константы равновесия. Точность расчета может быть повышена, если коэффициенты в уравнениях (11,71) и (II,72) находят путем обработки экспериментальных результатов для соединении данного класса. Для легких углеводородов при тем- пературе выше критической уравнения Питцера не могут приме- няться, и величину v° определяют только из экспериментальных данных по равновесию. Аналогично приходится поступать и при определении значения параметра растворимости <5.. Расчет температур точки росы или температур кипения с уче- том состава равновесных фаз по методике, описанной выше, можно в ыполнить только численными методами, т. е. с применением ЭВЦМ. При расчете требуется проводить итерации как по темпе- ратуре, так и по составу одной из равновесных фаз. Алгоритм расчета должен быть направлен на убыстрение сходимости итераций и сокращение времени вычислений равновесного со- става, поскольку этот фактор имеет крайне существенное значение для расчета процесса ректификации. Искомые температуры являются корнями следующих уравне- ний: Ч (Л ^К< (Т, Р, х±, х2....хс уь . . уе) xt — 1 = 0 (Н,78) i=l или с Ч(Т) = -------Ei---------------0 (11,79) Ki (7 Р, хъ х2...хе, уъ . . ., ус г=1 По уравнению (11,78) определяется температура кипения, по уравнению (П,79) — точка росы. На первом этапе расчет по уравнениям (11,78) и (11,79) прово- дится без учета зависимости констант фазового равновесия от состава фаз, т. е. принимается у. — const и = const. Итерации по температуре на конечной стадии, когда два последних значения функции ср (Т) имеют разные знаки, прово- дятся по полусумме: = (11,80) После достижения определенной точности | ср (71) | е в даль- нейшем расчете учитывают зависимость констант фазового равно- весия от состава фаз. Уточнение констант фазового равновесия (т. е. итерации по составу) осуществляется при найденном значении температуры следующим образом. 47
При прежнем значении Л?х определяют состав равновесной фазы, затем по уравнениям (11,73)—(11,77) вычисляют значения у,- и ф., по которым находят значения К™х- [уравнение (11,69)]. Итерации по составу при каждом значении температуры заканчивают после того, как погрешность кг ' 0,0001 (П.81) Значение критерия составляет Е <4 0,1 в начале итераций и Е <Z 0,0001— в конце. Если выражение (П,81) не удовлетворя- ется, то новое значение К. определяют как среднегеометрическое кг- • кр,х- (11,82) Поправки на пеидеальность жидкой и паровой фаз находят по уравнениям (11,73)—(11,77), причем уравнение (11,77) — куби- ческое относительно h — решается аналитически по формулам Кардано с выбором наименьшего корня, соответствующего паро- вому состоянию. Если уравнение (11,77) имеет только один дей- ствительный корень, соответствующий жидкому состоянию (г<Хр= = 0.27), то осуществляется переход к более высокой температуре. Шелтон и Вуд6 решали уравнение (11,77) численными методами с использованием итераций Ньютона, однако в их алгоритме нет операций по выделению корня, относящегося к паровой фазе, что может приводить к ошибкам в вычислении констант равно- весия *. Методика расчета на ЭВЦМ паро-жпдкостного равновесия смеси мольного состава /Л У — 1 при температуре Т, прово- димая с учетом зависимости констант равновесия от состава фаз, имеет дополнительный итеративный цикл по V-мольной доле смеси в паровой фазе: ____£>__ (Ki — 1) Xi или 4 1-У4 VKi (11,83) (Н,84) * Ф. В. Петлюк, В. С. Аветьян, В. М. Платонов. Химия и технология топлив и масел, № 8, 13 (1967).
Итерации по мольной доле паровой фазы проводятся в за- висимости от самой величины V и знака о = 2^#— г 1 , 1 при >0.4 о > 0 (i-И тг при V1' 0.4 а 0 1 (Н.85) —р-) при V1' > 0,4 с >4 0 р-+1^Уг—А (1 —р-) v при Vr л; о,4 а 'С 0 1 Полный итеративный цикл повторяют с новым значением V, полученным по уравнению (11,85), и значением К г найденным по уравнению (11,82), если величина погрешности Е превышает значение 0,01. Если два последовательных значения V и Ег+1 приводят к изменению знака о, то применяется линейная интерполяция , с целью определения V, соответствующего 0=0. I о г 1 (U(8G) 1 Одновременно уменьшается погрешность в определении значе- ний К. до значения Е < 0,0001. Расчеты оканчивают при значении о <С 0,0001. Если такая точность не достигается, для вычисления нового значения V применяется трехточечная интерполяция Лагранжа: __ y>-gr+igr+2 yr-nar+2gr (ог— d’‘+1) (<Jr—О'‘+2} ‘ (ог41 — ч'+2) (or+1—ог) __________p42CTrqr+l_________ л (0»+2 — (ср-+2 — (jr+lj (11,87) Если система при заданной температуре существует только в виде жидкости или только в виде пара, то при применении уравнения (11,85) изменения знака о не происходит, а значение V изменяется в одном направлении, стремясь в первом случае к нулю, а во втором — к единице. Тогда применяется другой критерий окончания расчетов по значению величины V. Расчет оканчивается, если V <Z 0,0005 или V j> 0,9995. Время одного расчета задачи фазового равновесия при использовании программ, созданных на основе описанных алгоритмов, состав- ляет для машины «Минск-2» около 5—10 сек. 4 Ч. Д. Холланд. 49
Область применения методики следующая: а) Для углеводородов (кроме метана) температура т = 0,5— 1,3 от критической температуры чистых компонентов; давление до 140 ат, но не выше л = 0,8 от критического давления системы. б) Для легких газов (водород и метан) температура от —73° С до т — 0,93 от псевдокритической температуры равновесной жидкой смеси, но не выше 260° С (псевдокритическая температура подсчитывается, как среднемольная от критических температур этих компонентов); давление не выше 560 ат. Показано 8, что методику можно применять для углеводород- ных смесей с водородом, окисью углерода (давление до 210 ат), сероводородом (несколько процентов) и др. Ниже (табл. 66) приведены другие значения коэффициентов в уравнении (XVIII,3). Исследования, проведенные на матине «Минск-2», показали, что коэффициенты уравнения (11,71) дают результаты, лучше соответствующие экспериментальным данным (см. табл. 6а). Од- нако в ряде случаев наименьшая ошибка была получена при ком- бинированном использовании коэффициентов Ао -> А9 для метана, приведенных в табл. 6а, а для остальных углеводородов — в табл. 66 (см. стр. 46). Средняя точность метода по водороду составляет около 10% (за исключением водородных смесей с этиленом при отрицатель- ных температурах, для которых ошибки могут достигать 30%). Отклонения расчетных данных от экспериментальных для смесей с метаном также лежат в пределах 10%. Ниже (табл. 6в) приводятся результаты расчета равновесия на машине «Минск-2» с учетом состава фаз и без него, которые сравниваются с экспериментальными данными. Нашими расчетами подтвержден общий вывод о том, что рас- сматриваемая методика дает наиболее точные значения констант ТАБЛИЦА С,в № смеси Компонент Состав жидкой фазы % Состав паровой фазы % Кон- станта равнове- сия Константа равновесия ^рас’г. О тносительная погрешность, % С учетом состава без учета состава с учетом состава без учета состава 1 Метан 12,53 57,65 4,601 4,6204 6,00 0,422 30,20 Этилен 12,45 22,40 1,7992 1,7766 1,75 —1,257 —2.73 Изобутан 75,02 19,95 0,2659 0,2656 0,32 —0,113 50,15 2 Метан 6,9 33,55 4,862 4,916 6,00 1,112 23,3 Этилен 27,9 48,15 1,726 1,770 1,75 2,569 1,39 Изобутан 65,2 18,30 0,281 0,280 0,32 —4,431 13,90 50
равновесия для компонентов, близких к среднемольной темпера- туре кипения данной смеси. Расчет паро-жидкостного равновесия углеводородных смесей по уравнению состояния Бенедикта — Вебба — Рубина. Если расчет основных термодинамических свойств проводить на основе уравнения состояния, то наиболее точным аналитическим соот- ношением, описывающим поведение легких углеводородов для однофазной и двухфазной областей, выше и ниже критического давления, является уравнение Бенедикта — Вебба — Рубина, предложенное ими в 1950 г.9’10. Бенедикт и др. распространили это уравнение и на смеси легких углеводородов, разработав методику вычисления констант (уравнение БВР имеет восемь констант) для смеси в зависимости от ее состава и значений этих констант для чистых компонентов. Уравнение состояния БВР, связывающее давление, темпера- туру и мольную плотность, имеет следующий вид: P—RTcl-\- (ВцНТ — Аь— d2 + (bRT — a) + cd3 + [(1+Yd2)exp(—^2)1 (11,88) Для смесей эти коэффициенты вычисляются по следующим Значения коэффициентов в уравнениях (11,88) и (11,89) для чистых компонентов приведены в табл. 6г. Если температура и давление заданы, то для определения зна- чения мольной плотности применение уравнения БВР возможно только при использовании метода последовательных приближений. Для каждой температуры существует определенный интервал давления, внутри которого находится больше одного действитель- ного корня. Понятно, что наименьшее значение корня отвечает плотности паровой фазы, а наибольшее — жидкой. Изохорный потенциал может быть выражен через давление, температуру, плотность и состав смеси следующим образом: (11,90) 51
ГАБЛИЦА 6г Коэффициент Метан Этан Пропан Изобутан н-Бутан Ао, 1,85500 4,15556 6,87225 10,23264 10.0847 Boi 0,042600 0,06277 0.097313 0,137544 * 0,124361 COi 0,022570 0,179592 0,508256 0,849943 0,992830 ai 0,494000 0,345160 0,947700 1,93763 1,88231 bi 0,003380 0,011122 0,0225000 0,0424352 0,0399983 c{ • 10“6 0,00254500 0,0327670 0,129000 0,286010 0,316400 a • 103 0,124359 0,243389 0,607175 1,07408 1,10132 у • 102 0,60000 1,18000 2,20000 3,40000 3,40000 Продолжение табл, вг Коэффициент Изопентан н-Певтан Гексан Гептан Этилен Пропилен A)i 12,7959 12,1794 14,4375 17,5206 3,33958 6,11220 Rot 0,160053 0,156761 0,177813 0,199005 0,055683 0,0850647 Coi 1,74632 2,12122 3,31935 4,74574 0,131140 0,439182 ai 3,75620 4,07480 7,11671 10,36475 0.259000 0,774056 bi 0,0668120 0,0668120 0,109131 0,151954 0,008600 0,0187059 Ci-lQ-v 0,695000 0,824170 1,51276 2,47000 0,021120 0,102611 a • Ю3 1,70000 1,81000 2,81086 4,35611 0,17800 0,455696 у • 102 4,63000 4,75000 6,66849 9,00000 0,923000 1,82900 Подстановка в это уравнение значения давления, получаемого из уравнения состояния, позволяет выполнить интегрирование: С Ат= 2^ {RT ^(dRTz^+U'i-TS^] + »=1 +(ьнтri+fMj--») rVd2 1 — exp (—?d2)-exp (—yd2) (1Г,91> где верхний индекс «о» обозначает идеальное газовое состояние при одной атмосфере и температуре системы. Летучесть компонента в смеси может быть также выражена через изохорный потенциал смеси и термодинамические свойства, относящиеся к идеальному газовому состоянию: / АД \ RT 111 - Ыг) <1, Т,. - + TS> ”Rт (11.92) 52
или после подстановки и дифференцирования летучесть компо нента в смеси выражается уравнением = 1пОЯ?7Ч)+ (Яо-ад ВТ-2{АйАй;) >*- 2(СоСр/)1/г' 7'2 Д- — [НТ (ьгь.)1/’—(rt2f7 )*/»]d2 L А [я (аЗд.)1 1-|-а (а2а,)1/з] </5 + 2 5 , 3<?2 (СЖ-)1/з Г 1— ехр (— yd*) ехр(—7^)1 + Г2 L yd2 2 ЪРС /V;\’/2 Г 1 — ехр(-YtZ2) yd2 exp (—yd2) ] Т12 v ) L yd2 } } 2 J (П,93> Программа расчета фазового состояния смеси (для однофазного и двухфазного состояний) содержит следующие последовательные операции: 1. Ввод исходных данных по составу, температуре и давлению смеси. 2. Расчет паро-жидкостного равновесия с предположительными значениями констант фазового равновесия. В результате расчета определяют составы равновесных фаз. 3. Определение плотности каждой фазы по уравнению состоя- ния (И,88) методом итераций, проводимое с точностью до 0,0015 кг • моль/м3. 4. Расчет летучести каждого компонента в каждой фазе по уравнению (11,93). 5. Умножение текущего значения константы фазового равнове- сия на значение летучести компонента в жидкой фазе и деление на значение летучести компонента в паровой фазе. 6. Использование новых значений констант фазового равнове- сия для того, чтобы определить, находится ли смесь внутри двух- фазной области, и затем расчет паро-жидкостного равновесия. Для получения указанных результатов обычно достаточно от трех до десяти циклов (п. 3—6). 7. Вывод результата, содержащего составы равновесных фаз, значение констант фазового равновесия, плотности фаз и коли- чества каждой фазы. Точность расчетов паро-жидкостного равно- весия по методике БВР примерно такая же, как и по Чао — Си- деру, однако недостатком методики БВР является то, что уравнение состояния справедливо только для углеводородов, и поэтому присутствие водорода сильно снижает точность расчета. Присут- ствие в смеси небольших количеств азота и двуокиси углерода допустимо. Ошибки расчета возрастают, если в смеси содержатся значи- тельные количества компонентов тяжелее гептана. Сравнение методик Чао — Сидера и БВР для расчета равновесия в системах 53
ТАБЛИЦА бд Компонент Число точек Средний абсолютный % отклонения методика Чао—Сидера методика БВР Парафиновые углеводороды Метан 204 8,9 - 5,2 Этан 221 9,2 10,2 Пропан 247 6,8 7,5 Изобутан 49 5,4 4,8 «-Бутан 142 7.1 7,2 Изопентан 39 3,4 3,8 «-Пентан 101 9,6 8,8 «-Гексан 32 8,3 5,3 н-Гептан 118 8,3 11,3 Олефиновые углеводороды Этилен 102 10.8 11,0 Пропилен 72 5,3 3,4 Изобутилен 18 3,8 3,8 Итого . . 1345 7,9 7,7 легких углеводородов с арбитражными экспериментальными дан- ными приведено в табл. 6д. Сравнение проведено в широкой области по 12 легким парафи- новым и олефиновым углеводородам. Рассмотрены парафиновые углеводороды от метана до и-гептана и олефиновые углеводороды от этилена до изобутилена включительно, причем взято более 1000 экспериментальных точек. Точность сравниваемых методик практически одинакова. Расчет фазового равновесия в многокомпонентных смесях по методике Вильсона. Описанные выше методики расчета паро- жидкостного равновесия применимы только к смесям легких углеводородов и некоторых других компонентов, поэтому они далеко не могут удовлетворить всех потребностей в равновесных соотношениях, которые необходимы для оптимального проекти- рования ректификационных процессов с применением ЭВЦМ. Если говорить о методике, включающей соединения различных типов и классов, то наиболее реальным подходом к созданию такой методики является использование экспериментальных данных по бинарным смесям, входящим в данную многокомпонентную смесь*. В этом смысле наиболее перспективен расчет паро-жидкостного равновесия, основанный па уравнении Вильсона п. Пользуясь этим методом, можно определить паро-жидкостное равновесие смесей различных классов, включая воду, полярные * См. также главу IX. 54
органические растворители (кетоны, спирты, нитрилы и др.)» азот-, серу- и галоидсодержащие соединения, нафтеновые и арома- тические углеводороды и т. д. Расчет свойств многокомпонентных систем проводится на базе основных термодинамических понятий. В частности, понятие об избыточной свободной энергии Гиббса (или избыточном термо- динамическом потенциале Гиббса) приложимо к пеидеальным жидким смесям. Количество избыточной свободной энергии GE (отнесенное к 1 моль жидкой смеси) выражается как функция состава при постоянных температуре и давлении, и из этого соотношения можно определить коэффициент активности у1; для любого компо- нента по следующему равенству: (И’94) где пе — общее число молей; пк — молп компонента к. GE выражается в виде полинома от мольных долей смеси, при- чем члены второго порядка и выше выражают отклонение смеси от идеальной, возникающее вследствие взаимодействия молекул; члены третьего порядка отражают взаимодействие трех молекул и т. д. Например, в соответствии с эмпирической зависимостью Ред- лиха — Кистера 12 для трехкомпонентной смеси можно записать: ziiL1_]ГгЕ I siE । siE Сг —^12 “Г ° 13 Т **23 Г ^123 Здесь первые три члена являются избыточными свободными энергиями для бинарных смесей, а — член более высокого порядка, который характерен для рассматриваемой трехкомпо- нентной смеси. Значение Gf. для бинарных смесей, по данным тех же авторов, может быть выражено в виде следующего ряда: -^- = х£(1-т£) (2^—1)2] (11,95) Постоянные коэффициенты 5, С и D должны определяться из экспериментальных данных. Опыт показал, что для неассоци- ирующихся жидкостей достаточно членов с коэффициентами В.. и С... I J Из описанного выше следует, что одним из недостатков такой аппроксимации является невозможность предсказать свойства многокомпонентной смеси, исходя из свойств отдельных бинар- ных пар. Иное выражение для избыточной энергии Гиббса было недавно предложено Вильсоном, который записал GE как логарифмическую функцию состава жидкости. Уравнение Вильсона позволяет 55
осуществить подход к расчету равновесия многокомпонентной смеси, используя только экспериментальные данные для бинар- ных смесей. Избыточная энергия Гиббса состоит из двух членов — избы- точной энтальпии и избыточной энтропии: Ge = He~ TSe (IT.9G) Если предположить, что для данного раствора GE:=0, у — 1, то раствор идеальный. Обычно для избыточного потенциала Гиббса принимают: 5ь' = 0, а IIе — полиномиальная функция мольной или объемной доли. Допущение Л’7 -0 означает, что рассматриваются только регулярные растворы. В основе понятия об идеальном растворе лежит следующее представление: мольные объемы чистых компонентов в таком рас- творе равны между собой и энергии взаимодействия между всеми молекулами одинаковы. От размеров молекул зависит изменение энтропии при смешении, а из различия их энергии взаимодействия возникает тепловой эффект при смешении, т. е. от этого фактора зависит энтальпия раствора. Поэтому энтальпия атермических смесей, характеризующихся одинаковым взаимодействием между всеми молекулами, аддитивно вычисляется из состава, как для идеальных смесей. При альтернативном допущении, что //' -0 и возникает указанное понятие об атермических растворах, которые изуча- лись Флори и Хюгинсом13,14 на примере полимерных растворов. Для этих растворов 1=1 где — объемная доля I; х, — мольная доля i. т VE (И,98) У. i=l где yf — мольный объем жидкости i. Для атермических смесей, у которых vL одинаково для всех компонентов, значение Ф, = х.; такие смеси являются идеаль- ными, и Ge = 0. Однако реальные смеси отличаются от идеальных не только различием в молекулярных объемах чистых компонен- тов, но и энергиями взаимодействия между молекулами. Уравнение Вильсона учитывает различие в размере молекул [см. уравнение (11,97)] и в межмолекулярных силах. 56
Вероятность связи между молекулами 1 и 2 в бинарном рас- творе определяется мольными долями этих компонентов в растворе и распределениями Больцмана ехр — (^12/^^) и ехр — (h^/RT). Параметры Л12 и Mi пропорциональны энергиям взаимодействия молекул 1—2 и 1—1. Соответственно изменяется выражение для объемной доли компонента в смеси [см. уравнение (11,99)]: (11.99} Избыточная свободная энергия Гиббса с С нт Здесь 1 у — £~ нт (11,100) и (П.101) нт VL Л »=-^ехр — Несмотря смеси на то НТ ~ что вообще Для - Xj In (XjЛ 12^2) Т2 1п (*^21^1 -^2) бинарной (11,102) Здесь Л12 = ехр — ' М2 — Ml L RT (11,103) Л21 = -у- ехр — Ж Mi — М2 RT J (11,104) Уравнение (11,100), строго говоря, справедливо только для изотермических условий. На основе зависимости (11,94) можно определить коэффициент активности: —In (11,105) 57
Для бинарного раствора коэффициент активности определяется уравнениями 1 n Yj — — 1II (X} 4- Лд2г2) 4- х2 Д— т——21 — 3 1ж14-Л12^2 Л21Ж14-^2 4 ПТ1ПЙ\ Г л * (11,10b) In 72 =- —In (г2 гЛ21;Г]) — Xj Г —Y-7--Ц—— L 4“ Л-12%2 Л21^14"х2 _ Уравнение Вильсона позволяет рассчитывать составы беско- нечно разнообразных равновесных многокомпонентных систем, так как сводит расчет к определению величины межмолекулярного взаимодействия бинарных растворов компонентов, входящих в многокомпонентную систему. Вывод зависимости Вильсона показывает, что взятый за основу подход справедлив только для взаимно растворимых веществ. Оказалось, что обработка экспериментальных данных по равнове- сию при помощи уравнения Вильсона превосходит по точности эмпирические зависимости, например уравнение Редлиха — Кистера (11,95). Присутствие в растворе молекул других веществ, отличных от выбранной бинарной смеси, может влиять на энергию взаимодей- ствия между молекулами данной бинарной смеси, поэтому рас- пространение уравнения Вильсона на многокомпонентные смеси нуждается в практической проверке. Однако следует иметь в виду, что в уравнение Вильсона входит разность энергий взаимодей- ствия (К ч — Луу), изменение которой может быть очень незначи- тельно, если предположить, что присутствие других молекул одинаково сказывается на энергиях взаимодействия рассматрива- емой пары. Проведена проверка 15'16 точности уравнения Вильсона для многокомпонентных (трехкомпонентных) смесей. Па неидеальных смесях было показано, что ошибка вычисления равновесия (по концентрации максимально отклоняющегося компонента) по урав- нению Вильсона не превышает 4,8% отн. Указанная средняя точ- ность метода Вильсона является высокой, если учесть, что точ- ность экспериментального определения лежит в этих же пределах, особенно в области низких концентраций. Величины Л12, Л21 или К.к сами по себе не зависят от состава раствора, однако для ряда экспериментальных точек находятся значения Л12 и Л21, отвечающие минимуму рассогласования между расчетом и экспериментом. Эти величины можно определить из экспериментальных данных по паро-жидкостному равновесию (х, у, Г, Р), иногда получают необходимые данные, исходя из состава азеотропных смесей. Вычисление коэффициентов активности в бинарной смеси можно проводить, исходя из общего давления смеси. Этот метод удобен тем, что общее давление замерять проще, чем парциальные давления компонентов. 58
Общее давление над бинарным раствором Р=У1Р1~ГУ2Р2 (11,107)' где рг, р2 — парциальные давления компонентов для случая, когда жидкость идеальная смесь, а пар — неидеален. й=1Лир[ИД«> _*М1] (П.108) (11,109) где Ри, р22 п pi2 — второй вириальный коэффициент в уравнении состояния чистых паров п пх смесей 6]2 — 2 Pi2 — Pl 1 — р22 Обычно принимают, что вириальный коэффициент для смеси является средним арифметическим между значениями этого коэф-, фициента для чистого пара, т. е. б12 — 0. Такое допущение не дает большой ошибки, если вещества неполярны, но оно неприемлемо для ассоциирующихся жидкостей. Зависимости (24, х2) и у2 — /2 (х^ х2) получают обра- боткой экспериментальных данных17 по замеру общего давления Р методом наименьших квадратов с определением коэффициентов указанных зависимостей путем минимизации величины РЭКС1[ — Р . расч." Значение Ррасч> находят по уравнениям (11,107) — (11,109). Ус Л О В Н Ы Е ОБОЗНАЧЕНИЯ с — общее число компонентов. /(Г), f (Т)—функция температуры кипения и ее первая производная. F(T), F' (Т)— функция температуры точки росы и ее первая производная. F— количество питания в процессе однократного испарения (или при расчете паро-жидкостного равновесия), моль. // — энтальпия 1 моль питания. Hi — энтальпия 1 моль чистого /-того компонента в жидкой и паровой фазах прп температуре питания. hp, Ир—энтальпия 1 моль жидкости и 1 моль пара, образовавшегося при однократном испарении. ^Fi’ ^Fi — энтальпия 1 моль чистого г-того компонента в жидкой и па- ровой фазах при температуре однократного испарения. // (X)f— энтальпия 1 моль, рассчитанная на основе состава питания и энтальпии пара HFi при Т F. Н (Xp)F—энтальпия 1 моль, рассчитанная на основе состава xFi жид- кости, образовавшейся в процессе однократного испарения, и энтальпии пара HFi прп Гр. Нп — энтальпия питания при Тп. 59
Ki~ коэффициент пропорциональности между мольными долями i-того компонента в паровой и жидкой фазах в состоянии равновесия (т. е, =/G^) • Кь — то же для ведущего компонента. ав=1 1 Кр—значение К для i-того компонента при температуре и давле- нии для паро-жидкостного равновесия или однократном испарении. Lp — количество жидкости, образовавшейся при установлении паро-жидкостного равновесия или однократном испарении, моль. Ту L —верхние и нижние ограничения для значения Kf(T). ТКИГ1., Тт. р. — температуры кипепия и точки росы. VF — количество пара, образовавшегося при установлении паро- жидкостного равновесия или однократном испарении, моль. Xi — мольная доля i-того компонента в жидкой фазе. xFi — мольная доля i-того компонента в жидкой фазе, образую- щейся в результате процесса однократного испарения (рав- новесия) . Xi — полная мольная доля i-того компонента в питании F не- зависимо от состояния. — мольная доля i-того компонента в паровой фазе. yFi— мольная доля i-того компонента в паровой фазе, образу- ющегося в результате установления паро-жидкостного рав- новесия или после однократного испарения. af — относительная летучесть, определяемая по уравнению (11,9). (Т„) — разность между заданной величиной энтальпии питания и значением энтальпии при Тп. 'kpi—скрытая теплота испарения i-того компонента при TF. 2 ,2 — сумма всех однофазных соответственно тяжелых и легких И L компонентов. 2 —сумма всех компонентов, кроме однофазных тяжелых и лег- i^II, L ких. ф = —;---количество питания, остающееся после однократного испа- Г рения в жидкой фазе, мол. доли. Vp Чг = —---количество питания, находящееся после однократного испа- F рения в паровой фазе, мол. доли. ИНДЕКСЫ F — питание (для расчета паро-жпдкостного равновесия или про- цесса однократного испарения). Н — однофазный тяжелый компонент; компонент только в жидкой фазе. i — компонент (г = 1 -г с). п, г — число приближений. 60
ЗАЛ А Ч И 11-1. Показать, что для бинарной смеси в состоянии равновесия при заданных температуре it давлении состав жидкости можно определить как хг — (1 — К2)/(К1^К2). Для любого задан- ного давления найти температуру, при которой значение хА будет отрицательным или больше единицы. Дать физическое объяснение этих значений х. 11-2. Зависимость между паровой и жидкой рпс_ Ц-5. Диаграмма фазами при определенном давлении для задан- у______ ной бинарной смеси можно представить в виде известной диаграммы Т — х (рис. П-5). Показать, что если питание состава находится в паро-жидкостном равновесии при TF (и давлении, соответствующему диаграмме Т—х), то отношение длины x.yFi к длине хр1% { равно LF(VF, П-З. Найти, что количество пара (или жидкости), образующегося в ре- зультате однократного испарения, можно выразить через значения К для двух компонентов и состав питания следующим образом: _ 1 , Х,(«га-КР1) II-4. Равновесные соотношения часто выражаются законом Рауля где Pi — парциальное давление i-того компонента в газовой фазе (р,- = РуД; Р — общее давление; — давление пара t-того компонента при темпера- туре равновесия. Исходя из указанного равновесного соотношения, вывести уравнения (11,22) и (11,23). П-5. Установить соответствие корней функции Р (40 по уравнению {11,36) и значений Ki. 11-6. Показать, что реальный положительный корень функции р (ф) для питания, содержащего кроме летучих однофазные легкие и тяжелые компоненты, также имеет ограничения, указанные в уравнении (11,39). Установить, что для питания, содержащего кроме летучих однофазные тяжелые компоненты, уравнение (11,42) является необходимым условием паро-жидкостного состояния. Аналогично найти, что для питания, состоящего из летучих, однофазных легких компонентов, уравнение (11,40) выражает обязательное условие того, что функция р (ф) имеет реальный корень при ограничениях, даваемых уравнением (11,41). 11-7. Необходимо отделить три высококипящие органические кислоты от растворимого нелетучего вещества путем однократного испарения с во- дяным паром. Исходная смесь содержит 80 кислот и 20 моль нелетучего вещества. Смесь органических кислот содержит 30 моль низкокипящего ве- щества и по 25 моль остальных двух компонентов. Однократное испарение необходимо проводить при 100° С и общем дав- лении 200 мм pm. cm. Давления паров кислот при 100° С соответственно равны 20, 14 и 8 мм pm. cm. Рассчитать количества в моль жидкости LF и пара VF, а также количество водяного пара, необходимого для того, чтобы после однократного испарения получался пар, содержащий 95% воды. 61
Пояснение. Этот тип испарения можно описать уравнением * Р — 1 KFi Значение ф определяют из условия р (ф) = 0, где ty — Lp/F и f = VF-p -i~Lp~количество питания, исключая водяпой пар; —количество ле- тучего компонента i, исходя из F; yL—заданное количество водяного пара в общем количестве пара, равном (VL Ответ'. Lf = 73,14. П-8. Рассчитать количество молей водяного пара, необходимого для испарения всех органических кислот в питании (состав см. задачу II-7),. если нелетучие компоненты не смешиваются в жидкой фазе. Температура и давление однократного испарения аналогичны задаче П-7. Пояснение. Как указывалось в литературе, этот процесс можно, представить в виде следующего уравнения: Г V F° KFl г=Н, L где F° — количество летучего компонента i в летучей части питания F3 без водяного пара, моль; VL — количество требующегося водяного пара,. моль; Н — нелетучая, несмешивающаяся жидкость. Ответ'. 15,026 моль водяного пара. ЛИТЕРАТУРА 1. Amundson N. R., Р о n t i n е n А. .Т., Ing. Eng. Chem., 50, 730 (1958). 2. L у st er W. N., Sullivan S. L. jr., Billingsley D. S.„ Holland C. D., Petrol. Ref., 38, № 6, 221 (1959). 3. H о 1 1 a n d C. D., Davison R. R., Petrol. Ref., 36, № 3, 3, 183 (1957). 4. H о 1 1 a n d C. D., H a у e s W. B., Petrol. Ref., 36, № 4, 203 (1957). 5. П л а т о н о в В. M., Б е р г о Б. Г., Разделение многокомпонентных смесей, Изд. «Химия», 1965. 6. Chao К. С., S е a d е г I. D., Am. Ind. Chem. Eng. J., 7, 598 (1961). 7. C u r e R. F., P i t z e г К. S., Ind. Eng. Chem., 50, 265 (1958). 8. S h e 1 t о n R. I., Wood R. M., Chem. Eng., 72, 187 (1965). 9. В e n e d i c t M., W e b b G. B., R u b i n L. C., Chem. Eng. Progr.,. 47, 419 (1951). 10. Benedict M., Webb G. B., Rubin L. C., J. Chem., 8, № 4, 334 (1940). 11. W i 1 s о n G. M., J. Am. Chem. Soc., 86, 127 (1964). 12. Redlieh О., Kister A. T., Ind. Eng. Chem., 40, 345 (1948). 13. F 1 о г у P. L, J. Chem. Phys., 10, 51 (1942). 14. Huggins M. L., Ann. N. Y. Acad. Sci., 43, 1 (1942). 15. Nagel O., S i h n R., Chem. Ing. Techn., 38, 123 (1966). 16. О rye R. V., Prausnitz I. M., Ind. Eng. Chem., 57, 19 (1965X 17. Barker I. A., Australian J. Chem., 6, № 3, 207 (1953).
ГЛАВА HI РАСЧЕТ ПРОЦЕССА РЕКТИФИКАЦИИ В ПРОСТЫХ КОЛОННАХ Простой ректификационной колонной назы- вают колонну, в которую вводится одно питание и из которой выводятся два про- дукта: верхний (дистиллят) и нижний (остаток). Уравнения, опи- сывающие процесс ректификации многокомпонентных смесей, являются сильно нелинейными, поэтому необходимо разработать общее решение на основе использования метода последовательных приближений. Как видно из главы I, применение этого метода связано с выбором ряда независимых переменных. Большинство предложенных методик расчета процесса можно разделить на две различные группы, отличающиеся выбором неза- висимых переменных. Льюис и Матисоц 1 предложили принимать в качестве независимых переменных количественный состав про- дуктов разделения, а Тиле и Геддес 2 — температуру на каждой тарелке. До появления быстродействующих ЭВЦМ вычисления проводили, применяя иногда указанные методы, однако сходи- мость расчетов не обеспечивалась. После выполнения одного приближения рассчитанные значения переменных сравнивались с исходными. В некоторых случаях вычисленные значения использовались для осуществления следу- ющего приближения, т. е. применялся способ простых итераций. В других случаях величины, полученные в результате данного приближения, использовались при выборе исходных значений переменных для следующего приближения. В настоящей главе рассмотрены методики, предложенные Льюисом и Матисоном \ а также Тиле и Геддесом 2, описаны методы обеспечения сходимости расчета. Применение каждой методики иллюстрируется решением простой задачи. Прежде чем перейти к изложению материала, следует остановиться на некоторых основных понятиях и условиях, встречающихся далее в книге. 63
Общие положения При выводе уравнений для простых колони рассмотрены дефлег- маторы двух типов: полный и парциальный. При применении полного дефлегматора весь пар, поднимающийся с верхней тарелки колонны, конденсируется. Часть образовавшейся жидкости отво- дится в виде верхнего продукта (дистиллята) в количестве D моль. Остальная жидкость, называемая внешней флегмой, в количестве Lo моль возвращается в колонну. Термин «парциальный дефлегматор» в том смысле, в каком он употребляется в данной книге, означает, что пар, отходящий с верхней тарелки колонны, конденсируется только частично. Парциальный дефлегматор рассчитывают как равновесную сту- пень (теоретическую тарелку). Для получения парового потока в низу колонны помещают кипятильник. Жидкость, стекающая с нижней тарелки, поступает в кипя- тильник, где частично испаряется Образовавшийся пар подни- мается вверх по колонне. Жидкость, отбираемая из кипятиль- ника в количестве В моль, называется кубовым продуктом (или, как уже указывалось, остатком). Кипятильник также рассчитывают как равновесную ступень. Укрепляющая секция колонны состоит из дефлегматора и всех тарелок, расположенных выше тарелки питания. Исчер- пывающая секция включает тарелку питания, все тарелки, расположенные ниже нее, и кипятильник. Тарелки нумеруются сверху вниз от верха колонны до кипятильника. Дефлегматору присвоен нулевой номер, верхняя тарелка обозначается цифрой 1, тарелка питания — буквой /, нижняя тарелка — буквой 7V, а кипятиль- ник — через N J- 1. Предполагает- ся, что каждая тарелка является Рис. Ш-2. Схема потоков на тарелке питания при подаче пере- охлажденной жидкости. Рис. Ш-1. Схема потоков на тарелке питания при подаче кипя- щей жидкости. 64
идеальной, или теоретической, т. е. пар, отходящий с тарелки, находится в физическом равновесии с жидкостью, покидающей эту же тарелку. Общий поток пара (в моль), покидающий /-тую тарелку, обо- значается как V., а поток пара, поступающий на (/ — 1)-ю та- релку, через Vj. Эти условные обозначения были приняты для того, чтобы показать, вводится ли (или выводится) дополнитель- ный поток в колонну. Следовательно, ТА равно ТА_П если между тарелками (/ — 1) и / поток не выводится из колонны и не вводится в нее. Аналогично поток жидкости стекающей, с /-той тарелки (в моль), обозначается как Lj, а поток жидкости, поступающей на (у _!_ 1)-ю тарелку —через Lj. Количества отдельных компонентов в потоках применяются лишь в исключительных случаях и обозна- чаются строчными буквами v и I. Индекс i используется для обозна- чения отдельных компонентов. Количества компонентов связаны с общими потоками пара и жидкости следующим образом: Vj fl ji ji ~ jX j i j Vji = VjVj* ( (П1,1) d^DXDi b^BxBi J При определении состава дистиллята символ XDi применяют для обозначения полной мольной доли компонента i в дистилляте независимо от его агрегатного состояния. Предполагается, что потоки пара и жидкости, отходящие с тарелки /, находятся в состоянии равновесия, поэтому количе- ства отдельных компонентов в них можно выразить через факторы абсорбции (извлечения) или отпарки. Эту зависимость получают следующим образом. Умножив обе части уравнения равновесия Uji~Kjixji (111,2) па у jLj, находим: L jlji (111,3) Отсюда / К {V • \ vj’ \ L ! (UI,4) Уравнение (111,3) можно решить для [ Lj \ V* I Д’..у. Vj* ^jiVji (П1,5) Причем следует заметить, что А = i/S... Ниже описаны виды питания, находящегося в любом из пяти энергетических состояний (при давлении, равном давлению в ко- лонне). На рис. Ш-1—Ш-5 приведены условия и процесс, про- исходящий на тарелке питания, для каждого вида питания. 5 Ч. Д. Холланд. gj
релке питания при подаче смеси в виде насыщенного пара. *г fr-/_____ Vf = Vf+r vf. = Vf. +г^ Рис. III-4. Схема потоков на тарел- ке питания при подаче перегретого пара. Жидкое питание в состоянии насыщения определяется как питание, поступающее в колонну в виде жидкости, находящейся при температуре кипения. Переохлажденное жидкое питание поступает в колонну при температуре ниже температуры ее кипения. В отношении питания, вводимого в насыщенном или переохлажденном состоянии, пред- полагается, что оно после поступления в колонну полностью перемешивается с жидкостью на тарелке питания, причем устана- вливается равновесие этой жидкости и пара над ней. Насыщенное паровое питание поступает в колонну в виде пара, находящегося при температуре точки росы. Перегретое паровое питание имеет температуру, превыша- ющую температуру точки росы. В отношении парового питания, Рис. II1-5. Схема потоков на тарелке питания при подаче паро-жидкостной смеси. подаваемого в насыщенном или перегретом состоянии, прини- мается, что после поступления в колонну данный пар полностью перемешивается с паром, подни- мающимся с тарелки питания. При этом равновесия между сме- шанным паром и жидкостью па тарелке питания не предпола- гается. Паро-жидкостное питание опре- деляют как равновесную смесь жидкости и пара при некоторой температуре. Рис. II1-5 показывает, что жидкая часть питания поступает 66
на тарелку питания, полностью перемешивается на ней с жидко- стью и находится в состоянии равновесия с паром непосредственно- над тарелкой питания. Считается, что паровая часть питания полностью перемешивается с паром, поднимающимся с какой-либо тарелки, и затем поступает на тарелку, расположенную над тарел- кой питания. Методика Тиле и Геддеса 2 По указанной методике расчета в качестве независимых перемен- ных берутся температуры на тарелках колонны *. При примене- нии методики Тиле и Геддеса к существующим колоннам необхо- димо знать число тарелок в каждой секции колонны, количество, состав и состояние питания, а также задаться еще двумя перемен- ными, например количеством дистиллята D и флегмовым пото- ком £0. В рассматриваемых далее уравнениях для простой колонны применяются условные обозначения, отличающиеся от предло- женных Тиле и Геддесом. Например, в настоящей книге приняты количества отдельных компонентов (в моль) вместо общих потоков фаз и мольных долей. Факторы абсорбции и отпарки применя- ются в том виде, как они были предложены ранее3. Мате- риальный баланс укрепляющей секции записывается для произ- вольной тарелки и дефлегматора, в исчерпывающей секции — для произвольной тарелки и кипятильника. Приводимые ниже выражения представляют собой сочетание материальных балансов и равновесных зависимостей. Укрепляющая секция: Vn!di — AM Д-1 (для дефлегматора) (III,6) гуг./^,. = ЛЛ1, < + l (Ш.7) (У/_ь ./t/J + l (ТПЗ) Исчерпывающая (отпарная) секция: (Ijt/bi) +1 /+1 j N (111,10) lNi/bi — SN+i, (для кипятильника) (111,11) * В отечественной литературе аналогичные методики названы способом независимого определения концентрации (см. В. М. Платонов, Б. Г. Б е р г о, Разделение многокомпонентных смесей, Изд. «Химия», 1965). — Прим. ред. 5* 67
где A^ -Lq!K(UD—для парциального дефлегматора; A^-L^D—для пол- ного дефлегматора; А . = L ,/К .V . — фактор абсорбции; + -j- —количество г-то'го компонента в жидкости, которое поступает с та- релки (/ — 1) на тарелку питания /; lFi — количество i-того компонента, поступающее в колонну с жидкой частью питания; 5ji~K/Lу — фактор отпарки, SN+l i~KN+itiVВ', = + vFi — количество j-того компо- нента в паре, поступающем на тарелку (/ — 1); vFl—количество г-того ком- понента, поступающее в колонну с паровой частью питания. В целях упрощения уравнения (III,6) —(111,11), представля- ющие собой сочетание уравнений равновесия и материальных балансов, ниже будут именоваться как уравнения материальных балансов. Уравнения (III,6) —(III,8) для укрепляющей секции выводятся следующим образом. Материальный баланс для дефлегматора: (111.12) Разделив обе части этого уравнения на di и приняв во внима- ние, что для парциального дефлегматора ^01 __ ^0Z0l _ ^O^Ot __ Bq _ di В)Хщ dK0ix0i Ko(D °* получаем искомое уравнение (111,6). Поскольку дг0£ = Хр/ для полного дефлегматора, то в этом случае = Lq/D. Материальный баланс для любой /-той тарелки и для верха колонны запишется уравнением V ii /—Г, i -^-=^7—+ 1 (И1.13) di di Учитывая, что I . . . = Л . , .v . . получим: Подстановка этого выражения для I Jdi в уравнение (III, 13) дает приведенный результат —уравнение (III,7). Аналогично выводят уравнения для исчерпывающей (отпарной) секции. Материальный баланс для кипятильника можно записать следующим образом: = -pi (Ш,15) bi bi Поскольку РАЧ-1, i V N+llJN+l, j __ VN+1^ N+l, jXBi __ ^N+l^N+l, i = bi BxBi BxBi В ~$N+1, i выражение (111,15) можно свести к уравнению (III, 11). 68
Баланс для низа колонны, записанный и для любой тарелки /, имеет вид bi С учетом равенства (IIU7> получается результат, даваемый уравнением (111,10). Для заданного ряда значений ЫV и температур количества отдельных компонентов определяют по уравнениям (III,6) — (111,11). Следует отметить, что с введением тепловых балансов при расчете потоков жидкости и пара последние можно рассма- тривать как независимые переменные для всех приближений, начиная со второго. Применяя уравнения (III,6)—(III, 11), расчеты начинают с кон- цов колонны и проводят до тарелки питания. Для случая подачи жидкого питания при температуре кипения vfi — vfi. Тогда где vjjdj — рассчитывают при помощи уравнений для укрепляющей секции, a vjifbi —для исчерпывающей секции, т. е. vjjbi = Sji (Ijdbi). Величину IjJb. вычисляют по уравнению (111,10). Определив bjd^ находят по уравнению rf‘=i+№ (I,L19> которое получают из общего материального баланса. Используя это значение dv рассчитывают потоки индивидуальных компо- нентов по всей колонне. Отношение bjdi для паро-жидкостного питания получают следующим образом. Записывают уравнение (111,8) в виде vfi । vFi lf-l> i . di "г di ~ di + и после преобразований находят: ' Vfi V М 4- f VFi ( FXi A i 4- , bi JydiJ^yFXjY di di + (111,20) (111,21) Поскольку vFi „ lFi FXi , I bi ТТГ’-ТхТ -d7-=1+rf7 69
Условия для примера III-1 ТАБЛИЦА 7 № компо- нента кх. а♦ Исходные данные 1 33,3 1 Полный дефлегматор, питание жидко- стное при температуре кипения; ко- 2 33,3 2 личество дистиллята £>--50 -м-оль/ч; Ат = 3; /=2; ^ = ^=73=^4 = 100; 3 33.4 3 £о — £i = 50; £2 = £3—-150 то уравнение (111,21) можно решить относительно b J dр (111,22) Вычислив значения lF. и vFi, при помощи уравнения (111,22) рассчитывают отношение bjdi для питания в любом состоянии. Если питание находится в насыщенном или переохлажденном состоянии, то = a z?Fi = 0- Для питания, поступающего в колонну в виде насыщенного или перегретого пара, vpi—FXi и ZF<=0. Прежде чем перейти к другим вопросам, следует про- иллюстрировать методику расчета Тиле и Геддеса на примере решения сравнительно простой задачи ректификации. Пример Ш-1. Найти распределение продуктов фракционирования, условия для которого приведены в табл. 7. Рис. Ш-6. Схема потоков для примера Ш-1. Потоки пара и жидко- сти принимаются постоян- ными в каждой секции колонны. Как уже указы- валось в главе II, это условие можно реали- зовать в любой колонне, применяя промежуточные холодильники (или на- греватели) на каждой та- релке. Кроме того, в при- мере в качестве постоян- ных величин берутся также относительные летучести. Все эти условия показаны на рис. Ш-6. Первое прибли- жение проводят па основе заданного (начального) тем- пературного профиля. Сле- дует отметить, что данная методика мало чувствительна 70
ТЛ БЛИНА Ь Решение примера III-1 но методике Тиле и Геддеса Расчет укрепляющей секции ( № компо- нента Ln D IK . f rf. D1 * d. Ь I < di ) ^24 ^14 J. 1- i > d. d. * * 1 1,0 2,0 1,0 0,5 1,0 2,0 2 1,0 2,0 20 0,25 0,5 1.5 3 1,0 2,0 3,0 01666667 0,33333334 1,33333333 Расчет исчерпывающей секции (начало) № ком- понен- та ^4i GO 'i to £ •ST=s«+1 % 3iai K3iV3 s3i^ L3 - « co 1! 1 1,0 20 3,0 1,0 0,66666666 1,9999998 2 2,0 4 0 5,0 2,0 1,3333333 ♦ 6 6666660 3 3,0 6,0 7,0 3,0 1,9999999 13 999999 Расчет исчерпывающей секции (продолжение) № ком- понен- та l2i __ v3i . b. ъ. "г1 t » •^2i — К 2bai , V, sh—lT~ v<2i о Z2i ~b_ S2i'b~ i » bi _ v2i/di di-i+l/d. di v2i/bi 1 2 9999999 1 0,66666666 1,9999999 1,0000000 16,649999 2 7,6666666 2 1.3333333 10,222222 1,14673913 29,038862 3 14,999999 3 1,9999999 29,999995 0,4444444 31,978724 Примечание. Первое приближение — предполагается, что A'xi— R’2i==7<3i==^4i~11
Расчет составов № компо- нента d. * — ул. “Лп» • 2Х- ' 1 0,21437513 0,21437513 2 0,37388551 0,74777302 3 0,41173838 0,2352151 1,19736325 № ком- понен- та Ыа() d< “<xii “ 2 ('иЛ) 1 0,39804913 0,39804913 2 0,34711395 0,69422790 3 0,25483692 0,76451076 1,8567878
ТАБЛИЦА 9 Начало расчета ь. ~XBl ai -г Bi \ d. / * 0,74555309 0,74555309 16,6499999 0,19080507 0,38161014 14,519431 0,06364184 0,190925523 10,659575 1,31808875 41,829005 Продолжение расчета <>< 'л . Лп . “ S (WMь. ix3i 0.48057559 0,48057559 0,61511278 0,61511278 0,31431014 0,62802028 0,2623704 0,5247308 0,20511427 0,61534281 3,12251681 0,36755043 1,7245387 1,50740401
по отношению к первоначально принятому профилю температур. В связи с этим было выбрано значение для Klb = К2Ь = КэЬ = 1,0. Расчеты начинают с концов колонны и проводят до тарелки питания. Затем вычисляют величины bj <3,$ для каждого компонента, после чего по общему материальному балансу определяют значения o', (табл. 8). Расчет составов приведен в табл. 9. С учетом суммы относительных летучестей получены следу- ющие константы ведущих компонентов: КйЬ = —-------=0,45509088 К2ь = ---=0,5798652 Kib ----------= 0,75867425 K3b = ——----------=0,66339216 Xiaix3£ Klb ----------=0,53856451 Способ простых итераций Методы сходимости в данной главе подробно не рассматриваются, так как они описываются в последующих главах. Затронем лишь применение способа простых итераций, который является первым логическим шагом в решении задачи. Многие авторы, включая Тиле и Геддеса, при решении задач многокомпонентной ректификации используют простые итерации в чистом виде или с некоторыми изменениями. Известно (см. главу J), что способ простых итераций заключается в применении полученных после очередного приближения значений перемен- ных в качестве новых величин при следующем приближении. Пример Ш-1 показывает, что вычисленные значения, получа- емые после первого приближения, не согласуются с исходными (заданными). Так, сумма значений di не равна заданному значению D. Сумма величин lj и Vj также не равна заданным значениям L . и V . При помощи способа простых итераций улучшенный тем- пературный профиль выбирается, исходя из рассчитанных значе- ний переменных, следующим образом: di (dj I —о г=1 (Iji/d,.) di (Iji/biWi ~ c ~ ~ ^(hi/ddd, ^Iji/b^bi > = 1 i== 1 (111,23) (111,24) Улучшенные значения температур (или значения Кь), исполь- зуемые при следующем приближении, вычисляют на основе зна- чений yjt или х ч соответственно по уравнениям (11,15) или (1 Г,13). 73
ТАБЛИЦА 10 Решение примера Ш-1 по методике Тиле и Геддеса с простыми итерациями № компонента № приближения 1 2 3 4 * 0 Рассчита 0.455 иные знача 0,422 ния Кь 0,416 0,414 1 0.539 0,487 0 470 0,467 2 0,580 0,526 0,515 0,512 3 0,663 0,581 0,561 0,555 4 0,759 0,661 0 639 0 633 D ** 77,67 57,57 52,14 51,09 * Все значения К& были одинаковы до восьмого знака в конце 11-го прибли- жения ** Величина D вычислена. При решении примера Ш-1 для обеих секций колонны была принята методика, основанная на определении температуры ки- пения. Возможно также применение методики, основанной на определении температуры точки росы. Далее эта методика ре- комендуется для широкого использования, поскольку она дает быструю сходимость для углеводородных систем. Значения А .. и S , используемые для второго приближения, рассчитывают на основе заданных значений Lj, Vj и Р; величины К входящие в эти выражения, определяют, исходя из улуч- шенного температурного профиля. Результаты второго и несколь- ких последующих приближений приведены в табл. 10. Для многих задач способ простых итераций дает быструю схо- димость до желаемого результата. Более подробно этот способ рассмотрен в главе IV. Независимость количеств отдельных компонентов от направления расчета Наряду с уравнением (III,22), полученным при проведении рас- четов по колонне снизу вверх и сверху вниз в направлении к та- релке питания, эквивалентные выражения для bi/di были выведены из уравнений покомпонентного материального баланса. Для произвольной тарелки / в исчерпывающей секции и кипя- тильника применяются уравнения (III,9)-- (111,11). Баланс для нижней части колонны по произвольной тарелке /, расположенной выше тарелки питания, выражается уравнением (1^/X/-D (111,25) 74
Для использования выражения (111,25) необходимо знать bt (вывод выражения для bildi приводится ниже). Определив bJd^ можно рассчитать и di через общий материальный баланс [см. уравнение (111,19)]. В окончательное выражение для bjdi входит член vfJb., который вычисляют, проводя расчеты с низа колонны до тарелки питания. Определив lfi/b. по уравнению (Ш, 10), находят vfJbi из условия равновесия: Здесь Vj-ifbi — Sfi (Iji/b Sfi-KpVf/Lf (III.2G) Значение Kfi определяют при температуре тарелки питания, а Vf и Lj обозначают потоки пара и жидкости, покидающие та- релку питания. Вычисление biidt начинают с преобразования уравнения (III,9): ^Fi \ (111,27) Для тарелки (/ — 1) уравнение (III,25) имеет вид if-2- { bi FXj bi (111,28) Исключая (/bt из уравнений (111,27) и (Ш,28), находят: При общем материальном балансе имеем: л FX i , dj bi bt / lFi \ / FXj \ _ bi ( FXi J \ bi ) , / lFt 1 , dj \ vFi ( lFi \ ( dj\ [FXi! v bi ) FXi \FXil \bi ) поэтому уравнение (111,29) сводится к выражению Распространяя процесс подстановки на остальную часть укре- пляющей секции, получаем искомое уравнение — = 1——— F — (11131) 75
Здесь • • • Sj_2, iSf-i'i Ф» — • • • $f-3, iSf~2, i +^Oi^li • • Sf-\, iSj-Л, i 4- + • • • +5o<Sn + *?o» +1 Если записать уравнения материальных балансов по отдел ь-' ным компонентам для дефлегматора и произвольной тарелки j, то уравнения (Ш,6)—(III,8) оказываются справедливыми для всех тарелок, расположенных выше тарелки питания. Для исчер- пывающей секции имеем: ТТ") f+l^l^N+t (111,32) Аналогично выводу уравнения (Ш,31) можно легко показать, что уравнения (III,8), (111,32) и (111,22) дают желаемый резуль- тат: К _ ю, [ г/-1, tldl + lFjFX,] ... , ( } Здесь ~ ^Л’+1, i-A-Ni • * 1 ^/+1, Д/, 1 ^Лт+1, I ^Л7+1, Л" • + ^Х+1, i^A’i ' * ' ^/+2, »"^/+1, i Для заданного ряда значения LiV и К количества отдельных компонентов не зависят от направления проведения потарелочных расчетов. Для доказательства этого необходимо' установить эк- вивалентность всех уравнений для bjdt [уравнения (111,22), (111,31) и (111,33)]. Эквивалентность уравнений (111,22) и (111,31) доказывается преобразованием выражения (III,31). Следует отметить, что lf-1Jdi можно представить в виде следу- ющего ряда величин, который получается путем описанных ранее подстановок в уравнениях (Ш,6) и (III,7): lf-i, Jdi — Af-i, i • • • i • • • . -r (Ш 34) Разделив числитель и знаменатель уравнения (III,31) на <pt, получаем выражение, содержащее отношение Ф/ф1? которое можно выразить через факторы А : Aj-i, • • • +^о» • • • Эу_1,, Сравнение полученного выражения с уравнением (111,34) показывает, что (111,35) 7Ь
Заменив отношение Фл/Ср1 в уравнении (111,31) на его экви- валент из уравнения (111,35), находят искомый результат — урав- нение (III,22). При доказательстве равноценности уравнений (Ш,22) и (111,33) следует учесть, что, скомбинировав уравнения (111,10) и (III,11), можно получить следующую формулу для vfJbt\ vfJbi=Sf. • • W'A. . . +sft (III,36) Деление числителя и знаменателя уравнения (111,33) на cot дает выражение, содержащее Qt/cor Это отношение можно вы- разить через факторы S : e,/a, = Sfi ' SA-H. • + S/< ' ' ' S^' + SJ. <Ш'37) Из сравнения уравнений (111,36) и (111,37) видно, что правые части их равны. Отсюда замена на в выражении (111,33) дает искомый результат — уравнение (111,22). Для проведения расчетов с верха колонны до какой-либо отдельной тарелки, расположенной на п тарелок ниже верха ко- лонны и на к тарелок выше тарелки питания, сочетание уравнений (III,6) и (Ш,7) дает следующее выражение: vn Jd i. i •• • -^0» ~i i • • Ai T • • “I i ' 1 (HI,38) Тот же результат получается при выполнении расчетов с низа колонны до тарелки п, что видно из уравнений (111,10). (III,И) п (III,25). Ранее указывалось, что неоднократное применение уравнений (111,25) приводит к выражению —ь—= (Si ... sy-j, J A* , VF i / V \ b, 'FXFi \FXFi Д Л — [1 + i + • • • St ... Sj-_2, J (Ш.39) Умножение обеих частей уравнения (111,39) па (S и исключение bjd% из правой части полученного выражения с учетом уравнения (111,31) дает: lF> ЬХг_ — Ч« A"1 • • A-2-* j (Ш.40) Поскольку /-к t A-ь J ~ + *$/-&,. +1 + A-i> i + Аг-i, Mn-2,«+ • • • + A-i,» • • • -Ан (HI.41) 77
то уравнение (111,40) можно упростить и получить уравнение (III,38). Несмотря на громоздкость рассмотренного доказательства, (см. задачу III-6), оно было приведено в связи с тем, что именно такой способ будет применяться в дальнейшем для расчета слож- ных колонн и при наличии распределяющихся компонентов. Решение уравнений материального баланса при помощи матриц Имеется большое количество программ для решения системы ли- нейных уравнений при помощи матричной алгебры. Используя эти программы, необходимо в качестве исходной информации задавать только коэффициенты при переменных и константы, входящие в систему уравнений. Следовательно, применение мат- ричной программы исключает необходимость составления про- граммы для решения уравнений материального баланса. Амунд- сон и Понтинен 1 первыми решили на ЭВЦМ задачи многокомпо- нентной ректификации при помощи матриц. Приводимые ниже примеры не претендуют на исчерпывающее освещение вопроса применения матричного метода, а ставят своей целью демонстрацию основных приемов матричной алгебры, необходимых для решения системы линейных уравнений. Более подробно этот вопрос описан в литературе 4-6. Для того чтобы проиллюстрировать применение матриц для решения системы линейных уравнений, рассмотрим следующую систему: (И 1,42) + 1 (Ш,43) vsildi — J2, (^г/М,) + I (П1.44) Уравнения (III,42)—(III,44) выражают материальный баланс для укрепляющей секции колонны (имеющей две тарелки над та- релкой питания), в которую поступает жидкое питание при тем- пературе кипения. При каждом приближении значения А при- нимаются постоянными. Для упрощения индекс i отбрасывается, а переменная (v /с?) заменяется на Z.: Zi — +1 Z2 = AjZi -j- 1 Zg= Д2Х2 1 (Ш,45) (1П.46) (Ш,47) До применения матричного метода решим уравнения (111,45) — (111,47) двумя алгебраическими способами. Пошаговый расчет, 78
или последовательная подстановка, используемая для решения примера III-1, дает: 21 = Л0-Ь1 (HI,48) /2 = Л (ло +1) +1 (1П,49) Z, — -4 2 1Л j (^4 о 4" 1)4" 1]4~ 1 ~ ^2^1 -4о + Л2 Л i 4" ^2 -F I (111,50) Уравнения (111,45)—(111,47) представляют собой систему с тре- мя неизвестными, и их можно решить путем алгебраического исключения. Запишем эти уравнения в следующем виде: Zi=j4q4_1 (111,51) ^1Z14-^2 = 1 (1П,52) —^2Z24“Z3z=1 (111,53) Выполнение следующих действий дает искомое решение. Шаг 1. Умножая уравнение (111,51) на и прибавляя резуль- тат к выражению (III,52), получаем: Zi — Ао4-1 Z2— Ai (Ло-J-1) + 1 -J2Z2 + Z3=1 Шаг 2. Умножая второе уравнение на А 2 и прибавляя резуль- тат к третьему уравнению, находим: z2 = Ло 4~ 1 z2 -= л 1 (A Q 1) -- - 1 z3=a2Aj (Ло4~ 1) 4- л24-1 что идентично решению, даваемому уравнениями (III,48)—(III,50). Получим теперь тот же результат при помощи матриц. Здесь приводится только правило (определение) умножения двух мат- риц. Как показано ниже, другие правила матричной алгебры, необходимые в данном случае, аналогичны соответствующим алге- браическим действиям, которые применяют для решения системы линейных уравнений. Матрица определяется как массив чисел, распределенных в т строках и п столбцах, который обычно заключают в скобки, например: я11а12 • я27я22 • • й1п • а2,/ (111,54) ainlam2 • • атп где а — элемент матрицы. 79
При т — п матрицу называют квадратной порядка п. Все матрицы, приводимые ниже, представляют собой квадратные матрицы, если число уравнений равно числу неизвестных. В от- личие от определителя матрица не равна некоторому числу, однако она может быть равной любой другой матрице или про- изведению матриц. Матрицы равны только в том случае, если равны между собой соответствующие элементы этих матриц. Умножение матрицы А на матрицу В возможно только, если число столбцов А равно числу строк В. Таким образом, действие умножение, из которого следует, что АВ = С представляется как (1П.55) я11я12«13 я21а22я23 я31я32я33 &Ц&12 ^21^22 ^31^*32 я11с12 С21С22 я31я32 (III,56) В уравнении (111,56) член сп обозначает сумму произведений каждого элемента 1-й строки матрицы А на соответствующий элемент 1-го столбца матрицы В, т. е. Сц — Я11Л11 + «12^21 + а13&31 с21 ~ а21^ц + я22^21 + я23&31 I с32= я31&12 Я32^22“Ь я33&32 I (111,57) Следует отметить, что умножение не обязательно отвечает правилу перестановки, т. е. АВ не всегда равно ВА. Определение действия умножения позволяет представить уравнения (111,51) (II 1.53) в следующем виде: 1 О О —Ах 1 о О — А2 1 II Z1 I Z3 I ^0+1 1 1 (111,58) В целях упрощения уравнение (111,58) обычно записывают как AZ ~С (111,59) Чтобы определить Z3 и Z3, необходимо найти обратную матрицу Л-1. Рассмотрим единичную матрицу третьего порядка: 1 О о о 1 о о о 1 / (111,60) На основе правила умножения [уравнения (III,56) и (И 1,57) следует, что IA — А. 80
Обратная матрица А 1 определяется как матрица, которая при умножении на А дает I, т. е. A^A^i (111,61) Матрицу А-1 можно найти, выполняя арифметические действия с матрицами I и А, аналогичные осуществленным ранее в отно- шении системы линейных уравнений. В результате матрица А пре- образуется в матрицу Г, а матрица I — в обратную матрицу А"1. Рассмотрим отдельно три матрицы А, I и С'. А 1 О О —Ai 1 О О —А% 1 I 1 0 0 [ 0 10 0 0 1 (Ш,62) Проведем действия с матрицами, аналогичные алгебраическим операциям, выполненным ранее (шаг 1 и шаг 2) с уравнениями (Ш,51)—(111,53). Шаг 1. Умножим первую строку каждой матрицы из уравнения (III,62) на Ах и прибавим результат ко второй строке: Шаг 2. Умножим вторую строку на А 2 и прибавим результат к третьей строке: j 1 о о ; О 1 0 ! о о 1 1 о о Д1 1 о ^2^1 -В 1 Ло 1-1 , Л1 (Ло г 1) — 1 | ] Л2Л] (До 1- 1) + Л>2 Д- 1 I (111,63) Проведенные операции превращают матрицу А в единичную, а единичную матрицу — в обратную, что можно доказать, пере- множив преобразованные матрицы I и А 1см. уравнение (111,61)1: Ai А2А1 Л2 1 О о — Л! 1 О о —л2 о (Ш,64) 1 о о О 1 о О 0 1 Преобразованную матрицу С можно представить в виде /1 1 С, что доказывается применением правила умножения: [ 1 0 0 Ai 1 О ЛгЛ2 А2 1 Ло-Н 1 1 Ло~г 1 ЛНЛо^ПЧ-! I Л2Л1 (Ло-'-1)-1-Л2+1 | (Ш,65) Следует отметить, что матрица А соответствует массиву чисел правой части уравнений (111,48)—(111,50). 6 Ч. Д. Холланд. 81
Обратная матрица А'1 используется для получения Zn Z2 и Z3 следующим образом. Умножим обе части уравнения (111,59) на Л-1: (111,66) Поскольку А~1А=--1, то уравнение (111,66) можно упростить: IZ=~ А~^С (111,67) Однако IZ — Z, тогда Z-~A~^C (111,68) что соответствует матрице: Zi Zz z3 /1q 4” 1 Al (Ло 4~ 1) Г 1 (^o - -1) 4“ 1 (Ш,69) Если две матрицы равны, то и соответствующие элементы их также равны. Следовательно, получаем решение, даваемое урав- нением (111,48)—(111,50). Методика Льюиса и Матисона Методика Льюиса и Матисона отличается тем, что в качестве независимых переменных выбирается распределение каждого ком- понента между дистиллятом и кубовым продуктом *. Выбор независимых переменных произволен, как это уже было показано в главе I прп рассмотрении уравнения (1,5), поэтому обе методики (Тиле — Геддеса и Льюиса — Матисона) имеют одинаковые права на существование. Если для простой колонны берут исходные данные, аналогич- ные ранее упомянутым данным методики Льюиса и Матисона, то потарелочные расчеты проводят сверху вниз до тарелки пита- ния, исходя из принятого распределения продуктов. Потарелочная методика расчета заключается в попеременном применении урав- нений материального баланса и уравнений равновесия с опре- делением температур кипения или точки росы. Если количества компонента в жидкости на тарелке питания, полученные в резуль- тате расчетов по колонне сверху вниз, согласуются по каждому компоненту с данными, полученными при осуществлении расчетов снизу вверх, то расчет проводят, исходя из предполагаемого распределения продуктов. В противном случае, первоначальное допущение можно проверить сравнением количеств компонента в паре, отходящем с тарелки питания. * В отечественной литературе аналогичные методики называют также расчетом по способу «от тарелки к тарелке». — Прим. ред. 82
ТАБЛИЦА 11 Решение примера Ш-1 по методике Льюиса и Матисона Расчеты укрепляющей секции (качало расчета) ком- понен- та D.Ybf DXDi Уц (y1;=X£)j) u © Lx 11 г V 1 10,718757 0,10718757 0,21437513 0,39804912 0,19902455 2 18,694326 0,18694326 0,18694326 0,3471195 0,17355697 3 20,586919 0,20586919 0,13724613 0,25483693 0,12741846 Расчеты укрепляющей секции (продолжение расчета) № компо- нента ^Xli , ®Хц{ V2j a. : V2i/\ уУц v2i ViJ2i у I у di DXDi 1 0,30621213 0,30621213 0,5124391 30,621213 2,8567877 2 0,36050023 0,18025012 0,30164449 36,0500123 1,9283938 3 0,33328766 0,11109589 0,18591645 33,328766 1,6189293 Расчеты исчерпывающей секции (начало расчета) » те X o e FX.^DXDi atxBi aix Bi 1/. , = к 5? ^g BxB>~ ' B L L 1 0,45162486 0,45162486 0,25025805 0,15054162 0,16683870 2 0,29211348 0,58422696 0,32373661 0,97371160 0,21582441 3 0,25626162 0,76876486 1,80463668 0,42600534 0,08542054 0,28400356 Расчет исчерпывающей секции (продолжение расчета) № ком- понента vy4i BxBi X3.= L 1 L a . v — 1 УУз,- L Vy3. BxBi X2<“ Г-1’ L a ,XO . I 2t 3‘ 2“ A, 1 O.31738032 0,15466547 0,1031103 0,25365193 0,25365193 2 0,62639114 0,30525232 0 20350155 0,30087271 0,60174542 3 1,1082723 0,54008219 0,36005480 0,44547534 1,33642609 2,0520438 2,19182337 Расчет исчерпывающей секции (продолжение расчета) № ком- 1 понента yn L_2j 1 -“k ? 1 J? 'a _££i_ d. 5 (для 2-го приближения) t 2» ‘ i + b./rf. 1 * t i M 1 0,11572645 5,57433647 5 0651499 0,10910691 5,4553455 2 0,2745410 1,02591202 16,437042 0,35406549 17,703275 3 0,60973254 0,34020608 24,921540 0,53682760 26,841380 * Первое приближение принято с учетом того, что дистиллят имеет состав, по- лученный после 1-го приближения по методике Тиле и Геддеса. 6*
ТАБЛИЦА 12 Решение примера Ш-1 по методике- Льюиса и Матисона с простыми итерациями №>арелки № приближения 1 2 з * Рассчитанные значения 0 0,455 0,412 0,414 1 0,539 0,465 0,468 2 0,598 0,509 0,512 3 0,487 0,559 0,553 4 0,554 0,635 0,630 ** 46,42 50,30 49,96 * Все значения 1<ь были одинаковы до восьмого знака после 8-го приближения. ** Величина D вычислена. Для иллюстрации принципов расчета по методике Льюиса и Матисона 1 приведено решение примера Ш-1 (табл. 11 и 12). Для начала вычислений взят состав дистиллята, полученный при расчете по методике Тиле и Геддеса после первого прибли- жения. С учетом относительных летучестей получены следующие константы ведущих компонентов. Для укрепляющей секции Kib — 0,53856452 ^=0,59755814 Для исчерпывающей секции Kib = 0,55412816 А'36 = 0,4873903 A2ft=0.45624114 В дальнейшем значение рассчитывают, исходя из задан- ной величины D, а соответствующее значение BxBl— по общему материальному балансу. Изучение результатов (см. табл. 11), полученных после первого приближения, показывает, что сделан- ное допущение в отношении значений состава дистиллята было неправильно. Льюис и Матисон х, а также Робинсон и Джилли- ленд7 предложили способ отбора правильных значений XD. Другие методики приведены в следующей главе. Основные принципы использования способа простых итераций в методике Льюиса и Матисона разработаны Листером и др.8 Хотя эта методика не была достаточно широко проверена, тем не менее ее применение дало удовлетворительную сходимость для примера III-1. Данный пример иллюстрирует применимость простых итераций для проведения последовательных приближе- ний по методике Льюиса и Матисона, а также Тиле и Геддеса. 84
Ниже приведено описание сочетания методики расчета Льюиса и Матисона со способом простых итераций. Расчеты начинают с верха колонны и продолжают до тарелки питания, основываясь на принятом ряде значений XDl, и полу- чают ряд значений для у fi. Умножение каждого значения на Vf дает затем определяют величины Аналогично можно вычислить значение для исходя из результатов, полученных при проведении расчетов с низа колонны до тарелки питания. В случае подачи жидкого питания при температуре точки кипения значение bjd^ рассчитанное по способу простых итераций, будет следующим: bj _ vfi/di di vjijbi (Ш,70) Величину di определяют по уравнению (111,19). Состав ди- стиллята для следующего приближения рассчитывается по фор- муле Di (Ш.71) Исходя из заданных величин D и XDi> определяемых по урав- нению (III,71), находят значение DXDi для следующего прибли- жения; соответствующее значение BxBi получают с учетом общего* материального баланса: Вхп = FX — DX п U t । Id I (III,72) Следует рассмотреть возможность получения прп расчетах отрицательного значения для BxBi. В этом случае предлагается брать значение BxBi, равное А, которое вычисляют по уравне- ниям (111,70) и (111,19). В заключение автор хочет предупредить читателя против преж- девременных оценок относительно сходимости или быстроты сходимости расчета по методикам Тиля и Геддеса, Льюиса и Ма- тисона и способу простых итераций. Аналитически не было по- казано, что условия, которые приведены в главе I для сходимости при простых итерациях, удовлетворительны. Поэтому нельзя предполагать, что указанные методики дадут сходимость для всех примеров, основываясь на факте сходимости только одного примера. 85
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ А, С, Z —матрицы. Л у;—фактор абсорбции для /-той тарелки и i-того компонента. — количество i-того компонента в кубовом продукте, моль. В—количество кубового продукта, моль. с —общее число компонентов. di — количество i-того компонента в дистилляте, моль, D — количество дистиллята, моль. /—номер тарелки] питания. F — количество поступающего питания, моль. Kji — константа Генри (у = Кх) для i-того компонента при температуре /-той тарелки. Iji — количество компонента в жидкости, стекающей с /-той тарелки, моль, If-X’i — количество i-того компонента в жидкости, поступающей на /-тую тарелку, моль. lFi — количество i-того компонента в жидкой части питания, .ноль. Lj — поток жидкости, стекающей с /-той тарелки, моль. L— поток жидкости, поступающей на тарелку питания Lf—общий поток жидкой части питания, моль; для пароохлажден- ного питания и жидкости при температуре кипения Lf--F, для перегретого питания и пара при точке росы LF=0. N — общее число тарелок в колонне, тарелки нумеруются сверху вниз, т. е. верхняя тарелка обозначается цифрой 1, тарелка над кипятильником (над кубом) —N, кипятильник— (jV-bl)- Sji — фактор отпарки для i-того компонента и /-той тарелки. Vji — количество i-того компонента в паре, отходящем с /-той та- релки, моль. — количество i-того компонента в паре, поступающем на (/—1)-ю тарелку, моль. vF.— количество i-того компонента в паре питания. Гу —поток пара питания, покидающий /-тую тарелку, моль. VF — поток пара питания; для жидкости при температуре кипения и охлажденного питания VF=0, а для пара при температуре точки росы и перегретого питания Vf = F. Vj — поток пара, поступающий на (/—1)-ю тарелку = — Гр). —мольная доля i-того компонента в кубовом остатке. Xpt. — мольная доля i-того компонента в жидкой части питания, — мольная доля компонента i в жидкости, стекающей с тарелки /. ЛСд,-—мольная доля i-того компонента iB дистилляте независимо от со- стояния, в котором он отводится. Xi ~ общая мольная доля i-того компонента в общем питании F. yFi—мольная доля i-того компонента в паре питания, у — мольная доля компонента i в паре, стекающем с тарелки /. a — относительная летучесть отдельных компонентов. с У — сумма; = сумме i = 1 — с. 1=1 Ф;,ф,- — произведение пли сумма произведений факторов отпарки; опре- деляется по уравнению (III,31). со,- — произведение или сумма произведений факторов извлечения; определяется по уравнению (111,33). 86
ИНДЕКСЫ b — основной (ведущий) компонент; компонент, для которого а=1,0. В—кубовой продукт. D — дистиллят. /—тарелка питания. i — число компонентов, i = 1 — с. / — число тарелок; для конденсатора /=0, для верхней тарелки / = 1, для тарелки питания j = f и для кипятильника ЗАДАЧИ Ш-1. Проверить результаты, приведенные в табл. 10, для второго прибли- жения по методике Тиле и Геддеса и способу простых итераций. Ш-2. Проверить результаты, приведенные в табл. 12, для второго при- ближения но методике Льюиса и Матисона и способу простых итераций. Ш-3, Показать, какие изменения следует сделать в методиках расчета, если а = / (Г), и провести два первых приближения для условий, аналогич- ных примеру 111-1, по методике Тиле и Геддеса, а также Льюиса и Матисона. Кроме того, известны следующие данные: Компонент FX. изо-С^...............33,3 н-С4.................33,3 изо-С^...............33,4 При сравнении принять каждую температуру для первоначального профиля по методике Тиле и Геддеса, равной температуре, при которой для пзобутана величина К = 1. Ш-4. Многие авторы 2’7’ 9,10 уравнения материального баланса запи- сывали через мольные доли. Показать справедливость следующих уравнении: для укрепляющей секции = _1___2_ (баланс для дефлегматора) %Di к<мУ1 м У ji / ^/-1 \ / Уi \ , В XDi iV j , I Di / j 2 < j /- 1 У ft для исчерпывающей секции xNi _ / VAr+lKN+l, i । В xBi \ j (баланс длякипятильника) 87
III-5. а) Применить формулы, указанные в задаче Ш-4, для расчета простой колонны в примере Ш-1, Преобразовать уравнения, приведенные в задаче Ш-4, и получить следующие выражения: -^7 = [ЛоМь + ^1» +1] б) Показать, что если значение y2i/Xjy-, вычисленное по-уравнениям материального баланса (см. п. «а»), умножить на VJD (которые являются исходными условиями задачи), то результат будет равен значению i?2//c7f, полученному по покомпонентным уравнениям материального баланса. Исходя из уравнений, приведенных в п. «а», получить следующую фор- мулу для XD.: v \Г FXi________________' Di \ D Д 1 + (V2/O) (?„/Xni) (B/V2) (xBI/y2i) Значения D, В и V2 даны в условии примера Ш-1. Показать, что сумма этих значений XDi не обязательно равна единице. в) Исходя из уравнений, приведенных в п. «а», принять, что рассчитанное значение bjdi определяется как bi = (H2/z>) (y2/./xDt) di (У2/ВЦу2./хв^ Определив b^di, рассчитывают значение по уравнению (111,19). Кроме того, XDl можно найти по формуле I с хВ1=лА 2^ I 4=1 Показать, что найденные значения XDt равны величинам, полученным по формуле в п. «а»> после нормализации. г) Вывести формулу для расчета y2i, исходя из значений Уц/Х^ и соответствующего XD{, которые по каждому компоненту будут равны вели- чинам, получаемым по уравнению (111,23). Ш-6. Для методик Тиле и Геддеса независимость количеств компонен- тов от направления расчета можно показать способом, отличным от приве- денного в тексте. а) По уравнениям (III,4), (III,5), (Ш,19) и (III,25) вывести уравнения (III,6) и (III,7). б) Написать все независимые уравнения материального баланса, вклю- чая общий материальный баланс и уравнения равновесия [уравнения (III,4) и (III,5)], для простой ректификационной колонны и показать, что число неизвестных равно числу уравнений. Ш-7. Формулы Амундсона и Понтинена9 для колонны, описанной в примере II1-1, имеют следующий вид; - (L2 + V2Kit) x2i + = —FXt — (L3+ ^3i + --0 £3r3t — (B F4X4 J xii = 0 88
Показать, что нормализованные мольные доли, рассчитанные по этим уравнениям, равны значениям, получаемым по уравнениям (III,4)— (111,11), (III.19) и (III,24). III-8. Вывести уравнения, необходимые для описания простой колонны [уравнения (III,6)—(111,8) и (111,10), (111,11)], в качестве матричного уравне- ния. Получить обратную матрицу коэффициентов, т. е. матрицу, содержа- щую коэффициенты переменных (vjjи Ijjbi). ЛИТЕРАТУРА 1. Lewis W. К., Matheson G. L., Ind. Eng. Chem., 24, 494 (1932). 2. Thiele E. W„ Geddes R. L., Ind. Eng. Chem., 25, 289 (1933). 3. D о n e 1 1 J. W., Kenneth Turbin, Chem. Eng., 58, 112 (1951). 4. A i t k e n A. C., Determinates and Matrices, New York, Interscience Publishers, Inc., 1951. 5. G a s s S. I., Linear Programming, New York, McGraw-Hill Book Com- pany, Inc., 1958, p. 12, 27. 6. S t о 1 1 R. R., Linear Algebra and Matrix Theory, New York, McGraw- Hill Book Company, Inc., 1952. 7. Robinson C. S., Gilliland E. R., Elements of Fractional Distillation, New York, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1952, p. 219. 8. L у s t e r W. N., Sullivan S. L., jr., Billingsley D. S., Holland C. D., Petrol. Ref., 38, № 6, 221 (1959). 9. A m u n d s о n N. R., Pontinen A. J., Ind. Eng. Chem., 50, 730 (1958). 10. Rea H. E. jr., Hanson D. N., Petrol. Ref , 31, № 11, 139 (1952).
ГЛАВА IV МЕТОДЫ СХОДИМОСТИ РАСЧЕТА Основные идеи различных методов сходимости можно показать на примере расчета процесса в простой колонне, работающей при заданных потоках пара и жидкости. Модификация этих методов для случая, когда потоки в колонне рассчитываются с учетом теплового взаи- модействия жидкости и пара, изложены в главе V. Методы сходимости заключаются в определенном порядке обработки вычисленных значений переменных с целью получения улучшенных (корректированных) значений для следующего при- ближения, которые более близки к истинным величинам. Если не производится никакой обработки вычисленных значений пере- менных, способ расчета, как уже указывалось, называют простыми итерациями (см. главу III). При расчете процесса многокомпонент- ной ректификации применяли тот же подход, что и при рассмот- рении алгебраических уравнений (см. главу I). Прежде всего использовали простые итерации, а затем разрабатывали другие методы сходимости. В настоящей главе описаны некоторые из предложенных ме- тодов сходимости. Применение этих методов иллюстрируется решением численных примеров. 0-Метод сходимости Листер и др. 1 предложили 0-метод сходимости, который дает удовлетворительные результаты при расчете простых ректифи- кационных колонн. Затем было доказано 2, что 0-метод можно также использовать для решения задач с различными заданными условиями. 0-метод можно применять при расчетах как по методике Тиле и Геддеса, так и по методике Льюиса и Матисона 3. Следует от- метить, что если использование методики Тиле и Геддеса позво- ляет решать задачи расчета сложных колонн на машинах, то 90
применение методики Льюиса и Матисона в этом случае может не привести к желаемому результату. Поэтому в последующих главах описывается применение 0-метода сходимости в сочетании с методикой расчета Тиле и Геддеса. Вывод 0-метода сходимости в сочетании с методикой Тиле и Геддеса. Первоначально 0-метод возник на основании чисто интуитивных соображений, и лишь затем был сделан вывод, ос- нованный на некоторых постулатах. Напомним, что при решении примера III-1 с помощью методики расчета Тиле и Геддеса и спо- соба простых итераций сумма вычисленных значений (L не рав- нялась заданному значению D до тех пор, пока не была достигнута сходимость. Рассмотрим метод обработки вычисленных значений d. с целью получения корректированных величин, которые отвечали бы условию материального баланса для каждого компонента и задан- ному значению D. Следовательно, необходимо, чтобы корректи- рованные значения dt удовлетворяли одновременно FXi = + (Осо (IV,1) и Я = 2 Шсо (IV,2) 1=1 Отметим, что существует бесконечно большой набор значений (6,)гп и удовлетворяющих одновременно уравнениям (IV,1) и (IV,2). 0-Метод предоставляет способ выбора лучшего сочетания этих величин. Для любых заданных значений LIV и температур можно рассчитать отношения bJd. которые ниже обозначаются индексом «са». Эти Ь./d. содержат все неувязки, имеющиеся на данном шаге приближений. Кроме этого, имеются и другие значения bJdt, которые являются решением задачи. Соотношение между указанными величинами можно записать в виде Значения 0х можно вычислить по уравнению (IV,3), если из- вестны конечное решение и значения (b.Jd^ для любого при- ближения. Однако для получения решения достаточная информа- ция при определении значений 0( в уравнении (IV,3) отсутствует. Тем не менее на каждом шаге приближений можно найти единст- венное значение 0, которое бы удовлетворяло одновременно урав- нениям (IV,!) и (IV,2) для всех компонентов. Откорректиро- ванные значения bJdP определяемые из уравнения 91
Рис. IV-1. График функции о- (9) в окрестности положи- тельного корня 0Г. можно рассматривать как шаг к оты- сканию истинных значений bjdt. Формула для расчета 9 получена следующим образом. Уравнения (1V,1) и (IV,4) можно решить отно- сительно (d.}' Подставляя выражение (IV,5) в уравнение (IV,2) и сделав пре- образования, получают: С g(Q)=y г . ----D <rv>6) i=l Искомым значением 9 является положительный корень, при котором g (9) = 0. График функции g (9) в окрестности положи- тельного значения корня показан на рис. IV-1. Положительный корень можно определить несколькими способами, два из которых (Ньютона и интерполирования) описаны в главе I. При примене- нии итераций Ньютона необходимо знать первую производную 0: jU [1-ЬО (Ь,/с/НсаР »=1 (IV,7) Последовательное применение способа Ньютона (см. главу I) дает искомое значение 9, если первая произвольная величина 0 удовлетворяет неравенству О -С 9 0Г. Так как значение 9 = 0 является одной из величин, удовлетворяющей этому неравенству, то его можно принимать в качестве первого предположительного значения 0. Найдя положительный корень 9 = 0Г и подставляя его зна- чения в уравнение (IV,5), получают корректированные величины для de Улучшенные значения Ь( определяют по уравнению (ЬЛв-=0 (-у-) \ и I / са (IV,8) Теоретически (Ь.)со можно вычислить по уравнению (IV,!), но на практике лучше пользоваться уравнением (IV,8), так как оно требует более простых арифметических операций ^рассчи- танные и корректированные величины имеют один и тот же по- рядок). S2
При применении 0-метода сходимости в сочетании с методикой расчета Тиле и Геддеса используют следующие формулы расчета корректированных значений мольных долей: (^i)co - = —c 2 (ljMC(MC0 2 (di)co t=l ,=1 {vjild-i)Ca (di)co V ~ kvji!difca (di)co »=1 (IV,9) (IV,10) Поскольку (^i)ca — (.^i/d^ca (di)ca и (bt)cn — 9 (6j}dt)ca (d{)cg то очевидно, что два выражения для xJ£, даваемые уравне- нием (IV,9), эквивалентны. Учитывая особенности 0-метода (см. главу VI), улучшенные значения температур следует рассчитывать, используя уравнения для температуры кипения и значения х .{. В этом случае удобно применять сочетание методики расчета Тиле и Геддеса и 0-ме- тода (см. решение примера III-1 в главе III). Величины ЬJd., полученные после первого приближения (см. глава III, табл. 8), были использованы для расчета значения 0 порядка 5,6215101 по уравнению (IV,6). Ниже приведены составы продуктов разделения, определенные по уравнению (IV,9): № компо- нента 1 27,764577 5.535423 2 15,224283 18,075717 3 7,011140 26,388860 Указанные составы продуктов разделения дали профиль тем- ператур, показанный в табл. 13. Корректированный температурный профиль применяется для проведения следующего потарелочного расчета колонны. Уравнения (IV,9) и (IV, 10) можно получить, исходя из опре- деления мольной доли (число молей данного компонента в смеси, деленное на общее число молей смеси). Предполагается, что значения V,,- и Lj постоянны по колонне. Используя гипотети- ческие промежуточные холодильники (или кипятильники), можно получить различные значения общих потоков пара и жидкости по колонне. В данном случае задача заключается в том, чтобы определить количества компонентов в продуктовых 93
ТАБЛИЦА 13 Решение примера III-1 при помощи В-метода и методики расчета Тиле и Геддеса № № приближения тарелки 1 2 3 4 5 6 7 Вычислен! 1ыо значения К 6 0 0,41086575 0,41362833 0,41372024 0,41372407 0,41372426 0,41372427 0,41372427 1 0,46121292 0,46719933 0,46738321 0,46739097 0,46739133 0,46739136 0,46739136 2 0,48755212 0,51157089 0,51154290 0,51154505 0,51154520 0,51154523 0,51154522 3 0,55069408 0,55398386 0,55401216 0,55401135 0,55401126 0,55401126 0,55401126 4 0,63770834 0,6311654 0,63095157 0,63094266 0,63094222 0,63094220 0,63094220 D * 77,667585 49,006364 49,999530 49,999902 49,999993 49,999998 49,999999 5,6215101 0,94749173 0,99997452 0,99999469 0,99999961 0,99999987 0,99999998 * Величина D вычислена.
потоках, которые удовлетворяют покомпонентному материальному балансу [см. уравнение (IV,!)] и заданному значению D. Рассмотрим сумму произведений с /„ , У (-Н (<Ш Эта сумма выражает величину парового потока, которая не обязательно равна заданной величине Vj, так как два изложенных выше требования, налагаемые на корректированные значения d., не включают это условие. Очевидно, если известны значения этой суммы и величины Vj, то можно определить единственный множи- тель, дающий равенство. Допустим, что множители о у и Ту определяются как (d.-)co (IV.11) Ct j, / С14 / bi \ (М™=ъЪН (tv, 12) \ /са Из приведенных определений множителей о у и т . следует, что сумма корректированных значений для скоростей пара и жидкости отдельных компонентов равна соответственно V. и Lт. е. J J \ di ,’ca <==1 m'K) »=1 Из определения мольной доли следует, что у ji~vj и xji 'IjijLj поэтому, используя уравнения (IV,11)— (IV,14), получаем жела- емый результат — уравнения (IV, 9) и (IV, 10). Соотношение, выраженное уравнением (IV,4), можно также найти, исходя из этих же предпосылок. Для колонны с полным дефлегматором уравнение (IV, 12) запишем в следующем виде: (^Oi)co *0 ! & dca (Pi)co Умножение обеих частей уравнения на DIL^ и дальнейшие преобразования дает формулу (ЬЭсо-ЭЛо) (&/ f di}ca (di)co (IV,15) 95
ТАБЛИЦА 14 Решение примера III-1 по методике расчета Льюиса п Матисона и 9-метода сходимости Расчет корректированных значений b. и d 6-методом ф ф Лэ ком- понуя га (bJdi)ca FX. t+9(b /d ) 1 5,57433647 5,931358 27,368642 2 1,025912022 18,007672 15,292328 3 0 3 4020608 26,060971 7,339029 Значения 0, примененные для решения примера III-1 As приближения № приближения Э 0,82776287 0,98642401 0,99902780 0,99993120 7 0,99999514 0,99999964 0,99999996 Примечание. Исходя из значений b.jd^ полученных после первого прибли- жения (см. 1-е приближение, табл. И), уравнение (IV,6) дает 9= 0,82776287. Заменяя множитель 1;т0 на 0, получают уравнение (IV,4). Ниже приводится другой способ доказательства этого урав- нения в более общем виде, включающем и случай, когда колонна снабжена парциальным дефлегматором. Допустим, что выше дефлегматора существует тарелка / = —1, на которой происходит полная конденсация дистиллята. В этом случае уравнение (IV, 12) примет вид "''-I (IV, 16) Замена множителя I/t^ на 0 дает желаемый результат — урав- нение (IV,4). Эту же зависимость можно получить при помощи уравнения (IV, 11). Для этого предполагается, что все компоненты полностью испаряются на дополнительной тарелке (7V + 2), расположенной ниже кипятильника. Такой подход дает равенство <JN+2 = 1/т.р Следовательно, исходные положения, при помощи которых полу- чают выражения для мольных долей, дают также и основную зави- симость, выраженную уравнением (IV,4). Применять 0-метод сходимости можно также в сочетании с методикой расчета Льюиса и Матисона (см. ниже). Характеристика сходимости 0-метода при сочетании с методикой Тиле и Геддеса. При решении примера II1-1 0-методом было 96
установлено (см. табл. 13), что множитель 0 обеспечивает кор- ректирование значения переменной в желаемом направлении. Выяснив, почему достигается указанная корректировка, можно глубже понять сущность этого метода. Прежде всего покажем, что при определенных LIV вычислен- ные значения D имеют такие отклонения от истинного значения (в зависимости от принятого профиля температур), которые можно наблюдать в реальной колонне. Если в среднем принятый темпе- ратурный профиль будет завышен, то по методике Тиле и Геддеса можно получить значение D выше истинного значения, и наоборот. Это легко показать на численных примерах. В целях упрощения рассмотрим частный случай, когда пита- ние поступает в колонну в виде насыщенной жидкости. Из урав- нения (111,34) следует, что пропорционально сумме произ- ведений факторов извлечения А Значение Aобратно пропор- ционально величине Kjt, поэтому количество vf./di уменьшается с возрастанием температурного профиля в укрепляющей секции. Аналогично этому значение vfi!bi является функцией факторов S .t, которое пропорционально величине К Следовательно, vfl>'bi будет увеличиваться с возрастанием температурного про- филя в исчерпывающей секции. Отсюда следует общий вывод, что bjdi уменьшается при увеличении температуры в одной или в обеих секциях колонны. Из уравнения (III,19) ясно, что значение увеличивается при возрастании температурного профиля. Далее рассмотрим уравнение (IV,6). Если сумма вычисленных значений больше заданного D, то согласно уравнению (IV,6) корнем является положительное значение 0. т. е. 0 >> 1. Если сумма рассчитанных значений dt меньше заданного D, то для удовлетворения уравнения (IV,6) требуется положительное зна- чение 0, т. е. 6<1, Отсюда следует, что если для предыдущего приближения принять слишком низкий температурный профиль, то получим значение 0 < 1, а при слишком высоком температурном профиле 0 >> 1. Использование корректированных (улучшенных) величин dn определенных при значениях 0<1 и0 >1, позволяет получить температуры, соответственно более низкие и более высокие, чем при применении простых итераций. Это легко показать, рассмот- рев изменение значений при корректировке в зависимости от 0 для очень легких и очень тяжелых компонентов. Для легкого» компонента величина bi/di очень мала, поэтому уравнение (IV,5) можно свести к {di)C0^FX, (IV,17) Для тяжелых компонентов величина bi!di очень велика, отсюда 0 (IV.18) 7 Ч. Д. Холланд. 97
Рассмотрим случай, когда температурный профиль при преды- дущем приближении был выше истинного. Этому условию соот- ветствует значение 0 >• 1. Если исходить из уравнений (IV,17) и (IV, 18), то становится очевидным, что формулы для мольных долей на каждой тарелке [уравнения (IV,9) и (IV, 10)] дают со- ставы, содержащие меньшую долю тяжелых компонентов в отли- чие от составов, определенных при помощи простых итераций. Равновесные температуры, рассчитанные по этим составам, ока- зываются меньше температур, полученных при помощи простых итераций. Вывод, к которому приводит описанный выше анализ, иллю- стрируется сравнением температурного профиля, полученного по способу простых итераций (см. табл. 10), с профилем, рассчи- танным при помощи 0-метода (см:, табл. 13) в конце первого при- ближения. Таким образом, очевидно, что 0-метод обеспечивает корректи- рование в желаемом направлении. Однако еще не было доказано, что такая коррекция достаточна и дает сходимость для всех задач, хотя в данной задаче и была быстрая сходимость расчета. Прак- тически применение этого метода связано с единственной пробле- мой — проблемой «раскачки». Причины «раскачки» и пути борьбы с нею приведены в главе V вместе с доказательством того, что 0-метод является методом прямого решения частной задачи, воз- никающей при работе колонны с полной флегмой. Сочетание методики расчета Льюиса и Матисона с 0-методом сходимости. Листер и др. 4 впервые предложили сочетать методику расчета Льюиса и Матисона с 0-методом сходимости. Позднее было исследовано это сочетание с некоторыми изменениями и най- дено, что оно дает хорошую сходимость. Расчет колонны проводят при помощи методики Льюиса и Матисона 3 (см. пример Ш-1, табл. 11). В случае ввода жидкого питания при температуре кипения значения для {bjd^^ можно вычислить, как показано в табл. 11, при помощи формулы, приведенной в работе. 4 В действи- тельности эта формула выражает требование о соответствии (или равенстве) паровых потоков (рассчитанных сверху вниз и снизу вверх) для всех компонентов, поступающих на тарелку выше тарелки питания. Основываясь на рассчитанных таким образом величинах b./d при помощи уравнения (IV,6) определяют улучшенные значения bjdv Эти улучшенные значения Ь. и d( применяют в следующем приближении, проводя потарелочный расчет колонны. В принципе соответствие (т. е. равенство количеств каждого компонента, рассчитанных сверху вниз и снизу вверх) может устанавливаться по любому сечению колонны. Однако следует избегать формул, которые содержат операцию вычитания при потарелочных расчетах, чтобы исключить возможность получения is
отрицательных чисел. Для общего случая ввода питания в любом состоянии требование о соответствии (балансе) по пару для тарелки, расположенной выше тарелки питания, приводит к следующей формуле: =-----vf2^di----- (IV, 19) \diJca vfBilbi + VFilbi Для насыщенного и переохлажденного жидкого питания vF{~- 0, а для парового питания вр.~РХг [Если устанавливать соответствия по жидкости, поступающей на тарелку питания, то общая формула для bjdi при подаче смеси в любом состоя- нии примет вид (.Ю = +1 (IV,20) Для насыщенного и переохлажденного жидкого питания I =FXf1 а для насыщенного и перегретого парового питания vFi = FX^ До тех пор, пока не будет достигнута сходимость, каждая из этих формул дает различные значения (bi/di')ca. Сле- довательно, методика Тиле и Геддеса отличается от методики Льюиса и Матисона тем, что дает одни и те же значения bjd. независимо от условий соответствия. Применение 0-метода для коррекции вычисленных значений bjd., полученных по методике Льюиса и Матисона и уравнению (IV,19), для примера Ш-1 показано в табл. 14. Было изучено применение уравнения (IV,20) для расчета значений (bjd^^ и установлено, что оно дает более медленную сходимость для примера III-1 (см. табл. 19). Метод сходимости Харпа — Боннера Метод сходимости Харпа — Боннера применим в сочетании с ме- тодикой расчета Льюиса и Матисона. Данный метод разработал в 1953 г. Харп* и позже проверил и модифицировал Боннер 5, который использовал его на ранней стадии развития машинных расчетов. В связи с тем что многие задачи успешно решены при помощи этого метода сходимости, в данной главе даются его вывод и ил- люстрация численным примером. При обычном применении мето- дики Льюиса и Матисона расчеты проводят с верха и низа колонны до тарелки питания, исходя из предполагаемого распределения компонентов в продуктовые фракции. Значения концентраций * Н а г р W. М., Head Systems Engineering Group, Humble Oil and Refining Co, Baytown, Texas, 1954 7* 99
(в мол. долях) для точки ввода питания, получаемые при расчетах сверху вниз, обозначают через а значения, являющиеся результатом проведения расчетов снизу вверх, — через %jBi, Метод сходимости Харпа—Боннера обеспечивает определение улучшенных значений количеств дистиллята и кубового продукта на основе соответствующих расхождений, возникающих на та- релке питания. Уравнение (Ш,36) можно использовать для получения соот- ношения между xfBi и значениями хвс взятыми в качестве на- чальных величин для данного приближения. Разделив обе части уравнения (111,36) на S fi, находим: = i • • ^N+1, » + * • • • 5лл + • • • +5/-i, 1 + 1 (IV.21) Поскольку то уравнение (IV,21) можно представить в виде ^•=ЭД(гггу£/) <IV,22) Здесь Т» J- Vy, у) i • ' SN+U i - ' SNi+ • • ' ГМ] Таким образом, xfBi можно рассматривать как функцию хв. и yf. Тогда приращение xfB( в зависимости от изменения хв. и у, составит: dx 1дх/в< X Bl r fi'T \ B \ d4i / 1 (IV,23) Из уравнения (IV,22) следует, что dxfBi=(xBfi/xBi) dxBi + xBt d^i (IV,24) Первый член в правой части уравнения (IV,24) показывает, как изменяется состав на тарелке питания в зависимости от состава г-того компонента в кубовом остатке при постоянных температурах и мольных потоках по колонне. Второй член по- казывает влияние изменения У; (т- е- профиля температуры и LIV) при постоянном содержании г-того компонента в кубовом продукте. Левый член определяем по уравнению (IV,24), не учи- тывая изменения второго члена, тогда dXfB — (XfBl&B] dxB (IV,25) или &xfB= (х/в/хв) ^хв (IV,26) В уравнениях (IV,25) и (IV,26) индекс i опускается. 100
Заметим, что следующие ниже уравнения применимы к лю бому компоненту, присутствующему в смеси. Аналогично можно легко показать, что при расчете с верха колонны (IV,27) Несоответствие или расхождение (рассогласование) в опре- делении концентрации компонента на тарелке питания обозна- чим через ^ = xfB~~xfD (IV, 28) Допустим, что уравнения (IV,26) и (IV,27) применяют к двум последовательным приближениям, одно из которых только что закончено, а другое должно быть проведено. Эти два приближения обозначаются индексами I и II. Ука- занные уравнения примут вид ^xfB=xfBii xfBi (IV,29) \XfD ==xfDU xfDI (IV,30) Расхождения для обоих приближений будут соответственно следующими: ^I=xfBI xfDI (IV,31) ^H~xfBii~xfDii (IV, 32) Понятно, что целью метода сходимости является нахождение таких значении количеств компонента в продуктовых фракциях, которые при следующем приближении дали бы полную увязку баланса для тарелки питания, т. е. ЕТ1—0 (IV,33) Вычитая уравнение (IV,30) из выражения (IV,29), получаем: ^xfB ^xfD==xfDI XfBI (IV, 34) Сравнение уравнений (IV,31) и (IV,34) показывает, что /В—^xj‘D~=—I (IV, 35) Заменяя и на их эквиваленты, даваемые уравне- ниями (IV,26) и (IV,27), получаем результат: (х/в!хв}^хв (x/d/Xi)) &Хd~ (IV,36) Поскольку &хв=\Ь/В kXD = kd/D=—kb/D то уравнение (IV,36) можно решить для Д&: Sb^-Ei/Bt (IV,37) 101
В уравнении (IV,37) индекс I опущен и добавлен индекс г, чтобы подчеркнуть необходимость такой коррекции для каждого компонента. Величина R. определяется следующим образом: = (IV,38) где bi и dt количества компонентов, принятые для проведения данного при- ближения. Поскольку сумма поправок, вычисленных по уравнению (IV,37), не всегда равна нулю, то ее необходимо привести к нулю, чтобы решить задачу для заданного значения D. Боннер5 предложил следующий порядок применения метода сходимости: 1. Суммировать отдельно положительные и отрицательные поправки, что позволяет получить (плюс) и (минус). 2. Применять указанные поправки к компонентам, стремясь уменьшать значение R до тех пор, пока общие положительные или отрицательные поправки не будут равны ^iXbi (плюс) или У Abi (минус) в зависимости от того, какая из них меньше. Эти поправки используют при расчете количества компонента для следующего приближения: = + (IV,39) dik^di + kdi (IV,40) где bi и — также принятые значения количеств компонента, которые берутся для данного приближения. Использование метода сходимости Боннера для решения при- мера II1-1 иллюстрируется данными табл. 15. Значения bjdi (см. 1-е приближение, табл. 11) получены по методике Льюиса и Матисона и откорректированы по уравнению (IV,37). При применении поправок только по указанным выше уравне- ниям не всегда получают сходимость до данного значения D. Боннер5 предложил по мере необходимости подправлять значения с тем, чтобы предотвратить изменение D при пере- ходах от одного приближения к другому. Один из возможных методов такой корректировки использован при решении примера III-1. Поправки по методу Боннера применяются к каждому компоненту в соответствии с уравнением (IV,40). Затем вычис-' ляется XD.=-{di)en (IV,41) S (<)« В качестве принятого количества компонента в дистилляте при следующем приближении берут величину DXd, а соответ- 102
ТАБЛИЦА 15 Коррекция составов продуктов разделения для примера III-1 методом установления соответствия потоков Начало расчета № компо- нента У2-О/“ d Ж2В E = ^2B—x2D Х2В b X'iD 2 V2D/“ 1 0,5124391 10,718757 0,25365193 0,25878717 0,011232859 2 0,30164449 18,694326 0,30087271 0,00077178 0,020599714 3 0,18591645 20,586919 0,44547534 0 25955889 0,034767230 Продолжение расчета № ком-’ понента Х2Р d Х2В , X2D Лвэ —h—г— о а Ab = -E/R = —Ad G)co~ (b) =b-f-Ab х 'со 1 0,047807698 0,59040560 4,3832099 6,335547 26,964453 2 0,016135617 0,03673533 0,02100920 18,673316 14,626683 3 0,0090308049 0,043798035 5 9262679 26,513187 6,886813 51,522050 48,477949 ствующее количество кубового остатка находят из материаль- ного баланса. Если получают отрицательные значения Ь;, то поправок не делают и прежние значения используют для сле- дующего приближения. Такой способ дал удовлетворительное решение примера III-1 (см. табл. 19). Сочетание поправок по методу Боннера и 0-метода сходимости. Для дальнейшего усовершенствования корректировки количеств компонентов в продуктах разделения при использовании мето- дики расчета Льюиса и Матисона, а также метода сходимости Боннера, было6 предложено применять 0-метод. В этом случае 0-метод позволяет выбрать улучшенные значения dt, которые отвечают уравнению материального баланса и заданной величине D. Истинные значения будут следующим образом относиться к значениям, полученным по методу^Боннера: =0 (bi/d^co (IV,42) Величина 0 определяется обычным способом по уравнению (IV,6), в котором значения (\/d4)ra заменяются на (bf/dje<>. Отмечено, что использование значений , полученных в результате такого сочетания с 0-методом, значительно увели- чило скорость сходимости по сравнению со скоростью сходимости, достигаемой только по методу Боннера. Пример III-1 был решен 10
ТАБЛИЦА I в Применение 9-метода для коррекции составов продуктов разделения методом соответствия потоков в районе питания № ком- понента __ FXi (b,)^=9 (d^ 1 4,2560573 5,9313577 27,368642 2 0,78329325 18,007671 15,292329 3 0,25975047 26,060971 7,3390287 * Исходя из значений приведенных в таблице, найдено значение 0 = 1,841557 по уравнению (IV,42), которое дало корректированные величины. при помощи указанного сочетания метода сходимости (табл. 16) с применением поправки к каждому компоненту в соответствии с уравнениями (IV,39) и (IV,40). Методика Льюиса и Матисона в сочетании с 0-методом сходимости Пайзера Этот метод аналогичен сочетанию 6-метода сходимости и методики расчета Льюиса и Матисона в том виде, в каком он был предложен Листером и др. 4. Однако вместо соответствия по одному потоку на тарелке питания, рекомендованного Листером, Пайзер пред- ложил устанавливать соответствие по потоку пара, входящему на тарелку, расположенную выше тарелки питания, и по потоку жидкости, поступающему на тарелку питания. Исходя из этого, значения определяют следующим образом: / bj \ Di/d.) (iv 43) \di } са У G/-1, где bi и di — количества t'-того компонента в продуктах разделения, взятые для проведения данного приближения. Индексы D и В показывают, что переменные получены в ре- зультате расчетов соответственно по колонне снизу вверх и сверху вниз. Пайзер применил 0-метод для расчета корректированных значений количеств компонентов в продуктах разделения, кото- рые используют при следующем приближении по методике Лью- иса и Матисона. Пример П1-1 решен также и этим способом (табл. 17 и 19). Следует подчеркнуть, что уравнение (IV,43) можно обобщить, включив в него аналогичные условия соответствия для тарелок, расположенных выше и ниже тарелки питания. Однако этого делать не рекомендуется, так как могут получаться отрицатель- ные величины. 104
ТАБЛИЦА 17 Определение значений (6{/с9) для примера 111-1 после первого приближения ио формуле Пайзера 8 Начало расчета № компо- нента d * ^dI^- X1D V%V2B 1 10,718757 2,8567877 0 5124828 0,39804912 11,572645 2 18 694326 1,9283938 1,8796873 0,34711395 27,45410 3 20,586919 1,6189293 4,7586723 0,25483693 60,973254 Продолжение расчета № компо- нента llD = LixlD+FXiliD/d {1B= V2y2B + bllBlb 1 19,902456 53,202456 4,9634911 34,153888 1,5124893 2 17,3556975 50,6556975 2,7096830 42,0597740 2,8796873 3 12,7418465 45,1418465 2,2413186 73,786335 5,7586725 Продолжение расчета № ком понента 6 = 0,8865394 (6£/d.)cfl ^CO / Ъ \ -J / vfD/d (lf-1, D/d) \ d /са |/ (®/B/b) (9-1, B/b) 1 4,2770473 3,9791833 6,9993235 26,3506765 2 0,98252048 0,87105738 17 7974225 15,5025775 3 0,36388289 0,32260182 25,253254 8,1467460 * Значения d, b, v2£)/d, v2B/b, и V2y%B взяты из HDld и г1В/& необходимы для применения формулы Пайзера. табл, III-4. Значения При решении примера II1-1 по методике расчета Льюиса и Матисона в качестве начальных величин были приняты доста- точно хорошие значения Ь. и (L. Пайзер1 утверждает, что никаких особых соображений при выборе исходных величин не требуется. Однако он рекомендует брать для дистиллята и кубового про- дукта (остатка) соответственно заниженные количества очень легкого и очень тяжелого компонентов. Пайзер сам применял величины порядка 10-24 молъ/ч. Релаксационная методика расчета Практически эта методика, предложенная Розе и др.7, основана на уравнениях, записываемых для нестационарных условий, но имеет своей целью расчет процесса в установившемся состоя- нии. Затем было установлено6, что данная методика обладает 105
слишком малой скоростью сходимости, чтобы иметь практиче- скую ценность, поэтому предложены способы увеличения ско- рости сходимости. В настоящей главе рассматривается методика релаксации в своем первоначальном и модифицированном видах. Так как методика расчетов, предложенная Розе и др. 7, резко отличается от методик расчета Льюиса и Матисона3, а также Тиле и Геддеса8, то ее можно было бы целиком изложить в главе III, если не учитывать, что в данном случае эта методика и метод сходимости тесно связаны между собой. В случае неустановившегося состояния закон сохранения массы принимает вид: Вход — Выход—Накопление (IV, 44) Если уравнение справедливо для любого г-того компонента на любой /-той тарелке, удобно рассматривать процесс примени- тельно к отрезку времени Ai; члены «вход» и «выход» в уравнении (IV,44) обозначают число молей i-того компонента, соответственно поступающих на /-тую тарелку и покидающих ее в течение про- межутка времени At. «Накопление» определяют как разность этих количеств молей г'-того компонента на /-тую тарелку за пе- риод At Приводимые ниже уравнения применимы к любому г-тому компоненту. Индекс i в данном случае опускается в целях уп- рощения условных обозначений. Тарелка / выбирается так, чтобы Ту = Гу, a Lj = Lj, т. е. в этом случае никакой поток в окрестности /-той тарелки не должен входить или выво- диться оттуда. Тогда за время Ai найдем: вход г-того компонента на /-тую тарелку Z+Д/ /+Д/ \ L j-y.xdt 4- | Vj+ldt (IV,45) i t выход г-того компонента с /-той тарелки l+Af i+At f J Ljxjdt (IV,46) } t Из определения «накопления» следует, что накопление г-того, компонента на /-той тарелке за время Ai равно Ujxj 1/+д/ Ujxj\t (IV,47) где Uj — количество молей жидкости, удерживаемой на /-той тарелке, моль. В материальном балансе не учитывается удерживаемое [коли- чество пара (в молях), так как обычно оно мало по сравнению с удерживаемым количеством жидкости. Для получения окон- чательного уравнения необходимо использовать две теоремы 1С6
вычислительной математики: о средней величине подынтегральной функции3 и Лагранжа. Согласно первой теореме i dx = [/ (r)]m (Ь — а) a (IV,48) Для функции / (x) берется ее среднее значение при некоторой величине х, лежащей между х — а и х = Ъ. Гео- метрически величины If (х)1м и (Ь—а) образуют две стороны прямоугольника (рис. IV-2). Уравнение (IV,48) показы- Рис. IV-2. Графическая ин- терпретация теоремы о сред- нем значении подынтеграль- ной функции. вает, что средняя ордината соответ- ствует такому значению / (ж), которое дает прямоугольник, равно- великий площади под кривой с (от х = а до х = Ь). Теорема Лагранжа9 определяет следующую зависимость ме- жду величиной функции для х + Ах и ее значением для х: f(X) )г+Д « = /(*) L + W (*) U-иДх (IV, 49) Здесь О О <; 1. При геометрическом выражении этой теоремы между х и х + + Ах получается точка на кривой С (для х 4- eAz), через которую проходит линия тангенса, параллельная хорде АВ (рис. IV-3). Затем при помощи выражения (IV,48) уравнения (IV,45) и (IV,46) упрощаются: Вход = Дг + (Vy+1y;+1)m Дх (IV,50) Выход=(7 -у )м Д« + (LД< (IV,51) Учитывая первую теорему уравнение (IV,47) можно запи- сать: d {Ujxj} Накопление = U jXj di t+г At (IV,52) i i Отметим, что уравнения (IV,50)—(IV,52) верны для любого значения At, поскольку выражения (IV,48) и (IV,49) пригодны для любого значения At. Подставляя уравнения (IV,50)—(IV,52) в выражение (IV,44), находят: 4~ (Ту-цУу+i) w (LjXj)m — dXa dV. a —--- /*- A# J di (IV,53) /+-= Д/ Причем множитель At сокращается. Переходя к пределу при At, стремящемуся к нулю, получают дифференциальное уравнение, где каждый член отвечает мгно- венному значению. Розе7 высказал предположение, что количество 107
Рис. IV-3. Графическая интерпретация теоремы Лагранжа. жидкости, удерживаемое на каждой тарелке, с течением вре- мени не изменяется, следовательно 4- - Lixi = (IV,54) Если все потоки и составы на тарелках колонны при времени t известны, то по уравнению (IV,54) можно вычислить значение производной по t. Розе применил это значение производной для расчета состава на /-топ тарелке при t 4- Ai. Вообще мольная доля на /'-той тарелке при t -р Ai на основании теоремы Ла- гранжа составляет: Выше уже указывалось, что Розе предположил следующее равенство: Из рис. IV-3 видно, что это предположение приводит к до- пущению о линейном изменении величины за период от t до t + Ai. Объединяя уравнения (IV,55) и (IV,56), получим: t+i=xj, t + t/dt) (IV,57) где для удобства обозначения индекс t -р Ai заменен на (i -р 1). Уравнения (IV,54) и (IV,57) являются основными уравнениями методики, предложенной Розе и др.7. По уравнению (IV,54) и начальным значениям составов на каждой тарелке, в том числе 108
и на тарелке питания, можно получить значение dx.< t!dt для каждого компонента на каждой тарелке [на практике уравнения для тарелки питания, дефлегматора и кипятильника несколько отличаются от уравнения (IV,54)]. Исходя из этих данных и пред- варительно выбранного временного интервала Ai, по уравнению (IV,57) вычисляют составы для времени (t + Ai). Найденные значения х применяют для расчета температуры на каждой та- релке за период (t + Ai) в соответствии с обычной методикой расчета по температуре кипения. При помощи этой методики можно также получить составы пара за тот же период (i + Ai). Вычисленные составы пара и жидкости принимают в качестве исходных значений для второго шага по времени. Методику по- вторяют до тех пор, пока не определят неизменный во времени состав для каждой тарелки. Если общие потоки переменны, их значения можно рассчитать в конце каждого приближения на основе тепловых балансов (см. главу V). Было предложено несколько модификаций этой методики, направленных на увеличение скорости сходимости. В частности, по его мнению, вместо уравнения (IV,56) следует применять выражение dxj dxj dx j dxj dt i+гМ dl t dt /+Д/ dt (IV,58) При условии 0 -v; p --V 1. Болл отмечал, что при [3>- г/2 можно брать любое значение Ai; как правило, он использовал величину 0 = 1. Именно это значение |3 применяется при выводе уравнений, предложенных Боллом. Аналогично выводятся уравнения для других значений (3. При [3 = 1 уравнение (IV,58) упрощается: dxj ~dT dx у /+= Д/ dt (IV,59) t+kt Уравнение (IV, 59) выражает тангенс угла наклона каса- тельной к функции Xj в конце приращения времени Ai. Комбини- руя эту величину с уравнением (IV,55), получим: dx . /J.1 »1=*Л < + \ (IV,60) J ’ П. £ Подставим значение dxjldt при i + Ai, найденное по уравне- нию (IV,54), в выражение (IV,60) и после преобразований найдем: —Д t £\ / jK л Д/Ь.-\ ---------j xj-i> t+i + (-----------г 1 H--j Xj, г+1 + . / —АгГу+1Ду+1, /+i \ T" I “ fr~. I xj+l, t+1 t (IV,61) 109
Если принять, что (IV,62) то можно определить коэффициент для любого значения х в урав- нении (IV,61) и получить уравнение для неизвестных /+1, /+1 и ^+ll/+1. Аналогично выводят уравнения для каждой тарелки колонны, поэтому для каждого компонента можно за- писать следующую систему уравнений: ^0ж0 + 5оХ1 == А) ^1^0 + В1Х1 + Сix2 — Di А2Х14- В2Х2 4- £2^3=Дг “Ь В Xх м + С Nx N+1 “ &N (IV,63) где А, В, С и D — коэффициенты и константы, структура которых соответ- ствует уравнению (IV,61). Для колонны с N тарелками, дефлегматором и кипятильником получают систему из (N + 2) уравнений с (2V + 2) неизвестными. Выше (см. главу III), рассматривался способ решения таких уравнений при помощи матриц. Для решения уравнений этого типа была предложена специальная методика Граббе10. Вводя обозначения /о—CqIBq Sq—Dq/Bq вычисляют , д __ -Dfc—^ifcgfc-i lk Bx-Axf^ 8k Bk-Akfk^ (IV,64) (IV,65) для k = 1, 2, . . ., TV-j-1. Затем определяют значение x как ЖЛ'+1~?Лт+1 (IV,66) xk=8k—fkxk+i Для k=N, N—i, N—2....О Иллюстрацией данной методики служит расчет первого при- ближения в примере Ш-1. 110 — KJ, t и
Ниже приведены уравнения для определения коэффициен- тов и констант в этом примере: “Ь Bixi 4- С1^2=Di Л2Г1 -р В2^2 Н~ С 2^3 = D% ^Зт2 4" Взх3 Н- Сзг4 = &3 В&Хд--Z?4 A ti/Q ~и*~ MD U Я _ Az£i 4, । t -АЗД, t Co— r -MV2K2, t и \tV2K2, t , . , AtL2 _ — AzF3A'3; t Bi = —_—+1+-^- C2 =-v- , AiAX A=^2, /4---ц~ _ —AfF^Aj, j ~~ U -ML2 „ AtViKir t AtB Js=-~u— Bi =----u— + ‘+— AtL3 , , , АгУз^з, i =-u~ + i + —и— Решение уравнений по этой методике10 показано в табл. 18. Порядок величин, характеризующих приращение времени Ai и количество удерживаемой жидкости U^, аналогичен порядку величин, предложенных Розе и др. 7 В результате каждого при- ближения вычисляют значения и исходя из которых при помощи 0-метода сходимости определяют улучшенные значения потоков, соответствующие материальному балансу и заданному значению D. Болл 6 указывал, что 0-метод значительно убыстряет сходи- мость модифицированной методики релаксации, при этом сумма Xj не приводится к единице. В принципе можно использовать два способа для получения значений даюптих в сумме единицу. 111
Первое приближение в расчете примера Ш-1 методом релаксации (в модификации Болла 1) таблица is Определение констант № компо- нента X "Л 1 ib BQ Со .Do Aj 1 0,333 1 0,333 0,49975012 1,10 —0,049975012 0,333 —0,05 1,0999750 2 0,333 2 0,666 0,99950024 1,10 -0,099950024 0,333 —0,05 1,1499500 3 0,334 3 1,002 1,4992504 1,10 —0,14992504 0,334 —0,05 1,1999250 Определение констант (продолжение) № компо- нента Dt At В, Cz Dt A., в, 1 —0,04997012 0,333 —0,05 1,1999750 —0,49975012 0,3663 —0,15 1,0999750 2 -0,099950024 0.333 -0,05 1,2499500 —0,099950024 0,3663 -0,15 1,1499500 3 —0,14992504 0,334 —0,05 1,2999250 —0,14992504 0.3674 -0,15 1,1999250 Определение констант (продолжение) Л" компо- нента Ct D3 At В4 1 0,049975012 0,333 -0,15 1,0999750 0 333 2 —0,099950024 0,333 —0,15 1,1499500 0,333 3 0,14992504 0,334 —0,15 1,1999250 0,334 Расчет составов по методу Граббе и Др.1* (начало) № компонента И f = с» Bt~ А Цо Dt~Atgo 81~ 1 —0,045431829 1 0,30272727 -0,04552688 0,31714974
8 Ч. Д. Холланд. —0,090863658 —0,013629549 0,30272727 0,30363636 —0,08726159 —0,01256590 0,30394123 0,29266517 Расчет составов по методике Граббе и др.4 (продолжение) № компо- нента , С, „ -О» — A-igi 6» с' _ Da — Азв3 Di—Aig3 e* Bl —Alft Bt-Aifl Si ’ B» — A3ft B3 — A3ft 1 -0,04172586 0,31907649 —0,04186507 0,31905531 0,34823073 2 -0,08024331 0,30627895 -0,08074071 0.30611334 0,33301462 3 -0,11589375 0,29531603 —0,11689688 0,29495931 0,31989761 1,00114296 Расчет составов по методике Граббе и др.4 (продолжение) № компо- нента Л*4 #3 — f 4 ft*» X2~gt—ftX3 *1— £1— ZlXj 1 2 3 —0,014578704 —0,026887837 —0,037395033 0,33634014 0,33300118 0,33235434 0,99898953 -0,013921166 -0,026729691 —0,038517791 0,33299765 0,33299864 0,33383382 0,99983011 —0,015160344 —0,029057944 —0,041949224 0,33231008 0,33299922 0,33461439 0,99992369 № компо- нента /оХ( f BW){(( ^/d)ea 1 2 3 -0,015097455 -0,030257527 —0,045606432 0,31782472 0,33298480 0,34924279 1,0000523 15,891236 16,649240 17,462139 17,411536 16,650731 15,994880 1,0956691 1,0000896 0,91597484 Примечания. Питание — жидкостное, жидкость на всех тарелках находится при температуре кипения. Значения Д/ и U л. взяты равными соответственно 0,5 ч и 500 моль.
Во-первых, значения можно нормализовать и тогда вычисления проводят по способу простых итераций для всех тарелок, кроме дефлегматора и кипятильника. Во-вторых, можно применить 0-метод, причем состав каждого потока уточняется отдельно. Значение /V находят умножением вычисленного значения Xj. на заданную величину L.. Улучшенные значения составов определяют по уравнению (IV,9), что должно еще больше увели- чить скорость сходимости данного метода. Применение способа Ньютона — Рафсона для расчета процесса многокомпонентной ректификации Излагаемая методика расчета приведена в работе11. Эта методика аналогична методике Льюиса и Матисона9, поскольку она также исходит из первоначальных допущений о распреде- лении компонентов в продуктах разделения. Отличие состоит в том, что вместо проведения потарелочных расчетов с исполь- зованием уравнений равновесия и материальных балансов пред- ложено решать соответствующие уравнения одновременно для всех тарелок, применяя способ Ньютона — Рафсона. Ус- ловие равновесия в исчерпывающей секции для системы, со- держащей с компонентов для любой /-той тарелки, определяют уравнением = O (IV,67) Имеется также с уравнений материального баланса, кото- рые можно представить в виде L jxji~v j+i, f- —Ь=0 (IV,68) с одним уравнением, вытекающим из определения мольной доли: 2 ^-1=0 (IV.69) Уравнения (IV,67)- (IV,69) представляют собой систему из (2с 4- 1) уравнений с (2с + 1) неизвестными: с значений у^, с значений Xj и температура на /-той тарелке. Эти уравнения можно решить способом Ньютона — Рафсона (см. главу I). Опре- деленные по уравнению (IV,67) —(IV,69) значения исполь- зуют при решении соответствующей системы уравнений для (/ — 1)-й тарелки. Вычисления проводят снизу вверх до тарелки, находящейся над тарелкой питания или сверху вниз до тарелки питания. Расчет потоков пара и жидкости по уравнениям теплового баланса требует введения двух дополнительных неизвестных 114
'(Vj и L.) и наличия двух дополнительных уравнений, соответству- ющих материальному и тепловому балансам. Эти уравнения ре- шают одновременно с уравнениями (IV,67)—(IV,69) также по способу Ньютона—Рафсона. Если количества каждого компонента, полученные в результате расчетов по колонне снизу вверх и сверху вниз, совпадают на тарелке, расположенной выше тарелки питания, то d. (и (V) выбраны правильно. В противном случае для нахождения корректированных значений которые удо- влетворяли бы указанному требованию и заданному значению D, применяется тот же способ Ньютона—Рафсона. Требования для установления (2с + 1) неизвестных следующие: Z/-l, В<~^ »=1 (IV,70) (IV,71) (IV,72) Полученные корректированные (улучшенные) значения di (и Ь.) используют в качестве исходных величин для следующего приближения. Сравнение методов сходимости Прежде всего следует отметить, что пример III-1 имеет чисто иллюстративный характер, однако его можно использовать для демонстрации различных методов сходимости. Число приближе- ний, требующееся для получения сходимости при всех методах (исходные условия почти одинаковы), показано в табл. 19. При применении модифицированной релаксационной мето- дики6, естественно, нельзя использовать те же начальные данные. Однако скорость сходимости этого метода в примере III-1 вряд ли намного возросла, даже если принять несколько иные значения Ai и (7у, чем использованные ранее (см. табл. 18). Из табл. 19 ясно, что во всех случаях применения 0-метода для получения сходимости необходимо примерно одинаковое число приближений. При решении данного примера по методике Льюиса и Матисона потребовалось большее число приближений, когда (b.fdj рассчитывалось по балансу жидкости на тарелке питания. Несмотря на то что сочетание методики расчета Тиле и Гед- деса и G-метода дает быструю сходимость для примера с постоян- ными значениями <х и LIV, все же тенденция убыстрения сходи- мости, проявляющаяся при таком сочетании, оказывается более значительной для задач с переменным значением а и LIV. 115
ТАБЛИЦА 19 Сравнение числа приближений, требующихся при различных методах сходимости для примера Ш-1 (точность в пределах семи или восьми знаков) Методика расчета Метод сходимости Требующееся число приближений Тиле и Геддеса Простые итерации 11 Льюиса и Матисона Простые итерации [(Ь^{)еа рассчитывают, исходя из пара, поступающего на та- релку, расположенную над тарелкой питания] 9 * Тиле и Геддеса 9-Метод 7 Льюиса и Матисона 9-Метод рассчиты- вается на основе пара, по- ступающего на тарелку пи- тания] 8 Льюиса и Метод установления соответ- Сходимость до D =51,66 Матисона ствия потоков в районе пи- тания после 7 приближений Льюиса и Матисона Метод установления соответ- ствия потоков в районе пи- тания с нормализацией .9 Льюиса и Матисона Метод установления соответ- ствия потоков в районе пи- тания с 0-методом рассчитывается исходя из пара, поступающего на та- релку над тарелкой питания] 8 Льюиса и Матисона 0-Метод [(bildi)^ рассчиты- вают по формуле Пайзера] 14 Льюиса и Матисона 0-Метод [(bjdi^a рассчиты- вают, исходя из жидкости, поступающей на тарелку питания] 21 Методика Простые итерации с нормали- После 50 приближений схо- релаксации с модифика- цией 6 зацней всех составов димость до второго знака всех значений Кь> исклю- чая одно значение, схо- дящееся только в первом- знаке Методика Простые итерации с нормали- После 40 приближений были релаксации зацией всех составов, кроме получены значения для с модифика- D и В. Последние опреде- Кь с точностью, анало- цией 6 лились 0-методом гичной предыдущему слу- чаю * Результаты первого приближения по методике Тиле и Геддеса приняты в каче- стве начальных значений при расчете по методике Льюиса и Матисона, поэтому указы- ваемая цифра включает одно дополнительное приближение.
Методика расчета Тиле и Геддеса и релаксационная методика не связаны с направлением потарелочных расчетов. В пос- ледующих главах, где разбирается применение методики Тиле и Геддеса, показано, что, с одной стороны, это обстоятельство представляет собой значительное преимущество. С другой сто- роны, при использовании этих методик требуется, как правило, большая машинная память, чем при применении методики Льюиса и Матисона. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ а —константа в уравнении (IV>48), определяющем среднее значение подынтегральной функции. 4 , . . A ±х+1 —коэффициенты в уравнении (IV,63). Ь — константа в уравнении (IV,48), определяющем среднее значение подынтегральной функции. bi — количество i-того компонента в кубовом продукте. (bi)ca—вычисленное значение количества i-того компонента в ку- бовом продукте. (bi)co—корректированное (улучшенное) значение полученное при помощи 0-метода сходимости. (Ь{)со—корректированное (улучшенное) значение количества i-того компонента в кубовом продукте, полученное мето- дом сходимости Боннера. — поправка к величине bh рассчитанная методом сходи- мости Боннера. Вй,. . 2?Лг+1—коэффициенты в уравнении (IV, 63). С . . ., С N — коэффициенты в уравнении (IV,63). di — количество i-того компонента в дистилляте. (di)co~-корректированное (улучшенное) значение dit полученное при помощи 0-метода сходимости. C^i)co~~корректированное (улучшенное) значение, полученное при помощи метода сходимости Боннера. Do . . ON+l — константы уравнения (IV,63). /о, fk—сочетания констант при решении систем уравнений типа уравнения (IV, 63). f (х), \f (x)]m—функция / (х) и ее среднее значение. /' (х)—первая производная функции f(x). f (х) !(г+дж)~ значение функции f (х) при х + Дх. go, gk—сочетания констант при решении систем уравнений типа уравнения (IV,63). t, — время и приращение времени. Uj — общее количество жидкости, остающееся на у-той тарел- ке, моль. vfBi' vjDi—мольные скорости, с которыми i-тып компонент в виде пара поступает на тарелку, расположенную над тарелкой питания (получают по методике Льюиса и Матисона со- ответственно при расчете снизу вверх и сверху вниз). xJBixj’Di—количества i-того компонента в жидкости, стекающей с тарелки питания (получают по методике Льюиса и Матисона соответственно при расчете снизу вверх до тарелки питания и сверху вниз). 117
g (0) — функция, применяемая для расчета положительного зна- чения 0, удовлетворяющего покомпонентному материаль- ному балансу и заданному количеству дистиллята. Е — расхождение в составе на тарелке питания при расчете по методике Льюиса и Матисона [определяется уравне- нием (IV,28)]. ^/-1 Bi- V-i Di—количество i-того компонента в жидкой фазе на тарелке питания при расчетах сверху вниз и снизу вверх по ме- тодике Льюиса и Матисона. Ri—величина, определяемая уравнением (IV,38). р £—число, лежащее между нулем и единицей. у —функция температурного профиля и профиля L/V. 0—множитель, определяемый уравнением (IV,4). <зj—множитель в уравнении (IV,11). Ту —множитель в уравнении (IV, 12). ИНДЕКСЫ В — кубовый продукт (остаток) или величина, получаемая при расчете снизу4 вверх. D — дистиллят или величина, полученная при расчете сверху вниз. са — рассчитанное значение переменной. со—корректированное (улучшенное) значение переменной. У — тарелка питания. I, II—первое и второе приближения. к — порядковое целое число. ЗАДАЧИ 1V-1. Показать, что два выражения для xji в уравнении (IV,9) эквивалентны. IV-2. а) Используя величины d<, приведенные в табл. 8 для первого приближения при решении примера Ш-1, показать, что значение 0, полу- чаемое из решения уравнения (IV,6), равно 6,6215101. б) Применяя корректированные количества дистиллята, рассчитать значения xji по уравнению (IV,9). Затем вычислить значения Кь и сравнить их с приведенными в табл. 13. в) Повторить расчет, указанный в п. «б», определяя значения Кь по [см. уравнение (IV, 10)]. г) Дать аналитическое доказательство равенства значений Кь, полу- ченных способами, описанными в п. «б» и «в». Показать, что если значение а не зависит от температуры, то температуры, получаемые по методикам для точки кипения и точки росы, будут равны [когда значения а:у(- и уопреде- лены по уравнениям (IV,9) и (IV,10)]. Используя значения найденные' из решения примеров, указанных в п. «б» и «в», провести пошаговый расчет для колонны по методике Тиле и Геддеса и установить, что для D полу- чается значение 49,006364. IV-3. Вывести уравнение (IV,4), используя выражение (IV,11). Опреде- лить дополнительные постулаты, необходимые прп применении уравнения (IV,3) к значению кубового продукта (остатка). 1V-4. На основе корректированных составов продуктов разделения, приведенных в табл. 14, провести следующее приближение по методике расчета Льюиса и Матисона и проверить второе значение 0. IV-5. Проверить уравнения, приведенные на стр. 111. 118
ЛИТЕРАТУРА 1. Peiser А. М., Better Computer. Solution of Multicomponent Systems. Chem. Eng., 67, 129 (1960). 2. S u 11 i v a n S. L. jr., M. S. thesis, A. and M. College of Texas, College Station, Texas, January 1959. 3. Lewis W. K., Matheson G. L., Ind. Eng. Chem., 24, 494 (1932). 4. L у s t e г W. N., Sullivan S. L. jr., Billingsley D. S.,. Petrol. Ref., 38, № 6, 221 (1959). 5. В о n n e r J. S., Am. Petrol. Ins. Quart., Division of Refining, 36, .У 3, 238 (1956). 6. В a 1 1 W. E., Computer Programs for Distillation, paper presented at the Machine Computation Special Workshop Session on Multicomponent Distillation at thr 44th National Meeting of the Am. Ind. Chem. Eng. in New Orleans, February, 27, 1961. 7. Rose Arthur, Sweeny R. F., S chro d t V. N., Eng. Chem., 50, 737 (1958). 8. Thiele E. W., G e d d e s R. L., Ind. Eng. Chem., 25, 289 (1933). 9. Courant R., Differential and Integral Calculus, v. 1, 2 nd ed., New York, Interscience Publishers, Inc., 1957, p. 102, 126. 10. G r a b b e E. M., Ramo S., Wooldridge D. E., Handbook of Automation Computation and Control, v. 1, New York, John Wiley and Son, Inc., 1958, ch. 14, p. 34. 11. G r e e n s t a d t J., Yonatan B., Burt M., Ind. Eng. Chem.r. 50, 1644 (1958).
ГЛАВА V РАСЧЕТ ПРОСТЫХ КОЛОНН С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ БАЛАНСОВ Величины потоков по колонне определяют на основе приближенного выражения АН — Q {уравнение (1,3)]. Ниже описаны методики расчета общей энтальпии потока (и составления соответству- ющего теплового баланса) двумя различными путями — обыч- ным методом, применявшимся в течение ряда лет, и методом по- стоянного состава 1-3. Кроме того, показано использование (2-метода при составлении тепловых балансов. По данному ме- тоду находят адиабатическое решение для каждой тарелки, если оно существует в пределах заданного интервала изменения вели- чины потока; в противном случае для поддержания величины потоков в заданных пределах при расчете применяются гипоте- тические системы промежуточных холодильников (пли нагре- вателей). В настоящей главе изложено применение тепловых балансов вместе с методиками расчета Тиле и Геддеса, а также Льюиса и Матисона. Преимущество метода постоянного состава по срав- нению с обычным методом становится наиболее очевидным при расчете абсорберов (см. главу VIII). В данной главе описывается также сочетание методики рас- чета Тиле и Геддеса с каждым методом составления теплового баланса. Обычный метод составления тепловых балансов Применяя обычный метод составления тепловых балансов, де- лают допущение, что каждая тарелка простой колонны, за исклю- чением парциального дефлегматора и кипятильника, работает адиабатически. Если потоки пара и жидкости, отходящие с ;-топ 120
тарелки, являются идеальными растворами, энтальпии рассчиты- вают по следующим формулам: С *=1 (V,l) <V,2) 2=1 где H F и hji — энтальпии чистого i-того компонента соответственно в пото- ках пара и жидкости при температуре на /-той тарелке; Н. и hj — энтальпии потоков. В укрепляющей секции тепловые балансы составляются для дефлегматора и каждой тарелки, а в исчерпывающей секции — для кипятильника и каждой тарелки. Вычислив величины потока жидкости (или пара) на основе теплового баланса, при помощи материального баланса рассчитывают другой поток. Для укрепляющей секции имеем: DHd + Qo (дефлегматор) (V,3a) или = (V,36) L «£-llQ j поскольку Vx = Z/0 + D. Запишем уравнение (V,3a) для дефлегматора и произвольной /-той тарелки: Vj+lH^=Ljb + DH^+Qc (V’3B> Исключение V .+1 при помощи уравнения материального баланса: Vj+1 = Lj + D Q^j^f-2 (V,3r) дает следующее выражение Г Мп—Н. ] 1 (У.Зд) Аналогично находят Vj^L^ + D где HF, hF—энтальпии соответственно 1 люлъ паровой и жидком части питания; М^ = Н£> + <?JD', HD — энтальпия 1 моль отходящего дистиллята независимо от агрегатного состояния. 121
Для исчерпывающей секции применяются следующие уравне- ния: 1В1 (V,4a) [(V,4o> Lj^Vj+B f + i^i + 1 (V,4b) L^^Vf + B (V’4r> Здесь я hB £ В соответствии с системой нумерации hB = hN+1- Нагрузки на дефлегматор и кипятильник связаны между собой общим тепловым балансом: QR=DHD-[-Bh'B + Q)-FH (V.5) где Н — общая энтальпия 1 моль питания, поступающего в колонну: с с н==—^~ У hpixpi (V,6) i=i »=i Методика Тиле и Геддеса в сочетании с обычным методом составления тепловых балансов Тепловые балансы применяются для определения величин по- токов в колонне. При сочетании тепловых балансов с методикой Тиле и Геддеса расчет с заданным приближением проводят, исходя из соотношения LfV и температурных профилей (см. главу IV), и получают улучшенные значения составов и темпе- ратур. Эти данные используют для указанных расчетов по уравне- ниям теплового баланса (V,3) и (V,4). Полученные величины потоков применяют для нахождения факторов извлечения и от- парки при следующем приближении. При решении различных числовых примеров становится оче- видным, что следует ограничить изменение температуры и вели- чин потоков в последовательных приближениях. Приемы, при помощи которых обеспечиваются эти ограничения, называют форсирующими процедурами. Описанные здесь процедуры пред- ложил Листер4, определявший температурные профили по тем- пературам кипения. Профили, полученные при помощи темпера- 122
тур кипения и точки росы, сравниваются в главе VI. Когда при- меняют значения К вместо постоянных относительных летучестей, а корректированный температурный профиль вычисляют по тем- пературе кипения, тенденция к сходимости расчета увеличивается. В действительности часто возникают «раскачки», которые требуют применения первой форсирующей процедуры. В числовых примерах, где количества потока (в моль) приняты постоянными, найденные значения D были меньше или больше заданной величины D. Соответственно этому рассчитанные тем- пературные профили оказывались завышенными или заниженными. Оптимальный из применяемых для следующего приближения профилей лежит где-то между этими двумя значениями, что и при- вело к разработке усредняющей процедуры. При этой процедуре берется среднее значение между рассчи- танным профилем (начиная со второго) и профилем, использо- ванным в начале данного приближения. Известно, что для систем со сравнительно узким интервалом температур кипения пита- ющей смеси сходимость до искомого значения D была настолько быстрой, что использование усредняющей процедуры для профиля не вызывало заметного уменьшения или увеличения числа необ- ходимых приближений. В системах со сравнительно широким интервалом температур кипения питающей смеси число прибли- жений, требующееся для получения значений D нужной точности, значительно сокращается при работе со средними величинами. В главе IV показано, что в случае, когда питание состоит почти полностью из очень легкого компонента, для которого значение К мало зависит от температуры, следует применять дополнитель- ные ограничения к изменениям температур при осуществлении последовательных приближений. Вторая форсирующая процедура применяется для обеспечения стабильности мольных потоков при расчете с тепловыми балан- сами. Установлено, что отклонения вычисляемых значений D от заданной величины увеличивались при введении в расчет тепловых балансов. Частично это объясняется незначительной разностью между большими числами, имеющейся в выражении для определения потоков жидкости или пара. Поскольку все задачи, по условию которых потоки считались постоянными, решаются, то представлялось эффективным огра- ничить изменение этих потоков между последовательными при- ближениями при решении задач с тепловыми балансами. В итоге была принята следующая процедура, не обязательно являющаяся оптимальной: 1. Первые два приближения выполняются для потоков пара и жидкости, допущение о величине которых делается заранее. При этом необходимо стремиться, чтобы температурный профиль достиг какой-либо степени устойчивости до того, как будут при- меняться тепловые балансы. 123
2. Допускается максимальное увеличение любого парового потока (со второго по шестое приближение) в 1,2 раза по отноше- нию к его значению для отдельного приближения. Для минималь- ного значения потока берется коэффициент 1/1,2. 3. С седьмого по двенадцатое приближение пределы сокра- щаются еще больше: соответственно с 1,1 и 1/1,1 до 1,025 и 1/1,025. 4. Потоки пара, находящиеся в пределах указанных выше граничных значений и рассчитанные после третьего и каждого последующего приближений, усредняются при потарелочном расчете с потоками, которые были приняты для проведения дан- ного приближения. Применение этой процедуры свидетельствует о том, что, хотя для легко решаемых задач не требуется введения ограничения нина температуры, ни на величины потоков, при более трудных задачах для получения желаемого результата необходимо вводить 10%-ное (1,1 и 1/1,1) или 2,5%-ное (1,025 и 1/1,025) ограничение так же, как и принимать среднее значение для температурных профилей. Большинство задач решено за семь приближений; в задачах, где требовалось больше семи приближений, изменения потоков пара между следующими одно за другим приближениями были меньше, чем принятые граничные величины. При применении первой форсирующей процедуры (усредне- ние температурных профилей) энтальпии чистых компонентов для среднего температурного профиля вычисляли по уравнениям (V,2) и (V,l). Величины энтальпий жидкости и пара [уравнение (V,2)] определяли через значения получаемые при помощи 0-метода по уравнению (IV,9). Значения вместе со значениями К.. (которые определялись по температуре кипения) дают вели- чины у^.., используемые при нахождении энтальпии потока пара [уравнение (V,l)l. Возможно определение энтальпий потока пара через составы пара, вычисляемые на основе 9-метода [уравнение (IV,10)]. Было установлено, что расчет энтальпий этим способом не имеет существенного преимущества. Константы равновесия К, применяемые при расчете факторов извлечения и отпарки для следующего приближения, определя- ются при среднем температурном профиле, для этой же цели используются значения потоков пара и жидкости, полученные при помощи форсирующих процедур. В следующих ниже примерах расчеты проводились снизу вверх и сверху вниз по колонне (см. главу IV). В главе VI пока- зано, что такой подход сводит к минимуму расхождения в ба- лансе. Обычный метод составления тепловых балансов и применение форсирующих процедур иллюстрируются решением примеров4, перечисляемых в табл. 20 и 21. Решение первых двух примеров дается подробно, для остальных приводятся конечные результаты. 124
ТАБЛИЦА 20 Составы питания в примерах V-1—V-6 Компонент Пример V-1 Примеры V-2—V-6 Компонент Пример у-1 Примеры у -2-V-6 сщ 0,0 2,0 нао-Сь 20,0 0,0 с2н6 0,0 10,0 к-Сь 35,0 15,2 с3н6 0,0 6,0 н-Сб 0,0 11,3 С3н8 5,0 12,5 н-С? 0,0 9,0 15,0 3,5 н-С8 0,0 8,5 н-С4 25,0 15,0 <кИП. = 182°С 0,0 7,0 Всего... 100,0 100,0 Данные примеры взяты для того, чтобы показать влияние интервала температуры кипения и агрегатного состояния питания, количества тарелок и первоначально принятого температурного профиля на число приближений, которое требуется для достиже- ния сходимости. В примере V-1 приведены компоненты, характе- ризующиеся узким интервалом кипения в сравнении с компонен- тами из примера V-2. Последний является небольшим видоизме- нением задачи по стабилизации бензина. Исходные данные для примеров V-1—V-6 ТАБЛИЦА 21 При- мер Начальный температурный профиль Состояние питания Количество дистиллята Флегмовое число Бо/О Число тарелок № тарелки питания * Тип дефлег- матора Давление в колонне кгс/см* V-1 Линейный (54—66° С) Жидкость прп темпе- ратуре кипения 48,9 2,58 10 5 Полный 84 V-2 Линейный (10—232 °C) То же 31,6 2,0 13 4 Пар- циаль- ный 18 6 V-3 Постоянный (66° С) » 31,6 2,0 13 4 То же 18,6 V-4 Постоянный (149° С) » 31,6 20 13 4 » 18,6 V-5 Линейный (10—232° С) 50%-ный пар 31,6 2,0 13 4 » 18,6 V-6 То же Жидкость при темпе- ратуре кипения 31,6 2,0 13 4 » 18 6 * Тарелки нумеруются сверху вниз; для колонны с парциальным дефлегматором который обозначается нулем, верхней тарелке присваивается № 1.
ТАБЛИЦА 2 2 Температурные профили и количества дистиллята, полученные при расчете с тепловыми балансами (обычный метод) и без применения форсирующих процед5р для примера V-1 № приближения Ле тарелки исходный профиль 1 2 з 4 5 6 Температурные профили 0 дистиллят 54.44 63,18 64,62 64,66 6469 64,69 64,69 1 54 44 73,55 74,19 74,26 74,30 74,30 74,30 2 61,84 82,26 81,82 81,85 81 89 81,88 81,88 3 69,24 90,66 87 64 87,64 87,69 87,67 87,68 4 (питание) 77,00 97,83 91,54 91,93 91 87 91,86 91,87 5 84,06 103 03 93,60 94 84 94,55 94,60 94,59 6 91,46 106,22 99,50 99,90 99,70 99,75 99,75 7 98,89 108,96 104,11 104,34 104,04 104,07 104,07 8 106,28 111,04 107,67 107,78 107,53 107,54 107,54 9 113,68 112,55 110,40 110,28 110,23 110,24 110,24 10 (кубовый оста- 121,11 113,52 112 36 112,30 112,26 112,27 112,27 ток) Количество дистиллята Величина D рассчитана по — 41,82 52,40 43,65 49,01 48,93 48,94 0-методу рассчитана — 41,82 43,68 44,86 46,04 47,04 47,67 способом простых итераций Примечание, получения /> = 4 8,94 При методе простых итераций требуется 19 приближений для В примере V-1 наблюдаем быструю сходимость при помощи 0-метода без применения форсирующих процедур (табл. 22), для решения примера V-2 возникает необходимость использования обеих форсирующих процедур (табл. 23). Влияние второй форсирующей процедуры для примеров V-1 и V-2 показано в табл. 24. К системам, описанным в примере V-l,He применяли ограниче- ния второй форсирующей процедуры, так как все рассчитанные величины потоков оказываются в допускаемом интервале значе- ний. В табл. 25 показано распределение компонентов в продукто- вые фракции, которое было получено в этих двух примерах. Из табл. 26 ясно, что число приближений, необходимое для получения решения с желаемой точностью, почти не зависит от первоначально принятого температурного профиля, количества тарелок и агрегатного состояния питания. 126
Из сравнения данных, приведенных в табл. 22 и 26, следует, что применение форсирующих процедур при решении примера V-1 повысило число приближений, требуемых для получения D с за- данной точностью. Несмотря на то что скорость сходимости отно- сительно легких задач не уменьшается, применение форсирующих процедур целесообразно, так как расширяет круг задач, решение которых оказывается возможным. Однако пришлось столкнуться с несколькими задачами, кото- рые нельзя было решить этим методом вследствие постоянного колебания температуры или получения отрицательного парового потока. Для решения таких задач разработали методику, описан- ную в литературе 3. ТАБЛИЦА 23 Температурные профили и количества дистиллята, рассчитанные с применением форсирующих процедур и тепловых балансов (обычный метод) для примера V-2 № приближения № тарелки 1 2 3 4 5 6 1 7 8 12 0 (дистиллят) 32,42 33,895 Темп 33,73 е р а т 33,53 урны 33,42 е пре 33,40 ф и Л I 33,39 I 33 39 33,39 1 48,58 48,60 48,18 47,40 47,00 46,80 46,59 46,47 46,45 2 64,52 62,88 60,77 58,97 57,88 57 24 56 87 56,69 56,47 3 81,46 78 25 74,34 71 21 69,60 68,80 68,43 68,20 68,08 4 (питание) 106,14 103,25 96,70 91,80 90,25 89,94 89,91 89,93 89,89 5 108,10 109 94 107 22 104,20 102,88 102 56 102,52 102 54 102 54 6 110,53 114,24 114,00 112,17 111,30 111,04 110,98 110.97 110,98 7 113,51 118,66 119,20 118 25 117,72 117,50 11743 117,42 117,42 8 117,54 122,50 123,73 123,35 123,00 122,78 122,73 122,68 122 66 9 123,48 127,42 128,49 122 33 128,28 128,09 128,02 127,75 127,72 10 132,57 134,46 134,80 134,57 134,29 134,36 134,09 134,04 134,02 11 146,11 145,71 145,14 144,84 144,69 144,59 144,55 144,54 144,54 12 (кубовый 167,83 167,25 167,19 167,24 167,27 167,30 167.32 167,33 167,33 остаток) Величина D рассчитана 30,61 31,71 К о л 1 32,10 [ ч е с т 62,10 во Д1 31,79 I С Т и J1 31,67 с л я т а 31,62 31,611 31,601 по 0-методу рассчитана 30,61 29,41 29,99 30,42 30 53 30,61 30,75 30,79 31,08 способом про- стых итераций Прммечание. ЗначениеD =31,47 получено методом простых итераций после 23-го приближения для температур дистиллята и кубового продукта (остатка) соответ- ственно 32,78 и 166,70°С. 127
ТАБЛИЦА 24 Потоки пара, рассчитанные с учетом тепловых балансов (обычный метод) с применением форсирующих процедур для примеров V-1 и V-2 № Лв приближения (пример V-1) № приближения (пример V-2) тарелки 9 * 3 4 8 2 ** 3 4 5 7 1 175,0 175,0 175,0 175,0 94,8 94,8 94,8 94,8 94,8 2 172,8 171,5 170,9 170,6 95,3 94,0 93,5 93,3 93,0 3 170,7 168,7 167,7 167,4 92,9 91,0 90.5 90,1 89,4 4 169 8 167,3 166,2 165 6 86,9 83,8 83,2 82,2 80,5 5 170.1 167,4 166,1 164,8 113.8 117,9 112,0 110,1 110,2 6 172 8 170,1 168,2 165,7 113,8 128,4 125,9 124,4 124,0 7 172,8 170,4 168,7 166,6 113,8 133 3 133,6 132,7 132,2 8 172,9 170,8 169 4 167,5 113 8 135,3 138,0 138,0 137,7 9 173,0 171,2 169,9 168,4 113,8 135,2 139,7 140,6 140,7 10 173,1 171,4 170,3 169,1 113.8 133,4 138,9 140,4 140,8 И — ‘— —- 113,8 129,6 134,7 136,2 136,4 12 — — — 113,8 120 4 122,4 122,9 122,7 * Предполагается, что поток жения. ** Предполагается, что поток пара постоянен и равен 175,0 для первого пара равен 94,8 для первого приближения. прибли- ТАБЛИЦА 25 Распределение компонентов в продукты разделения для примеров V-1 и V-2, рассчитанное с учетом тепловых балансов (обычный метод) и применением форсирующей процедуры Компонент Пример V-1 Пример V-2 d * ъ d ъ СЯ4 — — 2,00000 0,0 С2Н6 — — 9,99994 0,00005 СзНв — — 5,96602 0,03397 С3Н8 4,997387 0,0026130 12,27752 0,22247 U30-C4 14,66936 0,3306400 0,66940 2,83059 к-С4 23,10224 1,897760 0,68200 14,31799 изо~Сь 3,56211 16,43789 0,00504 0,0 - Н-С5 2.608903 32,391097 0,00005 15,19495 и-Св — — 0,0 11,29994 h-C’j — —” 0,0 8,99999 н-С8 — — 0,0 8,49999 ^ия. = 182°С — —• 0,0 6,99999 * При обработке конечных результатов все значения d, меныпие 10-7, приравнены к нулю.
ТАБЛИЦА г6 Конечные результаты для примеров V-1—V-6, рассчитанные с учетом тепловых балансов (обычный метод) и применением форсирующих процедур Пример Приближения, необходимые для того, чтобы Д D/D= ±0,01 Температура, °C Приближе- ния, необходимые для того, чтобы ДП= ±0,001 Температура, °C дистил- лята кубового продукта (остатка) дистил- лята кубового продукта (остатка) V-1 5 64,06 112,44 8 64,07 112,28 V-2 5 33,44 167,28 7 33,40 167,31 V-3 5 33,45 167,01 7 33,41 167,27 V-4 5 33,44 167,20 6 33,44 167,26 V-5 7 45,82 160,4 12 45,77 160,34 V-6 5 32,0 167,95 8 31,95 168,0 Метод постоянного состава Неустойчивость обычного метода расчета с тепловыми балансами наиболее очевидна в системах, почти целиком состоящих из очень легких и очень тяжелых компонентов (сюда относится большая часть систем с абсорберами). Для таких систем знаменатели выра- жений для и Уу [уравнения (V,3e) и (V,4a)] исключительно чувствительны к незначительным изменениям состава и темпера- туры, так как разность Нневелика. Метод, основанный на постоянном составе, устраняет данный недостаток. В этом методе принимается, что пар, покидающий (j -j- 1)-ю тарелку укрепляющей секции колонны, состоит из дистиллята и жидкости, поступающей на (у -j- 1)-ю тарелку с у-той тарелки. Следова- тельно, член Vj+1Hj+1 можно выразить следующим образом: С с » = 1 *=1 или V Н — ЬЛЦхЛ -\DH(XTA (V,8) y+l y+l ' J'j + 1 1 \ D/j+l ' ’ ' Здесь c «=1 v—1 Подставляя выражение для Vj+1Hj+1 из уравнения (V,8) в выражение (V,3b) и решая его относительно получаем следу- ющий результат: (V,9a) 0=СМ7/-2 9 Ч. Д. Холланд. 129
(Vt96) (V,9b) (V,9r) Аналогично выводят уравнение для расчета нагрузки на дефлег- <?е=ч e.)i-м+-° [" (xd)l-hd] D [HD - Я (X D)z] + <?с + Vf [Н - HF] Lf'l~ В pl — hB] + Qr Здесь c k (У/+1)у = 2 hjiVj+lti »=1 Соответствующие значения для потоков пара и жидкости в укрепляющей и исчерпывающей секциях вычисляют при помощи материального баланса [уравнения (V,3) и (V,4)]. Нагрузку на кипятильник рассчитывают по общему тепловому балансу [урав- нение (V,5)L Название метода постоянного состава отражает смысл преобра- зования уравнения теплового баланса в одно из уравнений (V,9). Член [Н — hj] является разностью между энтальпией 1 моль пара при температуре Т^+1 и энтальпией 1 моль жидкости того же состава при температуре Tj. Поэтому разности энтальпий в уравнениях [(V,9a)—(V,9r)] можно выразить характеристиками термодинамических процессов, протекающих при постоянном составе. Величину Ну+1 в уравнении (V,8) определяют по уравнению типа (V,l), поэтому результаты, идентичные получаемым из урав- нения (V,8), возникнут только при достижении сходимости, так как в этом случае корректированные количества отдельных ком- понентов соответствуют материальному балансу. Лучшая сходи- мость метода постоянного состава по сравнению с обычным мето- дом, возможно, частично связана с тем, что в первом методе уже заложено требование о том, чтобы каждый компонент отвечал усло- виям материального баланса. Метод постоянного состава дает большую надежность в процессе проведения расчета, поскольку знаменатели уравнений [(V,9a)—(V,9r)] обычно имеют порядок величины скрытой теплоты испарения. Знаменатели соответству- ющих выражений при обычном методе определяются значениями 130
энтальпий, которые могут колебаться в широких пределах, и по- этому вычисляемые величины могут быть как положительными, так и отрицательными. Применение (7-метода при составлении тепловых балансов (7-метод предусматривает наличие гипотетических промежуточных холодильников (или нагревателей) для поддержания в процессе решения потоков по колонне в заданных пределах. Любая не- увязка в тепловом балансе, являющаяся результатом второй фор- сирующей процедуры, ликвидируется при применении (^-метода. При составлении теплового баланса этот метод можно использовать в сочетании с обычным методом или методом постоянного состава. Следует отметить, что применение при расчете гипотетической системы промежуточных холодильников (или нагревателей) вызы- вает появление бесконечно большого числа решений, а различные методики расчета могли бы, очевидно, привести к разным гипотети- ческим системам промежуточных холодильников (или нагре- вателей). Желаемым является такой процесс итеративного решения, при котором потоки в колонне поддерживаются в заданных преде- лах при минимальном количестве промежуточных холодильников (или нагревателей). Было установлено, что сочетание (7-метода и метода постоянного состава намного эффективнее сочетания (^-метода и обычного метода, так как в первом случае для многих задач возможно адиабатическое решение, а во втором — требова- лось при расчете введение гипотетической системы промежуточных холодильников (или нагревателей). Ниже приведен вывод уравнений для составления тепловых балансов при сочетании (7-метода и метода постоянного состава в простых колоннах. В качестве исходных значений приняты величины (или £0) и Z7, поэтому расчеты проводят сверху вниз по колонне. Допустим, что минимально и максимально допуска- емые потоками жидкости будут Lmln и Lmas. Предположим также, что изменение потоков жидкости между последовательными при- ближениями ограничено, как это требуется при второй форсиру- ющей процедуре. Нагрузка на дефлегматор определяется балансом для дефлегматора по уравнению (V,96). Уравнение теплового баланса для верхней тарелки упро- щается до _P[gD-ff(XD)a]+^ 1 [Н (^2-^1 (V,10) Значение сравнивают со значением (поток, применя- емый при осуществлении последнего приближения по колонне). 9* 131
Предположим, что допускается 10%-ное отклонение за одно приближение, т. е. если Lr удовлетворяет неравенству (р = 0,1) ^1,1 ^ш!п =С (1 +?) Ь1 то оно используется для осуществления следующего приближения по колонне. Соответствующая величина потока пара, применяемая при проведении следующего приближения, рассчитывается по мате- риальному балансу. Если величина Lv вычисленная по уравнению (V,10), будет меньше £Ь1/(1 4~ р) и больше, чем £ш1п, то для следующего приближения принимают значение равное £Ь1/(1 -J- р). Для того чтобы при таком потоке жидкости по колонне соблю- дался тепловой баланс на тарелке № 1, предусматривается промежуточный холодильник (или нагреватель). Нагрузку на про- межуточный холодильник вычисляют по тепловому балансу следующим образом: 91=(тт?) Iя (*,),-'*11 -° l»D-н (Хс)2] - 0. (V.H) Если (1 4- р) £i7i, а (1 + р) £j,i равно или меньше £шат, расчет проводят аналогично ранее упомянутой методике. Если же 14-р £min ИЛИ £1 (1 + р) £1, 1 ^тах то берут значение равное £mia или £та1, а соответствующую нагрузку на промежуточный холодильник (или нагреватель) рассчитывают по уравнению (V,И), в котором Zltl (1 4- р) заме- няют на Zmln или £шак. Значение включено в тепловой баланс для расчета Z2. При адиабатической работе тарелки № 2 имеем: Д[Яр-Я(Хр)3]+<2е+(?1 [Я (Ж2)з — Лг] (V, 12) Если значение L2, соответствующее Q2 = 0, находится в ранее упомянутых пределах, то оно принимается для осуществления следующего приближения по колонне. В противном случае рас- считывают соответствующую нагрузку Q 2 аналогично вычисле- нию значения Qx. Эту методику применяют по колонне до тех пор, 132
пока не будут определены значения LN и Q . Затем по уравнению общего теплового баланса находят нагрузку на кипятильник Qr = ~~Qn+v N QДЧ1 = FH- BhB -dhd-qc-^q . (V,13) J=1 После завершения каждого приближения по колонне методика повторяется снова, а если возможно адиабатическое решение, то берется именно этот вариант. В противном случае вводятся гипотетические промежуточные холодильники (пли нагреватели). Следует отметить, что проведение расчета с заданными значениями нагрузок на промежуточные холодильники (или нагреватели) для любой данной тарелки влечет за собой лишь незначительные изменения (7-метода. Сочетание метода постоянного состава с (7-методом иллюстри- руется решением примера V-7. Условия этого примера приведены ниже. Пример V-7. D — 31,6, Vj = 94,8, питание — жидкость при температуре кипения, дефлегматор парциальный, давление в колонне равно 21 ат, три тарелки в укрепляющей секции и восемь — в исчерпывающей, не считая кипятильника. Для тяжелокипящего компонента приняты следующие данные по энтальпии: —203,321924-63,932857Г —21,611909 • 105П (Т, °К) Я1/«= 72,328160+18,933822 • — 59.003314 • Ю^Г2 (Т, °К) Начальный температурный профиль берется линейным с 10 до 232,23 по отношению к числу тарелок. Поток пара при первых двух приближениях принят равным 94,8. Исходные данные для примера V-7 описаны в табл. 27, а реше- ние дается в табл. 28—30. Данный пример был решен5 простым методом составления тепловых балансов примерно за то же количество приближений. Причина состоит в том, что ограничения, налагаемые на отклонения ТАБЛИЦА 27 Исходные данные для примера V-7 Компонент FX Компонент FX Компонент FX Компонент FX сн4 2,0 W-C5 15,2 ед 12,5 н-С8 8,5 10,0 н-С6 11,3 U30-C4 3,5 *Кип.=204 °C 7,0 ед 6,0 И-С7 9,0 Н-С4 15,0 133
ТАБЛИЦА 28 Температурные профили и количества дистиллята, полученные с применением форсирующих процедур и тепловых балансов (метод постоянного состава и (?-метод) для примера V-7 № тарелки Л? приближения 1 2 3 4 11 12 Температурные профили 0 (дистиллят) 47.52 44,87 48,48 42,68 42,00 42,00 1 65,50 61,25 59,14 57,80 56,88 56,88 2 79,69 73,18 69,60 67,62 66,63 66,63 3 94,19 84,75 79.69 77,18 76,87 76,87 4 (питание) 120,58 107,02 98,68 95,58 97,60 97,59 5 120,70 115,43 111,30 109 05 109,20 109,20 6 121,42 121,06 119,30 117,80 117,40 117,41 7 124,26 125,64 125,30 124,32 123,35 123,36 8 128,03 130,13 130,32 129,56 128,28 128.30 9 133,80 135,41 135.52 134,69 133,20 133.21 10 142,55 142,90 142,59 141,60 140,12 140,12 И 156,50 155,53 155,00 154,29 153,34 153,33 12 (кубовый про- 186,26 185,76 185,68 185,76 185,90 185,90 дукт) Количество дистиллята] D (рассчитана) 30.48 32,86 32,29 31.91 31,600 31.600 0 0,1871 1,8962 1,5267 1,2488 1,0001 1,0001 ТАБЛИЦА 2& Распределение компонентов в примере V-7 Компонент d Xd сн4 2,00000 0.63291 • 10-1 с2н6 9,99988 0,316445 С3н6 5,97234 0,18900 С3Н8 1,23464-10 0,39071 изо-С< 0,74224 0,23489 • 10-1 н-С4 0,53708 0,16996 • 10-1 н-С5 0,20157 10-2 0,63787 • 10"4 н-С6 0,940469 - Ю“5 0.29762 • 10"6 «-С? 0,63453 • IO"? 0 20080-Ю-8 н-С8 0,44408 • IO"9 0,14053 • 10-ю *КИ11. = 204°С 0,65181 • 10-12 0,20627 • 10-13 134
1 ТАБЛИЦА 30 Потоки пара и нагрузки на промежуточные холодильники, рассчитанные методом постоянного состава и Q-методом с применением форсирующих процедур № приближения | № тарелки 1 второе третье четвертое одиннадцатое двенадцатое V з Q • 3 V J VJ V . з % ' 3 0 — <2^40,1-104 — 9с=39,8 • Ю4 —- <2е=39,6-104 — <2С=39,6- Ю4 — <2С=39,6 • 104 1 94,8 0,0 94,8 0.0 94 8 0,0 94,8 0,0 94,8 0,0 2 92,8 0,0 93,9 0,0 93,5 0,0 93,3 0,0 93,3 0,0 3 89 5 0,0 90,1 0,0 90,2 0,0 89,4 0,0 89,4 0,0 4 79,8 86,4 • 10» 81,6 .0,0 81,8 0,0 , 80,1 0,0 80,1 0,0 5 113,8 27,2 • 10?- 118,0 0,0 113,5 0,0 110,7 0,0 110,7 0,0 6 113,8 22,0 103 128,2 0,0 128,6 0,0 126.0 0,0 126 0 0,0 7 113 8 25,1 • 103 134,8 26,8-103 138,2 0,0 136,5 0,0 136 5 0,0 8 113,8 26,5 • 103 136,5 28,9 • 103 144 7 0,0 144,0 0,0 144,0 0,0 9 113,8 22,6 • 103 136,5 14,1 • 103 148,6 0,0 148,4 0,0 148,4 0,0 10 113,8 40,9 • 102 136,5 0,0 149,5 0,0 149.0 0,0 149,0 0,0 11 113 8 0,0 133,9 0,0 144,6 0 0 143,3 0,0 143,3 0,0 12 103,3 <2л-11,1 105 117,7 QK =12,5 -HP 124,9 <2в = 13 2-105 123,3 1 <2^ = 13,2-105 123,3 <2в=13,2-105
потоков жидкости при второй форсирующей процедуре, ока- зывались более жесткими, чем это необходимо при реше- нии данной задачи сочетанием метода постоянного состава и (7-ме- тода. Методика Льюиса и Матисона в сочетании с уравнением теплового баланса Решение уравнений, характеризующих процесс на каждой тарелке, по методике Льюиса и Матисона проводится при расчете колон- ны по высоте. При этом используются уравнения теплового ба- ланса, составленные по обычному методу и методу постоянного состава. Существуют различные способы одновременного решения урав- нений материального и теплового балансов. Их можно разделить на две категории. В первую входят те способы, в которых прово- дится решение всех уравнений для каждой тарелки при каждом приближении. В главе IV изложено применение способа Ньютона — Рафсона для решения уравнений, описывающих каждую тарелку 6. Другой способ, относящийся к первой категории 7, также дает хороший результат 8. Допустим, что нагрузки на дефлегматор и кипятильник определены на основе заданного распределения продуктов. Рас- смотрим (у — 1)-ю тарелку исчерпывающей секции, исходя из того, что расчеты для всех тарелок, расположенных ниже, вы- полняются аналогично, как и для (у — 1)-й тарелки, а также дают температуру и состав — значения у^. пара, покида- ющего у-тую тарелку и поступающего на (у — 1)-ю тарелку. Данный способ состоит из следующих шагов: а) допускают, что г здесь V — первое предпола- гаемое значение переменной Vs, б) вычисляют значения Z ._х и л по уравнениям матери- ального баланса: = + (V.14) С £/-1--=2г7-1.< (V.15) , !=1 (V16) в) найдя ^-_1, р определяют температуру Т г) по полученным составам и температуре рассчитывают Н и по уравнениям (V,l) и (V,2); 136
д) определяют Vj по уравнению материального и теплового баланса + (V,17) L-^ = Vj + В, поэтому уравнение (V, 17) можно решить отно- сительно и получить уравнение (V,4a); е) Если значение для Vj, определенное, как это описано в п. «д», равно значению V1? принятому в п. «а», то переходят к расчету следующей тарелки. В противном случае повторяют расчет по п. «а»—«д», беря новое значение для потока пара V 2, которое рассчитывается по уравнению , 2 = + (i - т) (V, 18) Первоначально для т принимают значение, равное 0,5. Если проявляется тенденция к расхождению, то величина т умень- шается. Ко второй категории относятся способы, в которых при потаре- лочном расчете решается только часть уравнений, а затем осталь- ные переменные определяют простыми итерациями, применяя соот- ветствующие уравнения. Примером такого решения является способ, описанный в литературе 9 и состоящий из следующих шагов. Исходя из заданных величин потоков и распределения продук- тов разделения, выполняют расчеты для всей колонны по методике Льюиса п Матисона. По найденным температурам п составам рас- считывают энтальпии потоков по уравнениям (V,l) и (V,2). Общие потоки жидкости и пара, которые используются для следующего приближения, вычисляют обычным методом путем составления тепловых балансов [уравнения (V,3) — (V,6)]. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ (см. глав ы II—IV) Яу, hj — энтальпии соответственно 1 моль пара и 1 моль жидкости, покидающих y-тую тарелку. — энтальпии 1 лшлъ чистого г-того компонента соответственно в паре и жидкости при температуре на у-той тарелке. hB— энтальпия 1 моль кубового остатка В, выходящего из колонны. — энтальпия 1 моль, рассчитанная исходя из значений xBi и энтальпий жидкости (значение Л^), определенных при тем- пературе на у-той тарелке. Л(Уу+1)у— энтальпия 1 моль, рассчитанная исходя из значений г/у+1 • И hji. Н(хЛ-+1— энтальпия 1 моль, рассчитанная исходя пз значений хц И Hj». < HD — энтальпия 1 моль дистиллята независимо от его агрегатного состояния. Н (Хр) y+i“энтальпия 1 моль, рассчитанная исходя из значений XBi и г г «• bmin. —минимальным и максимальный допустимые потоки жидкости. 137
Мр, Мв — составляющие теплового баланса (обычный метод) соответ- ственно для укрепляющей и исчерпывающей секции [см, урав- нения (V,3) и (У,4)]. т — множитель в уравнении (V,18). р—число, применяемое для выражения допустимого отклонения для потоков жидкости при каждом приближении [см, текст после уравнения (УДО)]. Qo—нагрузка на дефлегматор. Qr—нагрузка на кипятильник. Qj—нагрузки на промежуточный холодильник. ЗАДАЧИ V-1. Вывести уравнения [уравнения (V,3)—(V,6)] для обычного метода составления тепловых балансов. V-2. Показать, что сочетание метода постоянного состава и (7-метода для простых колонн приводит к следующей системе уравнений (значения Q определяются так, как указано в тексте): QC=LAH Ыг-М+ярцХдХ-Пр] 1 [#(*1)2-м /“1 /-2 D [ffD - И (XD) ] + <?с + VF [Н (у,) -ffF] + 2 Qt fc=sl L J ’= D{Hd-H (.Yd),+1] + <?„-F [H-H (X)y+11 +2 Qk r _______________________________________fc=l [Я(Ъ.)у+1-й7] / j N V-3. Установить, что, когда расчет сошелся (температура и составы остаются неизменными при каждом приближении, а 0 = 1), общие потоки пара и жидкости, вычисленные по материальному балансу, согласуются с данными, рассчитанными по тепловым балансам. V-4. а) Показать, что при сочетании методики расчета Тиле и Геддеса, 0-метода и обычного метода составления тепловых балансов результаты, определяемые при каждом промежуточном приближении, зависят от началь- ной точки отсчета (начала координат), выбранной для энтальпии каждого компонента. Кроме этого, показать, что после достижения сходимости общие потоки фаз не зависят от точки отсчета, выбранной для энтальпии каждого компонента. б) Показать, что в случае, когда для составления тепловых балансов применяется метод постоянного состава вместо обычного метода, результаты, определяемые при любом промежуточном приближении, не зависят от на- чальной точки отсчета, выбранной для энтальпии каждого компонента. 138
ЛИТЕРАТУРА 1. Canik L. J.t Hardy B. W., Holland C. D., Petrol. Ref., 40, № 12, 161 (1961). 2. H a r d у В. W., Sullivan S. L. jr., Holland C. D., Petrol., Ref., 40, № 9, 237 (1961). 3. Weisenfelder A. J., Holland C. D., Johnson R. H., Petrol. Ref., 40, № 10, 175 (1961). 4. L у s t e r W. N., Sullivan S. L. jr., Billingsley D. S., Holland C. D., Petrol. Ref., 38, № 6, 221 (1959). 5. Robinson C. S., Gilliland E. R., Elements of Fractional Distillation, New York, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1950, p. 261. 6. Greenstadt J., Yonatan B., Burt M., Ind. Eng. Chem., 50, 1644 (1958). 7. D a v i s P. C., Sobel B. A., Absorber-stripper Calculations with a Digital Computer, paper presented at the National Meeting of the Am. Ind. Chem. Eng. in Tulsa, Oklahoma, September, 1960. 8. В a 1 1 W. E., Computer Programs for Distillation, paper presented at the Machine Computation Special Workshop Session on Multicomponent Distil- lation at the 44th National Meeting of the Am. Ind. Chem. Eng. in New Orleans, February 27, 1961. 9. Bonner J. S., Am. Petrol. Inst. Quart., Division of Refining, 36, № 3, 23 (1956).
ГЛАВА VI чета. Устранение УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ РАСЧЕТА ПРОСТЫХ КОЛОНН При решении различных задач путем сочета- ния методики Тиле и Геддеса с 0-методом стали очевидными некоторые недостатки рас- этих недостатков’ привело к усовершенствова- нию расчета. Отдельные рекомендации по усовершенствованию расчета иногда очень тесно связаны, а иногда не зависят одна от другой. В данной главе рассматриваются такие вопросы, как минимизация погрешности вычисления (округления), расчет при наличии рас- пределяющихся и однофазных нераспределяющихся компонентов, влияние температуры кипения и точки росы на скорость сходи- мости, а хакже другие специфические моменты расчета простых колонн. Уменьшение погрешности вычисления (округления) Погрешность вычисления (округления) сводится к минимуму в простой дистилляционной колонне в случае, когда расчет про- водят сверху вниз и снизу вверх до тарелки питания Этот резуль- тат обосновывается в настоящем разделе. В возможности обнаружения погрешности вычисления (округ- ления) и сведения ее к минимуму заключается преимущество методики Тиле и Геддеса в сравнении с методикой Льюиса и Матисона. В главе III показано, что при любых заданных L/V и темпера- турах на тарелках методика расчета Тиле и Геддеса дает одинако- вые значения количества каждого компонента на каждой тарелке независимо от того, проводятся ли расчеты сверху вниз или снизу вверх по колонне. Следовательно, любое различие в количествах компонента, вычисленных различными способами, следует связы- вать с погрешностью вычисления (округления). Применение 140
методики Тиле и Геддеса позволяет делать расчеты сверху вниз для одного компонента и снизу вверх для другого, что необходимо для сведения к минимуму указанной погрешности. При применении методики Льюиса и Матисона расчет для всех компонентов нужно проводить в одном и том же направлении, поскольку при вычислении равновесия (точки кипения и росы) на каждой тарелке требуются мольные доли всех компонентов *. Казалось бы, что при расчете с восемью десятичными знаками по- грешность вычисления сводится к нулю. Приводимый ниже пример VI-1 показывает, что это не так. Пример VI-1. Рассмотрим следующую систему уравнений: — В z-3=az2—b Z^AZ^-B Допустим, что А ~ В = 10 и Zr — 10/9, требуется найти Zlt. ЭВЦМ, в которой используется восемь десятичных знаков, берет следующие значе- ния для Zj.: Zi = l,lllllll Следовательно 22=(Ю) (1,1111111) —10=1,1111110 23 = (10) (1,1111110) —10 = 1 1111100 Z4=(10) (1,1111100) —10=1,1111000 = (10) (1,1111000) —10=1,1110000 26=(10) (1,1110000) —10 = 1,1100000 Z7=(10) (1,1100000)-10 = 1,1000000 Z8 = (lo) (1,1000000) —10=1,0000000 Z9=(10) (1,0000000) —10=0,0000000 Zlo = (10) (0,0000000) —10 = —10.000000 Zu= (10) (—10,000000) — 10 = — 110,00000 Правильным ответом для Ztl будет Zu=l,1111111 Погрешность таких вычислений может существовать и при расчетах ректификационных систем в зависимости от процедуры по та ре л очных вычислений. Для того чтобы показать, что погрешность вычисления (округ- ления) сводится к минимуму для простых колонн, если проводить расчеты сверху вниз и снизу вверх до тарелки питания (метод * Это утверждение неверно. Имеются методики расчета «от тарелки к тарелке», в которых направление вычислений по колонне различно для раз- ных компонентов (см. В. М. Платонов, Б. Г. Б е р г о, Разделение многокомпонентных смесей, Изд. «Химия», 1965) — Прим. ред. 141
соответствия по тарелке питания), необходимо рассмотреть другие возможные направления потарелочного расчета. В главе III приведены формулы для расчетов сверху вниз [уравнения (II 1,6) — (III,8) и (111,32)], и снизу вверх [уравнения (III,9) —(III,И) и (111,25)]. Эти потарелочные процедуры расчета называются «соответствием по низу» и «соответствием по верху». Если бы не было погрешности вычисления (округления), то все процедуры расчета дали бы одни и те же результаты. До настоящего времени еще нет методики определения величин и состава потоков по колонне с наименьшей погрешностью. Тем не менее формулы для [уравнения (III,22), (III,31) и (111,33)] не только экви- валентны теоретически, но почти не зависят от погрешности вычи- сления (округления). Установлено, что они дают значения bjd., согласующиеся между собой в пределах семи (из восьми возмож- ных) десятичных знаков. Проведя по той или иной методике все потарелочные расчеты в одном направлении, следует значения Ь£/сЛ рассчитать на машине по одной из формул, определяемой уравнениями (III,22), (111,31) и (III,33). Найденные при этом зна- чения записываются как (Ь£М£)фОр. Значения bjd. можно также получить как конечный результат какой-либо одной потарелочной процедуры расчета. Например, допустим, что вычисления проводят сверху вниз по уравнениям (III,6)—(III,8) и (111,32). Величину Для низа колонны определяют как конечный результат потарелочного расчета. Соответствующее ему значение bJdi вычисляют по уравнению / Ь i \ / ^V+l, i \ ,.,г ( 1 = Л _ . (VI ,1) X “4 / ПОТ. \ “l / Аналогично при расчетах снизу вверх по колонне значения 6^/^ определяют после окончания потарелочных расчетов по уравнению (111,25). Соответствующее потарелочное значение b/cL рассчитывают на машине следующим образом: 1 (VI,2) \ di J иОТ# $0» Из примера VI-1 ясно, что конечные значения, получающиеся при потарелочном (пошаговом) расчете, в большей мере, чем любое из промежуточных значений, содержат погрешности вычисления (округления). Таким образом, для определения погрешности вычисления (округления) именно отношение конечных величин было выбрано для анализа (в данном случае bjd.). На основании изложенного можно считать, что отклонение отношения (^1/^{)пот. (^»/^»)фор. (VI,2а)’ 142
от единицы является мерой по- грешности вычисления (округ- ления), содержащейся в дан- ной процедуре расчета. Определена ъ2 погрешность вычисления (округления) для простой колонны. Результаты, приведенные в табл. 31, пока- зывают, что большая погреш- ность наблюдается, если коли- чества очень тяжелого компо- нента в исчерпывающей секции рассчитываются по уравнениям материального баланса для верхней части колонны (вари- ант 4). Аналогично большие по- грешности отмечаем и тогда, когда количество очень легкого компонента в укрепляющей секции вычисляют по уравне- ниям материального баланса для нижней части колонны (ва- Pnc.VI-1. Ошибка вычисления (округ- ления) при расчете от концов колонны к тарелке питания: 1 — очень легкие компоненты; 2 — очень тяжелые компоненты; з — все компо- ненты. [Для очень легких и очень тяже- лых компонентов наименьшая погрешность вычисления (округления) возникает при проведении расчета соответственно сверху вниз и снизу вверх по колонне.] риант 2). Погрешность вычисле- ния (округления) возникает вследствие наличия отрицательных членов в (1 — FX.jdi) и (1 — FXJb.), стоящих соответственно в правой части уравнений (111,32) и (111,25). Отметим, что погреш- ность вычисления (округления) мала в том случае, когда расчеты для очень легкого или очень тяжелого компонента проводят сверху ТАБЛИЦА 31 Ошибка вычисления (округления) при различных методиках расчета простых колонн № вари- анта № тарелки питания Фактор извлечения А Соответствие по низу b/dnoT. ь^фор. Соответствие по верху b/d „ пот. Ь/d. 1 фор- 1 11 1.0000000 1,0000 1,0000 2 и 0,095555555 1,0000 0.9044 3 11 9,5555555 1,0000 1,0000 4 1 9,5555555 —4,0388 • 102 1.0000 5 1 0,095555555 1,0000 1,0000 6 1 1,00000000 1,0000 1,0000 Примечание. Для всех случаев Дг = 10 колонна имеет парциальный дефлегма- тор и кипятильник, состояние питания — жидкость при температуре кипения, фактор извлечения А — величина постоянная по всей колонне. 143
вниз и снизу вверх по колонне (вариант 3 и 5). В каждом из упо- мянутых вариантов числовое значение отрицательного члена мало по сравнению с другими членами уравнений. Погрешность вычи- слений (округлений) оказывалась наибольшей, когда она была связана с зависимостями типа уравнения, приведенного в примере VI-1. Результаты анализа погрешности вычисления (округления) графически изображены на рис. VI-1. При потарелочных методиках расчета, описываемых для про- стых колонн в главе III, применяется численный метод (иногда называемый «пе8Н炙-метод *. Вместо него можно использовать общую формулу для v^Jd., которую выводят подстановкой урав- нения для у .+1, в выражение для vji!di и т. д., а член (1 — — FX.Id.) заменяют на его эквивалент (—b.ld^. Применение полученной таким образом формулы позволяет в некоторых слу- чаях для простых колонн освободиться от погрешности вычисле- ния (округления) изложенного выше типа. Однако такая методика не освобождает полностью от погрешности вычисления, как это видно из рассмотрения примера VI-1. Осуществляя такого рода подстановку для примера VI-1, получаем: —• • +Л + 1)5 Поскольку 10 Д1° — 1 Р—10 и ЛЧ-Л8+ . . . +Л + 1- . 1 У Ух 1 то формула для Z±1 упрощается: При точности вычисления до восьми десятичных знаков значе- ние для ZX1, как это видно из формулы, зависит от порядка выпол- нения алгебраических действий. Если сначала проводят суммиро- вание геометрического ряда, то Zlt = 0, поскольку равенство 1010 —1 _ 1Q10 10 — 1 9 справедливо в пределах восьми десятичных знаков. В случае когда вначале осуществляется умножение, получают правильный ре- зультат: _ юн 1011 10 __ 10 Z11~ 9 9 9 — 9 * Согласно этому методу, расчет для каждой тарелки проводится после- довательно по рекуррентному уравнению типа (111,25) пли (II 1,32)у — Прим. ред. .
Однако в уравнениях для ректификационных колонн вели- чины А обычно неодинаковы, поэтому и значение суммы ряда можно рассчитывать прямым путем. Формулы для выраженные через факторы А„ (сверху вниз), и для VjJb^ выраженные через факторы (снизу вверх), можно применять при расчете значений (bjd.)a(yti, которые исполь- зуются для определения погрешности вычисления (округления). Применение формулы (VI,2а) позволяет выбрать наилучшее соче- тание уравнений или для машинного расчета соста- вов и потоков в колонне. Для колонн с большим числом тарелок погрешность вычисле- ния (округления) в процессе сложения может стать значительной, например при расчете Jdi «пезН炙-методом. Частично эту погрешность можно уменьшить, если начинать суммирование с наименьшего члена [см. уравнение (111,34)]. Однофазные компоненты Приведенная в данном разделе методика описана в литературе 3- 4. Компонент, находящийся только в газовой фазе, называют одно- фазным легким компонентом (его называют часто инертным). Компонент, появляющийся только в жидкой фазе, называют однофазным тяжелым компонентом. Некоторые газы типа гелия обычно рассматривают как природные однофазные компоненты. Другие трудноконденсирующиеся газы могут рассматриваться как однофазные из-за отсутствия данных по константам равновесия. Однофазные легкие компоненты обозначаются индексом Z, а одно- фазные тяжелые компоненты — индексом Н. Количества однофазных легких и однофазных тяжелых компо- нентов обозначаются соответственно S VJL п 2 Ън L Н В простой колонне У v,T равна сумме FX для этик компо- L нентов на всех тарелках, расположенных выше тарелки питания, Для каждой тарелки, расположенной ниже тарелки пита- l ния. Аналогично S I „ равна сумме соответствующих значений FX н J для тарелки питания и всех тарелок, расположенных ниже нее, = 0 для всех тарелок, расположенных выше тарелки н J питания. 10 Ч. Д. Холланд. 145
Ниже приведены формулы для расчета составов и обсужда- ется метод сходимости: 3 j (у jildi)ca(di) со Ъ > 2 ^vji!di)ca (di)co i t Н, L i^HtL (VI,3) (^'i/^г}са (bi)co 2 ^jil^ifca (fi dco i H, L i=£H,L (VI,4) (VI ,5) Рекомендуется применять следующие уравнения, ния Л,- и Vj не заданы: если значе- (VI,6) (VI,7) Метод сходимости. При расчете простой колонны, когда зна- чения Уг (пли Lq) и D заданы, используют следующую формулу; гу <^С() = 1-U A 0.0) i^HtL (VI ,8) 1 “Г 0 Wil di)ca Значение 9 представляет собой положительный корень уравне- ния g (0) = 0, где функцию g определяют из выражения Положительный корень можно найти по способу Ньютона или интерполированием (см. главы I и IV). Определяя (d.)eo по урав- нению (VI,8), вычисляют (У)со по следующей формуле: ^)со=е(^-} ш£0 (VI.ю) \ а i / са Для однофазного тяжелого компонента (^п) Уравне- ния (VI ,3)—(VI, 10) применяются в методике расчета Тиле и Геддеса так, как это описано в главах III и IV. Вывод выражения для функции g и уравнения для определе- ния мольного состава потоков. Вывод уравнений (VI,3)— (VI,10) проводят тем же путем, как это описано в главе IV. Допустим, 146 /
что значения Vj и Lj постоянны по всей колонне вследствие при- менения гипотетических промежуточных холодильников (или нагревателей). Предполагается также, что питание содержит рас- пределяющиеся однофазные легкие и тяжелые компоненты. Ком- поненты, находящиеся в колонне в двух фазах, а также поступа- ющие в дистиллят и кубовый продукт (остаток), называются рас- пределяющимися. Задача состоит в нахождении корректированных значений d. и отвечающих условию баланса FXi = {di)C0 + (bi)C0 (VI,И) и удовлетворяющих значению D: = 2 (ddct> (VI,12) L i . H,L где сумма значений i?0 L равна сумме соответствующих значений FXL. На основе аргументов, приведенных в главе IV, постулируется, что для всех распределяющихся компонентов / v а \ i^h,l (VI,13) \ # i t са (VI,14) \ *4 / са Вывод формулы для [уравнение (VI, 10)] точно такой же, как в главе IV. Решая уравнение (VI,11) относительно (с?;)сг>, получают выражение (VI,8). Следует отметить, что выражение для функции g (6) получается преобразованием уравнения (VI,12). Формулы для расчета мольного состава потоков выводятся следующим образом. Из уравнений (VI,13) и (VI,14) следует, что (VI,15) (VI,16) L Н Согласно определению мольной доли, из уравнений (VI,13) и (VI,15) можно получить: (УJi/&i)ca (di)c0 -----—---------------------- (VI,17) 2 J (vJi/di)ca (di)co+ У VjL L L Исключая из этого выражения о • путем применения уравнения (VI, 15) и затем проведя преобразование, получаем желаемый результат — уравнения (VI.3). Аналогично выводят уравнения (VI,4) и (VI,5). 10* 147
В случае достижения сходимости расчета о у = т • = 1 для всех /. Уравнения (VI,15) н (VI,16) упрощаются при каждом при- ближении, если Ту и Пу берут равными единице для каждой та- релки, давая приближенные выражения Vу и £у [уравнения (VI,6) и (VI,7)]. Применение этих формул дало удовлетворительные результаты при решении самых различных задач. Расчет температурных профилей Температуры по высоте колонны определяют по температуре кипе- ния компонентов. Температура кипения представляет собой такое положительное значение Г, при котором /(П = 2 (VI,18) i=H, L \ L ) Температура точки росы определяется как положительное значение Т, которое дает F (Z1) =0, причем 3* I Н I Поскольку / (Т) содержит мольные доли жидкой и паровой фаз, все составы следует вычислять по уравнениям (VI,3)—(VI,5). Если же все компоненты являются распределяющимися, то тре- буется только значение о: .г Решением примера VI-2 иллюстрируется расчет систем, содер- жащих однофазные компоненты 4. Исходные данные для примеров VI-2— VI-10 приведены ниже, а состав питания — в табл. 32. Состав питания FX для примеров VI-2—VI-10 ТАБЛИЦА 32 Компонент VI-2 VI-3 VI-4 VI-5 VI-6 VI-7 VI-8 VI-9 VI-10 Однофазный легкий 50 — — — — ‘ — — С * — — — 50,0 — 60,0 — — — сн4 — — 50,о — 60,0 — 70 80,0 85 С2н6 — 0,54 -— — — — '—‘ — — СзНа 3 28,03 — — — — — — —- нзо-С4 10 15,40 .—. .— — — — .—, — «-С4 15 7,52 33,4 33,4 26,7 26,7 20 13,34 10 изо- (.’3 7 20,24 166 16,6 13,3 13,3 10 6,66 5 «-С5 5 11,80 — — — .—• — — — н-С6 10 4,82 — — — — — — — н-Са — 7 20 — —— — — — — ^кип.—260 °C — 4,45 — — — — — — X- * Фиктивный компонент, у которого К = 10 21 ат. при любой температуре и давлении 148
ТАБЛИЦА 35 Решение примера VI-2 (температуры и потоки пара) № тарелки i ~ № приближения начальный профиль 6 12 начальный профиль 6 12 Температурные профили Пот о к и пара 0 71,11 46,84 46,83 75 75,0 75 0 1 79,44 93,01 93,13 225 225,0 225,0 2 87.78 97,50 98,94 225 294,6 288,3 3 96,11 99,80 101,30 225 294 6 295,5 4 104 44 103,04 104,17 225 294 6 292,4 5 112,78 122.94 122,46 175 204,8 210,9 6 121,11 126,83 126 40 175 235,5 237,4 7 129 44 132,01 131,68 175 233,0 232,9 8 137,78 138,93 138,7! 175 223,6 226,5 9 148,11 148.07 148,02 175 217,6 219,0 10 154,55 159,81 159,81 175 211,2 211,0 11 162,78 168 41 168,43 175 203,2 204,8 D * 74,961 74 999 — 0,9852 0,9998 ^Величина Б вычислена. Решение примера VI-2 дано в табл. 33, 34. Пример VI-2. Парциальный дефлегматор, iV 10, / = 4, I7i = 225 D = 75 (пар), питание поступает в виде паро-жидкостной смеси при темпе- ратуре 60° С и давлении в колонне 21 ат. Пример VI-3. Парциальный дефлегматор, N = 38, / = 19, — 140, D = 40 (пар), питание поступает частично в виде паро-жидкостной смеси при температуре 116° С и давлении в колонне 21 ат. Начальный темпера- турный профиль принят линейным с максимальной температурой 168 °C. Начальные потоки пара были 140 и 130 соответственно в укрепляющей и исчерпывающих секциях. Состав продуктов разделения для примера VI-2 ТАБЛИЦА 34 Компонент d ь Компонент d b Приближение двенадцатое Приближение двенадцато Однофазный 50,000 0 н-С6 12,210 2,790 легкий пзо-С5 6,335 • 10 6,937 С'зНй 2,999 9,880 • 10’4 и-С5 1,059 • IO"2 4,989 2,717 2 835 • 10-1 «-С6 5,750 • 10-5 9,99994 149
Примеры VI-4—VI-10. Парциальный дефлегматор, V = 18, f ~ 17, — 108, D = 90 (лар), питание поступает в виде насыщенного пара прп давлении в колонне 21 ат. Потоки пара и жидкости следующие: укрепля- ющая секция V = 108 и L — 18, отпарная секция V = 8 и L = 18. Нсраспределяюгциеся компоненты Несмотря на то что некоторые компоненты и присутствуют в обеих фазах в районе тарелки питания, практически они исчерпываются в укрепляющей или отпарной секциях и содержатся только в одной продуктовой фракции. Такие компоненты называются нераспреде- ляющимися компонентами, и учитываются они различными спо- собами. Если значение bi!di меньше некоторой установленной неболь- шой величины (порядка нижнего предела для данной ЭВЦМ), то такой компонент называется нераспроделяющимся легким компо- нентом. Для него можно принять Ь( = 0 и d. = FXC, что оказы- вается справедливым как для рассчитанных, так и для корректи- рованных значений Ь. и d.. Аналогично этому, если bi/di i-того компонента равно или больше некоторого большого числа (по- рядка верхнего предела для данной ЭВЦМ), то такой компонент называется нераспределяющимся тяжелым компонентом. Для такого компонента рассчитанные и корректированные значения d. и F имеют следующие значения: d. — 0 и bi = FX.. Количество нераспределяющегося легкого компонента выше тарелки питания рассчитывают по уравнениям (111,6)—(111,8). Количество нераспределяющегося легкого компонента на тарел- ках ниже тарелки питания вычисляют по уравнениям, получен- ным из рассмотрения баланса для верхней части колонны [уравне- ние (111,32)]. Отметим, что это уравнение (111,32) упрощается, поскольку разность 1 — FXJd. = 0. В этом случае можно на- деяться на высокую степень точности, так как равна нулю раз- ность, с которой связана основная погрешность вычисления (см. табл. 31). Аналогично по уравнениям (111,9)—(111,11) можно вычислить количество нераспределяющегося тяжелого компонента на тарел- ках ниже тарелки питания. Расчеты для тарелок выше тарелки питания проводят по уравнению (111,25). И в этом случае расчет также упрощается, так как 1 — FXJb. = 0. Нераспределяющиеся легкие компоненты можно определить, проводя вычисления в на- правлении от низа колонны к тарелке питания. Если в этом слу- чае найдется такое значение у, при котором lji!bi больше некоторой большой величины (заранее определенной), то такой компонент рассматривается как нераспределяющипся легкий компо- нент. Эта методика исходит из bjdi = 0 и дает небольшую погреш- ность. 150
Ниже показано, что если суще- ствует значение /, при котором bi то для компонента, имеющего зна- чение Sj. больше единицы di р где р — большое число (верхний пре- дел для ЭВЦМ). Поскольку правая часть урав- нения (VI, 20) имеет примерно тот же порядок величины, что и нижний предел 1/р для ЭВЦМ, то ее можно приравнять нулю. Значения 1.(/dr полученные в ре- зультате расчета снизу вверх по колонне, анулируются, а все ко- личества компонента на тарелках находят путем расчетов сверху вниз по уравнениям (III,6)—(III.8) и (111,32). Аналогично для нерас- пределяющегося тяжелого компо- Рис. VI-2. Схема расчета при наличии нераспределяющихся компонентов в простой колонне: а — верхняя часть колонны: этапы: 1 — начинают расчеты сверху для всех компонентов; 2 — отбрасы- вают полученные результаты для не- распределяющихся тяжелых компо- нентов; 3 — продолжают расчет для нераспределяющихся легких компонен- тов до низа колонны. Ь — нижняя часть колонны: пента в расчетах, проводимых сверху вниз, находят значения /, при которых р. Можно показать также, что значение ЬJdi является величиной того же по- рядка, что и р, поэтому d. =0. В этом случае значения v^.ld.^ найденные расчетом сверху вниз этапы: 1 — для всех компонентов расчеты начинают снизу; 2 — отбрасы- вают полученные результаты для не- распределяющихся легких компонентов; 3 — продолжают расчет для нераспре- деляющихся тяжелых компонентов до верха колонны. с — нераспределяющиеся легкие ком- поненты; d — нераспределяющиеся тяжелые компоненты. по колонне, анулируются а количество нераспределяющегося тяжелого компонента вычис- ляют по уравнениям (III,9)—(111,11) и (111,25). Графически пред- лагаемая методика показана на рис. VI-2. Вывод неравенства, определяемого уравнением (VI,20). Отно- шение lji!bi может стать равным или большим р, если одно или несколько значений S ч > 1. В общем виде значения S .. являются большими величинами для наиболее легких компонентов. Рассмотрим легкий компонент, у которого S ч 1 для всех /. Допустим, что при расчете снизу (от куба колонны) найдена тарелка с индексом т, для которой lmJb. р (большое число, например, 1038). Поскольку все значения S t >> 1, то г mi bi I in I b, 151
При дальнейшем применении уравнения (111,10) будут полу- чаться все большие vmilb{. Таким образом Vf‘ vmi bi bi Рассмотрим уравнение (111,34).Поскольку все величины то все значения Ajb <1.Если значение Ajf . = 1 подставить в уравнение (Ш,34) от / = 0 до / = / — 1, то получим следующий результат: lf-l< j ; di где / — номер тарелки питания. Кроме того, уравнение (111,22) дает FXi 1 Следовательно, числитель уравнения (III,32) меньше / + 1, а знаменатель больше р, т. е. I Vpi >о bi + FXi >P Подставляя эти результаты в уравнение (III,22), получим: Ь; 7 + 1 Р (VI ,21) Модификации формул с учетом нераспределяющпхся компо- нентов. Формулы, выведенные для распределяющихся компо- нентов, справедливы и для нераспределяющпхся компонентов, если заменить члены, содержащие неопределенность (для этих компонентов), на их эквиваленты. В выражении для [уравне- ние (VI,3)1 член {Vjjd.)ca(d.')eo для нераспределяющегося тяже- лого компонента содержит неопределенность типа lim ^=:- {di}ea^ ^са ° (VI ,22) Неопределенность раскрывается следующим преобразованием первоначального выражения: (VI,23) Заменяя (di)co на эквивалент, полученный уравнением (VI,10), находим: 152
Таким ооразом [ \ tJ \ 1 f \ /К \ i J / '•“♦/co * Л I L / X^ifCQ A к «» /са v \ О,- ’ca и (VI,24) поскольку (Zr)ca = (6t.)co — FX. для нераспределяющегося тяже- лого компонента. В уравнении (VI,4) член (^/&^)са(^»)ео Для кераспределяюще- гося легкого компонента также содержит неопределенность типа 0/0. Аналогично можно показать, что для нераспределяющегося легкого компонента (ЬОео-91^ (^,)ео = е(1^)са \ ° i 1 са \ а i 1 Си (VI ,25) При применении g-функции [уравнение (VI,9)] к смесям, со- держащим нераспределяющиеся компоненты, (d.)co эквивалентно следующим значениям: для нераспределяющегося легкого компо- нента (d.)co = FX^ для нераспределяющегося тяжелого компо- нента (d.\.o = 0. В примере VI-3 приведен расчет ректификации смесей, содер- жащих нераспределяющиеся компоненты (см. табл. 32 и 35). Решение примера VI-3 (при десятом приближении) ТАБЛИЦА 35 № тарелки Температура °C Потоки пара Состав Состав продуктов разделения Н-Са t = кип, = 260 °C компонент d ь 0 73,94 40,0 0* 0 * С2н6 54.00 - IO"2 31,75 • 10"13 1 79,66 140 0 1,08- 10-31 0 с3н8 28,03 46,36 -10-5 2 83,74 139,2 5,01 Ю-зо 0 изо-С4 10,91 44,93 • 10’1 10 90,88 138,7 8,69 10~18 0 л-С4 52,30 • IO"2 69,97 • 10-1 18 97,90 132,6 4,75 • 10-е 1,13 10-ю азо-С5 10,73 • 10~7 20,24 19 102,64 128,4 1,13 • ю-i 8,14-10~8 Н-С5 14,47 - 10"э 11,80 20 113,89 109,1 2,05 • 10-з 4,38 • Ю-5 н-С6 69,86 • 10"18 48,20 • 10-1 21 117,64 1118 2,24 • 10-з 4,87 • 10-5 н-С8 0,0 72,00 • 10"1 22 120,67 116,0 2,39-Ю-з 5,27 • 10"5 0.0 44,50 -10-1 30 128.37 128,0 2,80 • Ю-з 6,42 • 10-5 -= 260 °C 37 142,38 126 9 4,22 • 10"3 1,01-10-4 ЗЙ 149,66 125,7 6 29 • Ю-з 1,34-10-1 39 185,95 115,2 2,03 • IO’2 6 47 • IO"4 D ** 39,999 0 0 998 * Тяжелый компонент рассматривается как v ../d. < ID30. । i ** Величина D вычислена. нераспределяющийся при 153
Сравнительная характеристика проведения расчета процесса ректификации по температурам кипения или точки росы. В главе IV показано, что сочетание 0-метода сходимости и методики расчета Тиле и Геддеса позволяет получить корректированные значения составов для паровой и жидкой фаз. Соответствующие этим соста- вам температуры точки росы и кипения одинаковы только в слу- чае, когда достигается сходимость задачи; в противном случае они могут резко отличаться одна от другой. Приводимый ниже анализ относится к углеводородным систе- мам и базируется на результатах нескольких исследований х’21 а. Установлено, что расчеты по температурам кипения дают удовле- творительные результаты для всех систем, за исключением смесей, содержащих большой процент легкого компонента. Для систем, почти целиком состоящих пз легких компонентов, использование в расчете температур кипения способствует явлению «раскачива- ния» при итерациях; для систем, состоящих главным образом из тяжелых компонентов, применение в расчете температур точек росы приводит к замедлению сходимости. Для того чтобы выявить влияние только температур кипения или только точки росы на скорость сходимости, были решены различные примеры для условий постоянных потоков пара и жидкости по колонне. Известно, что скорость изменения константы равновесия К от температуры увеличивается с возрастанием молекулярного веса углеводорода. Для легкого компонента типа метана такое изменение совершенно незначительно на протяжении широкого интервала температур и давлений. Изменение К для тяжелого компонента в зависимости от температуры является значительным. Рассмотрим систему, в которой метан (или другой легкий ком- понент, для которого К мало зависит от температуры) является основным составляющим смеси. Для любой тарелки уравнение, определяющее температуру кипения, может быть записано как у — Кх ~ 1,0. Так как для метана К почти не зависит от темпе- ратуры, то при незначительных изменениях состава жидкости для удовлетворения указанного уравнения необходимы большие изменения температуры. Вследствие этого для таких систем 0-метод при итерациях часто приводит к «раскачке». Рассмотрим систему, в которой жидкая фаза почти целиком состоит из тяжелого компонента, и предположим, что темпера- туру на тарелке рассчитывают по точке росы. Тогда при больших изменениях у для тяжелого компонента уравнению точки росы удовлетворяют небольшие изменения Т. Применение точек росы к таким системам дает малую скорость сходимости. Поскольку легче замедлить, чем убыстрить сходимость, была исследована возможность применения 0-метода и температур кипения ко всем системам. Из примеров VI-4—VI-10 (см. табл. 32 и 36) видно, что расчет через температуры кипения можно приме- нять к системам, состоящим из очень легких компонентов, если, 154
ТАБЛИЦА Зв Результаты, полученные по 0-методу и температурам кипения для питаний, содержащих большой процент легких компонентов Пример сн4 в питавии (FX) СК= 10 в питании (FX) Число приближений Ограничение температур- ного профиля 1*- * I ДГ) 1 D | sg 0,01 VI-4 50 . 5 7 V2 VI-5 -— 50 5 7 4'2 VI-6 60 — 6 9 72 VI-7 — 60 8 11 72 VI-8 70 — 5 6 74 VI-9 80 — 3 5 74 VI-10 85 — 7 10 r/s * Определяется следующим образом:- т = Т'-\-^ (Т“ — Т'), где Т, Т' и Т" соот- ветственно принимаемая для следующего приближения, принятая в предыдущем при- ближении и рассчитанная температуры. как это показано в табл. 36, на изменение температурных профилей между последовательными приближениями налагаются дополни- тельные ограничения. Задание различных условий для расчета Вместо задания общего мольного количества дистиллята можно решать систему, исходя из других условий 5 (других постановок задач, см. ниже). При этом следует отметить, что решение задачи при иных заданных условиях можно получить, решив серию при- меров, в которых принято несколько различных значений D. При прямом способе решения находят 0 (в конце каждого прибли- жения), удовлетворяющее какому-либо определенному условию. Следовательно, решение задачи сводится к нахождению функции g для каждого из различных типов заданных условий. Для простоты ниже приводится методика решения для систем, целиком состоя- щих из распределяющихся компонентов, т. е. систем, в которых нет ни однофазных легких, ни нераспределяющихся компонентов. Помимо заданного D (пли заменяющего его условия), допустим, что известно число тарелок в каждой секции, количество, состав и агрегатное состояние питания, давление в колонне и флегмовое число (или или Ло). Постановка задачи! fc А’ Задано; У, сЛ или У 6., где 1 к с и V\ (или или L0!D). i=l Если задана сумма значений d. или Ъ. и один из фазовых потоков (Пт или £0), то система становится математически 155
определенной в том смысле, что уже нельзя задать никаких других произвольных условий. Рассмотрим сначала условие в к0" тором ни одно из значений dt неизвестно. Перечислив компоненты в любом произвольном порядке, запишем заданное условие для к значений d. (или Ъ.). Зависимости, определяемые уравнением (VI,10) и (VI,26) выводятся так же, как и в главе IV. Искомое значение 0 предста- вляет собой положительный корень, при котором g (0) = О, причем к к ff(9)= ЗбШ- JX (VI,27) 4=1 4=1 Вторая сумма в правой части уравнения (VI,27) представляет собой заданное условие. Выражение (VI,27) решается в отношении искомого значения 0 так, как это описывается в главе IV. Определив искомое значение 0, получают корректированное значение для каждой величины d. по уравнению (VI,26). Корректи- рованное значение дистиллята для следующего приближения полу- чается сложением обеих частей уравнения (VI,26) от i = 1 до i = с, что дает с 2FXz iTaibTTV- (VI,23) 1 Н- “ (ot7di)ca t=l Определив значения 0 и корректированные значения df, по уравнению (VI,10) рассчитывают соответствующие корректиро- ванные величины V. Когда заданным является Vlf флегмовый поток получают по материальному балансу Lo — V\ — Dco. Если задано Lo, то V\ рассчитывают прп помощи этого же уравнения. Когда в качестве второго начального условия дано LJDu значения Уг рассчиты- вают как Vr — (LJD + 1) Dco. Особый случай, когда к = с (задается общее количество ди- стиллята D), детально разбирается в главах IV и V. Отметим при к этом, что если первым условием является S то его можно 4 = 1 выразить через dt, поскольку
Для такого типа заданных условий (постановка задачи 1) так же, как и для других условий (постановка задач 2 и 3), кото- рые следуют ниже, сумма значений di должна быть меньше соответ- ствующей суммы величин FXr Когда в качестве второго условия задано Vlf решение воз- можно, если конечное значение D(0 дает положительную вели- чину Lo = V\ — Dc0. Предельным значением для D является F. Постановка задачи 2 Задано: d± или Ьх и V\ (или Ло, или LJD). Такие условия являются особым случаем постановки задачи 1, когда к = 1, причем компоненты можно пронумеровать в произ- вольном порядке. Поскольку уравнение (VI,27) сводится к j _ FXi 1 Ц-0(&Л)са (VI,29) то можно непосредственно рассчитать искомое значение 0. Корректированные значения d. вычисляют по уравнению (VI,26), а общее количество дистиллята, используемое при сле- дующем приближении, получают из уравнения (VI,28). Постановка задачи 3 Задано: b./d. и (или £0, или Lo/D). Этот тип начальных условий можно свести к постановке задачи 2, поскольку . - Fxi 1 l + (^i/^i) Постановка задачи 4 Заданы: а) температура дистиллята и (или £0) или б) темпе- ратура кубового остатка и V (или LN). Для иллюстрации предположим, что в качестве первого усло- вия принимается температура точки росы дистиллята при давле- нии в колонне. Выражение для g (0) в случае этой системы заданных условий получается следующим образом. Корректированные значения dc должны удовлетворять не только материальному балансу, но также и соотношению, опреде- ляющему температуру точки росы С I = __________ Deo (VI ,30) 157
в котором значения К. определяются для заданной темпера- туры. Подставляя соотношения для и Dea из уравнений (VI ,26) и (VI,28), получают уравнение для g (9) = 0: у /’У, [1-(1/^)1 Zl l+Qtbi/di^a »=1 (VI.31) Определив по уравнению (VI,31), значение 9, дальнейший расчет проводят по методике, изложенной в постановке задачи 1. Если задана температура кипения дистиллята, то g (9) при- нимает вид ci 2ЕХ{(1-К<\ 1 “Г 0 (5г/d г=1 (VI,32) Это выражение получается так же, как и уравнение (VI,31). Функция, определяемая уравнением (VI,31), имеет (с — 2) реальных отрицательных корней и один реальный положительный корень, если заданная температура выше температуры кипения наиболее летучего компонента и ниже температуры точки росы питающей смеси при давлении в колонне. Аналогично этому, если заданной является температура кипения дистиллята, функ- ция, определяемая уравнением (Vl,32), имеет (с — 2) реальных отрицательных корней и один положительный корень, если заданная температура ниже температуры кипения питающей смеси и выше температуры кипения наиболее летучего компо- нента. Решение этих уравнений успешно проводится путем итераций, если заданная температура не только находится в указанных пределах, но, кроме того, она выше, чем температура в дефлег- маторе при условии полного возврата флегмы в укрепляющей секции. Для того чтобы существовало решение для случая, когда задана температура кипения кубового продукта (остатка), эта темпера- тура должна быть выше точки кипения питания, а также не только ниже температуры кипения наиболее летучего компонента питания, но и ниже температуры в кипятильнике при условии полного возврата флегмы в исчерпывающей секции. Случай когда задается сумма значении d. вместо D, иллюстри- руется примером VI-7 (табл. 37). В качестве заданного условия для дистиллята принята сумма первых трех компонентов, которая была определена ранее (см. пример V-7, табл. 21). Решение получено по обычному методу составления тепловых балансов (см. главу V). 158
ТАБЛИЦА 37 Решение примера VI-7 Nu тарзлки № приближения 1 * 2 3 4 5 6 7 10 11 Температурные профили 0 (дистил- 42,68 43,93 45,04 44,06 43,02 42,29 42,03 41,97 41,97 лят) 1 61,38 63,00 62,97 60,44 58,34 57 29 56,94 56,89 56 89 9 77,14 78,51 75,48 71,01 68,03 65,85 66,56 66.61 66,67 3 97,11 95,90 87,95 80,85 77,42 76,67 76,74 76,87 76,85 4 (питание) 146,78 132,40 110,73 98,49 96,04 97 15 97,84 97,51 97,47 5 144 08 136,50 122,30 112,62 109 27 109,32 109,32 109,31 109,26 6 141,67 138,72 129,08 121,68 113,28 117,57 117,43 117,42 117,40 7 141,52 140.42 133,58 128,13 124,65 123,76 123.52 123,45 123,43 8 142,22 142,30 137,62 137,62 130,05 128,83 128,47 128,49 128,48 9 144,53 144,92 141,30 137,53 135 06 133,38 133,42 133,17 133,16 10 149,30 149,45 146,75 143,72 141,84 140,74 140,30 140,09 140,09 11 158,07 158,50 157,07 155,40 154,29 153,71 153,48 153,35 153,34 12 (кипя- 185,56 186,34 187,03 186,38 186,38 186,11 185,95 185,87 185,86 тильник) 3 17,601 17,959 17,990 17,988 17,980 17,974 17,972 17,97241 17,97235 t=l z>ca 27,92 ** 31,62 35,11 33,58 32,12 31,630 31,571 31,610 31,607 6 0,065 0,676 2,893 2,367 1,398 1,045 0,991 1,004 1,002 * Этот профиль был рассчитан исходя из температуры дистиллята, равной 37,8 °C при приросте температуры на каждой тарелке, равном 5,56 °C. з ** Для данного примера задано! S d. = 17,9723 и V —94,8. i — 1 УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕН И Я Дем. главы II—V) к, тп — целое число, применяемое для порядкового счета; р — большое число, порядка верхнего предела для ЭЦВМ. ЗАДАЧИ VI-1. На основе указаний, сделанных в тексте, вывести уравнения (VI,3)—(VI,10). VI-2. Показать, что, применяя уравнения (VI,6) и (VI,7) для нахождения приближенных значений Vj и Lj (если они неизвестны) к уравнениям (VI,3) п (VI, 4), получим j!di)ca (^i)c о У ji — у~ r J O' j i ! b i) ca(b i) ao i Я, L i±H,L 159
VI-3. Показать, что соответствующие значения vjt и которые можно вывести из уравнении (VI,3)—(VI,5), не нужны для покомпонентного мате- риального баланса. VI-4. Показать, что если в процессе расчетов, осуществляемых сверху вниз в простой ректификационной колонне, получается значение dif которое превышает некоторое наперед заданное число р, то из этого следует, что VI-5. Доказать справедливость уравнения (VI,25). V1-6. Установить, что если реализуются условия, определяемые уравне- нием (VI,32), то функция g (0) в том виде, в каком она получается из уравнения (VI,31), имеет (с—2) реальных отрицательных корней и один положительный корень. VI-7. Показать, что если точка кипения кубового продукта (остатка) является одним из задаваемых условий, то получают следующее выражение для функции g: 1 + 0 ^(0)= У VI-8. Показать, что если дана сумма первых к значений X Di и Vt (или Zo), то получается следующее выражение для функции g: к е(0)=2 1=1 FX< РХг 1+0(бЛ)С£1 VI-9. Проверить результаты, приведенные в табл. 31, для вариантов 1, 2 и 4. ЛИТЕРАТУРА 1. Weisenfelder A. J., Petrol. Ref., 40, № 10, 175 (1961). 2. Weisenfelder W. N., M. S. thesis, A. and M. College of Texas, College Station, Texas, May 1961. 3. Canik L. J., Hardy В. W., Holland C. D., В a u n у H. L., Petrol. Ref., 40, № 12, 161 (1961). 4. Hardy B. W., Sullivan S. L. jr., Holland C. D., В a u- ny H. L., Petrol. Ref., 40, № 9, 237 (1961). 5. L у s t e r W. N., Sullivan S. L., jr., Billingsley D. S., Petrol. Ref., 38, № 7, 151 (1959).
ГЛАВА VII РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ КОЛОНН Сложной ректификационной колонной назы- вают колонну, в которую вводится питание пли отводятся продукты из нее в нескольких точках по высоте колонны. Расчет сложных колонн можно провести, сочетая методику Тиле и Геддеса с 0-методом сходи- мости. При использовании методики Тиле и Геддеса для расчета слож- ных колонн задают давление в колонне, число тарелок, количе- ство, состав и агрегатное состояние каждого ввода питания, а также номера тарелок питания и тарелок, с которых отводятся боковые отборы. Число дополнительных условий должно быть равно общему числу потоков, которые отводятся (дистиллят, боко- вые отборы и кубовый продукт). Для колонны с двумя боковыми отборами следует задать дополнительно величины (или £0), D, W\ и W2, а они в свою очередь определяют зависимую пере- менную В. Для первого приближения значения температуры и профиля LIV принимаются произвольно. В этом случае существует возмож- ность проведения расчетов сверху вниз и снизу вверх. После применения метода сходимости вычисляют составы и соответству- ющие температуры, а также величины потоков по колонне. Эта процедура повторяется до получения удовлетворительной сходи- мости температурного профиля. Метод сходимости Метод сходимости для сложных колонн применяется 1 аналогично тому, как для простых колонн (см. главы IV и VI). Системы, состоящие из распределяющихся, переопределяющихся и одно- фазных компонентов, характеризуются приведенными ниже уравнениями, соответствующими 0-методу сходимости. Однако прежде чем эти уравнения применять для систем, содержащих И Ч. Д, Холланд. 161
нераспределяющиеся компоненты, следует заменить некоторые члены их эквивалентами (см. главу VI), при этом можно полу- чить общие уравнения, в которых используется 0-метод сходимо- сти для случая сложных колонн. Боковой отбор, выводимый из колонны, дает дополнительную степень свободы, что позволяет задать дополнительное условие, например количество этого бокового отбора. Каждое такое усло- вие связано с введением дополнительного множителя 0. Чтобы различать множители 0, им приданы подстрочные индексы [см. уравнения (VII,!)—(VI 1,3)]. Из общих принципов 0-метода, указанных в главе IV, следует, что (•,') (VII,1) \ «i / со \ / са =01 i^H,L (VII,2) \й» /со \ / са =е2 i^H,L (vii,з) Как и раньше, корректированными считаются те значения, которые одновременно удовлетворяют заданным условиям отно- сительно D, W1, W2 (В является зависимой переменной) и мате- риальному балансу для колонны: i ~~ (d i)co “i~ (li li)ca + (^i)co i *H, L (VI 1,4) Здесь FX i, -- +^2^2^ Комбинируя уравнения (VII,!)—(VII,4), получаем выражение для корректированного количества i-того компонента в дистилляте: 1 д-е0 (^/с/,и + 01 («цгми-И2 (VII,5) Подставляя выражение (VII,5) в уравнения (VII,!)—(VII,3), получаем формулы для расчета (^г)со, (и?1;)со и (u?2i)co. Поскольку корректированные количества должны удовлетворять заданным условиям для D, K’j и W2, нетрудно получить следующие g функции: go (°о, Оь 0г) = 2 (di)co— (D~^ db\ (VII,6) i- H, L \ L / gi (бе- 61, ®г) = 2 /iVj 2 u in') (VII,7) \ H J g2 (00, 01, 02)= 2 (W2i)co— 2^2п') (VII.8) »VH, L \ H / для определения трех неизвестных 0О, 0П 02- 102
Искомое решение представляют собой положительные значения 0О, 0ц 02, которые одновременно удовлетворяют условию g0 — — gj = g2 = 0. Эти формулы применимы в случае, когда дистил- лят отводится в виде пара, а боковые отборы — в виде жидкостей. Если ТУг отбирается выше тарелки питания, на которую посту- пают однофазные тяжелые компоненты, то в уравнении (VII,7) S^ih — 0- Если W± и ТУ2 отбираются соответственно с тарелок р н и д, расположенных ниже самой низкой тарелки питания, то количества однофазных компонентов вычисляют по следующим уравнениям: н р н (VII,10) н q н Если дистиллят и боковые отборы выводятся в виде пара, то в уравнениях (VII,7) и (VI 1,8) необходимо провести следующую замену: на \ II / \ L / (w,- 2Хн) на \ Н / \ L ) При наличии нераспределяющпхся компонентов некоторые члены уравнений (VII,6)—(VII,8) содержат неопределенность, которую необходимо раскрыть. Для нераспределяющихся тяже- лых компонентов (d.)ce ~ 0 и )га w<)c»=1+(e0/e,) (bj/^li)„+(e2;eI) (VII,И) Выражение для (tP2JC(>, характеризующее нераспределяющийся тяжелый компонент, имеет вид <“'1‘)"=02 )„ <<г‘)™=1 + (9о/0!!) («„/«„)“ (VI 1,12) Аналогично получают выражение (Ь.)со для нераспределяюще- гося тяжелого компонента: ( »)со 1 + (61/6о) (U?li/Mca +(82/60) {w2i!^i)ca (VII,13) И* 163
Если компонент исчерпывается ниже тарелки р (в районе бокового отбора то тогда = 0 и = 0 и соответ- ствующим образом изменяются уравнения (VII,12) и (VII,13). Расчет значений 0. На рис. VII-1 и VII-2 показаны графики функций g0 и gt в окрестности положительных значений корней для систем, состоящих только из распределяющихся компонентов, и для колонн с одним боковым отбором. Необходимо найти положительные значения 0, при которых все функции одновременно равны нулю. Было установлено, что наиболее удовлетворительным среди всех изученных способов решения является способ Ньютона — Рафсона в чистом виде или с некоторыми модификациями. Так как указанный спо- соб описан (см. главу I), в данной главе приводятся лишь неко- торые детали, касающиеся его применения, а также его моди- фикации. При применении способа Ньютона — Рафсона наилучшие результаты наблюдаются в случае, когда первое принимаемое значение для каждого 0 берется равным единице, т. е. 0О?1 = = 01; х = 02j г — 1,0. Вторая подстрочная цифра показывает номер приближения по способу Ньютона — Рафсона. Расчет начинают с определения функций gQ, glt g% и их частных производ- ных, исходя из первого принятого значения 0. Затем решают уравнения Ньютона — Рафсона и получают вторые значения для 0, а именно 0О)2, 01,2, ^2,2, которые используют для следу- ющего приближения. Если при заданном приближении (для коррективных значений 0) получается отрицательная вели- чина 0, то следует взять значение, равное половине принятого ранее 2’3. Рис. VII-1. График функции g0 (0О, 0Д) при одном боковом отборе. Рис. VII-2. График функции gL (0oi 0i) ПРИ одном боковом отборе. 164
Исследована 2 возможность применения численного способа опре- деления производных и найдено, что такая модификация дает удовлетворительные результаты. Выбрав положительные 0, которые обозначим как 0О)1, 01?1, 02)1, определяют значения функций, входящих в уравнения Ньютона — Рафсона. Для того чтобы вычислить частную произ- водную dgQ/dQ0 в окрестности выбранных значений 0, все 0 при- нимаются постоянными, за исключением величины 0О, которой дается приращение (0Ог1 + р). Из определения частной производ- ной следует, что dgp _ go 1(вр.1р), 01.1> Bg.ll go [0Q-1, 61.1. 02.11 d90 (Oo-i’iP) — %! Аналогично запишем: dgp _ go [0Q1- (01,1 р). 02,11 "go [0Q.1. 01,Ь 02.11 ~ Р Так же находятся и остальные частные производные. Выбор значений р произволен. Если величина р берется равной 0,001, то получают удовлетворительные результаты. Ясно, что если значение 0Ojl (или О^) становится большим, то и значение р можно увеличить. Решив уравнения Ньютона — Рафсона для функций и их производных, получают новые значения 0, которые используют для следующего приближения в целях определения третьих значений 0, и т. д. Во всех случаях отрицательные значе- ния 0 заменяют на величину, равную половине предыдущего значения. Другим способом итеративного решения является интерполи- рование (см. главу I). Этот способ также дает удовлетворительные результаты и в случае функций нескольких переменных 3. Однако решение по этому способу значительно медленнее, чем по способу Ньютона — Рафсона. Уравнения материальных балансов Уравнения материальных балансов, приведенные ниже, приме- няют для расчета распределяющих компонентов в сложной колонне типа колонны, показанной на рис. VII-3. Тарелки, с которых отбирают два боковых потока (в жидкой фазе), обозначены бук- вами р и q. Верхняя тарелка питания (тарелка, находящаяся ближе к верху колонны), обозначена через /, а нижняя тарелка питания — t. Для тарелок, расположенных выше нижней тарелки питания t, количество компонента определяют из условия материального баланса, составленного для верхней части колонны и произвольной /-той тарелки. Аналогично для тарелок, расположенных ниже верхней тарелки питания /, материальные балансы составляют 165
Рис. VI1-3. Сложная колонна с двумя тарелками питания и двумя боковыми отборами. для нижней части колонны (по /-той произвольной тарелке). Таким образом, существует два типа уравнений для расчета количества компонента между двумя тарел- ками питания. Ниже показано, что количество компонентов в этой секции вычисляют при помощи обеих типов уравнений с тем, чтобы выбрать значения, дающие наименьшую погрешность вычи- сления (округления). Материальные балансы для произвольной тарелки выше та- релки питания t записывают в виде следующих уравнений: + 1 (дефлегматор) (VII,14а) 2=С/=Ср+1 (VII,146) Vfi di di L(VII,14b) di vf-l> i di Fxi di (VI 1,14г) v di j-l, i di t— 1 (VII, 14л) Здесь Vli di vt-i. i di FX{ di di (VII,14e) d: I wu di Значения wuld. определяют после расчета величины v Jd. по уравнению (VII,146). Так как состав бокового отбора IF, имеет одинаковый состав жидкости, стекающей с тарелки р. то отсюда следует, что «к . / FPT \ __/ ИТ \ { л vPi ) di \ Lf )\di) \ Lp ) di / (VII ,15) 166
Для любой тарелки ниже верхней тарелки питания /, мате- риальные балансы выражаются следующими уравнениями: < + 1 (кипятильник) (VI 1,16а) у i (iy-j + l ,+2С/^ (VII,166) i + l=s/ss« + l (V1I.16B) (Vii.ier) 0, \ bi J bi -^=sA-r-\+(c*i-(vii, 1бд) Здесь Расчеты проводят снизу вверх до тех пор, пока не будет определено значение l^Jb^ Затем следует вычислить вели- чину w2ifdi. При уравнение (VII,16в) принимает вид \ / <^2, \ bi ~\И’2 bi ) поскольку Уравнение (VII,17) решается относительно w2.lb.-. w2i / W2 \Г / Zff+1> bi Д^+1’Ч bi / + 1 (VII,17) (VI 1,18) (VII,19) Если боковые потоки выводятся в виде пара, то уравнение (VI 1,14) соответственно преобразуется. Расчет по приведенным выше уравнениям проводят сверху вниз и снизу вверх соответ- ственно до тарелок питания f и £, причем расчет аналогичен опи- санному в главах III и IV. До определения количеств компонента на тарелках между тарелками питания / и t по уравнениям (VI 1,14) и (VII, 16) вычисляют величину b.!dr Приводимые ниже экви- валентные формулы для b ld. выводятся аналогично уравнению (VII,31): -^- =------- ‘ :------------- (VII,20) d‘ (-у1) +ад‘ \ / 167
Здесь п __ (“» + 1) + * _ со. = A i А^2, i ... Ау+1, iAfi &1= At-i, t + M/-2, i ~r • • + At-i, Мг’-г, i • • *4/+i.; Afi bi (VII,2I> Фе Gt2'') “r^2t \ / где Ф;^аЛГ2; — + Ip'i FX~, " Ф; — S/iSf+i, i . . • S/-2. i St-i, i Ф,- = 1 -p5/iSf-П i~T~ • • • T~ i • • 5/-2, t-1, i Вычислив величину bjd. при помощи общего материального баланса, определяют количество каждого компонента в дистил- ляте: ^cli+^+^t <VII’22> Затем по уравнениям (VII,14) и (VII,16) можно рассчитать количества компонентов между двумя тарелками питания. Фор- мулы для b./d. {уравнения (VII,20) и (VII,21)] подобны соответ-' ствующим уравнениям для простых колонн в отношении погреш- ности вычисления. Сведение к минимуму погрешности вычисления (округления) Погрешность вычисления (округления), которая наблюдается при применении различных методик расчета сложных колонн с двумя тарелками питания, была изучена так же, как и для простых колонн. Наиболее точные значения количества компонентов на тарелках выше верхней и ниже нижней тарелок питания получаются при проведении расчетов соответственно сверху вниз и снизу вверх. Следовательно, необходимо выяснить, как рассчитывать количества компонентов на тарелках между верхней и нижней тарелками питания для сложных колонн. Разница в количествах компонента, вычисленных по уравнениям (VII,14е пли VII,16е), может сказаться на погрешности вычисления (округления). Была показана эквивалентность этих уравнений для распределяющихся компонентов. 168
ТАБЛИЦА 38 Погрешности вычисления (округления) при различных процедурах расчета сложных колонн * № примера Fi.Yi и F2X'a Фактор извлечения A Соответствие по верхней тарелке питания С\М)„ОТ, Соответствие по нижней тарелке питания (Ь,/^-)„от. 1 9,5555555 1,0000 0,5554 2 7 J Л 1 == 27* 2^ 2 9,5555555 1,0000 8,6634 106 3 г у F4X4, г iAi — ~~2— 9,5555555 1,0000 0,7991 4 F2X о — О 9,5555555 1,0000 —4,0388 • 102 5 /'iXi = 0 0,095555555 0,9044 1,0000 6 — F 2X2 0,095555555 — 1,0180- IO-3 1,0000 7 F1X1 = 2F2X2 0,095555555 —9,1285-10-5 1,0000 Г F2X2 8 0,095555555 3,1819 1,0000 9 / jX 1 — F 2X2 1,0000000 1,0000 1,0000 * Во всех примерах N=10, колонна имеет парциальный дефлегматор и кипятиль- ник, агрегатное состояние каждого питания — кипящая жидкость, фактор извлечения А постоянен по колонне, выводится только дистиллят и кубовый продукт (остаток). Пи- тание поступает на тарелку М 1, а питание Fa поступает на тарелку № И во всех примерах. Уайзенфельдер и др. 415 решили несколько простых примеров с целью определения погрешности вычисле- ния при различных процедурах рас- чета и разных условиях. Полученные ими результаты приведены в табл. 38. Из данных табл. 38 ясно, что для случая, когда компонент по- ступает в колонну только в виде одного питания, наиболее точная процедура будет состоять в расчете сверху вниз п снизу вверх по колонне до тарелки питания, на которую подается данный компонент. Если компонент поступает в колонну в составе нескольких питании, наи- более точная процедура расчета выявляется при применении формулы (VII,20) к каждой тарелке питания (см. табл. 38). Схема предлагаемой процедуры расчета показана на рис. VII-4. Рпс. VI1-4. Схема расчета с минимизацией ошибок вычи- сления (округления): а — все компоненты. 169
Поскольку формулы для расчета значений bjd. [уравнения (VII,20) и (VII,21)] почти не зависят от погрешности вычисления (округления), то можно пользоваться только одним из них. Следу- ющая процедура рекомендуется при определении погрешности вычисления по формуле (VI,20) для компонента, поступающего на тарелку /. Сначала определяют значение bjd. по уравнению (VII,20) или (VII,21), а затем проводят вычисления по формулам (VII,14) и (VII,16). Значение vfi!d. рассчитывают по уравнению (VII,14д), a —по уравнению (VII,16е). Последнее значение используют для расчета vf./bi следующим образом: bt fi к ) На основе полученных значений определяют bjd.z fbi_\ = vfi!di \ di / пот. vу j b i Затем для тарелки / находят отношения Для тарелки t это отношение для определения погрешности используют так же, как и для тарелки /. Нераспределяющиеся компоненты Определение нераспределяющихся компонентов, данное в главе VI, справедливо и для сложных колонн. Итак, нераспределя- ющимся легким является компонент, для которого (£\)га — 0, а нераспределяющимся тяжелым — компонент, для которого {d^ca = 0. Иногда возможно, что и величины (ip1£)ra и тоже равны нулю, поэтому эти случаи следует также рассматри- вать при расчетах. По различию в процедуре расчета нераспределяющихся компо- нентов все сложные колонны можно подразделить на два типа. К первому типу относят колонны с несколькими питаниями и вы- водом только дистиллята и кубового продукта (остатка). Во вто- рой тип включают колонны с несколькими питаниями и с одним или несколькими боковыми отборами, кроме дистиллята и кубо- вого продукта (остатка). Расчеты нераспределяющпхся компонен- тов в колонне первого типа проводятся почти аналогично простым колоннам. Предположим, что нераспределяющимся легкий компо- нент обнаруживается ниже нижней тарелки питания. В таком случае количество этого компонента в дистилляте будет известно» так как = + (VII,23) 170
Расчеты проводят сверху вниз для всей колонны по ура- внениям, аналогичным выраже- ниям (VI 1,14а) — (VII,14e). Для колонн второго типа расчеты ведут в направлении, показанном на рис. VII-5. При наличии распределяющихся компонентов погрешность вы- числения (округления) на уча- стке между тарелками питания можно свести к минимуму, при- меняя формулу (VI,2а) к разным тарелкам питания, как это опи- сано выше. Однако определение нераспределяющегося компо- нента не является столь про- Рис. VII-5. Направление расчетов для нераспределяющихся и распре- деляющихся компонентов в сложной колонне: 1 — нераспределяющиеся легкие компо- ненты; 2 — нераспределяющиеся тяжелые компоненты; 3 — распределяющиеся ком- поненты; 4 — все компоненты. стым, как для колонн первого типа. Несмотря на то что для нераспределяющегося легкого компонента bi = 0, опреде- лить d. не представляется воз- можным, как и для сложных колонн первого типа. Следует проводить дальнейшие потарелочные расчеты, прежде чем d. будет определено. Для иллюстрации рассмотрим колонну, показанную на рис. VII-3. Компонент i поступает на тарелки / и t соответственно в количествах F-iX1. и Допустим, что нераспределяющийся легкий компонент обнару- живается при расчете снизу вверх до нижней тарелки питания t, т. е. имеется тарелка /, на которой IЪ. ';> р. При этом значение b.!dt близко к нижнему пределу 1/р и может быть принятым за нуль (см. главу VI). Соответствующие величины Ijjb., получен- ные для данного компонента в результате расчетов снизу вверх, аннулируются. Для этого компонента составляют материальный баланс для верхней части колонны (по произвольной тарелке). Вычисления проводят обычным способом в направлении к тарелке питания / и получают значения w1.Jdi и l^Jd^ Количество компонента на тарелках от / до (i — 1) определяют по уравнениям (VII, 14г) и (\ П,14д); для значения /, равного или большего чем ty применимы следующие уравнения: v а di i di lFxi u:2i !'ji _ . / VУ-1' * \ ^2i di — v-ьц d. ) dt t-f-1 =S 9 (VI 1,24a) (VI 1,246) 171
^?+li i / IV 2 ! ( Iqi di \ Lq /\ di (VII,24b) (VI 1,24г) Vii di - di Определив при помощи уравнения (VII,14г), необхо- димо найти w^'di и d(, а затем проводить дальнейшие расчеты- От верхней тарелки питания / до нижней t проводят последо- вательную подстановку значений vji'di в выражение для Такая процедура дает (VII 25) di Л di d{ di Здесь or и Q(. определяются выражениями, приведенными после уравнения (VII,20). Такая же подстановка между тарел- ками t и q дает: Здесь 1 di 1 di i qi —гч ( (~Ь 1 I 1 n ( /. й. "1" ,7. I ^qi (VII,26) Aqi • • Ац Qqi A qi ~j~ Aq{Ag_ 1, i ~Aqi • • > А Ц Неизвестное d. из уравнения (VII,25) и (VII,26) можно исклю- - чить при помощи общего материального баланса: я FX* ' Ci + ^di} Поскольку lq.ld. — (L /W2) (гг2;/с^), то уравнения (VII,25) — (VI 1,27) можно решить относительно w2i/d.. (VII,27) (VI 1,28) Здесь __ ^qi —«J FX~ — lF,i ] Вычислив w2.!d. по выражению (VI 1,28), определяют по уравнению (VII,$7)* Затем расчеты можно выполнять в направле- нии от куба колонны по уравнению (VII,24) до тех пор, пока не будет найдено значение 7, при котором vjJdi 1/^. Описанную методику можно применять для колонн с любым числом боковых отборов. Расчеты для нераспределяющихся тяже- лых компонентов проводят аналогично тому, как это описано для легких нераспределяющихся компонентов. 172
Замена членов для нераспределяющихся компонентов их экви- валентами. Формулы для расчета составов в простых колоннах (глава VI) применимы и к сложным колоннам. Член [(zv./tf ^(dj^ для нераспределяющихся тяжелых компонентов содержит неопре- деленность и поэтому заменяется эквивалентом: -Г- (VH,29) \ «I /са X О0 / \ О; /Са Величины (Ь.)со определяют по уравнению (VI, 13). Аналогично член [(Z ;/^)са](^)со Для легкого нераспределяющегося компо- нента также заменяют его эквивалентом (VI 1,30) Величины (d.)Co вычисляют по уравнению (VII,5). Если тяже- лый компонент полностью исчерпывается выше тарелки р (тарелка отбора TVi), формулу для этого нераспределяющегося компонента (и?п)со выводят следующим образом: Деление уравнения (VII,2) на уравнение (VII,1) дает: / bi \ % \ \ 'со \ / \ wli ) са (VII,31) Аналогично, решая уравнение (VII,2), получаем следующее выражение: (VI 1,32) Необходимо, чтобы корректированные количества этих компо- нентов удовлетворяли общему материальному балансу [см. урав- нение (VII,4)]. Это уравнение можно решить относительно (г^1^)С(), поскольку для нераспределяющегося тяжелого компонента Weo = 0: (^1 i)со ~ —j—г z, / —1—““Г" (VI1,33) 1 + (fr(7u?lt)co+ (w^ilwli)co Искомую формулу для (wlg)c„ [уравнение (VII,11)] получают путем замены двух отношений в знаменателе уравнения (VI 1,33) на их эквиваленты, даваемые уравнениями (VII,31) и (VII,32). Аналогично уравнению (VII,11) выводятся формулы для (tp2i.)f(> и (6()со [уравнения (VII,12) и (VII,13)] нераспределяющегося тяжелого компонента. Прочие соотношения. Учет однофазных легких и тяжелых компонентов проводят по методике, аналогичной описанной в главе VI для простых колонн. Можно применять обычный метод, а также метод постоянного состава и (7-метод составления 173
тепловых балансов (см главу VI). Температуры рассчитывают по точке кипения [уравнение (VI, 19)]. Ограничения в изменении температуры и величине потока между последовательными при- ближениями проводят аналогично ранее описанному. Примеры расчета Ниже приведены компоненты и состав питания для примеров VI1-1— VII-3 (см. также табл. 39): FiXl FtXt F,X( FiXt СН1 2,0 0,0 н-С5 0,5 15,2 С2н6 10,0 0,0 ц-Сб 00 9,0 С3Н6 6,0 1,0 Н-С7 0,0 4,5 С3Н8 12,0 7,0 н-С8 0,0 4,3 изо-С4 1,0 4,0 «кип. — 182° С 0,0 3,5 Н-С4 3,0 17,0 Всего: ^’1Х1 = 34,5 м — 65,5 В примере VII-1 рассматривается случай с двумя питаниями, а в примере VII-2 предусматривается дополнительный боковой отбор,который отводится выше верхней тарелки питания. В усло- виях примера VII-3 указано, что имеется два питания и два боковых отбора, причем отводится над верхней тарелкой питания, a W2 — под нижней тарелкой питания. Температуры в этих примерах были определены по точке кипения, а величины потоков вычислены при помощи обычного метода составления теплового баланса. Данные об изменении профиля температур, помещенные в табл. 40—43, получены с применением обеих форсирующих процедур, описанных в главе V. ТАБЛИЦА 39 Исходные данные для примеров VII-1 — VII-3* Пример D Vi НУ ну VII-1 38,0 94,8 0,0 0,0 VII-2 23,0 94,8 15,0 0,0 VII-3 23,0 94,8 15,0 25,0 * ГУ, отводится в виде жидкости с тарелки № 3, ИУ отводится в ваде пара с тарелки № 15. Агрегатное состояние питания F,—насыщенный; пар (поступает на тарелку № 7). Агрегатное состояние питания F»—насы- щенная жидкость (поступает на тарелку № 12). Общее число тарелок 19, рабочее давление 18,53 ат, тип дефлегматора парциальный. 174
ТАБЛИЦА 40 Решение примера VII-1 № прибли- жения Темпера- тура, °C Рассчи- танное значение D № прибли- жения «0 Темпера- тура, °C Рассчи- танное значение D D в D В 1 275,56 33,37 146,9 54,7 5 0,91 34,34 145,74 37,8 2 0,14 33,63 146,30 33,4 10 1,009 34 68 145,59 38,019 3 0,38 33,93 146,01 36,0 И 0,990 34,70 145,58 37,979 4 0,53 34,24 145,78 36,6 12 1,005 34,71 145,58 38,010 Решение примера VI1-2 ТАБЛИЦА 41 Лй прибли- жения бо е, Температура, °C Рассчитанное значение D в D 1 489,45 1,54 25,16 38 73 146,25 27,48 31,80 2 0,16 0,94 25,09 39,77 145,50 20,18 11,49 3 0,36 0,96 25,04 40,58 145,25 21,80 13,36 4 0,50 0,97 25,02 41,01 145,07 22,22 13,87 5 0,788 0,991 25,005 41,20 145,09 22,78 14,34 6 0,846 0,993 24,94 41,33 145,08 22,84 14,75 7 0,951 0.997 25,00 41,37 145,09 22 95 14,93 8 0,943 0 996 24,94 41,43 145,07 22,94 14,92 9 0,983 0,998 24,93 41,46 145,06 22,97 14,99 10 0,976 0,997 24,93 41,49 145,04 22,97 14,97 11 0,992 0,999 24,93 4151 145,03 22,99 14,998 ТАБЛИЦА 42 Решение примера VII-3 № прибли- жения 00 91 02 Температура, °C Рассчитанное значение D Wi w2 в D Wi Wi 1 156,78 1,30 7,84 25,33 45,74 114,18 179,26 26,78 23,39 31,96 2 0,47 1,08 0,61 25,44 44,65 123,06 177,07 22,88 13,00 24,69 3 0,64 1,04 0,76 25,18 44,16 128,44 175,07 22,94 13,84 24,54 4 0,78 1,02 0,85 25,14 43,92 130,66 173,12 22,95 14,31 24,84 5 0,93 1,01 0,96 25,12 43,71 131,40 173,12 23,04 14,73 23 42 6 0,94 1,01 0,96 25.10 43,64 131.76 173,70 23,00 14,81 24,04 7 0,980 1,004 0,988 25,09 43,70 131,85 173,67 23,01 14,93 25,01 8 0,984 1,002 0,986 25,08 43,59 131,89 173,65 23,00 15,22 25,04 9 1,000 1,000 1,000 25,08 43,58 131,88 173,63 23,00 14,98 25,01 175
ТАБЛИЦА 43 Составы продуктов разделения для примеров VH-1—-VII-3 Компонент Пример VII-1 Пример VII-2 Пример VII-3 d d Wi d Wi vv2 сн4 0,2000 • 40 0,1973 • 10 0,2653-10-1 0,1971 10 0,2612 • КП 0,1950-10-16 с2нв O.1OOO-4O2 0,9079 • 10 0,9207 0,9106 • 10 0,8947 0,2136 IO-4 СзНв 0,6930 -10 0,3758 • 10 0,3150 • 10 0,3782 • 10 0,3000 • 10 0,2163 С3Н8 0,1795 -102 0,8135 • 10 0,9554 • 10 0,8048 • 10 0,8931 • 10 0,1994- 10 изо-С^ 0,7398 0 3961-10-1 0,6545 0,6284 • 10“i 0,9640 0,3333 • 10 0,3810 0,1478 • 10-1 0,6917 0,2687 10-1 0,1159-10 0,1354-10-2 н-С5 0,4181 • IO-4 0,1152-10-5 0,3168 • IO"2 0 2083 • IO-5 0,5130 • IO'2 0,4365 • 10 «-с6 0,1025-10-э 0,9654 IO’2 0,1248- 10-(i 0,3728 • 10-и 0,4194-10-° 0,1121 • 10 и-С; 0,2126 • 10-п 0,1021 • 10 0,7047 • 10 0,5243 10-iG 0 3049- IO'9 0,2826 w-Cg 0,1983 • Ю-i9 0,1283-10 0,6586 • 10-13 0,2865 • IO’20 0,1200-10-n 0,1350 tKBn. = 182,2°C 0,3311-IO'25 0 4096 - 10 0,1956 10-15 0,1274 • 10“2C 0,4476 10'ie 0,2989 • 10’1
Для всех примеров в первом приближении принят линейный профиль изменения температур (27—232° С) и задана величина потока пара (V\ ~ 94,8), отходящего с верха колонны. В первых двух приближениях потоки пара были постоянными по всей колонне (с учетом агрегатного состояния каждого питания и за- данных величин каждого бокового отбора). Потокам пара соот- ветствовали потоки жидкости, определяемые из условий мате- риального баланса. После первых двух приближений потоки пара и жидкости вычисляли с учетом тепловых балансов (обычный метод). По-видимому, сходимость расчета убыстряется с увеличением числа боковых отборов. Абсорберы с кипятильниками (фракционирующие абсорберы) Установка6’7, показанная на рис. VI1-6, представляет собой особый вариант сложной колонны с двумя питаниями F и £0 и тремя отборами В, PK1; Vj. Такую установку можно рассматри- вать как сложную колонну без укрепляющей секции, т. е. ко- лонну, в которой нет тарелок выше верхней тарелки питания. Установлено 2, что для фракционирующих абсорберов по- грешность вычисления (округления) можно свести к минимуму при помощи метода, аналогичного ранее предложенному для сложных колонн. Количество распределяющихся компонентов в секции, расположенной ниже нижней тарелки питания, рас- считывают по уравнению мате- риального баланса, записан- ному для нижней части колонны. Количества компонента между тарелками питания 1 и / вычи- сляют по уравнениям матери- ального баланса, записанных как для верхней, так и для нижней частей колонны. Остав- ляют тот расчет, который, как показывает проверка по методу отношений [уравнение (VI,2а)], дает минимальную погрешность при вычислении (округлении). В случае, если питание F содержит много легких ком- понентов, а питание Lo — много тяжелых, система стано- вится очень чувствительной Рис. VII-6. Абсорбер с кипятильни- ком и дополнительным боковым потоком. 12 ч. д. Холланд. 177
к методике определения температур и методу составления тепло- вых балансов. Показано, что методику расчета по температурам кипения можно применять, когда изменение температуры между последовательными приближениями будет лимитировано аналогично ограничениям, принятым для сложных колонн. При этом была также проверена возможность применения про- стых итерации. Качественно установлено, что присутствие очень легких компонентов убыстряет сходимость, если эти компоненты являются распределяющимися. Последнее условие редко наблю- дается в колоннах с питанием, подаваемым в среднюю часть колонны. Наиболее успешной оказалась методика комбинирова- ния 0-метода с расчетом температур по точке кипения при соответ- ствующих ограничениях, налагаемых на изменение температур тарелок между последовательными приближениями. Такая мето- дика рекомендуется для расчета фракционирующих абсорберов. При решении многих задач было обнаружено отсутствие сходимости при использовании обычного метода составления тепловых балансов, так как этот метод требует большого коли- чества гипотетических промежуточных холодильников для приме- нения Q метода. Более простои расчет получают при сочетании метода постоянного состава и (7-метода. В практических условиях оказалось, что это комбинирование обычно дает адиабатическое решение при итерациях или же решение с минимальным количе- ством гипотетических промежуточных холодильников (или нагре- вателей). Результаты \ полученные при помощи каждого из этих методов, иллюстрируются решением примеров VII-4 и VII-5 (см. табл. 44—46). таблица 4 4 Условия для примеров VII-4 и VII-5 Компонент FX Loxo Компонент FX L,X 9 СЩ 80,000000 0.0 6,6666666 0,0 СгНв 6,6666666 0,0 н-С8 6,6666666 30,0 с3н8 6,6666666 0,0 Примечание. Имеем: N = 9, 7 = 0, У( = 95, Wt = 15, давление в колонне 28 ат, питание поступает в виде пара при температуре точки росы, а абсорбент Lo— в виде жидкости при температуре 32° С. В примере VII-4 потоки пара рассчитывают путем применения Q-метода со следующими ограничениями: Пример VII-4 для;</.... viain=95^vy<ioo = vmax Д™7>7.......^miu^45 V/^55==Vmax Пример VII-5 Для 1<><7 . . . • Vmin = 80^V^ 200 = Ущаг Для;>/.... Vmia=10^y>^100 = Vn)ax 178
ТАБЛИЦА If Решение примера VII-4 путем комбинирования обычного метода составления тепловых балансов и <2-метода . Ка тарелки Темпера- тура, °C Потоки пара Состав продуктов разделения (приближе ние двадцать седьмое) № приближения 7 27 началь- ный , профиль 7 27 7 27 компо- , пент vt НО 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 95,77 64,50 69,65 84,44 4,44 111,27 144.30 178,24 220,00 250,77 103,54 48,70 90,06 91,57 4,44 94,65 132,22 163,95 208,74 246,37 95,0 97,5 97,5 97,5 97,5 50,0 50,0 50 0 50 0 50,0 95,0 95,0 100.0 100,0 95,0 47,6 47,6 55,0 55,0 55,0 95,0 95,0 100,0 96,8 95,0 45,0 55,0 55,0 53,6 55,0 II 1 1 1 1 1 bccn’t'Toooowwoocn оооооооооо —3,6 105 2,9 • 105 —6,4 - Ю4 —2,5-Ю5 6,8-105 —3,1 Ю5 -1,4-105 0,0 -8,2-10* —7,6 • 105 СН4 С2не С3Н8 н-С4 н-С8 78,998 6,62 4,81 0,33 3,18 1,32-10-* 3,44 • 10-2 1,26 3,75 9,94 ГЬвЫ,. 95,57 И^1.вн,.14,67 во 1,158 0i j 1,163 Решение ирг постоянного 95,29 14,87 1,067 1.064 [мера 1 состав Примечание. Начальный температурный профиль был линейным в интервале 115,56—240,56° С. Изменение температур при последовательных приближениях (за исключением первого) было ограничено до */4. ТАБЛИЦА 46 ^11-5 путем комбинирования метода а с (^-методом № тарелки Температура, °C | Потоки пара Состав продуктов разде- ления (приближение двадцать седьмое) № приближения 7 17 27 началь- ный профиль 7 17 27 компо- нент V1 П’1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 64,50 70,31 70,92 66,73 68,31 132,43 157,89 191,83 230,26 255,82 55,0 64,60 69,85 71,52 69,04 130,72 165.41 200,21 234,65 256,13 59,65 63,54 69,55 71,73 69,04 131,27 166,27 201 22 235,26 257,38 95,0 97,5 97,5 97,5 97,5 50 0 50,0 50,0 50,0 50,0 95,0 108,4 113,6 115,8 117,4 20,0 46,2 60,4 64,4 79,1 95,0 107,2 100,9 113,3 115,6 21 1 56,0 66,2 68,7 83,3 95,0 106,8 110,5 113,1 115,6 21,4 57,0 67,0 70,0 84,6 к 3 ППП | | и га ш оод дг3 00 *• 79,999 6,655 6,267 1,511 0,5667 8,270-10-* 8,77 • 10~3 0,2817 3,203 11,506 * 1, выч, выч. &0 01 94,79 14,94 0,914 0.933 94,97 14,98 0,984 0,989 94,996 14,996 0,998 0,990 Примечания: 1. Нагрузка на все промежу- точные холодильники (нагреватели) равна нулю, за ис- ключением нагрузки на кипятильник, которая равня- лась 24694 ккал/ч для двадцать седьмого приближения. 2. Условия начального температурного профиля см. Примечание табл. 45. 12* 179
Пример VII-4 решен путем комбинирования обычного метода составления тепловых балансов с (7-методом, а пример VII-5 — сочетанием метода постоянного состава с (7-методом. Эти примеры отличаются границами допустимого изменения потока пара при итерациях. Указанное различие сделано для получения в при- мере VI1-4 решения с другим температурным профилем. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ (см. главы II—VI) ЗАДАЧИ VII-1. а) Исходя из основных положений, изложенных в главе IV, и требования об удовлетворении заданных условий для D, и W2, вывести уравнения (VII,!)—(VII,3). б) Исходя из тех же положений, доказать справедливость уравнений (VII,5) и (VII,6)-(VII,8). VII-2. Показать, что для случая, когда дополнительно отбирается боко- вой поток (кроме дистиллята и кубового продукта), частные производные g-функций имеют следующее значение: dg0______у {dj)'2c0 д% Zl FXi i - Н, L jU FXi i=jbj{, L dgl _ у 61 (u-'li/di)ca (bi/di)ra (djgo 50q FX i iJH, L dgi у (»ч,-М)йй[1 + е0 (б,-мы (d№0 Zj FXi i I H, L V II-3. Вывести уравнения (VII,12) и (VI 1,13). V II-4. Вывести уравнения (VII,14) и (VII,16). V II-5. Проверить формулы (VII,20) и (VII,21). V II-6. Проверить результаты, полученные по уравнению (VII,28). V II-7. а) Вывести уравнения материальных балансов для фракциониру- ющего абсорбера, показанного на рис. VI1-6. б) Показать, что из системы уравнений покомпонентного материального баланса для нижней части колонны можно получить отношение Здесь bi_^__________________Zi_______________ <Pi {Vjilbi) ~r Сц (Ф,- — Z;) Ф» — SuS2i ... Sf-2, {Sf-i, i Ф* — l+'S'li + 51i*S,2j+-‘- + 5ifS2i Sj-_2, t^/-l, » “Mo; FXi + lOi 180
в) Установись, что систему уравне- ний, отвечающих' соответствию по та- релке питания / можно скомбиниро- вать с общим материальным балансом и получить: bi + »li (Vfi/b^+Cu Здесь Рис. VII-7. Следы функций g0 и gi- ... Ay_2, i A/-1,» £2* —1i + i ^4/-3, I + • • r^/-2, i j41i = QiFXFi~vFi Zi FXi + l^ г) Установлено2, что формулы, приведенные в п. «б» и «в», почти не зави- сят от погрешности вычисления. Учитывая это и то, что фракционирующий абсорбер можно считать сложной колонной с двумя питаниями (F, Ло), показать, как применять уравнения из п. «а», «б» и «в» для получения мини- мальной погрешности вычисления (округления). VII-8. Известно5, что можно найти такие положительные значения 9, при которых в колонне с одним боковым потоком все g-функции стремятся к нулю. Доказать существование положительных значений 0 (см. рис. VII-8), при которых одновременно g0 = gx = О (D и Wl являются заданными поло- жительными числами, причем D П4 <Z F, т. е. F = D 4- ТГ, 4- В, где В > 0). У К АЗ АН II Я Шаг 1. Построить графики для g0 и gx в окрестности положительных значе- ний 0О и 0Х. Показать, что следы g0 и gx в плоскости 0Х0О имеют вид, показан- ный на рис. VII-7. Понятно, что существование точки пересечения связано с наличием следов в плоскости 0О0Х. Шаг 2. Для доказательства существования следа на поверхности g0 необходимо показать, что имеется 0О = с, при котором go (00. 0)-0 и наряду с этим существует 0Х = 6, при котором go(O. 0!)= О Вначале необходимо установить, что go (0, 0) = F — D = B-FWl > 0 Затем следует показать, что для любого положительного значения 0О <4 с требуется значение 0Х, при котором g0 = 0, меньшее Ь. Шаг 3. Для того чтобы доказать, что gx всегда имеет след, покажите, что при любом значении Оо > 0: g! (00. 0)=-И4 Затем показать: при любой постоянной величине конечного значения 0О *> 0 будет lim g3 (0О. Q^F-W^D + B et -> со 181
Шаг 4. Для того чтобы доказать, что для каждой пары функций суще- ствует точка пересечения, достаточно показать: а<^Ь Для доказательства последнего нужно вывести и применить приводимые ниже зависимости: Igo (0, 0)1 = 5 + ^ [gl(0, 0) | = 5gp(0. 61) = (Q, Qt) 501 50J ЛИТЕРАТУРА 1. Canik L. J., Hardy B. W., Holland G. D., В a uni H. L. Petrol. Ref., 40, № 12, 161 (1961). 2. T о m m e W. J,, Ph. D. Dissertation, A. and M. College of Texas, College Station, Texas, 1963. 3. Lyster W. N., Sullivan S. L. jr., Billingsley D. S., Holland C. D., Petrol. Ref., 38, № 10, 139 (1959). 4. Weisenfelder A, J., Holland C. S., Johnson R. H., Petrol. Ref., 40, № 10, 175 (1961). 5. Weisenfelder A. J., M. S. thesis, A. and M. College of Texas, College Station, Texas, 1961. 6. C a n i k L. J., M. S. thesis, A. and M. College of Texas, College Station, Texas, 1961. 7. Treybal R. E., Mass Transfer Operations, New York, McGraw-Hill « Book Company, Inc., 1955, p. 250.
ГЛАВА VIII АБСОРБЕРЫ И ОТПАРНЫЕ КОЛОННЫ Й' Абсорберы и отпарные колонны можно рассмат- ривать как секцию сложной колонны, заклю- ченную между двумя тарелками питания. Методики, предложенные для расчета абсорберов и отпарных колонн, почти во всем аналогичны методикам, рекомендуемым для сложных колонн. Погрешность вычисления (округления) сводится к минимуму при применении соответствующих отноше- ний [формула (VI,2а)}, потоки фаз при этом определяют по уравне- ниям теплового баланса (метод постоянного состава и (?-метод). Ниже описаны методики расчета абсорберов и отпарных колонн. Абсорберы На рис. VIII показана схема абсорбционной колонны1”4. Методика расчета абсорберов заключается в том, что задаются следующие условия: число тарелок, составы и количество свежего абсорбента и исходного сырья (сырьевого газа), давление в колонне, количество отходящего газа V\ (или количество насыщенного абсорбента Z ) и энтальпия свежего абсорбента или исходного сырья. Исходя из этих условий, следует определять распределе- ние продуктов и энтальпию исходного сырья (или свежего абсор- бента). При расчете абсорберов можно использовать 0-метод, метод постоянного состава и Q-метод5’6. Задание для абсорбера аналогично заданию D для ректификационной колонны, а опре- деление энтальпии Lq для абсорбера соответствует определению нагрузки на дефлегматор ректификационной колонны. Исследо- ваны другие заданные условия7, часть из которых приведена в данной главе. Материальные балансы. Из рис. VIII видно, что тарелки абсорбера нумеруются сверху вниз от 1 до А. Свежий абсорбент, поступающий на верхнюю тарелку, обозначается индексом «нуль», а исходное сырье (сырьевой газ), поступающее на А’-ную тарелку, — 183
индексом «TV + 1». Компоненты обозначают в порядке уменьшения летучести: наиболее летучий индексом 1, наименее летучий ин- дексом с, причем с обозначает также общее число компонентов. Материальные балансы можно составлять относительно верха или относительно низа колонны для произ- вольной тарелки. Для любого i-того компо- нента, находящегося как в паровой, так и жидкой фазе, материальный баланс, за- писанный для верхней части абсорбера, включая (у — 1)-ю тарелку, имеет следу- ющий вид: (VIII,1) или 'отпариабЯС<>₽коР- Прежде чем применять это уравнение, лонна. необходимо определить lNi'V и i\t. Затем находят величину 1 — по уравнению общего материального баланса. Многократно подставляя в выражение для v-+lt получаем: \ »li / (Yin, z) Здесь = ЛЛЧЛЛЧ) i . . . ДгМп- Общий материальный баланс для колонны имеет следу- ющий вид: 1 ж blL = _l_ (viii,з) Vii vli VH Решая уравнения (VII,2) и (VII,3) относительно по- лучаем искомый результат: Л 'О vN+\,i /VTTT /\ = 7ГТ i- (V111,4) Vli----------------------------bVoi + yJV+itf Соответствующее значение v1{ определяют преобразованием уравнения (VIII,3) в следующее выражение: _ ^0» Н- yN+l, г Vli~ mW"!*) (VIII,5) 184
Если материальный баланс составляется для нижней части колонны, то получают следующие уравнения: (viii,6) lNi \lNi' ' lM ’ S2i- • ‘S'jV-i, i Ф» — 1 +*$11 + + H • • + + ^1,^2; ... i Из уравнении (VIII,1)—(VIII,7) следует, что поток Ед по- ступает в колонну в виде насыщенного пара (при давлении в колонне) или перегретого Л() в виде кипящей жидкости пли переохлажденной. Если один из этих потоков представляет со- бой двухфазную смесь, то ее можно рассчитывать, как эго опи- сано для случая паро-жидкостного питания (см. главы III и VII). Эквивалентность полученных выше выражений для ly.lv . можно доказать так же, как это сделано в главе III для отношения b.ld.. Уравнения (VIII,!) и (VIII,6) также эквивалентны. Отме- тим, что уравнения (VIII,!) и (VIII,6) не идентичны в отношении погрешности вычисления (округления); уравнения (VIII,4) и (VIII,7) почти не зависят от этого вида погрешности. Погрешность вычисления (округления). Погрешность вычис- ления (округления) при различных процедурах расчета абсорбе- ров для нескольких простых примеров приведена в табл. 47. При рассмотрении данных табл. 47 ясно, что величины (Z Vr/^'lf)4op получены по уравнению (VIII,4) или (VIII,7) с точностью до, семи или восьми знаков (при расчете с точностью до восьми знаков). Значения (Iнайдены пошаговым (расчет от та- релки к тарелке) применением уравнений (VIII,1) и (VIII,б). Результаты, приведенные в табл. 47, подтверждают возможность использования уравнений (VIII,!) и (VIII,6) для определения количества компонентов, а иаилучшее значение выбирают про- (? Лт/г ) верной соответствующих отношений ——- . ( Л7 ^1)фор. Метод сходимости. Для систем, содержащих любое число одно- фазных легких и однофазных тяжелых компонентов, обознача- емых соответственно индексами L и //, применение 9-метода 185
ТАБЛИЦА 4 7 Погрешность вычисления (округления) при различных процедурах расчета абсорберов X» примера г в и vY+1 Фактор извлече- ния A Оу/^Опот.** Олг/Г1)фор.* W^nor.*** <гх/р1>фор. 1 Z0=0 0,1 1,0000 0,9000 2 го=о 10,0 1,0000 0,9000 3 0,1 1,0000 2,9000 4 VN+1~ l0 0,1 1,0000 1,9000 5 VN+1 = 21o 0,1 1,0000 1,4000 6 0,1 1,1111 1,0000 7 ^+1 = ° 10,0 1.1111 1,0000 8 10,0 0,7143 1,0000 9 VN+1 = l0 10,0 0,5263 1,0000 10 PV+1“2/O 10,0 0,0448 1,0000 11 '’iV+l 'O 9,9999999 —109,999 1,0000 12 ^V+l = /0 1,0 1,0000 1,0000 Примечания: 1. Во всех рассмотренных случаях 10, А остается постоян- ным по всей колонне. 2. Компонент поступает в колонну только как * Определено по уравнению (VIII,4) или (VIII,7). ** Определено по уравнению (VIII,!). **•* Определено по уравнению (VIII,6). сходимости возможно при расчетах по уравнениям (VIII,8а) — (VIII,8г). Вывод этих уравнений3 аналогичен выводу, приведен- ному в главе VI. Составы рассчитывают следующим образом: F ,• — V v L \ L I (Vli)eo i-1 Н, L VjL тг eg (Z Л>) со ca (lNi)co L (VIII,8a) (VI 11,86) (V11I.8B) (VHI.8r) Несмотря на то что количество однофазных компонентов по- стоянно по высоте колонны (для колонн, в которые потоки вв<г 186
дятся и из которых они выводятся на концах), в целях обобще- ния в уравнениях (VIII,8а)—(VIII,8г) сохраняется индекс /. Ве- личины потоков V. и L. (за исключением 1\, -£0 и Zv), необходимые для расчета мольных долей, следует определять по следующим формулам: (VIII,9) (УШ.Ю) Отметим, что значения V j и Lj, используемые для расчетов Лу и Sj, получают из уравнений тепловых балансов. Для любого летучего компонента vli 1 co \ vli / ca (VIII.ll) причем требуется, чтобы корректированные значения удовлетво- ряли заданному и общему материальному балансу: (У1;)со + (^2уг)со— ^Qi < VN+I,i i=£H,L (VIII, 12) Из уравнений (VIII,11) и (VIII,12) Для , , , _ ZOi + ^+l, i (1Jeo получаем выражение (VIII ,13) Величина 0 представляет положительный корень функции g (0)г причем g(0)= |2 Шсо-( V1-(VIII,14) i+ Н, L \ L / Здесь использовано положение о соответствии заданного» потока Уг в абсорбере количеству дистиллята D в ректификацион- ной колонне. Вывод уравнений для метода сходимости. Вывод этих уравне- ний аналогичен приведенному ранее для простых колонн. В дан- ном случае предполагаем, что величины Vи Lj постоянны для каждой тарелки вследствие применения соответствующих проме- жуточных холодильников (или нагревателей), и находим корректи- рованные значения количеств компонента, которые удовлетворяют заданным значениям и L^. Кроме этого, покомпонентный материальный баланс содержит корректированные значения 187
составов продуктов разделения; Допустим, что и т. определя- ются следующим образом: J J \ vLi ha i H > L hhi-'-h (W„ (VIII,16) JV« ra L При / = 0 и / = N -J- 1 возможны более общие уравнения для о и т: (•’««. <)„=°W«. Ь (VIII,17) (Io()„=rw |’-72£-'| (;N<)„ ‘^Н- L (VIII.18) \ Ni ; са Сумма корректированных покомпонентных значений v и Ьн должна соотноситься с заданными Vи L^: VJ~l^iVjL и Lj~ L J fl Эти условия удовлетворяются, если значения Оу и ту выбирают таким образом, что ^= 2 2<VIIU9) yli / са Л L £/= 2 ('«>„+У Сн (VIII,20) ♦V=H, ь Nl са н Остальная часть вывода формул для метода сходимости анало- гична описанному в главах IV и VII. Методика расчета абсорбера. Предполагаемая методика осно- вана на решении большого числа разнообразных примеров2’3. Изменение К в зависимости от температуры для тяжелого абсор- бента почти неограниченно, поэтому использование температур точек росы ведет к медленной сходимости в большинстве задач 2. Изменение К при изменении температуры для многих относительно легких компонентов почти равно нулю, поэтому использование температур кипения и 0-метода ведет к указанной выше «раскачке». Бороться с «раскачкой» легче, чем увеличивать скорость сходи- 188
мости расчета, поэтому рекомендуется применять последнюю процедуру, но таким образом, как это описывается ниже. Для систем с питанием, содержащим до 50—60% очень легкого компонента, комбинирование 0-метода с определением температур кипения (усреднением) дает удовлетворительные результаты. Диапазон применения 0-метода с определением температур кипе- ния можно расширить при наложении более строгих ограничений на изменение температуры при последовательных приближениях. Например, вместо усреднения температуры 1/2(7’N_1 + TN) можно брать только г/4 поправки, рассчитанной для данного профиля. Легкие компоненты обычно содержатся в значительном коли- честве в абсорбере, а не в отпарной колонне. Следовательно, можно ожидать, что комбинирование способа простых итераций (0 — 1) с определением температур кипения даст сходимость при расчете абсорберов, в которых содержится большой процент легких компонентов. Получены6 удовлетворительные результаты при использо- вании для таких систем описанной выше комбинации. Однако для систем, содержащих сравнительно небольшие количества легких компонентов, такое сочетание приводит к замедлению сходимости, а комбинирование 0-метода с определением темпера- тур кипения дает быструю сходимость. Таким образом, простые итерации следует применять только после того, как будет уста- новлено, что 0-метод (будут взяты средние значения по темпера- туре или г/4) ведет к «раскачке». Отметим, что расчет процесса при наличии легкого компонента в одной фазе характеризуется ухудшением сходимости по сравнению с расчетом системы, в кото- рой легкий компонент рассматривается как распределяющийся между двумя фазами. Для расчета общих потоков в абсорбере рекомендуется комби- нировать метод постоянного состава с Q-методом, так как при применении обычного метода составления тепловых балансов возникают значительные трудности. При сочетании обычного метода составления тепловых балансов и Q-метода решение задачи редко проходит в адиабатических режимах. Условия для примеров VIII-1 и VIII-2 ТАБЛИЦА 4а Компонент ®Х+1 10 Компонент ®,х+1 1 9 СН4 70 0,0 н-С4 4 0,0 с2н6 15 00 «-С5 1 0.0 • С3н8 10 0 0 «-С8 0,0 20 189
Решение примера VIII-1 сочетанием обычного метода составления тепловых Температура, °C Потоки пара № приближения № тарелки начальный начальный профиль 7 28 профиль 28 1 115,56 63,78 68,36 85,0 85 2 110,00 7,08 17,33 86,8 88 3 104,44 4,44 48,24 88,7 93 4 98,89 57,08 88,09 90,6 93 5 93,33 20,77 34,20 92,5 88 6 87,78 56,27 88,80 94,3 93 7 82,22 24,75 21,11 96,2 88 8 76,67 23,49 20,21 98,1 93 г I» ВЫ 1. — 84,49 85,004 Комбинирование метода постоянного состава с (7-методом дает при решении аналогичной задачи адиабатические режимы или режимы, связанные с минимумом промежуточных холодиль- ников. Применение этих методов иллюстрируется примерами VIII-1 и VII1-2, условия для которых приведены ниже (см. также табл. 48). Примеры VIII-1 и VII1-2. Давление в колонне 21 am, Vi = 85, N = 8, свежий абсорбент подается при температуре 299 С. Потоки пара ограничены следующим образом: в примере VIII-1 88 V93 (1 < у < N 4- 1) в примере VII1-2 50 = Vmin V j Vmax ~ 150.2 j -tC N. Условия примера VIП-2 допускают широкий интервал изме- нения потоков в целях увеличения возможности получения адиабатического решения при комбинировании метода постоян- ного состава с (7-методом. Однако, если применяли комбинирова- ние обычного метода составления тепловых балансов с (7-методом, возникала необходимость сокращения диапазона допустимых потоков пара (см. табл. 48) для того, чтобы получить температуры в заданных пределах (табл. 49, 50). Данные примеры показывают, что изменение потоков пара между последовательными приближениями ограничивалось сле- дующим образом. Первые два приближения были сделаны на основе одних и тех же величин LIV. При последующих шести приближениях потоки пара ограничены до величины, которая составляла 1,1 и 1/1,1 от значения, принятого для проведения 190
ТАБЛИЦА 4 9 балансов с (7-методом Составы продуктов разделения (приближение двадцать восьмое) компонент lN — 1,4’105 1,9 • 105 3,0 • 10^ —2,5 • 105 2,8 • 105 —3,0 • 105 1,8-105 0,0 сн4 с2нв с3н8 к-С4 м-С5 н-С8 67,929 12,132 42,429 • 10-1 13,815-10-2 19,887 IO’6 56 226 • 10-2 2,071 2,868 5,757 3,862 99,998 • IO’2 19,438 данного приближения. В следующих шести приближениях огра- ничения составляли 1,025 и 1/1,025, а в дальнейших — 1,01 и 1/1,01. ТАБЛИЦА 40 Решение примера VII1-2 сочетанием метода постоянного состава с (^-методом Температура, °C Потоки пара Составы продуктов разде- ления (приближение двадцать пятое) № тарелки № приближения началь- ный профиль 7 25 * началь- ный профиль 25 ком- по- нент 1'1 lN 1 2 3 4 5 6 7 8 115,56 110 104,44 98,89 93,33 87,78 82,22 76,67 40,77 39,26 38,54 37,66 37.90 38,54 36,17 23,49 42,00 44,12 44,62 44 46 43,55 41,00 35,80 23,50 85,0 86,8 88,7 90,6 92,5 94,3 96,2 98,1 85,0 89,8 90,5 90,7 90,9 91,2 91,8 93,1 сн4 С2нй с3н8 н-С4 н-Сб н-С8 67,950 12 282 45,084 • 10'1 83,566 • IO'» 66 002 • 10"7 17,451-10-2 2,049 2,717 5,491 3,916 1,000 19,825 Ут ' 1, выт. — 84,42 84,9996 * Профили между последовательными приближениями согласуются в пределах четырех знаков.
Отпарные колонны Выведенные выше уравнения для расчета абсорберов применимы и к отпарным колоннам при изменении соответствующих индексов. Отгонная (отпаривающая) среда (обычно водяной пар) поступает в количестве V моль на тарелку N (см. рис. VIII) и выходит сверху колонны в количестве V\. Насыщенный абсорбент посту- пает вверх колонны на тарелку 1 в количестве £0 и покидает тарелку V в количестве LN моль. Материальные балансы составляют для нижней части отпарной колонны [уравнение (VIII,6)]. Если насыщенный абсорбент содержит двухфазные компоненты, погрешность вычисления (округ- ления) сводится к минимуму при проверке соответствующих отношений [уравнение (VI,2а)], как это описано для абсорберов. Кроме этого, при заданном значении Уг уравнения для метода сходимости будут аналогичны описанным ранее. Однако отмечены некоторые существенные различия между абсорберами и отпарными колоннами. В отличие от абсорберов большая часть рассмотренных отпарных колонн не должна иметь при расчете адиабатических режимов, если требуется, чтобы потоки пара находились в определенных пределах. Во всех рас- смотренных примерах предполагалось, что весь входящий водя- ной пар остается в паровой фазе по всей колонне. При расчете появляется необходимость в применении гипотетического проме- жуточного холодильника на верхней тарелке для поддержания величины У2 в заданных пределах. Чтобы избежать применения промежуточного холодильника, следует вместо температуры реге- нерированного абсорбента задавать температуру пара. Если задается эта температура (TN+1), то необходимость в промежуточ- ном холодильнике в кубе колонны отпадав!, так как энтальпия водяного пара обычно меньше в заданном интервале температур, чем соответствующая энтальпия насыщенного абсорбента La. В случае когда принимаются значения Т и Vlt тепловые балансы составляют для нижней части колонны (по произвольной тарелке). При распространении методик расчетов для абсорберов на отпарные колонны необходимы некоторые модификации их вслед- ствие наличия в отпарных колоннах большого количества водя- ного пара. Изменение температур и потоков паров при последо- вательных приближениях связано с присутствием водяного пара. Для нижней тарелки величина (1 —yN являющаяся функцией температуры кипения, будет не только малой, но даже неопреде- лимой до тех пор, пока не будет достигнута сходимость. В приво- димом ниже доказательстве водяной пар рассматривается как компонент номер 1 и считается однофазным. Величина yN — = JVN имеет приближенное значение, поскольку точное 192
значение ГД неизвестно до тех пор, пока не будет получена сходи- мость. Колебания температур и потоков пара при последовательных приближениях были сведены до желаемых пределов путем на- хождения ряда значений Г и Уу, которые отвечают условиям фазового равновесия, а также материальным и тепловым балансам для нижних тарелок. При этих расчетах температура при- нимается постоянной и равной температуре, полученной по методу сходимости. Кроме того, предполагается, что температура TN+l и количество водяного пара заданы, а значение Лу опре- деляют из заданных условий. Корректированные количества компонента в продуктах разделения также поддерживают постоян- ными и равными величинам, полученным в последнем прибли- жении. Для определения Ту и ГД необходимо знать два независимых уравнения. Первым является функция температуры кипения [уравнение (11,22)], которую можно представить как функцию TN и У' и записать в следующем виде: I (1- (VIII,21) Здесь для упрощения предполагают, что система не содержит однофазных тяжелых компонентов. Составы xNi определяют при помощи метода сходимости как — (Z LN. Второе уравне- ние получают из условия теплового баланса для нижней тарелки: V NHN + LNhN^ LN~lkN~l + yN+l (VIII ,22) Поскольку c —J <~lNi)^VN+\VN, 1~ i=l »V1 (xN-i)n~ (Xn) N + FA’+1 1 то уравнение (VIII;22) можно преобразовать следующим образом: —лд] + ГЛг+1[Ялг+1 — ЯА1] /VTTr9q. N'1“ ----------------------------------- (VI,I23) На основании материального баланса VN = bJV_1+I\41-IN (V1II.24) 193 13 Ч. Д. Холланд.
Неизвестное LN l можно исключить из уравнения (VIII,23) и после преобразования получить: и \ LX lH(XN)N~hN] ^VN+ll^N+l, l~HN, 11 + VN+1~~LN~VN p( Л'~ 1я(хл-1)лг—h«-l] (VIII ,25) Правая часть уравнения (VIII,25) является функцией только TN и VN, если . исключить путем применения покомпонент- ного материального баланса для нижней тарелки: I I / — d Ni +1 ' lNi >сл Скомбинировав это выражение с уравнением для мольной доли: са (lNi)eo (ZAT-1. i/LN)ea(lNi)C0 получим следующее выражение для { как функции TN и х ,VTn_ t = ~ ------------- (VI 11,2b) 21(х«Л1у/Ь)+1] Следовательно, задача сводится к нахождению ряда поло- жительных величин и И , при которых одновременно / (7^, Vjy) = p(TN, = 0. Эти значения можно определить не- сколькими способами, например способом Ньютона—Рафсона или способом интерполирования. Для решения уравнений (VIII,21) и (VII 1,25) был применен способ интерполирования. При этом сначала выбирают произвольное значение V , которое обозна- чают как У , затем находят соответствующее ему значение Ту, при / = 0. Исходя из этих величин У и Т , находят зна- чение для функции Р, которое обозначают через pv Процедуру повторяют для другого значения VN, обозначаемого как У 2, в результате чего получают величину р2. Следующее, корректи- рованное, значение VN вычисляют по формуле интерполирования: __ х N, 2 *’3~ p2_pi (VIII,27) Исходя из этого значения V , по изложенной выше проце- дуре определяют величину р3. Затем значение 4 находят ин- терполированием по Г 2, pz и 1^ , р3. Расчет продолжается 194
до тех пор, пока не будут определены величины Удт и TN с нуж- ной точностью. Определение TN и V является составной частью методики расчета. После выполнения заданного приближения на основе принятых величин L[V и Т и получения корректированных зна- чений количеств компонента в продуктах разделения (при по- мощи (^метода) определяются новые температуры по колонне. Затем по описанному способу интерполирования находят улуч- шенные значения Т N и для нижней тарелки. Величины F , получаемые по уравнению (VIII,27), принимались для сле- дующего приближения, если удовлетворяли неравенству VK+1 < Vv < (VI11,28) При этом в качестве величины V берут значение, исполь- зованное в предыдущем приближении по колонне. Если V , оп- ределяемое по уравнению (VIII,27), не удовлетворяет этому не- равенству, то тогда принимают граничное значение Vv+1 или л-i’ а соответствующие температуры рассчитывают по уравне- нию (VIII,21). Далее вычисляют нагрузку на промежуточный холодильник (или нагреватель) при помощи теплового баланса. Определив условия для тарелок низа колонны, составляют теп- ловые балансы для остальных ее тарелок. Чтобы исключить ре- жимы, требующие подачу внешней флегмы, проводят проверку на следующие ограничения: (^)т1.= Гя+1 + (Л’+1-7) [—Д.ЛЧ1 (VII1.29) /<5А (VIII,30) Применяют обычные форсирующие процедуры. Корректиро- ванные значения температур на всех тарелках, кроме Т^, опреде- ляют как средние значения (полусуммы) между рассчитанной температурой и температурой, взятой для предыдущего прибли- жения. При применении (7-метода установлены следующие ограниче- ния на изменение потоков пара в последовательных приближе- ниях. Первые четыре приближения проведены при постоянных значениях L/V на всех тарелках. В следующих двух приближе- ниях потоки ограничивались до величины 1,1 и 1/1,1 от значений, принятых для осуществления данного приближения. Для следу- ющих шести приближений эти коэффициенты были 1,05 и 1/1,05, а для всех последующих — 1,005 и 1/1,005. Определение TN и V по способу интерполирования начинают после четвертого прибли- жения. 13* 195
ТАБЛИЦА 51 Условия примеров VIII-3 и VIII-4 Компонент 1 в Компонент io Ci 0,01 н-СБ 1,75 С2 0,17 н-С6 2,35 С3 1,30 W-C7 2,55 н-С4 2,83 1кии = 260°С 82,24 Lq 93,20 Решение примера VIП-З - Температура, °C Поток и пара № тарелки JM5 приближения начальный 11 начальный 17 профиль 17 профиль 1 171.11 179,87 179,49 23,67 • 23,67 2 173,89 203,07 204,23 22,40 22,40 3 176,67 211,95 214,02 21,12 21,12 4 179 44 215,88 217,24 19,85 19,85 5 182,22 21823 216,52 18,57 18,57 6 185 224 72 216,67 17,30 17,30 7 187,78 224,37 219,17 16,02 16.89 8 190,56 218.89 214,71 14,75 16,33 г 1, выч. 0 —. 23,6516 23,6682 0,9901 0,9990 Условия примера VIII-3 приведены ниже (см. также табл. 51). Пример VIII-3. Давление в колонне (избыточное) 3,5 ат, количество водяного пара 13 47, температура 260 °C, Vi —23,67, .№=8. Тепловые ба- лансы необходимо составлять при помощи метода постоянного состава я ()-метода. Величины и следует определять в каждом приближении по уравнениям (VIII,21) и (VIII,25). Максимальные п минимальные потоки пара следующие: 23,67 > 7, Э, 7Л.+1-( (.V + 1-/) ( 1 ;V j- Решение этого примера дано в табл. 52. Определение Т и VN после 11-го приближения для данного примера показано в табл. 53. 196
Определение значений Т и по уравнениям (VIII,21) п (VIII,25) в конце каждого приближения уменьшает «раскачку», но не ликвидирует ее полностью. При проведении дополнитель- ных приближений, кроме включенных в табл. 52, значение V изменялось с 16,3 до 16,2 (примерно после ^каждых десяти при- ближений). В соответствии с этим температура TN изменялась примерно на 1° С. Это можно объяснить тем, что на протяже- нии дальнейших приближений значение 0 изменяется с 0,999 до 1,0008, а точность расчета ограничена восемью значащими циф- рами. ТАБЛИЦА Составы продуктов разделения (приближение семнадцатое) 17 компонент 0,0 —4,8- 105 —2,0 • 106 —8,0 • 104 -1,0-104 —3,2 • 103 0,0 0,0 Пар СН4 С2Н6 сэн8 н-С4 н-Са н-С6 н.-С7 13,4700 0,0100 0,1700 1,3000 2,8285 1,7112 1.9497 1,3682 0,0 4,087 • 10-13 1 1581 КП» 1,3303 • 10-6 1,496 • Ю-з 3,8804 • IO’2 4,0028 • 10-1 1 1818 *КЙН=260°С 81,379 ТАБЛИЦА 5 Решения уравнений (VIII, 21) и (VIII,25) относительно и Vv после 11-го приближения примера V1II-3 № приближения Vjy (принято) TN 1по уравне- нию (VIII,21)] P(VN, tn> '^N [пУтем интерполирова- ния по уравне- нию (VIII,27)] 1 16,4592 422,600 —2,4050 2 18,8642 470,863 25,8000 16,6643 3 16,6643 427,734 1,1914 16,5578 4 16,5578 415,103 —6,2875 • ЮТ 16,5946 5 16,5946 416,020 1,1145-10-2 16,59393 6 16,59393 416,004 2,8729 10"4 16,59392 7 16,59392 416,003 1,1730 • IO’4 16,5940 197
Различные заданные условия для расчета абсорберов и отпарных колонн Кроме условий, указываемых ниже, во всех случаях задается число тарелок, состав и величина потоков Lo и КЛ„ , а также ограничения на величину потоков для остальных тарелок. Вместо величины потока можно задавать сумму f, как видно из приводимой ниже системы условий (1)—(2): « / s \ (9 З’лч-1 или То (2) 2 (или 2 lNi ) i—2 \ »=2 / Данные условия можно принять как для абсорберов, так и для отпарных колонн. Рассмотрим расчет отпарной колонны с водя- ным паролг, а затем расчет абсорбера. Эта система заданных усло- вий включает и другие условия, например фракционный состав компонентов, удаляемых при отпарке из насыщенного абсорбера, поток £0, поскольку он может быть выражен через члены суммы Величины г?! следует принимать для всех компонентов, кроме однофазных, которые являются постоянными и равными: У1, L^Vv+1 И Г1, Н~° Все уравнения, выведенные для 0-метода, остаются в силе, за исключением выражения (VIII, 14). Значение 0, используемое в уравнениях (VIII,11) и (VIII,13), представляет собой положительный корень, дающий g (0) = О, где /ах V УЛт+1. , + Z°!’ iV e(f)=2i 1 +б(1к,1ои)„ 2i1( (vrn.31) Отметим, что вторая сумма в правой части уравнения (VIII,31) является одним из заданных условий. Если все компоненты, кроме первого, выбираются произвольно, такое условие стано- вится общим и включает любой компонент или группу компо- нентов. Корректированные количества их в продуктах разделения вычисляют по уравнениям (VIII,11) и (VIII,13). В качестве корректированного значения потока пара V г при любом прибли- жении берется поток, определяемый по следующему уравнению: 2УЛг+1 I J ^0' Х л1 + 0(^Дь’11.)гя+Ух+1 (МП.32) Общие потоки пара и жидкости в колонне определяются при помощи метода постоянного состава и (7-метода составления тепловых балансов. Верхний предел потока пара [см. уравнение 198
Решение примера VIII-4 ТАБЛИЦА 54 м тарелки № приближения 5 10 15 20 24 Темпера тура, °C 1 358,02 354,75 354,40 354,36 354,28 2 395,74 397,20 298,99 399,65 399,92 3 406,76 417,35 417,42 418,26 418.68 4 407,06 429,98 424,73 424,35 423,92 5 402,24 438,43 427,07 423,01 423,54 6 394,44 442,72 425,45 423,83 422,31 7 384,69 443,56 429,23 427,63 425,18 8 380,51 423,29 425,17 420,92 419,35 7 21,4908 21,3998 21,4431 21,4451 21.4461 i — 1 Е1, выч. 24,0088 23,2318 23,6930 23,6589 23,6690 0 1,1372 0,8865 0,9929 0,9983 10011 (VIII,30)1 берется равным корректированному значению Vr [см. уравнение (VIII,32)]. Значения для TN и Fv определяют по уравнениям (VIII,21) и (VIII,25), как это описано выше. Ниже приведены заданные условия примера VIП-4 (см. табл. 51): 7 Пример VIII-4. t'l, = 21,44570. Прочие условия аналогичны при- меру VIII-3. Заданная сумма vu взята из примера VIII-3, поэтому результат решения будет идентичным (в пределах точности), как это видно из табл. 52 и 54. Если для расчета абсорбера То (или TN ) и сумма значений 14. (или Zv.) заданы, то можно применять 0-метод или способ простых итераций (0 = 1), как это было описано раньше. При при- менении 0-метода для определения величины 0 используется уравнение (VIII,31). Если применяются простые итерации, то составы вычисляют, исходя из рассчитанных значений уъ. и lNi, т. е. (vlt.)co и (Д(.) в уравнениях (VII 1,8)—(VIII, 10) заменяют соответственно на (yi»)co и (J\xi)co' Для того чт°бы составить тепловые балансы, берут значение V, [обозначается как (ЕД0), которое следующим образом связано с заданной суммой г?ъ.: (И!)ей= V 2 (VIII,33) 1=1 <=s+l 199
Первая сумма в правой части уравнения (VII 1,33) является заданным условием. Это значение V\ и соответствующие значения Vj и Lj применяются при расчете факторов извлечения и отпарки в следующем приближении. При других заданных условиях для абсорберов и отпарных колонн, таких, как TN+1 и Го, очевидно, одной из наиболее лег- ких методик расчета будет следующая. Для каждого потока соответствующим расчетом опреде- ляют значение TQ (или Гу+1)- Величину F1? которая удовлетво- ряла бы заданным значениям Т’о и Tv , можно получить после- довательной интерполяцией. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ (см. главы II—VII) ЗАДАЧИ VIII-1. Вывести уравнениями (VIII,!), (VIII,4), (VIII,6) и (VIII,7).’ VIII-2. Показать, что уравнения (VIII,4) и (VIII,7) теоретически экви- валентны. VI11-3. Так как I и Vv-i { известны, то рассчитанные и корректиро- ванные количества компонентов в питании будут равны. Исходя из этого, а также из уравнений (VI 11,17), (VIII, 18) и постулата относительно отно* шения <?дг+1 показать, что VIII-4. Исходя из уравнений (VIII,15) и (VIII,16), (VIII,19) и (VIII,20) и определения мольной доли, показать, что выражения для расчета составов аналогичны уравнениям (VIII,8а) — (VIII,8г). VIII-5. а) Дана температура Lo (кроме прочих условий, упомянутых в тексте). Вывести следующие выражения, которые представляют собой соче- тание метода постоянного состава и (7-метода: т ___[Яд — н (У1)г] + Lq [Н (х0)2—fe0] 1- У-1 _ I7! 1^1— Н (У1)у+11 + ^0 [Н (^о)у+1 — iol + 2 Qk т _____________________________________________*•=! 7“ [Н (л:1)у+1 — hj] А’-1 ViHi+ LNhN + S Qk — io^o Вывести соответствующие уравнения для сочетания метода постоянного состава и (J-метода, если задана температура потока VxY+1 вместо температуры потока Lo. 200
V1II-6. Приведенную ниже задачу расчета абсорбера можно быстро решить без применения машины (Ег = 85, р — 28 am, TQ — 32,29 С, N == 3): +1 G Однофазный легкий компонент .... 70 0,0 С3Н8 ................................ 30 0 0 Однофазный тяжелый компонент ... 0,0 15 а) Показать, что (у1!2)с0 = 15 для всех приближений. б) Показать, что e = (^)2/ZjV( 2)Cfl. в) Для какой части абсорбера (верхней или нижней) следует составлять материальные балансы для пропана с тем, чтобы свести к минимуму погреш- ность вычисления (округления)? г) Показать, что значения К, соответствующие температурам кипения, можно определить прямым путем, без итераций. д) Провести два или три приближения, комбинируя обычный метод со- ставления тепловых балансов с (7-методом или метод постоянного состава с (7-методом. Пользуйтесь данными по энтальпии для метана и «-октана, при- нятых соответственно в качестве однофазных легкого и тяжелого компонентов. ЛИТЕРАТУРА 1. Franklin W. В., George Horton, Ind. Eng. Chem., 32, 1384 (1940). 2. Souders M., Brown С. C., Ind. Eng. Chem., 24, 519 (1932). 3. Kremser A., Nat. Petrol. News, 22, № 21, 42 (1930). 4. McNeese C. R., Small Digital Computer Can Solve Rigorous Absor- ber Calculation, paper presented at the 44th National Meeting of the Am. Ind. Chem. End in New Orleans, 27 (1961). 5. H a r d у В. W., M. S. thesis A. and M. College of Texas, College Sta- tion, Texas, May 1961. 6. H a r d у В. W., Sullivan S. L. jr., Holland C. D., В a uni H. L., Petrol. Ref., 40, № 9, 237 (1961). 7. W e t h e г о 1 d R. G., M. S. thesis, A. and M. College of Texas, Col- lege Station, Texas, 1962.
ГЛАВА IX АЗЕОТРОПНАЯ И ЭКСТРАКТИВНАЯ РЕКТИФИКАЦИЯ * Инженеру-проектировщику часто приходится сталкиваться с разделением компонентов, темпе- ратуры кипения которых настолько близки, что их разделение обычной ректификацией становится практически невыгодным или даже невозможным. Эти компоненты обычно ( относятся к различным классам или гомологическим рядам и отли- чаются молекулярным строением. Вследствие этого каждый из близкокипящих компонентов по-разному реагирует на изменение жидкофазной среды, которое происходит при добавлении нового компонента, называемого разделяющим агентом (интрайнаром) или растворителем. При этом летучесть одного из близкокипящих компонентов меняется в большей мере, чем другого. Разделяющий агент должен удерживать в растворе молекулы одного типа или. наоборот, облегчать работу выхода из раствора молекул другого типа. Процессы ректификации, в которых разделение близкокипя- щих ключевых компонентов происходит при условии добавления нового компонента, называются азеотропными или экстрактив- ными. Азеотропная ректификация относится к тем процессам, в кото- рых добавленный компонент образует азеотроц, причем один из ключевых компонентов и этот азеотроп в процессе разгонки становятся либо дистиллятом, либо кубовым продуктом (в зави- симости от температуры кипения азеотропа). Часто образовав- шийся азеотроп не является бинарным, поскольку он содержит некоторое количество обоих компонентов (точка, соответствующая этому азеотропу, находится внутри треугольной диаграммы). Такой азеотроп называется тройным. Если соотношение двух начальных компонентов в тройном азеотропе отличается от соот- * Глава взята из книги В. D. Smith «Design of Equilibrium Stage Proces- ses», McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1963. — Прим, ped.' 2( 12
ношения этих компонентов в исходном продукте, то отвод троп- ного азеотропа в качестве верхнего (или нижнего) продукта приводит к их разделению. Экстрактивная ректификация подобна азеотропному процессу, в котором растворитель с поглощенными компонентами выво- дится из куба колонны, причем между растворителем и одним из ключевых компонентов не образуется никакого азе- отропа. Качественные предсказания для коэффициентов активности различных компонентов при бесконечном разбавлении (раство- рителем) возможны по методу Пьеротти и др.1. Если необходимо иметь уточненные данные по рассматрива- емой системе, следует провести эксперимент по измерению коэффи- циентов активности ключевых компонентов при заданной кон- центрации растворителя. При наличии этих данных о всех трех бинарных системах* образованных двумя ключевыми компонен- тами и растворителем, можно количественно предсказать равно- весие для трехкомпонентных систем. Предсказание отклонений от идеальности Все жидкости разделены на пять классов2 в соответствии со спо- собностью их молекул образовывать межмолекулярные связи (взаимодействовать) с подобными или различными молекулами (атомами), способность эта зависит от степени поляризации молекулы. Класс I. Жидкости, способные образовывать пространственные структуры с сильными водородными связями, такие, как вода, гликоль, глицерин, аминоспирты, гидроксиламин, оксикислоты, многоатомные фенолы, амиды и т. д. Класс II. Жидкости, состоящие из молекул, содержащих ак- тивные атомы водорода и атомы-доноры электронов (кислород, азот и фтор), т. е. спирты, кислоты, фенолы, первичные и вторич- ные амины, оксимы, нитросоединения с водородными атомами, нитрилы с атомами водорода в a-положении, аммиак, гидразин, фтористый водород, цианистый водород и т. д.*. Класс III. Жидкости, состоящие из молекул, содержащих атомы-доноры электронов без активных атомов водорода, т. е. эфиры, кетоны, альдегиды, сложные эфиры, третичные амины (включая пиридины), нитросоединения, нитрилы, в которых нет атомов водорода в а-положении и т. д. * Такие соединения, как нитрометан и ацетонитрил, также образуют пространственные структуры с водородными связями. Однако эти связи слабее, чем связи в группах ОН и NH, поэтому соединения таких типов относятся к классу И. 203
Класс IV. Жидкости, состоящие из молекул, содержащих активные атомы водорода без доноров, т. е. СНС13, СН2С12, СН,СНС1>, СН2С1-СНаС1, СН2С1-СНС1-СН,С1, СН2С1-СНС12 и т. д. Класс V. Жидкости, молекулы которых не способны к обра- зованию водородных связей, например углеводороды, сероугле- род, сульфиды, меркаптаны, галоидоуглеводороды, не вошедшие в класс IV, а также неметаллические элементы (иод, фосфор, сера и т. д.). Используя эту классификацию, можно предсказывать откло- нения от закона Рауля, возникающие при смешении двух каких- либо жидкостей. Если после смешения двух жидкостей число водородных связей уменьшилось, отклонение от закона Рауля будет положительным, т. е. молекулы получат возможность более легко покидать жидкую фазу. Такое явление наблюдается при смешении жидкостей классов I и V. Добавление жидкости класса III (атомы-доноры без активного водорода) к жидкости класса IV (активный водород без атомов- доноров) неизменно дает отрицательные отклонения вследствие4 образования, а не разрушения водородных связей. Результаты смешения жидкостей различных классов сведены в табл. 55. Отклонения от закона Рауля ТАБЛИЦА 55 Классы Отклонения Примечание I+V 1 Всегда положительные откло- Разрываются только водород- 11 +V J нения; система I + V харак- теризуется ограниченной растворимостью ные связи IIIIV Всегда отрицательные откло- нения Образуются только водород- ные связи I + IV I Всегда положительные откло- Разрываются и образуются Il -HV / нения; система I-J-IV ха- рактеризуется ограниченной растворимостью водородные связи, может оказывать влияние диссо- циация жидкостей классов I и II 14-1 Обычно положительные откло- Разрываются и образуются во- 14-п нения; в некоторых случаях дородные связи i + ш п + п ll + ш отрицательные отклонения Ш-НП Квазиидельные системы, всегда Водородные связи не обра- 1 пн-V iv + iv rv + v v 1 v I положительные отклонения или идеальные смеси зуются 204
Представления о водородной связи недостаточно для объясне- ния поведения многих смесей. Например, ароматические соеди- нения и парафиновые углеводоро- ды, относящиеся к классу V, дают положительные отклонения при смешении, хотя водородных свя- зей у этих веществ не образуется. Несомненно, что существует ка- кой-то другой тип межмолеку- лярной связи между ароматиче- скими молекулами, которая раз- рушается при добавлении парафи- новых углеводородов. Незначи- тельное изменение в межмолеку- лярном притяжении возникает также в случае смешения олефинов и парафиновых углеводоро- дов, которое и вызывает слабые отклонения от закона Рауля. Коэффициенты активности при бесконечном разбавлении. Разработан метод1, позволяющий рассчитывать количественно отклонения от закона Рауля (описанная выше классификация жидкостей позволяет давать только качественную оценку). Этот метод основан на эмпирическом уравнении, которое связывает избыточную свободную энергию растворенного веще- ства при бесконечном разбавлении в растворителе с рядом кон- стант. Соотношение избыточной свободной энергии и коэффи- чиол о атомoff углерода В растВореоном ВещестВе, nf Рис. IX-1. Коэффициент активно- сти при температуре 100° С для нормальных спиртов с прямой цепью при бесконечном разбав- лении водой (7) и гептаном (2). циента активности следующее: Число атомоВ углерода В растворителе, п2 Рис. IX-2. Коэффициенты активно- сти для воды при температуре 100° С. и бесконечное разбавление нормаль- ными спиртами в зависимости от числа углеродных атомов раствори- теля. Если взять неограниченно большое количество раствори- теля, то полученные значения F® и будут являться соответ- ствующими величинами для бес- конечного разбавления. Значе- ние уг для бесконечного раз- бавления отвечает предельной точке ж2 — 1,0 на графике за- висимости ух от количества рас- творителя. На рис. IX-1 и IX-2 показано непрерывное измене- ние предельных значений у00 в зависимости от молекулярной 205
b - J рядов растворенного вещества и растворителя ТАБЛИЦА 56 Член Коэффи циент С Член Коэффициент D Член Коэффи- циент F ( ( <7(1 С ( (. ( С(1 с С[1 (. ( б ( ( ( С(1 б 7 (1/пх) > <V"i) /4+1/« {1/«1 + \ 1/4+ < i/«;" / 7 (l/«i) 7 (1/«1) 7(1М) +1 + l/w ’ 1Л4+ ’ 1/4+ - 2/ni /«1+1/« 7 (1М) 7 (l/«i) 7(1М) 7 ИМ) 7 (Ш) 7(1М) /4 + 1//г 7 алн) 7 (l/«i) ;> l) j ;) 0,490 0,290 0,140 0,558 0,460 0,230 0,170 0,252 0,400 0,170 0,252 0,400 0,558 0,460 0,230 0,320 0,210 0,0 0,320 0.210 0,0 0,500 0,330 0,200 0,486 0,451 0,426 0,195 0,760 0.413 0,00 0,760 0,413 0,00 0,260 0,260 0,073 Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет Нет с с Нет С [(!/»,-4)] (l/ni— 1) + 1) . —0,466 0,475 0,390 0 340, 0,757 0,680 0,605 ► Нет Нет D +1 — D («!— пч)2 —0,00049 —0,00057 —0,00061 —0,00049 —000057 —0,00061 Нет Нет Нет Нет
Значения коэффициентов уравнения (IX,2) для различных гомологических Растворенные вещества Растворители Темпера- тура °C Коэффи- циент А Член Коэффи- циент В Кислоты* Первичные спирты Вторичные спирты Третичные спирты Аллиловый спирт * Альдегиды * Алкенальдегиды * Кетоны * Ацетали * Простые эфиры * Нитрилы * Алкеннитрилы * Сложные эфиры * Формиаты * Моноалкилхло- риды * н-П а рафины * Алкилбензолы * Спирты * Кетоны * Вода » » » » » » » » » » » » » » Парафины » 25 50 100 25 60 100 25 60 100 25 60 100 25 60 100 25 60 100 25 60 100 25 60 100 25 60 100 20 25 60 100 25 60 100 20 20 20 16 25 25 60 100 25 60 100 — 1,00 —0,80 —0,620 —0 995 —0,755 —0,420 — 1,220 — 1,023 —0,870 — 1,740 — 1,477 —1,291 —1,180 —0,929 —0,650 —0,780 —0,400 —0,03 —0,720 —0,540 -0,298 — 1,475 —1 040 —0,621 —2,556 —2,184 — 1,780 —0,770 —0,587 -0,368 —0,095 —0,520 —0,323 -0,074 —0,930 —0,585 1,265 0,688 3,554 1,960 1,460 1,070 0,0877 0 016 —0,067 Впу Bui Впх BnL Вп± Bnt Впх Вп± BnL Bnv Вп1 Вп1 Bnt Bni Впг Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bnr Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bni Bni Нет Нет 0,622 0,590 0,517 0,622 0 583 0,517 0.622 0,583 0,517 0,622 ] 0,583 0,517 J 0,622 0,583 0,517 0,622 0,583 0,517 0,622 0,583 0,517 0,622 0,583 0,517 0,622 ) 0 583 } 0,517 J 0,640 0,622 0,583 0,517 0,622 0,583 0,517 0,640 0,640 0,640 0,642 0 622
Растворенные вещества Растворители Темпера- тура °C Коэффи- циент А Член Коэффи- циент В Вода и-Спирты 25 0,760 Нет (50 0,680 100 0,617 Вода Вторичные 80 1,208 Нет спирты Вода Кетоны * 25 1,857 Нет (50 1,493 100 1,231 Кетоны Спирты * 25 —0,088 В(пх/п2) 0,176 ] 60 —0.035 В^/п^) 0,138 5 100 —0 035 0,112 J Альдегиды Спирты * 25 —0,701 В(Я1/н2) 0,176 1 (50 —0,239 0,138 j Сложные эфиры Спирты * 25 0,212 й(П1/и2) 0,176 60 0,055 J3(«j/n2) 0,138 - 100 0,0 Я(щ/п2) 0,112 Ацетали Спирты * 60 -1,10 0,138 Парафины Кетоны 25 Нет 0,1821 60 B(»i/n2) 0,1145 90 B(»i/n2) 0,0746 * Представители гомологических рядов нормального строения. структуры растворителя или растворенного вещества. Метод Пьеротти позволяет вычислить изменение в зависимости от молекулярной структуры путем корреляции, по которой 1g уда рассчитывается как сумма взаимодействий отдельных пар структурных групп в молекулах растворителя и растворенного вещества. Допустим, что R и X являются соответственно угле- водородным радикалом и функциональной группой молекулы. Рассмотрим растворение R'X' при бесконечном разбавлении его R"X". Между структурными группами молекул R'X' будут возникать следующие взаимодействия: X'—X', X' — R' и R'—R'. Аналогичные взаимодействия возникают между группами моле- кул R"X": Х"-Х", X"—R" и R"-R". Взаимодействия между молекулами растворенного вещества и растворителя следующие: X' —X", X"—R', X'—R" и R' — R". Число различных взаимодействий зависит от числа атомов угле- рода в молекулах растворенного вещества и растворителя. Уравнение IX-2, позволяющее учесть длину цепей гомологов метилена R'X' при бесконечном разбавлении гомологами мети- лена R"X", имеет следующий вид: ДЖЯТ = 1g VT = Al. 1 + % + D (П1 (I Х.2) 208
Продолжение табл. Член Коэффи- циент С Член Коэффициент D Член Коэффи- циент F Нет Нет F (1/п2) —0,630 Нет Нет /’(1/«2+1/+') —0,690 Нет 0,50 1 Нет —0,00049 ) Р + — 1,019 —0,73 —0,557 —0,630 с<1/«; + 1/<) 0,33 J D — —0,00057 /’(1/«2) -0,440 0,20 J —0,00061 J —0,280 с (1/0 0,320 1 0,210 ) D (пг — пър —0,00049 1 —0,00057 J F(l/n2) -0 630 —0,440 0 260 —0,00049 2^ (1/«2> —0,630 с (!/«;+i/о 0,240 D (n-i— п2)2 —0,00057 —0,440 0,220 —0,00061 —0,280 с (!/«;-*-1 /«7+- 0,451 —0,00057 F (1/п2) —0,440 + 2/«'") 0,402 Нет —0,00049 F(l/Ha+ 1/н") D (пх —га2)2 —0,00057 0 402 —0,00061 0,401 где ^ — избыточная свободная энергия мольной доли растворенного веще- ства 1 при бесконечном разбавлении растворителем 2; — коэффициент активности R'X' при бесконечном разбавлении в R"X"; Alt 2 —коэффи- циент, зависящий от природы функциональных групп растворенного веще- ства и растворителя (X' и Xя); он характеризует взаимодействия между X'—X', X'—X" и X"—X"; В 2 — коэффициент, зависящий только от при- роды функциональной группы Xя растворителя; слагаемое В2nt характе- ризует изменение числа взаимодействий между X"—Xя и R'—R"; С, — коэффициент, зависящий только от функциональной группы X' растворен- ного вещества; слагаемое доказывает изменение числа взаимодействий между X'—X" по мере роста числа атомов углерода в молекуле растворен- ного вещества; D — коэффициент, не зависящий от X' и Xя; D (nx—п,)а характеризует изменения во взаимодействиях R' — R', R' — R ", R " -R" с изменением числа углеродных атомов и n2; F2 — коэффициент, завися- щий только от природы функциональной группы X" растворителя; F2/na показывает изменение числа взаимодействий Xя—Xя по мере роста метиле- новых групп в R". Значения коэффициентов для некоторых гомологических рядов с различными функциональными группами приведены в табл, 56 для трех температур (стр. 206). Для растворенных веществ, у которых функциональные группы не находятся в конце молекулы, необходимо применять следу- ющее правило определения числа п1. По каждому ответвлению углеводородного радикала счет проводится отдельно, начиная 14 Ч. Д. Холланд. 209
с атома углерода, к которому подсоединяется функциональная группа. Например, у третичного бутанола центральный углерод входит в число атомов каждого ответвления, поэтому и' = «' = =- и'" — 2, хотя общее число углеродных атомов равно четырем. Каждое ответвление рассматривается как отдельный радикал, дающий собственную составляющую в коэффициентах А и С. Общий подход, который удовлетворительно характеризует все ТАБЛИЦА 5 7 Значения коэффициентов для различных гомологических рядов углеводородов в специфических растворителях Температура °C Растворенные вещества Значения коэффици- ента С Растворители | гептан । ч 1 и S Ч о в s в ш г © к к фурфурол фенол этанол триэти- ленгли- коль диэти- ленгли- коль этилен- гликоль Значения коэффициента В 25 0.0 0,0455 0 0937 0,0625 0,088 0,191 0,275 50 0,0 0,033 00878 0,0590 0,073 0,161 0,179 0,249 70 0,0 0,025 0,0810 0,0586 0,065 0,173 0,236 90 0,0 0,019 0 0686 0,0581 0,059 0,134 0,158 0 226 Значения коэффициента К 25 Парафины 0,0 0,0 0,335 0,916 0,870 0,580 0,875 50 0,0 0,0 0,332 0 756 0,755 0,570 0 72 0,815 1,208 70 00 0,0 0,331 0,737 0,690 0,590 0,725 1,154 90 0,0 0,0 0 330 0,771 0,620 0,610 0 68 0,72 1,089 25 Алкилцик- —0,260 0,18 0,70 1,26 1,20 1,06 1,675 50 логексаны —0,220 0 650 1,120 1,040 1,01 1,46 1,61 2,36 70 —0,195 0.131 0,581 1,020 0,935 0,972 1,550 2,22 90 —0,180 0,09 0,480 0,930 0,843 0,925 1,25 1,505 2,08 25 Алкил- —0,466 0,328 0,277 0,67 0,694 1,011 1,08 50 бензолы —0,390 0,243 0,55 0,580 0,938 0,80 100 1,595 70 —0,362 0,225 0,240 0,45 0,500 0,900 0,96 1,51 90 —0,350 0,202 0,239 0,44 0 420 0,862 0,74 0,935 1,43 25 Алкилнаф- —ОДО 0,53 0,169 0,46 0,595 1,06 4,00 50 талины —0,14 0,53 0,141 0.40 0,54 1,03 0,75 1,00 1,92 70 —0,173 0,53 0,215 0,39 0,497 1,02 0,991 1,82 90 —0,204 0,53 0,232 0,445 0,83 1 01 1,765 25 Алкилтет- 0,28 0,244 0,179 0,652 0,378 1,43 50 ралины 0,24 0,528 0,364 1,00 1,38 70 0,21 0,220 0,217 0,447 0,371 1.33 90 0 19 0,373 0,348 0,893 1,28 25 Алкил- —0,43 0,871 1,54 1,411 2,46 50 декалины —0,368 1,367 1,285 1 906 2,25 70 —0,355 0,356 0,80 1,253 1,161 2,07 90 —0 320 1,166 1,078 1,68 2,06 210
спирты, показан в табл. 56. Для ацеталей и алкилзамещенпых циклических соединений применяются другие модификации ко- эффициента С. Растворы спиртов в парафиновых углеводородах являются представителями соединений, в которых растворители не содер- жат функциональной группы, вследствие чего отсутствуют взаи- модействия, выражаемые коэффициентами В и F. Значение Сг то же, что и для систем спирт — вода. Отметим также, что коэффи- циент D будет одним и тем же для парафинового углеводорода (растворителя) независимо от растворенного вещества (сравните коэффициенты для систем спирт — парафиновый углеводород и кетон — парафиновый углеводород в табл. 56). Возможность применения коэффициентов одной системы для другой сокращает объем экспериментальной работы для новых систем. Такой спо- соб неприемлем для коэффициента С при сравнении систем ке- тон — вода и кетон — парафиновый углеводород. При расчете у00 для смесей воды с гомологами спиртов (и кетонов) необходимы только коэффициенты Ali2 иК2, причем последний характеризует влияние разветвлений в молекуле растворителя. При растворении кетонов или альдегидов в воде и растворенное вещество, и растворитель содержат функциональные и алкильные группы, поэтому необходимо использовать все пять коэффициен- тов уравнения (IX, 2). Парафиновые углеводороды в кетонах представляют собой системы, для которых не применяются коэффициенты А и С, так как растворенное вещество не содержит функциональную группу. В табл. 57 приведены значения коэффициентов для различных гомологических рядов в специфических растворителях. Если структура растворителя остается постоянной, то отно- шения F2!n2 и В2/п2 также постоянны, поэтому они могут быть объединены с коэффициентом А. Помимо этого, следует отличать атомы углерода парафиновых углеводородов и атомы углерода, входящие в кольцо. Было обнаружено, что кольцо лучше учиты- вать как функциональную группу с числом атомов углерода, равным пг —4 или 2 для бензольного кольца. Если пр обозна- чает число атомов углерода парафиновых углеводородов в алкиль- ных боковых цепях, то число атомов углерода растворенного вещества будет пр 4-2 для бензольного кольца и уравнение (IX,2) можно записать для парафиновых и циклических раство- ренных веществ в следующем виде: 1g т,"=Х1+вВу+-%5-4-й (1хз) Если растворенное вещество — парафиновый углеводород, ко- эффициент С опускается, так как парафины не содержат функцио- нальной группы. Точно так же в случае применения такого 14* 211
Рис. IX-3. Летучести различных гомологических рядов при бес- конечном разбавлении водой: 1 — парафиновые углеводороды; г — эфиры; з — кетоны; 4 — н-спирты; <5 — кислоты. растворителя, как гептан, коэффи- циент В становится равным нулю, поскольку в смеси парафиновых углеводородов нет функциональ- ных групп. Уравнение Пьеротти является достаточно точным, особенно если учесть, что оно охватывает боль- шое число различных систем. Общее среднее отклонение для у?° составило около 8% (при рас- смотрении 44 гомологических си- стем). Приведенные выше уравне- ния можно использовать для вы- числения значений у во всей области изменения составов. Зная две величины у00, можно найти две константы в уравнении Ван- Лаара или в уравнениях Маргу- леса (третьей степени). Эти урав- нения позволяют определять значение у в зависимости от состава. Такие расчеты являются ориентировочными, причем различные уравнения могут давать разные результаты. Если бинарная система имеет азеотроп и его параметры известны, то можно использовать уравнение с тремя константами для предсказания поведения более сложных бинарных систем. Такие предсказания обычно оказываются недостаточно точными. Вычисленная кри- вая для у проходит через три известные точки, но между этими точками может отклоняться от экспериментальных значений. Основное назначение корреляционных уравнений (IX,2) и (IX,3) — обоснованный выбор растворителей для экстракции жидкость — жидкость и для экстрактивной ректификации. На рис. IX-3 приведено сравнение величин p*yf° для некоторых гомологических рядов при бесконечном разбавлении водой. Эти величины являются определенным критерием оценки трудности разделения соединений различного типа при экстрактивной ди- стилляции с водой в качестве растворителя. Подобные графики, составленные для различных систем, обеспечивают рациональную основу для выбора наиболее селек- тивного растворителя. Основные расчетные зависимости Основные уравнения, которые были приведены ранее для ректи- фикации идеальных смесей, справедливы и при расчете азео- тропной и экстрактивной ректификации. 212
Два фактора делают азеотропную и экстрактивную дистил- ляцию более сложными процессами, чем обычный ректификацион- ный процесс, рассмотренный ранее. Это, во-первых, необходимость- поддерживать постоянную концентрацию растворителя по вы- соте колонны, что часто требует дополнительного ввода раствори- теля (помимо места подачи исходного сырья). Поэтому необхо- димо применять методы расчета колонн, имеющих два питающих потока, и для достижения сходимости применять современные методы расчета на машинах3-5, описанные выше. Вторым фактором, усложняющим расчеты азеотропной и экс- трактивной дистилляции, являются более сложные равновесные и тепловые соотношения. В данном случае неприемлемо допущение об идеальных жидких растворах, поэтому требуется определение коэффициентов активности (у 1). Кроме того, цри расчете энтальпии фазовых потоков следует использовать парциальные энтальпии вместо энтальпий чистых компонентов. Равновесные соотношения. Константы равновесия, получен- ные в предположении идеальной жидкой фазы, являются неточ- ными. Необходимо экспериментальное определение коэффициен- тов активности, причем полученные данные следует обрабатывать таким образом, чтобы иметь возможность рассчитывать коэффи- циенты активности как функцию состава жидкой фазы. Известные уравнения Вооля и Редлиха — Кистера для многокомпонентных систем приемлемы для машинного расчета. Константа равновесия Ki = yitxi связана с коэффициентом^ активности следующим образом: у if j, р с уу. с у У lny{ = ln -J Ц7' dp~ J ~RT dp ’Ко р? где fi, р и fa, р* — летучести чистого компонента при общем давлении и давле- нии насыщенного пара; Vi — мольный объем чистого i-того компонента? — парциальный мольный объем i-того компонента. Исключим летучести из приведенного выше уравнения и получим: р р — р р* 0 р* Это уравнение часто пишется со вторым вириальным коэф- фициентом /?., подставляемым вместо Vi — V* для приближен- ного выражения отклонения от идеального газа: in Vi=in (р - рП '“'i.Pi, лл. J. 213-
R T где V* =------мольный объем чистого i-того компонента, рассматриваемого Р как идеальный газ, моль; Vf — объем, предположительно независимый от давления. Отсюда Ki = ехр ~B^P^Pi} (I X ,4) *' t р Л. I При данных составе жидкой фазы и температуре тарелки можно вычислить так как все величины правой части урав- нения (IX,4) известны. Для случая, когда равновесная зависимость должна быть выражена через относительные летучести, получим: И; УгРг ехр {Ут?-В^(р-р^ (У1^ — Вг) (р — р*) ВТ нт (IX,5) Учет экспоненциального множителя при расчете равнове- сия для атмосферного давления оправдан только при наличии очень точных экспериментальных данных. При расчете температур кипения неидеальных систем удобно также пользоваться следующим уравнением: С с P = ^iUiP = ^iyixiP* ехр i=i i=i (rp-~z?t) (р-р?) RT (IX,6) Определение температур, так же как и вычисление состава равновесных фаз, возможно только способом итераций с приме- нением ЭВЦМ. Тепловые балансы. Энтальпии паровой и жидкой фаз, отходя- щих с гс-ной тарелки, можно рассчитать как С Нn==^£i nMit и , nhif п *=1 77 __гт 11 i» п 12 it п (IX,7) (IX ,8) Допущение, что Hitn — Hirn, приводит к незначительной ошибке, но позволяет вычислять энтальпию паровой фазы, зная только энтальпии чистых компонентов. Указанное допущение, как правило, неприемлемо для жидкой фазы, поэтому для расчета энтальпии жидкости требуются значения hit и. Эти значения можно определить, если известна величина парциальной мольной теп- лоты растворения Lif как функции состава. Парциальная моль- ная теплота растворения для жидкой фазы it n — ^it п ^it п (IX,9) 214
Если для поддержания постоянной температуры смеси при растворении в ней моля t-того компонента необходимо подводить тепло, то h^> h. и Li будут положительной величиной. Если тепло выделяется, то <^Zt. и Li — отрицательная величина. Экспериментальное определение величин L. во всем диапазоне составов является задачей, сравнимой по трудоемкости с изме- рением коэффициентов активности, и, следовательно, такие данные не часто имеются в распоряжении исследователя. Од- нако величины парциальной мольной теплоты растворения можно определить с достаточной точностью, исходя из значений коэф- фициентов активности6, по уравнению cHgYf \ hj—hj £, с/(1/Г)Л 2, ЗЯ 2,ЗЯ (IX,10) Для большинства систем изменение величины L. в зависимости от температуры является незначительным, поэтому график за- висимости lg yi от 1/7 — прямая линия. Для бинарной системы уравнение Редлиха — Кистера с двумя константами имеет вид lg?i=41^12 -Ы12 (4^i-1)1 (IX,И) Дифференцирование по 1/7 для данного состава дает: ( digYi \ _ г дВ12 ас12 -1 кд(1/Г)Л 2 L д (1/Т) 1 д (1/Г) J (IX,12) поскольку lim lg Yi = Bi2 — С12 (IX,13) limlg ya —Я12 + С12 (IX,14) >0 Уравнение для парциальной мольной теплоты растворения можно записать как . <?(1/7’) ].г1=о 2,ЗЯ (IX,15) или д (Я124- Ci2) 1 . д(1/Т) j (IX ,16) Последние два д (1/т) ’ сложив уравнения можно решить относительно почленно, получим следующее равенство: « ( дСп \ _ Lg-L™ \д(1/Т)Ц 2,ЗЯ 215
Подстановка значения производной в уравнение (IX,13) дает следующее выражение для парциальной мольной теплоты растворения: L1=t2[L“ + 2x1(l“-L“)] (IX,18) Выражение для L2 находят соответствующей заменой индекса 1 на 2 и наоборот. Значения ТЦ и получают по графикам зависимости lg(ух/у2) Для xi~ 0, xY~ 1 и х., = 0 или по графикам, выражающим зависимость значений (Z?12 — ^12) и (512 4- С12) от ЦТ. Если экспериментальные данные недостаточны для того, чтобы получить зависимость lg-у от обратной величины температуры (для данного состава), то для вычисления у?° при трех темпера- турах можно воспользоваться корреляционным уравнением Пье- ротти (см. выше). Затем графическим интегрированием находят величину . Уравнение (IX, 18) применимо также для расчета энтальпии многокомпонентных смесей. Из уравнений (IX, 15)—(IX, 17) следует, что константы для бинарной смеси (г—j) связаны с пар- циальной мольной теплотой растворения при бесконечном раз- бавлении следующими соотношениями: ^(1/ПЛ 2,ЗЯ 2 . \ . Т 03 _ Т 00 д (1/Г) 2,ЗЯ ’ 2 (IX,19) (IX,20) Дифференцируя уравнение • стантами по 1/71, подставляя чин парциальной мольной теплоты растворения (IX.10) и исклю- чая бинарные константы при помощи уравнений (IX,20) и (IX,21), Редлиха — Кистера с двумя кон- le V г (в у из уравнения для вели- получаем следующее выражение для Lr в зависимости от состава жидкой фазы и теплоты растворения бинарной смеси при бес- конечном разбавлении: о=~ (1 - *,> х х‘ +L") -4 X+ * J г г + J [2М1—Zr + ^t)—г<1 — —2 (,xi—xj) •_/ • (IX,21) 216
По уравнению (IX,22) можно вычислить парциальную моль- ную теплоту растворения аналогично тому, как по уравнению с двумя константами получают данные о коэффициентах активно- сти. Если известны значения Lt, можно определить общую энталь- пию фаз по уравнениям (IX, 8) и (IX, 9). На рис. IX-4 показана зависимость энтальпии жидкости и теплоты растворения от состава, которая типична для систем, дающих положительные отклонения от закона Рауля. Общая энтальпия такой смеси h больше, чем энтальпия идеального раствора /г.*, причем h* =x1hi~]-X2h2 h = X]hi -j- Х2Й2 Из общих термодинамических уравнений для любого экстен- сивного свойства следует, что — / dh \ 4Х-) (IX,22) \ /т hi^h-x^ (4М (IX,23) \ дх± / т Поэтому тангенс угла наклона кривой энтальпии смеси при х — ху даст при пересечении с хг = 0 и хг = 1,0 соответственно величины h2 и ht. Значение парциальной мольной теплоты рас- творения Lx и L2 можно получить из этих данных как разность h /?] и h 2 — h 2 . Разность h — h* определяется как интегральная мольная теплота растворения q смеси состава Это количество теплоты, которое следует подвести к смеси для поддержания изотермиче- ских условий; оно связано с величинами парциальной мольной теплоты растворения соотношением q — h—h* = x1L1~[-X2L2 (IX,24) Для многокомпонентной смеси на н-ной тарелке С Ч ~~~ х i • 1 • 11 (IX,25) 1=1 поскольку i > П п ' Ь 4 , п Рис. IX-4. Энтальпия жидкости и теплота растворения для бинарной системы. 217
Очевидно, что уравнения (IX,25) и (IX,8) идентичны. Выбор одного из них зависит от того, какие величины известны. Интегральную теплоту растворения можно отнести на 1 моль раствора, как это сделано в уравнении (IX,24), или на 1 моль любого компонента. Тогда выражение (IX,24) примет следу- ющий вид: ? = — хчЯ-2-^h — h,*=^x1Li-\-x2L2 (IX,26) Для разбавленных смесей компонентов 1 и 2 зависимость между h и приближается к прямой линии. Предположим, что эта зависимость является линейной, в этом случае Л3 = 0, а ура- внение (IX,26) запишем как Xiq^ — h^h* XiLi И (IX,27) Такое допущение7 иногда оказывается полезным при расчете прироста температуры жидкой фазы между местом подачи раство- рителя и какой-либо нижележащей точки по высоте колонны экстрактивной дистилляции. Методом графического интегрирования парциальных мольных теплот растворения6 рассчитана интегральная теплота растворе- ния бутана, изобутана и 1-бутена в фурфуроле для бинарных систем от = 0 до Приведенные величины не являются интегральной теплотой растворения в том виде, как она опреде- ляется уравнением (IX,26), но скорее представляет собой среднюю парциальную мольную теплоту растворения одного компонента в интервале от 0 до агх, т. е. *4 (^1, ср.) = J Li^i о (IX,28) При применении уравнения (IX,28) не учитывается влияние компонента 2 на парциальную мольную энтальпию смеси. Величина указанной ошибки для системы н-бутан — фурфурол иллюстрируется примером. По уравнению (IX,18) определено, что парциальная мольная теплота растворения н-бутана в смеси, состоящей из 20% бутана и 80% фурфурола, при 65,5° G соста- вляла 5620,0 кджЦкг • моль) бутана. Мольная теплота испаре- ния чистого н-бутана при температуре 65,5° С составляет 18250,0. Следовательно, тепло, требующееся для испарения 1 моль н-бу- тана из смеси, составляет: 18 250 — 5620= 12 630 кдж!(кг 'моль). Неучет теплоты растворения второго компонента приводит к 45 %-ной ошибке в определении фактического тепла, требующе- гося для испарения компонента из смеси. 218
Азеотропная ректификация Азеотроп представляет собой смесь жидкостей с максимальной или минимальной температурой кипения. Появление максимума или минимума на кривой зависимости температуры от состава вызывается положительным или отрицательным отклонением от закона Рауля. Близкокипящие соединения с небольшими отклонениями могут образовать азеотроп, в то время как другие соединения, явля- ющиеся более неидеальными смесями, не могут давать азеотроп вследствие большого различия в температурах кипения чистых компонентов. Поэтому азеотропы не часто встречаются среди соединений, у которых температуры кипения отличаются более чем на 20—30° С. Бинарные азеотропы. Диаграммы типичных гомогенных би- нарных азеотропов показаны на рис. IX-5 и IX-6. Азеотроп называется гомогенным, если присутствует только одна жидкая фаза. При двух жидких фазах азеотроп является гетерогенным (рис. IX-7). Максимум или минимум на кривых общего давления соответ- ствует в диаграмме у—х точке инверсии относительных летуче- стей этих двух компонентов. Из рис. 1Х-5в видно, что хлороформ является более летучим (у^* при низких значениях хг; в случае азеотропа ух — xt, а при концентрациях, лежащих вправо от азеотропа, уг Очевидно, что азеотроп ограничи- вает разделение (обогащение), которое можно достигнуть в обыч- ных ректификационных колоннах. Максимум концентрации х& будет приходиться на азеотроп, так как в этой точке рабочая линия и кривая равновесия пересекаются, а все потоки, входящие па последующие тарелки или покидающие их, идентичны по составу. Положительные отклонения от закона Рауля для некоторых систем настолько велики, что это приводит к взаимной нераство- римости7, которая сохраняется до температуры кипения (см. рис. IX-7). Большинство бинарных систем с областями взаимной нерастворимости при температуре кипения образуют гетероазео- тропы, т. е. постояннокипящие смеси, содержащие две жидкие фазы. Полное разделение этих смесей обычной ректификацией невозможно, как и в случае гомогенного азеотропа. Однако взаим- ную нерастворимость компонентов можно использовать для расслоения питания на два потока, подаваемые затем в две простые ректификационные колонны, в каждой из которых отгоняется азеотроп с минимумом температуры кипения в качестве верхнего продукта и один из чистых компонентов в качестве кубового продукта (остатка)8. Тройные азеотропы. Поверхность общего давления и по- верхность температур насыщения для жидкой и паровой фаз 219
Рис. IX-5. Система, образующая азеотроп при положительном откло- нении от закона Рауля. азеотроп при отрицательном откло- нении от закона Рауля.
в трехкомпонентйых системах час- то имеют максимумы и минимумы, аналогичные экстремальным зна- чениям этих величин для бинар- ных систем. Если плоскость, параллельная плоскости концен- трационного треугольника, яв- ляется касательной к верхней или нижней точке поверхности давления (температуры), то в точке касания паровая и жидкая фазы, находящиеся в равновесии, иден- тичны по составу. Тройные азео- тропы, так же как и Рис. IX-7. Гетероазеотроп. азеотропы бинарных систем, с трудом поддаются полному разделению. На конфигурацию поверхностей давления во всем диапазоне трехкомпонентных составов сильно влияют (но не являются полностью определяющими) особенности трех ограничивающих бинарных систем. Другими словами, поверхности, соединяющие три бинарные системы, могут иметь впадины и хребты, которые расположены в соответствии с точками максимума и минимума, имеющимися на периметре концентрационного треугольника (или диаграмме составов). Часто трехкомпонентная система, содер- жащая два и более азеотропа с минимумом температуры кипения, характеризуется наличием впадины на поверхности температуры, которая обусловливается существованием бинарных азеотропов с минимумом температуры кипения, однако наличие бинарных азеотропов не гарантирует существование тройного азеотропа. Для точного определения конфигурации этих поверхностей не- обходимы обширные экспериментальные данные по всей площади концентрационного треугольника. Однако, как только станут известны эти поверхности, становится и очевидным общее напра- вление протекания процесса ректификации. На рис. IX-8 показана поверхность температуры насыщенной жидкости для системы метилэтилкетон — к-гептан — толуол, которая разделена линиями постоянной температуры изотермами (сплошные линии). Линии, принадлежащие поверхности темпе- ратуры жидкости при температурах 88 и 104° С, соединяются стрелками (соединительные линии или конподы) с изотермами соответствующих поверхностей температуры пара. Стрелками соединены точки, выражающие состав жидкости и пара, нахо- дящихся в равновесии, и поэтому характеризующие разделение (обогащение), достигаемое на ступени равновесия. Изотермы показывают, что высшая точка поверхности соответствует чистому толуолу, низшая точка — бинарному азеотропу МЭК — гептан. Все остальные точки диаграммы занимают промежуточное по- ложение, поэтому среди них не существует тройного азеотропа. 221
На концентрационном треугольнике можно показать линии ректификации, которые характеризуют изменение составе! жид- кости при ее движении вниз по колонне; эти линии имеют тенден- цию перемещаться вверх по поверхности температуры. Соедини- тельные линии на рис. IX-8 иллюстрируют эти направления. Действительные линии ректификации имеют ограничения, нала- гаемые условиями материального баланса. Трехкомпонентная система может иметь любую комбинацию бинарных азеотропов с минимумом и максимумом температур кипения, а также тройной азеотроп. В литературе9 описано несколько возможных комбинаций и показано, каким образом можно изучить особенности трехкомпонентной системы периоди- ческой ректификацией. При периодической ректификации состав, кубового продукта (остатка) должен изменяться, двигаясь на концентрационном треугольнике по прямой линии от состава верхнего продукта (это утверждение верно, если в колонне удер- живается незначительное количество жидкости). Верхнему про- дукту обычно соответствует некоторая низкая точка на поверх- ности температуры, которая может быть достигнута при движении от состава куба (загрузки) без прохождения через хребты, иными словами, температурный профиль колонны не может иметь ника- ких максимумов или минимумов (предполагается, что ректифи- кационный аппарат имеет достаточное число тарелок разделения). ^етилзтилкетох Толуол 79,6°С 110,8°С Рис. IX-8. Кривые температуры жидкости для системы метилэтилкетон — н-гептан — толуол (сплошные линии) и температуры пара (пунктирные). 222
Метано г> 5\6°С Яцетдн 5i.7°C 5S,b°C Рис. IX-9. Бинарные азеотропы и линии периодической ректификации для системы метанол — хлористый метилен — ацетон. Из изложенного выше следует, что диаграмму составов трех- компонентной смеси можно разбить на треугольные участки, причем границы каждого участка представляют составы верхних продуктов, которые последовательно можно получить при пери- одической ректификации сырья, лежащего в пределах этого участка. Система метанол — хлористый метилен — ацетон, показанная на рис. IX-9, имеет три таких участка MDE. DEA и ЕАС. Точка 1 на участке MDE отвечает составу исходной смеси. Самая нижняя точка на поверхности температуры для такой трехкомпонентной системы приходится на бинарный азеотроп метанол — хлористый метилен (точка Е). К этой точке можно подойти из точки 1 (если, вообще, практически можно ее достигнуть). В данном случае первым верхним продуктом будет азеотроп метанол — хлористый метилен, как это видно из кривой периодической разгонки для точки 1 на рис. IX-10. Состав кубового продукта (остатка) будет «отходить» от состава верхнего продукта, как показывают стрелки (см. рис. IX-9) до тех пор, пока не исчерпается хлористый метилен и останется только бинарная система метанол — ацетон. Когда состав кубового продукта достигает основания концентрацион- ного треугольника, минимальная температура кипения смеси соответствует бинарному азеотропу метанол — ацетон, который и будет вторым верхним продуктом. Состав кубового продукта 223
Рис. IX-10. Кривая разгонки смеси (состав которой изображен точкой 1 на рис. IX-9). Рис. IX-11. Кривая разгонки смеси (состав которой изображен точкой 2 на рис. IX-9). (остатка) при этом перемещается к вершине М, и после исчерпы- вания ацетона будет получаться чистый метанол. Аналогично питание (загрузка), имеющее состав внутри участка DEA, будет давать состав верхнего продукта в следующей последовательности: бинарный азеотроп метанол — хлористый метилен, бинарный азеотроп метанол — ацетон и чистый ацетон. Подача питания внутри участка ЕАС будет давать азеотроп метанол — хлори- стый метилен до полной отгонки метанола, после чего последует отгонка чистого хлористого метилена и чистого ацетона. Если питание поступает на границе между двумя участками (точка 5), то будут получаться только два продукта, поскольку два ком- понента (азеотроп рассматривается как компонент) исчерпыва- ются одновременно. Кривая разгонки для точки 2 (рис. IX-11) показывает, что вслед за азеотропом метанол — хлористый мети- лен следует только чистый ацетон. Непрерывная ректификация менее гибка, чем периодическая, в отношении числа чистых продуктов, которые можно получить на одной колонне. При непрерывной ректификации на одной колонне можно получить только два чистых продукта, причем составы их должны лежать на концах, прямой материального баланса, проходящей через точку состава питания на концентра- ционном треугольнике. Например, при достаточной разделитель- ной мощности колонны питание (см. рис. IX-10) удается разделить на верхний продукт (азеотроп метанол — хлористый метилен) и на кубовый продукт, тождественный составу в кубе колонны периодической ректификации, оставшемуся после полной отгонки хлористого метилена. Отметим, что изменение составов пара и жидкости на тарелках разделения в колонне как при непрерывной, так и при периоди- ческой ректификации не совпадает с прямыми материального баланса (см. рис. IX-10). Разделение, достигаемое на каждой 224
тарелке, зависит от соединительных линий, а направление по- следних — от конфигурации поверхностей температур пара и жидкости в каждой точке. Рис. IX-12 иллюстрирует две из бесконечного числа линий ректификации, по которым может пойти периодический процесс для смеси МЭК — н-гептан — толуол в условиях полного воз- врата флегмы и при незначительной величине удерживаемой в колонне жидкости. Точка 3 соответствует начальному составу в кубе (загрузке), а линия 1 — составам на ступенях равновесия при наличии полного возврата флегмы по всей колонне. Каждая стрелка соответствует ступени разделения, так как соединяет точку для жидкости с точкой ее равновесия с паром10. Поскольку колонна работает при полном возврате флегмы, потоки пара и жидкости в сечении между ступенями (тарелками) будут иден- тичными по составу, и поэтому соединительные линии, дающие ломаную 1 (или 2), отвечают одновременно изменению составов и жидкости и пара. Точка 4 соответствует составу кубового продукта (остатка) в момент, когда МЭК почти полностью отогнан, а ломаная линия 2 представляет составы на тарелках, отвечающие этому составу кубового продукта (остатка). На протяжении всего периода наличия МЭК в кипятильнике линии ректификации будут закан- чиваться в точке бинарного азеотропа. После исчезновения по- следних следов МЭК из куба колонны линия ректификации будет Рис. IX-12. Линии ректификации при полном возврате флегмы для смеси МЭК — «-гептан — толуол. 15 Ч, д. Холланд, 225
Рис. IX-13. Схема разделения смеси при помощи растворителя образу- ющего минимальный азеотроп: J — колонна азеотропной ректификации; 2 — промывная колонна; з — колонна простой ректификации; I — исходное пи- тание; II — метанол, бензол и примеси; III — азеотроп; IV — вода и метанол; V — метанол. совпадать со стороной концен- трационной диаграммы и закан- чиваться в вершине Н. Линии ректификации при полном воз- Рис. IX-14. Схема разделения смеси толуола и парафинового углеводо- рода при помощи метанола (метанол образует гомогенные азеотропы с обо- ими компонентами): I — колонна азеотропной ректификации; 2 — колонна накопления кубового рас- творителя; 3 — ректификационная колонна; 4 — промывная колонна; I — исходное питание; II — азеотроп толуол — метанол; III — метанол; IV — азеотроп парафино- вый углеводород — метанол, V — водно- спиртовой раствор. врате флегмы в случае непрерывного ведения процесса будут та- кими же, как и при периодическом процессе (при полном возврате флегмы), если конечные составы (продуктов) одинаковы. Отме- тим, что концы стрелок (коннодов) совпадают только при полном возврате флегмы и расходятся при любом другом ее количестве. Ниже показано, что линии непрерывной ректификации на тре- угольной диаграмме можно изменять путем выбора флегмового числа и точек подачи питания. Схема разделения азеотропных смесей. Разделение смеси с од- ним бинарным азеотропом можно показать на примере системы ацетон — циклогексан — бензол, рассмотренной в предыдущем разделе. Бинарный азеотроп ацетон — циклогексан отбирается в качестве дистиллята колонны азеотропной ректификации (аце- тон из смеси с циклогексаном можно извлекать путем промывки водой с последующим разделением водного раствора ацетона обычной ректификацией). Принципиальная технологическая схема данного процесса показана на рис. IX-13. Процесс очистки бензола метанолом близок к этой схеме11. Технологическая схема усложняется, если система содержит два бинарных азеотропа. В литературе12 описаны две такие схемы: одна с растворителем, смешивающимся с верхним продуктом 226
при всех температурах, и другая — с растворителем, смешива- ющимся с ним частично. На рис. IX-14 показана схема выделения толуола из смеси с близкокипящим парафиновым углеводородом, когда в качестве растворителя применен метанол. После конден- сации дистиллята (азеотроп метанол — парафиновый углево- дород) метанол все еще остается в смеси с парафиновым угле- водородом и может быть выделен экстракцией водой с последу- ющей ректификацией смеси воды и метанола. Извлеченный растворитель возвращается в колонну азеотроп- ной ректификации в качестве флегмы. Для получения очень низких концентраций парафинового углеводорода в кубовом продукте (остатке) растворитель подается с некоторым избытком, что обеспечивает движение линии ректификации в сторону рас- творителя (к вершине Т на треугольной диаграмме). Метанол затем отделяется от толуола в колонне бинарной ректификации, дистиллятом которой является азеотроп метанол — толуол. Не- большое количество этого дистиллята добавляется в питание до его подачи в основную азеотропную колонну. На рис. IX-15 показана технологическая схема, когда раство- ритель смешивается частично с парафиновым углеводородом после конденсации дистиллята основной колонны азеотроп- ной ректификации, например при применении нитрометана в качестве растворителя для системы толуол — парафиновый Рис. IX-15. Схема разделения смеси толуола и парафинового углеводо- рода при помощи нитрометана (азео- троп нитрометана и парафинового углеводорода расслаивается после конденсации): 1 — колонна азеотропной ректификации; 2 — колонна накопления кубового рас- творителя; 3— ректификационная колонна; 4 — отстойник; I — исходное питание; II — азеотроп нитрометан — толуол; III— азеотроп нитрометан — парафиновый углеводород; ГУ — нитрометан. Рис. IX-16. Технологическая схема разделения азеотропа спирт — вода при помощи бензола (бензол обра- зует тройной азеотроп, который кипит при более низких температу- рах, чем бинарный азеотроп): 1 — первая колонна; 2 — вторая колонна; 3 — третья колонна; 4 — отстойник; I — исходное питание (азеотроп спирт — вода); II — тройной азеотроп; III — раствор спирта и воды. 15* 227
углеводород. Дистиллят после конденсации расслаивается на две жидкие фазы. Часть верхнего слоя богатого парафиновым угле- водородом возвращается в виде флегмы в азеотропную колонну, а остаток отделяется от растворителя обычной ректификацией, с верху колонны получается достаточно чистый парафиновый углеводород. Слой, богатый растворителем из отстойника, и рас- творитель из колонны выделения парафинового углеводорода возвращаются в азеотропную колонну в виде флегмы. Отделение толуола проводится аналогично тому, как это описано выше. Добавление растворителя к близкокипящей смеси может вы- звать образование тройного азеотропа, который и составит одну из продуктовых фракций колонны азеотропной ректификации. При- мером может служить процесс обезвоживания смеси этанол — вода бензолом 7. Бензол образует тройной азеотроп с минимумом температуры кипения бензол — этанол — вода, который кипит при более низкой температуре, чем бинарный азеотроп этанол — вода, и, кроме того, характеризуется большим отношением вода : этанол. На рис. IX-16 показана (неполностью) технологическая схема получения абсолютного спирта путем азеотропной ректификации смеси этанол — вода. Бензол, который циркулирует в системе, поступает в первую колонну в качестве флегмы (см. рис. IX-16). Тройной азеотроп отбирается с верха, чистый спирт — с низа колонны. Дистиллят после конденсации расслаивается. Верх- ний слой, обогащенный бензолом, возвращается в колонну в виде флегмы. Нижний слой, обогащенный водой, подается во вторую колонну, которая также дает тройной азеотроп в качестве верх- него продукта. Кубовый продукт (остаток) второй колонны представляет собой смесь спирта и воды, которая разделяется в третьей колонне начистую воду (кубовый продукт) и верхний продукт, являющийся бинарным азеотропом этанол — вода. Этот азеотроп возвращается в питание, подаваемое в первую колонну. Другим возможным растворителем является трихлорэтилен, который может разделить этанол и воду в основном аналогично процессу, показанному на рис. IX-16. В литературе 13 описаны эти процессы и приведен цифровой пример расчета числа тарелок, которые необходимо иметь в первой колонне при использовании трихлорэтилена в качестве растворителя. В отношении места ввода растворителя в азеотропную колонну можно утверждать, что растворитель, дающий азеотроп только с одним верхним ключевым компонентом и имеющий значительно более низкую температуру кипения, чем другой ключевой компо- нент, очевидно, следует вводить (по крайней мере, частично) ниже места ввода сырья, чтобы поддерживать повышенную концен- трацию растворителя ниже тарелки питания. Следует предусмот- реть достаточное число тарелок в исчерпывающей секции колонны 228
для того, чтобы отгонять растворитель из кубового продукта (остатка). Если растворитель сравнительно нелетуч по отношению к ключевым компонентам, то его можно вводить сверху и он будет присутствовать в достаточных концентрациях на тарелке питания и ниже. Экстрактивная ректификация Экстрактивная ректификация является более простым процессом, чем азеотропная. Растворитель обычно кипит при значительно более высокой температуре, чем компоненты исходной смеси, что делает невозможным образование нового азеотропа. Растворитель вследствие своей относительной нелетучести обычно выводится из колонны снизу, и для поддержания высокой концентрации на большей части колонны он должен подаваться в область, находящуюся выше места подачи питания. Его нельзя вводить на верхнюю тарелку, так как выше точки его ввода необходимо иметь несколько ступеней, обеспечивающих понижение концент- рации растворителя до незначительной величины. Растворитель (аналогично тяжелому абсорбенту в абсорбционной колонне) нагревается вследствие конденсации (абсорбции) других компо- нентов по мере прохождения его через колонну, но, поскольку жидкость на каждой тарелке находится в насыщенном состоянии, температура рассчитывается по ее составу. Необходимо иметь высокие концентрации растворителя, чтобы достигнуть максимального значения относительной летучести ключевых компонентов. При повышенных концентрациях раство- рителя можно снизить требующееся число тарелок вследствие увеличения разницы летучестей между ключевыми компонентами, однако потоки жидкости увеличиваются, и поэтому требуются большие тепловые нагрузки и диаметры колонн. Подача питания в виде пара может оказаться более желательной, так как поступ- ление его в виде жидкости понижает концентрацию растворителя в нижней секции колонны. При флегмировании в верхней части колонны также разбавляется растворитель, поэтому увеличение флегмы не всегда улучшает процесс разделения. Для заданного соотношения растворителя и исходного питания существует оптимальная величина флегмы. Регенерация растворителя при экстрактивной ректификации — более простой процесс, чем при азеотропной. Растворитель не образует азеотропа с извлеченным компонентом, поэтому его можно выделить простой ректификацией. Приближенный расчет колонны для ректификации растворителя возможен даже при помощи бинарной диаграммы. Режимы работы и конструкция колонн экстрактивной дистилляции, а также опыт эксплуатации этих установок описаны в литературе*. * См. ссылки 7, 8, 12—23. 229
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ а.—Т/х,—активность i-того компонента. ^1.2 А?,1 — коэффициенты в уравнении Маргулеса третьей сте- пени и в уравнении Ван-Лаара. Л1,2, В2, Ci D, Fa, Ki —коэффициенты в уравнениях (1Х,2) и (IX,3). В—количество кубового продукта (остатка), моль. В; — второй вирпальный коэффициент i-того компонента [уравнение (IX,4)]. Bjj, Cjj, D{ — константы в уравнении Редлиха — Кистера. D — количество дистиллята, моль. fi — летучесть i-того компонента в растворе. /Ч— летучесть i-того компонента в стандартном состоя- нии. F — количество питания, моль. Fi — нижнее питание; F2—верхнее питание для случая с двумя вводами питания в колонну. Fi — парциальная мольная свободная энергия i-того ком- понента в растворе. F& = Fit неид. — Fj, Ид. — избыточная мольная свободная энергия. h—мольная энтальпия реальной жидкой смеси. /г* — мольная энтальпия жидкой смеси, рассматриваемой как идеальный раствор. — мольная энтальпия чистого i-того компонента. hi — парциальная мольная энтальпия i-того компонента в жидком растворе. Н — мольная энтальпия реальной паровой смеси. Н*— мольная энтальпия паровой смеси, рассматриваемой как идеальная. Hi—мольная энтальпия чистого i-того компонента. Hi — парциальная мольная энтальпия i-того компонента в паровой смеси. Ki=yjxi — константа фазового равновесия (коэффициент рас- пределения) i-того компонента. L — поток жидкости, моль. Li=hi—— парциальная теплота растворения i-того компо- нента, моль. —парциальная мольная теплота растворения i-того компонента при бесконечном разбавлении в г, моль. п1э «2, пр — число атомов углерода [уравнения (IX,2) и (IX,3)]. р — общее давление; р,— парциальное давление ком- понента г; р*—давление паров i-того компонента. q—интегральная теплота растворения на кмоль раствора. qt—интегральная теплота растворения 1 моль i-iovo компонента. Т — абсолютная температура. V—количество парового потока, моль. Гр — мольный объем i-того компонента в жидком состоя- нии [уравнение (IX,4)]. х — мольная доля в жидкости. у — мольная доля в паре. а“(.— относительная летучесть при бесконечном разбавле- нии. Yi — di/xi — коэффициент активности i-того компонента. —коэффициент активности i-того компонента при беско- нечном разбавлении в г. 230
ЛИТЕРАТУРА 1. Pierotti G. J., Deal С. H., Derr E. L., Ind. Eng. Chem., 51, 55 (1959). 2. Ewell R. H.. Harrison J. M., Berd L., Ind. Eng. Chem., 36, 871 (1944). 3. L у s t e r W. N., Sullivan S. L., jr., Billingsley D. S., Holland G. D., Petrol. Ref., 38, № 6, 221 (1959); 38, № 7, 151 (1959); 38, № 10, 139 (1959). 4. A m u n d s о n N. R., Pontinen A. J., Ind. Eng. Chem., 50, 730 (1958). 5. Amundson N. R., Pontinen A. J., Tierney J. W., Am. Ind. Chem. Eng. J., 5, 295 (1959). 6. Mertes T. S., С о 1 b u r n A. P., Ind. Eng. Chem. 39, 787 (1947). 7. P e г г у J. H., Chemical Engineers Handbook, 3rd ed., New York, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1950, p. 629. 8. С о 1 b u г n A. P., Can. Chem. Proc. Ind., 34. 286 (1950). 9. Ewell R. H., Welch L. M., Ind. Eng. Chem., 37. 1224 (1945). 10. S t einhauser H. H., W h i t e R. R., Ind. Eng. Chem., 41, 2912 (1949). 11. R a t 1 i f f R. A., S t г о g e 1 W. B., Petrol. Ref., 33, № 5, 151 (1954). 12. Benedict M., Rubin L. C., Trans. Am. Inst., Chem. Eng., 41, 353 (1945). 13. С о a t e s, J. Chem. Eng.. 67, № 10, 121 (1960). 14. A t к i n s G. T., Boyer С. M., Chem. Eng. Progr., 45, 553 (1949). 15. Buell С. K., Boatwright R. G., Ind. Eng. Chem., 39, 695 (1947). 16. Chambers J. M., Chem. Eng. Progr., 47, 555 (1951). 17. Drickamer H. G., Hummel H. H., Trans. Am. Inst. Chem. Eng., 41, 607 (1945). 18. D u n n C. L., M i 1 1 a r R. W., Pierotti G. J., S h i r a s R. H., Souders M., Trans. Am. Inst. Chem. Eng., 41, 631 (1945). 19. D u n n C. L., Liedholm С. E., Petrol. Ref., 31, 104 (1952). 20. Hachmuth К. H., Chem. Eng. Progr., 48 , 617 (1952). 21. Happel J., Cornell P. W., Eastman DuB., Fowle J., Porter C. A., Schutte A. H., Trans. Am. Inst. Chem. Eng., 42, 189 (1946). 22. S m i t h R. B., Dresser T., Chem. Eng. Progr., 44, 789 (1948). 23. С о 1 b u r n A. P., Shoenborn E. M., Trans. Am. Ind. Chem. Enst., 41, 421 (1945).
ГЛАВА X Xji Xot ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ КОЛОННЫ С ПОЛНЫМ ВОЗВРАТОМ ФЛЕГМЫ В данной главе описано применение 0-метода сходимости для расчета простых колонн, ра- ботающих при полном возврате флегмы в укреп- ляющей и в исчерпывающей секциях. Рассмотрение предельных режимов и режимов с конечной флегмой является средством из- учения работы колонны в широком диапазоне условий. На числен- ных примерах показано \ что только при одном режиме работы колонны с определенным числом тарелок и заданным потоком флегмы можно получить максимальную концентрацию данного компонента в дистилляте (или кубовом остатке). Методики расчета и методы сходимости, приведенные в данной главе, описаны в ли- тературе2. Простые колонны Ниже рассмотрены три случая: с полным возвратом флегмы в ук- репляющей секции, с полным возвратом флегмы в исчерпывающей секции, а также с полной рециркуляцией (т. е. работа без отбора дистиллята и кубового остатка). Используется сочетание методики расчета Тпле п Геддеса и 0-метода сходимости. Полученные урав- нения применимы только для расчета смесей, не содержащих однофазные компоненты. Полный возврат флегмы в укрепляющей секции. Если D = 0,а Lo — конечное число, возникают условия, определяемые как полный возврат флегмы в укрепляющей секции. В этом случае В = F, У,- = Lj-x (1 j' f — 1) и Vj — Из материаль- ного баланса следует, что у^ = х^и (1,^ j / — 1). При соче- тании этого соотношения с уравнением равновесия у = Кх полу- чают следующие уравнения для укрепляющей секции: Ун = t = 1 = 1 xqi Кц K2iKu (X.la) 232
Поскольку yfi = Xf_r> то V/i_____________________1 xQi Kf-l* iK-f-Z* i • • Kn^li (X.16) Условия соответствия для тарелки питания при полном воз- врате флегмы в укрепляющей секции выбирают следующим образом. Величину vЬ. вычисляют по обычным уравнениям для ис- черпывающей секции (см. главу III). Умножая обе части урав- нения (X, 16) на Vi LQ, получаем Так как v = vfi + то общее уравнение для любого агрегатного состояния питания будет иметь вид (Х,2) Корректированные величины определяют по равенству (Х,3) поскольку D = 0 и В = F. Корректированные значения /0. мо?кно представить как (^Oi)co — (loflb j) ca (bj)co (X,4) что получается непосредственно из уравнения (IV, 12), если принять т0 = 0О. Найдя сумму количеств всех компонентов в обеих частях уравнения (X, 4), получаем выражение С (Х.5) 1=1 которое применимо для определения 0О. Однако, как видно из приведенных ниже уравнений, опреде- лять 0О нет необходимости. Корректированные составы, приме- няемые для расчета температур кипения, получают по следующим уравнениям: (Iji/bj) са (bi) со (х Ji/x0i) са с с (I jiiЬ»)са О *)со (xji/xQi)ca (x0f) СО i=l J==l 1 (Iji/biiea (^i)co с i=l (X,G) (X.7) f i x +1 233
Уравнение (Х,1) применяют к укрепляющей секции, а соот- ветствующие уравнения пз главы III — к исчерпывающей секции. Корректированные значения Ь{ определяют по уравнению (Х,3). Искомое выражение для расчета корректированных значений • ,т0 получают делением каждого члена уравнения (Х,4) на соот- ветствующий член выражения (Х,5): (loi/bi)ca {bj)co (*01 Уса ~ JZ са i)co t=l (X.8) Если принять, что дефлегматоры парциальные, то состав дистиллята (пара) рассчитывают следующим образом. Вычислив температуру 7’0 на основании значений искомый состав определяют пз соотношения Общие мольные потоки в исчерпывающей секции рассчитывают обычным путем на основании материальных и тепловых балансов (см. главы III и V). Нагрузку на дефлегматор определяют также по материальным и тепловым балансам, записанным для этого аппарата. Нагрузку на кипятильник находят по общим матери- альным и тепловым балансам. Полный возврат флегмы в исчерпывающей секции (паровое число равно бесконечности). Если Lo определяется каким-либо конечным значением, a D берется равным F, то реализуется условие полного возврата флегмы в исчерпывающей секции. Следующие ниже уравнения материального баланса для исчерпывающей секции получаются аналогично уравнениям для случая полного возврата флегмы в укрепляющей секции: -----= 1 i — &J + 1, i'Kj+2., i • • ’ j > 1 +1, * И ; — /+i, i • • • »лл’» Л+l, i J (X,9a) (X,96) 234
При полном возврате флегмы в исчерпывающей секции составы на питающей тарелке выражают через отношение i)ca Для питания ПРИ ЛК)бом агрегатном состоянии P7V+1, i 1 _____ G/-1, di , ш (*/-i, (./pn+1j ,)са (X,10) Приводимые ниже уравнения выводят аналогично уравнениям (Х,3)-(Х,8): (dJ^FXi (Х.И) ( ^iV+l, f)co = % (P.V+1, dddea (di)co (Х,12) VVA1~V0(t (yY+1 Jd.) (d.) (X.13) a+1 0 \ A +1, 41 i Jca \ i /co ' ?=1 7 (yvxi i/d-) \ A +1 > i/ t/ca \ i‘co U Ji/di)ca(dj,)co _ T-2----------------- 0 1 (I ji/di)ca (di)eo t=l r _ (Xy;/yj’V+l, i)ca (yN+l, dco 2 (Xji/yN+l, i)ca (y.V+l, i)co »=1 (X,15) (X.16) Потоки жидкости и пара в укрепляющей секции рассчиты- вают по соответствующим уравнениям материального и тепло- вого балансов (см. главы III и V). При этом нет необходимости определять (^v+1 t.)co или Оо. Для расчета (l ^, dvN+li i)ea необ- ходимо знать только величину потока Vv+1, которую можно вы- числить следующим образом. На основании материального и теплового балансов для де- флегматора определяют нагрузку Qc, затем по тепловому и мате- риальному балансам для всей колонны получают QR и. наконец, по тепловому балансу для кипятильника находят EjV+1. Отметим, что температуру в кипятильнике можно рассчитать как температуру точки росы по значениям i/x+1, определяемым по уравнению (X,14), или как температуру кипения по значениям xN+1, определяемым по уравнению (Х,16). Если искомое решение задачи получено, то найденные описанными выше способами тем- пературы оказываются одинаковыми. 235
Полный возврат флегмы в обеих частях колонны. Режим пол- ного возврата флегмы в обеих частях колонны можно определить двумя способами. Колонна работает с полным возвратом флегмы, если количество жидкости в ней достаточно для ее стабильной работы, причем питание не подают и продукты не отбирают (D — О, В — О F = 0). О колонне, работающей стабильно с полным возвратом флегмы (D = 0) и полным возвратом пара (В — 0), при подаче питания, равной нулю, говорят, что она работает с полной рециркуляцией, т. е. «на себя». Диаметр таких колонн, а также потоки пара и жидкости в колонне вполне определенны (т. е. имеют конечную величину). При расчете колонн с полной рециркуляцией приемлемо и дру- гое, эквивалентное определение. Оно эквивалентно предыдущему в том смысле, что оба исходных положения приводят к одним п тем же расчетным составам и температурам в колонне. В соот- ветствии со вторым определением считают, что условие полного возврата флегмы достигается для всей колонны, когда lim —=1 (Х,17) Допустим, что D (или В) представляет собой число, отличное от нуля (но меньше F), а также предположим, что по всей колонне устанавливаются предельные значения VjlL^ — 1. Поскольку F, D и В — конечные величины, можно записать: F~D-\-B (Х.18) и FXi = di^-bi (Х,19) Однако так как потоки пара и жидкости по всей колонне не- ограниченно велики, то из этого следует, что II Аналогично изложенному выше получаем следующие уравне- ния для укрепляющей и исчерпывающей секций: X-Di ---— (для полного дефлегматора, KQi = 1) Л It’Kof x-2i 1 %Di К2(КиК(ц г а 1 О < / =5 N +1 (Х,22а) 236
и ^N-H, j _ XBi __ 1 XDi XDi XN+1, iKN, i • ' • KltKOi (Х,22б) Определив (xB для начального температурного профиля, по уравнению (Х,22б) вычисляют величину (6/й£)ся: (Х,23) В главе IV показано, что корректированное значение опре деляется по уравнению С 1+е0 t=i 60 — положительный корень функции g0 (0)о, причем с FX • go(0o) = V------гН-------D (Х.25) А 14-0» (-£-) »=1 X «4 / са Корректированные составы потоков по колонне рассчитывают по уравнению ( vD. ") =---------------------- 0^/ ^V + l (Х.26) »=1 X ' Di / са Здесь tv \ (Х,27) Сложные колонны Рассмотренный выше подход к расчету простых колонн с полным возвратом флегмовых потоков применим и к сложным колоннам. Для сложной колонны, имеющей один ввод питания и один или более боковых отборов (кроме дистиллята и кубового продукта), рекомендуются следующие расчетные методики. 1. Боковой поток W\ отбирается из укрепляющей секции. Условия: Lq — конечная величина, D = 0, = 0 и В = F. Расчет сложной колонны при этих условиях проводят по методике, аналогичной изложенной ранее в разделе «Полный возврат флегмы в укрепляющей секции». Если поток отводят в виде жидкости 237
с произвольной тарелки р укрепляющей секции, то состав данного потока будет таким же, как состав жидкости, стекающей с тарелки р. Поэтому состав Wr определяют по уравнению (Х,1а), в котором 7 = р. Если W\ отбирают с тарелки р в виде пара, то составы определяют как ур. = Kpi xpi. 2. Боковой поток отбирается из укрепляющей секции. Условия: Lo — конечная величина, D = 0, 0 < <^F. Прини- мают, что боковой поток W\ отводится с тарелки р укрепляющей секции. Расчет осуществляют сверху вниз по колонне по уравне- нию (Х,9а). Определив xpi!xOi, находят затем отношение Wli / Wj \ / xpi hi \ ^0 / \ x0i (Х,28) Поскольку yp+lt t. = Xpi, то = (Х,29) hi \ ^>о / \ жо; / где Vp+1 — предполагаемое количество пара на тарелке р 4- 1. Далее продолжают расчеты до тарелки питания по следующим уравнениям: yp+2i I _ Л ( i j Ц)ц ~~hT р+1'‘ \ ~hT/ + Р/-1, । “'и hi / ь * \ lOi / iOi (Х,30а) (Х,30б) Исчерпывающую секцию рассчитывают, как обычную колонну (см. главу III). В результате расчета Обеих секций по уравнению (Х,35) получают значение bilw^. Корректированные количества компонентов в продуктах разделения должны удовлетворять материальному балансу FX i-(^l»)co ~Г (^t)co и основному уравнению 0-метода =0i ) \ / со \ ^li J са Решение этих двух уравнений дает: ( \ FXi где 0Х — положительный корень функции (0!): С V? FX * S1 (91) = 2 Ц-Мб./ичЛ. ~W1 »=1 (Х,31) (Х,32) (Х,33) (Х,34) 238
Величину bi!wXi определяют по уравнению (Х,35), которое спра- ведливо для любого агрегатного состояния питающей смеси: (Х,35) Вычислив по уравнениям для укрепляющей секции I f_x, находят (делением на wuH9i). Если 0j было найдено по уравнению (Х,34), то тогда значение 0О определяют непосредственно из уравнения (Х,5). В остальном расчеты ана- логичны описанным выше. 3. Боковой поток отбирается из исчерпывающей секции. Условия'. Lo — конечная величина D = Z2, 0 < <ZF. Уравне- ния материального баланса для исчерпывающей секции те же, что и для сложных колонн (см. главу VII). Уравнения сходимости аналогичны рассмотренным для случая бокового отбора в укре- пляющей секции (И\> 0). Для укрепляющей секции расчеты проводят, как описано в разделе «Полный возврат флегмы в укрепляющей секции». 4. Полный возврат флегмовых потоков в колонне с Wt и JV2, отбираемыми в укрепляющей и исчерпывающей секциях. Условия материального баланса выражаются уравнениями (Х,22а) и (Х,22б). Величину b.fd. рассчитывают по формуле (Х,23), a wjd.— по следующим уравнениям (боковые потоки В/1 и W2 отбираются в виде жидкости с тарелок р и q соответственно укрепляющей п исчерпывающей секций): ^u/di)ca^{WilD) (xpi/XDi)ca Ы<Ыса = {Ж2/О) (*qi/XDi)ca (Х.36) (Х,37) В уравнениях, описывающих метод сходимости, содержится три значения 0. Эти уравнения идентичны уравнениям, приведен- ным в главе VII. Значения 0 можно определить одним из способов, рассмотренных в той же главе. Остальные расчеты проводятся обычным путем. Методика расчета не меняется, если между двумя боковыми отборами вводится любое число питаний. Чтобы свести к мини- муму ошибку вычисления (округления) при потарелочном расчете секций между верхним и нижним вводами питания, потоки на этих тарелках следует определять, осуществляя расчеты по ко- лонне сверху вниз и снизу вверх. Однако прежде необходимо найти количества компонентов в продуктах разделения по урав- нениям, аналогичным уравнению (Х,35). 239
Примеры расчета Решено несколько примеров расчета колонн с одинаковым соста- в ом питания: Условия примеров. Питание — жидкость при температуре кипения, . Колонна, работающая при давлении 21 ат, снабжена тремя тарелками в укрепляющей секции и восемью — в исчерпывающей (плюс кипятильник). Кроме того, известны следующие данные: 1 Компонент CgHg изо-С^ и-С4 изо-С5 н-С5 FX 5,0 15,0 25 20 35 В табл. 58—60 приведены результаты расчета для случая полного возврата флегмы в укрепляющей секции. ТАБЛИЦА 58 Температурные профили и флегмовые потоки при 11= 0, В = F и Lq- 125 № приближения тарелки началь- ный профиль 1 2 * 3 4 5 6 7 8 9 Температурные профили 0 (ди- 60 59,06 59,07 59,39 59.24 60,14 60,17 60,17 60,17 60,17 стиллят) 1 65,95 61,00 61,06 61,68 62,95 63,11 63,25 63,26 63,25 63,25 2 71,94 65,56 65,74 65,75 69,99 70,89 71,11 71,11 71,09 71,08 3 77,90 76,30 77,00 80,16 84,17 85,69 85,90 85,86 85,78 85 76 4 (пита- ние) 83,89 98,61 98,61 102,37 106,61 107,85 108,06 107,88 107,73 107,70 5 89,88 98,39 99 06 102.67 106,88 108,33 108,56 108,50 108,43 108,33 6 95,89 99,50 100,39 103,72 107,55 109,02 109,37 109 34 109,26 109,33 7 101,83 101.89 102,67 105,50 108,78 110,14 110,51 110,56 110,52 110,50 8 107,80 105,38 105 90 108,06 110,73 111,84 112,20 112,26 112,23 112,22 9 113,80 109,81 110,14 111,61 113,50 114,28 114,35 114,30 114,35 114,31 10 119,76 115 26 115,33 116,21 117,33 117,87 118,01 118,06 118,09 118,09 11 128,77 122 17 122,17 122,50 122,85 123 07 123,19 123,25 123,28 123,30 12 (ки- пятиль- ник) 131,77 127,31 131,81 131,76 131,76 131,76 131,76 131,66 131,76 131,76 Lq (вы- яислено) — 114,72 118,41 87,47 81,28 |107,12 121,46 125,78 125,96 125.39 * Все значения температур усредняются, за исключением первого приближения. Начальные потоки пара приняты постоянными и равными 125. ТАБЛИЦА 59 Состав продуктов разделения для D = 0, В = Г и Lo= 125 Компонент FX XD Компонент FX С3Н8 5,0 0 96757089 изо-Са 20,0 0.13173418 • Ю-з uao-Ci 15,0 0,23468365 10’1 н-Сй 35,0 0,83762787 • 10’^ н-С4 25,0 0,87593467 10'2 240
ТАБЛИЦА 60 Потоки пара в колонне для Z? 0. B = F и Ло=125 № тарелки Поток пара Xs тарелки Поток пара - 1 125,00 7 88,03 2 119,10 8 88,87 3 109 07 9 90,00 4 (питание) 97,47 10 91,41 5 86,98 11 92,88 6 87,42 12 (кипятильник) 94,06 Из табл. 60 видно, что, несмотря на равенство \т. = Lj_j в укрепляющей секции (D = 0), Vне всегда равно V,+1. На рис. Х-1 приведена характеристика работы колонны при постоянной флегме £0 и различных отборах дистиллята. Диапа- зон работы охватывает режимы от полного флегмирования (D = 0) в укрепляющей секции до полного возврата флегмового потока пара в исчерпывающей секции (В — 0). Отметим, что при D = 0 мольная доля самого легкого компонента питания достигает своего максимума. По мере увеличения D мольная доля каждого компо- нента, кроме наиболее тяжелого, проходит через максимум. При D — F состав дистиллята равен составу питания. Аналогичный характер имеет зависимость xBtlxt от В. На рис. Х-2 приведены Дистиллят, °/о уотьныё доли кт Рис. Х-1. Изменение количества ди- Рис. Х-2. Профили состава при пол- стиллята D при постоянном флег- ном возврате флегмы в укрепля- мовом потоке Lo = 125. ющей секции. 16 ч. Д. Холланд. 241
Рис. Х-3. Изменение флегмы Lo прп постоянном отборе дистиллята Р. составы жидкости на каждой тарелке для условий полного воз- врата флегмы (D = 0). Изменение состава дистиллята при постоянном его (50%-ном) отборе в зависимости от отношения VJLq приведено на рис. Х-3. ТАБЛИЦА 61 Температурные профили, общие количества дистиллята и значения 0 при полной флегме D — В — 50 Л» приближения тарелки ) начальный профиль 1 *7 А- 3 4 Температурные профили 0 (дистиллят) 60 107,0 107,12 107,11 107,11 1 65,56 129,51 124,19 124.29 124,32 2 71,11 141,68 133,02 133,26 133,35 3 76,67 151,24 141,61 141,95 142,16 4 (питание) 82,22 157,35 148,95 149,37 149,55 5 87 78 160,83 154,60 155 155,17 6 93,33 162,67 158,77 158,91 159,06 7 98,89 163,85 161,33 161,55 161,60 8 104,44 164,65 163,18 163,27 163,28 9 110,0 165,27 164,34 164,40 164,44 10 115,56 165,78 165,22 165,25 165,28 11 121,11 166 22 165,84 165,84 165,84 12 (кипятильник) 126,67 166,51 166,33 166,33 166,33 D ** — 7,16 52,37 50,68 50,00 0 —— 3,92 • 10’6 1,57 1,16 1,001 * Все профили усреднялись, за исключением профиля, взятого для приближе- ния Ai 1. ** Рассчитанное значение D. 242
ТАБЛИЦА 62 Состав дистиллята при полном возврате флегмовых потоков Компонент FX d Компонент FX d С3Н8 5,0 4,9999 иао-С$ 20,0 3,7926 изо-С1 15,0 14,9921 н-Сэ 35,0 1-3494 я-С4 25,0 24,8659 — 100,0 49,9999 По мере приближения V-JLq к единице устанавливается режим полного возврата флегмы по колонне. Расчет этого режима пока- зан в табл. 61 и 62 (применялся обычный метод составления тепло- вых балансов). Условия работы колонны меняются от полного возврата флегмы (VJLq = 1) к другому предельному режиму, когда жидкая флегма отсутствует (Lo — 0) в укрепляющей секции. По мере того как Lo стремится к нулю, состав дистиллята при- ближается к составу пара, который поступает на тарелку, находя- щуюся выше тарелки питания. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ (см. главы II—VIII) h — тяжелый ключевой компонент; компонент, для которого отношение bjdi задано. 3 А Д А Ч И Х-1.’ На основе уравнений материального баланса и фазового равновесия получить уравнения (Х,1) для полного возврата флегмы в укрепляющей секции. Х-2. Для случая полного возврата флегмы в исчерпывающей секции показать, что уравнения (Х,9а) и (Х,9б) получаются из выражении материаль- ного баланса и фазового равновесия. Х-3. Показать, что два выражения для Xj{, даваемые уравнением (Х,6),— эквивалентны. Х-4. Исходя из выражения для х^ [уравнение (Х,15)], показать, что ему эквивалентно выражение типа (Х,16). Х-5. Вывести уравнение (Х.226) способом, принятым для задач Х-1 и Х-2. Х-6. а) Вывести уравнения (Х,30а) и (Х,30б). б) Вывести уравнения (Х,34) и (Х,35). Х-7. Показать, что для колонны с парциальным дефлегматором и кипя- тильником при постоянной относительной летучести компонентов по всей колонне известную зависимость 2 Ь</<г< = (М<г*)(ал/а,)л+г можно получить из уравнения (Х,22б). Установить, что для колонны с полным дефлегматором показатель степени в указанной зависимости равен N -J- 1. 16* 243
Х-8. Показать, что для любых данных значений a, и bh[dh соответству- ющий отбор дистиллята при полном возврате флегмовых потоков в колонне- определяется как С 14-{&Л/^А> (аА/а.)ЛГ+г где D и В — конечны, а диаметр колонны — величина бесконечно большая. Х-9. а) Определить общее число теоретических тарелок, необходимое для достижения заданного разделения компонентов 1 и 3 (t^/dj — 6,0 и b3/d3 — 0,2) в колонне с полным дефлегматором. Исходные данные приве- дены в таблице: Компонент FX. * a, t 1 33,3 1 2 33,3 2 3 33,4 3 б) Если Д’ 4- 1 принять постоянным и равным количеству, найденному в п. «а», определить значение bjd-^, требующееся для получения D, равного- 50. Кроме того, при D = 50 вычислить bi! di для остальных компонентов. Х-10. а) Основываясь на значениях bjdi и FXi, приведенных в задаче Х-9, найти 0, дающее g (0) = 0, причем С 1=1 б) Сравнить значения 0 (6,/df) с соответствующими полученными в п. «б» задачи Х-9. Х-11. а) Если в условиях полного возврата флегмовых потоков коли- чество определено для данных значений A -J- 1 и (b3ld3)1 и для того же значения N J- 1, но другой величины b3!d3 [выраженного как (63/с/3)2 и/?2], то показать, чго 0— (^з/^з)2 б) Для величин Dx и О2 составить график In (&i/d<)i и в зави- симости от In (ат/аА), где N -j- 1 фиксировано. Определить 0 по этому графику. ЛИТЕРАТУРА 1. L у s t е г W. N., Sullivan S. L. jr., McDnough J. A., Hol- land C. D., Petrol. Ref., 39, № 8, 121 (1960). 2. Fenske M. R., Ind. Eng. Chem., 24, 482 (1932).
ГЛАВА XI ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ КОЛОННЫ ПРИ МИНИМАЛЬНОЙ ФЛЕГМЕ (ПРОВЕРОЧНЫЙ РАСЧЕТ) 0-Метод сходимости можно распространить на расчет простых и сложных колонн при мини- мальной флегме. В отличие от ранее применя- вшегося аналитического расчета1-8, при котором исходят из до- пущений о постоянстве мольных потоков и относительных лету- честей в укрепляющей и исчерпывающей секциях, излагаемая методика допускает изменение этих величин по высоте колонны. Применение методики «от тарелки к тарелке» для расчета ко- лонн в режиме минимального орошения описано в литературе 4. Методика, приведенная в данной главе, основана на независимом определении концентраций (методика Тиле и Геддеса)5’6. Простые колонны Расчет колонн при минимальной флегме в соответствии с поста- новкой задачи проводится при некоторых заданных условиях. В данной задаче в качестве таких условий приняты Lo (или Vj), D и бесконечное число тарелок в укрепляющей и исчерпывающей секциях. Кроме того, заданы агрегатное состояние и состав пита- ния, тип дефлегматора и давление в колонне. Требуется опреде- лить состав продуктовых фракций. В указанной постановке задача тесно связана с рассмотренной в предыдущих главах комбинацией методики расчета процесса и 0-метода сходимости применительно к простым колоннам 7. В принципе отличие от изложенного ранее заключается в задании бесконечного числа тарелок для каждой секции колонны. В следующей главе рассматривается распространение методики расчета Тиле и Геддеса и 9-метода сходимости на случай, когда заданы другие условия, например отношение bi!di для двух компонентов вместо Lo и D. Под минимальным флегмовым числом понимают наименьшее значение LqID, которое обеспечивает заданное разделение двух 245
ключевых компонентов в условиях бесконечно большого числа тарелок как в укрепляющей, так и в исчерпывающей секциях колонны. Компоненты, в отношении которых задаются такие условия, называются «легкими ключевыми» и «тяжелыми ключе- . выми», они обозначаются индексом h и I. Легкие и тяжелые ключе- вые компоненты содержатся в обеих продуктовых фракциях. ; Компоненты, летучесть которых лежит между летучестями клю- t чевых, называют «межключевыми» компонентами. Ключевые и меж- ключевые компоненты являются распределяющимися компонен- тами. При минимальной флегме в каждой секции колонны имеется зона, которая охватывает неограниченное число тарелок и в ко- торой не происходит изменения состава прп переходе от тарелки к тарелке (зона постоянной концентрации). В укрепляющей секции зона постоянной концентрации по- является после того, как извлекутся компоненты более тяжелые, чем тяжелый ключевой, а в исчерпывающей секции — после отпарки компонентов более легких, чем легкий ключевой. Следо- вательно, когда ключевые компоненты представляют собой самые легкие и самые тяжелые компоненты питания, обе зоны постоянных концентраций примыкают к тарелке питания 6’8. Применение методики расчета Тиле и Геддеса для режима минимальной флегмы отличается тем, что расчет количеств тяже- лого ключевого и всех более легких компонентов проводят, начи- ная от зоны постоянной концентрации в укрепляющей секции до тарелки питания. Для всех более легких компонентов, чем легкий ключевой, расчеты продолжают до зоны постоянной кон- центрации в исчерпывающей секции. Аналогично для легкого ключевого компонента и всех более тяжелых компонентов расчеты начинают от зоны постоянного состава в исчерпывающей секции и проводят до тарелки питания. Для всех компонентов, тяжелее тя- желого ключевого компонента, расчеты продолжают до зоны по- стоянной концентрации в укрепляющей секции. Схематически эта методика показана на рис. XI-1. Если заданы Ао, D, задача состоит в выборе ключевых и меж- ключевых компонентов, а также определении соответствующего распределения продуктов. Кроме этого, необходимо найти количе- ство тарелок между зонами постоянных концентраций. Уравне- ния для зон постоянных концентраций в каждой секции колонны приведены ниже. Уравнения для зон постоянных концентраций. Тарелки в ко- лонне нумеруются сверху вниз. Верхней тарелке присваивается индекс 1, зона постоянной концентрации в укрепляющей секции обозначается индексом г, тарелка питания — индексом /. зона постоянной концентрации в исчерпывающей секции — индексом s. В приведенные ниже уравнения материальных балансов не вклю- чены однофазные легкие и тяжелые компоненты. 246
Уравнение материяль- ного баланса верхней части колонны для каждого тяжелого ключевого и всех компонентов легче тяже- лого ключевого компо- нента, записанное для (у — 1)-й тарелки, имеет вид Так как I y_i, — - ., то уравне- ние (XI,1) можно записать в виде Рис. XI-1. Направление расчетов при минимальной флегме для простых колонн: 1 — нераспределяющиеся легкие компоненты (расчет начинают от зоны постоянной концен- трации укрепляющей секции до зоны постоянной концентрации исчерпывающей секции); 2 — рас- пределяющиеся компоненты (расчет начинают от каждой зоны и ведут от тарелки питания); 3 — нераспределяющиеся тяжелые компоненты (расчет начинают от зоны постоянной концентрации ис- черпывающей секции до зоны постоянной концен- трации укрепляющей секции). (XI,2) В связи с наличием зоны постоянных концен- трации в укрепляющей секции имеется следующее ограничение на измене- ние рд lim оэ vj-i, i di Это ограничение определяется в следующем разделе, в котором также показано, что для зоны постоянной концентрации в укре- пляющей секции уравнение (XI,2) принимает вид Аналогично этому количества легкого ключевого компонента и всех более тяжелых компонентов в зоне постоянной концентра- ции исчерпывающей секции определяют по уравнению 1 bi A-Ssi Определение ключевых и межключевых компонентов, лым ключевым компонентом является наиболее тяжелый нент смеси, для которого vrildt [уравнение (XI,4)] — положитель- ное число, меньшее чем р; р — число, имеющее порядок верхнего (XI,5) Тяже- компо- 247
предела для ЭВЦМ). Аналогично этому легкий ключевой компо- нент — это наиболее легкий компонент смеси, для которого lgJhi [уравнение (XI,5) — положительное число, меньшее чем р]. Распределяющимися компонентами считаются компоненты, для которых одновременно удовлетворяются следующие неравенства: (XI,6) (XI,7) Нераспределяющимся тяжелым компонентом считается ком- понент, у которого Нераспределяющимся легким компонентом является компо- нент, у которого Применение этих критериев, которые основаны на уравнениях (Х,4) и (Х,5), освобождает от необходимости проведения расчетов для всех компонентов в направлении от концов колонны к тарелке питания с тем, чтобы обнаружить нераспределяющиеся легкие и тяжелые компоненты, как это требует методика, описанная в главе VI для простых и сложных колонн с конечным числом та- релок (отметим, что на практике для р берется значение 10~8, так как в восьмиричной системе абсолютные значения Ari — 1, меньшие 10-8, рассматриваются как нуль). Уравнения материальных балансов. Рассмотрим уравнения ма- териальных балансов для верхней части колонны, записанные для тарелок от г до / — 1. Поскольку условия в зонах постоянных концентраций можно определить независимо от протекания про- цесса на тарелках 1 и г, то для определения состава продуктовых •фракций нет необходимости рассчитывать тарелки от г до / — 1. Этот расчет проводят в случае, если необходимо определить, на сколько тарелок зоны постоянных концентраций отстоят от та- релки питания. Уравнения материальных балансов для тяжелого ключевого и всех более легких компонентов {кроме однофазного) приведены ниже: 1 Л (XI,8а) (XI, 8б) (XI, 8в) 248
Для компонентов легче легкого ключевого расчеты по этим уравнениям проводят до зоны постоянной концентрации в исчер- пывающей секции, причем для этих компонентов d. = FX{ и { vf-l, i I/-1, f j FXi (XI,8r) Уравнение материального баланса нижней части колонны, записанное для тарелки питания, имеет следующий вид: р/1= I/-I. i + ^г» (XI,8д) Для остальных тарелок Vj+i,i = A jiVji 1 (XI,8е) Уравнения материалънЪ)Х балансов для легкого ключевого ком- понента и всех более тяжелых (кроме однофазных). Данные урав- нения являются покомпонентными балансами нижней части ко- лонны. записанными для тарелки s или любой тарелки выше ее: (XI,9а) hi _ 1 bi i~ssi (XI ,96) (XI,9в) Для любого компонента, тяжелее тяжелого ключевого компо- нента, bi = РХ{, поэтому \ ut / (XI,9г) Из уравнения материального баланса, относящегося к верхней части колонны (от тарелки / — 1), получаем: lf-1, i = vfi + vpi (XI,9ц) Для тарелок выше тарелки питания уравнение материального баланса (для тяжелых нераспределяющихся компонентов) имеет следующий вид: lj-i, i^Sjilji r + 1^7^/— 1 (XI,9е) Вычисление bjdi. Проведя вычисления по уравнениям мате- риальных балансов, определяют значения bld для каждого распределяющегося компонента по уравнению (111,22). Если полу- ченная величина bi!di удовлетворяет неравенству 4- < 4 < р (XI,10) 249
то отсюда следует, что для данного приближения сделана правиль- ная классификация компонентов. Если же получено значение bjd.~^> р, то компонент следует, отнести к нераспределяющемуся тяжелому компоненту и расчеты для него проводить по уравнению (XI,9). Если biidi <2 1/р-. то компонент следует рассматривать как нераспределяющипся легкий компонент и выполнять расчеты для него по уравнению (XI,8). Доказательство существования зон постоянных концентраций в укрепляющей и исчерпывающей секциях. Доказательство суще- ствования каждой зоны проводится аналогично, поэтому здесь рассматривается только укрепляющая секция. Допустим, что компоненты для произвольной /-той тарелки пронумерованы в порядке уменьшения летучести: Kji (XI,11) Согласно методике расчета «от тарелки к тарелке» определяют температуру на каждой /-той тарелке, которая удовлетворяет уравнению точки росы: С Сумма величин у^.. по определению равна единице, поэтому из уравнения (Х1,11) следует, что для некоторых компонентов Kj. -<1, а для остальных К;. 1. Таким образом, для наиболее летучего компонента > 1 для всех /, и он является единст- венным компонентом, для которого такое заключение является безусловным. Знание температуры на тарелке позволяет вычи- слить значения Л которые в свою очередь дают возможность рассчитать количества компонентов по уравнениям: ^7- = ^oi + l (XI,13) ^+1.1 (XI,14) Последовательно подставляя уравнение для VjJd. в выраже- ние для ^y+i, 1/с?1, получим: 1 + Я yi 4-A j]Aj-i, j -J- A jjA1Д;_2.1 + + • • • +-4/i-Д/-i,i • - . Aj-k, 1+ • • • Ду-iii • • ♦ До» (XI,15) Рассмотрим такой ряд после подстановки в него значения = 1: У/+1,1 L V lji~ IT 250
Первые члены этого ряда составляют геометрическую про- грессию, сумма которой известна, поэтому _ 1 — (L/Vy+1 . / L у / L \ tji~ 1 —(L/7) * \ V ) \ D ) (XI,17) Если флегма минимальна, то j неограниченно, а выражение (XI,16) представляет бесконечный ряд. Поскольку 7>- L, a V/D — конечная величина, то бесконечный ряд сходится, давая следу- ющую сумму: ДпуЬ’1 = i-(L/V) (XI, 18) Таким образом, сходимость ряда, определяющего значение [уравнение (XI,15)] при увеличении / доказана, так как каждый член этого ряда меньше соответствующего члена выраже- ния (XI, 16). Поэтому сумма ряда, обозначаемая как vrlld^ меньше суммы, определяемой уравнением (XI,18). Эти ряды и для каждого из оставшихся компонентов стремятся к пределу по мере неограниченного возрастания /. Однако порядок доказа- тельства, принятый для компонента 1, неприемлем к остальным компонентам, поскольку для некоторых из них (при К".. <У 1) может оказаться, что > 1 (в частности, для компонента с, для которого К -е <Г 1 при всех ;)• Продолжим доказательство, рассматривая остальные компоненты смеси. Из определения мольной доли следует, что У j+i, 1 = 1— У l/y+i.i (XI,19) i=2 При неограниченном увеличении / значения yj+i,i стремятся к пределу, так как _Луу+1,1 \ \ Правая часть уравнения (XI,19) имеет также предел, равный Поскольку значения dt так же, как и значения V, конечны, то предел С 251
существует, и оесконечные ряды = 2 ~г ^y«^y+i»* + 2 ^ЪМу-i. i + i.=2 г=2 i=2 С с 4~ • • • + 2 ^У»^ У'11 г • • y_fe, i + . . . + У, A Ji A j-1, i . . . Л0( + . . . г=2 i~2 (XI,20) сходятся. Сравнение аналогичного ряда, записанного для компо- нента, с рядом, определяемым уравнением (XI,20), доказывает сходимость первого, поскольку каждый член этого ряда меньше соответствующего члена уравнения (XI,20). Аналогично доказы- вается сходимость ряда для каждого из оставшихся компонентов. Таким образом lim [ ] = vfi_ (для всех I) У -Н» оо \ di, / di Поскольку каждое значение у .+1)1 в пределе равно yri. то тем- пература на тарелках также стремится к постоянному значению (пределу), что следует из уравнения (XI,12). Соответственно А имеет предел Аг.. Установив это. можно легко получить уравнение (XI,4). При / = со уравнение (XI, 14) принимает вид ^Г=Л-‘Ш+1 (ХЬ21) Решая уравнение (XI,21) относительно vri/'dv получаем урав- нение (XI,4). Поскольку каждый член ряда, определяющего зна- чение Vy+i,положителен при всех значениях /, vriidi также будет положительным, и поэтому для всех компонентов дистил- лята Ari 1. Приведенное выше доказательство можно распространить и на случай переменных значении LIV. Прежде всего установим, что данное доказательство имеет силу для любых постоянных значений LIV (если L!V <Д). Рассмотрим модель процесса, в котором на первых п тарелках значения А^. — произвольные конечные положительные вели- чины (определяемые, например, уравнениями равновесий и те- плового баланса). Для всех значений ]'^> п величины AJt = Ari, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и теплового ба- ланса для зоны постоянных концентраций. Величина vni/di для первых п тарелок вычисляется как сумма ряда по уравнению (XI,15). 252
Обозначим эту сумму как М., тогда ^=А'< ш+,=1+л‘м‘ + 1 = 1+Л,(+А%М, ‘Ь \ £ / -^B = i^Ari~i-A2ri + • • • +A^ + A-‘~1+A^Mi^^~^ + A%Mi (XI,22) Так как А . <Г1, как это было показано выше, то lim -V^n,^ = 1 Итак, уравнения для зон постоянных концентраций применимы и к решению задач с переменными значениями L/V. Доказательство существования нераспределяющихся компо- нентов. Для определения корректированных (улучшенных) зна- чений d. и соответствующих им величин bt необходимо, чтобы эти значения удовлетворяли не только уравнениям для зон постоян- ных концентраций, но и уравнениям для тарелок, находящихся между этими зонами. Часто удовлетворить всем уравнениям одновременно возможно только в предположении, что один из компонентов целиком по- ступает в дистиллят или кубовый продукт (остаток). Доказатель- ство существования нераспределяющегося тяжелого компонента проводится аналогично описанному ранее для простой колонны, причем тяжелый компонент считается нераспределяющимся — = 0), если имеется тарелка /, на которой значение VjJdi превы- шает некоторое большое число. При бесконечном числе тарелок это определение относят к зоне постоянных концентраций. Если при заданных значениях Lr!Vr и Т величина Ат. = 1, то компонент считается иераспределя- ющимся, так как vr.ldi становится или бесконечно большим по- ложительным или отрицательным числом. Итак, если AJt 1 для всех тарелок укрепляющей секции, a S у <Z 1 для всех тарелок исчерпывающей секции, то d{ = 0. Допустим, что в укрепляющей секции А.. = 1 при всех значениях ;; в исчерпывающей секции S ч = VJLS (Ls = Vs + В) для всех значений /, кроме / = А7 + 1 (следовательно, К .. — 1 для всех /). Для кипятильника предположим, что . — VJB. Для зоны постоянных концентраций в исчерпывающей секции величина 253
lsifb. определяется при помощи выражения, аналогичного уравне- нию (XI,15), т. е. 4?=^ Продолжая расчеты до тарелки питания, получаем: VJLe i-(V„/La) (XI ,23) Отметим, что М. не входит в это выражение, так как член, его содержащий, стремится в пределе к нулю. Результаты, полу- ченные при расчетах снизу вверх в колонне с конечным числом тарелок, можно представить при помощи уравнения (111,22), причем Zу-1, i —i 4- 4y_i, ,-Лу_2,» + М/-2,»А/-з, i + + • • • + iAf-2t i • • • AMo* Очевидно, что при Ajt ~ 1 в укрепляющей секции, i/di = = /. Подставляя это значение, а также результат, полученный по уравнению (XI,23), в уравнение (III,22) и, переходя к пределу, получим: lim -- lim f -* oo \ bi / / -► oo Vi/L, vFi 1-Ve/L, FXj J ' FXi (XI ,24) Так как В — конечная величина, то bi также конечна, и по- этому = 0. Распространение этого доказательства на задачи с переменным значением L/V проводится аналогично тому, как сделано при доказательстве существования зон постоянных кон- центраций. Метод сходимости. После получения рассчитанных значений bjdi для распределяющихся компонентов 0-метод применяют обычным путем. Составы вычисляют по уравнениям (VI,3)—(VI,7); в отношении нераспределяющихся компонентов сохраняется ме- тодика, описанная в главе VI. После определения составов рас- считывают соответствующие температуры. Тепловые балансы. Тепловую нагрузку на дефлегматор сле- дует определять до расчета мольных потоков между двумя зонами постоянных концентраций. Потоки по колонне следует находить сочетанием метода по- стоянного состава и ^-метода составления тепловых балансов: = (^o)i — + [Я (XD)± Zfjp] (XI,25а) 254
Для тарелок между двумя зонами постоянных концентраций Д[Яд-Я(Хр)г] + <2с [Я (xr)r — h,.] я[лъ-я(х£,)А1]+е1,+ 2 ________________________k=r j~' Iя («/)/+! — r+l^/^f~2 (Х1,25в) /“2 В[Яс + Я(хс)/]+^ + МяС'г)/-яг]+ S Л fc=r [Я (Жу-1)у — ^/-11 (XI ,256) (XI ,25г) 3-1 D\Ha~H(XB) ] + Q,—F \Н-Н (X/tl)] + V <?4 fc=r з [Я (ху)у+1 — hj] (Х1,25д) Потоки пара определяют при помощи материальных балансов: V^L^-D (отметим, что Lr_x = Lr) Г j 'С / — 1 Ру £y-i В V f = Lf_x-\-D v f^Lf-i~ в / + 1 < / * * (XI ,26а) (^e-i' Bs) (XI,265) (Х1,26в) (XI,26г) При заданных условиях расчеты начинаются с верха колонны, как это видно из уравнений (XI,25а)—(Х1,25е). Определив на- грузку на промежуточные холодильники (или нагреватели) для зоны постоянных концентраций в исчерпывающей секции и для тарелок, расположенных выше нее по уравнению общего тепло- вого баланса * = + + S Qk-FH (XI ,27) вычисляют общую нагрузку на кипятильник и на тарелки, нахо- дящиеся между ним и зоной постоянных концентраций в исчер- пывающей секции. Решение частных случаев. Если все компоненты — распреде- ляющиеся, то зоны постоянных концентраций в укрепляющей и исчерпывающей секциях примыкают к тарелке питания. Способ решения такой частной задачи был опубликован ранее8. Условия для примеров XI-1 —XI-3 приведены ниже (см. также табл. 63). 255
Примеры XI-1—Xl-З. Давление в колонне 28 ат, дефлегматор — пар- циальный, агрегатное состояние питания — жидкость при температуре кипения. Начальный температурный профиль — линейный между 122— 138° С. Начальные потоки пара /у = V± для всех /. 7щ1п = 5, 7тах = 250. ТАБЛИЦА 6 3 Условия для примеров XI-1—XI-3 Компонент FX При- мер V. D СзНв 20 хм 150 40 изо-С< 20 XI-2 55 40 Н-Сц 20 XI-3 200 60 изо-Са 20 н*С5 20 Температурные профили и потоки пара для примера XI-1 приведены в табл. 64 и 65. Пример XI-2 решен (решение показы- вает, что все компоненты являются распределяющимися) при помощи общей методики, изложенной в данной главе, причем эти результаты (табл. 66, 67) идентичны тем, которые описаны в литературе8. ТАБЛИЦА 64 Температуры и потоки пара, полученные при решении примера XI-1 (решение показывает, что компоненты 1, 4 и 5 нераспределяющиеся) Л: тарелки № приближения 5 10 15 20 20 Температурные профили Потоки пара 0 (дистиллят) 103,10 103,13 103,14 103,14 — г 118,40 118,30 118,27 118,26 154,388 г + 1 118.60 118,32 118,27 118,26 151,388 г 2 118,95 118,35 118,28 118,27 151.387 Г + 3 119,54 118,99 118.30 118,27 151,385 f (питание) 133,49 133,60 133,25 133,35 136,562 s — 2 142,57 143,13 143,23 143,25 151,374 S — 1 142,98 143,19 143,24 143 25 151,377 8 143,04 143,23 143,26 143,27 151,380 JV -j- 1 (кубовый 161,82 161,78 161,77 161,77 остаток) D' рассчитанное 40,034 40 00000 39,9992 39,99997 0 1,0042 0,999999 0,999896 0,999996 Нераспределяющиеся 1, 4, 5 1. 4, 5 1. 4, 5 1, 4, 5 компоненты 256
ТАБЛИЦА «5 Составы продуктов разделения для примера XI-1 (приближение двадцатое) Компонент d ь Компонент d ь С3Н8 20 0,0 U30-C5 0,0 20 НЗ0-С4 14,575759 5,4242396 н-С5 0,0 20 н-С^ 5,4242396 14,575759 ТАБЛИЦА 66 Решение примера XI-2 Л» тарелки № приближения 5 10 10 Температурные Потоки профили пара 0 (дистиллят) 123,03 122,98 — г 130,77 130,76 54,706 г + 1 130,77 130,73 54,706 г 4-2 130,77 130,73 54,706 Г 4- з 130,77 130,73 54,706 / (питание) 130,76 130,73 54.706 S — 2 130,74 130,73 54,706 s — 1 130,74 130,73 54,706 S 130,74 130,73 54,706 N 4- 1 (кубовый остаток) 151,22 • 151,27 D (рассчитанное) 39,983 39,99995 0 0,9990 0,999997 Распределяющиеся ком- Все Все поненты ТАБЛИЦА 6 7 Составы продуктов разделения для примера Х1-2 (приближение десятое) Компонент а ъ Компонент а ь СзНв ПЗ0-С4 Н-С4 17,168039 9,501945 7,361634 2,831960 10,498054 12,638365 U30-C5 W-C5 3,440505 2,527875 16,559494 17,472125 17 Ч. Д. Холланд. 257
Если все компоненты являются переопределяющимися (иде- альное разделение) или имеется только один распределяющийся компонент, решение этой частной задачи получается при одно- временном решении каждой из двух пар уравнений, выведенных ниже. Эти уравнения получаются при адиабатических условиях работы всех тарелок между соответствующими зонами постоян- ных концентраций и верхом или низом колонны. С целью упро- щения рассматривается случай, когда отсутствуют однофазные легкие или тяжелые компоненты. Поскольку в зоне постоянной концентрации пар и жидкость в любом сечении колонны находятся в равновесии, то из уравнения (XI,4) следует, что или после преобразования Здесь = VrIDT. Суммируя левые и правые части уравнений (XI,29) по всем компонентам, получим следующую функцию, характеризующую условия протекания процесса в зоне постоянных концентраций укрепляющей секции: (XI ,30) Ясно, что XDi = 0 для всех распределяющихся тяжелых ком- понентов. Тепловой баланс верха колонны, записанный для не- которого сечения в зоне постоянных концентраций, имеет следу- ющий вид: Lr [Н (xr)r-hr\+D\H (XD}r-Hd\-Qc^ (XI ,31) причем Qc определяется по уравнению (XI,25а). Напомним, что Член xri из этого уравнения можно исключить при помощи уравнения (XI,29). Подставляя полученное выражение в уравне- ние (XI,31) и преобразуя его, получаем: Р2 (ф„ rr)=(l-tr) У ^,3,44) + 11D-#] (XI,32) 1 4V к1 Лг>/ L Л
Соотношения (XI,30) и (XI,32) являются урав- нениями с двумя неизвест- ными: фг и Тг. Искомым решением являются такие положительные значения i|i. и Тг, которые дают р1=Р2 — 0, а также удо- влетворяют условиям: Функция Р} имеет два тривиальных решения: одно фг = 0 (для лю- бого Тг) и другое — фг — 1 чение фг представляет собой Р j, который лежит (для Тг = р). Искомое зна- положительный корень функции между ф,. = 1 и фг = 1 /(1 — Krh). Для того чтобы функция Рг имела такой положительный корень, принятое значение Тг должно лежать между 7 и Th. Поведение функции Рг в окрестности искомого положительного корня показано на рис. XI-2. Функции РА и Р2 аналогичны в общем виде функ- циям материального баланса и теплового баланса для адиабати- ческого однократного испарения (см. главу II). Уравнения (XI,30) и (XI,32) можно решить относительно фг и Тг при помощи ите- раций (способом Ньютона — Рафсона или способом интерполиро- вания), если все принятые значения переменных удовлетворяют указанным неравенствам. Аналогичным образом получаем приводимые ниже уравнения для зоны постоянных концентраций исчерпывающей секции: (Х1'33’ »=1 причем tys = Vs/B. Необходимо помнить, что хв. — 0 для всех нераспределяю- щпхся легких компонентов в данном и других уравнениях для указанной зоны. Функция теплового баланса для этой зоны имеет следующий вид: Н Ы. —^-J (XI,34) 1=1 Определив QK, решают уравнения (XI,33) и (XI,34) способом Ньютона — Рафсона или интерполированием. 17* 259
Искомые положительные корни и Tt должны давать р1 = «е= р2 = 0 и удовлетворять условиям: Найденные решения (фг, Тг, Тв) определяют классификацию компонентов. Если получается, что распределяющимся является только один компонент, то полученное решение правильно; в противном случае необходимо вернуться к общей методике расчета. Если заданы условия, согласно которым количество дистиллята к FXi к<с (XI,35) 1 должно быть равно сумме значений FXi для первых к компонентов (нумеруются в порядке уменьшения летучести), то такой частный случай разделения возможно получить, только применяя неогра- ниченно большое число тарелок. Разделение смеси считается идеальным, если компоненты от i = 1 до i = к являются легкими нераспределяющимися компонентами: i = 1,2..к (XI ,36) и компоненты от I = к до i = с — тяжелыми нераспределяющи- мися компонентами: b^FXi i = fc-f-l, Л-f-2, ...» с (XI,37) Ниже показано, что при идеальном разделении многокомпо- нентных смесей в отличие от бинарных никаких дополнительных зон (кроме зон, примыкающих к тарелке питания) постоянных концентраций вверху и внизу колонны не существует. При иде- альном разделении многокомпонентных смесей условия протека- ния процесса в зонах постоянных концентраций укрепляющей и исчерпывающей секций получают по уравнениям (XI,30), (XI,32) — (XI,34). Правильность утверждения, что для много- компонентных смесей отсутствуют дополнительные зоны постоян- ных концентраций, доказывается методом от противного. Допу- стим, что у верха колонны существует зона постоянных концен- траций, тогда можно написать следующие соотношения: XDi = yoi = Уц = Ул = • • • Г1=У2=73= . . . (XI,38) £0 = = — • 260
Уравнение материального баланса для дефлегматора имеет вид Fji/oi — LqXm~\-DX Di (XI,39) Поскольку XDi = yOi = то уравнение (XI,39) можно свести к (Fjl — D) (А\н) = Ьо; Vr — D = Lq, поэтому ^о< = 1 (XI,40) Полученный результат противоречит тому, что дистиллят покидает колонну в виде пара при температуре точки росы. Действительно, из уравнения (XI, 12) следует, что некоторые значения Ki должны быть меньше единицы, а остальные — больше единицы (за исключением только одного компонента, который может иметь значение К, равное единице). Аналогично проводится доказательство для колонны с полным дефлегматором. Таким же образом доказывается невозможность существования зон постоян- ных концентраций куба колонны. Примеры расчета Описанная выше общая методика позволяет успешно решать самые разнообразные задачи9. Рассмотрим простую задачу (см. табл. 63) с различными условиями разделения. В примере XI-1 — три нераспределяющихся компонента, в примере XI-2 — все компоненты распределяющиеся, в примере XI-3, наоборот, все компоненты нераспределяющиеся. Решения приведены в табл. 64—68. В данных примерах температуры дистиллята и кубового остатка определены с точностью до четвертого или пятого знака в результате пяти или десяти приближений. Такая точность в отношении температур продуктовых фракций обеспечивает соответствующую точность в определении состава продуктов разделения, что является главной целью общей методики расчета. Однако для того чтобы получить такую же точность определения температуры в зонах постоянных концентраций, потребовалось несколько дополнительных приближений, что объясняется не- достаточным количеством тарелок между зонами. Когда все компоненты являются нераспределяющимися, зна- чение 9 берется равным единице во всех уравнениях, куда входит это значение. Из результатов, приведенных в табл. 64—68, ясно, что сходимость задач возрастает при увеличении числа распреде- ляющихся компонентов смеси. Для того чтобы определить влияние числа тарелок, принятых для начала итераций на скорость сходимости, были решены три при- мера. В одних случаях между зонами постоянных концентраций 261
ТАБЛИЦА 68 Решение примера XI'3 № тарелки № приближения 5 10 25 См. * 25 См. * Пот О К И 1е мперату р в ы е п р о ф И л и и а р а (0 дистиллят) 114,19 113,89 113,89 113,89 — — . г 152,30 140,14 123,78 123,52 203,416 206 403 г + 1 152,30 140,20 123,79 — 203,416 г-у 2 152,30 140,30 123,80 — 203,398 — г 4-3 152,30 140,45 123,81 — 203,382 — f (питание) 152,70 142,42 140,13 — 182.391 — s — 2 159,87 156 63 171,90 — 207,754 -— S— 1 160,12 156,80 172,02 — 205,181 -— S 160,23 156,89 172,06 178 23 205,181 201,452 Л’4-1 (кубо- 179,67 179,40 179,40 179,40 вый остаток) D (рассчитан- 69,95 60 00000 60,0000 — ное) о 77,96 1,000000 1 00000 — Нераспределя- 1,2,3 Все Все — ющиеся компоненты * Получено решением по методике, разработанной для частных случаев. ТАБЛИЦА 6 9 Число приближений (необходимых для нахождения разницы менее чем 0,003" С для температур, получаемых после каждого последовательного приближения) в зависимости от начального числа тарелок Пример Начальное число тарелок 10 102 XI-1 (компоненты 1, 4, 5 нерас- предсляющиеся) 20 15 XI-2 (все компоненты распределя- ющиеся) 9 24 XI-3 (все компоненты нераспре- деляющиеся) 60 50 262
принято 10 тарелок, в других — 102 тарелки. Результаты, приведенные в табл. 69, показывают, что число тарелок слабо сказывается на скорости сходимости. Сложные колонны Описанные выше методики расчета простых колонн при минималь- ной флегме можно распространить и па сложные колонны. Ниже приведены методики для случая, когда колонна снабжена одной тарелкой питания и одной тарелкой бокового отбора (наряду с дистиллятом и кубовым остатком). Рассмотрены два случая отбора бокового потока W\; в первом — зона постоянных кон- центраций находится между тарелкой питания и тарелкой боко- вого отбора, а во втором — выше тарелки бокового отбора. Кроме того, описана методика расчета для колонн, имеющих более одной тарелки питания, причем предусматривается минимизация погрешности вычисления (округления). Заданными условиями расчета являются: Lo, D 0, W\ и бес- конечное число тарелок как в укрепляющей, так и в исчерпыва- ющей секциях. Кроме- того, заданы тип дефлегматора, давление в колонне, количество, состав и агрегатное состояние питания. Требуется рассчитать состав продуктов разделения. Расчет про- цесса в сложных колоннах при минимальной флегме проводят по методике^независимого определения концентраций в сочетании Рис. XI-3. Направление расчетов для случая, когда боковой отбор отстоит от верха колонны на конечное число тарелок: } — нераспределяющиеся легкие компоненты; 2 — нераспределяющиеся тяжелые ком- поненты, з — распределяющиеся компоненты; 4 — распределяющиеся и нераспределя- ющиеся легкие компоненты. 263
с 6-методом сходимости7’10. Наличие неограниченного числа тарелок и является единственным отличием данной методики от описанной ранее для сложных колонн. Вариант 1. Между местом отбора бокового потока и верхом колонны находится конечное число тарелок. Схема расчета ко- лонны показана на рис. XI-3. В этом случае справедливы следу- ющие уравнения материальных балансов: Для укрепляющей секции £о£ di (баланс для дефлегматора) rsS 7 2 = ^0i (XI,41а) (XI,416) (Х1,41в> (XI,41г) (Х1.41Д) (Х1,41е) vfi / vf-i, t \ = Л,.!, t (XI,41ж) Здесь Для исчерпывающей секции Z ~hT = ^W+I. i +1 (баланс для кипятильника) (XI,42а) 4^ = 7—(XI,426) bi 1 — + l 7 + 1^/^ (XI.42B) bi J \ bi } I f —T i ( f i \ —h--= «7 J 4- + 1 (XI,42r) bt J \ bi / Уравнение для укрепляющей секции записывается для тяже- лого ключевого и более легких компонентов. Для нераспределя- ющихся тяжелых компонентов t?^+irj|=O (XI,43) 264
Количества нераспределяющихся тяжелых компонентов в исчер- пывающей секции рассчитывают по уравнениям (XI,42а)—(XI,42г); для укрепляющей секции применяют уравнения, Приведенные в данной главе для простых колонн. Количество нераспределя- ющегося легкого компонента (Ь; = 0) в укрепляющей секции вычисляют по уравнению (XI,41); для исчерпывающей секции можно получить уравнения, аналогичные приведенным выше для простых колонн при минимальной флегме. Для данного частного случая сложных колонн d. — FXJCt, в то время как для простых колонн d. = FXi (здесь С^. = 1 -j- и^/Ь^. Приведенная ниже формула расчета значений bt/d{ для любого распределяющегося компонента выводится аналогично описан- ному в главах III и VII: ь< U/-i, J^) + clf(Zfl/xXt.) di ~~ ^fi/bij + ^^/FXJ { Вычислив величины b./d{ и wu!d., применяют 0-метод в соот- ветствии с указаниями, приведенными в главе VII для сложных колонн. Составы рассчитывают по формулам, приведенным в главе VI. Тепловые балансы. После определения lpi по уравнению (XI,41г) рассчитывают г> +1, р V p+lt Температуру на тарелке (р + 1) определяют по точке росы. Ниже гриведены уравнения теплового баланса для верхней части колонны (применяются метод постоянного состава и <?• -= Lo [Н Uo)! - М + D [Н (XО)1 - HD} Д[//с-Я(Хо)а]Ч<>г 1 1И(*1)2 —*11 D[Hd-.tf(XD)y+1] + ^ + S & 2 ₽ p D[HD-H(X„)r\ + Wl (h,-H(x„}r\+Q,+ Q,c r _ Z=1 r~ [H &r)r — hr} Lj~ [H (^)y+l — hj\ P j—V "S Qk + 2 Qk I k=l k=r . ,_ -ме (XI,45a) (XI,456) (XI,45b) (XI,45r) (Х1,45д) 265
D \HD-H (Xr)z] + Wi [hp — H O7-1)/] [Я (^/-1) j— ^/-1] 'ИяS <v:- I& fc=l A=r [Я (•£/_])y — ^/-11 D[Hd — H (Xd)?+1] 4- H'l [hp — H (жу)у+1] P f-2 F[H-H(X)j+i]^ Qc+ 2 <A + 2 ___________________A-=l k=r [ff (Xy)J+i— hj\ (XI,45e) — 1 (Х1,45ж) Величина потока жидкости корректируется в заданных пре- делах при помощи (2-метода. Частные случаи решения. Описанная ниже методика приме- няется в случае, когда все компоненты или все, за исключением одного, являются нераспределяющимися (они появляются при расчете D и ИД или В). Уравнение материального баланса + Шсо = FXi ~ {bi)eo (XI ,46) можно решить относительно №)»- . If \~(Д"? (XI,47) 1 + У1 (и1г7«г)м Отметим, что (д’)го равны нулю для всех компонентов, за исключением одного распределяющегося, для которого величина (Д)со известна. Таким образом, функция £o(0i)^ £ (<^-Л (XI,48) «=1 зависит только от 0А. Для систем с одним распределяющимся компонентом значение 0О рассчитывают, исходя из определения 0 [уравнение (VII,!)]. Когда все компоненты являются нераспределяющимися, 0О = 1. Для каждого тяжелого распределяющегося компонента значе- ние (rf,)€0 принимается равным нулю как в уравнении (Х,48), так и в приводимых ниже уравнениях для зоны постоянных концен- трации укрепляющейся секции. Поскольку значения wu и dt для нераспределяющихся легких компонентов (или для нераспределяющихся легких компонентов и одного распределяющегося) не зависят от условий в зонах постоянных концентрации укрепляющей и исчерпывающей секций, то корректирование составов D и W1 можно проводить путем расчета только верхней части колонны [тарелки (0 — р)]. Зна- 266
чения после нескольких итераций определяют по уравнению (Х,48). Реше- ние для верхней части ко- лонны заканчивают, полу- чив значение = 1. Затем определяют усло- вия протекания процесса в зонах постоянных кон- центраций. Для зоны по- стоянных концентраций укрепляющей секции иско- мые корни <|\. и Тг пред- ставляют собой положи- тельные числа, при кото- рых Pi = р2 = 0. Функ- ции р 1 и р 2 определяются следующим образом: Л(Фп тг) = 2 (^-нм/(я + ий) =. ------------------1 1 — фг (1 Kri) (XI,49) Рис. XI-4. Направление расчетов для случая, когда боковой отбор отстоит от тарелки питания на конечное число тарелок: 1 — нераспределяющиеся легкие компоненты; 2 — нераспределяющиеся тяжелые компоненты; 3 — распределяющиеся компоненты. ^2 (Фг, С Тг^г~^ «=1 СМ-идЗ/(Д + ИШн 1-фг(1-Кг;) ( Г) \ МЛ. {Н (хр)г ЛД - (XI,50) Здесь . Vr ill — - — r D + Wi Необходимо проверять, что для нераспределяющихся тяжелых компонентов d. -г wu — 0. Вариант 2. Между питанием и боковым отбором находится конечное число тарелок. Схема расчета колонны показана на рис. XI-4. Материальный баланс для исчерпывающей секции дают уравнения (XI,42а)—(XI,42г). Уравнения материального баланса для укрепляющей секции имеют следующий вид: ^T- = A0i (XI,51а) а i E1L di — ^о* +1 (XI,516) 267
(Х1,51в) (XI,51г) (Х1.51Д) (XI,51e) (Х1,51ж) Уравнения (XI,42a)-(XI,42r) и (Х1,51а)-(Х1,51ж) приме- няются для всех компонентов. Для нераспредел ющегося легкого компонента расчеты проводят сверху вниз по уравнениям (XI,51а) — (Х1,51ж), продолжая их до зоны постоянных концен- траций исчерпывающей секции. Для нераспределяющегося тяжелого компонента расчеты про- водят снизу вверх до тарелки питания в соответствии с уравне- ниями (XI,42а)—(XI,42г). При расчете укрепляющей секции до тарелки р используют уравнения, приведенные ниже. bi (XI,52а) */-ь bi (XI.526) (Х1,52в) (XI,52г) (Х1.52Д) Однако до применения уравнений (XI,52а)—(Х1,52д) следует определить значение wulb. по следующей зависимости: ь{ ~ (Ь/ж1)+фД^.//'Х1.)+ф< k ' 268
Здесь Ф» — £р+Ь i$p+2, i • • • Sf-2, iSf-1, i ^i=Sp+l, i ~^Г $ p+1, p+2, i 4 • • • “Г ^p+l, p+2, i • . • f-3< i$ f-2, * Вычислив wri!b. по уравнению (XI,53) и определив количество компонента в кубовом продукте FXj (XI,54) по уравнениям (XI, 52а) — (Х1,52д), рассчитывают количества нераспределяющегося тяжелого компонента в укрепляющей секции. При определении числа тарелок между двумя зонами постоян- ных концентраций применяют методику, аналогичную описанной для простых колонн. Однако надо проверять, находится ли зона постоянных концентраций выше тарелки р. Примеры расчета Ниже приведены условия для примеров XI-4—XI-6 (см. также табл. 70). Примеры XI-4—XI-6 9>и. Во всех примерах давление в колонне 20 ат, дефлегматор — парциальный, питание — жидкость при температуре кипе- ния. Начальный температурный профиль — линейный между 122—138° С. Начальные потоки паров V j = Ух для всех /. Во всех примерах ymin = 5 п Утах = 250. В примерах XI-4 и XI-5 жидкий боковой поток отводится с тарелки № 5 (порядок нумерации сверху вниз), в примере XI-6 он отво- дится на пять тарелок выше тарелки питания. ТАБЛИЦА 70 Условия для примеров Х1-4—Х1-6 Компонент FX ! Пример Условия Vi D Wi С3Н8 20 XI-4 150 30 20 U30-C4 20 XI-5 200 20 40 Н-С4 20 XI-6 100 30 15 нзо-Са 20 н-С5 20 В табл. 71—76 приведены расчета по данной методике. результаты решения трех примеров 269
ТАБЛИЦА 71 Температуры и потоки пара, полученные при решении примера XI-4 (И\ отводится с тарелки №5) № тарелки № приближения 5 15 26 26 Температурные и р о ф И л и * Потоки пара 0 (дистиллят) 98,38 99,60 99,60 — 5 (тарелка р) 115,98 116,39 116,40 151,74 г 127,18 119,16 119,00 151,79 г +1 137,22 119,15 118,97 151,79 г + 2 127,50 119,25 118,97 151,79 f (питание) 140 80 136,40 136,35 135,59 8 — 2 148,79 145,55 145,54 149,83 8—1 149,01 145,53 145,50 149,83 $ 149,15 145,55 145,50 149,83 N +1 (кубовый остаток) 169 88 169,57 169,57 D (рассчитанное) 30,885 29,995 30,000 1,89720 0,99711 0 99999 Wl (рассчитанное) 22,213 19,988 20 000 0.99971 1,00003 0,99999 Распределяющиеся ком- 3 2,3 23 — поненты * Взяты средние величины. Составы продуктов разделения для примера XI-4 (приближение двадцать шестое) ТАБЛИЦА 7 2 Компо- нент d ь W1 Компо- нент d ъ IV, с3н8 16,9733 0,0 3,0267 и 30-С5 0,0 20,0000 0,0 и 30 -С4 9,9048 0 7052 9,3850 H-C5 0,0 20,0000 0,0 Н-С4 3,1169 9,2948 7,5883
ТАБЛИЦА 7 3 Температуры и потоки пара, полученные при решении примера XI-5 (П\ отводится с тарелки № 5) X тарелки № приближения 5 ю 25 См. * 25 См. * Температурные пр оф и л и Потоки пара 0 (дистиллят) 91 54 91,59 91 59 91,59 — 5 (тарелка р) 118,39 118,37 118.37 200,56 — —* Г 129,60 126,27 123,38 123,97 202,47 202,50 г +1 129,66 125,95 123,40 — 202,48 1— г + 2 130,49 126,33 123,40 — 202,46 — / (питание) 145,96 142,15 141,02 181,19 —» 8—2 154,88 158 55 173,76 -— 196,56 ~ 8—1 154,72 158,30 173,95 - ' - 196,58 — 154,87 158,44 174,05 178,26 196,52 200,90 Лт-1-1 (кубовый остаток) 179,40 179,40 179,40 179,40 D (рассчитанное) 19,934 20,000 20,000 "0 П'1 (рассчитанное) 40,066 40 000 40,000 61 0,99243 0,999999 0,999999 I ^распределяющиеся Все Все Все компоненты 1 * Получено решением по методике, разработанной для частных случаев. Составы продуктов разделения для примера XI-5 (приближение двадцать пятое) ТАБЛИЦА 74 Компонент d ъ Wi Компонент d ь Wi СзН8 14,430 0,0 5,5700 U30-C5 00 20,0 00 изо-С^ 4,0671 0,0 15,9329 н-С5 00 20,0 0.0 н-С4 1,50291 0 0 18,4971
ТАБЛИЦА 76 Температуры и потоки пара, полученные при решении примера XI-6 (И7! отводится на пять тарелок выше тарелки питания) № приближения № тарелки 5 10 20 20 Температурные профили Потоки пара 0 (дистиллят) 99,30 99,49 99,51 109,36 г 115,20 115,32 115,32 100,36 Г + 1 115,24 115,33 115,32 100,36 г + 2 115,36 115,34 115,32 100,36 Р (боковой поток) 122,72 123,06 123,13 94,17 / (питание) 133,61 133,28 133,28 89,23 S—2 146,15 146,22 146,34 102,15 s— 1 146,30 146,27 146,34 102,16 S 146,37 146,29 146,34 102,16 N +1 (кубовый 187,40 185,45 185,57 остаток) D (рассчитанное) 30,004 29,984 30,000 6о 1,0321 1,0011 1,0000 \\\ (рассчитанное) 15,579 15,045 15,000 01 0,9717 0,9957 0,9999 Нераспределяющиеся 1, 4, 5 1, 4, 5 £ 4, 5 компоненты * Величины D и Wi вычислены. Составы продуктов разделения для примера XI-6 (приближение двадцатое) ТАБЛИЦА 7 6 Компонент d ь Wi Компонент d ь Wi С3Н8 17,344 0,0 2,6567 изо-С$ 0,0 17,9732 2,0267 НЗО“С4 8,9774 6,8042 4,2487 Н-С5 0,0 18,881 1,1193 «-С4 3,7091 11,3418 4,9490
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ к, т, п — целые числа. Pi» Р2 — функции материального и теплового балансов для зоны посто- янных концентраций исчерпывающей секции. Pj, Р2 — функции материального и теплового балансов для зоны посто- янных концентраций укрепляющей секции. Th — температура, при которой Krh = 1. Тг — температура, при которой Kgl = 1. Tr, Tt — температуры зон постоянных концентраций укрепляющей и исчерпывающей секций. >ri, Л,; — скрытые теплота испарения i-того компонента при температуре в зонах постоянных концентраций укрепляющей и исчерпыва- ющей секций. ЗАДАЧИ XI-1. Вывести уравнения (XI,8а), (XI,9е) и (XI,25а) —(XI,27). XI-2. Вывести формулы для P-функций [уравнения (XI,30), (XI,32)— (XI,34)]. XI-3. Вывести уравнение (XI,41а)—(XI,44), используя условия мате- риальных балансов и равновесные соотношения. XI-4. Проверить выражения для тепловых балансов [уравнения (XI ,45а) — (Х1,45ж)]. XI-5. Вывести уравнения (Х,49) и (Х,50). XI-6. Вывести уравнения (XI,51а)—(XI,53). ЛИТЕРАТУРА 1. Acrivos, Andreas, Amundson N. R., Chem. Eng.Sci., 4, № 2, 68 (1955). 2. Murdoch P. G., Holland C. D., «Multicomponent Distillation: IV — Determination of Minimum Reflux» Chem. Eng. Progr., 48, 287 (1952). 3. Underwood A. J. V., Chem. Eng. Progr., 44, 603 (1948). 4. В г о w n G. G., Holcomb D. E., Petrol. Eng., 11, 23 (1940). 5. Bachelor J. B., Petrol. Ref., 36, № 6, 161 (1957). 6. Shiras R. N., Hanson D. N., Gibson G. H., Ind. Eng. Chem., 42, 871 (1950). 7. L у s t e г W. N., Sullivan S. L. jr., Billingsley D. S., Holland C. D., Petrol. Ref., 38, № 6, 221 (1959); 38, № 7, 151 (1959); 38, № 10, 139 (1959). 8. M c D о n о u g h J. A., Holland C. D., Bauni H. L., Chem. Eng. Sci., 16, № 3; № 4, 143 (1961). 9. M c D о n о u g h J. A., Holland C. D., Petrol. Ref., 41, № 3, 153 (1962); 41, № 4, 135 (1962). 10. C a n i k L. J., Hardy B. W., Holland C. D., Petrol. Ref., 40, № 12, 161 (1961). 11. M c D о n о u g h J. A., Ph. D. Dissertation, A. and M. College of Texas, College Station, Texas, January 1962, 18 Ч. д. Холланд.
Г Л Л В А XII рЫ ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ КОЛОННЫ ПРП МИНИМАЛЬНОЙ ФЛЕГМЕ (ПРОЕКТНЫЙ РАСЧЕТ) В главе XI описаны методики проверочного расчета процесса при минимальной флегме, когда заданными условиями для простых колонн являются значения (или £0) и D. В данной главе решается проектная задача, когда заданы условия разделения двух компо- нентов (bJdtY В результате расчета находят значения (или Lo) и/9, требующиеся для достижения заданного разделения в колонне с бесконечным числом тарелок в обеих секциях. Для сложной колонны вместо значений Vt (или Lo), D и ИД задаются два значения b{/dt и количество потока Wv Необходимо найти наименьшее значение 1Д (или Lo), которое бы удовлетво- ряло данным условиям. Решение дает также общее количество дистиллята и распределение компонентов в продуктах разделения. Ниже приведены методики расчетов и методы сходимости для простой и сложной колонн1’2. Простые колонны Уравнения материальных балансов и формулы для расчета соста- вов аналогичны приведенным в главе XI. Компонент с меньшим заданным значением bjdi рассматривается как легким ключевой компонент, а с большим заданным значением bi!di — как тяжелый ключевой. Компоненты легче или тяжелее ключевых классифи- цируются соответственно как легкие и тяжелые нераспределя- ющпеся. Ключевые компоненты и компоненты с промежуточной летучестью рассматривают как распределяющиеся. Метод сходимости. Применение метода сходимости отличается от описанного выше тем, что значение 0 в данном случае следует выбирать для каждого распределяющегося компонента, т. е. СО са (XII,1) 274
Корректированные значения bjd. известны для ключевых компонентов, поэтому значения 0О/ и 0o/t вычисляют непосред- ственно по уравнению (XII,1). Однако для компонентов, имеющих промежуточную летучесть, множитель 0 определить прямым путем нельзя. Можно предположить, что значения множителя 0 для данных компонентов лежат между его значениями для ключе- вых компонентов (рис. XII). В связи с этим было найдено, что хорошие результаты дает приводимое ниже соотношение, которое базируется на линейном изменении логарифмов корректированного и рассчитанного значений 0: ПгЧ'* - (XII,2) X Оо; / 3 (есь Щ ( Ъ.Лйг\ „ Vh/dJ^ ln ( bh!dn A )ca Определив значения 0OZ для данного компонента по уравнению (XII,2) и величины (b./d.)co по уравнению (XII, 1), находят при помощи приведенного ниже уравнения корректированное количество дистиллята для каждого распределяющегося компо- нента: FX FX Рис. XII. Соотношение между кор- ректированными и рассчитанными значениями b:ld;. I f Общее количество дистиллята определяют как сумму корректи- рованных количеств отдельных компонентов в верхнем продукте. Составы дистиллята вычисляют по уравнениям (VI,3)—(VI,7). Для системы, не содержащей однофазные компоненты, эти фор- мулы упрощаются и прини- мают следующий вид: (d ji/&i)ca (bi)eo Xji^ с X (bi)co 1.4 У ~~c (dt)co »=1 (XI 1,4) Для тяжелых нераспреде- ляющихся компонентов (ХП.5) IS* 275
Для легких нераспределяющихся (^/^)ео-е0;(^/^)СЙ (хп,б> Ввиду того что для легкого нераспределяющегося компонента (Ь)еа = 0 и (bt)co = 0, произведение 1(Ь^/Ь{)са] (£.)„, входя- щее в уравнение (XII,4), заменяют на его эквивалент: Соответствующее эквивалентное выражение для нераспределяющегося компонента имеет вид (XII,7) тяжелого (XI 1,8) На основе составов, вычисленных по уравнению (ХП,4)Т определяют температуру на тарелках колонны. Определение величины потока V\ (или LQ) для следующей итерации. После определения температурного профиля для данной итерации рассчитывают поток Vr. В задачах с постоянным зна- чением LIV по высоте потоки в укрепляющей секции принимают равными соответствующим потокам в зоне постоянных концен- траций. Величину потоков жидкой и паровой фаз в исчерпыва- ющей секции находят при помощи соответствующих материальных балансов, в которых учтено агрегатное состояние питания. Если потоки пара и жидкости рассчитывают по тепловым балансам, Ej (или Ло) вычисляют после того, как будет определен поток Vr. Значение Vr для следующего приближения находят при помощи функции Р (функция материального баланса), соот- ветствующей зоне постоянных концентраций в укрепляющей секции. Эта функция выводится следующим образом: Vri 1 l~Ari Поскольку 1г./с1< = ArA^i/di), следовательно j ______________________ (di)c0_(di)caLr rt~ Sri — i ~ KriVr — Lr Так как Vr — Lr-j-D, то __ (dj)co ___________________________Dj______ ri KriVr — Lr 1-фг(1-Хн) Здесь v _______________________ __ (^i)ce ----D~~~ i=h (XII,9) (XII,10) (XII,11) 276
Находим сумму левых и правых частей уравнения (ХП,11) по всем компонентам и после преобразования получаем: V XD 4=1 (XII,12) Определение потока Vr для следующей итерации сводится к на- хождению положительного значения -фг, которое дает Р (фе) = О (это можно сделать при помощи способа Ньютона или интерполи- рованием). Аналогичная функция материального баланса применяется для исчерпывающе!! секции колонны. Было показано 2, что использо- вание значений Vr, рассчитанных по уравнению (XI 1,12), обычно ведет к «раскачке», которая может быть уменьшена путем уста- новления искусственного ограничения величины Vr при итера- циях . Для этой цели были введены коэффициенты ограничения, которые менялись для каждой серии итераций следующим образом: 1,2 и 1/1,2 (для пяти первых итераций); 1,1 и 1/1,1; 1,05 и 1/1,05; 1,025 и 1/1.025 соответственно для каждых трех итераций. При всех последующих итерациях применялись коэффициенты 1,0125 и 1/1,0125. Если значение, найденное по уравнению (XII, 12), лежит в указанных пределах, то вместо него принимается среднее значение между ним и V,, взятым для последнего приближения. Можно получить такие V,., Гг, 7\, которые дают отрица- аельные значения Vri!dt или lri!di (или обеих величин) для распределяющихся компонентов. В этом случае принимаются значе- ния Vr, лежащие между использованными для проведения послед- него приближения и значением, рассчитанным при помощи P-функ- ции; вычисленные таким образом Vr подвергают проверке до тех пор, пока не будет найдено такое значение, которое даст положи- тельную величину vrJd. для каждого распределяющегося ком- понента. Если вычисленному значению Vr соответствует такое Vsf которое дает отрицательное lsiidi для любого распределяющегося компонента, то определяется новое значение Va из условия Pi (Ф«) — 0 [см. уравнение (XI,33)]. Тепловые балансы. Расчет начинают с определения внешней флегмы Lo по уравнению теплового баланса для зоны постоянных концентраций укрепляющей секции: 17гЯг “Т Мо— + которое дает D Iя (xd)~ н (xd)d + L' Iя (^r)r- 4 [Я(х0)!-М (XII,13а) (XII,136) 277
поскольку с VrHr^ £ Hr< + = LrH (xr)r + DH (XD) i=h V1ff1=-L0H(x0)1 + DH(XD)1 Нагрузку на дефлегматор определяют следующим образом: Qc = D [Н (Xd)~Hd\ + Lr [Hxr)r - hr] - (?! (XII, 13в) Для тарелок между зонами постоянных концентраций ]+(?с+й+ 2 <?t _________ __________________4'=г+1 [Я (xj)J+1 — hj] г + 1 —2 (XI 1,13г) D [Яр-H(XD) ] ' Qc + Ci г _________________i_________ [Я (а:,.,),-Л,.,] J-l vF[H(yF)f-ffFH 2 <h J A=r+1 [H (XII,13д) Тепловую нагрузку на кипятильник определяют по уравнению 8 QR^DHD-^-BhB^QJ Qt-\- Q>-FH (XII,13ж) A=r + 1 При проведении расчетов для тарелок, расположенных непо- средственно над и под зонами постоянных концентраций, прини- мают составы и температуры, равные их значениям в соответ- ствующих зонах, т. е. xt._^ i = xri, Tr_,--^Tr, xgi = xs+hi и Г, = = Ts+i- Определив потоки жидкости по уравнениям (XII, 13а)— (XII, 13ж), потоки пара рассчитывают следующим образом: Т1 = Ь0-т D (XI 1,14а) + D (XII,146) 278
ТАБЛИЦА 7 7 Температура н потоки пара, полученные при решении примера XII-1 № тарелки № приближения 5 10 25 38 38 Температурные профили* Потоки пара 0 (дистиллят) 103,14 103,14 103,14 103,14 г 113,53 118,82 118,75 118,24 151,378 г - 1 113,75 119,39 118,76 118,22 151,378 г + 2 114,19 118,94 118 76 118,22 151,378 г-13 114,54 119,00 118,76 118.22 151,378 / (питание) 124,19 134,18 134,00 133,35 136,555 s — 2 131,96 141,21 143,94 143,22 151,375 .S’- 1 131,98 141,25 143,94 143,22 151,375 132,02 141,28 143,94 143,22 151,375 Лг-г1 (кубовый 161,80 161,80 161,80 161,80 остаток) Dee 40 40 40 40 60/ 0,27112 0,5496 1.0443 1,00008 0,98292 1,1166 0 94263 1,0004 Vi 106,796 146,79 158,60 149,991 * Проводилось температуры между усреднение температур при итерациях. После 38-го приближения итерациями отличались нс более чем ira 1,7-10“3 °C. (Отметим, что Lr_i — L^ V/=Lf_1^-D (XII,14в) ' (ХП,14г> + l (XII, 14д) (£ #-1~ «) Для иллюстрации применения 0-метода сходимости дано решение примера XI1-1 (табл. 77), условия которого приведены ниже: Пример XII-1. Давление в колонне 28 ат, изо-С^ легкий ключевой компо- нент, я-Сд — тяжелый ключевой компонент btl= 0,37214114 и bh!dh => — 2,6871523. Дефлегматор-^- парциальный. Питание подается в виде жид- кости при температуре кипения; Vinin = 5 и Кша!Г = 250. Начальный темпе- ратурный профиль — линейный между зонами постоянных концентраций 122—138° С. Начальные потоки пара VJ = V1 = 250 для всех j. Кроме того, известны следующие данные: Компонент . . . С3Н8 FX. ... 20 изо- Сд 20 и-С4 20 изо-С5 и-С5 20 20 279
ТАБЛИЦА 78 Решение примера XII-2 № тарелки № приближения 5 10 25 35 35 Температурные профили Потоки пара 0 (дистиллят) 124,17 122,94 124.47 124 76 — г 140,95 133,02 141,54 140,22 86,94 г + 1 140,94 133,02 141.54 140,22 86,94 г + 2 140,94 133,02 141,54 140,22 86,94 г + 3 140,95 132,95 141,49 140,22 86,94 f (питание) 152,27 140,95 149.85 148,53 80,28 •s' —2 158,92 152,06 158,94 158,04 92,89 $ — 1 159,12 152,11 158,94 158,04 92,89 S 159,17 152,15 158,94 158,04 92,89 Лг + 1 (кубовый остаток) 189,40 189,19 191,43 191,61 Deo 43,19 42,39 44,72 45,02 %; 4,8327 1,1663 0,9468 0,9997 боз 1 9578 1,2300 1,0393 0,9994 004 0,8995 1,2957 1,1806 0,9989 0ОЛ 0,6078 1,3156 1,2392 0,9987 ъ 84,09 68 20 88,00 88,70 Ниже приведены условия примера XI1-2, иллюстрирующего справедливость уравнения (XII,1) при определении 60(. для межключевых компонентов (см. также табл. 78, 79): Пример XII-2. Давление в колонне 28 ат, изо-С^ — легкий ключевой компонент, М-С5 — тяжелый ключевой компонент b[/dl = 0,2, bh/dh — 8,0. Дефлегматор — парциальный, состояние питания — жидкость при темпе- ратуре кипения. Pmin = 5, = 3,250. Начальный температурный про- ТАЕЛИЦА 79 Составы продуктов разделения для примера XII-2 (приближение тридцать пятое) Компонент FX ъ Компонент FX С3Н8 15,0000 0,0 uao-Cg 4,0879 15,9121 «ЗО-Сд 12,5000 2,5000 н-С5 1,6667 13,3333 Н-С4 11,7616 8,2384 w-Cg 0,0 15,0000 280
филь — линейный между зонами постоянных концентраций 150—170° С. Начальные скорости пара Vj = Vr — 55 для всех j. D первоначально при- нимается равным 50. Кроме того, известны следующие данные: Компонент 1130-С4 Н-С4 и.зо-С5 к-С5 н-С8 FX 15 15 20 20 15 15 Ограничения в отношении потоков пара приводят к удовлетво- рительным результатам, если заданные значения b/d для ключе- вых компонентов удовлетворяют следующим неравенствам: > 0,15 (XII, 15) bk/dh < 10 (XII.16) В противном случае необходимы более жесткие ограничения. Сложные колонны Заданными условиями являются значения b./di для двух компо- нентов и величина потока W х (см. рис. XI-3). Задача состоит в нахождении наименьшего значения W1, необходимого для достижения заданного разделения. Уравнения, выражающие покомпонентные материальные балансы для этой колонны, при- ведены в главе XI. Для компонентов, тяжелее тяжелого ключевого компонента, 90; принимают равным 0ОЙ, а для компонентов, легче легкого ключевого компонента, — равным 0О/. Корректированные количества компонентов должны удовлетворять следующему по- компонентному материальному балансу: /а;=оы.. Г1 + (-У) + РУ) 1 (хп,17> X ui / со \ / со- Указанные требования используют при определении значения 01 >► 0, удовлетворяющего условию g1 (0J = 0, причем gi(6i)=- 2 (XII,18> i=i Формулы для корректированных значений (wli)co и (d.)co имеют следующий вид: (»'н)со-в1 (XII,19> \ ai / са FXi (di)c0~ И % (Х 11,20> После их определения вычисляют значение (Ь{)с0 по уравне- нию (XII,1). Для каждого нераспределяющегося тяжелого ком- понента (и?и)са = 0, (wu)eo - 0 и (b.)co = FX.. 281
Составы рассчитывают по уравнению (XII,4). Для пераспреде- ляющихся легких компонентов Это выражение можно упростить: (XII,21) Для нераспределяющегося легкого компонента формулу для (Д)Г(> [уравнение (XII,20)] можно также упростить: > FXi (XI 1,22) По найденным составам рассчитывают температуру на тарел- ках колонны. Начиная с третьей итерации, новое значение температуры, принимаемое для данного приближения, вычисляют путем «взятия четверти», т. е. Т (повое принимаемое значение) = Т (последнее принятое значение)-|- , [ Т (рассчитанное значение) — Т (последнее принятое значение)' + _ - Далее находят значение Vr, которое будет взято для следу- ющего приближения при помощи Р-функции: (<С- + »-ь)/(Д + W (XI 1,23) i >десь к г D + W! Выражение (XII,23) выводится аналогично уравнению (XII,12). При применении уравнения (XII,23) необходимо проверять, что для нераспределяющихся тяжелых компонентов (di + u^.) = 0. На основе вычисленного по уравнению (XI 1,23) значения Vr и значения Vt., использованного в последнем приближении, находят величину потока для следующей итерации так же, как это описано выше для простых колонн. Для сложных колонн максимально допустимое изменение величины потоков пара между последовательными приближениями было сокращено до половины значения, установленного для простых колонн. Если значение Vr, определенное по P-функции, лежит в установленных пределах, то Vr для следующего приближения вычисляют путем «взятия 282
четверти» (аналогично ранее описанному способу выбора темпе- ратур) вместо того, чтобы брать среднее значение, как это делается в случае простых колонн. Тепловые балансы. Вычислив Vr и Ly, можно определить величину L из уравнения теплового баланса: VrHr rLphp Vр+1Нp+r^ Lrh^Wrhp (XI 1.24а) Однако С V rHr ’ I I ^1 i) VrHr = LrH (xr)r + DH (XD)r H WXH (xp)r c Vp+1HP+1= 2 ^+i’i (Lpi ~Vdi) — LpH (xp)p+14-DH (Хр)^+1 i=i С учетом этих выражений уравнение (XII,24а) упрощается: + [Я(Ъ)Г-hp] ( DlH(XD)r-H(XD)p+Y Lp— [Zf (^jsJjo+i hp\ [Я (^jtJjs+i hp\ (XII,246) Величину Lp-1 рассчитывают при помощи теплового баланса по формуле Lr [Н (xr\.-hr] [Н (xp)r — hp\ LP-i~ (XII ,24b) [Н (xp_j)p hp~i] DlH(XD')r-H(XD')pl -Qp+1 [Я (Xp-ilp — hp_i] Это продолжают до тех пор, пока не будет определено значе- ние Ln: = Lr [Н (xr)r-M+W^ [Н (zp)r-hp] р+1 к=2 [Я (^о)1 — Яо] Нагрузку на дефлегматор определяют как vrffr—- Lrhr -f- DH D -у wxhp 4-<2c + ^Qk Ar=l Поскольку (XII,24г) (XII,24д) VrHr = LrII (xr)r +DH{Xd)t + W1H (xp)r 283
то искомое выражение для Qe будет иметь следующий вид: = D [Н (XD}r-HD\ + Lr [Н (xr)r-M + р+1 + ^1[Я(^)г-/1?]- 2 Qk (XII,24e) л-=1 Найдя Qc, составляют тепловой баланс для верха колонны по тарелкам, лежащим между двумя зонами постоянных кон- центраций: П [Яд-Я (Xд)у+1] + [hp-H (х?)у+1] [Я (Жу)у+1 flj] Р+1 J-1 qc+ 2<?*+ 2 <?* fc = l fr = r+l , . „ [Я (Ъ)лг-ЛД 7--/ - _Я[Яр-Я(Хр)^ + К\ [^-Я^)^ 1 [Я(^у_!)у — Лу-1] р+1 J-1 VF [н (yF)f - j/f] 2 & к=1 fc~r+l [Я (Лу-1)/ — Л7-1] Для исчерпывающей секции _ D [Яд-Я (Хд^ + И^ [Лр-Я(^)л1] I# (^ _/)_/+! hj\ F[H (Х)у+1-Я] + ^+v ^4, 2 Qk ____________________fc=l___fc=r+l , (ХП,24ж) (ХН,24з) (ХП,24и) Нагрузку на кипятильник вычисляют по формуле р+1 я QR = DHD + BhB^-W1hp+Qc+2iQk+ Q*-Fn (ХП,24к) Л-=1 к=г+1 Описанная методика расчета и метод сходимости для сложной колонны иллюстрируется решением примера XI1-3, условия которого приведены ниже (см. также табл. 80, 81): Пример ХП-3. Давление в колонне 28,12 ат, дефлегматор — парциаль- ный, агрегатное состояние питания — жидкость при температуре кипения. Для ключевых компонентов задано следующее разделение: Ъ[/dt = 0,15, bhl dh = 2,9820. Скорость отвода = 20. Кроме того, известны следующие данные: Компонент СзНд изо-С^ (ключевой) к-С< (ключевой) изо-С^ н-С6 FX 20 20 20 20 20 284
ТАБЛИЦА 8 0 Решение примера ХП-3 № тарелки № приближения 5 10 20 25 25 I е п р о ф Потоки 1емпературнь и л И * пара 0 (дистиллят) 99,11 99,01 99,28 99,27 — 5 (тарелка р) 116,50 116,85 115,97 116,05 142,04 Г 117,50 112,38 118,33 119,01 142,32 г+1 117,61 119,39 118 35 118,45 142,32 г + 2 117,82 119,50 118,36 118,46 142,30 F (питание) 134,50 137,06 136,60 136,56 126,76 s~2 149,23 145,39 146,39 146,22 141.24 s— 1 149,28 145,39 146,39 146,22 141,24 $ 149,39 145,44 146,39 146.22 N +1 (кубовый продукт) 179,93 179,95 179,88 179,88 D сд 29,438 29,499 29,337 29 350 0О£ 0,33155 2.3846 0,94406 1,0005 Оад 0,51620 0,97156 0,96520 1,0004 01 10137 0,9948 0,9996 0,9987 И] (рассчитанное) 7,37 20,35 19,84 20,02 Г1 139,89 155,33 139.37 140,61 * Температуры получены методом «взятия четверти». После 25-го приближения последовательные температурные профили совпадали в пределах пятя знаков. Методику расчета можно легко модифицировать для случая, когда один или более боковых потоков отводят из исчерпывающей секции. Состав продуктов разделения для примера XII-3 (приближение двадцать пятое) ТАБЛИЦА 81 Компонент d 5 W Компонент d 5 W С3н8 16,8319 0,0 3,1681 изо-С5 0,0 20,0000 0,0 U3O-C4 9,4211 1,4132 9,16575 н-С5 0,0 20,0000 0,0 н-С4 3,0973 9,2365 7,6661
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ (см. г л а в у XI) ЗАДАЧИ Х11-1. Исходя из уравнения (XI 1,1) и связанного с ним постулата, обосно- вать уравнение (XII,2). XII-2. Получить выражение для Р (фг), которое дает уравнение (XII,23). ХН-З. Доказать существование зоны постоянных концентраций в укреп- ляющей секции колонны для случая, когда тарелка р находится на конечное число тарелок ниже верха колонны (см. рис. ХП-З). XII-4. Для колонны, описанной в предыдущей задаче, показать, что для тяжелого нераспределяющегося компонента = О Порядок решения: 1) вывести формулу для (rf; + иц, i)i b^, устанавливая соответствие на тарелке питания, 2) рассмотреть уравнение (Х,24). XI1-5. Доказать существование зоны постоянных концентраций в укреп- ляющей секции для случая, когда боковой поток Ил( отбирается на конечное число тарелок выше тарелкп питания (см. рис. XI1-4). ЛИТЕРАТУРА 1. A b d е 1 - А а I Н. К., М. S. thesis, A. and М. College of Texas, College Station, Texas, January 1962. 2. Anthony R. G., M. S. thesis, A. and M. College of Texas, College Station, Texas, January 1962.
ГЛАВА ХН1 РАСЧЕТ РЕКТИФИКАЦИОННЫХ КОЛОНН С БОКОВЫМИ СТРИППИНГ-СЕКЦИЯМИ Сложная колонна с боковой стриплинг-секцией представляет собой один из распространенных типов ректификационных установок. Общая ме- тодика расчета таких установок приведена в следующей главе. В данной главе описан только частный случай, когда отпарной (отгонный) агент — водяной пар — рассматривается как одно- фазный компонент1’2. Отличительная особенность описываемой методики заключается в том, что в отношении сходимости расчета ректификационная установка (колонна и стриппинг-секция) рас- сматривается как единая система. Раньше3 расчет основной ректификационной колонны и ее стриппинг-секций проводили отдельно. Новый подход основан на уравнениях, описывающих работу колонны с одним вводом питания, одним отбором и стрип- пинг-секцией. Предполагается также, что все компоненты, кроме водяного пара, входят в состав питания F. Материальные балансы Для того чтобы отличать обозначения, относящиеся к стриппинг- секции, -от показателей ректификационной колонны, первые пи- шутся со знаком «штрих». Рис. XII1-1 показывает, что боковой отбор из ректификационной колонны I поступает в боковую стриппинг-секцию II, а пар из стриппинг-секции возвращают на тарелку р, т. е. на ту же тарелку, с которой отбирается боковой поток. В противном случае часть колонны между тарелкой, с кото- рой отбирается поток, и тарелкой, на которую он возвращается, вместе с стриппинг-секцией рассматривается как «внутренняя петля», или внутренний рецикл (рис. ХШ-2). Поскольку мето- дика расчета установки с внутренним рециклом является логи- ческим развитием расчета установки, схема которой приведена на рис. XIII-1, то эта задача рассматривается как упражнение (см. задачи XIII-1 и ХШ-2). 287
Рис. ХШ-1. Ректификационная колонна (Z) с боковой стрипппнг-секцией (II). Рис. ХШ-2. Схема процесса с внутренним рециклом (обозначения те же, что и на рис. ХШ-1). Уравнения для ректификационной колонны. Для установки, показанной на рис. ХШ-1, справедливы приводимые ниже уравне- ния материальных балансов для укрепляющей секции ректифи- кационной колонны: -1 (для дефлегматора) (ХШДа) и; = 1 (XIII,16) и i 288
-/-^Л^ь.р-iA U(7n (ХШ,1д) di J \ di J 4- = ЛЛ1и -5— 4 Си (XIII,le) «» \ di / Здесь Cu=l wli di vpi~ vpi + vpi Для исчерпывающей секции применимы уравнения (Ш,9) — (111,11). Исходя из принятых значений LIV и температурных профилей, а также из заданных значений Ух, D, расчет начинают с верха колонны по уравнениям (XIII,la)-(XIII, 1в) до получения величины vpi!di. Однако прежде чем переходить к дальнейшим расчетам ректификационной колонны, необходимо определить г?'./Д, после нахождения которого можно легко вычислить значе- ния vpi!d. и wuld^ входящие в уравнения (XIII,1г) и (XIII,1д). Вывод выражения для расчета значений vuld. приведен ниже. Уравнения для боковой стришшнг-секции. Уравнения мате- риальных балансов для всех распределяющихся компонентов можно представить как ^=М^) + ^Г (XIII,2) Из анализа, приведенного в главе VIII, следует, что погреш- ность вычисления (округления) сводится к минимуму, если при- менять уравнение (XIII,2). Последовательно подставляя выра- жение для I'jddi в уравнение для l'j-xt<!d^ получаем следующее соотношение: lM< (loi)/d{ di Ф,- Здесь Ф» — 1Ч-5,х» + ^1;Х2<4- - . . + Общий баланс дает: v'u lQi 1М( di di di (ХШ,3) (XIII,4> 19 Ч. Д. Холланд. 289
Решая уравнения (XIII,3) и (XIII,4) относительно vu!d^ получаем: (ХШ 5) | I (ХШ,6) 1 Соотношение между 1'^1 dt и vpJdh следующее: l0i __( Lo \ { л \{ Vpt\ dt ~\LpJ\dt) \Lpr Pi)\ d, ) Исключая I'fjd^ из уравнений (XIII,5) и (XIII,6), получаем равенство (XIII 7) уравне- уравне- (XII 1,8) Поток Л', входящий в это выражение, определяют по нию (XIII, 13). Поскольку vId* = Vpjd^ + vvJd^ то из ния (XIII,7) можно получить следующее выражение: v[t (vPi/dt) “d? = 1 + [Ф./(Ф,~ 1)] (Lp/L'0Api) Определив vu/dt по уравнению (XIII,8), вычисляют значение г>/dt по уравнению (XIII,7) и по формуле (XIII,3) — величину (которая равна w^ld^). Затем расчеты проводят по уравне- нию (XIII,2) для всех компонентов, кроме водяного пара. Проведя вычисления для стриппинг-секции, продолжают рас- чет ректификационной колонны от тарелки (р + 1) до тарелки питания по уравнениям (XIII,1)—(XIII,1е). Далее по уравнениям (111,9) — (111,11) проводят расчет исчерпывающей секции ректи- фикационной колонны, а по уравнению (XI,44) определяют bjdt для каждого распределяющегося компонента. Метод сходимости Заданными параметрами являются F, D, WV[, V^+1, М, а также тип дефлегматора ректификационной колонны, давле- ние в системе и агрегатное состояние питании F и . При каж- дой итерации для всей установки получают рассчитанные значе- ния bjd^ и wuldv. Корректированные значения находят по урав- нениям (VII, 1) и (VI 1,2) с учетом множителей 0О и 01? опреде- ляемых при помощи функций g0 (0О, 0i) и gx (0О, 0J, которые решают относительно искомых значении 0О и 0Х [см. уравнения (VI 1,6) и (VII,7)]. Составы в ректификационной колонне вычисляют 2J0
по уравнениям (VI,3)—(VI,7), а в боковой стриппинг-секции — по следующим формулам: V 3 VjL \ V3 У (^»/^t)ca (^i)co ^H,L J jU 'j (bt)co Ц ‘ 2 (1'зМ™(ь>)м t=^=H, L i±H,L (XIII,9a) (ХШ 96) i=f=H L (XIII.9B) (XIII, 9r) Общие потоки пара и жидкости, входящие в эти формулы, представляют собой корректированные значения. Если они заданы и постоянны, то тогда их непосредственно применяют в уравне- нии (XIII,9). Обычно же заданными являются только потоки и W± (обозначается так же как £'ч). Другие потоки опре- деляют по приведенным ниже приближениям, обеспечивающим получение хороших результатов: ^0 1Н (XIII,10) (Х1П.11) (ХШ 12) (ХШ 13) Отметим, что для частного случая, рассматриваемого здесь, в уравнениях (ХШ,9)—(ХШ,13) vjL = V^+1 и l'jH = wih = °- Вывод уравнении (XIII,9) — (XIII,11) приведен ниже. Уравне- ния (XIII,12) и (XIII,13) получаются следующим образом. Для стриппинг-секции справедливо равенство; (ХШ.14) 19* 291
Умножая обе части этого уравнения на 0Х (d.)eo и проведя преобразования, получим: ei (44 = {di)eo (XIII,15) Напомним, что множитель 0 для каждого компонента рассчи- тывают таким образом, чтобы правая часть уравнения (ХШ,15) представляла собой значение (wu)co^ которое входит в уравнение общего материального баланса для всей установки: РХ^^{)С0 - (bt)co ±(u.'U)C0 (ХШ,16) Корректированные значения определены методом схо- димости для всей установки, поэтому число корректированных количеств и 1'0£, которые бы удовлетворяли условию материаль- ного баланса стриппинг-секции, уменьшается. Итак для каждого распределяющегося компонента (^’li )со («ДЭсО (XII 1,17) Этому условию удовлетворяют значения Го£ и г>'., получаемые в левой части уравнения (XIII,15) и равные соответственно = Шсо (XIII,18) ОО™ (XIII.19) Суммирование уравнений (XIII,18) и (XIII,19), записанных для всех распределяющихся компонентов, дает искомые величины потоков [уравнения (XIII,12) и (XIII,13)]. Эти значения £' и У' соответствуют уравнениям общего материального баланса для стриппинг-секции. Значения и У', определенные по урав- нениям (ХШ,19) и (XIII.12), используют для расчета состава пара, выходящего из стриппинг-секции. Вывод уравнений (XIII,9) — (XIII,И). Рассмотрим боковую стриппинг-секцию, для которой заданы значения У', и (исполь- зуется (7-метод составления тепловых балансов). Допустим, что для данной итерации получены корректированные значения и'1{, Г1Н и Выражения для расчета составов на каждой тарелке можно вывести на основе следующих положений. Примем, что коэффициенты определяются как / и'н \ (’}<),.= <’/kN МЛ. l + H,L (X11I.20) J J X vii /са а значение как (СЛ.=*> i^h.l ;(Х1п,21) X wli /са 292
При 7 = 0и/ = Л/ + 1 допускаются более общие определения для т и о, т. е. ('-«+1,РрР «.->« <хш'22> \ / са (/оДо-Со;(4Ч ^7/'7j (XIII,23) Ниже показано, что отношение <тм+1< к т0{ не зависит от i для конкретных значений wu, Iqi и v'1{, найденных в соответ- ствии с предыдущими рекомендациями. Выражения для V'j и L’j получают сложением обеих частей уравнений (XIII,20) и (XIII,21) по всем распределяющимся ком- понентам с добавлением однофазных составляющих к каждой части соответствующих уравнений: VjL И CjH (XII 1,24) (XI1I.25) Li= Ъ ('Мсо + Рн J '\ WU <са i + H,L Из определения мольной доли и уравнений (ХШ,20) и (ХШ,24) следует, что У j i f t r f ' *2u) (p'i/pli)ca (yli)co P VJL , L Решая уравнение (XIII,24) относительно о, .................................... (vji/vli)ea (uli)co L (XIII,27) и подставляя выражение (XIII,27) в уравнение (ХШ,26), получим: У-Тт-;/ (Х111-28) ' J ' ji!vli)c(t (uli)co i + H, L Значения (^н)со определяются уравнением (ХШ,19), поэтому каждый член в уравнении (ХШ,28) можно записать в виде -Н = ~Н (di)co (ХШ.29) . са \ ai ! еа Подставляя это выражение в уравнение (ХШ,28), получим искомый результат — уравнение (ХШ,9а). Если 7'. и L’ 293
неизвестны,то можно пользоваться их приближенными значениями, которые определяются уравнениями (XIII,10) и (XIII,И). Если решение получено, то <Ту — г- — 1 для всех j. Поскольку задано, что отпарным (отгонным) агентом стрип- пинг-секции является водяной пар (однофазный компонент), то очевидно, что величины (г'м+i, t)fa и (г?м+1> <)со равны нулю при I, равном от 2 до с (пар является компонентом № 1). Таким образом, уравнение (XIII,22) упрощается: (XIII,30) \uli)ca Исключение (у[, ,)со дз этого выражения при помощи уравне- ния (XIII, 19) дает: 1 _ а ------7г/ 1— ^.У+1, i V*i)ca Значение т0. определяют следующим образом. Исключая (С)со из уравнений (XIII,18) и (XIII,23) получим: д (^i)co _r (U'li)ce 1 (<?.),« Заменяя (wii)eo на эквивалент, определяемый (VIII,2), находим, что T'Ot (ц’1»)со ^0,- ^ilca (dj)co д (^lOca (wli)ca (d{)ca (ХШ.31) уравнением (ХШ.32) Сравнение этого выражения с уравнением (XIII,31) показы- вает, что т0^ = 1,0. Уравнения (XIII,24) и (XIII,29) можно скомбинировать и получить: 2 (хш,зз) i ~Н, L Очевидно, что уравнение (XIII, 10) представляет собой при- ближенную форму уравнения (ХШ,33), в котором комбиниро- ванный множитель (OyOj) принят равным единице. Аналогично можно преобразовать уравнение (XIII,25): Lj= 2 (тЧл,)со+^н (xi11-3*) i-HtL ° 1 Са Уравнение (XIII,11) является приближенным выражением уравнения (XIII,34). В этом случае комбинированный множитель Ту (91/0о) принят равным единице. Эти приближенные выражения основаны на результатах1, полученных при решении большого 294
числа различных примеров, показавших, что указанные выраже- ния являются наилучшими из всех рассмотренных приближенных зависимостей. Определив корректированные составы и соответствующие температуры для данного приближения по уравнениям тепловых балансов (метод постоянных составов и (Z-метод), находят потоки V', Л' и L'., которые используют при расчете новых значений факторов извлечения и отпарки. Примеры расчета Ниже приведены условия примера XIП-1. Пример XIII. Дефлегматор парциальный, .V = 16, / 11, М = 9, И7! — 45 (жидкость) отбирается с тарелки № 9, Км+1 = 5, D — 25 (пар) давление в колонне 21 ат. Питание подается в виде жидкости при темпера- туре кипения. Начальный температурный профиль для колонны — линей- ный в интервале 60—249° С, для стриппинг-секцип — в интервале 93— 182° С. Начальные потоки пара в ректификационной колонне следующие: V = 225, 1 У =220,9, 1 j 12 в боковой стрипшгаг-секции Vj = 5, V м+1 = 5, 1 <; / < 9. Кроме того, известны следующие данные: Компонент С3Н8 изо-С± «-С4 изо- С5 «-С5 ч-С6 н-С7 FX 5 8 12 30 25 12 8 При решении этого примера температуры определялись по точкам кипения; при последующих приближениях (итерациях), начиная со второго, вычислялся средний температурный про- филь. Величины общих потоков как в ректификационной колонне, так и в стриппинг-секции находили путем комбинирования метода ТАБЛИЦА 8 2 Температуры и потоки пара, полученные для ректификационной колонны при решении примера X1I1-1 .М тарел- ки № приближения № та- релки Лв приближения 8 24 8 24 8 24 8 24 Темпе Р а ту р- Потоки Темпе р а т у р- Потоки иые пр о ф и л и п а Ра ны е пр о ф и л и п а Ра 0 88,18 87,53 25 0 25,0 9 153,09 152,33 185,2 187,4 1 107,53 106 58 225,0 225,0 10 157,14 157,0 188,1 190,2 2 113,19 111,67 253,8 254,7 11 162,03 161,73 185 3 186,1 3 119,00 116,73 249,8 251 5 12 155,78 166,57 195,0 194,9 4 126,47 122,53 243,5 245 3 13 170,42 170,21 199,9 200,2 5 132,33 129,15 237,4 238,3 14 174,05 173,74 201,6 202,2 6 138,74 135,82 233,4 232,8 15 179 00 178,54 200,1 200,9 7 144,30 141,83 231,6 229,8 16 186,93 186,33 194,9 195,6 8 148,38 146,78 231,3 228,7 17 199,91 199,31 186,4 186,7 295
ТАБЛИЦА 8.3 Температуры и потоки пара, полученные для боковой стриппинг-секции при решении примера XIII-1 № та- релки Л» приближения 8 12 24 8 12 24 8 12 24 Темпеиатуп- Тепловая нагрузка вне профили потоки пара на промежуточные холодильники 1 134,90 142.04 144,35 40.7 37,6 40,5 —4 737,2 0,0 0,0 2 113,79 126,36 132.58 15,1 18,4 19,3 14 665,2 6 193,7 0,0 3 108,74 117,58 122,7' 11,9 14,5 14,8 0,0 720,7 0,0 4 106,11 11243 117,08 10 5 12,8 12,9 1 980,56 1 522,0 0,0 5 105,82 110,31 116 93 10,1 11,7 11,8 00 0,0 0,0 6 105,56 109,35 114 20 10,2 10,9 11,2 0,0 0,0 0,0 7 104.55 108,89 112,38 10,5 10,7 10.7 652,6 0,0 0,0 8 103,89 108,74 110.87 10,6 10,4 10,4 607,2 0.0 0,0 9 104,49 109 109,49 10,0 10,0 10,0 18 873,3 —18 369,3 —16 706,3 постоянных составов и (2-метода. До учета тепловых балансов сделано по три приближения на основе полученных значений для потоков пара и жидкости. В следующих четырех приближениях была допущена возможность изменения потоков пара в пределах 20%, а затем в пределах 5%. Решение примера XIII-1 дается в табл. 82—84. Отметим, что если задана энтальпия пара, то может потребо- ваться дополнительный подвод тепла к нижней тарелке стрип- пинг-секции. Это можно осуществить или при помощи кипятиль- ника для стриппинг-секции или путем использования пара с такой энтальпией, при которой требующаяся тепловая нагрузка для тарелки М будет равна нулю. Решение примера XI П-1 ТАБЛИЦА 8 4 № при- ближе- ния Изменения D и Wt в зави- симости от № приближения Компо- нент Составы продуктов разделения D I ®о d ь •UJJ 1 17,64 67,75 1,041 0,170 Пр с3н8 и б л и ж е и че т в 4.862 ие д в а Д1 е р т о е 5,161 • 10-< j а т ь 1,370 • 10-1 4 23,67 49,59 0,974 0,738 U30-C& 6,864 1,918- 10-з 1.134 Q с‘ 24,62 47,12 1,042 0,909 Н-С4 8,048 1,046 • 10-1 3,847 12 25,04 45,03 1,015 1,010 «зо-Сб 2,010 • 10"1 5,550 1,925 • 10 16 25,06 45,02 1,021 1,015 я-Сб 4,200 • 10’2 1,116-10 1,884-10 20 25,005 44,978 1,0001 1,001 н-Св 1860 • 10-7 1,045 • 10 1,555 24 24,999 44,999 1,0009 0,9999 Н-Су 3,280*10-1° 7,714 2,000 • 10-1 296
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ (см. главы II—XII) М — общее число тарелок в стриппинг-секции. Q'j — нагрузка на промежуточный холодильник (или нагреватель) на /-той тарелке стриппинг-секции. ЗАДАЧИ XII1-1. Вывести уравнения покомпонентных материальных балансов для укрепляющей секции ректификационной колонны установки, имеющей внутренний рецикл (см. рис. XII1-2). XIII-2. а) Показать, что уравнения, выведенные при решении задачи ХШ-1, можно решить и получить: pjt>i / vp-m,i A ( Pj- \ (1—if) Здесь £2 i= 1 + p_b i A p_b iAp-z, i -f . . . 4~ i^p-2> i • • » i t-^jo-2, » • • • Ap-nt+li i-Aja-mt i б) Установить, что выражение, определяемое уравнением (ХП,?); применимо к рассматриваемой установке. в) Доказать, что v'u ^i + ^iKvp^i/dj) — !] di 1) {LplL0Api) причем vp-m* i V p-m< i । Ug ~ di ’ df ЛИТЕРАТУРА 1. D i с k e у В. R., M. S. thesis, A. and M. College of Texas, College Station, Texas, January 1962. 2. Dickey B. R., Holland C. D., Cecchetti R., Petrol. Ref., 41, № 2, 143 (1962). 3. Amundson N. R., Pontinen A. J., Tierney J. W., Am. Ind. Chem. Eng. J., 5, 295 (1959).
ГЛАВА XIV © МЕТОД СХОДИМОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ РЕКТИФИКАЦИОННЫХ КОЛОНН * Система простых колонн ©-Метод сходимости применяется в тех случаях, когда ректификационные колонны соединены последовательно, но осуществлена рециркуля- колоннами. Сущность ©'-метода можно изложить установки, схема которой показана на рис. XIV-1. ция между на примере Установка состоит из абсорбционно-отпарной колонны I и про- стой ректификационной колонны II. Задается количество ди- стиллята D. определяющее Ух, так как количество питания F является постоянным. Кроме того, задается величина рецикла В (пли LJ. которая в свою очередь определяетLN(илиВ). Помимо этого, для каждой колонны заданы тип дефлегматора, давление, число тарелок и номер тарелки питания, состав и агрегатное состояние питания F колонны I и поток жидкой флегмы (£0) в ко- лонне II. Вначале следует сделать допущения относительно профилей L/V, температур по колоннам и величин bi и I . Затем итератив- ные расчеты выполняют для каждой колонны так, как это описано ниже. Для колонны I находят количества (vu)ca и (JNt)ca-> а также отношения (у>|-/Р1|)гв и Аналогично для колонны II определяют состав продукта разделения и (&£)са, а также отношения (vjdt)ca и (1УЬ.)са. Для колонны I: jfca- (£Т<)с» У J г = —----------------------- t)ca (©t) СО 1 еа (* Ni)co с t=l (XIV.l) * Для систем принято обозначение: 6-метод. 298
Связь между корректирован- Рпс. XIV-1. Система с рециклом, ными и рассчитанными коли- чествами компонента можно выразить прп помощи следующих множителей: — ) (XIV.3) ”11 /со ' ”11 /са (XIV,4) Здесь корректированные потоки, полученные в результате применения этих множителей, должны удовлетворять общему материальному балансу для системы, а не только для одной ко- лонны, как в более простом случае, определяемом буквой 9. Для рассматриваемой системы можно написать два независи- мых уравнения общих материальных балансов. FXi (XIV.5) FXi— i)co (XIV, 6) Уравнение XIV,6 — условие материального баланса колонны J. Отметим, что уравнение, определяющее материальный баланс колонны II, является уже зависимым (производным), и оно получается из уравнений (XIV,5) и (XIV,6). Ниже приведен вывод формул для и (du)ea. Решая уравнение (XIV,5) относительно (с!/)ео, получаем: СО (XIV,7) Аналогично можно решить уравнение (XIV,6) относительно <»и)со- (Vli>=i+e„((„,./r1,-)tii-ei(bi/rfiu (X1V,8> 299
Разделив почленно уравнение (XIV,7) на уравнение (XIV,8) и решив полученное выражение относительно (d./uu)eo, найдем: (di/vu)eo = Qp (lNi/Vli)eg 1+01 (М^)™ (XIV,9) И (XIV,8), (XIV,10) (XIV,11) уравнении Подставляя это выражение в уравнения (XIV,7) получим искомые формулы: ')со 1^ е^1^/ии)са+^1(ь{/^)са у _ mtWW 1 + 0о(^Мйа + 01<Ь^>™ Формулы для (lNi)C0 и (Ь{)ео можно получить из (XIV,3), (XIV,4), (XIV,10) и (XIV,11). Для определения 0О и 0Х требуется два независимых уравнения. Их выводят, исходя из двух заданных величин D и LN. Так как этим величинам должны удовлетворять корректированные коли- чества компонентов, то искомые значения 0О и 0t будут теми положительными корнями, при которых функции Go, GL одновре- менно равны нулю (Go = G± = 0), причем Go (0О, 0J= 2 (d<)eo-D (XIV,12) <=1 Gi (So. e,)= 2 (lNt),-LN (XIV,13) i=l Уравнение (XIV, 10) определяет значение (ЙДО в функции Go а следующее ниже выражение (lNi)co — в функции Gx: (lNi)co=&° (lNi/V1i)ea (vli)co ИЛИ (XIV,14) Поредение каждой из этих функций в окрестности положи- тельных корней показано на рис. XIV-2— XIV-4. Значение 0 можно определить по способу Ньютона—Рафсона (см. главы I и VII). Когда питание F содержит однофазные легкие и тяжелые компоненты, функция Gj модифицируется путем замены L\ на IjA \ ±1 / 300
Рис. XIV-2. Функция Со в окрест- ности положительных корней. Рис. XIV-3. Функция Сг в окрест- ности положительных корней. Расчеты при наличии нераспределяющихся компонентов. Вывод формул, применяемых при наличии нераспределяющихся компонентов в системе (см. рис. XIV-1), аналогичен выводу для одной колонны (см. главу VI). Для тяжелого нераспределя- ющегося компонента в абсорбционно-отпарной колонне величины (vii)ca и равны нулю, а произведение [(z^/pJ^ (pJJ в уравнении (XIV,!) для раскрытия неопределенности заменяется на эквивалентное, т. е. (yii)ce= (^.)со= (XIV,15) Аналогично для легкого переопределяющегося компонента в абсорбционно-отпарной колонне (^) =0, 0 и можно показать, что Формулы для корректиро- вания количеств нераспределя- ющихся компонентов в продук- товых фракциях выводят следу- ющим образом. (XIV,16) Рис. XIV-4. Следы функций и на плоскости 301
Для тяжелого нераспределяющегося компонента в абсорб- ционно-отпарной колонне из уравнения (XIV,5) следует, что ^)ео=РХ< (XIV,17) Формулу для получают, записывая уравнение (XIV,6) в следующем виде: Исключая из этого выражения {b.!d^co и {d^)co при помощи соответственно уравнений (XIV,4) и (XIV,17) и проведя преобра- зование, получаем: h+Sif-r) 1 <X1V18) L \ 7 Формулу (Ь;)со для нераспределяющегося тяжелого компонента получают объединением уравнений (XIV,4) и (XIV,18). Для лег- кого нераспределяющегося компонента абсорбционно-отпарной колонны (ZN.)co = 0, (^)со-0, №)со-0 и (y1{)cg~FX{. Нераспределяющиеся компоненты ректификационной колонны находят при помощи следующих формул, которые выводят ана- логично формулам для абсорбционно-отпарной колонны. Для тяжелого нераспределяющегося компонента ректификационной колонны (d.)ca = 0, (d.)co = 0 и [иц\ ( \ I v а \ -Н №)„ =(§;) нН (6<)« (XIV.19) \ ai lea 4 А \ °i /са FXi <XIV-20> \ / са Mco = FXi (XIV,21) Для легкого нераспределяющегося компонента ректифика- ционной колонны (b.Ya = О, (Ь.)е„ = 0 и -Н <ь()..=е \ ui /са а также (,vli)eo (di)co=(l '1-4- (di)co (XIV,22) \ ai / са FXi <XIV’23> >о(—-) (XIV.24) 302
Система сложных колонн ©-Метод можно применить к системе сложных колонн, изобра- женной на рис. XIV-5. Составы для каждой колонны рассчитывают по уравнениям (XIV,1) и (XIV,2). Дл