МАТ6ЛЛАТИКА
Н. Я. ВИЛЕНКИН
В. и. жохов
А. С. ЧЕСНОКОВ
С. И. ШВАРЦБУРД
УЧЕБНИК
для общеобразовательных
организаций
КЛАСС
ЧАСЧЪ
Рекомендовано
Министерством просвещения
Российской Федерации
37-е издание, стереотипное
Москва 2019
УДК 373.167.1:51
НЕК 221я721
В44
На учебник получены положительные заключения по результатам трёх экспертиз!
научной Российская академия наук, № 004940 от 19.12.2016),
педагогической российская академия наук, № 005047 от 19.12.2016}
и общественной (PLL16A, № ОЭ/16-0375 от 26.12.2016}
Внленкнн 11. Я.
В44 Математика. 6 класс : учебник для общеобразовательных
организаций : в 2 ч. Ч. 1/Н. Я. Виленкин, В, И. Жохов,
Л. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 37-е изд., стер. — М. :
Мнемозина, 2019. — 168с. : ил.
ISBN 9 7Я-5-3 4 6-04 265-5
7фРМ|?Ч4?М И Прр<?р0бггТ8И-ИЬГЛ ученики 1?ГЛУТР.+»Т1*'ТЯу*?Т ФГОС
И Примерной 1?6рЛ.ЧйБ11ТСЛИЫй31 программе основного общего обрлздншния.
Рплрпбптяп с учгтпм ккфлетиыэс зг гпзгдерпзлх опобепзпмгтгн впеприятпя
материала учащимися. Глубоки продум.шнл-п паслэдолктелькостъ подачи
теоретического и ирдкгз'ческага млгериАла эффективна развивает мыш-
ление,. память и речь учищихск. Первдл часть учебника посвящена изуче-
нии । Обыкновенных дробей. йтнишенкй и пропорций.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1Я721
Уч«4но* издание
Виленкин Наум Яковлевич, Жохом Владимир Иванович,
Чесноков Александр Семёнович, Шварцбурд Семен Исаакович
МАТЕМАТИКА
6 класс
Учебник для общеобразовательных организаций
В двух частях
Часть 1
Генеральный директор нздительстки М. ff. ficjflwwiurjHJu
Редакторы Г. С. Уманский, ft. ft. Черновицкий
Оформление и художественное редактиропеггис; Т, С, Лобанова
Технический редактор О- Я, fteavurcoea. Корректоры С, О, Николаев, Л. ft- Дёмина
Компьютерная пёрсткя: М. Л, ЛГоли/яню
Форинт 70x90 7». Бумага офсетная >4 1. Гарнитура «Школьная».
Почать офсетная. Усл. нач. л. 12,29. Дои. тираж Ы) ООО авз. Заказ Л’-
Издательство «Мнемозина». 106043. Москва, ул. 6-я Парковая, 296.
Тел.: 8 (499) 3670418,3676781, E-mail: 1ос@тмтогй1я.ги www.nmemosuia.ru
ИНТЕРНЕТ- магазин. Тел.: 8 (495) 783 8284, www.ahop. innentosina.ru
Отпечатано в Филиале «Тверской полпграфическнЛ комбинат
детское литературы» ОАО «Издательство “Выегпая школа”».
170040, г. Тверь, проспект 60 лет Октября, д. 46.
Тел.: +7(4822)44-86-98. Факс: +7(4822)44-61-61.
ISBN 978-5-846-04264-8 (ибш.)
ISRN 978-5 846-04265-5 (ч. I)
£| «Мнемоанна», 1996
S «Мшмозмыа» .2017, с лам^и^нинмн
© «Мнемозина».2019
© Оформленае. «Мнемознна», 2019
Псе права защищены
Предисловие
Математика — самая древняя из наук, она была и остаётся необходимой
людям. Слово «математика» греческого происхождения. Оно означает «наука»,
••размышление». В древности полученные знания, открытия часто старались
сохранить в тайне. Например, в школе Пифагора запрещено было делиться
своими знаниями с непифагорейцами. За нарушение эюю пран, и ла один из
учеников, требовавший свободного обмена знаниями. — ГиппАс — был изгнан
из школы. Его сторонников стали называть математиками, т. е. приверженцами
науки.
Все без исключения начинают изучать основы математики уже с первых
классов школы, потому что эта наука нужна всем, особенно сейчас, когда ма-
тематика проникла во вес отрасли знаний физику и химию, науки о языке
и медицину, астрономию и биологию и т. д. Математики учат вычислительные
машины сочинять стихи и музыку, измерять размеры атомов и проектировать
11 ло । ины элек । рос । ан ций.
Математика необходима в любой профессии, какую бы вы ни выбрали для
себя. Но кроме того, вы могли заметить: это и очень интересная и увлекатель-
ная наука Любите её.
Желаем вам успехов и радости открытий в необозримом море — матема-
тике!
з

Часть 1
обыкновенные дроби
§ Л Делимость чисел
§ 2. Сложение и вычитание
дрокей с разными
знаменателями
§ 5. Умножение и деление
Обыкновенных Дробей
4. Отношения и пропорции
Условные обозначения
— сведения, на которые надо обратить внимание, хорошо запомнить
Иногда они выделены шрифтом.
— правила и теоретические сведения, которые надо знать наизусть.
— в этом месте объяснительного текста можно остановиться, обдумать
прочитанное, попытаться решить несколько упражнений по новой теме
вопросы к объяснительному тексту учебника.
— упражнения для работы в паре или группе
— упражнения для работы в классе пр теме данного пункта.
— упражнения для повторения ранее пройденного материала, Некоторые
из этих упражнений имеют дополнительные номера: 1), 2), 3), 4) и т. д.
□ми предназначены для самоеt синельной рабены. При эюм пвчвнше
номера — это задания для 1-го варианта, а чётные — для 2-го вари-
анта. )
— упражнения для домашней работы.
— рассказы об истории возникновения и развития математики, не зная
прошлого науки, трудно понять её настоящее.
По тому, как человек говорит, можно судить о его культуре и интеллекте,
об умении думать. Поэтому учитесь говорить правильно. В этом вам по-
МОгут примеры и пояснения, дынные в рубрике, Отмеченной славянской
буквой -глаголь».
В этой рубрике помещены задачи, помогающие учиться думать, рассуж-
дать, делать наблюдения и выводы, расширяющие круг математических
знаний и представлений.
Чтобы изучение математики было успешным, чтобы учиться было интерес-
но, нужно быть внимательным и сообразительным, уметь хорошо и быстро
запоминать, обладать сильной волей. Эти качества можно развить В этом
ням помогут специальные игры и упражнения рубрики, отмеченной сла-
вянской буквой «мыслете».
6
ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
1. Делители и кратные
Делитель
натурального
числа
Кратное
натурального
числа
20 яблок можно разделить поровну между 4 ребятами.
Каждый получит по 5 яблок. А если надо разделить (не раз-
резая) 20 яблок между 6 ребятами, то каждый получит по
3 яблока, а ещё 2 яблока останутся. Говорят, что число 4 яв-
ляется делителем числа 20, а число 6 не является делите-
лем числа 20.
Делиюлем на1урального числа а называю! нату-
ральное число, на которое а делится без остатка.
Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 И 12.
Число 1 является делителем любого натурального чис-
ла
11усть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 пе-
чений. Не раскрывая пачек, можно взять 8 печений, 16 пече-
ний, 24 печенья, a IB печений так взять нельзя. Числа 8, 16.
24 делятся на 8, а 18 на 8 не делится. Говорят, что числа 8,
16, 24 кратны числу 8. а число 18 не кратно числу 8.
Кратным натурального числа а называют натураль-
ное число, которое делится без остаиса на а.
Любое натуральное число имеет бесконечно много
кратных. Например, первые пять чисел, кратных В, такие: 8.
16, 24, 32. 40 Наименьшим из кратных натурального числа
является само это число.
Какое числи называют делителем данного натурального числа?
Какое число называют кратным натуральному числу а?
Какое число является делителем любого натурального числа?
Какое число н кратно л, и является делителем г»?
7
1.	На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов?
2.	В каждой коробке лежат 6 чайных ложек. Можно ли, не вскрывая
коробок, взять: а) 42 ложки; б) 49 ложек?
3.	Верно ли, что:
а)	5 — делитель 45;
б)	16 — делитель 8;
в)	17 — делитель 152;
г) 27 — кратное 3;
д) 6 — кратное 12;
с) 156 — кратное 13?
Следите за верным употреблением слов кратно и кратное (в значе-
нии существительного).
Кратно (какому числу?);
л- и-
— число пятнадцать кратно числу три
д. п.
(или; пятнадцать кратно трём).
Кратное (какого числа?):
Р- п,
— число пятнадцать — кратное числа три
р. п.
(или: пятнадцать — кратное трёх),
р. п.
числа девять, двенадцать, пятнадцать кратные трёх.
Слово делитель употребляется с родительным падежом зависимо-
го слова:
р. л,
— число шесть — делитель числа тридцать
р. п.
(или; шесть — делитель тридцати),
р. п.
— делители одиннадцати — числа один и одиннадцать.
Слова делится (без остатка) и кратно заменяют друг друга.
— сорок пять, делится на девять.
— сорок пять кратно девяти.
*
4.	Является ли число 15 делителем 105? Является ли делителем чис-
ла 105 частное 105 : 15?
5.	Выберите из чисел 15, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 те, которые являются:
а) делителями 20;
б)	кратными 4;
в)	делителями 16 и кратными 4;
г)	кратными 3 и делителями 18.
6.	Напишите множество делителей числа;
а) 6;	6)18;	в) 25;	г) 19.
7.	Напишите множество двузначных чисел» кратных числу:
а) 8;	б) 11;	в) 48;	г) 99.
в, В спортивном празднике участвовали 90 школьников. Могут ли
они па заключительном параде построиться: в две одинаковые ше-
ренги? в пять одинаковых шеренг? в одиннадцать одинаковых ше-
ренг? в колонну по шесть человек в ряд?
9. Докажите, что число 70 525 кратно числу 217, а число 729 являет-
ся делителем числа 225 261.
1О. На координатном луче отмечено число а (рис, I). Отметьте ня этом
луче четыре числа, кратных числу а.
?-----------------------------------------------------------
Рис. 1
11» Проверьте, что каждое из чисел 6, 28. 496 равно сумме всех его
делителей, не считан самого числа.
12.	Проверьте, что каждое из чисел 220 и 284
равно сумме делителей другого числа, не
считая его самого.
13.	Докажите, что произведение двух нату-
ральных чисел кратно каждому из множи-
телей .
14.	На рисунке 2 изображен в натуральную
величину один кадр фотоплёнки. Каких
размеров получится фотография при пяти-
кратном увеличении? Уместится ли изобра-
жение ЭТОГО кадра при десятикратном уве-
личении на листе бумаги, размер которого
24 х 30 см?
Рис, 2
15.	Вычислите устно:
а) 5 + 0,8; б) 0,76 - 0,3;
0,23 + 7;	2,54 - 2;
0,48 4 0,2;	0,82 - 0,02;
0,6 + 0,34;	0,63 - 0,6;
2,7 + 1,12;	0,8 - 0,25;
в) 0,2  4;
2,1-3;
0,7 • 10;
0,5 • 2;
0,25 4;
г) 6 ; 10;
0,8 : 2;
2.1 : 7;
0,5 : 10;
4,1 : 2.
9
16.	Найдите пропущенные числа:
17.	На координатном луче отмечены числа 1 и т (рис. 3). С помощью
циркуля отметьте на луче числа: т + 1; пг — 1; т + пг<
О	1	т
I	1	8
Рис. 3
18.	Даны три числовых выражения и три программы вычисления их
значений на микрокалькуляторе. Укажите, какая программа со-
ответствует каждому на данных выражений:
а) 16,2 - 0,8 + 1,4;	1) 0,8	+ |	1,4	X	16,2
б) 16,2 + 0,8 • 1,4;	2) 16,2	X	0,8	+	и
в) 16,2 • (0,8 + 1,4).	3) 0,8	X	1,4	+	16,2
19.	Найдите неполное частное и остаток при делении:
а) 243 на 15; б) 3629 на 12; в) 1075 па 29; г) 1632 на 51.
22. Выполните действие:
а)	3,4 + 2,5;
17,2 + 2,8;
5,9 + 3,7;
4,587 4- 7,64;
б)	5.7 - 1.3;
8 - 3,4;
12,3 - 1,8;
10,273 - 5,49;
в)	2,4 • 3;
3,02 7;
2,6 3,7;
4,5 ' 2,06;
г)	3.5 : 7;
8,4 : 4;
60,8 : 1,9;
20,52 : 3,8.
23.	Решите задачу:
1)	В первом мешке было 54,4 кг крупы, во втором — в 1,7 раза
меньше, чем в первом, а в третьем — на 2,6 кг больше, чем
во втором. Сколько килограммов крупы было в трех метках
вместе?
2)	На первую машину погрузили 4,5 т картофеля, на вторую —
в 1,4 разя больше, чем ня первую, я на третью — ня 1,6 т мень-
ше, чем на вторую. Сколько тонн картофеля погрузили на все
три машины вместе?
24.	Государственные флаги многих стран состоят из
горизонтальных или вертикальных полос раз-
ных цветов. Сколько могло бы быть различных
государственных флагов, состоящих из двух го-
ризонтальных полос одинаковой ширины и раз-
ного цвета — белого, красного и синего?
Решение, Пусть верхняя полоса флага — белая (Б). Тогда ниж-
няя полоса может быть красной (К) или синей (С). Получили две
комбинации — два вяриянтя флагя.
Если верхняя полоса флага — красная, то нижняя может быть
белой или синей. Получили ещё два варианта флага.
Пусть, наконец, верхняя полоса — синяя, тогда нижняя может
быть белой или красной. Это ещё два варианта флага.
Всего получили 3’2-6 комбинаций — шесть вариантов флага
(см. схему).
ФЛАГ
Для решения этой задачи мы рассмотрели все возмож-
ные варианты расположения цветных полос на флаге, или все
возможные комбинации, Такие задачи называют колсбина-
торными, а раздел математики, занимающийся подобными
задачами, — комби нат ори кой.
25.	Сколько существует флагов, составленных из
трех горизонтальных полис одинаковой ши-
рины и различных цветов — белого» зеленого,
красного и синего? Есть ли среди этих флагов
Государственный флаг Российской Федерации?
26.	Найдите множество делителей числа 30 и запишите их в порядке
возрастания.
27.	Выберите из чисел 11, 21, 31, 42, 51, 63, 63, 75 те, которые:
а) кратны 7; б) кратны 17; в) не кратны 8; г) нс кратны 2.
28.	Выполните деление с остатком; 385 : 13; 548 : 12; 3710 : 30.
29.	Площадь первого поля 27.3 га. Площадь второго поля па 4,8 га
меньше площади первого, я площадь третьего поля в 1,6 разя боль-
ше площади второго. Чему равна плошадь всех трёх полей вместе?
30.	Выполните действия:
а)	18,36 + 0,64 : 0.8;	в) 3.44 : 0,4 + 24,56;
б)	80 ‘ 11 - 42 558 : 519;	г) 684 • 215 - 675 ‘ 246.
2. Призмами делимости ма 1О, на 5 и на 2
Всякое: натуральное число, запись которого оканчива-
ется цифрой 0, делится без остатка на 10. Чтобы получить
частное, достаточно отбросить эту цифру 0.
Например, 280 делится без остатка на 10, так как
280 : 10 - 28.
При делении же числа 283 на 10 получаем неполное
частное 28 и остаток 3 (т. е последнюю цифру записи это-
го числа). Поэтому если последняя цифра в записи нату-
рального числа отлична от нуля, то это число не делится без
остатка на 10.
Если запись натурального числа оканчивается циф-
рой 0, то это число делится без остатка на 10. Если
запись натурального числа оканчивается другой циф-
рой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом
случае равен последней цифре числа.
Число Ю-2-5, Поэтому число 10 делится без остат-
ка и на 2, и на 5. Отсюда и любое число, запись которого
оканчивается цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2.
12
Например, 60 - 6 • 10 - 6  (2  5) - (6 • 2) - 5 - 12 • 5,
значит, 60 : 5 - 12. А из того, что 60 - 6  (5 ’ 2) - (6 • 5) ’ 2 —
- 30 ’ 2, получаем, что 60 : 2 - 30.
Каждое число можно представить в виде суммы пол-
ных десяткоь и единиц, например: 246 = 240 + 6, 1435 =
= 1430 + 5. Гак как полные десятки делятся на 5, то и все
число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5 делится
число единиц. Это возможно только тогда, когда в разряде
единиц стоит цифра 0 или 5.
Если запись натурального числа оканчивается циф-
рой 0 или 5, то Это число делится без остатка на 5.
Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то
число без остатка на 5 не делится.
Чётная цифра
Чётное число
Нечётная
ц ифра
Нечётное
число
Например, числа 870 и 875 делятся без остатка на 5,
а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся.
Числа, делящиеся без остатка на 2, назынакн чётными,
а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, назы-
вают нечётными. Из однозначных чисел числа 0, 2. 4, 6
и 8 чё1ны, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётны. Поэтому и циф-
ры О, 2, 4, 6, 8 называют чётными а цифры 1,3, 5, 7,
9 — нечётными. Все полные десятки делятся на 2 без
остатка (т. е. они чётны). Значит, любое натуральное число
чётно лишь в случае, когда в разряде единиц стоит чётная
цифра, и нечетно, когда в разряде единиц стоит нечётная
цифра.
Если запись натурального числа оканчивается чёт-
ной цифрой, то это число чётно (делится без остатка
на 2), а если запись числа оканчивается нечётной циф-
рой, то это число нечётно.
Например, числа 2, 60, 84. 96. 308 чётные, а числа 3, 51,
85. 97, 509 нечётные.
Как по записи натурального числа определить, делится оно без
остатка на 10 или не делится на 10?
Как по записи натурального числа узнать, делится оно без остатка
на 5 нлн не делится на 5?
Как по записи натурального числа узнать, делится оно без остатка
на 2 пли не делится на 2?
13
в) делятся на 2 и па 5;
г) не делятся нм на 2 и ни на 5.
31.	Запишите натуральные числа от 1 до 30 в порядке возрастания
и подчеркните красным карандашом каждое второе число, а си-
ним — каждое пятое. Какие числа окажутся подчёркнуты крас-
ным карандашом, какие — синим?
Какие числа подчёркнуты обоими цветами?
Назовите числа, не делящиеся пи па 2, ни па 5.
32.	Назовите три числа, которые:
а)	делятся на 2;
б)	делятся на 5;
33.	Назовите:
а)	два четных числа, кратных 5;
б)	два нечётных числа, кратных 5;
в} два чётных числа, которые не делятся на 5;
г)	два нечётных числа, которые не делятся на 5.
34.	Какие из чисел 200, 320, 3000, 50 000, 861, 76 540 делятся на
100? Какие из них делятся на 1000?
Сформулируйте признаки делимости па 100, па 1000.
35.	Напишите множество трёхзпачпых чисел, в запись которых вхо-
дят лишь цифры О, 2, 5 и которые:
а) делятся на 2; 6) делятся па 5.
36.	Коля принес несколько коробок с яйцами, по 10 яиц в каждой ко-
робке. Может ли быть, что он принёс 35 яиц? 13 яйца? 50 яиц?
37-	Купили 5 одинаковых коробок цветных карандашей. Может ли в
них оказаться: всего 92 карандаша? 90 карандашей? 75 каранда-
шей?
38.	Подставьте в таблицу подходящие значения а и b и сделайте вы-
вод о четности или нечётности результата действия:
а)	б)
Слагаемое	Слагаемое	Сумма		Уменьшаемое	Вычитаемое	Разность
а	b	и + b		а	b	-С» I «3
чёткое	нечётное	7		чётное	нечётное	7 ь
Четное	чётное	?		чётное	чётное	?
нечётное	чётное	?		нечетное	чётное	
нечётное	нечётное	?		нечётное	нечётное	7 
39.	Можно ли. используя только цифры 3 и 4, записать:
а)	число, которое делится на 10; в) число, кратное 5;
б)	четное число;	г) почётное число?
14
40.	Какие числа, кратные 5, удовлетворяют неравенству:
а)	64 < X < 78;
б)	405 < х < 450;
в) 24 < у < 49;
г) 1 < у < 30?
41. Вычислите устно:
17 4- 0,3;	б) 0,728 - 0,7;	в) 0,2 • 5;	г) 2,6 : 2;
0,05 + 25;	0,8 - 0,25;	4 • 2,5;	1,8 ; 9;
0,37 + 2,03;	1 - 0,6;	0,5 ‘ 20;	3,7 : 10;
3,84 4 0,2;	0,7 - 0,07;	0,24 ’ 1000:	5,3 : ОД;
1.27 + 2,3;	3 - 0,85;	2,7 • 100;	6 : 0,3.
42.	Какие различные натуральные числа надо впи-
сать н кружки (рис. 4), чтобы произведение
каждых двух чисел» помещённых в кружках,
соединённых отрезком, равнялось 70? Поду-
майте, как можно назвать набор чисел, оказав-
шихся в кружках.
43.	Если к числу прибавить 4. то полученвое число
разделится без остатка на 6. Чему равен оста-
ток от деления первого числа на 6?
44.	На микрокалькуляторе по программе 12 +	- получен резуль-
тат 24. Попробуйте объяснить, почему получилось такое число.
Подумайте, какие числа будут появляться на индикаторе после
каждого нажатия клавиши — при выполнении программы:
45.	Подтвердите примерами следующее свойство суммы: а) если каж-
дое слагаемое кратно числу а. то и сумма кратна числу а; б) если
только одно слагаемое суммы не кратно числу а, то сумма не крат-
на числу а.
46.	Назовите наименьший и наибольший делители числа 24. Назовите
наименьшее кратное числу 24. Есть ли у этого числа наибольшее
кратное? Назовите какое-нибудь число, кратное и 5, и 12.
47.	Запишите все двузначные числа, являющиеся:
а)	делителями 100;
б)	кратными 25;
в)	делителями 100 и кратными 25.
15
48,	Число b является делителем числа я. Докажите, что частное от
деления а на Ь также является делителем числа и. Проверьте это
утверждение, если а = 18, а Ь = 3.
49.	Докажите, что:
а)	если а кратно b, а b кратно с, то « кратно с;
б)	если а и b делятся па 6» то и а + b делится па б.
50.	Какие из дробей £•»	-у, ТТ* "ч ЯВЛЯН)Т1:Я правильными и
какие — неправильными?
51.	При каких натуральных значениях а дробь u — будет правиль-
8
,	,	9	_
нои и при каких натуральных значениях о дробь будет не-
правильной?
52.	Решите уравнение:
а)	(х + 2,3) 0,2 - 0,7;	в) 4,2х + 8,4 - 14,7;
б)	(2,8 - х) : 0,3 = 5;	г) 0,39 : х - 0,1 = 0,16,
53.	На урокс физкультуры Андрей, Марат, Костя, Саша, Петя и Серё-
жа готовятся к прыжкам в высоту.
а)	Сколькими способами можно установить для них очередность
прыжков?
б)	Сколькими способами можно установить очерёдность прыжков,
если начиняют обязательно Костя или Саша?
54.	Решите задачу:
1)	Я задумал число. Если его увеличить в 11 раз и результат умень-
шить ня 2,75, то получится 85,25. Какое число я задумал?
2)	Я задумал число. Если его увеличить на 9,2 и результат увели-
чить в 11 раз, то получится ПО. Какое число я задумал?
55.	Проверьте верность утверждения: «Многозначное число делится
на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами
(цифрой десятков и цифрой единиц) делится на 4*,
56.	Выпишите все числа в пределах трехсот, которые кратны 25, Про-
наблюдайте закономерность и сделайте вывод, какие числа делят-
ся ня 25.
57.	Дано множество А = {154, 161, 174, 178, 191, 315, 320, 346, 425,
475}, Составьте подмножество:
а)	чисел, кратных 2; в) чисел, кратных 10;
б)	чисел, кратных 5; г) нечётных чисел.
58.	Напишите:
а)	все чётные числа, большие 10 и меньшие 21;
б)	все нечётные числа, большие 12, но меньшие 23.
59.	Напишите три четырёхзначных числа, кратных 5.
80.	Дано множество дробей {у, р	р	и |||}, Составь-
те подмножество:
а) правильных дробей; б) неправильных дробей.
61.	Решите уравнение:
а) (4,9 - х) : 1,2 = 3; б) 3,8 • (х - 0,2) = 2,28.
62.	Найдите значение выражения:
а)	(93 • 7 + 141) : 72;
б)	(357	348 : б) 4;
в)	7091 + 9663 - (243 916 + 75 446) : 527 : 3;
г)	8607 + 7605 + (376 012 - 83 314): 414 : 7.
3. Признаки делимости на 9 и на 3
Узнаем, не выполняя деления, можно ли 846 яиц разло-
жить в 9 корзин поровну.
В числе 846 содержится 8 сотен, 4 десятка и 6 единиц.
Если раскладывать поровну в 9 корзин одну сотню яиц, то в
каждую корзину можно положить 11 яиц, а одно яйцо оста-
нется. От восьми сотен останется 8 яиц.
Если раскладывать поровну в 9 корзин один десяток
яиц. то в каждую корзину надо положить одно яйцо и одно
яйцо осгане 1Ся. Oi ч01ырёх дОСяIкрн OCidHAiCM 4 яйца.
17
Не разложенными в корзины останутся 8 яиц от сотен,
4 яйца от десятков и еще 6 яиц: 8 + 4 + 6=18. Число 18
является суммой цифр числа 846. Так как 18 яиц можно раз-
ложить поровну в 9 корзин (по 2 яйца в каждую), то и все 846
яиц можно разложить поровну в 9 корзин. Это значит, что
число 846 делится без остатка на 9,
&V6 фишася на 9, /Лакхйк # + У + 6 —	« ft? qe-tutficA на 9.
Если сумма цифр числа делтся на 9, то и число
делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9,
то и число не делится на 9.
Пример 1. Число 76 455 делится на 9, так как сумма его
цифр: 7 + 6 + 4 + 5 + 5-27 — делится на 9.
Пример 2. Число 51 634 не делится на 9, гак как сумма
его цифр: 5+1+6 + 3 + 4-19 — не делится на 9.
Так же обосновывается признак делимости на 3.
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число
делится на 3; если сумма цифр числа нс делится на 3,
то и число не делится на 3.
Как по записи натурального числа узнать, делится оно на 9 или не
делится на 9?
Как по запнсн натурального числа узнать, делится оно на 3 илн не
делится на 3?
63.	Какие из чисел 75 432, 2 772 825, 5 402 070 делятся на 3? Какие из
них делятся па 9?
64.	Запишите какие-нибудь три четырёхзначных числа, которые де-
лятся на 9.
65.	Какие цифры следует поставить вместо звездочек в записи 2*5,
46*, *14, чтобы получившиеся числа делились на 3?
66.	Запишите множество, состоящее из трёх чисел, записанных с по-
мощью:
а)	цифры 1, которые делятся на 3;
б)	цифры 6, которые делятся па 9.
67.	Любое ли число, которое оканчивается цифрой 3, делится па 3?
68.	Мама принесла детям три одинаковых подарка. Может ли быть,
что во всех подарках было 25 конфет? 75 конфет? 63 конфеты?
69» В каждом стойле коровника 9 коров. Может ли быть, что всего
в коровнике 542 короны? 288 коров?
70.	Собрали 2 ц. яблок и часть из них разложили в 9 одинаковых ящи-
ков. Могло ли после этого остаться: 60 кг яблок? 56 кг яблок?
р
71.	Подумайте, как можно сформулировать признак делимости:
а) на 6; б) на 15.
72. Вычислите устно:
а) 6 4- 0,1 + 0,04;	6)0,7-0,15; в) 0.3 • 5; г) 5 : 100;
7 + 0,05 + 0,8;	4-0,5;	4 - 0,5;	26 : 10;
3,4 + 0,007 + 0.06;	0.6 - 0.02;	50 0,02;	0.8 : 4;
19 + 1,02 + 0,18;	3 - 1,3;	2,9 4 10;	2 : 0,1;
2,01 + 1,3 + 0,09;	5 - 0.08;	31'0,01;	8 : 0,4.
73. Найдите пропущенные числа:
74.	Подумайте, каким числом (чётным или нечётным) является:
а) квадрат четного числа;
б)	квадрат нечётного числа;
в)	куб чётного числа.
75.	Длина прямоугольника 20 м, ширина натуральное число мет-
ров. Верно ли, что значение площади (в квадратных метрах):
а) кратно 2; б) кратно 5; в) кратно 4; г) кратно 8?
76.	Значение какого числового выражения можно вычислить на мик-
рокалькуляторе по программе:
а) 15,3 х 0,05 + 1.4
б) 8,6 + 2,2 х 0,3
77.	Верно ли утверждение:
а)	если каждое слагаемое не кратно числу и, то и сумма нс кратна
числу а;
б)	если уменьшаемое и вычитаемое кратны числу а, то и разность
кратна числу а?
19
78.	Как быстро узнать, делятся ли на 2:
а)	суммы: 37 843 + 54 321; 48 345 + 75 634; 37 244 + 52 486;
б)	разности: 87 338 - 56 893; 153 847 - 112 353; 84 537 - 26 237?
79.	Любое ли число, делящееся на 5. делится и на 10?
80.	Всегда ли запись числя, делящегося на 5, оканчивается цифрой 5?
Может ли число, не делящееся на 5, оканчиваться цифрой 5?
81.	Какой цифрой оканчивается запись числа, делящегося на 5, если
оно: а) чётно; б) нечётно?
82.	Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы получен-
ное число делилось на 5: а) 378й; б) 25*5; в) 4*13?
9 1
83.	Сколько трёхзначных чисел можно составить из нечётных цифр?
84.	Сколько существует трёхзначных чисел, кратных пяти, в записи
которых все цифры различны?
85.	Запишите 1-. 34, 2-Д-, 877- и 9-ir в виде неправильных дробей.
..	.1 I	1 1,Э	jlLf
ee_ т.	18 25 17 12 18 15
86.	Исключите целую часть из чисел: у, у, у, у» у. у.
87.	Решите уравнение:
1)	17п - 11п - 2л = 511;
2)	23а - 8а - 13а = 33;
88.	Вычислите:
0,5632:5,12+ 42,56:3,8-(11 -3,9:1,5).
Вычисления проверьте с помощью микрокалькулятора.
3) 4х + 6х - х = 21,6;
4) 7у - у + Зр = 61,2.
А
89.	Какие из чисел 240. 242, 244, 246, 248, 250, 252 кратны 3? Какие
из них делятся ня 9?
90.	В записи *723, 5*36+ 111" вместо звёздочки поставьте такие циф-
ры, чтобы получившиеся числа делились на 9.
91.	Представьте числа 1-, 3—, 18~, 14^ в виде неправильных дро-
и	dl4 У d j
беи.
тл	62 79 1356 238
92.	Исключите целую часть из чисел: —, —. —г-- тг-
11 lb ZzJo 14
93.	Найдите значение выражения 4,7Аг + 5.3/t — 0,83, если k = 0,83;
8,3; 0,083.
94.	Решите уравнение:
а)	х + Зх + 5 = 17;
б)	3,5х + 2,2х = 1,56;
в) 3.2у - 2,7^ = 0,6;
г) 8,7г -л = 0,54.
20
95.	Найдите значение выражения:
(5,98 + 5*36): 2,8 : (5  0,003 + 15 • 0,029).
4. Простые и составные числа
Coemciarroe
число
Простое
число
Разложен ие
на множители
Число 7 делится только на 1 и само на себя. Другими
словами, число 7 имеет только два делителя: 1 и 7, У чис-
ла 9 три делителя: 1, 3 и 9. Число 18 имеет шесть делите-
лей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.
Такие числа, как 9 и 18, называют составными числами,
а такие, как 7, — простыми числами.
Натуральное число называют простым, если оно имеет
только два делителя: единицу и само это число. Натураль-
ное число называют составным, если оно имеет более двух
делителей.
Число ? имеет только один делитель: само это число.
Поэтому его не относит ни к составным, ни к простым чис-
лам.
Первыми десятью простыми числами являются 2, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. На форзаце учебника приведена та-
блица простых чисел от 2 до 997.
Число 78 составное, потому что кроме 1 и 78 оно делит-
ся, например, ещё на 2.
Так как 78 : 2 - 39, то 78 - 2 • 39. Говорят, что число 78
разложено на множители 2 и 39. Любое составное чис-
ло можно разложить на дна множителя, каждый из кото-
рых больше 1. Простое число так разложить на множители
нельзя.
Какие натуральные числа называют простыми?
Какие натуральные числа называют составными?
Почему число 1 не является нн простым, ни составным?
96.	Сколько делителей имеет каждое из чисел: 31, 25, 100?
97.	С помощью таблицы простых чисел, помещённой на форзаце учеб-
ника, определите, какие из чисел 101, 121, 253, 409, 561, 563,
863, 997 являются простыми, я какие составными.
21
98.	Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 являются сос*
таиными.
99.	Может ли произведение двух простых чисел быть:
а) простым числом; б) составным числом?
1О0-	Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если
длина его стороны выражается натуральным числом?
1O1.	Известно, что число т делится на 9. Простым или составным яв-
ляется число т?
102.	Разложите на два множителя числа: 38; 77; 115; 159.
103.	Сколькими способами можно разложить на два множителя числа
18; 42; 55? Способы, при которых произведения отличаются толь-
ко порядком множителей, считайте за один способ.
104.	Верно ли, что все четные числа являются составными?
105.	Может ли выряжаться простым числом объем куба, длина ребра
которого выражается натуральным числом?
106.	Вычислите устно:
а)	0,01 4- 1,1 + 0,09;
8,1 + 2,99 + 1,01;
1,88 4 3,7 + 0,12;
2,8 + 1,85 + 2,15;
1,07 + 0,88 + 1,93;
б)	15- 2,3;
0,3 - 0.29;
7 - 0,2;
6 - 2,75;
16,4 - 4;
в) 2,5 • 2,7 • 4;
3,9 - 0,5 • 2;
1.25 • 1,9 ’ 8;
4 • 5.6 * 0,25;
0,5  30 * 0,1;
г) 1 ; 10;
8,08 : 8;
9 : 100;
6,73 : 10;
0,7 : 0,01.
107. Найдите пропущенные числа, если а - 33; 42; 75:
108. Выразите в процентах числа: 0,01; 0,29; 0,8; 1,
22
109.	Выразите d виде десятичных дробей: 2%, 5%, 10%, 20%, 50%,
68%, 100%, 130%.
11O.	Длина и ширина прямоугольного иэрч.тл слепи недн выражаются
натуральным числом сантиметро», а высота равна 15 см. Можно
ли утверждать, что объём (в кубических сантиметрах) этого па*
раллелепинеда выражается числим:
а) кратным 2; б) кратным 3:	в) кратным 5?
Р 111. Сколько нечётных четырехзначных чисел можно составить из
цифр О, 1, 2, 3, 4?
Решение. На первом месте в записи числа может стоять лю-
бая цифра, кроме нуля, — 4 варианта. На втором и на третьем
местах — любая из этих пяти цифр. Так как число нечетное,
на последнем месте могут быть только цифры 1 или 3 — т. е.
имеем ещё два варианта. В соответствии с правилом умножения
получаем, что нечётных четырёхзначных чисел можно составить
4’5’52- 200.
112.	Какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и справа, чтобы
(получилось четырёхзначное число, делящееся:
а) на 9; б) на 3; в) на 6?
Jfl 113. У Пети в этом году день рождения в среду, а у его сестры Ани
день рождения ровно через 100 дней. В какой день недели будет
ближайший день рождения у Анн?
114.	Дано множество {215 783, 3 289 775, 21 112 221, 44 856, 555 444,
757 575, 835 743}. Составьте подмножество чисел:
а)	кратных 3;	в) кратных 3 и 5;
б)	кратных 9;	г) кратных 9 и 2.
115.	а) Верно ли, что если число оканчивается цифрой 6, то оно делит-
ся на 6?
б)	Верно ли. что если число делится на 6, то его запись оканчива-
ется цифрой 6?
в)	Может ли нечётное число делиться на чётное число?
г)	Может ли чётное число делиться на нечётное число?
4^* 116. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы число де-
лилось без остатка на 3 и на 5:
а) 241*;	6) 1734*; в) 43*5?
117.	Стакан вмещает 210 г крупы. Крупой наполнили 2- стакана.
Сколько граммов крупы насыпали в стакан?
23
118.	Дочь пообещала: «Я схожу в магазин и вымою посуду*. Можно ли
обещание считать выполненным, если дичь: а) вымыла посуду, но
не сходила в магазин; б) сходила в магазин, но не вымыла посуду;
в) и вымыла посуду, и сходила в магазин; г) не вымыла посуду и
не была в магазине?
Подумайте, в чем сходство этой задачи с задачей нахождения
решений неравенства 2 < х < 6 среди чисел 1; 3; 5; 7.
А 119. Докажите, что числа 575, 10 053, 3627, 565 656 являются состав-
ными.
120.	С помощью таблицы простых чисел, помещённой на форзаце учеб-
ника, выберите из чисел 122, 132, 153, 157, 187, 499, 550, 621,
881,865 и 909 простые числа.
121.	Запишите все делители числа 90. Выпишите из них те, которые
являются простыми числами.
122.	Разложите па два множителя всеми возможными способами чис-
ла 30, 33, 42, 99. Способы, при которых произведения отличаются
только порядком множителей, считайте за один способ.
123* Периметр прямоугольника 66 дм. Длина одной его стороны со-
ставляет yj периметра. Найдите площадь прямоугольника.
124.	Найдите значение выражения: (15,961 : 5,2 - 1,2) - 0,1.
5. Разложение на простые множители
Число 210 ннлне1ся произведением чисел 21 и 10. Зна-
чит 210 - 21 ' Ю. Числа 21 и 10 составные Их тоже можно
представить в виде произведений: 21 =3-7, 10=2*5. По-
лучаем: 2Ю - 3 • 7 - 2 - 5. Теперь е произведении 3  7 * 2  5
все множители — простые числа,
Таким образом, число 210 разложено на простые мно-
жители:
Pn./.TOJWFHUF
на простые
множители
Число 210 можно разложить на простые множители
иным способом: 210 = 30-7 = 10 - 3 • 7 = 5 - 2 * 3 * 7. Полу-
чились те же самые простые множители, только записанные
в другом порядке, Обычно записывают множители в поряд-
ке их возрастания:
210 - 2 • 3 • 5 ’ 7.
Всякое СОСтйяное ЧИСЛО можно разложить н& Простые
множители. При любом способе получается одно и то же
разложение, если не учитывать порядка записи множите-
лей.
При разложении чисел на простые множи-
юли использую! признаки делимоои.
Разложим, например, на простые мно-
жители число 756. Оно делится на 2, так
как оканчивается чётной цифрой 6. Имеем
756 ; 2 - 378, Проведём вертикальную черту
и запишем слева от нос делимое 756. а спра-
ва — делитель 2. Частное запишем под чис-
лом 756.
Число 378 тоже делится на 2. При деле-
нии получаем в частном 189.
189 не делится на 2, так как оканчивается
нечётной цифрой. Но 189 делится на 3, так как
цифр {I + 8 + 9 • 18} делится на 3. Имеем 189 : 3 - 63.
Число 63 также делится на 3. При делении получим чис-
ло 21.
756
574*
ДР?
65
сумма его
25
Число 21 также делим на 3. причём получаем в частном
простое число 7.
При делении числа 7 на 7 получаем 1.
Разложение на множители закончено.
Значит,
Существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на
простые множители?
Чем могут отличаться два разложения одного н того же числа на
простые множители?
W 125. Разложите на простые множители числа:
™ а) 216; 162; 111; 512; 675; 1021;
б)	60; 180; 220; 350; 400; 1200; 8000;
в)	11; 1001; 1225; 21 780; 15 630.
126.	Напишите все двузначные числа, разложение которых на простые
множители состоит:
а)	из двух одинаковых множителей;
б)	из трех одинаковых множителей.
127.	Запишите все двузначные числа, которые раскладываются на два
различных простых множителя, один из которых равен:
а) 11;	6)13; в) 23; г) 47.
128.	Выясните, делится ли число о на число b без остатка, если:
а)а-2*2*2*3*5’7иЛв2’3*7;
б)в-3.3-5-5.ПиЬ-3.3-5;
в)	а =	Л	• 3	•	5 *	7 * 13 и b = 3 * 5 • 5 - 13;
г)	а -	2	• 3	-	3 -	7 •• 7 и b - 21;
ди -	2	 2		3 -	3  3  5  7иЬ 135;
е)а =	2	 2	•	2 	3 • 3 > 5 • 5 и 6 = 1000.
В случае, когда а делится па 6, найдите частное.
129, Вычислите устно:
а) 3,90 + 2,01;
2,3 + 0,007;
3,62 + 1,08;
3,06 + 1,94;
12,77 + 0,13;
6) 0,7 - 0,06;
1 - 0,48;
2 - 1,02;
0,65 - 0,5;
0,8 - 0,25;
16
в) 1,6 : 100;
5 : 10;
12 : 1000;
2,3 : 0,1;
4 : 0,01;
г) 0,4 - 0,31 25;
3,8 ’ 1,7 - 2,8 - 1,7;
4,7 • 12,5 • 0,8;
3,1 - 3,7 + 3,1 6,3;
49,3 + 0 - 49,3.
130.	При каких натуральных значениях а произведение 23а является
простым числом?
131.	Существует ли прямоугольник, стороны которого выражаются на-
туральными числами, а периметр — простым числом?
132.	Найдите по два простых делителя каждого из чисел:
54; 62; 143; 182; 3333; 5005.
133.	Какие простые числа являются решениями неравенства 17 <р < 44?
134. Могут ли быть простыми числами координаты точек А, В, С и D
(рис. 5), если р — простое число?
Рис 5
135.	Представьте: а) число 3 в виде дроби со знаменателем 5; б) число 1
в виде дроби со знаменателем 12,
136.	Выполните действие:
а' Тт 1 Тт! 2 5 ' 35’ д) 3Та 1 1 is’
6)	5-5=	еКп-2П’
137.	Из 35 учащихся пятого класса 22 выписывают журнал, 27 — га-
зету, а 3 ученика пе выписывают пи газету, пи журнал. Сколько
учащихся выписывают газету и журнал?
138.	а) Книга на 100% дороже альбома. На сколько процентов альбом
дешевле книги?
б)	Масса гуся на 25% больше массы утки. На сколько процентов
масса утки меньше массы гуся?
139.	Для какого числового выражения составлена программа вычисле-
ний на микрокалькуляторе:
а) 7,46	+	8,7	-5-	о,о1б П	6,9
б) 10,2	+	8,83		20 -	: ?
27
140.	Стороны треугольника 12 см, 17 см и х см:
|а) составьте выражение для вычисления периметра этого тре-
угольника;
б)	надумайте, каким может быть значение х и каким быть не мо-
жет.
F141. Сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр
О, 2, 3, 4, 5?
142.	Решите задачу:
1)	Две бригады хлопкоробов собрали вместе 20,4 ц, хлопка за день.
При этом первая бригада собрала на 1,52 ц больше второй.
Сколько центнеров хлопка собрала каждая бригада?
2)	Два комбайнера убрали пшеницу с 64,2 га. Сколько гектаров
убрал каждый комбайнер, если первый убрал на 2,8 га меньше,
чем второй?
143.	Найдите зпачспис выражения:
1)	(13 - 9,5 : 3,8) 0,3;
2)	(16,1: 4,6 3,07) 0,2;
3)	(1.3 2.8 + 1) : 0,8;
1) (3,7 2,3 - 5) : 0,3.
*11 144. Ha поверхности куба (рис, 6) найдите крат-
*П чайший путь:
|а) из точки А в точку С через точку В;
б)	из точки А в точку С, который пересе-
кал бы все боковые рёбра куба, кроме ре-
бра АС,
А 145. Разложите на простые множители числа:
а) 54; 65; 99; 162; 10 000; б) 1500; 7000; 3240; 4608.
146.	Выполните действия:
в) 4 33 + 3 33;
, к 13 в 7
г^’>18	^18'
147.	Два тракториста вспахали 12,32 га земли, причём один из них
вспахал в 1,2 раза меньше другого. Сколько гектаров земли вспа-
хал каждый тракторист?
28
148.	Подставьте в таблицу подходящие натуральные значения х и у и
сделайте выводы о чётности или нечётности результата действия в
каждом случае:
а)
б)
Множитель Множитель
чётный
чётный
нечётный
нечетный
чётный
нечётный
чётный
нечетный
Произведение
х !/
Делимое
х
Делитель
У
нечётный
чётный
нечетный
Частное
149.	Выполните действия:
а)	(424,2 - 98,4) : 3,6 • 0,9 + 9,1;
б)	(96,6 + 98,6}: 6,4 1,2 - 0,2.
6. Наибольший общий делитель.
Взаимно простые числа
Задача. Какое наибольшее число одинаковых подарков
можно составить из 48 конфет «Ласточка-- и 36 конфет «Гу- уу
синые лапки», если надо использовать все конфеты?
Решение. Каждое из чисел 48 и 36 должно делиться
на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делите-
ли числа 48.
Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Затем выпишем все делители числа 36.
Получим: 1, 2, 3, 4, 6. 9, 12, 18, 36.
Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4,
6, 12.
29
Видим, что наибольшим из этих чисел является 12. Его
называют наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
Значит, можно составить 12 подарков. В каждом подар-
ке будет 4 конфеты «Ласточка» (48 ; 12 = 4} и 3 конфеты «Гу-
синые лапки» (36 : 12 - 3).
Наибольший общий делитель	Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а иЬ, называют наибольшим общим делителем этих чисел.
Взаимно
простые числа
Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут 1, 2, 3, 4 6, 8, 12. 24, а делителями
35 будут 1, 5, 7. 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий
делитель — число 1. Такие числа называют взаимно про-
стыми.
Натуральные числа называют взаимно простыми,
если их наибольший общий делитель равен 1.
Наибольший общий делитель можно найти, не выписы-
вая всех делителей данных чисел.
Разложим на множители числа 48 и 36. получим:
=	>2 2 3. 36=2 2 3 3;
#02) (42; 36) =2 2 3 = f2.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих
чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение вто-
рого числа (т. е. две двойки).
Остаются множители 2 - 2 д 3. Их произведение равно
12. Это число и является наибольшим общим делителем чи-
сел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель
трёх и более чисел.
Чтобы найти наибольший общий делитель несколь-
ких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на про-
стые множители; 2) из множителей, входящих в раз-
ложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые
не входят в разложение других чисел; 3) найти произ-
ведение оставшихся множителей.
Если все данные числа делятся на одно из них, го это
число и является наибольшим общим делителем данных
чисел,
30
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45.,
75 и 180 будет число 15, так как на него делятся асе осталь-
ные числа: 45, 75 и 180.
Какое число называют наибольшим общим делителем двух нату-
ральных чисел?
©Какие два числа называют взаимно простыми?
Как найти наибольший общин делитель нескольких натуральных
чисел?
Число а кратно числу Ь. Какое число является наибольшим общим
делителем чисел а и б?
\J
ISO.	Найдите все общие делители чисел:
** а) 18 и 60; б) 72, 96 и 120; в) 35 и 88,
jia* 151. Найдите разложение на простые множители наибольшего общего
делителя чисел а и Ь, если:
а)	е 2 * 2 * 3 1 3 и в — 2 * 3 * 3 ' 5;
б)	а = 5 ‘ 5 ‘ 7 • 7 ‘ 7 и Ь = 3 ‘ 5 - 7 - 7,
В предложениях с сочетаниями общий делитель, наибольший об-
щий делитель числительные читают в родительном падеже, если
перед ними нет слова чисел, и в винительном падеже в противном
случае:
р. п.	р. п.
— пять общий делитель двадцати и тридцаш.
число пять — наибольший общий делитель чисел
в. п.	в, л.
двадцать и двадцать пять.
152. Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 12 и 18;	в) 675 и 825;	д) 324, 111 и 432;
б) 50 и 175;	г) 7920 и 594;	е) 320, 640 и 960.
153. Являются ли взаимно простыми числа:
а) 35 и 40; б) 77 и 20; в) 10, 30, 41; г) 231 и 280?
154. Найдите среди чисел 9, 11, 15 и 27 три пары взаимно простых чи-
сел.
• г* 155. Запишите все правильные дроби со знаменателем 12, у которых
числитель и знаменатель взаимно простые числа.
31
156.	Ребята получили на новогодней ёлке одинаковые подарки. Во всех
подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят
присутствовало на ёлке? Сколько апельсинов и сколько яблок
было в каждом подарке?
157.	Для поездки за город работникам завода было выделено песколь*
ко автобусов» с одинаковым числом мест в каждом автобусе. В лес
поехали 424 человека, а на озеро — 477 человек. Все места в ав-
тобусах были заняты, и пн одного человека пе осталось без места.
Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было в
каждом автобусе?
п		158. Вычислите	устно:			
		а) 0,7 -10	б) 5:10	в) 4-0,8	г) 0,9	 0,06
		:2	0,2	: 0,8		: 0,3
		0,3	+ 2	: 10		0,2
		j 0,4	: 0J	•0,5		0,1
		?	7 	?		7 >
159.	С помощью рисунка 7 определите» являются ли числа а, 5 и с про-
стыми.
О 5	13
	1 I	I—t	I-------------------
ас	h
Рио 7
160.	Существует ли куб, ребро которого выражается натуральным чис-
лом и у которого:
а)	сумма длин всех рёбер выражается простым числом;
б)	площадь поверхности выражается простым числом?
161.	Разложите на простые множители числа:
а) 875; 2376; 5625; б) 2025; 3969; 13 125.
162.	Почему, если одно число можно разложить на два простых мно-
жителя, а другое — на три простых множителя, то ЭТИ числа не
равны?
163-	Можно ли найти четыре различных простых числа, чтобы произ-
ведение двух из них равнялось произведению двух других?
164.	Сколькими способами в дсвятимсстном микроавтобусе могут раз-
местится 9 пассажиров? Сколькими способами могут разместить-
ся пассажиры, если один из них, хорошо знающий маршрут, ся-
дет рядом с водителем?
165.	Найдите значение выражения:
а)	(3-3-5 11):(3 И);
б)	(2 - 2 - 3 5 ' 7) : (2'3'7);
в)	(2 • 3 • 7 13) : (3 • 7);
г)	(3 5  И  17 • 23) : (3 • 11 • 17).
166.	Сра нните:
a) ~ и “♦ б) Н и А- в) 1- и г) 2- и 31.
7	7	13	13’	3	3’	7	5
167.	С помощью транспортира постройте ZAOB - 35“ и ZLDEF - 140°.
168.	Решите задачу:
1)	Луч О Л/ разделил развернутый угол АОВ на два угля: ДОЛ/ и
МОВ, Угол АОМ в 3 раза больше угла AfOB, Чему равны углы
АОЛ/ и ВОЛ/? Постройте эти углы.
2)	Луч ОК разделил развёрнутый угол COD на два угла: СОА' и
KOD, Угол СОА' в 4 раза меньше угла АОЛ. Чему равны углы
СОК и КОО? Постройте эти углы.
169.	Решите задачу:
1)	Рабочие отремонтировали дорогу длиной 820 м за три дня. Во
2	2
вторник они отремонтировали — этой дороги» я в среду — «став-
15
шейся части. Сколько метров дороги отремонтировали рабочие
в четверг?
2)	На ферме содержатся коровы» овцы и козы» всего 3400 жи-
вотных. Овцы и козы вместе составляют ту всех животных» а
2	11
козы составляют общего числа овец и коз. Сколько на ферме
коров, сколько овец и сколько коз?
2’ *25'
действие, записав каждое число в виде десятичной
170.	Представьте в виде обыкновенной дроби числа 0,3; 0,13; 0,2 и в
3. л 1. „ 7
виде десятичной дроби числа g
171.	Выполните
дроби:
„ 1 2.
2	5’
6)li +2^.
172. Вы умеете
представлять числа в виде произведения простых чи-
сел. Попробуйте представить в виде суммы простых слагаемых
числа 10, 36, 54, 15, 27 и 49 так, чтобы слагаемых было возмож-
но меньше. Какие предположения о представлении чисел в виде
суммы простых слагаемых вы можете высказать?
33
Д173. Найдите наибольший общий делитель чисел а и Ь> если:
а)	а = 3 • 3 • 5 • 5 • 5 • 7, b = 3 • 5 • 5 • 11;
б)	а - 2 ‘ 2 ‘ 2 3 ‘ 5 ‘ 7. & - 3 - 11 ‘ 13.
174.	Найдите наибольший общий делитель чисел:
а)	585 и 360; в) 60, 80 и 18;
б)	680 и 612; г) 195, 156 н 260.
175.	Докажите, что числа 864 и 875 взаимно простые.
176.	Сравните: а) — и тр б) 1^ и в) V и2т.
177.	Постройте угол ДОС, равный 130г'. Проведите внутри угла ДОС
луч О/З так, чтобы ZBOC = 40°. Измерьте угол АОВ.
178.	R городе построен завод, на котором будут работать 810 рабочих
следующих профессий: токари, слесари и фрезеровщики. При
этом токарей будет втрое, а слесарей вдвое больше, чем фрезеров-
щиков. Сколько токарей нужно для заводя?
23
179.	R инкубатор заложили 1200 яиц. Из ~ всех яиц вылупились цы-
2
плята, При этом оказалось, что петушки составляют — всех вы-
лупившихся цыплят. Сколько петушков и сколько курочек вылу-
пилось из яиц?
180.	Представьте в виде обыкновенной дроби числа: 0,5; 0,16; 0,25.
181.	Представьте в виде десятичной дроби числа: 7; 777; 77; 1 4-
5	125 2(1 л
182.	Найдите значение выражения:
я) 1,53 • 54 - 0,12 (512 - 491,2) + 1,116;
б)	((27,12 + 43,08) • 0,007 - 0,0314) * 100.
7. Наименьшее общее кратное
Задача. Шаг Володи 75 см. а шаг Кати 60 см. На каком
наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу
шагов?
Решение. Число сантиметров пути должно делиться
без остатка и на 75, и на 60, т е. оно должно быть кратным
и 75, и 60.
Выпишем числа, кратные 75. Получим:
75, 150, 225. 300, 375, 450. 525, 600, 675, 750.
Затем выпишем числа, Кратные 60 Получим:
34
Наименьшее
общее кратное
60, 120, 180, 240, 300. 360,
420, 480, 540, 600, 660, ... ,
Общими кратными чисел 75
и 60 будут числа 300, 600,... .
Наименьшим из них является
300. Это число называют наи-
меньшим общим кратным чи-
сел 75 и 60.
Значит, наименьшим рас-
стоянием, на котором Володя и
Катя сделают целое число ша-
гов, будет 300 см. При этом Во-
лодя сделает 4 шага (300 : 75 -
- 4), а Катя — 5 шагов (300 : 60 -
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а
и Ъ называют наименьшее натуральное число, которое
кратно и а, и Ь,
Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно най-
ти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого
разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 • 5 • 5,
а 60 = 2 • 2 • 3 - 5,
Выпишем множители, входящие в разложение первого
из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2
и 2 из разложения в юрою числа.
Получаем пять множителей 2  2 - 3  5 • 5, произведение
которых равно 300. Это число является наименьшим общим
кратным чисел 75 и 60,
Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и
белое чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное несколь-
ких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на про-
стые множители; 2) выписать множиюли, входящие в
разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недо-
стающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Заметим, что если одно из данных чисел делится на все
остальные числа, то это число и является наименьшим об-
щим кратным данных чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20
и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные чис-
ла.
35
f-----------------------------------------------------------------1
Какое число называют наименьшим общим кратным натуральных
ч. чисел « и 6?
Как найти наименьшее общее кратное нескольких чисел?
Какое число является наименьшим общим кратным чисел m н л,
если число ш кратно числу н?
i
К 183. Найдите разложение на простые множители наименьшего общего
кратного чисел а и Ь, если:
а) а = 3 • 5, б = 7 * 5;
2 ’ 2  3'3 ’ 5,	2  2 - 3 - 7.
184.	Найдите наименьшее общее кратное чисел а и б, если:
а) в — 2*2,Зг5’5иЬ — 2гЗ’3’3* 51
б)	й - 3 • 3'7 • 7 и & - 2 - 3 • 3 ’ 5  7  7;
в)	а - 2'2'5'5 11 и б - 2 • 2 ’ 3 ’ 5  11;
г)а-2 5-5-7иб-2Й-5-5-7.
185.	Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а)	6 и 8;	в) 72 и 99;	д) 34» 51 и 68;
б)	12 и 16;	г) 396 и 180;	е) 168, 231 и 60.
186.	Являются ли числа 54 и 65 взаимно простыми? Найдите наимень*
шее общее кратное чисел 54 и 65. Равно ли опо произведению 54 и
65? Запишите какие-нибудь дна взаимно простых числа. Найдите
наименьшее общее кратное этих чисел, Сделайте вывод,
187.	Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 45 и 135;	6) 34 и 170.
Равно ли оно одному из данных чисел?
Т188. Вдоль дороги от пупкта А поставлены столбы через каждые 45 м.
Эти столбы решили заменить другими, поставив их ня расстоянии
60 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайше-
го столба, который будет стоять на месте старого, кроме столба в
точке А.
Ч 189. В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рей-
са, первый из которых длится 1 5 суток, второй — 20 суток и тре-
|тий 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день
снова отправляются в рейс. Сегодня иа порта вышли теплоходы
по всем трем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова
вместе уйдут в плавание?
30
190.	Составьте множество Л, состоящее из простых делителей числа
108, и множество В, состоящие из простых делителей числа 144..
Найдите множества С = А и В и D = Ал й.
Вычислите произведение всех чисел из множества С и сравните
его с наибольшим общим делителем чисел 108 и 144,
Вычислите произведение всех чисел из множества D и сравни-
те его с наименьшим общим кратным чисел 108 и 144.
191. Вычислите устно:
а) 0,75 - 0,7	б) 1 - 0,25	в) 0,9 - 0,09	г) 23,9 - 3,9
- 20	- 2	: 9	• 0,15
0,2	:0,3	+ 0,6	- 0,8
: 0,4	- 0,05	♦ 10	: 0,1
?	?	?	?
192.	Каждую из дробей и -г, где а и h — натуральные числа, можно
представить в виде десятичной. Могут ли а и 5, b и 6 быть взаим-
но простыми? Могут ли два одинаковых числа быть взаимно про-
стыми?
193.	Найдите наибольший общий делитель для числителя и знаменате-
,	, 3 Н ч. 22	, 39
ля дроби: а) б> п; в) г)
194-	Какие из следующих утверждений верны: а) два чётных числа
ие могут быть взаимно простыми; б) чётное и нечётное числа всег-
да взаимно простые; в) два различных простых числа всегда вза-
имно простые; г) простое и составное числа могут быть взаимно
простыми; д) любое натуральное число и натуральное число, нс
являющееся ни простым, ни составным, обязательно взаимно про-
стые; е) последовательные натуральные числа всегда взаимно про-
стые?
195-	Найдите наибольший общий делитель чисел:
а)	12 и 24; в) 75 и 45; д) 4725 и 7875.
б)	6 и 9; г) 81 и 243;
196.	Число т кратно 1 2. Докажите, что число т. делится на 1.
197.	Назовите все двузначные числа, записанные одинаковыми цифра-
ми. Найдите наибольший обший делитель всех этих чисел.
37
198.	Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см,
а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без ОТХОДОВ на ранные
квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого
листа?
199.	Сколько трёхзпачпых чисел можно составить из чётных цифр?
200.	Запишите в виде дроби частные: 3 : 7; 5 : 11; 23 : 34,
201.	Запишите в виде частного дроби:	0,6; 0,13.
	11 н ill
202.	Запишите в виде обыкновенной дроби частные: 18 : 7; 23 : 8;
16 : 5; 343 i 14 и выделите целые части.
203.	Найдите среднее арифметическое чисел: 3,8; 4,2; 3,5; 4,1.
204.	Среднее арифметическое двух чисел равно 54. Одно число в 2 раза
больше другого. Найдите эти числа,
205.	Решите задачу:
1)	В цистерне было 38 т керосина, В первый день израсходовали в
2,4 раза больше керосина, чем do второй день. К утру третьего
дня в цистерне осталось 9,1 т керосина. Сколько тонн керосина
израсходовали в первый день?
2)	Утром па базе было 19 т муки. До обеда с базы выдали в 3,2 раза
больше муки, чем после обеда. К вечеру на базе осталось 4,3 т
муки. Сколько тонн муки выдали с базы до обеда?
206.	По таблице простых чисел (см. форзац} подсчитайте, сколько
простых чисел в каждой из первых десяти сотен (т. е, среди чисел
от 1 до 100, от 101 до 200 и т. д.). Заметили ли вы какие-либо за-
кономерности в расположении простых чисел? Два простых чис-
ла, разность которых равна 2, называют близнецами. Найдите в
таблице все пары чисел-близнецов. Какие из них самые большие?
Сколько таких пар среди первых 500 натуральных чисел? среди
чисел от 500 до 1000? Учёные до сих пор не знают, есть ли самая
большая пара чисел-близнецов.
Д2О7. Найдите наименьшее обшее кратное чисел:
а) 18 и 45; б) 30 и 40; в) 210 и 350; г) 20, 70 и 15.
208.	Найдите наименьшее общее кратное чисел а и Ь, если:
а) а — 5 - 5 * 7 * 13, 6 - 5 - 7  7 - 13; б) а - 504, 5 - 540.
209.	Саша, Коля и Серёжа собрали 51 стакан малины, Серёжа собрал
в 2 раза больше малины, чем Саша, а Коля — на 3 стакана боль-
ше, чем Саша. Сколько стаканов малины собрал каждый из маль-
чиков?
за
210.	Масса первых трёх искусственных спутников Земли, запущенных
в 1957—1958 гг», была равна 1918,9 кг. Найдите массу каждо-
го из этих спутников, если масса второго была больше массы
первого на 424,7 кг, а масса третьего больше массы второго на
818,7 кг.
211.	Решите уравнение:
а)	(х + 36,1) - 5,1 - 245,82;	в) (х + 24,3) : 18,3 - 3,1;
б)	(ш - 0,67) ’ 0,02 - 0,0152;	г) (у - 15,7) : 19,2 - 4,7,
212.	Запишите в виде дроби частные 27 : 8; 72 : 8; 483 : 18; 1225 : 12 и
выделите из них целые части.
213.	Найдите среднее арифметическое чисел: 5,24; 6,97; 8,56; 7,32 и
6,23.
214.	Поезд шёл 3 ч со скоростью 65,2 км/ч и 2 ч со скоростью
83,3 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда за эти 5 ч.
215.	Найдите значение выражения:
а)	51 - (3,75 : 3 + 86,45 : 24,7)  2,4;
б)	(650 000 ; 3125 - 196,5)  3,14.
©
Задания для самопроверки
1.	Укажите числа, коюрые являются делителями числа 48.
а) 1; б) 18; в) 8; г) 16; д) 14.
2.	Укажите числа, которые являются кратными числа 27.
а) 1;	6)9; в) 27; г) 54; д) 81.
3.	Укажите числа, кратные числу а.
а) 1; б) и; в) и + 1; г) 2а; д) 2а - 1.
4.	Не выполняя вычислений, установите, значения каких выражений
делятся на 2.
а)	38 955 + 107 567;	в) 54 396 -к 9277;
б)	967 245 - 39 968;	г) 45 246 - 27 978.
5.	Выберите верные утверждения:
а)	Если число делится	на 2 или на 3, то оно делится на	6.
б)	Если число делится	на 5, но не делится	на	2,	то оно	не делится
на 10,
в)	Если чётное число делится на 3, то оно делится на 6.
г)	Если число делится на 5, то оно делится на 10..
6.	Запишите числа, кратные 5, которые удовлетворяют неравенству
348 < * < 359?
7.	Поставьте в соответствие числу его разложение на простые мно-
жители.
А. 60 Б. 126 В. 84 Г. 90
1)	2 • 3 • 3 - 5	2)2’3’37	3) 2 - 2 - 3 - 7	4) 2-2-3 *5
В.	Найдите наибольший общий делитель для чисел 175 и 225.
э. Найдите наименьшее общее кратное чисел 16 и 18.
50. Из числа 554 231 удалите одну цифру так, чтобы оставшееся число
было кратно 9,
Пифагор (VI в. до н. Э.) и его ученики изучали
вопрос о делимости чисел. Число, равное сум-
ме всех его делителей (без самого числа), они
называли совершенным числом. Например,
числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 +
+ 7 + 14) совершенные. Следующие совершен-
ные числа — 496, 8128* 33 550 336. Пифаго-
рейцы знали только первые три совершенных
числа. Четвёртое — 8128 — стало известно в
I в. и. э. Пятое — 33 550 336 — было найдено в
XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совер-
шенных чисел. Но до сих пор учёные не знают,
есть ли нечётные совершенные числа, есть ли
самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым чис-
лам связан с тем, что любое число либо про-
стое, либо может быть представлено в виде
произведения простых чисел, т. с. простые чис-
ла — это как бы кирпичики, из которых стро-
ятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что про-
стые числа в ряду натуральных чисел встре-
чаются неравномерно — в одних частях ряда
нх больше, в других — меньше. Но чем даль-
ше мы продвигаемся по числовому ряду, тем
40
реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли
последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий матема-
тик Евклид (III п. до и. о.) в своей книге «Начала*, бывшей на про-
тяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал,
что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом
есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий
математик того же времени Эратосфен приду-
мал такой способ. Он записывал все числа от 1 до
какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, ко-
торая не является ни простым, нн составным чис-
лом, затем вычеркивал через одно все числа, иду-
щие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4. 6, 8 я т. д.).
Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее
вычёркивались через два все числа, идущие после
3 (числа, кратные 3, т. е. 6. 9, 12 н т, д.). В конце
концов оставались невычеркиутыми только про-
стые числа:
Эратосфен
1	2	3	.4-	5		7	8	9	10
11	12	13	И	18	18	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31		33	.^4	38	36	37	38	39	40
41	42	43	44	4S	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
41
Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на
натянутом папирусе, а числа нс вычёркивали, а выкалывали иглой,
то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод
Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете *отсеи-
вяюгся* простые числа от составных.
Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.
Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых
чисел, но уже с помощью вычислительных машин.
—а.----------------------------------------------
Темы проектных работ
1. Признаки делимости натуральных чисел.
2. Простые числа в шифровании.
42
Сложение и вычитание дробен
с разными знаменателями
8. Основное свойство дроби
Рис. 8
Основное
свойство дроби
Разделим круг на 4 равные части и 3 из них закрасим,
а потом каждую четверть круга разделим ещё на 5 равных
частей (рис. В). Тогда весь круг окажется разделённым на
4 • 5 = 20 частей, а в трёх закрашенных четвертях кру-
3	3-5	15
га будет 3’5 таких частей. Поэтому - у-F “ gg. т. е.
3	15
4 " 20'	_ г
_	15	15:5	3
Это равенство можно записать и так: -=* = —- =
l_U L_U . О “т
Если числитель и знаменатель дроби умножить или
разделить на одно и то же натуральное число, то полу-
чится равная ей дробь.
Это свойство называют основным свойством дроби.
Например, f - А; £ - f: £ -1.
Две равные дроби являются различными записями од-
ного и того же числа.
(.'формулируйте основное свойство дроби.
Изменится ли дробь, если её числитель и знаменатель умножить
на 15, а потом разделить на 3?
216. Используя рисунок 9, объясните, почему равны дроби:
													
43
Равенство двух дробей можно читать разными способами. Напри-
3	9
мер, равенство у = — можно прочитать так:
И, П.	Дг Пг
—	дробь три седьмых равна дроби девять двадцать первых,
—	дроби три седьмых и девять двадцать первых равны,
и. п.	д. п.
—	три седьмых равны девяти двадцать первым
217. По рисунку 10 объясните» почему равны дроби:
Рис. Ю
218. Поясните с помощью часов» почему:
я| 2 = _8_ = 40. f 1 = _2_ = 10.
' 3	12	60’	' 6	12	60*
5 = 10 = 60
6	12	60*
219.	Начертите два отрезка /кВ и СР длиной по 8 см. Отметьте цветным
карандашом 4 отрезка /кВ к отрезка СР. Сравните с помощью
•1	в
циркуля цветные части отрезков АВ и СР.
220.	Начертите координатный луч, приняв за единичный отрезок
18 клеток тетради. Отметьте на координатном луче точки с коор-
динатами
123456781234512 к
9’ 9’ 9’ 9’ 9Г 9’ 9’ 9’ 6’ б’ б’ б' б’ 3’ 3’ пакие из
этих чисел изображаются па координатном луче одной и
точкой? Запишите соответствующие равенства.
221. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби
па 5. Напишите соответствующие равенства.
222. Разделите числитель и знаменатель каждой дроби
па 3. Запишите соответствующие равенства.
1
5*
б
3’
3
7’
9
б’
той
25
8 *
16
Т’
же
39
4»
21
33
44
П	П	113 5 2
ь 223. Сколько двенадцатых Долей содержится в —т —, — „ —, —г
224.	Объясните, почему верно равенство:
. 4 _ 8 . с. 44 _ 11
Я 5	10*	100	25*
225.	Запишите в виде обыкновенных дробей частные: 3 : 8; 12 : 32;
20 ; 48; 5 : 12. Какие из полученных дробей равны?
226.	Какое натуральное число надо записать вместо буквы, чтобы было
верным равенство:
а " 3: б) is “ 9: в) sT - 7: г> V " в-
п	227. Вычислите устно:			
	а) 50  10	б) 300 : 60	в) 12 + 0.6	г) 1 - 0,4
	: 125	- 40	: 3	* 5
	• 75	: 50	0.2	0,5
	- 160	• 19	• 2,5	: 5
	?	?		?
228.	Какое число надо умножить на 3, чтобы получить:
3,3; 33,3; 6.6; 6.66; 0,99; 0.999?
229.	Найдите значение выражения:
а) 28 + 2,6; в) (1.6 - О.7)2;
б)0,3« + 1,1; г) (0,6 • 0,5 + 0,7)\
230.	На координатном луче (рис. 11) отмечены числа а и 3. Кратно ли
число а трём? Отметьте на луче два общих кратных чисел а и 3.
О	За
I----• !----------------------------------------------------------
Рис. 11
231.	Найдите, пользуясь рисунком 12, координаты точек Л, В, С и 2).
Есть ли среди этих точек такие, координаты которых — общие
кратные чисел т и /2?
Ох^"
--------яЧ----V----акт------>	1	1	»		♦—
-----------------------------------------------------------"'ft	С-D
Рис. 12
232.	На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если
его длину увеличить на 30 %, а ширину — на 20 % ?
45
233.	Составьте программу вычисления на микрокалькуляторе значения
выражения:
а) 2.85  (3.27 - 1.45); б)
₽ 234. Найдите методом «решета Эратосфена* все простые числа среди
первых ста натуральных чисел.
5
235.	Разложите на простые множители числа:
1)	375; 8505; 41 472;	2) 425; 4225; 8775.
236.	Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее крат-
ное чисел: 1) 2450 и 3500; 2) 792 и 2178.
237.	Решите задачу:
1)	Школьники во время каникул совершили велосипедный поход.
Весь путь составил 79>2 км. Первые 48>6 км они двигались со
скоростью 12,15 км/ч и сделали привал на 2,5 ч, а потом ехали
со скоростью 15,3 км/ч. Сколько времени школьники были в
походе?
2)	Отряд партизан, выполняя боевое задание, прошёл 32,1 км.
Первые 4,5 ч они шли по дороге со скоростью 5.2 км/ч и сде-
лали привал на 1,6 ч, а остальное время они шли по болотисто!!
местности со скоростью 2,5 км/ч. Сколько времени партизаны
затратили на весь переход?
238.	Составьте задачу по выражению: -р т р-
239.	Выполните действия: 8Д2 • 0,25 + 3,24 • 0,25.
240.	Выполните действия с помощью микрокалькулятора и округлите
ответ до сотых:
а)	2,835 ; 0,225 • 4,537 - 32,929;
б)	(4,976 + 15,2473) 2,14 - 5,0784.
241.	Из двенадцати лучших бегунов шестого класса нужно отобрать
четверых для участия в эстафете. Сколькими способами можно со-
ставить такую команду? Сколькими способами четыре члена ко-
манды могут распределить между собой этапы эстафеты?
18 27 72
242.	Разделите числитель и знаменатель каждой из дробей —, -р, -р,
—	с. i
— на 9. Напишите соответствующие равенства.
243.	Начертите координатный луч, приняв за единичный отрезок длн-
3
ну 12 клеток тетради. Отметьте на луче точки с координатами: р
1 5 2 9 4 ..
т» -гх, ?! тх, т- Какие из этих чисел являются координатами од-
О 1£ О	О
ной и той же точки?
46
3
244.	Сколько:	. . Л
м	112 3
а)	шестых долей содержится в —< ->
-v	н	12	3	4,
б)	пятнадцатых долей содержится в -=> тр т* т-
245.	Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее крат-
ное чисел:
а) 18 и 36;
б) 33 и 44;
246.	Решите уравнение:
а) 2,45 ‘ </?1 - 8,8) - 4,41; б) 7,54/? - 3,бЛ - 5,91.
в) 378 и 441;
г) 11 340 и 37 800.
9. Сокращение дробей
Сокращение
дроби
Несократи-
мая дробь
Если числитель и знаменатель дроби разделить на 5,
то получится равная ей дробь у, т. е. = у.
Деление числителя и знаменателя на их общий де-
литель, отличный от единицы, называют сокращением
дроби.
3
Дробь сократить нельзя, так как числа 3 и 4 взаимно
простые. Такую дробь называют несократимой.
Наибольшее число, на которое можно сократить
дробь, — ото наибольший общий делитель её числителя и
знаменателя.
Например, наибольшим общим делителем чисел 150 и
225 является 75. Значит, дробь можно сократить на 75,
150	2
получим 225 “ з'
-г	-150
Тот же ответ можно получить, сокращая дробь 225 П0‘
следовательно на общие делители чисел 150 и 225. исполь-
зуя для их нахождения признаки делимости:
/50	50	/0	2
ZZ5	75 " /5 " 3
47
Удобно при сокращении дроби разложить числитель и
знаменатель на несколько множителей, а лотом уже сокра-
тить. Например,
/55 = 5 27 = 5 3 J J
ГЮ /<? /г?	2 3 3 2 5
Сократим на 3 * 3 • 5 и получим
/35	3	3
/Л? 2 2	У
„ л 3
Дробь д несокра1иман.
Что называют сокращением дроби?
Какую дробь называют несократимой?
К 2«- с™>™ ^и; т- П’ Ж’ ш-
243. Сократите дроби;
22	125	75	24	125	100 193.
А	вв*	75 *	Ю0г	360*	1000* 250* 12в’
т	42	75	10	3	13	45	120
720’ 300 ’ 64’ 243’ 300 ’ 900’ 160 ’
249.	Сократите:
2•Я 2•Я 5-4	7-5.	4 5	15 • Я 14•9 2 - Я
' 4•о’ 7*2* 4-9* 2-7'	' Э-б’ 11-10* 15-7’ 9•б‘
250.	Представьте в виде обыкновенной несократимой дроби:
0,2; 0,8; 0,5; 0,15; 0,24; 0,35; 0,75; 0,05; 0,125; 0,025;
0,008; 0,375.
251.	Какую часть часа составляют 45 мин, 12 мин, 15 мин, 40 мин,
35 мин?
252.	Какую часть развернутого угла составляют 30°, 45е, 60 , 90 , 120:,
135\ 150J?
253.	Какую часть килограмма составляют 125 г, 250 г, 750 г?
48
254.	Выполните действие:
б)И_2_.	г19Н_9А
а| 15	15’	'20	20*	'*8	,У12 У 12’
255.	Один рабочий изготовил 16 одинаковых деталей за 6 ч, а другой
24 такие же детали за 15 ч. Какой из них тратил на изготовление
одной детали больше времени и на сколько?
25С. Из 20 м ткани сшили 8 одинаковых платьев длл взрослых, а из
12 м сшили 8 детских платьев. Сколько метров ткани пошло на
одно детское платье и сколько — на одно платье для взрослых?
257. Применив распределительный закон, представьте числитель дроби
в виде произведения, а затем сократите:
12-& + 12 а. 12-21	в)	14'5 - 14 2, 28
8-8 В-7.	. 19 8 - 19-fi °)	Й-Ч ’	Г>	ян г» «	J8 258. Вычислите устно: а) 450 ‘2	б) 364 + 116	в) 20 ‘ 0,5	г) 4,8 : 2		
- 250		: 6	- 2,5	+ 0,8
: 13		+ 70	: 1,5	: 0,4
' 7		*8	0,12	0,2
?		? ? ?
259. Найдите пропущенные числа:
260, Найдите среди чисел 1, 3, 10, 12, 13, 15, 16, 39 пары взаимно про-
стых чисел.
261.	Найдите равные среди чисел:
I
12
1;
25’ 2	9
I; 0,5;	0.4.
4	11
49
262.	При каких натуральных значениях букв равны дроби:
a) Г ” Б? Т  в) J 11 Р 7 и “7
0 1в	4 X	d ft	£ У
263.	В бригаде 5 рабочих. Зарплата первого рабочего увеличилась иа
10%, второго — на 20%, третьего — на 30%, а у четвёртого и пя-
того осталась прежней. Ня сколько процентов в среднем выросла
зарплата рабочего этой бригады, если раньше
все имели одинаковую зарплату?	Ql
.I 264. Древнегреческих, а также древнеиндийских ма-
тематиков интересовал и числа, которые соот-
ветствовали количеству точек, расположенных
в виде некоторой геометрической фигуры
треугольника, квадрата и др. Такие числа на-
зывали фигурными. Например, число 10 на-
зывали треугольным, число 16 квадратным
(рис. 13). Такое представление помогало древ-
ним ученым изучать свойства чисел. Исполь-
зуя рисунок 13, попробуйте найти ещё несколь-
ко треугольных и квадратных чисел. Какими
свойствами обладают эти числа? Подумайте,
как можно находить треугольные и квадратные
числа, используя ряд натуральных чисел.
265.	Разделите числитель и знаменатель дроби:
а)	на 5; в) на 3;
б)	на 6; г) 7^ на 7,
266.	Умножьте числитель и знаменатель дроби:
а) | на 7;	в)	па 8;
к	Зх
б)	на 4:	г)	па 2.
267.	Сколько пятизначных чисел можно составить
если цифры в записи числа не повторяются?
Рис 13
из чётных цифр.
268.	Собственная скорость катера 12,8 км/ч. Скорость течения реки
1,7 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения.
269.	Скорость движения теплохода по течению реки 22,7 км/ч, Ско-
рость течения 1,9 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода
и его скорость против течения.
50
270.	Бригада изготовила за 3 дня 6000 деталей при плане 5100 деталей.
Причём в первый день была изготовлена треть всех выпущенных
деталей, а во второй день — т плана. Сколько деталей изготовила
бригада в третий день?
271.	Найдите значение выражения:
1)	+ — - — •	31 2- 1— •
11 11	11	11’	£ &	1 9 J 9’
2)	15	15 * 15’	4) 7 7 '	27‘
272.	Решите задачу:
1)	Путешественник проплыл против течения реки на моторной
лодке 3 ч. Обратно он вернулся на плоту. Сколько времени
путешественник затратил ня обратный путь, если собственная
скорость лодки 24 км/ч, а скорость течения 3 км/ч?
2)	Путешественник проплыл по реке на плоту 75 км за 25 ч. Об-
ратно он вернулся ня моторной лодке, собственная скорость ко-
торой 28 км/ч. Сколько времени затратил путешественник на
обратный путь?
А 273. Сократите дроби:
.4	8	6	9 .
а) 10’ 12’ 9’ 12’
2	3	10 _6_,
°’ 8’ 12’ 2 ’ 30’
274. Сократите:	~,
। J ‘ О U ” .Л
. 10	88	2 ЛИ	2
° 60’ 33* 100’ 100‘
Л?“ 5
5
8-910
в 10 16’
275.	Представьте в виде обыкновенной несократимой дроби следующие
десятичные дроби: 0,875: 0,75; 0,035.
276.	Выполните действие и сократите результат:
. 11	5 .	5	2 .	. .. 7	. 1 ,	. . 6 , .. 4
а) 12 “ J2’	^14	14*	318 “ 118* Г> 4 15	3 15'
277.	Турист плыл ня теплоходе сначала 1,2 ч по озеру, я затем 3,6 ч по
реке, которая впадает в это озеро. Собственная скорость теплохода
22,4 км/ч, а скорость течения реки 1,7 км/ч. Найдите длину всего
пути туриста на теплоходе.
278.	В четырёх больших и трех маленьких коробках с цветными каран-
дашами всего 132 карандаша, В двух больших и трёх маленьких
таких же коробках всего 84 карандаша. Сколько карандашей в од-
ной маленькой коробке?
51
279* Выполните действия:
а)	(Я67 ООО : 2125 - 396,4) • 2,15;
б)	(26,16 : 6 + 2,6 • 1,4) : 0,4 - 0,4,
10. Приведение дробей к общему знаменателю
9-------------------------------------------
з
Умножим числитель и знаменатель дроби д на одно и
„ „	-	- 6	3	6
то же число 2. Получим равную ей дробь т. е. j
Говорят, что мы привели дробь -т к новому знаменате-
Догюлнитсль
ный
множитель
I Общий
знаменатель
 Наименьший
общий
знаменатели
лю 8. Дробь можно привести к любому знаменателю, крат-
ному знаменателю данной дроби.
Число, на которое надо умножить знаменатель дроби,
чтобы получить новый знаменатель, называют дополни-
тельным множителем. При приведении дроби к новому
знаменателю сё числитель и знаменатель умножают на до-
полнительный множитель.
2
Пример 1. Приведём дробь у к знаменателю 35.
Решение. Число 35 кратно 7, так как 35 : 7 - 5. До-
полнительным множителем является число 5. Умножим
2
числитель и знаменатель данной дроби на 5. получим -
_ 2__5 _ J0	'
7-5	35’
Любые две дроби можно привести к одному и тому же
знаменателю, или. иначе, к общему знаменателю.
u	2 Ю 4	12
Например, - - - и - -
Общим знаменателем дробей может быть любое общее
кратное их знаменателей (например, произведение знаме-
нателей).
Обычно дроби приводят к наименьшему общему зна-
менателю, Он равен наименьшему общему кратному зна-
менателей данных дробей.
Пример 2. Приведём к наименьшему общему знамена-
Л 3	5
гелю дроби — и -
52
Решение. Наименьшим общим кратным чисел 4 и 6
является 12.
з
Чтобы принести дробь д к знаменателю 12. надо умно-
жить числитель и знаменатель этой дроби на дополнитель-
3	3 • 3	9
ный множитель 3 (12 : 4 = 3). Получим — = т—= т=-
Ч"	*4 * J	I £
Чтобы привести дробь | к знаменателю 12, надо числи-
тель и знаменатель этой дроби умножить на дополнитель-
ный множитель 2 (12 : 6 = 2). Получим |	= —
п b ’ 2	12
м 3	9	5	10
Итак, 4 - 12, а 6	12’
Чтобы привести дроби к наименьшему общему зна-
менателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное
знаменателей этих дробей, оно и будет их наимень-
шим общим знаменателем; 2) разделить наименьший
общий знаменатель на знаменатели данных дробей,
т. е. найти для каждой дроби дополнительный мно-
житель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой
дроби на сё дополнительный множитель.
В сложных случаях наименьший общий знаменатель и
дополнительные множители находят с помощью разложе-
ния на простые множители,
11 Я1
Пример 3. Приведём дроби — и к наименьшему
общему знаменателю
Решение. Разложим знаменатели данных дробей на
простые множители? 60 = 2 * 2 * 3  5; 168 = 2 • 2 * 2 - 3  7.
Найдём наименьший общий знаменатель? 2-2-2-3-5-7 =
= 840.
Дополнительным множителем для дроби является
ьи
произведение 2  7, т. е. тех множителей, которые надо до-
бавить к разложению числа 60, чтобы получить разложение
-	п	11	11-2-7	154
общего знаменателя 840. Поэтому — - pQ 7 - т-уу-
53
31
Для дроби таким же способом находим доп одни-
п 31	31 5	155
тельный множитель 5. Значит, - 'fe8 ~5	340’
//	/5У 3/	/55
Итак — = -------* -- = ----г
' 60 Гб»	»чо
К какому новому знаменателю можно привести данную дробь?
Можно ли привести дробь к знаменателю 35? к знаменателю 25?
Какое число называют дополнительным множителем?
Как найти дополнительный множитель?
Какое число может служить общим знаменателем двух дробей?
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю?
280. Приведите дробь:
7	12
а) - к знаменателю 18; в) — к знаменателю 78;
П	1J
в) -А- к знаменателю 60; г) -J— к знаменателю 51.
1'1	14
281. Выразите в минутах, а потом в шестидесятых долях часа;
. 3	।	.5	3
а) т 4 и и ч;	в) п ч и к ч;
б) | ч и И ч;	г) £ 4 * 7 * * * 11 7п ч-
J	Cl • J	О
282. Сколько содержится:
а)	восьмых в 4;
4
б)	десятых в -;
&
283.	Сократите дроби
нателю 24.
в)	пятнадцатых в 4-;
• I
г) сотых в i;
•1
д) двадцатых в 4;
•>
е) сотых в -4-?
5	13 15 24
—, А?» 7л' Я потом приведите их к зняме-
10 йО 4U
284. Можно ли привести к знаменателю 36 дроби:
2, _5# _7_. 34 5. 15?
3* 9* 12’ 5* 7* 45'
285. Можно ли представить в виде десятичной дроби:
2. А* 1 I*' JL?
5* 25* 3* 7’ 15’ 1&
В каком случае обыкновенную дробь можно представить в виде
десятичной?
54
286. Запишите в виде десятичной дроби, приведя:
а)	14 - и - к знаменателю 10;
б) 1	11	13 39	1ЛЛ —> ЧгР F- к знаменателю 100; Zv
в)	6	111	137	1ЛПГ1 -рут. —г, -уу- к знаменатели] 1000.
___ о	_	3 2 3 5	13	7
287. Запишите в виде десятичной дроби: т. -тт, -г. г, те?» тяяг.
17 uJ *1 ft	ZUU
288, Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:
. 1	3,	ч 8	11,	. 11	8 , а) е	и 8т	г) 15	и j2>	ж) 30	и 4Б, •17	9	5	119 9 И L5’	Д) 10 11 12’	3) 20 И Тб’ „ 5	1.	.13	13.	.8	9. В) 12 и	с) 12 и 18»	и) 33 и 77,	.9	5. К) 98 11 56’ 13	7 . Л) 750 И 150’ 10	14 М) 297 и 363-
г	I 269. Вычислите устно:			
I	*	а) 16  4	б) 95 : 5	в) 38 0,01	г) 0.6 : 3	д) 2 - 1.2
	+ 11	+56	: 1,9	• 1,5	• 0,5
	: 15	: 25	- 50	4 2,9	: 0,1
	 17	-27	- 0,3	: 0,8	+ 0,9
	+ 18	+29	- 0,2	- 1,3	: 0,7
290. Найдите пропущенные числа, если .г - 0,8; 0,16; 0,06; 1:
291. Пн какое число надо умножить 24; 8; 16; 6; 12, чтобы получить 48?
292.	С помощью транспортира разделите одну
окружность на 6, я другую — ня 3 ранные
дуги. Постройте многоугольники, изображён-
ные на рисунке 14. У каждого из этих много-
угольников равны стороны и равны углы. Та-
кие многоугольники называют правильными.
Подумайте, является ли правильным много-
угольником прямоугольник; квадрат.
Рис. 14
55
„	75 150 140 330
293.	Сократите:	12(р 21(>,
294.	Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя и
сократите дробь:
168.	880 .	3210.	2835
а) 160’	1008’ В' 972 ’ Г' 7425’
295.	При каком значении х верно равенство:
ч 15 х* *	40. ч 26	2.	.6	30п
а) 35 - Т 	” ё " « в) « = 7’ г> 7 " В’
296.	Жук ползёт вверх по стволу дерева со скоростью 6 см/с. По тому
же дереву ползёт вниз гусеница. Сейчас она находится на 60 см
ниже жука. С какой скоростью ползёт гусеница, если через 5 с
расстояние между ней и жуком будет 100 см?
297.	Космический корабль *Вега-1* двигался к комете Галлея со ско-
ростью 34 км/с, а сама комета двигалась ему навстречу со скоро-
стью 46 км/с. Какое расстояние было между ними за 15 мип до
встречи (рис. 15)?
Рис 15
298.	Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3
5,	6. 8? Есть ли среди них числа, кратные трём? кратные девяти?
^QQ П	,.15-17-15-6	о, 81 17-15 81
299.	Сократите: 1) 15,к , ц->;	2)	,
ЗОО» Найдите значение выражения:
114—— •	-	•	41	—— —	—- I —— •
1,433	6 33’	г3)	48	48	48’
91	9-Ь	at	_L	4.	И	X
•' ° 18	18’	*'	45	Т	45	45*
301. Выполните действия и проверьте ваши вычисления с помощью
микрокалькулятора:
1)111 - «0,9714 : 0,24 + 1,02) • 2,5 - 2,75);
2) 200 - «9,08 - 2,6828 : 0,38)  8,5 + 0,84).
ДЗО2. Приведите дробь:
а) -г к знаменателю 24;
. 11 __
в) 19 к знаменателю 57;
йъ 12
’’ 15
к знаменателю 65;
к знаменателю 78.
303. Представьте в виде десятичной дроби:
1 А 1 А Я
,*>’ 25' 4’ 50* 20
AjB /-*	.	"15	*12
304. Сократите дроби — - —,
нателю 60.
25	9
100* 30’
а потом приведите их к знаме-
305.	Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
.5	1,	, 3	5 ,	.7	2 ,	. 7	13	9
а) ? и 2, в) 2fj и зэ, д) 13 и п, ж) 6(>, -40 и 20,
„ 7	1 ,	. 8	5,	. 3	2 ,	. 52 . 7	61
20 И 15’ Г* 11 И 8’ е) 22 И 33'	105’ 95 И 63
306.	Из двух пунктов, расстояние между которыми 40 км, навстречу
друг другу одновременно отправились пешеход и велосипедист.
Скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Най-
дите скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что они
встретились через 2,5 ч после своего выхода.
307.	Из двух пунктов, расстояние между которыми 210 км, вышли од-
новременно навстречу друг другу два электропоезда. Скорость од-
ного из них на о км/ч больше скорости другого. Найдите скорость
каждого электропоезда, если они встретились через 2 ч после сво-
его выхода.
308.	Выполните действия:
а)	62,3 + (50,1 - 3,3 • (96.96 : 9.6)) • 1,8;
б)	51,6 + (70,2 - 4,4 (73,73 : 7,3)) • 1,6.
11. Сравнение, сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями
Мы умеем сравнивать, складывать и вычитать дроби с
□ди каковы гл и знаменателями.
Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разны-
ми знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к
наименьшему общему знаменателю; 2) сравнить (сло-
жить, вычесть) полученные дроби.
57
2	3
Пример 1. Сравним дроби и
Решение, Приведём дроби к общему знаменателю 15.
п 2	2 5 _ 10. 3 _ 3  3 _ 9
Получим g	3 . 5	15* 5 s з is1
Так как — > — то — > —
।«лк к.<1к .| г- 151	5'
2	3
Пример 2. Найдём значение суммы 3 + 5-
_	2	3	10 ,9	19	.4
Решение. 3 + 5 “ 15 + 15 ” 15 “ 115-
,	2	3
Пример 3. Найдём значение разности .
Решвние. 2_| = Щ_Д=11
Для сложения и вычитания дробей верны изученные
ранее свойства этих действий. Они иногда помогают упро-
щать вычисления.
Пример 4. Найдём значение выражения:
1Я + 1 + 1 + 2L.
51	9	9	51
Сгруппируем дроби, имеющие одинаковые
Решение,
знаменатели;
10 . 5
51	9
+ 1 + Z _ 1+ Z
9	51	151	51
. 1Z + 6 _1+ 2
51	9	3	3
Пример 5. Найдём значение выражения: - (-й -ь 4 !
□□ л со □ J
Решение. Используя свойство вычитания суммы из
числа, получим:
21_Щ + 1'=31_27_ 1 = И _ 1 = 2- 1 = 1
35 1.35 5/ 35 35 5 35 5 5 5 5'
Как сравнить две дроби с разными зяаиенатвяямн?
Расскажите, как сложить дроби с разными знаменателями.
Расскажите, как выполнить вычитание дробей с разными знаме-
нателями.
58
V? 309. Сравните дроби:
“	.2	,е 4	2.	.7	3.	19	4
а) 3 и а- * 1 2 * * * б> й " ? в> й “ W- г) й " й
При сравнении дробей первую из них можно прочитать в имени*
тельном падеже, а вторую — в дательном либо добавить слово
дробь и не изменять названия дробей.
4	6
Например, запись — < — читают:
УО 43
И. П.	Р- II,
— четыре девяностых меньше шести сорок пятых,
и. п.	в. п,
— дробь четыре девяностых меньше дроби шесть сорок пятых.
310» Что меньше: а) — или —; б) — или —?
15	30	14	21
И й	7	7	29.	13	119
311. Что больше: а) — или —:	б) — или —/
I и	4Л	125	1<3
312. Расположите в порядке возрастания дроби:
г 4	7 НИ	11	5	5 3
г 5 10 15 30	7 12 24 б 8
313. Докажите неравенство:
г 123	1	_ 361	1	г 43 .	17
800	8’	6 6000	15’	® 1575 '* 630'
Объясните, не приводя дроби к общему знаменателю, почему
1	1 2	24	4
— > —,	(.формулируйте правило сравнения двух
5	।	5	j 5
дробей с одинаковыми числителями
Используя это правило, сравните:
ъ & Б,	7	7	14
а> 9 и ТГ б) 13 и 8’	"> 27 и
и разными знаменателями.
14
25'
315. Запишите все дроби с числителем 2, большие, чем
316. Сравните промежутки времени двумя способами:
1) выразив их я минутах;
2) приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:
4	3	3	2
а) й 4 и То ч; в) - ч и - ч;
„ 7	11	5	8
б) — ч и — ч: г) — ч и ч,
’ 20	30	12	15
59
317.	Запишите все дроби со знаменателем 5, большие» чем и мспь-
шие, чем -г* Отметьте эти дроби на координатном луче.
&
2	3
31В.	Рисунки занимают — книги, а таблицы — — книги. Что занима-
ет больше места в книге: рисунки или таблицы?
319.	20 шагов папы составляют 16 м+ а 10 моих шагов — 7 м. Чей шаг
короче?
320.	Через узкую трубу бассейн наполняется за 10 ч, а через широ-
кую за 4 ч. Какая труба даёт меньше воды: широкая за 3 ч или
узкая за 7 ч?
321.	Трёхметровое бревно распилили на 7 равных частей, а четырёхме-
тровое — на 10. Части какого бревна длиннее?
322.	Миша, Юра и Нина решали d классе одну и ту же задачу. Один из
1 * 2 3
пих затратил па решение - урока, другой - урока, а третий
4	5	9
— урока. Какую часть урока затратил иа эту задачу каждый
1 &
из них, если известно, что Нина решила задачу быстрее Миши,
а Юра — быстрее Нины?
► 323. Начертите координатный луч, приняв отрезок длиной d 18 кле-
От-
(1 I
ток тетради за единичный. Отметьте на этом луче точку Л| - |
лежите вправо от точки А отрезок АС, равный — единичного от-
1 о
резка. Найдите координату точки С. Отложите от точки С влево
7
отрезок CD, равный — единичного отрезка. Найдите координату
1 н
точки D. Как можно найти координаты точек С и />, не выполняя
построений?
Суммы и разности дробей можно читать разными способами
Например:
-j ... — сумма двух третьих и трёх пятых,
—	— к двум третьим прибавить три пятых,
5 — сумма дробей две третьих и три пятых,
2	3 — из двух третьих вычесть три пятых,
3 " 5 - разность дробей две третьих и три пятых.
60
124* Выполните действие:
11	5	5	1
а) у + т;	д) у + 0;	и) у -
1	1	.22	8 Л
й з + 7:	е) з ’ 5:	к> я - °:
3	3	.11	.34
В> 5 + 4;	Ж> 2 " ?	Л) 7 + 5;
. 1 . 7,	3	4.	3	2
г) 2 + 9’	3* I  Г	м) Z + F
5 У 9
20'20 20
325. Ни координатном луче отмечены точки
Отметьте на луче точку с координатами:
11	11
а) — + б)-----------•
п? п	ц лэ
В1-1-1 (рис. 16).
н
1
т
О
В
л
"+
Д
Рис. 16

326, Найдите значение выражения:
а)	1 2 +	5, в1	5 Д) g "	5 12’	И)	21 22	
б)	3 4	1. 2’	е> П "	7 . 201	к)	5 42	10 + 63*
в)	7 10	34 5*	ж) | +	8*	Л)	11 21	2 4 35*
г)	5 7	_3_. 11’	-	11. 15’	м)	& 24	7 + 60‘
Замените			десятичную	дробь	об:	ЫК1	[0BCIII1OI
дробью и выполните
327
действие:
У	ь 2
У	
5
б)	у + 0,75;
в)	-Н - 0.4
а) 0.5 4- “♦
О
328. Замените обыкновенную дробь десятичной в
7	3
а) 2.15 + То:	б) у - 0,35.
У		_у
		
<У		2
г)	0.95 - у?;.
1 £>
выполните действие:
3	7	8	4
329* Выполните действия у + —» ут 4- уу. у
в обыкновенных дробях, а потом в десятичных.
1	17	11
2’ 40 " 200 “*™ла
61
330. Выполните действия:
.19	,12 .
а’й " Iz + 5 .1
331. Выполните действие:
1й
60
б)
— + i-
зо U
o1
а) 20 1 30* б>
332* Найдите значение
1 5 1 7 .
а> 8 + 4 + 12’
Я .
45’
в> 48
17.
36’
. 11	16
Г) 30	45'
3
выражения
В)|
11	2 .
14	21’
i
1 —
Д’ 18	24
6 i.
36
о | - | +
333. Решите уравнение:
t а. 4	2	2,
а> Х + 15 “ 3 + 5’

1 _ 1
У
.	5
в>«- й
5 _ _3_,
8	10’
13
20 “
334. Найдите значение
а) 1 + 0,7 -
б) 0,8 - о.з -
335. Найдите значение
,	1	8
а) 8	12 + 8 + 12*
336. Используя свойство
выражения:
•>&*{]
1
25
30
2
3
I 7
j.
3’
1 .
12’
выражения:
в) | - | + 0,6;
г) - + 0,4 - 0,6.
выражения:
5,	,,5
б* П + 3 +
вычитания числа
1 + А.
9	11
из суммы, найдите
значение
б) II
+ -А | - —.
15,1	15
337. Используя свойство
выражения:
а) Til
1
338. Па идите значение
339* Найдите значение
вычитания суммы из числа, найдите
значение
6>ZZ
-1
21 1
выражения
выражения
а . а	1 п £
— + т-г, если а = 1; 2; о;
I U	I ч)
П “ 7« если х - 4; о; 6.
t.
9
340. Петя играл в футбол — ч, а
8
в волеибол —
ч. Что больше заня-
ло времени: игра в футбол или игра в волейбол — и на сколько?
Сколько времени затратил Петя на обе игры?
341.	Тракторист вспахал в первый час 4 поля, во второй час 4 поля и в
третий час у поля. Какую часть поля вспахал тракторист за эти 3 ч?
1
день — на - км
дороги покрыли
3
асфальтом покрыли р- км дороги, а но второй
больше, чем в первый день. Сколько километров
асфальтом за эти два дня?
343.	Длина прямоугольника 4 м, а ширина на 4 м меньше длины,
4	о
Найдите ширину прямоугольника и его периметр,
344.	В палатку привезли 44 т моркови и 44 т свёклы. К вечеру про-
дали 44 т привезённых овощей. Сколько тонн овощей осталось?
345.	Яа первый месяц завод выполнил 4 годового плана, а за второй —
о
на -уу годового плана меньше. Какую часть годового плана выпол-
нил завод за два месяца?
346.	При посадке овощей после одного дня работы остались нсзасажсп-
з
пыми - га поля. Какая площадь осталась бы незасаженной» если
7
бы в этот день овощи высадили на площади» большей па — га?
. 347. Два поезда вышли одновременно из двух городов навстречу друг
*	V	R	5
другу. Каждый час они приближались друг к другу на р всего
расстояния между городами. Какую часть расстояния между горо-
1
дами проходил за час один из них» если другой проходил за час
этого расстояния?
348. Из села в город одновременно вышли две автомашины: грузовая
и легковая. Каждый час грузовая автомашина отставала от легко-
вой на р всего расстояния от села до города. Какую часть этого
расстояния проходила грузовая автомашина за 1 ч, если легковая
за 1 ч проходила g этого расстояния?
34». Один комбайн может убрать все поле за б дней, а другой — за
4 ди я. Какую часть поля уберут оба комбайна за один день?
63
"Л* 350. Один мотор израсходует полный бак бензина за 18 ч, а другой
за 12 ч. Какую часть полного бака израсходуют оба мотора, если
первый будет работать 5 ч, а второй — 7 ч?
351. Вычислите
а) 12  8
+ 14
устно:
б) 16 • 3
: 12
* 13
в) 1 : 2
0,6
I 6
: 0,7
г) 3,2-2
- 5
: 0,1
д) 3,5 + 2,5
: 20
’ 12
: 25
: 18
* 0,01
- 0,5
•?
352. Найдите пропущенные числа:
4^ 353. Найдите значение выражения:
а) 0,72 - 0,62; б) 3я-17,5;
7
ь
в) 0,5* 8; г} 2,6: ОД1.
354. Значение какого выражения можно вычислить на микрокальку-
ляторе по программе:
а) 0,82 ГТ] 0,4
2,9
0,2
б) 0,25 х
0,16 + 1,36
9
?
?
7
а 355. Древнегреческими учёными — последователями Пифагора откры-
ты дружественные числа. Так они называли два числа, каждое
из которых равно сумме делителей другого числя (не считая само-
го числа). Пифагорейцы знали только одну пару дружественных
чисел — 220 и 284. Проверьте, что эти числа действительно дру-
жественные.
356. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:
«l.fr .*.«•	'
64
i357. Сократите, а затем приведите к наименьшему общему знаменате-
лю дроби:
й — — —•	fill 10	12 lt№
 90’ 99’ 1-1’	°' &•!’ 114’ 180'
358.	Запишите числа:
fi 18	17
а)	3-^, I?—, 9— так, чтобы их дробная часть была правильной
дробью!
б)	34, 6 Ар, 1177 в виде натуральных чисел,
3
359.	Запишите в виде неправильной дроби дробную часть чисел 3^-,
4
1	7
5-т 2рт, уменьшив целую часть на 1,
О 14
Р36О. В среду в шестом классе пять уроков по разным предметам: рус-
скому языку, истории, математике, географии и физкультуре.
 Сколько вариантов расписания па среду можно составить для это-
го класса?
361.	Решите задачу:
I)	Пес бросился догонять своего хозяина, когда тот отошёл от него
на 0,9 км, и догнал его через 3 мин. С какой скоростью шёл
хозяин, если псе бежал со скоростью 0,4 км/мин?
2)	Служебная собака бросилась догонять нарушителя границы,
когда между ними было 1,8 км, С какой скоростью бежал нару-
шитель, если скорость собаки 19 км/ч и она догнала его через
0,2 ч?
65
362.	Решите задачу:
1)	Из аэропорта вылетел самолёт со скоростью 600 км/ч. Че-
рез 0,5 ч вслед за ним вылетел другой самолёт со скоростью
750 км/ч. Через сколько часов после вылета второй самолёт бу-
дет впереди на 225 км?
2)	С автовокзала вышел автобус со скоростью 60 км/ч, Через
0,5 ч вслед за ним вышла легковая автомашина со скоростью
75 км/ч. Через сколько часов после своего выезда легковая ав-
томашина будет впереди автобуса на 45 км?
363.	Выполните действия и проверьте ваши вычисления с помощью
микрокалькулятора:
1)	(28,376 + 35,99 : 5,9 - 3,45 • 2,8) : 3,52;
2)	(6,4 ‘ 8,25 - 32,396 + 35,51 : 5,3): 4,48.
364. Сравните дроби:
а)	4 и 1 б)	| и □			4 , 21’ 8 4 15 ‘	1 « 55=			д) | и е>П ’	8 , 15’	ж>тп #) 44	
				г) у Н		16. 28’				
365. Выполните действие:										
а)	1 2	+	1. 3’	д)	5 7	1. 6’	и) | -	5 , 12’	«) | +	3. 7*
б)	х 4	+	2. 5’	е)	х _ 4	1. 3’	к’п-	2. 9’	га 23 О) 40	з. 8’
в)	2 3		х. 4’	ж)	1 +	1, 4’	л>1 +	7 . 12’	п) -	3 28*
г)	3 4	+	2, 5’	з)	2 _ 3	5. 9’	->ь	1, 6’		
366. Оди н трактор может вспахать поле за 14 ч, а другой — за 8 ч.
Какой трактор больше вспашет: первый за 7 ч или второй за 5 ч?
367* Автобус проходит расстояние от города до деревни за 8 ч, а легко-
вая автомашина — за 6 ч. Какое расстояние больше: пройденное
автобусом за 5 ч или легковой матпиной за 4 ч?
36S. Слесарь может выполнить задание за 6 ч, а его ученик это же за-
дание за 8 ч. Какую часть задания они могут выполнить вместе
за 1 ч?
369.	Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два
пешехода. Один из них за 1 ч проходит 4 расстояния АВ, а дру-
гой — 4 расстояния АВ. Ни какую часть расстояния АВ они сбли-
жаются каждый час?
370.	Периметр треугольника АВС равен м. Сторона АВ равна м,
сторона ВС на м короче АВ. Найдите длину стороны АС.
371,	В книге три рассказа. Наташа прочла первый рассказ за ч, на
чтение второго рассказа она потратила на ч больше, а чтение
третьего рассказа заняло на -р ч меньше, чем чтение первого п
второго рассказов вместе. Сколько времени ушло у Наташи на
чтение всей книги?
4
372.	Па решение задачи и уравнения Митя затратил — ч. Сколько вре-
мени выполняла эту работу Оля, если на решение задачи она за-
5	1	,
тратила на р ч меньше, а на решение уравнения — на — ч боль-
ше, чем Митя?
373.	Выполните действия:
аН 8 5.1	20’	в)	6	110	5 .г
1 , f 5	1 '|.	.	f 3	1 I	5
б)	8 + I9	4 J’	Г>	1.7	8 I	8'
374.	Найдите значение выражения:
») К + °’34 - 35:	6> 3 - °’4 - И-
375.	Дорога из села в город проходит через рабочий поселок. Из села в
город вышла легковая автомашина со скоростью 1,5 км/мин. В то
же самое время из рабочего посёлка в город вышла грузовая авто-
машина со скоростью I км.-'мин. Через 20 мин легковая автома-
шина догнала грузовую. Найдите расстояние от села до рабочего
посёлка.
376.	Теплоход «Ракета* идёт но реке со скоростью 55 км/ч. Впереди
теплохода идёт баржа со скоростью 25 км/ч, Какое расстояние бу-
дет между ними через 3 ч, если сейчас баржа впереди теплохода
на 50 км?
377.	С железнодорожной станции в 12 ч вышел скорый поезд со скоро-
стью 70 км/ч. На 3 ч раньше с этой же станции был отправлен в
том же направлении товарный поезд, В 16 ч скорый поезд догнал
товарный. Найдите скорость товарного поезда.
67
378.	Найдите значение выражения:
а)	18,305 : 0,7 - 0,0368 : 0,4 + 0,492 : 1,2;
б)	(О,О28й : 1,8 + 0,7 - 0,12) • 35,24:
в)	(15,964 : 5,2 - 1,2) • 0,1;
г)	(21,62  3,5 - 52,08 : 8,4)  0,5.
379.	Запишите числа:
12
а) 7—, 8 vf в виде натурального числа;
6)4^, 15-у-, 8-у- так, чтобы их дробная часть была правильной
дробью.
380.	Запишите дробную часть чисел 2^, 7т4, 1 4 в виде неправильной
дроби, уменьшив целую часть этих чисел на 1.
12. Сложение и вычитание смешанных чисел
Перемести гельное и соче дельное свойстве сложения
позволяют привести сложение смешанных чисел к сложе-
нию их целых частей и к сложению их дробных частей.
3	1
Пример 1, Найдём значение суммы 16g- + 19^.
Решение. Приведём дробные части чисел к наимень-
шему общему знаменателю 8, затем представим смешан-
ные числа в виде суммы их целой и дробной частей;
1б| - 16+ i: 19 j - 19? - 19 +
с	о п	о	с
Значит, 1б| + 19| =16+| + 19+| =
= <16*19)*(| + |) = 35*|=Э5^
j	J	3	2	5
Пишут короче: /6	+ /9 = /6	+	.
4J	/	О	О	о
68
5	3
Пример 2. Найдём значение суммы 5 g + 3^.
Решение. Сначала приводим дробные части данных чи-
сел к наименьшему общему знаменателю 12, затем отдельно
складываем целые и дробные части:
56	4	512	312	8 12	912'
Чтобы сложить смешанные числа, надо: 1) приве-
сти дробные части этих чисел к наименьшему общему
знаменателю; 2) отдельно выполнить сложение целых
частей и отдельно дробных частей. Если при сложении
дробных частей получилась неправильная дробь, выде-
лить целую часть из этой дроби и прибавить её к полу-
ченной целой части.
При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами
вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы.
Пример 3. Найдём значение разности 5 g - 2 g.
Решение. Приведём дробные части к наименьшему
общему знаменателю 1В и представим данные числа в виде
Суммы целой и дробной час।ей:
1 =5И =5 + 14-
9	° 18	°	18 *
2— = 2— = 2 + —
z6 zl8 18
По свойству вычитания суммы из числа имеем:
т	/	/у	1	//
Пишут короче: 5 --г	. 5 ц .}	,
У	О	/о	/-О	/о
4 | f Гт г 4 у ♦ Г т1 I
Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше
дробной части вычитаемого, то надо превратить я дробь с
тем же знаменателем одну единицу целой части уменьша-
емого.
69
w	45
Пример 4. Найдем значение разнос in Зт -1т*
Z?	м
Решение. Приведём дробные части данных чисел к
наименьшему общему знаменателю 18:
4 _ п 8.. i 5 _ il5
9 ” J IB* 1 6 ” 1 18
Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной
части вычитаемого, то уменьшаемое записываем так:
3Э 3 18	3 + 1В “ 2 + 1 + 18	2 ~ 18	18
26	„26
18	^18*
Значит 3 — - 1 — = 2— - 1 — = 1 —
значит, । е	11а	11Я.
Обычно пишут короче:
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел,
надо: 1) привести дробные части этих чисел к наи-
меньшему общему знаменателю; если дробная часть
уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого,
превратить её в неправильную дробь, уменьшив на
единицу целую часть; 2) отдельно выполнить вычита-
ние целых частей и отдельно дробных частей.
Расскажите, как сложить смешанные числа и на каких свойствах
сложения основано сложение смешанных чисел.
Расскажите, как выполнить вычитание смешанных чисел и на ка-
ких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел.
381. Выполните сложение:
d)3|+5fj;	+	Д)7|+4;	ж)7 + з|;
114	П-	п	у	Л
б)й|+2^;	г)1|+г|; e)e| + i; з) | +
70
382. Выполните вычитание:
а) 1 -	3, 4’	д) 5 - 2|;	и)1п	_9_, 10’	Н) ю|	
б) 2 -	5. б’	е) 6 - б4+ о	к> 6 То	П, 15*	О) Ti-	51:
в) 9 -	11. 12’	ж) 8уу - 4;	л) 51 -	9 4 10’	nt 2 jq	-1т1;
г) 7-	4	ч - 7	3 . J 16	20’	м) 7^	 3t;	P)5i -	4
383.	Найдите значение выражения:
я> т -	я) (13 - 8i] + (171 - 161)
б) 2 -
I---);
I33 22Р
»)«п-(25*8п|
г) 8|2 “ З75 - 1 30
С) 16з| + з1] - (13 - 1О| j;
»)Н‘а1)-(5| + Ч) + (101-55);
,) (20-19|) +(171-17) + (21-11).
384.	Выполните действие:
а)2Л + 1|;	б)3,7-а|;	в)7|-6,2; г) 9^ - 1,8.
385.	Решите уравнение:
а)х + 2^-5; в) и - в| -	д) 3^ x-l| + U;
XX	"Э	Х.*1	1J	М
б)2б|+а = 30;	г)111-х = 8^;	е).ц+| - 1 = 1 --1-.
386.	Найдите по формуле А = т — 6-<
3	7
а) значение А, если /л = 6 j; 8—: 11;
б) значение т. если А — б4; 3^; 0.
*1 Л
387.	Школьный бассейн наполняется через первую трубу за 1 ч, а через
вторую — за б ч. Какую часть бассейна останется наполнить после
совместной работы обеих труб в течение часа?
388.	Новая машина может выкопать канаву за 8 ч, а старая —
за 12 ч. Новая машина работала 3 ч, а старая 5 ч. Какую часть
канавы осталось выкопать?
7
389.	От лепты длиной 8 м отрезали кусок длиной 3— м. Найдите дли-
ну оставшейся части.
71
11	5
390.	Одна шахматная партия длилась ч, а другая — -г ч. Сколько
времени длилась третья партия, если па все три партии было за-
трачено 3 ч?
391.	Когда от верёвки отрезали кусок, то оставшаяся часть имела дли-
ну 2 м. Какой длины была бы оставшаяся часть, если бы от верёв-
2	3
ки отрезали на м меньше? на м больше?
392.	Запишите все числа, знаменатель дробной части которых равен
12, большие 2^- и меньшие
>	I r?t I
393.	На координатном луче отмечена точка A<|Y' (рис. 17). Отметьте
на луче точки, координаты которых равны:
а) 1 + —;	б) 2 - —;	в) 2 + —;	г) 1 + 1 —.
Л	л	л	л
Л1
О	л	1	2
I--------->	I----------------------------1-
А
Рис. 17
394.	Найдите периметр треугольника АВС, если
АВ-Зр-м, ВС -2ум и АС-2-ЛгМ.
5	4	IО
7	2
395.	На одной машине т груза, а на другой на 1 т меньше.
Сколько тонн груза на двух машинах?
396.	В одном ящике кг винограда, что на 2т кг меньше, чем в
другом ящике. Сколько килограммов винограда в двух ящиках?
7
397.	На окраску оконных рам израсходовали 2т^ кг краски, на окраску
пола пошло ю4| кг, а на окраску дверей потребовалось на 4^ кг
меньше, чем ня окраску пола. Сколько всего израсходовали кра-
ски?
19
398.	Три бригады вырастили горох на площади 72^ га. Первая и вто-
рая бригады вырастили горох на площади 44 у га, а вторая и тре-
тья — на площади 62-^ га. Найдите площадь каждого участка.
72
399.	На сахарный завод в понедельник привезли 212 — т свёклы, во
1 2
вторник — па 297т т больше, чем в понедельник, а в среду — на
2
114 т т меньше, чем во вторник и понедельник вместе. Из 7 т све-
клы получается 1 т сахара. Сколько сахара получится из приве-
зенной свеклы?
400.	В трёх бидонах 10 л молока. В первом и втором бидонах было 6-у л,
к 1	г.
а во втором и третьем — 5— л молока. Сколько литров молока
было в каждом бидоне?
401.	Теплоход по течению реки проходит ЗЗзг км за 1 ч. Скорость
* S'	1	8
течения 2— км/ч. Найдите скорость теплохода против течения.
£л
402.	Скорость катера по течению реки 17 j км/ч, а протии течения
1
12—	км. ч. Какова скорость течения?
403.	Федя и Вася шли навстречу друг другу. Каждый час расстояние
2
между ними уменьшалось на 8-^ км. Найдите скорость Феди, если
скорость Васи 3-| км/ч.
404.	Первый велосипедист догонял второго, причём расстояние между
3
ними уменьшалось каждый час на 2 - км. С какой скоростью охал
первый велосипедист, если второй ехал со скоростью 12-1 км/ч?
&
 405. Найдите значение выражения:
— + 4^
12	4
а)11 + 28 + 2^ +5|
6) 5< - 3.15 + 7-Ц;
г) 118i * 31 - 7 А
Г	• 406. Вычислите устно:					
I.		а) 70 : 5	б) 15 - 6	в) 1,1 + 5,6	г) 1:4	д) 4 - 3,4
		- 7	18	: 2	+ 0,05	' 1,4
		- 18	: 12	- и	 7	4- 0,06
		: 5	+ 90	: 0,3	+ 3,4	: 1,8
		+ 64	: 16	- 0,1		: 5		- 3
		9	9	9 	9	9 +
73
407. Найдите пропущенные числа на ри-
сунке:
408. Найдите натуральные значения
при которых верно неравенства:
. п? . 9 .
а)	13	52*
б)	В5 17*
, Л» . 5
В) 6	' 30'
409.	На сколько процентов увеличится
объём куба» если длину каждого его
ребра увеличить на 20 %?
410.	Почтовый самолет поднялся с аэродрома в 10 ч 10 мин утра, про-
был в полёте 5 ч 15 мин, а на земле во время стоянки 1 ч 37 мин.
Когда самолёт вернулся на аэродром?
411. Выполните действие;				ч 19	11. Ж) 75	50*	к) - 0.
	3. 4*	Г)	1_1 3	7*		
«I	х. 5’	д)	|+0;	. 13	17, 50 “ 75*	
„ 3	1		9	3,	.11.8	
В) 10	+ 2’	е)	20	8’	И> П + 2Г	
412.	Четырёхугольник с равными сторонами называют ромбом (рис, 18).
Подумайте, является ли ромб правильным многоугольником.
В чем сходство решения этой задачи с нахождением решений
двойного неравенства 0 < у < 10 среди чисел 0,12; 15; 2,7; 10,5?
413.	Докажите переместительное и сочетательное свойства сложения
для дробей с одинаковыми знаменателями на основе таких же
свойств для натуральных чисел.
74
414.	Три сына хана получили d наследство большую отару овец. Старше-
му сыну достались 25 частей стада, среднему — 10 частей, а млад-
шему — 1 часть. Сколько овец было в отаре, если средний брат
получил на 765 овец больше, чем младший?
415.	В городе семизначные телефонные номера. Сколько в пём может
быть номеров, начинающихся цифрами 235?
416.	Выполните вычисления с помощью микрокалькулятора и резуль-
тат округлите до тысячных:
3,281  0,57 + 4.356 • 0,278 - 13,758 : 6.83.
417.	Решите задачу:
1)	Для борьбы с вредителями садов готовится известково-серный
отвар, состоящий из 6 частей серы, 3 частей негашёной извести
и 50 частей воды (по массе). Сколько получится килограммов
отвара, если воды взять ня 8,8 кг больше, чем серы?
2)	Для приготовления фарфора на 1 часть гипса берут 2 части пе-
ска и 25 частей глины (по массе). Сколько получится килограм-
мов фарфора, если внять глины на 6,9 кг больше, чем песка?
41Й. Выполните действия:
1)	7225 : 85 + 64 ’ 2345 248 838 : 619;
2)	54 • 3465 - 9025 : 95 -I- 360 272 : 712.
419.	Выполните действие:
а)91|+3^;	|-)39| + 12|:	ж)4+з|;
О io	п	У	j
б)1^+2|г; д)Зб| + 12^;	з)8; +3.
1	J-U	JO	J*
, - 1 , ,, 7 .	,-2,3.
>58+41Й’	*>53 + Г
420.	Найдите значение разности:
. ,	8 .	. -8 г	.	3	-19.
а)	1 -	г) ‘ 8	а".	Ю аз - ‘
б)	3 -	л) 45 - 44f;	з) 1б| -4*;
)4-з|;	е)6^-8|:	и)19^-8{|.
421.	Решите уравнение:
а) 1 А 4- 1 q ,	б) t + 1	в) х + 2 £ Од 1&*
75
422* Найдите значение выражения:
а| 3 16 + 4	2 16'

б) { + 2f + 2 j;
г*39 Це +32'
423.	Один тракторист вспахал - поля» а другой — того же поля. Ка-
кую часть поля осталось вспахать?
424.	Бочки горючего хватает для работы одного двигателя на 7 ч. а дру-
гого — на 5 ч. Какая часть горючего останется от полной бочки по-
сле 2 ч работы первого двигателя и 3 ч работы второго двигателя?
425.	Для экспедиции» работающей в тайге» сбросили с вертолёта упа-
ковку с продуктами, которая упала на землю черна 3 с. С какой
высоты была сброшена эта упаковка, если в первую секунду она
пролетела 4 у— м» а в каждую следующую секунду опа пролетала
4
на 9 — м больше, чем в предыдущую?
и
426.	Сколько времени пошло на изготовление детали» если её обраба-
„ t .	„I
тывали па токарном станке 2^ ч» па фрезерном станке 3^ ч и па
1 1 о
сверлильном станке 1 у-г ч?
427.	» Найдите значение выражения:
а) 5.7 + з| -
•1	£
в)3^+4,6-1|
426. Из одного пункта одновременно в противоположных направлени-
ях вышли два пешехода. Через 1,5 ч расстояние между ними было
12,3 км. Скорость одного пешехода 4,4 км/ч, Найдите скорость
другого пешехода.
429.	Для приготовления варенья из вишни па 3 части сахара берут
2 части ягод (по массе). Сколько килограммов сахара и сколько
килограммов ягод надо взять, чтобы получить 10 кг варенья, если
при варке его масса уменьшается в 1.5 раза?
430.	Найдите значение выражения:
а) (44,96 * 28.84 : (13,7	10.9)) : 1.8;
б) 102,816 : (3.2 • 6,3) + 3,84.
431.	Ре шпте уравнение:
а)	(г - 4,7)  7.3 = 38,69;	в) 23,5 - (2,3а + 1.2а) = 19,3;
б)	(3,6 - а) 5,8 = 14,5;	г) 12.98 - (3,8л - 1,3х) = 11,23,
76
Задания для самопроверки
1.	Укажите пары равных дробей.
А. Б.| В. 0,5 г. 2
1)2	2) 1	3| 0.6	4)
15	3
2.	Укажите, при каком значении а- верно равенство ~ = эд-
з.	Укажите дроби, которые можно привести к знаменателю 48.
а»ТС; б)1; в)>= 4
4.	Установите соответствие между равными числами.
А. 1 Б. 4 В. ?	Г. 1
8	4	5	2
1)	0,25	2) 0,5	3) 0,125	4) 0,4
5.	Какие из дробей можно записать в виде десятичной дроби?
6.	Укажите число, расположенное на числовом луче между числами
0,1 и 0,2.
а) б) |; в) ') 1.
7.	Укажите числа, которые больше - , но меньше 4-
а>|; б>п: в)£; г)1
8.	Укажите наименьшее из чисел -, д,
9.	Установите соответствие между числовым выражением и его зна-
чением.
1)|;	2)|;	3)^; 4J ».
ю. Вычислите зЛ + l| - 2§.
12 и 3
77
Л. Эйлер
। Радде л математики, в котором изучаются свойства чисел и действий
над ними, называют теорией чисел.
Начало созданию теории чисел положили древнегреческие учё-
ные Пифагор. Евклид, Эратосфен н другие.
Некоторые проблемы теории чисел формули-
руются очень просто — их может понять любой
шестиклассник. По решение этих проблем ино-
гда настолько сложно, что на него уходят столе-
тия, а на некоторые вопросы ответов нет до снх
пор. Например, древнегреческим математикам
была известна всего одна пара дружественных
чисел — 22(1 и 284. И лишь в XVIII в. знамени-
тый математик, член Петербургской академии
наук Леонард Э йлер нашёл ещё 65 пар друже-
ственных чисел (одна из них — 17 296 и 18 416).
Однако до снх пор не известен общин способ на-
хождения пар дружественных чисел.
Было высказано предположение, что любое
нечётное число, большее 5. можно представить в
виде суммы трех простых чисел. Например:
И. М Виноградов
и Та п. Подойти к доказательству итого пред по*
л ожени я сумел лишь 200 лет спустя замеча-
тельный русский математик, академик Иван
Матвеевич Виноградов (1891—1983). Но
утверждение «любое чётное число, большее 2,
можно представить в виде суммы двух простых
чисел* (например: 28 = II 4- 17, бб = 19 + 37»
924  311 4- 613 н т. д.) до сих пор не доказано.
Темы проектных работ
1. Школа Пифагора.
2. Приёмы быстрых вычислений.
78
У.кножение
дроби на на/иу-
рамное число
Умножение и деление
обыкновенных дробей
13. Умножение дробей
□
Задача 1. В бутылке 4 л сока. Сколько сока в 5 таких
бутылках?
Решение. Для решения задачи надо найти произве-
дение д - 5. Но умножить на натуральное число 5 — зна-
чит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно
3.
4'
з ззззз	з+з+з+з+з
4 ° 4	4	4	4	4	4
- * 3 4 5 -15 q3
4	4	4’
3
Значит, в 5 бутылках 3 -j л сока.
Чтобы умножить дробь на нагуральмое число, надо
её числитель умножить на это число, а знаменатель
оставить без изменения.
Задача 2. Длина прямо-
4
угольника = дм, а ширина
2	5
3 дм (рис. 19). Чему равна
площадь прямоугольника?
Решение. Из рисунка
видно, что данный прямо-
угольник можно получить так:
разделить одну сторону ква-
драта со стороной 1 дм на
5 одинаковых частей и взять
4 такие части, а другую сто-
рону разделить на 3 едина*
ковые части и взять 2 такие
79
части. При таком делении квадрат будет состоять из 15
равных частей, а прямоугольник будет состоять из в таких
;;
частей. Значит, площадь прямоугольника равна -ту дм2. Но
I и
мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведе-
8
нию длины и ширины. Следовательно, число ту можно по-
4	2	’
лучить умножением у на у-
УлСНОМГРНЫР
дроби ни дробь
Итак.
5	3	5-3	/5
Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти
произведение числителей и произведение знамена*
телей этих дробей; 2) первое произведение записать
числителем, а второе — знаменателем.
Обычно вначале обозначают произведение числителей
и произведений знаменателей, затем производят сокраще-
ние и только потом выполняют умножение. В ответе, если
это возможно, из дроби исключают целую часть.
Например:
4	14 = 4-14 = 4 2 = 8 = 3, 3	4
7'5	7 5	5	5	5’ 8 ’ 15
3 4_____|_____1_
8 15	2-5	Ю’
Задача 3. Сколько километров проедет велосипедист
5	3
за 1 ч, если будет двигаться со скоростью 9^ км/ч?
Решение. Так как пройденный путь равен произведе-
нию скорости и времени, то для решения задачи надо най-
Л3 .5
ти произведение чисел 9 у и 1 — -
Представим каждое из этих чисел в виде неправильной
дроби:
Q3 _ 48. 4.5 _ 17
а5 5 * 1 12	12
Теперь воспользуемся правилом умножения дробей.
Получим:
а3 1 5 _ 48	17 _ 48 17	4 17 _ 68 _ 1Q 3
а5 12	5 ' 12	5 12	5	5 IJ5‘
5	3
Таким образом, за 1 уу ч велосипедист проедет 13^ км,
во
смешанных
чисел
Для того чтобы выполнить умножение смешанных
чисел, надо их записать в виде неправильных дробей,
а затем воспользоваться правилом умножения дробей.
С помощью умножения дробей решают такие же задачи,
как и с помощью умножения натуральных чисел.
Задача 4, За 1 ч автоматическая линия производит
11
— ц пластмассы. Сколько пластмассы линия производит
за 4 ч?
4
Решение. Такие задачи с натуральными числами или
с десятичными дробями мы решали с помощью умножения.
Решим и ату задачу умножением:
и 2	33
25 ‘ 4	100’
3	33
Итак, за ч производится ц пластмассы, т. е. 33 кг.
Тот же ответ можно получить, если выразить данные
числа а десятичных дробях;
11 = о:44, | = 0,75, 0.44  0,75 = 0,33,
но 0,33 ц = 33 кг
Умножение дробей обладает переместительным и сочо-
тательным свойствами.
кроме юю, для любою Значения «:
a * О = О * a = О; a • / — / ‘ « = л.
Например, * q = # /У / . / < ш
О	* С	С
Расскажите, как умножить дробь на натуральное число.
Расскажите, как выполнить умножение двух дробен н как выпол-
нить умножение смешанных чисел.
Какими свойствами обладает действие умножения дробен?
Запишите свойства нуля н единицы при умножении.
81
432» Выполните умножение:
я) | -2;	г) 1  24;	ж)|1;
П-	г>	Г>
б)	А  12;	д) 1 • SO;	з) 1g • О.
«>П’4О;	е>п11!
433.	Сторона квадрата - м. Найдите периметр квадрата,
Г>
434.	В одну банку помещается кг крупы. Сколько этой крупы вме-
стят две, пять, десять таких же банок?
435.	Найдите периметр треугольника АВС, если ЛВ - м, ВС больше
4	1
АВ в 4 раза, а АС меньше ВС на — м,
**> 436. Выполните умножение:
Га) | ч - 2; б) £ ч  5; в) | ч • 6; г) -L ч • 5.
d	15	6	12
437.	Станок-автомат изготовляет одну деталь за JL мин. За сколько
минут станок изготовит 3 детали, 4 детали, 60 деталей?
Произведение дробей, квадраты и кубы дробей можно прочитать
так:
3 16 — три восьмых умножить на шестнадца!ь двадца>ь пер-
8 ‘ 21 вых.
— произведение чисел три восьмых и шестнадцать двад-
цать первых,
— произведение трёх восьмых и шестнадцати двадцать
первых,
. 5 а — квадрат пяти седьмых.,
17.!	— пять седьмых в квадрате,
2 * 3 — куб двух пятых,
I 5 I — две пятых в кубе.
А*- 438. Выполните умножение дробей:
. 3	Б,	.2	7 ,	.2
а> 4 ' 7:	Г>	5	‘	П5	Ж)	Б 4
r. 1	3.	v 1	4.	.11
б) &	Л)	2	9*	з)	15
ч 4	5,	.	11	8.	ч	15
в) ?	е)	12	• 9,	и)	16
3,
2’
3.
4 Б*
5,
9*
82
, 12 , _9_
25	16
л)Н . »£
Л| 17 6Я
, 17	13.
26	16’
. .2
»> да
п) I'/
7
439.	Стирона квадрата — м. Чему равна площадь квадрата?
-	JJ
440.	Найдите объём куба, ребро которого — м.
4	3	12
441* Масса 1 л керосина составляет т- кг. Какова масса 7 л, т л, т л
»э	’	£	»>
керосина?
442.	Автомашина движется со скоростью у км/мин. Какой путь прой-
дёт автомашина за 7 мин; за 7 мин?
J	П
78
443. Найдите значение выражения ‘• 7-Ц7 двумя способами: по пра-
I 1.1111 I I 'I I
виду умножения обыкновенных дробей и по правилу умножения
десятичных дробей. Сравните результаты,
444. Найдите произведение у и у- Проверьте результат, представив
эти числа в виде десятичных дробей.
445.	Представьте первый множитель d виде обыкновенной дроби и вы-
4	5
полните умножение: а) 0,75 - б) 0,8 •
446.	Представьте первый множитель в виде десятичной дроби и
ните умножение: а) т-  0,3; б) 7777  6,4.
3	2	5	7	5	2
447.	Выполните действия: а) -г • у •	’ Чч ’
2
448* Измерения прямоугольного параллелепипеда равны j дм,
25 u	,
дм. Найдите его объем.
ВЫПОЛ-
з
т дм и
449. Представьте в виде произведения двух дробей число:
а) 6*	°) 4‘ н)	г) 1 94
4S0. Найдите значение выражения:
83
451. Выполните
й 1
a) if  1±;
. 2	2,
6> 43 ' 5*
умножение:
v13 -5,
e} 1 “ ’ 1" ►
ж) s| • 4;
3	19
Л>7П 240; Д
12	7 У 7 У
«» 2t ' 2il:
В)1^-3|; s) 10  54;
<r	x	J	u“
г) I • 2|; и) з| • li o) 1|  1;
*1.	й'Р
'4	1	Э 9	ft
д)2|£; K)if-2f; п)з|о.
452.	Найдите по формуле пути .ч = vt значение s, если:
Г^У	1	1	3
a) v - 95 км/ч, t - 4т ч; б) р - 3? м/мин, t —
О
£ мин.
453.	Найдите по формуле объема прямоугольного параллелепипеда
1	1	3
У = abc значение V, если п = — дм, b = 2— дм, с = I -j- дм.
454.	Найдите массу металлической детали, объём которой равен Зт? дм\
если масса 1 дм* этого металла равна 74 кг.
455.	Два велосипедиста выехали одновременно из одного и того же пун-
кта и двигались в одном и том же направлении. Скорость первого
велосипедиста 12-у км/ч, а скорость второго в 14 раза больше.
Какое расстояние будет между ними через 1? ч?
456. Маша и Вера
I вышли из двух сёл навстречу друг другу. Маша шла
со скоростью 3 км/ч, и ее скорость была в 14 раза меньше скоро-
1 “
сти Веры. Через 1 — ч девочки встретились. Найдите расстояние
между сёлами.
457.	Во дворе заливали каток с помощью двух шлангов. Через первый
шланг за 1 ч поступало 2 т мя воды, а через второй — 2? мя, Пер-
1 1	1 1 *
вым шлангом каток заливали 1ч, а вторым — в 1& раза доль-
ше, Сколько воды израсходовали на заливку катка?
458, С первого поля, площадь которого 57 4 га, собирали с 1 га по 32 4 и
пшеницы, а со второго поля, площадь которого в 1т раза больше
площади первого поля, собирали по 36ц пшеницы с 1 га. Сколь-
ко всего центнеров пшеницы собрали с этих двух полей?
84
459. Найдите значение выражения:
л <J_1 б 1 < X l7l i f _ 5 in2 71.
а) 4 18 ‘ 7 “ 1 9*	1114.1 В | ' 103 7 3 +
460. Вычислите устно:
а) 14 + 19 : 3 + 59 : 20	б) 125 • 20 : 50  140 - 196	Л . О 1 ъ» ..Ml-*, to Ъл to to'	г) 6 • 0,9 + 2,7 - 0,9 : 8	д) 0,6 • 5 + 2,4 - 3 : 0,8
?	7 ь	?	?	7 £
461. Найдите пропущенные числа:
462.	Сумму данных дробей сложите с их разностью. Попробуйте дога-
даться, как быстрее и проще получить ответ:
ч 2	1 .	,, 1	1
5 И 10*	б) 4 и б‘
463.	Представьте дробь
а)	в виде разности двух дробей со знаменателем 3; 18; 21;
б)	в виде суммы двух дробей со знаменателем 3; 9; 12.
9
464.	Ня координатном луче (рис. 20) отмечены дробь и число а. По-
кажите» где расположены на луче точки
d|« - |1.
2
О	7	О
--------------1------------------------------------------И
Рис. 20
85
*►465. Найдите значение выражения:
Г) 20| - 2|;
а)	т| + 5|:
б)	б| - 1
в)	з| • 4si
д)39|-4|;
С)11| +8|:
ж) (I - 4i - (#+3)
•> (8п 2i i - (*П - *1)-
466. Кто быстрее?
до 25:
Найдите в таблице последовательно все числа от 1
24	6	18	2	13
20	15	9	22	5
3	25	12	19	11
10	23	7	1	16
17	4	21	14	8
11	19	3	16	7
23	6	13	9	22
25	20	18	2	15
8	17	4	12	21
14	1	24	10	5
467, В алфавите племени аоку всего 6 букв — А, К, М, О, Р, У, Все сло-
ва в языке этого племени состоят из четырех букв. Какое наиболь*
шее число слов может быть в языке Племени аоку? В скольких из
этих слов буквы не повторяются?
86
я
468.	На складе было 8 j т зсрпа. Сколько зерна стало па складе после
I	7
того, как привезли 2 — т, а затем увезли Зт т?
л	И
469.	Сколько килограммов составляют:
а) 1% центнера; б) 7% центнера; в) 2,5% центнера?
470.	Сколько квадратных метров составляют:
а) 1% гектара; в) 15% ара;
6)3,5% гектара; г) 0,07% квадратного километра?
471.	Запишите, какую часть числа составляют: 1%, 3%, 15%, 25%,
10%, 20%, 50%.
<-:> 472* Запишите в виде десятичной и в виде обыкновенной дроби: 35%,
48%, 75 %, 110 %, 125 % .
Образец записи: 5% — 0,05 ~ туг- -
1	3	4
473.	Запишите в виде процентов: т! 0.7; 0,12; 7; тяг.
Образец записи: — = 0,06 = 6%,
474.	Решите задачу:
1)	Задание рабочие выполнили за три дня, В первый день они сде-
2	-	1	-	-
дали т всей рапоты, во второй день — всей работы, какую
чисть всей работы они выполнили в третий день?
2)	Поле было засеяно за три дня, В первый день была засеяна у-
всего поля, во второй день — 4 всего поля. Какая часть всего
О
поля была зассяпа в третий день?
475.	Решите уравнение:
а)х-б|-1-; б) 14| - у - iof.
476.	Упростите выражение:
1)	3,7* + 2,5у + 1,6* + 4,8^;
2)	4,5м + l.Ort + 3,3м 4- 4,3п.
87
477. Выполните умножение:
а)	fl 10	. 1; 6'	,81	46, 115 ’ 81*	... з - 1. л> 35 ' !»•
б)	6 25	20. 21’	ж) ’ 4;	м) <| • 2;
в)	17 30	26, 5Г	з) 23 • &	to14 й 6 . Н) 2 15 ‘ 61Г
г)	40 7	И, 5 ’	и) рт 39; 1 чЭ	1 О 2 25	1 16’
д)	57 37	74. ’ 76’	к) 5 • г|;	«4 11 R-L П) 43 826‘
—I-	3	/
9 5 У Г 3
---г - ——        
ГО 6 JP 6 У
478.	Найдите значение выражения:
х 2	1.	2,	*1.	. 7.	15.
а)	т-nt,	если rn -	s;	ri	2sJ	1-^;	77г?
5	2	5	2	л	16
, 4 _	1.4	,1
б)	gX„ если л- =	4—.
479.	Скорость улитки уу м/мин. Какое расстояние проползёт улитка
3	3	5	9
за j ч; за - ч; за ч?
480.	Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения кото-
1	4	1
рого равны м, j м, м.
481.	Масса 1 дм8 стали равна 7 4 кг. Найдите массу стального куба, ре-
бро которого 2^ дм.
482.	Колесо делает 27уг оборота в минуту. Сколько оборотов оно совер-
шит за 3 мин; за 1 4 мин; за тг мин?
4	о
483. Выполните действия:
484. Выразите обыкновенной дробью: 26%, 45%, 80%, 90%,
3	7	3
485. Запишите в виде процентов: 0,23; 0,4; 0,07; т; -г?; гт.
3	I _Г -Мл
BS
486, Моторная лодка догоняет плот. Сейчас расстояние между ними
35 км. Скорость плота 2,5 км/ч, а скорость моторной лодки
9,5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через / часов, если
t - 0,5; 3; 5?
487.	Решите уравнение:
а)	9Лг - (3.2х + 1.8х) + 3.75 - 6,9;
б)	11,3 г/ - (9,7у - 0,8j/) + 7,1 = IT-
488.	Выполните действия:
7.72 • 2,25 - 4.06:(0,824 + 1.176) - 12,423.
14. Нахождение дроби от числа
Задача 1. Путешественник прошёл за два дня 20 км.
Л	V 3	Л
В первый день он прошел этого расстояния. Сколько ки-
лометров прошёл путешественник в первый день?
89
Решение. Длина пути равна 20 : 4 = 5, т. е. 5 км,
3
а длина j пути равна 5*3= 15, т. е. 15 км. Тот же ответ
3
получится, если 20 умножить на j, т. е.
,Л 5	20 • 5
20 - - = ------
У У
/5.
. /5 л^л.
4
Задача 2, Огород занимает — всего земельного участ-
и’
2
ка. Картофель занимает огорода. Какую часть всего зе-
мельного участка занимает картофель?
5
Рис. 21
Решение. Изобразим весь
земельный участок в виде пря-
моугольника АВСД (рис. 21). Из
рисунка видно, что участок, на
котором растет картофель, за-
8
нимает — земельного участка.
Тот же ответ можно получить,
4	2.
если умножить т на «•
У 2	Ч-2	2
5	3 “ 5 3 " /5 ’
Ответ; — всего земельного участка.
3	2
В первой задаче мы находили j от 20, а во второй —
Нахождение
дроби от числа
Такие задачи называют задачами на нахождение дро-
би от числа и решают их с помощью умножения.
Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число
на эту дробь.
эо
Решим ещё две задачи на нахождение дроби от числа.
Задача 3. Путешественник прошёл за два дня 20 км.
В первый день он прошёл 0,6 всего пути. Сколько киломе-
тров прошёл путешественник в первый день?
g
Решение. Так как 0,6 — то для решения задачи
6	6	2  €
надо умножить 20 на Получим 20 -	— —— - 12. Зна-
чит. в первый день путешественник прошёл 12 км.
Тот же ответ получится, если умножить 20 на 0,6.
Имеем: 20 • 0,6 = 12.
Задача 4. Огород занимает 8 га. Картофелем занято
45% площади этого огорода. Сколько гектаров занято кар-
। офелем?
Решение. Так как 45% - 0.45, то для решения задачи
надо умножить 8 на 0.45. Получим 8 - 0.45 - 3,6. Значит,
картофелем занято 3,6 га.
(.'формулируйте правило нахождения дроби от числа.
Расскажите, как найти несколько процентов от числа.
489. На рисунке 22 изображён отрезок АВ, разделённый на 12 равных
частей. Определите по рисунку, какую часть составляет:
91
491» Найдите:
к 3	1 Г>	\	5	4 л
а)	7	от 12;	г)	5 от
б)	-г;	от 6-1;	д)	0.1 от 30;
О
1	9
в)	з от е) 0,55 от 40;
ж) 0,2 от 0.8;	к) 35% от 12,6;
з)	0,7 пт 4,2;	л) 42% от
Г
и)	30% от 50: м) 65% от 5tL-
492. В книге 140 страниц, Алёша прочитал 0,8 этой книги. Сколько
страниц прочитал Алёша?
4
492. В книге 140 страниц. Володя прочитал — этой книги. Сколько
страниц прочитал Володя?
494.	В книге 140 страниц. Максим прочитал 80% этой книги. Сколько
страниц прочитал Максим?
495.	Площадь одной комнаты 21 м'!, я площадь второй комнаты состав-
Ляет — площади первой комнаты. Найдите площадь двух комнат.
496.	У брата и сестры 90 марок. Сколько марок у сестры, если у брата
0,3 всех марок?
497.	Мас :са овцы 86,5 кг. Масса одного ягненка составляет 0,2 массы
овцы. Какова масса овцы с шестью одинаковыми ягнятами?
498.	На школьной выставке 72 рисунка. Выполнены акварелью — всех
рисунков, а 0,25 остальных — карандашами. Сколько карандаш-
ных рисунков на выставке?
499.	Проложено 75% газопровода, длина которого будет 102,8 км.
Сколько километров газопровода осталось проложить?
9
500.	Длина комнаты 6 м. Ширина составляет длины* высота состав-
ляет 0,6 ширины. Найдите площадь н объём этой комнаты.
501.	Площадь огорода 0,04 га. Капустой засажено 0,8 огорода, а осталь-
ная часть — другими овощами. Сколько гектаров засажено други-
ми овощами?
502.	Число жителей города 750 тыс. человек. Ежегодно население в
нём увеличивается па 2%.. Сколько жителей будет в городе через
год? через два года?
503.	По норме рабочий должен изготовить 45 деталей. Он выполнил
норму на 120%. Сколько деталей изготовил рабочий?
92
504* Глубина горного озера к началу лета была 60 ы. За июнь его уро-
вень понизился на 15%, а в июле она обмелело на 12% от уровня
зя июнь. Какова стала глубина озера к началу августа?
505.	В первый день Ира прочитала всей книги, во второй — у остав-
шейся части, Какую часть всей книги И па прочитала во второй
день? Какую часть книги Ира прочитала за два дня?
506.	В овощную палатку привезли 8-г т картофеля. В первый день про-
4
днли 0,6 всего привезённого картофеля, в во второй день продали
7 того количества, которое было продано в первый день. Какая
часть всего привезённого картофеля была продана во второй день?
Сколько тонн картофеля было продано во второй день?
507.	Пя автобане были грузовые и легковые автомашины. Грузовые
5	2
автомашины составляли - всех машин, легковых автомашин
были ♦ Волги*, а остальные автомашины — ♦ Москвичи*. Какую
часть всех машин автобазы составляли «Москвичи*?
508.	До обеда путник прошёл 0,75 намеченного пути, а после обеда он
прошёл у? пути, пройденноао до обеда. Прошёл ли путник за день
весь намеченный путь?
509.	На ремонт тракторов в зимнее время было затрачено 39 дней, а на
ремонт комбайнов — ня 7 дней меньше. Время ремонта прицепно-
7
1ч> инвентаря составило — тога времени, которое ушло на ремонт
комбайнов. На сколько дней больше длился ремонт тракторов, чем
ремонт прицепного инвентаря?
510.	R первую неделю бригадой было выполнено 30% месячной нор-
мы. во вторую неделю — 0,8 того, что было выполнено в первую
2
неделю, а в третью неделю — •’ того, что выполнили во вторую
неделю. Сколько процентов месячной нормы осталось выполнить
бригаде в четвёртую неделю?
511.	Найти несколько процентов от числа можно с помощью микро-
калькулятора. Например, найти 5
программе 6,24 к 32,5 %
2,5% от числа 6,24 можно по
. Выполните действия по этой
программе.
Найдите с помощью микрокалькулятора:
а) 0,5% от 18,24; б) 97% от 16,8.
93
512* Вычислите устно:
а) 100 - 89	б) 80 - 4	в) 0,7 • 0,7	г) 2,8 ; 7
 6	+ 180	+ 0,08	 8
- 12	: 25	- 0,29	+ 2,4
: 6	• 14	: 2	: 0,7
?	у	7	?
513. Найдите значение выражения:
6)	») Hl -Ilf-
514* К какому числу надо прибавить чтобы получить 1;	1|; 1^?
515* Найдите пропущенные числа:
516. Папа начинает работу в 7 ч 15 мин» а мама — в 9 ч. Когда закан-
чивает работу каждый из них, если рабочий день папы 8 ч 15 мин
и перерыв на обед 1 ч, я рабочий день мамы 7 ч и перерыв ня обед
517. Нужно срочно доставить 9 пакетов в пункты, указанные ня плане
(рис. 24). Посыльный, посмотрев на план, быстро сообразил, как
ему ехать. Он вручил пакеты, объехав пункты, ни разу не проез-
жая дважды одним и тем же путем. Какой маршрут выбрал ПО-
СЫЛЬНЫЙ?
Рис. 24
94
518* Выполните действие:
а) | ।	4=	г)2| -1|:	, 1 к ж) ? ' 5; • J
	1, Г	Д)3-1|:	з) 1 
г л, 1	. 1	. 2	3	ч . 1	3
в) 2 g	+ 13;	е> 3  Г	и) 13 • 4;
519, Найдите значение выражения:
. «. I , 1
к> 7 г 1 з*
520. Между какими последовательными натуральными числами распо-
,1 о 7
ложепы числа Ip 3-.
4<1	54,
7 ’ 25
521, Найдите какие-нибудь три решения неравенства:
а) х < 1; б) 3 < х < 5; в) 4 <х < 5.
522.	В шестом классе учатся 25 человек. Сколькими способами можно
выбрать из них двух представителей в совет школы?
523.	Скорость полёта вороны 40 км/ч. Скорость полёта скворца в 1 4
1
раза больше скорости вороны, а скорость голубя в 1— раза больше
скорости скворца. Найдите скорость полета голубя.
524.	Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со
стороной 1,1 дм. Найдите высоту параллелепипеда, если его объём
2,42 дм\
525.	Решите задачу:
1)	В столовой 19 табуреток двух видов — с тремя и с четырьмя
ножками. У всех табуреток 72 пожки. Сколько табуреток каж-
дого вида в столовой?
2)	Для детского сада куплено 36 трёхколёсных и двухколёсных
велосипедов. У этих велосипедов 93 колеса. Сколько трёхколёс-
ных и сколько двухколёсных велосипедов было куплено?
526.	Выполните действия и проверьте вычисления с помощью микро-
калькулятора:
1)	(0,6739 + 1,1261) - 557,55 : (16,7 - 2,9 - 42,13);
2)	(1,3892 4 0,8108) - 537.84 : (15,8 - 3,6 52,48);
3)	801.4 - (74 - 525,35 : 7.9)  (64,4 - 6,88 : 8.6);
1) 702,3 - (59 - 389,61 : 6,8) • (59,3 - 5,61 : 9,1),
95
527* Решите уравнение:
1) 165,64 - (а - 12,5) = 160,54;	2) 278,74 - (6,5 - Ь) = 276,84,
528. Штангист тяжёлой весовой категории поднял штангу массой в
I56 кг, я штангист легкой весовой категории поднял гптянгу, мяс-
9	г „
св которой составляет — массы первой. На сколько килограммов
масса первой штанги больше массы второй штанги?
529* Сплав состоит из олова и сурьмы. Масса сурьмы в этом сплаве со-
ставляет -4- массы олова. Найдите массу сплава, если олова в нём
27,2 кг.
530.	Бригада лесорубов получила задание заготовить 540 мэ дров. Это
задание было выполнено на 120%, Сколько кубометров дров за-
готовила бригада лесорубов?
531* Фабрика сшила 4300 пар сапог. Из них 0,4 были на натуральном
меху. Сколько пар сапог было на натуральном меху?
532* В городе 550 тыс. жителей. Население в нём ежегодно увеличива-
ется на 3%. Сколько жителей будет в городе через год?
533.	С бахчи собрали 27 т арбузов. В столовую направили - этих арбу-
зов, а -г остатка отвезли па рынок. Сколько тонн арбузов отвезли
на рынок?
534.	Лес. луг и пашпя занимают 650 га. Из пнх лес занимает 20 % всей
земли, ут; оставшейся земли — пашня. Сколько гектаров занима-
ет луг?
535,	За три дня на элеватор доставили 651 т зерна. В первый день было
доставлено -Ц" Вёего зерня, во второй — 0,9 того, что было доставле-
но в первый день. Сколько тонн зерна было доставлено на элеватор
в третий день?
3
536.	Путешественники по Африке — всего намеченного пути проехали
на верблюдах, — оставшегося пути — на автомобиле, а затем на
плоту спускались по реке. Какую часть всего пути заняло путеше-
ствие по реке? Сколько километров путешественники проплыли
по реке, если весь их путь составил 588 км?
96
537* Первая бригада прополола 30% всей площади, занятой свёклой,
вторая бригада прополола 80% оттого. Сколько прополола парная
бригада. Остальную площадь прополола третья бригада. Сколько
процентов всей площади прополола третья бригада?
538* В трёх ящиках было 76 кг вишни. Во втором ящике было в 2 раза
больше, чем в первом, а в третьем — на 8 кг больше вишни, чем в
первом. Сколько килограммов вишни было в каждом ящике?
539, Выполните действия:
а)	27,36 • 0,1 - 0,09;
б)	(54,23 3,2 - 54,13 • 3,2 + 0,68) ; 0,2;
в)	(23,82 + 54,58) • (1,202 + 0.698) - 2,1 - (3,53	1,89);
г)	316 219 - (27 090 : 43 + 16 422 : 119).
540. Вырежьте из плотной бумаги фигуры, показанные на рисунке 25,
и склейте фигуры, изображённые на рисунке 26.
а	б
Рис 25
а	б
Рис 26
97
Эти фигуры называют пирамидами, У пирамид боковые гра-
ни — треугольники, а основание — многоугольник. Название
пирамиды зависит схт того, какой многоугольник является ее ос-
нованием, На рисунке 26, а изображена треугольная пирамида, а
па рисунке 26. 6 — четырехугольная.
15. Применение распределительного свойства
умножения
Распределительное свойство умножения относительно
сложений и относительно вычитания позволяет упрощать
вычисления.
/4 П
Пример 1. Найдём значение выражения ” 3 I - 15
i' 4	1 \	.4	1
Решение. I ё ё • • 15 - тг - 15 - тт - 15 - 12 - 5 - 7.
Пример 2. Найдём значение произведения 2^  7.
Л 1
Решение. Представим вначале число в виде
суммы его целой и дробной частей:	=2+^а затем
применим распределительное свойство. Получим:
2К-7~ (2 + 1L)-7-2.7+1L -7-14+| -l4
Лг.»НОЖ|РНиР
смешанного
числа на нату-
ральное числи
Чтобы умножить смешанное число на натуральное
число, можно: 1) умножить целую часть на натураль-
ное число; 2) умножить дробную часть на это нагураль-
ное число; 3) сложить полученные результаты.
Пример 3. Найдём значение выражения
5~ • -
Ь8 7
5	2
8 ' 7‘
Решение.
На основе распределительного свойства
умножения представим эту
3	5	2
суммы 5j + 1 g и числа у:
сумму в ниде произведения
3	2	.А	2	|цЗ +15i	2	, 2
8	7 а	7	' а 8 '	7	7
98
Используя распределительное свойство умножения.
3	13	1
можно упрощать выражения вида + у а и b - -rb:
В простых случаях можно писать сразу:
2	1
з х + з х = х — две третьих и одна третья х — это х;
7	5	2
g х - g х - gX — разность семи девятых х и пяти девя-
тых х — это дне девятых х.
Расскажите, как можно умножить смешанное число на натураль-
ное число.
¥/7 541. Найдите значение выражения:
L > (I * и) -«; -> (I+ п) •
|15 »1 ' 12' г) । 1Т 22 i’44.
542.	Выполните умножение:
а)	6т -4; г) 6 11: ж) 10 - 5 г; _ £ „ v №У
О	♦	,3 о ’ т 3 О ь 7 г 7 в --
2	1	1	*	*
6)9f 2;	д) 4— - 4;	з)11д-3;
в) 3  7^;	е)	- й;	и) 271 ’ 9.
543, Найдите значение выражения:
(	9	1 ‘|	я:	о	г- 7
a)(4f + 5|J-6; д) «И ‘ *5 + 8П ’ в5:
б)	(8| + 11 • 7;
в)	|8 - 11) • 9;
г)|4 112| -15;
6 5 ’ " 6	2 6 ' 6 5 ’
ж)0| .г| -2| -7|;
з{  з| + з{ • |.
99
544.	Упростите	вира
г	2	4
а)	$ х	+	g	дг;
5	9
б)	уа - Па;
. 7 5
*) Тг'и ' Tzm:
, 5 ,	3 .
г) gt>- дб;
1	2
Л>2 362+ зг;
545.	Решите уравнен
Я 7
е)
2	1	7
ж> Зс + 9е" 9е’
а)* -
. 3 »
и) п*+ П*
к) |ь + А;
<
8; g)|x+Zx-
О	ij
Л) 18 Х * I, 12х 7х I’
k 11	1’5	1 I
М» 18 Л ’ 1д8п +бл I*
б) ~ |у | • 21 = 1;
r)-p-m + -^frt-j/n = 7.
546.	Шаг дяди Стёпы 14 м. Какое расстояние он пройдёт, если сделает
J
5 шагов; 12 шагов; 20 шагов; 24 шага?
547.	Продолжительность жизни берёзы 150 лет. Сосна живёт вй| раза
дольше берёзы, а мамонтово дерево — в 5 раз дольше сосны. Како-
ва продолжительность жизни Мамонтова дерева?
548.	Квартира состоит из двух комнат. Длина большей комнаты 5-^ м,
з
а ширина 4 м. Длина меньшей комнаты 4 м, а ширина Зт^ м, На
сколько площадь одной комнаты меньше площади другой?
549.	Площадь поля а га. В первый день вспахали | поля. Какая пло-
щадь осталась невспаханной? Найдите значение получившегося
выражения при а = 57; 234; 142-у.
£
2
550. В первый день туристы прошли всего пути, во второй день
1*-^	2
~ всего пути. Сколько километров пройдено за два дня» если весь
путь п км? Составьте выражение для решения задачи, упростите
его и найдите значение при л = 27; 36; 334-
4
10О
551.	Семья получила двухкомнатную квартиру общей площадью с ма.
Одна комната составляла 0.36 общей площади» а вторая систавля-
5
ла - площади первой комнаты. Чему равна площадь двух комнат
вместе? Найдите значение получившегося выражения при с = 50;
75.
5
552.	В би допе было й л молока. Из бидона перелили d кастрюлю р
этого молока и в кувшин 0,6 того количества, которое вылили в
кастрюлю. Сколько молока осталось в бидоне? Найдите значение
получившегося выражения при а = 1 »2; 4-г-
м
553.	На складе было m кг гвоздей. Кладовщик в первый раз выдал
40% имевшихся гвоздей, во второй раз — 75% остатка. Сколько
килограммов гвоздей осталось на складе? Найдите значение полу-
чившегося выражения при m - 1200; 300; 50.
554.	Выполните действия:
а> (Х1 * Х1) • (2 - XW= в> (4 + • (4 - Ш
6)(4 + 2£] . (10-81||;	г)6А.А_ц1.1.
555.	Сравните выражения
(6- (5-4) «в.4-г-4
556.	Найдите значение выражения:
2	127
а) 2^а + Ь, если а = 2^. h = 3^jS
б) 8^(а + б), если а-2р Ьи1£-
557. Вычислите устно:
а) 70 - 56	б) 900 : 150	в) 8  0,9	г) 4,2 : 0,6
* 3	’ 80	5,4	' 0,8
+ 14	4- 240	+ 3	+ 0,4
: 1	: 18	: 16	: 10
?	?	?	?
558. Выполните умножение устно:
2	5	8	11,	&	1	9,
а) 5 ' 8 ’ 11 ' 14’	7 ' 9 ' 3 ’ 5*
в) 3 • |  4  1  5 • }  6 • 1
101
<1?	<1?	1	/ ч?
559. Вычислите: и) | — |; б) | — | 4- —I в) 11 - -у |.
5GO. От какого числа надо отнять у, чтобы получить
1.1.	5. 11- 1 !•>
i; 8’ 8’ 12’ 1 8‘
551.	Подумайте, как из числа, записанного в центре (рис. 27). можно
получить числа, записанные в кружках.
Рис. 27
4^ 562. Мос:ква основана в 1147 г., а Сянкт-Петербург — в 1703 г. Сколь-
ко лет Москве и сколько лет Санкт-Петербургу? На сколько лет
Москва старше Санкт-Петербурга?
563.	Подсчитайте по модели, сколько граней, вершин, рёбер у тре-
угольной пирамиды: у четырёхугольной пирамиды. Попробуйте
догадаться, сколько граней, вершин, ребер у шестиугольной пи-
рамиды.
564.	Куплено 15 кг яблок. Нн приготовление варенья израсходовали —
купленных яблок. Сколько килограммов яблок было израсходова-
но на варенье? Сколько килограммов яблок осталось?
565* В баке автомобиля 60 л бензина. За день было израсходовано 25%
этого бензина. Сколько бензина израсходовали? Сколько бензина
осталось в бяке?
102
566.	В саду 30 плодовых деревьев. Яблони составляют 0,6 всех дере-
вьев. Сколько яблонь в саду? Сколько в саду других плодовых де-
ревьев?
567.	Турист прошёл в первый день Bceixj намеченного пути. Причём
,	_ 2	„	„
до ооеда он прошел — пути, пройденного ан этот день. Какую чысть
3
всего намеченного пути прошёл турист в первый день до обеда?
568.	В первый день со склада вывезли 40% имевшегося там угля. Во
второй день было вывезено 75% остатка. Сколько процентов всего
имевшегося на складе угля вывезли во второй день? Сколько про-
центов всего имевшегося там угля осталось?
569.	В магазин привезли 658 кг персиков. В первый день продали
2	••	л о
- всех персиков, а во второй день — 0,3 оставшихся персиков.
7
Сколько килограммов персиков продали во второй день?
570.	Найдите значение выражения:
.21	5	3
а) 25 * 7	16 15’
1	*1	Л •	1 ,
•*°и и	2 8 ir
. . е 2 1 5	й 10 . 3,
В) 10 - 1 7	6 27 3 g,
г) -4# 
Г и у Г оО /

571. Выполните действия:
1) (3,52 : 1,1 + 6,2) • (7,2 - 4,62 : 2,2);
2) (2,86 : 2,6 - 0,8) • (3,4 + 7т04 : 3,2).
572.	Выполните умножение:
а)	7^  2;	М «4  5;
6)	5^  8:	г) 5  з|;
д) б| • 2;
е) 9| • 9.
573. Найдите значение выражения:
а)|3|-2±|-5;
14
‘34;
г) 3^ • 15^ - 3^  2jy;
д>{21+4)-1п=

») 81Т • 57 + зЦ •
103
574* Упростите и найдите значение выражения:
5	3	2 7
а)	у а + YJffl при а - 4^;
~ 3	,	1	о2, 4.
б)	g-.¥ + У - 4 у при у = 2-;
13	3	1	„1.^1.
в)	15 m _ 7 т + 12 я1 при гп = 2 2* Ь7»
131	, 13. 9
Г) 3 х + 4 х " »х "Ри х = 1 23’ 46'
575.	Турист шёл 3 ч со скоростью 4 — км/ч и 3 ч со скоростью 4- км/ч.
Сколько километров прошел турист за эти 6 ч?
576.	В первом ящике 12 кг сахара, а во втором — в 2 раза больше.
Сколько сахара будет во втором ящике, если в пего положить еще
2 т кг?
577* Олег решал уравнение в течение -р ч. Задачу он решал на ч
дольше, чем уравнение. Сколько времени Олег решал уравнение
и задачу?
578.	После удачной рыбалки Когтя принёс домой 1,4 кг рыбы. Из у
этой рыбы сварили уху, а 80% оставшейся — поджарили. Сколь-
ко рыбы поджарили?
4
579* В первый день маслобойня переработала т поступившего количс-
ства семян подсолнечника, во второй день 0,6 остатка. Сколь-
ко топи семян подсолнечника переработала маслобойня за эти два
дня, если было привезено с т семян? Найдите значение получив-
шегося выражения при с - 90; 63,
580.	Фабрика выпустила m м ткани трёх цветов: голубого, зеленого
и чёрного. Ткань голубого цвета составляла 30 % всей выпущен-
ной ткани. Ткань зелёного цвета составляла 0,8 количества тка-
ни голубого цвета. Сколько метров ткани чёрного цвета выпусти-
ла фабрика? Найдите значение получившегося выражения при
m = 5520; 22 000.
581.	Найдите значение выражения:
а)	(3,75 : 1,25 - 0,75) : 1,5 + 0,75;
б)	(14 - 12,725) ' 12,4 - 2,6 : (11,2 - 7,95).
104
16. Взаимно обратные числа
Если умножить -4 на то получится 1:
15 В
8 + 15	3 • 15 _
15	8	15 - а
Точно так ж© 1 получится при умножении 7 на 4> на
7	?5
I
j4.iaij.MHi7
обратные
число
Два числа, произведение которых равно 1, называ-
ют взаимно обратными.
Значит, взаимно обратными будут числа -4 и -ф-. 7 и 4.
23	75	15	8	7
75 И 23-
Числу —„ где а * 0 и h * 0, обратно число 4.
Л	a
п	я h ab
В самом деле, — .	=	= /
b a Ьа
5
Пример 1. Найдём число, обратное числу 3^>
Решение. Запишем число 34 в виде неправильной
дроби:
о 5 _ 3 6 • 5 _ 23
36	6	6 *
5	6
Значит, обратным Зт будет число —.
м	Zl?
5	3	7
Пример 2. Найдем значение произведения
п.	5	3	7	5'3	71	5	5
Решение.	11 • 7 • 3	- 11 -  7	3 •	- n	- 1t-
Значит, если число х сначала умножить на некоторое
число а, а потом умножить на число, обратное а, то полу-
чим опять х.
Какие числа наляпают взаимно обратными?
Как записать число, обратное дроби
h
Как записать число, обратное натуральному числу?
Как записать число, обратное смешанному числу?
105
jkj 582. Будут ли взаимно обратными числа:
а)	7 т и	в) 0,2 и 5;	д) з4 и 24;
б)	48 и	г) 2,5 и 0,4;	е) 0 и 1?
40
583. Найдите число, обратное числу:
а) То* в) “й"' Д) 4» ж) 0,8;
6)5;	г)£;	е)7||;	з)1,25.
'?	1О
584. Найдите
значение
выражения:
586.
,.77	5 6, 1 81	6 5’	6) 3,4  | •	3.	х 11 ₽ д 12 7’	В* 12 ’ 5’Ь 1Г	
Решите уравнение:			
а)	- 1; 4	в) ОьВи — 1;	Д) 19 *	19’	
6> I*-1;	г) 0,76 - 1:	С) y.V-	12 5 ’
Вычислите устно:			
а)200 - 101	б) 200 - 5	в) 3 - 0,3	г) 0,45 : 9
: 3	130	+ 4.1	 6
+ 37	: 29	: 100	+ 2,7
: 5	+ 270	’ 20	: 0,01
9 Г	?	?	7 4
587.	Представьте в виде неправильной Дроби:
1—' 1 —* 2— • 5—* 3
*4’ 17» аП’ *•
3
588.	Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения -
X- 1- 1; 1—; 1
X 1,	13, д.
589.	Верно ли выполнены вычисления:
а)	16  2± = 16 •	2	+	16	:	2 = 32 + 8 =	40;
б)	42 * 4 4 - 42 •	4	+	42	:	3 - 168	+	14	-	182;
•J
в)	72 * 4 = 72 - 72 : 4 = 72 - 18 = 54;
4
г)	84  4 = 84 - 84 : 6 = 84 - 14 = 70?
ь
Ответ объясните.
х, если
106
yfl 590. На озере находятся 7 островов, которые соединены между собой
мостами тнк, кик покапано на рисунке 28. На какой остров дол-
жен доставить катер путешественников, чтобы они могли пройти
по каждому мосту и только один раз? С какого острова катер дол*
жен снять этих людей? Почему нельзя доставить путешественни-
ков ня остров Д?
Рис 28
591. Выполните умножение:
а)з| -5;	6)71 -i; в) 2| • 4; г) 1 £ • 3; д) 2 А . 6.
□	*1	Л	J	1 о
‘v** 592. Найдите значение выражения:
Г . 1	<	ч92	5,	.ЦП й
7 4 9’ В) 2б * 6’	дм,2 3 । '
б» 7 4:	+
593.	За три дня турист прошёл 40 км. В первый день он прошёл 40 %,
а ни втором день — 30% всего пути. Сколько километров прошёл
турист в третий день?
594,	Среднее арифметическое трёх чисел равно 3,1. Найдите эти числа,
если второе число больше первого па 0,9. а третье число больше
первого н 2 разя.
И
595.	Выполните действия:
1)	(7,061 : 2,3 - 2,2) • (4,2 + 17,391 : 5,27);
2)	(3,7 + 14,058 : 6,39) * (23,641 : 4,7 - 4,6).
107
A 596. Найдите числа, обратные следующим:
10.	J_2. 23. 11 . 18 . Н). 41.
а' 27* 59’ 98’ 122’ 315* 3 ’ 8 *
б) 11т|:	80; 100; 1; 0,5; 1,2.
597.	Выполните действия:
а) ту ‘ 8±; в) 0,2 • 11; д) (0,2 + 0,4) • |«
й	К	I
6)113	г)0,8
598.	Положили сушить 150 кг вишни. После сушки их масса умень-
шилась па 80%. Сколько килограммов вишни получилось после
сушки?
599.	Среднее арифметическое четырех чисел 2,75. Найдите эти числа,
если второе больше первого в 1,5 раза, третье больше первого в
1,2 раза и. наконец, четвертое больше первого в 1,8 раза.
600.	Найдите значение выражения:
а)	208,57 - 108,57 : «60,4 - 57,6)  (3,6 + 8,45));
б)	565,3	465,3 : ((1,25 + 5,8) - (55,8 - 49,2)).
*17. Деление
Задача. Площадь прямоугольника м;'. Длина одной
стороны у м. Найдём длину другой стороны.
Решение. Обозначим длину другой стороны через
х м. По формуле площади прямоугольника должно вы пол-
пяться равенство ^х = у. Умножим обе части равенства
на число у. обратное числу у Так как произведение j • у
.	5	4	20 т
равно I, то получим, что х = 7 • или х = Таким об-
разом, длина другой стороны прямоугольника равна уу м.
В этой задаче мы нашли неизвестный множитель в про-
Q	с
изведении - • х = у. По смыслу деления это число равно
частному от деления числа у на число у. Видим, что это
1ОВ
частное равно произведению делимого и числа, обратного
5	з	5	У	20
№л\лтем^ те : _д_ =	. _1_.в - .
7	Г	7	3	27
Деление дроби Чтобы разделить одну дробь на другую, надо дели-
ла дрпбъ	мое умножить на число, обратное делителю.
2	1
Пример 1, Разделим 2 — на 1 — •
5	15	2	1
Решение. Представим сначала числа2т и в виде
□	1 э
неправильных дробей: 2§ -	1 — - 1^.
5	5	1 &	15
Поэтами 22-1-1.-И1Ё-Н Д -	-
поэтому * '75 Т ’ Ts Т 75 - 516 -
_ 3 ’ 3 _ 9 _ о!
4	4	4'
Пример 2. Разделим 4 на 6.
о
Решение. Числом, обратным делителю, является 4,
так как 6 • 4 - 1 „ Значит,
ь
7_	7_ /	7
2 '	# ’ 6	У<Р
Сформулируйте правило деления дробей.
Как выполняется деление смешанных чисел?
109
601. Выполните деление:					
а)	£ .	г!	ж) | : 3;	2L _А_	7 _
	8	7	7 8	8 7	8	Н- н
	1. 5 '	*>			
б)		4*	3) 5 : 2; •>		
в)	1 Л	4. 7*	и) 8 : £;	Ц : * 1 *t3:	е) 1 : А;
г)	3 16	. А- ' 12*	«>14	о) 10| : 2|; 4J	О	т) 0 : 5^;
д)	5	А; 25’	л>Ц = 1:	П) 15 ! 3 4 15’	у) Зт  1; 4
е)	7 8 ’	2:	м) 4| : 1|; Li	1L1	р)4| : 3;	
602. Представьте в виде дроби частное:
Частное двух дробей можно читать разными способами;
2 • 11
7 ’ 14
и. п.
две седьмых разделить
и. л.
на одиннадцать четырнадцатых
В. II.
частное чисел две седьмых
Кг П,
и одиннадцать четырнадцатых,
р. п.
частное двух седьмых
р. п.
и одиннадцати четырнадцатых.
603. Найдите по формуле площади прямоугольника S = ab значение:
1	3	1
a) S, если и = 4— и Ь = —;	и) если S = 15 и b = 7—.
ill	й
604. С какой скоростью должен передвигаться трактор, чтобы пройти
15 км за т ч; аа 7 ч?
о	о
605. Масса 4 дм3 сосны равна 4- кг. Какова масса 1 дм3 сосны? Каков
О	о
объем соснового бруска массой 1 кг?
4	2
606. Сумма двух чисел равна 12у. Одно из них в 1 - раза больше дру-
гого. Найдите эти числа.
11O
607.	Если задуманное число умножить на 2-р- и к произведению при-
бавить 1 уу, то получится 8уу, Найдите задуманное число,
15	•
608.	Площадь прямоугольника —-	Найдите периметр прямоуголь-
3
ника, если его ширина 7 м.
ft
609.	Длина и ширина прямоугольника соответственно равны 5-м
□
£
и 2- м. Найдите ширину другого прямоугольника, длина которо-
О
ю 3— м, а площадь равна площади первого прямоугольника.
610.	Представьте делимое в виде обыкновенной дроби и выполните дей-
ствие: а) 0,25 : 4» 6) 6,6 : 4-
4	О
611.	Представьте делимое в виде десятичной дроби и выполните дей-
ствие: а) -тт- : 0,2; б) i : 0,375. 612. Выполните действия: ж) («1 - 41) : 2|t -4= ч 15	3	3,	Л«2 Л1 J. в) 16 ; 3 ‘ 7’	и) l/з +	1 : 1 2’ .»&•***	ю(3|-2^) = 4 л) (1» + 2±] ; (4|| 613.	Найдите значение ныражения: а)	|2 + 0.25 + 1|: 1 зу;	в)6,25 8-з| 6)	Я : 0,16 - 3| • 6,4;	г) |Ц| - 1.6 j L	'*	J	-4> : 5,5 + 2.4 • 4^; : 0,12.
111
614.	Решите уравнение:
а)	4* = 2 4:	ж) т +
\	i	г>	4
б)	$ У	= 2 iq ~	I	;J)	У ~	у У = 4 ;
7 й	+ £ = 1’	И)	5 ?	~ 52 ~ Тя2	=	2’
Г)з|	:Л=1|	:2;	к)	Зу	• 11* + || = 21;
>	11 = 91.1	тП	i 5 v _ 11.2 =
д)5/-12 2д д» лЦв* 5| 4	4*
е) у* + ?Х = 2 |4»	&2 + 3 2 -	= Т‘
61$. Коля и Митя нашли 64 гриба, Коля нашёл в 1 у раза больше гри-
бов, чем Митя. Сколько грибов нашёл каждый?
616.	Луч ОМ разделил угол СОА", равный 90’» на два угла СОМ и Л/ОХ".
Угол СОЛ/ больше угла ЛЮ А' в 2- раза. Чему равны углы СОЛ/ и
О
МОК? Постройте эти углы с помощью транспортира,
617.	Отец старше сына в З-jy раза, я сын моложе отца на 28 лет. Сколь-
ко лет отцу и сколько лет сыну?
618.	За дня дня турист прошел 26 км. Путь» пройденный в первый
день» составлял у пути, пройденного во второй день. Сколько ки-
лометров прошёл турист в каждый из этих дней?
619.	Белка с бельчонком запасли па зиму 350 грибов. Бельчонок со-
брал 75% числа грибов, собранных белкой. Сколько грибов собра-
ла белка и сколько бельчонок?
620.	Первый плотник сделал ня 9 оконных рам меньше, чем второй.
Сколько рам сделал каждый плотник, если число рам, сделанных
5	л
первым плотником, составляет — числа рам, сделанных вторым?
К-
621.	Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух
пунктов, расстояние между которыми 5 км. Скорость первого пе-
2
шеходы составляла « скорости второго. Найдите скорости каждо-
го пешехода» если они встретились через полчаса.
-Лг 622» Мотоциклист стал догонять велосипедиста» когда между ними
з
было 33 км, и догнал его через j ч. Известно, что скорость вело-
сипедиста составляла — скорости мотоциклиста. Найдите скоро-
1 *1
сти мотоциклиста и велосипедиста,
з	1
623.	Геологи 8 — ч ехали на автомашине и 7— ч двигались пешком,
»	AJ
Весь их путь оказался равным 225 км. С какой скоростью геологи
шли пешком it с какой — ехали на автомашине» если они проеха-
ли в 11 раз больший путь, чем прошли пешком?
2
624.	В бочонке и бидоне 80 л кваса. В бидоне - количества кваса» на-
ходящегося в бочонке. Квас из бочонка разлили в 20 кувшинов, а
из би допа — в 32 банки. Где больше кваса: в одном кувшине или
в одной банке? На сколько литров?
- 625. Турист 3 ч шёл пешком со скоростью 5 км/ч, а далее 4 ч он ехал
па поезде, скорость которого в 12 раз больше. Оставшийся путь
турист проехал на автобусе за 8 ч. С какой средней скоростью дви-
гался турист за время путешествия, если скорость автобуса состав-
ляла 4 скорости поезда?
О
п	626. Вычислите устно:			
	а) 184 - 112	б) 700 : 14	в) 0,64 ; 0,8	г) 3,6 ‘0,1
	: 8	 9	- 9	: 0,6
	+ 45	+ 90	+ 2,8	+ 3,6
	: 3	: 18	: 100	: 1,4
	9 L		?	?
13	1
627.	Найдите число, обратное дроби:	-н 1	0,7. Сравните данное
число и ему обратное.
62В.	Существует ли число:
а) обратное самому себе; б) не имеющее обратного?
629.	Не выполняя умножения, сравните:
а)	3 * £ и 3;	в) а ' 5 и д’
1 5 5	5-	1 11 1 1	1
б)	• 6 И	Г) П - 1П и 1.
630.	Кроме неравенств со знаками > и с, которые называют строгими,
используют нестрогие неравенства, для которых введены знаки
> (больше или равно) и < (меньше или равно). Неравенства 3 < 1
и 5 < 5 верные, так как одно из условий выполнено: 3 меньше,
чем 4; 5 равно 5.
Подумайте, какие натуральные числа являются решениями
неравенства:
а) * < 4; б) 5 < х < 9; в) 3 < .г С 5.
631.	Найдите число, обратное числу:
а) б) 4; в) з{; г) 0,8; д) 1,4.
632.	Докажите, что числа а и b взаимно обратны, если:
а)	а = 0,5, /? = 2; б) а = 1,25, b = в) а = 0,15, 5 = б|-
€33. Выполните деление и результат округлите до сотых:
а) 3,2 : 0,7; в) 175 : 23;
б)	14,28 : 3,6; г) 0,00677 : 1,3,
634.	Округлите числа:
а)	0,479; 1,071; 2,750; 4,4981 до десятых;
б)	0,0825; 0,8537; 1,3576; 4,57003 до тысячных,
€35. Пя лыжных соревнованиях Света пробежала дистанции] за
1 мин 46 с, а Таня — на 15% быстрее. Какой результат показала
Таня?
<	636, Решите задачу:
1) Из 250 лошадей было 30 вороных, а 0,7 всех лошадей были се-
рыми. Кроме вороных и серых, были лишь лошади рыжей ма-
сти. Сколько было лошадей рыжей масти?
2) Купили 1 20 тюбиков клея. Из них в 30 тюбиках был резиновый
клей, а в 0,4 остальных тюбиков был казеиновый клей. Кроме
резинового и казеинового клея был куплен и силикатный клей.
Сколько тюбиков силикатного клея было куплена?
•*?£* 637. Решите уравнение:
1) (0,2х + 0,4х) • 3,5 = 6,3;	3) (х - 0,2х) : 0,4 = 1,6;
2) (0,7х - 0,2х) 6,4 = 9,6;	4) (0,4х + х) : 0,7 = 1,6.
Ц 638. В даме 288 квартир, 12 этажей и 4 подъезда. В каком подъезде и
на каком этаже находится квартира № 194?
114
639.	Выполните деление:
.	1.8.	.27 . О4
9 * 8’	61 4 б * * 9’
- 3 ,	_9_,	,	я	, 2,
б)	у	14»	Д)	н	•	3>
»Y 8в	. 43-	.4	-	. Q,
в)	1 1 о	• Ы	'	с)	4	. 3,
_/ П & 25 /5 /У
X * /У ~ 7 /У " X 25
ж) 21 : 1Н;
: 1 jj-
640.	Найдите значение выражения:
Й1 .. 1	<	1,	> 7	8	.1
11 3 ’ 21 : 4 Г ГЧ 9 : 9’
641.	Выполните действия:
. 3 5	1 2	_ _ 1,
ам : 6 22 5	1:1 6’
г) (з| = 4| + 4| : 311
1.
5’
| A + ±j . “ _ 2 . 21 . А-
1.15 12.1 43 * " " 2 32’
642.	Решите уравнение:
а)	(х - 8) • | = 2;
V
б)	21х -21 = al.
•->	J о
4
643. Сколько оборотов сделает колесо на расстоянии 18 м, если длина
б	3	4	9
окружности колеса равна	тт	м;	т	м;	т	м/
£ и	4
644. За ч мотоциклист проехал 20- км. С какой скоростью ехал мо-
тоциклист?
645. На изготовление 16 одинаковых деталей требуется б-g ч. Сколько
времени занимает изготовление одной детали?
646. В двух сосудах 35 л жидкости. Известно, что в одном сосуде жид-
кости в 1-j раза меньше, чем в другом. Сколько жидкости в каж-
дом сосуде?
647. В двух пачках 156 тетрадей. Число тетрадей в одной пачке состав-
ляет Я числа тетрадей другой пачки. Сколько тетрадей б каждой
пачке?
115
648.	В парке дуб был посажен на 84 года раньше сосны. Сколько лет
каждому дереву, если возраст сосны составляет 60% возраста
дуба?
649.	Два катера движутся навстречу друг другу. Сейчас между ними
7
25 км. Скорость одного из них составляет j скорости другого.
Найдите скорость каждого катера, если известно, что они астре*
5
тятся через т-у ч.
1 л
1	4
650.	Турист ехал на автобусе 1 -г ч и на поезде 4 тт ч. Всего этими ни-
<5	АО
дями транспорта турист проехал 456 км. При этом на автобусе он
проехал — того пути, который он проехал на поезде. С каков ско-
ростью турист ехал на автобусе и с какой — на поезде?
651.	Выполните деление и округлите ответ до тысячных:
а) 1,765 : 1,3; б) 5,394 : 23; в) 2,6 : 11,2.
652.	Вычислите;
а)	74 : 100 - 0,4 : 10 + 17,8 : 1000;
б)	0,35 • 10 + 0,0237 • 100 - 0,00087  1000;
в)	37 - 0,01 - 0,2 - 0,1 + 8,9 * 0,001;
г)	0.7 : 0,1 I 0,0474 : 0,01 - 0,00174 : 0,001.
18. Нахождение числа по его дроби
Задача 1. Расчистили от снега т катка, что составляет
800 м< Найдите площадь всего катка.
116
Решение. Обозначим площадь катка через х м'. По
2	2
условию 5 этой площади равны 800 м2, т. е. х - 800.
2	5
Значит, х - 800 : $ - 800 •	_ 2000. Площадь катка
равна 2000 м2.
Чтобы найти число по данному значению его дроби,
надо это значение разделить на дробь.
Задача 2. Пшеницей засеяно 2400 га, что составляет
0,8 всего поля. Найдите площадь всего поля,
Решение. Так как 2400 : 0,8 — 24 000 : 8 - 3000, то
площадь всего поля равна 3000 га.
Задача 3. Увеличив производительность труда на 7%,
рабочий сделал за этот же срок на 98 деталей больше, чем
намечалось по плану. Сколько деталей рабочий должен был
сделать по плану?
Решений. Так как 7% = 0,07, а 98 : 0,07 = 1400, то
рабочий по плану должен был сделать 1400 деталей.
-----------------------------------------------------------
Сформулируйте правило нахождения числа по данному значению
его дроби.
Расскажите, как найти число по данному значению его процентов.
653.	Девочка прошла на лыжах 300 м, что составляло 7 всей дистан-
*» пии. Какова длина дистанции?
654.	Свая возвышается над водой на 1,5 м, что составляет длины
всей сваи. Какова длина всей сваи?
ji* 655. Ня элеватор отправили 211,2 т зерня, что составляет 0,88 зерна,
намолоченного за день. Сколько зерна намолотили за день?
656.	После замены двигателя средняя скорость самолёта увеличилась
па 18%, что составляет 68,4 км/ч. Какова была средняя скорость
самолёта с прежним двигателем?
657.	Масса вяленой рыбы составляет 55% массы свежей рыбы. Сколь-
ко нужно взять свежей рыбы, чтобы получить 231 кг вяленой?
у
658-	Масса винограда в первом ящике составляет массы винограда
во втором ящике. Сколько килограммов винограда было в двух
ящиках, если в первом ящике был 21 кг винограда?
з
659.	Продано — полученных магазином лыж, после чего осталось
120 пар лыж. Сколько пар лыж было получено магазином?
660.	При сушке картофель теряет 85,7% своей массы, Сколько надо
взять сырого картофеля, чтобы получить 71,5 т сушёного?
<£► 661. Банк купил несколько акций завода и через год продал их за
576,8 млн рублей» получив 3% прибыли. Какую сумму банк за-
тратил на приобретение акций?
5
662.	В первый день туристы прошли — намеченного пути, а во второй
день — 0,8 того, что прошли в первый день. Как велик намочен-
ный путь, если во второй день туристы прошли 24 км?
663.	Ученик сначала прочитал 75 страниц, а потом ещё несколько стра-
ниц. Их количество составило 40% от прочитанного в первый раз.
3
Сколько страниц в книге, если всего прочитано т книги?
664.	Велосипедист сначала проехал 12 у км, а Потом, еще несколько ки-
3	тт
лометров, что составило у от первого отрезка пути. После итого
ему осталось проехать всею пути. Какова длина всего пути?
3	1
665.	? от числа 12 составляет - неизвестного числа. Найдите это число.
<£*666.35% от 128,1 составляют 49% неизвестного числа. Найдите это
число.
667.	В киоске в первый день продано 40% всех тетрадей, во второй
день — 53% всех тетрадей, а в третий день — остальные 84 7 те-
традей. Сколько тетрадей продал киоск за три дня?
668.	Овощная база в первый день отпустила 40% всего имевшегося
картофеля, во второй депь 60% остатка, а в третий день
остальные 72 т. Сколько тонн картофеля было на базе?
669.	Трос рабочих изготовили некоторое число деталей. Первый рабо-
чий изготовил 0,3 всех деталей, второй — 0,6 остатка, а третий —
остальные 84 детали. Сколько всего деталей изготовили рабочие?
з
670.	В первый день тракторная бригада вспахала участка, во второй
день — т остатка, а в третий день — остальные 216 га. Определи-
те площадь участка.
118
671. Автомобиль прошёл в первый час — всего пути, во второй час —
3	“
- оставшегося пути, а в третий час остальной путь. Известно,
что в третий час он прошёл на 40 км меньше, чем во второй час.
Сколько километров прошёл автомобиль за эти 3 ч?
672. Находить число по заданному значению его процентов можно
с помощью микрокалькулятора. Паиример, найти число, 2,4 %
которого составляют 7,68, можно по следующей программе:
7,68
+ 2,1 %
= , Выполните вычисления.
Найдите с помощью микрокалькулятора:
а) число, 12.7% которого равны 4,5212;
б) число, 8,52% которого равны 3,0246.
673. Вычислите устно:
674. Не выполняя
а) 9 : | и 9;
а)162 - 127	б) 900 : 150	в) 1,5  6	г) 7 - 2,1
: 7	* 70	: 1,8	: 7
• 19	- 312	• 0,12	‘ 1,4
+ 15	: 18	+ 0,44	+ 0,02
?	?	?	?
деления, сравните:
.97	9,
В) 11 : 19 И 11’
..13	1 1
г) 1 g . g и 1 g •
меньше своего обратного число
б)	6 : - иб;
675.	Во сколько раз
676.	Придумайте число, которое меньше своего обратного в 1 раза;
в 9 раз.
677.	Разделите устно центральное число на числя в кружочках:
1; £; 1; 0 3‘>
5’ а’ в’ UfO'

678. Сколько квадратных плиток со стороной 20 см понадобится для
настилки пола ы комнате, длина которой 5,6 м, а ширина 4,4 м?
Решите задачу двумя способами.
679. Найдите правило размещения чисел я по-
лукругах и вставьте недостающие числа
(рис. 29).
Рис. 29
680. Выполните		деление:	
	. А. * и/	д) у : 5;	И) 6 :
М	, 1, ’ 2’	е) А ; 4;	к) 1А  1- 1 112 ’ б’
в>|	. 5. * 7’	. 4	14 ж) 9 : 9;	л)2| : 1|;
М	. L ’ 3’	з) 11 : 2; J	Зй  ®|
I	1
681.	За у ч велосипедист проехал 7- км. Сколько километров проедет
’’ 1
велосипедист за 2- ч, если будет ехать с такой же скоростью?
682.	За тг ч пешеход прошёл L км. Сколько километров пройдёт пе-
1
шеход за 2- ч, если будет идти с такой же скоростью?
6ВЗ.	Сократе дробь: 1) Ш; 2) Ц«>; 3)	4) 1|$.
684.	Найдите значение выражения:
1)21:2|.1|;	3) 11	* 7|;
21 . 12 . ч3.	.. .,2 . -1 . 2
2)2 4 13 3 8’	4)33 * 73 5’
685.	Выполните действия:
1) 10,1 + 9.9 ' 107,1 : 3,5 : 6.8 - 4,85;
2) 12,3 + 7,7 • 187,2 : 4,5 : 6,4 - 3,4.
7
686. Из бочки вылили — находившегося там керосина. Сколько лит-
ров керосина было в бочке, если из неё вылили 84 л?
687. Володя прочитал 234 страницы, что составляет 36% всей книги.
Сколько страниц в этой книге?
688. Использование нового трактора для вспашки поля дало экономию
времени в 70% и заняло 42 ч. Сколько времени потребовалось бы
для выполнения этой работы на старом тракторе?
689.	Столб, врытый в землю на своей длины, возвышается над зем-
1
лей па 5- м. Найдите всю длину столба.
690.	Токарь, выточив на станке 145 деталей, перевыполнил план на
16%. Сколько деталей надо было выточить по плану?
691,	Точка С делит отрезок АВ на два отрезка АС и СВ. Длина отрез-
ка АС составляет 0,65 длины отрезка СВ. Найдите длины отрезков
СВ и АВ, если АС = 3,9 см.
692.	Лыжная дистанция разбита на три участка. Длина первого участ-
ка составляет 0,48 длины всей дистанции, длина второго участка
5
составляет — длины первого участка. Какова длина всей дис-
танции, если длина второго участка 5 км? Какова длина третьего
участка?
5
693.	Из полном бочки взяли 14,4 кг квашеной капусты и затем ещё
этого количества. После этого в бочке осталось находившейся
там ранее квашеной капусты. Сколько килограммов квашеной ка-
пусты было в полной бочке?
694.	Когда Костя прошёл 0,3 всего пути от дома до школы, ему еще
осталось пройти до середины пути 150 м. Какой длины путь от
дома Кости до школы?
695.	Три группы школьников посадили деревья вдоль дороги. Пврвая
группа посадила 35% всех имевшихся деревьев, вторая — 60%
оставшихся деревьев, а третья группа — остальные 104 дерева.
Сколько всего деревьев посадили?
696.	В цехе имелись токарные, фрезерные и шлифовальные станки.
5
Токарные станки составляли — всех этих станков. Число шлифо-
вальных станков составляло - числа токарных станков. Сколько
всего станков этих видов было в цехе, если фрезерных станков
было на 8 меньше, чем токарных?
697.	Выполните действия:
а)	(1,704 : 0,8 - 1,73) • 7,16 - 2,64;
б)	227,36 : (865,6 - 20,8 - 40,5) * 8,38 + 1,12;
в)	(0,9464 : (3.5 ’ 0,13) + 3,92) • 0,18;
г)	275,4 : (22,74 + 9,66) • (987,7 - 30,6 - 30,5).
19. Дробные выражения
Дробное выражение	.	2 Так как дробь равна частному 2 : 3, то и частное от деления одного выражения на другое можно записать с по- мощью черты. Например, выражение (41:3 - 4,4) : (15,3 + 413-44 + 33,9) можно записать так: '	’ . Выполнив указан- 15,3 + 3-3,9 ныв действия, найдём значение этого выражения: 0,75, или 3 4* Частное двух чисел или выражений» в котором знак деления обозначен чертой» называют дробным выра- жением, 3 * Z и	3,7	д я	а b 9.6	с Например, о с- а а. -=—£- ——г, — — дробные г 8,5 6,2 1,3 - 0 8 'а 4 b ah выражения.
Числитель дробного выражения	Выражение, стоящее над чертой, называют числите- лем, а выражение, стоящее под чертой, — знаменателем дробного выражения. Числителем и знаменателем дроб- ного выражения могут быть любые числа, а также числовые или буквенные выражения.
Знаменатель дробного выражения	С дробными выражениями можно выполнять действия пО Юм же правилам, чю и С Обыкновенными дробями. 34 Пример 1. Найдём значение выражения —< 1 Решение. Умножив числитель и знаменатель этого дробного выражения на 6, получим: 4 . 4 6. 21 _ 2. 4	i2-6	10 3	3 Этот же результат можно получить и другим способом- 1) Представим каждое число в виде неправильной дроби. 2) Выполним деление двух дробей, 31 1	А = А I2.-L_Z;5_Z.3 . 21_г	,с .2	2	3	2 5	10	'	~j 1з 3	d J
122
Пример 2. Найдём произведение ~~ и 1 4-
1( Н’	-ч
Реше ние,
у - 20,5.
16,4	. 3.	16.4	, 7	= 16,4 • 7	= 4,1
1,4	4	14	4	14 4	0.2
2	3
Пример 3. Найдем сумму ^4- + —
Решение.
2	_3_ = 4 + 3 = 7 = 70
0,7	1,4 ’	1,4	14	14
При сложении дробных выражений удобнее сначала
представить их в виде обыкновенных дробей, а потом уже
выполнять сложение:
2	3	- 20	, 30	_ 20	15	_ 35
0,7	14	7	14	7	7	7
Какое выражение называют дробным?
Как называют выражение, находящееся над чертой? под чертой?
698. Назовите числитель и знаменатель выражения;
а)м; 6)1 п) ^-4. г)5±^
’ 3.6* *	°' 5’	' 7.45 -3,2’	' 4afr ’
*9
699. Напишите дробное выражение, числитель которого За - 26, а зна-
менатель — б,7х 4- у.
700. Запишите в виде дробного выражения частное:
(3.8 -4.5-0.7) 1(6,3: 2,1 -2.6).
Найдите значение этого выражения.
701. Найдите значение		ны ряжения:	
а)	в)	*1.	д)	2.4 12.6 3,5
	спр-1 W		6,3 4,8 31,5
й. ^2 .	ч б) 0Л5,	Г)	ц. *г	е)	1.7 4.92 • 7,2 4.8 0,82 • 5.1
3.4	• 12,1
1.25 *4-1,1 '
123
702. Выполните действие:
а) 0,68 *	г) 0,121 : |1; 1 Ы	ж) 5,6 : 3^1	, 2,3 К) 1.5	6,7, 4,5’
б) 3.212 : 1;	д) 43» i 5 ’	>	з) ю|  6,3; 15	1 5 л>п +	1,9. 9,6’
в) | ' 24,в;	В) %  8.4;	и) 2^  4,2;	м)М-	9,1 11,4*
703.	Выполните действия:
4 • 1,8 • 1| ; 0,07	12,75 •	1,8
a) -L-:--5—г—;	в)	;
± : 0.49 • 2J	1± - 2,04 : 20
0,2 • 6,2 : 0,31 - |  0,3	(1.75-1 4 1.75
4	,	Г) 2 4 1-^ 0.22 : 0,01	(Н - 0,325) : 1 0,4
704.	Найдите значение выражения - - 1 , т 4- ,J ., если:
□ч • “* '*»-** Z. е + *1|*1
а) а - 2? + 1|; б) а - 1.8 - (1 - 0.6).
705.	Найдите значение выражения — - —,
а) х - 18,1 - 10,7 и у - 35 - 23,8;
б) х - 10 б 12и!/-115+93	15,
сели:
706.	Найти с помощью микрокалькулятора значение выражения
5,4 - 3,275
—г-;-?- можно по программе:
lir 'l * * *U, О'
5,4	3,275 |~ё~| 3,4 |~Г] 12,5
3,995
а значение выражения о, 675 2,4 о, 022 1,0 так°й программе:
0,675 х 2,4	0,022 Т13,9951~="
Выполните вычисления по этим программам.
Постройте программу нахождения значения выражения и вы-
полните по ней вычисления:
3,2  1,05.
0,6 11,2’
6,076
0.85 : 3,4 » 1,02'
Г)
2,185 : 43,7 + 1,05.
0,44 - 12,5
(4,2	2,7) : 0,003
2,125 : 1.7
124
п
707. Вычислите устно:
а) 270 - 214	б)100 : 25	в) 6 - 1,2	г) 1 - 0,79
: 28	• 15	: 8	: 0,3
 37	: 120	• 10	+ 5,3
+ 26	 180	: 5	? 1,5
9 L	?	£	? ь
708.	Ни координатном луче отмечены числа о и 5 (рис. 30). Можно ли
указать на луче точку с координатой а : 4; Ь : i; а : 4?
ш	о	*5
О	а	6
--------------1------------1--------------------------1------------------
Рис. 33
709.	Вычислите:
•>(И» «> (!)’ = №
710.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 1т:*,
1	1. о3< 8
если х - 1; д? 2^;
711.	Составьте задачу по уравнению:
а) *-3-1;	б)11+|/-1|;	t)21;a-ij.
jt] 712. Ваня и Таня должны были встретиться на станции, чтобы вместе
поехать на поезде, который отправляется в 8 ч утра. Ваня думает,
|что его часы спешат на 35 мин, хотя в действительности они от-
стают на 15 мин. Л Таня думает, что ее часы отстают па 15 мин,
хотя они нн самом деле спешат на 10 мин. Что произойдёт, ОС ли
каждый из них, полагаясь на свои часы, будет стремиться прийти
за 5 мин до отхода поезда?
713.	Возраст Серёжи составляет у возраста отца. Серёже 12 лет. Сколь-
ко лет отцу?
714.	Комбайнер за 1 ч скосил пшеницу с площади 3 га, что составляет
15% того, что он скосил за день. Какую площадь скосил комбай-
нер за день?
715.	Груши составляют 25% всех деревьев сада, остальные 150 деревь-
ев — яблони. Сколько грушевых деревьев в саду?
716.	Площадь 60 га составляет 0,75 площади поля. Чему равна пло-
щадь поля?
717.	Найдите число, если:
2
а)	0,9 его равны 1-;
б)	его равны 3,5;
в)	35% его равны 49.
718.	Участок земли, площадь которого 6 га, составляет сада, а пло-
щадь сада составляет 4 всего приусадебного участка. Чему равна
площадь всего ори усадебного участка?
719.	По плану бригада должна отремонтировать за месяц 25% доро-
ги между двумя посёлками. За первую неделю отремонтировали
2 км 100 м дороги, что составило 30 % месячного плана. Какова
длина всей дорога между посёлками?
720.	Решите задачу:
1)	В книге 240 страниц. В субботу мальчик прочитал 7,5% всей
книги, а в воскресенье — на 12 страниц больше. Сколько стра-
ниц ему осталось прочитать?
2)	Для птицефермы заготовили 2600 т корма. В первый месяц
было израсходовано 8,5% корма, а во второй месяц — на 30 т
больше. Сколько тонн кормя осталось?
721.	Найдите произведение дробей | и -у и произведение дробей, об-
ратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения?
Проверьте ваше предположение еще на одном примере. Докажите
это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).
722.	Найдите значение выражения:
. 2,56 * 0(44 2,25	о 1.	i ii ч i 5
•> 3.2 0.12 о.« ’	“) 8,4 ; 2-;	д) 11,7 : 1
t2 2$ al
6)5,72	г) 6,3 1|:	.) 7 Д 4
о ’т'7
126
| • Д - 4~ Д 28,8 : 1з| + 6,6 :
1----------£•:	з)------------
2	7 F 31	,11
— : —	1— :
3 18	16
723.	Нападающие Коля и Никита во время баскетбольного мятча при-
3	5
несли своей команде ~ 11 уу всех очков. Сколько очков набрала за
матч эта команда, если Коля набрал на 7 очков больше, чем Ни-
кита ?
724.	Поезд, идущий со скоростью 68 км/ч, проходит расстояние между
городами за 6 ч. Какое время потребуется велосипедисту, чтобы
проехать 4 этого расстояния со скоростью 17 км/ч?
О
725.	Получили сплав из куска меди объёмом 15 см3 и куска цинка объ-
ёмом 10 см\ Какова масса 1 см5 сплава, если масса 1 см* меди
8,9 г, а масса 1 см;| цинка 7,1 г? Полученный результат округлите
до десятых долей грамма.
726.	Кухня в 10 мг составляет 0,4 всех нежилых помещений квартиры.
Площадь нежилых помещений составляет площади всей квар-
 Q
тиры. Найдите площадь всей квартиры.
727.	Вырежьте из плотной бумаги фигуры, изображённые на ри-
сунке 31, и склейте фигуры, изображённые на рисунке 32. Эти
фигуры называют призмами. У прямой призмы боковые гра-
ни — прямоугольники, а верхнее и нижнее основания — равные
многоугольники. Ня рисунке 32, а изображена треугольная при-
зма, а на рисунке 32,6 — четырёхугольная. Каждый прямоуголь-
ный параллелепипед — это четырёхугольная призма.
Рис. 31	Рис. 32
127
Задания для самопроверки
1.	Выберите верные утверждения:
а)	При умножении дроби на натуральное число, надо числитель
дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без из-
менения.
б)	При делении двух дробей надо дробь, обратную делимому, ум-
ножить на делитель.
в)	Произведение правильных дробей является правильной дро-
бью.
г)	Два числа называют взаимно обратными, если их сумма равна
нулю.
2.	Сторона квадрата равна м. Найдите периметр квадрата.
3.	Одна сторона прямоугольника равна 1 м, а другая Z м. Укажите
5	4
все величины, которые соответствуют площади этого прямоуголь-
ника.
а) Лм*: б) 30 дм2; в) 0.3 м2; г) 3 дм2.
4.	Укажите номера верных равенств.
7 _ 3-7 _ 21 _ 7 .	51 О . 7_	7	7
' 15 ” 3 • 15 ’ 45 " 15 ’ J 15	3-15	45
5.	Укажите пары взаимно обратных чисел.
а)	з| и А; В) 0.2 и 5; д) 1 и 3.
7	<54.	d
б)	5| и	г) l| и
2
. 5
' 9
6.	Установите соответствие между каждым выражением и его значе-
нием.
А - —
5 9
1) 1,8
Б. | : Z В
9 9
2) А 3) |	4-) 0.16
7.	Решите уравнение 3,5х = 1.
12В
8.	Найдите расстояние, которое проедет велосипедист за 2- ч, если
его скорость равна 12^- км/ч.
О
9.	Лена отрезала 12 м тесьмы, что составило д длины всего мотка.
Сколько метров тесьмы было в мотке?
1О.	При сушке лекарственных трав теряется 75% массы. Сколько сы-
рья заготовили, если получено 7.5 ц сушёных трав? Ответ вырази-
те в тоннах.
I В самых древних дошедших до нас письменных источниках —
вавилонских глиняных табличках и египетских папирусах —
встречаются не только натуральные числа, но и дроби.
Дроби были нужны, чтобы выра-
зить результат измерения длины,
массы, площади в случаях, когда
единица измерения не укладыва-
лась и намеряемой величине целое
число рал.
Тогда вводили новую, меньшую
единицу намерения. Названия этих
новых единиц измерения и ста-
ли первыми названиями дробей.
Например, дробь до снх пор на-
зывают «половина*; у римлян слово
«унция* сначала было названием
двенадцатой доли единицы массы,
но потом унция стала обозначать
одну двенадцатую долю любой вели-
чины (говорили; «Семь унций пути»,
т. е, семь двенадцатых пути).
R Древнем Вавилоне, как вы знаете,
дроби были шестидесятиричными.
Используя современные обозначе-
ния, число можно было бы записать,
например, в виде 4; 52; 03. Это одна-
™ а *2	3
чало: 4+55+557.
129
11 сейчас, когда мы пишем 3 ч 21 мин 47 с, то, по сути дела, записыва-
ем доли часа в шестидеслтеричной системе счисления:
О1	21	4*7	47	47
21 ми. = gj	17 <=—,= — ...
У египтян были особые знаки для дробей — и — н общин способ
м	»>
записи для долей (т. е. дробен с числителем 1), Все остальные дроби
они записывали в виде суммы долей.
Например: Х=1+1, Л=1+±, 2.
1-1 _ * 1 2	1
26	2	26‘
(Подумайте, как можно быстро находить такую сумму.)
Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древ»
иен Греции, только греки знаменатель записывали сверху, а числи*
тель — снизу. Дроби в привычном для нас виде впервые стали запи-
сывать индусы около 15(H) лет назад, но они не использовали черту
между числителем и знаменателем. Черта дроби стала общеупотреби-
тельной лишь с XVI в.
В старину применяли в основном обыкновенные дроби. Это объясня-
лось различными соотношениями между единицами измерения: онп
делились и на 12, и на 16, и на 40 частей. Но потом было замечено,
что самыми удобными для вычислений являются десятичные дроби,
С XVII—XVIII вв. они получили всеобщее распространение, особенно
после создания и введения в большинстве стран метрической системы
мер.
Темы проектных работ
1. Моделируем многогранники.
2. Обыкновенные дроби на Руси.
130
Отношения и пропорции
20. Отношения
Задача 1. От куска материи длиной 5 м отрезали 2 м.
Какую часть куска материи отрезали?
Отношение
Решение. Сначала узнаем, какую часть всего куска ма-
терии составляет 1 м. Так как в куске 5 м, то 1 м составляет
1	2
— куска. Значит, 2 м составляют — всего куска материи. Тот
О	о
же ответ можно получить, разделив 2 на 5, Действительно,
2
2:5--- Ответ можно также записать в виде десятичной
nJ
2
дроби или в процентах: - - 0.4 - 40%.
О
Частное двух чисел называют отношением этих чи*
сел. Отношение показывает, во сколько раз первое
число больше второго или какую часть первое число
составляет от второго.
131
Если значения двух величин выражены одной и той же
единицей измерения, то их отношение называют также от-
ношением этих величин (отношением длин, отношением
масс, отношением площадей и т. д.).
Задача 2. Длина железной дороги 360 км. Электрифи-
цировано 240 км этой дороги. Какая часть дороги электри-
фицирована? Во сколько раз нон доро«а длиннее её элек-
трифицированной части?
Решение. Чтобы найти, какая часть дороги электри-
фицирована, берём отношение 240 ; 360. Записываем это
отношение в виде дроби и сокращаем её на 120. Получим
240	2	2
240 ; 360 -	- —- Значит, электрифицировано — всей
%jOLt	J	kJ
дороги.
Чтобы узнать, во сколько раз вся дорога длиннее своей
электрифицированной части, берём отношение 360 : 240.
Записываем его в виде дроби и сокращаем эту дробь на
120. Получим 360 : 240 -	- j - 11 - 1,5. Значит, вся
дорога в 1,5 раза длиннее её электрифицированной части.
Взаилгно
обратные
отношения
2 Я
Числа J и § взаим,|° обратны, поэтому и отношения
2 к 3 и 3 к 2 также называют взаимно обратными.
Если значения двух величин выражены разными едини-
цами измерения, то для нахождения отношения этих вели-
чин надо предварительно перейти к одной единице изме-
рения.
Задача 3, Масса станка 9,6 ц, а масса электромотора
36 кг. Найдите отношение массы электромотора к массе
станка.
Решение. Выразим массу станка в килограммах Полу-
чим 9,6 ц — 960 кг. Значит, отношение массы электромотора
'•б	3
к массе станка равно "80 " 0,0375.
Итак, масса электромотора составляет 0,0375 массы
станка.
Этот ответ можно выразить в процентах: 0,0375 = 3,75 %.
Значит, масса электромотора составляет 3,75% массы
станка.
132
Что называют отношением двух чисел?
Что показывает отношение двух чисел?
Как узнать» какую часть число а составляет от числа Ь?
Как узнать, сколько процентов одно число составляет от другого?
К
72В.	Найдите отношение:
а)	124 к 3; в) 12,3 к 3;
б)	6 к 20; г) 9,1 к 0,07:
д) 0,25 к 0,55;
. ЙА JA-
е> 8 13 к 13’
ж) 6^ к 8,2;
а) 1,85 к б|.
□
---------------------------------------------------------------••
Возможны разные способы использования термина отношение
в речи.
Выражение 35 : 27 можно читать:
р. □. в. п.	д. п. в. п.
—отношение числа тридцать пять к числу двадцать семь.
р. □, в. л.	в, п.
— О) ношение чисел тридцать пять и двадцать семь,
р. п.	д. п.
- отношение тридцати пяти к двадцати семи.
729.	Проволока разрезана на два куска. Первый кусок имеет длину
9 м, а второй 14,4 м. Найдите, какую часть всей проволоки со-
ставляет первый кусок; второй кусок. Какую часть длина первого
куска составляет от длины второго куска?
730.	Внутри угла АОС проведен луч ОВ так, что Z АОВ - 56’ н Z ВОС -
= 40°. Какую часть угла АОС составляет угол АОВ; угол ВОС? Вы-
полните построение этих углов с помощью транспортира.
731.	Площадь прямоугольника 22,05 дм2. Длина этого прямоугольника
10,5 дм. Найдите отношение длины прямоугольники к его шири-
не. Что показывает это отношение? Запишите отношение, обрат-
ное полученному отношению. Что будет показывать это отноше-
ние?
732.	Отношение а к b равно 4. Найдите обратное отношение. Чему бу-
дет равно отношение /п к л, если отношение п к m равно 1,25?
733* Сплав из свипца и олова содержит 1,52 кг свинца и 0,76 кг оло-
ва. В каком отношении взяты свинец и олово? Какую часть сплава
(по массе) составляет олово и какую часть — свинец?
113
734.	Какую часть урока заняла самостоятельная работа» которая дли-
лась 20 мин» если продолжительность урока 45 мин?
735.	В классе 36 учащихся. Из них 15 мальчиков, а остальные — де-
вочки. Какую часть учащихся составляют мальчики, а какую —
девочки? Чему равно отношение числа девочек к числу мальчиков
и что оно показывает?
736.	Между двумя городами построили дорогу. Первый город построил
-=• дороги, второй — остальную часть, Во сколько раз часть доро-
ги, построенная первым городом, больше, чем часть дороги, по-
строенная вторым?
737.	Расстояние от села до города автомашина прошла за 3 ч. В первый
час она прошла четверть всего расстояния, во второй час — треть
всего расстояния. Во сколько раз расстояние, пройденное в третий
час, больше расстояния, пройденного во второй час? Какую часть
расстояние, пройденное в первый чае, составляет от расстояния,
пройденного в третий час?
738.	Молоко разлили в три бидона, В первый налили 0,1 всего молока,
во второй — 0,3 всего молока, а в третий — 0,6 всего молока. Что
показывает отношение:
а)	0.1 к 0,3;
б)	0.1 к 0.6;
в) 0,3 к 0,6;
г) (0,3 + 0,1) к 0.6?
739.	В классе 40 учащихся, из них 8 учащихся учатся на *5*. Сколько
процентов учащихся класса составляют отличники?
740.	Из 250 семян погибли 10. Найдите, сколько процентов семян
взошло (процент всхожести).
741.	После установки нового оборудования завод за смену вместо
240 холодильников стал выпускать 300 холодильников. Па сколь-
ко процентов увеличилось производство холодильников за смену?
742.	По коэффициенту трудового участия (КТУ) заработок между тре-
мя рабочими распределили следующим образом: первому 40%
всех денег, второму — 35% всех денег, а третьему — остальные
25%, Определите, округлив результаты до десятых, сколько про-
центов составляли деньги, полученные:
а)	первым рабочим, от денег, полученных двумя другими;
б)	вторым рабочим, от денег, полученных двумя другими;
в)	первым рабочим, от денег, полученных вторым;
г)	вторым рабочим, от денег, полученных первым;
д)	третьим рабочим, от денег, полученных первым,
134
743* Имеющиеся деньги брат и сестра распределили так, что сестра по-
лучила в 3 раза больше, чем брат. Определите:
а)	какую часть денег получила сестра и какую — брат;
б)	сколько процентов всех денег получила сестра и сколько —
брат;
в)	какую часть деньги брата составляют от денег сестры,
744. Известно, что сумма углов любого треугольника равна 180 . В тре-
угольнике АВС найдите Z А, если:
a)	Z В = 75° t Z С = 80”;
б)	Z А больше / R на 20'' и меньше / С на 10°;
в)	Z В составляет а / С составляет суммы всех углов тре-
угольника;
5
г)	Z А составляет - Z В и Z С - 70.
745, Что показывает отношение: а) пути, пройденного автомашиной,
ко времени её движения; б) числа деталей, изготовленных стап-
ком-автоматом, ко времени его работы; в) стоимости купленных
яблок к их массе; г) объёма прямоугольного параллелепипеда к
площади ого основания?
746. Найдите, сколько процентов число 9,729 составляет от числа 84,6.
С помощью Микрокалькулятора для этого можно выполнить вы-
числение по программе 9,729
С помощью микрокалькулятора:
а)	найдите, сколько процентов составляет 0,0912 от 36,48 и 13,524
от 16,8;
б)	решите задачу: *Из 327 га вспахано 225 га. Сколько процентов
земли вспахано? Сколько процентов земли осталось вспахать?»
Ответ округлите до десятых долей процента.
747. Вычислите устно:
а) 16  10	б)800 : 25	в) 7 ; 5	г) 0,5 • 20
+ 190	- 30	- 0,2	+ 1,8
- 200	- 510	’ 6	: 4,1
: 5	: ю	+ 3,8	+ 5,2
	>7		-_2		; 5	: 1,2
?	7	?	?
135
749. На сколько надо увеличить .знаменатель дроби	что-
1 ы J.	*5 dj J
бы ЦОЛУЧИТЬ дробь —?
4
750. Выразите ь процентах числа:
0,2; 0.15; 1; |;	±;1;3.
751. Половина от половины числа равна половине. Найдите это число.
Ж
752.	Кто быстрее? Найдите в таблице последовательно все числа от 26
до 50:
42	47	34	29	43
50	28	39	48	35
40	33	36	20	30
49	44	31	38	46
32	37	45	41	27
37	30	47	46	44
42	33	27	36	39
34	48	50	31	43
28	41	38	49	26
45	32	29	40	35
753.	Найдите значение выражения:
1 5	л < г	+ 1|. ч	1»а 5.6,
V*? а) 7	0,4.	в) ,	д) ,
••
б)	У : 0.7; I ) ——-j-:	с)
I “
754.	На подкормку овощей и фруктовых деревьев израсходовано g из
имевшихся 18 ц удобрений. На подкормку овощей пошло у из-
расходованных удобрений. Сколько центнеров удобрений израсхо-
довано па подкормку овощей?
136
755* На окраску окон и дверей было истрачено 3,2 кг белил, что со-
ставляет " всех белил, истраченных на ремонт. А на ремонт было
истрачено 4 всех купленных белил. Сколько килограммов белил
было куплено?
/£* 75Б. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если:
1)	его ширина 2,5 см и составляет — высоты, в длина в 3,4 раза
больше высоты;
2)	его высота 3,5 см и составляет 0,7 ширины, а длина в 2,4 раза
больше ширины.
Д 757. Двое мальчиков бросали баскетбольный мяч в корзину. Один
мальчик сделал 20 бросков и попал в корзину 13 раз, а другой
сделал 26 бросков и попал в корзину 15 раз. Найдите для каждого
мальчика, какую часть составляли попадания от числа бросков.
Чей результат лучше?
758.	Крутизной лестницы называют отношение высоты ступеньки к ее
глубине. Чему равна крутизна лестницы, сели высота ступеньки
18 гм, я глубина 30 см?
759.	Автобус в первый час прошёл 30 км, во второй — 24 км, а в тре-
тий — 42 км. Какую часть всего пути прошёл автобус в каждый
час? Какую часть пути, оставшуюся после первого часа движения,
прошёл автобус во второй час и какую — в третий час?
760.	Для варенья на 3,5 кг ягод было взято 4,2 кг сахарного пес-
ка. В каком отношении ио массе были взяты ягоды и сахарный
песок?
761,	В сосуд налили 240 г воды и положили 10 г соли. Найдите про-
центное содержание соли в растворе. Через некоторое время 50 г
воды испарилось. Каким стало процентное содержание соли в рас-
творе?
762.	Комбайнер намолотил 76 т зерна, превысив задание на 12 т.
Ня сколько процентов комбайнер перевыполнил задание?
763.	Ия складе были пшеница, овёс и кукуруза, причем пшеница со-
ставляла 64%, овёс — 16% всего количества зерна. В товарный
состав загрузили всю пшеницу и всю кукурузу. Какой процент
погруженного зерна составляла пшеница? Какой Процент погру-
женного зерна составляла бы пшеница, если бы вместо кукурузы
погрузили овёс?
117
764. Длина прямоугольника а см, а ширина b см. Длина другого пря-
моу1ч>льника m см, а ширина л см. Найдите отношение площади
первого прямоугольника к площади второго. Найдите значение
получившегося выражения, если:
а) о = 9, h = 2, m = 8, л = 3;
б) я -• 6,4, Ъ - 0,2, m - 3,2, п - 0,5.
765. Найдите значение выражения:
(2,3 + 5.8} - з|
1	1
(4,9 - 2.3) : |
0,21 1,25.
18,6 - 11,1*
I : Й + *» °-8
б) —i--
14 - *W
Зп
2,781	7,825
2,06	3.13
21. Пропорции
Отношения 3,6 : 1,2 и 6,3 ; 2,1 равны, так как значения
частных равны 3. Поэтому можно записать равенство
ях / 7 - Z ч г/ 3'6	6,3
3,6 /,2-6.3 2, /. л/й ~ - —
Пропорция	Равенство двух отношений называют пропорцией.
С помощью букв пропорцию записывают так: а : b -
- с : d или -г - 77. Эти записи читают так: «Отношение
п а
а к b равно отношению с к t/» или «а так относится к как
с относится к d».
Крайние
члены
пропорции
Средние члены
пропорции
В пропорции
— = —, км а : Ь — с : d,
Числа and мыы&иФгй к^Оихилш, а числа
Ь и с —	члеиалш	.
13В
а : b = с .• d
1____________________________f
В дальнейшем будем считать, что все члены пропорции
отличны от нуля: а * 0, h * 0, с * О, d * О,
_	3 6	6,3
В пропорции yz- - *о7 найдем про-
изведение её крайних и произведение её
средних членов. Получим 3,6  2,1 — 7,56;
1,2 * 6,3 = 7,56. Значит, 3,6 * 2,1 =
- 1,2 - 6.3.
В верной пропорции произведение крайних членов
равно произведению средних.
ОсНОвНМ*
свойство
пропорции
Верно и обратное утверждение:
если произведение крайних членов равно произ-
ведению средних членов пропорции, то пропорция
верна.
Это свойство называют основным свойством про-
порции.
Пропорция 20 : 16 - 5 : 4 верна, так как 20  4 - 16 - 5 -
- 80.
Поменяем местами в этой пропорции средние члены.
Получим новую пропорцию: 20 ; 5 - 16 : 4. Она тоже вер-
на, так как при такой перестановке произведение крайних
и произведение средних членов не изменилось. Эти произ-
ведения не изменятся, если в пропорции 20 : 5 = 16 : 4 по-
менять местами крайние члены.
Если в верной пропорции поменять местами средние
члены или крайние члены, то получившиеся новые пропор-
ции тоже верны.
Используя основное свойство пропорции, можно найти
её неизвестный член, если все остальные члены известны.
Пример 1, Найдём в пропорции 0,5 ; a - 2 : 13 неиз-
нес>ный средний член а.
Решение. Используя основное свойство пропорции,
получим а * 2 = 0,5 • 13. Отсюда и =	13; а = 3,25.
139
8 75 г
Пример 2. Решим уравнение - у^.
Решение. Используя основное свойство пропорции,
получим 875 • 0,75 = Зт • х. Отсюда х =	Пред-
34
о	4
ставим 3- в виде десятичной дроби 3,75 и сократим выра-
жение на 0,75, имеем х = х = 1,75.
О
Что такое пропорция?
Как называются числа х и у в пропорции х : о = 6 : у"!
Как называются числа гп н л в пропорции « ; т = л : Ь?
Сформулируйте основное свойство пропорции.
Какие перестановки членов пропорции снова приводят к верным
пропорциям?
Останется ли пропорция верной, если поменять местами какой-ни-
будь средний её член с одним из крайних? Приведите пример.
Останется ли пропорция верной, если оба средних члена поменять
местами с крайними членами? Проверьте ваш ответ на пропорции
3 : 4- »: 12,
766.	Запишите пропорцию:
а)	5 так относится к 3, как 2 относится к 1,2;
I	2
б)	0,9 так относится к как 45 относится к 16-^;
2
в)	отношение у к 0,1 равно отношению 14 к 4,9,
Проверьте полученные пропорции, определяя отношения чисел.
767.	Из каких отношений 0,6 : 5; 4,2 : 7; у : 6,25 можно составить
верную пропорцию?
768.	Прочитайте пропорции и проверьте, верные ли они, используя ос-
новное свойство пропорции:
1	1	0,35	0,106.
а)	4- :	=	: 26; г} О б -	>	J' * *5
,, ,, - к „1 я 1. х 18	30	fp. е — в » ал
б)	3 : 7,5 - 2^ : by	д) -у - -у;	/в д J дс/
1	15	2,?
в)	2у : 9 = 1 : 39;	е) j g = ofO9'
140
769.	Решите уравнение:
а) у : 51,6 - 11,2 : 34,4:	е) у : з| -	: 2-J-;
*> £» '1
67,8 _ 7,62. б) о “ 6,35’	ж) |х : <5 = 16 : 0,8; Ju
„ .	25	1	20 В> * = Т " 7 : 21’	3) 0,2 : (X 2) - | : 2|;
г) 51 : 31 = 5 - : х; и	£	-I	и) 2f : 0,24 = 1£ : (х + 0,06). <Э
„х 12,3 7х .
л) ~ - 12’
770.	Переставив средние или крайние члены пропорции, составьте три
новые верные пропорции ив пропорции:
а) 5:15 = 4: 12; б) 0 2 = 0,5’	•> Т Г
771.	Используя верное равенство 4 • 9 — 0.2 • 1Я0, составьте четыре вер-
ные пропорции,
772.	Вычислите устно:
а)15 - 10	б) 900 : 15	в) 1 - 4	г) 1,4 + 3,6
+ 350	’ 9	- 0,1	: 0,25
: 25	+ 260	• 6	 0,14
- 20	: 16	: 4,5	- 2,7
- 150	- 20	+ 0,38	’ 7,3
9 »•	*> «	9 г	•> ч
773.	Какой знак действия надо подставить вместо *, чтобы получилось
верное равенство:
a)R*i7 = l; в)у*т = г
б)	2 * 11 = |; г) 0.3 * | = 1?
774.	Найдите отношение величин:
а)	1.5 м и 30 см;	в) 1 ч и 15 мин;
б)	1 кг и 250 г;	г) 50 cmj и 1 дм*.
5	3
77S.	— числа равны р? этого числа. Какое это число?
J	it
776.	Какое число надо прибавить к числителю и знаменателю дроби
7	3
яг. чтобы получить дробь '-'f
£ I	•
777.	Какие из фигур (рис. 33) являются развёртками:
а)	четырёхугольной призмы;
б)	треугольной призмы;
в)	треугольной пирамиды?
778.	Из ружья сделано 50 выстрелов, при атом 5 пуль пролетели мимо
цели. Определите процент попаданий.
779.	Угол А равен 30п, а угол В равен 50 . Какую часть от угла В со-
ставляет угол А? Во сколько раз угол В больше угля А?
780.	Бригаде было дано задание собрать 280 ц винограда. Она собрала
350 ц. Ия сколько процентов бригада перевыполнила задание? Па
сколько процентов бригада выполнила задание?
781.	В парке посадили клёны и дубы, причём на каждые 4 клёна при-
ходится один дуб- Сколько процентов от всех посаженных дере-
вьев составляют клёны? Сколько всего посадили деревьев в парке,
если кленов посадили 480?
Д 782. Верня ли пропорция:
а)	2,04 : 0,6 - 2,72 : 0,8; б) 0,0112 : 0,28 - 0,204 : 0,51?
783. Решите уравнение:
в)1/: 1-31:11;
б)	8| m - з| • 1^;	г)г:£ -з1:1.
784- Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди, Каково процентное содер-
жание меди в руде?
142
785.	Через 2 ч после выхода со станции А тепловоз увеличил скорость
на 12 км/ч и через 5 ч после начала движения прибыл ы пункт на-
значения й. Какова была скорость тепловоза в начале пути, если
расстояние от А до В равно 261 км?
2
786.	Если к - неизвестного числа прибавить 0,8, то получится 1,2.
Найдите неизвестное число.
787.	Выполните действия:
а)	(3,2 : 4 + 4| : 3,2) • 4,8;
б)	(385,7 : 0,19 - 30) 0,2 - (35,7 ‘ 3,29 + 2,547).
22. Прямая и обратная пропорциональные
зависимости
-------------•----------------------------------------------------
Прямо
пропорции
нальная
зависимость
Если станок с числовым программным управлением за
2 ч изготовляет 28 деталей, то за вдвое большее время,
т. е. за 4 ч, он изготовит вдвое больше таких деталей, т. е.
28  2 = 56 деталей. Во сколько раз больше времени будет
работать станок, во столько раз больше деталей он изгото-
вит. Значит, равны отношения 4 : 2 и 56 ; 28. Следователь-
но, верна пропорция 4 : 2 - 56 ; 28. Такие величины, как
время работы станка и число изготовленных деталей, назы-
вают прямо пропорциональными величинами.
Две величины называют прямо пропорциональны-
ми, если при увеличении (уменьшении) одной из них в
несколько раз другая увеличиваемся (уменьшается) во
столько же раз.
Если две величины прямо пропорциональны, го отноше-
ния соответствующих значений этих величин равны.
Пусть путь из города А в город В поезд со скоростью
40 км/ч проходит за 12 ч. Если скорость движения увели-
чить вдвое, т. е. сделать её равной 80 км/ч, то на этот же
путь поезд затратит вдвое меньше времени, т. е. 6 ч. Во
сколько раз увеличится скорость движения, ео столько же
раз уменьшится время движения. В этом случае отношение
80 ; 40 будет равно не отношению 6 : 12, а обратному от-
ношению 12:6. Следовательно, верна пропорция 80 : 40 -
- 12 : 6. Такие величины, как скорость и время, называют
обратно пропорциональными величинами.
143
Обратно
пропорцио-
нальная
зависимость
Две величины называют обратно пропорциональны-
ми, если при увеличении (уменьшении) одной из них в
несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во
столько же раз.
Если величины обратно пропорциональны, то отноше-
ние значений одной величины равно обратному отношению
соогвегстующих значений друюй величины.
Не всякие две величины являются прямо пропорцио-
нальными или обратно пропорциональными. Например,
рост ребенка увеличивается при увеличении ею возраста,
но эти величины не являются пропорциональными, так как
при удвоении возраста рост ребёнка нс удваивается.
Задачи на пропорциональные величины можно решить с
помощью пропорции.
Задача 1. За 3,2 кг товара заплатили 115,2 р. Сколько
следует заплатить за 1,5 кг этого товара?
Решение. Запишем кратко условие задачи в ниде та-
блицы, обозначив буквой х стоимость (в рублях) 1,5 кг этого
товара.
Запись будет иметь еле дующий ниц.
I покупка
II покупка
Количество
товара
3,2 кг
1.5 кг
Стоимость
товара
115,2 р.
X р.
Зависимость между количеством товара и стоимостью
покупки прямо пропорциональна, так как если купить това-
ра в несколько раз больше, то и стоимость покупки увели-
чится во столько же раз. Условно обозначим такую зависи-
мость одинаково направленными стрелками.
3 2	115 2
Запишем пропорцию:	=	' .
Теперь найдем неизвестный член пропорции:
Ответ: 54 р.
Задача 2. Два прямоугольника имеют одинаковую пло-
щадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м.
Длина второго прямоугольника 4.8 м. Найдите ширину вто-
рого прямоугольника.
Решение. Обозначив буквой х ширину (в метрах) вто-
рого прямоугольника, запишем кратко условие задачи:
Длина
I прямоугольник
II прямоугольник
3,6 м
4,8 м
Ширина
2,4 м
X м
Зависимость между шириной и длиной при одном и том
же значении площади прямоугольника обратно пропорцио-
нальная. так как если увеличить длину прямоугольника в не-
сколько раз, то надо ширину во столько же раз уменьшить.
Условно обозначим такую зависимость противоположно на-
правленными стрелками.
Запишем пропорцию.
3,6 х
4,8	2,4'
Теперь найдём неизвестный член пропорции;
Ответ: 1,8 м.
Какие величины называют прямо пропорциональными? Что мож-
но сказать об отношениях соответствующих значений таких вели-
чин?
Приведите примеры прямо пропорциональных величин.
Какие величины называют обратно пропорциональными? Что
можно сказать об отношениях соответствующих значений таких
величин?
Приведите примеры обратно пропорциональных величин.
Приведите примеры величин, у которых зависимость не является
нм прямо, ии обратно пропорциональной.
J/? 788. Определите, является ли прямо пропорциональной, обратно про-
порциональной или не является пропорциональной зависимость
I	между величинами; а) путём, пройденным автомашиной с постоян-
ной скоростью, и временем её движения; б) стоимостью товара, ку-
пленного по одной цене, и его количеством; в) площадью квадрата
и длиной его стороны; г) массой стального бруска и его объёмом;
145
д) числом рабочих» выполняющих с одинаковой производитель*
костью труда некоторую работу, и временем выполнения этой
работы; е) стоимостью товара и его количеством, купленным на
определённую сумму денег; ж) возрастом человека и размером его
обуви; з) объёмом куба и длиной его ребра; и) периметром квадра-
та и длиной его стороны; к) дробью и её знаменателем, если чис"
лите ль не изменяется; л) дробью и её числителем, если знамена-
тель не изменяется.
Задачи № 789 800 решите, составив пропорцию.
789.	Стальной шарик объёмом 6 сма имеет массу 46,8 г. Какова масса
шарика из той же стали, если его объём 2,5 см'?
790.	Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько мас-
ла получится из 7 кг хлопкового семени?
791.	Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку
за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту пло-
щадку?
792.	Для перевозки груза потребовалось 21 машины грузоподъёмно-
стью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъёмностью 4,5 т, что*
бы перевезти тот же груз?
793.	Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 200 посе-
янных горошин взошло 170, Какой процент горошин дал всходы
(процент всхожести)?
794.	Весной при проведении работ по озеленению города на улице по-
садили липы. Принялось 95% всех посаженных лии. Сколько по-
садили .тип, если принялось 57 лип?
795,	В лыжной секции занимаются 80 учащихся. Среди них 32 девоч-
ки. Какой процент участников секции составляют девочки и ка-
кай — мальчики?
796.	Завод должен был за месяц па плану выплавить 980 т стали. По
план выполнили на 115%, Сколько тонн стали выплавил завод?
797.	3а 8 месяцев рабочий выполнил 96% годового плана. Сколько
процентов годового плана выполнит рабочий за 12 месяцев, если
будет работать с той же производительностью?
798.	За три дня было убрано 16,5% всей свёклы. Сколько потребует-
ся дней, чтобы убрать 60,5% всей свёклы, если работать с той же
производительностью?
799.	В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей.
Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа?
146
800. Для приготовления борща на каждые 100 г мяса надо взять 60 г
свеклы. Сколько свёклы надо взять ня 650 г мяса?
ГТ 801. Вычислите устно:			
а) 800 : 16	б) 309 + 541		в) 5 - 3,4	г) 2,5 + 3,5
’ 7	- 4360	- 4	: 1,5
- 80	: 70	+ 2,7	• 0,125
: 30	‘ 30	: 13	+ 4
‘ 15	: 21	0,03	: 0,03
?	•г	?	9
Р8О2. Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 каждую из
, м 5	8	9	4	18
следующих дробен: —, —,	.
803.	Из чисел 3, 7, 9 и 21 составьте две верные пропорции.
804.	Средние члены пропорции 6 и 10. Какими могут быть крайние
члены? Приведите примеры.
805.	При каком значении х верна пропорция:
х ®.	m * r- * Зх, х 3,	. х 7,
I ’> 4	" 7’	6) 4	- 9’	в) в	- 18’	г) 7 “ 5’	Д) 7	" 7?
► 806. Найдите отноптение:
а)	2 мин к 10 с;	в) 0,1 кг к 0,1 г;	д) 3 дма к 0,6 м3.
б)	0,3 mj кОД дм2;	г) 4 ч к 1 сут;
807. Где на координатном луче должно быть расположено число с, что-
бы была верна пропорция j (рис. 34)?
О a	b	d
I-------I-----------------1-------1--------1--------1--------------
Рис. 34
808. Развивайте свою память! Закрой-
те таблицу листом бумаги. Па не-
сколько секунд откройте первую
строку и затем, вновь закрыв её,
постарайтесь повторить или запи-
сать три числа этой строки. Если
вы верно воспроизвели все чис-
ла, переходите ко второй стро-
ке таблицы. Если в какой-либо
строке допущена ошибка, сами
35 71 26
42 17 69 38
53	20	74	16	41
19	46	81	23	52	37
23	30	77	14	91	28	65
64 33	59	25	71	46	84	12
147
напишите несколько наборов из такого же, как в строке, количе-
ства двузначных чисел и тренируйтесь в их запоминании. Если вы
можете без ошибок воспроизвести не менее пяти двухзначных чи-
сел, у вас хорошая память.
809. Решите уравнение:
а)	4.5 1 (Зх) = 4 : 28;
б)	(2х) : 9 = 2| : б|;
в) 1,25 : 0,4 = 1,35 : (0,Зх);
г)Ц :1 = (2х): i
810.	Можно ли составить верную пропорцию из следующих чисел:
а) 15; 14; 8 и 75; б) 1|; 1 ^?
811.	Из равенства произведений 3 • 24 = 8 • 9 составьте три верные про-
порции.
812.	Длина отрезка АН равна 8 дм, а длина отрезка CD равна 2 см.
Найдите отношение длин отрезков АВ и CD. Какую часть длины
отрезка АВ составляет длина отрезка CD'i
813.	В санатории 460 отдыхающих, из которых 70% взрослые, а
остальные — дети. Сколько детей отдыхало в санатории?
814.	Найдите значение дробного выражения:
_1 .,1 1
а) 38 " 12	3.
7,3 - 0,4 8,5*
12 _0,8 -1,8
6> 2± + 2Х _ 1
12	15	4
 — .
815.	Решите задачу:
1)	При обработке детали из отливки массой 40 кг в отходы ушло
3,2 кг. Какой процент составляет масса детали от массы от*
ливки?
2)	При сортировке зерна из 1750 кг в отходы ушло 105 кг. Какой
процент зерна остался?
816.	Найдите значение выражения:
1)	6,0008 : 2,6 + 4,23 • 0,4;
2)	2,91 4,2 + 12,6288 : 3,6,
Д817. Из 20 кг яблок получается 16 кг яблочного пюре. Сколько яблоч-
пого пюре получится из 45 кг яблок?
818.	Трос маляров могут закончить работу за 5 дней. Для ускорения
работы добавили ещё двух маляров. Зя какое время они закончат
работу, если все маляры работают с одинаковой производительно-
стью?
148
819.	Бетонная плита объемом 2,5 м3 имеет массу 4,75 т. Каков объём
плиты из такого же бетона, если её масса 6,65 т?
820.	В сахарной свекле содержится 18.5% сахара. Сколько сахара со-
держится н 38,5 т сахарной свёклы? Ответ округлите до десятых
долей тонны,
821.	В семенах подсолнечника нового сорта содержится 49,5% масла.
Сколько килограммов таких семян надо взять, чтобы в них содер*
жалось 29.7 кг масла?
822.	В 80 кг картофеля содержится 14 кг крахмала. Найдите процент-
ное содержание крахмала в таком картофеле.
823.	В семенах льпа содержится 47% масла. Сколько масла содержит-
ся в 80 кг семян льна?
824.	Рис содержит 75% крахмала, а ячмень — 60%. Сколько надо
взять ячменя, чтобы в нём содержалось столько же крахмала,
сколько его содержится в 5 кг риса?
825.	Найдите значение ныражения:
а)	203,81 : (141 - 136,42) + 38,1 : 0,75;
б)	96 : 7,5 + 288,51 : (80 - 76,74).
23. Масштаб
Участки земной поверхно-
сти изображают на бумаге в
уменьшенном виде. Например,
отрезок 10QQ м изображают на
карте (рис. 35) отрезком в 1 см.
Так как 1000 м - 100000 см,
то каждый отрезок на карте в
100000 раз меньше соответ-
ствующего отрезка на местно-
сти.
Л. f : ЮОООО
Рис. 35
Масштаб
Отношение длины отрезка на карте к длине соответ-
ствующего отрезка на местности называют масштабом
карты.
149
В рассмотренном нами примере масштаб карты равен
1:100000 - 10QQOQ' Говорят, что карта сделана в масштабе
одна стотысячная,
Задача 1. Длина отрезка на карте 3 см. Найдём длину
соответствующего отрезка на местности, если масштаб кар-
ты 1 : 1000 000.
Решение. Обозначим длину отрезка на местности
(в сантиметрах) буквой х и найдём отношение длины отрез-
ка на карте к длине отрезка на местности: 3:х, которое и
будет равно масштабу карты.
Значит, 3 : х — 1 : 1 000000.
Решив уравнение, получим х = 3 • 1 000000 = 3000000.
Но 3000000 см = 30 000 м = 30 км.
О тает; длина отрезка на местности 30 км
Задача 2. Длина отрезка на местности 4,5 км. Чему
равна длина этого оiрезка на карте, сделанной в масштабе
1 : 100000?
Решение. Обозначим длину {в километрах) отрезка на
карте буквой х и составим пропорцию: х : 4,5 = 1 : 100000.
Решив уравнение, получим х = 4,5 : 100000 = 0.000045.
Но 0,000045 км = 0,045 м = 4,5 см.
Огаег длина отрезка на карте 4Г5 см.
Чти называют масштабом карты?
Чему ранен масштаб чертежа, если на нём детали увеличены в
5 раз? уменьшены в 50 раз?
М 826. Определите по карте (рис. 36) расстоя-
ние от опушки леса (точка Д) до точки
пересечения дороги с рекой. Масштаб
карты 1 : 100 000.
827.	Расстояние между городами А и В на
карте равно 8,5 см. Найдите расстоя-
ние между городами на местности, если
масштаб карты Гоо‘ ом,.
828.	Длина железной дороги Москва —
Санкт-Петербург приближённо равна
650 км. Изобразите отрезком эту доро-
гу, применив масштаб 1 : 10 000 000.
Л 7/00000
Рис. 36
150
829.	Расстояние от Бреста до Владивостока более 10 000 км. Уместится
ли ны одной странице тетради это расстояние в масштабе одна де-
сятимил л ио иная?
830.	На рисунке 37 дан план квартиры а
масштабе 1 : 100. Определите по пла-
ну, какие размеры имеют кухня, ван-
ная и комнаты и какова их площадь а
лействител ыгости.
831.	Отрезку па карте, длила которого
3,6 см, соответствует расстояние ня
местности в 72 км. Каково расстояние
между городами, если па этой карте
расстояние между ними 12,6 см?
832.	Длина железнодорожной магистрали
31 *10 км. Какой длины получится ли-
ния, изображающая эту магистраль па
карте, сделанной в масштабе:
а) 1 : 10 000 000; б) 1 : 2 000 000?
833.	Отрезок ня местности длиной 3 км изо-
бражён на карте отрезком 6 см. Какова
па карте длина отрезка, изображающего отрезок 10 км? Какой от-
резок на местности изображает отрезок на карте длиной 1,8 см?
834.	Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1 : 5, равна
7,2 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже.
сделанном в масштабе 1 : 3? в масштабе 2 : 1?
р 835. Вычислите устно:			
а) 370 + 230	б)	720 : 18	в) 7,2 : 2,4	г) 6 - 4,5
: 50	+ 280	- 0,6	• 0,4
- 30	: 16	: 0,12	: 0,12
+ 340	’ 50	• 0,125	' 7
	; 14	; 125	+ 7,5	+ 0,8
	9 i	9 	9 1
31
836.	Какое число пади отпять от числителя и знаменателя дроби —,
а	й	б9
чтобы подушить дробь, равную g ’
837.	Составьте три пропорции, используя верное равенство:
а)	18 ; 2 - 54 : 6;	в) 2,8  45 - 6,3 ’ 20;
б)	4,5 : 1,5 = 1,26 : 0.42; г> 3,9 0,14 = 0,6 • 0,91.
838.	Две трети от двух третьих числа равны двум третьим. Какое это
ЧИСЛО?
839.	Сколько гектаров в 1 м2? Сколько часов в 1 е? Сколько литров в
1 см7?
840.	Известно, что объем пирамиды в 3 раза меньше объема призмы
такой же высоты и с таким же основанием (рис. 38). Вычислите
объем четырёхугольной пирамиды, в основании которой прямо-
2	g
угольник со сторонами дм и дм, а высота равна 5 дм.
J	1
Рас. 38
841.	Чтобы приготовить 1 порции картофельной запеканки, нужно
взять 0,44 кг картофеля. Сколько картофеля потребуется, чтобы
приготовить 12 порций запеканки?
842.	Некоторое* расстояние листочка пролетела за 0,5 ч со скоростью
50 км/ч. За сколько минут пролетит то же расстояние стриж, если
будет лететь со скоростью 100 км/ч?
843.	Начертите окружность и постройте два сё радиуса, угол между ко-
торыми 120°. Закрасьте часть круга между этими радиусами. Ка-
кая часть круга окажется закрашенной и какая часть круга оста-
нется незакрашенной?
844.	Решите задачу:
1)	Сумма двух чисел 7,2, причём 1 большего числа равна меньше-
му числу. Найдите эти числа.
2)	Разность двух чисел 1,5, причем -у большего числа равна мень-
шему числу. Пнидите эти числа.
845.	Решите уравнение:
Г	3- г 2П 1S
ц _LL _ JL; 2) -1* - —.
1	1.5	U г
7	5
152
jj 846. Найдите с помощью карты расстояние от Москвы до Киева.
* ’’ 847. Измерьте длину и ширину своей комнаты. Начертите в тетради
план этой комнаты в масштабе 1 : 100.
848.	Расстояние на местности в 20 м изображено на плане отрезком
1 см. Определите масштаб плана.
849.	Длина дома на плане 25 см. Чему равна длина дома на местности,
если план сделан в масштабе 1 : 300?
850.	Расстояние между городами равно 1300 км. Каким отрезком
будет изображено это расстояние на карте, масштаб которой
1 : 10 000 000?
851.	Дд ина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1 : 3, равна
2,4 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже,
сделанном в масштабе 2:1?
852.	Найдите значение выражения:
а)
12
2—
22
62
б)
8:2|
24. Длина окружности и площадь круга
Возьмём круглый стакан, поставим на лист бумаги и об-
ведем ею карандашом. На бумаге получи юн окружность.
Если «опоясать* стакан ниткой, а потом распрямить её, то
длина нитки будет приближённо равна длине нарисованной
окружности (рис. 39).
Рис. 39
153
Длина окружности прямо пропорциональна длине её
диаметра.
Формул ы
Ялины
окружности
Форм ул a
площади круга
Поэтому для всех окружное «ей oi ношение длины окруж-
ности к длине её диаметра является одним и тем же чис-
лом Его обозначают греческой буквой к (читается- «пи»).
Если обозначить длину окружности буквой С, а длину диа-
метра буквой d, то С : d - л. Поэтому С = W
Так как диаметр окружности вдвое больше ее радиуса,
то длина окружности с радиусом г равна 2яг
Получили другую формулу длины окружности:
С = 2хг
Подсчёты показали, что с точностью до десятитысячных
л « 3,1416. Если значение округлить до сотых, то получим
значение 3,14. Примерно такую же точность даёт значение
Числи п (ли)
старших классах будет рассказано, как проводи-
лись такие подсчёты.
На рисунке 40 изображены кру< и два ква-
драта ABCD и EFKM Радиус круга равен г»
поэтому длина стороны квадрата AjBC/J равна
2г, а его площадь 4г2.
Площадь треугольника EOF вдвое мень-
ше площади квадрата AEOF, поэтому пло-
щадь EFKM вдвое меньше площади квадрата
ABCD, т. е. равна 2г2. Площадь круга S боль-
ше площади квадрата EF7GW, но меньше пло-
щади квадрата 4 BCD:
2г* < S < 4Л
примерно площадь круга равна Зг2 Можно
доказать, что
= Яг* .
Напишите формулы для нахождения длины окружности по длине
©её дня метра н по длине её радиуса.
Пропорциональна ли длина окружности длине её радиуса?
Напишите формулу и лошади круга.
Пропорциональна ли площадь круга длине его радиуса?
154
853.	Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см; 4,7 дм;
18,5 м. Число П округлите до сотых.
Формулы длины окружности и площади круга читаются так:
С - nd цэ равно пи дэ;
С = 2пг — цэ равно двум ни эр;
S = иг* — эс равно пи эр квадрат.
Выражение я * 3,14 читают:
«Пи приближённо равно трём целым четырнадцати сотым».
854.	Чему равна длина окружности, если её радиус равен 1,54 м;
5,67 дм? Значение числа л возьмите равным 44
855.	Диаметр долгоиграющей пластинки равен 50 см. Найдите длину
окружности этой пластинки. Число к округлите до десятых.
856.	Выполните необходимые измерения и найдите длину половины
окружности, изображенной на рисунке 41,
857.	Определите диаметр окружности, если её длина равна 56,52 дм;
37,68 см (к 3,14).
858.	Колесо на расстоянии 380 м сделало 150 оборотов. Найдите диа-
метр колеса. Результат округлите до сотых метра (л = 3,14).
859.	Измерьте радиус и вычислите площадь каждого круга па рисун-
ке 42.
860.	Окружность арены во всех цирках мира имеет длину 40,8 м. Най-
дите диаметр и площадь арены (it ~ 3).
881. Диаметр циферблата кремлевских курантов 6,12 м, длина минут-
ной стрелки 2,54 м. Найдите площадь циферблата. Какой путь
проходит конец минутной стрелки курантов за час? Ответы округ-
лите до сотых долей метра.
155
862.	Выполните измерения и вычислите площадь каждой заштрихо-
ванной фигуры ны рисунке 43.
863.	По рисунку 44 найдите площадь пятиугольника Q.4J3CD. Сравните
ее с площадью четверти круга, радиус OD которого равен 5 см.
I 864. Вычислите устно;			
а) 500 + 310	б) 910	: 13	в) 6,8 + 2,2	г) 5 - З.б
: 90	• 8	: 6	 4
• 60	- 80	+ 8	: 14
- 120	:	160	- 0,2	: 0,02
: 14		;	350	: 1,8	4- 0,7
?	?	?	?
865.	Какой знак действия надо поставить вместо *» чтобы получилось
верное равенство:
•>W-&	в’Д41А = 0-^
6>7*Л-&	г>1|*25“Ф
866.	Некоторое число вычли из числителя и прибавили к знаменате-
лю дроби После сокращения получили дробь уу. Найдите это
Ul/	IX
ЧИСЛО.
156
867. Масштаб карты 1 : 100 000. Заполните таблицу:
Расстояние между пунктами на карте		4 см			16 мм
Расстояние между пунктами на .иестпяосгпи	1 КМ		5,5 км	800 м	
868.	Запишите масштаб карты, если отрезок на местности в 1 км изоб-
ражается на кярте отрезком 10 см.
869.	Запишите масштаб рисунка, если он изображает фигуру, увеличи-
вая её в 50 раз,
870.	Решите задачу, составив пропорцию:
1)	В 2,5 кг баранины содержится 0,4 кг белков. Сколько кило-
граммов белков содержится в 3,2 кг баранины?
2)	В 6,5 кг свинины содержится 2,6 кг жиров. Сколько жиров со-
держится в 10,5 кг такой свинины?
871. Вычислите:
5> Otf
3) (3,1)Л + 2,75;
4) 26-(2,1 р;
2а;
(tf
2) 2| ; 2г;
872. Па рисунке
45 изображён план
двухкомнатной квартиры в мас-
штабе 1 : 200. Определите по пла-
ну сумму площадей двух жилых
комнат (I и II) и площадь, которую
занимают остальные помещения
этой квартиры.
Рис. 45
873. В нашем классе 25 человек. Из них
18 человек изучают английский и
немецкий языки, 15 человек не-
мецкий и французский языки. Сколько человек изучают англий-
ский, немецкий и французский языки по отдельности?
Д874. С помагцью танкой нити измерьте длину какой-нибудь окружно-
сти (на стакане, ведре, тарелке), измерьте длину диаметра, Най-
|дитс отношение длины окружности к длине диаметра и сравните
полученный результат с числом Л,
875.	Найдите длину окружности, если её радиус равен 36 см; 0,44 см;
125 км. (Число п округлите до сотых.)
157
876.	Диаметр колеса тепловоза ра-
вен 105 см. За 1.5 мин колесо
сделало 500 оборотов. С какой
скоростью идёт тепловоз?
877.	Выполните измерения и вы-
числите площадь каждой за-
штрихованной фигуры, изо-
бражённой на рис. 46.
Рис, 46
<5
878.	Рабочий ВЫПОЛНИЛ £ работы
7
за 9 ч. За какое время он выполнит — работы, если будет рабо-
тать с той же производительностью?
879.	Ведро вмещает 6 л бензина. В такое же ведро вместо бензина нали-
то равное (по массе) количество дёгтя. Сколько литров дёгтя нали-
то в ведро, сели масса 1 л бензина 0,8 кг, а масел 1 л дёгтя 1,2 кг?
880.	Найдите неизвестный член пропорции:
. О 2	~ 4	. 1.	. < 2 4	□ 4 о 1 „
а) 3-г : х = 6-г : 1—;	в)4-г:х = 8-:2-^;
б»4 ;2| -3< -У-	г)61 :3| -31
2 5. Шар
Футбольный мяч. июбуС. арбуз
дают нам представление о шаре
Все точки поверхности шара одина-
ково удалены ci центра шара. Отре-
зок, соединяющий точку поверхности
шара с центром, называют радиу-
сом шара. Отрезок, соединяющий
две точки поверхности шара и про-
ходящий через центр шара, называ-
ют диаметром шара. Диаметр шара
равен двум радиусам. Поверхность
шара называют сферой.
Что называется радиусом шара? диаметром шара?
Что такое сфера?
158
881.	Диаметр земного шара приближённо равен 12,7 тыс. км. Сколь-
ким тысячам километров ранен радиус и длина эквытора Земли?
(Число тысяч округлите до десятых.)
882.	Один из самых больших глобусоп Земли был изготовлен в 1889 г.
для Парижской всемирной выставки. Его диаметр был 12,7 м.
В каком масштабе этот глобус изображал Землю? Какова длина
экватора и меридианов на этом глобусе?
883.	Площадь поверхности Луны приближённо равна 38 млн км', что
составляет 0,075 площади поверхности Земли. Найдите площадь
поверхности Земли. (Результат округлите до миллионов квадрат-
ных километров.)
.%► 884. Диаметр планеты Меркурий приближённо равен 5 тыс. км. Диа-
[метр планеты Венера в 2,48 раз больше, а диаметр планеты Марс
составляет диаметра Венеры. Найдите диаметры планет Вене-
ра и Марс.
Г	I 885. Вычислите устно: а) 320 + 180	б) 630 : 90 : 20	’60 • 6	+ 1Я0 80	: 15 ’ 13	’ 25	в) 3,5 1 4,5 : 10 - 0,3  17 + 2,5	г) 0,5 ’ 1,8 - 0,15 : 0,3 4- 5,5 : Кб
	9	9 «		9 г	9 а
	рь 886. Масштаб плана 1 : 1000. На плане изображён круглый бассейн. Определите диаметр бассейна и его площадь, если па плане радиус бассейна 1 см. 887. Заполните таблицу:		
Г	1				0,5				
d			3						
с		л				5 п		1	
S				л			16 л		я
888, Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 расставьте в клетки так, чтобы ра-
венства были верными:
889.	Длина окружности 1,2 м. Чему равна длина другой окружности,
у которой диаметр в 2 раза больше диаметра первой окружности?
159
890.	Ня идите площадь j круга, у котороххэ радиус 8 см. Найдите пло-
щядь второго круга, у которого радиус составляет — радиуса пер-
вого круга,
891.	Решите задачу;
1)	В двух строительных бригадах 88 человек. В первой бригаде в
2
2 д раза меньше людей, чем во второй. Сколько человек в каж-
дой бригаде?
2)	На двух животноводческих фермах работают 26 человек. На
первой ферме работают в li раза больше людей, чем на вто-
рой. Сколько человек работают на каждой ферме?
892.	Найдите значение выражения:
1	11	7	к в .
1)	— х + ттгх - — х, если х - 5тт;
I ы	OU	1 -о	L 1
1	।	3	- 4
2)	й-" + 21 S' - 35 S'’ тели S' = 1 ТТ
Д 893. Длина экватора Луны приближенно равна 10,9 тыс, км. Чему ра-
вен диаметр Лупы? (Результат округлите до сотен километров.)
894.	Длина окружности 3,5 дм. Чему равна длина второй окружности,
5
у которой диаметр составляет j диаметра первой окружности?
895.	Найдите площадь круга, у которого диаметр равен 12 см. Найди-
те площадь круга, у которого диаметр в 2 раза меньше диаметра
первого круга.
896.	Для перевозки кяр'го(|№ля выделили две автомашины. Пя первую
машину погрузили в 1,2 раза больше картофеля, чем на вторую.
Сколько тонн картофеля погрузили па каждую автомашину, если
на вторую погрузили на 0,9 т меньше, чем на первую?
897.	Найдите значение выражения:
а)	150,88 : (3,2  2,3) - 60.27 : (4,1 - 1,4);
б)	592.92 : (2,7 - 7,2) - 102,48 : (6,1 • 1,6).
160
О-----------------------------------------
Задания для самопроверки
1.	Найдите отношение 5к4.
2.	Укажите номера верных утверждений.
Отношение двух чисел может показывать:
1)	на сколько одно число больше другого числа;
2)	во сколько раз одно число больше другого числа;
3)	какую часть одно число составляет oi другого числа;
4)	разницу двух чисел.
3.	Установите соответствие между вопросом и ответом на этот во-
прос.
А. Во сколько раз прямой угол меньше развёрнутого угла?
Б. Какую часть прямого угла составляет угол 45 '?
В. Какую часть от развёрнутого угла составляет угол 120°?
Г. Во сколько раз угол 135’ больше прямого угла?
2	1
1)2	2) 3	3) 1,5	4) J
4.	Укажите верные пропорции.
а)	: 3 = 2.5 ; 5;	в) 5 : 1 = 75 ; 5;
б)	5 : 3 = 1,5 : 0.6;	0 ¥ *
5.	Укажите номера верных пропорций, полученных из пропорции
а _ д
* ч’
а х л й _ у	у _ b _ х _ У	х Ь
1)	х ь,	3) j, а,	4} а [) , о) й
S i
€. Решите пропорцию
7.	Из 2 ц семян получилось 0.4 ц масла. Сколько центнеров масла
получится из 1 т семян?
В.	Для перевозки 70 т груза потребовалось 5 машин. Сколько таких
машин потребуется для перевозки 150 т груза?
9.	На трёх станках заказ был сделан за 5 дней. Сколько потребова-
лось бы дней для выполнения заказа на 6 станках?
1О.	Для перевозки груза машине грузоподъёмностью 9 т потребова-
лось 12 рейсов. Сколько рейсов потребовалось бы машине грузо-
подъёмностью 6 т, чтобы перевезти тот же груз?
161
Слово «пропорция» (от латинского proportion означает «соразмер-
ность», «определённое соотношение частей между собой*.
Учение об отношениях н пропорциях особенно успешно развива-
лось в IV в. до п. 3. в Древней Греции, славившейся произведения-
ми искусства, архитектуры, развитыми ремёслами. С пропорциями
связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о со-
звучных аккордах в музыке. Теория отношений н пропорций была
подробно изложена в «Началах* Евклида (III в. до н. э.), там, в част-
ности. приводится и доказательство основного свойства пропорции.
Y
С глубокой древности люди пользовались различными рычагами.
Весло, лом, весы, ножницы, качели, тачка и т. д, — примеры ры-
чагов. Выигрыш, который даёт рычаг в прилагаемом усилии, опре-
Jf L
деляется пропорцией — “ Т* где М нт — массы грузов, a L и
JFl J
I — «плечи* рычага.
Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает
соблюдение определённых соотношений между размерами отдель-
ных частей растения, скульптуры, здания и является непременным
условием правильного и красивого изображения предмета.
Золоти ле сечением и лаже «божественной пропорцией* называли
математики древности н Средневековья деление отрезка, при кото-
ром длина его большей части так относится к длине всего отрезка,
как длина меньшей части к большей. Это отношение приближённо
равно 0,618 ** Золотое сечение чаще всего применяется в произ-
ведениях искусства, в архитектуре, встречается в природе.
На рисунке 17, о изображена знаменитая скульптура Аполлона
Бельведерского, разделённая в таком отношении (точка С делит от-
резок ЛГ>, точка В делит отрезок Л С).
Окружающие нас предметы также являются примерами золотого
сечения. Например, переплёты многих книг имеют отношение ши-
рины и длины, близкое к числу 0,618.
162
а	б
Рис. 47
Рассматривая расположение листьев на общем стебле растении
(рис. 47, б), можно заметить, что между каждыми двумя парами ли-
стьев (Л и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).
Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры — Парфе-
нон — построено в V в. до н. э. Отношение высоты фасада .здания к
его длине равно 0,618.
Темы проектных работ
1. Золотое сечение.
2. Симметрия е природе.

ОТВЕТЫ
§ 1, Делимость чисел
23. 1) 121 кг; 2) 15,5 т. 29. 85,8 га. 30. я) 19,16; б) 798; в) 33,16; г) 1530. 52. а) 1,2;
б) 1,3; в) 1,5; г) 1,5. 54. 1) 8; 2) 0,8. 62. а) 11; б) 1196; в) 16 552; г) 16 313.
87. 1) 127,75; 2) 16,5; 3) 2,4; 4) 6.8. 88. 2,91. 94. а) 3; 6) 0,8; в) 1,2; г) 0,2. 95. 9.
113. В пятницу. 123. 270 дм-', 124, 0,187. 142. 1) 10,96 ц; 9,44 ц; 2) 30,7 га;
33,5 га. 143. 1) 3,15; 2) 0,086; 3) 5,8; 4) 11,7. 147. 5,6 га; 6,72 га. 149. а) 90,55;
б) 36,4. 168.1) 45а; 135е; 2) 36е; 144°. 169,1) 164 м; 2) 1600; 1400; 400. 178, 420.
182. и) 75; б) 46. 205. 1) 20,4 т; 2) 11,2 т. 209. 12: 15; 24. 210. 83,6 кг; 508,3 кг,
1327 кг. 211. а) 12,1; 5) 1,43; в) 32,43; г) 105,94. 215. а) 39,6; 6) 36,11.
§ 2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
237. 1) 8,5 ч; 2) 9,7 ч. 239. 2,84. 240. а) 24,24; б) 38,20. 246. а) 10,6; б) 1,5.
268. На 12%. 270. I960. 272. 1) 21 ч; 2) 3 ч. 277. 101,4 км. 278- 12. 279. а) 24,94;
б) 19,6. 296. 2 см/с. 297, 72 000 км. 299. 1)	2) тр 301. 1) 101,05; 2) 181,99.
306, 3,2 км/ч; 12,8 км/ч. 307, 55 км/ч, 50 км. 308. а) 92,486; б) 92,816.
301. 1) 0,1 км/мин; 2) 10 км/ч. 362. I) Через 3,5 ч; 2) через 5 ч. 363. 1) 7,05; 2) 6,05.
370. ~ м. 371. 1-пт ч. 372. 13 мин. 373. а) б) в} г) 1. 374. а) 0,3;
б) 1. 375. 10 км. 376. 40 км. 377. 40 км/ч. 378. а) 26,468; 6) 3,524; в) 0,187;
г) 34,735. 409. На 72,8 %. 416. 1,067. 417. 1) 11,8 кг; 2) 8,4 кг. 418. 1) 149 763;
2) 187 521. 422. а) 11; 6) б|; в) 2р г) 6. 423.	419.	425. 44-^ м.
426. 6 ч 29 мин. 427. а) 1,6; б) 6,4. 428. 3,8 км/ч. 429. 9 кг; 6 кг. 430. а) 30,7;
б) 8,94. 431, а) 10; б) 1,1; в) 1,2; г) 0,7.
§ 3, Умножение и деление обыкновенных дробей
474.1)	2) II- 4S3‘ а) I1 б) !• в> 2i; г> 0 е) 7« ж» 4: ») 7’
2 1	о л	У	If 1
486. 35 - 7t; 31,5 км; 14 км; 0 км. 487. а) 0,7; б) 1. 488. 2,917. 514. а) 5^;
б) 5^. 523. 56 км/ч. 524. 2 дм. 525-1) 4 и 15; 2) 21 и 15- 526. 1) 185,85; 2) 268,92;
3) 324,4; 4) 602,51. 527, 1) 17,6; 2) 4,6. 528. На 48 кг. 529, 32 кг, 530, 648 м\
532. 566,5 тыс. 533. 18 т. 534, 200 га, 535. 252 т. 536,	140 км. 537, 46 %.
538. 17 кг; 34 кг; 25 кг. 539. а) 2,646; 6) 5; в) 145,516; г) 315 451. 568. 45%; 15 %.
164
569. 141 кг. 570. а)	Н>47ТГ? г> 134: Д> 7ГГ: е> 571.1) 47,94; 2) 1,68.
573. а) т|; б) 27; в) 63; г) 43; д) 10; е) 575. 27 км. 576. 271 кг. 577. | ч.
578. 800 г. 579. ^с; 70 т; 49 т. 580. 0,46m; 2539,2 м; 10120 м. 581. а) 2,25;
б) 15,01. 593. 12 км. 594. 2,1; 3; 4,2. 595. 1) 6,525; 2) 2,537. 598. 30 кг.
599. 2; 3; 2,1; 3,6. 600. а) 203,07; б) 555,3. 636. 1) 15; 2) 51, 637, 1) 3; 2) 3;
3) 0,8; 4) 0,8, 640, а) 12: б) 14: в) 2|; г) ру 641, а) 1 б) 3: в) г) 10;
д) 1|; е) 3, 642. а} 13; б) 2. 646. 15 л, 20 л. 647. 72; 84. 648. 126 лет, 210 лет.
649. 28 км/ч; 32 км/ч. 650. 54 км/ч; 90 км/ч. 652. а) 0,7178; б) 5; в) 0,3589; г) 10.
684. 1) 1|; 2) -j; 3)	4)	685. 1) 49,8; 2) 58,95. 692. 25 км; 8 км. 693. 54,4 кг.
694. 750 м. 695. 400. 696. 88. 697. и) 0.224; б) 83.244; в) 1,08; г) 37,4. 718. 21 а.
719. 28 км, 720. 1) 192; 2) 2128 т. 722. а) 11; б) 1,56: в) 3,6; г) 7,7; д) 6,3; е) 3;
ж) 1; з) 16. 723. 98 очков. 724. 3 ч. 725. 8,2 г. 726, 90 м2.
§ 4. Отношения и пропорции
754, 9 ц, 755, 6,4 кг, 756, 1) 136 см»; 2) 210 см8, 761, 4%; 5%, 762. На 18,75%,
763, 76	%;	80%, 764. а) 9; б) 30; в) 0,105; г) 3,85, 777, а) 2-; б) р-; в) 2;
г) 1|, 785. 45 км/ч. 786. 1,4. 787, а) 11,04; б) 280. 809. а) 10,5; б) 2: в) 1,44; г) 0,4,
814, а) 1|; б) 2, 815, 1) 92%; 2)94%, 816. 1) 4; 2) 7. 817, 36 кг, 818. 3 дня.
819. 3,5 м*. 820. 7,1 т. 821, 60 кг, 822. 17,5%. 823. 37,6 кг. 824. 6,25 кг,
825. а) 95.7; б) 101,3. 842. За 15 мин, 844. 1) 5.4 и 1.8; 2) 2 и 0,5. 845. 1) 2.55;
2) 2,25. 851. 14,4 см. 852. а) 2; б) б|. 870. 1) 0,512 кг; 2) 4.2 кг. 871. 1) 10,5;
2)	3) 32,541; 4) 21,59; 5) 18; 6) 42-у- 876. * 66 км/ч. 878. 14 ч. 879. 4 л.
880. а) б) 1 у: в) 1 у: г) 1	891.1) 24; 64; 2) 14; 12. 892.1) |; 2) -7- 894. 2,5 дм.
895. « 113 см3; « 28,3 см!. 896. 5,4 т; 4,5 т. 897. а) 10; б) 20.
1«5
предметный указатель
Вычитание дробей 57
— смешанных чисел 70
Деление дробей 108
— смешанных чисел 108
Делитель 7
Длина окружности 154
Дополнительный множитель 52
Дробное выражение 122
Дробь несократимая 47
Знаменатель общий 52
-----наименьший 52
Золотое сечение 163
КрАтиое 7
Масштаб 149
Наибольший общий делитель 30
Наименьшее общее кратное 35
Нахождение дрбби числа 90
— нескольких процентов
числа 91
процентного отношения 132
— числа но его дроби 116
---------процентам 117
Неравенство нсстрбгое 114
— строгое 114
Основпбе свбйство дроби 43
----- пропорции 139
Отношение 131
Отношения взаимно обратные 132
Пирамида 98
Площадь круга 154
Привидение к общему
знаменателю 52
Призма 127
Прйзнаки делимости
на 2, 5 и 10 12
--------3, 9 17
Пропорциональная зависимость
прямая 143
----- обратная 144
Пропорция 138
— крайние члены 138
— средние члены 133
Разложение на множители 21
-----простые множители 24
Сложение дробей 57
— смешанных чисел 69
Сокращение дроби 47
Сравнение дробей 57
Сфера 158
Умножение дробей 79
—	смешанных чисел 81 „ 98
Цифры нечётные 13
— чётные 13
Числа'близнецы 38
—	взаимно обратные 105
—	взаимно простые 30
—	дружественные 64
—	почётные 13
—	простые 21
—	совершённые 40
—	составные 21
—	фигурные 50
— чётные 13
Шар 158
Шара диаметр 158
—	радиус 158
166
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...............................  ,...........................      3
Условные обозначения ♦♦♦.........................................   .«о,,,,.	6
Часть I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
й 1, Делимость чисел ........................................................ 7
1,	Делители и кратные..............................    ...............  7
2.	Признаки делимости на 10, на 5 и на 2 .............................	12
3.	Признаки делимости на 9 и на 3................................      17
4.	Простые и составные числа ................................................... 21
5.	Разложение на простые множители..................................... 24
6.	Наибольший общий делитель. Взяимнп простые числя___________________ 29
7.	Наименьшее общее кратное...........................................  34
Й 2, Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.................... 43
8.	Основное свойство дроби ....♦♦+♦,„„................................ 43
9.	Сокращение дробей ...............................................	47
10.	Приведение дробей к общему знаменателю............................  52
11.	Сравнение, сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями  ............................................    57
12.	Сложение и вычитание смешанных чисел ..............................  68
ЙЗ. Умножение и деление обыкновенных дробей ................................ 79
13.	Умножение дробей........................................    .......	79
14.	Нахождение дроби от числа................................................... 89
15.	Применение распределительного свойства умножения...................	93
16.	Взаимно обратные числя ..............................  ............	105
17.	Деление............................................................ 108
18.	Нахождение числа по его дроби ...................................  116
19.	Дробные выражения..............................................    122
Й4. Отношения и пропорции ..................................................	131
20,	Отношения .......................................................................... 131
21.	Пропорции ...................................................      138
167
22.	Прямая и обратная пропорциональные зависимости................. 143
23.	Масштаб ..................................................      149
24.	Длина окружности и площадь круга............................... 153
25.	Шар.....................................................        158
Ответы .........................................................        164
Предметный указатель.................................................   166
16В