/
Автор: Коткин Г.Л. Сербо В.Г.
Теги: физика механика задачи по механике
ISBN: 5-93972-058-7
Год: 2001
Текст
Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ
Издание третье, исправленное и дополненное
/?&С
'Роимом, Москва ♦ Ижевск
2001
УДК 530.1
К 73
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• техника
Внимание!
Новые проекты издательства РХД
• Электронная библиотека на компакт-дисках
http://shop.rcd.ru/cdbooks
• Эксклюзивные книги — специально для Вас любая книга может быть отпеча-
тана в одном экземпляре
http://shop.rcd.ru/exclusive
Коткин Г. Л., Сербо В. Г.
Сборник задач по классической механике. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», 2001, 352 стр.
В настоящее издание включены новые задачи из числа использованных в пре-
подавании на физическом факультете Новосибирского государственного универси-
тета, а также задачи, добавленные в изданиях на испанском и французском языках.
По охватываемому материалу сборник соответствует книгам «Механика»
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшица и «Классическая механика» Г. Голдстейна.
Для студентов, аспирантов и преподавателей, — физиков и математиков.
ISBN 5-93972-058-7
© Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо, 2001
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001
http://rcd.ru
Оглавление
Предисловие ко второму изданию............................ 4
Из предисловия к первому изданию . . . . 4
W S - X S ° В ё " « н & т Os
§ 1. Интегрирование уравнений движения систем с одной
степенью свободы 5 70
§ 2. Движение частиц в полях 7 81
§3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение ча-
стиц 13 125
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения 16 140
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы . 23 157
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями сво-
боды 27 172
§7. Колебания линейных цепочек 39 226
§ 8. Нелинейные колебания 42 245
§ 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы от-
счета 45 258
§10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 51 282
§11. Канонические преобразования 56 293
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби 62 311
§13. Адиабатические инварианты 65 327
Литература...............................................345
Предисловие ко второму изданию
Настоящее издание существенно дополнено и переработано. Наиболь-
шей переработке подверглись §§6и9. В§6 для исследования колебаний
сложных систем более широко используются свойства симметрии и методы
теории возмущений. Значительно расширен § 9 (о движении твердого тела).
Мы рады случаю выразить глубокую благодарность редактору англий-
ского перевода задачника профессору Д. тер Хаару, многочисленные заме-
чания которого способствовали устранению ряда неточностей и опечаток.
Мы признательны А. В. Михайлову за полезные обсуждения некоторых
новых задач.
Из предисловия к первому изданию
Предлагаемый сборник задач предназначен для студентов-физиков. По
охватываемому материалу он примерно соответствует книгам «Механика»
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица и «Классическая механика» Г. Голдстейна.
Мы надеемся, что чтение сборника будет интересным не только для
студентов, изучающих механику, но и для лиц, знающих ее. Порядок рас-
положения задач в основном такой же, как и в курсе Ландау и Лифшица, за
тем исключением, что систематическое использование уравнений Лагранжа
начинается здесь с § 4. Задачи же первых трех параграфов можно решать,
используя лишь уравнения Ньютона и законы сохранения энергии, импуль-
са и момента импульса. За редкими исключениями обозначения в сборнике
совпадают с обозначениями «Механики» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица и
часто даже специально не оговариваются. В задачах об электрических цепях
используется Международная система единиц СИ, а в задачах о движении
частиц в электромагнитных полях — гауссова система.
Мы глубоко благодарны Ю. И. Кулакову за постоянную помощь. Нам
особо хотелось бы подчеркнуть его роль в составлении и обсужде-
нии большого числа задач. Мы считаем приятным долгом поблагодарить
И. Ф. Гинзбурга за целый ряд полезных советов и указаний, которые были
нами приняты к сведению. Мы весьма благодарны В. Д. Кривченкову, живое
участие и советы которого укрепили нас в решимости довести до конца эту
работу,
Задачи
§ 1. Интегрирование уравнений движения систем с одной
степенью свободы
1.1. Определить закон движения частицы в поле U(x):
a) U(x) = А(е~2ах — 2е~ах') (потенциал Морза, рис. 1,а);
б) U(x) =-----— (рис. 1,5);
ch2 ах
в) [/(ж) = Е/о tg2 <дж (рис. 1,в).
Рис. 1
1.2. Найти закон движения частицы в по-
ле U(x) = —Аж4, если энергия ее равна нулю. U
1.3. Определить приближенно закон дви-
жения частицы в поле U(ж) вблизи точки оста-
новки ж = а (рис. 2).
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться разложением U(x)
в ряд Тейлора вблизи точки х = а. Рассмотреть слу-
чаи U'(a) А 0 и U'(а) = О, U"(а) ф 0.
1.4. Определить, по какому закону обращается в бесконечность пе-
риод движения частицы в поле, изображенном на рис. 3, при приближении
энергии Е к Um.
6
Задачи
[1.5
1.5. а) Оценить период движения частицы в поле U(х) (рис. 4), если
ее энергия близка к Um (т. е. Е — Um Um — иш[п).
б) Определить, в течение какой части периода частица находится на
участке от х до х + dx.
в) Определить, в течение какой части периода частица имеет им-
пульс тх в интервале от р до р + dp.
г) На плоскости х, р = тх изобразить качественно линии Е(х, р) =
= const для случаев Е < Um, Е = Um, Е > Um.
1.6. Частица массы т может двигаться по окружности радиуса I в
вертикальной плоскости в поле тяжести (математический маятник). Най-
ти закон ее движения, если кинетическая энергия в нижней точке Е рав-
на 2mgl.
Оценить период обращения маятника в случае, когда Е — 2mgl 2mgl.
1.7. Определить закон движения математического маятника при про-
извольном значении энергии.
УКАЗАНИЕ. Зависимость угла отклонения маятника от времени выражается
через эллиптические функции (см., например, [1], стр. 150).
1.8. Определить изменение закона движения частицы на участке, не
содержащем точек остановки, вызванное добавлением к полю U(ж) малой
добавки 5U(x).
Исследовать применимость полученных результатов вблизи точки оста-
новки.
1.9. Найти изменение закона движения частицы, вызванное добавле-
нием к полю U (ж) малой добавки SU (ж):
а) ?7(ж) = 6U(x) = EEEOL
2.4]
§ 2. Движение частиц в полях
1
б) U(x) =
тЛ2
2
5U(x) =
1.10. Определить изменение периода финитного движения частицы,
вызванное добавлением к полю U(x) малой добавки 6U{x).
1.11. Найти изменение периода движения частицы, вызванное добав-
лением к полю U(x) малой добавки 5U(x).
a) U(x) = х (гармонический осциллятор), 8U(x) = "'^Г ;
2 2 3
б)?7(ж) = ^^, =
в) U(x) = А(е~2ах - 2е~ах), Ш(х) = -Veax (V < А).
1.12. Частица движется в поле U{x) = —— с энергией Е > 1Д.
ch2 ах
Найти время задержки частицы при движении от х = —оо до х = +оо по
сравнению со временем свободного движения с той же энергией.
§ 2. Движение частиц в полях
2.1. Описать качественно характер движения частицы в поле U(r) =
= — — Дг при различных значениях момента импульса и энергии.
' гЛ
2.2. Найти траектории и законы движения ча-
стицы в поле U
{— V при г < R,
0 при г > R ----------у----г
(рис. 5, «сферическая прямоугольная потенциальная -V----------
яма») при различных значениях момента и энергии.
2.3. Определить траекторию частицы в поле
а 0 Рис.
U(r) = — Я—Выразить изменение направления
' г
ее скорости при рассеянии через энергию и момент.
2.4. Определить траекторию частицы в поле Е7(г) = — Д-. Найти
' г
время падения частицы в центр поля с расстояния г. Сколько оборотов
вокруг центра сделает при этом частица?
8
Задачи
[2.5
2.5. Определить траекторию частицы в поле U(r) = — . Найти
' г
угловое расстояние между двумя последовательными прохождениями
перигелия (точки г = гт;п), период радиальных колебаний Тг и период
обращения Tv. При каком условии траектория окажется замкнутой?
2.6. Определить траекторию частицы в поле U(r) = — — Д-.
' г2
2.7. При каких значениях момента импульса М возможно финитное
движение частицы в поле U(r)?
а) Щг) = б) U(r) = -Ve-^r\
2.8. Частица падает в центр поля U(r) = —аг " с конечного расстоя-
ния. Будет ли число оборотов вокруг центра, сделанных при этом частицей,
конечным? Будет ли конечным время падения? Найти уравнение траектории
для малых г.
2.9. Частица в поле U(г) уходит на бесконечность с расстояния г / 0.
Будет ли число оборотов, сделанных ею вокруг центра, конечным?
a) U = аг б) (7(г) = аг ".
2.10. Определить время падения частицы с расстояния R в центр
поля (7(г) = —а/г, рассматривая траекторию как вырожденный эллипс.
Начальная скорость частицы равна нулю.
2.11. Определить наименьшее расстояние между частицами, если
первая из них налетает из бесконечности со скоростью v и прицельным
параметром р на вторую, первоначально покоившуюся. Массы частиц mi,
m2, закон взаимодействия U(r) = а/гп.
2.12. В системе центра масс определить траектории финитного дви-
жения двух частиц, массы которых т± и m2, а закон взаимодействия
U (г) = —а/г.
2.13. Определить положение фокуса пучка частиц, близких к оси
пучка, при рассеянии в центральном поле U/г), предполагая, что частица,
летящая вдоль оси, поворачивает назад.
2.14. Найти область, недостижимую для пучка частиц, летящих из
бесконечности со скоростью v параллельно оси z и рассеиваемых полем
U(r) = а/г.
2.21]
§ 2. Движение частиц в полях
9
2.15. Найти область, недостижимую для частиц, вылетающих со ско-
ростью v в различных направлениях из одной точки А в поле U (г) = —air.
2.16. Найти траекторию частицы в поле f7(r) = —ajr, используя
интеграл движения А = [vM] — .
2.17. Определить изменение зависимости периода Т радиальных ко-
лебаний точки в центральном поле U (г) от энергии и момента, вызванное
изменением поля на малую величину 5U(f).
2.18. Показать, что траектория частицы в поле U(r) = —ае~~r/D/г
при условии rmax -С D представляет собой медленно прецессирующий
эллипс, и найти угловую скорость его прецессии.
2.19. Найти скорость прецессии орбиты в поле U(r) = —а/г3+£, где
Н < 1.
2.20 а. Найти угловую скорость прецессии орбиты частицы в поле
2 2 Q
U = г + — при (3 <С и^2«6, тш266, где а и Ь — параметры невозму-
щенной траектории:
/г cos tp\2 /rsinm2
k a ) + k b ) = ’
2.20 6. Частица скользит по поверхности гладкого параболоида вра-
щения, ось которого направлена вертикально вверх: z = (х2 + у2)/(21).
Найти угловую скорость прецессии орбиты. Наибольшее и наименьшее рас-
стояния частицы от оси z равны а и Ь, причем а <У I.
2.21. Исследовать движение системы Земля-Луна в поле Солнца.
Учесть, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние от
Земли до Луны а = 380 тысяч км много меньше среднего расстояния до
Солнца R = 150 миллионов км.
а) Принимая для простоты, что плоскость орбиты Луны совпадает с
плоскостью орбиты Земли, показать, что потенциальная энергия системы
Земля-Луна в поле Солнца, усредненная за месяц, имеет вид
а____
R R''
где R — расстояние от Солнца до центра масс системы Земля-Луна. Опре-
делить происходящее из-за этого смещение перигелия за сто лет.
10
Задачи
[2.22
б) Плоскость орбиты Луны составляет с плоскостью орбиты Земли
угол в = 5°. Определить связанную с этим среднюю скорость прецессии
плоскости орбиты Луны.
2.22. Определить угловую скорость прецессии орбиты в поле U(г) =
= — у + 5U(r), если эксцентриситет орбиты е 1, полагая
5t/(r) = Ш(а) + (г — a)5t//(a) + i(r — a)25t///(a),
где a = r'";ix + r“"" — средний радиус орбиты.
2.23. Определить угловую скорость прецессии орбиты частицы в
поле t/(r) = — у + 5U(г) (5U(г) — малая добавка) с точностью до второго
порядка включительно по 5U(r).
2.24. Найти уравнение траектории частицы, движущейся в поле
U(г) = — у + рассматривая как малую добавку к кулоновскому
' г'5 гл
полю.
2.25. Показать, что задача о движении двух заряженных частиц в
однородном электрическом поле сводится к задачам о движении центра
масс и о движении частицы в заданном поле.
2.26. При каком условии разделяются задачи о движении центра масс
и об относительном движении для двух заряженных частиц в однородном
магнитном поле?
Векторный потенциал магнитного поля удобно выбрать в виде
А = | .Г г.
2.27. Выразить кинетическую энергию, импульс и момент импульса
системы N частиц через координаты Якоби:
ТО1Г1 + ... + тпгп .
=-------,---->--------rn+i (п = 1, ..., N - 1),
mi +... + тп т v
_ ТОхГх + ... + mNrN
<iN ТПх + • • • + TUN
2.35]
§ 2. Движение частиц в полях
И
2.28. На первоначально покоившуюся частицу налетает частица такой
же массы т, имевшая на бесконечности скорость v и взаимодействующая с
первой по закону U(r) = а/тп. Удар центральный. Найти точку остановки
налетевшей частицы.
2.29. Доказать, что для заряженной частицы в однородном магнитном
поле интегралом движения является + ^-[rJ$?]2, где М = m[rv],
2.30. Найти траекторию и закон движения заряженной частицы в
магнитном поле ДС = дг/г3 (поле магнитного монополя).
Подобный вид имеет магнитное поле тонкого длинного соленоида вне
его в точках, удаленных от его торца на расстояние, большое по сравнению
с диаметром соленоида, но малое по сравнению с его длиной.
2.31. Описать качественно характер движения и вид траектории за-
ряженной частицы в поле магнитного диполя тп, движущейся в плоскости,
перпендикулярной к вектору тп. Векторный потенциал магнитного диполя
А = [птг]/г3.
2.32. а) Описать качественно движение заряженной частицы в поле
U = ^тХг2, где г — расстояние от оси z (поле равномерно заряженного
цилиндра), при наличии однородного магнитного поля Ж, параллельного
оси z.
б) Найти закон движения и траекторию заряженной частицы, движу-
щейся в поле U = а/г2 в плоскости, перпендикулярной постоянному одно-
родному магнитному полю ДС.
1.ЪЪ. Заряженная частица движется в кулоновском поле U(r) = —а/г
в плоскости, перпендикулярной к однородному магнитному полю Ж. Опи-
сать траекторию частицы. Исследовать случай, когда мало, и случай,
когда поле U (г) является малым возмущением.
2.34. Найти законы движения двух одинаковых заряженных частиц
в однородном магнитном поле Ж в случае, когда траектории их лежат в
одной плоскости, перпендикулярной к ДС, а энергию их взаимодействия
U(г) = е2/г можно считать малой поправкой.
2.35. Показать, что в поле U(r) = — у — Fr сохраняется величина
F[vM] — + i[Fr]2. Истолковать этот интеграл движения при очень
малых F.
12
Задачи
[2.36
2.36. Исследовать влияние малой добавки <5[7(r) = —Fr к кулонов-
скому полю на финитное движение частицы.
а) Найти среднюю (за период) скорость изменения момента импульса.
б) Определить зависимость от времени момента импульса, размеров и
ориентации орбиты, если сила F лежит в плоскости орбиты.
в) Тот же вопрос при произвольной ориентации силы.
УКАЗАНИЕ. Составить и решить усредненные по периоду уравнения движения
для векторов М = m[rv] и A - [vM] — ^21.
2.37. Найти систематическое изменение траектории финитного дви-
жения заряженной частицы в поле U(r) = —afr под влиянием слабых
постоянных однородных электрического и магнитного полей ё и Ж.
а) Ограничиться случаем, когда магнитное поле перпендикулярно плос-
кости орбиты, а электрическое поле лежит в ней.
б) Рассмотреть общий случай.
2.38 а. Найти систематическое изменение эллиптической орбиты
частицы в поле (7(г) = —а)г под влиянием малой добавки SU =
= /3г2(3 cos2 0 — 1). (Таково, например, усредненное за месяц поле тяготения
Луны в околоземном пространстве — поле «приливных сил».) Ограничиться
случаем, когда плоскость орбиты проходит через ось z.
2.38 б. Принимая, что орбита Луны в поле Земли представляет собой
эллипс, лежащий в плоскости орбиты Земли, определить систематическое
изменение орбиты Луны под влиянием добавки к потенциальной энергии
8U(r, t) = -^^r2(3cos2y- 1),
где т — масса Луны, Q — угловая скорость обращения Земли вокруг Солнца,
X — угол между направлениями от Земли к Солнцу и к Луне (между R(t)
и z — см. задачу 2.21).
2.39. Найти систематическое смещение траектории финитного дви-
жения частицы, движущейся в поле U = —а/г и в поле магнитного ди-
поля тп, если влияние магнитного диполя можно рассматривать как малое
о - « [mr]
возмущение. Векторный потенциал выбрать в виде .
3.6] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц 13
2.40. Определить среднюю скорость прецессии орбиты частицы в
поле U(r) = —afr под действием малой добавочной силы F = /3v (такой
2 0^
вид имеет сила торможения излучением, в этом случае в = где q —
3 с1
заряд частицы, — см. [2], § 75).
§3 . Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение
частиц
3.1. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния ча-
стиц, скорость которых до рассеяния параллельна оси z, на гладкой упругой
поверхности вращения p(z):
а) р = b sin 0 < z < 7га;
б) р = Azn, 0 < п < 1;
в)р = Ь-^-, у < 2 < ОО.
3.2. Найти поверхность вращения, сечение упругого рассеяния на
которой совпадает с резерфордовским.
3.3. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц
сферическим «потенциальным горбом»:
{V при г < а,
0 при г > а.
3.4. Найти сечение падения частиц в центр поля:
а)С = -^-4, 6)t7 = 4-4.
г г г
3.5. Найти сечение падения частиц на шарик радиуса R, находящийся
в центре поля (7(г):
а)С7 = -^,п>2; б) U = < -
г г г
3.6. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц
в поле U (г):
' у-при г < Я,
а) (7(г) = r R
0 при г > R;
14
Задачи
[3.7
б) U(r) = <
|nw2(r2 — R2)
О
при г < R,
при г > R.
3.7. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния бы-
стрых частиц (Е > V) в поле U(r):
/ 2 \
a)t7(r) = Vln 1 + ^ ;
\ г )
при г < R,
при г > R.
3.8. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц
на малые углы в поле t/(r) = Д- —
г г
3.9. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц
в поле U = —afr2.
3.10. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния бы-
стрых частиц (Е V) в поле t/(r). Исследовать подробнее предельные
случаи, когда угол отклонения близок к своему минимальному или макси-
мальному значению:
a) U(r) = Не-"2’’2; б) Щг) = ^V2 2.
3.11. Поток частиц, скорости которых первоначально параллельны
оси г, рассеивается на неподвижном эллипсоиде
ж2 . у2 . Z2
а2 Ъ2 с2 ~ ’
Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния, если эллипсоид:
а) гладкий упругий, б) гладкий неупругий, в) шероховатый упругий.
3.12. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния на
малые углы в нецентральном поле U(r):
a)t7(r) = ^; 6)t/(r) = ^.
г г
3.13. Найти поправку к дифференциальному эффективному сечению
рассеяния частиц в поле U(r), вызванную изменением поля на малую ве-
личину SU (г):
3.21] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц 15
a)t7(r) = ^, Ш(г) = 4;
Г
6)U{r) = ^, 8U(r) = ^-;
Г
в) U(r) = 5U(r) = 4.
г г
3.14. Определить усредненное по времени дифференциальное эффек-
тивное сечение рассеяния как функцию приобретаемой частицами энергии
при рассеянии в поле U(r, t) = (Vi + r быстрых частиц
(E » Vi; 2).
3.15. Частица, летящая co скоростью V, распадается на две одинако-
вые частицы. Определить распределение по углу разлета распадных частиц
(угол между направлениями вылета обеих частиц). Распад в системе центра
масс изотропен, скорость распадных частиц в с. ц. м. равна vq.
3.16. Найти распределение распадных частиц по энергиям в лабора-
торной системе, если в системе центра масс угловое распределение имеет
вид sin2 6*0 doo, где в о — угол между скоростью V первичной частицы
и направлением вылета распадной частицы в с. ц. м. Скорость распадных
частиц в с. ц. м. vq.
3.17. Электрон, имевший на бесконечности скорость v, налетает на
другой электрон, первоначально неподвижный (прицельный параметр р).
Найти скорости электронов после рассеяния.
3.18. Определить интервал значений, которые может иметь угол
между направлениями скоростей после столкновения движущейся части-
цы (масса mi) с первоначально покоившейся (масса m2).
3.19. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния глад-
ких неупругих шариков на таких же шариках, первоначально покоившихся.
3.20. Найти закон, по которому изменяется интенсивность пучка ча-
стиц при прохождении им области, заполненной поглощающими центрами.
Плотность распределения центров п, сечение поглощения а.
3.21. Найти число актов реакции, происходящих в объеме dV за
время dt при столкновении двух пучков частиц со скоростями vi, V2 и
плотностями их, п-2. Сечение реакции равно а.
16
Задачи
[3.22
3.22. Частица массы М движется в области, заполненной частицами,
первоначально неподвижными, массы которых равны т <§; М. Сечение рас-
сеяния частиц т на частице М есть da = do. Столкновения упругие.
Найти:
а) «силу трения», действующую на частицу М;
б) средний квадрат угла отклонения 0 частицы М.
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
4.1. Частица в поле U(x) = F:r за время т перемещается из точки
х = 0 в точку х = а. Найти закон движения частицы, предполагая, что он
имеет вид x(t) = At2 + Bt + С, и подбирая параметры А, В, С так, чтобы
действие имело наименьшее значение.
4.2. Частица движется в плоскости хОу в поле
{О при х < О,
V при х > О,
перемещаясь за время т из точки (—а, 0) в точку (а, а). Найти закон дви-
жения частицы, предполагая, что он имеет вид
Х1, 2(t) = Ait2t + Blt2,
yi,2(i) = Cl,2t + D1j2.
Значки 1, 2 относятся к левой (ж < 0) и правой (ж > 0) полуплоскостям.
4.3. С помощью непосредственного вычисления доказать ковариант-
ность уравнений Лагранжа относительно преобразований координат
Qi — Qi(,Qli Q2? • • • , Qs, , % — 1, 2, . . . , S.
4.4. Каким образом должна преобразовываться функция Лагранжа
при переходе к новым координатам и «времени»
Qi — Qi(Ql i С, 2 • • • , Q s i т), 1 — 1, 2, . . . , S, t £(Q1, Q2, • • • , Qs, ,
чтобы уравнения Лагранжа сохранили свой вид?
4.5. Записать функцию Лагранжа и уравнения движения частицы в
поле U(x), введя «местное время» т = t — Аж.
4.10]
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
17
4.6. Как преобразуется функция Лагранжа
при переходе к координатам q и «времени» т:
х = r/ch А + rshA,
t = q sh A + т ch A?
4.7. Найти законы преобразования энергии и обобщенных импульсов
при преобразовании координат
Qi = , Qs,t), г = 1, s.
4.8. Найти законы преобразования энергии и обобщенных импульсов,
сопряженных полярным и декартовым координатам, при переходе к системе
отсчета, вращающейся вокруг оси z\
а) р = р' + Qi, г = г';
б) х = х' cos Qi — у' sin Qi, у = х' sin Qi + у' cos Qi.
4.9. Найти законы преобразования энергии и импульсов при переходе
к системе отсчета, движущейся со скоростью V. Функцию Лагранжа L'
в движущейся системе выбрать в виде
a) L[ = L(r' + Vi, г' + V, i), где L(r, г, i) — функция Лагранжа
в неподвижной системе;
/2
б) L'2 = ---U(r' + Vt, i). Здесь L2 отличается от L'x на полную
производную по времени от функции
Vmr' + у V2i.
4.10. Пусть бесконечно малое преобразование координат и времени
имеет вид
Qi = qi+e'&itq, i),
t' = i + sX(q, i), s —> 0,
и пусть при этом преобразовании сохраняется вид действия:
^2 ^2
[ b(q, t)dt = I b(q', t'} dt'.
J \ at / J \ dt /
ti
18
Задачи
[4.11
Доказать, что величина
]Г|^гх-Фг)-ьх
oqi
является интегралом движения.
4.11. Обобщить теорему предыдущей задачи на случай, когда вид
действия при преобразовании координат и времени меняется следующим
образом:
/2 I?
I'( dq \ Г с / f dq' Л df(q', t'U
J V’ dt J J I V ’ dt'' ) dt J
tl tl
4.12. Найти интегралы движения, если вид действия не меняется при:
а) пространственном сдвиге, б) повороте, в) сдвиге начала отсчета вре-
мени, г) винтовом сдвиге, д) преобразовании задачи 4.6.
4.13. Найти интегралы движения для частицы, движущейся:
а) в однородном поле U(г) = Fr;
б) в поле U(r), где (7(г) — однородная функция:
U(ar) = апЩг)
(уточнить, при каком п преобразование подобия не меняет вид действия);
в) в поле бегущей волны U(r, t) = U(r — Vi), где V — постоянный
вектор;
г) в магнитном поле, заданном векторным потенциалом А(г),
где А (г) — однородная функция.
д) в электромагнитном поле, вращающемся с постоянной угловой ско-
ростью О вокруг оси z.
4.14. Найти интеграл движения, отвечающий преобразованию Гали-
лея.
УКАЗАНИЕ. Использовать результат задачи 4.11.
4.15. Найти интегралы движения для частицы в однородном посто-
янном магнитном поле , если векторный потенциал задан в виде:
a) A = i[J$?r]; б) Ах = Az = О, Ау = хЖ.
4.21]
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
19
4.16. Найти интегралы движения для частицы в поле:
а) магнитного диполя А = [mr]/r3, m = const;
б) Av = p/r, Ar = Az = 0.
4.17. Составить уравнения движения системы, функция Лагранжа
которой:
a) L(x, х) = е~х х + 2A J f е и dy;
о
б) L(x, х, t) = ^eat(x2 — х>2х2).
4.18. а) Записать компоненты вектора ускорения частицы в сфериче-
ской системе координат.
б) Найти составляющие ускорения в ортогональной системе коорди-
нат qi, если элемент длины задан соотношением
ds2 = /г2 dq2 + dq% + h% dq%,
где hi(qi, q2, qs) — коэффициенты Ламэ.
4.19. Записать уравнения движения частицы в произвольных коорди-
натах qi, связанных с декартовыми координатами Xi соотношениями:
a) Xi = Xi(qi, q2, qs), i = 1,2,3;
6) Xi = Xi{qs, q2, q3, t), i = 1, 2, 3.
4.20. Показать, что функция Лагранжа [31]
L = ^(r2 + r202 + т2ф2 sin2 в) — ^-фсозв
2
описывает движение заряженной частицы в магнитном поле = gr/r3
(см. задачу 2.30). Найти интегралы движения.
4.21. Проверить, что функции Лагранжа
т тт т f'2
Li = —----Uqi, L2 = --^j + Uq2
приводят к правильным «уравнениям движения» для qi и q2 и правильным
значениям энергии. Здесь qi = I — ток, идущий по индуктивности в на-
правлении от А к В (рис. 6, a), q2 — заряд на верхней пластине конденсатора
(рис. 6, б), a U — напряжение между точками А н В (U рп Ра)-
20
Задачи
[4.22
Рис. 7
б)
4.22. Используя аддитивность
функции Лагранжа и результат предыду-
щей задачи, составить функции Лагранжа
и уравнения Лагранжа для цепей, изобра-
женных на рис. 7 (а, б и в).
Рис- ° 4.23. Найти функции Лагранжа сле-
дующих систем:
а) цепь с переменным конденсатором, подвижные пластины которого
соединены с маятником т (рис. 8, а). Зависимость емкости от угла поворо-
та C(tp) известна, массой пластин конденсатора пренебречь;
б) сердечник на пружинке жесткости к, втягиваемый внутрь соленоида,
индуктивность которого есть заданная функция смещения сердечника !£(х)
(рис. 8,6).
Рис. 9
4.24. Квадратная идеально проводящая рамка может вращаться во-
круг закрепленной стороны АВ = а (рис. 9). Рамка находится в постоянном
однородном магнитном поле , перпендикулярном к оси АВ. Индуктив-
4.28] §4. Уравнения движения. Законы сохранения 21
ность рамки !£, масса стороны CD равна т, массами других сторон можно
пренебречь.
Описать качественно характер движения рамки.
4.25. Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, по-
лучить уравнения движения частицы в поле тяжести, если она может дви-
гаться по заданной кривой:
а) параболе, лежащей в вертикальной плоскости;
б) окружности радиуса г = I, расположенной в вертикальной плос-
кости.
Выразить силы реакции связи.
4.26. Частица движется в поле тяжести вдоль прямой, равномерно
вращающейся в вертикальной плоскости. Составить уравнения движения
частицы и найти момент силы реакции.
4.27. Влияние связей и трения на движение системы можно описать,
вводя в уравнения движения обобщенные силы реакции связей и трения:
d dL _ dL _ r
dt dip dqi г
а) Как изменяется со временем энергия системы?
б) Как должны преобразовываться силы П, при переходе к новым обоб-
щенным координатам
7/ qt(,Ql> • • • , Qs,
чтобы уравнения движения сохраняли вид (1)?
4.28. Пусть уравнения связей имеют вид
S
Q0 = 52 6/3n<in, Р = 1, • • • , Г,
П=г+1
причем функция Лагранжа L(qr+1, ..., qa, ср, ..., qs, t) и коэффициен-
ты bf3n не зависят от координат q^.
Показать, что уравнения движения могут быть представлены в виде
d dL _ dL i \ ' dL \ ' / _ dbpn \ _
dt dqn dqn dqp ^ \dqn dqm
где L(<7r+i, ..., qa, qr+i, ..., qa, t) — функция, получаемая исключением
скоростей <7i, ..., qr из L с помощью уравнений связей.
22
Задачи
[4.29
4.29. Струну можно представить как предельный случай системы N
частиц (рис. 10), соединенных упругой нитью, при N сю, <7 — 0,
Na = const. Функция Лагранжа дискретной системы имеет вид
W+1
С(<71, <72, • , 'In- qi, Qn, i) = 52 Ln^n’ <In ~
n=l
Рис. 10
где qn — отклонение n-й частицы от положе-
ния равновесия.
а) Получить уравнение движения непре-
рывной системы как предельный случай
уравнений Лагранжа дискретной системы.
б) Получить выражение энергии непре-
рывной системы как предел выражения энер-
гии дискретной системы.
УКАЗАНИЕ. Ввести координату точки струны х, а также величины, получаемые
при предельном переходе а 0, п — xf а сю:
t) = = limgn^
ох а
dq dq '
Х’ q’ ft? dt’ \
Ln(qn, qn qn—i? qn? t)
a
4.30. Заряженная частица движется в потенциальном поле U(r) ив
постоянном магнитном поле причем U(r) и J1?’(г) являются однород-
ными функциями координат степени к и п соответственно, т. е. U(аг) =
= akU(r), ^lf(cnr) = ап^’(г). Вывести для данной системы принцип по-
добия, уточнив, при каком значении п он имеет место.
4.31. Обобщить теорему вириала для системы заряженных частиц в
однородном магнитном поле Ж. Потенциальная энергия системы U явля-
ется однородной функцией координат ..., ars) = akU (г ..., rs),
а движение системы происходит в ограниченной области пространства и с
ограниченными скоростями.
4.32. Три одинаковых частицы движутся по одной прямой и попарно
взаимодействуют друг с другом по закону Uik = Ufa — Xk), где х^ — коор-
5.2] § 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы 23
дината г-й частицы. Проверить, что кроме очевидных интегралов движения
Р = т(х! + х2 + х3),
Е = ^(^1 + 2-2 + 2-з) + ^12 + U23 + U31
существует дополнительный интеграл движения [28]
А = ШТ1Т2Т3 - ±1^23 - Х2^31 - Х3П21
в случае, если функция U(х) имеет вид:
2 2 2
а)[/(х) = ^, б)П(х) = ^^.
х sh ах
4.33. Рассмотреть столкновение трех частиц, описанных в преды-
дущей задаче. Пусть х± > х2 > хз и при t — оо расстояния между
частицами бесконечно велики, а их скорости = ii (t = —00) таковы, что
г>з > v2 > «1. Найти = ii (t = +00).
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
5.1. Найти частоту ш малых колебаний частицы в поле U (х):
a) U(x) = V cos ах — Гх; б) П(х) = У(а2х2 — sin2 ах).
Рис. И
5.2. Найти частоту малых колебаний системы, изображенной на
рис. 11. Система вращается в поле тяжести вокруг вертикальной оси с уг-
ловой скоростью Q.
24
Задачи
[5.3
5.3. Частица массы т, несущая заряд q, может двигаться в поле тяже-
сти по вертикальной окружности радиуса R. В нижней части окружности
закреплен заряд q. Найти положение равновесия и частоту малых колебаний
частицы (рис. 12).
5.4. Найти закон движения частицы в центральном поле U(г) =
= — а/гп (0 < п < 2) по траектории, близкой к окружности.
5.5. Найти частоту малых колебаний сферического маятника (частица
массы т подвешена на нити длины /), при которых угол отклонения нити
от вертикали 0 осциллирует вблизи значения 0q.
5.6. Найти поправку к частоте малых колебаний двухатомной моле-
кулы, вызванную наличием у нее момента импульса М.
Рис. 13
5.7. Найти свободные колебания системы
(рис. 13), если частица может двигаться:
а) вдоль прямой АВ;
б) перпендикулярно АВ.
Как зависит частота от натяжения пружинок
в положении равновесия?
5.8. Найти свободные колебания системы
(рис. 14), если она находится в однородном поле
тяжести и частица может двигаться только вер-
Рис. 14 Рис. 15 тикально.
R
Рис. 16
5.9. Найти установившиеся малые колебания плоского
маятника, точка подвеса которого равномерно движется по
окружности радиуса а с частотой Q (рис. 15). Длина маятни-
ка I (I а).
5.10. Найти установившиеся колебания напряжения
на конденсаторе и ток в контуре с источником напряжения
U^t) = Uosincat (рис. 16).
5.11. Найти закон движения осциллятора с трением, первоначально
покоившегося, под действием силы F(t) = Feosyt.
5.17] §5. Малые колебания систем с одной степенью свободы 25
5.12. Определить энергию Е, приобретенную осциллятором под дей-
ствием силы F(t) = Fe~<'t/T'1 за все время ее действия, если при t = — оо:
а) осциллятор покоился;
б) амплитуда колебаний была равна а.
5.13. Найти движение под действием силы F(t):
а) неустойчивой системы, описываемой уравнением
А /Гт ^F(t);
б) осциллятора с трением
х + 2А± + WqX =
5.14. Найти дифференциальное эффективное сечение возбуждения
изотропного осциллятора до энергии е быстрой частицей (Е V), взаи-
модействующей с ним по закону
[/(г) = Ve~^r\
Начальная энергия осциллятора равна нулю.
5.15. Осциллятор может колебаться только вдоль оси z. Найти диффе-
ренциальное эффективное сечение возбуждения осциллятора до энергии е
быстрой частицей, взаимодействующей с ним по закону U(r) = IF г .
Скорость частицы параллельна оси z, ее энергия Е F- V. Начальная
энергия осциллятора ео-
5.16. На гармонический осциллятор действует сила F(t), причем
F(—оо) = 0, F(-f-oo) = Fo. Найти энергию F(+oo), приобретенную ос-
циллятором за все время действия силы, и амплитуду колебаний его при
t +оо, если при t — оо осциллятор покоился.
5.17. Найти энергию, приобретенную осциллятором под действием
силы
при t < О,
F(t) =
—eAt
2
^(2-e“Ai) при t > 0.
Энергия осциллятора при / ос равна Fq.
26
Задачи
[5.18
5.18. Оценить изменение амплитуды колебаний осциллятора, если
сила F(t) включается медленно и плавно за большой промежуток време-
ни т, такой что шт 1. При t < 0 сила F(t) = 0, при t > т сила F(t) = Fo,
при 0 < t < т справедлива оценка р(О р0/тк (к = О, 1, ..., п + 1);
причем FW(0) = F(®)(r) = 0 (s = 1, 2, ..., п — 1), а п-я производная силы
при t = 0 и t = т испытывает скачок.
5.19. Найти установившиеся колебания осциллятора под действием
периодической силы F(£):
a) F(f) = F • (t/т — п) при пт < t < (п + 1)т (рис. 17);
б) F(t) = F • (1 — t' = t — пт при пт < t < (п + 1)т (рис. 18).
Оценить время установления колебаний, если декремент затухания ра-
вен 5.
в) Найти установившийся ток в контуре (см. рис. 16) с источником
пилообразного напряжения U(t) = (t/т — n)V при пт < t < (п + 1)т.
5.20. На осциллятор с трением (собственная частота шо, сила трения
/тр = — 2Хгпх) действует вынуждающая сила F(i).
а) Найти среднюю работу А этой силы при установившихся колебани-
ях, если F(t) = fi cos wt + /2 cos 2wt.
б) To же для F(t) = anem<jjt, a-n = a*.
п=—ог
в) Найти среднюю за большой промежуток времени работу силы
F(t) = fi cosc^ii + /2 cos при установившихся колебаниях.
г) Найти полную работу силы F(t) = / тДщ)егшМсэ, -ф(—ш')=гф*(ш'),
если осциллятор при t —оо покоился.
5.21. Гармонический осциллятор находится в поле бегущей волны,
которая действует на него с силой F(x, t) = fft—x/V"), где х — отклонение
6.2] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 27
осциллятора от положения равновесия, V — скорость волны. Предполагая х
достаточно малым, найти связь между переданными осциллятору энерги-
ей ДА и импульсом
Др = У F(x(t), £) dt,
ограничившись приближением, квадратичным по F, и считая /(±оо)=0.
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями
свободы
В задачах 6.1 -6.21 с помощью общих методов рассматриваются свободные и
вынужденные колебания относительно несложных систем (с двумя-тремя степенями
свободы). В задачах 6.18-6.21 приведены системы с вырожденными собственными
частотами.
Для исследования более сложных систем полезно использовать ортогональ-
ность собственных колебаний и свойства симметрии системы. Соответствующие
теоремы приведены в задачах 6.22 и 6.39, а иллюстрации их применения, например,
в задачах 6.26-6.33 и 6.40-6.45, 6.47, а также в задачах о колебаниях молекул 6.46,
6.48-6.52.
Влияние малого изменения системы на ее движение можно исследовать с помо-
щью метода последовательных приближений — теории возмущений. Общей форме
теории возмущений в задачах о малых колебаниях посвящена задача 6.34, кон-
кретным примерам — задачи 6.35, 6.37, 6.41, 6.42, 6.50 6. Полезно отметить, что
подобным же образом строится теория возмущений в квантовой механике.
В задачах 6.36-6.38 изучаются колебания систем, в которых действуют «гиро-
скопические» силы (см. также задачи 9.24-9.27).
6.1. Найти свободные колебания системы, изображенной на рис. 19,
при которых частицы движутся вертикально. Найти нормальные координа-
ты и выразить через них функцию Лагранжа.
6.2. Найти установившиеся колебания системы, описанной в преды-
дущей задаче, если точка подвеса движется в вертикальном направлении по
закону а(£), где
а) а(£) = acosyi,
б) а(£) = — п) при пт < t < (п + 1)т.
6.3 а. Найти свободные малые колебания плоского двойного маятника
(рис. 20 а).
28
Задачи
[6.4
Рис. 19 Рис. 20 а Рис. 20 6
6.3 б. Найти нормальные колебания для двойного маятника (рис. 206),
у которого угол между плоскостями колебаний верхней частицы с мас-
сой Зт и нижней частицы с массой т равен 60°. Длина каждого стержня
равна I, их массами пренебречь.
6.4. Найти свободные колебания системы, функция Лагранжа которой
х2 + у2 cj2x2 + W2y2
= 2 2 '
Как выглядит траектория точки с декартовыми координатами (х, у) ?
6.5. Найти нормальные колебания системы, функция Лагранжа кото-
рой:
• 2 I • 2 2 2 I 2 2
х Т _ X +у <ХГХ +ш2у
л) ъ — ----------2 омУу,
• 2 I -2 2 I 2
г ггцх +т2т/ , п- • % +У
б) L=-------------— + (Зху----.
6.6. Найти нормальные колебания в системах связанных контуров:
а) рис. 21, а; б) рис. 21,6.
6.7. Найти нормальные колебания системы частиц, соединенных пру-
жинками (рис. 22). Частицы могут двигаться только вдоль прямой АВ. Най-
ти свободные колебания системы.
6.8. Найти свободные колебания системы (рис. 23), если в начальный
момент:
а) одна из частиц имеет скорость v, скорость другой и отклонения
обеих частиц от положения равновесия равны нулю;
6.14] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
29
Рис. 21
A |WAVWAVVAVvf в
fej /П] k2 т2 k3
A fMMMWWWAMf в
k т kx т k
Рис. 22
Рис. 23
б) одна из частиц отклонена от положения равновесия на расстояние а,
отклонение другой и скорости обеих равны нулю.
Частицы могут двигаться только вдоль прямой АВ.
6.9. Определить поток энергии от одной частицы к другой, используя
условия предыдущей задачи.
6.10. Найти свободные колебания системы (см. рис. 23), если на
каждую из частиц действует сила трения, пропорциональная ее скорости.
6.11. Найти свободные малые колебания двойного маятника (рис. 24),
если в начальный момент верхний маятник вертикален, нижний отклонен
на угол /3 « 1, а скорости их равны нулю. Массы маятников М и т,
причем М т.
6.12. Найти установившиеся колебания системы (см. рис. 23), если
точка А, в которой закреплен левый конец пружины, движется по зако-
ну acosyt в направлении прямой АВ.
6.13. Найти установившиеся колебания системы двух частиц на коль-
це1 (рис. 25, а), если точка А движется по кольцу по закону acosyt. Иссле-
довать зависимость амплитуд колебаний от частоты вынуждающей силы.
6.14. Три частицы, каждая массы т, связанные пружинками, могут
двигаться по кольцу (рис. 25, б). Найти установившиеся колебания системы,
если точка А движется по кольцу по закону a cos yt.
1В этой и подобных задачах кольцо предполагается гладким и неподвижным.
30
Задачи
[6.15
Рис. 24 Рис. 25
6.15. Найти установившиеся колебания системы, изображенной на
рис. 23, если точка А движется по закону a cos "ft. На частицы действует
сила трения, пропорциональная скорости.
6.16. Найти движение системы рис. 22, если в начальный момент
частицы покоились в положениях равновесия, а точка А движется по закону
acosyt. Массы частиц равны (mi = m2 = т).
6.17. Найти установившиеся колебания частицы (рис. 26) под дей-
ствием однородного переменного поля U(r) = —F(f)r, где вектор F(i)
лежит в плоскости рисунка, в случаях:
a) F(i) = Fq cos7i,
б) F(t) вращается с частотой 7, оставаясь постоянным по величине.
6.18. Найти нормальные колебания трех одинаковых частиц, связан-
ных одинаковыми пружинками и могущих двигаться по кольцу (рис. 27).
Рис. 26
Рис. 27
6.23] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
31
Рис. 29
Определить нормальные координаты, приводящие функцию Лагранжа
к диагональному виду.
6.19. Найти свободные колебания системы, рассмотренной в пре-
дыдущей задаче, если в начальный момент одна из частиц отклонена из
положения равновесия. Начальные скорости равны нулю.
6.20. Найти нормальные колебания системы трех частиц, которые
могут двигаться по кольцу (рис. 28).
6.21. Найти нормальные координаты системы четырех частиц на
кольце (рис. 29).
6.22. Пусть нормальные колебания системы, описываемой функцией
Лагранжа
L AkijXtXj'),
имеют вид
x®(£) = A® cos(w;£ + (pi).
Доказать, что амплитуды, соответствующие колебаниям с различными
частотами и удовлетворяют соотношениям
A^kijA^ = 0.
г, 3 г, j
6.23. На систему, описываемую функцией Лагранжа
.i'/.i'j kijXiXj),
32
Задачи
[6.24
наложена линейная связь
aiXi = 0, cii = const.
Пусть все собственные частоты системы без связи различны Пх < Q2 <
< ... < Пдг. Доказать, что все собственные частоты системы со связью
лежат в промежутках между Q/:
Ql Sj Sj Q2 С ^2 С • • • С 1 С Пдг.
6.24. Установившиеся колебания системы, описываемой функцией
Лагранжа
L = - kjjXjXj) - ^7,7/) cos У .
г, j i
можно представить в виде Xi(t) = ^Х^А^ cos74. (Почему?) (Обозначе-
ния задачи 6.22.) 1
Выразить коэффициенты Х^> через /j и А®.
Исследовать зависимость Х^ от 7.
Показать, что если для s-ro нормального колебания = 0, то
= 0. i
6.25. Система частиц, связанных пружинками, может совершать ма-
лые колебания. Пусть к одной из них — частице А — вдоль направления х
приложена сила F = Fq cos А, а другая — частица В — при этом совер-
шает установившиеся колебания, при которых проекция ее отклонения на
направление х' имеет вид х'в = С cos yt.
Показать, что при действии силы F на частицу В вдоль оси х' возни-
кают такие колебания частицы А, что х_\ = С cos 74 (теорема взаимности).
6.26. Найти нормальные колебания системы частиц, которые могут
двигаться по кольцу (рис. 30).
6.27. Найти нормальные колебания системы четырех частиц на кольце
(рис. 31).
6.28. а) Найти нормальные колебания системы, изображенной на
рис. 32. Все частицы и пружинки одинаковы. Натяжение пружинок в поло-
жении равновесия / = kl, где I — равновесное расстояние между частицами.
6.30]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
33
Рис. 30
Рис. 33
УКАЗАНИЕ. Некоторые из нормальных колебаний очевидны. Определение
остальных можно упростить, используя соотношения задачи 6.22.
б) Найти нормальные колебания системы четырех одинаковых частиц,
изображенных на рис. 32 (пятая частица отсутствует, а пружинки в этом
месте соединены). Коэффициенты жесткости и натяжения всех пружинок
одинаковы.
6.29. Три частицы, имеющие различные массы тг (г = 1, 2, 3), мо-
гут двигаться по кольцу (рис. 33). При каких значениях коэффициентов
жесткости пружинок ki в данной системе наступит вырождение частот?
6.30. Какие из нормальных колебаний системы рис. 27 мало изменя-
ются при малом изменении системы, состоящем в следующем:
а) жесткость пружины 1—2 изменена на малую величину 5k;
б) к частице 3 добавлен малый перегрузок 5т;
в) к частице 1 добавлен перегрузок 5гп^, а к частице 2 — dm2?
34
Задачи
[6.31
6.31. Для случаев а) и б) предыдущей задачи описать свободные
колебания, если в начальный момент частицы 1 и 3 смещены навстречу
друг другу на одинаковые расстояния. Начальные скорости частиц равны
нулю.
6.32. Система рис. 29 имеет вырожденные частоты, поэтому ее нор-
мальные колебания не определены однозначно. Даже малое изменение масс
частиц или жесткостей пружинок может привести к снятию вырождения.
Найти нормальные колебания системы рис. 29, близкие к нормальным
колебаниям системы, которая получится, если:
а) к первой и второй частицам добавить одинаковые перегрузки;
б) изменить одинаково жесткость пружинок 1-2 и 3-4;
в) добавить перегрузок к первой частице.
6.33. Частицы 1 и 3 системы, описанной в задаче 6.32 б, в начальный
момент отклонены от положения равновесия на одинаковое расстояние на-
встречу друг другу; начальные скорости всех частиц равны нулю. Описать
свободные колебания системы.
6.34. Определить, насколько изменяются собственные частоты систе-
мы, описываемой функцией Лагранжа
Ьо 2 XjXj hjXiXj)
i,3
при небольшом ее изменении:
5L = — SkijXiXj').
Все собственные частоты исходной системы невырождены.
6.35. Найти изменение собственных частот системы рис. 31, если к
первой частице добавлен малый перегрузок 5т, так что е = 5т/т С 1.
6.36. Определить свободные колебания анизотропного заряженного
осциллятора с потенциальной энергией
[/(r) = ^bV + ^2V + ^2)
в однородном магнитном поле &€, параллельном оси z. Рассмотреть, в част-
ности, подробнее предельные случаи:
a) < Pi ~^2|>
6.39] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 35
б) W1, 2,
В) Wi = W2 »
(здесь Шуе = 'М/тс).
6.37. Определить свободные колебания анизотропного гармоническо-
го осциллятора с потенциальной энергией
[/(г) = ^Нх2 + сэ22у2 + сЭз2г2)
в слабом магнитном поле = (Э^, О, -^z), рассматривая влияние магнит-
ного поля как малое возмущение.
6.38. Математический маятник является
частью электрической цепи (рис. 34). Перпен-
дикулярно к плоскости рисунка приложено по-
стоянное однородное магнитное поле Ж. Найти
нормальные колебания системы.
6.39. Пусть система, совершающая ма-
лые колебания (а следовательно, и ее функция
Лагранжа L(x, х)) не изменяет своего вида при
замене
X j ' Sij Xj , Xi > ' Sij Xj , i, j — 1,2,..., TV,
3 3
причем постоянные коэффициенты Sij = Sji удовлетворяют условию1
3
Доказать, что:
а) если нормальное колебание Xi — Ai cos(wi + ip) невырожденное, то
амплитуды Ai симметричны или антисимметричны относительно данного
преобразования, т. е. или ][2 SijAj = +Ai, или ][2 &ijAj = А/’
3 3
б) если частота вырождена, то можно выбрать нормальные колебания
симметричными или антисимметричными;
'Это условие означает, что при двукратном преобразования система возвращается в ис-
ходное состояние. Таким свойством обладают, например, отражения относительно плоскости
симметрии системы или повороты на 180° относительно оси симметрии.
36
Задачи
[6.40
в) если на систему действует внешняя сила, симметричная (антисим-
метричная) относительно данного преобразования, то антисимметричные
(симметричные) нормальные колебания не возбуждаются. (Это один из при-
меров так называемых правил отбора.)
6.40. Используя соображения симметрии,
найти нормальные колебания системы рис. 35.
6.41. Описать свободные колебания систе-
мы (см. рис. 32), если в начальный момент части-
цы 1 и 4 смещены навстречу друг другу на одина-
ковые расстояния в горизонтальном направлении, а
начальные скорости всех частиц равны нулю. Натя-
жение пружинок / = kl-j.; I — Zi С Z, где I — рав-
новесное расстояние между частицами (ср. с зада-
чей 6.31).
6.42. Найти поправки к частотам нормальных колебаний системы
четырех частиц на кольце (рис. 29), возникающие при малых изменениях
масс — на 3mi для первой и на Зги? для второй частицы.
6.43 а. Используя соображения симметрии, определить векторы нор-
мальных колебаний системы частиц (рис. 36 а). Все массы частиц и пру-
жинки одинаковы.
Рис. 36 а
Рис. 36 б
6.47] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 37
6.43 б. Найти собственные колебания «весов» рис. 36 б. Подвес жест-
кой рамки BCD осуществлен с помощью короткой гибкой нити, допус-
кающей любые повороты рамки вокруг точки С. Длины стержней ВС =
= CL = I, BD = длины нитей АВ = DE = 31. В точках А, В, D, Е
закреплены одинаковые грузики. Массы стержней и нитей не учитывать.
6.44. Найти нормальные колеба-
ния системы восьми масс, прикреплен-
ных пружинками к неподвижной рамке
(рис. 37). Жесткости к, натяжения / и
длины I всех пружинок одинаковы.
6.45. Рамка, изображенная на
рис. 37, колеблется вдоль направле-
ния АА по закону acosyt. При ка-
ких значениях частоты 7 возможна ре-
зонансная раскачка колебаний?
6.46. Найти нормальные колебания линейной
симметричной молекулы ацетилена С2Н2 (рис. 38),
предполагая, что потенциальная энергия молекулы
зависит как от расстояния между соседними атома-
ми, так и от углов НСС.
•----•------•------•
н С С н
Рис. 38
Рис. 40
6.47. Две одинаковые частицы прикреплены пружинками к неподвиж-
ной рамке (рис. 39). Система симметрична относительно оси СЕ. Какие
сведения о нормальных колебаниях можно получить, не зная жесткостей и
натяжении пружинок?
38
Задачи
[6.48
6.48. Классифицировать собственные колебания молекулы этиле-
на С2Н4 по их свойствам симметрии относительно осей АВ и CD (рис. 40).
В положении равновесия все атомы молекулы расположены в одной плос-
кости.
6.49. Найти нормальные колебания молекулы, имеющей форму рав-
ностороннего треугольника. Считать, что потенциальная энергия зависит
только от расстояний между атомами (все атомы одинаковы). Момент с точ-
ностью до малых первого порядка включительно по амплитуде колебаний
равен нулю.
6.50. Молекула АВ3 имеет форму правильного треугольника, в центре
которого находится атом А, а в вершинах — атомы В (такова, например,
молекула хлорида бора BCI3).
а) Используя соображения симметрии, определить кратность вырожде-
ния собственных частот молекулы.
б) Определить, насколько изменятся частоты колебаний, оставляющих
молекулу равносторонним треугольником, и колебаний, выводящих атомы
из плоскости, если один из атомов В (его масса т) заменить его изотопом,
близким по массе (т + 5т). Масса атома А равна гп
6.51. Используя соображения симметрии, определить кратность выро-
ждения различных собственных частот «молекулы», состоящей из четырех
одинаковых «атомов» и имеющей в положении равновесия форму правиль-
ного тетраэдра.
6.52. Молекула метана СН4 имеет форму правильного тетраэдра,
в вершинах которого расположены атомы водорода, а в центре — атом уг-
лерода.
а) Определить кратности вырождения собственных частот молекулы.
б) На скольких различных частотах происходит резонансное возбужде-
ние собственных колебаний молекулы СН4, если на нее действует одно-
родное переменное электрическое поле? (Речь идет фактически об элек-
тромагнитных волнах инфракрасного диапазона, длина волны которых на
несколько порядков больше размеров молекулы.) Учесть, что атомы водо-
рода и углерода имеют заряды противоположных знаков.
Как зависит амплитуда колебаний атома углерода от ориентации моле-
кулы по отношению к электрическому полю?
7.4] § 7. Колебания линейных цепочек
§ 7. Колебания линейных цепочек
39
Рассматриваемые в задачах этого параграфа цепочки частиц, соединенных пру-
жинками, представляют собой простейшие модели, используемые в теории твердого
тела (см., например, [18]). Электрические аналоги таких цепочек — искусственные
линии, находящие применение в радиотехнике (см., например, [16]).
Рис. 41 Рис. 42 а
А
7.1. Определить нормальные колебания системы N оди-
наковых частиц массы т, связанных одинаковыми пружинками
жесткости к и могущих двигаться по прямой (рис. 41).
УКАЗАНИЕ. Удобно искать нормальные колебания в виде суперпо-
зиции бегущих волн. т '
_ „ . „„ . (ЛГ-1)/
7.2 а. То же для системы (рис. 42 а), один из концов кото-
рой свободен. т,
7.2 б. Определить нормальные колебания системы Л’ плос-
ких маятников, подвешенных друг к другу (рис. 42 6). Массы
всех маятников одинаковы, длины равны 7V7, (7V—1)/, ..., 21, I, т ' 21
считая сверху. ™
7.3. Найти свободные колебания N частиц, соединенных „ _
Рис. 42 б
пружинками и могущих двигаться по кольцу (рис. 43).
Массы всех частиц и жесткости пружинок одинаковы.
Пусть движение представляет собой бегущую по кольцу Tv %-
волну. Проверить, что поток энергии равен произведению Д
линейной плотности энергии на групповую скорость.
7.4. Определить свободные колебания системы ча-
стиц, могущих двигаться по прямой:
a) 2N частиц с массами т и М, соединенных оди- рис
паковыми пружинками жесткости к (рис. 44);
б) 2N частиц с массами т, соединенных пружинка-
ми жесткости к п К (рис. 45);
40
Задачи
[7.5
в) 2N + 1 частиц с массами т, соединенных пружинками жесткости к
и К (рис. 46). См. указание к задаче 7.1.
Рис. 44 Рис. 45
7.5. а) Найти установившиеся колебания системы, описанной в зада-
че 7.1, если точка А движется по закону a cos 77 (рис. 41).
б) То же для системы, изображенной на рис. 42.
7.6. То же для системы рис. 44.
7.7. Найти нормальные колебания системы частиц, могущих двигать-
ся по прямой и соединенных пружинками, если
a) rrii = т тц, г = 1, 2, ..., N — 1, жесткости пружинок одинаковы
(рис. 47); исследовать случаи ;г;;у >>/п и /п.у </п:
б) ki = к A^+i, г = 1, 2, ..., N, все частицы одинаковы (рис. 48);
исследовать случаи kN+i к и kN+i С к.
Рис. 46
Рис. 47 Рис. 48
7.8. a) N маятников связаны пружинками и могут двигаться лишь
в вертикальной плоскости, проходящей через горизонтальную линию под-
веса (рис. 49). Найти нормальные колебания системы, если все маятники
и пружинки одинаковы и в положении равновесия длина пружинки равна
расстоянию между точками подвеса соседних маятников.
б) Найти вынужденные колебания системы рис. 49, если на последнюю
7.9]
§ 7. Колебания линейных цепочек
41
/////////////// ////////
I
k
^WV\*WV”"vW
Рис. 49
частицу действует вынуждающая сила F(t) = Fsinyt параллельно линии
подвеса.
в) 2N одинаковых маятников связаны одинаковыми пружинками и мо-
гут двигаться лишь в вертикальных плоскостях, перпендикулярных круго-
вой линии подвеса (рис. 50). Расстояние между соседними точками подвеса
равно а. Длина каждой из пружинок в нерастянутом состоянии равна Ь.
Исследовать, как зависит устойчивость малых колебаний вблизи вертикали
от значения параметра b — а. Радиус окружности линии подвеса R считать
достаточно большим, так чтобы малыми величинами 1/R, а/R, Ъ/R можно
было пренебречь.
Рис. 52
7.9. а) К одному концу искусственной линии рис. 51 подключен
источник переменного напряжения U cos yi. Какую цепочку Z из сопротив-
ления R и индуктивности (или емкости?) следует подключить к другому
концу линии, чтобы колебания в линии представляли собой бегущую волну,
42
Задачи
[7.10
т. е. чтобы напряжение на каждом из конденсаторов отличалось от напря-
жения на соседнем только определенным сдвигом фазы?
б) То же для искусственной линии рис. 52.
7.10. Упругий стержень можно представить как предельный случай
системы N частиц (см. рис. 41) при условии N —> оо, а —> 0, причем
Nm = const и Na = const, где т — масса частицы, а — расстояние
между соседними частицами в положении равновесия. Получить уравнения
колебаний стержня как предел уравнений движения дискретной системы.
УКАЗАНИЕ. Ввести координату точки стержня £ = па, а также величины,
получаемые при предельном переходе а —> 0
х(£,,
дх _ цш хп(1) — xn-i(t)
N а
7.11. Получить уравнение колебаний стержня предыдущей задачи
с учетом первой неисчезающей поправки, связанной с конечностью рассто-
яния а между соседними частицами.
§ 8. Нелинейные колебания
8.1. Определить искажение гармонического колебания осциллятора,
вызванное наличием ангармонических поправок к потенциальной энергии:
a) 6U(x) = б) 5U(x) =
8.2. Определить искажение гармонического колебания осциллятора,
вызванное ангармонической поправкой к кинетической энергии
. о
г_ тухх
5Т = ^^-
8.3. Найти ангармонические поправки к колебаниям маятника, точка
подвеса которого движется по окружности (рис. 15).
8.4. Найти колебания осциллятора под действием силы Д coswit +
з
+ /2 cosw2£ с учетом ангармонической поправки SU(x) = т(хх .
8.8]
§ 8. Нелинейные колебания
43
8.5. Маятник представляет собой грузик массы т, подвешенный на
пружинке жесткости к. Длина ненапряженной пружинки Zq- Найти ангар-
монические поправки к колебаниям маятника.
Воспользоваться декартовыми координатами отклонения грузика от по-
ложения равновесия.
8.6. Найти амплитуду установившихся колебаний ангармонического
осциллятора
х + 2Хх + CVQX + /Зж3 = f cos cot
а) в области резонанса |w — wq| < <До;
б) в области резонанса на утроенной частоте вынуждающей силы
|3w - со’о < ж’о*
8.7. а) Определить амплитуду и фазу установившегося колебания
осциллятора при параметрическом резонансе:
х + 2Хх + с^о(1 + hcos2cet')x + /Зж3 = О
(Л. < 1, |w —/Зж2<с^о).
б) Определить амплитуду третьей гармоники установившегося колеба-
ния.
т 2г Зг 4г
Рис. 53
8.8. Определить колебание осциллятора
х + Wq(1 + hcos2cet)x = 0 (h < 1, р — cjq| < с^о)
а) в области неустойчивости относительно параметрического резо-
нанса;
б) вблизи области неустойчивости.
44
Задачи
[8.9
8.9. Частота гармонического осциллятора меняется по закону,
изображенному на рис. 53. Найти области неустойчивости относительно
параметрического резонанса.
8.10. Определить, как изменяются со временем амплитуды слабо
связанных осцилляторов, функция Лагранжа которых
L = у (ж2 + у2 — с^2ж2 — 4ж2у2 + 2аж2у).
8.11. Найти частоту малых свободных колебаний маятника, точка
подвеса которого совершает вертикальные колебания с большой частотой у
(7 » у/д/А
8.12. Определить эффективную потенциальную энергию:
а) частицы массы т, находящейся в поле
П(г) = ,------------ - ,------: (г » а);
г — acoscji г + acoswi|
б) осциллятора, находящегося в поле
ТТ, \ .-> ar cos ж/
(Дг) = 2а---------.
8.13. Определить движение быстрой частицы, влетающей в поле U =
= А(х2 — у2) sin kz под малым углом к оси z (к2Е А).
8.14. Определить скорость смещения центра орбиты заряженной ча-
стицы в слабо неоднородном магнитном поле А€х = = 0, ,A€Z = ,А€(х),
причем
г = х тпус
Ж (ж) ’ еЖ (ж) ’
где г — радиус орбиты.
8.15. Задача представляет собой механическую модель фазовых пе-
реходов второго рода.
Железный шарик массы т может колебаться вдоль оси у на пружинке,
потенциальная энергия которой имеет вид U(y) = —Су2+Ву4.1 С помощью
'Такова, например, потенциальная энергия системы, изображенной на рис. 13, если ша-
рик может двигаться лишь в направлении оси у, перпендикулярной к линии АВ, и длина
нерастянутой пружинки Iq больше I. В этом случае при |j/| «С I имеем
С = к(10 -Г)/1, B = klo/4l3.
9.2] § 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 45
электромагнита возбуждают колебания шарика по закону уо cos yt, причем у
много больше частоты его собственных колебаний1.
Найти частоту малых собственных колебаний шарика в зависимости
от параметра Т = у^.
§ 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы
отсчета
9.1. В вершинах квадрата со стороной 2а расположены массы т и М
(рис. 54, я). Найти компоненты тензора инерции относительно:
а) осей х, у, z;
б) осей х', у', совпадающих с диагоналями квадрата, и z.
9.2. Найти главные оси инерции и главные моменты инерции следу-
ющих систем:
а) массы т и М расположены в вершинах прямоугольника со сторо-
нами 2а и 26 (рис. 54, б).
б) массы т и 2m расположены в вершинах прямоугольного треуголь-
ника с катетами 2а и 4а (рис. 54, в).
'При действии высокочастотной силы /(t) = — (j/o72/m) cos7t в пределе у оо ам-
плитуда вынужденных колебаний стремится к уо, поправки к амплитуде и высшие гармоники
имеют малость ~ 7-2.
46
Задачи
[9.3
9.3. Выразить момент инерции /„ относитель-
но оси, параллельной единичному вектору п и прохо-
дящей через центр инерции тела, через компоненты
тензора инерции.
9.4. Найти главные моменты инерции шара
радиуса R, имеющего внутри полость в форме шара
радиуса г (рис. 55).
9.5. Выразить компоненты тензора квадрупольного момента масс
Dik = / (ЗЖгЖ/г - r25ik)pdV
(р — плотность) через компоненты тензора инерции 1^.
9.6. Найти частоту малых колебаний однородного полушара, находя-
щегося на гладкой горизонтальной поверхности в поле тяжести.
9.7. На покоившуюся гантельку, состоящую из пары касающихся
одинаковых шариков, налетает третий такой же. Скорость его V перпен-
дикулярна линии центров гантельки и направлена к центру одного из ее
шариков. Найти скорость шарика и гантельки после столкновения. Удар
упругий.
9.8. Какова станет продолжительность суток, когда они сравняются
(за счет действия приливных сил) с месяцем (т. е. период обращения Земли
вокруг оси станет равным периоду обращения Луны вокруг Земли). Принять
для простоты, что ось вращения Земли перпендикулярна плоскости орбит
Земли и Луны. Для численных оценок считать Землю однородным шаром
радиусом а = 6,4 тыс. км и массой М, в 81 раз большей массы Луны т;
расстояние от Земли до Луны R = 380 тыс. км.
9.9. Два одинаковых однородных шара, вращающихся с одинако-
выми по величине угловыми скоростями ш, медленно сблизившись, жестко
состыковываются друг с другом. Определить движение образовавшегося те-
ла. Найти, какая часть начальной кинетической энергии переходит в тепло.
До состыковки угловые скорости шаров были направлены:
а) перпендикулярно линии центров и параллельно друг другу;
б) одна — вдоль линии центров, другая — перпендикулярно.
9.14] § 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета
47
9.10 а. Однородный шар радиуса г и мас-
сы т катится, не проскальзывая, по горизон-
тальной плоскости со скоростью V. В момент,
когда он касается другого такого же шара, ле-
жавшего неподвижно, шары жестко скрепля-
ются (рис. 56 а). Плоскость абсолютно гладкая
(после скрепления шары свободно скользят по Рис. 56 а
ней).
С какими силами действуют на плоскость шары? Ускорение свободного
падения достаточно велико, так что шары все время касаются плоскости.
9.10 б. В двух противоположных вершинах А и С однородного пря-
моугольного параллелепипеда находятся шаровые шарниры, так что он мо-
жет свободно вращаться вокруг диагонали АС' (рис. 56 б). Найти силы,
действующие на шарниры при вращении па-
раллелепипеда с угловой скоростью О.
9.11. На однородный эллипсоид враще-
ния (полуоси а = Ь, с) налетает частица, дви-
жущаяся параллельно оси Оу со скоростью v
и прицельными параметрами pi, р-2 (рис. 57),
и прилипает к нему. Описать движение эллип-
соида, предполагая, что его масса много боль-
ше массы налетающей частицы.
9.12. Гирокомпас представляет собой
быстро вращающийся диск, ось которого мо-
жет свободно поворачиваться в горизонталь-
ной плоскости (рис. 58). Исследовать движе-
ние гирокомпаса на широте а. Угловая ско-
рость вращения Земли П.
9.13. Волчок с неподвижной точкой опоры О, вращавшийся с угло-
вой скоростью Q вокруг своей оси (скорость прецессии считаем малой),
касается горизонтальной плоскости краем диска (рис. 59).
Найти угловую скорость волчка, когда проскальзывание диска прекра-
тится. В момент касания нутаций не было.
9.14. В поле тяготения неподвижной точечной массы ЛГ движется
однородное тело массы т, имеющее форму эллипсоида вращения. Найти
функцию Лагранжа системы, выбрав в качестве переменных сферические
48
Задачи
[9.15
координаты центра тяжести и углы Эйлера. Размеры тела малы по сравне-
нию с расстоянием до центра поля.
УКАЗАНИЕ. Потенциальная энергия системы приближенно равна
(/(R)-wW + i ta-gg,
i, k=l
где R = (Л1, X2, X3) — радиус-вектор центра эллипсоида, />,/. — тензор квад-
рупольного момента масс (см. задачу 9.5), ip(R) = —^M/R — потенциал поля
тяготения (ср. [2], §42).
9.15. Определить угловую скорость прецессии земной оси под вли-
янием притяжения Солнца и Луны. Наклон земной оси к плоскости орбит
Земли и Луны равен 67°. Для простоты Землю считать однородным эл-
липсоидом вращения, полярная полуось которого с меньше экваториальной
полуоси а, причем а а с ~
9.20] § 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета
49
9.16. Составить уравнения движения для проекций момента на по-
движные оси координат, выбранные по осям инерции. Проинтегрировать
эти уравнения для свободного движения симметрического волчка.
9.17. Исследовать устойчивость вращения ассиметрического волчка
относительно главных осей инерции с помощью уравнений Эйлера.
9.18. Однородный шар радиуса а движется по внутренней поверх-
ности вертикального цилиндра радиуса Ь, не проскальзывая. Найти закон
движения шара.
9.19. а) Плоский симметричный относительно своей оси диск катит-
ся по гладкой горизонтальной плоскости (трение отсутствует). Определить
закон движения диска (в квадратурах).
Исследовать подробнее закон движения в следующих случаях.
Определить, при каких условиях угол наклона диска к плоскости оста-
ется постоянным.
Диск катится так, что его ось сохраняет определенное (горизонтальное)
направление. Определить, при какой угловой скорости вращения вокруг
этой оси такое движение устойчиво.
б) Диск катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости.
Найти уравнения движения и ответить на те же вопросы, что и в пункте а).
в) То же для диска, который катится по горизонтальной плоскости, не
проскальзывая и не проворачиваясь вокруг вертикальной оси1.
г) Находящийся на наклонной плоскости диск вращается без проскаль-
зывания вокруг своего диаметра, перпендикулярного этой плоскости. Найти
смещение диска за большое время. Наклонная плоскость составляет малый
угол а с горизонтальной.
9.20. а) Найти в квадратурах закон движения неоднородного шара,
который движется без трения по горизонтальной плоскости. Распределение
плотности симметрично относительно оси, проходящей через центр масс и
геометрический центр шара.
Исследовать влияние малых сил трения на движение шара в случае,
когда в отсутствие трения шар двигался бы так, что угол между осью сим-
метрии и вертикалью был бы постоянным.
'Это означает, что сцепление диска с плоскостью в «точке» соприкосновения таково, что
площадка в месте контакта не скользит по плоскости и не проворачивается. Потерями энергии
на трение качения пренебречь.
50
Задачи
[9.21
б) Найти уравнения движения описанного шара, если он катится без
проскальзывания по горизонтальной плоскости.
9.21. Найти отклонения к востоку и к югу от вертикали свободно
падающего с высоты h тела. Начальная скорость тела равна нулю.
9.22. 1 Сосуд, частично заполненный постепенно затвердевающей эпок-
сидной смолой, приводят во вращение с угловой скоростью а?2 вокруг
оси АВ, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной оси CD
с угловой скоростью (рис. 60). Какую форму примет, затвердев, поверх-
ность смолы?
9.23. Частица движется в центральном поле U(r). Найти уравнение
траектории и закон движения в системе координат, равномерно вращаю-
щейся с угловой скоростью 12, параллельной моменту импульса М.
9.24. Найти малые колебания частицы т, прикрепленной пружинка-
ми жесткости fci и /с2 к рамке, вращающейся в своей плоскости с угловой
скоростью 12 (рис. 61). Частица может двигаться в плоскости рамки.
2 у2
9.25. Гладкий параболоид 2z = ур + ^- вращается вокруг вертикаль-
ной оси z с угловой скоростью са. При каком значении нижнее положение
неустойчиво для частицы, находящейся внутри параболоида? Ускорение си-
лы тяжести g = (0, 0, —д).
1 Задача В. С. Кузьмина и М. П. Перельройзена.
10.3]
§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
51
9.26. Рамка с частицей массы т, закрепленной ill
на пружинках (длины которых I, коэффициенты жест- р
кости к и натяжения при неподвижной рамке Л враща-
WWA»WWVA
ется с угловой скоростью у вокруг оси z, смещенной
на расстояние а от центра рамки (рис. 62). ------------1--
Определить равновесное расстояние частицы от 1
оси и исследовать его устойчивость.
Рассмотреть следующие случаи: ^,1С'
а) частица может двигаться только вдоль пружин;
б) возможны любые смещения частицы.
9.27. Две звезды движутся по окружностям вокруг их центра масс.
В системе отсчета, в которой звезды неподвижны, найти такие точки, в ко-
торых помещенное там легкое тело также остается неподвижным. Исследо-
вать устойчивость этих «положений равновесия». (Ограничиться точками,
не лежащими на прямой, соединяющей звезды.)
9.28. Определить нормальные колебания трехатомной молекулы, опи-
санной в задаче 6.49, если ее момент импульса М не равен нулю. Угловая
скорость вращения молекулы О С у/к/гпс, здесь к — коэффициент жестко-
сти связи. Момент импульса перпендикулярен к плоскости молекулы.
§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
10.1. Пусть функция Гамильтона Н системы частиц не изменяется
при бесконечно малом переносе (повороте). Вывести отсюда закон сохра-
нения импульса (момента импульса).
10.2. Найти функцию Гамильтона свободно движущегося симметри-
ческого волчка, выбрав в качестве координат эйлеровы углы в, р, i/i.
10.3. Определить функцию Гамильтона ангармонического осцилля-
тора, функция Лагранжа которого
9 2 2
Т X (XX 3 I п -2
L = —--------— — ах + рхх .
10.4 а. Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой
9
Н(х, р) = ^ +
2 2
XqX
2
2 ) '
52
Задачи
[10.5
10.4 б. То же для Н(х, р) = А^/р — xF.
10.5. Найти уравнения движения частицы, функция Гамильтона ко-
торой Н(р, г) = (луч света).
п(г)
Найти траекторию, если п(г)
ах.
10.6. Найти функцию Лагранжа, если функция Гамильтона равна
а) Я(р, г) = - pa (а = const); б) Я(р, г) =
10.7. Найти закон движения заряженной частицы в однородном по-
стоянном магнитном поле решая уравнения Гамильтона. Векторный
потенциал выбрать в виде
Ау = Жх, Ах = Az = 0.
10.8. Исследовать качественно движение заряженной частицы в неод-
нородном магнитном поле, описываемом векторным потенциалом А =
= (0, hx2, 0). Сравнить с дрейфовым приближением.
10.9. Показать, что задача о движении двух частиц с противопо-
ложными зарядами (е и — е) в однородном магнитном поле приводится к
задаче о движении одной частицы в заданных потенциальном и магнитном
полях [30].
В задачах 10.9-10.13 идет речь о движении электронов в металле или полу-
проводнике. Электроны в твердом теле представляют собой систему частиц, взаи-
модействующих как друг с другом, так и с ионами, образующими кристаллическую
решетку. Их движение описывается квантовой механикой. В теории твердого тела
часто удается привести задачу о движении многих взаимодействующих частиц, со-
ставляющих тело, к задачам о движении отдельных свободных частиц (называемых
квазичастицами — электронами или дырками в зависимости от знака заряда), имею-
щих, однако, сложную зависимость энергии от импульса е(р) («закон дисперсии»)1.
'Например, для дырок в кристаллах германия и кремния
£(р) = [ЛР2 ± \/В2р4 + С2 (p*pv + р2р2 + р»₽2) ] ’
где оси координат выбраны в соответствии с симметрией кристаллов, т — масса электрона, а
константы А, В, С имеют следующие значения:
А В С
Ge Si -13,1 -4,0 8,3 1,1 12,5 4,1
10.14]
§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
53
Во многих случаях оказывается возможным рассматривать движение квазичастиц с
помощью классической механики. Функция е(р) является периодической функци-
ей с периодом, равным периоду так называемой обратной решетки2. В остальном
рассматриваемые далее зависимости е(р) можно считать произвольными.
10.10. Известно, что е(р) является периодической функцией р с пери-
одом, равным периоду обратной решетки, умноженным на 2тг/г (например,
для кубической решетки с периодом а период е(р) равен 2тгЙ./а).
Определить закон движения электрона в однородном электрическом
поле <?.
УКАЗАНИЕ К ЗАДАЧАМ 10.11-10.13. В этих задачах удобно, кроме обобщенно-
го импульса Р, ввести кинематический импульс р = Р — |А, где А — векторный
потенциал магнитного поля.
10.11. Полагая функцию Гамильтона
Я(Р, г) =£(Р-|А)+е^,
получить уравнения движения (заряд электрона е < 0).
10.12. а) Найти интегралы движения электрона в твердом теле в од-
нородном магнитном поле. Как выглядит «траектория» в импульсном про-
странстве?
б) Доказать, что проекция траектории электрона в однородном магнит-
ном поле на плоскость, перпендикулярную к , в обычном пространстве
получается из траектории в импульсном пространстве поворотом и измене-
нием масштаба.
10.13. Выразить период обращения электрона в однородном магнит-
ном поле через площадь S(E, руе) сечения поверхности в е(р) = Е в
AZ/0
импульсном пространстве плоскостью р^ = р —- = const.
10.14. Вычислить скобки Пуассона:
a) {Mi, Xj}, {Mi, pj}„ {Mi, Mj};
6) {ap, br}, {aM, br}, {aM, bM};
в) {M, rp}, {p, rn{, {p, (ar)2}.
Здесь Xi, pi, Mi — декартовы компоненты векторов, a, b — постоянные
векторы.
2Например, для кристалла, решетка которого обладает в направлении оси х наименьшим
периодом а, имеем е(рх, ру, pz) = е{рх + ^д^, ру, Pz\ где h — постоянная Планка.
54
Задачи
[10.15
10.15. Вычислить {Aj, Aj], где
Ai = |(ж2 + р2 - у2 -'Р2^-, А2 = ^(ху+рхРу),
Аз = ^(хру - урх), А4 = ж2 + у2 +р2х+р2.
10.16. Вычислить {Мг, Ajk}, {Ajk, Ац}, где ЛЛ = хгхк + ргрк.
10.17. Показать, что {Мг, р} = 0, где р — любая скалярная функция
координат и импульсов частицы.
Показать, что {Mz, f} = [nf], где n — единичный вектор в направлении
оси z, a f — векторная функция координат и импульсов частицы, т. е. f =
= грз +рр2 + [гр] Рз И Pi = рг(г2, р2, (гр)).
10.18. Вычислить скобки Пуассона {f, аМ}, {fM, 1М), где а =
= const, a f и 1 — векторные функции г и р.
10.19. Найти {Mf, где Мр, — проекции момента импульса на
оси £, £ декартовых координат, жестко связанных с вращающимся твердым
телом.
10.20. Составить уравнения движения проекции Ма момента им-
пульса на оси, связанные со свободно вращающимся телом. Функция Га-
мильтона
н = |
а, /3
10.21. В этой задаче рассматривается модель электронного и ядерного
парамагнитного резонанса (см. [18], гл. IX). Функция Гамильтона намагни-
ченного шара в однородном магнитном поле J'S? имеет вид
Я = - уМ^.
где I — момент инерции шара, у — гиромагнитное отношение.
Составить уравнения движения вектора момента импульса М и найти
закон его движения в случаях:
а) Ж = (0, 0, ^ь);
б) = («Ж cos cut, .Afisincut, ,Afo) и в начальный момент М =
= (0, 0, Мо).
10.22. Найти {iy, Vj} для частицы в магнитном поле.
10.26]
§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
55
10.23. Доказать, что значение любой функции координат и импульсов
системы q(t\) выражается через значения р и q в момент 4 = 0
формулой
/ОО), q(t)) = / + ^{Я, /} + |{Я, {Я, /}} + ...,
где
/ =/(р(0), 9(0)), а Я = Я(р(0), д(0))
— функция Гамильтона. (Ряд предполагается сходящимся.)
Вычислить с помощью этой формулы p(t), q(t), p2(t), для:
а) частицы в однородном поле;
б) осциллятора.
10.24. Доказать равенства
а) {/01, 91), Ф(<Г(РЬ 91), Р2, 92, •••)} = 1р{/, И;
О(р
б) {/01, 91, Р2, 92), Ф(<гО1, 91, Р2, 92), Рз, 9з, •••)} =
в) {f(p, q), ф(^1(р, 9), Г2(р, 9) •••)} = Е ятО рЛ-
г
f
10.25. а) Пусть функция Гамильтона зависит от переменных gi, pi
лишь через посредство функции /(91, pi)
Я = H(J(cp, Pl), <?2, Р2, • • • , QN, Pn)-
Доказать, что /(91, pi) есть интеграл движения.
б) Найти интегралы движения частицы в поле U = (использовать
сферические координаты). г
10.26. Как известно, для частицы в поле U = —а/г существует
интеграл движения Г|Г
а) Вычислить скобки Пуассона {Д^, Aj], {Aj, Mj}.
б) В случае финитного движения (Я < 0) для векторов J12 =
= Ом ± , / —А ) вычислить скобки Пуассона
2 \ у — 2л /
{Н, J1, 2}, {hi, hj}, {Лг, 'hj}, {'hi, hj}
и сравнить их со скобками Пуассона для компонент момента импульса М.
Выразить функцию Гамильтона Я через / и J2.
56
Задачи
[11.1
§11. Канонические преобразования
11.1. Найти каноническое преобразование, задаваемое производящей
функцией:
a) F(q, Q, f) = ctg Q.
Записать уравнения движения в переменных Q и Р для гармонического
осциллятора с частотой w(t).
б) F(q, Q, t) = hniv\q - ctgQ.
z L mu J
Записать уравнения движения в переменных Q и Р для гармонического
осциллятора, на который действует внешняя сила F(t).
11.2. Найти производящую функцию вида Ф(р, Q), приводящую к то-
му же каноническому преобразованию, что и F(q, Р) = q2ep.
11.3. Какому условию должна удовлетворять функция Ф(</, Р), чтобы
ее можно было использовать в качестве производящей функции канониче-
ского преобразования?
Рассмотреть, в частности, пример
Ф(д, Р) = q2 + Р2.
11.4. Показать, что для системы с одной степенью свободы поворот
в фазовом пространстве (</, р) является каноническим преобразованием.
11.5. Рассматриваются малые колебания ангармонического осцилля-
тора, функция Гамильтона которого
^2 о 9
Н = Р- + ^+^+(3Хр2
и |ож| ш2, |/Зж| < 1. В каноническом преобразовании, задаваемом про-
изводящей функцией Ф = хР + ах2Р + ЬР3, подобрать параметры а и Ь
так, чтобы новая функция Гамильтона с точностью до членов первого по-
рядка по a:c<;_2Q, [3Q включительно не содержала ангармонических членов,
и найти x(t).
11.6. В каноническом преобразовании, задаваемом производящей
функцией Ф = хР + ах3Р + ЬхР3, подобрать параметры а и Ь так, что-
2 2 2
бы малые колебания ангармонического осциллятора Н = —h [3xi
11.11]
§11. Канонические преобразования
57
в новых переменных Q, Р сводились к гармоническим. Членами второго
порядка по (3oj~2Q2 в новой функции Гамильтона пренебречь.
11.7. Показать, что преобразование
Ру Рх
х = X cos А + —— sin X, у = Y cos А + —— sin А,
liLO) ° lilO)
ру = —mwX sin A + Py cos A, px = —mwY sin A + Px cos A
является каноническим. Найти новую функцию Гамильтона, Н'(Р, Q), если
Я(^ = ^ + ^2+У2)
(ср. с задачей 11.17). Описать движение двумерного осциллятора при Y =
= Ру = 0.
11.8. Используя преобразование предыдущей задачи, привести функ-
цию Гамильтона изотропного гармонического осциллятора в магнитном по-
ле, заданном векторным потенциалом А = (0, 0), к сумме квадратов
и найти закон его движения.
11.9. С помощью канонического преобразования привести к диаго-
нальному виду функцию Гамильтона анизотропного заряженного осцил-
лятора с потенциальной энергией U(r) = + ix>2y2 + ш2?2), нахо-
дящегося в однородном постоянном магнитном поле, заданное векторным
потенциалом А = (0, 0).
11.10. Применяя каноническое преобразование задачи 11.7 к парам
нормальных координат, соответствующих стоячим волнам системы частиц
на кольце (см. задачу 7.3), получить координаты, соответствующих бегущим
волнам.
11.11. Показать, что преобразование
X = 1_____(V2A sinQi + Р2),
у/та)
\J та) /----
Px = 2 (v2pi sin<51 - Q2),
У = 2—(у/2А cosQi + Q2),
у/та)
х/та) z ,--------
РУ = —2~ sin <51 + Р2)
58
Задачи
[11.12
является каноническим. Найти уравнения Гамильтона частицы в магнитном
поле, заданном векторным потенциалом А = в новых
переменных. Здесь ш
11.12. Каков смысл канонического преобразования, задаваемого про-
изводящей функцией Ф(у, Р) = aqP?
11.13. Показать, что градиентное преобразование потенциалов элек-
тромагнитного поля является каноническим преобразованием для коорди-
нат и импульсов заряженных частиц, и найти соответствующую производя-
щую функцию.
11.14. Как известно, замена функции Лагранжа L(g, <j, t) на
q, t) = L(q, q, t) + ,
где f(q, t) — произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа. По-
казать, что это преобразование является каноническим, и найти его произ-
водящую функцию.
11.15. Найти производящую функцию канонического преобразова-
ния, состоящего в переходе от q(t), p(t) к Q(t) = q(t + г), P(t) = p(t + г),
т = const для:
а) свободного движения,
б) движения в однородном поле, U(q) = —Fq;
в) осциллятора.
11.16. Выяснить смысл канонических преобразований, задаваемых
производящими функциями:
а) Ф(г, Р) = гР + 5аР;
б) Ф(г, Р) = гР + 5<£>[гР];
в) Ф(</, Р, t) = qP + 5rH(q, Р, t);
г) Ф(г, Р) = гР + до-('г2 + Р2),
где г — декартовы координаты, а 5а, 5р, 5т, 5а — бесконечно малые пара-
метры.
11.17. Показать, что каноническое преобразование, задаваемое про-
изводящей функцией
Ф(ж, у, Рх, Ру) = хРх + у Ру + е(ху + РхРу),
где г- 0, представляет собой поворот в фазовом пространстве.
11.23]
§11. Канонические преобразования
59
11.18. Указать производящие функции для бесконечно малых кано-
нических преобразований, представляющих собой:
а) винтовое движение;
б) преобразование Галилея;
в) переход к вращающейся системе отсчета.
11.19. Каноническое преобразование задано производящей функцией
Ф(д, Р) = qP + АТУ(g, Р), где А —> 0.
Для произвольной функции f(q, р) найти с точностью до первого по-
рядка малости изменение ее величины, связанное с изменением аргументов
3f(q, Р) = f(Q, Р) - f(q, Р).
„2
11.20. Найти {Н, гр}, где функция Гамильтона Н(г, р) = ---
аг
+ —, и получить, исходя из результата, интеграл уравнений движения.
г3
Для вычисления удобно воспользоваться результатами предыдущей задачи
и задачи 11.12.
11.21. Найти изменение вида зависимости М, р2, pr, H(r, р, t) от г
и р при преобразованиях задачи 11.16.
11.22. Показать, что результат последовательного выполнения двух
бесконечно малых канонических преобразований, заданных производящи-
ми функциями
ФДд, Р)=дР + АДУДд, Р), Хг 0, г = 1, 2,
не зависит от порядка их выполнения (с точностью до второго порядка
малости включительно), если
{ТУг(д, р), W2(q, р)} = 0.
11.23. Найти каноническое преобразование, представляющее собой
результат последовательного выполнения бесконечно большого числа N
бесконечно малых канонических преобразований, заданных функцией
Ф(д, Р) = qP + ^W(q, Р), X = const, N оа;
а) ТУ(г, Р) = [rP]a, а = const: б) W(x, у, Рх, Ру) = Ai,
где Ai определены в задаче 10.15.
УКАЗАНИЕ. Составить и решить для конкретных W дифференциальные урав-
нения для Q(A), Р(А).
60
Задачи
[11.24
11.24. а) Как изменяются со временем объем, объем в импульсном
пространстве и фазовый объем, занимаемые группой свободно движущихся
вдоль оси х частиц? В начальный момент координаты частиц заключены
в интервале ./'о < х < xq + Дя?о , а импульсы — в интервале ро < р < ро +
+ Дж
б) Тот же вопрос для частиц, движущихся вдоль оси х между дву-
мя стенками. Соударения со стенками абсолютно упругие. Друг с другом
частицы не взаимодействуют.
в) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов.
г) Тот же вопрос для группы гармонических осцилляторов с трением.
д) Тот же вопрос для группы ангармонических осцилляторов.
е) Будем описывать распределение частиц в фазовом пространстве в
момент t функцией распределения ад(ж, р, t) такой, что число частиц с
координатами в интервале от х до х + dx и импульсами в интервале от р
до р + dp есть w(x, р, t) dx dp. Определить функции распределения группы
свободных частиц и группы гармонических осцилляторов, если в начальный
момент
/ 1 Г (ж-До)2 (р-Лэ)2!
2тгДроДжо I 2Джд 2Дрд >
11.25. Введем переменную
тих + ip
а = — е..
\/2mw
а) Найти скобки Пуассона {а*, а}. Выразить через а и а* функцию
Гамильтона гармонического осциллятора
б) Показать, что Q = а и Р = ia* — канонические переменные. Найти
новую функцию Гамильтона Р)-
в) Для осциллятора с ангармонической добавкой к потенциальной энер-
гии 5U = ^т/Зх4 усреднить функцию Гамильтона H'(Q. Р) по периоду
быстрых осцилляций 2тг/си.
Используя усредненную функцию Гамильтона, найти медленные изме-
нения переменных Q и Р.
11.28] §11. Канонические преобразования 61
г) Исследовать закон изменения амплитуды колебаний осциллятора под
действием нелинейной резонансной силы
2 О о
н=^- + cos4wi.
2т 2
11.26. Исследовать изменение амплитуды колебаний системы трех
осцилляторов со слабой нелинейной связью:
Н = 2^ +рУ + р^ + + ^1у2 + + ®xyz),
если |wi — и>2 — W31 <:У wi, |скж| Д. Рассмотреть подробнее случаи, когда
в начальный момент \у\ <У ж|, z = 0, у = z = 0.
Воспользоваться тем же методом, что и в предыдущей задаче.
11.27. Функция Гамильтона ангармонического осциллятора, испыты-
вающего параметрическое воздействие, имеет вид
гт Р2 , ты2 о 2 ,
Н = ----1---— (1 + h cos 2yt)x -I--—.
2m 2 4
Введем канонические переменные
CZ/ О * -L v CZ/
V2ttw
а) Найти новую функцию Гамильтона Н'(а, Р, i) и усреднить ее по
периоду быстрых осцилляции 2тг/у.
б) Исследовать изменение амплитуды колебаний в области резонанса
|у — щ| <У hw, h 1, если в начальный момент величина а близка к нулю.
11.28. а) Проверить, что преобразование
х = Qcosyi + ^jPsinyf,
р = —mojQ sinyi + Р cosyi
является каноническим. Получить новую функцию Гамильтона H'(Q,P,t)
для осциллятора с параметрическим возбуждением:
2 О о
тт Р , mw х nt о .\
Н = ----1-----— (1 — h cos 2уН.
2m 2 ' 1 '
б) Усреднить H’(Q- Р, t) по периоду 2тг/у и исследовать качествен-
но движение точки на фазовой плоскости Q, Р. Принять h <С 1, е =
= 1 - у/ш < 1.
62
Задачи
[11.29
11.29. а) Рассматривается движение двух слабо связанных осцилля-
торов
Н = Яо + V. Яо = (Р2Х + Р2у) + у ^2х2 + х2у2).
V = mf3xy sin(wi — W2)i, /3 С ~ х>2-
В плоскости х, px/mw\ перейдем к системе координат X, Px/mivi, враща-
ющейся с угловой скоростью wi по часовой стрелке; аналогичное преобра-
зование сделаем и для переменных у, ру/тш2- Показать, что X, У, Рх, Ру
— канонические переменные.
Найти новую функцию Гамильтона Н'(Х. У, Рх, Ру, £), усреднить ее
по времени iycp такому, что
1 , wl,2
«iycp < —,
и исследовать изменение амплитуд колебаний по ж и у со временем за время
t < wi,2//3.
б) То же для V = т(3ху sin(wi + 022)^-
§ 12. Уравнение Гамильтона-Якоби
12.1. Найти траекторию и закон движения частицы в поле U(r) с по-
мощью уравнения Гамильтона-Якоби:
а) С7(г) = -Уж;
2 2 2 2
б) t/(r) = I^ + ^.
12.2. Определить траекторию и закон движения частицы, рассеива-
емой в поле U(г) = аг/г3. Траекторию выразить через квадратуры, а при
Ер2 а — и аналитически. Скорость частиц до рассеяния направлена
противоположно вектору а.
12.3. Найти сечение рассеяния на малые углы частиц, скорость кото-
рых до рассеяния направлена противоположно оси z, в поле U(r):
а) С7(г) = б) Я(г) = в) =
12.10] §12. Уравнение Гамильтона-Якоби 63
12.4. Найти сечение падения частиц в центр поля U(r):
a)t7(r)=af; 6)t7(r) = 5f + A;
в)[7(г) = ^--Ь г)[/(г) = ^
Усреднить сечение, предполагая все направления а равновероятными.
12.5. Найти сечение падения частиц на шарик радиуса R, являющийся
центром поля U(r) = ar/r3.
12.6. Определить траектории и законы движения частиц, рассеивае-
мых и падающих в центр поля U(r). Траекторию выразить через квадрату-
ры, а при Ер2 а — и аналитически.
Для первого поля найти аналитическое выражение траектории частицы
падающей в центр при Ер2 <У а. Скорость частиц до рассеяния параллельна
оси z.
а) С7(г) = б) £7(г) =
12.7. Найти траекторию и закон движения частицы, падающей в центр
поля U(г) = ar/r3. На бесконечности частица летит вдоль прямой у =
= р, х = —ztgar, где р — прицельный параметр (вектор а параллелен
оси z, начальные сферические координаты частицы г = оо, 9 = тг — а,
‘IE
Г = 0). Траекторию выразить через квадратуры, а при а2 < —<С 1 —
и аналитически.
12.8. а) Определить траекторию (выразить через квадратуры) финит-
ного движения частицы в поле U(г) = ac°s^ — у при М:_ = 0.
г2 '
б) То же для поля U(г) = ac°s^ + .
г2 г
12.9. При каком условии траектория, найденная в предыдущей задаче,
окажется замкнутой?
12.10. Описать качественно характер движения частицы и вид траек-
торий в поле
Щг) = ^-Е-
64
Задачи
[12.11
a) U{r) =
12.11. При каких значениях момента импульса Mz частицы возможно
финитное движение в поле П(г)?
б) С7(г) =
Как выглядит при этом траектория?
12.12 . Найти уравнение траектории и закон движения частицы в по-
ле U(г) в параболических координатах:
а) С7(г) = б) С7(г) = - Fr.
В случае б) ограничиться рассмотрением финитного движения, траек-
торию и закон движения выразить в квадратурах.
12.13 . Внутри гладкого упругого эллипсоида вращения
„2
- + ^
2 1 „2
из начала координат под углом а к оси z.
движется частица, вылетевшая
Найти области эллипсоида, недоступные для частицы.
12.14 . Найти траекторию частицы (вы-
разить через квадратуры) в поле двух куло-
новских центров U(г) = ту -у; (рис. 63),
если скорость частицы на бесконечности па-
раллельна оси ()>() \Z. Описать движение ча-
стицы, «падающей» на «диполь», образован-
ный данными центрами.
12.15 . Короткая магнитная линза об-
разована полем, определяемым векторным потенциалом ,4- = ZrA€z{z),
Ar = Az = О (Aifz(z) отлично от нуля в области |г| < а). Из точки (0, 0, zq)
на линзу падает пучок электронов, близких к оси z. Найти точку (0, 0, zi),
где пучок будет сфокусирован. Предполагается, что Zq, z\ а.
УКАЗАНИЕ. Интеграл уравнения Гамильтона-Якоби искать в виде разложения
по степеням г
S(r, <р, z, t) = —Et + pv>p + f(z) + rip(z) + Z2<Az) +
12.16 . Магнитная линза образована полем, определяемым векторным
потенциалом Av = r>i‘-AJz(z'i. Ar = Az = 0, где = —’^2 2. Из
1 + ж z1
точки (0, 0, zq) на линзу падает пучок электронов, близких к оси z. Найти
точки, в которых он будет сфокусирован.
13.4]
§13. Адиабатические инварианты
65
УКАЗАНИЕ. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби искать в виде раз-
ложения по г.
12.17 . Каким образом можно найти действие как функцию координат
и времени, зная полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби?
12.18 . Сформулировать и доказать теорему об интегрировании урав-
нений движения с помощью полного интеграла уравнения
где Н(ср р, t) — функция Гамильтона. (Уравнение Гамильтона-Якоби в
р-представлении.)
12.19 . С помощью уравнения Гамильтона-Якоби в р-представлении
найти траекторию и закон движения частицы в однородном поле.
§ 13. Адиабатические инварианты
13.1. На нити, пропущенной через колечко А (рис. 64), подвешена
частица массы т. Определить среднюю силу, действующую на колечко А
со стороны нити при малых колебаниях маятника. Найти из-
менение энергии маятника при медленном вертикальном пе- /ААААА
ремещении колечка.
13.2. Частица движется в прямоугольной потенциальной |
яме ширины I. Найти, как изменяется энергия частицы при
медленном изменении I, рассматривая столкновения частицы
со «стенкой» ямы.
13.3. Шарик, находящийся в лифте, подскакивает над
упругой плитой. Как изменяется максимальная высота, на ко-
торую поднимается шарик, когда ускорение лифта медленно
изменяется? Как меняется высота, если плита медленно под-
нимается?
13.4. Как изменяется энергия частицы в поле U при
медленном изменении параметров поля?
в) U = Uq tg2 ах;
a) U = А(е~2ах - 2е~аху, б) U =---------;
ch2 ах
в) U = Uo tg2 ах; r)t7 = A|x|n.
66
Задачи
[13.5
В УКАЗАНИЕ. Может оказаться удобным использо-
вать формулу ([1], §49),
13.5. Частица движется по наклонной
|>ис- 65 плоскости АВ (рис. 65), упруго отражаясь от
стенки в точке А. Найти, как изменяется максимальная высота подъема
частицы при медленном изменении угла а.
Рис. 66
13.6. Как изменяется амплитуда колебаний маят-
ника О А (рис. 66), находящегося в наклонной плоскости,
при медленном изменении угла а?
13.7. Найти адиабатический инвариант для мате-
матического маятника, не предполагая колебания малы-
ми.
13.8. Вдоль прямой О А (рис. 67) могут двигать-
ся две частицы, представляющие собой упругие шарики
малого радиуса, массы которых соответственно т и М,
причем т М. В точке О частица т отражается от
упругой стенки. Предполагая, что в начальный момент скорость легкой
частицы гораздо больше скорости тяжелой, определить закон движения тя-
желой частицы, усредненный по «периоду» движения легкой.
_____т_______М_____
О ’ * А
А «#В
М т м
Рис. 67
Рис. 68
13.9. В этой задаче рассматривается модель иона НГГ. Две частицы
массы М и находящаяся между ними частица массы т М могут дви-
гаться только вдоль прямой АВ (рис. 68). Легкая частица притягивается
к каждой из тяжелых с постоянными силами /, а при столкновениях от-
ражается упруго. Определить частоту малых колебаний расстояния между
тяжелыми частицами (усреднив по движению легкой).
13.10. Решить методом последовательных приближений уравнения
задачи 11.1а для Р и Q в случае, когда частота изменяется медленно
(|щ| и2, |щ| |щ|а>), с точностью до первого порядка по Cofijj1 вклю-
чительно.
В чем преимущество переменных Р, Q перед р, q в этом случае?
13.20] § 13. Адиабатические инварианты 67
13.11. Убедиться, что q = w-1/2 exp (i f iv dt) удовлетворяет уравне-
нию q + w2(£)q = 0 с точностью до первого порядка по w/w2 включительно.
13.12. На осциллятор действует сила F(t). Найти зависимость адиа-
батического инварианта I = )' pdq от времени.
13.13. Найти связь между объемом и давлением «газа», состояще-
го из частиц, которые движутся параллельно ребрам внутри куба, размер
которого медленно изменяется.
13.14. Частица движется внутри упругого параллелепипеда. Как из-
меняется энергия частиц, если:
а) размеры параллелепипеда медленно изменяются,
б) параллелепипед медленно поворачивается?
13.15. Частица движется в сфере с упругими стенками, радиус ко-
торой медленно изменяется. Как изменяется при этом энергия частицы и
угол, под которым она налетает на стенку?
13.16. Как изменяется энергия и траектория частицы, совершающей
финитное движение в поле £7(г) при медленном изменении коэффициен-
та 7?
a) U = —7г-п (0 < п < 2); б) U =
F г
13.17. Найти изменение энергии частицы в центральном поле при
медленном «включении» малой добавки к полю 8U(r).
13.18. Найти зависимость от времени энергии системы двух связан-
ных осцилляторов, функция Лагранжа которой имеет вид
г т I • 2 , -2 22 22,0 \
L = — (х +у — си1х — си2У +2ссху)
при медленном изменении ац. Как изменяется траектория точки (х, у)?
13.19. Пусть связь осцилляторов в предыдущей задаче мала:
a <У w2 2- Показать, что адиабатические инварианты, вычисленные в пре-
небрежении связью, сохраняются вдали от области вырождения (ац = W2)
и резко изменяются при медленном прохождении этой области.
13.20. В какой области ац (t) будут сильно меняться адиабатические
инварианты осцилляторов, если связь имеет вид SU = (Зх2у‘?
68
Задачи
[13.21
13.21. Определить минимальное расстояние, на которое приблизится
к ребру двугранного угла а частица, упруго отражающаяся от его граней.
На расстоянии I от ребра угол падения частицы на грань равен <^0 •
Задачу решить двумя способами: методом отражений (точно) и с по-
мощью адиабатического инварианта в случае малых а и </?о-
13.22. Определить границы области, в которой движется между двумя
упругими поверхностями у = 0 и у =
achaa? частица, вылетевшая из
сп 2ах
начала координат под углом к оси у в плоскости ху (а, 1), и период
колебаний вдоль оси ж.
13.23. Как изменятся радиус и положение центра орбиты заряженной
частицы при движении в однородном магнитном поле, медленно изменяю-
щемся по величине? Векторный потенциал выбрать в виде
а) А = (0, Жх, 0); б) Ar = Az = 0, A- = ±Жг.
Объяснить, почему результат зависит от выбора А.
13.24. Вычислить адиабатические инварианты для заряженного ос-
циллятора в однородном магнитном поле.
13.25. а) Определить адиабатические инварианты для заряженно-
го анизотропного гармонического осциллятора с потенциальной энергией
U(г) = у (х/х2 + х'/у2 + x/z2') в однородном магнитном поле Ж, парал-
лельном оси z. Векторный потенциал выбрать в виде А = (0, Жх^ 0).
б) Пусть вначале Ж = 0 и траектория осциллятора заполняет пря-
моугольник ж а, \у\ Ь. Каким станет его движение, если магнит-
ное поле медленно возрастает до большой величины (такой, что =
= еЖ/тс шцг)?
в) Пусть магнитное поле слабое С ид - Х2) и вначале осцилля-
тор колеблется почти вдоль оси х. Каким станет его движение, если вели-
чина жц, медленно уменьшаясь, достигнет значения х’х < такого, что
Xyf “С Х>2 — <ж(?
13.26. Частица совершает финитное движение в плоскости, перпен-
дикулярной магнитному диполю тп. Как меняется энергия частицы при
медленном изменении величины тп?
13.27. Найти период колебаний электрона вдоль оси в магнитной ло-
вушке. Магнитное поле ловушки симметрично относительно оси z, причем
= о, ж = жг = -’’-ж/^}.
13.32]
§13. Адиабатические инварианты
69
а)Ж(г) =Ж)(1 + АЙ12 j|);
б)Ж(г) = Ж)Г1 + 4\
V а /
13.28. Как изменяются энергия электрона и период его колебаний
вдоль оси z в магнитной ловушке, описанной в предыдущей задаче при
медленном изменении параметров поля Л, а?
13.29. Найти изменение энергии частицы в центральном поле U (г)
при медленном включении слабого однородного магнитного поля УС.
13.30. Как известно, при наличии вырождения движения увеличива-
ется число однозначных интегралов движения. Указать интегралы движения
в поле
ТТ тш2/ 2 , л 2\
U = + 4У )
13.31. Найти переменные действие-угол для следующих систем:
а) осциллятор;
{оо при х < 0,
х F при х > 0.
13.32. Для частицы в периодическом поле
{0 при па < х < (п + i'j а,
V 7 п = 0, ±1, ±2, ...
V при (п + < х < (п + 1)а,
в случае Е > V провести каноническое преобразование с производящей
функцией
S(x, Р) = у/2т\Е — [7(ж)| dx,
о
где Е(Р) выражается из равенства
а
Р = 1^Е-иИ^.
о
Ответы и решения
§ 1. Интегрирование уравнений движения с одной
степенью свободы
1.1. а) По начальным значениям ж(0)
и ж(0) определяется энергия частицы Е. Даль-
нейшее ее движение находится из закона со-
хранения энергии
. 9
+ U(x) = Е.
(1)
При Е 0 частица может двигаться в области
ж > — движение инфинитно (Е = Е' на
рис. 69). При Е < О (Е = Е") частица движет-
ся в области я?2 х хз, движение финитно. Точки поворота определяются
из формулы (1) U(xi) = Е:
1. у/А(А + Е-)-А
х^ = - In--------- при Е > О,
Lt
< X1 = при (2)
1. А^А(А-\Е\)
Х2, з = п 1п-FzFi--- ПРИ Е < °'
\Е\
Из (1) получаем
f=y?/;/s=w (3)
ДО) v
1.1] §1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы 71
Отсюда
1 А - у/А(А - \Е\) cos(aty/2\E\/m + С)
«1п------------------14------------------
.l'(t) = i1n[l + 4jr(< + C')2]
1 \/А(А + Е) ch(aty/2E/m + С) — А
In-----------------S----------------
при Е < 0, (4)
при Е = 0, (5)
при Е > 0. (6)
Постоянные С определяются начальными значениями ж(0), например, в (4)
при ж(0) > 0
С = arccos —, .
^А-(А-\Е\)
Точки поворота (2) также легко найти из (4)-(6).
Движение при Е < 0, согласно (4), периодическое с периодом Т =
= ^сли Е близко к минимальному значению U(x), равному
t^min = П(0) = -А (т.е. 6 = А < 1), то период Т & То(1 - |Y
7г / 2m
«у А
То =
слабо зависит от Е. В этом случае (4) можно записать в виде
a;(i)=_lMl-e)+lln[l-VecoS(^+C')]«-$coS(^ + C'). (7)
Частица при этом совершает гармонические колебания вблизи точки х = 0
с амплитудой \/ё/а, определяемой разностью Е — t7min, и с частотой, не
зависящей от энергии. Такой характер движения при Е, близком к J7min,
имеет место почти в любом поле U(х). (Подробнее об этом см. в § 5.)
При Е 0 частица, движущаяся справа, доходит до точки поворота xi
(см. (2)), поворачивает назад и уходит на бесконечность. При этом скорость
72
Ответы и решения
[1-2
ее со временем стремится к у/2Е/т сверху.
б) x(t) = ^Arsh
J—। + U° sin(aiv/2|E|/m + C)
P
при E < 0,
x(t) = i^Arsh
sh(crty/2B/m + C)
£j
при E > 0,
x(t) = ±^Arsh(crty/2t7o/™ + C)
при E = 0;1
в) x(t) = arcsin
E ( +J2([/o + A)
£ + t/oSm( V m
Почему в некоторых формулах приведенных ответов знаки двойные?
1.2. x(t) = ------0 . я?о = ж(0). Знак в знаменателе противо-
1 ± too у/2А1т
положен знаку ж(0). Пусть для определенности ж(0) > 0. При ж(0) > 0
частица уходит на бесконечность за время -\/т/2Аж§. Разумеется, реально
речь может идти только о большом, но конечном расстоянии, до которого
простирается заданное поле Е{х).
При ж(0) < 0 частица асимптотически приближается к точке х = 0.
1.3. Вблизи точки остановки U(x) =
= Е — (х — a)F, где F = —U'(a), т. е. можно
считать, что движение частицы происходит
под действием постоянной силы F. Считая,
что ж(0) = а, получаем
x{t) = а + .
Рис. 70 Точность этой формулы убывает при удале-
нии от точки х = а.
Маленький отрезок пути з вдали от точки остановки частица проходит
за время т ос з. Если же отрезок пути примыкает к точке остановки, то для
его прохождения необходимо время т = y/2ms/\F\, т. е. т ос у/з.
'АгзЬж = 1п(ж + \to2 + 1).
1.5] §1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы 73
Если U'(a) = 0 (рис. 70), то разложение U(x) необходимо продолжить
до следующего члена:
U(ж) = Е+ ±U”(a)(x - а)2.
( Oj']
В этом случае x(t) = а + se±At, где s = ж(0) — а, Л2 = ——, а знак
в показателе определяется направлением скорости в начальный момент.
Для прохождения участка пути до точки остановки частице необходимо
бесконечно большое время.
1.4. Если U”(a) 0, то Т ос 1пе, где £ = Um — Е. Если U"(a) =
п—2
= ... = [Лп-1)(а) = 0, 0, то Т ос £ 2п .
1.5. а) При малом £ = Е — Um частица движется медленнее всего
вблизи точки х = а. Поэтому и весь период движения Т можно оценить по
времени Т) прохождения (туда и обратно) малой окрестности этой точки
а — д < х < а + д'.
Т1 = а/2^ / dx « Т.
J у/Е - U{x)
а—6
В окрестности х=а представим U(x) в виде U(x)=Um — ±к(х—а)2,
где к = —U"(a). При достаточно малом £ можно выбрать д таким, что-
бы скорость v на границах интервала была много больше минимальной
(при х = а)
rnv2 кд2 ..
~2--------Г » £
и в то же время чтобы было д <С L = а?2 — Xi, т. е.
< <5 < L = Х2 - .
Тогда
(1)
Время Т> движения частицы на участках х^ < х < а — д и
а + 5 < х < а?2 удовлетворяет условию
гр < L ппЕ
2 ~ v ~ \] к д'
74
Ответы и решения
[1.5
С уменьшением е величина Т\ возрастает, поэтому при достаточно ма-
лых е оказывается 'Е Т\ и для оценки периода движения можно вос-
пользоваться формулой (1). Эта формула обладает асимптотической точ-
ностью. Ее относительная ошибка стремится к нулю, как 1/ 1пе, при г- 0.
Но с той же логарифмической точностью можно заменить в (1) 8 на. L и
опустить множитель 2 под знаком логарифма:
(2)
Если U"(а) = 0, = -К 0, то
гр д/бт2^1/4 f dx | | m2 \х/4
К еК J J 71^4 - ’ \еК) ’
о
причем относительная ошибка стремится к нулю, как е1/4, при s 0.
б) Если наблюдать за движением ча-
стицы в течение времени, большого по
сравнению с периодом Т, то вероятность
обнаружить частицу на участке от х до
х + dx
w(x)dx = 2^ =
\/2m dx
T^E-U(x)
где 2 dt — время нахождения частицы на
участке dx за период. Зависимость плот-
ности вероятности w от х представлена на рис. 71.
Рассматриваемой вероятности w(x) dx соответствует заштрихованная
площадь (вся площадь под кривой равна единице). При достаточно малых е
основной вклад в площадь под кривой дает площадь под центральным
максимумом, равная Т\/Т. Хотя w(x) —> оо при я; —» 2 вклад участков
вблизи точек остановки относительно мал.
I dx
Р2
где х/. = Xk (р) — различные корни уравнения + U(x) = Е.
1.6] §1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы 75
-Рз -р2 -Pl Р1 Р2 Рз Р
Рис. 72
График ш(р) изображен на рис. 72, /ц = у/2т{Е — Um),
Р2 = у/2т[Е - U(с)], р3 = у/2т[Е -ЩЬ)].
г) Линии Е(х, р) = const (фазовые
траектории частицы) приведены на рис. 73,
где кривые пронумерованы в порядке воз-
растания энергии. При U (с) < Е < Um фа-
зовая траектория 2 двусвязна. Стрелки ука-
зывают направление движения точки, изоб-
ражающей состояние частицы.
1.6. За начало отсчета потенциальной
энергии принимаем нижнюю точку. При
Е = 2mgl имеем
= -7Г + 4 arctg(e±t'V/^ tg
(</? — угол отклонения маятника от нижнего положения). Знак в показа-
теле совпадает со знаком <^(0). Маятник асимптотически приближается к
верхнему положению.
При 0 < Е — 2mgl 2mgl маятник вращается, медленно «перевали-
вая» через верхнее положение. Период обращения можно оценить, исполь-
зуя результат (2) предыдущей задачи:
Т=\а^п~р~~^------/’ ео=4тг2тд/.
V У Е — 2mgl
76
Ответы и решения
[1-7
1.7. Угол отклонения маятника отсчитываем от нижнего положения.
Энергия Е = imZ* 1 2 *</b2 + mgl(l — cost/?). Пусть в момент to угол = О
и для определенности 0(io) > 0. Введя к = y/E/2mgl, имеем
(1)
При к < 1 маятник колеблется в пределах —р,Т) < р срт и к =
= sin Подстановкой sinf = sin интеграл (1) приводится к виду1
2 к 2
t=^F(k k^+t°-
Отсюда
ср = 2 arcsin[fc sn(u, к)], и = (t — to)
Период колебаний
гг> Л I I ТЕ' ( • \
Т = 4\д К\8т^Г)'
В предельных случаях (ср. с задачей 1.4)
Т = + ^6^ При<у?то«1,
Г ПРИ7Г-^т«1.
£
1 Функция F(£, к) = [ — — так называемый неполный эллиптический ипте-
у/1 - /г2 sin2 £
трал первого рода. Если и = F(^, к), то £ выражается через одну из эллиптических функций
Якоби — эллиптический синус: sin£ = sn(w, к). Полным эллиптическим интегралом первого
рода называется функция К (к) = F^, kj. Приведем также формулы для двух предельных
случаев:
f (1 +т) nPHfe«l,
K(fe) = 4 In 16 , при 1 - к « 1.
2 1 — кл
Таблицы и формулы этих функций можно найти, например, в [10].
1.8] §1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы 77
При к > 1 маятник не колеблется, а вращается. Из (1) получаем
t = Ivl I') + io’ = 2Arcsinsnfw, u = k(t-t0)\ y.
К у У \Z К/ \ К, J у I
Период обращения
Г=1\/Мг)'
В частности, при Е — 2mgl 2mgl получаем
Т = Е -2тдГ
где во = 32тд1. Этот результат отличается от довольно грубой оценки,
сделанной в предыдущей задаче, значением постоянной gg, т. е. на число,
не зависящее от Е — 2тд1.
1.8. Закон движения в поле U(х) + 8U(x) определяется равенством
t=J^ 1 dx (1)
V 2 7 у/Е - U(x) - 6U(x)
(х = а при t = 0). Разлагая подынтегральное выражение в (1) по степе-
ням §U (х), получаем
t = t0(x) + 3t(x), (2)
где
= .Б [ , dr- . О)
V 2 J JE - U(x)
a v
ч 1 Im j 8U(x)dx
ЩХ> = 2'12-1 1Е-иЫГ' W
a
Пусть закон движения в отсутствие поправки <5П(ж), определяемый из
уравнения t = io (ж), есть х = xo(t). Тогда из (2) находим
х = xo(t — <5t(x)),
(5)
78
Ответы и решения
[1.8
причем в малой поправке 6t(x) можно положить х = жо(i), а также провести
разложение (5) по St. Окончательно
х = ж0(£) - XQ(t)8t(x0(t)). (6)
Вблизи точки остановки х = Xi разложение (2) становится неприме-
нимым, так как поправка 6t(x) —> оа при х±.
Замечательно, однако, что формула (6) оказывается справедливой
вплоть до точки остановки, если
\6U'(x)\^\F\, F = —U'(xi). (7)
Этот факт связан с тем, что хотя с приближением к точке остановки 6t
возрастает, зависимость x(t) вблизи экстремума оказывается слабой.
Очевидно, что вблизи xi невозмущенное движение имеет вид
ЖО(<) =Ж1 + ^(i-й)2. (8)
Добавление 6U смещает точку остановки на 6xi, согласно уравнению
U (я?1 + <5ж1) + 6U (ж1 + 6x1) = Е.
Отсюда 6x1 = . с учетом возмущения 6U аналогично (8) имеем
Г
x(t) = Ж1 + 6x1 + - ^1 - <^1)2
(9)
(в силу (7) поправкой к F пренебрегаем). Убедимся, что расчет по форму-
ле (6) приводит к (9).
Область интегрирования в (4) разобьем на две части: от а до Ь и от Ь
до х, где b лежит вблизи xi. Во второй области можно положить 6U =
= 8U(xi) и U(x) = Е — (ж — Ж1)Г. Тогда
6t =
y/m6U{xi)
^2F^x-xi)
(10)
6t0 =
1 [rn f 6U(x)dx
2Vy J (E - U)3?2
y/m6U(xi)
\/F3(b — xi)'
Подставляя (10) и (8) в (6) и пренебрегая St2, получим (9) с Sti = 6to-
1.9] §1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы 79
1.9. а) Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Невозму-
щенное движение
жо(£) = a sin art,
zr 1 2 2
Е = -moj a .
При этом \8U/U\ <e = <1. Поправка
art
6t(x) = (\/ a2 — x2 -a — 2a^,
3w3V Va2 - x2 '
^o(i)) = ^(cos^+^-2)
и, согласно формуле (6) предыдущей задачи,
x(t) = a sin art — (cos2 art + 1 — 2 cos cot).
О
С точностью до членов первого порядка по s включительно
— |а — cos 2art
(ср. с задачей 8.1 б).
б) Действуя так же, как и в предыдущем пункте, получаем
x(t) = a sin
3 7 1
-cot cos art — - sin art — sin
2 oo
Этот результат имеет относительную точность ~ s2 в течение одного пе-
риода, а через е-1 периодов формула (1) становится полностью неприме-
нима. Учитывая периодический характер движения, можно распространить
результат (1) на больший промежуток времени. С точностью до членов по-
рядка е включительно формула (1) преобразуется к явно периодическому
виду
^]- (2)
Не учтенные нами в (1) поправки приводят к изменению частоты поряд-
ка е2со, так что (2) сохраняет относительную точность ~ i н течение е-1
периодов (ср. с задачей 8.1 а).
80
Ответы и решения
[1.10
1.10. Искомое изменение периода
Х2+&Х2 К2
8Т = \/2m[ [ dx - [-----——
Jgx у/Е - U(x) - 3U(x) J у/Е - Щ.
Разлагать подынтегральное выражение (1) по 6U(ж) нельзя: условие приме-
нимости теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по па-
раметру нарушено, так как полученный при дифференцировании интеграл
расходится. Разложение подынтегрального выражения по 6U(ж) до линей-
ного члена включительно можно провести, если представить 6Т в виде
Х2-\-^Х2
8Т = 2\/2т-рр=
дЕ
х±-\-6х±
Отсюда
Х2
f 6U(x)dx я , ,
/ J; = -^(W
) у/Е-Щх)
(3)
где
(4)
(6U) = ± j 6U[x(t)]dt
о
— среднее по времени значение SU.
Время движения вблизи точек остановки составляет малый вклад в
период (разумеется, если U'tx^z) ф 0); по этому поводу см. задачу 1.3.
Именно поэтому формула (3) может давать хорошее приближение.
В некоторых случаях даже малая добавка 6U(ж) может существенно
изменить характер движения частицы (см. например, задачу 1.116, в).
Действуя аналогично, можно получить следующие члены разложения
6Т по 6U:
Т = \/2т
дЕ'
(5)
Х2
Х2
Формальное выражение (5) может оказаться асимптотическим или да-
же сходящимся рядом.
1.11. а) Поправка к периоду 2тг/ш, полученная по формуле (5) пре-
дыдущей задачи, равна —3-к(ЗЕ/2тыъ и мала при достаточно малых Е.
2.1]
§ 2. Движение частиц в полях
81
б) Графики потенциальной энергии
U(x) и U(x) + SU(ж) изображены на
рис. 74. Видно, что при Е > Um =
= тх>6/6а2 добавка делает движение ин-
финитным. При значениях Е, близких
к Um, период колебаний неограниченно
возрастает (как ln([/m — Е)\; см. зада-
чу 1.4); поэтому нельзя рассчитывать, что
в этом случае он определяется небольшим
числом членов ряда (5) задачи 1.10. Если
же Е С Um, то поправка к периоду ST =
= 5тгЕ/18xiUm.
в) ST =
(Е < 0).
1.12.
ЗтгАПл/т ,
---------- формула применима, если \Е\ » \Um\ ~ voAr
2a|E|6/2V2
+оо
f ( 1 1 \ , 1 , Е
Т J \v0 v)dx~ av0 111 е - Uo ’
где v = у ^\Е — Щж)|, v0 = J(ср. с решением задачи 1.1 б).
§ 2. Движение частиц в полях
2.1. Для исследования движения частицы используем законы сохра-
нения энергии и момента импульса:
• 9
^ + U(r) = E, (1)
m[rr] = М. (2)
Согласно (2) траектория является плоской
кривой. Введя в ее плоскости полярные ко- Д\ГФ
ординаты (рис. 75), получаем
• 2 т„2 2
= Е, (3)
тг2ф = М. (4) О
Исключая из (3) ф с помощью (4), находим
+ Е/эфф(г) = Е,
Рис. 75
(5)
82
Ответы и решения
[2.1
где
^эфф(г) = и{г) +
М2
2тг2
Таким образом, радиальное движение можно рассматривать как одномерное
движение в поле £4фф(г).
фики
Для качественного исследования характера движения используем гра-
^эфф(г) — г
2L + м2
г3 2тг2
при различных значениях М (рис. 76).
а)
Рис. 76
Если 12аут2 < Л/1, то Е/Эфф имеет два экстремума (при п,2 =
Л72 =F УМ4 - 12аут2\ , .
= --------------------- . Максимальное значение им(п) = Umax
2та ) \ /
положительно при М4 > 16аут2 (рис. 76, а) и отрицательно при
12аут2 < М4 < 16сеут2 (рис. 76,6); в обоих этих случаях Е4фф(г2) =
= гЛшп < о.
Если же М4 < 12сеут2, то функция Е4фф(г) монотонна (рис. 76, в).
Рассмотрим подробнее случай а). Если Е > ишах, то частица, летящая
из бесконечности, падает в центр поля. При этом величина ф, согласно (4),
возрастает. Этих соображений достаточно для того, чтобы грубо изобразить
траекторию частицы (рис. Е1,а).
На больших расстояниях, таких, что -2 <С' главную роль в U(г)
г4 '
играет член - “и траектория мало отличается от гиперболы. (О виде тра-
ектории при г- 0 см. задачу 2.8.)
2.1]
§ 2. Движение частиц в полях
83
Если энергия Е близка к Umax, то интер-
вал значений г, близких к п, частица проходит
очень медленно. Вращение же радиуса-векто-
ра продолжается своим чередом со скоростью
ф « —-, так что частица может сделать много
оборотов вокруг центра, прежде чем пройдет
этот интервал (рис. 77, б). Если Е = U,n:iX, то
частица в своем радиальном движении асимптотически приближается из
бесконечности к точке г = п (ср. с задачей 1.3). Траектория же представ-
ляет собой спираль, приближающуюся к окружности радиуса п с центром
в О (рис. 78, кривая а). Если частица с такой энергией
удаляется от центра в области г < гд, то ее траектория
также приближается к этой окружности, но изнутри
(рис. 78, кривая Ь). Е1аконец, при Е = Umax возможно
движение по окружности г = п.
Любое изменение величин Е или М переводит
частицу на траекторию, удаляющуюся от этой окруж-
ности, т. е. движение с г = г± неустойчиво.
Если 0 < Е < Umax, то частица, летевшая из
бесконечности, отражается от потенциального барьера
иэфф(г) и вновь удаляется на бесконечность. Пример-
ный вид траекторий в этом случае показан на рис. 79
Рис. 78
(кривые а и Ь). Если энергия близка к Umax, то частица сделает много обо-
ротов вокруг центра, прежде чем радиальная скорость г изменит знак. Чем
ближе энергия к нулю (при фиксированном М это соответствует увеличе-
нию прицельного параметра), тем менее искривлена траектория частицы.
При Е < ишах возможно также падение в центр поля частицы, которая
движется в области г < а. Траектория в этом случае изображена на рис. 80.
При Urnin < Е < 0 частица может также совершать радиальные ко-
лебания в области с С г С d (рис. 81). Если энергия близка к нулю, то
размах радиальных колебаний велик, период их тоже может стать большим.
При энергии, близкой к Um;n, траектория близка к окружности радиуса гг,
причем угол поворота радиуса-вектора за период радиального колебания
зависит от величин а, М (ср. с задачей 5.4). При Е = Urr,iH частица
движется по указанной окружности.
Подобным же образом можно исследовать движение частицы в осталь-
ных случаях.
84
Ответы и решения
[2.1
Какими особенностями может обладать траектория, если Л Л1 =
= 1207m2?
Закон движения и уравнение траектории можно найти, используя урав-
нения (4), (5). Из (5) получаем
г = ±^/- ^эфф(г)], (7)
°ТКУДа ? = ±1Ш^^=+С'. (8)
V 2 J - [7эфф(г)
Исключив dt из (7) с помощью (4), найдем уравнение траектории
У = ±^= , dr = + С. (9)
\/2m J г2у/Е - и^г)
Рассмотрим случай Л/1 > 1207m2. Если частица движется к центру,
то в (7) (а значит, и в (8)) следует выбрать знак «минус». Пусть г = го при
t = 0, тогда (8) можно переписать в виде
t = -x^r[—dr (10)
V 2 7 у/Е - [/Эфф(г)
Равенство (10) определяет в неявном виде зависимость г от време-
ни. Если траектория проходит через точку г = гр, <р = ро, то уравнение
траектории (с учетом выбранного знака) приобретает вид
р = -м[^- + р0, (11)
J г2\рг\
\Рг\ = ^т[Е - 17Эфф(г)].
2.1]
§ 2. Движение частиц в полях
85
В частности, для частицы, скорость которой на бесконечности составляет с
осью х угол -0, нужно положить го = оо, рр = тг — ф.
Если Е > Umax, то уравнения (10) и (11) полностью определяют закон
движения и траекторию частицы.
Если же 0 < Е < Umax, то эти уравнения отвечают только участку АВ
траектории (рис. 79, кривая а). В точке В радиальная компонента скорости г
обращается в нуль, а затем меняет знак. Поэтому участок траектории ВС
описывается уравнением (9) со знаком «плюс», причем постоянную нужно
определять заново. Удобно записать (9) в виде
Р = М [ -^~ + С'. (12)
U min
Нижний предел интеграла мы могли выбрать произвольно, пока не опреде-
лена постоянная С. Согласно (12) имеем
С = 9?(rmin). (13)
Определяя <p(rmin) из (11), получаем уравнение участка траектории ВС:
В ^min
г=( - П^+т- (14)
\J J J и\рг\
Го
Подобным же образом определяем закон движения на участке ВС
с Ли in
ЛфЖ (15)
rniin Го
Если Umin < Е < 0, а < гр < Ь, г(0) < 0, <y?|t=o = Ро, т0 уравнение (11)
описывает участок траектории АВ (рис. 81). Участок ВС описывается урав-
нением
V = m[^- + pi, (16)
J Г2\рг\
а
где угол р± можно получить, положив в (11) г = а. Уравнение участка CD
р =—М [ + р2, (17)
J г2\рг\
ъ
86
Ответы и решения
[2.2
где </?2 определяется из (16) при г = b и т. д. Подставляя в (16) и (17)
значения и представим уравнения участков траектории в виде
(18)
г b а г Ъ а
= + ~ 2\Г + Го = м(~ [ +2 / - Г\ + р0.
\J J Jjr\Pr\ \ J J J J Г2 \рг\
Ъ а го а а го
(19)
Нетрудно убедиться, что уравнение участка траектории, отвечающего п-му
радиальному колебанию (считая участок АВ первым), имеет вид1
г b а
р = м(± /+2(п-1) [- Г)4гл+^о- (20)
\ J J J / V \рг\
а а го
В приведенных формулах предполагается, что угол р изменяется
непрерывно, ограничения 0 < р < 2л не вводятся. Данному значению г
соответствует бесконечно много значений р (при различных п и знаках в
формуле (20)); р есть многозначная функция г. Наоборот, зависимость г(<р)
однозначна.
Аналогично можно выразить законы движения и уравнения траектории
и в других случаях.
2.2. Вне сферы радиуса R частица движется со скоростью у/2Е/т,
а внутри — со скоростью у/2(Е + V)/m. В зависимости от соотношения Е
и М получаются различные виды траектории.
Д12 ДТ2
При -------- — V < Е < -------- частица либо движется внутри сфе-
2mR 2mR
ры, испытывая отражения на границе (рис. 82, а), либо (если, кроме то-
1 Уравнение траектории (20) можно представить в виде
со8д(^ + а) = (7М I dr )
\ J г\рг\/
Ь а а
где тгд-1 = М [ dr а = м Г dr _
J ГЛ\рг\ J Г Z\pr\
а го
2.3]
§ 2. Движение частиц в полях
87
Рис. 82
го, Е > 0) может двигаться и вне сферы (траектория прямая, рис. 82, б).
м2
При < Е имеет место преломление траектории (рис. 82, б).
2mR2
м2
Как выглядит траектория при Е = ------ — V?
2mR
2.3. Для определения уравнения траектории используем формулы
_ f Мdr тт _ тт! ч । пч
/ 2 /Я---ТЪ--тт---ч’ ^ЭФФ — U(r) + . (1)
J г2^2т(Е-Щ^ 2тг
В результате вычисления1 получаем
г= ________Р________, (2)
е cos7(</? — -0) — 1
где
2 М2\ А , М2\
Р=„ \Р+б— > е=\1^------------ч\Р+б— > (3)
а \ 2т/ U а2 \ 2т/ ' 7
/ 2777/3
7 = Д1 + , Е > 0, ф — произвольная постоянная.
'Интеграл, записанный в виде
М _ Г Mdr
/ I--------’
г2у 2т[Е — Л/2/2тг2 — а/г)
где М2 = AI2 + 2т(3 сводится к соответствующему интегралу в задаче Кеплера (см. [1], § 15).
88
Ответы и решения
[2.4
Траектория представляет собой кривую, получаемую из гиперболы с
помощью уменьшения полярных углов в у раз (рис. 83). Постоянная ф
определяет ориентацию траектории.
Направление асимптот определяется условием г —> оо, или
ecos(</?i;2 — VO = 1- Скорость отклоняется на угол
Рис. 86
2.4. Полезно прежде всего исследовать характер движения с помо-
щью графика Пэфф(г). Для случая /3 < М2/2т этот график изображен на
рис. 84. В этом случае возможно только инфинитное движение в области
г гт, причем Е > 0. Уравнение траектории такое же, как в задаче 2.3
(уравнение (2)), а в равенствах (3) нужно заменить /3 на —(3. Основное отли-
чие от траектории, найденной в задаче 2.3, возникает вследствие того, что
у < 1. Примерный вид траектории показан на рис. 85. (Точка перегиба А
определяется условием dU/dr = 0, т. е. г = 2(3/а.~)
Для случая (3 > М2/2т график Г/,фф( г ) приведен на рис. 86.
2.4]
§ 2. Движение частиц в полях
89
Если Е > Umax = --------, то частица, летящая из бесконеч-
4(/3 - М2/2ш)
ности, падает в центр поля. Уравнение траектории и в этом случае можно
получить из уравнения задачи 2.3. Для этого, кроме замены /3 на —/3 нужно
заменить г на г- тг/2у, а затем воспользоваться формулами
sin ix = i sha:,
л/—ж = i\^x.
В результате получим
_________У__________
е' sh у' (ср — -ф) + 1 ’
(1)
^-1. (2)
м2
Траектория для этого случая изображена на рис. 87а. Заметим, что при
г- 0 оказывается ср —> оо. Это значит, что частица, падая в центр поля,
делает вокруг него бесконечное число оборотов.
Рис. 87
Если Е < Umax, то, согласно рис. 86, возможно движение либо в обла-
сти b < г < оо (рассеяние), либо в области 0 < г < а (падение на центр).
Уравнение траектории получаем, используя равенство cos z.r ch .г (а во
втором случае еще и замену ф на ф + тг/у):
1де"сЬУ(р-фУ у а2 V 2т)'
(3)
В случае Е = Umax воспользоваться формулой (2) задачи 2.3 нельзя
90
Ответы и решения
[2.5
(так как при ее выводе предполагалось е 0) и нужно вновь брать инте-
грал (1). Получаем /
г =----------------,
1 + сехр(—yV)
те- р'
г = -------г--77---7vT или r = Р
1 ± ехр[—у — у>)]
в зависимости от начального значения г. Траектория представляет собой
либо спираль, начинающуюся на бесконечности или вблизи от центра и
асимптотически приближающуюся к окружности радиуса г = р', либо саму
эту окружность (рис. 876).
Наконец, в случае /3 = Л/2/2т также проще вновь взять интеграл. В
этом случае происходит рассеяние, а уравнение траектории
а)Е
1 — ma2(ip — -0)2/2М2Е
Время падения частицы в центр поля определяем с помощью формулы
I — EL [ dr
У J -\/Е — [/Эфф
Например, для случая, когда траектория имеет вид (2), время падения с
расстояния г
t= 1. EL (у/Ег2 - аг - (3- М2/2т - у//3 - М2/2т) +
Ь у 2
а I т ( ^Ег / а — 1
+ 2Ё У 2Ё1“---------ё'-----
2.5. Уравнение траектории
Р
г = --------------
1 + е cos7(</? — ф)
(р, е, у определены в задаче 2.3). При Е < 0 движение финитное1
-кау/т
(2|Е|)3/2 ’
Tv=~/Tr.
Период тот же, что и в поле Uo = —а/r. Для определения Тг достаточно заметить,
что добавление к полю Uq добавки /31т2 сказывается на радиальном движении так же, как
увеличение М. Период же Тг в кулоновском поле Uo от А/ не зависит.
2.8]
§ 2. Движение частиц в полях
91
Траектория замкнутая, если у — рациональное число. На рис. 88 изображена
траектория для у ~ 5.
2.6. При /3 < М2/2т
Р
г = ---—------—---------,
1 — е cosy(</? — -0)
~ /" 2т/3
если Е < 0, то Д</? = 2л/у, Tv = уТг (Тг то же, что в
задаче 2.5).
При (3 > М2/2т (в обозначениях задачи 2.4)
__________р/____________
е' shy'(<y? — -0) — 1 ’
__________У_____________
е" ch у' (</? — -0) — 1 ’
если Е > [/тах
если Е < Umax
2.7. а) Финитное движение возможно, если функция ( г) имеет
минимум. Уравнение £7эфф(г) = 0 приводится к виду /(ж) = М2и/ат, где
/(ж) = ж(ж + 1)е~х, х = ит. С помощью графика /(ж) легко убедиться,
что это уравнение имеет корни только при условии, что М2и/ат меньше
максимального (при ж > 0) значения /(ж).
f- / х + л/5 \
Последнее равно (2 + V5) ехр(-----—1 и 0, 84. Итак, финитное дви-
жение возможно, если М2 < 0, 84ат/и.
б) Финитное движение возможно, при М2 < 8тУ/е2и2.
2.8. В уравнении траектории (см. форму-
лу (1) задачи 2.3) при малых г можем пренебречь
величиной Е (при п = 2), а при п > 2 — также и
членом М2/2тг2. Получаем (рис. 89)
М 1п(г/г0)
=---- ----------- + <Ро
^2та - М2
О >Г > гр 1 “I- П / 2
= 'тг----------+с
при п = 2,
при п > 2.
92
Ответы и решения
[2.9
Число оборотов оказывается бесконечным только при п = 2.
Время падения в центр конечно, поскольку радиальная скорость при
приближении к центру возрастает.
2.9. Число оборотов частицы вокруг центра бесконечно только в слу-
чае б) при Е = 0, п = 2.
2.10. Время падения равно Ky/mR3/8а.
2.11. Относительное движение характеризуется моментом М = mvp
2
и энергией Е = где т = — приведенная масса. Искомое
расстояние определяется условием СЛфф(гШт) = Е. Простой ответ может
быть получен при п = 1, 2, 4.
2.12. Траектории частиц:
где
т Р
Ш1,2П,2
'гпргт
---i---, Р =
mi + m2
= 1 ± е cos </?,
МЕ 2 /, , 2ЕМ2
--- Р = Л / 1 -L- --- •
шп' V та2 ’
Е и М — полные энергия и момент системы. Частицы движутся по по-
добным коническим сечениям с общим фокусом, причем радиусы-векторы
частиц в любой момент направлены противоположно (рис. 90).
Рис. 91
2.13. Как легко видеть на рис. 91,
OS = ^(ctg^o - ctg2</?0).
Здесь
/dr
-- --------
г2у/1-и(г)/Е - p2/r2
2.15]
§ 2. Движение частиц в полях
93
При р О
_____dr_____
r2y/l — U/E
dr
rAVE - U
(ср. с задачей 2.23), так что
\ -1
____dr____\
r2y/l-U/E/
+ О(/э2)...
Точка S — мнимый фокус пучка рассеянных частиц, так как с точно-
стью до первого порядка по р включительно положение точки пересечения
асимптоты траектории с осью пучка не зависит от р.
2.14. Уравнение траектории
- = ecos(/ - /0) - 1,
д/г 2 / 2/^ Л/2
где Р = 7^’ е = \ И-------5“’ а ро определяется из
" V гпаЛ
условия / - 0 при г —> оо: cos/q = 1/е. Область,
недостижимая для частиц, ограничена огибающей се-
мейства траекторий.
Для определения ее продифференцируем уравне-
ние траектории
— + 1-COS/-— у — sm/ = 0 (1)
по параметру М:
2М ДЕ • п
mF" V^TSm^ = 0’
(2)
и исключим М из (1) и (2):
2а/Er = 1 + cos /.
Итак, недостижимая для частиц область г < —--—---- ограничена
параболоидом вращения (рис. 92). ' cos
2.15.
_____________2а<5______________
1 — <52 — (1 — <5)2 cos
где 5= 0.4 а.
2а
94
Ответы и решения
[2.16
2.16. Умножим равенство
[vM] - = А
скалярно на г. Обозначив через р угол между г и А, получаем
М2 ,
---ar = Ar cos р
Р . . Л/2 1А
или - = 1 + есо8<л где р = —, е = —.
Отметим, что вектор А направлен от центра поля к точке г = rmin-
2.17. §Т = -^, где
дЕ
61 = T{6U) = 2
Г2
6U(г) dr
\/Е ~
Г1
(ср. с задачей 1.10). Подобным же образом изменение углового расстояния
между последовательными прохождениями точек г = rmin можно предста-
вить в виде = ^77 (ср. [1], § 15, задача 3; § 49).
и Jvl
2.18. В области г С D поле [/(г) мало отличается от кулоновского
Uo(r) = —а/r. Поэтому траектория финитного движения близка к эллип-
су, параметр р и эксцентриситет е которого, определяемые постоянными Е
и М, сохраняются, а ориентация изменяется. Скорость поворота эллипса П
определяется смещением перигелия за период П = 5Д<р/То, где дДр вы-
числяем по формуле предыдущей задачи с 6U = Д — ДД, а То — период
в кулоновском поле1. В результате вычисления получаем П = Al/‘linlE.
Уравнение траектории можно представить в виде
Р . , . ОД
- = l + ecos7<yj, 7 = 1-^Г- (!)
Отклонение кривой (1) от истинной траектории — первого порядка малости
по 6U, т. е. в течение одного периода уравнение (1) описывает траекторию
с такой же точностью, как уравнение неподвижного эллипса. Однако урав-
нение (1) сохраняет ту же точность в течение многих периодов. Поэтому
именно это уравнение можно назвать «правильным нулевым приближени-
ем».
Иначе говоря, в уравнении (1) учтены только накапливающиеся эффек-
ты первого порядка.
'Удобно перейти к интегрированию по С причем (см. [1], § 15) г = Q (1 — е cos 5).
2|Е|
2.20 б]
§ 2. Движение частиц в полях
95
2.19. Поле [/(г) = — а/г1~>г£ мало отличается от кулоновского, поэто-
му орбита частицы в этом поле представляет собой медленно прецессирую-
щий эллипс. Разлагая U(г) по е, представим его в виде U(г) = По (г) + 5U,
где Uq(t) = — у, 5U = In -Д, а = at\\ R — постоянная, равная харак-
терному размеру орбиты. т
Смещение перигелия за период <5Д</> = —f6U dt (см. задачу 2.17)
вычисляем, сделав замену о
5/т + Т -су /1| ЪЕМ'2
г = ~д-б(1 - ecos<), t = — (g - esmg), e=JH----------
V та
(см. [1], § 15). Получаем
2тг ~
_ 5Д<У? _ ЕЙ д f. ar(l-ecosg) _
Т 2лЭМУ 2|Е|Л
о
= 1Л Эе [ cos grig = 2л 1 - V1 - е2
7Г дМ J 1 — е cos g Т е2 £
о
При е > 0 направление прецессии орбиты совпадает с направлением дви-
жения частицы по орбите, а при е < 0 — противоположно ему.
2.20 б. Функция Лагранжа
Если пренебречь последним слагаемым, то задачу о движении частицы
удобно решать в декартовых координатах. Это приводит к гармоническим
колебаниям с частотой
96
Ответы и решения
[2.21
по осям х и у, т. е. к эллиптической траектории (ср. [1], задача 3 к § 21). Точ-
ное уравнение траектории удобно получить в цилиндрических координатах,
используя интегралы движения Е и М = (О, О, М):
Му/1 + r2/l2dr mgr2 М2
г^Зт^Е-Щ^ ЭФФ~ 2/ + 2тг2'
Разложение
приводит к уравнению
f______М dr_______М f___________dr______
J г2у/2т(Е - Е/эфф) 2ml2 J у/2т(Е - Е/эфф)
= <ро(г) + Clt,
где <ро(г) соответствует движению по эллипсу, а
определяет его прецессию.
Рис. 93 a
М
2ml2
ab ,
212
2.21. Функция Лагранжа системы Земля-Луна
равна
г '"1-62 , гт-от! ут0т2 упцт2
L = TRi+vR2+“r^+“r;
|Ri -R2| ’
где Ri и R.2 — радиус-векторы Земли и Луны в гелио-
центрической системе координат, mi, m2 — их массы,
то — масса Солнца, у — гравитационная постоянная.
Введем координаты центра масс Земли и Луны (точ-
ка О на рис. 93 а) и их взаимного расстояния
_ miRi + m2R2
mi + т2
г = R2 - Ri,
тогда
___ т~» । ___ 11L
1,2 = R+Г1,2, rl,2 = =F^yj-^r,
mim2
mi + m2
m2.
2.21]
§ 2. Движение частиц в полях
97
Использовав разложение
х = 1Л 2Rr» । rh~1/2 _ 1 Rr* । 1 MRr*)2 r2i ,
R, R\ R2 R2J R R3 2/?3Г Д2
и учитывая, что
ТО1Г1 + ТТ12Г2 = О, 7711Г1 <С » ТО2Г2,
получаем
L = Lx + L2 - 6U, (1)
ПИ + тг-ЬЗ , 7mo(ml + W)
L1 = ^^R +--------R----’
T m-2 7^17712 7m0mr (Rr)2 2]
L==2r+^^- ro=~^H3^~4
Без учета 8U задачи о движении центра масс О и относительном дви-
жении разделяются и сводятся к задаче Кеплера (мы будем говорить далее
просто о движениях Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли).
а) В задаче о движении Земли вокруг Солнца малость 5U характеризу-
ется отношением
5U ТП2Т2 10-6
(ymomi/J?) тщЛ2
Считая орбиту Луны окружностью радиуса г, лежащей в плоскости орбиты
Земли, имеем
SU = (3 cos2 X - 1) , /3= ^1"тот2Г2, (2)
где х ~ угол между векторами R и г. Этот угол меняется на 2л за 29,5
суток (синодический месяц — промежуток времени между новолуниями).
Усредняем (2) за этот промежуток, что приводит к замене cos2 у
В итоге
5U = -
(3
R2
Смещение перигелия за год (см. [1], задача 3 к §15)
=
6л/3
a-^R2
Зтп2 / г А 2
2mi \Rj ’
ад = 7moffli.
98
Ответы и решения
[2.21
Смещение перигелия за столетие
1005<р = 7,7".
Следует заметить, что полное смещение перигелия Земли за столетие, рав-
ное 1158", обусловлено главным образом влиянием Юпитера и Венеры.
Интересно, что оценка релятивистской поправки дает величину
/ т/ \ 2
~ !()()• 2тг(Д] ~ l". V и 30 км/с
(см. [2] §39 и §101).
б) Исследуя движение Луны вокруг Земли, также можно считать 8U
малой добавкой к Lp.
, " 0 ~ 1оЛ = ™ =
(утрт^/г) иг R6 г6
Здесь период 2tt/cj = 27,3 суток — звездный (сидерический) месяц, а пе-
риод 2л/О равен 1 году. Добавка 5U
приводит к различным искажениям
орбиты Луны — пульсациям экс-
центриситета, смещению перигелия
(ср. с задачей 2.38 б) и др. Мы рас-
смотрим лишь одно из них, пре-
небрегая их взаимным влиянием и
принимая невозмущенную орбиту
Луны за окружность; принимаем
также R = const.
Введем геоцентрическую си-
стему координат Oxyz с осью х, на-
правленной вдоль линии пересече-
ния плоскости орбиты Луны с плос-
костью орбиты Земли (линия лун-
ных узлов), осью у, лежащей в плоскости орбиты Земли, и осью z, перпен-
дикулярной этой плоскости и направленной в северную небесную полусфе-
ру (рис. 93 б). Координаты Солнца в этой системе равны
—R = 7?(cos<yj, sin0), </? = Qt + </?o,
а координаты Луны равны
Г = r(cOS-0, COS0sin-0, sin0 sin-0), -0 = cut + -0o>
2.21]
§ 2. Движение частиц в полях
99
где и V’o определяются моментами прохождения Солнца и Луны через
ось х.
Усреднение величины
(Rr)2 = R2r2 (cost/? cos -0 + cosdsint/JsinV’)2
за месяц сводится к заменам
2 1 2 1
cos ф sin ф sin ф cos ф О,
так что
((Кг)2)месяц = |-R2’"2 (COs2 V + cos2 # sin2 9?) ,
(3)
а усреднение за год — к заменам
2 1-2 1
cos </?->-, sin </?->-,
что дает
((Rr)2) = |д2г2 (1 + cos2 6*) .
В итоге
За поворотом плоскости орбиты можно проследить, рассматривая дви-
жение вектора момента импульса М = т[гг], перпендикулярного этой
плоскости. Уравнение его движения М = К, где
гдШ
дг
— момент сил, действующих на Луну. Поскольку изменение угла 9 есть
поворот вокруг оси х, то
дШ
д9 ’
т. е.
(К) = о, о]
Х ' v 4/? 7
100
Ответы и решения
[2.22
Так как момент сил (К) перпендикулярен вектору М, он приводит лишь
к его повороту. При этом поворачиваются и оси х, у, так что угловая ско-
рость Г2П прецессии вектора М направлена вдоль оси z. Ее можно найти из
условия
[QnM] = (К),
что дает
(^п)г
<КХ) _ _ 3Q2 0
Му nwr2sin$ 2cj 17,3
Таким образом мы нашли, что период прецессии орбиты Луны составляет
2тг/Пп = 17,3 года. Это движение называется отступлением лунных узлов.
Истинное значение этого периода 18,6 года. Учитывая грубость сделанных
нами приближений, можно признать хорошим согласие нашего результата
с истинным.
Этот период определяет период повторения циклов солнечных и лун-
ных затмений. Его (точнее, его утроенное значение, содержащее целое чис-
ло 19 765 суток) знали еще жрецы древнего Вавилона.
Заметим, что ограничившись усреднением за месяц, т. е. используя (3),
мы обнаружили бы неравномерность прецессии в течение года:
1 — cos 2<у? j Пп.
2.22. Аналогично задаче 2.18 имеем
0=г®<№> = 25Йк'<“> + 5ю"<»>] =
Учет следующих членов разложения SU по (г — а) даст в О вклад < е2П.
2.23. Смещение перигелия за период можно представить в виде
Г2+(5Г2
Д^=-|а/2^-^- [ (E-U^-6U^dr.
о O1V1О Л J
Г1+<5г1
2.24]
§ 2. Движение частиц в полях
101
С точностью до второго порядка по 5U имеем
Д</? = 2тг + <Дср + §2^,
д2
= ~ 2дМдЕ
[T^U)2)],
где (/) — среднее значение функции /(г) за период Т невозмущенного
движения (ср. с задачей 2.17). Скорость прецессии
5i</? + 52</5 йд SripST
- т + бт т^~
5T = -^(T{6Uy).
0£j
2.24. Представим уравнение траектории
.2
М dr
. Д72 , а _ 7
2mr2 г г3
(1)
разлагая подынтегральное выражение по 5U = у/г3, в виде
9? = <у?о(г) + ^(г), (2)
где
М dr
уМ dr
(3)
(4)
Пренебрегая в (2) поправкой 5<у?(г), получим, разумеется, уравнение траек-
тории в кулоновском поле (см. [1], § 15)
7 = 1 + е cos 9?, (5)
102
Ответы и решения
[2.24
где р = е = \ 1 + “2ЕМ , Учитывая же в (2) поправку 6р(г), получим
у та
вместо (5)
р
р = 1 + ecos(</? - (6)
В правой части (6) можно провести разложение по а также подставить
в 5р(г) зависимость г = го(р), определяемую, согласно (5),
- = 1 + ecos</? + е5</?(г0(</?)) sin</z
(7)
Вычисляя1 интеграл (4), находим
X / / XX rn2ayr 2е2 + 1 . l + ecos</? 2 . n ,
МгоЫ) = —---------------g--sm</?----—----[2е+(е +l)cos^J
ЛР t е2 sm ср
Подставляя (8) в (7), с точностью до первого порядка по £ =
2
т ау
М-1
(8)
получаем
Р г/з । 1 । z^e2 + 1 .2
- = 1 + е cos[(l + 3(,)</?] + (,----------------sm р-
_ 1 + e^cos р + (е2 + 1) cog а)
1 Удобно представить (4) в виде
dr
М2
2тг2
Sv = ^l/
г
и перейти к интегрированию по (р согласно (5):
Э т2уа Г
5tp=dM^I^ y(l + ecosV)^ =
3m27a . . , m27a f)e . dip . ,
= -^^(v + esiw) + l^aMsinv+lw^aM(1 + ecos^- (8)
Находя из (5)
2AI _ де др . де _ е2 - 1
ma2r dMCOSV edMSlnlp’ дМ еМ
и подставляя в (8Z), получаем (8).
2.25]
§ 2. Движение частиц в полях
103
или
— = 1 + е' cos А<у? + f cos 2ip,
A = 1 + 3£,
(9 6)
e3 + 2e2 + e + 1
2e
Вблизи ip = 0, л разложение (2) становится неприменимым, так как Sip
неограниченно возрастает. Однако уравнение траектории (9) справедливо и
в этих областях (ср. с задачей (1.8)).
В случае инфинитного движения (Е 0) уравнение (9) решает задачу.
Если же Е < 0, то (9) есть уравнение траектории лишь на нескольких
оборотах1, пока остается 3<рр 1. Сохраняя в (8) только накапливающуюся
часть Sip = —3£ip, получаем уравнения
= 1 + е cos Xip, А = 1 + 3£, (10)
описывающие траекторию па большом участке («правильное», в отличие
от (5), нулевое приближение; ср. с задачей 2.18). Нетрудно также видоиз-
менить уравнение (9) так, чтобы оно описывало траекторию на большом
участке с точностью до первого порядка включительно:
у- = 1 + е' cos Xip + f cos 2Xip. (11)
2.25. Достаточно убедиться, что выраженная через координаты центра
ГО1Г1 + /1121'2 д.
масс К = ----------- и относительного движения г = г? — г, функция
mi + m2
Лагранжа разбивается на две части:
L = Li(R, R) + L2(r, г),
Li(R, R) = W1+W2R2 + (ei + e2)£R,
7- / rn-2 6162 f 61 62 \ g,
L2(r, r) = -r - — + —
'В частности, радиус-вектор г должен быть периодической функцией (р.
104
Ответы и решения
[2.26
Функция Li(R, R.) определяет движение центра масс, происходящее так
же, как движение частицы с массой mi + m2 и зарядом е± + 62 в одно-
родном поле. Относительное движение, определяемое L2(r, г), происходит
так же, как движение частицы с массой m = (приведенная масса)
в кулоновском и однородном полях.
Такой же результат можно получить, конечно, и исходя из уравнений
движения частиц.
2.26. L = т1^1 + Ш2*~2 _|_ £1а(Г1)г1 _|_ ^А(г2)г2. Функция Лагранжа
разбивается на две части, содержащие только R, R и г, г (обозначения
задачи 2.25), если
mi + т2^2
---п--+
^A(R)R++ е;’";+ег^АМг.
4 c(mi + т2)
лг . . N
2.27. Т = | 22 MnC P = Vn£n, М = 22 Мп[€„,€„], где
z п=1 п=1
N
хг— + wbr (п = 1’ •••’ -V Х)- MTV = I2mfe-
22 тк fc=i
к=1
2.28. Обозначим координаты летевшей и покоившейся вначале частиц
через xi и х2. Пусть в начальный момент xi = —R, х2 = 0. Центр масс
системы движется по закону X = — у + Относительное движение с
координатой х = х2 — Xi происходит по закону
Закон движения первой частицы
R
X _ _R + I f______dx________х
2 2 2 J _ 4a^mv^xn 2
2.30]
§ 2. Движение частиц в полях
105
,2 \ 1/и
Расстояние между частицами уменьшается до величины :rmin = j ->
а затем вновь возрастает. Когда оно вновь станет равно 7?, первая частица
окажется в точке
«^1/ — «^min.
/ ( 1 ~ ~ dz — 1 .
J v х/1 — z~n J
(1)
Точка остановки налетевшей частицы есть предел хц при —» оо.
Если n 1, то —» оо при —» оо, т. е. обе частицы после столкно-
вения уходят на бесконечность.
2.30. Уравнение движения
mv =
ед
ц
СГ
(1)
имеет интегралы
ту
2
= Е,
(2)
ед г
(3)
1 2
Умножив (1) скалярно на г, получаем rv = 0 или -у-^-— v2 = 0, откуда
CLl
^=r2+v2(t-t0)2.
(4)
Умножив (3) скаляр но на г/г, получаем
= Jcos9,
(5)
где 9 — полярный угол в сферической системе координат с осью z, парал-
лельной вектору J. Проекция (3) на ось z
mr2y> sin2 9 —cos 9 = J
совместно с (5) дает
(6)
= ---2*
тг
При t = to имеем v = Грф sin 9 и из (6) следует J = , и с учетом (5)
_ mrpvc
^8" ед
(7)
106
Ответы и решения
[2.31
Интегрируя уравнение ф =-----, получаем
sin# • г (t)
1 v(t-to)
^ = 9’° + ^arCtg^^
(8)
Таким образом, частица движется с постоянной скоростью v по по-
верхности конуса 0 = const. Введя
ф = фр — </?о) sin#,
(9)
перепишем (8) в виде
V (t — to) . .
W = —• (ю)
Равенства (4), (9) и (10) можно интерпретировать следующим образом: дви-
жение точки по развертке конуса оказывается равномерным и прямолиней-
ным, причем г и ф — полярные координаты в плоскости развертки.
2.31. Движение заряженной частицы в электромагнитном ноле опре-
деляется функцией Лагранжа
9
L=^-e^+|vA, (1)
2 ''
где р и А — скалярный и векторный потенциалы (см. [2], § 16,17).
Используя цилиндрические координаты, имеем
L= ^2+гу + г2) + е
z с
тг2ф
(r2 + z2)3/2'
(2)
Из уравнения движения для z
mz +
Зе тг2ф
(г2 + г2)* 5/2
(3)
= 0
видно, что при z = 0 компонента силы, параллельная оси z, обращает-
ся в нуль. Поэтому, если z(Q) = z(0) = 0, то траектория частицы лежит
в плоскости z = 0. Так как р является циклической координатой, имеем
dL 2 • । ет ,
— = тг р + — =pv = const.
Оф сг
(4)
2.31]
§ 2. Движение частиц в полях
107
Отсюда видно, что pv в случае инфинитного движения есть значение Mz
при г оо. Кроме того, выполняется закон сохранения энергии (так как
dL/dt = 0):
1Д(г2+г2ф2)=Е. (5)
Исключая из (5) ф с помощью (4), находим
где
уг2 + САфф(г) = в,
С^эфф(г )
1
2тг2
(6)
(7)
Таким образом, движение вдоль радиуса происходит так же, как одномерное
в поле Пэфф(г).
Графики ?7эфф(г) для случаев pv < 0 и pv > 0 изображены на рис. 94, а
и б соответственно.
Рис. 94
В случае pv < 0 для любой энергии Е > 0 движение инфинитно. Для
того, чтобы качественно изобразить траекторию, полезно выразить из (4)
\Ру\
о
тг
ет
тег3
(8)
Скорость поворота радиуса-вектора частицы имеет все время одно и то же
направление и возрастает с приближением к диполю.
Примерный вид траектории показан на рис. 95 (кривая 1). Траекто-
рия симметрична относительно прямой, соединяющей центр поля с точкой
= ^min-
108
Ответы и решения
[2.32
Рис. 96
В случае pv > 0 возможно рассеяние частиц любой энергии Е > 0,
2 4
С P
а при Е < Um =------(Е = Ei на рис. 94, б) возможно также финитное
32пе2т2
движение. Из равенства
• _ Pv em
следует, что ф > 0 при г > п = фф- и ф < 0 при г < г±. При г = г±
^Pp
частица имеет «точки остановки» по ф.
Частица с энергией Е > Um (Е = Е2 на рис. 94,6) рассеивается,
причем в двух точках г = г± ее скорость параллельна радиусу-вектору
(рис. 95, кривая 2).
При Е < Um возможно рассеяние без точек остановки по р (рис. 95,
кривая 3) или финитное движение в кольце а ф г ф b (рис. 96). В последнем
случае частица в течение периода совершает как прямое (участок АВ), так
и «попятное» (участок ВС) движение по р.
2.32. а) Удобно использовать цилиндрические координаты, а век-
торный потенциал выбрать в виде Л, = Az = Аг = 0. Движе-
ние в направлении оси z равномерное, а в плоскости, перпендикулярной
к оси z, — финитное. Проекция траектории на эту плоскость изображена
на рис. 97. Траектории а, б, в отвечают условию1 /г > 0 и соответственно
Ui < Ер < U2, Ер = U2, U2 < Ер, где Ер = Е - Ui = (П - O)pv,
^ля определенности считаем > 0, р^ — обобщенный импульс, соответствующий
координате р.
2.32]
§ 2. Движение частиц в полях
109
Рис. 97
U-2 = Q = П = \/Q* 2 + А. Для pv < 0 траектория приведена на
рис. 97, г, для pv = 0 — на рис. 97, д.
Закон движения частицы в этой плоскости легко найти, зная движение
свободного изотропного осциллятора с частотой Q (см. [1], § 23, задача 3)
г2 = a2 cos2 nt + b2 sin2 Ш, ср = —Qi + Arctg^ tg Qi) ?
Здесь минимальный (&) и максимальный (а) радиусы определяются энерги-
ей Е = (а2 + Ь2) —р<рП и импульсом pv = тПаЬ, а начала отсчета i и ср
выбраны так, что </?(0) = 0, г(0) = а. Интересно, что период радиальных
колебаний Т = л/Q не зависит от Е и pv. Угол поворота радиуса-вектора
за этот период Д.ср = тг(±1 — Q/Q) для pv 0 и Д.ср = —Q/Q для pv = 0
не зависит от Е.2
Как изменится движение частицы, если А < 0?
Интересно сопоставить движение частицы в этой задаче с движением
в скрещенных электрическом и магнитном полях (см. [3], § 22).
'Ветви Arctg^ tg Qtнужно выбирать так, чтобы угол ср был непрерывной функцией t.
2 Другой способ решения приведен в задаче 6.36.
110
Ответы и решения
[2.33
2.33. Уравнение траектории
=
- Q) dr
\тг2 '
у/Е - ?7эфф(г) ’
(1)
где Q =
2тс
2 \ mr^ J
Качественно характер движения можно исследовать, используя графи-
ки Г/Эфф(г). При этом нужно обращать внимание на то, что ф меняет знак,
когда г проходит через значение г$
= \/Ж-в
результате получаем тра-
ектории, приведенные на рис. 97, а-д.1 Различные траектории на рисунках
соответствуют следующим условиям:
a) pv > 0, t/min < Е < Uq, где Hmin — минимальное значение ГЭфф(г),
U0 = ^эфф(го),
б) pv > о, Е = и0;
в) Pv > 0, Е > [70;
г) Pv < 0;
д) 'Pip = 0- В последнем случае частица падает в центр на первом же
витке.
Рассмотрим подробнее два предельных случая.
Уравнение (1) представим в виде
(2)
Таким образом, можно считать, что влияние магнитного поля сводится к
замене энергии на Е' = Е—рЛ!, добавлении к полю U = — “ добавки 5U =
О2 2
= EL—(которая приводит к прецессии орбиты) и к добавочной прецессии
с угловой скоростью —Q. При достаточно малых значениях магнитного
качественный характер исследования с помощью графиков позволяет воспользоваться
тем же приближенным изображением траекторий, что и в задаче 2.32. Разумеется, точные
траектории частиц в обеих задачах различны.
2.33] § 2. Движение частиц в полях 111
Р2
поля Д€ поле SU может оказаться малой добавкой к Uq = —— %. Для
2тг2 '
этого достаточно, чтобы во всей области движения частицы выполнялось
условие
Ш(г) « р0« (3)
Скорость прецессии, вызванной 8U, можно определить как
Q'=*^ = ± JL(2W), (4)
J. -L U
где усреднение 6U производится по движению частицы в поле 1Д с энер-
гией Е' и моментом pv, иТ период этого движения (ср. с задачами 2.17,
2.18). Вычисление1 приводит к значению
причем 6U действительно можно считать малой поправкой, если кроме (3)
выполнено также условие дЛд <Д 2тг, т. е.
< 1- (6)
Разумеется, SU нельзя считать малой поправкой, если Е' Д 0, так как в
этом случае удаление 5U качественно меняет характер движения.
Величина Q' может оказаться как малой по сравнению с Q, так и боль-
шой. Знак Q' противоположен знаку pv, те. направление этой скорости
противоположно направлению движения частицы по орбите. Направление
же скорости Q определяется магнитным полем.
Итак, траектория представляет собой эллипс, прецессирующий с угло-
вой скоростью
Qnp = -О + Q', (7)
точнее говоря, поскольку может оказаться QT > 1, в системе отсчета, вра-
щающейся с угловой скоростью Qnp, траектория представляет собой непо-
движный эллипс.
Интересно сопоставить полученные результаты с теоремой Лармора
(см. [3], §45, см. также задачу 9.23).
1 Для вычисления (SU) удобно использовать переменные, примененные в задачах 2.18, 2.19.
Так как период в поле Uo не зависит от pv, в (4) можно вынести Т из-под знака производной.
112
Ответы и решения
[2.34
Возможен ли случай, когда 6U можно считать малой поправкой, если
энергия частицы Е положительна?
Далее рассмотрим случай, когда малой поправкой можно считать поле
U = —а/r. Движение без учета U происходит по окружности. Ее ради-
ус а и расстояние b от ее центра до центра поля можно выразить через
максимальное и минимальное расстояния частицы от центра поля
2 Е + i у?(Е + 2p^Q)£/
^1,2 =
(8)
mfl2
Возможны два варианта расположения окружности, изображенные на
рис. 98. Если < 0, то осуществляется случай а), если > 0, то
осуществляется случай б). В обоих случаях
_ Е + 2/> ,Q _ Е
2тЕ12 ' 2тЕ12
(9)
Учет поля U приводит к систематическому смещению этой окруж-
ности (называемому дрейфом), причем ее радиус и расстояние от центра
поля, определяемые постоянными а и Ь, не изменяются, т. е. центр ее пе-
ремещается по окружности радиуса Ь. Угловая скорость смещения центра
окружности
где усреднение U производится по равномерному движению по окружно-
сти. Ограничимся случаем, когда а Ь. В этом случае можно считать
просто
(Ю)
так что у = ———-. Заметим, что в этом случае линейная скорость дрейфа
2mClbs
равна где её = а/Ъ2 — сила, действующая на частицу на расстоя-
нии Ь (ср. [3], § 22).
2.34. Задача о движении двух одинаковых заряженных частиц в од-
нородном магнитном поле сводится к задачам о движении центра масс и об
относительном движении (см. задачу 2.26).
2.34]
§ 2. Движение частиц в полях
ИЗ
Координаты центра масс
X = R coswt,
Y = —Rsinwt,
где со = еДС/тс.
Относительное движение совпадает с дви-
жением частицы с массой т/2 и зарядом е/2 в Рис. 98
поле U = е2/г и в однородном магнитном поле "Д. Это движение подобно
рассмотренному в предыдущей задаче, только в формулах следует заме-
нить т на т/2, е на е/2 и а на —е2. Ограничимся случаем, когда радиус
орбиты а мал по сравнению с расстоянием до центра поля (см. рис. 98, б).
Частоту радиальных колебаний с большей, чем в предыдущей задаче, точ-
2 р2 ,
ностью легко определить, разлагая U3^(r) = уг Н-\ + ^ш2г2 — др^ш
в ряд вблизи г = b (см. [1], § 21). Из условия = 0 находим
(2)
n J 2^ф(6) 7
Отсюда для = \ ——— получаем окончательно wr = ш — 7-, а рассто-
V '' 2
яние между частицами
г = b + a cos(cdrt + а).
(3)
Для нахождения p(t) воспользуемся сохранением обобщенного импульса
pv = у г2 (</ + 70. С учетом (2), (3) получаем
p(t) = —yt — sin(wri + а) + рц.
(4)
Воспользовавшись (3) и (4), можно представить координаты относи-
тельного движения в виде
х = г cos р = b cos(7i — ро) + a cos
у = rsmp = —&sin(yi — — asinl ixt + — + (3
(5)
. (3 = а - ро-
114
Ответы и решения
[2.35
Здесь первые слагаемые отвечают движению центра окружности с дрей-
фовой скоростью by, а вторые — движению по этой окружности с угловой
7
скоростью и + -.
Рис. 99
Рис. 100
Координаты частиц = X ± yi, 2 = У ± | удобно представить
в виде
Ж1, 2 = ±|- cos(yi - Ро) + Ру 2 cos(ui + t/11, 2),
<
У1.2 = sin(yi - </?о) - Pi,2sin(wi + th, 2),
(6)
Pi, 2 = у -R2 + ± aR cos^Tj- + 1
± asin(^ +
tg ^1,2 =-----------—-------- •
2R ± a cos (“ту + /3 j
Итак, центры окружностей, по которым движутся частицы, враща-
ются вокруг начала координат с угловой скоростью у (дрейфуют со ско-
ростью by/2), а радиусы этих окружностей пульсируют с частотой у/2
(рис. 99).
Механизм «перекачки» энергии проще всего понять в другом предель-
ном случае: а 17 b (расстояние между центрами орбит частиц мало по
сравнению с радиусами орбит (рис. 100)). Очевидно, работа, совершаемая
силами взаимодействия, над второй частицей положительна, а над первой —
отрицательна в течение многих периодов.
2.35. Убедиться в постоянстве данной величины несложно, используя
уравнения движения (ср. [1], § 15), причем удобно представлять ее в виде
AF+|[Fr]2 , где А = [vM] — . При малых значениях F траектория близка
2.36]
§ 2. Движение частиц в полях
115
к эллипсу, большая полуось которого направлена по вектору А, а эксцен-
триситет е = |А|/ск. В этом случае AF « const, или rcos/' = const, где
ф — угол между А и F.
2.36. Появление малой добавки к потенциальной энергии 6U (г) при-
водит к изменению величин, характеризующих движение частицы (момент,
положение перигелия и т. д.), причем за небольшой промежуток времени
(несколько периодов невозмущенного движения) они также изменяются ма-
ло. Однако за длительное время изменения накапливаются, так что некото-
рые величины могут измениться во много раз.
В частности, орбита в течение малого промежутка времени остается
эллипсом. Большая полуось этого эллипса а = определяется энергией
и не изменяется за длительное время. Эксцентриситет же е =
таа
и ориентация подвержены накапливающимся изменениям,
а) Изменение момента определяется уравне-
о
Для усреднения используем систему координат с осью Oz, параллельной М,
и осью Ох, параллельной А (рис. 101). (Здесь А = [vM] — “ — дополни-
тельный интеграл в задаче Кеплера; напомним, что вектор А направлен от
центра поля к перигелию, а А = ае.) Очевидно, что —(г) параллелен Ох.
ГП
Подставляя х = a(cos£ — е), t = — esin£), получаем
(х) = J (cos£ —е)(1 -cos£)d£ = (4)
о
Таким образом,
>• Зо' д 2> (5)
116
Ответы и решения
[2.36
б) Если сила F перпендикулярна к М, то из соображений симметрии
ясно, что орбита — плоская кривая, а вектор М сохраняет свое направление
(с точностью до знака). Перепишем (2), (5), опуская знак усреднения, в виде
М =
(6)
где ip — угол между А и F. Учитывая, что
е cos ip = е = const (7)
(см. задачу 2.35), и исключая из (6) е и ip, находим
М = _е2
м2
таа ’
(8)
Интегрируя уравнение (8), получаем
М = Mq cos(Qt + /3),
(9)
где
Mq = у/ таа(1 — s2),
а также
е = у/1 — (1 — е2) cos2(Qt + /3).
Рис. 102
Итак, траектория представляет собой эллипс, по-
качивающийся около направления F и меняющий
в такт покачиваниям эксцентриситет (рис. 102). На-
правление движения частицы по эллипсу также из-
меняется (вместе со знаком М). Период колебания
эллипса 2тг/П гораздо больше периода обращения ча-
стицы по эллипсу Т.
в) В общем случае рассматриваем также измене-
ние вектора А. Используя уравнения движения, легко
получить
A=^[FM] + [v[rF]].
(Ю)
О — 3F / а
“ — 2 V та’
2.36] § 2. Движение частиц в полях 117
Для усреднения (10) используем равенства
< (dA) °’ 9 (ху) + (ух) = (^ху) = 0, (ху) - (ух) =
Получаем (А) = 2^[FM], (12)
Итак, для М и А, усредненных по периоду (знак усреднения опускаем),
имеем систему уравнений
' А = -^-[FMl, 2т (13) М = [FA1. < 2а
Компоненты этих векторов, параллельные F, сохраняются:
MF = const, AF = const (14)
— результат, который легко получить и из других соображений. Для попе-
речной компоненты М
М.=М-^> (15) F~
из (13) получаем уравнение
М± + fl2M± = 0. (16)
Его решение запишем, введя систему координат СА, А2А3 с осью Х3,
параллельной F: f Mi = Bi cos fit + Ci sin fit, S 17) I М2 = B2 cos fit + C2 sin fit.
118
Ответы и решения
[2.36
Теперь из (13) находим
Ai = — 3F (В2 sin Qi — С2 cos Qi),
2mQ
Лз = (Bi sin Qi — Ci cos Qi).
2mS I
Постоянные B12, Сд,2 определяются, как и следовало ожидать, начальны-
ми значениями векторов М и А.
Конец вектора М описывает эллипс с центром
Рис. 103
на оси Х3 в плоскости р, параллельной OA'jXi
(рис. 103). Конец вектора А также описывает эл-
липс с центром на оси Х$ в плоскости а, па-
раллельной р, подобный первому и повернутый
на тг/2. При этом А все время перпендикулярен
кМ. Плоскость траектории перпендикулярна к М,
вектор А определяет направление на перигелий
орбиты.
Итак, плоскость траектории поворачивается
(«прецессирует») вокруг F. Угол, составляемый
плоскостью орбиты р с F, колеблется при этом
около некоторого среднего значения. Колеблются
около среднего значения эксцентриситет и угол
между проекцией F на плоскость р и направлением на перигелий. Все
эти движения происходят с частотой Q.
Напомним, что мы пренебрегали поправками первого порядка по F, ес-
ли они не приводили к накапливающимся эффектам. Решение справедливо
для отрезка времени порядка нескольких периодов прецессии орбиты.
Не приведет ли учет следующих приближений к качественному изме-
нению характера движения (например, к уходу частицы на бесконечность)?
Точное решение задачи о движении частицы в поле U = — “ — Fr, возмож-
ное в параболических координатах (см. задачу 12.126), показывает, что при
заданном Е < 0 и достаточно малых F подобных эффектов не возникает.
Подчеркнем, что появление накапливающихся изменений орбиты под
действием сколь угодно малого возмущения связано с вырождением невоз-
мущенного движения.
В [5], § 7.3 можно найти решение этой задачи с использованием кано-
нической теории возмущений.
2.37]
§ 2. Движение частиц в полях
119
2.37 . Согласно теореме Лармора (см. [2], § 45) орбита частицы в од-
нородном магнитном поле Ж вращается вокруг центра кулоновского поля
с угловой скоростью 42 = — -—, где q — заряд частицы. При этом векторы
М и А изменяются со скоростями
Mi = [ПМ], Ai = [ПА].
(1)
Усредненные за период скорости изменения векторов М и А под вли-
янием постоянной силы F = qS определены в предыдущей задаче (см.
формулу (13)): „ ч
M2 = ^[FA], A2 = ^-[FM],
2а 2т
Усредненные скорости изменения векторов М и А под влиянием обоих
полей равны • • • • • •
М = М1+М2, А = А1 + А2. (3)
(2)
а) Направим ось х по электрическому, а ось у по магнитному полю.
Тогда уравнения (3) принимают вид
Ах = -QAy, Av = АЛХ - М =
и и 2m 2а и
Решение этой системы:
Ах = — рВ cos(wi + /3) + С,
Ау = В sin(wi + /3),
М = ||£в sin из + /3) +
где х = у/Q,2 + 9aF2 / 4та, а постоянные В, [3, С определяются начальны-
ми значениями А и М.
Рис. 104
120
Ответы и решения
[2.38 а
Итак, конец вектора А движется по эллипсу с осями, параллельными
осям х и у (рис. 104) и центром на оси х. Орбита при этом покачивается
(или вращается при О,В > шС), причем периодически изменяется эксцен-
триситет. При 9aF2B > IrniAlxC эллиптическая орбита периодически
вытягивается в отрезок.
б) Обозначив Q/.- = N = запишем и) в виде М =
= [ОМ] + [Q/?N],N = [QN] + Складывая и вычитая эти уравнения,
находим
где
Jl,2 — [^>1,2*11,2],
J1,2 = ± N), = Г2 i Г2/?.
Таким образом, векторы J, 2 вращаются с постоянными угловыми ско-
ростями Со»!, 2:
Jl, 2(i) = J1, 2(0) COSU1, 2t+
[^1,2 ] . Jl, 2 (0)^1,2
+ TTTT'Ji.alO) sinwi 2t + W1,2-----5-----(1 - coswlj2C,
L 1,2 J ^1,2
и векторы M = Ji + J2, A = 7^5 (Ji — J2) полностью определяются
через свои начальные значения.
Мы не будем подробно анализировать этот ответ. Заметим только, что
если электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны.
2.38 а. Пусть частица движется в плоскости xz. Уравнения для век-
тора А (см. формулу (10) из задачи 2.36) можно привести к виду
Ах = —2(3(5xzz — 2xz2) = — 2/3-^ж.г2,
at
Az = 2f3{A,xxz — zx2) = -y^xM + 2f3-^_xz2,
где M = m(zx — xz) — медленно меняющаяся функция времени.
После усреднения этих уравнений получаем
Ах = 6/3M(z) = -9^AZM,
Az = 4fiM(x) = -6^-AxM,
2.38 а]
§ 2. Движение частиц в полях
121
где а — большая полуось эллипса. Отсюда
Ах _ 3AZ
Az 2Аж
т. е., в отличие от задачи 2.36 б, конец вектора А колеблется не вдоль прямой,
а вдоль гиперболы
А2 = |а| + const.
Зависимость А от времени можно найти из уравнения
. _ та I dAx
90а J МАД
в котором М и Az должны быть выражены как функции Ах.
Например, для случая, когда в начальный момент АДО) = 0, АДО) =
= аео (ео — начальное значение эксцентриситета), имеем
Az = — оц/| Д2 — fig), М = Д-|та?а(с2 — ж2),
у О у О
С течением времени орбита медленно поворачивается в плоскости xz и
превращается в отрезок, составляющий с осью х угол
ф = — arctg
к =
3-3ej^
3 + 2еД
за время
_ 1 / та I ___________dx_________
30 у 10а3 J Д(х2 — е§)(с2 — х2)
ео
Входящий сюда интеграл приводится к полному эллиптическому интегралу
первого рода (см. примечание к задаче 1.7 и [10] стр. 96-97)
t =
Та
6тгД10с/За3
A(fc),
где Т — период невозмущенного движения.
122
Ответы и решения
[2.38 6
2.386. Будем пользоваться геоцентрической системой координат.
Примем прямую Земля - Солнце за ось z, ось х — лежащей в плоскости
орбиты Земли. Система координат вращается вокруг оси у с угловой ско-
ростью Q. В этой системе отсчета 8U не зависит явно от времени, так что
интегралом движения является энергия
Е = у V2 - + 8U - ^П2г2,
где а = ушух у — гравитационная постоянная, mi — масса Земли. Сила
<5F = — и сила инерции F„ = mf!2r + 2т [vQ] приводят к искажению
эллиптической орбиты Луны. Большая полуось эллипса а = а/2\Е\ при
этом почти не изменяется.
Скорость изменения вектора А складывается из двух слагаемых Ах
и А2, отвечающих <5F и Ри (ср. с задачей 2.37). Слагаемое Aj найдено в
пункте а):
Axl = ^Az, Аг1 = ЗЩАх,
где £ = А/П2а/а. Поскольку эксцентриситет орбиты Луны мал е = 0,055,
то
Л/Г 2 23 29,5 1
М zz та а « тш а , С ~ ~ ~ ,
ш Зо5 12
где ш — угловая скорость обращения Луны вокруг Земли в принятой (вра-
щающейся) системе координат.
Сила инерции приводит к повороту вектора А с угловой скоростью — Q
(так как в отсутствие 8U орбита была бы неподвижной в системе отсчета
Oxoyzo, оси которой сохраняют постоянные направления).
Ах2 = -ПАг, Аг2=ПАх.
Таким образом1
А = -О(1-|с)лг, Аг = П(1 + ЗС)АЖ. (1)
'Заметим, что согласно (1)
АА = АХАХ + AZAZ = —l1b^lClAxAz.
Используя соотношения А = ае, е2 = 1 — М2/таа, можем оценить £ = Q2aM/a ~
~ 7,5e2£Q <А Q. Величину £ в (1) можно считать постоянной.
2.39]
§ 2. Движение частиц в полях
123
Интегрирование (1) дает
Ах = Вcos(Q'i + </>), Az = В ^1 + sin(Q^ + ф), (2)
где О'= 0(1 — ^<ф), В и ф — постоянные. В системе Oxyz вектор А враща-
ется вокруг оси у со средней угловой скоростью —О'. В системе ОжоУ^о он
вращается с угловой скоростью
О||р = О - О' = |((Q.
Малым, согласно (2), изменениям | А отвечают малые пульсации экс-
центриситета орбиты.
2.39. Функция Лагранжа системы (</ — заряд частицы)
, _ mv2 , а , Q [mr]
L~~ +г+с^Г^
лишь обозначениями отличается от рассмотренной в [2] (задача 2 к § 105).
Уравнения движения
М = -Ц[Мш],
тег2,
; 9 г л 1 3(/(Мпг)
А =------- [Апг] Н---—[Mr]
mcr гтсг
при усреднении по периоду Т невозмущенного движения дают уравнения,
описывающие систематическое изменение векторов М и А:
, . , г , , (О'М)
(А) = [QA], Q = Q' - ЗМ ^2 ;. (2)
где а и е — большая полуось и эксцентриситет невозмущенной орбиты.
Уравнение (1) можно переписать также в виде
(М) = [QM], (3)
так как вектор Q — Q' параллелен М.
124
Ответы и решения
[2.40
Из (2) и (3) видно, что эллипс, по которому движется частица, пре-
цессирует «как целое» с угловой частотой Q. Другая интерпретация может
быть дана на основе уравнений (1) и (2): в системе координат, вращающейся
с частотой JY, вектор М, а с ним и плоскость движения частицы, неподви-
жен, вектор же А, а с ним и перигелий орбиты, вращается с постоянной
частотой Q $1! вокруг направления М.
Укажем еще, что усреднение величин 1 /г3 и г/г5 удобно проводить,
перейдя от переменной t к углу <р:
2тг
т Г dp
ТМ J г{р)
о
2тг
J\1 + е cos р) dp =
о
2тгт
ТМр
Т 2тг
0 = [ ^dt= m I C<W dp = 27rwe
' A2Tj r5 ATM J V TMp2'
0 0
2.40. При усреднении уравнений (см. формулу (10) задачи 2.36)
А= ^[FM] + [v[rF]]
учтем, что (F) = 0 и что, согласно уравнениям невозмущенного движения,
3o?r(rv)
Это дает (см. предыдущую задачу)
Зтгси/З
2т2а3(1 — е2)3/2
Отсюда видно, что скорость изменения вектора А направлена в сторо-
ну, противоположную самому вектору А. Как известно, вектор А направлен
к перигелию орбиты и по величине равен А = ае. Таким образом, доба-
вочная сила не вызывает прецессию орбиты, а приводит к уменьшению
эксцентриситета.
Можно также показать (см. [2], §75, задача 1), что вследствие потери
энергии и момента частица за конечное время упадет на центр.
3.1] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц 125
§3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение
частиц
3.1. а) Как легко видеть на рис. 105, угол от-
клонения частицы 0 равен удвоенному углу накло-
на касательной к поверхности в точке столкновения.
Поэтому
Отсюда
2 1.2 2.20
Р - a2 tg2 2
Рис. 105
И
7 I 7 2 I 2-0 d0
da = Tr\dp | = тга tg ------——
cos2(0/2)
a2 do
4 cos4
Возможно отклонение частицы на углы от нулевого (при р —> Ь) до 0т =
= 2 arctg (при р —> 0).
Итак,
{a2 do г, .
------- при 0 < 0 < 0т,
4 cos4 |
0 при 0т < 0.
б) da = Л2/(! "Vnctg^J ---------------•
(1 — n) sin 0 cos2
При тг —> 1 приведенное сечение равно
I 0 при 0 > 0О = 2 arctg А,
do 1 оо при 0 < 0О.
Этот результат ошибочен. Почему?
( Т------ при О < 0 < 0т = 2arctg(|) ,
2 sin2|sin0 VaJ
О
при 0т
0.
126
Ответы и решения
[3.2
3.2. Параболоид вращения р2 = ^z.
_С/
Сближаются ли траектории частиц, рассеянных в поле и на параболо-
иде при г —> оа?
3.3. При Е > V
da = <
при 0 < в < 0т,
где
О при вт = 2 arccosn < в < тг,
п = у/1 - V/E.
Чем вызвано отличие этого сечения от сечения рассеяния на потенци-
альной яме (см. [1], § 19, задача 2)?
3.4. а)
i при Е
Е 4Е2/
при Е
а?2
4/3’
о?
4/3'
изменении знака а?
б)
Как изменится сечение при
Рис. 106
(2
р " 4у’
р , /З2
пРиЕ<
3.5.
а) Рассмотрим движение пучка ча-
стиц в поле U(f) = — 44-. Графики К,фф(г) =
Ер2 а
= —-------значениях прицельного парамет-
г2 г
ра р приведены на рис. 106.
При больших значениях р (кривая 1) ча-
стица рассеивается, приближаясь к центру поля на расстояние rmin(p),
определяемое условием (ЛффС^тт) = Е. При уменьшении р уменьшает-
ся и rmin вплоть до значения го, достигаемого при р = ро (кривая 2). При
еще меньших р частица падает в центр (кривая 3).
О
О
3.6]
§ 3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц
127
Величины го и ро определяются условиями
^эфф(го) = Е, U'^ro) = О
и равны
Ро =
1/п
Если R > го, то на шарик падают частицы с гт;п < R, и сечение
НИЯ о / ч о ( П \
а = 7rp2(rmin = R) = ttR (1 + ——к ).
V ER~ /
Если R < го, то на шарик падают частицы, которые упали бы в центр,
и сечение падения
v = KPo =
тт r(n-2)ai 2/«
п-21 2Е J
б) а = тг ( 2 — т;), если 2y/уЁ > (3, ER4 < у.
Если же хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, то
„ = „^(•1 +JL].
\ ER4 ER2'
1 A АД Д2(1 +
3.6. a) da = —---------где
• 2 О
sni -
ERE (REа)
,2
Как объяснить результат, получаемый при а + 2RE = О?
б) В плоскости траектории частицы введем декартовы координаты
с осью х, направленной вдоль оси пучка, и осью у — вдоль прицельного
параметра. Движение частицы в области г < R есть гармоническое колеба-
ние по каждой из координат, причем в начальный момент этого колебания
(при t = 0) уо = р, уо = 0, xq = — y/R2 — р2, ±о = v, так что
х = — у/R2 — р2 cosivt + Е sincj£, y = pcosivt. (1)
Момент выхода частицы из области действия сил определяется условием
х2 + у2 = R2,
(2)
128
Ответы и решения
[3.7
а угол в между скоростью частицы в этот момент и осью х — условием
а У PU , /ох
sin У = - = —— sin шт. (3)
Подставив (1) и (3) в (2), получаем уравнение
р4 — р2Я2(1 + Asin2 в) + |й4(1 + A)2 sin2 0 = 0,
2
где А = Отсюда
р22 = ^(l + Asin2 в =р V cos2 0 — A2 sin2 в cos2 0),
и сечение
da = тг(|0р2| + |<0р| |) = МР? “ 02) =
Я2(1 + A2 cos 20)с/о
2у/1 — A2 sin2 0
Если А > 1, то возможно рассеяние только на углы, меньшие вт =
= arcsin R х , а при 0 -0,,, сечение неограниченно возрастает. Такая
особенность сечения называется радужным рассеянием (см. [11], гл. 5, § 5).
Подобного типа особенность сечения приводит к образованию радуги при
рассеянии света каплями воды.
Примеры радужного рассеяния см. также в задачах 3.8, 3.10.
3.7. а)
da
do
Г a2C(0m ~
< 03(20то —0)2
[ О
при 0 < 0,„ = 7Г—,
Та
при 0 > 0ТО.
б) При вычисления угла рассеяния (см. [1], § 20)
7 Fydx VPv/R2-p2
= 2е-—ё
учтем, что сила
/ = ПрИ “ <х< V-R2- Р2>
Ру — / Pl Pl
[ 0 при |ж| > у7/?2 — р2.
3.8] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц 129
Отсюда находим = ^Я2(1 Т у/1 — О2/О2^), где 0т = V/Е, поэтому
da = T[(\dp2\ + \dpl\) = 7[d{p2 — p%). Окончательно
( R2 do
da = < 2втУ/в'^п - в2
I 0
при 0 < в < 0т,
при 0 > 0т.
Сравните этот ответ с ответом задачи 3.66, в которой рассматривался по-
тенциал, отличающийся знаком от данного.
3.8. Угол отклонения частицы
q _ I Зтг/3_____тга
” I 4Ер4 2Ер2
(1)
легко вычисляется по общей формуле1. Зависимость 0(р2) изображена на
рис. 107. Из (1) находим
где 0т = Сечение
da = Tv(\dpl\ + \dp^\ + \dpl\) = ml(-pl + pl~ pl) =
_ ест ( 1 + #/2С,Г, 2 — 0/0m _ \
” SEO3 \^1 + o/om yi _ 0/0m )
Для справедливости полученного результата достаточно, чтобы каждое сла-
гаемое в (1) было много меньше единицы. Оценка показывает, что для это-
го достаточно выполнения условия 0 <й' 1. Выражение (2) получено для
0 < 0т. Если 0т <й' 1, то для 0т < 0 <й' 1 сечение
7 |7 2| ест ( ^-Ев/20т 1
da = л dp, =---- —, — 1
^ЕО3\^ + 0/0т
'Проще всего взять оба слагаемых (1) из задачи 2 к § 20 работы [1].
130
Ответы и решения
[3.9
Рис. 107
Зависимость от в изображена на рис. 108. При в —> 0 и при в —> вт
сечение — неограниченно возрастает. Сечение рассеяния в интервал уг-
ао
лов, прилегающий к в = 0, бесконечно, так как рассеяние на малые углы
отвечает большим прицельным параметрам.
Сечение рассеяния в интервал углов вт — <5 < в < вт
2лфб»с/6» =
do
атг2^1/2
2Е0%2
конечно и стремится к нулю при <5 —> 0.
Как зависит количество рассеянных частиц, попавших на счетчик, от
размеров счетчика, если он расположен под углом вт?
3.9. Скорость частицы после рассеяния по сравнению с первоначаль-
ным направлением оказывается повернутой на угол
v'l - d1 Ip1'
2 _ О_
' Е’
(1)
Счетчик рассеянных частиц регистрирует вместе с частицами, отклоненны-
ми на угол |0| < л, также и частицы, сделавшие предварительно несколько
оборотов вокруг центра (рис. 109, а). Наблюдаемый угол отклонения х ле-
жит в пределах 0 < х < и связан с в соотношением
—в = 2л/ ± х,
(2)
3.9]
§ 3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц
131
Рис. 109
где верхнему знаку соответствует I = 0, 1, ..., а нижнему I = 1,2,...
(рис. 109,6). Из (1) и (2) имеем
2
2 / у 2 I 7Ttt
Р СХл I, зс) — а Н——
1
2тг/±х
1
2тг/ + 2тг ± х
Сечение
da = 7Г I^2(X, I, +)1 +тг I, ~)1-
1=0 1=1
v dp2(x, I, +) . л dp2(x, I, п
Учитывая, что ----------- < 0, ---------- > 0, находим
dx dx
da = 7id -^p2(x, I, +) + ^>2(x, I, -) =
_ тг2а2 1
2 \2tt-X
тга2(2тг2 - 2тгу + у2)
----5----------5-------do
2x2(2тг — у)2 sin у
Сечение обращается в бесконечность при у тг. В данном случае
это приводит к тому, что сечение рассеяния в малый конечный телесный
132
Ответы и решения
[3.10
угол До = I
71 I--
Л a2 f do 2 2 / До
Д^=2^ у т=аХо = ау^.
7Г-ХО
Появление особенности дифференциального сечения обусловлено тем, что
угол отклонения, равный тг, достигается при значениях прицельного па-
раметра р(тг, I, ±), отличных от нуля. В телесный угол До, пропорцио-
нальный квадрату малой величины Д \ = хо, попадают частицы, летевшие
до рассеяния через площадки 2тгрДр, площади которых пропорциональны
первой степени Др ос хо- Такую особенность рассеяния называют сиянием
(см. [11], гл. 5, §5).
Такая же особенность есть и в рассеянии на угол х = 0, но в дан-
ном случае она маскируется бесконечным сечением из-за рассеяния частиц
со сколь угодно большими прицельными параметрами. Сияние при рассе-
янии вперед могло бы проявиться, например, при ограничении диаметра
налетающего на центр пучка частиц.
3.10. а) Условие Е У> V приводит, как легко видеть, к малости угла
отклонения частицы при рассеянии. Изменение импульса
Др = -^- [ U(\p + vt\)dt=2V^хе~х\
Uг J
где х = хр.
Угол отклонения
Др Vy/b _ 2
в = ~1Г = ~^хе •
Разрешить это уравнение относительно х в аналитической форме не уда-
2
ется. Однако, используя график функции хг- х (рис. 110), видим, что при
0 < вт = Г — уравнение (1) имеет два корня.
Используя соотношение
d0 = V'/k (1 — 2х~)<" х dx
£j
3.10] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц
133
Рис. 110
и учитывая (1), представим сечение
da = Tvi/dp2/ + \dp^|) = dxi — X2 dxz)
в виде
2 9
7 / 'T“ лр" \
А — - I х1 \
а ~ 2^-1 1-2х2 /
При в <С вт оказывается xi С 1, Х2 1 и
da =
do
2^02'
При вт — в с вт можно разрешить (1), разложив хе х в ряд вблизи
максимума. Получаем
1 Т д/1 - , do
-----—----, da =------ —.
а/2 2x2C\/l-^m
График da/do изображен на рис. 111. Особенность при в = вт —
интегрируемая (ср. с задачей 3.8).
Связано ли появление особенности сечения при в = вт с приближен-
ным методом решения задачи?
= TTsI х и <Ж1 +Ж1 х2 +х2\ Ж1,2 _ /2Е0\2 <1 — 2x1 2х2 - 1/ ’ Где (1 + Ж1_ 2)3 \ 71V )
При в < вт = тгУ 3^Е , TTVdo da = — 4х2Б6»3
134
Ответы и решения
[3.11
При 6т -О «От
da — \/3do
2л/2х2С\/1-^т'
3.11. а) При столкновении частица, имевшая скорость v, приобретает
скорость v' = V—2n(nv), где п — единичный вектор нормали к поверхности
эллипсоида. Подставляя
получаем
V = v(----%xz------^yZ 1-------(1)
V ГЛ2 N2b2c2 N2c4' 1 ’
Введем полярные углы, определяющие направление v': vz = v(sin $cos p,
sin 0 sin p, cosd). Сравнивая c (1), находим
a у n
tg(^ = ——, COS0 = 1
b x
Сечение
da = dxdy = \dOdp,
1 p) I
где зависимость x, у от 0, p определяется из (2) и уравнения эллипсои-
да. Для вычисления якобиана оказывается удобным ввести промежуточную
переменную и такую, что
2 /2
х = a ucosp, у = b и snip.
Из (2) получаем
sin 0 =
2zu
N2c2'
1 — cos 0 =
2z2
N2c4'
0
2 uc
1 Как известно из дифференциальной геометрии
/г2 V2 -3 \
п <х grad( - 1),
Ver Ь2 с2 /
N определяется условием n2 = 1.
3.12] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц
135
и из уравнения эллипсоида находим
-2 2 2 11.2-2 2 , 2 в
и =а cos р + о sm р + с tg 2'
Далее,
Э(Х, У) = Э(Х, у) д(и, р) = Q2fr2 ди2
д(в, р) д(и, р) д(в, р) 2 дв
Окончательно
da =----------------а2Ь2с^о------------------
4 cos4 (a2 cos2 р + b2 sin2 р + с2 tg2
С помощью какого предельного перехода можно получить из этого
результата сечение рассеяния на параболоиде?
б) da = _______________a^_do_____________.
cos3 в(а2 cos2 р + b2 sin2 p + c2 tg2 в)2 ’
\ j _ ____________<<>-0 <i2h2<2 do____
B) aa • 4 л/ 2 2 ,2-2 I 2,2 a\2 '
sm u(a cos p + b sm p + c ctg в)
3.12. а) Изменение импульса при рассеянии
f dUMtY)
др = _у^И2^. (1)
При рассеянии на малые углы в правую часть (1) можно подставить r(t) =
= р + vt, где р 1 v;
<2)
Пусть ось z параллельна v, ось у перпендикулярна к а. Тогда
д _7ШхРхРу_ f ,
“ V р3 ’ ^РУ Г 3 '
Замена в (2) дифференцирования по г дифференцированием по р (при условии р ± Vqq)
приводит к тому, что полученная формула определяет только компоненты Др, перпендику-
лярные К Voo.
136
Ответы и решения
[3.13
Направление скорости после рассеяния характеризуем углами в сфериче-
ской системе координат
. _^Ру а _^Р
Р '
(4)
Из (3) ясно, что рассеяние происходит только в интервал углов
Из (3) и (4) находим
. о
тгах sm^cos^ тгах cos (р
Рх = ±1Ё—о—’ = (5)
Сечение
(Суммирование в (6) проводится по двум возможным, согласно (5), значе-
ниям р.)
б) da =
aj_ | do
2Е03
, а — компонента а, перпендикулярная к v^. Сече-
ние оказывается симметричным относительно v^_ (хотя поле отнюдь не
симметрично относительно этого направления).
3.13. Изменение угла отклонения частицы (ср. с задачей 2.17)
<5ф) = -
6U(г) dr
' Р2 Ц(г)
Е
(1)
Из уравнения в = 0о(р) + 50(р) находим
Р = Ро(0) - 50{po(0')')dP0^
аи
3.14] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц
137
(ср. с задачей 1.8). Здесь зависимость #о(р) соответственно ро(&), опреде-
ляется при Ш(г) = 0. Отсюда сечение
do-_ |^2| \dP2o^ ,ауха,
d0 4 dO I d(0) м2Ро(0)5вМв)) de
Знак перед d/dO противоположен знаку dpo^/dO.
X .da = ^0 d 7T-6> + 2cos(6>/2).
’de e de sin e
6) § da = 27 d
de 7Г3de y^2- - o)'
3.14. Приобретаемая частицей энергия
(p +Ар)2
2m
P2
2m
vAp
определяется в первом порядке лишь изменением продольной компоненты
импульса. Так как отклонение частицы можно считать малым, в выражении
для силы
_ dU(r, t)
dr ’
действующей на частицу, положим (после дифференцирования) г = р +
+v(t—г). Здесь р — прицельный параметр, ат — момент времени, в который
частица находится на минимальном расстоянии от центра. Тогда
s = v J F(t)dt = ете~^2р2 cosv,
£т = р = иТ,
а сечение рассеяния для частиц с данным т при cos р > 0 (cos р < 0) есть
, f при 0 < £ < £т COS (р (0 > £ > £т COS (/>),
— = < х и
ds I
^0 при |е| > em| cos<y?|.
138
Ответы и решения
[3.15
В падающем пучке есть частицы с различными т. Усредняя сечение по
фазе р (например, для s > 0 по формуле
а
/ da\ I I da , е \
( — ) = 7— / — dp, а = arccos -— ,
\ds / 2л J de
— а
получим fl Н
(da^ = I 7^rarccosy; при |е| < ето,
[ 0 при |е| > Ет.
3.15. dN = X2 sinOdO д = V2 ~
N cos3#y/l —A2 tg2 6»’ 2Vro ’
О < в < arctgA-1, если V < vq,
(л — arctg Л| 1 j < в < л, если V < vq.
3.16.
dN
N
6(Tmax ~ T)(T - Tmin)
(Tmax - Tmin)3
dT, Tmin < T < Tr
3.17.
Tmin = у («0 - V)2, Tmax = у («0 + Я2'
9
tg = ctg в2 = E = ^~,
Л/р A
Epv av
Vi = — —. V2 = — —.
y/a2 + E2p2 y/a2 + E2p2
3.18.
T в л При 7711 < ^2,
в = T При 7771 = ГП2,
О 6 < При 7771 > т2-
3.19. В системе центра масс в результате
столкновения составляющая скорости, нормаль-
ная к поверхности шариков в точке соприкос-
новения, обратится в нуль, а тангенциальная v'o
сохранится (рис. 112). Сечение рассеяния, выраженное через угол у откло-
нения частицы в системе центра масс,
da = T/\dp2\ = 4а2л|йсоз2 у| = 4а2 cos у do.
3.22] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц 139
Для перехода к лабораторной системе из равенства
, а «osinX sinycosy
tg' О =
Wq cos x + Vo 1 + cos2 x
находим
cos2 Xi, 2 = | cos2 в — 1 ± | cos 0y/9 cos2 в — 8.
Учитывая обе возможные связи х с 0, получаем
da = 47ra2(|c/cos2 Xi I + dcos2 Х21) =
. 2 2 2 \ 125 — 9 sin2 в ,
= 4 л a d(cos Х2 — cos Xi) = 4а do.
\/1 — 9 sin2 О
причем 0 < в < arcsin |.
Если налетающие шарики тождественны с первоначально покоившим-
ся, так что не имеет смысла различать их после рассеяния, то к полученному
сечению следует добавить сечение вылета первоначально покоившихся ша-
риков в телесный угол do:
da' = 4а2 cos в do (0 < в < тг/2).
3.20. I(x) = Z(0)e~nra.
3.21. dN = anin2\vi — V2I dVdt.
3.22. a) Гтр = 2лт«2п j/(#)(! — cos0) sinddd;1
0
б) (62} = 27г(^Уп/ I /(0)sin36»<
0
здесь I — путь, пройденный частицей массы М, v — ее скорость, а п —
концентрация легких частиц.
/do"
— (1 — cos 0) do называется транспортным сечением (в отличие от полного
do
сечения / do).
J do
140
Ответы и решения
[4.1
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
4.1. Полагая х = 0 при t = 0, находим С = 0, а из условия х = а при
t = т находим В = — Ат. Используя функцию x(t) = At2 + — Ar^t,
вычисляем действие
с /"г/ f (тп-2 , \ л тА2т3 . ma2 F Ат3 . Far
Ь = / Цх, x)dt = ( —х + Fx]dt = —--------Н —------------1--—
J J \ 2 ) о 2т о 2
о о
ас
Из условия = 0, определяющего минимум действия, находим А
(7 А
F
2m ’
Ясно, что закон движения
в данном случае оказывается точным. Однако приведенное решение зада-
чи позволяет только утверждать, что этот закон является в определенном
смысле наилучшим среди всех мыслимых законов предложенного вида.
Чтобы убедиться, что найденный закон движения дает значение S мень-
шее, чем любой другой закон x(t), т. е. является истинным, нужно прове-
рить, что он удовлетворяет уравнению Лагранжа.
4-2. ( Vxt — а при 0 < t < to,
a:(i) = < -----------
I V vx ~ 2U/m(t -т) + а при to <t <т,
yit) = at/т,
где vx = (2aU/тт)1/3, to = a/vx.
4.3. Из соотношения
Z(Q, Q, t) = L(q(Q, t), q(Q, Q, i), i) = b(q, + ^,t}
\ (de /
находим
d dL _ dq d dL dL d dq
dt dQ dQ dt dq dq dt dQ ’
dL = dLdq_ dL dq
QQ dq dQ dq dQ'
4.7]
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
141
dq d dq
Учитывая, что —— = -Д——, получаем
’ dQ dt dQ у
rf <7 Л <7 Л = dq_(±дЬ _ dL\
dtdQ dQ dQxdtdq dq)'
Таким образом, справедливость уравнения
к справедливости аналогичного уравнения
d dL _ dL _ q
dt dQ dQ ~
(1)
О приводит
В случае нескольких степеней свободы вместо (1) получим
d dL _ dL _ dqk t d dL _ dL \
dtdQL dQi dQi\dt dqk dqk)'
4.4. L(Q, t] = L(q,
\ dr J \ dt / dr
Здесь
q = q(.Q,r), J =
dq dr
dr dt,
dq = dq dQ dq dt _dtdQ dt
dr dQ dr dr’ dr dQ dr dr
4.5. L=^^L--(1 + X±')u(x), ± = ^.
4.6. L = -i/l - f—V.
у \ат)
Предложенная задача поставлена чисто формально. Однако, как дан-
ная функция Лагранжа, так и рассматриваемое преобразование («исправ-
ленные» введением размерных множителей) имеют простой физический
смысл в теории относительности (см. [3], §4, 8),
4.7. Для Pi = Е' = YjPiQi - L находим
9Qt 1
р \' dfk , х - dfk
P^^dQ-P^ Е=Е-Ър^'
k k
142
Ответы и решения
[4.8
(1)
mV2
2
4.8. Используя формулы предыдущей задачи, получаем
а) р'г = тг' = рг, р' = тг' (ф' + П) = pv, Е' = Е —
б) ( р'х = рх cos Ш — ру sin Ш,
I Ру = Px sin Lit + py cos Lit.
Из (1) следует p' = p, а сами эти равенства представляют собой закон
преобразования компонент вектора при переходе к системе координат, по-
вернутой на угол Lit. Подчеркнем, что р' 7^ mv' (ср. [1], §39).
4.9. а) Е' = Е — Vp, р' = р;
-, р' = р — mV.
Два выражения энергии отличаются на
постоянную. Обычно используется второе вы-
ражение, так как именно оно согласуется с
определением энергии в теории относительно-
сти.
б) Е' =
Рис. ИЗ
t
4.10. Пусть qi = fi(t) описывает движе-
ние системы (траектория АВ на рис. 113). Так
как вид действия не изменяется при переходе
к переменным t', равенства g' = fi(t') так-
же описывают действительное движение си-
стемы. Выраженные в переменных qi, t с точностью до первого порядка
по е, эти равенства имеют вид
qi{t - 6t) = fi(t) - 6qt
где
= еФг(/(£)£), 6t = eX(J(t), i)
(траектория А'В' на рис. 113).
Малые изменения координат и времени начала и конца движения при
переходе от траектории АВ к траектории А!В' приводят к изменению дей-
ствия:
sA/B/-sAB=\^-3t) + Z^-^]B.
L dt dq, J л
Здесь (см. [1], § 43)
dS _ Т x^dL. _ dS _ 8L m
4.13]
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
143
С другой стороны, согласно условию задачи, Sab = Sa' В', так что
E(tA)eX(qA, tA) - У tA) =
i
= E(tB)sX(qB, is) — У Рг(^в)еФг(9В; is),
или
EX — = const.
Доказанная теорема представляет собой, в сущности, единый вывод
различных законов сохранения. Важность ее возрастает в связи с тем,
что подобная же теорема имеет место и в теории поля (теорема Нётер,
см. [12, 13]).
4.11. V (qtX - Фг) - LX - / = const.
i dqi
4.12. а) Импульс;
б) момент импульса;
в) энергия;
7,
г) Mz + — pz = const, h — шаг винта;
2тг
д) Ex — pxt = const — интеграл движения центра инерции системы
(см. [2], § 14).
4.13. а) Потенциальная энергия U(r) = —Fr, а с ней вместе и дей-
ствие, не изменяются при сдвигах в направлении, перпендикулярном к F,
и при поворотах относительно оси, параллельной F. Поэтому интегралами
движения являются компоненты импульса, перпендикулярные к F, и ком-
понента момента импульса, параллельная F. Так как функция Лагранжа не
зависит от времени, интегралом движения является энергия.
Утверждение, что различные точки в некоторой области «равноправ-
ны», означает, что во всех этих точках равны значения потенциальной энер-
гии (а не силы!).
б) Преобразование подобия г' = аг может сохранять вид действия,
если одновременно преобразуется время t' = (3t. Вклад в действие кинети-
ческой энергии
[ mv'‘2 А+' _ [ mv2 А+
J ‘2 ,3 J 2 М
144
Ответы и решения
[4.14
остается неизменным при (3 = а2, а вклад потенциальной энергии
— У Ufr'^dt' = —ап/3 У U(r)dt = — ап+2 J U(r)dt при п = —2.
Чтобы воспользоваться теоремой, сформулированной в задаче 4.10, за-
писываем бесконечно малое преобразование подобия, положив а = 1 + е,
г- 0:
г' = (1 + s)r, t' = (1 + 2e)t,
так что Ф = г, X = 2t и интеграл движения
-Ф) - LX = mvr — 2Et = C. (1)
ОТ
1 2
Из (1) можно найти r(t), учитывая, что rv = :
dt
Если Е < 0, то частица падает на центр (при этом г —> оо). Если Е > 0,
удобнее ввести вместо С, C*i другие константы т, В и записать (2) в виде
Г= = ^((-Т)=+В.
При В > 0 зависимость r(t) такая же, как для свободного движения частицы
со скоростью vq = у/2Е/т и прицельным параметром р = \/Т>. При В < 0
частица падает па центр.
Поля, для которых выполняются условия этой задачи, приведены, на-
пример, в задачах 12.6, 12.7 и в [1], задача 2 к § 15.
в) Е — Vp = const;
г) гр — 2Et = const, где р = mv + |А, если А(от) = а-1А(г);
д) Е — = const.
4.14. тг — pt = const (ср. с задачей 4.12 д).
Является ли этот интеграл движения для замкнутой системы восьмым
независимым интегралом (кроме Е, М, р)?
4.17]
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
145
4.15. а) Пусть ось z параллельна Ж. Сдвиг вдоль оси z и поворот
вокруг нее не изменяют вида А, а следовательно, и вида действия. Поэтому
dL • 71 г
интегралами движения являются pz = — = mz и Mz = хру — урх =
= т(ху — ух) + ^^(х2 + У2)- Кроме того, интегралом движения является
энергия Е = у (х2 + у2 + z2).
б) Е = ^(х2 + у2 + z2), р'у = т.у+(-.7Ех, p'z = mz (ср. с задачей 10.7).
Соображения симметрии позволяют определять различные интегралы
движения в зависимости от выбора векторного потенциала данного поля <2$?.
Но все величины: Е, pz = p'z, Mz, pf — являются интегралами движения
независимо от выбора А.
4.16. а) Е = ^(х2 + у2 + z2), Mz = т(ху — ух) -\--—-----(здесь
2 с Ух2 + у2
ось z выбрана параллельной вектору ш). Ср. с задачей 2.31.
б) Из свойств симметрии данного поля можно получить следующие
интегралы движения:
7! Г _ 2 • , еМ ту т /-2 , 2 -2 , -2\
pz = mz, Mz = pv = тг p + —, E = ^-(r + г p + z ).
Однако движение в этом «поле» есть свободное движение. Действительно,
функция Лагранжа
отличается от функции Лагранжа свободной частицы только на пол-
ную производную по времени функции (разумеется, в этом случае
Ж = rot А = 0).
Заметим, что в случае, когда у есть функция времени, pz и Mz остаются
интегралами движения.
4.17. а) х + х = 0. Такое же уравнение может быть получено из
функции Лагранжа Li(x, х) = х2 — х2. Как известно, если две функции Ла-
гранжа отличаются на полную производную функции координат и времени,
то они приводят к одинаковым уравнениям Лагранжа. Обратное утвержде-
ние неверно.
б) х + ах + х>2х = 0.
146
Ответы и решения
[4.18
4.18. а) Уравнения Лагранжа для частицы в поле U в сферических
координатах
m(r — гф2 sin2 в — гО2) + = О,
дг
т(г20 + 2гг0 — г2ф2 sin д cos 0) + = О,
т(г2ф sin2 0 + 2ггф sin2 0 + 2г2вф sin 0 cos ff) + = О
легко привести к виду
m(v)i = (Е)й
где компоненты силы есть компоненты — grad U:
р =_dU р =_1Шф р =__________________
г дг’ 9 г 00 ’ v rsinOdy'
Отсюда
(v)r = г — гф2 sin2 в — гв2,
(v)o = гО + 2г0 — гф2 cos 0 sin О,
(v)v = гф sin О р 2гф sin О + 2гдф cos в.
61 (vl = ______O_\ds^ = , ~ I Д Аодд, hk dhk\
2hi\dtdqi dqj dt2 гг fe=1\ QtQk dqk Qk hi dqi )'
4.19. а) Функция Лагранжа
з
L = фф 52 dikChqk ~ Uisfr, q2, q3),
i, k=l
где з
Edxi dxi .
приводит к уравнениям
3 3
rrri'^2gsk(ik +т ^s,kiqkqi = -у (s = 1, 2, 3), (1)
к=1 к, 1=1
где
г _ 1 (Ogsk , dgis Эдых
L s, kl и I о । rx I •
2 V dqi dqk dqs J
4.20] §4. Уравнения движения. Законы сохранения 147
б) Введя обозначение ддфх, t) = t, можем сохранить все выкладки и
3 4
формулы предыдущего пункта, лишь заменив на 52-
1 1
Какой смысл имеют в уравнениях (1) члены, содержащие Г1; /,д (k = 1,
2, 3, 4), если qi — декартовы координаты во вращающейся системе отсчета
(см. задачу 4.8)?
4.20. Так как предложенная функция Лагранжа только слагаемым
/,| = — ^p-tpcosO отличается от функции Лагранжа свободной частицы,
то компоненты силы в сферической системе координат (см. задачу 4.18 а)
имеют вид
Fr = 0,
1 дЬ\ едф sin в
в — дв ~~ er ’
F _ 1 d dLi = едё
v г sin в dt дф Сг
и действительно совпадают с компонентами силы Лоренца
6 Г *J£T\ ^9 Г 1
-[vJr] = —dvr].
с сг^
0L 2
Поскольку —— = 0 интегралом движения является энергия Е =
Ot &
Разберемся, каким образом возникает интеграл движения
т г 1 ed Г
J = m[rv] - —
Функция Лагранжа не изменяется при поворотах вокруг оси z, поэтому
интегралом движения является
pv = тг2ф sin2 в — cos в = Jz.
Другие же повороты системы приводят к изменению функции Лагранжа
на полную производную функции координат по времени, которая может
быть отброшена1. Поэтому интегралом движения является и проекция
на любую другую ось, а значит, и вектор J.
'Например, при повороте вокруг оси ж на малый угол &а к L добавляется &L =
= <5a^-^(ctg0cos<^).
с dt
148
Ответы и решения
[4.21
Действие, соответствующее данной функции Лагранжа, не изменяется
при преобразовании подобия. Поэтому интегралом движения является
prr — 2Et = mrr — 2Et
(ср. с задачей 4.13 б).
4.21. Уравнения движения
7-'
-xi = ра- Рв, -£ = рв ~ Ра-
Будем считать, что источник напряжения представляет собой конденсатор
очень большой емкости Со, а заряд его в момент, когда gi = 0, есть Q. Энер-
v (Q + <?i)2
гия системы, включающей источник и индуктивность, Eq = —— ------\-
2Со
+ • Смещая начало отсчета энергии и рассматривая предел Cq —> оо,
a Q/Cq = U, получаем
Q2 W
Е — Ео — —— — Uqi 4---р— •
Именно к такому значению энергии приводит предложенная функция Ла-
гранжа.
Подобно этому энергия частицы т в однородном поле силы — F(t)
есть + Fx.
К такой же функции Лагранжа можно прийти от функции Лагран-
жа электромагнитного поля и взаимодействия поля с зарядами (см. [3],
§§27, 28):
L=^ ~^)dV+l I AjdV- I ppdV (1)
(в гауссовой системе единиц).
Вообще говоря, электромагнитное поле есть система с бесконечным
числом степеней свободы. Но поля в конденсаторе и в соленоиде определя-
ются зарядом q-2 и током срв Используя уравнения
с rot = 4тг], div<*>=47rp
4.21] §4. Уравнения движения. Законы сохранения 149
(и учитывая, что поля сосредоточены в ограниченном объеме), получаем
У рр dV = У р div S dV =
= У div(^)dV - У S gradpdV dV,
и аналогично
так что
L = у (X2 - S2) dV.
Поэтому функция Лагранжа может быть выражена через энергии электри-
1 <72
ческого поля в конденсаторе — f S2 dV = и магнитного — в индуктив-
ности f :7(-d\’ = (см. [3], §2.32).
При наличии внешнего поля е, создаваемого токами je, следует за-
менить в (1) , A, j на Ji? + Ji?e, А + Ае, j + je. Добавка к функции
Лагранжа (1) с учетом уравнения с rot Ji?e = 4тг]е легко приводится к виду
У <2dV + | У AejdV.
Отбрасывая слагаемые, зависящие лишь от внешнего поля, и учитывая, что
для тонкого провода] dV = <71 <Л, где dl — элемент длины провода, получаем
| У Aej dV = У Ае d\ = У rot Ае dS = у Ji?e dS.
При наличии внешнего электрического поля Se (или сторонних полей) по-
лучаем
/ Р&Р = Qa!pae
а
(qa и рае — заряд и потенциал во внешнем поле а-го проводника).
Варьирование qi, 2 представляет собой, таким образом, произвольное
варьирование зарядов и токов, сопровождаемое соответствующим ему ва-
рьированием потенциалов. Легко видеть, что при таком варьировании дол-
жен быть справедлив принцип наименьшего действия.
150
Ответы и решения
[4.22
4.22. a) L = + U(q2 - 91);
-Z.
2 2С”
в) L = + l^2q22 - i - J" -
2 2 201 202
4.23.
a) L =
б) L = +
т12ф2
2
^(x)q2
//'г/2 ,
4-----------Ь т£/1‘ cos <у? —
д2
2СЫ’
L..T2 Q2
2 ~^ + т^х-2С-
4.24. Пусть р — угол поворота рамки вокруг оси АВ, отсчитываемый
от направления магнитного поля, q — ток в рамке (для него положительным
считается направление от А к D). Функция Лагранжа системы
L = ^та2ф2 + + Af'/rq sin р.
Интегралы движения — энергия
Е = ±та2ф2 + |.2'7/2 (1)
и импульс, сопряженный циклической координате q и имеющий смысл пол-
ного магнитного потока через рамку,
^4 = i£q + ,Ф€a2 sin р = Фо -
dq
Поэтому ток в рамке однозначно определяется ее положением
q = (Фо — А<г sin <р)jd£.
Подставляя это значение q в (1), получаем
Е = ^та2ф2 + Пэфф^), Гэфф(<р) = (Фо - Жа2 Аир)2/2Ф£. (2)
Таким образом, задача о движении системы сводится к одномерной.
Рассмотрим подробнее случай 0 < Фо < А(<г. График (ДффО) для
этого случая приведен на рис. 114. Видно, что при Е > ишах = (Фо +
+ J^’a2)2/2j6' движение рамки представляет собой вращение, причем ф
является периодической функцией времени с периодом
7Г / 2
\/2та У
— 7Г j1!
dtp
y/E-U^p)'
4.25]
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
151
Рис. 114
При [7max > Е > (Фо — a2)2/2.2? = Um рамка совершает периодические
< „ „ .Фо - V2^£E
колебания в интервале углов < р < тг — , где р± = arcsin--------,
Жа
причем при Е —> Umax период движения возрастает до бесконечности (см.
задачу 1.5). При 0 < Е < Um возможны колебания либо в интервале
pi < р < р-2, либо в интервале тг — pz < р < тг — р^, где
. Ф0 + Т2^Ё
= аГС81П Ж а2 •
Как изменится по сравнению с описанным характер движения рамки,
если она обладает малым сопротивлением?
4.25. а) Уравнения движения системы можно получить из функции
Лагранжа с добавкой, учитывающей связь (см. [4], § 2.4)
т* m / .2 , -2\ 2\
L = — (х + z ) — mgy + A(z — ах ),
где А — зависящий от времени множитель Лагранжа. Уравнения движения
тх = —2Хах,
mz — mg = А
(1)
(2)
О
вместе с уравнением связи z = ах полностью определяют движение ча-
стицы. В правой стороне уравнений (1), (2) стоят компоненты силы реакции
по соответствующим осям Rx = —2Хах и Rz = А. Воспользовавшись урав-
нением связи, легко выразить их через координату и скорость частицы:
Rx = —2axRz, Rz
(2ах2 — mg)m
т +4а2х2
152
Ответы и решения
[4.26
mr — mg cos <р — тгф2 = Л,
тг2ф + 2тггф + mgr sin р = О,
г = I.
Сила реакции направлена вдоль г и равна
Л = —mg cos — т1ф2.
4.26.
L* = ^(г2ф2 + г2) + mgr cos р + Хфр — Clt);
Л = 2тгг£1 + mgr sin Qi — обобщенная сила, отвечающего координате р
(момент силы).
S
4.27. а)Е = -^ +
dt
г=1
б) Закон преобразования левых частей уравнений движения приведен
в задаче 4.3:
d dL _ dL _ / d dL _ dL \
dt QQi dQi dQi\dt dqk dqk)'
Таким же должен быть и закон преобразования правых частей:
к
Если в закон преобразования координат не входит явно время, то скорости
преобразуются по закону
q^-\dQkQk'
обратному (1).
Иначе говоря, компоненты силы Rk образуют ковариантный вектор,
в то время как компоненты скорости — контравариантный вектор в s-мерном
пространстве (см. [2], § 83).
Таким образом, зная силы реакции связей и трения в декартовых ко-
ординатах, можно определить силы Ri в любых обобщенных координатах.
В частности, если силы трения выражаются через диссипативную функцию
dF
Ri = то преобразование F сводится к замене переменных.
4.29]
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
153
4.28.
уравнений
Указанные в условии уравнения получаем, исключая из
dt dqp dqp ’
~ = ~ У2 п = г + 1, ..., s,
dtdqn dqn
и учитывая, что
dL _ dL , у- dL h
dqn dqn dqp 3r''
dL _ dL \ ' \ ' dL db/3m .
dqn dqn dqp dqn qm'
/3=1 m=r+l
Таким образом, уравнения движения системы с неголономными связя-
ми отнюдь не совпадают с уравнениями Лагранжа, хотя уравнения связи и
позволяют исключить из функции Лагранжа некоторые координаты и ско-
рости.
4.29. а) Учитывая, что qn входит в Ln и Ln+±, получаем уравнения
Лагранжа
d dLn dLn dLn dLn^ _
Л <->/ л \ — о/ a \ (2\qn — Qn ~ Qn-i)- (1)
dt dqn dqn d(Aqn) d(Aqn+1)
При a 0
1 dLn di£ 1 dLn di£
a dqn d{dq/dty a dqn dq ’
1 Г dLn _ dLn+1 -i d q<£
a L<9(Aqn) 3(Aqn+i)J dx d(dq/dx) ’
так что уравнения (1) переходят в уравнение
d di£ , d die = d^_
dtd{dq/dt) dx didq/dx') dq
(2)
154 Ответы и решения [4.30
Здесь производные d/dt и д/дх относятся к функции д(ж, t) и ее произ-
водным.
Система N обыкновенных дифференциальных уравнений (1) перехо-
дит в одно уравнение в частных производных (2). Для непрерывной системы
переменная х играет роль «номера» точки.
Мы не будем останавливаться на физических следствиях уравнения (2),
так как изучение систем с бесконечным числом степеней свободы является
предметом не механики, а теории поля (см. [4], гл. 11; [2], § 32).
6)£= /7 Ж
J I d(dq/dt) dt J
2
4.30. Функция Лагранжа L = ---UM + ^A(r)v, где A(r) —
векторный потенциал магнитного поля, = rot А (разумеется, А (г) всегда
можно выбрать в виде однородной функции координат степени п +1). Если
1--^
при преобразовании подобия г —> ar, t а 21, векторный потенциал
преобразуется так же, как и скорость, т. е. если п = то £ akL. Поэтому
уравнения движения остаются неизменными при таком преобразовании и
выполняется принцип механического подобия (см. [1], § 10).
Из приведенного вывода ясно, что принцип механического подобия
справедлив также для магнитного поля, постоянного и в пространстве, если
^-1
только при преобразовании подобия его величина изменяется в а 2 раз
(см., например, задачи 2.30-2.33, 6.36).
4.31. Кинетическая энергия системы Т = т<^а, поэтому
г, 2
2Т = У ^-va = -^(У mavara') - У YamaNa.
дча dt М—* /
При усреднении за большой промежуток времени слагаемое
52 mavara, представляющее собой полную производную по времени от
ограниченной функции, обратится в нуль (см. [1], § 10). Подставляя во вто-
dU
рое слагаемое ma^va
и усредняя по времени, получаем
2Т + ж
^[ГаУа]\ = ци).
4.32]
§ 4. Уравнения движения. Законы сохранения
155
Здесь скобки ( } означают усреднение по времени. В частности, если маг-
нитное поле Ж однородно, то то
II Lq, IIV
где М = ''т/г-Лп — момент импульса системы.
4.32. а) Запишем в виде двух слагаемых
— = [т(Х1Х2±з + Х!Х2Хз + ±1±2Яз) - £1^23 - Ж2?713 - ж3£Л2]-
- (.X1U-23 +Ж2£Аз +i3t/i2). (1)
Используя уравнения движения
mxi = F12 + F13, mx2 = F21+F23, тх3 = F31 + F32, (2)
и введя относительные расстояния
Х1 — Х2 = X, Х2 — Хз = у, Х1 — Хз = 2,
запишем второе слагаемое из (1) в виде
Собирая слагаемые с одинаковыми степенями z, перепишем (4)
2д\х — у)/ 1 х2 + ху + у2 х + у \
Подставляя сюда z = х + у, легко убедиться, что это выражение обращается
в нуль.
Первое слагаемое из (1) обращается в нуль для произвольных сил. Что-
бы показать это, достаточно использовать уравнения движения в форме (2)
и подставить
156
Ответы и решения
[4.33
Укажем, наконец, что в данном поле преобразование подобия не ме-
няет вида действия, и потому кроме трех указанных есть еще и четвертый
интеграл движения (см. задачу 4.13 б)
m(xi±i + х2х2 + Х3Х3) - 2Ei. (5)
4.33. При сближении любой пары частиц энергия их взаимодействия
неограниченно возрастает, поэтому частицы не могут пройти «одна сквозь
другую» и порядок их расположения на прямой сохраняется.
При столкновении двух частиц равной массы, но с произвольной энер-
гией взаимодействия (обеспечивающей лишь непроницаемость частиц) эти
частицы просто обмениваются скоростями. (Это следует из законов сохра-
нения энергии и импульса.) Если столкновения трех частиц происходят по-
очередно, так что во время сближения двух частиц третья находится далеко
от них, то будет происходить просто обмен скоростями, причем соударения
закончатся, когда впереди будет находиться самая быстрая, а позади — самая
медленная из частиц, т. е. в этом случае
v'x = V3, V2=V2, 1?з=Щ. (1)
В общем же случае, когда сближаются все три частицы одновременно, ве-
личины скоростей отнюдь не будут сохраняться.
Тем удивительнее, что для указанных в предыдущей задаче сил сохра-
няется ответ (1). Это можно показать, используя все три интеграла движе-
ния: Р, Е, А. Учитывая, что при t —> ±оо функции Uik 0, и сравнивая
Р, Е, А при t —> +оо и при t —оо, получим три уравнения:
V1 + v2 + v3 = V1 + u2 + V3,
\vl) + VA) + Из) — ^'l + V2 + v3 5 (2)
U1W2U3 = wlw2«3-
Решая эту систему относительно г/, мы по получим, вообще говоря, шесть
различных решений. Однако все эти решения можно угадать.
Легко проверить, что решение (1) удовлетворяет системе (2). Далее,
так как уравнения (2), очевидно, симметричны относительно всех шести
возможных перестановок частиц, то ясно, что остальные корни системы (2)
могут быть получены простыми перестановками из (1).
После этого нетрудно убедиться, что только ответ (1) может осуще-
ствиться при t —> +оо, ибо любой другой вариант предполагает (в силу
указанных неравенств v3 > v2 > vi) возможность дальнейших столкнове-
нии частиц.
5.2] §5. Малые колебания систем с одной степенью свободы 157
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
2 / / \ 2
5.1. а) и2 = ^-л/1 — ( ’ min[7(x) существует при F <Va;
2 8тг Va4 2<Г(3/4)\2
о) и = ’ где амплитуда xq определена равенством
Е = т^_ + 1уа4ж4 = 1уа4ж4
о о
5.2. Функция Лагранжа системы (см. [1], § 5, задача 4)
L = та2[92(1 + 2 sin2 0) + Q2 sin2 0 + 2Qq cos0],
где введено обозначение Qq = 2g/a.
При Q > Qo потенциальная энергия системы
U(0) = —та2 (Q2 sin2 9 + 2Qq cos 9)
имеет минимум при cos$q = Qq/Q2. Разлагаем U(9) вблизи 9q, а в кинети-
ческой энергии полагаем
1 +2 sin2 6» = 1 + 2 sin2 6»о = 3 - 2("^V =
V И / 2та
тогда
L = ^Мх2 — ^кх2,
где к = U"(9q), х = 9 — 9о- Отсюда
9 к О О4 - Пд
Ш2 = = П2 ------—
М зп4 - 2Q4
(Q > По).
При Q Пд частота колебаний пропорциональна угловой скорости враще-
ния ш = -^=Q, a 9q = В случае Q —> Пд малые колебания совершаются
V3
с частотой х> 0, a 9q —> 0.
Если Q < Пд, то можно рассматривать колебания вблизи 9q = 0 при
упругих соударениях боковых масс
X2 ==П2-- Q2 (П<Пд).
158
Ответы и решения
[5.3
При П = По потенциальная энергия U имеет минимум при Oq = О
и представима вблизи него в виде
П = та2П^(-2+
т. е. колебания существенно нелинейны. Оставляя и в кинетической энергии
члены до четвертого порядка, получим
2л = Т = 8 ? VT+Wde
ш J упж-я4)’
Здесь вт — амплитуда колебаний (ср. [1], § 11, задача 2 а).
5.3. Обозначим s = (q2/8mg/?2)1/3.
При s < 1 положение устойчивого равновесия ро определяется усло-
7О 2 Зд (л 2\
вием sin = s, ш = — (1 — s ).
2 />
При s > 1 положение устойчивого равновесия — точка А, а ш2 =
5.4. г = го + a cosw(i — to),
p = Po+fl(t- to) - sin[w(i - io)],
где ro, <^o, я, to — константы интегрирования (a tq),
Q = (”+2)/2, ov1F^.
5.5. В точке 0 = Oq эффективная потенциальная энергия Пэфф(0) =
М2
= ---- 2-----mgl cos О (см. [1], § 14, задача 1) имеет минимум, поэтому
2ml2 sin2 О
^эфф(^о) = 0. Отсюда находим
М2 = m2l3g sin4 0о/ cos 0q ,
а частота малых колебаний
/л \ /^эфф(^о) I д 1 + 3 cos2 0о
w(t*o) = А/--— = \ т----------я----•
V ml2 у I cos 0о
5.7]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
159
Для применимости этого расчета необходимо, чтобы
|[7"ф(М(А0)2 » ||^'ф(0о)|(А0)3,
где Д0 — амплитуда колебаний. Если 0О ~ 1, это условие выполняется при
АО 1. Однако при Oq 1 оказывается U'^AOq) ос и колебания по О
во
можно рассматривать как малые, только если АО Оо- Тем не менее в
этом случае полученный результат х = 2y/g/l справедлив и для АО ~ Оо,
когда колебания по 0 перестают быть гармоническими. Действительно, по
осям х и у в этом случае происходят малые гармонические колебания с
частотой дЦ, т. е. маятник движется по эллипсу, совершая за один оборот
два колебания по углу 0 (см. [1], § 23, задача 3).
5.6. Эффективная потенциальная энергия для радиальных колебаний
молекулы
Кфф(т) = ^(г - г0)2 +
z 2тг
где г — расстояние между атомами, ат — приведенная масса. Добавле-
ние второго члена, предполагаемого малой поправкой, приводит к малому
смещению положения равновесия
Г М2
°Г° = ---2 2 3’
т XqTq
Изменение частоты определим, разлагая [Дфф(г) в ряд вблизи точки Го+5го'.
ЗЛ/2 / х ,2
----7(г - Го - ОГо)
q
Щф(г) = ^тхо(г -Го - Зго)2 +
" 2t777’q
Отсюда поправка к частоте
= ЗА/2 = 3Q2
2m2worQ 2wq ’
где Q = M/mrQ — средняя скорость вращения молекулы.
5.7. а) Смещение из положения равновесия
. / • 2
Хп . / 9 Ж0 / \
X = Х0 COSXt + smxt = А / Xq Н------------ cos(wf + ,
, . _ х0
tg ’
2 _ 2/.:
160
Ответы и решения
[5.8
б) Пусть натяжение одной пружинки /. Для малых смещений
\у\ \/fl/к, колебания гармонические у = Acos(wi + <р), of2 = 2f/ml.
При f = к.1 частота колебаний та же, что и в пункте а). Если пру-
жинки не натянуты (/ = 0), колебания нелинейны, возвращающая сила
F = —ку3/12; частота (см. задачу 5.1 б)
= У^г(3/4) /2кУт
Г(1/4) V т I
(ут — амплитуда колебании).
Если частица может двигаться в плоскости ху, то ее движение
при / 0 и малых смещениях представляет собой гармонические колеба-
ния вдоль осей хну с частотами х>2 = 2к/т и х>2 = 2//ml соответственно
(см. задачу 6.3).
5.8. Пусть у — координата частицы, отсчитанная от точки верхнего
подвеса. Функция Лагранжа системы
Т тУ2 7/- /\2 тУ2 , тд\2 , .
L = ---Цу -I) + тду = —--------+ const
соответствует осциллятору с частотой и2 = и положением равновесия
Уо = I + туг, поэтому у = УО + Acos(ui + р).
Лк
Заметим, что, выбирая в качестве координаты отклонение от положения
равновесия, мы исключаем из функции Лагранжа поле тяжести.
5.9. Угол отклонения маятника от вертикали
aQ2 I aQ2 I „ ,
W = -------- cos\lt, ------- < 1
д-IQ2 g — ZQ2 I
(см. также задачу 8.3).
Возможны также колебания маятника вблизи направления радиуса-век-
тора <р = Qi Н—sin Qi, Q2
aQ2 °
5.10. Ток в контуре
dq Uo sin(wi — <^) ш££-1/шС
5.11] §5. Малые колебания систем с одной степенью свободы 161
можно получить, решая уравнения Лагранжа для q. Функция Лагранжа си-
уу;2 Q2 1
стемы L = —-----— (см. задачу 4.22) диссипативная функция равна
(см. [3], §48).
5.11. Общее решение уравнения движения (см. [1], §26; см. так-
же [14])
2 F
х + 2Ai + = — cosy/
при условии cj2 = cjg — А2 > 0 имеет вид
x(t) = е Xt (a cos cot + b sin cot) +
F[(cjq — y2) cosyi + 2Aysiny£]
m[(cjQ — 72)2 + 4A272]
где а и b — константы, определяемые из начальных условий. Полагая х(0) =
= ±(0) = 0, найдем окончательно
я?(£) = ——--------f2 , ,,2 21 [Н - 72)(cos7£ -е xt coscj£)+
m[(cjQ - у2)2 + 4А2у2] L
+ 2Ayl sin у/ —
4^e-Atsin^]. (1)
2ycj /J
Исследуем полученное решение вбли-
зи резонанса у = со + е, s <7 со. Если тре-
ние полностью отсутствует, т. е. А = 0, то
в окрестности резонанса движение осцил-
лятора представляет собой биения:
х= m^siny sin^’ (2)
причем величина амплитуды и частота би-
ении определяются степенью близости к
резонансу (рис. 115, а). Когда же 7 = cjq
(т. е. имеет место полный резонанс) при
с - О получим
х = —isincjni, (3)
2тсоо v '
Рис. 115
т. е. колебания, амплитуда а(£) которых неограниченно возрастает по закону
a(t) = Ft/2mcog (рис. 115,6).
162
Ответы и решения
[5.11
х
а)
X
б)
Рис. 116
И
При наличии даже малого трения (А <С cjq) картина движения каче-
ственно меняется. Так, при А <?' |е| из (1) легко получить вместо (2)
x(t) = ———\/1 — 2e~xt cos st + e~2Xt cos(cjq4 + (4)
ZlTlEJgE
Здесь <y?i (t) — некоторая медленно меняющаяся во времени фаза колебании.
Амплитуда колебаний медленно осциллирует с частотой |е| около значения
F/2TnWfj\e\, постепенно приближаясь к нему (рис. 116,а). Замечательно, что
во время переходного процесса амплитуда может достигать значений, почти
вдвое больших амплитуды установившихся колебаний. При соотношениях
|е| <С А _j() получаем
—(1
2itiivqX
е At) cos(pj0t +
(5)
В этом случае происходит переходный процесс с плавно растущей ампли-
тудой, асимптотически приближающейся к значению Р/2ггш$\, опреде-
5.12]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
163
Рис. 117
ляемому коэффициентом трения А (рис. 116,6). И, наконец, если е и А —
величины одного порядка малости, |е| ~ A cjq, то осцилляции амплитуды
вокруг значения, отвечающего установившимся колебаниям Р/2у/2гпшо\е\,
весьма неглубоки (для случая е и А, см. рис. 116, в).
Таким образом, система приходит к установив-
шимся колебаниям для этих трех случаев (рис. 116)
за время t порядка 1/А (это, впрочем, очевидно и
из (1)).
Качественное исследование процесса установ-
ления колебаний (переходного процесса) при A сэр
удобно проводить с помощью векторных диаграмм
(рис. 117). Вынужденное колебание изображается
----------------------------->
проекцией на ось х вектора ОА, вращающегося с
угловой скоростью у. Вектор свободного колебания АВ вращается с угло-
вой скоростью а>, и длина его убывает пропорционально e~xt. В начальный
момент АВ + оЛ ~ 0.
О
Каков характер переходного процесса, если ж(0) = 0, ±(0) 7 0?
5.12. а) Энергия, приобретенная осцилля-
тором,
Т-1 7гЕ2 2 Г 1/ \21
Е=^КТ ехР[—2 ]
существенно зависит от того, как быстро вклю-
чается сила (от параметра шт). При мгновенном
ударе (сэт 1) или при очень медленном вклю-
чении силы (сэт :> 1) передачи энергии малы,
772
максимум передачи энергии Етах = ------— до-
стигается при тт = у/2/ix (рис. 118). тш е
б) Если х — a cos(cj7 + р) при t -х сю,1 то
Рис. 118
ДЕ1 = Е(+сю) — Е(—сю) = т2е /2 — \Ахах>тРе <шт-> /4 sin р.
В зависимости от величины р осциллятор приобретает или теряет энер-
гию. Это изменение энергии подобно поглощению или вынужденному ис-
пусканию света атомом.
При усреднении по фазе р получим тот же ответ, что и в пункте а).
имеет смысл «прицельной фазы», т. е. той фазы, которую осциллятор имел бы при t = О,
если бы не было вынуждающей силы.
164
Ответы и решения
[5.13
5.13. a) x(t) = +Ы6]> где
€1,2 = е±м*
У ^F(r)e±MTdr + ±0 =F /'-''о
б) ж(£) = Im< еш1 xt
f mF(T)eAT ШТ(^Т + + А)х0
где ш = \/шо _ А2.
5.14. На осциллятор действует сила
F(4) = -^-t7(|r-roW|),
(1)
где r(f) — отклонение осциллятора, a ro(f) — радиус-вектор налетающей
частицы. Предполагая отклонение частицы малым, полагаем fq (f) = р + vt
(р — прицельный параметр, векторы р и v взаимно ортогональны). Считая
также малой амплитуду колебаний осциллятора, полагаем в (1) (после диф-
ференцирования) г = 0; тогда F(t) = —2x2T(p+v£)-exp(—х2р2 —x2v2i2).
Колебания по направлениям р и v независимы и возбуждаются до
энергии
у- f Fv(t)
2m j
e-^dt
(2)
соответственно. Здесь Fv и Fp — компоненты силы по направлениям v и р.
Полная энергия возбуждения осциллятора1
(3)
где
1 9
Е = -mv ,
Интересно отметить, что зависимость e(cv) такая же, как и зависимость спектральной
плотности излучения быстрого электрона в поле U(г) (см. [2], § 67).
5.14] §5. Малые колебания систем с одной степенью свободы 165
Сечение возбуждения осциллятора до энергии, лежащей в интервале
ОТ £ ДО £ + fe,
|. (л
k k ' 1 11 xk^j
где Xk — различные корни уравнения (3).
Рис. 119
Рис. 120
Дальнейшее исследование удобно проводить, решая уравнение (3) гра-
т/2
фически, как это делалось в задаче 3.10а. При е £Х = —к—ае~а полу-
2Е
чаем da = (в уравнении (4) полагаем Xfc(e) » 1, Xk а). Для
2>г
больших е результат зависит от величины а. Если а > 1, то возможно лишь
е < Ei (рис. 119,а; для сечения — рис. 120,а). Если же а < 1, то возможно
тл2
е < £2 = —J— (рис. 119,6), причем при £ = £Х график da/d£ испытывает
2.с/е
скачок, а при £2 ; С имеет интегрируемую особенность (рис. 120, б)
da = " _____*____
№£2
166
Ответы и решения
[5.15
5.15. Если осциллятор имеет «прицельную фазу», равную р (см. зада-
чу 5.126), то, повторяя выкладки предыдущей задачи, получим для энергии
осциллятора выражение
£ = Eie-2^2 + 2^/siSoe-^^2 cosр + £0, (1)
При cos р > 0 для всех р оказывается е > eq, а при cos р < 0 существу-
ют такие pi, 2, для которых £ < £q. Разрешая уравнение (1) относительно р2,
находим
Р2 = Л1п
— cosip + л/(e/eq) — sin2 р
при £ > Eq,
Pl, 2 =
^/eq| cospl ± e - e$ sin2 p
при cos p < 0
И Eq > E > £min = Eq sin2 p. Отсюда
da = .Й& = ----------------------d£
I de I 2x2 -2 / 2
e — sm — cos • л / его — sm <p
при 8 > £o И
2 2 1 E07r|cOS<p|cfe
da = 7vd(-p1 + p2) = --------- =
X (SO - E) J££q - Eq Sin2 p
(2)
(3)
при £min < £ < £q И COS P < 0.
Усредняя по всем возможным для данного
£ фазам р, получим
da \ _ тг
de / 2х2|е0 — s|
(4)
(рис. 121). Усреднение проводится по форму-
лам
2тг
о
5.16]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
167
ДЛЯ Е > Eq И
для е < Ео- Здесь а = arcsin y/e/eQ.
Расходимость сечений (2), (3) и (4) при е — ед связана с тем, что при
любых больших р осциллятор возбуждается.
С чем связана дополнительная особенность в (3) и почему ее нет в (4)?
5.16. Для функции Лагранжа L = ^тх2 — ±та>2х2 + xF(t) энергия
системы
f (ImO2 - = ?|« -
где
t
^ = А + шх = еш* [ е~ЪШТ^F(r) dr
(1)
(см. [1], § 22). Хотя выражение для энергии имеет определенный предел при
t —> оо, интеграл, определяющий £(£) при t оо, не имеет предела (так
как F(t) —> Fq при т —> оо). Интегрируя (1) по частям, получим
Ш
mw
t
(2)
где Fr(r) —> 0 при т —> оо и интеграл сходится при t —> оо. Из (2) видно,
что движение осциллятора при t —> оо представляет собой гармонические
колебания (второе слагаемое в (2)) около нового положения равновесия
/Д
xq = ----- (первое слагаемое в (2)). Переданная осциллятору энергия в
пш
соответствии с этим имеет вид
Е(+оо) = -
2ти2
1
2mix2
2
dt .
168
Ответы и решения
[5.17
5.17.
ЧП/ х Fq aX2F0 cos p
AE = _E/(+oo) — E(—oo) =------------- -|----—— -----— ---------------—
2mw2 2mcj2(A2 + w2)2 A2 + w2
Eq = ^тш2а2, p — «прицельная фаза» (см. сноску к задаче 5.126).
5.18. Проводя в формуле £(т) = £(0)егшт + ^-егшт FU)e'":' (И
о
(см. [1], § 22) n-кратное интегрирование по частям, получаем выражение
iFQ (+0)е*шт - (г - 0)
т(г^п+1')
еШТ
о
Здесь |£(0)| = ttQC<j, где ад — амплитуда колебаний до момента включе-
ния силы. Предпоследний член в этой формуле по порядку величины равен
" , а последний, вообще говоря, гораздо меньше (если F(n+1)(7))
изменяется плавно). Квадрат амплитуды колебания 2|ч ууту | при t > т
/ , FoW~"\2
по порядку величины равен I <2q ----— 1 .
\ тгш/ )
Таким образом, если сила включается медленно и плавно, передача
энергии очень мала.
5.19. а) В промежуток времени О С t С т колебания имеют вид
х = Ft/nw2T + В sin ivt + С coswf.
Движение окажется установившимся, если
х(т) = ж(0), ±(т) = ±(0).
Эти условия приводят к системе уравнений
---у + В sincJT + С (cos шт — 1) = О,
< ты
> B(coscjt — 1) — CsincJT = О,
(1)
5.20]
§ 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы
169
определяющей постоянные В n С. Таким образом, при 0 -А / -А у
тш2 L 2sm(cjy/2) J
Если же t лежит в промежутке пт < t < (п + 1)т (где п — целое), то
в правой части (2) следует заменить t на t' = t — пт (0 < t' < т).
При шт, близком к целому кратному 2тг, второй член в (2) оказывается
очень большим — случай, близкий к резонансу. При шт = 2т1 (/ — целое)
установившихся колебаний быть не может (система (1) противоречива1).
б) Im[^ + 0 < t < у; здесь
А = - F 1 ~ е~Хт
тп(\ + гш) 1 - е’шт ’
для пт < t < (п + 1)т в правой части следует заменить t на t' = t — пт.
в) При cjq = (^С)-1/2 > А = R/2^£ установившийся ток
= ~ +Д « = -л + >А2-^ (1)
у/ш^-х2-^ Vi~e 2
для 0 < t < т. Для п < у < п + 1 нужно в формуле для тока заменить t на
t' = t — пт.
Можно ли, используя (1), получить выражение для установившегося
тока при cjq < А или при cjq = А?
т
5.20. а) А = ±УF(t)x(t) dt =
о
= W г_________fi________ __________jff________]
m Цш2-ш2')2 + 4АW (w2 - 4cj2)2 + 16AW J ’
1 Представив силу в виде ряда Фурье
^) = f-£5sin^’
Z=1
видим, что резонансную раскачку колебаний может вызывать каждая гармоника вынуждающей
силы. При т = 2tvI/lb для достаточно больших t (каких именно?)
x(t} , sinwt.
2-Krnwl
170
Ответы и решения
[5.20
т. е. каждая из двух гармоник силы передает энергию независимо от другой
(здесь период Т = ^).
б) А = 4Л^2 V Н2»2
’ т Н - п2сэ2)2 + 4А2сэ2п2 '
в) / Д\ = Л [____11^1________1_______^2_______1
П 7 тЦси02-сэ2)2 + 4АМ (сэ02-сэ22)2+4АМГ
При усреднении за большой промежуток времени Т оказывает-
ся, что каждая из сил /х coscjit и /2 cos^o/' передает энергию осциллятору
независимо. Это связано с тем, что лишь средние квадраты тригонометри-
ческих функций отличны от нуля. При Т оо
т
У sin2cJiidi = | + -sin2cJiT) -►
о
а средние значения перекрестных произведений типа sincj 11 coswit и т. д.
исчезают. Например, при Гэс.
т
У sin шА • cosu^i dt =
1 — cos(cji — ео2)Т 1 — cos(cji + Ш2)Т
2(се>1 — Cl)2)T 2(се>1 +
г) Смещение осциллятора
Wq — сэ2 + 2гАсэ ’
отсюда полная работа силы F(t) равна
л_ 7 гм м - 8тгА 7 ^2ИМ12 , , m
А / x(t)F(f)dt m / dee. (1)
J J [CJg — Ll) ) + 4z\ Ш
При доказательстве последнего равенства использовано обратное пре-
образование Фурье / F(t)ewtdt =
5.21] §5. Малые колебания систем с одной степенью свободы 171
При Л ^(| основной вклад в интеграл (1) дает окрестность вблизи
собственной частоты осциллятора со = cjq.
Поэтому
~ 4тг|^(^о)|2^о
JT. --------7777-----
__________dee2_________
(wq — сэ2)2 + 4A2Wq
При этом сомножитель, стоящий в квадратных скобках, легко вычис-
2тпД^о)|2 , ,
ляется и оказывается не зависящим от А, А = J--------— (ср. с форму-
лой (22,12) из [1]).
5.21. Учитывая, что отклонение осциллятора х есть малая величина
первого порядка по F, получим
АЕ = у F(x, У f(t)xdt,
АР = У F(x, t)dt^ у [f(t) - f(t)^] dt.
Интегрируя второе слагаемое по частям, найдем
АР= Г f(t)dt + ^.
В частности, если J f (4) dt = 0, то ДР = VАР.
Поясним условие малости х на примере действия на осциллятор груп-
пы волн /(4) = /'г ।/ //r cos п/. Малым параметром в разложении F(x, 4)
является х/А, где А = 2тгУ/у — характерная длина волны, т. е.
/7
2тгт|сэ2 — 72
172 Ответы и решения [6.1
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями
свободы
6.1. Пусть Xi — отклонение г-й частицы от положения равновесия
(г = 1, 2). Функции Лагранжа системы
Ь=^^1+х1)-’1[х1 + (х1-х2П (1)
Уравнения движения
mil + А:(2ж1 — х2) = 0, тх2 + к(х2 — Xi) = О
подстановкой Xi = Ai cos(cji + р) сводятся к системе алгебраических урав-
нений
(—тпх 2/с)Л1 — кА2 = 0, —kAi У (—/их к)А2 = 0. (2)
Эта система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен
нулю:
(—тх2 + 2fc)(—тх2 + к) — к2 = 0. (3)
Отсюда получаем собственные частоты
2 _ 3 л/5 k
^1,2 2 т'
Из двух уравнений (2) в силу (3) лишь одно независимо. Подставляя
значения wi и в (2), получим соотношения между амплитудами
2
Ai = --------А2 = А для х = cji,
V5 + 1
2
Ai =---------А2 = В для х = х2.
V5 - 1
Таким образом, свободные колебания системы суть
xi = Acos(cJii + pi) + В cos(cJ2i + ^2),
\/5 + 1 а/5 — 1 (4)
х2 = —-—Acos(cji4 + pi)-------2—В cos(cj2£ + ^2)-
Постоянные А, В, pi, р2 определяются начальными условиями.
6.2] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 173
Свободные колебания (4) полностью описывают движение системы.
Однако при решении многих задач удобнее пользоваться нормальными ко-
ординатами, например в задачах с вынуждающей силой (см. задачи 6.2 6
и 6.24), при построении теории возмущений (см. задачу 6.34), при переходе
к квантовой механике. Это связано с тем, что нормальные координаты q^,
определенные равенствами
Х1 = <21 + <?2,
75 + 1 75-1
Х2 = —2—qi--------2—92 ’
приводят функцию Лагранжа (1) к сумме квадратов
L = 5 +4^w^i “ wi«i) + 5 (6)
а уравнения движения для qi и q% разделяются:
Qi + ^iQi = 0.
Подобным же образом задача о движении двух взаимодействующих
тел сводится к задачам о движении центра инерции и о движении частицы
с приведенной массой в заданном силовом поле.
Отметим, наконец, что более общий случай системы N частиц с одной
точкой подвеса рассмотрен в задаче 7.2.
6.2. Функция Лагранжа системы
L = у (*1 + *2) - | [(^1 - а(^))2 + (^1 - яД2] •
Если отбросить член — ^fca2(i), представляющий собой полную производ-
ную по времени, то L можно переписать в виде
L = Lo + AL, AL = x-[ka(t), (1)
где Lq — функция Лагранжа системы с неподвижной точкой подвеса (см.
формулу (1) из предыдущей задачи). Такая запись удобнее тем, что сразу
позволяет выписать «вектор» внешней силы
( А _ ( kaW А
\ Fx2 / \ 0 /
174
Ответы и решения
[6.2
а) Уравнения движения
mxi + fc(2a?i — Х2) = ка cos yt,
тх2 + fc(a?2 — a?i) = 0
подстановкой Ж1 — Д cos yt, ж2 = В cos 71
(2)
приводятся к линейной неоднородной системе
двух уравнений относительно А и В. Отсюда
А,В
Рис. 122
ак(—ту1 2 + к)
т2(72 -с^)(72 ~^2)’
ак2
т2(72 -с^)(72 ~^2)’
2 3 7 V5 к
где 2 —т ~ нормальные частоты
системы.
Зависимость амплитуд Л и В от частоты 7
изображена на рис. 122, а.
При переходе через точки резонанса
7 = 2 амплитуды А и В меняют знак, что
отвечает изменению фазы колебаний на тг. При
частоте 7 = у/к/т колебания верхней массы
полностью демпфируются: А = 0.
На рис. 122, б изображен примерный вид
зависимости |А от частоты вынуждающей си-
лы при наличии трения.
На каких частотах 7 будут демпфироваться колебания верхней частицы,
если к нижней подвесить еще одну частицу на такой же пружинке?
б) Вводя нормальные координаты 2 (см. формулу (5) из предыдущей
задачи), представим функцию Лагранжа (1) в виде
L = qi) + £2(92,
5 i л/5
Lij2 = —-^1,2^2) +
(ср. с формулой (6) предыдущей задачи).
1 Общее решение системы (2) является суперпозицией свободных и вынужденных колеба-
ний. При наличии даже малого трения свободные колебания затухают, поэтому после большого
промежутка времени решение системы (2) не зависит от начальных условий и представляет
собой вынужденные колебания (3).
6.2]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
175
Таким образом, задача сводится к отысканию установившихся коле-
баний двух независимых осцилляторов, на каждый из которых действует
пилообразная сила (см. задачу 5.19а).
Разумеется, и в пункте а) можно было решать задачу, переходя к нор-
мальным координатам (ср. с задачей 6.24).
6.3 а. Вводим систему координат с началом в точке подвеса и осью у,
направленной по вертикали вниз. В качестве обобщенных координат вы-
берем координаты жх и .о точек Л и В. В выражение для потенциальной
энергии U = —тду± — тду-2 подставляем ух(жх) и уг(жх, хф) с точностью
до второго порядка по Жх, 2/^
Ух = У4/2 “жх ~ 2Z “
У2 = У1 + \//2 - (ж2 -Ж1)2 И 31 - || -
а в выражение для кинетической энергии Т = у (ж? + у2 + -'з + У 2) ||0-!|“
ставляем ух и у2 с точностью до первого порядка:
Ж1Ж1 _ . . (ж2 -Ж1)(ж2 -Ж1)
У1 =---2Г °’ У~ = У1--------------1------- °’
После этого функция Лагранжа
L = ^(ж2 + ж2) - ^ж2 - ^(ж2 - жх)2 + 5тд1
совпадает с функцией Лагранжа системы, рассмотренной в задаче 6.1, если
принять к = тд/1 и отбросить несущественную постоянную 5тд1. По-
этому найденная в задаче 6.1 зависимость Жх(£) и X2(t) справедлива и для
двойного маятника.
Если точка подвеса маятника движется по закону жо = a(t) I, то,
как легко убедиться, мы возвращаемся к функции Лагранжа, рассмотренной
в задаче 6.2.
6.3 6. Пусть (риф — углы отклонения верхней и нижней частицы
от вертикали. Нормальные колебания таковы: ф = 2(р с частотой yj^g/Ы
и ф = — 2р с частотой у/^д/31.
176
Ответы и решения
[6.4
6.4 . Закон движения
х = a cos(cji4 + р), у = bcos(x>2t + "Ф)-
Рис. 123
Постоянные а, Ь, р, ф определяются на-
чальными условиями. Траектория располо-
жена внутри прямоугольника (рис. 123):
—а < х < а, —b^y^b.
Вообще говоря, траектория «заполня-
ет» весь прямоугольник. Точнее, если wi
и cj2 несоизмеримы, она проходит как угод-
но близко к любой точке этого прямоуголь-
ника. Движение точки в этом случае не яв-
ляется периодическим (хотя движение ее проекций на оси координат пе-
риодическое). Если же и сэ2 соизмеримы (Zwi = nwz, где I и п — це-
лые числа), то траектория представляет собой замкнутую кривую, называ-
емую фигурой Лиссажу. Движение в этом случае периодическое, период
равен 2тгп/сЭ1.
6.5 . а) Для данной системы переход к нор-
мальным координатам есть просто поворот в плос-
кости (х, у) (рис. 124):
х = Qi cos р — Q2 sin р, у = Qi sin р + Q2 cos р.
(1)
Действительно, кинетическая энергия при повороте
не меняет своего вида, а в потенциальной энергии
коэффициент при Qi, Q2, равный
— — cjj) sin2(^ — acos2<yj,
можно обратить в нуль, если определить параметр р из условия
ctg 2р =
9 2
^2 ~^1
2а
Зависимость р от показана на рис. 125; ширина области частот,
в которой происходит переход от^ = 0к^ = тг/2 порядка а/1x2-
6.5]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
177
При слабой связи, а ж-у — | нормаль-
ные колебания локализованы, т. е. при < ^2
оказывается <р яа 0 и х « Qi, у « Q2,
а при Ш1 > с^2 получаем ср и и х —Q2,
У ~ Q1-
При а нормальные колеба-
ния перестают быть локализованными: ср и ,
х ~ V=2(Q1 ~ у ~ + ('СМ’
Рис. 125
§ 23, задача 1).
Нормальные частоты
2 = | к2 + ^2 =F У И - W1)2 + 4а2] (2)
cj2 (для
Рис. 126
лежат вне интервала парциальных частот1, т. е. Q| < wi и
определенности считаем wi <х>2)- Соотношения подобного рода для систем
со многими степенями свободы известны под названием «теорем Рэлея»
(см. [15] и задачу 6.23).
Зависимость Пц 2 от wi показана на рис. 126.
Видно, что отличие нормальных частот Г21,2 от
парциальных cji 2 (равно как и нормальных ко-
ординат Qi, Q2 от координат х, у) при малых а
несущественно всюду, за исключением области
вырождения \ш± — wjl < а- При достаточно ма-
лых wi одна из нормальных частот становится
мнимой — система перестает быть устойчивой.
В координатах Qi и Q2 закон движения и
траектория такие же, как в предыдущей задаче.
б) Нормальные координаты можно получить
в этом случае из результатов предыдущей задачи
простои заменой ujf 2 т1,2, причем нормальные частоты данной задачи
обратны нормальным частотам Qi,2 предыдущей задачи. Почему?
Можно ли обнаружить факт независимости нормальных частот от зна-
ка а (или /3) из вида функции Лагранжа, не находя 2 в явном виде?
'Следуя Мандельштаму [7], парциальной частотой мы называем частоту колебаний систе-
мы, которая получается из исходной при ж = О (или при у = 0).
178
Ответы и решения
[6.6
6.6. а) Функция Лагранжа системы (см. задачу 4.22)
где </| и </2 заряды на верхних пластинах конденсаторов С\ и С). Вве-
дя новые переменные т/^191 = х и = У, мы получим функцию
Лагранжа задачи 6.5 а с параметрами
2 _ 1 ( 1 , 1 А 2 _ 1 / 1 , 1 А _ 1
^£1\С + С1)' ^2<С + С2)’ а С ^7^'
б) Заменой переменных (р = л/САх, q2 = у/С^у можно функцию Ла-
гранжа данной системы свести к функции Лагранжа задачи 6.5 б с парамет-
рами
mi, 2 = (^+^1,2)41.2, 13 = ^у/С1С2.
Могут ли данные системы стать неустойчивыми?
6.7. Пусть и х2 — отклонения частиц mi и m2 от положения
равновесия. Сделав замену = х и у/т2х2 = у, получим для системы
функцию Лагранжа, рассмотренную в задаче 6.5 а.
В различных предельных случаях ответ может быть получен без ре-
шения уравнений. Например, если все ki = к и mi m2, то возможно
нормальное колебание очень низкой частоты = 7^-, -О = р:/‘> (ча-
стица mi является как бы элементом пружинки, а частица m2 колеблется
между пружинками жесткости ^к слева и к справа) и очень высокой ча-
стоты = (777 (когда частица m2 почти покоится). Амплитуду колебаний
второй частицы можно найти, рассматривая ее движение как вынужденное
под действием вынуждающей силы кх± высокой частоты (см. [1], форму-
ла (22.4)): х2 = -т^-Ж1.
2/712
Подобным же образом интересно рассмотреть случаи
a) mi = m2, fci = к2 кз;
б) все жесткости различные, но одного порядка, a mi <?' m2;
в) к2 fci = кз, а массы mi и m2 одного порядка.
6.10] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 179
6.8. а) Х1г 2 = (77 smwit ± при fci <С к колебания
имеют форму биений:
x-t = cos et sin cut, X2 = — Д sin et cos cut.
Ld Ш
б) Ж1,2 = ^(coscjiZ ± cos^'2/j; при fci <; к
= a coset coswt, X2 = asinet sinwi.
T-* 2 к 2 2fci + к ki 1 / . \
Всюду = ^, w2 = m , e = —cu^ cu = + ^2).
6.9. Энергия, переданная от первой частицы ко второй за время dt,
равна работе силы F = ki(xi — ж2)
dE = — Х2) dx2 = — #2)^2 dt,
а поток энергии = ki(xi — ж2)±2. Для предельного случая ki к
в задаче 6.8 а поток энергии, усредненный по периоду быстрых колебаний,
равен । sin2;7 и меняет знак с частотой, равной удвоенной частоте
биений.
6.10. Уравнения движения
тх± + &1(ж1 — Х2) + кх± + axi = 0,
тх2 + к\{х2 — я?1) + кх2 + ах2 = 0
при замене 37, 2 = ~^= (<Zi ± <?2) распадаются на два уравнения для нормаль-
ных координат
Qi + + 2 A<ji = 0,
<72 + Х>2<12 + 2А^2 = 0,
где си^ = А, ш2 = к + 2кх , 2д = Поэтому при А < wi,2 (см. [1], §25)
х1г 2 = e~At[acos(7i£ + (^1) ± &со8(у2£ + ^2)],
где 71,2 = уМ,2 ~ л2-
Для системы рис. 22 при наличии трения характеристическое уравне-
ние не биквадратное, а четвертой степени, поэтому найти свободные коле-
бания гораздо сложнее.
180
Ответы и решения
[6.11
6.11. Функция Лагранжа двойного маятника
Т _ М . 2 I т 2 Мд 2 т9 г 2 I ( \2l
ь — + уж2 + (Х2 ~
где я?1 и х-2 — отклонения точек М и т от вертикали, проходящей через
точку подвеса (ср. с задачей 6.3а). Заменой
функция Лагранжа сводится к виду, рассмотренному в задаче 6.5а, причем
2 2 _ 2т9 _ д Ггп
1 2 ~ м I а ~ I \ м'
В этом случае
X = -^=(Q1 - Q2), У =-^=(<21 + Q2),
где Qi = ai cos Qj4 + bi sin Qj4,
Q1’2 V 2’ 7 V Ml'
С учетом начальных условий Qi,2(0) = <21, г(0) = 0 получаем
X1 ~
sin yt sin
X2 = 1/3 cos 74 cos
Таким образом, маятники колеблются «по очереди» и амплитуда верх-
него маятника в у/М/т раз меньше, чем нижнего.
6.12.
Х1 =
Х2 =
ak(ki + к — 77172)
2~ g 2\ / 2 2? COS 74,
™ (7 - wf)(72
akk^
„ cos 74,
™ (7 - ^)(72 -с^)
где ш’ -^2
к + 2fci
m
6.15] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 181
6.13. жх = Ж2 = ———j cosyf, где Xi — смещение вдоль кольца из
k — m-f
положения равновесия г-й частицы. Резонанс возможен только на одной из
нормальных частот при у2 = к/т (см. задачу 6.24).
6.14. Пусть Xi — смещение вдоль кольца из положения равновесия
г-й частицы, тогда
ак(ш% - у2)
Xi = х3 = ----—-------— cosyt
m(y2 - wf)(y2 - wf)
___________2gfc2_______ ,
2/ 2 2\/ 2 2\ COSyi,
m2(y2-w2)(y2 -w2)
где собственные частоты ay равны ш2 3 = (2 а/2)Д, ^2 7м Обратим
внимание на то, что при у = и>2 смещения х± = х3 = 0, а .ту = —a cos yt.
Почему число резонансов в системе меньше числа нормальных частот?
6.15. Уравнения движения (ср. с задачей 6.12)
mxi + axi + kxi + ki(xi — ж2) = fcaRee17*,
тх2 + ах2 + кх2 + &1(ж2 — жх) = 0.
Ищем решение в виде х± = Re Де17*, Х2 = BeBelyt. Для А и В получаем
уравнения
(—ту2 + 2гтАу + к + ki)A — к±В = ка,
— к±А + (—ту2 + 2гтАу + к + ki)B = 0, 2тА = а,
откуда
ак(к + fci — ту2 + 2гАту)
т2(у2 — 2гАу — w2)(y2 — 2гАу — ш2) ’
_ akki
т2(у2 — 2гАу — w2)(y2 — 2гАу — ’
Гк i 1 А2
аАц/ (у2 - ^w2 - ^w2) + 4А2у2 cos(yi + </?х + Т’г + "0)
xi =---------- -----------------------------------------,
ту/[(у2 - w2)2 + 4А2у2] [(у2 - w2)2 + 4А2у2]
акк± cos(yi + ipi + 1Р2)
ж 2 =----- .
т2^/[(у2 — w2)2 + 4А2у2][(у2 — W2)2 + 4А2у2]
2 к 2 А 2/сх 2Ау 4Ау
~ т’ w2 — т > ‘/’i,2 — ~^2 2 ’ tg-0 — 2 1 2 о 2'
у - 2 OJ1 +oj2 -
182
Ответы и решения
[6.16
Между колебаниями двух частиц возникает сдвиг фаз полного демп-
фирования колебании первой частицы нет. Амплитуда колебаний как функ-
ция частоты вынуждающей силы у имеет один или два максимума в зави-
симости от соотношения параметров wi, Ш2 иА (см. [16], § 1).
6.16. Функция Лагранжа системы (х и у — смещения из положения
равновесия первой и второй частиц)
+ 2 ^2 + ^3 2 । 2fc2 \ I 7 /
---m---x--------m----У + ^TpXy) + kpiXCOS'J
I I L I I L I I L '
Рис. 127
<?>
отличается от функции Лагранжа, рассмотренной в
задаче 6.5 а, лишь слагаемым xkiacos’yt, отвечаю-
щим силе Aya cosy/, действующей на первую части-
цу. Ниже мы будем пользоваться обозначениями за-
дачи 6.5 а. Парциальная частота шц 2 =
соответствует нормальной частоте системы, которая
получится, если закрепить вторую (первую) частицу
в положении равновесия, т. е. положить у = 0 (со-
ответственно х = 0). При переходе к нормальным
координатам Qi, Q2 функция Лагранжа приводится к виду
L = у (Q? - ^iQl + - Q2Q2) + (FiQi + F2Q2) cosyi,
где Fi = kiacoscp и F2 = — k2asintp — проекции амплитуды силы F =
= /су; cos у/ на нормальные координаты Qi и Q2 (рис. 127). Для ко-
ординаты <21,2 мы получаем уравнение движения осциллятора с часто-
той 2 под действием вынуждающей силы Fy 2 cosyt. Начальные условия
<Эг(О) = <2г(0) = 0. Получаем
-Fi, 2(cosyi — cos Пу 2i)
У данной системы в приближении слабой связи
к2
кз - ki
6.17] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
183
(для определенности к± < кз) интересно рассмотреть резонанс на второй
нормальной частоте. Полагая 7 = Ог(1 + £1), имеем
Qi = , (cos ^2/ — coswif),
ki - к3
Q2 =--------— sinl ci —Ч ) sin^W при |ei| < 1,
771W2£1 ' '
Q2 = — ----et sinw2i при si = 0.
2nw2
Таким образом, даже при слабой связи амплитуда Q> может быть боль-
шой или расти со временем, однако скорость ее изменения при этом бу-
дет мала. Поскольку угол поворота мал (sin</? = е), для смещении имеем:
х = Qi - eQ2 иу= Q2.
Какова скорость роста амплитуды колебаний при резонансе на первой
частоте 7 = Qi?
Как изменится характер колебаний, если на обе частицы будет действо-
вать малая сила трения, пропорциональная скорости (ср. с задачей 5.11)?
6.17. F F •
Fo cos </? Fosmip
а) х =---------— cos 77 у =----------— cos 77
’ ' У т(ш2 — у2)
где acf = ^, = ^, — угол между направлением силы и осью АВ, а х
ну — смещения из положения равновесия вдоль осей АВ и CD. Частица
колеблется вдоль прямой, проходящей через центр.
Интересно, что при у2 = w2 sin2 ср + со 2 cos2 Т5 эта прямая перпенди-
кулярна к вектору Fo. В этом случае работа вынуждающей силы равна
нулю. Поэтому, казалось бы, наличие даже малого трения должно привести
к затуханию колебаний. Так ли это?
77 77
б) х = ---5---т- cos yi, у =---5--т- sin yi. Траектория — эллипс
т(уА — у)
с полуосями а = ----—— и b = ------Если величины (w2 — у2)
m|wj-y |
/9 9\
и (^2 — 7 ) противоположны по знаку, то движение частицы по эллипсу
происходит по часовой стрелке, а вектор силы вращается против часовой
стрелки.
Как изменятся описанные выше картины движения частицы, если на-
тяжение пружинок в положении равновесия не равно нулю?
184
Ответы и решения
[6.18
6.18. Пусть Xi — смещение г-й частицы вдоль кольца из положения
равновесия. Три частицы могут вращаться по кольцу с постоянной угловой
скоростью, при этом
Ж1 = х2 = х3 = Ct + Cl = Qi (i), W1=O. (1)
Колебания же частиц 1 и 2 навстречу друг другу с равной амплитудой
/ ЗА:
Ж1 = -ж2 = Acos(w2A + а) = <72(А), ж3 = О, ш2 = С — (2)
происходят, очевидно, с той же частотой, что и колебания частиц 2 и 3
навстречу друг другу
xi = 0, х2 = -ж3 = Bcos(w3i + /3) = <7з(А), ж3 ж2. (3)
Введем «вектор смещения»
Рис. 128
тогда колебания (1)-(3) можно представить в виде (рис. 128),
Любая линейная комбинация векторов г2 и гз также представляет собой
колебания с частотой щ2. Таким образом, в пространстве с декартовыми
координатами xi, х2, %з совокупность решений, отвечающих колебаниям
с дважды вырожденной частотой х2 = а?з, определяет плоскость, прохо-
дящую через векторы г2 и Г3.1 Как легко видеть из (4), оба эти вектора
'Отметим, что в этой плоскости линейная комбинация вида ari(t) + br2(t) представляет
собой либо колебания по прямой (при о. = /3, (3 + тг), либо движение по эллипсу (при о. 0 /3).
6.18] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
185
(а следовательно, и все векторы, лежащие в этой плоскости) ортогональны
вектору Г1 (общее соотношение ортогональности см. в задаче 6.22).
Функция Лагранжа системы
I/ = у (±1 + ±2 + ^з) “ |[(ж1 “ Ж2)2 + (ж2 - Жз)2 + (ж3 - Ж1)2]. (5)
Нормальные координаты должны диагонализовать одновременно обе квад-
ратичные формы — для кинетической и для потенциальной энергии. По-
скольку в (5) кинетическая энергия уже пропорциональна сумме квадратов
скоростей, то преобразование от Xi к нормальным координатам, не меня-
ющее ее вида, должно быть ортогональным, а векторы соответствующих
нормальных колебании — взаимно ортогональными. Векторы г» независи-
мы, но не ортогональны друг другу: гхг2 = гхгз = 0, но Г2Г3 0. Чтобы
получить нормальные координаты, достаточно в плоскости векторов г2 и гз
выбрать два взаимно ортогональных вектора. Это могут быть, например,
вектор г2 и ортогональный ему вектор где единичный вектор е найден
из условия егх = ег2 = 0. В итоге набор нормированных векторов1
позволяет определить нормальные координаты:
Ж1 = 4=Q1 + ^<72 + -^<7з,
х/3 а/2 М
< ж2 = —^<7х---^<72 + -^<73,
х/3 а/2 /б
1 2
жз = —Qi-------F<?3,
х/3 х/б
которые приводят функцию Лагранжа (5) к виду
L = ~ + ?з2 - ^зМ)- (8)
Разумеется, любые координаты, полученные из q2, 43 ортогональным
преобразованием (т. е. простым поворотом вокруг ri), также являются нор-
мальными координатами.
1 Множители 1/л/З и 1/д/2 введены для того, чтобы нормировать векторы условием
= 6ikQi, при этом условии преобразование (7) ортогональное.
186
Ответы и решения
[6.19
6.19. Начальные условия для смещения Xi вдоль кольца
Ж1(0) = а, £2(0) = жз(0) = жДО) = 0.
Отсюда для нормальных координат qi (см. формулу (7) предыдущей задачи)
найдем начальные условия:
Qi(0) = ^=, q2(0) = ^=, q3(0) = ^=, У(0)=0.
v3 л/2 л/6
Поэтому
<71 = 4i = COSU2/:, <?з = cosusi,
Уз V2 Уб
и с учетом того, что = ^з, получаем окончательно
а , 2а , а а ,
Х1 = д + -д- cosu2i, ж2 = ж3 = - - - cosu2t
00 00
6.20. Пользуемся обозначениями задачи 6.18. Функция Лагранжа си-
стемы
L — ^(ж2 + 2я?2 + Зя?з) — [2(a?i — Х2)2 + 6(я?2 — ж3)2 + 3(жз — Ж1)2]. (1)
Уравнения движения подстановкой xi = А/ cos(ui + tp) сводятся к системе
трех алгебраических уравнении:
(—mu2 + 5fc)Ai — 2fcH.2 — З/сЛз = 0,
—2А:Л1 -|- (—2mu2 -|- 8fc)H.2 — б/сЛ.3 = 0,
—3fcAi — 6fcH.2 + (—Зти2 + 9/с)Лз = 0.
(2)
Эта система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен
нулю:
ш2(тш2 — 6fc)2 = 0.
Отсюда находим собственные частоты системы:
wi = 0,
U2 = <U3 =
6.20] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 187
Значению wi = 0 отвечает очевидное решение — вращение по кольцу
с постоянной угловой скоростью
/1\
Г1 = 1 <71, qi(t)=Ct + C1. (3)
V/
Для совпадающих частот и>2 = <^з в системе (2) лишь одно уравнение
является независимым:
Ai + 2А2 + ЗЛ-3 — 0.
(4)
Любые наборы величин Ai, удовлетворяющие условию (4), дают колебания
с частотой о)2- В частности, можно выбрать такие колебания, чтобы первая,
или вторая, или третья частица покоилась:
Г2 =
/ 3\
гз = 0 <73,
(5)
Qi = Ci cos(w2i + i = 2, 3, 4.
Согласно (4) любая линейная комбинация векторов (5) ортогональна вектору
Легко убедиться, что набор векторов
П,
/ 5\
г2, гз = -1 Q3
\ V
(6)
позволяет, как и в задаче 6.18, определить нормальные координаты, которые
приводят функцию Лагранжа (1) к диагональному виду. Векторы (6) удо-
влетворяют не простому соотношению ортогональности (как в задаче 6.18),
а соотношению «ортогональности с весом» (см. задачу 6.22).
188
Ответы и решения
[6.21
6.21. Векторы нормальных колебаний
(1)
qi = Ai cos(u/i + pi), I = 1, 2, 3; q4 = A4t + A5,
wi=w2 = y^, ^3 = 2^.
Функция Лагранжа системы
Т m / -2 I -2 I -2 I -2 2 2 2 2 2 2\
L = -^{q4 +q2 + q3 + «4 -^iQi - w2<72 -^3Q3).
Это, конечно, не единственный выбор. Любые векторы, полученные
из данных поворотом в плоскости, определяемой векторами гд и г2, также
будут векторами нормальных колебаний, например:
(поворот на тг/4). Но векторы гд, г'2, г3, Г4 хотя и независимы, но не при-
водят функцию Лагранжа к сумме квадратов.
6.22. Амплитуды нормальных колебаний удовлетворяют уравнениям
-W;2 У2 mtjA(p + У2 кг3А(р = 0, (1)
3 3
52 mvAjs) + 52 k^Ajs) = °-
3 3
(2)
6.23] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 189
Умножим уравнение (1) на Аг-®\ а уравнение (2) — на А®. Взяв в обоих
уравнениях сумму по г, получим
-w^^jA^A^ + ^^А^А^ = 0, (3)
ij ij
£ т13А^А^ + £ kl3A^A^ = 0. (4)
ij ij
Вычтем уравнение (4) из уравнения (3), учитывая, что и kij= kji,
получим
Е Шг3 AiS) = °’
ij
т. e. при cos u)i
EwjA^A® =0, (5)
ij
и одновременно из (3)
Е^Аг(8)А«=0. (6)
ij
Удобно воспользоваться терминологией, принятой в линейной алгебре.
Набор амплитуд данного колебания будем называть вектором амплитуды
= (А®, А? \ ..., А$). Доказанные соотношения (5) и (6) означают,
что амплитуды А А и д(г) взаимно ортогональны, если скалярное произ-
ведение определять с помощью метрических тензоров или kij.
В случае вырождения (если = ад) амплитуды А А и д(г) не обязаны
удовлетворять соотношениям (5) и (6). Но в этом случае всегда можно
выбрать, и притом не единственным способом, такие амплитуды, которые
удовлетворяли бы (5) и (6) и приводили бы функцию Лагранжа к сумме
квадратов.
6.23. Переходя к нормальным координатам
= Еа(%
i
преобразуем уравнение связи
Емг = °, &г = ЕаА(;)-
I i
190
Ответы и решения
[6.24
Уравнения движения с неопределенным множителем Лагранжа Л
Mi(qi + Q.I qi) = btX
можно решить, полагая
qi = Ci cos(wi + </?), Л = Л cos(wi + </?).
Выразив Ci из уравнения
Мг(П2-сэ2)Сг=&гЛ
и подставив в уравнение связи, получаем для новых частот уравнение
л
i - и2)
= 0.
Рис. 129
Для исследования этого уравнения
удобно представить график (рис. 129)
bj
----------- = 0.
ЛД(П2-сэ2)
Обратим внимание, что функция
у(У2) меняет знак, проходя через бес-
конечное значение при w2 = Q2.
После этого расположение корней u>i
становится очевидным. Если какой-
нибудь из коэффициентов bi равен нулю, то соответствующее нормальное
колебание (и его частота) не изменяются при наложении связи.
Рассмотренному в этой задаче факту можно дать простую геометриче-
скую интерпретацию (см. [6], §24).
6.24. Подставив Xj = ^2 Х,'’,А['1 cosyt в уравнения движения
У2 mijXj + У2 kijXj = fi cosyi,
j j
получим следующую систему уравнений для определения коэффициен-
тов Х^:
-72Ew,A(;)A« =л. (2)
г,3 3,1
6.24] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 191
Ее проще всего решить, используя соотношения ортогональности (5), (6)
задачи 6.22.
Для этого умножим уравнения (2) на А^ и, просуммировав по г, по-
лучим окончательно
A(s) = ----Fs----
М>?-72)’
где
= Ks = ^k^A^\
г М
а величина сов = у/К8/М8 является s-й нормальной частотой системы
в соответствии с формулой (4) задачи 6.22.1 Зависимость от у имеет
резонансный характер.
Для нормальных колебаний qs, введенных по формуле
Жг = 52 A(s)<7s(i), (3)
S
вместо (1) получаем следующие уравнения движения:
Maqa + Ksqs = Fs cosyt. (4)
Отсюда, если вектор силы Д ортогонален к амплитуде некоторого s-го нор-
мального колебания Е fi = 0, то соответствующая нормальная коорди-
ната удовлетворяет уравнению свободных колебаний, и резонанс на данной
частоте при ш не проявляется.
Отметим, что работа внешней силы в этом случае равна нулю
(Е fi dxt = Е fiA^ dqs = о).
' i i '
Пусть вектор силы параллелен какому-либо нормальному колебанию:
А
—= const (г = 1,2,..., ЛГ). Может ли такая сила возбудить другие
нормальные колебания?
1 Если некоторые нормальные частоты вырождены, то соответствующие им амплитуды нор-
мальных колебаний мы считаем выбранными так, чтобы они удовлетворяли соотношениям
ортогональности (5) и (6) задачи 6.22.
192
Ответы и решения
[6.25
6.25. Вынужденные установившиеся колебания можно представить в
виде (см. предыдущую задачу)
j
где
0.. = у-—* 7
1гз
Теорема взаимности отражает тот факт, что Ду = /Зр.
Как изменится формулировка этой теоремы, если координаты Xi и Xj
имеют разные размерности (например, для электромеханической системы)?
6.26. Нормальные колебания
Л (л
1 О
х <71, <12,
V/ \ о/
где <?1 = At + В, qi = A. cos(wj7 + at), i = 2, 3, 4; = АТ’
2 2fc(A7 + т)
^4 = ------—----. Три первых колебания легко угадываются, а последнее
находится из условия ортогональности к первым трем. Поскольку массы
частиц различны, условие ортогональности двух нормальных колебаний А
и В имеет вид mAiBi + МА2В2 + ГГ1А3В3 + МА4В4 = 0 (см. задачу 6.22).
6.27. Пусть Xi — смещение г-й частицы вдоль кольца. Два нормальных
колебания легко угадываются:
Г1 = х <71 (£),
V/
(1)
<71(7) = Сх7 + С2, <72(7) = А2 cos(w27 + ^2), ^1 = 0^.
Два других вектора должны быть ортогональны к векторам (1) в метрике,
определяемой коэффициентами квадратичной формы кинетической энергии
6.28] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
193
(см. задачу 6.22), т. е. иметь вид
<7(4)-
(2)
Подставляя (2) в уравнения движения первой и второй частиц
тх\ + &(2ж1 — ж4 — ж2) = 0, тх2 + &(2ж2 — х± — х3) = О,
получаем уравнения для определения величин а, b и частот
(— mu2 + 3fc)a —^6 = 0,
—2ka + (—тсс2 + 2k)b = 0.
(3)
Из (3) находим U3 4 = 5 5 Д, &3j4 = (1 ± V5)a3j4 или
гз,4 =
<13,4 (£),
<73,4 = -4з,4 cos(w3j4i + </?зд).
6.28. а) Пусть ж», уд zi — отклонение г-й частицы от положения
равновесия. Функция Лагранжа системы имеет вид (см. задачу 5.7)
L = Li(x, х) + Li(y, у) + Li(z, z),
Lr(x, х) = у (ж2 + х% + xj + i4 + xl) - | [ж2 + (a?i - ж5)2+
+ (ж5 - ж3)2 + ж3 + ж2 + (ж2 - ж5)2 + (ж5 - ж4)2 + ж2],
поэтому колебания по ж, у и z происходят независимо. Легко угадать три
нормальных колебания по ж:
194
Ответы и решения
[6.28
Два остальных нормальных колебания должны быть ортогональны к векто-
рам (1) и потому иметь вид1
1'1.5 =
<74,5 •
Подставляя этот вектор в уравнения движения для первой и пятой
частиц
mxi + к(2х± — х$) = 0,
тх$ + А:(4жд — х4 — Х2 — жз — Ж4) = 0,
получим два уравнения для определения а, с! и частот 024,5:
(—ш2т + 2к)а — kd = 0,
—4fca + (—ты2
Решив (3), найдем и2 5 = (3 =F л/5) Д
Окончательно
+ 4fe)d = 0.
(3)
и
<^4,5 = ( — 1 ± а/5)<14,5-
1 \
1
1
1
\-l±V5/
Для колебании по осям у и z получаются такие же результаты, что и
по оси х. Таким образом, в системе имеется всего три различные частоты:
= “пг ~ ДевятикРатно вырожденная и две трехкратно вырожденные
w4 s = (3 Т г/б) Д (° снятии вырождения см. задачу 6.41).
б) Колебания вдоль оси г легко угадываются
1*4,5 =
<?4,5-
(4)
Г1 =
0
-1
<71, r2 =
1
О
<12, ГЗ,4 =
1
<73,4,
qi = AiCOs(x>it +Pi), Х)1=Х>2=Х>3= w4=\ ^-:,
у ml у ml
'Пусть Г4,5 = (а, Ъ, с, е, d) = г, тогда условия ортогональности (г, гД = (г, г2) =
= (г, гз) = 0 дают соотношения а = Ъ = с = е.
6.29] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
195
где / — натяжение пружинок, а I — длина одной пружинки в положении
равновесия.
Если f = kl, то колебания в направлении оси х (или у) имеют такой
же вид, как в направлении оси z, если считать г = (ад, ж2, #з, Х4) (или
г = (1/2, У1, У4, Уз))- Если же f У kl, то вырождение снимается. Два нор-
мальных колебания с частотами ад = \ — и х>2 = \ —; совпадают с и
V у ml
и г2. Два других по условию ортогональности должны иметь вид
Ъ
cos(ui + tp).
Для их нахождения достаточно уравнений движения двух частиц
f
mxi + fc(2a?i — Ж5) = 0, тж2 + — (2х2 — Ж5) = 0.
Здесь
+ж3) + j(x2 +Х4)
— координата точки соединения пружинок, определяемая из условия мак-
симальности потенциальной энергии при заданных 2,3,4-
Решая уравнения, получаем
2 f + kl
ml ’
2 _ 2kf
4 m(f + kl)’
h f
Ьз~~ыаз’
, kl
O4 = убЦ.
6.29. В данном случае ответ может быть получен простым обобщени-
ем результатов задачи 6.20 без явного вычисления собственных частот
Пусть в системе имеется вырождение: ад = 0, а а>2 = ^з- Частоте
ад = 0 отвечает вращение частиц по кольцу
/Л
ri = 1 (Ct + Cy.
\ 1/
196
Ответы и решения
[6.29
Из-за вырождения частоты и>2 любой вектор
/ ^д\
гд = Л2 cos(wi+ </?), (1)
\Аз/
удовлетворяющий условию
7711 Ах + 7712^2 + ТП3А3 = 0, (2)
представляет собой нормальное колебание с частотой ш = ш2- (Равенство (2)
есть условие ортогональности вектору ri в метрике, определяемой коэффи-
циентами квадратичной формы кинетической энергии — см. задачу 6.22).
В частности, можно выбрать такое нормальное колебание (1), чтобы первая
частица покоилась:
А1 = 0, 7772^2 + т3А3 = 0. (3)
Подставляя (3) в уравнения движения
(ttiiw2 - fc2 - &з)А1 + fc3A2 + А:2Л3 = 0,
к3А± + (t7i2w2 — Ад — &з)Л.2 + АдЛ.3 = 0,
&2Л1 + АдЛ2 + (7713W2 - Ад - Ад)Л3 = 0,
мы немедленно получаем, что они имеют решение лишь при
А:зЛ2 + АдЛз = 0. (4)
Сравнивая (3) и (4), находим, что т2к2 = тп3к3. Повторяя подобные рассу-
ждения для случаев, когда покоится вторая или третья частица, получаем,
что при вырождении частот коэффициенты к{ с необходимостью удовле-
творяют условию
m-i fci = 7п2А:2 = т3к3. (5)
С другой стороны, из приведенных рассуждений видно, что (5) является и
достаточным условием вырождения частот. В самом деле, если выполнено
условие (5), то в системе существуют три различных нормальных колебания
с частотами, отличными от нуля. Из этих трех колебаний в силу (2) лишь
два линейно независимы. Отсюда однозначно следует, что эти три колебания
имеют одну и ту же частоту.
Таким образом, (5) является необходимым и достаточным условием
вырождения частот.
6.30] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
197
6.30. Для решения удобно воспользоваться методом, изложенным в
задаче 6.27.
а) Нормальные колебания
/1\ / 1\
И = 1 (Cii + С2), r2 = 1-1 j А2 cos(co2t + ^2),
V/ \ °/
r3 = | 1 j H3cosU'3/ ^3,).
\-2/
2 _ (3 + 2е)к , ,2 _ 3k .____6к
ш2 — т , шз ~ т’ £ ~ к
близки при малых е к колебаниям (6) задачи 6.18 — амплитуды векторов
колебаний совпадают, однако частоты различны. Поэтому, если в задаче 6.18
любая суперпозиция векторов ri> и г3 давала также нормальные колебания,
теперь выбор вектора г2 и г3 вполне однозначен.
б) Нормальные колебания
/1\ / 1\
И = 1 (Cii + С2), r2 = I -1 \ А2 cos(w2i + ср2),
V/ \ °/
/ 1 \
111 (2)
гз = H3cos(w34+ <у?3),
\ 1 + е/
2 — ЗА: 2 _ 3 + е к с _ <ут
шз ~ 1 + £ т’ — т
близки при малых е к колебаниям (6) задачи 6.18. Если перегрузок был
добавлен к частице 2, то нормальные колебания
/1\ / 1\
И = I 1 I (Cii + С2), r2 = I 0 I А2 cos(w2A + tp2),
У1/ \-1/
/ 1 \
гз = “14^ A3cos(w34 + 9?3),
\ 1 /
близки к суперпозиции нормальных колебаний (6) задачи 6.18.
198
Ответы и решения
[6.31
/1\
в) ri = 1 (Cif + С2),
к1/
( / °\ / 2\ 'I
Г2,з = < «2,3 1 + Ь2,3 1 ? cos(w2;34 + <^2,з),
I у1/ У 1/ )
где
&2,з £1 — £2 ± \/£i + е2 — £i£2
«2,3 с- I с- /е-2 I J.2 ТТ- ’
£1 + £2 Т V £1 + е2 — £1£2
, ,2 ~ к (q / 2 , 2 \
W2,3 ~ т V “ £1 “ £2 Т у £1 + -2 - £1£2 J,
бпц
£i — т ’
(а\
О представляем
—а у
в виде суперпозиции векторов (см. формулу (1) предыдущей задачи),
взятых в начальный момент времени 4 = 0:
г(0) = гх(О) + г2(0) + г3(0). (1)
Аналогично представим вектор начальной скорости
г(0) = Г1(0) + г2(0) + г3(0).
(2)
Из системы уравнений (1) и (2) получим следующие значения констант:
А2 = А3 = а/2, Ci = С2 = р2 = рз = 0 или
/ cos iv2t + cos сизк\ cos g cosa?34
r= -c°SW24 Acoswy «a sin
\ —2 cosw3t / 6
\ — cosw34 /
Таким образом, движение частиц 1 и 2 имеет характер биений, частота
которых определяется возмущением Sk, а частица 3 участвует в простом
колебании с частотой а?3. Подчеркнем, что даже очень малая добавка Sk
приводит к накапливающимся изменениям, которые для достаточно боль-
ших времен становятся существенными (ср. с задачей 2.36).
6.34] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 199
6.32. а), б)
в) то же, что и в задаче 6.21, формула (1).
. .. । a 2k + 28k, , а / 2к л.
6.33. Ж1,2 = -Жз,4 = ±2 cos у —Уй---------1 + 2 cos у ^t;
колебания частиц имеют характер биений (см. по этому поводу задачу 6.31).
6.34. Можно ожидать, что изменения частот и векторов нормальных
колебаний окажутся малыми, и воспользоваться методом последователь-
ных приближений. Удобно перейти к нормальным координатам исходной
системы (см. задачу 6.24)
хг = ^A^qi.
i
При этом 5L принимает вид
5L = | ^{5Misqiqs - 6Kisqtqs), (1)
Z,s
где
SMls = 6тг]А^А^\ 6Kls = 52 Sk^A^A^, (2)
а уравнения движения
Mi(qi + ufai) = - ^(6Misqs + SK^qs). (3)
s
Предполагая, что в нулевом приближении возбуждено только колебание qn,
можем оставить в правых частях уравнения (3) только слагаемые с s = п.
Для определения добавки к частоте шп достаточно выписать одно урав-
нение (с I = п):
(Мп А\ lnn }qn + (MnnWn + д Knn}qn = О,
0T,twa , +
200
Ответы и решения
[6.35
так что
г __________________________ ^пп \
" “ 2wnMn 2Мп ' 1 ’
Уравнения с I п позволяют найти поправки к вектору нормального ко-
лебания. При этом правые части уравнений можно рассматривать как за-
данные силы частоты шп. Возбуждение колебаний qi, как мы и ожидали,
оказывается слабым, так как эти «силы» малы.
Можно получить и следующие приближения, уточняющие поправки
к шп и векторам нормальных колебаний (см., например, [13], гл. 1, § 5).
Полезно заметить, что величина 8Мпп в (2) представляет собой добав-
ку к удвоенной кинетической энергии системы при условии, что скорости
Xi = Отсюда следует, в частности, что при увеличении масс частиц
6Мпп > 0 и, согласно (4), 8<хп < 0. Подобным же образом легко видеть, что
при увеличении коэффициентов жесткости пружинок собственные частоты
могут только возрастать (ср. [6], §24; [15]).
Важно понять, что изменится когда мы ищем поправку к вырожденной
частоте (пусть шр = а>п). В этом случае «сила» в правой части уравнений (3)
оказывается резонансной. Поэтому координата qp возрастает со временем,
и ее тоже нужно учитывать в правых частях уравнений (3). Таким образом,
в этом случае нужно использовать уравнения (3) совместно с I = п, р,
оставив в правых частях только слагаемые с s = п, р
Mn^Qn Т xnqri) = —6Mnnqn — 8Mnpqp — 8Knnqn — 6Knpqp,
2 •• •• v®)
T = 6Mpnqn 8;\/pp('ip 6Kpnqn 6Kppqp.
Ясно, что сказанное относится и к случаю и шп.
Итак, для определения поправок ко всем собственным частотам (вклю-
чая и вырожденные) в добавке (1) к функции Лагранжа можно отбросить
все члены, содержащие произведения нормальных координат, относящихся
к различным частотам исходной системы.
6.35. Используем обозначения и результаты задач 6.27 и 6.34. Ясно
заранее, что = 0. Для остальных частот
y^(rn)i5m0-(rn)j
= , п = 2, 3, 4. (1)
2^(г„)гт0-(гп)7-
6.36] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 201
Матрица кинетической энергии диагональна, причем
тц = Ш22 = £'зз = т, тц = 2т. (2)
Матрица 8mij имеет единственный отличный от нуля элемент
5mii = 6т. (3)
Подставляя в (1) выражения (2) и (3), а также компоненты векторов нор-
мальных колебаний гп, найденные в задаче 6.27, получим
к 1 к 3 “F 3^6
дш2 = -^£<^2, д^з,4 =----4Q—£^з,4-
6.36. Векторный потенциал выбираем в виде
А = у-(-у, ж, 0),
функция Лагранжа
г т./-2 , -2 I -2\ ТП/ 2 2, 2 2, 2 2\
L — -^(х + у + z ) —— (х^х + х>2у + x3z ) Н------ [ху — ух),
где . Для х и у получаем уравнения
х + iv^x — ш^у = 0,
у + ш^у + х^х = 0.
Удобно искать колебания в виде
х = Re(AelQt), у = ~&е(Веш').
Система уравнений
(w2 — П2)А — = 0,
ix^ClA + (^2 — П2)В = 0
приводит к колебаниям
х = R.e(AkeiQk t) = ak cos(Qfci + <pk),
т. / , Tfi^k t\ w /АА ,
у = Re[Ak—-——e = ak——— sin(fifet + <y?fc),
V X>2 - \lk ' X>2~\lk
Ak = alkelVk
k = 1, 2,
202
Ответы и решения
[6.36
с частотами
^1,2 = | [W1 + w2 + ± ~ ^1^2] >
для которых справедливо соотношение QiQ2 = W1W2- Пусть для определен-
ности wi > ш2, > 0- Тогда первое из найденных колебаний представляет
собой движение по эллипсу с большой осью, направленной вдоль оси х, по
часовой стрелке, а второе — по эллипсу с большой осью, лежащей вдоль
оси у, в обратном направлении.
Движение вдоль оси z оказывается гармоническим колебанием, не за-
висящим от магнитного поля,
z = а3 cos(w3i +
Свободное движение осциллятора представляет собой суперпозицию най-
денных колебаний. Эти колебания можно назвать нормальными, обобщая
тем самым понятие нормального колебания: движения в направлениях
осей ж и у происходят с одной и той же частотой, но со сдвигом фаз.
Привести функцию Лагранжа к диагональному виду с помощью линейного
преобразования только координат невозможно, так как переход к нормаль-
ным координатам связан в этом случае с каноническим преобразованием
(см. задачи 11.7-11.9).
а) Если магнитное поле мало, цц — Ж2.10 эллипсы нормальных
2
колебаний сильно вытянуты, а частоты ГЕ 2 ~ ^'1 2 = близки
к wi,2• Траектория осциллятора без магнитного поля заполняет прямоуголь-
ник со сторонами, параллельными осям координат (см. задачу 6.4); влияние
слабого магнитного поля приводит только к небольшой деформации обла-
сти, заполняемой траекторией. (Теорема Лармора здесь неприменима, так
как поле U не обладает симметрией относительно оси z.)
б) В сильном магнитном поле wi<2 нормальное колебание с ча-
стотой Q | « <jjж происходит по окружности, а нормальное колебание с ча-
стотои \L2 ~ уу—; по эллипсу, у которого отношение осей, параллель-
ных хну, равно (^2/^1- Таким образом, происходит движение по окружно-
сти, центр которой относительно медленно движется по эллипсу
Известно, что при движении заряженной частицы в сильном однород-
ном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной к полю, появление
слабого квазиоднородно го поля U(r) (т. е. такого, что сила F = — —— мало
6.37] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 203
изменяется в пределах круговой орбиты) приводит к медленному смещению
(дрейфу) центра орбиты в направлении, перпендикулярном к F (т. е. по ли-
нии уровня U(г)) (см. [2], § 22). Заметим, что в нашем случае подобный же
дрейф происходит и в сильно неоднородном осцилляторном поле.
в) Если wi = то в плоскости (ж, у) нормальные колебания пред-
ставляют собой движения по окружностям в противоположные стороны
с частотами Пц2 = ± ж /2, где ш = у4ь>2 + <ж|^/4. Поэтому в системе,
вращающейся с частотой —щ^/2 обе частоты этих движений оказываются
равными ш. Такие движения суть нормальные колебания изотропного ос-
циллятора с частотой ш. Действительно, сумма и разность таких колебаний
с равными амплитудами
/ coswi\ / сонж/А
у— sinwtj \sincutj
представляют собой линейные колебания по осям х или у. (Мы отвлекаемся
от смещения вдоль магнитного поля.)
Если магнитное поле мало, ~ Wi, и все влияние поля
на движение осциллятора сводится к появлению вращения («прецессии»)
вокруг оси z с частотой — ж^/2 (теорема Лармора, ср. [2], §45). Если же
> жд, то использование вращающейся системы теряет наглядность.
6.37. Уравнения движения
X + Ш-^Х = OJzy,
у + Х>2У = —UZX + XxZ,
z + wjz = — X>xy,
где
_ еЖх _ e^ez
~ тс ’ Wz ~ me
решаем с помощью последовательных приближений. Ищем координаты в
виде х = х^ + х(2\ у = у^ + у(2\ z = z^ + z^ где ж^2\ z^
малы по сравнению с ж^\ у^\ z^. В первом приближении пренебрегаем
малыми членами, стоящими в правых частях уравнений:
ж*-1) = Acos(wii + а),
у^ = В cos(w2i + /?),
г(х) = (J Cos(cj3£ + у).
204
Ответы и решения
[6.37
Поправки xS2\ у(2\ z^ определяются из уравнений
х^ + cefx^ = шгу9\
у^ + х>2У^ = —x>zxS^ + ал^1),
z1-2^ +^z^ = -шху^.
(1)
Получаем
- cdzcd2B sin(a?2£ + /3)
У^ =
, ,2 , ,2 ’
— W2
ixiu>z A sin(a?ii + а) 1ххи>зС sin^i + 7)
z(2) =
9 9
^2
sin(a?2i + /3)
(2)
Поправки оказываются малыми, если |а?г| <; a^i — U2I, | C |a?2 — Шз|.
Нормальные колебания суть колебания по эллипсам, сильно вытянутым
вдоль осей координат.
Если же, например, |аэг > |aji — х>21, |a7| аэг — а?з|, то х^ и у(2\
согласно (2), уже не малы. Это связано с тем, что частоты «сил» xzy9'> и
—x>zx9') в (]) оказываются близкими к собственным частотам осциллято-
ра. В этом случае в уравнениях первого приближения следует сохранить
резонансные члены:
ж« + wjM1) - = 0,
у^ + + xzx9) = 0,
(3)
z1'1') + ajjz^1) = 0,
т. е. влияние /А на движение необходимо учесть точно. Система (3) рас-
смотрена в задаче 6.36. Для поправок второго порядка имеем уравнения
х^ + а;[М2) = 0,
у^ + ^эУ^ = ‘Z’xZ^,
z<-2'1 +ajj^(2-* = — ixxy9'>
6.39] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
205
Выпишем свободные колебания, во избежание громоздкости ограничив-
шись случаем жц =
(4)
Нормальные колебания (4) с частотами ш ± происходят (в принятом при-
ближении) по окружностям, плоскости которых составляют с плоскостью
(ж, у) углы (поворот вокруг оси у), а колебание с частотой Х;>, —
Шз — хг
по сильно вытянутому вдоль оси z эллипсу, лежащему в плоскости (у, г).
6.38. Колебания маятника предполагаем малыми, угол отсчитываем от
вертикали против часовой стрелки, в качестве второй координаты возьмем
заряд q на правой пластине. При отклонении маятника на угол ip магнитный
поток через контур равен Ф = const — ^£Cl2ip, поэтому функция Лагранжа
(см. задачу 4.21)
L = (ml^ip2 + r£q2 — mglip2 #fl2ipq
2 \ G
Если ввести координаты x = lip и у = \J '£ jtoq, то функция Лагранжа
нашей системы отличается от рассмотренной в задаче 6.36 (с параметрами
хт = у, а?2 = уттз, =------при z = 0) лишь на полную производ-
I 2\/ir££
ную по времени: Поэтому уравнения движения и их решения в
задаче 6.35 справедливы и для нашего случая.
6.39. Пусть
г = Acos(wt + ip), А = (Иц, Л.2, ..., Адг) (1)
— какое-либо нормальное колебание. Поскольку замена Xi —> SjjXj,
з
не меняет вида функции Лагранжа, то наряду с (1) должно существовать
206
Ответы и решения
[6.39
нормальное колебание вида
Sr = SAcos(wt + </?), (S'A)j = SijAj. (2)
j
Здесь S — матрица с элементами Sij, которая по условию обладает свой-
ствами (Е — единичная матрица, S1 — транспонированная матрица S):
ST = S, SS = Е. (3)
а) Если данная частота ш не вырождена, то решение (2) может отли-
чаться от (1) разве лишь общим множителем:
Sr = сг.
Аналогично
SSr = cSr = c2r. (4)
Поскольку SS = Е, то из (4) немедленно следует, что г = с2г, или с2 = 1
и с = ±1. Поэтому для невырожденной частоты
или Sr = +г, или Sr = —г.
б) Если частота ш вырождена, то колебания (1) и (2) могут и не совпа-
дать. Но их сумма и разность
г ± Sr = (А ± SA) cos(pjt + ср)
также являются нормальными колебаниями с той же частотой, обладающи-
ми необходимыми свойствами симметрии.
в) Добавка к функции Лагранжа имеет вид A£ = fixi, где
f = (/1, /2, ..., /tv)
— внешняя сила, действующая на систему.
Пусть сила f симметрична, а нормальное колебание га вида (1) —
антисимметрично относительно преобразования S, т. е.
Sf = +f, Sra = -ra. (5)
Данная сила не влияет на колебание го, если векторы f и га взаимно орто-
гональны (см. задачу 6.24):
(f, га) = 0.
(6)
6.40] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 207
Из (5) следует, что
(Sf, Sra) = -(f, ra). (7)
С другой стороны, левую часть (7) можно переписать в виде
(Sf, Sra) = (f, STSra).
Из (3) очевидно, что STS = Е. Сравнивая тогда (7) и (8), получим немед-
ленно (6).
Остаются ли неизменными пункты а)-в) задачи, если заранее не тре-
бовать условия ST = S?
6.40. Пусть Xi — смещение г-й частицы вдоль кольца из положения
равновесия, для определенности считаем положительным смещение про-
тив часовой стрелки. Система явно симметрична относительно поворота на
угол 180° вокруг оси АВ, проходящей через положение равновесия второй
частицы и центр кольца. Поэтому и функция Лагранжа системы
L = у (Яд + Яд + Яд) + у-^4 + Яд) - [J2 (Xi ~ Я^+1)2 + (ж5 - Ж1)2]
г=1
не изменяет своего вида при соответствующей такому повороту замене
Х-2 — Ж2, Ж1 —Хз, Хз —Xi, Х4 — Ж5, Ж5 — Х4. (1)
Использование соображений симметрии (см. предыдущую задачу)
и ортогональности позволяет очень просто свести эту задачу с пятью сте-
пенями свободы к двум независимым задачам с двумя степенями свободы
каждая.
Действительно, векторы нормальных колебаний, симметричные и ан-
тисимметричные относительно преобразования (1), имеют вид
cos(ojat + <у?о).
Кроме того, одно антисимметричное «колебание» легко угадывается — это
208
Ответы и решения
[6.41
вращение всех частиц по кольцу
Л\
1
1
1
(Ci + Ci),
V/
Два других (помимо roi) антисимметричных колебания должны быть орто-
гональны к roi с метрическим тензором, определяемым коэффициентами
кинетической энергии, т. е.
m(2c + d) +2Mf = 0. (2)
В итоге в га и rs остаются неопределенными всего по два коэффициента.
Для определения их достаточно использовать всего лишь два уравнения
движения из пяти, например для первой и пятой частиц:
тх^ + k(2xi — х-2 — жэ) = 0,
Мх$ + к(2хз — Ж4 — жх) = 0.
Подставляя сюда явный вид rs, найдем для двух симметричных колебаний
&i,2= fy^2lj2-2)ai,2,
.2 = туЛ? (2М 3m = у/2(М - m)2 + 5m2).
z/mivi
Аналогично, подставляя в (3) вектор го и учитывая (2), найдем
/М 2 , о 2М f
С-2,3 — \ -^^>а2,3 ~ 1 Jj2,3, «2,3 - ~ZC2,3-^/2,3,
^2,з = дЛгт ( 4М + т т J|(4M-m)2 + |m2 ) .
Л1111V1 \ у £ Л I
6.41. Рассматриваемая система близка к изученной в задаче 6.28 а,
функция Лагранжа в нашей задаче отличается на малую величину
5L = 5Ь1(ж, х) + 6Ь2(у, у) + z),
8L1(X, ±) = [ж2 + (ж2 — Х5)2 + (Х4 — х5)2 + ж2],
6.41] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 209
И в этом случае колебания по ж, у, z происходят независимо. Нас интере-
суют только колебания по х.
Для определения частот колебании удобно воспользоваться методом
последовательных приближений (см. задачу 6.34). Частоты W3 4 невыро-
жденные, так что к этим колебаниям непосредственно применима форму-
ла (4) из задачи 6.34.
Частота ш-4 исходной задачи (6.28 а) трехкратно вырождена, поэтому,
казалось бы, для определения поправок к частоте и векторов нормальных
колебаний придется рассматривать систему уравнений типа (5) из зада-
чи 6.34. Однако свойства симметрии системы позволяют сразу же указать
те векторы нормальных колебаний исходной системы, которые мало изменя-
ются при добавлении 5L. Это как раз векторы (1) из задачи 6.28, потому что
именно они обладают определенными свойствами симметрии: колебание гз
симметрично относительно оси АВ и антисимметрично относительно CD,
гд — симметрично, а Г2 — антисимметрично относительно обеих осей. По-
правки к частотам этих колебаний тоже можно вычислять по формуле (4)
из задачи 6.34.
Подставляя жз = —жз = 1, Ж2 = Ж4 = Ж5 = 0, находим
Жп = -25L1 = 0,
так что (5wi =0. Аналогично
5К-22 = — 2(5Д1(ж1 = жз = жз = 0, жг = —Ж4 = 1) = — 4е/с,
М-2 = 241(ж1 = жз = Ж5 = 0, ±2 = —Ж4 = 1, Xi = 0) = 2т,
так что 5а>2 = е
5К33 = —4sfc, Л/3 = 4m, 5ш3 = —
0
0
—a
\ 0/
скорости r(0) = 0 в виде r(0) = 52п(О) и r(0) = 52й(О) соответственно,
найдем, что ' г
Представляя вектор начального смещения г(0) =
и вектор начальной
= А2 = 41з — jp A4 — A-, — ipi — 0.
210
Ответы и решения
[6.42
Таким образом, в данном приближении четвертое и пятое нормальные ко-
лебания не возбуждаются, и колебания частиц
Ж1,з = ^(±coswii + coswai),
Ж2,4 = ^(±cosw2i — coswai), Ж5 = 0
носят характер биений (см. по этому поводу задачу 6.31).
6.42. В этой задаче удобно воспользоваться методом последователь-
ных приближений (см. задачу 6.34). Изменение масс приводит к появлению
добавки к функции Лагранжа
5L = у | + бт-2 яф-
Ее следует выразить через нормальные координаты исходной системы
(см. задачу 6.21). При этом коэффициент при произведении обобщенных
скоростей Q1Q2, отвечающих вырожденной частоте, оказывается равным ну-
лю. Остальные произведения qiqs (для иц ws) можно опустить, как это
отмечено в задаче 6.34. Получаем
+ 7^2 Q2 + +^2)(9з +<&)
4 4 о
Функция Лагранжа L + 5L\, как и функция Лагранжа исходной системы,
разделяется на слагаемые, каждое из которых содержит только одну из
координат qi. Координаты qi остаются, таким образом, нормальными, а для
вычисления поправок к частотам можно воспользоваться формулой (4) из
задачи 6.34:
£ £1 £ е2 с Е1 + £2
дац = ——Wi, о^з —-----g---w3,
Все собственные частоты системы стали различными, исчезла неоднознач-
ность выбора векторов нормальных колебании: с точностью до Ei это век-
торы (1) из задачи 6.21.
Интересно, что при Smi = dm2 частоты wi + <5wi и Ш2 + <^2 вновь
совпадают друг с другом (с точностью до поправок второго порядка
|<кь>1 — &J2I ~ ^i^i). В этом случае функция Лагранжа L + 5L± снова при-
водит к неоднозначному выбору векторов нормальных колебаний. Однако
6.42] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
211
в точном решении задачи при 5т± = dm2 векторы нормальных колебаний
имеют вид
/ 1 \ I \
1 -1
—1 — £ ’ та/1 + е + 9е2 ± Зе
\-1-eJ \±л/1 + е + 9е2 т Зе/
/Л
1
1
V/
и при малых е близки к векторам (2) задачи 6.21 (с точностью до опу-
щенных здесь нормировочных множителей). Резкое изменение вида нор-
мальных колебаний происходит в очень узком интервале изменения масс
|<5mi дп/2 < £2iti (ср. с задачей 6.5а). Для определения векторов нор-
мальных колебаний в этом интервале значений dmi, dm2 можно было
бы воспользоваться следующим приближением в методе последовательных
приближений.
6.43 а. Очевидно, движения частиц в направлении осей АА и В В
независимы. Будем рассматривать движение в направлении оси АА.
Для первой и четвертой частиц положительными считаем отклонения
влево, для второй и третьей — вправо. Согласно результату задачи 6.39 нор-
мальные колебания г = (жх, Х2, хз, Х4) могут быть выбраны симметрич-
ными или антисимметричными относительно осей АА и ВВ. Для симмет-
ричного относительно оси АА колебания xi = Ж4, Х2 = Ж3. Если к тому же
это колебание симметрично относительно оси ВВ, то xi = Х2, Ж3 = Х4, так
что для этого дважды симметричного колебания имеем rss = (1, 1, 1, l)gss.
Для колебания, симметричного относительно оси АА и антисиммет-
ричного относительно оси ВВ, имеем xi = Х4, Ж2 = Х3 и жх = — Х2,
Х4 = —Ж3, так что
sa = (1> 1,
Подобным же образом находим
ros = (1, 1, -1, -l)<7as, raa = (1, -1, 1, -l)gaa
Аналогично находятся векторы нормальных колебаний в вертикальном на-
правлении.
Частоты колебаний можно найти, подставив найденные векторы в урав-
нения движения.
При наличии вырождения, кроме найденных нормальных колебаний,
существует множество нормальных колебаний, не обладающих указанными
212
Ответы и решения
[6.42
свойствами симметрии. Нетрудно сообразить, например, что частоты ss
и аа колебаний совпадают x>ss = шаа = 2у/к/т, если натяжение пружинок
не произвольно, а равно kl (где I — длина каждой из пружинок в положении
равновесия). Но тогда нормальным колебанием будет любая суперпозиция
векторов гоо и rss, например вектор (1, 0, 1, 0)qss.
Аналогично можно найти векторы нормальных колебании в направле-
нии оси ВВ.
6.43 6. Соображения симметрии позволяют свести эту систему с
7 степенями свободы к нескольким простым (не более чем с двумя степе-
нями свободы) системам. Действительно, вследствие симметрии системы
относительно плоскости, перпендикулярной плоскости весов, все нормаль-
ные колебания могут быть выбраны либо симметричными, либо антисим-
метричными относительно этой плоскости. Далее, нормальные колебания
разделяются на выводящие частицы из плоскости весов и сохраняющие
весы плоскими. Рассмотрим эти последние колебания.
Пусть а, (3 и у — углы отклонения от вертикали центра рамки, нити В А
и нити DE соответственно. Кроме очевидного симметричного колебания
а = 0, [3 = —у с частотой у/д/31 имеется два антисимметричных колебания,
для которых /3 = у. Так как вклады различных нормальных колебаний
в функцию Лагранжа аддитивны, то для нахождения антисимметричных
колебаний достаточно знать лишь слагаемое
La = ml2(2a2 + 9Д2 + 3а[3) — тдКа2 + З/З2),
отвечающее данному типу колебаний. В итоге получаем два антисиммет-
ричных колебания: а = /3 = у с частотой ^/2д/71 на = —3(3 = — Зу
с частотой у/2д/31.
Для описания колебаний, выводящих частицы из плоскости весов, ис-
пользуем декартовы координаты отклонения частиц от положения равно-
весия в направлении оси х, которую направим перпендикулярно равно-
весной плоскости весов. Очевидно, что симметричные колебания ха = Хе,
хв = xd совпадают с колебаниями двойного плоского маятника (см. [1], за-
дача 2 к §23 с параметрами mi = m2 = 2т, 1± = 1/2, 12 = 31, = 2хв/1,
у 2 = (ха — хв)/31), поэтому w2 = д(7 л/37)/31, и ха = (6 ± л/37)хв-
Среди двух антисимметричных колебаний .г_\ = —хе, хв = -I'l/ одно
очевидное — вращение весов вокруг вертикальной оси: ха = хв- Другое
антисимметричное колебание ортогонально к указанному и потому для него
ха = —хв = хв = —хе- Но при таком колебании центр каждой нити в
6.45] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
213
первом приближении не смещается, следовательно, частота таких колеба-
ний совпадает с частотой маятника длиной 3Z/2, т. е. равна у/2g/31.
6.44. Очевидно, колебания в направлениях АА, В В и в направлении,
перпендикулярном плоскости рамки, независимы. Рассмотрим, например,
первые.
Компоненты вектора колебания удобно размещать в таблице, соответ-
ствующей форме рамки. Для частиц, расположенных слева от оси ВВ,
положительными считаем отклонения влево, для частиц, расположенных
справа — вправо. Колебание ss, симметричное относительно обеих осей АА
и ВВ, имеет вид
(х X X х\
уж X X xj ’
Колебания х, X сводятся к колебаниям системы, рассмотренной в задаче 6.7
с mi = т, т-2 = М, где следует положить ki = k + k',k% = к,кз = 2к + к',
к' = f /I. Таким образом, имеется два ss колебания.
Колебания за, симметричные относительно оси АА и антисимметрич-
ные относительно оси ВВ, имеют вид
причем теперь кз = к', ki = к + к'.
Аналогично для аз- и аа-колебаний:
ki = к + ЗА/, кз = 2к + Зк',
ki = к + Зк', кз = Зк'.
Подобным же образом можно найти остальные шестнадцать нормаль-
ных колебаний.
6.45. В обозначениях предыдущей задачи вектор силы
-к-к', -к', к', к + к'\
-к-к', -к', к', к + к')асО8^'
Он ортогонален всем нормальным колебаниям, кроме симметрично-анти-
симметричных (за). Поэтому резонанс возникает лишь при двух частотах
214
Ответы и решения
[6.46
7 = 2, где
«2)2 = (к{2М + m) + f-{M + т)±
[fc(2JW — m) + j (М — m)j + 4FMm
6.46. Линейная молекула С2Н2 имеет всего семь нормальных ко-
лебаний: три продольных колебания и по два изгибных колебания в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях (см., например [1], §24).
Задача об определении двух симметричных продольных колебаний
жх = —Ж4, Х2 = —жз- сводится к задаче 6.7 с параметрами къ = fcnc,
кз = 2ксс, = 0, где /щс и ксс — жесткости связей НС и СС. Антисим-
метричное продольное колебание хз = хз, ./у = Ж3, ттцджх+тсжг = 0 имеет
частоту wai = /нс(такую же, как и «молекула» СН). Заметим,
что продольное’ смещение молекулы как целого Ж1 = х^ = жз = Ж4 мож-
но рассматривать как второе антисимметричное колебание, причем условие
ортогональности к нему первого антисимметричного колебания совпадает
с условием равенства нулю полного импульса молекулы.
Поперечное симметричное колебание уз = уз, У2 = Уз,
„ 2 ^нсс (wr + тс)
тззуз + тсу2 = 0, ж,3-----------------.
«нстнтс
Здесь /'![( < — жесткость молекулы при изгибе: при изгибе связи НСС на
угол 5 потенциальная энергия возрастает на Адг( < д2/2.
Поперечное антисимметричное колебание уз = —уз, у2 = Уз,
тс1ссу2 + тзз(1сс + 2ZHc)yi = О,
2 _ кнсс[тс1сс + тн(21нс + /сс)2]
°2 татс1^с1сс
где /нс и /сс — равновесное расстояние между атомами Н-С и С-С соот-
ветственно. Отметим, что соотношение между смещениями атомов этого
колебания может быть найдено из условия равенства нулю полного мо-
мента импульса молекулы (или ортогональности вектору чистого вращения
молекулы как целого уз = -уз, у2 = -уз, Ы2гнс + /сс) = Z/Jcc, которое
можно рассматривать как второе антисимметричное колебание).
6.47] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 215
6.47. Обозначим отклонения частиц от положения равновесия в на-
правлении BD через жх и х%, а в направлении CF — через ух и у2. Поворот
вокруг оси симметрии СЕ на 180° приводит к заменам:
Жх 77 -Ж2, У1 77 у2,
т. е. преобразование S поворота вектора колебания г = (жх, ух, жг, уг) име-
ет вид
Sr = (-Ж2, У2, -ят, ух).
Вследствие симметрии системы в ней возможны нормальные колебания
двух видов: rs — симметричные относительно оси СЕ, для которых
Srs = rs, и антисимметричные го, для которых Sra = —га. Для симмет-
ричного колебания (—жг, уг, — Жх, ух) = (жх, ух, %2, У2), откуда
= (ж, у, -Ж, у).
Аналогично
га = (ж, у, ж, -у).
(Для антисимметричного колебания поворот вокруг оси симметрии равно-
силен изменению фазы колебания на тг.)
Возможны два симметричных и два антисимметричных колебания; для
определения частот и векторов каждой пары колебаний достаточно исполь-
зовать два уравнения движения.
Можно получить еще некоторые сведения о виде нормальных коле-
баний, не зная жесткостей пружинок. Условие ортогональности векторов
колебаний гЛ.| и щ.у сводится к равенству
2Аж.|Л2 + yslys2) = 0,
показывающему, что векторы отклонений, например, частицы 1 при каждом
из двух симметричных колебаний взаимно перпендикулярны (рис. 130, а).
То же самое относится и к антисимметричным колебаниям (рис. 130,6).
Направление, в котором отклоняется частица при каждом из нормаль-
ных колебаний, нельзя определить, не зная жесткостей пружинок. Действи-
тельно, если жесткость и натяжения пружинок АС и СЕ малы, то откло-
нения частиц при нормальных колебаниях направлены почти вдоль или
поперек пружинок BD, и, наоборот, при малой жесткости пружинок BD
нормальные колебания происходят почти вдоль или поперек пружинок АС
нСЕ.
216
Ответы и решения
[6.48
Рис. 130
Разумеется, при вырождении частот можно выбрать и другие векторы
нормальных колебаний, не обладающие свойствами симметрии. Например,
при «выключенной» пружинке BD это могут быть колебания каждой из
частиц вдоль или поперек пружинок АС и СЕ.
6.48. Обозначим отклонения каждого из атомов от положения рав-
новесия в направлениях OD через Xi, О А — через y^., перпендикулярно
плоскости молекулы — через zp
Колебания молекулы С2Н4 разделяются на сохраняющие молекулу
плоской и выводящие атомы из плоскости. Рассмотрим последние коле-
бания.
Вектор отклонения атомов удобно записывать в форме
Z2 Z5
Z3 Ze
Для колебания, симметричного относительно оси АВ,
Z4 = Z1, Z5 = Z-2, Ze = z3.
Если колебание к тому же антисимметрично относительно оси CD, то
Z3 = -Z3, Z-2 = -Z2,
Ze = —ze, Ze = -г4.
Итак,
-1
1\
0 0 qsa.
-1/
Это «колебание» оказалось вращением вокруг оси CD.
6.48] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
217
Аналогично симметричные относительно обеих осей колебания
Одно из них
Это поступательное движение. Амплитуды другого можно определить, учтя
его ортогональность вектору г ss i:
4mzi + 2Mz2 = О,
т — масса атома водорода, М — углерода.
Антисимметричное относительно обеих осей колебание
есть крутильное колебание вокруг оси CD.
Наконец,
Здесь для вращения вокруг оси АВ (колебание г8Од) имеем ai = Iqc/Iqh —
отношение расстояний атомов углерода и водорода от оси АВ в положении
равновесия; для изгибного колебания (r„s_2j
0-2 — —
2т Iqh
М Iqc
218
Ответы и решения
[6.48
Аналогично могут быть рассмотрены и колебания, не выводящие атомы
из плоскости молекулы. Вектор отклонения запишем в виде
/Ж1У1 Ж4У4
г = Х2 У2 Х5 Уб
\Ж3 Уз х6 у6
Общий вид колебания as
Yas
хз уз Хз -уз
Х2 О Х2 О
Хз ~У1 Хз Уз
В число аб-«колебаний» входит поступательное движение молекулы в на-
правлении оси х (хз = Х2, уз = 0). Два других as-колебания изображены
на рис. 131, а, б.
Рис. 131
Чтобы представить себе вид отклонений атомов при этих колебани-
ях, заметим, что расстояние между атомами углерода не изменяется —
связь С-С «не работает». Если пренебречь взаимодействием относительно
далеких атомов (например, 1-4, 1-5 на рис. 40), а также жесткостью углов
вида 1-2-5, то рассматриваемые колебания совпадут с симметричными от-
носительно оси CD колебаниями двух «молекул» НгС, происходящими в
противофазе (ср. с задачей 6.46; колебания молекулы вида А2В рассмотрены
в [1], § 24, задача 2).
6.49] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 219
Общий вид за колебания
/ У1 -Ж1 У1\
rso = О У2 О У2
\-Х1У1 Ж1 У1/
Кроме поступательного движения в направлении оси у, вектору rso соот-
ветствуют два колебания (рис. 131, в, г). Одно из них (в) можно представить
себе как колебания двух «молекул» I КС, антисимметричные относительно
оси CD и происходящие в фазе. Другое (г) — это вращения «молекул» I ОС
в разные стороны. Если бы можно было полностью пренебречь связями уда-
ленных атомов и жесткостью углов вида 1-2-5, то частота этого колебания
оказалась бы равна нулю.
Среди аа-колебаний есть вращение молекулы как целого в плос-
кости ху, антисимметричные колебания «молекул» IKC в противофазе
(рис. 131,3) и их вращения в одну сторону (рис. 131, е).
Возможны также три ss-колебания (полносимметричные), они изобра-
жены на рис. 131,э/с, з, и (подробнее о колебаниях молекулы этилена см.,
например, в [17].)
6.49. Функция Лагранжа
L = ^(^1 + U-2 + йз) ~ |{(lr10 — Г20 + ui и2| — /)2 +
+ (|г20 - Гзо + U2 ~ U3| - I)2 - (|г30 -Г10 + U3 - U1| - /)2},
где I = |гю - г2о| = |г2о - Г30 = |г30 - г10|; ио — смещение а-го атома из
положения равновесия, определяемого радиусом вектором гпо- Поскольку
|ио| I, имеем
L=^(u2 + ui+u2)-
, (1)
-|{(e12(u1 - u2))2 + (e23(u2 - u3))2 + (e31(u3 - U1))2},
где
Г10 - r2o
612 = -----j----
623 =
Г20 ~ r30
I
e3i =
Г30 ~ r10
I
В системе отсчета, где полный импульс m(ui + U2 + й3) = 0, выпол-
няется условие
ui + u2 + и3 = 0. (2)
220
Ответы и решения
[6.49
Кроме того, накладываем на иа условие
[rioui] + [r20u2] + [r30u3] = 0, (3)
равносильное требованию, чтобы момент им-
пульса молекулы
М = т ^[га0 + ua, ua] (4)
а
обращался в нуль с точностью до первого по-
рис |32 рядка по и„ включительно.
Оказывается удобным выбрать для описа-
ния движения каждого атома свою систему декартовых координат (рис. 132),
сохраняя таким образом симметрию в описании системы. Равенства (2), (3)
в этих координатах дают1
/ 1 у/з \ / 1 у/з \
2/1 + \ 2У2 + + \ 2Уз + = °’ (5)
, / 1 , V з \ / 1 V3 \
У-2 + J -ух - —Ж1 j = 0,
(6)
откуда
У1 =
хз — х2
У2 =
Х2 — Х1
3
и
Т 5т!-2 . -2 , -2\ т, / \ 3;/ 2 । 2 । 2\
Ь = — (а^ +х2 + х3) - -тр(х1х2 + ж2а:3 + я?3я?1) - ^к(х1 + х2 + х3).
Одно нормальное колебание (полносимметричное) очевидно:
(1) (1) (1) 1
1 = х'2 = Х^’ = —Q1.
\ 3
(7)
Например, умножая обе стороны равенства (2) на ©23, получим (5). При этом нужно
учесть, что вектор ©23 в различных системах имеет координаты
623
В иа — (ха, Уа)а-
Равенство (6) получается из (5) круговой перестановкой индексов.
з’
6.49] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 221
Два других колебания ортогональны первому, что приводит к условию1
+ х^ + х^ =0, s = 2,3. (8)
Одно из этих колебаний симметрично относительно оси X х . X 9 — х з э
(3) А (3) (3)
другое — антисимметрично: х\ = 0, х2 = .
Учитывая (8), имеем
Замена (2) = . т(3) _ 4-2 ~ ’ Х1 = -2х(22) = т(3) _ <3 ~ 1 —'М х/2 ^2, (9)
Х2 = 1 —pql - з/З 1 , 1 —pQ2 4 ~Чз, а/6 х/2
Хз = 1 —pql - V3 1 1 — Q2 V2
приводит функцию Лагранжа к виду
L — у (<7i + 2^2 + 2<?з) - у (qi + Q2 + <7з)- (Ю)
Рис. 133
Нормальные колебания, соответствующие этим координатам, приведены на
рис. 133. Их частоты
/о k I Зк
W1 = V3™’ W2=W3 = V2^'
Вид функции Лагранжа (10) сохраняется при повороте в плоскости q%, q-$.
'Использована метрика ktj. В (7), (9) множители перед q выбраны так, что
Д02 , (i)2 (i)2 _ 2
222 Ответы и решения [6.50
Момент импульса с учетом квадратичных по иа членов
|М| = m|^2[uaua]| = m|Q2<j3 - <?з<221
а
может быть отличным от нуля, если колебания qs и qs происходят со сдвигом
фаз.
Интересно разобраться, какие изменения может внести в эту картину
зависимость потенциальной энергии от углов, образуемых связями. Оче-
видно, на частоту колебаний gi такая зависимость не повлияет. Частота
колебаний qs и qs изменится, но двукратное вырождение сохранится. Дей-
ствительно, наряду с некоторым колебанием q возможно также колебание,
полученное из q поворотом на 2тг/3. Его частота должна быть такой же, как
и частота колебаний q. С другой стороны, оно отличается от q (при повороте
на 2тг/3 само с собой совпадает только колебание <71). Таким образом, мы
обнаруживаем два независимых колебания с одной частотой. Нормальные
координаты в этом случае должны удовлетворять только одному условию:
быть ортогональными qp, в частности, qs и qs остаются нормальными ко-
ординатами.
6.50. а) Вводим координаты атомов В так же, как в предыдущей зада-
че, для атома А — координаты 2:4, 3/4, зд с осями, параллельными xi, yi, Z4
и началом в центре треугольника.
Есть четыре степени свободы движений, выводящих атомы из плос-
кости ху. Три из них отвечают поступательному движению вдоль оси z и
вращениям вокруг осей Х4 и 7/4, а одно — колебанию (при котором, очевид-
но, zi = zs = zs, 1TIAZ4 + m(zi + zs + zs) = 0). Частота этого колебания wi
невырожденная, она лишь случайно могла бы совпасть с частотой какого-
нибудь другого колебания.
Рассмотрим колебание атомов в плоскости ху, симметричное относи-
тельно оси Х4. Общий вид такого колебания:
У1 =0, Xs = Xs, ys = -уз, У4 = о.
Вектор смещения содержит четыре независимых параметра: х±, xs, уз, х±,
т. е. на такие движения приходится четыре степени свободы. Одна из них
отвечает поступательному движению молекулы вдоль оси Х4 одна — пол-
носимметричному колебанию
Xi = Xs = Xs, yi = У2 = Уз = Х4 = У4 = о
6.50] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
223
Рис. 134
с частотой W2 (рис. 134, а), а две остальные — колебаниям, нарушающим
симметрию молекулы. Частоты этих колебаний сэз и U4 (рис. 134, б, в).
Из четырех оставшихся степеней свободы одна приходится на посту-
пательное движение в направлении оси у 4, одна — на вращение вокруг
оси Z4, а две — на колебания. Это колебания, которые могут быть получе-
ны из уже указанных с частотами 1x3, 1x4 поворотом на 2тг/3 вокруг оси Z\
(ср. с предыдущей задачей).
Итак, частоты wi, ^2 невырожденные, частоты ^3 и^ , двукратно
вырождены.
Заметим, что векторы колебания, антисимметричного относительно
оси Х4, можно получить, зная вектор симметричного. Для этого достаточ-
но взять определенную суперпозицию колебаний, полученных из послед-
него поворотами вокруг оси Z4 на углы ±2тг/3, а именно — их разность
(см. рис. 134, г).
б) Изменения собственных частот можно определить, используя тео-
рию возмущений (см. задачу 6.34):
ш 5М
'’" = -2 -и'
Для полносимметричного колебания в качестве нормальной координаты вы-
берем Х4. Тогда величины Л/ и 5Л/ определяются как коэффициенты в вы-
ражениях кинетической энергии и добавки к ней:
3m-2 _ М-2 5т-2 _ 5М т
2 2 2 2
224
Ответы и решения
[6.51
так что
£ 5т
—•
от
Для колебания вдоль оси z кинетическая энергия и добавка к ней равны
3m Л , 3mA-2
2 V + mAJ 1
5т -2
2 2|'
так что
wi т\/>т
~ 3m(3m + тА)'
Например, для хлорида бора замена одного атома хлора с атомным весом 35
на изотоп с атомным весом 37 уменьшает частоты wi и ш2 на 0,1% и 1%
соответственно.
6. 51. Пусть колебание, при котором молекула остается подобной сама
себе (рис. 135,а), происходит с частотой wi.
Рис. 135
Частота ш2 колебания, сохраняющего свой вид при поворотах вокруг
оси OD на угол 2тг/3 (рис. 135,6), вообще говоря, отлична от wi. Иное рас-
пределение смешений атомов можно получить, производя отражение сме-
щений в плоскости ВСО', получится колебание, отличающееся от второго
лишь тем, что атомы А и D поменялись ролями. Частота этого колеба-
ния из = ш2. Подобным же образом отражение в плоскости АОС меняет
местами атомы В и D, сохраняя частоту = ш2. Это четвертое колеба-
ние не сводится к суперпозиции предыдущих, так как, в отличие от них,
несимметрично относительно плоскости AOD.
Колебание, симметричное относительно плоскости АОВ и DOC
(рис. 135, в), имеет частоту W5, отличную от wi и и>2. Поворот на угол 2тг/3
6.52] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
225
вокруг оси OD, равносильный круговой перестановке А, В и С, приводит
к колебанию, симметричному относительно плоскостей СОА и DOB, а его
частота coq = wg.
Итак, молекула обладает тремя собственными частотами одно-, дву-
и трехкратно вырожденными.
В заключение заметим, что молекул, рассмотренных в задачах 6.49
и 6.51, по-видимому, не существует в природе. Однако подобный же метод
исследования может быть применен и к реальным молекулам.
6. 52. а) При полносимметричных и дважды вырожденных колебани-
ях, указанных в предыдущей задаче (см. рис. 135, а, в), атом углерода оста-
ется неподвижным. Есть еще две трехкратно вырожденные частоты. Соот-
ветствующие колебания похожи на колебания, изображенные на рис. 135, б,
только атом углерода колеблется либо в том же направлении, что атом D,
либо в противоположном.
б) Добавка к функции Лагранжа, описывающая действие электриче-
ского поля S(t), есть
5L = еаМа,
а
где еа — заряд, иа — смещение а-го атома.
4
В любом колебании т ua + mcug = 0, так что
а=1
5
Е/me Л
еаиа = -ei { — + 4 )и5.
а=1
При полносимметричном и дважды вырожденных колебаниях J2eaua = 0
и эти колебания не возбуждаются. При колебании рис. 135, б, напротив,
52 еаиа 0 и подобные колебания возбуждаются.
Итак, резонанс возможен на двух частотах.
Вектор S можно разложить на три слагаемых S:i, параллельных осям
симметрии каждого из трех колебаний молекулы с вырожденной частотой.
Каждое из слагаемых §j приведет к колебанию атома углерода с амплиту-
дой, пропорциональной Sj, и одним и тем же коэффициентом пропорцио-
нальности х. Поэтому ug = и ug | не зависит от ориентации молекулы.
Можно убедиться, что амплитуды колебаний атомов водорода |ui,2,3,41 тоже
не зависят от ориентации молекулы и параллельны вектору &.
226
Ответы и решения
[7.1
§ 7. Колебания линейных цепочек
7.1 . Функция Лагранжа системы
N
L(x, х) = у ^2 ±2 - |
П=1
(1)
где хп — смещение n-й частицы из положения равновесия. Введем также ко-
ординату положения равновесия n-й частицы Хп = па, где а — равновесная
длина одной пружинки. Система уравнений Лагранжа
mxi + к(2х\ — Х2) = О,
тхп + к(2хп — । — xnpi) =0, п = 2, 3, ..., N — 1, (2)
тхм + к(2хх — ждг-1) = 0
эквивалентна системе
тхп + к(2хп - хп-! - жп+1) = 0, п = 1, 2, ..., N (3)
при дополнительном условии
•'Д = XN+1 = 0. (4)
Из физических соображений можно предвидеть, что нормальными колеба-
ниями должны быть стоячие волны. Удобнее, однако, выбрать
хп = Ae^t±n^. (5)
При таком выборе система N уравнений сводится к одному уравнению
2 Л к • 2 /г\
и =4msm 2’ (6)
которым определяется связь частоты с разностью фаз колебаний соседних
частиц р. Смысл подстановки (5) заключается в выборе для хп решения в
виде бегущей волны с волновым вектором р = pfa, так как пр = пар =
= рХп. Уравнение (6) устанавливает, таким образом, связь между частотой
и волновым вектором.
Условиям (4) можно удовлетворить, подбирая суперпозицию бегущих
в обе стороны волн хп = Дег(^~пА) + Bpi(ut+n<p), условие Жо = g дает
А = —В, или хп = 2iB sin(np)elwt, т. е. стоячую волну. Из условия на
7.1]
§ 7. Колебания линейных цепочек
227
другом конце .nv+i = 0 определяются возможные значения частот («спектр
частот»).
Уравнение sin(.?V + 1)<^ = 0 приводит к N независимым решениям
= s = l,2,...,N. (7)
В самом деле, s = 0, s = .?V-|-l дают нулевые решения, а для s = N + I фаза
ifN+i = г х' =2 + 2тг, т. е. решения, отвечающие з через решения, отвечающие s = N — 1 + 2. Из (6) и (7) находим N различных частот Г, к • Vs о к • 7TS ^=2VmSm 2 =2V™Sm2GV + l)’ S На рис. 136 различные частоты укладываются дис- кретными точками на синусоиду. Вектор нормально- го колебания, отвечающего s-й частоте, /^1 \ / sin \ 12 =\/^тт sin2v‘ ’-W' <9’ V'v / у sin Ntpx / где qs(t) = Re(2iBsel“s<) = Cs cos(us7 + as) — s-я нормальная координата, а множитель = N + l выражаются = 1, 2, ...,N. (8) ®s x'T 7 । / i /’ 1 fi ' 14 Рис. 136
/ 2 V 7V+ 1 введен для нормировки: (rs, r's) = ция всех нормальных колебаний N А = Z \ 5=1 * УУ sin2 rups _n=l = Sss'q1. Общее решение есть суперпози- N + 1Ы£) sm пср8.
228
Ответы и решения
[7.2 а
Матрица перехода от хп к qs
Uns
sin
ms
N + l
является ортогональной матрицей, приводящей функцию Лагранжа к диа-
гональному виду, отвечающих набору N различных осцилляторов:
N
L = ^Ls(qs, qs), L(qs, qs) = ^(q2s - u2q2).
S=1
7.2 а. Уравнения движения для данной системы те же, что и уравне-
ния (3) предыдущей задачи, при дополнительном условии ./'о = 0, ждг =
= ЗД+1 • Поэтому
(2s - 1)тг
V т 2(2N + 1)
хп = sinnps As cos(ws7 + as).
s
Частный случай при N = 2 см. в задаче 6.1.
7.2 б. В качестве обобщенных координат используем отклонения каж-
дой из частиц от вертикали (ср. с задачей 6.3). В таких переменных задача
полностью сводится к задаче 7.2. а) с к/т = д/1.
7.3 . Уравнения движения совпадают с уравнениями (3) задачи 7.1 при
дополнительном условии ./'о = sp и ./'.v-i = жх. Поэтому
= s = 0, 1, ..., JV-1,
о / к sty
=2VmSm
причем частоты ws и совпадают, а соответствующие им волновые
векторы отличаются знаком <ps = 2л — рр Частоте cjq = О отвечает дви-
жение всех частиц по кольцу с постоянной скоростью. В системе возможны
колебания вида
4° =Re4se2^-’t-n*’“\
7.3]
§ 7. Колебания линейных цепочек
229
т. е. бегущие по кольцу волны. Упомянутое выше двукратное вырождение
частот соответствует волнам, бегущим в разные стороны. Наложение двух
таких волн с равными амплитудами дает стоячую волну
х(з) x(N-s') _ 2|I Jcos ncps COs(u>st + 0's),
n n 8 (sinn^s sin(wsi + as). '
Это и есть нормальные колебания (все точки движутся в фазе или противо-
фазе).
В соответствующих нормальных координатах
R
Хп = 52(^1 cos ntps + qs2 sin ncps) + q0,
S=1 (3)
O N-l Л7
R= —-—, Jy — нечетное,
функция Лагранжа приводится к диагональному виду:
£ = Nm (-2 . (4)
I S=1 J
(Если число частиц четное, то формулы (3), (4) следует несколько видоиз-
менить в связи с тем, что частота Ш/у/2 невырожденная; формула (1) при
s = N/2 сразу же определяет стоячую волну.)
Интересно заметить, что повороты в плоскостях gsi, qS2'.
<1S1 = q'si COS/3S - q's2 sin/3s,
qS2 = qsi sin Д + qs2 cos Д,
сохраняющие вид функции Лагранжа (4), соответствуют смещению узлов
стоячих волн:
R
xn=qo + cos(mps - Д) + q'2 sin(n^s - (3S)].
S=1
Для бегущих волн (1) средний поток энергии по кольцу (см. задачу 6.9)1
2тг/о>
5ср = ^- у Цхп-! -Xn^Xndt = ^k\A|2w sin
0
^иже для краткости мы всюду опускаем индекс $. Вычисление потока .$ср и энергии Е
удобно производить в комплексной форме, воспользовавшись формулами из [2], §48.
230
Ответы и решения
[7.4
а групповая скорость
_ dw _ Гк V
Vrp~ dp macos 2’
где a — равновесная длина одной пружинки, р = р/а — волновой вектор.
Энергия
N N
Е = у У? Д» + | 57 ~жп-1)2 = 2N|A|2fcsin2 = ртГ А2.
п=1 п=1
и потому
Е о
ЛУ'',р - дер.
7.4. а) Уравнения движения
тХ2п-1 + к(2х2п-1 - Х2п-2 - Х2п) = 0,
МХ2п + к(2х2п - Х2п-1 - Х2П+1) = 0,
(1)
причем жо = -''a/vi = 0, п = 1, 2, ..., N.
Рис. 137
Ищем решение в виде бегущих волн раз-
ной амплитуды
X2n-i = Ae^t±{-2n-1^\
Х2п = Be^t±2nv].
(2)
Для определения Аи В получаем систему од-
нородных уравнений
(-mw2 + 2к)А - k(eTlv + е^В = 0,
—k(e~iip + e^)A + (-Mix2 + 2к)В = 0,
имеющих нетривиальные решения, только если детерминант обращается
в нуль. Это условие определяет связь частоты с разностью фаз колебаний
соседних частиц
1 4^2 • 2 '
тМ
т + АГ
(4)
7.4]
§ 7. Колебания линейных цепочек
231
Дополнительным условиям удовлетворяют только определенные ли-
нейные комбинации бегущих волн (2), а именно:
Х2п-1 = As sin(2n - l)(^s cos(us7 + as),
X2n = Bs sin 2rups cos(us7 + as),
у которых ips
2JV + 1- Так как №i-s
7Г — ips, то различные ча-
стоты при выборе определенного знака в (4) мы получим лишь для s =
= 1, 2, ..., N. На рис. 137 (для случая М > т) они укладываются дис-
кретными точками на две различные кривые, одну из них (w(_)) принято
называть акустической, другую (w(+j) оптической.
Общее решение имеет вид
N
X2n-i = sin(2n - l)^s[H(+)scos(w(+)s7 + a:s)+H(_)scos(w(_)si + /3s)],
S=1
X2n = У? sin2n^s[B(+)s cos(cj(+)5i + as) + cos(w(_)5i + Д)],
s=l
где A(±)s и связаны, согласно (3), соотношением
2k — mwL,
B(±> = —--------—A(±}s.
’ 2k cos (ps v '
Замечательно, что B(_)s и отвечающие акустическим частотам,
имеют одинаковые знаки, a B(+)s и - V+j.s для оптических частот имеют про-
тивоположные знаки (т. е. соседние частицы с массамитнМ колеблются в
противофазе). Распределение амплитуд колебаний для случая N = 8, s = 2
показано на рис. 138, где на оси ординат отложены номера частиц, а на оси
абсцисс — соответствующие им амплитуды (а — для акустических и б — для
оптических колебаний).
Каким образом можно получить из результатов данной задачи предель-
ный случай т = М (см. задачу 7.1)?
б) Нормальные колебания
Жзп = As sin 2rups cos(<us7 + as),
(s') К sin2n(ps + fcsin(2n — 2)ips
x\n-i = As---------------------------cos(us7 + as),
k + К — miXg
232
Ответы и решения
[7.4
Рис. 138
где
(jj2s = [К + k =F -\/(К — k)2 + 4кКк cos2 ps],
а <р3 определяется из уравнения
tg(2JV + 1)уа = - tgya, s = 1, 2,
1Y ~Г К
О < <Ps
7Г
2'
Кривые для оптической и акустической ветвей частот представлены на
рис. 139, а (при К > к).
Как совершить переход к предельному случаю К = к!
в) Величина ips
+ 1) ’ ДЛЯ S = 1’ ' ’' ’ получаем 2N нор-
мальных колебаний и собственных частот, имеющих тот же вид, что и в
7.4]
§ 7. Колебания линейных цепочек
233
Рис. 139
пункте б) (рис. 139,6). Как найти недостающее и самое интересное нор-
мальное колебание х^п = 0, x^n-iK = —X2n+ik, частота которого Шд =
К+k „ „ „
= —— лежит в «запрещенной зоне» между оптической и акустической
ветвями?
Рис. 140
Распределение амплитуд этого колебания показано на рис. 140, где на
оси абсцисс отложены номера частиц, а на оси ординат — соответствующие
им амплитуды колебаний. Частицы, имеющие четные номера, неподвижны,
а соседние частицы с нечетными номерами колеблются в противофазе с
амплитудами, экспоненциально затухающими при удалении от левого конца
цепочки («поверхностный фонон»).
234
Ответы и решения
[7.5
7.5. а) Решение уравнений движения
тхп + к(2хп - xn—i - жп+1) = 0, п = 1, 2, ..., N (1)
(дополнительные условия ./у = 0, ждг_|_i = acosyi) ищем в виде стоячих
волн хп = A sin пр cos у/ так, чтобы сразу удовлетворить первому допол-
нительному условию. Тогда из второго условия находим константу А =
= а/ sin('_V + 1)р, а из уравнении (1) — «волновой вектор» р стоячей волны
При у2 < — установившиеся колебания
sin nip
Хп =а (N C0S^ 2)
sm(A + \)р
имеют большую амплитуду, если знаменатель sin(.?V + 1)у близок к нулю.
Но именно это условие и определяет спектр собственных частот ш8 (см.
задачу 7.1), т. е. при этом мы имеем случай, близкий к резонансу, у « ixs.
При у <У wi = 2^/^ sin х) колебания (2) соответствуют медленному
растяжению и сжатию всех пружинок как целого;
Хп = уу cosyi.
Если у2 > то, сделав в (2) замену р = тг — i/ф, получаем
, 1Хдг+1+п skimp
Хп = (—1) + + а— -------—cosyt
v ’ sh^ + 1)^
. 2 "0 my2 . , d
где cn — = . Амплитуды колебании частиц убывают (при тр У>1
экспоненциально) к левому концу цепочки. Естественность этого результата
особенно очевидна для у2 -уг, когда частота вынуждающей силы лежит
гораздо выше спектра нормальных частот. В этом случае крайняя правая
частица колеблется с малой амплитудой в противофазе с вынуждающей
силой, a (N — 1)-я частица в первом приближении покоится. Затем можно
7.6]
§ 7. Колебания линейных цепочек
235
движение (./V — 1)-й частицы рассматривать как вынужденное колебание,
вызванное вынуждающей силой большой частоты со стороны TV-й частицы,
и т. д.
Отметим, что в явлениях полного внутреннего отражения имеет место
аналогичное затухание волны (например, при отражении коротких радио-
волн от ионосферы).
Какой вид имеет установившееся колебание при у2 =
cos(N - п+ l/2)<z>
cos yt,
б) хп = а
cos(N + 1/2)<^>
2 , 4fc
З' < т
• 2 V
Sin 2
9
ту
~гг~ ПРИ
4fc F
sh(2V _ п -|_ 1/2)7/?
sh(W + l/2W С“Т*’
2 ту2 2 4/с
Ch 2 = ТГ при 7 7 ™
7.6. Если частота вынуждающей силы лежит в области акустических
собственных частот 0 < у2 < или в области оптических собственных
Л/
частот < у2 < (см. задачу 7.4 а), то установившиеся колебания
sin(2n — 1)(^
Х2п-1 = ——— cosyt,
sm(2n + 1)<у?
2k — my2 sin 2пр
Xon = т a----;— cosyi,
у 2k - My2 sin(2^ + 1)(^
9 (2k — Му2) (2k — ту2)
где cos tp = --------------------, а верхний (нижнии) знак отвечает ча-
4 Аг
стоте у, лежащей в области акустических (оптических) собственных частот.
236
Ответы и решения
[7.7
2/с 9 2к
Для частот — < < —, лежащих в «запрещенной зоне»,
%2п—1 —
^2п —
sh2 ф =
( ^N+n ch(2n-l)^ ,
(-1) а——— — cosyt,
v 7 ch(2N + l)^
/ .,Aw+n 2k-my* 2 * sh2n^
(-1Г+ncu /-----------, , x cos77,
v 7 V My2 - 2k ch^ + 1)7/7
(2k — my2)(My2 — 2k)
lit2
п 2Jc
и для частот у > лежащих выше границы оптической ветви,
sh(2n — 1)у
х2п— 1 = а~, /ОЛГ 77 cosyt,
sh(2jV + 1)у
2к — ту2 sh2nv
Ж2п = ;— cos77,
У 2к - Му2 sh(2N + 1)х Г
2 (Му2 — 2к)(ту2 — 2к)
ch х =
4 к2
колебания затухают к левому концу цепочки.
7.7. а) Решение уравнений движения
тхп + к(2хп — жп_1 — жп+1) =0, п = 1, 2, ..., N — 1,
гздзд + к(2хм- — xN-k) = 0
(дополнительное условие ./'о = 0) ищем в виде стоячих волн:
хп = Asinnp cos(ut + ct), п = 1, 2, ..., N — 1,
xn = В cos(ixt + Ct).
Из (1) находим связь
(1)
(2)
(3)
(4)
lit 2 Ф _ 2
т 8111 2 — Ш '
Из уравнении (1) и (2), с учетом (3) и (4), получаем систему
AsinJV^ — В = 0.
—Asin(.?V — 1)(^ + sin2 + 2^В = 0.
7.7]
§ 7. Колебания линейных цепочек
237
Отсюда В = Asm Nep, а параметр ср определяется как решение трансцен-
дентного уравнения
sin N<p^ sin2 _ 2 + cos у) cos_V.y siir^. (5)
При тдг т, кроме очевидных нормальных колебаний, когда частица ///.у
почти неподвижна (sin7V</?s 1),
х^ = А3 sinneps cos(wst + as), п = 1, 2, ..., N,
tg7V<yjs ~ y^etgf. s = 1, 2, N- 1,
имеется нормальное колебание, при котором амплитуды частиц линейно
убывают к левому концу цепочки,
(дп & п I , . \ 2 fc Л , 1А
ХП -B^c°A^Nt + aN\ MN = —\l + —j.
Частица тдг при этом колеблется между пружинками жесткости к (справа)
и жесткости к/N (слева). Тот факт, что уравнение (5) имеет подобное реше-
ние, устанавливается следующим рассуждением. Предполагая ер малым и
сохраняя лишь главные члены, получим из (5) ер2 = АА- _|_ _L J в полном
согласии со сделанным предположением.
При т..у < и имеются обычные колебания, характерные для системы
из (N — 1)-й частицы с пружинкой жесткостью fc/2 на правом конце (па-
sm р
2 — cos p
раметр eps и частоты ws определяются из уравнения tg Nep = —
Кроме них, существует нормальное колебание, при котором амплитуды ча-
стиц убывают к левому концу цепочки
жпЛГ) = (~l)JV+n-B cos(pjNt + aN),
,2 ± = m . 2 = 2k_
h 2 2mN 11 N mN-
Формально значение параметра ip можно получить из уравнения (5), сделав
замену ср = л — iip и предполагая гр большим. Это нормальное колебание
можно рассматривать в первом приближении как простое колебание части-
цы малой массы при покоящихся остальных частицах, а затем рассмотреть
238
Ответы и решения
[7.8
движение остальных частиц как вынужденные колебания под действием
высокочастотной силы кх^ = кВ cos(wy£ + ед), приложенной к правому
концу цепочки из N — 1 одинаковых частиц (см. задачу 7.5 а).
б) При F+1 <' к решение совпадает с решением задачи 7.2. При
fcjv+i к имеются нормальные колебания, при которых N-я частица почти
неподвижна:
Ы л / , \ 2 4/г • 2 Vs
х\> = As smnps cos(wst + as), ws=—sin
Vs ~ 8 = 1, 2, . . . , N - 1.
Параметр <ps определяется из уравнения
• “2 \ . дт дт .
(2sin —--------—) = cosTV^sm^, (6)
\ К /
которое в рассматриваемом приближении имеет вид
tg Np = — sin р.
kN+i
Уравнение (6) допускает еще одно решение, которое можно получить, по-
ложив р = тг — гф и предполагая ф большим. В этом случае имеем
= (~1)N+1BN cos(uNt + aN),
зпАф
2 ф kN+1 2 kN+1
ch 2 = IT’ ~’
t. e. амплитуды частиц убывают к левому концу цепочки.
Каким образом можно получить это последнее колебание, используя
результаты задачи 7.5?
7.8. Пусть рп — угол отклонения n-го маятника от вертикали.
a) s-e нормальное колебание
Рп = As cos(n - • cos(wst + сД,
где спектр частот (рис. 141) начинается со значения wq — \/д/1-
2
s
_9 . 4:к 2 Д
I + т 8111 2
Д = s = 0, 1, 2, ..., ЛГ-1.
7.8]
§ 7. Колебания линейных цепочек
239
б) В области собственных частот системы
wq < 7 < \/wq + 4k/m вынужденные колеба-
ния
F cos[(n —
<Рп = -------------------sinyi;
2kl sin ТУ?/; sin
2 9 . 4k 2 n ,
7 = J + m sm 2"’ 0 < < 77
При у- w., возникают резонансы, так как
sinTV?/; втУУт/у 0.
В области малых частот у < wq все маят-
ники колеблются в одной фазе
F ch(n —
v 2' . , 2 9
Vn = ---------------- smyi; у = -
2kl sin Nx sh
4fc ,2 X
m sh 2
> 0.
Если при этом жесткость пружин мала
______к_____
т И - 72)
= £ < 1,
то амплитуды колебаний быстро убывают к левому концу
N-п
В области высоких частот у > ^/wq + 4к/т соседние маятники колеб-
лются в противофазе
)7V nFsh(n —
7 V 2'л 2 9 . 4fc ,2 X
---------------sinyt, у =7 + —ch
2fcZsh^ch| z 2
При очень высокой частоте ту2/к 1 амплитуды колебаний также быстро
убывают к левому концу
Vn =
240
Ответы и решения
[7.8
в) Ясно, что при b — а = 0 все маятники (в линейном приближении)
колеблются независимо друг от друга с частотой wq = у/д/1.
С ростом параметра Ь — а пружинки сначала ослабляют возвращающую
в положение равновесия силу тяжести, а затем начинают «расталкивать»
соседние маятники, так что малые колебания маятников вблизи вертикали
становятся неустойчивыми.
Функция Лагранжа системы
•2N
П=1
где удлинение n-й пружинки (принимаем 11 Дп | <?' а)
2 । /172 • 2 А-п j. 1 , Z2 л 2 / (а + 3/ ) 4
а2 + 4Z2 sin —----о И а — b + тг&п------------;---,
2 2а 24а3
— Рп Рп+1-
С точностью до членов включительно
U = |mgl ^2 (‘/’п - аДп - ^Рп + Мп) + consl -
= (b - a)kl = кЫз
а атд ’ Р 12а+4т5а3'
(1)
Рис. 142
Уравнения движения в линейном по рп при-
ближении
Рп Н- у [Рп ~ а(2<рп — pn-i-i = 0
имеют решения в виде бегущих волн
рп = Ae^t±n^ (2)
с частотами (см. рис. 142)
2 5 Л л • 2 \
= т 1 - 4а sin — ,
1\ 2 )
фв = s = 0, 1, ..., N,
7.8]
§ 7. Колебания линейных цепочек
241
причем частоты и т..у невырождены, а остальные частоты двукратно
вырождены.
Отсюда видно, что при
4а — 1 > 0, или о — а > ,, , ,
4kl
(3)
колебания неустойчивы — некоторые становятся отрицательными. Рань-
ше всех обращается в нуль частота щдг. Ей соответствует ix\- = тг, т. е.
нормальное колебание типа «гармошки», при котором соседние частицы
колеблются в противофазе: tpn = —tpn-i. Естественно поэтому и новое
положение равновесия у„о искать в виде «гармошки»:
T’lO = —^20 = Т’зо = “Wo = • • . = — <P2N0 = (4)
dU
Значение у найдем из условия равновесия —— = 0 или
д<рп
Р(%(2<Рп <Рп+1 Рп — 1) q Р ц Н” -kp,, T-’n+l) 4” 2/3(</?п Рп — 1) — О,
(5)
что дает
/б(4а- 1)
У 192/3—1
Рассмотрим теперь малые колебания вблизи нового положения равнове-
сия (4). Введем малые смещения
%п — Рп PnOi
тогда с точностью до х^ включительно потенциальная энергия (1) равна
U = ^mgl ^2 [(1 ~ - (а - 24/3<р2)(ж„ - ж„+1)2] + const. (6)
п
Сравнивая (1) и (6), легко увидеть, что хп имеет решение такого же вида,
как и срп (2) с частотами
I L £ J
242
Ответы и решения
[7.9
Однако теперь для малых р2 < i все w2 положительны (см. (3)):
> f I1 ~ 4(а 2W2)] = ¥(4“ "
т. е. малые колебания вблизи нового положения равновесия (4) устойчивы.
Таким образом, с ростом параметра а первоначальная конфигурация
вертикальных маятников сменяется «гармошкой». Такое изменение сим-
метрии подобно изменению симметрии термодинамических систем при фа-
зовых переходах второго рода. Аналогом а при этом является внешний
параметр типа температуры, магнитного поля и т. д. (см., например, [23]).
Конечно, уравнение (5) может иметь и другие ненулевые решения,
кроме найденного (4). Например, ему удовлетворяет значение рп = д/б,
которое, однако, не является физическим, так как отвечает большим углам
отклонения, а само разложение (1) справедливо лишь при малых р.
7.9. а) Ток в n-й катушке обозначим qn. Функция Лагранжа
N
L = | 52 - Qn+1)2] + l^odw+1 +Uqi cosyt
n=l
(ток через цепочку Z обозначен Qn+i). Сопротивление R можно ввести в
уравнения движения с помощью диссипативной функции
F =
Уравнения движения
+ 77(^1 - qi) = и cosyt, (1)
о
'Zp, + -^(Zqn -qn-i -?n+i) = о, n = 2, з, (2)
О
+ -p;(qN+i — Qn) = RqN+i- (3)
О
Решение ищем в виде
qn = Re(Aei7i-iw),
причем можем считать, не ограничивая общности, что —л С у С тг. Из (2),
(3) получаем
72 = ^sin2(^/2), (4)
-72^o + 7T(l-e-^)=z7R. (5)
О
7.9]
§ 7. Колебания линейных цепочек
243
Отсюда
sin <у?
1 - cos <у? 2 _
С У 2 '
Поскольку R > 0, должно быть 9? > 0 — волна бежит в сторону .AR-
цепочки. Амплитуда может быть определена из уравнения (1).
При у2 > 2’С'/4 распространение бегущих волн по искусственной
линии невозможно (ср. с задачей 7.5 а).
б) Уравнения движения
+ ^(2^211-1 — Q2n-2 — Q2n) =0, п = 2, 3, . . . , N,
^2<12п + -^(2q2n — Q2n-1 — ?2n+l) = 0, П = 1, 2, . . . , JV, (6)
о
с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (1) в задаче 7.4.
Кроме того,
+ Tf(Qi - Q2) = Ucosyt, (7)
О
/4)У2/У-1 + ^;(</2.V+ l _ Q2n) = —Rq2N+l- (8)
Решение ищем в виде
q2n-i = Aet7t-1(2n-1)v,
(9)
q2n = Bel7t-l2nv.
He ограничивая общности, считаем —тг ср тг. Из (6)
(1 — у2/у2)А — cos р • В = 0,
cosр • А — (1 — у2/у2)В = 0,
(Ю)
откуда
cos2 р = (1 - у2/у2)(1 - 72/7г)-
Пусть, например, 71 <72- Условия 0 cos2 р 1 выполняются при
0 < 7 < 71 (область «акустических» волн, ср. с задачей 7.4) и при
72 < 7 < vSi + 7г (область «оптических» волн). Вне этой области рас-
пространение бегущих волн невозможно (ср. с задачей 7.6).
244
Ответы и решения
[7.10
Из формулы (8)
— i fI
уС А УС\
В \ , в Апр
AmV + A—'
(И)
R +
D
Здесь должно быть — sinр > 0. В области 7 71 амплитуды Ли В имеют
одинаковые знаки, так что р > 0. В области '2 Г ' 7- ySi + 7г> наоборот,
В/А < 0 и р < 0. Подставив в (11) значения В)А, cosp и sint/?, получаем
окончательно
-12
2 72-^2С72’ ° 2'
Отрицательное значение р в области «оптических» колебаний означает,
что фазовая скорость бегущей по линии волны направлена от Z-цепочки к
источнику напряжения. Групповая же скорость, определяющая поток энер-
гии (ср. с задачей 7.3), естественно, имеет противоположное направление
(см., например, рис. 137, где и™ ~ —-— < 0).
as
7.10. Уравнения колебаний дискретной системы (см. формулу (3)
задачи 7.1) преобразуем к виду
; а
хп ка
1=0.
(1)
Величина = —— в пределе имеет смысл линейной плотности стержня р.
—1
Относительное удлинение отрезка а, т. е. величина-----, пропорцио-
нально действующей на него силе г — ка-------, поэтому в пределе ка
имеет смысл модуля упругости стержня х. Таким образом, уравнение (1)
в пределе переходит в волновое уравнение
Э2<4) 292ж(С,7)
dt2 v де
где v = 7/х/р имеет смысл фазовой скорости волны.
8.1]
§ 8. Нелинейные колебания
245
Вместо системы N обыкновенных дифференциальных уравнений мы
получили одно уравнение в частных производных (ср. с задачей 4.29).
Отметим, что для данного вывода необходимо важное предположение
о том, что функция xn(t) стремится к определенному пределу х(£, £), явля-
ющемуся достаточно гладкой функцией.
7.11. При малых а можно приближенно представить смещения в
виде х — х(Ё t} х +-1 — х(Ё ± а О — х(б О ± 4- — ±
виде .нп — и , zc
„з t) dS-
---’ '+ .При этом уравнение (2) задачи 7.10 переходит в уравнение
д2х _ х д2х _ ха2 д^х _
dt2 Р (<2 12р ~
В то время, как каждое из уравнений (1) задачи 7.10 содержит смеще-
ния трех соседних точек (дальнодействие), уравнение (1) содержит лишь
смещение х в данной точке £ (близкодействие). Член — в УРавне‘
нии (1) соответствует приближенному учету дальнодействия.
Подробнее об учете пространственной дисперсии и исследовании урав-
нения (1) см. [19], гл. 4, §4.
§ 8. Нелинейные колебания
8.1. а) Уравнение движения
х + cOqX = — (Зх3 (1)
решаем методом последовательных приближений (ср. с задачей 6.34):
х = х0 + 5х = Aeiuot + A* e~iuat + 6х. (2)
«Сила»
-j3x30 = -!ЗА3е3гш°1 - 3/ЗА2А*еШаЬ - 3/3AA*2e-iUot - /ЗА*3е-3гШа*
содержит резонансные слагаемые
-3(ЗА2А*еш°* -3(3AA*2e-^ot = -3/3\А\2х,
которые удобнее присоединить к слагаемому х(2х в левой части (1). Это
приводит к замене
Wq ш2 = Wq + 3/3|А|2.
246
Ответы и решения
[8.1
Рис. 143
Для З.г получаем уравнение
ЗхАх>2Зх = —/3(А3е3гш*+компл. сопряж.),
откуда
? (ЗА3 3il.t
дх = —-е + компл. сопряж..
Итак,
х = a cos(x>t + <р) +
cos(3wi + 3gj),
32cj2 '
А = ±aeiv
(ср. с [1], §28). На рис. 143 изображены
графики х (t).
При (3 > 0 происходит ограничение ко-
лебаний, при (3 < 0 максимумы становятся
более острыми. Эти особенности колебаний
и знак поправки к частоте нетрудно усмот-
реть из графика U(x). Другие способы ре-
шения см. в задачах 1.9 и 11.25 в.
б) Решая задачу тем же способом, что
и в пункте а), получаем:
г _____ O?A2 „2iuot _ 2оф4|_ аД*2 -2iuat
(Jdj t- О "I” О ,
3cJq Wq 3cJq
т. e.
x=a cos(wq£ + </?) — ^A + ^A cos(2wq£ + 2tp).
2<Xq 6<Xq
Искажение колебаний несимметрично (рис. 144).
В следующем приближении в «силе» — а(х$ А 6х)2 нужно учитывать
слагаемое —2ах$6х, содержащее резонансные члены
2о?2 _ 2о?2 (А'"''1 1-^-1
3wq 3cJq Wq
10а:2
3wq
А| 2х.
8.5]
§ 8. Нелинейные колебания
247
Это приводит к замене
5а?2а2
2 2
8.2. х = a cos wt — ^уа2 cos 2x>t + ^7«2, ш = шр + .
~f)2 r»2O4
8.3. ip = ------- cos Q.t 4--------------------— sin 2Q,t (обозначения
g-lti2 12(y - Zfi2)(<7 - l/<>)
задачи 5.9).
8.4. x = x^ + x^ + ...,
(0) _ /1COS CJ1Z /2 cos Ш21
,2 , ,2\ — ,2 , ,2\ ’
m^Q ^1/ 777'^Cc^q ^2/
(1) = M/l
2т1Ху(шу — w2)2 2mw§(wQ — off)2
a fl cos 2u»it a fl cos 2^2^
2m(cjg — 4cj2)(wq — cj2)2 2m(cjg — 4^)(^o ~ w2)2
___________ct/1/2 cos(u>i -w2)t__________
ml^o - (M -^2)2](wq ~^1)Нэ -^2)
___________a/i/2cos(c<2i +c^2)Z__________
m[wQ - (wi + w2)2](wq - w2)(wq - ^2)
Какие комбинационные частоты возникают при учете ангармонической
поправки 5U = ?
8.5. Функция Лагранжа
L = у (ж2 + у2) - |(у/(г - у)2 +ж2 - /о)2 - тду =
= ^{Л2 + У2- Ф2 ~ ^у2 + 2ах2у) + ...,
где
2 У
-17
ту
~к'
х>
kl0
2ml2
2 _ к_
2 ~ m,
248
Ответы и решения
[8.6
Действуя далее так же, как и в задаче 8.1, получаем
х = a cos(cji4 + р)------аа^--------- cos(cjii + ce2t + р + ip')+
2ce2(2cei + W2)
+ ?;—77Г^------7 cos(wii -ce2t + p~^),
2w2(2wi - ce2)
Q
Obd . I о
У — b cos(w2i + 'Ф') + —2 + РЬ2 + —
2cez 2(
4с2)
Ангармонические поправки резко возрастают при 2ci и се2. Случай
2cji = с2 рассмотрен в задаче 8.10.
8.6. а) Решение уравнения ищем в виде
x = Aeiwt+A*e~iwt.
Приравнивая коэффициенты при егш*, получаем
(wq — <с2 + 2гАс + 3/31 А|2 )А =
откуда
[(с2 -ш2 + 3/3|А|2)2 + 4А2ш2]|А|2 =
Исследование этого уравнения, кубического относительно Л|2, можно про-
вести подобно исследованию аналогичного уравнения (29.4) в [1].
8.7. а) Решение уравнения колебаний
х + 2Ai + Wq(1 + hcos2cet)x + /Зх3 = 0 (1)
ищем в виде
х = Аеш1 + А*е-ш1, (2)
причем сохраняем только члены, содержащие е±гш* .* Приравнивая нулю
коэффициенты при с.'-'-'1 находим
^А + (се2 -cel- - 3/3|А|2)Д* = 0,
, (3)
^се^А* + (се2 - се% + 2iceX - 3/3|А|2)А = 0.
Предполагаем, что члены с e=3?~'f значительно меньшие, будут компенсированы вкладом
в (2) третьей гармоники, как это видно из дальнейшего.
8.7]
§ 8. Нелинейные колебания
249
Не равное нулю А возможно при условии
ш2 — Шд — 2zwA — 3/3|А|2
ш2 — cJq + 2ш\ — 3/3|А|2
откуда у------------
|A|2=^k“w°2±v(^°2) -(2wA)2]- (5)
Из (3) получаем1
где А = \аСС Рис. 145
Зависимость |А|2 от cj2 изображена на рис. 145 (для определенности
считаем /3 > 0). В некоторых областях частот возможны две или три (считая
нулевую) различные амплитуды установившихся колебаний.
Амплитуды, соответствующие участкам AD и CD, реально не осу-
ществляются, так как такие колебания неустойчивы (доказательство этого
относительного участка AD см. в следующей задаче, а исследование устой-
чивости колебаний на участках ABC, CD и DЕ см. в [8]).
б) С учетом третьей гармоники х имеет вид
х = Aeiut + A* e~iwt + Be3iwt + В* e~3iwt. (8)
(9)
Мы предполагаем, что |£>| |А|, что будет подтверждено результатом.
Подставляя (8) в (1), выделим члены, содержащие e3iwt; при этом опускаем
произведения В на малые параметры. Оказывается,
В= (Jk , М2
116 + 8w2
и, действительно, \В\ А|.
'Формулы (6) определяют фазу с точностью до слагаемого птг. Определение фазы с
большей точностью не имеет смысла, так как изменение фазы на л соответствует просто
сдвигу начала отсчета времени.
250
Ответы и решения
[8.8
Таким образом,
х = a cos(wt + <р) + b cos(3wt + ,
где b = 2\В\, ip = arg В.
Нетрудно заметить, что пятая гармоника окажется малой второго по-
рядка (~ h2A), седьмая — третьего (h3A) и т. д. Это служит обоснованием
используемого способа вычисления амплитуд. Четные гармоники не возни-
кают.
8.8. а) Ищем решение уравнения в виде
x(t) = a(t) coswt + b(t) sin wt, (1)
где a(t) и b(t) — медленно изменяющиеся функции времени. Для определе-
ния a(t) и Ь[1) получаем систему уравнений (см. [1], §27)
а + fw — wo + & = 0,
, (2)
о — I ш — wq---4~)а = U-
Если |wi — wq| < /iwq/4, то ее решение
a(i) = a?i(C'ie-st + C2est),
b(t)=aACie-st -C2est), (3)
где
8 = |v/(/lwo)2 - 16(w- Wo)2, «1,2 = \/hw0 ±4(w - Wo).
Отсюда
x = C'est cos(wt — </?)+ C"e~st cos(wt + 7), (4)
где tg p = a^/a2 (рис. 146).
Таким образом, колебания, вообще говоря, неограниченно возрастают.
Скорость их роста, характеризуемая величиной s, действительно мала. В ре-
альных условиях возрастание амплитуды колебаний прекращается, напри-
мер, если становится существенной роль ангармонических поправок (см.
задачу 8.7) или обратное влияние колебаний на устройство, периодически
изменяющее частоту.
Полезно обратить внимание на аналогию между полученным результа-
том и особым решением задачи о нормальных колебаниях цепочки частиц,
8.8]
§ 8. Нелинейные колебания
251
Рис. 146
Рис. 147
соединенных пружинками различной жесткости (задача 7.4 в). Неоднород-
ность с периодом 2а вдоль цепочки приводит к нарастанию вдоль цепочки
амплитуды установившегося колебания, причем «длина волны» равна 4а
(рис. 140), подобно тому как периодическое изменение со временем часто-
ты осциллятора приводит к возрастанию со временем амплитуды.
Еще более полную аналогию можно обнаружить с задачей 7.6. Области
неустойчивости относительно параметрического резонанса соответствует
запрещенная зона спектра колебаний цепочки.
К подобным же уравнениям приводит в квантовой механике задача о
движении частицы в периодическом поле. В этой задаче также появляются
«запрещенные зоны» и «поверхностные состояния»,
б) Если |w — w0 > /iwq/4, то
х = Св± sin(fii + "0) cos cut — С[З2 соэ(Ш + t/l) sinwi,
где П = y/16(w - wo)2 - (/iw0)2,
Г ^/4(w — wq) ± hx>o при w > wq,
’ ( ±^/4(w — wq) ± /iwo при w < wq.
Колебания представляют собой биения:
х = С-\/4|w — wq| — Л-wq cos(2fii + -0) cos(wi + 0),
где в — медленно меняющаяся фаза (см. рис. 147). Если частота приближа-
ется к границе области неустойчивости, то глубина модуляции колебаний
приближается к полной, а период их неограниченно растет.
Каков вид колебаний при |w — wq| = hw^/4?
252
Ответы и решения
[8.9
8.9. Пусть при 0 < t < т колебание х = еШ11. Тогда на отрезке
t < 2т,
х = аеШ2* + be Ш2*,
где а и & определяются условием «сшивания» при t = т:
х(т — 0) = х(т + 0), х(т — 0) = х(т + 0),
°ТКуДа а
2^2
_ CJ2 — ^1 ег(Ш1+ш2)т
2W2
Аналогично находим, что при 2т < t < Зт
х = аегш^ + [3e-lU2t,
a — е~гШ1Т | cosc^t + -- sin^'T-
\ 2^2
, ,2 _ . ,2
/3 = zsinW2Te3^T^-^.
Ясно, что колебание вида
Ае^14 +
(1)
при 0 < t < т переходит через период 2т в колебание
А(аегШ14 + /Зе-гШ1‘) + ^сАе^14 + /3*егШ14) =
= (аА + /3*В)егШ14 + (/ЗА + a*B)e-^2t.
Найдем такую линейную комбинацию (1), чтобы через период 2т колебание
сохраняло свой вид с точностью до постоянного множителя:
(аА + /3*B)e^14 + (/ЗА + a*B)e~icJlt = p{Aeiult' + Be~iuJlt'),
здесь t' = t — 2т,
aA + (3*B = iie~2iuJ1TA,
(2)
/ЗА + а* В = ре2гШ1ТВ.
8.9]
§ 8. Нелинейные колебания
253
Система (2) имеет нетривиальное решение при условии
(а — це 2гШ1Т')(а* — де2гШ1Т) — /3(3* = О,
откуда —-
Д1,2 = 7 ± v 7 1,
где
TJ I 2шт + w2 •
7 = Relae 1 = cos mi т cos ^7т-о-----smwirsmwjT.
2W1W2
Через n периодов колебание
Ж1,2 = ^(е^1* + Ai,2e-iu;it), 0 < t < r,
е-2ш1Т _ a
Al,2 — Д1,2---------
переходит в
27,2(£) = Ml,2^.1,2(elWlt + L 0 < t’ = t - 2ПТ < T.
Любое колебание представляет собой суперпозицию колебаний вида 27,2
в частности, действительное колебание (только и имеющее непосредствен-
ный физический смысл)
x(t) = АегШ1( + А*е-гШ1\ 0 <1<т,
есть сумма xAt) + x^it) с
. Л.* — А2Л. л А1-А — А*
л‘ = Л7тГ' =
Если 7 < 1, то |Д1,2| = 1 и колебания Ж1,2(£) (а с ними и x(t)) остаются
ограниченными.
Если же 7 > 1, то //| > 1, и амплитуда колебаний неограниченно
возрастает. Это и есть случай возникновения параметрического резонанса.
Нетрудно убедиться, что при малой разности частот |wi — это
условие выполняется, если частоты близки ктгв/т:
/ , \ о ,(wi-w2)2t
|Ь+щ2)т-2лп| <
На рис. 148 (взятом из [20]) показаны области неустойчивости относительно
параметрического резонанса,
254
Ответы и решения
[8.10
8.10. Уравнения движения
х + ш2х — 2аху = 0,
у + 4w2y — ах2 = 0.
Решение ищем в виде
х = Aeiut + A*e^iut + 5х,
у = Be2iut + B*e-2iut + 5у,
принимая, что А и В — медленно меняющиеся амплитуды колебаний,
а более быстро осциллирующими слагаемыми 5х и бу можно пренебречь:
|А| < щ|А| < w2|A|, \В\ < w\B\ < w21В\, 5х~5у<^ |А|.
Сохраняя только слагаемые с еш1 (соответственно с2'~') и пренебрегая
|А|, \В\, получаем
шЛ — iaBA* = 0,
4wB - iaA2 = 0.
Легко видеть, что из (1) следует
А|2 + 4|В|2 = С = const (2)
(это закон сохранения энергии) и
А*2 В + А2 В* = D = const. (3)
8.12]
§ 8. Нелинейные колебания
255
Используя (1), находим
шIЛ|2 = ia(A*2B - Л2В*).
Возведем (4) в квадрат и учтем (2), (3):
(4\a\2Y = ~^[{А*2В + А2В*)2 -4\А\4\В\2] =
\dt / ш2
= ^[|Л|4(С - |Л|2) - D2].
(4)
(5)
Ml
Рис. 149
Уравнение (5), аналогичное закону сохранения энергии для задачи об одно-
мерном движении частицы с координатой Л 2, удобно исследовать с помо-
щью графика U(|Л|2) = (|А\2 — С)|Л|4 (рис. 149).
Таким образом, амплитуда |Л| испыты-
вает колебания — происходят биения. За-
висимость амплитуд |Л| и \В\ от времени
может быть выражена через эллиптические
функции (мы не будем этого делать).
Отметим, что, в отличие от колеба-
ний осцилляторов с линейной связью (за-
дача 6.8), в данном случае от начальных
амплитуд и фаз зависит не только глубина
биений, но и период.
Эта задача имеет отношение, например, к связи продольных и изгиб-
ных колебаний молекулы СО2 (так называемый резонанс Ферми, см. [21])
и к удвоению и делению частоты света в нелинейной оптике (см. [22]).
2 2
,2 = —г ± 7 (ср. [1], §30 задача 1).
2Z2 I
8.11.
8.12.
а)
б)
6'эфф = лС[1Л
тш \-г
2
Е/эфф =
з(аг)2
г8
Г— +
|2-w02) Lr6
частота осциллятора.
3(аг)2
8
где wq собственная
Обратим внимание на то, что зависимость Е/эфф ос /' 6 характер-
на для межмолекулярных сил. Если подставить в (1) значения величин1:
системе СИ: а
^фф~10-18(у)6 Дж.
е2
4тгео
(10“19 К)2
10“11 Ф/м • 10 ’
1о-зо
кг, а ~ 10 10 м,
256
Ответы и решения
[8.13
а е2 (5 . Ю-10 ед. СГСЭ)2, т ~ 10-27 г, а ~ 10-8 см, ш ~ 1016 сек-1
типичные для атомов, то получим [Дфф ~ 10-59 эрг- см6/г6, что по поряд-
ку величины близко к правильному значению для ван-дер-ваальсова вза-
имодействия. Такой результат может служить указанием на физическую
природу этого взаимодействия. Полный же расчет ван-дер-ваальсовых сил
возможен лишь в квантовой механике.
8.13. Движение вдоль оси z почти равномерное, z = vt. В плоскости
(ж, у) на частицу действует быстро осциллирующая сила fx = 2Ах sin kvt,
fy = 2Ау sin kvt. Соответствующий эффективный потенциал ЕДфф =
= ^(гС2+у2),гдеП = ^.
2 ' mkv
Согласно условию частота колебаний силы kv П, так что сила дей-
ствительно быстро осциллирующая. Итак, в плоскости (ж, у) частица со-
вершает гармонические колебания с частотой И около оси z. Эта задача
иллюстрирует принцип жесткой фокусировки пучков частиц в ускорителях.
8.14. Уравнения движения
тх = pffl^x'jy,
ту = — ^Ж(х)х.
Ищем закон движения в виде
х = X + £, у = Y + у, (1)
где слагаемые £, у описывают быстрое движение по почти круговой орбите,
а X, Y — медленное смещение ее центра (сравните с [1], §30). Подстав-
ляя (1) в уравнения движения, разлагаем + £) по степеням £:
Х + |' = шУ + шу+ + у),
у + у = -шХ-^-^с^Х + ^)
и разделяем быстро осциллирующие и медленно меняющиеся слагаемые.
Для осциллирующих слагаемых
£ = у = ш=^Ж(Х\
откуда
£ = rcoscji, ту = —rsincji.
8.15]
§ 8. Нелинейные колебания
257
Для медленно меняющихся членов имеем
+ т(, Q (С?)),
(2)
<> у е [Се\
Y = ~шХ ~ тё~Э^№ь
где
= -r2w(cos2wi) = = О-
Поскольку А. eojX, ешУ, то левые части (2) можно положить равными
нулю.
Итак,
у=^1^ = 1£„. i = 0.
2тс дх 2
(Скорость смещения центра орбиты (скорость дрейфа) в более общем слу-
чае рассмотрена в [2], задача 3 к § 22 и [8], § 25.)
8.15. Уравнение движения шарика
dU^ л. НН
w = -— + /(().
Собственное движение шарика под действием пружинки описывается «низ-
кочастотным» смещением х = у — уо cos 'ft, для которого
dU (х + уо cos yi)
rnx =-----------------.
dx
Усредняя по периоду 2л/у высокочастотного движения
(cos2n+1 yt) = 0, (cos2yi) = (cos4yi) =
2 о /
получим эффективную силу и соответствующую эффективную потенциаль-
ную энергию
^эфф(ж) = Ах2 + Вх\ А = —С + ^Вуд.
График функции К,фф(ж) изображен на рис. 150.
258
Ответы и решения
[9.1
При А > 0, или Т = > Тс = 4С/9В
шарик колеблется вблизи точки х = 0 с ча-
стотой се = ос у/Т - Тс. При
А < 0, или Т < Тс, минимумы Пэфф(ж) рас-
положены в точках =./'() = ±у/—А/2В и
шарик колеблется вблизи одного из них с
частотой се = —Afm ос \/Тс — Т.
Возникающая картина весьма близка
к картине фазовых переходов второго рода,
описываемых феноменологической теорией
Ландау [23]. Быстрые вынужденные колебания являются аналогом тепло-
вого движения (соответствующего оптическим модам колебаний системы,
не связанным с переходом), а величина Т у2,— аналог температуры. При
больших Т система колеблется вокруг положения равновесия х = 0. При
этом имеется симметрия относительно замены х —х. При уменьшении
температуры до значения Т < Тс шарик начинает колебаться вокруг од-
ного из новых положений равновесия: Хд или — Хд. При этом симметрия
х —х, очевидно, разрушается. Значение Тс — аналог температуры фазо-
вого перехода второго рода. В окрестности точки Т = Тс величина Хд мала,
я?о ос \/Тс — Т, и мала частота собственных колебаний се.
§ 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы
отсчета
а) /2а2(пг + М) 2а2(т — М) 0
I 2a2(m — М) 2а2(т + М) 0
\ 0 0 4а2(т + ЛГ)
б) (4а2т 0 0
0 4а2М 0
у 0 0 4а2(т + М)
9.2. Для обеих фигур одной из главных осей является ось, перпенди-
кулярная к плоскости рисунка и проходящая через центр инерции фигуры
(ось г). Главная ось х повернута на угол ср к стороне О'х' каждой из фигур.
Главная ось у перпендикулярна к оси х. Обе эти оси проходят через центр
тяжести фигур.
9.3] § 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 259
а) Координаты центра в осях О'х'у' (х' = Ь, у' = а):
Izz = 2(a2 + &2)(М + т),
Ixx = (а2 + b2)(M + т)т У(&2 - а2)2(М + т)2 + 4а2Ь2(М - т)2,
1уу = (°-2 + Ь2)(М + т) ± \/(Ъ2 — а2')2(М + т)2 + 4а2Ь2(М — т)2,
б) В осях О'х'у'z' (рис. 151) координаты центра
масс О: х' = у' = a, z' = 0. В системе координат у'
Ох”у"z" с осями, параллельными осям x'y'z', тензор
инерции
1”к = 4та2 I 1
\0
1
1
0
0
0
4
При переходе к системе Oxyz, повернутой на угол
р вокруг z", координаты преобразуются следующим —L
образом:
Р]
х = х" cos р + у” sin <у?, у = —х” sin р + у” cos р,
Z = z”,
а компоненты тензора инерции — как произведения координат:
Ixx = J'xx c°s2 р + 21”у sin р cos р + I”y sin2 р =
= 4та2(3 cos2 р + sin 2р + sin2 </?),
Iyy = 4ma2(cos2 р — sin 2р + 3 sin2 </?),
Izz = 16ma2,
Ixy = 4ma2(— sin 2p + cos 2p~),
Угол p выбираем так, чтобы выполнялось условие 1ху = 0, например,
р = тг/8. Тогда
Ixx = 4та2(2 + V2), 1уу = 4та2{2 — \/2).
9.3. 1п = 1Дпрпк.
260
Ответы и решения
[9.4
(R — г)г3
9.4. Центр масс: точка на оси симметрии на расстоянии -------—
от центра шара влево. Тело — симметрический волчок. Относительно оси
симметрии 13 = 1^"'—-|(Л5 — г5); относительно перпендикулярных осей,
проходящих через центр масс,
h=h =
т \2(r5 _ 5) _ (Д-г)2г3Д3п
дэ_гз[5^ ) (R3 — г3) Г
9.5. Dik = Jnn)6ik - Ъ1гк (см. [2], § 99).
' п '
о
9.6. Центр масс расположен на оси полушара на расстоянии ^R от
О
центра шара (R — радиус шара). Момент инерции относительно любой из
осей, перпендикулярных к оси симметрии (т — масса полушара)
Т 2 ,,2 Л3,,\2 83 02
1 = zmR — ml -R) = .
о \о / 32U
При колебаниях центр масс может двигаться только по вертикали. Пусть
р — угол поворота полушара, z — высота центра масс над плоскостью, z =
= R— ^Rcos р. Функция Лагранжа системы L = \lp2 + \ mz2 — mgz, при
малых р имеем L = ^Ip2 — -^mgRp2. Отсюда частота малых колебаний
/120 9
Ш \ 83 ’ R'
9.1. Очевидно, скорость шарика после столкновения v может быть
направлена только вдоль или против V, т. е. v = vV/V. Скорость гантельки
после удара и направлена вдоль V, ее угловая скорость ш.
Законы сохранения импульса, энергии и момента импульса (относи-
тельно центра гантельки):
mV = mv + 2ти,
1 т-2 1 2 । 2 I 1 т 2
-mV = -mv + mu + -1ш ,
rnVr = rnvr + Iiv,
t 14 2
где m — масса шарика, г — его радиус, 1 = —тг — момент инерции
гантельки.
9.9] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 261
Отсюда
1
13
7
13
, _ 5 V
13 г '
9.8. В настоящее время расстояния от центра инерции системы Зем-
ля-Луна до Земли и Луны равны —R и —R соответственно, а
момент импульса системы
= J^ji + 1Ъ,
\М + т/ \M + mJ
j _ Mm д2
M + m ’
(1)
где Qji и Q3 - угловые скорости вращения Луны вокруг Земли и Земли
вокруг собственной оси (Пз/Пл ~ 28). При записи (1) мы считали Луну ма-
териальной точкой, а у Земли учитывали вращение вокруг центра инерции
и вокруг собственной оси (с моментом инерции I = ^Ма2).
В момент, когда сутки сравняются с месяцем, угловая скорость враще-
ния Земли ш совпадает с угловой скоростью Луны, расстояние от Земли до
Луны (по третьему закону Кеплера) станет равным Л(Пд/д;)2/3, а момент
импульса /О 4/з
И??) Н- <2>
Из (1) и (2) найдем уравнение для х = £-:
xtl + k-x)3 = к3^, (3)
i 2з
..,|П /._ ~ я е
Д 7Q3
Уравнение (3), или х(4,8—х)3 = 2,01, имеет два действительных корня:
xi « 1 /55 и ./л ~4. Первый из них отвечает будущему, второй — прошлому.
Соответственно в первом случае месяц станет равным 55 современным
суткам, во втором — был равен 6 часам. Расстояние от Земли до Луны
станет равным 1,677, а было — 2,6а.
(О более реалистических, чем рассмотренная, моделях эволюции си-
стемы Земля-Луна см., например, [24], гл. 2.)
2 5
9.9. а) Тело вращается с угловой скоростью yw; в тепло перешло
начальной кинетической энергии.
262
Ответы и решения
[9.9
б) Линия центров вращается с угловой скоростью вокруг направ-
ления момента М, составляющего с ней угол 45°; при этом тело вращается
5 19
вокруг линии центров с угловой скоростью —j-ш. В тепло перешло на-
14 2о
чальной кинетической энергии.
9.10 а. Д2 = т(Р±^).
9.10 б. Удобно воспользоваться подвижной системой координат с на-
чалом в точке А и осями х±, Х2, Хз, параллельными ребрам АВ = а,
AD = Ь, АА' = с параллелепипеда. В этой системе угловая скорость Q =
= Qn, где n = 1/1, 1 = (а, Ь, с), а момент импульса параллелепипеда
М = (/iQi, С-С- №), гДе
Л = |тте(&2 + с2), 12 = ^т(а2 + с2), /3 = + 62)
ООО
— его главные моменты инерции. Вектор М неподвижен относительно си-
стемы ОххХгХз, т. е. в лабораторной системе вращается с угловой скоро-
стью Q, так что М = [ОМ].
Пусть силы, действующие на параллелепипед в точках А и С, рав-
ны —f и f (силы тяжести мы не учитываем). Момент этих сил К = [If].
Уравнение движения М = К приводит к равенству
Q[nM] = Z[nf],
позволяющему определить fr — составляющую силы f, перпендикулярную
вектору п:
f± = уМ± = у{М - n(Mn)} =
= ^ («‘++c‘) <».», с) - j’, a
Составляющая силы f, параллельная диагонали AC', не может быть
найдена в модели, рассматривающей параллелепипед (и шарниры) как неде-
формируемое твердое тело. Легко видеть, что прилагая к параллелепипеду
в точках А и С силы _Vn и А’п, мы не повлияем на его движение.
Таким образом, силы, приложенные к шарнирам А и С, равны f и f,
f = Ь3, с3) + N'(a, Ь, с),
3Z2 V 1 v 7
9.12] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 263
где N' — неопределимая величина. (Мы ввели N' = N — (а4, 61. с4)).
В лабораторной системе вектор fx вращается с угловой скоростью Q.
9.11. Момент инерции эллипсоида (см. [1], § 32, задача 2е) относи-
тельно оси вращения 1$ = “^-а2; относительно любой перпендикулярной
5 Т М(а2 + с2)
ей оси, проходящей через центр масс, 11 = ------ (М — масса эллип-
соида).
Налетающая частица массы т М передает эллипсоиду импульс
Р = (Px,Py,Pz) = mv(0, —1, 0) и момент импульса М = mv(pi, 0, — рФ).
В системе, движущейся со скоростью —, найдем (см. [1], §33),
что эллипсоид будет вращаться вокруг полуоси с с угловой скоростью Из =
Mz 5mvp2 Л,
= -j— = — 2 , одновременно прецессируя вокруг направления М с
угловой скоростью ______
Q= |М| = 5mvy/p2+p2
к М(а2 + с2)
9.12. Обозначим угловую скорость вращения диска вокруг его оси ip,
угол между этой осью и направлением на север р. Угловая скорость диска
в инерциальной системе ш = Q + ф + ip, ее проекции: на ось диска из =
= ip + Q cos a cos р, на вертикаль = р + Q sin а, на горизонтальную ось,
перпендикулярную оси диска, ил? = И cos a sin р. Функция Лагранжа равна
кинетической энергии (учтем, что = I?}'.
L = sin а)2 + у 7) И2 cos2 a sin2 р + ^1з(1р + Q cos a: cos р)2.
Исследовать движение удобно, используя интегралы движения р^, и
Е = р-фф +pvp - L:
р^ = I3 (-0 + Q cos a cos р),
Е = }^1\{р2 — Q2 sin2 а) — ^ДИ2 cos2 а sin2 г
+ |/з(^2 — И2 cos2 а cos2 р).
Исключив ip, находим
где
Е = |Л<^2 + £АффЫ + const,
Кфф(^) = —ppcos a cos р + у-Z) И2 cos2 a cos2 р.
264 Ответы и решения [9.13
Ограничимся случаем ф Q. Тогда « 1зф,
£Лфф(^) ~ cosacosр.
Функция [Тэфф(9?) имеет минимум при р = 0 (т. е. в направлении на север).
Ось гирокомпаса колеблется около этого направления. Для малых колебаний
^эфф(у’) = ^T3-0Qcosa • р2 + const
и частота колебаний оси равна > /^Q-0 cos о. Например, для гироскопа,
V 21
делающего около 10 тысяч оборотов в минуту, период колебаний прибли-
/,
зительно полминуты (для -р- cos а ~ 1).
h
Каким образом можно учесть момент инерции рамки?
9.13. Удобно использовать подвижную систему координат с осью х,
проходящей через точку касания диска с поверхностью стола.
В этой системе
+ [<Д М] = К, (1)
где М — момент импульса волчка относительно неподвижной точки О, К —
момент действующих на него сил (ср. [1], § 36). Проекция (1) на ось х
Мх — рМу = Кх.
Очевидно, Му = 0, Кх = 0, так что Мх = const.
Пусть / | = /2 У /.з главные моменты инерции волчка относительно
точки О. В начальный момент
М = CII3, Мх = ill.t cos 9.
Когда проскальзывание прекратится, ось х станет мгновенной осью враще-
ния, т. е. угловая скорость волчка х будет направлена вдоль оси х, а Мх =
= I3W cos2 9 + Дщ sin2 9. Таким образом,
_ ПТ3 cos 9
1з cos2 9 + /1 sin2 9
Отметим, что после прекращения проскальзывания р = х tg 9.
9.15] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 265
9.14. Пусть а = Ь с — полуоси эллипсоида, R, 0, Ф — сферические
координаты центра инерции эллипсоида, в, р, -0 — эйлеровы углы, причем
ось хз движущейся системы направлена вдоль полуоси с. Кинетическая
энергия тела (см. [1], § 35)
Т = ^(Д2 + 77202 + 772Ф2 sin2 0) +
+ у (<р2 sin2 6* + 92) + у (pcos9 + У’)2,
где 71 = 1<2 = у (а2 + с2) и 7з = — моменты инерции эллипсоида
относительно осей Х3.
Предложенная потенциальная энергия взаимодействия эллипсоида с
кулоновским центром может быть преобразована к виду
утМ yMD 3cos2ar — 1
~R 4
(2)
где D = 2(71 — 13), а а — угол между радиусом-вектором R и осью Х3.
Единичный вектор еХз, задающий направление оси, имеет компоненты
еХз = (sin в sin р, — sin в cos р, cos#). Отсюда
cos а: =
= cos 9 cos 0 + sin 9 sin 0 sin(<£ — Ф).
(3)
R
Из (1), (2) и (3) получается окончательное выражение для функции Лагран-
жа L = Т - U.
9.15. Рассмотрим вначале влияние только Солнца. Начало системы
координат совместим с Солнцем, ось Х3 (см. обозначения предыдущей
задачи) направим перпендикулярно к плоскости орбиты Земли, ось Х3 — на
север.
Можно ожидать, что угловая скорость прецессии земной оси р мала
по сравнению со скоростями суточного ip и годичного Ф вращения Земли.
Поэтому в функции Лагранжа сохраним лишь члены первого порядка по р.
Кроме того, положим постоянными величины 77, 0 = тг/2 и Ф, причем
2тг .-) / 7?3'
— = 2тп —— = 1год,
ф у
(1)
266
Ответы и решения
[9.16
и усредним cos2 а за год: (cos2 а) = (1/2) sin2 0. После этого
L = У102 + Ъзфф2 + 2t/>0cos6») - 37М?Г^3—— sin2 0.
2 2 207?
Из сохранения= 13(ф+ф cosff) npv = 13ф cos 0 следует, что ф и 0 = 23°
сохраняются (с точностью до величин порядка ф). Уравнения движения по
углу 0
110 + 13фф sin в +
ЗуМ т(а2 — с2)
7 sin 0 cos 0 = 0
ЮТ?3
с учетом того, что 0 ~ 02 ~ ф2, дает
ЗуМ а2 - с2
ф = —
4Т?3-0
cos 0.
а2 — с2
Подставляя соотношение (1) и----—
а
2(а — с)
-------, получим
3 а — с Ф2
~ ~ 2 а /
COS 0 IV —16" в год.
2
Скорость прецессии, вызываемой Луной, получается из (2) заменой
массы Солнца М на массу Луны и R — расстоянием от Земли до Луны и
оказывается равной —31" в год. Полная скорость ф = —48" в год. Наблю-
даемая величина </>Эксп. = —50, 2" в год (см. [24], гл. 2).
Таким образом, земная ось вращается вокруг оси Х3 с периодом около
26 тысяч лет в направлении, противоположном вращению Земли вокруг
Солнца (так называемое предварение равноденствий).
9.16. „7.(1 1 \
М2 + (±- - |Wi = к2,
\13 11/
з-
при Т1 = 12
Л/i = В cos(wi + <у?), М2 = В sin(wi + <р), М3 = const,
ш = ( у— у- ]М3 (см. [1], § 36, а также ср. с задачей 10.20).
\1з 11/
9.18] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 267
9.17. Рассмотрим движение вокруг оси, близкой к оси инерции х±.
Из уравнении Эйлера (см. [1], формула (36.5))
Qi + = О
Л
получаем Qi = const с точностью до членов, пропорциональных
^2,з/^1 1- Два других уравнения при этом условии становятся линей-
ными относительно Q2 и Q3. Предполагая
^2,3 oc e, (1)
получаем для s уравнение
-*2-*3
При 1-2 < 11 < 1з или /3 < /, < уравнение (2) имеет действи-
тельные корни, что, согласно (1), соответствует неустойчивости вращения
относительно оси х±.
Если же момент инерции Д является наибольшим или наименьшим, то
уравнение (2) имеет мнимые корни, т. е. изменение Q2 и Q3 имеет характер
осцилляций и вращение вокруг оси устойчиво.
9.18. Движение шара определяется уравнениями
mv = mg + f, (1)
1Д = [af], (2)
v + [u?a] = 0, (3)
где т — масса шара, I = |та2 — его момент инерции, а — радиус шара,
О
проведенный в точку его касания с цилиндром, f — сила, приложенная к
шару в этой точке (сумма сил реакции и трения), v — скорость и ш - угловая
скорость шара.
Удобно воспользоваться цилиндрическими координатами с осью z, на-
правленной по оси цилиндра. При этом необходимо учитывать, что проек-
ция скорости изменения любого вектора А на подвижные оси определяется
формулами
(A)v = Av + [y>A]v = Av + фАг,
(A)r = Ar + [y>A]r = Ar - фAv
268
Ответы и решения
[9.19
(г = b — а, р, z — координаты центра шара, р = vv/r). Из уравнений
mvv = /v, Iuz=afv, vv + awz = 0
получаем
vv = const, U)z = const, fv = 0.
Из уравнений
mvz = -mg + fz, vz- awv = 0,
I(pjv + ршг) = -afz, 1(йг - p(jJv) = 0
следует
(Z + ma2)wv + Ip2wv = 0,
откуда
= Ccos(Qt + a), Q = < -—-—-p = л
у I + ma2 V 7 r
= _5gr_ + a),
2avv у 2
C
z = zq — sin(Qf + a).
Таким образом, шар совершает гармонические колебания по высоте, и в такт
этим колебаниям изменяется радиальная компонента угловой скорости.
9.19. а) В качестве обобщенных координат выбираем координаты
X, Y центра и эйлеровы углы р, в, ф ([1], §35). Ось Z вертикальна, по-
движная ось хз направлена по оси диска. Линия пересечения плоскости
диска с плоскостью XY (линия узлов) составляет угол р с осью X. Функ-
ция Лагранжа
L = ^(Х2 + У2 + а202 cos2 О') + |Zi(02 + ф2 sin2 #) +
+ ^7з(^ cos 0 + У>)2 — mgasvaO,
где 71 = 1-2 и Тз — моменты инерции диска относительно осей xi, Х2, Хз,
а — радиус, т — масса диска (высота центра диска над плоскостью Z =
= asin$).
9.19] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 269
Интегралами движения являются обобщенные импульсы
тХ = рх, mY = ру,
I-pp sin2 в + I3 cos в (ф cos 9 + ?/>)= pv = Mz, (1)
13{ф cos 9 + -0) =Рф = Х13
и энергия. В системе координат, движущейся с постоянной скоростью
(X, Y, 0), центр диска движется только в вертикальном направлении. Из (1)
находим
и, подставляя в интеграл энергии, получаем
1 / 9 9 , XI? (Mz — XI3 cos 9)2 Л ч
Е = Mli + rna2 cos2 9)92 + ~г + -----------------k rriga sin 9. (3)
2 М3 27i sin 9
Отсюда через квадратуры определяется зависимость 9(t), а затем с помо-
щью (2) зависимость <p(t), ф(1).
Угол наклона диска совершает колебания, и в такт с ними изменяются
скорости прецессии ф и вращения вокруг оси ф. Уравнения (2), (3) подобны
уравнениям движения тяжелого симметрического волчка (см., например,
уравнения (4)—(7) из [1], § 35, задача 1).
Качение диска устойчиво при > mgali/13, верчение — при
> mga/Ii.
б) В отсутствие проскальзывания на диск, кроме сил тяжести mg и
реакции опоры R, действует еще сила трения f.
Уравнение
М — [aR] = [af]
удобно записать в проекциях на оси Z, х3 и £ (ось £ — линия узлов)1:
Мz = fr,a cos 9, M3 = fea, (4)
d dL dL £ ' с i
—г—— =MSin0. (5)
dt qq d9 1 ’
В отсутствие силы трения эти уравнения представляют собой уравнения Лагранжа для
углов Эйлера.
270 Ответы и решения [9.19
Здесь а — вектор, проведенный из центра диска в точку его соприкосновения
с плоскостью.
Запишем уравнение
mV — f | R. mg
в проекциях на оси £ и т], где ось т] горизонтальна и перпендикулярна оси £
(см. формулу (4) предыдущей задачи):
А = m(V)5 = m(V5 + фУл),
(6)
Л = = m(Vv - фУф).
Условие качения без проскальзывания V + [Qa] = 0 приводит к равенствам
Vj = — а(ф + ф cos0), Vv = а9. (7)
Подставляя (1), (6), (7) в (4), (5), получим систему уравнений относитель-
но углов Эйлера. Движение без проскальзывания и без отрыва диска от
плоскости возможно, если
|/|<дт(5 + Х), g + Z>0
(// — коэффициент трения).
Полагая 9 = 0, получаем ф = ф = 0, причем в, ф и ф связаны соотно-
шением
1'3ффф cos 9 + ф) shill — Vi ф2 sin 9 cos 9 + тда cos 0 = 0 (8)
(здесь и далее 7( 3 = 7цз + та2). Центр диска, двигаясь с постоянной по
величине скоростью V = а|П3 = а\ф + ф cos 91, описывает окружность
радиуса R = У/\ф\. Условия (8) можно представить также в виде
I3RV2 = \RaV2 cos9 + mga2R2 ctg 9\.
В частности, если масса диска сосредоточена в его центре (R = 1з = 0), то
получаем элементарное соотношение: V2 = gR\ ctg#|.
Гироскопические эффекты, возникающие при отличных от нуля 7i;3,
могут оказаться весьма значительными. Например, для однородного диска
(271 = 73 = |та2) в случае II» </ получаем |v2 = gR\ ctg9\; для обруча
(271 = 73 = та2) в том же случае 2V2 = gR\ ctg 0|.
9.19] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 271
При качении диска в вертикальном положении
0 = Д = О, ф = Q3 = const. (9)
Для исследования устойчивости такого движения положим в уравнениях (1),
(4)-(7)
0 = ^ - Д, /3 < 1, ф ~ /3 ~ (З£13 « О3. ф ~ Д ~ Q3 < фО,3
и сохраним только члены первого порядка малости. Получаем
Mz = 11ф + /3П3Д = const, Q3 = const,
I'-фЗ + 13^зф — mgaft = О,
откуда
/)Д + (- тда\ф = T/Mz^3.
\ 11 /11
Если
2 ктда
(Ю)
(П)
то при отклонении угла 0 от тг/2 возникают малые колебания /3 и ф:
U£l3Mz
/3 = —-—з— + До cos(wt + 5),
mgaMz ФФФзФо . , . .
₽ = -------— ™М + «),
где^ = 1^-ДГ
Направление движения диска также испытывает малые колебания,
причем диск движется не вблизи прямой, а вблизи окружности радиуса
а£1з12ш2 / mgaMz
Таким образом, наличие малого отклонения начальных условии от (9)
может привести либо к малым колебаниям вблизи «равновесного» движения
по прямой (если Mz = 0, /3$ ф 0) либо к новому «равновесному» движению
(если Mz ф 0, До = 0).
Если неравенство (11) не выполнено, то движение неустойчиво.
272
Ответы и решения
[9.19
Можно сказать, что движение происходит с в = const, если в «про-
странстве» в, ф, -0 точка лежит на поверхности, определяемой уравнени-
ем (8). Нетрудно убедиться, что при условии (11) движение устойчиво от-
носительно возмущений, выводящих точку (в, ф, ф) с поверхности (8) и
безразлично относительно ее перемещений по этой поверхности. Аналогич-
но обстоит дело и с устойчивостью движения диска на гладкой плоскости
(нужно только заменить Д 3 и Туз).
Верчение диска вокруг вертикального диаметра устойчиво, если
> тда/1[.
в) Отсутствие вращения вокруг вертикальной оси (верчения) приводит
к условию
= 9? + "0 cos$ = О- (12)
На диск в этом случае действует добавочный «момент трения верчения» N,
направленный вертикально, и вместо (4) получаем
Mz = Да cos 6* + TV, М3 = f^a + N cosd. (13)
Интегрирование уравнений движения относительно легко сводится к квад-
ратурам (в отличие от уравнений пункта б)).
Движение с постоянным углом наклона возможно, если, кроме усло-
вия (8), выполняется и условие (12), т. е. ф и ф определяются углом в. В этом
случае
,, । . „ mqa3sm9
R = a sin6»tg0 , V2 = ----------—.
7'-7ictg20
Качение диска в вертикальном положении устойчиво при > тда/1'3.
г) При наличии малого наклона плоскости к функции Лагранжа следует
добавить член 8L = —тдаХ (ось X направлена вверх вдоль плоскости,
ось Y горизонтальна, ось Z перпендикулярна плоскости). Полагая в (1),
(4)-(7)
9 = - ф, ф < 1, ф ~ ф < ГД, ф ~ ф ~ &z < Ф^г
и добавляя вклад SL, получаем
1'1 Ф 8- (А — 1з)^гФ — 1'з^гф — тдаф = тдаа sin ГДЛ
1'зф + (Д + 2ma2')Clz/3 = —тдаа cos £lzt,
9.20] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 273
откуда
0 = — f2 + —1_ m^a'\acosQ.zt, /3 = —2a:sinQг^•
V 4
Подставляя (7) и в, р = £lzt, ip в
X = 14 cos р — Vn sin р, Y = Vj sin p + Vq cos p
и усредняя по периоду вращения, находим
/v\ о iv\ (л । ,llf'2 । т9а \ о
(Х)=0, 00 = -I 1 + ~х~ + 2 IrnQz,
\ 13 zi3\lz'
т. е. диск смещается, не теряя высоты.
9.20. а) Положение шара определяется координатами его центра масс
X, Y, Z и углами Эйлера 0, р, ip (см. [1], § 35), которые задают положения
главных осей инерции. Ось Z направлена вверх, ось х3 — от центра масс
к геометрическому центру шара, для которого х3 = Ь, радиус шара а. Ис-
следование движения шара проводится так же, как и в предыдущей задаче.
Если Mz М3, то С7Эфф(0) имеет минимум при 0q 0, тг и при
энергии Е = Пэфф(#о) происходит устойчивое вращение шара с постоянным
углом 0 = 0q, при этом Z = а — 6 cos 4, • Точка шара, которая в данный
момент соприкасается с плоскостью, имеет скорость v = (bp + ачр) sin 4),
направленную вдоль линии узлов.
Учтем теперь малую силу сухого трения f. Она направлена в сторону,
противоположную v, и приведет к изменению угла 0q. При г 4 0
Mz = =Ffbsin0o, M3 = pfasin0o, (1)
откуда
Mza — M3b = С = const. (2)
Для быстро вращающегося шара М « М3, Мz ~ М cos 0с, или с учетом (2)
M(acos#o — Ь) = С. (3)
Отсюда видно, что при уменьшении момента импульса из-за трения угол 4,
должен уменьшаться, если a cos 0q — b > 0, и увеличиваться, если a cos 0q —
— b < 0. При этом в силу (1), (3) 0q = —fb/aC (a cosOo — b)2.
274
Ответы и решения
[9.21
Центр масс медленно движется вдоль оси Z, а в плоскости XY пе-
ременная сила трения fx = —f cos ср, fy = — f sin ср вызывает вращение
центра масс по малой окружности с угловой скоростью ср. Конечно, да-
же малая сила трения приведет со временем к тому, что проскальзывание
исчезнет и скорость нижней точки шара станет равной нулю.
б) Пусть Ru = (X + sin 6* sin 99, Y — b sin 0 cos 99 a) — коорди-
наты геометрического центра шара; Q = (£lx, &Y, ^z) = (#cos(^ +
+ Ц sin 9 sin cp, 9 sin ср — Ц sin 9 cos ср, ср + Ц cos 9) — угловая скорость вра-
щения шара и а = (0, 0, —а) — радиус, проведенный из геометрического
центра шара в точку касания. Тогда условие качения шара без проскальзы-
вания R u + [Qa] = 0 представляет собой неголономную связь:
X = 9(а — b cos 9) sin ср — (оЦ + bcp) sin 9 cos ср,
Y = —9(а — b cos 9) cos ср — (оЦ + bcp) sin 9 sin ср.
Уравнения движения
тХ = Ai, т¥ = Аг, (5)
Mz = (Ai cos 9? + А2 sin <92)6 sin 0, (6)
М3 = (Ai cos</? + A2 sin</?)asin0, (7)
— xp) = (—Ai sin ср + Аг cos cp)(a — bcos#) (8)
ut Qff OU
содержат в правых частях силы трения и моменты этих сил. Множители
Лагранжа Ai, Аг с помощью условий связи (4) могут быть выражены через
углы Эйлера. Так, проекции силы трения на линию узлов /ц и на перпен-
дикулярное направление f± равны
/ц = т9ср(а — b cos 9) — 8*п > (9)
f± = —т^[9(а — bcos#)] — тср(а/ф + bcp) sin$. (10)
Заметим, что (6), (7) совпадут с (1), если в уравнениях (1) заменить силу
сухого трения на силу трения покоя /ц (9). Как и раньше, Mza — М$Ь =
= С является интегралом движения (2).
9.21. При решении задачи необходимо учесть, что высота тела над
землей h мала по сравнению с радиусом Земли R и центробежное ускоре-
ние RYl2 (Q — угловая скорость Земли) мало по сравнению с ускорением
9.21] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 275
свободного падения на поверхности Земли д. Таким образом, в задаче есть
два малых параметра:
£1 = h/R < £2 = R&2/д ~ 0,01.
В уравнении движения (у — гравитационная постоянная, М — масса Земли)
f = -7A7|R + r4 + 2[vQ] + [Q[R + г, Q]]
|R + г|б
разложим первое слагаемое в ряд по малому параметру r/R < £i:
f = g + 2[vQ] + gi + [Q[rQ]], r(0) = h, v(0) = 0, (2)
g = -7M§ + [Q[RQ]], gi = ^f (3R^g - £) [1 + O(ei)].
/г К К Я'/
Кориолисово ускорение 2[vQ] ~ gtCl ~ Де^д и д\ ~ е^д имеют первый
порядок малости, a [Q[rf2]] ~ £1625 — второй.
Вертикаль h антипараллельна вектору g и составляет малый угол а =
= £2 sin A cos А с направлением вектора R (здесь А — северная широта
(геоцентрическая) — угол между плоскостью экватора и вектором R). Вы-
бираем ось z по вертикали вверх, ось х — по меридиану к югу, ось у — по
широте к востоку, тогда
g = (0, 0, —р), R = _R(sin а, 0, cos а), Q = Q(— cos(a + А), 0, sin(a: + А))
В нулевом приближении частица движется с ускорением — д вдоль оси z.
В первом приближении кориолисово ускорение приводит лишь к отклоне-
нию на восток, причем величина смещения у лу£1£2 gt2 ~ t/£i£2 h. Уско-
рение g | имеет вдоль z составляющие ~ е±д, а вдоль х и у — лишь второго
порядка, поэтому в первом приближении влияние g| приведет лишь к уве-
личению времени падения с высоты h на величину ~ £1 y/2h/g. Отклонение
к югу, таким образом, возникает лишь во втором порядке. Запишем урав-
нение (2) в проекциях на выбранные оси, удерживая для компонент z, у, х
слагаемые нулевого, первого и второго порядков малости соответственно:
z = — д, у = —2zficosA,
х = 2//Q sin А + g(3z sin a — x)/R + Q2z sin A cos A.
276
Ответы и решения
[9.22
Решая методом последовательных приближений, найдем
z = h — ^gt2, y=^gt3QcosA, х = 2ht2Q.2 sin A cos A.
о
Подставляя время падения t = y/2h/д, найдем отклонения к востоку и югу
У = /icosA, х = 2eie2ft.sin2A.
О
9.22. Воспользуемся системой отсчета, вращающейся вместе с сосу-
дом; ось х направим вдоль АВ, начало координат поместим в неподвижной
точке — пересечении осей АВ и CD. Угловая скорость системы Q = +
+о>2 = (w2, wicosw2t, — wi sin ujqA). На каждую частицу жидкости массы т
в этой системе отсчета наряду с силой тяжести тд действуют силы инер-
ции (см. [1], § 39): сила Кориолиса 2m[vQ], центробежная сила
Q m[f2r]2
di 2
и
сила m[rf2], где Q — скорость изменения вектора Q в неподвижной системе
отсчета.
При затвердевании смолы скорости частиц (относительно сосуда) обра-
щаются в нуль и сила Кориолиса исчезает. Остальные три слагаемые нужно
усреднить по периодам вращения:
(mg) = —mp((coswii), (sinwitsinw2t), (sinwitcosw2t)) = 0,
если wi w2,
(m[rQ]( = m[r(Q)], (Q) = ([u>iu>2]) = [(u>i)u>2] = 0.
Наконец,
/_3_mro i2\ _ m dU
\ dr 2 / 2 3r ’
где
U = ([Qr]2) = (Q2r2 - (Qr)2) =
= (W2 + X>2)r2 — ((xX>2 + У^1 COS X>2t — SHI W2t)2) = (-Q
// ,2 x
2 2 , (Ш1 , 2 \ / 2 , 2\
— ix^x + (^ 2 A x>2j(y + Z ).
Поверхность жидкости расположится по линии уровня U(г) = const. Смола
затвердеет в форме эллипсоида вращения.
Что изменится в этом результате при = щ2?
При fl 0 и ил О из (1| получается, очевидно, неправильное реше-
ние. Почему?
9.24] § 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 277
9.23. _ Лц Г________________________dr__________
V 2 j ув + MQ - (7Эфф’
v У 2 J ув + MQ - [7Эфф’
где Е — энергия, М — момент импульса во вращающейся системе отсчета,
[Тэфф = U (г) 4—Напомним, что Е = Eq — MCI, М = Mq, где Eq и
2тг2
Mq — энергия и момент импульса в инерциальной системе.
Интересно, что центробежная потенциальная энергия —тС12г2/2 не
ВХОДИТ В [Тэфф.
9.24. В системе координат, связанной с рамкой, функция Лагранжа
данной задачи совпадает с рассмотренной в задаче 6.36 (при z = 0 и с пара-
(У* \
к±р 4—J — Cl2). При > 0 движение
частицы совпадает с движением анизотропного осциллятора в магнитном
поле ДС = — 2тсС1/е. Траектория частицы для случая wi = изображе-
на на рис. 97 к задаче 2.32. В частности, если wi = х2 = 0, движение
частицы совпадает с движением свободной частицы в магнитном поле х =
= xq + a cos хуД, у = уо — a sin x^t, т. е. частица равномерно движется по
окружности радиуса а с центром в точке (xq, у0). Интересно разобраться,
какому движению частиц в неподвижной системе координат соответствует
последний случай, в частности при а = 0 или при xq = уо = 0.
Если центробежная сила превысит силы возвращающие, действующие
со стороны обеих пружинок, х2 2 < 0, то частица по-прежнему совершает
малые колебания. Хотя потенциальная энергия имеет при х = у = 0 мак-
симум, устойчивость этого положения равновесия обеспечивается силой
Кориолиса.
Если же хт и х2 имеют разные знаки (т. е. х = у = 0 — седловая точка
для потенциальной энергии), то это положение равновесия неустойчиво.
Интересно сопоставить эти результаты с ответом задачи 5.4. В системе
отсчета, вращающейся с угловой скоростью Cl, точка Tq, ро лежит на гребне
«потенциального цирка»; потенциальная энергия U = —22- — "1<х г име-
г 2
ет максимум относительно смещения в направлении радиуса-вектора и не
изменяется при смещении в азимутальном направлении. В этом случае од-
но из нормальных колебаний происходит с частотой ш, частота же другого
278
Ответы и решения
[9.25
обращается в нуль: положение равновесия безразлично относительно неко-
торых возмущений (например, изменения
9.25. Функция Лагранжа
L = у (v + [u?r])2 + mgr =
Для малых колебаний можно опустить z, тогда уравнения движения
х — 2шу + — х>2^х = О,
у + 2шх + = 0.
Ищем решение в виде
х = Aeim, у = Beim
и для Q2 получаем уравнение
Q4 (£ + £ + 2w2\Q2+ 2W5 2\ =0.
\и Ь / \и /\Ь /
Легко убедиться, что корни его действительны. Однако при
один из корней О2 < 0, так что соответствующее движение
х = Aie'Q1lf + Л2е-1^14,
у = + B2e~lQ1|t
приводит к уходу частицы от начала координат. Это и означает, что ниж-
нее положение частицы неустойчиво. Считая для определенности а > Ь,
получаем область неустойчивости
9.26] § 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 279
Обратим внимание на то, что при w2 > g/b движение устойчиво, хотя
потенциальная энергия во вращающейся системе отсчета
тт m ( 2 9\ 2 m ( 2 9\ 2
U=~~2\lJ ~ а)х ~ь)У
представляет не потенциальную яму, а потенциальный горб. Устойчивость
в этом случае обеспечивается действием сил Кориолиса.
9.26. а) Потенциальная энергия (включая центробежную)
тт/ . , , Л2 ту2х2
U(x) = к(х — а)-----£—.
Условие U'(xq) = 0 определяет положение равновесия
2ка
2к — ту2
Интересно, что при частоте вращения у, большей частоты собственных ко-
лебаний частицы у/2к/т, оказывается xq < 0, а при ту2 2к положение
равновесия близко к оси вращения.
Знак U"(xo) = 2к — ту2 определяет устойчивость положения равно-
весия: при ту2 < 2к равновесие устойчиво; при ту2 > 2к — неустойчиво.
б) Очевидно, положение равновесия такое же, как в пункте а). Для ис-
следования устойчивости рассмотрим потенциальную энергию при малых
смещениях из положения равновесия:
у. =) = UPy. »,»)+kf + ^ +
где
ki = 2к — my2,
f + Цх0 - a) f - Цх0 - a)
I -|- ./'() — (2 I — Xq -|- (2
-my2 + k3.
Сравнение с задачей 9.24 приводит к заключению, что равновесие неустой-
чиво лишь в том случае, если к± и к^ имеют разные знаки. В частности, при
my2 У> 2k + 2f /I равновесие устойчиво, в отличие от результатов пункта а).
Если же kikz < 0, то отклонение частицы от точки (xq, 0, 0) нарастает со
временем (пока не станет существенным воздействие стенок рамки, которое
мы не рассматриваем).
280
Ответы и решения
[9.27
9.27. Воспользуемся декартовыми координатами во вращающейся
системе отсчета. Начало координат поместим в центр масс, система враща-
ется с угловой скоростью ш вокруг оси z, а звезды расположены на оси х
(рис. 152).
Пусть расстояния от звезд до центра масс
Ш2 1<Х
«12 = =F-----,----, где mi 2 — массы звезд, а —
mi + т-2
расстояние между ними. Из равенства
Н1|Ш2 2 7"11W
---------асе = --------—
"И + т-2 а2
(-у — гравитационная постоянная) получаем
2 "11 + т2
ш ----------з---'
а3
Потенциальная энергия тела массы т (включая центробежную энер-
гию)
Щх.у, Z) = -^-^ + ^ + y^
где п,2 — расстояние до звезд, г = (х, у, z) — радиус-вектор тела. Положе-
dU
определяется условием = 0, или
ние равновесия тела
ди (mi т2 дх з + з mi+m2\ (mitti , т2а2\ „ \х 7m + — 0, а6 ' \ г у
ди (mi . т2 ду г3 "ll+"l2\ п 3 у = °> а3 '
dU (mi t "12 ' dz + Г3 , )z = 0.
Отсюда z = 0 и (при у 0) и = г2 = а.
Таким образом, звезды и точка равновесия находятся в вершинах пра-
вильного треугольника. Есть две такие точки, так называемые точки Ла-
гранжа, Xq — «1 = «2 — ХО = УО = ±—Zq = 0.
9.28] §9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 281
Вблизи точек Лагранжа
U(xQ + Xi, Уо + У1, Z0 + 21) =
= U(x(p уо, 2q) — ^тш2х2 — 2maxpyi — ^mw2y2 + ^mco2z2,
о о 2
а = _ т2у
Движение в направлении z, очевидно, устойчиво. Уравнения движения
в плоскости х, у Q .)
ii — ^<лГХ1 — 2ayi — 2<xyi = О,
9 2
yi — -w yi — 2ах\ + 2wii = 0.
Подстановка х = Аегт, у = ВегСи приводит к уравнению для П:
О1 - сэ2П2 + Цш4 - 4а2 = 0.
16
Его корни действительны при 64а2 > 23w4, т. е. при
(mi + m2)2 > 27mim.2 .
Это условие выполняется, если масса одной звезды больше другой не менее
чем в 25 раз. В этом случае движение тел в окрестности точек Лагранжа
устойчиво. Устойчивость движения обеспечивается силами Кориолиса (ср.
с задачей 9.25).
dU
На оси х есть еще три точки, в которых —— = 0, однако движение
r Or
вблизи них неустойчиво.
Для системы Солнце-Юпитер в точках Лагранжа наблюдаются асте-
роиды.
9.28. Будем рассматривать колебания в системе отсчета, вращающей-
ся вместе с молекулой. Функция Лагранжа получается из (1) задачи 6.49
заменой ио на ио + [12, rOQ + uo], а угловая скорость вращения системы
отсчета $2 выбирается равной угловой скорости вращения молекулы в от-
сутствие колебаний J2m (С r20 = М. Условие (3) задачи 6.49, эквивалентное
требованию yi + уз + Уз = 0, отсутствует. Введя <74 = -(yi + У2 + Уз) и
пренебрегая квадратичными по $2 членами1, можем представить функцию
'Учет этих поправок привел бы к заменам:
z^z(i+"^Y
6 \ 2к / \ к J
282
Ответы и решения
[10.1
Лагранжа в виде
L = у (<7i + 2<?2 + 2<?j + <?2) — у (<?2 + <32 + ql) +
+ mCl^qi ~ qiqi) + |тО(<?2<й - <й<й)-
Уравнения движения приводят к нормальным колебаниям
= Ai cos(wii + pi), = 2 у- Ai sin(wit + pi),
<i = 0, =
<^2,3) = А2,з cos(w2i3t + 9?2,з), <?32’3) = ±A2j3 sin(w2i3i + 953,3),
(2,3) _ n _ / 3k
°' "Mb'
9(4) = 2§C, ^=0, q^=Ct + D.
Вместо условия (3) задачи 6.49 получаем
У^{[гаОйа] + 2Q(ra0ua)} = 0,
а
или <74 — 2О</| = 0, что соответствует выбору С = 0. Постоянную D,
определяющую начальный поворот молекулы относительно вращающейся
системы отсчета, также удобно положить равной нулю.
Как выглядят колебания, если во вращающейся системе отклонения
в начальный момент имеют вид, изображенный на рис. 133, а начальные
скорости равны нулю?
§ 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
10.1. Пусть е — вектор бесконечно малого смещения; при этом
Га - Га е, ра < р) Ра,
Я(га, Ра) =Я«, р^).
Отсюда У) = 0. Используя уравнение Гамильтона, получаем:
а ОГа
P = = Р = const.
а а
10.5]
§10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
283
При бесконечно малом повороте 5tp
га г'а = га + [5<рга], Ра — Ра = Ра - [5<рра],
я(га, Ра) = я«, Р;) =0 =
= + г[5<рра]} = -^52 ^[ðГ]’
ИЛИ
м = J^[rapa] = const.
а
10.2.
И = Ре, (Ру - РФ cosg)2
2/i 2/i sin2 0 + 2/3'
10.3. Н = —----—— + + аж3. В частности, для малых колебаний
2П + 2/Ы 2
(|аж| <д2, \{3х\ 1)
/г>2 о о
тт Р I Ш X , 3 Q 2 I О/э2 2 2
Н = — А-----------------Н ах — рхр + 2р х р — ...,
и с точностью до линейных по а, (3 членов добавка к функции Гамильто-
на гармонического осциллятора связана с добавкой к функции Лагранжа
соотношением 5Н = —5L (ср. [1], §40).
10.4 а. х = a cos(wt + </?), р = —сера sin(wt + (/?), где w = (1 + 2ABq)wq,
г? _ 1, ,2„2
'-о — 2Шоа
10.4 6. р = po + Ft, х = жо + jHVPo + Ft—y/po). Данная функция Га-
мильтона приближенно описывает движение заряженного вихревого кольца
в жидком гелии при наличии однородного электрического поля вдоль оси х
[32]. Характерная особенность такого движения — импульс вихря растет со
временем, а скорость его движения падает х = Д / (2 VPo + Ft).
ins . _ ср . _ ср дп _ ||
10.5. г - пр, р_^2^, Р - |р|-
Предложенная функция Гамильтона описывает распространение света
в прозрачной среде с показателем преломления п в приближении геометри-
ческой оптики (см. [3], § 65). «Частицей» является волновой пакет, r(t) есть
284
Ответы и решения
[10.6
закон именно его движения; г — это групповая скорость, а вектор р, пер-
пендикулярный к волновому фронту, определяет волновой вектор.
Траектория при п(г) = ах
x = C1ch(^r+C2\
\Ci /
где С\, Со определяются начальной и конечной точками траектории.
10.6. a) L = '"(V2 а)2; б) L = 0;
подобные «частицы» нельзя описывать с помощью функции Лагранжа
(см. [2], §53).
10.7. Данный векторный потенциал определяет магнитное поле Ж,
направленное параллельно оси z.
Функция Гамильтона
Щх, у, z, рх, ру, pz) = 2т +2^\Ру~ с^х)
Так как Н не зависит от у и z, имеем ру = const, pz = const. Представив Н
в виде Н = + РР^-{х - xq)2 + где ш х0 = видим, что
2т 2 2т тс e-fr
для ж, р.х получается такая же функция Гамильтона, как для гармонического
осциллятора. Поэтому
х = a cos(wt + р) + xq, Рх = —mwa sin(wt + р).
Для определения у и z используем уравнения
ЭТТ 1 / & up \ + । А Pz
У = т (Ру - -7.V-I = -wacosfwt + р), Z = —,
Гг'п 11 L \ & С / 4 ' 11L
UPy \ /
откуда
у = —asin(wt + р) + у0, Z = ^t + ZQ.
Частица движется по винтовой линии с осью, параллельной Ж. Обобщен-
ный импульс ру определяет расстояние этой оси от плоскости yz.
10.8]
§10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
285
10.8. Магнитное поле направлено по оси z и равно 2hx. Движение
по оси z равномерное. Отвлекаясь от него, рассмотрим движение в плоско-
сти ху. Функция Гамильтона
не зависит от у и t. Поэтому интегралами движения
являются обобщенный импульс ру и энергия Е:
• eh 2
ру = ту+ —х ,
Е=^ + иэМ, U^x) = ^py-^x2)2.
Для ру < 0 график СДфф(а:) изображен на
рис. 153, а примерный вид траектории —на рис. 154.
Следует учесть, что скорость
. _ IPy I eh 2
У ~ т тсх
всюду отрицательна и колеблется вблизи значения ру/т.
Для ру > 0 график
U3M = ^^-x^, *о = а/¥
2т(г V е/г
изображен на рис. 155. Скорость
286
Ответы и решения
[10.8
при любом значении Е принимает как положительные, так и отрицательные
значения. Примерный вид траекторий изображен на рис. 156, случаям а-д
соответствуют уменьшающиеся значения энергии.
Рис. 156
<?) е« ит
При больших энергиях Е Um = р2/2т размах колебаний по оси х
велик и среднее за период значение (х~) больше Хц. Поэтому среднее зна-
чение
Ш
отрицательно (см. рис. 156, а). При уменьшении энергии (у) возрастает до
нуля (рис. 156,6), а затем становится положительным (рис. 156, в). При
энергии Е = Um частица, имеющая в начальный момент х > ;/'о и х < 0,
асимптотически приближается к оси у (рис. 156,г).
Наконец, при Е < Um частица движется либо в области вблизи (—я?о),
либо в области вблизи s:q (рис. 156,3).
Можно показать, что (у) при этом больше нуля. При д: — xq| С ./'о
частица движется по окружности, центр которой медленно дрейфует вдоль
10.9]
§10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона
287
оси у. Чтобы найти скорость дрейфа, необходимо при вычислении (х2)
учитывать первые ангармонические поправки
х = xq + a cos cot
,,2
-—(3 — cos 2wt),
4а:0
что дает
(у) =
сЕ
ЧКх^е
(ср. с задачей 8.14).
10.9. Введя координаты центра масс R и относительного движения г
(ср. с задачами 2.25 и 2.26), представляем функцию Лагранжа в виде
L=fk2 + ^[^]R + Ll(r, r) + ^[^R]r, (1)
М = mi + m2,
где
^(r, г) = Шг2 +A[jTr]r+^ (W =
v ' 2 2сL J r \ т2 + mi J
(m — приведенная масса).
Последнее слагаемое в (1) перепишем в виде
Отбрасывая полную производную по времени, имеем
/. ’'li2. г),
z L
Эта функция Лагранжа не зависит явно от R, поэтому сохраняется обоб-
щенный импульс
Р = ЛБ- = + 7 W = const • (2)
C/JA, с
Функция Гамильтона системы имеет вид
Я = -Up - |[^r]V - - Я
2М \ с / 2т \ 2сL Ч г
288
Ответы и решения
[10.10
Отсюда с учетом (2) видно, что частица массы т движется в однородном
магнитном поле Ж' и в силовом поле с потенциальной энергией
2 1 / \ 2
' 2т \ с )
Если направить ось z по Ж, то
U = —уг + ^тсе2[(х — а)2 + (у — &)2] + const,
Су/т^т-2 ’
сРх
еЖ' еЖ'
После нахождения r(t) закон движения центра масс определяется из урав-
нения (2)
Me
Ж / r(t) dt
+ Ro-
10.10.
p = p0 + e<*>t, s(p) - eSr = E0,
(r - r0)e<*> = e(p0 + eSt) - e(p0).
Здесь ru,po и го постоянные.
10.11.
p = eS + | [v<^] -1
10.12. a) e(p) = E, рж = const, где — проекция импульса на
направление магнитного поля Ж. Траектория в импульсном пространстве
определяется линией пересечения двух поверхностей: е(р) = Е и р.^ =
= const.
б) Из уравнения движения р = | [гЖ видно, что проекция траектории
электрона на плоскость, перпендикулярную к магнитному полю Ж, полу-
чается из траектории в импульсном пространстве поворотом на угол тг/2
вокруг Ж и изменением масштаба в —раз.
еЖ
'Подробнее о движении электронов в металле (задачи 10.9-10.13) см., например, [18], [25],
§4.
10.17] §10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 289
10.13.
s=/dEfwr T=-a^
Emin
где vi — ортогональная к Ж составляющая вектора
10.14. а) У ' ('-ijkXk. У ' £jjkPk-> У '^ijk-M-k-
к к к
б) ab,
{аМ, Ьг{ = {^3 ^^,^3Х3 } = 53аг^{^г> хзУ =
г 3 ^3
= -^aibjeijkXk = — [ab]r, [ab]M.
ijk
в) 0, nr/-"2. 2а (аг).
10.15. {Aj, Aj} = — eyfeAfe, {Aj, А4} = 0, здесь г, j, к принима-
к
ют значения 1, 2, 3 (ср. с задачей 10.14 а).
{AZi, Ар. { У ' Cjj/A/fc У ' 6-ikl Ajj,
I I
{Aj/c, A,/} = fiikMij Г djjiA-kk A Jfc/AZij,
где Мы =ркХ1 -piXk
10.17. При повороте системы как целого на бесконечно малый угол s
вокруг оси z изменение 5р любой функции координат и импульсов в первом
порядке по s равно
6/р = р(х—еу, у + ex, z, рх-еру, ру + ерх, pz) - р(х, у, z, рх, ру, pz) =
( дер дер др др \ г, г т
= £[~г~У + п~х~ T~Pv + А-Рх = e{Mz, <?}.
\ (УХ ду C/Рх
ieijk ~ полностью антисимметричный тензор,
6123 — 6231 — 6321 — 1, 6132 = 6321 — 6213 = ~1?
остальные компоненты равны нулю.
290
Ответы и решения
[10.18
Если tp — скаляр, то его изменение при повороте равно нулю. Поэтому
{</?, Mz} = 0. Если <р = fx — компонента векторной функции, то ее изме-
нение при повороте §fx = —efy, значит,
{Mz, fx} = —fy или {Mz, f} = [nf]
(ср. [1], § 42, задачи 3,4). Чему равны скобки Пуассона {Mz, Тхх}, где Тхх —
компонента тензорной функции?
10.18. [f, аМ] = [f, a], {fM, IM} = [fl]M + £MtMk{ft, lk}.
ik
10.19. Полагая во второй формуле предыдущей задачи f = ер и
1 = ер, где ер и ер — орты осей ([ и £ в подвижной системе координат,
получим
{Мр, Мр} = +му. (1)
Это равенство отличается знаком правой части от аналогичного соотноше-
ния для проекций момента на оси неподвижной системы координат
{Mz, Мх} = -Му.
(2)
Рис. 157
Как было показано в задаче 10.17 (см. также [4], § 8.7), скобки Пуассона (2)
характеризуют изменение компоненты Мх при повороте системы как целого
на бесконечно малый угол е (рис. 157, а) 6МХ = e{Mz, Мх} = —еМу.
Скобки Пуассона (1), равные
{е^М, е^М} = {М^е^}М,
10.21] §10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 291
характеризуют изменение проекции неподвижного вектора М на ось е< при
бесконечно малом повороте подвижной системы координат вокруг оси £
(рис. 157,5; на рисунке оси £, г/, £ совпадают до поворота с осями х, у, z).
10.20. Ма = в частности, если выбрать по-
/Зт<5
движную систему так, чтобы тензор инерции Г'~1 был диагоналей, получим
уравнения Эйлера (см. [1], § 36 с учетом соотношения Ма = 1аПа).
10.21. Уравнения движения
Mi = {Н, Mi} = yeijkMjfflk, или М = —
т. е. вектор М вращается с угловой скоростью '/(’.
а) Вектор М прецессирует вокруг направления
Мх = Мх(0) cos' ./бу + Му(0) sin'.7/()/..
Му = —MX(Q) sinyJ^o^ + My(Q) cosyJ^o^
Mz = Mz(0).
б) Вектор M вращается с угловой скоростью — -УГГ, которая в свою
очередь вращается вокруг оси z с угловой скоростью со. Удобно воспользо-
ваться вращающейся системой отсчета, в которой вектор неподвижен.
В этой системе компоненты угловой скорости вектора М равны
ю'х = —ix'y =0, coz = —— со = £.
При заданном начальном условии компоненты М во вращающейся системе
М'х = — а^-Мд(1 — cos Xt),
А
Му = аМо sin Xt,
где А = у/е2 + у2^2, а = / у/е2 + у2^2.
В неподвижной системе
Мх = М'х coscot — Му sin cat,
Му = XI} sinajf + М'у coscot,
Mz = Mz.
292
Ответы и решения
[10.22
При зависимость амплитуд Мх,у от се носит резонансный ха-
рактер: вообще говоря, эти амплитуды малы ~ но при |е| =
= |w + 7=3^01 < они резко возрастают, достигая значений ~ Мо.
В частности, при се = —7^0
Мх = — Mg sin 7^1 f sin7J^oi5
Му = Mo sin 7^1^0037^0^
Mz = Mocos7^ii.
10.22. {17, Vj} =---Sijk^k-
m c k
10.23. a) p(f) = p + Fi, r(i) = r +
6)
p(i) = p cos cet — mceq sin cet,
p
q(t) = q cos cet + 77777 sin cet.
Разумеется, эти величины проще вычислить, не используя скобок Пуас-
сона. Но предложенный метод легко может быть перенесен в квантовую
механику (см. [26], § 34).
10.25. а) Согласно предыдущей задаче
' = 1И, /} = f} = о.
б) Функция Гамильтона
2
Н= Рв’Р^’
2тг
где
f(0, Ре, Рф) =Ро^---з---1- 2macos0.
sin в
Интегралы движения: Е, pv и, согласно предыдущему, /.
11.3]
§11. Канонические преобразования
293
Ю-26. а) , 2Я
{Aj, Aj} — -jjj- SjjkMk,
к=1
3
{Ai, Mj} = — YY£jjkAk',
к=1
б) {Н, J1,2{ = 0, {Ju, J2j} = О,
3 3
{Ju, Jlj} = Y ' £jjkJlk, {J2i, J2j} = Y ' £jjkJ2k i
k=l k=l
О
ц _ ma
Векторы J , и .Я независимые интегралы движения. Каждый из них имеет
такие же скобки Пуассона для своих компонент, как и обычный момент
импульса. Наличие двух таких «моментов» тесно связано с так называемой
«скрытой симметрией» атома водорода (см. [27], гл. I, § 5).
§11. Канонические преобразования
H l- а) ИР П
« = V^smQ’
Q = ш + sin2Q,
р = VZmwP cos Q,
P = -P^cos2Q.
(jj
В данном случае P и Q — переменные действие-угол. Эти переменные
удобнее, чем р и q для решения задачи методом теории возмущений, если
частота ш меняется медленно: |щ| Я и2 (см. задачу 13.10).
б) р I2р /-----
q =----- + \ -j-.smQ, р= V2mwPcosQ,
тш2 V
11.2.
Ф(р, Q) = -Q('l + ln^Y
Р = FV2mcoP sin Q.
11.3. Функция Ф(<?1, <?2, • • •, Qs, Pi, Р2, • • •, Р«) определяет канони-
ческое преобразование, если det А 0.
dqtdPk
294
Ответы и решения
[11.4
11.4. Пусть Q = cos а — psina, Р = gsina + pcosa. Тогда
{Р, Q}p,q = —{<?, p}p,gsin2 а + {р, <7}p;qCos2a = 1. Для системы с одной
степенью свободы этого достаточно, чтобы преобразование было канони-
ческим.
11.5. Нетрудно сообразить (и это подтверждается последующими
вычислениями), что каноническое преобразование должно быть близко к
тождественному и члены ах2Р и ЬР3 в производящей функции малы. Чтобы
разрешить соотношения
р = Р + 2ахР, Q = х + ах2 + ЗЬР2,
определяющие каноническое преобразование, относительно х ир, заменяем
в малых членах х на Q и р на Р:
p = P + 2aQP, x = Q-aQ2-ЗЬР2. (1)
Подобным же образом поступаем, выражая функцию Гамильтона в
новых переменных:
d2 , АГ)2
H\Q, Р) = ^ + + aQ3 + (3QP2 + 2aQP2 - ax2Q3-
—3bx2Q Р2 + члены четвертой степени по Q, Р.
Полагая a —aw2 = 0, /3+2а—ЗЬх2 = 0, обратим в нуль и члены третьей
степени. Таким образом, в указанном в условии задачи приближении Q =
= Acosxt, Р = — wAsinwf и согласно (1) х = Acosxt — ах 2 А2 — (/3 +
+ асэ~2)Д2 sin2 xt (ср. [1], § 28).
11.6. Приведя функцию Гамильтона к виду, рассмотренному в за-
даче 10.4, получаем х = Q —'^Q3 —^^QP2, где Q = Acosxt, Р =
8сэ0 8сэ0
= —сэ = сэо + д2—Д2 (ср. [1], §28).
2х>о
117- H'(P,Q)=H(PQ).
При X = Д8ш(сэ£ + р), У = 0 — осциллятор совершает движение по
эллипсу
х = A cos A sin(wi + р),
у = A sin A cos(wi + р).
11.8]
§11. Канонические преобразования
295
11.8. Для того чтобы сделать запись менее громоздкой, удобно вре-
менно положить т = ш = е = с= 1. В окончательных выражениях эти
множители легко будет восстановить. Преобразование задачи (11.7) пред-
ставляет собой поворот в плоскости хру и урх, поэтому оно сохраняет вид
части функции Гамильтона, равной
1/2 2 , 2 । 2\
~(Х +у +рх+Ру).
Добавка же, возникающая от членов J^2a:2 — Жхру, равна
|j^f2(X2 cos2 А + Ру sin2 А + 2ХРу sin A cos А) +
+ ./А'(Х2 — Ру) sin AcosA — J^(cos2 А — sin2 Х)ХРу.
Недиагональный член ХРу исчезнет, если положить
sin2 А — cos2 А + .Ж sin A cos А = 0, т. е. tg2A=^.
После несложных преобразований функция Гамильтона приводится к виду
Я=^(Р2 +P2ctg2A) + ^(X2tg2A + y2). (1)
Таким образом, переменные X, Y испытывают гармонические колеба-
ния с частотами, равными соответственно
W1 = ш tg А =
е.Ж
2тс'
W2 = w ctg А =
2+
2тс
(ср. [2], §21, задача). Каждой из координат X, Y соответствует движение
по эллипсу; произвольное колебание — суперпозиция двух таких движений
(ср. задачи 6.36, 11.7).
Интересно, что при . /У , О оказывается А = тг/4 (а отнюдь не А = 0).
Это значит, что даже при очень слабом поле -Ж «нормальными» оказыва-
ются колебания, «поляризованные по кругу». Колебания же, отвечающие
координатам Х(У) при А = 0, которые в отсутствие поля Yf были бы
296
Ответы и решения
[11.9
линейными, при наличии поля Ж медленно изменяют направление поля-
ризации.
Если магнитное поле переменное, то к функции Гамильтона (1) следует
добавить частную производную по времени производящей функции
. г \ рхРу . х , хРх + уРу
Ф = -тиху ctg А - -у-— tg А +-—-
(выразив ее через X, У, Рх, Ру) (см. также сноску к решению зада-
чи 13.25).
11.9. Полагая в каноническом преобразовании предыдущей задачи
се = tg2A = —--------------получим
И- — CJ2
Н'=^-(Р2Х + Щр$ + рА + MX2 + w2y2 2Z2)
2т \ л / 2 ' J л '
где Пх 2 определены в задаче 6.36.
11.10. Преобразование (А = тг/4)
= (X х- 8 п = (Y I ^>Xs А
У2\ s NmWg/ s2 у/2 \ S Nmws)
сохраняет вид функции Гамильтона (ср. с задачей 11.7)
Н =
Ро , +^2 , Nmce] 2 2
S = 1
Ро . ^\Pxs + Pys . Nmcel
2Nm I. 2Nm 2
S = 1
Колебание, соответствующее Xs = Acos{cest + /3), есть
xn = — sin(wst + nps + /3),
а соответствующее Ys = В cos(wst + /3) — есть колебание
—p sin(—cest + ncps — /3).
11.18]
§11. Канонические преобразования
297
11.11. Новая функция Гамильтона Н' = шРц. Уравнения движения в
новых переменных имеют вид
Pi = А = 02 = 0, Qi = щ.
Как изменится вид функции Гамильтона Н', если Ж зависит от времени?
11.12. Предложенное преобразование р = аР, г = Q/a есть преоб-
разование подобия.
11.13. Градиентное преобразование А1 = A+V/(r, t), р' = р р-—
можно представить как каноническое преобразование г' = г, Р' = Р— | V/,
Я' = Я-|
а/
dt
с помощью производящей функции
Ф(г, Р) = гР - |/(г, f).
11.14. Ф(д, Р) =qP-f(q, t).
11.15. 6) FT(q, Q) = ^q + Q) + ^q_Q)2-
в) FT(q, Q) = [2qQ - iip + Q2) coswr].
4 7 2smcjrL 7 7 J
11.16. a) Q = r + Sa, P = p сдвиг системы как целого на Sa (или
сдвиг системы координат на —Sa).
б) С точностью до бесконечно малых первого порядка включительно
Q = г + г], Р = р + [Sip, р].
Преобразование представляет собой поворот системы координат на
угол —6р.
в) Q(i) = -Р(^) = Н'(Р, Q, t) = Н(р, q,t + 6т).
Преобразование представляет собой сдвиг во времени на St (ср. [1], § 45).
г) Q = г + 2р Sa, Р = р — 2r Sa.
Преобразование представляет собой поворот на угол 2 Sa в каждой
паре плоскостей XiPi (г = 1, 2, 3) в фазовом пространстве.
11.18. а) Ф(г, Р) = гР + пР5а + п[гР]<5<£>, где Sa — смещение вдоль
направления п, а 6р = ~ угол поворота вокруг n (h — шаг винта);
б) Ф(г, Р, t) = гР — VPi + mrV;
в) Ф(г, Р, t) = гР — t <И2[гР].
298
Ответы и решения
[11.19
11.19. 5/(9, р) = А{Ж f}p,q.
Т) 7“) \ С" ’f
В самом деле, подставляя значения новых переменных Р = р — л—— и
dW dq
Q = q + B f(Q, -P) и разлагая полученное выражение по степеням А,
получим с точностью до первого порядка включительно
Л,/ 1 ydfdW(q, р) dfdW(q,p)
11.20. Полагая в предыдущей задаче Ф = гР + АгР, получим преоб-
разование подобия с а = 1 + А (см. задачу 11.12). Предложенная функция
Гамильтона такова, что /Г/Р, Q) = а2Г/(Р, Q), и поэтому Х{Н, гр} =
= Н' — Н = 2ХН(Х —» 0). С другой стороны, {Н, гр} = -^(гр). Отсюда
гр — 2Et = const (ср. с задачей 4.13 б).
11.22. Пусть 519 и 5'ip1 — изменения координат и импульсов, связан-
ные с преобразованием, задаваемым Фх. Тогда
/(9 + 5x9, Р + 5хр) = /(9, р) + Ai{Wi(9, р), /(9, р)} + А}рх(9, р). (1)
К каждому из слагаемых правой части (1) применим далее преобразование,
задаваемое функцией Ф2,
/(9 + ^219, Р + W) =f + А2{И/, /} + Ai{Wi, /}+
Н-АхАг}!^, {ИА, /}} + А}рх + A^p2.
Преобразование А}рх(9, р) дает добавку выше второго порядка малости.
Результат применения этих преобразований в обратном порядке
/(9 + ^129, Р + 512Р) = / + Ai{VKi, /} + A2{W2, /}+
+А1А2{И7х, {И/, /}} + А}рх + А^р2
отличается от (2) только членами второго порядка, пропорциональными
Ах Аг. Вычитая (3) из (2), получим
АхА2({ГК2, {И7!, /}} - {1Г|. {ГК2, /}}) = А1А2{/, {1Г|. ГК2}}.
1 Укажем, например, изменение импульса с точностью до второго порядка:
dWEq,P) dWi(q, р) , 2<Э2ИШ р) dW^q, р)
S1P = Р - р = - А1----- = - А1 дд + Ах ------.
11.23] §11. Канонические преобразования 299
Поэтому, в частности, сдвиги АТУ = даР (см. задачу 11.16) перестановочны,
а повороты вокруг разных осей АГИ = Sip[гР] — нет.
Справедливо ли утверждение, обратное сформулированному в задаче?
11.23. Каноническое преобразование с переменным параметром А
можно рассматривать как «движение», причем А играет роль времени,
a W(q, р) — функция Гамильтона (ср. с задачей 11.16 в). Уравнения «дви-
жения»
dQ _ dW(Q, Р) dP _ dW(Q, Р)
dX дР ’ dX dQ
Эти уравнения легко получить и формально из результата задачи 11.19.
а) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при данном
каноническом преобразовании имеет вид
dr = —-^{1Г. г} = -^{Ма, г} = — [п, г]5(/з,
др = —[п, р]5(/?,
где М = [г, р], n = Sp = — Это преобразование представляет собой
поворот системы координат на угол Sip вокруг направления п. Направив
ось z по а, получаем окончательно
X = х cos р — у sin р, Y = у cos р + х sin р, Z = z
и аналогичные формулы для компонент импульса.
б) Бесконечно малое изменение координат и импульсов при канониче-
ском преобразовании, задаваемом Ау имеет вид
Sx=pxSp, Sy=—pySp, Spx = —xSp, Spv = ySp,
где Sp = Это преобразование представляет собой поворот на угол +Sp
в плоскости хрх и на угол — Sp в плоскости уру. Поэтому
X = х cos р + рх sin р, Y = у cos р — ру sin р,
Рх = —х sin р + рх cos р, Ру = у sin р + ру cos р.
Аналогично А.2(Аз) задает поворот на угол р(-р') в плоскостях хру
и урх (ху и РхРу) и А4 — поворот на угол Yp в плоскостях хрх и уру.
300
Ответы и решения
[11.24
Отнюдь не любой поворот в фазовом пространстве является канониче-
ским преобразованием. Например, поворот в плоскости хру — не канони-
ческое преобразование.
Интересно сравнить движение двумерного изотропного гармоническо-
го осциллятора (функция Гамильтона Н = гу4|) и движение частицы
в плоскости ху в произвольном поле, обладающем осевой симметрией,
U(x2 + у2). В обоих случаях интегралами является момент импульса 2А3,
сохранение которого связано с инвариантностью системы по отношению
к поворотам вокруг оси z. Для осциллятора, кроме того, есть интегралы
движения Ai и А. сохранение которых связано со «скрытой» симметри-
ей — инвариантностью функции Гамильтона относительно определенных
поворотов в фазовом пространстве. В этом смысле осциллятор подобен
частицу в трехмерном центральном поле, для которой есть три интеграла
движения MxahZ.
Наличие дополнительных интегралов движения у осциллятора приво-
дит к тому, что точка (х, у, рх, ру) в фазовом пространстве движется по
замкнутой линии, в то время как для частицы в поле U(x2 + у2) фазовая
траектория «заполняет» двумерную поверхность (см. [1], § 52).
11.24. а) В импульсном и фазовом пространстве выделенный объем
с течением времени не меняется, в координатном пространстве происхо-
дит его «расплывание». Так, если в начальный момент состояние системы
изображалось прямоугольником ABCD (рис. 158), то через время t, он пе-
рейдет в параллелограмм А'В'СD' (AD = A'D'), причем расстояние по
оси х между точками А' и С равно Ах = Axq + Со временем этот
параллелограмм вырождается в узкую полоску большой длины.
11.24]
§11. Канонические преобразования
301
Рис. 159
б) Если в точке х = L расположена стенка, то выделенный фазовый
объем уже не будет параллелограммом А'В'СD', а будет иметь вид, изоб-
раженный на рис. 159, а. С течением времени первоначальный фазовый объ-
ем ABCD превратится в ряд очень узких параллельных полосок, которые
почти равномерно распределятся внутри двух прямоугольников 0 С х С L,
Ро < Р < Ро + Дро и 0 < х < L, -р0 - /Кр0 < р < -р0 (рис. 159,5).
в) Фазовая траектория для осциллятора с энергией Е и частотой ш —
эллипс Д- + = 1 с полуосями а = . / , Ь = \ Все точки выделен-
а Ъ у тш v
ного фазового объема движутся по таким эллипсам и через период Т =
возвращаются в исходное состояние. Размеры выделенного «объема» по ко-
ординатам Да; и импульсам Др пульсируют с частотой 2<д. В отличие от
предыдущего пункта, здесь не происходит расплывания выделенного фазо-
вого объема по всей доступной области фазового пространства.
г) Для осциллятора с трением (сила трения Р|р = — 2тХх)
х = ae~Xt cos(wt + <р),
р = тх = —mae~xt[ix sin(wi + <р) + A cos(wt + <р)],
и колебания со временем затухают, поэтому фазовая траектория представ-
ляет собой спираль
х2 , + = 2Xt
а2 \ там ) е
Выделенный фазовый объем с течением времени уменьшается до нуля.
302
Ответы и решения
[11.24
Несохранение фазового объема здесь связано с тем, что система не является
канонической — для полного ее описания необходимо задавать не только
функцию Лагранжа L = (.7* 2 — WqX2), но и диссипативную функцию
F = ^тХх2 (см. [1], §25).
Если же для данной системы выбрать «функцию Лагранжа» в виде
L' = ^e2Xt (i2-c4r2)
(ср. с задачей 4.17), то для соответствующих канонических переменных х
dL'
и р' = —— выделенный фазовый объем будет сохраняться, однако в этом
Ох
случае обобщенный импульс р' = mxe2Xt не имеет, как прежде, простого
физического смысла.
д) Так как период движения в этом случае зависит от энергии, выделен-
ная область фазового пространства с течением времени растягивается, «за-
полняя» всю доступную область фазового пространства (ср. с пунктом б)).
Пусть вначале выделена область Xq < х < Xq + Ax, р0 < р < ро + Др.
Нетрудно оценить время, через которое самые быстрые частицы сделают
на одно колебание больше (или меньше), чем самые медленные:
дт-^дв, дЕ^ + |ДД)к,
Д / аЕ I ах
е) Пусть имеется N частиц таких, что точки фазового пространства,
изображающие их состояние, распределены в начальный момент с плотно-
стью Nw(xq, ро, 0) и перемещаются согласно уравнениям
х = f(x0, р0, t),
р = р(х0, ро, t).
(1)
Здесь
f(xo,po,t)=xo + ^t, <р(я?о, Ро, t) =Ро
для свободного движения и
f(x0, Ро, £) = я?о cos wt + sinwi,
<р(я?о, ро, i) = — mwxo sin ait + po cos ait
11.24]
§11. Канонические преобразования
303
для гармонических осцилляторов. Тогда количество частиц в выделенной
области фазового пространства, все точки которой движутся по такому же
закону, остается постоянным; в частности, для бесконечно малого фазового
объема dx dp имеем
Nw(x, р, t) dxdp = Nw(xq, po, 0) dxo dpo-
Согласно теореме Лиувилля (см. [1], §46)
Э(х,р)
—-------- = 1, поэтому
д(х0, ро)
w(x, р, t) = w(x0, Ро, 0). (2)
Выражая из (1) ./'о и ро
Хо = Р, -t), Ро = р(х, р, -t)
и подставляя в (2), получаем
Рис. 160
w(x, р, t) = w(f(x, р, — t), р(х, р, — t), 0),
или
w(x, р, t) =
ехр[—а(х — X)2 — [3(х — Х)(р — Р) — у(р — Р)2]
2тгЛроХхо
где X = /(Хо, Ро, t), Р = р(Хо, Ро, t), а коэф-
фициенты а, /3, для свободных частиц
-L/C? t
а = 1 9 ’ Р =--1--9 ’
2^kXg TTZ^kXg
— 1 + t2
2Apg 2m2Aa?Q ’
и для осцилляторов
_ cos2 cot । т2ш2 sin2 cat
2Aa?Q 2Apg
о _ cos2 cat , sin2 cot
2Apg 2m2u2AxQ ’
, ,/ moj 1
7 = sin шг cos ut (------------
\ Apg mo: Aa?Q
Рис. 161
304
Ответы и решения
[11.24
На рис. 160, 161 показано, как перемещаются области фазового простран-
ства, в которых 27tAxqApq w(x, р, t) (для свободных частиц и осцил-
ляторов соответственно). Эти области представляют собой эллипсы, дефор-
мирующиеся со временем1. Центры их перемешаются по такому же зако-
ну (1), как и частицы. В случае свободного движения этот эллипс неогра-
ниченно растягивается, в случае же движения осцилляторов — лишь пуль-
сирует. Заметим, что распределения по координатам и по импульсам уже не
являются независимыми (w(x, р, t) не разбивается на два множителя вида
Wi(x, t)w2(p, t)).
Представляет интерес рассмотреть функции распределения по коорди-
натам (независимо от значений импульса)
ОФ
и по импульсам ос
Эти распределения оказываются гауссовскими с максимумами в X и Р
соответственно: (ж-х)2
w(x, t) = —------е 2Да;2 ,
\/27гАх
(р-р)2
w(p, t) = 1—е 2Лр2 ,
УКгДр
где для свободного движения
Ах2 = Ах2 + М2, Др2 = Др2,
т
а для осцилляторов
Да;2 = Дхд cos2 wt 4--sin2 wf,
т2сэ2
Др2 = Apg cos2 wt + m2w2AxQ sin2 x>t.
^сли масштабы по осям р и х в фазовом пространстве гармонических осцилляторов вы-
браны так, что = 1, то фазовые траектории представляют собой окружности, а выделенная
область в фазовом пространстве вращается вокруг начала координат, не деформируясь.
11.25]
§11. Канонические преобразования
305
11.25. а) {а*, а} = —i, Но = ша*а.
б) Переменные Р и Q канонические, поскольку {Р, Q) = 1. Из равен-
ства dP = р(х, Q) dx — Р(х, Q) dQ определяется производящая функция
F(x, Q, t) = ^mwx2 + ^Q2e 2,j:l — i\/2mujxQe .
Новая функция Гамильтона
,, . дР(х, Q, t)
H'^Q, Р) = Но + ’ ’ = 0.
в) Выделив в
слагаемое —3Q2P2/2т2ш2, не содержащее времени, получаем усреднен-
ную функцию Гамильтона
{H\Q, Р)) =
8тхг
В дальнейшем скобки (), обозначающие усреднение, опускаем.
Очевидно, что —iQP = |Qo|2 = |а|2 — интеграл движения.
Уравнения Гамильтона
Q = —ieQ, Р = геР, е
3/3|Q0|2
4nw2
откуда
Q = QOe~i£t, P = iQ*oei£t,
так что
х = 1 (Qoe ш * + Qoe™ = я?о cos(w'i + >р).
у/Эггш
Влияние добавки 6U сводится к изменению частоты
, _ t 3/3|Q0|2 _ , 3/3xg
— ш + — Т— — ш Н—q
(ср. с задачей 8.1).
306
Ответы и решения
[11.26
г) Новая функция Гамильтона
H'(Q, Р, i) = т2ш2а
4
^4гиЛ । g—4w;t
2
Qe~^t - ipei^t
\/2тш
после усреднения сводится к
{H\Q, P)) = f(Q4 + F4).
о
Для переменной £ = —iQP = а|2, пропорциональной квадрату амплитуды
колебании, уравнение движения
е = {т,е} = -у(^4-е4)-
Учитывая, что
^(Q4 + -Р4) = А = const,
находим
е2 = -4А2 + а2е4.
Таким образом, £ изменяется так же, как координата частицы (с массой,
равной единице) в поле V(£) = — ^£4 при энергии —2А2 (ср. с задачей 1.2).
Амплитуда за конечное время возрастает до бесконечной величины (так
называемый взрывной рост амплитуды).
Разумеется, использование усредненной функции Гамильтона справед-
ливо только при £ <?' сэ£, т. е. при £ <?' и/а.
11.26. Вводим новые переменные:
_ тшх + ipx _ mw2y + ipy _ mw3z + ipz
Ct t- • \J t- * О t- *
V2mw у/2тш2 у/2тш3
(ед = iv2 + <Дз) и канонические сопряженные им импульсы ia*, ib*, ic*.
Новая функция Гамильтона, усредненная по периодам 2tt/ll>2,3,
(Н') = ф|2 + ц(а*&с + а&*с*),
S = - W, Г] = --- а :
4д/2тс<л<;2^з
11.27]
§11. Канонические преобразования
307
Уравнения движения
а = —iea — i/qbc,
b = —iyac*,
с = —iyab*
имеют интегралы1
(Я')=А \а\2+\Ь\2=В, |а|2 + |с|2 = С.
Уравнение
J^|a|2 = iy(ab*c* — a*bc)
можно представить в виде, удобном для качественного исследования:
е2 + яе) = о,
где £ = |а|2,
яо = я - я)2 - я2ея - оя - е).
В начальный момент с = 0, поэтому А = еС, В < С и
яо = я - оЯ2 - 4О - я2ея - вне - о.
Графики V(0 Для случаев е2 < 4цЯ и е2 > 4цЯ приведены на рис. 162,а
и б.
В первом случае £ испытывает колебания, так что происходят биения. Энергия периодически пе- рекачивается от осциллятора х к осцилляторам у, z и обратно. Во втором случае (т. е. при большой «расстройке» £ и малых начальных амплитудах) ко- лебания у и z не возбуждаются. Подробно об этой задаче см. [22]. 11.27. а) (Я') = е|а 2 + р\а 4 + ц(а2 + а*2), где 3/3 hw Е = Ш -f, р= у = . 8тш ° 1 Интегралы В и С называют интегралами Мэнли - Роу. V &’2<4т;2С \ а) V е2>4у2С б) Рис. 162
308
Ответы и решения
[11.28
б) Уравнения движения
—а = г(е + 2д|а|2)а + 2ir]a*,
а* = i(s + 2д|а|2)а* + 2гца
имеют постоянные решения
п . |2 2г] - £
cio — 0, |щ| — —2^—
Для £ = |а|2 получаем уравнение
£ = —2ггДо*2 — а2).
Учитывая, что (Н') = + /г£2 + ц(а2 + а*2) = С = const, получаем
е2 + яе) = о,
где V(£) = 4ц2 [(о*2 + а2)2 — 4|а|4] = 4(С — — д£2)2 — 16ц2£2. В ин-
тересующем нас случае, согласно начальным условиям, величина С мала.
В области резонанса е < 2г] график П(£) (рис. 163) позволяет заметить,
что £ испытывает колебания в пределах от нуля до р,, ~ 2|<zi|2.
Таким образом, переход к установившемуся
режиму колебании £ = |<zi |2 (ср. с задачей 8.7)
может быть обеспечен лишь каким-то неучтен-
ным нами механизмом, например трением, и
быть весьма длительным. Подчеркнем, что этот
переходной процесс имеет характер биений да-
же при нулевой «расстройке», е = 0, в отличие
от переходного процесса в линейных колебаниях
(см. задачу 5.11).
11.28. Усредненная функция Гамильтона
Р, Г)} = H\Q, Р) = (e-^Q2 + ^-(e+ ^}р2.
Величина \JQ2 Р Р2/т2ш2 представляет собой амплитуду колебания. Пе-
ременные Q и Р мало изменяются за период 2тг/у. Это легко видеть из
уравнений Гамильтона, содержащих малые параметры е и h.
Рис. 163
11.29]
§11. Канонические преобразования
309
Рис. 164
На плоскости Q, Р точка, изображающая состояние системы, движет-
ся по линии H'(Q, Р') = С = const. На рис. 164, а и б приведены се-
мейства таких линий для области параметрического резонанса |е| < h/2
и ее окрестности |е| > h/2. В первом случае амплитуда в конечном счете
неограниченно растет, во втором — испытывает биения (ср. с задачей 8.8).
11.29. а) Легко проверить (ср. с задачей 11.4), что данное преобразо-
вание — каноническое.
При V = 0 движение х-осциллятора изображается движением точки по
окружности в плоскости х, px/mw\ с частотой иц. Радиус этой окружности
Рх
т
совпадает с амплитудой колебаний по оси х. В плоскости X, Рх/тш± это
будет неподвижная точка X = ж(0), Рх = рж(0). Таким образом, новые
переменные при V = 0 не зависят от времени и потому П/ = О.1
При V 0 эти переменные зависят от времени, но так как новая
функция Гамильтона Н' = Н'о + V = V мала, то усредненное движение в
'Из уравнений Гамильтона для новых переменных (например, X = дН^/дРх = 0) следу-
ет, что Нд не зависит от них и потому ff'. = /(t), где /(t) — произвольная функция времени,
которую мы, не теряя общности, можем положить равной нулю.
310
Ответы и решения
[11.29
этих переменных медленное. Действительно, после усреднения
{нф = ^ХРу - ш2ГРх),
4W1W2
и из уравнений Гамильтона
легко получить
X = Acos(yt + </?),
у = —
4д/с<Э1СС’2
Аналогично для новых импульсов имеем
Рх = mw±B cos(yi + фф Ру = — ту/сёфа^В sin(yi + фф
Таким образом, в плоскости X, Px/mx>i происходит медленное (с ча-
стотой у) движение по эллипсу, что отвечает колебаниям по оси х с мед-
ленно изменяющейся амплитудой
a(t) = у/Х2 + (Px/mwi)2 = у/A2 cos2(yi + р) + В2 cos2(yt + -0),
т. е. биениям. Аналогично амплитуда колебаний по оси у равна
Ф) = УН У A2 sin2(yi + р)+В2 sin2(yi + фф
Отсюда видно, что энергии х- и у-осцилляторов Ех = |mw2a2(t) и Еу =
= тфb2(t) и их сумма Е = Ех + Еу не сохраняются. Однако сохраняется
величина, которую можно назвать полным числом квантов,
_ Ех Еу _ 77W1 2
II — —- “I- —- — ——г— (_/ ,
/ZiJi 2 А
где С = \ф А2 В2, а К — постоянная Планка.
В частности, при р = ф = 0 амплитуда биений доходит до нуля
р
х = X coswii + sinwii = С cosyi cos(wit +
У =sinyicos^i + <уг°), tg<y?0 =- j,
а энергия колеблется с частотой 2у:
Е = ^mx>iC2 (wi cos2 yt + CJ2 sin2 yi) .
12.2]
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
311
Интересно отметить, что даже слабая связь |V| <У Нд = Е приводит
к большим изменениям энергии ДЕ ~ Е. Так при р = ф = 0 и иц > u>2
имеем
ДЕ = (cji — сдг) С2 (Щ1 — W2) С2-
Укажем, наконец, что эта задача совпадает с задачей 11.26 о трех осцил-
ляторах со взаимодействием ^maxyz в пределе настолько большой энергии
z-осциллятора Ez У- EXjV, что биения х- и //-осцилляторов почти не ска-
зываются на его движении
Z = Zg SlllXgt, W3 = CJ1 — Ll>2-
При этом (3 = ^azg, a nh совпадает с одним из интегралов Мэнли-Роу
(с интегралом В в обозначениях задачи 11.26). Третий осциллятор играет
роль большого резервуара энергии, с которым х- и у-осцилляторы обмени-
ваются энергией.
б) Новые канонические переменные экспоненциально возрастают со
временем
X = АеА + Be-A, Y = (АеА - Be-А) ,
Рх = тшд (De7* + Еег*) , Ру = (DeA — Ее~А^ ,
что соответствует экспоненциально растущим амплитудам колебаний по
осям х и у. В этом случае сохраняется разность числа квантов
Ех Еу 2maii, . „ _
т-2- ~ = —рА(АВ + DF).
§ 12. Уравнение Гамильтона-Якоби
12.2. Очевидно, что траектория — плоская кривая. Переменные в
уравнении Гамильтона-Якоби разделяются, если воспользоваться поляр-
ными координатами, направив полярную ось z вдоль а. Полный интеграл
уравнения Гамильтона-Якоби
S = — Et ± / у/(3 — 2та cos 0 d0 ± / у/2тЕ — (3/r2 dr. (1)
312
Ответы и решения
[12.2
Для уточнения знаков в (1) воспользуемся соотношениями
рд = тг2в = = ±у/'/3 — 2та cos0. (3)
Рис. 165
На начальном участке траектории г < 0, в > 0 (мы предполагаем, что траек-
тория расположена над осью z, рис. 165). Поэтому перед первым радикалом
в (1) нужно сохранить нижний знак, а перед вторым — верхний. Равенство
dS
д(3
= В — это уравнение траектории
0 г
______(10_____j ________dr_____ _ д
Т'/З - 2macos0 J г2у/2тЕ — /3/г2
(4)
Нижние пределы интегралов можно выбрать произвольно, пока не опре-
делена постоянная В. При нашем выборе из условия 0 -0) при г —> оо
следует В = 0.
Постоянная (3 есть интеграл движения нашей задачи и из (3)
/3 = Pg + 2macos0. Она выражается через параметры частицы при г —> оо
и 0 0, т. е. до столкновения, когда pg = mvp (р — прицельный параметр),
/3 = 2т(Ер2 + а).
При изменении г от оо до rm = \1 @р2 + определяемого
условием рг = 0, 9 изменяется от нуля до 0т такого, что
6;
/ _____(10_______/ ________dr_______ _ q
7 у/(3 - 2та cos 0 J г2 у/2тЕ - (3/г2
(5)
12.2]
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
313
Дальнейший рост 0 сопровождается ростом г. При этом рг меняет знак.
Уравнение участка траектории LM
Удобнее переписать, сложив (5) и (6):
0 ОС г
f_______dO_________f_________dr_________f_________dr_______
J y/(3 — 2macos0 J r2 y/2mE — /З/r2 J r2 y/2mE — /3/r2
0 E m Г rn
0. (7)
При г -л оо траектория асимптотически приближается к прямой, парал-
лельной ON. Угол 0тах можно найти из равенства1
$шах
d0
у/(3 — 2та cos в
о
2 7------- dr = (8)
J г2 > /2т Е — /3/г2 \ЛЗ
dS
Равенство = А определяет зависимость r(t). Выбирая А так, чтобы
г(0) = гт, получаем
г = \/ v2t2 + = Гр2 + Л + v2t2.
Интеграл по г в (4) и (7) вычисляется элемен-
тарно, а по 0 сводится к эллиптическому.
При Ер2 а можно разложить подын-
тегральное выражение в (4) и (7) по степеням
~ С точностью до первого порядка
(9)
А_'
~К
Г sin 0 = Гт ( 1--cos 0
\ 2Ер2
(Ю)
—।---------------Z
О
Рис. 166
(рис. 166).
1 Обратим внимание на следующий прием, позволяющий обойти вычисление интеграла по г
в (8). Этот интеграл не зависит от а и, следовательно, равен левой части (8) также и при а = 0.
А в этом случае очевидно, что 0Шах = интеграл по 0 вычисляется тривиально.
314
Ответы и решения
[12.3
В этом приближении угол отклонения скорости частицы после рас-
сеяния равен нулю. Объясняется это тем, что действие силы на разных
участках траектории (в нулевом приближении это прямая К'М') частично,
а в первом приближении полностью компенсируется.
12.3. а) Для определения угла отклонения частицы нужно прове-
сти разложение по а/Ер2 в (8) задачи 12.2 до второго порядка. Получаем
уравнение
л । 7TICL • л
o'max “Н Sin С7]
. 1
+ 2 Sm
Решая его с точностью до
3 /тс
4\ /3
Ч 2
-) , находим1 угол отклонения
(1)
3
4
X = тг - 9,
2
= Зтг
2
(2)
Сечение рассеяния
(3)
, । , 21 уЗтгаdo
da = %\dp \ = -----.
1 ' 1 16ЕХ5/2
Зависимость от у получается такой же, как при рассеянии на малые углы в
поле у/r4, убывающем гораздо быстрее, чем U(r).
б) da=?bdo
&ЕХ3
в) При условии Ер2 |&(0)| для всех в имеем вместо (10) задачи 12.2
с точностью до второго порядка
/3 в
9=j I b2^de =
о о
{arcsin j?- при 0 < 9 < 9т,
тг - arcsin при 9т < 9 < 9тах
1 Ищем 0тах в виде 0тах = во + 91 + 02 + • •, где 01 ~ ( EEL ) д0 уравнение (1) в нулевом
/ 777,(2 \
приближении 0q = я; в первом приближении + I —— ) sin 0q = 0, откуда 0i = 0; во втором
приближении Р
02 + ^01 cos 0о + (ЕЕ) 2 (е0 + | sin 20о) = 0,
р 4\/>/\ 2 /
откуда следует (2).
12.4]
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
315
Если
У 6(0) dO = тг (6) О,
о
то сечение
da =------do,
4Ехз
такое же, как сечение рассеяния на малые углы в центральном поле
П /7\ п 7 д/ЗтГ / (Ь2) ,
Если же (о) = 0, то da =-----—\ -^-do.
8Ех V 2
12.4. а) Переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются,
если выбрать сферические координаты с осью z, параллельной а. Обобщен-
ные импульсы
рг = тг = ~^2тЕ — /3/г2,
ре = тг20 = — \/> 2та cos 0 — p2vl sin2 d, (1)
pv = тг2ф sin2 0 = const.
P2
Постоянную (3 = pi + —+ 2macosd легко найти, заметив, что
2 sin в
pi 3---= М2, где М — полный момент частицы; его удобно вычислить
sin 9
при г —> оо, 0 —> тг — а (а — угол между и а), т. е. до столкновения:
[3 = 2т(Ер2 — a cos а)
Согласно (1) падение в центр возможно при условии /3 < 0, или
р2 < (a/B)cosa. (2)
Таким образом, падение возможно, если а < тг/2; в этом случае сечение
падения а = (tvci/E) cos а. Усреднение по возможным направлениям а дает
тг/2
(а) = f cos а • 2тг sin a da = ^2._ Интересно, что площадка, опре-
±/I q I J ^~Т I J
деляемая условием (2), представляет собой круг с центром на оси пучка
частиц (хотя поле не обладает симметрией относительно этой оси).
316
Ответы и решения
[12.5
Л2
при 0 < а < ат = arccos -——
4с£
при ат < а < 7Г.
7ГЙ + 7гЛ4 _ 7гЛ2
4Е 64аЕ3 8Е2
О при ат < а < 7г.
/ \ _ а . 37
4Е + V Е+ а'
при условии, что Ь(тг — а) < 0.
12.5.
тг/?2 + cos а,
JE
о,
a cos а > —ER2,
а cos а < —ER2,
где а — угол между v-^ и а.
12.6. а) Используем те же обозначения, что и в задаче 12.2. Уравнение
начального участка траектории (г —> оо, 0 —> тг)
причем
_____dO_____ _ f_______dr_____
\/(3 - 2macos0 J г2у/2тЕ - (3/г2 ’
(3 = 2т(Ер2 — а). (2)
В случае (3 > 0 угол 0 убывает при изменении г от оо до гт и дальней-
шем возрастании до оо. Уравнение участка траектории после прохождения
минимального расстояния до центра
______dG_____ _ % f_____________dr______
- 2macos0 2у/~[3 J r2y/2rnE - (3/г2
Очевидно, что при Ер2 7> а уравнение траектории (1) и (3) совпадает
с уравнением (11) задачи 12.2.
12.6]
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
317
Рис. 167
При [3 < 0 возможно падение в центр поля (заметим, что, согласно (2),
допустимы только значения 3 —2та). При этом г монотонно убывает
от оо до 0. Угол 0 убывает от тг до 0\, при котором ро обращается в нуль
(участок траектории АВ; рис. 167). При этом ) — 2macos$i = 0. Затем
угол возрастает до значения 2тг — 0] (участок траектории ВС)
°[____ dr = J de + ? de (4)
J г2\/2тЕ — Зг 2 J у//3 — 2macos0 J С(3 — 2macos0
Г V 01 01
В точке С импульс ро вновь меняет знак и 0 убывает до значения 0\ в точ-
ке D, затем вновь возрастает и т. д.
Уравнение всей траектории можно представить в виде
7 — dr = (_1)n ? de +2п1 de
J г2 \/2тЕ — Зг 2 J \/'1 — 2macos0 J у/(3 ~ 2macos0
г v 0 0!
(n = 0, 1, 2, ...) (5)
Одному значению в (0± < 0 < 2тг — 01) соответствует бесконечно много
значений г (п может принимать любое целое неотрицательное значение,
так как интеграл в левой части (5) при г —> 0 неограниченно возраста-
ет). Таким образом, частица совершает бесконечно много колебаний между
прямыми BD и СЕ прежде, чем упасть в центр.
В случае малых прицельных параметров Ер2-Га оказывается тг —
так что в (5) можно заменить cos 0 на — 1 + ^(тг — 0)2. В результате получаем1
0 = 7Г-А'\/^81п[^Аге11(тУ1)]- (6)
'Arshx = In (ж + V1 + х2).
318
Ответы и решения
[12.6
Закон движения r(t) определяется так же, как в задаче 12.2. Если [3 > 0, то
справедлив закон, определяемый формулой (9) из задачи 12.2. Если [3 < О,
то
r(t) = v = у/2Е/т, -oo<t<T = VW\/2E, (7)
причем падение происходит в момент времени г.
6) Если (3 > 0 (Ер2 > а), то
1'_________d0___________
I Jl + ^(l + sin0)
V м
Рис. 168
arcsin уР-, 0т < 0 < %,
тг - arcsin ^2-, 0min < 0 < 0т.
Если (3 < 0 (Ер2 < а), то
_________d0_________ _ /"______dr_______
у/(3 + 2та(1 + sin О') J г2у/2тЕ — /3/г2
где I — число полных колебаний по углу (от Oi до 02 и обратно), совер-
шенных частицей, знаки (±) для движения против (по) часовой стрелке
(рис. 168, а)
п Ер2 о Ер2
0\ = — arcsin ——, 02 = тг + arcsin ——.
Если /3 = 0 {Ер2 = а),
12.7]
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
319
Частица движется по траектории рис. 168,6, причем закон движения г =
12.7. Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (см. [1] §48)
S = —Et + pvp ±
2тЕ---- dr.
pv
— 2та cos О-----—
sin2 6»
Обобщенные импульсы те же, что и в задаче 12.4 а. Падение в центр воз-
можно, если (3 = 2т(Ер2 — a cos а) < 0 (что заведомо выполняется при
а2 < 2Ер2/а 'У 1).
Уравнения траектории
Г =
pv dd
(1)
sin2 0\ в — 2та cos 0---------
V sin2 о
(3 — 2та cos 0---
sin2 О
(2)
2 _ IPI
Г° “ 2тЕ
в общем случае не могут быть проинтегрированы в элементарных функ-
циях. Но качественное описание движения легко дать, если заметить, что
уравнение (1), связывающее между собой углы в и р, с точностью до обозна-
чений совпадает с уравнением траектории сферического маятника (см. [1],
§ 14, задача 1). Поэтому частица движется так, что точка пересечения ее
радиуса-вектора с поверхностью сферы радиуса I описывает такую же кри-
, , „ (3
вую, как и сферический маятник длины I с энергией, равной и момен-
2тг
том импульса, равным pv в поле тяжести д =-. Эта кривая заключена
тг
между двумя «параллельными» окружностями на сфере 0 = и 6 = ТГ-
При условии а2 < 2Ер2/а <?' 1 уравнения (1) и (2) легко проинтегри-
ровать:
в = тг —
л 2a7s Ер2
ил-------, , £ = —7Г~
у/2е + а2 + (2s — a2) cos 2р
(3)
320
Ответы и решения
[12.8
Из (3) видно, что частица, падая на центр, движется в области между двумя
коническими поверхностями 0\ С 0 С $2, вращаясь вокруг оси z, причем
один полный оборот вокруг оси z приходится на два полных колебания
по углу 0. Для сферического маятника в этом приближении траектория
замкнута (представляет собой эллипс).
12.8. а) Уравнение траектории финитного движения (при котором нет
падения в центр)
? = 1 + ecos/(0), (1)
где
а константы Е и [3 удовлетворяют неравенствам Е < 0, [3 > 0.
Если 0 < (3 < 2та, то орбита «заполняет» область ABCDEF
(рис. 169); ri < г < Г2, ri 2 = х~;—, 01 С 0 С 02, 01 = arcsin -—,
’ 1 ± е 2та
02 = 2тг — 01, т. е. проходит сколь угодно близко к любой точке этой обла-
сти.
Если [3 = 2та, то
/(0) = T21ntg(0/4)+C1 (2)
и траектория расположена внутри кольца гх < г < Г2 (рис. 170).
Если (3 > 2та, то траектория заполняет кольцо гх С г С г2- В частно-
сти, если (3 2та, то
/(0) = 0 + <sin0 + |<20 + |с2 + С*2, (3)
12.11]
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
321
где £ = та/(3. Это — слабо деформированный прецессирующий эллипс,
характер деформации которого связан с его ориентацией. Уравнение (3)
применимо и при 9 > С 2- Интересно сравнить его с результатами зада-
чи 2.24.
12.9. Для движения в кольце г±
2тг
Г2
/ de ------= 2тЛ
7 2^acos0
V
Для движения в области п г г2, 0i С 9 02
02
/ d9
/ cos 9
V
(пн1 — целые числа).
12.10. Переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются, ес-
ли выбрать ось z вдоль вектора а (см. [1], §48, формула (48.9)). Движение
по радиусу t = . / — dr при /3 > 0 такое же, как и движе-
V Г — Q d
V г 2шг2
ние частицы в кулоновом поле — а/г с моментом /3 и энергией Е. При /3 < 0
dS
происходит падение частицы на центр. Уравнения траектории —— = const,
я о d'Pv
= const. Первое из них
др
Г =
pv d9
sin2 9\ в — 2та cos 9---------
V sin2 в
совпадает с уравнением траектории сферического маятника с энергией
/3/2т/2 и моментом Mz = pv в поле тяжести g = —a/ml3 (см. [1], § 14,
задача 1). Второе уравнение связывает г и 9. При анализе этого уравнения
можно также воспользоваться аналогией со сферическим маятником.
12.11. a) \MZ\ < у/mb/2.
б) Финитное движение возможно при любом Mz.
322
Ответы и решения
[12.12
12.12. б) Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (см. [1],
§48, задача 1)
S = -Ei + pv(^ + у р?(£М + у
где
। /т/р ТТ тт ma + /3 р
_____________ 2
/ ty) z _ _ _ z . . _ _ z , Рф тпсх, — В ТЕ
Р-п = ±у у ~ ^(’l) = 2mrj2 ™j "2
Рис. 171
Траектория и закон движения определяются уравнениями
dS=B gS С ^-=А
д/3 ’ dpv ’ дЕ ’
т. е.
[ _ [ dri = в -Ее [ dri = с
J J зрМ 1/3 2 J £2МО 2 J р2РиМ
, m f d£ , m f di] _
4 J Pe(0 + 4 J Pv(r?) " '
(1)
Для исследования характера движения нужно определить области допусти-
мых при данных Е, pv, (3 значений £ и т]. Графики эффективных потенци-
альных энергий t^(£) и Uv(r/) изображены на рис. 171.
12.13] §12. Уравнение Гамильтона-Якоби 323
Если F = 0, то при —та < (3 < та (см. кривые а) и Е < 0 движение
как по £, так и по р финитно, при Е > 0 — инфинитно. С появлением малой
силы F > 0 на графике [/<(£) появляется максимум (см. кривые Л); при
(Л? min < Е < и^шах движение по-прежнему финитно. В «плоскости pz»
движение ограничено областью £г < £ < £2, Pi С Р С Р2 (рис. 172);
сама же плоскость pz вращается во-
круг оси z с угловой скоростью ф.
Траектория заполняет область про-
странства, образуемую вращением
фигуры ABCD вокруг оси z (см. так- д „-'''Г Т' \
же задачу 2.36). При Ugmax < Е дви- /\ / / ]\
жение инфинитно. /' xl / \с
С ростом F величина Ufmax "" 1
_ Г ;_____Г-У <1/_________[_____
уменьшается, a (74min растет. Когда ( 'Т—1 I
окажется [7^max < (7^min, финитное \ / "
движение станет невозможным (при
(3 < —та+ |(Fmp4)1/3 экстремумы Рис. 172
[7^тах вообще отсутствуют).
12.13. В эллиптических координатах, р = ау/(£2 — 1)(1 — р2), z = афр,
а = -фЬ2 — а2, потенциал
ТТ = /оо при £ > £0 = Ь/а,
I 0 при £ < £0
зависит только от £, и переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разде-
ляются (см. [1], §48).
Полный интеграл
s =
-Et + pvp ±
0 2F,/3-2m<72A^)
2mcFE 3----------
e2-i
р2
(1)
2ma2E--------
1 — р2
P2V
(l-Р2)2
dp,
где
M) = (£2-^W) = m
324
Ответы и решения
[12.14
Для частицы, пролетающей через начало координат, pv = 0. Из (1) получаем
(2)
, Д TZ rimff-if).
Pv = ±^2ma2E-T—^= р. (3)
В начале координат (г/ = 0, £ = 1)
f2ma2E — (3
7 = ±-----------, £ = 0, z = afp + rf)= ар
та
и из условия
Iff f2ma2E - /3
— cos а =-----—------
находим /3 = 2та2Е sin2 а.
Область недостижимых значений р определяется условием
2та2Е — (3/(1 — р2) < 0 или \р\ > | cosа|.
Итак, движение происходит в области \р\ < cosa|, 1 < £ < £q (заштрихо-
ванная на рис. 173 область).
12.14. Переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются в
эллиптических координатах (см. [1], §48, задача 2 при «1 = —«2 = а).
Для частицы, летящей из бесконечности вдоль оси z, постоянная (3 =
= —2тЕр2 + 4таа, где р — прицельный параметр.
При /3 < 0 траектория качественно не отличается от траектории части-
цы, рассеиваемой в поле точечного диполя (см. задачу 12.66).
При /3 > 0 частица «падает» на диполь (т. е. проходит в своем движении
через отрезок O1O2) и вновь уходит на бесконечность. Если дополнительно
pv(rf) = 0 при < 0, то частица движется в области, ограниченной
гиперболой р = (рис. 174).
12.15. В уравнении Гамильтона-Якоби
dS , 1 \(dS\2 , (dS\2 , /1 dS , e a И n m
xr + тг- Hr + Hr + {r^~ + =° t1)
dt 2m Lxdz / \ dr J \r dp 2c J J
12.15]
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
325
отделяются время и угол р:
S =-Et + р^р + S(r, z). (2)
Рассматривая далее только траектории, пересекающие ось z, положим
pv = 0. Разделить переменные г и г в уравнении не удается, и мы будем
искать интеграл его приближенно, в виде разложения по г:
_ 2
S(r, z) = S0(z) + гф(Е) + у<Ф) + • (3)
Так как радиальный импульс
рг = = 0(-г) + r<j(z) + ... (4)
для частицы, летящей вдоль оси z (при г = 0), равен нулю, то для рас-
сматриваемого пучка частиц -0(z) = 0. Подставляя (3) в (1) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях г, получаем (ср. [2], § 56, задача 2)
S0(z)=pz, (5)
2
pa'(z) + о-2 + -^Ж2(г) = 0. (6)
4с
Вне линзы (при \z\ > а, (г) = 0) из (6) следует, что
р
cr(z) = —+ при z < —а,, (7)
р
@ при z > а. (8)
326
Ответы и решения
[12.16
Уравнения траекторий
dS _ рг2 _ , ,
2(z + C1j2)2 1,2 ( )
— уравнения прямых, пересекающих ось z в точках —Ci ^,1 т. е. zq = — С±,
zi = — С2. Из (6) получаем
9
a2dz+Tl
4с2
= 0.
(Ю)
Поскольку |^o,i | а, из (7), (8) получаем
(Л- А Р
СТ(±а) = “^-
(11)
Оценим f a2 dz. Согласно (6) a(z) — монотонная функция. Поэтому
2ар2 . , Л
< ра(±а).
И.о
Таким образом, из (10)
-Х + Х
koi
е2
4с2р2
(12)
,, | | _ ср
Условие \Zq 1 У' а действительно соблюдается, если а
’ еЖ
12.16. Все вычисления предыдущей задачи до формулы (6) вклю-
чительно применимы и к этой задаче. Замена а = f'/pf приводит (6) к
виду
а затем замена
^/ = °,
xz = tg£, --
2’
7(0
cos£
дает
7" (О + А2<) = 0,
тПри z, близких к С1,2, сг оо, так что разложение (3) неприменимо. Однако уравнения
траекторий (9) остаются справедливыми и в этой области.
13.1]
§13. Адиабатические инварианты
327
где
Отсюда
а = sin £ + A cos2 £ ctg(A£ + а)
и уравнение траекторий
dS = pr2Acos2£ = в
да 2sin2(A£ + a)
или
г cos £ = В' sin(A£ + а).
При г = 0 оказывается А£п + а = тт, откуда а = —A arctg(xzo) и точки
фокусировки
= tg (arctg xz0 + )
В зависимости от величины А имеется одна или несколько точек фокуси-
ровки.
12.17.
Ж q0, t, t0) = f (q, a(q, q0, t, t0), t) - f(q0, a(q, q0, t, t0), t0),
где f(q, a, t) — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, а зави-
симость a(q, qo, t, to) определяется уравнением (системой уравнений для
случая многих степеней свободы)
df(q, a, t) _ df(q, a, t0)
да да
§ 13. Адиабатические инварианты
13.1. E2l = const.
Поясним полученный ответ. На колечко А действует сила F, определя-
емая натяжением нити Т. При малых углах отклонения маятника р сила
1 2
= mgp, Fy = ^тдр
328
Ответы и решения
[13.2
(ось у направлена вертикально вверх, ось х в плоскости колебаний). Так
как длина нити АВ = I изменяется медленно, можно усреднить силу по пе-
риоду колебаний р = ро coswt, ш = у/д/l, считая длину нити постоянной.
Получаем
Fx =0, Fy = ±тдр%.
Рис. 175
При смещении колечка на dy = dl энер-
гия убывает на Fydy = ^rngp^dl. Так как
Е = ^mglpl, то
dE = -l~dl.
I
Отсюда E2l = const.
13.2. После того, как частица столк-
нется с обеими стенками, ее скорость v изме-
няется на 2Z. Условие медленности означает,
что |2Z| <?' V.
Выберем такое время At, что
Такое At существует в силу условия медлен-
ности. За это время произойдет vAt/(21) пар столкновений со стенками, и
скорость изменится на
Av =
Интегрируя, получаем vl = const или El2 = const.
Интересно проследить подробнее как изменяется произведение vl. Это
легко сделать, воспользовавшись графиками l(t) и v(t) (рис. 175 а,б). График
I = vl представлен на рис. 175, в. Величина vl колеблется около прибли-
зительно постоянного значения (vl), причем амплитуда колебании имеет
относительную величину ~
Отклонение (vl) от постоянной имеет высший порядок малости
13.7]
§13. Адиабатические инварианты
329
13.3. Если бы g(t) = g — a(t) было постоянным, то закон движения
шарика был бы
z(7) = h - |gt2 (при - y/2h/g < t < ^2h/g').
Изменение g(t) на Ag приводит к изменению потенциальной энергии
на mzAg, а за период — на m(z)Ag, где (г) = |/z среднее по времени
значение z.
Изменение полной энергии Д(тд/г) происходит именно из-за изме-
нения потенциальной энергии. Поэтому mAg^h = E(mgh') или g£±h +
+ |/гДд = 0, откуда h ос у~1/3.
В предложенном выводе мы следуем, по существу, тем же путем, ко-
торый можно применить в общем случае для доказательства сохранения
j> pdq (см. [1], §49).
Разумеется в этой задаче (как и в других предыдущих) можно было
сразу же воспользоваться результатами общей теории.
Если плита медленно поднимается (но g(t) = const), то h = const. Это
очевидно, если скорость плиты постоянна (достаточно перейти в систему
отсчета, связанную с плитой). Если же скорость изменяется, то результат,
согласно общей теории зависящий лишь от высоты подъема плиты, изме-
ниться не может. При этом предполагается, что относительное изменение
скорости за время y/2h/g мало, плита поднимается плавно.
13.4. а) 7? = —/4 fl — V
о у2тЛ)
6) Е = -По(1 -
в) Е
г) Е
а!
y/2mUo
13.5. h ос (sin а)2/3.
13.6. а ос (sinа) |/ |.
_ Т 8mly/gl [ ( . о T’o Ts ( • Т’оА]
13.7. 1 = —LEI sm-y ] - cos2 y7<(smy ] .
330
Ответы и решения
[13.8
13.8. Обозначим через х и X координаты частиц т и М, отсчитывае-
мые от точки О. Движение легкой частицы можно приближенно рассматри-
вать как движение между двумя стенками, одна из которых перемещается.
Поскольку выполняется условие
И »\п (I)
сохраняется усредненное по периоду произведение i|X = С (см. зада-
чу 13.2). Исключая х из закона сохранения энергии
тх2 , МХ р
~ + — =Е^
находим, что влияние легкой частицы на движение тяжелой равносильно по-
явлению потенциальной энергии U(X) = Уравнение % + U(X) =
= Е приводит к закону движения X = \ — т)2. Постоянные
V 2J1/ Ni
Е, С и т могут быть определены по начальным значениям X, X и х (не
зависят от ДО)). После того как условие (1) будет нарушено, предлагаемый
способ решения задачи будет неприменим.
Подобное приближение (называемое адиабатическим) находит широ-
кое применение, например, в теории молекул.
13.9. Обозначим координаты тяжелых частиц Хц2, а легкой х. При
Xi < х < Х> потенциальная энергия
U = (x- Xjf + (Х2 - x)f = (Х2 - ХД/.
Поэтому легкая частица свободно движется между тяжелыми, и
|Д(Х2 — Х1) = С = const
(см. предыдущую задачу). С учетом этого из закона сохранения энергии для
относительного движения тяжелых частиц (X = Х2 — Xi) получаем
Л/ ,>2 । тС2 i /у Z7
+ — + fX = E.
Разлагая (7Эфф(Х) = + fX вблизи минимума Xq = (mC2//)1/3,
2-Х
находим частоту малых колебаний «иона»
2 2П"(Хр) _____
ш М МХ0 ’
13.10]
§13. Адиабатические инварианты
331
13.10. В уравнениях для Р и Q
Q=w+^sin2Q, Р=- F^cos2Q
р = р0
разложим частоту в ряд по t. Ограничива-
ясь поправками первого порядка, получим
1
воз-
Рис. 176
где и _ значения частоты и ее про-
изводной в момент времени to = 0, причем
Q — (що^+9?) + н^о^2 + у~
Фаза Q и амплитуда
мущенного движения относительно мало
отличаются от своих невозмущенных зна-
чений Qo = wot + р и Ао = у даже
для промежутков времени, много больших
периода колебаний 2тг/с<э) (рис. 176).
Так, для моментов времени t ~ 1/ecjq второй член в (1) порядка еди-
ницы, а третий — порядка е, и поэтому
Q — ^ot + Р — Лэ-
Но такое изменение фазы приведет к тому, что в переменных р, q возму-
щенное движение
q(f) = Ао cos^oi + ¥ +
будет существенно отличаться от невозмущенного
q0(t) = Ао cos(cj0i+ р),
332
Ответы и решения
[13.12
так что разница
9Й - 9o(i) ~ 9o(i)-
При попытке строить теорию возмущений для переменных q и р мы полу-
чим для поправки первого порядка 91 (t) уравнение
Qi + Wq9i — —2<jjQ(jjQtAo cos(wq£ + <£>)
с растущей во времени резонансной силой. Поэтому полученное в такой те-
ории решение справедливо лишь для малых промежутков времени порядка
нескольких периодов колебаний
13.12. Преобразуем функцию Гамильтона системы
2
Н(х, p,t) = +
2m
9 9
тш х - xF(t) = E(f)
(1)
к виду
р2
2m
\
F \
mw2 /
Отсюда видно, что фазовая траектория представляет собой эллипс, смещен-
ный вдоль оси х на расстояние Р/тх2, с полуосями
2nii?
— < —.
2
9
2
2Е , F2 Е v.F2
2 ГА’ Ъ — \!2тЕ
ш т ш V &
Адиабатический инвариант с точностью до множителя совпадает с пло-
Z7T
щадью этого эллипса
т г , E+(F2/2mw2)
2w
(2)
Здесь
2mw
имеет смысл энергии колебаний вблизи смещенного положения равновесия
(ср. с задачей 5.16). Подставляя в (2) значение Е из (1), можем представить
13.15]
§13. Адиабатические инварианты
333
результат в виде
[i(O) + zwa:(0)]
(Здесь для величины х + шх использованы соотношения (22.9), (22.10)
из [1]). Интегрируя по частям, получим
t
I(t) = 1(0) + ' } [ F(t) sinwi dt—
J
0
t t
i [40) - ® ] / F(t) cos M+^\j F(t)e^ dt |2.
о 0
Таким образом, если сила изменяется медленно, то I(t) осциллирует вбли-
зи 7(0). Если F(t) const при t оо, то полное изменение адиабатиче-
ского инварианта /(оо) — 1(0) может быть очень малым (см. задачу 5.18).
13.13. FV5/3 = const.
2 /12 J2 12\
13.14. а) Е = F— I -d- + + -Е I, где а, Ь, с — длины ребер парал-
dm \ др с2 /
лелепипеда, a Ik = const.
б) Сохраняются абсолютные величины проекции скорости на каждое
из ребер.
13.15. Переменные разделяются в сферических координатах. Момент
импульса М сохраняется строго (Mz является, кроме того, адиабатическим
инвариантом, соответствующим углу ip). Адиабатический инвариант для
радиального движения R
^ = 1 / (!)
Зависимость E(R) можно выяснить, не вычисляя интеграла (1). Замена
г = Rx дает
1 I--------------
Ir = | У JzmER2 -^-dx = Ir(ER2, М), (2)
334
Ответы и решения
[13.16
откуда ER2 = const. Поэтому для угла падения а
• ^min
sin а = —р—
R
- = const.
\/2mER
2
13.16. а) Е (х 72 п;б)Е<Х7 х.
13.17. Приравнивая значения адиабатического инварианта до и после
включения поля
-U — 3U dr
получаем
ЗЕ = (3U) =
13.18. Е = 7101 + (обозначения задачи 6.5 а). Траектория за-
полняет прямоугольник |Qi| < "У/|Q| 1, IQ2I С "У7_>Q2 '
Условия применимости теории адиабатических инвариантов:
|Qi|<Q2, |Qj| < О,|Qi| (г = 1,2).
Вне области вырождения эти условия сводятся к таким же условиям, нало-
женным на wi(t). В области вырождения (|w2 — w2| ~ а) второе условие
оказывается более жестким и дает |wi| <7 а (область вырождения прохо-
дится за время, гораздо большее периода биений).
13.19. В отсутствие связи аху система распадается на два независи-
мых осциллятора с координатами х и у. Соответствующие адиабатические
Е Е
инварианты 1Х = 1у = -Е2, где Ех и Еу — энергии этих осцилляторов.
При учете связи система состоит из двух независимых осцилляторов
с координатами Qi и Qz- Если частота изменяется достаточно медленно,
то сохраняются
Oi’
Т _ Е%
2 “ П2’
13.20]
§13. Адиабатические инварианты
335
Вне области вырождения нормальные колебания сильно локализованы,
а именно при иц < оказывается Qi = х, Q? = у, а при иц > х->
Q± = +у, Q-2 = —х. Таким образом, при цц < х-> оказывается 1Х = В,
Iy = h, при Ш2 < (Xi наоборот, Ix = 1%, Iy = Ii (рис. 177).
Рис. 177
Рис. 178
Проиллюстрируем это следующим примером. Два маятника, длина од-
ного из которых может медленно изменяться, связаны пружинкой малой
жесткости (рис. 178). При значительной разнице длин маятников I и L нор-
мальные колебания почти совпадают с колебаниями одного или другого
маятника.
Пусть вначале маятник АВ колеблется с амплитудой р0, а маят-
ник CD — с очень малой. При уменьшении L амплитуда колебаний маятни-
ка CD остается малой, пока длина его не станет почти равна I. При L « I
амплитуда его возрастает (а при I = L оба маятника будут колебаться с ам-
плитудами, равными в противофазе). С дальнейшим убыванием L почти
вся энергия перейдет к маятнику CD, и амплитуда его станет равной р± =
/ , ч 3/4
= ро ( у ) , как для отдельного маятника.
\ J-J /
При сравнительно быстром прохождении области вырождения З» а?
подобной перекачки энергии между осцилляторами не происходит. Если,
кроме того, Wi С то сохраняются 1Х и 1у.
13.20. Из уравнений движения
х + w2x + 2/Зху = 0, (1)
у + wly + (Зх2 = 0, (2)
легко обнаружить, что связь осцилляторов приводит к большой передаче
энергии при 2cji « Ш2-
336
Ответы и решения
[13.21
Рис. 179
можно было использовать
Пусть х = a(i) cos(wii + р), у = b(t) + ф). Если а Рр Ь, то
член (Зх2 = i/За2 + ^/За2 cos(2o?i + 2ip) в (2) играет роль вынуждающей
силы, приводящей к резонансному росту у. Если же « <У" 6, то член 2(3ху =
= 2/ЗЬх cos^ai+V’) в (1) приводит к параметрической раскачке колебаний х.
Подробное исследование системы (1) и (2) можно найти в задаче 8.10.
Область резонансного взаимодействия: |2wi — ш2| < (ЗЬш± х.
Сильное резонансное взаимодействие ос-
цилляторов имеет место, вообще говоря, при
условиях пар = тш2, где пит — целые чис-
ла. Однако ширины областей частот, в которых
осуществляются эти резонансы, при не очень
малых пит чрезвычайно малы (см. [1], §29).
Поэтому их влиянием на движение осциллято-
ров можно пренебречь при cL>i не слишком ма-
лых (хотя и достаточно малых для того, чтобы
теорию адиабатических инвариантов).
13.21. Пусть частица, движущаяся в плоскости ху под малым углом
к оси у (|±| |у|), отражается от оси х и от кривой уо(х) (рис. 179).
Если считать закон движения в направлении оси х известным, то можно
исследовать движение в направлении оси у, рассматривая x(t) как медленно
изменяющийся параметр. Сохраняется адиабатический инвариант $ pydy =
= 2|ру = 2,тгI, и это равенство определяет зависимость ру(х).
13.22. tg ахт = tg <р, Т
Для определения же x(t) можно
использовать закон сохранения энергии
гп2х2 + Ру(,х) = 2тЕ. Минималь-
ное расстояние жт;п определяется усло-
вием р2(ттН1) = 2тЕ. Подставляя
Уо(х) =xtga, 2тг1 = 2\/2mEl tg a cos р,
получаем a:min = I cos i/?q.
Решение задачи методом отражений
очевидно из рис. 180. Этот метод дает
точное решение, применимое при любых
углах о и но не может быть обобщен
на случаи, когда уо (ж) не является прямой.
2тг
avi/cos
13.23]
§13. Адиабатические инварианты
337
13.23. а) Задача о движении частицы в магнитном поле при указанном
выборе векторного потенциала сводится к задаче о движении гармониче-
ского осциллятора (см. задачу 10.7). Адиабатический инвариант
I Е-р2/2т
где а = Ст^ — радиус орбиты частицы (см. [2], § 21).
еЖ
Соотношение I <х тга2 /С допускает простую интерпретацию: радиус
орбиты изменяется так, что поток магнитного поля через площадку, охва-
тываемую ею, остается постоянным. Расстояние центра орбиты от плоско-
сти yz, равное xq = с ростом уменьшается.
еЖ
Возникновение дрейфа орбит связано с появлением электрического по-
ля S = — = (б, — px-'/f; о) при изменении магнитного поля (ср. [2],
с ot \ с /
§22).
Векторы электрического поля S и ско-
рости v ip для различных положений орби-
ты частицы показаны на рис. 181.
б) Функция Гамильтона в цилиндриче-
ских координатах
9 9
+ _/£
2т 2т
1
2тг2
Интегралами движения являются pz и pv.
Адиабатический инвариант для ради-
Рис. 181
ального движения
-к!г
после замены г = Ж 1/>2( принимает вид
1 Интересно, что 1Г фактически не зависит от pv при pv
г, п <ЭА
> 0. Действительно, —— пред-
ставляет собой изменение угла за время одного радиального колебания, а при > 0
начало координат лежит вне траектории (см. рис. 98,6), и потому Лер = 0.
338
Ответы и решения
[13.24
Рис. 182
Поэтому Е± /.У€ = const, т. е. энергия поперечного движения изменяется
так же, как в пункте а). Расстояние центра орбиты от начала координат
rmax + ’’min Стах + (min 1
2 2л/ж
С ростом /С центр орбиты приближается к началу координат (рис. 182).
При изменении .У€ появляется электрическое
П°Ле gv = -^, gr = gz=0,
силовые линии которого представляют собой за-
мкнутые окружности.
В реальных условиях однородное магнитное
поле может существовать только в ограниченной
области пространства. Электрическое поле, появля-
ющееся при изменении магнитного, очень сильно зависит от формы этой
области и условий на ее границе (см. [2], §21). Например, поле, рассмот-
ренное в случае а), осуществляется вблизи проводящей плоскости с током,
в случае б) — в соленоиде1.
Сильная зависимость характера движения частицы от слабого поля §
даже в случае предельно малых объясняется наличием вырождения (при
JSf = const периоды движения по двум координатам ж, у или г, р совпада-
ют).
Заметим, что величина Е_р'Е; оказалась адиабатическим инвариантом
в обоих случаях. Можно показать, что этот результат не зависит от выбора А
(см. [2], §21; [8], §25).
13.24. Выбрав векторный потенциал в виде
Av = ^(t),
получаем адиабатические инварианты
L
(1)
Р<р 1
2-p2v-m\^=Ir{pv,C),
(2)
'Изменения электрического поля, связанного с изменением выбора А, не было бы, ес-
ли бы одновременно был изменен скалярный потенциал на величину (градиентное
преобразование).
13.25]
§13. Адиабатические инварианты
339
где
ЪтЕх+еУСр^/с
y/w2 + (еУС/тс)2
Таким образом,
тс тс I /2 I ( сУС \
Ez ос w, Е± + -—pv <х \ се2 + --- . (3)
2тс V \2mc7 ' 7
Векторный потенциал (1) задает магнитное поле, симметричное отно-
сительно оси г, проходящей через центр осциллятора.
При другом выборе А
AX = AZ=O, Ау=хУС(1) (4)
получаем фактически другую физическую задачу. Функции Лагранжа в этих
двух задачах отличаются на
^ = ^^ху) ~Тс^Ху^ (5)
т. е. отличие их, если отбросить в (5) несущественную полную производную
по времени, очень мало.
В предыдущей задаче, где движение было вырождено, именно появле-
ние этой добавки приводило к полному изменению направления и скорости
дрейфа орбиты. В нашем же случае движение осциллятора при УС = const
невырожденное, и добавка может быть отброшена (ср. с задачей 13.19).
Поэтому соотношения (3) справедливы и при другом выборе А. При прохо-
ждении области вырождения (УС = 0) соотношения (3) сохраняются только
для аксиально-симметричного поля (1). Поведение же осциллятора, напри-
мер, в поле (4) при прохождении УС через нуль требует дополнительного
исследования.
13 .25. а) С помощью канонического преобразования можно приве-
сти функцию Гамильтона к сумме двух независимых осцилляторов (для
X, У; см. задачу 11.9). Адиабатическими инвариантами являются отноше-
ния энергии каждого из этих осцилляторов к его частоте.
Напомним, что колебания каждого из них представляют собой движе-
ние по эллипсу (см. задачу 6.36). Выраженные, например, через амплиту-
ду ak колебаний вдоль оси х, адиабатические инварианты равны
так ~ ^1^2 +
Q2 — ш2
(к = 1, 2).
340
Ответы и решения
[13.27
При изменении параметров системы к новой функции Гамильтона добавля-
ется также частная производная производящей функции по времени, рав-
ная1 X(mw2XY + РхРуЭта добавка мала (А < ЦД, и ее можно
не учитывать, если только собственные частоты не совпадают (ср. с зада-
чей 13.19). Случай вырождения при иц = и>2 и магнитном поле, проходящем
через нуль, требует отдельного рассмотрения.
При другом выборе векторного потенциала, приводящего к тому же
магнитному полю, но другому электрическому, S = адиабатиче-
с at
ские инварианты оказываются прежними (опять за исключением случая
(сс’| = 1^2, = 0).
Если иц = Ш2, то возможен и другой выбор адиабатических инвариан-
тов (см. предыдущую задачу).
б) Пусть для определенности иц > u>2- Движение происходит по окруж-
/ W1
ности радиуса а, / --с частотой шцентр же окружности перемещается
у
по эллипсу с полуосями, параллельными осям х и у и равными
у/+ W2)
с частотой 1^2/Д 7у.
в) Колебание будет происходить почти вдоль оси у; амплитуда его уве-
личится в у/ст/со'2 раз (ср. с задачей 13.19).
13.27. а) Движение частицы в плоскости ху происходит под дей-
ствием медленно изменяющегося (из-за смещения вдоль оси z) магнитного
/ е YE (z)
поля. При этом сохраняется адиабатический инвариант = Ej_ / ———
(см. задачу 13.23). Из закона сохранения энергии имеем
mz2 , т e^(z)
2 тс
= Е.
вычисление частной производной производящей функции можно упростить, используя
следующие соображения.
При переходе от момента t к t + 5t необходимо совершить дополнительно каноническое
преобразование, соответствующее переходу от А к А + 5Х. Такое преобразование задается
производящей функцией Ф(Х, У, Рх, Ру) = ХР'х + YPy + dXirrtujoXY + PfxPy /mwz)
(см. задачу 11.17). Поэтому I = X(rnwzXY + PxPy
ut 1<5А—>0
13.29]
§13. Адиабатические инварианты
341
Частица движется в направлении оси z так, как двигалась бы в потенци-
альном поле t/(z) = тс . Период колебаний (ср. с задачей 2 6 из [1],
§И)
rj-y_ 2тга
vy/X sin2 а — cos2 а
где а — угол между скоростью частицы v и осью z в начале координат. Ча-
стицы, для которых ctg2 а > А, не удерживаются в ловушке. Условие при-
менимости теории адиабатических инвариантов заключается в том, чтобы
изменение магнитного поля за один оборот частицы было мало. Это дает
mcXvz аеА^о-
Примером магнитной ловушки могут служить радиационные пояса
Земли (подробнее о ловушках см. [29]).
б) Т = 2?ra/wsina:.
13.28. а) (ХЕ± — Е^а2 = const, /3 /.Уо = const, Е = Е± + Ez;
б) Е±/= const, EZ\J/а = const.
13.29. Пренебрегая в функции Гамильтона
н = Рг + Ре + Ру _ е^Ру + еЖ2г2 sin2 9
2m 2mr2 2mr2 sin2 9 2ст 8тс2
последним членом, квадратичным по АУ, можем разделить переменные в
уравнении Гамильтона-Якоби.
Адиабатические инварианты имеют вид
2
-^-dO = Io(pv, (3),
sin 9
effipv
2mc
Таким образом, при медленном
изменении .У величины
Ру, Р=Ро +
sin2 9
2тс
остаются постоянными.
342
Ответы и решения
[13.30
13.30.
Рх . ТГШ2Х2 ТХ Ру , о 2 2 ТХ
О---1--5— = Еъ Б------H2nw?/ =Е2,
2т 2 2т
/ 2 2 2 2 \ । л
(тих Рх)У + хРхРу = А,
(m2w2x2 — р2х)ру — 2тшхрху = А}.
13.31. a) w = Arctg^,
2
mxq
2
Эти переменные удобны, например, для построения теории возмущений
(см. задачу 13.9).
б) Пусть вначале частица движется вправо от точки х = 0, причем мы
выбираем S так, что 5 = 0 при х = 0. Тогда
где
о
Рис. 183
= ml — та
2л/2т
3mF ’
При движении влево
т\2/3
т] — Fx
-1 3/2
fL \р\ = \/2т(Е -xF).
Г
= ml + та
и т. д. При п-м колебании
S = (2п — 1)1 та
т\2/3
m] — Fx
X 2/3 1 3/2
Й -Fx
-1 3/2
(верхний знак отвечает движению вправо, нижний — вле-
во; рис. 183). Функция S(x, I) служит производящей
функцией для перехода к новым каноническим переменным действие-угол
(см. [1], § 49). Новые переменные связаны со старыми следующим образом:
S =
о
I =
S =
о
2 - [(2п- 1>
3
р=2а
13.32]
§13. Адиабатические инварианты
343
2тг 4тг бтг w
Рис. 184
причем х является периодической функцией w (a w — неоднозначной функ-
цией х; рис. 184).
13.32. Из равенства
Р =
\/2т(Е — U)dx
находим
Р2 , V_ , тУУ
2та2 2 gp2
Укороченное действие
при па < х <
у/2т(Е — V) |aJ +
+ V2mE ( j + (п — 1)Р
при
Исключив Е, получаем производящую функцию рассматриваемого канони-
ческого преобразования
при па < х <
S0(x, Р) = <
ma2V ( Р _ таУ \ ,
2Р \а 2Р ) +
+ (п — 1)Р
при [п+^)а<я:<(п-|- 1)а.
344
Ответы и решения
[13.32
Из равенств
n_dSo
4 ЭР’
dS0
Р=^
находим
Р(Р, Q)
' Р . таУ
а + 2Р
Р _ таУ
а 2Р
при п — 1 < Q < 1 ~п 2’
при п - | < Q < < п,
{Q + 1-п
1 - (та2У/2Р2)
Q + 1/2- тг п
1 + (та2У/2Р2) 2
при n — 1 < Q < п — ,
при п — < Q < п.
Переменные Р, Q аналогичны переменным действие-угол, величина aQ
представляет собой среднюю скорость частицы.
Литература
[1] Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Механика, «Наука», 1988.
[2] Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля, «Наука», 1988.
[3] Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, Госте -
хиздат, 1992.
[4] Г. Голдстейн, Классическая механика, «Наука», 1975.
[5] Д. тер Хаар, Основы гамильтоновой механики, «Наука», 1974.
[6] В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, «На-
ука», 1974.
[7] Л. И. Мандельштам, Лекции по теории колебаний, «Наука», 1972.
[8] Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в
теории нелинейных колебании, Физматгиз, 1958.
[9] Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев, Динамика неголономных систем, «Нау-
ка», 1967.
[10] Е.Янке, Ф.Эмде, Ф. Леш, Специальные функции, «Наука», 1964.
[11] Н. Мотт, Г. Месса, Теория атомных столкновений, «Мир», 1969.
[12] Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантованных по-
лей, «Наука», 1976.
[13] Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, Гостехиздат,
1951.
[14] Г. С. Горелик, Колебания и волны, Физматгиз, 1959.
[15] Дж. В. Стрэтт (лорд Рэлей), Теория звука, т. I. гл. IV, Гостехиздат, 1940.
346 Литература
[16] А. М. Бонч-Бруевич, Радиоэлектроника в экспериментальной физике,
«Наука», 1966.
[17] М. В. Волькенштейн, Л. А. Грибов, М. А. Ельяшевич, Б. И. Степанов,
Колебания молекул, «Наука», 1972.
[18] Ч.Киттель, Введение в физику твердого тела, Физматгиз, 1962.
[19] И. А. Кунин, Теория упругих сред с микроструктурой, «Наука», 1975.
[20] Дж. П. Ден-Гартог, Механические колебания, Физматгиз, 1960.
[21] Э. Ферми, Научные труды, т. I, стр. 440, «Наука», 1971.
[22] Н. Бломберген, Нелинейная оптика, Приложение I, §§ 5, 6, «Мир»,
1966.
[23] Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Статистическая физика, гл. XIV, «Нау-
ка», 1995.
[24] Ф. Стейси, Физика Земли, «Мир», 1972.
[25] И. М. Лифшиц, М.Я.Азбель, М. И. Каганов, Электронная теория ме-
таллов, «Наука», 1971.
[26] Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, «Высшая школа», 1961.
[27] А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рассеяния, реакции и рас-
пады в нерелятивистской квантовой механике, «Наука», 1971.
[28] Р. Calogero, О. Ragnisco, Lettere al Nuovo Cimento 13, 383 (1975).
[29] Л. А. Арцимович, С. Ю. Лукьянов, Движение заряженных частиц в
электрических и магнитных полях, «Наука», 1972.
[30] М. Ш. Рывкин, Доклады Академии наук, 221, №1 (1975).
[31] В. В. Соколов, Ядерная физика, 23, 628 (1976); 26, 427 (1977).
[32] Ф.Рейф, Scientific American, №12 (1964).
Глеб Леонидович Коткин
Валерий Георгиевич Сербо
Сборник задач по классической механике
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Корректор О. Ю. Кучеренко
Подписано к печати 30.07.01. Формат 60 х 841/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 20,46. Уч. изд. л. 20,58.
Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1.
Тираж 1000 экз. Заказ №
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ГИПП «Вятка».
610033, г. Киров, ул. Московская, 122.