НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИКА
УЧЕБНИК
ДЛЯ ДЕСЯТЫХ-ОДИННАДЦАТЫХ
КЛАССОВ
СРЕДНИХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
ЧАСТЬ I
НОВОСИБИРСК * 2000

УДК
мзз
А. А. Никитин, B.C. Белоносов, М.П. Вишневский,
В. В. Войтишек, Т. И. Зеленяк, А. А. Мальцев,
А. С. Марковичев, Ю. В. Михеев, А. И. Саханенко, Д. М. Смирнов
Под редакцией
А. А. Никитина
МЗЗ
Математика: Учебник для десятых-одиннадцатых классов
средних общеобразовательных учебных заведений. Часть I.—
Новосибирск: Издательство ИДМИ, 2000. — 256 с.
ISBN 5-88119-060-2
Учебник подготовлен в рамках проекта "Индивидуализация обучения на
основе личностно ориентированного учебного плана общеобразовательной школы".
Научный руководитель проекта — В. Д. Шадриков, академик Российской
академии образования, доктор психологических наук, профессор.
Руководитель авторского коллектива и главный редактор — А. А. Никитин,
член-корреспондент Российской академии образования, доктор
физико-математических наук, профессор.
м 1602000000
1V1 14Б(03)-00
ISBN 5-88119-060-2
(£) B.C. Белоносов, М.П. Вишневский, ВВ.
Войтишек, Т. И. Зеленяк, А. А. Мальцев, А. С.
Марковичев, Ю. В. Михеев, А. А. Никитин, А. И. Саханенко,
Д. М. Смирнов, 2000

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга является единым учебником по математике для
старших классов средних общеобразовательных учебных заведений без
традиционного разделения на геометрию и алгебру с элементами
математического анализа. Такой подход, с одной стороны, отражает
единство математики как науки, а с другой — позволяет учителю гораздо
свободнее планировать учебный материал, исходя из реально
сложившейся ситуации.
Еще одна особенность учебника — три уровня изложения,
отличающиеся не только объемом, но, главным образом, глубиной и
сложностью изучаемого материала. Первый уровень содержит те сведения,
умения и навыки, которые необходимы каждому человеку. Второй
уровень предполагает изучение математики в объеме, достаточном для
последующего обучения в техническом вузе. Наконец, третий уровень
должен способствовать углубленному изучению предмета, подготовке
к продолжению образования на математическом факультете
университета.
Материал первого уровня может изучаться независимо от второго
и третьего, а материал второго не зависит от изучаемого на третьем
уровне. Разделы, относящиеся ко второму уровню, отмечены в тексте
звездочкой, а материал третьего уровня — двумя звездочками.
Учебник состоит из двух частей. Первая часть рассчитана на
изучение в 10 классе и содержит начальные сведения по стереометрии,
элементарным функциям и теории вероятностей. Во второй части
будет осуществлен переход к систематизированному изучению
стереометрии на основе аксиоматики и применению методов математического
•анализа к исследованию функциональных зависимостей. В основном

4
Предисловие
содержание второй части рассчитано на изучение в 11 классе, однако,
некоторые темы можно перенести и в 10 класс.
Каждая часть состоит из глав, разбитых на параграфы. В свою
очередь, параграфы делятся на более мелкие разделы — пункты. К
каждому параграфу предлагаются контрольные вопросы и задания,
задачи и упражнения, а к каждому пункту — подходящий "открытый
вопрос".
Наличие открытых вопросов также составляет важную особенность
изложения учебного материала. Рассмотрение ответов на такие
вопросы обязательно при изучении каждого пункта. Открытый вопрос не
является контрольным. Ответ на него не всегда однозначен. Более
того, иногда сознательно предполагается, что существует несколько
различных правильных ответов. Многие ответы можно найти на
страницах учебника, а в некоторых случаях их подсказывает окружающая
действительность. Часто именно ответ на открытый вопрос дополняет
материал пункта до логического завершения.
Авторы учебника выражают чувство искренней признательности
В.Д. Шадрикову, выдвинувшему концепцию проекта
"Индивидуализация обучения на основе личностно ориентированного учебного
плана общеобразовательной школы".

ЧАСТЬ I
МАТЕМАТИКА 10

ПРИБЛИЖЕННЫЕ
ВЫЧИСЛЕНИЯ
В этой главе вы познакомитесь с
исходными понятиями вычислительной
математики: приближениями,
погрешностями, округлением, приближенными
вычислениями. Некоторые из этих понятий
упоминались ранее, а некоторые — совсем
новые. Вам станет понятно, что в работе
калькулятора нет ничего таинственного.
Она основана на простых математических
формулах и закономерностях, знание
которых позволяет во многих случаях
вообще обойтись без калькулятора, выполнив
нужные вычисления с помощью
карандаша и бумаги.
§ 1. ОТКУДА "БЕРЕТ" ОТВЕТЫ КАЛЬКУЛЯТОР?
1.1. Достижения науки и техники так прочно вошли в нашу жизнь,
что мы их даже не замечаем. Садясь в автобус, включая
телевизор или нажимая на клавишу калькулятора, мы редко интересуемся
устройством и принципами работы этих машин и приборов.
Большинство людей почти ничего об этом не знает. Если же всерьез
задуматься о работе калькулятора, то можно прийти к весьма интересным и
удивительным выводам.
Попробуем извлекать квадратные корни с помощью простейшего
1
глава

8
Глава 1. Приближенные вычисления
восьмиразрядного калькулятора, имеющего клавишу |_/J. Набрав
какое-нибудь восьмизначное число, например, 12345678 и нажав на к!
мы немедленно получим приближенное значение квадратного корня
с восемью знаками: 3513,6417. Чтобы в этом убедиться, достаточно
число 3513,6417 возвести в квадрат:
(3513,6417)2 = 12345677,99597889.
Можно повторять эту процедуру с другими числами, и каждый раз
вы получите близкое к точному значение квадратного корня.
В отдельных случаях, например, для
чисел 4, 16, 25 и некоторых других,
калькулятор вообще укажет точные значения
квадратных корней 2, 4, 5 и так далее.
Вопрос. Что называется квадратным
корнем из положительного числа а?
1.2. Спрашивается, откуда
калькулятор "берет" значения квадратных
корней? Неужели в его электронной
памяти записана полная восьмизначная
таблица корней из всех целых чисел от 1 до
99999999?
Несложный подсчет показывает, что этого не может быть. В самом
деле, как вам уже известно, электронные вычислительные устройства
оперируют с числами, записанными в двоичном коде. Переписав,
например, число 99999999 в двоичной системе счисления, получим 27-
значное выражение:
101111101011110000011111111.
Будем предполагать, что для записи любого из квадратных корней
с восемью десятичными знаками также используются 27 двоичных
разрядов. Значение двоичного разряда может быть либо 0 либо 1.
Программисты применяют термин бит для обозначения информации
о значении двоичного разряда. Тогда для хранения всей таблицы
корней потребуется почти 27 • 108 битов.
Восемь битов составляют один байт, 210 байтов — килобайт, а 210
килобайтов — мегабайт. В одном мегабайте содержится 23 • 210 • 210 =

§ 1. Откуда "берет" ответы калькулятор?
9
= 223 битов. Значит, понадобится 27 • 108 : 223, более 300 мегабайтов!
Такой памяти нет пока не только у карманного калькулятора, но и у
многих персональных компьютеров.
Вопрос. Как записать число 1234 в
двоичной системе счисления?
1.3. Раз нельзя запомнить всю
таблицу корней, значит, надо "научить"
калькулятор при каждом нажатии на [\£j
заново извлекать квадратный корень из
заданного числа. Но здесь возникает
принципиальный вопрос: как это сделать, если
электронные вычислительные
устройства могут выполнять только простейшие арифметические
действия с двоичными числами — сложение, вычитание, умножение и
деление? Иными словами, как свести задачу о приближенном
вычислении квадратных корней к четырем действиям арифметики?
Подобные задачи изучает целая отрасль науки — вычислительная
математика. Эта отрасль зародилась и развивается с незапамятных
времен. В наши дни она достигла впечатляющих успехов и
позволяет не только извлекать квадратные корни, но и решать сложнейшие
проблемы.
Вопрос. Допустим, что вы умеете только складывать целые
числа. Как при помощи операции сложения вычислить 210?
Контрольные вопросы и задания
1. Какое наибольшее целое число можно записать четырьмя
цифрами в двоичной системе счисления?
2. Что такое бит, байт, килобайт?
3. Как вы представляете себе предмет изучения вычислительной
математики?
Задачи и упражнения
1. С помощью калькулятора найдите квадратные корни из чисел:
3; 21; 56; 16129; 4,1; 0,42; 0,078; 4,41: 2,25: 22,5.

10
Глава J. Приближенные вычисления
2. Сколько битов понадобится для записи чисел: б; 12; 49; 72; 127;
128; 129?
3. Как выразить несколькими сложениями и вычитаниями
умножение заданного числа п на 5; 7; 11? Попытайтесь использовать
для этого как можно меньше сложений и вычитаний.
§2. СЕМЬ РАЗ ОТМЕРЬ...
2.1. В этом параграфе мы вновь обратимся к вопросу об
измерении величин. Эта задача совсем непроста даже тогда, когда значения
измеряемых величин выражаются целыми числами, а само измерение
сводится к счету. Точный ответ удается найти очень редко.
Сравнительно просто пересчитать число учеников в классе или число страниц
в не очень толстой книге. Попробуйте, однако, сосчитать число волос
на голове или число зерен в килограмме риса и вы поймете, что это
практически невозможно сделать, ни разу не ошибившись!
В подобных ситуациях прибегают к
специальным приемам, облегчающим
процедуру счета, но дающим лишь
приблизительное, ориентировочное значение.
Можно, например, сосчитать число зерен в
одном грамме риса, а результат умножить
на 1000. Получившееся значение,
разумеется, не будет точным ответом, но
оно даст наглядное представление о нем,
вполне пригодное для решения многих
практических задач.
Попытки получить абсолютно точный
результат в данном случае совершенно
бессмысленны: стоит взять помельче рис
или слегка ошибиться при взвешивании
и ответ станет другим. Иногда
приближенное значение даже лучше, так как его
легче себе представить и запомнить. К
примеру, для описания количества зерен
в килограмме риса число 220000 гораздо

§ 2 Семь раз отмерь ...
11
удобнее, чем 223561 или 218734.
Вопрос. Какие способы приблизительного подсчета числа волос
на голове могли бы вы предложить?
2.2. Методы приблизительного подсчета больших количеств
возникли, в частности, в связи с задачами измерения таких величин как
длина, время, масса, температура и некоторых других. Основная идея
этих методов — построение приближений сверху и снизу. Напомним
процедуру последовательных приближений на примере задачи о
взвешивании.
Предположим, что нам нужно взвесить
большое яблоко на чашечных весах,
причем каждая гирька, находящаяся в
нашем распоряжении, имеет массу 10
граммов. Поставив на одну чашку весов
яблоко, а на другую 10 гирек, мы обнаружили,
что яблоко перевесило. Значит, его масса
больше 100 граммов. В таком случае 100
граммов будут приближением снизу (с
недостатком) для неизвестной массы
яблока.
Сравним теперь яблоко и 15 гирек. Допустим, что гирьки
перевесят, тогда 150 граммов будут приближением сверху (с избытком) для
массы яблока.
Найдя приближения сверху и снизу, мы сможем гарантировать,
что искомая масса заключена между ними. Однако, зазор от 100 до
150 граммов слишком велик. Сюда попадут, например, 102,3 и 149,78
грамма. Такой "разброс" допустимых значений для массы яблока
нас вряд ли устроит.
Можно уточнить результаты
взвешивания, если выполнить еще один шаг в
построении приближений: найти
приближение снизу, большее 100 граммов, и
приближение сверху, меньшее 150 граммов.
Предположим, что на этом шаге 12 гирек
оказались легче яблока, а 13 — тяжелее.
Тогда масса яблока будет заключена уже

12
Глава 1. Приближенные вычисления
в интервале от 120 до 130 граммов.
Большинство из нас сочтет найденные значения вполне
удовлетворительными. Тех же, кто захочет и дальше продолжать процесс
последовательных приближений, ожидает большое разочарование. При
увеличении приближения снизу еще на 10 граммов получится уже
приближение сверху! Гирька в 10 граммов чересчур велика, а
других, по предположению, у нас нет. Здесь мы сталкиваемся с типичной
для любого измерения трудностью — ограниченными возможностями
измерительных приборов, в данном случае — гирек. Имея в запасе
гирьки массой в 1 грамм, процесс приближений можно было бы
продолжить и обнаружить, что масса яблока принадлежит, например,
промежутку от 127 до 128 граммов.
Заметим, что несмотря на большое количество приближений
точного значения массы так и не удалось найти. Мы лишь установили
границы интервала, в котором находится это значение.
Все сказанное остается справедливым и при измерении любых
других величин: точное значение измеряемой величины принадлежит
промежутку на числовой прямой, левым концом которого является
приближение снизу, а правым — приближение сверху. Если о
величине больше ничего не известно, то она в принципе может оказаться
равной любому значению из этого промежутка. Поэтому
всякое число, заключенное между приближениями сверху и снизу,
может считаться приближенным значением измеряемой величины.
Данное правило не всегда следует понимать буквально. Иногда
нужно сделать оговорки, учитывающие природу измеряемых величин.
Пусть, например, речь идет о числе жителей в городе. Допустимые
значения такой величины — положительные целые числа, поэтому
и приближенными значениями могут быть не какие угодно, а только
натуральные числа из интервала между приближениями с избытком
и недостатком.
Вопрос. Сколько учеников в классе, если их число больше 32 и
меньше 35, причем девочек на 3 больше, чем мальчиков?
2.3. Пусть о — неизвестное точное значение некоторой величины,
для которого найдены приближения снизу а\ и сверху аг-
Обозначим через b какое-нибудь приближенное значение данной величины
из промежутка [ai; а^\. Погрешностью этого приближения называет-

§ 2. Семь раз отмерь ...
13
ся разность d = а — Ь. Зная приближение 6 и его погрешность d, точное
значение нетрудно найти по формуле а = 6 + d.
Точность приближения удобно характеризовать модулем
погрешности d. Чем меньше |d|, тем лучше, точнее данное приближение.
Абсолютная величина (модуль) погрешности называется абсолютной
погрешностью.
Поскольку точное значение а
неизвестно, то и абсолютная погрешность того или
иного приближения b также найдена быть
не может. Тем не менее, в большинстве
случаев ее можно оценить сверху, то есть
найти число, заведомо превосходящее эту
погрешность. В самом деле, изобразим
точки а, 6, а\ и аг на числовой прямой.
о>\ а Ь «2
Погрешность приближения, то есть разность d = а — Ь,
заключена в промежутке а\ — Ь < d < аг — 6, границы которого дают оценку
абсолютной погрешности \d\. Она не больше максимального из
чисел |ai — b\ и |a2 - Ь\. Это утверждение принято записывать в виде
неравенства
\а - Ь\ < р, где р = maxflai - ft|, \а2 - Ь\).
При любом выборе приближенного значения 6 из промежутка
[а\; аг] абсолютная погрешность не превосходит ог — а>\. В
рассмотренном выше примере со взвешиванием яблока абсолютная погрешность
всякого приближения из промежутка [127; 128] не больше одного
грамма.
Обычно стараются так выбирать приближение 6, чтобы число р
было наименьшим. Поскольку \а\ — Ь\ и \аг - 6| в сумме составляют
а>2 — ai, то наименьшее возможное значение р равняется половине
разности а2 — ai, а соответствующее приближение b совпадает с серединой
отрезка [а\; 02], то есть равно половине суммы й2+о,\. При таком
выборе b абсолютная погрешность заведомо не больше (аг—ai)/2, каким бы
&

14
Глава 1. Приближенные вычисления
ни было точное значение а. В примере с яблоком абсолютная
погрешность приближенного значения 127,5 грамма не больше 0,5 грамма.
Если приближение b отличается от
(a2+ai)/2, то его абсолютная погрешность
может оказаться больше (аг — ai)/2.
Следовательно, значение Ь = (ог + а\)/2
является наиболее подходящим. Именно его и
следует выбирать, если это не
противоречит природе измеряемой величины а.
Вопрос. При измерении отрезка
получены приближения: 82 мм — с
недостатком и 83 мм — с избытком.
Каковы приближенные значения длины
отрезка, абсолютная погрешность которых не
больше 0,7 мм?
2.4. На многих измерительных приборах — весах или
термометре в физическом и химическом кабинетах или на штангенциркуле в
слесарной мастерской — вы могли видеть надписи ±1 г, ±0,5° или
±0,1 мм. Такими надписями обозначается точность измерительных
приборов. Выясним, как надо правильно понимать эти надписи.
Пусть в результате измерений величины а получено ее
приближенное значение Ь. Если известно, что абсолютная погрешность
измерения не больше некоторого числа р, то можно гарантировать, что
разность между точным и приближенным значениями удовлетворяет
неравенству \а — 6| < р. Одно такое неравенство для модуля
равносильно двум:
b — p<a<b + p.
Иными словами, точное значение измеряемой величины принадлежит
промежутку [Ь - р; b 4- р].
Информацию о том, что b является приближенным значением
величины а с абсолютной погрешностью, не превосходящей р, часто
записывают так
а = Ь±р.
Это означает, что неизвестное точное значение а лежит в
промежутке [Ь — р; b + р]. Например, запись а = 13,2 ± 0,3 равносильна
неравенствам 12,9 < a < 13,5.

§ 2. Семь раз отмерь ...
15
Всякий измерительный прибор также
дает лишь приближенное значение
измеряемой величины, а его точность
показывает, насколько истинное значение может
отличаться от показаний прибора.
Допустим, что вы измеряете температуру
медицинским термометром, точность
которого ±0,1°. Если термометр показал
36,6°, то это значит, что ваша настоящая
температура равна 36,6° ± 0,1°. Иными
словами, она лежит в промежутке от 36,5°
до 36,7°.
Вопрос. Размер детали должен
равняться 13±0,25 мм, а при измерении
штангенциркулем с точностью ±0,1 мм
получилось 12,8 мм. Что должен сделать
работник ОТК: принять деталь, забраковать ее
или измерить еще раз более точным
инструментом?
2.5. Абсолютная погрешность дает неполное представление о
точности приближения. Допустим, например, что абсолютная
погрешность при измерении некоторой длины равна одному сантиметру.
Спрашивается, достаточно ли точно произведено измерение? Ответ на этот
вопрос зависит от того, какая именно длина измерялась. Если это
расстояние от Земли до Луны, то такая точность чересчур высока:
достаточно было бы указать расстояние с точностью до тысячи
километров. При измерении ширины классной комнаты точность в 1 см
вполне удовлетворительна, а при измерении диаметра шестеренки в
часовом механизме — явно недостаточна, здесь нужно учитывать
даже доли миллиметра.
Мы видим, что говорить о большой или малой погрешности
можно только в сравнении с самой измеряемой величиной. Одна и та же
погрешность будет в одном случае очень мала, а в другом —
недопустимо велика. Все дело в том, каково отношение погрешности к
измеряемой величине. Чем меньше это отношение, тем точнее при-

16
Глава J. Приближенные вычисления
ближенное значение.
Пусть b — приближенное значение некоторой величины а, не равное
нулю.
Относительной погрешностью приближения Ь называется отношение
абсолютной погрешности к модулю самого этого приближения: 'ai7i '•
Относительная погрешность показывает, какую часть от результата
измерения составляет ошибка. Эту часть можно выразить дробью, а
можно — в процентах. На практике используются оба способа записи
относительных погрешностей.
Вычислим, например, относительную погрешность приближенного
значения б для числа 6,27. По формуле относительной погрешности
получаем
1^ = ^ = 0,045.
6 б
В процентном выражении это составляет 4,5%.
Как и в случае с абсолютной погрешностью, если точное значение
измеряемой величины неизвестно, то и относительную погрешность
нельзя найти, а можно лишь оценить. Заметим, что из оценок
абсолютной погрешности легко получаются оценки относительной и
наоборот. В самом деле, пусть абсолютная погрешность приближения b
не превосходит р, тогда
1« - ь\ < Р_
\ь\ -\ь\'
Если же относительная погрешность не больше q, то
W-b\=l-^\b\<q\b\.
Из последнего неравенства при b > 0 вытекает, что неизвестное
точное значение величины а принадлежит промежутку [b — qb\ b + qb].
Информацию об этом мы условились записывать в виде равенства
a = b±qb. Вынося b за скобки, получим
a = 6(l±g).
Например, запись a = 17,3(1 ± 0,015) означает, что
17,3(1 ^ 0,015) < a < 17,3(1 + 0,015).

§ 2 Семь раз отмерь ...
17
В случае 6 < 0 соответствующий промежуток равен [Ь + qb\
b - qb]. Его концы заданы теми же формулами, что и при b > О, но
в обратном порядке. Принадлежность величины а этому промежутку
также обозначается равенством а = 6(1 ± q).
Вопрос. На пошив костюма уходит 2,4(1 ± 0,12) метра ткани.
Сколько ткани надо купить, чтобы ее заведомо хватило на костюм?
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется приближением с недостатком (снизу)?
2. Что называется приближением с избытком (сверху)?
3. В чем состоит идея последовательных приближений при
измерении величин?
4. Что такое абсолютная погрешность приближения?
5. Что можно сказать о точном значении величины, если известны
ее приближенное значение и оценка сверху абсолютной
погрешности?
6. Как вы понимаете выражение "точность измерения"?
7. Как обозначается точность измерения или измерительного
прибора?
8. Что называется относительной погрешностью приближения?
Задачи и упражнения
1. Точными или приближенными являются следующие данные:
1. В школе числится 378 учеников.
2. В городе проживает 250 тысяч жителей.
3. В сутках 24 часа.
4. Поезд был в пути 5 суток.
5. Станок состоит из 182 деталей.
6. Деталь весит 122 г.
7. Один метр равен 1000 миллиметров.
8. Диаметр велосипедного колеса равен 630 мм.
2, Найдите какие-нибудь приближения сверху и снизу с точностью
до 0,1 для чисел: 9,647; 12,784; 0,231; -1,054; -19,672; -0,455.

18
Глава I. Приближенные вычисления
3. Найти десятичные приближения сверху и снизу с точностью до
0,01 для обыкновенных дробей: i; |; |; £-; ^; ^.
4. Определите абсолютную погрешность при замене числа 283 572
приближенным значением: 200000; 300000; 280000; 290000;
283000; 284000; 283500; 283600; 283570; 283580.
5. Определите абсолютную погрешность при замене дроби 0,8432
приближенным значением: 0,8; 0,9; 0,84; 0,85; 0,843; 0,844.
6. При взвешивании куска железа
получены приближения 7,62 г — с
недостатком и 7,8 г с избытком.
Оцените абсолютные погрешности
приближений: 7,7 г, 7,65 г, 7,75 г.
7. Как надо выбрать приближенное
значение массы в предыдущей задаче,
чтобы оценка его абсолютной
погрешности была наименьшей?
8. Длина карандаша примерно равна
16,3 см, причем абсолютная
погрешность измерения не превосходит 5 мм.
Может ли точное значение длины
равняться: 16,55 см; 15,7 см; 16,8 см?
9. Цена деления мензурки равна 2 мл. С какой точностью можно
измерять этой мензуркой объемы жидкостей?
10. Каким промежуткам принадлежат значения величин: 132 ± 3;
2,3 ± 0,15; -7,45 ± 0,22?
11. Найдите относительную погрешность приближенных значений:
5,26 ± 0,02; 25,2 ± 0,12; -3,12 ± 0,06.
12. Число 7,75 найдено с относительной погрешностью 0,5%.
Найдите абсолютную погрешность.
13. При измерении расстояния между городами получилось
3600 ± 50 км, а при измерении длины рельса 12,5 ± 0,05 м. Какое
измерение проведено точнее?

§ 3. ... один раз отрежь
19
§3. ...ОДИН РАЗ ОТРЕЖЬ
3.1. Приближенные значения появляются не только при
измерениях, но и при вычислениях. Например, вы хотите сложить на
восьмиразрядном калькуляторе числа 8,546392741 и 14,846729. Сначала
необходимо набрать первое из них на табло калькулятора. Но уже
здесь возникает проблема — в этом числе слишком много цифр и они
не помещаются на табло. Придется лишние цифры "отрезать",
отбросить или, говоря научным языком, округлить число, то есть заменить
его приближенным значением с меньшим количеством цифр.
Сама десятичная запись подсказывает, как надо строить эти
приближения. Если просто оборвать дробь a = 8,546392741 на цифре
какого-нибудь разряда, например, разряда тысячных, то она
уменьшится и получится приближение снизу:
8,546 < а.
Если теперь добавить к дроби 8,546 единицу последнего
сохранившегося разряда, то есть 0,001, то получится приближение сверху для
числа а:
а < 8,547.
Найденные дроби называются десятичными приближениями числа
а с точностью до одной тысячной. Подобным же образом строятся
десятичные приближения с точностью до одной сотой, одной десятой,
одной десятитысячной или с точностью до единицы любого другого
разряда после запятой.
Вопрос. Что называется десятичным приближением числа а
точностью до 0,1?
3.2. Десятичные приближения рассматривают также с точностью
до единиц, десятков, сотен или других единиц старших разрядов. Эти
приближения являются целыми числами, которые строятся по
следующему правилу. Дробная часть отбрасывается совсем, а в целой части
заменяются нулями все цифры, расположенные в младших разрядах,
меньших указанной точности. В результате для положительных
чисел получается десятичное приближение снизу. Например, для числа
2 876 672 десятичным приближением снизу с точностью до тысячи
будет 2 876 000. Если увеличить это приближение на единицу последне-

20
Глава I. Приближенные вычисления
го сохранившегося разряда, в данном случае на 1000, то получится
2876000 — десятичное приближение сверху с указанной точностью.
Таким образом, при замене исходного числа 2 876 672 любым из
найденных приближений абсолютная погрешность не превышает 1000.
Вопрос. Какие десятичные
приближения для числа жителей городов вы
знаете?
3.3. Десятичные приближения для
отрицательных чисел находятся точно так
же, как и для положительных. Но
здесь имеется одно существенное отличие:
при отбрасывании цифр младших
разрядов получаются приближения не снизу, а
сверху. Так, для числа -3,18345
десятичными приближениями сверху и снизу
с точностью до одной сотой будут
соответственно -3,18 и -3,19.
Вопрос. Каковы десятичные приближения сверху и снизу с
точностью до одной тысячной для числа —1,99976?
3.4. Рассмотрим такую задачу. Дано число 0,00000275348;
требуется найти для него десятичное приближение снизу с точностью до
одной стомиллионной. Вероятно, потребуются значительные усилия,
чтобы понять, сколько цифр после запятой останется у этого
приближения. Но как только вы это сообразили, поиск ответа не составит
никакого труда — он равен 0,00000275.
Видно, что задавать точность приближения прямым указанием
соответствующей разрядной единицы не всегда бывает удобно. Иногда
лучше сказать так: найдите десятичное приближение для данной
дроби, содержащее восемь знаков после запятой.
Заметим, что среди этих восьми знаков пять первых — нули. Они
нужны только для обозначения порядка числа и поэтому называются
незначащими, а все остальные цифры — значащими. Точнее,
значащими называются все цифры числа, кроме нулей, стоящих левее
первой отличной от нуля цифры.
Например, в дроби 0,00000275348 значащими являются цифры

§ 3. ... одип раз отрежь
21
275348, а в дроби 0,0002500 — цифры 2500.
Определение значащих цифр целиком переносится и на числа,
большие единицы. В числе 000538,67 значащие цифры 53867, а в числе
76546000 все цифры — значащие.
С помощью понятия значащей цифры наша задача может быть
сформулирована совсем коротко и понятно: найти десятичное
приближение снизу для данной дроби с точностью до трех значащих цифр.
Иными словами, до того разряда, где находится третья значащая
цифра.
Вопрос. Каково приближение сверху для —2,0038 с точностью
до трех значащих цифр?
3.5. Итак, округлить число — означает заменить его десятичным
приближением с точностью до определенного разряда или до
определенного количества значащих цифр. Однако, таких приближений
два — сверху и снизу. Какое из их выбрать? Естественно выбирать
то приближение, которое гарантирует меньшую абсолютную
погрешность. Выведем правило выбора соответствующего приближения,
называемое правилом округления.
Пусть, например, требуется округлить число а = 5,27... до трех
значащих цифр. Точками обозначены те цифры, которые надо
отбросить. Составим для а десятичные приближения снизу а\ = 5,27
и сверху а2 = 5,28, а также их полусумму Ь = 5,275, совпадающую с
серединой отрезка [а\\ а^.
Изобразим все три точки а\, b и а-2 на числовой прямой и посмотрим,
в какой из промежутков [а\\ Ь) или [6; а^ попадет число а. Если
первая отбрасываемая цифра для а меньше 5, то а < Ь и число а окажется
в промежутке [oi; Ь), как на следующем рисунке:
а\ a b 0,2
Если же первая отбрасываемая цифра ддя а больше или равна 5,
то число а будет не меньше b и попадет в промежуток [6; аг]:
Понятно, что в первом случае нужно выбрать приближение снизу, а
во втором — приближение сверху. При этом абсолютная погрешность
приближенного значения всякий раз не превосходит половины длины

22
Глава I. Приближенные вычисления
<*>\ b а о>2
промежутка [а\\ аг], то есть пяти единиц старшего из отброшенных
разрядов. Получаем следующее правило округления:
последняя сохраняемая цифра не изменяется, если первая
отброшенная цифра меньше 5; если же первая отброшенная цифра больше или
равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Разумеется, здесь нужно соблюдать обычное правило сложения:
если увеличиваемая цифра равна 9, то ее заменяют нулем, а единицу
переносят в следующий разряд.
Точно таким же правилом руководствуются и при округлении
отрицательных чисел. Можно показать, что при этом погрешность
округления снова не больше пяти единиц старшего отброшенного разряда.
Вопрос. Может ли число а быть больше единицы, если после
округления его значение оказалось равным 0,999?
3.6. Округлим число 2,0037 с точностью до трех значащих цифр.
В этом числе все цифры значащие, а третья из них стоит в разряде
сотых. Следовательно, округлять будем с точностью до сотых. Так как
цифра разряда тысячных равна 3, то по правилу округления нужно
просто отбросить два последних знака, не меняя оставшихся. В итоге
получится 2,00.
Спрашивается, зачем нужны два нуля в конце этой дроби? Не
проще ли их отбросить? Эти два нуля очень важны. Они показывают,
что округление производилось с точностью до сотых и, следовательно,
абсолютная погрешность округления не больше 0,005.
Если отбросить нули как "несущественные", то получится целое
число 2, по виду которого нельзя наверняка определить точность
округления. Например, можно предположить, что это -— округление с
точностью до разряда единиц, погрешность которого оценивается
величиной 0,5, в сто раз большей, чем было на самом деле!
Более сложная ситуация возникает при округлении целых чисел.
Рассмотрим такой пример: округлить число 120275 с точностью до
двух и до трех значащих цифр. В обоих случаях получится одно и
то же приближенное значение 120000, по виду которого невозможно

§ 3 ... один раз отрежь
23
определить погрешность округления.
Чтобы показать, сколько знаков
отброшено при округлении, ответ
записывают как произведение числа,
образованного значащими цифрами, и степени
десятки. Величина степени показывает,
сколько нулей появилось при округлении. В
нашем примере при округлении до двух
значащих цифр ответ рекомендуется
записывать в виде 12 • 104, а при округлении до
трех цифр — в виде 120 • 103.
Вопрос. Как округлить число 0,999 с
точностью до двух значащих цифр?
3.7. Предположим, что в
результате некоторого вычисления или измерения
найдено приближенное значение
величины а = 0,877825 ± 0,01.
Спрашивается, имеет ли смысл сохранять в ответе
все знаки после запятой у дроби 0,877825?
Ведь погрешность этого приближения
настолько велика, что истинное значение а
может оказаться равным, например, 0,87
или 0,88.
В данном случае сохранение всех шести знаков после запятой не
дает почти никакой дополнительной информации о величине а. Более
того, затрудняет восприятие ответа. Каждое из чисел 0,87 и 0,88 дает
такое же представление об искомой величине, как и 0,877825, но зато
гораздо обозримее и легче запоминается.
Когда погрешность приближенного значения велика, его часто
округляют, отбрасывая лишние знаки, существенно не влияющие на
точность результата. Однако, при этом погрешность округленного
приближения может измениться. Пусть, например, точное значение
величины а в приведенном выше примере равно 0,868, а округленное до
двух значащих цифр приближенное значение равняется 0,87.
Погрешность округленного приближения составляет 0,002. По сравнению с
первоначальной она незначительно увеличилась.

24
Глава 1. Приближенные вычисления
Выведем правило изменения погрешностей при округлении
приближений. Допустим, что а = b ±р, тогда
6- р < а < Ь + р.
Если с — округленное значение приближения 6, причем абсолютная
погрешность этого округления не превосходит q, то
с — q<b<c + q.
Отсюда и из свойств числовых неравенств вытекает цепочка
соотношений
c-{p + q) = (c-q)-p<b-p<a<
< Ь + р < (с + q) + р = с + (р + q).
Таким образом,
С~(Р + Я) <<*< с+(р + д),
и абсолютная погрешность приближения
с не больше р + q- Получилось правило:
абсолютная погрешность округленного
приближения не превосходит суммы
абсолютной погрешности исходного
приближения и абсолютной погрешности
округления.
Вернемся к примеру а = 0,877825 ±0,01
и округлим приближенное значение с точностью до двух значащих
цифр. Согласно правилу округления приближений получим для a
новое приближенное значение 0,88, абсолютная погрешность которого
не превосходит
0,01 + |0,88 - 0,877825| = 0,01 + 0,002175 =
= 0,012175 < 0,013.
Следовательно, a = 0,88 ± 0,013.
Обычно при округлении приближений стараются оставить в ответе

§ 3. ... один раз отрежь
25
столько значащих цифр, чтобы абсолютная погрешность
округленного приближения была не больше пяти единиц старшего отброшенного
разряда. Если следовать этой рекомендации, то приближение 0,88 в
нашем примере все еще содержит излишне много знаков. Лучше взять
a « 0,9. Погрешность этого приближения не больше
0,01 4-10,9 - 0,877825| = 0,01 + 0,022175 =
= 0,032175 < 0,05.
Вопрос. Может ли абсолютная погрешность уменьшиться при
округлении приближения?
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется десятичным приближением?
2. Какие цифры называются значащими?
3. В чем состоит правило округления?
4. Какова абсолютная погрешность округления?
5. Как изменяется абсолютная погрешность при округлении
приближения?
Задачи и упражнения
1. Округлите следующие числа до десятков и найдите погрешность
округления: 503; 817; 4305; 21658; 12814; 17 715.
2. Округлите следующие числа до тысяч и найдите погрешность
округления: 32385; 11721; 100849; 245604; 269724; 19634.
3. Округлите следующие числа до единиц и найдите или оцените
погрешность округления: 0,91; 2,83; 12,54; -25,49; -0,398; 9,658;
13,777....
4. Округлите следующие числа до десятых и найдите или оцените
погрешность округления: 5,913; 2,486; -1,508; 5,29; 4,028; -1,97;
3,2525....
5. Округлите следующие числа до сотых и найдите или оцените
погрешность округления: 3,417; 15,284; -0,321; 1,004; 2,195; -10,007;
0,16666....

26
Глава 1. Приближенные вычисления
6. Укажите значащие цифры для следующих чисел: 42; 205; 9032;
4007; 250; 3 700; 3002 500; 008; 040; 0100.
7. Укажите значащие цифры для следующих чисел: 5,8; 0,24; 0,307;
3,001; 0,06: 0,0005; 6,20; 4,080; 0,900; 0,0200.
8. Округлите с точностью до двух значащих цифр следующие
числа: 375; 1842; 24 700; 4,23; 0,0167; 5,01; 0,3045; 9,96; 0,6262....
9. Округлите следующие приближенные значения до двух
значащих цифр и оцените погрешности округленных приближений:
2843 ± 15; 8,36 ± 0,02; 5,03 ± 0,05; 0,345 ± 0,002; 0,196 ± 0,003.
10. Округлите приближенные значения так, чтобы погрешность
округленного приближения не превосходила пяти единиц первого
отброшенного разряда: 52,13 ± 0,15; 7,0983 ± 0,012; 9,0015 ± 0,002.
11. Какой может быть наибольшая относительная погрешность
округления с точностью до трех значащих цифр, если первая
значащая цифра числа равна 2?
§ 4. СКОЛЬКО ДНЕЙ В ГОДУ?
4.1. В самом деле, сколько же дней в
году? В обычном году 365 дней. Но
каждый четвертый год високосный
содержит 366 дней! Спрашивается, почему
годы разные? Ведь год — это время, за
которое Земля совершает полный оборот
вокруг Солнца. Вряд ли оно может
регулярно меняться. А если покрепче
задуматься, то и вообще удивительно,
почему в году целое число дней? День или
сутки — это время обращения Земли
вокруг своей оси. Совершенно невероятно,
чтобы этот промежуток времени
уложился в году ровно 365 или 366 раз! Все эти
странности календаря имеют чисто
математическую природу и напрямую связаны
с ошибками округления. На самом деле

§ 4. Сколько дней в году?
27
число дней в году не равно ни 365, ни 366.
Уже в далекой древности выяснилось, что
это число нецелое. Оно примерно
равняется 365,25.
Встречать Новый Год каждый раз в
разное время суток неудобно. Поэтому
число дней в году округляют до 365.
Через год ошибка в летоисчислении составит
0,25 дня, через два — 0,5 дня, через три —
0,75, а через четыре "набегают" уже
целые сутки.
Это очень существенная погрешность.
Чтобы ее исправить, раз в четыре года к
самому короткому месяцу — февралю —
добавляют лишний день. Так возникают
високосные годы. По традиции
високосными считаются годы, номера которых
делятся на четыре.
В переводе с латинского "високосный" означает "дважды
шестой" . Древние римляне помещали лишний день не в конце февраля,
а перед шестым днем до начала марта, то есть до мартовских календ.
Отсюда, кстати, произошло и слово календарь.
Число дней в году, равное 365,25, также приближенное. Более
точными измерениями установлено, что продолжительность года
составляет 365 суток 5 часов 48 минут и 46 секунд. Поэтому даже
високосные годы не могут полностью исправить погрешности летоисчисления.
Но теперь они становятся очень маленькими, и необходимость
корректировки календаря возникает реже, чем раз в столетие.
Вопрос. Через сколько лет (с учетом високосных) погрешность
календаря превзойдет одни сутки?
4.2. Проблема с числом дней в году показывает, что при
сложении приближенных величин погрешности могут возрастать и иногда
достигают больших значений. Поэтому важно уметь заранее оценить
погрешность суммы, если известны погрешности отдельных
слагаемых.

28
I лава 1. Приближенные вычисления
Пусть а\ .и о<2 .— точные, а Ь\ и Ь2 —
приближенные значения некоторых
величин. Допустим, что абсолютные
погрешности |di — 611 и |аг —&2| этих приближений
не превосходят р\ и р2 соответственно.
Тогда справедливы неравенства
Ь\-р\< ах < Ъх +рь
&2 ~ Р2 < <^2 < 62 + рз-
Складывая почленно эти неравенства,
получаем
(6i + 62) - (pi + рг) < ai + а2 < (6i + 62) + (pi + Рг)-
Следовательно,
|(oi + a2) - (61 + Ьг)| < Pi 4- P2,
поэтому &i -I- 62 является приближенным значением суммы сц + а2,
погрешность .которого не превосходит pi -Ьр2- Таким образом,
выполняется правило:
абсолютная погрешность суммы приближенных значений не
превосходит суммы абсолютных погрешностей каждого слагаемого.
Понятно, что это правило распространяется на суммы трех,
четырех или любого другого числа слагаемых.
Пример 1. Найдем сумму чисел
7/.*Х ах = 12,6 ± 0,05, а2 = 4,81 ± 0,03, а3 =
= 7,14 ± 0,06 и оценим абсолютную
погрешность результата.
Запись а\ = 12,6 ± 0,05 означает, что
точное значение а\ неизвестно, однако
число Ь\ = 12,6 приближает его с
абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,05.
Точно так же числа Ъч = 4,81 и Ь$ = 7,14 приближают а2 и аз с
абсолютными погрешностями, не большими 0,03 и 0,06 соответственно.

§ 4. Сколько дней в году?
29
По правилу сложения приближений определяем, что число
&! + Ь2 + Ь3 = 12,6 + 4,81 + 7,14 = 24,55
является приближенным значением суммы а\ + аг + аз, причем
абсолютная погрешность этого приближения не больше 0,05 + 0,03 + 0,06 =
= 0,14. Значит,
di + а2 + а3 = 24,55 ± 0,14.
Вопрос. Может ли абсолютная погрешность суммы оказаться
меньше погрешностей отдельных слагаемых?
4.3. Оценим абсолютную погрешность разности приближенных
значений. Пусть снова Ь\ и &2 приближения величин а\ и а2, абсолютные
погрешности которых не превосходят р\ и р2- Как и выше, имеем
&i ~Р\ < ai < &i +рь
&2 + Р2 > ^2 > &2 ~~ Р2-
Почленно вычитая из первого неравенства второе, находим
(6i - 62) - (Pi + Р2) < ai - «2 <
< (6i-62) + (p1+p2),
следовательно,
|(oi - a2) - (&i - 62)| < pi + P2-
Итак, &i — 62 является приближенным значением разности а\ — a2,
причем погрешность этого приближения не превосходит pi + рг-
Получилось правило:
абсолютная погрешность разности приближенных значений не
превосходит суммы абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
Вопрос. Можно ли утверждать, что a\ < а2, если а\ = 2,05 + 0,1,
а2 = 2,15 + 0,1?
4.4. Вычислим сумму приближенных значений а\ = 3,1234+0,0002
ио2 = 5,7 ± 0,05, погрешности которых значительно отличаются друг
от друга. По правилу сложения приближений получим
ах + а2 = 3,1234 + 5,7 ± (0,0002 + 0,05) =
= 8,8234 ± 0,0502.

30
Глава 1. Приближенные вычисления
Погрешность результата оказалась
настолько велика, что превосходит число
0,0234, образованное последними тремя
значащими цифрами суммы. Сохранять
в ответе все эти цифры не имеет
особого смысла — его точность существенно не
увеличится. В таких случаях мы
условились округлять результат ai + 0,4 « 8,8,
добавляя к погрешности ошибку
округления
0,0502 -I- 0,0234 = 0,0736 < 0,08.
Следовательно, а\ + a<i = 8,8 ± 0.08.
Спрашивается, а нужна ли столь высокая точность у первого
слагаемого? Попробуем с самого начала так округлить его, чтобы оба
слагаемых были заданы с точностью до одного и того же разряда:
а\ = 3,1 ± 0,03. А теперь снова выполним сложение
ai + a2 = 3,1 + 5,7 ± (0,03 + 0,05) = 8,8 ± 0,08.
Ответ тот же самый, но выкладки упростились. Получаем правило:
при вычислении суммы двух или нескольких приближенных чисел все
слагаемые рекомендуется предварительно округлить до одного и того
же разряда.
Таким же правилом руководствуются и при вычислении разности.
Вопрос. Как найти сумму чисел i и 7г = 3,141592... с точностью
±0,001?
4.5. Пусть b — приближенное значение величины а, абсолютная
погрешность которого не превосходит р, а число с — точное.
Произведение be является приближенным значением для ас. Оценим
погрешность этого приближения.
Запишем очевидное неравенство
Р > \а - Ь|,
и умножим его на \с\. Используя свойства модуля, получим
Р ' \с\ > \а - Ь\ • \с\ = \{а - Ь)с\ = \ас - Ьс\.

§ 4. Сколько дней в году?
31
Таким образом,
абсолютная погрешность произведения точного и приближенного
значений равняется произведению абсолютной погрешности
приближенного сомножителя и модуля точного.
Пример 2. Для вычисления площади круга, имеющего радиус
2 см, использована формула S « 3,14 • 22. Требуется оценить
погрешность этой формулы.
Так как приближенное значение 7г «
« 3,14 найдено по правилам округления,
то его абсолютная погрешность не
превосходит 0,005. Точное значение квадрата
радиуса равняется 4. По правилу
умножения точного и приближенного значений
погрешность произведения 3,14-4 = 12,56
не больше 0,005 • 4 = 0,02. Итак, S =
= 12,56 ± 0,02.
Вопрос. Какое десятичное приближение числа 7Г = 3,141592...
достаточно взять, чтобы найти длину окружности радиуса 4 см с
погрешностью менее 0,001 см?
4.6. Рассмотрим теперь произведение двух приближенных
значений. В этом случае оценка абсолютной погрешности произведения
через абсолютные погрешности сомножителей сложна и неудобна для
практического использования. Тем не менее, существуют достаточно
простые приближенные формулы для относительных погрешностей.
Пусть а\ и аг — положительные числа, Ъ\ и 62 — их положительные
приближенные значения, a q\ и q% — соответствующие относительные
погрешности. Будем считать q\ и qi настолько малыми, что их
произведением q\Q2 можно пренебречь по сравнению с суммой q\ + (ft-
По определению относительной погрешности имеем
Ml-tt)< <*i <Ml + <?i)>
Ml ~Ы < a,2 < 62(l + g2).
Так как выражения в левых и правых частях этих неравенств
положительны, то их можно почленно перемножить:
&iMl - 9i)(l " Ы < 0,10,2 < &i&2(l + 9i)(l + Ы-
^^з^адрв-

32
Глаза 1. Приближенные вычисления
Раскрывая скобки, получим
(1 + <?i)(l + q2) = 1 4- qi + с/2 + gi(fe-
Если пренебречь малым произведением q\q2l то окажется
Точно так же
(1 -gi)(l ~Ы~ 1 ~Я\ -Q2-
Таким образом, можно приближенно считать, что
ЬМ1 - (qi + g2)] < ою2 < 6162(1 + foi + g2)],
следовательно,
г-7 < <?i + qi-
Получилось приближенное, но вполне пригодное для практических
целей правило:
относительная погрешность произведения положительных
приближений не превосходит суммы относительных погрешностей
сомножителей.
Очевидно, это правило сохраняет силу для любого числа
сомножителей.
Данное правило позволяет оценить не только относительную, но и
абсолютную погрешность произведения. В самом деле, абсолютная
погрешность равна произведению самого приближенного значения и
его относительной погрешности, поэтому
|ai<z2 - 6162! < &iM<7i + с/2).
Пример 3. Приближенное значение радиуса R окружности
равно 2,46 ± 0,003 сантиметра. Как оценить погрешность приближенной
формулы L « 2 • 3,14 • R для длины этой окружности?
Значение радиуса измерено с относительной погрешностью
. 0,003 ^ 0,003 ЛГ|Л10С

§ 4. Сколько дней в году?
33
а выбранное значение 7Г имеет относительную погрешность
. 0,005 ^ 0,0051 nnm7
^-зд^ —= 0'0017-
Относительную погрешность точного множителя 2 можно считать
равной нулю.
Согласно нашему правилу относительная погрешность искомого
произведения не превосходит
Я\ + 42 < 0,00125 + 0,0017 = 0,00295 < 0,003.
Значит,
L = 2 • 3,14 • 2,46(1 ± 0,003) =
= 15,4488(1 ± 0,003).
Абсолютная погрешность этого приближения не больше, чем
15,4488 • 0,003 < 15,5 • 0,003 = 0,0465 < 0,05
сантиметра. Полученный результат удобно округлить до трех
значащих цифр L « 15,4. При этом его погрешность не превзойдет
0,05 + 0,0488 < 0,1 см.
Интересно отметить, что при делении приближенных значений
относительная погрешность частного также не превосходит суммы
относительных погрешностей делимого и делителя. Доказательство этого
правила довольно сложное и мы его не приводим.
Вопрос. Как оценить абсолютную погрешность формулы S =
= 3,14 • R2 для площади круга, если R = 2,2(1 ± 0,5%) см?
Контрольные вопросы и задания
1. Откуда берутся високосные годы?
2. Какова абсолютная погрешность суммы приближенных
значений?
3. Как оценить погрешность разности приближенных значений?
4. Каким правилом руководствуются при сложении приближенных
значений разной точности?

34
DiSLBa 1. Приближенные вычисления
5. Чему равна абсолютная погрешность произведения точного и
приближенного значений?
6. Какова относительная погрешность произведения приближенных
значений?
Задачи и упражнения
1. Найдите сумму приближенных значений а, 6 и оцените ее
погрешность:
а) а = 283 ± 7, Ь = 132 ± 4;
б) а = 1,34 ± 0,06, Ь = 0,67 ± 0,02;
в) о = 1,56 ± 0,04, Ь = -2,72 ± 0,08;
г) а = -0,627 ± 0,005, 6 = 1,24 ± 0,02.
2. Округлите числа а и b с точностью до 0,01, найдите их сумму и
оцените ее погрешность:
а) а = 0,678, Ь = 1,432; в) о = 2,345, Ь = -0,777...;
б) а = -1,4, 6 = 0,444...; г) а = 0,1212..., Ь = 3,222....
3. Найдите приближенное значение суммы а и 6 с погрешностью не
более 0,01:
а) а = 3,5, 6 = 3,555...; г) а = 3,6363..., Ь = 1,333...;
б) о = 2,183, 6 = 0,222...; д) а = 2 : 3, 6 = 1,2121...;
в) о = 0,563 ± 0,003, 6 = 0,555...; е) а = 1 : 7, Ь = 2,777....
От дома до школы 500 метров, а
длина шага у Пети 50±5 см.
Сосчитав число шагов по дороге в школу
и обратно, Петя обнаружил, что
результаты различаются на 220 шагов.
Когда он рассказал об этом Васе, тот
ответил, что этого не может быть.
Как вы думаете, кто из них прав?
5. Округлите второй сомножитель до двух значащих цифр, найдите
произведение и оцените его погрешность:
а) 23 х 0,348; в) 12 х 0,4333...;
6)3,5x8,57; г) 2,8x2,888....

§ 5. Вместо деления — вычитание!
35
6. Найдите произведение чисел 2,5 ± 0,05 и 1,2 ± 0,05. Какова
абсолютная погрешность вычисления?
7. Радиус окружности равен 1,2 ± 0,04 см. Найдите длину этой
окружности с абсолютной погрешностью не более 0,5 см.
§ 5. ВМЕСТО ДЕЛЕНИЯ — ВЫЧИТАНИЕ!
5.1. Деление — очень трудоемкая
операция. Особенно, когда приходится
делить многозначные числа. Спрашивается,
нельзя ли упростить эту процедуру?
Оказывается, существуют формулы,
позволяющие найти приближенное значение
частного при помощи сложений, вычитаний и
умножений. Такие формулы значительно
облегчают вычислительную работу. То,
что при этом получается не точное, а приближенное значение, не
должно нас смущать. Калькулятор тоже не дает точного ответа, если
результат не помещается на табло или вообще выражается
бесконечной десятичной дробью. А ведь такие ситуации возникают очень
часто. Вспомним, хотя бы, чему равняется 1 : 3.
Чтобы разделить 6 на а, достаточно знать обратную к а величину
К Тогда деление сведется к умножению по формуле
4 = 6.1.
а а
Мы не будем изучать все тонкости приближенного вычисления
обратных величин, а рассмотрим простейший случай, когда ищется число,
обратное близкому к единице.
Пусть задано близкое к единице число а. Представим его в ви-
де a = 1 + х, где значение \х\ достаточно мало. Например, \х\ < h
так что величиной х2 можно пренебречь по сравнению с |:г|.
Составим обратную к 1 -I- х дробь т4—, & затем умножим ее числитель и
знаменатель на 1 — х:
1 = 1-х
1 + х 1-х2"
о

36
Глада 1. Приближенные вы числения
Если пренебречь малым слагаемым —х2
в знаменателе последней дроби, то ее
величина также мало изменится и
получится
1-х
1-х
= 1
X.
1-х2 1
Следовательно, справедлива
приближенная формула
1
1+х
1-Х.
(1)
Вопрос. Можно ли доверять этой формуле при больших
значениях х?
5.2. Для применения на практике формулы (1), необходимо знать
ее погрешность, то есть оценку модуля разности между ее левой и
правой частями. В следующей таблице показано, насколько малым
должен быть |х|, чтобы погрешность р не превосходила заданного
значения.
я
р 1
"0,5
0,5
0,2
од
0,07
0,01
0,02
0,001
0,007
0,0001
0,002
0,00001
Видно, что погрешность убывает гораздо быстрее, чем \х\. При \х\ <
< 0,02 погрешность окажется меньше 0,001, а при \х\ < 0,002 —
меньше 0,00001. Такая точность вполне достаточна для решения очень
многих практических задач.
Пример 1. Вычислим отношение ^ц.
Представим 0,94 в виде 0,94 = 1 - 0,06, а затем воспользуемся
формулой (1), число х в которой равно —0,06. Получится
1
0,94
-0,06
1+0,06=1,06.
По таблице найдем оценку погрешности этого результата. Так как
\х\ = 0,06 < 0,07, то погрешность не больше 0,01. Следовательно,
^ = 1,06*0,01.
Заметим, что все выкладки выполнены без использования деления.

§ 5. Вместо деления — вычитание!
37
Достигнутая нами точность может
показаться недостаточной, но ведь и формула
(1) совсем проста. Существуют более
сложные формулы, гарантирующие очень
высокую точность, но мы их пока не будем
рассматривать.
Вопрос, Непосредственным
делением и по формуле (1) найдите три значащих
цифры отношения 1 : 1,013. Существенна
ли разница в точности? А во времени
вычисления?
5,3. Совсем исключать деление из обихода, конечно же, нет
никакого смысла. Во всяком случае, деление десятичных дробей на 2, 5
или 10 выполняется достаточно просто. Покажем, что разумное
сочетание приближенных методов с делением на небольшие целые числа
очень часто позволяет находить отношения произвольных величин с
достаточной степенью точности.
Пример 2. Вычислим отношение |^||.
Преобразуем эту дробь так, чтобы стало возможным
использование приближенной формулы (1). Сначала разделим на 4 числитель и
знаменатель искомой дроби, а затем представим ее как произведение
числителя и величины, обратной к знаменателю:
3I62 = 0I905= og05.JL.
4,12 1,03 ' 1,03
Теперь отношение 1 : 1,03 можно легко найти по формуле (1)
1
1
1,03
1 + 0,03
1 - 0,03 = 0,97.
Погрешность этого результата не
превосходит 0,01.
По правилу умножения точного и
приближенного значений находим, что
^ = 0,905 • -i- « 0,905 • 0,97 = 0,87785,

38
Глава J. Приближенные вычисления
с погрешностью, не превосходящей 0,905 х 0,01 < 0,01. Для такой
погрешности число знаков в ответе чересчур велико. Округлим его
до двух значащих цифр. Добавив к погрешности ошибку округления,
окончательно получим 0,88 ± 0,02.
Вопрос. Как показать, что любая дробь Ь : а после нескольких
умножений (или делений) на 2 ее числителя и знаменателя
приводится к виду, когда возможно применение формулы (1)?
Контрольные вопросы и задания
1. В чем состоит приближенный метод деления на число, близкое
к единице?
2. Как пользоваться таблицей погрешностей приближенной
формулы (1)?
3. Как применить формулу (1) в приближенных вычислениях
отношений?
Задачи и упражнения
1. По формуле (1) найдите приближенное значение частного, а по
таблице оцените погрешность:
а) 1 : 1,13; в) 1 :1,057;
б) 1 : 0,82; г) 1 : 0,948.
2. Найдите приближенное значение частного и оцените погрешность:
а) 2 : 2,12; в) 5 : 5,075;
6)3:2,85; г) 4 : 3,936.
3. Найдите приближенное значение частного и оцените погрешность:
а) 3,24 : 2,08; в) 7,55 : 5,03;
б) 2,88 : 1,92; г) 6,48 : 3,94.
§6. КАК НАЙТИ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
6.1. Рассмотрим, наконец, вопрос об извлечении квадратных
корней при помощи всего лишь четырех арифметических действий и без
использования вычислительной техники.

§ 6. Как найти квадратный корень 39
Сначала научимся извлекать корни из
чисел, близких к единице. Составим
выражение у/\ + я и подберем подходящую
приближенную формулу для его
вычисления. Как и в предыдущем параграфе
будем считать, что \х\ < 1/2. При этом
предположении значение х2 мало по
сравнению с \х\.
Преобразуем подкоренное выражение
1 + х, выделив в нем квадрат суммы двух
чисел. Для этого прибавим к нему и
вычтем из него слагаемое £-. Применив
затем формулу квадрата суммы, получим
i+* = (i+*+^)-£ = (i+f)2-f
Пренебрегая малым слагаемым £-,
превратим точное равенство в приближенное
1 4- х « (l -f §) .
Квадратные корни из левой и правой частей этого приближенного
равенства также, очевидно, будут мало отличаться друг от друга. Но
в правой части корень легко извлекается, следовательно,
\ЛТх«1 + §. (2)
Это и есть искомая приближенная формула.
Вопрос. Какое приближение дает формула (2) — с избытком или
с недостатком?
6.2. Приведем таблицу погрешностей, необходимую для
практического применения формулы (2).
щ
р
\~0fi~
0,05
0,2
0,01
0,07
0,001
0,02
0,0001
0,007
0,00001
0,002
0,000001
Видно, что по сравнению с (1) формула (2) примерно в 10 раз точнее!

40 Глава, 1. Приближенные вычисления
Пример 1. Вычислим ^/0,82.
Запишем 0,82 как 1 + х. Имеем 0,82 = 1 - 0,18, то есть х = -0Д8.
Но тогда по формуле (2)
УбД2 = v/l - 0,18 и 1 -Ц^- =
= 1-0,09 = 0,91.
Погрешность этого результата не больше 0,01, следовательно,
Дв2 = 0,91 ±0,01.
Вопрос. Когда погрешность формулы (2) не превосходит 0,006?
Укажите какой-нибудь подходящий промежуток значений х.
6.3. Разные искусственные приемы позволяют использовать
формулу (2) для извлечения квадратных корней чуть ли не из любых
положительных чисел. При этом получаются достаточно точные
результаты.
Пример 2. Вычислим приближенное значение
Ближайшим к 28 квадратом целого числа является 25. Представим
28 в виде суммы этого квадрата и небольшого (по сравнению с 25)
добавка
28 = 25 + 3 = 25 • (l + А) = 25 • (1 + 0,12).
Если теперь извлечь корень из произведения 25-(1+0,12). то получится
\/28 = v/25 - (1 + 0,12) = >/25 - yft + 0Д2 =
= 5- ^/1+0,12.
Последний квадратный корень найдем
по формуле (2)
^1+0,12» 1 + ^ = 1,06.
Погрешность этого результата не
больше 0,01.
По правилу умножения точного и приближенного значений нахо-

§ 6. Как найти квадратный корень
41
дим ответ
л/28 = 5 • ^1+0,12 « 5 • 1,06 = 5,3
с погрешностью, не превосходящей 5 х 0,01 = 0,05. Во многих задачах
такая точность нас вполне устроит.
Вопрос. Как при помощи формулы (2) приближенно вычислить
>/15?
Контрольные вопросы и задания
1. Какова приближенная формула квадратного корня из числа,
близкого к единице?
2. Как применить формулу (2) к вычислению произвольных
квадратных корней?
Задачи и упражнения
1. По формуле (2) найдите приближенное значение корня, а по
таблице оцените погрешность:
а) у/Т^2; в) у/ГЩ;
б) v/СЩ; г) v^555.
2. Найдите приближенные значения квадратных корней из
следующих чисел и оцените погрешности вычисления: 8; 50; 21; 72; 4,1;
7,82; 0,24; 0,39; 0,891: 0,07.
3. Найдите приближенную длину диагонали квадрата, сторона
которого равна 3 см. Оцените погрешность приближения.
4. Найдите приближенную длину диагонали прямоугольника со
сторонами 5 см и б см. Какова погрешность этого приближения?
5. Отложите на числовой оси число у/2 с помощью циркуля и
линейки.

2
НАГЛЯДНАЯ
СТЕРЕОМЕТРИЯ
глава
В этой главе вы ознакомитесь со взаимным расположением
прямых и плоскостей в пространстве и правилами изображения
пространственных фигур на плоскости. Будут рассмотрены также наглядные
свойства ряда известных геометрических тел.
§ 1. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
1.1. Окружающее нас пространство не
исчерпывается одной плоскостью,
геометрия которой изучалась. Находясь в
комнате, мы можем видеть пол, потолок,
стены. Если отвлечься от их
материальной природы и представить неограниченно
продолженными, то каждая из этих
поверхностей дает тот образ, который мы
связываем с понятием плоскости.
Различные плоскости могут не
пересекаться, например, такими являются
плоскости аиД проходящие через нижнюю и
верхнюю грани куба, как изображено на
рисунке 1. В этом случае плоскости а и /3
называют параллельными. Для
обозначения параллельности плоскостей
используют знак ||.
Различные и не параллельные плоско-

§ 1. Параллельное проектирование
43
сти в пространстве пересекаются по
прямой. Например, изображенные на
рисунке 2 плоскости аи/?, проходящие через
соседние грани куба, пересекаются по
прямой а, проходящей через ребро АВ куба.
Вопрос. Как выглядит плоскость,
которая проходит через середину ребра АА\
куба и параллельна плоскости грани
ABCD1
1.2. Возьмем две параллельные
плоскости а и /3 и в одной из них прямую,
например прямую а в плоскости а
(рисунок 3). Тогда прямая а не пересекает
плоскость р и называется параллельной
плоскости /3.
Например, на рисунке 4 прямая C\D,
лежащая в плоскости грани CC\D\D
куба, параллельна плоскости грани АА\В\В,
так как AA&B || CCXDXD.
Для записи параллельности прямой и
плоскости используют такой же знак ||.
Бели прямая а не лежит полностью в
плоскости /? и не параллельна этой
плоскости, то она может иметь с плоскостью
0 только одну общую точку (рисунок 5).
Это связано с таким свойством плоскости,
что если две точки прямой лежат в
плоскости, то и вся прямая лежит в этой
плоскости (рисунок 6).
Например, на рисунке 7 прямая B\D
имеет единственную общую точку D с
плоскостью ABCD, а прямая CD лежит
полностью в этой плоскости.
Вопрос. Как показать, что на
рисунке 7 середина отрезка А\С\ лежит в плос-

44
Глада 2. Нылядная стереометрия
кости BBiDiDI
1.3. Возьмем две параллельные
плоскости а и /3 и пересечем их третьей
плоскостью 7- В пересечении получим прямые
а и 6, которые не пересекаются и лежат в
одной плоскости (рисунок 8). Такие
прямые были названы в планиметрии
параллельными. В пространстве две лежащие
в одной плоскости и не пересекающиеся
прямые также называют параллельными.
Например, на рисунке 9 ребра АА\ и
ВВ\ куба параллельны, так как лежат в
плоскости одной грани, и в этой плоскости
прямые АА\ и ВВ\ не пересекаются.
Для параллельности прямых в
пространстве выполняется следующий
основной признак.
Если прямая а параллельна прямой Ь,
а прямая b параллельна прямой с, то
прямые а и с параллельны.
Этот признак позволяет, например,
установить, что все боковые ребра куба па-
рал лачьны между собой. Отсюда можно
получить, что вершины Л, А\, С, С\ куба
лежат в одной плоскости.
Вопрос. Как показать, что на
рисунке 10 прямые АС\ и B\D пересекаются?
1.4. В отличие от плоскостей в
пространстве существуют не параллельные и
не пересекающиеся прямые. Такие
прямые легко получить, если взять две
параллельные плоскости а и р. Построим
в одной из них выбрать любую прямую,
например, прямую b в плоскости /?
(рисунок 11). Затем построим в плоскости a

§ J. Параллельное проектирование
45
сначала вспомогательную прямую га,
параллельную прямой Ь. а затем проведем
прямую а, пересекающую прямую га
(рисунок 12). Тогда прямые а и 6 не
пересекаются и не лежат в одной плоскости. Не
пересекающиеся и не параллельные
прямые в пространстве называются
скрещивающимися.
Существует простой способ
определения взаимного расположения прямых в
пространстве. На каждой из прямых
можно выбрать по две точки. Например,
на рисунке 13 отмечены точки А и В на
прямой а и точки С и D на прямой Ь.
Затем можно рассмотреть плоскость,
проходящую через три из этих точек, например
через точки Л, В, С.
Может оказаться, что точка D не
лежит в плоскости ABC, как изображено на
рисунке 14. В этом случае прямая CD и
плоскость ABC имеют единственную
общую точку С. Но тогда прямые АВ и CD
не пересекаются и не лежат в одной
плоскости, то есть скрещивающиеся.
Может оказаться, что точка D лежит
в плоскости ABC, кале изображено на
рисунке 15. В этом случае прямые АВ и CD
либо пересекаются, либо параллельны.
Вопрос, Как показать, что на
рисунке 10 прямые А\С\ и BD —
скрещивающиеся?
1.5. Подведем итоги. В пространстве:
— две плоскости либо параллельны,
либо пересекаются по прямой;
— прямая либо полностью лежит в
плоскости, либо имеет с плоскостью толь-

46
Глаза 2. Наглядная стереометрия
ко одну общую точку, либо параллельна
плоскости;
— две прямые либо пересекающиеся,
либо параллельны, либо скрещивающиеся.
Вопрос. Что может получиться в
пересечении куба с некоторой плоскостью,
проходящей через одно из ребер куба?
1.6. Достаточно посмотреть на любую
картину, чтобы заметить, что многие ее
детали изображены совсем не так, как они
выглядят, если на них смотреть "прямо".
Тем не менее человеческий мозг за счет
приобретенного опыта воссоздает именно
тот пространственный образ, который
художник стремился донести до зрителя.
Достигается это за счет умелого
использования законов проектирования
пространственных объектов на плоскость. Эти
законы не совсем просты. Даже такие
несложные фигуры как, например куб,
выглядят так, как на рисунке 16. Если же
смотреть на этот чергеж как на плоскую
фигуру, то она имеет вид шестиугольника
(рисунок 17).
При изображении условного вида
пространственных фигур обычно
руководствуются более простыми правилами,
основанными на свойствах параллельного
проектирования. Именно так чаще всего
поступают в конструкторской
деятельности, связанной с выполнением чертежей
различных деталей, когда нужно
представить их общий внешний вид.
Для параллельного проектирования на
плоскость а выбирают прямую а, не
параллельную а. Проекцию любой точки М

§ 1. Параллельное проектирование
47
определяют, проводя через точку М
прямую т, параллельную а, до пересечения
с плоскостью а в точке М\ (рисунок 18).
Полученная точка М\ называется
параллельной проекцией точки М на плоскости
а.
Параллельной проекцией фигуры
называется множество точек, состоящее из
проекций всех точек фигуры.
Параллельную проекцию фигуры на
плоскость иногда называют
изображением этой фигуры.
Для построения изображений фигур
важно знать следующие основные
свойства параллельного проектирования на
плоскость:
— прямая, параллельная направлению
проектирования, переходит в точку
(рисунок 19);
— прямая, не параллельная
направлению проектирования, переходит в
прямую (рисунок 20);
— параллельные отрезки АВ и CD
переходят в параллельные отрезки А\В\ и
CiA такие, чтоАВ : CD = АХВХ : CiA
(рисунок 21);
— окружность переходит в эллипс
(рисунок 22) или в окружность, или в отрезок;
— общие точки двух фигур переходят в
общие точки их проекций.
Вопрос. Во что может переходить
треугольник при параллельном
проектировании?
1.7, Для сохранения представлений о
свойствах пространственных фигур
обычно изображают не только ее проекцию,

48
Глава 2. Наглядная стереометрия
•а
но и некоторые связанные с ней
элементы. Например, проекцией любого
шара или сферы на плоскость всегда
будет круг. Глядя на такой чертеж
(рисунок 23), вряд ли создастся
пространственный образ. Другое дело, когда мы
проведем на сфере "экватор", отметим
"полюсы" и изобразим все это в проекции.
Картина сразу же резко изменяется. Имея
рисунок 24, уже нетрудно воссоздать, кале
будут выглядеть сечения сферы,
параллельные "экватору", как будут выглядеть
"меридианы", и так далее.
Вопрос. Может ли проекция куба
на некоторую плоскость выглядеть как
пятиугольник?
1.8. При изучении параллельного
проектирования на плоскость важно
научиться находить проекции плоских фигур. Это
совсем просто, когда фигура
расположена в плоскости, параллельной плоскости
проекций. Тогда проекцией будет
фигура, равная проектируемой. В остальных
случаях приходится опираться на
геометрические закономерности.
Пример 1. Построим изображение
равнобедренной трапеции ABCD с точкой
F пересечения диагоналей так, чтобы
треугольник ADF выглядел как треугольник
A\D\F\ на рисунке 26.
Решение, Обозначим проекции точек
А, В, С, Z), F соответственно через А\,
В\, С\, D\, F\. Прежде всего, диагонаг
ли проектируются на прямые AF\ и DF\
(рисунок 27). Далее, так как при
проектировании сохраняются отношения пат

§ I. Параллельное проектирование
49
раллельных отрезков, то точки В и С
спроектируются в такие точки В\ и С\
(рисунок 28), что AF : FC = Л^ : FiCi,
и аналогично DF : FB = D^i : F^.
Это позволяет в плоскости проекций
вполне однозначно поставить точки В\ и С\.
В результате на рисунке 29 определяется
вся проекция.
Вопрос. Как доказать, что для
трапеций ABCD на рисунке 25 и A\B\C\D\
на рисунке 29 выполняется соотношение
AD : ВС = 4iA : ВХС{1
1.9. Рассмотрим следующий пример.
Построим изображение биссектрисы AL
равнобедренного треугольника ABC со
сторонами \АВ\ = \ВС\ = 2, |ЛС| = 1
(рисунок 30) по изображению А\В\С\
треугольника ЛБС, как на рисунке 31.
на
А
f
t
f
f
Решение. Обозначим проекции точек
А, В, С, I/ соответственно через А\. В\,
Ci, Li. По свойству биссектрисы угла
треугольника на основном чертеже
можем получить равенства CL : LB =
= АС : АВ = 1:2. Поэтому
проекцией точки L будет такая точка Lu что
CiL\ : L\B\ = 1:2. Ее легко постро-

50
Глада 2. Наглядная стереометрия
А М
ить, что и определит нужный вид
проекции (рисунок 32).
Вопрос. Как в этом примере
построить изображения всех биссектрис
треугольника АВС1
1.10. Построим изображение двух
перпендикулярных диаметров АВ и CD
окружности по изображению окружности,
ее центра О и точки А (рисунки 33 и 34).
Решение. При параллельном
проектировании перпендикулярность искажается,
но в окружности свойство
перпендикулярности диаметров удается заменить на
другое. А именно, если проведем
параллельно диаметру АВ любую хорду МК
(рисунок 35), то ее середина и центр
окружности определяют перпендикулярный
диаметр. Так как свойства
параллельности прямых сохраняются при
проектировании, а середина отрезка переходит в
середину отрезка, то отсюда следуют
нужные построения, приведенные на
рисунках 36-38.
Вопрос. Как построить изображение
квадрата, вписанного в окружность?
1.11. Рассмотрим еще один пример.
[Ж]
На сторонах прямоугольного
треугольника ABC построены квадраты как на ри-

§ J. Параллельное проектирование
51
сунке 39. Известно, что \АВ\ = 3, |£?С| =
= 4, \АС\ = 5. По изображению проекции
А\В\С\ треугольника ABC на рисунке 40
построить изображения проекций
квадратов.
Решение. Замечаем, что следующие
свойства сохраняются при
проектировании: точки А, Ву М лежат на одной
прямой и АВ : ВЫ = 3:4; точки В, С, L
тоже лежат на одной прямой и ВС : BL =
= 4 : 3; KL \\ АВ\ MN \\ ВС\ АК || ВЦ
CN || ВМ.
[40]
л.
Труднее обнаружить, что если на
основном чертеже (рисунок 41) провести
высоту ВН, то АН : НС = АВ2 : ВС2 =
= 9 : 16, а ВН : АС = (АВ - ВС) : АС2 =
= 12 : 25. Если последнее соотношение
установлено, то тогда в проекции
находим точку Н\ такую, что А\Н\ : Н\С\ =
= 9 : 16. После этого на продолжении
прямой В\Н\ строим точку Т такую, что
В\Н\ : Н\Т = 12 : 25. Оставшиеся
построения, уже несложны и приводят к
чертежу, изображенному на рисунке 42.
Желая сохранить в проекции свойства исходного
делать именно такой чертеж, который получился.
чертежа, следует
Вопрос. Какой вид может иметь параллельная проекция
квадрата:
Контрольные вопросы и задания
1. Какие две плоскости называются параллельными?

52
Глаза 2. Наглядная стереометрия
2. Какая прямая называется параллельной плоскости?
3. Какие две прямые в пространстве называются параллельными?
4. Какие две прямые в пространстве называются
скрещивающимися?
5. Каковы возможные случаи расположения в пространстве двух
плоскостей?
6. Каковы возможные случаи расположения в пространстве прямой
и плоскости?
7. Каковы возможные случаи расположения в пространстве двух
прямых?
8. Что называется параллельной проекцией точки на плоскость?
9. Что называется параллельной проекцией фигуры на плоскость?
10. Перечислите свойства параллельного проектирования.
[45]
jJL
Задачи и упражнения
а
D
1. На рисунке 43 изображена
параллельная проекция треугольника
ABC. Изобразите на нем проекцию
медианы AM и проекцию
биссектрисы BD, если известно, что АВ = 2 и
ВС = 3.
2. На рисунке 44 изображены проекции
трех вершин параллелограмма.
Изобразите проекцию четвертой
вершины параллелограмма. Сколько
решений имеет задача?
3. На рисунке 45 изображен куб ABCD
AiB\C\Di. Изобразите
параллельную проекцию этого куба на
плоскость основания ABCD в
направлении:
а) прямой AD\;
б) прямой BD\.

§ i. Параллельное проектирование
53
5.
На рисунке 46 изображена
параллельная проекция прямоугольного
треугольника ABC с прямым углом
при вершине В. Изобразите
проекцию центра окружности, описанной
около треугольника ABC.
По изображению правильного
треугольника на рисунке 47 постройте
изображение его центра.
(ИЗ
[49]
G
л;
Г501
•с,
Ви
6. Постройте изображение сторон
квадрата, если даны изображения
середин его сторон, как на рисунке 48. ["5Г|
7- Постройте изображения правильного М\
шестиугольника ABCDEF:
а) но изображению вершин А, В, С,
как на рисунке 49; Am •»,
б) по изображению вершин А, С, Е,
как на рисунке 50.
8. Постройте изображение
параллелограмма ABCD по изображению
вершины А, середины М стороны ВС
и середины N стороны CD
(рисунок 51).
9. Постройте изображение трапеции ABCD по изображению
вершины А, середины М боковой стороны АВ и середины N боковой
стороны CD, если известно, что \AD\ = 3\ВС\ (рисунок 51).
10. Дано изображение прямоугольного треугольника ABC со
сторонами 1, \/3, 2 (рисунок 52). Постройте изображение его высоты,

54
Глава 2. Наглядная стереометрия
проведенной к гипотенузе.
Сколько решений имеет эта задача?
[52]
Г531
я.
с,
11. На рисунке 53 дано изображение
равнобедренного треугольника ABC
с основанием АС = 2 и высотой
длины 3. Постройте изображение
вписанного в треугольник квадрата, две
вершины которого лежат на
основании АС, а две оставшиеся вершины
— на боковых сторонах
треугольника ABC.
12. Постройте изображение
правильного треугольника, имея изображение
одной его вершины, описанной
около него окружности и центра этой
окружности.
13. Постройте изображение
прямоугольника со сторонами 1 и 2, имея
изображение одной его вершины, описанной
около него окружности и центра этой
окружности.
§2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
^ А
2.1. Две пересекающиеся прямые в
пространстве перпендикулярны, если они
пересекаются под прямым углом в
содержащей их плоскости (рисунок 1).
Две скрещивающиеся прямые
называются перпендикулярными, если
параллельные им пересекающиеся прямые
перпендикулярны. Так, если на рисунке 2
через точку А прямой а проведем прямую 6i,
параллельную прямой 6, и a J_ b\, то тогда
по определению a ± Ь.

§ 2. Перпендикулярность
55
Примером скрещивающихся
перпендикулярных прямых могут служить прямые
А\В\ и ВС, проходящие через указанные
ребра куба (рисунок 3). Действительно,
.4i£i || АВ, LABC = 90°, а поэтому по
определению А\В\ ± ВС.
Вопрос. Как показать, что прямые
АС и B\D\ на рисунке 3
перпендикулярны?
2.2. Прямая а и плоскость /3 в
пространстве называются
перпендикулярными, если прямая а перпендикулярна
любой прямой в плоскости /3 (рисунок 4).
Перпендикулярность прямой и
плоскости обозначается знаком JL
В старших классах будет доказан
следующий признак:
если две пересекающиеся прямые,
лежащие в плоскости /3, перпендикулярны
прямой а, тоа L (5.
Рассмотрим применение этого
признака на примере куба.
Каждое ребро куба перпендикулярно
двум ребрам, например ВС _L АВ,
ВС ± ВгВ. По признаку ВС ± ABBxAi.
Аналогично можем получить, что ВС X
± CCiDxD.
В кубе перпендикулярность ребер и
граней позволяет находить много
прямоугольных треугольников. Например, на
рисунке б независимо от положения точек
М и К на ребрах А\В\ и AD получаем
прямоугольный треугольник AM К с
прямым углом при вершине А.
И
и
А-
Вопрос. Как показать, что прямая

56
Глава 2. Наглядная стереометрия
АС на рисунке 5 перпендикулярна
плоскости BBiDxDl
2.3. Плоскости, проходящие через две
соседние грани куба, выделяются той
особенностью, что каждая из них проходит
через прямую, перпендикулярную
другой плоскости. Так, на рисунке 7
плоскость АА\В\В проходит через прямую
АА\, которая перпендикулярна плоскости
ABCD, а плоскость ABCD проходит
через прямую ВС', которая
перпендикулярна плоскости АА\В\В.
Плоскости ABCD и АА\В\В
являются примером двух взаимно
перпендикулярных плоскостей. Это можно записать
как ABCD JL ААфхВ.
В общем случае мы получим две
взаимно перпендикулярные плоскости, когда
одну из плоскостей проведем через
прямую, перпендикулярную другой
плоскости (рисунок 8).
Через прямую а, перпендикулярную
плоскости а, можно провести сколько
угодно плоскостей, перпендикулярных
плоскости а (рисунок 9).
Плоскость /?, перпендикулярная
плоскости а, отличается от плоскости 7? не
перпендикулярной плоскости а,
положением прямых, перпендикулярных
плоскости а. Если из точки А плоскости 7
провести прямую АН -L а (рисунок 10), то
основание перпендикуляра не будет лежать на
прямой т пересечения а и 7- И совсем по-
другому для плоскости /3: если из точки В
плоскости р провести перпендикуляр ВК
к плоскости а (рисунок 11), то точка К

§ 2. Перпендикулярность
57
обязательно будет лежать на прямой Z
пересечения а и /3.
Вопрос. Как показать, что плоскости
AB\C\D и A\BCD\ на рисунке 7 взаимно
перпендикулярны?
2.4. В предыдущих пунктах этого
параграфа мы привели основные
определения и некоторые свойства, связанные с
перпендикулярностью прямых и
плоскостей в пространстве.
Отметим еще несколько довольно
естественных свойств перпендикулярности в
пространстве.
Если прямая m перпендикулярна
плоскости а, то прямая га', параллельная т,
тоже перпендикулярна плоскости а
(рисунок 12).
Если плоскость а перпендикулярна
прямой га, то параллельная ей плоскость о!
тоже перпендикулярна прямой га
(рисунок 13).
Если плоскости а и /3
перпендикулярны, то параллельные им плоскости а' и /?'
тоже перпендикулярны (рисунок 14).
Вопрос. Как убедиться, что если
плоскость а перпендикулярна плоскости /3
и пересекает ее по прямой а, то плоскость
а', параллельная а, пересекает плоскость
/3 по прямой а', параллельной а?
т\
Контрольные вопросы и задания
1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
2. Сформулируйте определение перпендикулярности прямой и
плоскости.

58
Глава 2. Наглядная стереометрия
3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и
плоскости.
4. Как можно получить две взаимно перпендикулярные плоскости?
COD
Pi
М-
D
\ш
я, N
А
V>\
J/L
г
Задачи и упражнения
1
з!
Покажите, что на рисунке 15
взаимно перпендикулярны прямые:
а) ВхСх и CD; 6) АВг и CDX\
в)** ВВХ и АХС\\ г)" АСХ и BxDx.
Покажите, что на рисунке 15:
а) AAiBiB JL ВС;
б) ABiCiD JL СА;
в)** ACi ± AiBD.
Точки М, TV, A', L расположены на
ребрах куба примерно так, как на
рисунке 16. Покажите, что
следующий треугольник является
прямоугольным:
u a) AABiN; б) АВхСхЬ; в) AAXN\
r)ABiMN; д)ААВК; е) ANCL.
Покажите, что на рисунке 15 взаимно перпендикулярны
плоскости:
a) AAiCiC и BBiDiD; б) ABXCXD и АфСВх\
в) ABiCiD и CCxDxD; г)ф ЛДОА и BCiJ3;
д)* ABxCxD и АСА; е)** Л1С1Р и BBxDxD.
§3. СЕЧЕНИЯ КУБА И ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
3.1. Приведенные в предыдущих параграфах этой главы свойства
прямых и плоскостей позволяют изучать свойства пространственных
фигур. В этом параграфе рассмотрим, какой вид имеет плоское
сечение куба или прямоугольного параллелепипеда. Для иллюстраций

§ 3. Сечения куба и прямоугольного параллелепипеда
59
Яь
Jto.
щ
Q
\Р\
будем изображать куб примерно так, как на рисунке 1, и использовать
обозначение ABCDA\B\C\D\. Длину ребра куба будем обозначать
буквой а.
Ребра куба разбиваются на четверки
параллельных между собой ребер.
Например, АВ || AiBi || CiDi || CD. Отсюда,
в частности, следует, что прямые А\В\ и
CD лежат в одной плоскости. Плоскость
A\B\CD пересекает куб так, как это
изображено на рисунке 2.
Полученный четырехугольник A\B\CD
представляет сечение куба плоскостью
AiBiCD. Так как AiBi ± AA^D^D, то
А\В\ ± A\D, а поэтому у
четырехугольника A\B\CD угол B\A\D прямой, а
стороны А\В\ и CD равны и параллельны.
Поэтому A\B\CD прямоугольник.
Вопрос. Какую площадь имеет
построенное сечение куба?
3.2. Пересечем куб любой плоскостью,
проходящей через одно из ребер. Тогда
в сечении всегда получается
прямоугольник.
Действительно, проведем плоскость,
например, через точки А\ и В\ и М на ребре
о
СС\ такую, что |CiM| = -а. Тогда в
сечении получим четырехугольник A\B\MN,
как на рисунке 3. У него А\В\ \\ MJV, как
линии пересечения параллельных граней,
и по такой же причине A\N || В\М.
Далее, так как А\В\ _L AA\D\D, то и А\В\ ±
± A\N. В результате получаем, что в
сечении — прямоугольник. Найдем
стороны этого прямоугольника:
I^Bil = \MN\ = а,

60
Глава 2. Наглядная стереометрия
\AiN\ = \BiM\ = МА|2 + |ДЯ|2 =
ал/15
А
У
U
\"УС
Еще одно свойство построенного
сечения получим из того, что оно проходит
через прямую, перпендикулярную
плоскости AA\D\D. Поэтому A\B\MN J_
_L AAiDiD.
Вопрос. Что вы можете сказать о
прямой пересечения плоскостей A\B\MN
и ABCD?
3.3. Сечением куба плоскостью,
параллельной любой его грани, является
квадрат. Например, на рисунке 4
проведена плоскость, параллельная
основанию ABCD. Полученный в сечении
квадрат равен квадрату ABCD и имеет
стороны, соответственно параллельные
сторонам квадрата ABCD.
Вопрос. Что вы можете сказать о
прямой пересечения двух плоскостей,
которые соответственно параллельны двум
соседним граням куба?
3.4. Много интересного можно
извлечь из перпендикулярности диагоналей
одной грани куба. Для примера возьмем
АС и BD (рисунок 5). Тогда AC ± BD,
АС ± ААЪ AC ± ВВЪ а поэтому АС ±
X BB\D\D. Это значит, что любая
прямая плоскости BB\D\D перпендикулярна
АС. В частности, AC JL BD\. Но точно
так же можно получить, что АВ\ ± BD\,
В\С J- BD\, а поэтому плоскость АВ\С
перпендикулярна прямой BD\, что совсем
не очевидно (рисунок 6).

§ 3. Сечения куба и прямоугольного параллелепипеда 61
Отмеченные закономерности
позволяют находить некоторые новые взаимно
перпендикулярные плоскости. Например,
ABCiDi ± AiBiCD (рисунок 7).
Вопрос. Как показать, что плоскости
АВ\С и A\C\D параллельны?
3.5. Куб обладает многими
свойствами симметрии.
Например, куб самосовмещается при
повороте его вокруг прямой, проходящей
через центры двух противоположных
граней, на угол 90°, 180° или 270° (рисунок 8).
Куб симметрично расположен
относительно плоскости, проходящей через
середины параллельных ребер. Рассмотрим,
например, плоскость MNKL на
рисунке 9. Симметричность куба относительно
этой плоскости состоит в том, что AM =
= MD, BL = LCy AiN = NDU ВХК =
= KCi nAD± MNKL.
Куб симметрично расположен также
относительно плоскости BB\D\D
(рисунок 10). Симметричность состоит в том,
что AC ± BBxDiD, AM = МС, AiCi ±
± BBXDXD и AiN = NCi.
Плоскости, проходящие через середины
ребер, а также через параллельные
диагонали противоположных граней куба,
называются плоскостями симметрии куба.
Вопрос. Каким может быть взаимное
расположение двух прямых в
пространстве, если каждая из них содержит
некоторое ребро одного и того же куба?
3.6, Прямоугольный параллелепипед
хорошо известен с младших классов. Его
R К С
s
Г N
0^mmmZ
.JC
AMD

62
Глада 2. Наглядная стереометрия
пп
4
>±
В
ГА
.G
гранями являются прямоугольники.
Длины ребер \АВ\ = a, \AD\ = 6, \АА'\ = с
(рисунок 11) называются измерениями
прямоугольного параллелепипеда.
Свойства ребер и граней
прямоугольного параллелепипеда во многом
аналогичны тем свойствам, которые описаны для
куба. Например, при пересечении
прямоугольного параллелепипеда плоскостью,
проходящей через любое ребро,
получается прямоугольник (рисунок 12).
Сумма площадей всех граней
прямоугольного параллелепипеда называется его
полной поверхностью. Полную
поверхность прямоугольного параллелепипеда
можно вычислять по формуле:
S = 2(a& + ac+6c).
Объем прямоугольного
параллелепипеда вычисляется по известной формуле:
V = abc.
Вопрос. Как вычислять полную
поверхность и объем куба?
Контрольные вопросы и задания
1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
2. Сформулируйте определение перпендикулярности прямой и
плоскости.
3. Как вы понимаете сечение куба плоскостью?
4. Какими плоскостями симметрии обладает куб?
5. Что называется полной поверхностью прямоугольного
параллелепипеда и по какой формуле она вычисляется?

§ 4. Правильные четырехугольная и треугольная пирамиды 63
6. По какой формуле вычисляется объем прямоугольного
параллелепипеда?
Задачи и упражнения
1. Ребро куба имеет длину а. Вычислите расстояние от центра куба
до его вершин и граней.
2. Вычислите площадь сечения АВ\С куба ABCDA\B\C\D\,
имеющего ребро а.
3. Покажите, что имеется 9 плоскостей симметрии куба.
4. Найдите такую плоскость, чтобы в сечении куба этой плоскостью
получился правильный шестиугольник.
5. Какой вид имеет проекция куба ABCDA\B\CiD\ параллельно
прямой BD\ на плоскость, перпендикулярную BD\1
6. Вычислите длину диагонали АС прямоугольною
параллелепипеда ABCDA'B'C'D1 с измерениями а, Ь и с.
7. Вычислить площадь сечения АВ'С прямоугольного
параллелепипеда ABCDA'B'C'D' с измерениями а, 6 и с.
8. Сколько плоскостей симметрии имеет прямоугольный
параллелепипед с двумя разными измерениями (а = ft, а Ф с)?
9. Сколько плоскостей симметрии имеет прямоугольный
параллелепипед с тремя разными измерениями (аф b,a Ф с,Ь Ф с) 7
\f
§4. ПРАВИЛЬНЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ И
ТРЕУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДЫ
4.1, В некоторой плоскости возьмем
квадрат ABCD (рисунок 1). Через его \п
центр Н проведем прямую т,
перпендикулярную плоскости ABCD,
Выберем на прямой га точку S и
соединим ее с вершинами квадрата
отрезками прямых. Пятигранник SABCD на
ш
>#

64
Глада 2. Наглядная стереометрия
рисунке 2 с гранями ABCD, SAB, SBC,
SCD, SAD называется правильной
четырехугольной пирамидой.
Грань ABCD называется основанием
пирамиды остальные грани называются
боковыми гранями. Точка S называется
вершиной пирамиды, а отрезок SH — ее
высота.
Из перпендикулярности прямой SH к
плоскости ABCD следует, что LAHS ~
= LBHS = LCHS = LDHS = 90°.
Поэтому треугольники AHS, BHS, CHS, DHS
прямоугольные и равны, так как у них
АН = ВЫ = СН = £>#, а сторона SH
общая. Из равенства треугольников
получаем равенство боковых ребер пирамиды:
AS = BS = CS = DS.
В результате получаем, что боковые
грани правильной четырехугольной
пирамиды являются равнобедренными
треугольниками.
Вопрос. Как показать, что
треугольники ASB, BSC, CSD, ASD равны?
4.2. Рассмотрим сечения правильной
четырехугольной пирамиды плоскостями,
проходящими через ее высоту.
Любая плоскость, проходящая через
высоту SH (рисунок 3),
перпендикулярна основанию и пересекает пирамиду по
равнобедренному треугольнику.
Действительно, так кац точка Я
является центром симметрии квадрата ABCD,
то МН = НК, а из условия SH _L ABCD
следует, что SH ± МК. Поэтому в
треугольнике MSK отрезок SH является и
медианой, и высотой, откуда и получаем,

§ 4. Правильные четырехугольная и треугольная пирамиды
65
что треугольник MSK равнобедренный.
Из плоскостей указанного вида особо
выделаются два случая.
Первый случай. Пусть точка М
совпадает с серединой какого-нибудь ребра
основания, например, AM = MD, как на
рисунке 4. Тогда ребра AD и ВС
перпендикулярны плоскости MSK и
делятся этой плоскостью пополам. Плоскость
MSK называется плоскостью симметрии
пирамиды SABCD,
Второй случай. Пусть точка М
совпадает с одной из вершин основания
пирамиды SABCD, например, с вершиной А, как
на рисунке 5. Тогда сечением пирамиды
является треугольник ASC, а диагональ
BD основания пирамиды
перпендикулярна плоскости. Плоскость ASC называется
также плоскостью симметрии правильной
четырехугольной пирамиды SABCD.
Вопрос. Как в случае плоскости
MSK, изображенной на рисунке 4,
показать, что AD ± MSK1
4.3. При пересечении правильной
четырехугольной пирамиды плоскостью,
проходящей через ребро основания,
получается трапеция (рисунок 6). Трапеция
AEFD равнобедренная, что легко
установить, если добавить на чертеже
вспомогательную плоскость SMK, для которой
AM = МD, ВК = КС (рисунок 7). Тогда
EF || ВС, EL = LF и EF ± SMK. По
этому EF ± ML, а так как и AD ± ML,
то приходим к рисунку 8, откуда все и
следует.
из
м

66
I лава 2. Наглядная стереометрия
Вопрос. Как на рисунке 7 показать,
что AD || SBC1
4.4. Для записи формул поверхности и
объема правильной четырехугольной
пирамиды, изображенной на рисунке 9,
введем обозначения: |АВ| = а, |5Я| = ft,
\SK\ = р, где С К = KD, SABcd = S.
Тогда боковая поверхность пирамиды
вычисляется по формуле:
5"бок = 2-ар;
полная поверхность пирамиды
вычисляется по формуле:
5полн = 2 • ар + а = 2 • ар + 5;
объем пирамиды вычисляется по
формуле:
V = \-Sh = \-a2-h.
Вопрос. Во сколько раз увеличится
объем правильной четырехугольной
пирамиды, если у нее ребро основания и
высоту увеличить в два раза?
4.5. В некоторой плоскости возьмем
правильный треугольник ABC
(рисунок 10). Через его центр Н проведем
прямую га, перпендикулярную плоскости
ABC. Выберем на прямой гп точку S.
Соединим точку S с вершинами
треугольника ABC отрезками прямых.
Четырехгранник SABC (тетраэдр) с основанием
ABC и боковыми гранями SAB, SAC,
SBC называется правильной треугольной
пирамидой. Точка S — вершина
пирамиды, отрезок SH — ее высота.

§ 4. Правильные четырехугольная и треугольная пирамиды
67
Из перпендикулярности прямой SH к плоскости ЛВС следует, что
LAHS = LBHS = LCHS = 90°. Так как АН = ВЯ = С#, то пря-
моугольные треугольники АЯ5, БЯ5, СЯ5 равны по двум катетам.
Отсюда следует, что AS = Я£ = CS, а поэтому боковые грани
правильной треугольной пирамиды являются равнобедренными
треугольниками.
Правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны,
называется правгыьным тетраэдром. У правильного тетраэдра все
грани — равные правильные треугольники.
Вопрос. Как показать, что ВС ± SH1
4.6. Любая плоскость, проходящая
через высоту правильной треугольной
пирамиды, перпендикулярна основанию. Из
таких плоскостей выделяются своими
свойствами плоскости ASH, BSH, CSH.
Так, плоскость ASH перпендикулярна
ребру ВС, проходит через середину ребра
ВС и пересекает грань SBC по высоте
SK боковой грани (рисунок 11).
Плоскость ASK называется плоскостью
симметрии правильной треугольной
пирамиды SABC.
Вопрос. Сколько плоскостей
симметрии имеет правильный тетраэдр?
4.7. Противоположные ребра
правильной треугольной пирамиды взаимно
перпендикулярны. Например, AS ± ВС. Это
не совсем очевидный результат.
Для его доказательства снова
рассмотрим рисунок 11. Мы имеем В К = КС.
Поэтому АК JL ВС как медиана
основания равностороннего треугольника ABC,
и SK ± ВС как медиана боковой грани
равнобедренного треугольника SBC.
Отсюда следует, что ASK ± ВС, а значит

68
Глаза 2. Наглядная стереометрия
AS _L ВС, что и требовалось установить.
Аналогично можно получить, что BS -L
JL АС и CS ± АВ.
Вопрос. Как показать, что ASK ±
LBSC1
4.8. Покажем, что середины ребер AS,
BS, АС, ВС расположены в одной
плоскости.
Действительно, рассмотрим рисунок 13.
Так как ML \\ SC и NK || SC, то
ML || NK, а значит прямые ML и NK
лежат в одной плоскости.
Аналогично можем получить, что
MN || LK. Далее, так как в
предыдущем пункте установлено, что АВ ± SC,
то ML ± MN, откуда LLMN = 90°. В
результате приходим к тому, что при
пересечении правильной треугольной
пирамиды плоскостью MNKL, получается
прямоугольник.
Вопрос. Какой вид имеет сечение
правильной треугольной пирамиды
плоскостью, параллельной плоскости MNKL?
4.9. Для записи формул поверхности
и объема правильной треугольной
пирамиды обозначим |А2?| = a, \SH\ = h,
\SK\ = р (рисунок 14), где В К = КС,
Sabc = S. Тогда боковая поверхность
пирамиды вычисляется по формуле:
5бок = т: • ар = (1,5) • ар;
полная поверхность пирамиды вычисляется по формуле:
3 ~ 3 ^ а2 • V3
-ap + S=-'ap+—j-',

§ 4. Правильные четырехугольная и треугольная пирамиды 69
объем пирамиды вычисляется по формуле:
3 12
Вопрос. По какой формуле можно вычислять полную
поверхность правильного тетраэдра?
Контрольные вопросы и задания
1. Какой многогранник называется правильной четырехугольной
пирамидой?
2. Какой многогранник называется правильной треугольной
пирамидой?
3- Что такое правильный тетраэдр?
4. Какие плоскости симметрии имеет правильная четырехугольная
пирамида?
5. Какие плоскости симметрии имеет правильная треугольная
пирамида?
6. Запишите формулы боковой и полной поверхности правильной
четырехугольной пирамиды.
7. Запишите формулу объема правильной четырехугольной пират
МИДЫ?
8. Запишите формулы боковой и полной поверхности правильной
треугольной пирамиды.
9. Запишите формулу объема правильной треугольной пирамиды.
Задачи и упражнения
1. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра имеют длину
а. Вычислите боковую поверхность и объем пирамиды.
2. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра имеют длину
а. Вычислите площади сечений пирамиды плоскостями
симметрии.

70
Глава 2. Наглядная стереометрия
3. Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой
имеют длину а. пересечена плоскостью, проходящей через ребро
основания перпендикулярно противоположной боковой грани.
Найдите площадь сечения.
4. Правильная четырехугольная пирамида, имеющая высоту 20 см
и ребро в основании 10 см, пересечена плоскостью, проходящей
через диагональ основания и середину одного из боковых ребер.
Вычислите площадь сечения.
5. Найдите высоту и объем правильного тетраэдра с ребром а.
6. Покажите, что отрезок прямой, соединяющий середины двух
противоположных ребер правильного тетраэдра, является их общим
перпендикуляром.
7. Как пересечь плоскостью правильный тетраэдр, чтобы в сечении
получился квадрат?
8. Вычислите площадь того сечения правильного тетраэдра с
ребром а, которое является квадратом.
§ 5. СФЕРА И ШАР
5.1. Рассмотрим сферу радиуса R с
центром О (рисунок 1). Произвольная
плоскость может не пересекать сферу,
иметь со сферой одну общую точку или
пересекать сферу по окружности, как
изображено на рисунке 2. Наибольший par
диус окружности сечения получается
тогда, когда плоскость проходит через центр
сферы (рисунок 1).
Для дальнейшего изучения сфер очень
важным оказывается следующее свойство.
Отрезок, соединяющий центр сферы с
центром окружности сечения,
перпендикулярен плоскости сечения.
Для пояснения этого свойства прове-

§ 5. Сфера и шар
71
дем ОЕ ± а (рисунок 2). Тогда для
любых точек A", L, М,... на линии
пересечения получим прямоугольные
треугольники ОЕК, OEL, OEM,... (рисунок 3). Эти
треугольники равны, потому что ОЕ — их
общий катет, а гипотенузы OK, OL, ОМ,
... равны как радиусы сферы. Отсюда
следует, что \КЕ\ = \LE\ = \МЕ\ =...
Полное доказательство требует
некоторых дополнительных рассуждений и
будет рассмотрено в старших классах.
Вопрос. Как расположена сфера
относительно плоскости, перпендикулярной
радиусу сферы О А и проходящей через
его конец А!
5.2. Геометрическое тело,
ограниченное сферой, называется шаром.
Любая плоскость, пересекающая сферу
по окружности, отсекает от шара
радиуса R часть, называемую шаровым
сегментом (рисунок 4). Шаровой сегмент
характеризуется радиусом г окружности в
основании и высотой h = R — ОЕ
(рисунок 2).
Для вычисления поверхностей и
объемов шара и шаровых частей известны
формулы.
Поверхность сферы вычисляется по
формуле:
5 = 4тгД2.
Объем тара вычисляется по формуле:

72
Глава 2. Наглядная стереометрия
Поверхность шарового сегмента вычисляется по формуле:
S = 2тгЯЛ.
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:
у.^».(л-|).
Вопрос. Чему равен объем шарового сегмента высоты h = Я?
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое сфера?
2. Каким свойством обладает отрезок, соединяющий центр сферы
с центром окружности, получающейся в сечении сферы
плоскостью?
3. По каким формулам вычисляется поверхность шара?
4. По какой формуле вычисляется объем шара?
5. Запишите формулу для вычисления объема шарового сегмента.
Задачи и упражнения
1. Найдите объем шара радиуса Я, если:
a) Я = 3 см; б) Я = 15 см; в) Я = 22 см.
2. Во сколько раз объем шара, площадь поверхности которого равна
5, больше объема куба с такой же площадью поверхности?
3. На сколько различаются объемы двух шаров, радиусы которых
равны R\ = 1 м и Яг = 1* 1 м?
4. Будем считать, что радиус земного шара 6350 км. Найдите длину
параллели, если известно, что ее широта:
а) 60°; б)* 30°; в) 55°.
5. Найдите геометрическое место центров всех сфер, проходящих
через три данные точки А, В и С
6.* Найдите геометрическое место проекций заданной точки А на все
плоскости, проходящие через другую заданную точку В.

§ 6. Цилиндр и конус
73
в!
В шар радиуса г вписан куб, т. е. все вершины куба лежат на
поверхности шара. Найдите длину ребра куба.
Куб с ребром а вписан в шар. Найдите радиус шара и высоту
шарового сегмента, который отсекает от шара плоскость какой-
либо грани куба.
§ 6. ЦИЛИНДР И КОНУС
6.1. Цилиндр как пространственная
фигура уже встречался. Цилиндр
можно получить вращением плоского
прямоугольника АВКМ относительно прямой
КМ (рисунок 1). В этом случае
прямая КМ является осью цилиндра,
отрезок КМ — его высотой.
Нижний круг, ограничивающий
цилиндр, называют нижним основанием
цилиндра, а верхний крут — соответственно
называют верхним основанием.
Любой отрезок АВ, параллельный оси
КМ и соединяющий точки верхнего и
нижнего оснований цилиндра, называется
образующей.
Рассматривают также цилиндрическую
поверхность, которую можно получить
вращением прямой АВ относительно
параллельной ей оси МК. Тогда цилиндр
можно понимать как геометрическое
тело, ограниченное цилиндрической
поверхностью и двумя плоскостями,
перпендикулярными оси вращения.
Вопрос. Как образующая цилиндра
расположена по отношению к его высоте?
NH
6.2. При пересечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной к
оси, получается круг (рисунок 2).

74 Глада 2. Наглядная стереометрия
При пересечении цилиндра плоскостью, наклонной к оси, получат
ется эллипс или часть эллипса (рисунок 3).
Вопрос. Что получится в сечении цилиндра плоскостью,
параллельной его оси?
6.3. Для записи формул поверхности и объема цилиндра
обозначим его высоту Л. радиус основания г, площадь основания S. Тогда
боковая поверхность цилиндра вычисляется по формуле:
5б<ж = 27ггЛ;
полная поверхность вычисляется по формуле:
5ПОлн = 2тггЛ + 25 = 2тгг • (Л + г);
объем цилиндра вычисляется по формуле:
V = Sh = тгг2Л.
Вопрос. Как вычислить объемы частей, которые получаются при
разрезании цилиндра плоскостью, проходящей через его ось?
6.4. Рассечем цилиндр плоскостью,
как на рисунке 4. Образовавшиеся части
цилиндра имеют равные объемы, каждый
пгЧ
из которых равен ——.
Данное свойство позволяет легко
наполнить кастрюлю водой наполовину.
Вопрос. Как провести плоскость,
относительно которой цилиндр
расположился бы симметрично (то есть одинаково)?
6.5. Рассмотрим пространственную фигуру, получаемую
вращением плоского прямоугольного треугольника относительно прямой,
проходящей через его катет. Такая фигура называется конусом.
Круг, получаемый вращением катета АН (рисунок 5), называется
основанием конуса, прямая SH — осью конуса, отрезок SH — его
высотой.
Любой отрезок, соединяющий вершину S с точкой на окружности

§ 6. Цилиндр и конус 75
основания, называется образующей.
Рассматривают также коническую
поверхность, которую можно получить
вращением прямой SA относительно оси SH
при постоянном угле между прямой и
осью. Тогда конус можно понимать как
геометрическое тело, ограниченное
конической поверхностью и плоскостью,
перпендикулярной оси вращения.
Вопрос. Как проходят плоскости
относительно которых конус располагается
симметрично?
6.6. Сечение конуса плоскостью,
проходящей через его ось, называется
осевым сечением конуса. Любое осевое
сечение является равнобедренным
треугольником, боковые стороны которого — это
образующие, а основание — диаметр
основания конуса (рисунок 5).
При сечении поверхности конуса
любой другой плоскостью, проходящей через
вершину, тоже получается
равнобедренный треугольник (рисунок 6).
Вопрос. Что представляет из себя
сечение конуса плоскостью,
перпендикулярной к его оси?
6.7. При пересечении конуса
плоскостью, параллельной основанию,
получается окружность. При пересечении другими
плоскостями, не проходящими через
вершину конуса, могут получаться:
— эллипсы, как на рисунке 7;
— параболы, как на рисунке 8, когда
секущая плоскость параллельна
образующей конуса;

76
Глада 2. Яаглдцяал стереометрия
— гиперболы, как на рисунке 9, когда, например, секущая плоскость
не проходит через вершину конуса и параллельна его оси.
СЕ Вопрос. В каком случае при сечении
конуса плоскостью получается круг?
6.6. Для записи формул поверхности
и объема конуса обозначим высоту конуса
Л, радиус его основания обозначим г,
площадь основания — 5, длину образующей
— / (рисунок 10). Тогда боковая
поверхность конуса вычисляется по формуле:
^бок = 7ГГ'»
полная поверхность конуса вычисляется
по формуле:
Swum = яг/ + 7ГГ2 = 7гг(/ + г);
объем конуса вычисляется по формуле:
V = \-Sh = \-in*h.
3 3
Вопрос. Как вычислить объем части конуса, ограниченной его
основанием и сечением, параллельным основанию?
Контрольные вопросы и задания
1- Что называется цилиндром?
2. Какой вид может иметь сечение цилиндра плоскостью?
3* Что такое конус?
4. Что называется осевым сечением конуса?
5* Какой вид может иметь сечение поверхности конуса
произвольной плоскостью?
6. Запишите формулы для вычисления боковой и полной
поверхности цилиндра.

§ 6. Цилиндр и конус
77
7. Запишите формулу для вычисления объема цилиндра.
8. Запишите формулы для вычисления боковой и полной
поверхности конуса.
9. Запишите формулу для вычисления объема конуса.
Задачи и упражнения
1.
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось,
является квадратом со стороной а. Вычислите объем цилиндра.
Боковая поверхность цилиндра свернута из квадрата со стороной
а. Вычислите объем цилиндра.
Найдите объем и полную
поверхность коленчатой цилиндрической
трубы радиуса г с длиной оси АВ+
+ВС = а, изображенной на
рисунке 11.
5.
та
Докажите, что плоскость,
пересекающая боковую поверхность
цилиндра, но не пересекающая его
оснований, делит высоту цилиндра,
боковую поверхность и объем в одном и
том же отношении.
Ю
Указание. Рассмотрите сначала сечение плоскостью,
перпендикулярной к оси цилиндра.
Осевое сечение конуса является правильным треугольником со
стороной а. Вычислите объем конуса.
Боковая поверхность конуса свернута из полукруга радиуса R.
Найдите объем конуса.
В конус вписан цилиндр так, что одно основание цилиндра лежит
на основании конуса, а другое основание цилиндра есть сечение
конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса. Радиус
основания цилиндра в два раза меньше радиуса основания конуса.
Найдите отношение объемов цилиндра и конуса.
Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая осно-

78
Глава 2. Наглядная стереометрия
вание конуса по хорде длины а. Найдите площадь сечения, если
высота конуса h и радиус основания г.
9. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°. Найдите
объем конуса, если радиус основания конуса г.
10. В шар вписаны цилиндр и конус одной и той же высоты, равной
радиусу шара. Найти отношение объемов цилиндра и конуса.
11. Осевым сечением цилиндра является квадрат, а осевым
сечением конуса — правильный треугольник, равновеликий квадрату.
Найдите отношение объемов цилиндра и конуса.
12. Цилиндр, конус и шар имеют одинаковые объемы, причем
диаметр шара равен как высоте цилиндра, так и высоте конуса.
Найдите отношение полной поверхности цилиндра к полной
поверхности конуса.
13. Найдите объем тела, получающегося при вращении
прямоугольного треугольника с катетами а и b вокруг гипотенузы.
14. Боковая поверхность конуса в два раза больше площади
основания. Найдите объем конуса, если длина образующей конуса
равна /.
15. Центр сферы совпадает с центром основания конуса, а радиус
сферы равен радиусу основания конуса. Покажите, что сфера
пересекает боковую поверхность конуса по окружности, и
найдите радиус этой окружности, если высота конуса равна Я, а
угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°.

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ
МЕТОД В МАТЕМАТИКЕ
глава
В этой главе будет выявлена роль аксиом в математике и изложена
суть аксиоматического метода построения геометрии. Будет
рассмотрена также отличительная особенность математики —
использование доказательств для установления математических истин. В связи
с этим будут определены основные виды теорем.
§ 1. ОБ АКСИОМАХ
1.1. Вы уже знакомы с тем, что в математике принята строгая
система доказательств теорем, при которой используются очевидные
или уже доказанные утверждения. Некоторые начальные совершенно
ясные для нас утверждения мы считаем истинными без
доказательства и называем аксиомами.
Вопрос. Какие аксиомы вы знаете?
1.2. Аксиомы мы рассматриваем как очевидные утверждения, не
требующие доказательств. Аксиомы содержат некоторые начальные
понятия, которые называются основными и которым не дается
никаких определений. Тем самым аксиомы представляют из себя
принимаемые без доказательства утверждения о свойствах основных понятий.
Последующие теоремы мы получаем как логические следствия из
аксиом и уже доказанных утверждений.
Метод последовательного получения теорем, исходя из аксиом,
путем логических рассуждений или доказательств получил название
аксиоматического метода. Аксиоматический метод позволяет сводить
з

80
Глава 3. Аксиоматический метод в математике
более сложные математические понятия к простейшим понятиям,
которые не требуют пояснений.
Яркий пример применения аксиоматического метода в древней
математике — это аксиоматическое изложение геометрии великим
Евклидом в его знаменитых "Началах71.
Вопрос. Как доказывается, что если a > b и с < 0, то ас < be!
Контрольные вопросы и задания
1. Что вы понимаете под словом "аксиома"?
2. Что вы понимаете под словом "теорема"?
3. Приведите пример математического доказательства.
§2. "НАЧАЛА" ЕВКЛИДА
2.1. Накопление геометрических знаний в виде конкретных
фактов началось в глубокой древности. За несколько тысячелетий до
нашей эры египтяне умели возводить грандиозные пирамиды.
Например, известная пирамида Хеопса имела 138 метров высоты. Такие
постройки требовали точных измерений и предварительных
геометрических расчетов. Постоянные разливы Нила принуждали египтян
ежегодно измерять и перераспределять земельные участки. В переводе с
греческого слово геометрия и означает "землемерие".
Вопрос. Какие измерения нужно произвести, чтобы вычислить
площадь участка, имеющего форму трапеции?
2.2. Приблизительно за 700 лет до начала нашей эры
геометрические знания египтян проникли в Грецию. Здесь геометрия возникла
уже как наука.
На рубеже 4-3-го столетий до нашей эры древнегреческий геометр
Евклид, живший в Александрии, опубликовал свое знаменитое
сочинение "Начала" в пятнадцати книгах. В нем впервые дано
аксиоматическое построение геометрии.
Каждая книга "Начал" начинается с описания основных
геометрических понятий. Приведем несколько из них.

§ 2. "Начала" Евклида
81
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия, есть длина без ширины.
3. Прямая линия есть такая линия, которая одинаково расположена
по отношению ко всем своим точкам.
4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
5. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена
относительно всех своих прямых.
6. Телом называется то, что имеет длину, ширину и глубину
В первой книге "Начал" изложены постулаты и аксиомы, то есть
утверждения, принимаемые без доказательств как очевидные.
Постулаты относились к геометрии, а аксиомы — к геометрии и
арифметике.
Постулаты:
1) через две точки можно провести только одну прямую линию ;
2) отрезок можно продолжить до прямой;
3) из любого центра можно описать окружность любого радиуса;
4) все прямые углы равны между собой;
5) две прямые, которые при пересечении с третьей прямой образуют
внутренние односторонние углы, в сумме меньше двух прямых, при
продолжении в ту же сторону пересекаются.
Аксиомы:
1) равные порознь третьему равны между собой;
2) если к равным прибавить равные, то получим равные;
3) если от равных отнять равные, то оставшиеся части будут равны;
4) совмещающиеся друг с другом равны;
5) целое больше своей части.
Вслед за аксиомами в первой книге "Начал" идут теоремы,
расположенные в определенной последовательности так, что
последующие утверждения выводятся строго логически из постулатов, аксиом
и предыдущих теорем.
"Начала" Евклида были основным учебным пособием по геометрии
в течение двух последуюпщх тысячелетий.
Вопрос. Какие свойства точек прямой вы знаете?
2.3. Уже ближайшие последователи Евклида обратили
внимание на пятый постулат, который был не столь очевиден, как другие

82
Глава 3. Аксиоматический метод в математике
постулаты и аксиомы. Попытки доказать пятый постулат на основе
остальных постулатов и аксиом Евклида безуспешно продолжались
более 2000 лет.
Было замечено, что пятый постулат Евклида эквивалентен
следующей аксиоме, которую принято называть "аксиомой параллельности":
на плоскости через данную точку вне данной прямой можно провести
не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.
Великий русский математик Николай Иванович Лобачевский
(1792 - 1856 г. г.) также пытался доказать пятый постулат
Евклида. Впоследствии предположив, что через точку вне прямой можно
провести более одной прямой, не пересекающей данную прямую, Н. И.
Лобачевский пришел к стройному учению, которое он назвал
"воображаемой геометрией". Доклад о своем открытии Н.И. Лобачевский
представил совету Казанского университета, где он работал, в 1826 г.
В 1829 г. вышла из печати большая работа Н. И. Лобачевского "О
началах геометрии", в которой он детально изложил новую геометрию.
В настоящее время "воображаемая геометрия" называется
геометрией Лобачевского. В учебнике 9 класса приведены некоторые
особенности геометрии Лобачевского, отличающие ее от геометрии Евклида, и
рассмотрена модель плоскости Лобачевского, принадлежащая
французскому математику А. Пуанкаре.
К выводу о существовании новой геометрии пришел также
немецкий математик Гаусс. Об этом стало известно из писем Гаусса к
современникам.
Три года спустя после выхода в свет работы Лобачевского
венгерский математик Янош Больяи (1822 1860 г. г.), не зная об
исследованиях Лобачевского, также опубликовал работу, где изложил начала
неевклидовой геометрии, но в менее развитой форме по сравнению с
Лобачевским.
Непротиворечивость геометрии Лобачевского была доказана позже
А. Пуанкаре и немецким математиком Ф. Клейном.
Окончательное построение и исследование аксиоматики
евклидовой геометрии было проведено немецким математиком Д. Гильбертом
(1899 г.).
Вопрос. Какие особенности геометрии Лобачевского вы знаете?

§ 3. Система аксиом Гильберта
83
Контрольные вопросы и задания
1. Какой смысл в греческом языке имеет слово "геометрия"?
2. Что утверждает пятый постулат Евклида?
3. Какую геометрию называют "воображаемой геометрией"?
4. Какой вид имеют неевклидовы точки и прямые в модели
Пуанкаре геометрии Лобачевского?
§ 3. СИСТЕМА АКСИОМ ГИЛЬБЕРТА
3.1. Гильберт предполагает, что существуют три вида вещей или
объектов: точки, прямые и плоскости. Эти объекты находятся
между собой в некоторых отношениях, которые обозначаются словами:
"лежать на", "лежать между", "быть конгруэнтными или равными",
"быть прямыми". Точный смысл и свойства этих отношений
описывается аксиомами.
Система аксиом Гильберта состоит из пяти групп аксиом.
В этом пункте приведем аксиомы первой группы (или аксиомы
связи), которые описывают свойства отношения "лежать на".
li. Для любых двух точек существует единственная прямая, на
которой лежат эти точки.
Ь. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки; на каждой
плоскости лежат по крайней мере три точки, не лежащие на одной
прямой.
1з- Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой,
существует единственная плоскость, на которой эти точки лежат.
I4. Если две точки прямой а лежат на плоскости а, то все точки
прямой а лежат на этой плоскости.
Is- Если точка лежит на плоскости айна плоскости /3, то
существует по крайней мере еще одна точка, которая лежит на каждой из
этих плоскостей.
1б- Существуют по крайней мере четыре точки, которые не лежат
на одной плоскости.
Вопрос. Как доказать с помощью аксиом связи, что если две
плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую?

84
Глава 3. Аксиоматический метод в математике
3.2. Аксиомы второй группы или аксиомы порядка, описывают
свойства отношения "лежать между".
2\. Если точка В лежит между точками А и С, то В лежит также
между С и А и при этом Л, В, С — различные точки одной прямой
(рисунок 1).
22. Для любых двух точек А и В на
одной прямой АВ существует по крайней
мере одна точка С такая, что точка В
лежит между А и С.
2з- Для любых трех точек на прямой
одна и только одна из них лежит между
двумя другими.
24. (Аксиома Паша). Пусть А, В, С —
три точки в плоскости 7 и о, — прямая в
плоскости 7» не проходящая ни через одну
из точек А, В, С. Тогда если на прямой a
найдется точка Z), лежащая между А и С,
то на этой прямой найдется также точка
F, которая лежит либо между А и В, либо
между В и С (рисунок 2).
и
•в
D\
ш
^
о*-.
?•
Вопрос. Как с помощью аксиомы
П&ша доказать, что каждая прямая делит
плоскость на две полуплоскости?
3.3. Аксиомы третьей группы или
аксиомы конгруэнтности описывают
свойства отношения конгруэнтности или,
другими словами, отношения равенства
геометрических фигур, соответствующее
наглядному представлению о совмещении
при наложении копии одной из фигур на
другую.
3i. Если даны пара точек KL и прямая
а с расположенной на ней точкой О
(рисунок 3), то на прямой а найдется
единственная пара точек А и J9, для которых
пары точек АО, О В конгруэнтны паре то-

§ 3. Система аксиом Гильберта
85
с,'
В
чек KL и точка О лежит между точками
А и В (символически АО = KL, ОВ =
= KL). И
Так как каждая пара точек определяет ..+-*''
отрезок, то аксиома 3i дает возможность ^ .---•""
однозначно откладывать отрезки на пря-
мой от заданной точки О. %%*%
Зг- Два отрезка, конгруэнтные тре- А\ %*%
тьему отрезку, конгруэнтны между собой.
Каждый отрезок ЛБ конгруэнтен самому
себе и отрезку В А (символически АВ =
= АВ и АВ = В А). В
Зз- Если точка С лежит между
точками А, В, а точка С\ — между точками
AUB\ и при этом АС = А\С\,СВ = CiBi,
то ЛБ = Ai^Bi (рисунок 4).
Аксиома Зз дает возможность
складывать отрезки. Вут
34. Пусть даны угол АО В, луч 0\В\ и
полуплоскость относительно прямой 0\В\
(рисунок 5). Тогда в этой полуплоскости
существует единственный луч 0\А\ такой,
что угол АО В конгруэнтен углу А\0\В\.
Аксиома З4 дает возможность
однозначно откладывать углы. Кроме того, из
этой аксиомы следует, что каждый угол
конгруэнтен самому себе.
35. Если для двух треугольников ABC
и А\В\С\ имеем: АВ = A\Bi, АС =
= AiCi и LBAC = IBiAiCi (рисунок 6),
то LABC = IAiBxCi.
Аксиома З5 является частью одной из
теорем о равенстве треугольников.
Вопрос. Как доказать, что заключение аксиомы 3s можно
пополнить утверждением о конгруэнтности сторон ВС и В\С\
рассматриваемых треугольников?

86 Глава 3. Аксиоматический метод в математике
3.4. Четвертая группа аксиом состоит из одной аксиомы.
Аксиома параллельности: через данную точку вне данной прямой
на плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей
данную прямую.
Вопрос. Как проверить, что на модели Пуанкаре плоскости
Лобачевского аксиома параллельности не выполняется?
3.5. Пятая группа аксиом состоит из двух аксиом.
Аксиома Архимеда. Пусть АВ и CD — произвольные отрезки.
Тогда на прямой АВ можно указать конечное множество точек А\, Лг,
..., Ап, расположенных так, что отрезки АА\, А\Ач, ... Ап-\Ап
конгруэнтны отрезку CD, точка А\ лежит между А и ^2, точка Аг лежит
между А\ и Az и так далее, точка Д^ лежит между Лп_2 и Ап, а
точка В лежит между А и Ап.
т
А . В
А\ А2 А3 Л-2 Ai-1 Ап
Другими словами, аксиома Архимеда утверждает, что для любых
двух отрезков АВ и CD всегда найдется кратное п • CD отрезка CD,
большее отрезка АВ (рисунок 7).
Прежде чем сформулировать следующую аксиому, определим
понятие "стягивающейся последовательности отрезков".
Бесконечная последовательность отрезков А\В\,А2В2, А3В3, ...
называется "стягивающейся", если каждый последующий отрезок является
частью предыдущего отрезка и для любого наперед заданного отрезка
CD найдется такой номер п, что AnBn < CD.
Аксиома Кантора. На прямой для всякой стягивающейся
последовательности отрезков А\В\, АъВ^, А$В$, ... существует,единственная
точка X, принадлежащая всем отрезкам.
Вопрос. Пусть задан отрезок АВ. Обозначим через Ах
середину отрезка АВ, через Ач середину отрезка AAi, через А$ — середину
отрезка ААъ, и так далее. Как доказать, что последовательность
отрезков ААП является стягивающейся?

§ 3. Система аксиом Гильберта
87
3.6. Система аксиом Гильберта обладает свойством полноты.
Это значит, что всякое утверждение о точках, прямых и плоскостях и
основных отношениях между ними можно либо доказать, либо
опровергнуть, исходя из аксиом этой системы.
Система аксиом Гильберта непротиворечива. Это значит, что из
нее нельзя вывести логически два взаимно отрицающих друг друга
предложения.
Аксиома Лобачевского утверждает, что на плоскости через
данную точку вне данной прямой можно провести по крайней мере две
прямые, не пересекающие данную прямую. Если в системе аксиом
Гильберта заменить аксиому параллельности аксиомой
Лобачевского, то получится новая система аксиом — система аксиом геометрии
Лобачевского. Система аксиом геометрии Лобачевского также
непротиворечива и полна.
Непротиворечивость той или иной системы аксиом доказывается
путем построения для нее конкретной модели (или интерпретации).
Модель плоскости Лобачевского рассмотрена в учебнике для 9
класса. В отличие от системы аксиом Гильберта приведенная в
предыдущем параграфе система аксиом и постулатов Евклида не является
полной. Многие рассуждения Евклида опираются на наглядное
восприятие мира.
Вопрос. Как проверить выполнимость аксиомы Паша на модели
Пуанкаре плоскости Лобачевского?
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте аксиомы связи.
2. Сформулируйте аксиомы порядка.
3. Сформулируйте аксиомы конгруэнтности.
4. Сформулируйте аксиому параллельности.
5. Сформулируйте аксиому Архимеда.
6. Сформулируйте аксиому Кантора.

88
Глава 3. Аксиоматический метод в математике
Задачи и упражнения
,**
1. Дана прямая а и точка А вне ее. С помощью аксиом связи
докажите, что существует единственная плоскость, на которой лежат
|~8~| прямая а и точка А.
yw 2. Пусть точки — это вершины тетра-
/\\ эдра ABCD (рисунок 8), прямые -
/ \ \. пары вершин (А, В), (А, С), (A, D),
/ \ \ (в> <?)» (#■ д), (£> д), плоскости —
/ \ -}В тройки вершин (А, В, С), (А, Б, £>),
АКТ Т / (А, С, £>), (В, С, D). Отношение
n, \ / "лежать на" определим как входить
^sy в состав соответствующей пары или
С тройки вершин. Покажите, что при
этом выполняются все аксиомы
связи.
3. Какое наименьшее число точек может содержать плоскость в
модели аксиом связи?
4. С помощью аксиом конгруэнтности докажите, что в
равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
5. Угол называется прямым, если он конгруэнтен (или равен)
своему смежному углу. С помощью аксиом конгруэнтности
докажите, что все прямые углы конгруэнтны между собой.
6. Докажите, что из аксиом связи, порядка и конгруэнтности
выводимы следующие утверждения:
а) первый и второй признаки равенства треугольников;
б) через каждую точку А прямой а можно провести
перпендикулярную ей прямую и притом только одну;
в) каждый отрезок АВ можно разделить пополам;
г) в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к
основанию, является биссектрисой и высотой;
д) внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла,
с ним не смежного;
е) из данной точки на данную прямую можно опустить
единственный перпендикуляр;

§ 4. Отличительная особенность математики
89
ж) два перпендикуляра к одной прямой не пересекаются.
7. Докажите, что аксиома параллельности равносильна пятому
постулату Евклида.
8. Докажите, что из аксиом связи, порядка, конгруэнтности и
аксиомы параллельности выводимы следующие утверждения:
а) каждая прямая в пересечении с двумя параллельными
прямыми образует равные соответственные углы;
б) сумма внутренних углов любого треугольника равна двум
прямым.
§4. ОТЛИЧИТЕЛЬНАЯ ОСОБЕННОСТЬ
МАТЕМАТИКИ
4.1. Если сравнить математику и физику, то обе эти науки
используют как наблюдения, так и доказательства. Наряду с
экспериментальной физикой существует теоретическая физика, в которой
некоторые утверждения, как и теоремы в математике,
доказываются на основе физических законов путем последовательного выведения
одних суждений из других. Однако физические законы признаются
истинными лишь в том случае, когда они подтверждаются большим
числом экспериментов. Эти законы со временем могут уточняться.
Математика также использует наблюдения.
Пример 1. Наблюдая, что
1 = 12, 1 + 3 = 22, 1+3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42,
можно сделать предположение, что сумма первых тысячи нечетных
натуральных чисел равна 1000000.
Это утверждение можно проверить непосредственными
вычислениями, затратив огромное количество времени.
Можно сделать также общее предположение, что для любого
натурального числа п сумма п начальных нечетных чисел равна п2.
Это утверждение непосредственными вычислениями проверить уже
нельзя, потому что множество всех натуральных чисел бесконечно.
Тем не менее сделанное предположение верно, потому что его можно
доказать.

90
Глава 3. Аксиоматический метод в математике
Пример 2. Мы можем измерить углы многих треугольников.
Каждый раз увидим, что сумма углов каждого треугольника
приближенно равна 180°. При практических измерениях невозможно получить
точное значение измеряемой величины, невозможно также измерить
сумму углов у всех треугольников. Тем не менее заключение о том,
что сумма углов треугольника равна 180°, было доказано в 7 классе,
используя постулат Эвклида.
Пример 3. Подставляя в многочлен
х2 + х + 41
вместо х натуральные числа от 1 до 10, мы получим простые числа
43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Можно высказать
предположение, что при любом натуральном х значение квадратного трехчлена
х2 + х + 41 является простым числом. Проверка показала, что это
действительно так при любом натуральном х от 1 до 39. Однако, при
х = 40 предположение неверно, так как получается составное число:
402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 40 • 41 + 41 = 412.
Использование доказательств, в качестве основного средства для
установления истинности теорем является отличительной
особенностью математики.
Даже сделанное на основе многочисленных наблюдений
заключение (гипотеза) считается математическим законом, если оно доказано.
Вопрос. Какие примеры наблюдений в математике вы знаете?
4.2. Ограничимся интуитивным понятием доказательства, как
последовательного выведения одних суждений из других, не проводя
точного анализа понятия выведения или вывода. Детальнее
проанализируем понятие теоремы.
Теоремой принято называть утверждение, истинность которого
устанавливается путем доказательства. Понятие теоремы развивалось и
уточнялось вместе с понятием доказательства.
В классическом смысле под теоремой понимают высказывание,
которое доказывается путем выведения одних суждений из других. При
этом должны быть выбраны некоторые начальные законы или
аксиомы, которые принимаются без доказательства.

§ 4. Отличительная особенность математики
91
Вопрос. Чем отличаются теоремы от аксиом?
4.3. Чтобы было легче выделить, что дано и что требуется
доказать, теоремы формулируются в виде "если ..., то ...". Первая часть
формулировки теоремы между "если" и "то" называется условием
теоремы, а вторая часть, которая записывается после "то", называется
заключением теоремы.
Условие теоремы содержит описание того, что дано, а заключение
— что требуется доказать.
Такую запись теоремы называют логической формой теоремы, а
сокращенно называют формой "если-то".
Пример 4. Рассмотрим следующую теорему.
"Если п — четное натуральное число, то п 4- 1 является нечетным
числом".
В этой теореме условие состоит в том, что берется любое четное
число п. Заключением данной теоремы является то, что следующее
за этим п натуральное число п + 1 нечетно.
Теорему из примера 4 можно записать в иной форме:
"Пусть п — четное натуральное число. Тогда п+1 является нечетным
числом".
Здесь вместо слова "если" взято слово "пусть", а вместо слова "то"
— слово "тогда".
Теорему из примера 4 можно записать также в следующей форме:
"Из того, что п четное натуральное число, следует, что число п + 1
нечетно".
Здесь вместо слова "если" используются слова "из того, что", а
слово "то" — слова "следует, что".
Теорему из примера 4 можно сформулировать еще так: "Четность
числа п влечет нечетность числа п + 1".
Здесь слово "если" опущено, а слово "то" заменено словом
"влечет".
Вопрос. Как записать в логической форме теорему: "Множество
всех простых чисел бесконечно"?
4.4. В некоторых случаях теорему формулируют в сокращенном
виде. Это происходит тогда, когда ее условие ясно из текста.

92
Глава 3. Аксиоматический метод в математике
Пример 5. В теореме: "Медианы треугольника пересекаются в
одной точке" условие легко выделить и в логической форме теорему
можно записать так:
"Если в каком-либо треугольнике провести все медианы, то эти
медианы пересекутся в одной точке".
Пример 6. Теорема о бесконечности множества простых чисел
может быть записана в виде: "Если Р — множество всех простых
чисел, то оно бесконечно".
Логические связи между теоремами будут рассмотрены в
последующих параграфах данной главы.
Вопрос. Чем отличается условие теоремы от заключения этой
теоремы?
Контрольные вопросы и задания
1. В чем состоит отличительная особенность математики как
науки?
2. Какую запись теоремы называют логической формой теоремы?
3. Что называется условием теоремы?
4. Что называется заключением теоремы?
Задачи и упражнения
1. Какие предположения вы можете сделать, наблюдая:
а) произведения двух соседних натуральных чисел;
б) суммы двух соседних натуральных чисел;
в) суммы трех последовательных натуральных чисел;
г)* суммы трех нечетных чисел;
д)* число частей, на которые плоскость разбивается п
различными прямыми, проходящими через одну точку;
е)* число частей, на которые плоскость разбивается m + п
различными прямыми, из которых m прямых попарно параллельны
и пересекают п попарно параллельных прямых;
ж)** число частей, на которые плоскость разбивается п
прямыми, никакие три из которых не имеют общей точки?

§ 5. Высказывания и предложения с переменными
93
2. Какие предположения вы можете сделать, наблюдая:
а) суммы чисел, больших единицы;
б) произведения чисел, больших единицы;
в)* числа вида у/n, где п — натуральное число?
3. Какое предположение вы можете сделать, наблюдая центры
окружностей, описанных около тупоугольных треугольников?
4. Запишите в логической форме теорему:
а) сумма внутренних углов выпуклого п-угольника равна
(п - 2) • 180°;
б) любые два прямоугольных равнобедренных треугольника
подобны;
в) равенство 2т • 2П = 2т+п выполняется для любых целых чисел
т и щ
г) высота равнобедренного треугольника, проведенная к его
основанию, делит пополам угол при вершине этого треугольника;
д) для любых неотрицательных чисел х и у выполняется нера-
/ . х + у
венство у/ху < ——^;
е) сумма двух противоположных углов вписанного в окружность
четырехугольника равна 180°;
ж) число л/2 не является рациональны числом;
з) все простые числа, которые больше 2, нечетны;
и) у квадрата диагонали равны, перпендикулярны и в точке
пересечения делятся пополам;
к) из всех четырехугольников, вписанных в заданную
окружность, квадрат имеет наибольшую площадь;
л)* ни одно простое число не может быть представлено в виде
суммы двух различных нечетных натуральных чисел:
м)* сумма кубов первых п натуральных чисел является
квадратом некоторого натурального числа.
§ 5. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ С
ПЕРЕМЕННЫМИ
#
5.1. Изучая математику, мы имеет дело с математическими
утверждениями. Некоторые из них называются высказываниями.

94
Глава 3. Аксиоматическим метод в математике
Под высказыванием в математике понимают повествовательное
предложение, которое либо верно, либо неверно. Верное высказывание
называют также истинным, а неверное — ложным.
Высказывание можно рассматривать как величину, которая
принимает только одно из двух значений:
либо И (истина), либо Л (ложь).
Пример 1. Число 10000 больше числа 9456. Это истинное
высказывание.
Пример 2. Число 100001 меньше числа 6549. Это ложное
высказывание.
Пример 3. Все три медианы любого треугольника пересекаются
в одной точке. Это истинное высказывание.
Пример 4. "п — простое число". Это предложение не является
высказыванием, так как оно зависит от переменной п, принимающей
натуральные значения, и при одних значения п оно истинно, а при
других значениях п ложно.
Вопрос. Будет ли высказыванием предложение: "в
параллелограмме ABCD диагонали перпендикулярны"?
5.2. Наряду с высказываниями, в математике используют
предложения, которые зависят от одной или нескольких переменных.
Например, предложение "п — простое число" в примере 4 зависит от
переменной п. При каждом конкретном значении п оно становится
высказыванием.
Пример 5. Неравенство х2 — 1 < 0 можно рассматривать как
предложение, зависящее от переменной х. Оно истинно при любом
значении х таком, что — 1 < х < 1, и ложно при других значениях х.
Пример 6. Уравнение х2 + у2 = 1 определяет предложение,
зависящее от двух переменных х и у. Это предложение истинно только
для таких пар (х;у) действительных чисел, которые на
координатной плоскости являются координатами точек единичной окружности
с центром в начале координат.
Предложения, зависящие от переменных, удобно обозначать А(п),
В(х), С(х;у) и так далее. В математике такие предложения
называются предикатами.

§ 5. Высказывания и предложения с переменными
95
Вопрос. От каких переменных зависит предикат "отрезок AM
является медианой треугольника ABC"?
5.3. Всякий предикат Р(х), определенный для каждого значения
х из множества D, можно рассматривать как функцию с областью
определения D. принимающую для каждого х € D только одно из
двух значений: либо значение И (истина), либо значение Л (ложь).
Множество тех значений х из Dy для которых Р(х) = И, называется
областью истинности предиката Р{х).
Пример 7. Пусть D — множество всех треугольников на
плоскости и Р(х) — предложение: " треугольник х е D имеет две равные
между собой стороны". Областью истинности этого предиката
является множество всех равнобедренных треугольников.
Наряду с предикатами от одной переменной можно рассмотреть
предикаты от двух, от трех переменных, и так далее. Для предиката
Р(х;у) от двух переменных областью истинности называется
множество таких пар (я; у) из области определения этого предиката, для
которых Р{х;у) — И.
Пример 8. Пусть у = х2 — квадратичная функция, заданная на
множестве всех действительных чисел. Рассмотрим для всех точек
(х;у) координатной плоскости предикат Р(х;у), заданный
предложением: "число у равно числу х2". Областью истинности этого
предиката является множество всех точек графика функции у = х2.
Вопрос. Какую область истинности имеет предикат Р(п),
заданный предложением "число п2 + 1 делится на 4" и определенный на
множестве всех натуральных чисел?
5.4? Два предиката Р(х) и Q{x), заданные на одном и том же
множестве D, называются равносильными, если они имеют одну и ту
же область истинности.
Пример 9. Пусть А(п) — предложение "п2 — 1 — нечетное число"
и В(п) — предложение "n2-hi — нечетное число". Предикаты А(п) и
В(п) равносильны, так как областью истинности каждого из
предикатов является множество четных натуральных чисел. Действительно,
при п = 2к число п2 - 1 = Ак2 - 1 нечетное, и число п2 -I-1 = 4А:2 + 1
нечетное, а при п = 2к + 1 число п2 — 1 = 4Л;2 -f 4А; Ч-1 — 1 = 4(А:2 + А;)

96
Глава 3. Аксиоматический метод в математике
четное и число
п2 + 1 = 4fc2 + 4А: + 1 4-1 = 2{2k2 + 2k + 1)
также четное.
Пример 10. Пусть Р(п) — предложение "число п2 - 1 делится на
4" и Q(n) — предложение "число п2 4-1 делится на 4". Эти предикаты
уже не равносильны. Так, Q(n) = Л при любом натуральном п, что
видно из предыдущего примера. В то же время при п = 2k -f 1 число
п2 - 1 = 4А;2 + 4А; + 1 - 1 = 4А:(А; + 1) делится на 4 и поэтому Р(п) = И.
Значит, область истинности предиката Q(x) — это пустое
множество, а область истинности предиката Р(х) — это множество всех
нечетных чисел. Так как области истинности предикатов Р(х) и Q(x)
различны, то эти предикаты не равносильны.
Вопрос. Какую область истинности имеет предикат от двух
переменных:
Q(x;y): х2 + у2<1?
5.5. Предикат Р(х) можно обратить в следующее высказывание:
"для всех х предикат Р(х) истинен".
Это высказывание записывают кратко
(Vs)P(x)
(читается "для всех икс Р от икс"). Символ V — перевернутая
латинская буква Л, происходит от немецкого слова alle — все.
Высказывание (Vx)P(rr) считается истинным только для
тождественно истинного предиката Р(х), то есть для предиката, который
истинен для любого значения х из области определения.
Символ (Vx) (читается "для всех х", "для всякого х", "для любого
х") называется квантором всеобщности по х.
Пример 11. Пусть Р(х) — предложение "модуль
действительного числа х больше нуля", х Е R. Областью истинности этого
предиката является множество всех действительных чисел, отличных от
нуля. Область истинности предиката P(q) не совпадает с областью
его определения R, а поэтому высказывание (Vx)P(x) ложно.

§ 5. Высказывания и предложения с переменными
97
Пример 12. Пусть Q(x) — предложение "|х| + 1 > 0", i G Я.
Область истинности этого предиката есть множество всех
действительных чисел и совпадает с областью его определения R. Поэтому
высказывание (Vx)P(x) истинно.
Вопрос. Истинно или ложно высказывание (Vx)P(x), где Р(х) —
определенный на множестве всех треугольников х предикат, заданный
предложением: "площадь треугольника х больше нуля"?
5.6. Предикат Р{х) можно обратить также в следующее
высказывание:
"существует такое х, что Р(х) = И".
Это высказывание кратко записывается в виде
(Зх)Р(х)
(читается "существует такое х, что Р(х)").
Символ 3 — перевернутая латинская буква Е и происходит от
немецкого слова existieren — существовать.
Высказывание (Зх)Р(х) истинно только в том случае, когда в
области определения предиката Р(х) существует такое а, что
высказывание Р{а) истинно.
Символ (Зх) (читается "существуете", "можно найти такое х, что")
называется квантором существования по х.
Пример 13. Пусть Р(х) — предложение "действительное число х
— корень уравнения х2 + 1 = 0". Область истинности этого предиката
пустое множество. Поэтому высказывание (Зх)Р(х) ложно.
Вопрос. Пусть предикат Р(х) определен на непустом множестве
D. Как доказать, что если (Vx)P(x) — истинное высказывание, то
(Зх)Р(х) также истинное высказывание?
Контрольные вопросы и задания
1. Что в математике понимают под высказыванием?
2. Приведите пример истинного высказывания.
3. Приведите пример ложного высказывания.
4. Приведите пример предложения, которое не является
высказыванием.

98
Глава 3. Аксиоматический метод в математике
5. Как называют предложения с переменными?
6. Что такое область определения предиката от одной переменной?
7. Что такое область истинности предиката?
8. Как описать предикат, используя понятие функции?
9. Какие предикаты называются равносильными?
10. Что такое квантор всеобщности?
11. В каком случае высказывание (Vx)P(x) истинно?
12. Что такое квантор существования?
13. В каком случае высказывание (Зх)Р(х) ложно?
Задачи и упражнения
1. Определите истинность или ложность высказывания:
а) число 1995 — простое;
б) существует треугольник с тремя равными углами;
в) сумма цифр числа 1995 делится на 3;
г) всякое натуральное число рационально;
д) в любой четырехугольник можно вписать окружность;
е) около любого прямоугольника можно описать окружность;
ж) 1000 = 23 • 53;
з) для любого числа х выполняется равенство \fx* — х;
и) площадь квадрата со стороной 5 см равна 2500 мм2;
к) 1 : (-5) > 1 : (-6).
2. Какие из следующих предложений являются высказываниями, а
какие нет:
а) 2 • 33 = 66;
б) 2 • 33 = 166;
в) из каждых двух отрезков один длиннее другого;
г) чем больше основание треугольника, тем большаего площадь;
д) каждая окружность имеет центр?
3. Укажите хотя бы одно значение переменного, для которого
истинно предложение:
а) число п2 - 1 делится на 3, где п € N;
б) число - ^ '- — целое, где п £ N.

§ 5. Высказывания и предложения с переменными
99
4. Укажите область истинности предиката:
а) число п — 1 делится на б, где п 6 JV;
б) натуральное число п больше 8, но меньше 18;
в) натуральное число п не больше 7;
г) 2п + 7 > Зп - 1, где n € N;
д) N + М < 1, где х,у € Л, а; > 0 и у > 0.
5. Определите, равносильны ли предикаты:
а) А(п) — предикат "сумма цифр числа п делится на 3й, В{п) —
предикат "число п делится на 3", где n € N\
б) А(п) -- предикат "число 5гс+7 делится на б", В(п) — предикат
"число п нечетно и 2п + 1 делится на 3", где n6iV;
в) Р(п) — предикат "число п2 — 1 оканчивается на цифру 0",
Q{n) — предикат "число п оканчивается на цифру 1", где n € N\
г) Р(х) — предикат "л/х2 = ж", Q(x) •— предикат "х > 0", где
х G Л;
д) Л (ж) —- предикат "(х — I)2 > 0", В(х) — предикат "х Ф 1", где
хе Л;
е) Р(х) — предикат "|х| > 2", Q(x) — предикат "4 - х2 < 0", где
хе R.
6. Определите истинность или ложность высказывания (Vx)P(x),
где:
а) Р(х) — предикат "число 6х — 3 нечетно", х Е N;
£.\ n/ \ п х(х 4-1)(х 4-2) „ ^ гу
б) Р(х) — предикат число — £ целое , х £ Z;
о
в) Р(х) — предикат "число 2х + 5 больше х + 3", х 6 Л;
г) Р(х) — предикат "число 2х2 больше числа х2 — х — 1", х Е Л;
д) Р(х) — предикат "|х|4 = х4'\ х € Л.
7. Определите истинность или ложность высказывания (Эх)Р(х),
где:
а) Р(х) — предикат "число х2 + 1 делится на 5", х Е N\
х(х 4- 1)
б) Р(х) — предикат "число -Цг—- целое", х Е N;
в) Р(х) — предикат "число целое", х € N\
г) Р(х) — предикат "число 2х2 меньше числа х2 - х + 1", х € Л;
д) Р(х) — предикат "числа у/х и у/х 4- 2 целые", х € Л;
е) Р(х) — предикат "числа у/х и у/х 4- 3 целые", х G Л.

100
Глаза 3. Аксиоматический метод в математике
§ 6. ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ
6-1. По определенным правилам высказывания соединяют в
новые, более сложные высказывания.
В разговорном языке соединения высказываний выражают
словами "и", "или", "не", "влечет", "если-то" и некоторыми другими. В
математике соединению высказываний придают точный смысл, а для
записи сложных высказываний вводят специальные значки, каждый
из которых называется логической связкой.
В этом пункте рассмотрим высказывания, которые образуются с
помощью союза "и".
Пусть А и В — некоторые высказывания. Символом
ААВ
(читается: "А и В") обозначают высказывание, которое истинно
только в том случае, когда оба высказывания А и В одновременно
истинны.
Пример 1. Пусть А — высказывание "число 5 больше 2", и В —
высказывание "число 5 меньше 10". Каждое из них истинно.
Высказывание АлВ в данном примере — это предложение "число 5 больше
2 и 5 меньше 10". Такое высказывание истинно.
Пример 2. Пусть А — высказывание "число 6 нечетно", и В —
высказывание "число б делится на 3". Тогда А А В — высказывание
"число 6 нечетно и делится на 3". Такое высказывание ложно.
Истинность или ложность сложного высказывания удобно
определять при помощи специальных таблиц, называемых таблицами
истинности. В этой таблице записываются не сами высказывания, а их
значения:
И — если данное высказывание истинно,
Л — если данное высказывание ложно.
Таблица истинности для логической связки "и" имеет вид
А
И
Л
И
Л
в
и
и
л
л
АЛВ
И
Л
Л
Л

§ 6. Логические связки
101
Таким образом, логическая связка "и" соответствует союзу "и" в
разговорной речи.
Вопрос. Истинно или ложно высказывание:
"2-2 = 5 и 3 + 3 = 6"?
6.2. Пусть А и В — некоторые высказывания.
Символом
АЧВ
(читается: "А или В'1) обозначают высказывание, которое ложно
только в том случае, когда оба высказывания А и В одновременно ложны.
Пример 3. Пусть А — высказывание "число 28 делится на 7",
и В — высказывание "число 28 делится на 2". Тогда А У В есть
высказывание "число 28 делится на 7 или на 2". Это высказывание
истинно.
Таблица истинности для высказывания А У В имеет вид
[А
И
Л
и
л
в
и
и
л
л
АУВ
И
и
И 1
л
В разговорной речи союз "или" употребляется в двух смыслах:
разделительном и неразделительном.
При разделительном союзе " или" в предложении " каждый день или
снег, или дождь" обычно подразумевают, что в каждый конкретный
день идет либо снег, либо дождь, но одновременно и снег и дождь идти
не могут.
При неразделительном "или" в предложении "каждый день снег
или дождь" имеют в виду, что в каждый конкретный день либо снег,
либо дождь, либо снег и дождь вместе.
Таким образом, логическая связка V соответствует
неразделительному союзу "или" в разговорной речи.

102 Глава. 3. Аксиоматический метод в математике
Вопрос. Истинно или ложно высказывание "5 > 2 или 6 > 2"?
6.3. Пусть А некоторое высказывание.
Символом
(читается: "не А") обозначают отрицание высказывания А, то есть
высказывание "неверно, что А". Высказывание -»А истинно, если А
ложно. -ii4 ложно, если А истинно.
Таблица истинности для логической связки "не" имеет вид
А
И
л
-.Л!
л
И
Из таблицы видно, что логическая связка "не" имеет тот же смысл,
что и в разговорной речи.
Вопрос. Как выглядит отрицание высказывания "число 6
делится на 2"?
6.4. Пусть А и В — некоторые высказывания.
Символом
А-+ В
(читается: "если А, то В") обозначается высказывание, которое
ложно только в том случае, когда А истинно, а В ложно.
Логическая связка —> соответствует словам "если-то", "влечет",
"следует" в разговорной речи.
Таблица истинности для высказывания А —У В имеет вид
А
И
Л
И
| л
в
и
и
л
л
А->В
И
И
Л
и
Подчеркнем еще раз, что высказывание А —> J5, то есть
высказывание "если А, то Б", ложно в единственном случае: когда А истинно,
а В ложно.

§ 6. Логические связки
103
Из таблицы истинности для А -+ В мы видим, что если А истинно
и высказывание А -+ В тоже истинно, то В истинно. В этом случае
говорят также, что из А следует В. Это классическое правило вывода
постоянно используется в математике.
Вопрос. Какие вы знаете теоремы, в которых встречаются
логические связки "и", "или", "если-то"?
6.5. Сложные высказывания, образованные из данных
высказываний А, В, С... при помощи логических связок, можно записывать в
виде формул. Например, А ->• В У С, AV В -» С, -»AV-iB и так далее.
Для каждой такой формулы можно составить таблицу истинности.
Формулы, которые имеют одинаковые таблицы истинности,
называются равносильными. Равносильные выказывания соединяют знаком
равенства.
Пример 4. Покажем, что -«(^А) = А.
Составим таблицы истинности сначала для W-»A", а потом для
А
И
Л
->А
Я
И
-Ы)
и
л
Мы видим, что столбец значений для -»(-ъ4) такой же, как и для
А. Следовательно, -»("-|А) и А равносильны, то есть -*(-vA) = А.
Пример 5. Покажем, что -*( А V В) = -»j4 Л -»В.
Составим таблицы истинности для левой и правой части равенства:
г л"
и
л
и
л
в
и
и
л
л
АУВ
и
и
и
л
п(ЛУВ)
л
л
л
и
->А
л
И
л
и
-.£
л
л
и
и
->А Л ->В\
л
л
л
и
Мы видим, что столбец значений для -«(А V В) такой же, как и для
-уА Л ^В.
Поэтому -.(А V В) = -»А Л -■£.

104
Плава 3. Аксиоматический метод в математике
Пример 6. Докажем, что А -> В = ~^А V В.
Составим таблицы истинности
"А
И
Л
И
л
в
и
и
л
л
А -+В
И
И
л
и
-.л
л
и
л
и
MVB
и
и
л
и
Из таблицы видно, что столбцы значений для А —> В и -»А V В
совпадают. Поэтому (А -> В) = ->Л V В.
Вопрос. Какой формуле, не содержащей логической связки ->,
равносильна формула -*{А -> В)?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется истинность или ложность высказывания АлВ?
2. Как определяется истинность или ложность высказывания AVB?
3. Как определяется истинность или ложность высказывания -»Л?
4. Как определяется истинность или ложность высказывания
А -4 В?
5. Какие высказывания называются равносильными?
6. Докажите равносильность высказываний А -> В и -*А Л В.
Задачи и упражнения
1. Перечислите натуральные числа от 1 до 20, которые:
а) делятся на 3 или на 5;
б) делятся на 3 и на 5;
в) не делятся на 3 или на 5;
г) не делятся на 3 и на 5.
2. Какие из следующих высказываний истинны и какие ложны:
а) если число 18 делится на 7, то оно делится на 4;
б) если число 18 делится на 7, то оно делится на 6;
в) если число 18 делится на б, то оно делится на 7?

§ 6. Логические связки
105
3. Истинно или ложно высказывание 15 = 2 • 7 -> 14 = 2 • 7?
4. Истинно или ложно высказывание Л, если известно, что
высказывание Л -> В ложно?
5. Для высказываний Л, В и С докажите формулы:
а) Л Л В = В Л Л; б) А V В = В V А;
в) Л Л (В Л С) = (Л Л В) Л С;
г) Av(BvC) = (AvB)VC;
д) Л Л (В V С) = (Л Л В) V (Л Л С);
е) Л V (В Л С) = (А V В) Л (Л V С).
6. Истинно или ложно высказывание ->(Л /\ B)V (В ЛС)} если
высказывания В и С истинны?
7. Пусть Л(п) предикат, заданный предложением "п — простое
число". Истинно или ложно высказывание (Уп)(А(п))?
8. Пусть А(п) — предложение "натуральное число п — четное" и
В(п) — предложение "число п(п + 2) делится на 8".
Истинно или ложно высказывание
(Уп)(Л(п) -> В(п))1
9. Пусть Р(п) — предикат "п — простое число". Проверить
истинность высказывания
(Эп)Р(п2 + п+1).
10. Докажите, что:
а) 1(Л AB) = ^AW -«В;
б) (Л Л В) V С = (Л V С) Л (В V С);
в) (Л V В) Л С = (Л Л С) V (В Л С);
г) (Л -У В) -> С = (Л V С) Л (-В V С).
11. Пусть А(п) — предикат "п — четное число". Докажите
истинность высказывания
(Ут)(Уп)(Л(т + п) V Л(тп)).
12. Используя терему Евклида о бесконечности множества простых
чисел, докажите, что для всякого натурального числа п
существует такое простое число р, что р > п.

106
Глава, 3. Аксиоматический метод в математике
13. При помощи логических связок и кванторов запишите, что число
а есть предел последовательности
аьа2,аз,...,ап,....
§ 7. ТЕОРЕМЫ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
7.1. В четвертом параграфе мы отмечали, что теоремы удобнее
записывать в логической форме. Например, следующее утверждение
является теоремой в логической форме:
"Если натуральное число п делится на б, то число п делится на 3".
Условием этой теоремы является предложение "натуральное число
п делится на 6", а заключением — предложение " (натуральное) число
п делится на 3".
Сформулированное утверждение действительно является теоремой,
потому что известно, как из предположения, что натуральное число
п делится на 6, путем логических рассуждений доказать истинность
того, что это число п делится на 3.
В форме "если ..., то ..." можно записывать разные утверждения.
Например, рассмотрим следующее утверждение.
"Если число п делится на б, то число п нечетно".
В этом примере из предположения истинности условия
утверждения уже не следует истинность заключения. Поэтому
сформулированное утверждение не является теоремой.
Таким образом, записанное в логической форме утверждение
является теоремой только тогда, когда известно доказательство
истинности заключения из истинности условия этого утверждения.
Вопрос. Как доказывается теорема, рассмотренная в данном
пункте?
7.2. Условие и заключение теоремы чаще всего являются
предикатами от одного или нескольких переменных. В случае одного
переменного х из области определения D условие Р(х) и заключение
Q(x) теоремы соединяют логической связкой "если-то" и получают

§ 7. Теоремы. Необходимые условия. Достаточные условия 107
предикат
Р(х) -» Q(x).
Из этого предиката с помощью квантора всеобщности (Уя) получается
высказывание
(Vx)(P(x) -► Q(x)).
Если это высказывание истинно, то оно является теоремой.
Доказательство теоремы, записанной в форме (Vx)(P(x) -> Q{x)), состоит
в установлении истинности полученного высказывания.
Теорему, имеющую вид (Vx)(P(x) —> ф(х)), называют теоремой
всеобщности.
Пример 1. Примером теоремы всеобщности может служить
следующая известная теорема:
"В любом равнобедренном треугольнике проведенные к его
боковым сторонам высоты равны".
Действительно, эту теорему можно записать в следующей форме.
"Для всякого треугольника ABC из того, что АВ = ВС и AM, CN
— высоты, проведенные к сторонам ВС и АВ, следует AM = CN".
Установив истинность этого высказывания, мы получаем, что при
равенстве двух сторон АВ и ВС треугольника ABC обязательно
выполняется равенство высот AM и CN.
Из предиката Р(х) —¥ Q(x) с помощью квантора существования (Зх)
получается высказывание
(Зх)(Р(х) -» Q(x))
Если это высказывание истинно, то оно является теоремой.
Теорему, имеющую вид (Зх)(Р(х) -» Q{x))> называют теоремой
существования.
Пример 2. Примером теоремы существования может служить
следующая известная теорема.
"Существует треугольник, все углы которого равны".
Вопрос. Какие вы знаете теоремы всеобщности и существования
в арифметике?

108
Глава 3. Аксиоматический метод в математике
7.3. В каждой теореме можно выделить заключение и условие
этой теоремы. Условие теоремы называется достаточным условием
для заключения теоремы.
Так в теореме "если натуральное число п делится на 6, то число
п делится на 3" условие "число п делится на б" достаточно для того,
чтобы число п делилось на 3.
Пример 3. Рассмотрим теорему: "если натуральное число п
делится на 2 и делится на 5, то число п делится на 10".
В этой теореме условие "число п делится на 2 и на 5" достаточно
для того, чтобы число п делилось на 10.
Вопрос. Из какой теоремы следует, что условие "на плоскости
две прямые а и b перпендикулярны к третьей прямой с" достаточно
для того, чтобы прямые о и 6 были параллельны?
7.4. Заключение теоремы называют необходимым условием для
условия этой теоремы.
Так в теореме "если натуральное число п делится на 6, то число п
делится на 3" заключение " число п делится на 3" необходимо, чтобы
"число п делилось на б". Другими словами, если натуральное число
п не делится на 3, то число п не может делиться на 6.
Вопрос. Из какой теоремы следует, что условие "диагонали
четырехугольника перпендикулярны" является необходимым для того,
чтобы этот четырехугольник был квадратом?
7.5. Для каждой теоремы можно записать обратное утверждение.
При записи обратного утверждения условие теоремы превращается в
заключение обратного утверждения, а заключение теоремы
становится условием обратного утверждения.
Пример 4. Снова рассмотрим теорему: "если натуральное число
п делится на 6, то число п делится на 3".
Утверждение, обратное к этой теореме, имеет следующий вид:
"если натуральное число п делится на 3, то число п делится на б".
Полученное в этом примере обратное утверждение не является
теоремой, потому что из делимости натурального числа п на 3 не следует
делимость числа п на 6. В этом очень легко убедиться на примере:
число 9 делится на 3, но не делится на 6.

§ 7. Теоремы. Необходимые условия. Достаточные условия 109
Пример 5. Рассмотрим теперь теорему: "если натуральное число
п делится на 2 и делится на 3, то число п делится на 6".
Утверждение, обратное к этой теореме, имеет следующий вид:
"если натуральное число п делится на 6, то число п делится на 2 и
делится на 3".
В этом примере полученное обратное утверждение является
теоремой, которую нетрудно доказать.
Таким образом, утверждение, обратное к некоторой теореме,
иногда тоже является теоремой, а иногда не является теоремой.
Вопрос. Какое утверждение является обратным к теореме:
"сумма двух противоположных углов вписанного в окружность
четырехугольника равна 180°"?
7.6. Пусть для некоторой теоремы, которую условно назовем
"теорема 1", обратное утверждение также является теоремой, которую
условно назовем "теорема 2". В этом случае "теорему 2" называют
обратной теоремой к "теореме 1".
Так как утверждение, обратное к "теореме 2", является
"теоремой 1", то в свою очередь "теорема 1" является обратной теоремой
к "теореме 2". Поэтому "теорему 1" и "теорему 2" называют взаимно
обратными теоремами.
Пример 6. Из ранее рассмотренных примеров взаимно
обратными являются следующие две теоремы:
Теорема 1. Если натуральное число п делится на 2 и делится на 3,
то число п делится на 6.
Теорема 2. Если натуральное число п делится на 6, то число п
делится на 2 и делится на 3.
Вы знаете, что бывают теоремы, для которых обратное
утверждение не является теоремой. В этом случае не существует теоремы,
которая является обратной к сформулированной теореме. Иногда в
таком случае говорят, что теорема, обратная к сформулированной
теореме, неверна.
Пример 7. Рассмотрим еще раз теорему: "если натуральное
число п делится на б, то число п делится на 3".
Утверждение, обратное к этой теореме, не является теоремой.
Следовательно, данная теорема не имеет обратной теоремы.

110
Глава, 3. Аксиоматический метод в математике
Вопрос. Какие две взаимно обратные теоремы о равнобедренных
треугольниках вы знаете?
7.7. Обозначим условие некоторой теоремы буквой Л, а
заключение этой теоремой буквой В. Тогда А является достаточным условием
для В, & В является необходимым условием условием для А.
В результате получаем, что когда доказаны две взаимно обратные
теоремы "если А, то J3" и "если В, то А", то условие А необходимо и
достаточно для В, а условие В необходимо и достаточно для А.
Вместо слов "необходимо и достаточно" употребляют также слова
"тогда и только тогда", "в том и только в том случае", "для тех и
только тех" и некоторые другие слова.
Пример 8. Рассмотрим известную теорему, которая имеет
следующую формулировку.
"Натуральное число п делится на 3 тогда и только тогда, когда
сумма цифр числа п делится на 3".
Важно понять, что такая формулировка объединяет в себе две
взаимно обратные теоремы:
Теорема 1. Если натуральное число п делится на 3, то сумма цифр
числа п делится на 3.
Теорема 2. Если сумма цифр натурального числа п делится на 3, то
число п делится на 3.
В этом примере условие делимости на 3 суммы цифр натурального
числа п является необходимым и достаточным для делимости числа
п на 3. В свою очередь условие делимости на 3 натурального числа
п является необходимым и достаточным для делимости на 3 суммы
цифр числа п.
Вопрос. Какие две теоремы объединены следующей
формулировкой: "в треугольнике ABC стороны АВ и ВС равны в том и только
том случае, если биссектриса угла ABC является медианой этого
треугольника" ?

§ 7. Теоремы. Необходимые условия. Достаточные условия 111
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое условие теоремы?
2. Что такое заключение теоремы?
3. Какой вид имеет теорема с одной переменной и квантором
всеобщности?
4. Какой вид имеет теорема с одной переменной и квантором
существования?
5. Как по теореме определяется достаточное условие?
6. Как по теореме определяется необходимое условие?
7. Какое утверждение называют обратным к данной теореме?
8. Что такое обратная теорема?
9. Какие теоремы называют взаимно обратными?
10. В каком случае данное условие является необходимым и
достаточным для другого условия?
Задачи и упражнения
1. Выделите условие и заключение в теореме:
а) два угла, стороны которых соответственно перпендикулярны
друг другу, равны или в сумме составляют два прямых угла;
б) прямые углы равны.
2. Верно ли обратное утверждение для теоремы:
а) если выпуклый четырехугольник — ромб, то его диагонали
перпендикулярны;
б) если параллелограмм — ромб, то его диагонали
перпендикулярны;
в) если произведение ab двух натуральных чисел а и 6 делится
на натуральное число с, взаимно простое с а, то 6 делится на с?
3. Сформулируйте обратное утверждение для теоремы: "если
натуральное число п делится на 3, то сумма его цифр делится на
3". Будет ли обратное утверждение теоремой?

112
Глава 3. Аксиоматический метод в математике
4. Докажите обратную теорему для теоремы "если натуральное
число п делится на 5, то последняя цифра в десятичной записи
числа п делится на 5".
5. Будет ли условие "п > 1" для натурального числа п
необходимым и достаточным для того, чтобы число п имело простой
делитель?
6. Покажите, что условие " в четырехугольнике противоположные
углы прямые" необходимо, но недостаточно для того, чтобы этот
четырехугольник был прямоугольником.
7. Докажите, что условие "£- — q > О" необходимо и достаточно для
того, чтобы квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 с
действительными коэффициентами р и q имело действительные корни.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА
глава
4
В этой главе мы напомним основные свойства дробных чисел,
определим понятие рационального числа и расширим множество
рациональных чисел до множества действительных чисел.
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА
1.1. При перечислении и при подсчете предметов используются
целые положительные числа. При различных измерениях удобнее
использовать дробные числа, которые позволяют выразить не только
целое число единиц, но и части единицы. Дробные числа принято
называть рациональными числами. Напомним, что одно и то же
рациональное число можно записать по-разному. Например, | = |1 =
-8 100 и''°*
На числовой прямой равные дроби изображаются одной точкой,
неравные дроби — разными точками. Поэтому каждая точка с дробной
координатой изображает только одно рациональное число, а разные
рациональные числа изображаются разными точками числовой
прямой. Например, Щ, 3^ и Щ — это разные обозначения одного и того же
рационального числа, изображаемого одной точкой числовой прямой.
Для обозначения множества всех рациональных чисел используется
буква Q. Запись г £ Q означает, что число г рациональное.
Вопрос. Какими дробями можно обозначить рациональное число
1?

114
Глава 4. Действительные числи
1.2. Арифметические операции над рациональными числами и
сравнение рациональных чисел по величине сводятся к соответствующим
действиям над дробями.
Пример 1. Найти сумму рациональных чисел ^ и (--4)*
Решение. Вычислим сумму дробей ^ и (-А)-
3 ^ \ 1Ъ) 18 18 9*
Рациональное число ~ и есть сумма заданных рациональных чисел.
Заметим, что искомую сумму можно по-разному записать в виде
дроби. Однако, чаще всего стараются получить наиболее экономную
запись в виде несократимой дроби.
Пример 2. Найти произведение рациональных чисел | и 5ttj-
Решение. Вычислим произведение дробей | и ^wy
2 . -21 _ 2 - -21 _ 2-3-7- -1 _ 3
7 -10 7-10) 7-2-5-С-1) 5*
Рациональное число | и есть произведение заданных рациональных
чисел.
Пример 3. Выяснить, какое из рациональных чисел 4 и |
является наибольшим.
Решение. Приведем дроби | и | к общему знаменателю:
4_4^9 = 3б. 5 ._ 5 ■ 7 __ 35
7 7-9 63' 9 9-7 63*
Так как знаменатели положительны и 36 > 35, то рациональное число
| больше рационального числа §.
Вопрос. Как найти частное от деления рационального числа (—|)
на рациональное число 2?
1.3. Арифметические операции над рациональными числами
подчиняются основным правилам, которые соответствуют известным пра-
вилам действий над дробями. Перечислим эти правила, предполагая,
что латинскими буквами обозначаются рациональные числа.
1. Коммутативность сложения: a -f Ь = Ь + а.

§ i. Рациональные числа н их свойства
115
2. Ассоциативность сложения: (а + Ь) + с = а -I- (6 + с).
3. Существование нуля:
существует такое число О, что для каждого рационального числа a
выполняется равенство a + О = а.
4. Существование противоположного числа:
для каждого a € Q существует (-а) € Q такое, что а + (-а) = 0.
Понятие противоположного числа позволяет определить разность
a — b рациональных чисел как число, равное числу a + {—Ь).
5. Коммутативность умножения: ab = ba.
6. Ассоциативность умножения: (ab) - с = а • (be).
7. Существование единицы:
существует такое число 1, отличное от нуля, что для каждого
рационального числа а выполняется равенство a • 1 = а.
8. Существование обратного числа:
для каждого ненулевого рационального числа а существует число а"1
такое, что а- а~1 = 1.
Понятие обратного числа позволяет определить частное или
отношение | рационального числа а к ненулевому рациональному числу 6
как число, равное ab'1.
9. Дистрибутивность: а(Ь + с) = ab + ас.
Вопрос. Какое рациональное число противоположно числу —2,
а какое обратно этому же числу?
1.4. Рациональные числа можно сравнивать по величине. Это
означает, что для любых двух чисел a, b из Q истинно только одно
из трех утверждений: либо а > 6; либо а = 6; либо а < Ь.
Напомним, что неравенства а > b и b < а — это разные способы
записи результата сравнения чисел а и 6, то есть неравенство а > b
равносильно неравенству 6 < а.
Правила действия с неравенствами вытекают из следующих
основных свойств.
10. Если а < b и b < с, то а < с (транзитивность).
11. Если а < b и с — любое число из (J, то a -f с < 6 -f с.
12. Если а < b и с > 0, то ас < be.
Вопрос. Какие свойства неравенств вы знаете?

116
Глаза. 4. Действительные числа,
1.5. Для рациональных чисел большое значение имеет сравнение с
нулем. С этим сравнением связано и важное понятие модуля или
абсолютной величины числа. Напомним, что модуль числа а обозначается
как \а\ и определяется так:
I I f а, если а > О,
' ~~ 1 —а, если а < 0.
Перечислим основные свойства модуля для рациональных чисел.
Свойство 1. \а\ > 0.
Свойство 2. \ab\ = \а\ • \Ь\.
Свойство 3. а2 = |а|2.
Свойство 4. \ab\ > ab для любых чисел а и Ь.
Свойство 5. ч/а2 = |а|.
Свойство б. Для любых двух чисел справедливо неравенство
|а + Ь|<|а| + |6|.
Вопрос. Как доказать, что \а\ > а при любом а € Q9.
1.6. Свойство 6 из пункта 1.5 является особо важным и часто
применяется. Поэтому запишем его еще раз, уже в словесной
формулировке и приведем доказательство.
Модуль суммы двух чисел меньше либо равен сумме модулей этих
чисел.
Доказательство. Пусть а и b — произвольные рациональные
числа. Тогда \а\2 = а2, |6|2 = Ь2 и \ab\ > ab. Поэтому
(|а| + \Ь\)2 = |а|2 + 2|а| • \Ь\ + \Ь\2 = \а\2 + 2|а6| + |6|2 > |а|2 + 2аЬ +16|2 =
= а2 + 2аЬ + Ь2 = (а + б)2 = |а + *>|2.
Следовательно, (|а| + |6|)2 > |а+6|2. Но так как |а| + |6| > Ои |а+6| > 0,
то \а\ + |6| > \а + 6|, что и требовалось доказать.
Вопрос. Как доказать, что \а — Ь\ > \а\ — |6|?

§ J. Рациональные числа и их свойства
117
1.7. Рациональные числа обладают свойством, которое иногда
называется аксиомой Архимеда,
Для любого рационального числа а существует такое целое число к,
что a < к.
С помощью аксиомы Архимеда доказывается следующее
утверждение.
Пусть число а удовлетворяет условию, что a < ^ для всех натуральных
п. Тогда a < 0.
Доказательство. Пусть утверждение неверно, то есть а > 0. Тогда
и ^ > 0. По аксиоме Архимеда найдется целое число по, такое что
^ < щ. Но так как ^ > 0, то число щ — натуральное. Умножив обе
части неравенства - < щ на положительное число - , получим - < а.
Но это противоречит условию, сформулированному в утверждении.
Таким образом, предположение а > 0 приводит к противоречию.
Поэтому а < 0, что и требовалось доказать.
Вопрос. Пусть известно, что \а\ < ^ для каждого натурального
п. Как доказать, что а = 0?
1.8. При изучении свойств степеней с натуральными
показателями иногда оказывается полезным неравенство Бернулли,
Для любого натурального числа п и любого 6 > -1 справедливо
неравенство (1 + Ь)п > 1 + nb.
Доказательство. Проведем доказательство методом
математической индукции.
I. При п = 1 неравенство запишется в виде (1 + б)1 > 1 + 1 • 6 и
оказывается верным.
II. Предположим, что неравенство Бернулли верно для п = А;, то
есть (1 + 6)* > 1 + к - 6. Умножим обе части этого неравенства на
положительное число (1 + 6) и получим (14-6)(1 + Ь)к > (1 + 6)(1 -f kb),
или (l+6)*+1 > 1+6 + kb + kb2, (1 + 6)*+1 > 1 + (* + 1)6 + А;62.
Так как fcb2 > 0, то отсюда (1 -I- Ь)ш > 1 + (к + 1)6. Получаем
неравенство Бернулли, записанное для п = к + 1.
Таким образом, из справедливости неравенства для числа к следует
его справедливость для числа к +1. Тем самым неравенство Бернулли
доказано для всех натуральных чисел п.

118
Глава 4. Действительные числа.
Вопрос. Как доказать, что 4» < - при любом натуральном п?
1.9. В этом пункте докажем следующее утверждение.
Пусть А > 1 и известно, что для любого натурального п выполняется
неравенство a < А"п. Тогда a < 0.
Доказательство. Обозначим Ь = А — 1. Тогда i > 0 и Л = 1 + 6.
Используя неравенство Бернулли, получаем:
Лп = (1+Ь)п >\+пЪ>пЪ.
Отсюда А~п < \. Но так как по условию а < А~п, то а < -^. Тогда
аЬ < - при любом натуральном п. Поэтому, по свойству из пункта 1.7,
получаем ab < 0. Так как 6 > 0, то отсюда а < 0, что и требовалось
доказать.
Вопрос. Что можно сказать о числе а, если известно, что оно
меньше любого числа вида Jp», где п G N?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяются рациональные числа?
2. Как обозначается множество всех рациональных чисел?
3. Какое рациональное число называется положительным?
4. Какие свойства операций сложения и умножения рациональных
чисел вы знаете?
5. Как определяется разность рациональных чисел?
6. Как определяется частное или отношение рациональных чисел?
7. Как можно сравнить рациональные числа?
8. Как определяется модуль или абсолютная величина
рационального числа?
9! Сформулируйте аксиому Архимеда.
10. Запишите неравенство Бернулли.
11. Докажите неравенство Бернулли.

§ 1. Рациональные числа и их свойства
119
Задачи и упражнения
1. Рассмотрим множество всех натуральных чисел. Есть ли среди
них: а) наибольшее; 6) наименьшее?
2. Есть ли среди элементов множества целых чисел:
а) наибольшее; б) наименьшее?
3. Пусть тип — целые числа, причем m < п. Рассмотрим
множество А целых чисел из интервала (т\п). Найдите:
а) при каких значениях т, п множество А — пусто;
б) при каких значениях тип множество А не пусто;
в) если А не пусто, найдите наибольшее и наименьшее число в
множестве А, когда А непусто;
г) при каких значениях тип множество А содержит
единственное целое число;
д) при каких значениях тип наибольший и наименьший
элементы множества А совпадают;
е) при каких значениях тип наибольший и наименьший
элементы множества А различны.
4. Докажите, что \а • Ь\ = \а\ • \Ь\ для любых рациональных чисел а
иб.
5. Докажите, что а2 = \а\2 для любого рационального числа а.
6. Докажите, что \а • Ь\ > а - Ь. В каких случаях \а • b\ = а • 6?
7. Докажите, что \/а? = |а|? В каких случаях у/а* = а и в каких
>Л?=-а?
8. Докажите, что \а — Ь\ > \\а\ - \Ь\\. В каких случаях неравенство
обращается в равенство?
9. Докажите следующее утверждение: если для любого п —
натурального а < ^, то а < 0.
10. Докажите следующее утверждение: если а > — ^ для любого
натурального п, то а > 0.
11. Докажите следующее утверждение: если — - < а < -для любого
натурального п, то а = 0.

120
Глава 4. Действительные числа
12. Докажите следующее утверждение: если a < ^ для любого
натурального п, то a < 0.
13. Докажите следующее утверждение: если a > -т^г для любого
натурального /г, то a > 0.
14. Докажите следующее утверждение: если -^ < a < ^ для
любого натурального п, то а=0.
**
15. Найдите все значения параметра t, при которых интервал:
a) (7f, 3t - 4); б) (St + 5,4*); в) (2t - 3,5*); г) (3*, 6* - 1)
содержит хотя бы одно целое число.
16. Пусть А множество всех рациональных чисел,
расположенных на интервале (га;п), где га, п — рациональные и m < п.
Установите
а) есть ли среди этих чисел наибольшее;
б) есть ли среди этих чисел наименьшее;
в) что изменится, если вместо интервала (га;п) рассмотреть
отрезок [тп\п] или полуинтервалы [т\п) и (га;п]?
17. Докажите, что не существует такого рационального числа я, что
х2 = 2.
18. Найдите, при каких целых п дробь 3w^"4 не является целым
числом?
*#
19. Могут ли числа 10, 11, 12 быть членами одной геометрической
прогрессии?
20. Решите уравнение: а) |х| = х; б) |2х — 3| = 4; в) ||х| + 5| = 5;
г) |х + 2| = \х - 6|.
21. Решите неравенство: а) |х| < 1; б) |х — 1| < 1; в) |х + 4| > 1;
г) |х-1|>|х + 3|.
§ 2. СПОСОБЫ ЗАПИСИ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
2.1. Одно и то же рациональное число можно записать по-разному.
Наиболее часто используется запись в виде отношения целого числа
к натуральному, Например: |, — у, Щ.

§ 2. Способы записи рациональных чисел
121
В том случае, когда знаменатель дроби является степенью числа
10, используют и другой способ записи — в виде десятичной дроби.
Например, 312 = 3,12; -ЗД = -53,785.
Вопрос. Как сравнить рациональные числа по их записи в виде
дробей?
2.2. Каждое рациональное число можно записать в виде конечной
или бесконечной десятичной дроби. Например, ^ = 0,5; ~ = 1,35; i =
= 0,3333... 3 — Для краткости последнюю бесконечную десятичную
дробь обозначают как 0,(3).
Представление рационального числа в виде конечной или
бесконечной десятичной дроби можно получить по алгоритму, который
напомним на конкретном примере.
Пример 1. Запишем рациональное — ?0 1^-1
число 2~ = ||в виде десятичной дроби. "^ '
66 66 __40
Для этого рассмотрим процесс деления ««
"столбиком" числа 70 на число 33, начало _^0
которого записано на рисунке. Заметим, ев
что в процессе деления остаток 4 начинает 4
повторяться. Но это означает, что после
каждого очередного появления в остатке числа 4 до следующего
появления числа 4 мы должны повторить одинаковые действия.
Следовательно, цифры в десятичной записи числа Щ периодически
повторяются, и мы приходим к равенству Щ = 2,121212 — Для краткости
полученную бесконечную десятичную дробь записывают в виде 2,(12).
Повторяющуюся группу цифр 12 называют периодом этой дроби.
Важно заметить, что указанный процесс последовательного
деления числа 70 на 33 можно записать в виде цепочки неравенств:
2 < Щ < 3; 2,1 < Щ < 2,2; 2,12 < Щ < 2,13; 2,121 < Щ < 2,122 и
так далее.
Вопрос. Как доказать, что 2,(12) = 2,1(21)?
2.3. Покажем, как по бесконечной десятичной периодической
дроби можно получить соответствующее этой дроби рациональное число.
Рассмотрим два примера.

122
Глава 4. Действительные числа
Пример 2. Пусть х = 2,(61). Период этой дроби состоит из двух
цифр. Поэтому 100х = 261,(61). Тогда
100х - х = (261 + 0,(61)) - (2 + 0,(61)) = 261 - 2 = 259.
Следовательно, х = Щ-.
Пример 3. Пусть х = 0,(236). Период этой дроби состоит из трех
цифр. Поэтому ЮООх = 236,(236). Значит,
ЮООх - х = (236 + 0,(236)) - (0,236) = 236.
Следовательно, х = |||.
Вопрос. Как доказать, что 2,(61) = 2 4- 0,(61)?
Контрольные вопросы и задания
1. Какие формы записи одного и того же рационального числа вам
известны?
2. Как записывается число ^ в виде бесконечной десятичной дроби?
3. Покажите на примере, как бесконечную периодическую
десятичную дробь записать в виде отношения целых чисел.
Задачи и упражнения
1. Запишите в виде бесконечной периодической десятичной дроби
рациональное число:
а) £; 6)2; в) §; г) £.
2. Какие рациональные числа вида — представляются в виде
конечных десятичных дробей?
3. Запишите в виде обыкновенной несократимой дроби:
а><Щ; 6) 0,3(8).0,5(45); »)ЗД', г) 0,(351).

§ 3. Иррациональные и действительные числа
123
§ 3. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА
3.1. Рассмотрим отрезки а длиной | см и b длиной Щ см.
Откладывая от одного конца отрезка b отрезки, равные а, мы видим,
что отрезок а не помещается целое число раз в отрезке 6 (рисунок 1).
ш
Разделим отрезок а на две равные части и начнем откладывать на
отрезке b отрезки, равные. Отрезок | также не помещается целое
число раз в отрезке b (рисунок 2).
в
a a
2 2
Разделим теперь отрезок а на три равные части и начнем
откладывать на отрезке b отрезки, равные |. В этом случае отрезок |
помещается ровно четыре раза на отрезке b (рисунок 3).
s
о. о a
J 3 3
3
Таким образом, отрезок длиной | целое число раз укладывается
и в отрезке а, и в отрезке Ь. Полученный отрезок называют общей
мерой отрезков а и 6, а сами отрезки а и b называют соизмеримыми.
Аналогично определяется соизмеримость отрезков и в общем
случае.
Два отрезка а и b называются соизмеримыми, если найдется отрезок
гп, который целое число раз укладывается как в отрезке а, так и в
отрезке Ь.

124
Глава 4. Действительные числа
В этом определении отрезок га называют общей мерой отрезков а и
Ь.
Заметим, что если отрезок га является общей мерой отрезков а и 6,
то, налример, отрезок длиной Щ- также является общей мерой отрезков
а и Ь.
Вопрос. Как определить наибольшую общую меру двух
соизмеримых отрезков?
3.2. Поиск общей меры двух отрезков можно проводить
способом, напоминающим алгоритм Евклида при нахождении наибольшего
общего делителя двух целых чисел.
Пусть даны отрезки а и 6, имеющие общую меру т, причем а
длиннее Ь.
I шаг. От одного конца отрезка а последовательно отложим
отрезки, равные 6, так, что либо отрезок Ь целое число раз уложится в
отрезке а, либо остается отрезок п, меньший b (рисунок 4). Заметим,
что в первом случае отрезок Ь будет общей мерой отрезков а и 6, а
во втором случае отрезки b и г\ также имеют общую меру т. Это
означает, что во втором случае для поиска общей меры отрезков а и
b мы можем находить общую меру отрезков b и г\.
II шаг. Для поиска общей меры отрезков b и г\ от одного конца
отрезка b последовательно отложим отрезки, равные гь так, что либо
отрезок г\ целое число раз уложится в отрезке 6, либо остается
отрезок Г2, меньший г\ (на рисунке 5 для наглядности отрезки b и г\
изображены в другом масштабе). В первом случае отрезок г\ будет
общей мерой отрезков b и г\. Во втором случае отрезки г\ и г2 также
имеют общую меру га.
III шаг. Аналогично предыдущим шагам от одного конца отрезка г\

§ 3. Иррациональные и действительные числа
125
последовательно отложим отрезки, равные Г2, и в результате получим
либо то, что отрезок тч является общей мерой, либо очередной остаток
И так далее.
Заметим, что когда отрезки а и Ь соизмеримы, то процесс
закончится через конечное число п шагов тем, что отрезок rn_i отложится на
отрезке гп_2 целое число раз.
Приведенный способ поиска общей меры двух отрезков иногда
также называют алгоритмом Евклида для нахождения общей меры.
Вопрос. Через какое число шагов алгоритм Евклида приведет к
общей мере отрезков а и Ь, если а = 55 см и b = 34 см?
3.3. Выберем на числовой прямой в качестве отрезка а
единичный отрезок [0; 1] и рассмотрим произвольный отрезок ОВ> один из
концов которого совпадает с началом О (рисунок 6). Докажем, что
если отрезок ОВ соизмерим с отрезком а, то координата точки В
рациональна.
ш
о в
• • • ►
0 1
Действительно, пусть отрезок т укладывается р раз в единичном
отрезке и q раз в отрезке ОВ, где р и q — натуральные числа.
Тогда длина отрезка т равна ^, а поэтому длина отрезка О В равна £.
Следовательно, координата точки В равна 2, когда точка В лежит на
положительном луче, и равна —£, когда точка В лежит на
отрицательном луче числовой прямой.
Вопрос. Как доказать, что если точка В числовой прямой
имеет рациональную координату, то отрезок ОВ соизмерим с единичным
отрезком?
3.4. Для практических измерений рациональных чисел обычно
достаточно. Более того, если на числовой прямой изображать все больше
и больше рациональных чисел, то может показаться, что
рациональные точки заполняют всю прямую, т.е. все точки на числовой оси
рациональные. Если бы дело обстояло таким образом, то тогда
любой отрезок был бы соизмерим с единичным отрезком. Но это не так:
существуют несоизмеримые отрезки.

126
Глава 4. Действительные числа
Напомним, что в восьмом классе была доказана иррациональность
числа у/2. Зная это, докажем следующее утверждение.
Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
Доказательство. Примем сторону квадрата за единицу измерения
длин и отложим на числовой прямой единичный отрезок ОЕ и
отрезок 0J3, равный диагонали квадрата. По теореме Пифагора ОВ = у/2.
Так как \/2 — иррациональное число, то из предыдущего пункта
следует, что отрезки ОЕ и О В не могут быть соизмеримыми.
Вопрос. Как доказывается иррациональность числа \/2?
3.5, Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной можно
доказать с помощью алгоритма Евклида.
Пусть дан квадрат ABCD.
I шаг. С помощью циркуля отложим на диагонали АС отрезок АВ\,
равный АВ (рисунок 7). При этом получается остаток В\С, меньший
АВ.
II шаг. В треугольнике ABC из точки В\ восставим
перпендикуляр В\А\ к отрезку АС и отложим на А\С отрезок А\В2, равный
А\В\ (рисунок 8). В результате построения имеем В\С = В\А\ =
= А\В = А\Вг. Следовательно, отрезок В\С два раза отложен на
отрезке J3C, и при этом получился остаток В^С. Заметим, что
треугольник А\В\С подобен треугольнику ABC, причем при этом
подобии точке Вг соответствует точка В\.
т т
В. С В А, В7 С

§ 3. Иррациональные и действительные числа
127
III шаг. Аналогично предыдущему
шагу в треугольнике А\В\С из точки В2
восставим перпендикуляр B2A2 к отрезку
А\С и отложим на А2С отрезок A2B$,
равный А2В2 (рисунок 9). В результате
отрезок В2С два раза отложен на отрезке В\С,
при этом получился остаток В$С. Снова
заметим, что треугольник А2В2С подобен
треугольнику А\В\С, причем точке В$
соответствует точка В2.
Остается заметить, что при продолжении намеченного процесса
каждый очередной остаток ВпС дважды откладывается на отрезке
i?n_iC, а получающаяся при этом точка J3n+i соответствует точке Вп
при подобии треугольников АпВпС и An-iBn-\C.
Следовательно, для отрезков АС и АВ алгоритм Евклида не может
закончиться через конечное число шагов. Это означает, что отрезки
АС и АВ несоизмеримы.
Вопрос. Как выглядит алгоритм Евклида для отрезков а = ^Н-1
и 6=1?
3.6. Возьмем на положительном луче числовой прямой
произвольную точку Р (рисунок 10). Покажем, как этой точке можно
сопоставить вполне определенную бесконечную десятичную дробь.
Ш
Р
• • ►
0
/ шаг. Пусть, например, точка Р лежит на полуинтервале [2;3)
(рисунок 11). Тогда целая часть числа, соответствующего точке Р
равна 2.
ЕЕ
р
—• • •—• •—►
0 12 3
II шаг. Разделим полуинтервал [2; 3) на 10 равных полуинтервалов:
[2=2lk).[2lk2ftM2fo3)
(рисунок 12). Точка Р содержится в одной из этих
непересекающихся частей. Предположим для определенности, что во второй. Тогда

128
Глава 4. Действительные числа
первой цифрой после запятой в десятичном разложении числа,
отвечающего точке Р, будем считать цифру 1.
р
—• h-M 1 1 1 1 1 1 1 •—►
2 3
III шаг. Разделим полуинтервал [2А; 2~) на 10 равных
полуинтервалов:
[2-L-2-iM [2-12--2.2Л
L Ю,Л100У'••• Г100'* 10/ *
В зависимости от того, на каком полуинтервале лежит точка Р,
определим вторую цифру после запятой в десятичном разложении числа,
отвечающего точке Р: если точка Р на первом полуинтервале, то
цифра 0, если на втором, то цифра 1, и так далее. Продолжая этот
процесс, на fc-ом шаге получаем к-ую цифру после запятой
десятичного разложения числа, отвечающего точке Р.
Вопрос. Какая бесконечная десятичная дробь получится, если
указанный процесс применить к точке Р с координатой 5?
3.7. Рассмотренный в предыдущем пункте процесс не может
привести к тому, что точке Р числовой прямой соответствует бесконечная
десятичная дробь, у которой начиная с некоторого момента все цифры
после запятой равны 9. Поясним это на примере.
Предположим, что некоторой точке Р соответствует запись
0,1999...9— Это означает, что точка Р лежит в полуинтервале
[0,1;0,2); лежит в полуинтервале [0,19;0,2); лежит в полуинтервале
[0,199; 0,2), и так далее. Отсюда следует, что точка Р должна
принадлежать всем указанным полуинтервалам. Однако, никакая точка
числовой прямой не может быть общей для всех этих полуинтервалов.
Действительно, если взять точку М с координатой меньше (0,2),
то такая точка не будет принадлежать какому-то из полуинтервалов
вида [0,19...9;0,2) — полуинтервалу, длина которого меньше
расстояния от точки М до точки, помеченной числом 0,2. Точки с
координатами, большими 0,2 не принадлежат ни одному ^из указанных
полуинтервалов. Точка с координатой 0,2 также не принадлежит ни
одному из указанных полуинтервалов.
0,19 ...9 0,2

§ 3. Иррациональные и действительные числа
129
Таким образом, ни одна из точек числовой прямой не может
принадлежать всем указанным полуинтервалам.
В результате предположение о том, что некоторой точке Р числовой
прямой соответствует бесконечная десятичная дробь вида
0,199... 9..., приводит к противоречию.
Заметим еще, что указанный в пункте 3.6 процесс сопоставляет
точке с координатой 0,2 бесконечную десятичную дробь 0,200... 00..., так
как эта точка лежит во всех полуинтервалах
[0; 1), [0,2; 0,3), [0,2; 0,21), [0,2; 0,201), [0,2; 0,2001),...
и все цифры бесконечной десятичной дроби, соответствующей
указанной точке, начиная со второй после запятой должны равняться 0.
Вопрос. Может ли быть пустым пересечением
последовательности вложенных друг в друга замкнутых отрезков числовой прямой?
3.8. Используя установленное определенное в пункте 3.6
соответствие между точками числовой прямой и бесконечными десятичными
дробями, определим действительные числа.
Неотрицательным действительным числом называется бесконечная
десятичная дробь вида ао,ai, а2, а4,..., On..., где ао — целое
неотрицательное число и а* при к > 1 — цифра от 0 до 9, причем цифра 9 не
является периодом этой дроби.
Если, начиная с некоторого номера все цифры а, в записи
действительного числа равны нулю, то для краткости эти нули опускают.
Например, 0,5000... 0... = 0,5.
Вопрос. Что вы можете сказать о действительном числе
0,000. ..0...?
3.9. Напомним, что отрицательные целые числа можно задавать
как числа противоположные натуральным. Аналогично,
отрицательные действительные числа определим как числа, противоположные
некоторым действительным числам, используя знак "минус" для
обозначения отрицательного числа.
Например, —0,333... 3... обозначает действительное число,
противоположное действительному числу 0,333... 3 —
Действительные числа иногда называют также вещественными
числами.

130
Глава 4. Действительные числа
Множество всех действительных (вещественных) чисел мы будем
обозначать буквой R.
Вопрос. Что вы можете сказать о действительном числе
-0,333. ..3...'.'
ЗЛО. В множестве R действительных чисел рациональным числам
соответствуют конечные или бесконечные периодические десятичные
дроби.
Иррациональным называется такое действительное число, которое
не является рациональным. Другими словами, иррациональное число
— это бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Наиболее часто используемые иррациональные числа для
краткости обозначают некоторыми буквами или символами. Так,
знаменитое число 7г иррационально и во всех формулах записывается не как
бесконечная десятичная дробь, а как буква я\
Аналогично, иррациональное число у/2 записывается не как
бесконечная десятичная дробь, а так, как мы его привыкли записывать с
помощью радикала. Тем не менее числу \/2 соответствует
бесконечная непериодическая десятичная дробь, у которой можно вычислить
достаточно много цифр после запятой: \/2 = 1,4142— Однако,
эффективной формулы, которая позволяла бы по номеру к вычислять
А:-ю цифру числа \/2, до сих пор не имеется.
Вопрос. Как показать, что число V5/V52 — рационально.
3.11. Используя то, что в записи в виде бесконечной десятичной
дроби иррационального числа цифры не периодичны, легко привести
примеры иррациональных чисел.
Пример 1. Рассмотрим действительное число х = 0,101001000...,
у которого после запятой в указанном порядке записаны все
натуральные степени числа 10. Докажем, что получившееся число х
иррационально.
Доказательство, Предположим, что х рационально. Тогда
соответствующая бесконечная дробь периодична. Это значит, что
найдется набор цифр (aia2...ap) длины р такой, что с некоторой цифры
с номером А; запись числа х имеет вид ...aiai—Opa^—a^ai....
Отсюда следует, что все цифры ai,a2,...Ор не могут быть нулями, так как
найдется степень десяти, которая записывается после А;-й цифры. С

§ 3. Иррациональные и действительные числа.
131
другой стороны, после А;-й цифры встретится запись такой степени
числа 10, в которой больше 2р цифр. Это больше, чем два подряд
идущих периода, а поэтому в каждом из таких периодов будут стоять
только нули.
Таким образом, предположение о существовании у числа х
периода приводит к противоречию. Следовательно, х — непериодическая
десятичная дробь, то есть иррациональное число.
Вопрос. Как показать иррациональность числа, у которого в
десятичной записи после запятой подряд выписаны все натуральные
числа?
Контрольные вопросы и задания
1. Какие отрезки называются соизмеримыми?
2. Какой отрезок называется общей мерой двух соизмеримых
отрезков?
г.*
3. Как можно охарактеризовать все отрезки, соизмеримые с
единичным отрезком?
4. Покажите, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
5. К чему приводит применение алгоритма Евклида для
соизмеримых отрезков?
6. Как определяется неотрицательное действительное число?
7. Как определяются отрицательные действительные числа.
8. Какую особенность имеют бесконечные десятичные дроби,
которые представляют рациональные числа?
9. Какую особенность имеют бесконечные десятичные дроби,
которые представляют иррациональные числа?
10. Как методом рассуждений "от противного" доказать, что л/2
число иррациональное?
Задачи и упражнения
1. Найдите общую меру отрезков длиной i и |. Как найти
наибольшую общую меру этих отрезков.

132
Глаза 4. Действительные числа
2. Рассмотрите два отрезка длиной 21 см и 51 см. Через какое число
шагов алгоритм Евклида приведет к их общей мере?
3. Как доказать, что любые два отрезка, длины которых
выражаются рациональными числами, соизмеримы?
4. Докажите иррациональность числа: а) \/2: б) л/3; в) у/Ъ,
5. Докажите, что катет АС прямоугольного треугольника ABC с
гипотенузой С В = 2, и катетом АВ = 1 несоизмерим ни с катетом
А В, ни с гипотенузой СВ.
6. Докажите, что гипотенуза С В прямоугольного треугольника ABC
с катетами АВ = 1, АС = 2 несоизмерима ни с одним из катетов.
7. Как найти на числовой оси точку, отвечающую числу 0,333...?
8. Может ли сумма рационального и иррационального числа быть
числом рациональным?
9. Может ли сумма двух иррациональных чисел быть числом
рациональным?
10. Может ли произведение двух иррациональных чисел быть
числом рациональным?
♦♦
11. Докажите, что число 0,11010001..., у которого на 1-ом, 2-ом, 4-
ом, &-ом ... 2п-м,... местах стоят единицы, а все остальные цифры
нули, является иррациональным числом.
12. Будет ли рациональным число у которого на 1,2,4,8,..., 2п-м,...
месте стоит 1, а все остальные цифры девятки?
13. Докажите, что числа не могут быть членами (не
обязательно последовательными) одной арифметической прогрессии.
§ 4. СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
4.1. Возьмем положительное действительное число
х = M,aid2a3
Целое число хо = М называют целым приближением числа х по
недостатку, а целое число х0 = М + 1 — целым приближением числа

§ 4. Свойства действительных чисел
133
х с избытком. Эти значения являются приближенными значениями
числа х с точностью до 1.
Аналогично, число xi = M,a\ называют однозначным
приближением числа х по недостатку, а число х\ = М,С[ + ^ однозначным
приближением числа х с избытком. Эти значения являются
приближенными значениями числа х с точностью до одного знака после
запятой.
Аналогично определяются десятичные приближения числа х и с
другим числом знаков после запятой.
Конечная десятичная дробь хп = М, a\, a<i... ап называется
десятичным приближением числа х по недостатку с точностью до п знаков
после запятой, а конечная десятичная дробь х'п = Л/, а\, аг... а^ 4- у~
называется десятичным приближением числа х с избытком с
точностью до п знаков после запятой.
Вопрос. Каковы десятичные приближения числа у/Ь с точностью
до двух знаков после запятой?
4.2. Для отрицательного действительного числа х = — М, а^вз • • •
десятичные приближения определяются следующим образом.
Целое число xq = — М — 1 называется целым приближением числа х
по недостатку, а целое число х0 — —М — приближением числа х с
избытком с точностью до 1.
Конечная десятичная дробь хп = — М\,а\аъ - • • On — yin называется
десятичным приближением числа х по недостатку, а конечная
десятичная дробь хп = — M,aid2.. • On десятичным приближением числа
х с избытком с точностью до п знаков после запятой.
Вопрос. Каковы десятичные приближения числа 1 ~J<5 с
точностью до двух знаков после запятой?
4.3. Действительные числа сравнивают по величине. Для этого
определяют понятия "больше", "меньше", то есть определяют
отношение порядка.
На числовой прямой с положительным направлением вправо
сравнение действительных чисел определяется следующим образом.
Пусть числа х и у изображаются соответственно точками А и В
числовой прямой с положительным направлением вправо. Тогда х < у,

134
Глава 4. Действительные числа
если точка А лежит левее точки В; х = у, если точки А и В
совпадают, х > у, если точка А лежит правее точки В.
Это определение позволяет сравнить любые два действительных
числа по их изображениям на числовой прямой.
Заметим, что если х < у, то тогда у > х.
Остальные виды неравенств между действительными числами
определяются следующим образом: х > у, если либо х > у, либо х = у;
х < у, если либо х < у, либо х = у.
Вопрос. Как проиллюстрировать на числовой прямой, что если
х < у и у < z. то х < zl
4.4. Вещественные числа можно сравнивать между собой по их
записи.
Рассмотрим, как сравнивать положительные вещественные числа.
Пусть х = М, ах... а„ ...; у = К, рх... /Зп ....
/ шаг. Сравним целые части чисел х и у.
Если К > М, то у > х;
если К < М,то у < х;
если АГ = М, то процесс сравнения продолжается.
Я шаг. Сравним цифры ai и /?1#
Если Qi < ft, то х < у;
если a?i > ft, то х < у;
если ai = /?i, то процесс сравнения продолжается.
/// шаг. Аналогично предыдущему шагу сравним цифры а\ и /?i; и
так далее.
Таким образом, либо все десятичные цифры чисел х и у совпадают,
и тогда х = у, либо х > у, либо х < у.
Вопрос. Как доказать, что хп < х если хп — десятичное
приближение числа х по недостатку?
4.5. Операции сложения и умножения действительных чисел
определить не просто. Тем не менее это можно сделать таким образом, что
сохраняются все основные свойства операций сложения и умножения,
записанные для множества Q рациональных чисел. Мы не будем
показывать, как определяются арифметические операции над
действительными числами, а основные свойства примем без доказательства.

§ 4. Свойства действительных чисел
135
Пусть R — множество действительных чисел, и буквами х, у, z
обозначаются числа из R. Тогда операции сложения, умножения и
отношение порядка удовлетворяют следующим свойствам.
1. х + у = у + х.
2. (х + у) + г = х + (у + г).
3. Существует такое число 0, что i + 0 = i.
4. Для каждого х £ R существует (—х) € Я, такое, что х + (-х) = 0.
5. ху = ух.
6. х(уг) = x{yz).
7. Существует такое число 1, отличное от 0, что х • 1 = х.
8. Для каждого ненулевого х £ R существует число х"1 £ Л, такое
что х • х-1 = 1.
9. х(у + z) = ху + xz.
10. Если х < у и у < 2, то х < z.
11. Если х < у и z — любое число из Я, то х + z < у + г.
12. Если х < у и 2 > 0, то Х2 < yz.
Аналогично тому, как это делается для множества Q рациональных
чисел, приведенные свойства позволяют определить операции
вычитания, деления действительных чисел и получать новые свойства.
Вопрос. Как определить модуль действительного числа?
4.6. Рассмотрим действительное число х и последовательности (х„)
и (х^) его десятичных приближений по недостатку и избытку. Тогда
для каждого натурального п выполняются неравенства хп < х < хп .
Отсюда следует, что
0 < х - хп < хп - х„,
0 < хп - х < хп - хп,
или
|х — хп\ < хп — хп = —,
Таким образом, десятичные приближения х и хп действительного
числа х являются приближенными значениями числа х с точностью

136
Глава 4. Действительные числа
Вопрос. Каковы десятичные приближения числа л/3 с точностью
4.7. Десятичные приближения действительных чисел позволяют
находить приближенные значения сумм, разностей, произведений и
частных со сколь угодно высокой точностью.
Пример 1. Пусть х = 2,31452... иу= 1,61326— Эта запись
означает, что 2,31452 < х < 2,31453; 1,61326 < у < 1,61326.
Отсюда 3,92778 < х + у < 3,92780. Следовательно, х + у « 3,92779.
При этом абсолютная погрешность такого приближения не больше
ю-5.
Пример 2. Пусть х = 7,182..., и у = 3,651.... Отсюда 7Д82 <
< х < 7,183; 3,651 < у < 3,652 и 7,182 • 3,651 < ху < 7,183 • 3,652;
26,221482 < ху < 26,232316. Следовательно, ху « 26,23 с абсолютной
погрешностью не более т~.
Пример 3. Пусть х = 2,53148... и у = 0,718105.... Тогда
оШ < * < 07ll; 3'520 < ~ < 3'524* Следовательно, г « 3,52 с
абсолютной погрешностью не более ^.
Вопрос. Как получить приближенное значение произведения
действительных чисел х = 1,38412793... и у = —6,20819525... с
точностью до y^q?
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется приближением положительного действительного
числа по недостатку с точностью до п знаков после запятой?
2. Что называется приближением положительного действительного
числа по избытку с точностью до п знаков после запятой?
3. Что называется приближением отрицательного действительного
числа по недостатку с точностью до п знаков после запятой?
4. Что называется приближением отрицательного действительного
числа по избытку с точностью до п знаков после запятой?
5. Чему равна разность между приближениями числа по избытку и
по недостатку, взятыми с точностью до п знаков после запятой?
6. Какие свойства десятичных приближений числа вы знаете?

§ 4. Свойства действительных чисел
137
7. Как сравнивать действительные числа по их изображениям на
числовой прямой?
8. Как сравнивать действительные числа по их десятичной записи?
9. Какие свойства операций сложения и умножения для
действительных чисел вы знаете?
10. Какие свойства числовых неравенств вы знаете?
Задачи и упражнения
1. Запишите рациональное число | в виде бесконечной десятичной
дроби и напишите его приближения по избытку и по недостатку
с точностью до п знаков после запятой для п = 1, 2, 3, 4.
2. Запишите рациональное число у в виде бесконечной десятичной
дроби и напишите его приближения по избытку и по недостатку
с точностью до п знаков после запятой для п = 1, 2, 3, 4.
3. Найдите приближение с точностью до 0,1 для следующего
иррационального числа:
а) л/б; б) л/5; в) л/7; г) 4 + л/15; д) %/245; е) ^5.
4. Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел,
лежащих между числами 0,6201 и 0,61.
5. Существуют ли два действительных числа, между которыми
находится ровно 100 различных рациональных чисел, а больше
находиться не может?
6. Пусть х — 2,64..., у = 5,32.... В каких границах расположены
числа х -f у, х • у, -?
7. Пусть х = 2,32..., у = 4,14.... В каких пределах расположены
числа х + у, х • у, £?
8. Пусть х = 2,684..., у = 4,461.... Чему равны значения х + уу
х • у у - с точностью до одного знака после запятой?
9. Запишите в виде отношения двух целых чисел следующее число:
а)$$Р 6) 0,3(8)-0,5(45); в) Щ.

5 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
, а е а ФУНКЦИИ
В этой главе мы напомним определения и основные свойства
степени с рациональным показателем, введем понятие степени с
действительным показателем, определим показательные и логарифмические
функции и рассмотрим их основные свойства.
§ 1. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
1.1. Напомним, что степень числа а с натуральным показателем п
определяется как произведение п одинаковых сомножителей, равных
а; степень ап можно определить и по индукции: а1 = а; если степень
ак уже определена, то а*+1 = ак • о.
Операция возведения в натуральную степень имеет следующие
свойства.
1. ат ап = am+n.
2. (an)m = атп.
3. (ab)n =апЬп.
ап
4. — = an-m, если а Ф 0 и п > т.
ат
(а\п ап
ь) =^если^°-
6. Если 0 < a < 6, то ап < Ьп.
7. Если 0 < a < 1 и п > m, то an < ат.
8. Если a > 1 и п > т, то ап > ат.
Вопрос. Как с использованием основных свойств доказать, что

§ 1. Степень с рациональным показателем
139
если 0 < а < 6 и п £ 7V, то — > — ?
1.2. Основные свойства степеней с натуральными показателями
доказываются с помощью математической индукции.
Покажем, например, как доказывается свойство 1, что am • an =
= am+n при любых натуральных тип.
Доказательство. I. Пусть п = 1. Тогда am - a1 = am • a = am+1
при любом натуральном га по определению степени с натуральным
показателем.
II. Предположим, что при n = к равенство am • ак = am+fc
выполняется. Тогда при п = к + 1 имеем am • о*1"4*1 = am • (a* • a) = (am • a*) • a =
= aw+* a1 = am+(*+1).
Таким образом, из равенства am - ак = am+k выводится равенство
am.aM-i _ am+(*+i) На основании принципа математической индукции
свойство 1 доказано.
Вопрос. Как доказать свойство 3?
1.3. Степень с целым показателем определяется только для
ненулевых чисел а, причем таким образом, чтобы продолжали
выполняться свойства 1 — 7 для степеней с натуральными показателями.,
записанные в пункте 1.1.
Напомним, как это делается.
Пусть а Ф О и к — целое число. Тогда:
— если А; = п, где п — натуральное число, то ак = an;
— если к = 0, то ак = а0 = 1;
— если А; = — п, где п — натуральное число, то ак = о~п = —.
При таком определении сохраняется прежний смысл степени с
целым положительным показателем и вводятся степени с нулевым и
целыми отрицательными показателями.
Запишем основные свойства степени с целым показателем.
1. aman = am+n.
2. (an)m = amn.
3. (a6)n = an-6n.
an
4. — = an"m.
5. fir = C
6. Если a > 1 и n > m, то an > am.

140 Глава 5. Показательные и логарифмические функции
7. Если 0 < а < 1 и n > т, то an < ат.
Вопрос. Что больше, (0, б)"100 или (0, б)'200?
1.4. Основные свойства степеней с целыми показателями
доказываются с использованием свойств степеней с натуральными
показателями путем перебора всех возможных случаев знаков у показателей
степеней.
Покажем, например, как доказывается свойство 2, что (an)m = amn
при любых целых тип.
Доказательство. Первый случай. Пусть га > 0, п > 0. Тогда числа
тип натуральные, и равенство (an)m = amn уже известно.
Второй случай. Пусть т — 0. Тогда для произвольного целого
числа п имеем (an)m = (оп)° = 1 = a0 = a0n = amn.
Третий случай. Пусть п = 0. Тогда для произвольного целого
числа т имеем (an)m = (a°)m = lm = 1 = a0 = am0 = amn.
Четвертый случай. Пусть n > 0, m < 0. Тогда га = -Л и n, k —
натуральные числа. Поэтому
(an)m = (an)"* = -L- = -It = a""* = a*"**" = amn.
Пятый случай. Пусть n < 0, га > 0. Тогда n = — k и m, A; —
натуральные числа. Поэтому
(«Т = (а-*Г = ЙГ = (^f = ^ = a_m* = o(_l)m = am"-
Шестой случай. Пусть n < 0, m < 0. Тогда n = —fc, m = -p и t, p
— натуральные числа. Поэтому
(an)m = (a-k)~P = т-Лг = -V = 1 • (-=) = <>kp = <*<-*><-"> = a™.
v ' v ' (o-fc)" a~fc* VaW
В результате рассмотрены все возможные случаи, а поэтому
свойство 2 для целых показателей доказано.
Вопрос. Как доказать свойство 3 для целых показателей?
1.5. Рассмотрим функцию вида у = хп, где п — - натуральное число.
Она определена на всей числовой прямой.
При п = 1 функция у = хп имеет вид у = х и является линейной
функцией. Ее график есть прямая (рисунок 1).

§ 1. Степень с рациональным показателем
141
В
-2 -1
РТ
3 л-
При я = 2 функция у = хп имеет вид у = я2 и является
квадратичной функцией. Ее график есть парабола (рисунок 2).
При п > 2 можно составить таблицу
значений функции у = хп и схематически
изобразить ее график. На рисунках 3,
4, 5 приведены соответственно графики
функций у = я3, у = х4, у = хъ.
Из свойства 8 степени с натуральным
показателем следует, что при 0 < х\ < x<i
имеем у\ = х'{ < уч = х\. Это означает,
что на промежутке [0; -foo) функция у =
= хп при п € N возрастает.
На промежутке (—оо;0] функция у =
= хп в зависимости от показателя п ведет
себя по-разному: при четном п убывает,
при нечетном п возрастает. В итоге
получаем, что при каждом нечетном п
функция у = хп является возрастающей на всей
числовой оси.
ш
-2
У
4
3
2
1
г
i
у
0
/
1
/
/
I
2
3
X
Вопрос. При каких натуральных значениях п функция у = хп
четна и при каких п нечетна?

142 Глава 5. Показательные и логарифмические функции
У
-2 -1
]).
0 1 2 3 л-
>"
4
3
2
1
7
li.
0 1 2 3 .V
1.6. Рассмотрим теперь функции вида у = or, где А; — целое число,
меньшее 1. Напомним, что в этом случае степень определяется только
при х Ф 0 (рисунок 6).
ш m
3
2
1
Л
L
0 12 х
3
2
1,
-2 -1
0 1 2 3 л-
При к = 0 получаем функцию у = х°, которая определена при
х^0иу = 1° = 1по определению степени с нулевым показателем.
На рисунке 6 приведен график этой функции.
При к = -1 получаем функцию у = -, которая определена при
х Ф 0. График этой функции изображен на рисунке 7 и называется
гиперболой.

§ 1. Степень с рациональным локазателем
143
®
Р 1
Р 1
При целых А: < — 1 А; можно составить
таблицу значений функции у = хк и
схематически изобразить ее график. На
рисунках 8, 9, 10 приведены графики функ-
v „ 1 1 1
ций </=--, у = — , г/ = — соответственно.
х2 х3 х*
Функция у = — при п € N на проме-
хп
жутке (0;оо) убывает.
Вопрос. При каких натуральных
значениях п функция у = — четна и при
каких п нечетна?
[Ш
-2 -1
'0 1
1.7. При целом значении к функция у = хк непрерывна в
своей области определения. Это означает, что графики этой функции
на промежутках в области определения изображается неразрывными
линиями.
В дальнейшем без доказательства мы будем использовать теорему
о промежуточном значении.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а; Ь] и /(а) =
= A, f(b) = В. Тогда для каждого числа С, заключенного между А
и В, на отрезке [а; Ь] найдется такое число xq, что f(xo) = С.
Вопрос. Как доказать, что прямая у = 2 пересекает график
функции у = х4 в двух точках?
1.8. Пусть п — натуральное число. Рассмотрим функцию у = хп
на промежутке [0; +оо).

144 Глава 5. Показательные и логарифмические функция
Заметим, что функция у = х71 при х > О строго возрастает и
принимает все неотрицательные значения. Поэтому для каждого
неотрицательного числа А найдется такое единственное число xq > О, для
которого х\] = Л. Это позволяет на промежутке [0; +оо) определить
функцию у = у/х, обратную к функции у = хп.
Функция у = у/х определена на луче [0; Н-оо), строго возрастает
и множеством ее значений также является луч [0;+оо). Напомним,
что при а > 0 значение у/а называется арифметическим корнем п~й
степени из числа а.
Из определения арифметического корня получаем:
а) л/а определяется для а > 0;
б) ^0 = 0;
в) tfa > 0 при а > 0;
г) (tfo)* = a;
д) у/а1* = а, если а > 0.
График функции у = </х симметричен графику функции у = хп
относительно прямой у = х. На рисунке 11 сплошной линией изображен
график функции у = = tfx.
Вопрос. Какие значения имеет v^ , если х < 0?
на
1.9. Функция у = х2т~1, где m —
натуральное число, строго возрастает на
всей числовой прямой и непрерывна.
Применяя теорему о промежуточном
значении, можно показать, что функция у =
х2т-\ ПрИНИмает все действительные
значения. По свойству из пункта 1.8, на всей
числовой прямой определена обратная к
данной непрерывная функция. Эту
функцию обозначают у = Ъп~у/х. Учитывая
это, можно написать, например, равенство
^8 = -2.
В дальнейшем рассматриваются лишь арифметические корни.
Поэтому даже при нечетном значении п функцию у = у/х будем считать
определенной на луче [0; + оо). Другое использование у/х при
нечетном значении п всегда будет особо оговариваться.
-2
v
4
3
2
1
1
i
L- ••*
Р 1
2
3
X
Вопрос. Какой вид имеет график функции у = i$/J, определенной

§ I. Степень с рациональным показателем
145
на всей числовой прямой?
1.10. При о > 0 и n Е N выполняется равенство {\/a)n = а.
Обозначая число yfa как а», можно записать fa* J = о» n = a1 = а. Это
означает, что если определить а« как ^/а, то для степени
положительного числа а с показателем вида - сохраняется свойство 2 степени с
целым показателем.
Аналогично равенством a» = (a*) = ^/ат определяется степень
положительного числа а с дробным показателем —, где га - целое, п
— натуральное число.
В восьмом классе было показано, что степени числа а с равными
дробными показателями равны, то есть если - = -, то а« = а«. Но
это означает, что для рационального числа г однозначно определяется
число аг.
Операция возведения в рациональную степень имеет такие же
свойства, как и перечисленные в пункте 1.3 свойства степеней с целыми
показателями. Напомним еще раз основные свойства, обозначая
переменными a, b произвольные положительные числа, переменными г, s
произвольные рациональные числа.
1. аг-а8 = аг+8.
2. (ar)s = aTS.
3. (a6)r = ar-6r.
4. ^ = a-*.
5. Г?У = -.
6. Если a > 1 и r > 5, то ar > a8.
7. Если 0 < a < 1 и r > s , то ar < a8.
Вопрос. Как доказать, что v^v^ = v^6?
1.11. Напомним, что доказательства свойств степени с
рациональным показателем можно проводить, используя следующее
утверждение, доказанное в восьмом классе.
Пусть a > 0, 6 > 0 и п — натуральное число. Тогда отношения
an > bn, an = bnf an < bn соответственно равносильны отношениям
a > b, a = b, a < b.
Покажем, как доказывается, например, свойство 1, что аГ| • аГ2 =

146 Глава 5. Показательные и логарифмические функции
= аГ1+г>.
m Р го Р
Пусть г\ = —, г2 = -. Положим >1 = оп1В = а9,С = ап 9. Тогда
n g
Лп = am, В4 = ар, С7"7 = amq'Hip. По свойствам степеней с целыми
показателями А™* = а"*, Б^ = aUJP, откуда (АВ)^ = Ап« • Б^ =
= а™* • anp = anu?+np = С* Следовательно, (АВ)7* = С* Поэтому
m Р гор
АВ = С, то есть an • аЯ = ап Я.
Вопрос. Как доказать свойство 6 из пункта 1.12?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется степень с натуральным показателем?
2. Какие свойства степени с натуральным показателем вы знаете?
3. Как определяется степень с целым показателем?
4. Какие свойства степени с целым показателем вы знаете?
5. Какие свойства функции у = хп при четном натуральном п вы
знаете?
6. Какие свойства функции у = хп при нечетном натуральном п вы
знаете?
7. Какие свойства функции у = х~п при натуральном п вы знаете?
8. Как определяется непрерывность функции в точке ее области
определения?
9. Как определяется арифметический корень n-й степени из
неотрицательного числа?
10. Как построить график функции у = tfx?
11. Как определяется рациональная степень положительного числа?
12. Какие свойства степени с рациональным показателем вы знаете?
Задачи и упражнения
, „ v (26)3 • 45 ^ 813 З2 • 274 ч 46 • 96 * 129 • 187
1. Вычислите: а) !-1_; 6) ^— : —-, в) _; г) -_-;
дГ (2 • 22 • 23 • -2102) : (4 • 42 • 43 • 'Л72).

§ 2. Показательиая функция
147
2. Какое из чисел больше, 23000 или З2000?
3. Постройте графики функций:
а) У = i*3; б) у = 1*<; в) у = JL; г) » = 1.
4. На отрезке [0,1] постройте график функции у = х10.
5. Запишите в виде степени с рациональным показателем:
2 3
a) Xyjxyjx; б) a З^г*; в) m 5 : m~?\
г) -^=; д) Ух* • \/х*\ е) (yfxT^x)l.
6. Постройте графики функций:
а) у = 2V^; б) у = \/2х; в) у = л/*"+"2;
г) у = \/х - 1; д) у = v^x; е) у = л/1 - х;
ж) у = л/1 - 4х; з) у = 1 - у/х - 1; и) у = 1 - \/1 - х.
7. Без помощи калькулятора сравните два числа и укажите
большее из них:
а) >/Зи1,3; б) ^и1?; в)* -^ и |;
г)* i^+З и 1д; Д)« V3 + v/5h4; е)"-^ и 4.
§ 2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
2.1. В пункте 1.11 мы определили степень положительного числа
с рациональным показателем. Тем самым для a > О и рационального
х определено число ах.
Понятие степени можно распространить на произвольные
действительные показатели, причем так, что сохраняются все свойства,
аналогичные свойствам степени с рациональным показателем.
Пусть a > 0 и х, у — действительные числа. Тогда
1. аха* = ах+У.
2. {ах)У = ах*.
3. (аЬ)х = ах • 6х.
4. al = ax~v.
а?
5. (2У = £.

148 /лада 5. Показательные и логарифмические функции
6. Если a > 1их > у, то ах > ау.
7. Если 0 < а < 1 и х > у, то ах < ау.
На основании этих свойств нетрудно указать приближенные
значения ах в виде степеней с рациональными показателями. Например,
зная, что 3,14 < 7г < 3,15, получаем
2з,н < 2* < 2з,н
А зная, что 3,1415 < 7г < 3,1416, можно указать и более точные
приближения:
23,1415 < 2* < 23,1416^
и так далее.
Вопрос. Как доказать, что число 2^ больше 4?
2.2, Пусть а > 0 и а ^ 1. Функция определенная на всей числовой
прямой, значения которой вычисляются по формуле у = ах,
называется показательной функцией с основанием а.
При любом а > 0, а Ф 1 показательная функция у = ах принимает
все положительные значения.
При а > 1 функция у = а* строго возрастает, при 0 < а < 1 функция
у = ах строго убывает.
На рисунках 1, 2,3,4 изображены соответственно графики функций
у = 10*, у = (1,5)*, у = (0,6)*, у = (0,2)*.
Ш ЕЮ
8
7
6
5
4
2
4
-2-1 Ю
ЮГ2 3
Ю1 2 3 х

§ 2. Показательная функция
149
|01 2 3
Ю1 2 3 х
m
У
3
2
1,
-2 -1
i
0 1 2 3 х
Вопрос. Как из графика функции у = 2х получить график функ-
ции у = (I)* ?
2.3. При a = 1 для любого
рационального числа г имеем 1Г = 1. Поэтому
полагают Iх = 1 и при любом
действительном х. Функция у = Iх имеет график,
изображенный на рисунке 5.
Функция у = Iх не является ни строго
возрастающей, ни строго убывающей.
Поэтому функцию у = Iх не считают
показательной функцией.
Вопрос. Какое название можно дать функции у = Iх?
2.4. При a > О и а Ф 1 функция у = ах строго монотонна. Поэтому
для каждого положительного числа найдется единственное число х
такое, что ах = га. Другими словами, уравнение ах = га при а > О,
а ^ 1 и га > О имеет единственный корень.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить уравнение 4х = 64.
Решение. Вычисляя натуральные степени числа 4, находим 43 = 64.
Поэтому х = 3 — единственный корень данного уравнения.
Пример 2, Решить уравнение v^ = \/9.
1 X 11
Решение. Имеем у/& = (3х)3 = 33, у/9 = 92 = (32)2 = З1. Поэтому
х
уравнение можно переписать в виде 33 = З1, откуда - = 1, х = 3.
Пример 3. Решить уравнение Sy/lxTl = 32 • 2'ДхТ1.

150 Ртава 5. Показательные и логарифмические функции
Решение. Положим у/2х + 1 = z. Тогда 82 = (23)г = 23г, 32 • 2£ =
= 25 • 2г = 25+г. Поэтому уравнение можно записать в виде 23z = 25+z,
откуда 3z = 5 + г, 2z = 5, z = -. Из уравнения ^/2ж + 1 = - получим
О , 1 25 о 21 21
2z + l = j, 2я = j, х = у.
Вопрос. Какое множество решений имеет уравнение ax = m при
а=1?
2.5. Показательная функция у = ах при а > 1 строго возрастает,
при 0 < а < 1 строго убывает. Это свойство позволяет находить все
решения неравенств вида ах > т, ах > т, ах < тп, ах < т.
Пример 4. Решить неравенство 3х > 9.
Решение. Перепишем неравенство в виде 3х > З2. Так как 3 > 1, то
при х > 2 выполняется неравенство 3х > З2; при х — 2 выполняется
равенство 3х = З2; при х < 2 выполняется неравенство З1 < З2.
Таким образом, множеством решений данного неравенства
является интервал (2; +оо).
Пример 5. Решить неравенство 10х < 0,1.
Решение. Имеем 0,1 = — = 10""1. Поэтому неравенство можно
переписать в виде 10х < 10"1. Так как 10 > 1, то отсюда х < -1, и
множеством решений данного неравенства является луч (—оо; —1].
Пример 6. Решить неравенство (0,2)х > -.
2 1
Решение. Имеем 0,2 = --- = -. Поэтому неравенство можно
переписать в виде (-) > (-) . Так как - < 1, то отсюда х < 1, и
множеством решений данного неравенства является луч (—оо; 1].
Вопрос. Какие решения имеет неравенство f-) > —27?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определить приближенные значения числа 2^?
2. Какой вид имеет график функции у = 2х?
3. Какой вид имеет график функции у = (-) ?

§ 2. Показательная функция 151
4. Сформулируйте основные свойства степени с действительным
показателем.
5. Какая функция называется показательной?
Задачи и упражнения
1. Постройте графики функций:
а) у = 4Х; б) у = 2"*; в) у = {у/5)'; г) у = * ;
д)у = 22х; е)у = 3"2х; ж)у = 2х+1; з) у = зЦ
и)у = 21^; к)у = 31-21.
2. Решите уравнения:
а) 3* = 27; б) 2- = 1; в) 5* = 625; г) 7* = ^.
3. Решите уравнения:
а) 8х = 16; б) 7•49х = 1; в) 25х = л/5; г) (2л/2)х = 64.
4. Решите уравнения:
а) 2х + 2Х+1 = 24; б) 3х - 3х"1 = 54;
в) 4х"1 + 22х+1 = 18; г) 100х"2 - 102х"5 = 9.
5. Решите уравнения:
а) 49х2"4х+2 = л/7; б) 273хЧбх"2 = 9;
в) 52х2"4х+3 = 5л/5; г) 4хЧх+1 = 2^2-
6. Решите уравнения:
а) 42х = 2х~1; б) 5х = 25х+2:
в) 36х"1 = 2Х+1 • Зх+1; г) 144х+3 = 16х"1 • 492х~2.
7. Решите неравенства:
а)4*>2; б)3-3*<1; в) Ы * > 4;
г) 253* < 125; д) 1 • б1 > 2; е) (J) < у/5;
ж)4г>2л/2; з)(0,1)*>10.
8. Решите неравенства:
а) 2 • 5* > 5 • 2»; 6) 1 < 1; в) 4*"1 > 8*"2;
г) (0,2)* < (0,04)*; д) J - S**1 > | • 3—*; е) (^)* < 9;
ж) (^Г3 > (n/2)1"2; з) JL < JL.

152 Глава 5. Показательные и логарифмические функции
§ 3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
3.1. Показательная функция у = ах, где а > 0 и а ф 1, принимает
все положительные значения и строго монотонна. Это означает, что
для каждого положительного числа Ь найдется единственное число z,
для которого az = 6.
3
Например, пусть a = 100 и Ъ = 1000. Тогда 6 = 103 = 10 *2 =
3 3
= (100)2 = а2. Поэтому в данном примере при z = - имеем а2 = 6.
В общем случае записи показателя степени, в которую нужно
возвести данное число а, чтобы получилось число 6, вводится понятие
логарифма.
Логарифмом положительного числа Ь по основанию а, где а > 0 и
аф\, называется такое число z, что az — Ь.
Логарифм числа 6 по основанию а обозначают loga Ь.
з
Например, log1001000 = -.
Вопрос. Логарифмы каких чисел по основанию 2 вы можете
найти?
*
3.2. Иногда logQfc равен рациональному числу. Обычно это бываг
ет в специально подобранных примерах. Например, log2S\/2 =
= log22* = -. Однако, во многих случаях логарифм числа по
заданному основанию является иррациональным числом.
Пример 1. Докажем, что число log102 иррационально.
Доказательство. Предположим, что log102 = -, где р и q — целые
числа, причем q > 0. Тогда имеет место равенство 10« = 2, откуда
10? = 2я. Так как q > 0, то 2? > 1, а поэтому р > 0. Отсюда получаем,
что числа 10я и29 — это натуральные степени чисел 10 и 2. В
десятичной записи каждое число вида 10** оканчивается цифрой 0. Но
число вида 2я может оканчиваться только одной из цифр 2, 4, 6, 8.
Поэтому равенство 10я = 2* при натуральных р и q невозможно.
Таким образом, предположение о том, что число log10 2
рационально, приводит к противоречию. Поэтому число log10 2 иррационально.
Вопрос. Как доказать, что число log23 иррационально?

§ 3. Логарифмическая функция
153
3.3. Выбрав число а, где а>0иа^1,мы дпл каждого числа х > О
можем вычислить logax. Тем самым на множестве положительных
чисел определена логарифмическая функция у = log^.
Функция loga х является обратной к функции а1, то есть у = ах <£=*►
* = 1о&* У> У > 0.
График функции у = loga х симметричен графику функции у = ах
относительно прямой у = х. На рисунках 1, 2, 3, 4 сплошной линией
изображены соответственно графики функции у = log2x, у = log10x,
у = log 1 х, t/ = logi х.
3 2
Так как обратная к возрастающей функции — также возрастающая
функция, то при а > 1 функция у = log^x возрастает (рисунки 1 и 2).
ш а
у1
8
6
4
21
Обратная к убывающей функции — убывающая функция. Поэтому
при 0 < а < 1 функция у = logax убывает (рисунки 3 и 4).
И S3
>1
б /
4 / /
Л/2 4 6 7
*^т
у\
\ 8
\ б!
\ 4
\2
1
/
\ ••**"
Х^4
.••*
6
X
Вопрос. Какой вид имеет график функции у = log^ (—я)?

154
Глаза 5. Показательные и логарифмические функции
3.4. Монотонность логарифмических функций можно доказать,
исходя из свойств показательных функций.
Первый случай. Пусть а > 1. Возьмем произвольные числа
О < Х\ < Х2- Положим u = logaxi, v = logaX2. Тогда х\ = au, %ч = a?
и au < av по условию. Так как показательная функция с
основанием, большим 1, строго возрастает, то из неравенства au < av следует
неравенство и < и, то есть logexi < logaX2-
Второй случай. Пусть 0 < a < 1. Возьмем произвольные числа
О < Х{ < х2. Положим и — logaxi: v = logaX2. Тогда Х\ = au, x<i = av и
au < av. Но так как показательная функция с основанием, меньшим
1, строго убывает, то в этом случае из неравенства au < av следует
неравенство и > и, то есть logaxi > logaX2.
Вопрос. Почему не определяются логарифмы по основанию 1?
3.5. Функции а* и loga х являются взаимно обратными друг к
другу. Отсюда следует, что если для произвольного х число у равно ах,
то loga у = loga а* = х.
Отсюда получаем первое основное логарифмическое тождество:
logaax=x (1)
при всех х € R.
Аналогично, если для произвольного положительного х число у
равно log0x, то ау = alogtX = х. Отсюда получаем второе основное
логарифмическое тождество:
alog«z = x (2)
при всех х > 0.
Рассмотрим примеры на применение основных логарифмических
тождеств.
Пример 2. log4 2х = log4 (уД)х = log4 4^ = |.
Пример 3. З10*»1 = (у/9)1о*'х = 9**°*>х == (91о*»х)* = х* = у/х.
Вопрос. Как упростить выражение log2 (log4 8Z)?

§ 3. Логарифмическая функция
155
3.6. Свойства показательной функции позволяют получить
несколько важных логарифмических формул. В этом пункте рассмотрим
следующую формулу:
loga x-floga у = loga ху для любых положительных х иу. (3)
Свойство (3) можно сформулировать также в следующем виде.
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме
логарифмов сомножителей.
Доказательство.Пусть и = logax, v = logax/. Тогда х = au, у = av
и ху = аи - av = au+v. Отсюда по формуле (1) из пункта 3.5 имеем
loga ХУ = logo °>и+У = u + v = loga х + loga у.
Пример 4. Доказать, что log2 {х2 - 1) - log2 (х - 1) = log2 (а: + 1)
при х > 1.
Доказательство. При х > 1 числа х - 1, х -I- 1 положительны,
поэтому log2 (х2 - 1) - log2 (х - 1) = log2 (х - 1)(х + 1) - log2 (х - 1) =
= log2 (х + 1) + log2 (х - 1) - log2 (х - 1) = log2 (х -Ь 1).
Вопрос. Чему равна сумма log2 0,2 + log2 5?
3.7. Для логарифма частного имеется формула, аналогичная
формуле (3).
loga - = loga х — log2 у для любых положительных х и у. (4)
Это свойство можно сформулировать также в следующем виде.
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности между
логарифмом делителя и логарифмом делимого.
Вопрос. Как доказать формулу (4)?
3.8. Для логарифма степени имеется следующая формула.
loga xa = a loga x для любого х > 0 и произвольного а. (5)
Это свойство можно сформулировать также в следующем виде.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на
логарифм основания степени.
Доказательство. Пусть u = logax. Тогда х = au, откуда xQ =
= (au)Q = а4". Поэтому logQxa = logoO^ = ua = au = alogax, что и
требовалось доказать.

156 Глава 5. Показательные и логарифмические функции
1 5
Пример 5. \о^х2у/х = lo^x 2 = \о^х2 = -logeX.
Вопрос. Как доказать, что log^ -7= = ^^ogax?
3.9. В частном случае при a = 2 формула (5) имеет вид loga х2 =
= 21ogax. Важно понять, что это равенство справедливо только при
х > 0. Однако, если рассмотреть только левую часть равенства, то
получим выражение lo^x2, которое определено при всех х Ф 0.
Поэтому применение формулы (5) изменяет область определения
выражения lo^x2, что может приводить к ошибкам при решении задач. В
данном случае правильное применение формулы (5) возможно с
использованием равенства х2 = |х|2. Тогда lo^x2 = loga |х|2 = 21oga |х|.
При таком преобразовании получаем тождественное равенство во всей
области определения левой части.
Вопрос. Как найти все решения уравнения log2 х2 = 4?
3.10. В этом пункте рассмотрим важную формулу перехода к
новому основанию логарифмов.
Пусть а>0, Ь>0,х>0 иаф\,Ьф1. Тогда logax = j^. (6)
Доказательство. Обозначим и = loga х. Тогда х = аи.
Логарифмируя по основанию 6 обе части этого равенства, получаем log6x =
= log^a" = и • log^a = logax • log^a. Разделив обе части на ненулевое
число log6a, получаем р^ = log^, что и требовалось доказать.
Пример 6. log3 5 = г^!_ = .—_
Поимер 7 кит. 8лЯ = log2(8v/i) - k^e-HofeVi _ 3 + 2log2* _
Пример 7. logAxW*~ 1о&(4х) - log24 + iog2x - 2 + log2z ~
6 + log2s 6 + z ,
= -ztz—r^—г = 7T7Z г» где z = logo x.
2(2 + log2x) 2(2 +г)' M bZ
Полученное в этом примере равенство выполняется нЪ всей области
определения, то есть при х > 0 и Ах Ф 1.
Вопрос. Как доказать, что loga3 х = -loga х?
«5
3.11. Исторически логарифмы появились как удобное средство
для приближенного выполнения трудоемких операций умножения и

§ 3. Логарифмическая функция
157
возведения в степень. Для этих целей часто применялись логарифмы
с основанием a = 10. Логарифмы по основанию 10 называют
десятичными логарифмами и вместо log10x пишут lgx.
Для вычислений составлялись четырехзначные, пятизначные,
восьмизначные таблицы десятичных логарифмов чисел и с помощью
таких таблиц производились приближенные расчеты. С развитием
вычислительной техники роль логарифмических таблиц в вычислениях
заметно снизилась. Поэтому мы ограничимся одним примером.
Пример 8. Найдем количество цифр в десятичной записи числа
2100, зная, что lg2 равен 0,3010 с точностью 10~4.
Решение. Ig2100 = 100 • lg2 100 • 0,3010 = 30,10 с точностью 10"2.
Поэтому 30 < lg2100 < 31. Отсюда 1030 < 2100 < 1031. Следовательно,
число 2100 содержит 31 цифру в своей десятичной записи.
Вопрос. Как записать log2 3 через десятичные логарифмы?
3.12. В заключение параграфа приведем сводку основных свойств
логарифмов и рассмотрим несколько примеров на решение
простейших логарифмических и показательных уравнений и неравенств.
1. logaaz = х при х € Л.
2. а10*** = х при х >0.
3. 1о& ху = loga х + logay, если х > 0, у > 0.
4- 1о& - = bgax - logai/, если х > 0, у > 0.
5. loga xa = a loga х при х > 0 и произвольном а.
6. 10ёа6 = ^^, если а > 0, 6>0, с>0иа^1, с^1.
00 togca
7. При а > 1 неравенство х > у > 0 равносильно неравенству loga х >
>logay.
8. При 0 < a < 1 неравенства х > у > 0 равносильны неравенству
log^x <logey.
Пример 9. Решить уравнение 2х = 15.
Решение. Нужно найти показатель степени, в которую следует
возвести число 2, чтобы получилось 15. Поэтому по определению
логарифма х = log215.
Пример 10. Решить уравнение (0,2)* = 10.
Решение. По определению логарифма х = logo 2 Ю-
Логарифмические формулы позволяют этот ответ преобразовать: х = logi 10 =

158 Глава 5. Показательные и логарифмические функции
= log5-i Ю = - log5 Ю = -(1 + log5 2).
Пример 11. Решить уравнение log5x = — 2.
Решение. Так как —2 = log55 2, то уравнение можно записать в
виде log5x = log55~2. Отсюда х = 5~2 = —.
Пример 12. Решить уравнение log2 (5 - 2х) = 1.
Решение. log2 (5 — 2х) — 1 = log2 2. Поэтому данное уравнение
з
эквивалентно уравнению 5 — 2х = 2, откуда 2х = 3, х = -.
Пример 13. Решить неравенство log3x > 2.
Решение. Неравенство определено при х > 0. Далее, 2 = log39,
поэтому наше неравенство можно переписать в виде log3x > log39.
Так как основание 3 больше 1, то логарифмическая функция у = log3 х
монотонно возрастает. Отсюда следует, что неравенство верно для
х > 9. Все такие значения х входят в область определения. Значит,
множеством решений неравенства является луч (9; +оо).
Пример 14. Решить неравенство log5x < -—.
Решение. Неравенство определено при х > 0. Перепишем
неравенство в виде logs я ^ l°g55»b. Так как основание 5 больше единицы, то
х < 510. При этом х должно быть положительным. Значит, множество
решений неравенства имеет вид (0;5ю].
Найденные решения можно записать также в виде 0 < х < у/Е.
Пример 15. Решить неравенство logi х < logi --.
Решение. В этом примере важно заметить, что основание -
логарифмической функции меньше 1. Логарифмическая функция с
основанием, меньшим 1, строго убывает. Значит, данное неравенство будет
верным, если х > —. Все такие значения входят в область
определено
ния. Значит, множеством решений неравенства является луч -~; +оо J.
Пример 16. Решить неравенство 3* < 5.
Решение. Перепишем неравенство в виде 3Z < 3log35. Так как
основание 3 показательной функции больше 1, то она монотонно
возрастает, откуда х < log3 5.
Вопрос. Какие решения имеет неравенство (log3x)2 > 1?

§ 3. Логарифмическая функция
159
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется логарифм числа по заданному основанию?
2. Докажите иррациональность log2 3.
3. Как определяется логарифмическая функция?
4. Какие свойства функции у = logax при a > 1 вы знаете?
5. Какие свойства функции logex при 0 < a < 1 вы знаете?
6. Какими условиями задается естественная область определения
функции log^(x) /(ж)?
7. К каким тождествам приводит условие взаимной обратности
функций ах и loga х?
8. Чему равен логарифм произведения двух положительных чисел?
9. Чему равен логарифм отношения двух положительных чисел?
10. Чему равен логарифм степени положительного числа?
11. При каких х справедливо тождество logax4 = 41oga (-х)?
12. Запишите формулу перехода к новому основанию логарифмов.
13. Как обозначаются десятичные логарифмы?
Задачи и упражнения
1. Постройте график функции:
а) У = logys я; б) у = log^ х; в) у = - log3 х;
г) у = logi х; д)* у = ——; е)" у = logx 2.
- log2 х
2. Найдите область определения функции:
а) У = log2l (Зх); б) у = logx2 (у/х)\ в) у = logl2 (2х4);
г) у = log,..! (х - 2); д) у = logI+1 (2х + 1);
е)Ф 2/ = 1с^2+ж (х2 - х).
3. Постройте график функции:
а) У = logi (2х); б) у = log3 (|); в) у = log4 >/х;
2
г) У = /ор^Ы; дГ У = bgx3 (х2).

160 Глава 5. Показательные и логарифмические функции
4. Упростите выражение:
a)toft>(3*); 6)log1(100I); в) log24* + log4 2я;
10
r)log39* + logi9*: a)\ogv-24x-\og4(V2y; е) log2(log2 v/^);
ж) log3(log3\^3).
5. Упростите выражение:
a)51og5x; б) (>/5)1оь*; в) (I)***8;
r)421og2x. д) glog^r. e)**alog„2x
6. Упростите выражение:
а) log3 7^1 + log3 ^~3 ~log3 (х ~ 3^ при Х > 3;
б) log4 (х2 - 4) 4- log4 Х * *£ ПРИ * > 2;
в) log3 \/х - 1 4- log3 у/х + 1 - log3 (х2 - 1) при х > 1;
г) log2 (х2 + х + 1) — log2 -5 при всех х.
7. Известно, что log102 приближенно равен 0,3010. Найдите
приближенное значение:
а) log105; б) log1020; в) log10 160.
8. Выразите через a = log2 3 и 6 = log2 5 число:
а) log445; б) log^75; в) log6 15; г) log630; д) log18100: е) log8060;
ж)1о§75432.
9. Докажите, что loga6c = !^*'*?***.
10. Упростите выражение loga+6 m+loga_6 т —2 logQ+6 raloga_6 т,если
известно,что m2 = a2 - б2.
11. Докажите, что -—^—г- = 1 + bga6. При каких значениях а, 6, х
log —abx
обе части этого равенства определены?
12. Упростите выражение:
а) (loga Ъ + log6 a + 2) • (loga Ь - logob b) • log6 a - 1; -
6)* lg(z + 2y)--lgx--lgy при условиях x > 0, у > 0 и х2 + 4у2 =
= 12ху;
в) log2 3 • log3 4 • log4 5 • ... • log^ 100;

§ 3. Логарифмическая функция 161
13. Решите уравнения:
a)log4(2-rr) = i; 6) log3(2x + 1) = 3;
в) log 1 (х + 4) = 2; г) log2 (1 - х) = \\
5
д) 3 log8 (5* - 1) = 1; е) log4 (2х + 3) = log2 5.
14. Решите уравнения:
а) 3* = 8; 6) 5х = 2%/2;
в) (£)' = 7; г) (УЗ)* = 25;
д)*2- = 1 + ^5; еГ(^)Х = ^;
ж)* 1 = Зл/2.
15. Решите неравенства:
a) log2 х > -; 6) logoa * < 3; в) log4 х < 2;
г) logi х > 0; д) Iog9:r < -; е)* log^-i х > 1.

ПЕРИОДИЧНОСТЬ
глава
В этой главе рассматриваются основные представители
периодических функций. С этой целью вводится новая радианная мера углов
и определяются тригонометрические функции числового аргумента.
При изучении тригонометрических функций разбираются такие
некоторые тригонометрические уравнения.
§ 1. ПЛОЩАДЬ КРУГА И ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
1.1. Напомним, что для вычисления площади круга радиуса R
используется формула S = nR2, где 7г — иррациональное число,
приближенное значение которого 3,14159265 по недостатку.
Строгое определение площади рассматривается в курсах
математического анализа. Мы будем использовать тот факт, что приближенно
с любой нужной точностью площадь круга радиуса R можно
вычислить, рассматривая последовательность площадей вписанных в круг
или описанных около него правильных n-угольников, когда п
стремится к бесконечности.
Предположим, что площадь полукруга
радиуса R определена и равна х. Так как
круг можно составить из двух равных
полукругов (рисунок 1), то площадь круга,
с одной стороны, равна 2я, а с другой
стороны равна ttR2. Поэтому
2х = тгЯ2,
6

§ 1. Площадь круга и длина, окружности
163
откуда
*-*"*■ ш
Допустим теперь, что площадь
четверти круга радиуса R определена и равна у.
Так как круг можно составить из
четырех секторов, каждый из которых равен
четверти круга (рисунок 2), то
4У = тгЯ2,
откуда
Рассуждая аналогично, мы получим, что если круг радиуса R
разбит на п равных секторов, то площадь одного сектора равна ^ягЯ2.
Например, площадь сектора с углом в 1° равна оло^Я2-
Вопрос. Чему равна площадь сектора радиуса R с углом в 18°?
1.2. Для вычисления площади сектора радиуса R с углом в а0
имеется формула
5 = ^тгД2. (1)
Например, по этой формуле площадь сектора с углом в 1° равна ^qR2-
Это тот же самый результат, который получен в предыдущем пункте.
Вопрос. Как вычислить площадь кругового сегмента с углом а° =
= 120°?
1.3. Строгое определение длины кривой рассматривается в курсе
математического анализа. Мы будем использовать тот факт, что
приближенно с любой точностью длину окружности можно вычислить,
рассматривая последовательность периметров вписанных в окружность
правильных п-угольников.
Напомним, что точно длина окружности радиуса R выражается
формулой
L = 2тгЯ.
Разделим окружность радиуса R на п равных дуг, например, на
семь. Предположим, что длина каждой дуги определена и равна х.

164
Глава 6. Периодичность
Длина окружности равна сумме длин составляющих ее дуг, а поэтому
7х - 27гД, откуда
X =
2тгЯ
Аналогичные рассуждения верны при произвольном натуральном п.
Например, длина дуги окружности радиуса R с угловой мерой в 1°
равна ^g£ так эта дуга составляет ^ часть всей окружности.
ш
у
L
^
J
т
^
Ч
J
Вопрос. Чему равна длина кривой,
изображенной на рисунке 3?
1.4. Для вычисления длины дуги
окружности радиуса R с угловой мерой в а0
справедлива формула
180
(2)
Например, по этой формуле длина дуги с
угловой мерой в 15° равна т^тгЛ.
Вопрос. Какой длины путь опишет конец часовой стрелки за 300
часов, если длина стрелки равна 1,5 см?
Контрольные вопросы и задания
1. Какие приближенные значения числа 7г вы знаете?
2. Как можно вычислить площадь круга радиуса Л?
3. По какой формуле вычисляется площадь круга?
4. По какой формуле вычисляется площадь сектора?
5. Как можно вычислить длину окружности радиуса Ю
6. По какой формуле вычисляется длина окружности?
7. По какой формуле вычисляется длина дуги окружности?
Задачи и упражнения
1. Круг площади 100 см2 разделили на 100 равных секторов,
которые с чередованием цветов покрасили в два цвета — синий и

§ 2. Радиаппое измерение углов
165
красный. Чему равна площадь всех секторов, покрашенных в
красный цвет?
2. В равносторонний треугольник со стороной б см вписан круг.
Чему равна сумма площадей тех частей треугольника, которые
лежат вне этого круга?
3. В квадрате со стороной 10 см описанная и вписанная окружности
ограничивают кольцо. Чему равна площадь этого кольца?
4. Каждая сторона равностороннего треугольника поделена на три
равные части и через все точки деления проведена окружность.
Найдите площадь части треугольника, лежащей внутри этого
круга, если сторона треугольника равна 12 см.
5. На высоте равностороннего треугольника со стороной а как на
диаметре построена окружность. Найдите площадь части
треугольника, лежащей внутри этого круга.
6. На стержень цилиндрической формы с диаметром сечения 8 мм
намотали в один ряд 300 витков тонкой проволоки. Найдите
длину всей намотанной проволоки.
7. Около правильного шестиугольника со стороной 5 см описана
окружность. Найдите длину этой окружности.
8. В правильный шестиугольник со стороной 20 см вписана
окружность. Найдите длину этой окружности.
9. Найдите длину границы сектора радиуса 6 см с углом в 50°.
10. Найдите длину границы кругового сегмента радиуса 12 см с
углом 120°.
§ 2. РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
2.1. До сих пор мы измеряли углы в градусах. При этом за
единицу измерения был выбран угол в один градус, равный щ части
прямого угла. Каждый градус делится на 60 минут, а минута — на 60
секунд. В градусах и минутах задают, например, широту и долготу на
земном шаре. В этом параграфе вы познакомитесь с новой системой
измерения углов — радианной.

166
Глава 6. Периодичность
Изобразим на координатной плоскости
окружность единичного радиуса с
центром в начале координат. Пусть а — угол
с вершиной в начале координат. Радиан-
ной мерой угла а называется длина той
дуги единичной окружности, которая
заключена внутри данного угла (рисунок 9).
Если длина этой дуги равна L выбранным
единицам длины, то говорят, что радиан-
ная мера угла а составляет L радиан
(сокращенно "рад").
В частности, прямому углу отвечает дуга длиной |, поэтому его
радианная мера равна ^ рад. Развернутому углу отвечает дуга
длиной 7г, значит, его радианная мера составляет 7г рад. Полному углу
отвечает вся тригонометрическая окружность, длина которой равна
27Г. Следовательно, полный угол измеряется 2-к радианами. Угол в
1 радиан можно получить, если на тригонометрической окружности
отложить дугу единичной длины.
Заметим, что иногда название радианной меры совсем опускают и
в качестве радианной меры угла пишут просто число.
Вопрос. Чему равна радианная мера угла в 45°?
2.2. Соответствие между градусной и радианной мерами одного
и того же угла мы будем указывать при помощи двойной стрелки.
Например,
360° <-► 2тг (рад).
Установим простое правило перевода градусной меры углов в ра-
дианную. Рассмотрим центральный угол единичной окружности,
градусная мера которого равна а0. По формуле (2) предыдущего
параграфа, этот угол опирается на дугу длиной ^ • п. Следовательно,
«°» m <рад>-
(1)
Так например,
17°<->
17тг
180
: 0,297 (рад),
10^^« 0,017 (рад).

§ 2. Радиалиое измерепие углов
167
Вопрос. Чему равен угол в 30°, выраженный в радианах?
2.3. Установленное соответствие между радианной и градусной
мерами позволяет получить правило перевода радианной меры в
градусную. Пусть х — радианная, а у — градусная мера одного и того же
угла. Как было показано в предыдущем пункте, справедливо
соотношение
УЖ (Рад).
yv<->
180
Отсюда
Таким образом,
Например,
х =
У*
180
или у =
180х
7Г
х (рад) «-» —'— (градусов).
3 (рад) 4+ ^-^ « 171,887°
(2)
Углу в 1 радиан соответствует 12SC, что составляет приблизительно
57°17'45".
Вопрос. Чему равна градусная мера угла величины ^?
2.4. С помощью правил перевода градусной меры в радианную и
наоборот можно составить таблицу для часто встречающихся углов.
У, °
х, (рад)
0
0
15
12
30
6
45
7Г
4
60
7Г
3
75
5тг
12
90
7Г
2
180
7Г
270
Зтг
2
360
2тг
Некоторые из приведенных значений полезно запомнить.
Вопрос. Сколько градусов содержит угол в | радиан?
2.5. С помощью радианной меры удобно записывать формулу для
площади кругового сектора.
Рассмотрим круговой сектор с углом в /? радиан. Угол /3
соответствует углу ^/3 градусов. Так как площадь сектора с углом в а°
вычисляется по формуле S = ^7Г^2> то площадь заданного сектора
равна
s = ™р • JUtf = Ш.
7Г ^ 360 2

168
Глава 6. Периодичность
Вопрос. Чему равна площадь кругового сектора радиуса 1 см с
углом в | радиана?
2.6. С помощью радианной меры получается также удобная
формула для вычисления длины дуги окружности.
Рассмотрим дугу окружности радиуса R, угловая мера которой
равна р радиан. Угол /3 соответствует углу ^/? градусов. Так как длина
дуги с угловой мерой в а вычисляется по формуле L = т^тгЛ, то
длина данной дуги равняется
ь-^е-&*-(>*■
Вопрос. Какой радиус имеет окружность, если ее дуга длиной
0,36 м стягивает центральный угол в 0,9 радиана?
2.7. Формулы (3) и (4) позволяют определить радианную меру не
только для углов, величина которых заключена в интервале от 0° до
360°, но и вообще для любого направленного угла.
Возьмем произвольный направленный угол, величина которого
равна а0. Значение а может быть любым действительным числом.
Радианной мерой такого угла по определению считается число, связанное
с а формулой (3), то есть ^ радиан.
Например, радианная мера угла в 540° составляет Зп радиан, а
радианная мера направленного угла величиной -90° равняется -|.
Вопрос. Какова градусная мера направленного угла в —Ц^
радиан?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется угол в 1 радиан?
2. Чему равна радианная мера угла:
а) в 30°; б) в 45°; в) в 60°; г) в 90°; д) в 180°; е) в 270°?
3. Чему равна длина дуги окружности радиуса Я, которую
стягивает центральный угол в а радиан?
4. По какой формуле вычисляется площадь кругового сектора?
5. Как определяется радианная мера произвольного направленного
угла?

§ 3. Синус, косинус и тангенс числового аргумента
169
Задачи и упражнения
1. Найдите радианную меру угла, выраженного в градусах:
а) 15°; б) 120°; в) 150°; г) 210°; д) 75°; е) 18°; ж) 140°; з) 1020°.
2. Найдите градусную меру угла, выраженного в радианах:
а) |; б) &; в) 1,5; г) 2.
3. Длина минутной стрелки равна 3,5 см. Какой путь проходит
конец этой стрелки за 5 минут?
4. Найдите в радианной мере углы треугольника, если они
относятся, как 2:3:4.
5. Чему равен в градусной и радианной мере угол правильного
пятиугольника?
6. Выразите в радианах и в градусах центральный угол,
опирающийся на дугу, длина которой равна двум радиусам.
7. Найдите площадь сектора круга радиуса Л, если
соответствующий этому сектору центральный угол равен: а) 40°; б) 90°;
в) 300°.
§ 3. СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС числового
АРГУМЕНТА
3.1. Возьмем произвольное число х. Сопоставим этому числу
направленный угол, радианная мера которого равняется х радианам. В
градусной мере такому углу соответствует а = ^^ градусов.
Значение sin а0 принимают соответственно за значение sinx.
Синусом числа х называется синус
направленного угла, соответствующего х
радианам.
Таким образом, по определению sin х =
= sin(lf<>z) .
Функция sin а: определена для любого
действительного числа х. На рисунке 1
изображено значение функции sin а: при
х = 2. Оно равно ординате точки В на

170
Глаза 6. Периодичность
единичной окружности, определяющей дугу АВ длины 2, которая
соответствует центральному углу АОВ в 2 радиана.
Вопрос. Что такое синус единицы?
3.2. Вспомним формулу sin (а° + 360°) = sina°. При измерении
углов в радианах эта формула примет вид sin (х + 27г) = sin х. Отсюда
следует, что функция sin х принимает одинаковые значения в точках
х, х + 2 яг, х — 27г, х + 47Г, х — 47г, и так далее. Поэтому для
построения графика функции sinx достаточно построить часть графика на
отрезке от 0 до 27г.
Один из способов построения графика функции sinx на отрезке
[0, 27г] таков. Разделим отрезок [0, 27г] на 12 равных частей. Центр
единичной окружности выберем в точке ( — 1; 0). Затем разделим
окружность также на 12 равных частей:
ш
Уь
1
1
~7\
Z
^-р 1
\я
° \
рт~
^^ J
2л
У
/*
Ординаты точек на окружности — это синусы соответствующих углов
0, |, |, | и так далее. Отложим эти ординаты от соответствущих
точек отрезка [0, 27г]. Соединяя полученные точки плавной кривой,
получим часть графика функции sinx на отрезке от 0 до 27г (рисунок 2).
Передвигая полученную часть влево и вправо вдоль оси Ох на
расстояния 27г, 47г, б7г, ..., мы сможем построить весь график функции
sinx (рисунок 3).
Функция sinx является одним из примеров периодических
функций.
График функции sin х называется синусоидой.
Вопрос. Как нарисовать график функции у = sin (х 4- |J?

§ 3. Синус, косинус и тангенс числового аргумента
171
3.3. Косинус действительного числа определяется аналогично
тому, как был определен синус.
Косинусом числа х называется косинус направленного угла,
соответствующего х радианам.
Таким образом, по определению cosx = cos (—х] . Тем самым
функция cos х определена для любого действительного числа.
Вспомним формулу cosa° = sin(a° + 90°). При измерении углов в
радианах эта формула примет вид
cos я = sin f | + xj .
Следовательно, значение косинуса в произвольной точке х равно
значению синуса в точке х + ^. Это означает, что график косинуса можно
получить из графика синуса параллельным переносом на расстояние
| влево вдоль оси Ох. Поэтому графиком функции cosx является
синусоида, расположенная так, как изображено на рисунке 4.
И
Функция cosx также является одним из примеров периодических
функций.
Вопрос. В каких точках график функции у = cosx пересекает
ось Ох?

172
Глава 6. Периодичность
3.4. Функцию "тангенс" определяют для таких чисел х, для
которых cos я Ф О, то есть для чисел х ф | -I- 7гп, где п Е Z. Тогда
sinx
tgx = .
cosx
График функции у = tgx имеет примерно такой вид, как на рисунке 5.
Функция tgx является еще одним примером периодической
функции.
Вопрос. Какой знак имеет tg4?
3.5. Функцию котангенс определяют для таких чисел х, для
которых sin х ф О, то есть для чисел х ф 7гп, где п Е Z. Тогда
ctgx =
sinx
График функции у = ctg х имеет такой вид, как на рисунке 6.
Вопрос. Чему равен ctg (--Чр)?
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется синусом числа х?
2. Изобразите график функции sinx.
3. Как называется кривая, являющаяся графиком функции sinx?
4. Что называется косинусом числа х?

§ 4. Основные тригонометрические формулы
173
5. Изобразите график функции cosx.
6. Как определяется тангенс числа х?
7. Для каких чисел х определена функция tgx?
8. Нарисуйте график функции tgx.
9. Как определяется котангенс числа х?
10. Для каких чисел определена функция ctgx?
11. Какой график имеет функция ctgx?
Задачи и упражнения
1. Найдите знаки чисел: cos 2; sin 3,1; cos 3,1; tg 1,5; tg2.
2. Докажите неравенство:
a) 0< tgi < 1; 6) tgl > 1; в) tg2 <-1.
3. Вычислите:
sia| -cos7r + tg|
2sin£-sin3f '
о 2
ч 2sinf-3cos^
(3} « й-*
3sin^ + 2cos|'
в) 3tg|-sin2| + cos2|;
r)2t8i-;gf.
4. Определите знак числа:
a) cos(-^); 6) sin$f; в) cos^; r) tg(-f); д) ctg&l.
§4. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
4.1. В курсе математики девятого класса изучались некоторые
тригонометрические формулы направленного угла. В этом параграфе
мы рассмотрим аналогичные формулы для числовых значений
аргумента.

174
Глава 6. Периодичность
Синус и косинус числа х связаны тождеством
sin2x + cos2x = 1. (1)
С помощью этого тождества по значению одной из
тригонометрических функций числа х можно вычислить значения остальных.
Пример 1. Найти площадь треуголь-
ника ABC со сторонами АВ = \/2Т, ВС =
= у/22, АС = n/23 (см).
Решение. Обозначим LABC = а
(рисунок 1). По теореме косинусов АС2 =
= АВ2 + ВС2 - 2АВ - ВС cos а или 23 =
= 21 + 22 - 2 л/21 х >/22cosa. Отсюда
Ю • 2 1 2
cos a = -7=—т=> sin a = 1 - cos a =
\/2Г\/22
100 362
= 1-
21 -22 21 22
Так как 0 < a < 7г, то sin a = ^2^7^22' Следовательно,
SABC = \АВ ■ ВС sin а == 1^1 • %/22 • -^= = ^ (см2).
Пример 2. Вычислим tg х, если известно, что £<x<7THsinx = i
Решение. Так как cos я < 0, то из тождества (1) получаем
cosx = -Yl - sin2a = -v/l - ^ = -^p.
Следовательно,
6 cosx 3 ' \ 3 / 2%/i
2n/2*
Приведем другие формулы для тригонометрических функций
числа х:
l + tg2x = -V, (2)
COS2X
sin(—х) = -sinx, (3)
cos(—x) = cosx, (4)
tg(-x) = -tgx. (5)

§ 4. Основные тригонометрические формулы
175
Вопрос. Чему равен sin х, если известно, что 0<x<|ntgx = 3?
4.2. Формулы сложения для тригонометрических функций имеют
вид:
cos(x + у) — cos х • cos у - sin х • sin у, (6)
sin(x + у) = sin х • cos у + cos x • sin y, (7)
tg(* + y)= tg* + tgy. (8)
С помощью этих формул можно вычислять значения
тригонометрических функций для суммы чисел.
Пример 3. Известны стороны АВ =
= 5, ВС = 6, CD = 7, AD = 8 и диагональ
АС = 9 четырехугольника ABCD. Найти
диагональ BD.
Решение. Обозначим /.ВАС — а,
LCAD = /? (рисунок 2). Из
треугольника ABC по теореме косинусов находим
ВС2 = АВ2 + ЛС2 - 2ЛВ • ЛСсоза, 36 =
= 25 + 81 - 90 х cos а. Отсюда cos а = |,
sin а = *~. Аналогично, из треугольника
ACD имеем CD2 = AD2 + AC2 - 2 • AD x ylCcos/?, 49 = 64 + 81-
-144 • cos/?. Поэтому cos/? = |, sin/3 = ^. Таким образом,
3,W"4A" 3
cos LB AD = cos(a 4- /?) = cosa • cos/? - sina • sin/? =
= 1Л-М.& = H-Vio, ВЯ2 = ЛЯ2+ЛЯ2-2ЛВ>Шсо8/ВЛД =
OK , -, Qn 14 - 4>/l0 1283 + 320%/T0
= 25 + 64-80-—^— = - •
Следовательно, BD = J1283 ^20v10, что и требовалось найти.
Заменяя в формулах (6), (7), (8) число у на число —у и используя
формулы (3) и (4), получим формулы, по которым можно вычислять
значения тригонометрических функций для разности аргументов:
cos(x - у) = cos х • cos у + sin х • sin у, (9)
sin(x - у) = sinx • cosy - cosx • sin у, (10)

176
Глава 6. Периодичность
tg(x - у) - ££^gL. (11)
1 + tg z tg у
Вопрос. Как из формул (6) и (7) вывести формулу (8)?
4.3. Из формул сложения легко получать формулы приведения,
выражающие тригонометрические функции аргументов | ± х, 7г ± х,
^iiH аналогичных им через тригонометрические функции
аргумента х. Например,
cos (3? — х J = cos Щ-• cosх + sin ^• sinx = 0-cosx + ( —l)sinx = — sinx.
Особо выделим следующие две формулы приведения:
cos (| - xj = sinx, (12)
sin (| - xj = cosx, (13)
Напомним также важные формулы:
cos(x + 2яг) = cos х, (14)
sin(x 4- 27г) = sinx, (15)
tg(x + 7r) = tga;. (16)
Вопрос. Для каких значений х верна формула (16)?
Контрольные вопросы и задания
1. Докажите тождество sin2 х + cos2 х = 1.
2. Докажите формулу cos(x + у) = cos х • cos у - sin х • sin у.
3. Для каких числовых значений х верна формула tg2 х +1 = °
4. Докажите тождество cos (|+xj = — sinx.
COS2 x

§ 5. Формулы двойного и половинного аргумента
177
Задачи и упражнения
1. Упростите выражение:
а)
cos(x - 7Г) ctg (х + ^) sin(47r - х)
sin(37r + j)ctg(^-x)
mil i
б)
sin (?т - х) tg(7r - х) - ctg(x - 7r)sin(x - 2тг)
cos(x + 7г) cos(x — 7r) + sin(7r + x) sin(27r - x)
2. Докажите формулу:
а) sin (I + xj = cos (| - xj; 6) sin f| - xj = cos (| + xj;
B)tg(f-x).tg(|-fx) = l;
r) cos x - (1 — tg я)(sin x + cos x) = cos4 x — sin4 x;
д) 2 sin2 x - cos2 x(tg2 x + ctg2 x) + (tg x - ctg x)2 = tg2 x - 1.
3. Известно, что sinx = —|и—|<x<0. Найдите cosx.
4. Известно, что tgx = -| и | < х < 7г. Найдите sinx.
5. Вычислите:
ctg (х - |) [sin (х - Ц) - sin(7r - х))
' tg(7r + x)[cos(x + 27r) + sin(x-27r)] '
б) * _ (l"tg2x)2
sin2 т. ■ cos2 х tg2 х
§ 5. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО И половинного
АРГУМЕНТА
5.1. Из формул сложения (6), (7) и (8) предыдущего параграфа
при х = у получаются формулы двойного аргумента:
cos 2х = cos2 х - sin2 х, (1)
sin 2х = 2 sin х • cos х, (2)
Пример 1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием
АС = 10 радиус вписанной окружности равен 3. Найдем боковые
стороны треугольника.

178
Глава. 6. Периодичность
Решение. Пусть О — центр
вписанной окружности. Тогда точка О лежит на
высоте ВН треугольника ABC и на
биссектрисе угла С (рисунок 1). Обозначим
а = LOCH. Тогда LBCH = 2а. Из
прямоугольного треугольника ОСИ
получаем ОС = V52 + 32 = л/34, sina = Щ =
= -^. Далее,
cos LBCH = cos 2a = cos2 a — sin2 a = 1 - 2 sin2 a = 1 — ^ = %.
34 17
Отсюда
ВС = CH = 5 • A = ЬЛ = &
DK" cos LBCH Q*17 8 8'
Вопрос. Для каких числовых значений х верна формула (3)?
5.2. Из формулы (1) также следует, что
cos2x = 1 - 2sin2x, cos2# = 2cos2x - 1. (4)
Заменяя переменную х на |, будем иметь:
sin2f = ^p, (5)
cos2f = l±c^x (б)
Эти формулы можно использовать для вычисления значений
тригонометрических функций половинного аргумента.
Пример 2. Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник
ABC со сторонами АВ = 5, ВС = 6, АС = 7.
Решение. Пусть О — центр вписанной окружности, ОМ, ON и
ОК — радиусы, проведенные в точки ее касания со сторонами
треугольника. Из условий AM = АК, ВМ = BN, CN = С К получаем,
что СК = \{АС + ВС - АВ) = 4. Положим /ЛОВ = а (рисунок 2).
По теореме косинусов АВ2 = АС2 4- ВС2 - 2АС • ВС cos а или 25 =
= 49 4- 36 — 2 • 7 • 6 • cosa. Отсюда cosa = 5

§ 5. Формулы двойного и половинного Аргумента
179
Поэтому cos ЮС К = cos | = Jl + ™sa =
= 0? = /f'sin L0CK = {v ** z0C* =
= \. Значит, Otf = КС ^ LOCK =
= 4 =2^б
7б 3 '
Пример 3. Вычислим sin |, не
пользуясь таблицами.
2 1 - cos j
Решение. Имеем sin | = —=- =
0<§<§, то§т£ = ^Д
Вопрос. Как вычислить cos ^?
Контрольные вопросы и задания
1. Докажите формулы для косинуса и синуса двойного угла.
2. Докажите формулу для тангенса двойного угла.
3. Как вычислять синус и косинус половинного угла?
Задачи и упражнения
1. Докажите равенство:
ч sinхcosх i. n *\ l-tg2x Л
a) ;—с • 2 = ^g2x; 6) %- = cos2x;
' 1 -2sin2x 2 ь ' ' i + tg2x '
в) cos4 x — 6 cos2 x • sin2 x + sin4 x = cos 4x;
^ tg V4 + x) — 1 -f-sin2x> v 1 -cosx + cos2x _
Г' tg (- - x) ~ l-sin2x' Д' sin2x-sinx ° 6 X'
\ 2 /4 r\ 1/ч . • \ \ cosx cosx-sinx
e) cos2 £ - f = Ш + sin x); ж) —- = :—;
' \4 2/ 2V " ' l + sin2x cosx + sinx
з) tg I + 2 sin21 • ctg x = sin x.
2. Докажите равенство \Л 4- sin 2x = | sin x + cos x|. Приведите
пример, который показывает, что знак модуля в правой части
опустить нельзя.
3. Синусы двух острых углов треугольника равны соответственно
^г и |. Найдите косинус третьего угла.

180
Глава 6. Периодичность
4. Вычислите без помощи таблиц и калькулятора:
a) tg^
; б) sin ^ • cos JL
12' ' 12 12*
Выразите sin3x и cos За; через sin а: и cosx.
§ 6. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
6.1. Рассмотрим тригонометрическое уравнение
cos а:
2
(1)
Один из корней этого уравнения можно указать сразу по таблице
значений косинуса основных углов. Действительно, cos ~ = ^, а поэтому
число xq = ^ является одним из корней уравнения (1).
Зная один из корней уравнения (1),
можно найти все его корни.
Для этого сначала вспомним
определение косинуса числа £ Изобразим на
рисунке 1 единичную окружность с центром
в начале координат, и построим
направленный угол АОВ величины | радиан.
Абсцисса точки В пересечения
ш
конечной стороны угла АОВ с окружностью равна cos |. Если через
точку В перпендикулярно оси Ох провести прямую га, то прямая га
пересечет ось Ох в точке К с абсциссой -^.
Теперь заметим, что прямая га содержит все точки координатной

§ 6. Простейшие тригонометрические уравнения
181
плоскости, абсциссы которых равны ^. Поэтому, используя общие
точки В и С прямой m и окружности, можно указать величины всех
углов, косинусы которых равны ^.
Точка В соответствует следующим
направленным углам: | (рис. 2), | 4- 2тт
(рис. 3), | + 4тг (рис. 4), | - 2тг (рис. 5)
и вообще любому углу величины | + 27гт,
где m — целое число.
Точка С соответствует следующим
направленным углам: — | (рис. 6), — | 4- 2-к
(рис. 7), ~|+4тг (рис. 8), -|-2тг (рис. 9) и
вообще любому углу величины -| + 27гА;,
где к — целое число.
Таким образом, уравнение (1) имеет
бесконечное множество корней. Все эти
корни можно записать в следующем виде:
х = 2L + 2л"т, х = — | -|- 27г£, где т и к —
произвольные целые числа. Для
краткости эти две записи часто объединяют в
одну: х = ±| + 27гп, п € Z. Аналогично
решаются и некоторые другие уравнения.
Например, зная, что cos Щ = ' 4 К
все корни уравнения cosx = 4 ~ '
можно записать в виде: х = ±Щ + 27гп,
12
Вопрос. Какие корни имеет уравнение cos а: = —
2 '

182
Глава 6. Периодичность
6.2. Рассмотрим тригонометрическое уравнение
smx
= _^
ш
Т- (2)
По таблице значений тригонометрических функций можем найти, что
число хо = — f является одним из корней уравнения (2).
Для отыскания всех корней этого
уравнения изобразим тригонометрическую
окружность и построим направленный угол
АОВ величиной —£ радиан (рисунок 10).
Затем через точку В проведем прямую п
перпендикулярно оси Оу, которая
пересекает ось Оу в точке L с ординатой — Ц^-.
Прямая п содержит все точки
координатной плоскости, ординаты которых равны
— 2 * Используя этот факт нетрудно
найти величины всех направленных углов,
синусы которых равны — *£.
Один из направленных углов, соответствующих точке В, был
найден в начале этого пункта. Он равен — |. Все углы, которым
соответствует точка Б, имеют вид — f + 27гт, где m — произвольное целое
число.
Один из направленных углов, соответствующих точке С, равен — ~
(рисунок 11). Величины углов, которым соответствует точка С, имеют
вид — '& + 2тг/г, где к — произвольное целое число.
Таким образом, уравнение (2) имеет бесконечное множество
корней, которые можно записать в следующем виде: х = — ^ + 27гт,
произвольные целые числа.
х = —22. 4- 27Г&, где так
Вопрос
6.3. Рассмотрим тригонометрическое уравнение
Какие корни имеет уравнение sin х — ^?
tgx
73-
О)
По таблице значений тригонометрических функций можем найти, что
число хо = | является одним из корней уравнения (3).

§ 6. Простейшие тригонометрические уравнения
183
Для получения всех корней этого уравнения изобразим
тригонометрическую окружность, ось тангенсов и построим направленный угол
ЛОВ величиной | радиан (рисунок 12). Затем через точки О и В
проведем прямую /, которая пересекает ось тангенсов в точке N с
ординатой
Точки В и С пересечения прямой I с окружностью
7з* 1
соответствуют направленным углам, тангенсы которых равны -Л?.
Один из направленных углов, соответствующих точке £?, был
найден в начале этого пункта и равен ^. Все углы, которым соответствует
точка В, имеют величины |+27гт, где т -
произвольное целое число.
Один из направленных углов, соответствующих точке С, равен | +
+ л*. Все углы, которым соответствует точка С, имеют величины
(| + 7г) 4- 27гп, где п — произвольное целое число.
Таким образом, уравнение (3) имеет бесконечное множество
корней, величины которых можно записать в виде: х — | + 27гга, х =
= 2? + 27Г71, где тип произвольные целые числа. Для краткости
эти две записи часто объединяют в одну: х = | + 7гА:, к 6 Z.
Вопрос. Какие корни имеет уравнение tgx = --7-?
6.4. Рассмотрим уравнение
ctgx = --!-.
(4)
Числа вида х = 7гп, х = ^ + тгп, где п € Z, не являются корнями
этого уравнения. Поэтому с помощью формулы ctga; = г^- уравнение
(4) можно заменить на равносильное уравнение т-^- = - Д- или tgx =
= — >/3. Одним из корней последнего уравнения является число — £

184
Глава 6. Периодичность
Поэтому аналогично рассмотренному в предыдущем пункте найдем
все корни: х — —^ 4- 7гп, п £ Z.
Вопрос. Как решить уравнение ctgx = О?
6.5. Рассмотрим уравнение вида
cosx = а
(5)
при различных значениях а. Для наглядного представления корней
такого уравнения изобразим тригонометрическую окружность,
отметим на оси Ох точку с абсциссой а и проведем через эту точку прямую
га перпендикулярно оси Ох. Точкам пересечения прямой m с
окружностью соответствуют все направленные углы, косинус которых равен
а. В зависимости от значения а возможны несколько случаев.
Первый случай. Пусть \а\ > 1. Тогда прямая m не
пересекает тригонометрическую окружность (рисунок 13), а поэтому уравне-
ни сш ' m
ние (5) корней не имеет. Например,
множество корней уравнения cosx = 1 ^2
пусто, так как 1 "у 5 > 1.
Второй случай. Пусть а = 1.
Тогда прямая т пересекает окружность в
единственной точке Л(1; 0) (рисунок 14).
Все направленные углы, которые
соответствуют точке А, можно записать в виде
х = 27Г&, где к — любое целое число.
Третий случай. Пусть а = — 1. Тогда прямая т также пересекает
окружность в единственной точке В(—1; 0) (рисунок 15). Все
направленные угды, которые соответствуют точке В, можно записать в виде
А
V
Ч
С1
О
-—
т
\
)
^у

§ 6. Простейшие тригонометрические уравнения
185
х = п + 2тгтп, где m — любое целое число.
Четвертый случай. Пусть \а\ < 1, например, а = — А. Тогда
прямая т пересекает окружность в двух различных точках В и С
(рисунок 16). Если известен один из корней уравнения cos я = -|, то все
остальные корни можно найти точно так же, как это сделано в пункте
1.1.
Вопрос. Число ~ является корнем уравнения cosx = v 5 ~ 1.
Каково множество всех корней этого уравнения?
6.6. Подобно тому, как понятие квадратного корня и обозначение
v6 вводятся для записи одного из корней уравнения х2 = 6, для записи
одного из корней уравнения cos х = а также вводятся новое понятие и
соответствующее обозначение.
При \а\ < 1 арккосинусом числа а называется такое число <р из про-
межутка [0; п], для которого cos ip = a.
ш
Ж1
\ \о Г*
m
Арккосинус числа а записывается в виде arccos о. Для изображения
arccos а нужно рассмотреть дугу тригонометрической окружности,
лежащую в полуплоскости с неотрицательными ординатами (рисунок
17). Отметив на оси Ох точку с абсциссой а и проведя через нее
прямую 7п перпендикулярно оси Ох, в пересечении с отмеченной дугой
окружности получим точку D. Величина наименьшего
неотрицательного направленного угла в радианах, который соответствует точке D,
это и есть arccos а (рисунок 18).
С использованием арккосинуса при \а\ < 1 общая формула корней
уравнения cos х = а может быть записана в виде:
х = ± arccos а + 27гп, n G Z.

186
Гллвл 6. Периодичность
Например, множество корней уравнения cosx = — ± выражается
формулой х = ± arccos (—^) + 27гп, п € Z.
Приведем таблицу значений arccosa для некоторых значений а.
а
arccos а
1
0
2
7Г
6
2
7Г
4
1
2
7Г
3
0
7Г
2
1
2
2тг
3
-Л
2
Зтг
4
_^1
2
5тг
6
-1
7Г
Вопрос. Чему равен arccos ( —^9)?
6.7. Для записи одного из корней уравнения sinx = а также
вводится новое понятие и соответствующее обозначение.
При \а\ < 1 арксинусом числа а называется число у? из промежутка
["" 2» fJ' ЛУ7/? котоРого siny? = а.
Арксинус числа а записывается в виде arcsin а. Для изображения
угла arcsin а рассмотрим дугу тригонометрической окружности,
лежащую в полуплоскости с неотрицательными абсциссами (рисунок 19).
Отметив на оси Оу точку с ординатой а и проведя через нее прямую п
перпендикулярно оси, в пересечении с указанной дугой получим точку
В. Величина наименьшего по модулю направленного угла в радианах,
который соответствует точке В, это и есть arcsin а (рисунок 20).
Г191 [Ж]
1
п ч^_
hv
J
-^В
•
1
V
С использованием арксинуса при \а\ < 1 корни уравнения sin х = а
можно записать в виде следующих двух серий чисел:
х = arcsin а + 2ък, к Е Z,
х = 7г — arcsin о + 27rm, га £ Z.

§ 6. Простейшие тригонометрические уравнения
187
Например, для уравнения sinx = | по общим формулам можно
сразу записать ответ: х = arcsin | 4- 2пк, х = 7г — arcsin £ + 27гт,
А;,т € Z.
В следующей таблице приведены значения arcsin а для некоторых
значений а.
а
arcsin а
1
7Г
2
^1
2
7Г
3
2
7Г
4
1
2
7Г
6
0
0
1
2
7Г
6
2
4
2
3
-1
7Г
3
Вопрос. Как показать, что при о = 1и при а = — 1 общие
формулы корней уравнения sin х = а приводят к верному ответу?
л л** Т->
6.8. В справочниках по математике можно встретить
следующую формулу для всех корней уравнения sinx = а при \a\ < 1:
х = (-l)k arcsin a + 7гк, к € Z.
Вопрос. Как доказать эту формулу?
6.9. Для записи одного из корней уравнения tgx = а также
вводится новое понятие и соответствующее обозначение.
Для любого действительного числа а арктангенсом числа а
называется величина в радианах такого угла у> из промежутка ( — |, |), что
tgip = а.
Арктангенс числа а записывается в виде arctg а.
С помощью арктангенса корни уравнения tgx = а при любом
значении а можно находить по формуле:
х = arctg a -f nn, n £ Z.
В следующей таблице приведены значения arctg а для некоторых
значений а.
а
arctg а
~^7з"
_7Г
-1
7Г
4
1
7з
7Г
fi
0
0
-"1
7з
1Г
1
7Г
4
Л"
7Г
_3_J
Вопрос. Как решить уравнение tga = 4?

188
Глава 6. Периодичность
6.10. Решение уравнения ctgx = а при а ф 0 легко сводится к
решению уравнения вида tgx = 6. Действительно, так как а ф 0, то
исходное уравнение равносильно уравнению tgx = -.
Пример 1. Решить уравнение ctgx = —y/Z.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению tgx = ~-у=-
По формуле из пункта 6.8 имеем:
х = arctg(—i-) + 7гп, п Е Z.
Так как arctg(-4-) = - arctg 4- = — |, то х = -| 4- 7гп, n G Z.
Вопрюс. Как решить уравнение ctg2x = 1?
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое радианная мера направленного угла?
2. Как определяется косинус числа?
3. Как решить уравнение вида cos х = а, зная один из его корней?
4. Как определяется синус числа?
5. Как решить уравнение вида sinx = а, зная один из его корней?
6. Как определяется тангенс числа?
7. Как решить уравнение вида tg х = а, зная один из его корней?
8. Как решить уравнение вида ctgx = а, зная один из его корней?
9. Что называется арккосинусом числа а?
10. По какой формуле можно находить корни уравнения cos х = о?
11. Какие решения имеет уравнение cosx = О?
12. Что называется арксинусом числа а?
13. По каким формулам можно находить корни уравнения sin х = о
при \а\ < 1?
14. Какие решения имеет уравнение sin х = О?
15. Что называется арктангенсом числа а?
16. По какой формуле можно находить корни уравнения tgx = а?

§ 6. Простейшие тригонометрические уравнения
189
Задачи и упражнения
1. Решите уравнение:
a)coss = ±; 6) coss = ^(ч/5-Ц). в) cosx = _^;
г) cosx = ' Г s д) cosx = ^; е) coss = 1;
ж) coss = 0.
2. Решите уравнение:
a)sins = -j; б) sins = -^(^* + 1). в) sins = ^;
г) sins = ^ ' ~ * '; д) sins = ^~\ е) sins = 1;
ж) sins = 0; з) sins = — 1.
3. Решите уравнение:
a) tgs = 1; б) tgs = \/3; в) tgx = -\/3;
r)tgs = 2-\/3; д) tgs = = -2- >/3; e)tgs = \/3-2;
ж) tgs = 0.
4. Решите уравнение:
a) sin 3s = 0; б) cos 2s = -^; в) tg2s = —^-;
r)sin| = ^; a)cos| =^ + v^). e)tg| = l;
ж) sin 2s = 1; з) cos3s = 0; и) tg5s = 0.
5. Решите уравнение:
a) cos(3s + f) = ^; 6) cos(2x - |) = ^;
в) cos(| -f Ц-) = -i; r) cos(0, Is - f) + 1 = 0;
д) sin(2s + \) = -& e) sin(3s - |) = I;
ж) sin(| - 3f) = ^; з) 2sin(0,ls + *) 4-1 = 0;
K)tgs(3x- -|) = -1; к) tg(±s + §) = 2-N/3;
л) tg(2s - f) + ^ = 0; m) tg(0,ls + 0,3тг) = уД.
6. Вычислите:
a) arccosi arccos(-^); 6) arcsini, arcsin(—^);
в) arctgX,arctg(-l).
7. С помощью таблиц или калькулятора найдите:
a) arcsin 0,3010; б) arccos 0,9440; в) arctg3.

190
Глава 6. Периодичность
8. Решите уравнения:
a) cosx = -|; б) cosx = ^2\~ 1; в) cosx = 0,43;
г) sinx = ^; д) sinx = \/2 — 1; е) sinx = -ОД;
>K)tga;=-5; з) tgx = 2\/2; и) tgx = 2,3.
9. Решите уравнение:
a) 2cosx +%/3 = 0;
в) \/3tgx- 1 =0;
д) sin(x + Эж) = 0;
ж) л/2вт(х + |) + 1
и) ctg(| + x)-4 = 0
10. Докажите тождество
arccos(—х) = 7г — arccosx при всех х Е [—1, 1].
11. Вычислите:
a) arcsin ^ + arccos(^); б) arctg \/3 + arctg 1.
§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,
СВОДЯЩИЕСЯ К ПРОСТЕЙШИМ
7.1. Тригонометрическим уравнением обычно называют
уравнение, содержащее тригонометрические функции от неизвестной
величины. Каждое значение, при подстановке которого вместо
неизвестной получается верное равенство, называется решением или корнем
тригонометрического уравнения.
Решить тригонометрическое уравнение значит найти все его
решения или доказать, что уравнение корней не имеет. Если
решениями тригонометрического уравнения являются все числа из некоторого
множества Е, то это уравнение называется тождеством на
множестве Е.
Вопрос. Может ли множество решений тригонометрического
уравнения быть пустым?
7.2. В этом параграфе мы рассмотрим тригонометрические
уравнения, которые тем или иным способом сводятся к простейшим.
Одним из таких способов является приведение к общему аргументу.
Поясним этот способ на следующем примере.
б) 2 sin х + л/2 = 0;
г) v^ctgx- 1 =0;
е) cos 2х = 0;
= 0; з) tg(f-x) + l=0;

§ 7. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим 191
Пример 1. Решить уравнение sin 2х = 2 sin2 х.
Решение. Заменим sin2x на 2 sinx • cosx. Получим уравнение,
содержащее тригонометрические функции лишь одного аргумента х:
sinx(cos х — sinx) = 0. Решение этого уравнения сводится к решению
двух уравнений: sin х = 0 и cos х - sin х = 0.
Первое уравнение sin х = 0 дает серию корней xi = 7га, n Е Z.
Левую часть второго уравнения cos х - sin х = 0 преобразуем следующим
образом:
cosx - sinx = v^2(cosx-sin2£ + sinx . cos^L) = \/2sin(x 4- ^).
Следовательно, второе уравнение сводится к sin(x + $£) = 0. Отсюда
получаем вторую серию решений x<i = — 2£ + 7га, п 6 Z. Поскольку
~^4 = f ~~ 7Г' т0 ЭТУ сеРию решений можно записать также в виде
| 4- 7га, n € Z.
Ответ: 7гп; ^ 4- 7гп (n Е Z).
Вопрос. Каким еще способом можно решить уравнение cos х —
- sin х = 0?
7.3. Другим способом сведения тригонометрических уравнений к
простейшим является приведение к одной функции. Поясним его на
следующих примерах.
Пример 2. Решить уравнение cos 2х = sin х.
Решение. Заменим cos2х на 1 — 2sin2 х. Получим 2sin2 х4-sinх — 1 =
= 0. Это уравнение содержит только функцию sin х.
Полагая sin х = t, придем к квадратному уравнению t2 4- ^t — ^ = 0,
решая которое получаем корни — 1 и L
Таким образом, равенство 2 sin2 4- sin х— 1 =0 возможно лишь тогда,
когда sinx = —1 или sinx = —i
Если sinx = —1, то xi = -| 4- 27га, п Е Z. Если же sinx = ^,
то х2 = arcsin ^ 4- 2тгп = | 4- 27гп, п £ Z; Хз = тт - arcsin ^ 4- 27гп =
= 7г-|4-2тга=^4- 2тга, п Е Z.
Ответ: -| 4- 2тга, | + 2тгп, & 4- 2тгтг, (га € Z).
Пример 3. Решить уравнение 5 sin2 х 4- 3 sin 2х — 3 cos2 х = 4.
Решение. Перепишем уравнение в виде 5sin2x 4- 6sinx • cosx —
- 3 cos2 x = 4(sin2 x 4-cos2 x). Отсюда sin2 x 4- 6sin x • cosx - 7cos2 x = 0.

192
Глава 6. Периодичность
Понятно, что cosx Ф 0. Разделив обе части полученного уравнения
на cos я, будем иметь tg2x + 6tgx — 7 = 0. Это уравнение содержит
только функцию tgX.
Пусть tgx = £. Тогда £2+6*-7 = 0, откуда t= -3±\/9 + 7 = -3±4.
Следовательно, корнями являются числа —7 и 1.
Остается решить простейшие тригонометрические уравнения tg х =
= 1 и tgx = —7. Решениями первого из них является серия х\ = jH-7rn,
п £ Z; решениями второго — серия Х2 = arctg( —7) + 7гп, п £ Z.
Вопрос. Почему в примере 2 при делении обеих частей уравнения
на cosx не происходит потери корней?
Контрольные вопросы и задания
1. Какое уравнение называется тригонометрическим?
2, Какие способы сведения тригонометрических уравнений к
простейшим вы знаете?
Задачи и упражнения
1. Решите уравнение:
a) 2sin^|-i-hl =0; б) 2sin2 2х - sin4х = 0;
в) cos 2х - cos х = 0: г) sin 2х - cos х = 0;
д) 4 cos2 х + sin х = 1; е) 3 sin2 х — 4 sin х • cos х + 3 cos2 х = 1;
ж) cos4x -sin4x = 1; з) 2cos2x = 7sinx.
§ 8. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
8.1. Важнейшей особенностью тригонометрических функций
является их периодичность. Рассмотрим сначала функции,
определенные на всей числовой оси. К ним относятся, например, sinx, cosx,
sin(3x — 1), cos7rx, sin(2,lx) — cos(l,2x).
Функция f{x), определенная на всей числовой оси, называется
периодической, если существует такое число Т ф 0, что для всех значений
х выполняется равенство
f(x + T) = f(x).
(1)

§ 8. Периодические функции
193
Число Т с этими свойствами называется периодом функции /(х).
Заменяя х в равенстве (1) на х - Т, получим также равенство
Лт-Т) = /(х) (2)
для всех значений х.
Таким образом, если Т — период функции /(х), то число (—Т)
— тоже период. Поэтому рассматривают как положительные, так и
отрицательные периоды.
Пример 1. Функция f(x) = 1 определена на всей числовой оси.
Возьмем, например, число Т = 2. Так как при любом значении
аргумента функция f(x) принимает значение 1, то для всех значений х
выполняется равенство
/(х + 2) = /(х),
Аналогично, если вместо Т — 2 взять любое другое число Т Ф О, то
для всех значений х будем иметь равенство
f(x + Т) = 1 = /(*).
Следовательно, функция f(x) = 1 является периодической, и каждое
число Т Ф 0 является периодом этой функции.
Вопрос. Как доказать, что функция f(x) = х + 1 не является
периодической?
8.2. Пример функции f(x) = 1, показывает, что не всякая
периодическая функция имеет наименьший положительный период.
В том случае, когда периодическая функция имеет наименьший
положительный период, то такой период называется основным периодом.
Для тригонометрических функций верна следующая теорема.
Теорема. Функции sin х и cos х обладают основным периодом, равным
2тг.
Доказательство. Подробно рассмотрим функцию sinx. Функция
sin х определена на всей числовой оси. Как уже отмечалось, для всех
значений х выполняется равенство:
sin(27r + х) = sinx.

194
Глава 6. Периодичность
Поэтому остается доказать, что положительное число, меньшее 2л", не
может быть периодом для sin х.
Пусть Т — положительный период синуса. Тогда sin (я + Т) = sin х
при любом х. При х = т£ это равенство имеет вид
sin(|-f т) =sin| = 1.
Но sin (| 4- Т] = cos Г. Следовательно,
cosT= 1.
При положительном Т это равенство выполняется лишь для Т = 2 л-,
Т = 2-27Г, Т = 3-27Г и так далее. Наименьшим из таких чисел является
число Т = 2я\ Поэтому основной период функции sin я, определенной
на всей числовой оси, равен 2л\
Вопрос. Как доказать, что основной период функции cos х,
определенной на всей числовой оси, равен 2л-?
8.3. По основным периодам функций sin х и cos я можно находить
основные периоды некоторых других функций.
Пример 2. Найти основной период функции sin2:r.
Пусть Т — период функции sin2x. Тогда при подстановке вместо х
числа х + Т значение функции должно сохраняться. Следовательно,
sin2(x + T) = sin2x.
Отсюда sin(2:r -I- 2Т) = sin2x. Полагая 2х = z, получим,
sin(z + 2Т) = sin z
для всех z. Но наименьший положительный период синуса равен 2я\
Поэтому из равенства 2Т = 2л- получим наименьший положительный
период Т = 7г функции sin2x.
Вопрос. Какой основной период имеет функция /(х) = sin х + 1?

§ 8. Периодические функции
195
8.4. Функция tg х определена лишь для чисел х Ф % + тгп (п 6 Z).
Поэтому тождество
tg(x + 7r) = tg*
верно только для всех значений х из области определения функции
tgx.
Приведенный пример показывает, что общее определение
периодической функции должно учитывать ее область определения.
Функция f(x) с областью определения D называется периодической,
если существует такое число Т Ф О, что для всякого числа х из D
числа х + Т и х — Т также принадлежат области D и выполняется
равенство
/(* +Г) = /(*).
Число Т в этом определении называется периодом функции /(х).
Заменяя в предыдущем равенстве х на х - Т, получим также
f(x - Г) = f(x).
Поэтому если функция f(x) имеет период Т, то число (-Т) также
является периодом этой функции.
Вопрос. Может ли быть периодической функция с областью
определения
D = (-oo;0)U(0;+oo)?
8.5. Как и в случае всюду определенной функции, в других
случаях наименьший положительный период функции, если он существует,
называется основным периодом.
Теорема. Функция tgrr обладает основным периодом, равным тт.
Доказательство. Область определения D функции tg х состоит из
чисел, отличных от чисел вида | -Н 7гп (n G Z). Поэтому если число х
принадлежит этой области, то числа х + ж и х - 7г тоже принадлежат
области D и выполняется равенство
tg(:r + 7r) = tgx.
Таким образом, число 7г есть период для tgx.

196
Глада 6. Периодичность
Пусть Т — произвольный положительный период тангенса. Тогда
для всех чисел х из области D
tg(* + T) = tgz.
Поскольку число 0 принадлежит области Д то, полагая х = О,
получим равенство
tgT = tgO = 0.
Но ДЛЯ Т > О ЭТО ВОЗМОЖНО ЛИШЬ При Т = 7Г, Т = 27Г, Т = 37Г и
так далее. Наименьшим из таких чисел является Т = тг. Поэтому
основной период функции tgx равен 7г.
Вопрос. Чему равен основной период функции tg2 х?
8.6. Пусть функция f(x) обладает основным периодом Т > 0.
Тогда достаточно построить ее график на отрезке от 0 до Т, чтобы после
этого можно было представить весь график.
Благодаря тождествам f(x + Т) = f(x) и f(x - Т) = /(х), точки
графика, абсциссы которых отличаются на число, кратное Т, имеют
одинаковые ординаты. Поэтому весь график функции можно
получить, передвигая построенную на отрезке [0,Т] часть графика влево
и вправо вдоль оси Ох на расстояние Т, 2Т, ЗТ и так далее.
Напомним, что указанное свойство уже использовалось при
построении графика функции sin х и других основных тригонометрических
функций.
Вопрос. На рисунке 1 изображена
часть графика функции у = = cos 2х. Как
изобразить весь график этой функции?
8.7. Установив, что некоторая
функция f(x) является периодической, далее
♦ при построении графика этой функции
можно поступать следующим образом:
1) выбираем на числовой прямой
отрезок, длина которого равна периоду
функции (не обязательно основному периоду);
2) на этом отрезке выделяем точки,
входящие в область определения;

§ 8. Периодические функции
197
3) на получившемся множестве с использованием известных
приемов и с учетом найденных особенностей строим часть графика;
4) передвигая построенную часть графика влево и вправо вдоль оси
Ох на расстояния, кратные периоду, изображаем весь график.
Пример 3. Построить график функции f(x) = у/ШГх.
Решение. Функция определена на множестве D таких значений х,
для которых sin а: > 0. Заметим, что если xq € £>, то тогда sinxo > 0,
sin(xo + 27г) = sin^o > 0, sin(x0 - 27г) = sinxo > 0. Следовательно,
Т = 27Г является периодом данной функции.
Выберем отрезок [—7г; 7г] числовой прямой длиной 2ж.
Для —7г < х < 7г значение sin а: отрицательно, а поэтому f(x)
не определена. Оставшиеся значения х из отрезка [—7г; 7г] входят в
область определения функции f(x).
Далее, так как на отрезке 0; | функция sinx возрастает, то f(x)
на этом отрезке также возрастает; на отрезке 15; 7г| функция sin х
убывает, а поэтому функция f(x) убывает на отрезке |; 7г .
С помощью вычислительных средств составим таблицу значений:
X 1 —7Г
\/sinx | 0
0
0
7Г
я
0,62
7Г
4
0,84
Зтг
я
0,96
7Г
2
1
■БЕ
я
0,96
Зтг
4
0,84
я
0,62
7Г
0
®
1<
-я
1
Л X
По таблице на координатной плоскости отметим точки с
координатами (х; \Zsinx) и проведем плавную линию (рисунок 2).
Передвигая построенную часть графика влево и вправо вдоль оси
Ох на расстояние 2тгп, где п £ JV, изобразим весь график функции
у = Vsinx (рисунок 3).

198
Глава 6. Периодичность
а
-2я -я я 2я Зя 4я 5я *
Вопрос. Почему начальную часть графика функции у — \/sin~r
можно строить на полуинтервале (~7г;я]?
Контрольные вопросы и задания
1. Какая функция, определенная на всей числовой оси, называется
периодической ?
2. Что называется периодом функции?
3. Какой период функции называется основным?
4. Докажите, что функция sin х обладает основным периодом,
равным 2я.
5. Докажите, что функция cos я обладает основным периодом,
равным 27Г.
6. Приведите пример периодической функции, которая не имеет
основного периода.
7. Сформулируйте общее определение периодической функции.
8. Докажите, что функция tgx является периодической и имеет
основной период, равный 7г.
9. Как нарисовать график функции sin х на всей числовой оси?
10. В каких точках график функции у = sinx пересекает ось 0x1
11. Как получить график функции у = cosx из графика функции
у = sin х?
12. Как нарисовать график функции tgx на всей области
определения?
13. Как построить график функции у = ctgx с помощью графика
функции у = tg х?

§ 8. Периодические функции
199
Задачи и упражнения
1. Докажите, что функция /(х) = sin3x является периодической.
2. Пусть Т — период функции /(х). Докажите, что тогда при любом
целом А: ф 0 число кТ также является периодом функции f{x).
3. Найдите основной период функции:
a) sin|; б) sin 7гх; в) cos(2x - |);
г) sin3x; д) cos(4x + |); е)* sin %/2х;
ж)* cos(37rx — 1).
4. Докажите, что 7г — основной период функции cos2x.
5. Приведите пример таких функций f(x) и д(х), что каждая из них
имеет основной период Т, а сумма f(x) + д(х) имеет меньший
основной период.
6. Найдите область определения и основной период функции
a) tg2x; 6)tg?rx; в) tg |; г)* tgx • ctg.x.
7. Какие из функций являются периодическими:
a) sini; б) -J--; в) шд^; г) sinx-f tgx?
8. Докажите, что основной период идя функции ctgx равен 7г.
9. Докажите, что число 7г не является периодом функции sin x+tg х.
10. Постройте графики функций:
а) у = sin 2х; б) у — sin2 х; в) у = cos 2х; г) ?/ = cos2 х.
11. Постройте график функции у = sin|x|. Выясните, будет ли эта
функция периодической.
12. Какой основной период имеет функция у = | tgx|?

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
глава
В этой главе вы познакомитесь со случайными исходами
экспериментов, с множеством всех исходов эксперимента, событиями,
вероятностью событий. Вы узнаете, как можно извлекать практическую
пользу из математического понятия вероятности.
§ 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. Теория вероятностей изучает вероятности событий,
встречающихся в явлениях со случайными, то есть практически
непредсказуемыми исходами. Условимся такие явления называть экспериментами
со случайными исходами, или, для краткости, просто
экспериментами. Разберем некоторые примеры таких экспериментов.
Пример 1. Спортлото "5 из 36".
На 36 шарах написали номера от 1 до 36 по одному номеру на
каждом шаре. Шары кладут в специальный барабан и тщательно
перемешивают. Затем из барабана по одному последовательно вынимают
5 шаров. Зрители предварительно записали на особых бланках по 5
номеров, стремясь угадать те номера, которые будут извлечены из
барабана.
Какова вероятность, что мы угадаем первый вынутый шар?
На этот вопрос нетрудно дать правильный ответ: "Один из 5
записанных нами номеров будет выбран с вероятностью 5/36, так как
всего шаров 36".
7

§ 1 Классическое определение вероятностей
201
Пример 2. Книжная лотерея.
Продавец книжного киоска положил в барабан 50 скатанных в
шарики листочков бумаги, на 7 из которых написано: "Вы выиграли
право купить за половину цены любую книгу в этом киоске", а на
остальных: "Извините, но вы ничего не выиграли". За определенную
плату покупатели имеют право вынуть из барабана один из шариков.
Какова вероятность выигрыша в этой лотерее?
На этот вопрос также нетрудно получить правильный ответ: "Один
из 7 содержащих выигрыш шариков будет выбран с вероятностью
7/50, так как всего шариков 50".
Пример 3. "Предсказание судьбы".
В барабан кладут полые шары, внутри которых находятся записки
с предсказанием судьбы.
Какова вероятность того, что извлеченный шар содержит,
например, предсказание о том, что в будущем у вытащившего этот шар будет
двое детей?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо знать, сколько всего шаров
в барабане, и в каком количестве из них содержится записка,
предсказывающая рождение ровно двоих детей. Если, например, шаров
в урне 100, и в 95 из них содержится записка, предсказывающая
рождение у вынимающего шар ровно двоих детей, то вероятность такого
предсказания равна 0.95.
Вопрос. Пусть в барабане лежит 36 шаров с номерами от 1 до 36
по одному номеру на каждом шаре. Какова вероятность вынуть шар
с номером, который при делении на 4 дает в остатке 1?
1.2. Перечислим предположения, которые использовались в
примерах из предыдущего пункта.
I. Пока рассматривались только эксперименты, состоящие в
случайном выборе одного шара из множества всех шаров, находящихся
в некотором барабане. Тем самым в каждом из примеров очевидно
было выполнено предположение.
Предположение 1.
Рассматриваемый эксперимент состоит в случайном выборе одного
элемента из некоторого конечного множества элементов.
Выбранный элемент называют исходом эксперимента, а множество

202
Глава 7. Элементы теории вероятностей
из которого он выбирается — множеством всех возможных исходов
эксперимента.
Множество всех возможных исходов можно обозначать разными
буквами. Но чаще всего используется последняя буква греческого
алфавита П (читается "омега"), чтобы подчеркнуть, что больше никаких
исходов нет.
II. Во всех рассматривавшихся выше примерах среди всех шаров
выделялась часть, обладающая некоторыми интересующими нас
свойствами. В спортлото это были шары с загаданными нами номерами,
а в книжной лотерее - шары с записками о выигрыше. И нас каждый
раз интересовало событие, состоящее в том, окажется ли случайно
выбранный шар одним из этих выделенных шаров.
В результате видно, что в каждом из рассмотренных примеров было
выполнено предположение.
Предположение 2.
Пусть А — некоторое подмножество множества всех возможных
исходов рассматриваемого эксперимента. Если выбранный в результате
эксперимента элемент оказался одним из элементов множества А, то
говорят, что произошло событие А.
Таким образом, событие А всегда является частью множества О,
всех возможных исходов.
III. Наконец, при вычислении вероятностей событий
использовалось предположение.
Предположение 3.
Все исходы эксперимента — равновероятны.
Чтобы было выполнено это предположение достаточно перед
выбором шара хорошо перемешать все шары в барабане.
IV. При выполнении перечисленных предположений 1, 2 и 3 можно
говорить о вероятности каждого события.
Определение.
Вероятностью события А называют число Р{А) равное отношению
числа элементов в множестве А к числу всех возможных исходов
эксперимента.
Приведенное определение называют классическим определением
вероятности. Это самый простой и самый древний частный случай

§ J. Классическое определение вероятностей
203
определения вероятностей. Это определение иногда приводят в
следующем менее строгом виде.
Вероятностью события называется число, равное отношению числа
исходов, благоприятных этому событию, к числу всех возможных
исходов.
Вопрос. В барабане лежит п шаров, на которых написано "орел",
и еще п шаров, на которых написано "решка". Какова вероятность
вынуть шар с надписью "орел"?
1.3. Приведем еще несколько широко известных примеров
экспериментов со случайными исходами.
Пример 4. Подбрасывание монеты.
Если подбросить монету, закрутив ее, то она выпадет кверху
либо орлом, либо решкой. При этом возможность выпадения на ребро
может не учитываться. Если монета симметрична, то нет никаких
сомнений, что шансы получить любой из этих исходов одинаковы.
Поэтому на вопрос о том, какова вероятность, что выпадет орел (то есть,
что монета ляжет орлом кверху), обычно отвечают: "вероятность
получить орел равна 1/2 так как орел может выпадать в одном случае
из двух."
Пример 5. Подбрасывание игральной кости.
Игральной костью называют кубик, на шести гранях которого
выдавлены, соответственно, одна, две, три, четыре, пять и шесть точек.
Обычно сумма числа точек на противоположных гранях равна 7.
Если кубик подбросить, то он выпадет одной из граней кверху.
Подсчитав число точек на верхней грани, говорят, что выпало столько-то
очков. Предполагаем, что кубик сделан из однородного материала, а
потому считаем, что любой из возможных шести исходов этого
эксперимента равновероятен.
Пусть теперь нам задали вопрос: какова вероятность р того, что
выпадет не менее трех очков?
Обычно рассуждают так: в четырех случаях из шести может
выпасть не менее трех очков: это 3, 4, 5, 6. Поэтому вероятность р
получить не менее трех очков равна |, то есть |, так как не менее
трех очков выпадает в четырех случаях из шести.
Вопрос. Предположим, что игральная кость имеет форму пра-

204 Глава 7. Элементы теории вероятностей
вильного двадцатигранника, на гранях которого изображены все
числа от 1 до 20 по одному числу на каждой грани. Какова вероятность
того, что при бросании этого двадцатигранника выпадет число,
кратное 3, если выпадение каждой грани имеет одну и ту же вероятность?
1.4, Для любого конечного множества В условимся через N(B)
обозначать число всех элементов, содержащихся в этом множестве В.
Перепишем теперь классическое определение вероятности,
используя это удобное обозначение.
При выполнении предположений 1, 2 и 3 вероятностью события А
называют число Р(А), которое находится по формуле Р(А) = t^W-
Таким образом, из всего сказанного выше можно сделать
следующий вывод.
Пусть эксперимент состоит в выборе с равной вероятностью одного
элемента из множества Q, содержащего N(Q) элементов. Тогда
вероятность Р(А) события, состоящего в том, что выбранный элемент
окажется одним из элементов множества А, можно вычислить по фор-
„улеР(А) = Щ.
Вопрос. В урне лежит п шаров, на которых написано "орел"
и еще m шаров на которых написано "решка". Какова вероятность
вынуть шарик с надписью "орел"?
1.5. Рассмотрим несколько примеров задач на подсчет
вероятностей, возникающих при вытягивании одной карты из карточной
колоды.
Предположим, что в карточной колоде 36 карт, и мы наугад
вытягиваем одну карту. Какова вероятность того, что эта карта — король?
Ответ: "Так как в колоде 4 короля из 36 карт, то вероятность
вытянуть короля равна 4j = н" •
А какова вероятность р вытянуть карту, которая будет пикой?
Ответ: "Так как в колоде четыре масти с одинаковые числом карт
в масти, то в колоде 9 пик из 36 и вероятность вытянуть пику равна
36 4 '
А какова вероятность р вытянуть карту, которая одновременно
будет и королем и пикой?
Ответ:"Так как пиковый король один в колоде, то р = ^".

§ 1. Классическое определение вероятностей
205
А какова вероятность р вытянуть карту, которая будет или королем
или пикой?
Ответ:" Так как в колоде 9 пик и еще 3 короля, которые не
являются пиками, то р = * * ' = Щ = \".
А какова вероятность р вытянуть карту, которая будет
одновременно и королем и тузом?
Ответ:" Такого не бывает, поэтому это событие не содержит
элементов, ир=^=0".
Множество всех возможных исходов эксперимента, который мы
рассматривали в этом пункте, можно описать как множество К всех
карт в колоде:
К = {6п,7п,8п,9п,10п,Вп,Дп,Кп,Тп,
6к, 7к, 8к, 9к, 10к, Вк, Дк, Кк, Тк,
66,76,86,96,106, Вб, Дб, Кб, Тб,
6ч, 7ч, 8ч, 9ч, 10ч, Вч, Дч, Кч, Тч},
где п — означает "пики", к — "крести", б —"буби", ч —"черви", В
— валет, Д — дама, К — король, Т — туз.
Вопрос. Как описать событие Л, состоящее в вытягивании короля
или пики из колоды в 36 карт?
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое множество исходов?
2. Что такое событие?
3. Как понимать равновероятные исходы?
4. Как вычислять вероятность события в случае равновероятных
исходов?
5. Как вы понимаете слова "классическое определение
вероятности"?
6. Какие примеры экспериментов с равновероятными исходами вы
знаете?
7. Что означает запись N(E) = 5?

206
Глава 7. Элементы теории вероятностей
Задачи и упражнения
1. В игре "Спортлото б из 49" шары последовательно выбираются
из барабана, в котором находится 49 шаров с номерами от 1 до
49. Каковы вероятности, что номер первого вынутого шара:
а) будет равен 10;
б) будет менее 10;
в) совпадет с одним из следующих номеров: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23;
г) разделится на 5;
д) при делении на 7 даст остаток 5?
2. Предположим, что в эксперименте, описанном в предыдущей
задаче, первый вынутый шар имел номер 33 , а вторым вынули
шар с номером 5. Каковы в этом случае вероятности, что номер
третьего вынутого шара удовлетворяет одному из условий а) - д)
из задачи 1?
3. В барабане перемешаны 36 шаров четырех разных цветов:
красного, белого, черного и синего. И на 9 шарах каждого из цветов
написано по одной цифре от 1 до 9. Каковы вероятности, что
первый вынутый шар:
а) белого цвета;
б) любого цвета, кроме черного;
в) имеет номер 7;
г) небелый шар с номером 7;
д) имеет четный номер;
е) будет белым шаром с четным номером;
ж) будет либо белым шаром, либо шаром с номером 7;
з) будет либо небелым шаром, либо шаром с номером 7;
и) будет либо белым шаром, либо шаром с четным номером;
к) будет либо небелым шаром, либо шаром с нечетным номером;
л) выбранный шар имеет четный номер;
м) выбранный шар имеет нечетный номер;
н) выбранный шар имеет двузначный номер.
4. Предположим, что в эксперименте, описанном в предыдущей
задаче, первый вынутый шар оказался белого цвета с номером 2.
Каковы в этом случае вероятности, что шар, вынутый вторым,
удовлетворяет одному из условий а) - к) из задачи 3?

§ 1. Классическое определение вероятностей
207
5. Некто загадал одну из 10 цифр. Какова вероятность, что вы
угадаете эту цифру: а) с первой попытки; б) затратив не более
трех попыток? Предположите, для простоты, что вы заранее
решили, какие три цифры вы будете называть и в каком порядке.
6. Ответьте на вопросы из задачи 5 в случае, если вы: а) забыли
последнюю цифру номера телефона своей знакомой; б) забыли
предпоследнюю цифру этого номера телефона; в) забыли две
последние цифры этого номера.
7. Ответьте на вопросы из задачи 5 в случае, если вы: а) забыли
последнюю цифру кода, набранного вами в камере хранения; б)
забыли эту цифру, но помните, что она нечетная; в) забыли эту
цифру, но помните, что она четная и не нуль.
8. В колоде из 36 карт потеряна одна карта — король пик. Из этой
колоды случайным образом выбирается еще одна карта. Какова
вероятность, что вынутая карта: а) дама; б) бубновой масти; в)
или дама, или бубновой масти; г) король; д) пиковой масти; е)
или король, или пиковой масти; ж) выбранная карта не пиковой
масти?
9. В угол пустой шахматной доски ставится черный король, а на
одно из остальных свободных мест случайным образом ставится
белая фигура. Какова вероятность, что черный король
находится под боем, если известно, что: а) белая фигура - это слон; б)
белая фигура - это ладья; в) белая фигура - это ферзь; г) белая
фигура - это конь?
10. Ответьте на вопросы задачи 9 в случае, когда черный король
ставится на одно из полей рядом с центром доски.
11. В зрительном зале п рядов занумерованных от 1 до п, в каждом
из которых п мест, также занумерованных от 1 до п. Какова
вероятность, что на купленном в этот зал билете номер ряда не
совпадает с номером места?
12. Придумайте сами несколько задач о подсчете вероятностей, по
возможности с запутанными формулировками, которые бы
решались так же просто, как все приведенные выше задачи.
13. Пусть эксперимент состоит в получении от кондуктора
автобусного билета с шестизначным номером (при этом для удобства

208
Глава 7. Элементы теории вероятностей
предполагаем, что существует номер со всеми нулевыми
цифрами). Какова вероятность того, что:
а) первая цифра номера не равна нулю;
б) ни одна из цифр номера не равна нулю;
в) число, образованное тремя первыми цифрами номера, равно
числу, образованному тремя последними цифрами номера;
г) достался "счастливый билет", то есть билет с номером, у
которого сумма трех первых цифр равна сумме трех последних цифр?
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
2.1. В этом параграфе рассмотрим некоторые эксперименты,
которые можно представить как случайный выбор точки из некоторого
геометрического множества. Начнем со следующего примера.
Пример 1. Из теста, в которое бросили маковое зернышко,
сделали булку в виде жаворонка. Какова вероятность, что маковое
зернышко окажется в голове жаворонка?
Для получения ответа на заданный вопрос надо объем головы
жаворонка разделить на объем всего теста.
В этом примере булку мы представляем себе как некоторое
множество Т точек в пространстве, а эксперимент состоит в случайном
выборе некоторой точки из этого множества Т.
Мы предполагаем также, что вероятность каждого события,
состоящего в попадании случайно выбранной точки в любую часть С
множества Т, зависит лишь от объема V(C) выбранной части, где бы
эта часть ни находилась в множестве Т. В случае выполнения этого
предположения будем говорить, что вероятность выбора равномерно
распределена в множестве Т.
Обобщая рассмотренный пример, можно сделать следующий вывод.
Пусть эксперимент состоит в случайном выборе точки из множества
0, объема V(£l) с равномерным распределением в этом множестве.
Тогда вероятностью Р(А) события, состоящего в попадании
выбираемой точки в подмножество А, имеющее объем V{A), называют число

§ 2. Геометрические вероятности
209
Вопрос. По квартире объема v летает оса. Какова вероятность,
что в данный момент она находится в кухне объема t>o?
2.2. В этом пункте рассмотрим равномерные распределения
вероятностей для фигур на плоскости.
Пример 2. Тесто, в которое бросили маковое зернышко,
раскатали в виде блина площадью s. После этого на блин положили форму
для изготовления печенья площадью so. Какова вероятность, что
маковое зернышко окажется внутри формы?
Для получения ответа на этот вопрос нужно площадь sq печенья
разделить на площадь .s блина.
В этом примере блин представляет некоторое множество М точек
на плоскости, а эксперимент состоит в случайном выборе точки из
этого множества.
Мы предполагаем опять, что вероятность выбора точки равномерно
распределена в множестве М. Это означает, что вероятность каждого
события, состоящего в попадании случайно выбранной точки в любую
часть Z множества М, зависит лишь от площади S(Z) выбранной
части, где бы эта часть ни находилась в множестве М.
Обобщая пример, можно сделать следующий вывод.
Пусть эксперимент состоит в случайном выборе точки из множества
Q площади S(il) с равномерным распределением вероятности выбора
точки в этом множестве. Тогда вероятностью Р(А) события,
состоящего в попадании выбираемой точки в подмножество А площадью
S(A) называют число Р(А) = fW-
Вопрос. Как изменится вероятность в рассмотренном примере,
если толщину блина уменьшить вдвое, а форму для изготовления
печенья оставить прежней?
2.3. В этом пункте рассмотрим равномерные распределения
вероятностей для промежутков прямой.
Пример 3. Из специально выплавленного сверхчистого металла
сделали сверхтонкую проволоку длины /. При наматывании
проволока порвалась в одном месте из-за случайно попавшей в металл
одной частички недопустимой примеси. Какова вероятность, что разрыв
произошел на расстоянии менее 0,1 • / от середины проволоки?

210
Глаза 7 Элементы теории вероятностей
Для получения ответа на этот вопрос надо заметить, что
интересующее нас событие происходит только в случае, если частичка примеси
попадает в интервал длины 0,2/. Следовательно, искомая вероятность
равна ^1 = о,2 = I.
В этом примере проволоку мы представляем себе как некоторое
множество U точек на прямой, а эксперимент состоит в случайном
выборе некоторой точки из этого множества U.
При этом также предполагаем, что вероятность каждого события,
состоящего в попадании этой случайно выбранной точки в любой
отрезок /, лежащий внутри множества U, зависит лишь от длины L(I)
этого отрезка, где бы этот отрезок ни находился в множестве U. В
случае выполнения этого предположения будем говорить, что
вероятность выбора точки равномерно распределена в множестве U.
Обобщая рассмотренный пример, можно сделать следующий вывод.
Пусть эксперимент состоит в случайном выборе точки из отрезка ft
длины L(W) с равномерным распределением вероятности выбора
точки в этом множестве. Тогда вероятностью Р{А) события, состоящего
в попадании выбираемой точки в отрезок А длины L(A) называют
число Р{А) = Щ.
Вопрос. Можно ли в рассмотренном выше примере так подобрать
отрезок, чтобы вероятность попадания частички в этот отрезок
совпадала с заранее выбранным иррациональным числом р, которое больше
нуля, но меньше единицы?
2.4. В этом пункте рассмотрим равномерные распределения
вероятностей на окружностях.
Пример 4. Рулетка в казино.
Круг разделен на 37 секторов, причем 36 секторов с номерами от
1 до 36 равны, а сектор с номером 0 (выигрыш казино) отличается
от каждого из предыдущих. Пусть сектор с номером 0 опирается на
дугу длины Iq, а общая длина окружности рулетки равЪа /. Какова в
этом случае вероятность ро того, что стрелка остановится в секторе с
номером 0?
В этом примере эксперимент состоит в случайном выборе точки на
окружности рулетки. Мы, конечно, предполагаем, что вероятность
выбора точка равномерно распределена на окружности. Это означает,

§ 2. Геометрические вероятности
211
что вероятность каждого события, состоящего в попадании случайно
выбранной точки в любую дугу D этой окружности, зависит лишь от
длины L(D) этой дуги, а не от ее расположения.
При этих предположениях ответ в приведенном выше примере
будет ро = lf-
Обобщая рассмотренный пример, можно сделать следующий вывод.
Пусть эксперимент состоит в случайном выборе точки на окружности
Q длины L(Q) с равномерным распределением вероятности выбора
точки на этой окружности. Тогда вероятностью Р(А) события,
состоящего в попадании выбираемой точки на дугу А длины L(A) называют
число Р(А) = Щ.
Вопрос. Какова вероятность того, что при взгляде на часы
секундная стрелка будет в промежутке от 25 до 35 секунд?
2.5. Пусть множество В на прямой состоит из одного или
нескольких попарно непересекающихся отрезков. Обозначим через L(B)
сумму длин всех этих отрезков, составляющих множество В.
Условимся теперь, что определение вероятностей для множеств на прямой
из пункта 2.3. остается справедливым и для множеств Q и А,
состоящих из одного или нескольких непересекающихся отрезков.
Аналогично, пусть множество В состоит из одной или нескольких
попарно непересекающихся дуг одной и той же окружности.
Обозначим через L(B) сумму длин всех дуг, составляющих множество В.
Договоримся и в этом случае, что определение вероятностей для
множеств на окружности из пункта 2.4. остается справедливым и для
множеств Q и А, состоящих из одной или нескольких
непересекающихся дуг одной и той же окружности.
Сделанные обобщения позволяют увеличить число задач на
вычисление вероятностей событий.
Пример 5. Рассмотрим еще раз рулетку из примера 4,
разобранного в пункте 2.4, и предположим, что сектор с номером 0 окрашен
в белый цвет, сектора с нечетными номерами — в зеленый, а
остальные сектора — в красный. Какова в этом случае вероятность р, что
стрелка остановится на "зеленом"?
Заметим, что каждый из секторов, имеющих номера с 1 по 36,
опираются на равные дуги длиной ' ~ °К Значит, общая длина дуг всех

212
Глава, 7. Элементы теории вероятностей
18 секторов, имеющих нечетные номера равна —* ~ °' = ' ~ °'.
Поэтому вероятность р события, состоящего в том, что стрелка
остановится в секторе с нечетным номером, находится по формуле
Р i 4 '
Вопрос. Какова вероятность того, что стрелка остановится в
одном из зеленых секторов, номер которого делится на 5?
2.6. Как промоделировать событие заданной вероятности?
Пусть нам задано некоторое число р, лежащее в интервале от 0 до
1, и мы хотим провести такой эксперимент, чтобы в нем некоторое
событие происходило с вероятностью р.
Если вспомнить разобранные перед этим задачи, то достаточно взять
рулетку с окружностью некоторой длины / и выделить сектор,
опирающийся на дугу длины pi. Тогда вероятность события, состоящего в
том, что стрелка остановится в этом секторе, равна р.
Если нет рулетки, то можно вырезать картонный круг,например,
диаметром около 20 см и выделить в нем при помощи транспортира
сектор величиной р-360°. Затем можно сделать из этого круга волчок,
вставив ось в центр круга. Тогда вероятность того, что волчок после
остановки коснется стола или пола точкой, лежащей внутри дуги
отмеченного сектора, с большой точностью будет равна р.
Если этот эксперимент с волчком повторить п > 1 раз, то мы
получим п независимых повторений одного и того же эксперимента, в
каждом из которых может происходить или не происходить некоторое
событие, имеющее заданную вероятность р. В следующем параграфе
вы узнаете, зачем может возникнуть потребность проводить большое
число независимых повторений одного и того же эксперимента. С этой
целью в современных компьютерах имеются специальные процедуры,
называемые датчиками случайных чисел. Эти процедуры позволяют
получать случайные числа, которые моделируют равномерное
распределение вероятностей в интервале (0, 1), и дают возможность
производить любое число независимых повторений этого эксперимента.
Вопрос. Датчик случайных чисел выбирает точку с
равномерным распределением вероятностей в интервале (0, 1). Какие примеры
различных событий, которые могут происходить в этом эксперименте
и иметь одну и ту же заданную вероятность р, вы можете привести?

§ 2. Геометрические вероятности
213
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется вероятность события при равномерном распре-
делении вероятностей в некотором множестве пространства?
2. Как определяется вероятность события, при равномерном
распределении вероятностей на некотором множестве плоскости?
3. Как определяется вероятность события, при равномерном
распределении вероятностей на промежутке прямой или на
окружности?
4. Как связаны равномерные распределения вероятностей на
окружности в интервале?
5. Какие способы практического получения случайных точек с
равномерным распределением вероятностей на окружности вы
знаете?
6. Какие примеры задач на геометрические вероятности вы знаете?
Задачи и упражнения
1. В круге радиуса R случайным образом ставится точка. Какова
вероятность того, что она попадет в круг радиуса ^, имеющий
тот же центр?
2. Точка выбирается в шаре радиуса R. Какова вероятность, что
она попадет в шар радиуса ^, имеющий тот же центр?
3. Точка ставится в круге радиуса Я, ограниченного окружностью
5. Какова вероятность того, что точка попадет:
а) в квадрат, вписанный в окружность 5;
б) в правильный шестиугольник, вписанный в окружность 5;
в) в равносторонний треугольник, вписанный в окружность 5;
г) в равнобедренный прямоугольный треугольник, вписанный в
окружность 5?
4. Точка выбирается внутри квадрата. Какова вероятность того,
что она попадет:
а) в круг, вписанный в этот квадрат;
б) внутрь квадрата, вписанного в окружность, которая касается
всех сторон заданного квадрата?

214
Глава 7. Элементы теории вероятностей
5. Точка выбирается на отрезке [—6; 6] числовой оси. Какова
вероятность того, что точка окажется на расстоянии большем 3 от
начала координат?
6. Точка выбирается на окружности радиуса R с центром в начале
координат. Какова вероятность того, что проекция этой точки
на ось абсцисс находится от начала координат на расстоянии
более £?
7. Как изменится ответ на вопрос задачи 6, если точка ставится в
круге радиуса R с центром в начале координат?
8. В стоге сена конической формы ищется потерянная на лугу
золотая иголка. Какова вероятность того, что иголка находится в
верхней половине стога?
9. В куче снега, имеющей форму цилиндра высотой 1 метр и
радиусом 1 метр, потерян бриллиант. Какова вероятность того, что
бриллиант найдется, если удалось собрать только 1м3 снега из
этой кучи?
10. Во время пути из Владивостока в Москву в течение 100 часов
принцесса смотрела в открытое окно вагона и в результате
потеряла перстень. Какова вероятность того, что перстень потерян
между Новосибирском и Екатеринбургом, если известно, что на
этом отрезке пути принцесса провела у окна 20 часов?
11. Какова вероятность того, что секундная стрелка часов находится
ближе к минутной стрелке, чем к часовой, в предположении, что
мы взглянули на часы в случайно выбранный момент времени?
12. Придумайте сами несколько задач, связанных с подсчетом
геометрических вероятностей.
§ 3. ПОНЯТИЕ О ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
3.1. Рассмотрим некоторый эксперимент. Однократное
проведение этого эксперимента для краткости будем называть испытанием.
Проведем несколько испытаний и каждый раз отметим, произошло
ли интересующее нас событие А.

§ 3. Попятие о законе больших чисел
215
Предположим, что в п испытаниях событие А произошло Sn(A) раз.
В этом случае частотой события Авп испытаниях называется число
ип(А) = Ц&.
Пример 1. Монета была брошена 4040 раз, причем герб выпал
2048 раз. Этот известный опыт провел Бюффон. Частота ^404o(-R)
выпадения герба в 4040 испытаниях Бюффона есть ЩЦ « 0,507.
Вопрос. Может ли частота события быть числом
иррациональным?
3.2. Понятие о Законе больших чисел.
Давно замечено, что при большом числе п независимых
испытаний частота vn{A) становится приближенно равной вероятности Р(А).
Это приближенное равенство становится все точнее и точнее с ростом
числа п.
Этот факт, что
ип(А) * Р(А) (1)
при больших п, называют Законом больших чисел.
Значительное отклонение частоты события от его вероятности при
больших п возможно, но происходит очень редко.
Пример 2. Джон Керрих, когда он был интернирован в лагере
во время второй мировой войны, провел 10 экспериментов, каждый из
которых состоял из 1000 подбрасываний монеты. Он получил
следующие частоты выпадения гербов:
0,502; 0,511; 0,497; 0,529; 0,504;
0,476; 0,507; 0,528; 0,504; 0,529.
Видно, что эти числа мало отличаются от вероятности р выпадания
герба, равной 0,5.
Вопрос. Чему равно максимальное отклонение частоты от
вероятности в опытах Джона Керриха?
3.3. Опираясь на Закон больших чисел, на практике можно
получать приближенные решения следующих основных видов задач.
Первый вид. Пусть требуется найти неизвестную вероятность
интересующего нас события А в некотором эксперименте. Тогда можно
провести достаточно большое число п испытаний, вычислить
частоту vn(A) в этих п испытаниях и на основании закона больших чисел

216
Глава 7. Элементы теории вероятностей
принять полученную частоту за приближенное значение вероятности
Р(А) события А.
Например, на основании опыта Бюффона можно принять, что
вероятность выпадения герба при бросании его монеты равна ^.
Второй вид. Пусть в некотором эксперименте вероятность
события А равна Р(А) и требуется предсказать, сколько примерно раз
произойдет событие А, если всего планируется провести п испытаний.
Если обозначить через Sn(A) число появлений события А при п
испытаниях, то частота события А равна w* К Тогда на
основании Закона больших чисел можно записать приближенное равенство
Щ£± « Р(Л), откуда
Sn(A)an-P(A). (2)
Например, при подбрасывании игрального кубика 100 раз событие
Л, состоящее в том, что выпадает б очков, следует ожидать примерно
17 раз, так как S (а) 5юо(а) « 100 • ^ « 17.
Третий вид. Допустим, что в некотором эксперименте проводится
одна серия из большого числа п испытаний и другая серия из большого
числа m испытаний, и в каждом случае отмечается интересующее нас
событие А. Тогда по Закону больших чисел частоты И
Vm{A) = ' m^ ' приближенно равны вероятности события А. Отсюда
следует, что vm(A) « vn{A). Поэтому Sm\Ai « i/n(A) откуда
Sm(A) « vn{A) • m. (3)
Аналогично можно получить приближенное равенство
Sn(A) и i/w(A) ■ п.
Рассмотрим, как эти приближенные равенства можно применять
на практике.
Пример 3. После проведения опроса общественного мнения
выяснилось, что 36% опрошенных решили голосовать на ближайших
выборах за кандидата Иванова, 24% — за кандидата Петрова, а остальные
40% не собираются идти на выборы, а если и пойдут, то не решили за
кого из двух выдвинутых кандидатов будут голосовать. Каковы
ожидаемые результаты выборов для Иванова?

§ 3. Понятие о законе больших чисел
217
Пусть П — множество всех, имеющих право голоса, и N(Q) = га.
По условию множество О, разбивается на три части: на множество А
тех, кто будет голосовать за кандидата Иванов; на множество В тех,
кто будет голосовать за кандидата Петрова, и на множество С тех,
кто решил не участвовать на выборах.
Из проведенного среди п избирателей опроса вытекает, что с
частотой vn(A) — Щ; избиратели голосуют за кандидата Иванова, с
частотой vn{B) = щ избиратели голосуют за кандидата Петрова и с
частотой vn{C) = yjjjj избиратели не собираются голосовать.
В силу формулы (3)
' N(A) = Sm(A) « »п{А)' m = JJL . m-
N(B) = Sm(B) « un{B) • m = ^}j • m.
Отсюда следует, что если выборы провести немедленно, то из N(A)+
+N(B) явившихся на выборы за кандидата Иванова проголосует N( А)
избирателей. Значит, за него будут голосовать с вероятностью
Р( А\ — ^У(Л) ^ 0,36т _ о fi
Г[*} - N(A) + N(B) ~ 0,36т + 0,247И " U,D'
В итоге он наберет примерно 60% голосов.
Если же выборы состоятся не скоро, то на результаты выборов
могут повлиять пришедшие на выборы избиратели из множества С.
Вопрос. Как изменятся результаты выборов, если из тех, кто не
собирался идти голосовать, на выборы придет половина и все
проголосуют за кандидата Петрова?
3.4. Рассмотрим применение Закона больших чисел к решению
практических задач.
Пример 4. Известный биолог Грегор Мендель в одной из серий
опытов по скрещиванию гибридного гороха с желтыми семенами
получил 6022 растения с желтыми семенами и 2001 растение с зелеными
семенами. Что можно сказать о вероятности получить в данном
эксперименте горох с зелеными семенами?
Обозначим через Z событие, состоящее в том, что из желтого
семени гибридного гороха вырастет растение с зелеными семенами. Из
условий задачи по формуле 1 из пункта 3.2 при п = 6022 + 2001
получаем P(Z) « vn{Z) = /60224^2001^ ^ 0'2^94 ~ 4* **а основании этих
и других аналогичных вычислений Г.Мендель, примерно в 1865 году,
сделал вывод, что P(Z) = |.

218
Глаза, 7. Элементы теории вероятностей
Бесспорное доказательство справедливости этого вывода было
получено только после изобретения электронного микроскопа, когда
удалось разглядеть структуру хромосом.
Пример 5. Страховая компания составила п договоров
страхования на следующих условиях: каждый застрахованный внес некоторую
сумму г, а компания обещала выплатить ему сумму в 20 раз большую
в случае, если с ним в течение года произойдет один из
перечисленных в договоре несчастных случаев. Какую сумму денег
рассчитывает получить компания в конце года после страховых выплат, если в
предыдущие годы она выплачивала страховки лишь двум процентам
застраховавшихся?
Пусть D — событие, состоящее в том, что компания выплачивает
страховку по договору. По условию задачи P(D) « 0,02, то есть эта
вероятность приближенно равна частоте выплат в предыдущие годы.
В силу формулы (2) из пункта 3.3 в текущем году страховка будет
выплачена в Sn(D) « nP(D) « 0,02п случаях. Выплачивая в каждом
из этих случаев сумму 20г, всего компания выплатит сумму, равную
20rSn(A) « 0,4rn. Таким образом, из собранной компанией суммы пг
ей останется в конце года сумма, примерно равная 0,6 • гп.
Вопрос. На электроламповом заводе 5 лампочек из 1000
проверенных оказались бракованными. Сколько примерно бракованных
лампочек среди 10 миллионов лампочек, выпущенных на этом заводе?
3.5. Приведем теперь пример более трудной задачи. Из вопроса к
пункту станет ясным, почему формулу, получающуюся при решении
задачи о подсчете числа рыб в озере, часто объявляли "совершенно
секретной".
Пример 6. В некотором озере группой ученых было выловлено,
помечено, и отпущено обратно в озеро А: рыб. Спустя некоторое
время в разных местах этого озера было поймано п рыб, среди которых
оказалось ровно 5 помеченных ранее. Как по этим данным оценить
число рыб в озере?
Пусть О, — множество всех рыб в озере, а, Е — множество тех
рыб, которых пометили ученые. Если предполагать, что каждую
рыбу можно выловить с одной и той же вероятностью, то вероятность
выловить помеченную рыбу равна Р(Е) = Л0( = Nf0\- Во втором

§ 3. Понятие о законе больших чисел
219
улове из п рыб помеченные рыбы встречаются с частотой vn(E) « -.
По Закону больших чисел Р(Е) « vn{E), или -щгр: « -. Из этого
приближенного равенства получаем, что N(Q) « ~. Следовательно,
искомое число рыб в озере можно оценить числом —.
Вопрос. Разведчикам, наблюдавшим в тылу противника за
железными дорогами, удалось записать и передать командованию к
фабричных номеров танков нового образца, которые противник
перевозил в сторону фронта. Спустя некоторое время служба,
занимающаяся учетом подбитой боевой техники противника, доложила, что
среди п танков противника нового образца, подбитых на линии
фронта, оказалось ровно s с фабричными номерами из списка в к номеров,
составленного разведкой. Как по этим данным оценить общее число
танков нового образца, имеющихся у противника на фронте?
3.6. В этом параграфе мы постоянно использовали тот факт,
что "частота примерно равна вероятности". Естественно, могут
возникнуть вопросы: а что значит "примерно равны"? Или: "ас какой
точностью они равны"?
Поиск ответов на эти вопросы оказался очень трудной
математической задачей. Решение ее содержится в так называемой Центральной
Предельной Теореме теории вероятностей. В качестве самого простого
следствия из этой теоремы можно получить, что если
п*Р(А)[19-Р(А)\
то с вероятностью примерно 95%, имеют место следующие
неравенства
ЫЛ)-Р(А)\<2^-^Л1 (4)
ЫА)-Р(А)\<2]рЩ^М. (5)
Неравенство (4) предназначено для решения задач первого вида, а
неравенство (5) — второго.

220
Глава 7. Элементы теории вероятностей
Пример 7. При опросе общественного мнения выяснилось, что за
Иванова собираются проголосовать примерно 20 % опрошенных.
Отсюда был сделан прогноз, что избиратели будут голосовать за Иванова
с вероятностью примерно 20%. Какова точность этого прогноза, если
в опросе участвовало 1600 человек?
Для ответа на этот вопрос воспользуемся формулой (5), взяв в
качестве А событие, состоящее в том, что случайно выбранный человек
проголосовал за Иванова. Получаем
ц.(Л)«0А «=1600, 2^-faM,2/jjg-0,02.
Значит, в данном случае, с вероятностью примерно 95% частота
i/n(A) = 0,2 отличается от неизвестной вероятности Р(А) не более чем
на 2%.
После этого организация, проводившая опрос, сделает вывод
заказчикам опроса, что за Иванова проголосуют от 18 % до 22 %
избирателей.
Вопрос. Если бы в примере 7 было опрошено не 1600, а 10000
человек, то какой бы вывод сделала компания, проводившая опрос?
Контрольные вопросы и задания
1. Как определяется частота события при проведении п испытаний?
2. Чем отличается частота от вероятности?
3. В чем смысл Закона больших чисел?
4. Как можно находить приближенное значение вероятности
некоторого события?
5. Как по известной вероятности события А оценить, сколько раз
произойдет событие А, если всего планируется провести п
испытаний?
6. С какой целью проводят опросы общественного мнения?
7. С какой целью кольцуют зверей и птиц?

§ 3. Понятие о законе больших чисел
221
Задачи и упражнения
1. а) Подбросьте дома монету 100 раз и посмотрите, насколько
частота выпадания орла отличается от i;
б) подсчитайте частоту выпадания орла по всем испытаниям
всеми учениками класса и повторите сравнение с вероятностью.
2. С 1871 по 1900 год в Швейцарии родились 1359671 мальчик и
1285086 девочек. Которая из следующих гипотез точнее
предсказывает этот результат: гипотеза о равновероятности полов у
новорожденных, или гипотеза о том, что мальчики рождаются с
вероятностью i|, а девочки — с вероятностью А|?
3. Известно, что люди имеют отрицательный резус-фактор крови
с вероятностью 0,16. Оцените число граждан, имеющих
отрицательный резус фактор крови, в государстве, насчитывающем 150
миллионов жителей.
4. Известно, что мужчины страдают дальтонизмом с вероятностью
^. Оцените число дальтоников-мужчин в районе,
насчитывающем 200 тысяч жителей, среди которых мужчины составляют
45%.
5. Известно, что женщины страдают дальтонизмом с вероятностью
\2б) = 400* Очените число дальтоников-женщин в области,
насчитывающей 2 миллиона жителей, среди которых женщины
составляют 55%.
6. При переписи населения Англии и Уэлса в 1901 году было
зарегистрировано (с точностью до тысячи) 15729 тысяч мужчин и 16799
тысяч женщин; 3497 мужчин и 3072 женщин были
зарегистрированы как глухонемые от рождения. Оцените число глухонемых
от рождения среди жителей страны, насчитывающей 28
миллионов мужчин и 30 миллионов женщин.
7. Известно, что вероятность рождения двум близнецам разного
пола примерно равна 0,36. Оцените число пар близнецов в городе,
насчитывающем ровно 100 пар близнецов разного пола.
8. В некотором городе за неделю совершается в среднем 4 миллиона
поездок на автобусе. При этом службой контроля проверяются

222
/лава 7. Элементы теории вероятностей
билеты примерно у 200 тысяч пассажиров и выявляется около 10
тысяч случаев безбилетного проезда. Оцените число невыявлен-
ных случаев безбилетного проезда за неделю.
9. Страховая фирма объявила, что у нее за два года практически
не менялся список застраховавшихся и что в прошлом году она
выплатила страховки 98 клиентам, а в этом — 105
застрахованным, причем б человек получили выплаты оба года. Оцените
число застраховавшихся в данной фирме.
10. В прошлом году в некотором городе за нарушение правил
дорожного движения 1900 водителей были задержаны хотя бы один
раз, а в позапрошлом году таких водителей было 2100, причем
38 человек задерживались оба года. Оцените число водителей в
этом городе, которые в этом году хотя бы раз нарушат правила
дорожного движения, но ни разу не будут задержаны.
11. В копилку брошено 10 новеньких монет. После этого 100 раз
из копилки вытряхивали по одной монете, рассматривали ее и
каждый раз возвращая обратно. Оцените число монет в копилке,
если среди 100 просмотренных монет только 4 раза встретились
новенькие монеты.

КООРДИНАТЫ В
ПРОСТРАНСТВЕ
глава
§ 1. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В
ПРОСТРАНСТВЕ
1.1. Возьмем куб ABCDAiBiCiDi с
ребром 1. Его гранями являются
квадраты. Поэтому ребра куба, выходящие из
одной вершины, попарно
перпендикулярны. Например, на рисунке 1
перпендикулярны друг другу ребра В А, ВС и ВВ\.
Проведем через эти три взаимно
перпендикулярных ребра куба три прямые
и каждую из них превратим в числовую
прямую таким образом, чтобы точка В на
каждой прямой изображала нуль, а точка
А на прямой В А, точка С на прямой ВС,
точка J9i, на прямой ВВ\ изображапи
число 1 (рисунок 2).
Обозначим теперь точку В через О и
назовем началом прямоугольной системы
координат в пространстве.
Числовую прямую В А назовем первой
координатной осью и обозначим Ох.
Числовую прямую ВС назовем второй
координатной осью и обозначим Оу.
Числовую прямую ВВ\ назовем тре-
8

224
Глава 8. Координлты в пространстве
тьей координатной осью и обозначим Oz
(рисунок 3).
Три координатные оси позволяют у
каждой точки пространства определить три
координаты. Чтобы разъяснить, как это
делается, рассмотрим следующий пример.
Отметим на оси Ох точку А с
координатой —2, на оси Оу точку В с
координатой 4, на оси Oz точку С с координатой 3
и построим прямоугольный
параллелепипед OAPBCQMR, как на рисунке 4.
Координаты вершин этого параллелепипеда
определяются как тройки чисел,
расположенных в определенном порядке,
следующим образом:
начало О системы координат имеет
координаты (0;0;0);
точка А оси Ох имеет координаты
(-2;0;0);
точка В
(0;4;0);
точка С
*» _» (0;0;3);
Q^jF s^l точка Р плоскости Оху имеет коорди-
^ ' W I наты (-2;4;0);
точка Q плоскости Oxz имеет коорди-
Т \В наты (-2;0;3);
2 у точка R плоскости Oyz имеет
координаты (0;4;3);
х п л точка М, не лежащая ни в одной из
плоскостей Оху, Oxz, Oyz, имеет
координаты (-2;4;3).
Аналогично определяются координаты вершин любого
прямоугольного параллелепипеда, три ребра которого расположены на осях
координат.
О
оси Оу имеет координаты
оси Oz имеет координаты
Вопрос. Какие координаты имеют вершины куба на рисунке 5?

§ 1. Прямоугольная система координат в пространстве 225
1.2. Из предыдущего пункта можно получить правило нахождения
координат точек пространства.
В этом пункте разберем случай, когда точка М лежит на одной
из координатных осей. Тогда нужно найти координату точки М на
соответствующей оси и записать эту координату первой, если точка
М лежит на оси Ох, второй, если точка М лежит на оси Оу, третьей,
если точка М лежит на оси Oz. Остальные координаты точки М
равны нулю.
Пример 1. На рисунке б точки М, N,
К имеют координаты: М(3;0;0), N(0; -3;0),
#(0;0;-4).
Вопрос. Как изобразить точку с
координатами (0;2;0)?
1.3. В этом пункте рассмотрим, как
находить координаты точки, лежащей в
одной из координатных плоскостей Оху,
Oxz или Oyz.
Пусть точка М лежит в плоскости Оху.
В этой плоскости опустим
перпендикуляры МК и ML на оси Ох и Оу
соответственно и найдем координату а точки К
на оси Ох и координату b точки L на оси
Оу (рисунок 7). Координатами точки М
является тройка чисел (а; 6; 0). Например,
точка М на рисунке 7 имеет координаты
(3;-2;0).
Аналогично, пусть точка М лежит в
плоскости Oxz. В этой плоскости опустим
перпендикуляры МК и ML на оси Ох и
Oz соответственно и найдем координату a
точки К на оси Ох и координату с точки
L на оси Oz (рисунок 8). Координатами
точки М является тройка чисел (а;0;с).
Например, точка М на рисунке 8 имеет
координаты (~3;0;4).
Вопрос. Как находить координаты
ч
z t
-1
^1
1
У

226
Глава 8. Координаты в пространстве
[О
m
^
■*-,
IAI точки, лежащей в плоскости Oyzl
1.4. В этом пункте рассмотрим, как
находить координаты точки М, не
лежащей ни в одной из координатных
плоскостей Оху, Oxz, Oyz.
Проведем через точку М прямую с
параллельно оси Oz до пересечения с
плоскостью Оху в точке Р (рисунок 9). Затем
через точку Р проведем прямую Ь
параллельно оси Ох до пересечения с осью Оу в
точке В и прямую а параллельно оси Оу
до пересечения с осью Ох в точке А
(рисунок 9).
Построив прямоугольный
параллелепипед с ребрами РМ, РВ, РА, на оси
Oz получим его вершину С (рисунок 10).
Найдем координату а точки А на оси Оху
координату Ь точки В на оси Оу.
координату с точки С на оси Oz. Точка М имеет
координаты (a,',b;c).
Например точка М на рисунке 11 имеет
координаты (2;4;-2).
Вопрос. Какие точки в пространстве
имеют вторую координату, равную нулю?
1.5. Напомним, как в координатной
плоскости вычисляется расстояние между
двумя точками по их координатам. Пусть
А и В имеют координаты (х\;у\) и [хъ'.уъ),
Л/ а отрезок АВ не параллелен ни одной из
координатных осей. Если проведем перпендикуляры АА\ и ВВ\ к оси
Ох и перпендикуляры ААъ и ВВч к оси От/, то получим
прямоугольный треугольник ABC (рисунок 12). Катеты этого треугольника
М
It
У1 ? з §
АС = \ОА2 - ОВ2\ = |у, - у2\,
СВ = |СШ, -ОА1\ = \х1-х2\.

§ 1 Прямоугольная система координат в пространстве 227
Значит, по теореме Пифагора АВ = у/АС2 + ВС2 или
АВ = у/(хх - х2)2 + (з/1 - у2)2.
В шестом классе было доказано, что
эта формула справедлива и тогда, когда
отрезок АВ параллелен одной из
координатных осей.
Вопрос. Чему равно расстояние от
точки М с координатами (а; Ь) до начала
системы координат?
1.6. В пространстве расстояние между
точками A(x\\y\\z\) и B{x2\y2\z2)
вычисляется по формуле
АВ = ^(х, - х2)2 + (щ - у2)2 + (zi - z2)2.
Для того чтобы пояснить, как эта
формула может быть доказана, рассмотрим
примеры.
Пример 2. Пусть Л(0; 2; 0) и £(0; 5; 0),
то есть х\ = 0, у\ = 2, zi = 0, х2 = 0.
2/2 = 5, г2 = 0. Тогда на оси Оу точки
А и В имеют соответственно координаты
у\ = 2 и у2 = 5 (рисунок 13).
Поэтому АВ = \у\ - у2| = |2 - 5|. По
формуле также имеем
АВ = V(^i - ъ)2 + (t/i - t/2)2 + (zi - z2)2 =
Ш]
3t
IP
~1е->*
в,
х/02 + (У1 - У2)2 + 02 = |У1 -у2| = |2-5|.
Пример 3. Пусть Л(3;1;0) и В(2;4;0), то есть xi = 3, yi = 1,
= 0, i2 = 2, j/2 = 4, гг = 0. Тогда в плоскости Оху точки А и В

228
Глада 8. Координаты в пространстве
имеют соответственно координаты (3;1) и (2;4) (рисунок 14).
Поэтому
АВ = у/(х, - х2)2 + (У1 - У2)2 = ^(з- 2)2 + (1-4)2.
По формуле также имеем
АВ = у/(хг - х2)2 + (У1 - t/2)2 + (2l - 22)2 =
= ^1-Х2)2 + (У1-у2)2+02 =
= >/(Х! " *2)2 + (У1 - 2/2)2 = ^(3 - 2)2 + (1 - 4)2.
Пример 4. Пусть Л(3; 2; 5) и В(1; 5; 3),
то есть х\ = 3, yi = 2, z\ — 5, х2 — 1,
2/2 = 5, 22 = 3. Опустим на плоскость Оху
перпендикуляры АА\ и ВВ\ (рисунок 15).
Получим, что АА\ = 5, ВВ\ = 3, а точки
А\ и В\ в плоскости Оху имеют
соответственно координаты (3;2) и (1;5).
Следовательно,
AiBx = fax - х2)2 + (й - у2у =
= 7(3 - D2 + (2 - 5)2.
Если теперь в прямоугольной трапеции АА\В\В провести отрезок
ВС перпендикулярно АА\, то получим
АС = \ААХ -ВВХ\ = \гх - г2| = |5 - 3|, ВС = ЛцВь
Поэтому по теореме Пифагора
АВ = л/ВС2 + АС2 = >/i4iB? + АС2 =
= >/(xi - х2)2 -I- (у\ - 2/г)2 + (z\ - г2)2 =
= v/(3 - l)2 + (2 - б)2 + (5 - З)2 = v/17.
Вопрос. Чему равно расстояние от точки М с координатами (а, 6, с)
до начала системы координат?

§ 1. Прямоугольная система координат в пространстве 229
\ш
л
ъ
в
\ш
1.7. Пусть куб со стороной единица расположен так, как на
рисунке 16. Тогда вершины куба имеют координаты:
Л(0;0;0), В(1;0;0), C(l; 1;0), D(0;1;0),
Л,(0;0;1), Bi(l;0;l), С,(1;1;1), Я,(0;1;1).
Рассмотрим несколько задач,
связанных с этим кубом.
Пример 5. Найти координаты
середины М ребра CD.
Решение. Так как точка М лежит на
плоскости Оху, ее последняя координата
равна нулю. В плоскости Оху точка
М имеет координаты (|;l)> и в итоге
получаем, что М (^; 1;0).
Пример 6. Найти координаты точки
L пересечения диагоналей грани CC\D\D.
Решение. Все точки, лежащие на этой
грани, имеют вторую координату, равную
единице. На ' гем какие координаты имеет
точка пересечения диагоналей единичного
квадрата АА\В\В на плоскости Oxz.
Для этого рассмотрим рисунок 17,
откуда найдем, что L имеет координаты Л В х
Так как у точки L первая и третья координаты совпадают
соответственно с первой и третьей координатой точки L\, то точка L имеет
координаты (l;i; AJ.
Пример 7. Найти, какие из перечисленных точек лежат внутри
куба ABCDAyBiCiDi.
P(l;0;3), Q(3; 4; 2), F(i; §;!),/?(!; i;i).
%
::£'
Решение. Чтобы точка М лежала внутри единичного куба,
необходимо и достаточно, чтобы координаты (х,у, z) этой точки
удовлетворяли следующим неравенствам: 0<:г<1,0<у<1,0<г<1.
Проверяя эти неравенства для координат заданных точек, получаем,

230
Глава 8. Координаты в пространстве
что точки Р, Q, R лежат вне куба, а точка F — внутри.
Вопрос. Какая из вершин единичного куба на рисунке 16
наиболее удалена от начала координат?
Контрольные вопросы и задания
1. Как в пространстве задается прямоугольная система координат?
2. Какие координаты имеют точки, лежащие на оси 0x1
3. Какие координаты имеют точки, лежащие на оси Oyl
4. Какие координаты имеют точки, лежащие на оси Ozl
5. Какие координаты имеют точки, лежащие на плоскости Оху?
6. Какие координаты имеют точки, лежащие на плоскости Oxzl
7. Какие координаты имеют точки, лежащие на плоскости Oyzl
8. Как изобразить в пространстве точку М с координатами (а, Ь, с)
при а ф О, Ъ ф 0 и с ф О?
9. Чему на плоскости равно расстояние между двумя точками с
координатами [х\\ у\) и (хч\уч)1
10. Чему в пространстве равно расстояние между двумя точками с
координатами (х\\ 2/ь z2) и (х2; уг; *2)?
11. Чему равно расстояние от точки М с координатами (а; 6; с) до
начала системы координат?
Задачи и упражнения
\Ш
^
-5i
D У
1. В пространстве рассматривается куб
ABCDA\B\CiD\, причем вершина А
лежит в начале координат, а ребро
АВ направлено по оси Ох, ребро AD
— по оси Оу, ребро АА[ -*— по оси Oz
(рисунок 18). Пусть ребро куба
равно: а) 1; б) 2; в) 3; г) 5; д) 1,5; е) 2,5.
Найдите координаты:
В
1) всех вершин куба; 2) середины стороны AD\ 3) середины сто-

§ 1. Прямоугольная система координат в пространстве 231
роны АА\; 4) середины стороны CD; 5) середины стороны C\D\\
6) точки пересечения диагоналей В\С и С\В грани ВВ\С\С; 7)
точки пересечения диагоналей А\С и BD\ куба; 8) объем куба.
2. В пространстве рассматривается прямоугольный
параллелепипед ABCDA\B\C\D\, причем вершина А лежит в начале
координат, а ребро AD направлено по оси Ох и равно 3, ребро АВ
направлено по оси Оу и равно 2, ребро АА\ направлено по оси
Oz и равно 1. Найдите координаты:
1) всех вершин прямоугольного параллелепипеда;
2) середины стороны AD; 3) середины стороны АА\;
4) середины стороны CD; 5) середины стороны C\D\;
6) точки пересечения диагоналей В\С и С\В грани ВВ\С\С;
7) точки пересечения диагоналей А\С и BD\ прямоугольного
параллелепипеда;
8) объем параллелепипеда.
3. В пространстве рассматривается прямоугольный
параллелепипед ABCDA\B\C\D\, причем вершина А лежит в начале
координат, а ребро AD направлено по оси Ох и равно 2, ребро АВ
направлено по оси Оу и равно 4, ребро АА\ направлено по оси
Oz и равно 2. Найдите координаты:
1) всех вершин прямоугольного параллелепипеда;
2) середины стороны AD;
3) середины стороны АА\;
4) середины стороны CD;
5) середины стороны C\D\;
6) точки пересечения диагоналей В\С и С\В грани ВВ\С\С;
7) точки пересечения диагоналей А\С и BD\ прямоугольного
параллелепипеда;
8) объем параллелепипеда.
4. Найдите расстояние между точками А и В с координатами:
а) Л(1;1;1), В(1;3;2); б) А(2;1;4), В(1;5;6);
в) А(1;4;1), В(1;0;2); г) А(1;6;2), В(1;1;0);
д) А(1;0;0), В(5;4;0); е) А(1,5;0;1,5), В(0,5;0,5;0);
жМ(0,5;1,5;2,5), Я(0;1;0).
5. Найдите расстояние от точки М с координатами:

232 Глава, 8. Координаты в пространстве
а)(1;1;1); б) (1;0;4); в) (l;5;2); г) (б;2;4);
nfl-з.зу e)(i. i.iV ж\П.1.1у
А' 42*2'2/' ;\2'3'2/' ж^V2,3'6>/,
до начала системы координат.
6. Возьмем восемь точек с координатами (2;2;2), (2:2;—2),
(2; -2; 2), (-2; 2; 2), (2; -2; -2), (-2; 2; -2), (-2; -2; 2),
(—2; —2; —2). Ответьте на следующие вопросы:
а) в вершинах какого многогранника расположены эти точки;
б) какая из этих точек наиболее удалена от начала системы
координат,
в) какая из этих точек наиболее удалена от точки (2;2;2);
г) какая из этих точек наименее удалена от точки (2;2;2)?
7. В пространстве рассматривается куб ABCDA\B\C\D\, причем
вершина А лежит в начале координат, а ребро AD направлено
по оси Ох, ребро АВ — по оси Оу, ребро АА\ — по оси Oz.
Длины всех ребер куба равны 1. Обозначим через М — середину
ребра C\D\, через N точку пересечения диагоналей В\С и С\В
грани ВВ\С\С, через О — центр куба, то есть точку пересечения
всех диагоналей АС\% BD\, СА\, DB\, через L — точку с
координатами (2;0;0).
Найдите расстояние: a) AM; б) AN; в) MN\ г) OL; д) NL;
е) BL.
8. Рассматривается такой же куб, что и в упражнении 7. Какие из
перечисленных ниже точек лежат внутри куба, а какие вне него:
P(2;6;0),Q(0;0;4),fi(iii;i),5(l;i;2),F(i;0;I)?
§ 2. СВЯЗАННЫЕ ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
2.1. Векторы в пространстве определяются так же, как и на
плоскости. В этом параграфе мы рассмотрим векторы, связанные с
началом О прямоугольной системы координат.
Вектором ОМ, связанным с точкой О, называется направленный
отрезок с началом О и концом М.
Иногда вектор ОМ, связанный с точкой О, называют
радиус-вектором точки М. При этом считают, что точке О соответствует нулевой

§ 2. Связанные векторы в пространстве
233
радиус-вектор 00 который записывают в виде 0.
Каждый ненулевой связанный вектор в пространстве
характеризуется длиной и направлением.
Длина вектора ОМ определяется как длина отрезка ОМ и
обозначается |ОМ|.
Для задания направления вектора, связанного с точкой О,
рассмотрим сферу S единичного радиуса с центром О. Если М — точка
пространства, отличная от точки О, то луч ОМ пересекает сферу S
в единственной точке F. Будем говорить, что точка F задает
направление вектора ОМ.
1
2
м
^/л
У
Вопрос. В каком случае два вектора в пространстве, связанные
с точкой О, имеют одинаковые направления?
2.2. Координатами вектора ОМ в прямоугольной системе
координат называются координаты точки М.
Например, если точка М имеет координаты (1;1;1), то и вектор ОМ
также имеет координаты (1;1;1), то есть
Ш7=(1;1;1).
Вопрос. Какие координаты имеет нулевой вектор?
2.3. С помощью радиус-векторов можно задавать траектории
движения в пространстве.
Пример 1. Пусть для каждого t из промежутка [0;2] определен
радиус вектор OMt = {—t; t\ t(2 - t)).

234
Глава 8. Координаты в пространстве
Составим таблицу
t
x(t)\
y(t)\
z(t)
0
0
0
0
0:25
-0,25
0.25
0:44
0,5
-0,5
0,5
0,75
0,75
-0,75
0,75
0,94
1
-1
1
1
1,25
-1,25
1,25
0,94
1,5
-1,5
1,5
0,75
1,75
-1,75
1,75
0,44
2
-2
2
0
Поставив по этой таблице точки Mt с
координатами (x(t)\ y(t); z{t)), можно
получить представление о траектории
движения (рисунок 3).
Вопрос. Какую траекторию
движения определяет радиус-вектор OMt =
= (0; 2t; t) для t из промежутка [0,3]?
2.4. Определим в пространстве сумму
связанных векторов.
Суммой двух векторов, связанных с началом О системы координат,
называется вектор, координаты которого равны суммам
соответствующих координат слагаемых.
Таким образом, если ОМ = (xi;y\\z\) и ON
{Х2\У2\22), то по
определению
ОК = ОМ + UN = (х, + х2; ух + у2; *\ + г2).
Пример 2. Пусть a = ОМ = (3; 0; 1),
6 = <Ж = (1;0;2) (рисунок 4). Тогда
с = а + Ь= (3 + 1; 0; 2 + 1) = (4;0;3) = UK.
Заметим, что в этом примере векторы а,
6, с лежат в плоскости Oxzy а правило
сложения векторов соответствует
"правилу параллелограмма".
Пример 3. Пусть о = UM = (2; 0; 3)
Ь = UN = (0; 5; 0) (рисунок 5). Тогда
с = а+Ъ= (2+0; 0+5; 3+0) = (2; 5; 3) = UK.

§ 2. Связанные векторы в пространстве
235
Заметим, что в этом примере OMKN —
прямоугольник. Поэтому правило
сложения векторов также соответствует
"правилу параллелограмма".
Вопрос. Какой вектор в сумме с
вектором a = (1; —2; 3) дает вектор с =
= (-1;2;-3)?
2.5. В пространстве вектор х
называется противоположным вектору а, если
а + х = б.
Вектор х, противоположный вектору а,
обозначается как —о.
Вопрос. Как построить вектор,
противоположный вектору (2:3;4)?
2.6. С помощью противоположных
векторов в пространстве определяется
операция вычитания.
Пусть а иЬ — векторы, связанные с точкой О. Тогда разностью a — b
называется вектор, равный сумме векторов а и —Ь.
Пример 4. Пусть a = UM = (0; 2; 0) и Ь = UN = (0; 0; 3)
(рисунок 6). Тогда -UN = UK = (0; 0; -3), а поэтому
a - Ь = UM -UN = UM + Ш=(0; 2; -3) = UP.
Вопрос. Пусть OAMBCKLN - - куб
с ребром единица, расположенный так,
как на рисунке 7. Чему равна разность
UL-UM?
2.7. Определим в пространстве
произведение связанного вектора на число.
К
Ш
N
ТВ У
м

236
Глава 8. Координаты в пространстве
Произведением вектора ОМ = (а; 6; с) на число t называется вектор
ОК с координатами (ta\ tb\ tc).
Вопрос. Как на рисунке 7 изобразить произведение вектора TJL
на число t = i ?
2.8. В пространстве геометрические свойства, связанные с
умножением вектора на число, аналогичны свойствам этой операции для
векторов на плоскости.
Пусть о = UM ф 0.
При умножении вектора а на число t > 0 получается вектор ta, имею-
щий направление вектора а, и длина которого равна t\a\. При
умножении вектора а на число t < 0 получается вектор ta, имеющий
направление, противоположное направлению вектора а, и длина которого
равна \t\ • \a\.
Вопрос. Какой вектор получается при умножении вектора а на
число нуль?
2.9. На плоскости каждый связанный вектор удается разложить
по двум неколлинеарным векторам. Это значит, что если векторы
ОА и ОВ не лежат на одной прямой, то для каждого вектора ОМ
плоскости найдутся числа х vl у такие, что
UM = х • ТТЛ + у • Ш.
В пространстве такое свойство уже не выполняется. Например,
пусть ТУА = (1;0;0) и ОВ = (0;1;0). Тогда при любых х и у вектор
х • ОА + у - ОВ имеет координаты, которые вычисляются следующим
образом:
х • (1;0;0) + у • (0; 1;0) = (*;0;0) + (0;у;0) = (х;у;0).
Следовательно, третья координата всегда равна нулю. Но это
означает, что, например, вектор ОС = (0;0; 1) разложить по векторам UA
и ОВ невозможно.
Однако, в пространстве каждый вектор, связанный с точкой О,
удается разложить по трем векторам ОА, ОВ, ОС, не лежащим в одной
плоскости. Доказывать это мы не будем, а ограничимся примером.

§ 2. Связанные векторы о пространстве
237
ОМ=40А+2ОВ+5ОС
Пример 5. Пусть а = Ш = (1;0;0),
6 = ОБ = (0;1;0), с = UC = (0;0;1).
Рассмотрим вектор ОМ с координатами
{m;n;k). Тогда
ОМ - (m;n\k) = (m;0;0) + (0;n;0)+
+ (0; 0; fc) = m • (1; 0; 0) + n • (0; 1; 0)+
+&• (0;0:1) = ma+ n 6 +A; • r.
Тем самым вектор ОМ разложен по трем
векторам a, Ь, с.
Вопрос. Какой вид имеет разложение вектора ОМ по векторам а,
6, с из рассмотренного примера, если точка М лежит в координатной
плоскости Oyz ?
2.10. В пространстве операции сложения векторов и умножения
векторов на число имеют свойства, аналогичные тем, которые
изучались для векторов на плоскости. Напомним эти свойства.
1. a + 6 = 6 + a.
2. а + {Ь + с) = {а + Ъ)+с.
3. а + б = а.
4. а + (-а) =0.
5. £ • (sa) = (£a) • a.
6. t- (a + 6) = ta -f ^6.
Опираясь на эти свойства и свойства арифметических операций,
можно получать и другие свойства.
Вопрос. Как доказать, что (t - s)a = f • a — 5 • a?
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое направленный отрезок?
2. Дайте определение вектора, связанного с точкой О.
3. Что такое радиус-вектор точки М?
4. Какой связанный вектор называется нулевым?

238
Глава 8. Координаты в пространстве
5. Как определяется длина связанного вектора?
6. В каком случае два связанных вектора имеют одинаковое
направление?
7. Как определяются координаты вектора в пространстве,
связанного с началом системы координат?
8. Поясните, как с помощью радиус-вектора можно задавать
траекторию движения точки.
9. Как в пространстве определяется сумма двух связанных
векторов?
10. В каком случае сумма двух связанных векторов в пространстве
равна нулевому вектору?
11. Как определяется вектор, противоположный вектору а?
12. Как определяется разность двух векторов?
13. Как определяется произведение связанного вектора на число?
14. Какие геометрические свойства имеет операция умножения
связанного вектора на число?
15. Что означает на плоскости разложение вектора по двум
составляющим?
16. Что означает в пространстве разложение вектора по трем
составляющим?
17. Каковы основные свойства операций над связанными векторами?
Задачи и упражнения
1. Найдите в пространстве ГМТ концов векторов ОМ, если
\Ш\ = 2.
2. Найдите в пространстве ГМТ концов векторов ОМ, если все
векторы ОМ сонаправлены.
3. Что можно сказать о координатах вектора ОМ в пространстве
если точка М лежит:
а) на оси Ох; б) на оси Оу;
в) на оси Oz; г) в плоскости Оху;
д) в плоскости Oxz\ е) в плоскости Oyzl

§ 3. Операции над векторами
239
4. В координатном пространстве изобразите вектор ОМ с
координатами:
а)(1;2;3); б) (-1;2;3); в)(2;-1;3);
г)(3;-1;-2); д) (-2;-3;-1); е)(1;-3;2).
5. Пусть для t из отрезка [0;2] положение движущейся точки
определяется радиус-вектором OMt. Найдите траекторию движения,
если:
a) UMt = (t- 0; 2t - t2)] 6) UMt = (0; It - t2; t);
в) TJMt = {t; 2t - t2; -t); r) UMt = (t2 - 2t\ t; t).
§ 3. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
3.1. Как и на плоскости, в пространстве рассматривают векторы,
связанные с разными точками. При этом очень важным становится
понятие равенства векторов. Определять равенство векторов удобнее
всего, если сначала с использованием системы координат для каждого
вектора определить координаты.
Пусть точка А имеет координаты (xi;yi;2i), а точка В имеет
координаты (x2;j/2?^2)- Тогда координатами вектора АВ, связанного с
точкой Л, называется тройка чисел
(x2-xi;y2 -y\',z2 - z\).
Иногда это правило формулируют следующим образом.
Для того, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца
вектора вычесть соответственные координаты его нача; »э.
Записывать вектор а через его координаты (m\n\k) можно в виде
равенства
а = (77i; п; А;).
Вопрос. Какие координаты имеет вектор В А, если известно, что
АВ = (1;-2;3)?
3.2. Определим с помощью координат равенство векторов.
Два вектора АВ и CD, связанные с точками А и С, называются
равными, если соответственные координаты этих векторов равны.

240
Глава 8. Координаты в пространстве
Вопрос. Равны ли два вектора a = (1; 2; 3) и b = (3; 2; 1)?
3.3. Геометрически ненулевые равные
векторы АВ и CD имеют равные длины
и одинаковые направления. Это означает,
что отрезки АВ и CD равны, лежат либо
на одной прямой, либо на параллельных
прямых и что векторы АВ и CD
направлены "в одну сторону" (рисунок 1).
Наглядно одинаковая направленность векторов воспринимается вполне
естественно. Однако, строгое определение одинаковой
направленности векторов непростое и мы его приводить не будем.
Вопрос. Какие два вектора следует называть противоположно
направленными?
3.4. Понятие равенства векторов позволяет установить удобные в
некоторых случаях правила сложения и вычитания векторов,
связанных с фиксированной точкой О.
Рассмотрим векторы ОА и ОВ. Пусть
в прямоугольной системе координат с
началом О вектор ОА имеет координаты
(^bJ/i;2i), вектор ОВ имеет координаты
(^2;У2;-г)- По определению вектор ОА+
+ОВ — это такой вектор ОС, координаты
которого равны (хх+х2; у\+уъ; zx + z2).
Отсюда получаем, что точка С также имеет
координаты (х\+ +X2;yi +У2;<*1 + -з)-
Рассмотрим вектор Ж?, связанный с
точкой А. Координаты вектора Ж7
получаются вычитанием из координат
точки С соответствующих координат точки
А. Следовательно, этот вектор имеет
координаты Ori+x2-xi; yi+t/2- 2/1; 2i+22 -zi)
или (х2\ У2\ ^2). Получаем, что координаты
вектора АС равны соответствующим
координатам вектора ОВ, а поэтому АС =
= ОВ (рисунок 2).
Полученное равенство дает следующее

§ 3. Операции пад векторами
241
правило построения суммы двух векторов
ОА и ОВ: строим вектор АС, равный
вектору UA, и сумму UA + ОВ получаем
как вектор ОС (рисунок 3).
Это правило кратко записывают в виде
равенства
OA + A£ = UC
и иногда называют "правилом
треугольника" сложения векторов.
Пример 1. Пусть точки A(xi;0;Q) и
В(х2,0',0) расположены на оси Ох.
Найдем вектор АС, равный вектору ОВ.
Если обозначить координаты точки С как
(р;д;г), то с одной стороны, вектор АС
имеет координаты (р — Xi,q;r), ас
другой стороны, координаты вектора АС
равны соответствующим координатам
вектора ОВ, то есть (а:2;0;0). Поэтому
р - Х\ = х2,
О, г = О,
откуда получаем, что точка С имеет
координаты (xi +Я2;0;0). По "правилу
треугольника" имеем
Ш+UB = Ш+Ж = UU = (х!4-х2;0;0)
(рисунок 4).
Пример 2. По "правилу
треугольника" для любой точки А имеем равенство
Следовательно, вектор х,
противоположный вектору ОА, равен вектору АО.
и
•Н
в
о
Ах

242
Глава 8. Координаты в пространстве
Вопрос. Пусть даны векторы ОА и
ОВ. Рассмотрим векторы АС = ОВ и
BD = ОА. Как доказать, что в этом
случае точки С и D совпадают?
3.5. "Правило треугольника" удобно
применять при сложении нескольких
векторов.
Пример 3. Пусть точка О и точки А,
Ву С, D расположены так, как на
рисунке 6. Для вычисления суммы ОА -f ОВ+
+OC+OD построим последовательно
сначала AM = OB, затем MN = ОС, затем
NK = OD (рисунок 7). По "правилу
треугольника" имеем:
7JA + UB = Ш + Ш = Ш;
{UA + UB) + UU = Ш + ТЮ =
(UA + UB + TJ£)+UD = UN + UD =
= тт+ш = ш.
Таким образом, сумма ТТЛ + ОВ ■+■ ОС+
+OD равна вектору ОК (рисунок 8).
Рассмотренный в этом примере
способ вычисления суммы векторов
называют "правилом многоугольника".
Вопрос. Как найти сумму трех
векторов, связанных с точкой О, по "правилу
многоугольника" ?
3.6. Рассмотрим векторы ОА и ОВ, связанные с точкой О.
Разность ОВ — ОА была определена как такой вектор х, для которого
выполняется равенство
Ш + х = ОВ.

§ 3. Операции над векторами
243
Так как по "правилу треугольника" имеем равенство
то вектор х равен вектору АВ (рисунок 9).
В результате получаем следующее правило
Разность ОВ-ОА двух векторов,
связанных с точкой О, равна вектору, начало
которого совпадает с точкой А, а конец
совпадает с точкой В.
Это правило кратко записывают в виде
равенства
ив-ш = ^в
О
и иногда называют "правилом
треугольника" для вычитания векторов.
Пример 4. Пусть точка движется по
некоторой траектории (рисунок 10), и ее
положение в момент времени t\
определяется радиус-вектором UA, а в момент
времени ^ — радиус-вектором OB. Тогда
смещение точки за этот промежуток
времени определяется разностью ОВ — ОА,
так как
1Б = ив-т.
Вопрос. Как доказать, что ОА—
-Ш = 0?
3.7. Пусть в пространстве задана прямоугольная система
координат с началом О. Рассмотрим на примерах, как находить координаты
точек прямой, проходящей через две заданные точки А и В.
Пример 5. Пусть Л(1;~2;3), В(2;1;5) и известно, что точка М
расположена на отрезке АВ так, что \АМ\ : \АВ\ =2:5. Найти
координаты точки М.
вычитания векторов.

244
Глава 8. Координаты в пространстве
Решение. Рассмотрим векторы AM и
АВ (рисунок 11). Так как точки А, М,
В лежат на одной прямой, то эти
векторы коллинеарны, одинаково направлены
и поэтому AM = t • IB, где t = ИЙ- = §.
По определению координаты вектора ОМ
равны координатам точки М.
Следовательно, найдя координаты вектора ОМ,
мы получим координаты точки М. Для
вычисления координат вектора ОМ
воспользуемся операциями над векторами:
UM = Ш + Ш = ТТА +1- IB = Ш + t- (UB - Ш) =
= (1;-2;3) + |.((2;1;5)-(1;-2;3)) =
= (1; -2; 3?) + | - (1; 3; 2) = (1; -2; 3) + (§; §; *) =
= (£-f;£) = (M;-0,8;3,8).
В итоге получаем, что М(1;4; -0,8; 3,8).
Пример 6. Пусть А(—2; 1;0), В(3; —2; 4) и известно, что точка К
расположена на луче АВ так, что \АК\ : \АВ\ = 3. Найти координаты
точки К.
Решение. Рассмотрим векторы АК и
АВ (рисунок 12). Так как эти векторы
коллинеарны, одинаково направлены, то
TlR = ЪХВ. Поэтому Ш = UA + Ж =
= Ш + 3 • А5 = (-2; 1; 0) + 3 • ((3; -2; 4)-
-(-2;1;0)) = (-2;1;0)+3.(5;-3;4) =
= (-2; 1;0) + (15; -9; 12) = (13; -8; 12).
Пример 7. Пусть А(-5;3;-1),
В(1;3; -3) и известно, что точка L
расположена на луче, дополнительном к лучу
АВ, причем \АМ\ = i|AB|. Найти
координаты точки L.
ию
в
[Ш

§ 3. Операции над векторами
245
Решение. Рассмотрим векторы ХС и
АВ (рисунок 13). Так как эти
векторы коллинеарны и противоположно
направлены, то ~KL = —):АВ. Поэтому UL =
= ОА + Ж = ТТЛ - \АВ
(-
Ч(1;3;-3)-
5;3;-1)-
2 vv.,., ., (_5;3;-1)) = (-5;3;-1)-
-1 .(6;0;-2) = (-5;3;-1)-(3;0;-1) =
= (-8;3;0).
Вопрос. Какие координаты имеет
середина отрезка с концами Л(10;11;12) и
В(-6;-7;-8)?
3.8. Пусть Д(га; n; А:), В(р\ q\ г) и известно, что точка М на прямой
АВ, причем AM = t • АВ. Выполняя вычисления, аналогичные тем,
которые проделывались в предыдущем пункте, получим
ОМ = (га + t(p - m); n + t(q -n);k + t(r - k)).
Если координаты точки M обозначить в виде (я; у; z), то тогда
можно записать:
х — га + t(p - га),
y = n + t(q-n)y
z = k + t{r- к).
Запись координат точек прямой в таком виде иногда называют па-
раметрическим заданием прямой или представлением прямой в
параметрическом виде. Перебирая значения параметра £, мы можем
получать всевозможные точки рассматриваемой прямой.
Вопрос. Каким значениям параметра t соответствуют точки А и
В при параметрическом задании прямой АВ?
3.9. Предположим, что в координатном пространстве с началом
О известны точка А(т;п\к), через которую проходит прямая /, и
ненулевой вектор р = (а; 6; с), параллельны этой прямой. Тогда для
каждой точки M(x;y;z) прямой / вектор AM коллинеарен вектору р,
а поэтому по признаку коллинеарности векторов AM = t • р, где t —
некоторое число. Для выражения координат точки М через t снова
вычислим координаты вектора ОМ:

246
Глава 8. Координаты в пространстве
7Ш = UA + AM = UA + tp=(m + ta;n + tb;k + tc).
Отсюда
х = m -f £a, t/ = n + Й, z = fc + tc.
Заметим, что если в предыдущем пункте за вектор р принять вектор
АВ, то формулы данного пункта совпадут с теми, которые приведены
в предыдущем пункте.
Иногда вектор, параллельный данной прямой называют
направляющим вектором этой прямой.
Вопрос. В каком случае две прямые, заданные в
параметрическом виде, будут параллельны?
Контрольные вопросы и задания
1. Как в пространстве определяются координаты вектора?
2. Какие векторы называются равными?
3. Какой геометрический смысл имеет равенство векторов?
4. Сформулируйте "правило треугольника" для сложения
векторов.
5. Сформулируйте "правило многоугольника" для сложения трех
и большего числа векторов.
6. Как находить координаты точек прямой, проходящей через две
заданные точки?
7. Что называют параметрическим заданием прямой?
8. Как представить в параметрическим виде прямую, которая
проходит через данную точку и параллельна заданному вектору?
Задачи и упражнения
1. В координатном пространстве заданы векторы а и 6 с
координатами:
а) a = (3; 1;4), Ь = (1;4;2); б) a = (-3; -1; 1), 6 = (2;2; 1);
в)а = (1;0;1),6 = (1;-1;1); г) а = (I; I; 1), 6 = (§; I; |).

§ 3. Операция над векторами
247
в)а=(1;0;1),6=(1;-1;1);
r)a = (I;i;l),6 = (2;I;5).
Найдите координаты векторов:
2а; -36; 1а; \Ъ; \а + IS; £а - 1&.
В координатном пространстве заданы векторы а, 6, с с
координатами:
а) а = (1; 1; -1), Ь = (2; -1;3), с = (I; I; I);
б) a = (1; -2;3), Ъ = (1;3; -2), с = (-3;2;-1);
в)а = (1;1;1),6 = (1;0;1),с = (1;-1;1);
r)a=(-l;-l;0),6=(2;0;l),c=(0;2;-3).
Найдите координаты векторов:
a = b + c;a — b + c;
-а + b + с; ^а + Ь + ^с;
la+16+1с.
В кубе вершины и середины ребер
обозначены, как указано на
рисунке 14. Используя обозначенные
точки, укажите все векторы, равные
вектору:
а) TJD, б) 3^F,
в) Ш; г) FE,
д) IF, е) ЗЩ
ж)ЗГВГ.
В правильной четырехугольной
пирамиде вершины, центр основания и
середины ребер обозначены, как
указано на рисунке 15. Используя
обозначенные точки, укажите все
векторы, равные вектору:

248
Глава. 8. Координаты в пространстве
a) DL; 6) ТВ; в) UE; г) Ш;
д) DG; е) EL; ж) Ш; з) Ml.
5. На рисунке 14, используя обозначенные точки, запишите вектор,
равный:
г)1Б + ТП', б)Ш + Ш1; в)АР + 37Г;
г)7?Р + Щ; д)Та + Ш; е)ТВ1 + Ш[.
6. На рисунке 15, используя обозначенные точки, запишите вектор,
равный:
а)ЛГ + £7Г; 6)FJ + WC; в) ТГА + LF;
г)^ + Ш; д^ + ё7!?; е)^£ + АР.
7. На рисунке 14, используя обозначенные точки, запишите вектор,
равный:
а)АР-Б^; 6)DQ-UN; в)Ш-Р$;
г)>1Я-ЯВГ; д)777-фЯ; е)~Ш-Ш.
8. На рисунке 15, используя обозначенные точки, запишите вектор,
равный:
а)>1Е-Щ б)Ш-Ш; ъ)Ж-ЁО;
r)7?E-SW; д)(7Е-Ш; e)TE-FB.
9. В координатном пространстве точка М лежит на отрезке АВ.
Найдите координаты точки М, если известно, что:
а) Л(-1; 2; -3), В(4; 12; -8), |ЛЛГ| : \АВ\ = 2:3;
б) Л(2; 7; -4), £?(-4; 1; 8), |ЛМ| : \АВ\ = 1:5;
в) Л(5;0;3), В(-7;-6; -1), |ЛМ| : |МВ| = 3:1;
г) Л(-8; 5; -1), В(6; -2; 6), |ЛВ| : \МВ\ =4:3;
д) Л(3; -1;2), В(5; -3; -4), |ЛМ| = 3\ВМ\;
е) Л(4; -3; 7), В(-1; 2 - 3), |ВМ| = 4\АМ\.
10. В координатном пространстве точка М лежит на луче АВ.
Найдите координаты точки М, если известно, что:
а) Л(1;3;2), В(5; -7; 6), \АМ\ : |ЛВ| = 3:2;

§ 3. Операции над векторами
249
б) Л(-2;5;1), В(1;2;-5), \АМ\ : \АВ\ = 5 : 3;
в) Л(4; -3; -2), В(-2; 6; -8), \АМ\ : \МВ\ =4:3;
г) Л(7;9;11), В(-5;1;3), |ЛВ| : \МВ\ = 1 : 4;
д) Л(5; -5;3), В(1; -1; -1), \АМ\ = 5|ЛБ|;
е) Л(-4;3;-1), В(6;5;-3), \ВМ\=А\АВ\.
11. В координатном пространстве точка М лежит на продолжении
отрезка АВ. Найдите координаты точки М, если известно, что:
а) Л(4;1;2), В(-2;4;8), \АМ\ = \\АВ\;
б) А(-2;3;4), В(-6;7;0), \АМ\ = \\AB\-
в) Л(1;-2;3), В(-3;2;7), |ЛМ| = \\BM\-
г) Л(-3;-4;-2), В(-2;-1;0), |ЛЛ/| = \\ВМ\.
12. Задайте в параметрическом виде прямую АВ, если:
а)Л(5;4;1), Б(7;8;5);
б) А(-3;2;-1), Я(-5;5;-3);
в) Л(3;-1;2), Я(1;4;1);
г) А(-2;-3;4),В(-1;2;1).
13. Задайте в параметрическом виде прямую, которая проходит
через точку А и параллельна вектору т, если:
а) А(3;1;-2), т(1;2;3);
б)А(-2;-4;-3), т(-1;-3;-2);
в) А(2;-4;5), т(3;-1;4);
г)Л(4;1;-2),т(5;0;0).
14. Для куба ABCDA\B\C\D\ с ребром 2 прямоугольная система
координат выбрана так, что £(0; 0; 0), Л(2; 0; 0), С(0; 2; 0), Б^О; 0; 2).
Задайте в параметрическом виде прямую, которая проходит:
а) через вершины А и А\\
б) через вершины D и С\\

250
Глава 8. Координаты в пространстве
в) через вершины А\ и С;
г) через вершину D и середину ребра В\С\,
д) через вершину А\ и середину ребра СС\\
е) через середины ребер АВ и В\С\.
15. Для правильной четырехугольной пирамиды SABCD с
вершиной 5, основанием ABCD и высотой S# прямоугольная
система координат выбрана так, что #(0;0;0), 5(0; 0;3), А(1\—1;0),
В(—1;—1;0). Задайте в параметрическом виде прямую, которая
проходит:
а) через вершины А и В;
б) через вершины D и В;
в) через вершины 5 и С;
г) через вершину А и середину ребра SB;
д) через вершину В и середину ребра SD;
е) через середины ребер АВ и 5С;
ж) через середины ребер AD и 5Л;
з) через середины ребер SD и SB.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Приближенные вычисления 7
§1. Откуда "берет" ответы калькулятор? 7
§2. Семь раз отмерь ... 10
§3. ... Один раз отрежь 19
§4. Сколько дней в году? 26
§5. Вместо деления — вычитание! 35
§6. Как найти квадратный корень 38
Глава 2. Наглядная стереометрия 42
§1. Параллельное проектирование 42
§2. Перпендикулярность 54
§3. Сечения куба и прямоугольного параллелепипеда 58
§4. Правильные четырехугольная и треугольная пирамиды 63
§5. Сфера и шар 70
§6. Цилиндр и конус 73
Глава 3. Аксиоматический метод в математике 79
§1. Об аксиомах 79
§2. "Начала" Евклида 80
§3. Система аксиом Гильберта 83
§4. Отличительная особенность в математике 89
§5. Высказывания и предложения с переменными 93
§6. Логические связки 100

252
Оглавление
§7. Теоремы. Необходимые условия. Достаточные условия 106
Глава 4. Действительные числа 113
§1. Рациональные числа и их свойства 113
§2. Способы записи рациональных чисел 120
§3. Иррациональные и действительные числа 123
§4. Свойства действительных чисел 132
Глава 5. Показательные и логарифмические функции 138
§1. Степень с рациональным показателем 138
§2. Показательная функция 147
§3. Логарифмическая функция 152
Глава 6. Периодичность 162
§1. Площадь круга и длина окружности 162
§2. Радианное измерение углов 165
§3. Синус, косинус и тангенс числового аргумента 169
§4. Основные тригонометрические формулы 173
§5. Формулы двойного и половинного аргумента 177
§6. Простейшие тригонометрические уравнения 180
§7. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим 190
§8. Периодические функции 192
Глава 7. Элементы теории вероятностей 200
§1. Классическое определение вероятностей 200
§2. Геометрические вероятности 208
§3. Понятие о законе больших чисел 214
Глава 8. Координаты в пространстве 223
§1. Прямоугольная система координат в пространстве 223
§2. Связанные векторы в пространстве 232
§3. Операции над векторами 239

СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТИ II
Предисловие
Глава 1. Начала стереометрии
§1. Основные понятия стереометрии
§2. Параллельность прямых в пространстве
§3. Взаимное расположение прямой и плоскости
§4. Параллельность плоскостей
Глава 2. Предел и непрерывность
§1. Предел последовательности
§2. Непрерывность и пределы функций
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве
§1. Перпендикулярность прямой и плоскости
§2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости
§3. Теорема о трех перпендикулярах
§4. Перпендикулярность плоскостей
Глава 4. Касательные и производные
§1. Определение касательной
§2. Уравнение касательной
§3. Примеры касательных
§4. Производная, ее геометрический и физический смысл
§5. Основные правила вычисления производной
§6. Производная сложной функции

254
Содержание части 11
Глава 5. Плоскости в пространстве
§1. Угол между двумя прямыми в пространстве
§2. Двугранные углы
§3. Угол между прямой и плоскостью
Глава 6.Исследование функций
§1. Теорема Лагранжа о среднем
§2. Основные этапы исследования функций
§3. Построение графиков функций
§4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения
Глава 7. Координатный метод в пространстве
§1. Скалярное произведение векторов
§2. Уравнение плоскости
§3. Угол между прямыми в пространстве
§4. Угол между плоскостями
§5. Угол между прямой и плоскостью
§6. Расстояние от точки до плоскости
Глава 8. Уравнения с неизвестной функцией и ее производной
§1. Первообразная
§2. Правила нахождения первообразных
§3. Простейшие уравнения с неизвестной функцией
и ее производными
§4. Движение искусственных спутников и ракет
Глава 9. Площади и объемы
§1. Площадь и определенный интеграл
§2. Объем
§3. Перпендикуляры и углы на модели Пуанкаре
§4. Окружность и эквидистанта в плоскости Лобачевского

Учебное издание
Член корреспондент РАО, доктор физико-математических наук,
профессор Никитин Александр Александрович;
доктор физико-математических наук,
профессор Белоносов Владимир Сергеевич;
доктор физико-математических наук,
профессор Зеленяк Тадей Иванович;
доктор физико-математических наук,
профессор Саханенко Александр Иванович;
доктор физико-математических наук,
профессор Смирнов Дмитрий Матвеевич;
доктор физико-математических наук,
доцент Вишневский Михаил Петрович;
кандидат физико-математических наук,
доцент Мальцев Андрей Анатольевич;
кандидат физико-математических наук,
доцент Марковичев Александр Сергеевич;
доцент Войтишек Вацлав Вацлавович;
доцент Михеев Юрий Викторович
МАТЕМАТИКА
Учебник для десятых-одиннадцатых классов
средних общеобразовательных учебных заведений
Часть I
Оригинал-макет подготовила Т. В. Иванова
Подписано в печать 15.05.00 Формат 60 х 84/16
Заказ №114 Уч.-изд. л. 16
Тираж 500
Лицензия ЛР №020853 от 31 января 1999 г.
Издательство ИДМИ
Отпечатано на полиграфическом участке ИДМИ,
630090, Новосибирск-90, Пирогова, 2