Аверсэв
В. В. Казаков
Наглядная
геометрия
Приложение к учебным пособиям для 10 класса: «Геометрия» (автор В. В. Шлыков); «Математика» (авторы Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский) г А J	Опорные конспекты
Задачи по теме «Введение в стереометрию»
Многогранники
I.20 У призмы 11 граней. Сколько у нее вер-
шин?
I 2J У пирамиды 8 граней. Сколько у нее ре-
бер?
Ответ:
Ответ:
СО У пирамиды 25 вершин. Сколько у нее гра-
ней?
СО Дана двенадцатиугольная призма. Сколько
у нее граней?
Ответ:
Ответ:
СО В n-угольной призме 102 ребра. Найдите
число и.
6 В и-угольной пирамиде 52 грани. Найдите
число п.
Ответ:
Ответ:
СО У пирамиды 16 ребер. Сколько у нее вер-
шин?
j ) У призмы 19 граней. Сколько у нее ребер?
Ответ:
Ответ:
Многогранники
C?J Дапо:Л...С, правильная призма, Рлас
= 24,
Найти: S(m.
Ответ-.
ДО.1 Дано:A...Ct — правильная призма, Р{цС[)= 16
^лл,о,о = 22.
Найти: 5ЖММ.
Ответ:
(ДЪ1 Дано: A...Dt — прямой параллелепипед,
основание ABCD — квадрат.
Найти: 5|1М11.
Ответ:
Ответ:
Д 2^1 Дано: Л...D, — правильная призма, ABCD
основание.
Найти: 5„К1Н.
ДЗ Дано: А...С. — правильная призма. Л С= 20.
ВС = 16.
Найти: 5Ь1К.
Ответ:
Ответ:
Д*> Дано: A..JD — прямой параллелепипед
ABCD — основание. АС = BD = 10. AD = 8
АВ = 5.
Найти: 5|Кк,„.
C1®J Дано: Л...С, — прямая призма, ВВ}С,С —
квадрат.
Найти: 5„П,1Н.
Ответ:
Дано: Л...С, — прямая призма. ЛВВД, -
квадрат.
Найти: Sfnli.
Ответ:
ТЕМА 1. Введение в стереометру
Многогранники
fl?) Дано: A...D{ — прямая призма, ABCD —
ромб, Рыси = 36, DD^CfC — квадрат.
Найти: 5,|а,н.
1.18.J Дано: А...О, — параллелепипед, все грани —
равные ромбы, 51|ШИ = 48>/3.
Найти: х.
Ответ:
Ответ:
Дано: А...С\ — правильная призма, 5ЛВС=
= 16>/3, ВВ^С — квадрат.
Найти: S,
'Лж-
Ответ:
1 .,20) Дано: A...Ct — прямая призма, $лвс = 24,
BB^CfC — квадрат, АВ = 8.
Найти: $11ПЛ„.
Ответ:
,21 Дано: A...D} — прямая призма, ABCD — рав-
нобедренная трапеция.
Найти: 5пади.
Ответ:
,22*J Дано: A...Di — прямая призма. ABCD — рав-
нобедренная трапеция.
Найти: 5|К1,„.
Ответ:
23* Дано: Л...С, — прямая призма, АС} = 13,
zlB = 4,BC = 3.
Найти: 511о.,„.
Ответ:
Ответ:
(24*) Дано: А...С, — прямая призма, S4BC = 54,
ЛЛ, = 10, ок = з.
Найти: 5fH)K.
23
Задачи по теме "«Введение в стереометрию
Многогранники
25 даИо; SABCDE -
правильная пирамида,
AS =13, СК = 5.
Найти:
(26 Дано: SABCDEF — правильная пирамида,
ВС= 14,50 = 25.
Найти: 5Лж.
5
Ответ:
127 I Дано: DABC — правильный тетраэдр, бис-
сектриса DM = V12.
Найти: АС + BD.
Ответ:
Дано: Л...С, — прямая призма, 5,ltLtl,= 900.
Найти: АЛ,.
Ответ:
Дано: SABCD —
ДА5С — прямоугольный, AS =10.
правильная пирамида,
Найти: 5(И.„.
Ответ:
28 1 Дано: DABC — правильный тетраэдр,
Рмкг~ + 1.
Ответ:
Найти: АВ + DC.
30
Дано: A...DX — прямоугольный параллеле-
56 =
Дано: SABCD — правильная пирамида,
л/20, SKSM — равносторонний.
Найти: Smi.
Ответ:
ТЕМА 1. Введение в стереометру
Аксиомы стереометрии
Дано: Л...С, — правильная призма.
Найти: 5С„, проходящего через прямую Л,С,
и вершину В.
Ответ:
34 Дано: А.. .С| — правильная призма.
Найти: 5^,, проходящего через прямую АС и точ-
(35J Какие две прямые не могут лежать в одной
плоскости?
1)	Пересекающиеся;
2)	параллельные;
3)	скрещивающиеся;
4)	все указанные могут лежать в одной плоско-
сти.
можно задать:
1)	одной точкой;
2)	двумя различными точками;
3)	тремя точками, не лежащими на одной пря-
мой;
4)	четырьмя произвольными точками.
Ответ:
® Дано: A...Ct - куб,= 12.
Найти: периметр сечения куба плоскостью, про-
ходящей через вершины Др Ct и D.
Ответ:
,38 1 Дано:Л...С, — правильная призма.
Найти: периметр сечения призмы плоскостью,
проходящей через точки М, К и D.
Ответ:
39 Сколько плоскостей проходит через пря-
мую ВС и вершину Л| данного параллелепипеда?
1,40.1 Сколько плоскостей проходит через вер-
шины В, С и D, данного куба?
1)	Одна;
2)	две;
3)	ни одной;
4)	бесконечно много.
Ответ:
1)	Одна;
2)	две;
3)	ни одной;
4)	бесконечно много.
Ответ:
□ поим по так да «Роапаиио r гтдпрлмртпию»
Аксиомы стереометрии
41^) Точки А, В, С, D не лежат в одной плоско-
сти. По какой прямой пересекаются две плоско-
сти, проходящие через точки А, В, С и А, С, D?
1)	По прямой АВ;
2)	по прямой АС;
3)	плоскости не пересекаются;
4)	зависит от расположения точек А, В, С, D.
сти.
Точки М, N, Р, К не лежат в одной плоскс
Какое утверждение верно?
1)	Л/Р и NK параллельны;
2)	Л/Р и NK пересекаются;
3)	Л/Р и NK скрещиваются;
4)	утверждения 1—3 неверны.
Ответ;
Ответ:
Какие прямые пересекает прямая РК?
iyA^nDC;
2)ДЛ( и AD;
3) л,в, и AD;
4)О,С,.
ЛЛ в какой из точек прямая MN пересекае
плоскость АВС?
Ответ:
1)ЛГ;
2) К;
3)Р,
4)D.
Ответ;
45 Плоскость AOD пересекает плоскость BDC
по прямой:
l46j Одна плоскость задана прямыми AS и CS
другая — прямыми BD и SD. Эти плоскости пе-
1)	DO;
2)	AM;
3)	DM;
A) DC.
Ответ:
ресекаются по прямой:
1)ДС;
2)5D;
3)Л5;
4)50.
Ответ;
(,47*J По какой прямой пересекаются плоскость
сечения PNM и плоскость грани АА1В1В?
1) NP,
2) NK;
3) РМ;
4)КР.
Укажите правильную последовательностт
построения прямых для нахождения сечения куба
плоскостью, проходящей через точки М, У К.
1)	GP, PT, TG;
2)	GT, GP, PT;
3)	TP, TG, GP,
4)	PG, GT, TP.
Ответ:
Ответ;
ТЕМА 1. Введение в стереометри
Аксиомы стереометрии
,49., Для нахождения точки пересечения пря-
мой МК с плоскостью АВС нужно продлить МК
до пересечения с прямой:
1)£>С;
2) АВ:
3)ВС:
i)AC.
Ответ:
50 Для построения сечения пирамиды пло-
скостью MNK нужно:
1)	соединить точки W и К;
2)	продлить MN до пересечения
с прямой АС в точке Е, прове-
сти ЕК:
3)	продлить MN до пе-
ресечения с прямой АВ
в точке Е, провести ЕК:
4)	соединить точки В
uN.
Ответ:
Л1 Прямая MN лежит в плоскости ABD. Ка-
кую прямую пересекает MN?
i)DC-,
2) АС:
3)АВ:
4) ВС.
Ответ:
1.52J Прямая а лежит в плоскости AyBxCxDx. Ка-
кую прямую пересекает а?
1)СС,;
2)DDt;
3) AD,
4)D,C,.
Ответ:
153J Сколько различных плоскостей проходит
через точки В, Bt и О?
1.54,,1 Сколько плоскостей проходит одновре-
менно через точки А, Bv С?
Ответ:
Ответ:
1.55 ; Дана призма. В какой точке прямая В,С{
пересекает плоскость А4,Л/?
DB,;
2)	с,;
3)К;
4)	не пересекает.
Ответ:
Ответ:
56 Дан параллелепипед. В какой точке прямая
А'В' пересекает плоскость ОССХ?
1)В,;
2)Л(;	в
3)	некоторой точке М:
4)	не пересекает.
Оу
Задачи по теме «Введение в стеоеометоию»
Аксиомы стереометрии
58 д/е AD, К е BD. В какой точке прямая МК
пересекает плоскость АВС?
(бТ) Л/€ AD. К = АС. В какой точке прямая МК
пересекает плоскость BDC7
1)£;
2) G-,
3)Р;
4)АГ.
Ответ;
1.59.	J Укажите верное утверждение.
1)	Любые 3 точки лежат на одной прямой;
2)	любые 4 точки лежат в одной плоскости;
3)	не любые 4 точки лежат в одной плоскости;
4)	через любые 3 точки проходит единственная
плоскость.
Прямая а пересекается с прямой h, пря-
мая с пересекается с прямой о и с прямой Ь. Ка-
кое утверждение неверно?
1) Прямые а и h всегда лежат в одной плоскости;
2) прямые а и с всегда лежат в одной плоскости;
3) прямые бис всегда лежат в одной плоскости;
4) прямые а.Ьмс всегда лежат в одной плоско-
сти.
Ответ-.
Ответ;
61 ABCD — ромб, A D лежит в а.
Найдите расстояние от точки В до точки пере-
сечения прямой ВМ и плоскости а?
Ответ-.
Дано: A...Dt — куб, АА{ = -Ув.
Найти: КМ.
Ответ;
'..62; ДДВС лежит в a, D g а, АС = 10, BD = 8.
Точки М, N, К, Е — середины соответствующих
сторон.
L.64J Дано: Л...О, — куб, AD = -Уб
Найти: В^О.
Ответ;
ТЕМА 1. Введение в стереометрии
Аксиомы стереометрии
(65j ABCD — квадрат, ADEP— прямоугольник.
Найдите длину отрезка, по которой плоскость
MNK пересекает прямоугольник ADEP.
166 ABCD — ромб, ВСЕР — прямоугольник.
Найдите длину отрезка, по которой плоскость
MNK пересекает прямоугольник ВСЕР.
Ответ:
Ответ:
68 A...D} — параллелепипед. По какой прямой
пересекаются плоскости ААУСУ и AB{D?
(б?) A...Dt — параллелепипед. По какой прямой
пересекаются плоскости ByAyD и В.ВС?
Ответ:
1)ЛЛ,;
2) СВ,;
3)АСУ;
4) СЛ,.
Ответ:
69' А...С} — правильная призма.
Найдите наименьшую сторону сечения призмы
А...СУ — правильная призма.
Найдите наименьшую сторону сечения призмы
плоскостью MON.
Ответ:
(TVJ Плоские углы при вершине D пирамиды —
прямые, AD = BD = CD, 5ОСИ = 8>/3.
Найдите 5fK1K.
Ответ:
Ответ:
(72*) Плоские углы при вершине Л пирамиды
прямые, AD = АВ = АС, 5^,,, = 12 + 4 х/З.
Найдите ВС.
Задачи по теме «Введение в стереометрию»
Контрольная работа по теме «Введение в стереометрию»
Вариант 1	Вариант 2
I 1 J Дана 7-угольная призма. Найдите и + b - с,
где а — число вершин, h — число граней, с чи-
сло ребер призмы.
Ответ:
1^3 Площадь полной поверхности правильной
четырехугольной пирамиды равна Q, площадь
одной боковой грани равна F. Выразите сторону
основания пирамиды через Q и F.
Ответ:
СО Дана 9-угольная пирамида. Нанди:
т + п - k, где т — число граней, п — число вер-
шин. k — число ребер пирамиды.
Ответ:
Са) Площадь полной поверхности правильн<
четырехугольной призмы равна Т. площадь б<
ковой поверхности равна G. Выразите сторон;
основания призмы через Г и G.
Ответ:
(~3~) Найдите длину наибольшей стороны сече-
ния правильной пирамиды DABC плоскостью
САЗ Найдите длину наименьшей стороны се-
чения правильной пирамиды ОД ВС плоскость?
DCK, если Р и L середины боковых ребер.
Отвепг.
О Дана правильная 4-угольная призма.
D.M 1 Л,О, Л,Л/ = 9 см. MD = 16 см.
Найдите 5, „и„.
Ответ:
Ответ:
Дана правильная 4-угольная призма
СЛК ± D{C, С.К = 24 см. КС = 32 см.
Найдите SmtllI.
1
Л.

Q0 Постройте сечение куба с ребром, рав-
ным >/8, плоскостью, проходящей через точки Я.
К, С, и найдите его площадь.
Ответ:
3 j Построите сечение прямоугольного па-
раллелепипеда плоскостью, проходящей через
точки Л„ О, К. и найдите его площадь.
Ответ:
30
ТЕМА 1. Введение в стереометри
Задачи по теме «Параллельность прямых и плоскостей»
Параллельность прямых
( 1 ) Дан куб. Параллельны ли прямые АК
и DM?
1)Да;
2) нет;
3) зависит от разме-
ров куба.
Ответ-.
. 2 ) Дан параллелепипед. Параллельны ли пря-
мые СК и DAt?
1)	Да;
2)	нет;
3)	зависит от разме-
ров параллелепипеда.
Ответ:
. 3 J A...Dt — параллелепипед. Сколько прямых,
параллельных прямой DC, можно назвать на ри-
сунке?
Ответ:
A...Dt — параллелепипед. Сколько прямых,
параллельных прямой ВС, можно назвать на ри-
сунке?
Ответ:
СХЗ Укажите верное утверждение.
Прямая MD:
1) пересекает пряму:
2)параллельна
прямой В К;
3) скрещивается
с прямой ВК;
4) не пересекает
плоскость ВКС.
ю ВК;
Ответ:
Ответ:
Укажите верное утверждение.
Прямая DE:
1)	пересекает прямую РВ;
2)	параллельна прямой РВ;
3)	не пересекает пло-
скость АРВ;
4)	скрещивается
с прямой АВ.
А
— параллелограмм. КР ле-
жит в а.
Найти: ВС.
Ответ:
Найти: ВС.
Ответ:
— трапеция, КР лежит в а.
по теме «Пяпяллельность поямых и плоскостей»
45
Параллельность прямых
® Дано: AM || ВУ || СК, АВ = 18, ВС = 36,
УК = 24.
Найти: MN.
Ответ:
® Дано: ЛУЦ ВК, AN— 12, ВК= 18, УК =
Найти: MN.	а
Ответ:
@ Дано: AC || BD, AC=22,BD = 36.
Найти: МК.
Ответ:
® Дано: АВ = CD = 20, УК = 12.
Найти: МР.
Дано: параллелепипед, Л/У + УР =
РК-МК = 2.
Найти: МК.
Ответ:
Ответ:
ТЕМА 2. Паоаллельность поямых и плоско
Угол между прямыми
О?) Дано: A...Dt — куб.
Найти: угол .между прямыми ВЛ, и DCt.

Дано: A...Dt — куб.
Найти: угол между прямыми ЛЛ, и DC.
Ответ;
Ответ:
J9 Дано: РЛВС — правильный тетраэдр.
Найти: угол между прямыми КМ и АС.
Дано: SABCD — правильная пирамида.
Найти: угол между прямыми МК и DC.
Ответ:
Ответ:
Л1 Дано: Л.../}, — куб.
Найти: угол между прямыми Л,Л> и CCV
Найти: угол между прямыми В,О, и DCt.
Ответ:
Ответ:
Дано: Л...Р, — куб с ребром, равным 2; угол
между прямыми AM и СС, равен р.
Найти: ctg2p.
ч24*.| Дано: Л...Ц — куб с ребром, равным 1; угол
между прямыми Л,С и DD, равен а.
Найти: tg2a.
Ответ;
Ответ:
поим пп тома «ПапаппопшАГти nnaMkiY и пплгипстри»
47
Параллельность прямой и плоскости
125 J Сколько плоскостей, заданных вершинами
параллелепипеда, параллельны прямой CD?
26 ~ Сколько прямых, заданных вершина!
куба, параллельны пл. AtDC?

А
Ответ:
л.
А
BL-.
О'
D
С
Ответ:
' 27j DABC — правильный тетраэдр, АВ = 8.
Найдите тетраэдра пл. MNK.
Ответ:
Ответ:
1.28.J DABC — правильная пирамида, АВ = 1
BD= 12.
11айдите Рп.., пирамиды пл. EFP.
29 Дано: Л...А| — прямоугольный параллеле-
пипед, DC = CCt, Л|Л/ : MDK = 2:1, АА, = 12,
AD =15.
(30 1 Дано: А..Л, — прямая призма, АВ = ВС= 1
А|К=КВ|,АС=16. ВВ, = 12.
Найти; РС1.„пл. АКС.
Ответ:
1® SABCD — правильная пирамида, КС = 5,
A'.S = 3, AD = 8.
Найдите Р^ пирамиды пл. ADK.
132 Н SABCD — правильная пирамида, AM =
MS= 10, DC=SC= 16.
Найдите Рп„, пирамиды пл. DMC.
Ответ:
Ответ:
ТЕМА 2. Параллельность прямых и плоскост
Параллельность прямой и плоскости
(2SJ Сколько плоскостей, заданных вершинами
параллелепипеда, параллельны прямой CD?
(2б) Сколько прямых, заданных вершин;
куба, параллельны пл. A,DC?
Ответ:
Ответ:
',27j DABC — правильный тетраэдр, АВ = 8.
Найдите Р,„ тетраэдра пл. MNK.
Ответ:
281 DABC — правильная пирамида. АВ = 1<
BD =12.
Найдите Р„,, пирамиды пл. EFP.
прямая призма, АВ = ВС =10.
А,К = КВ,. АС = 16, ВВ, = \2.
Найти: Р..„ пл. А КС.
(29) Дано: Л.-Д — прямоугольный параллеле-
пипед, DC = СС|, Д|Л/ : MD, =2:1, ЛЯ, = 12,
AD = 15.
Ответ:
' 31*. SABCD — правильная пирамида, КС = 5,
KS = 3,AD = 8.
Найдите Рсеч пирамиды пл. ADK.
1,32•.! SABCD — правильная пирамида, AM = 6,
М5= 10. DC = SC= 16.
Найдите PfC,, пирамиды пл. DMC.
Ответ:
Ответ:
ТЕМА 2. Параллельность прямых и плоскостей
Параллельность прямой и плоскости
33 Укажите верное утверждение.
34 J Укажите
Прямая СК:
Прямая CN:
верное утверждение.
1) пересекает пл. AAtD}
2) параллельна прямой
ВМ;
3)параллельна
пл. AAtBt;
4)пересекает
пл. ABAt.
Ответ:
1) пересекает пл. ААtB;
2) параллельна прямой
ни-
зу параллельна
пл. AAtBt;
4)параллельна
пл. ADM.
Ответ:
135 । Дано: А...С, — правильная призма, ВС = 6,
ЛЛ, = 4.
Найти: Р,„ призмы пл. ВМС.
' 36 Дано: Л...С, — прямая призма, периметр
сечения призмы пл. СКВ равен 32.
Найти: Shx.
Ответ:
Ответ:
I 37 I Дано: A...Dt — прямоугольный параллеле-
пипед, СК: КС} = 1:2. Периметр сечения парал-
лелепипеда пл. ADK равен 22.
Найти:	параллелепи-
педа.
Ответ:
Дано: А...и} — прямоугольный параллеле-
пипед, СУК: КВ{ = 3:2. Периметр сечения парал-
— правильная призма,
Sabc=^^3,MK\\A^.
Найти: МК.
Ответ:
40 ' Дано: SABCD — правильная пирамида,
AD = AS, МК || АВ, SASD = 36>/3.
Задачи по теме «Параллельность прямых и плоскостей»
Параллельность прямой и плоскости
® Дано: АВ || a, AD || ВС.
Найти: Z.ADC.
Найти: DC.
а, АВ = \7,МК = 21.
Ответ;
43 да1Ю: МК = 15, NK = 9, Z.MNK = 90°.
Найти: длину отрезка, по которому пл. MNK пе-
ресекает основание пирамиды.
I...44J Дано: правильная пирамида, РЛ1| = 24.
Найти: длину отрезка, по которому пл. MNK пе
ресекает основание пирамиды.
Ответ;
Ответ;
45* Дано: SABCD — правильная пирамида,
AD = SD = 4, а — секущая плоскость, В е а,
Ке а, а || SD, т — наибольшая сторона сечения
пирамиды пл. а.
Найти: т2.
5’
Ответ;
Ответ;
'.47*] Дано: SABCD — правильная пирамида, а
секущая плоскость, Кеа. М е а, а || SD.
Найти: РСРЧ пирамиды пл. а.
Дано: SABCD — правильная пирамида,
AD = SC = 2, а — секущая плоскость, Л е а,
Me а, а || SC, п наибольшая сторона сечения
пирамиды пл. а.
Найти: и2.
__
48* Дано: SABCD — правильная пирамида, а —
секущая плоскость, М е а, К е а, а || SD.
Найти: 5',.,.,, пирамиды пл. а.
Ответ;
Ответ;
ТЕМА 2. Параллельность прямых и плоскостей
Параллельность прямой и плоскости
® Дано: АК : КВ = 1 : 2, ВС = 12, пл. KMN
50 ^ano:AK:KD=2:3,DM:MC=BN:NC= 1:2,
пл. KMN пересекает АВ в точке X, АВ = 30.
Найти: АХ.
Ответ:
® Дано: KN || ВС. пл. KNX || DM, где X е AD,
AD = 6,AK = 3,KB = 4.
Найти: АХ.
(и) Дано: KN || DB, пл. KNX || DM, где X е АС,
Ответ:
Дано: A...Ct — правильная призма, АВ = 15,
АА, = 12, АХК= KBf, КМ: МСХ = 1: 2.
Найти: Рт призмы пл. АВМ.
>...54j Дано: A...D] — прямоугольный параллеле-
пипед, A tM: МА = 1:2.
Найти: Р„ч параллелепипеда пл. DM0.
Ответ:
1.55J Дано: SABCD — правильная пирамида.
Найти: Рссч пирамиды пл. KMN.
'.56j Дано: SABCD — правильная пирамида.
Найти: Р,ч„, пирамиды пл. KMN.
Ответ:
Ответ:
Задачи по теме «Параллельность прямых и плоскостей»
Параллельность прямой и плоскости
_57J Дано: ABCD — прямоугольник.
Найти: Рт пирамиды пл. МКР.
Дано: ABCD — прямоугольник.
Найти: Р(„ пирамиды пл. MKN.
Ответ:
Ответ:
Дано: куб с площадью поверхности, рав-
ной 48, КЕ || ADX, КЕ пересекает ABCD в точке X.
Найти: КХ.
Ответ:
'..61*.! Дано: DABC — правильный тетраэдр,
DM :МС= 1:2, ME || СК. ME (ADB) = X.
Найти: MX.
Ответ:
1.63*1 Дано: ABCD — ромб, Рлвс0 = 40, АС = 16,
О£|| BD. OEry(BSC) = X.
Найти: ОХ.
Ответ:
160’! Дано: правильная призма, ЯД = 8,
ВС = <48. РЕ || АК, РЕ пересекает BBtCtC
в точке X.
Найти: РХ.
Ответ:
162*1 Дано: DABC — правильный тетраэдр,
СМ: МВ = 3:5, MF || СК, MF r>(ADB) = X.
Найти: MX.
Ответ:
64^' Дапо: ЛАВС = 90°, 54вс = 108, ВС - АВ = 6,
OP\\AN, OPr\{BSC)=X.
Найти: ОХ.
Ответ:
ТЕМА 2. Параллельность прямых и плоскосте
Параллельность плоскостей
(65J дан параллелепипед. Сколько у него пар
взаимно параллельных граней?
66 Дана правильная призма. Сколько у нее
пар взаимно параллельных граней?
Ответ:
67 Дапо: а | р, а || Ь.
Найти: угол х.
Ответ:
68 Дано: а || р.
Найти: угол х.
Ответ:
69 Дано: а || р,ЛВ || CD, SC0[) = 24.
Найти: SABDC.
Ответ:
70 Дано: а || р, АВ || CD, АВ = 24, ВО = 10,
AD = 26.
Найти: PV)B.
Ответ:
!,71 J Дано: а || р.
Найти: длину отрезка х.
72- ' Дано: а || р.
Найти: длину отрезка х.
Ответ:
Ответ:
Задачи по теме «Параллельность прямых и плоскостей»
Параллельность плоскостей
(73*) Дано: ABCD и АВМК — трапеции, Scou = 9,
$мок~ 12.
Найти:
Ответ:
(7^*) Дано: АВМК и DCMK — трапеции, SR0C = 4,
= 9.
Найти: S^ar
’.40D
Ответ:
BD= <34.
Найти: АС.
76 1 дано: а || р, АВ || CD. АВ = 6, АО = 2^2,
СО = 3>/2.
Ответ:
Найти: BD.
Ответ:
Найти: длину отрезка х.
(78) Дано: а 1 р.
Найти: длину отрезка х.
Ответ:
Ответ:
I. T9 J Дано: DABC — правильная пирамида,
ВМ = 8, МС = 4, а|| (ADB), Me а, ЛС п а = К.
Найти: МК.
Ответ:
Ответ:
Дано: DABC — правильный тетраэдр,
а || (ADB), Кеа, ВС г>а = М.
Найти: МК.
ТЕМА 2. Параллельность прямых и плоскостеС
Параллельность плоскостей
1.81 J Дано: куб с площадью поверхности, равной
192 см2, а || (ЛВ|С), Me а.
Найти: Р1Х„, куба пл. а.
Ответ’.
83 Дано: DABC — правильная пирамида. К, М,
Р,Е — середины ребер.
Найти: угол между прямыми КМ и РЕ.
Дано: правильная призма; через точ-
ку К провели пл. а, параллельную пл. ABtDit
АВ, = ADi = 21 см AD = 5^2 см.
Найти: Рт параллеле-	В
пипела пл. а.
в
А 5V2 D
Ответ:
184 Дано: SABCD — правильная пирамида, К,
М, Р — середины ребер.
Найти: угол между прямыми МК и ОР.
Ответ:
Ответ:
185 I Дано: прямоугольный параллелепипед,
.4.4, = 12,AD = 8,DC = li,AlM=6.
Найти: Рс„ параллеле-
пипеда пл. MBDV
Ответ:
8?) Дано: правильная пирамида DABC,.4К: KD=
= 2: 1,а || (АВС), К е а.
Найти: Pm пирамиды пл. а.
1.86 J Дано: прямоугольный параллелепипед,
AD = 24, СС, = 30, ЛД = 23, СД = 16.
Найти: РСГ) параллелепипеда пл. CNAt.
Ответ:
IJ8J Дано: SABC = 50, DM: МС = 2 :3, а || (АВС),
М е а.
Найти: 5етч пирамиды пл. а.
Ответ:
Ответ:
калачи по теме «Паоаллельность поямых и плоскостей»
Параллельность плоскостей
89 Дано: DM = МС, а || (АВС), М е а. АВ = 12.
ВС= 16, АС =20.
Найти:	пирамиды пл. а.
90 Дано: AD = ТбЗ. BD = 12, CD = 13,
DK: КС= 2 :1, а || (АВС), М е а.
Найти: Sl4„ пирамиды пл. а.
Ответ-.
1.91 J Дано: SABCD — правильная пирамида,
ЛК: KS= 1 : 2, а || (DSC), Кеа.
Найти: Рет пирамиды пл. а.
Ответ:
93 Дано: A...Dt — правильная призма,
СК: СВ - 1 : 3, а || пл. AAtCtC, Кеа.
Найти: Рт призмы пл. а.
Ответ:
правильная пирамида, все
ребра равны, а || (BSC), М е а, Рт = 60.
Найти: AD.
Ответ:
9£ I Дано: Л...D, — правильная призма,
А{Е: ЕВ, = 3: 2, а || пл.AA^CfC, Ее а.
Найти: Рсеч призмы пл. а.
95 Дано: A...D[ — прямая призма, ABCD — рав-
нобедренная трапеция.
Найти: Рт призмы пл. МВС.
1 96 Дано: A...D, — прямая призма, ABCD — рав-
нобедренная трапеция.
Найти: Рт призмы пл. ADK.
Ответ:
Ответ:
ТЕМА 2. Параллельность прямых и плоскостей
Контрольная работа по теме «Параллельность
прямых и плоскостей»
Вариант 1	Вариант 2
СТ A...DX — параллелепипед. Запишите все ре-
бра, параллельные плоскости А4(Bt В.
СТ A...D' — параллелепипед. Запишите все ре-
бра, параллельные плоскости ВВ{СХС.
Ответ:
Ответ:
С2 J В кубе Л...О, точки Ми К — середины диа-
гоналей АХВ и АС. Какой плоскости параллельна
прямая МК?
V)BB£X,
2) BB.D,:
3)00,^;
4) ни одной
из указанных.
Ответ:
J В кубе A...DX точки г и с — середины диаго-
налей DC\ и В,О. Какой плоскости параллельна
прямая FE?
1)АВС;
2)AAIDI;
3)АА1В|;
4) ни одной
из указанных.
Ответ:
СТ SABCD — правильная пирамида, DC =12.
Найдите длину отрезка, соединяющего середи-
ны отрезков DE и СР.
1^3 SABCD — правильная пирамида, DC = 8.
Найдите длину отрезка, соединяющего середи-
ны отрезков AM и DK. 5
5
Ответ:
( Т) A...Dt — прямоугольный параллелепипед,
AD= 16. DC= 12.DDt = 2DtM.AtK-KD, CXN=ND.
Найдите длину отрезка, по которому пл. KMN
Т A...D, — прямоугольный параллелепи-
пед, DC = 24, СС, = 32, AD = 2АК, AM = MDX,
AN=NC.
Найдите длину отрезка, по которому пл. KMN
! Т Дана правильная треугольная призма
ABCAtBtCt. АВ = 12, АД =4>/б. Точка К делит
ребро АХВХ в отношении 1:2, считая от точки Др
Найдите призмы пл. ВСК.
СТ) Дана правильная треугольная призма
ABCAtBtCx, ВС = 16, АА, = 6. Точка М делит ре-
бро В,С| в отношении 1 :3, считая от точки В,.
Найдите 5,.,.,, призмы пл. СМ А.
Ответ:
Ответ:
контрольная работа по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Перпендикуляр к плоскости
Найти: BD.
параллелограмм, AD ± а.
Ответ:
1.13 ) Дано: О центр круга, МО ± а, МК = 26.
МО = 24, О£=6.
Найти: АВ.
Ответ:
Ответ:
1.15*1 Дано: площадь круга равна 64л, О — центр
круга, АО 1 а, ЛО = 15, Z.MAK = 60°.
Найти:
1.14 Дано: О — центр круга, МО 1 р. АВ = 24,
Л/О = 21,О£ = 16.
Найти: МК.
16* Дано: площадь круга равна 900л, О - центр
круга, АО 1 р, АО = 40.
Найти: Рлмо.
Ответ:
Ответ:
Задачи по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»
Перпендикуляр к плоскости
Дано: ABCD — прямоугольник. МВ ± АВ,
МВ 1 ВС.
Найти: MD.
D
Ответ;
Ответ;
UJ Дано: МВ 1 АВ, МВ 1 ВС, ABCD - ромб.
Найти: MD.
1 1? Дано: МС 1 АС, МС 1 ВС, Z.ACB = 90°.
Найти: МК.
20 Дано: КА 1 АВ, KA1AD, ABCD - квадрат.
Найти: КС.
Ответ;
Ответ;
L.21J Дано: Л...Р| — правильная призма.
Найти: Л । К.
Дано: A...Dl — прямая призма.
Найти: ВХК.
Ответ;
Ответ;
(23J Дано: ABCD — прямоугольник, AM = 8,
ВС = V17, МВ 1 (АВС), ЛАМВ = 45°.
Найти: BD.
Ответ;
Ответ;
24 Дано: ABCD - ромб, MD = 20, АО = 8,
MCI. (ABC), Z.DMC=30°.
Найти: BD.
ТЕМА 3. Перпендикулярность прямой и плоскости
Перпендикуляр к плоскости
1.25 J Дано: Л...О,
пипед.
Найти: 41 С.
— прямоугольный параллеле*
'.26_; Дано: A...D{ — прямоугольный параллеле-
Ответ;
пипед.
Найти: В. С,.
Ответ:
<27 J Дано: А...С1 — прямоугольный параллеле-
пипед, ЛЛ1 = 6, Рчвсо =10, SAKD = 6.
Найти: диагональ параллелепипеда.
128; Дано: А...С1 — прямоугольный параллеле-
пипед, В,О = 17,	= 42, AD - CD = 3.
Найти: АА}.
Ответ:
Ответ:
129J Дано: ABCD, CMKD, ADKN — квадраты,
АВ = 8-Уз.
Найти: CN.
Ответ:
Ответ:
® Дано: DB 1 (ЛВС), AM = MD, СК = КВ,
DB = 24.AC=32.
Найти: МК.
30 Дано: ABCD, CMKD, ADKN - квадраты,
ВК= у/75.
Найти: Л В.
132*1 Дано: DA 1 (ЛВС), AM = MB, DK = КС,
ЛЛ=16,Л/К=17.
Найти: ВС.
Ответ:
Ответ:
75
Задачи по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»
Перпендикуляр к плоскости
33 Дано: AC X a, BD X а, МК X а.
Найти: МК.
<34 Дано; АВ X a, CD X а. МК X а.
Найти: CD.
Ответ:
Ответ:
135*: Дано: правильная призма.ЛД = 13, АВ = 3.
Найти: 5ЛЙЦ£
136*1 Дано: правильная призма, DD, = FE = 8.
Найти: Sw
Ответ:
Ответ:
37J Дано: А...С, — правильная призма. МК\\ АА}.
АА, = 12, АВ = бТз.
Найти: МС.
Ответ:
38 Дано: А...С, — прямая призма, КМ || ЛД,
ВВ,= 12, АС = 6, ВС= 4, АВ = 752.
Найти: В К.
Ответ:
(Зв) Дано: A...D, — прямоугольный параллеле-
пипед, СК: КС, = 1:2. А,Е = £В„ ЕМ = МС,.
Найти: АЛ/.
С«0) Дапо: A...D, — прямоугольный параллеле-
пипед, DC = 16, А,А = 5, А,К = KD{, DE = ЕС,
ВМ = МЕ.
Найти: КМ.
Ответ:
ТЕМА 3. Перпендикулярность прямой и плоскосл
Перпендикуляр к плоскости
.41 j Дано:Д.4ВС—равностороншш,DO±(АВС),
ВС= &J3,DO = 8.
Найти: AD.
Ответ:
Ответ:
'..43J Дано: S...E — правильная пирамида, SO
высота, 45= 12, Z.SBO = 60°.
Найти: OD.
S
Ответ:
Ответ:
45 Дано: ААВС — равносторонний, РК1 (АВС),
МР= 4П,РК = 5.
Найти: АР.
Ответ:
Ответ:
правильная пирамида,
45 = AD = 4, а ± SC, BD лежит в а.
Найти: 5^ пирамиды плоскостью cl
Ответ:
5
1 ...42 J Дано: ААВС — равносторонний, DO± (АВС),
DO= -J\3,AB = 6.
Найти: DK.
D
V13
Л
В
44 Дано: S...F правильная пирамида, SO —
высота, 45 = 6-У2, ВС = 6.
Найти: угол а.
6V2
1 46 J Дано: ААВС и АКРМ — равносторонние,
PN Л. {АВС), К. М, Е — середины сторон ААВС,
KN = NM, PN= у/8.
Найти: РЕ.
48*: Дано: DABC — правильный тетраэдр,
АК: КВ = 2:1, ВС = 6, a LAD, Ке а.
Найти: 5*ч
пирамиды плоскостью а.
Ответ:
Задачи по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости
Наклонные и проекции
>9 Дано: АО1 а, АВ = 8^6, ZBAO = 45°,
ZCAO- 30°.
Найти: ОС.
Дано: АВ 1 а, ЛС = 12ч/2, ХВАО = 45°,
Z.CAO = 60°.
Найти: АВ.
Найти: длину проекции наклонной АО на пл. а.
( 52 Дано: АВ 1 0.
Найти: длину наклонной АС.
Ответ:
Ответ:
53 дано: АВ 1BD, АВ 1 ВС, DB :BC=\ : 3.
Найти: ВС + DB.
( 54 дано: AD + Ас = 15, BD = 7, ВС = 2.
Найти: АС.
Ответ:
( 55 Дано: АВ 1а, АС = 17, AD = 15, BD = 6,
Z.CDB = 90°.
Найти: SCDB.
Ответ:
Ответ:
Ответ:	Л
@ Дано: АВ 10, AD = 25, ВС = 8, ZDBC = 30°,
~ 40-
Найти: АС.
78
ТЕМА 3. Перпендикулярность прямой и плоскости
Наклонные и проекции
(.57J Дано: АВ 1 (DBC), АС на 4 см больше AD.
Найти; отношение наклонных АС и AD.
58 Дано: АВ 1 (DBC), ВС на 3 см меньше BD.
Найти: отношение проекций BD и ВС.
Ответ-.
Z.ACB = 30°.
Найти: 5ЛЯГ.
Ответ:
1,
Ответ:
60 Дано: DCA. a, DB = 10, ВС = 8, АС 1 СВ,
DA = 2>/34.
62 Дано: DC 1 (ABC), CD = СА = СВ =>/24,
61 j Дано: DC 1 (ABC), CD = 21, DB = 29,
ЛСАВ = ЛСВА.
Найти: АС.
ЛВСА = 90°,АК = КВ.
Найти: DK.
Ответ:
63\ Дано: DC 1 a. DC = 8^2. sin «=у-
Ответ:
!адачи по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»
Наклонные и проекции
65 дано: МК 1 а, Z.MAB = Z.MAC, Z.KAC=28°.
Найти: Z.AKB.
Ответ:
66 Дано: МК 1 р, ZMAB = ХМ АС, АС = 30,
67J дано: DC1 а> DC=5>/П АС= ВС, BD = 25,
P.IDB = 62.
Найти: расстояние от точки С до прямой АВ.
68 Дано: DC ± р. DC = 4, AD = BD, АВ = 8,
Л«с=18.
Найти: расстояние от точки D до прямой АВ.
Ответ:
Дано: SABCD — правильная пирамида,
SO 1 (ABCD), SD = 10. SO = 8.
Найти: AC.
Ответ:
<70 । Дано: DABC — правильная пирамида, О —
точка пересечения медиан, DC = 20. ВС = 12^3.
Найти: DO.	п
 71*. Дано: ABCD — параллелограмм, Л5 = SC,
BS = SD, AD = 5, DC = 3, AM - V13. Z.SBD = 45°.
Найти: высоту пирамиды.
Ответ:
(72*J Дано: ABCD — параллелограмм, Л5 = SC,
AD = 6. DC=4, АМ= V14. ZSBD=ZSDB = ZBSD.
Найти: высоту пирамиды.
ТЕМА 3. Перпендикулярность прямой и плоскост!
Наклонные и проекции
® Дано: DC 1. а, АС = ВС, Z.ABD = 72°.
Найти: Z.ADB.
С74 Дано: DC 1 р, AD = BD, А В = 8, Р<вс = 28.
Найти: АС.
Ответ:
Ответ:
I 75 ) Дано; Д/£ J. а, МА = МВ = МС= 13, АВ = 6,
ВС =8, ЛС=10.
Найти: ME.
76 Дано: МК 1 р. МА = МВ = МС, АВ = ВС =
= АС = 6у/з,МК = 8.
С77} Дано: ABCD — ромб, Л5 = BS = CS =
= 05 = 17, ,40 = 8-72.
78 Дано: AD = BD = CD = 13, АВ = 5,
ZACB = 30°.
Найти: высоту пирамиды.
D
Ответ:
® Дано: ABCD — параллелограмм, боковые
ребра равнонаклонены к основанию, 5Л = >/38,
AD = 8. DC =4.
Найти: высоту пирамиды.
Ответ:
Дано: ABCD — ромб, PABCd= 60л/2, боковые
ребра равнонаклонены к основанию, AS= 17.
Найти: высоту пирамиды.
81
адачи по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»
Угол между прямой и плоскостью
81
Дано: A...D, — куб.
Найти: угол между прямой DC{ и пл. AA}DtD.
Ответ:
Найти: угол между прямой B.D, и пл. DDtCtC.
Дано: A...D, — куб.
Найти: угол между прямой DCt и пл. DA^B{C.
( 84 I Дано: Л-..D, — куб.
Найти: угол между прямой A}D и пл. ABtCtD.
Ответ:
Ответ:
85 Дано: Л...О, — куб.
Найти: угол между прямой DC, и пл. Л В, С.
86 Дано: Л-..D, — куб, В,0 = OD,.
Найти: угол между прямой ЛО и пл. BCJ).
Ответ:
Ответ:
(87*) Дано: Л...О, — куб: а — угол между прямой
СЛ, и пл. Л Л, В, В; ctg а = 4х.
Найти: х
Ответ:
88* Дано: Л.-.D, — куб; а — угол между прямой
82
ТЕМА 3. Перпендикулярность прямой и плоскости
Теорема о трех перпендикулярах
89 Дано: МА 1 а.
Найти: угол х.
90 Дано: МА 1 а.
Найти: угол х.
1 91 I Дано: МА 1 а.
Найти: АВ.
93 Дано: A...DX — куб.
Найти: угол между прямыми А,С и DC,.
<94J Дано: A...Dt — куб.
Найти: угол между прямыми А|С, и DBt.
@ Дано: DB 1 (ABC), Z.BAC = 90°. АВ = DB,
196*) Дано: MB ± (ABCD), ABCD — квадрат,
АМ = 2>/б.
Найти: MD.
Теорема о трех перпендикулярах
1^7 J Дано: ABCD — прямоугольник,
Л/С 1 пл. ABCD, ZB AM - 64°.
Найти: АМВ.
?8 Дано: ABCD - ромб, AC = 16, BD = 18.
MB 1 пл. ABCD, MC- 17.
Найти: MB.
Ответ:
Ответ:
?9 Дано: DA 1 (ЛВС), АВ = АС = х/89,
ВС = 10, £>.4 = 15.
Найти: расстояние от точки D до прямой ВС.
100 Дано: DC 1 (Л BO), DC = 7, AC = 40,
BC= 30.
Найти: расстояние от точки D до прямой АВ.
Ответ:
Ответ:
5О!) Дано: AB = BC=CD = AD, MCI. пл. ABCD,
MD1 AD, MD = 29, MC = 21.
Найти: SABCD.
Ответ:
Ответ:
Ю2 Дано: ABCD — квадрат площадью 36,
МВ 1 пл. ABCD, МВ = 8.
Найти: 5ЛМВ.
Дано: ABCD — прямоугольник,
МВ 1 (ABCD), AM = 6, DM = 9, CM = 7.
Найти: MB.
® Дано: МС 1 (ЛВС), ZAMB = 90°,
ZMAC = 30°, ZMBC = 45°, MD LAB.
Найти: угол между прямой MD и пл. ЛВС.
Ответ:
Ответ:
Теорема о трех перпендикулярах
105 Дано: ЛВСО—параллелограмм,Л/ВХ(.\BCD),
AD = 36, MB = 24, ZBЛD = 30°.
Найти: МК.
106 Дано: ABCD — параллелограмм, SBL(ABCD),
ВЫ 1 DC, АВ = 12, ВС = 15, ВМ= 10,5В = 6.
Найти: SK.
Ответ:
Ответ:
.107) Дано:ABCD — прямоугольник,MCI(ABCD),
MD = 32, ВС = 24, ЛК = МК.
Найти: DK.
Ответ:
108 Дано: ABCD — квадрат, MB X (ABCD),
S.IMD = 30.
Найти: SABCD.
Ответ:
I109J Дано: ABCD — параллелограмм. ZЛ = ZB,
MAI (ABC).
Найти: x + у.
 j 10J Дано: ABCD — параллелограмм, АС = BD,
MB X (ЛВС), ZDMC= 40°.
Найти: у - х.
Ответ:
Ответ:
® Дано: МЛ X (ABC), ZMBC=45°, ZACB = 90°.
MA = AC
Найти: ZAMB.
Дано: МС1 (ЛВС), ZMAC = 30°,
zL4BC = 90°, МС = ВС.
Найти: ZAMB.
Ответ:
Ответ:
Расстояние в пространстве
УЗ Дано: Л...С, — правильная призма,
АС= 4Тз,ВВ, = 4.
Найти: расстояние от точки А до пл. ССХВХВ.
IV1 Дано:Л...В1 — куб, AD= 472.
Найти: расстояние от прямой Л)Р1 до пл. ЛВ, CtD.
Ответ:
ВС = 10, Л//С = 25.
Найти: \'К.
Ответ:
Дано: Z.ABC = 90°; МА = МВ = МС; рассто-
яние от точки М до пл. АВС равно 8.
Найти: МА.
@ Дано: DH1 (ЛВС), АС = 8, АВ = ВС = 780.
Z.DAH = Z.DBH= Z.DCH= 45°.
Найти: расстояние от точки D до пл. АВС.
Ответ:
1J6 Дано:а||р.ЛС±а,Л/Л’±а, .VK = 8. ВС= 15,
5WVK = 80.
Найти: 5дас.
Ответ:
@1 Дано: МА = МВ = МС = \3;АВ = Ь,ВС = 8,
Дано: DH 1 (ЛВС), Z.ADH = Z.BDH =
= Z.CDH, АВ = 12, AD = 8^3, £АСВ = 30°.
Найти: расстояние от точки Н до прямой AD.
Ответ:
Контрольная работа по теме «Перпендикулярность
прямой и плоскости»
Вариант!Вариант 2
I/O Л...Л, — прямоугольный параллелепипед.
Запишите все ребра, перпендикулярные плоско-
сти AAtBtB.
Ответ:
СО Дан куб. Найдите величину угла между
СО A...Df — прямоугольный параллелепипед.
Запишите все ребра, перпендикулярные плоско-
сти ВВ'С^С.
Ответ:
3 3 Дано: АВ 1 а, наклонная АС = 8, ее проек-
ция на пл. а равна 7, наклонная AD = 4.
Найти: проекцию AD на пл. а.
Л
СО Дано: АВ ± а, наклонная АС = 7, се проек-
ция на пл. а равна 1, проекция наклонной AD
Дано: DO 1 (АВС), АВ = ВС = 10. ЛС = 12,
DO = 4; О — центр вписанной окружности.
Найти: DK.
Ответ:
Ответ:
© Дано: DO 1 (ЛВС), АВ = 25, АС = 15,
ВС = 20, OD = i2:O — центр вписанной окруж-
ности.
Найти: DM.
СО Дано: DO 1 (ЛВС), AD = BD = CD. DO = 6,
ЛС = 6^7, АВ = ВС = 12.
__I Дано: DHL (ABC). Z.DAН= LDBH=LDCH.
AD = 10, АВ = 6х/3. ZЛCB = 60°.
Найти: DH.
Ответ:
Задачи по теме «Перпендикулярность плоскостей»
Расстояние между скрещивающимися прямыми
СЙ) Дано: A...D' — куб, площадь поверхности
равна 96 см2.
Найти: расстояние между прямыми АВ} и DD,.
Ответ;
Найти: расстояние между прямыми и BDt.
Дано: A...D| — куб с диагональю, равной
8>/з см.
Найти: расстояние между прямыми DC{ и АЛ,.
Ответ:
® Дано: А...£>( — куб, диагональ его грани рав-
на 38 см.
Найти: расстояние между прямыми D{CX и BJ).
Ответ:
Ответ:
I 5 ) Дано: ABCD — прямоугольник,
МВ 1 (ABCD), АВ = 60. ВС = 80.
Найти: расстояние между прямыми МВ и АС.
® Дано: ABCD - ромб, DK=КС, МК 1 (ABCD),
площадь ромба равна 48 см2, периметр — 32 см.
Найти: расстояние между прямыми МК и АВ.
Ответ:
Ответ:
AD = BD.
Найти: расстояние между прямыми АВ и DC.
8 3 Дано: DC 1 (ABC), AD = BD = 13. АВ = 10,
DC = бТз.
Найти: расстояние между прямыми АВ и DC.
Ответ;
Ответ:
Угол между плоскостями
Дано: A.-Df — куб.
(JOJ Дано: Л...О, — куб.
Найти: угол между пл. BB.D и пл. DCtC.
Найти: угол между пл. АВ.С^ и пл. АВС.
Ответ:
® Дано: A...Di — прямоугольный параллеле-
пипед.
Найти: угол между пл. ААГС и пл. DD,C}.
IJ2J Дано: А..Д — прямоугольный параллеле-
пипед.
Найти: угол между пл. В В, К. и пл. DD^.
Дано: А...СХ — правильная призма.
Найти: угол между пл. ВА}Си пл. АВС.
J4. Дано: А...С, — правильная призма, А41Ct С—
квадрат.
Найти: угол между пл. АКС и пл. АВС.
Ответ:
I15 J Дано: DABC — правильная пирамида, угол
наклона боковой грани к основанию 60°.
Найти: высоту пирамиды.
Дано: DABC — правильная пирамида, дву-
гранный угол при ребре основания 45°.
Угол между плоскостями
'...17*) Дано: ABCD — параллелограмм,
Рлвсо- 48, SABCD = 120, все двугранные углы при
ребрах основания равны по 45°.
C18*J Дано: ABCD — прямоугольник, Рлв<£) = 32 -Уз,
все двугранные углы при ребрах основания рав-
ны по 30°.
Найти: высоту пирамиды.
Ответ:
I.JSJ Дано: Л...С, — правильная призма, ЛЛ( = 6,
угол наклона пл. Л/^С к основанию равен 30°.
Найти: площадь сечения Л В, С.
Ответ:
1 ^0 J Дано: Л...С, — правильная призма, угол
наклона пл. ВА}С к основанию равен 60°:
S =18^3.
‘•'сеч
1 Дано: ABCD, ABMN — прямоугольники,
Р4ВМЛ.= 32,Рлвот = 36, AB = ND= 10.
Найти: угол между пл. АВС и пл. АВМ.
Ответ:
I. 22J Дано: ABCD и NMCD квадраты,
PAJtCD = i8,BN= 12^2.
Найти: угол между пл. АВС и пл. NMC.
Ответ:
'23*1 Дано: DABC — правильная пирамида,
АР :РМ=2А.АВ = 12>?3. DP = 6.
Найти: угол наклона боковой грани к основа-
нию.
|24,J Дано: DABC — правильная пирамида,
ЛЕ = В£=С£=4,£>£= 2>/3.
Ответ:
D
Найти: угол наклона боковой грани к основа-
нию.
Ответ:
Угол между плоскостями
125; Дано: угол между плоскостями АВС и а
равен 30°, BD 1 а, АЛОВ = 90°, АС = 10, АВ = 26.
Найти: расстояние от точки В до плоскости а.
Дано: угол между плоскостями АВС и р
равен 45°, BD 1 р, А В = ВС, АС = 12, CD = 10.
Найти: расстояние от точки В до плоскости р.
Ответ:
(27‘J Дано: АВ = ВС = АС = 6, AD = BD =
= CD= 721; а — двугранный угол при ребре АВ.
Найти: 6cosa.
(28*) Дано: DABC — правильный тетраэдр, р —
двугранный угол при ребре DC.
Ответ:
Найти: 12cosp.
l.29*J Дано: углы наклона боковых граней
пирамиды SABC к основанию равны по 60°;
ЛАВС = 90°, АВ = 6, ВС = 8.
Найти: 5„а,н.
130* I Дано: углы наклона боковых граней пира-
миды SABC к основанию равны ио а; 5&ж = 60.
Найти: а.
Ответ:
В
Ответ:
Дано: ABCD — параллелограмм, Z.BCD-60°;
Pmcd = 48>/3; двугранные углы при ребрах осно-
вания равны по 45°.
1?2*1 Дано: ABCD — параллелограмм, высоты
боковых граней, проведенных из точки М, равны
721,76; ЛС = 8, 5£> = 6.
Ответ:
Угол между плоскостями
(ЗЗ*) Дано: ABCD — параллелограмм, AtDCBi —
его проекция на пл. а, угол между диагональю
BD и пл. а равен 60°, ZAlOBl — 90°, ZDAtC= 30°.
Найти: тангенс угла между пл. ABCD и пл. а.
3^ Дано: ABCD — параллелограмм, АВХ C{D —
его проекция на пл. а, угол между диагональю
BD и пл. а равен 30°, ZABtD = 90°, 3sinP = 7з.
Найти: тангенс угла между пл. ABCD и пл. а.
35* Известны все ребра пирамиды. Двугран-
ный угол при ребре 5Л равен а.
Найдите 5cosa.
Ответ:
Все ребра пирамиды равны 1. Двугранный
угол при ребре SC равен р.
(37*) Дано: угол между пл. аир равен 90°; рассто-
яние от точки М до пл. а равно 21, до пл. р — 20.
Найти: расстояние от точки М до прямой АВ.
38*7 Дано: угол между пл. аир равен 45°;
расстояние от точки Л/ до пл. а равно х/2, до
пл. р — 6.
Ответ:
Найти: расстояние от точки М до прямой АВ.
Ответ:
39* Дано: (ASB) 1 (АВС), АВ = SB = SA = 6,
АС=ВС = 3>/7.
Найти: SC.
40* Дано:(В5О±(Л5С),.4В=ЛС=4^СЛВ=60о.
BS=CS= >/28.
Найти: МК.
Ответ:
Ответ:
Угол между плоскостями
Дано: A...D, — правильная призма.
Найти: площадь проекции ABCJ) на пл. АА}В}В.
l*3J Дано: Л...£>, — правильная призма.
Найти: площадь проекции ABA^D на пл. BBtDtl
Ответ:
Ответ:
1*3 J Дано: A...Dt — куб; площадь проекции
BBtD на пл. ABtCtD равна 4 72.
Найти: AD.
** Дано: Л...О, - куб, AD = 12, ЗЛА/ = АА,.
Найти: площадь проекции AMKD на пл. AAtB}B
Ответ:
*5* Дано: угол между плоскостями а и АВС
равен 30°; АВ = 50, ВС = 30, ZC= 90°.
Найти: расстояние от точки С до пл. а.
Дано: угол между плоскостями а и АВ<
равен 45°; АВ = 5, ВС = В,АС= 9.
Найти: расстояние от точки С до пл. а.
Ответ:
Ответ:
Дано: ABCD — ромб, Z.BAD = 60°; BD со-
ставляет с пл. а угол <р, где sin<p = 0,75.
Найти: угол между' пл. ромба и пл. а.
1*8*.' Дано: ABCD — ромб, Z.ADC = 120°; АС со
ставляет с пл. а угол ф, где si пф = 0,25.
Найти: угол между пл. ромба и пл. а.
Ответ:
Ответ:
Угол между плоскостями
( 49J Дапо: правильная пирамида, ВС = 6,
CD= ЗЛЗ.
Найти: угол наклона боковой грани к основа-
нию.
Ответ:
1.51 J Дано: правильная пирамида, AD = >/б,
DM = 2.
Найти: двугранный угол при боковом ребре.
.50J Дано: правильная пирамида, угол наклона
боковой грани к основанию равен 45°, SD = 2>/1.
Найти: Ржи.
Ответ:
<52 I Дано: правильная пирамида, AD = 2>/5,
5С = 5.
Найти: угол между пл. AS В и пл. DSC.
Ответ:
Ответ:
53*J Дано: DABC — правильный тетраэдр, [3 —
угол между боковой гранью и основанием.
и -	1
Найти:-----
COS0
Ответ:
Ответ:
(55*| Дано: A...Ct прямая призма, угол между
пл. АС\В и АВС равен a, tga = 0,5.
Найти: 5fx)K.
5^* Дано: DABC — правильный тетраэдр, ф —
угол между пл. MDK и пл. АВС.
Найти: tgty.
Дано: A...D, правильная призма, угол
между пл. ABtCt и АВС равен fi, sin|3 = 0,6.
Найти: 5,ии11.
Ответ:
Ответ:
Перпендикулярность плоскостей
57 I ДанО; a 1 р, АВ 1 BD, CD 1 BD, АВ = 3,
BD = 6, CD = 2.
Найти: AC.
Л8 Дано: alp, АВ 1 BD, CD 1 BD, AB = Л
CD = 7з, AC = 5.
Найти: BD.
Ответ:
Ответ:
59 Дано: (DBC) 1 (ABC), (ADC) 1 (АВС),
АС 1 ВС, АС = 8, BD = 12, DM = MB.
Найти: AM.
Ответ:
60 Дано: (ASB) 1 (ABCD), (DSC) 1 (ABCD)
61J Дано: ДЛВС — равносторонний с периме-
тром 45, ВМКС — прямоугольник с перимет-
ром 46. (ВМКС) 1 (АВС). '
Найти: МА.
62) Дано: ABCD — квадрат с периметром 32.
ВМКС — прямоугольник с периметром 24.
(ABCD) 1 (BMKC).
Найти: MD.
Ответ:
Ответ:
163 J Дано: k 1 a. P проходит через k, ВС = 20,
ЛС = 21.
Найти: АВ.
Ответ:
64 Дано: p 1 a, AB 1 m, AC = 17,BC= 15.
Найти: AB.
ТЕМА 4. Перпендикулярность плоскосте!
Контрольная работа по теме
«Перпендикулярность плоскостей»
Вариант 1	Вариант 2
) Ребро куба равно 12. Найдите расстояние
от точки М до плоскости DD{CtC.
I “О Ребро куба равно 8.11айдите расстояние от
точки К до плоскости AA{DtD.
Ответ:
Ответ:
1^3 В прямоугольном параллелепипеде A...D}
АС = 13, DC = 5, АА{ = 12. Найдите угол между
пл. ABCD и пл. DAJ^C.
Ответ:
Ответ:
2 J В прямоугольном параллелепипеде A...Dl
AD = 6, BD =10, CCt = 8. Найдите угол между
пл. ABCD и пл. ABtCtD.
Найдите величину двугранного угла при
ребре основания правильной пирамиды DABC
со стороной основания 16-Уз и высотой 8.
Ответ:
I 3 Найдите величину двугранного угла при
ребре основания правильной пирамиды DABC
A...Ct — правильная треугольная призма.
Угол между плоскостями ВА,С и АВС равен 60°,
площадь сечения С равна 8>/з см2. Найдите
периметр основания призмы.
Ответ:
QO Боковые грани 4-угольной пирамиды рав-
нонаклонены к основанию под углом 60°. В ос-
новании лежит параллелограмм с периметром
24>/3 и тупым углом 120°. Площадь полной по-
верхности пирамиды равна а-Уз см2. Найдите а.
Ответ:
< *3 А...С{ — правильная треугольная призма,
площадь основания равна 12V3 см2. Угол между
плоскостями ACtB и АВС равен 30°. Найдите
площадь сечения ACtB.
Ответ:
I 5 ) Боковые грани 4-угольной пирамиды рав-
нонаклонены к основанию под углом 45°. В ос-
новании лежит прямоугольник с диагональю,
равной 8 см. Площадь полной поверхности пи-
рамиды равна a(V2 + л) см2. Найдите а + Ь.
Ответ:
Контрольная работа по теме «Перпендикулярность плоскостей»
107
SUPER тест
QT . ько на рисунке можно назвать пря-
мых проходящих через точку К?
Ответ:
12LJ Точки М и N принадлежат прямым AD
и BD. Укажите все точки, в которых прямая MN
пересекает прямые, проходящие через другие
\ 3 ,! Точки М и К принадлежат прямым DD,
и C'D). Укажите все
точки, в которых пря-
мая МК пересекает
прямые, проходящие
через другие ребра
куба.
1)	T,E,P,N',
2)	Е, Р,
3)	T,N;
4)	N.
Ответ:
5 ) Дана правильная 6-угольная пирамида.
Найдите площадь боковой поверхности пира-
миды.
Ответ:
Дан параллелепипед. Через какой из набо-
ров точек нельзя провести плоскость?
1)	B,D,D};
2)	Л.ЛрВ.В,;
3)	В, D, Dt, С;
4)	Bv С.
Ответ:
I 4 ) В и-угольиой пирамиде 51 вершина. Най-
дите число ребер пирамиды.
Ответ:
L 6 \ Даиа треугольная призма. Найдите пло-
щадь боковой поверхности призмы.
119
SUPER тест
SUPER тест
I. 9 J Дано: SABCD — правильная пирамида,
DC = 4, 5Л = 2-У5.
® Дано: ABCD - ромб, ЛАВС= 124°.
Найти: угол между прямыми МК и АС.
CllJ Дано: правильная призма, все ребра рав-
ны 2.
Найти: угол между прямыми BtFt и FE{.
Ответ:
£3 Дано: A...D] — прямоугольный параллеле-
пипед, A М: MD{ = 2:1.
Найти: параллелепипеда плоскостью DMC.
® Дано: AC 1 a, BD 1 а, МК || АС.
Найти: расстояние от точки К до плоскости а.
14 Дано: A...D, — прямая призма, АВ = ВС,
AtK = 6.KB] = 2, ЛЛ] = 8.
Найти: Рт призмы плоскостью АКС.
Ответ:
U5 Дано: SABCD правильная пирамида,
AD = AS, = 4 + 4>/3. МК || АВ.
Найти: МК.
Найти: угол между прямой AD, и плоскостью
BBtD,D.
Ответ:
ПОВТОРЕНИЕ
SUPER тест
Найти: длину отрезка х
Найти: площадь поверхности пирамиды AB,CDf.
Ответ:
Ответ:
L.49J Дано: DABC — правильный тетраэдр,
Е е а, АВ || а, CD || а.
Найти: периметр сечения тетраэдра плоско-
стью а.
Найти: угол между прямыми Bt0 и DCt.
Ответ:
Ответ:
2V Дано: правильная пирамида, SO высота.
11айти: угол х.
Ответ:
С?2) Дано: правильная пирамида. SO — высота,
а - р = 20°.
Найти: угол х.
Ответ:
23 J Дано: правильная пирамида, SO — высота,
а + р=160°.
11айти:угол а.
Ответ:
24 Дано: правильная пирамида. SO — высота,
а + р = 236°.
Найти: угол а.
Ответ:
121
тест
SUPER тест
25 Дано: АВ ± DB, АВ 1 ВС, AD 1 АС.
Найти:
Ответ-.
26 дано: DC 1 a, AD = 8, BD = 7, ВС = 1,
AB = V15.
L 27J Дано: /ЛВС=90°, ZDAC=30°, DC1 (АВС),
DC = 8.
Найти: радиус описанной окружности AABD.
Ответ-.
128J Дано: AB 1 BD, AB 1 ВС; AC меньше AD
на 1.
2? Дано: а 1 р, АВ ± BD, CD 1 BD. BD = 24,
АВ =18, CD = 16.
Найти: AC.
30 Дано: два прямоугольника с общей сторо-
ной AM = ВК=6,АВ=15, BN= 10, MN 1. ВК.
Найти: MN.
Ответ-.
Ответ:
— правильная пирамида.
SA = V2j2,BC= 12.
Найти: угол между прямыми ВС’и SD.
Ответ:
32 Дано: МК 1 a, ZA/AB = ZA/AC, АС = 36,
АВ = 24, КС =15.
ПОВТОРЕНИЕ
SUPER тест
33 J Дано: правильная призма с основанием
ABCD, ZBAC = 30°.
Найти: угол между прямой А,С и пл. ХДС,.
Ответ:
34 J Дано: AD = BD = CD = 25, расстояние от
точки D до пл. АВС равно 24, ZACB = 30°.
Найти: АВ.
Ответ:
(зт) Дано: правильная пирамида, все ребра рав-
ны 1. Угол между пл. АВС и пл. DSC равен р.
Найти: tg2p.
C?8J Дано: A...Dl — правильная призма.
Найти: площадь ортогональной проекции ДЛЯ, С
на плоскость AtBtCD.
L39J Дано: правильная призма, все ребра рав-
ны 2; угол между прямыми AtE и EtD равен а.
„ и 1
Найти: —=—
cos а
Ответ:
Ответ:
<40 J Дано: правильная призма, все ребра рав-
ны 1; угол между прямыми и FtE равен
а
arccos—.
b
и .. 8а
Наити: —.
b
123
тест
SUPER тест
141 > Дано: A...Dt — куб.
Найти: угол между прямой Л(С и плоскостью
BC,D.
Ответ:
1.42J Дано: Л...О( — правильная 4-угольная при-
зма, (',К ± D С. DtK = 4 см, КС = 9 см.
Найти: SfoK.
I...43 J Дано: ABCD — параллелограмм,
РЛВС1) = 48-УЗ; двугранные углы при ребрах осно-
у**; Дано: ABCD — параллелограмм, все рассто-
яния от точки Л/ до его сторон равны ^21,76 ;
Ответ:
вания равны по 45°.
Найти: расстояние от точки М до пл. ABCD.
AC = 8,BD-B.
Найти: расстояние от точки М до пл. ABCD.
Дано: DABC —
правильная пирамида,
ВС= 12, DC= 13, DO 1 (ABC).
(46 I Дано: ABCD - ромб, SO ± (ABC), SO=\b,
AC = W. BD = 30.
147 I Дано: Л...О, — правильная призма.
Найти: площадь ортогональной проекции ABC{D
на плоскость АЛ
Ответ:
чо । Дано:Л...О| — правильная призма.
Найти: площадь ортогональной проекции
ААВ^М на плоскость BBJ\D.
ПОВТОРЕНИЕ
SUPER тест
49 J Дано: ДЛВС и &ADB — равносторонние;
(ЛВС) 1 (ЛОВ).
Найти: DC.
Ответ;
Ответ;
i 50 । Дапо: ABCD — прямоугольник, ABAC = 60°,
MB ± (ABCD), МВ = 2, расстояние от точки М до
прямой AD равно 8.
Найти: расстояние от точки М до прямой АС.
м
',51J Дано: A...D{
S = 144 Р
"тип ’ '33,0(0
Найти: Рлвсо.
— правильная призма,
= 22.
5^. Дано: правильная пирамида, все ребра рав-
ны 1. Угол между пл. AMD и АКС равен <р.
Найти: 3sin2(p.
Ответ:
Ответ:
(53~) Дано: A...Dt — правильная призма. Диаго-
наль В,О образует с боковой гранью угол
arctg—, а с основани-
ем призмы — угол а.
Найти: а.
в.
С.
Ответ:
'54 ,1 Дано: A...D{ — правильная призма. Диаго-
наль BXD образует с боковой гранью угол arctg
Ответ:
диагональ DCX образует
с основанием угол (3.
Найти: р.
',55,, Дано: правильная пирамида с высотой,
равной 2; двугранный угол при ребре основания
равен 30°.
Найти:	пирамиды.
Ответ:
56 , Дано: АВ = 10, ВС = 24, АС = 26; углы на-
клона боковых граней к основанию равны а, где
cosa = 0,6.
Найти: S6l„ пирамиды.
SUPER тест
Ответы
Тема 1. Введение в стереометрию
Многогранник»
1.18.2.14.3. 25.4.14.5.34.6. 51.7. 9.8. 51.9.168.10. 144. И. 520.12. 306.
13.576.14.236.15. 210.16.390.17.405.18.4.19. 192. 20. 192.21.* 352.22.* 224.
23.* 156. 24.* 360. 25. 300. 26. 1008.27. 8. 28.4.29. 11.30. 6.31. 100.32.16.
.Аксиомы стереометрии
33. 32. 34. 8. 35. 3. 36. 3. 37. 6. 38. 10. 39. 1. 40. 1. 41. 2. 42. 3. 43. 2. 44. 3.
45. 3. 46. 4. 47.* 2. 48.* 4. 49. 2. 50. 3. 51. 3. 52. 4. 53. 1. 54. 0. 55. 3. 56. 2. 57. 4.
58. 3. 59. 3. 60. 4. 61. 3. 62. 18. 63. 2. 64. 3. 65. 5. 66. 10. 67. 2. 68. 3. 69.* 2.
70.* 1.71.* 24.72.* 4.
Контрольная работа по теме «Введение в стереометрию»
Вариант 1
1. 2. 2../Q-4F.3. 25. 4. 1650. 5. 9.
Вариант 2
1. 2.2. .ДД. 3. 6.4. 6600. 5. 144.
V 2
Тема 2. Параллельность прямых и плоскостей
Параллельность прямых
1. 2. 2. 2. 3. 3. 4. 3. 5. 3. 6. 4. 7. 12. 8. 5. 9. 12. 10. 6. И. 31. 12. 7. 13.* 10.
14.* 16.15.62°. 16. 6.
Угол между прямыми
17. 90°. 18.90°. 19. 60°. 20. 90°. 21. 45°. 22. 60°. 23.* 4.24.* 2.
Параллельность прямой и плоскости
25. 3. 26. 2. 27. 16. 28. 22. 29. 50. 30. 50.31.* 25. 32.* 54.33. 4. 34. 3. 35. 19.
36. 288.37. 180.38. 800. 39. 4. 40. 6.41. 96°. 42. 25. 43. 12. 44. 6.45.* 20. 46.* 5.
47.* 22. 48.* 180. 49. 8. 50. 12. 51. 4. 52. 6. 53. 51. 54. 30. 55. 27. 56. 22. 57. 18.
58. 34.59.* 2. 60.* 5. 61.* 2. 62.* 15. 63.* 4. 64.* 5.
Параллельность плоскостей
65. 3. 66. 4. 67. 105°. 68. 62°. 69. 96. 70. 50. 71. 14. 72. 6. 73.* 16. 74.* 25.
75. 4.76. 4.77. 2.78. 12.79. 4.80. 15.81.24 см. 82. 26 см. 83. 64°. 84. 88°. 85.46.
86. 118.87.48.88. 8. 89. 24.90. 10. 91. 28. 92. 24. 93. 48. 94. 36. 95. 46.96. 56.
Контрольная работа по теме «Параллельность прямых и плоскостей»
Вариант 1
1. 1.3. 6.4. 15.5.96.
Вариант 2
1.2,3.9,4.30.5.120.
Тема 3. Перпендикулярность прямой и плоскости
Перпендикуляр к плоскости
1.6.2. 17.3.6.4. 4.5.* 6.6.* 13.7.* 12.8.* 12,9.4,10.13.11.24.12.8.13.16.
14. 29.15.* 51.16.* 96.17.26.18. 20.19.12.20.18.21. 7.22. 5.23. 7.24.12.25.5.
26. 4. 27. 7. 28. 8. 29. 24. 30. 5. 31.* 20. 32.* 30. 33. 19. 34. 6. 35.* 42. 36.* 128.
37.15.38.13.39.5.40. 13.41. 10.42.4.43.6.44.45°. 45. 13.46.4.47.* 32.48.* 32.
Наклонные и проекции
49. 8. 50. 12. 51. 2. 52. 7. 53. 8. 54. 6. 55. 24. 56. 17. 57. 2 : 1. 58. 4 : 1. 59. 1.
60. 40. 61. 20. 62. 6. 63.* 32. 64.* 36. 65. 62°. 66. 13. 67. 8. 68. 5. 69. 12. 70. 16.
71.* 2. 72.* 6. 73. 36°. 74. 10.75. 12. 76. 10. 77.15. 78. 12.79. 5. 80. 8.
Угол между прямой и плоскостью
81. 45°. 82. 45°. 83. 30° 84. 30°. 85. 0°. 86. 0°. 87.* 2. 88.* 6.
Теорема о трех перпендикулярах
89. 90’. 90. 90°. 91. 10. 92. 12. 93. 90°. 94. 90°. 95.» 8. 96.* 6. 97. 26°. 98. 12.
99. 17. 100. 25. 101. 400. 102. 30. 103.* 2.104.* 60°. 105. 30. 106. 10. 107. 20.
108. 8. 109. 90°. 110. 40°. 111.* 60°. 112.* 45°.
Расстояние в пространстве
ИЗ. 6.114.4.115. 7.116. 150.117. 17.118. 12.119.* 5.120.* 6.
Контрольная работа по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости*
Вариант 1
1.2.2. 45°. 3. 1.4.5. 5. 10.
Вариант 2
1.3.2. 45°. 3.8. 4. 13.5.8.
Тема 4. Перпендикулярность плоскостей
Расстояние между скрещивающимися прямыми
1.* 4.2.* 8.3. 6.4. 19. 5. 48. 6. 6.7. 24. 8. 6.
Угол между плоскостями
9. 45°. 10. 45°. И. 60°. 12. 45°. 13. 45°. 14. 30°. 15. 6. 16. 2. 17.* 5. 18.* 4.
19.72.20.9.21.90°. 22. 60°. 23.* 45°. 24.* 60°. 25.12.26.8.27.* 3.28.* 4.29.* 72.
30.* 60°. 31.* 9. 32.* 4. 33.* 2. 34.* 1. 35.* 2. 36.* -2. 37.* 29. 38.* 10. 39.* 9.
40.* 3.41.48.42.24.43.4.44. 24.45.* 12.46.* 4.47.* 60°. 48.* 30°. 49.60°. 50.24.
51. 120°. 52.60°. 53.* 3. 54.* 32. 55.* 720. 56.* 80.
Перпендикулярность плоскостей
57. 7. 58. 4.59. 10. 60. 18. 61. 17. 62. 12.63. 29. 64. 8.
Контрольная работа по теме «Перпендикулярность плоскостей*
Вариант 1
1. 12.2. 45°. 3.45°. 4. 12 см. 5. 162.
Вариант 2
1. 4. 2. 45°. 3. 60°. 4. 24 см2.5. 33.
SUPER тест
1. 6. 2. 4. 3. 3. 4. 100. 5. 96. 6. 72. 7. 3. 8. 90°. 9. 60°. 10. 28°. И. 90°. 12. 9.
13. 130.14.35.15.1.16. 30°. 17.12.18.48.19.24.20.30°. 21.30°. 22.55°. 23.70°.
24. 118°. 25. 27. 26. 2. 27. 8. 28. 15. 29. 34. 30. 17. 31. 45°. 32. 10. 33. 45°. 34. 7.
35. 6.36. 12.37. 2.38. 750.39.8.40. 6.41.90°. 42. 312.43.9.44.4. 45. 11.46. 20.
47. 48. 48. 15. 49. 12.50. 7.51.16.52. 2. 53. 60°. 54. 60°. 55. 72. 56. 200.
Тема 3. Перпендикулярность прямой и плоскости
№3
Определение Признак
к любой! к двум!
Дано: .401 ОН, АО ЮС
Доказать: .101 к любой!
Тема 4. Перпендикулярность плоскостей
№4
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ
скрещивающимися прямыми
Двугранный угол
Признак перпендикулярности
плоскостей
т
а
Теорема о линии пересечения
двух плоскостей,
перпендикулярных третьей
Дано: а 1 у. 01 у
Доказать: с 1 у
Дано: т 10. а проходит через т
Доказать: а 10
Теорема о перпендикуляре к линии
пересечения
двух перпендикулярных плоскостей
Дано:а 10. kip
Доказать: А' 10
Тема 1. Введение в стереометрию
Тема 2. Параллельность прямых и плоскостей	№2
т.
Дано: а; .4
Доказать: можно
b || а и только одну
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Дано: a Ь.аоа
Доказать: Ana
Г —у---Т>Дано: а || с, h || с
/?£'/ Доказать:a\\h
УГОЛ МЕЖДУ С КРЕПИIKAKHILI1MI1СЯ
Дано: т || п, пе а
Доказать: т 11 а
Дано: k |a,/еер
Доказать: k || р
k
Если k пересекает р, то k пересекает и а!
М — общая для а и р.
Значит, А/е п.
Тогда т пересекает п!
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
ПЛОСКОСТЕЙ