62<3T2#
VSJ-
ФИЛЬТРЫ И ЦЕПИ
СвЧ
Перевод с английского
Л. В. Алексеева, А. Е. Знаменского,
В. С. Полякова
Издательство «Связь»
Москва 1976
в фи
Ф48
УДК 621.372.852.1.061(520)
Фильтры и цепи СВЧ. Пер. с англ. Л. В. Алексеева,
Ф48 А Е. Знаменского, В С Полякова М, «Связь», 1976
248 с с ил
Книга в обзорной форме знакомит с достижениями японских специалистов
в области теории и проектирования фильтров СВЧ Излагается теория фильтров
на распределенных элементах и методы их синтеза Большое внимание уделено
современной теории многопроводных линий и вопросам применения их в фильт-
рах, импедансных и симметрирующих трансформаторах, направленных ответви-
телях и других устройствах
Книга предназначена для научных и инженерно-технических работников, за-
нимающихся исследованиями и разработками в области СВЧ техники, а также
для аспирантов и студентов соответств}ющнх вузов
30602—054
ф ------------
045(01)—76
19—76
6Ф1

4
]
MICROWAVE FILTERS AND CIRCUITS
Contributions from Japan
Edited by Akio Matsumoto
Research institute of applied Electricity
Hokkaido University
Sapporo, Japan
© Перевод на ртсскии языь издательство «Связь». 1976 i
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
Материалы, изложенные в предлагаемой читателям книге, мбж-
но рассматривать как развитие идей и методов, представленных
в книге Маттея и др. «Фильтры СВЧ, согласующие цепи и Цепи
связи». Это относится, в первую очередь, к так называемому точ-
ному синтезу распределенных цепей, основанному на частотиом
преобразовании Ричардса. На основе этого метода в настоящее
время разработано много новых типов фильтров. Для освоения
теории таких фильтров и методик их расчета необходимо знать
основные положения точного метода синтеза, которые излагаются
в начале книги.
Очень важным является также раздел о многопроводных ли-
ниях. Связанные полосковые линии находят широкое применение
| в фильтрах, направленных фильтрах и ответвителях, делителях
Е мощности и др. устройствах. Известно, что такие типы фильтров,
как гребенчатые и встречно-стержневые и их модификации, основ-
ной частью структуры которых является решетка из нескольких
связанных стержней, широко применяются для реализации самых
различных функций. Они используются как фильтры, согласующие
трансформаторы, нашли широкое применение при разработке
? умножителей частоты и т. д. Достоинствами их являются компакт-
ность, возможность реализации широких полос запцрания, простота
исполнения, надежность.
В последние годы появились новые структуры фильтров и дру-
гих устройств, в которых используются эффекты связи между не-
смежными проводниками. К таким устройствам относятся ответви-
тели с тремя и более внутренними проводниками, фильтры, обеспе-
чивающие линейность фазы при высокой избирательности и сохра-
нении малых габаритов фильтра. Методы проектирования подоб-
ных устройств основаны на общей теории многопроводных линий.
Следует отметить, что эти методы сочетают в себе положения
, общей теории многопроводных линий и «точного синтеза», основан-
ного на частотном преобразовании Ричардса. Эти вопросы не
нашли еще достаточно полного отражения в отечественной лите-
ратуре.
В предисловии американского редактора Лео Янга указывает-
ся, что работы японских ученых и инженеров известны в США не-
большому числу специалистов, которые высоко оценивают эти ра-
боты. В нашей стране работы японских специалистов также были
до настоящего времени мало известны, поэтому издание этой книги
целесообразно.
Главы 1, 6—8 русского издания переведены Л. В. Алексеевым
и В. С. Поляковым совместно, главы 4 и 5 — Л. В. Алексеевым,
главы 2 и 3 — А. Е. Знаменским.
ПРЕДИСЛОВИЕ К АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ
Фильтры — основной элемент многих радиотехнических
устройств. Они используются для разделения или сложения сиг-
налов разных частот в многоканальных системах связи или в узлах
радиотехнических устройств, например преобразователях частоты.
Спектр электромагнитных колебаний ограничен, и его отдельные
участки необходимо отделить один от другого; фильтры исполь-
зуются для того, чтобы излучения мощных радиопередатчиков
были ограничены заданными пределами спектра; и наоборот, дру-
гие фильтры используются для защиты приемников от помех, рас-
положенных вне их рабочей полосы частот. Цепи типа фильтров
используются при согласовании сопротивлений — например, двух
линий передачи с различными волновыми сопротивлениями или
генератора и нагрузки. Иногда нужно получить определенную фа-
зовую характеристику, например, для компенсации фазовых иска-
жений, обусловленных фильтром или другой дисперсной структу-
рой. Компоненты, расчет которых основывается на теории фильт-
ров — это и направленные ответвители и круговые поляризаторы.
Современная теория цепей с сосредоточенными параметрами
описана во многих книгах, и знакомство с ее основными положе-
ниями необходимо для освоения теории фильтров с распределен-
ными параметрами (т. е. фильтров СВЧ). Существует также об-
ширная литература по фильтрам СВЧ. Работы, выполненные в
США, хорошо доступны инженерам, знающим английский язык.
Работы, выполненные в Японии, известны в Америке лишь немно-
гим специалистам, которые их высоко оценивают. Ряд работ, опуб-
ликованных в Японии, даже на английском языке трудно доступен
для инженеров США (например, книга профессора Хиденари Учи-
да «Основы теории связанных линий и многопроводных антенн»).
Большая часть материала этой книги никогда ранее не публикова-
лась на английском языке. Главы книги написаны ведущими
японскими специалистами под общей редакцией А. Матсумото.
Многие из перечисленных доктором Матсумото в его введении
специалистов охотно помогали при издании этой книги. Доктор
Матсумото и его соавторы заслужили наше уважение и благодар-
ность за их усердие в выполнении этой работы, за принятие многих
из наших предложений, направленных на улучшение содержания
книги. Я хотел бы выразить благодарность издательству за прове-
дение этого «эксперимента по взаимному обогащению».
Наконец, я хочу поблагодарить Стэнфордский исследователь-
ский институт, и в особенности мисс Дайану Бремер, за помощь
мне в координации работ.
Лео Янг
4
Введение
Фильтры СВЧ относятся к классу частотных фильтров, однако
существует ряд различий в требованиях, предъявляемых к СВЧ
фильтрам и фильтрам, используемым в высокочастотной телефо-
нии: в отношении величины проходящей мощности, характеристик
в полосе пропускания и полосе задерживания, паразитных полос
и т. д. Несмотря на эти различия, одна и та же теория применима
как для фильтров СВЧ, так и для фильтров, спроектированных на
более низкие частоты.
В этой книге теория цепей распространяется на область СВЧ
схем. Схемы, составленные из отрезков передающих линий, могут
быть описаны комплексной переменной k = thy/, в то время, как
схемы на сосредоточенных элементах описываются частотной пере-
менной p = i<o.
С 1961 по 1962 г. редактор этой книги занимался исследова-
нием СВЧ схем в Политехническом институте в Бруклине. Там он
познакомился с американскими профессорами и инженерами, рабо-
тающими в этой области. Профессор Стэнфордского научно-иссле-
довательского института Лео Янг предложил редактору опублико-
вать эту книгу в серии «Advances in Microwaves». Редактор счи-
тал, что такая книга может оказать большую пользу разработчи-
кам фильтров СВЧ в изучении теории цепей. Кроме того, это была
бы также возможность представить труды японских ученых в этой
области, так как в противном случае они остались бы незамечен-
ными вследствие языкового барьера.
Все экспериментальные данные взяты из японских источников,
и большинство ссылок в тексте сделано на труды японских авто-
ров.
В процессе работы над книгой большая помощь в просмотре
рукописи была оказана Лео Янгом, Д. К. Адамсом, Л. А. Робинсо-
ном, Б. М. Шифманом, Р. Леви и Дж Роудсом. Редактор глубоко
им признателен.
Акио Матсумото
ГЛАВА 1
Общие свойства и синтез цепей
на линиях передачи
Казуюки Курода
Электрические цепи на линиях передачи, состоящие из соразмерных отрезков
линий, описываются с помощью комплексной частотной переменной A=thy/.
Характерной чертой для таких цепей является использование каскадно вклю-
чаемых отрезков лийий, названных для краткости «единичными элементами»
(ЕЭ) Основополагающей теоремой для цепей такого рода является теорема
Ричардса Здесь предложено несколько типов преобразований цепей с единич-
ными элементами, которые известны под названием «тождеств Куроды».
Особенно важными являются так называемые цепи нормального типа (крат-
ко — нормальные) Кроме того, рассматривается синтез цепей стержневой струк-
туры и древовидной структуры, т .е. цепей с параллеле ными шлейфами. В ка-
честве примера рассмотрена реализация составного звена Бруне (каскадного
соединеия звена Бруне и единичого элемента) петлей Икено. Показана также
возможность параллельной реализации, однако в этом случае число элементов
обычно превышает минимальное значение.
1.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ГЛАВЕ
A=th y/ = cr-f-i Q— преобразованная частотная комплексная переменная;
p = cr-f-i — комплексная частотная переменная;
Т — время задержки в линии;
v—скорость распространения ТЕМ-волн в линии;
Z: — волновое сопротивление;
ZK3— входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии;
Zxs— входное сопротивление разомкнутого отрезка линии,
С, С', С,, С2, С3 — емкости;
L, Аз, Др, Lt, Lz, Ls, М — собственные и взаимные индуктивности;
ЕЭ — единичный элемент;
F, Fo, Fu, Ft, — матрицы передачи;
Д(А), В(А), С(А), £>(А)—элементы матрицы передачи;
Z(A), У(Х), 1Г(Л)—волновое сопротивление, проводимость и иммитанс соответ-
ственно;
S(X)—коэффициент отражения;
ш, п — вещественные постоянные, целые,
По, Я* — значения нулей передачи;
det F — определитель матрицы F;
XtJ — (t, j)-M элемент матрицы X;
У1, Уг, Уз, Г*— волновые проводимости линий в петле;
Ф — постоянная, в табл. 1.1;
/(A), g(L) —вещественные полиномы;
v — число каскадно включенных единичных элементов;
а(А), 6(A), с(А), d(L)—вещественные полиномы;
R,, — рациональная матрица;
Aij — (б 1) минор;
6
Q(x, у) — квадратичная форма от х и у,
Р(Х), Q(X)—полиномы числителя и знаменателя четной части EvY(X),
Re X, Im X, Ev X, deg X, Arg X — вещественная, мнимая и четная части, степень
и фаза X соответственно;
ktl — вычет в полюсе функции
w — четная или нечетная вещественная функция от л,
ui, иг, Vi, V2, и и v — .етные вещественные полиномы 01 X;
Н(Л.) — полином Гурвица;
I, k — положительные целые числа;
г — кратность полюса затухания в точке Х=°о,
п — степень функции или матрицы,
у — степень /(X);
Zts — входное сопротивление цепи, короткозамкнутой на выходе.
^-макс — максимальная индуктивность, которая может быть выделена из цепи,
Ok — вычет функции Y в полюсе X=ioft:
/'(X), f"(X) — аддитивные составляющие функции f(X);
a, b, ci, сг, 61, 62, 01, а2— вещественные постоянные,
6&— полюс или нуль функции,
6, — полюс У12.
g(X) = (l-X2)-'/2
1.2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ НА ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ
Методы расчета цепей на линиях передачи можно разделить
на две группы: первая группа объединяет методы, независимые от
методов синтеза цепей на сосредоточенных элементах, методы вто-
рой группы заимствуют технику синтеза этих цепей. В принципе,
первая группа могла бы быть более общей, чем вторая, на методы
которой должны быть наложены некоторые ограничения на струк-
туру или свойства цепей на линиях передачи. Однако методы, от-
носящиеся к первой группе, пока еще в большей мере служат для
целей анализа, чем синтеза.
Рассмотрим отрезок неоднородной линии, используемой в ка-
честве согласующего звена. Два хорошо известных типа такого
звена показаны на рис. 1.1.
Расчет экспоненциальной линии не опирается на методы син-
теза цепей с сосредоточенными элементами. Кроме того, экспонен-
циальная функция является только одним из возможных примеров
функции из класса допустимых функций для Z0(x); для определе-
ния оптимальной функции необходимо математическое обоснова-
ние. С другой стороны, ступенчатую линию можно рассчитать на
основе вносимого затухания точно, если отрезки линии имеют рав-
ную длину.
Большинство методов, описанных здесь, относится ко второй
группе. Чтобы к цепям на линиях передачи можно было применить
такой же подход, как к схемам на сосредоточенных элементах, не-
обходимо использовать одно из двух типов ограничений:
1) узкополосная аппроксимация. Ограничиваясь достаточно уз-
кой полосой частот, можно избежать использования трансцендент-
ных схемных функций. При этом цепь на линиях передачи, экви-
валентная схеме с сосредоточенными параметрами, может быть
получена простой заменой элементов:
2) соразмерные отрезки линий. Ограничиваясь соразмерными
отрезками линий передачи, можно ввести такое частотное преобра-
зование, которое даст возможность трансцендентные схемные
функции цепи на отрезках линий заменить рациональными функ-
циями новой частотной переменной.
Рис 1 1. Коаксиальные согла-
сующие звенья- а) экспоненци-
альное; б) ступенчатое
Рис 1 2 Последовательные соедине-
ния: а) практически не реализуемое
соединение двух коаксиальных ли-
ний; б) двойная коаксиальная линия
Так как цепи на линиях передачи используются на более высо-
ких частотах, чем сосредоточенные цепи, паразитные элементы,
такие как индуктивности вводов, краевые емкости и неоднороднос-
ти в точках соединения линий, должны быть как можно меньше.
Кроме того, следует избегать последовательных соединений, кото-
рые могут явиться причиной появления паразитных типов колеба-
ний в линии. Например, на внешней поверхности незаземленного
отрезка коаксиальной линии (рис. 1.2ц) может появиться ток, кото-
рый приведет к искажению характеристики цепи. Для реализации
последовательных соединений можно использовать коаксиальные
структуры с двойными экранами или многократно экранированные,
но они могут привести к сложным конструкциям, не представляю-
щим большого интереса. Эти обстоятельства приводят к тому, что
для построения цепей на линиях передачи необходимо использо-
вать соединительные четырехполюсники Ч
1.3. ЦЕПИ РИЧАРДСА
Тангенсное частотное преобразование
Ричардс впервые ввел частотные преобразования для цепей, со-
ставленных из активных сопротивлений и соразмерных отрезков
линий. Такие цепи названы цепями Ричардса. Рассмотрим отрезок
линии без потерь длиной I. Входное сопротивление отрезка линии,
замкнутого или разомкнутого на дальнем конце, равно:
^кз th у|
Zxx = Z0/thy/J
*> Здесь и далее вместо необходимого по смыслу термина «цепь с двумя
входами» (two-port) для краткости используется термин «четырехполюсник». —
Прим. пере®.
8
(1-2)

соответственно. Здесь Zo— волновое сопротивление (вещественная
положительная постоянная); у — постоянная распространения.
Обозначив Л= th у/, из ур-ний (1.1) получим:
^кз =
~ %Ql
Таким образом, если рассматривать Л как независимую частот-
ную переменную, то ZK3 будет представлять входное сопротивление
для индуктивности L = Z0, a Zxx— входное сопротивление для ем-
кости C=l/Z0.
Активные сопротивления не зависят от частоты и не изменяют-
ся при частотных преобразованиях. Таким образом, имеем три ос-
новных элемента L, С и соответствующих преобразованной час-
тотной переменной X. Они показаны на рис. 1.3. Кроме этих эле-
ментов, будут введены идеальные трансформаторы.
Рис 13 Три основных
элемента, соответствую-
щие частотной перемен-
ной X=thy/
S)
R
Преобразование A = thyZ можно записать как
X = thyZ = th(pZ/y) = thpT,	(1.3)
где v — фазовая скорость ТЕМ-волны в линии; Т— время задерж-
ки волны отрезком линии; р — исходная комплексная частота. Как
Т, так и v — вещественные положительные постоянные.
Рис. 1.4 иллюстрирует некоторые свойства X—р-преобразова-
ния. Так как X — периодическая функция от р с периодом in/T,
т. е. th(рГ+in) = thpT, то область, ограниченная двумя прямыми
<9
Рнс. 1 4 Частотное преобразование
X=thpT а) р плоскость, б) Х-плос-
кость
P=o±in/2T, содержит всю необходимую информацию о преобразо-
вании. Четыре части этой области, отделенные друг от друга ве-
щественной и мнимой осями, отображаются на четыре квадранта
9
плоскости К, как показано на рис. 1.4. Вещественная ось отобра-
жается на сегмент | А| < 1 вещественной оси X, а две другие гра-
ничные линии отображаются на сегменты |Х|>1 вещественной
оси X. Мнимая ось плоскости р отображается на мнимую ось X.
Поскольку X можно разложить в ряд из элементарных дробей,
являющихся рациональными реактансными функциями, то Л, обла-
дает реактансными свойствами в конечной области р. Функция,
которая обладает в любой конечной области р свойствами рацио-
нальных функций, называется трансцендентной мероморфной
функцией р Исходя из этого, функция thp? называется трансцен-
дентной реактансной функцией, а преобразование X = thp7’ отно-
сится к типу реактансных.
Положим X = iQ, p = ico; тогда Q = tg<o7' (рис. 1.5). Так как
Й— периодическая функция <о, то характеристики цепей Ричардса
являются периодическими, как показано на рис. 1.6. Это упрощает
Рис 1 6 Характеристика
фильтра на соразмерных
линиях передачи (в области
частот Q и в области ча-
стот <о)
задачу расчета: расчет фильтров нижних частот в плоскости й
может быть также использован для расчета полоснопропускающих
и полоснозаграждающих фильтров. Однако период повторения
характеристик определяется значением Т, и расстояние между со-
седними полосами пропускания зависит только от средней частоты
требуемой полосы пропускания.
Единичный элемент (ЕЭ)
В качестве соединительного четырехполюсника в цепях Ричард-
са используется отрезок линии передачи без потерь. Он назван
единичным элементом (ЕЭ). Два способа представления ЕЭ по-
казаны на рис. 1.7.
о 	--—о
zff,y0 =
О— • rai —О
Рнс 1 7 Единичный элемент
*> Здесь и далее вместо принятого в отечественной литературе для матрицы
ABCD термина «цепная матрица» используется термин «матрица передачи»
(как в оригинале) Не следует путать ее с волновой матрицей передачи Т'. —
Прим перев
10
Матрицу передачи ЕЭ ') можно записать так:
Fu
А = 1 x/z°
С D J	|_X/Z0	1
(1.4)
Элементы данной матрицы иррациональны. Иммитансные матрицы
имеют вид:
w1 '*i i-i,J
Здесь Z12 и Yu иррациональны и мнимы на вещественной оси, если
(Х|>1; это означает, что не все входные иммитансы цепей, содер-
жащих единичные элементы, являются вещественными функция-
ми X. Например, квадратичная форма, соответствующая матрице
проводимости короткого замыкания, имеет вид:
Q(x, у) = к"1 У0[х2 - 2xi/(1 - Х2)1/2 + г/2],	(1.6)
где х и у — вещественные переменные. Функция (1.6) не является
вещественной, кроме случаев, когда х=0 или г/ = 0; она может рас-
сматриваться здесь как входная проводимость петли из четырех-
полюсника, подключенного через идеальные трансформаторы с
коэффициентами трансформации х и у. Особый случай x = i/=l
приводит к схеме, показанной на рис. 1.8.
Рис 1 8 Петля,
образованная еди-
ничным элементом
Рис 1 9 Петлевое соединение
трех единичных элементов, при
водящее к двухполюснику, не
являющемуся нормальным
Петлевое соединение нечетного числа единичных элементов
имеет невещественные входные иммитансы, как показано Икено
[2], а также Уолшем и Ку [3] (рис. 1.9). Цепи, каждая петля
которых включает четное число единичных элементов, Икено на-
звал «нормальными') Их входные сопротивления являются ра-
циональными положительными, вещественными функциями л.
Здесь будут рассмотрены только нормальные цепи.
И
Свойства единичных элементов в особых точках
В точке Х=0 единичный элемент представляет собой емкость
или индуктивность, как показано на рис. 1.10 а и б. В точке Х=о°
элементы матрицы передачи ЕЭ принимают вид: Л=£) = 0,
B=±iZ0, C=±i/Z0. Каскадно включенный четырехполюсник,
имеющий такую матрицу, называется (по определению Каваками
[4]) мнимым гиратором.
Рис. 1.10. Некоторые эквивалентные схемы единичных элементов на особых
частотах: а) представление Z матрицы на нулевой частоте (Х = 0) в виде парал-
лельной емкости; б) представление Y-матрицы, на нулевой частоте (Л. = 0) в виде
последовательной индуктивности; в) мнимый гиратор (Х=оо); г) два развязан-
ных двухполюсника (Х=1)
1.4. ТЕОРЕМА РИЧАРДСА
Основополагающей теоремой для цепей Ричардса является тео-
рема Ричардса. Определим сопротивление Z(X) на входе единич-
ного элемента с волновым сопротивлением Zo, нагруженного, как
показано на рис. 1.11, на сопротивление Zi(X), определяемое ра-
циональной, положительной, вещественной функцией. Сопротивле-
ние Z(X) можно представить в виде:
Z (X) = Zo [X Zo + ZY (X)J/[Z0 4- X Zt (X)].	(1.7)
Функция Z(X) рациональна, если функция Zf(X) также рацио-
нальна. Кроме того, Z(X) — функция положительная вещественная,
так как она представлена в виде выражения, обратного сумме
двух положительных вещественных функ-
ций. Теорема Ричардса утверждает, что
положительную вещественную функцию
Z(X) всегда можно реализовать в виде,
показанном на рис. 1.11, где Zi(X), как
Рис. 1 11. Схема,
поясняющая вы-
вод теоремы Ри-
чардса
и ранее, положительная вещественная
функция со степенью, не превышающей
степень Z(X). В точке Х=1 ур-ние (1.7)
принимает вид Z(1)=ZO. Таким образом,
Zj(X) = Z(l) [Z (X) — X Z (1)]/[Z (1) — XZ(X)].	(1.8)
Существует несколько способов доказательства того, что функ-
ция Zi(X) —положительная вещественная. Здесь приводится толь-
ко одно доказательство с использованием коэффициента отраже-
ния (см. также работу Янга [5]). Коэффициент отражения от
входного сопротивления Z(X) равен
S (X) = [Z (X) - Z?J/[Z (X) + R],	(1.9)
12
где R — положительная постоянная, равная величине сопротивле-
ния источника. Здесь S является линейным преобразованием Z;
при этом мнимая ось плоскости Z отображается на единичную ок-
ружность в плоскости S, а правая полуплоскость Z отображается
на внутренность этого круга. Это приводит к следующей теореме.
Теорема 1.1. Функция Z(A) —положительная вещественная (и
рациональная, если не определена иначе), если и только если:
1) S(A.)—вещественная, рациональная функция и 2) |5(А)|^1
для Re 7.^г0.
Следствие 1.1. Функция Z(A)—положительная вещественная,
если и только если: 1) S(A) —вещественная рациональная функ-
ция, 2) S (7.) регулярна для Re л^гО и 3) |S(iQ]^l дляХ=1й.
Выражение для коэффициента отражения SJA) от Zi(X) для
Re=Z (1)‘принимает вид
S1(X) = S(A)(1+Х)/(1—X).	(1.10)
Здесь Si (А) является регулярной функцией в правой полу-
плоскости и на мнимой оси А, так как единственной возможной
нерегулярностью является полюс в точке А=1, который сокращает-
ся с нулем S(A). Кроме того, |Si(i Q) | = |S(i Q) |	1. Следователь-
но, Si (А) удовлетворяет условиям приведенного выше следствия
1.1, и Zi(A) является положительной вещественной функцией. Сте-
пень Si (А) не выше степени S(A). Если S(X) имеет полюс в точке
А= —1, множитель (1+А.) сокращается и степень Si(X) становит-
ся на единицу ниже, чем степень S(A). Это будет в том случае,
когда Z(l)+Z(—1)=0. Тот же самый результат справедлив для
проводимостей.
Теорема 1.2. Если IF(A) —положительная вещественная функ-
ция, то
ГДХ) = Г(1) [Г(Х) — Х№(1)]/[№(1) — ХГ(Х)1 (1.11)
тоже положительная вещественная функция, имеющая ту же сте-
пень, что и №(А),за исключением случая, когда W(1) + W(—1)=0.
В этом случае, IFi(A) имеет степень на единицу меньше, чем IF(X).
Теорема 1.3. Реактансную функцию степени п можно реализо-
вать как входной иммитанс п каскадно включенных единичных
элементов, короткозамкнутых или разомкнутых на дальнем конце.
Икено [2] назвал такие цепи (рис. 1.12) цепями стержневой струк-
туры или стержневого типа.
Рис. 1 12. Две цепи стер-
жневой структуры, экви-
валентные LC-резонато-
рам. Я2о=1 /LC
13
1.5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Тождества Куроды
Каждые две схемы, приведенные в любой из строк от А до F
табл. 1.1, являются эквивалентными четырехполюсниками [6—8].
Эквивалентность выполняется и для отрицательных значений эле-
ментов, кроме случая, когда <р = 0. Убедиться в этом можно срав-
нив матрицы передачи соответствующих схем. Емкости П-звена
строки Е в табл. 1.1 и индуктивности Т-звена строки F тесно свя-
заны между собой (т. е. имеют коэффициент связи, равный 1).
Следовательно, эти звенья являются «звеньями Бруне». Звеном
ТАБЛИЦА 11
Тождества Куроды
Бруне обычно называют, в соответствии с работой Бруне [9],
взаимный четырехполюсник без потерь второго порядка, имеющий
пару комплексно-сопряженных нулей передачи на мнимой оси в
плоскости комплексной частотной переменной (рис. 1.13).
14
Рис 1 13. Три эквивалентных
формы звеньев Бруне:
a) LpLb=M2, Lp-\-L,—2М =
= б) LiL2~\-L2L2-\-L2Li =
= 0, L,+L2=L>0; в) CtC2-r
4~СгСз4-СзС1 -0,	С 14-С’г —
= С>0
Перестановка единичного элемента и звенья Бруне
Приведенные выше тождества можно дополнить эквивалентны-
ми схемами, показанными на рис. 1.14, так как звено Бруне
всегда можно переместить на другую сторону ЕЭ [10]. Матрица
передачи звена Бруне имеет вид:
. FQ2 + mA2	_Q2LZ ]
Fft =----!--- 0	0	,	(1.12)
й2+Г [Й2СХ	Q2 + nX2J
где
Q2 = \lMC, L^Ld + Ls — ZM, tn — LdM, п = LdM]
0	• (1-13)
tn = 1 /п, QqLC = m + n — 2 — {tn — \)2/tn	]
Рис. 1 14. Эквивалентные преобразования
каскадного соединения звена Бруне и еди-
ничного элемента
Условия физической реализуемости схемы требуют, чтобы вы-
полнялось L, СлагО. В предельном случае, когда L или С = 0, необ-
ходимо, чтобы т—п=\. За исключением этого случая Q20 может
быть положительным или отрицательным, при этом т и п имеют
тот же знак, что и й20.
Цепь, представленная на рис. 1.14а, имеет матрицу передачи:
F - Fb F„ =-------------------!--------X
(1-Х.г)1/2(^+Г)
х ' fi2 + (m+ fi2LP0)V	Q2(Z0 + L)k + mZ0A8 '
Й2(У„+СН-1-гаГ0У Q2+(n+^CZ0) Л2 j
где yc.= l/Z0. Матрицу передачи F' = F'uF'b цепи, представленной
на рис. 1.146, можно получить перестановкой элементов А и D
матрицы F и заменой (добавлением штрихов в обозначениях) па-
раметров цепи.
Рассмотрим возможность выполнения соотношения F = F&FU =
= F/„F'i. Необходимыми и достаточными условиями для этого
являются:
Q02 — Q2,	(1.15а)
Z'0 + L' = Z0 + L, У04-С' = К0 + С	(1.156)
15
tn' Z' = tnZ0, nY'^ — tiY^,	(1.15b)
zoz; = [mZ0 + Q2(Z0 + L)]![nY0 + Q2(Y0 + C)],	(1.15r)
где y/o=l/Z'o. Эти уравнения являются инвариантами представлен-
ного преобразования. Необходимо теперь доказать физическую
реализуемость Fz6 и F'u. Так как т и п имеют тот же знак что и
Я2о, условие (1.15г) показывает, что Z'o положительно. Очевидно,
что det F'u = 1 и так как det Fz& det Fzu = det Fu det Fb = 1, то из этого
следует, что det F'b= 1, i. e. m' = l/n' и Q'20L'C'^ (m'—1)2//nz. Усло-
вия (1.15a) и (1.15в) показывают, что QZ20 и tn' имеют одинаковые
знаки, поэтому L'C' должно быть не отрицательным. Отсюда, если
А'<0, то С'<0 и выражения (1.15) дают ZZO>ZO, Y'0>Y0, что про-
тиворечит соотношению 1Z/O=1/Z'O. Следовательно, L'^0 и С'^0,
что и требовалось доказать.
Из ур-ний (1.15а) — (1.15г) имеем:
(m' — 1) (m — I) [mZ0 + Q2 (Zo ф L)] = - Q2 m Zo (Zo + L - m Zo) (Yo +
4-C — nY0),	(1.16)
где Zo+L—mZa и Yo+C—nY(l суть инварианты преобразования.
С помощью ур-ния (1.16) рассмотрим свойства отрицательных
элементов. Условие Zo + L—mZo <ZQ— необходимое и достаточное,
как для выполнения условия /п>1, так и условия т'>\.
Индуктивности Li=L/(l—т) и Lz2=lLz/(l—т')—последова-
тельные индуктивности, присоединенные к единичным элементам,
если звенья Бруне имеют Т-структуру. При введенных обозначе-
ниях приведенное выше условие принимает вид: если L2<ZQ и
Zo+L2>0, то I>z2<0 и Zzo + Lz2>0, и наоборот. Аналогично имеют
место следующие соотношения между отрицательными элементами
для й2о>0:
1)	Zo> — L2>0-<—— L'2>0, (m> 1, tn' > 1);
2)	—L2>Z0	—С'> У',	(Щ>1, m'<l);
3)	— С2>У0«—>—L'>Z',	(m<l, m'>l);
4)	Yo>-C2>0<—> y'>-C;>0, (m<l, m'<l),
где C2=C/(1—n) и С'г = С'/{1—n') —емкости П-звена типа, пока-
занного на рис. 1.1 Зе.
Из ур-ний (1.15а) — 1.15г) следует, что при m = mz = l имеем
предельный случай: L — I.'=C = C' — 0. Но согласно ур-нию (1.16)
получаем, что т=\ или пг'=\, если Zo + L—mZ0 = Q или Уо+С—
—лУо=О. Таким образом, имеем следующие соотношения:
1)	l = o, >z; + l; = o;
2)	L^O, С = 0ч-->У;+С; = 0;
3)	Zo + L2 = 0 4-->L' = 0(C’^0);
4)	Yo + Ca = 0<-^r^0(C' = 0).
16
Случаи 1 и 2 соответствуют строкам Е и F табл. 1.1. Другие
тождества в этой таблице относятся к вырожденным случаям,
когда Йо=0 или оо [11]. Эти преобразования можно рассматривать
как обобщение метода перемещения нулей передачи Ямамото [12].
Петля Икено
Икено [2, 13] показал, что схему, приведенную на рис. 1.14,
можно реализовать, как показано на рис. 1.15, четырьмя единич-
ными элементами в петле, если
(1—m)Z0-f-L<0 или Q2<—1. (1.17)
Первое условие эквивалентно
L2<0, Zo + L2>O,	(1.18)
где L2 соответствует обозначениям, при-
нятым на рис. 1.135. Проводимость пере-
дачи схемы Yi2 есть сумма проводимости
передачи единичного элемента У'{2 в ниж-
Рис. 1 15. Петля Икено
ней части схемы (см. рис. 1.15) и проводимости передачи цепи стер-
жневого типа У"12 в верхней части. Проводимость передачи У"12=
= \jB", где В'' представляет В-элемент матрицы передачи цепи
стержневого типа.
Элемент В'' имеет вид: В" = (1—Х2)-3/2/’(X), где Р(Х) — полином
от X с положительными коэффициентами. В точке Е— 1 имеем
У12(Х)/( 1—X2) 1/2|x=i =—Уь Это выражение должно равняться вы-
ражению (1—X2) 1/2/В (X) |	1 для исходной схемы, так что:
Л = (1 + ^/[mZa + 42(Z0 + L)].	(1.19)
Из выражений для: 1) входной проводимости в точке Х=1,
2) общей емкости в точке Х = 0 и 3) проводимости передачи в точке
Х = 0 соответственно имеем:
Л + Г2 = Г0, Y^Y^Y'v	(1.20)
У3 + У4 = С, У2 + У3 = С';	(1.21)
п Уй - Yt - (У2 У4/У3) = п' У.	(1.22)
Из этих соотношений получаем
У3 = У2С/(1-п)У0; У3 = У1С7(1-п')У;.	(1-23)
С помощью выражений, сгруппированных справа или слева в
соотношениях (1.20), (1.21) и (1.23), можем определить волновые
проводимости У по параметрам схемы, представленной на рис. 1.14а
или б. И наоборот, параметры схемы можно определить через про-
водимости У. Выражение для Q20 имеет вид:
Я2 = у2	+ У2 Уз У4 + Уз yi Уг + У1У2Ж1 Уз - У2 У,} Уз-
—	__________ (1-24)
17 БИБЛИОТЕКА
X И Р э
u..„ чАЖЧё,
Подстановка полученных выражений в ур-ние (1.14) показы-
вает, что рассматриваемые цепи имеют одинаковые матрицы. От-
сюда вытекает достаточность использования левосторонних (а сле-
довательно, и правосторонних) групп приведенных выше урав-
нений.
Из ур-ния (1.23) получаем, что для выполнения условия У3>0,
необходимо выполнение условий: п<1 и и'<1, которые приводят
к двум случаям: 1) /и>1, т’>\ (Й2о>0) и 2) т<0, т'<0
(Q2o<0). В первом случае эти условия достаточны, так как из
ур-ния (1.19) получаем Уо>У1>0 и У'о>У1>0 и тогда из ур-ния
(1.20) следует, что Уг>0, У4>0. Как уже было показано, случай
т>\ и т'>\ приводит к неравенству (1—m)Z0 + L<0.
Во втором случае условие Й2о< —1 является необходимым и
достаточным для того, чтобы Уо>У1>0 п У'о>У1>О- Следователь-
но, условия, сформулированные в начале этого параграфа, суть не-
обходимые и достаточные условия физической реализуемости петли
Икено.
Применение лестничных схем
Используя фильтры на сосредоточенных элементах в качестве
прототипов, можно легко рассчитать фильтры на линиях передачи,
выполнив преобразования, описанные выше (см. также рабогу [6]).
На рис. 1.16 показан типичный фильтр нижних частот с нулем
передачи в точке й = оо. Он может рассматриваться как цепь на
Рис. 1.16. Преобразование фильтра нижиих частот:
а) прототип; б) прототип, дополненный внешними еди-
ничными элементами; в) преобразованная схема; г) ко-
аксиальная реализация
18
линиях передачи с такими же характеристиками в области частот
A = thy/. Добавим соответствующее число единичных элементов с
волновым сопротивлением Zo=l Ом в начале и в конец схемы, как
показано на рис. 1.166. Добавление единичных элементов не изме-
нит характеристики затухания, но вызовет дополнительный фазо-
вый сдвиг. Применяя тождества А и Г (табл. 1.1), можно все по-
следовательные индуктивности заменить параллельными емкостя-
ми, как показано на рис. 1.16в.
Т ииичн ы й ф ил ьтр н иж -
них частот, имеющий нули
пе^редачи на конечных час-
тотах и в точке Q = oo, пока-
зан на рис. 1.17а. Добавляя
единичные элементы с вол-
новым сопротивлением 1 Ом,
используя тождества А, Г и
Е (табл. 1.1), получим схе-
му, представленную на рис.
1.176. Последовательные ин-
дуктивности звеньев Бруне
можно преобразовать с по-
мощью тождества Г в па-
раллельные емкости, вклю-
ченные с противоположной
стороны единичных элемен-
тов. Окончательная схема
имеет вид, показанный на
рис. 1.17в. Последняя про-
цедура, однако, не всегда
возможна, поскольку одна
Рис. 1.17 Фильтр нижних частот: а) про-
тотип; б) преобразованная схема; в) ко-
нечный вид схемы; г) коаксиальная реали-
зация
из последовательных индук-
тивностей звена Бруне — отрицательна. Для того чтобы после при-
менения тождества Г волновое сопротивление ЕЭ было положи-
тельным, необходимо, чтобы <р>0, т. е. Z0+£>>0. Кроме того, по-
лучающиеся отрицательные емкости должны компенсироваться по-
ложительными емкостями. Если удовлетворяется только первое
условие, то можно использовать петли Икено.
В примерах, приведенных выше, можно было добавлять любое
число единичных элементов на входе и выходе фильтров-прототи-
пов. При добавлении единичных элементов только на выходе вход-
ное сопротивление не изменяется. Следовательно, метод можно
применить к синтезу двухполюсников или фильтров с заданной
входной проводимостью [14]. В схеме, приведенной на рис. 1.16, все
последовательные индуктивности можно заменить параллельными
шлейфами и, если фильтр-прототип симметричен, то фильтр, обра-
зованный отрезками линий передачи, также симметричен. Цепь,
дуальную цепи, показанной на рис. 1.16а, можно привести к струк-
туре,- имеющей только последовательные шлейфы и обладающей
физической симметрией. Можно получить структуру только с па-
19
раллельными шлейфами при добавлении, например, одного ЕЭ Hat
входе и трех ЕЭ на выходе; при этом окончательная схема не
будет симметричной. Следовательно, правильный выбор прототипа
фильтра и соответствующее применение метода преобразования
имеет большое значение.
Полоснопропускающие фильтры и фильтры верхних частот
можно рассматривать подобным образом, но они требуют исполь-
зования тождеств Б и В (табл. 1.1). Поэтому необходимо иметь-
возможность реализовать идеальные трансформаторы, если только-
отношение сопротивлений нельзя сделать отличающимся от еди-
ницы. Для этой цели можно использовать связанные линии пере-
дачи [15—18] (см. также гл. 6).
Недостаток метода, описанного выше, состоит в том, что еди-
ничные элементы служат только как соединительные элементы,
обеспечивая требуемую для реализуемости конфигурацию схем на
линиях передачи, но не участвуют в формировании характеристик,
фильтров.
1.6. НОРМАЛЬНЫЕ ЦЕПИ
Общие сведения
Понятие «нормальные цепи» можно обобщить на четырехполюс-
ники, имеющие передаточный иммитанс вида 11^12(А.) = ( 1—7.2)v/2 X
Xf (k)/g(k), где v — есть положительное целое число или 0, af(k)
и g(E) —вещественные полиномы. Таких цепей, имеющих практи-
ческую ценность, очень много.
Рис. 1.18. Схема, содержащая каскадно включенные единич-
ные элементы
Рассмотрим четырехполюсник (рис. 1.18), состоящий из каскад-
ного соединения единичных элементов и рациональных четырех-
полюсников (цепь будем называть рациональной, если она имеет-
рациональную иммитансную матрицу). Матрица передачи такой
цепи имеет форму:
F= ГЛ В1 1	[«(*) *(*)! п 25V
[С D J (1 — V)v/2л (X) [c(k) d(k)J’ ' f
где v — число каскадно включенных единичных элементов; /(X),
a (к), b(k), <?(k), d(k) - вещественные полиномы к. Из условия
det F=1 имеем:	*
а (X) d (k)-b (к) с (к) = (1 —к2)72(к).	(1.26>
20
Элементы иммитансных матриц имеют в данном случае вид:
Zu - а/с, Z22 = d/c, Z12 = (1 - V)v/2 //с;	(1 -27)
Y11 = djb, Y22 = a/b, УГ2 = — (1 — X2)v/2//b.	(1.28>
Р’<з вида этих выражений следует, что схема является нормальной.
Рассмотрим класс схем, состоящих из четырехполюсников,
соединенных каскадно или параллельно. Примером таких схем
могут служить схемы, показанные на рис. 1.19а. Заменяя каждый
Рис. 1.19. Схема, составлен-
ная из четырехполюсников,
соединенных параллельно:
а) схема; б) эквивалентное
представление; в) линейный
граф
четырехполюсник, входящий в схему, отрезком (сегментом) линии
получим линейный граф, для которого можно определить петли,
пути, узлы и т. д. Число единичных элементов в петле или пути
определяется как сумма v [см. ур-ние (1.26)].
Покажем теперь, что если число единичных элементов в любой
петле четное,то четырехполюсник будет нормальным.
Предположим, что если путь, соединяющий два отдельных узла,
содержит четное или нечетное число единичных элементов, то лю-
бой другой путь, соединяющий эти два узла, также содержит чет-
ное или нечетное число единичных элементов соответственно.
Тогда любой узел можно классифицировать как четный или не-
четный в зависимости от числа единичных элементов в пути, сое-
диняющем его с каким-либо произвольно выбранным узлом в ка-
честве начала отсчета. Опорный узел считается четным.
Следовательно, любой путь, соединяющий два четных или два
нечетных узла, содержит четное число единичных элементов, а
путь, соединяющий четный и нечетный узлы, содержит нечетное
число единичных элементов. Пронумеруем узлы так, чтобы пер-
вые т узлов были четные, а оставшиеся п—т узлов — нечетные.
Схема может рассматриваться как цепь с n-входами, имеющая
вход на каждом узле. Матрица проводимостей короткого замыка-
ния схемы имеет вид:
т п—т
у_ Кц j ?R12 }т
q R2i I R22 \ }п — т,
(1.29>
где элементы RtJ являются рациональными матрицами, через q
обозначено выражение </(Л) = (1—Л2)1/2 . Записав, что Rn = g2R'n,
получаем det Yn = ^2mdet R, где R'n и R — рациональные матрицы.
Следовательно, detYn — рациональная функция. Минор А,; являет-
21
ся рациональной функцией, если узлы г и / оба четные или оба не-
четные, или иррациональной функцией, содержащей множитель
q(л), если один из узлов четный, а другой — нечетный. Это показы-
вает, что Zn = 'Y~,n имеет ту же форму, что Yn. Если для схемы,
рассматриваемой как цепь с двумя входами, узлы i и j приняты за
входы 1 и 2, то для элементов матрицы холостого хода цепи
имеем: Zii = Zlt, Z22==Z_J_; и Zi2 = Zij.
Необходимые условия для иммитансных матриц
Определим квадратичную форму иммитансной матрицы как
Q(x, y) = x2W11 + 2xyW12 + y2W22,	(1.30)
где х и у — вещественные переменные. Для выполнения условий
причинности требуется, чтобы Q являлось аналитической функцией
в правой полуплоскости р, а условия пассивности цепи требуют,
чтобы Re Q^O в той же самой области.
Правая полуплоскость X соответствует правой полуплоскости р,
за исключением точки Х=1, поэтому: 1) Q является аналитической
функцией для значений Re Х>0 за исключением Х=1, 2) Re Q^O
для ReX>0. Из условия 1) следует, что	аналитичны в
правой полуплоскости X, за исключением точки Х=1. Условие
2) эквивалентно условиям Re Wu^O, Re №22^0 и Re Wu Re W22—
— [Re №12]2^0 для ReX>0. Матрица, удовлетворяющая этим усло-
виям, называется положительной. Известно, что матрица, обрат-
ная положительной матрице, также положительна. (Доказательст-
ва приведены в учебниках по теории цепей, см. например [19]).
Так как и W22— положительные функции X, то 1Е12 не
может иметь полюсов в правой полуплоскости X. Следовательно,
1^12 должна быть аналитической в правой плоскости, за исключе-
нием точки Х=1, которая может быть точкой ветвления Wu-
Полюсы Wl} на мнимой оси — простые, а вычеты kn, и £i2 —
вещественны и удовлетворяют условия k\\k22—согласно тре-
бованию ReQ^O для Re л>0. При отсутствии потерь ReQ = 0 на
мнимой оси, при этом Re №гД1 Q) =0. Следовательно, №гДХ) долж-
на быть нечетной функцией, имеющей полюсы только на мнимой
оси. Такие четырехполюсники называются нормальными реактанс-
ными четырехполюсниками.
Теорема 1.4 Для того чтобы W была иммитансной матрицей
нормального реактансного четырехполюсника, необходимо выпол-
нение следующих условий:
1)	1^ц и 1^22 должны быть рациональными реактансными функ-
циями /.;
2)	W12 должна иметь форму JJZ12=(1—7.2)v/2 w, где w— нечет-
ная вещественная рациональная функция от /.;
3)	полюсы U712 должны лежать только на мнимой оси плоскос-
ти Л и быть простыми; вычеты должны удовлетворять условию
&11&12—^212^0.
22
Параметр Wi2 нормальной реактансной схемы не обязательно-
равен 0 или оо в точке Х=оо, когда v — нечетное число. Во всяком
случае из теоремы вытекает, что входной иммитанс нормального
реактансного четырехполюсника, нагруженного на положительный
вещественный иммитанс, всегда будет также положительным и ве-
щественным, так как — 1Е212^0 на мнимой оси.
1.7. НОРМАЛЬНЫЕ РЕАКТАНСНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
Общие сведения
В соответствии с ур-нием (1.25) входная проводимость нор-
мального
гивление
жением:
реактансного четырехполюсника, нагруженного на сопро-
1 Ом (рис. 1.20), определяется выра-
У (К) = (с + d)/(a + b),
представляющим собой положительную вещест-
венную функцию от X. Необходимо теперь по за-
данной входной проводимости получить матрицы
четырехполюсника в форме ур-ний (1 25) — (1.28).
так чтобы для них удовлетворялись необходи
мые условия теоремы 1.4.
Рис 1 20 Нормаль-
ный реактивный
четырехполюс и и к,
нагруженный ре-
зистором
Теоремы о положительных вещественных функциях
Пусть
У (X) — (Ui2 + Xv2)/(ui + Ji),	(1-32)'
где Ui, ii2, vt, v2 — вещественные четные полиномы от X.
Теорема 1.5 (см. Мията [20]).
Для того чтобы У(Х), определяемая выражением (1.32), была по-
ложительной вещественной функцией, необходимо и достаточно,
чтобы:
1) выражение U1 + U2 + XV1 + XV2 являлось бы полиномом Гурви-
ца;
2) выражение ищ2—X2ViP2^0 на мнимой оси X.
Следствие 1.1. Если //(X) = u(X) +Xv(X) —полином Гурвица, то
ы(Х)/Хр(Х) и Ху(Х)/ы(Х) — реактансные функции от X.
Здесь и(Х) и v(X) —четные полиномы от X.
Следствие 2. Если У (Л) в ур-нии (1-32) —положительная ве-
щественная функция, ТО («1 + XV1) / («2 + ХР2) , («1 + ХУ2)/(«2-ЕХУ1) и
(h2 + Xvi)/(ui + Xv2) также положительные вещественные функции.
Следствие 3. Если У(Х) в ур-нии (1-32) —положительная ве-
щественная функция, то «1/ХУ1, м2/ХУ2, и\Г>Л2, Uzfr.Vi — реактансные-
функции.
23
Следствие 3 требует, чтобы степени щ и Avi, а также и2 и 7л2
и т. д. отличались на единицу (см. табл. 1.2). Оно также требует,
чтобы нули «1, и2, Агц и Auz были не выше второго порядка.
ТАБЛИЦА 12
Допустимые соотношения между степенями У(Л)
и полиномов
К (<») =	СО	Конечному значению			0	
У (А)	2я+1	Чп	Чп	Чп 4-1	2п4-1	Чп
"1	Чп	Чп -Ч	Чп	Чп	Чп	Чп
и 2	Чп	Чп	Чп	Чп	Чп	Чп—Ч
Avx	Чп—1	Чп—\	Чп—\	2«4-1	2п-[-\	Чп—\
A v2	2'1-1	Чп—1	Чп—1	2«+1	Чп—1	Чп—1
ILy ^2 — А2 ад	4п*	4п—Ч‘	4п	4я+2	4п*	4п—Ч*
*) Наибольшее возможное значение
Определение матрицы четырехполюсника
по входной проводимости У (А)
Метод определения матриц четырехполюсника такой же, как
и для сосредоточенных схем, за исключением того, что нули
P(Z)=Ut«2—А2^!^ в точках А±1 можно реализовать без использо-
вания дополнительных множителей, даже если они нечетной крат-
ности.
Другие нули нечетной кратности должны быть дополнены до
получения их четности. Пусть Ао — точка в первом квадранте
A-плоскости. Если Р(К) имеет нуль при А=1Ао, то точки А=±А0 и
±А0 образуют совокупность нулей Р(А), симметричных относи-
тельно осей координат.
Записывая полотном Гурвица в виде четной и нечетной частей
Я(А) = (А+Аю) (А4-Аю) =«(А)+Аи(А) и умножая числитель и знаме-
натель У (А) на Д(А), имеем:
ут' (А)   -^2 Ч 4~ № VjV А (V2 Н Г)   ^2	^2	J 23)
/ц н -А2 ад u А (ад — щ и)	uj + Au;
P'(A) = u[u; —А2о[о;- Д(А)Д(—A)P(A),	(1.34)
где и'i, и'2, v'i, v'z — четные полиномы. Как видно, кратность ну-
лей РДА) при А = ±Ао и ±Ао на единицу больше, чем кратность
нулей Р(А). Любые вещественные нули Р(А) можно дополнить
таким же образом, взяв Я(А) = А+Ао- Любой мнимый нуль имеет
четную кратность, так как Р(А) является вещественной и неотри-
цательной функцией на мнимой оси.
Предположим, что Y(А) дополнена таким образом, что нули
Р(А) имеют четную кратность, за исключением нулей в А=±1.
24
Теорема 1.5 справедлива для проводимостей, дополненных любыми
полиномами Гурвица таким образом, как сделано в ур-нии (1.33).
Элементы иммитансной матрицы нормального реактаноного
четырехполюсника являются нечетными функциями X. Следова-
тельно: 1) a, d — четные, Ь, с—нечетные, когда /— четное; 2) а,
d — нечетные; Ь, с — четные, когда f—нечетное. Если проводи-
мость У(Х) = (u2 + XO2)/(«i + Xoi) должна быть реализована в виде,
показанном на рис. 1.20, то из приведенных выше соотношений и
ур-ния (1.31) имеем:
= a, u2 = d,	kv2 = c, когда f — четное; (1.35а)
Uj = b, и2 = с, Хо1 = а, Xo2 = d, когда f — нечетное. (1.356)
Подставляя эти соотношения в ур-ние (1.26), получаем
Р(К) = и1и2— k2v1v2 = (l—V)v f2, когда f — четное; (1.36а)
— Р (л.) = X2 Uj v2 — Uj и2 = (1 — V)v f2, когда f — нечетное. (1.366)
Так как считается, что все нули Р(Х), за исключением нулей в
точках Л=±1, имеют четную кратность, требование, чтобы / было
четным или нечетным полиномом удовлетворено. Элементы матри-
цы У могут быть определены в виде
Уц —	u2/^ , У 22 = ui/^
У12 -= — («I «2 — k2t’i иг)1/2
И
У11 — ^O2/Ui, У22 ~ 'hVjllY 1
У12 = — (X2 о, v2 — а2)'/2 /«1 I
Условия 1) и 2) теоремы (1.4) удо
и (1.38) получаем:
Уп Угг У12 = уг/у) > кс
УцУ22 У12 = ^2^1> ког/
Так как нули щ, лежат на мнимой оси и кратность не превы-
шает двух, полюсы У212 лежат также на мнимой оси и их кратность
не превышает двух. Следовательно, полюсы У12 простые и лежат
на мнимой оси. Это дает возможность записать, что
kn *22 -	- (X - i Й,)2 (Уи У22 - У22) |ь=. я ,
если / — четное, то
(X — i йг)2 и21ог |i=i = (Л — i Q,) X 0,/UjI^i я, (X — i fi,) uJX ц^=1	,
поскольку Хог/Hi и «i/U'i — реактансные функции.
Случай, когда f — нечетное, рассматривается таким же обра-
зом. Следовательно, knkzt—*2i2^0, что и требовалось доказать.
Условия вычетов рассмотрим более подробно. Если У12 имеет
полюс в точке X=i йг, то Vi для четного f, например, имеет множи-
25
, когда f — четное;
, когда f — нечетное.
. Из ур-ний
a f — четное;
f — нечетное.
(1-37)
(1.38)
(1-37)
(1.39а)
(1.396)
тель (л,2+(52г)т, где т=1 или 2. Если т=\, ур-ние (1.39а) при-
водит к условию	—й212 = 0. Если т = 2, то общий множитель
(X2+Q2t) в числителе и знаменателе Yt] может быть сокращен, так
как полюс должен быть простым. Это значит, что Ui, и2, Мч имеют
нули в точке i а Ху2 не имеет.
Следовательно, j р-ние (1 39а) приводит к условию kuk22—Л2!2>0
Если Ей не имеет полюса в точке X=iQ„ то имеет множитель
степени т = 0, 1, или 2. Эти три случая, а также случай нечетного/;
могут быть рассмотрены аналогичным образом.
Пусть п означает кратность множителя (Х2+^2г), на который
нужно сократить числитель и знаменатель У42 для того, чтобы па-
раметр У12 стал несокращаемым. Тогда полученные результаты
можно представить в следующей краткой форме:
1) у12 = оо: а) полюс компактный — п = 0; б) полюс
некомпактный — п= 1;
-2) /12#=°°: а) Уц#=оо, у22#=оо — и = 0;	(1.40)
б) одна из велииин 1ц, У22=оо
другая у=ос — п=1;
в) Гц — У22 = оо — п = 2.
Существуют случаи, когда общий множитель (Х2+Й2г) выно-
сится из всех выражений Ун, и Yl2. Следовательно, приведение
Уи, У22 и У12 к наименьшему общему знаменателю является недо-
статочным для того, чтобы числитель У12 был идентичен выраже-
нию — (1—л2) v2f(X). Преобразование матрицы передачи является
наиболее удобным способом нахождения множителя, который
исключен из матрицы проводимости. Матрицы проводимости из
ур-ний (1.37) и (1.38) выражены именно в такой форме и ради
удобства сокращения производить не следует, даже если это воз-
можно.
Можно дополнить У выражением (1 4-A)R7/2(X), где k — поло-
жительное целое число или 0, а Н(л) — полином Гурвица.
Следовательно, матрицу четырехполюсника нельзя однозначно
определить по У (л); дополнение (1+л)л эквивалентно введению
единичных элементов, действующих как цепи задержки.
Матрица четырехполюсника определяется однозначно, с точ-
ностью до знака У12, если совместно с У (л) задано выражение
K1U2—л2 V\с'2
Степень матрицы передачи
Степень матрицы передачи определяется как наивысшая из сте
пеней любого из полиномов a, b, с, d Она равна степени выраже-
ния У(/.) = (а-гЬ)/(с-*-d) при условии, что сокращение общих мно
жителей числителя и знаменателя У(Х) не производилось. Отноше
ние входной мощности к выходной определяется выражением
ро _ (щ + и2)2 — К2 рх-г-v2)2 _ (« + dY — (& + с)2	/1 41)
Р1 4 (/ц и2 — X2 v2)	4(1 — X2)v /2
26
Кратность полюса функции PoIPl определяется как величина,
вдвое большая кратности полюса затухания или нуля передачи.
Если только одна из функций Ui, и2, Xt*i и kv2 имеет самую высо-
кую степень, то кратность полюса затухания при Х = °о равна этой
степени минус половина степени выражения и^и2—X2t*iV2. Если две
функции из ui, 112, AVi и Хр2 имеют самую высшую степень, то это
должны быть функции Ui и и2 или Хщ и Xv2 и кратность полюса
затухания при Х=°° равна нулю. Таким образом, кратность полю-
са затухания в точке Х=°о равна разнице между степенью матри-
цы передачи и степенью выражения (1—X2)v/2 /. Пусть кратность
полюса затухания в точке Х=оо есть г, тогда n=v+q + r, где п —
степень матрицы передачи, a q — степень от f(X).
Кратность полюса затухания в конечной точке определяется
как кратность нулей выражения [Р(X) ] 1/2 — (1—X2)v/2 f. В этом
случае п в выражениях (1.40) представляет ту часть кратности
полюса затухания в точке X = iQt, которая распределена между
полюсами функций Уи, У^ и У12, а оставшаяся часть равна крат-
ности нулей К12, когда Уи, Угг и У!2 представлены в приведенной
(общие множители сокращены) форме. То же самое справедливо
при Х= оо.
1.8. СИНТЕЗ НОРМАЛЬНЫХ РЕАКТАНСНЫХ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Преобразования выражения
при использовании процедуры Ричардса
Условия 1, 2, 3 теоремы 1.4 являются достаточными для рацио-
нальных четырехполюсников без потерь любого вида. Для доказа-
тельства можно применить процедуру Ричардса к У(7.) (рис 1 21,
[21]).
Рис 1 21 Каноническая форма нор-
мального реактансного четырехпо
люсиика
ХУ ЕЭ <Г~~ЛЛ>~ Yj<- с	0- -0- ^0	сальная схема.	О
Пусть
У (X) = (и2 + ^v2)/(ul 4- Xhj),
иги2 — ’k2vrv2 = (1 — X2)v/2, v > 1.
Подстановка (142) в (1 11) дает
у ______у («2 — Уо X2 vs) -j- X (v2 — У<) ui)
(Yo «1 X2 bj) + X (Уо Vi и2)
(1-42)
(1-43)
(1-44)
Выражения в круглых скобках в правой части имеют простые нули
при Х = ± 1, так как они являются четными функциями, и
О2(1)/Ы1 (1) - U2(1M(1) = У (1) = Уо,	(1.45)
27
однако они не имеют других общих нулей (доказательство опу-
щено) .
Следовательно,
Vi(X) = [ Ы;(Х) 4- Xv'(X)] /1 W;(X) + Xv; (X)]	(1.46)
U2 = (U2	0 C'1)/(I	^2).
A, V2 = Л. (y2 Yq Uj)/(1	X2)
(* • 47)
«; = (^o»i- иг)/(1—r0,
X v; = X(KO Vj — u2)/(i — х2)Г0
u\ U2 — X2 v’ V2 = (u1u2 — k2v1v2)/(I — A2).	(1.48)
Таким образом, процедура Ричардса уменьшает степень мно-
жителя (1—А2) в правой части ур-ния (1.43) на единицу. Это мож-
но также показать с помощью матрицы передачи. Применение
метода Ричардса эквивалентно умножению исходной матрицы
передачи слева на
F71 = (1 - А2)~1/2 Г 1	Z°Z], Z0=l/y0.
L-nw i J
(1.49)
Метод синтеза
Когда даны У(/.) и (1—7?)'f2(<)> v раз повторенное примене-
ние процедуры Ричардса преобразует выражение (1—A2)vf2(A)
в выражение а оставшаяся часть реализуется как рацио-
нальный четырехполюсник. Следовательно, вся цепь будет иметь
вид, показанный на рис. 1.21. Если f(k) имеет нули на мнимой оси,
рациональный четырехполюсник можно реализовать лестничной
схемой, а единичные элементы могут быть распределены между
рациональными звеньями лестничной схемы.
Цепи стержневого типа
Сначала предположим, что /(X) — вещественная постоянная. Не
нарушая общности рассуждений, можно принять /'(/.) = 1. Тогда
выражения (1.37) принимают вид:
11 Gv) ~ yi> Y22 — Hi/А Oj, У12 =	(1	X2) / /Л Vj. (1.50)
Цепь, составленная только из каскадно включенных единичных
элементов, согласно терминологии, введенной Икено, называется
цепью стержневой структуры. Она известна также как четверть-
волновый трансформатор сопротивлений [22—24]. Если степень У
равна v, то v раз повторенная процедура Ричардса приводит эту
проводимость к вещественной постоянной, в частности равной 1,
если У(0) = 1,т. е. Wi(0) =«г(0) = 1, а вычеты Уг; в точке л=0 удов-
летворяют условию feu=fe22=—ka. Четырехполюсники стержневого
Типа обладают также следующими свойствами.
28
•Свойство 1.
EvF(%) = (1 — X2)v/(«? — Vo,)-	(151)
Так как deg y=v, то четная часть У(Х) никогда не имеет нуля
в точке л = оо. Следовательно, Ev У(Х) имеет нули только в точках
Z=±l. То же самое справедливо для EvZ(a) =Ev [1/У(л)].
Свойство 2. У(Х) не имеет ни нулей, ни полюсов на мнимой оси.
? Свойство 3. Полюсы YtJ должны быть компактными, так как
У(Х)=#0 и ЕуУ(Х)=#0 на мнимой оси
г Свойство 4. Поскольку degy=v, то У12(°°)^0 [для других слу-
чаев, см. табл. 1.2 и выражение (1.40)].
Необходимые и достаточные условия реализуемости цепи
стержневого типа можно записать в любой из следующих форм:
1. иги2 — л.2^1с2 —(1—k2)v, иг (0) = и2 (0) = 1, degV(X)==v.
2.	У(Х) =/= оо на оси i, Ev У(X) =0 только в точках Х= ±1 и У (0) = 1.
3.	Yt] имеют вид как в соотношениях (1.50); причем полюсы ком-
пактные. U] (0) =«2(0) = 1, У12(°о) у=0 [25].
Четырехполюсник стержневого типа можно однозначно опреде-
лить по Уи или У12, остальные параметры короткого замыкания
' могут быть определены из ур-ния (1.50) и условия компактности
полюсов [25].
Цепи с простыми разомкнутыми шлейфами
* Предположим, что матрица проводимости обладает свойством 3
для цепи стержневого типа, за исключением точки л = оо. Тогда
либо полюсы функции У,; не компактны в точке л = оо, либо
У12(оо)=0 и таким образом У(оо)=0 или оо. В любом случае v —
меньше, чем degy(M. Следовательно, v раз примененная к У (л)
процедура Ричардса преобразует выражение UiU2—Y2ViV2 к единице
и при этом deg У(2.) все еще не будет равна нулю. В таком случае
- У12 оставшейся после выделения единичных элементов цепи имеет
по-прежнему нуль в точке 7v=oo, если только не выполняется усло-
вие Xvi=0. Лестничное звено, показанное на рис. 1.22а, реализует
такой нуль. Если tosO, то остающаяся проводимость остатка
цепи равна (1+CiZ), где Ci — вещественная постоянная, и лест-
ничная схема сводится к параллельной емкости. Цепь на рис. 1.22а

О-)
О О	о-о
ЕЗ ЕЗ ЕЗ
о Q.—о—
л
OfO О > О  О
ЕЭ
JUUL-.JUl
Рис 1 22 Схема с простыми разомкнутыми шлейфами а) каноническая
форма, б) преобразованная форма, в) коаксиальная реализация
29
может быть преобразована с помощью тождеств Куроды в цепь,
показанную на рис 1 226 и затем реализована в коаксиальной,
форме, как показано на рис. 1 22в Для того чтобы рациональные
элементы могли быть распределены между единичными элемента-
ми, v должно удовлетворять неравенству х^п—v—1, где
« = degy(X) и п—v — общее число индуктивностей L и емкостей С
части цепи с лестничной структурой (см рис 122а). Так как
г = п—\ есть кратность полюса затухания в точке /. = оо, то приве-
денное выше неравенство можно записать как v^r—1 (см. Ике-
но [2]).
Цепи с простыми короткозамкнутыми шлейфами
исключением точки Х = 0. Если а2
мостей Уи и У22 можно выделить
Предположим, что полюсы параметров в (1.50) компактные, за
(0)>1 и ui (0) >1, то из проводи-
проводимости [и2(0)— 1]/Хщ(0)
и [Uj (0) — l]/Xui(0) соответст-
венно таким образом, что вы-
четы для остатка цепи удов-
летворяют условию &ц = &22 =
= —ki2 как для четырехполюс-
ника стержневого типа (рис.
1 23а) Параллельные индук-
тивности с помощью тождеств

Рис 1 23 Схемы с простыми корот-
козамкнутыми шлейфами- а) канони-
ческая форма, б) приведенная форма;
s) коаксиальная реализация
Куроды могут быть распределены, как показано на рис 1 236, в.
Идеальные трансформаторы, появляющиеся при этих преобразова-
ниях, могут быть использованы для изменения уровня импедансов
на входах.
1.9. ЦЕПИ ДРЕВОВИДНОЙ СТРУКТУРЫ
Классификация
Схемы, составленные из соединенных между собой только па-
раллельно и каскадно единичных элементов и не имеющие петель,
по определению Икено называются цепями древовидной струк-
туры
Реактивный четырехполюсник древовидной структуры можно
представить в виде, показанном на рис. 1.24, где У, — проводимос-
ти реактивных двухполюсников древовидной структуры (см. цепь
на рис. 1.246, которая эквивалентна цепи на рис. 1.24б, имеющей
30
только параллельные шлей-
фы) Схема может быть так-
же преобразована к виду, по-
казанному на рис. 1.21, где ра-
циональная часть схемы пред-
ставлена лестничной структу-
рой, включающей звенья Бру-
не. В этом смысле цепь на рис
1 24 является обобщенным ва-
риантом лестничной схемы, не
содержащей взаимных индук-
тивностей при реализации на
отрезках линии передачи Если
все шлейфы разомкнутые, цепь
является цепью нижних частот
(|рис 1 25)
Последняя представляет со-
бой обобщенный вариант мид-
сериесной Р лестничной схемы
на отрезках линии передачи и
просто мидсериесной схемой Если некоторые из емкостей С цепи
Рис I 24 Древовидная схема а) ка
ионическая форма, б) пример реали-
зации, в) схема, эквивалентная схе
ме б)
для краткости будет называться
Рис 125 Мидсериесная
схема а) символическое
представление, б) коак
спальная реализация
Рис 1 26 Обобщенная мидсериесная схема а) символическое пред-
ставление б) коаксиальная реализация (элемент отмеченный зна
ком <0 — отрицателен)

*> Мидсериесная гепь (mid средний senes - последовательный) uein
содержащая последовательные контуры в середине В отечественной литератср'
(см Н Балабанян «Синтез электрических цепей», перевод с англ под ред
Г И Атабекова М, Госэнергоиздат 1961 i ) использсется термин «цен,
внутренними последовательно резонансными звеньями» (в качестве парад те и
пых плеч) — Прим перев
31
на рис 1 25 отрицательны, они могут быть при определенных усло-
виях реализованы петлями Икено, как показано на рис. 1.26. Такие
цепи называются обобщенными мидсериесными схемами
Необходимые условия
Сначала рассмотрим матрицу передачи четырехполюсника дре-
вовидной структуры, содержащего только разомкнутые шлейфы
[2]. Матрицу передачи для каждого шлейфа можно представить
в виде
А, Вг~	—	 1	01	1	’иДХ) 0 	(1-52)
|С, Dt\		[У,(Х) 1]	М*)	[xv,(X) u,(X)j	
Матрица передачи всей схемы имеет вид
’А В _	1 Га. (X) ХцДХ)
_С D J ~ (l-X2)v/2f (X) [X v2 (X)	u2 (X)
Рис 1 27 Каноническая форма древовидного
четырехполюсника
L1 = Щ (0) ![иг (0) -((0) ], £г=щ (0) /[«1 (0)-f (0) ]
где f, Ui, и2, Vi, v2— четные полиномы, ui(0) =u2(0) =f(0) = 1 (это
можно доказать методом математической индукции). Знаменатель
равен произведению знаменателей составляющих матриц. Из этого
следует, что
U1u2_=(1—xvл +	1 + р + 4-r
к а? И / k Q2m )
(1-54)
где v — число каскадно включенных единичных элементов, Q,:
соответствуют полюсам некоторых проводимостей Уг Матрица Y
определяется соотношениями
(1.55)
Вычеты в точке Х = 0 удовлетворяют условию &ц = &22=—ku
Матрица передачи звена Бруне также удовлетворяет этим усло-
виям. Таким образом, приведенные выше рассуждения и соотноше-
ния остаются в силе также и при наличии в цепи звеньев Бруне.
Матрицу передачи короткозамкнутого шлейфа можно записать
в виде:
32
Д в>]_ 1 Г Mb) 0 '
С, D,\	»/(Х) [Ы;(Х)/Х уДХ)]’
а матрица цепи, содержащей короткозамкнутые шлейфы,
мает вид
(1.56)
прини-
где да(Х) —четный полином от X В этом случае ui(0) ^f(O) >0,
«г(0)	(0) >0, так как вычеты функций Y} = u}/kv3, (j=l, 2,...)
в точке Х = 0 соответствуют .4(0) и 0(0) Такую матрицу передачи
всегда можно привести к виду (1 53) выделением на входе и выхо-
де цепи индуктивностей соответствующей величины, как показано
на рис 1 27. Используя соотношение (1 57), находим вычеты функ-
ций Ya, Y22 и У12 в точке Х=0:
= ^2 (0)/^! (0), ^22 = U1 (0)/и1 (0), 1	zj 5g)
^2 = -К0)М(0).	I
Отсюда имеем kn, —kn Следовательно, проводимости
^11 ~Т ^12_и2 (0) — f (0)	JJ ^22 4~ ^12	_ И1 (0) f (0)	/ J	59)
X	Ц(0)	X	XVj(O)	k '
могут быть выделены из проводимостей Ун и У22 соответственно.
При этом для оставшейся части цепи в точке Х = 0, ^'11=1/2'22=
= f(O)/vi(O) =—^12, что и требовалось доказать Таким образом,
короткозамкнутые шлейфы дают только простой полюс затухания
в точке /. = 0
1.10. МИДСЕРИЕСНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ
МИДСЕРИЕСНЫЕ СХЕМЫ
Общие соображения
Предположим, что нужно провести синтез цепи с матрицей
ABCD, определяемой выражением (1 53). Для этого применим ме-
тод, сходный с используемым для схем на сосредоточенных эле-
ментах, однако при этом необходимо в соответствующем порядке
выделять из цепи единичные элементы Синтез основан на приме-
нении проводимости T(v) и соотношения UiU2—X2ViV2= (1—X2)vf2(X),
при этом также используются следующие выражения
У (X) = (u2 X v2)/(^i Ь ^i), Уц = иг/Х Ущ = X v2/Uj, (1.60)
Z (X) = (ux X V£)/(U2 + X О2)> Zu = Ui/Xu2,| (161)
/15=Хил/и2.	)
Выделение нулей функции f(X)
Пусть йь — нуль функции Если У(Х) имеет в этой точке
полюс, то этот полюс можно выделить в виде параллельной прово-
2-24	33
димости на входе Если У(Х) не имеет полюсов, проводимость
K(i Qft) является мнимой и можно выделить индуктивность
L, = Z(iQfe)/iQA,	(1.62)
как показано на рис 1 28а Входное сопротивление оставшейся
части цепи равно
Z'(X) = Z(X) — XLj,	(163)
Pul 1 28 Выделение полюса затухания в точке
/ = iOj а) выделение Lt, б) случай Амане З5
^sAi^sO, в) случай Li<Z0
причем Z'(i Qa) =0 и Kz(i Qh) = оо Данный полюс можно выделить,
как показано на рис 1 286 или в, при этом остающаяся часть схе-
мы имеет входное сопротивление Z'Z(X). Различают два случая в
зависимости от того, будет ли Z.i>0 или Z-i<0:
1) если Lt>0, то для того чтобы Z' было положительной вещест
венной функцией необходимо, чтобы
Е> <^aKc-^ = [Z(A)/AJ|A_,	(1.64)
2) если ДсО, то Z' в ур-нии (1 63) —положительная веществен-
ная функция и, как показано на рис. 1.28, на - следующем шаге
может быть выделена индуктивность L2, удовлетворяющая уело
вию
V + L?1 + Ез"1 = 0.	(1.65)
Выделение Ц Вычитание ХЕ] из Z, Zn и Z,, дает
Z — Z — К Li = ( и. ф- X v. I / (и2 Ф- Е и2)-> I
>	17	(1.66)
'	— и1— К2 Lxv2, v\ = vl — Luv	I
Zj [ = Z;i — X Lj = Uj/Л c2>	(1.6/1
Z^Z^-EE^X^.	<1.68>
’ Это гарантирует, что Z'u и Z'is являются реактансными функ
циями, если функция Z' — положительная вещественная Следова
тельно, вычеты Zu и Zls в точке л=оо никогда не меньше, чем вы
четы функции Z Если )(Х) имеет нуль в точкеX = i йь и Z(i ЙД ^оо
то из этого следует, что
• ^ (* ^а)	21г (i Qa) = Zls (1ЙА) = I	,	(1.69)
34
как показано ниже Из ур-ния (1 61) имеем
ZU — 213 = («1 «2 — Vl V2)^ «» v3-	О-70)
Здесь Miu2—X2viu2 имеет нуль четной кратности в точке X=i
тогда как порядок нулей ku2v2 в точке X,= iQh никогда не превы-
шает единицы в соответствии с предположением, что Z(iQft)#=<x>
Следовательно, правая часть ур-ния (1 70) имеет нуль в точке
/.= i Qfe.
Таким образом, имеем
щ I _________________ kVi j ______, Ui X»! |
>.v2 lx=iQ* ua |x=i Qk * u2 + X’t>2 |Л=1 ’
что эквивалентно соотношению (1 69) Таким образом, для опре-
деления L\ можно использовать любую из величин Z, Zu, Z\s.
На рис. 1.29 показана зависи-
мость от частоты Xn = Zn/i или +
Xis=Zu/i и QLi. Нули Z'н или Z'is
определяются точками пересечения
кривых Хц или Xis и QLi. Если не
оговорено иначе, рассматриваются
нули только при положительных ча-
; стотах. Если увеличивается, все
-и нули смещаются вправо, но никогда ~
X не переходят через ближайший по-
7 люс. При уменьшении все нули
•‘t смещаются влево, но никогда не пе-
J реходят через ближайший полюс Кривые Хц и Xis пересекаются
1 или касаются одна другой в точке Q = Qh. Если Zu имеет полюс в
5 точке Х=оо, наибольший нуль Z'h может быть расположен между
°- нулем и бесконечностью, при этом Li лежит в интервале
где k<x —вычет Zu в точке Х = оо. То же самое справедливо для Zie.
Если Z(X) имеет полюс в точке Х=оо, то Zu и Zis имеют там
-- тоже полюсы и вычеты в них не меньше, чем вычет функции
Z(X) в точке Х=оо. Более того, kx равно значению выражений
* (I/7v(wi/A.U2) или (1/Л.) (A.V1/M2) в точке Х=оо, которые равны выче-
' t.
* там Zu или ZiS соответственно, в зависимости от того, будет ли
' degXv2 выше или ниже, чем deg u2. Следовательно, нуль f(X), не
меньший, чем каждый из наибольших нулей Zu и Zls, всегда
«может быть выделен с помощью процедуры, показанной на
| рис. 1.286, если Z(X) имеет полюс в точке л = оо Значение Li
Улежит при этом в интервале 0^£1</.макс
t В числителе и знаменателе Zu и Z)s могут быть общие множи-
Стели, которые тем не менее не будем сокращать Общий множи-
.тель вида (Хг+^,2) можно интерпретировать как пару «нуль —
.‘полюс» такого пор/гдка который требуется для реактансной функ-
'Пии Когда некоторые значения йг больше, чем значения наиболь-
- ших «истинных» нулей, соблюдение этого соглашения о сохране-
нии сокращаёмых множителей приведет к появлению дополни-
тельных нулей, больших, чем наибольшие истинные нули Однако
2*
35
это не вызовет трудностей, так как существование общего множи-
теля (V + flt2) в числителе и знаменателе Zu или Zis указывает
на то, что «1«2—Х2ощ2, а следовательно, и f(K) имеют нуль в точ-
ке йг
Предположим, что Zu и Zis имеют полюс в точке Х=оо. Каждая
из этих функций обязательно имеет нуль, смежный с этим полюсом
Обозначим наибольшие нули Zit и Z,s через ЙОц и Qoi s- Тогда, в
соответствии с указанным выше условием о несокращении множи-
телей, Qoii будет больше или меньше, чем Qoi s, в зависимости от
того, будет ли degZ(1 больше или меньше, чем degZls. Следова-
тельно, при соблюдении условий, метод, проиллюстрированный на
рис. 1.286, применим, если Z(oo)=oo и если f(A.) имеет нуль, не
меньший, чем наибольший из нулей Z41 или Zis соответственно, в
зависимости от того, выше или ниже степень Zu, чем степень Zis.
Имеет смысл сделать дополнительные замечания относительно
вычетов Zu и Zu в точке Л=<ю. Переписав выражение (1.70) в
виде Zu—Z15= (1—Л2)'’(2(Л)/ЛмгС'2, получим: 1) если v — четное, то
^11^^18 = ^00 или 2) если v — нечетное, то &is^#u = #oo, чго соот-
ветствует двум последним столбцам табл. 1.2. Последний случай
имеет место, когда Z12(oo) является конечным, a Zz2(co) =0, но это
никогда не встречается для цепей на сосредоточенных элементах
Выделение полюса п р ов од и м о ст и. Предположим, что
Z'(iQh) =Z'il(iQ/1) =Z/Is(ifift) =0 для некоторого значения Пре-
образуем Z', Z'и и Z'i, в проводимости Y], Уц, У10 и выразим их
в форме ур-ний (1 60) Проводимости К, УциУ10 имеют полюсы в
точке Л=1Ра Пусть вычет Y в этой точке будет щ. Тогда, выделяя
2aAX/(X2 + Q2ft) = Yu из Y, получаем положительную вещественную
функцию Y—Yk=	Так как u'i (0) =u'2(0) =
= 1, то из этого следует
n; = ux/(l+Z2£V),	+ X*Q-2)	1
U2 = [ «2( 1 + V ЙГ2) - 2ak X2 vx ЙГ2] / (1 + X2Q-2)2 (’
V’ (1 + V — 2akul Q~2] I (1 + М ЙГ2)21
u\ u'2 — V v’} vz = ( u\ n2 — 'Л1’2)/(1 -1- ЙГ2)2 J '
Функции Yii—Yh и Ую—~Yk совпадают с функциями u'^Kv'i и
Ku'2/u't соответственно и являются реактансными функциями. Выче-
ты Ун и Ую в точке h = i£2k всегда не меньше, чем щ, и равны щ,
как можно видеть из уравнения Уи—У1о=(«1«2—Л2УЩг)/(Хщщ) (за
исключением случая, когда нуль ((Л) в этой точке является прос-
тым и Уц или Ую имеет в знаменателе множитель (Z2 + Q2<,)2)
В указанном особом случае, та из проводимостей Уц или Ую,
которая содержит в знаменателе множитель (л2 + £22ь),имеет вычет
больше, чем щ (вычет другой проводимости равен щ), так что
выделение из цепи резонансного контура не приводит вычет прово-
димости оставшейся части цепи к нулевому значению. Но тогда, в
соответствии с приведенным выше условием, два полюса и нуль
лежат в одной и той же точке. Следовательно, выделение резо-
36
нансного контура можно понимать как выделение одного из полю-
сов в точке X = из каждой проводимости Ун и У10. В то же вре-
мя два нуля в окрестности полюса становятся равными 1=1йд,
при этом один из них исчезает вместе с выделенным полюсом. Дру-
гие нули, меньшие, чем Q& смещаются вправо, а те, которые боль-
ше Qs, смещаются влево, но они никогда не переходят через по-
люсы. Полюсы, за исключением выделенного, остаются неизмен-
ными.
Процедура Ричардса
Обозначим Уц или У48 как Y\. Тогда ур-ние (1.11) запишется
в виде
У{ (*) = У о [	(*) - * г0]/{У0 - X л (X)].	(1.73)
Новые нули (отличные от нуля в точке Х=оо) определяются выра-
жением У1(Х)—ХУо = О и равны нулям, которые получаются после
выделения из проводимости емкости С=Уо.
Новые полюсы определяются выражением
[1/^(Х)1- [Х/Го] = ZJX)- [Х/Уо] = 0	(1.74)
и равны полюсам, получающимся после выделения из функции
Zi—1/У) индуктивности 7=1/у0 Как нули, так и полюсы сме-
щаются вправо, но не переходят ближайших полюсов и нулей
соответственно функции Л, лежащих справа. Когда У, имеет
полюс или нуль в точке Х=оо, ур-ние (1.73) показывает, что У'1
имеет нуль или полюс, соответственно также в точке Х=о°, т. е.
наибольший нуль или полюс функции Yt переместится в точку
%=оо. Выделение последовательной индуктивности Lt после приме-
нения процедуры Ричардса дает
где Z'i(X) = 1/У\(Х). Когда Lt =—Zq, полюсы
У"г(Х) совпадают с полюсами УДХ). Рассмот-
рим рис. 1.30; здесь 8k—полюс функции УДХ),
а 8\—полюс функции УДХ) после примене-
ния к ней процедуры Ричардса. Полюс после
выделения Z.i = LMaKc обозначен как 8"k. По-
люю можно передвигать в интервале между 8k
и 8\, если —Эта область зна-
чений Lt наиболее важна, так как при Lt в ин-
тервале O^Li^LMaKC не требуется отрица-
тельных элементов, а отрицательную индук-
тивность Лриз интервала —Zo<£i<O можно
включить в петлю Икено.
(1-75)
Рис 130. Смещение
полюсов. «Рич» озна-
чает процедуру Ри-
чардса, а «£(* — вы-
деление индуктивно-
сти Lt
37
1.11. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ ДРЕВОВИДНОЙ
СТРУКТУРЫ
Реализация обобщенных мядсериесных четырехполюсников
В этом разделе допускается использование петель Икено. До-
пустим, что матрица передачи удовлетворяет необходимым усло-
виям реализуемости:
А =	1 Гui (М Х V1 (Ml (1 7б)
с DJ (i—а8ГМм IAMM «г (MJ
u1u2-A3a1c/2 = (l- V)W. «1(0) = «а(0) = 1|
Достаточными условиями являются (см. [2]):
1)	0 <	< Q2 С... С °°;
ЕЭ
Як
Рис 1 31 Цикл А
ЕиС\
Рич^
Рис 1 32 Смещение полю-
сов и нулей в результате
применения цикла А
«Ъ и С* и «Рич» — означает
выделение L С-резонаясного
контура и применение проце-
дуры Ричардса, соответственно,
здесь QK — нуль функции f (X)
меньшкй, чем нуль в случае
применения цикла Л
2)	существует m+k—1 или большее число положительных ну-
лей функции не превышающих 12ft(£=l, 2, ..., щ);
3)	vi>2/n + r—1, где г — порядок по-
люса затухания в точке A,= °o.
Процедуры синтеза. Процедура
синтеза основана на использовании У (А.)
и Уц(А), так как условие 2) также спра-
ведливо и для Уц.
Цикл А. Когда У имеет полюсы в ко-
нечных точках мнимой оси, то один из
них, например, в точке А=Д2& можно вы-
делить, как показано на рис. 1.31. Цикл
будет завершен после выделения единич-
ного элемента в соответствии с процеду-
рой Ричардса. После завершения этого
цикла условие 2) будет по-прежнему вы-
полнимо, так как:
а)	выделение резонансной цепи рав-
носильно выделению полюса Уц в точке
но при этом в данной точке так-
же выделяется нуль / (А). Другие полю-
сы остаются неизменными. Следователь-
но перенумерация нулей / (А) приведет к
превышению, по крайней мере, на еди-
ницу числа полюсов в условии 2), по-
скольку значение т уменьшается на единицу;
б)	выделение резонансной цепи перемещает нули Уц, которые
меньше Q&, вправо, но не за соседние полюсы. Нули Уц, большие
38


чем Qa, смещаются влево. При применении процедуры Ричардса
полюсы смещаются вправо, но не далее первоначальных нулей.
Следовательно, после последовательного выполнения этих двух
процедур каждый полюс Уц смещается вправо, но не далее бли-
жайших первоначальных полюсов (рис. 1.32, здесь переход, обозна-
ченный L или С, представляет выделение резонансной цепи). Это
гарантирует, что число полюсов, не превышающих каждый из ну-
лей f(X), уменьшается самое большее на единицу. Следовательно,
условие 2) по-прежнему выполняется.
Цикл Б. Если У(Х) не имеет полюсов на мнимой оси, то снача-
ла выделяем единичный элемент, а затем последовательную индук-
тивность Li, при этом — Zo<ii^^MaKc- Если существует несколько
значений Li, которые сдвигают полюс Уц к некоторому нулю f(L),
то используем наименьшее значение. На этом шаге полюсы Уц
сдвигаются вправо, как показано на рис. 1.30, но не переходят за
нули f(X), так как было выбрано наименьшее значение Ц. Следо-
вательно, условие 2) по-прежнему сохраняется.
Рис. 1.33 Цикл Б: a) LiS^O; 6) Li<0
f Цикл завершается выделением резонансной цепи и ЕЭ, как
¥ показано на рис 1.33о для случая, когда Z-i>0. Если Z-rCO, то
t до выделения второго ЕЭ должна быть выделена индуктивность L2,
определяемая условием L-1i + L-12 + L~13=0 (рис. 1.336). После
J этих дополнительных этапов условие 2) по-прежнему выполняется,
£ поскольку случай L-,>0, такой как и для цикла А, а случай L\ <0
$ отличается от цикла А тем, что добавляется этап выделения L2. Но
выделение L2 не смещает нулей Уц.
f Цикл В. Этот цикл можно использовать только тогда, когда
5 цикл Б неприменим и существует полюс затухания в точке Х=оо,
?' который может быть выделен с использованием данного цикла.
Д В случае Z(oo)=oo после выделения ЕЭ выделяем последователь-
ную индуктивность Л = ЛМакс>0- Это не влияет на условие 2), так
> как никакой из конечных полюсов Уц не достигает нуля f(X).
у В случае Z(oo)=0 выделяется параллельная емкость
С= [У(Х)/Х)]х=ю > что не сдвигает полюсов Уц, и условие 2) по-
д прежнему выполняется (рис. 1.34).
* Цикл Г. Когда ни цикл Б, ни цикл В неприменим, то после-
довательно выделяются единичные элементы, пока не станет при-
менимым цикл Б. Процедура Ричардса сдвигает полюсы Уц вправо
39-
[например, 6k к б\ (рис. 1.35)]. Таким образом, после применения
процедуры Ричардса конечное число раз Й* попадет в область, где
цикл Б применим. Выделение единичных элементов не нарушает
Рис. 1.35. Смещение по-
люсов при применении
цикла
Рис 1 34 Цикл В
условия 2) до тех пор, пока цикл Б неприменим. Цикл Г должен
применяться только тогда, когда циклы Б и В неприменимы в си-
лу условия 3).
Рис 1.36 Реализация расширенных мидсериесных четырехпо-
люсников (элементы, отмеченные знаками >0 и <0, явля-
ются положительными и отрицательными соответственно)
С помощью четырех рассмотренных циклов можно выделить
все конечные нули /(X), при этом ЦА) становится равной единице.
Таким образом, оставшуюся часть цепи можно реализовать в виде,
представленном на рис. 1.22.
Условие 3) относится к числу единичных элементов цепи. Цик-
лы А, Б и В вводят достаточное число единичных элементов, так
что полученную цепь можно преобразовать в обобщенную мид-
40
сериесную схему. При этих циклах v никогда не уменьшается
больше, чем на 2т или г. Следовательно, условие 3) по-прежнему
выполняется и после применения этой процедуры.
При использовании цикла Г умень-
шается только v, но этот цикл должен
применяться только в том случае, когда
циклы Б и В неприменимы, т. е г=0.
Кроме того, неприменимость цикла Б со-
вместно с выполнением условия 3) га-
рантирует, что v не меньше чем 2т (до-
Y(i)-iS2k Y(iS2h)
казательство опускается). Таким обра-
зом, уменьшение v при выделении ЕЭ не
нарушает условия 3).
Результирующая цепь имеет вид, по-
Рис 137 Измененный
метод для цикла Б
казанный на рис. 1.36а, б. Т-образные звенья с отрицательными
элементами совместно с единичными элементами, подключенными
слева, можно реализовать петлями Икено (рис. 1.36в). Достаточ-
ные условия реализуемости сформулированы Икено, но методика,
описанная здесь, несколько видоизменена. На рис 1.37 представ-
лен вариант цикла Б по Икено.
Синтез У (л)
Для того чтобы реализовать входную проводимость У (%), мож-
но прибегнуть к дополнению У (%). Если нули U1U2—л2щи2 лежат
только на мнимой оси (за исключением точки Х=0) и в точках
Х=±1, то У (%) реализуется как обобщенный мидсериесный
четырехполюсник, нагруженный на активное сопротивление. Не те-
ряя общности рассуждений, можно принять У(0) = 1. Пусть У(Х)
дополнена функцией вида a + Z/v= (1+Л)П, как показано в ур-нии
(1.33). Тогда число полюсов Уц = а/2/Ла/1 может быть увеличено до
любого желаемого выбором достаточно большого п так, чтобы ус-
ловие 2) из группы приведенных выше достаточных условий
удовлетворялось. Для иллюстрации сказанного приведем следую-
щую лемму (доказательство опускается).
Лемма Число нулей четных и нечетных частей (1+А,)п в любой
конечной области мнимой оси А, может быть увеличено до желае-
мого при соответствующем увеличении п.
Так как «i/Au, и а/Xv являются реактансными функциями, то
функция (uiv + vtu) /^vtv также является реактансной и ее полюса-
ми являются как полюсы Ui/iXoi, так и u/Xv. Поскольку между лю-
бой парой смежных полюсов имеется нуль, то число нулей
Uiv + viu в области (0, i Q) может быть увеличено до любого зна-
чения Следовательно, приведенная лемма обеспечивается. Допол-
нение У(л) выражением (1А)п вводит «единичных элементов, дей-
ствующих как всепропускающие цепи. Это эквивалентно примене-
нию процедур Ричардса в случае, когда Ev У (к) не имеет нуля в
41
точке 1=1, в чем легко можно убедиться (см. [13]). В большинст-
ве случаев расчет фильтров связан с расчетом частотных характе-
ристик затухания, при этом дополнение функции У (X) является
допустимым. Нули выражения utu2—Х2ЩУ2, лежащие на сегменте
вещественной оси |Х| > 1, могут быть также реализованы пред-
ставленным методом, поскольку петля Икено может иметь такой
нуль передачи.
Реализация мидсериесных цепей
Было предложено несколько достаточных условий реализуемос-
ти мидсериесных схем [2, 26, 27], различающихся только жест-
костью ограничений. Пусть дана матрица, имеющая вид (1.76)
Перенумеруем полюсы затухания в таком порядке, как это сдела-
но в соотношении	... Qi<°o, а нули функции с
наибольшей степенью из группы функций Ui,u2,Kvi и Лг>2в соответ-
ствии с неравенством 0<6п	62 бi<00 Тогда достаточные
условия реализуемоеги имеют вид: 1) г^1; 2)	где
/=[(г—1)/2] для г^З и t—О для г— 1, 2; 3) v^2m + r. Здесь, как
и прежде, г—порядок полюса затухания в точке Л.=оо, а квад-
ратные скобки в условии 2) соответствуют обозначению Гаусса
Нумерация нулей и полюсов произведена в порядке, обратном
принятому в начале раздела
Условие 1) устанавливает, что должен существовать полюс
затухания в точке %=оо, т. е Z(oo)=0 или оо. Это требование вы-
текает из условия Li^O. Табл 1.2 показывает, что Zn(oo) =
= Z(s(oo) = 00, когда Z(oo)=oo и Zn(oo) =Z(fi(oo) =0, когда
Z(oo)=0. Кроме того, только одна из функций «1, «2, и Л02
имеет наивысшую степень. Следовательно, когда Z(oo) = 00, сов-
падает с k-м нулем либо Zu, либо Zis в зависимости от того, какая
из функций имеет большую степень, если нули пронумерованы в
том же порядке, что и бй. Когда Z(oo)=0, 6а совпадает с £-м по-
люсом, либо Zu, либо Zis в зависимости от того, какая из функций
имеет большую степень. Кроме того, k-й нуль той из функций Z(l
или Zu, которая имеет большую степень, всегда больше fe-ro нуля
другой То же самое соотношение имеет место и для полюсов. Сле-
довательно, 6а совпадает с наибольшим из k-x нулей и полюсов
Zu и Zis Приведенные выше достаточные условия призваны сохра-
нить расположение, по коайней мере, одного из полюсов затухания
за наибольшим из нулей Z1( или Zts в дополнение к полюсу или
нулю в точке А=оо, который делает Z(oo) равным 0 или оо.
Процедуры синтеза Цикл А'. Если Z(oo) =0, сначала вы-
делим единичный элемент для того, чтобы сделать Z(oo)=oo. До
применения этой процедуры Zu и Z\s имели нули в точке 1=оо. Сле-
довательно, бь+i—наибольший среди (k+t)-x полюсов Zu и Zis. Пос-
ле применения процедуры бд+<становится наибольшим из [k + t)-x
нулей Zu и Zu, которые теперь имеют полюсы в точке 1=оо. Так
как в результате применения процедуры Ричардса никакой из ну-
лей не может оказаться дальше первоначального положения полю-
42
сов, б k+t никогда не превысит своего первоначального значения.
Следовательно, условие 2) выполняется и после применения про-
цедуры Ричардса.
Цикл Б'. Если Z(oo) =оо, последовательно выделим два единич-
ных элемента. После этого цикла Z(oo) остается равным оо. Наи-
больший из (fe + /)-x нулей Zu и Zis, который был обозначен бь+t до
применения процедуры, после изменения нумерации обозначается
как fik+t-i, так как наибольший нуль, соответствующий первона-
чальному 6, был сдвинут к Л=оо и удален. Кроме того, как пока-
зано ниже, bk+t-i никогда не превышает первоначального значения
6k+t-t- После выделения первого единичного элемента полюс
между (k+t) и (k + t—1)-м нулями, например, функции Zu
сдвигается вправо, но не дальше первоначального расположения
(&4-/—1)-го нуля. После выделения второго единичного элемента
(Л+о-й нуль не смещается за расположение вышеупомянутого
полюса, а следовательно, не сдвигается за первоначальное распо-
ложение (k + t—1)-го нуля. То же справедливо и для (k + t)-vo
нуля Zu. Следовательно, условие 2) удовлетворяется и после при-
менения процедуры.
Цикл В'. Пусть Z(oo)=oo и существует несколько значений
£1(0^^1</<макс), что делает применимой процедуру, представлен-
ную на рис. 1.285. Выберем наименьшее значение и применим эту
процедуру. При этом значение 6h+t никогда не достигает значения
□л, за исключением случая, когда бк+t совпадает с и удаляется
в результате применения этой процедуры. Таким образом, измене-
ние нумерации сохраняет условие 2) неизменным.
Указанная процедура всегда применима, когда /=0, так как
выполнение условия 2) гарантирует, что
Цикл Г'. Пусть/(со) =оо и цикл В' неприменим.
Выделим полюс затухания в точке Х=оо, как пока- ^=1jmclkc
зано на рис. 1.38, Здесь /=/=0 и г^З. Следователь-	о-оп—«-о
но, условие 1) по-прежнему выполняется, и Z(oo) =	=
= оо после применения процедуры.	& j о
Первоначальные значения бь+t больше (fe + /)-x
нулей Zu и Zls. В соответствии с вышеизложен- Рис ] 3g
ним, любой нуль, соответствующий 6ь+1, не пре- Цикл Г'
восходит при выделении L = LMSlKC любого значе-
ния Qft. Выделение С не сдвигает этого нуля. После
применения указанной процедуры также будет больше (k + t)-x
нулей Zu и Zls. Так как наибольшие нули в результате применения
данной процедуры удаляются, то нумерация изменяется: 6ft+( заме-
няется обозначением 6b+t-t. Однако, поскольку в результате этой
Процедуры двойной полюс затухания устраняется, то г уменьшает-
ся до значения г—2 и /до /—1. Следовательно, после применения
процедуры обозначение 8k+t-i необходимо заменить на /ц+г и ус-
ловие 2) будет по-прежнему выполняться. Даже если выделение
£=|£макс сдвигает бь+( к Йь, цикл Г' применим.
Всегда возможно применить цикл В' либо Г'. Цикл Б' будет
применяться всякий раз перед применением цикла В' или Г'. Та-
43
ким образом, условие 3) остается справедливым. Получающаяся
схема имеет вид, представленный на рис. 1.39а. Ее можно преобра-
зовать к виду, показанному на рис. 1.396 и реализовать на двух-
проводных линиях, как показано на рис. 1.39в.
Рис 1.39. Реализация мидсериесных четырехполюсников
Если г — четное и Z(oo)=0 в начале, вычет функции У(Х) =
= 1/Z(X) можно представить параллельной емкостью, включенной
на входе четырехполюсника. Следовательно, оставшийся импеданс
имеет полюс в точке Х=оо и нулем Zu или Zls становится (ц, при
этом неравенство г 7^1 сохраняется.
1.12. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
Основная идея способа реализации, описанного здесь, состоит в
разложении заданного иммитанса (или матрицы) на аддитивные
компоненты, реализация которых известна. Сначала рассмотрим
синтез входной проводимости. Так как полюсы Y(X) на мнимой
оси можно представить параллельными шлейфами, подключенными
на входе, рассмотрение может быть ограничено случаем, когда
Y (X) не имеет полюсов на мнимой оси. Тогда У (%) может опреде-
ляться однозначно на мнимой оси своей вещественной частью. Это
показывает, что синтез может быть основан на использовании
Ev У(Х). Пусть
EvE (X) = (iq u2— ^2PiV2)/(U] — Х2^) = 7)/Q,	(1-78)
где P и Q — четные полиномы от X. Необходимыми и достаточны-
ми условиями того, чтобы Р/Q было четной частью положительной
вещественной функции, являются: 1) Р — не отрицательная, a Q —
положительная функция на мнимой оси; 2) степень Р не выше
степени Q. Необходимость очевидна, а достаточность можно дока-
зать следующим образом. Вначале предположим, что нули Р, за
исключением нулей в точке Х,= ±1, имеют четные кратности. Это
не налагает дополнительных ограничений на Р, но дает возмож-
ность дополнить Р умножением Р и Q на общий множитель, поло-
жительный на мнимой оси. Так как Q — положительная функция
на мнимой оси, разложение Q однозначно определяет полином
Гурвица tZi + Xoi. В этом случае Ya и У22 определяются соотноше-
ниями (1.37) или (1.38). Теперь Уц, являющуюся реактансной
44
функцией, можно определить так, что все полюсы Yi3 будут ком-
пактными, удовлетворяя необходимым и достаточным условиям
нормального реактансного четырехполюсника. Выражение для
EvY(X) этого четырехполюсника, нагруженного на сопротивление
1 Ом, совпадает с выражением (1.78).
Полином Р можно представить в виде произведения сомножи-
телей Р=/2(Х)Р[, так что нули Р на мнимой оси принадлежат
/2(л), а остальные — Р'—^и=оац Разложение Р\ по степеням
(1—X2) дает
EvF(X) = 2 V	(’-79)
ц=о
где —вещественные постоянные. Если все b— положительны
и /(0)^0, то К(Л) можно реализовать параллельным соединением
обобщенных мидсериесных четырехполюсников, нагруженных на
выходе на сопротивление 1 Ом. Если некоторые коэффициенты
отрицательны, то может быть использовано дополнение EvT(X.)
выражением Я(л)Я(—Y), где Н(X)—соответствующим образом
выбранный полином Гурвица, для того чтобы сделать все b поло-
жительными. Необходимые и достаточные условия существования
такого полинома Н(/.) заключаются в требовании, чтобы Pi не
имел нулей на участке |%|<1 вещественной оси или на мнимой
оси (см. доказательство в работах Киясу и Икено [28] или Ике-
но [2]).
Матрицу проводимости четырехполюсника можно разложить на
аддитивные составляющие. Предположим, что Y — матрица прово-
димости нормального реактансного четырехполюсника с компакт-
ными полюсами. Пусть
. Y = Y' 4- Y",	(1.80)
где Y' и Y" — матрицы нормальных реактансных четырехполюсни-
ков. При использовании такого разложения вычеты в полюсах
функций Уг] будут разделены на вычеты функций У%, У"ч, т. е.
+	Л/=1,2.	(1.81)
В данном случае необходимо, чтобы
х2*;, + 2xy/Yl2 + y*k'22>0 |
}	( *1 * О" /
+ 2ху k"l2 + y2k"22 > 0 I
для всех вещественных значений х и у. Так как предполагается,
что полюсы функций YtJ компактные, то для некоторых значений х
и у, не равных тождественно нулю, должно выполняться равенство
*2 (+ ^i)+2ху (Л;2+k"^+у2 (+k"^ = °-
Тогда для этой совокупности значений х и у должны сохранять-
ся знаки равенства и в соотношениях (1.82). Из этого следует, что
^1^2-^22 = 0 И	(Е83)
45
Из равенств (1 83) и выражения det (k'Z]+k"1})=0 имеем
> °-	о-84)
Отсюда видно, что для разделения Y на V и Y" необходимо и
достаточно, чтобы вычеты функций Y'lz и У"12 имели одинаковый
знак или равнялись нулю во всех полюсах У12 Разложение матри-
цы Y можно выполнить, используя выражения
нк) = га) + гм,	(1-85)
где [(А) входит в выражение У12= —1(—A2)'/2f(A)/g'(A), f'(A) и
f"(h) — вещественные полиномы от X, четные или нечетные в зави
симости от того, четная или нечетная f(Y) В данном случае, необ-
ходимо и достаточно, чтобы f'(h) и /"(А) имели одинаковые знаки
или равнялись нулю в каждом из полюсов Yi2 (см [29])
Такое же соотношение имеет место, когда подобным образом
раскладывается множитель при [(A) Указанные выше условия
также достаточны, хотя и не необходимы, даже если полюсы функ
ции У не являются компактными
Сначала рассмотрим реализацию комплексных нулей функции
/(А) Пусть Ао— комплексный нуль f(k), тогда f(A) содержит со-
множитель
(А2 —А2) (А2 —А2) = (А2 —а)2 + 62,	(1,86)
где а и b — вещественные постоянные, черта над числом обозна-
чает комплексною сопряженность
Так как (А2—а)2 и Ь2 не отрицательны для любого мнимого
значения А, разложение указанного сомножителя на (А2—а)2 и Ь2
и, следовательно, получаемое разложение функции )(А) удовлетво-
ряют вышеупомянутым условиям Когда а<0 или п> 1, нули функ-
ции (л2—а)2 можно реализовать в виде обобщенного мидсериесно-
го четырехполюсника Это только один из примеров разложения
Более трудные примеры приведены ниже
1	Пусть а<0, т е n/2>Arg Ао>л/4, и пусть
(А2 — а)2 + й2 = (А2 — а — х) (А2 — а + х) 4- (й2 + х2).	(1-87)
Здесь значение параметра х будет выбрано так, чтобы (А2—а—х)
или (А2—а4-х) совпадало с полюсным множителем функции У|2
для значений г в интервале от 0 до а Тогда этот множитель мож
но сократить в числителе и знаменателе У'12, что уменьшит число
элементов, необходимых для реализации [25]
2	Пусть
[А2 —А2] (А2 —А2) = с2 (А2 + £22) (1 -А2) + 4(А2 + б2)(А2 + б2), (1 88)
где б21>б2г>0 Из этого следует, что c2i = cz—1
2	(1 - А.о) 0 — хо) . 02	Ao) ( Sf 4- Ад)
46
Следовательно, условие с\> 1 является необходимым и доста-
точным для того, чтобы c2i, с22 и Й21 были вещественными и поло-
жительными Также ясно, что Q2i>62i Поскольку первый член в
правой части ур-ния (1 88) становится отрицательным при
й2>й21 (Х= i й), а второй отрицателен при 62i>й2>64 то Yi2 не
может иметь полюса в этих областях Требование, касающееся вто-
рого члена, выполняется, если его нули выбраны совпадающими с
двумя соседними полюсами функции Ya, что также приводит к уп-
рощению второго члена Существование множителя (1—/2) в пер-
вом члене упрощает получающуюся цепь [30]
3	Пусть
[X2 _ Х2) (Л2 - X2) = с2 (X2 - dj)2 с2 (А2 - о2)2	(1.89)
где с2!>0, с22>0 и о,(I — 1, 2) выбираются так чтобы они удов
летворяли условию о, или ог<0
Так как
(X2 —Oi)/(X2 — °2) = 11 с2/С!| или — ijc./cj,
г * *> Г
то (Х20—Oi) и (Х2о—02), являющиеся комплексными векторами в
Х2-плоскости, ортогональны друг к другу Следовательно, Х% лежит
в Х2-плоскости на окружности, имеющей линейный сегмент (ot, 02)
в качестве своего диаметра, как показано на рис 1 40 При изме-
нении значения | c2/ci | от 0 до 00, Х20 перемещается по этой окруж-
ности от <j; до 02, и наоборот, если Х2о лежит вне окружности с ли-
нейным сегментом (0,1) в качестве ее диаметра то возможно раз
ложение в соответствии с ур-нием (1 89) при
значениях <л и о2, указанных выше Кроме того,	к л2мкт
каждый член в правой части ур-ния (1 89) не
отрицателен на отрицательной вещественной /
оси ‘2 плоскости, что гарантирует независи д
мосгь разложения от полюсов У12 Приведен k J
ное выше рассмотрение показывает что мож
но принять ог равным единице, так что полу	i
чающаяся цепь упростится В этом случае
Рис 1 40 Расположе
(X2 - X2) (X2 - X2) с2 (X2 - щ)2 + с2 (1 - X2)2
кие корней ур ния
(1 89)
При щ<0 значение с22 может быть еще более увеличено для
фиксированного значения Хо, если двойные нули первого члена в
правой части приведенного выше соотношения расщепляются на
пары простых нулей, как в случае (1), т е
(X2 - X2) (X2 - X2) = с] (X2 + Й2) (X2 + Й2) + с2 (1 - X2)2
Здесь с\ выбирается так, что либо Й1, либо й2 совпадают с бли
жайшим полюсом У12, когда с\ увеличивается [29]
47
4	. В качестве обобщения ур-ния (1.89) рассмотрим полином:
?(Х) = СГ(Х-а1)2П + сГ(Ха-а2)2п,	(1.90)
где п — целое число. Нули правой части уравнения удовлетворяют
условию
( к2 — oj) / (А2 — о2) = | сз / ci I exp [i (2р + 0 я/2«],
Рис. 141. Расположение
корней ур-ния (190)
где ц. — целое число. В плоскости к2 каждый нуль функции g
лежит на одной из окружностей, которые пересекают веществен-
ную ось ^-плоскости в точках щ и под углами (2ц+1)п/2м
i’p.=0, 1, 2, ...,п—1), и перемещаются от о; к <т2 по мере того, как
cz/cjl увеличивается от 0 до оо. При фиксированном значении
Сг/cii каждый нуль лежит на окружности, которая пересекается
с каждой окружностью из указанной
группы ортогонально (рис. 1.41). Нули
заданной функции f(k) редко образуют
такую систему, но к паре собственных ну-
лей f(k) можно добавить 2п—2 нулей
для того, чтобы реализовать такую си-
стему, если допустимо дополнение произ-
вольным полиномом Гурвица. Следова-
тельно, любой нуль, не расположенный в
части вещественной оси плоскости %2, оп-
ределяемой неравенством 0<:л2^1,мож-
но реализовать параллельным соединени-
ем обобщенных мидсериесных четырехпо-
люсников, если применить дополнение и
выбрать п достаточно большим [29].
Вещественные и мнимые нули можно также реализовать, ис-
пользуя следующие способы разложения:
1. Пусть
± (V + Й2) = с2 (V + й2) + с2 (1 - к2)
(знак плюс ставится при значениях й2о>О, знак минус — при
Й2о<О), где Й1 можно выбрать таким, что (А2 + й21) будет сокра-
щаться с полюсным множителем функции Yt2- Тогда й21>0, а сле-
довательно, и й2о>й21 или й2о<—1 являются необходимыми и до-
статочными условиями для выполнения неравенств c2i>0 и с22>0.
Таким же способом можно получить петлю Икено. Из ур-ния
(1.14) имеем
У12 = - {/В = - (1 - V)1/2 (V + Й§) / {л [mZ0 V + $(Ze + L)]}.
Условие й2о>й2! сводится к условию (1—m)Z0 + L<0, т. е.
к левому условию (1.17), а выражение Й2о< — 1 совпадает с пра-
вым условием в (1.17).
2. Пусть
V + й2 = с2 (V + б2) + c2(V + 62+i),
48
где 6,+1 и б, — смежные полюсы функции Yl2 и 62i+i>Qzo>62i.
Если Й2о больше, чем наибольший из полюсов Yl2, то можно поло-
жить:
V + Й2 = (V + б2) + (Q2 + 62),
где бр обозначает наибольший полюс. Озаки показал [25], что
достаточным условием для представления У12 в виде:
у = ~(1-X2)V/W) = Г, -(1-V)v/2 ak
12 Xvj(X) L* KvkCk)
aft>0;
f (M = П (ba + Щ (K) = П + 6?);
k	i
0 < Й]	Q2	< 00
является существование, по крайней мере, k положительных нулей
функции Pi (Л.) меньших, чем Получающаяся цепь представ-
ляет собой параллельное соединение четырехполюсников с просты-
ми разомкнутыми шлейфами.
Недостатки, свойственные описанному выше способу реализа-
ции, состоят в том, что число элементов обычно больше, а допус-
тимое отклонение значений элементов меньше, чем при каскадном
синтезе. По этой причине использование метода разложения целе-
сообразно только тогда, когда это необходимо [29—30]. Следует
отметить, что существует много возможностей разложения в каж-
дом отдельном случае [29—30].
Список литературы
1.	Richards Р. I. Resistor-transmission-line circuits. — «Proc. IRE», 1948, v. 36,
p. 217—220.
2.	Ikeno N. Fundamental principles of designing filters with distributed ele-
ments.— «Elec. Commun. Lab. Tech. Rept.», 1955, v. 4, N 3, p. 379—417.
3.	Welsh N. R., Kuh E. S. Synthesis of resistor-transmission-line networks. —
«Inst. Eng. Res. Ser.», Univ, of Calif., July 1958, N. 60, Issue N. 209.
4.	Kawakami M. Some properties of elementary networks.—«J Inst. Elec Com-
mun. Engr.», Japan, 1955, v. 38, N. 4, p. 320—323 (на японском языке)
5.	Young L. Unit real functions in transmission-line circuit theory. — «IRE Trans.
Circuit Theory», 1960, v. CT-7, p. 247—250.
6.	Kuroda K. Methods for Deriving Distributed-Constant Filteds from Lumped —
Constant Filters- — «Paper Presented at the Joint Meeting of Kansai Branches
of Three Elec. Inst.», Japan, Oct. 1952, N. 9, 10 (на японском языке).
7.	Levy R. A generalized equivalent circuit transformation fo. distributed net-
works.— «IEEE Trans. Circuit Theory», (Correspondence), 1965, CT-12,
p. 457—458.
8.	Schiffman В. M., Young L Design tables for an elliptic-function band-stop
filter (N-5). — «IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», 1966, MTT-14,
p. 474—482.
9.	Brune O. Synthesis of a finite two-terminal network whose driving-point impe-
dance is a prescribed function of frequency. — «J. Math. Phys», 1930—31,
v. X, p. 191.
49
10	Kuroda К. Some equivalence transformations in ladder-type networks with
distributed constants. — «Inst. Elec. Cornmun Engr.», (Japan), «Monograph
Series on Circuit Theory», Feb. 1957.
11.	Kuroda K. Synthesis of Distribute—Constant Networks. Kyoritsu Publ., Tokvo.
1959.
12	Yamamoto S. Transposition of Attenuation Poles in Reference Ladder Reac-
tance Four-Terminal Networks. Paper presented at the Semicentennial of the
Eiectrotech. Lab., June 1941. p. 209.
13.	Kiyasu Z., Oono Y., Ikeno N. Network Synthesis, Iwanami Bookstore, Tokyo.
1957, p. 101.
14.	Ishii J. Design of Strip-Line Wave-Separators. — «Paper presented at the
Nat. Meeting of Inst. Elec. Cornmun. Engr.», Japan, 1958.
15.	Kuroda K. On the equivalent circuit of coupled lines. — «J Inst. Cornmun
Engr.», Japan, 1953, v. 36, N. 1, p. 10—14.
16	Ozaki H., Ishii J. Synthesis of a class of strip-line filters. — «IRE Trans
Circuit Theory», 1958, CT-5, p. 104—109.
17.	Yamamoto S., Azakami T., Itakura K. Coupled strip transmission-line with
three center conductors. — «IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», 1966.
MTT-14, p. 446—461.
18.	Kuroda K. Orthogonal Modes and Equivalent Circuits of Multiwire Lines.—
«Paper presented at Nat. Meeting for the Golden Anniversary of Inst. Elec
Cornmun. Engr.», Oct. 1967, N. 42.
19.	Hazony D. Elements of Network Synthesis. Reinhold, New York, 1953, p. 246
20.	Miyata F. Network Synthesis. Kyoritsu Publ., Tokyo, 1954, p. 30.
21.	Kuroda K. Design of transmission-line filters having specified inseition los-
ses.— «J. Inst. Elec. Cornmun. Engr.», Japan, 1954, v. 37, N. 5, p. 365—36Э
22.	Ikeno N. Design of Bar-Type Coaxial Filters. — «Paper presented at the Joint
Meeting of Tokyo Branches of Three Elec. Inst.», Japan, Oct. 1952, N. 94
23.	Collin R. E. Theory and design of wide-band multisection quarter-wave trans-
formers.— «Proc. IRE», 1955, v. 43, p. 179—189.
24.	Riblet H. J. General synthesis of quarter-wave impedance transformer. — «IRE
Trans. Microwave Theory Tech.», 1957, MTT-5, p. 36—43.
25.	Ozaki H. Synthesis of unbalanced four-terminal transmission line networks. —
«J., Inst. Elec. Cornmun. Engr.», Japan, 1953, v. 36, N. 12, p. 657—662.
26	Kasahara Y,, Fujisawa T. Design of Distributed Constant Filter. — «Paper
presented al the Joint Meeting of Three Elec. Inst.», Japan, May 1954, N. 20
(на японском языке). Design of Distributed Constant Filters. Tech. Rept
Osaka Univ., 1954, v. 4, N. 115, p. 227—236.
27.	Ozaki H., Ishii J. Synthesis of transmission-line networks and the design of
UHF filters. — «IRE Trans. Circuit Theory», 1955, CT-2, p. 325—336.
28.	Kiyasu Z., Ikeno N. Some notes on «The necessary and sufficient condition»
for the realization of a prescribed transfer ratio using no. transformer and
with common return» and «А system of two-terminal synthesis» bv Miyata —
«J. Inst., Elec. Cornmun. Engr.», Japan, 1953, v. 36. N 4, p 186—187
(на японском языке).
29	Ikeno N. Synthesis of distributed-constant netvodks — «J. Inst Elec Com-
mun. Engr.», Japan, 1959, v. 42, N 6, p. 585—591.
30	Ishii J. Synthesis of Semi-Ladder Networks with Distributed Constants. —
«Paper presented at the Joint Meeting of Four Elec. Inst.», Japan, May 1958,
N 41; also Doctoral Dissertation, part II. Osaka Univ., Osaka, Japan. June 1958
ГЛАВА 2
Параметры линий
Ризабуро Сато
и Тетс у о И кед а
Предположение об идеальной проводимости проводников облегчает анализ
электромагнитного поля между проводниками в диэлектрической среде. Выво-
дятся формулы для некоторых типов линий. Результаты вычислений даны в гра-
фической форме.
2.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ГЛАВЕ
г = х-Н у — комплексная переменная;
% = ® + ivI/ — комплексный потенциал;
Ф — скалярный потенциал;
'1Г — функция потока;
t, w — комплексные переменные относительно г;
Е, Н — интенсивности электрического и магнитного поля соответственно;
е, ц— диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость среды соответ-
ственно;
ег, Цг — относительная диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость
среды соответственно;
рс — магнитная проницаемость проводника;
р(х, у) — распределение плотности заряда;
V — оператор Нобла;
G — функция Грина;
б,	6,, 62— глубина поверхностного слоя;
д— функция Дирака;
<?, Qt, Qi — общий заряд проводников;
С — емкость линии па единицу длины, Ф/м;
Индексы «е» и «о» означают четный и нечетный тип колебаний соответственно.
Zo — волновое сопротивление линии, Ом;
— эффективное сопротивление линии на единицу длины;
Ro — поверхностное сопротивление;
/ — действующее значение тока;
h — плотность тока па поверхности проводника;
Р—мощность, рассеиваемая на единицу длины линии,
а, а.1, аг, b, d, h, w, R — размеры поперечного сечения линии;
Фо — величина Ф иа поверхности проводника;
о, о,, о2 — проводимость материала проводника;
У—распределение заряда;
Сц Сг, С3, С'1 — постоянные;
£i>	— точки на вещественной оси плоскости 1;
J(ti, С) — интеграл, выражаемый (2,21);
k—модуль эллиптической функции;
ft'=(l—ft2)1/2 ,
f — частота;
и — постоянная затухания;
51
а, р — постоянные для преобразования (2 36),
К — полный эллиптический интеграл первого рода,
F(w, k) — эллиптический интеграл первого рода,
П(а, a, k) —эллиптический интеграл третьего рода,
J(w) — функция, данная первым выражением (2 41)
П=1[1-(1-^)'/2]/'*.
Ч'^(1—Ч2),/2 ;
VfG, б) — интеграл, данный выражением (2 31),
Ф1, Фг — электрические потенциалы,
A, At, А?— постоянные,
щ — соотношение между величинами токов в проводниках,
гц- — соотношение между величинами напряжений в проводниках
2.2.	ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Для анализа электрических цепей, состоящих из отрезков длин-
ных линий, необходимо знать соотношения между параметрами
линий и геометрическими размерами используемых линий пере-
дачи Наоборот, в случае синтеза задача сводится к определению
размеров, исходя из заданных характеристик. В обоих случаях
точное определение параметров линии вызывает затруднения В
прошлом решение этой задачи непосредственно основывалось на
уравнениях Максвелла, однако сложность такого решения вынуди-
ла искать более целесообразные пути В этой главе рассматривает-
ся только основная волна типа ТЕМ, так что анализ сводится к ре-
шению двухмерного уравнения Лапласа При этом волновые со-
противления определяются с помощью конформных преобразова-
ний при следующих допущениях:
1)	проводимость проводников идеальная и потери в среде
между проводниками отсутствуют;
2)	размеры поперечного сечения много меньше длины волны,
3)	линия передачи однородна,
4)	вдоль линии распространяется ТЕМ-волна
Поскольку проводники обладают высокой проводимостью, влия-
ние ее на электромагнитное поле между проводниками будет не-
значительным. На очень высоких частотах, при большом влиянии
поверхностного эффекта, ток будет протекать по поверхности про-
водника, и эту поверхность можно рассматривать как бесконечно
тонкий слой Следовательно, поверхностное сопротивление на высо-
ких частотах определяется при следующих предположениях: 1) ра
диус кривизны поверхности проводника много больше, чем толщи-
на поверхностного слоя; 2) хотя проводимость проводника конеч-
на, распределение тока соответствует идеальной проводимости
2.3.	МЕТОДЫ АНАЛИЗА
Решение уравнения Лапласа разделением переменных
Уравнение Лапласа можно представить в виде’
д* ф . д* Ф _ Q
дхг + др»
52
(2.1)
Предположим, что переменные разделяются:
Ф = Л(х)ЗД)-	(2.2>
После подстановки выражения (2.2) в (2.1) получаем:
I F1 (-*~)_____I <Р Рг (у) _ £2	(2 зу
Л(х) dx* ~	>2(у) dyl ~	V 
Отсюда
= Fu W Fik у = (Л е*х + В е~кх) (С sin ky + D cos ky), (2.4}
где k — произвольная постоянная. Задача сводится теперь к на-
хождению функции Ф=2 Фа, удовлетворяющей граничным усло-
k
виям при идеальности проводников.
,	Решение уравнения Лапласа методом комплексных
переменных, конформное преобразование
В случае двухмерного поля анализ можно упростить, используя
комплексные переменные. Рассмотрим аналитическую функцию
%(z), где z—x + iy и х-ФЗ-^ Вещественная часть % именуется
скалярным потенциалом Ф; мнимая часть есть функция потока ЧЛ
Обе величины Фи? удовлетворяют дифференциальным уравне-
ниям Коши — Римана:
4	дФ/dx = д Ч/ду, йФ!ду — — d'Vjdx,	(2.5а),
&
1 а также уравнению Лапласа
(^фда + ^Ф/^2) = 0, (au4f/<?xa) + (a2Wy!)=o. (2.5<5>
Уравнения Коши — Римана определяют конформное преобразо-
*' вание между плоскостями % и г, на которых два семейства кривых,
, одно—-для ® = const и другое — для 4f = const, ортогональны одно
' по отношению к другому.
t Для решения задачи о линии передачи нужно найти функцию,
удовлетворяющую граничным условиям. Использование конформ-
j| ного преобразования дает возможность преобразовать заданную
i геометрическую конфигурацию в такую, для которой решение за-
< дачи известно. Напряженности электрического и магнитного полей
выражаются при этом в виде:
E =	1ЕЧ4Ч; <2-6>
\ ах ау /	I dz |
|Н| = (е/р)!/2 |Е|.	(2.7}
Решение уравнения Пуассона с помощью функции Грина
Помимо решения уравнения Лапласа, электромагнитное поле
для произвольной системы проводников можно получить, задав-
53
шись распределением электрических зарядов и используя урав-
нение Пуассона:
V2® = — (1/в)р(х, у},	(2.8)
Ф = 0 на границе.
Для решения этого уравнения используется функция Грина G:
^G = -(l/e)6(x-x')6(i/-/),	(2 9)
G=0 на границе
где 6 — функция Дирака. Если решение этого уравнения предпо-
лагается в виде G = G(x, у\х', у'\, то решение уравнения Пуассона
будет иметь вид:
Ф(х, у) — jG(x, ^lx'> #')Р(*'. y')dx'dy’. (2.10)
Общий заряд проводника равен
Q = Jp (х\ у') dx’ dy'.	(2.11)
Ур-ния (2.10) и (2.11) требуют интегрирования по граничной
поверхности. Если Фо — разность потенциалов между проводника-
ми, емкость С получается из соотношения
С = Q/O0.	(2.12)
Эффективное сопротивление на высоких частотах
Если радиус кривизны поверхности проводника достаточно ве-
лик по сравнению с глубиной поверхностного слоя, то можно пола-
гать, что электромагнитное поле и плотность тока вблизи поверх-
ности проводника произвольного поперечного сечения будут таки-
ми же, как если бы проводник был бесконечно широким. Следова-
тельно, магнитное поле в проводнике будет определяться выра-
жением’
Я = Я,ехр(—л/й).	(2.13)
где б — глубина поверхностного слоя: Hs — магнитное поле на
поверхности проводников; п — нормальное расстояние от поверх-
ности проводника.
Величина тока на поверхности получается из выражения
1 = Н1&, поскольку ток смещения внутри проводника пренебрежи-
мо мал. Мощность, рассеиваемая на единицу длины, будет равна:
Р = (1/<з)(рМФ.'‘	(2.14)
Обозначая эффективное значение всего тока через /о, получим
следующее выражение для эквивалентного сопротивления на еди-
ницу длины на высоких частотах:
РэФФ = (1/об/2)^пп I*dt,	(2.15)
где индекс «пп» означает «поверхность проводника».
54
2.4.	ЭКРАНИРОВАННЫЕ ЛИНИИ
Линии с прямоугольными проводниками
Полосковые линии передачи. Рассмотрим симметрич-
ную экранированную линию передачи, представленную на рис. 2 1а.
Через а обозначена ширина полоски: b — толщина; d — расстоя-
ние между заземленными плоскостями: ц и е — соответственно
магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная диэлек-
трика; рс- о — соответственно магнитная проницаемость и прово-
димость проводника.
$
Рис 2 1 Конформные преобразования для линий с прямо-
угольным внутренним проводником и параллельными зазем-
ленными пластинами: а) плоскость г; б) плоскость t; в) плос-
кость х
Преобразуем полубесконечную область ABCDEFGHA' плоскос-
ти г в верхнюю /-полуплоскость с помощью преобразования Швар-
ца—Кристофеля:
dz -Г Г	Г/2
-1) (#«_ fe-2)J •	(2- 1б>
После интегрирования этого выражения получаем
г = С, (Т-	----J dt + С2,	(2.17)
JL (/3-1)(<2 — fe-2)]
где Ci и С2 — произвольные постоянные, определяемые по извест-
ным значениям точек В и С плоскостей z и t. Одновременное ре-
шение двух уравнений дает:
в
j dz = i (d — 6)/2,	(2.18)
c
В	-\/k
C	—1
Подставляя эти значения в (2.17) вместе с соответствующими
величинами В, С, D, Е на плоскостях z и t (табл. 2.1), имеем.
55
ТАБЛИЦА 2.1
Плос- кость	А	в	с	D	Е	F	G	и	А*
Z	ОО	d i — 2	ь ' 2	а . ь 2 +‘ 2	а 2	а	Ь — — i — 2	2	—1 ~ 2	d 1 2	ОО
t	оо	-1/й	— 1		0	5	1	1/*	оо
X	1 К'	-K+iK'	-К		0		К	A+iA'	\К'
fl = J (В. 1) b _ J (0, %)_____________________________ (2.20)
d J(0, g) + J(l, k-1 ) ’ c J(0, g) + J (1. ft"1 ) ’
тде
t1-?
(<’ - 1) (/« _ fe-2)
(2.21)
Аналогично, в качестве преобразующей функции для плоскости %
(рис: 2.1 в) используется
d %/dt = Cs Ц/2 — 1) — k~2	(2.22)
где С3 — произвольная постоянная. Распределение заряда на по-
верхности проводника дается выражением
<7 = e/ldx/dzl™,	(2.23)
а общий заряд среднего проводника
Q = §qdz = ^C9kK(k).	(2.24)
Интегрирование (2.22) по пути между проводниками дает воз-
можность определить разность потенциалов
То = J d% = (Q/4 е) [К (k’)/K (k)}.	(2.25)
Емкость полосковой линии на единицу длины — это отношение
разности потенциалов между проводниками к заряду на единицу
длины:
С = 4еЯ(*)/Я(П	(2.26)
где K(k) — полный эллиптический интеграл первого рода: (k')2=
= 1- &2.
Волновое сопротивление
Z. = 30 л (р,г/ег)!/2 К (k')[K (k),	(2-27)
66
где p.r и er—относительная магнитная проницаемость и диэлек-
трическая постоянная среды между проводниками соответственно.
Распределение тока можно получить из ур-ния (2.23)
dz Inn	2 d k К (fc)
1
(<2-£!)1/2
,(2.28>
ПП
Если предположить, что ток течет равномерно по всей глубине
поверхностного слоя, то джоулевы потери в этих проводниках бу-
дут равны:
/о-^эфф = (1/аб)ф I2sdz =
J ПП
’ лрс/11''2 Сз е Р ___________________di________________
. 2 Сг и [|(<2 _£>)(/* _-!)(<»-й-2)|]'/2 ’
а эффективное сопротивление равно
,	_ Г ЯМ11/2 [У(0, £) + /(!, k~< )Ц/(0, l) + /(fe~! , °о)]
8фф L о J	2dfe!№(fe)
(2.30)
где
/ (/ъ /а) = [--------------d------------— .	(2.31)
J [|(*« — £«)(<’- 1)р- *-«)|],/2
Из выражений (2.27) и (2.30) находится постоянная затуха-
ния, дБ/м:
а — 4,343/?эфф/20.	(2.32).
Полученные выше результаты представлены в виде графиков на
рис. 2.2 —2.5 (17].
Рис. 2 2. Нормированное вол-
новое сопротивление линии с
прямоугольным проводником и
заземленными пластинами в за-
висимости от отношения aid
Для нескольких значений b/d
(а—ширина проводника, Ь —
толщина проводника, d — рас-
стояние между заземленными
пластинами)
57
сС,д51м
Рис 2 3 Нормированная постоянная затухания а'=ах/(ст/лц/) /
полосковой линии как функция волнового сопротивления для
некоторых значений bld
Примечание Существует оптимальная величина b/d, при которой
постоянная затухания минимальна (на графике — пунктир)
Рис 2 4 Нормированное эффективное сопротивление =
= ^)ФФ^(о'/лр/) '/2 как функция волнового сопротивления
Пара симметричных полосковых линий, свя-
занных по краям. На рис. 2.6 представлена пара симметрич-
ных полосковых линий, помещенных между бесконечными парал-
лельными плоскостями, связанными между собой. Через а обозна-
чена ширина внутреннего проводника, 5 — расстояние между внут-
ренними проводниками, d — расстояние между заземленными па-
58
Рис 2.5. Нормированная постоянная затухания (с/лр/)1/2
полосковой линии как функция b/d для некоторых значений
волнового сопротивления
Рис. 2 6. Конформные преоб-
разования для нечетного ти-
па колебаний в двухполос-
ковой линии, связанной по
краям: а) поперечное сече-
ние; б) плоскость г; в) плос-
кость t; г) плоскость w,
д) плоскость %
а)
zzZZZzZzZzzzzzz/ZZZZZ/^ZZ
I	1	"'f
ZZZz’ZZ z77T77Z77Z7z77/zzz7
£ Рис 2 7 Конформные преобразования для четного типа колебаний в двух-
S	проводной полосковой линии, связанной по краям
4
т
*	раллельными плоскостями, pi — магнитная проницаемость, е— ди-
•	• электрическая постоянная.
Последовательность конформных преобразований для колеба-
1 ний нечетного вида представлена на рис 2.66—д, для четного ви-
5 да — на рис 2.7. Подробности вывода соотношений даны в [18].
59
Для четного типа имеем:
Zo е = 30 л (рЖ)'/2 я КИ (*е)
(2.33)
для нечетного
А0 = зол(иж>,,2ШМ(*оЙ
k th^cth^^
9	\ 2d J \ 2 d )
Графики зависимостей волновых сопротивлений от размеров
линий передачи для четного и нечетного типов колебаний построе-
ны на рис. 2.8.
Рис. 2 8 Волновые со-
противления для нечет-
ного и четного типов ко-
лебаний Zoo И Zoe ПОЛОС-
КОВОЙ линии, связанной
по краям, для некото-
рых значений s/d и aid
Симметричные полосковые линии, связанные
по широкой стороне. Поперечное сечение для этого случая
дано на рис. 2.9, где а — ширина полоски, s — расстояние между
полосками, d — расстояние между параллельными заземленными
плоскостями. С помощью преобразования Шварца—Кристофеля
заштрихованная область плоскости z отображается на верхнюю
половину плоскости t.
Нечетный тип. Располагая на плоскости z воображаемый про-
водник FA', получим следующую преобразующую функцию:
60
dz =	z ~ ___________________
(2.35)
Преобразование (см. рис. 2.9 и 2.10) плоскости t в плоскость
w осуществляется функцией
/ = /0
+ [а/(ш + р)).	(2.36)
Рис. 2.9. Конформные преобра-
зования для нечетного типа ко-
лебаний в полосковой линии со
связью по широкой стороне
(а—а как и на рис. 2.6)
Рис. 2.10. Конформ-
ные преобразования
для четного типа ко-
лебаний в полосковой
ЛИНИН со связью по
широкой стороне:
а) плоскость z;
б) плоскость /;
в) плоскость X;
г) плоскость %
Соответствие между координатами точек плоскостей z, t, w и /
дано в табл. 2.2. С учетом этих соотношений из (2.35) имеем:
!	dz = с._____________w-wD______________
''	dw ~ х (сл + Р)[(1_
с = с [(1
1	1 WD + Р
с Взаимное соответствие величин комплексных переменных z, t,
< w и х, используемых при конформном преобразовании для точек,
указанных на рис. 2.9.
После интегрирования (2.37) получаем,
'	г 1	,	(wn +	(w)
\ dz F (w, k)------------L р Г --------------
t	2(1 — лар2)(1 -p2)]1/2
оу л 4“ 6	/	1	\ ]
-----fA П (да, — -pg- ,	+ C2.	(2.38)
*
i .	61
St

ТАБЛИЦА 2 2
Плоскость	А	В	с	D	E	F	A'
г	оо	d i 	 2	i — 2	— + i — 2	2	S i — 2	0	oo
t	оо		lC				oo
W		-A/k	— 1		1	1/^	
Z		- ^+i^'	-К			K + iK’	
Из соотношений
F (— w, /г) = — F (w, k), / (— да) = I (w) I
П ( — w, — Р"2 , k] = — П (да, — Г2 .
(2.39)
с учетом (2.38) имеем:
) dZ ~ 2’	(w+P)I(l-fe2u2)(l-uu2)]'/2 ’
С
^f(w)dw = С\ | F(wo ,	+ K(k)------Пр - [П (дап , — (Г2 , k] +
С
<	9	(^П +₽}	( WD ) ~! (01	)
+ П 1, — в~ , 1---------—— -----------------—— ,	(2.40)
2 [(1 — &2 Р2) (1 — (52)]1/2 I
где
((2А2Р2—£2—1)(ш2-₽2)+2(1-£2Р2)	1
/ (ш) = In 2 К1 - ** Р2) (1	1 ‘	2 ,	(2.41а)
+ (да, k) -= f--------—------------- (2.416)
J [(1-w2)(l- + +)]'/2
представляет собой эллиптический интеграл первого рода и
П(да, a, k)= f-----------------—-------------- (2.41 в)
J (1 + а) [(1 — к.'2) (1 — ^2 сь2)]1/2
62
— эллиптический интеграл третьего рода. Следовательно,
wD = ?[/((£) —П(1, -₽~2, *)/П(1,-₽~2. V- (2-42)
Соответствующие значения координат для В, С, D, Е и F на
плоскостях г и w приводят к соотношениям:
А ( tl'n k\
— -----11(1, — р~2 , k) - п ( wn	-р~2 , k) -
а __ 1 K{k) V Р	V D , Р ’ У
2 2
ЧЧ^в) ~zt1)]
2 [(1 — Лг2Р3)(1 — Р2)]1/2
1	/	1 — Z>2 I ’
1 - (ГL k~2	\	1 - k2 P2 I
I	rt p
s = 1 j , ________________2[(1 — Л2 P2) (1 — P2)]l/2_____________
d 2 I К (k') ,	„ о ,4	1	I 1 — k2 \
|	H	i—p-2*-2	\	1-£2P2	/
Из полученных соотношений определяется k. Волновое сопро-
тивление для нечетного типа колебаний оказывается равным
Zo о= 30 л (Цг/ег),/2 К (*')/# Я	(2.43)
Четный тип. Волновое сопротивление для четного типа колеба-
нии описывается выражением:
Zo, - 30 л (р,г/ег)1/2 К (л),	(2.44)
щ [1-(1£2)!ЛМ л' = (1-л2)'/2-	(2.45)
Несимметричные связанные полосковые линии
На рис. 2.11 представлено поперечное сечение несимметрич-
ных связанных полосковых линий. Через 2й] и 2аг обозначена
относительная ширина полосковых проводников, 2d — расстояние
между параллельными заземленными плоскостями, и — матнигпая
проницаемость, е—диэлектрическая постоянная
Рис 2 11 Конформные
преобразования для ко
лебап 1й нечетного типа
в связанной прямоуголь-
ной двухпроводной ли
НИИ с прямоугольным
экраном а) плоскость г,
б) плоскость t, в) плос-
кость w, г) плоскость %
Е F
D 6
ВС DEF6 НА
63
Предположим, что внутренние проводники удалены без изме-
нения распределения зарядов. Электрическое поле в этой части
пространства удовлетворяет уравнению Пуассона, которое можно
решить методом функции Грина. Функция Грина — это потенциал,
5) ,//////хх//////////'
2qz 25	2а,_, \
ТС_== ZZ7
fa
IM______
Ха (s+Za,,а)
d	*
Рис. 2.12. Асимметричная связанная полосковая линия, а) заряд в облас-
ти между заземленными параллельными пластинами; б) поперечное сече-
ние несимметричной связанной полосковой линии; в) система координат
несимметричной связанной полосковой линии
обусловленный единичным зарядом в точке (х',у’), как это пока-
зано на рис. 2.12а. Функция Грина удовлетворяет соотношению
д2 G . д2 G	1 «/	/п
—т +	---б(х — х)&(у — у ),	(2.46)
дх2 ду2	ъ
где б — функция Дирака, и граничным условиям:
Ф = 0, у = 0, 2d; Ф -> 0, х-+±оо.	(2.47)
Условиям (2.46) и (2.47) удовлетворяет следующая функция
Грина:
/ I г ,ч 1 И 1  (ПЛу\  / п л у’ \	/ пл, ,,\
G (х, ух у ) =---- > — sin —- sin —— exp----------------х — х .
'	8 л 4J п \ 2d )	\ 2d /	\ 2d 1	)
п
(2.48)
Тогда электрический потенциал можно представить в виде:
Ф(х, У) = (£ G(x, у\х', у')р(х’, y')dx' dy'\,	(2.49)
где р(х, у) — распределение заряда. Следовательно, емкость
р(х, y)dxdy
(j)G(x, у\х’, у')р(х', y')dx'dy'
на проводнике.
(2.50)
Рассмотрим теперь линию передачи, представленную на
рис. 2.126. Полагая, что заряды проводников равны Qt и Q2, опре-
делим электрические потенциалы Ф, и Ф2.
Нечетный тип. В этом случае распределение заряда опреде-
ляется соотношением: Qi — —Q2 — Q0, как и в случае симметричных
связанных линий. Распределение пространственного заряда
64

P« y’) =
A sch (л x'/2d) d (y' — d)
X
V2-- (2-51)
I wB — 1	\ 2d ;
Г (1 *)(1 *^3)	/лх'
X --------\-----£2. + 2 k {h2 -
L	wn +1	\ 2d .
Предположим, что распределение заряда в симметричных свя-
занных линиях останется неизменным даже в том случае, если
линии станут несимметричными. Заряд на проводниках в этом
случае будет равен
i-J-20,	—s
Qo = 2 J Р1 (х' у') dx' dy' = — 2 J р2 (х'. у') dx' dy'.
Коэффициент А в выражении (2.51) необходимо выбрать
образом, чтобы удовлетворить (2.52). Таким образом
b _ k _ cthf ” s + a'' 2	” a‘’2 'I
* — *0 1, 2 — c:n( 2 d /tfl\2 d /’
w =	th2(«W)
B!’2	1 - [ 2/(1 - *0 b 2)] th2 (л slid)	J
Поскольку потенциал в произвольной точке
ф(х, y] = §G(x, ylx', у')р(х’, y'jdx'dy',
(2.52)
таким
(2.53)
(2-54)
потенциал каждого проводника равен
s4-2ai
s
sch (n x'/2d) dx’
 (1 + *oi) (1 — *01^31)
л (х' — s)
2d
(2.55a)
WSI — 1	'	1	( 2d
(I *01) (1	*01^31)	Л x'
------------------------- + 2£01 th2 —
“•’bi "M	\ 2d
2Л2
л d
Arth|exp ~~^2d Х X
sch (л x'/2d) dx'
(1 + *02) (1 — *02^32) n, ,,„inx’\
:	+ 2*02 th I —— j
wB2 — 1	\ 2d )
1/2’
(1 —*02) (1 —*02^32)
WB2 + 1
/лх' \
+ 2*°2 th2(— j
3—24
65
s-f-2a,
Л (-C + s)
2d
sch (я x'/2d) dx’
(1 + *21) (1 — ^Ol^Bj)	Inx'
------------------------~ + 2fe01 th’ —-
\ 2d
1/2
WB\ ~ 1
(1 + *01) (1 ~kotwBi)	t1 J^x’ \
2л01 th I 1
^bi + 1	\ 2d /
+ ~ J Arth (exp
—s—2a,
sch (nx'/2d) dx'
(1 + &02) (1	^0ZwB2)
WB2-1
+ 2&02th2
1/2
(2.556)
(1 — *02) (1	^02WBi)
WB2 + 1
Соотношение между напряжениями на двух проводниках имеет
вид:
По = Фх/Фг.	(2.56)
Емкости проводников для нечетных типов колебаний опреде-
ляются выражениями:
C«i = Со2 = ф0/Ф0.	(2.57)
Четный тип. В этом случае проводники заряжены до одного
и того же потенциала Ф; = Ф2. Заряды на проводниках будут рав-
ны Qi и Qz. Соотношение между токами на проводниках имеет вид:
П/ = Q1/Q2.	(2.58)
Распределение заряда на проводнике
о (х' и’} =_______Л th (л л ’/2d) sch (nx’/2d) д (у' — d)_	„
P	(Г ^O + ^c)	’
(1 — k) (1 — kwc ) + h ( 2d ) X 2
Г 2Ц1~_цс_)------ h /яд/П
(	[ (1 +k) (1 — /ги/с )	\ 2d /J
где
k k = th n(-ah-2+s4 th [Л •2 ]	(2.60)
K Ke 1,2	111 2d J [ 2d J ’
=	0-^,2)^ (ns/2d)
“?C1,2	2^1,2- *.1,2(1-*«1,2) th’ (n,/2d) ’
I
66
ТАБЛИЦА 23
Величины волновых сопротивлений
Zooi и Zo02
Волновое сопротив- ление	Величина сопротивления, приведенная в книге			
	данной	[19]	[20]	[21]
7 ^001	142,6	138,7	139,3	141,9
^002	61,4	78,2	60,1	60,9
и	Ф(х, у) = <j)G(x, у\х', у')Р« y'jdx'dy'. (2.61)
Потенциалы проводников равны
фх = Ф (s, d), Ф2 = Ф (— s, d).	(2.62)
Значения А в выражении
(2.59), т. е. tIj и Аг, должны удо-
влетворять равенству Ф!=;ф2=
= Фо. Между величинами rju, т]г,
Си, Сог, Cei и Се2 должны суще-
ствовать следующие соотноше-
ния:
т]у = 1 /т]у = С02/С01 = Се21Сл. (2.63)
В качестве численного приме-
ра примем aj/d=0,0445,
a^d = 0,4049, s/d = 0,0959. Вели-
чины волновых сопротивлений 2ОО1.и Z0 02, вычисленные описанным
методом и приведенные в табл. 2.3, сопоставлены со значениями
волновых сопротивлений, полученными другими способами [19—21].

2.5.	ДРУГИЕ ТИПЫ ЛИНИЙ
Гетзингер [22] получил формулы для расчета связанных прямо-
угольных стержней, расположенных между параллельными плас-
тинами. Ямамото и другие [23] привели формулы для связанных
полосковых линий с тремя проводниками между параллельными
пластинами, соединенными с землей, причем второй полосковый
проводник состоит из двух отдельных проводников, соединенных
параллельно. Они получили также эквивалентные схемы для сек-
ций, состоящих из трех полосковых линий, с различным включе-
нием входов и выходов.
Ямамото и другие [24] получили параметры линий с полоско-
выми проводниками, расположенными параллельно или перпенди-
кулярно заземленным плоскостям, а также для линий с развет-
вленными связанными полосковыми проводниками. Шелтон [25]
вывел формулы для связанных полосковых линий при параллель-
ном включении. Грин [26] получил эквивалентные схемы для сту-
Э пенчатых неоднородностей и последовательных зазоров в коак-
1 сиальных линиях 0.
1	2.6. СПИРАЛЬНЫЕ ЛИНИИ
Ж Спиральные линии используются иногда для получения высо-
f кого характеристического сопротивления или уменьшения физи-
у ческих размеров. Характеристическое сопротивление спиральной
’> Расчетные соотношения для ряда типов линий, опущенные при переводе,
см в книге Мейнке X, Гундлах Ф Радиотехнический справочник, т. I.
, Перевод с немецкого Госэиергоиздат, 1960, с. 416
| 3*	67
I
линии (так же, как и фазовая скорость) на нижних частотах боль-
ше, чем на верхних, благодаря взаимной связи между витками
спирали. Существуют спиральные линии с магнитным сердечни-
ком, а также спиральные линии с двумя спиралями, навитыми одна
на другую.
Свойства спиральных линий изучались прежде всего с целью
их применения в лампах бегущей волны [27—38]. Йококава и
Сато [39] исследовали спиральные линии с целью их использова-
ния в качестве трансформаторов для частот до 2 ГГц. Сведения,
относящиеся к свойствам спиральных линий, приведены в [27—39].
Список литературы
1.	Stratton J. A. Electromagnetic Theory. McGraw-Hill, New York, 1941.
2.	Collin R. E. Field Theory of Guided Waves. McGraw-Hill, New York, 1960.
3.	Hancock H. Elliptic Integrals. Dover, New York, 1958.
4.	Kober H. Dictionary of Conformal Representations. Dover, New York, 1957.
5.	Binns K. J-, Lawrenson P. J. Analyses and Computation of Electric and
Magnetic Field Problems. Pergamon Press, Oxford, 1963.
6.	Gibbs W. J. Conformal Transformations in Electrical Engineering. Chapman
and Hall, London, 1958.
7.	Karplus W. J. Analog Simulation, Solution of Field Problems. McGraw-Hill,
New York, 1958.
8.	Hariu H. A Study of Line Constants. Doctoral Dissertation Tohoku Univ,
Sendai Japan, 1960.
9.	Kceda T. Line Constants of Microstrip Transmission Line. Doctoral Disserta-
tion, Tohoku Univ., Sendai, Japan, 1966.
10.	Gent A. W. Capacitance of shielded-pair transmission line. Elec. Commun. 33,
N. 3, 1956, p. 234—240.
11.	Kaden H., Die Dampfung und laufzeit von breitbandkabeln, Arch, fur Electro-
tech. 30, N. 11, 1936, p. 691—712.
12.	Araki K- The characteristic impedance of the pair cable type directional coupler.
J. Inst. Elec. Commun. Engr., Japan, 45, N. 1, 1962, p. 58—64.
13.	Kaden H. Die leitungkonskonstanten symmetrischer fernmeldekabeln. EFD 52,
N. 7, 1939, p. 174—190.
14.	Meinke H. Naherungsweise berechnung des elektrischen feldes und der
kapazitaten bei einigen einfachen fernschprechkabelformen. ENT 17, N. 2, 1940,
p. 42—49.
15.	Sommer F. Die berechnung der kapazitaten bei kabeln mit einfache quers-
chnitt. ENT 17, N. 12, 1940, p. 281—294.
16.	Araki K., loc. cit., [12].
17.	Guckel H. Charakteristic impedances of generalized rectangular transmission
lines. — «IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-13, 1965, p. 270—274.
18.	Cohn S. B. Shielded coupled strip transmission line. — «IRE Trans. Microwave
Theory Tech.», MTT-3, 1955, p. 29—38.
19.	Ishii J. The characteristic impedance of unsymmetric coupled strip trans-
mission line. Nat. Meeting of Inst. Elec. Commun. Engr., Japan, 1959.
20.	Ikeda T. The characteristic impedance of unsymmetric coupled transmission
line. Joint Meeting of Inst. Elec. Engr. of Tohoku District, 1963 (на японском
языке).
21.	Ikeda T., Saito N., Sato R., Nagai K. The characteristic impedance of unsym-
metric coupled transmission line. «Record Elec. Commun. Eng. Conversazione»,
32, N. 2, 1963, p. 13—16 (на японском языке).
22.	Getsinger W. J. Coupled rectangular bars between parallel plates. — «IRE
Trans. Microwave Theory Tech.». MTT-10, 1962, p. 65—72.
23.	Yamamoto S., Azagami T., Itakura K. Coupled strip transmission line with
three conductors. — «IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-14, N. 10,
1966, p. 446—461.
68
24.	Yamamoto S., Azagami T., Itakura K. Slit-coupled strip transmission lines. —
«IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT—14, 1966, p. 542—553.
25.	Shelton J. P., Jr. Impedances of offset parallel—coupled strip transmission
lines. — «IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT—14, 1966, p. 7—15.
26.	Green H. E. The numerical calculation of some important transmission line
problems. — «IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT—13, 1965, p. 676—
692.
27.	Hosono T. Radio wave propagation along a helical circuit. — «J. Inst. Elec.
Commun. Engr.», Japan, 38, N. 1, 1955, p. 34—39 (на японском языке).
28.	Hosono T. The wave impedance and the attenuation constant of a wire
helix. — «J. Inst. Elec. Commun. Engr.», Japan, 38, N. 12, 1955, p. 947—980
(на японском языке).
29.	Hirano J. Spatial harmonics of electromagnetic waves on helical lines.—
«J. Inst. Elec. Commun. Engr.», Japan, 37, N. 3, 1954, p. 154—159.
30.	Soejima T. On the propagation of electromagnetic wave along a helix
surrounded by a concentric metal cylinder. — «J. Inst. Elec. Commun. Engr.»,
Japan, 32, N. 9, 1949, p. 281—288.
31.	Schelkunoff S. A. The electromagnetic theory of coaxial transmission lines
and cylindrical shieldes. — «Bell System Tech. J.», 13, 1947, p. 532—579.
32.	Pierce J. R. Traveling—wave tubes. — «Proc. IRE», 35, N. 2, 1948, p. 108—
111.
33.	Cutler С. C. Experimental determination of helical-wave properties. — «Proc.
IRE», 36, 1948. p. 230—233.
34.	Pierce J. R., Tienn P. K. Coupling of modes in helixes. — «Proc. IRE», 42,
1954, p. 1389—1396.
35.	Hayes R. E. High order modes in coupled helixes. — «IRE Trans. Microwave
Theory Tech.», MTT—8, 1960, p. 119—120.
36.	Sollfrey W. Wave propagation on helical wires. — «J. Appl. Phys.», 22, 1951,
p. 905—910.
37.	Chodorow M., Chu E. L. Cross-wound twin helices for traveling-wave tubes.—
«J. Appl. Phys.», 26, N. 1, 1955, p. 33—43.
38.	Nishizuka N. A wide Band Transformer. Doctoral Dissertation. Tohoku Univ.,
Sendai, Japan, 1967 (на японском языке).
39.	Yokokawa S., Sato R. Transformer using bifilar helixes and its applications. —
«J. Inst. Elec. Engr.», Japan, 82, N. 5, 1962, p. 758—767 (на японском языке).
40.	Anderson G. M. The calculation of capacitance of coaxial cylinders of rectan-
gular cross—section. — «А1ЕЕ Trans.», 69, Pt. II, 1950, p. 728—731.
41.	Arakawa T. Analysis of high-frequency characteristics of the feeder line by
applying conformal representation.—«Rept. of Univ, of Electro-Communica-
tions», Tokyo, Japan, Vol. 2, Dec. 1950 and Vol. 4, Dec. 1952.
42.	Bates R. H. The characteristic impedance of shielded slab lines. — «IRE Trans.
Microwave Theory Tech.», MTT—4, 1956, p. 28—33.
43.	Black K. G., Higgins T. J. Rigorous determination of the parameters of
microstrip transmission lines. — «IRE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-3,
1955, p. 93—113.
44.	Brooke R. L., Cruz J. E. Current distribution and impedance of lossless con-
ductor systems. — «IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-15, 1967,
p. 358—364.
45.	Carson С. T., Cambrell G. K. Upper and lower bounds on the characteristic
impedances of TEM-mode transmission lines. — «IEEE Trans. Microwave
Theory Tech.», MTT-14, 1966, p. 497—498.
46.	Chen T. S. Determination of the capacitance, inductance and characteristic
impedance of rectangular lines. — «IRE Trans. Microwave Theory Tech.»,
MTT-8, 1960, p. 510—519.
47.	Cockroft J. D. The effect of curved boundaries on the distribution of electrical
stress round conductors. ЛЕЕ, 66, N. 376, 1928, p. 385—409.
48.	Collin R. E. The characteristic impedance of a slotted coaxial line. — «IRE
Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-4, 1956, p. 4—8.
49.	Cohn S. B. Characteristic impedance of the shielded-strip transmission line. —
«IRE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-2, 1954, p. 52—57.
69
50.	Cohn S. В. Problems in strip transmission lines.—«IRE Trans. Microwave
Theory Tech.», MTT-3, 1955, p. 119—126.
51.	Cohn S. B. Characteristic impedance of broad-side-coupled strip transmission
lines.— «IRE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-8, 1960, p. 633—637.
52.	Cristal E. G. Coupled circular cylindrical rods between parallel ground
planes. — «IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-12, 1964, p. 428—439.
53.	Cruzan O. R., Carver R. V. Characteristic impedance of rectangular coaxial
transmission lines. — «IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-12, 1964,
p. 488—495.
54.	Duncan J. W. Characteristic impedance of multiconductor strip transmission
lines. — «IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-13, 1965, p. 107—118.
55.	Garver R. V. Zo of rectangular coax. — «IRE Trans. Microwave Theory Tech.»,
MTT-9, 1961, p. 262—263.
56.	Green H. E. Characteristic impedance of square coaxial line. — «IEEE Trans.
Microwave Theory Tech.», MTT-11, 1963, p. 554—555.
57.	Green H. E. The numerical solution of important transmission line problems. —
«IEEE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-13, 1965, p. 676—692.
58.	Hasse J. A. Eccentric line impedance nomograph. — «Electronics», 29, 1956.
p. 190.
59.	Horgan J. D. Coupled strip transmission lines with rectangular inner conduc-
tors.— «IRE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-5, 1957, p. 92—99.
60.	Ikeda T., Sato R. Analyses of rectangular parallel line. — «Joint Meeting of
Inst. Elec. Engr. of Tohoku District», Japan, N. IC—11, 1964 (на японском
языке).
61.	Ikeda T„ Sato R. Characteristic impedance of broad-side coupled microstrip
transmission line. — «Natl. Meeting of Elec. Inst», Japan, N. 1459, 1965
(иа японском языке).
62.	Ikeda T., Sato R. Analysis of coupled microstrip transmission line. — «Natl.
Meeting of Elec. Inst.», Japan, N. 1111, 1966 (на японском языке).
63.	Ikeda T., Sato R. Analysis of the characteristic impedance and the effective
resistance of strip transmission lines with a rectangular inner conductor by
use of conformal mapping. — «J. Inst. Elec. Commun. Engr.», Japan 50, N. 3,
1967, p. 447—452 (на японском языке).
64.	Oliner A. A. Equivalent circuits for discontinuities in balanced strip trans-
mission line. — «IRE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-3, 1955, p. 134—
143.
65.	Park D. Planar transmission lines. — «IRE Trans Microwave Theory Tech»,
MTT-3, N. 3, 1955, p. 8—12; N. 5, 1955, p. 7—11, MTT-4, 1956, p. 130.
66.	Wheeler H. A. Formulas for the skin effect. — «Proc. IRE», 30, 1942, p 412—
424.
67.	Whinnery J. R., Jamieson H. W., Robbins T. E. Coaxial line discontinuities. —
«Proc. IRE», 32, 1944, p. 695—709.
68.	Yamashita E., Mittra R. Variational methods for the analysis of microstrip
lines. — «IEEE Trans, Microwave Theory Tech.», MTT-16, 1968, p 251—256.
ГЛАВА 3
Проблемы аппроксимации характеристик
электрических цепей, состоящих
из отрезков линий передачи
К аз уюки Курода
<	"	УЖ1* 
В этой главе рассматриваются методы выбора функций, описывающих ха-
рактеристики фильтров. Вначале будет описана процедура синтеза четырехпо-
люсника по заданной характеристике вносимого затухания. Существует несколь-
ко возможных методов, из которых первым рассматривается метод, осиоваииый
на нахождении входной проводимости четырехполюсника, нагруженного на со-
противление 1 Ом, поскольку в гл. 1 уже было показано, что четырехполюс-
ник можно синтезировать по его входной проводимости. Затем излагается ме-
тод определения матриц рассеяния по характеристике вносимого затухания, т^к
как ои устанавливает связь между четырехполюсником и функцией вносимого
им затухания в более наглядном виде, чем предыдущий метод.
3.1.	ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ГЛАВЕ
Ре — максимальная мощность, отдаваемая генератором;
Рь — мощность, отдаваемая нагрузке;
Ро/Рь — коэффициент передачи мощности;
L — вносимые потери (вносимое затухание);
* Vi, li — напряжение и ток на i-й паре зажимов соответственно;
£ U, I — векторы напряжения и тока соответственно;
| Е, Ё— ЭДС источника и вектор ЭДС источника соответственно;
® A,=o-|-i 12 — комплексная частотная переменная цепи с распределемиыми пара-
метрами;
’ Х«, — полюс затухания;
Со, 2«о -— частоты среза и полюса затухания соответственно;
* Af(Ca), JV(Q2), Afo(Q2), ;Vo(Q2), G (Й2) — вещественные полиномы от Й2;
5,	S — коэффициент отражения и матрица рассеяния соответственно;
у Sa — коэффициент отражения;
S. f(X) — четная или нечетная функция от Л;
> у(Х) —полином Гурвица от Л;
f Ш) — вещественный полином от Л;
У(Х)—полное сопротивление и полная проводимость в функции от X
J	соответственно;
4' Ya — дополненная матрица проводимости, полученная из Y;
£ J7(X), Р(Х), Q(X) —полиномы Гурвица от Л;
ВЛ(Х) — функция от Л, определяемая выражением R(X) = (1+Х) n^2 Н(X);
яГ«1, и2> th, «г— полиномы, определение которых было дано в гл. 1;
др а, b — падающий и отраженный векторы рассеяния соответственно;
“С v — целое; число каскадно включенных линий;
f V— характеристическая функция;
.	— положительная постоянная;
— заданная характеристическая функция;
•О — переменная, определяемая выражением (3.31);
5(Х) =кр-Н 'Г — комплексный потенциал (функция);
71
lF=U-|-iV — комплексная переменная, связанная с X выражением (3.41);
тв, Ть — постоянные;
р — плотность поверхностного заряда;
q. Q, Qt —заряды;
q(k) — Q-функцня;
<7=cth 0;
0 = a+i p=Arcth g;
0> — составляющие 0;
x, у — комплексные переменные, определяемые равенствами (3.61), (3.66);
w, w' — функции х и у соответственно;
1П — единичая матрица размера лХл;
А, А — комплексные сопряженные скаляра А и матрицы А соответственно;
А' — транспонированная матрица А;
Ао(Ь)=А(—М;
Arg А = угол А;
т, п — целые;
т, — вещественная постоянная.
3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ У(л) ПО ВНОСИМОМУ ЗАТУХАНИЮ
Большинство фильтров, особенно фильт-
I, ров СВЧ, включаются между резистивным
генератором и резистивной нагрузкой. Со-
противление генератора и сопротивление
нагрузки предполагается равным 1 Ом.
Если четырехполюсник, показанный на
рис. 3.1, не имеет активных потерь, то, в со-
ответствии с законом сохранения энергии,
действующая мощность, входящая в четы-
рехполюсник слева, передается в нагрузку
и рассеивается в ней. Следовательно,
Рнс. 3.1. Схема для вы-
вода выражения коэффи-
циента передачи мощно-
сти PtsIPt, (сопротивле-
ния генератора и наг-
рузки равны 1 Ом)
PL = Re иг (— /2) = Re Ц, к = i Q,	(3.1)
где черточка над величинами означает их комплексную сопряжен-
ность. Максимальная мощность, которую можно получить от ге-
нератора, равна
P0 = |E1|2/4 = |t/1 + 71|2/4, X = iQ,	(3.2)
а вносимое затухание равно
L= 101g(P0/PL).	(3.3)
Выражение (3.1) можно переписать в виде
PL = [(Ц + Л) (Г\ + Л) - (Ц - Q (^ - Л)]/4.	(3.4)
Деля обе стороны этого равенства на Ро, имеем:
PLIP0 =|1 -((Д-	+ ь =	(3.5)
Поскольку коэффициент отражения на первой паре зажимов равен
S = (Z-l)/(Z+l) = (C/1-Z1)/(t71 + Z1),	(3.6)
то
|S|2 = SS = S(iQ)S(— Ш) = l-(PL/P0),	(3.7)
72
Ро/Р£ = 1/(1 — |S|2).	(3.8)
Следовательно, Pol Pl представляет собой четную вещественную
рациональную функцию й, которая не может быть меньше еди-
ницы. Поэтому можно записать
P0/Pl=1-HW2)/W)L	(3.9)
где М и N — суть вещественные полиномы от Й2, а М/N неотрица-
тельно для всех вещественных значений Й. Полагая, что М и N
не имеют общих множителей, можно придти к выводу, что обе
эти величины неотрицательны. После подстановки (3.9) в (3.7)
получаем:
S(iQ)S(— 1Й) = М (Й2)/[М(Й2) + ЛЦЙ2)].	(3.10)
где в соответствии со сделанным выше предположением М(Й2) +
+'N(Й2) положительна для всех вещественных значений Й. За-
меняя Й2 на —л2, получим
S (X) S (— X) = М (— кг)/[М (- V) + ЛЦ— X2)].	(3.11)
Это выражение на мнимой оси совпадает с (3.10). Числитель
и знаменатель правой части представляют собой вещественные
четные полиномы от л; М(—X2) имеют только нули четного по-
рядка на мнимой оси, а Л1(—Л2)+А(—Л2) не имеет нулей в этой
области. Эти полиномы можно представить в виде разложения
на множители
M(— X2) = /г(Х)/г(— X),
M(-X2) + A(-X2) = g(X)g(-X),	(3.12)
где Л(Х) —вещественный полином от Л, a g(A) —полином Гурви-
ца. Тогда
S(%) = /i(%)/g(%)	(3.13)
удовлетворяет всем условиям, сформулированным в гл. 1. Следо-
вательно, можно записать:
2 (X) = [g (X) + h (X)]/[g (X) - h (X)].	(3.14)
где Z (к) — положительная вещественная функция.
Нужно доказать, что указанное выше разложение на множи-
тели всегда возможно. Поскольку как М(—Л2), так и Л4(—Л2)+
+JV(—X2), суть вещественные четные полиномы к, их множители
образуют такие группы, что
(к + kt) (X + Q (к — kt) (X — к^, л/2 > Arg kt > 0,
— (% + Oy)(% —CTy), az>0,
(X2 + й2)2, ЙА>0.
где о и й — суть вещественная и мнимая части к соответственно.
Кратность два для последнего множителя обусловлена неотрица-
тельностью /И(—X2) на мнимой оси. Знак в каждом случае выби-
рается из условия неотрицательности на мнимой оси. Следова-
73
тельно, постоянный множитель, обусловленный коэффициентом
при члене с высшей степенью данного полинома, также положи-
телен. Каждую из указанных выше групп множителей можно раз-
бить на две части, а именно:
1.	(А 4- Aj) (А 4- А}), (А — А}) (А — А|),
2.	(А 4- а}), — (А — Сту),
3.	(A*4-fi2), (Aa4-Q2),
где каждый множитель слева равен соответствующему множи-
телю справа при замене в первом А на —А, и наоборот.
Относя один из множителей с одной стороны каждой из групп
к ft(A), а другой — к h(—А), можно разбить М(—А2) на /г(А) и
h(—А). Упомянутый выше постоянный множитель делится между
h(А) и й(—А) извлечением квадратного корня. Поскольку g(A)
представляет собой полином Гурвица, то к g(A) могут быть отне-
сены только те из нулей, которые лежат в левой полуплоскости.
Так как нулей на мнимой оси нет, то полученная таким образом
Я(А) будет представлять собой полином Гурвица. Следовательно,
g(A) определяется однозначно, a h (А) —неоднозначно
Следует отметить, что всегда можно изменить S (А) таким обра-
зом, что
S' (А) =. S (А) Н (— А)/Я (А),	(3.15)
где Я (А) представляет собой любой полином Гурвица. При Я(А) =
= (14-А)п это эквивалентно введению п единичных элементов ме-
жду генератором и входом.
Коэффициент отражения
S (А) = [(Uj — u2) 4~ A — иг)1/[(ы1 + ыг) + (vi vi)l> (3-16)
так что из (35) следует
Ро _ | । (Ы1 цг)8 ^8 (Р1 рг)8	zg
PL	4	— № vtv2)
Следовательно, обращаясь к (1 33), можно видеть, что преобразо-
вание У(А), описанное в гл. 1, эквивалентно умножению как
А1(—А2), так и i/V(—А2) на и2—А2у2=Я(А)Я(—А). На практике
N(—А2) выбирается так, как это представлено в (1.54), так что
фильтр может состоять из минимально возможного числа элемен-
тов. Кроме того, М(—А2) тоже выбирается как квадрат четного
или нечетного полинома, так что максимальное число нулей
М(А2), т. е. частот идеальной передачи, лежит на мнимой оси.
Таким образом, (3.17) показывает, что либо «i = u2, либо щ = ц2 и
получающаяся цепь будет либо симметричной, либо антиметрич-
ной, как это можно заключить из (1.37) и (1.38). Таким образом,
коэффициент передачи мощности можно записать в виде
PJPL= 1 +6Т(А)Т(-А),
(3.18)
74
где б — положительная константа, которую можно использовать
как масштабный множитель характеристики затухания, а ^(л)—
функция, именуемая обычно характеристической функцией.
3.3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ S ПО ВНОСИМОМУ
ЗАТУХАНИЮ
Поскольку характеристики фильтра находятся в тесной зави-
симости от матрицы S, рассмотрим способ ее получения непосред-
ственно из выражения функции
вносимого затухания.
Параметры рассеяния опре-
деляются в соответствии с рис.
3 2:
а = (U + I)/2, b = (U —1)/2,
(3.19)
Рис. 3 2. Схема для определения S-
матрицы (сопротивления генератора
и нагрузки равны 1 Ом)
транспонирование матрицы. Век-
ЭДС генератора зависимостью.
где
и = [ОД, I = [АЛЪ (3-20)
Штрих в данном случае означает
тор падающей волны связан с
а = Е/2, Е = [ВД]'.	(3.21)
Для матрицы S имеем выражение вида.
b = Sa.	(3.22)
Вид S можно определить из рассмотрения дополненного четырех-
полюсника Na, представленного на рис. 3.2. Поскольку матрица I
одинакова для N и Na,
I = Y.E.
Подстановка (3.19) и (3.21) в это равенство дает
b = (l2—2Ya) а,
где 1о обозначает единичную матрицу размера 2X2. Следова-
тельно,
S=l2 —2Ya.	(3.23)
Основные ограничения, налагаемые на матрицу S пассивной цепи,
выводятся из условия сохранения энергии:
Р = Re + Re f/2/2 = a'a — b'b > 0, X = i Q
P = a'(ls —S'S)a >0, A = iQ.
75
В случае четырехполюсника без потерь знак равенства в при-
веденных выражениях выдерживается для любого а. Таким обра-
зом,
S'S=12, X = iQ.	(3.25>
Пусть четырехполюсник N — нормальная реактивная цепь, та-
кая, как описано в гл. 1.
Тогда четырехполюсник Na также будет нормальным. Следо-
вательно, в соответствии с (3.23), диагональные элементы 5ц и
S22 матрицы S суть вещественные рациональные функции X, в то
время, как Si2(=S2J представляет собой произведение веществен-
ной рациональной функции X и (1—X2)v/2. Следовательно, St-3(iQ)
совпадает с £гД—X) на мнимой оси, и (3.25) можно распростра-
нить на всю плоскость X при условии замены Sjj(iQ) на SU(X)
и Si3(iQ) на Stj(—X). Вводя обозначение S1;(—Х)=5г;.(Х) и за-
меняя Зц на Sijt, из (3.25) получаем уравнения:
SnSn. 4~ S12S12. — 1
S23S22, + S12S12* = 1
+ S12S22* = О
(3.26>
которые имеют силу на всей плоскости X и совпадают с (3.25)
на мнимой оси. Первые два из выражений (3.26) показывают, что
расположение Si3- ограничено мнимой осью. Все особенности Sij
суть полюсы, за исключением точек Х=±1. Далее, регулярность
Yij в (3.23) в правой Х-полуплоскости и ограниченность мнимой
осью убеждают в том, что представляют собой аналитические
функции в правой Х-полуплоскости, включая мнимую ось, за ис-
ключением Si2 в точках Х=1. Заметим теперь, что S12S12. можно>
определить из отношения PlIP» при замене й2 на —А2. Следова-
тельно,
512S12. = N (- Х2)/[М (- X2) + N (- X2)],
S11S11. = 522S22. = М (- Х2)/[М (- X2) + N (- X2)].
Предположим теперь, что
N (— X2) = ± (1 — X2) /2 (X),	(3.27)
где /(X)—четная или нечетная функция X, причем знак « + »
соответствует случают четности, а знак «—» — нечетности. При
преобразовании числителя и знаменателя в соответствии,
с изложенным в предыдущем разделе способом, это пред-
положение можно удовлетворить, не нарушая общности рассуж-
дений. Разлагая на множители таким способом, как это было
описано, имеем:
5ц£ц, = S22s22. = hht igg, .
ад2. = ±(i-x2)v/2(x)/gg,.
76
Следовательно, (3.26) будет удовлетворяться при следующем вы-
боре параметров:
Sn = h/g, S22 = =ph, /g, ।
S12 = (1 — X2)v/2//g,	1
(3.28)
где верхний знак у берется при / четном и нижний •— при f
нечетном. Знак квадратного корня в выражении для Sl2 может
быть положительным или отрицательным. Преобразование, подоб-
ное тому, которое было описано в гл. 1, применительно к случаю
У(Х), в данном случае также возможно. Умножение Si25j2. на
множитель (RRt)2, где R = (1 + Х)п/2Н(Х) (Я(Х) — полином Гур-
вица, п — положительное целое или нуль), дает:
5u = (/i/g)(P./P)	1
S22 = =р (/г. /g) (Q. IQ) .	(3.29)
S12 = (1 - X’)v/2 (fig) (Я, /R)j
Здесь R2 = PQ. a P и Q — полиномы Гурвица. Здесь общий множи-
тель удален из числителя и знаменателя обеих параметров. Общие
множители, возникшие в результате добавления нулей N(—л2)
нечетного порядка, по-прежнему содержатся в неявном виде в вы-
ражениях (3.28) и (3.29). Теперь видно, что описанное преобра-
зование У(Х) соответствует случаю Р=1 в приведенном выше
равенстве и что преобразование S(Z) приводит к преобразованию
не только Si2, но и за исключением случая, когда P = R2.
3.4.	АППРОКСИМАЦИЯ РЯДАМИ ФУРЬЕ
Пусть
P0/PL = 1 + 6W (7.) W (— X)	(3.30)
и пусть | Wo [2 представляет собой функцию частоты, которую
нужно аппроксимировать функцией W(iQ)W(—iQ) = |W|2. Для
получения возможности применения аппарата рядов Фурье вся
ось Q(—oo^Q^oo) посредством преобразования [1]
Q=tg(ft/2)	(3.31)
сводится в интервал — л^Ф^л. Умножив |W0|2 на соответствую-
щим образом выбранную вещественную четную рациональную
функцию Q2, которую можно записать в виде А0(П2)/Af0(Q2),
можно разложить полученную функцию таким образом
(Уо/Мо| Wo)2 = а0 + o^cosfl + - • •+a„cos6'+ •  	(3.32)
Ограничиваясь первыми п членами и умножая на Mq/N0, найдем
аппроксимирующую функцию
| W |2 = (Mo/No) (a0 + аг cos ft + • . • + a„cos nft). (3.33)
В то же время, используя (3.31), можно получить следующее
выражение:
77
cosrO = [(l — iQ)2r + (l + iQ)2r]/2(1 + Q2)r,	(3.34)
откуда
| T |2 = [Mo (Q2)/.V0 (Q2)] [G(Q2)/( 1 + Q2)" ],	(3.35)
где G(Q2) —вещественный полином от Q2 степени п. Хотя не су-
ществует гарантии неотрицательности G(Q2), эту величину можно
сделать неотрицательной, соответствующим образом увеличив по-
Выбор Mq/Nq определяется интуицией проектировщика. Выбор пер-
вых п членов разложения Фурье означает, что аппроксимация
среднеквадратичная. Для этой же цели можно использовать не
только тригонометрические, но и другие ортогональные функции.
3.5.	АППРОКСИМАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ АНАЛОГИИ
Решение задач аппроксимации методом потенциальной анало-
гии для фильтров с сосредоточенными постоянными хорошо из-
вестно. К фильтрам на отрезках линий передачи оно впервые было
применено Ишии и Озаки [2,3]. Поскольку в (3.18) 4f(X)4f(—X)
представляет собой рациональную функцию X, то эту функцию
можно записать в виде:
Т (X) Т (- X) = П (X — X,) /[(1 — X2)v П (X — М- (3.36)
Беря натуральный логарифм обеих частей равенства, получим:
1п[Т(Х)Т(— X)] = 21п(Х — X,) — 21п (X —Хг) —vln(X— 1) —
— v In (X + 1) + const.	(3.37)
В то же время комплексный потенциал плоского поля, обуслов-
ленный зарядом q, находящимся в точке X = Xi, равен
£ (X) = — (7/2я8и) In (X — Хг) + const.	(3.38)
Множитель 2л8о для удобства можно опустить. Тогда (3.37)
можно трактовать, как функцию потенциала, обусловленного еди-
ничными отрицательными зарядами в точках Х=Х3(/ = 1, 2,...),
единичными положительными зарядами в точках Х = ХД= 1, 2,...)
и положительными зарядами величиной v единиц в точках Х=±1.
Поскольку ЧГ(Х)ЧГ(—X) функция рациональная, количество нулей
и полюсов одинаково, количество положительных и отрицатель-
ных зарядов, включая заряд, находящийся в бесконечности, оди-
наково, общий заряд равен нулю.
Далее будет рассматриваться случай расчета фильтра нижних
частот с частотой среза йс=1. Распределение потенциала на мни-
мой оси, представленное на рис. 3.4, можно реализовать, поместив
проводники а и а' в областях |й| ^й2 и проводник b — в области
й<йь при этом заряды проводников должны быть равны
Qa = Qa'>0 и <2ь<0 соответственно, как это показано на рис. 3.3.
78
Кроме того, в точках Х=±1 помещаются заряды Q±i=v. За исклю-
чением зарядов, размещаемых в точках Л=±1, все делается так
же, как и для цепей с распределенными параметрами. Поскольку
общий заряд должен быть равен нулю,
2Qa + Qb + 2v = 0.	(3.39)
Следовательно, Qb должно быть четным.
Рис. 3.3. Идеальное
потенциальное поле
фильтра нижних ча-
стот
Предположим, что комплек-
сный потенциал для рис. 3.3
определяется выражением
и^) = ФМ + ;^(Х), (з.4О)
Рис. 3.4. Распределение
потенциала на мнимой
оси
где <р(Л) — скалярный потенциал, а ЧГ(Х) — функция потока. Плот-
ность потока на поверхности проводника равна £) = —ду/дз = 2лр,
где dq>Jds — производная в тангенциальном направлении при усло-
вии, что проводник находится слева, ар — плотность заряда на
поверхности проводника. Множитель 2л возникает в связи с тем,
что в (3.38) опускается 2лео. Общий поток, исходящий из точеч-
ного заряда q, следовательно, равен N=2nq. Затем, сосредотачи-
вая распределенные заряды на поверхности проводников (рис. 3.3)
в тех точках, где ср уменьшается на 2л, заменим эти заряды
точечными зарядами по две единицы. Величина 2 обусловлена
тем фактом, что поверхностные заряды лежат на обеих сторонах
проводников. Эта процедура именуется «квантизацией». В резуль-
тате квантизации потенциал вдоль мнимой оси флуктуирует; одна-
ко результат хорошо совпадает с исходным идеальным распре-
делением потенциала, представленным на рис. 3.4.
Вычисление £(Х) на плоскости X неудобно из-за неточности.
Поэтому плоскость X преобразуется в плоскость W с использова-
нием соотношений:
K~Asn(W, k)/cn(W, k),
W = U + iV, X = <j + iQ,
(3.41)
79
где sn(w, k) и сп(ш, k) суть эллиптические функции Якоби с мо-
дулем k (предполагается, что П1Пг=1). Соотношения между пара-
метрами следующие:
А = % k' = k* 4- (k')1 = 1 '
dx
[(1 - л-2) (1 — ^x2)]1/2
(3.42)
dx
[(1— л-2) (1 - (£')2 л-2]'/2
Рис. 3 5. Преобразование
K=Asn(W,k)/cn(W,k)
цри этом вся плоскость Л. отображает-
ся на области (±К, ±К'), как это по-
казано на рис. 3.5. Из рис. 3.5 видно,
что область плоскости W, ограничен-
ная двумя вертикальными линиями
И = 0 и U = К, полностью экранирует-
ся двумя проводниками а и Ь.
В этой области заряд Q+t = v, соот-
ветствующий заряду в точке X = 1, по-
мещен в каждой из точек W = (К/2) +
+ щ/С (ц = 0, ±1, ±2, ...). Потенциал
цри этом можно представить как
«о sin | flF — — /С -f- i 2р. К') я/2К ]
(W) = - > In Г] —И--------------------------1-----1 ,	(3.43)
и=—да sin \ W + — К + i 2р К'\я/2К.
где множитель при каждом ц соответствует потенциалу в точке
W=-~K+i Ц.К' и всем отображениям этого заряда. Поскольку
потенциал, обусловленный каждым зарядом, быстро убывает в
направлении i ц в соответствии с конфигурацией проводников, хо-
рошая аппроксимация получается, если взять всего три заряда
в точках ц= + 1, 0 и —1. В таком случае, беря мнимую часть
приведенного выше выражения, имеем для функции потока на
правой поверхности проводника Ь:
((/) = 2v (arctg [th (л U/2K)] + arctg {th [л (U — 2К')Ж]} -r
+ arctg {th [n ((/ + 2K')/2K]}) + B,	(3.44)
где В — произвольная постоянная, определяемая из условия
4fg(0)=0. Часть заряда Q&, обусловленная взаимодействием меж-
ду проводниками, распределяется в соответствии с их конфигу-
рацией. Плотность потока с правой стороны проводника
W) = ^g(U) + T„U,
(3.45)
80
гдетьС представляет собой поток, обусловленный взаимодействием
проводников, г* — постоянная. Правая поверхность проводника b
между 0 и i К' соответствует поверхности того же проводника,
обращенной к первому квадранту плоскости X, где распределен
чистый заряд Qb№- Следовательно, имеем выражение
(Л') =	(Д') + К' = - л Qb/2,
из которого можно определить т&.
Подобным же образом плотность потока на левой поверхности
проводника а равна
ВД = -4g(U) + xaU,	(3.46)
где Та определяется из выражения
Т0(К') = -Тй(К') + та/<' = nQa.
Зная ЧС и Ть, легко квантовать заряды. Возвращаясь от U
к Q, можно определить нули и полюсы ЧГ(Х)'ЧГ(—X). Расположе-
ние зарядов не должно определяться с очень большой точностью,
поскольку само квантование представляет собой приближение.
Однако симметрия расположения зарядов показывает, что заряды
должны размещаться в точках, где Фь принимает значения, четно-
кратные л (включая 0), если Qb нечетно, и нечетнократные л,
когда-у- Qb — четное. Го же справедливо и для ЧС и Qa. Следова-
тельно, когда-^-Qd и Qa нечетны, в точках Х=0 и Х=оо должны
размещаться двойные заряды. При этом выполняются соответст-
венно необходимое и достаточное условия физической осуществи-
мости, как это видно из гл. 1.
3.6.	АППРОКСИМАЦИЯ Q-ФУНКЦИЯМИ
Метод опорного фильтра Дарлингтона применим и к фильт-
рам на отрезках линий передачи [4]. Пусть коэффициент передачи
мощности
P0/PL= 1+6ch2e,	(3.47)
6 = а ф- i (J = Arcth q (X),	(3.48)
где <?(X) —Q-функция, введенная Кауэром (5]. При этом: 1) <?(Х)
регулярна при ReX>0; 2) Reg(X)>0 при ReX>0; 3) g2(X)—ве-
щественная рациональная функция X2.
Из последнего вытекает возможность представления /?(Х) в ви-
де 7(Х) ={® (Х)]1/2, где ш(Х)—рациональная функция X. Следова-
тельно, 7(Х) —функция двузначная, за исключением тех случаев,
когда [w(X)]1/2 раскладывается на две независимые функции. С этой
точки зрения, пп. 1, 2 следует относить к одной из ветвей д(Х),
и для этой ветви <?(Х)—положительная вещественная функция.
Значения д(Х) на мнимой оси будут определяться как продолже-
81
ние этой положительной вещественной ветви. Особые точки <у(Х)
представляют собой полюсы и точки разветвления, лежащие толь-
ко на мнимой оси; нули также лежат на мнимой оси. Более того,
из п. 3 вытекает, что функция либо вещественна, либо мнима
на мнимой оси X. Принимая во внимание, что <?(Х) —положитель-
ная функция, и ее значения на мнимой оси берутся как продолже-
ние правой полуплоскости, </(Х) положительна на той части мни-
мой оси, где она вещественна и не имеет там ни нулей, ни полю-
сов и ведет себя как реактивность, т. е. dq(X)/d(X)>0 в той части
мнимой оси, где эта функция мнима. Тогда из (3.48) имеем для
мнимой оси
0 = а inn/2 (а> 0, п —целое), когда q вещественна'
0 —ip и dр{Si)/dQ>0, когда q мнима.
Перепишем теперь (3.47) в виде
2а _ 1 । § cth2 9 = 1 । § (?2 ___________________ 
Pl	cth3 0 — 1	ф (X) — 1 ’
(3.49)
(3.50)
отсюда видно, что Ро/Рь— вещественная рациональная функциях2.
Поскольку для X=iQ	7(Х), если эта функция ве-
щественна, не должна при этом условии быть меньше единицы.
Следовательно,
0 = а 4- i п л,
(3.51)
когда q вещественна.
В точках, где </(Х) =cth0= 1, имеют место полюсы затухания.
В области, где д(Х) мнима, ch2ip = cos2p колеблется между ну-
лем и единицей. Следовательно, эту область нужно взять за по-
лосу пропускания, характеристика передачи в которой будет чебы-
шевского типа. Это упрощает определение д2(Х), поскольку проек-
тировщик может сосредоточить свои усилия на определении харак-
теристики затухания. Данную задачу можно решить разложением
0 в ряд вида
0 — 0Х 4- 02 + • • • + 6П>	(3.52)
который эквивалентен ряду
cth е — 1 _ cth et — i cth е2 — i	cth en — i	5„.
cth 0 + 1 “ cth 0! -t- 1 cth 02 4- 1		  cth 0„ 4- 1	’	'	‘ }
где	7i = cth0i — Q-функция низшего класса, имеющая	те	же	ве-
щественные и мнимые области, что и cth в	на мнимой	оси.	[Класс
Q-функции определяется как половина степени <?2(Х).] Функция
<7 = cth0 также представляет собой Q-функцию. Заметим, что каж-
дый множитель в числителе или знаменателе (3.53) записывается
в том же виде, что и коэффициент отражения.
В случае фильтров нижних частот Q-функция первого класса
имеет вид
qt (X) = cth 0г = mt Х/(Й2 4- X2)>/2,	(3.54)
82
где Йс — частота среза, тг- — вещественная постоянная. Частоту
среза в данном случае нельзя с помощью нормирования сделать
равной единице, поскольку точка Х=±1 в результате нормиро-
вания также сместилась бы. Из последнего соотношения имеем:
0, = Arch {т, (Й/Йс)/[ 1 - (1 -щ2) (Q/QJ2](3.55)
Полюс затухания получается из условия: cth 0,= 1, т. е.
= ±йс/(щ2-1)1/2.	(3.56)
Величина tao вещественна или мнима, в зависимости от
Полагая тг=\ или тг— (1 + П2Г)i/2, имеем
= Arch(Q/Qc),	(3.57)
0(1) = Arch [(Q/Qc) (1 + Й2)1'2 (1 + Й2)1/2];	(3.58)
0оо имеет полюс затухания при Х=оо, а 0(1) — при Х=±1.
Видно, что когда mi<l, <л(Л) <1 в области &«,< |й| <<x>(Qoo =
= X«>/i); таким образом, рг = л/2. Следовательно, в силу требова-
ний (3.51), необходимо брать четное число таких 0, для различ-
ных величин т,. Таким образом,
Ро
Pl
2Arch
mi Q
[Q2-(l-/n2)^]l/2
-f- v Arch
1+0*11/2
1 +
(3.59)
Выбор mt, v и г можно сделать таким же способом, как в случае
сложного фильтра Зобеля, поскольку характеристики затухания
определяются суммой at = Re0j.
Для того чтобы обеспечить идеальную передачу при Х=0, до-
статочно принять 0 = i(2n+ 1)~; ПРИ этом r + v— нечетно. Полу-
чающаяся таким путем цепь симметрична. Если r + v четно, то
ch20=1 при Х=0 и становится необходимым сдвинуть нули зату-
хания, находящиеся вблизи Х = 0, точно в точку Z = 0 с тем, чтобы
иметь нуль в этой точке. Такое преобразование известно и для
цепей с сосредоточенными параметрами. Оно применимо и в дан-
ном случае, однако для того чтобы зафиксировать положение точ-
ки Х=1, граничную частоту необходимо несколько сдвинуть.
Когда в (3.59) т = 0, оно соответствует древовидному четырех-
полюснику, имеющему только простые разомкнутые на концах
шлейфы. Когда m = r = 0, имеет место брусообразный четырехпо-
люсник. Эти два случая были предложены Икено (6] в развитие
полиномов Чебышева.
83
Выражение (3.59) приводится к чебышевскому полиному, если
m = v = 0. Икено показал также, что баттервортовская характерис-
тика в полосе пропускания имеет место при
Рй!Рь= 1 +6^/(1 +Й2)Ч>
где n = v соответствует брусообразным четырехполюсникам, а
n>v — четырехполюсникам с простыми разомкнутыми на концах
шлейфами. Баттервортовскую характеристику в полосе пропуска-
ния можно получить для случая, когда полюсы затухания рас-
положены на конечных частотах, из выражения
= 1Ч-бПсЬ2ег.
Фильтры верхних частот можно получить с помощью частот-
ного преобразования, сводящегося к замене Й и йс на 1/й и 1/Йс
соответственно. Полоснопропускающие фильтры получаются с по-
мощью преобразования
cth 6г = гщ [(+ X2) / (Й22 + Х2)]‘/2 ,	(3.60)
где ЙС2 и Йс1 — верхняя и нижняя граничные частоты соответ-
ственно. Эта функция обладает полюсами затухания при Хоо = 0,
оо и ±1, когда тг = йС2/йс1, 1 и [(й2сг+ 1) (Й2С1+1)]1/2 соответствен-
но. Поскольку cth 9г в нижней полосе задерживания в данном слу-
чае меньше единицы, имеем р = л/2. Следовательно, число таких
функций должно быть четным. Если тг>йс2 или mt<l, cth 0г мо-
жет сделаться равным единице, и полюс затухания появится на
конечной частоте. Поскольку р в этой точке уменьшается на л/2,
каждый из этих типов 0г должен участвовать четное число раз.
Для вычисления результирующей характеристической функции
проще использовать выражение (3.53), а не (3.59). Поэтому целе-
сообразно упростить выражение (3.59). Положим
Х-= (Й2+Х2)'/2Л.
(3.61)
Это преобразование превращает полосу пропускания йс>й>0
в отрицательную мнимую ось плоскости х, а полосу'задерживания
Йс<Й<оо в отрезок 0<х<1 вещественной оси плоскости х.
Полюс затухания соответствует хг = тг. Таким образом,
Wi = exp 2 0; = (cth 0г + l)/(cth 0г — 1) = (х; + х)/(хг — х),
и выражение (3.59) приводится к виду:
w = е2Э _ ? + 1 = /1 -4-х ^Хо + х^У А /х.+х\»
*7 — 1	\1 — х) \xQ~ х) 1	х)
г=1
хг = (й! — Й2)1/2 /ЙИ) Хо = (1 + Й2),/2
(3.62)
Тогда коэффициент передачи мощности выразится в виде
P0/PL^ 1 +6[(1 +^)2/М.
(3.63)
84
3.7.	СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ
АНАЛОГИЕЙ И Q-ФУНКЦИЕЙ
Преобразование (3.61) представлено на рис. 3.6. Полоса про-
пускания преобразуется в мнимую ось плоскости х, а полоса за-
держивания— в интервал —l^x^l вещественной оси. Точки.
п)
Ось бещестИенных
значении х
ха 1	0',^	1
Рис 3 6 Эквивалентный потенциал для Q-функции: а) плоскость х;
б) плоскость х с измененным расположением зарядов, в) плоскость X
Х=±1 соответствуют точкам х = ±х0= ± (1 + Й2С)’/2. Будем теперь,
рассматривать log w в выражении (3.62) как комплексный потен-
циал. Тогда заряды на вещественной положительной оси равны
двум единицам в точках,’ соответствующих значениям x=xt(i =
= 1, 2, ..., т), г единицам в точке х=1 и v единицам при х = хо.
Заряды на отрицательной вещественной полуоси имеют ту же
величину, но противоположный знак. Следовательно, на мнимой
оси потенциал равен нулю, и функция потока монотонно возрас-
тает.
В силу того что потенциал на мнимой оси равен нулю, на ней
можно разместить проводник, не изменив картину поля. Поскольку
плоскость будет разделена проводником, поле в правой полуплос-
кости не изменится, если все заряды на отрицательной веществен-
ной полуоси заменить положительными. Полученное таким путем
расположение зарядов представлено на рис. 3 66, а соответствую-
щее расположение зарядов на плоскости — на рис. З.бв.
Теперь квантизируем заряды, наведенные на поверхности про-
водника, т. е. заменим их точечными зарядами, величиной две еди-
ницы, расположенными в тех точках, где Im (log да) =2р увеличи-
вается на 2л (заметим, что заряды отрицательны). Поскольку
х=0 соответствует йг, то в этой точке не должно быть никакого
заряда. Так как при х = 0 да=1 и 2р = 0, заряды будут распола-
гаться в точках, где 2р= ± (2ц—1)л, ц= 1, 2 ..., п
Беря мнимую часть 1о? да, получаем
т
2 аГС*£ + г аГС (~) + V аГС^	(2ц — 1)	, (3.64>
<=1
где х — мнимая величина. Решая это уравнение относительно х,
85
можно определить точки размещения зарядов. Поскольку
chi(2p—1)Х-^-=0, эти точки совпадут с нулями затухания, полу-
ченными описанным в предыдущем разделе методом. Эти сообра-
жения будут использованы при построении метода последователь-
ных аппроксимаций в следующем разделе.
Пусть конечные корни ур-ния (3.64) будут: xOi, *02, ..., хОт; тогда
3.8.	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ
Используя метод Q-функций, можно получить характеристиче-
ские функции с чебышевским поведением в полосе пропускания
в том случае, когда полюсы затухания известны. Икено [6] пред-
ложил метод последовательной аппроксимации (который можно
рассматривать как развитие метода Беннета [7]) для получения
чебышевской характеристики и в полосе пропускания, и в полосе
задерживания. Отправной точкой при этом служит характери-
стическая функция, найденная методом Q-функций.
Предположим, что |4ri|z— функция низкочастотного типа с
чебышевским поведением в полосе пропускания, полюсы затуха-
ния которой расположены произвольно. Тогда 1/|Чг] |2 можно рас-
сматривать как функцию высокочастотного типа, «сопряженную»
с IWJ2 в том смысле, что полоса пропускания одной из них в точ-
ности соответствует полосе задерживания другой, и наоборот.
Поскольку рГ||2 обеспечивает чебышевскую характеристику в по-
лосе пропускания, 1/|хГ1|2 даст ту же характеристику в полосе
задерживания. Если возможно получить функцию (Ч^!2 высоко-
частотного типа, имеющую полюсы затухания, идентичные полю-
сам функции l/IWipc чебышевским поведением в полосе пропус-
кания, то функция рГгр может обеспечить характеристику чебы-
шевского типа как в полосе пропускания, так и в полосе задер-
живания, а 1/рР2|2 будет функцией низкочастотного типа с такими
же характеристиками. Беря полюсы затухания функции 1/|Чг2|2
в качестве второго приближения в процессе определения располо-
жения полюсов, можно продолжать этот процесс. В случае цепей
с отрезками линий передачи второй этап, а именно определение
|Ч^!2, заключает в себе определенные трудности, поскольку полю-
сы при Х=±1 становятся нулями l/|4rj|2 и, следовательно, метод
Q-функций неприменим. Учитывая это, Икено предложил метод
потенциальной аналогии, описываемой ниже.
Пусть pPi]2 определяется выражением (3.62) при г=0 или
г=1, тогда нули в полосе пропускания Хоь Хог, Хот- можно полу-
чить с помощью (3.64). Введем преобразование
У =	+ Ч2)1/2 А = ({[ 1 —(Й1А)21- ха}/(1 -х2))"2,	(3.66)
86
где через Q] и Q2 обозначены верхняя и нижняя границы полосы
пропускания и полосы задерживания соответственно. Это преобра-
зование соответствует преобразованию (3.61), где Qc заменено
на Qi, а X — на Qifi2A- Распределение зарядов показано на
рис. 3.7. Как видно, оно имеет тот же характер, что и распреде-
ли бещестйенных
значений
-*ХХ——□—*-
1 Уч
Рис. 3.7. Диаграмма для опреде-
ления |Ч/2|2 (плоскость у)
Пмиоть у
ление, данное на рис. 3.6а, за исключением того, что заряды в точ-
ках х— ±xQ на рис. 3.6а заменены зарядами противоположного
знака в точках у=±у0 на рис. 3.7. Следовательно, получена по-
тенциальная функция, удобная для определения jYzl2 как Inw':
т'
= 1(1 + У)/(1 — 1/)]Г'[(Уо — У)/(Уо + */)]V П [(Уо! + У)/(Уо / — У)Г>
7=1
где г' либо 1, либо 0, в зависимости от того, имеется ли нуль
выражения (3.64) в точках х=оо; у01, у^, ..., уо™/ означают вели-
чины, соответствующие Xot, *02, ..., х^- так же, как у0 соответствует
хо. Поступая таким же способом, как и в предыдущем разделе,.
можно определить расположение зарядов:
т'
2	arctg (—-—+ г' arctg I —) — varctg (——= (2 jx — 1) —,
Li \ 1 y0 j /	\ i /	2
7=1
(3.67)
где ц = 1, 2, ... m. Тогда
m	/Г	m'
1^212 = (yl - yy n (y2i - y2)2 / (1 - П (yli - yy
«'=1	IL	7=
(3.68)
где z/i — корни выражения (3.67).
Хатори (8] распространил изложенный метод на случай поло-
сового фильтра с различными величинами затухания в полосах
задерживания ниже и выше полосы пропускания. Он предложил
также дополнительную процедуру, которую можно использовать
в том случае, когда сходимость процесса последовательной аппрок-
симации замедляется после нескольких повторений описанного
цикла. Идея этого метода следующая. Пусть K=|4f(iQ)| и пусть
К принимает минимальные значения, равные Кц в точках Х =
= i йд(ц = 1, 2, ..., т). Величину К на краю полосы обозначим
через Ко. Рассматривая К я как функцию расположения полюсов,
затухания Qt(i= 1, 2,... tri), получим
87
== d	/д Й, =	[-2 QiZ(Q2 - Q2)]	(И = О, 1 т).
Малые приращения й,, соответствующие приращениям могут
считаться линейными. Следовательно,
т
*>^ + 2 амг(6Йг)(И = 0, 1.....т),
i=i
где — величины Кц после того, как й, получили приращение;
6Й, — приращение Й,. Для того чтобы К' изменялось по чебышев-
скому закону, все должны быть равны. Поэтому
т
S (aOi —%()6Йг =—/Со (ц = 1, 2,..., nij.
i=l
Это равенство можно решить относительно бй,. Приблизительные
значения йд можно получить, заменив правую часть (3.67) на рл.
Описанные методы имеют целью получение чебышевской ха-
рактеристики как в полосе пропускания, так и в полосе задержи-
вания. Однако в некоторых случаях требования к затуханию в по-
лосе или полосах задерживания могут изменяться с частотой.
Тогда использование метода Q-функций приводит к необходимости
выполнения некоторой тривиальной работы для определения рас-
положения полюсов затухания. Если используется ручной счет,
может оказаться полезным метод шаблонов (9—11]. В последнее
время различными авторами были предложены полностью авто-
матизированные процедуры итеративной аппроксимации характе-
ристик фильтров с сосредоточенными параметрами {12—17]. Как
отмечает Фуджисава {16], эти методы можно с небольшими изме-
нениями использовать и для фильтров с распределенными пара-
метрами, кратные полюсы затухания которых находятся в точках
Х=±1. Подробности описаны в оригинальных статьях.
Отметим другую особенность применения электронно-вычисли-
тельных машин (ЭВМ) для решения задач синтеза электрических
цепей. Использование обычных процедур синтеза лестничных схем
приводит к необходимости вычислений с очень большим числом
знаков; в противном случае значения величин элементов получа-
ются с недопустимо большими ошибками. Эту трудность можно
устранить с помощью новых процедур синтеза [18, 19], использую-
щих частотнопреобразованные переменные [вроде (3.61) для слу-
чая фильтра нижних частот]. Подобные же процедуры следует
использовать при синтезе фильтров с распределенными парамет-
рами на ЭВМ.
3.9.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ
В технике синтеза фильтров на сосредоточенных параметрах
широко используются частотные преобразования, например реак-
тансные. В случае цепей с распределенными параметрами их при-
88
менение затрудняется тем, что точки Х=±1 не должны сдвигаться
при преобразовании. Исключение представляет преобразование
вида /к Подстановка этого выражения в (3.14) дает
А	2 Г 1 ?Zol о iz0-
С D] {	[l;Z0	1 ] [i!Z0 0 .
(3.69>
Последняя матрица в (3.69) соответствует идеальному мнимо-
му гиратору; все соотношение иллюстрируется рис. 3.8. Каскадное
Рис. 3.8. Преобразование ЕЭ для
А->-1Д
соединение двух идеальных мнимых гираторов представляет со-
бой идеальный трансформатор. Можно получить некоторые экви-
валентные преобразования [20], подобные описанным в гл. 1. Сле-
довательно, синтез цепи нижних частот можно легко свести к син-
тезу цепи верхних частот. Примером может послужить чет-
вертьволновый трансформатор, расчет которого, как цепи нижних
частот, хорошо разработан (см. гл. 1). Решение задачи Коллина
(21, 22] сводится к выполнению расчета симметричной или несим-
метричной цепи нижних частот.
Список литературы
1.	Ikeno N. Fundamental principles of designing filters with distributed ele-
ments.— «Elec. Commun. Lab. Tech. Rept.», 4, N. 3, 1955, p. 379—417
(на японском языке).
2.	Ozaki H. and Ishii J. Synthesis of transmission-line networks and the design
of UHF filters. — «IRE Trans. Circuit Theory», CT-2, 1955, p. 325—336.
3.	Ishii J. An approach to transmission-line filter approximation problems by
potencial analogy. — «J. Inst. Elect. Commun. Engr.», Japan, 42, N. 6, 1959,
p. 569—573 (на японском языке).
4.	Kuroda К. Design of transmission-line filters having specified insertion
losses. — «J. Inst. Elec. Commun. Engr.», Japan, 37, N. 5, 1954, p. 365—369
(на японском языке).
5.	Cauer W. Theorie der Linearen Wechselstromschaltungen, I. — «Akademische
Verlaggeselschaft». Leipzig, Becker&Erler, 1941.
6.	Ikeno N. A design Method of Coaxial Filters. Part 3. — «Internal. Rept. Elec.
Commun. Lab.». Telephone and Telegraph Corp, of Japan, July 1952 (на япон-
ском языке).
7.	Bennett В. J. A note on filter synthesis. — «IRE Trans. Circuit Theory», CT-1,
1954, p. 61—64.
8.	Hatory K. A. method of Chebychev approximation in filter design. — «J. Inst.
Elec. Commun. Engr.», Japan, 42, N. 3, 1959, p. 216—221 (на японском
языке).
9.	Rumpelt E. Schablonenvervahren fiir den Entwurf elektrischer Wellenfilter
auf der Grundlage der Wellenparameter. Telegraphen-Fernsprech-Funk- und
Fernseh-Technik, 31, 1942, p. 203—210.
89
10.	Belewitch V. Elements in the design of coventional filters. — «Elec. Cornmun.»,
26, 1949, p. 84—98.
11.	Herrero J. L. and Willoner G. Synthesis of Filters. Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey, 1966, p. 128.
12.	Hartl H. Die Anwendung elektrischer Digitalrechnung in der Netzwerktheorie.
NTZ 13, 1960, p. 313—340.
13.	Yoshioka A., Watanabe W. Design of filters having Chebyshev character in the
pass-band and approximating given attenuation specification in the stop-band
(Paper presented at 1962).—«Nat Meeting of the Inst. Elec. Cornmun. Engr.»,
Japan, Oct. 1962, p. 3—4 (иа японском языке).
14.	Temes G. C. Filter synthesis using a digital computer, 1962. — «IRE Intern.
Convention Record», Part 2, p. 211, March 1962.
15.	Smith B. R., Temes G. C. An iterative approximation procedure for automatic
filter synthesis. — «IEEE Trans. Circuit Theory», CT-12, 1965, p. 107—112.
16.	Fujisawa T, Theory and procedure for optimization of lowpass attenuation
characteristics. — «IEEE Trans. Circuit Theory», CT-11, 1964, p. 449—456.
17.	Fujisawa T. Optimization of band-pass attenuation characteristics. — «Proc.
ICMCI», (Tokyo). Part 2, 1964, p. 25.
18.	Watanabe H., ledokoro T., Tsuchiya T. A new calculation method for the
design of filters by digital computer with the special consideration of the
accuracy problem. — «IEEE Int. Convention Record», Part 2, 1963, p. 100—113.
19.	Bingham J. A. C. A new method of solving the accuracy problem in filter
design.—«IEEE Trans. Circuit Theory», CT-11, 1964, p. 327—341.
20.	Kuroda K. Some equivalence transformations in ladder-type networks with
distributed constants.—«Inst. Elec. Cornmun. Engr.», Japan, Monograph
Series on Circuit Theory, Feb. 1957 (на японском языке).
21.	Collin R. E. Theory and design of wide-band multisection guarter-wave
tranformers. — «Proc. IRE», 43, 1955, p. 179—189.
22.	Riblet H. J. General synthesis of quater-wave impedance transformer. —
«IRE Trans. Microwave Theory Tech.», MTT-5, 1957, p. 36—43.
ГЛАВА 4
Фильтры на связанных линиях
Н об у йи Сато
Использование связанных линий позволяет значительно развить технику
СВЧ цепей (т. е. цепей из отрезков линий передачи). В данной главе представ-
лен анализ цепей на связанных линиях, основанный на использовании метода
собственных колебаний (модов) при изучении компонент цепей на связанных
линиях. Получен ряд эквивалентных представлений для различных отрезков свя-
занных линиях, которые сведены в таблицы. Представлено обобщение теоремы
Ричардса, использовавшейся ранее при синтезе цепей с одним входом, на цепи с
двумя и несколькими входами. Это обобщение теоремы, названное здесь теоре-
мой Ричардса в матришой форме, имеет важное значение при синтезе цепей на
связанных линиях.
4.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ГЛАВЕ
U, I — векторы напряжения и тока в линии;
U+, U- — векторы падающей и отраженной волн напряжения в линии;
u, i — векторы напряжения и тока, полученные преобразованием U и I;
С — матрица погонных емкостей линии;
Р, у—-фазовая постоянная и постоянная распространения волны в линии;
А, В — матрицы преобразования напряжений и токов в линии;
р, е — магнитная и диэлектрическая проницаемости среды;
X', X*, X-1, det X — транспонированная, транспонированная и комплексно сопря-
женная, обратная матрицы для матрицы X и ее определитель.
G — матрица волновых проводимостей линии;
G,„ —G,,—элементы матрицы G;
G,e — частичная волновая проводимость для i-го проводника относительно земли;
g—диагональная матрица, полученная преобразованием из G,
—-элементы диагональной матрицы g,
ge, gs, gg> gf — матрицы волновых проводимостей, соответствующие модам фик-
тивной и боковой цепей, а также короткозамкнутой и разомкнутой ли-
ниям,
X=a + i Q = tny/ — комплексная частотная переменная для распределенных цепей;
Re А, — вещественная часть А,
Хо, Xi, Х2 — нули передачи,
It, Li, М, Со — элементы звена Бруне типа С;
Чг—отношение числа витков для связанных индуктивностей Lt и L2-t
У	(Х)—положительная вещественная проводимость нли матрица проводимостей;
Го — волновая проводимость коаксиальной линии,
У	|(Х) —входная проводимость остающейся цепи после выделения из цепи с про-
водимостью У(>.) i отрезков коаксиальной линии;
G,— значение У, при 1=1;
У	о. — нагрузочная проводимость для цепи с входной проводимостью У,;
У	л —матрица проводимостей цепи, полученная из полной матрицы Y использо-
ванием процедуры Ричардса;
91
У«, УI — матрицы проводимостей, измеренные на входном и приемном концах
звена многопроводной линии;
Л
Y—матрица проводимостей, полученная из Y после выделения полюса в Х = 0;
z — вещественный постоянный п-вектор.
4.2.	ОСОБЕННОСТИ ФИЛЬТРОВ НА СВЯЗАННЫХ ЛИНИЯХ
Термин «фильтры на связанных линиях» был впервые исполь-
зован для наименования фильтрующих цепей (или реактивных
четырехполюсников), состоящих главным образом из отрезков
многопроводных линий и включающих также отрезки коаксиаль-
ных линий Свойства многопроводных структур являются более
общими и разнообразными, чем свойства коаксиальных линий, что
обусловлено существованием электрической и магнитной связи
между проводниками многопроводной линии. Использование от-
резков многопроводных линий как элементов СВЧ цепей, приводит
к важному и полезному расширению понятий теории цепей с рас-
пределенными параметрами; точно так же, как введение транс-
форматоров увеличивает гибкость и возможности теории сосредо-
точенных RLC цепей.
В первой части главы внимание концентрируется на эквива-
лентных представлениях для звеньев из многопроводных линий,
получаемых при различных граничных условиях на концах про-
водников. Они сводятся к схемам, состоящим из отрезков коакси-
альных линий и идеальных трансформаторов. Во второй части
рассматривается синтез цепей на многопроводных линиях. Пред-
ставлен ряд интересных результатов, например, синтез положи-
тельной вещественной рациональной скалярной функции и разви-
тие теоремы Ричардса для применения при синтезе цепей из мно-
гопроводных линий.
Ниже дается ряд ограничений, которые являются обычны-
ми при рассмотрении задач синтеза для цепей из коаксиальных
линий, и приводят положения теории синтеза многопроводных ли-
ний в близкое соответствие с теорией синтеза цепей на сосредо-
точенных элементах:
1)	электрические длины отрезков линий, используемых как
элементы цепи, должны быть одинаковыми;
2)	идеальные трансформаторы не применяются;
3)	гираторы не используются;
4)	допускается только каскадное и параллельное соединение
отрезков в составных цепях, но не последовательное.
Выражения «цепи с линиями передачи соразмерной длины»
или «цепи с четвертьволновыми линиями» определяют понятия,
соответствующие выполнению условия 1). Введение условия 3) об-
условлено не трудностью реализации гираторов, близких к иде-
*>	Здесь под коаксиальной линией (структурой) правильнее понимать лю-
бую конфигурацию экранированной двухпроводной линии. — Прим, перев.
92
альным, на СВЧ, а исключительно стремлением упростить задачу
синтеза. Условие 4) важно для экранированных структур (коак-
сиальных и многопроводных), когда все внутренние проводники
окружены экранирующим наружным проводником. В таких струк-
турах реализация последовательного соединения приводит к на-
рушению экранировки и, как следствие, к возможности излучения
электромагнитного поля, поэтому последовательные соединения ис-
ключены. Все перечисленные в п.п. 1—4 ограничения использу-
ются без изменения при синтезе цепей из связанных линий.
Связанные линии первоначально применялись в узкополосных
полоснопропускающих и полоснозапирающих фильтрах. Для узко-
полосных фильтров в коаксиальном исполнении часто требуются
отрезки с очень большим или очень малым волновым сопротивле-
нием. В то же время при использовании связанных линий связи
между проводниками можно легко сделать сколь угодно малыми
(например, помещая между проводниками экраны) и обойги труд-
ности, возникающие при реализации узкополосных фильтров.
Более важные преимущества многопроводных линий рассмат-
риваются в этой главе. К ним относятся большая свобода в выборе
структур, а также то, что условия реализации можно расширить
на более широкий класс функций и матриц.
К наиболее ранним работам по синтезу фильтров на связанных
линиях относится работа Сайто [1]. В последние годы важный
вклад в развитие этой области внесен Матсумото (2], [3].
4.3.	АНАЛИЗ ТИПОВ ВОЛН В МНОГОПРОВОДНОЙ
ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
Уравнение линии передачи
Передача ТЕМ-волн по однородной многопроводной линии пе-
редачи с параллельно расположенными идеальными проводниками
и заполненной идеальным диэлектриком без потерь при синусо-
идальном возбуждении описывается следующими соотношениями
(рис. 4.1):
U = U+e-ff3*+ 1Ге''рх ,	(4.1)
I = G(U+e“1₽x — U^eifj',	(4.2)
₽ == co (p e)1/2 , G = C/(p 8)1/2 ,	(4.3)
где U и I — n-векторы напряжений и токов проводников. Линия
состоит из п внутренних проводников и экранирующего провод-
ника (иногда называемого заземлением); U+ и II- — векторы па-
дающих и отраженных волн напряжения в линии; квадратная
матрица п-го порядка G есть матрица волновых сопротивлений си-
стемы; С — матрица собственных и взаимных погонных емкостей
системы. Элементы этих матриц не зависят от частоты и расстоя-
ния вдоль линии х; р — фазовая постоянная ТЕМ-волны; со — кру-
93
Рис. 4.1. Линия с (п+1)-проводниками бесконечной длины (а)
и эквивалентная цепь с п входами из активных проводимо-
стей (б)
Напряжения Uи токи I отнесены к сечению линии х =« xi
говая частота возбуждения; ц и е — магнитная и диэлектрическая
проницаемости материала заполнения.
Если линия имеет бесконечную длину или нагружена на си-
стему сопротивлений, матрица которых равна матрице волновых
сопротивлений	G,	тогда U_=0 и ур-ния	(4.1)	и	(4.2)	сводятся
к выражению	I = GU.	Элементы матрицы	G	Gfi	и	Gi3-	(при	»=#/)
удовлетворяют условиям
G,; = G;i) Оч>0,	(4.4)
detG = |Gj^:O,	(4-5)
G<O==2GU — YiGij > 0 (/ = 1, 2,-., п),	(4.6)
/=1
где det G — определитель матрицы G. Матрицы, удовлетворяющие
условиям (4.4) — (4.6), называются неособенными гипердоминант-
ными [4]. Поэтому необходимым и достаточным условием того,
чтобы симметричная вещественная матрица G, состоящая из по-
стоянных элементов, была матрицей волновых сопротивлений мно-
гопроводной линии, является требование ее гипердоминантности
и неособенностн {5].
Диагонализация матрицы волновых сопротивлений
Рассмотрим линейное преобразование U и 1:
U = Au, I = (A*)-1 i,	(4.7)
где А — произвольная постоянная матрица; и и i — преобразован-
ные n-векторы напряжения и тока; А', А* и А”1 — соответственно
94
транспонированная, сопряженная и обратная матрицы для А. При-
менив преобразование (4.7) к I = GL, получим i = gu, где
g = A*GA.	(4.8)
Преобразование (4.7) не изменяет мощности системы, так как
U* I = (A u)* (A*)-1 i = и* А* (А*)~‘ i = и* i.	(4.9)
Согласно теории матриц вещественная симметричная матрица
может быть диагонализирована при соответствующем выборе мат-
рицы А1). Более того, неособенность и гипердоминантность матри-
цы G гарантируют положительность всех ненулевых элементов диа-
гональной матрицы g. Любую неособенную вещественную матри-
цу А n-го порядка, используемую в преобразовании (4.7), можно
сопоставить с многообмоточным идеальным трансформатором
с 2п входами, представляющим соединение обычных идеальных
трансформаторов с двумя входами (рис. 4.2а). На этом рисунке
aij равны элементам матрицы A, a gu — соответствующим диаго-
нальным элементам матрицы g2>.
Рис. 4.2. Интерпретация линейного преобразования с помощью многообмоточно-
го идеального трансформатора; а) при использовании соотношения U = Au;
б) при использовании соотношения 1= Bi
Преобразование (4.8) является конъюнктивным преобразованием в слу-
чае, если матрица А неособенная. Такое преобразование является эквивалент-
ным и сохраняет ранг матрицы G. В частном случае вещественной неособенной
матрипы А это преобразование называется конгруентным. — Прим, перев.
2> На’рис. 4.2а предполагается, что матрица преобразования А выбрана так,
что выполняется диагонализация G. — Прим, перев.
95
Другая возможная интерпретация Л-преобразования представ-
лена на рис. 4.26. В этом случае используется матрица В, опре-
деляемая из соотношений:
I = (A*)-1 i = В i, В = (А*)-1 ,	(4.10)
G = BgB*.	(4.11)
Одно из возможных применений эквивалентной цепи из актив-
ных сопротивлений для трехпроводной линии приведено в работе
Коицуми [6]. Метод получения эквивалентных цепей с помощью
линейных преобразований, сохраняющих мощность и его теорети-
ческое обоснование, дан Куродой [7].
Моды передачи
Продолжая исследования диагонализирующего преобразова-
ния, определяемого соотношениями (4.7) и (4.8), рассмотрим бес-
конечно длинную (п+1)-проводную линию, состоящую из п про-
водников, расположенных над заземленным проводником (рис.
4.3а). Предположим, что распространяются только падающие вол-
Рис. 4.3. Использование линейного преобразования А для анализа мо-
дов в многопроводной линии: а) линия с (n + i) проводниками бес-
конечной длины; б) ее эквивалентное представление с исполь-
зованием для сечения х соотношения I = GU; в) преобразование цепи
G с помощью идеального трансформатора (преобразование А); г) реа-
лизация нагрузочных проводимостей g,; бесконечными двухпроводны-
ми линиями
ны, а отраженных волн нет. В любой точке линии Хц при этом
выполняется соотношение I = GU для токов и напряжений провод-
ников. Цепь на рис. 4.36 представляет собой эквивалент линии.
Правую часть линии можно заменить матрицей волновых прово-
димостей линии G. Применение линейного преобразования А при-
водит к диагональной матрице g, полученной из G, и цепь на
рис. 4.35 можно заменить эквивалентным представлением на
рис. 4.3в, реализованным так же, как на рис. 4.25.
Напомним, что любая неотрицательная скалярная постоянная
gn- может рассматриваться как входная проводимость бесконечно
длинной коаксиальной или двухпроводной линии с волновой про-
водимостью gu. Поэтому все проводимости gti можно заменить
коаксиальными линиями, как на рис. 4.3г, и рассматривать пере-
дачу ТЕМ-волн в линии с (« +1) -проводниками в виде суперпо-
96
зиции п ТЕМ-волн, распространяющихся раздельно в коаксиаль-
ных линиях с волновыми проводимостями gii (z = 1, 2,	п). Для
ТЕМ-волн в эквивалентной системе коаксиальных линий передачи
здесь будет использован термин «моды».
Мощность, переносимая по линии в сечении хц полностью рас-
сеивается в эквивалентных нагрузках ga и сумма всех мощно-
стей, рассеянных в нагрузках gu, равна полной входной мощно-
сти. По этой причине эквивалентные коаксиальные моды названы
ортогональными.
Анализ в трехпроводной линии на основе модов
Для того чтобы проиллюстрировать анализ на основе эквива-
лентных модов, рассмотрим трехпроводную линию, являющуюся
простейшей многопроводной структурой. На
рис. 4.4 дано эквивалентное представление ее
в виде сосредоточенной цепи для этого случая.
Данную цепь можно преобразовать в любую
из цепей на рис. 4.5 с идеальными трансфор-
маторами. Эти эквивалентные представления
более полезны для анализа цепей из трехпро-
водных линий, так как:
Рис. 4.4. Эквивалент-
ная цепь с двумя вхо-
дами из активных
проводимостей, ис-
пользуемая для пред-
ставления неособен-
ной гипердоминантной
матрицы волновых
проводимостей линии
с тремя проводниками
1) каждое содержит только две проводи-
мости, т. е. минимальное их число, необходи-
мое для реализации матрицы второго по-
рядка;
2) величины проводимостей можно легко
определить измерениями на внешних зажимах.
Например, входная проводимость Л/t/, цепи,
показанной на рис. 4.56, равна Сц при Б2 = 0,
и A/£72 = detG/Gn при/1 = 0. Более детальное
Рис. 4.5. Три основных эквивалентных представления матри-
цы волновых проводимостей второго порядка: а) соответст-
вует комбинации модов боковой и фиктивной цепей; б) и в)
комбинации модов короткозамкнутой и разомкнутой линий
Цепи б) и в) дуальны друг другу
рассмотрение дает
1
— 1
1-6,
bt
G =
'g, 01 Г 1	-1 -
-0 L1 — bl bl _
(4.12a)
4—24
97
для цепи на рис. 4.5а и
G=[ 1 °]Г& °
~Ь2 1 L° gf.
bi-(G2i-Gl2)lgp,	(4.126)
gs—detG/gp, gp = Gu + G22 — 2 G12	(4.12e)
1 ~ N- (4.13a)
0	1 J
—	gg = G1}, gf = detG/Gn	(4.136)
для цепи на рис. 4.56. Цепь на рис. 4 5в дуальна цепи на рис. 4.56.
Величины gs и gp были названы Учида [8] волновыми прово-
димостями для модов боковой цепи и фиктивной цепи соответ-
ственно. Величины gg и gf будут здесь названы волновыми про-
водимостями модов короткозамкнутой и разомкнутой линии соот-
ветственно (как в работе Куроды [7]) Можно использовать также
и другие наименования, такие как сбалансированные и несбалан-
сированные моды, нечетный и четный, с положительной фазой
л с нулевой фазой и т. д.
Анализ четырехпроводной линии на основе модов
Лгатрица волновых проводимостей системы из четырех провод-
ников имеет вид
Gio + G12 + G13
-g12
-Gn
G12
G2o + G28 + G12
G23
G13
G12
G3o + G18 + Gn _
(4.14a)
Gi0- Gi/>0, (»,/= 1,2,3), det G^=0,	(4.146)
и ее можно представить цепью
ми, как показано на рис. 4.6.
из проводимостей с тремя входа-
Следующий шаг при анализе —
Рис 4 6 Эквивалент
ная цепь с тремя вхо-
дами из активных
проводимостей, соот-
ветствующая матрице
волновых проводимо-
стей бесконечно длин-
ной линии без потерь
с четырьмя проводки
ками
найти соответствующую матрицу А, диагонализирующую G.
В табл. 4.1 приведены пять различных вариантов матриц А, ко-
торые будут полезны в дальнейшем при цепном анализе четырех-
проводных линий. В табл. 4.1 представлены эквивалентные цепи
98
с тремя входами из проводимостей, элементы используемых при
этом матриц А и соответствующих диагональных матриц g, пока-
заны методы измерения gtl и al} (i, j= 1, 2, 3).


ТАБЛИЦА 41
Примеры А и g для диагонализации
Схема			Схема	Формулы		
/о 2? «и, 	у”		Г	е> о— о о—— х- Chj Sj о~|н	А =	J	a12	°13 0	1	a23 0	0	1	ai3 = G^/G^ > а1з — 1	G131/| G23 1 a23 = 1 g23 i/i g33 1
			?А77А// аа/аам;"". йц Vz У2	@			
g,,n	1						
			А А АА А А А"7> '77ААА 77 7 а1311з	Уз °	Х<4' ' '>ААААА'ААААААА/	1!	1! <N	CJ -*	«ч	оэ С	tifi	tic	11 G33 1/Gn G l/|G33|	
4 С} Jl.			t'f Пи У/ Уз/ У/ сЩг-о , о (1 - Пг/)	л= а21 =	i 11’ a2i 1	1 _a31 a32 1 _ A 1 (|G22| -	> -1 - g12|)
			Л	;Чг (>~ая) 1 fe	аз1 — А 1 (| О2з |	1	G13I) Л = — (|С1г| + | — Gu|) fl32 =	(G10	О2о)/^30 Sit (1 Glt | J- |G22| l 2 X X|-G12|)|GM|Gn| + |-G13|)2 S22 — (Gio + G2o + G30) (| 0ц | -f- 1 G221 — 2 | — Gl2|) Gj0 S11 Gin + G2o G30		
						
		0-!2	азЛ/ О—It—о	о 2	A3 — £11 -=	'110 a2i 1	0 ,a3l a32 1 (gn в A2)	a2i = («21 в 4) > а31 = (а31 В Л>) азз — (G13	023)/0зз
	лк		Т7АА7ААА77'ААААААА/г А Ui = Уг &32 ^2 о • о	о т 9гг			
	о		77АА,)аАААА/ ААААА^А 0	0 Uj 2 I 77А*ААА77^АА/ААА'А /а	Sa — (|Gn| ~r |G22| + 2 1	G12|)/G33 S33 — G33		
Волновая проводимость четырехлроводной линии
4*
99
П родолжение
Некоторые общие замечания по анализу
на основе модов
Для линии с произвольным числом проводников необходима
систематизированная методика определения матриц преобразова-
ния А или В. Другой задачей является метод получения А матри-
цы, наиболее удобной для анализа данной системы. Ниже пред-
ставлен общий подход к анализу на основе модов.
Предположим, что все (л+1) проводников не имеют коротко-
замыкающихся соединений друг с другом (рис. 4.7а). Приложим
Рис. 4.7. Метод разложения
ГЕМ-волн, распространяю-
щихся по многопроводной
линии, в ортогональные мо-
ды: а) выбор первого мода;
б) определение второго мо-
да
Примечание. При определе-
нии второго мода
I k
поэтому при переходе к треть-
ему по порядку моду необходи-
мо принять tzW- ии U
100
постоянную разность потенциалов между двумя произвольно вы-
бранными проводниками, например, i-м и й-м и предположим, что
потенциал i-ro проводника положительный, а /г-го — отрицатель-
ный. Измерим напряжение индуцированное на каждом про-
воднике, по отношению к некоторой точке отсчета, например, по
отношению к (п+1)-му проводнику, который примем равным
C7n+i = 0. Измерим входную проводимость gih со стороны источни-
ка. В соответствии с рис. 4.2а можно принять	(/'=1,2,
..., п) и (1—U^klU^iygik за значения аз1 и gu соответственно.
Здесь a3i есть (/, 1) элемент Аи^ц(1, 1) элемент g.
Замкнув теперь между собой i'-й и /г-й проводники (т. е. поло-
жив (Д = Uk= U<2\), повторим тот же процесс. Получим а]2 и g22,
причем а;2=аи, так как (Л2)г-= LA2>ft. Процесс короткого замыкания
проводников продолжается п раз до тех пор, пока никакие ЭДС
нельзя будет приложить между проводниками, так как все они
коротко замкнуты между собой. При этом будет получено тре-
буемое число элементов для того, чтобы составить пару матриц
А и g.
Выбирая другую последовательность проводников, можно по-
лучить другие пары матриц А и g. Вообще говоря, существует
возможность выбора (2!/0!2) Х...((и+1Д/(и—1J)!2) пар матриц А
и g для анализа на основе модов (n+1)-проводной линии, как это
следует из рассмотренной процедуры. Подобным образом можно
также показать, что имеется много решений ур-ния (4.8).
Следующий вопрос касается выбора матрицы А из многих
возможных вариантов. Наиболее удобным выбором матрицы А
обычно считается такой, который обеспечивает простейшее экви-
валентное представление отрезка многопроводной линии (много-
проводной цепи) при заданных граничных условиях на концах
проводников отрезка.
В следующем разделе приведены примеры анализа цепей (см.
также работу Учида [9], где детально описывается анализ с ис-
пользованием модов и его применение).
4.4.	ЦЕПНОЙ АНАЛИЗ ОТРЕЗКОВ
МНОГОПРОВОДНЫХ ЛИНИЙ
Мяогопроводная линия конечной длины
Для исследования (n +1) -проводной линии конечной длины,
называемой здесь и далее «отрезком многопроводной линии» или
«многопроводным единичным элементом» (кратко МЭ1’), преобра-
зуем цепь на рис. 4.3г в ее эквивалентное представление.
Рассматривая цепи, показанные на рис. 4.8а, 4.3г и рис. 4.86,
можно видеть, что в точке х2, отнесенной на некоторое расстояние
I от точки Xi, векторы напряжений и токов модов и и i преобра-
зуются в соответствующие векторы напряжений и токов провод-
*> Использован термин, сходный с термином «единичный элемент» (ЕЭ),
принятым для обозначения отрезка коаксиальной линии. — Прим, перев.
101
ников U и I. Необходимо заметить, что обратное преобразование
в сечении х2 справедливо в предположении распространения толь-
ко ТЕМ-волн, что обеспечивает одну и ту же величину постоянной
распространения i р [см. ф-лу (4.3)] для всех модов.
Рисунок 4.8 служит иллюстрацией случая, когда в линии от-
сутствуют отраженные волны, однако, используя принципы взаим-
Рпс 4 8 Отрезок многопроводной линии (а) длиной I и его
эквивалентное представление (б) в виде отрезков двухпро-
водной линии длиной I и идеальных трансформаторов
ности и суперпозиции, можно доказать справедливость рис. 4.8
и для случая, когда в системе имеются как падающие, так и отра-
женные волны. Таким образом, цепь рис. 4.86 можно рассматри-
вать как эквивалентное представление для любого отрезка много-
проводной линии независимо от ее длины.
Используя ур-ния (4.7) и известные уравнения коаксиаль-
ной линии, можно написать для цепи рис. 4.86 следующие соот-
ношения:
U = A u, I = (А*) 1 i, u0 = А 1 Uo. i0 = А* 10
u = u0 cos р I + g~! i0 sin р Z, i = i0 cos р Z 4- g u0 sin pz
(4.15)
где Uo и io — векторы напряжений и токов модов; Uo и 10 — векто-
ры напряжений и токов проводников соответственно на приемном
конце линии; u, i, U и I — соответствующие величины на входном
конце линии. Исключая из соотношений u, i, и0, io и подставляя
A*GA вместо g, получим
U = Uo cos р Z G 1 Io i sin р Z
I = Io cos р Z 4- G Uo i sin р I
Эти фундаментальные соотношения дают точное описание пе-
редачи ТЕМ-волн отрезком многопроводной линии с использова-
нием понятий векторов напряжений и токов на входном и прием-
ном его концах.
(4-16)
Отрезки трехпроводных линий
Если применить модовое представление, описанное в § 4.3 для
отрезка трехпроводной линии, изображенного на рис. 4.9 в виде
цепи с четырьмя входами, то можно получить эквивалентные
цепи. На рисунке показаны три основных типа эквивалентных
102
цепей. Для случая четырехвходовой цепи на рис. 4.96 используется
преобразование G матрицы в соответствии с рис. 4.86 и ее пред-
ставление, задаваемое соотношениями (4.12). Здесь использован
полученный ранее результат, что ТЕМ-волна в трехпроводной ли-
нии может рассматриваться как суперпозиция двух ортогональ-
ных модов, которые можно представить распространяющимися
раздельно в соответствующих коаксиальных линиях с волновыми
проводимостями gs И gp.
Если для G матрицы использовать представление, определяе-
мое ф-лами (4.13), получим эквивалентную цепь на рис. 4.9в.
Здесь ТЕМ-волна в трехпроводной линии представляется супер-
позицией модов открытой и короткозамкнутой линии с волновыми
проводимостями gf и gg соответственно. Цепь, показанная на
рис. 4.9г, дуальна цепи рис. 4.9в.
Рис. 4 9. Отрезок трехпроводной линии (а) и его основные эквивалентные пред-
ставления (б, в н г)
Схемы в) и г) дуальны друг другу
Метод анализа цепей из передающих линий, основанный на
использовании модов, продемонстрирован далее в табл. 4.2. Там
показано три типа цепей с двумя входами, каждая из которых
состоит из отрезка трехпроводной линии с двумя произвольными
нагрузками, подключенными к проводникам, и их эквивалент-
ных представлений. Для лучшего понимания потенциальных свойств
этих цепей показан также процесс их упрощения. Например,
в случае б) при выполнении условия ZiZ2= (det G)-’ цепь с двумя
входами будет иметь свойства направленного ответвителя.
В табл. 4.3 приведено восемь схем, включающих отрезки трех-
проводных линий и их эквивалентных представлений при условии,
что к концу одного из проводников подключена нагрузка Y, а
другой конец этого проводника либо любой конец второго разомк-
нут или короткозамкнут.
103
В табл. 4.4 приведены эквивалентные представления, соответ-
ствующие цепям табл. 4.3 для случаев, когда проводимость У
является емкостной или индуктивной, а также для случаев ко-
роткого замыкания или холостого хода. Здесь емкость или индук-
тивность интерпретирует входную проводимость короткозамкну-
того или разомкнутого отрезка коаксиальной линии с электриче-
ской длиной, равной длине отрезка многопроводной линии. Имен-
но для таких проводимостей в табл. 4.4 использовано символи-
ТАБЛИЦА 42
Примеры четырехполюсников, состоящих из отрезка трехпроводной линии
и двух произвольных проводимостей, и эквивалентные им четырехполюсники,
состоящие из отрезков однофазной линии
104
ТАБЛИЦА 4.3
Примеры четырехполюсников, состоящих из отрезка трехпроводной линии
н произвольной проводимости, н эквивалентные им четырехполюсники,
состоящие из отрезков однофазной линии
Причечание
Кружок означает вход, крестик — холостой ход
ческое обозначение в виде индуктивности и емкости. Прямоуголь-
ник, обозначенный ЕЭ (единичный элемент), представляет отре-
зок коаксиальной линии соответствующей электрической длины
(в соответствии с п. 1 ограничений, введенных в § 4.2). Подобные
прямоугольники, обозначенные МЭ и встречающиеся дальше, ана-
логичным образом представляют каскадно включенный отрезок
многопроводной линии. Различные цепи с двумя входами, пред-
ставленные в табл. 4.4, являются, как можно показать, цепями
с характеристиками всепропускающего или всезапирающего типа,
полоснопропускающими и полоснозапирающими, пропускающими
или запирающими верхние (или нижние) частоты и т. д.
Некоторые из эквивалентных цепей табл. 4.3 и 4.4 были по-
лучены впервые Куродой [7]. Остальные получены Сайто и др.
[10]—[13], а также Озаки и Ишии [14].
105
ТАБЛИЦА 4.4
Четырехполюсники, построенные на основе отрезка трехпроводнон линии
Отрезки четырехпроводных линий
Описанный выше метод может быть развит для получения про-
стой и легкой для понимания процедуры нахождения эквивалент-
ных представлений для цепей, включающих отрезки четырехпро-
106
водных линий. Полученные при этом результаты приведены в
табл. 4.5 и 4.6, но детальные пояснения опущены. Можно найти
эквивалентные представления в работе Сайто и Нагаи [15]. Экви-
валентные представления 5—10 из табл. 4.6 были получены в бо-
лее ранней работе Матсумото [16].
ТАБЛИЦА 4.5
Примеры многополюсников, используемых для разделения
модов на отрезке четырехпроводнон лннин в случае,
когда нагрузка состоит нз одного конечного элемента
Общие замечания по анализу цепей
Рассматривая первую и седьмую цепи в табл. 4.4, можно ви-
деть, что их эквиваленты представляют собой отрезки коакси-
альной линии. Это означает, что второй проводник в МЭ является
вырожденным. Никаких новых свойств цепи не появляется в слу-
чае проводника, который либо короткозамкнут либо разомкнут
на обеих концах. Так как данное положение не зависит от числа
проводников в МЭ, звенья такого типа не представлены в табл. 4.5
и 4.6.
107
ТАБЛИЦА 4.6
Четырехполюсники, состоящие из отрезка четырехпроводнон линии,
и их эквивалентные схемы, построенные на основе отрезков
___________________однофазной линии_________________
.0 /	Аг.	9}3	о	У? 2		c_ J- . -
I 2		Т	5		
1	2_		1		~L = a$ g~'+q~'
—		V11	? 22	i			
3	~ 9зз Д _		L_	Xo	z 9„ .	0
°- - г		3	2		
1	1_	—к	L = a2f д~'	I——		ZL = a^g^ + atl &
	.——	-	п._ ChnLL.-	i			йгз^йц
5) J	А^-	С^зОз,*!	6~) 2	A,	
Г~Г *	1	—О	O—t-—-L . Jl	о 	1	йз 		 3 Ч-	g?Z	1 3	-4	Й1Р
			±	
/ /	п- LtPst. "3	“32* Qr	t) 3	A	П=-511	 &2Г ^23^31
	— 4<" 	Г o Ф	°,—— 2 i		=l	4 J7?? йг о	Т— —   о
				
2	п= 	— ~	й13	1	4	п - ^31 - й и	t
1	- 'Ш	“	I |	3_	!□	4'4 .’» s 4= (1-023/922	„
				
2	А п- 9^	4 Ф)/	ri) /		
}	з~ 1	°3'' Г 7 Т п 1 | 0	?	2~ 3		к	о—	£□£-<>
1			 йз Ч^Г] „			——	—-4	3 Й5 -йг й,
/J? 2	Л	. 9гг Sit	74) /		_	йг JOrs г
	~		Г/ТТЧ	°	2 1	L_		дп
		1	й? л?-/;£?1	t				с	4 а2„ д'1 °
		±		422 23
/5) 2	Д,	йу	J6)	2_ v—-	/!<	L^(n-f/g-22 |7._ -11-(Ь>)(1-азг)
У	3	й	/ п 1 £ А	1		_а}, а,2
	с- 9}3	-	L	J			- д L } Ш \а'
			•	- <4^	цДш
108
Продолжение
109
П родолжение
(а31 ^2))- (/-а;г)
9г~г +
110
4.5.	ПОЛОСНОПРОПУСКАЮЩИЙ ФИЛЬТР
ВСТРЕЧНОСТЕРЖНЕВОГО ТИПА
Здесь представлены методы анализа с использованием модов
и цепного анализа для изучения свойств встречностержневого
полоснопропускающего фильтра [17], показанного на рис. 4.10.
Рис. 4.10. Встречносгержневой полоснопропускающий фильтр: а) схематическое
изображение фильтра с пятью резонаторными проводниками; б) фильтр с до-
полнительными проводниками половинной длины (они являются элементами
связи); в) ортогональные моды, используемые при анализе; г) эквивалентное
представление для фильтра, полученное на основе модов, и д) его упрощение;
е) дальнейшее упрощение эквивалентного представления при отсутствии связи
между несоседними проводниками и ж) его модификация
111
Предположим, что проводники встречностержневой структуры рас-
положены горизонтально над заземленной пластиной. Для ана-
лиза фильтра рассмотрим ряд модов, представленных на рис. 4.106.
Затем, применив преобразование, показанное на рис. 4.2а, легко
получим цепь, приведенную на рис. 4.10в и являющуюся эквива-
лентным представлением фильтра. От этой цепи очень просто
перейти к другому эквивалентному представлению (рис. 4.10г).
Далее предположим, что связи между несмежными проводниками
отсутствуют. Тогда от эквивалентного представления, показанно-
го на рис. 4.10г, можно перейти к представлению на рис. 4.106,
а затем к представлению на рис. 4.Юг. Таким образом, как это
следует из рис. 4. Юг, фильтр встречностержневого типа должен
иметь характеристику полоснопропускающего фильтра с распре-
деленными параметрами.
Структура, представленная на рис. 4.10а, была первоначально
рассмотрена Маттеем [17]. На рис. 4.106 показана предложенная
Сайто структура, в которой для обеспечения хорошего согласова-
ния между сопротивлениями источника и нагрузки на входе и
выходе включены два дополнительных укороченных проводника.
Эти дополнительные проводники, имеющие длину, в два раза мень-
шую, чем остальные, играют роль элементов связи на входе и вы-
ходе структуры. Если их длину изменять, то можно регулировать
согласование между сопротивлениями источника и нагрузки. Более
длинные проводники являются резонансными элементами струк-
туры, тогда как укороченные резонансными свойствами не обла-
дают и служат только для связи.
В работе Сайто [1] представлено много примеров полоснопро-
пускающих фильтров, из которых можно получить другие необыч-
ные структуры полоснопропускающих фильтров. Встречностержне-
вые фильтры рассматриваются также в (18]—(24].
4.6.	КАСКАДНЫЙ СИНТЕЗ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Ограничения в случае синтеза коаксиальных фильтров
Изучение синтеза коаксиальных фильтров с успехом можно
провести, рассматривая реализацию положительных веществен-
ных рациональных функций от переменной X = thy/, где у — по-
стоянная распространения и I — длина линии Необходимо от-
темить, что при этом должны выполняться ограничения 1—4, сфор-
мулированные в § 4.2. Причем, если цепи должны состоять
только из коаксиальных элементов, ограничение 1 необходимо
соответствующим образом видоизменить (так как в § 4.2 это
ограничение допускает использование звеньев многопроводных ли-
ний).
112
Последовательные соединения, коаксиальные и многопроводные
линии с двойными экранами
Некоторым читателям может показаться, что ограничение 4
следует непосредственно из выполнения «граничения 1. Однако
из дальнейшего рассмотрения следует, что эти ограничения неза-
висимы. Любой последовательный элемент может быть реализо-
ван, если использовать внутренний или наружный проводник коак-
сиальной линии с двумя экранами, показанный на рис. 4.11. По-
следовательному элементу при этом сопутствуют другие элемен-
ты, образованные наружным и внутренним проводниками двой-
ной коаксиальной линии. В противном случае могут быть исполь-
Рис. 4.11. Коакси-
альная линия с
двойным экраном
Рис 4 12 Пет-
ля Икено
эованы только последовательные элементы и реализация будет
иметь мало ценности. Поэтому ограничение 4 установлено в явной
форме.
Необходимо также заметить, что коаксиальная линия с двумя
экранами является типом трехпроводной линии, у которой для
элементов матрицы проводимостей выполняется условие Gn =
= Gt}(i= 1,2; /=1,2). В этом смысле ограничение 1 допускает ис-
пользование многократно экранированных коаксиальных линий.
Из этого следует, что любая реактивная цепь с двумя входами
лестничной структуры может быть реализована с соблюдением
ограничений 1—4, так как в такой цепи любой последовательный
элемент реализуется совместно с соответствующим параллельным
элементом (см также гл. 5 и 6).
Реализация нулей передачи
Рассмотрим положительную вещественную функцию У (7.). Ну-
лями передачи цепи, соответствующей этой функции, будут нули
четной части У(Х). Если двойной нуль размещен в начале коорди-
нат, то он может быть реализован коаксиальными элементами.
Но чтобы реализовать нуль порядка выше второго в начале коор-
динат, необходимы звенья многопроводной линии, так как фильтр,
состоящий только из коаксиальных линий, не может содержать
последовательных емкостей. Цепь с двумя входами, показанная
113
на позиции Па (табл. 4.4), может быть, в частности, полезна для
этой цели.
Как упоминается в гл 1 и 6 петля Икено [25], [26] — очень по-
лезный элемент для реализации нулей передачи на мнимой оси
и на вещественной оси при |Re?.o| = |оо| ^1 (рис. 4.12). Кроме
того, звено в виде обобщенной петли, предложенное Ишии [27]
и рассмотренное также Икено [28], имеет нули передачи, распо-
ложенные вне обеих осей (см. также § 6.9). Реализация нулей
передачи на участке вещественной оси между 1 и —1 рассматри-
вается в следующем разделе (см. также §§ 5.3 и 6.8).
Реализация вещественных нулей передачи
Рассмотрим задачур еализации нулей передачи между 1 и —1
на вещественной оси. Па рис 4 13а показано предложенное Матсу-
Рис 4 13 Звено
Матсу мото (а) и
его эквивалентное
представление (б)
мото [29] звено, которое эквивалентно составному звену
(рис. 4.136), если
д __	1 Г J । Оз °з) ~12 J ____	1 ai 12
1 8i L 1 — "з ]	2 gi 1 — а3 J
C0-g2(l-aJ, H0 = g3, M=±(L1L2)1'2
где
__ б3з (бц 4~ 622	2 <312)	(G13 -|- 623)2 def Q
К23 (G13 4" бг2з) G33 (G22	G12)]2
£2 — ^11 + G22	2 G12
gs = ^33	[(G13 + ^2з)2/(^ы + G22	2 G12)]
___ G23 (6ц	622)	G13	(G13 -g G23)
623 (613 + 623)	633	(G22	G12)
ц ____ 623 (6ц	6?tg)	G13	(G22	G12)
633 (613 + 62з)	G33	(G22	G12)
аз = (^13 + ^2з)/(^и + G22	2 G12)	1
типа С
(4.17)
(4-18)
Здесь G„ и —Gn — элементы матрицы волновых проводимо-
стей G использованной четырехпроводной линии. Нули передачи
звена типа С 4 и Z2 определяются соотношением
Х1,2= — МС0 = — g2(aj —а2)[1 — а3 + а3(а! —a2)]/gx.	(4.19)
Здесь А.1 и Х2 =—А.1 будут вещественными или мнимыми в за-
висимости от положительности или отрицательности выражения
114
1—аз + аз(й1—аг) и, следовательно, от положительности или отри-
цательности разности G2o—G13, так как	и —а2^0.
Интерес представляет только случай вещественных Xi и л2 (случай
мнимых М и разбирается дальше).
Рассмотрим теперь вопрос — всегда ли звену типа С, включен-
ному каскадно с ЕЭ (рис. 4.136), будет соответствовать физиче-
ски реализуемое звено Матсумото, представленное на рис. 4.13а.
Из рассмотрения соотношений (4.17) и (4.18) следует, что при
задании произвольных неотрицательных значений Lit L2, Со и Уо
не всегда можно получить неотрицательные значения Gi;(Z= 1,2,3;
/=1, 2, 3). Например, если принять
@п G12 G13 — GiS G13 G2s — 0,	(4.20)
то из ур-ний (4 17) и (4 18) получим
G2o = G22 G23	G12 = Co Yo
Gis = Yo (Co + F0)/[T (Co + Ko) + Ko]
1) + С0(Т-1)]/С0[У0(Т+ 1) + T Co] (4-21)
g12 —
Здесь
L-1 (C„ + Yg) - Yo (У„ (У + 1) + C„ (T - 1)]
[У0(Т^- 1) + CO]2
(Co + Ko)
T = (Z-1/Z.2)1/2 > o.	(4.22)
Рассматривая соотношения (4.20) и (4.21), можно видеть, что
неотрицательным значениям Li, L2, Со и Уо соответствуют неотри-
цательные значения Gv(i= 1, 2, 3; /=1,2,3) только в том случае,
если выполняются условия
(4.23)
Если использовать предположение (4.20), то соотношение
(4.19) приводится к виду
°о2 — G13 (G2o — G13)/[G12 (G13 G23) + G13 G2j],	(4.24)
где G2o^O и вместо /.i,2 использовано обозна-
чение Oo>0. Величина o0 стремится к 0 при
стремлении G20 к со. На рис. 4.14 приведена
конфигурация линии специального вида, кото-
рая обеспечивает выполнение условия (4.20).
Следующая задача заключается в том, что-
бы показать, что любая положительная веще-
ственная функция У (Л), имеющая веществен-
ные нули передачи, может .всегда быть синте-
зирована с помощью конечного числа элемен-
тов. Без потери общности можно предполо-
жить, что заданная функция У (Л) не имеет
ни нулей, ни полюсов на мнимой оси. Выделим
-----Т--------
Рис 4 14 Попе-
речное сечение
линии с четырь-
мя проводника-
ми, у которой
Ою = Озо= 0
115
I единичных элементов из У (А), как показано на рис. 4.15, так что-
бы оставшаяся часть цепи определялась входной проводимостью
У,, (Х)-АУ._, (1)
^(Х) = уг_,(1) ; ,K-J 0 -1,2................О, (4.25)
'/—I U)	гI—] W
где Уг_1(%)—входная проводимость цепи, остающейся после
(i—1)-го выделения; У<~ 1(1)—волновая проводимость следую-
щего ЕЭ, который должен быть выделен из У,_ДА). Положитель-
тов с последующим выделением звена типа С
ность и вещественность У<(А) гарантируется, как следствие теоре-
мы Ричардса [30]. Кроме того, УДА) имеет нули передачи те же,
что и У,_{(А), исключая нуль в А= ± I, если У;_ДА) не имеет ника-
ких полюсов на мнимой оси, так как
УДА) + УД—А)
рГ,._,(-Х)]
[ G(._j - X К_, (X)] [ Gz_; + X Yt_, (- X)]
(4.26)
где У;_л(1). Отсюда следует возможность выделения звена
типа С, если У (А) и, следовательно, УДА) имеют вещественный
нуль передачи. Используя результаты Юла [31], например, можно
получить выражения для параметров звена С:
Ц = [У; (<Т0) —Уi (<Г0) а0]/2 °о УГ (Go)
~ (Li Лг) Z	, (4.27)
Ц = (Уг Ы + У/ (Go) СГ0]2/2 <то У? (<Т0) [У; (<Т0) ~ У» Ы G0]
Со = 2 У?(О0)/а0 [Уi (Go) — У; (Go) cj
где <70>0 и УДА) =</УДА)Ж. Нагрузочная проводимость, присое-
диненная на выходе такого С звена, определяется соотношением
у =	-С0Х+(Н- А2 Е С„) Yt (X)	4 28)
(l + X2X2C0)-(X1 + A2-2A4)XFi(A) ’	’
и она будет рациональной положительной вещественной функцией,
если такой является УДА). Кроме того, если о0 есть нуль пере-
дачи функции УДА), тогда степень УоДА) меньше степени УДА)
на 1 или 2 в зависимости от того, является ли о0 простым или
двойным нулем.
Согласно результатам Икено [25], если число ЕЭ, выделенных
ранее, достаточно велико, то из соотношения (4.25) следует, что
116
dmYi(\)ldKm ->0	(4.29)
для любого положительного т и при Re Z>0
ГДХ)->Г(0), (<->оо)	(4.30)
в предположении, что У(О)=И=О и У(0)=И=со. (Доказательство при-
ведено в работах Икено [28] или Саблета [32].)
Из полученного выше следует, что при ао>0
Уг(ао)^У(0), У,-(ао)^О	(7^оо).	(4.31)
Применяя эти соотношения к ур-ниям (4.27), получим
7.^ 1/2 о0 У(0), L2^L,
Со + 27(0)/<т0
М — 1^(1 со)
Поэтому из соотношения (4.28) при
Уо;(1)—>У(0) (г->оо). Таким образом, для оо>0
Ср У, < (1) > 2 р0 j
Со + Уо. (D 2 + а0
Т = (LJL2)l/2	1
Со-ГвД1) !
Ср + Yo i (О
1 + СГ0 > 1
(4.32)
7=1 получаем
(i -+ оо), (4.33)
(z -> со). (4.34)
7-2	(1)
Отсюда следует, что в пределе при z->co ограничительное усло-
вие (4.23) всегда выполняется для Уг(Х), если в качестве волновой
проводимости Уо единичного элемента, включенного каскадно вслед
за С звеном (см. рис. 4.136), принять значение Уо1. Кроме того,
однородная сходимость соотношений (4.29) и (4.30) и, как след-
ствие, соотношений (4.33) приводит к заключению, что всегда
существует достаточно большое конечное положительное целое
число N, такое, что для любого положительного целого числа
n>N п выделений единичных элементов из У(X) будет давать
в результате положительную вещественную функцию Уп(7), из
которой может быть выделено составное звено типа С, удовлетво-
ряющее условию (4.23). Другими словами, нуль передачи любой
положительной вещественной рациональной функции У(7) может
быть реализован с помощью звена Матсумото и некоторого числа
каскадно включенных единичных элементов.
На рис. 4.16 приведен численный пример. В этом примере зве-
но типа С для схемы на рис. 4.16а не может быть реализовано
Рис 4.16. Синтез функции
входной проводимости
У а = (14-АН-Х2) / (1+9А-+
+4М)
Равномерности индуктивности —
Г или Ом. емкости — Ф или См,
единичные элементы и нагруз-
ки — См. Gio = G30 = 0»	G20 —
« 2,786, G12 “ 0,00442. GJ3 = 0,371,
G2 = 1,189
117
с помощью звена Матсумото, однако другое представление Ул(7.)
в виде схемы на рис. 4.166 допускает требуемую реализацию
S)
Рис. 4.17. Синтез функции входной
проводимости У в = (1+4Х4-
4-16Л.2)/(14-9Л.4-4Л2)
Размерности: индуктивности — Г или Ом,
емкости — Ф или См, единичные элемен-
ты и нагрузки — См. бю = бзо = 0. б2о =*
= 5,516, <?!2 « 0,0157, Gi3 <= 0,642, G23 « 0,579
(рис. 4.16в). Другой пример дан на рис. 4.17. Детальное рассмот-
рение этого примера можно найти в работе Сайто [33] и в работе
Сканлана и Роудса [34].
Сводка результатов и замечания
Результаты можно суммировать в виде следующей теоремы.
Теорема. Любая положительная вещественная рациональная
функция Y(X) может быть реализована как входная проводи-
мость реактивной цепи с двумя парами зажимов, нагруженной
на выходе положительной вещественной активной проводимостью.
При этом цепь с двумя парами зажимов (с двумя входами) со-
стоит только из единичных коаксиальных и многопроводных эле-
ментов (ЕЭ и МЭ), соединенных каскадно или параллельно, т. е.
без идеальных трансформаторов и гираторов и без последова-
тельных соединений элементов.
Эта теорема устанавливает только условие существования,
т. е. возможность реализации функции У(Х). Остаются открытыми
задачи: 1) определения минимального числа элементов, необхо-
димых для реализации заданной функции У(А.) и 2) нахождения
наиболее простых эквивалентов, обеспечивающих реализацию
о) S) 6)^.	г)
Рис. 4.18. Звенья, реализующие различные нули передачи: а) звено
в виде согнутой под углом 180° линии; б) звено Сайто; в) звено
Роудса; г) звено Панга
118
структур с помощью наиболее просто конструируемых элементов.
Некоторые полезные примеры показаны на рис. 4.18. На рис.
4.18а представлено звено в виде согнутой под углом 180° линии,
обеспечивающее реализацию нулей передачи на реальной оси,
не равных ± 1 (| о01 =/= 1) (см. табл. 4.4, п. Va). Звено Сайто [35],
показанное на рис. 4.186, эквивалентно петле Икено (см. табл. 4.4,
IV6). Звено Роудса [36] на рис. 4,18в имеет нули передачи на мни-
мой оси и звено Панга [37] на рис. 4.18г имеет нули, расположен-
ные вне обеих осей. Другие примеры можно найти в работе
Матсумото [38] и в работах других авторов [39]—[47].
4.7.	МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ РИЧАРДСА
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Теорема Ричардса в матричной форме
В этом параграфе рассмотрено обобщение теоремы Ричардса
на цепи с несколькими входами. Это обобщение, названное здесь
теоремой Ричардса в матричной форме, имеет важное значение
для синтеза распределенных цепей с числом входов больше двух.
Теорема. Если неособенная симметричная матрица Y(X) яв-
ляется положительной вещественной и матрица щЛ(оо)—XY(X) яв-
ляется неособенной для любого положительного вещественного
числа о0, тогда матрица
Y* (X) = X Y (о0) [о0 Y (о0) - X Y (Х)Г1 [о0 Y (X) - X Y (о0)1	(4.35)
также будет положительной вещественной и симметричной.
Доказательство. Сначала исследуем положительность и ве-
щественность матрицы
Ya (X) = о0 [X Yo — a0 Y (Х)]/(Х2 - eg),	(4.36)
где Yo=Y(o0). Заметим, что Ya(X) регулярна для ReX>0, так как
Y(X) регулярна для ReX>0, а множитель X—оо сокращается в
числителе и знаменателе Ya(X). Теперь заметим, что энергетичес-
кая матрица, соответствующая матрице Ya(X) на мнимой оси,
~ [Ya (i Й) + Y* (i Q)] =	{о0 [Y (i Q) + Y* (i Q)] -
2	+ °o
— i Q a0 (Yo — Y*)J ,
является неотрицательно определенной, так как Y(i Q)+Y*(i Q)
^>0n(n — порядок матрицы Y(X) и Yo — вещественная симметрич-
ная матрица). Любой конечный полюс Ya(X) на мнимой оси i й0
является простым, так как он совпадает с полюсом Y(X). Кроме
того, вычет в этом полюсе является неотрицательно определен-
ным, так как [см. соотношение (4.36)]
res Ya (i Qo) = res a2 Y (i Q0)/(Q2 4- a2)	(4.37)
и res Y(iQ0)^O„. Здесь resY(Xf) означает вычет Y(X) в ее полюсе
119
Х=Х,. Если значение Z = 0 является полюсом Y(X), тогда это зна-
чение является также полюсом Ya(X) и res Ya(0) = res Y(0) ^On-
С другой стороны, Ya(oo)=On- Из этого следует положительность
и вещественность Ya(X). Кроме того, если Y(X) симметричная
матрица, то Yo и Ya(X) также симметричны. Можно к тому же
показать, что
Za (X) = <т0 [X Y71 - ст0 Y-1 (X)] / (X2 - о02)	(4.38)
также положительная вещественная симметричная матрица, так
Л
как Za(X) получается из Ya подстановкой в соотношение (4 36)
Y-i(X) и Y-^ вместо Y(X) и Yo соответственно. Кроме того, Za(X)
является неособенной матрицей, так как
Za (X) = a Y-J [X Y (X) - <т0 Yo] Y-1 (Х)/(Х2 - <<	(4.39)
а матрицы Y-1(X), Y-^ и XY(X)—щЛо являются неособенными по
Л	Л
условию. Таким образом, существует матрица Z-1a(X) =Y(Z), ко-
торая положительна, вещественна и симметрична
Положим теперь, что матрица YH(7.) —положительная вещест-
венная и симметричная. Из соотношений (4.35) и (4.38) получим
Y^(X) = Ya(X)-(XY0/a0),	(4.40)
где оба члена справа имеют простой полюс в бесконечност" С уче-
том соотношения (4.40) и предыдущих рассуждений следует, что
Уд(Л) удовлетворяет всем необходимым и достаточным условиям,
за исключением условий для вычета в бесконечности. Поэтому
достаточно показать, используя для этой цели соотношения (4.38)
и (4 40), что
res Yr (оо) = [ст0 (YcT1 — ст0 А~'(Y0/ct0) =
= (Y^ - (то А'1)"1 А~\	(4.41)
может быть положительно определенным. Здесь А-1оо обозначает
вычет Y'H/.) в бесконечности. Преобразуя правую часть соотно-
шения (4.41) в квадратичную форму с произвольным веществен-
ным постоянным вектором х с п составляющими, получим
X' Yo (А„ -<т0 Yo)-’ Yo х = у' (А» - <т0 Yo)-’ у,	(4.42)
где y = YoX — вещественней постоянный вектор с п составляющи-
ми. Напомним, что если вещественная симметричная матрица К
является положительно определенной, то обратная матрица К-1
также будет вещественной, симметричной и положительно опре-
деленной. Поэтому необходимо только исследовать, является ли
матрица Аоо—щЛо симметричной и неотрицательно определенной.
Непосредственно видно, что матрица Аоо—щДо является симмет-
120
ричной, так как ст0 — скаляр, a Yo и — симметричные матрицы,
что следует из симметрии Y(A)
Рассмотрим теперь положительную вещественную симметрич-
ную матрицу Y(Z) и произвольный вещественный постоянный
n-вектор z. Обозначив
XQ(X) = A.z'Y(A)z = z'A.Y(A)z,	(4.43)
получим
z'(A«— a«YJz = z'iY (4z|,__ — z'lY(X)z|x_ai -
= <4-44>
Отсюда следует, что Q(X) =z'Y(/.)z— положительная скаляр-
ная функция, так как Y(A) —положительная вещественная матри-
ца. С другой стороны, для любой положительной вещественной ска-
лярной функции W(s) согласно теореме Пика [48] должно выпол-
няться соотношение S{W(si) ^szW(sz) при s2>Si>0. Кроме того,
согласно этой теореме W(s) = {/sC и С>0, если SiW(si)=S2^(S2).
Этот последний случай соответствует особенной матрице ffoY(no)—
—XY(A), что противоречит исходным условиям (см. формулировку
теоремы). Поэтому величины, входящие в соотношения (4.44),
суть положительно определенные при 0<ц0<°° и это подтверж-
дает, что Yh(X) в соотношении (4.35)—положительная вещест-
венная симметричная матрица.
Следствие 1. Степень матрицы YR(A) в соотношении (4.35)
равна или меньше степени матрицы Y(A,). Если
Y (сг0) ф-Y (—сг0) = 0л,	(4.45)
то степень матрицы YR(A) меньше степени матрицы Y на п, где
п — порядок неособенной положительной вещественной симметрич-
ной матрицы Y(A).
Доказательство. Рассматривая выражение (4.35) для YR(Z),
можно установить, что —Л, является общим множителем для
числителя и знаменателя матрицы YR(2.). Однако, если не произ-
водить никаких сокращений, то ZY(Z) имеет наибольшую степень
среди выражений в правой части соотношения (4 35), и эта степень
больше степени Y(X) на п. Таким образом, степень YR(/„) обычно
равна степени Y(X). Но если четная часть Y(X) удовлетворяет
условию (4.45), тогда в YR(A) сокращается также и множитель
<То+А, а степень YR(A) становится меньше степени Y(л) на п.
Следствие 2. Если Y(A) в соотношении (4.35) является функ-
цией Фостера, то Yr(a) также функция Фостера и ее степень
меньше на п степени Y(A).
Доказательство следует непосредственно, так как из условия
Y(A) +Y( - л) =0„ получаем YR(7.) + YR(—л) =0„
Матричная теорема Ричардса впервые была представлена в
работе Баярда [49], причем доказательства ее было основано на
121
использовании ограниченных вещественных коэффициентов рас-
сеяния. Изложенное выше доказательство приведено в работе
Сайто [50], а обобщение на случай невзаимных цепей рассмотрено
в работе Ньюкомба [51].
Применение каскадного синтеза к цепям
с многопроводными линиями
Вспомним уравнения передачи, заданные соотношениями
(4.15), где U и I — векторы напряжений и токов проводников на
входном конце, a Uo и 1о — соответствующие векторы на приемном
Рис. 4 19. Каскадное выделение многопроводной
линии с матрицей волновых проводимостей Y, (1)
из заданной матрицы входной проводимости Y,(%)
Матрица Yсоответствует остающейся цепи
конце линии. Чтобы получить выражение, подобное выражению
(4.35) для Yh(Z), положим I = YS(Z)U и L0=Yz(2,)U0 (рис. 4.19).
Тогда получаем
Ys (Л) = [Y, (Л) + Л G] [G + Л Y, (Л)]-1 G (4.46)
или, разрешив (4.46) относительно Y;(Z),
Yz (%) = G [G - X Y, (X)]-1 [Ys (%) - G %].	(4.47)
Чтобы установить соответствие между YJ7.) в соотношении
(4.47) и Yh(7.) в соотношении (4.35), полагаем
YS(X)=Y(A), G = Y(cr0), ст0 = 1.	(4.48)
Тогда из соотношения (4.46) и рис. 4.19 следует, что условие
оо=1 соответствует условию
G = Ys (1) = Y(l),	(4.49)
где G —матрица волновых проводимостей многопроводной линии.
Поэтому может быть сделан вывод, что если задана неособенная
положительная вещественная симметричная матрица Y(7.) и свя-
занная с ней неособенная гипердоминантная матрица Y(l), то
можно выделить из Y(7.) звено многопроводной линии (МЭ) с
матрицей волновых проводимостей Y(l). При этом оставшаяся
после выделения матрица Yh(Z) будет согласно матричной теоре-
ме Ричардса [50] положительной вещественной и симметричной.
Кроме того, если Y(Z) является функцией Фостера, то тогда, со-
гласно следствию 2, степень матрицы понижается. Такое пониже-
ние степени очень важно, так как обеспечивает сходимость про-
цесса синтеза.
При синтезе с использованием теоремы Ричардса могут воз-
никнуть трудности, если матрица Y(X) или матрица ctqY0—ZY(Z)
122
особенная; это означает, что матрицы Yh(Z) не существует. Одна-
ко в работе Ооно (52] показано, что всегда существует неособен-
ная вещественная матрица В порядка п такая, что выполняется
соотношение
W = B'diag(w, 0„_г)В	(4.50)
для положительной вещественной матрицы W порядка п и ранга
г. Здесь w — неособенная положительная вещественная матрица
порядка г и Оп-г — нулевая матрица порядка п—г.
Если матрица Y(Z) имеет ранг г, то, используя соотношение
(4.50), где вместо w подставлена матрица Y(7.), преобразуем ее
к неособенной положительной вещественной матрице y(Z), к ко-
торой уже может быть применена теорема Ричардса. Так как
матрица В неособенная вещественная и постоянная, то ее можно
интерпретировать в виде многообмоточного идеального трансфор-
матора, представляющего соединение обычных идеальных транс-
форматоров с двумя входами, в котором п—r пар выходных зажи-
мов разомкнуты, а оставшиеся выходные пары зажимов связаны
с цепью, описываемой матрицей Y()Z.
Во втором случае, когда особенной является матрица
ooY—ZY(Z), требуется более сложная процедура синтеза. Наибо-
лее простой подход—проводить синтез для Y-1(A<), если матрица
ooY (Z.)—aY0 неособенная. В этом случае матрица Y~'H существует.
Ниже рассмотрен более общий подход. Для удобства положим,
. что Y(Z) неособенная положительная вещественная симметричная
матрица. Сначала выделим из Y(7.) полюс в начале координат.
Тогда матрица
I	Y(Z) = Y(Z)-(A0/Z)	(4.51)
I положительная, вещественная, симметричная и не имеет полюсов
в начале координат. Здесь Ао — неотрицательно определенная и
г симметричная матрица вычетов в начале координат. Таким обра-
| зом, если матрица o0Yo—aY(л) особенная, то особенной будет и
матрица
;	<TY(a0)-bY(b) = a0Ye-bY(b).	(4.52)
л
Дальнейшее рассмотрение (см [53]) показывает, что Y(Л) будет
особенной матрицей, если матрица щЛо—aY(X) также особенная
(см. также доказательство Ньюкомба в работе [54]). Другими
Л	л л
словами, Y(a) — особенная матрица, если матрица ctoY(cto)—AY(X)
— особенная, и наоборот, матрица щУ(ст0)—Z.Y(л) — неособенная,
л	л
если неособенна матрица Y(K), так как матрица Y(K) является
аналитической в начале координат. Особенная положительная ве-
л
щественная матрица Y(1) может быть преобразована к неособен-
л
ной положительной вещественной матрице у(^), аналитической
123