/
Автор: Русинов М.М.
Теги: оптические приборы и аппаратура приборостроение машиностроение оптика оптические приборы
ISBN: 5-217-00546-7
Год: 1989
Текст
ММ. Русинов
КОМПОЗИЦИЯ
ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
Ленинград
„Машиностроение"
Ленинградское отделение
1939
ББК 34.9
Р88
УДК 681.7: 535.31
Рецензент проф. В, А. Зверев
Машиностроение.
Русинов М. М.
Р88 Композиция оптических систем. — Л.
Ленингр. отд-ние, 1989.—383 с.г ил.
ISBN 5-217-00546-7
В книге рассмотрены вопросы рационального выбора исходных
конструктивных оптических систем, основанного на сочетании оптических
элементов и узлов с известными свойствами. Даны основные теоретические
сведения из геометрической оптики применительно к большим полям
зрения и апертурам, рассмотрены свойства отдельных элементов и узлов.
Приведены примеры композиции оптических систем различного
назначения.
Книга предназначена для инженеров, занимающихся разработкой
и расчетом оптических приборов. Она может быть полезна для
преподавателей и студентов оптико-механических специальностей вузов.
2706010000-280
038 (01)-89
280-89
ББК 34.9
ISBN 5-217-00546-7 @ Издательство «Машиностроение», 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ
Разработка оптических систем является одной из
специфических областей проектирования приборов. Для нее характерны
некоторые особенности. Одна из таких особенностей — обеспечение
требуемого качества изображения. В большинстве случаев это
требование сводится к задаче устранения ряда аберраций, так
или иначе разрушающих изображение.
В связи с этим возникает необходимость оценки качества
изображения проектируемой оптической системы, что осуществляется
посредством расчета хода ряда лучей, входящих в оптическую
систему, и определения взаимного расположения этих лучей на
изображении. Подобная «геометрическая» оценка качества
изображения в большинстве случаев достаточно убедительна и может быть
в дальнейшем дополнена учетом явлений, определяемых волновой
природой света.
Однако точные формулы для расчета хода лучей достаточно
громоздки. Поэтому при разработке оптических систем
необходимо проводить трудоемкие вычислительные работы.
Первоначально нередко приходилось изготавливать те или иные
оптические системы и путем последовательного их изменения достигать
требуемого качества изображения.
Совершенно очевидно, что таким способом могли создаваться
лишь сравнительно несложные оптические системы, состоявшие из
двух-трех линз, например объективы зрительных труб и
простейшие окуляры из тонких линз, разделенных воздушными
промежутками.
Для того чтобы избежать такого экспериментального метода
проб, необходимо было упростить математическое определение
качества изображения. Это удалось осуществить путем отказа от
использования точных формул для определения хода лучей и
замены их приближенными формулами, построенными на
допущении малости углов лучей с осью системы. Была создана так
называемая теория аберраций третьего порядка, позволившая
составить приближенные уравнения для всех элементарных
аберраций. Решение подобных уравнений для сравнительно простых
оптических систем, состоявших из тонких линз, при не очень
высоких требованиях к характеристикам оптической системы при-
3
водило к результатам, более или менее близким к желаемым,
и в ряде случаев сравнительно небольшие изменения параметров
оптической системы, сделанные уже на основе расчета хода
действительных лучей по точным формулам, давали положительные
окончательные результаты.
Таким образом, и при использовании формул теории аберраций
третьего порядка не была исключена необходимость применения
расчетов по точным формулам, т. е. не были существенно
уменьшены вычислительные работы.
Следует отметить, что однажды разработанные оптические
системы обладали длительной «живучестью» и сохранялись в
течение ряда десятилетий. Это обстоятельство позволяло
ограничиваться наличием сравнительно небольшого числа вычислительных
бюро, занимавшихся расчетами оптических систем.
Первоначально такие вычислительные бюро были созданы на
германских оптических заводах — на фирмах «Карл Цейс»
{Carl Zeiss), «Герц» (Goerz), «Лейтц» (Leitz) и др. Эта монополия
Германии обусловила затруднительное положение союзных
держав во время первой мировой войны, что и послужило импульсом
для создания оптических заводов во Франции, Англии и России.
В последние десятилетия в связи с развитием кинематографии
и телевидения выросли требования, предъявляемые к современным
оптическим системам. Коренным образом изменилась
трудоемкость вычислительных работ, обусловленная созданием
электронно-вычислительных машин (ЭВМ), в десятки и сотни раз
ускоривших выполнение этих работ.
Однако использование ЭВМ для расчетов оптических систем
привело к не очень быстрому ускорению их разработки — всего
в два-три раза.
Последнее объясняется тем, что все внимание
оптиков-расчетчиков было направлено на усовершенствование методов расчета и
математического обеспечения расчетов оптических систем,
исключая композицию исходных оптических систем, которая
обеспечивает возможность получения требуемого качества изображения
в принципиальной исходной оптической системе.
Повышение оптических характеристик пытались осуществить
путем усложнения уже известных оптических систем, что большей
частью стало вызывать их неоправданное переусложнение со
всеми вытекающими отсюда производственными
последствиями.
Вместе с тем накопленный практический опыт разработки
оптических систем показал, что, зная свойства отдельных элементов
оптической системы, можно компоновать исходную схему системы
путем сочетания в ней только тех элементов, свойства и
возможности которых необходимы для удовлетворения требований,
предъявляемых к ней. Такой подход исключает существование в системе
бесполезных элементов, не принимающих участия в исправлении
тех или иных аберраций.
4
Важно отметить, что в ряде случаев удавалось добиться
уменьшения числа оптических деталей, входящих в оптическую систему,
вдвое, причем без ухудшения результатов и с одновременным
ускорением процесса разработки в несколько (и даже в десятки)
раз.
Таким образом, сложился метод разработки оптических систем
посредством компоновки их из различного рода базовых и кор-
рекционных конструктивных элементов или узлов.
Вместе с тем при разработке оптической системы соответственно
должно учитываться и взаимное расположение конструктивных
узлов относительно материальной диафрагмы. Следует заметить,
что удовлетворение требований, предъявляемых к
разрабатываемой оптической системе, во многих случаях может обеспечиваться
различными принципиальными схемами, что свидетельствует о
существовании нескольких возможных решений.
Следовательно, создание той или иной оптической системы
нельзя сводить лишь к синтезу ее из ряда выбранных
конструктивных элементов, т. е. необходим более широкий подход, который
может быть назван композицией оптических систем.
В данной книге ставится задача систематизации методов
композиции различных оптических систем, подтверждаемая рядом
практических примеров. Однако, так как вопросы композиции
затрагиваются в специальной литературе впервые, а сама
методика композиции продолжает развиваться, то в какой-то мере
приходится ограничиваться лишь более или менее устоявшимися
примерами.
Автор считает своим приятным долгом выразить
благодарность лауреату Ленинской премии канд. техн. наук Н. А. Агаль-
цовой за помощь при подготовке рукописи и издании книги.
Часть 1
ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
СВЕДЕНИЯ
Глава 1
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Простейшие элементы — линзы, из которых строятся
различные оптические системы, существовали еще 2500 лет до н. э. Так,
Шлиманом в 1890 г. при раскопках Трои были обнаружены линзы,
изготовленные из горного хрусталя около 4500 лет назад.
Однако более или менее широкое распространение простые
линзы получили лишь в конце XIII в. в виде очковых линз.
Первые же оптические приборы (зрительная труба и микроскоп)
были изобретены значительно позже: в конце XVI — начале
XVII вв.
С помощью зрительной трубы и микроскопа должны были
решаться две основные задачи: 1) получение требуемого
увеличения; 2) обеспечение необходимого качества изображения.
Первая задача, как известно, обусловливается определенными
значениями фокусных расстояний составляющих систему линз.
Вторая задача связана с достижением достаточно малых
аберраций.
Аналитическое определение фокусных расстояний линз
невозможно без знания величин показателей преломления материала
линз и радиусов их кривизны. Однако для положительных линз
фокусные расстояния легко определяются экспериментально.
Фокусные расстояния отрицательных линз также могут быть
найдены экспериментально, а именно: путем нейтрализации их
действия соответственно подобранными положительными линзами.
Аналогично можно было бы определять опытным путем и
фокусные расстояния вогнутых зеркал, но, исходя из закона отражения,
представилось возможным находить их и аналитически.
Аберрации простых линз могли быть в той или иной мере
ослаблены ограничением величин отверстий линз и угловых полей,
что также определялось экспериментально.
Таким образом, обе указанные выше задачи приходилось
решать путем подбора необходимых линз, т. е. методом проб, опи-
6
раясь на сопоставление результатов, получавшихся при сочетании
различных линз друг с другом.
Теоретическое решение задач прикладной оптики стало
возможным значительно позже: после открытия закона преломления
Снеллиуса—Декарта и вывода формулы Ньютона, связывавшей
положение предмета и изображения.
Использование простых линз, изготовленных из одного и того
же стекла, обусловливало наличие большого хроматизма
положения. Единственным средством борьбы с этим хроматизмом в
зрительных трубах являлось значительное увеличение фокусных
расстояний объективов, что попутно существенно уменьшало их
сферическую аберрацию.
Создание трубы Кеплера с положительным окуляром привело
к изобретению коллектива — линзы, расположенной вблизи
плоскости промежуточного изображения и предназначенной для
развития углового поля, а также для получения изображения
объектива (выходного зрачка), совмещаемого со зрачком глаза
наблюдателя.
Простейшими положительными окулярами, построенными из
плосковыпуклых линз, были окуляры Рамсдена и Гюйгенса.
Короткофокусность окуляров и небольшой диаметр выходного
зрачка делали мало ощутимыми их сферическую аберрацию и
хроматизм положения. Вместе с тем существенное увеличение
углового окулярного поля по отношению к угловому полю в
предметном пространстве приводило, наоборот, к появлению весьма
ощутимого астигматизма окуляров. Однако в дальнейшем будет
показано, что в конструкциях окуляров Гюйгенса и Рамсдена были
заложены возможности устранения астигматизма, а в окуляре
Гюйгенса — и хроматизма увеличения.
Устранение хроматизма положения в одиночных линзах,
используемых в качестве объективов, как уже отмечалось, было
невозможно. Поэтому пришлось обратиться к использованию в
качестве объективов зеркал. Главным недостатком зеркальных
объективов являлась сферическая аберрация, полное устранение
которой обеспечивалось приданием зеркалу параболического профиля.
С другой стороны, Эйлером была показана принципиальная
возможность ахроматизации объективов, построенных из двух
стекол с различными дисперсиями. Эта возможность эмпирически
-была реализована Доллондом.
Ахроматизация линзовых объективов обусловила возможность
отказа от использования длиннофокусных объективов; при этом
сферическая аберрация становилась более ощутимой. Однако
при наличии некоторой разности показателей преломления
сферическая аберрация оказалась поддающейся исправлению за счет
подбора формы обеих линз объектива. Таким образом, был создан
тонкий двухлинзовый компонент, в котором представилось
возможным управлять хроматизмом, сферической аберрацией и
комой.
7
При изобретении фотографии возникла задача приема
изображения на плоскую фотографическую пластинку. Для этого
потребовалось достижение достаточно хорошего качества
изображения не только в окрестности оси оптической системы, т. е. возникла
необходимость устранения полевых аберраций — астигматизма
и кривизны поверхности изображения. Кроме того, вследствие
низкой светочувствительности фотоматериалов требовалось
повышение светосилы оптической системы.
Решение задачи коррекции полевых аберраций посредством
использования тонкого компонента с устраненной сферической
аберрацией и комой оказалось невозможным. Однако,
отказываясь от исправления сферической аберрации, можно было
добиваться исправления астигматизма за счет соответственного
удаления входного зрачка от тонкой линзы, имеющей менискообразную
форму. Такого рода неахроматизированные мениски назывались
моноклями. При исправленном астигматизме они обладали
неисправленной сферической аберрацией и комой, что не позволяла
развивать значительное относительное отверстие. Влияние
хроматизма у таких линз ослаблялось за счет перефокусировки при
переходе от визуального участка спектра к фотографическому
актиничному участку, т. е. за счет введения так называемой
кассетной разности.
Стремление повысить относительное отверстие
фотографических объективов за счет устранения комы привело к созданию
Штейнгелем симметричных конструкций фотографических
объективов типа перископ, построенных из двух симметрично
расположенных относительно диафрагмы менисков. Однако и в этих
объективах сферическая аберрация и хроматизм положения
оставались неисправленными. Их исправление удалось осуществить
посредством сочетания двух симметричных склеенных линз ме-
нискообразной формы, у которых были устранены сферическая
аберрация и хроматизм положения при исправленном
астигматизме. Эти объективы получили название апланатов. Они также
были разработаны Штейнгелем.
Апланаты обладали достаточно большими относительными
отверстиями, но (как и объективы типа перископ) они не были
исправлены на кривизну поля, что лимитировало возможность
развития углового поля в предметном пространстве.
Несколько ранее Петцвалем был создан портретный объектив
с большим относительным отверстием из двух тонких
ахроматизированных двухлинзовых компонентов, разделенных
значительным воздушным промежутком. Передний компонент в объективе
Петцваля был исправлен на сферическую аберрацию и кому,
а его астигматизм исправлялся с помощью второго компонента,
расположенного для этого на определенном расстоянии от первого
компонента. Однако в объективе Петцваля при хорошем
исправлении всех аберраций кривизна поля оставалась
неисправленной.
8
В тот же период времени Суттоном была предложена схема
концентричного объектива, строго корригированного на
астигматизм и кому, с одинаковой по всему полю сферической аберрацией.
Этот объектив также обладал неисправленной кривизной поля.
Для дальнейшего развития фотографической оптики
требовалось исправление кривизны поля. Эта задача была решена в конце
XIX столетия при создании серии симметричных склеенных
анастигматов. Так, Рудольфом были созданы объективы «Протар» и
«Двойной протар», Хёгом — объектив «Дагор» и Кемпфером —
«Коллинеар».
Основным элементом перечисленных объективов являлась ме-
нискообразная линза с приблизительно равными наружными
радиусами, что и обеспечивало исправление кривизны поля;
исправление комы достигалось симметричным расположением
этих линз относительно диафрагмы.
Для исправления сферической аберрации в менискообразные
линзы вводились нормальные поверхности склейки, позволявшие
устранять и хроматизм положения (хроматизм увеличения
корригировался симметричностью конструкции).
Важна отметить, что кроме нормальных склеенных
поверхностей во всех этих объективах вводились также и аномальные
склеенные поверхности с обратной ориентировкой по отношению
к диафрагме. Введение таких склеек объяснялось в технической
литературе тем, что они якобы обеспечивали исправление
кривизны поля. Однако на самом деле их назначение было другим.
Они ослабляли значительный неэлементарный астигматизм,
присущий менискообразным линзам, которые работали с
ближним расположением входного зрачка.
Для менискообразных линз с равными радиусами,
работающих с дальним положением входного зрачка, неэлементарный
астигматизм получался незначительным, что и позволило Хёгу
рассчитать широкоугольный объектив «Гипергон» из двух таких
менисков с угловым полем 2со = 135°.
Параллельно с созданием двойных склеенных анастигматов
в конце XIX в. наметилось и другое направление. Так, Тейлором
был создан трехлинзовый объектив под названием триплет, также
исправленный на все аберрации, включая и кривизну поля.
Для расширения работ по созданию самых разнообразных
оптических систем был необходим переход от эмпирических
методов к аналитическим, что пытался сделать еще Петцваль, Однако
такой переход затруднялся тем обстоятельством, что точные
формулы для расчета хода лучей через сферические преломляющие
поверхности не позволяли составлять системы уравнений, решая
которые можно было бы получать значения радиусов, толщин
линз и воздушных промежутков, приводящие к устранению
аберраций.
В этом отношении весьма заманчивым являлся отказ от
точных формул для расчета хода лучей и замены их приближенными
9
формулами, т. е. создание так называемой теории аберраций
третьего порядка. Такие приближенные формулы и были
получены Зейделем в 1856 г.
Применительно к расчетам тонких двухлинзовых
компонентов, когда речь шла об исправлении сферической аберрации, комы
и хроматизма, формулы Зейделя в какой-то степени оправдывали
себя. Однако при введении реальных толщин линз эти формулы
приводили к очень сложным зависимостям и выражениям,
пользоваться которыми практически становилось невозможным. Кроме
того, при создании более или менее сложных оптических систем
(фотообъективов) расхождения между реальными и зейделевыми
аберрациями становились весьма значительными.
Тем не менее изящность подхода к решению задачи создания
оптических систем с помощью теории аберраций третьего порядка
привлекала внимание исследователей и способствовала
дальнейшим обобщениям — созданию теории эйконалов, с помощью
которой легко могли быть получены все коэффициенты зейделевых
аберраций. Вместе с тем эти обобщения не привели к каким-либо
конкретным практическим результатам.
Анализируя причины практической несостоятельности теории
аберраций третьего порядка, следует обратить внимание на то
обстоятельство, что равенство нулю всех зейделевых сумм легко
достигается для множества различных оптических систем, а это
лишает возможности выявления каких-либо преимуществ той
или иной оптической системы друг относительно друга.
Установление же этих преимуществ является в подавляющем числе
случаев решающим.
Как уже отмечалось ранее, разработка новых оптических
систем первоначально решалась большей частью эмпирически,
т. е. путем изготовления конкретных линз и сочетания их друг
с другом. Таким образом, в частности, была создана
принципиальная схема объектива типа триплет, корригированного на
все элементарные аберрации. Однако такой подход к разработке
оптических систем был длительным и достаточно дорогим.
Поэтому, располагая точными формулами для расчета хода лучей
через оптические системы, представилась возможность заменить
изготовление оптических деталей соответствующим изменением
радиусов, толщин линз и воздушных промежутков, а оценку
исправления аберраций выполнять на основании расчета хода
действительных лучей.
Этот метод получил наименование метода проб и практически
имел самое широкое распространение. По своему существу метод
проб сводится к изучению свойств каждой конкретной оптической
системы и установлению зависимостей между параметрами
оптической системы и ее аберрациями. Совершенно естественно, что метод
проб на первых порах не мог привести к каким-либо обобщениям.
Вместе с тем в практических разработках выявлялись те или
иные конструктивные элементы, которые позволяли расширять
10
и повышать оптические характеристики. Так, в микроскопии
были установлены целесообразность использования в сильных
микрообъективах фронтальной линзы с апланатической
поверхностью, а также необходимость соблюдения условия синусов,
теоретически обоснованного в дальнейшем Аббе.
Практически решение задачи уменьшения вторичного спектра
привело Аббе к необходимости создания специальных марок
оптического стекла с уменьшенным вторичным спектром, т. е. так
называемых курц-флинтов. Аббе и Рудольфу принадлежат также
попытки ахроматизации перископа Штейнгеля путем введения
в него плоскопараллельной пластинки с хроматическими
радиусами, не нарушавшей существенно монохроматической коррекции
объектива.
Таким образом, постепенно накапливался ряд приемов и
создавались конструктивные узлы, способствующие исправлению
тех или иных неэлементарных аберраций. Однако все же главное
внимание конструкторов-оптиков уделялось совершенствованию
методов расчета оптических систем, т. е. уменьшению
трудоемкости оптических расчетов.
Это в какой-то мере сдерживало решение задачи выбора
исходной оптической системы. Так, А. И. Тудоровский писал [14,
с. 3861: «Простейшим элементарным приемом расчета оптической
системы является подбор элементов этой системы наудачу...»;
или там же (с. 387): «В случае сложных систем, когда нельзя
пренебрегать толщинами линз даже в первом приближении, как,
например, в случае микроскопических объективов большого
увеличения, решение алгебраических уравнений, составленных на
основании теории аберраций третьего порядка, не может дать
исходной системы ...». Аналогичное суждение приведено и в книге
Д. С. Волосова [3, с. 360]: «Разработка удачной оптической
системы по-прежнему остается областью изобретательства, где
элементы интуиции и удачи имеют решающее значение».
Развитие в последние десятилетия современной
электронно-вычислительной техники привело к резкому (в десятки тысяч раз)
ускорению выполнения вычислительных процессов и
способствовало созданию предпосылок для автоматизации методов расчета.
Тем не менее (как уже отмечалось в предисловии) использование
ЭВМ для расчетов оптических систем ускорило эти расчеты весьма
незначительно — не более чем в два-три раза.
Такой неожиданно скромный результат вполне объясняется
тем, что при недостаточно правильном выборе исходной
оптической системы, когда в ней отсутствуют конструктивные элементы,
обеспечивающие требуемое исправление аберраций, решение
поставленной задачи становится невозможным, и разработчику
приходится снова начинать с поиска исходной системы.
Уместно обратить внимание еще на одно обстоятельство. В ряде
случаев в качестве исходной оптической системы используют
известные оптические системы (из архива или патентных данных)
11
с близкими к требуемым оптическими характеристиками. Прямое
форсирование оптических характеристик такой исходной системы
(если ее возможности были уже достаточно полно исчерпаны
автором) обычно не дает желаемого результата. Тогда возникает
необходимость введения в нее дополнительных коррекционных
элементов, что обычно осуществляется за счет усложнения исходной
оптической системы.
При подобном подходе, если и удается добиться желаемых
результатов, то это достигается ценою значительного усложнения
исходной системы. Нередко в этом случае некоторые из элементов
системы оказываются в недостаточно нагруженном состоянии и
их присутствие становится неоправданным, т. е. оптическая
система становится переусложненной.
Изложенное выше свидетельствует о большом значении
правильного выбора исходной оптической системы.
Возвращаясь к историческому развитию оптических систем,
необходимо также отметить следующие этапные моменты: создание
коррекционной пластинки Шмидта, позволившей существенно
увеличить поле зрения астрономических зеркал; большую роль
открытого автором книги явления аберрационного
виньетирования, явившегося ключевым элементом при создании
широкоугольных объективов, исправленных на дисторсию; реализация кор-
рекционного мениска Максутова; создание растровых оптических
систем и волоконной оптики, а также оптических систем с
переменными показателями преломления, т. е. градиентной оптики.
Глава 2
ФОРМУЛЫ СОЛИНЕЙНОГО СРОДСТВА
2.1. Формулы увеличений
При разработке современных оптических систем с
повышенными оптическими характеристиками важно иметь достаточно
ясное представление о работе входящих в нее конструктивных
элементов; для достижения этой цели уже нельзя пользоваться
общеизвестными формулами геометрической оптики,
справедливыми лишь в окрестности оптической оси, когда апертурные и
полевые углы достаточно малы. В связи с этим следует расширить
область применения формул геометрической оптики для больших
полей зрения; это можно сделать, опираясь на общие
закономерности солинейного сродства или коллинеарности в окрестности
хода главного луча.
Обратимся к рис. 2.1, на котором представлен ход главного
луча в пространстве предметов и в пространстве изображений,
12
составляющего с осью системы полевые углы оз и со'. Примем
следующие исходные положения:
1. Элементарному отрезку dy, перпендикулярному оси
системы, в меридиональной плоскости в предметном пространстве
сопряжен элементарный отрезок dy' в пространстве изображений,
также перпендикулярный оси системы.
2. Каждой прямой в меридиональной плоскости в предметном
пространстве сопряжена прямая в пространстве изображений,
также лежащая в меридиональной плоскости.
3. Каждой точке пересечения двух или нескольких прямых
в меридиональной плоскости в предметном пространстве сопря-
Рис. 2.1. Ход главного луча
жена точка пересечения сопряженных прямых в пространстве
изображений.
4. Повороту меридиональной плоскости зокруг оси в
предметном пространстве на произвольный угол у соответствует
поворот меридиональной плоскости в пространстве изображений на
тот же самый угол у.
Отношение величины элемента изображения dy' к величине
элемента предмета dy назовем линейным меридиональным
увеличением Vt. Для различных положений предметной точки А эта
увеличение будет различно (хотя в частном случае телескопиче
ской системы оно будет сохраняться постоянным). Если точка А
будет удалена в бесконечность, а ее изображение займет
положение точки заднего фокуса F', то увеличение будет равно нулю.
Предметная точка может занять положение точки Я, для которой
в сопряженной ей точке Н' линейное меридиональное
увеличение Vt станет равным единице. Такие точки условимся называть
главными меридиональными точками. В том случае, когда точка Аг
в пространстве изображений будет удалена в бесконечность,
предметная точка А займет положение переднего
меридионального фокуса F.
Расстояния / и f от главных точек до фокусов будем
называть главными меридиональными фокусными расстояниями.
Проводя в предметном пространстве через вершину элемента
предмета луч CD параллельно главному лучу, образуем в про-
13
странстве изображений ход сопряженного луча D'C. Этот луч
должен пересечь главный луч в точке заднего меридионального
фокуса F' и пройти через вершину С" элемента изображения dy',
отсекая отрезок #'D', равный отрезку HD на главных линиях.
Это позволяет определить линейное увеличение Vt через величину
заднего фокусного расстояния f и величину отрезка г',
определяющего расстояние между задним фокусом и изображением.
Согласно рис. 2.1, можно написать
_dy^_ dtf_
h' ~
h dy
аналогично в предметном пространстве
dy' у f
~-df = ~Vt=T
йУ' и — z' -
= л7Г = — vt — -p-t
Г
(2.1)
_
(2.2)
Рис. 2.2. К определению углового увеличения
Формула (2.2) позволяет получить формулу Ньютона
zz' = //'. (2.3)
Соединяя на рис. 2.2 точку А с точкой С и точку А' с точкой С,
образуем малые углы —dec и dco\ Отношение этих углов Wt
назовем угловым меридиональным увеличением.
Согласно рис. 2.2, величины углов dco и dco' могут быть
выражены в виде:
— dco =
НС
НА
HD cos со.
dco' =
-z-f
и тогда угловое увеличение будет равно
г + / cos со' / cos со
H'D' COS со'
г' + Г
* с?со г' +/' cos со
/
cos со
cos со
f'Vt COS со
откуда
VtWt =
f COS СО i
-77 = COnst.
Г COS СО
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Полагая угловое увеличение Wt равным единице* определим
положение узловых точек N и N'. Линейное увеличение VN
в этих точках будет равно
/ cos со'
VN =
/' COS со
(2.7)
14
Обозначим отрезки от фокусов до узловых точек через zN и z'n\
они будут играть роль узловых фокусных расстояний:
zN = — f; 2fr = —f. (2.8)
Пользуясь формулами (2.2) и (2.7), можно выразить zN и z#
через главные фокусные расстояния:
zN = —
f
f COS со
— f, z'N = — f'Vi
f cos со'
VN cos со' "' " ' ' " COS CO
Перемножая формулы (2.9), приходим к равенству
ff = IV = const.
= -f. (2.9)
(2.10)
Развертывая формулу (2.6), можно получить инвариант Ла-
гранжа—Гельмгольца
¦l—rdu'tdto =
/
¦ dtjt dco
COS со ^" COS со
или, переходя к узловым фокусным расстояниям,
-уг- cos со' dco' = р cos со dco.
(2.11)
(2.12)
2.2. Совокупность двух систем. Телескопическая система
Располагая две системы последовательно друг за другом так,
чтобы изображение после первой системы служило бы предметом
для второй, образуем сложную систему, представленную на
рис. 2.3.
Рис. 2.3. Совокупность двух систем
Обозначая через Vx и V2 линейные увеличения составляющих
систем и чере,з V линейное увеличение всей системы, можно
написать
dy\ dy!2 dy*
УгУ2
= V
dyx dy2 dy
и, пользуясь формулой (2.2) для линейного увеличения,
г\ U
V = V*V* = ^--LL = il =1 =
/.
h
1
f\ z2 f\ 2{-A /[ l-A/z{ '
(2.13)
(2.14)
15
где величина Д выражает расстояние между задним фокусом F[
первой системы и передним фокусом F2 второй системы.
Полагая величину А равной нулю, что равносильно
совмещению заднего фокуса F[ с передним фокусом F2 второй системы,
образуем телескопическую систему, для которой
V = V1V2 = Mi = const (2.15)
независимо от положения предмета, так как величина г[,
связанная с величиной гх через формулу Ньютона, оказалась из формулы
(2.15) исключенной.
Из условия постоянства линейного увеличения следует и
постоянство углового увеличения телескопической системы W.
Действительно
W = WtW2= f)cos^ frcoscoi (2Л6)
1 * Z\J COS со, /2 COS CO2 v '
откуда, так как col = co2, следует
де, __ _/i cos C0.3 z\ — A ^2 174
/2 cos cox z\ \ • /
Полагая затем величину Д = 0, находим
W = WiW2 = А CQSQ)2 = const (2.i8)
/2 cos COj
и для узловых фокусных расстояний, согласно формулам (2.9),
W = fl/f2 = const (2.19)
независимо от полевых углов (ох, со2 и со3.
2.3. Увеличения в сагиттальной плоскости
Для центрированной оптической системы сагиттальная
плоскость может быть образована посредством поворота
меридиональной плоскости вокруг оси системы на некоторый малый угол
у. Вследствие этого элементы dys и dys предмета и изображения
получаются всегда перпендикулярными главному лучу, и это
позволяет повторр:ть все выводы, проделанные для
меридиональной плоскости, приравнивая при этом полевые углы cos и а>'&
нулю.
Таким образом, можно написать для линейного и углового
увеличений в сагиттальной плоскости:
1/S = -A = _^; ^ = 1 = 1 = --^ (2.20)
и для произведения из углового увеличения на линейное
WsVs = -fs/f's = VsN, (2.21)
где Vsn — линейное увеличение в узловых точках.
16
Узловые и главные фокусные расстояния связываются
формулами
« = —/»; is = -fs, (2.22)
и инварианты вдоль главного луча в сагиттальной плоскости
принимают вид:
f's dy's da's = —fs dys dcos; j
Xs Xs j
Для центрированных оптических систем в сагиттальной
плоскости имеются и свои соотношения. Так, линейное сагиттальное
увеличение Vs может быть выражено через величину предмета у
и его изображения у' для всей системы
v ^ = y±==yL (2.24)
s dy8 уу у • ;
Для точек Р и Р' на оси системы нетрудно определить
величину углового увеличения WsP в виде:
_ <ч = ^;sino)- у = slnfl)*
sP dcos */' dys sin со sin со * v ¦ /
Из формулы (2.21) может быть определено и линейное
сагиттальное увеличение VsP для точек на оси системы
/я __ /«sin со
7sP
>sp = — _-_ = _--: ; (2.26)
SP /в^вР /Sin CD" V '
2.4. Меридиональные и сагиттальные увеличения
при наличии дисторсии
Обратимся к рис. 2.4, на котором представлен ход главного
луча, образующего искаженное изображение у' некоторого
предмета у = у0. Искажение изображения — дисторсия —
определяется разностью Ау' величины искаженного изображения у'
и неискаженного изображения у'0. Таким образом, можно написать
у' = уо + Л*/' = Уо (1 + Ьу'№ = Уо (1 + А), (2.27)
где Д — величина относительной дисторсии.
Полагая линейное увеличение для всей системы равным V09
получаем
у' = VQ (1 + А) у. (2.28)
Величина сагиттального увеличения VS9 согласно формуле
(2.24), будет равна
Vs = УЧУ = Уо (1 + А). (2.29)
17
Величина же меридионального увеличения Vt может быть
получена как производная от у' по у. В соответствии с этим
находим
^ = ^=^(l + A) + V0^ = V.s + ^4f. (2-30)
Величина
относительной дисторсии Л
должна быть четной
функцией относительна
аргумента у. Таким
образом, полагая, что
Д = Ау2 +Ву* + ...,
(2.31)
получаем
Vt = V0 (1 + ЗАу* +
+ 5S*/4 + ...).
(2.32)
Если представляется возможным для выражения дисторсии
ограничиться лишь одним членом Д = Ау2> то тогда величины
сагиттального и меридионального увеличений принимают вид:
Рис. 2.4. Связь увеличения с дисторсией
Vs = VQ(l + Ay, Vt = V0(l+3A).
(2.33)
2.5. Изображение элемента предмета,
расположенного на оси системы, широким пучком лучей
Можно поставить задачу сохранения равенства всех линейных
увеличений для элемента предмета, расположенного на оси
системы
Vt = Vs = V0 = const.
(2.34)
Обращаясь к рис. 2.5 и
исходя из формулы (2.12), можно
для меридиональной плоскости
написать
—- -jj— -p- cos со aco = cos codec,
(2.35)
Рис. 2.5. Элемент предмета и
изображения на оси системы
Полагая для всех лучей отношение узловых фокусных
расстояний f • f постоянным, можно нроинтегрировать
выражение (2.35)
dy' f . . . , ~
— -^--p-sinco = sin со + С,
(2.36)
18
Учитывая, что при со = 0 угол со' также становится равным
нулю, приходим к равенству постоянной интегрирования С
нулю. Таким образом, получаем
dy' f sin со j. /п 0~ч
—-J- -л- = ——г = const (2.37)
dy f sin со x '
и, заменяя отношение dy' : dy через увеличение V0, приходим
к обобщенному условию синусов
(2.38)
лт dy' V sin со I
Vq = -j— = г : 7 = COnst,
« dlf f cm n\' *
f sin со'
из которого может быть получено известное условие синусов
Аббе.
Заметим, что формула (2.38) была получена без использования
величин показателей преломления п и п'. Она может быть
представлена и в несколько ином виде:
, г ^s sin со
^0~~T7sIno7"
(2.39)
2.6.Изменение дисторсии при изменении положения предмета
Для центрированных оптических систем искажения
изображения — дисторсия — имеют радиальную направленность к центру
или от центра поля, поэтому при рассмотрении дисторсии можно
ограничиться лишь меридиональной плоскостью.
Рис. 2.6. Определение дисторсии при произвольном положении
предмета
Рассматривая ход главного луча, представленный на рис. 2.6,
будем обозначать точки и отрезки, расположенные на оси системы,
с индексом нуль; точки и отрезки на главном луче — без индексов.
Предмет у будем полагать расположенным в точке Л0; его
искаженное изображение у — в точке Л6. Отрезки у и у' будем
сопоставлять с отрезками yF и у?, находящимися в точках
переднего F0 и заднего Fo фокусов системы. Вершины отрезков yF
и yF определяются на главном луче.
19
Из рис. 2.6 можно установить следующие зависимости:
У'—у'р . , y-yF
= -tg©'; ^—-^- = -tga>, (2.40)
zo zo
откуда
у' =!/f — z'o tg со'; y = yF —z0tg со. (2.41)
Величины Zo и Zo, пользуясь формулами для линейного
увеличения, можно выразить через фокусные расстояния. Тогда
У = Ур+ Vf0 tg со'; у = ур + /0tg со/1/. (2.42)
Величина неискаженного изображения у'о определится через
линейное увеличение и величину предмета
У'о = Vy0 = Vy. (2.43)
Величины же неискаженных изображений y'0F и y0F в
фокальных плоскостях системы могут быть определены по следующим
формулам:
У'ор = /о !ё ^ Уор = f'o ^ ®'. (2-44)
Составляя разность величин у' — у'о в соответствии с
формулами (2.42) и (2.43), получаем
У'-Уъ = УР- У of + Vf0 tg со — 1/^/ + /0 tg со (2.45)
и окончательно
Ау' = А^ + У (/; tg со - у - yF + у) = Д^ - 1/ Д^. (2.46)
Эта формула является точной и определяет величину дистор-
сии при любом увеличении через дисторсию в передней и задней
фокальных плоскостях для рассматриваемого хода главного луча.
2.7. Изменение кривизны поля
при изменении положения предмета
Искривление поверхности изображения может наблюдаться
как в меридиональной, так и в сагиттальной плоскостях; однако
зависимость кривизны от положения предмета (или увеличения)
для меридиональной и для сагиттальной плоскостей одна и та же.
Поэтому можно ограничиться выводом, одинаково справедливым
и для сагиттальной, и для меридиональной плоскости.
Обратимся к рис. 2.7 на котором представлен ход главного
луча, пересекающего ось системы в предметном пространстве
и в пространстве изображений в точках Р и Р\
Обозначим на главном луче предметную точку через А и
точку изображения — через А'\ равным образом обозначим точку
переднего фокуса через F и заднего фокуса — через F'.
Аналогичные точки на оси системы обозначим с индексом нуль.
20
Смещение точки А относительно точки А0 обозначим через ДА;
смещение точки А' относительно Л о — через Дл и соответственно
смещения фокальных точек F и F' относительно F0 и Fq — через
AF и Ар.
Пользуясь рис. 2.7, можно написать;
z = -z0 + AF; z'0 + AA = A'F + 2\
(2.47)
где 2 и 2 — проекции на ось системы отрезков z и г между
сопряженными точками А и А' и фокусами F и F' на главном луче.
Из формул (2.47) можно получить выражения для
отрезков г и г'\
z = z0 + AA-AF; z=z'Q + AA-AF; (2.48)
Рис. 2.7. Изменение кривизны поверхности изображения
перемножая формулы (2.48), получаем
zz = (2о + Дл - AF) (z'o + А'А - А». (2.49)
Произведение проекций отрезков zz! можно рассматривать как
произведение проекций фокусных расстояний вдоль главного
луча, т. е. как величину постоянную. Тогда формула (2.49) может
быть представлена в виде
(26 + Дл - AF) (го + Ал - AF) = ГГ = const. (2.50)
Из этой формулы следует, что в случае устранения кривизны
в передней и Задней фокальных плоскостях устраняется кривизна
поверхности изображения при произвольном положении
предмета.
Глава 3
ОПТИКА ГАУССА
3.1. Вывод меридионального инварианта
для сферической преломляющей поверхности
Рассмотрим процесс преломления узкого пучка лучей в
меридиональной плоскости на сферической поверхности,
представленной на рис. 3.1.
2Г
Радиус поверхности примем равным г; показатели
преломления — п и п' \ углы падения — е и е -f de; углы преломления —
е' и е' -fde'. Предметную точку обозначим через Л, ее
изображение— через Л7, точки преломления — В и Вг. Расстояние
точек Л и Л' от точки В обозначим через tut'.
Дифференцируя выражение закона преломления, можно
написать
п cose de = п cos е' de'. (ЗЛ)
Угол между нормаля-
-e-ds\ ^~~, , ми в точках В и В1
обозначим через <2ф. Тогда,
пользуясь этим углом,
определим расстояние
между точками В и Вх
Т ВВХ = г Лр. (3.2)
Рис. 3.1. К выводу меридионального инва- ^ -
рИаНта Соединяя точку Л с
центром поверхности С,
образуем два треугольника с внешними углами—ей —(е + d&),
равными суммам двух внутренних углов, которые обозначим
через —а, —(а -f- do) и ср, ф + йф- Тогда можно написать:
— е = — а + Ф1 \
Т . ^w (3«3)
— е — de = — а — da + ф + ^Ф» J
что позволяет связать между собою малые углы
de = da — йф. (3.4)
Равным образом будут связаны и углы
de' -= da' — dq>. (3.5)
Согласно рис. 3.1, угол do можно выразить через отрезок t
j ВВг COS 8 Г , /о г>\
do = — = у cos е dф (3.6)
и по аналогии
do' =* (r/O cos е' dq>. (3.7)
Используя формулы (3.1) и (3.4)—(3.7), находим
пcose (у dфCOSe — dф) = я'созе' (-^^фсозе' —dtp). (3.8)
Разделив формулу (3.8) на г dф, получаем меридиональный
инвариант Гульстранда—Юнга
/ cos е 1 \ / , / cos е' 1 \ /0 m
я cose (— — ) = п cose 1—р — J, (3.9)
который при малых углах е и е' переходит в инвариант Аббе
"(i-T)-'(i-f). <М»
22
Из меридионального инварианта Гульстранда—Юнга может
быть получено выражение
п' cos2 s'
V
П COS2 8
t
п cos г — п cos s
(3.11)
3.2. Вывод сагиттального инварианта
Изображение точки, лежащей на главном луче, создаваемое
пучком в сагиттальной плоскости, может быть найдено
посредством поворота плоскости, в которой лежит главный луч, вокруг
прямой, проходящей через
центр поверхности Си п 90~LK8^ п1
предметную точку А (как
это представлено на
рис. 3.2).
Расстояния точки С от
точек А и А' обозначим
через q и q\ а расстояния
от точки В до точек А и
А' — через s и s'. Главный
луч образует с нормалью
к поверхности углы s и в'.
Опуская из точек А и А' перпендикуляры на направление
нормали, образуем отрезки А К и А' К!. Эти отрезки легко
связываются с отрезками s и s':
А К = —s sin е; А'К' = — s' sin в'. (3.12)
С другой стороны, отрезки АК и А'К1 можно рассматривать
как катеты подобных треугольников с общей вершиной в центре
поверхности С. Поэтому
Л'/С (?_ __ s' sin е' __ С К'
Я
Рис. 3.2. К выводу сагиттального инварианта
АК ~ q ~" s sin е ~~ СК '
Согласно рис, 3.2, отрезки СК и СК' будут равны:
С К = г — s cos е; СК = г — s' cos е'.
Пользуясь формулами (3.13) и (3.14), получаем
г — s' cos е' г — s cos 8
S Sin 8
ssine
(3.13)
(3.14)
(3.15)
и, учитывая закон преломления, приходим к сагиттальному
инварианту Гульстранда—Юнга
(3.16)
, / 1 cose' \ /1 cose\
который при малых углах е и е' переходит в инвариант Аббе.
Из инварианта (3.16) может быть получена формула
п cos &
¦ п cos е
(3.17)
23
правая часть которой тождественна с правой частью формулы,
полученной из меридионального инварианта. Таким образом,
п' cos2 е' п cos2 е п' cos е' — п cos е
Г
= 7—Г- <ЗЛ8>
3.3. Определение узловых точек и фокусных расстояний
для сферической преломляющей поверхности.
Инвариант Штраубеля
Полагая в формуле (3.18) последовательно равными
бесконечности отрезки s, t, s' и f, получаем величины фокальных
отрезков s'p, tp, sp и tp от точки преломления до соответственных
фокальных точек:
tj? — — ¦
ПГ COS2 8
Гр =
П COS 8 — П COS 8
n'r COS2 8'
n' COS 8' — П COS 8
Sp
SF:
nr
П COS 8
7 П COS 8
(3.19)
Для нахождения узловых меридиональных точек удобно
воспользоваться поворотом рис. 3.3 с ходом главного луча вокруг
центра сферы С. Таким образом,
положения узловых точек Nt и N't
определятся как основания
перпендикуляров, опущенных из центра сферической
поверхности на падающий и
преломленный лучи. Поэтому отрезки от точки
преломления В главного луча до
узловых точек получаются равными
tN=rcosz; /# = rcose\ (3.20)
Составляя разности между
отрезками tF и /л/ и tp и /V, получаем
величины узловых фокусных расстояний:
ПГ COS2 8
— г cose;
Рис. 3.3. К определению
узловых точек в
меридиональной плоскости
Ц — tF — tN — -
f't = tp — t'N =
П COS 8 —- П COS 8
n'r cos2 e'
П COS 8
• П COS 8
— Г COS 8 .
(3.21)
Из формулы (3.21) после несложных преобразований находим:
f,=
П Г COS 8 COS 8
п' cos е' —- п cos е
rt =
ПГ COS 8 COS 8
П' COS 8' — П COS 8
(3.22)
Умножая переднее узловое фокусное расстояние на п, а
заднее на п\ приходим к равенству
п\х
ПП'Г COS 8 COS s'
П' COS 8' — П COS 8
n'l't.
(3.23)
24
Перемножая формулы (3.23) и (2.12), получаем так называемый
инвариант Штраубеля
п dy't cos со' dco' = п dyt cos со dco. (3.24)
Инвариант Штраубеля является полным инвариантом и может
быть распространен на систему из любого числа поверхностей.
Так как инвариант (2.12) был также справедлив для любых
систем, то разделив на него инвариант Штраубеля, снова
приходим к формуле
-nit = n'ii, (3.25)
но, в отличие от формулы (3.23), справедливой для систем из
любого числа поверхностей.
Для сагиттальной плоскости отрезки Sf и sf до сагиттальных
фокусов можно рассматривать как главные сагиттальные фокусные
расстояния /s и f's. Поэтому получаем:
fs = sF = 7 ™ ; f's = sF = — ^ . (3.26)
1 s г П COS 8 — П COS 8 ' П COS 8 — П COS 8 v '
Составляя отношение фокусных расстояний, приходим к
формуле
fs/f's = —n/n', (3.27)
пользуясь которой, нетрудно получить инвариант Штраубеля
в сагиттальной плоскости
п dy's d(d's = п dys dcos. (3.28)
Рассуждая аналогично тому, как это делалось для
меридиональной плоскости, можно распространить инвариант Штраубеля
на систему из любого числа поверхностей и снова прийти к
формуле (3.27), показав, что она также остается справедливой не
только для одной преломляющей поверхности, но и для любых
оптических систем с произвольным числом поверхностей.
При малых углах со и со' инвариант Штраубеля переходит
в инвариант Лагранжа—Гельмгольца.
Глава 4
АПЛАНАТИЗМ
4.1. Апланатическая сферическая поверхность
Имея в своем распоряжении инвариант Гульстранда—Юнга,
можно поставить задачу нахождения положения предмета и
изображения, когда сферическая преломляющая поверхность не
создает астигматизма, т. е. когда при s = / имеет место равенство
отрезков s' = t'. В этом случае можно написать
П' П _ П' COS2 8' П COS2 8 _ п' COS б' — П COS 8 /Л 1 \
25
откуда
X(l -cos2e') = — (1 -cos2e)
п' sin2 е' п sin2 в
s v ' s ' ' s' s
n% cin2 о — *f'2 cin2 0'
(4.2)
и, разделив на ai2 sin2 e = n'2 sin2 e' и взяв обратные величины,
находим
n's' = ns. (4.3)
Обратимся к рис. 4.1, на котором показаны сферическая
преломляющая поверхность радиуса г, разделяющая среды с
показателями преломления пип'.и ход луча, когда отрезки s и s'
определяют положения точек As и A's, лежащих на одной прямой
с центром поверхности С.
-E'=W
Рис. 4.1. Анастигматические точки сферической
поверхности
Опуская из центра поверхности перпендикуляры СК и СК'
на падающий и преломленный лучи, можно написать:
s = СAs cos со + г cos e;s' = CAS cos со' + r cos s', (4.4)
с другой стороны,
СК = СAs sin со = — г sin е; СК = CAS sin со' = — г sin е\ (4.5)
Определим высоту h точки В преломления луча
h = s sin со = s' sin со' = г sin ср,
где ф — угол нормали с осью, равный
Ф=со — 8= со' — е'
откуда
со' = со -f- е' — е
и
sin со' = sin со cos (е' — е) + cos со sin (е' — е).
Составляя отношение
sin со' . , ч , sin (е' — е) s
— = cos (е — е) -\ ? - = —
sin со v ' ' tg со s
ф,
1 (8' - 6).
п' sin 8
п ~~ sin е'
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
и делая ряд преобразований, находим величину tg со
tg со = —tg е',
26
(4.11)
откуда следует равенство углов:
со = —е'; со' = —е, (4.12)
позволяющее, согласно формулам (4.5), получить величины
отрезков
сл.-г?}г-г±; ск-г&.-,$. (4.10)
Из формул (4.13) следует, что положение точек As и As не
зависит от величины углов со и со' (или е и е'). Этот случай
соответствует отсутствию сферической аберрации.
Кроме того, заменяя в формуле (2.38) отношение узловых
фокусных расстояний отношением показателей преломления,
получаем
r/ п sin со /г2 , ,л л л\
V0 = -г-.—7 = —о= const, (4.14)
0 п sin со' п
т. е. в точках As и A's наблюдается одновременно и соблюдение
условий синусов Аббе (иными словами, эти точки являются апла-
натическими).
4.2. Инвариант меридиональной комы
При рассмотрении более или менее широких пучков лучей
в общем случае встречаемся с изменением положения
меридионального изображения точки при переходе от одной части пучка
к другой. Это явление можно представить как процесс касания
лучей пучка с некоторой общей огибающей кривой, называемой
меридиональной каустикой.
Радиус кривизны каустики в первом приближении можно
принимать постоянным. В этом случае величина радиуса
каустики R' может быть выражена в виде
Я' = ds'/o\ (4.15)
где ds' — дуга каустики.
В соответствии с рис. 4.2, на котором показана картина
образования каустики в пространстве изображений, найдем величину
дуги
ds' = f + df — f + ВК = dt' + BK\ (4.16)
при этом отрезок BK можно получить как произведение
расстояния ВВХ на синус угла е', т. е.
В К = — ВВ1 sin е'; (4.17)
отрезок ВВ1у в свою очередь, будет равным
ВВ1 = rdcp. (4.18)
Это позволяет выразить величину ds'
ds' = df —г sin г dtp, (4.19)
27
а затем радиус каустики
D, _ dt' —г sin e'dqp
Н ~ IP •
(4.20)
Согласно рис. 4.2, можно связать друг с другом элементарные
углы йф, d&' и do':
dcp = do —d&'. (4.21)
Величина угла do' может
быть выражена через
отрезок ВВХ
do' =
ВВг cos е'
г cos е'
dq>,
Рис. 4.2. К выводу инварианта
меридиональной комы
(4.22)
и тогда угол d& получается
равным
(4.23)
Дифференцируя
меридиональный инвариант (3.11),
находим
2п' cos е' sin е' d&'
*' t'2
2п cos е sin е de п cos2 8
п cos^ е 1,, , n sin 8
¦df H —
dirt sin e de
(4.24)
Выражая отрезки dt и dt', согласно формуле (4.20), получим
dt = R do + r sin e dq>\ \
dt' = R' do' + r sine' dq>.) (4'25)
Пользуясь формулами (4.22)—(4.25), можно написать
cos2 в' , n/ , , , . , , ч , / 1 2 cos б' \ j ,
~74^iRda 4-rsme аф) + (_ —jde =
= - -тег <*dc+r sln e d<p) + (t - -^^r^)d8- <4-26)
Выражая углы do' и da через <2ф и сокращая на йф формулу
(4.26), находим
cos2 в' / n г cos в' . . Л /1 2 cos е' \ /« /- cos е' \
cos2 8 /n rcose , . \ /1 2 cos e \ / л r cos 8 \
'4.27)
28
Разделив выражение (4.27) на г и раскрыв скобки, после
некоторых преобразований получаем инвариант меридиональной
комы
R' cos3 е' , q / cos2 в' cos е' \ R cos3 8 i о / cos2 е cose\
*"sine' + V~ ~) - /3sine i-^^ tr ).
(4.28)
Рассмотрим некоторые частные случаи меридиональной комы.
1. Полагаем предмет лежащим в бесконечности. Тогда
отрезок / = со, f переходит в tF, в результате чего получаем
«>-8-5эт-(т-:5г1)«"'- (4-29)
Меридиональный фокальный отрезок tF, согласно (3.11), может
быть выражен в виде
к We'
я cose — п cos е ч '
тогда после подстановки в формулу (4.29) находим
р > = ЗГ2П'2 COS2 В/ (± __ ">' COS 8/ — П COS 8 \ ^
F (л'cos е'-«cos е)2 \ ' /iVcose' У' v* ;
откуда после сокращений получаем
п, о m/i' cos 8 cos е' s , /у| ооч
Rf = 3 т-, -т го sin 8 . (4.32)
(я cose — л cose)2 v '
По аналогии в предметном пространстве имеем
п о rnn' cos е cos е' . /у| ооч
RF = 3j—f 7 rrslne. (4.33)
* (п cose —пcose)2 v '
Умножая формулу (4.32) на п' и формулу (4.33) на п,
приходим к равенству
n'R'F = nRF. (4.34)
2. Определим радиусы комы в узловых точках N и N'. Исходя
из формулы (3.20), можно написать
cose 1 cose' /л осч
—*— = -г = —7—. (4.35)
Подставляя отношения из формулы (4.35) в инвариант
меридиональной комы (4.28), получаем после сокращений
Rn/sIti г = Rn/Ып е (4.36)
и, переходя к показателям преломления,
n'R'N = nRN. (4.37)
3. Рассмотрим кому плоской поверхности. Из
меридионального инварианта Гульстранда—Юнга следует
п' cos2 e'/f = п cos2 г/t, (4.38)
29
благодаря чему меридиональный инвариант комы упрощается
R' cos &' , 3 sin е' R cos 8 . Q sin e (A QQ4
775 1 p— = Ji [-о—j—у (4.«ЭУ;
ИЛИ
(41 + 3tge')tg8' = (4 + 3tge)tge. (4.40)
4.3. Инвариант сагиттальной комы
Рассматривая изменение положения сагиттального
изображения при переходе от одной части широкого пучка к другой, можно
ввести некоторые коэффициенты Rs и R'S) имеющие для
сагиттальных отрезков s и sf то же значение, что и коэффициенты Rt и Ri
для меридиональных отрезков / и /'.
Аналогично картине в меридиональной плоскости можно
написать
Rs do' = ds' — г sin г dcp. (4.41)
По внешнему виду сохраняются и формулы (4.22) и (4.23):
da'= !???_dp; &' = (!?«?_ _i)rf<p. (4.42)
Дифференцируя сагиттальный инвариант (3.16), получаем
—т^-г + т1 —-га-.+т- <4-43>
S SU1 8 ' s sm в г
и после подстановок
—ИтЙг+О + ^Рг1-1)- <4">
Раскрывая скобки и делая сокращения, найдем
Rs J_ _j_ COSS' _ Rs i_ , C0S8 ,д 4-v
s'Ytge' s'2 ' '*' s2^ge s2 i rt
— инвариант сагиттальной комы.
Полагая предмет лежащим в бесконечности, находим
коэффициент сагиттальной комы в фокальной точке
^=(_fr+i215ls>')tge'. (4.46)
Подставляя в (4.46) значения отрезков # и s'f из (3.19),
получаем
п, tin' cos е cos е' + п'2 sin2 в' . / ,„ „~ч
^F= (n'cose'-Icose)» rSing <4-4/)
30
и аналогично
= ЯЯ'сОВвСО.в' + В'81п»В 8> (4 48)
sr (п cos е —л cose)2 v '
Оба радиуса сагиттальной комы связываются друг с другом
так же, как и радиусы меридиональной комы, т. е.
n'RsF = nRsF. (4.49)
Можно составить отношение величин R'tF и R'sf
^ = т^ г. (4.50)
RsF 1+tgetge" v '
Для плоской поверхности при Rs = 0
R'8 = -(l-n'/n2)t'tge (4.51)
и, составляя отношение Ri и #s, получим
#t о п* —п'2 cosV/cos2 е /А г0ч
4.4. Условие синусов Аббе. Условие Штебле—Лихотского
Ранее было получено условие синусов Аббе
V = п sin a/(n' sin a') = V0 = const. (4.53)
Умножая числитель и знаменатель на некоторую величину ft,
получим
V0 = nft sin a/(n'ft sin a') = const. (4.54)
Выражая отношение ft : sin a и ft : sin a' в виде отрезков
b н b', можно написать
V0 = nb'lrib = const. (4.55)
Так как в формулу (4.55) не входят углы, то ее можно
использовать и в окрестности оси системы.
С другой стороны, в области Гаусса произведение из углового
и линейного увеличений равно отношению показателей
преломления
V0WQ = п/п'9 (4.56)
откуда следует
W0=-^r = ^±br, (4.57)
zo ~г /о
что может быть удовлетворено равенствами:
& = *о + /о; b'=Zo + fr. (4.58)
31
Рис. 4.3. Главные сферы
В этих равенствах отрезки Ъ и Ь' являются отрезками от
главных точек Н0 и #о до точек предмета и изображения А и Л';
поэтому постоянство отрезков Ъ и Ь' для различных апертурных
углов определяет дуги, описанные из точек Л и Л', как из
центров.
Из рис. 4.3 следует, что равенство высот /i, отсекаемых на этих
дугах апертурным лучом, придает им свойство главных
плоскостей в окрестности оптической оси, что позволяет называть эти
дуги главными дугами. Однако идентичные точки на главных
дугах, позволяющие строить ход любого апертурного луча,
в отличие от главных плоскостей, уже не будут являться
изображениями друг друга, т. е. не будут точками сопряженными.
В случае, когда
предметная точка будет
удалена в бесконечность, ее
изображение перейдет в
точку заднего фокуса; в
этом случае отрезок Ь
обратится в бесконечность
и передняя главная дуга
сделается прямой, тогда
как отрезок Ь' станет
равным фокусному расстоянию /', а задняя главная дуга будет
описана из заднего фокуса, как из центра. В соответствии с этим
условие синусов преобразуется в формулу
/' = ft/sin о'. (4.59)
Вращением главных дуг вокруг оси системы образуем
сферические поверхности, которые по аналогии с главными
плоскостями в окрестности оси уместно называть главными
сферами.
Рассмотрим условие изопланазии Штебле—Лихотского. В ряде
случаев для точки на оси системы не обеспечивается устранение
сферической аберрации; тогда удовлетворение условия синусов
уже не будет гарантировать отсутствие нарушения
центрированности широкого наклонного пучка при небольших величинах
предмета и изображения.
Поэтому в целях обеспечения центрированности широкого
наклонного пучка, т. е. обеспечения отсутствия комы, Штебле
и Лихотским было дано так называемое условие изопланазии.
Обратимся к рис. 4.4, на котором представлены элементы
предмета dy и изображения dy\ образованные пересечением двух
апертурных лучей, исходящих из вершины элемента предмета
со значительными углами между ними.
Выбирая между этими двумя лучами главный луч, который
делит широкий пучок лучей пополам, определяем точки Р и Р'
его пересечения с осью. Образующиеся при этом отрезки
обозначим через ро, р' и As'.
32
Определим линейное увеличение
1/ _ п sm ° ___ dy'
п' sin о' ~~" cfr/'
(4.60)
Из-за наличия сферической аберрации As' увеличение V уже не
будет равно увеличению V0 для нулевых лучей, однако
увеличения V0 и V могут быть связаны друг с другом. Так, из подобия
треугольников с катетами dy' и dy'o получаем
^о __fb _ р'о L
dy ~ р'
и тогда
V = ? = ??«V.|l+^l, (4.62)
р'о + As' 1 + As'/Po
(4.61)
Рис. 4.4. Определение условия изопланазии
откуда
или
АV = V - V, = лъ u - V« =
AV ^so n sin о
Vo Pq Von' sin a'
Po
(4.63)
(4.64)
4.5. Условие Игнатовского
В отличие от закона синусов Аббе, с помощью которого
устанавливается зависимость хода лучей в широком осевом пучке при
отсутствии аберраций для элемента изображения,
расположенного на оси системы, В. С. Игнатовским было получено условие,
определяющее ход лучей в широком наклонном пучке для
элемента изображения на значительном расстоянии от оси системы.
Обратимся к рис. 4.5, на котором в точке А представлен
элемент предмета dyt на расстоянии у от оси. Посредством широкого
пучка лучей этот элемент изображается без аберраций в точке Л'
в виде элемента dyi на расстоянии у' от оси.
Лучи широкого наклонного пучка образуют с осью системы
углы coi и 0)2 в предметном пространстве и углы со! и о)? в
пространстве изображений. При достаточно большой ширине наклонного
за
пучка в нем всегда можно найти луч, образующий с осью системы
равные углы соо и соо в пространстве предметов и в пространстве
изображений. На таком луче должны существовать узловые
точки Ntu Ni\ для них приращение предметного угла dco0 должно
быть равно приращению угла йщ в пространстве изображений
Для обеспечения сходимости лучей в сопряженных точках
элемента предмета и изображения необходимо соблюсти
постоянство линейного увеличения
Vt = dy'tldyt = const. (4.65)
Рис. 4.5. Главные сферы для наклонного пучка лучей
Обращаясь к инварианту Штраубеля, можно рассматривать
его как дифференциальное уравнение
ndy't cos со' dco' = ndyt cos со dco, (4.66)
связывающее углы со и со'. Поэтому
-j[-Vt jcosco'dco' = Jcoscodco. (4.67)
Подставляя после интегрирования пределы переменных,
находим
Vt -^- (sin ©г — sin coi) = sin co2 — sin coi. (4.68)
Принимая, что углы coi и со! являются текущими
координатами, можно по формуле (4.68) установить ход любого из лучей
широкого наклонного пучка в предметном пространстве и в
пространстве изображений.
34
Согласно рис. 4.5, величины элементов предмета и
изображения могут быть выражены через отрезки от узловых точек:
(4.69)
dy't =
Таким образом,
NtA d&0
COS 0)0 '
1 dyt
dyt = —
N\A'
~~ NtA '
NtA d(o0
cos co0
(4.70)
поэтому выражение (4.68) можно преобразовать к виду
п N'tA (sin 0)2 — sin ©1) = nNtA (sin co2 — sin coi). (4.71)
Если величины произведений nNtA' и nNtA выразить через
отрезки b' и by то тогда формула (4.71) принимает вид
Ь (sin 0)2 — sin col) = b (sin o)2 — sin o)i). (4.72)
Полученному выражению можно дать следующую
геометрическую интерпретацию. Проводя из точек А и А' (как из центров)
дуги окружностей радиусами, равными отрезкам b и 6', видим,
что произведения b sin о) определяют расстояния точек
пересечения лучей широких наклонных пучков с этими окружностями от
прямых, параллельных оси системы и проходящих через точки А и
А' предмета и изображения. Поэтому разности произведений
b' sin о)7 и fc sin о) для любой пары лучей в пространстве предметов
и в пространстве изображений всегда сохраняются равными друг
другу. Таким образом, построенные дуги можно рассматривать
как главные дуги для широкого наклонного пучка лучей, когда
сохраняется постоянство и равенство отрезков,
перпендикулярных оси системы.
Пользуясь этими дугами, представляется возможным строить
ход любого из лучей широкого наклонного пучка; при этом,
однако, точки пересечения этих лучей с главными дугами не
будут являться сопряженными друг другу (аналогично тому, как
это имело место при рассмотрения закона синусов Аббе).
Глава 5
НЕСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
5.1. Несферические поверхности второго порядка
Отличие несферических поверхностей второго порядка от
сферических можно рассматривать как деформацию четвертого
порядка, которую и следовало бы отнести к чисто коррекционным
элементам; однако по ряду соображений поверхности второго
35
порядка целесообразно рассматривать в целом, изучая их
свойства подобно тому, как для сферических поверхностей учитывались
особые точки расположения предмета и изображения, для
которых имело место устранение тех или иных аберраций.
В частности, может быть поставлена задача устранения
сферической аберрации для точки, расположенной в бесконечности,
т. е. получения анаберрационных поверхностей второго порядка.
Исходя из принципа Ферма—Малюса и обращаясь к рис. 5.1,
можно написать для бесконечно удаленной точки на оси системы
2 nl = 2 nl0 = const,
что в нашем случае равнозначно
nl± -\- п'1' = nl0.
(5.1)
1
Vi
п
i
г 0
h *
У
(
[ Z
¦•*
^
^
! i .
^ Z
(5.2)
Роль отрезка /0 играет
отрезок s0y отрезка /г — абсцисса
г точки преломления луча;
отрезок Г может быть определен
как гипотенуза треугольника с
катетами у и sQ — z. Таким
образом, можно написать
Рис. 5.1. К определению формы анабер-
рационной поверхности
nz + п у (so — г)2 -f У2 = n's'o,
(5.3)
что приводит к квадратному
уравнению
решая которое относительно г/2, получаем
ИЛИ
(5.4)
(5.5)
(5.6)
— уравнение кривой второго порядка, отнесенное к ее вершине.
Коэффициент при z в первой степени выражает удвоенную
величину радиуса г0 в вершине. Поэтому
у2 = 2/^ +(л2/л'2- 1)г2
(5.7)
Полагая п = 1 (случай преломления из воздуха в стекло),
получаем уравнение эллипса
*/2 = 2v-(l - l/n'V (5.8)
36
и, если ri = 1 (преломление из стекла в воздух), будем иметь
уравнение гиперболы
у* = 2r0z + (п2 — 1) г2. (5.9)
В случае отражения, когда можно принять п = —п\ приходим
к уравнению параболы
У2 = 2r0z. (5.10)
Так как при выводе общего уравнения анаберрационной
поверхности не было сделано никаких ограничений, связанных
с высотой падающего луча, то во всех трех случаях имеет место
строгое устранение сферической аберрации.
Исправление астигматизма для точки, расположенной в
бесконечности, приводится к условию равенства отрезков s'F и fa.
Эти отрезки, согласно меридиональному (3.11) и сагиттальному
(3.17) инвариантам, могут быть определены по формулам:
п' cos2 е' п' cos е' — п cos е .
откуда
м* ' n'r\ cos2 е'
F h п' cos е' — п cos е
п' п' cos е' — п cos е
sF rs
n'r8
п' cos е' — п cos е '
, (5.11)
(5.12)
что равносильно условию
т% = rs/cos2 е'. (5.13)
Это условие, справедливое для любой кривой, применительно
к кривым второго порядка приводит к тому, что для устранения
астигматизма у этих кривых необходимо совмещение выходного
зрачка с одним из геометрических фокусов кривой.
Таким образом, для любой кривой второго порядка всегда
существует два положения анастигматических выходных зрачков.
Однако для анаберрационных кривых второго порядка устранение
астигматизма наблюдается в анаберрационных точках на оси,
поэтому устранение астигматизма для внеосевых точек
изображения будет происходить лишь при одном положении входного
зрачка.
В качестве примера приведем гиперболическую анаберрацион-
ную поверхность, задаваемую уравнением
у* = 2r0z +(п2- l)z2; (5.14)
для этой поверхности коэффициент В, равный
В = (п2 — 1) > 1, (5.15)
определяет положение анастигматических зрачков [10, формула
(97)1
5' = -^(1±/ТТ?) = -яг^(1±/г). (5.16)
37
Из формулы (5.16) находим два значения отрезка s':
с' _ го
п— 1
°0>
Sii =¦
Л+ 1
(5.17)
Первый из этих корней определяет положение анаберрацион-
ной точки, второй — единственное положение анастигматического
зрачка у гиперболической поверхности.
Гиперболическая поверхность с анастигматическим зрачком Р,
совпадающим с первым геометрическим фокусом гиперболы Fl9
представлена на рис. 5.2. Следует обратить внимание на то
обстоятельство, что переход от ана-
беррационной точки F'o,
совпадающей со вторым
геометрическим фокусом гиперболы F2,
к внеосевой анастигматической
точке Fi,s определяется
изменением знаков у углов е и е'
на обратные.
Для анаберрационной
эллиптической поверхности также
будет существовать одно
положение анастигматического
зрачка, совпадающее с передним
геометрическим фокусом
эллипса.
Соответственно для
параболического зеркала
анастигматическое положение зрачка
будет совпадать с фокусом
параболической поверхности; следствием этого будет образование после
параболы телецентрического хода главных лучей.
Используя параболическую поверхность как поверхность
преломляющую, будем иметь уже не одно, а два положения
анастигматических зрачков; причем одному из них будет соответствовать
после поверхности телецентрический ход главных лучей. Однако
преломляющая параболическая поверхность уже не будет
анаберрационной, и величина ее сферической аберрации может быть
определена по формуле, приводимой без вывода
д / _ ]о_ ( cos г' _ , \ Г п' cos е/ + п cos в , 1 ] (5.18)
аь ~~ 2 V COS 8 / L («' + п) COS 8 "*" J '
Заметим, что для плоскопараболической линзы, обращенной
к предмету, расположенному в бесконечности, плоской стороной,
будет наблюдаться при соответственном подборе показателя
преломления исправление дисторсии, величина которой определяется
выражением, приводимым так же без вывода
Рис. 5.2. Ход апертурного луча через
гиперболическую поверхность
*-? —['-с-')?*]-
(6.19)
38
Задаваясь углом ф = —e? и находя последовательно угол е2
и углы со' и со, можно установить связь между дисторсией и
полевым углом со.
5.2. Коррекционная пластинка Шмидта
Ранее уже упоминалось о том, что переход от сферы к
несферическим поверхностям второго поряда равносилен деформации
четвертого порядка. Обращаясь к плоской исходной поверхности,
обладающей нулевой оптической силой, и осуществляя
деформацию, не нарушающую ее афокальности, получаем несферическую
поверхность, имеющую в простейшем случае профиль параболы
четвертой степени. Подобного рода деформированная
плоскопараллельная пластинка, размещаемая в плоскости входного (или
выходного) зрачка или в плоскости материальной диафрагмы,
известна как коррекционная пластинка Шмидта. С ее помощью
представляется возможным воздействовать на сферическую
аберрацию, не создавая ни комы, ни астигматизма, ни дисторсии.
Задаваясь уравнением профиля поверхности в виде
г =Л*Д (5.20)
находим угол ср нормали с осью
tg ф = dz/dy = 4Ау3 = 4г/у. (5.21)
Этот угол равен углу —е между лучом и нормалью. Используя
закон преломления, можно определить угол г . Разность между
углами е'ие обозначим через угол а', который можно
рассматривать как угловую сферическую аберрацию, вносимую пластинкой
Шмидта. Таким образом, найдем
а' = е' — е « — (п — 1) ср = — 4 (п — 1) Ау*. (5.22)
В полученную приближенную формулу входит показатель
преломления стекла, из которого изготовлена пластинка Шмидта;
дифференцируя формулу по показателю преломления, нетрудно
получить величину хроматизма (точнее сферохроматизма),
вносимого пластинкой
da' = - 4АпАу> = - 4("-'Му3 = -?-. (5.23)
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Сопоставляя
ход осевого и наклонного пучков лучей через пластинку Шмидта,
совмещенную с плоскостью диафрагмы (рис. 5.3), видим, что
ширина наклонного пучка лучей в меридиональной плоскости
перпендикулярно главному лучу уменьшается пропорционально
косинусу полевого угла со.
С другой стороны, крайние лучи наклонного пучка будут
составлять значительные углы еив'с нормалью к деформированной
поверхности; следствием этого явится увеличение разности углов е'
и е, приводящее к увеличению угла отклонения, т. е. к увеличе-
39
нию сферической аберрации. Это увеличение угла отклонения
можно определить, рассматривая первоначально преломление
луча на плоской поверхности, когда углы еие' являются полевыми
углами со' и со'7, связанными через закон преломления
п sin со = sin со = п sin е0 = sin е0.
(5.24)
Переход к деформированной поверхности равнозначен
изменению угла нормали ф, или изменению угла е, равному de. Тогда,
дифференцируя выражение закона преломления, получим
cos е' de' = п cos е de, (5.25)
—- откуда
, , «cose , л cos е
de = ттгтт- de = , ф.
cose
cose
(5.26)
Рис. 5.3. Ход лучей через
пластинку Шмидта
Для осевого пучка углы е
обращаются в нуль, и тогда угол ds' переходит
в угол deo, поэтому
de0 = тр. (5.27)
Из формул (5.26) и (5.27)
определяется изменение угла
de — deo = п (
cose
cose'
ь
(5.28)
При малых углах ф отношение косинусов углов еие' может
быть заменено отношением косинусов углов е0 и е0 или углов со'
и со".
Таким образом, одновременно с уменьшением ширины
наклонного пучка происходит и увеличение углов отклонения крайних
лучей наклонных пучков, т. е. происходит более быстрое
возрастание меридиональной сферической аберрации.
5.3. Малые деформации сферической поверхности
Использование в оптических системах несферических
поверхностей можно рассматривать как соответственную деформацию
исходной сферической поверхности; существенно, что при этом
может быть сохранен неизменным радиус кривизны в вершине
поверхности, а следовательно, сохранена та же оптическая сила
поверхности на оси системы. Совершенно очевидно, что тогда
деформация сферической поверхности может рассматриваться как чисто
коррекционный элемент с нулевой оптической силой.
Изучая воздействие деформации на ход лучей на некотором
расстоянии от оси системы, нетрудно установить, что при малых
деформациях оно выразится в возникновении дополнительной
разности хода — дополнительной волновой аберрации.
Существенно, что при прохождении других лучей через тот же самый
участок деформированной сферы и на них также возникнет допол-
40
нительная разность хода. При этом для двух каких-то лучей
дополнительные разности хода будут сравнительно мало
отличаться друг от друга, если углы между рассматриваемыми лучами
будут достаточно малы.
Обратимся к рис. 5.4, на котором представлена картина
возникновения волновой аберрации на участке деформированной
поверхности, разделяющей две среды с показателями преломления
п и п'. Падающий луч составляет с нормалью к
недеформированнои сфере в некоторой точке В0 угол падения е0 и угол
преломления г'0. Для участка деформированной поверхности образуются
углы падения и преломления е
и е', мало отличающиеся от углов
е0 и ео, если величина
деформации, выражаемая расстоянием по
нормали, равным Аг, будет
невелика.,
Поэтому, обозначая точку
встречи луча с деформированной
поверхностью через В и
принимая углы е = е0 и е' = во, можно
определить разность хода,
учитывая, что при преломлении должно
происходить и изменение длины
световой волны.
Согласно рис. 5.4, величина расстояния между точками В0
и В будет равна
В0В = —Ar/cos е0. (5.29)
На этом участке» расположенном в среде с показателем
преломления п, должно уложиться число N волн. Тогда можно
написать
В0В мАг
А*) Л/0 COS 8q
Рис. 5.4. Деформация
сферической поверхности
Ы = П
(5.30)
Опуская из точки В на деформированной сфере перпендикуляр
на направление луча, преломленного на недеформированнои
сфере, образуем отрезок B0L, величина которого будет равна
BQL
— А/
cos е()
cos(e0 — е0).
(5.31)
На этом участке должно уложиться некоторое другое число ЛГ
волн; при этом следует учитывать, что длина волны будет
определяться в зависимости от показателя п среды после
преломляющей поверхности. Таким образом, находим
N' =п>ёо±
л'Дг cos (ед — е0)
cos в0
А/у
(5.32)
41
Умножая разность чисел N' и N на длину волны света А,0,
находим величину волновой аберрации А/, возникающей при
переходе к деформированной сфере
M = {N'-N)K0=^-n-^ cos (г'0 - е0). (5.33)
После некоторых преобразований получаем
Д/ = (п cos во — п cos е0) Дг (5.34)
и, если углы во и so малы,
д/ = (п' — п) Дг. (5.35)
Рассматривая близко расположенные точки В0 и В как
некоторую предметную точку, всегда можно представить, что где-то
в оптической системе будет существовать сопряженная ей точка В\
в которой будут пересекаться лучи, ранее пересекавшиеся в
предметной точке В.
Если в точке В' окажется расположенной какая-либо
преломляющая поверхность системы, то, деформируя такую
поверхность должным образом, привнесем некоторую волновую
аберрацию, величина которой может быть сделана равной волновой
аберрации, возникавшей на предметной поверхности. При этом
величина волновой аберрации для пучка лучей с мало
различающимися углами сохранится для всех этих лучей.
Таким образом, деформация поверхности, являвшейся
изображением исходной поверхности, оказывается равнозначной
деформации исходной поверхности. Отсюда следует, что в области
малых углов в окрестности оси оптической системы возможен
перенос деформаций с одной поверхности на другую, если эти
поверхности являются изображениями друг друга, т. е.
сопряженными. Совершенно очевидно, что при переходе к реальному ходу
лучей такая равнозначность будет в той или иной мере
разрушаться.
В качестве практического примера рассмотрим перенос
деформации с одной коррекционной пластинки на другую, которые
расположены по обе стороны зеркальной телескопической системы,
состоящей из двух сферических зеркал с телецентрическим ходом
главных лучей между ними. Коррекционные пластинки
предполагаются расположенными в переднем фокусе первого зеркала и
в заднем фокусе второго зеркала, благодаря чему обе пластинки
являются изображениями друг друга.
Фокусное расстояние первого зеркала примем равным ft =
= 1000 мм при относительном отверстии 1 : 2,5; фокусное
расстояние второго зеркала — /г = 400 мм; тем самым определится
величина видимого увеличения телескопической системы Г = 2,5.
Пусть экранирование в телескопической системе составит
40 % по диаметру; благодаря этому второе зеркало также будет
иметь экранирование равным 40 %, и тогда его коррекционная
42
пластинка сможет иметь отверстие диаметром 64 мм, через
которое можно будет провести изображение 2у' = 64 мм.
Это изображение определит угловое поле первого зеркала;
найдем через тангенс величину полевого угла:
+~ У' 32
tg?0 = ^-==Tooo:
h
200
150
\юо
[so
Asr
0,0057
-0,0059
-0,0055
-0,0018
V
-0,0012
0,0009
0,0006
0t0001
z7]
00821 \
0,0250
0,005V
0,0003
0,032; со = 1,833°,
Величина сферической
аберрации As', возникающей после
первого зеркала, будет,
согласно приближенной формуле,
равной
= 2003
*•=-?
8-1000
= — 5,0 мм.
Для исправления этой
сферической аберрации при помощи
-0,01 0 0,01
б)
h
200
150
100
50
Аб*
-о;%б
о;'во
0,%5
о;'о7
**1
0,0329
о,от
0,0021
0,0001
К
200
150
100
50
Аб1
-о;'75
О", 61
0"3д
0"06
2-2
0,№9
0,036k
0,0072
0fi004\
Рис. 5.5. Перенос деформации с одной поверхности на другую: а — сферическое
зеркало с коррекционнои пластинкой; б — телескопическая система с двумя
коррекционными пластинками; в — телескопическая система с одной
коррекционнои пластинкой
коррекционнои пластинки, размещенной в переднем фокусе
зеркала (рис. 5.5, а), потребуется придать одной из поверхностей
пластинки профиль, определяемый уравнением
z = о,513. ю-10гЛ
При этом будет обеспечиваться величина остаточной
продольной сферической аберрации, не превосходящая 0,006 мм.
43
Выполняя второе зеркало со своей коррекционной
пластинкой по подобию с первым зеркалом и состыковывая оба зеркала
друг с другом, получаем телескопическую систему,
представленную на рис. 5.5, б вместе с графиком сферической аберрации
в угловой мере.
Отбрасывая первую коррекционную пластинку, нарушаем
исправление сферической аберрации системы, а для
восстановления коррекции переносим деформацию с передней
коррекционной пластинки на вторую пластинку, расположенную позади
системы. Таким образом, приходим к изменению профиля второй
коррекционной пластинки, с помощью которого добиваемся снова
устранения сферической аберрации для рассматриваемой
телескопической системы, но уже с одной коррекционной пластинкой.
Схема такой системы с графиком сферической аберрации
представлена на рис. 5.5, в.
Сопоставляя изменение профиля второй коррекционной
пластинки с ее исходным профилем, видим, что абсциссы всех точек
нового профиля оказываются увеличенными в | Г | + 1 раз по
отношению к ее исходному профилю.
5.4. Влияние малых деформаций
на аберрации оптической системы в зависимости от расположения
деформированной поверхности между зрачком и изображением
В реальных оптических системах пространства, в которых
расположены те или иные деформированные поверхности, как
правило, будут разделены одной или несколькими другими
преломляющими поверхностями, что затрудняет оценку влияния
деформаций.
Этого затруднения можно избежать, если воспользоваться
ранее установленной возможностью переноса деформаций с одной
поверхности на другую, являющуюся ее изображением.
Поэтому представляется возможным найти в пространстве
изображений после любой системы места, в которых будут
получаться изображения всех деформированных поверхностей
рассматриваемой оптической системы. Очевидно, что в большинстве
случаев эти изображения деформированных поверхностей не б) дут
сколько-нибудь совершенными; однако, в целях уяснения работы
той или иной деформированной поверхности, подобный перенос
будет достаточно показателен.
В соответствии с этим рассмотрим воздействие нескольких
коррекционных афокальных пластинок, расположенных в
пространстве между зрачком и плоскостью изображения.
Ранее была получена формула (5.34) для определения
волновой аберрации, возникающей при наличии малой деформации
сферической поверхности, которая может быть переписана в виде
Д/ = (п' cos е' — п cos г) z, (5.36)
44
где z определяет величину деформации плоской поверхности, а
коэффициент при z зависит от углов падения и преломления луча е
и е'.
Практически изменение коэффициента при z не очень велико.
Так, полагая угол 8 = 45° в воздухе и получая в стекле при п =
= 1,5 угол е' = 28,125°, находим значение этого коэффициента
разным 0,6149; таким образом, величина волновой аберрации
будет равна
М = 0,6149г.
Полагая же углы еие' равными нулю, получаем
А/0 = 0,5г.
Таким образом, в практически
весьма широком диапазоне углов
падения и преломления величина
коэффициента при абсциссе
профиля z будет изменяться в пределах
не более 25 %. Поэтому величину
волновой аберрации,
возникающей на деформированной
поверхности, можно записать в виде
Д/ =
1 fa
2,
(5.37)
1
1 уГ
y\-wy
у^
< *'
««
и
1 ^
П
К
1
у
г
А
\уЛ
• I
L-Zf 1
02_
—^4-
L, |
Т
Г2
1
f \
\^2
Рис. 5.6. Расположение
деформированных поверхностей
где a — величина, зависящая от
углов е и е' и изменяющаяся в нешироких пределах.
Исходя из вышеизложенного, перейдем к рассмотрению
влияния малых деформаций на аберрации оптической системы.
Обратимся к рис. 5.6, на котором представлено расположение
двух деформированных пластинок / и // на расстояниях ах и аг
от материальной диафрагмы с отверстием, равным 2т, через
которое проходит параллельный пучок лучей, составляющий с осью
системы полевой угол оз.
Высоты главного луча на этих пластинках обозначим через ht
и /i2, а высоты верхнего наклонного луча, проходящего через край
диафрагмы, — через у1 и у2. Величины деформаций на обеих
пластинках обозначим соответственно через zx и z2.
Возникающие на пластинках волновые аберрации Ы± и Ы2
будут суммироваться друг с другом; имея в виду, что величины ух
и у2 могут быть определены через сумму отрезков:
#i = >*i + т> Уъ = К + т>
(5.38)
и полагая, что оба профиля могут быть выражены параболами
шестой степени
г{ = Аху\\ г2 = А2у1, (5.39)
45
получаем для суммарной разности хода
Д/х + Д/2 = -g- (1 + a) (zi + z2) =
= -Ц^- Hi (Ai + m)e + Л2 (A, + m)e].
(5.40)
Развертывая это выражение и группируя члены, содержащие т
с одинаковыми степенями, находим
A/i + Д/2 = -Ц^- [Axh\ + Л2Л2 + 6m (Л1А? + Л2А2) +
+ 15т2{А {h\ + Л2А42) + 20m3 Uift? + Л^) +
+ 15m4 (Л1А? + ЛаА!) + 6m5 (Л ,A, + A2h2) -f m6 (Л1 + Л2)].
(5.41)
Два первых слагаемых не зависят от величины т и выражают
волновую аберрацию, возникающую на главном луче, которую
можно рассматривать как некоторую волновую постоянную Д/0.
Остальные члены выражают:
-Ц^-бт (Axh\ + Л2Л2) = Д/i (5.42)
— дисторсию пятого порядка по полю;
-ЦЬ5- 15т2 (Л^4 + A2h\) = Д/ц (5.43)
— меридиональную кривизну четвертого
порядка по полю;
1±^20т3(Л!А3 + A2h\) = Д/щ (5.44)
— меридиональную кому третьего порядка
Рис. 5.7. Определение ПО полю;
сагиттальной состав- < ,
ляющей 1+« 15т4(Л tA2 + Л2/1|) = Д/1У (5.45)
— меридиональную сферическую аберрацию второго порядка
по полю;
1±« 6тб (Л Л + Л2А2) = Му (5.46)
— меридиональную кому первого порядка по полю;
-Ц^- тв (Лх + Л я) = Д/У1 (5.47)
— сферическую аберрацию нулевого порядка, постоянную по
полю; нетрудно представить, что она будет выражаться
уравнением шестой степени относительно величины т.
46
Перейдем к рассмотрению аберраций, не лежащих в
меридиональной плоскости. На рис. 5.7 представлено сечение наклонного
пучка лучей плоскостью, перпендикулярной оси системы; там же
показаны величины m, М, h и у.
Величину у можно выразить, согласно рисунку, через
величины h и М
у = Vh2 + M2. (5.48)
Полагая, что профиль поверхности, как и прежде,
определяется уравнением параболы шестой степени, можно написать
г = Ау« = A (h2 + М2)3 (5.49)
и, переходя к волновой аберрации,
Д/ = 1+± A (h2 + М2)3. (5.50)
Для пары деформированных пластинок аналогично формуле
(5.41) находим
Д/i + М2 - -Ц^- [Axh\ + A2h\ + 3 {AYh\ + A2h\) M2 +
+ 3 (Aiti + A2hl) M4 + (Ax + A2) M6]. (5.51)
При исключении членов, не содержащих высоты М на зрачке
в сагиттальной плоскости, формула (5.51) распадается на три
члена, которые выражают:
-Ц^З Uiftt + A2h\) М2 = Д/п (5.52)
— сагиттальную кривизну четвертого порядка по полю;
-ЦЬ^ 3(Aih2i + A2h\) М4 = A/IV (5.53)
— сагиттальную сферическую аберрацию второго порядка по
полю;
1^{A^A2)M" = MYI (5.54)
— сферическую аберрацию нулевого порядка по полю. Нетрудно
заметить, что эта сферическая аберрация полностью совпадает
со сферической аберрацией, выраженной формулой (5.47), но
с заменой величины т на величину М.
При рассмотрении случая двух деформированных пластинок
имеем два независимых коэффициента Лх и Л2, определяющих
их профили, и два расстояния этих пластинок аг и а2 от плоскости
зрачка. Воздействуя на эти четыре величины, представляется
возможным управлять изменениями каких-либо четырех
аберраций.
Однако общее число рассмотренных выше аберраций в
меридиональной и сагиттальной плоскостях уже достигает восьми.
47
Поэтому с помощью только двух деформированных пластинок
управлять всеми восемью аберрациями не удается.
Тем не менее некоторые из этих восьми аберраций могли быть
устранены в разрабатываемой оптической системе еще до
введения коррекционных элементов; поэтому рассмотрение коррекцион-
ных возможностей пары деформированных пластинок
представляет достаточно большой практический интерес.
Так, ставя условие невозникновения нечетных аберраций
(в частности, комы), приходим к равенствам:
A{h\ + A2h\ = 0; Axh{ + A2h2 = 0. (5.55)
Разделив первое из этих равенств на второе, находим:
h\ = h22 или h\ = ± Л2. (5.56)
Высоты h могут быть выражены через полевые углы со и
расстояния а:
hx = —ах tg со; h2 = —Og tg со. (5.57)
Тогда, согласно (5.56),
а, = ±0i. (5.58)
Нетрудно видеть, что равенство высот hx = /i2 приводит к
совмещению обеих деформированных поверхностей друг с другом и,
с учетом формулы (5.55), к взаимному погашению действия обеих
поверхностей вследствие равенства величин
Аг = — А2, (5.59)
что не представляет никакого практического интереса.
Второе решение, когда соблюдается равенство hx = —ft2,
приводит к симметричному расположению деформированных
поверхностей по обе стороны относительно зрачка.
Совершенно очевидно, что условие невозникновения комы
сразу же распространяется и на невозникновение дисторсии.
Однако остаются свободными уже только два параметра —
расстояния пластинок от зрачка входа и деформирование их профиля.
Равным образом можно было бы поставить условие
невозникновения четных аберраций; оно выразится формулами:
К = — 1ц\ Ах = —Л2. (5.60)
В справедливости этого условия можно убедиться,
подставляя величины из формул (5.60) в формулы (5.41) и (5.51), в
результате чего в обеих формулах остаются члены, определяющие
только нечетные аберрации.
Аналогично рассмотренному случаю использования
пластинок с деформациями шестого порядка, не влияющими на
элементарные аберрации, можно было бы рассмотреть работу пластинок
с деформациями четвертого порядка, но тогда такие пластинки
подменяли бы собою обычные коррекционные элементы,
предназначаемые для исправления элементарных аберраций.
48
Возвратимся к условию невозникновения нечетных
аберраций, выражаемому формулами (5.56) и (5.59). В этом случае,
подставляя значения h и А в формулу (5.41) и исключая члены, не
содержащие четных степеней т, получаем
М% = Д/х + Д/я — 2Л/0 =
= (1 + a) (15m2/i4 + 15m4/i2 + тв) А. (5.61)
Обозначим отношение высоты h к т через некоторый
коэффициент
ft = Я/m = —a tg со/т. (5.62)
Вынося в формуле (5.61) за общую скобку me и вводя в нее
коэффициент ft, находим
Mt = (1 + a) (15fc4 + 15ft2 + 1) Ат\ (5.63)
Аналогичным образом для сагиттальной плоскости находим
Д/3 = (1 + a) (3ft4 + 3ft2 + 1) АМ\ (5.64)
Задавая коэффициент ft = 0,5, уменьшаем первые члены в
формулах (5.63) и (5.64) в 16 раз, делая их даже меньше единицы, и
тогда второй член в формуле (5.63) приобретает доминирующее
значение, т. е. тем самым представляется возможным активно
воздействовать на полевую меридиональную сферическую
аберрацию, мало влияя при этом на изменение меридиональной
кривизны поля.
Наоборот, увеличивая коэффициент ft и делая его равным
двум, можно более энергично воздействовать на меридиональную
кривизну, мало затрагивая изменение меридиональной
сферической аберрации.
Происходящее в обоих случаях некоторое изменение
неэлементарной сферической аберрации на оси нетрудно было бы
устранить, вводя в систему коррекционную пластинку в
плоскости зрачка.
Напомним, что изменение коэффициента ft определяется
величиной а — расстоянием коррекционной пластинки от плоскости
зрачка; таким образом, это расстояние и определяет степень
воздействия на те или иные аберрации. Поэтому, если возникает
необходимость воздействия на две нечетные или на две четные
аберрации одного и того же знака, можно найти такое положение кор-
рекционного элемента, когда его действие позволит устранить
эти две аберрации одновременно.
Все вышепроведенные рассуждения относились к случаю,
когда коррекционные пластинки размещались в параллельном
ходе лучей. Однако в некоторых случаях полезно рассмотреть
влияние коррекционных элементов, размещаемых в сходящемся
ходе лучей, т. е, в пространстве между зрачком и изображением,
расположенным на конечном расстоянии от зрачка.
49
Обратимся к рис. 5.8, на котором представлены выходной
зрачок на расстоянии Ь от плоскости изображения и
деформированная пластинка на расстоянии а от зрачка. Угол главного луча
с осью при выходе из зрачка обозначим через со'.
Тогда, согласно рис. 5.8, можно написать
у = h + т(Ь — а)/Ь = h + (1 — k) m, (5.65)
где k выражает отношение а : Ъ.
Для одной деформированной пластинки находим
М, = 1+5L Ауе = !+« i/г + (1 - к) т\* Л. (5.66)
Полагая величину т равной нулю,
получаем разность хода для главного луча
Д/0 = I+fL Ah\ (5.67)
и тогда разность величин Д/х и Д/0
определит волновую аберрацию А/*,
отнесенную к главному лучу, т. е.
AZt = A/1-AZ0 = i±^{[/i +
Рис. 5.8. Расположение
деформированной поверх- _|_ (1 __ м m]« __ ffi\ А. (5.68)
ности в сходящемся ходе
лУчей Раскрывая в формуле (5.68) скобки и
делая сокращения, получаем
Mt = l+* [6h5(1 - k) т + 15/i4(1 - k)2 m2 +
+ 20/i3 (1 - 6)3 m3 + 15/г2 (1 - fe)4 m4 + 6A (1 - ?)5 m5 + mQ] A.
(5.69)
Для сагиттальной плоскости может быть получено
аналогичное выражение
Д/5 = 1 + *. [3/i4 (1 - kf М2 + 3/i2 (1 - kf /И4 + M61 Л. (5.70)
В формулы (5.69) и (5.70) входят величины /г, зависящие от
коэффициента &. Действительно, согласно рис. 5.8 и равенству
k = а : Ь,
ft = _я tg со' = — bk tg со'. (5.71)
Отрезок Ъ можно представить как отношение высоты т на
зрачке к тангенсу апертурного угла а'. Тогда
h = —kmtg ю'/tgo'. (5.72)
Используя формулы (5.69)—(5.72), можно поставить задачу
отыскания места расположения деформированной поверхности»
50
когда ее влияние на ту или иную аберрацию становится наиболее
активным.
С этой целью можно выбрать любой из членов формул (5.69)
и (5.70) и, заменив в нем /г, определяемое соотношением (5.72),
продифференцировать полученное выражение по коэффициенту k
и приравнять затем производную нулю.
Так, взяв первый член формулы (5.69), найдем
_!+« бт6 (^г)Ъ (Б/г4 - 6А») - 0, (5.73)
откуда
*W = 5/6. (5.74)
Это значение коэффициента k определяет положение коррек-
ционной пластинки, при котором ее влияние на дисторсию
пятого порядка по полю становится наибольшим.
Для второго члена формулы (5.69) после дифференцирования
получаем
"Чп"ХЪт* ("трг)4 (4&3 ~~10fe4 + Clk"] = °' (5,75)
откуда
Umax = 2/3. (5.76)
Это значение коэффициента k определяет положение
деформированной пластинки, когда она наиболее активно будет влиять
на меридиональную кривизну четвертого порядка по полю.
Второй корень уравнения (5.75), когда k = 0, не представляет
практического интереса.
Используя третий член формулы (5.69), находим
_l+^2Om0 f^j-y (3k2- 12?я+1564-6&5) = 0. (5.77)
Разлагая выражение в скобках на множители, получаем
_ 20 !±^ т6 (-|^-)3 (1 - Щ (1 - kf k2 = 0. (5.78)
Из пяти корней этого уравнения только лишь один корень
имеет практический интерес
*шв = 1/2. (5.79)
Это значение коэффициента k определяет положение
деформированной пластинки, когда ее влияние на кому третьего порядка
по полю становится наибольшим.
Для четвертого члена формулы (5.69) после
дифференцирования получаем
15i±^m« (l§^)2 0 - 3*)<1 -kfk = 0, (5.80;
51
что также дает лишь один корень, имеющий практическое
значение,
km&x = 1/3. (5.81)
Этот корень определяет положение пластинки, когда она
особенно сильно влияет на меридиональную сферическую
аберрацию второго порядка по полю.
И, наконец, пятый член формулы (5.69) дает соотношение
_б 1+* т* _??.(! _ 6Л)(1 - kf = 0, (5.82>
откуда получим реальный корень, определяющий наибольшее
воздействие на кому четвертого порядка по апертуре и
первого порядка по полю,
/W = 1/6. (5.83)
Обратим внимание, что полученные результаты имеют
широкое значение, так как они могут быть использованы
и для расположения в системе каких-либо других коррекцион-
ных элементов.
5.5. Малые деформации сферической поверхности,
концентричной к зрачку
Радиусы кривизны несферической поверхности в
прямоугольной системе координат выражаются известными формулами:
rt = (l + y'T2/y"; rs=yl/7+7. (5.84)
Переходя к полярной системе координат с началом,
совмещенным с центром сферы радиусом г0, которая соприкасается
с несферической поверхностью в ее вершине, можно представить
радиус-вектор R в виде уравнения
R = R0 + Д# = —г0 + ВЦ* + С^ + ..., (5.85)
где угол г|) является аргументом. В случае малой деформации Д#
сферической поверхности при реальных углах \|> коэффициенты В,
С и т. д. должны рассматриваться как малые величины.
Меридиональный радиус кривизны в полярной системе
координат выражается известной формулой
f [*+(g)T
Для сагиттального радиуса кривизны сделаем некоторые
преобразования второй из формул (5.84). Прямоугольные координаты
некоторой точки связываются с ее полярными координатами
формулами:
у = R sin \|?; г = R cos\|). (5.87)
52
Дифференцируя эти формулы, можно получить производную*
, dy_ __ /? cos *ИФ + sin яНЯ _ ^+ 5^tg^ ,„ RR.
У ж dz — /? sin ib ?/я|> + cos Ч> ^^ ~~ п. , , <*R- <0,00'
Возводя выражение (5.88) в квадрат и извлекая квадратный
корень из 1 + у'\ получаем
VT+7- , ^*i + W (5.89)
(— *1в*+^)СОв*
и, умножая на величину */, находим сагиттальный радиус
кривизны
-««*+-§-
Определим величину dRIdty. Дифференцируя формулу (5.85),
получаем
^ = 4В^ + 6С^+.... (5.91)
Величина второй производной , 2 будет равна
|?=12Яг|>2 + 30Сг|>*+-— (5.92)
Заметим, что величины как первой, так и второй производной
будут при малых деформациях сферической поверхности
величинами первого порядка малости. При этом квадраты первой
производной, входящие в оба выражения меридионального и
сагиттального радиусов кривизны, будут величинами второго
порядка малости, что позволяет перейти к приближенным
выражениям для обоих радиусов кривизны.
Так, для сагиттального радиуса кривизны можно написать
_ Р(\ I dR- \ г» d*
(5.93)
и, заменяя величину R, согласно формуле (5.85), получаем
rs = г0 - В^ - Сур* - J- W + 6Cf). (5.94)
В случае малости углов tp выражение г, приводится к виду
rs « r0 — 4fi\p2 — 6D|>4. (5.95)
53
Для меридионального радиуса кривизны п получаем
следующее приближенное выражение:
rtttr0— 12В\|)2 + 30Сг|)4,
(5.96)
которое остается справедливым и при реальных величинах
углов г|э.
Полагая, что несферическая поверхность является второй
поверхностью линзы с одинаковыми радиусами кривизны в
вершине и толщиной, равной нулю, можно определить величины
элементарных оптических сил, вносимых этой деформированной
поверхностью. Они получаются равными:
0t = („_,,(_L__L)^_?=lArt;
(5.97)
Переходя к деформациям и
ограничиваясь лишь одним коэффициентом в,
получаем
1 1Л...... ^ п-\
ф,=
12В\|>2; Ф, =
4?ф2
Рис. 5.9. Деформация
сферы, концентричной к
зрачку
'о 'о
(5.98)
Таким образом, тонкая концентричная
к зрачку линза с малой деформацией,
пропорциональной четвертой степени полевого угла, приводит к
возникновению малых меридиональной и сагиттальной оптических
сил, пропорциональных второй степени полевого угла.
Введение некоторой дополнительной оптической силы в той
или иной точке на главном луче вызовет смещение точки
изображения; величина этого смещения будет зависеть от расстояния
между предметной точкой и точкой, определяющей положение
вводимой элементарной линзы. Поэтому, исходя из формулы
для силы линзы, получаем
0 = 4--L = i^il
S S SS
S — S
(5.99)
так как разность s — s мала вследствие малости величины самой
силы Ф.
Для деформированной сферы, концентричной к зрачку,
величина отрезка s будет, согласно рис. 5.9, связана с полевым
углом о и расстоянием s'o от зрачка до плоскости изображения
формулой
s = So/cos со — d.
(5.100)
54
В соответствии с этим по формуле (5.99) находим величину
вносимого деформированной поверхностью смещения
изображения вдоль главного луча
s' _ s = Ф (si/cos со — d)\ (5.101)
Особый случай, когда деформированная поверхность касается
плоскости изображения (d = s'0), будет характеризоваться
смещением изображения, равным
я'—=ф(ъЬ~1У& <5Л02>
и тогда для смещения изображения в меридиональной и
сагиттальной плоскостях, согласно формул (5.98), получаем
выражения:
s't-s=l2B(n-l)c**(-J^-iy;
s;-s = 4B(n-l)co2(-^-l)2.
(5.103)
5.6. Несферические поверхности
с эвольвентным профилем
Профиль любой центрированной несферической поверхности
можно рассматривать как эвольвенту некоторой эволюты, т. е.
в этом случае приходим лишь к другой интерпретации уже
известных свойств несферических поверхностей.
Так, при задании профиля несферической поверхности
уравнениями вида
у2 = 2r0z + Bz2 + Сгъ + ..., (5.104)
или
г = ^- + В^ + С^+... (5.105)
могут быть определены уравнения эволют этих профилей, что
никоим образом не нарушит свойств самих поверхностей
(например, невозможности получения по первому уравнению планоид-
ной поверхности с радиусом rQ в вершине кривой, равным бес-
конечности).
При этом совершенно очевидно, что приведенными выше двумя
уравнениями профилей далеко не исчерпываются возможности
и свойства других несферических поверхностей, особую роль
среди которых играют эвольвентные поверхности, построенные
на эволютах, представляющих из себя окружности постоянного
радиуса R.
55
Обратимся к рис. 5.10, на котором показана эвольвента
окружности радиуса R. Радиус эвольвенты в ее вершине обозначим
через г0, меридиональный и сагиттальный радиусы — через
т% и г8.
Величины этих радиусов нетрудно выразить через угол Y»
образуемый нормалью эвольвенты с осью. Для некоторой
точки эвольвенты будем иметь:
или
г\ = г0 + Къ г8 = п - R tg 4-i
г. —г0 + /г(т —tg-j-).
(5.106)
(5.107)
[-^—
Т^о
1
< 1 Г X
S W Га
1
w?
}
-^
*R -
Jftft
Рис. 5.10. Эвольвента
окружности
Рис. 5.11. Ход луча через эвольвентную
поверхность
Декартовы координаты у и z будут равны:
у = rs sin y; г = r0 + R tg -?- — rs cos y,
или
z = r0(l - cosv) + /? [tg-2- - (v - tg -J-) cosy]
(5.108)
(5.109)
Абсциссу г можно представить в несколько ином виде
г = г0 (1 — cos у) + R (sin y — Y cos y). (5.110)
Для расчета хода лучей через такие эвольвентные поверхности
необходимо определять координаты точки встречи луча с
профилем поверхности. С этой целью воспользуемся рис. 5.11, на
котором представлена картина встречи луча с эвольвентой
окружности радиуса R.
Согласно рисунку, угол е падающего луча с нормалью к
поверхности будет равен
—е = у — о. (5.111)
56
С другой стороны, должно иметь место равенство
rssine= (Vo —s+fltg-^-) sina, (5.112)
где отрезок s определяет расстояние от вершины
поверхности до точки пересечения падающего луча с осью.
Подставляя в формулу (5.112) значение радиуса rs из
формулы (5.107), находим
[r0+^(T-tg-b)]slne=(r0-s+JRtg-f)sina, (5.113)
откуда может быть определен синус угла е
r0-s + R tg X
slne = — sina = sin (a— у). (5.114)
'о + Я (v-tg-J-J
Развертывая в формуле (5.114) синус разности углов,
приходим к уравнению
г0 — s + R tg -?-
и ь 2 sin a cos у—sin у cos a sin у /C , л rv
- r- = -. l = COSV г-— , (5.115)
, n/ v\ sin a • tg a ' ч r
с помощью которого может быть определен угол у.
Затем по формулам (5.111) и (5.112) можно найти угол е и
радиус гв, а также отрезок q (согласно рис. 5.11)
q = r0-s+ /? tg (Т/2). (5.116)
Зная q и учитывая инвариант n'q' sin a' = nq sin а, нетрудно
определить отрезок ^ по формуле
q' = r0-s' + /? tg (y/2), (5.117)
где угол а' будет определяться равенством
а' = а+ е' — е. (5.118)
В случае, если радиус эволюты 7? не слишком велик по
отношению к радиусу г0 в вершине эвольвенты, удобно
воспользоваться последовательными приближениями, определяя вначале
угол 7о нормали с осью для встречи луча с окружностью радиуса г0
по формуле
То = <J-e0, (5.119)
где угол е0 может быть найден через его синус
sins0 = -^—?-sina. (5.120)
Затем определяется угол вх по формуле
/o-s-bfltg-^
sinex = г- sina, (5.121)
'o + tf(Yo-tg^-J
57
и после этого снова находится некоторый угол Yi
уг = а — гг (5.122)
и т. д. до тех пор, пока значения углов y^t-i и yk не станут
равными друг другу с необходимой степенью точности.
Декартовы координаты точки М встречи луча с эвольвентной
поверхностью позволяют определять косые толщины вдоль
главного луча; находя далее меридиональный и сагиттальный
радиусы кривизны rt и rSy получаем возможность расчета через
эвольвентную поверхность астигматизма.
Обратим внимание на некоторые особенности работы
несферической поверхности, образованной эвольвентным профилем
эволюты в виде окружности постоянного радиуса R.
Обращаясь к формуле (5.107) для сагиттального радиуса rs,
видим, что этот радиус выражается близкой к линейной
зависимостью от изменения угла у. Поэтому для небольших углов
можно перейти к приближенной формуле
r3~r0+ Ry/2, (5.123)
что будет равнозначно приращению радиуса
Дг = г8 — r0 = Ry/2. (5.124)
Полагая предмет расположенным в бесконечности и прибегая
к инварианту Аббе (3.10), можно написать
n'/s'o = (п — п)/г0. (5.125)
Дифференцируя это выражение, приходим к приближенной
формуле для определения продольной сферической аберрации ds'
эвольвенты окружности
^ds'^^^dr, (5.126)
откуда
te=nl^\dr, (6.127)
или
ds' = ^4v- (6-128)
Но угол у можно рассматривать (в первом приближении)
как отношение высоты т крайнего луча осевого апертурного
пучка к радиусу г0. Поэтому
ds =—, 75— = (-7 ) — т, (6.129)
п' — n2rQ \n, — n/2s0
58
что выражает линейную зависимость продольной сферической
аберрации As' = ds' от высоты т на входном зрачке. Совершенно
очевидно, что при этом поперечная сферическая аберрация
эвольвенты окружности будет выражаться квадратичной
зависимостью.
На первый взгляд кажется, что подобный результат находится
в противоречии с центрированностью поверхности; однако на
самом деле такого противоречия нет, так как при переходе
высоты т и угла у через нуль будет происходить (вследствие
центрированности поверхности) и изменение знака радиуса эволют-
ной окружности на обратный.
Для иллюстрации процесса изменения сферической
аберрации эвольвенты окружности постоянного радиуса приведем
численный пример точного определения сферической аберрации
эвольвентной поверхности со следующими данными: г0 = 50,0;
s = 200,0; R = 10,0; п = 1,0; п' = 1,5163.
Задаваясь рядом значений апертурного угла а, найдем
величины сферической аберрации As', которые приведены ниже.
а, ° —10 -.8 —6
As', мм —94,757 —58,382 —29,049
—4 —2
—8,387 +1,697
График изменения сферической аберрации эвольвентной
поверхности представлен на рис. 5.12. Заметим, что кривая про-
Рис. 5.12. График сферической аберрации
эвольвентной поверхности
Ttf
r\
cf
-у
<L
* "T° J*
si
-JO -20 -10 0 10
Рис. 5.13. К определению дисторсии
эвольвентной поверхности
дольной сферической аберрации на этом графике подходит к
началу координат не по касательной к оси ординат, а составляет
с ней некоторый угол.
Дисторсия эвольвентной поверхности. Примем расположение
входного зрачка совмещенным с центром кривизны С0
соприкасающейся окружности в вершине эвольвентной поверхности
(рис. 5.13).
Полагая, что точка встречи главного луча с эвольвентой —
точка М — определяет направление нормали как касательной
59
к эволютной окружности радиуса R, можно найти отстояние 6
точки пересечения нормали с осью от центра зрачка. Таким
образом,
a-/?tg-J-**-f. (5.130)
При небольших полевых углах со углы у также будут
невелики, и тогда можно получить приближенное выражение для
угла е между главным лучом и нормалью
e = -f = ^±Y=-f-?. (5.131)
Согласно закону преломления, определим угол е'
е' = уе. (5.132)
Тогда для разности углов е' и е получаем
•'- — (?-О8-^-1)^* <5-133>
или
,'_.«(_»._ !)?„.. (5.134)
В случае, если предмет расположен в бесконечности, величина
дисторсии Ау' может быть выражена как произведение разности
углов (в' — б) и отрезка s0l т. е.
Ау' = (в' _ в)* = (-?- - 0 бН®2 (5-135)
и окончательно
Ау' = 4^ со2. (5.136)
Из формулы (5.136) следует, что абсолютная дисторсия эволь-
вентной поверхности выражается квадратичной зависимостью
от величины полевого угла со.
Астигматизм эвольвентной поверхности. В случае, когда
зрачок входа совмещен с центром кривизны эвольвентной поверхности
в ее вершине и когда предмет расположен в бесконечности,
нетрудно установить, что величина возникающего астигматизма
будет определяться приращениями меридионального и
сагиттального радиусов кривизны, линейно связанными с ростом полевого
угла со.
Сопоставляя все три вида аберраций — сферическую
аберрацию, астигматизм и дисторсию для эвольвентной поверхности,
построенной на эволюте постоянного радиуса, приходим к выводу
о существовании для центрированной оптической системы
аберраций второго порядка.
60
Причиной возникновения аберраций второго порядка можно
считать существование разрыва непрерывности для эволюты
профиля в его вершине при одновременном сохранении непрерывности
самого профиля и его первой производной.
Введение в оптические системы аберраций второго порядка
может быть использовано для частичной компенсации ими
элементарных аберраций третьего порядка, что аналогично широко
распространенному приему использования для той же цели
аберраций пятого и более высоких порядков.
В частном случае обратимся к сочетанию сферической
аберрации второго и третьего порядков, заданных уравнениями.
Asn = Апт\ As'iu = Ашт2. (5.137)
Для этого случая суммарная сферическая аберрация будет
выражаться формулой
^s' = As'u + Asih = Апт + Ашт2. (5.138)
Ставя условие устранения сферической аберрации для края
отверстия
Aso = 0 = Ацпго + Ашт1, (5.139)
получаем
А и = —Ащгпо. (5.140)
При соблюдении этого условия определим величину
максимальной остаточной сферической аберрации. С учетом (5.140)
выражение для продольной сферической аберрации можно
представить в виде
As' = —Alu(mm0 — m2). (5.141)
Приравнивая нулю его первую производную
^1 = 0 = - А1П (m0 - 2mmax), (5.142)
находим высоту, при которой остаточная сферическая аберрация
приобретает максимальное значение,
"W = то/2. (5.143)
Сама остаточная сферическая аберрация получится в виде
Asma* = - Anml (4 - -г) = - ^Г- (5Л44)
Известно, что в случае компенсации элементарной
сферической аберрации третьего порядка с помощью сферической
аберрации пятого порядка максимальная остаточная сферическая
аберрация выражается формулой
Asmax = Asm/4, (5.145)
которая отличается от (5.144) только знаком.
61
Таким образом, в обоих рассмотренных случаях величина
остаточной максимальной сферической аберрации оказывается
одинаковой по своей абсолютной величине. Однако значение высоты
во втором случае находится как т0 "|/2/2, т. е. оно получается
больше, чем в первом случае. Следствием этого является
возникновение большей поперечной сферической аберрации.
Подобно взаимной компенсации сферической аберрации
второго и третьего порядков можно было бы рассмотреть взаимную
компенсацию астигматизма второго и третьего порядков, что
привело бы к аналогичному результату — уменьшению
максимального остаточного астигматизма так же в четыре раза по
отношению к исходному астигматизму третьего порядка.
Различие меридионального и сагиттального радиусов кривизны
при ходе главного луча по радиусу — нормали — эвольвентной
поверхности приводит к возникновению некоторого астигматизма.
С другой стороны, при нарушении хода главного луча, т. е.
при направлении его не по нормали, будут образовываться углы е
и е', не равные нулю. В результате появится возможность
устранения астигматизма, возникшего вследствие различия
меридионального и сагиттального радиусов кривизны.
Учитывая, что величина компенсирующего астигматизма не
должна зависеть от знака углов главного луча с нормалью к
поверхности, приходим к выводу о возможности устранения
астигматизма при двух положениях зрачка входа.
Проанализируем вышеизложенное аналитически, используя
меридиональный и сагиттальный инварианты. Согласно формулам
(3.11) и (3.17), для бесконечно удаленного предмета можно
написать:
п' cos2 е' п' cose'—«cose п' п' cose'—п cose /с «лп.
: , (5.146)
tp rt SF rs
где меридиональный rt и сагиттальный rs радиусы кривизны
эвольвентной поверхности выражаются формулами (5.106) и (5.107),
Приравнивая отрезки tF и s'F друг другу, находим
t'F = S'F = _^П™М_ _ п% (5Л47)
п cos е' — п cos е п cos е —- п cos е ' ч f
откуда следует, что
rt cos2e' = rs = rt (1 - sin2 8') (5.148)
или
rt sin2 e' = rt - rs = R tg (т/2). (5.149>
Таким образом, получаем
-*- vW = v^
(5.150)
62
Пользуясь законом преломления nf sin е' = п sin е, можно
определить угол &, а вслед за этим найти углы главного луча с осью
со и со':
со = у ± е; со' = v ± 8'> (5.151)
которые и определяют два положения анастигматических
зрачков эвольвентной поверхности.
Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство.
При устранении астигматизма сферической поверхности,
обладающей положительной оптической силой, остается неисправленной
кривизна поля, которая отрицательна по знаку и регламентируется
величиной петцвалевой суммы.
В случае же компенсации астигматизма у эвольвентной
поверхности меридиональная и сагиттальная кривизны, присущие
исходной сферической поверхности, компенсируются линейными
изменениями меридиональной и сагиттальной поверхностей, что
приводит, в свою очередь, к некоторой компенсации кривизны
поля без изменения петцвалевой суммы.
Это явление можно проследить на приводимом ниже
численном примере. Задаем радиус эвольвентной поверхности в
вершине г0 = —61,26; показатели преломления п = 1,6126 и п' = 1.
Пусть угол нормали с осью у = —0,2 рад. Тогда, полагая
радиус эволюты R = 10,0, определяем меридиональный и
сагиттальный радиусы rt и rs:
rt = r0 + Ry = — 63,26; rs = rt - R tg -|- = — 62,25665.
Для устранения астигматизма необходимо, чтобы
меридиональный tfF и сагиттальный s'F фокальные отрезки были бы равны друг
другу. Тогда в соответствии с формулой (5.150) сначала находим
углы г' и е:
sin е' = —0,12594, г' = —0,12628;
sin 8 = —0,07810, е = —0,07818.
Далее по формуле (5.147) определяем отрезки t'F = s'F =
= 101,122. Полевые углы со и со' могут быть получены в виде
разности углов у и е. Для ближнего положения зрачка эти углы
принимают значения:
со = —0,27818; со' = —0,32628.
Отстояние совмещенных меридионального и сагиттального
фокусов от плоскости Гаусса находится по формуле
zt = zs = t'F cos со' — so + г = — 5,47893,
где z — величина стрелки для точки встречи главного луча с
эвольвентной поверхностью.
Заметим, что отстояние петцвалевой Поверхности для
плоскосферической линзы при том же полевом угле со = —0,27818 полу-
63
чается несколько большим, а именно zp = —6,199, т. е. условие
Петцваля не распространяется на астигматизм второго порядка.
Сферическая аберрация системы из нескольких эвольвентыых
поверхностей. Аналогично теории аберраций третьего порядка
для сферической аберрации второго порядка нетрудно получить
общее выражение для оптической системы, содержащей эвольвент-
ные поверхности.
Исходя из инварианта Аббе (3.10), имеем
Дифференцируя выражение (5.152), получаем
^ds'-^-ds = ?^dr. (5.153)
Умножая выражение (5.153) на квадрат высоты h апертурного
луча на преломляющей поверхности и заменяя отношения высоты
к отрезкам s' и s через параксиальные апертурные углы а' и ос,
получаем
/iV'ds' -na2ds = ^-^h2dr. (5.154)
Дифференциал радиуса dr можно выразить по формуле (5.124)
через радиус эволюты R и угол у нормали с осью системы. Таким
образом,
n'a'*ds' - na2ds = (ri - ")^г 4~' (5.155)
так как угол у можно рассматривать как отношение h : г.
Суммируя выражения (5.155) для всех поверхностей
оптической системы, получаем
пта* ds'm - ща\ dsi = 4- 2 (~7")Э <"' - n) R' (5*156>
Если предмет будет свободен от сферической аберрации
второго порядка, то
ds;=^2(4)V-*)S. (5.157)
Астигматизм системы из нескольких эвольвентных
поверхностей. Астигматизм второго порядка может быть также выражен
приближенной формулой. Для этого воспользуемся формулами
(5.153) и (5.154), полученными при выводе сферической
аберрации для системы из нескольких эвольвентных поверхностей.
В указанных формулах величины dr для меридиональной
плоскости могут быть представлены в виде разности
drt = rt — r0 = r0 + Ry — r0 = Ry, (5.158)
64
*+
(5.159)
а для сагиттальной плоскости соответственно
dr8 = rs-r0 = r0 + R(y-tg^—r0:
Тогда, вводя эти значения drt и drs в выражение (5.154J и
суммируя их для всех поверхностей системы, находим:
h2
' '2 / 2
па dst — па dst
/га dss — па dss = У^{п — п) -^ R ~y
(5.160)
Угол у может быть определен как отношение высоты Н
полевого параксиального луча к радиусу г. Тогда меридиональная и
сагиттальная суммы принимают вид:
па dst — /га dst = \(п — п)-^- — R\
' '* а ' *а IV/' \ h2 н г>
па dss — па dss = ~y2a ^п ~~ n' Т2" "Г ^'
(5.161)
В частном случае, когда предмет свободен от астигматизма,
величины dst и dss равны нулю. Таким образом, получаем:
zs = dss = ——г > (п — n)-z—R.
2п а *** r г
(5.162)
Если при этом предмет будет расположен в бесконечности,
то угол а1 апертурного параксиального луча определит отношение
высоты h0 на входном зрачке к фокусному расстоянию /'. Поэтому
можно написать:
3 '
Г2 г, Y1 / / , Н h? R
(5.163)
Выражая высоту Н0 через произведение полевого
параксиального угла р и расстояния sP от первой поверхности до входного
зрачка, окончательно получаем:
Н h* R ш
''л
* = ?-*?-5>'-»>-й7
Zs - 2 /г' Zj1П П; Я0 А2 г*
(5.164)
65
Дисторсии системы из нескольких эвольвентных поверхностей.
Для определения дисторсии второго порядка воспользуемся
инвариантом Лагранжа—Гельмгольца
п'а'у' = nay, (5.165)
справедливым для системы из нескольких поверхностей.
Дифференцируя этот инвариант логарифмически, находим
Jyi_+d^==Ji_+da_9 (5.166)
у а у ' a v '
Помня, что отношение dy/y определяет относительную дистор-
сию Д, получаем
а / a dec' . da da' /S -, 0~,
так как входной апертурный угол а есть величина постоянная.
Обращаясь к инварианту Аббе и умножая его на высоту h
параксиального апертурного луча, находим
пЪ nh_ = п,а, __па = (/1/ _ п) А^ (5.168)
Суммируя выражения (5.168) для всех поверхностей системы,
получаем
л'а' - па = ^(/i' - /2)-^-. (5Л69)
Дифференцирование этой суммы позволяет определить
величину da' в виде
п'дп! = — J (я' - я) -^- dr. (5.170)
В данном случае величину dr следует рассматривать как
разность rs — г0, равную Ry/2. Это позволяет выразить дисторсию
в виде
A'-A=-^-w2<i,'-n>4-** (5Л71>
Пользуясь высотами Н полевого параксиального луча,
получаем
A'-A=w2>'-")-?-я?- <5-172>
Окончательно для предмета, расположенного в бесконечности
и свободного от дисторсии, имеем
Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство.
В случае, когда зрачок входа совмещен с первой поверхностью,
высота Н0 главного луча на ней становится равной нулю, и тогда
вынос ее за знак суммы неправомерен, так как полученные окон-
66
чательные формулы для астигматизма и дисторсии теряют смысл;
однако формулы (5.162) и (5.172) остаются справедливыми.
С другой стороны, приравнивая в полученных суммах первые
члены нулю и отбрасывая их, получаем положение входного
зрачка относительно последующей поверхности, которое уже
перестает быть равным нулю; тогда формулы (5.164) и (5.173) могут
быть использованы. Однако следует учитывать величину
изменения входного полевого параксиального луч# вследствие его
преломления на первой поверхности системы, собмещенной с входным
зрачком.
^—-г-'й'
Лг
-;
\ -»1
J
¦« s'°-f° J
Рис. 5.14. Ортоскопическая плоскоэвольвентная
линза
Ортоскопическая плоскоэвольвентная линза. Можно поставить
задачу расчета ортоскопической плосковыпуклой линзы с эволь-
вентным профилем и телецентрическим ходом лучей в
пространстве изображений.
Обратимся к рис. 5.14, на котором представлена такая линза.
Показатели преломления примем равными пг = 1, п2 = п, п3 = 1;
радиус линзы в ее вершине — г0. Полевой угол обозначим через со;
после преломления на первой плоской поверхности главный луч
составит с осью системы угол со'.
Угол нормали к эвольвентной поверхности с осью обозначим
через у. Этот угол должен быть равен углу е', образуемому
главным лучом с нормалью.
Величина неискаженного изображения уо может быть
определена по формуле
Г' , r0 tg СО
Уо = — /о tg со ^=ГТ" •
(5.174)
Величина изображения, создаваемого главным лучом, должна
быть равна (в силу телецентр и чности хода главного луча)
расстоянию точки преломления главного луча от оси. Из рис. 5.14
находим
у' = rssiny. (5.175)
Подставляя в формулу (5.175) выражение для rs из (5.107),
получаем
y'=[ro + R (v- tg-|-)]sin7.
(5.176)
67
Пользуясь законом преломления, можно связать углы е' = у
и е соотношением
sin 8 = sin е'/п = sin у/п. (5.177)
Величина угла о/ может быть определена в виде разности
углов е' и е
ю' = е' — е = 7 — 8-
Находим синус этого угла
sin о/ = sin (д/п = sin 7 cos е — cos 7 sin е =
= sin 7 cos e — cos 7 sin y/n9
или
/ COS V \
sin со' = sin со/я = (cos 8 JT~) sin V-
Выражая cos e и cos 7 через синусы, получаем
sin со
(5.178)
(5.179)
(5.180)
(5.181)
Умножая выражение (5.181) на n, имеем
j/ 1 — sin2 7 ] sin 7-
(5.182)
Пользуясь формулой (5.182) и
задаваясь каким-либо значением
угла 7» можно определить
величину полевого угла со, а затем
по формуле (5.174) найти
величину неискаженного изображения у'0.
В случае отсутствия дисторсии
для этого полевого угла
справедливо равенство у = г/о. Тогда,
исходя из формулы (5.175),
можно найти величину сагиттального
радиуса г3 и, пользуясь
формулой (5.107), определить радиус
эволюты R.
Зная величину этого радиуса
и используя полученные формулы
в обратном порядке, можно
определить величину дисторсии для
любых других полевых углов, задаваясь различными углами 7.
В качестве численного примера определим остаточную дистор-
сию плоскоэвольвентной линзы с фокусным расстоянием /' =
= 100 мм и показателем преломления п = 1,613. Задаем
отсутствие дисторсии для полевого угла, найденного для значения
sin 7 = —0,4. Согласно формуле (5.166), этот полевой угол со =
= —14,978°.
Рис. 5Л5. Графики аберраций
плоскоэвольвентной линзы: а — отно-
с ительная дисторсия; б —
астигматизм
68
Таблица 5.1
Дисторсия и астигматизм плоскоавольвентной линзы
с телецентрическим ходом главных лучей
ш, °
— 14,978
— 10,736
—7,083
—3,519
У'
26,753
18,960
12,425
6,150
Ау'
0,000
0,366
0,298
0,107
А, %
0,00
1,93
2,40
1,73
zt
— 11,323
—2,275
2,094
2,795
zs
—2,230
0,763
1,892
1,592
Зная угол со, находим по формуле (5.158) величину
неискаженного изображения yl = 26,753 и далее величину сагиттального
радиуса rs = —66,882. Исходя из величин у и rs, определяем
радиус эволюты (окружности) R = 27,525.
Для нахождения дисторсии для других полевых углов
задаемся рядом значений угла у: —0,3; —0,2; —0,1 рад.
Имея в распоряжении величины углов у и со, а также
радиусов г0 и rs, можно найти величины искаженного и неискаженного
изображений, а затем абсолютную Д#' и относительную А
дисторсии.
Попутно по формулам (5.146) можно вычислить астигматизм
такой плоскоэвольвентной линзы. Для этого должны быть
определены углы е и е' из условия соблюдения телецентрического хода
главных лучей для найденных полевых углов со. Вычисляя
разности cos е' — п cos е и используя значения радиусов rt и rsy
находим фокальные отрезки в меридиональной и сагиттальной
плоскостях tft и sf, а затем — астигматизм Zt и zs. Результаты
вычислений приведены в табл. 5.1.
Рассматривая графики относительной дисторсии и
астигматизма плоскоэвольвентной линзы, представленные на рис. 5.15,
видим, что кривые дисторсии, меридиональной zt и сагиттальной zs
кривизны подходят к началу координат, образуя конечные углы
с координатными осями. Заметим, что у этой линзы для полевого
угла со = —7,083° имеет место примерное отсутствие астигматизма.
Глава 6
ХРОМАТИЗМ
6.1. Оптические материалы. Коэффициент дисперсии
Для всех оптических материалов общим свойством является
так называемая нормальная дисперсия, т. е. возрастание их
показателей преломления, связанное с уменьшением длины световой
69
эолны. В общем случае эта зависимость может быть выражена
формулой
п2 = А + В/(к2 — С) — DX2 — Е№, (6.1)
в которой коэффициенты имеют различные значения для различных
оптических материалов.
Изменение показателей преломления в линзах той или иной
оптической системы, связанное с переходом от одной длины волны
спектра к другой, приводит к изменению ее параметров и
аберраций. В соответствии с этим явлением возникает задача ахромати-
зации оптической системы. Решение этой задачи осуществляется
посредством взаимной компенсации изменений, присущих
различным элементам оптической системы.
Для сопоставления дисперсионных свойств различных
материалов удобно использовать величину отношения средней
дисперсии (разности показателей преломления для двух каких-либо длин
волн) к разности показателя преломления для основного цвета
ц единицы
1/v = (/И - п2)/(п0 - 1). (6.2)
В частном случае в качестве основного цвета может быть
принята линия D спектра водорода, а в качестве двух других
длин волн линии С и F.
Знаменатель v называют числом Аббе, или коэффициентом
дисперсии.
Сведения о преломляющих свойствах различных марок
оптического стекла регламентируются ГОСТ 3514—76Е** и
ГОСТ 13659—78*, а также соответствующими ОСТ.
Значения показателей преломления варьируют в пределах от
1,43 до 2,17, числа Аббе — от 97 до 16.
Ассортимент оптических стекол разделяют на группы:
— кронов, обозначаемых буквой К, с показателями от 1,50
до 1,52 и числами Аббе от 65 до 59;
— флинтов, обозначаемых буквой Ф, с показателями от 1,61
до 1,63 и числами Аббе от 38 до 35;
— тяжелых флинтов, обозначаемых буквами ТФ, с
показателями преломления от 1,64 до 1,80 и числами Аббе от 34 до 26;
— сверхтяжелых флинтов, обозначаемых буквами СТФ, с
показателями преломления от 1,9 до 2,17 и числами Аббе,
доходящими до 16;
— кронфлинтов, обозначаемых буквами КФ, с показателями
от 1,50 до 1,54 и числами Аббе от 58 до 51;
— легких флинтов, обозначаемых буквами ЛФ, с
показателями преломления от 1,54 до 1,58 и числами Аббе от 47 до 38;
— тяжелых кронов, обозначаемых буквами ТК, с
показателями преломления от 1,56 до 1,65 и числами Аббе от 61 до 51;
— сверхтяжелых кронов, обозначаемых буквами СТК, с
показателями преломления от 1,66 до 1,78 и числами Аббе от 57 до 48;
70
Рис. 6.1. Зависимость между показателями преломления и числами Аббе для оптических стекол: Q —
кронфлинты; Д — флинты с укороченным вторичным спектром; О — остальные стекла
71
— баритовых флинтов, обозначаемых буквами БФ, с
показателями преломления от 1,52 до 1,66 и числами Аббе от 55 до 35;
— тяжелых баритовых флинтов, обозначаемых буквами ТБФ,
с показателями от 1,75 до 1,89 и числами Аббе от 41 до 30;
— баритовых кронов, обозначаемых буквами БК, с
показателями преломления от 1,53 до 1,56 и числами Аббе от 60 до 61;
— легких кронов, обозначаемых буквами ЛК, с показателями
преломления от 1,44 до 1,49 и числами Аббе от 70 до 65;
— фторофосфатных кронов, обозначаемых буквами ФФС,
с показателями преломления от 1,43 до 1,60 и числами Аббе от 97
до 69;
— особых флинтов (с укороченным вторичным спектром),
обозначаемых буквами ОФ, с показателями преломления от 1,53
до 1,66 и числами Аббе от 52 до 42.
Расположение всех этих групп оптических стекол
представлено на рис. 6.1. На этом рисунке вдоль оси абсцисс отложены
числа Аббе, а вдоль оси ординат — показатели преломления.
41
J
i
!__.
pi
' As' •
-«s
Г y<
M2
\_Oj_ ^
i
1
f
6.2. Хроматизм положения и увеличения. Хроматизм в зрачке
При переходе от одной длины волны света к другой в связи
с изменением показателей преломления линз, входящих в
оптическую систему, в общем случае происходит изменение
положения изображения (нарушение
фокусировки) и изменение его величины.
В соответствии с этим в одной и той
же плоскости будет происходить
наложение друг на друга изображений,
которые различны по цвету и
величине, а также по-разному
сфокусированы.
Изменение положения
изображения называют хроматизмом
положения или первым хроматизмом;
изменение же увеличения называют
хроматизмом увеличения или вторым хроматизмом.
Влияние хроматизма положения в той или иной мере может
быть ослаблено за счет уменьшения выходной апертуры; этот
способ широко применялся тогда, когда еще не было возможности
устранять хроматизм, используя сочетание кроновых и флинто-
вых линз.
Хроматизм увеличения не портит качество изображения
в центральной части поля и может быть устранен хроматизмом
увеличения в последующей части системы.
Весьма своеобразную роль играет хроматизм в зрачке
оптической системы. Этот вид хроматизма непосредственно не
отражается на качестве изображения, так как он не создает ни
расфокусировки, ни несовмещения цветных изображений друг с другом.
Рис. 6.2. К определению
влияния хроматизма в зрачке
72
Наличие хроматизма в зрачке становится ощутимым лишь
в частном случае, когда в плоскости выходного зрачка будет
располагаться материальная диафрагма. Этот случай представлен
на рис. 6.2, на котором изображена материальная диафрагма М2,
не совпадающая по положению с изображением действующей
диафрагмы, т. е. с выходным зрачком Р\ для некоторой длины волны
света.
Действие подобной диафрагмы равнозначно процессу
виньетирования и выразится в том, что будет наблюдаться срезание
части наклонного пучка лучей, влекущее за собой понижение ос-
вещенйости изображения для рассматриваемого участка спектра
по отношению к освещенности изображения для основного
участка. Этот процесс аналогичен работе светофильтра. Таким
образом, будет наблюдаться окраска фона, возрастающая по мере
удаления от оси системы.
Численную характеристику влияния хроматизма в зрачках
нетрудно получить, пользуясь формулой для геометрического
виньетирования (вывод которой приводится в гл. 7), т. е.
'о-н^г+'-ф-оа- ,б-з>
В этой формуле рх и ри — радиусы отверстий материальных
диафрагм, расположенных на расстояниях а\ и а\\ от плоскости
изображения, величина которого равна у'.
глаза (р' > Ргл); б — выходной зрачок меньше зрачка глаза (р' < ргл)
Если для основного цвета, когда хроматическая разность
расположения диафрагм аи — а\ = 0, принять радиусы обеих
диафрагм также равными друг другу, то функция
геометрического виньетирования р (у') становится равной единице; тогда
наклонные пучки лучей не претерпевают никакого срезания.
При наличии же хроматизма положения в выходном зрачке,
когда разность отрезков аи — а\ не равна нулю, коэффициент
при у' тоже не будет равен нулю, и тогда коэффициент
геометрического виньетирования становится меньше единицы, т. е.
произойдет срезание части наклонного пучка, что выразится в
уменьшении цветовой составляющей в изображении точки.
73
Устранение действия третьего хроматизма — хроматизма
в зрачках — сводится к устранению возникновения
геометрического виньетирования для цветного изображения. Этого можно
добиться двумя способами: 1) увеличением отверстия
дополнительной диафрагмы настолько, чтобы пучки лучей как для основного
цвета, так и для дополнительных цветов проходили бы через эту
диафрагму полностью; 2) уменьшением отверстия
дополнительной диафрагмы, чтобы она пропускала одинаковой ширины пучки
лучей и для основного цвета и для других цветов.
Оба способа устранения третьего хроматизма представлены
на рис. 6.3.
Практически возникновение хроматизма в зрачке встречается
тогда, когда какая-либо из линз, близко расположенных к
плоскости промежуточного изображения, не будет ахроматизована
(как, например, коллективные линзы в окулярах).
6.3. Изменение хроматизма при изменении положения предмета
Выше отмечалось, что в оптических системах, содержащих
линзовые элементы, может происходить изменение положения и
величины изображения, связанное с изменением длины световой
волны, т. е. возникают хроматизм положения и увеличения,
а также хроматизм в зрачках.
Для выбранного положения предмета возможно устранение
хроматизма; однако при изменении положения предмета не
исключено возникновение хроматизма, связанное с изменением
увеличения.
Для оптических систем, расположенных в одной и той же среде
(например, в воздухе), при устранении хроматизма положения
и увеличения, а также хроматизма в зрачках изменение
увеличения не вызывает возникновения хроматизма. Однако, если
первая и последняя среды различны, что имеет место при
использовании иммерсионных микрообъективов и гидросъемочных
объективов, устранение хроматизма для одного положения предмета
и изображения предопределяет возникновение хроматизма при
изменении увеличения.
В том случае, когда предмет расположен в бесконечности,
хроматизм положения выражается в изменении положения точки
заднего фокуса; хроматизм увеличения будет выражаться в
изменении величины фокусного расстояния системы.
Однако ахроматизация фокусного расстояния и положения
заднего фокуса еще не означает ахроматизации положения
переднего фокуса. В частности, размещая перед какой-либо системой
достаточно толстую плоскопараллельную пластинку, всегда
возможно изменять хроматизм положения переднего фокуса, не
затрагивая ахроматизации заднего фокуса и фокусного расстояния.
Установим зависимость изменения первого и второго
хроматизма от изменения положения предмета.
74
Обратимся к рис. 6.4, на котором в точке А находится
предмет, величина которого принимается равной у; в точках F и F'
показано расположение переднего и заднего фокусов для
основного цвета, а в точках F\ и F[ — для второго цвета, т. е. для
другой длины волны.
Расстояния от точек F и F' до точек F\ и F[ обозначим через dsP
и ds'F. Изображение для основной длины волны, расположенное
в точке Л', обозначим через у'\ изображение для другой длины
волны, расположенное в точке А" на расстоянии ds' от точки Л', —
через у".
Расстояния до точек Л, Л' и А" от соответствующих точек F,
F[, Fr и F[ обозначим через z, г + dz, г' и z", Эти величины,
согласно рис. 6.4, могут быть
связаны с отрезками dsF,
dsrF и ds следующими
формулами:
dz = — dSF\
г' + ds' =ds'F + r. (6.4)
Линейные увеличения для
обеих длин волн обозначим
через V и V. Эти
увеличения могут быть выражены
формулами:
Р F1 F! Fi /
-2
\dSf\
-z-dz
Л
\Л"\
dsT
Рис. 6.4. Изменение хроматизма при
изменении положения предмета
y—h
V
t+df
г + dz
df
1 4- ¦
1 +
dz
(6.5)
Хроматизм увеличения можно определить как разность
увеличений V и V. Пользуясь формулами (6.5), находим
df
dV = V - V = I
/
1 +
или
dt
dz
df
dz
г
dsj.
-IV,
(6.6)
dV = V
i +
2
1— ¦
dsE
1/(1 — IQrf/
(6.7)
Хроматизм положения ds' можно определить разностью
отрезков; согласно рис. 6.4, имеем
ds' = ds'r + z -z =ds'F-V (f + df') + Vf\ (6.8)
или, пользуясь формулой (6.6),
ds' = dsF - Vd/' - /W - dV df'. (6.9)
75
Для выполнения условия устранения хроматизма
увеличения dV = 0 необходимо, чтобы в формуле (6.7) числитель
обратился в нуль. Тогда
df/f = —dsF/z\ df = VdsF. (6.10)
Из формул (6.10) следует, что для устранения хроматизма
увеличения при разных увеличениях должно соблюдаться равенство
нулю отрезков dsF и df, т. е. необходима ахроматизация
положения переднего фокуса и переднего фокусного расстояния:
dsF = 0; df = 0. (6.11)
Обращаясь к формуле (6.9) и полагая, что отрезок ds' = 0,
определим условие ахроматизации положения
0 = dsF - Vdf - fdV - dV df. (6.12)
Для соблюдения ахроматизации положения при произвольном
положении предмета необходимо, чтобы при устранении
хроматизма увеличения выполнялись условия:
dsF = Vdf\ dV=0. (6.13)
Хроматизм положения можно представить как функцию
увеличения. Согласно формулам (6.9) и (6.7), получаем
г
ИЛИ
М = dsF-V [df + (Г + df) 7+TS7] • <6-15>
Приравнивая в формуле (6.15) выражение в квадратных
скобках нулю, приходим к условию постоянства хроматизма
положения при различных увеличениях
_4Г-(Г + 4Г)4тт^' (6Л6>
Для соблюдения условия (6.16) требуется, в свою очередь,
равенство отрезка dsF нулю и выполнение соотношений
fdf = -fdf-dfdf (6.17)
или
df df df df
f ~ f Г f
(6.18)
Фокусные расстояния и показатели преломления первой и
последней сред связаны формулой
///' = —п/п'. (6.19)
76
Дифференцируя это выражение, получаем
n'df + fdri = —ndf — f'dn.
Деля на n'f = —nf, получим
df dn' _ df . dn
или
df dn df dn'
~T ~n~"~~~' F~"
Отношение dnjn можно представить в виде (п
_d[ п— 1 df п' — \
f nv /' /iV
— хроматический инвариант.
Если последняя среда будет воздушной, то (п' — l)/n'v = О,
и при устранении df будет наблюдаться хроматизм переднего
фокусного расстояния
df=(n — l)f/nv9 (6.24)
что свидетельствует о невозможности одновременной ахроматиза-
ции переднего и заднего фокусных расстояний.
Изменение хроматизма положения определится поведением
точки изображения на оси системы, поэтому использование
формул оптики Гаусса не вызывает каких-либо сомнений. Однако
в случае рассмотрения хроматизма увеличения при больших
угловых полях, когда приходится иметь дело с ощутимой
величиной дисторсии, использование формул оптики Гаусса становится
необоснованным.
6.4. Хроматическая дисторсия
Для изменения дисторсии в зависимости от увеличения ранее
была получена формула (2.46). Воспользуемся ее окончательным
результатом
by' =Ay'F- VAyF. (6.25)
При переходе к другим длинам волн в общем случае
произойдет изменение дисторсии и в передней, и в задней фокальных
плоскостях; вследствие этого возникает и хроматическое
изменение дисторсии при рассматриваемом увеличении. Эти изменения
можно связать друг с другом, дифференцируя формулу (6.25)
по,показателю преломления. Таким образом, находим
d (Ay') = d (Ay'F) -Vd (AyF) - dVAyF. (6.26)
Из формулы (6.26) можно сделать вывод, что устранение
хроматической дисторсии^ в передней и задней фокальных плоскостях
еще не обеспечивает устранения дисторсии при произвольном
(6.20)
(6.21)
(6.22)
l)/nv. Тогда
(6.23)
77
увеличении; величина хроматической дисторсии в подобном
случае определится формулой
d (Ay') « — dVAyF. (6.27)
Однако, если в передней фокальной плоскости дисторсия
будет устранена, то тогда величина хроматической дисторсии
становится постоянной даже и для случая dV Ф 0.
6.5. Хроматический астигматизм
Для реальных угловых полей при изменении длины волны
возможно и изменение астигматизма.
Рассмотрим частный случай тонкой линзы, совмещенной со
зрачком входа. Полагая показатель преломления линзы
равным п, число Аббе v = (п — 1)/Дл и принимая радиусы обеих
поверхностей равными гх и г2, исходим из формулы, определяющей
меридиональный и сагиттальный отрезки до соответственных
фокусов,
Ф0 = —т- = (п cos со' — cos со) (— — ) .
(6.28)
Согласно этой формуле, меридиональный и сагиттальный
отрезки будут связаны между собой выражением
t'2 = s2cos2co, (6.29)
из которого легко получается величина астигматической разности
вдоль главного луча
t2 — s'2 = — (l — cos2 со) s2 = —s2 sin2 со. (6.30)
Дифференцируя логарифмически выражение (6.28), определяем
величину отношения ds2/s2. Оно будет равно
^s2 d (п cos со' — cos со)
п cos со — cos со
t'2 /2—1
s7 п cos со — cos со
(6.31)
Выполняя дифференцирование в числителе правой части
выражения (6.31), получим
ds2 п sin со' dco' — cos со' dn /п опч
—— = ? (0.32)
s2 я cos со'—cos со * v '
Дифференцируя выражение закона преломления и помня, что
угол со является величиной постоянной, найдем
dn _ cos со' <ico' _ day' /fi oo\
n ^ sin со' = tgco' ' \ • )
откуда дифференциал dco' может быть выражен через dn
dco' = — (dn/n)tg со'. (6.34)
78
Подставляя dco' в формулу (6.32), получаем
*Ц — sin со' tg со' — cos со' , sin2 со'+ cos2 со' dn /Л ое,
—— = ^ an = —г1 г (о 35)
s2 п cos со — cos со п COS СО — COS СО COS СО ' 1
или, выражая dn через (п — l)/v, формулу (6.35) можно
представить в виде
* , S2 П — 1 П — 1
2 ~~ пcos со' — COS СО Vcos со' " ~ . / 1 Г\ Г"
(rt cos со' — COS со) ( I v cos со'
(6.36)
Множитель (— j может быть выражен через фокусное
расстояние /о тонкой линзы. Тогда окончательно хроматическое
изменение астигматизма определяется формулой
ds>2 = ( ipJ V _А^ . (6.37)
\ п COS СО — COS СО / V COS со v '
В случае, когда углы со и со' обращаются в нуль, получаем
известную формулу для хроматизма тонкой линзы
ds'o2 = —f'o/v. (6.38)
6.6. Изменение хроматизма положения тонкой линзы
при изменении увеличения
Обратимся к общей формуле для изменения хроматизма
ds' =dsP-V [df' + (Г + 40 dff + v2' ] • (6-39)
Для тонкой линзы, расположенной в воздухе, имеют место
равенства:
df = — df\ ds'P = — dsF. (6.40)
Эти соотношения позволяют преобразовать формулу (6.39)
к виду
[уп Y) ds i
ds'p + tf'+df') f + vJSpF\. (6.41)
Затем, вынося за общую скобку dsF и приводя все выражение
к общему знаменателю, получаем после соответствующих
сокращений
ds' = (/' - 2VT + ГР) f,+Pvds>p ^А2)
и, вынося за общую скобку величину фокусного расстояния /',
найдем
79
ds'
Формула (6.43) является точной. Полагая, что хроматизм
положения заднего фокуса невелик, приходим к известной
приближенной формуле
ds*?(l — VfdsF. (6.44)
Величину ds'p можно выразить через число Аббе. Тогда
формула (6.43) принимает вид-
dS' = - ^'"7 -f = "(I - У?^Т- (6.45)
V
6.7. Хроматизм плоскопараллельной пластинки
В ранее рассмотренные формулы для определения хроматизма
входили величины фокусных расстояний и хроматизма фокальных
точек. Для плоскопараллельной пластинки эти формулы
неприемлемы, так как она является системой афокальной (поэтому
понятие хроматизма для фокальных точек теряет смысл).
Обращаясь к рис. 6.5, на котором представлен ход луча через
плоскопараллельную пластинку толщиной d, и полагая
предметную точку расположенной на первой поверхности пластинки,
можно записать для второй поверхности
s'2 = —d/n. (6.46)
Дифференцируя эту формулу по
показателю преломления, получаем
ds'2 = —^-dn = п 7 d. (6.47)
Перемещая предмет относительно
первой поверхности, вызываем перемещение
Рис.6.5. Определениехро- изображения относительно второй повер-
матизма плоскопараллель- v ^ v г
ной пластинки хности; это перемещение будет
определяться через продольное увеличение,
которое для всех цветов будет сохраняться равным единице.
Следствием этого явится неизменность хроматизма положения,
создаваемого плоскопараллельной пластинкой.
Заметим, что хроматизм положения пластинки всегда
положителен.
6.8. Сферохроматизм
Происходящее при изменении длины волны света изменение
показателей преломления приводит (аналогично возникновению
хроматической дисторсии и хроматического астигматизма) к
возникновению сферохроматической аберрации.
Это явление хорошо можно проследить на примере работы
одной преломляющей поверхности, разделяющей среды стекло —
воздух. Для такой поверхности величина сферической аберрации
80
при расположении предмета в бесконечности определяется точной
формулой (вывод которой приводится далее в гл. 9)
/--?-+К?
Л2 п' {
As = ; г. (6.48)
-5-1-1
я2
Дифференцируя формулу (6.48) по показателю преломления,
можно было бы получить выражение для сферохроматической
аберрации. Однако для большей наглядности целесообразно
воспользоваться приближенной формулой, полагая что
отношение высоты h к радиусу г мало. В этом случае для сферической
аберрации третьего порядка Asfn будем иметь
Дифференцируя логарифмически формулу (6.49), получаем
выражение для сферохроматической аберрации
dAs\n п dn dn dn
= 2
Asjn n n — 1 n — 1
[±(n-l)-\]. (6.50)
Заменяя отношение dn/(n — 1) через относительную
дисперсию 1/v, преобразуем формулу (6.50) к виду
^-4-0--§-)• <6-51>
Из формулы (6.51) следует, что хроматическое изменение
сферической аберрации по отношению к величине сферической
аберрации для основной длины волны спектра определяется
произведением величины относительной дисперсии на двучлен,
заключенный в скобки и зависящий от величины основного показателя
преломления п. Характерно, что при значении показателя п = 2
этот множитель обращается в нуль, что является признаком
устранения сферохроматической аберрации.
Так как формула (6:51) была приближенной, то для
нахождения реальной величины сферохроматической аберрации можно
воспользоваться ее точным определением, основываясь на расчете
хода действительных лучей.
С этой целью и была рассчитана сферохроматическая
аберрация для линз из стекла различных марок, отличающихся
показателями преломления. При этом были рассмотрены три
плосковыпуклые линзы с фокусным расстоянием /' = 100 мм, из
которых две выполнены из стекол с высокими показателями
преломления: Е88-40 (п = 1,88800; v = 40,4) французской фирмы
«Парра-Мантуа» (Parra Mantois) и из отечественного стекла СТФ5
(п = 2,05567; v = 16,6); третья линза для сравнения была
выполнена из стекла марки К8 (п = 1,5163; v = 64,1), т. е. с низким
показателем преломления.
81
Конструктивные данные всех трех линз g показателями
преломления для линий спектра F, D и С приведены ниже (толщина
линз в рассматриваемых примерах может быть произвольной,
поэтому не указывается).
Номер
линзы
I
II
III
г\
ОО
ОО
ОО
?2
—88,800
— 105,567
—51,630
nF
1,90345
2,10208
1,52195
nD
1,88800
2,05567
1,51630
пс
1,88147
2,03859
1,51389
SF
98,290
95,789
98,917
so
100,741
101,644 1
100,468
Сферическая аберрация была определена для относительного
отверстия 1 : 2 (отдельно для всех трех линий спектра). Значения
сферической и сферохроматической аберраций этих линз
приведены в табл. 6.1, а соответствующие графики аберраций
представлены на рис. 6.6.
M-Asl
{Asp-Asd
-20-10 0 10 -0,01 0 0,01 -10 0 10 -0,1 0 0,1-J0-20-10 0 10 -0,1 0 0,1
Рис. 6.6. Графики сферической аберрации и сферохроматизма: а — для стекла
Е 88-40 (п « 2); б — для стекла СТФ5 (п « 2); в — для стекла К8 [п < 2)
Из данных, приведенных в табл. 6.1, следует, что при
переходе от показателя преломления п = 2,05567 (линза II) к п =
= 1,51630 (линза III) сферохроматизм переходит через нулевое
значение, что и позволяет добиться при п = 1,88800 (линза I)
практического отсутствия сферохроматизма.
6.9. Вторичный спектр. Апохроматизация системы
из двух тонких соприкасающихся линз
Сила системы из двух тонких соприкасающихся линз
определяется суммой их сил
Ф = Фг + Фа, (6.52)
82
Таблица 6.1
Сферическая аберрация и сферохроматизм
для трех плосковыпуклых линз с различными показателями преломления
Номер
линзы
I
II
III
h
25,0
21,65
17,68
12,50
25,0
21,65
17,68
12,50
25,0
21,65
17,68
12,50
&s'D
— 14,992
— 11,063
—7,264
—3,580
— 12,444
—9,211
—6,064
—2,996
—30,774
—22,172
— 14,280
—6,926
Asjr
— 14,994
— 11,061
—7,260
—3,577
— 12,496
—9,242
—6,081
—3,003
—30,706
—22,112
— 14,237
—6,903
Д*С
— 14,992
— 11,064
—7,265
—3,581
— 12,428
—9,201
—6,059
—2,994
—30,804
—22,198
—14,299
—6,936
Asp — As?
—0,002
0,003
0,005
0,004
—0,068
—0,041
—0,022
—0,009
0,098
0,086
0,062
0,033
поэтому хроматизм пары тонких соприкасающихся линз также
является суммой их хроматизмов
dO = йФг + d<D2. (6.53)
Хроматизм одиночной тонкой линзы нетрудно получить,
дифференцируя выражение для силы тонкой линзы. Таким образом,
получаем
Возвращаясь к формуле (6.53), можно написать
(6.54)
dd> = Oyv! + Q2/v2. (6.55)
Ставя условие ахроматизации системы из двух тонких
соприкасающихся линз, приравниваем с1Ф нулю и из формулы (6.55)
находим
Ф2
V]
(6.56)
если это условие сразу же распространить на два различных
участка спектра, т. е. на апохроматизацию пары
соприкасающихся линз.
Из формулы (6.56) можно получить соотношение частных
дисперсий стекол
dn\ ......
(6.57)
v;
dnx
d*2
dn2
83
Таблица 6.2
Значения частных относительных дисперсий
Марка
стекла
К8
КФ4
ТК16
\ ЛФ10
ЛФ5
Ф1
ТФ7
0Ф1
ОФЗ
OKI
CaF2
V
64,1
58,9
58,3
45,9
41,3
36,9
28,3
51,8
44,1
76,3
95,3
пС
1,51390
1,51549
1,60950
1,54454
1,57090
1,60807
1,72079
1,52640
1,60825
1,52018
1,43248
nD
1,51630
1,51810
1,61260
1,54800
1,57490
1,61280
1,72800
1,52940
1,61230
1,52220
1,43383
Пр
1,52196
1,52428
1,62000
1,55649
1,58482
1,62466
1,74649
1,53662
1,62214
1,52702
1,43704
Ч
1,52627
1,52905
1,62573
1,56328
1,59281
1,63431
1,76195
1,54225
1,62990
1,53071
1,43941
Марка
стекла
К8
КФ4
ТК16
ЛФ10
ЛФ5
Ф1
ТФ7
1 0Ф1
ОФЗ
OKI
CaF2
ng~nc
пр — пс
1,535
1,542
1,546
1,569
1,574
1,582
1,602
1,551
1,559
1,540
1,520
nD—nc
nF — nc
0,298
0,296
0,295
0,290
0,288
0,285
0,280
0,294
0,292
0,296
0,296
nF—nD
nF—nc
0,702
0,704
0,705
0,710
0,712
0,715
0,720
0,706
0,708
0,704
0,704
ria—rip
nF~nC
0,535 1
0,542
0,546
0,569
0,574
0,582
0,602
0,551
0,559
0,540
0,520
В качестве величин dnx и dn2 могут быть взяты величины
основных дисперсий, и тогда формула (6.57) может рассматриваться
как условие постоянства отношения частных дисперсий к
основным. Однако практически это условие для большого числа
различных марок оптического стекла остается невыполненным.
Так, составляя отношение частных дисперсий на участке
спектра от линии С до линии g к основной дисперсии в интервале
от линии С до линии F, получаем для обычных стекол следующее
эмпирическое соотношение:
(6.58)
выражающее некоторую прямую линию, представленную на
рис. 6.7, где по оси абсцисс отложены значения v, а по оси ординат
относительные частные дисперсии.
Из графика следует, что большинство стекол (отмечены
кружками), начиная от обычных кронов и кончая тяжелыми флин-
84
тами, довольно хорошо располагаются на прямой, выражаемой
уравнением (6.58), вследствие чего при использовании таких
стекол невозможно обеспечить устранение хроматизма для
различных участков спектра одновременно, т. е. осуществить апо-
хроматизацию системы.
Щ-ТЬс/тЬр-ТЬс
1,62—
1,60
1,58
1956
1,54
1,52
*~ 30 40 50 60 70 80 90 100у
Рис. 6.7. Зависимость частных
относительных дисперсий от чис а Аббе
Для числовой
иллюстрации в табл. 6.2 даны
отношения частных дисперсий к
основным для ряда
оптических стекол (а также
флюорита CaF2), приведенных на
рис. 6.7.
В последние годы удалось
разработать ряд
специальных марок стекол, у
которых обеспечивается хорошее
совпадение коэффициентов v
при существенно различных
числах Аббе. Такие стеклапредставлены группой особых
флинтов, обозначаемых буквами ОФ, и особыми кронами,
обозначаемые буквами ОК; эти стекла также приведены на рис. 6.7, но
расположены на значительном расстоянии от прямой,
определяемой уравнением (6.58).
\%гТФ7
Н>?>
S«'
ЛД?7лХ
Ч/Ус
0Ф\
?5
7Ф10
ъ^тюя
nrrjh ^5i
КФЦ
\к<
- Ul\i
5~°~
п
Cat-2
1 °
Глава 7
ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ
7.1. Геометрическое виньетирование и экранирование
Ограничение световых пучков, проходящих через оптическую
систему, обусловлено наличием в ней одной или нескольких
материальных диафрагм и экранов, с помощью которых устраняются
части пучков лучей как с внешней, так и с внутренней стороны.
Такими диафрагмами могут оказаться оправы линз, а также
зеркала, экранирующие собою световые пучки в зеркально-линзовых
оптических системах.
Материальные диафрагмы и экраны могут быть расположены
в различных частях оптической системы, в том числе перед
системой и после нее. Для облегчения анализа влияния диафрагм
и экранов на ограничение световых пучков нередко прибегают
к рассмотрению совокупности изображений таких диафрагм в
предметном пространстве или в пространстве изображений, полагая,
что эти изображения ограничивают световые пучки так же, как
расположенные в тех же местах материальные диафрагмы.
85
Такой подход основывается на предположении, что
изображения диафрагм соответственными частями оптической системы
образуются без каких-либо искажений. Совершенно очевидно, что
подобное допущение является необоснованным, так как отдельные
части системы обычно не корригируют на устранение присущих им
различных аберраций. Тем не менее такой подход позволяет
проследить некоторые закономерности в ограничении световых
пучков и в известной мере может быть полностью оправдан,
когда все материальные диафрагмы на самом деле будут
расположены в одном и том же пространстве.
Рис. 7.L. Ограничение сходящихся пучков лучей
при наличии двух диафрагм
В качестве простейшего случая рассмотрим работу двух
материальных диафрагм, расположенных в пространстве перед
оптической системой (рис. 7.1).
В точке А0 расположена предметная точка на оси системы;
в точках Мг и М2 — центры отверстий первой и второй
материальных диафрагм Рг и Р2 на расстояниях от предметной точки
А0, равных аг и а2\ радиусы отверстий этих диафрагм примем
равными Pi и р2.
Края отверстий обеих диафрагм будут ограничивать собою
два конических пучка лучей, исходящих из предметной точки А0.
В общем случае один из этих конусов лучей будет вписываться
в другой; нетрудно представить, что внутренний конус будет
ограничивать пучок лучей, который сможет еще пройти через
оптическую систему; при этом другая диафрагма не будет
оказывать на ограничение осевого пучка никакого влияния.
Перемещая предметную точку вверх по предметной плоскости,
видим, что первая диафрагма Рг не будет ограничивать наклонные
пучки лучей до того момента, пока крайний луч наклонного пучка
не коснется верхних краев обеих диафрагм, что произойдет при
удалении предметной точки Ах от оси системы на расстояние,
равное у1ш
86
Отверстие второй диафрагмы, ограничивающей внутренний
конус лучей, принято называть зрачком входа. Отверстие первой
диафрагмы, ограничивающей более широкий конус лучей,
называют люком входа.
Заметим, что в этих определениях имеется некоторая
неопределенность, так как возможен частный случай, когда обе
диафрагмы будут касаться одного и того же осевого пучка лучей
одновременно.
При удалении предметной точки от оси на большее
расстояние, чем уи передняя диафрагма начнет срезать часть
наклонного пучка, которая могла бы пройти через вторую диафрагму,
т. е. начнется процесс геометрического виньетирования.
При дальнейшем удалении предметной точки раньше или позже
наступит момент, когда луч, исходящий из точки Л2, которая
расположена на расстоянии у2 от оси, коснется одновременно
верхнего края люка и нижнего края зрачка. В этот момент
произойдет полное срезание наклонного пучка лучей, что
соответствует окончанию виньетирования.
Разберем случай, когда точка А располагается между точками
Аг и А2 на расстоянии у от оси системы.
Рассматривая точку А как некоторый центр проекции, можно
спроектировать отверстие первой диафрагмы — люка — на
плоскость второй диафрагмы — плоскость входного зрачка.
Тогда центр первой диафрагмы — точка М1 — спроектируется
в некоторую точку Ml9 которая будет смещена относительно
центра М2 второй диафрагмы на расстояние Ь. Величина Ь может
быть найдена из подобия треугольников AqA-^M-i и М1М2М1.
Таким образом, получаем
b = -2iZl°L.y. (7.1)
"1
Проекция радиуса отверстия первой диафрагмы определится
из подобия треугольников g основаниями, равными рх и р1? и
высотами cl-l и а2 по формуле
Pi = (a*/<h)Pi- (7.2)
Располагая этими величинами, можно найти меридиональный
диаметр сечения пучка 2pt
2pt = Pi + P*-b= Р^ + Р'"* -Ь=^у. (7.3)
Определим отношение меридионального диаметра сечения
пучка к диаметру отверстия второй диафрагмы — зрачка, т. е.
найдем относительное геометрическое виньетирование по диаметру,
выражаемое формулой
pw-g—на-и-о*-')-*-]- <">
87
Так как виньетирование по диаметру является линейной
функцией от величины предмета, то для того чтобы
охарактеризовать картину виньетирования, достаточно определить какие-
либо две точки, например начало и окончание процесса
виньетирования. В этих двух точках величина относительного
виньетирования должна быть равна единице и нулю.
Таким образом, для начала виньетирования находим
Pto)_l_4-[|g-+l-(-g—I)-*-]. Р.5)
откуда
Момент окончания виньетирования определится равенством
«•*>-°-т[-3&+1-(^-')¦?-]• <">
откуда
Pi .
у2 = —?8 р2 = *& + ***. (7.8)
Из формул (7.6) и (7.8) следует, что выражения для величины
предмета в момент начала и окончания виньетирования отличаются
лишь знаком в числителе.
Возможен случай, когда процесс виньетирования начнется
от центра поля. Тогда уг = 0, что приводит, согласно формуле
(7.6), к соотношению
a2Pi/p2 = аъ (7.9)
из которого следует, что обе диафрагмы одновременно касаются
апертурного пучка лучей, исходящего из точки А0 на оси
системы.
В этом случае момент окончания виньетирования определится
величиной предмета
#02 = ;rVp2- <7Л0>
а2 — а]
При рассмотрении процесса виньетирования предполагалось,
что предмет расположен на конечном расстоянии от материальных
диафрагм.
В случае удаления предмета в бесконечность формулы (7.5)
и (7.7) становятся неопределенностями, так как величины у%
ах и а2 также обращаются в бесконечность. Поэтому для
раскрытия этих неопределенностей можно перейти к определению
отстояния точек предмета от оси в угловой мере.
88
Тогда, разделив формулы (7.6) и (7.8) на отрезок аъ получаем:
а-.
Ул.
^- = tg% =
Q1P2
1
Р2;
tgco2
^1Р2
+ 1
¦p., (7.11)
ах ° х d rvs' ах fcfe Wl d
где d — расстояние между диафрагмами, равное разности
отрезков а2 и аг.
Для начала и окончания виньетирования, учитывая, что при
удалении предмета в бесконечность отношение а2 : аг стремится
к единице, находим
Pi — Р2 . +rr ЛЧ _ pi + р2
tg©i =
tgo>2
(7.12)
d ' ь& w'» ~ d
Если виньетирование начинается от центра поля, то момент
окончания виньетирования определится формулой
tg о)2 = 2p/d. (7.13)
Процесс виньетирования можно весьма наглядно представить
графически (рис. 7.2). На графике вдоль оси абсцисс отложены
расстояния уг и у2, определяющие начало и конец виньетирования,
а по оси ординат — величины виньетирования по диаметру.
Так как до начала
виньетирования в точке А1 (рис. 7.1) срезания
пучков лучей не происходит, то
график функции виньетирования до этой
точки представится в виде отрезка
прямой, параллельной оси абсцисс.
Начало виньетирования будет
характеризоваться точкой излома; от нее
до точки окончания виньетирования
график представится наклонным
отрезком прямой.
При уменьшении отверстия
диафрагмы, являющейся входным
зрачком, согласно формулам (7.6) и (7.8), начало виньетирования
наступит несколько позже, а окончание — на столько же раньше
по отношению к наклонному отрезку прямой, определявшему
процесс виньетирования до диафрагмирования. На графике
виньетирования (рис. 7.2) этот случай представлен пунктирной прямой.
Обращаясь к рис. 7.3, нетрудно установить для двух экранов,
что величина меридионального диаметра будет определяться
формулой
ррт
1\
0
\
¦^—
&
Уг
1 \
»-
У
Рис. 7.2. График
геометрического виньетирования
2pt = P1-f- + P2(-f--l)r
РА + p2ai
•у, (7.14)
в правой части которой, в отличие от формулы (7.3) для
виньетирования, знак минус заменяется на знак плюс.
В соответствии с этим изменяется и график функции
экранирования таким образом, что после момента начала экранирования
отрезок прямой будет направлен в сторону возрастания.
89
В процессах виньетирования и экранирования могут
участвовать не только две диафрагмы или два экрана, но три и более.
При этом виньетирующие диафрагмы — люки — могут быть
расположены как по одну, так и по обе стороны диафрагмы,
являющейся зрачком входа. В этих случаях график функции
виньетирования может иметь не только одну точку излома, но две и
более.
Для построения графика функции виньетирования от
нескольких диафрагм можно воспользоваться следующим приемом.
Первоначально строится график виньетирования для
совокупности зрачка и одного из люков, затем на том же самом чертеже
строится график для совокупности зрачка с другой диафрагмой
и т. д.
Рис. 7.3. Ограничение сходящихся пучков лучей при
наличии двух экранов
При этом, если виньетирующие диафрагмы расположены с
одной и той же стороны от зрачка, то их графики строятся
аналогичным образом, т. е. как и для исходной виньетирующей
диафрагмы. Если же, наоборот, второй люк будет расположен по
другую сторону от зрачка, то график виньетирования от второй
диафрагмы можно построить не от оси абсцисс, а относительно
прямой, соответствующей отсутствию виньетирования для
первого люка (рис. 7.4). Тогда точкой пересечения двух наклонных
отрезков прямых определится момент окончания процесса
виньетирования для совокупности таких диафрагм.
Для оценки количества световой энергии, воспринимаемой
оптической системой, необходимо знать величину площади
сечения наклонного пучка лучей в плоскости входного зрачка, т. е.
так называемую площадь действующего отверстия зрачка.
Отношение ее к площади зрачка для осевого пучка лучей можно
назвать функцией геометрического виньетирования по площади.
Вычисление площади сечения пучка лучей сводится к
определению площади, ограниченной дугами пересекающихся
окружностей с различными радиусами кривизны. Эти радиусы могут
быть определены по формулам для геометрического
виньетирования.
Для решения задачи определения площади сечения пучка
требуются сложные вычисления. Однако точность определения
90
функции виньетирования по площади практически может быть
невысокой, поэтому целесообразно прибегнуть к приближенным
формулам.
Нетрудно представить, что начало и окончание процесса
виньетирования по диаметру и по площади всегда совпадают
в)р(Ф.
Рис. 7.4. Картина (а) и график (б) виньетирования при трех
диафрагмах
друг с другом. Кроме того, несколько занижая площадь
действующего отверстия для наклонного пучка, можно считать, что она
будет ограничиваться дугами одинаковых радиусов (это
соответствует случаю начала
виньетирования от центра поля); тогда ее
величина получится равной удвоенной
площади кругового сегмента со
стрелкой, равной половине
меридионального диаметра пучка pt.
Обратимся к рис. 7.5, на
котором представлено пересечение двух
окружностей равных радиусов в
точках В и ?. Величину угла,
определяющего половину дуги сегмента,
обозначим через у.
Тогда, полагая радиусы обеих окружностей равными р, на
ходим величину полухорды ВС и отрезок СО:
pcosy
Рис. 7.5. К приближенному
определению виньетирования по
площади
ВС = р sin у; СО = р cos у.
(7.15)
91
Площадь полусегмента должна быть равна четверти площади
действующего отверстия
ТЧР'-^Л (7-16)
откуда
D = (2v — sin 2у) Р2. (7.17)
Так как площадь отверстия зрачка
D0 = яр2, (7.18)
то функция виньетирования по площади F (со) будет равна
отношению
Величина линейного виньетирования для рассматриваемого
случая выразится формулой
р (со) = 2pt : 2р = 1 — cos у. (7.20)
Задавая ряд значений для линейного виньетирования, можно
получить ряд значений углов у и по ним, пользуясь формулой
(7.19), определить соответствующие значения функции
виньетирования по площади. Результаты вычислений приведены ниже.
р (со) 1,000
F(<o) 1,000
р (со) 0,500
F (со) 0,391
Заметим, что для ряда значений р (со), расположенных в
интервале между 0,7 и 0,2, функция виньетирования по площади
F (со) приобретает ряд значений, которые примерно на 0,1 меньше
значений функции р (со). Таким образом, для этого интервала
можно принять приближенную зависимость, выражаемую
формулой
F (со) « р (со) - 0,1, 0,7 > р (со) > 0,2. (7.21)
В случае же необходимости более точного определения
виньетирования по площади можно прибегнуть к вычислению его по
формуле Симпсона, разбивая площадь действующего отверстия
на ряд равных интервалов.
В частности, при разделении этой площади на четыре или
на шесть интервалов, получаем следующие выражения:
0,900
0,873
0,400
0,285
0,800
0,747
0,300
0,188
0,700
0,624
0,200
0,104
0,600
0,505
0,100
0,037
0 = 4-(*У1 + Ш
D = -%-(*yi + 2yt + 2pt), J
(7.22)
где а — сагиттальный диаметр сечения наклонного пучка лучей.
32
7.2. Аберрационное виньетирование
Частный случай геометрического виньетирования в чистом
виде, когда диафрагмы, ограничивающие световые пучки лучей,
располагаются в одном и том же пространстве (или когда
изображения диафрагм осуществляются без возникновения аберраций),
встречается сравнительно редко; чаще изображение диафрагм
частями оптической системы получается при наличии тех или иных
аберраций.
Характерно, что даже в простейшем случае при получении
изображения одной единственной диафрагмы происходит его
искажение, связанное с ростом
величины полевого угла
наклонного пучка лучей, проходящего
через отверстие диафрагмы.
Обратимся к рис. 7.6, на
котором представлена картина
образования изображения
отверстия материальной диафрагмы для
осевого и наклонного пучков лучей.
Полагая отверстие
материальной диафрагмы круглым (с
центром в точке Р на оси системы),
можно сделать заключение, что
сагиттальный ps и
меридиональный р< радиусы отверстия для
наклонного пучка лучей будут равными радиусу р0 для осевого
пучка. Таким образом, можно написать
Ро = Pr = Ps- (7.23)
Если оптическая система будет обладать различными
линейными увеличениями Vt и Vs в меридиональной и сагиттальной
плоскостях для наклонного пучка и V0 для осевого пучка, то
должны получиться различные величины изображений pj, ps и ро.
Считая, что в первом приближении круглое отверстие
материальной диафрагмы изобразится в виде эллипса, можно
определить величину площади D' этого изображения
D' = яр/р;. (7.24)
Для осевого же пучка лучей изображение материальной
диафрагмы сохранится круглым, поэтому его площадь будет
выражаться в виде
D0 = яро2. (7.25)
Составляя отношение этих площадей, получаем величину
аберрационного виньетирования по площади
Рис. 7.6. Аберрационное
виньетирование
Г, ч О'
,2
Ро
(7.26)
93
Выражая величины pi, p's и ро через соответствующие
увеличения Vti Vs и V0 и учитывая (7.23), преобразуем формулу (7.26)
к виду
F(w)=I1ff -Щ-- (7-27)
Из полученного выражения для аберрационного
виньетирования можно заключить, что оно не должно зависеть от величины
отверстия материальной диафрагмы и, следовательно, не будет
изменяться при диафрагмировании, тогда как геометрическое
виньетирование при диафрагмировании не сохраняется
постоянным.
Весьма важная особенность аберрационного виньетирования,
также обусловленная формулой (7.27), состоит в том, что при
оборачивании оптической системы — обращения хода лучей —
все величины линейных увеличений изменяются на обратные;
таким образом, их можно представить в виде:
Vt=l/Vt- Va = l/Va; V0=l/V0, (7.28)
где увеличения в обратном ходе обозначены стрелкой вверху.
Тогда аберрационное виньетирование в обратном ходе лучей
(при обозначении его также стрелкой вверху) может быть
выражено формулой
" о
откуда следует, что произведение аберрационного
виньетирования в прямом и в обратном ходе должно быть равно единице, т. е.
Р (со) F (со) = 1. (7.30)
Из формулы (7.30) можно сделать еще более интересный
вывод, заключающийся в том, что если аберрационное
виньетирование в прямом ходе будет меньше единицы, то в обратном ходе оно
должно оказаться больше единицы, и наоборот. Иными словами,
аберрационное виньетирование может быть и меньше и больше
единицы, тогда как геометрическое виньетирование больше
единицы быть не может.
7.3. Определение аберрационного виньетирования
Для определения аберрационного виньетирования
необходимо установить зависимость между увеличениями Vti Vs и V0
и величиной полевого угла; это можно сделать при помощи
инварианта Штраубеля.
Напишем выражение этого инварианта для меридиональной
плоскости
п dyi cos со' dw't = ndijt cos go dco/. (7.31)
94
Отношение величин dyi и dt/t определяет меридиональное
линейное увеличение
V — ^ -^ П C0S Ю ^Ю* — И COS СО ,„ ооч
* ~" d*/f ~~ п' cos со' dcoj ~~ n'Wt cos со' ' V • /
где №,— угловое меридиональное увеличение, равное
отношению элементарных углов day't и dco*.
Для сагиттальной плоскости инвариант Штраубеля
принимает вид
п dy'sd(o's = ndysd(os, (7.33)
откуда сагиттальное линейное увеличение определяется
формулой
ys = ^L = iL^-= * , (7.34)
5 dys п da>s nW8 ' v '
где W8 — угловое сагиттальное увеличение.
Так как для точек на оси системы угловое сагиттальное
увеличение получается равным
WsP = sin ©'/sin со, (7.35)
то формула (7.34) может быть представлена в виде
Vs = п sin ©/(л' sin со'). (7.36)
В соответствии с формулами (7.32) и (7.36) преобразуем
формулу (7.27) для аберрационного виньетирования
с. / ч п2 sin со cos со dco п? sin 2со /п 0«ч
г (со) = -%— = -2 -. (/.61)
V\n sin со' cos со' dco' Vffltn sin 2co'
Рассмотрим частный случай, когда для центров зрачков
(отверстия диафрагмы и ее изображения) соблюдается условие
синусов Аббе. Тогда
Vs = V0 = п sin ©/(/г' sin ©') = const. (7.38)
Дифференцируя формулу (7.38), находим
V0n' cos ©' d©' = п cos © d©, (7.39)
откуда следует, что
f/ Aicoscodco т/ I /п ,лч
У о = -т гт-г = Vt = const. (7.40)
и я cos со' дсо * v '
Составляя выражение для аберрационного виньетирования,
получаем
F((o) = VtVs/V2o=l. (7.41)
Таким образом, соблюдение условия синусов для центров
зрачков равнозначно отсутствию аберрационного виньетирования.
Поэтому можно сделать вывод, что для получения
аберрационного виньетирования, отличного от единицы, необходимо при-
95
бегать к нарушению условия синусов для зрачков оптической
системы. Совершенно очевидно, что требование нарушения
условия синусов, в свою очередь, должно приводить к возникновению
комы при образовании изображения от краев материальной
диафрагмы.
Установим зависимость величины аберрационного
виньетирования и величины отступления от условия синусов Аббе.
Для сагиттального линейного увеличения вместо формулы
(7.36) можно написать
"¦-7ет-". + "г-".(1+-т!г): р'42)
тогда произведение п sin со выразится в виде
п sin со = V0n' sin со' (1 + AV/V0). (7.43)
Отношение ДУ : V0 не должно зависеть от знаков углов со
и со'; поэтому, предполагая возможным разложение этого
отношения в ряд по степеням произведения п' sin со', можно написать
я sin со = V0n' sin со' (1 + An'2 sin2 со' + Вп'* sin4 со' -\ ).
(7.44)
Дифференцируя это выражение, находим
ncoscodco = n'V0 (cosco'dco' -f ЪАп'* sin2 со'cos co'dco' +
+ 5Bn'4 sin4 со' cos со' dco'H ), (7.45)
откуда может быть определено меридиональное линейное
увеличение
к cos со Лео 0(l+3^n'2sin2co' + 5^'4sin4co'+-0-
1 п COS СО' d(D О V I I I /
(7.46)
Соответственно из формулы (7.44) следует
Вводя в общую формулу для аберрационного виньетирования
найденные линейные увеличения, получаем
F (со) = -^ = (1 + ЗЛя'2 sin2 со' + 55гс'4 sin4 со'Н ) х
X (1 + Лп'2 sin2 со' + Вп'А sin4 со'Н ). (7.48)
В случае, если высшие члены разложения малы, можно
перейти к приближенной формуле для аберрационного
виньетирования
F (со) « 1 + 4Лп'2 sin2 со' « 1 + 4АV/V. (7.49)
96
7.4. Связь аберрационного виньетирования с дисторсиеи
В ряде случаев удобно связать аберрационное виньетирование
с дисторсиеи части оптической системы, расположенной перед
или после материальной диафрагмы.
Обратимся к рис. 7.7, на котором представлен ход главного
луча и луча, идущего близко к главному лучу.
Тангенсы полевых углов со и со' определятся как отношения
величин предмета и изображения у и у' к отрезкам ?0 и Ы вдоль
оси от плоскостей зрачков входа и выхода до предмета и
изображения.
Рис. 7.7. К определению аберрационного
виньетирования
Величины элементов предмета и изображения обозначим через
dyt и dy'i\ соответственные приращения полевых углов — через
dco и dco\
Увеличения для зрачков будем обозначать с индексами tp
для меридиональной плоскости и sp для сагиттальной плоскости;
увеличения для предмета и изображения — с индексами ta и sa
соответственно. Таким образом, для меридиональной плоскости
можно написать:
VtP = pi/pt\ Vta = dy'tldyt\ (7.50)
аналогично для сагиттальной плоскости имеем»
VSP = ps/ps; Vsa = dy's/dys = у/у. (7.51)
Согласно рис. 7.7, дифференциалы полевых углов можно
выразить через дифференциалы предмета и изображения dyt и dyt\
d&t = cos со' dyt/l'\ d&t == cos со dytl\. (7.52)
Соответственно для сагиттальной плоскости;
d<us = dy's/l'; d&s=*dy8ll; (7.53)
97
и для нулевых лучей:
du'o = dyb/U; йщ = dyo/lo. (7.54)
Пользуясь инвариантом Штраубеля в меридиональной
плоскости
rip't cos со' dco* = apt cos со d(ut (7.55)
и формулами (7.53), находим
П Р; dyt COS^ npt dtff C0S2 ю
Г 5
Аналогичным образом для сагиттальной плоскости получаем
п'РьЩ _ npsdys
Г " Б
и для нулевых лучей
n'p'ody'o __ np0dy0
So So
(7.56)
[учаем
(7.57)
(7.58)
Так как величины ?0 и ?6 являются проекциями отрезков ?
и ?', расположенных на главном луче, на ось системы, формулы
(7.56) и (7.57) преобразуются к виду
^cos»o' = ^Acos*a> (7.59)
fed feO
и для сагиттальной плоскости
^^cosco'=i^cos(D. (7.60)
ЬО feO
Разделив формулы (7.59) и (7.60) на формулу (7.58), получаем
, А , cosd со = v% /%
Ро^о Ро^о
— cosd со = v% *% cos* со (7.61)
J^cosco^P^cosco. (7.62)
Ро^о Ро^о V '
С помощью формул (7.61) и (7.62) можно выразить
увеличения Vtp, Vsp и V0p в зрачках через увеличения Vt, Vs и V0 для
плоскостей предмета и изображения:
Vtp V0 cos3 со # ^sp __ v0 cos со
У op V* cos3 со'' Vop 1/scosg/
(7.63)
после чего можно получить выражение для аберрационного
виньетирования
Р(,л\ ytpv*p vo cos4 О) п ьл\
Для линейного сагиттального увеличения имеет место
равенство
Vs = Т/0 (1 + А), (7.65)
где под величиной А понимаем относительную дисторсию.
Для меридионального линейного увеличения имеем
Vt = V0(l + b+y^-), (7.66)
и тогда для аберрационного виньетирования вместо (7.64) находим
г? / \ 1 cos4 СО ,п п-.
(1 + Д)(1 + А + 1/^)
В частном случае, когда система свободна от дисторсии,
величины Д и dA/dy будут равны нулю. Тогда
f (со) = cos4 co/cos4 со'. (7.68)
Глава 8
СВЕТОРАСПРЕДЕЛЕНИЕ
8.1. Световая трубка и общее выражение
для светораспределения
Восприятие изображения, создаваемого оптической системой,
органически связано с количеством световой энергии,
поступающей в изображение. Поэтому возникает необходимость иметь
ясное представление о световом энергетическом балансе, т. е.
об обеспеченности изображения световой энергией. Для решения
подобной задачи потребуется система единиц измерения световой
энергии — система фотометрических единиц.
Этими единицами являются следующие.
1. Световой поток — количество лучистой энергии,
переносимой в единицу времени. Единицей светового потока является
люмен (лм).
2. Сила света — световой поток, излучаемый точечным
источником света в единичном телесном угле — стерадиане (ср).
Эти величины связываются между собою формулой
I = F/Q, (8.1)
где / — сила света; F — световой поток; Q — телесный угол.
За единицу силы света принимают одну канделу (кд), равную
1/60 силы света, излучаемого с одного квадратного сантиметра
поверхности абсолютно черного тела при температуре
затвердевания платины.
99
Рис. 8.1. Световая трубка
Таким образом, единичный световой поток — люмен —
определяется как произведение силы света в одну канделу и телесного
угла в один стерадиан.
Точечный источник света в одну канделу излучает в
окружающее его пространство световой поток в 4я лм.
3. Освещенность Е поверхности — отношение величины
светового потока, падающего на нее, к величине освещаемой
площади, т. е.
Е = F/S. (8.2)
За единицу освещенности принимают люкс (лк) —
освещенность, создаваемую световым потоком в один люмен на площади
в один квадратный метр.
Величину освещенности можно
выразить через силу источника света
и телесный угол
Е = /Q/S. (8.3)
Так как величина телесного угла
равна отношению площади S к
квадрату расстояния R от источника
света до освещаемой площади, т. е.
Q = S/R2, (8.4)
то освещенность может быть выражена в виде
Е = I/R2. (8.5)
4. Яркость В — отношение силы света в заданном
направлении к площади проекции излучающего элемента светящейся
поверхности на плоскость, перпендикулярную этому
направлению. Таким образом,
В = dl/ds cos е. (8.6)
За единицу яркости принимают яркость, равную отношению
силы света в одну канделу к площади излучения (ее проекции),
равной одному квадратному метру (кд/м2).
Световая трубка. Обратимся к рис. 8.1, на котором
представлены элемент излучающей поверхности dsx и элемент освещаемой
поверхности ds2. Соединяя линейчатой поверхностью оба эти
элемента, образуем световую трубку — замкнутое пространство,
через которое и протекает световой поток dF.
Через боковую поверхность световой трубки утечки световой
энергии не происходит, поэтому световой поток, вошедший в нее
через элемент dslt полностью попадет на поверхность элемента ds2.
Полагая, что нормали к обоим элементам образуют с осью
световой трубки углы гг и е2, можно написать
В ds1 ds2 cos ех cos е2 /0 -ч
?2 > {<*'')
dF =
100
где dF — световой поток, проходящий через световую трубку;
R — расстояние между центрами элементов.
Равным образом, направляя световой поток в обратную
сторону, т. е. от элемента ds2 к элементу ds1} и полагая, что яркость В
сохраняется постоянной, приходим к выводу о неизменности
величины светового потока в обоих случаях.
При размещении светящегося элемента на поверхности
раздела двух сред с различными показателями преломления п и п'
телесные углы в первой и во второй средах могут быть связаны
с помощью инварианта Штраубеля в меридиональной и
сагиттальной плоскостях.
Понимая в этом случае под меридиональной плоскостью
плоскость, проходящую через падающий и преломленный лучи и
нормаль к преломляющей поверхности,
а под сагиттальной плоскостью —
плоскость, перпендикулярную к
меридиональной, телесные углы dQ и dQ'
можно рассматривать как произведения
дифференциалов углов d<ut и dcos.
Так как в рассматриваемом случае
элементы dyi = dyt и dy's = dys
(элемент предмета и элемент изображения
совпадают друг с другом), то из
инварианта Штраубеля следует:
п cos со' da't = я cos CO d(ut
>A>A (8-8)
n acos = nacos. '
Тогда для телесных углов dQ и dQ' получаем
п'2 dQ' cos со7 == п2 dQ cos со. (8.9)
Формулы (8.8) и (8.9) позволяют проследить преобразование
световой трубки в оптической системе.
Обратимся к рис. 8.2, на котором представлены элемент
поверхности предмета ds и действующее отверстие D входного
зрачка оптической системы. Расстояние между этим элементом
и центром зрачка примем равным ?; угол главного луча пучка —
оси световой трубки — с осью системы обозначим через со.
Величина светового потока dF, вошедшего в систему,
выразится формулой
jr г, D ds cos е /о 1 а\
dF = В р cos со. (8.10)
Если в оптической системе отсутствуют потери света на
поглощение и отражение, то весь этот световой поток должен
распределиться на площади элемента изображения ds'. Тогда можно
определить освещенность этого элемента
"¦}
Рис. 8.2. К определению
светового потока, входящего
в оптическую систему
Е =
dF
ds'
= ?
D
• cos е cos ш
ds
ds'
(8.11)
101
При перемещении элемента предмета на ось системы элемент
изображения также переместится на ось; в общем случае может
произойти и изменение площади элемента изображения. Полагая
площадь элемента изображения на оси системы равной ds'o, можно
определить его освещенность Е0 по формуле
dF0 BD0 ds0
Е0 = -^4- = -^ -^, (8.12)
0 ds'0 g ds0 v '
так как углы е и со станут равными нулю, а расстояние I перейдет
в расстояние ?0 между предметом и зрачком входа вдоль оси.
Светораспределение. Составляя отношение освещенностей Е
и Е0, получаем функцию Ф светораспределения по полю зрения
Е
Е0 =
BD ds
= -|2" COS 8 COS 0) -gp-
Й
~BD0
ds'0
ds0
0 = -E7=-F"cosecoSu)'^B57^- (8ЛЗ)
Так как величины ds и ds0 будут равными друг другу (элемент
предмета остается неизменным), то после сокращений формула
(8.13) упрощается
Ф=-^4со88со8сй-^- (8Л4)
Отношение площадей D и D0 есть не что иное, как функция
виньетирования F (со). Поэтому
* = -F(co)-^-cosecosa>-P-. (8.15)
S aso
В случае рассмотрения плоского предмета, перпендикулярного
оси системы, когда углы е и со становятся равными друг другу,
а отношение отрезков ?0 и ? — равным cos со, находим
0 = F(a))cos4G)-^- (8.16)
as0
Для оптической системы, свободной от дисторсии, величина
элемента изображения должна сохраняться постоянной
независимо от расстояния элемента от оси системы. В этом случае
отношение элементов ds'0/ds' становится равным единице, и тогда
выражение для светораспределения принимает вид
ф = F (со) cos4 со. (8.17)
Таким образом, светораспределение для ортоскопической
системы определяется произведением из двух сомножителей —
функции виньетирования и четвертой степени косинуса полевого
угла со.
Численно для полевого угла со = 60° (полное угловое поле
в пространстве предметов 2со = 120°) при отсутствии
виньетирования, когда F (со) = 1, величина функции светораспределения
составит Ф = 0,0625 = 1/16.
102
8.2. Влияние дисторсии на светораспределение
Обращаясь к формуле (8.16), можно представить величину
площади искаженного элемента изображения ds' как
произведение протяжений этого элемента в меридиональной и в
сагиттальной плоскостях. Таким образом,
ds =dy'tdy's. (8.18)
Величину площади элемента неискаженного изображения dsb
можно выразить в виде площади квадрата со стороной dyb
ds'o = dy'o. (8.19)
Сагиттальное протяжение элемента искаженного изображения
можно получить, пользуясь второй из формул (7.51) для
сагиттального линейного увеличения
dy's = Vs dys = ^rdy0=-^r dyf0. (8.20)
У Уо
Для меридионального протяжения элемента искаженного
изображения можно написать
dyt = ^?-dy'o. (8.21)
Перемножая формулы (8.20) и (8.21), определяем величину
площади искаженного элемента изображения
dyi dy's = А" - -&- dyo <$-dyo = -%-*$- dsl (8.22)
Затем можно найти отношение площадей обоих элементов
¦ж = -тт (8-23>
у ж
и, переходя к функции светораспределения, получаем
0 = F(g))cos4cd—f^y-. (8.24)
У dy'0
В частном случае, когда величина искаженного изображения у'
выражается формулой
у' = —/6sinco, (8.25)
отношение площадей dsb/ds становится равным
*L = ^ fltgo» = _1_в (8в2б)
ds /0 sin со cos со cos2 ш cos4 ©
Функция светораспределения при этом принимает вид
ф (о) = F (со), (8.27)
т. е. функция светораспределения становится равной функции
виньетирования.
103
Величина дисторсии для этого случая получается равной
Ау' = У - Уо = Уо (-^ 1) = (cos со - 1) уо, (8.28)
а относительная дисторсия
Д = Ау'/уо = соа<а—1. (8.29)
Если величина изображения будет задана зависимостью
(8.30)
(8.31)
то тогда
у = — 2/6 sin (со/2),
ds'o = /otgco
2/0 sin "2" 2 cos "2" "2" cos ф
1
COS3 CO '
Рис. 8.3. Светораспределение при наличии материальной диафрагмы внутри
оптической системы
Функция светораспределения становится равной
Ф (со) = F (со) cos со,
а величина дисторсии для этого случая
Ау' = — 2/6 sin -о- + /о tg со =
cos со
1
ifo.
(8.32)
(8.33)
В обоих рассмотренных примерах вводимая дисторсия была
отрицательной, что способствовало значительному повышению
светораспределения.
Перейдем к рассмотрению светораспределения для случая,
когда материальная диафрагма расположена внутри оптической
системы.
Обратимся к рис. 8.3, на котором представлены две
оптические системы I и II; в пространстве между ними размещена
материальная диафрагма с отверстием, площадь которого равна D'.
Изображение этой диафрагмы, создаваемое первой системой в
обратном ходе лучей и являющееся ее зрачком входа, одновременно
будет входным зрачком и для совокупности обеих систем; площадь
общего входного зрачка обозначим через D. Изображение же
104
материальной диафрагмы через вторую систему в прямом ходе
лучей с площадью, равной D", будет выполнять функцию
выходного зрачка.
Элемент предмета ds, расположенный в некоторой точке Л,
будет изображен в пространстве, где расположена материальная
диафрагма, в виде элемента ds' и после обеих систем — в виде
элемента ds". Полевые углы главного луча во всех трех
пространствах обозначим соответственно через со, со' и со"; телесные
углы — через dQ, dQ' и dQ"; углы между главным лучом и
нормалями ко всем трем элементам — через е, е' и е".
Полагая, что в системе отсутствуют потери света на
отражение и поглощение, можно написать
dF = В cos е dQ ds = В cos е' dQ' ds =
= В cos е" dQ" ds". (8.34)
Освещенности элементов изображения после первой системы
и после обеих систем будут равны:
Е' = 4^ = BcosedQ^ = Bcose'dQ' = BcosEf'dQ"-lfr;
ds ds ds '
E" = JgL = В cosedQ-^r = В cose' dQ' ^r = В cose" dQ",
(8.35)
откуда следует, что
E' ds' = E" ds" = dF. (8.36)
При перемещении элемента предмета на ось системы полевые
углы со, со' и со" обращаются в нуль, и тогда для освещенности
элементов изображения в центре поля получаем:
E'0 = BdQ'o= BdQo-^Я-
л*> \ (8-37)
E'o = BdQb^- = BdQ'o.
Составляя отношения освещенностей Е' : Е'0 и Е" : El,
находим выражения функций светораспределения в пространстве
у материальной диафрагмы и после всей системы:
.., Е' , dQf , dQ" ds" ds'n
Ф = -бг = COS В -7ТТТ- = COS 8 лсл„ ^ „j ,°
c0 fl"o
, „ E" , dQ' ds' ds"0 „ dQ"
Eq dQ'u ds'0 ds" dQ"y
Из формул (8.38) следует
(8.38)
Ф" = Ф' d?, ff (8.39)
или представляя формулу (8.39) в виде инварианта,
ф" ж = *'¦%;¦ (8-40)
Полученный инвариант является полным, поэтому он может
быть распространен на любое число оптических систем.
105
Инвариант (8.40) приобретает особенно простой вид в том
случае, когда и первая, и вторая системы будут исправлены на
дисторсию, что приводит к равенствам:
ds = ds0\ ds = ds'0\ ds" = ds'o. (8.41)
Тогда функции светораспределения становятся равными друг
другу
Ф" = Ф'. (8.42)
Можно показать, что формула (8.42) остается справедливой
и тогда, когда промежуточное изображение в пространстве у
материальной диафрагмы не будет оставаться плоским. Светораспре-
деление в этом пространстве (ввиду того, что функция
виньетирования будет тождественно равной единице) выразится
четвертой степенью косинуса полевого угла
Ф' = cos4 со' = Ф" (8.43)
независимо от величины входного полевого угла.
Поэтому, задаваясь величиной светораспределения,
представляется возможным определять величину углового поля в
пространстве у материальной диафрагмы, а затем, удовлетворяя
требованию отсутствия дистореии у передней части системы, находить
величину углового увеличения первой системы, исходя из
величины предметного углового поля для всей системы.
Задавая освещенность на краю поля зрения Ф" = 0,13 (13 %),
получаем:
cos со' = 0,6; со' = 53° 6'; tg со' = 4/3,
откуда угловое поле у материальной диафрагмы получается
равным
2© = 106° 12'.
Задаваясь же угловым полем в пространстве предметов для
всей системы 2со = 134° 48' и значением tg со = 2,402, находим
угловое увеличение передней ортоскопической части системы
W ~ tgco "3.2,402 - 1,8 -U»DDD-
Глава 9
РАБОТА
СФЕРИЧЕСКОЙ ПРЕЛОМЛЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ
9.1. Сферическая аберрация
Простейшим элементом любой оптической системы является
сферическая преломляющая поверхность, разделяющая две среды
с различными показателями преломления. Поэтому, естественно,
возникает необходимость возможно полнее ознакомиться с
работой такой поверхности.
106
При расчете хода произвольного луча через сферическую
поверхность получается очень сложная зависимость. Поэтому
нередко пользуются приближенными зависимостями, которые более
или менее справедливы вблизи оптической оси, т. е. в так
называемой области аберраций третьего порядка.
Однако приближенные зависимости дают значительные
расхождения с реальным ходом лучей, что мешает получению
правильного суждения о работе оптической системы и, в частности,
о работе даже одной преломляющей поверхности. В связи с этим
для некоторых частных случаев необходимо установить точные
зависимости. Это
целесообразно еще и потому, что п
существует несколько
положений предметной точки,
когда сферическая
преломляющая поверхность создает
ее изображение строго
гомоцентрически, т. е. без
возникновения сферической
аберрации.
Такими тремя
положениями являются: апланатические
точки сферической поверхности, ее вершина и ее центр. Во всех
этих случаях соблюдается и условие синусов. Для других
положений предметной точки всегда будет существовать некоторая
сферическая аберрация.
Изучение процесса изменения сферической аберрации удобно
начать с частного случая, когда предметная точка расположена
в бесконечности. Тогда можно получить не слишком сложное
выражение для сферической аберрации.
Обратимся к рис. 9.1, на котором представлены преломляющая
сферическая поверхность радиуса г и луч, идущий параллельно
оси на высоте h и падающий на эту поверхность в точке В, образуя
угол с нормалью к поверхности, равный е. Согласно рисунку,
имеем
Рис. 9.1. К определению сферической
аберрации
sin е = —h/r.
Далее, пользуясь законом преломления,
чение
sin s' = —nh/n'r
можно
(9.1)
найти зна-
(9.2)
и вслед за этим угол а преломленного поверхностью луча с осью
в' = е' — е. (9.3)
Затем может быть найдено расстояние q' от точки Fr
пересечения луча с осью до центра поверхности
, sin е' пг
П COS 8 — П COS 8
(9.4)
107
Полагая высоту h бесконечно малой, получаем величину для
нулевого (или параксиального) луча
<7о = пг/(п — п'), (9.5)
что и позволяет определить сферическую аберрацию
As' = q'o — о = ( -, т ) пг. (9.6)
^ ^ \п—п п cosе — п cose / v '
Выражая косинусы углов еие' через их синусы и далее через
высоту А, находим
As' = У r2 + V f " «—L r. (9.7)
Формула (9.7) показывает, что само существование
сферической аберрации, как функции от высоты А, ограничено одним
из равенств:
A/r = ±l; h/r = ±n'/n. (9.8)
Первое равенство является условием возможности встречи
луча с поверхностью; второе — определяет явление полного
внутреннего отражения.
Используя значения высоты А из формул (9.8), нетрудно
получить граничные значения сферической аберрации:
^—4- .. V
i_» _.*._,
А ' it/ it . Л ' '* ^
-—1
(9.9)
Для удобства сопоставления величин сферической аберрации
можно воспользоваться их отношением к величине последнего*
отрезка, равного
Sb = nr/(n —/2). (9.10)
Тогда
(9.11)
Для малых высот А, переходя к области аберраций третьего
порядка, нетрудно получить приближенную зависимость
J08
Asf Г г2 + г п2
Sq п' { п' ,
Л2
г2
Л
-flirt
-1
Разделив формулы (9.9) и (9.12) друг на друга, находим
отношение граничной сферической аберрации и аберрации третьего
порядка для той же высоты Л. Для случая п > /г, когда граничное
значение высоты /ггр = г, после несложных преобразований
находим
pk==2^-(l-V1^) (9.13)
As,',, л \ V n' + nj v '
и в случае, когда п > я',
^^2-5-Cl-l/^S). (9.14)
As|n я' V г n + n'J v
Из формул (9.13) и (9.14) следует, что расхождения между
истинным значением граничной сферической аберрации и
величиной аберрации третьего порядка особенно возрастают при малой
разности показателей преломления, что характерно для работы
склеенной поверхности.
Так, полагая п = 1,6 и п' = 1,5, согласно формуле (9.14),
получаем Asrp/Asin = 1,750.
Для большой разности показателей преломления, когда п = 1
и ri = 2, получаем из формулы (9.13) значительно меньшее
расхождение Asrp/Asin = 0,423.
Для ряда различных показателей преломления были вычислены
величины граничной сферической аберрации и сферической
аберрации для трех меньших высот, составляющих соответственно
/3/4, /Т/2 и 1/2 граничной высоты. Результаты вычислений для
значений s6 = /о = 100 мм приведены в табл. 9.1 (случай
преломления из стекла в воздух, п' = 1) и в табл. 9.2 (случай преломления
из воздуха в стекло, п = 1). Для сопоставления в нижней строке
первой таблицы приведены также величины сферической
аберрации третьего порядка Asm.
Таблица 9.1
Сферическая аберрация сферической поверхности
при преломлении из стекла в воздух
п
1,1
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
г
— 10,0
—50,0
— 100,0
— 150,0
—200,0
—250,0
—300,0
^гр
9,091
33,333
50,0
60,0
66,667
71,429
75,0
Asjjj для всех п
Asrp
\ = **ГР
—85,996
—83,567
—84,530
—86,663
—87,868
—89,125
—90,161
—50,0
As' 1
h2 = 0.866Л,
—49,536
—46,515
—46,481
—46,771
—47,079
—47,354
—47,592
—37,5
h3 = 0,707/ij
—28,832
—28,203
—28,139
—28,214
—28,307
—28,395
—28,472
—25,0
ft4 = o,5/i, 1
—13,314
— 13,185
— 13,166
— 13,178
— 13,195
—13,213
— 13,228
— 12,5
109
Таблица 9.2
Сферическая аберрация сферической поверхности
при преломлении из воздуха в стекло
п
1,1
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
г — И
г "гр
9,091
33,333
50,0
60,0
66,667
71,429
75,0
1 Asrp
hl = ^гр
—71,071
—37,141
—21,868
— 13,814
—9,763
—7,276
—5,635
As'
h2 = 0,866/г,
—39,904
—20,674
— 11,620
—7,483
—5,231
—3,866
—2,974
h3 = 0,707^
—23,828
— 12,535
—7,035
—4,514
—3,145
—2,318
— 1,780
К = 0,5ht
— 11,004
—5,860
—3,291
—2,108
— 1,466
— 1,079
—0,814
Важно отметить, что при преломлении из воздуха в стекло,
когда показатель преломления п' = 1,289, т. е. он является одним
из корней уравнения п3 — Зп2 -+- 4п + 8 = 0, истинное значение
граничной сферической аберрации и найденное для той же
высоты значение аберрации третьего порядка совпадают друг
с другом.
9.2. Изменение сферической аберрации
в зависимости от изменения положения предмета
Располагая значениями углов падения е и преломления е'
на сферической поверхности, можно найти зависимость величины
сферической аберрации от положения предмета.
Обратимся к рис. 9.2, на
котором представлен ход
апертур ного луча, образующего с
осью углы а и а'. Зная
величины показателей преломления
п и п', а также значение
радиуса кривизны г, согласно
рисунку, можно написать:
г sin е = q sin а;
г sin г' = q' sin а', (9.15)
откуда получаем инвариант
nq sin а = nr sin е = n'r sin е' = n'q' sin а'. (9.16)
В области нулевых лучей для линейного увеличения VQ имеем
Рис. 9.2. Ход апертурного луча с
конечного расстояния
0 У
Яо
r — sQ
(9.17)
ПО
Отрезки s6 и So связываются через инвариант Аббе
«¦(-*--+)-(¦?--»• <^>
Формулы (9.17) и (9.18) позволяют выразить отрезок s6 через
линейное увеличение V0:
«-тИ^О-^л (9.19)
Переходя к отрезку qo, получаем
Я'о = V%'Sn г. (9.20)
Согласно формуле (9.16), отрезок qf для реального луча может
быть выражен следующим образом:
, п sin е /л n 1 \
q = —-^—7 г, (9.21)
что позволяет найти величину сферической аберрации
А ' ' /У0П'—П Я Sill 8 \ /л оо\
As = <7о - д = (-^ ^j^) г, (9.22)
где угол а' находим из рис. 9.2
о' = а —е + в'. (9.23)
Так как углы е и е' задаются, то угол а может быть найден
по формуле
sin о = — sin е = -^— sin 8 = т/ 7"— К0 sin е- (9.24)
flf 9о V0n' —" '
Таким образом, формулы (9.22)—(9.24) позволяют вычислить
величину сферической аберрации As' для любых увеличений V0
при заданных значениях углов гиг.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. VQ = 1; sin о = sin е; sin а' = sin е'. Тогда получаем
А / /я —л /г sine \ А
As = -; г—-—г ) = 0.
\/г — я п sin е /
Этот случай соответствует размещению предметной точки
в вершине преломляющей поверхности.
2. VQ = —г-; sin а = ~ sin е = оо; существование
реальных углов о возможно лишь при соблюдении равенства 8 = 0 = 8'.
В этом случае величина сферической аберрации получается
равной
As = — г = 0;
предметная точка размещается в центре сферической
преломляющей поверхности.
111
0 T/ ri* п sin е / ^v
3. V0 = —г\ sin а = }— = —sin е . Этот случаи соот-
п п
ветствует размещению предметной точки в апланатической точке
сферической поверхности, когда сферическая аберрация As' также
равна нулю.
Для всех других значений увеличения V0 сферическая
аберрация уже не может быть равной нулю. В связи с этим, используя
формулы (9.22)—(9.24), можно при постоянных значениях углов
е и е' найти ряд значений сферической аберрации в зависимости
от увеличения и построить по ним графики.
Для возможности учета влияния показателя преломления
рассмотрим четыре случая: преломление из воздушной среды
в стекло и из стекла в воздушную среду при показателях
преломления стекла, равных 1,5 и 2,0.
Численные значения сферической аберрации для этих четырех
случаев приведены в табл. 9.3—9.6, а соответствующие им
графики изменения сферической аберрации в зависимости от
увеличения — на рис. 9.3—9.6.
Из всех этих графиков следует, что в области значений
увеличений от V0 = 1 до V = п2/п* сферическая аберрация
поверхности, имеющей положительную оптическую силу, всегда
положительна; в остальном диапазоне увеличений от V0 = 0 до V0 = 1
и от V0 = п2/п'* до точек разрыва непрерывности она остается
отрицательной.
Важно отметить, что при переходе от показателя преломления
п = 1,5 к показателю преломления п = 2,0 происходит суще-
Таблица 9.3
Сферическая аберрация при преломлении из стекла с п— 1,5 в воздух
V0
—°>5
0,0
0,5
1,0
1,077
1,138
1,204
1,283
1,380
1,500
1,642
1,800
1,963
2,109
2,2h
2,250
2,500
е' = 90°
— 127,242
—82,917
—40,901
0,0
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0,0
—248,323
As' (п —
е' = 75°
— 104,263
—62,638
—30,696
0,0
§,005
—
—
—
—
—
—
—
—
—
12,335
0,0
—50,705
= 1,5; п' = 1,0;
е' = 60°
—76,913
—46,515
—20,569
0,0
—
7,124
—
—
—
—
—
—
—
17,573
—
0,0
— 18,366
г = -50.0)
е' = 45°
—48,509
—28,201
— 11,839
0,0
—
—
5,711
—
—
—
—
—
9,313
—
—
0,0
—7,347
е' = 30°
—23,454
— 13,185
—5,312
0,0
—
—
—
3,258
—
—
—
4,572
—
—
—
0,0
—2,652
е' = 15°
—6,175
—3,395
— 1,332
0,0
—
—
—
—
0,993
0,0
1,222
—
—
—
—
0,0
—0,593
112
Рис. 9.3. Изменение сферической аберрации As' в зависимости от
увеличения V0 при преломлении из стекла в воздух (п = 1,5;
п' = 1,0)
Рис. 9-4. Изменение сферической аберрации As' в зависимости от увеличения 1/0
при преломлении из стекла в воздух (п = 2,0; п' --=¦ 1,0)
113
-
-0,2
7^Z
t&,
^So
A* ,
У
Уо "
/v
fc/
A/-
/Co /
/0
/?-
/ <o
As1
20
0
^у^У
Ao/
-60
-80
0,5
1,2 Vo
7a-30°
e=60"
16-75"
Рис. 9.5. Изменение сферической аберрации As' в зависимости от
увеличения V0 при преломлении из воздуха в стекло (п = 1,0; п' = 1,5)
-
-0,25 0
?^5>^
^°я
У^О А
/&/
Ь / /
/о /-
Л//
S '' / /
ь / /
/° /
/р/ ¦
/*о /°
А
/ *
/ <0
Asr
20
С
~№
-60
-80
Рис. 9.6. Изменение сферической аберрации As' в зависимости от
увеличения V0 при преломлении из воздуха в стекло (п = 1,0;
п' = 2,0)
114
1
м
О
00
CQ
О
CN
и
л
ч
н
о
л
К
S
S
Я
?
«=;
S
о
«=;
а>
о.
с
S
о.
с;
Os
S
я*
ed
О.
о.
*
со
Os
Oj
a
О
<v
ЕГ
к
о.
о
•е-
^
о"
о
«
1
II
о
II
с
о
cn
II
?
V
<
о
II
"со
~^~
о
СО
II
W
0
ю
-*
II
"со
0
о
СО
II
со
bi
II
СО
о
а>
II
v
со
о
h- СМ СО 00 О ^
ел ел ^ оо см ю
СО СО "^О 1 | 1 1 ^^^ 1 1 1 1 0^Ю-.
ЮСО~—0~ 1 1 1 1 СМ~0~СО~ 1 1 1 1 0~ —
III 1
О CD СЛ t^- ^f -*
О СО СЛ CD t^ "^f
00-000 , , ,1^ , t^ ОСЛ
*• ~ *• ~ \ \ \ -111 "li ....
— СОЮ О 00 \ ^ \ OCD
CN —i 1 —« 1
II1 '
oooo CM CO CM
— CO CD — О О
CO^—<ЛО^ 00 00 O^CN
юоо~ем~ o~ 1 ^ I — О О
-Ф CM —• — CO —*
III 1
III 1
00 CM CO Oi 00 О
СОООЮ 05 Ю 00
TfTf^O.t^-, . . . , , , 00 ,o^
---•^l " 1 1 1 1 1 1 * .. ~
CO CO CM О 1 l^ 1 1 1 1 I 1 1 N I OCO
h- тр ем — ^ -^
III 1
III 1
CD CO CM CO CD
О CT) CO CD CD CO
iO СЛ CO^ O^ -* т^ O^ —*
-WNO^" 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t^O~<N
OCDCO ^ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ^ Tf
¦ i
1 1
СЛ О "*« 00
СЛ CO О Ю
SlOCOO О ~
co'Vco©' 1 I 1 | | 1 1 1 1 1 1 ОСЛ
CM С© 'ф lllllllllll см
Til ~
II ~«
1
1
слем —оосл t^ t^ -ф t^- oo
O- —ч ^ 00 CD СЛСОСЛСМСО
Ю О Ю О — CO -Ф Ю h- О CM CD О Ю 00 О Ю
CD Я q.
s о S J?
a) j3 s с^з
2 «as
m S I О
w со ef я
о ex
ж s °
? О « CD .
^ я 3 н oS
~ ^ g 03 5
S Ч и * И
n Й H s <3
03 О ^ л. CD
*Г О в « >»
c Я й
S S к 2
5 к S S я
Я О CD Й °
OhS и m <^
а о д. о я
у Л Ч w Is.
ОЗ
ЛК . * о
CD S S 5 fc
5 rr s о о
!т! 03 S О H
03 CD О <V
с_ \о оЗ О Я
О 03 Оч с 03
•8-
о
<=>
ю
II
W.
II
с
о
~*
II
с
*ел
\<
II
СО
со
II
СО
^
II
со
о
<о
fl
СО
^
II
со
о
о
II
СО
о
^
О ^ ^ t^ —• CD
-¦CDO Ю 00 О
OCNOO^ 1 1 i 1 CDO^l^ 1 1 1 1 ^L00^
со'см —«о 1 1 1 1 о"о"сГ 1 1 1 1 о" о"
СО О О СМ со о
оо аэ ел г^ со со
00N05O , , ,— О. , .OCD
^оосоо сч со осо
т
1 1 1 1
о —> ~ *>• оо а>
00 ою о о со
00 00 ОО О 00 СМ О ~^
ooocool |со| | | | | со | |оо
00 т1 1 т1
II1 1
00 О СО О) ел о
СО — 00 «ч*4 05 СМ
—' ОСМО , 1^ , , , , , , , N . OCN
ел —юо ^оо осо
^СО— СМ
III 1
io а> —• 'Ф о о
^ЮЮ О Ю rf
00NCDOO , , , , ... . WOO)
СО—'СМО-Ф 1 1 1 1 1 1 1 1 1 COO-
CO "^ CM 00
1 1 1 1
—< оосм о
см t^ оо а>
ООСМ "ф о о ел
-Гю ел^о"4 lllllllllll ою
00ЮСМ lllllllllll оо
III <?>
III Tf
1
^СйСОЮО^ЬО CM l^ CO
^NOCON'-'COCO t--0000
CNOCN^^lOiOincOONCOOOCftOON
1 ooooooooooooooo—* —
Таблица 9.6
Сферическая аберрация при преломлении из воздуха в стекло с п = 2,0
V0
—0,25
0,0
0,25
0,295
0,328
0,361
0,397
0,442
0,5
0,574
0,667
0,773
0,882
0,967
1,0
1,25
е = 90°
—85,114
—42,265
0,0
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0,0
—655,841
As' (п =
е = 75°
—69,481
—32,997
0,0
7,232
—
—
—
—
—
—
—
—
—
23,732
0,0
—220,831
= 1,0; п' = 2,0
8 = 60°
—57,372
—23,241
0,0
—
8,900
—
—
—
—
—
—
—
23,928
—
0,0
—60,815
; г = 100,0)
е = 45°
—32,602
— 14,069
0,0
—
—
7,406
—
—
—
—
—
19,337
—
—
0,0
—22,760
8 = 30° ,
— 15,874
-6,583
0,0
—
—
—
4,399
—
—
—
7,390
—
—
—
0,0
—8,039
8 = 15°
—4,201
— 1,696
0,0
—
—
—
—
1,394
0,0
1,810
—
—
—
—
0,0
1,780
9.3. Сферическая аберрация плоской поверхности
Преломление на плоской поверхности можно рассматривать
как частный случай преломления на сфере бесконечно большого
радиуса. Однако полученная ранее формула (9.7) для сферической
аберрации обращается в неопределенность, поэтому нахождение
^ пт сферической аберрации плоской
поверхности можно
осуществить несколько иным способом.
Обращаясь к рис. 9.7, на
котором представлено
преломление луча на плоской
поверхности, можно связать
предметный отрезок s и отрезок до
изображения s' через высоту h
точки преломления луча на
плоскости
п \
0
[в
Г^> ,1
¦n* '
Рис.
9.7. К определению сферической
аберрации плоскости
h = stga = s/ tga', (9.25)
Углы а и а' можно рассматривать как углы падения и
преломления луча бИб'. Поэтому, согласно закону преломления, имеем
п sin a = ri sin a'; (9.26)
тогда отношение отрезков s7 и s приобретает вид
s' tga n'coso'
tg<7'
П cqs a
(9.27)
116
Для нулевых лучей при углах а = о' = О это отношение
переходит в формулу
so/so = п'/п, (9.28)
пользуясь которой, нетрудно получить величину сферической
аберрации
А ' ' ' п' ( cos о' л\ / COS о*' л \ , /п опч
As = s — So = — ( 1 s0 = ( 1 s0. (9.29)
u n \ cos a / ° \ cos a / v '
В случае преломления из стекла в воздух при отрицательном
s6 сферическая аберрация плоской поверхности будет
положительной.
9,4. Астигматизм сферической поверхности
Аналогично изменению сферической аберрации в зависимости
от положения предмета происходит и изменение астигматизма.
Однако этот процесс должен быть связан с положением входного
или выходного зрачка относительно вершины или центра
поверхности и с ориентировкой самой поверхности относительно зрачка.
Исходя из выражения, связывающего положение предметной
точки и ее изображения в меридиональной и сагиттальной
плоскостях
п' cos2 е' п cos2 ? п' cos е' — п cos е п' п m /п Qn\
V 1— = 7 = ~ "" 7" = ф*' (y*dU)
можно написать:
п! cos2 е' п' cos е' — п cos е , п cos2 8
Г ~~ г г t
(9.31)
п __ п cose — п cosе , п • v '
~~~ ? «¦ —
Используя обратные величины D относительно отрезков ?
и s, имеем
az'DJ cos2 е = Ф5 + tiDt cos2 е; ^
n'D's = <Ds + nDs. ) (932)
Полагая предметную точку свободной от астигматизма, т. е.
Dt = Ds = D, можно выразить и Di через величину Ds,
определяющую положение предмета,
n'Di = -Eol2"^ (°s + nDs cos2 8>' <9'33)
Вычитая из этого выражения n'D'Si получаем выражение для
астигматизма сферической поверхности в диоптрийной мере
«'^-^M^-O^+^^fr-1)' (9-34)
117
или
n'(Di- D's) = Ф5 tg5 e' + nD Sin2ceOT78>'"ae • (9-35)
Выражение (9.35) является уравнением первой степени,
связывающим астигматизм в диоптрийной мере с положением
предмета относительно точки преломления, также выраженным в
диоптрийной мере.
Ставя условие устранения астигматизма, приравниваем левую
часть формулы (9.35) нулю; тогда из правой части получаем
Ф5 sin2 е' = — nD (1 — -^-) sin2 е'; (9.36)
или
Ф.-(?-1)л/>-
П' COS в' — П COS 8
^ п' — п2 п'~ cos2 е' — п2 cos2 е
(9.37)
ns (п' cos е' + л cos е) г '
откуда находим
ns = (п cos е' + п cos е) г. (9.38)
Полученное выражение определяет положение предметной
точки, совмещенной с передней апланатическои точкой.
Действительно, так как расстояние до апланатическои точки от центра
сферической поверхности равно т'/п, то (согласно ранее
приведенному рис. 4.1) отрезок s будет равен сумме проекций радиуса
и расстояния до апланатическои точки на падающий луч, т. е.
п'
s = г cos 8 -| г cos б', (9.39)
что тождественно с формулой (9.38).
Возвращаясь к формуле (9.35), видим, что величина
астигматизма сферической преломляющей поверхности изменяет знак
в момент совмещения предметной точки с апланатическои.
Заметим также, что полученное условие (9.38) для устранения
астигматизма одной сферической поверхности не охватывает
случаи совмещения предметной точки с точкой преломления луча
на поверхности и хода луча через центр поверхности.
9.5. Меридиональная кома сферической поверхности
Обратимся к инварианту меридиональной комы
R' cos3e' Q cos2e' Q cose' R cos3 e , Q cos2 e cose
"Г 6 ТЛ 6 t'r — ~7T ei«u "Г 6
f* sin e' ^ f2 t'r ~~ t* sin в ^ t2 tr '
(9.40)
118
Оставляя в левой части члены, содержащие величины R'
и R, можно написать
R' cos3 е' R cos3 е _Л 1 / cos2 в' cose' \
t>* sin е' t* sin е ~~ 6 [~Г \ f г )
Пользуясь меридиональным инвариантом
п' cos2 е' п' cos s' п cos2 е п cos в ,Q 49\
7 'г t 'г ' VAZ}
можно преобразовать выражение в правой части формулы (9.41)
к виду
R' cos3 е' R cos3 е
у* sin е' ^3 sin е
-»(Т7-ТГ)(-2Т1-Г)»~' <9-43>
Полагая предмет и изображение свободными от комы,
приходим к равенству левой части нулю. Это будет возможно в двух
случаях, когда:
n't' = nt и t = г cos е. (9.44)
Можно показать, что первый случай будет определять
положение предмета и изображения в апланатических точках
сферической поверхности; второй же случай соответствует расположению
предметной точки и ее изображения в узловых точках,
являющихся проекциями центра кривизны поверхности на падающий
и преломленный лучи.
Необходимо заметить, что формула (9.44) не охватывает
случай, когда предметная точка совпадает с точкой преломления луча
на поверхности.
9.6. Астигматизм конфокальной поверхности
При совмещении центра преломляющей поверхности с точкой
изображения обеспечивается строгое исправление сферической
аберрации, а также соблюдение условия синусов, необходимое для
устранения комы. Однако такая конфокальная поверхность (в
отличие от апланатической поверхности) уже не будет свободной от
астигматизма.
Пусть внеосевая предметная точка расположена на
перпендикуляре к оси, который восстановлен из центра конфокальной
поверхности. Тогда, образуя предметный пучок лучей вращением
плоскости рисунка вокруг этого перпендикуляра, заметим, что
одновременно будет образовываться и сагиттальный пучок лучей,
исходящих из точки изображения, также расположенной на
вышеупомянутом перпендикуляре. Таким образом, приходим к
выводу, что сагиттальная точка изображения (как и предметная)
будет всегда проектироваться в центр конфокальной поверхности.
119
Обратимся к рис. 9.8, на котором представлены конфокальная
поверхность, падающий и преломленный главные лучи и их точки
пересечения с плоскостью, перпендикулярной оси системы и
проходящей через центр этой поверхности. Отрезки s и s' вдоль
главного луча можно рассматривать как расстояния от точки
преломления до предметной точки As и точки изображения A's.
Из рис. 9.8 следует, что проекции отрезков s и s' на ось
системы оказываются равными друг другу. В соответствии с этим
можно написать
s cos со = 5 = s' cos со' = s'. (9.45)
Это условие означает, что конфокальная поверхность не
влияет на сагиттальное изображение точек плоскости,
проходящей через центр конфокальной поверхности.
Рис. 9.8. Конфокальная поверхность
Пользуясь тем же рис. 9.8, нетрудно установить, что в
меридиональной плоскости при совмещении предметной точки с
передней узловой точкой конфокальной поверхности ее
изображение будет совпадать с задней узловой точкой.
Положение предметной и задней узловых точек легко
определить, опустив перпендикуляры из центра поверхности на
падающий и преломленный лучи Расстояния до узловых точек от
сагиттальных точек вдоль главных лучей могут быть найдены из
рис. 9.8:
t — s = г tg со sin е; ( — s' = г tg со' sin е'. (9.46)
При этом углы падения и преломления е и е' должны всегда
иметь одинаковые знаки, тогда как полевые углы со и со' могут
иметь и одинаковые, и разные знаки.
Переходя к проекциям отрезков t и s на ось системы, получаем:
? — 5 = (/ — s) cos со = г sin со sin е;
?' — §' = (t' — s') cos со = г sin со' sin е'.
Формулы (9.47) позволяют определить разность проекций
отрезков
V — t = t' cos со' — t cos со =
= г (sin a/ sin е' — sin со sin е), (9.48)
120
(9.47)
которая и будет определять степень воздействия конфокальной
поверхности на меридиональную кривизну поверхности
изображения.
В частности, если конфокальная поверхность имеет
положительную силу, то она будет создавать дополнительную
положительную меридиональную кривизну поверхности изображения, не
изменяя сагиттальной кривизны. Это свойство одной
конфокальной поверхности может быть распространено на линзы из двух
конфокальных поверхностей, т. е. на конфокальные линзы. Таким
образом, конфокальные линзы с положительной оптической силой
будут вносить положительную меридиональную кривизну поля,
а отрицательные конфокальные линзы — отрицательную
меридиональную кривизну.
Сочетая положительную и отрицательную конфокальные линзы
друг с другом, можно суммарную силу обеих линз сделать равной
нулю, т. е. создать телескопическую конфокальную линзу.
Нетрудно представить, что такая телеконфокальная линза уже не
сможет вносить дополнительной меридиональной кривизны и>
следовательно, астигматизма. Таким образом, телеконфокальная
линза становится подобной апланатической поверхности, т. е.
она оказывается свободной от сферической аберрации, комы,
астигматизма и кривизны поля.
Заметим, что конфокальная поверхность, будучи свободной
от хроматизма положения, обладает некоторым хроматизмом
увеличения. Величина хроматизма увеличения конфокальной
поверхности, когда первой средой является воздух, может быть
определена по формуле
dy> = S' _*1^ = S' ^LL JiiL. (9.49)
u COS CO n V COS CO '
Формулу (9.49) нетрудно получить, дифференцируя
выражение закона преломления.
Глава 10
СИММЕТРИЧНЫЕ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ
10.1. Дисторсия симметричных и пропорциональных систем
В числе разного рода оптических систем имеется довольно
значительная группа, построенная из двух симметрично
расположенных относительно диафрагмы половинок, которые могут быть
как совершенно одинаковыми (симметричные системы), так и
подобными друг другу (пропорциональные системы). Равным
образом в некоторых случаях приходится встречаться с систе-
121
мами, симметричными относительно плоскости промежуточного
изображения.
Симметричные и пропорциональные системы очень часто
используются и при не симметричном расположении предмета и
изображения — в частности, когда предмет расположен в
бесконечности.
Использование симметричных систем связано с рядом их
положительных свойств; назовем главнейшие из них.
1. Устранение нечетных аберраций — комы, дисторсии,
хроматизма увеличения: строгое — при симметричном расположении
предмета и изображения и линейном увеличении V = —1 и при-
Рис. 10.1. Система из пропорциональных половинок
ближенное — при нарушении симметрии в расположении
предмета и изображения и V ф—1.
2. Удвоение выходной апертуры при переходе от увеличения
V = —1 к увеличению V = 0.
3. Возможность варьирования комы за счет изменения
величины коэффициента пропорциональности без существенного
изменения дисторсии, астигматизма и хроматизма увеличения.
4. Возможность отказа от устранения нечетных аберраций
при расчете половинки симметричной или пропорциональной
системы.
Рассмотрим работу оптической системы, составленной из
двух подобных половин, которые расположены по обе стороны от
материальной диафрагмы; при этом расстояния от центра
диафрагмы до вершин обеих половинок системы связаны друг с
другом через тот же самый коэффициент пропорциональности N.
Обратимся к рис. 10.1, на котором представлены две
подобные друг другу половинки оптической системы.
При соблюдении строгого подобия между обеими половинками
все угловые величины, относящиеся как к передней, так и к
задней половинке, должны сохраняться одинаковыми; вследствие
этого углы лучей, проходивших через центр диафрагмы, с осью
системы до и после нее должны оставаться равными друг другу.
Поэтому точки пересечения таких лучей с осью системы должны
определять положения узловых точек в предметном пространстве
и в пространстве изображений. Расстояния узловых точек отно-
122
сительно центра диафрагмы также должны удовлетворять
коэффициенту пропорциональности.
Так как показатели преломления среды в пространстве
предметов и в пространстве изображений равны друг другу, то,
рассматривая ход главного луча в параксиальной области, приходим
к совмещению узловых точек No и No с главными точками системы
Но и Но. Поэтому, откладывая от точек No и No фокальные
отрезки — фокусные расстояния /о и /6, определим положение
переднего и заднего фокусов всей системы в совокупности. При этом
необходимо учитывать, что величины фокусных расстояний
системы, расположенной в одной и той же среде, должны быть
равными друг другу по абсолютной величине и обратны по знаку.
Таким образом, фокусные расстояния уже не могут связываться
через коэффициент пропорциональности N.
Ход главного луча, проходившего через центр материальной
диафрагмы, может разойтись с ходом главного луча в
параксиальной области; поэтому в общем случае главный луч, составляющий
реальные углы с осью системы, пересечет ее в некоторых точках
Ns и N'Si не совпадающих с точками No и No, образуя отрезки At
и А/', определяющие сферическую аберрацию в зрачках входа
и выхода.
Полагая предмет, расположенным в бесконечности, и учитывая
равенство углов о и со' до и после системы, нетрудно получить
величину реального изображения yF в задней фокальной
плоскости
?F = -(/i-AOtg<D. (ЮЛ)
Для определения величины неискаженного изображения y'oF
в задней фокальной плоскости необходимо провести главный
луч через заднюю параксиальную узловую точку N'o\ тогда из
рис. 10.1 получаем
y'oF = — /otgco. (10.2)
Составляя разность между реальным и неискаженным
изображением, находим величину дисторсии AyF в задней фокальной
плоскости
Af/F = у'р — y'oF = A/' tg со. (10.3)
Аналогичным способом можно получить величину
дисторсии AyF и для передней фокальной плоскости
AyF = Д/ tg со = — (Д/'/N) tg со. (10.4)
Ранее была получена формула (2.46) для изменения дисторсии
в зависимости от изменения увеличения; воспользуемся ее
окончательным результатом
Ay = Ay'F - V AyF. (10 5)
123
Подставляя в формулу (10.5) величину дисторсии в передней
фокальной плоскости, получаем
Ay = AyF-AtVtga. (10.6)
Так как отрезки At и At' связываются друг с другом через
коэффициент пропорциональности, то можно написать
Ау = (1 + V/N) Ay'F. (10.7)
Полученная формула является точной, так как никаких
допущений о малости каких-либо величин не делалось.
10.2. Астигматизм симметричных и пропорциональных систем
Зная астигматизм задней половинки системы в фокальной
плоскости и ее астигматизм для центра выходного зрачка, можно
определить астигматизм и для всей системы.
С этой целью обратимся к
рис. 10.2, на котором представлен Fu
ход главного луча через систему,
составленную из двух подобных друг rSIIj
другу половинок с коэффициентом
пропорциональности, равным N.
Для центра диафрагмы при на- /^
личии аберрации в зрачках полу-
tir
hi Fsi Foi
о—о—о—
/ft Ns ML
Nu
ul
НгШ
<F—-Q—^Q Q—7-Q Q-
fo\
fi
ft
4«i
Ah
К
zi
Fon
W
A's
M_
Ж
At
Ftn
rsi
Рис. 10.2. Астигматизм системы из пропорциональных половинок
чим как для передней, так и для задней половинки его
изображения в меридиональной плоскости в точках Nt и N't, в
сагиттальной плоскости — в точках Ns и N's и на оси системы — в точках
JV0 и No. Во всех этих трех парах точек угловые увеличения Wt,
Ws и Wo будут равны единице. Поэтому точки Nt и N't будут
являться главными точками в меридиональной плоскости, точки N3
и N's — главными точками в сагиттальной плоскости и точки N0
и No — главными точками на оси системы, т. е. в параксиальной
области.
124
Для задней половинки системы полагаем, что предмет
расположен в бесконечности; тогда положение ее заднего меридионального
фокуса Ft и можно рассматривать как изображение переднего
меридионального фокуса Fn передней половинки через всю
систему. В соответствии с этим линейное меридиональное
увеличение Vt в точках Ft\ и F't ц должно оказаться равным
коэффициенту пропорциональности N, взятому с обратным знаком.
Аналогично задний сагиттальный фокус F'sU задней половинки
можно рассматривать как изображение переднего сагиттального
фокуса Fsl передней половинки; тогда приходим к выводу, что
и сагиттальное линейное увеличение Vs также должно быть
равным коэффициенту пропорциональности N, взятому с обратным
знаком.
Совершенно очевидно, что высказанные соображения будут
справедливыми и в параксиальной области. Таким образом,
можно написать
Vt = Vs = V0 = -N. (10.8)
Проектируя главные меридиональные точки Nt и N't и точки
задних фокусов F't и и F's ц на ось системы, находим:
N'oFi и = /6 + z'o = f'o - Vofo = (1 + N) /о! |
№Ли = (1+Щ~П; (Ю.9)
N'tF't и = (1 + N) ft- |
Входящие в эти формулы величины ft nfs являются проекциями
соответственных фокусных расстояний всей системы вдоль
главного луча на ось системы.
Согласно рис. 10.2, можно написать:
a; + 7;(i + n) = /6(i + n) + a;;1
д< + fi (1 + N) = f'o (1 + N) + a; J (шли)
А/ + /* = /о + Д«- J v
Разделив формулы (10.10) на 1 -f N и вычитая их из формул
(10.11), получаем:
Л" А° Л' _^_- Л" -Jl—-\> А'<
(10.12)
откуда находим величины для задней фокальной плоскости:
a; + na;. a; + na;
А^ = —1+N > *Ft = [+N , (lU.ld)
определяющие меридиональное и сагиттальное искривление
изображения для всей системы при расположении предмета в
бесконечности.
125
Из формул (10.13) следует, что меридиональная и сагиттальная
кривизна пропорциональной системы складывается из величин
меридионального и сагиттального искривлений изображения
задней половинки системы, суммируемых с величинами
астигматизма в изображении центра выходного зрачка системы.
Следует обратить внимание на то, что устранение аберрации
в зрачках симметричных или пропорциональных систем совместно
с устранением меридиональной и сагиттальной кривизны
изображения для задней половинки системы обеспечивает устранение
астигматизма, кривизны поля и дисторсии для произвольного
положения предмета.
Заметим, что формулы (10.13) являются точными; они остаются
справедливыми для произвольно больших полевых углов.
10.3. Исправление комы
в симметричных и пропорциональных системах
Первоначально рассмотрим кому строго симметричной системы,
у которой в обеих половинках кома оставлена
неисправленной (рис. 10.3).
Пропуская через заднюю половинку параллельный пучок
лучей, получим в задней фокальной плоскости этой половинки
картину, характерную для
комы, когда главный луч
пройдет вне точки
пересечения двух лучей, идущих
через края диафрагмы.
Величина смещения главного
луча и определит некоторую
меридиональную кому 8g*.
Аналогично и в передней
фокальной плоскости перед-
Ю.З. Кима симметричной системы ней половинки будем
наблюдать меридиональную кому
6gK для параллельного пучка лучей, проходившего в обратном
направлении под тем же самым полевым углом. Вследствие
строгой симметрии кома в предметной плоскости будет равна по
абсолютной величине и противоположна по знаку коме в
плоскости изображения.
Поворачивая главный луч вокруг центра материальной
диафрагмы в плоскости чертежа, можно добиться того, что в
пространстве изображений главный луч пройдет через точку пересечения
краевых лучей пучка; в силу симметрии одновременно должно
произойти и прохождение главного луча через точку пересечения
краевых лучей в пространстве предметов. Следствием этого будет
устранение комы как в предметной плоскости, так и в плоскости
изображения.
Эти выводы сделаны без каких-либо ограничений для
величины угловых полей и ширины рассматриваемого пучка лучей
126
и поэтому остаются справедливыми для любой симметричной
системы в случае, когда сохраняется симметрия хода лучей в
пространстве предметов и изображений, т. е. при увеличении минус
единица.
Нарушая симметричное расположение предмета и
изображения, можно ожидать, что симметричная система уже не будет
строго свободной от комы, но возникновение комы будет
нарастать постепенно. В связи с этим возникает необходимость
определения характера и величины такой меридиональной комы
в зависимости от изменения увеличения.
Сохраняя произвольными величины полевых углов, будем
полагать, что величины апертурных углов, образующихся между
крайними лучами наклонного пучка и главным лучом, будут
невелики.
На любом из лучей наклонного пучка должны существовать
фокальные и узловые точки. Учитывая, что передние и задние
фокусные расстояния у оптических систем, расположенных в одной
и той же среде, всегда должны быть равными по абсолютной
величине и различаться только знаком, приходим в силу симметрии
к заключению, что узловые фокусные расстояния для верхнего
и нижнего крайних лучей наклонного пучка должны быть равны
друг другу. Отсюда следует, что фокусные расстояния на краевых
лучах могут отличаться от фокусных расстояний на главном луче
лишь на величины высшего порядка малости относительно
величин апертурных углов. Поэтому и фокальные, и узловые точки
на лучах одного и того же наклонного пучка (в первом
приближении) должны располагаться на прямых, перпендикулярных
главному лучу, т. е. на равных расстояниях от предметной точки и
точки изображения при увеличении минус единица.
При проектировании узловых и фокальных точек на ось
системы для разных лучей наклонного пучка должны получаться
и различные положения этих проекций.
Перейдем к непосредственному выводу формул, определяющих
величину возникающей комы.
Обратимся к рис. 10.4, на котором представлены ход главного
луча AqNqNqAq, проходящего через центры зрачков N0 и iV6,
и ход одного из апертурных лучей наклонного пучка ANN'А',
составляющего с главным лучом не очень большие углы а и а'.
Предположим, что на этих двух лучах будут находиться
предметные точки Л и Л0, близко расположенные друг от друга. В
пространстве изображений соответствующие им точки А' и Л о также
должны быть близко расположенными.
Допустим, что рассматриваемая симметричная система
свободна от меридиональной кривизны поля; тогда можно принять,
что фокальные точки Fo, F6 и точки предмета и изображения Ло, Ло
на главном луче должны будут спроектироваться на ось в
соответствующих точках для нулевого луча (параксиальной области),
т. е. в точках F0, F6, Ло и А'0.
127
Проекции же точек апертурного луча, обозначенные с чертой
вверху, не должны совпадать с аналогичными точками для
нулевого луча.
Пользуясь формулой (2.50) для изменения кривизны поля
в зависимости от увеличения, можно написать:
(гА + А л — Ар) (г А + Ал — А» = ff' = const; |
(zN + А* - AF) (z'n + An - AF) = //', J (10Л4)
где под величинами ДА, AF и т. д. подразумеваются расстояния
между точками А и A0i F и F0 и т. п.
i г А о
Рис. 10.4. Кома системы из пропорциональных половинок
Раскрывая скобки, получаем:
Zaz'a + (А а — AF) zA + (Ал — Ар) zA + (АА — Ар) (Ал — Ар) =
= zNzN + (An — Ар) z'N + (An — AF) zN + (AN — AF) (AN — A'F).
(10.15)
Так как произведения Zaz'a и ZnZn должны быть равными
друг другу, то сокращая их и, кроме того, отбрасывая величины
высшего порядка малости, получаем
(Ал - Ap)zF + (Ал - AF)zA = (An—Af)zn + (A* - A'F)zN. (10.16)
Разделив обе части выражения (10.16) на фокусное расстояние
системы, переходим к увеличениям VA и VN. Находим
-(AA-AF)VA-
AJ1-AF
Va
= -(AN-AF)VN-
b'N — Ь'р
Va
(10.17)
Если принять, что точки N и N' узловые, то для них угловое
увеличение WN должно быть равным единице; учитывая равен-
128
ство показателей преломления первой и последней сред> получаем
и линейное увеличение VN равным единице. Отсюда следует
— (AA-AF)VA +
*'а-
Л*
= — Ал/ + AF + A'n - Др. (10.18)
При равных углах со и оУ, что и соблюдается для симметричных
систем, должно выполняться равенство
AN = Дл/.
(10.19)
Учитывая равенство (10.19) и умножая формулу (10.18) на
увеличение Va, находим:
Дл - AF = (AF - A'F) VA + (Дл - Af) Va (10.20)
или
Дл - VAAA = (1 - VA) (Af + V* A*). (10.21)
Из формулы (10.21) следует, что при изменении положения
предмета происходит изменение длины отрезка Дл, которое
можно рассматривать как изменение длины элемента дуги
каустики, огибающей пучок лучей в пространстве изображений.
Для симметричной системы
при симметричном
расположении предмета и изображения,
когда линейное увеличение
VA = —1, правая часть
формулы (10.21) обращается в нуль
(вследствие того, что AF =
= — AF), и тогда длина
элемента дуги каустики изображения
становится равной длине
элемента каустики предмета.
Перейдем к определению
величины радиуса каустики в
пространстве изображений.
Обратимся к рис. 10.5, на
котором представлен ход двух лучей наклонного пучка; апер-
турный угол обозначим через а', полевой угол — со', радиус
каустики — Ял-
Согласно рис. 10.5, имеем
Рис. 10.5. К определению радиуса
каустики
R'a =
А*
А к (/о + гл)
OS со' ti cos2 со'
Аналогичным образом в пространстве предметов получаем
А.
(10.22)
Ял
a cos со
h cos2 со
(10.23)
129
При переходе к радиусам каустик в фокальных плоскостях
(на рисунке не показано) величины zA и za обращаются в нуль,
а величины Ал и Ал соответственно — вД/?и А/?. Тогда
Пользуясь формулами (10.22) и (10.23), можно заменить
в формуле (10.21) величины Ал и Ал через радиусы каустик Ra
и RA. Тогда имеем
АУо Ал^Уо п v , ( А>/р Д^л/о \ П025,
/lCOS2CD /lCOS2G) "" V KA4^COS20 1" UCOS2© / V^.^u;
и окончательно
Ra - ^П = (1 - Ул)2 (Rf - УлД*)- (Ю.26)
Для симметричных систем радиусы каустик в фокальных
плоскостях должны быть равны друг другу и отличаться лишь
знаком, т. е.
R'F = -RFy (10.27)
что позволяет формулу (10.26) преобразовать к виду
Ra - RaV3a = (1 - Va? (1 + VA) Rf- (Ю.28)
Если предмет свободен от комы (RA = 0), то будут иметь
место следующие равенства:
Va = 0; RA = Rf\
Va = -U #л = 0;
Va = +U R'a = 0.
Рассмотрим систему с симметричным ходом главного луча,
когда углы w и со' равны друг другу, но кома в задней фокальной
плоскости будет устранена, т. е. RF = 0. Если теперь и предмет
будет свободен от комы, то формула (10.26) примет вид
Ra = —(1-Va)2VaRf. (10.29)
Значение радиуса комы RF в передней фокальной плоскости
может быть определено из условия Игнатовского (см. п. 4.5)
по следующей приближенной формуле, приводимой без вывода:
Rf = З/о sin со/cos2 со, (10.30)
или
RF = —3ft tg co/cos со = Зг/f/cos оз. (10.31)
Тогда формула (10.29) принимает вид
Я'а=-{1-УаГУд-^-. (10.32)
130
В частном случае, полагая увеличение VA = —1, находим
#у=_1 = 12j/>/cos со. (10.33)
Перейдем к рассмотрению системы, построенной из подобных
половинок с коэффициентом подобия, равным N. Тогда должно
иметь место:
Rn = — #6". #n - Nflo, (10.34)
где Ro — радиус комы для второй половинки.
Так как в этом случае увеличение VA будет равно —N, то,
задаваясь устранением комы во всей системе для ее фокальной
плоскости, можно, согласно (10.26), написать
N/?S-N8/?6 = (l+N)»N^ir, (10.35)
откуда легко определить величину необходимого для этой цели
радиуса
1 + N щ
Ro-T=N-^^- (10'36>
Формула (10.35) и является условием, при соблюдении
которого пропорциональная система становится свободной от комы.
Значительное отступление коэффициента пропорциональности
от единицы нежелательно, так как оно приводит к неравномерной
коррекционной нагрузке на соответственные элементы в передней
и задней половинках; поэтому, полагая, что коэффициент N
мало отличается от единицы, т. е. N = 1 + а, находим для
радиуса каустики Ro задней половинки
^ = 1±« Л*_в_( 1+j_)_*L. (10<37)
и a cos со \ ' a J cos со v '
Отсюда нетрудно сделать вывод, что при малых а в
половинках пропорциональных систем целесообразно иметь значительную
по величине кому. Решая формулу (10.35) относительно
коэффициента N, получаем
N= 1"Уосо8св_ , _ *>1_л (10.38)
3yF R0 cos со • ч '
!+¦
R'0 cos со
Таким образом, создание пропорциональных систем позволяет
(наряду с исправлением астигматизма и дисторсии) устранять
кому, которая возникает у симметричных систем при переносе
предмета в бесконечность. Происходящее при таком переносе
предмета изменение величины сферической аберрации может быть
устранено путем соответственного изменения сферической
аберрации в половинке системы.
Часть 2
ПРИМЕРЫ КОМПОЗИЦИИ
НЕКОТОРЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава 11
БАЗОВЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
11.1. Принятые обозначения
Любая оптическая система, как всякая инженерная
конструкция, состоит из ряда отдельных элементов, свойства которых
и определяют свойства самой оптической системы. Естественно,
что при разработке оптической системы весьма важно знать
заранее, какими свойствами (возможностями) она будет обладать.
Эта задача может быть облегчена знанием свойств тех элементов,
из которых строится схема оптической системы; в противном
случае процесс разработки оптической системы нередко начинает
превращаться в процесс изучения свойств составляющих ее
элементов через изучение свойств системы.
Известно, что свойства элементов оптической системы, в свою
очередь, определяют следующие данные: а) радиусы кривизны
поверхностей; б) толщины линз и величины воздушных
промежутков; в) показатели преломления и дисперсии стекол; г)
деформации поверхностей (асферизация).
Совокупность двух поверхдостей можно рассматривать как
линзу; в обычном понимании это две поверхности,
ограничивающие часть пространства, заполненную стеклом или иным
преломляющим материалом. Вообще под линзой можно подразумевать
три среды, разделяемые друг от друга двумя преломляющими
поверхностями. Так, можно говорить о воздушной линзе; в
частном случае двух плоских поверхностей говорят о
плоскопараллельной пластинке.
Назначение линз и их роль в создаваемой оптической системе
различны. Некоторые из линз определяют силу оптической
системы; такие линзы условимся называть силовыми, или базовыми
линзами. Другие линзы, обладающие некоторой оптической силой,
предназначены в оптической системе для исправления кривизны
поля; подобные линзы условимся называть коррекционно-силовыми
линзами. Наконец, будут встречаться линзы, обладающие малой
132
или даже нулевой оптической силой, т. е. афокальные линзы,
которые условимся называть линзами коррекционными.
Для быстрого представления о том, какую роль в
рассматриваемой оптической системе играет тот или иной конструктивный
элемент, удобно такие элементы определенным образом обозначить
или зашифровать. Можно выделить группы элементов с
обозначениями для их зашифровки, приводимые ниже.
1. Простейшие элементы оптической системы —
преломляющие поверхности — условимся обозначать буквами русского
алфавита в зависимости от их назначения:
о — плоская поверхность;
к — поверхность, концентричная зрачку;
а — апланатическая поверхность;
кф — конфокальная поверхность;
асф — асферическая поверхность;
п — параболическая поверхность;
э—эллиптическая поверхность;
г — гиперболическая поверхность;
сн — нормальная склеенная поверхность, обладающая
отрицательной оптической силой;
сан — аномальная склеенная поверхность, обладающая
положительной оптической силой;
б — близфокальная поверхность, располагающаяся вблизи
поверхности изображения;
эв — эвольвентная поверхность.
Преломляющие поверхности могут быть обращены к входному
(выходному) зрачку или к материальной диафрагме как выпуклой,
так и вогнутой стороной; в первом случае будем иметь обратную
ориентировку, во втором — прямую; ориентировку поверхности
можно было бы обозначать стрелкой вверху. Кроме того,
преломляющие поверхности могут быть совмещены с тем или другим
зрачком (или с материальной диафрагмой); в этом случае
условимся добавлять в обозначении букву з. Нарушение
концентричности или апланатичности будем обозначать символами + Дк,
+ Да — в случае увеличения радиуса по абсолютной величине
и —Ак, —Да — в случае его уменьшения. Ориентировку аплана-
тических и конфокальных поверхностей по отношению к зрачку
можно не давать, так как эти поверхности не меняют в системе
своих свойств при изменении положения зрачка.
2. Линзы удобно зашифровывать, используя круглые скобки
и отождествляя их с формой поверхностей, ограничивающих
линзу.
Так, для двояковыпуклых линз можно принять обозначение
( ), для двояковогнутых —) (, для менискообразных —) ),
располагая при этом между скобками буквенные обозначения для
отдельных поверхностей. Перед скобками уместно ставить
буквенные обозначения, определяющие роль линзы в оптической
системе.
133
Таким образом, можно принять следующие обозначения:
Б (к, к) — базовая концентричная линза;
КС (к, к (— коррекционно-силовой концентричный мениск;
Б )ан1) — базовый анастигматический мениск первого рода
с вынесенным вперед зрачком;
Б (к, а (— базовый мениск с концентричной и апланатической
поверхностями;
К) М) — коррекционный мениск Максутова;
Б | о, сн, к)—плосковыпуклая линза с вынесенным вперед
зрачком и нормальной склеенной поверхностью, имеющей
обратную ориентировку.
Введение воздушных линз в массе стекла может быть
обозначено знаком минус:
П|о, — (кф, кф (, о| — плоскопараллельная пластинка g
вырезанной из нее воздушной конфокальной линзой.
3. Компенсаторы и конструктивные узлы целесообразно
зашифровывать с помощью квадратных скобок: Ком [кома ] —
компенсатор комы; Ком [As' ] — компенсатор сферической
аберрации; Ком [аст] — компенсатор астигматизма.
При размещении компенсатора (как и других линз) в зрачке
или в плоскости материальной диафрагмы можно добавлять
в обозначении букву з.
Оптическую систему в целом можно обозначить фигурными
скобками. Так, телескопическую систему из однолинзового
объектива и окуляра Гюйгенса можно зашифровать следующим
образом:
Т {Об3 [Б (т|] +Ок [Б (кф, о| +Б (к, о|]}.
В ряде случаев приходится иметь дело с симметричными или
пропорциональными системами. Тогда можно условиться, что
зашифровка будет выполняться лишь для задней половины; при
этом симметричные системы можно обозначать цифрой 2,
пропорциональные— коэффициентом N + 1. Так, система объектива
типа апланат может быть зашифрована в виде
2Б |о, снк, к).
Оборачивающие системы целесообразно обозначать буквами ОС.
11.2. Базовые линзы
Создавая ту или иную оптическую систему и зная требования,
предъявляемые к ней, естественно, выбирать такую исходную
систему, которая была бы наиболее близка для решения
поставленной задачи. Поэтому при разработке оптических систем
с более или менее значительными полями зрения выгодно уже
заранее предусмотреть возможность исправления полевых
аберраций — астигматизма и комы; при создании светосильных систем
целесообразно иметь возможно меньшую сферическую аберрацию.
134
В некоторых системах важно обеспечить требуемое положение
входного зрачка, приемлемые габаритные размеры и т. п.
Таким образом, при разработке фотообъективов и окуляров
удобно исходить из простейших базовых линз, исправленных
на кому и астигматизм. Одновременное исправление этих
аберраций для одиночных линз возможно в тех случаях, когда обе по-
5f,26 2°>° Г>вт
-0,5 -Id-5
Щ26 1,6126
*)
«¦
1
10 20
-10 -5
61,26
160,0 1,6126
23,76
23 16 23'7В 1>6126
35,95 5>° '•""
Рис. 11.1. Простейшие базовые линзы, исправленные на кому и
астигматизм: а — Б | о, к); б — Б (к, к); в — Б (к, о |; г — Б (к, б(;
д — Б (к, а(; в — Б (к, а(
верхности не будут иметь ни комы, ни астигматизма. Такими
являются, как известно, поверхности, концентричные к зрачкам
или к материальной диафрагме, а также апланатические
поверхности и поверхности, расположенные вблизи поверхности
изображения, т. е. близфокальные поверхности.
Исходя из этих соображений, получаем шесть форм изоплана-
тических линз с исправленным астигматизмом
1 Плосковыпуклая линза, обращенная плоскостью к
бесконечно удаленному предмету, у которой вторая поверхность
концентрична к выходному зрачку Эта линза может быть
зашифрована в виде Б|о, к); она представлена на рис. 11.1, а вместе
136
с графиками аберраций: слева — сферической аберрации As'
при относительном отверстии 1 : 5 и справа — астигматизма
(zt — пунктирная кривая, zs — сплошная). На этом и других
аналогичных рисунках приведены также конструктивные
элементы линз (или систем), т. е. значения радиусов, толщин и
показателей преломления; при этом их фокусное расстояние /'
принято равным 100 мм, за исключением некоторых рисунков,
на которых будут указаны значения /'.
Возвращаясь к плосковыпуклой линзе, заметим, что она
является единственной базовой линзой с вынесенным вперед
зрачком входа. Эта линза обладает отрицательной кривизной
поля, определяемой радиусом кривизны R = nf', а также
отрицательными дисторсией и сферической аберрацией, причем
последняя постоянна по полю зрения. Предельная величина входного
углового поля достигает 2о» = 180°. Хроматизм положения и
хроматизм увеличения плосковыпуклой линзы отрицательны;
величина хроматизма положения определяется отношением 6s' = f'/v.
2. Концентричная линза. У такой линзы материальная
диафрагма и зрачки входа и выхода совмещены с центром кривизны
обеих ее поверхностей. Она обладает большой отрицательной
кривизной поля, радиус которой R = f'\ ее дисторсия строго
равна нулю. Сферическая аберрация концентричной линзы
отрицательна, постоянна по полю зрения и наименьшая по абсолютной
величине по отношению к другим формам линз (кроме линз с близ-
фокальной поверхностью). Предельная величина ее углового
поля достигает 2со = 180°. Хроматизм увеличения полностью
отсутствует; хроматизм положения отрицателен и определяется
отношением f'/nv.
Схема концентричной линзы может быть зашифрована в виде
Б (к, к); она представлена на рис. 11.1, б.
3. Линза с плоской близфокальной поверхностью. У такой
линзы зрачок входа и материальная диафрагма совмещены с
центром кривизны первой преломляющей поверхности; поверхность
изображения имеет отрицательную кривизну, определяемую
радиусом R ж nf. Дисторсия такой линзы так же, как и
концентричной, равна нулю; сферическая аберрация ее отрицательна
и незначительно меньше, чем у концентричной линзы. Предельная
величина углового поля ограничивается явлением полного
внутреннего отражения на последней плоской поверхности и равна
2о) -< 2arcsin (\/ri). Хроматизм увеличения полностью
отсутствует, а хроматизм положения несколько меньше, чем у
концентричной линзы.
Схема такой близфокальной линзы может быть зашифрована
->¦
в виде Б (к, о | ; она представлена на рис. 11 Л, в,
4. Линза с близфокальной поверхностью и с равными
радиусами. Зрачок входа и материальная диафрагма у этой линзы
также совпадают с центром кривизны первой преломляющей
136
поверхности. Кривизна поля и дисторсия могут быть исправлены;
сферическая аберрация такая же, как у близфокальной линзы
с последней плоской поверхностью. Ее угловое поле еще больше
ограничено полным внутренним отражением на второй
поверхности; его предельная величина выражается формулой 2со <]
•< 2arcsin (1 — 1/п) Хроматизм увеличения исправлен;
хроматизм положения такой же, как и у предыдущей линзы.
Схема этой линзы может быть зашифрована в виде Б (к, б (;
она представлена на рис. 11.1, г.
5. Апланатический мениск — тонкая линза с передней
концентричной и со второй апланатической поверхностью.
Особенностями такого апланатического мениска являются
вынос выходного зрачка, отрицательная кривизна поля
определяемая радиусом кривизны R ж nf (аналогично плосковыпуклой
линзе), и положительная дисторсия. Сферическая аберрация
апланатического мениска отрицательна и обладает наибольшей
величиной по отношению к другим формам линз. Предельная
величина углового поля ограничивается полным внутренним
отражением на второй поверхности, но несколько больше чем
у линзы с близфокальной плоской поверхностью. Хроматизм
положения такой же, как и у плосковыпуклой линзы; хроматизм
увеличени я положителен
Эта линза может быть зашифрована в виде Б (к а (; ее схема
представлена на рис. 11.1, д.
6. Толстый апланатический мениск с равными радиусами.
Эта линза зашифровывается так же, как и предыдущая; однако
при равных радиусах ее толщина становится близкой (или равной)
к величине первого радиуса, благодаря чему вторая поверхность
располагается вблизи выходного зрачка.
Вследствие равенства радиусов кривизна поля этой линзы
становится исправленной Величина углового поля
ограничивается так же, как и у линзы с близфокальной плоской
поверхностью, значением 2со ••— 2arcsin (1/д). Сферическая аберрация
ее одинакова со сферической аберрацией тонкого апланатического
мениска. Хроматизм положения отрицателен; хроматизм
увеличения положителен.
Схема толстого апланатического мениска с равными радиусами
представлена на рис. 11.1, е.
Заметим, что для создания объективов зрительных труб
большого увеличения характерным является малое угловое поле
при значительном фокусном расстоянии. Поэтому отпадает
необходимость в хорошем исправлении астигматизма и кроме того,
следует ограничиваться малыми толщинами линз. Вместе с тем
требования к исправлению сферической аберрации существенно
возрастают. Вследствие этого для объективов зрительных труб
можно принять в качестве базовой линзы тонкую линзу,
совмещенную со зрачком входа. Подобная линза будет обладать по-
137
стоянным астигматизмом, величина которого определяется
величинами полевого угла и фокусного расстояния независимо от
формы линзы; поэтому можно придавать ей форму,
обеспечивающую минимум сферической аберрации или исправление комы.
Такая линза получается близкой по форме к плосковыпуклой
линзе, обращенной выпуклой стороной к бесконечно удаленному
предмету; она может быть зашифрована в виде Б3 (min).
11.3. Двухлинзовые базовые системы
Некоторые из рассмотренных выше базовых одиночных линз„
обладая теми же или иными нужными свойствами, не
удовлетворяли полностью требованиям в отношении исправления
сферической аберрации. Так, при выносе зрачка входа вперед или назад
и при наличии малой толщины линзы имели довольно большую
исходную сферическую аберрацию.
В ряде случаев может оказаться полезным переход к сочетанию
двух базовых линз. В частности, стремление уменьшить
сферическую аберрацию у базовой плосковыпуклой линзы приводит
-0,2-0,1
0,2-0,1
26,20 1,6126
460,50 00
Ш28 %иБ2 '
-8226,0 7J'62 1>6П6
26,20 196126
-160,50 0Q
100,28 ' 7
^ 16ZM 1,6126
°° 25,0 1,612$
58,89 150>° 1>6126
Рис. 11.2. Двухлинзовые базовые системы на основе плосковыпуклой линзы:
а — Б | о, к) + Б (а, к); б — Б | о, к) + Б (а, о| ; в — Б | о, к) + Б (а, б(
к созданию системы, состоящей из такой линзы и линзы с аплана-
тической поверхностью. Подобная система, которую можно
зашифровать в виде Б | о, к) + Б (а, к), представлена на рис. 11.2, а.
При том же самом относительном отверстии она имеет уже
значительно меньшую сферическую аберрацию; одновременно
получается большее удаление входного зрачка. Кривизна поля этой
системы сохраняется на прежнем уровне, равно как и хроматизм
положения; отрицательные дисторсия и хроматизм увеличения
существенно возрастают.
138
Увеличение толщины второй линзы и совмещение ее последней
поверхности с изображением, что позволяет делать ее плоской,
приводит к базовой системе вида Б | о, к) + Б (а, о|,
представленной на рис. 11.2, б. Эта система будет обладать значительно
меньшей отрицательной сферической аберрацией и меньшим
хроматизмом положения; ее кривизна поля, дисторсия и
хроматизм увеличения остаются на прежнем уровне.
Используя заднюю поверхность второй линзы для
исправления кривизны поля, получаем систему, которую можно зашифро-
-* -2 -¦ -2
26,735 U'U 1
32,48 W 1>6126
-0,2-0,1
152,046
237,66
69,683
59,809
15,2
0,0
155,1
2
1,612 б
1
1,6126
Рис. 11.3. Двухлинзовые системы на основе сочетания переднего апланатического
мениска с одиночной линзой: а — Б (к, а( -f- Б (к, а(; б — Б (к, а( -f- Б (к, о |;
в — Б (к, а( + Б (к, б(
вать в виде Б |о, к) -f Б (а, б (; она представлена на рис. 11.2, в.
Эта система сохраняет все основные свойства предыдущей
системы за исключением величины углового поля, предельное
значение которого будет ограничиваться полным внутренним
отражением на последней поверхности.
Обращаясь к апланатическим менискам, можно образовать
на их основе базовую систему из пары апланатических менисков,
которую можно зашифровать в виде Б (к, а (+ Б (к, а( ; она
представлена на рис. 11.3, а. Подобная система хотя и будет обладать
еще большой отрицательной сферической аберрацией, но
значительно меньшей, чем у одиночного апланатического мениска.
Базовая система из двух апланатических менисков будет иметь
большие значения положительной дисторсии и положительного
хроматизма увеличения.
Увеличивая толщину второго мениска и соответственно
уменьшая его второй радиус, можно добиться исправления кривизны
поля; при этом величина сферической аберрации сохранится
139
неизменной: величины положительной дисторсии и хроматизма
увеличения несколько возрастают.
Дальнейшее увеличение толщины второй линзы и доведение ее
до плоскости изображения позволяет вторую апланатическую
поверхность второй линзы заменить плоскостью. В таком виде
система может быть зашифрована как Б (к, а(+Б (к, о|; она
представлена на рис. 11.3,6. Из графиков аберраций следует,
что произошло резкое уменьшение отрицательной сферической
аберрации. Кривизна поля сохраняется на том же уровне, что
-0,5 0 0,5 -2 0 2
Ът 13>т 1>6126
77П В6.6Ц- 1
в)
BMU 12,75 1,6126
•>Ъ» /о 1070 1
48,802 73)Ъ t6J26
1
15
Г7
1
Л
ю toy
/
ш;
-0,5
60ЛУ 12,751025
Ляп? т>° 1
f8f°2 76,51,6125
Рис. П.4. Двухлинзовые базовые системы с воздушной биапланатической
линзой: а — Б (к, a(-f- Б (а, к); б — Б (к, a(-f- Б (а, о |; в — Б (к, a(-f- Б (а, б(
и у системы из двух апланатических менисков; положительная
дисторсия, хроматизм увеличения и хроматизм положения
несколько уменьшаются.
Используя последнюю поверхность для исправления
кривизны поля, получаем систему вида Б (к, а (+ Б (к, б ( ,
которая представлена на рис. 11.3, е. Все основные аберрации в ней
сохраняются такими же, как и у предыдущей системы. Ее угловое
поле ограничивается величиной, определяемой полным
внутренним отражением на последней поверхности.
Располагая за апланатическим мениском на некотором
расстоянии линзу с первой апланатической и второй концентрической
поверхностями, получаем систему вида Б (к, а ( + Б (а, к),
представленную на рис. 11.4, а.
Сближая вторую поверхность первой линзы с передней
поверхностью второй линзы, приходим к системе одиночной
концентричной линзы; это позволяет рассматривать систему,
приведенную на рис. 11.4, а, как концентричную линзу с вырезанной
из нее воздушной биапланатической линзой. Вследствие этого
140
она сохраняет величину своей сферической аберрации на уровне
концентричной линзы; кривизна поля несколько уменьшается.
Увеличивая толщину второй линзы и доводя ее до плоскости
изображения, можно заднюю поверхность второй линзы сделать
плоской или использовать ее для исправления кривизны поля.
Таким образом, приходим к системам вида Б (к, а ( + Б (а, о [
и Б (к, а ( + Б (а, б (, представленным на рис. 11.4, б, в.
Обращаясь к тонкой линзе, совмещенной с входным зрачком,
можно разделить такую линзу на две, каждая из которых будет
работать в минимуме сферической аберрации; тем самым будет
существенно уменьшена исходная сферическая аберрация.
Подобная система может быть зашифрована как Б3 (min) -f- Б3 (min (.
Астигматизм этой системы сохраняется одинаковым с
астигматизмом тонкой одиночной линзы.
В случае, если к тонкой линзе, совмещенной с входным
зрачком, добавить линзу с передней конфокальной поверхностью
и второй поверхностью, совмещенной с плоскостью изображения,
приходим к системе вида Б3 (min| -f- Б (кф, о|. Она будет
обладать уменьшенной сферической аберрацией и хроматизмом
положения; ее хроматизм увеличения и дисторсия получаются
отрицательными.
Используя вторую поверхность второй линзы для исправления
кривизны поля, получаем систему, которая может быть
зашифрована в виде B3(min| + Б (кф, б(.
11.4. Симметричные базовые системы
Учитывая особенности симметричных систем, заключающиеся
в малости нечетных аберраций — комы, дисторсии и хроматизма
увеличения, — можно строить симметричные системы,
исправленные на кому и астигматизм, в которых применяются
анастигматические линзы первого и второго рода (они будут детально
рассмотрены в п. 13.1).
В соответствии со свойствами этих линз существует три вида
базовых симметричных двухлинзовых систем, которые можно
зашифровать в виде:
2Б) ан1); 2Б )ан11) и 2Б (ан1(.
Эти системы представлены на рис. 11.5. Первая система
известна как фотографический объектив типа перископ, вторая —
под названием «Гипергон».
Исправление кривизны поля в объективах типа перископ за
счет уравнивания обоих радиусов анастигматической линзы
первого рода, приводящего к углублению материальной диафрагмы
в тело линзы, становится неосуществимым. Остаточная
отрицательная сферическая аберрация получается довольно
значительной, что ограничивает увеличение относительного отверстия.
141
В двухлинзовых симметричных базовых системах, построенных
на основе анастигматического мениска второго рода (рис. 11.5, б),
уравнивание радиусов мениска, наоборот, обеспечивает хорошее
исправление кривизны поля, что позволяет развивать при
относительно тонких линзах весьма значительное угловое поле,
достигающее в приведенном примере объектива «Гипергон» значения
2(о = 135°. При этом, однако, вследствие наличия достаточно
крутых радиусов кривизны величина сферической аберрации
<!-
h ^
5,0 /-4
2>5Ч
о А
к
\зо
\го
-10
—i
В5>20 8,58
168,18 ft on
-65,20 8>58
1,6126
1
1,6123
8,57 2 21
УЛ 13,78
"О, 0Q « „^
-8, 57 2>21
1,5105
1
1,5105
f-101,770
SF-69,973
f!-102,659
SF=92,*+25
-2 0 2
~ШЪ *>30 1>7m
-25,432 о,25 1
\55\т 8>90 Vm
f =100,013
SrF=95,m
Рис. 11.5. Симметричные двухлинзовые системы: а — 2Б) ан1); б — 2Б) ан11);
в — 2Б (ан1(
становится очень большой, что и приводит к необходимости
уменьшения относительного отверстия этого объектива
(примерно до 1 : 30).
Третья базовая система из двух симметричных
анастигматических менисков первого рода, имеющих обратную ориентировку
к материальной диафрагме, позволяет устранять кривизну поля
за счет уравнивания радиусов половинки объектива, но при
значительно большей отрицательной сферической аберрации, чем
у объектива типа перископ. Заметим, что у последней системы
небольшая остаточная дисторсия, возникновение которой
обусловлено наличием положительной аберрации в зрачках,
является отрицательной, тогда как у объектива «Гипергон»,
имеющего отрицательную аберрацию в зрачках, остаточная дисторсия
получается положительной.
И2
Глава 12
КОРРЕКЦИОННО-СИЛОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
12.1. Концентричная линза
Изменение кривизны поля может рассматриваться как
некоторое перемещение точек изображения на краю поля и на оси
системы, различное по своей величине. Перемещение изображения
при постоянном положении исходной системы будет связано
с добавлением какой-либо оптической силы; естественно, что при
этом в общем случае следует
ожидать и изменения аберраций исход-
ной системы.
Имея дело с базовыми системами,
корригированными на астигматизм и
кому, желательно не нарушать
исправления этих аберраций. В тех
случаях, когда исходная базовая
система обладает отрицательной
кривизной поля, можно использовать в
качестве коррекционно-силового
элемента отрицательный
концентрический мениск, центр которого будет
совмещен с центром выходного
зрачка исходной системы.
Обратимся к рис. 12.1, на котором представлен такой
отрицательный концентрический мениск. Поверхность изображения
может быть определена в системе полярных координат
расстояниями s ее точек от центра выходного зрачка для различных полевых
углов со. С другой стороны, эти расстояния можно рассматривать
как предметные расстояния для концентричной линзы, так как
ее главные плоскости совпадают с общим центром поверхностей.
Пользуясь этим свойством, нетрудно определить расстояния s'
до точек изображения после концентричной линзы, которые
можно рассматривать как радиусы-векторы поверхности
изображения уже после концентричной линзы.
Так как сила концентричной линзы для любых главных лучей,
проходящих через ее центр, сохраняется постоянной, то можно
написать
выходной
зрачок
ру
(у^\иУ
Л \ А
fSCOSCU I J
-«:
Ао
-Z
so 1 \
si
»-
V
' f
А1
А0\
Рис. 12.1. Концентричный
мениск
a> = J^__L = 4--J-.
S0 Sq s s
(12.1)
Разность проекции отрезка s на ось системы и отрезка s0
определяет величину г, характеризующую кривизну поверхности
изображения в декартовых координатах после исходной системы;
соответственно разность проекции отрезка s и отрезка so
определяет величину г' для кривизны поверхности изображения после
концентричного мениска
143
Таким образом, получаем:
г = s cos со — sQ; z = s' cos со — s*. (12.2)
Для устранения кривизны поля после концентричного мениска
необходимо соблюдение условия
s'costo = s0. (12.3)
В соответствии с этим формула (12.1) может быть переписана
в виде
ф==_1 1 = cos со cos со ^ (124^
Составляя разность Ф cos со — Ф, можно исключить
неизвестную величину so; тогда получим
^ ^ COS СО COS СО COS© , COS СО /1пг\
Ф cos (о - Ф = -^ — + —j— (12.5)
и после сокращений
Ф (cos со - 1) = (-L -) cos со. (12.6)
Из выражения (12.6) может быть найдена сила Ф
концентричного мениска
O = s0(s(>-b2)(l-l/cosco)' (12-7)
В частном случае, когда поверхность изображения после
исходной системы была концентричной центру выходного зрачка,
что равносильно равенствам:
s = s0 и 2 = (cos со — 1) s0, (12.8)
выражение для силы Ф концентричного мениска принимает вид
ф = (i-cosco>so = L. (12 9)
S§ COS со (1 — 1 /COS со) s0 \ • /
Согласно формуле (12.9), величина предметного отрезка
становится равной фокусному расстоянию мениска и тогда s' = оо,
т. е. вся система в целом преобразуется в афокальную, или
телескопическую. Это обстоятельство в известной мере
ограничивает область применения концентрических коррекционно-силовых
менисков.
Для исправления кривизны поля вместо концентричного
мениска можно воспользоваться вогнуто-плоской линзой, у которой
первая поверхность концентрична зрачку у исходной системы,
а вторая плоская поверхность размещена в плоскости изображения
(рис. 12.2). В этом случае для выводов будет удобно
воспользоваться отрезками q и q до центра сферической поверхности, т. е.
центра выходного зрачка исходной системы
144
Обращаясь к инварианту Аббе и помня, что вершинные
отрезки s и s' связаны с отрезками q и ц' формулами:
q = r — s н q' = r — s't (12.10)
нетрудно прийти к инварианту в виде
-4(4— -L)=-L./J---L). (1211)
п' \ q' г J п \ q г J v '
Условие устранения кривизны поля (аналогично предыдущему)
выразится формулой
q cos (о = qi). (12.12)
Величина г, характеризующая кривизну поля зрения исходной
системы, связывает величины q и q0 выражением
q cos го = q0 — z. (12 Л 3)
Пользуясь инвариантом (12.11) дважды, находим:
п* я»
п (q0 — z) \ п п / г cos
1 1_ = /J 1_\ J_
п' q'fl п q0 \ п' п ) г
COS СО
(12.14)
Я'о пЯо
Составляя разность этих
выражений, получаем
J i_ =
!
-(
COS CO
(12.15)
откуда может быть определена
величина радиуса кривизны
плосковогнутой линзы по формуле
г =
/_!—0(4—0
у cos со / \ п /
(12.16)
Qo Qo — z
Окончательно имеем
Рис. 12.2. Коррекционная
вогнуто-плоская линза
(12.17)
В том случае, когда поверхность изображения после исходной
системы будет концентричной зрачку, что определяется условием
z= </„(1 —cos со), (12.18)
величина радиуса приобретает значение
г = (1 -n/n')q09 (12 19)
при котором изображение уходит в бесконечность (аналогично
подобному случаю с концентричным мениском).
145
Заметим, что вогнуто-плоская линза создает меньшее
увеличение, чем концентрический мениск, и поэтому меньше изменяет
фокусное расстояние исходной системы. Вместе с тем величина
выходного углового поля, воспринимаемого вогнуто-плоской
линзой, будет ограничиваться явлением полного внутреннего
отражения на ее последней плоской поверхности.
Для обеспечения нужной оптической силы концентричного
мениска допускается изменение его радиусов, которое может быть
использовано для исправления отрицательной сферической
аберрации от предыдущей исходной системы; однако у подобного
мениска радиус, ближайший к выходному зрачку, будет всегда
получаться значительно меньшим, чем радиус у вогнуто-плоской
линзы. Отсюда следует еще одно ограничение для использования
концентричного мениска, заключающееся в том, что у исходной
системы положение выходного зрачка не может быть большим,
чем первый радиус концентричной линзы.
Концентричный мениск и плосковогнутая линза могут быть
использованы и при их расположении в предметном пространстве;
но в этом случае уже не представляется возможным получить
достаточно простые формулы, так как будет происходить смещение
и предмета, и изображения для последующей исходной базовой
системы, что будет влиять на изменение ее аберраций со всеми
вытекающими отсюда последствиями.
12.2. Биапланатическая линза
Одним из способов исправления кривизны поля, мало
нарушающим характеристики исходной базовой системы, является
использование биапланатической линзы, представленной на
рис. 12.3.
Изображение точки Л, создаваемое исходной системой на
расстоянии у от ее оси, совмещается с предметной точкой —
апланатической точкой первой поверхности биапланатической
линзы; расстояние этой точки от центра Сх первой поверхности
будет равно n'rjn. Соединяя эту точку с центром первой
поверхности, образуем некоторую прямую, составляющую с осью
системы угол Yi- Изображение Л' апланатической точки А должно
быть расположено на этой же прямой на расстоянии nrjri от ее
центра.
Расстояние у' точки Л' от оси может быть найдено по
следующей формуле:
у',,-!?-sin ?,=-?¦». (12.20)
Рассматривая точку А' как предметную для второй
апланатической поверхности, можно написать
у" = я'У/л"2 =//, (12.21)
так как п" = п (биапланатическая линза в воздухе).
1Ш
Таким образом, сохраняется возможность свободного выбора
второй апланатической поверхности за счет свободного выбора
угла у2, определяющего положение центра С2 на оси системы.
Вследствие этого изображение точки А после биапланатической
линзы — точка А" — разойдется с ней на некоторое расстояние а,
величина которого (согласно рис. 12.3) может быть получена
по формуле
(12.22)
Положение проекции точки А на ось системы относительно
вершины первой поверхности легко находится по формуле
Soi = 0/tgYi + 'i-
(12.23)
Расстояние k между
центрами С\ и С2 обеих
поверхностей получается равным
6 = '2 — r,+d0 =
/г2 /_1 1\
"" /г'2 UgYi tgv2/ 3%
(12.24)
Радиусы гх и г2 могут быть
найдены из выражений:
пу
п' sin Yi
пу
(12.25)
Рис. 12.3. Биапланатическая линза
/Г sm у2
что позволяет определить толщину d0 биапланатической линзы
по формуле
do = k + rx — r2 = -p- [-jjr (igYT ~~ ЧГуГ/ ~*~ sin"^ ~~ iET^J y'
(12.26)
Имея в своем распоряжении все величины: ru г2, d0> яг = 1,
n2 = n, n3 = 1 и s0i, путем расчета хода нулевого луча нетрудно
получить величину последнего отрезка s'02 и смещение а0
изображения, создаваемое биапланатической линзой на оси системы,
т. е.
Оо = dP + s0i — S02. (12.27)
Затем найдем величину
г= a-aft, П2.28)
характеризующую кривизну поля, которую вносит
биапланатическая линза.
147
Из расчета хода нулевого луча можно получить также линейное
увеличение V0. Тогда относительная дисторсия биапланатической
линзы может быть определена по формуле
1
1 = А,
(12.29)
так как для биапланатической линзы V = 1.
Заметим, что совмещение изображения точки после исходной
системы с апланатическими точками обеих поверхностей
биапланатической линзы производилось не на оси системы, а для некоторой
точки поля. Поэтому для точки на оси системы строгая аплана-
тичность обеих поверхностей будет несколько нарушена, хотя
и не очень сильно. Соответственно и в других точках поля будет
иметь место некоторое нарушение апланатичности. Следствием
этого является возникновение некоторого (не очень большого)
астигматизма.
Необходимо обратить внимание также и на то, что у
биапланатической линзы заметно изменяются полевые углы, что может
быть полезным для согласования с дополнительными
концентричными линзами.
TlfTl
п3='
12.3. Конфокально-апланатическая линза
Для исправления кривизны поля представляется возможным
использовать линзы, у которых передняя поверхность является
конфокальной к изображению исходной системы, а вторая
поверхность — апланатической
по отношению к изображению,
полученному после
конфокальной поверхности. Схема
подобной линзы представлена на
рис. 12,4.
Величина предметного
расстояния s02 для второй
поверхности при п2 = п и п3 = 1,
согласно рисунку, получается равной
Г\ — d0 = h (1 + 1/"К
(12.30)
\
d0\
1 ~~-~
L $02
Jv
у»
::^Г^
Cz
6 02
.. 74-^01 __
---__
Ci 1
пг2 \
Рис.
12.4.
Конфокально-апланатическая линза
э02
откуда
г г
ri—d0
<гъ
(12.31)
1 4- \/п
что и определяет воздействие конфокально-апланатической линзы
на кривизну поля после исходной системы как дополнительной
отрицательной линзы.
Имея в виду, что конфокальная поверхность, разделяющая
воздух и стекло, вносит положительный астигматизм, а аплана-
тическая поверхность его не вносит, вся конфокально-апланати-
J43
ческая линза с одновременным исправлением кривизны поля
будет вносить положительный астигматизм, что позволяет
пользоваться исходными системами, обладающими отрицательным
астигматизмом, например тонкими линзами, совмещенными со
зрачком входа. При этом, так как и конфокальная, и апланати-
ческая поверхности не обладают сферической аберрацией и комой,
они не будут нарушать исправления этих аберраций у исходной
оптической системы.
Заметим, что конфокально-апланатическая линза будет
вносить значительную положительную дисторсию; хроматизм
положения и хроматизм увеличения у такой линзы получаются
положительными.
Конфокально-апланатическая линза обладает увеличением,
равным показателю преломления стекла, из которого она
изготовлена.
12.4. Линза Смита
Располагая тонкую линзу вблизи поверхности изображения,
нельзя повлиять на такие ее аберрации, как сферическая
аберрация, кома и астигматизм; вместе с тем толщина подобной линзы
на оси и на некотором расстоянии от нее может ощутимо
изменяться. Такое изменение можно рассматривать как размещение
в сходящемся ходе лучей плоскопараллельной пластинки.
Смещение изображения, создаваемое плоскопараллельной
пластинкой, определяется по формуле
а= (/? — l)d/n, (12.32)
где d — изменение толщины близфокальной линзы на ее краю
по отношению к толщине на оси.
Смещение а можно принять за изменение кривизны поля,
создаваемое близфокальной линзой Смита.
Обращаясь к ранее рассмотренным примерам исправления
кривизны поля у простейших базовых линз (см. рис. 11 1, в, г),
наблюдаем, что при переходе от линзы типа Б (к, о | к линзе
типа Б (к, б(, т. е. при замене последней плоскости на вогнутую
поверхность вблизи поверхности изображения, происходит как бы
действие отрицательной близфокальной линзы Смита, слитой
с массой стекла после первой поверхности.
Непосредственное размещение линзы Смита в изображении,,
необходимое теоретически, не очень желательно, так как тогда
все дефекты на этой линзе будут наблюдаться вместе с
изображением после всей системы; поэтому возникает необходимость
некоторого удаления ее от плоскости изображения'. Однако при
этом линза Смита начнет вносить некоторые аберрации — кому
и астигматизм, исправление которых должно быть обеспечено
в исходной системе.
149
Заметим, что использование линзы Смита возможно лишь для
сравнительно небольших полей зрения, что обусловлено
возникновением полного внутреннего отражения на последней ее
поверхности для лучей наклонного пучка.
Глава 13
ЛИНЗЫ
13.1. Анастигматические лиизы
Исправление комы во многих случаях может успешно
достигаться в симметричных и пропорциональных системах; тогда для
половинки симметричной системы можно ограничиться
исправлением только одного астигматизма. Кроме того, в некоторых
случаях возникает необходимость введения дополнительных
элементов, уже исправленных на астигматизм. Это позволяет поставить
задачу создания линз с исправленным астигматизмом —
анастигматических линз.
В общем случае в качестве анастигматической линзы можно
рассматривать оптическую систему из двух преломляющих
поверхностей, разделяющих три среды
с различными показателями
преломления.
Обратимся к рис. 13.1, на
котором представлен ход главного
луча через две преломляющие
поверхности с радиусами гг и г2;
Ci ^2 разделяемые среды имеют пока-
г1 "г затели преломления пх> п2 и п3.
Рис. 13.1. Анастигматическая линза Главный луч образует с
нормалями к обеим поверхностям углы е1,
el и 82, ег; косая толщина по главному лучу между обеими
поверхностями равна d. На рис. 13.1 также показаны отрезки si и sq
в сагиттальной плоскости.
Пользуясь дважды меридиональным и сагиттальным
инвариантами (3.18), для первой и второй поверхностей можно написаты
п[ cos2 е[ nv cos2 ex _ п[ cos е[ — пх cos ех __ п'х п± п2 ,
t\
п.2 cos2 ej
ц
'l г1 sf
п2 cos2 е2 п2 cos &2 — п2 cos е2 п2
t2 r2 s2
5,
ч
=
SIF
(13.1)
S2F
(13.2)
150
Если положить отрезки t\ = s\ = оо, то отрезки ^ и s2 перейдут
в отрезки t2F и S2F до меридионального и сагиттального фокусов.
Для устранения астигматизма необходимо, чтобы эти отрезки
были бы равны друг другу.
Косая толщина d определяет разность отрезков
tl-t2=*a=*s{-s2] (13.3)
это позволяет написать
п% cos2 eg п2 cos2 е2
t[ — d s2F s'2 s[ — d
(13.4)
Отрезки t[ и si должны быть равны отрезкам t\F и s[F.
Пользуясь формулой (13.4), запишем
По sin2 вп / со82е9 I \ <л .
- * -> = ^2 (- 9^-тг > я) • (13-5)
Sg V s'1/r C0S2 8{ —2f s[F—dJ v ;
Так как пъ sin2 вг/Ф может быть выражено, согласно формуле
(13.4), в виде
--7- Sin2 82 = (— - —1 Sin2 62= (-7 J- — )sin282,
ь2 * 2 2F' ^ \F— 2F'
(13.6)
то, сокращая на /г2 и заменяя отношение Лз : &2 по формуле (13.4),
получаем
Sin2 89 cos2 89 cos2 ёА
?. = _ 2_^ . 2 . (13.7)
s2/r s1/rcos2ej—а s[F—а у '
Формула (13.7) и является условием существования
анастигматической линзы. Формально показатели преломления в эту
формулу не вошли; однако наличие в ней углов 82 и 62 обусловливает
необходимость знания отношения показателей преломления пг
и п3. Что же касается показателя преломления ях первой среды,
то он остается совершенно произвольным.
Сразу же обращает на себя внимание то, что углы в входят
либо под косинусами, либо под квадратом синуса. Поэтому их
знаки не могут повлиять на величины s[F и S2f\ таким образом,
имеем анастигматические линзы либо первого рода, когда знаки
углов ej и 82 одинаковые, либо второго рода, когда эти углы
обладают разными знаками.
13.2. Телеанастигматические линзы
При совмещении заднего сагиттального фокуса первой
поверхности с передним сагиттальным фокусом второй поверхности,,
образуем телеанастигматическую линзу. При этом
s'lF=:S2F + d. (13.8)
151
(13.9)
Тогда формула (13.7) преобразуется к виду
1 cos2 е2 cos2 е2
S2F ~~ S[F COs2 е1 + S2F — S[F ~ S2F~~S\F Sin2 el
ИЛИ
S2F — SiVsln2ei = S2fCOS282. (13.10)
Окончательно условие существования телеанастигматической
линзы принимает вид
s[F sin2 е2
s2F sin2 ef
= rs. (13.11)
Из формулы (13.11) следует, что величина Г8 всегда должна
быть положительной; это равнозначно тому, что
телеанастигматические линзы всегда будут системами галилеевского типа.
В формулу (13.11) так же, как и в исходную формулу (13.7)
для анастигматической линзы, не входят показатели преломления,
но в отличие от нее выбор всех показателей для
телеанастигматической линзы совершенно произволен.
Телеанастигматические линзы также могут быть разделены
на линзы первого и второго рода — с одинаковыми и разными
знаками у углов ej и е2.
Возвращаясь к формулам (13.1) и (13.2) и полагая в них tx =
= s\ = сю и fa = s2 = оо, можно получить отношение отрезков
t[F и Uf в меридиональной плоскости:
гпв2 е.
(13.12)
t[F
*2F
sin2 е2 cos9 е2
—sin2 е{ cos2 ej
cos2 e2
= Г' = Г8сЪ8Т^
Увеличение Ts можно выразить через радиусы
Sl' v Г\ ПЧ C0S 89 П9 COS 8Q . л „ л
Г8 = -^ = — -— т -, (13.13)
S2F Г2 П2 C0S 81 ~~ n\ C0S 81
откуда при nL = n3 находим
r, n0 cos e0 — /г, cos eA
Ts = -^-—2- ! ^->0 (13.14)
s r2 n2 COS 8j — П{ COS Sj v '
или
тл n0 cos ej — n, cos e,
_L = rs —2 ! ! L_ > o. (13.15)
r2 s n2 cos в2 — /г, cos e2 '
Рассмотрим частный случай анастигматической линзы с острым
краем, полагая косую толщину, равной нулю. Тогда преобразуем
формулу (13.7) к виду
sic 1 /со»2 е0 \
Если углы г\ и s2 в формуле (13.16) равны друг другу по абсо
лютной величине, но обратны по знаку, то получаем
S\f = 52F» (13.17)
152
что свидетельствует об афокальности такой анастигматической
линзы; при этом равенство углов si = 62 относится к случаю
совмещения обеих поверхностей друг с другом.
В качестве другого частного случая рассмотрим
анастигматическую линзу, у которой ej = &2 и вторая преломляющая
поверхность является плоской. Тогда, задавая отрезок s2f = °°>
преобразуем формулу (13.7) к виду:
cos2 е9 cos2 ?2 л /1ft 1П,
9 > Я 7 -Я = 0. (13.18)
s,Fcos2e;— й s\F~d
Из формулы (13.18) можно определить косую толщину й
плосковыпуклой линзы или фокальный отрезок s[p при заданной
косой толщине
В случае, если г[ = е2, что соответствует совмещению зрачка
входа с первой поверхностью линзы, получаем
.!,_(¦ -?*Ь_(1-ф=?и 03.20)
Полагая в формуле (13.7) угол г\ = 0 (первая поверхность
концентрична к зрачку), находим
sin 2 83 — —4r sin2 8,
sin2 е2 cos2 e2 — cos2 e2 sin2 e2 — sin2 e2 n\
2"T *2
S2F S'\F-d S\F — d S\F — d
(13.21)
откуда
s2F = '* . = Ц- = r1^ • (13.22)
h n\ n\ ra3cose2 —ft2cose2 v '
2* 5"
/г2 n2
После некоторых сокращений получаем
S2 = Г2 [COS 82 + -jp cos e2) , (13.23)
что соответствует положению апланатических точек. Таким
образом, рассматриваемая анастигматическая линза будет апланати-
ческим мениском с передней концентричной поверхностью.
Все ранее проведенные рассуждения не затрагивали величин,
определяющих ось анастигматической линзы, т. е. толщину da
линзы по оси и углы <ои со2 и (о3 луча с осью в первом, втором
и третьем пространствах.
Определение положения оси анастигматических линз может
быть выполнено следующим образом. Обращаясь к рис. 13.2,
153
на котором представлен ход главного луча между обеими
поверхностями, можно спроецировать на это направление центры
поверхностей; расстояние к между проекциями центров будет равно
k = r2cos82 — ncosej -\- d. (13.24)
Соответственно оба центра могут быть спроектированы и на
направление, перпендикулярное ходу главного луча; в этом
случае будем иметь
# = r2Sine2 — r\ sine!,
так как проекция косой толщины будет равна нулю.
(13.25)
Рис. 13.2. Определение положения оси
анастигматической линзы
Извлекая квадратный корень из суммы квадратов величин R
и k, находим истинное расстояние между центрами С\ и С2 обеих
поверхностей
if 2 ~"*5—"
= у (r2Cos&2 — /*iCOSe{ -\-d) + (r2Sine2 — /-isinel) =
»r2-r, + do. (13.26)
Отношением отрезков Ъ и k определяется величина тангенса
угла gj2 с осью системы
г2 sin е2-—/*! sin е[
tgC02 =
г2 cos е2 — rx cos г[-\- d*
(13.27)
Зная угол 0)2, нетрудно определить отрезки q\ и qz от точек
пересечения главного луча с осью до центров обеих поверхностей:
Я\ = П
sin е{
sin ю9
sin е2
„2 и *-гчеп?' <13-28>
Из формулы (13.27) следует, что при разных знаках углов г{
и е2 величина тангенса угла со2 получается значительно больше,
чем в случае, когда эти углы имеют одинаковые знаки, т. е. в ана-
154
стигматических линзах второго рода величина поля зрения
развивается значительно легче, чем для линз первого рода.
В частном случае можно поставить условие совмещения зрачка
с вершиной одной из поверхностей. Это условие равносильно
равенству о>2 = е! при совмещении зрачка с первой поверхностью.
Используя это условие, преобразуем формулу (13.27) к виду
(sin 89 \
C0Se2~Tg"F\) = -5 (13-29)
или
a = (ik-w^)riSln&2- (13-30)
Важно заметить, что в формулу (13.30) не вошло гг. Таким
образом, задача совмещения зрачка с вершиной первой
поверхности решается подбором соотношения между величинами косой
толщины d и второго радиуса г2.
Ранее уже отмечалось, что телеанастигматические линзы
являются системами галилеевского типа и поэтому должны
обладать положительной кривизной поля. Учитывая, что эти линзы
афокальны для выбранного хода главного луча, приходим к
выводу, что телеанастигматические линзы должны обладать
положительной оптической силой на оси.
Обращаясь к формулам (13.26) и (13.27), можно определить
величину толщины d0 на оси
/sin е9 \ /sin г\ \
d0 = r2(-^-~ 1)-П /V-i—1) (13.31)
или, выражая синус е2 через синус г\ и Г,
do = п - г2 + ^ (гаУТ - п). (13.32)
Тогда сила линзы Ф0 будет равна
^ . / 1 1 \ (п—1)2 г sine,', п ,— чт
ф0 = („- 1)(_- _)+ L_Lfr2_ri+_L(rVr -п)}
(13.33)
или
(13.34)
Составляя симметричную систему из пары одинаковых
телеанастигматических линз, обеспечиваем в ней строгое отсутствие
комы; подобная система может быть использована в качестве
коррекционно-силового блока для устранения кривизны поля.
155
13.3. Кома телеанастигматических линз
Так как для первой поверхности телеанастигматической линзы
предмет расположен в бесконечности, равно как и изображение
после второй поверхности, величина комы телеанастигматических
линз будет определяться неравенством радиусов каустики R\f
и R2F в плоскости промежуточного изображения.
Для радиусов каустики справедливы выражения:
П/ 0 г п п' cose cos г' . , ^
RtF = 3 т-, ; Г9 S*n 8 '»
г (п COS 8 —п cos е)2
, , (13.35)
п 0 г п п cose cose . v '
RtF = 3 т-7 ; г0 sin е.
r (n cose —ncose)2 >
Составляя подобные выражения для первой и второй
поверхности телеанастигматической линзы и заменяя радиусы гх и г2
через отрезки s[F и s2f, получаем:
п[ cos ej /ij cos e{ sin ej /
* nx cos г{ — «j COS 8! Лj ir
AZgCOSe^ «2COS82 Sin 82
/F2 ~~" «2COS82 — ^2cose2 n2 2F#
(13.36)
Для устранения комы необходимо, чтобы отношение этих
радиусов было бы равно плюс единице. Составляя отношение RtFi
и RtF2, находим
R'tF{ п{ cos ej cos е, / ля cos е9 — п0 cos е,
V^2
/ZoCose9cose9
/ По cos е9 — До cos е9\ sm et
( — т 2)-г-^-Г. (13.37)
\ п,2 cos ej — /^ cos ej / sm e2 v '
Из формулы (13.37) следует, что для телеанастигматических
линз, расположенных в одной и той же среде (стеклянные линзы
в воздухе и воздушные линзы с одинаковыми показателями
преломления внешних сред, когда п± = п3), множитель в круглых
скобках получается отрицательным. Для телеанасигматических
линз второго рода, когда углы ej и е2 имеют разные знаки,
отношение sin ej : sin е2 также будет получаться отрицательным.
Поэтому для телеанастигматических линз второго рода отношение
RtFi • RtF2 будет всегда отрицательным, что и определяет
невозможность устранения комы.
13.4. Тонкая линза, совмещенная со зрачком
Для тонкой линзы, толщина которой по оси может быть
принята равной нулю, величина ее оптической силы по оси
определяется формулой
Фо = (*-!) (-?---?-). (13.38)
J 56
Астигматизм такой линзы нетрудно определить, исходя из
меридионального и сагиттального инвариантов:
п2 cos2 е2 п2 cos- е2 п2 cos е2 — п2 cos е2 я2
t2 t2 r2 s2 s2
n2cos2 г[ nj cos2 e{ n2 cos ej— rtjcosej
(13.39)
(13.40)
Равенство нулю толщины d0 влечет за собою равенство нулю
и косой толщины d Вследствие этого имеем равенство отрезков
U = U и S2 = si, а также равенство углов el = е2 = со' и ei =
= 62 = со (так как ri\ = д3 = 1). Поэтому, складывая выражения
(13.39) и (13.40) друг с другом и помня, что tx = su = оо, после
сокращений находим
COS2C
h
или
COS2C0
0
1
S2
cos со — п cos со' , Л cos со' — COS со
г2 г1
= (п cos со' — cos со) / ) =
- = JL (13.41)
s2
rccos со' — cos со ^
" U.^0.
Л— 1
(13.42)
Составляя астигматическую разность отрезков, получим
,, , j, . о (П— 1) Sin2C0 1 /ю /104
?0 — s0 = — ? sin2co = - ^ ^—. (13.43)
2 2 2 гс cos со — cos со Фо v '
В это выражение астигматической разности не вошли величины
радиусов тонкой линзы, а вошла только ее оптическая сила;
поэтому можно сделать вывод о том, что величина астигматизма
тонкой линзы, совмещенной со зрачком, совершенно не зависит
от ее формы — от прогиба. Это позволяет, сохраняя неизменным
астигматизм тонкой линзы за счет сохранения ее оптической
силы, изменением прогиба воздействовать на другие аберрации —
сферическую аберрацию и кому.
Для рассмотрения комы тонкой линзы обратимся к инварианту
меридиональной комы, учитывая следующие исходные данные:
показатели преломления nY = пъ = 1; п2 = п\
положение предмета tx = sx = оо;
углы падения и преломления ei = со = ег и ei = со' = ег;
промежуточные отрезки t[ = h = t'\p и si = S2 = s\f\
радиусы каустики Ri = 0; R[ = R2.
157
В соответствии с этим можно написать
nf COS0 8, / cos е, COS 8, \
n2*i лг1 +3 —7Г1 г-2- U2slne;=.0; (13.44)
t\ \ t{ tx rx J
, COS3 8i / COS2 8i COS 8, \ COS3 e\
^2—7T^ +3 —^ -L. 810 8,-/1,/?2-V" +
h \ h hr2 I h
COS2 8i COS 8t
+ Зр^-^2-?1пв;, 03.45)
После сложения выражений (13.44) и (13.45), делая ряд
сокращений, находим
*3,ч / „ло2,
_, COS СО / COS CD COS CO \ / COS CD
R2~— +3—3 — 8ln©-8[—
t2 \ t2 t2r2 J \ t{ r{
rcsinco' (13.46)
hr2
или
R'^. +3fe- _L^i2i^sinco = 3c-^f-! ^^1ПС0.
(13.47)
Пользуясь формулой для силы тонкой линзы, представим
выражение (13.47) в виде
п, COS3(0 0 Г COS СО' sf. ( COS СО 1 NCOS «В 1 . /ю /io\
*2—= 31"^=1ГФ<>-(-7; -)-ir\sm(*- (13-48>
Заменяя отрезки t'2 и t\, согласно формулам (13.42) и (13.40)»
получаем после ряда преобразований
q/ / п cos со'—cos со \3 ф$ _ о Г /г cos со" — cos со Ф0
\ п — 1 / cos3co \_ л rx cos со' п— 1
/п cos со' — cos СО ^ 1 \ ч cos со' — COS СО ^ч "I . /ло ЛП\
— ( —. л Ф0 }—. п Ф0 sin со (13.49)
\ (/1—1) cos со и Г2 J (Л— 1) COS со UJ ч '
, п cos со' — cos со Ф0
или, сокращая на общий множитель J[ZT\ cos©'
^2 (п cos со'—cos со \2 ®о
sin со \ л — 1 / cos2 со ~~
о Г / 1 I 1 \ Л COS СО' — COS СО Ф0 1 /ю em
= 3 cos со ( г \ тг (13.50)
L \ r2 cos со ' nrx COS со' / п — 1 COS со J ч '
затем в более сокращенном виде имеем
*2 <% о Г /1,1
sin <
158
L^ = 3[coS(o(—J-+ ' ,) ^1.(13.51)
I CO COS2 со L \ r% cos CO ' nr1 cos со' / COS CO J v '
Для устранения комы у тонкой линзы, совмещенной со
зрачком, необходимо соблюсти условие
/г cos со'— cos со ^^ ,*. / 1 , 1 \ ЛЛ„2 /ю со\
: Ф0 = Фо = ( т ) cos2 со. (13.52)
п — 1 ° s v r2 cos со ' пгг COS со / v '
Для небольших угловых полей, когда величины косинусов
углов со и со7 можно принимать равными единице, формула (13.52)
значительно упрощается
#'ф* = 3(^ + -^--Фо)со. (13.53)
Выражая г2 через ги получаем
и, возвращаясь к условию устранения комы, когда R' = 0,
приходим к равенству
гг/г2 = (п2 — п— 1)/п2. (13.55)
В частном случае, полагая г2 = со, можно найти необходимое
значение показателя преломления из квадратного уравнения
п2 — п — 1 = О,
откуда
т. е. численно получаем пг = 1,618034 и п2 = —0,618034; второй
отрицательный корень, естественно, не имеет никакого
практического значения.
13.5. Мениски
Рассмотрим некоторые формулы для различных менисков:
концентричного, с равными радиусами и мениска Максутова.
Исходя из общей формулы оптической силы толстой линзы
Ф = („_1){^__Ь) + <^, (13.56)
можно получить формулы для сил различного рода менискообраз-
ных линз. Так, для концентричного мениска, определяемого
условием
П = г2 + d, (13.57)
получаем формулу для его оптической силы
ф«-('-т)а-^)-('-4-)^. <«*»
159
из которой следует, что при радиусах одного и того же знака
(что и определяет концентрический мениск) его оптическая сила
получается отрицательной.
Приравнивая силу линзы нулю, получаем афокальный, или
телескопический мениск, для которого радиусы и толщина будут
связаны условием
Ч — гг + (I — l/n) d = 0. (13.59)
В случае, когда оба радиуса равны друг другу по величине
и имеют одинаковые знаки, формула для оптической силы имеет
вид
ф=-^4; (13-6°)
сила мениска с равными радиусами получается положительной.
Дифференцируя эти формулы по показателю преломления,
получаем выражения для хроматизма. Так, для концентричного
мениска
(13.61)
(13.62)
или
dO
Ф
d<D =
=
п
dn
п (п —
=±(-
1)
1
=
1
nv
1
nv
Для афокальной, или телескопической линзы имеем
для линзы с равными радиусами
с1Ф = ^±1ф (13.64)
и для тонкой линзы
dO = Ф/v. (13.65)
Из формул (13.61) и (13.63) следует, что при переходе от
концентричного мениска с отрицательной оптической силой к афо-
кальному хроматизм изменяет знак на обратный; это
свидетельствует о возможности устранения хроматизма в данном интервале.
Поэтому, приравнивая в общей формуле величину dO нулю,
получаем формулу ахроматизированного отрицательного мениска,
известного под названием мениска Максутова. Таким образом,
<*D = 0-.^i[r,-r1 + d(l-^)]^-, (13.66)
что возможно при соблюдении условия
г2 — гх + (1 — 1/n2) d = 0. (13.67)
160
В соответствии с этим условием толщина d получается равной
d—r=w- <13-68>
Если проследить изменение сферической аберрации при
переходе от концентричного мениска к афокальному, то она также
меняет знак, становясь отрицательной (вместо положительной,
соответствующей концентричному мениску); следовательно, в этом
интервале существует форма отрицательного мениска, свободного
от сферической аберрации. Однако форма такого анаберрацион-
ного мениска не совпадает с формой ахроматического мениска
Максутова, который обладает положительной сферической
аберрацией.
Это свойство и позволяет использовать мениск Максутова
для исправления отрицательной сферической аберрации, присущей
сферическим зеркалам.
Глава 14
КОРРЕКЦИОННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
С МАЛОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИЛОЙ
14.1. Работа склеенной поверхности
Склеенные поверхности, как правило, разделяют собой среды,
показатели преломления которых сравнительно мало отличаются
друг от друга. При этом разности показателей преломления имеют
значения порядка 0,1—0,2, тогда как для поверхностей,
разделяющих среды стекло — воздух, эти разности достигают значений
0,5—0,7 и выше. Таким образом, для склеенных поверхностей
представляется возможным принимать разность показателей
преломления А/г как малую величину.
Обратимся к астигматическим инвариантам
п' cos2 е' /zcos2e п' cos в' —- п cos е п' п пл ]\
Полагая, что предметная точка гомоцентрична, можно
принять, что отрезки t и s будут равны друг другу. Из этого следует
л'cos* в' п' п COS2 8 п !LSin28> (14.2)
V s' s s s
Приводя выражение в левой части к общему знаменателю,»
находим
-?r (s' COS2 8' - fy= -JU- (s' - t' - s' sin2 О = - 4- sin2 8,
t S I S w
(14.3)
161
откуда астигматическая разность f — s' получается равной
Г - s' = ^4- sin2 е - s' sin2 e' = -25L?1 sin2 8 - s' sin2 e' (14.4)
n s nn s ч '
ИЛИ
f'_s' = (-^ — l)s'sln2e'. (14.5)
Полагая множитель n't'Ins — 1 равным нулю, получаем
условие отсутствия астигматизма f — s' = 0. Этот случай приводится
к условию апланатичности поверхности склейки
n's' = ns. (14.6)
Для бесконечно удаленного предмета, когда отрезок s = оо,
отрезки s и Г переходят в фокальные отрезки s'F и t'F. Тогда
формула (14.5) для астигматизма упрощается
iF — s'F = — s'F sin2 г (14.7)
и, согласно формуле (14.1), выражая s'F через радиус г, получаем
tF—sp = 7 7 . (14.8)
п cos е — п cos е v '
Полагая п' = п + An и имея в виду, что следствием этого
явится близость углов е и е', т. е. е' = е + Де, пользуясь
законом преломления, можно написать
(п + An) sin (е + Де) = п sin 8 = п sin е cos Де +
+ An sin е cos Де + п cos е sin Де + An cos е sin Де. (14.9)
Отбрасывая величины второго порядка малости, из формулы
(14.9) находим
An sin е = —п cos е Де (14.10)
или
Де = (Ал/л) tg е. (14.11)
Преобразовывая знаменатель в формуле (14.8), можно написать
п' cos е' —- п cos е = (л + Дл) cos (е + Де) — л cos е =
= л cos е cos Де + Дл cos е cos Де — л sin е sin Ае —
— Дл sin е sin Де — л cos е (14.12)
и, снова отбрасывая величины высшего порядка малости, будем
иметь
п' cos е' — л cos е = Дл cos е — л sin е Де = Дл cos е +
+ Дл sin е tg е = Дл/cos е. (14.13)
Возвращаясь к исходной формуле (14.1), получаем
п' cos2 г' __ пcos2 е п' cose7 — пcose __ п' п Д/г m
t' t ~~ г ~~ "s7 s~ """ г cose ~~ 8*
(14.14)
162
так как разность n'ls' — nls можно рассматривать как силу Ф5
преломляющей поверхности в сагиттальной плоскости.
Соответственно, принимая разность n'/t' — nit за
меридиональную силу Ф* преломляющей поверхности, можно формулу
(14.1) представить в виде
-г? г ) cos е 77- (cos2 е' — COS2 8) = = —, -
V t J г v ' г COS 6 s' s
(14.15)
или
Ф* cos2 e -4r- (cos2 e'- cos2 8) =-. An = ф8. (14.16)
l Г COS 8
При равенстве углов e и e' нулю силы Ф^ и Ф8 становятся
равными силе Ф0 поверхности на оси. Так как
Ф0 = Ал/г, (14.17)
то формулу (14.16) можно представить в виде
<Dt cos2 е - ^г (sin2 е - sin2 8') = -^- = Ф8 (14.18)
или, выражая отношение п'It' через Фь
Фх cos2 8 — (ф% + -у") (sin 8 — sin8') (sin е + sin8') = —— = Ф5-
(14.19)
В формуле (14.19) множитель sin 8 — sin е' — величина
первого порядка малости; кроме того, при достаточно больших
значениях отрезка t, т. е. при удалении предмета в бесконечность,
величиной первого порядка малости становится и множитель
Ф( + nlty что позволяет отбросить весь второй член в этой
формуле. Таким образом, получаем выражение
ф'С082е = -^г = ф- (14-20>
откуда
Фг = Фо/cos3 е; Ф8 = ®0/cos е. (14.21)
Формулы (14.21) связывают между собой меридиональную
и сагиттальную силы поверхности склейки с ее силой вдоль оси.
Из этих формул следует, что меридиональная и сагиттальная
силы склеенной поверхности будут быстро возрастать по
отношению к ее силе по оси с ростом углов еие'.
График изменения сил склеенной поверхности в зависимости
от изменения угла 8 приведен на рис 14.1; из этого графика
следует, что и меридиональная, и сагиттальная силы для углов е,
не превосходящих 30°, возрастают сравнительно медленно, мало
отличаясь от силы Ф0 поверхности на оси. При дальнейшем же
возрастании угла 8 происходит, наоборот, быстроускоряющийся
процесс их роста.
163
Составляя отношения сил Ф*/Ф0 и Os/<D0 и раскладывая их
в ряд по степеням угла е (что при больших углах не вполне
корректно), получаем:
Фо
1+-ге2 +
37
12
в4 +
!+4е2+4-е4+
(14.22)
Полагая в этих формулах значение угла е равным 0,5 рад
{что близко к углу 8 = 30°), замечаем, что вторые члены формул
достигают в сагиттальной плоскости 12,5 % и в
меридиональной— 37,5%, тогда как третьи члены соответственно — 2,6
и 19 %, что и определяет главенствующую роль вторых членов
разложения и медленный рост отношений Ф*/Ф0 и Фя/Ф0.
Наоборот, при значении е = ]/2/2 рад (что соответствует
углу е = 40°) второй член в сагиттальной плоскости возрастает
до 25 % ив меридиональной — до 75 %, тогда как третьи члены
будут достигать соответственно величин 10,4 и 77 %, что уже
характеризует собою более быстрый рост отношения Ф*/Ф0,
чем Ф8/Ф0.
Дальнейшее увеличение угла 8 до одного радиана (что
соответствует углу е » 60°) приводит к возрастанию вторых членов
в сагиттальной плоскости до 50 % ив
меридиональной — до 150 %, а третьих
соответственно — до 41,7 и 308,3 %.
Эти подсчеты показывают, что при
росте углов е на склеенной поверхности
происходит быстрый рост астигматизма
высшего порядка, который может быть
использован для устранения
неэлементарного астигматизма в исходных базовых
системах.
Следует обратить внимание на то
обстоятельство, что эффективность работы
15 30 ?5 50 а, склеенной поверхности снижается для по-
Рис 14.1. Изменение ме- л0жений предмета, приближающихся к
ридиональнои и сагит- г «"> > г ш-
тальной оптических сил положению апланатических точек прелсм-
склеенной поверхности ляющей поверхности. Это необходимо
учитывать при размещении
преломляющей поверхности в оптической системе.
Перейдем к рассмотрению ориентировки склеенной
поверхности по отношению к положению диафрагмы. Для этого
обратимся к рис. 14.2, на котором представлены преломляющая
поверхность радиуса г, расположенная на расстоянии s от плоскости
зрачка, и ход главного луча составляющего угол е с нормалью
к поверхности и угол со с осью.
164
Опуская из центра С поверхности перпендикуляр на
направление падающего луча, можно записать
г sin е = (г — s) sin со, (14.23)
откуда
sin е = (1 — sir) sin со. (14.24)
Формула (14.24) позволяет судить о величине угла е при
различных значениях отрезка s в зависимости от полевого угла со.
Эта зависимость определяется величиной коэффициента 1 — sir
или отношением sir. Возможны следующие характерные случаи:
s/r < 0, | sin е | > | sin со |; \
0<s/r<2, |sins|<|sinco|;
s/r>2, | sin е | > | sin со |. J
(14.25)
Из рис. 14.2 следует, что в
первом случае преломляющая
поверхность обращена к зрачку
выпуклой стороной; этот случай уместно
назвать случаем обратной Ориенти- Рис. 14.2. Ориентировка склеен-
ровки поверхности по отношению к ной поверхности
зрачку. В двух других случаях,
которые назовем случаями прямой ориентировки, превышение
абсолютной величины sin е над величиной sin со будет наблюдаться лишь
при очень большом удалении преломляющей поверхности от
зрачка. Следовательно, во втором из рассмотренных случаев склеенная
поверхность не сможет активно воздействовать на астигматизм,
тогда как в первом и третьем случаях она будет влиять на него
активно.
Вместе с тем не следует забывать, что активность склеенной
поверхности зависит также и от расположения предметной точки
относительно поверхности. Не лишним будет обратить внимание
и на то, что сила поверхности связана с величиной разности
показателей преломления сред, разделяемых этой поверхностью.
Поэтому выбор требуемой силы поверхности при различных
разностях показателей преломления приведет к получению
различных значений радиуса склеенной поверхности, вследствие чего,
согласно формуле (14.24), будут иметь место соответственные
изменения угла s со всеми вытекающими последствиями.
Необходимо обратить внимание на еще одно обстоятельство.
Введение в какой-либо линзе склеенной поверхности неразрывно
связано с изменением показателя преломления либо в среде,
предшествующей поверхности склейки, либо в среде после этой
поверхности. Подобное изменение показателей, естественно,
изменяет условия работы предшествующей или последующей
преломляющей поверхности и должно быть учтено.
165
71+Дп
Рис. 14.3. Введение фиктивной склеенной
поверхности
Для учета изменения показателей преломления можно было бы
вывести специальные формулы, но для удобства воспользуемся
методом введения в систему дополнительных «фиктивных» склеек.
Фиктивная поверхность склейки сохраняет значение радиуса
последующей (или предыдущей) поверхности; имеет толщину,
равную нулю; обладает разностью показателей преломления,
которая равна по абсолютной величине и обратна по знаку
разности показателей, существовавшей при введении основной
склеенной поверхности.
Введение фиктивной склеенной поверхности представлено на
рис. 14.3, на котором сплошными линиями показан ход луча до
основной и после
фиктивной поверхности
склейки, а пунктиром —
продолжение хода луча
между этими
поверхностями. Таким образом,
имеем три среды с
показателями
преломления пг = п + Дя,
п2 = п и п3 = п'.
Для одной
преломляющей поверхности
имеют место равенства:
qf sin со = /' sin е; q' sin со' = г sin е', (14.26)
которые могут быть связаны через закон преломления
nq sin со = nr sin е = n'r sin е' = n'q' sin со'. (14.27)
Для случая двух поверхностей с одинаковыми радиусами и
толщиной между ними, равной нулю, расстояние k между их
центрами также будет равно нулю, т. е.
k = г2 — гг +d = 0. (14.28)
Отрезки q\ и q2 после первой и перед второй поверхностями
получаются равными, так как
q2 = q\ + k = q\. (14.29)
Поскольку углы col и о)2 будут всегда равны друг другу, то,
пользуясь дважды формулой (14.27), можно написать
rtiqi sin ooi = n<iq\ jsin co2 = n<iq<i sin co2 = n3q2 sin co3. (14.30)
Углы co2 и co3 могут быть представлены в следующем виде:
0)2 = 0)1 + в! — fill 0)3 = 0)2 -f- 82 — е2. (14.31)
Так как
n2qi sin 0)2 = щг sin ei и n2q2 sin co2 = n2r sin e2, (14.32)
166
то, согласно формуле (14.30), получаем равенство углов si = е2,
что позволяет написать
п\ sin ei = i%2 sin ej = n<i sin e2 = Пз sin 62; (14.33)
для полевых углов, складывая формулы (14.31), будем иметь
со3 «= coi + ?2 — ?ь (14.34)
Сопоставляя формулы (14.33) и (14.30), видим, что показатель
преломления среды между двумя рассматриваемыми поверхностями
в них не участвует. Отсюда следует, что рассмотренная система
из двух соприкасающихся поверхностей одинаковых радиусов по
своему действию ничем не отличается от одной поверхности.
Таким образом, полагая пг = п и п3 = п', при q = qY и
о = coi получаем угол соз = со' и отрезок q — q'2, т. е.
тождественно равными друг другу.
Установленное свойство дополнительной поверхности
сохранять все свойства первой поверхности при произвольном
значении показателя преломления промежуточной среды позволяет
приравнивать его показателю преломления, который имела
исходная линза до введения в нее коррекционной склеенной
поверхности. Таким образом, можно учитывать происходящее при
введении коррекционной склейки изменение показателя
преломления как введение фиктивной склеенной поверхности с обратным
перепадом показателей и значением радиуса, равным радиусу
последующей поверхности исходной линзы.
Рассмотрим случай расположения двух склеенных
поверхностей друг за другом. Полагая, что силы обеих поверхностей
невелики, а расстояние между ними мало, можно пренебречь
влиянием косых толщин, и тогда для суммарных сил двух
склеенных поверхностей получаем:
(Tt — Фр1 I Ф02 . (Т\ _ Фр1 I Ф()2 . /Тч П) J_ fh
Ф'-"^1Г+7^7' Ф«-^5ПГ+~55ПГ' ф0-ф01 + ф02-
(14.35)
Поверхности склеек —фактическая и фиктивная — могут быть
различно ориентированы относительно зрачка. В частном случае
может оказаться, что при обратной ориентировке коррекционной
склейки соответствующая ей фиктивная склейка будет иметь
прямую ориентировку, следствием чего будет малость углов е2.
Это позволяет приравнять косинусы углов е2 единице, и тогда
формулы (14.35) упрощаются:
Ф^ЖГ + Фо- ф.-^Г + ф* Фо^Фох + Фо,
(14.36)
Составляя разность сил Фг и <PS, находим
ф, - (Ds = (—{ ! ) Ф01 = °01 tg2 ех; (14.37)
1 s \ COS3 8j COS в! / 01 COS P.-i & 1» V /
в полученное выражение сила фиктивной склейки уже не входит.
167
14.2. Влияние склеенной поверхности
на сферическую аберрацию
Склеенная поверхность при малой разности показателей
преломления обладает значительной сферической аберрацией для
предмета, расположенного в бесконечности. Ее величина намного
превосходит величину стрелки, образующейся между проекцией
точки преломления апертурного луча, параллельного оси, и
вершиной преломляющей поверхности.
Так, обращаясь к приведенному в гл. 9 примеру (табл. 9.1),
видим, что для склейки с отношением показателей 1,1 при
радиусе г = —10 мм и высоте апертурного луча h = 4,545 мм
величина сферической аберрации As' = —13,314 мм, в то время
как при вычислении стрелки получаем величину, равную всего
1,093 мм. Это позволяет рассматривать сферическую аберрацию
склеенной поверхности как разность отрезков s'f вдоль
апертурного луча и sqf для нулевого луча.
Отрезки sf и s'of могут быть определены через сагиттальную
силу поверхности Ф5 и силу поверхности на оси Ф0
-ё-=ф.--5^ -|;=ф" (14-38)
откуда сферическая аберрация
а / ' / Я' COSE п' П' , 1ч /л л ОГкЧ
As =sF — Sqf = —фо ф7 = ф7 (cos 8 ~ !)- (14.39)
Выражая силу Ф0 через радиус поверхности, находим
As' = -?jj- (cos е - 1)л (14.40)
Учитывая малость оптических сил склеенных поверхностей,
можем для нескольких склеенных поверхностей производить
суммирование их сферической аберрации непосредственно. Таким
образом, для двух поверхностей получаем
Asi+n = Asi + Ash ="д^7 (cosei— O'i + St5(cose"~ 1>>Г2'
(14.41)
Разлагая косинусы углов 8j и еп в ряды, можно написать
п, /в? ef в?
i ci
Дл1 I 21 4! ' 61
Asi+i
Выражая значения углов ех и еы через высоту h и радиусы
в соответствии с формулой
sin е = —h/r « е, (14.43)
168
можно представить сферическую аберрацию в виде
ДЯ|+И = — -г—— + Ля , -5Т +
+ ^к)тг+-- 04.44)
An,rf bnurl) 6!
Затем, выражая радиусы через силы поверхностей Ф01 и Ф02,
получаем
Фо1 + -^Фо52)^г+-... (Н.45)
Дл« щ ' A/if,
61
Если сохранить суммарную силу обеих поверхностей
неизменной, т. е.
Фо = Ф01 +фо2 = const, (14.46)
то в уравнении (14.45) получим три независимых переменных —
А/гг, Дды и Ф01 или Ф02, что позволяет варьировать тремя
коэффициентами при различных степенях h. Такое изменение
коэффициентов аналогично изменению трех коэффициентов в уравнении
несферической поверхности и обеспечивает возможность «двойной
коррекции» сферической аберрации, примеры которой более
подробно будут рассмотрены в п. 16.3.
Заметим, что попутно с двойной коррекцией сферической
аберрации двойная склейка дает возможность при
соответственном подборе дисперсий стекол воздействовать и на исправление
сферохроматической аберрации. Кроме того, пара склеенных
поверхностей позволяет разделить их влияние на различные
аберрации, например на сферическую аберрацию и астигматизм.
14.3. Работа тонкой воздушной прослойки
В качестве коррекциоыного элемента с незначительной
оптической силой можно использовать две одинаково ориентированные
и близко расположенные друг к другу преломляющие поверхности,
т. е. так называемую воздушную прослойку.
В отличие от поверхности склейки, имеющей два коррекцион-
ных параметра — разность показателей преломления и величину
радиуса кривизны, воздушная прослойка обладает значительно
большим числом параметров — двумя значениями радиусов и
величиной воздушной толщины, кроме разности показателей
преломления линз, разделяемых воздушным промежутком. Сила
16Э
воздушной прослойки (в отличие от поверхности склейки) при
любых выбранных показателях преломления может переходить
через нулевое значение, делающее прослойку афокальной.
Формально воздушную прослойку можно было бы получить,
понижая показатель преломления между двумя одинаково
ориентированными поверхностями; но этого не следует делать потому,
что вывод формул для поверхностей склейки строился на малой
величине разности показателей преломления по обе стороны
преломляющей поверхности, что уже не соблюдается на поверхностях,
разделяющих стекло и воздушную среду. Исходя из этого,
возникает необходимость вывода других формул, позволяющих
более или менее правильно отразить работу тонкой воздушной
прослойки.
При рассмотрении работы тонкой воздушной прослойки
некоторым затруднением является наличие косой толщины в
воздушном промежутке между обеими поверхностями, для определения
которой требуется учет направления главного луча, а также
нахождение ординат точек его пересечения с этими поверхностями.
Этого затруднения можно избежать, разделяя воздушную
прослойку на две, одна из которых будет образована между двумя
концентричными поверхностями,
а другая будет иметь по ходу
главного луча косую толщину,
равную нулю, т. е. будет линзой
с острым краем. Причем для
случая, когда показатели
преломления по обе стороны воздушной
прослойки различны, удобно для
концентричной прослойки их
сохранить различными, а для
прослойки с острым краем сделать их
одинаковыми.
Начиная с исследования
работы концентричной воздушной
прослойки, обратимся к рис. 14.4,
на котором представлен ход
главного луча, образующего углы падения и преломления &lf
ei и е2, 82. Полагая прослойку тонкой, можно определить величину
косой толщины
a = d/cose[. (14.47)
Далее находим угол Дф между нормалями к обеим поверхностям
Рис. 14.4. Концентричная
воздушная прослойка
Дф = ej — 82 = ф1 — фг
КВ.
?-tgei, (14.48)
'2
откуда
82 = 8i + —tgei.
'9
(14.49)
170
Синус угла е2 будет равен, учитывая, что d мало
sine2 = (1 -f d/r2) sine}. (14.50)
Полагая показатели преломления пг = п3 = п и п2 = 1,
можно связать углы г2 и ei аналогичным образом:
sine2 = (1 -f- d/r2) sinei. (14.51)
Определим величины косинусов этих углов:
cose2 = (1 tg2el ) cosei; ]
, 'л ч (14.52)
cose2 = f 1 — tg ei ) cosei. j
Пользуясь дважды меридиональным инвариантом, получим
при величине отрезка ^ = 00:
2 '
CQS 8i _ cos е' — п cos ех
cos282 Cos2 е2 п cos 82 — C0S 82
(14.53)
Складывая эти два выражения, находим
п cos"" е2 cos е2 cos2 82 cos е' п cos 8 п cos е2 — cos е2
72 к ' ~ ~ 7Х ' rx — d *
(14.54)
Пользуясь первым выражением из формулы (14.53), можно
заменить отрезок t[ через t2 + д, = t2 + d/cos el. Таким образом,
получаем
cos2 ej _ cos2 ej _ 1 cos2 e| cos e{ — /г cos ег ,
*i ^24-cf/cose[ *2 1 + cf/(^2 cosej) ri
(14.55)
тогда вторая из формул (14.53) будет иметь вид
„2 .
п cos 82 cose{ — ncose1 /« . rf \
h ri \ '2 cos 8i /
COS2 80 Л C0S 82 — C0S 82
t2 cos e[ i cos2 ej ri — ^
(14.56)
Так как разность отрезков t\ и t2 — косая толщина dy которая
по величине мала, то отрезок t2 в формуле (14.56) может быть
заменен значением отрезка t[ из первой формулы (14.53). Таким
образом,
/* п cos Ei — cos 81 d \ cos2 гх
V ~~ rx cos3 e[ J Cos2 ej ~~
n cos e2 — cos e2
n cos e9 cos г\ — П COS 8j (1 Я COS 8X — cos si d \ COS2 1
8i / cos2 e
(14.57)
?2 '1 \ '1 "¦ ~L ' V.U9 C|
rx-d
171
Согласно формулам (14.52), отношение квадратов косинусов
углов &2 и si может быть заменено через 1 — 2 tg2 ei. Поэтому
П COS" 89
п cos е9 — cos е9
П COS 8j — COS 8:
x(i_Jltg2e;
rx — d гх
n cos e, — cos e[ d
X
COS 8i
(14.58)
Пользуясь формулами (14.52), можно исключить косинусы
углов е2 и 82. После некоторых преобразований находим
ПCOS 89
П COS 8Х — cos г[ { d
7i I r.
/ztg2e1cose1 — tg2e[cossj d
+ 2-^-tg2e;+
n cos eT — cos 8j
/г cos ег — cos ej d
rx cos3 e{
+
(14.59)
Во все члены в скобках формулы (14.59) входит множителем
малая величина d. Это позволяет, пренебрегая разностью
радиусов гх и г2, вынести за скобки общий множитель d/r. Тогда
П COS 89
= (П COS 81 — П COS 8i)
/гcoset(l +tg2e1) -cose;(l + tg2s[)
л cos ex — cos e{
+
П COS 8г — COS 8j
COS 8,
COS3 8,'
(14.60)
или
n cos e9
n
1
C0S8J
+
COS 8
COS" 8,
-г (n COS 8i — cos e[) +
(n cos 8j — cos ej)2
(14.61)
Раскрывая круглые скобки и делая сокращения, получаем
1 _ / п i_\ d_
{ ~~ \ cos3 ъ\ cos3 &! / г2
COS3 &!
Переходя к сагиттальной плоскости, можно написать
е2 — cos е2 Л cos &} — cos е{
(14.62)
п 1 1 /г cos е9 — cos е9
s2 si S2 Г2
(14.63)
Выражая далее косинусы углов 82 и е2 через косинусы углов е*
и ei, получаем
п d ncosej — cosej — (п tg28j cossj — tg2e1' zosb'^)d/r2
S2 Sfo COS 81
n cos e, —cose
(14.64)
172
Заменяя отрезок S2 через si и делая некоторые преобразования
с учетом формулы (14.63), находим
п (п cos ел—cose, \2 d , . ,ч / 1 1 \
^-=( ^ L) ЖГ + ('гС05е,-С05е1)(7Г--)-
— (п tg2 ei cos ei — tg2 el cos e!) — (14.65)
или, вынося за скобку малый множитель d/r2,
п / п
S2 ^
cose,
cosej
COS 8
r-COSe;)-^-. (14.66)
Окончательно имеем
1
_J /_п 1_\ _d_
s' \ cos ef cos Sj / r2 "
(14.67)
Принимая условно за меридиональную и сагиттальную силы
воздушной прослойки обратные величины произведений отрезков &
и sf2 на показатель преломления, напишем:
Ф,„_^ = /_»_,—;__).*
1 -' \cos3e[ cos3e! /
Ф.
и на оси системы
nt2
1
cos3 6i / /гг2 '
e/_5 М —
\ cos ej cos ег / nr2
ф0 = (П _ l)d/nr* .
(14.68)
(14.69)
Это позволяет выразить силы в меридиональной и сагиттальной
плоскостях через силу прослойки на оси:
m И/С083в; — 1/С0838-| m . ч
т „,с„,;-„со,„ т <14-7°>
S AZ — 1 °" f
Полученные формулы были выведены для случая, когда
пг = п3 = п\ переход к разным показателям пг и п3 нетрудно
осуществить, добавляя (или вычитая) фиктивную концентричную
поверхность склейки при требуемой разности показателей.
Перейдем к рассмотрению работы воздушной прослойки
с острым краем. Из рис. 14.5 следует, что в этом случае мало
отличающиеся друг от друга радиусы гг и г2 можно связать через
величину k расстояния между центрами обеих поверхностей
откуда
-г г = —r2 + k cos q>b
Дг = г2 — гх = k COS ф1#
(14.71)
(14.72)
173
Величина воздушной толщины d0 на оси будет равна
d0 = k — Дг = (1/cos фх — 1) Дг. (14.73)
Вследствие равенства косой толщины й нулю, получаем
равенство отрезков fe = t\\ тогда, пользуясь дважды
меридиональным инвариантом, находим
п cos е2 cos2 е2 cos ej — п cos е1 , п cos 82 — cos 82
С cos2eJ ri г2
(14.74)
Углы 82 и ei могут быть связаны через угол Дф. Согласно
рис. 14.5, имеем
(14.75)
ть^п
Рис, 14.5. Воздушная
прослойка с острым краем
Учитывая малость угла Дф, получаем
cos 82 = cosei — tg ф! sin e[,
Г2
откуда находим отношение квадратов косинусов углов
Го
cos'5 е2 , Л ш . . '
—2-4 = 1 — 2 — tg ф1 tg еь
COS 8
Синусы углов 82 и г[ будут равны:
*,^-(n-||"^-)-.«.J
Для косинуса угла 82 можно получить
cosei-(l--^-^tg9i)cosBi.
Умножая обе части формулы (14.79) на /г, находим
П COS 82 = П COS 81 — tg ф1 COS Е\ tg 8Ь
(14.76)
(14.77)
(14.78)
(14.79)
(14.80)
174
что позволяет составить разность между выражениями (14.80)
и (14.76)
п cos 82 — cos 82 = п cos ei — cos ei — tg ф1 (cos s[ tg 81 — sin ej)
(14.81)
или
rccos 82 — cose2 = (ncosei — cos el) (l + -y-tg 91 tg8i) . (14.82)
Обращаясь к формуле (14.74) и используя при этом формулы
(14.77) и (14.82), получаем
п cos2 е9 л г
——-i = _r (cosei-/icosei)[l -(2tg8,1 + tge1)tg9i]. (14.83)
Для сагиттальной плоскости, пользуясь дважды сагиттальным
инвариантом, можно написать
e(cose;-flcosei)[-i--(l +7Ttg8ltg(pi)"^"]; (14'84)
и окончательно имеем
-?- = (cos ei -~ п cos ei) (1 — tg 8! tg cpO -f. (14.85)
Формулы (14.83) и (14.85) позволяют находить величину
астигматизма, вносимого воздушной прослойкой с различными
радиусами.
Глава 15
КОМПЕНСАТОРЫ
15.1. Деформированная плоскопараллельная пластинка
Компенсаторы — это конструктивные узлы оптической
системы, задача которых состоит в устранении тех или иных
аберраций базовых элементов без изменения оптической силы системы
и положения создаваемого ею изображения.
Простейшими компенсаторами являются тонкие компенсаторы,
которые по своему воздействию на изображение могут быть
отождествлены с деформированием волновой поверхности как в
направлении нормали, так и в направлении касательной к этой
волновой поверхности.
175
Если деформация волновой поверхности происходит вдоль
направления ее нормали, то таким компенсатором может быть
плоскопараллельная пластинка с одной деформированной
поверхностью, когда радиус кривизны в ее вершине будет равен
бесконечности. В простейшем случае профиль подобной
деформированной поверхности может быть выражен уравнением параболы
четвертой степени
z~ Ау\ (15.1)
Для меридионального и сагиттального радиусов кривизны
этого профиля будем исходить из общих формул:
, _ *Л I (15-4)
rs = y^l + y"; rt = (\+y'T2/y". (15.2)
В частном случае, когда деформация z невелика по отношению
к ординате у, формулы (15.2) могут быть заменены приближенным
выражением
rs& l/(4Ay2)tt3rt. (15.3)
Обращаясь к оптическим силам Ф3 и Ф{ в сагиттальной и
меридиональной плоскостях и полагая ход главных лучей телецен-
тричным, когда главный луч проходит преломляющую
поверхность по ее нормали, находим:
ф5 = (,г-1)/г3 = (/г-1)4Л</2;
Ф, = 12 (л— 1)Ау2 = ЗФ8.
В этом случае сила Ф0 на оси системы обращается в нуль.
Если ход главных лучей не будет телецентричен, то формулы
(15.4) несколько усложняются:
>^ __ я cos со' — COS СО л
(15.5)
^ _ п cos со — cos со v '
1 ~ Гх cos2 со ' >
Подобный компенсатор может быть установлен в оптической
системе как в параллельном, так и в сходящемся ходе лучей.
Рассматривая работу деформированной пластинки, следует
обратить внимание на то обстоятельство, что, наряду с
возникновением сагиттальной и меридиональной оптических сил, будет
происходить также и отклонение главного луча. Это
отклонение легко определяется как отклонение, создаваемое
преломляющим клином, угол а которого будет равен величине производной
от уравнения профиля деформированной поверхности
а = tg у = dz/dy = 4Ауг = 4z/y, (15.6)
а угол отклонения * луча определится по известной
приближенной формуле
О = (п — 1) а = 4 (п — 1) Ау* = Ф8у = 4 (п — 1) z/y. (15.7)
176
Возникновение дополнительных оптических сил на главном
луче как в меридиональной, так и в сагиттальной плоскостях
создает смещения изображения Azf и Azs, величины которых будут
зависеть от расстояния деформированной поверхности от
предметных точек.
Полагая, что это расстояние равно s, можно, используя
выражение для оптической силы, написать
ф = i/s' _ l/s = (s — s')/ss'. (15.8)
Если величины Ф малы, тогда величины s и s будут мало
отличаться друг от друга, и формула (15.8) примет вид
ф = (S' _ S)/S2 = —Дг/s2. (15.9)
В соответствии с формулами (15.9) и (15.4) для меридиональной
и сагиттальной плоскостей получаем следующие выражения для
смещения изображения вдоль главного луча:
&zt = — 12 (л- \)Ay2s2 = — l2(n- 1)-^-;
Д*в=.-4(л-1)-5-.
(15.10)
Ординату у деформированной поверхности можно выразить
через расстояние d от выходного зрачка предшествующей части
системы и выходной полевой угол
у = dtg©'. (15.11)
Рассматривая расстояние d как разность s — а, где под
величиной а подразумевается расстояние от зрачка до предметной
плоскости, можно написать:
^zt = -\2{п-\)А{а- sf tg2 cd's2; \
Az8 = -4(n-l)A(a-s)2tg*«>'s2. j ( }
Из формул (15.12) следует, что величины hzt и Azs обращаются
в нуль в тех случаях, когда или s = 0, или s = а. Таким образом,
одна и та же деформированная пластинка должна иметь
максимальное воздействие на астигматизм при некотором значении smax,
величина которого может быть определена из условия
-^- = 0 = — 12 (п - 1) A tg2 со' (2a2s - 4as2 -f- 4s3), (15.13)
откуда получаем квадратное уравнение
sL*-2asmax + a=0. (15.14)
Решая уравнение (15.14) относительно smax, находим
8ша = а(1±т/2). (15.15)
177
15.2. Двухлинзовый и трехлинзовый несклеенные компенсаторы
Рис. 15.1. Двухлинзовые
несклеенные афокальные
компенсаторы
Стремление иметь в своем распоряжении средства для
исправления сферической аберрации и комы без воздействия на
астигматизм, дисторсию и хроматизм увеличения привело к созданию
двухлинзовых тонких афолькальных компенсаторов — коррек-
ционных блоков, размещаемых в плоскости зрачка или
материальной диафрагмы.
Рассмотрение работы афокального компенсатора удобно
начать со схемы, состоящей из плосковыпуклой и плосковогнутой
линз, которые вплотную сложены своими сферическими
поверхностями, и по своему действию
равносильны плоскопараллельной пластинке
(рис. 15.1, а). Совершенно очевидно,
что в таком случае афокальный
компенсатор, размещенный в
параллельном ходе лучей, будет
безаберрационной системой; при его размещении в
сходящемся ходе лучей его аберрации
будут равнозначны аберрациям
плоскопараллельной пластинки и при
небольшой сумме толщин обеих линз также
будут невелики.
Поскольку обе линзы
компенсатора— и положительная, и отрицательная — обращены к
параллельному ходу лучей своими плоскими сторонами, то нетрудно сделать
вывод, что их сферическая аберрация не будет минимальной
Поэтому, переворачивая отрицательную линзу вогнутой стороной
к параллельному ходу и плоской стороной к положительной
линзе (показано пунктиром на рис. 15.1, а), приближаем ее
к форме линзы с минимальной сферической аберрацией;
вследствие этого происходит уменьшение положительной сферической
аберрации, вносимой отрицательной линзой, при сохранении
отрицательной сферической аберрации положительной линзы
неизменной. В результате суммарная сферическая аберрация всего
компенсатора сделается отрицательной.
Придавая перевернутой отрицательной линзе менискообразную
форму, начнем снова удалять ее от формы с минимальной
сферической аберрацией, что позволяет довести положительную
сферическую аберрацию отрицательной линзы до ее исходного значения,
когда она полностью компенсировала отрицательную сферическую
аберрацию положительной линзы. В результате компенсатор
в целом снова становится исправленным на сферическую
аберрацию; в таком виде компенсатор представлен на рис. 15.1, б.
Заметим, что в последнем случае происходит некоторое
параллельное смещение выходящего апертурного луча по
отношению к входящему лучу вследствие расхождения внутренних
поверхностей компенсатора. Это смещение создает отличное от
178
единицы линейное увеличение для апертурного луча, вызывая
тем самым и отличие углового увеличения от единицы, что
обусловливает возникновение комы при отсутствии сферической
аберрации. Увеличивая или уменьшая масштаб компенсатора,
представляется возможным изменять величину комы компенсатора
без возникновения сферической аберрации.
На рис. 15.2 представлен график изменения коэффициента
комы г| и угловой сферической аберрации Да' двухлинзового
компенсатора в зависимости от прогиба отрицательной линзы при
сохранении положительной линзы
плосковыпуклой.
Обращая плосковыпуклую линзу к
параллельному ходу выпуклой
стороной, приближаем ее к форме
соответствующей минимуму отрицательной
сферической аберрации; при этом для
устранения сферической аберрации
всего компенсатора требуется
минимальная положительная сферическая
аберрация отрицательной линзы. При такой
форме положительной линзы кривая
изменения сферической аберрации в
зависимости от изменения формы
отрицательной линзы поднимается вверх и
будет касаться своей вершиной оси
абсцисс, уже не пересекая ее. Вследствие этого компенсатор
не сможет создавать отрицательную сферическую аберрацию.
Придавая положительной линзе компенсатора менискообраз-
ную форму, будем увеличивать ее отрицательную сферическую
аберрацию; это вызовет опускание кривой сферической аберрации
при изменении прогиба отрицательной линзы.
Необходимо отметить, что афокальный компенсатор,
размещенный в зрачке, по своему действию напоминает работу пластинки
Шмидта; он так же, как и пластинка Шмидта, вносит быстро
растущую меридиональную сферическую аберрацию.
В двухлинзовом афокальном компенсаторе кроме прогибов
отрицательной и положительной линз можно использовать линзы
из стекла с различными показателями преломления при
одинаковых числах Аббе (в целях его ахроматизации). Возможно
и введение некоторого воздушного промежутка; однако в этом
случае при соблюдении афокальности компенсатор обращается
в телескопическую систему с увеличением Г, отличным от единицы.
Выше отмечалось, что размещение афокального компенсатора
в плоскости материальной диафрагмы или зрачка обеспечивало
постоянство астигматизма, дисторсии и хроматизма увеличения.
Однако использование афокальных компенсаторов возможно и вне
зрачков; при этом, естественно, следует учитывать влияние
компенсатора и на полевые аберрации.
Рис. 15.2. График изменения
комы г] и сферической
аберрации Да' в зависимости от
прогиба отрицательной
линзы двухлинзового
компенсатора
179
Наиболее характерное влияние компенсатора наблюдается
при его размещении в телецентрическом ходе лучей. В этом
случае, используя компенсатор, не создававший сферической
аберрации, т. е. сохранявший параллельность оси входящего и
выходящего лучей, будем вносить дисторсию, которая не будет
меняться по величине при перемещении компенсатора вдоль оси
системы, но будет изменять знак на обратный при
переворачивании компенсатора. Нетрудно представить, что размещение
подобного компенсатора вблизи плоскости изображения не должно
существенно влиять на астигматизм, кому и сферическую
аберрацию системы, работающей совместно с компенсатором.
Рассмотрим работу афокального компенсатора в
телецентрическом ходе лучей более подробно. Будем исходить из того, что
при сохранении параллельности оси входящего и выходящего
лучей происходит изменение высоты главного луча Д#'. Поэтому,
имея в виду что увеличение компенсатора в области нулевых
лучей V0 должно быть равным единице, можно написать
by'=y'-yo = y'-y = A!f. (15.16)
Дифференцируя выражение (15.16), находим линейное
меридиональное увеличение
Vt=dy'/dy = 1 + ЗАу\ (15.17)
Сагиттальное линейное увеличение V3 определится как
отношение у' и у
Vs =у'/у = 1 +Ау\ (15.18)
Продольные увеличения Qt и Q8 в меридиональной и
сагиттальной плоскостях будут равны квадратам меридионального и
сагиттального линейных увеличений:
Qt = V2 = (l+3 Ау2)\ QS = V2S = (\ + Ay2)2, (15.19)
Если положить, что при совмещении компенсатора с
плоскостью предмета астигматизм отсутствовал, т. е. что при s =
= 1 = 0 отрезки s' = /' = О, то при перемещении компенсатора
на некоторое расстояние а изменяются и расстояния от
компенсатора до изображения в меридиональной и сагиттальной
плоскостях; эти изменения будут пропорциональны продольным
увеличениям Qt и Qs и станут равными:
{ = t + Qta = t + V]a = t + (1 +3Ay2fa- 1
s =s +Qsa = s +V7sa = s +(l + Ay2)2 a. J
Имея в виду, что произведение Ay2 можно рассматривать как
относительную дисторсию А, получаем:
Г =Г + (1 -ЗД)2а;
s" = s' + (l +А)а
а; \
а. )
(15.21)
180
Полагая, что дисторсия равна Д = 0,05 = 5 %, получаем
f = f + 1,3225а и s" = s' + 1,1025а. При а = 30 мм возникает
астигматизм f — s", величина которого равна 6,6 мм.
Рассмотрим трехлинзовый несклеенный компенсатор, который
обладает значительно более широкими возможностями, чем двух-
линзовый компенсатор; он интересен тем, что, кроме воздействия
на сферическую аберрацию, кому и
астигматизм, позволяет влиять и на
кривизну поля.
Трехлинзовый компенсатор можно
рассматривать как симметричную (или
пропорциональную) систему,
составленную из двух двухлинзовых
компенсаторов, которые сомкнуты ПЛОСКИМИ Рис. 15.3. Трехлинзовый.
внешними поверхностями; в таком виде афокальный компенсатор
можно представить два типа трехлинзо-
вых компенсаторов — с положительной или отрицательной
линзой в середине.
В компенсаторах со средней положительной линзой
сравнительно легко можно получить как положительную, так и
отрицательную сферическую аберрацию. В компенсаторе с внутренней
отрицательной линзой легче получается положительная
сферическая аберрация. Переход же к отрицательной сферической
аберрации затруднен; для этого требуется введение довольно
значительных воздушных промежутков, что является выгодным для
получения положительной кривизны поля.
Схема трехлинзового несклеенного компенсатора с
внутренней отрицательной линзой представлена на рис. 15.3.
15.3. Компенсатор В. Н. Чуриловского
Своеобразен компенсатор, предложенный В. Н. Чуриловским
для устранения комы параболического зеркала; он представляет
из себя мениск с равными радиусами (рис. 15.4).
В гомоцентрическом
пучке лучей, сходящемся в
точке Fl9 один из лучей РгР2
,/^^^/s Fq2 становится строго парал-
Fi Fa лельным оси системы после
преломления на первой
преломляющей поверхности ме-
Рис. 15.4. Компенсатор В. Н. Чурилов- НИСКа. Из-за наличия у этой
ского поверхности сферической
аберрации точка F± не
сможет совпасть с точкой f01 — передним фокусом поверхности для
нулевых лучей.
После преломления на второй поверхности луч РгР2 должен
будет выйти из мениска под тем же самым углом к оси, как и
перед входом в мениск. При этом смещение точки F'2 пересечения
18!
выходящего луча по отношению к точке Fx будет равно величине
толщины мениска d по оси.
В точках F'2 и F\ все три увеличения — угловое, линейное и
продольное будут строго равны единице.
Кроме того, обе поверхности мениска будут обладать
одинаковой по абсолютной величине и обратной по знаку сферической
аберрацией, поэтому сам мениск будет свободным от сферической
аберрации.
При совмещении точек Fx и F01 друг с другом луч РХР2 не
будет параллелен оси, и тогда высота его на второй поверхности
станет большей, чем на первой поверхности. Вследствие этого
будет происходить нарушение условия синусов Аббе и появится
кома.
Варьируя масштаб компенсатора, можно изменять его кому
и компенсировать кому параболического зеркала.
15.4. Хроматические склеенные компенсаторы
Обращаясь к двухлинзовому склеенному компенсатору, линзы
которого имеют одинаковые показатели преломления и разные
дисперсии, можно образовывать из них плоскопараллельную
пластинку для основного цвета; совершенно очевидно, что такая
пластинка уже перестает быть афокальной системой для других
цветов спектра.
Известно, что хроматизм тонкой линзы определяется
отношением силы линзы к числу Аббе
ДФ =<D/v. (15.22)
Так как из условия афокальности компенсатора силы обеих
линз должны быть равны друг другу по абсолютной величине
и различны по знаку, то для хроматической силы компенсатора
получаем
ДФ = Ф (l/vx — l/v2). (15.23
Согласно формуле (15.23), разность между отрезками si и s?,
выражающая в рассматриваемом случае хроматизм положения,
будет равна
si _ S2 = 6s' = ДФ5'2 = Ф (-J J-) s'\ (15.24)
Из полученной формулы следует, что подобный хроматический
компенсатор будет создавать хроматизм положения лишь какого-
либо одного знака; изменяя положение компенсатора
относительно плоскости изображения, можно изменять хроматизм
положения всей системы, не затрагивая ее монохроматических
аберраций.
182
Таблица 15.Т
Компенсатор с обычным двухлинзовым склеенным объективом
г
Компенсатор 1
Объектив 1
оо
23,0
оо
106,22
55,9
—405,0
f' =
d
2,0
5,0
2,0
3,0
9,0
nD
1,6123
1,6067
1
1,6475
1,5163
= 209,599; s'F= 203,226
Марка стекла
ОФЗ
БФ27
ТФ1
К8
Смещение компенсатора хроматизма перпендикулярно к оси
будет вызывать возникновение хроматизма увеличения,
постоянного по полю. Его величина определяется по формуле
Ьу' » ybs' = Фу(1/уг - l/va)s'\ (15.25)
Аналогично хроматическому компенсатору может быть создан
апохроматическии компенсатор, если составить
плоскопараллельную пластинку из двух линз с одинаковыми показателями
преломления и числами Аббе, но с различными частными
относительными дисперсиями.
В качестве примера рассмотрим возможность создания
подобного апохроматического компенсатора из линз, выполненных из
стекол марок ОФЗ и БФ27.
Эти стекла имеют следующие показатели преломления п,
числа Аббе v и частные относительные дисперсии т> = (nF —
— nD)/{nF — пс):
Марка стекла tir^ v Ф
ОФЗ 1,6123 44,08 0,7084
БФ27 1,6027 43,96 0,7120
Таблица 15.2
Апохроматизация объектива
К нм
766,49
700,0
656,28
589,30
546,07
486,13
434,05
Линия
спектра
А'
С
D
е
F
G'
Объектив
с компенсатором
6/'
0,012
0,024
0,021
0
—0,011
0,004
0,110
6s'
-0,010
0,012
0,014
0
0,008
0,006
0,106
Объектив
без компенсатора
ы
0,434
0,249
0,126
0
—0,040
0,006
0,296
6s'
0,425
0,244
0,123
0
—0,038
0,011
0,303
183
Таблица 15.3 Подобный компенсатор
Конструктивные данные В совокупности С обыч-
двухлинзового склеенного объектива ным ДВухлИНЗОВЫМ СКЛе-
енным объективом имеет
конструктивные данные,
приведенные в табл. 15.1.
Исправление
хроматизма положения по
широкому участку спектра
представлено в табл. 15.2.
Для сопоставления в
табл. 15.2 приведены
значения хроматизма
положения для объектива без апохроматического компенсатора из
тех же стекол, а в табл. 15.3 — конструктивные данные этого
объектива.
Глава 16
ТОНКИЙ КОМПОНЕНТ
16.1. Сферическая аберрация тонкого компонента
Рассмотрению работы тонкого компонента (большей частью
склеенного из двух стекол объектива) посвящено значительное
число работ различных авторов. Однако все эти работы и
исследования, как правило, проводились лишь в области элементарных
аберраций, т. е. в области аберраций третьего порядка
Естественно, что при этом терялась возможность оценки
неэлементарных аберраций, роль которых возрастает совместно с ростом
оптических характеристик и требований, предъявляемых к качеству
изображения тонкого компонента.
Принципиальную схему тонкого компонента можно
представить в виде совокупности базовой (или силовой) линзы,
определяющей его оптическую силу, и коррекционного элемента,
обеспечивающего устранение аберраций, присущих базовой линзе, в
частности ее сферической аберрации.
Таким образом, рассмотрение работы тонкого компонента
уместно начать с изучения свойств базовой Линзы.
Полагая зрачок входа совмещенным с тонкой базовой линзой
и используя меридиональный и сагиттальный инварианты,
нетрудно установить, что астигматизм такой линзы при реальных
угловых полях сохраняется постоянным независимо от формы
г
107,1
55,81
| —390,2
d
3,0
9,0
nD
1,6475
1,5163
Марка
стекла
ТФ1
К8
f = 199,993; s'F = 193,374
184
линзы. Действительно в этом случае для тонкой линзы можна
написать
cos2 со (п cos со' — cos со) Ф0 1
(16.1)
откуда величина астигматической разности получается равной
t'F — sF = — sF sin2 со. (16.2)
Сферическая аберрация линзы определяется сферической
аберрацией, присущей обеим ее поверхностям. В частных случаях,
делая одну из поверхностей линзы свободной от сферической
аберрации, получаем следующие три формы базовой линзы.
1. Первая поверхность линзы плоская.
Тогда сферическая аберрация второй поверхности,
разделяющая среды стекло—воздух, определит сферическую аберрацию
для всей линзы. В этом случае полученное ранее выражение (9.7)
для сферической аберрации может быть преобразовано с учетом
того, что показатель преломления п' = 1. Таким образом,
получаем
As' = U '- }—1 '- 1JT3J-. 06.3)
2. Вторая поверхность линзы конфокальна и не вносит
сферической аберрации.
Сферическая аберрация всей линзы будет равна сферической
аберрации первой поверхности, умноженной на продольное
увеличение второй поверхности. Таким образом, для этого случая
сферическая аберрация выразится формулой
в которой уже учтено продольное увеличение второй поверхности.
3. Вторая поверхность линзы апланатична по отношению
к изображению и также не вносит сферической аберрации.
Продольное увеличение второй поверхности будет в этом
случае в п2 раз больше, чем в предыдущем, поэтому сферическая
аберрация будет определяться формулой
„_(/-f;/'-T_,L,
\ п+1 J \—п
(16.5)
Для иллюстрации вышеизложенного обратимся к численным
примерам. Принимая для всех трех форм базовой линзы величину
185
фокусного расстояния /' = 100 мм и полагая показатель
преломления п = 1,613 (стекло марки ТК14), находим радиусы
поверхностей, создающих сферическую аберрацию. Тогда для
первой плосковыпуклой линзы получаем г2 = —61,30, для линзы
со второй конфокальной поверхностью — гг = 38,004 и для третьей
линзы со второй апланатической поверхностью — гх = 23,561.
Задаваясь высотой на первой поверхности, равной 12,26 (что
составляет 0,2 от радиуса плосковыпуклой линзы), находим
величины сферической аберрации As', которые для трех случаев
будут соответственно равны —5,312; —3,293 и —13,275 мм.
Возрастание сферической аберрации при переходе от линзы
с конфокальной поверхностью к линзе с апланатической
поверхностью легко объясняется тем, что в связи с ростом продольного
увеличения, создаваемого второй апланатической поверхностью,
происходит укорочение фокусного расстояния первой
поверхности, а следовательно, увеличивается ее относительное отверстие.
Это приводит к росту сферической аберрации первой поверхности
еще до того, как войдет в действие продольное увеличение второй
поверхности.
Сопоставляя величины сферической аберрации для всех трех
случаев, замечаем, что для линзы с конфокальной поверхностью
она будет наименьшей по абсолютной величине; это
обстоятельство позволяет сделать вывод, что при изменении формы линзы
(ее прогибе) должна существовать форма линзы с наименьшей
сферической аберрацией.
Прибегая к помощи какого-либо коррекционного элемента
с нулевой оптической силой, можно воспользоваться
отступлением формы поверхности линзы от сферы с сохранением радиуса
кривизны в ее вершине неизменным, т. е. переходом к анаберра-
ционным поверхностям вместо сферических поверхностей,
создававших сферическую аберрацию. Такими анаберрационными
поверхностями являются: для первого случая — гиперболическая
поверхность, а для второго и третьего — поверхности
эллиптические.
Совершенно очевидно, что тогда все три рассматриваемые
формы базовых линз становятся строго безаберрационными для
любых реальных апертурных углов и даже до их предельных
возможных значений, лимитируемых во втором и третьем случаях
величиною радиуса кривизны первой поверхности.
Важно отметить, что для первого случая
плоскогиперболической линзы величина первой высоты апертурного луча получается
совершенно неограниченной. Попутно заметим, что в этом случае
при размещении входного зрачка таким образом, чтобы его
изображение совпадало с геометрическим фокусом гиперболы,
добиваемся строгого устранения астигматизма. Соответственно,
размещая зрачок в третьем случае так, чтобы его изображение
совпадало с одним из геометрических фокусов эллипса, также
обеспечиваем устранение астигматизма.
186
16.2. Работа поверхности склейки
в качестве коррекционного элемента в тонком компоненте
Рассматривая в качестве коррекционного элемента
поверхность склейки, следует учитывать, что в отличие от деформации
сферической поверхности склеенная поверхность всегда будет
обладать некоторой оптической силой.
Воздействие склеенной поверхности на сферическую
аберрацию в общем случае является довольно сложным, так как для нее
сохраняются в силе общие закономерности, присущие
сферическим поверхностям, которые разделяют две среды с различными
показателями преломления. Вместе с тем можно
охарактеризовать работу склеенной поверхности условием наличия небольшой
разности показателей преломления сред, разделяемых этой
поверхностью.
Обратимся к точной формуле для сферической аберрации при
расположении предмета в бесконечности
As'
—т-Л г . (16-6>
п \ п J
из которой при малых значениях отношения высоты А к радиусу
кривизны поверхности г может быть получена приближенная
зависимость для элементарной сферической аберрации, или
сферической аберрации третьего порядка в виде
**?-=-*-*. (16.7)
Задавая ряд значений отношения А/г, можно найти для
различных показателей преломления как точные, так и
приближенные величины сферической аберрации.
Рассмотрим следующие два случая: 1) преломляющая
поверхность разделяет среды стекло—воздух, 2) преломляющая
поверхность является поверхностью склейки. Будем полагать в первом
случае п = 1,613 и п = 1, во втором случае — п = 1,728 и
ri = 1,613.
Численные значения сферической аберрации для первого
случая преломляющей поверхности приведены в табл. 16.1, для
второго — в табл. 16.2.
В третьем столбце табл. 16.1 и 16.2 приведены величины
расхождений между реальной сферической аберрацией и
элементарной сферической аберрацией третьего порядка, в четвертом
столбце — относительные расхождения, выраженные в
процентах. Из данных третьих столбцов следует, что расхождения между
реальными и приближенными значениями сферической аберрации
при изменении отношений А/г примерно пропорциональны
четвертым степеням этих отношений.
187
Таблица 16.1
Таблица 16.2
Сферическая аберрация Сферическая аберрация
силовой преломляющей поверхности склеенной преломляющей поверхности
h
~~г
1 0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
As'
so
—0,1162
—0,0725
—0,0401
—0,0176
—0,0044
Е
<
1
<
ч О
—0,0072
—0,0028
—0,0009
—0,0002
—0,0000
^5 1
^-Ч
~
<
<
6,20
3,86
2,24
1,14
0,00
h
г
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
As'
so
—0,3857
—0,2288
—0,1230
—0,0531
—0,0131
чЕ
<
j
<
(Л
—0,0605
—0,0207
—0,0059
—0,0011
—0,0001
25
^—^
to
<
<
\
15,69
9,05
4,80
2,07
0,76
Из табл. 16.1 и 16.2 также следует, что сферическая аберрация
склеенной поверхности получается значительно меньшей, чем для
случая преломляющей поверхности, разделяющей среды стекло—
воздух. Поэтому при использовании склеенной поверхности в
качестве коррекционного элемента для устранения сферической
аберрации силовой поверхности требуется иметь существенно
большие отношения h/r, чем для силовой поверхности.
Действительно, используя склеенную поверхность совместно
с силовой поверхностью, можно устранить сферическую аберрацию
для некоторой высоты К. Конструктивные данные полученной
системы приведены в табл. 16.3.
Полагая высоту на краю отверстия h = 15,0, находим значение
сферической аберрации As' = 0,040 мм; для высоты h = 10,0
получаем As' = —0,791 мм.
В рассматриваемом примере отношение h/r для склеенной
поверхности сохраняется равным 0,5, а для силовой поверхности
оно понижается до 0,276. Таким образом, для силовой
поверхности величина возникающей на ней сферической аберрации,
согласно табл. 16.1, получается равной As/sq = —0,106, а
относительное расхождение с аберрацией третьего порядка составит
4,14%, т. е. будет меньше, чем
Таблица 16.3 для поверхности склейки, для
Конструктивные данные которой из табл. 16.2 имеем при
склеенной системы отношении h/r = 0,5 величину
6,20 %.
Так как расхождение реальной
сферической аберрации и
сферической аберрации третьего порядка для
склеенной поверхности будет
превалировать, то это вызовет появление
отрицательной сферической
аберрации для меньших высот, что и
обнаружилось для высоты h = 10,0.
г
оо
30,0
! —54,3
/' = 131
d
2,0
5,0
753; sF =
nD
1,728
1,613
133,319
188
В приведенном примере разность показателей преломления
по обе стороны поверхности склейки составляла 1,728 — 1,613 =
= 0,115, поэтому отношения крайней высоты к радиусам были
соответственно равны 0,5 и 0,276, т. е. отличались примерно вдвое.
Нетрудно представить, что при уменьшении разности показателей
на поверхности склейки произойдет рост отношения ft/r, а это
(казалось бы) должно привести к возрастанию отрицательной
сферической аберрации на меньших высотах.
Проследим действительное изменение сферической аберрации
при изменении показателей преломления. Так, принимая
показатель преломления первой линзы равным 1,6725, уменьшаем
разность показателей до 0,0595. Тогда для сохранения
неизменными фокусного расстояния системы и величины сферической
аберрации на краю отверстия потребуется уменьшение радиуса
склеенной поверхности до г2 = 26,41 и увеличение радиуса
силовой поверхности до г3 = —62,72. Вследствие этого произойдет
возрастание отношения h/r2 = 0,568 и уменьшение отношения
h/r3 = 0,239.
Однако при просчете лучей на тех же высотах Д = 15,0 и
h = 10,0 получаются соответственно следующие значения
сферической аберрации: 0,038 и —0,731 мм. Полученные результаты
показывают, что вопреки ожидаемому возрастанию сферической
аберрации на меньшей высоте ее значение осталось практически
неизменным.
Такое сохранение величины сферической аберрации при
уменьшении разности показателей преломления вызывается тем, что
одновременно с уменьшением радиуса кривизны поверхности
склейки происходит увеличение радиуса кривизны силовой
поверхности. В результате сферическая аберрация силовой
поверхности соответственно уменьшается, а это, в свою очередь,
облегчает работу поверхности склейки и снижает эффект
рассогласования реальной сферической аберрации и сферической аберрации
третьего порядка.
Рассматривая зависимость изменения сферической аберрации
от величины разности показателей преломления, следует обратить
внимание на то обстоятельство, что при большей разности
показателей силы поверхности склейки и силовой поверхности
получаются соизмеримыми. При уменьшении разности показателей
происходит уменьшение обеих сил, причем более быстрое для
поверхности склейки.
Если осуществить дальнейшее уменьшение разности
показателей, то и тогда величина сферической аберрации на меньшей
высоте будет изменяться незначительно. Так, понижая
показатель преломления первой линзы до 1,6475 (что приводит к
уменьшению разности показателей до 0,0345), получаем при устраненной
сферической аберрации на краю отверстия ее величину для
меньшей высоты, равную —0,793 мм. Такая система будет иметь
конструктивные данные, приведенные в табл. 16.4.
189
Таблица 16 А
Конструктивные данные
склеенной системы
с небольшой разностью
показателей преломления
г
ОО
23,59
—68,02
й
2,0
5,0
nD
1,6475
1,6130
/' = 131,745; sF= 132,342
Таблица 16.5
Изменение
сферической аберрации и радиусов
в зависимости от разности показателей
на склеенной поверхности
Л/1
0,1150
0,0595
0,0345
гскл
30,0
26,41
23,59
гсил
—54,3
—62,72
—68,02
д4 = 10
—0,791
—0,731
—0,793
Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод, что
изменение разности показателей преломления при сохранении
неизменными показателя преломления базовой линзы и ее формы не
приводит к существенному изменению характера сферической
аберрации и ее величины, оставляя тем самым возможность
изменения разности показателей в довольно широком
диапазоне.
Для большей наглядности влияние изменения разности
показателей преломления по обе стороны склеенной поверхности на
величины радиусов и сферической аберрации в средней части
отверстия представлено в табл. 16.5.
16.3. Две склеенные поверхности
Сочетание двух поверхностей склеек может создавать эффект,
существенно отличающийся от случая совокупности силовой
поверхности и поверхности склейки.
Рассматривая работу двух поверхностей склеек, можно
исходить из того, что силы обеих поверхностей будут по своей
абсолютной величине отличаться не очень существенно; можно также
полагать, что эти силы будут иметь разные знаки, а разности
показателей преломления сред, разделяемых поверхностями
склеек, будут значительно отличаться друг от друга. Совершенно
естественно, что при выполнении таких условий воздействие
обеих поверхностей склеек на сферическую аберрацию будет
противоположным и разнохарактерным. Это обстоятельство
позволяет управлять в трехлинзовом склеенном тонком компоненте
величиной сферической аберрации для двух различных высот
и тем самым осуществлять двойную коррекцию сферической
аберрации.
В общем случае при двойной коррекции кривая сферической
аберрации будет иметь три экстремальные точки, из которых
одна точка будет располагаться на оси системы.
190
Выбор высот, для которых сферическая аберрация будет
устранена, вообще говоря, является произвольным. Тем не менее для
лучшей оценки величины остаточной сферической аберрации на
других высотах удобно воспользоваться условием совмещения
экстремальной точки для какой-либо заранее выбранной высоты
с осевой экстремальной точкой. В этом случае выбранная внеосе-
вая экстремальная точка окажется совмещенной с осью ординат
7l2 <п3 <Tbtt
-0,01 0 0,02 -ОМ О ОМ
Рис. 16.1. Трехлинзовые склеенные объективы с двойной
коррекцией сферической аберрации
и обе точки с устраненной сферической аберрацией сольются друг
с другом; тогда абсцисса третьей экстремальной точки будет
характеризовать величину остаточной сферической аберрации,
т. е. степень совершенства ее устранения.
Обращаясь к численным примерам исправления сферической
аберрации на двух высотах, получаем четыре возможных
случая, которые будут определяться как взаимным расположением
показателей преломления сред, разделяемых склеенными
поверхностями, так и знаками радиусов кривизны этих поверхностей.
В качестве первого примера двойной коррекции сферической
аберрации в табл. 16.6 приведены данные трехлинзового склеенного
объектива, у которого радиусы поверхностей склеек имеют
одинаковые знаки, а показатель преломления средней линзы ниже,
чем показатели преломления внешних линз.
191
Таблица 16.6
Конструктивные данные
трехлинзового склеенного
объектива со средним
отрицательным мениском
г
67,188
—36,141
—49,967
—800,0
d
12,0
3,0
4,0
"D
1,6126
1,5891
1,7280
/' = 125,0; sF= 112,145
Таблица 16.7
Аберрации для точки на оси
трехлинзового склеенного объектива
(рис. 16.1, а)
h
20,84
18,04
14,73
10,42
0,0
^s'D
—0,044
0,014
0,002
—0,012
0,0
As р
1,408
1,307
1,148
1,001
0,892
bs'c
—0,487
—0,383
—0,332
—0,297
—0,242
AsF-C
1,895
1,680
1,480
1,298
1,134
Схема этого объектива с графиком сферической аберрации при
относительном отверстии 1 : 3 представлена на рис. 16.1, а\
более подробные результаты расчета аберраций осевого пучка
для трех цветов D, F и С приведены в табл. 16.7.
В качестве второго примера приведены в табл. 16.8 данные
трехлинзового склеенного объектива, у которого радиусы
поверхностей склеек имеют разные знаки, а показатели преломления
линз возрастают последовательно.
Схема этого объектива с графиком сферической аберрации при
относительном отверстии 1 : 2 приведена на рис. 16.1, б.
В табл. 16.9 представлены более полно его аберрации. Это
решение было найдено Г. Н. Репинским.
В качестве третьего и четвертого примеров рассмотрим еще
два трехлинзовых склеенных объектива, схемы которых
представлены на рис. 16.1, в, г. В первом из этих объективов радиусы
поверхностей склеек имеют одинаковые знаки, но* показатель
Таблица 16.8
Конструктивные данные
трехлинзового склеенного
объектива со средней
двояковогнутой линзой
г
58,27
—48,32
25,97
—600,73
d
16,0
3,0
16,0
nD
1,6220
1,7786
1,8122
/' = 99,991; sF = 80,280
Таблица 16.9
Аберрации для точки на оси
трехлинзового склеенного объектива
(рис. 16.1, б)
h
25,0
21,65
17,67
12,50
0,0
Д*?)
—0,042
0.061
—0,061
—0,096
0,0
bsp
—0,306
—0,253
—0,442
—0,538
—0,497
As'c
0,115
0,237
0,140
0,129
0,245
*SF-C
—0,421
—0,490
—0,582
-0,667
—0,742
192
Таблица 16.10
Конструктивные данные
трехлинзового склеенного
объектива со средним
положительным мениском
г
61,30
—40,41
—29,34
—222,55
d
12,0
5,0
3,0
"z?
1,6076
1,8060
1,7550
/' = 100,0; s'F = 89,927
Таблица 16.11
Аберрации для точки на оси
трехлинзового склеенного объектива
(рис. 16.1, в)
h
16,67
14,44
11,79
8,34
0,0
д«Ь
—0,019
0,000
—0,007
—0,012
0,0
As р
—0,007
—0,047
—0,111
—0,168
—0,206
AS?
0,039
0,080
0,094
0,109
0,139
*SF-C
—0,046
—0,127
—0,205
—0,277
—0,345
преломления средней линзы выше, чем показатели преломления
внешних линз. В результате средняя линза (в отличие от первого
примера) имеет вид положительного мениска. У второго
объектива (как и в объективе Г. Н. Репинского) радиусы склеек имеют
разные знаки и показатели преломления линз возрастают
последовательно, но средняя линза является положительной.
Схемы этих двух последних объективов были получены
Н. А. АгальцоЕой. Конструктивные данные первого из них
приведены в табл. 16.10.
Аберрации этого объектива со средней линзой в виде
положительного мениска при относительном отверстии 1 : 3 приведены
в табл. 16.11.
В качестве четвертого примера двойной коррекции
сферической аберрации в табл. 16.12 приводятся данные трехлинзового
склеенного объектива со средней положительной
(двояковыпуклой) линзой.
Таблица 16.12
Конструктивные данные
трехлинзового склеенного
объектива со средней
двояковыпуклой линзой
г
61,30
21,36
—37,60
—471,82
й
3,0
14,0
3,0
/' = 100,0; sF =
nD
1,6130
1,6568
1,8060
= 86,575
Таблица 16.13
Аберрации для точки на оси
трехлинзового склеенного объектива
(рис. 16.1, г)
h
16,67
14,44
11,79
8,34
0,0
bs'D
—0,021
0,000
—0,007
—0,012
0,0
As/?
0,987
0,859
0,723
0,605
0,518
Asc
—0,318
—0,242
—0,204
—0,168
—0,121
AsF-C
1,305
1,101
0,927
0,773
0,639
193
Таблица 16.14
Конструктивные данные
двухлинзового несклеенного
объектива
г
41,562
—35,888
—35,964
со
d
10,0
ол
2,5
nD
1,5163
1
1,6140
/' = 100,0; s'F = 90,002 i
Таблица 16.15
Аберрации для точки на оси
двухлинзового несклеенного объектива
h
16,67
14,44
11,79
8,34
0,0
bs'D
—0,295
0,000
—0,047
—0,066
0,0
&Sp
—0,125
0,124
—0,003
—0,095
—0,094
&s'c
—0,296
0,015
—0,004
0,005
0,095
*SF—C
0,171
0,109
0,001
—0,100
—0,189 ]
Величины остаточных аберраций этого объектива при
относительном отверстии 1 : 3 даны в табл. 16.13.
В двух последних примерах вместо двойной коррекции
осуществлено совмещение экстремальной точки для высоты h =
= 14,44 с осью ординат. Естественно, что от такого вида
коррекции можно легко перейти к двум точкам исправления
сферической аберрации путем небольшого изменения параметров системы.
Для всех четырех приведенных
объективов характерно, что радиусы
поверхностей, разделяющих среды с меньшей
разностью показателей преломления, по
абсолютной величине меньше, чем
радиусы поверхностей, разделяющих среды с
большей разностью показателей
преломления.
Обращаясь к первому примеру трех-
линзового склеенного объектива, у
которого показатель преломления средней
линзы был меньше показателей
преломления наружных линз, можно было бы,
понижая этот средний показатель, до
значения, равного единице, получить
систему объектива из двух линз, разделенных
воздушным промежутком. Подобного рода двухлинзовый не-
склеенный объектив также позволяет осуществить двойную
коррекцию сферической аберрации.
В качестве примера в табл. 16.14 приведены конструктивные
данные такого объектива.
Схема и график сферической аберрации двухлинзового
несклеенного объектива при относительном отверстии 1 : 3
представлены на рис. 16.2, а остаточные аберрации приведены
в табл. 16.15.
Рис. 16.2. Двухлинзовый
расклеенный объектив с
двойной коррекцией
сферической аберрации
194
16.4. Использование малых деформаций
для устранения неэлементарной сферической аберрации
в тонком двухлинзовом компоненте
При устранении в тонком двухлинзовом склеенном объективе
элементарной сферической аберрации остается неисправленной
остаточная неэлементарная сферическая аберрация, которая
положительна и по своему характеру близка к параболической
зависимости четвертой степени от высоты или от выходного апертур-
ного угла.
") |& *> |А
Таблица 16.16 1о\ -^ ^А~Ю
Конструктивные данные
склеенного объектива
г
оо
20,40
—30,89
d
2,0
6,0
nD
1,728
1,613
/' = 100,015; sF= 101,762
-* о i -oj о о\1
Рис. 16.3. Графики сферической
аберрации двухлинзового
склеенного объектива до (а) и после {б)
введения малой деформации
Таким образом, такая сферическая аберрация может быть
представлена формулой
As' = Л о4. (16.8)
Тогда величина поперечной сферической аберрации равна
by' = As'а = Ла5 (16.9)
и, переходя к волновой аберрации, получаем
(16.10)
А, б(/' А в As' о
А/= 6 а==-6-°=—а-
Задавая продольную сферическую аберрацию объектива As' =
= 1 мм при относительном отверстии 1 : 5 (выходной апертур-
ный угол о = 0,1), находим величину сферической аберрации
в волновой форме А/ = 0,00167 мм.
Для устранения этой волновой аберрации можно прибегнуть
к деформации сферической поверхности объектива, граничащей
с воздухом. Тогда величина деформации Az определится по
формуле
Дг = — М/(п — 1). (16.11)
Полагая п = 1,6, находим, что Az = —0,0028 мм.
195
В качестве практического примера в табл. 16.16 приведены
данные склеенного из двух стекол объектива с устраненной
элементарной сферической аберрацией.
График сферической аберрации этого объектива представлен
на рис. 16.3 совместно с графиком остаточной сферической
аберрации после введения на последней поверхности малой
деформации, значения Дг которой приведены ниже.
h, мм .... 10 9 8 7 6 5
Дг, мм ... —0,0052 —0,0028 —0,0014 —0,0006 —0,0002 —0,0001
Глава 17
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
С ВЫНЕСЕННЫМ ВПЕРЕД ЗРАЧКОМ
17.1. Особенности работы окуляров
Окуляры не являются самостоятельными оптическими
системами, а входят в качестве отдельных конструктивных узлов
в другие оптические системы (зрительные трубы и микроскопы).
При этом окуляры являются последним звеном, передающим
изображение непосредственно в глаз наблюдателя.
Первым требованием, которое предъявляется к окулярам (при
рассмотрении их в обратном ходе лучей), является удаление
входного зрачка, необходимое для совмещения его со зрачком
глаза. Второе требование (также специфичное для окуляров) —
обеспечение примерной телецентричности хода главных лучей
в пространстве изображений.
Диапазон фокусных расстояний окуляров сравнительно
невелик и находится в пределах от 10 до 50 мм. Величина выходного
зрачка окуляров обычно не превосходит величины зрачка входа
глаза, равной 7 мм (хотя использование больших выходных
зрачков крайне заманчиво). Таким образом, относительное
отверстие окуляров, как правило, не превосходит 1 : 4, однако у
некоторых окуляров оно повышено до 1 : 2,5.
Угловое поле окуляров варьируют в пределах 2со = 30-=-90°;
дальнейшее увеличение углового поля нецелесообразно, так как
уже при 90° поле зрения глаз не в состоянии охватить его
полностью и оно начинает казаться наблюдателю неограниченным.
Удаление выходного зрачка должно быть не менее 7—8 мм.
К числу конструктивных особенностей окуляров следует
отнести необходимость размещения сетки для измерений и
возможность обеспечения перефокусировки окуляра для
компенсации близорукости или дальнозоркости глаза. Для окуляров,
применяемых в стереоскопических приборах, характерна
ограниченность наружного диаметра их оправ величиною наименьшего
196
расстояния между глазами наблюдателя, равной примерно 52 мм.
Естественно, что при этом ограничиваются величины диаметров
линз окуляров и их линейного поля зрения.
Обращаясь к требованиям, предъявляемым к качеству
изображения окуляра, следует в первую очередь обратить внимание на
то обстоятельство, что для детального рассмотрения изображения
объекта его почти всегда можно привести в центр поля зрения;
кроме того, пользуясь диапазоном аккомодации глаза, можно
в какой-то степени скомпенсировать влияние кривизны поля.
В известных пределах может быть осуществлена компенсация
аберраций окуляра соответственным изменением аберраций
системы, работающей с ним совместно. Все это в значительной
степени обеспечивает снижение требований, предъявляемых к
исправлению аберраций в окулярах.
Однако при значительных угловых полях окуляров
исправление полеЕых аберраций (астигматизма, кривизны поля, дистор-
сии, хроматизма увеличения и комы) может вызвать известные
затруднения, обусловленные необходимостью выноса выходного
зрачка (в прямом ходе лучей). При исправлении осевых аберраций
(хроматизма положения и сферической аберрации) также
возможны трудности вследствие отсутствия средств воздействия на
эти аберрации при достаточном выносе зрачка.
17.2. Простейшие окуляры
Выше отмечалось, что для построения принципиальной схемы
окуляра требуется обеспечение выноса выходного зрачка и
совмещения его со зрачком глаза наблюдателя.
Из простейших линз, исправленных на астигматизм и кому,
вынесенным вперед зрачом обладает лишь плосковыпуклая линза,
обращенная плоскостью к параллельному ходу лучей и имеющая
шифр Б | о, к). Ее выходной зрачок размещается в центре
кривизны второй преломляющей поверхности, а вынос зрачка входа
по нулевому лучу выражается формулой
что при п = 1,5 и d — 0,2/' составляет около одной пятой
фокусного расстояния.
Окуляр Рамсдена. Одиночная плосковыпуклая линза не может
служить окуляром непосредственно, так как ее выходной зрачок
(в обратном ходе) не может быть совмещен со зрачком объектива
зрительной трубы или микрообъектива. Поэтому для согласования
положения зрачков после такой плосковыпуклой глазной линзы
добавляют вторую силовую линзу — коллектив. Во избежание
возникновения аберраций, нарушающих резкость изображения,
коллектив удобно размещать в плоскости изображения после
глазной линзы. При этом он привнесет дополнительно только
197
кривизну поля. Таким образом, получаем принципиальную схему
окуляра Рамсдена, состоящую из двух плосковыпуклых линз.
Эта схема в обратном ходе лучей может быть зашифрована в виде
Б |о, к) + Б (б, о|. В этом случае окуляр Рамсдена будет
исправлен на астигматизм и кому; кривизна поля получится
отрицательной.
Сочетая подобный окуляр с тонким объективом, совмещенным
с входным зрачком и обладающим отрицательным астигматизмом,
получим суммарный астигматизм также отрицательным. Поэтому
для компенсации отрицательного астигматизма объектива
целесообразно придавать окуляру положительный астигматизм.
Следует также отметить, что при
размещении коллектива в плоскости
изображения становятся видимыми все дефекты его
поверхностей, поэтому принципиальную
схему окуляра Рамсдена несколько
нарушают, выводя коллектив из плоскости изо-
Таблица 17.1
ь
Конструктивные данные
окуляра Рамсдена
г
оо
—17,2
17,2
оо
d
3,5
21,7
2,3
nD
1,5163
1
1,5163
1 /' = 24,7; sF = —6,3;
Sp == Sp = 7,1
-1 0 1
Рис. 17.1. Окуляр Рамсдена
бражения. Тогда для одновременного получения положительного
астигматизма целесообразно применять в качестве коллектива не
близкофокальную линзу, а линзу с конфокальной поверхностью,
которая (как было установлено ранее) вносит положительный
астигматизм.
Такая конфокальная линза может быть сделана одинаковой
с глазной линзой окуляра. Полагая, что показатель преломления
в обеих линзах равен 1,5, получаем радиусы линз, которые равны
половине их фокусного расстояния, и тогда расстояние между
линзами становится равным их радиусу. Оптическая сила такого
окуляра равна полуторной силе отдельных составляющих линз.
Заметим, что окуляр Рамсдена с конфокальным коллективом имеет
телецентрический ход главных лучей.
Конструктивные данные окуляра Рамсдена с некоторым
отступлением от принципиальной схемы приведены в табл. 17.1,
а его схема и графики аберраций — на рис. 17.1 (здесь и далее
графики аберраций окуляров даны в обратном ходе лучей).
Величина выноса зрачка в окуляре Рамсдена при устраненном
астигматизме определяется формулой
s'P = (n- 1)/'/я, (17.2)
что составляет около одной трети величины фокусного расстояния.
198
Окуляр Фраунгофера. Перенос выходного зрачка глазной
линзы (помимо коллектива) может быть осуществлен путем
добавления к глазной линзе второй базовой линзы либо с апланатиче-
ской, либо с конфокальной поверхностью по следующим шифрам:
Б | о, к) + Б (а, о | и Б | о, к) + Б (кф, о |.
В первом случае апланатическая поверхность присоединяемой
базовой линзы не вносит ни астигматизма, ни комы; во втором
случае конфокальная поверхность, не внося комы, создает
положительный астигматизм, что в некоторой степени уменьшает
среднюю кривизну поверхности изображения и способствует
компенсации отрицательного астигматизма передней части системы.
В обоих случаях происходит значительное уменьшение эквива-
F
' *
Л
V'
'/'
*\
и
А
г*
^
W
V
I,
-Y 0 1 -10-5 О
Рис. 17.2. Окуляр Фраунгофера
лентного фокусного расстояния и вследствие этого увеличение
выноса зрачка по отношению к фокусному расстоянию, а также
увеличение отрицательной дисторсии, которое особенно
значительно для второй линзы с апланатической поверхностью.
Величина первого радиуса второй линзы в случае
конфокальное™ будет равна фокусному расстоянию глазной линзы и по
абсолютной величине будет больше ее радиуса; в случае же апла-
натичности первой поверхности второй линзы ее радиус будет
вп -f 1 раз меньше фокусного расстояния глазной линзы и
поэтому будет меньше по абсолютной величине второго радиуса
этой линзы. Представляется возможным уравнять радиусы обеих
линз по абсолютной величине, что и было сделано в лупе
Фраунгофера, состоящей из двух одинаковых соприкасающихся
плосковыпуклых линз, обращенных друг к другу выпуклыми сторонами.
Схема окуляра (или лупы) Фраунгофера с графиками
аберраций приведена на рис. 17.2, а конструктивные данные этого
окуляра — в табл. 17.2. Для окуляров такого типа свойственны
значительные величины отрицательного хроматизма увеличения и
отрицательной дисторсии.
Окуляр Гюйгенса. При использовании коллектива для
совмещения зрачков можно размещать его не только между глазной
линзой и изображением, но и позади изображения (в обратном
ходе лучей). В этом случае вторая поверхность коллектива может
быть сделана конфокальной, а первая поверхность — плоской.
199
Таблица 17.2
Конструктивные данные
окуляра Фраун гофера
г
со
—25,82
25,82
оо
d
5,0
0,1
5,0
nD
1,5163
1
1,5163
/' = 25,0; sF = —21,7;
s'F = s'p = 21,7
Таблица 17.3
Конструктивные данные
окуляра Гюйгенса
г
18,29
оо
9,45
оо
d
3,98
25,17
1,59
nD
1,5163
1
1,5163
F = 25,0; sF = 13,0; 1
Sp == Sp —= 4,о 1
Такая схема является принципиальной для окуляра Гюйгенса
и может быть зашифрована в виде Б |о, к) + Б |о, кф).
Расположение коллектива по другую сторону изображения,
которое при этом находится между линзами окуляра, дает
возможность осуществлять взаимную компенсацию хроматизма
увеличения и дисторсии. Существенно, что при такой схеме фокусное
расстояние окуляра становится больше, чем фокусное расстояние
4
I-
-2-1 0 i
Рис. 17.3. Окуляр Гюйгенса
глазной линзы. Это приводит к увеличению отрицательной
кривизны поля и к значительному уменьшению отношения выноса
зрачка к фокусному расстоянию окуляра.
В частном случае, когда показатель преломления
конфокальной линзы (коллектива) будет равен 1,5, радиус этой линзы
становится равным половине ее фокусного расстояния, а расстояние
от коллектива до плоскости промежуточного изображения
получается (при тонком коллективе) равным радиусу, деленному на
показатель преломления, т. е. одной трети фокусного расстояния
коллектива. Таким образом, располагая промежуточное
изображение посередине между глазной линзой и коллективом, получаем
хорошо известное соотношение
/гл • " • /кол = ' • ^ • О.
Заметим, что при телецентричности главного луча он уже не
сможет пойти по нормали к сферической поверхности глазной
200
ЛИНЗЫ, ПОЭТОМУ у Нее ВОЗНИКНУТ Таблица 17.4
Отрицательный астигматизм И неко- Конструктивные данные
ТОраЯ КОМа. При ЭТОМ, ОДНаКО, ПО- окуляра Кельнера
лучится небольшое увеличение
удаления выходного зрачка.
В качестве примера данные
окуляра Гюйгенса приведены в табл. 17.3,
а его схема и графики аберраций —
на рис. 17.3.
Схема окуляра Гюйгенса
выгодна тем, что в ней происходит
ощутимая компенсация хроматизма
увеличения глазной линзы и
коллектива. Благодаря этому окуляры
Гюйгенса используются в микроскопии и в настоящее время.
Окуляр Кельнера. Так как глазная плосковыпуклая линза
в окуляре Рамсдена не ахроматизирована, то она вносит
хроматизм положения (величина которого определяется отношением
фокусного расстояния к числу Аббе) и хроматизм увеличения,
возникающий на плоской поверхности (сферическая поверхность,
которую главный луч проходит по нормали, не вносит хроматизма).
г
66,18
—31,09
18,05
—13,54
—95,53
а
6,0
18,0
5,5
1,5
40
1,5163
1
1,5399
1,6199
V = 25,0; sF = —7,4;
s'F = s'p = 9,0
I,
-1 о
Рис. 17.4. Окуляр Кельнера
Величина хроматизма увеличения в угловой мере в предметном
пространстве определяется соотношением
1
dco =
tg со.
(17.3)
При п = 1,5163 и v = 64,1 (стекло марки К8) для полевого
угла со = 20° величина d(o составляет около 0,0019, т. е.
примерно б7.
Плосковыпуклой глазной линзе свойственна также
отрицательная дисторсия, величина которой определяется преломлением
на плоской поверхности по формуле
Ду = у —. у0 = — (сЩ 0) — tg(o)f = (cos со— 1)/'. (17.4)
При выводе коллектива из плоскости изображения и
хроматизм, и дисторсия увеличиваются, поэтому для их устранения
вводят в глазную линзу нормальную склеенную поверхность.
201
Таким образом, окуляр Рамсдена переходит в окуляр Кельнера,
схема которого может быть зашифрована в виде Б |о, сн, к) -f-
+ Б (б, о|.
Схема и графики аберраций окуляра Кельнера приведены на
рис. 17.4, а конструктивные данные — в табл. 17.4.
Плоскопараболический окуляр. В качестве окуляра может
быть использована плоскопараболическая линза, обращенная
плоской стороной к параллельному ходу лучей. Такая линза
будет строго анастигматичной для телецентрического хода
главных лучей; при соответственном подборе показателя преломления
она может быть исправлена на дисторсию. Кома
плоскопараболической линзы уже не будет исправлена, но может быть
скомпенсирована комой предшествующей части
системы. Хроматическая коррекция Таблица 17 5
плоскопараболической линзы может
быть обеспечена введением хромати- JSSto^!!™
ческой поверхности склейки.
т
Zfi.Zs
¦20
г
30,63 *
оо
d
15,0
f = 50,0; s'F = s
nD
1,6126
Р = 40,7 1
* Парабола по
уравнению у2 = 61,262
-1-1 О ) -Ь,1 о b
Рис. 17.5. Плоскопараболическая линза
Схема плоскопараболической линзы с графиками аберраций
представлена на рис. 17.5, а ее конструктивные данные приведены
в табл. 17.5.
17.3. Усложненные окуляры
Ортоскопический окуляр. Если в окуляре Фраунгофера (см.
рис. 17.2) для устранения хроматизма увеличения и дисторсии
ввести во вторую линзу в качестве коррекционных элементов две
нормальные склеенные поверхности, то получим ортоскопический
окуляр. В такой системе, шифр которой в обратном ходе лучей
имеет вид Б | о, к) + Б (кф, не, не, б), сохраняется достаточно
большое удаление входного зрачка.
Схема ортоскопического окуляра и графики его аберраций
приведены на рис. 17.6, а конструктивные данные — в табл. 17.6.
Усовершенствованный трехлинзовый окуляр. Применение
стекол с высокими показателями преломления в системах из двух
базовых линз вида Б | о, к) + Б (а, б) приводит к тому, что
выходной зрачок будет находиться за плоскостью изображения
на сравнительно небольшом расстоянии. Для получения доста-
202
точного удаления выходного зрачка, т. е. для создания
телецентрического хода главных лучей, можно использовать последнюю
поверхность второй линзы в качестве отрицательного по силе
4 0 1
Рис. 17.6. Ортоскопический окуляр
Таблица 17.6
Конструктивные данные
ортоскопического окуляра
г
32,3
—16,0
16,0
—32,3
22,2
со
d
6,5
3,0
6,5
1,0
3,5
nD
1,5163
1,6259
1,5163
1
1,5891
Г = 24,3; sf = —14,3;
s"F = sp = 19,2
Таблица 17.7
Конструктивные данные
трехлинзового окуляра
г
—137,74
45,40
—28,84
37,85
оо
d
16,0
12,0
0,2
6,0
nD
2,0557
1,7440
1
1,8060
Г = 25,2; sF = -8,6;
sF = 25,9; sp = 20,0
2 0 2 Ц 6 -20-10 0 10
Рис. 17.7. Грехлинзовый окуляр с высокими
показателями преломления
коллектива. Введение такой поверхности способствует также
увеличению удаления входного зрачка, которое может достигать
величин, превосходящих фокусное расстояние окуляра.
Устранение хроматизма увеличения достигается введением нормальной
склеенной поверхности, которая способствует также возникнове-
203
нию положительного астигматизма и уменьшению отрицательной
дисторсии.
Подобного рода окуляр, который можно зашифровать в виде
Б |о, к) + Б (а, сн, б), при всей простоте и при большом
удалении входного зрачка позволяет развивать значительное угловое
поле — порядка 2со « 70° и выше при относительном отверстии
от 1 : 4 до 1:3. Кроме того, характерной особенностью такого
окуляра является малая кривизна поля.
Конструктивные данные усовершенствованного трехлинзового
окуляра с использованием высоких показателей преломления
стекол приведены в табл. 17.7, а его схема и графики аберраций—
на рис. 17.7.
17.4. Окуляры с большим удалением выходного зрачка
В ряде случаев возникает необходимость удаления выходного
зрачка на расстояние, превышающее фокусное расстояние
окуляра (в особенности при разработке короткофокусных окуляров,
работающих с большими увеличениями).
В качестве
принципиальной схемы такого рода
окуляра можно использовать
тонкий компонент с
симметричным ходом главного луча
и с увеличением в зрачках,
равным минус единице.
Тогда при устранении сфериче-
Таблица 17.8
Конструктивные данные
бигиперболической линзы
г
30,63 *
—30,63 *
d
10,0
nD
1,6126
/' = 26,653; s'F = 23,347 1
* Гиперб
= *61,26г 4- 1
олы по у ран не
.6004822
ни ям у2 =
Рис. 17.8. Бигиперболическая
линза
ской аберрации в зрачках должно обеспечиваться строгое
отсутствие астигматизма при произвольном положении предметной
точки на главном луче — вплоть до случая перенесения ее в
бесконечность, когда изображение предметной точки совпадает
с меридиональным и сагиттальным фокусами.
Тонкий компонент может быть выполнен в виде
бигиперболической линзы с острым краем. Гиперболическая поверхность такой
линзы, обеспечивающая устранение сферической аберрации,
описывается уравнением
у2 = 2r0z + (п2 — 1) г2. (17.5)
Величина вершинного отрезка s'o гиперболической
поверхности, определяющая расстояние от ее вершины до зрачка,
выражается формулой
s0 = — г0/(п- 1). (17.6}
204
Для тангенса полевого угла можно написать
tgco = у-—-. (17.7)
В качестве примера приведем бигиперболическую линзу,
изображенную на рис. 17.8; ее конструктивные данные приведены
в табл. 17.8.
Задаваясь в формуле (17.5) величиной абсциссы г, равной
половине толщины линзы, находим ординату у до острого края
линзы, а затем по формуле (17.7) — соответствующее значение
полевого угла, которое в данном примере получается равным
со = —18° 4Г 36". Результаты расчета астигматизма и дисторсии
такой бигиперболической линзы для двух полевых углов
приведены ниже.
со
— 18° 4 Г 36"
—13°
sp
-50,0
—50,0
SP
50,0
50,0
zt
-0,847
-0,154
гз
—0,847
-0,329
А, %
0,00
0,00
Таким образом, для главного луча, проходящего через острый
край бигиперболической линзы, при соблюдении симметричного
расположения зрачков астигматизм строго отсутствует, т. е. zt = zs.
Устанавливая после бигиперболической линзы близфокальную
линзу — отрицательный коллектив, можно, не нарушая
анастигматической коррекции, изменять расположение зрачков и
увеличение в них.
Подобная система с бигиперболической линзой может быть
зашифрована в виде Б (г, г) + КС (б, о|. В случае равенства
сил обеих линз по абсолютной величине она будет свободной не
только от астигматизма, но и от кривизны поля. Кома такой
системы, определяемая величинами изображения и полевого
угла, получается небольшой.
Данная система, рассматриваемая как окуляр, будет обладать
большим выносом зрачка, достигающим величины удвоенного
фокусного расстояния (табл. 17.9).
Схема подобного рода окуляра с графиками аберраций
представлена на рис. 17.9. Для удобства сравнения с одиночной
бигиперболической линзой ниже приведены результаты расчета
астигматизма и дисторсии данной системы для тех же полевых углов.
со
1—18° 41' 36"
-13°
Sp
—48,944
-48,944
sp
—54,262
-134,69
Ч
0,140
-0,184
's
0,133
—0,022
Д. %
10,73
3,18
205
Таблица 17.9
Таблица 17.10
Конструктивные данные окуляра
с бигиперболической линзой
Конструктивные данные окуляра
из двух плоскоэллиптических линз
г
ОО
15,315
30,63 *
—30,63 *
d
1,0
26,1
10,0
/' = 24,0; sF =
s'F = sp = 48
* Гиперболы по
у2 = ±61,262 + 1,60048
nD
1,6126
1
1,6126
3,1;
,9
уравнениям
z2
г
ОО
—30,63 *
30,63 *
ОО
d
5,0
0,0
5,0
/' = 25,0; s'F =
nD
1,6126
1
1,6126
21,9
* Эллипсы по уравнениям
у2 = 4=61,262 — 0,38z2
Заметим, что большой вынос зрачка в схеме окуляра с
бигиперболической линзой является причиной возникновения
значительного хроматизма увеличения, поэтому она имеет лишь
теоретическое значение.
Бигиперболическая линза может быть заменена парой
симметричных плоскоэллиптических линз, каждая из которых корри-
I,-
[_20
~10
W
10+J
Y'
со,
20
*а
-0,2 0 0,2 -5 0 5 10
Рис. 17.9. Окуляр с бигиперболической линзой
гирована на сферическую аберрацию — аберрацию в зрачках;
однако при этом из-за разрушения острого края, имевшегося
у бигиперболической линзы, уже не должно наблюдаться строгое
устранение астигматизма.
Сохраняя прежние значения радиусов кривизны в вершине
эллиптических поверхностей, получаем систему, имеющую
конструктивные данные, которые приведены в табл. 17.10.
Результаты расчета астигматизма и дисторсии пары
плоскоэллиптических линз приведены ниже.
со
—18° 41' 36"
— 13°
sp
-46,899
—46,899
sp
46,903
46,967
Н
—1,265
—0,407
*s
—0,887
—0,382
А, %
0,01 1
0,14
20В
Отказываясь от эллиптичности обеих плосковыпуклых линз,
получаем систему с довольно значительной аберрацией в зрачках,
что, в свою очередь, вызывает существенное увеличение
астигматизма. Так, для пары плоскосферических линз с теми же самыми
радиусами кривизны r2j3 = =F30,63 для полевого угла со =
= —18° 41' 36" при sP = —46,899 получаем: zt = —8,480; zs =
= —3,482; А = —21,0 %.
Для уменьшения сферической аберрации в зрачках системы
из двух плосковыпуклых базовых линз и тем самым для
обеспечения устранения астигматизма в обеих
фокальных плоскостях можно
воспользоваться вместо деформации сферических
поверхностей (перехода к эллиптическим
поверхностям) введением двух
симметричных нормальных склеенных повер-
Таблица 17.11
Конструктивные данные
симметричного окуляра
г
68,66
21,01
—30,58
30,58
—21,01
—68,66
/' = 2
d
1,5
7,5
0,1
7,5
1,5
5,0; s'p =
nD
1,6164
1,5163
1
1,5163
1,6164
= 18,9 1
V'
fiO
Zt,zs
-1 0 1
Рис. 17.10. Симметричный окуляр
\20
YL/0
JU-7»
хностей. Однако в этом случае вследствие наличия крутых
радиусов поверхностей склеек трудно развивать относительное
отверстие (применительно к зрачкам) более, чем до 1 : 2,5, что будет
соответствовать величине полевого угла 2со « 0,2 рад, т. е.
примерно 12°. В таком виде симметричный окуляр имеет
ограниченное применение — лишь для охотничьих прицелов.
Конструктивные данные симметричного окуляра приведены
в табл. 17.11. Величина удаления выходного зрачка в этом
окуляре при небольших угловых полях 2со « 25° получается
примерно вдвое большей, чем его фокусное расстояние. Так, если бы
толщины линз были приняты равными нулю, то отношение
удаления выходного зрачка к фокусному расстоянию стало бы равным
двум.
Ниже приведены величины астигматизма и дисторсии
симметричного окуляра в соответствии с данными табл. 17.11 при его
работе с большим удалением выходного зрачка.
©
-12°
-8°
sp
—43,84
—43 84
s'p
42,86
43,12
zt
-0,352
-0,571
h
-0,622
—0,340
д, %
—2,03
— 1,47
207
Заметим, что на практике симметричный окуляр чаще
используется с обычным удалением выходного зрачка. В этом случае
он является развитием окуляра Фраунгофера. В таком виде
схема симметричного окуляра с графиками аберраций приведена
на рис. 17.10.
17.5. Широкоугольные окуляры
Размещая перед бигиперболической линзой плосковыпуклую
линзу типа Б | о, к), изменим положение предметной точки перед
этой линзой, не изменив астигматизма. Такое изменение
положения предметной точки не сможет внести астигматизма и после
бигиперболической линзы, хотя и приблизит к ней изображение.
Добавление плосковыпуклой линзы внесет некоторую
отрицательную дисторсию, наличие которой может способствовать
стабильности анастигматической коррекции системы при
перефокусировке окуляра, что будет показано дальше в п. 17.6.
Преломление главного луча на первой плоской поверхности
первой линзы увеличит угловое поле всего окуляра и несколько
уменьшит вынос зрачка. Таким образом, получаем
принципиальную схему широкоугольного окуляра.
В принципиальной схеме бигиперболическая линза может
быть заменена на две одинаковые плосковыпуклые линзы,
обращенные выпуклыми сторонами друг к другу, а в первую
плосковыпуклую линзу может быть введена нормальная склейка с
обратной ориентировкой по отношению к зрачку для обеспечения
возможности устранения хроматизма увеличения.
В результате конструктивная схема широкоугольного окуляра
в обратном ходе лучей может быть зашифрована в виде
Б |о, не, к) + 2Б (т, о| + К (б, о|.
Схема подобного рода широкоугольного окуляра и графики его
аберраций приведены на рис. 17.11, а конструктивные данные —
в табл. 17.12.
Следует заметить, что при использовании в этом окуляре
обычных тяжелых флинтов получается довольно крутой радиус
нормальной склейки, вследствие чего при исправлении
хроматизма увеличения на краю поля величина его в средней части
поля остается значительной. Для устранения этого остаточного
хроматизма увеличен-ия целесообразно использовать вместо
тяжелых сверхтяжелые флинты, значительно увеличивающие радиус
склеенной поверхности.
Окуляры, построенные по такой схеме и состоящие всего
из пяти линз, свободно обеспечивают угловые поля до 2со = 90°.
Важно отметить, что широко распространенные окуляры
Эрфле, состоящие также из пяти линз, имеют угловое поле, не
превосходящее 2со = 70° (причем при значительно худшем
исправлении аберраций).
208
-$-?-2 О 1 -2040 0 10
Рис. 17.И. Широкоугольный окуляр
Таблица 17 Л 2
Конструктивные данные
широкоугольного окуляра
1 г
оо
70,15
—50,0
50,0
34,99
—95,06
оо
й
3,0
5,0
8,0
0,1
9,0
0,1
11,0
1,8
Г = 25,9; sF=-
Sp —— Sp == 1У
nD
2,0557
1
1,7440
1
1,7440
1
1,7440
2,0557
-П,0; 1
4
Таблица 17.13
Конструктивные данные
окуляра Эрфле
г
—56,01
31,89
—31,89
70,78
—70,78
29,41
—34,42
—170,23
й
1,7
15,0
0,25
7,6
0,25
13,8
1,8
nD
1,6199
1,5163
1
1,5163
1
1,5163
1,6199
V = 25,0; sF = —8,9; 1
SF = SP = ^ ^»0
0 2 '/ 6
Рис. 17.12. Окуляр Эрфле
10 0 10
Для сопоставления схема окуляра Эрфле и графики его
аберраций приведены на рис. 17.12, а конструктивные данные —
в табл. 17.13.
209
17.6. Перефокусировка окуляра
Рис. 17.13. Перефокусировка окуляра
При изучении работы любого окуляра нельзя оставлять без
внимания процесс его перефокусировки для наблюдателей с
различной рефракцией глаза.
Для этого систему окуляра удобно представить в обратном
ходе лучей, полагая, что в пространстве изображений имеется
телецентрический ход главных лучей (параллельно оси системы).
Подобная принципиальная схема будет в той или иной степени
близкой для множества различных окуляров; при этом можно
также принять, что сферическая аберрация для всех главных
лучей в зрачке входа будет
исправленной, т. е. передние
фокуса как на главных
лучах в меридиональной и
сагиттальной плоскостях, так
и на оси для нулевых лучей
будут совпадать друг с
другом.
В соответствии с
изложенным выше получим
принципиальную схему окуляра,
представленную на рис. 17.13. Заметим, что пока не будем
предполагать, что дисторсия окуляра устранена.
Нетрудно представить, что в общем случае величины фокусных
расстояний в меридиональной и сагиттальной плоскостях и на
оси системы будут различаться друг от друга.
Величину заднего узлового фокусного расстояния можно
определить как отношение элемента изображения в фокальной
плоскости к соответственному элементарному полевому углу
в предметном пространстве, взятому с обратным знаком:
lt=— dyt/dxot; is = — dys/da>s = — -j^. (17.8)
Величина реального изображения у' окуляра будет зависеть
от фокусного расстояния на оси системы и величины полевого
угла со. Таким образом, можно написать
У' = у' (о)). (17.9)
Для сагиттальной плоскости, совершая поворот рисунка на
некоторый малый угол у вокруг оси окуляра, образуем
элементарный сагиттальный полевой угол dcos (на рисунке не показан),
равный
dcos = у sin оз. (17.10)
Элемент изображения в сагиттальной фокальной плоскости
будет равен
dyb = —yy. (17.11)
210
Беря отношение этого элемента к сагиттальному элементарному
углу, получаем величину сагиттального фокусного расстояния
— fs = —dy's/d<us = —у /since = fs. (17.12)
Для меридионального фокусного расстояния сохраняется
формула (17.8).
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. При отсутствии дисторсии величина изображения у' должна
быть равной
^ = г/о = —/otgeo. (17.13)
Поэтому для сагиттального фокусного расстояния находим
f; = /o/cos©. (17.14)
Пользуясь формулой (17.8), нетрудно определить
меридиональное узловое фокусное расстояние
2. При величине изображения, определяемой зависимостью
У =— /о sin со, (17.16)
величина абсолютной дисторсии будет равна
&У = у — УЬ = — /о sin со + /о tg со = у'о (sin co/tg со — 1) =
= 4fo(cos<D-l), (17.17)
а величина относительной дисторсии выразится формулой
A = Ay'/yo = cos(0- 1. (17.18)
В этом случае, согласно формуле (17.12), сагиттальное
фокусное расстояние станет равным фокусному расстоянию на оси
системы
fs = —y'/sinco =/i- (17.19)
Величина же меридионального фокусного расстояния
получается равной
it--?=hcosv>. (17.20)
3. Если величина изображения будет выражена зависимостью
y' = -f'aa>, (17.21)
то для абсолютной дисторсии получаем выражение
Ьу' = у'-Уо = — /o(co-tgco), (17.22)
а для относительной дисторсии
Д = Д#7*/о = co/tg © - 1. (17.23)
211
В этом случае сагиттальное фокусное расстояние будет
равным
Величина же меридионального фокусного расстояния
становится равной фокусному расстоянию на оси системы
i't = /о- (17.25)
Расхождение фокусных расстояний вдоль главного луча и
вдоль оси системы сказывается при перефокусировках окуляра
довольно ощутимо.
Исходя из формулы Ньютона, можно написать:
/о/о КК l/t
20 = i^; z8 = J-L\ h = -Ll. (17.26)
Z0 zs zt
При перефокусировке окуляра все отрезки z6, zs и zi (согласно
рис. 17.13) будут изменяться на одну и ту же величину
z'0 = zs = z't, {П.27)
что при расхождении величин фокусных расстояний
незамедлительно приводит к расхождению величин z.
Выражая перефокусировку в диоптрийной мере (в метрах
в минус первой степени), находим:
ls =
Lt =
r 1UUU 1UUU '
г° /о/о
1000 1000 г' /о/о , .
z* - м; s ~ м; °'
1000 1000 ' /о/о г
(17.28)
(17.29)
(17.30)
Так как окуляры всегда работают в воздушной среде, то все
передние и задние фокусные расстояния будут попарно равны
друг другу по абсолютной величине и обратны по знаку; это
позволяет переписать формулы (17.29) и (17.30) в виде:
Ls = 4r^o; Ц = ЦтЦ. (17.31)
Обращаясь к ранее рассмотренным трем случаям, находим:
1) Ls = L0 cos2 со; Lt = LQ cos 4co;
2) Ls = L0; L% = ^^V J
ч . _ sin* o) , . , ,
' s ~ CO2 °' * ~~ *'
212
Для углового поля окуляра 2со = 90° и при перефокусировке
на оси L0 = 4 дптр получаем:
1) Ls = LJ2 = 2 дптр; Lt = L0/4 = 1 дптр;
2) L3 = L0 = 4 дптр; Lt = 2L0 = 8 дптр;
3) Ls = 0,811L0 = 3,2 дптр; Lt = Ls = 4 дптр.
Нетрудно видеть, что в последнем случае, когда дисторсия
окуляра определялась из условия пропорциональности величины
изображения величине полевого угла, расхождения при
перефокусировке получаются наименьшими. Это обстоятельство
позволяет рекомендовать оставлять такую величину остаточной ди-
сторсии окуляра, т. е. не добиваться ее полного устранения.
Для обеспечения отсутствия дисторсии во всей системе можно
ввести аналогичную дисторсию в объективную часть системы.
Существенно, что подобная остаточная дисторсия в окулярах
несколько уменьшает диаметр изображения.
Глава 18
ОБЪЕКТИВЫ, ПОСТРОЕННЫЕ НА СОЧЕТАНИИ
ТОНКОГО КОМПОНЕНТА
С КОНФОКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
И НА ОСНОВЕ КОНЦЕНТРИЧНОЙ ЛИНЗЫ
18.1. Совокупность тонкого компонента
с конфокальной поверхностью
Размещая после тонкой линзы конфокальную поверхность
можно (в целях использования формулы для анастигматической
линзы) принимать в качестве тонкой линзы плосковыпуклую
линзу, обращенную плоской поверхностью к бесконечно
удаленному предмету. Рассматривая такую систему как воздушную
анастигматическую линзу, необходимо обеспечить совмещение
зрачка с ее первой поверхностью. Для этого, пользуясь формулой
(13.27) для нахождения оси анастигматической линзы, следует
приравнять полевой угол оо2 после первой поверхности углу е}
главного луча с нормалью.
Таким образом,
r0s\n е0 — Гх sin 6i
tgco2 = tge,= 1 1 ' , . (18.1)
r2 cos e2 — r{ cos 8j 4- a
Это условие может быть преобразовано к виду
d = r2 (tg s2/tgel — l)cose2, (18.2)
откуда следует, что второй радиус тонкого компонента,
обозначаемый через гь может оставаться произвольным.
213
Радиус г2 конфокальной поверхности связывается с
фокальным отрезком Soi f первой поверхности и толщиной по оси d0
следующим образом:
r2 = So\F — do- (18.3)
И, наконец, должно быть удовлетворено условие анастигма-
тичности
sin262 ^ C0S282 cos262
S2F SiF COS 8j —d Sl/r —d
Величины s'if и ei должны быть заданы, три остальные
величины — s2F, d и е2 являются неизвестными и могут быть
определены через систему трех приведенных уравнений, в которых радиус
г2 выражается через отрезок s2P.
После нахождения величин г2 и d0 первая поверхность
воздушной анастигматической линзы может быть заменена тонкой
линзой, исправленной на кому. Полученная таким образом система
из тонкой линзы в сочетании с конфокальной поверхностью будет
исправлена для заданного полевого угла на кому и астигматизм.
Однако следует отметить, что в этом случае уже не будет
получаться строгого исправления астигматизма и комы для
произвольной величины углового поля (как это имело место для
плосковыпуклой или концентричной линз).
Заметим, что тонкая линза, исправленная на кому, обладает
остаточной сферической аберрацией. При введении в нее
нормальной склеенной поверхности сферическая аберрация может быть
устранена на заданной высоте. В этом случае система становится
одновременно корригированной на астигматизм, кому и
сферическую аберрацию, так как конфокальная поверхность своей
сферической аберрации вносить не может.
Это позволяет использовать совокупность тонкой линзы,
совмещенной с входным зрачком, и конфокальной поверхности
как основу для различных фотографических объективов.
18.2. Фотографические объективы
с использованием конфокальной поверхности
Объектив Петцваля. Если к базовой системе из сочетания
тонкого компонента, совмещенного со зрачком входа, и
конфокальной поверхности добавить поверхность, концентричную
выходному зрачку, то получим систему со следующим шифром:
Б (т, не) + Б (кф, к).
Подобная система (как это нетрудно установить) не имеет
в своей схеме коррекционно-силового элемента, обеспечивающего
исправление кривизны поля, и поэтому она будет обладать
отрицательной кривизной; сферическая аберрация, вносимая
последней концентричной поверхностью, может быть исправлена с по-
214
мощью переднего тонкого компонента или с помощью коррекци-
онного элемента в самой второй линзе, что и было осуществлено
в портретном объективе Петцваля.
Схема объектива Петцваля с его конструктивными данными
и графиками аберраций приведена на рис. 18.1.
-0,5 0 0,5
58,0
-48,8
т,8
143,8
42,7
51,4
Р= 106.873; 3^72,791
Рис. 18.1. Объектив
Петцваля
Ojf/0 0,05 -0,05 0 0,05
6,7
1,3
36,4
U
2,7
5,3
1,5181
1,5183
1
1,5783
1
1,5181
40\42
-45,63
-44,15
-497,0
10,91
3,045
P = 75,425;Sf=34,592
Рис. 18.2. Объектив
«Таир-13»
3,0
0,15
2,0
29,5
5,05
1,61519
1
1,72317
1
1,61688
Телеобъектив. Располагая за конфокальной поверхностью
апланатическую поверхность, не вносящую ни астигматизма, ни
комы, ни сферической аберрации, делаем вторую линзу
отрицательной. Таким образом, подобная система превращается в
телеобъектив, который может быть зашифрован в виде Б (т) +
+ Б (кф, а(.
Варьируя величину радиуса апланатической поверхности,
можем устранить кривизну поля для выбранного полевого угла.
Учитывая, что первый компонент, совмещенный со зрачком входа,
не вносит дисторсию, устанавливаем, что величина дисторсии
определяется второй отрицательной линзой и будет
положительной.
В качестве примера подобного рода телеобъектива на рис. 18.2
приведена схема объектива «Таир-13» вместе с графиками
аберраций и конструктивными данными.
215
Высокосветосильные объективы. Заполнение всего
пространства после конфокальной поверхности до плоскости изображения
стеклом при ограничении второй линзы близфокальной поверх-
\/< '/ А
226,290
'
оо
109,021
161,53d
14,40
14,4-0
f'=
8,71
0,01
10,0
87,133
14,40
100,0] s^-
1,144
1
1,744
1
1,744
АО
-0,2 0 0,1 -0,1 0 0,1
Рис. 18.3. Высокосветосильный объектив с
использованием конфокальной поверхности
ностью способствует увеличению выходной апертуры после
конфокальной поверхности в п раз. Близфокальная поверхность
может быть использована для исправления кривизны поля. Кроме
116,20
-164,44
3831,0
106,11
-100,0
183,23
61,38
- 31,05
500,0
- 69,66
229,1
Р = 100,84; Sp=1,22
-0,05 0 0,05 -ОМ 0 0',05
Рис. 18.4. Ахроматизированный высокосветосильный
объектив с использованием конфокальной поверхности и
линзы Смита
24,81
4,96
0,1
29,18
1,94
64,42
25,8
22,49
1,18
1,62
1,6919
1,8060
1
1,1030
1,1092
1
1,1440
1,1398
1
1,8060
того, для развития относительного отверстия представляется
возможным разделить первый компонент на две соприкасающиеся
линзы, в каждую из которых вводится нормальная поверхность
склейки. Это позволяет обеспечить хорошее исправление
сферической аберрации на оси системы при относительном отверстии
216
порядка 1 : 1,0 для сравнительно небольшого углового поля —
около 10—15°.
Трудность развития углового поля в подобного рода
объективах определяется тем, что конфокальная поверхность, не внося
сферической аберрации на оси и не нарушая исправления
хроматизма положения, создает значительный хроматизм
увеличения. Для его исправления приходится вводить во второй компонент
две хроматические поверхности склейки.
Принципиальная схема такого высокосветосильного объектива
зашифровывается в виде Б (т) + Б (кф, б(. Схема объектива,
в котором первый компонент составлен из двух положительных
линз, представлена на рис. 18.3 вместе с графиками аберраций
и конструктивными данными. Ахроматизированный
высокосветосильный объектив, построенный по этой же принципиальной
схеме, изображен на рис. 18.4.
18.3. Объективы, построенные на основе концентричной линзы
Из всех базовых линз, корригированных на кому и астигма
тизм (см. рис. 11.1), концентричная линза обладает наименьшей
сферической аберрацией и строго свободна при неограниченно
большом угловом поле от дисторсии и хроматизма увеличения.
Вводя в концентричную базовую
линзу концентричную нормальную склеенную
поверхность, представляется возможным
добиваться устранения сферической
аберрации и хроматизма положения, не
нарушая других свойств концентричной
линзы. При этом получаем двухлинзовый
концентричный склеенный объектив,
исправленный на все элементарные
аберрации (за исключением кривизны
поверхности изображения) при неограниченном
поле зрения. Заметим, что относительное _0-п_02 0
отверстие подобного объектива может быть ' '
довольно значительным.
В качестве примера на рис. 18.5 при- 1^° ^diOff 180SQ
ведена схема концентричного двухлинзо- дб,8М
вого склеенного объектива с конструк- -700 1°ММ №Ш
тивными данными и графиками аберраций.
Для устранения кривизны ПОЛЯ МОЖ- Рис. 18.5. Двухлинзовый
НО совместить последнюю поверхность концентричный склеенный
объектива с плоскостью изображения — объектив — Б (к, снк, к>
задним фокусом и сделать ее тем самым
близфокальной. Тогда, нарушая концентричность этой
поверхности, используем ее как коррекционно-силовой элемент,
аналогичный линзе Смита. При этом элементарные аберрации
(кома, астигматизм, сферическая аберрация и дисторсия), в первом
217
приближении, не будут возникать, т. е. система такого двухлин-
зового объектива будет исправлена на все элементарные
аберрации.
Однако нарушение концентричности последней поверхности
по отношению к выходному зрачку приведет к возникновению
некоторого угла между главным лучом и нормалью к этой
поверхности. А так как показатель преломления последней
(воздушной) среды равен единице, то угол между главным лучом и нор-
*)
е
15\
т
V
со:
-0,5 0 0,5
35,58+ 1,6109
34,4- 1,8060
+0,302
Р=*+7,76К SrF=1,027
-0,5 0 0,5
-0,2 О
50,5
12,0
Ч0У0
f'= 50,133; s'F4,51'J
18,5 1,8854
58,2 1Л+2Ч
Рис. 18.6. Двухлинзовые склеенные объективы с
исправленной кривизной поля — Б (к, снк, б(
тмалью должен возрасти еще более, поэтому при росте входного
полевого угла раньше или позже должно наступить полное
внутреннее отражение на последней поверхности. Это обстоятельство
ограничивает угловое поле двухлинзового склеенного объектива
с исправленной кривизной поверхности изображения.
На рис. 18.6 приведены две схемы двухлинзовых склеенных
объективов с исправленной кривизной, отличающиеся друг от
друга расположением флинтовой и кроновой линз, а также
ориентировкой поверхности склейки. Относительное отверстие этих
объективов равно 1 : 2, угловое поле 2со = 30°.
Несколько лучшее исправление сферической аберрации
второго объектива можно объяснить повышением показателей
преломления у обеих его линз, которое привело к увеличению радиуса
кривизны склеенной поверхности.
Одним из конструктивных недостатков концентричной
базовой линзы является значительная толщина, превосходящая
величину фокусного расстояния линзы. Устранение этого недостатка
может быть осуществлено посредством введения в тело концентрич-
218
ной линзы воздушной биапланатической линзы, свободной от
сферической аберрации, комы и астигматизма.
С другой стороны, подобный переход можно было бы
рассматривать как добавление к мениску с передней концентрической и
задней апланатической поверхностями дополнительной линзы,
у которойг наоборот, передняя поверхность апланатическая,
а задняя — концентрическая.
Схема и графики аберраций такого двухлинзового объектива
с воздушной биапланатической линзой были представлены на
рис. 11.4, а.
Сопоставление графиков аберраций системы с воздушной
биапланатической линзой и исходной концентричной линзы (см.
рис. 11.1, б) показывает, что остаточная сферическая аберрация
и кривизна поверхности изображения сохраняются практически
без существенных изменений.
Объективы типа триплет. Главным недостатком
концентричных базовых линз является значительная кривизна поля. Из
числа коррекционно-силовых элементов приходится исключить
отрицательные концентричные линзы; линзы Смита также не
могут быть использованы, так как не позволяют устранять
сферическую аберрацию и хроматизм положения, присущие базовой
концентричной линзе. Поэтому наиболее перспективным средством
остается введение в тело базовой концентричной линзы пары
воздушных телеанастигматических (или просто анастигматических)
линз либо первого, либо второго рода, являющихся системами
галилеевского типа и обладающих вследствие этого
положительной кривизной поля.
Заметим, что введение пары воздушных анастигматических
линз облегчает исправление отрицательной сферической
аберрации базовой концентричной линзы и приводит к возникновению
положительного астигматизма в средней части поля при его
исправлении на краю. При этом возможен частный случай, когда
одна из поверхностей воздушной анастигматической линзы
вырождается в плоскую поверхность.
Нетрудно представить, что выход главного луча в воздух
внутри воздушных анастигматических линз сопряжен с ростом
углов главного луча с осью системы, что в значительной мере бу-
будет ограничивать возможности развития поля зрения.
Следует обратить внимание и на то обстоятельство, что
наличие тонкой отрицательной линзы в плоскости диафрагмы
повлечет за собой быстрый рост положительной сферической аберрации.
Система такого рода может быть зашифрована в виде Б [к,
—2КС (ан1), к]; ее схема и графики аберраций представлены на
рис. 18.7, а.
В рассмотренном примере для наружных поверхностей
объектива сохранялась концентричность исходной базовой линзы.
Однако введение в центре концентричной линзы тонкой
отрицательной линзы, предназначаемой для исправления кривизны поля,
219
связано с возникновением некоторого положительного
астигматизма, для устранения которого может быть нарушена кон-
центричность наружных поверхностей. Такое нарушение может
быть осуществлено либо путем удлинения всей системы, либо
посредством ее укорочения. В соответствии с этим возникают два
типа объективов: более длинных — аналогично
анастигматическим линзам второго рода, работающим при дальнем положении
10-
М-
4»-
W
5-
ш,
1 /
у
/
1
t—1—1
0 2 4
26,638
оо
-26,638
26,638
оо
0 2 4
3,151 1,6126
12,228 1
1,0 1,6126
12,228 1
3J51 1,6126
-4 -2 0 -6-4 -2 0
од ,597
13,344 1,6126
-149,947
10,054 1
- 42,149
0,682 1,6126
42,149
10,054 1
149,947
80,0 1,6126
оо
-4-2 0 -4-2 0
10,0 1,6126
-149,947
10,054 1
-42,149
0,682 1,6126
42,149
10,054 1
149,947
13,344 1,6125
-29,327
-26,636
Рис. 18.7. Трехлинзовые системы с воздушными анастигматическими линзами:
а — Б [к, —2КС (ан1), к]; б — Б [к, —2КС (ан1), о]; в — Б [о, —2КС (ан1), к]
зрачка, и более коротких — аналогично анастигматическим
линзам первого рода.
Таким образом, получаем две схемы объективов типа триплет:
более длинную, которую можно зашифровать в виде Б [к,
—2КС (ан1), о], и более короткую в виде Б [о, —2КС (ан1), к].
Схемы таких триплетов с графиками аберраций и
конструктивными данными представлены на рис. 18.7, б, е.
Широкоугольные объективы. Вводя в базовую концентричную
линзу пару воздушных телеанастигматических линз второго рода,
получаем принципиальную схему широкоугольного объектива,
которую можно зашифровать в следующем виде: Б [к,
—2КС(та11), к].
В подобной системе воздушные телеанастигматические линзы
будут способствовать развитию поля зрения; ее схема с графиками
аберраций представлена на рис. 18.8. Заметим, что эта система
является прототипом широкоугольного аэросъемочного объектива
«Руссар-29» (более подробно широкоугольные объективы
рассмотрены в гл. 20).
320
Объективы типа планар. Возвращаясь к двухДинзовой системе,
полученной из базовой концентричной линзы путем введения в нее
воздушной биапланатической линзы (см. рис. 11.4, а), замечаем,
что воздушный промежуток в ней достаточно велик. Это позволяет
разместить по обе стороны от диафрагмы пару симметричных
телеанастигматических линз, т. е. коррекционно-силовой блок, афо-
кальный вдоль главного луча, с помощью которого может быть
устранена кривизна поверхности изображения.
На рис. 18.9 приведена схема
подобного рода системы вместе с гра- I \П^\
фиками аберраций и
конструктивными данными. VI и
В
30
I L
10 20 f
у '[
V
П
4-10
>
20
10
i \-
и
-10 1-^0
J
О 1 2
-4-2 О
77,040
HI,947
92,094
-92,094
-41,941
-77,040
Рис. 18.8. Трехлинзовая
система с воздушными
телеанастигматическими линзами —
Б [к, —2КС (таII), к]
12,39$ W16
84,615 1
35,687 1,6126
84,615 1
12,396 1,6126
60,537
95,243
23,431
19,542
-19,542
-23,431
77,0
-280, С
f=86,96i;s^41,939
Рис. 18.9. Система с двумя
симметричными
телеанастигматическими линзами —
Б (к, а (+2КС(та11)+Б (а, к)
13,092
3,431
12,787
26,521
12,787
0,0
16,365
1,6126
1
1,6126
1
1,6126
1
1,6126
Коррекционно-силовой блок, представляющий из себя
телескопическую систему с увеличением, равным единице, не вносит
ни комы, ни астигматизма, но сам по себе не обладает
положительной сферической аберрацией, необходимой для компенсации
отрицательной сферической аберрации базовой концентричной
линзы. Поэтому сферическая аберрация системы после введения
в нее пары телеанастигматических линз остается неисправленной,
что следует из графиков аберраций.
Для устранения сферической аберрации можно
воспользоваться некоторым отступлением от телескопичности
анастигматических линз, придавая им отрицательную оптическую силу,
которая позволяет получить положительную сферическую абер-
221
рацию. В этом случае имеем принципиальную схему четырех-
линзовых объективов типа планар.
Возможен и другой вариант использования базовой концен-
ричной линзы посредством вырезания из нее стеклянной
плоскопараллельной пластинки с редуцированием ее толщины к
воздуху. Тогда получаем систему из двух симметрично расположенных
относительно диафрагмы плосковыпуклых линз, исправленных при
увеличении минус единица на кому и астигматизм.
Размещая (как и ранее) между этими плосковыпуклыми
линзами пару симметричных телеанастигматических линз, можно
устранить кривизну поля исходной двухлинзовой базовой
системы; соответственно можно ввести пару отрицательных
анастигматических линз, преследуя цель устранения и сферической
аберрации. Следует заметить, что при этом потребуется несколько
нарушить анастигматичность отрицательных линз, так как при
их введении плосковыпуклые линзы приобретут небольшой
отрицательный астигматизм. Таким образом, также получаем
принципиальную схему объективов типа планар.
При переходе от увеличения минус единица к расположению
предмета в бесконечности в целях устранения возникающей при
этом комы можно воспользоваться нарушением симметричности
системы. Для исправления хроматизма положения в обоих
вариантах потребуется введение во внутренние отрицательные линзы
пары хроматических радиусов.
Глава 19
СИММЕТРИЧНЫЕ ОБЪЕКТИВЫ
19.1. Двухлинзовые объективы
В качестве одного из простейших объективов можно было бы
рассматривать базовую концентричную линзу с равными
радиусами. Как отмечалось в гл. 18, такая линза, будучи строго
свободной от астигматизма,комы,дисторсии и хроматизма увеличения,
обладает некоторой остаточной сферической аберрацией и
значительной кривизной поверхности изображения. Конструктивно
базовая концентричная линза имеет значительную толщину.
Вырезая из концентричной линзы плоскопараллельную
пластинку и заменяя ее соответственным слоем воздуха, получаем
систему из плосковыпуклых линз, расположенных друг к другу
плоскими поверхностями, с диафрагмой, находящейся посередине
воздушного промежутка.
Совершенно очевидно, что при увеличении, равном минус
единице, такой двухлинзовый объектив сохранит некоторые
свойства исходной симметричной концентричной линзы, т. е. ве-
222
личину ее сферической аберрации, а также отсутствие комы и
дисторсии; что же касается исправления астигматизма, то его
полное устранение будет осуществимо лишь для какого-то одного
полевого угла. Это явление нетрудно проследить, рассматривая
работу одной половинки такого объектива — его задней линзы.
На рис. 19.1 представлена плосковыпуклая линза, обращенная
плоскостью к бесконечно удаленному предмету. Ее первая
плоская поверхность не будет создавать астигматизм, а для
устранения астигматизма у всей линзы в целом необходимо, чтобы
главный луч пересекал бы ее вторую сферическую поверхность по
нормали.
Однако тогда (как следует из рис. 19.1) главные лучи,
составляющие с осью линзы различные углы, уже не смогут перед
первой поверхностью пересекать ось в одной и той же точке, так
как передняя плоская поверхность будет обладать некоторой
сферической аберрацией в зрачке. Поэтому, если центр диафрагмы
будет совмещен с точкой пересечения какого-то главного луча,
пересекающего вторую поверхность по нормали, то уже другие
главные лучи, проходящие через центр диафрагмы, не смогут
проходить вторую поверхность по нормали; вследствие этого
возникает для таких главных лучей некоторый отрицательный
астигматизм.
223
Перемещая диафрагму от ее исходного положения вправо и
влево, будем усиливать астигматизм, вносимый второй
сферической поверхностью; при этом можно построить графики изменения
астигматизма в зависимости от положения зрачка, которые
представлены на рис. 19.1 под схемой плосковыпуклой линзы. На всех
графиках для различных полевых углов будут существовать
точки, в которых меридиональная и сагиттальная кривые
касаются друг друга (что соответствует случаю отсутствия
астигматизма), но эти точки касания не будут располагаться друг под
другом; по мере роста полевого угла они смещаются вправо — по
направлению к линзе.
Строя график изменения астигматизма в зависимости от
величины полевого угла для одного (среднего) положения диафрагмы,
видим, что меридиональная кривая сможет коснуться
сагиттальной кривой лишь для одного полевого угла со2. Для всех
остальных полевых углов будем наблюдать наличие некоторого
отрицательного астигматизма. Эта картина показана на рис. 19.1 справа.
Придавая первой поверхности рассматриваемой линзы
некоторую кривизну, вносим с ее помощью астигматизм, знак которого
будет зависеть от того, будет ли сила первой поверхности
положительной или отрицательной.
Делая первую поверхность выпуклой, будем вносить
отрицательный астигматизм, величина которого при изменении
положения входного зрачка (в случае пологого радиуса первой
поверхности) будет изменяться сравнительно мало. Таким
образом, обе кривые, представляющие собою процесс изменения
положения меридионального и сагиттального изображения, должны
будут разойтись, и тогда точка, в которой отсутствовал
астигматизм, перестанет существовать.
Наоборот, если первую поверхность сделать вогнутой, то
она должна будет внести положительный астигматизм, вследствие
чего для всей линзы при положении входного зрачка, при котором
главный луч проходил по нормали ко второй поверхности, будем
наблюдать также некоторый положительный астигматизм.
Изменяя положение входного зрачка, заставим вторую
поверхность вносить астигматизм отрицательный и нарастающий
приблизительно по квадратическому закону; так как
положительный астигматизм первой поверхности при этом будет изменяться
сравнительно мало, то раньше или позже отрицательный
астигматизм второй поверхности по абсолютной величине должен будет
превзойти положительный астигматизм первой поверхности, и
линза также станет обладать отрицательным астигматизмом.
Совершенно очевидно, что при этом должен существовать момент,
когда обе астигматические кривые будут пересекать друг друга,
т. е. когда астигматизм всей линзы сделается равным нулю.
Таким образом, приходим к выводу, что менискообразная
линза должна обладать двумя положениями входного зрачка,
когда ее астигматизм будет устранен.
224
Аналогичный процесс можно проследить и для случая, когда
главный луч будет проходить первую поверхность по ее нормали,
а вторая поверхность, работающая в сходящемся ходе лучей,
не будет вносить своего астигматизма (вторая поверхность будет
апланатичной по отношению к изображению после первой
поверхности). В этом случае главный луч будет пересекать ось
Рис. 19.2. Две области расположения анастигматических зрачков у
положительных линз:
1, 2 — изменение сферической аберрации при /i = 1,5163 и я = 1,8880; 3, 4 — расстояния
входных зрачков от первой поверхности линзы при исправленном астигматизме для n=»
1,5163 и п = 1,8880; 5 — изменение астигматизма по полю зрения при ближнем
положении зрачка для п = 1,5163; 6 — изменение астигматизма при дальнем положении зрачка
для п = 1,8880
системы после второй поверхности в точке, где и должен быть
размещен зрачок выхода — материальная диафрагма. Тогда,
отступая от апланатичности второй поверхности, будем вносить
дополнительный астигматизм, который может быть как
положительным, так и отрицательным; с его помощью вся линза либо
будет обладать только отрицательным астигматизмом, либо будет
иметь два положения выходного зрачка, при которых астигматизм
будет отсутствовать.
Оба случая можно объединить, рассматривая закономерность
изменения астигматизма в зависимости от формы линзы, которая
определяется величиной угла а2 параксиального луча. Эта
картина представлена на рис. 19.2, на котором вдоль оси абсцисс
отложены значения параксиальных углов а2, а по оси ординат —
значения отрезков sx от первой поверхности линзы до анастигма-
225
тических зрачков входа и значения сферической аберрации As'.
На этом же рисунке приведены графики изменения астигматизма
по полю зрения для двух форм линз и для двух ветвей кривых,
вдоль которых наблюдалось отсутствие астигматизма, а также
графики изменения сферической аберрации на краю отверстия.
Область значений а2 от нуля до а2 = 1,5163 при показателе
преломления п = 1,5163 и до а2 = 1,888 при п = 1,888
характеризуется отсутствием положений зрачков, при которых
устранение астигматизма будет возможно; в этом районе располагаются
линзы, обладающие минимальной сферической аберрацией.
Рассматривая графики изменения астигматизма по полю
зрения в левой области, видим, что для ближнего положения
входного зрачка, определяемого верхней ветвью кривой sl9 при
исправлении астигматизма для края поля зрения величина
астигматизма в средней части поля будет отрицательной и, наоборот,
при дальнем расположении входного зрачка что соответствует
нижней части кривой sx, остаточный астигматизм в средней части
поля будет положительным и меньшим по абсолютной величине,
чем при ближнем положении зрачка.
Для правой области остаточный астигматизм будет в обоих
случаях отрицательным и большим по абсолютной величине для
ближнего положения выходного зрачка.
При составлении симметричного объектива из пары
анастигматических менисков необходимо, чтобы входной зрачок был бы
расположен впереди линзы. В левой области рассматриваемой
картины такое расположение зрачка обеспечивается свободно;
в правой же области положение входного зрачка получается
в теле линзы, за исключением небольшого участка нижней ветви
при низком показателе преломления. Поэтому симметричные
объективы из двух менисков могут быть построены или с ближним
расположением зрачка, или с дальним; при этом уже сразу можно
предвидеть, что объектив, построенный на основе мениска с
дальним расположением входного зрачка, будет обладать лучшим
исправлением астигматизма, чем объектив с использованием
менисков с ближним расположением зрачка.
Заметим, что кроме этих двух основных форм симметричного
объектива существует еще и третья форма — объектив,
построенный из двух менисков, обращенных друг к другу выпуклыми
сторонами.
Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что
и в левой области верхняя ветвь кривой, определяющая
положение зрачка, при котором наступает устранение астигматизма,
при усилении прогиба мениска будет пересекать ось абсцисс, что
приводит к углублению зрачка входа в тело линзы. Это явление
будет ускоряться при увеличении толщины мениска.
Поэтому, используя для устранения кривизны поля мениски
с равными радиусами, получаем при дальнем положении зрачка
достаточно большой его вынос, тогда как для ближнего положения
226
зрачка последний углубляется внутрь линзы, что препятствует
составлению симметричного объектива.
Классическим примером построения симметричного объектива
на основе менисков с равными радиусами при дальнем положении
зрачка является объектив «Гипергон», схема которого с графиками
аберраций и конструктивными данными была приведена на
рис. 11.5, б.
Для объектива «Гипергон» было характерно сильное падение
освещенности изображения на краю поля зрения, доходившее до
2,2 % от освещенности в центре. Кроме того, большая кривизна
радиусов его линз приводила к очень быстрому росту сферической
аберрации, что и вынуждало ограничиваться небольшим
относительным отверстием 1 : 30.
Невозможность уравнивания радиусов менисков при
использовании ближнего расположения зрачка приводит к сохранению
некоторой кривизны поля при исправленном астигматизме, что
и наблюдалось на примере объектива типа перископ,
представленного на рис. 11.5, а. Из графиков аберраций следует, что этот
объектив обладал значительной отрицательной кривизной поля,
достигавшей 10 мм для полевого угла со = 30°. Вместе с тем его
относительное отверстие было повышено до 1 : 10 при сохранении
достаточно малой сферической аберрации.
Ранее уже упоминалось, что имеется принципиальная
возможность создания симметричного объектива из двух менисков,
обращенных к диафрагме выпуклыми сторонами; при этом сами
мениски могут быть выполнены с равными радиусами, что позволяет
устранять в такой системе кривизну поля. Схема подобного
объектива была приведена на рис. 11.5,6 вместе с графиками
аберраций, из которых следует, что при угловом поле 2со = 60° на краю
поля достигается одновременное исправление кривизны и
астигматизма; однако в средней части поля получается довольно
значительный отрицательный астигматизм.
19.2. Меридиональная сферическая аберрация
анастигматических менисков
при дальнем и ближнем положении входного зрачка
Для плосковыпуклой линзы, обращенной плоскостью к
бесконечно удаленному предмету, при выходном зрачке,
совмещенном с центром кривизны второй поверхности, а также для
линзы из первой концентричной и второй апланатичной
поверхностей получаем, что меридиональная и сагиттальная сферические
аберрации либо строго постоянны по полю (в первом случае),
либо изменяются незначительно вследствие влияния увеличения,
создаваемого апланатической поверхностью (во втором случае).
Вместе с тем для более тонких менискообразных линз при
различном расположении входного зрачка аналогично
астигматизму будет наблюдаться существенно различная картина для
227
Таблица 19.1 меридиональной сферической абер-
Конструктивные данные мениска рации. Действительно, для
одинаковых полевых углов углы е и е'
на обеих поверхностях одного и
того же мениска при различном
положении входного зрачка будут
значительно отличаться. Так, при
дальнем положении входного
зрачка, соответствующем
анастигматическим линзам второго рода, углы
е и в' будут сравнительно невелики
и, наоборот, при ближнем положении зрачка, что соответствует
анастигматическим линзам первого рода, углы е и е' будут по
величине близки к полевым углам со, т. е. будут значительно
большими. Кроме того, при дальнем положении зрачка косая
толщина по отношению к толщине мениска вдоль оси будет
постепенно уменьшаться, тогда как при ближнем положении зрачка
она будет возрастать.
Сопоставляя отклонение главного луча мениском при дальнем
и ближнем положении зрачка, замечаем, что в первом случае
такое отклонение по своему характеру будет напоминать
отклонение луча клином, работающим вблизи угла минимального
отклонения, тогда как для ближнего положения зрачка работа
мениска будет приближаться к картине работы плоскопараллельной
пластинки.
Учитывая, что при ближнем положении зрачка сила каждой
из поверхностей мениска в меридиональной плоскости будет
существенно возрастать за счет наличия больших углов е и е',
можно ожидать (и это наблюдается на практике), что сферическая
аберрация в меридиональной плоскости будет слагаться из
больших по своей величине сферических аберраций обеих
поверхностей; последнее способствует быстрому возрастанию суммарной
меридиональной сферической аберрации.
Рассматривая же работу мениска при дальнем расположении
зрачка, наблюдаем, что по мере увеличения полевого угла со
происходит возрастание меридионального фокусного расстояния
вдоль главного луча.Это приводит к уменьшению апертурных углов
в меридиональной плоскости, что в известной степени облегчает
работу мениска и способствует даже некоторому уменьшению
меридиональной сферической аберрации.
Для подтверждения сказанного возьмем мениск,
конструктивные данные которого приведены в табл. 19.1.
Рассмотрим работу этого мениска при дальнем положении
зрачка. В этом случае наблюдается приведенные ниже
характерные особенности.
1. Сравнительная малость углов падения и преломления
главного луча на обеих поверхностях линзы. Так, для выбранного
примера при дальнем положении зрачка от первой поверхности,
г
—25,32
— 19,26
1 /' = 100,(
d
5,0
nD
1,6126
315; s'F= 107,517 1
228
равном sx = —15,0 мм, углы падения и преломления
приобретают следующие значения для входного полевого угла сох =
=_50°: г{ = —18°12'; г[ = — 1Г10'; е2 = 7°52'; 82 = 12°45\
2. Уменьшение косой толщины d при увеличении полевого
угла. Так, в приведенном примере для полевого угла (ох = —50°
косая толщина становится d = 2,33 мм, т. е. делается меньше
толщины линзы по оси в два с лишним раза.
На величину меридиональной сферической аберрации
оказывают влияние три фактора.
1. Изменение углов главного луча с нормалями к обеим
преломляющим поверхностям.
Продольная сферическая аберрация (будучи четной функцией
от апертурного угла) при малых углах падения и преломления
будет величиной высшего порядка малости. Вследствие этого
влияние углов е и е' можно не учитывать. Тогда меридиональная
сферическая аберрация может быть определена как сферическая
аберрация точки на оси для мениска с теми же самыми радиусами,
но с измененной толщиной, равной в первом приближении косой
толщине.
2. Изменение косой толщины.
Так как наклон первой преломляющей поверхности не
должен вызывать изменения ее собственной сферической аберрации,
то изменение сферической аберрации всей линзы явится следствием
изменения увеличения ее второй поверхности и изменения
сферической аберрации этой поверхности.
3. Изменение ширины наклонного пучка лучей при его
прохождении через материальную диафрагму под различными углами.
Такое изменение приводит к уменьшению сферической
аберрации пропорционально квадрату косинуса полевого угла.
Кроме того, в пространстве изображений следует учитывать
переход от поперечной сферической аберрации 8gi в плоскости,
перпендикулярной главному лучу, к поперечной сферической
аберрации &gi в плоскости изображения, перпендикулярной оси
линзы.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим рис. 19.3, на
котором представлен положительный мениск, работающий при
дальнем положении зрачка входа. В левой части этого рисунка
показано изменение заднего фокального отрезка s'F мениска при
изменении его толщины, а также изменение его сферической
аберрации — продольной As' и поперечной 8go для постоянной
высоты h0 = 5 мм.
Высоты h0 и ht связываются зависимостью
ht = h0 cos со'; (19.1)
соответственно связываются и поперечные аберрации
6gi = 6g't/cos®. (19.2)
229
Таблица 19.2
Сферическая аберрация мениска
в зависимости от его толщины
Зависимость изменения
сферической аберрации мениска с
постоянными исходными радиусами
при изменении его толщины
можно получить посредством
тригонометрического расчета хода лучей
при выбранной высоте h0 = 5 мм
(табл. 19.2).
Из этой таблицы следует, что
изменение сферической аберрации
при изменении толщины линзы
происходит сравнительно
медленно.
В табл. 19.3 приведены величины отрезков s'tF вдоль главного
луча до меридиональных фокусов; эти расстояния при одинаковых
значениях косых толщин и толщин линзы вдоль оси несколько
расходятся с отрезками s'F для параксиальных лучей из табл. 19.1.
Такое расхождение было обусловлено приравниванием нулю
углов е и е' при преломлении главного луча; поэтому при анализе
й
\ 1
2
3
4
5
6
s>
125,468
120,230
115,546
111,329
107,517
104,051
As'
—9,65
—9,56
—9,49
—9,44
—9,40
—9,37
6go
—0,42
—0,44
—0,46
—0,49
—0,51
—0,53
Рис. 19.3. Меридиональная сферическая аберрация мениска при дальнем
положении зрачка:
/¦^-зависимость отрезка sf от толщины; 2 — продольная сферическая аберация As'; 3 •**•
поперечная сферическая аберрация 6g'
изменения сферической аберрации в качестве аргумента следует
принимать не косую толщину, а величины отрезков S/V,
приравнивая эти отрезки отрезкам s? и находя соответствующие им
величины меридиональной толщины dt.
Учитывая изменение высоты ht для различных полевых углов,
были вычислены величины поперечной сферической аберрации
Sg'ot для линз с измененной толщиной dt вдоль оси при
соответственном изменении высоты htl а для сопоставления эти же
величины поперечных аберраций в меридиональной плоскости были
230
Таблица 19.3
Изменение меридиональной и сагиттальной сферической аберрации мениска
при дальнем положении зрачка
со, °
50
ко
30
20
10
*t
— 18,24
— 10,85
-5,75
—2,45
—0,60
zs
— 18,69
— 11,53
—6,31
—2,75
—0,68
HF
122,45
117,29
113,09
110,01
108,08
a.
2,33
3,31
4,06
4,59
4,90
*t
1,55
2,62
3,55
4,35
4,85
ht
3,21
3,83
4,33
4,70
4,92
bg'ot
—0,11
—0,20
—0,30
-0,4j
—0,48
COS 0)'
—0,14
—0,23
—0,34
—0,42
—0,48
bg't
—0,15
—0,25
—0,35
-0,43
—0,49
M's
—0,44
—0,47
—0,49
—0,50
-0,51
непосредственно вычислены путем тригонометрического расчета
хода лучей. Все эти величины сведены в табл. 19.3.
В первых трех столбцах этой таблицы приведены полевые
углы со и соответствующие им величины меридионального и
сагиттального искривлений изображения zt и zs. Далее в
четвертом столбце даны величины меридиональных фокальных
отрезков s'tF вдоль главного луча и в пятом столбце — значения
косых толщин d.
Принимая отрезки s'tF равными отрезкам s'F, были вычислены
величины поперечной сферической аберрации на оси 8got для
высот ht и для толщин dt, соответствующих отрезкам sF. Эти
величины приведены в шестом, седьмом и восьмом столбцах
таблицы.
В девятом столбце сделан переход от величин 8got в плоскости,
перпендикулярной главному лучу, к величинам 8g'0t =
= 8gWcos со' в плоскости, перпендикулярной оси системы.
В двух последних столбцах приведены величины поперечной
сферической аберрации в меридиональной и сагиттальной
плоскостях, вычисленные путем тригонометрического расчета хода
лучей на ЭВМ.
Сопоставление величин, приведенных в девятом и десятом
столбцах, показывает достаточно хорошее совпадение
приближенных и точных значений поперечной сферической аберрации
в меридиональной плоскости, оправдывающее сделанные в начале
допущения.
Рассматривая сферическую аберрацию в сагиттальной
плоскости, необходимо учесть, что в этом случае изменения ширины
наклонного пучка уже не должно происходить, так же как и
изменения поперечной сферической аберрации при переходе от
плоскости, перпендикулярной главному лучу, к плоскости,
перпендикулярной оси линзы. В результате величины сагиттальной
поперечной сферической аберрации должны получаться большими,
чем в меридиональной плоскости, что и наблюдается в последнем
столбце табл. 19.3.
231
Таблица 19.4
Изменение меридиональной и сагиттальной
сферической аберрации мениска
при ближнем положении зрачка
Перейдем к
рассмотрению меридиональной и
сагиттальной поперечной
сферической аберрации
для того же мениска, но
при ближнем
расположении входного зрачка. В
этом случае величины
углов падения и
преломления на обеих поверхностях
мениска при полевом угле
coj = —50° и расстоянии
до зрачка входа, равном
Sj = +0,3 мм, будут
значительно больше, чем при дальнем положении зрачка, а именно:
ei = — 50°49'; ei = —28°44'; е2 = — 2Г17'; г2 = — 35°50\ Косая
толщина для полевого угла щ = —50° возрастает до 5 = 5,51 мм.
Для изменения меридиональной и сагиттальной сферической
аберрации мениска при ближнем положении зрачка входа трудно
получить приближенную формулу, поэтому вынуждены будем
ограничиваться численным определением их величин по
точным формулам посредством тригонометрического просчета лучей.
Эти величины приведены в табл. 19.4.
СО, °
50
40
30
20
10
*>
— 15,40
— 17,77
— 12,93
—6,65
— 1,80
*s
— 15,20
— 12,78
—8,39
—4,09
— 1,08
bg't
—4,70
—2,11
— 1,20
—0,76
—0,57
6G'S
—0,96
—0,75
—0,63
—0,56
—0,52
-20
0 -1
-20 40
Рис. 19.4. Изменение поперечных составляющих сферической аберрации по
полю: а — для дальнего положения зрачка; б — для ближнего положения
зрачка
В первом столбце этой таблицы даны значения полевых углов
о, во втором и в третьем столбцах — величины zt и г8,
определяющие меридиональную и сагиттальную кривизну поля, в четвертом
и пятом — величины поперечной меридиональной и сагиттальной
сферической аберрации.
Результаты табл. 19.4 подтверждают, что при Глижнем
положении зрачка тот же самый мениск обладает значительным
отрицательным астигматизмом в средней части поля зрения. Кроме
232
того, наблюдается очень быстрый рост меридиональной
составляющей поперечной сферической аберрации по сравнению с
сагиттальной составляющей. Так, на краю поля зрения
меридиональная сферическая аберрация увеличивается почти в десять
раз, в то время как сагиттальная сферическая аберрация примерно
лишь вдвое.
Графики астигматизма, меридиональной и сагиттальной
сферической аберрации для мениска при дальнем и ближнем положении
зрачка приведены на рис. 19.4.
19.3. Астигматизм склеенной поверхности
При составлении симметричного объектива из двух менискооб-
разных линз решается задача исправления астигматизма и комы.
Однако устранение других аберраций — сферической аберрации
на оси, хроматизма положения — уже не может быть обеспечено.
Поэтому возникает вопрос о введении в схему симметричного
объектива дополнительных коррекционных элементов,
обеспечивающих исправление как уже упомянутых выше элементарных
аберраций, так и неэлементарных, например неэлементарного
астигматизма при использовании в качестве базовой системы
менисков, работающих с ближним положением входного
зрачка.
При постановке задачи повышения относительного отверстия
объектива возникает необходимость устранения сферической
аберрации и хроматизма положения; для этого можно ввести в менис-
кообразную линзу нормальную склеенную поверхность.
Процесс введения нормальной склеенной поверхности
проследим на работе плосковыпуклой линзы, обращенной к бесконечно
удаленному предмету плоской поверхностью.
Поверхность склейки, обладающая отрицательной оптической
силой, должна создавать положительный астигматизм, величина
которого по мере удаления входного зрачка будет быстро
возрастать; вследствие этого в левой части графика изменения
астигматизма плосковыпуклой линзы (см. рис. 19.1) начнет возникать
положительный астигматизм, который по своей абсолютной
величине сможет превзойти начальный отрицательный астигматизм
исходной линзы.
Этот процесс представлен на рис. 19.5 для склеенной
плосковыпуклой линзы с конструктивными данными, приведенными
в табл. 19.5.
Обращаясь к графику изменения астигматизма, заметим, что
для исходного положения входного зрачка, при котором
происходило устранение астигматизма в плосковыпуклой линзе, склеенная
поверхность не сможет существенно повлиять на него. Тем не
менее небольшой положительный астигматизм, возникающий из-за
того, что главный луч пересекает склеенную поверхность не по
нормали, приводит к образованию вблизи исходного положения
233
анастигматического зрачка уже двух близко расположенных друг
к другу анастигматических зрачков.
При дальнейшем удалении входного зрачка появится новая
точка пересечения меридиональной и сагиттальной кривых,
определяющая собою третье положение входного зрачка, при котором
также наблюдается исправление астигматизма.
Наличие у меридиональной
кривой точки перегиба
свидетельствует о том, что в этом участке
расположения зрачка будет
отсутствовать кома.
Величины астигматизма
такой склеенной плосковыпуклой
-50-W-d0-Z0-10zt*s10 20 30 sp
Таблица 19.5
Конструктивные данные
склеенной плосковыпуклой линзы
с пологим радиусом склейки
Рис. 19.5. Склеенная
плосковыпуклая линза с тремя положениями
анастигматического зрачка
г
ОО
-30,82
—50,97
d
10,0
5,0
nD
1,5480
1,6126
/' = 99,991; s'F= 100,641
линзы в зависимости от положения зрачка для полевого угла
со = —30° приведены в табл. 19.6.
Однако в рассмотренном примере еще не будет обеспечиваться
устранение сферической аберрации на оси линзы. Величины
сферической аберрации для двух высот апертурного луча А, равных
15,0 и 10,0 мм, составляют соответственно As' = —8,7 и
—3,8 мм.
Для исправления сферической аберрации необходимо перейти
к более крутому радиусу склейки. Тогда при том же самом фокус-
Таблица 19.6
Изменение астигматизма склеенной плосковыпуклой линзы
с пологим радиусом склейки
*р
25,0
0,0
—15,0
—18,0
-25,0
Н
—72,76
—25,62
—10,68
—8,80
—7,42
Ч
—38,10
—14,67
—9,21
—8,60
—8,15
zt-*s
—34,66
—10,95
—1,47
—0,20
0,73
SP
—30,2
—35,0
—50,0
—60,0
Ч
—8,30
—10,36
—21,09
4,55
h
—8,47
—9,24
— 14,16
—17,17
zt-*s
0,17
—1,12
-6,93
21,72
234
Таблица 19.7
Таблица 19.8
Конструктивные данные
склеенной плоско выпуклой линзы
с крутым радиусом склейки
г
со
—20,03
—46,76
d
10,0
5,0
1 Г = 99,933; s'F =
nD
1,5480
1,6126
= 100,932 1
Изменение астигматизма
склеенной плоско выпуклой линзы
с крутым радиусом склейки
Sp
о
-15
—20
-26
-30
ч
—25,65
—7,16
—0,85
9,07
34,59
zs
— 14,86
—8,26
—6,46
—4,38
—1,15
zt~zs
— 10,69
1,10 1
5,61
13,45
35,74
ном расстоянии получаем новую систему, конструктивные данные
которой приведены в табл. 19.7.
Величины астигматизма этой склеенной линзы для различных
положений входного зрачка при том же полевом угле со = —30°
представлены в табл. 19.8.
Из приведенной таблицы следует, что у такой склеенной линзы
будет существовать лишь одно положение входного зрачка,
обеспечивающее исправление
астигматизма.
Величины сферической
аберрации в этом случае будут равны:
при h = 15,0 мм As' = +1,1 мм
и при h = 10,0 мм As' = —1,3 мм.
Составляя из двух таких
склеенных линз симметричный
объектив, получаем объектив типа
апланат.
Рассмотрим введение
склеенной поверхности в объективе из
двух менисков, работающих при
дальнем положении зрачка входа.
Ранее отмечалось, что у
мениска с дальним положением зрачка
наблюдается при исправленном
астигматизме на краю поля
некоторый положительный астигматизм в средней части поля.
В качестве примера рассмотрим симметричный объектив из
двух минисков, конструктивные данные которого приведены
в табл. 19.9.
Схема и графики аберраций этого объектива приведены на
рис. 19.6, а значения астигматизма — в табл. 19.10. Из графиков
и данных табл. 19.10 следует, что объективу свойствен
значительный положительный астигматизм в средней части поля зрения при
исправлении его на краю.
-10 12-101
Рис. 19.6. Объектив из двух
менисков с дальним положением зрачка
235
Таблица 19.9
Конструктивные данные
объектива из двух менисков
Таблица 19.10
Астигматизм объектива
из двух менисков
г
20,8
21,6
—21,6
1 —20,8
d
11,4
23,0
11,4
nD
1,613
1
1,613
1 /' = 100,398; s?= 71,046
со, °
56
50
40
30
20
ч
— 1,56
0,66
2,05
1,67
0,84
Ч
— 1,44
— 1,33
—0,90
—0,52
—0,25
h~zs
—0,12
1,99
1,95
2,19
1,09
Для сопоставления приведем в табл. 19.11 данные другого
объектива, состоящего также из двух симметричных половинок,
но уже склеенных из двух стекол.
Результаты астигматической коррекции этого объектива
представлены в табл. 19.12.
Сопоставление данных табл. 19.10 и 19.12 показывает, что
у второго объектива наблюдается значительно меньший (на
порядок) остаточный астигматизм в средней части поля.
Оценивая силу склейки в обеих половинках объектива,
находим, что она получается положительной и, казалось бы,
должна создавать отрицательный астигматизм. На первый взгляд это
противоречит полученному результату, так как после введения
поверхностей склеек кривые zt и zs развернулись в сторону
положительных значений.
Тем не менее при более тщательном исследовании работы этого
объектива видим, что на внешних поверхностях линз обеих
половинок происходит уменьшение показателя преломления от 1,6128
(показателя преломления внутренних линз) до 1,5163 (показателя
преломления наружных линз), что должно быть равнозначным
Таблица 19.11
Конструктивные данные объектива
из двух склеенных менисков
Таблица 19.12
Астигматизм объектива
из двух склеенных менисков
г
14,205
33,0
15,26
-15,26
—33,0
-14,205
d
7,0
3,0
14,49
3,0
7,0
nD
1,5163
1,6128
1
1,6128
1,5163
f = 86,471; s'p= 64,370
G>, °
55
1 50
40
30
20
H
0,04
—0,25
—0,06
0,07
0,04
4
0,12
—0,22
—0,30
—0,22
—0,12
zt~zs
—0,08
—0,03
0,24
0,29
0,16
236
введению фиктивной поверхности склейки с радиусом 14,205,
т. е. значительно более крутым, чем радиус 33,0 реальной
поверхности склейки. Естественно, что такая фиктивная склейка
оказывается более действенной, чем реальная; она и явилась
причиной возникновения положительного астигматизма.
Совершенно ясно, что можно было бы внутреннюю поверхность
склейки сделать нормальной, создающей положительный
неэлементарный астигматизм, но тогда такая склейка должна была бы
иметь более крутой радиус, чем наружные поверхности линз
объектива.
Заметим, что в обоих рассмотренных случаях величина
сферической аберрации остается неисправленной и отрицательной.
При введении склейки в половинках симметричных объективов,
построенных на основе анастигматических менисков первого
рода — с ближним расположением зрачка, необходимо
обеспечивать устранение отрицательного остаточного астигматизма в
средней части поля; для этого следовало бы использовать аномальные
склеенные поверхности с обратной ориентировкой к зрачку.
Подобного рода поверхности, создавая отрицательный
астигматизм, способствуют некоторому удалению зрачка (материальной
диафрагмы), т. е. выходу его из тела линзы, чем и обеспечивается
реальность создания симметричных объективов.
С другой стороны, преследуя цель исправления сферической
аберрации менисков, можно воспользоваться введением в
исходные мениски нормальных склеек с отрицательной оптической
силой.
Казалось бы, что одновременное введение положительной и
отрицательной склеек приведет к их взаимному противодействию.
Однако на самом деле можно избежать такого противодействия,
используя различные ориентировки обеих склеек. Так, обратная
ориентировка аномальной поверхности склейки, не создавая
больших углов при прохождении через нее апертурных лучей
осевого пучка, не может существенным образом повлиять на
изменение сферической аберрации. Соответственно, придавая
нормальной склейке прямую ориентировку, исключаем ее влияние на
астигматизм, но обеспечиваем создание положительной
сферической аберрации, компенсирующей отрицательную сферическую
аберрацию исходной линзы, т. е. мениска с одинаковыми
радиусами.
Заметим, что расположение нормальной или аномальной
склейки по отношению друг к другу не имеет значения, так как силы
обеих склеек по своей абсолютной величине невелики, и поэтому
отстояние их от входного зрачка будет влиять на изменение
аберраций незначительно.
В частности, располагая впереди нормальную склейку,
предназначенную для исправления сферической аберрации, можно
придать ей прямую ориентировку. Тогда она не сможет активно
влиять на астигматизм. Второй же склейке — аномальной — не-
237
обходимо придавать обратную ориентировку в целях
использования ее для исправления астигматизма. При этом показатель
преломления второй (средней) линзы должен быть больше, чем
показатель преломления первой линзы. После аномальной склейки
показатель преломления также должен быть больше, чем у
второй линзы.
1-10 1 -0,1
Рис. 19.7. Объектив «Дагор»
Таблица 19.13
Конструктивные данные объектива
«Дагор»
-1 0 1 -Т 0 1 -0,01 0 0,01
Рис. 19.8. Объектив «Двойной протар»
Таблица 19.14
Конструктивные данные объектива
«Двойной протар»
г
21,33
—35,56
8,60
21,46
—21,46
—8,60
35,56
—21,33
d
3,0
0,9
2,5
5,5
2,5
0,9
3,0
nD
1,61366
1,54852
1,51390
1
1,51390
1,54852
1,61366
f = 103,05; Sp = 94,84 1
г
1 20,83
9,15
—30,31
19,04
—19,04
30,31
—9,15
—20,83
1 /' = ?
d
1,10
3,64
1,06
2,82
1,06
3,64
1,10
19,87; sTF =
no
1,6221
1,5895
1,4983
1
1,4983
1,5895
1,6221
94,02. 1
i
Так как радиус нормальной склейки должен быть по
абсолютной величине меньше, чем первый радиус мениска, первая линза
получается положительной; она может быть выполнена из стекол,
относящихся к группе легких кронов.
Третья линза из-за обратной ориентировки аномальной склейки
также получается положительной как линза двояковыпуклая,
поэтому для нее следует использовать кроновые стекла с
высокими показателями преломления, т. е. тяжелые кроны.
238
Средняя линза, таким образом, получается отрицательной —
двояковогнутой; в целях ахроматизации материалом этой линзы
должны быть флинтовые стекла — легкие флинты.
Вышеизложенное подтверждается в реальном объективе «Да-
гор», конструктивные данные которого приведены в табл. 19.13.
Схема и графики аберраций объектива «Дагор» приведены
на рис. 19.7. Интересно отметить, что кривизна поверхности
изображения у этого объектива исправлена не полностью и в
средней части поля достигает величины порядка 1 мм, однако это
объясняется наличием отрицательной сферической аберрации
на оси, величина которой в экстремальной точке составляет также
около 1 мм.
В качестве второго примера симметричной системы,
составленной из менисков первого рода с двумя склейками, приведем
данные объектива «Двойной протар», разработанного Рудольфом
(табл. 19.14).
Заметим, что в объективе «Двойной протар» (рис. 19.8) только
одна (средняя) линза его половинки является положительной и
выполняется из тяжелых кронов; для наружной (по отношению
к диафрагме) линзы используют обычные флинты, а для
внутренней — легкие кроны.
Таким образом, возникают две принципиальные схемы
двойных склеенных анастигматов, которые могут быть зашифрованы
в виде:
2Б) ан I, не, ас); 2Б) ан I, ас, не).
Представителем первой схемы является объектив «Дагор»,
второй — объектив «Двойной протар».
При сопоставлении графиков аберраций можно заметить, что
обе принципиальные схемы обладают практически одинаковыми
возможностями, т. е. допускают развитие угловых полей до 60°
при относительном отверстии 1 : 6,3. Такое сравнительно
небольшое относительное отверстие определяется тем, что базовые линзы
до введения склеек обладали большой исходной отрицательной
сферической аберрацией, исправление которой с помощью
нормальных склеек приводит к возникновению значительной
остаточной отрицательной сферической аберрации для средней части
зрачка при исправлении ее на краю.
Следует подчеркнуть, что в обеих схемах склеенных двойных
анастигматов наблюдается возрастание показателей преломления
по мере удаления линз от материальной диафрагмы, т. е.
выполняется так называемое правило Рудольфа.
Заметим также, что для исходных анастигматических менисков
характерен рост отрицательной меридиональной сферической
аберрации, усиливаемый далее воздействием аномальных
склеенных поверхностей; в целях ослабления этого роста приходится
прибегать к значительному геометрическому виньетированию.
239
19.4. Двойные четырехлинзовые анастигматы
При рассмотрении группы симметричных склеенных
анастигматов было установлено, что недостаточное исправление в них
сферической аберрации, осуществляемое с помощью нормальных
поверхностей склеек, не позволяет развивать значительное
относительное отверстие. Поэтому в целях получения более
высоких относительных отверстий оказалось целесообразным перейти
к другим исходным системам — половинкам, составленным из
двух линз, которые разделены некоторым воздушным
промежутком.
Для выявления возможностей подобного рода систем можно
обратиться к афокальному компенсатору, составленному из
плосковыпуклой и плосковогнутой линз, образующих первоначально
плоскопараллельную пластинку. Нетрудно представить, что
такой компенсатор будет практически свободен от всех аберраций,
так как аберрации плоскопараллельной пластинки в
параллельном ходе лучей должны быть равными нулю, за исключением
аберрации в зрачках.
Полагая переднюю линзу компенсатора отрицательной и
обращенной к бесконечно удаленному предмету плоскостью, будем
получать для нее сферическую аберрацию положительной и достаточно
удаленной от минимальной сферической аберрации.
Переворачивая вторую положительную линзу компенсатора и
обращая ее выпуклой стороной к бесконечно удаленному
изображению, создаем тем самым для нее в обратном ходе лучей
сферическую аберрацию, отрицательную по знаку и близкую к
минимальному значению; при суммировании ее со сферической аберрацией
отрицательной линзы должны получить для всего компенсатора
сферическую аберрацию положительной.
Отодвигая положительную линзу компенсатора от
отрицательной, будем удалять ее от минимума сферической аберрации и
создавать некоторую положительную силу системы. Раньше или
позже может наступить момент, когда сферические аберрации
обеих линз уравняются по абсолютной величине, вследствие чего
и произойдет исправление сферической аберрации для всей си-
стемы.
В общем случае кома подобной системы устранена не будет.
Однако наличие комы в половинке симметричной системы даже
выгодно, так как тогда за счет подбора положения входного
зрачка может быть достигнуто исправление астигматизма.
Устранение же комы в целой системе легко достигается за счет ее
симметрии или пропорциональности.
Так как отодвинутая положительная линза уже не будет
работать в минимуме сферической аберрации, то можно представить,
что при том же увеличении должна существовать и другая форма
положительной линзы (расположенная по другую сторону от
формы линзы с минимальной сферической аберрацией), обладаю-
240
щая такой же сферической аберрацией, как и плосковыпуклая
линза. Это позволяет сделать вывод, что при плосковогнутой
отрицательной передней линзе существуют две системы с
исправленной сферической аберрацией.
С другой стороны, рассматривая отрицательную линзу, которая
первоначально также была удалена от минимума сферической
* осд=-3,16 d2 = 0J
~&2
Рис. 19.9. График областей устранения сферической аберрации у двух
тонких линз в воздухе: а — первая линза отрицательная; б — первая
линза положительная
аберрации, можно сделать заключение, что должна существовать
и другая форма отрицательной линзы — менискообразная,
обладающая такой же сферической аберрацией, как и исходная
плосковогнутая линза. Совершенно очевидно, что и
для менискообразной отрицательной линзы
должны существовать две формы положительных
линз (те же самые, что и раньше), при которых
сферическая аберрация системы в целом будет
отсутствовать.
Таким образом, получаем четыре формы
двухлинзовых половинок с исправленной
сферической аберрацией, которые располагаются
на двух ветвях гиперболоподобных кривых,
если за оси координат принимать углы
параксиальных лучей а2 и а4, определяющие собою прогибы
отрицательной и положительной линз (рис. 19.9, а).
Одновременно, полагая первую линзу половинки
симметричного объектива не отрицательной, а положительной, можно найти
четыре формы линз с исправленной сферической аберрацией,
которые также располагаются на гиперболоподобных кривых.
Однако в этом случае ось кривых будет повернута на 90° по
отношению к такой же оси для рассмотренного выше случая, когда
передняя линза была отрицательной (рис. 19.9, б).
Рис. 19.10.
Объектив «Догмар» (или
«Целор»)
241
Возвращаясь к случаю симметричных систем с
положительными наружными линзами, на практике встречаемся с системами,
у которых внутренние отрицательные линзы имеют
двояковогнутую форму, например объектив «Догмар» (или «Целор»), пред-
-2 0 2 -2 0 2 -0,1 0 0,1
Рис. 19.11. Объектив «Руссар-5»
-1 0 1-2 0 2-1
Рис. 19.12. Объектив «Топогон»
Таблица 19.15 Таблица 19.16 Таблица 19.17
Конструктивные данные Конструктивные данные Конструктивные данные
объектива «Руссар-5» объектива «Топогон» объектива «Догмар»
г
19,03
32,82
17,18
12,69
—14,33
—19,39
—36,97
—20,48
й
6,68
2,24
1,49
17,80
1,69
2,53
7,54
nD
1,5163
1
1,6199
1
1,6199
1
1,5163
1 / = 135,287;
s'F = 113,106
г
19,03
26,30
14,0
11,79
—11,76
—14,0
—29,31
—19,67
d
7,70
0,02
1,03
22,37
1,0
0,02
7,73
' nD
1,6186
1
1,7283
1
1,7283
1
1,6177
/ = 99,627;
s'F = 74,893
t
43,48
—70,43
—55,87
163,93
—41,67
41,67
78,13
—34,44
a
5,2
1,6
2,1
12,0
1,8
3,6
5J
ID
1,6141
1
1,6051
1
1,5513
1
1,6141
/ = 100,003;
s'F = 85,483
242
ставленный на рис.. 19.10, а также с системами, у которых
внутренние линзы являются отрицательными менисками, например
объективы типа Гаусса. К последним объективам относятся,
в частности, объективы «Руссар-5» (рис. 19.11) и «Топогон»
(рис. 19.12).
Объективы типа Гаусса по своим свойствам близки к мениску
с дальним положением входного зрачка, т. е. для них характерно
наличие положительного астигматизма в средней части поля, что
следует из графиков аберраций объективов «Руссар-5» и «Топогон».
Из графиков также замечаем, что остаточная сферическая
аберрация на оси для средней части зрачка у этих объективов имеет
противоположные знаки. Это позволяет предполагать, что
возможно осуществление двойной коррекции сферической аберрации.
Конструктивные данные объективов «Руссар-5», «Топогон» и
«Догмар» приведены в табл. 19.15—19.17.
19.5. Объективы типа плазмат
Используя в качестве базовой линзы в половинке
симметричного объектива анастигматические мениски первого рода (с
ближним расположением зрачка), можно в целях доисправления
кривизны поля применить концентричный коррекционно-силовой
аС со=-п°30! пх
400% т«*
^=Аюо%
*~0,1
Рис. 19.13. Объектив «Ортометар» (типа плазмат)
отрицательный мениск, совмещая общий центр его обеих
поверхностей с центром выходного зрачка базового мениска. Такой
мениск должен обладать определенной оптической силой; при этом
выбор величины одного из радиусов концентричного мениска
может быть произвольным. Тогда при сохранении неизменной
кривизны поля всей системы можно воздействовать на
сферическую аберрацию концентричного мениска и с ее помощью
скомпенсировать отрицательную сферическую аберрацию базового
мениска.
Таким образом, в симметричном объективе, построенном из
двух подобных половинок, могут быть устранены кривизна поля,
243
Конструктивные данные объектива
«Ортометар» (типа плазмат)
г
25,6
94,9
18,2
23,5
35,1
—32,0
—22,5
—17,9
76,6
—25,0
d
5,0
2,4
0,8
3,4
6,0
3,7
1,5
2,0
5,5
nD
1,611
1,540
1
1,561
1
1,561
1
1,540
1,611
V = 101,481; s'F= 87,952 1
Таблица 19.18 сферическая аберрация, кома и
астигматизм на краю поля;
однако вследствие наличия у
базовых менисков значительного
остаточного отрицательного
астигматизма в средней части
поля получим и у подобного
симметричного объектива
аналогичную картину
астигматической коррекции. Кроме того,
вследствие ослабленного
хроматизма положения у
концентричных менисков весь
объектив будет обладать
остаточным отрицательным
хроматизмом положения.
Доисправление хроматизма
положения с одновременным
устранением отрицательного
астигматизма в средней части поля может быть осуществлено
введением в концентричные мениски аномальных склеек с
обратной ориентировкой по отношению к диафрагме.
Таким образом, получим конструкцию симметричных
объективов типа плазмат, разработанных Рудольфом, которая может
быть зашифрована в виде 2 [Б) ан1) + КС) к, сан, к)].
В качестве примера в табл. 19.18 приведены данные объектива
«Ортометар» (типа плазмат), а его схема и графики аберраций даны
на рис. 19.13.
Ввиду того, что у базовых менисков первого рода наблюдается
быстрый рост по полю меридиональной сферической аберрации,
а аномальные склейки с обратной ориентировкой также
способствуют ее росту, у объективов типа плазмат будет тоже сохраняться
быстрый рост меридиональной сферической аберрации.
Так как в конструктивной схеме плазмата нет никаких средств
для исправления хмеридиональной сферической аберрации, то
приходится прибегать (в целях улучшения качества изображения)
к геометрическому виньетированию, в результате которого
устраняются большие поперечные аберрации в широких наклонных
пучках лучей. Поэтому в объективах типа плазмат возможно
повышение относительного отверстия по отношению к склеенным
анастигматам, но их угловые поля ограничены и составляют не
более 65—70°.
Следует заметить, что если центры коррекционного мениска
и выходного зрачка базовой линзы не совпадают, то этот мениск
будет вносить положительный астигматизм; тогда базовая линза
может обладать отрицательным астигматизмом, что позволяет
сделать ее даже плосковыпуклой.
244
Глава 20
ШИРОКОУГОЛЬНЫЕ ОБЪЕКТИВЫ
20.1. Общие сведения
Создание широкоугольных фотографических объективов,
пригодных для измерительных целей, является сложнейшей задачей
вычислительной оптики. Это в достаточной степени объясняется
тем, что при разработке широкоугольных объективов (в отличие
от объективов неширокоугольных) приходится сталкиваться с
тремя специфическими трудностями:
1) необходимостью обеспечения достаточно высокой
освещенности изображения на краях поля зрения;
2) необходимостью устранения ряда неэлементарных
аберраций, наблюдаемых только лишь при больших угловых полях;
3) невозможностью использования геометрического
виньетирования для устранения полевых аберраций, не поддающихся
исправлению в выбранной принципиальной схеме
широкоугольного объектива.
При разработке широкоугольных ортоскопических объективов
возможны различные композиционные приемы. В частности,
одним из приемов является применение симметричных или
пропорциональных конструктивных схем.
Ранее отмечалось (гл. 10 и 19), что основное свойство
симметричных или пропорциональных систем заключается в отсутствии
или малости нечетных аберраций — комы, дисторсии и
хроматизма увеличения — при значительных угловых полях. Кроме
того, в симметричных объективах обеспечивается воздействие на
четные аберрации парных конструктивных элементов, что
позволяет более равномерно распределять на них коррекционную
нагрузку.
В этом направлении целесообразно использовать в качестве
базового конструктивного элемента менискообразную линзу,
работающую с дальним положением входного зрачка, так как она
обладает лучшим исправлением астигматизма и практически
постоянной меридиональной сферической аберрацией, тогда как
при использовании того же самого мениска с ближним
положением зрачка наблюдается быстрый рост отрицательной
меридиональной сферической аберрации.
Характерным примером использования мениска с дальним
положением входного зрачка является рассмотренный ранее
симметричный объектив «Гипергон» (см. рис. 11.5, б) с угловым полем
2(0 = 135° и относительным отвертием 1 : 30.
Весьма существенно, что у объектива «Гипергон» наблюдается
очень сильное падение освещенности изображения на краю поля
зрения (до 2 % от освещенности в центре). Это падение
освещенности обусловлено тем, что, несмотря на отсутствие геометриче-
245
ского виньетирования, объектив «Гипергон» обладает невыгодным
аберрационным виньетированием меньше единицы.
Тем не менее на основе принципиальной схемы объектива
«Гипергон» было создано несколько широкоугольных объективов.
К их числу относятся объективы «Руссар-1»—«Руссар-19», «То-
погон», «Метрогон» и «Орион».
Во всех этих объективах угловое поле ограничивается
величиной 2со = 90—100°, что вызывается необходимостью
уменьшения падения освещенности изображения на краю поля (хотя
бы до 5—6 % от освещенности в центре поля).
Рис. 20.1. Объектив «Руссар-19»
Кроме того, в этих объективах (в отличие от объектива
«Гипергон») для увеличения светосилы между базовыми менисками
введецы отрицательные линзы, позволяющие исправлять
сферическую аберрацию базовых менисков.
При введении в систему отрицательных линз, привносящих
положительную кривизну поля, требуется увеличение силы
базовых менисков за счет нарушения равенства наружных радиусов.
В результате, несмотря на увеличение толщин этих менисков, их
диаметры ограничиваются острым краем, вследствие чего
возникает геометрическое виньетирование.
Использование базовых менисков, обладающих отрицательной
сферической аберрацией в зрачках, приводит к появлению
небольшой положительной дисторсии в симметричных объективах,
устранение которой может быть легко осуществлено введением
после объектива плоскопараллельной пластинки со сравнительно
небольшой толщиной. Это может быть проиллюстрировано на при-
246
мере объектива «Руссар-19», схема которого и графики аберраций
представлены на рис. 20.1.
Построение широкоугольных объективов на основе пары
симметричных анастигматических менисков с дальним расположением
зрачка не является единственным конструктивным приемом. Так,
принципиальная схема симметричного широкоугольного
объектива может быть скомпонована на основе наружных
отрицательных линз, вносящих положительную кривизну изображения и
одновременно развивающих поле зрения.
Одним из примеров применения этого принципиального
приема может служить объектив «Лиар-6», представленный на
-1 0 2-4-2 о
Рис. 20.2. Объектив «Лиар-6»
1 -0,2 0
рис. 20.2 с графиками его аберраций. Схема этого объектива
состоит из базового положительного компонента, выполненного
из концентричных линз, а также двух отрицательных линз,
расположенных по обе стороны центрального базового
компонента.
Одной из выгодных особенностей схемы объектива «Лиар-6»
является возможность устранения геометрического виньетирования,
которая, к сожалению, в этом объективе не была использована,
как и коррекционные возможности схемы.
20.2. Широкоугольные объективы
с положительным аберрационным виньетированием
Решающую роль в развитии широкоугольных ортоскопических
объективов сыграло положительное аберрационное
виньетирование, с помощью которого возникла возможность борьбы с быстрым
падением освещенности изображения на краю поля зрения,
обусловленным законом Ламберта.
Явление положительного аберрационного виньетирования
(большего единицы) было обнаружено автором при исследовании
двухлинзовой половинки симметричного объектива с наружными
отрицательными линзами в виде менисков, сильно прогнутых
к диафрагме.
247
Использование таких менисков снизило падение освещенности
на краю поля и практически привело к функции светораспределе-
ния по зависимости
Ф (со) = cos3 О).
(20.1)
С другой стороны, применение сильно прогнутых коррек-
ционно-силовых отрицательных менисков существенно расширило
коррекционные возможности, что позволило избежать
необходимости введения геометрического виньетирования в целях
устранения частей наклонных пучков лучей, обладающих
значительными неэлементарными аберрациями.
-10 1-10 1-0,010 0,01
Рис. 20.3. Объектив «Руссар-29»
Для лучшего исправления астигматизма во внутренних
базовых положительных линзах были введены коррекционные
аномальные склейки.
В результате этих мер была выработана принципиальная
конструктивная схема широкоугольных объективов «Руссар-22», «Рус-
сар-25», и «Руссар-29», в которых удалось обеспечить развитие
угловых полей до значений 2со = 103—122° с улучшенным свето-
распределением по полю.
Схема широкоугольных объективов типа «Руссар-29»,
полученная как развитие симметричного объектива из двух двухлин-
зовых половинок с наружными отрицательными менисками,
может быть образована и иначе. Как отмечалось в гл. 18, прототипом
этих объективов первоначально может служить система вида
Б [к, — 2КС (таП), к], полученная путем введения в
концентричную базовую линзу пары воздушных телеанастигматических линз.
Однако в последующем представилось целесообразным перейти
к просто анастигматическим воздушным линзам, т. е. к системе,
которая может быть зашифрована как Б [к, —2КС(ан11), к].
Следует заметить, что в принципиальной схеме объектива
«Руссар-29» не предусмотрено коррекционных элементов, предназ-
248
249
Рис. 20.5. Объектив «Руссар-7Ь
Рис. 20.4. Объектив «Руссар-63?
Рис. 20.7. Объектив «Супер-Авиогон»
Рис, 20,6. Объектив «Авиогош
250
SF:
251
яаченных для исправления сферической аберрации для точки на
оси системы. Тем не менее сферическая аберрация исходной
концентричной базовой линзы была наименьшей из всех других
простейших базовых линз.; благодаря этому в объективе «Руссар-29»
величина недоисправленной сферической аберрации сравнительно
невелика и при средних относительных отверстиях не выходит
из границ, соизмеримых с величинами полевых аберраций.
Схема объектива «Руссар-29» и графики его аберраций
представлены на рис. 20.3.
Положительные качества объектива «Руссар-29»,
разработанного еще в 1945 г., обеспечили возможность его использования
для картографической аэросъемки в течение трех десятилетий.
Возросшие за это время требования к широкоугольным
аэрофотообъективам (в связи с переходом к съемкам в средних и
крупных масштабах) обусловили необходимость дальнейшего
повышения качества изображения в объективах «Руссар-29». Это
было достигнуто за счет усложнения положительного силового
компонента путем введения в него конструктивных элементов для
исправления сферической, аберрации.
В результате этих работ были созданы аэрофотосъемочные
объективы «Руссар-63» (рис. 20.4) и «Руссар-71» (рис. 20.5).
Другое направление в развитии объективов «Руссар-29» (кроме
усложнения его силового компонента) состояло в разделении кор-
рекционно-силовых отрицательных менисков на два или даже
на три мениска.
В принципиальных схемах такое разделение коррекционно-
силовых менисков может быть выражено как введение в исходную
концентричную линзу двух пар симметричных воздушных
анастигматических линз второго рода. Таким образом, подобного рода
система может быть зашифрована в виде Б [к,—2КС (ан11 + ан11), к].
Эти системы были реализованы в объективах «Авиогон» и
«Супер-Авиогон» фирмой «Вильд» (Wild), а также в объективах
«Руссар-67» и «Руссар-73», причем в последних двух объективах
передний отрицательный компонент состоит из трех
отрицательных менисков.
Наличие усложненных отрицательных менисков
способствует некоторому повышению освещенности на краю поля, а также
лучшему исправлению аберраций.
Схемы и графики аберраций объективов «Авиогон»,
«Супер-Авиогон», «Руссар-67» и «Руссар-73» представлены на рис. 20.6—20.9.
20.3. Особо широкоугольные объективы
Попытки увеличения полей зрения свыше 120° в объективах
симметричных типов, как правило, не давали сколько-нибудь
положительных результатов.
Причины этого были обусловлены сильным падением
освещенности изображения по краям поля зрения за пределами 120°
252
и трудностями обеспечения достаточно хорошего качества
изображения.
При создании особо широкоугольных объективов с угловыми
полями 2со = 135° и более не представляется возможным
ограничиться аберрационным виньетированием F (со) = 1/cos со,
определяющим собою светораспределение по функции Ф (со) = cos3 со,
так как при этом освещенность на краю поля не будет превышать
значения 5,6 %, что уже явно недостаточно для практического
использования объективов.
Поэтому при разработке особо широкоугольных объективов
требуется обеспечить значительное повышение величины
положительного аберрационного виньетирования. Решение этой
задачи может быть достигнуто размещением перед собственно
объективом ортоскопической системы, развивающей предметное
угловое поле и не нарушающей исправления дисторсии. Подобная
оптическая система может быть охарактеризована условием
tg ro'/tg со = W = const < 1. (20.2)
Создание таких систем при угловых увеличениях, существенно
отличающихся от единицы, из линз со сферическими
поверхностями представляет большие трудности. Поэтому наиболее
целесообразно использование отрицательной линзы с несферической
поверхностью. В качестве несферической поверхности может быть
выбрана либо первая, либо вторая поверхность линзы. Для
передней несферической поверхности характерно быстрое уменьшение
меридионального радиуса кривизны, создающее соответственно
быстрый рост отрицательного астигматизма, тогда как внутренняя
сферическая поверхность, наоборот, способствует быстрому росту
положительного астигматизма. В случае же, когда передняя
поверхность будет иметь сферическую форму, у второй
несферической поверхности меридиональный радиус кривизны будет
увеличиваться и при этом положительный астигматизм, возникающий
на второй поверхности, будет уменьшаться. Это в значительной
степени ослабит суммарный астигматизм, создаваемый такой
ортоскопической линзой в целом. Кроме того, при внутренней
несферической поверхности диаметр линзы получается значительно
меньше; это обстоятельство в какой-то степени оправдывает более
сложную технологию изготовления внутренней несферической
поверхности.
Схема особо широкоугольного объектива «Руссар-62» с угловым
полем 2со = 136° и графики его аберраций представлены на
рис. 20.10.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Определяя
через угловое увеличение W и условие отсутствия дисторсии для
передней ортоскопической линзы тангенс разности входного и
выходного углов главного луча
tg (со - со') - tgP-tg"' _ П-Ц^Ц (20 3)
253
можно найти максимум tg (<о — ©') от tg ©
rf[tg(m —<Р')] А (1 + V tg" (Ошах) - W tg" (Ошах п w, /9П4ч
*Ч=г**
-до 0 «$-/ 0 f-до/ 0 До' - ^%l^f
Рис. 20.10. Объектив «Руссар-62:
юо%
откуда
(20.5)
tgcomax = /l/r.
В частности, при W = 0,6 tg сошах = 1,291 и сотах = 52,239°.
Таким образом, угол излома главного луча со — со' до угла сотах
будет увеличиваться, а затем будет уменьшаться. Вследствие
этого и угол хроматического рассеяния также после угла (отах
будет уменьшаться. В результате замедлится рост хроматизма
увеличения или хроматической дисторсии. Это может привести
254
к появлению остаточного отрицательного хроматизма увеличения
при его исправлении на краю поля зрения.
Заметим, что в целях облегчения коррекции подобных особо
широкоугольных ортоскопических объективов выгодно
увеличивать фокусное расстояние переднего отрицательного
компонента, заставляя при этом работать собственно объектив с
увеличением, значительно меньшим единицы.
20.4. Объективы с большой отрицательной дисторсией
Развитие полей зрения у ортоскопических объективов (помимо
трудностей исправления аберраций) ограничивается габаритными
размерами получающегося изображения, так как при
увеличении углового поля до 180° величина изображения возрастает до
бесконечности. Поэтому для обеспечения изображения конечных
размеров приходится прибегать к использованию в подобных объе-
ективах большой отрицательной дисторсии. С другой стороны,
наличие отрицательной дисторсии весьма существенно
способствует улучшению светораспределения, что было показано в гл. 8.
Задача развития поля зрения при наличии отрицательной
дисторсии сравнительно легко решается путем размещения перед
W
\20
-2 0 1 -50 0 50
Рис. 20.11. Дисторзирующий объектив В. Н. Чуриловского
каким-либо объективом плосковогнутой линзы со сферической
поверхностью, концентричной к зрачку входа расположенного
за ней объектива. Подобная схема может быть зашифрована в виде
КС|о, к (+БО, где БО — базовый объектив.
Достоинством такой схемы является отсутствие комы и
астигматизма у передней линзы, развивающей поле зрения собственно
объектива.
По этой принципиальной схеме в 1929 г. В. Н. Чуриловским
была предложена оптическая система широкоугольной камеры,
255
состоявшая из двухлинзовой отрицательной системы — дистор-
тера — и расположенного за ней объектива типа тессар с угловым
полем 2со = 60° (рис. 20.11). В целом система обладала угловым
полем 2со = 127° при относительном отверстии 1 : 5,6.
Во время Великой Отечественной войны по аналогичной схеме
фирмой «Карл Цейс, Йена» (Carl Zeiss, Jena) был разработан ди-
сторзирующий объектив под названием «Плеон», состоявший из
переднего отрицательного двухлинзового компонента и
расположенного за ним собственно объектива «Топогон». Угловое поле
объектива «Плеон» (рис. 20.12) доходило до 148°.
Необходимо отметить, что наличие у этих объективов передней
вогнутой или плоской поверхности служит препятствием для
дальнейшего развития углового поля до 2со= 180° и выше. Прео-
256
долеть это препятствие удается, если сделать переднюю
поверхность первой линзы выпуклой. В качестве примера на рис. 20.13
приведена схема и графики аберраций дисторзирующего объектива
Хилля с передней отрицательной линзой менискообразной формы.
В случае необходимости выполнения по дисторзированным
снимкам угловых измерений (при съемках облачности, метеоритов
и т. п.) целесообразно обеспечивать изменение величины
изображения по зависимости
у' = -Г со. (20.6)
Получение такого вида изменения величины изображения
возможно в объективах, у которых передняя отрицательная система,
развивающая угловое поле, состоит из нескольких отрицательных
менисков, работающих в минимуме угла отклонения главного луча.
Схема объектива подобного рода с угловым полем 2со = 170а
приведена на рис. 20Л4 вместе с графиками аберраций.
Глава 21
ГИДРОСЪЕМОЧНЫЕ ОБЪЕКТИВЫ
21.1. Иллюминаторы
При съемке предметов, расположенных в жидких средах,
происходит переход изображения через границу раздела двух сред.
Разделение сред может осуществляться как через плоские, так и
через сферические поверхности, т. е. с помощью плоских или
сферических иллюминаторов.
Процесс перехода определяется законом преломления и
оптическими свойствами разделяемых сред, т. е. их показателями
преломления и дисперсиями.
Одним из наиболее часто встречающихся случаев является
переход из водной среды в воздушную через плоский
иллюминатор. Такой переход связан с ростом полевых углов. Так, при
величине углового поля в водной среде 2о% = 90° получаем
возрастание углового поля в воздушной среде до 2со = 141°; при этом
на плоскости раздела возникает значительная положительная
дисторсия.
Плоскую поверхность раздела можно рассматривать как
телескопическую систему с видимым увеличением Г, равным
показателю преломления жидкой среды. Тогда, определяя
относительную дисторсию такой телескопической системы по формуле
д _ tg"' _ 1 = ^ _ 1 = CQS(0 _ 1 /21 i>
257
получаем для рассматриваемого случая величину относительной
дисторсии А = 2,1215— 1 = 1,1215 « 112 %.
Плоская поверхность раздела будет вносить и некоторый
хроматизм увеличения, величина которого легко определяется путем
дифференцирования выражения закона преломления по
показателю преломления
cos со' doo' = sin cod/г, (21.2)
откуда величина углового хроматического рассеяния равна
, = dntq^ = П-1 , (21>3)
Для участка спектра от линии С до линии F при угловом поле
в воде, равном 90°, получаем численное значение
dco' « 0,012,
т. е. величину, большую полуградуса.
Эти особенности перехода от водной среды к воздушной через
плоский иллюминатор ограничивают возможности использования
для съемок в воде обычных фотографических объективов.
Вместе с тем плоский иллюминатор имеет и свои положительные
свойства, важнейшим из которых является произвольность
расположения объектива относительно иллюминатора, так как
единственное требование в этом случае состоит в необходимости
обеспечения перпендикулярности оси объектива к плоскости
иллюминатора. Другое важное свойство плоского иллюминатора
заключается в его афокальности, благодаря которой не требуется
перефокусировки объектива.
Однако для получения более высокого качества изображения
при использовании плоских иллюминаторов необходимо
устранение значительного хроматизма увеличения при одновременном
увеличении угловых полей объективов; вследствие этого
необходимо создание специальных оптических систем, учитывающих
действие плоских иллюминаторов, т. е. специальных
гидросъемочных фотообъективов.
Переход от жидкой среды к воздушной может быть осуществлен
также и через сферическую преломляющую поверхность; в этом
случае выгодно располагать зрачок входа объектива в центре
этой поверхности, обеспечивая тем самым отсутствие астигматизма
комы, дисторсии и хроматизма увеличения, а также сохраняя
величину углового поля в жидкой и воздушной средах одинаковыми.
Все эти положительные качества сферических иллюминаторов
весьма заманчивы, однако достигнуть их весьма трудно.
Действительно, для сферического иллюминатора требуется фиксированное
положение используемого объектива и некоторая его
перефокусировка, так как сферическая поверхность раздела двух сред не
может быть афокальной и всегда обладает определенной
отрицательной оптической силой. Это обстоятельство, в свою очередь,
258
вызывает некоторое понижение светосилы объектива вследствие
того, что он будет работать как репродукционная система. Кроме
того, сферический иллюминатор обладает положительными кри-
ризной поля и хроматизмом положения, что препятствует
непосредственному применению широкоугольных объективов,
разработанных для производства съемок в воздушной среде.
Оценим величину кривизны поверхности изображения,
вносимой сферическим иллюминатором при использовании объективов
с угловым полем 2со = 90°.
На рис. 21.1 представлена сферическая поверхность раздела
водной и воздушной сред радиуса г при расположении зрачка
объектива в центре этой поверхности.
Обозначая расстояние от
переднего фокуса объектива до его
входного зрачка через z3p и пользуясь
рисунком, можно определить радиус
кривизны поверхности изображения,
создаваемой сферическим
иллюминатором, по формуле
R = -г0 + гзр. (21.4)
С другой стороны, величина это
го радиуса может быть определена-
как разность заднего фокусного
расстояния поверхности раздела и ее
радиуса кривизны
Рис. 21.1. Сферический
иллюминатор
R = — /i + г = пг/(п — 1).
(21.5)
Найдем величину перефокусировки в центральной части поля
зрения по формуле Ньютона
г0
/о
пг
(21.6)
*8р
Аналогично определяем величину перефокусировки для
краевого участка поля с углом со
/о
2frt
/о
л- 1
cos о) — г.
'8р
(21.7)
Разностью двух перефокусировок и определится кривизна
поля, вносимая сферическим иллюминатором
%(л Zf) =
——f cos со — гзр
пг
Ifc.
~j 2зр
(21.8)
259
В том случае, когда передний фокус объектива будет
совмещен с вершиной сферической поверхности раздела, т. е. когда
гзР = г> формула (21.8) соответственно упрощается
п {п — 1) (1 — cos со) /0
Z°> ~ Z° = U-/i(l-cosa>)]r ' (2L9)
Если (как это часто бывает) входной зрачок будет совмещен
с передней главной плоскостью объектива, т. е. когда г = /о,
формула (21.9) упрощается еще больше
* _ дг (лг — 1)(1 -cos со) -* /91 im
Рассмотрим численный пример. Полагая полевой угол со =
= 45°, фокусное расстояние объектива /о = 20,0 мм и показатель
преломления воды п = 1,33304, находим значение разности
z'(o — Zo = 4,4 мм, которая выражает собою искривление
поверхности изображения, создаваемое сферической поверхностью
раздела водной и воздушной сред. Это искривление составляет более
20 % от фокусного расстояния объектива.
Увеличивая радиус кривизны сферического иллюминатора,
можно в известной мере уменьшить создаваемую им кривизну
поверхности изображения, но при этом потребуется
соответственное увеличение габаритных размеров иллюминатора, что может
оказаться неприемлемым.
Таким образом, и при наличии сферического иллюминатора
необходима разработка специальных гидросъемочных
объективов; однако подобные объективы могут быть использованы только
с теми иллюминаторами, для которых они были разработаны.
Сопоставление свойств плоского и сферического
иллюминаторов свидетельствует о большей перспективности использования
плоских иллюминаторов в сочетании со специально
разработанными гидросъемочными объективами, которые в известных
случаях могут применяться и для съемки предметов, расположенных
в воздушной среде.
21.2. Телеконцентрические переходные системы
Наряду с созданием специальных гидросъемочных
объективов может быть поставлена и другая задача — создание
переходных оптических систем, устраняющих хроматизм увеличения и
дисторсию плоских иллюминаторов, а также уменьшающих
выходное поле зрения, что позволяет использовать обычные
фотографические объективы, предназначенные для съемок в
воздушной среде.
В качестве переходных систем можно использовать^
телескопические системы с видимым увеличением Г меньше единицы,
так как они в первую очередь позволяют значительно
уменьшить выходное поле зрения. Однако обычные галилеевские си-
260
стемы, как правило, обладают положительной кривизной
поверхности изображения, что мешает их использованию.
Поэтому основное требование, предъявляемое к переходным
системам, заключается в устранении кривизны поверхности
изображения. Такое требование удовлетворяется лишь в
безаберрационной системе Ланге и в системах телеконцентрических.
Безаберраиионная система Ланге конструктивно не очень
удобна, и для ее осуществления требуется использовать стекла,
показатели преломления которых должны удовлетворять условию
п2 = упхпъ. (21.11)
Это условие не обеспечивается ассортиментом современных
оптических стекол. Поэтому реальными остаются лишь
телеконцентрические системы.
Телеконцентрические системы не являются полностью
безаберрационными, однако они обладают строгим исправлением
астигматизма, кривизны поверхности изображения и комы. Сферическая
аберрация подобных систем постоянна по полю и при небольших
диаметрах зрачков бывает невелика.
В качестве одной из телеконцентрических систем рассмотрим
систему, составленную из плосковыпуклой линзы со сферической
поверхностью, концентричной к зрачку, и коррекционно-силовой
концентричной линзы, которая может быть зашифрована
следующим образом:
Б|о, к) + КС) к, к).
Данные этой системы вместе со схемой и графиком
сферической аберрации представлены на рис. 21.2. Она имеет угловое
увеличение, которое равно обратной величине показателя
преломления плосковыпуклой линзы, т. е.
Гт = WT = 1/п'. (21.12)
С учетом величины показателя преломления водной среды
полное угловое увеличение для иллюминатора в совокупности
с телеконцентрической системой получается равным
Г = W = WWWT = п/п'. (21.13)
Величина дисторсии в этом случае может быть определена
по формуле
tgio1_1=^os^__1 (2j и
tg CD COS СО v '
Полагая полевой угол со = 45° и показатели преломления
воды и стекла марки К8 равными п = 1,33304 и п' = 1,5163,
находим
Дсо=45° = —0,09706 « —9,7 %.
261
Так как вторая концентричная линза на хроматизм
увеличения влиять не может, то хроматизм увеличения системы в
совокупности может быть определен аналогично формуле (21.3)
или, пользуясь числами Аббе,
\ nv n'v J to
da"
(21.16)
(21.16)
со W30?
щи 32,2211 1,8060
-42,2211 Л6'
-У-У О
Рис. 21.2.
Телеконцентрическая линза
Л
10-
?
Лбг
тЬгтЬ
oWiff
Рис. 21.3.
Телеконцентрическая система
Из формулы (21.16) легко получается условие устранения
хроматизма увеличения
«=! = ^ (21.17)
Существующий ассортимент марок оптического стекла
позволяет подобрать такие стекла, при использовании которых
поставленное условие будет удовлетворено. В частности, такими
марками стекол будут ТК16 и КФ1.
Однако подобная телеконцентрическая система неудобна по
двум причинам — она может быть использована лишь в
совокупности с объективами, у которых зрачок входа вынесен вперед на
достаточно большое расстояние; кроме того, она будет вносить
отрицательную дисторсию.
Тем не менее создание переходных телеконцентрических
систем для съемок объектов, расположенных в жидких средах,
при помощи обычных фотографических объективов возможно,
если такие системы строить по схеме
К |о, к (+Б (к, о|,
используя различные показатели преломления.
Рассмотрим рис. 21.3, на котором представлена подобная
телеконцентрическая система. Из условия концентричности
внутренних поверхностей следует
?2 — ГЬ Т" #2*
(21.18)
262
а из условия телескопичности
_s3 = -S2-M2. (21.19)
Исключая из формул (21.18) и (21.19) толщину <22, получаем
r2-r3= d2 = s2-s3. (21.20)
Выражая радиусы через показатели преломления и отрезки,
находим
г2 = — (п2— l)s2 и гз = — (л4 — l)s3, (21.21)
что позволяет формулу (21.20) представить в виде
— (П2 — 1)S2 — 52 = — (Al4 — 1) S3 - S3, (21.22)
откуда
n2s'2 = n4s3. (21.23)
Отношение отрезков s2 и s3 представляет собой угловое
увеличение телеконцентрической системы
rT = s2/s3= гц/п2- (21.24)
Полагая видимое увеличение плоскости раздела водной и
воздушной сред Tw = nw и ставя задачу получения
эквивалентного увеличения, равного единице, получаем
Г = IVrT = 1 = nwnjn2, (21.25)
откуда может быть определено
п2 = n^nw. (21.26)
В частном случае, полагая /г4 = 1,4704 (стекло марки Л Кб),
находим величину показателя преломления п2 = 1,4704-1,33304 =
= 1,9601, которая с трудом укладывается в существующий
ассортимент оптических стекол.
Однако, отказываясь от условия равенства эквивалентного
увеличения единице и ограничиваясь лишь требованием
устранения хроматизма увеличения, который возникает на плоскости
раздела водной и воздушной сред, можно получить достаточно
приемлемые практические результаты.
В соответствии с законом преломления для совокупности
телеконцентрической системы и плоскости раздела нетрудно
выразить величину выходного полевого угла в виде
sin со4 = ^ sin ©!. (21.27)
Дифференцируя формулу (21.27), находим
Лщ __ dn± ^2 1 ^з /о ] OR)
tgco4 пх п2 ' п3
263
Таблица 2LI
Конструктивные данные
телеконцентрической системы
г
оо
64,701
47,04
оо
d
2,0
17,661
5,88
nD
1,33304
1,7858
1
1,4704
Выражая величины
дифференциалов показателей преломления
через числа Аббе, получаем
4 \ пх\х п2\2 "¦" tt8V2 / ё
dec,
со4.
(21.29)
Приравнивая величину dco4 нулю,
приходим к условию устранения
хроматизма увеличения
яА — 1 __ п2— 1 п3— 1
«lVi
«2v2
"3v3
(21.30)
Полагая, что первая линза будет выполнена из стекла марки
СТК16 (п2 = 1,7858; v2 = 45,61), а вторая — из стекла марки
Л Кб {пв = 1,4704; v3 = 66,81) и пользуясь формулой (20.29),
определяем хроматизм увеличения для углового поля 2с% =
= 90°, величина которого составит йщ = 0,000441 = Г 31".
Выходной угол со' в этом случае получается равным 50°,907,
а видимое увеличение Г = 1,098.
Задавая фокусное расстояние второй положительной линзы
равным 100,0 мм, находим конструктивные данные
телеконцентрической системы, которые приведены в табл. 21.1.
Удаление выходного зрачка получается достаточно большим
(около 28 мм), поэтому после телеконцентрической системы могут
быть размещены фотообъективы, у которых углубление зрачка
входа достигает примерно 27 мм.
Заметим, что устранение хроматизма увеличения еще не
гарантирует устранение хроматизма положения; в рассматриваемом
примере хроматизм положения, выраженный в диоптрийной мере,
составляет 0,031 дптр.
Существенно, что такая переходная телеконцентричная
система будет строго свободна от кривизны поля, астигматизма
и комы. Сферическая аберрация этой системы корригирована не
будет (рис. 21.3); ее величина связана с отверстием входного
зрачка используемого объектива и в большинстве случаев будет
незначительна.
21.3. Гидросъемочные объективы,
построенные из воздушных линз
Так как показатели преломления воды и стекла близки друг
к другу (в отличие от показателей преломления воды и воздуха),
то можно при разработке гидросъемочных объективов исходить
из того, что и предмет, и его изображение будут
расположены в массе стекла; тогда можно создать необходимую
оптическую силу посредством образования в массе стекла
воздушных линз.
264
-г о i-о,2 о o,2-o,i о о,1
Рис. 21.4. Объектив «Гидроруссар-1»
-/ 0 1-0,5 0 ОД-1 0 4
Рис. 21.5, Объектив «Гидроруссар-2»
265
-ml ^л-о.1
-tin Ц7
0,1
P'Y.
iv=0
-•100% l01 100%
Рис. 21.6. Объектив «Гидроруссар-3»
-/, </
</. ./.
f>
</<
у, #
'/
ы
HI
to'
J-0.1 86-
$Т*тХ
-1 0 1-2-1 0 1 2-0,20 0,2
Рис. 21.7. Объектив «Гидроруссар-4»
266
В простейшем случае рассмотрим систему из двух
симметричных относительно диафрагмы воздушных менисков с равными
радиусами. В подобной системе, в первом приближении,
обеспечивается исправление астигматизма, кривизны поля, дисторсии
и комы. Переход от водной среды к стеклу через плоскую
поверхность раздела вызовет возникновение уже не положительной,
а отрицательной дисторсии, которая может быть устранена за
счет введения в пространстве изображения воздушной плоско-
параллельнай пластинки. Воздушный промежуток для
размещения диафрагмы может быть образован введением воздушной
пластинки и в пространстве между воздушными линзами.
Однако в рассматриваемой системе не предусмотрены средства
для исправления сферической аберрации; вследствие этого такой
гидросъемочный объектив не может иметь значительное
относительное отверстие.
По этой схеме были построены гидроеъемочные объективы
«Гидроруссар-1» с угловым полем в воде 2(ow = 62° при фокусном
расстоянии f = 40,9 мм и с относительным отверстием 1:13
В целях устранения хроматизма увеличения, вносимого
плоскостью раздела водной и воздушной сред, в одну из линз
объектива был введен хроматический радиус склейки.
Схема объектива «Гидроруссар-1» и графики его аберраций
приведены на рис. 21.4. Передняя поверхность объектива является
плоскостью.
21.4. Гидросъемочные объективы
с передними отрицательными линзами
менискообразной формы
Устранение положительной дисторсии, создаваемой плоским
иллюминатором, который разделяет водную и воздушную среды,
легко достигается путем использования плосковогнутой коррек-
ционной линзы. Однако при этом происходит переисправление
исходной дисторсии из положительной в отрицательную.
Поэтому для устранения дисторсии можно заменить переднюю
плоскую поверхность линзы на выпуклую, т. е. перейти к
менискообразной форме линзы.
При соответственном выборе положения входного зрачка
такая менискообразная отрицательная линза будет обладать
исправленным астигматизмом и положительной кривизной поля,
которая может быть использована для компенсации отрицательной
кривизны поля базовой части объектива. Кроме того,
использование передней менискообразной линзы выгодно в том отношении,
что после нее происходит уменьшение углового поля зрения;
последнее облегчает работу всей последующей части объектива.
Исходя из изложенного выше, было разработано несколько
гидросъемочных объективов, в которых после переднего
отрицательного мениска использовались собственно объективы
симметричного типа. Так, в объективе «Гидроруссар-2» был применен
267
собственно объектив «Дагор»; в объективе «Гидроруссар-3» —
объектив из двух положительных менисков и последующей
концентричной линзы, обеспечивавшей устранение кривизны поля
и исправление сферической аберрации; в объективе «Гидрорус-
сар-4» — объектив «Двойной протар». Все эти объективы имели
следующие основные характеристики:
f 2(DW,° Dif
«Гидроруссар-2» .... 47,0 81,5 1:10
«Гидроруссар-3» .... 10,8 70 1:5
«Гидроруссар-4» .... 95,6 68 1 : 10
Схемы этих объективов и графики их аберраций
представлены на рис. 21.5—21.7.
21.5. Гидросъемочные объективы
с использованием изопланатических линз
Одной из особенностей съемок в жидких средах, в частности»
в водной среде, является снижение прозрачности и рассеяние
света, что при более или менее значительных расстояниях до
предмета приводит к сильному понижению контраста
изображения; при этом ограничивается возможная дальность
расположения снимаемого объекта. Кроме того, весьма важно получение
нужной освещенности объекта съемки.
Поэтому возникает необходимость обеспечения у оптической
системы большого предметного углового поля, высокой
светосилы и хорошего светораспределения в плоскости изображения.
Так, угловое поле гидросъемочных объективов должно
достигать величин 2со = 60-т-90° при относительном отверстии не
менее 1 : 2 и освещенности на краю поля зрения не ниже 70—80 %
от освещенности в центре поля.
Современные фотографические объективы, предназначенные
для выполнения съемок в воздушной среде, этим требованиям
не удовлетворяют (в особенности, в отношении обеспечения
нужного светораспределения по полю зрения).
Поэтому для решения такой задачи потребовалось полностью
изменить подход к разработке подобного рода объективов, что
удалось осуществить лишь при компоновке оптических систем,
построенных из концентричных к зрачку и апланатических
поверхностей. Оказалось целесообразным использовать системы,
построенные на основе базовой системы из двух линз с
вынесенным вперед зрачком типа Б | о, к (+Б (а, к), размещая перед
ней коррекционный силовой блок — телескопическую систему,
составленную из двух линз вида КС (к, к (+Б) а, к).
Обе системы (базовая и телескопическая), будучи свободными
от астигматизма и комы, обладают отрицательной дисторсией,
с помощью которой может компенсироваться положительная
дисторсия плоскости раздела водной и воздушной сред.
268
Варьируя масштаб телескопической системы, можно
устранить отрицательную кривизну поля базовой системы. За счет
изменения радиусов кривизны концентричных линз, входящих
в телескопическую систему, удается воздействовать на
сферическую аберрацию базовых линз.
Подобного рода системы могут быть зашифрованы в виде
во + КС (к, к (+Б) а, к) + Б | о, к) + Б (а, к), где во —
плоскость раздела водной и воздушной сред.
Рис. 21.8. Объектив «Гидроруссар-11»
Рис. 21.9. Объектив «Гидроруссар-12»
От концентричной линзы телескопической системы может
быть отделена плосковогнутая линза, развивающая поле зрения.
Тогда получим систему, зашифрованную в виде во+ КС I о, к (+
+ КС (к, к ( + Б) а, к) + Б | о, к) + Б (а, к (.
Для ахроматизации в этих системах могут быть введены
хроматические поверхности склейки.
Системы такого вида были осуществлены в объективах «Гид-
роруссар-11» и «Гидроруссар-12» со следующими
характеристиками:
«Гидроруссар-11^ , . . 23,0 40 1:2
«Гидроруссар-12» ... 11,9 60 1:2
Схемы обоих объективов представлены на рис. 21.8 и 21.9.
21.6. Гидросъемочные объективы
с использованием эллиптических поверхностей
Кардинальное решение задачи создания широкоугольного
и светосильного гидросъемочного объектива с высокой
равномерностью светораспределения по полю зрения и с исправленной
дисторсиеи может быть обеспечено при использовании в них
269
Рис. 21.10. Ход главного луча через
плоскоэллиптическую линзу
плоскоэллиптических линз с глубокой несферической
поверхностью.
При сопоставлении работы плоскопараболической и
плоскосферической линз можно заметить, что первая линза для
предмета, расположенного в воздушной среде, при соответственном
подборе показателя преломления сохраняет анастигматичность и
может быть исправлена на дисторсию, тогда как у
плоскосферической линзы дисторсия при исправленном астигматизме будет
отсутствовать лишь в том случае, когда показатель преломления
предметного пространства
будет равен показателю
преломления самой линзы.
Таким образом, нетрудно
показать, что исправление ди-
сторсии и астигматизма при
каком-либо промежуточном
значении показателя
преломления должно достигаться в
интервале перехода от
параболической поверхности к
сферической, т. е. для
некоторой эллиптической
поверхности.
Поэтому для водной среды, у которой величина показателя
преломления находится между единицей и величиной показателя
преломления стекла линзы, должно происходить устранение
дисторсии при эллиптическом профиле преломляющей
поверхности.
Существенно, что использование передней
плоскопараболической линзы с отрицательной оптической силой позволяет
получить угол выходящего главного луча с осью системы равным
нулю, т. е„ после такой линзы наблюдается телецентрический ход
главных лучей. В случае же использования плоскосферической
линзы углы главных лучей с осью остаются равными входным
полевым углам.
Совершенно очевидно, что для плоскоэллиптических линз
величина выходных полевых углов должна получаться
значительно меньшей, чем входных углов; это обстоятельство выгодно
в том отношении, что при устранении дисторсии величина свето-
распределения будет определяться четвертой степенью косинуса
не входных, а выходных полевых углов, что будет
способствовать возникновению положительного аберрационного
виньетирования.
Перейдем непосредственно к определению профиля
эллиптической поверхности исходя из условия устранения дисторсии.
Рассмотрим рис. 21.10, на котором представлен ход главного
луча через плоскоэллиптическую линзу; причем перед плоской
поверхностью расположена водная среда. Соответственно пока-
270
затели преломления примем равными пг = п\ п2 = п'\ /г3 = 1 -
Углы главного луча с осью системы обозначим через со, со' и со".
Исходя из условия устранения астигматизма, выходной
зрачок будем считать совмещенным с одним из геометрических
фокусов эллипса. Отрезок от вершины второй поверхности до
геометрического фокуса обозначим через S2, отрезок от вершины
поверхности до «оптического» заднего фокуса — через so = /о.
Величина реального изображения после рассматриваемой
линзы у", согласно рис. 21.10, определится по формуле
у = (s"2 - s'o) tg со"; (21.31)
величина же неискаженного изображения уЪ будет равна
0o = /otgo. (21.32)
Заднее фокусное расстояние линзы может быть определено
по следующей формуле:
f0 = s0 = —r0/(n - 1), (21.33)
где г0 — радиус кривизны эллиптической поверхности в ее
вершине.
Переднее фокусное расстояние определится через заднее
фокусное расстояние по формуле
/0 = —nf'0 = пг0/(п - 1). (21.34)
В соответствии с этими формулами выражения для реального
и для неискаженного изображений преобразуются к виду:
У=(82 + ^Г[)^«>''> № = ^tgco. (21.35)
Уравнивая эти величины для устранения дисторсии, находим
(s'2+^)tgco''=^tgco, (21.36)
откуда определяется отношение величин
4 _ я tg аз--tg со" (21.37)
го (*' -l)tgco" *
Для эллиптической поверхности, согласно формуле (5.16),
имеем
4=-4о+/т+^>- (2U8)
Тогда формула (21.37) может быть преобразована к виду
1+/Т+Ё — В '*'-**. (21.39)
271
Освобождаясь от иррациональности в этой формуле,
получаем
, о fttgco-tgco" . г /г tg со — tg со" I» 2] Q
l~Z (^_i)tgco" hL (/г — 1) tgco" J D> (Zi.W)
откуда
_s = i _ r, - <"'-'>;;»; у —a., (2i.4i)
L /г tg со — tg со" J a ' v '
где a — большая полуось эллипса.
Полагая угол со заданным, легко определяем угол со". Согласно
закону преломления, имеем
sin со' = (п/п') sin со. (21.42)
Выбор величины угла со пока ничем обусловлен не был.
Задаваясь произвольно величиной этого угла, можно по формуле
(21.41) вычислить коэффициент В и затем, задаваясь радиусом rQ
в вершине эллиптической поверхности, определить отрезок sF
до геометрического фокуса этой поверхности.
После этого через эллиптическую поверхность можно
просчитать главный луч в обратном направлении и определить в резуль-
ч-
тате этого полевой угол со в обратном ходе, который должен бы
быть равным полевому углу со, полученному после преломления
главного луча на плоскости в прямом ходе. Однако в общем
случае, при произвольном выборе величины угла со, такое равенство
может и не получиться.
Изменяя соответственно величину угла со и вычисляя
коэффициент В, после нескольких приближений можно было бы добиться
ч-
равенства полевых углов со и со в прямом и обратном ходе, что
привело бы к одновременному устранению астигматизма и ди-
сторсии для выбранного полевого угла со. Однако значительно
проще достичь этого результата, изменяя последовательно
коэффициент В и определяя для него отрезок s'F, обеспечивающий
строгое устранение астигматизма.
При г0 = 18,0 получим: длина большой полуоси а = 30,76079;
длина малой полуоси Ь = 23,53072; эксцентриситет с. =
= j^a2 — b2 = 19,81241 и расстояние до выходного зрачка
Ъ = 50,51320.
Размещая после такой линзы концентричную линзу или линзу
с концентричной и близфокальной поверхностями, можно при
соответственном подборе ее оптической силы добиться
исправления кривизны поля; вводя же после первой концентричной
поверхности вторую, тоже концентричную, но склеенную
поверхность с отрицательной оптической силой, можно исправить
сферическую аберрацию.
Подобная система может быть зашифрована в виде КС | о, э(+
+ Б (к, снк, о|.
272
Такая система будет строго корригирована на астигматизм
по всему полю зрения и исправлена на кривизну поля и дистор-
сию для определенного полевого угла. Она будет корригирована
также и на сферическую аберрацию, но ее эллиптическая
поверхность будет вносить некоторую кому.
В подобной системе для размещения диафрагмы может быть
создан воздушный промежуток за счет введения биапланатиче-
ской воздушной линзы.
Рис. 21.11. Объектив «Гидроруссар-6»
В этом случае у одной из линз, расположенной вблизи
диафрагмы, может быть отделена тонкая линза, прогибом
которой можно воздействовать на кому системы, не нарушая
существенно коррекции системы на астигматизм, кривизну поля и
дисторсию.
Таким образом, получаем схему гидросъемочного объектива
«Гидроруссар-6» с угловым полем в воде 2с% = 90° при
относительном отверстии 1 : 3 и при обеспечении освещенности
изображения на краю поля порядка 80 % от освещенности в центре поля.
Схема гидросъемочного объектива «Гидроруссар-6» и графики
его аберраций представлены на рис. 21.11.
Несмотря на то, что оптическая сила в этом объективе создается
практически лишь одной преломляющей поверхностью,
концентричной зрачку, его относительное отверстие достаточно
велико; это объясняется небольшой исходной сферической
аберрацией у базовой линзы такого объектива.
273
В целях развития относительного отверстия целесообразно
нагрузку по созданию оптической силы разделить на два или
большее число компонентов. Для этого можно после
плоскоэллиптической линзы расположить базовую плосковыпуклую
линзу со сферической поверхностью, концентричной зрачку,
образующую вместе с плоскоэллиптической линзой
телескопическую систему.
Тогда после подобной телескопической системы в качестве
второго силового компонента можно располагать любые
объективы, например объективы типа плазмат.
Пользуясь тем, что плоскоэллиптическая линза создает
дополнительную положительную кривизну поля, можно после
силового компонента расположить линзу с конфокальной
поверхностью, повышающей выходную апертуру пропорционально
ее показателю преломления и не вносящей ни сферической
аберрации, ни комы при положительном астигматизме и
отрицательной кривизне, наличие которых облегчает работу силового
компонента.
Принципиальная схема подобного объектива может быть
зашифрована в виде КС | о, э ( + Б (к, о| + О [плазмат 1 +
+ Б (к, о|.
По этой схеме были построены объективы типа «Гидроруссар-7»
и «Гидроруссар-9» с угловым полем в воде 2<ow = 90° и с
относительными отверстиями 1 : 2 и 1 : 1,5; светораспределение
указанных объективов обеспечивает освещенность на краю поля
порядка 80 % от освещенности в центре поля.
Глава 22
ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВЫЕ СИСТЕМЫ
22.1. Система Шмидта
Базовым элементом в системе Шмидта является сферическое
зеркало, с центром которого совмещен входной зрачок. При таком
расположении зрачка зеркало уподобляется концентричной линзе,
благодаря чему обеспечивается строгое устранение астигматизма
и комы для произвольно большого поля зрения. Однако
сферическая аберрация зеркала остается неисправленной.
Для компенсации сферической аберрации зеркала Шмидт
предложил разместить в зрачке зеркала афокальную коррекцион-
ную пластинку, одна из поверхностей которой (обычно вторая)
деформирована, с радиусом кривизны в вершине, равным
бесконечности. Вследствие этого при устранении сферической
аберрации не возникают астигматизм и кома.
274
Схема системы Шмидта, которую можно зашифровать в виде
К (асф) + БЗ (к), представлена на рис. 22.1.
Элементарная сферическая аберрация зеркала может быть
выражена известной приближенной формулой
д5' tt_h2/(8f'), (22.1)
где h — высота апертурного луча.
Тогда для поперечной сферической аберрации зеркала
получаем
8g' ж -/i3/(8/'2),
а для волновой аберрации
А/ « /iV(32/'3).
zt-zi
if'
As1
-0,1 О Ъ '10
Рис. 22.1. Зеркально-линзовая система Шмидта
Так как волновая аберрация коррекционной пластинки
создается за счет изменения ее толщины, то можно написать
Л4 л—1
м=(»-ум
32//3
-2,
(22.4)
откуда может быть получено уравнение профиля пластинки,
если одна из ее поверхностей сохраняется плоской, в виде
nh*
z =
32 (п -I)/'3
(22.5)
Полагая фокусное расстояние зеркала равным /' = 1000 мм,
высоту луча h = 200 мм и показатель преломления п = 1,5,
находим
1,5- 2004
Z =
= 0,15 мм.
32.0,5-10003
Обратим внимание на следующее обстоятельство,
характерное для работы системы Шмидта. При прохождении наклонного
пучка лучей через пластинку Шмидта, совмещенную со зрачком,
ширина сечения пучка в меридиональной плоскости,
перпендикулярная главному лучу, уменьшается по отношению к ши-
275
рине осевого пучка пропорционально косинусу полевого угла со.
Крайние же лучи наклонного пучка составляют значительные
углы с нормалями к деформированной поверхности, что
приводит к быстрому росту меридиональной сферической аберрации
пластинки Шмидта, являющейся некоторой функцией полевого
угла. Поэтому при точной компенсации сферической аберрации
зеркала на оси с помощью подобной коррекционной пластинки
невозможно точно скомпенсировать сферическую аберрацию по
полю, так как у зеркала с ростом полевого угла сферическая
аберрация сохраняется постоянной.
В то же время в сагиттальной плоскости уменьшения ширины
сечения наклонного пучка лучей не происходит, благодаря чему
в этой плоскости компенсация сферической аберрации зеркала
не нарушается.
Таким образом, меридиональная волновая сферическая
аберрация системы Шмидта может быть определена как разность
волновых аберраций пластинки и зеркала
Мг = -"Lr- »™**_ = J^{X _ cos4 со). (22.6)
1 32/' 32/' 32/'
При небольших величинах полевых углов со формула (22.6)
может быть заменена приближенной зависимостью
Alt « -^т со2 = — 2Д/0со2; (22.7)
t 16/,з О V /
от волновой аберрации можно перейти к поперечной аберрации
б^=^г-соГ =-^а/3соГ. (22.8)
Обращаясь к приведенному примеру и полагая полевой угол
со = 6° = 0,1 рад, находим для поперечной сферической
аберрации в меридиональной плоскости
. , 0,23. о, 12. Ю00 ЛПО
og = -1 -j = 0,02 мм.
Для сопоставления ниже приведены значения меридиональной
сферической аберрации системы Шмидта для этого же угла,
вычисленные на ЭВМ для нескольких высот h апертурного луча
с учетом кривизны поверхности изображения.
h 200,0 173,2 141,4 100,0
bg' 0,081 0,056 0,034 0,015
h —200,0 —173,2 —141,4 —100,0
5g' —0,030 —0,019 —0,010 -0,004
Результаты расчета показывают, что, наряду с наличием
меридиональной сферической аберрации, в наклонном пучке
возникает некоторая кома. Это объясняется тем, что крайние лучи
наклонного пучка преломляются на деформированной
поверхности с различающимися углами падения в.
276
Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Величина
показателя преломления коррекционной пластинки при
изменении длины волны будет также изменяться. Для параксиальных
лучей, для которых коррекционная пластинка является афо-
кальной системой, хроматизм не возникает. Однако для
реальных высот апертурных лучей осевого пучка изменение
показателей преломления приводит к возникновению сферохромати-
ческой аберрации, которая может быть определена по формуле
8As' = -^- = —9 (22.9)
/IV V v '
где As' — величина корригируемой сферической аберрации
зеркала, a v — число Аббе.
Для нашего примера при v = 64 величина сферохромати-
ческой аберрации 6As' = 0,078 мм, т. е. она довольно ощутима.
Графики аберраций системы Шмидта для рассматриваемого
примера приведены на рис. 22.1, а ее конструктивные данные —
в табл. 22.1.
Из графиков аберраций следует, что система Шмидта кроме
положительной сферохроматической аберрации обладает
положительной кривизной поля, исправление которой может быть
обеспечено с помощью близфокальной линзы. Сферохромати-
ческая аберрация может быть уменьшена, если коррекционная
пластинка будет иметь положительную оптическую силу.
С другой стороны, положительная оптическая сила вызовет
некоторый отрицательный астигматизм, с помощью которого
в известной степени может быть уменьшено влияние
меридиональной сферической аберрации. Заметим, что при изготовлении
такой коррекционной пластинки уменьшится съем материала,
необходимый для получения требуемого профиля, что в какой-та
мере облегчит технологическую задачу.
Исходя из общих рассуждений нетрудно представить, что в
точке профиля, в которой его касательная становится
перпендикулярной оси системы, сферохроматическая аберрация будет равна нулю.
В целях устранения сферической аберрации сферическога
зеркала можно воспользоваться вместо пластинки Шмидта другим
коррекционным элементом, например мениском Максутова, роль
которого сводится к созданию положительной сферической
аберрации без внесения хроматизма.
При расположении центров обеих поверхностей мениска
Максутова вблизи центра зеркала обеспечивается неизменность
астигматизма и комы. В этом случае возможны два положения
мениска, из которых более предпочтительным является то
положение, когда мениск находится между центром и вершиной
зеркала, так как тогда система объектива будет значительно короче
величины фокусного расстояния зеркала.
Одновременно при использовании мениска Максутова
следует иметь в виду, что его сферическая аберрация по своему ха-
277
Таблица 22.1
Конструктивные данные
системы Шмидта
Таблица 22.2
Система из сферического зеркала
с мениском Максутова
г
ОО
00 *
—2000
d
10
2000
/' = —1000,0; sfr =
* Парабола по
2 = 0,605-1 О*1 V + 0,2
nD
1,5163
1
— 1
— 1000,0
уравнению
372. Ю-1 Vе
г
—435,26
—464,26
—2080,73
^
50,0
1081,1
nD
1,5163
1
—1
/- = —1000,0; s'F = —1072,2
рактеру значительно отличается от характера сферической
аберрации зеркала, и поэтому исправление сферической аберрации
в системе из зеркала в сочетании с мениском Максутова будет
осуществимо лишь для какой-то одной высоты апертурного луча
осевого пучка. Этим, естественно, ограничивается возможность
развития относительного отверстия в системах подобного рода.
~0г1 0 0ti 40 0 10
Рис. 22.2. Зеркально-линзовая система с мениском Максутова
Совершенно очевидно, что вместо пластинки Шмидта или
мениска Максутова можно было бы воспользоваться и другими
коррекционными элементами или блоками, например двухлин-
зовым афокальным компенсатором или мениском Чуриловского.
В качестве практического примера в табл. 22.2 приведены
данные системы, состоящей из сферического зеркала и мениска
Максутова. Эта система может быть зашифрована в виде К) М) -f-
+ БЗ (к); ее схема и графики аберраций приведены на рис. 22.2.
22.2. Зеркало, совмещенное с входным зрачком
Такое сферическое зеркало, работающее аналогично тонкой
симметричной линзе, обладает сферической аберрацией, комой
и астигматизмом.
278
Исправление сферической аберрации легко достигается за
счет замены сферы параболической поверхностью, поэтому
главная задача — исправление комы. Для этой цели без применения
второго зеркала могут быть использованы различные
компенсаторы, например афокальный двухлинзовый компенсатор комы,
размещаемый между зеркалом и плоскостью изображения. При
этом астигматизм остается неисправленным.
Подобная система, зашифрованная в виде БЗ (п) + Ком [аф]>
представлена на рис. 22.3 вместе с графиками аберраций.
\1ь
Ь -'
Рис. 22.3. Параболическое зеркало с двухлинзовым
компенсатором
Рис. 22.4. Сферическое зеркало с двумя компенсаторами
При наличии двух афокальных компенсаторов можно кроме
исправления комы обеспечить и исправление астигматизма,
сохранив сферическую форму базового зеркала. Такая система имеет
следующий шифр:
БЗ (сф) + Ком [аф] + Ком [аф].
Схема сферического зеркала с двумя компенсаторами
представлена на рис. 22.4 вместе с графиками аберраций.
22.3. Совокупность сферического зеркала
с толстой плоскопараллельной пластинкой
Сферическое зеркало (как это было показано ранее) обладает
отрицательной сферической аберрацией; плоскопараллельная
пластинка, наоборот, имеет положительную сферическую аберра-
27S
цию. Поэтому, сочетая сферическое зеркало с
плоскопараллельной пластинкой определенной толщины, можно осуществить
взаимную компенсацию сферической аберрации. При этом, так
как сферическая аберрация зеркала и плоскопараллельной
пластинки очень близки друг другу по своему характеру, в
результате взаимной компенсации величина остаточной сферической
аберрации в средней части отверстия получается небольшой,
что позволяет развивать большое относительное отверстие
системы .
Сферическая аберрация сферического зеркала в
совокупности с плоскопараллельной пластинкой может быть выражена
точной формулой
д5'=/;+А /о _?2ii?V2LA, (22.10)
/и ' п cos (о'/2) coso « ' v '
где а и а' — апертурные углы вне и внутри пластинки.
Устраняя сферическую аберрацию для какого-либо
выбранного апертурного угла сг, можно определить величину толщины
плоскопараллельной пластинки или ее отношение к фокусному
расстоянию зеркала по формуле
1 >
d «*(а'/2).я# (22П)
/о
1 — cos g'/cos а
Задаваясь относительным отверстием системы, равным 1:1,
находим следующие величины отношений d/fo для различных
показателей преломления:
п 1,5 1,6 1,7 1,8
d/f'o 0,649722 0,639092 0,638667 0,644660
Анализируя приведенные выше значения d/f'o, видим, что
величина отношения толщины пластинки к фокусному расстоянию
зеркала при различных показателях преломления сохраняется
примерно постоянной и равной 0,64, приобретая наименьшее
значение 0,637898 при показателе преломления 1,65.
Интересно, что отступление от условия синусов Аббе для
совокупности зеркала с плоскопараллельной пластинкой
составляет при относительном отверстии 1 : 1 около 3,5 %, тогда как
для параболического зеркала при том же относительном
отверстии оно составляет около 6 %, т. е. почти вдвое больше.
Пользуясь точной формулой для сферической аберрации
плоскопараллельной пластинки [4, формула (10.9)], для
различных показателей преломления и апертурных углов были
найдены значения сферической аберрации при фокусном расстоянии
зеркала /о = 100 мм. Эти значения приведены в табл. 22.3. При
этом были выбраны следующие марки стекол: СТК19 с п = 1,7440,
при котором отношение толщины пластинки к произведению
показателя преломления на фокусное расстояние, т. е. d/nfo
280
Таблица 22.3
Сферическая аберрация зеркала и плоскопараллельной пластинки
Марка
стекла
СТК19
ТФЮ
СТФ1
As' при sin а', равном
0,5
0,000
0,000
0,000
0,45
—0,0067
—0,00409
+0,00085
0,4
—0,01012
—0,0063
+0,00078
0,35
—0,01084
—0,00685
+0,00059
0,3
—0,00995
—0,00642
+0,00027
0,25
—0,00809
—0,00526
+0,00004
равно 0,367357; СТФ1 с п = 1,9444 и d/nfo = 0,339721, а также
ТФЮ с п= 1,8060 и d/nfo = 0,357239.
Из приведенной таблицы следует, что при изменении
показателя преломления от 1,806 до 1,9444 сферическая аберрация
в средней части отверстия переходит от отрицательных значений
к положительным.
Оценивая величины остаточной сферической аберрации в
угловой мере для стекла СТФ1, видим, что они не выходят за пре-
50
У
¦В \с
ш
й±Х
-0,2 -0,1 0 0,1
Рис. 22.5. Сферическое зеркало с плоскопараллельной пластинкой
делы одной угловой секунды, а волновые аберрации — за одну
десятую длины волны.
Однако системы на основе сочетания сферического зеркала
и плоскопараллельной пластинки обладают неисправленными
астигматизмом и кривизной поля; кроме того, толстая
плоскопараллельная пластинка привносит в систему положительный
хроматизм положения.
Подобная система может быть зашифрована в виде БЗ (сф) +
+ П. В качестве примера на рис. 22.5 она представлена с
графиками аберраций для конструктивных данных, приведенных
в табл. 22.4.
В целях устранения отрицательного астигматизма,
создаваемого сферическим зеркалом, целесообразно из толстой
плоскопараллельной пластинки вырезать воздушную конфокальную
линзу, которая, как было показано ранее, не влияя на сагитталь-
281
Таблица 22.4 ную кривизну изображения,
Конструктивные данные системы создает дополнительную ПОЛО-
из сферического зеркала и пластинки жительную кривизну в
меридиональной плоскости.
Для устранения
отрицательного астигматизма можно
также воспользоваться
размещением после
плоскопараллельной пластинки положительной
линзы с конфокальной
поверхностью. Такая линза
(одновременно с устранением
астигматизма) позволяет повышать
относительное отверстие
объектива пропорционально показателю преломления стекла, из
которого она выполнена.
Заметим также, что для компенсации положительного
хроматизма положения от плоскопараллельной пластинки можно одну
Рис. 22.6. Зеркально-линзовый объектив «Рефлексруссар-7»
из ее плоских поверхностей заменить сферической поверхностью
с положительной оптической силой, обладающей отрицательным
хроматизмом положения. Сила подобной сферической
поверхности получается незначительной по своей абсолютной величине,
благодаря чему ее монохроматические аберрации сравнительно
282
г
—200
оо
оо
г =
d
—63,26
—64,07
—100,0; s'F =
nD
1
—1
—1,744
—1
= —о,о
легко устраняются за счет других конструктивных элементов
системы зеркально-линзового объектива.
Изложенные приемы композиции систем на основе сочетания
сферического зеркала с толстой плоскопараллельной пластинкой
были реализованы при разработке высокосветосильного
зеркально-линзового объектива «Рефлексруссар-7», схема и графики
аберраций которого приведены на рис. 22.6. Этот объектив имеет
следующие основные характеристики: фокусное расстояние /' =
= 250 мм, угловое поле 2со = 12°, относительное отверстие 1 : 1
22.4. Двухзеркальные системы
Используя свойства параболического зеркала, состоящее
в строгом исправлении сферической аберрации и астигматизма
при телецентрическом ходе лучей для случая расположения
предмета в бесконечности, можно составить телескопическую систему
Мерсенна из двух конфокальных парабол, в которой будет
происходить строгое исправление сферической аберрации на оси,
а также исправление астигматизма и комы.
Система Мерсенна может быть зашифрована в виде БЗ (п) +
+ БЗ (п) и представлена либо в виде системы Кеплера, либо
Галилея, т. е. с оборачиванием или без оборачивания
изображения.
Нарушение конфокальности в системе Мерсенна приводит
к получению фокусного расстояния, отличающегося от бесконеч-
Рис. 22.7. Система Грегори Рис. 22.8. Система Кассегрена
ности. Таким образом, из системы Мерсенна кеплеровского типа
получается двухзеркальная система Грегори (рис. 22.7), а из
системы Мерсенна галилеевского типа — система Кассегрена
(рис. 22.8). В обоих случаях возникает некоторая сферическая
аберрация, исправление которой легко обеспечивается
изменением формы второго (малого) зеркала на эллиптическую (в
системе Грегори) или гиперболическую (в системе Кассегрена).
Наличие несферических поверхностей второго порядка
обеспечивает одновременное исправление сферической аберрации и
комы, что для астрономических труб с малыми угловыми полями
является вполне приемлемым.
Рассматривая систему Грегори, следует обратить внимание
на то обстоятельство, что при размещении изображения после
283
Таблица 22.5 обоих зеркал в вершине первого
Телескопическая система зеркала это первое зеркало само
из двух зеркал с пластинкой будет изображено вторым зеркалом
в плоскости промежуточного
изображения. Поэтому можно, разместив
в плоскости промежуточного
изображения какой-либо коррекцион-
ный элемент, например коррекцион-
ную пластинку с деформированной
поверхностью или афокальный
компенсатор, перенести на этот элемент
действие деформации на первом
зеркале и тем самым перейти к
сферической форме первого зеркала.
Используя в качестве коррекци-
онного элемента двухлинзовый
компенсатор и несколько выводя его из плоскости промежуточного
изображения, можно отказаться от деформации и второго
зеркала, придав ему сферическую форму.
Подобная двухзеркальная система может быть зашифрована
в виде БЗ (сф) + Ком [аф] + БЗ (сф); ее схема с графиками
аберраций приведена на рис. 22.9.
г
сю
—200,0
100,0
оо
d
96,11
63,26
—63,26
—96,11
—31,63
31,63
96,11
nD
1,744
1
—1
—1,744
—1
1
1,744
1 Г = —2х
-/ 0 1 -t о
Рис. 22.9. Система Грегори с двухлинзовым компенсатором
г*ши
Составляя пропорциональную телескопическую систему из
пары сферических зеркал с коррекционными
плоскопараллельными пластинками и объединяя обе пластинки в одну, получаем
оптическую систему из двух сферических зеркал с
промежуточной плоскопараллельной пластинкой, которая будет обладать
хорошо исправленной сферической аберрацией и комой. Эта
система аналогична системе Мерсенна из двух конфокальных
параболических зеркал; однако в отличие от нее система из
сферических зеркал с плоскопараллельной пластинкой уже не будет
исправлена на астигматизм и ей будет присущ хроматизм
положения, создаваемый плоскопараллельной пластинкой.
284
Система из пары сферических зеркал с пластинкой может
обладать как положительным, так и отрицательным увеличением,
создавая перевернутое или прямое изображейие.
Нарушая телескопичность в такой системе (подобно
нарушению телескопичности в системе Мерсенна), можно получить
зеркально-линзовые объективы типа Кассегрена или типа
Грегори, дающие перевернутое или прямое изображение.
Совершенно очевидно, что зеркально-линзовые объективы
типа Грегори с использованием плоскопараллельной пластинки
50
[/
I
\с
Ы
\As[dnmp
-0tl -0А 0 0,1
Рис. 22.10. Телескопическая система из двух сферических зеркал с плоскопарал*
лельной пластинкой
могут быть применены в качестве объективов телескопических
систем — аналогично монолитным зеркально-линзовым
объективам.
Для иллюстрации приводим данные телескопической системы
с использованием пары сферических зеркал в совокупности с
плоскопараллельной пластинкой (табл. 22.5). Схема и графики
аберраций этой системы приведены на рис. 22.10.
Глава 23
МИКРООБЪЕКТИВЫ
23.1. Разрешение микрообъективов
Решение задачи получения наивысшего разрешения близко
расположенных объектов лимитируется волновой природой
света и определяется числовой апертурой микрообъектива —
произведением показателя преломления среды, в которой
располагается объект наблюдения, и синуса угла входящего в
микрообъектив апертурного луча с осью системы.
285
Величина физически возможного разрешения определяется
отношением длины световой волны в пустоте к числовой апертуре
микрообъектива, т. е.
е^1л = 2/zsina" (23Л>
Резкое изображение, воспринимаемое глазом наблюдателя,
получится в том случае, когда угловая величина изображения
точки не превосходит 0,001 рад, что соответствует на расстоянии
наилучшего зрения 250 мм кружку рассеяния диаметром около
0,25 мм.
Полагая К = 0,6 мкм, sin a = 0,95 и показатель среды, в
которой расположен наблюдаемый объект, п = 1,3, находим
величину линейного разрешения е в предметной плоскости,
составляющую приблизительно 0,25 мкм. Отсюда получаем полезное
увеличение микроскопа Г около 1000—1300х.
Исходя из формулы видимого увеличения лупы находим
величины фокусных расстояний микроскопа
Г = 250/Г = 0,25^-0,20 мм.
Столь короткие фокусные расстояния в оптических системах
получить непосредственно не представляется возможным; поэтому
возникает необходимость использования схемы сложного
микроскопа, состоящего из объектива и окуляра с промежуточным
изображением между ними.
Видимое увеличение сложного микроскопа определяется
произведением линейного увеличения микрообъектива и видимого
увеличения окуляра, величина которого Г обычно ограничивается
диапазоном от 5 до 20х; этот диапазон окулярных увеличений
обусловлен комфортностью наблюдения.
Величина видимого увеличения микроскопа выражается
формулой
Гм = ГокУоб. (23.2)
Исходя из среднего увеличения окуляра Гок = 10х, получаем
увеличение микрообъектива V0q = —100, если увеличение всего
микроскопа Гм = 1000х. При таком увеличении и при числовой
апертуре А = 1,25 (для иммерсионного объектива) получаем
величину выходного апертурного угла
а' = Л/Уоб = 0,0125,
что и определяет величину апертурного угла окуляра.
Далее можно получить диаметр выходного зрачка
микроскопа
2р' = 2а/ок = 0,625 мм.
Таким образом, величина относительного отверстия окуляра
получается очень небольшой — около 1 : 40, что исключает воз-
286
никновение сколько-нибудь ощутимой практически сферической
аберрации окуляра.
Имея в виду, что величина окулярного углового поля редко
превосходит 2со' = 30°, получаем для 10х окуляра величину
линейного поля 2у' — отверстия полевой диафрагмы —
приблизительно 12 мм. Совершенно очевидно, что тогда предметное поле
микрообъектива при 100х линейном увеличении будет примерно
достигать 2у = 0,12 мм. При таком небольшом предметном поле
создаются известные затруднения при введении в него
интересующего наблюдателя объекта; поэтому возникает
необходимость отыскания объекта при большем предметном поле зрения
и соответственно при меньшем увеличении.
Одним из возможных решений этой задачи является смена
объективов, т. е. первоначально объект разыскивается с помощью
более слабого микрообъектива с большим предметным полем
зрения и меньшим линейным увеличением, а уже затем его
заменяют более сильным микрообъективом с большим увеличением
и большей апертурой, но соответственно с меньшим полем зрения.
Для подобной смены увеличений, в свою очередь, требуется
сохранение положения окуляра — плоскости промежуточного
изображения — относительно предметной плоскости
объективов, т. е. сохранение оптической длины тубуса. Постоянство
оптической длины тубуса, с одной стороны, создает предпосылки
для широкого использования микрообъективов различных
увеличений, но, с другой стороны, ограничивает их габаритные
размеры.
Кроме того, при смене микрообъективов требуется
обеспечение достаточно строгой центрировки сменных микрообъективов,
т. е. необходимо создание револьверного устройства. Нельзя
игнорировать, что при смене объективов необходимо
самостоятельно фокусировать каждый из микрообъективов, так как
точность фокусировки для сильных объективов измеряется
микрометрами и долями микрометров, возрастая при переходе к
большим увеличениям, что механически невозможно обеспечить для
всех объективов одновременно.
Оптическая длина тубуса, принятая в настоящее время в
микроскопах, составляет 190 мм; поэтому при линейном поле
окуляров около 2у' = 12 мм угловое поле микрообъективов в
пространстве изображений не превосходит в основном 2со' = 4°.
В последнее время, однако, в связи с развитием
микрофотографии намечается тенденция к некоторому увеличению углового
поля — в два-три раза, т. е. до 8—12°.
Исходя из величины оптической длины тубуса, нетрудно
определить величины фокусных расстояний микрообъективов по
следующей формуле:
287
Таким образом, для различных увеличений V получаются
следующие значения фокусных расстояний:
V —100 —40 —20
/' 1,863 4,521 8,617
Аберрационную оценку качества изображения (для
единообразия и более наглядного представления) целесообразно
производить в обратном ходе лучей, т. е. в предметной
плоскости. ^_
В этом случае линейные увеличения в обратном ходе V будут
обратными линейным увеличениям в прямом ходе, и тогда работа
микрообъективов становится подобной работе фотообъективов
при расположении предмета в бесконечности.
Для согласования работы различных микрообъективов с
осветительным устройством целесообразно в предметном пространстве
соблюдать телецентрический ход главных лучей. Для
обеспечения этого апертурную диафрагму потребуется располагать
в задней фокальной плоскости микрообъективов.
Размещение сменных микрообъективов в общем револьверном
устройстве налагает габаритные ограничения на их
конструктивную длину; расстояние от предметной плоскости до нижней
поверхности гнезда в револьверном устройстве принимается
в настоящее время равным 33 мм.
23.2. Сильные микрообъективы
Учитывая необходимость получения для сильных
микрообъективов большой предметной апертуры, следует в качестве
простейшей базовой линзы выбрать концентричную линзу,
обладающую наименьшей сферической аберрацией, а также
исправленными комой и астигматизмом.
Для выявления возможностей подобной базовой линзы
обратимся к численному примеру. Зададимся фокусным расстоянием
линзы /' = 2,0 мм и величиной выходной апертуры в обратном
ходе лучей sin о' = 0,95 при расположении предмета в
бесконечности. Полагая, что линза выполнена из стекла марки К8 с
показателем преломления п = 1,5163, получаем значения ее радиусов
/*! = —г2 = 1,362 мм и толщины d = 2,724 мм.
Так как высота апертурного луча не может превосходить
величину радиуса, то при этом получаем величину возможной
апертуры не выше 0,681. Отсюда следует, что для получения
высоких апертур уже невозможно ограничиваться одной базовой
линзой; таким образом, базовая система для сильных
микрообъективов должна усложняться.
Как известно, хроматизм положения концентричных линз
может быть определен по формулам:
dO = Ф/nv; Д/' = — f'/nv. (23.4)
288
Для рассматриваемого примера получаем
^, = -1,51632.64.1=-°'0206мМ-
При определении хроматизма в плоскости изображения (перед
окуляром) величина предметного хроматизма должна быть
умножена на продольное увеличение в прямом ходе. Тогда для нашего
примера получаем
6s' = Д/'Q « 200 мм.
С другой стороны, исходя из величины кружка рассеяния
в предметной плоскости порядка 0,001 мм, при апертурном
угле sin а = 0,5 получаем, что и хроматизм положения в
предметной плоскости также должен быть порядка 0,001 мм. Иными
словами, хроматизм концентричной базовой линзы более чем на
два порядка превосходит допустимый хроматизм.
Этот пример показывает, что исправление хроматизма
положения в сильных микрообъективах осуществить достаточно
сложно.
Кривизна поля в предметной плоскости микрообъектива
в виде концентричной линзы может быть определена как стрелка
сферы радиусом, равным фокусному расстоянию, для полухорды,
равной величине предмета.
Величина стрелки zp в первом приближении получается равной
У2 У2 0'01 Л ЛАОС
2р=|^ = ^7-=--~- = — 0,0025 мм.
Переходя к плоскости изображения, находим
zp = zpQ « 25 мм,
т. е. величину, уже достаточно ощутимую.
Таким образом, исходя из приведенного выше примера
использования простейшей концентричной линзы, перечислим ниже
следующие основные трудности создания сильных
микрообъективов с большими апертурами:
1) обеспечение получения необходимой входной апертуры;
2) исправление аберраций осевого пучка лучей (сферической
аберрации и хроматизма положения);
3) исправление полевых аберраций (кривизны поля,
астигматизма и комы).
Для преодоления первых двух трудностей (создания большой
апертуры и исправления сферической аберрации) уже в начале
XIX в. в системе микрообъектива начали использовать свойства
апланатической поверхности. Так, применение плоскоапланати-
ческой фронтальной линзы позволяло получать линейное
увеличение V = п2, с помощью которого удавалось уменьшать
величину выходной апертуры так же в п2 раз, не создавая при этом
сферической аберрации, комы и астигматизма.
289
Таким образом, можно было при входной апертуре 0,95
получить выходную апертуру sin о' = 0,4132 и при этом существенно
облегчить работу последующей части системы.
При всех своих положительных свойствах плоскоапланати-
ческая линза остается неахроматизированной. Ее хроматизм
положения может быть определен по следующей приближенной
формуле:
6s' = — 2l=±r. (23.5)
Численно, принимая г= —2,0 мм, п = 1,5163 и v = 64,1,
находим
6s' = —0,0405 мм.
При увеличении Vj = п2 = 2,299, ограничиваясь общим
увеличением микрообъектива V = 40х, получаем для последующей
части системы линейное увеличение
Vn = V/Vi = -17,399,
а продольное увеличение
Q„ = Vu = 302,725.
Умножая величину хроматизма положения для плоскоаплана-
тической линзы на продольное увеличение, находим хроматизм
положения, вносимый фронтальной линзой в плоскости
изображения микрообъектива
6s" = Qu8s' = — 12,26 мм,
т. е. величину, достаточно ощутимую.
Хроматизм увеличения, вносимый плоскоапланатической
линзой, при соблюдении в предметном пространстве
телецентрического хода главных лучей может быть определен по следующей
приближенной формуле:
%- = 2-fi = 0,0088 = 0,88 %.
Хроматизм увеличения получается положительным и для его
устранения можно использовать компенсационные окуляры с
таким же хроматизмом увеличения в обратном ходе лучей.
Таким образом, на последующую после плоскоапланатической
линзы часть системы налагается (кроме исправления
собственных аберраций этой части) еще исправление хроматизма
положения и хроматизма увеличения, а также кривизны поля
фронтальной плоскоапланатической линзы.
Если в качестве последующей части микрообъектива
использовать тонкий компонент, совмещенный со зрачком выхода, то
в таком компоненте могут быть устранены сферическая
аберрация и кома; хроматизм положения может быть переисправлен,
благодаря чему хроматизм положения фронтальной линзы ока-
290
зывается скомпенсированным. Таблица 23.1
Астигматизм такого ТОНКОГО Конструктивные данные
Компонента будет ПОСТОЯННЫМИ микрообъектива ахромата 40X0,65
отрицательным по знаку; при
сочетании его с кривизной
поля фронтальной линзы
получаем общую коррекцию
астигматизма подобного
микрообъектива неудовлетворительной.
Хроматизм увеличения
тонкого компонента,
совмещенного со зрачком, будет равен
нулю, и, таким образом,
хроматизм увеличения, вносимый
фронтальной линзой,
сохранится неисправленным.
Учитывая, что тонкий компонент должен работать с большим
относительным отверстием, затрудняющим его собственную
коррекцию, целесообразно в качестве последующей части
микрообъектива использовать систему из двух тонких компонентов,
разделенных значительным воздушным промежутком, с помощью
г
оо
—1,85
4,17
-4,6
26,55
5,59
—7,98
d
1,76
0,2
1,3
1,6
4,0
1,0
2,0
nD
1,5100
1
1,6725
1,5100
1
1,6164
1,5100
/' = 4,621; s'F= —6,002;
SF = —0,500
-0,01 0 0,01-0,01 0 0,01
Рис. 23.1. Микрообъектив ахромат 40X0,65
которого собственный астигматизм последующей части системы
может быть устранен; при этом будет облегчена коррекция
сферической аберрации и хроматизма положения.
Окончательно получаем классическую схему микрообъектива
ахромата со средними величинами увеличения и апертуры.
В табл. 23.1 приведены данные подобного микрообъектива с
увеличением V = 40х и апертурой 0,65; его схема и графики
аберраций изображены на рис. 23.1; заметим, что графики аберраций
всех микрообъективов даны в обратном ходе лучей, т. е. в
предметной плоскости.
Оценивая степень исправления аберраций этого объектива,
приходим к выводу, что при ахроматизации объектива для двух
291
линий спектра остается довольно большой остаточный
хроматизм — вторичный спектр, влияние которого достаточно ощутимо.
Соответственно и исправление монохроматических аберраций
также находится на пределе допустимого.
Поэтому при создании сильных микрообъективов с большими
апертурами и увеличениями необходимо вводить в их
принципиальную схему дополнительные конструктивные элементы,
позволяющие расширить коррекционные возможности
исходной схемы.
Одним из таких конструктивных элементов, вводимых после
плоскоапланатической фронтальной линзы, является мениск с
конфокальной и апланатической поверхностями, свободный от
сферической аберрации и комы, а также создающий дополнительное
уменьшение выходной апертуры, пропорциональное показателю
преломления стекла, из которого он изготовлен. Однако такой
мениск усиливает хроматизм положения после фронтальной
линзы и, кроме того, вносит отрицательный астигматизм,
создаваемый его конфокальной поверхностью.
23.3. Микрообъективы плакахроматы
Для фотографирования микроскопических объектов
необходимо обеспечивать совмещение изображения с плоскостью
фотопленки; при этом должна быть устранена кривизна поверхности
изображения, создаваемая микрообъективами.
Однако в целях уменьшения хроматизма положения в
обычных микрообъективах ахроматах часто используют весьма
короткофокусные фронтальные линзы, которые имеют значительную
кривизну поля, не поддающуюся компенсации в
последующей части микрообъектива. Вследствие этого обычные
микрообъективы ахроматы обладают значительной кривизной
поверхности изображения.
Наличие кривизны поверхности изображения при
визуальных наблюдениях в известной мере компенсируется диапазоном
аккомодации глаза наблюдателя; кроме того, всегда можно
использовать подфокусировку в краевой части поля, если в ней
оказывается расположенным интересующий наблюдателя объект.
Понятно, что при фотографировании эти две возможности
отпадают. Поэтому необходимо разрабатывать специальные
микрообъективы планахроматы, у которых кривизна
поверхности изображения должна быть полиостью устранена или, если
это не удается, то хотя бы уменьшена до практически приемлемых
значений.
Сопоставляя требования, предъявляемые к
микрообъективам планахроматам малых и средних увеличений, а также к
фотографическим объективам, можно отметить некоторые
специфические особенности работы микрообъективов планахроматов —
небольшое поле зрения (в угловой мере) и небольшие величины
292
фокусных расстояний. Эти два обстоятельства существенно
облегчают использование в качестве микрообъективов планахроматов
известных конструктивных схем фотографических объективов.
С другой стороны, необходимость обеспечения больших апер-
турных углов (порядка 0,65) для микрообъективов с увеличением
10х и порядка 0,4 — для микрообъективов с увеличением 20х
обусловливает выбор схем весьма светосильных
фотообъективов, обладающих относительными
отверстиями 1 : 1,5—1 : 1,2. При этом, как уже
упоминалось ранее, угловые поля будут
ограничены величинами 2со' = 8-^-12°.
В качестве одной из наиболее
распространенных конструкций светосильных
фотообъективов, пригодных для перестройки в
микрообъективы планахроматы, можно
назвать схему фотообъектива типа планар. Так,
еще в 1895 г. Рудольфом был разработан для микрофотографии
объектив, известный под названием микропланар. Схема
подобного объектива приведена на рис. 23.2.
Однако при разработке сильных микрообъективов
планахроматов с увеличениями 40х и выше, а с апертурами 0,65 и более
непосредственное использование конструктивных схем
фотографических объективов становится невозможны^, так как практи-
Prfc. 23.2.
Принципиальная схема
объектива микропланара
Рудольфа
-o;oi
Рис. 23.3. Микрообъектив ахромат 20X0,4
чески нет фотографических объективов с относительными
отверстиями выше, чем 1 : 1,0, пригодных для перестройки в план-
ахроматы.
Таким образом, разработка микрообъективов планахроматов
с большими увеличениями и апертурами становится
самостоятельной задачей. Возможное направление в решении этой
задачи — попытка ослабления кривизны поверхности изображения
в микрообъективах ахроматах.
Учитывая, что основной источник кривизны поля в сильных
микрообъективах — фронтальная плоскоапланатическая линза,
можно добиться уменьшения кривизны за счет замены передней
293
Таблица 23.2 Таблица 23.3
Конструктивные данные Конструктивные данные
микрообъектива ахромата 20X0,4 микрообъектива планахромата 60X0,85
г
оо
оо
—2,512
—2,938
-10,069
—7,379
9,120
—56,36
6,109
—11,429
13,646
—162,93
6,855
—16,827
16,827
оо
8,395
а
0,17
0,3795
3,88
0,2
1,75
0,1
2,5
1,6
4,6
0,2
2,3
1,6
4,3
15,9
3,0
2,0
nD
1,5147
1
1,7424
1
1,7424
1
1,43383
1,6505
1,43383
1
1,43383
1,6505
1,43383
1
1,6128
1,6126
/' = 2,640; s>= —11,883;
sf = 0,044
г
—120,23
—4,406
—53,7
8,204
—7,379
88,31
9,728
—10,641
d
2,44
2,19
1,47
1,70
4,86
0,94
1,84
n
1,5191
1
1,6475
1,5191
1
1,6475
1,5181
/' = 8,386; s'F = —2,808;
sf = —1,440
плоской поверхности вогнутой поверхностью достаточно малого
радиуса, выполняющей функцию линзы Смита. Этот способ
получил широкое распространение; в качестве практического примера
в табл. 23.2 приведены данные микрообъектива с увеличением
V = 20х и апертурой А «= 0,4. Схема и графики аберраций этого
объектива даны на рис. 23.3.
Другой способ ослабления кривизны поверхности
изображения в сильных микрообъективах состоит в ее переисправлении
в последующей части микрообъектива, т. е. после фронтальной
линзы. Однако этот способ имеет весьма ограниченные возмож-
294
ности, так как в компонентах последующей части, обладающих
значительными положительными силами, исправление их
собственной кривизны поля осуществить достаточно трудно.
Наконец, третий способ исправления кривизны поля в
сильных микрообъективах состоит в размещении отрицательного
компонента за положительными силовыми компонентами, но на
некотором удалении от них. Возможности этого способа
ограничены длиной всей оптической системы микрообъектива, т. е.
расстоянием от предметной плоскости до нижнего среза
механического тубуса.
Использование перечисленных способов приводит к
значительному усложнению оптической схемы сильных планахромати-
ческих микрообъективов.
В качестве примера в табл. 23.3 приведены конструктивные
данные микрообъектива планахромата с увеличением V = 60х
и апертурой А = 0,85. Схема и графики аберраций этого
объектива изображены на рис. 23.4.
23.4. Микрообъективы
с фронтальными конфокальными линзами
При компоновке сильных микрообъективов с большими
апертурами длительное время считалось необходимым использование
в них фронтальных линз с плоской и апланатической
поверхностями. Так, Г. Г. Слюсарев в своей монографии [13] писал:
«Высокоапертурная часть, принимая на входе пучки, крайние
лучи которых образуют углы с осью от 30 до 60°, может состоять
только из апланатических или почти апланатических линз».
Ранее уже упоминалось, что плоскоапланатические линзы,
будучи строго свободными от сферической аберрации, комы и
астигматизма, обладают ощутимым хроматизмом положения и
увеличения, а также значительной кривизной поверхности
изображения. Их положительным свойством является создаваемое
ими увеличение V = /г2, существенным образом понижающее
числовую апертуру перед последующей частью микрообъектива.
Однако следует обратить внимание на то обстоятельство, что
для образования некоторого воздушного предметного отрезка,
наличие которого необходимо между предметом и первой
поверхностью объектива, приходится уменьшать толщину плоско-
апланатической линзы, что приводит к возникновению в
предметном пространстве некоторой отрицательной сферической
аберрации. Ее величина легко определяется по формуле сферической
аберрации плоскопараллельной пластинки
As = (coscr'/cosa — l) So- (23.6)
Численно при п = 1,5163, sin о = 0,5 и отрезке s' = 0,3 мм
значение сферической аберрации As' = —0,027 мм, т. е.
величина, достаточно ощутимая.
295
Таким образом, при использовании фронтальных плоско-
апланатических линз в последующей части системы необходимо
исправлять хроматизм положения и увеличения, сферическую
аберрацию и кривизну поля, создаваемые этими линзами.
При разработке сильных микрообъективов с большими
входными апертурами нередко размещают после фронтальной плоско-
апланатической линзы мениск с конфокальной и апланатической
поверхностями. Применение таких менисков повышает общее
увеличение в п раз, доводя его до V = /г3; но при этом
усиливаются хроматизм, кривизна поля и возникает отрицательный
астигматизм, вносимый конфокальной поверхностью. Все это,
естественно, является дополнительной коррекционной
нагрузкой для последующей части системы.
Другие особенности возникают при использовании в качестве
фронтального компонента линзы с плоской и конфокальной
поверхностями. Подобная линза имеет увеличение V = п. В ней
полностью устранены сферическая аберрация, кома, а также
хроматизм положения. Вторая конфокальная поверхность такой
линзы будет вносить положительный астигматизм. Все эти
особенности способствуют уменьшению нагрузки для последующей
части системы в отношении исправления аберраций.
Более того, положительный астигматизм
плоскоконфокальной линзы может быть полезен для компенсации отрицательного
астигматизма, присущего одиночному тонкому компоненту, если
он будет использован в качестве последующей части системы.
Тогда коррекционная нагрузка для такого тонкого компонента
сведется, по сути дела, лишь к устранению его собственных
аберраций, т. е. аберраций осевого пучка лучей.
Отсутствие хроматизма положения в плоскоконфокальных
линзах позволяет использовать марки стекол с высокими
показателями преломления (типа СТК), что в известной степени
уменьшает проигрыш в линейном увеличении по сравнению с плоско-
апланатическими линзами.
При образовании воздушного предметного отрезка, как и
в случае использования плоскоапланатической фронтальной
линзы, появляется отрицательная сферическая аберрация. Однако
она может быть скомпенсирована за счет некоторого отступления
второй поверхности от конфокальности, при котором возникает
положительная сферическая аберрация. При этом одновременно
происходит и некоторое повышение линейного увеличения.
Перечисленные факторы позволяют создать микрообъектив,
состоящий всего лишь из плоскоконфокальной фронтальной линзы
и двухлинзового склеенного компонента.
Для подтверждения сказанного выше сопоставим свойства
фронтальных плоскоапланатической и плоскоконфокальных линз.
В качестве плоскоапланатической фронтальной линзы возьмем
линзу из стекла марки К8 с показателем преломления п = 1,5163
и числом Аббе v = 64,1. Выбор этой марки стекла обоснован до-
296
г
оо
—2,0
f' = sF
d
3,319
= 3,874; sF
nD
1,5163 !
= —1,685
статочно большим ЧИСЛОМ Аббе, Таблица 23.4
ЧТО обеспечивает уменьшение хро- Конструктивные данные
матизма положения. Величину апланатической линзы
входной апертуры sin о примем
равной 0,65, предмета — у = 0,2.
Конструктивные данные такой
апланатической линзы приведены в
табл. 23.4.
Величины аберраций этой
линзы для осевого пучка лучей при
ее работе с конечного расстояния
Si = 0 приведены в табл. 23.5. При этом увеличение
апланатической линзы V = 2,299, а расстояние от второй поверхности
до плоскости изображения s' = —5,033.
Величины астигматизма апланатической линзы при
телецентрическом ходе главных лучей в предметном пространстве
приведены в табл. 23.6.
Фронтальная линза с конфокальной поверхностью из стекла
марки СТК19 с более высоким показателем преломления п =
= 1,744 и коэффициентом дисперсии v = 50,4 имеет следующие
конструктивные данные, приведенные в табл. 23.7.
Аберрации этой линзы для осевого пучка лучей при sx =
= —0,015 приведены в табл. 23.8, а величины астигматизма —
в табл. 23.9. Увеличение плоскоконфокальной линзы V = 2,065,
расстояние от второй поверхности до плоскости изображения
s; = —4,293.
Таблица 23.5
Аберрации для точки на оси апланатической линзы
sin о
0,650
0,563
0,460
0,325
0,0
AS?
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
W, мкм
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
г\, %
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
AsJ?
—0,030
—0,030
—0,029
—0,029
—0,029
bs'c
0,012
0,012
0,012
0,012
0,012
AsF-C
—0,042 1
—0,042
—0,041
—0,041
—0,041
Таблица 23,6
Астигматизм апланатической линзы
Таблица 23.7
1 у
—0,20
—0,15
1
sp
3,83
3,85
ч
—0,019
—0,011
?s
—0,018
-0,010
и'
—0,462
—0,346
Конструктивные данные
конфокальной линзы
г
оо
—3,0
d
3,6
nD
1,744
/' = S'F = 4,032; sF = —1,968
297
Таблица 23.8
sin о
0,650
1 0,563
0,460
0,325
0,0
Аберрации для
-As?>
—0,001
0,000
0,001
0,001
0,0
W, мкм
0,029
0,028
0,017
0,005
0,0
точки на оси конфокальной линзы
л, %
—0,877
—0,648
—0,426
—0,210
0,0
Asp
—0,012
—0,011
—0,011
—0,011
—0,011
Дзс
0,004
0,005
0,006
0,006
0,005
*SF — C
—0,016
—0,016
-0,017
—0,017
—0,016
Графики аберраций обеих линз представлены на рис. 23.5.
Из сопоставления этих графиков следует, что, несмотря на
понижение числа Аббе в конфокальной линзе до значения v = 50,4,
а)
Ю
0,6
щ
+
I
~0%01 о
-0,03-ОМ-0,01 0 0,01 ~0fi1 0 0,01
Рис. 23.5. Графики аберраций фронтальных линз: а ¦
конфокальной
AS'
Hfri -o\oi о 0,'(м
¦ апланатической; б —
ее хроматизм положения с учетом некоторого нарушения конфо-
кальности получается почти втрое меньше, чем у линзы с
апланатической поверхностью; астигматизм конфокальной линзы
положителен, что существенно уменьшает среднюю кривизну
поверхности изображения, делая ее практически мало ощутимой.
Сферическая аберрация конфокальной линзы с нарушенной
конфокальностью незначительна и имеет положительные
значения для меньших апертурных углов, что облегчает
исправление сферической аберрации последующей части системы.
В табл. 23.10 приве-
Таблица 23.9 Дены данные микрсобъ-
л . „ ектива С фронтальной КОН-
Астигматизм конфокальной линзы , И^ „ ^
фокальной линзой,
изображенного на рис. 23.6.
В этом микрообъективе
показатель преломления
фронтальной
конфокальной линзы еще более
повышен и образован иред-
298
У
—0,20
—0,15
г
sp
4,01
4,02
zt
0,016
0,009
zs
—0,003
—0,002
у'
—0,414
—0,310
метный отрезок s01= —0,128 мм,
что и обусловило изменение
конструктивных параметров
указанной линзы.
Выше отмечалось, что
аберрации объектива будут
рассматриваться в обратном ходе
лучей; для осевого пучка лучей
они приведены в табл. 23.11,
а для точки вне оси
(астигматизм) — в табл. 23.12.
Определяя отрезок после
первой поверхности, находим
s0l = ns0l = — 0,238 мм;
составляя затем разность
между этим отрезком и толщиной первой линзы, получаем величину
предметного отрезка перед второй поверхностью, что позволяет
определить нарушение ее конфокальности по формуле
— г2 — d{ + soi = 2,67 - 2,42 + 0,238 = — 0,012 мм;
оно составляет менее одного процента от радиуса.
Рис. 23.6. Микрообъектив с фронтальной конфокальной
линзой 40X0,4
Таблица 23.11
Аберрации для точки на оси микрообъектива с конфокальной линзой
sin о
—0,0100
—0,0087
—0,0071
-0,0050
0,0
bs'D
0,004
0,0
-0,002
—0,002
0,0
W, мкм
—0,051
—0,087
—0,061
—0,020
0,0
п, %
—0,531
—0,426
—0,298
—0,155
0,0
&s'F
0,004
—0,001
—0,004
—0,005
—0,004
Asc
0,005
0,001
0,0
0,001
0,003
AsF-C
—0,001
—0,002
—0,004
—0,006
—0,007
sin a'
0,400 1
0,346
0,283
0,200
0,0
Таблица 23.10
Конструктивные данные
микрообъектива 40X0,4
с конфокальной фронтальной линзой
г
оо
—2,67
13,33
2,6
—5,0
d
2,42
0,27
4,00
4,67
nD
1,8583
1
1,8908
1,7440
Г = 4,132; s'F = —3,737; 1
SF = —0,025
299
Для сопоставления приведем даннйе микрообъектива 20x0,4,
выполненного из фронтальной плоскоапланатическои линзы и
двух двухлинзовых склеенных компонентов (табл. 23.13).
Таблица 23.12
Астигматизм микрообъектива
с конфокальной линзой
У
1—9,0
—5,0
sp
0,0
0,0
sp
4,61
4,57
*t
0,002
0,001
*s
—0,004
—0,001
У'
0,225
0,125
Таблица 23.13
Конструктивные данные
микрообъектива 20X0,4
с апланатической фронтальной
линзой
У этого объектива предметный
отрезок s01 достаточно велик и
равен —1,914 мм. Определяя
предметный отрезок после первой
поверхности и составляя разность его с
толщиной, находим отрезок перед
второй поверхностью, что
позволяет оценить нарушение апланатичности этой поверхности.
Для удовлетворения условия апланатичности радиус второй
поверхности г2 должен быть равен
г. = тт!!Ьг = -тЖ- = -2,97 мм.
Г
оо
—4,0
6,5
—7,47
53,28
8,55
—10,51
d
2,0
1,2
1,5
1,6
7,4
1,0
1,8
/' = 8,430; s'F =
sf
nD
1,5147
1
1,6475
1,5147
1
1,6475
1,5147
—6,941;
= —1,492
1 + 1/"
1,6602
Fy—:
c-fi r
ДР
\\
•\
A
a'
0M
¦0,2
\
\
\&$
-0,01 0 0,01
o%oi
Рис. 23.7. Микрообъектив с фронтальной апланатической линзой
20X0,4
Таким образом, у этого объектива имеем значительное
отступление от апланатичности.
Схема и графики аберраций микрообъектива с фронтальной
апланатической линзой представлены на рис. 23.7. Более полная
сводка аберраций для осевого пучка приведена в табл. 23.14,
а для точки вне оси — в табл. 23.15.
300
Таблица 23 J 4
Аберрации для точки на оси микрообъектива
с апланатической фронтальной линзой
чп о
-0,0200
-0,0173
-0,0141
-0,0100
0,0
Asb
—0,008
—0,012
—0,012
—0,008
0,0
W, мкм
—0,777
—0,549
—0,287
—0,082
0,0
П. %
—0,336
—0,473
—0,434
—0,264
0,0
AsJ?
—0,002
—0,006
—0,009
—0,007
—0,001
bs'c
—0,008
—0,011
—0,010
—0,005
0,004
*SF — C
0,010
0,005
0,001
—0,002
—0,005
sin a'
0,400
0,346
0,283
0,200
0,0
Сопоставляя величины астигматизма предшествующего
объектива, содержащего конфокальную фронтальную линзу, и
рассмотренного объектива с апланатической линзой видим, что кривизна
поверхности изображения у второго объектива значительно
больше, чем у первого; однако и величина предметного
линейного поля у второго объектива тоже больше, что вызвано
различной величиной увеличений этих объективов.
Это обстоятельство в известной мере затрудняет сравнение
коррекции астигматизма. Тем не менее, так как величина
изображения в прямом ходе у обоих микрообъективов одинаковая,
а объектив с конфокальной фронтальной линзой имеет большее
продольное увеличение, чем объектив с апланатической линзой,
то правомерно признать, что коррекция астигматизма и
кривизны поля у первого объектива лучше.
Анализируя аберрации осевого пучка лучей, можно сделать
вывод, что у объектива с фронтальной конфокальной линзой
сферическая аберрация примерно в четыре-пять раз меньше, чем
у объектива с апланатической линзой. Это объясняется наличием
у второго микрообъектива большего предметного линейного
поля.
Таким образом, в результате сопоставления обоих
микрообъективов друг с другом приходим к выводу, что использование
конфокальной поверхности во фронтальной линзе с высокими
показателями преломления дает возможность отказаться от
применения в последующей части микрообъектива системы из двух
Таблица 23.15
Астигматизм микрообъектива
с апланатической фронтальной линзой
У
—9,0
—5,0
Sp
— 18,0
— 18,0
sp
4,26
4,32
Н
-0,016
-0,С05
ч
—0,016
-0,005
у'
0,447
0,249
w/л
xV
* уЛ
1* * /
Рис. 23.8.
Микрообъектив планахромат с
телеконфокальной линзой
301
двухлинзовых тонких склеенных компонентов, разделенных
конечным воздушным промежутком.
Образуя из двух конфокальных поверхностей
телескопическую систему, исключаем в ней сферическую аберрацию, кому,
астигматизм, кривизну поля и хроматизм положения, а также
при соответствующем подборе чисел Аббе — хроматизм
увеличения. Таким образом, подобная телеконфокальная фронтальная
линза представляет собой безаберрационную систему и обладает
линейным увеличением, равным показателю преломления ее
положительной линзы.
Эти свойства телеконфокальной линзы при создании на ее
основе микрообъективов планахроматов вызывают необходимость
устранения всех аберраций в последующей части
микрообъектива, в качестве которой целесообразно применять конструкции
высокосветосильных фотографических объективов.
Учитывая, что величина углового поля последующей части
микрообъективов очень невелика, выбор таких
высокосветосильных объективов в известной мере облегчается и ограничивается
лишь возможностью развития у них большого относительного
отверстия.
В качестве примера приведем принципиальную схему
микрообъектива планахромата с /' = 3,96 мм и апертурой 0,1,
построенного из плосковыпуклой и телеконфокальной линз (рис. 23.8)
23.5. Об исправлении хроматизма в микрообъективах
В простейшем случае хроматизм микрообъектива можно
рассматривать как хроматизм тонкого компонента, работающего
с некоторым линейным увеличением V. Тонкий компонент, в свою
очередь, можно считать системой, состоящей из двух
соприкасающихся тонких компонентов, у которых отношение фокусного
расстояния второго компонента к фокусному расстоянию первого
компонента равняется линейному увеличению 1/, и поэтому
между обоими компонентами имеет место параллельный ход
лучей.
Если оба компонента подобны друг другу, то отношение
хроматизма положения второго компонента в прямом ходе лучей
к хроматизму положения первого компонента в обратном ходе
лучен должно быть равным линейному увеличению V.
Рассматривая же величины поперечного хроматизма
положения, которые выражаются произведениями продольного
хроматизма положения на соответственные апертурные углы, видим,
что поперечный хроматизм положения и первого, и второго
компонентов получается равным друг другу независимо от величины
линейного увеличения.
Таким образом, зная продольный хроматизм положения
второго компонента и его выходной апертурный угол, нетрудно
определить поперечный хроматизм первого компонента в обратном
302
ходе лучей, т. е. главную составляющую поперечного
хроматизма всего микрообъектива в предметной пло кости.
Более точно поперечный хроматизм в предметной плоскости
может быть определен по формуле
6g = 6so2(l --f)°'. (23.7)
Полагая, что линейное увеличение V = 40х и предметный
апертурный угол равен 0,65, получаем выходной апертурный
угол о' = 0,65/40 ж 0,016; тогда поперечный хроматизм в
предметной плоскости Sg будет равен
8g = 1,025.0,016б502 = 0,01648so2.
Исходя из суммы сил двух тонких соприкасающихся линз
Ф = Фх + Ф2, (23.8)
получаем, дифференцируя это выражение по показателям
преломления,
с1Ф = йФ1 + d<b2 = dnx (-L _ JL) + dn2 (-1- - JL) (23.9)
или
^ = _^_ф1+_^_ф2=^ + ^. (23.10)
Переходя к другому участку спектра, можно написать
^ф' = (ty/vl -f ФгЛь; (23.11)
при этом vi и v2 нетрудно выразить через vi и v2.
Полагая в качестве основной дисперсии разность показателей
пр и пс и для второго участка спектра разность показателей nF
и nD, можно написать:
vi = ——^—-—; vi=—-±—-—; v2 = ——-——-;
V2-/2"-; . (23.12)
Тогда
* /
Vl ~~ "р — nD nF — ПС nFl — nD ' U
n„ — n
аналогично
v; = "i- 1 nn "с* = Ш—1™ v = л. (23.13)
v2 = v2/pi2, (23.14)
где величины jxx и \i2 — частные относительные дисперсии.
В соответствии с этим можно написать
<*Ф'=-%1+^2 (23-15)
Vl V2
303
или, добавляя и вычитая величину —— \i2i
d®' = (& + &) |*i + (|*«— Ио)^-- (23.16)
Учитывая формулу (23.10), имеем
dO' = ft dO + (fi2 - (хО ^. (23.17)
Полагая, что рассматриваемый тонкий компонент
ахроматизирован для основного участка спектра, что равносильно
равенству нулю величины dCD, получаем
dO'-ui,-,^^. (23.18)
Из формул (23.8) и (23.10) следует, что сила системы из двух
тонких соприкасающихся компонентов должна быть равна
Ф = -Ф, ^- + Ф2 = ?*¦ (v, - vx). (23.19)
v2 v2
Это позволяет выразить величину dOf через общую силу
системы, состоящей из обоих компонентов, по формуле
dO' = **' ~ ^ ф, (23.20)
v2 — v2 ч '
В формулу (23.20) входят три множителя — разность частных
относительных дисперсий, разность чисел Аббе и сила тонкого
компонента.
Разность чисел Аббе входит в знаменатель формулы, и ее
изменение может влиять на величину вторичного спектра ограниченно,
так как величина этой разности не может обращаться в
бесконечность.
Разность частных относительных дисперсий определяется
свойствами различных марок оптических стекол, и для ее обращения
в нуль необходимо использование специальных марок стекол —
так называемых курцфлинтов, у которых, несмотря на различие
в числах Аббе, сохраняется близость величин частных
относительных дисперсий.
Наконец, третий множитель — оптическая сила тонкого
компонента — задаваемая величина.
Тем не менее, сочетая пару ахроматизированных тонких
компонентов с оптическими силами разных знаков, можно также
добиваться устранения вторичного спектра.
В качестве примера обратимся к телескопической системе,
составленной из двух тонких ахроматизированных компонентов
с различными по величине и знаку оптическими силами.
Переходя от изменения оптических сил к изменениям
фокусных расстояний и пользуясь формулой (23.20), нетрудно
определить величину вторичного спектра в виде продольного хрома-
304
тизма — отстояния совмещенных изображений для двух
участков спектра от третьего участка
df = —Р«~у /'. (23.21)
Если у обоих компонентов коэффициенты [х2—\ij{v2—vx)
отличаются друг от друга, то тогда можно, подбирая соответственное
отношение фокусных расстояний первого и второго компонентов,
уравнять по абсолютной величине их вторичный спектр и добиться
при его суммировании устранения общего вторичного спектра.
В этом случае отношением фокусных расстояний обоих
компонентов определяется видимое увеличение Г телескопической системы
с устраненным вторичным спектром.
Совершенно очевидно, что такая взаимная компенсация
вторичного спектра для совокупности двух тонких компонентов,
разделенных воздушным промежутком, может быть реализована
не только для случая телескопической системы, но и для систем
с фокусными расстояниями конечной величины.
Следует заметить, что возможности исправлений вторичного
спектра довольно ограничены; так, если использовать стекла
с укороченным вторичным спектром — курцфлинты — и
воздействовать на вторичный спектр через уменьшение разности частных
относительных дисперсий, то происходит уменьшение разности
чисел Аббе, что приводит при обеспечении исправления
хроматизма к повышению оптических сил линз, входящих в
ахроматизируемые тонкие компоненты. Следствие этого — ухудшение
условий исправления сферической и сферохроматической аберраций,
что вызывает необходимость усложнения тонких компонентов,
т. е. введения в них третьей линзы; последнее осуществляется
в конструктивных схемах сильных микрообъективов апохроматов
и планапохроматов.
Для уменьшения вторичного спектра микрообъективов
целесообразно использовать флюорит, благодаря которому
существенно увеличивается разность чисел Аббе, входящая в
знаменатель формулы (23.21), которая определяет величину
вторичного спектра. Однако использование флюорита не может
обеспечивать полного устранения вторичного спектра.
23.6. Зеркальные и зеркально-линзовые микрообъективы
При использовании отражающих поверхностей (зеркал)
в микрообъективах, как и в других оптических системах, можно
кардинально устранять хроматизм и получать изображение в
широком спектральном диапазоне.
Тогда, применяя зеркальные микрообъективы в
ультрафиолетовой части спектра и учитывая переход к более коротким длинам
волн, можно повысить разрешающую способность и
соответственно полезно увеличение микроскопа. Однако при создании зер-
305
Таблица 23.16 кальных микрообъективов возни-
Конструктивные данные кают некоторые специфические
двухзеркального концентричного трудности, одна из которых сос-
лшкрообъектива тоит в значительном
экранировании центральной части апертуры
микроскопа.
В схемы зеркальных
микрообъективов вводят пару зеркал,
которую следует рассматривать
как базовую систему микрообъ
ектива. В качестве одной из
таких схем можно привести
систему из двух концентричных друг
другу сферических зеркал.
Совмещая с общим центром обоих
зеркал зрачки микрообъектива, обеспечиваем строгое отсутствие
комы, астигматизма и дисторсии.
Сферическая аберрация таких концентричных зеркал может
быть определена по следующей точной формуле:
г
5,0
12,65
d
—7,65
n
1
—1
1
f = 4,134; s'F= 16,784; 1
sF = 0,866
-^/--т-Ю/Чг
Г\Н
*<Г%-гд*
(23.22)
В этой формуле для устранения сферической аберрации при
заданной высоте h входа в систему апертурного луча требуется
соблюдение условия
(23.23)
которое можно рассматривать как уравнение, связывающее между
собою радиусы гг и г2 при заданной высоте к.
Формулы (23.22) и (23.23) приводятся без вывода (ввиду его
громоздкости). Практически определение радиусов гх и г2 более
целесообразно осуществлять путем устранения сферической
аберрации при тригонометрическом просчете лучей на ЭВМ,
интерполируя значения радиусов по результатам расчета.
Так, в качестве численного примера расчета двухзеркального
концентричного микрообъектива в табл. 23.16 приведены его
конструктивные данные.
Сферическая аберрация этого микрообъектива в обратном
ходе лучей характеризуется следующими величинами:
h As' W, мкм n, %
2,5 0,001 —0,536 0,024
1,77 —0,004 —0,261 —0,134
306
Как уже отмечалось выше, кома, астигматизм и дисторсия
строго равны нулю; хроматизм у этой чисто зеркальной системы
полностью отсутствует. Ценная особенность такого зеркального
микрообъектива — значительные величины предметного отрезка
и расстояния от объекта наблюдения до ближайшей детали
микрообъектива — второго зеркала. Экранирование этого
зеркального микрообъектива не очень велико и составляет по диаметру
около 39 %.
В целях обеспечения необходимой жесткости конструкцию
подобной двухзеркальной концентричной системы можно
выполнить в виде монолитного элемента из массы стекла; при этом
входная и выходная поверхности должны быть конфокальными по
отношению к предметной точке и к точке изображения.
Рис. 23.9. Принципиальные схемы некоторых зеркально-линзовых
объективов: а — объектив Максутова 60X0,85; б — объектив Волосова 40X0,50; в —
объектив Попова (/' = 6,1; А = 0,65)
Подобная система была предложена Д. Д. Максутовым и
представлена на рис. 23.9, а.
Однако схема микрообъектива Максутова, несмотря на
устойчивость, оказывается нетехнологичной, так как для ее
осуществления необходимо на одной и той же детали сцентрировать четыре
сферические поверхности, сохраняя одновременно и весьма
жесткий допуск на толщины. Кроме того, необходимо учитывать
стрелки поверхностей при заданных диаметрах стыков между
сферическими поверхностями с одной и с другой стороны
микрообъектива.
Пара концентричных зеркал использовалась и другими
авторами в качестве базовой системы. К числу подобных схем можно
отнести схему зеркально-линзового микрообъектива Д. С,
Волосова, представленную на рис. 23.9, б, а также схему объектива
Г. М. Попова, приведенную на рис. 23.9, в. В обеих схемах после
пары зеркал размещается коррекционный элемент —
компенсатор. К недостатку обеих схем следует отнести разделение зеркал
воздушным промежутком, что создает опасность деюстировки
подобных микрообъективов.
Кроме пары концентричных зеркал в качестве базовой системы
могут быть использованы и другие схемы.
307
Одной из таких схем является схема Гершгорина,
характеризующаяся наличием «петли», которая образуется ходом апер-
турного луча между обоими зеркалами; однако в подобных
схемах пара зеркал уже перестает обладать выгодными свойствами
концентричных зеркал в отношении устранения аберраций, и
поэтому возникает необходимость введения в остальную часть
системы микрообъектива соответственных коррекционных узлов
или блоков.
В частности, в качестве подобного коррекционного блока
может быть использован любой микрообъектив с меньшей
апертурой, расположенный после промежуточного изображения,
которое создается парой базовых зеркал.
jjL^-3>-—U
Рис. 23.10. Зеркально-линзовый Рис. 23.11. Однолинзовый
объектив Русинова 20X0,65 микрообъектив (/' = 3,1;
А = 0,5)
Такая схема, если промежуточное изображение будет
расположено в вершине первого зеркала, может обладать незначительным
экранированием; система зеркал будет вносить положительную
кривизну поля, что в сочетании с отрицательной кривизной поля
последующего объектива позволяет устранять кривизну поля для
всего микрообъектива в целом, делая его планахроматом; кроме
того, вторичное оборачивание, создаваемое последующим
объективом, делает изображение после всего микрообъектива
прямым.
Оптическая схема подобного микрообъектива представлена
на рис. 23.10.
Наиболее простой схемой зеркального микрообъектива
следует признать схему, единственным элементом которой является
плосковыпуклая линза, обращенная выпуклой стороной к
предмету и плоской стороной к изображению.
Выпуклая сферическая поверхность, которая одновременно
является и первой, и третьей поверхностью, — отражающая,
за исключением небольшого участка, определяемого величиной
предметного поля зрения микрообъектива; вторая поверхность —
плоская, она алюминируется лишь в центральной части.
Схема подобного микрообъектива приведена на рис. 23.1L
Так как в этой схеме нет никаких коррекционных элементов, то
ее оптические характеристики — апертура и поле зрения —
определяются величинами аберраций сферической зеркальной
поверхности.
308
Глава 24
ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
24.1. Общие свойства телескопических систем
Системы, предназначенные для наблюдения объектов,
расположенных на значительном расстоянии от наблюдателя, составляют
группу телескопических систем. Строго говоря, телескопическими
являются системы, для которых предмет и изображение
расположены в бесконечности.
Общим признаком телескопичности оптической системы можно
принять постоянство всех ее увеличений — линейного,
продольного и углового — независимо от расположения предмета; можно
также считать признаком телескопичности афокальность системы,
т. е. равенство ее фокусного расстояния бесконечности.
Однако практически к телескопическим системам откосят и
такие системы, которые не обладают указанными признаками
в полной мере. Так, в число телескопических систем включают
зрительные трубы и бинокли, предназначенные для наблюдения
достаточно удаленных объектов, но находящихся все же на
конечном расстоянии. К телескопическим можно также отнести и
системы, предназначенные для обзора внутренних полостей,
производимого с небольшим увеличением (хотя системы подобного
рода можно было бы отнести и к системам микроскопов).
Основными задачами, решаемыми с помощью телескопических,
систем — зрительных труб, — являются следующие:
1) получение заданного видимого увеличения Г, которое
в этом случае равно угловому увеличению W]
2) перенос точки изображения в пространстве;
3) обеспечение совмещения выходного зрачка трубы со
зрачком входа глаза наблюдателя;
4) обеспечение коррекции глаза с помощью перефокусировки
(обычно перефокусировки окуляра).
Видимое, или угловое, увеличение зрительной трубы может
быть как положительным (когда углы главного луча с осью
системы в пространстве предметов и изображений имеют одинаковые
знаки), так и отрицательным (когда эти углы имеют различные
знаки). В первом случае получается прямое изображение, во
втором — обратное.
Заметим, что многие зрительные трубы снабжают устройством,
позволяющим увеличивать поле обзора по отношению к
предметному полю зрения трубы, которое при значительных видимых,
увеличениях обычно очень невелико.
При разработке телескопических систем — зрительных труб, —
в первую очередь, необходимо выбрать фокусные расстояния
объективной и окулярной частей и установить габаритные
характеристики — длину системы и свободные диаметры ее компонентов,
309
т. е. выполнить габаритный расчет телескопической системы.
В первом приближении такой габаритный расчет основывается
на теории солинейного сродства, т. е. на использовании
инварианта Лагранжа—Гельмгольца.
Обратимся к рис. 24.1, на котором представлено
расположение предмета у и зрачка входа радиусом р. Зная расстояние между
плоскостью предмета и плоскостью зрачка g, нетрудно
определить полевой и апертурный углы:
откуда следует:
или
со = y/g; —а = p/g, (24.1)
Б =#/со = —р/а, (24.2)
у а = —раз. (24.3)
Согласно инварианту Лагранжа—Гельмгольца, можно
написать выражение
пуо = п'у'о' = —яр со = —п'р'ы = J', (24.4)
которое справедливо для любых оптических систем в
параксиальной области.
Инвариант J определяет собою световую трубку,
передаваемую оптической системой.
В случае, если предмет располагается в бесконечности, то
апертурный угол о обращается в нуль, а у становится равным
бесконечности. Тогда инвариант J может
быть определен через радиус зрачка
входа р и полевой угол со или через
выходной апертурный угол а' и величину
изображения у'.
При разработке телескопических
систем с заданным значением инварианта
Рис 24.1. К выводу ин- Лагранжа—Гельмгольца (заданной величи-
варианта Лагранжа — ной передаваемой световой трубки) встреча-
Гельмгольца емся с двумя противоположными
требованиями:
1) обеспечение наибольшей длины оптической системы при
ограничении наибольшего диаметра деталей, из которых она
создается;
2) обеспечение возможно более короткой длины
телескопической системы.
Первая из поставленных задач обычно решается путем
составления телескопической системы из нескольких систем,
разделяемых промежуточными изображениями, — в простейшем случае
введением между объективом и окуляром одной или нескольких
310
оборачивающих систем, обычно обладающих линейным
увеличением, близким или равным минус единице. В этом случае общее
увеличение телескопической системы получается близким или
равным отношению фокусного расстояния объектива к фокусному
расстоянию окуляра.
Использование оборачивающих систем с увеличением V = —1
позволяет делать их симметричными, благодаря чему
обеспечивается полное устранение комы, дисторсии и хроматизма
увеличения. Поэтому задача исправления аберраций в оборачивающих
системах сводится (если не принимать во внимание компенсацию
аберраций, вносимых другими элементами телескопической
системы) к исправлению четных аберраций — хроматизма
положения, сферической аберрации, астигматизма. Исправление кривизны
поля, определяемое суммой оптических сил линз, входящих в
оптическую систему, затруднительно и является самостоятельной
задачей.
Габаритные размеры симметричной оборачивающей системы
легко определяются по заданному значению инварианта J Лаг-
ранжа—Гельмгольца. Так, полагая диаметр изображения
равным диаметру зрачка в промежутке между линзами
оборачивающей системы с параллельным ходом лучей, когда у = р, можно,,
выражая апертурный угол а в виде отношения
о = У/р, (24.5)
получить отрезок
? = ру/У = р2Д/. (24.6)
Из формулы (24.5) следует, что отрезок I при заданном
значении инварианта J изменяется по квадратичному закону
относительно диаметра линз оборачивающей системы.
В том случае, когда между линзами оборачивающей системы
имеет место параллельный ход лучей, отрезок | определяет
собою фокусные расстояния обеих линз оборачивающей системы.
Если длина параллельного хода между линзами
оборачивающей системы равна нулю, то геометрическое виньетирование
будет устранено; тогда длина оборачивающей системы может быть
определена по формуле
L = 2g = 2f = 2p*/J. (24.7)
Если же расстояние между линзами оборачивающей системы
будет отлично от нуля, начнется процесс геометрического
виньетирования и при расстоянии между линзами, равном /',
виньетирование по диаметру достигнет 50 %. При этом длина
оборачивающей системы возрастает в 1,5 раза, т. е.
L = Зр2Д/ = 3/'. (24.8)
При сохранении диаметра телескопической системы величина J
ограничивает собою рост фокусного расстояния объектива теле*
ЗП
скопической системы. Тогда при заданном увеличении может быть
найдено и фокусное расстояние окуляра.
Отношение диаметра 2р зрачка к величине /' определяет
относительное отверстие линз оборачивающей системы и возможности
исправления аберраций осевого пучка лучей, что и будет
ограничивать коррекционные возможности всей системы в целом.
Формула (24.8) будет определять также возможности
укорочения оборачивающей системы за счет уменьшения фокусных
расстояний ее линз. Необходимо отметить, что укорочение
оборачивающей системы ведет к увеличению полевого угла в пространстве
между линзами и, как следствие, к увеличению отрицательной
кривизны поля зрения.
24.2. Простые зрительные трубы
Рассмотрим композиционные особенности разработки
простейшей телескопической системы, состоящей из объектива и
окуляра, — зрительной трубы Кеплера.
При достаточно больших увеличениях Г предметное угловое
поле, как правило, будет невелико. Наоборот, диаметр входного
зрачка будет достаточно большим и поэтому его обычно
совмещают с объективом трубы. Тогда, используя в качестве объектива
тонкий компонент, получаем постоянный астигматизм,
определяемый квадратом полевого угла и фокусным расстоянием
объектива. Кроме того, совмещение входного зрачка с объективом
обеспечивает отсутствие хроматизма увеличения и дисторсии.
Таким образом, использование тонкого компонента в качестве
объектива ограничено в своих коррекционных возможностях и
позволяет воздействовать лишь на хроматизм положения,
сферическую аберрацию и кому.
Для устранения хроматизма положения необходимо наличие
двух линз с оптическими силами разных знаков и различными
числами Аббе; с помощью прогиба этих линз обеспечивается
воздействие на кому и сферическую аберрацию.
При использовании в качестве объектива тонкого склеенного
компонента необходимо иметь для воздействия на сферическую
аберрацию коррекционный элемент — нормальную склеенную
поверхность, по обе стороны которой должны быть различные
показатели преломления, что легко обеспечивается путем сочетания
обычных флинтов и кронов. Однако для одновременного
исправления хроматизма положения, сферической аберрации и комы
необходим специальный подбор марок оптических стекол.
Тем не менее посредством варьирования показателями
преломления стекла возможность раздельного управления
сферической аберрацией и комой сохраняется.
Для устранения астигматизма во всей системе зрительной
трубы требуется скомпенсировать стабильный астигматизм
объектива путем введения в окуляр астигматизма обратного знака
(обычно положительного), что и определяет характер коррекции
312
окуляра; воздействие на кому и сферическую аберрацию в
широком диапазоне с помощью объектива позволяет обеспечивать
компенсацию этих аберраций у окуляра, которые обычно не очень
большие и мало поддаются изменению.
В простейших двухлинзовых склеенных объективах при
достаточно больших относительных отверстиях и фокусных
расстояниях возникает неэлементарная сферическая аберрация, для
которой характерно наличие отрицательной сферической
аберрации в средней части отверстия при ее устранении на краю
отверстия; кроме того, в таких объективах возникает сферохроматиче-
ская аберрация. Эти аберрации ограничивают возможности
развития относительного отверстия двухлинзовых склеенных
объективов величинами от 1 : 10 до 1:5.
Для исправления неэлементарной сферической аберрации
можно использовать расклеенные объективы, которые допускают
осуществление двойной коррекции сферической аберрации.
Возможен и другой прием — разделение силы объектива на две
соприкасающиеся линзы, что существенно уменьшает исходную
сферическую аберрацию, окончательное исправление которой
достигается введением нормальной склеенной поверхности в
одной из разделенных базовых линз. Оба эти приема позволяют
также существенно уменьшить сферохроматическую аберрацию.
Отсутствие у тонкого компонента, совмещенного со зрачком,
дисторсии и хроматизма увеличения вызывает необходимость
исправления этих аберраций при разработке окуляров.
Для окуляра трубы Кеплера со значительно меньшим
фокусным расстоянием, чем у объектива, даже при использовании
простейших одиночных линз сферическая аберрация, хроматизм
положения и кома не могут быть значительными, поэтому эти
аберрации всегда можно скомпенсировать путем соответственного
изменения аберраций объектива.
Таким образом, в окуляре кеплеровской трубы необходимо
создание определенного астигматизма, с помощью которого можно
добиваться компенсации астигматизма объектива; кроме того,
в нем должен быть исправлен хроматизм увеличения. Обе эти
задачи довольно успешно решаются даже в таком простом окуляре,
как окуляр Гюйгенса.
В большинстве случаев в зрительной трубе Кеплера
исправление кривизны поля, складывающейся из сравнительно небольшой
кривизны поля объектива и собственной кривизны поля окуляра,
обычно не удается обеспечивать; однако диапазон аккомодации
глаза наблюдателя позволяет получать достаточно резкое
изображение и во внеосевой части поля.
В целях получения в трубе Кеплера прямого изображения
широко используются различные оборачивающие системы
отражательных призм, которые по своему воздействию на аберрации
равноценны введению в ход лучей между объективом и окуляром
плоскопараллельной пластинки значительной толщины.
313
г
51,63 *
оо
оо
оо
d
3,0
5,0
160,0
/'= 100,0; s'F =
nD
1,5163
1
1,8060
4,4
* Эллипс по уравнению у =
= 103,26z-0,5813z2
Таблица 24.1 Толстые плоскопарал-
Конструктивные данные лельные пластинки, как это
системы из плоскоэллиптической линзы было уже показано ранее,
и толстой плоскопараллельной пластинки обладают положительным
хроматизмом положения и
положительной сферической
аберрацией, что в известной
степени облегчает
исправление сферической аберрации
и хроматизма положения
объектива.
Более того, если призмы
оборачивающей системы
будут изготовлены из
тяжелого флинта марки ТФ10 с по-
казателем преломления п =
= 1,806 и числом Аббе v = 25,36, то при редуцированной
длине эквивалентной пластинки, соизмеримой с фокусным
расстоянием объектива, удается устранить хроматизм положения при
использовании в качестве объектива даже одиночной линзы.
Задаваясь фокусным расстоянием объектива (одиночной линзы)
р = ЮО мм, показателем преломления п = 1,5163 и числом
Аббе v = 64,1 (стекло марки К8), получаем значение хроматизма
положения
6s' = —P/v = —1,56 мм.
Для плоскопараллельной пластинки из стекла марки ТФ10
толщиной d = 160 мм значение хроматизма положения будет
6s' = "7 d = 1,559 мм.
При использовании одиночной плоскоэллиптической линзы
одновременно с исправлением хроматизма положения может быть
устранена и сферическая аберрация. Конструктивные данные
подобной системы приведены в табл. 24.1.
Результаты расчета аберраций этой системы для осевого пучка
лучей при относительном отверстии 1 : 2,5 приведены ниже:
h
20,0
14,1
0,0
AsD
0,001
0,000
0,000
As/?
0,067
0,050
0,034
disc
0,015
0,021
0,028
bsF-c
0,052
0,029
0,006
Обращает на себя внимание, что система из
плоскоэллиптической линзы в сочетании с толстой плоскопараллельной
пластинкой обладает при большом относительном отверстии весьма
небольшой сферической аберрацией.
-314
Небезынтересно, что у этой системы величина вторичного
спектра получается значительно меньшей, чем у обычных
склеенных объективов. Так, в рассматриваемом примере хроматизм
положения для линий С и D спектра составляет As^-d = 0,028,
а для линий F и D — As'F-D = 0,034, тогда как у склеенных
объективов при использовании стекол марок ТФ1 и К8
вторичный спектр составляет около 0,048, т. е. примерно в полтора раза
больше.
24.3. Трубы с внутренней фокусировкой
Труба с внутренней фокусировкой является телескопической
трехкомпонентной системой и может быть зашифрована в виде
Т {Об3 [Б (т) ] -f- Бф (т) + Б [окуляр]}, причем положение
среднего фокусирующего компонента при его наибольшем
расстоянии от окуляра образует строго телескопическую систему; по
мере приближения фокусирующего компонента к окуляру
происходит нарушение телескопичности, соответствующее
фокусировке на приближающийся объект.
При расположении предмета в бесконечности фокусирующий
компонент работает с наибольшим увеличением V > 1, что
вызывает необходимость увеличения относительного отверстия
объектива. Кроме того, происходит увеличение продольных аберраций
объектива пропорционально продольному увеличению Q = V2
фокусирующего компонента при переносе изображения в
фокальную плоскость окуляра.
Отрицательная оптическая сила фокусирующего компонента
по своей абсолютной величине значительно меньше, чем
оптическая сила собственно объектива; поэтому хотя она и уменьшает
отрицательную кривизну поля трубы, но незначительно. Равным
образом фокусирующая линза может вносить положительную
сферическую аберрацию и положительный хроматизм
положения, но они также будут не очень велики и при перефокусировке
будут в меньшей степени участвовать в компенсации сферической
аберрации объектива. Поэтому более целесообразно
фокусирующую линзу корригировать на эти аберрации самостоятельно.
Одним из возможных вариантов фокусирующей линзы может
быть отрицательная линза с конфокальной и апланатической
поверхностями. Такая линза не вносит ни сферической аберрации,
ни комы, ее астигматизм положителен, что позволяет
компенсировать отрицательный астигматизм переднего тонкого
компонента, совмещенного с входным зрачком. Ахроматизация такого
отрицательного компонента легко достигается за счет введения
хроматической поверхности склейки. Подобная система
полностью соответствует рассмотренному в гл. 18 телеобъективу.
Одиночная конфокально-апланатическая линза создает
линейное увеличение, равное ее показателю преломления, что и
приводит к соответственному увеличению эквивалентного фокусного
315
расстояния. Заметим, что при необходимости получения большего
увеличения целесообразно использовать две конфокально-аплана-
тические линзы, располагая их непосредственно друг за другом,
что поднимает линейное увеличение до квадрата показателя
преломления. В этом случае для обеспечения ахроматизации пред
ставляется возможным ограничиться введением хроматической
склейки лишь в какой-либо одной конфокально-апланатической
линзе.
Таким образом, приходим к системе, которая может быть
зашифрована в виде Т )Об3 [Б (т) ] + Бф (кф, a (-f Бф (кф, а ( -f
+ Б [окуляр]}.
24.4. Геодезическая труба с прямым изображением
Создание телескопической системы, дающей прямое
изображение, требует введения между ее объективом и окуляром
оборачивающей системы. В качестве оборачивающей системы может быть
использована та или иная система оборачивающих призм, что и
реализуется в обычных призменных биноклях.
Другим способом получения прямого изображения является
использование линзовой оборачивающей системы. Создавая между
линзами такой оборачивающей системы параллельный ход лучей,
представляется возможным разделить телескопическую систему
с прямым изображением на две телескопические системы с
обратным изображением, последовательно расположенные друг за
другом.
Достоинством такой геодезической трубы является то, что
при перефокусировке, которая осуществляется подвижкой
передней линзы второй телескопической системы, обеспечивается
постоянство аддитивной составляющей в дальномерном
коэффициенте.
Общее увеличение Г подобной трубы определяется
произведением увеличений 1\ и Г2 обеих составляющих систем
Г = 1\Г2, (24.9)
что позволяет ограничиться небольшими значениями
составляющих увеличений. Благодаря этому угловое поле зрения между
обеими телескопическими системами не будет велико.
Осуществляя в передней телескопической системе между ее
компонентами телепентрический ход лучей (случай отсутствия
коллектива), определяем положение входного зрачка в переднем
фокусе первого компонента и положение выходного зрачка в
заднем фокусе второго компонента.
Выполняя оба компонента пропорциональными друг другу
с коэффициентом пропорциональности, равным увеличению 1\
первой телескопической системы, сразу же обеспечиваем отсутствие
в ней комы. Поэтому, устраняя в ее компонентах сферическую
аберрацию и вводя в них кому определенной величины, достигаем
316
исправления в передней телескопической системе сферической
аберрации, комы и астигматизма. Одновременно с помощью
соблюдения пропорциональности и телецентричности хода главных
лучей обеспечивается отсутствие хроматизма увеличения;
исправление хроматизма положения также достигается ахроматизацией
обоих компонентов.
Отстояние выходного зрачка от второй линзы первой
телескопической системы позволяет совместить его с первой линзой
второй телескопической системы, что и приводит ее к уже
рассмотренной выше прямой зрительной трубе.
Таким образом, принципиальная схема геодезической трубы
с прямым изображением может быть зашифрована в виде
Тг {Об [Б (т)] +Б [(т)]} +Т„ {Об [Б (т)] +Б [окуляр]}.
24.5. Бинокли с линзовой оборачивающей системой
Благодаря использованию оборачивающей системы из
отражательных призм длина обычных призменных биноклей получается
небольшой и, как правило, не превышает фокусное расстояние
объектива. Поэтому вопрос о создании бинокля с линзовой
оборачивающей системой связан, прежде всего, с возможностью
сокращения длины такого бинокля.
Единственным средством для уменьшения длины является
укорочение фокусных расстояний объектива и линз оборачивающей
системы за счет повышения их относительных отверстий.
Учитывая, что увеличение оптических сил объектива и линз
оборачивающей системы способствует росту отрицательной
кривизны поля, следует обеспечить (помимо устранения сферической
аберрации) также и улучшение исправления кривизны поля и
астигматизма. Решение этой второй задачи не может быть
выполнено при помощи объектива; нетрудно прийти к выводу о
необходимости использования для этой цели оборачивающей системы.
Для исключения коллектива между объективом и
оборачивающей системой целесообразно создавать телецентрический ход
лучей. Имея в виду, что для устранения комы оборачивающую
систему выгодно делать симметричной, приходим к тому, что она
будет системой телескопической, но работающей при
расположении предмета и изображения на конечном расстоянии, т. е.
приходим к репродукционной телескопической системе.
Построив подобную систему из двух пар склеенных линз,
получим расстояние между ними, равное их удвоенному фокусному
расстоянию, а длину всей оборачивающей системы —
учетверенному фокусному расстоянию линз. Попытка укорочения подобной
системы за счет уменьшения фокусных расстояний ее линз
приводит к возрастанию промежуточного поля зрения, а
следовательно, к росту кривизны поля и астигматизма. Все это делает
схему оборачивающей системы из пары склеенных линз с
параллельным ходом между ними непригодной для реализации.
317
Использование в качестве оборачивающей системы схем
симметричных фотографических объективов облегчает получение
более короткой оборачивающей системы, но требует для
присоединения к объективу использования коллективной линзы,
размещенной вблизи плоскости изображения (согласование хода
главного луча с окуляром может обеспечиваться воздействием
коллектива окуляра).
Таким образом, получаем в простейшем случае систему в виде
совокупности объектива типа триплет и коллектива,
расположенного вблизи плоскости изображения после объектива. Однако
-10 1 -4-202* -1Q Q 10
Рис. 24.2. Бинокль с линзовой оборачивающей системой
в такой схеме возникает трудность создания большого
относительного отверстия. Это заставляет обратиться к более сложной схеме
оборачивающей системы — симметричному триплету с двумя
симметрично расположенными относительно него конфокальными
линзами.
Конфокальные линзы позволяют повысить входную и выходную
апертуры триплета в п раз без ухудшения сферической аберрации.
Кроме того, при помощи конфокальных линз легко достигается
телецентричность хода главных лучей до и после оборачивающей
системы. И, наконец, конфокальные линзы создают
положительный астигматизм, который может быть использован для
компенсации отрицательного астигматизма собственно объектива.
Схема подобной телескопической системы может быть
зашифрована в виде Т {Об3 [Б (т)] +Б|о, кф) +06 [триплет] +
+ Б(кф, о| + Б [окуляр]}. Она была реализована (с
переворачиванием конфокальных линз) в бинокле 10х увеличения и
представлена вместе с графиками аберраций на рис. 24.2.
Возможность одновременного исправления аберраций,
возникающих от нескольких конструктивных элементов, с помощью
одного коррекционного блока позволяет существенным образом
318
упрощать различные оптические системы, в том числе и биноклей.
Так, в качестве примера можно привести схему бинокля 10х
увеличения (рис. 24.3), в которой оборачивающая система и
окуляр выполнены из одинаковых плосковыпуклых линз.
В этой схеме сферическая аберрация и хроматизм положения
от плосковыпуклых линз исправляются за счет коррекционных
возможностей первого компонента объектива; для исправления
суммарной кривизны поля в воздушном промежутке между
линзами оборачивающей системы введены две симметричные телеана-
¦Г
h
10
\Asldnmp
1 0 2 Ч -10 0 10
ion
10' ш—1
10' ¦? 100%
jQt CU=0
1оо%
X——^
i--10r ^
Рис. 24.3. Бинокль с линзовой оборачивающей системой и
окуляром из одинаковых плосковыпуклых линз
стигматические линзы. Исправление астигматизма и комы
обеспечивается самими плосковыпуклыми линзами оборачивающей
системы и окуляра.
24.6. Галилеевские системы
Телескопические системы из положительного объектива и
отрицательного окуляра, изобретенные в 1608 г. и
усовершенствованные Галилеем, являются первыми оптическими системами,
составленными из двух отдельных линз, разделенных
значительным воздушным промежутком.
Совершенно естественно, что за более чем трехвековую
историю своего существования галилеевские системы были достаточно
хорошо изучены и их основные свойства общеизвестны.
Особенностью галилеевских телескопических систем,
состоящих из положительного и отрицательного компонентов и
создающих прямое изображение, является мнимое положение
промежуточного изображения, не позволяющее размещать около него кол-
319
Рис. 24.4. Определение габаритных размеров
трубы Галилея
лективную линзу для согласования входного и выходного
зрачков системы. Это обстоятельство приводит к тому, что для
обеспечения достаточного удаления выходного зрачка, необходимого
для совмещения его со зрачком глаза наблюдателя, зрачок входа
должен быть глубоко внесен внутрь системы, что и затрудняет
разработку галилеевских зрительных труб в части увеличения
их угловых полей при сколько-нибудь значительном видимом
увеличении.
Так, в ассортименте галилеевских биноклей, выпускаемых
в настоящее время промышленностью, имеются бинокли БГТ 2,5X
Х24 с угловым полем 2ш = 12,7° и БГФ 2,4x36 с угловым полем
всего 7°. При этом
окулярное угловое поле у
бинокля БГТ составляет
около 32°, а у бинокля
БГФ — 28°, т. е. в 1,5—2
раза меньше, чем у
зрительных труб кеплеров-
ского типа.
Попытки увеличения
угловых полей у
галилеевских биноклей
предпринимались различными
авторами: Рором на фирме «Карл Цейс» (Carl Zeiss), А. И. Слюсаре-
вой-Ильиной в ГОИ и др. Однако эти попытки не привели к
сколько-нибудь ощутимым результатам.
На основании анализа габаритных особенностей галилеевских
биноклей нетрудно установить зависимость между увеличением,
удалением выходного зрачка и диаметром объектива галилеевской
системы.
Согласно схеме галилеевского бинокля, представленной на
рис. 24.4, и полагая первоначально, что глазная линза совмещена
с выходным зрачком, видим, что главный луч претерпевает
отклонение лишь на главных плоскостях переднего компонента;
в этом случае нетрудно определить положение входного зрачка
следующим образом.
Переднее фокусное расстояние глазной линзы — окуляра —
будет одновременно являться и расстоянием выходного зрачка от
заднего фокуса объектива
/ок = г'. (24.10
Тогда положение входного зрачка относительно переднего фо
куса первого компонента может быть найдено по формуле
Ньютона
z=—fo6/z=f*/foK = T, (24.1 Г
а вслед за этим расстояние s3p от первого компонента до зрачк
5зР=2-/«5 = (Г-1)/;б. (24.12
320
Для обеспечения некоторого удаления выходного зрачка от
второго компонента на определенное расстояние s'3p потребуется
осуществить дополнительное углубление входного зрачка на
величину, равную произведению этого расстояния на продольное
увеличение.
Таким образом, окончательно получаем
s3p=(r- 1)^6 + 1%. (24.13)
Составляя отношение высоты hx главного луча на первом
компоненте, лимитируемой диаметром объектива (наименьшим
глазным базисом), к расстоянию до зрачка входа, получаем
предметный полевой угол
*зР (г-1)/;б+1%/
lz<» = -7t = „ ,w- , Г2- ; (24-14>
далее находим выходной угол
tg со' = Г tg со = ^ 5-г- (24.15)
Так, ограничиваясь высотой hx = 25 мм, получаем при
увеличении Г = 4Х, удалении выходного зрачка s'3p = 7 мм и
фокусном расстоянии объектива f'o6 = 100 мм
что соответствует углу со' = 13,64° и всему окулярному угловому
полю около 27°.
Заметим, что в распоряжении конструктора имеется всего лишь
один параметр — фокусное расстояние объектива, — не
обусловленный исходными данными. Поэтому, прибегая к существенному
уменьшению фокусного расстояния, например вдвое — до 50 мм,
можем существенно увеличить окулярное поле зрения. В этом
случае tg со' = 0,3817 и со' = 20°,89; иными словами, угловое
окулярное поле вырастает почти до 2со' = 42° и становится вполне
соизмеримым с окулярными угловыми полями систем кеплеров-
ского типа.
Однако при фокусном расстоянии роб = 50 мм отношение
диаметра объектива к его фокусному расстоянию (в данном случае
это не относительное отверстие!) становится равным единице, что
делает невозможным использование в качестве базовой линзы
объектива одиночной линзы.
Тем не менее это затруднение может быть преодолено путем
создания объектива из пары базовых линз с более или менее
одинаковыми оптическими силами.
Полагая диаметр выходного зрачка равным 5 мм, получаем
при 4х увеличении диаметр входного зрачка 20 мм, и тогда относи-
321
тельное отверстие объектива получается равным 1 : 2,5, т. е.
довольно значительным. Поэтому практически целесообразно
ограничиваться конструктивной схемой объектива из двух
базовых линз для биноклей с меньшими увеличениями, но с большими
полями зрения.
Так, при увеличении Г = 2,5х и фокусном расстоянии
объектива 50 мм по формуле (24.15) находим tg а/ = 0,5263; тогда
со' = 27°,758 и окулярное угловое поле 2 со' « 55°. Одновременно
возрастет и предметное угловое поле 2о ^ 24°.
Принципиальная схема галилеевской системы с объективом
из двух базовых линз была реализована в серийно выпускаемом
со~-№0 тю'
'1001 ^ Li0>
L-0,2 0 0,2 Ч 0 1 -10 0 10
Рис. 24.5. Бинокль галилеевский широкоугольный БГШ 2,3X40
широкоугольном бинокле БГШ 2,3x40 с предметным угловым
полем 2о) = 28°. Оптическая схема этого бинокля и графики
аберраций представлены на рис. 24.5.
Разделение переднего компонента на два концентрично-апла-
натичных мениска существенно уменьшает отрицательную
сферическую аберрацию этого компонента, и тогда положительная
сферическая аберрация глазной линзы приобретает превалирующее
значение.
Глазная линза свободна от хроматизма увеличения и обладает
небольшим положительным хроматизмом положения.
Объективная часть, наоборот, обладает значительным хроматизмом
увеличения, прямо пропорциональным полевому углу и увеличению.
Поэтому для устранения хроматизма увеличения во всей
системе в глазную линзу введена хроматическая склеенная
поверхность.
Возвращаясь к исходной габаритной формуле (24.14), нетрудна
прийти к выводу, что для дальнейшего повышения оптических
322
характеристик галилеевских биноклей целесообразно
укорачивать фокусное расстояние объектива (и соответственно окуляра),
еще более.
Этого можно достичь, располагая между объективом и
окуляром биаплакатическую линзу, не вносящую монохроматических
аберраций (кроме кривизны поля и дисторсии) и не изменяющую
увеличения основной системы.
Передняя поверхность подобной биапланатической линзы
укорачивает фокусное расстояние объективной части в п2 раз, т. е.
при п = 1,613 в 2,6 раза. Тогда для бин'окля с 4х увеличением
в соответствии с формулой (24.15) может быть достигнуто полез-
-100%
t w — T
-0,10 0,1 -2 0 2 -10 1 г- .- ог
-100% V-io' 100%
Рис. 24.6. Бинокль галилеевский широкоугольный БГШ 4X45
ное угловое поле после окуляра 2со' = 47°,5. Соответственна
возрастает углоЕое поле в предметном пространстве; оно составит
2со' = 12°,5.
Конструктивно целесообразно для обеспечения фокусировки
и некоторого уменьшения массы в биапланатическую линзу ввести
воздушную конфокальную линзу. Подобная линза, не изменяя
увеличения, а также не нарушая исправления сферической
аберрации, комы и хроматизма положения, внесет, однако, некоторый
положительный астигматизм.
Исправление хроматизма всей системы подобного галилеев-
ского бинокля может быть обеспечено с помощью хроматических
радиусов склейки, вводимых в тело биапланатической линзы.
Для иллюстрации на рис. 24.6 приведены принципиальная
схема и графики аберраций бинокля с увеличением Г = 4х и
угловым полем в предметном пространстве 2о> = 14°.
32Э
24.7. Перископы и цистоскопы
Основной задачей, решаемой перископами, является создание
значительного расстояния между положениями зрачков входа и
выхода, осуществляемое с помощью призм в вертикальном
направлении.
В простейших случаях, когда требуемая перископичность
невелика, а увеличение значительно, она может быть обеспечена
за счет достаточно большого фокусного расстояния объектива;
при этом получение прямого изображения обеспечивается
соответственной системой оборачивающих призм.
В случаях же, когда требуемое увеличение невелико, может
быть использована телескопическая система с линзовой
оборачивающей системой. Оба эти случая уже были рассмотрены ранее.
Возможная длина оборачивающей системы полностью
определяется инвариантом Лагранжа—Гельмгольца, т. е. произведением
тангенса полевого угла на радиус зрачка входа, а также
наибольшим допускаемым диаметром линз самой оборачивающей системы.
Если оказывается, что допускаемый диаметр не обеспечивает
пропускания требуемого поля зрения при заданном диаметре входного
зрачка, то прибегают к использованию двух или большего числа
оборачивающих систем. При этом возможно применение
оборачивающих систем либо с коллективами, располагаемыми вблизи
промежуточных изображений, либо без коллективов — с
телецентрическим ходом главных лучей между сопрягаемыми
системами. В последнем случае требуемое число оборачивающих систем
удваивается по отношению к первому случаю. В обоих случаях
обычно допускается виньетирование наклонных пучков лучей
по диаметру до 50 % от ширины осевого пучка.
Основной особенностью оборачивающих систем, стыкуемых
без промежуточного коллектива, является повышение
относительного отверстия оборачивающих линз вдвое по отношению к случаю
стыковки с коллективом. Это обстоятельство значительно
усложняет коррекцию аберраций осевого пучка — сферической
аберрации и сферохроматизма.
Заметим, что в перископах с видимым увеличением Г, близким
или равным единице, выгодно в качестве объективов использовать
схему выбранного уже окуляра; это способствует лучшему
исправлению нечетных аберраций — комы, дисторсии и хроматизма
увеличения.
По своему назначению цистоскопы, служащие для
наблюдения внутренних полостей человеческого тела, формально
следовало бы отнести к группе луп или микроскопов. Однако, учитывая,
что их можно рассматривать как телескопические системы,
работающие с перефокусировкой на конечное расстояние, выгодно
сопоставлять их работу с работой перископа.
Видимое увеличение Гц цистоскопа в связи с близким
расположением его входного зрачка к объекту наблюдения может быть
324
выражено следующим образом:
250tg»:=10t|^ j
ц st tg (О tg со v '
Задаваясь увеличением и угловым полем в предметном
пространстве, находим выходной угол
tg со' = 0,1 tgcoIV (24.17)
откуда следует, что при небольших увеличениях окулярное поле
зрения получается значительно меньше, чем предметное поле
зрения. Это позволяет рассматривать систему цистоскопа как
телескопическую систему обращенную окуляром вперед, при
соответственной перефокусировке.
Габаритные размеры цистоскопов весьма ограничены по
диаметрам, поэтому приходится использовать несколько
оборачивающих систем. Обычно все линзы оборачивающих систем
выполняют с нормальными поверхностями склеек. Однако, преследуя
цель исправления сферической беррации и астигматизма,
представляется возможным все базовые линзы цистоскопа сделать
одиночными, т. е. неахроматизированными и неисправленными
на сферическую аберрацию, а исправление этих аберраций
переложить на единый афокальный компенсатор. Схема подобного
цистоскопа может быть зашифрована в виде Б [объектив] +
+ Б(кол) + 2Б (т) +...+2 Б (т) +Б (кол) + Б (т) + Ком [аф] +
+ Б (т) + Б [окуляр]. Такая принципиальная схема значительно
уменьшает число оптических деталей в цистоскопе и упрощает
его изготовление.
Особый интерес представляют оптические схемы цистоскопов,
построенные на базе стержневидных линз.
Для решения задачи увеличения длины оборачивающей системы
при заданном значении инварианта Лагранжа—Гельмгольца
можно воспользоваться повышенными показателями преломления
сред между объективами оборачивающей системы, а также до и
после этой системы. Тогда, сохраняя диаметры линз неизменными,
получаем при переходе к пространствам с показателями
преломления, отличными от единицы, возрастание фокусных расстояний
пропорционально показателям преломления.
Этот переход можно было бы осуществить, заполняя
пространство перед и за оборачивающей системой, а также между ее
линзами стеклянными плоскопараллельными пластинками с
толщинами, равными фокусным расстояниям оборачивающих линз.
Однако при таком переходе в каждую из оборачивающих систем
потребуется ввести по три плоскопараллельные пластинки, что
существенно ее усложнит.
Чтобы избежать усложнения оборачивающей системы, можно
прибегнуть к органическому слиянию плоскопараллельных
пластинок с ее линзами, т. е. к использованию линз с большими
толщинами — так называемых стержневидных линз.
325
Рис. 24.7. Оборачивающая
система — Б | о, кф) + Б (к, к) -f-
+ Б (кф, о |
Исходя из изложенного выше, выгодно воспользоваться
конструктивной схемой оборачивающей системы, представленной на
рис. 24.7 и состоящей из трех линз, средняя из которых
выполнена концентричной, а у крайних линз поверхности, обращенные
к средней линзе, являются конфокальными по отношению к
предмету и изображению.
Крайние линзы вследствие конфокальности должны быть
свободными от сферической аберрации и хроматизма положения и
создавать некоторый положительный астигматизм; средняя же
линза, в силу концентричности свободная от астигматизма и комы,
за счет воздействия конфокальных линз будет работать с
уменьшенной апертурой, а
следовательно, будет обладать уменьшенной
сферической аберрацией.
Конструктивно радиусы
конфокальных поверхностей
наружных линз могут быть сделаны
равными радиусам концентричной
линзы. В этом случае до и после
конфокальных поверхностей будет
иметь место телецентрический ход лучей, что позволяет при
наличии нескольких оборачивающих систем объединять их
наружные линзы, которые после объединения станут тождественными
внутренним концентричным линзам оборачивающих систем.
Таким образом, все оборачивающие системы окажутся построенными
из одинаковых концентричных линз, играющих, однако,
различные роли.
Совершенно очевидно, что в каждой из оборачивающих систем
остаются в какой-то мере недоисправленными сферическая
аберрация и хроматизм положения, поэтому для их устранения в одну
из оборачивающих систем может быть включен специальный кор-
рекционный блок.
Для иллюстрации вышеизложенного на рис. 24.8 приведены
оптические схемы цистоскопов из одиночных линз с
компенсатором К и со стержневидными линзами. Для сопоставления на
рис. 24.8, в изображена схема обычного цистоскопа, состоящего
из оборачивающих систем с двухлинзовыми склеенными
компонентами.
Переходя к рассмотрению работы объективной части
цистоскопов, следует обратить внимание на то обстоятельство, что для
обеспечения восприятия большого углового поля в воде,
доходящего до 2(0^7 = 70°, необходимо создавать весьма короткофокусные
объективы, фокусное расстояние которых может быть определено
по формуле
/' = у'Цп tg gv),
(24.18)
что при 2gv = 70° и ^ = 1,5 мм дает (без учета дисторсии) /';
« 1,607 мм.
326
Конструктивно наиболее
удобно использовать в
качестве объектива системы вида
Б
Б
или
о, к) +Ъ (а, б)
о, к) + Б (кф, б).
Из-за малого фокусного
расстояния эти системы
обладают незначительной
сферической аберрацией и
комой; они либо свободны от
астигматизма, либо обладают
положительным
астигматизмом; их хроматизм
положения достаточно мал. Таким
образом, более или менее
ощутимыми аберрациями
являются довольно большая
отрицательная дисторсия и
отрицательный хроматизм
увеличения. Вместе с тем
эти две аберрации могут
быть скомпенсированы в
окулярной части
цистоскопа.
Окулярная часть
цистоскопа имеет сравнительно
небольшое угловое поле, и
вследствие этого в окуляре
трудно воздействовать на
полевые аберрации. Поэтому в
целях создания в окуляре
значительной отрицательной
дисторсии, необходимой для
компенсации отрицательной
дисторсии объективной части,
приходится вводить перед
фокальной плоскостью
окуляра (в обратном ходе)
базовую линзу с апланатической
и близфокальной
поверхностями. При этом в качестве
глазной линзы может быть
использован окуляр Фраун-
гофера.
Схема подобного окуляра
может быть зашифрована в
виде Б | о, к) + Б (кф, о | +
+ Б (а, б).
4
#
Ю
а)
-Г
Рис. 24.8. Схемы цистоскопов: a — с
двухлинзовым компенсатором; б — со
стержневидными линзами; в — с
оборачивающими системами из двухлинзо-
вых компонентов
327
24.8. Зеркально-линзовые телескопические системы
Одной из замечательных зеркальных телескопических систем
является система из двух конфокальных параболических зеркал,
предложенная Мерсенном в 1634 г. В этой системе в обеих ее
модификациях — при прямом и перевернутом изображении —
получается строгое исправление сферической аберрации и комы
для осевого пучка лучей с одновременным исправлением элемен-
Рис. 24.9. Телескопическая система с монолитным
зеркально-линзовым объективом
тарного астигматизма; из других элементарных аберраций не
поддается исправлению лишь кривизна поля, отрицательная по знаку
для систем с положительным увеличением и положительная при
перевернутом изображении.
Телескопическая система Мерсенна может быть выполнена и
в виде монолитного блока с входной и выходной плоскими
гранями. Хроматизм увеличения в этой системе, возникающий на
передней входной плоскости, компенсируется хроматизмом
увеличения на выходной плоскости.
Приведем конструктивные данные подобной системы с видимым
(угловым) увеличением Г = 10х (табл. 24.2); ее схема и графики
аберраций для углового поля 2со = 5° и диаметра входного зрачка,
равного 40 мм, представлены на рис. 24.9. Экранирование в этой
системе получается обратным ее видимому увеличению.
При нарушении телескопичности переходим от системы
Мерсенна к схемам двухзеркальных объективов типа Кассегрена,
328
Таблица 24.2 Таблица 24.3
Конструктивные данные Конструктивные данные
телескопической системы телескопической системы с монолитным
с монолитным зеркально-линзовым зеркально-линзовым объективом
объективом с несферическими поверхностями
г
оо
оо
—100*
—32,0**
оо
—10,0
8.0
—24.52
24,52
оо
* у2 =
** Уг =
й
5,0
5,0
3,0
—30,0
40,0
—40,0
53,0
0,813
2,12
4,0
0,01
3,0
Г = 11,84*
—2002
nD
1,5163
1
1,5163
—1,5163
1,5163
—1,5163
1,5163
1
1,6128
1,6130
1
1,6130
—64г—0,642*. 1
\ Г
1 °°
136,77
| °°
—121,06
1 °°
136,77
1 °°
32,28
1 °°
136,77
1 °°
1 °°
-15,704
15,704
оо
d
20,0
12,1
16,75
—16,75
—12,1
—59,0
—5,24
5,24
59,0
12,1
17,183
3,59
9,92
3,59
"D
1,7440
1,7550
1,4398
—1,4398
—1,7550
—1,7440
—1,4398
1,4398
1,7440
1,7550
1
1,6126
1
1,6126
Г = 10х
1 1
где первое зеркало является вогнутым, а второе — выпуклым,
создающим перевернутое изображение, и типа Грегори, где оба
зеркала будут вогнутыми, а изображение — прямым.
В зеркальных объективах типа Кассегрена и типа Грегори,
ограничиваясь профилями зеркал второго порядка, можно
обеспечить строгое устранение сферической аберрации и комы. При
этом оба несферических зеркала могут быть выполнены, как и
в случае системы Мерсенна, в виде монолитного блока с плоской
передней поверхностью. Однако в этом случае плоская входная
поверхность будет создавать хроматизм увеличения, который
выходная поверхность монолитного блока уже не сможет
компенсировать. Возникающий хроматизм увеличения будет
отрицательным, и его нетрудно устранить, компенсируя отрицательным
хроматизмом увеличения окуляра.
Таким образом, могут быть получены зеркально-линзовые
телескопические системы с монолитным объективом из не
подверженных разъюстировке зеркал.
В подобных зеркально-линзовых системах помимо
экранирования необходимо решать задачу устранения паразитной засветки
изображения; это обстоятельство ограничивает область
использования зеркально-линзовых телескопических систем — они не
могут обладать малыми видимыми увеличениями и должны строиться
для больших увеличений не менее 15—20х.
329
Зеркальные элементы в таких системах, как правило, имеют
большие апертурные углы, что не вызывает особых затруднений
для исправления аберраций при применении несферических
поверхностей.
Для иллюстрации сказанного приведем конструктивные
данные телескопической системы с использованием монолитного
объектива с несферическими поверхностями (табл. 24.3); ее схема
-100% L-iof
Рис. 24.10. Телескопическая система с монолитным
зеркально-линзовым объективом с несферическими поверхностями
и графики аберраций для углового поля 2со = 4° и диаметра
входного зрачка, равного 50 мм, представлены на рис. 24.10.
Технологически наличие в оптической системе пары
несферических поверхностей является нежелательным; поэтому
определенный интерес представляет возможность замены деформации
сферических зеркальных поверхностей другими коррекционными
элементами, например поверхностями склейки.
Однако вследствие больших апертур получаются
значительные исходные аберрации сферических зеркал, что не позволяет
ограничиться применением лишь одних нормальных поверхностей
склейки. Для обеспечения достаточно хорошего качества
изображения приходится прибегать к использованию пары склеенных
поверхностей — нормальной и аномальной, позволяющих, как
отмечалось ранее, осуществлять двойную коррекцию сферической
аберрации.
330
24.9. Панкратические системы
В телескопических системах довольно часто требуется
изменять увеличение. В ряде случаев необходимо обеспечивать его
непрерывное изменение; тогда такие телескопические системы
называются панкратическими.
Конструктивно в панкратических телескопических системах
изменение увеличений может выполняться тремя основными
способами:
1) объективной частью системы, т. е. панкратическим
объективом;
2) при помощи оборачивающей системы (в этом случае
объектив остается неизменным; сетка в фокальной плоскости объектива
определяет постоянные полевые углы в предметном пространстве);
3) панкратическим коллективом.
Кинематика панкратических систем распадается на две
области .
1. Панкратические системы с механической компенсацией,
при которой длина оптической системы — расстояние между
предметом и изображением — сохраняется неизменной с помощью
специального механического устройства, управляющего по
определенному закону движением вдоль оси системы двух
оптических конструктивных узлов.
2. Панкратические системы с оптической компенсацией, при
которой изменение увеличения происходит при одновременном
одинаковом перемещении двух оптических компонентов,
разделенных третьим компонентом, неподвижно закрепленным в
системе.
Кинематике оптических узлов в панкратических системах
посвящено довольно большое число работ, однако в них не были
затронуты вопросы обеспечения возможностей исправления
аберраций.
В настоящее время дать исчерпывающие рекомендации по
композиции панкратических систем еще не представляется
возможным. Тем не менее в некоторых частных случаях они могут быть
даны исходя из обеспечения коррекционных возможностей
исправления аберраций.
В настоящей книге ограничимся рассмотрением лишь двух
конструктивных схем — панкратической оборачивающей
системы и панкратического коллектива. В обоих случаях
сохранение длины панкратической системы будет обеспечиваться при
помощи механической компенсации.
Перейдем к непосредственному рассмотрению панкратической
оборачивающей системы.
В простейшем случае в качестве базового компонента можно
использовать концентричную положительную линзу с равными
радиусами. Сохраняя у такой линзы положение материальной
диафрагмы совмещенным с центром линзы, обеспечиваем строгое устра-
331
нение комы, астигматизма, дисторсии и хроматизма увеличения
при произвольных увеличениях; кроме того, как уже указывалось
ранее, базовая концентричная линза будет обладать наименьшей
исходной сферической аберрацией, отрицательной по знаку.
Хроматизм положения концентричной линзы по отношению к
хроматизму тонкой линзы будет также несколько уменьшен.
Расстояние между предметом и изображением для такой линзы
будет связано с ее увеличением и может быть определено по
формуле
I = (2— V— 1/К) f. (24.19)
Из формулы (24.19) следует, что для двух увеличений Vt
и V2, обратных друг другу, когда их произведение будет равно
единице, т. е.
V.V, = 1, (24.20)
длина системы сохранится одинаковой. Отношение увеличений
определит диапазон увеличений
VJV2 = N. (24 21)
Придавая увеличению V значение, равное минус единице,
заставляем работать оборачивающую панкратическую систему
с симметричным расположением предмета и изображения; при этом
расстояние между предметом и изображением принимает
минимальное значение, которое определяется соотношением
L0 = 4f < Lx = L2. (24.22)
Для сохранения длины панкратической системы неизменной
представляется возможным разделить концентричную линзу на
две полу шаровые плосковыпуклые линзы, которые при
увеличении V = —1 могут быть раздвинуты таким образом, чтобы
образуемый воздушный промежуток d стал равным разности:
d = L — Ц. (24.23)
При этом для увеличения V = —1 сохранится (в силу
симметрии) отсутствие комы, дисторсии и хроматизма увеличения;
исходная сферическая аберрация будет по-прежнему невелика.
Введение воздушного промежутка между полушаровыми
линзами приведет к возникновению небольшого отрицательного
астигматизма (вследствие наличия недоисправной исходной
сферической аберрации).
Усложняя подобную панкратическую оборачивающую систему
за счет введения в нее пары симметрично расположенных
концентричных нормальных склеенных поверхностей, представляется
возможным добиться исправления сферической аберрации, что,
в свою очередь, приводит к устранению астигматизма.
В качестве базовой линзы для панкратического коллектива
может быть использована линза, у которой одна из поверхностей
является конфокальной, а вторая — близфокальной. Толщина
подобной линзы должна быть равной ее радиусам.
332
При перемещении такой панкратической линзы (коллектива)
в ее крайних положениях обе поверхности меняются своими
ролями — конфокальная поверхность становится близфокальной и
наоборот. При этом в обоих случаях будут строго отсутствовать
сферическая аберрация и кома. Одновременно будет возникать
положительный астигматизм, создаваемый конфокальными
поверхностями, который может быть использован для компенсации
отрицательного астигматизма, создаваемого другими
компонентами оптической системы.
Линейное увеличение подобного панкратического коллектива
в его крайних положениях будет в соответствии со свойствами
конфокальных поверхностей равным п или
\/п и, таким образом, диапазон увеличений,
создаваемый панкратическим коллективом,
получается равным /г2. Расстояние между
предметом и изображением — длина
панкратической системы — в обоих случаях равна
нулю.
При симметричном расположении
предмета и изображения линейное увеличение
получается равным единице, и,
следовательно, они оказываются расположенными в
главных плоскостях панкратического
коллектива. Поэтому длина панкратической системы при увеличении,
равном единице, уже не будет равной нулю и может быть
определена, согласно рис. 24.11, как удвоенная разность отрезков s'hs
при значении отрезка s', равном г/2.
Таким образом, отрезок s, согласно формулам:
п' п п'—пщ 2п' 1 п' — 1
s' s г ' г s ~~ г
Рис. 24.11. Панкрати-
ческий коллектив
(24.24)
получается равным
s = г/(п + 1). (24.25)
Тогда может быть найдено расстояние L0 между главными
плоскостями:
Lo = 2(s'-s) = -2(^--^rT)=^|r. (24.26)
Нетрудно установить, что расстояние L0 получается
положительным.
Во избежание изменения длины панкратической системы
представляется возможным из исходной двояковыпуклой линзы
вырезать плоскопараллельную пластинку и редуцировать ее к
соответственному воздушному промежутку, заменяя исходную двояка-
выпуклую линзу двумя симметричными плосковыпуклыми
линзами.
При такой замене сферические поверхности обеих линз в
крайних положениях могут быть сохранены конфокальными и близ-
ззч
фокальными. Однако при этом расстояние между предметом и
изображением уже не будет равно нулю и станет отрицательным.
Замена стеклянной толщины воздушным
слоем приведет к возникновению
незначительной отрицательной сферической
аберрации.
При симметричном расположении
предмета и изображения соответственно
уменьшится расстояние между главными
плоскостями системы, и тогда для уравнивания
длины системы в трех положениях в среднем
положении может быть уменьшена
воздушная толщина.
На рис. 24.12 приведена схема подобного
панкратического коллектива. Заметим, что
он панкратически свободен от хроматизма
положения, но обладает некоторым
хроматизмом увеличения, изменяющим знак
для краевых увеличений.
В целях устранения хроматизма
увеличения в обе плосковыпуклые линзы могут быть введены
хроматические поверхности склейки.
Рис. 24.12.
Перемещение панкратического
коллектива
Глава 25
НЕТРАДИЦИОННЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ
ЭЛЕМЕНТЫ
25.1. Линзы Френеля
Френелевы поверхности. Ступенчатые, или френелевы
поверхности нашли применение в различного рода осветительных
устройствах — линзах светофоров, маячных и конденсорных линзах.
В отдельных случаях линзы с такими поверхностями применяются
и для образования изображения, например крупногабаритные
лупы малого увеличения.
Ограниченное использование френелевых линз можно
объяснить тем, что они в основном решают лишь одну задачу —
устранение в той или иной степени сферической аберрации.
Главным достоинством линз с френелевыми поверхностями
является возможность значительного уменьшения их толщин при
больших диаметрах благодаря чему масса таких линз может быть
существенно уменьшена по сравнению с обычными линзами
таких же габаритных размеров.
Понижение требований к точности изготовления френелевых
поверхностей, связанное с вышеупомянутой областью их
использования, позволяет изготавливать их из органического стекла
334
методом прессования или литья; этим определяется высокая
технологичность их изготовления. Вместе с тем следует отметить,
что френелевы поверхности до сих пор еще не смогли найти
применения в более серьезных оптических приборах в качестве
полноправного конструктивного элемента.
Одной из особенностей френелевой поверхности является
возможность ее образования на исходной поверхности любой формы —
в частном случае и на плоскости. Заметим, что такие «плоские»
френелевы линзы получили наибольшее распространение на
практике как весьма технологичные в производстве.
Можно представить, что образование френелевой поверхности
является переходом к особого рода несферическим поверхностям;
тогда френелевы поверхности могут рассматриваться как
некоторый коррекционный элемент со всеми вытекающими отсюда
последствиями.
Через вершины и впадины френелевой — ступенчатой
поверхности можно провести объединяющие их поверхности вершин
и поверхности впадин; между этими поверхностями будут
заключены высоты всех ступеней френелевой поверхности. В частном
случае эти высоты могут быть сделаны равными друг другу;
тогда поверхности вершин и впадин приобретают одинаковый
профиль и будут лишь смещены относительно друг друга в
направлении оси.
Между поверхностями вершин и впадин можно провести
некоторую среДинную поверхность; профилв такой поверхности
можно назвать макропрофилем френелевой поверхности.
Сдвигая все зоны френелевой поверхности вдоль оси системы
таким образом, чтобы вершина предыдущей зоны совпадала с
впадиной последующей зоны, получим некоторую непрерывную
поверхность, но обладающую точками излома в местах стыковки
зон При этом возможен случай, когда состыкованная поверхность
не будет обладать точками излома и явится сферой или какой-
либо несферической поверхностью.
Равным образом при образовании френелевой поверхности
можно исходить из какой-либо непрерывной поверхности
(сферической или несферической), прибегая в последующем к
соответственному сдвигу отдельных ступеней относительно друг друга.
Совершенно очевидно, что такой подход к образованию френеле-
вых поверхностей не является единственным; возможны и другие
способы их создания, например из ряда конических зон с
последовательно изменяющимися углами наклона образующей.
При прохождении световой волны через фреиелеву поверхность
в точках перехода от одной зоны к другой будет возникать
разность хода; следствием этого явится ступенчатость и прошедшей
волновой поверхности, что приведет к ступенчатости
геометрических аберраций.
Границы между отдельными зонами френелевой поверхности
будут обладать некоторой протяженностью вдоль оси оптической
335
системы, поэтому их можно рассматривать как экранирующие
поверхности. В отдельности участки стыка не могут существенно
повлиять на экранирование световых пучков лучей, но так как
число участков стыка может быть достаточно велико, то их
воздействие следует учитывать.
Экранирование френелевых поверхностей.
Рассматривая работу френелевой поверхности
с прямолинейными границами стыков,
параллельными оси системы (цилиндрическими
стыками), и имея дело с плоским
макропрофилем, ограничимся для простоты выводов
профилем исходной поверхности с параболической
образующей, определяемой уравнением
У2 = 2r0z. (25.1)
Полагая диаметр френелевой линзы
равным 2#0, получаем стрелку z0 исходной
поверхности:
Рис. 25.1.
Образование френелевой
поверхности
г0 =-- */о/(2г0).
(25.2)
Разобьем эту стрелку на N равных частей, определяющих
высоты ступеней-гребешков френелевой поверхности:
Hz = z0/N = yl/(2Nro).
(25.3)
Определим радиусы
кольцевых зон френелевой
поверхности. Обращаясь
к рис. 25.1, на котором
представлено образование
профиля френелевой
поверхности, видим, что эти
радиусы будут равны:
")
уА = V 2r0Az\
у2 = / 2г02Дг, ..
., у0 = jf2r0NAz
(25.4)
Рис. 25.2. Экранирование френелевой
поверхности
ИЛИ
f/i = У J YN\ Уг = Уо/2/tf, ... , yk = у0 fklN. (25.5)
Процесс экранирования от френелевой поверхности может быть
схематически представлен как экранирование от системы
цилиндрических колец с высотой Дг и с радиусами, равными ylt у2> ...
-••» Ук> •••> Уо-
Рассмотрим экранирование от одного кольца, представленное
на рис. 25.2 в двух проекциях, — в меридиональной плоскости
(рис. 25.2, а) и в плоскости, перпендикулярной к оси системы
336
(рис. 25.2, б). Наклонный пучок лучей составляет с осью системы
полевой угол со.
При длине кольца Дг произойдет экранирование в
меридиональной плоскости, равное Ау, которое может быть определено
по формуле
Ay = Az tg со. (25.6)
Обращая внимание на то, что экранирование создается
сдвигом двух окружностей радиуса, равного ук, нетрудно определить
площадь отверстия, экранируемую одним кольцом
ADk = 2yk2Ay = 4ykAz tg со. (25.7)
Суммируя экранирование по всему отверстию, находим
k=N k=*N
D= Ц ADh = 4 tg со %yk Azk. (25.8)
Так как в этом случае величина Azk принималась постоянной,
то, пользуясь формулами (25.2) и (25.5), получаем
k=N
D = 4tgaH/0-^-2 Ylf- (25-9)
Площадь отверстия до экранирования была равна
D0 = nyl (25.10)
Составляя отношение выражений (25.9) и (25.10), определяем
функцию экранирования френелевои поверхности в зависимости
от полевого угла
"«-fc-aW-IW <25-">
Отношение 2 \Z~klNV~N можно представить в виде
^?-W^+VJ+-+V^¦¦¦+'). №«>
откуда следует, что эта сумма должна лежать в пределах между
1/|/77 и единицей, т. е.
1 Е Vk
1—<^"< I. (25.13)
Vn nVn
Таким образом, функция экранирования не должна выходить
из пределов
2j^tp_ ^ 2^?^в (25И
337
В частном случае десяти кольцевых зон выражение (25.12)
становится равным 0,7105; соответственно функция
экранирования определится по формуле
/?(©) = 0,9z0 tg (о/(/0.
Задавая полевой угол со = 30°, получаем
F (со) = 0,52z0/#0;
при zQ = 10 мм и у0 = 50 мм функция экранирования принимает
значение F (со) ж 0,1.
Рис. 25.3. Смежные зоны
френелевой поверхности
Заметим, что величина геометрического экранирования может
быть существенно уменьшена, если экранирующие границы
раздела соседних зон будут иметь коническую форму с углом конуса,
определяемым некоторым промежуточным полевым углом.
Образование френелевой поверхности. Из различных приемов
образования френелевых поверхностей первоначально
рассмотрим формирование ее за счет сдвига кольцевых зон (поясов)
исходной сферической поверхности.
Обращаясь к макросферам, ограничивающим френелеву
поверхность, можно условиться называть одну из них, касательную
к вершине центрального элемента исходной сферы, главной
макросферой.
Радиус главной макросферы R может быть связан с радиусом г0
центрального элемента следующими неравенствами:
R > г0 > 0 и R < 0 при г0 > 0;
0 > r0 > R и R > 0 при г0 < 0.
Радиус второй макросферы — макросферы впадин — может
быть выражен через радиус R главной макросферы:
R' = R — AR. (25.16)
338
Величину А/? можно рассматривать в первом приближении
как высоту гребешков френелевои поверхности г0 : N.
Обратимся к рис. 25.3, на котором представлены две
смежные зоны френелевои поверхности, сдвинутые относительно друг
друга на величину Д<4, равную изменению толщины dh
предшествовавшей зоны френелевои поверхности.
Высоту внешней границы &-го кольца h'k примем равной
высоте hk+1 внутренней границы (k + 1)-го кольца, т. е.
Л*+1 =hk. (25.16)
Для возможности расчета хода лучей через френелевые
поверхности необходимо определять положение вершины поверхности
каждой кольцевой зоны, в которой будет происходить встреча
луча с поверхностью.
Поэтому, пользуясь обычными формулами для расчета хода
лучей и подставляя в них вместо радиуса поверхности радиус
главной макросферы, можно определить высоту /г* на главной
макросфере и, следовательно, номер кольцевой зоны френелевои
поверхности.
Для всех зон френелевои поверхности можно заранее
определить высоты hk и h'k, разделяющие эти зоны. Тогда, взяв
ближайшую большую из этих высот по отношению к высоте луча на
главной макросфере А*, можно вычислить изменение расстояния по
оси между вершиной макропрофиля и вершиной профиля
рассматриваемой зоны ds% 0, т. е.
&d3 =dSyk+l — dSi0. (25.17)
Это расстояние будет равно разности стрелок макропрофиля
и профиля зоны френелевои поверхности:
Ad. = я*+1 - Ьл+1, (25.18)
или, если воспользоваться выражениями для стрелок,
Ads = R - г - }/~R2 - А2+1 + У г2 - hl+i ; (25.19)
при этом должна быть изменена и последующая толщина на
величину
Ms+U0 = -&ds. (25-2°)
После определения толщин расчет хода лучей через
рассматриваемую зону френелевои поверхности может быть продолжен
по обычным формулам.
Подобный прием расчета довольно громоздок и неудобен;
поэтому в ряде случаев можно воспользоваться более простым
приемом, предполагая, что просчитываемый луч всегда
попадает либо на вершину, либо на впадину френелевои поверхности.
Конечно, тогда будет иметь место некоторое расхождение между
определяемыми и истинными аберрациями, но это может быть
оправдано следующими соображениями.
339
Поскольку аберрации френелевой поверхности (как и сама
поверхность) будут обладать точками разрыва, возникающими
при попадании лучей на вершины или на впадины френелевой
поверхности, то соединяя эти точки друг с другом, получаем пару
кривых, ограничивающих собою отрезки аберрационных кривых,
аналогично тому, как макроповерхности ограничивали профиль
френелевой поверхности. Поэтому, полагая, что рассматриваемый
луч всегда попадает либо на вершину, либо на впадину
френелевой поверхности, определяем после его просчета через всю
остальную часть системы точки кривых, ограничивающих собою отрезки
аберрационных кривых.
Пользуясь этим приемом и исходя из рис. 25.4, можно
связать угол е луча с нормалью к той или иной зоне френелевой
поверхности с углом Е, об-
-Е Г^К/' разуемым тем же лучом с
нормалью к
макропрофилю.
Согласно рисунку,
имеем
h = R sin у = г sin ф.
(25.21)
Угол у может быть
определен как разность углов а
и Е, связанных между
собою формулами:
R sin Е = q sin а; у = а — Е. (25.22)
Далее определяется угол q> по формуле
sin ф = R sin у/г (25.23)
и через него угол
е = а — ф. (25.24)
Затем могут быть найдены углы е' и а' по формулам:
п' sin е' = п sin е; а' = е' — е + а (25.25)
Рис. 25.4. К выводу упрощенных формул для
расчета хода луча через френелеву
поверхность
и, наконец, отрезок
Я =
nq sin о
п' sin а'
(25.26)
Целесообразно сразу же сделать подобный переход и через
вторую поверхность с радиусом, равным /?'.
Сферическая аберрация френелевой поверхности. Используя
приближенную формулу для сферической аберрации сферической
преломляющей поверхности, принимаемой нами за исходную
поверхность, можно определить сферическую аберрацию плоско-
340
выпуклой линзы, обращенной плоской стороной к предмету,
расположенному в бесконечности, т. е.
Asin = =-g- = ^-7-. (25.27)
2r 2(n-l)2/0 v '
Стрелку а сферической поверхности при диаметре, равном 2/i,
находим по приближенной формуле
а = h2/2r.
(25.28)
При переходе к френелевой поверхности толщина линзы для
каждой из ее зон будет последовательно уменьшена на выбран-
*;
*)
*Л
]S
«
1
%Л
\\\
¦As'
As'
Рис. 25.5. Плосковыпуклая френе-
лева линза (а) и график ее
сферической аберрации (б)
ную величину гребешка, равную стрелке а. Благодаря этому будет
происходить смещение участков кривой продольной сферической
аберрации так же на величину стрелки. Таким образом, получаем
или
As'iii = —
яяЛя
2(я-
As'n, = As!,, — а, (25.29)
-5-r Н 7 = — К ( п*-п+\ \ (25.30>
1)2/() ^2(n-l)/0 2/0 Ua-2«+J"
График продольной сферической аберрации для
плосковыпуклой френелевой линзы представлен на рис. 25.5. На этом графике
пунктиром показаны сферическая аберрация для отдельных зон,
а также кривые, ограничивающие собою отрезки продольной
сферической аберрации линзы с френелевой поверхностью.
Для сопоставления сферической аберрации такой линзы с
френелевой поверхностью и сферической аберрации исходной плоско-
выпуклой линзы можно в формуле (25.30) вынести за скобку мно-
341
h?
житель 2/- (п—1)2- Тогда после несложных преобразований
получим
As
III
As
in
/г2 — n + 1 __ 1 1 . 1
n2 n "+" m2 •
(25.31)
z*,z5f4s
Из формулы (25.31) следует, что при сохранении исходного
профиля в виде сферы уменьшение сферической аберрации при
переходе к френелевой поверхности получается не очень
значительным, что нетрудно
заметить также из графика,
представленного на рис. 25.5.
Образование френелевой
поверхности, как уже
отмечалось, может
осуществляться различными способами.
Так, можно не сохранять
неизменным радиус кривизны
для всех зон френелевой
поверхности; в частности,
можно сделать поверхности этих
зон концентричными друг
другу с общим центром
кривизны, расположенным на
оси системы (рис. 25.6).
Для суждения о действии
подобной френелевой
поверхности можно ограничиться
сопоставлением сферической
аберрации для краевой и центральной зон, учитывая в качестве
остаточной сферической аберрации для краевой зоны расстояние
от точки изображения центральной зоны в параксиальной области
до точки, в которой апертурный луч будет пересекать ось системы.
Из рис. 25.6 следует, что за сферическую аберрацию As' можно
принимать разность отрезков q0 и q до общего центра всех
участков повер хности.
Полагая последний отрезок q0 центральной зоны равным
200,0 мм, а показатель преломления линзы п = 1,5163, получаем
радиус г0 = —103,26.
Для краевой зоны принимаем h = 20,0. Тогда радиус кривизны
для краевой зоны может быть определен по формуле
г = r0/cos ф = r0/cos со, (25.32)
где угол со может быть найден через его тангенс
tg о = h/r0. (25.33)
Просчитывая ход луча, находим расстояние qr до центра С
от точки пересечения луча с осью: q' = —300,286.
342
Рис. 25.6. Фремелева поверхность с
концентрическими зонами
Для центральной зоны в параксиальной области имеем q'o =
= —303,260; тогда сферическая аберрация для краевой зоны
As' = q'o — q =—2,974.
Сферическая аберрация AsJu для плосковыпуклой линзы
того же фокусного расстояния значительно больше и составляет
Asn, =—8,775.
Таким образом, переход к френелевой поверхности в этом
случае уменьшает сферическую аберрацию почти втрое.
В качестве исходного профиля можно воспользоваться и
какой-либо несферической поверхностью. Так, выбирая
параболическую поверхность и сохраняя неизменными фокусное
расстояние и показатель преломления, можно вычислить ее
сферическую аберрацию для крайней высоты h = 20,0.
Для параболической поверхности расстояние от проекции
точки прелохмления луча на ось системы до точки его пересечения
с осью должно быть равным высоте, деленной на тангенс выходного
апертурного луча. Тогда можно написать
S'=A/tga'. (25.34)
При совмещении с макроплоскостью вершины центральной
зоны получаем расстояние, которое и надлежит сопоставлять
с последним отрезком в параксиальной области.
Таким образом, сферическая аберрация для краевой зоны
определится как разность этих двух отрезков
As" == s — so- (25.35)
Численно, получая отрезок s' равным 197,026, находим
значение сферической аберрации — 2,974. Оно в точности
соответствует величине сферической аберрации для френелевой
поверхности с концентричными зонами. Такое совпадение не случайно
и обусловлено тем, что сагиттальные радиусы кривизны для
параболической поверхности определяются по той же самой
формуле, что и для случая концентричности зон.
Нетрудно представить, что для полного устранения
сферической аберрации френелевой линзы с плоским макропрофилем
в качестве исходного профиля потребуется использовать
гиперболическую поверхность.
Известно, что для достижения минимальной сферической
аберрации в одиночных линзах прибегают к плосковыпуклой
форме со сферической поверхностью, которая обращена к
предмету, расположенному в бесконечности. Однако при переходе от
сферической поверхности к ступенчатой происходит не
уменьшение сферической аберрации, а наоборот, ее увеличение. Подобная
френелева линза с графиком ее сферической аберрации
представлена на рис. 25.7.
343
Тем не менее, используя исходную линзу с минимумом
сферической аберрации, можно добиться существенного
уменьшения ее сферической аберрации, если ступенчатой поверхностью
сделать не сферическую, а плоскую поверхность. Ступени такой
линзы будут ограничиваться плоскими поверхностями. График
Рис. 25.7. Линза с передней
френелевои и задней плоской поверхностью (а)
и график ее сферической аберрации (б)
сферической аберрации анаберрационной френелевои линзы
вместе с ее схемой приведен на рис. 25.8.
Во всех вышерассмотренных примерах сагиттальный радиус
кривизны определял направление нормали в кольцевой зоне
френелевои поверхности; роль меридионального радиуса кривизны
Asr
Рис. 25.8. Анаберрационная френелева
линза (а) и график ее сферической
аберрации (б)
пока не затрагивали. Вместе с тем меридиональному радиусу
кривизны могут придаваться различные значения, в частности он
может быть равен бесконечности. В этом случае все зоны
френелевои поверхности окажутся ограниченными коническими
поверхностями. Совершенно очевидно, что тогда в меридиональной
плоскости каждая из конических зон будет лишь отклонять
параллельные пучки лучей, не изменяя их ширины; вследствие этого
344
геометрические кружки рассеяния для каждой зоны будут равны
их ширине.
Для уменьшения кружков рассеяния иногда стремятся
использовать очень малую ширину отдельных зон френелевой линзы.
Однако, учитывая волновую природу света, представляется
целесообразным выбирать ширину зон с таким расчетом, чтобы
расхождение между плоской и сферической формой волновых
поверхностей не превосходило 0,1—0,25 длины световой волны.
Так, при ширине зоны, равной 0,4 мм, и расстоянии до точки
изображения 200 мм волновая аберрация для параллельного
пучка лучей получается равной 0,0001 мм, т. е. 1/6Х. Таким
образом, дальнейшее уменьшение ширины зон становится
бесполезным.
Полевые аберрации френелевых поверхностей. Выше
отмечалось, что главное внимание при использовании френелевых линз
уделялось устранению сферической аберрации; полевые
аберрации обычно во внимание не принимались. Вместе с тем френелевы
линзы не свободны от полевых аберраций — комы и астигматизма.
Рассмотрим кому френелевой линзы с плоской передней
поверхностью, полагая, что ее сферическая аберрация устранена.
Для этого проследим отклонение параллельного пучка лучей,
идущего наклонно к оси линзы.
При преломлении всех лучей пучка на первой плоской
поверхности будет происходить одинаковое их отклонение,
определяемое законом преломления. Отклонения же лучей на отдельных
зонах второй поверхности будут различаться вследствие того,
что лучи будут составлять различные углы с нормалями к этим
зонам.
Обращаясь к закону преломления, нетрудно получить угловое-
увеличение для отдельных зон френелевой поверхности.
Дифференцируя выражение закона преломления, получаем
п" cos е" de" = ri cos е' de', (25.36)
откуда найдем угловое увеличение второй поверхности
И72== ?1 = 4^4. (25.37)
* йг п cos 8 v '
Угловое увеличение первой поверхности может быть
определено по формуле
*»=*?—?• <25-38>
Тогда для общего увеличения обеих поверхностей получаем
W = WtWt = g- = ^f > 1, (25.39)
так как п = п" = 1.
345
Поскольку расстояние от отдельных зон до точки общего
фокуса выражается формулой
s =s'Q/coso'y (25.40)
то, переходя к лучам, наклонным к оси линзы, получаем
различные расстояния от оси до краевых лучей по отношению к
главному лучу, проходящему через вершину центральной
поверхности, т. е. получаем кому.
Обращаясь к рассмотренной выше френелевой поверхности,
образованной из сферической передней поверхности (см. рис. 25.7),
замечаем, что расстояния от отдельных зон до точки общего фокуса
будут более или менее равными; что же касается углового
увеличения, то отдельные элементы рассматриваемой поверхности
будут работать как отклоняющие призмы в минимуме угла
отклонения, и поэтому угловое увеличение для всех зон будет
сохраняться близким к единице. Тогда нетрудно сделать вывод, что
в этом случае при переходе к наклонному пучку лучей величина
изображения для всех лучей пучка будет сохраняться примерно
постоянной, следствием чего явится отсутствие (или малая
величина) комы.
Возвращаясь к френелевой поверхности с плоской
макроповерхностью и концентричными друг другу зонами (см. рис. 25.6)
и полагая зрачок совмещенным с общим центром этих зон,
приходим к выводу, что главные лучи будут совпадать с нормалями
к кольцевым зонам; следовательно, астигматизм для всех зон
френелевой поверхности будет отсутствовать.
При соблюдении концентричности радиусы кольцевых зон
будут связаны с радиусом г0 центральной зоны через угол <р
нормали с оптической осью. Таким образом, можно написать
г = /-q/cos ф = Го/cos со. (25.41)
Совершенно очевидно, что тогда отрезки s' и f после каждой
из зон френелевой поверхности будут равными друг другу и могут
быть определены по формуле
s' = t' = Ц--т й = —^-, (25.42)
п — 1 (п — 1) COS со COS со ' v '
откуда находим расстояния от центра выходного зрачка вдоль
главных лучей до точек изображения
s'-r=^ ^_ = f^o 25>43)
COS СО COS со COS со v '
Из формулы (25.43) следует, что ступенчатая поверхность
изображения будет ограничиваться макроплоскостью общего
изображения. Все элементы такой ступенчатой поверхности
изображения будут свободны от астигматизма; таким образом,
рассмотренная френелева поверхность, имея оптическую силу, не
346
равную нулю, будет одновременно свободна от кривизны поля
и астигматизма, что равнозначно несоблюдению условия Пет-
цваля.
График кривизны поля френелевой поверхности с
концентричными зонами представлен справа на рис. 25.6 в виде
совпадающих кривых zt и г8.
25.2. Градиентная оптика
Большой практический интерес представляет цилиндрический
стержень с показателем преломления, изменяющимся в
зависимости от расстояния рассматриваемого элемента от оси
оптической системы.
Такого рода градиентные стержни — граданы — могут играть
роль объектива, а также телескопической или оборачивающей
систем.
Анализируя работу градана, можно исходить или из заданного
закона изменения показателя преломления, или, наоборот, из
заданной траектории луча и в зависимости от этой траектории
находить зависимость показателя преломления от расстояния
от оси системы.
Так, задавая траекторию луча в виде синусоиды, можно
написать
y = yasto-j2, (25.44)
где уа — амплитуда траектории; L — длина волны (траектории);
z — абсцисса.
Дифференцируя уравнение (25.44), находим тангенс угла сг
касательной с осью градана
-М- = - tga = уа — cos — = —, (25.45)
где угол а может рассматриваться как угол между элементом
траектории и нормалью к прямой, параллельной оси абсцисс.
Так как для ряда параллельных прямых, пересекаемых
траекторией луча, должно сохраняться постоянным произведение
синуса угла а и показателя преломления, то можно написать
п cos a = const = п0 cos a0 = nay (25.46)
где na — показатель преломления в вершине траектории,
соответствующей расстоянию уа от оси.
Возводя (25.44) и (25.45) в квадрат и складывая, находим
^ = ^+(<ЕЫа- (25'47)
При пересечении траектории луча с осью величина у
обращается в нуль, и тогда угол е принимает значение е0. Соответ-
347
ственно и угол а переходит в угол а0; углы а и е дополняют друг
друга до 90°.
Таким образом, можно написать
п sin е = п0 sin е0 = па = п cos о = я0 cos а0. (25.48)
Величина 1/tg2 е может быть выражена через cos а
-т4— = -Д 1, (25.49)
tg2 8 COS2 О f V '
что позволяет переписать формулу (25.47) в виде
А = *+Ш'(тзЬ-1)- <25-50>
Полагая у = 0, определяем величину #а:
и тогда
или
^ \2п J \ cos2 а0 cos2 а / К • )
^=(^У^Л ??!!М (25.53)
^ V 2я / cos2 о0 V cos2 а / • v
Пользуясь формулой (25.48), окончательно получаем
'-(?)¦&?-(-!?=-) «-«¦>• <25-5<>
откуда следует, что показатель преломления п связан с
расстоянием у от оси системы уравнением второй степени, т. е.
параболической зависимостью.
Эту зависимость можно представить также в следующем виде:
п> = 4-(^)2уУа; nl = ni-^yyina]
п2 = п20- ^у у2^ cos2 (j0. (25.55)
Напишем полученное выражение для другой траектории луча,
вершины которой будут отстоять от оси на расстояние уг Ф уа.
Для такой траектории должен существовать и другой угол ог
при ее пересечении с осью системы. Показатель преломления на
расстоянии ух примем равным пг. Тогда, согласно последнему
выражению (25.55), можно написать
п\ = п20 - ( ^fy\nl cos2 аи (25.56)
348
но при этом также должно иметь место равенство
п\ = п\ _ (-^у y\nl cos2 g0. (25.57)
Из формул (25.56) и (25.57) следует равенство коэффициентов
(-~^)2 cos2а, = (-^)2 cos2a0, (25.58)
что возможно лишь в том случае, когда
COS Ox cos о0
Ll - L • <25-59>
Таким образом, для второй траектории должна существовать
и другая длина волны
L ?osoLL (2560)
1 cos а0 '
При переходе траектории в параксиальную область угол аг
становится равным нулю, а длина волны траектории Lx перейдет
в длину нулевой траектории; тогда получим
L0 = ——. (25.61)
и cos о х '
Составляя разность
L — L0= (cos а0 — 1) L0 = As', (25.62)
находим продольную сферическую аберрацию градана.
Вершины траектории луча можно рассматривать как
вершины предмета и изображения в меридиональной плоскости;
тогда расхождение в длине волны для реальной траектории и
траектории в параксиальной области определяет собой
меридиональную кривизну поля
г% = L — L0 = (cos о0 — 1) L0. (25.63)
Обратимся к численному примеру. Полагая показатель
преломления на оси градана п0 = 1,613 (стекло марки ТК14) и синус
апертурного угла в стекле sin а0 = 0,1, находим
As' = (0,995 — 1) L0 = —0,005L0.
Если при этом принять расстояние до вершины траектории
уа = 1 мм, то тогда, согласно формуле (25.51), находим длину
волны траектории
L = 2jt/tg а0 = 62,832 мм.
Далее можно определить показатель преломления на
расстоянии уа от оси
п = ]Л^о — 0,01 -0,9952 = 1,60993.
Значение сферической аберрации такого градана получается
As' = —0,314 мм.
349
Для сопоставления определим сферическую аберрацию
оптической системы, составленной из стержневидных линз при
сохранении ее оптических характеристик неизменными.
Для получения неперевернутого изображения в подобной
системе потребуется иметь две оборачивающие системы. Строя
линзы системы из того же самого стекла марки ТК14, получаем
систему из трех концентричных и двух полусферических линз.
Полагая радиусы всех линз равными 6,13 мм, длины линз —
12,26 мм и воздушные промежутки — 3,87 мм, получаем длину
всей системы равной 64,52 мм, что примерно соответствует длине
рассмотренного выше градана.
Сферическая аберрация такой стержневой системы для апер-
турного угла в стекле, равного 0,1, составит — 0,547 мм.
25.3. Волоконная оптика
Своеобразными конструктивными элементами, используемыми
в некоторых оптических системах, являются волоконный жгут
или волоконная планшайба, принимающие изображение и
переносящие его поэлементно.
С помощью волоконного жгута изображение может
переноситься на значительные расстояния и свободно изменять свою
ориентировку в пространстве, как по направлению, так и в
отношении оборачивания.
Волоконные планшайбы позволяют в известных пределах
изменять масштаб изображения, т. е. увеличение.
Посредством волоконной оптики удается производить
преобразования изображения, не достижимые с помощью классической
оптики, например преобразовывать прямолинейную строку в
криволинейную и т. п.
Общей для всех видов волоконной оптики
(волоконно-оптических элементов) является задача переноса световой энергии,
воспринимаемой через входной торец единичного волокна, на его
выходной торец с возможно меньшими потерями как за счет утечки
световой энергии через стенки волокна, так и за счет поглощения
света в самом волокне.
Выход света через боковую поверхность волокна может
привести к нежелательному явлению — попаданию света в соседние
волокна, вследствие чего произойдет потеря контраста
изображения и падение разрешающей способности.
Перейдем к непосредственному рассмотрению работы
волоконной оптики, т. е. процессу переноса светового потока по
волокну — световоду.
Простейший световод — трубка с внутренней зеркальной
поверхностью, показанная на рис. 25.9, а. Нетрудно представить,
что свет, проникший в такой световод под некоторым углом к его
оси, будет вынужден отражаться то от одной, то от другой стенки
трубки аналогично отражениям от пары параллельных зеркал.
350
Зеркальная трубка может быть заменена стеклянным
стержнем цилиндрической формы; в этом случае отражение светового
потока от поверхности цилиндра должно обеспечиваться явлением
полного внутреннего отражения.
Выполняя стеклянные световоды из тонких стеклянных
нитей — гибких световодов — и обеспечивая их регулярную
укладку, получаем принципиальную возможность поэлементной
передачи изображения по пакету таких световодов —
волоконному жгуту.
Однако при создании волоконного жгута из таких волокон
возможна утечка световой энергии при контакте смежных воло-
Рис. 25.9. Ход луча в световоде
кон друг с другом, что, как уже отмечалось, влечет потерю
контраста изображения и разрешающей способности.
Во избежание этого и в целях обеспечения спекания волокон
на обоих концах жгута (что необходимо для сохранения
регулярности расположения волокон) используют волокна с тонкой
оболочкой из стекла с меньшим показателем преломления, чем у
основной части волокна.
Рассмотрим процесс полного внутреннего отражения на
границе раздела сердцевины волокна и оболочки. Для этого
обратимся к рис. 25.9, б, на котором представлен входной торец
волокна с показателем преломления его центральной части,
равным п, и с показателем преломления оболочки, равным п'.
Тогда для обеспечения возможности полного внутреннего
отражения на этой границе необходимо, чтобы синус угла между
нормалью и лучом был бы больше или равен отношению
показателей преломления:
sin е2 > п'/п. (25.64)
Угол е2 нетрудно связать с углом el, образуемым тем же лучом
с нормалью к торцу волокна. Тогда получаем
sin el = cos е2 = у 1 — п In . (25.65)
Далее легко определяется входной угол луча
sin ei = п sin ei = у п2 — п'\ (25.66)
351
Полагая численно п = 1,6 и п' = 1,5, находим
sin в, = /2,56 - 2,25 = /ОЖ = 0,556776,
что соответствует входному углу ех около 33,8°.
Таким образом, нетрудно прийти к выводу, что для наиболее
полного использования возможностей передачи световой энергии
по волокну — световоду следует использовать оптические
системы, подающие изображение на входной торец волоконного
со,° ш,° со=-15°
Рис. 25.10. Объектив с волоконным световодом
жгута, которые имеют выходную апертуру порядка 0,5, что
соответствует относительному отверстию примерно 1 : 1,0.
При сочетании с волоконным жгутом широкоугольных
объективов с большими угловыми полями (свыше 65°) в пространстве
изображений возникает возможность перехода светового потока
из одного волокна в другие.
Придавая торцу жгута сферическую форму, представляется
возможным принимать неплоские изображения и тем самым
компенсировать остаточную кривизну поверхности изображения
объектива; совершенно очевидно, что решение этой задачи будет
ограничиваться указанной выше величиной углового поля в 65°,
если только оси волокон у торца жгута будут оставаться
параллельными друг другу.
Такое ограничение воспринимаемых угловых полей будет
еще больше, если и выходная апертура будет достаточно велика.
Так, если объектив обладает относительным отверстием 1 : 1,1,
т. е. выходной апертурой sin а' = 0,45, что соответствует углу
а' = 27°, то возможная величина принимаемого углового поля
будет ограничена углом 2со = 30°.
352
Из вышеизложенного следует, что для более правильного
использования возможностей волоконного жгута целесообразно
применять оптические системы с телецентрическим ходом лучей
в пространстве изображений. Это обстоятельство еще более сужает
возможность использования существующих объективов.
Однако, применяя объективы с неплоским полем зрения и учи*
тывая возможность передачи по волокну изображений с
неисправленным хроматизмом увеличения, представляется удобным
использовать схему объектива, составленного из склеенного из двух
линз тонкого компонента и конфокальной линзы.
Действительно, конфокальная поверхность не вносит ни
хроматизма положения, ни сферической аберрации, ни комы и создает
положительную меридиональную кривизну поля, с помощью
которой происходит компенсация астигматизма тонкого
компонента, совмещенного с входным зрачком и одновременно
обеспечивается телецентрический ход лучей, а также повышение в п раз
выходной апертуры. Таким образом, сочетание тонкого компонента
с конфокальной линзой приводит к созданию очень простого
объектива, специально предназначаемого для работы с
волоконным жгутом.
В качестве примера на рис. 25.10 приведены схема и графики
аберраций подобного объектива.
25.4. Фоконы
К числу волоконно-оптических элементов, предназначенных
для переноса изображения, принадлежат так называемые
фоконы — волоконные планшайбы с волокнами, имеющими
коническую форму.
Фоконы в отличие от обычных волоконных жгутов,
обладающих увеличением, равным единице, способны создавать
увеличения больше или меньше единицы.
В тех случаях, когда фокон работает с увеличением больше
единицы, никаких особенностей не наблюдается. Поэтому
рассмотрим работу фокона при увеличении меньше единицы.
Обращаясь к развертке фокона, представленной на рис. 25.11,
видим, что луч, пересекавший ось элемента под некоторым
углом а, после N отражений встретится с нормалью к (N + 1)-й
поверхности под углом е, величина которого будет связана с
углом у элемента фокона и углом а формулой
90° - в = а + Ny - 7/2, (25.67)
откуда определится угол
е = 90° — (N — 1/2) у — о. (25.68)
Если показатель преломления сердцевины волокна фокона
равен п, а оболочки — п' = п — Дя, то для избежания перехода
света из одного элемента в другие необходимо, чтобы на поверх-
35а
ности отражения имело бы место полное внутреннее отражение,
определяемое неравенством
п sin е > п — Дм. (25.69)
Поэтому, обращаясь к формуле (25.68), получаем
sin е = cos [а + (N — 1/2) у] > 1 — Ал/л. (25.70)
В частном случае, когда угол
<т = 0 и в элемент фокона входит
пучок лучей параллельно оси
элемента, имеем
sin б0 = cos (Л/ — 1/2) у > 1 — Ал/л,
(25.71)
откуда может быть определен
угол у.
Численно, полагая п = 1,6 и
/г' = 1,5, находим
cos [а+ (N — 1/2) у] > 1 —
— А/г/л = 0,9375,
и тогда угол (90° — б) будет равен
а + (N — 1/2) у = 20°,364.
В этот угол входят угол а луча с осью элемента фокона и
угол у самого элемента при вершине.
Полагая угол а = 0 и число отражений на стенках фокона
N = 10, определяем наибольший возможный угол у = Г,93944,
т. е. около двух градусов.
Совершенно очевидно, что при переходе к соседним элементам
фокона необходимо учитывать поворот осей элементов, который
следует включать в изменение угла а луча.
Рис. 25.11. Развертка элемента
фокона
Глава 26
НЕЦЕНТРИРОВАННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
26.1. Нецентрированные аберрации
В практике оптического приборостроения приходится
встречаться с оптическими системами, в которых отсутствует круговая
симметрия — центрированность вокруг оптической оси.
Подобного рода системы можно разделить на следующие группы.
1. Системы с двумя взаимно перпендикулярными плоскостями
симметрии. Они решают задачи получения анаморфотного
изображения и достаточно широко распространены в области
широкоэкранного кино.
354
2. Системы с сохранением одной плоскости симметрии, или
«кособокие» системы. Они используются в тех случаях, когда
во избежание экранирования необходимо вывести отраженные от
сферических зеркал лучи за счет наклона этих зеркал. Старейшим
примером подобного рода системы является система телескопа
Гершеля—Ломоносова.
3. Системы без сохранения плоскостей симметрии. К ним
принадлежат все оптические системы с нарушенной
центрировкой вследствие тех или иных причин, главным образом,
технологических.
Первые две группы систем характеризуются значительными
нарушениями центрированности; для третьей же группы децен-
трации незначительны, однако и в этой группе оптических систем
сталкиваемся с большими угловыми полями и апертурами.
Формально для нецентрированных систем можно было бы
ограничиться теорией аберраций второго порядка и получить все
зависимости второго порядка путем дифференцирования
соответственных формул из теории аберраций третьего порядка. Однако
такого рода подход мог бы привести к потере некоторых
нецентрированных аберраций; кроме того, могли бы остаться
неучтенными влияния значительных аберраций, наблюдаемых в тех
частях оптической системы, где происходит их взаимная
компенсация.
Рассматривая ранее примеры работы различных оптических
систем, видели, что для широких наклонных пучков лучей в
большинстве случаев представляется возможным ограничиться
аберрациями третьего порядка по апертуре; что же касается полевых
углов, то их влияние следует учитывать более строго.
Аберрации нецентрированной оптической системы можно
представить в виде функций от четырех переменных — апертурных и
полевых углов или высот на зрачке и величин предмета
(изображения) в направлениях обеих координатных осей. Кроме- того,
аберрации нецентрированной системы могут быть представлены
в волновой форме или в форме поперечных аберраций (не
исключаются, конечно, и другие виды представления — продольные
аберрации или коэффициенты аберраций).
Таким образом, для аберраций в волновой форме можно
написать
Al = Al(oyi аХ1 соу, (ox) = M(hy, hx> у, х). (26.1)
Переход к поперечным аберрациям может быть осуществлен
дифференцированием выражения (26.1) по апертурным углам
в частных производных:
_6g = ^; _6G' = |^ (26.2)
6 доу7 дох' v '
Нарушение ортоскопии — дисторсию — удобно отделить от
общего выражения нецентрированных аберраций. Тогда, ограни-
355
чиваясь в разложении дисторсии в степенной ряд третьими
степенями полевых углов или величин предмета (изображения),
можно написать:
да . да q ^'"9 Л'" 9 ж^ш Ч Л
в«Г = АуУ + Вуу2х + Суух2 + Dyx3', 1
6G = Axy3 + Bxy2x + Cxyx2 + Dxx3.]
Для дисторсии второго порядка получаем:
bg^Altf + Blyx + cy;
6G" = А'ху2 + в;#* + СУ
и для дисторсии первого порядка:
bg = ^# + fi^;
fiG' = Л^ + В^.
В случае существования симметрии относительно двух
взаимно перпендикулярных плоскостей при изменении знака
аргумента у не должно происходить изменения знака составляющей
дисторсии SG"' и, наоборот, при изменении знака аргумента х
не должно происходить изменения знака составляющей 6g"\
Таким образом, формулы (26.3) упрощаются и для дисторсии
третьего порядка получаем
б? =Л^3 + С^л:2; 6G =?^2х + 0,л:3; (26.6)
соответственно для дисторсии второго порядка
6g" = 0; 8G" = 0 (26.7)
и для дисторсии первого порядка
8g = Ауу\ 6G' = В[х. (26.8)
В первую формулу (26.6) в общем случае входит
центрированная дисторсия третьего порядка, которая может быть
представлена в виде
в«Ь = W2 + 6G"'2 = A" (VTWY. (26.9)
или
~ да2 да2 _ ^ да2 да2 / о о \ -а
б?о = б? +SG =Л (/+jc2)3. (26.10)
Возводя в квадрат оба выражения (26.6) и складывая их,
находим
«*;"=б/'2+6G"2 = а;У + (2а;с;+вГ) *v+
+ « + 2БХ")А4 + оГЛ (26.11)
Развертывая выражение (26.10), получаем
6go = А '"{у6 + Зу'х2 + Зг/Y + л:6). (26.12)
356
(26.4;
(26.5)
Формулы (26.11) и (26.12) позволяют исключить из выражения
нецентрированной дисторсии центрированную дисторсию и
сделать один из коэффициентов, например коэффициент Dx, равным
нулю. Совершенно очевидно, что подобное исключение
центрированной дисторсии может быть сделано и в самом общем случае
дисторсии у нецентрированной системы без плоскостей симметрии.
Обращаясь к системам, в которых сохраняется лишь одна
плоскость симметрии, например плоскость ZOY', формулы (26.3)—
(26.5) упрощаются в меньшей степени. Так, для дисторсии третьего
порядка получаем:
fig = Ауу + Суух ;
6G = Bxy2x + Cxyx2 + Dxxs;
(26.13)
для дисторсии второго порядка:
в/ = Ку2 + С"ух2\ 6G" = В"хух (26.14)
и для дисторсии первого порядка:
bg = А'уу\ 6G' = B>. (26.15)
Заметим, что для дисторсии первого порядка один из
коэффициентов может быть сделан равным нулю, если не учитывать
общего изменения масштаба изображения.
Перейдем к рассмотрению различных видов нецентрированной
дисторсии.
Дисторсия первого порядка для систем с одной и двумя
плоскостями симметрии всегда приводится к анаморфозе — разности
масштабов изображения по двум взаимно перпендикулярным
направлениям. В общем случае подобного рода нецентрирован-
ные системы могут иметь не равными нулю коэффициенты А'х
и Ву, что приведет к перекосу изображения; однако путем
соответственного поворота координатных осей дисторсия первого
порядка может быть всегда приведена к случаю чистой
анаморфозы.
Картина искажения изображения при наличии дисторсии
первого порядка представлена на рис. 26.1.
Точно так же в общем случае нецентрированных систем без
плоскостей симметрии посредством поворота координатных осей
может быть устранен и один из коэффициентов дисторсии второго
порядка, например коэффициент А'х. Тогда в формулах (26.4)
сохранятся пять независимых коэффициентов:
bg" = Ауу2 + В"уух + СУ\
Kf = Blyx + С J
Однако по своему воздействию на искажение изображения
коэффициенты А"у и С"у равнозначны и различаются лишь ориен-
2 , (26.16)
357
тировкой вносимых ими искажений. Также равнозначны по своему
характеру и коэффициенты В'у и В"х.
Рассматривая картины искажений, присущих этим
коэффициентам по отдельности, приходим к трем видам дисторсии
второго порядка. Так, коэффициенты А"у и Сх создают изменение
а) kY
Ю
*У
Рис. 26.1. Искажение изображения системы с одной
и двумя плоскостями симметрии при наличии дисторсии
первого порядка: а — перекос изображения; б —
разность масштабов по двум осям (анаморфоза)
масштаба вдоль направления координатных осей Y и X и могут
быть названы масштабной дисторсией. Коэффициент С"у создает
искривление линий и определяет параболическую дисторсию.
Коэффициенты В"х при произведениях ух нарушают на
изображении параллельность линий, бывших на предмете параллельными,
«)
1
J
0
—
У
-А
д
Рис. 26.2. Искажение изображения при наличии дисторсии второго порядка:
а — масштабная дисторсия; б — параболическая дисторсия; в — перспективная
дисторсия
и могут быть названы перспективной дисторсией. Заметим, что
сочетание масштабной и перспективной дисторсии в
определенном соотношении может быть приведено к перспективному
преобразованию изображения.
Эти три вида дисторсии второго порядка представлены на
рис. 26.2.
358
Переходя к рассмотрению дисторсии третьего порядка для
нецентрированной системы с одной плоскостью симметрии,
замечаем, что, согласно формулам (26.13), будет наблюдаться равно-
значность характера воздействия коэффициентов Ау и их и ко-
эффициентов Су и Вх.
Таким образом, приходим к трем видам дисторсии третьего
порядка для систем с одной плоскостью симметрии. Так,
коэффициент А'у создает масштабное искажение вдоль оси Y симметрич-
а) а/ Ю кУ б)
Рис. 26.3. Искажение изображения системы с одной плоскостью симметрии
при наличии дисторсии третьего порядка: а — масштабная дисторсия; б—панора-
мическая дисторсия; в — перспективная дисторсия
ного характера и может быть назван масштабной дисторсией
третьего порядка. Коэффициент Су дает искривление линий
с переменным значением радиуса кривизны, переходящим через
бесконечность и меняющим при этом свой знак при значении
у = 0. Дисторсия этого вида может быть названа панорамиче-
ской дисторсией третьего порядка; ее
сочетание с определенной величиной масштабной
дисторсии дает картину, соответствующую
панорамическому преобразованию
изображения. Коэффициент С"х может быть назван
перспективной дисторсией третьего порядка.
Виды этих искажений представлены на
рис. 26.3.
Обращаясь к общим формулам (26.3)
дисторсии нецентрированной системы без
плоскости симметрии, видим, что в них
существуют ЛИШЬ два коэффициента ОДНОГО И Рис. 26.4. Искажение
того же характера, ранее не рассмотренные; изображения при на-
г г * г г г » личии параболической
такими коэффициентами являются и у и Ах, дисторсии третьего по-
которые дают искривление прямых линий рядка
по кубической параболе, что характерно для
телевизионных изображений. Такого вида параболическая
дисторсия третьего порядка, определяемая коэффициентом D"y}
представлена на рис. 26.4.
359
26.2. Дисторсия при малых нарушениях центрировки
оптической системы
Возникновение нецентрированной дисторсии при нарушении
центрировки оптической системы становится ощутимым в тех
случаях, когда исправление центрированной дисторсии при
расчете оптической системы было выполнено достаточно тщательно;
в результате нецентрированная дисторсия может свести на нет
достигнутую при расчете ортоскопию системы в процессе ее
эксплуатации. Поэтому анализ характера возникающей
дисторсии, причин ее возникновения и возможности ее устранения
представляет большой практический интерес.
Нецентрированная дисторсия
может возникать вследствие
нескольких причин; однако наиболее
часто такой причиной является
нарушение центрировки оптичес-
Рис. 26.5. Децентрировка
двух частей оптической
системы
Рис. 26.6. Плоскость
промежуточного изображения де-
центрированной оптической
системы
кой системы в том пространстве, где на промежуточном
изображении имеется значительная центрированная дисторсия.
Обратимся к рис. 26.5, на котором представлены две части
оптической системы /и //, промежуточное изображение между
которыми обладает значительной относительной дисторсией А =
= Af/o •' Уо, присущей первой части системы.
Поступательно смещая вторую часть системы относительно
первой в направлении, перпендикулярном к исходной оси
системы, на некоторую малую величину а, получаем смещение всех
точек на одну и ту же величину а в плоскости промежуточного
изображения, которая является предметной плоскостью для
второй части системы.
Эта картина представлена на рис. 26.6, на котором показаны
вид плоскости промежуточного изображения и положение на ней
некоторой точки А[, полученной после первой системы при
наличии дисторсии Af/oi- На рисунке: У и X — координатные оси;
Лш — центральная точка изображения после первой части
системы; Л011—центр предметной плоскости второй части си-
360
стемы, смещенный на величину а в направлении оси Y по
отношению к точке /4oi. Расстояние а можно рассматривать как
элементарный предмет dy'o перед второй частью системы. Угол между
направлением на точку А\ из начала координат примем равным у.
Разлагая величину dy'o на меридиональную и сагиттальную
составляющие, можно написать:
dy't = dyl sin у; dys = dy'o cos y. (26.17)
Отрезки dy'Sf dy't и dy'o после второй части системы
преобразуются с соответствующими увеличениями Vq, V'i и VI. Таким
образом, можно написать:
dyo = Vl dyo, dy't = V\ dy\\ dy"s = V's dy]. (26.18)
Полагая, что вся система свободна от дисторсии, получаем
равенство
V0 = Vt = Vs = VoV'o = V'tV] = V'sVs = const, (26.19)
где Ко, Vt и Vs — увеличения всей системы, a Vo, Vt и V's —
соответственные увеличения первой ее части.
На основании формулы (26.19) запишем
к; = 4 = ^4^ = ^44 (26>20)
Vt V0df{y'u) °df(y'0) К '
И
Vs V0 f Ы f Ы)
где функция /' (у'о) выражает закон образования изображения
после первой части системы и может быть представлена в виде
/ Ы = yi> + Ajfo = уо + Луо + - • •, (26.22)
полагая, что характер дисторсии более или менее соответствует
кубической зависимости от величины неискаженного
изображения.
Дифференцируя формулу (26.22), находим
df (уо) = (I + ЗА уо) dyo = ( 1 + 3 ?? ) dy'o = (1 + ЗЛ) dy0\ (26.23)
тогда формулы (26.20) и (26.21) могут быть переписаны в виде:
^>ттк; ^-тта;' (26-24)
что позволяет выразить величины dy't и dyl через d#5 в
соответствии с формулами (26.17) и (26.18):
dtfo " dy0
dyt = i -f ЗА siny; rf^s = 1 Н-Д CQSV- (26.25)
361
Величина dyo выражает собою смещение центра изображения,
вызванное наличием децентрировки а. Исключая это смещение,
находим составляющие возникающей нецентрированнои дисторсии
Ау] == dy't — sin у dyo = ( зд— 1 1 sin v dyl « — 3aAVo sin у
(26.26)
Ay"s = dy's — cos у dyl = ( ! ¦ A 1) cos v dyl « — <яД Vo cos v.
(26.27)
Полагая угол y равным нулю и 90°, можно выделить
сагиттальную (или тангенциальную) составляющую дисторсии Ay"s
и меридиональную (или радиальную)
составляющую Kyi в плоскости
симметрии:
Ayl = — aAVl', Ay] = — ЗаЛУо.
(26.28)
Формулы (26.26) и 26.27)
показывают, что наличие децентрировки
а вызывает искажение изображения
окружности, концентричной центру
поля, в виде яйцеобразного овала,
представленного на рис. 26.7.
Обобщим полученный результат
на случай двух децентрировок.
Пользуясь формулами (26.26) и
(26.27), запишем:
Ау'а = — ЗД,Ко1 sin Yifli", Ay"s\ = — AiVoi cosyi^i; (26.29)
Ay'tu = —ЗДпКоп slnviiau; Д^п = — AhVoiiCOS Yii^ii- (26.30)
Направления обеих децентрировок могут составить друг с
другом произвольный угол х. Таким образом,
Yn= Yi + *; (26.31)
тогда меридиональные и сагиттальные составляющие
нецентрированнои дисторсии могут быть просуммированы друг с другом:
Ay't = Ayii+АУт =—3[AiKoiSinYiai + Дм Коп sin (Yi +x)anJ; )
Ayl = Ayli + Aysn = — [Ail/Jicosviai + ДпКоп cosfYi + и)ан]. j
(26.32)
Обозначая произведения постоянных величин:
A{VoiQi = Л; ДиКопан = В (26.33)
362
Рис. 26.7. Искажение
окружности при нарушении центрировки
оптической системы
и предполагая, что суммарная дисторсия будет носить такой же
характер, запишем:
by't = — 3 1Л sin 71 + S sin (71 + x)] = — 3C sin y\ ]
„ (26.34)
A#s = — [Л cos 71 -f- Scos(71 + к)\ = — С cos A,. J
Возводя оба выражения (26.34) в квадрат и складывая,
исключаем угол V- Тогда
С2 = [A sin уг + В sin (Vi + *)12 + И cos Vi + В cos (Yi + к)]2.
(26.35)
Разделяя формулы (26.34) друг на друга, исключаем
коэффициент С и находим тангенс угла у:
A sin vT -f- В sin CvT + х)
tgv-,cosvY;+Bcos;;;+,;. <2б.зв>
Если сделанное предположение о характере суммарной
дисторсии правильно, то коэффициент С должен быть величиной
постоянной. Раскрывая скобки в формуле (26.35), после
соответствующих преобразований действительно получаем
С2 - А2 + В2 + 2АВ cos х = const. (26.37)
Добавляя к двум децентрировкам третью и т. д., приходим
к выводу, что и для любого числа малых децентрировок должен
сохраняться один и тот же характер нецентрированной
дисторсии. Полученный результат позволяет охарактеризовать нецен-
трированную дисторсию векторной величиной. Поэтому, имея
в системе три децентрированных элемента, у которых ни один из
векторов нецентрированной дисторсии по своей величине не
превосходит суммы двух других векторов, представляется возможным
добиваться устранения нецентрированной дисторсии замыканием
векторного треугольника за счет соответственного разворота двух
децентрированных элементов относительно третьего.
26.3. Кома и астигматизм нецентрированной системы
Обращаясь к исходной формуле (26.1) для аберраций
нецентрированной системы и исключая из рассмотрения дисторсию,
можно, ограничиваясь аберрациями второго порядка, написать
следующее выражение для волновой аберрации:
А/ --= (Ауо2у + ВуОуох + Су02х) (йу + (Ахо2у + BxoyGx + C^l) со* +
+ A 'ol + Ва2уох + C'oyol + Dox. (26.38)
В этой формуле первые две группы членов (с круглыми
скобками) определяют собою астигматизм нецентрированной системы
второго порядка; третья группа членов — кому.
363
В случае наличия одной плоскости симметрии формула (26.38)
несколько упрощается:
ДI = (Ауо2у + Cyol) соу + BjjyOxux +AVy + C'oyol (26.39)
и, переходя к поперечным аберрациям, получаем:
— 8g = 2АуОу«)у + Вхахых + ЗА о* + С(&
— 8G' = 2Суох(Оу + ВхОуЫх + 2C'<tyj*.
(26.40)
Нетрудно видеть, что для комы второго порядка, постоянной
по полю зрения, будут существовать два независимых
коэффициента Л' и С".
Возникновение комы второго порядка можно проследить на
примере взаимного перекоса двух частей оптической системы,
в пространстве между которыми
наблюдается значительная сферическая
аберрация.
Обратимся к рис. 26.8, на
котором представлены две части
оптической системы, оси которых,
проходящие через одну и ту же
точку А промежуточного изображения,
Рис. 26.8. Случай излома оси си- наклонены друг к другу на некото-
стемы рыи угол у. С помощью этого угла
можно связать апертурные углы о{
после первой части системы и сгц того же самого апертурного луча
с осью второй части системы:
CJU = or! — y- (26.41)
Величину поперечной сферической аберрации 8g\ после
первой части системы можно, в первом приближении, принять равной
кубу апертурного угла 0\. Тогда
bg\ = Ао]. (26.42)
Для компенсации сферической аберрации после всей системы
сферическая аберрация второй ее части в обратном ходе лучей
должна быть равна по абсолютной величине сферической
аберрации первой части системы в прямом ходе и обратна по знаку.
Таким образом,
в?п = —6gJ = —Лап- (26.43)
При нарушении центрировки сферическая аберрация и первой,
и второй части системы сохраняется неизменной, поэтому при
суммировании сферической аберрации произойдет
рассогласование, выражаемое формулой
bg = 6g'i + 8gu = Aa'i - A (a,' - y)3> (26.44)
364
что дает после сокращений
6g = ЗАа'гу - ЗАо[у2 + Ау3 (26.45)
и, если угол у мал,
6/ = ЗАо'т'у = 3As|y. (26.46)
Формула (26.46) показывает, что возникшая вследствие
перекоса осей поперечная аберрация будет определяться второй
степенью апертурного угла и, следовательно, явится комой.
Заметим, что при поступательном смещении одной части
системы относительно другой возникновения комы не произойдет
ввиду постоянства по полю сферической аберрации третьего
порядка.
Перейдем к рассмотрению астигматизма второго порядка.
Обращаясь к формулам (26.40) и выделяя из них члены,
содержащие полевые углы со, получаем обе составляющие астигматизма
второго порядка:
- 6g' = 2Ау(х)уоу + Вх«>хох; J
— 6G' =2Су(йуох-\-Вх(х)хоу. J
В этих формулах для астигматизма будут существовать в
общем случае три независимых коэффициента Ау, Су и Вх. Два
первых коэффициента определяют астигматизм в плоскости
симметрии, который весьма напоминает астигматизм в области
аберраций третьего порядка. Однако изменение астигматизма по полю
будет происходить пропорционально первой степени полевого
угла со, и поэтому картина астигматического изображения при
переходе от верхней половины поля к нижней будет изменять
свой характер на обратный.
Находя положение астигматических линий — расстояния гц
и гх от координатной плоскости YOX — как отношения
поперечных аберраций к соответственным апертурным углам, можно
написать:
zy = *Jf- = -2AycDy; zx = ^ = -2Cy<»y. (26.48)
Для иллюстрации астигматизма второго порядка на рис. 26.9, а
показано изменение положения астигматических фокальных
линий в плоскости симметрии: пунктирная прямая Т — для гу и
сплошная S — для zx\ ata2 — двухгранная поверхность,
совмещенная в верхней части поля с изображением, принадлежащим
поверхности zxt а в нижней части — с изображением,
принадлежащим поверхности гу. Поэтому в верхней части поля будут
наблюдаться астигматические линии, направленные вдоль оси OY',
а в нижней они будут направлены перпендикулярно оси OY.
Рассматривая картину астигматизма в направлении,
перпендикулярном плоскости симметрии (вдоль оси ОХ), из формул
365
(26.47) видим, что при соу = 0 величина астигматизма при
изменении полевого угла юх будет определяться лишь одним
коэффициентом Вх. При этом составляющие поперечных аберраций $g'
и 8G' получаются перпендикулярными плоскостям апертурных
углов оу и ох.
Астигматические линии Т и S при перемещении точки
изображения вдоль оси ОХ будут ориентированы под углом 45° к
координатным осям (рис. 26.9, б). Положения точек, не лежащих ни
Рис. 26.9. Астигматизм второго порядка нецентрирован-
ной системы: а — в плоскости симметрии YOZ\ б — в
плоскости, перпендикулярной оси OZ
в плоскости YOZ, ни в плоскости XOZ, позволяют проследить
поворот астигматических линий как в верхней, так и в нижней
части поля.
Ранее отмечалось, что среди нецентрированных систем довольно
часто встречаются оптические системы с наклонными к оси
сферическими зеркалами, которые служат для устранения
экранирования. Поэтому рассмотрим подробнее аберрации наклонного
сферического зеркала.
С этой целью обратимся к рис. 26.10, на котором представлена
«развертка» сферического зеркала. В точке Л0 находится
предметная точка, расположенная на нормали к зеркалу и на
расстоянии so от его вершины; в точке Ло — ее изображение на
расстоянии s0 от вершины зеркала.
Проведем главный луч — наклонную ось — под углом со к
исходной оси. Восстанавливая в точках Ло и Ло перпендикуляры
к исходной оси, образуем на главном луче точки As и A'Sf которые
366
будут являться сагиттальными точками, расположенными на
расстояниях s и s' от вершины зеркала.
Отрезки s и s связываются с отрезками So и so формулами:
so = scosb; so = s cose . (26.49)
Опуская из точек Ло и А0 перпендикуляры на главный луч,
образуем на нем меридиональные точки А( и A't. Расстояния до
этих точек обозначим через t и f.
Отрезки t, s0 и s связаны между собой соотношением
t = sQ cos 8
(26.50)
Рис. 26.10. Астигматизм сферического зеркала
Согласно меридиональному и сагиттальному инвариантам
можно написать
1 1 2 COS 8 COS2 8 COS2 8
"7 Г~~~
t'
t
откуда получаем
COS2 8
(26.51)
(26.52)
Формулы (26.50) и (26.52) показывают, что для любых
значений отрезков s, / и $', t' между ними сохраняется одно и то же
соотношение, равное квадрату косинуса угла е = со, при условии,
что направления линий предмета и изображения будут
параллельными друг другу.
На отрезках s0 и So, как на диаметрах, можно построить
полуокружности, показанные на рис. 26.10 пунктиром. Нетрудно
видеть, что эти полуокружности являются геометрическими
местами расположения меридиональных точек предмета и
изображения At и At. Проводя через эти точки касательные к окружностям,
видим, что они не будут перпендикулярными к главному лучу;
угол наклона касательных будет равен углу наклона сагитталь-
367
ньтх линий предмета и изображения к главному лучу, но с
обратным знаком.
Равнонаклонность предмета и изображения может быть
распространена и на главные линии; тогда сагиттальные главные
линии будут касательными к вершине поверхности, а
меридиональные главные линии составят с ними угол, равный удвоенному
углу главного луча с нормалью.
В общем случае и предметные линии, и линии изображения
могут оказаться непараллельными главным линиям. Тогда,
пользуясь приемами трансформации изображения, нетрудно связать
углы х и %'> определяющие собой эту непараллельность.
Обращаясь к рис. 26.11, можно
установить, что отношение тангенсов углов
X и %' должно быть постоянным и
равным отношению отрезков s0 и
So — линейному увеличению на оси
системы. Таким образом, можно
написать
/
и
/
А
/
f
<~s° >
н'
\
\
\
« '1 ,
\
(26.53)
Рис. 26.11. Сопряженные
наклонные плоскости
tgX' _ so __ у „ х'
____Ко__
Рассмотрим сагиттальное
изображение, пользуясь рис. 26.12, на
котором представлены ход главного
луча ASBA'S и наклоненные элементы
предмета и изображения в точках As и A's. Углы наклона
предмета и изображения относительно направлений,
перпендикулярных главному лучу, обозначим через \|)s и \|v Угол е между
главным лучом и нормалью к зеркалу примем равным углу
наклона зеркала $s.
Из рис. 26.12 следует:
Xs = fls + i|V, Xs = us + 4V (26.54)
В соответствии с формулой (26.53) и полагая, что все углы х»
х'» A's» ^s и \|?s невелики, можно написать
Ъ = *s + % = Vsls = Vs$s + Vs$s> (26.55)
откуда
u = (Vs-l)*s + bV.,
или заменяя угол 0S через е,
ф'. = — (Vs- l)8 + l|)sKs.
Для меридионального изображения угол Of
быть принят равным углу е; тогда будем иметь
fy = (Vt-l)B + Vtff
Схема наклонов меридионального предмета и изображения
представлена на рис. 26 13.
368
(26.56)
(26.57)
также должен
(26.58)
Обратимся к случаю двух наклонных зеркал. Вводя
обозначения
(25.59;
Рис. 26.12. Схема наклонов сагиттальных элементов
предмета и изображения
и пользуясь дважды формулами (26.57) и (26.58), находим:
Фее = (Vit a)e 0WS — 8i) — Vasx3 + ea;
*8t = (Vi,dt Ohi + <*i) — Vat** - e2.
(26.60)
0^>
?f
vA /^ .ЛЬ-
\/A't,As
Рис. 26.13. Схема наклонов меридиональных элементов
предмета и изображения
Поставив условие равенства наклонов меридиональных и
сагиттальных линий в предметном пространстве и в пространстве
изображений, выражаемое формулами:
*ls =Фи и Ч>88 = %. (26.61;
и полагая, что увеличения в меридиональной и сагиттальной
плоскостях будут мало отличаться друг от друга:
(УьЛ « (Vi.2)* ~ Vi,.; ^ « V2t « Va, (26.62)
369
можем составить разность выражений (26.60) Тогда получим
^1,2^1 + V2k — е2 = 0. (26.63)
Развертывая выражение для угла х, согласно формуле (26.59),
находим
(Vx - 1) V& + (V2 - 1) е2 = 0 (26.64)
— условие отсутствия астигматизма второго порядка для системы
из двух сферических зеркал.
В частном случае равенства углов гг = е2 (равнонаклонности
зеркал) получаем:
V = Угл = V±V2 =1; V2 = l/Vlt (26.65>
Астигматизм
1-го порядка
Рис. 26.14. Совокупность двух равнонаклоненных сферических зеркал
откуда следует, что общее увеличение системы должно быть
равным единице.
Схема системы из двух равнонаклоненных зеркал представлена
на рис 26.14.
Для телескопической системы, когда предмет и изображение
расположены в бесконечности, увеличение V{ обращается в нуль,
а увеличение V2 — в бесконечность
Пользуясь формулой (26.64) и деля ее на увеличение V2>
находим
(V, — 1) в! + (1 - 1/Va) е2 = 0, (26 66)
откуда следует равенство углов
б! = б2, (26 67)
являющееся условием отсутствия астигматизма второго порядка
в случае равнонаклоненных зеркал независимо от увеличения
телескопической системы.
Такое свойство системы из равнонаклоненных зеркал можно
использовать при создании простейших зеркальных
телескопических систем с небольшим увеличением, если ввести в них коррек-
ционный элемент — компенсатор, позволяющий устранять
астигматизм первого порядка и кому второго порядка.
370
Перейдем к рассмотрению комы второго порядка для
наклонного зеркала.
Ранее отмечалось, что величина комы второго порядка должна
быть постоянной по полю зрения; поэтому определение комы может
быть произведено по главному лучу, проходящему через вершину
наклонного зеркала.
Для радиуса меридиональной комы при расположении
предмета в бесконечности, согласно выводам гл. 4, можно написать
р/ 0 mri cos в cos е' , , /по СО\
R? = 3 („'cos е'-п cose)» Sln е • <28-68)
Полагая в этой формуле п' = —п и &' = —е, находим
#;F = JLrsine. (26.69)
Для сагиттальной плоскости имеет место выражение
¦ = „„'cose cos e' + n"sln'6' , (26.70)
4 (п cos е — п cos е)2
из которого после перехода к отражательной поверхности
получаем
R'sF = lijp. (cos2 е - sin2 e) = -J- sin e cos 2e. (26.71)
При небольших углах е, когда косинус 2е может быть принят
равным единице, радиусы RtF и R'sf связываются соотношением
RtF = 3i?;F. (26.72)
Приведем значения некоторых аберраций сферического
зеркала до его децентрации (наклона). Рассмотрим три частных
случая: 1) входной зрачок совпадает с зеркалом; 2) после зеркала
соблюдается телецентрический ход лучей; 3) входной зрачок
совпадает с центром зеркала.
Величина меридиональной и сагиттальной кривизны для
первого случая определяется, исходя из формулы (26.51):
s'F = —-— = ——; t'p = ^-cos со = /о cos со. (26.73)
2 cos со cos со 2 'и v ;
Нетрудно показать, что в этом случае сагиттальная кривизна
zs равна нулю, а меридиональная кривизна zt = —/о sin2 со; кома
определяется формулами (26.69) и (26.71).
Для второго случая угол е будет равен половине полевого
угла со. Поэтому
s'f = 4г; ? = —fC0S-IT- (26J4)
2cos-^-
371
Тогда величина астигматизма может быть найдена по формуле
t'F — s'F = — s sin2 -^- = — /о -
sin'5
(26.75)
cos-
Радиус меридиональной комы R'tF будет равен
n' 3.(0
RtF =—rsln-y-
(26.76)
и сагиттальной комы
/<sf -= — sin -у COS CO.
(26.77)
В третьем случае,
когда зрачок совпадает с
центром зеркала, астигматизм
и кома будут отсутствовать; величина же кривизны поля
выразится формулой
Рис. 26.15. Сферическая аберрация
сферического зеркала
zt=Zs = Ml —COS СО).
(26.78)
Сферическая аберрация сферического зеркала будет
одинаковой для всех трех случаев, и ее величина может быть определена,
согласно рис. 26 15, как расстояние F'Fq, т. е.
As =FoC
FC - — - r
1 u ~~ 2 2 cos e '
(26.79)
где r — величина развернутого радиуса, равная —г.
Заменяя г' через фокусное расстояние зеркала, находим
As = (l {—)f'0 = (l —)fo. 26.80)
\ cos e / 'u \ cos a /'u '
Для малых углов a получаем приближенное значение
сферической аберрации зеркала
Asm = «-/о =
h2
8/о#
(26.81)
26.4. Инварианты наклонов
меридионального и сагиттального изображений
В предыдущем параграфе при рассмотрении астигматизма
второго порядка был затронут вопрос определения наклона
меридионального и сагиттального элементов предмета и изображения
применительно к наклонному сферическому зеркалу. Однако
представляется целесообразным сделать вывод общих инвариантов
372
для установления связи наклонов меридионального и
сагиттального изображений до и после преломляющей поверхности по от-
ношению к главному лучу.
Для получения этих инвариантов обратимся к
меридиональному и сагиттальному инвариантам Гульстранда—Юнга, записав
их в следующем виде:
п' cos2 е' п' cos е' п cos2 е п cos е та ооч
;—» (zo.oz)
V
t
П COS 8
П COS 8
(26.83)
Дифференцируя меридиональный инвариант (26.82), получаем
2п' cose' sine' d&'
In cos e sin e de n cos2 e
n' cos2 e' ,,, , n' sin e' de'
dt -\
dirt sin e de
(26.84)
~~ t t2
или, вынося за общую скобку произведения п' sin е' de', имеем
2cose' cose' dt' , 1 \ -, . , , ,
г? -п -л Л я sin е de =
t Г tge' & ^ г )
/ 2 cos е cos е dt , 1 \ . ,
— ' — + — ) п Sin 8 de.
t2 tge de,
(26.85)
Дифференцируя выражение
закона преломления п sin е' =
= п sin е, находим
de'/tg е' = de/tg е, (26.86)
и тогда формула (26.85) может
быть преобразована к виду
+ -a^--(2lge
Рис. 26.16. Наклон элемента предмета
относительно главного луча
dt
tde
\ cos8 , tge
(26.87)
Перейдем к определению отношений dt/dz. Обращаясь
к рис. 26.16, на котором представлено расположение элемента
предмета dy, составляющего с плоскостью, перпендикулярной
главному лучу, некоторый угол \\)t (отсчитываемый против
часовой стрелки), можно написать для случая совмещения зрачка
с вершиной преломляющей поверхности:
tg Ф, = -dtldyt (26.88)
373
Величина отрезка dyt легко определяется через произведение
отрезка /от точки преломления луча до предметной точки и угла de,
т. е. dyt = —/ de. Тогда
tg i|>f = dt/(t de) (26.89)
и, возвращаясь к формуле (26.87), получаем
-(2tge4tg*;)^ + -^-
= - (2 tg е + tg fc) ^L + J?± (26.90)
— меридиональный инвариант наклона элементов предмета и
изображения относительно главного луча.
Дифференцируя сагиттальный инвариант (26.83), находим
п' « , . п' sine'ds' п , , fisinede /пс Л1х
— -^ds + = —-^ds-\ . (26.91)
Разделив (26.91) на выражение d&'/tg е' = de/tg е, получаем
я' , _ , ds' . п' sin в' i„ / я , ^ ds . я sin е . /ос ппч
_7rtBe зг + —'—g8 = —?-tge-a- + -r-tge. (26*92)
Аналогично формуле (26.89) можно написать
da
sde
tgv|)s = -5r, (26.93)
и тогда (26.92) принимает вид
п' +~ ' +~ i' i Л' sine' . ,
— — tge tgi|)sH —tge =
= - -7- tg 8 tg i|)s + -**5l±. tg e. (26.94)
Далее, разделив (26.94) на ri sin в' = n sin e, находим
Д^ + !?? = __^ + ^ (26.95)
S COS В ' Г S COS 8 ' Г '
— сагиттальный инвариант наклонов элементов предмета и
изображения.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Располагая предмет
в бесконечности, отрезки / и s становятся также равными
бесконечности, и тогда в меридиональной плоскости будем иметь
(2 tg в' + tg Ь) ^- = -L (tg е' - tg е). (26.96)
Для отражающей поверхности углы е и е' равны по
абсолютной величине и различны по знакам. Поэтому вместо (26.96)
получаем
(2 tg е + tg ifo) ^Х- = -f ^ e . (26.97)
374
Соответственно для сагиттальной плоскости в случае
расположения предмета в бесконечности будем иметь
tg^s tg г' - tg е.
Sp COS 8 Г
и для отражающей поверхности
(26.98)
-Д^Ц-^-2-tge'. (26.99)
SF COS 8 Г
Сопоставляя формулы (26.97) и (26.99), видим, что правые
части в обоих случаях получились одинаковыми. Тогда
(2tge' + tgi|);)^^= Ц*' , . (26.100)
tp Sp COS 8
Так как для зеркал соблюдается соотношение tF = s'f cos2 е',
то приходим к особенно простой формуле, связывающей углы
наклона элементов изображения в сагиттальной и
меридиональной плоскостях с углом главного луча с нормалью
2tg8# + tg^ = tgip;. (26.101)
Сагиттальный фокальный отрезок для зеркал получается
равным s'f = r/2 cos е'. Тогда из формулы (26.99) следует
равенство углов ty's и е', а в соответствии с выражением (26.101) и
равенство углов наклона элементов изображения в сагиттальной
и меридиональной плоскостях по абсолютной величине и различие
их по знаку, т. е.
tgifo = —tge' = -tgi|v (26.102)
Заметим, что соотношение (26.102) для рассматриваемого
частного случая может быть получено также из формул (26.57)
и (26.58) при задании Vt = Уя = 0.
26.5. Зеркальные нецентрированные системы без экранирования
В качестве примера компоновки нецентрированной
оптической системы с одной плоскостью симметрии рассмотрим систему
телескопа по Ломоносову с наклоненным к оси главным зеркалом
для усгранения экранирования, создаваемого зеркалом в
окулярной части (рис. 26.17).
Полагая фокусное расстояние главного зеркала f = 1000 мм
и относительное отверстие 1 : 5, получаем диаметр зрачка входа
равным 200 мм. Тогда для вывода изображения из хода лучей,
падающих на главное зеркало, потребуется наклонить его на
угол со = 0,05 рад; вследствие этого возникает астигматизм
в центре поля зрения, величина которого в соответствии с
формулами (26.73) определится из выражения
t'F - sF = — sp sin2 со. (26.103)
375
Численно для рассматриваемого примера получаем
tP — sF = — 1000 • 0,052 = — 2,5 мм.
В случае использования окуляра с фокусным расстоянием
/ок = 50 мм (что обеспечивает общее увеличение телескопа Г =
= 20х) этот астигматизм составит за окуляром около одной
диоптрии.
В подобной системе для отклонения хода лучей на 90° можно
разместить перед окуляром зеркало на расстоянии от плоскости
Рис. 26.17. Схема телескопа по Ломоносову
изображения, равном s' = 50 мм. Придавая такому зеркалу
некоторую оптическую силу, образуем в совокупности с главным
зеркалом оптическую систему — линзу, поверхности которой
разделяют три среды с показателями преломления пл = 1, п2 = —1
и п3 = 1.
Подобную систему можно сделать анастигматической, для чего
воспользуемся формулой для анастигматической линзы
cosa ва
S{F COS 81 — й
SlF~d
(26.104)
Для зеркал углы вир' равны по абсолютной величине, поэтому
-tg^ ' ' (26.105)
"2F
S[F COS2 8, — <?
slF — a
ИЛИ
tg2e2
s{F sin 8
S2F (s[F COS2 8, - d) (s[F — d)
(26.106)
Полагая угол в2 = 45° и косую толщину d = /' — s' = 950 мм,
находим
1 ЮОО-0,052
°2F
50-50
= 0,001 мм-1,
376
откуда величина фокусного расстояния второго зеркала в
сагиттальной плоскости будет равна s2F = 1000 мм.
Для радиуса кривизны второго зеркала согласно первой
формуле (26.73) получим
r2 = 2s2/, cos е2 = 1414,21 мм.
В качестве второго примера нецентрированной системы
рассмотрим зеркальный окуляр, построенный на основе башмачной
призмы (рис. 26.18). В этом
окуляре углы гг и е2 равны
соответственно 15 и 60°.
Пользуясь формулой (26.106)
и полагая s\f = 2d = 40 мм,
находим величину s2F
фокусного расстояния второго
зеркала в воздухе
_ 3(0,9330—0,5)-0,5 4П__
S*F ~ 0,066987 W -
= 387,847 мм.
^
ет
Рис. 26.18. Окуляр с
нецентр ированными зеркалами
Рис. 26.19. Перископ с не-
центрированными зеркалами
Фокусное расстояние рассматриваемой пары зеркал в стекле
может быть определено по формуле для силы системы
ф = ф} -f Ф2 — ФХФ2^;
(26.107)
численно получаем Ф = 0,02371, /' = 42,175 мм.
Фокусное расстояние такого окуляра в воздухе, если в
качестве материала призм было выбрано стекло марки ТК14 с
показателем преломления п = 1,613, получается /ок = 26,147 мм.
В меридиональной плоскости фокусное расстояние окуляра будет
несколько отличаться от найденного значения. Таким образом,
в подобном зеркальном окуляре будет возникать анаморфотное
искажение изображения.
377
На основе рассмотренного зеркального окуляра может быть
построен (после включения между окуляром и аналогичным
зеркальным объективом линзовой оборачивающей системы) перископ
с видимым увеличением, равным единице. Схема подобного
перископа приведена на рис. 26.19.
В этом перископе ввиду симметрии объективной и окулярной
части анаморфотное искажение изображения полностью
устраняется. Соответственно происходит и взаимная компенсация
комы. Положительная кривизна поля зеркального окуляра и
объектива будет в той или иной степени компенсироваться
отрицательной кривизной линз оборачивающей системы и
коллективов; это обстоятельство в значительной мере способствует
развитию углового поля перископа в плоскости, перпендикулярной
его плоскости симметрии.
В настоящее время разработка нецентрированных систем
различного назначения приобретает все более широкий размах.
К сожалению, добавление новых примеров подобного рода
оптических систем оказалось невозможным из-за сроков сдачи
рукописи. В связи с этим изложенный в данной книге материал
в какой-то мере уже не является достаточно полным, что
потребует, по-видимому, написания специальной монографии по
яецентрированным системам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреев Л. Н., Панов В. А. Оптика микроскопов. — Л.:
Машиностроение, 1976. — 430 с.
2. Берек М. Основы практической оптики. —М.; Л.: ГТТИ, 1933.—129 с.
3. Волосов Д. С. Фотографическая оптика. — М.: Искусство, 1971. —671 с.
4. Вычислительная оптика./М. М. Русинов, А. П. Грамматин,
П. Д. И в а н о в и др. — Л.: Машиностроение, 1984. — 423 с.
5. Герцбергер М. Современная геометрическая оптика. —М.: Изд-во иностр.
лит., 1962. — 487 с.
6. Гуриков В. А. Становление прикладной оптики XV—XIX вв.—М.:
Наука, 1983. — 187 с.
7. Максутов Д. Д. Астрономическая оптика. М.; Л.: ОГИЗ, 1946. — 268 с.
8. Мартин Л. Техническая оптика. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 424 с.
9. Проектирование оптических систем/Э. Бетенски, Р. Хопкинс,
Р. Ш е н н о н и др. — М.: Мир, 1983. — 432 с.
10. Русинов М. М. Несферические поверхности в оптике. — М.: Недра,
1973. — 295 с.
11. Русинов М. М. Техническая оптика. — Л.: Машиностроение, 1979. —
488 с.
12. Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. — Л.:
Машиностроение, 1969. — 670 с.
13. Слюсарев Г. Г. Расчет оптических систем. — Л.: Машиностроение,
1975. — 639 с.
14. Тудоровский А. И. Теория оптических приборов. Ч. I и II. —М.; Л.;
Изд-во АН СССР, 1948—1952. — 661 и 567 с.
15. Чуриловский В. Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. —
Л.: Машиностроение, 1968. — 312 с.
16. Merte W., Richter R., Rhor M. Das Photographische Objektiv, — Wien:
Springer, 1932. — 399 s.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Часть 1
ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Глава 1. Исторические этапы развития оптических систем 6
Тлава 2. Формулы солинейного сродства 12
2.1. Формулы увеличений —
2.2. Совокупность двух систем. Телескопическая система 15
2.3. Увеличения в сагиттальной плоскости 16
2.4. Меридиональные и сагиттальные увеличения при наличии
дисторсии 17
2.5. Изображение элемента предмета, расположенного на оси
системы, широким пучком лучей 18
2.6. Изменение дисторсии при изменении положения предмета 19
2.7 Изменение кривизны поля при изменении ^положения
предмета 20
Глава 3. Оптика Гаусса , 21
3.1. Вывод меридионального инварианта для сферической
преломляющей поверхности —
3.2. Вывод сагиттального инварианта 23
3.3. Определение узловых точек и фокусных расстояний для
сферической преломляющей поверхности. Инвариант Штрау-
беля 24
Глава 4. Апланатизм 25
4.1. Апланатическая сферическая поверхность —
4.2. Инвариант меридиональной комы 27
4.3. Инвариант сагиттальной комы 30
4.4 Условие синусов Аббе. Условие Штебле—Лихотского 31
4.5. Условие Игнатовского 33
Глава 5. Несферические поверхности 35
5.1. Несферические поверхности второго порядка —
5.2. Коррекционная пластинка Шмидта 39
5.3. Малые деформации сферической поверхности 40
5.4. Влияние малых деформаций на аберрации оптической
системы в зависимости от расположения деформированной
поверхности между зрачком и изображением 44
5.5. Малые деформации сферической поверхности,
концентричной к зрачку 52
5.6. Несферические поверхности с эвольвентным профилем 55
380
Глава 6. Хроматизм 69
6.1. Оптические материалы. Коэффициент дисперсии .... —
6.2. Хроматизм положения и увеличения. Хроматизм в зрачке 72
6.3. Изменение хроматизма при изменении положения предмета 74
6.4. Хроматическая дисторсия 77
6.5. Хроматический астигматизм 78
6.6. Изменение хроматизма положения тонкой линзы при
изменении увеличения 79
6.7. Хроматизм плоскопараллельной пластинки .... 80
6.8. Сферохроматизм —
6.9. Вторичный спектр. Апохроматизация системы из двух
тонких соприкасающихся линз 82
Глава 7. Ограничение пучков лучей 85
7.1. Геометрическое виньетирование и экранирование .... —
7.2. Аберрационное виньетирование 93
7.3. Определение аберрационного виньетирования 94
7.4. Связь аберрационного виньетирования с дисторсией . . 97
Глава 8. Светораспределение 99
8.1. Световая трубка и общее выражение для светораспределе-
ния —
8.2. Влияние дисторсии на светораспределение 103
Глава 9. Работа сферической преломляющей поверхности 106
9.1. Сферическая аберрация —
9.2. Изменение сферической аберрации в зависимости от
изменения положения предмета ПО
9.3. Сферическая аберрация плоской поверхности 116
9.4. Астигматизм сферической поверхности 117
9.5. Меридиональная кома сферической поверхности .... 118
9.6. Астигматизм конфокальной поверхности 119
Глава 10. Симметричные и пропорциональные системы 121
10.1. Дисторсия симметричных и пропорциональных систем —
10.2. Астигматизм симметричных и пропорциональных систем 124
10.3. Исправление комы в симметричных и пропорциональных
системах 126
Часть 2
ПРИМЕРЫ КОМПОЗИЦИИ НЕКОТОРЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава 11. Базовые оптические системы 132
11.1. Принятые обозначения —
11.2. Базовые линзы 134
11.3. Двухлинзовые базовые системы 138
11.4. Симметричные базовые системы 141
Глава 12. Коррскционно-силовые элементы 143
12.1. Концентричная линза —
12.2. Биапланатическая линза 146
12.3. Конфокально-апланатическая линза 148
12.4. Линза Смита • 149
Глава 13. Линзы 150
13.1. Анастигматические линзы —
13.2. Телеанастигматические линзы 151
13.3. Кома телеанастигматических линз 156
381
13.4. Тонкая линза, совмещенная со зрачком 166
13.5. Мениски 159
Глава 14. Коррекционные элементы с малой оптической силой .... 161
14.1. Работа склеенной поверхности —
14.2. Влияние склеенной поверхности на сферическую
аберрацию 168
14.3. Работа тонкой воздушной прослойки 169
Глава 15. Компенсаторы 175
15.1. Деформированная плоскопараллельная пластинка ... —
15.2. Двухлинзовый и трехлинзовый несклеенные компенсаторы 178
15.3. Компенсатор В. Н. Чуриловского 181
15.4. Хроматические склеенные компенсаторы 182
Глава 16. Тонкий компонент 184
16.1. Сферическая аберрация тонкого компонента —
16.2. Работа поверхности склейки в качестве коррекционного
элемента в тонком компоненте 187
16.3. Две склеенные поверхности 190
16.4. Использование малых деформаций для устранения
неэлементарной сферической аберрации в тонком двухлин-
зовом компоненте 195
Глава 17. Оптические системы с вынесенным вперед зрачком 196
17.1. Особенности работы окуляров / —
17.2. Простейшие окуляры 197
17.3. Усложненные окуляры 202
17.4. Окуляры с большим удалением выходного зрачка . . . 204
17.5. Широкоугольные окуляры . 208
17.6. Перефокусировка окуляра 210
Глава 18. Объективы, построенные на сочетании тонкого компонента с
конфокальной поверхностью и на основе концентричной линзы 213
18.1. Совокупность тонкого компонента с конфокальной
поверхностью —
18.2. Фотографические объективы с использованием
конфокальной поверхности 214
18.3. Объективы, построенные на основе концентричной линзы 217
Глава 19. Симметричные объективы 222
19.1. Двухлинзовые объективы .... —
19.2. Меридиональная сферическая аберрация
анастигматических менисков при дальнем и ближнем положении
входного зрачка 227
19.3. Астигматизм склеенной поверхности 233
19.4. Двойные четырехлинзовые анастигматы 240
19.5. Объективы типа плазмат 243
Глава 20. Широкоугольные объективы 245
20.1. Общие сведения —
20.2. Широкоугольные объективы с положительным
аберрационным виньетированием 247
20.3. Особо широкоугольные объективы 252
20.4. Объективы с большой отрицательной дисторсией . . . 255
Глава 21. Гидросъемочные объективы 257
21.1. Иллюминаторы —
21.2. Телеконцентрические переходные системы 260
382
21.3. Гидросъемочные объективы, построенные из воздушных
линз ' 264
21.4. Гидросъемочные объективы с передними отрицательными
линзами менискообразной формы 267
21.5. Гидросъемочные объективы с использованием изоплана-
тических линз 268
21.6. Гидросъемочные объективы с использованием
эллиптических поверхностей 269
Глава 22. Зеркально-линзовые системы 274
22.1. Система Шмидта —
22.2. Зеркало, совмещенное с входным зрачком 278
22.3. Совокупность сферического зеркала с толстой
плоскопараллельной пластинкой 279
22.4. Двухзеркальные системы 283
Глава 23. Микрообъективы 285
23.1. Разрешение микрообъективов —
23.2. Сильные микрообъективы 288
23.3. Микрообъективы планахроматы 292
23.4. Микрообъективы с фронтальными конфокальными
линзами 295
23.5. Об исправлении хроматизма в микрообъективах .... 302
23.6. Зеркальные и зеркально-линзовые микрообъективы . . 305
Глава 24. Телескопические системы 309
24.1. Общие свойства телескопических систем —
24.2. Простые зрительные трубы 312
24.3. Трубы с внутренней фокусировкой 315
24.4. Геодезическая труба с прямым изображением 316
24.5. Бинокли с линзовой оборачивающей системой .... 317
24.6. Галилеевские системы 319
24.7. Перископы и цистоскопы 324
24.8. Зеркально-линзовые телескопические системы 328
24.9. Панкрэтические системы 331
Глава 25. Нетрадиционные конструктивные элементы 334
25.1. Линзы Френеля —
25.2. Градиентная оптика 347
25.3. Волоконная оптика 350
25.4. Фоконы 353
Глава 26. Нецентрированные оптические системы 354
26.1. Нецентрированные аберрации —
26.2. Дисторсия при малых нарушениях центрировки
оптической системы 360
26.3. Кома и астигматизм нецентрированной системы 363
26.4. Инварианты наклонов меридионального и сагиттального
изображений 372
26.5. Зеркальные нецентрированные системы без
экранирования 375
литературы 379
Производственное издание
РУСИНОВ Михаил Михайлович
КОМПОЗИЦИЯ
ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
Редакторы М. Г. Оболдуева, М. И. Козицкая
Переплет художник? Л. А. Парушкина
Художественный редактор С, С. Венедиктоь
Технический редактор Т. П. Малашкина
Корректор 3. П. Смоленцева
ИБ № 5354
Сдано в набор 01.10.88. Подписано в печать 03.05.8Р. М-29009,
Формат бОхЭО1/,^ Бумага типографская № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 24,0. Усл. кр.-отт. 24,5. Уч.-изд. л. 22,42.
Тираж 6100 экз. Заказ 38. Цена 1 р. 50 к.
Ленинградское отделение ордена Трудового Красного Знамени
издательства «Машиностроение».
191065, Ленинград, ул. Дзержинского, 10.
Отпечатано в Ленинградской типографии № 2 головном предприятии
ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга» им. Евгенил Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
С матриц Ленинградской типографии № 6 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, Ленинград, ул. Моисеенко, 10.