УДК 373.5:514
ББК 22.151я721
В49

В49

Виноградова, Татьяна Михайловна.
Геометрия. 7—11 классы / Т. М. Виноградова. — Москва : Эксмо,
2019. — 112 с. — (В помощь старшекласснику. Алгоритмы решения задач).
ISBN 978-5-04-093534-5
В пособии представлены алгоритмы решения типовых задач и примеров
по геометрии, изучаемых в 7—11-х классах. Перед каждым алгоритмом помещен краткий теоретический блок по теме с необходимыми правилами и
формулами. После алгоритма приведен пример решения задачи или примера,
а также задания для самостоятельного решения.
Пособие адресовано учащимся 7—11-х классов, учителям и родителям,
помогающим ребенку в выполнении домашних заданий.
УДК 373.5:514
ББК 22.151я721

ISBN 978-5-04-093534-5

© Виноградова Т.М., 2019
© Оформление. ООО «Издательство «Эксмо», 2019

СОДЕРЖАНИЕ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР������5

Точка и прямая. Отрезок. Измерение отрезков ��������������������������������������������������� 5
Полуплоскости. Полупрямая. Угол. Откладывание отрезков и углов�������12
Треугольник. Существование треугольника, равного данному�������������������18
Параллельные прямые. Смежные и вертикальные углы.
Свойство смежных и вертикальных углов�������������������������������������������������������������19
Виды треугольников. Высота, биссектриса и медиана треугольника�������24
Сумма углов треугольника�������������������������������������������������������������������������������������������30
Внешний угол треугольника ���������������������������������������������������������������������������������������31
Признаки и свойства параллельности прямых���������������������������������������������������34
Окружность, вписанная в треугольник и описанная
около треугольника���������������������������������������������������������������������������������������������������������36
Четырехугольники�����������������������������������������������������������������������������������������������������������41

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА ������������������� 45
Прямоугольный треугольник �������������������������������������������������������������������������������������45
Теорема Пифагора�����������������������������������������������������������������������������������������������������������45

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ��������������������������������������������������������������������������������������������������� 48
Декартова система координат на плоскости�������������������������������������������������������48
Декартова система координат в пространстве���������������������������������������������������50

УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ ��������������������������������������������������������� 51
Уравнение прямой�����������������������������������������������������������������������������������������������������������51
Уравнение окружности на плоскости���������������������������������������������������������������������51
Взаимное расположение прямых по их уравнениям���������������������������������������53

ВЕКТОРЫ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 55
Векторы на плоскости�����������������������������������������������������������������������������������������������������55

ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ��������������������������������������������������������������������������������� 58
Признаки подобия треугольников���������������������������������������������������������������������������58
Свойства подобных треугольников�������������������������������������������������������������������������58
Свойства преобразования подобия�������������������������������������������������������������������������59

ВПИСАННЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ УГЛЫ��������������������������������������������������������������� 62
Плоский угол�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������62
Дополнительный угол�����������������������������������������������������������������������������������������������������62
Центральный угол �����������������������������������������������������������������������������������������������������������62
Дуга окружности���������������������������������������������������������������������������������������������������������������64

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ��������������������������������������������������������������������������������� 65
Теорема косинусов�����������������������������������������������������������������������������������������������������������65
Теорема синусов���������������������������������������������������������������������������������������������������������������66

3

ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ����������������������������������������������������������������������� 69
Площадь треугольника �������������������������������������������������������������������������������������������������69
Площади четырехугольников�������������������������������������������������������������������������������������71

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ ����������� 74
Призма�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������74
Параллелепипед���������������������������������������������������������������������������������������������������������������75
Пирамида�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������77

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 80
Цилиндр �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������80
Конус���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������81
Шар. Сфера �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������82

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ «ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО»��������������������� 85
СПИСОК АЛГОРИТМОВ ������������������������������������������������������������������������������������������� 91
ПРИЛОЖЕНИЯ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 95

4

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ФИГУР
ТОЧКА И ПРЯМАЯ. ОТРЕЗОК. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
Основные геометрические фигуры на плоскости — это
точка и прямая.
Точка A

Прямая a, или прямая AB, или прямая BA
a

A

A

B

Аксиома — утверждение, которое принимается без доказа­
тель­ства.
Аксиома I.
Основные свойства принадлежности точек и прямых
на плоскости
Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадле­
жащие этой прямой, и точки, которые ей не принадлежат.
Через любые две точки можно провести прямую и только
одну.
Отрезок — часть прямой, состоящая из всех точек этой пря­
мой, лежащих между двумя ее данными точками — концами
отрезка.
Отрезок MN,
или отрезок NM

M

N

C ∈ AB (точка C принадлежит
отрезку AB), или точка C лежит
между точками A и B
A

C

B

Аксиома II.
Основные свойства расположения точек на прямой
Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между
двумя другими.

5

Аксиома III.
Основные свойства измерения отрезков
Каждый отрезок имеет определенную длину, большую
нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые
он разбивается любой своей точкой.
A

1

C

AB = AC + BC

B

Нахождение длины отрезка, если известны
длины его частей
АЛГОРИТМ



Найти длину отрезка, сложив длины его частей (соглас­
но аксиоме III).




Записать ответ.

ПРИМЕР
Найти длину отрезка AB, если точка M делит его на две части
длиной 7,3 см и 2,9 см.
Решение.
AB = AM + MB;
7,3 см M 2,9 см
AB = 7,3 + 2,9 = 10,2 (см).
A
B




Ответ: 10,2 см.

?

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Точка E делит отрезок OP на части длиной 10 дм и 1,1 дм.
Найти длину отрезка OP.
2. Найти длину отрезка EF, если точка K лежит между точ­
ками E и F, EK = 8,7 м, KF = 3,5 м.
3. Отрезок AB разделен точкой X на части длиной 0,875 дм
и 1,007 дм. Найти длину AB.
4. На отрезке QM взята точка F, QF = 801 м, FM = 19 м.
Найти длину QM.

6

Нахождение длины части отрезка, если известна длина
всего отрезка и одной из его частей
АЛГОРИТМ



2

Записать основные свойства измерения отрезков.




Выразить из записанного равенства длину неизвестной
части.




Вычислить длину неизвестной части отрезка.




Записать ответ.

ПРИМЕР
На отрезке AB взяли точку M так, что AM = 7,3 см. Найти
длину отрезка MB, если AB = 11,7 см.
Решение.






AB = AM + MB;
A

MB = AB – AM.
MB = 11,7 – 7,3 = 4,4 (см).

7,3 см M

?
B

11,7 см

Ответ: 4,4 см.
ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО

1. Найти длину отрезка KE, если точка K принадлежит от­
резку NE, NE = 18 м, EK = 7,2 м.
2. На отрезке CD взяли точку B так, что BC = 9,7 дм. Найти
длину отрезка BD, если CD = 11,3 дм.
3. Точка A делит отрезок DP на две части. Найти длину от­
резка AD, если AP = 5,9 см, DP = 6,3 см.
4. Найти длину отрезка KN, если N ∈ KO, KO = 29 дм,
NO = 18 дм.

7

3

Определение расположения точек на прямой
АЛГОРИТМ



Из данных отрезков выбрать тот, длина которого равна
сумме длин двух других.




Сделать вывод о точке, лежащей между двумя другими,
опираясь на аксиому III.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Три точки B, C и D лежат на одной прямой. Известно, что
BC = 3,5 см, BD = 4,6 см, CD = 8,1 см. Какая их трех точек
B, C, D лежит между двумя другими?
Решение.
Очевидно, что 3,5 + 4,6 = 8,1 (см).






Значит, BC + BD = CD. Поэтому точка B принадле­
жит отрезку CD, так как выполняется аксиома III.
Следовательно, точка B лежит между точками C и D.
Ответ: точка B лежит между точками C и D.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Определить, какая из трех точек K, L, M, принадлежа­
щих одной прямой, лежит между двумя другими, если
KL = 10,9 дм; KM = 3,8 дм; ML = 7,1 дм.
2. Точки E, A, B лежат на одной прямой. Какая из них ле­
жит между двумя другими, если EB = 3,9 м; EA = 0,2 м;
AB = 3,7 м?
3. Известно, что AB = 0,027 дм, AC = 0,1 дм, BC = 0,073 дм.
Точки A, B и C лежат на одной прямой. Какая из них ле­
жит между двумя другими?

8

Нахождение длин частей отрезка с помощью уравнения,
если в условии указано, что они сравниваются
АЛГОРИТМ



4

Записать основное свойство измерения отрезков для
условия данной задачи.




Длину меньшей части обозначить x.




Выразить длину большей части отрезка через x (если
она больше на некоторую величину, то длина большей
части отрезка равна сумме x и этой величины, а если она
больше в несколько раз меньшей части, то длина боль­
шей части отрезка равна произведению x и этого коли­
чества раз).




Составить уравнение.




Решить полученное уравнение.




Записать длину меньшей части отрезка и вычислить
длину большей части.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Точка A принадлежит отрезку BC, длина которого равна
24 см. Найти длину отрезков AB и AC, если:
1) отрезок AB на 4 см меньше отрезка AC;
2) отрезок AB в 3 раза больше отрезка AC.
Решение. Условие 1
BC = AB + AC (аксиома III).
x A x+4





Пусть AB = x см.

Тогда AC = (x + 4) см.

B

C
24
9






x + x + 4 = 24.
2x = 24 – 4; 2x = 20; x = 20 : 2; x = 10.
Итак, AB = 10 см, AC = 10 + 4 = 14 (см).
Ответ: 10 см; 14 см.

Условие 2
BC = AB + AC (аксиома III).









Пусть AC = x см.

A x

3x
B

Тогда AB = 3x см.

C
24

x + 3x = 24.
4x = 24; x = 24 : 4; x = 6.
Итак, AC = 6 см, AB = 3 ⋅ 6 = 18 (см).
Ответ: 18 см; 6 см.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Точка E принадлежит отрезку AB длиной 25 дм. Найти
длины отрезков AE и BE, если длина отрезка AE на 7 см
больше длины отрезка BE.
2. Точка K принадлежит отрезку AC длиной 36 м. Найти
длины отрезков AK и CK, если длина отрезка AK в 8 раз
меньше длины отрезка CK.
3. На отрезке DN отметили точку F. Разность длин отрезков
NF и DF равна 8 мм. Найти NF и DF, если DN = 32 мм.
Помни!
x+3

x
A

5

B

C

AB меньше BC на 3,
или BC больше AB на 3,
или разность BC и AB равна 3.

Нахождение длин частей отрезка, если он делится своей
точкой на части, пропорциональные данным числам
АЛГОРИТМ



Записать основное свойство измерения отрезков
(аксио­ма III) для условия данной задачи.




Обозначить за x величину одной части отрезка.


10




Выразить длину частей отрезка через x, умножив x на
соответствующие пропорциональные числа.




Составить уравнение.




Решить уравнение.




Вычислить длины частей отрезка.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Точка A принадлежит отрезку BC, длина которого равна
24 см. Найти длины отрезков AB и AC, если AB : AC = 3 : 5.
Решение.
BC = AB + AC (аксиома III).
3x
A 5x
Пусть x см — величина одной B
C
части.
24
Тогда AB = 3x см, AC = 5x см.









3x + 5x = 24.
8x = 24; x = 24 : 8; x = 3.
Итак, AB = 3 ⋅ 3 = 9 (см); AC = 5 ⋅ 3 = 15 (см).
Ответ: 9 см; 15 см.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. На отрезке AB отметили точку D так, что AD : DB = 7 : 11.
Найти длины отрезков AD и DB, если AB = 54 см.
2. Точка N принадлежит отрезку EF длиной 88 дм. Известно,
что длины отрезков EN и FN относятся как 7 : 4. Найти
EN и FN.
3. Точка M делит отрезок AK в отношении 11 : 15. Найти
длины отрезков AM и KM, если AK = 130 мм.

11

ПОЛУПЛОСКОСТИ. ПОЛУПРЯМАЯ. УГОЛ.
ОТКЛАДЫВАНИЕ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ
Аксиома IV
Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Полупрямая (луч) — часть прямой, состоящей из всех точек
этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки —
начала луча.
A

Полупрямая OA, или луч OA
(точка O — начало луча OA),
или луч a

a

O

Дополнительные полупрямые — две различные полупрямые
одной и той же прямой с общим началом.
B

E

Лучи EB и EA — дополнительные

A
Угол  — геометрическая фигура, образованная двумя различ­
ными полупрямыми с общим началом. (Полупрямые — сто­
роны угла, общее начало — вершина угла.)
A
O

∠ AOB — угол AOB, или угол BOA,
точка O — вершина,
лучи OA и OB — стороны

B
Помни!
В записи угла вершина пишется посередине.
Аксиома V.
Основное свойство измерения углов
Каждый угол имеет определенную градусную меру, боль­
шую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера
угла равна сумме градусных мер углов, на которые он раз­
бивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
a

A
b B

O

12

m

C

Луч OB проходит между сторонами
∠ AOC.
∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC,
или ∠ (am) = ∠ (ab) + ∠ (bm)
0° < ∠ AOC ≤ 180°

Аксиома VI
На любой полупрямой от ее начальной точки можно отло­
жить отрезок заданной длины, и только один.
Аксиома VII
От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно
отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°,
и только один.
Помни!
Виды углов
Острый

A

Тупой

B

0° < ∠ A < 90°

90° < ∠ B < 180°

Прямой

С

Развернутый

O
∠ C = 90°

∠ O = 180°

Нахождение величины угла, если известны его части
АЛГОРИТМ



6

Чтобы найти величину угла, нужно сложить величины
его частей (согласно аксиоме V).




Записать ответ.

ПРИМЕР
Луч a проходит между сторонами угла (bc). Найти градусную
меру (величину) угла (bc), если ∠ (ab) = 32°; ∠ (ac) = 49°.
Решение.
b
∠ (bc) = ∠ (ab) + ∠ (ac);
∠ (bc) = 32° + 49° = 81°.
a
Ответ: 81°.
?
32°
49°
O
c




13

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Луч b проходит между сторонами угла (ad). Найти градус­
ную меру угла (ad), если ∠ (ab) = 47°, ∠ (bd) = 54°.
2. Луч c проходит между сторонами угла (mn). Найти ∠ (mn),
если ∠ (cm) = 51°, ∠ (cn) = 32°.
3. Найти величину угла (ab), если луч d проходит между его
сторонами и ∠ (ad) = 29°, ∠ (bd) = 44°.

7

Нахождение части угла, если известна величина
всего угла и другой его части
АЛГОРИТМ



Записать основное свойство измерения углов для усло­
вия данной задачи (согласно аксиоме V).




Выразить неизвестную часть угла из записанного равен­
ства (из величины всего угла вычесть величину извест­
ной части) и вычислить ее.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Луч a проходит между сторонами угла (bc). Найти ∠ (ab), если
∠ (bc) = 100°, ∠ (ac) = 52°.
Решение.
∠ (bc) = ∠ (ab) + ∠ (ac) b
a
(аксиома V).
?
∠ (ab) = ∠ (bc) – ∠ (ac) =
= 100° – 52° = 48°.
52°
Ответ: 48°.
100°
c





ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Луч c проходит между сторонами угла (ab). Известно, что
∠ (ab) = 83°, ∠ (ac) = 36°. Найти ∠ (bc).
2. Найти величину угла (ab), если луч b проходит между сто­
ронами угла (ac), ∠ (ac) = 41°, ∠ (bc) = 18°.
3. Величина угла (ad) равна 108°. Луч m проходит между его
сторонами. Найти ∠ (am), если ∠ (md) = 72°.

14

Нахождение частей угла с помощью уравнения,
если известна зависимость между ними
АЛГОРИТМ



8

Записать основное свойство измерения углов для усло­
вия данной задачи (согласно аксиоме V).




Обозначить величину меньшей части угла x°.




Величину большей части угла выразить через x (если
она больше меньшей части угла на некоторую величину,
то к x° добавить эту величину, а если она больше мень­
шей части в несколько раз, то x° умножить на число раз).




Составить уравнение.




Решить уравнение.




Найти части угла, подставив найденное значение x.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Луч a проходит между сторонами угла (bc). Найти величины
углов (ab) и (ac), если:
1) ∠ (ab) на 40° меньше ∠ (ac), ∠ (bc) = 98°;
2) ∠ (ab) в 3 раза больше ∠ (ac), ∠ (bc) = 60°.
Решение. Условие 1
∠ (bc) = ∠ (ab) + ∠ (ac)
b
a
(аксиома V).
Пусть ∠ (ab) = x°.
98°
x
Тогда ∠ (ac) = (x + 40)°.
?
x + x + 40 = 98.
c
? x + 40°







2x = 98 – 40; 2x = 58; x = 58 : 2; x = 29.
15




Итак, ∠ (ab) = 29°, ∠ (ac) = 29° + 40° = 69°.
Ответ: 29°; 69°.

Условие 2
∠ (bc) = ∠ (ab) + ∠ (ac).









b

Пусть ∠ (ac) = x°.

a

?

Тогда ∠ (ab) = 3x°.

3x

3x + x = 60.
4x = 60; x = 60 : 4; x = 15.

60°

x

?
c

Итак, ∠ (ac) = 15°, ∠ (ab) = 3 ⋅ 15° = 45°.
Ответ: 45°; 15°.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Луч OB проходит между сторонами ∠ AOC, равного 85°.
Найти ∠ AOB и ∠ BOC, если ∠ AOB больше ∠ BOC на 21°.
2. Луч, проходящий между сторонами угла, равного 112°,
делит его на две части, одна из которых в 6 раз меньше
другой. Найти образовавшиеся углы.
3. Развернутый угол разделили на два угла, один из которых
на 36° меньше другого. Найти эти углы.
Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины угла и де­
лящий его на два равных угла.
A

O

9

Луч OC — биссектриса ∠ AOB.
1
∠ AOC = ∠ BOC = ∠ AOB
2
C

B

Нахождение частей угла, на которые его делит
биссектриса
АЛГОРИТМ



Величину данного угла разделить на 2.



16

Записать ответ.

ПРИМЕР
Найти угол, образованный биссектрисой угла, равного 48°,
и стороной данного угла.
Решение.
48° : 2 = 24°.
48°
Ответ: 24°.




ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Проведена биссектриса c угла (ab). Найти ∠ (ac), если
∠ (ab) = 66°.
2. Найти угол, который образует биссектриса со стороной
угла, если величина данного угла 128°.
3. Найти угол между стороной и биссектрисой прямого угла.
Нахождение угла, если известна его часть
между стороной и биссектрисой
АЛГОРИТМ



10

Величину угла умножить на 2.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Найти величину угла, если угол между его биссектрисой
и стороной равен 39°.
Решение.
39° ⋅ 2 = 78°.
?
Ответ: 78°.
39°




ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти величину угла, если угол, образованный его биссек­
трисой и стороной, равен 82°.
2. Угол, образованный биссектрисой и стороной угла, ра­
вен 28°. Найти этот угол.
3. Угол между стороной и биссектрисой некоторого угла ра­
вен 45°. Найти этот угол.
17

ТРЕУГОЛЬНИК. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА,
РАВНОГО ДАННОМУ
Треугольники называются равными, если у них соответству­
ющие стороны и соответствующие углы равны.
B

A

E

C K

 ABC =  KEM
1) AB = KE; BC = EM; AC = KM;
2) ∠ A = ∠ K; ∠ B = ∠ E; ∠ C = ∠ M

M

Помни!
Обозначение равных треугольников записывают по соответ­
ствующим вершинам.
Интересно знать!
При наложении равные треугольники совпадают.
Аксиома VIII.
Существование треугольника, равного данному
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему тре­
угольник в заданном расположении относительно данной
прямой.

11

Нахождение неизвестных сторон и углов
равных треугольников
АЛГОРИТМ



По равенству данных треугольников записать равенст­
во соответствующих сторон и углов. (Можно выполнить
чертеж к задаче.)




Записать длины неизвестных искомых сторон, величи­
ны неизвестных искомых углов.



18

Записать ответ.

ПРИМЕР
Известно, что  ABC =  MNK, AB = 5 см, AC = 7 см, NK = 9 см,
∠ A = 48°, ∠ N = 72°, ∠ K = 60°. Найти неизвестные стороны
и углы данных треугольников.
Решение.
N
B
5с
м

48°





м
9с

72°

60°

M
K
A
C
7 см
Так как  ABC =  MNK, то AB = MN, BC = NK,
AC = MK; ∠ A = ∠ M, ∠ B = ∠ N, ∠ C = ∠ K.
Значит, BC = 9 см, MN = 5 см, MK = 7 см; ∠ M = 48°,
∠ B = 72°, ∠ C = 60°.
Ответ: BC = 9 см, ∠ B = 72°, ∠ C = 60°, MN = 5 см,
MK = 7 см, ∠ M = 48°.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. В треугольнике EFB EB = 12 см, ∠ E = 83°. Найти длину
стороны MP и ∠ M равного ему треугольника MOP.
2. Треугольники SEK и NAG равны, KS = 45 дм, ES = 24 дм,
∠ K = 36°, AG = 54 дм, ∠ N = 126°, ∠ E = 18°. Найти неиз­
вестные стороны и углы данных треугольников.
3. Известно, что  ACD =  BER, BE = 6 м, ER = 8 м, BR = 9 м,
∠ E = 29°, ∠ R = 93°, ∠ B = 58°. Найти ∠ C.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ
УГЛЫ. СВОЙСТВО СМЕЖНЫХ И ВЕРТИКАЛЬНЫХ УГЛОВ
Помни!
Две прямые называются параллельны­
ми, если они не пересекаются.
aCb

a
b

Аксиома IX.
Основное свойство параллельных прямых
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провес­
ти на плоскости одну и только одну прямую, параллельную
данной.

19

Два угла называются смежными, если у них одна сторо­
на общая, а другие стороны этих углов — дополнительные
полупрямые.
об
щ
ор ая
он
а

∠ AOC и ∠ BOC — смежные

ст

C

A
O
B
дополнительные полупрямые
Свойство смежных углов
Сумма смежных углов равна 180°:
∠ AOC + ∠ BOC = 180°.
Важно знать!
1. Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
2. Угол, смежный с прямым углом, прямой.
Два угла называются вертикальными, если стороны одно­
го угла являются дополнительными полупрямыми сторон
другого.
b2

a1
b1

O

a2

∠ (a1b1) и ∠ (a2b2) — вертикальные;
a1 и a2, b1 и b2 — дополнительные
полупрямые

Свойство вертикальных углов
Вертикальные углы равны:
∠ (a1b1) = ∠ (a2b2), ∠ (a1b2) = ∠ (a2b1).
Помни!
Угол между биссектрисами смеж­
ных углов всегда прямой.
∠ (ab) и ∠ (bc) — смежные,
m — биссектриса ∠ (ab),
n — биссектриса ∠ (bc), ∠ (mn) = 90°.

m

n

a

20

b

c

Нахождение угла, смежного данному
АЛГОРИТМ



12

Записать свойство смежных углов.




Выразить из этого равенства неизвестный угол (из 180°
вычесть величину известного угла) и вычислить его ве­
личину.




Записать ответ.
ПРИМЕР

Найти угол, смежный с углом 32°.
Решение.
Пусть ∠ 1 и ∠ 2 — смежные, ∠ 1 = 32°,
тогда ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.
∠ 2 = 180° – ∠ 1 = 180° – 32° = 148°.





?
2

1

32°

Ответ: 148°.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. ∠ (ab) и ∠ (bc) — смежные, ∠ (ab) = 40°. Найти ∠ (bc).
2. Один из смежных углов равен 116°. Найти другой угол.
3. Найти угол, смежный с углом 127°.
Нахождение углов, образовавшихся при пересечении
двух прямых, если один из углов известен
АЛГОРИТМ



13

Записать пары образовавшихся вертикальных углов
(они равны) и выполнить чертеж к задаче.




Записать основное свойство для одной из пар образо­
вавшихся смежных углов.


21




Выразить из полученного в пункте 2 равенства неиз­
вестный угол и вычислить его.




Записать величины неизвестных углов.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Один из углов, образовавшихся при пересечении двух пря­
мых, равен 57°. Найти остальные углы.
Решение.
Пусть при пересечении данных
?
двух прямых образовались углы
2
∠ 1, ∠ 2, ∠ 3, ∠ 4.
? 3
1 57°
4
По условию ∠ 1 = 57°. ∠ 1 = ∠ 3,
∠ 2 = ∠ 4 как вертикальные.
?
∠ 1 + ∠ 2 = 180° как смежные.








∠ 2 = 180° – ∠ 1 = 180° – 57° = 123°.
Итак, ∠ 2 = ∠ 4 = 123°, ∠ 3 = ∠ 1 = 57°.
Ответ: 123°, 57°, 123°.

Помни!
Если сумма двух вертикальных углов, образовавшихся при
пересечении двух прямых, равна 180°, то все образовавши­
еся углы — прямые. Следовательно, пересекающиеся пря­
мые перпендикулярны.
ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти углы, которые получаются при пересечении двух пря­
мых, если один из них равен: 1) 106°; 2) 32°; 3) 117°.

22

Нахождение углов, образовавшихся при пересечении
двух прямых, если известна сумма двух из них
АЛГОРИТМ



14

Данную сумму разделить на 2. Таким образом находятся
величины одной пары вертикальных углов (предвари­
тельно выполнить чертеж к задаче).




Найти угол, смежный к одному из найденных углов (для
этого из 180° вычесть известный угол).




Угол, вертикальный найденному углу в пункте 2, равен
ему.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух пря­
мых, равна 110°. Найти образовавшиеся углы.
Решение.
∠ 1 = ∠ 3, ∠ 2 = ∠ 4 как верти­
a
b
2
кальные. Пусть ∠ 1 + ∠ 3 = 110°,
3
1
тогда ∠ 1 = ∠ 3 = 110° : 2 = 55°.
4
∠ 2 + ∠ 1 = 180° как смежные.






Отсюда ∠ 2 = 180° – ∠ 1 = 180° – 53° = 127°.
∠ 4 = ∠ 2 = 127°.
Ответ: 55°, 127°, 55°, 127°.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых,
если сумма двух из них равна: 1) 38°; 2) 160°; 3) 84°.

23

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ВЫСОТА, БИССЕКТРИСА И МЕДИАНА
ТРЕУГОЛЬНИКА
Виды треугольников по сторонам
Разносторонний

a

b

Равнобедренный

a

c

Равносторонний
(правильный)
a

a

a

b

P=a+b+c

a

P = 2a + b

P = 3a

Свойство равнобедренного треугольника
Углы при основании рав­
нобедренного треугольника
равны.
∠A = ∠C

B
бо
я
а
ст ко
в
а
ор ва
ко он
он я
бо ор
а
ст
C
A
основание

Признак равнобедренного треугольника
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Высота треугольника
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины,
называется перпендикуляр, проведенный из этой вер­
шины к прямой, содержащей противолежащую сторону
треугольника.
BK ⊥ AC,
BK — высота  ABC

B

A

24

K

C

B

K A

C

Биссектриса треугольника
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной верши­
ны, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, ко­
торый соединяет эту вершину с точкой на противолежащей
стороне треугольника.
Луч BE — биссектриса ∠ ABС;
отрезок BE — биссектриса  ABC

B

A

E

C
Медиана треугольника

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины,
называется отрезок, соединяющий эту вершину треуголь­
ника с серединой противолежащей стороны.
B

A

M — середина AC;
BM — медиана  ABC

M

C

Помни!
Каждый треугольник имеет три высоты, три медианы, три
биссектрисы.
Свойство медианы равнобедренного треугольника,
проведенной к его основанию
Медиана равнобедренного тре­
угольника, проведенная к осно­
ванию, является биссектрисой
и высотой этого треугольника.

25

Важно знать!
Высота равнобедренного
треугольника, проведенная
к его основанию, является
медианой и биссектрисой.

15

Биссектриса равнобедренно­
го треугольника, проведен­
ная к его основанию, явля­
ется медианой и высотой.

Вычисление периметра треугольника, если известны
его стороны
АЛГОРИТМ



Определить вид треугольника по данным его сторонам.




По формуле вычисления периметра треугольника найти
периметр P данного треугольника (P = a + b + c, если тре­
угольник разносторонний; P = 2a + b, если треугольник
равнобедренный и b — его основание; P = 3a, если тре­
угольник равносторонний со стороной a).




Записать ответ.

ПРИМЕР
Найти периметр равнобедренного треугольника с основанием
17 см и боковой стороной 10 см.
Решение.
Дан равнобедренный треугольник.





P = 2a + b, где по условию задачи a = 10 см, b = 17 см.
P = 2 ⋅ 10 + 17 = 37 (см).
Ответ: 37 см.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти периметр треугольника со сторонами 12 см, 13 см,
15 см.
2. Найти периметр правильного треугольника со стороной
11 дм.
3. Стороны треугольника равны 18 м, 15 м, 18 м. Найти его
периметр.

26

Нахождение сторон треугольника, если известны
зависимость между ними и периметр треугольника
АЛГОРИТМ



16

Выполнить чертеж к задаче.




Меньшую из сторон треугольника обозначить за x. Две
другие его стороны выразить через x по условию задачи.




Используя формулу периметра треугольника (в зави­
симости от вида треугольника), составить уравнение.
Решить его.




Найденное значение x является длиной одной из сторон
треугольника. Используя его, найти длины оставшихся
двух сторон.




Записать ответ.




Пусть AC = x см,
тогда AB = BC = (x + 6) см.
PABC = 2 ⋅ AB + AC.
2 ⋅ (x + 6) + x = 33; 2x + 12 + x = 33;
3x = 21; x = 7.
Итак, AC = 7 см,
AB = BC = 7 + 6 = 13 (см).
Ответ: 7 см; 13 см; 13 см.

A

6
x+





x+
6

ПРИМЕР
Найти стороны равнобедренного треугольника, если его пе­
риметр равен 33 см, а основание на 6 см меньше боковой
стороны.
Решение.
B
PABC = 33 см.

x

C

27

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти стороны равнобедренного треугольника, если его
периметр равен 28 м, а боковая сторона на 8 м больше
основания.
2. Одна из сторон треугольника на 52 дм меньше второй
и в 4 раза меньше третьей. Найти стороны треугольника,
если его периметр равен 118 дм.
3. Найти стороны равнобедренного треугольника, если его
периметр равен 70 см, а боковая сторона в 2 раза больше
основания.
Признаки равенства треугольников
I.

По двум сторо­
нам и углу меж­
ду ними

A

A
=

A

A

II. По стороне
и двум приле­
жащим к ней
углам

C

B

C

B

=
B

C

B

A

III. По трем сторо­
нам

C
A

=
B

17

C

B

C

Нахождение длины отрезка, используя признаки
равенства треугольников
АЛГОРИТМ



По чертежу к задаче записать равные элементы двух
треугольников.




Сделать вывод о равенстве рассматриваемых треуголь­
ников, используя признаки равенства треугольников.


28




Так как треугольники равны, то их соответствующие
стороны равны. Записать длину неизвестной стороны
одного из треугольников, соответствующей известной
стороне равного ему треугольника.




Записать ответ.

ПРИМЕР
На рисунке AC = 6 дм, BC = BD, ∠ ABC = ∠ ABD. Найти AD.
C
6 дм
A

B
?
D

Решение.






Рассмотрим  ABC и  ABD:
AB — общая, BC = BD, ∠ ABC = ∠ ABD (по условию).
Отсюда:  ABC =  ABD (по I признаку).
AD = AC, как соответствующие стороны равных тре­
угольников. Значит, AD = 6 дм.
Ответ: 6 дм.
ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО

1. AD = BC, ∠ CBD = ∠ ADB,
CD = 8 см.
Найти AB.

B

C

?

8

A

D
B

2. На рисунке
∠ ABD = ∠ CBD,
∠ ADB = ∠ CDB,
AD = 2,3 м.
Найти DC.
A

D

?

C
29

K

M

3. На рисунке
∠ AMC = ∠ MCK,
∠ KMC = ∠ ACM.
Найти AM,
если CK = 19 дм.

?

19

A

C

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°

B

A

18

C
Теорема

Следствие

Сумма углов треугольника
равна 180°.

У любого треугольника хотя
бы два угла острые.

Нахождение неизвестного угла треугольника,
если два других его угла известны
АЛГОРИТМ



Сложить величины данных двух углов треугольника.




Вычесть полученную сумму из 180°.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Найти неизвестный угол треугольника, если два его угла рав­
ны 62° и 100°.
Решение.
62° + 100° = 162°.





30

180° – 162° = 18°.
Ответ: 18°.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти неизвестный угол треугольника, если два его угла рав­
ны: 1) 45° и 35°; 2) 111° и 30°; 3) 24° и 72°.
ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА
Внешний угол треугольника при данной вершине — угол,
смежный с углом треугольника при этой вершине.
∠ BCM — внешний угол;
∠ BCA — угол при вершине C

B

A

C

M

Теорема
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних
углов, не смежных с ним: ∠ BCM = ∠ A + ∠ B.
Помни!
В любом треугольнике 6 внешних углов (по 2 при каждой
его вершине) и только 3 из них различны.
Важно знать!
Внешний угол треугольника больше любого внутреннего
угла, не смежного с ним.
Нахождение внешнего угла треугольника, если известен
угол треугольника, смежный с ним
АЛГОРИТМ



19

Из 180° вычесть известный угол треугольника.




Записать ответ.
31

ПРИМЕР
A

Найти внешний угол  ABC при вершине B,
если ∠ B = 37°.
Решение.




37°
C

180° – 37° = 143°.

?
B

Ответ: 143°.

Помни!
Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вер­
шине треугольника, равна 360°.
ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти внешний угол треугольника, если внутренний угол тре­
угольника при этой же вершине равен: 1) 101°; 2) 54°; 3) 18°.

20

Нахождение внешнего угла треугольника, если известны
два угла треугольника, не смежные с ним
АЛГОРИТМ



Сложить данные углы треугольника.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Два угла треугольника равны 59° и 86°. Найти внешний угол
треугольника при третьей его вершине.
Решение.
59° + 86° = 145°.




Ответ: 145°.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Два угла треугольника равны: 1) 65° и 13°; 2) 103° и 25°;
3) 71° и 4°. Найти внешний угол треугольника при третьей
его вершине.

32

Нахождение угла при вершине равнобедренного
треугольника
АЛГОРИТМ



21

Найти разность 180° и удвоенного угла при основании
(т.к. углы при основании равнобедренного треугольника
равны, а сумма всех углов треугольника равна 180°).




Записать ответ.
ПРИМЕР

Найти угол при вершине равнобе­
дренного треугольника, если угол
при основании равен 42°.
Решение.




180° – 2 ⋅ 42° = 180° – 84° = 96°.

?
42°

42°

Ответ: 96°.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, если
угол при основании равен: 1) 25°; 2) 60°; 3) 12°.
Нахождение угла при основании равнобедренного
треугольника
АЛГОРИТМ



22

Пусть a — угол при основании равнобедренного треу­
гольника, а b — угол при вершине.
180° –− β
Тогда a
α=
.
2




Записать ответ.

33

ПРИМЕР
Найти угол при основании равнобедренного треугольника,
если угол между его боковыми сторонами равен 80°.
Решение.




180° − β 180° − 80° 100°
=
=
= 50°.
2
2
2
Ответ: 50°.

α=

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти угол при основании равнобедренного треугольника,
если угол при его вершине равен: 1) 40°; 2) 160°; 3) 24°.
Помни!
Углы равностороннего треугольника равны 60°.
ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
Признаки параллельности прямых
Если внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма
внутренних односторонних углов равна 180° и соответствен­
ные углы равны, то прямые параллельны.
5

a
1
b

3
c

4
2

a C b если:
1) ∠ 1 = ∠ 2 или ∠ 3 = ∠ 4
(внутренние накрест лежа­
щие при a C b и секущей c);
2) ∠ 1 + ∠ 3 = 180°
или ∠ 2 + ∠ 4 = 180°
(внутренние односторонние
при a C b и секущей c);
3) ∠ 5 = ∠ 2 (соответственные
углы)

Свойства параллельных прямых
1. Две прямые, параллельные третьей прямой, между собой
параллельны.
2. Если две параллельные прямые пересечены третьей пря­
мой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сум­
ма внутренних односторонних углов равна 180°, соответ­
ственные углы равны.

34

Нахождение углов, образовавшихся при пересечении
двух параллельных прямых секущей,
если известен один из этих углов

23

АЛГОРИТМ
Отметить на рисунке углы, которые получаются при
пересечении двух параллельных прямых секущей.
Обозначить известный угол a. Пусть ∠ 1 = a.
a



b

7 8
1 2
4 3
5 6

c




Записать все пары вертикальных углов (они равны).




Записать все пары внутренних накрест лежащих углов
(они равны).




Найти угол из пары внутренних односторонних углов,
один из которых известен по условию: 180° – a.




Записать величины всех найденных семи углов.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Один из углов, образовавшихся при пересечении двух парал­
лельных прямых секущей, равен 70°. Найти остальные семь
углов.

35

Решение.




Пусть a C b, c — секущая.
∠ 1, ∠ 2, ∠ 3, ∠ 4, ∠ 5, ∠ 6,
∠ 7, ∠ 8 — образовавшиеся
углы. ∠ 2 = 70°.
∠ 2 = ∠ 8, ∠ 1 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 6,
∠ 3 = ∠ 5 как вертикальные.

a

7 8
2 1

b

3 4
6 5

c



∠ 2 = ∠ 4, ∠ 1 = ∠ 3 как внутренние накрест лежащие
при a C b и секущей c.



∠ 2 + ∠ 3 = 180° как внутренние односторонние при
a C b и секущей c. ∠ 3 = 180° – ∠ 2 = 180° – 70° = 110°.




Итак, ∠ 1 = ∠ 3 = ∠ 5 = ∠ 7 = 110°, ∠ 2 = ∠ 4 = ∠ 6 = ∠ 8 = 70°.
Ответ: 110°, 110°, 70°, 110°, 70°, 110°, 70°.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти углы, образовавшиеся при пересечении двух парал­
лельных прямых секущей, если один из них равен:
1) 125°; 2) 33°; 3) 16°.
ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК И ОПИСАННАЯ
ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА
Вписанная окружность
Окружность называется
вписанной в треугольник
(или треугольник, опи­
санный около окружно­
сти), если она касается
всех сторон треугольника.

B
F
α
A

r

r

E
a

O
r
K

C

Радиус вписанной Центр вписанной окружности точ­
окружности — r.
ка O — точка пересечения биссектрис
CF, BK, AE — бис­ треугольника.
α
сектрисы  ABC.
r = ( p − a) tg , где p — полупериметр.
2

36

Описанная окружность
Окружность называется описанной
около треугольника (или треуголь­
ник, вписанным в окружность),
если все вершины треугольника
лежат на окружности.

B

N
α
A

Радиус описанной
окружности — R.
ON, OM, OK —
срединные перпен­
дикуляры к сто­
ронам AB, BC, AC
соответственно.

a

R

M

O
K

C

Центр описанной окружности точ­
ка O — точка пересечения средин­
ных перпендикуляров к сторонам
треугольника.
a
R=
2 sin α

Важно знать!
Расстояние d между центрами вписанной и описанной
окружности d = R2 − 2Rr .
Нахождение радиуса окружности, описанной
около треугольника, если известны его сторона
и противолежащий ей угол

24

АЛГОРИТМ



Записать формулу радиуса окружности, описанной око­
a
ло треугольника: R =
.
2sinα
α




Подставить значения длины стороны a и величины про­
тиволежащего ей угла a в формулу и вычислить R.




Записать ответ.

37

ПРИМЕР
Найти радиус окружности, описанной около треугольника
ABC, если AB = 5 см, ∠ C = 30°.
Решение.



AB
(так как ∠ C лежит против стороны AB).
2 sin ∠C
5
5
R=
=
= 5 (см).
1
2 ⋅ sin 30°
2⋅
2
Ответ: 5 см.
R=




ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти радиус окружности, описанной около треугольника
MNE, если MN = 8 2 м, а ∠ E = 45°.
2. Найти радиус окружности, описанной около треугольника
ABC, если AC = 12 3 см, а ∠ B = 60°.
3. В  MOP MO = 16 см, ∠ P = 135°. Найти радиус окружно­
сти, описанной около  MOP.
Помни!
1
c = mc, где c — гипоте­
2
нуза, mc — медиана, прове­
денная к гипотенузе.
a+b−c
r=
2
R=

c

R
O

a

R

R
b

Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий се­
редины двух сторон треугольника.
B
E

A
38

EF — средняя линия  ABC;
1
EF C AC, EF = AC
2

F

C

Помни!
В каждом треугольнике три средние линии.
Нахождение длины средней линии треугольника
АЛГОРИТМ



25

Выполнить чертеж к задаче. Отметить на нем искомую
среднюю линию.




Средняя линия треугольника равна половине третьей
его стороны. Вычислить ее.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Средняя линия EF треугольника ABC соединяет середины сто­
рон AB и AC соответственно. Найти длину EF, если BC = 34 см.
Решение.
B



E

34
?

A




F

C

1
1
BC = ⋅ 34 = 17 (см).
2
2
Ответ: 17 см.
EF =

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти среднюю линию треугольника, лежащую против сто­
роны, равной: 1) 44 дм; 2) 16 мм; 3) 78 см.

39

26

Нахождение периметра треугольника,
стороны которого являются средними линиями
сторон данного треугольника
АЛГОРИТМ



Найти периметр данного треугольника (сложить длины
всех его сторон).




Периметр треугольника, сторонами которого являются
средние линии данного треугольника, равен половине
периметра данного треугольника. Вычислить его.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Стороны треугольника равны 12 см, 15 см, 17 см. Найти пери­
метр треугольника, вершинами которого являются середины
сторон данного.
Решение.
Пусть дан  ABC, AB = 12 см,
B
BC = 15 см, AC = 17 см; E — се­
редина AB, K — середина BC,
15 K
E
P — середина AC. Тогда EK, KP,
EP — средние линии  ABC.
12
17
A
P
C





P ABC = AB + BC + AC = 12 + 15 + 17 = 44 (см).
1
1
1
P EKP = EK + KP + EP = AC + AB + BC =
2
2
2
1
1
1
= (AC + AC + BC) = P ABC = 44 = 22 (см).
2
2
2
Ответ: 22 см.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Стороны треугольника 6 см, 9 см, 7 см. Найти периметр
треугольника, вершинами которого являются середины
сторон данного треугольника.

40

2. Стороны треугольника равны 25 см, 35 см, 40 см. Найти
периметр треугольника, стороны которого — средние ли­
нии данного треугольника.
3. В  EPK: A, B, C — середины сторон EP, PK, EK соот­
ветственно. Найти P ABC, если EP = 11 дм, PK = 16 дм,
EK = 15 дм.
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Параллелограмм
B

C
O

A

D

AB C CD, BC C AD;
∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ D;
∠A + ∠B = ∠B + ∠C =
∠ C + ∠ D = ∠ A + ∠ D = 180°;
AB = CD, BC = AD;
AO = OC, BO = OD;
AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2);
PABCD = 2(AB + BC)

Нахождение углов параллелограмма, если известен
один из них
АЛГОРИТМ



27

Противолежащие углы параллелограмма равны.
Поэтому противолежащий угол данному углу a равен
ему. Вычислить его.




Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной
стороне, равна 180°. Отсюда соседний угол данного
параллелограмма равен (180° – a). Вычислить его.




Записать найденные углы.




Записать ответ.

41

ПРИМЕР
Один из углов параллелограмма равен 50°. Найти остальные
углы.
Решение.
B
C
Пусть ABCD — данный парал­
лелограмм, ∠ A = 50°.
По свойству параллелограмма:
∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ D, ∠ C = 50°.
50°



A





D

∠ A + ∠ B = 180° как углы параллелограмма, прилежа­
щие к одной стороне.
∠ B = 180° – ∠ A = 180° – 50° = 130°.
Итак, ∠ C = 50°, ∠ B = ∠ D = 130°.
Ответ: 130°, 50°, 130°.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. В параллелограмме ABCD угол D равен 112°. Найти осталь­
ные углы параллелограмма.
2. В параллелограмме KMNP угол M равен 80°. Найти
остальные углы параллелограмма.
3. Найти все углы параллелограмма, если один из них равен 35°.
Помни!
b

a
a

b

Трапеция

A
42

C
я
ова
бок рона
сто

бок
сто овая
ро
на

верхнее
B основание

нижнее
основание

D

BC C AD
∠A + ∠B =
= ∠ C + ∠ D = 180°

Виды трапеции
Равнобокая

Прямоугольная

Средняя линия трапеции
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середи­
ны боковых ее сторон.
B
M

C
l

A

N

MN = l — средняя линия
трапеции ABCD.
BC + AD
MN C AD C BC, MN =
2

D

Вычисление средней линии трапеции
АЛГОРИТМ



28

Выполнить чертеж к задаче.




Записать формулу средней линии трапеции.




Подставить в эту формулу данные значения оснований
трапеции и произвести вычисления.




Записать ответ.

43

ПРИМЕР
Найти среднюю линию трапеции ABND, основания которой
BN и AD равны соответственно 7 см и 11 см.
Решение.
B 7 N
ME — средняя линия трапеции
ABND.
BN + AD
M
E
ME =
.
2
7 + 11
ME =
= 9 (см).
A
D
11
2
Ответ: 9 см.






ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти среднюю линию трапеции MNKP, если MN C KP
и MN = 40 см, KP = 10 см.
2. Основания трапеции равны 16 см и 20 см. Найти ее сред­
нюю линию.
3. В трапеции EFAS основания AF и ES равны 9 дм и 15 дм.
Найти среднюю линию трапеции.

44

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

катет

b

ги

по
c

a

те

ну

за

b
катет

a

c > a, c > b, a + b = 90°.
b
cos α = ;
c
a
sin α = ;
c
a
tg α = ;
b
b
ctg α =
a

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
c2 = a2 + b2. Отсюда: a2 = c2 – b2; b2 = c2 – a2.
Важно знать!
Египетский треугольник—
это прямоугольный треу­
гольник с соотношением
сторон 3 : 4 : 5

5

4
3

Нахождение гипотенузы с прямоугольного треугольника
по его катетам a и b
АЛГОРИТМ



29

Записать формулу теоремы Пифагора: c2 = a2 + b2.




Подставить в нее значения a и b, вычислить c2.




Вычислить c (извлечь квадратный корень из получен­
ного числа).




Записать ответ.
45

Помни!
В любом треугольнике каждая сторона
меньше суммы двух других сторон (не­
равенство треугольника).
a + b > c, a + c > b, b + c > a
(все три неравенства должны выполнять­
ся одновременно).

a

b
c

ПРИМЕР
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см.
Найти его гипотенузу.
Решение.
По теореме Пифагора: c2 = a2 + b2.






c2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169.
с = 169 = 13 (см).
Ответ: 13 см.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если его
катеты равны 6 см и 8 см.
2. В прямоугольном треугольнике заданы катеты 7 дм и 2 дм.
Найти гипотенузу.
3. Катеты прямоугольного треугольника 3 м и 4 м. Найти
гипотенузу.

30

Нахождение неизвестного катета a прямоугольного
треугольника по его гипотенузе c и другому катету b
АЛГОРИТМ



Записать теорему Пифагора в обозначениях, данных
в условии задачи.




Выразить из этой формулы b2. Вычислить его значение.




Извлечь квадратный корень из полученного числа.



46

Записать ответ.

ПРИМЕР
В прямоугольном треугольнике гипотенуза c равна 17 см,
а один из катетов a равен 5 см. Найти второй катет.
Решение.






По теореме Пифагора: c2 = a2 + b2.
b2 = c2 – a2 = 172 – 52 = 289 – 25 = 144.
с = 144 = 12 (см).
Ответ: 12 см.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
В прямоугольном треугольнике заданы гипотенуза c и катет а.
Найти второй катет b, если: 1) c = 50 м, a = 40 м; 2) c = 1 дм,
a = 0,6 дм; 3) c = 8 мм, a = 4 мм.

47

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

y
II

I
y0
O

III

A(x0;y0)
x0

x

IV

Начало координат — т. O (0; 0);
ось абсцисс — x;
ось ординат — y;
I, II, II, IV — координатные
четверти.
Точка лежит на оси x: (x; 0).
Точка лежит на оси y: (0; y).
x0 — абсцисса т. A;
y0 — ордината т. A;
(x0; y0) — координаты точки A

Помни!
Координатные оси взаимно перпендикулярны.
Координаты середины отрезка
x=

x A + xB
y + yB
;y= A
2
2

Точки A(xA; yA), B(xB; yB) —
произвольные точки плоскости;
C(x; y) — середина отрезка AB

Расстояние между двумя точками
1. На числовой оси между точками a и b: d = |a – b|.
2. На плоскости между точками A(xA; yA), B(xB; yB):
d = (x A − xB )2 + (y A − yB )2 или d = (xB − x A )2 + (yB − y A )2

31

Нахождение расстояния между точками
АЛГОРИТМ



Записать формулу расстояния d между точками (x1; y1)
и (x2; y2): d = ( x 2 − x 1 )2 + ( y 2 − y1 )2 .




Подставить в формулу значения соответствующих коор­
динат точек и вычислить искомое расстояние.


48



Записать ответ.

ПРИМЕР
Найти длину отрезка AB, если A(–8: 6), B(4; –2).
Решение.

 d=
2 d=

(xB − x A )2 + (yB − y A )2 .
(4 − (−8))2 + (−2 − 6)2 = (4 + 8)2 + (−8)2 = 122 + 82 = 144 + 64 = 208

(4 + 8)2 + (−8) = 122 + 82 = 144 + 64 = 208 = 16 ⋅ 13 = 4 13 .



Ответ: 4 13.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти расстояние между точками: 1) M(0; 3) и N(–4; 0);
2) E(4; 3) и F(–4; 9); 3) A(–2; –1) и B(3; 4).
Нахождение координат середины отрезка
АЛГОРИТМ



32

Записать формулы для нахождения координат середи­
ны отрезка, если известны координаты его концов (x1; y1)
и (x2; y2):
x + x2
y + y2
x= 1
;y= 1
.
2
2




Подставить в формулы соответствующие значения ко­
ординат концов отрезка и вычислить искомые коорди­
наты.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Найти координаты точки M — середины отрезка AB, если
A(–6; 15), B(4; –3).
Решение.





x A + xB
y + yB
; yM = A
.
2
2
−6 + 4 −2
15 − 3 12
xM =
=
= −1; yM =
=
= 6.
2
2
2
2
Ответ: (–1; 6).
xM =

49

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти координаты середины отрезка AC, если: 1) A(0; –6),
C(–10; 0); 2) A(3; 7), C(2; 1); 3) A(–21; 16), C(34; –10).
ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
z
yz

xz z0

A(x0; y0; z0)
x0

O

y0

y

xy

x

Начало координат — т. O (0; 0; 0).
Координатные оси — x, y, z.
Координатные плоскости:
xy, xz, yz.
(x0; y0; z0) — координаты
точки А:
x0 — абсцисса т. А,
y0 — ордината т. А,
z0 — аппликата т. А

Помни!
z — ось аппликат.
Точка
Точка
Точка
Точка
Точка
Точка

лежит
лежит
лежит
лежит
лежит
лежит

на оси x: (x; 0; 0).
на оси y: (0; y; 0).
на ос z: (0; 0; z).
в плоскости (xy): (x; y; 0).
в плоскости (xz): (x; 0; z).
в плоскости (yz): (0; y; z)
Координаты середины отрезка

x A + xB
y + yB
;y= A
;
2
2
z + zB
z= A
2
x=

Произвольные точки
A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB).
Середина отрезка AB —
точка C(x; y; z)

Расстояние между двумя точками
1. На числовой оси между точками a и b: d = |a – b|.
2. В пространстве между точками А(xA; yA; zA),
B(xB; yB; zB):
d = (x A − xB )2 + (y A − yB )2 + (z A − zB )2
Важно знать!
Расстояние между точками в пространстве находится анало­
гично алгоритму 31, а координаты середины отрезка в про­
странстве — алгоритму 32 с учетом изменения в формулах.
50

УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
И ОКРУЖНОСТИ
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
ax + by + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа; x, y — переменные
Отдельные случаи
1. a = 0, b ≠ 0. Прямая параллельна оси абсцисс или совпа­
c
дает с ней при c = 0: y = − .
b
2. b = 0, a ≠ 0. Прямая параллельна оси ординат или со­
c
впадает с ней при c = 0: x = − .
a
3. c = 0, a ≠ 0, b ≠ 0. Прямая проходит через начало отсче­
та: ax + by = 0
Уравнение прямой на плоскости, проходя­
щей через две заданные точки (x1; y1) и (x2; y2)

y − y1
x − x1
=
y2 − y1 x2 − x1

Уравнение прямой на плоскости в отрезках.
Прямая пересекает ось Ox в точке A(a; 0)
и ось Oy в точке B(0; b)

x y
+ =1
a b

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА ПЛОСКОСТИ
Центр окружности — т. O(a; b).
R — радиус окружности.
(x – a)2 + (y – b)2 = R2

y
R

O

b

a

O

x

Уравнение окружности с центром в начале координат
x2 + y2 = R2

y
R
O

x

51

Помни!
Если т. O(a; b), то уравнение круга: (x – a)2 + (y – b)2 ≤ R2.
Если т. O(0; 0), то уравнение круга: x2 + y2 ≤ R2

33

Составление уравнения прямой, проходящей через
две заданные точки
АЛГОРИТМ



y − y1
x − x1
=
Записать формулу уравнения прямой:
,
y 2 − y1 x 2 − x 1
где (x1; y1), (x2; y2) — данные точки.




Подставить в формулу соответствующие значения коор­
динат данных точек и выразить y через x.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(3; 2),
B(–4; –2).
Решение.






y − yA
x − xA
=
.
yB − y A xB − x A
y −2
x−3 y −2 x−3
=
;
=
; –7(y – 2) = –4(x – 3);
−2 − 2 −4 − 3 −4
−7
–7y + 14 = –4x + 12; –7y = –4x + 12 – 14;
4
2
–7y = –4x – 2; y = x + .
7
7
Ответ: y =

4
2
x + см.
7
7

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Составить уравнение прямой, проходящей через точки:
1) (3; –4) и (–2; 1); 2) (2; 2) и (–3; –3); 3) (–6; 20) и (1; –7).
52

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ ПО ИХ УРАВНЕНИЯМ
Прямая I задается уравнением a1x + b1y + c1 = 0.
Прямая II задается уравнением a2x + b2y + c2 = 0.
Прямые I и II пересекаются:

I

a1 b1
≠
a2 b2 ⋅

II
I

Прямые I и II параллельны:
a1 b1 c1
=
≠
a2 b2 c2

II

I
II

a
a2

1
Прямые I и II совпадают: =

b1 c1
=
b2 c2

Важно знать!
a1
c
x − 1.
b1
b1
a1
c1
= k1, −
= m1, тогда y = k1x + m1.
Если −
b1
b1
Аналогично для прямой II: y = k2x + m2.
Прямые I и II параллельны: k1 = k2.
Прямые I и II перпендикулярны: k1 × k2 = –1.
k — угловой коэффициент прямой.
Из уравнения прямой I получим y: y = −

Нахождение углового коэффициента прямой,
проходящей через две точки
АЛГОРИТМ



34

Записать формулу углового коэффициента k прямой,
y − y1
проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2): k = 2
.
x 2 − x1




Подставить соответствующие значения координат дан­
ных точек в формулу и вычислить k.




Записать ответ.
53

ПРИМЕР
Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки
E(6; 4) и O(3; –2).
Решение.
y − yE
k= O
.
xO − xE
−2 − 4 −6
k=
=
= 2.
3−6
−3
Ответ: 2.





35

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точ­
ки: 1) M(5; –4) и N(1; –6); 2) A(–3; –3) и B(1; 1); 3) K(–7; 8)
и O(6; 8).
Составление уравнения окружности по координатам
ее центра и радиусу
АЛГОРИТМ



Записать общий вид уравнения окружности с центром
в точке (a; b) и радиусом R: (x – a)2 + (y – b)2 = R2.




Подставить соответствующие значения координат цент­
ра данной окружности и ее радиуса в эту формулу.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Составить уравнение окружности с центром в точке O(–2; 5)
и радиусом R = 4.
Решение.





(x – a)2 + (y – b)2 = R2.
(x – (–2))2 + (y – 5)2 = 42; (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16.
Ответ: (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Составить уравнение окружности с центром в точке A и ра­
диусом R, если:
1) A(0; 0), R = 8; 2) 3(–5; –2), R = 0,1; 3) A(4; 9), R = 6.
54

ВЕКТОРЫ
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
Вектор — направленный отрезок.

y
yB

B

yA

A

O

xA

AB — вектор,
т. A — начало вектора,
т. B — конец вектора

xB x

Координаты вектора

AB(xB − x A ; yB − y A ) или a(a1; a2)

Модуль вектора
(абсолютная величина
вектора, длина
вектора)

AB = (xB − x A )2 + (yB − y A )2
или a = a12 + a22

Равные векторы:
a(a1; a2), b (b1; b2)

a

b

a=b ⇒

Нулевой вектор

0

Действия с векторами

a + b = c (a1 + b1; a2 + b2 );

a1 = b1
a2 = b2

λ ⋅ a = (λa1; λa2 );
λ⋅a = λ ⋅ a

Коллинеарные
векторы
Скалярное
произведение
векторов:
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ,
или a ⋅ b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2
Признак
перпендикулярности
векторов

a1 a2
= ; (a C b)
b1
b2
a
ϕ
b
Если a ⋅ b = 0, то a ⊥ b

55

36

Нахождение суммы векторов, если известны координаты
их начал и концов
АЛГОРИТМ



Найти координаты каждого данного вектора (из коор­
динат конца вектора вычесть соответствующие коорди­
наты его начала).




Сложить полученные векторы по правилу сложения
векторов.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Даны точки A(2; –3), B(0; 1), C(–4; 2), D(5; 9). Найти AC + BD.
Решение.





AC = (xC − x A ; yC − y A ) = (−4 − 2; 2 − (−3)) = (−6; 5);
BD = (xD − xB ; yD − yB ) = (5 − 0; 9 − 1) = (5; 8).
AC + BD = (−6; 5) + (5; 8) = (−6 + 5; 5 + 8) = (−1; 13).
Ответ: (−1; 13).

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Даны точки A(0; 1), B(–1; 0), C(1; 0), D(0; –1).
Найти AB + CD .
2. Даны точки P(–8; 3), E(3; –2), K(–5; 0), F(3; 4).
Найти PE + FK.
3. Даны точки O(0; 0), M(3; 8), N(0; –2), R(4; 4).
Найти MO + RN .

56

Нахождение неизвестной координаты вектора по второй
его координате и длине
АЛГОРИТМ



37

Записать формулу длины вектора.




Подставить в нее известные величины.




Выразить и вычислить неизвестную координату вектора.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Длина вектора (абсолютная величина вектора) a равна 60,
a(48; n). Найти n.
Решение.






a = a12 + a22
482 + n2 = 60 ; 482 + n2 = 602.
n2 = 602 – 482 = (60 – 48) ⋅ (60 + 48) = 12 ⋅ 108;
n = 12 ⋅ 108 = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 36 = 2 ⋅ 3 ⋅ 6 = 36.
Ответ: 36.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Абсолютная величина вектора b(24; m) равна 25. Найти m.
2. Найти x, если абсолютная величина вектора a(9; x) равна 15.
3. Абсолютная величина вектора c (y; 20) равна 25. Найти y.

57

ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
1. По двум углам:
∠ A = ∠ A 1, ∠ C = ∠ C 1

B

C

A
2. По двум пропорциональ­
ным сторонам и углу
между ними:
AB
BC
∠ B = ∠ B1,
=
A1B1 B1C1
3. По трем пропорциональ­
ным сторонам:
AB
BC
AC
= =
A1B1 B1C1
A1C1

B1
A1

C1

B

B1
C

A

A1

C1

B

B1
C

A

A1

C1

Помни!
Знак, обозначающий подобие фигур: ".
В подобных треугольниках соответствующие углы равны.
Важно знать!
Преобразование одной фигуры в другую называется пре­
образованием подобия, если при этом преобразовании рас­
стояния между точками изменяются в одинаковое число
раз.
СВОЙСТВА ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Прямая, параллельная сторо­
не треугольника, пересекаю­
щая две его другие стороны,
отсекает от него треугольник,
подобный данному.
Если l C AC, l ∩ AB = A1,
l ∩ BC = C1,
тогда  ABC "  A1BC1

58

B
A1
A

C1
C

l

Соответствующие высоты по­
добных треугольников отно­
сятся как соответствующие
стороны (k — коэффициент
A
подобия):
BE
AC
BC
AB
= = = = k
B1E1
A1C1 B1C1
A1B1

B

B1
E

C

A1

Периметры подобных тре­
угольников относятся как их
соответствующие линейные
измерения (стороны, высоты,
медианы, биссектрисы)

P∆ABC
AB
=
=k
P∆A1B1C1
A1B1

Отношение площадей подоб­
ных треугольников равно ква­
драту коэффициента подобия

S∆ABC
 AB 
=
= k2
S∆A1B1C1  A1B1 

E 1 C1

2

Важно знать!
Прямая, параллельная сторо­
не треугольника, пересекаю­
щая две его другие стороны,
делит эти стороны на пропор­
циональные отрезки

B
A1

C1 l

A

l C AC
BA1 BC1
=
AA1 CC1

C

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
1. При преобразовании подобия точки, лежащие на одной
прямой, переходят в точки, лежащие на одной прямой,
порядок их взаимного расположения сохраняется.
2. При преобразовании подобия прямые переходят в прямые,
полупря­мые — в полупрямые, а отрез­ки — в отрезки.
3. При преобразовании подобия сохраняются углы между по­
лупрямыми.
Высота прямоугольного
треугольника, опущен­
ная из вершины прямого
угла, разбивает его на два
треугольника, подобных
данному.

C
A

E B
 ACB "  AEC,  BCA "  BEC

59

Теорема Менелая
Если на сторонах AB и BC треуголь­
ника ABC взяты соответственно точ­
ки C1 и A1, а на продолжении сто­
роны AC — точка B1, то для того,
чтобы точки A1, B1, C1 принадлежа­
ли одной данной прямой, необходи­
мо и достаточно, чтобы выполня­
лось равенство:
AC1 BA1 CB1
⋅
⋅
=1
C1B A1C B1 A

C1

B
A1

A

C

B1

Обобщенная теорема Фалеса
Параллельные прямые, пересека­
ющие две данные прямые и отсе­
кающие на одной прямой равные
отрезки, отсекают равные отрезки
и на другой прямой.
Если A1B1 C A2B2 C A3B3,
A1A2 = A2A3, тогда B1B2 = B2B3

a A
b

A1

A2

B

A3

B1
B2
B3

38

Нахождение неизвестной стороны одного из подобных
треугольников
АЛГОРИТМ



Выполнить рисунок к задаче.




Записать равенства отношений соответствующих сто­
рон подобных треугольников.




Оставить то равенство отношений, которое содержит
одно неизвестное — искомую сторону, и найти это неиз­
вестное, решив полученную пропорцию.



60

Записать ответ.

ПРИМЕР
Треугольники ABC и MNE подобны.
Найти AB, если MN = 8 см, BC = 12 см, NE = 24 см.
Решение.
N


B
?
A

8

24

12
C

M

E



AB
BC
AC
Так как по условию  ABC "  MNE, то = =
.
MN NE ME




MN ⋅ BC 8 ⋅ 12
AB
BC
=
= 4 (см).
=
; AB =
NE
MN NE
24 2
Ответ: 4 см.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти BC, если  EON "  ACB, EN = 3 см, ON = 5 см,
AB = 48 см.
2. Треугольники KRN и ABC подобны, KR = 2,1 см,
AB = 6,3 см, AC = 7,2 см. Найти KN.
3. Известно, что  A1B1C1 "  ABC, A1C1 = 32 м, A1B1 = 28 м,
AC = 4 м. Найти AB.

61

ВПИСАННЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ
УГЛЫ
ПЛОСКИЙ УГОЛ
Угол разбивает плоскость на две части, каждая из которых
называется плоским углом.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ УГОЛ
Плоские углы с общими сторонами называются дополни­тель­
ными.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ И ВПИСАННЫЙ УГЛЫ
Центральным углом называется плоский угол с вершиной
в центре окружности, стороны которого пересекают эту
окружность.
Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит
на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
Угол, вписанный в окруж­
ность, равен половине со­
ответствующего централь­
ного угла.
∠ ABC — вписанный,
∠ AOC — центральный
Вписанные углы,
опирающиеся на одну
дугу, равны

B
α
O
A
C

C1
α

α
α

O

Вписаные углы, опираю­щи­
е­ся на одну хорду, равны.
∠ ABC = ∠ CKA,
т. к. они опираются на хор­
ду AC

C

O

K

B

K

A

C
62

C2
B

A

Вписанный угол, опираю­
щийся на диаметр, являет­
ся прямым

C

2α

Нахождение центрального угла по соответствующему
ему вписанному углу в окружность
АЛГОРИТМ



39

Величину данного вписанного угла умножить на 2.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Найти центральный угол, если вписанный угол в окружность,
опирающийся на ту же дугу, равен 40°.
Решение.




40° ⋅ 2 = 80°.
Ответ: 80°.

40°
O
80°

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти центральный угол, если вписанный угол, соответству­
ющий ему, равен: 1) 60°; 2) 15°; 3) x°.
Нахождение вписанного угла по соответствующему
центральному углу
АЛГОРИТМ



40

Величину данного угла разделить на 2.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Найти величину вписанного угла, если соответствующий ему
центральный угол равен 110°.
Решение.




110° : 2 = 55°.

55°
O

Ответ: 55°.
110°

63

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Найти вписанный угол, если величина соответствующего ему
центрального угла, равна: 1) 94°; 2) 160°; 3) 4a°.
ДУГА ОКРУЖНОСТИ
Часть окружности, расположенную между сторонами цент­
рального угла, называют дугой окружности: ∪ AC, соответст­
вующая этому центральному углу.
Помни!
Центральный угол AOC опирается на ∪ AC.
∠ AOC и ∪ AC имеют одинаковые градусные меры.
Вписанный угол ABC опирается на ∪ AC, тогда ∠ABC =
Угол с вершиной внутри
окружности измеряется
полусуммой дуг, на кото­
рые опирается данный угол
и вертикальный ему угол.
∪ AD + ∪ BC
∠AED =
2
Если вершина угла лежит
за пределами окружности,
а его стороны пересекают
эту окружность, то вели­
чина угла равна полураз­
ности большей и меньшей
дуг, находящихся между
его сторонами.
∪ BC − ∪ EF
∠BAC =
2
Величина угла между ка­
сательной и хордой, кото­
рая проходит через точку
касания, равна половине
дуги, лежащей между его
сторонами.
1
∠BAC = ∪ AB
2

64

C
E

1
∪ AC.
2

B

O

A
D

E
B

A
F

O

C

C

A
O

B

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

c

Квадрат любой стороны тре­
угольника равен сумме квадра­
тов двух его сторон без удвоен­
ного произведения этих сторон
на косинус угла между ними.
a2 = c2 + b2 – 2bc ⋅ cos a.

a
a
b

Следствия:
b2 + c2 − a2
1) cos α =
.
2bc
2) ∠ a — тупой, если –1 ≤ cos a < 0 (или a2 > b2 + c2);
∠ a — острый, если 0 < cos a ≤ 1 (или a2 < b2 + c2).
3) ∠ a — прямой, если cos a = 0.
Определение вида треугольника, если известны
его стороны
АЛГОРИТМ



41

Найти квадраты данных сторон треугольника a2, b2, c2.


2



2

2

Если a > b + c , то противолежащий стороне a угол ту­
пой (если a2 < b2 + c2, то противолежащий стороне a угол
острый; если a2 = b2 + c2, то противолежащий стороне a
угол прямой).




Сделать вывод.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Определить вид треугольника, если его стороны равны 4 см,
5 см, 6 см.
Решение.




42 = 16; 52 = 25; 62 = 36.
16 < 25 + 36; 25 < 16 + 36; 36 < 16 + 25.
65




Значит, углы, лежащие против данных сторон, острые.
Ответ: треугольник остроугольный.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Определить вид треугольника, если его стороны равны:
1) 5 м, 13 м, 12 м; 2) 8 дм, 4 дм, 7 дм; 3) 5 мм, 8 мм, 6 мм.
ТЕОРЕМА СИНУСОВ

b

c

a

a

g

a
b
c
=
=
= R,
sin α sin β sin γ
где R — радиус окруж­
ности, описанной около
треугольника.

b
Помни!
Если в треугольнике есть тупой угол, то противолежащая
ему сторона наибольшая.

42

Нахождение неизвестной стороны треугольника
с помощью теоремы синусов
АЛГОРИТМ



Выполнить чертеж к задаче.




Записать теорему синусов.




Из записанных равенств выбрать одно, в котором есть
одна неизвестная величина — сторона треугольника, ко­
торую нужно найти.




Найти неизвестный член полученной пропорции.



66

Записать ответ.

ПРИМЕР
В треугольнике AMC AM = 4 2 см, ∠ C = 45°, ∠ A = 120°.
Найти сторону MC.
Решение.
M



?
4 2

120°
45°
A

C



AM
MC
AC
=
=
.
sin ∠C sin ∠A sin ∠M
AM
MC
Отсюда:
=
.
sin ∠C sin ∠A



AM ⋅ sin ∠A 4 2 ⋅ sin 45°
MC =
=
=
sin ∠C
sin 120°



По теореме синусов:

4 2 ⋅ sin 45°
=
=
sin 120°



2
2 = 4 2⋅ 2⋅2 = 8 = 8 3
3
2⋅ 3
3
3
2

4 2⋅

2
2 = 4 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 = 8 3 (см).
3
2⋅ 3
3
3
2

4 2⋅

Ответ:

8 3
(см).
3
ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО

1. В треугольнике EBC EB = 4 2 см, ∠ C = 45°, ∠ E = 30°.
Найти сторону BC.
2. В треугольнике MNK NK = 6 3 см, ∠ M = 120°, ∠ N = 30°.
Найти сторону MK.
3. В треугольнике ABC AC = 4 3 см, ∠ C = 45°, ∠ B = 60°.
Найти сторону AB.

67

43

Нахождение радиуса окружности, описанной около
треугольника с помощью теоремы синусов
АЛГОРИТМ



Выполнить чертеж к задаче.




Записать формулу вычисления R: R =

a
.
α
sinα




Вычислить значение R.




Записать ответ.

ПРИМЕР
В треугольнике ABC AB = 6 2 см, ∠ C = 45°. Найти радиус
окружности, описанной около этого треугольника.
Решение.
B



6 2
45°
C

A
AB
.
sin ∠C



R=



R=



Ответ: 12 см.

6 2
6 2
=
= 6 ⋅ 2 = 12 (см).
sin 45°
2
2

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. В треугольнике ABC AC = 4 3 см, ∠ B = 60°. Найти радиус
окружности, описанной около  ABC.
2. В треугольнике ABC BC = 12 дм, ∠ A = 30°. Найти радиус
окружности, описанной около  ABC.
3. В треугольнике MOP MP = 5 2 см, ∠ O = 135°. Найти ра­
диус окружности, описанной около  MOP.
68

ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
S=

1
a ⋅ ha
2

S=

1
ab sin α
2

p=

a+b+c
2

ha
a

a
α
b

a

b
c

Формула Герона

S=

R — радиус описанной
окружности

S=

r — радиус вписанной
окружности

p( p − a)( p − b)( p − c)
abc
4R

S=p⋅r
S=

ab
2

S=

a2 3
4

a
b

a

Помни!
Равновеликими называются фигуры, площади которых
равны.
69

44

Вычисление площади треугольника
АЛГОРИТМ



Выполнить чертеж к задаче.




По условию задачи подобрать и записать одну из фор­
мул для вычисления площади треугольника.




Подставить в формулу данные из условия задачи и вы­
числить площадь данного треугольника.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Найти площадь треугольника, две стороны которого равны
8 см и 7 см, а угол между ними 60°.
Решение.
Пусть дан треугольник ABC,
∠ A = 60°, AB = 7 см,
B
AC = 8 см.
Запишем формулу вычисле­
7
ния площади треугольника
по двум сторонам и углу меж­
60°
ду ними.
C
8
A
1
S∆ABC = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin ∠ A .
2




1
3
⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ sin 60° = 28 ⋅
= 14 3 (см2).
2
2



S∆ABC =



Ответ: 14 3 см2.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти площадь треугольника, стороны которого равны
7 дм, 8 дм и 3 дм.
2. Найти площадь треугольника, если одна из его сторон равна
16 см, а высота треугольника, проведенная к ней, — 9 см.
3. Найти площадь равностороннего треугольника, сторона
которого 8 3 см.
70

ПЛОЩАДИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ
Параллелограмм
S = a ⋅ ha

ha
a

S = ab sin a

a
α
b

d1
ϕ

S=

1
d1 ⋅ d2 ⋅ sin ϕ
2

d2
Прямоугольник
S = ab

a
b
d
ϕ

S=

1 2
d sin ϕ
2

d
Квадрат
S = a2

a

a
71

S=

d

1 2
d
2

d

Ромб
S=

1
a ⋅ ha
2

S=

1
d1 ⋅ d2
2

ha
a
d1
d2
3 = a2 sin a

a
α
a
Трапеция

a

S=

a+b
⋅ ha
2

S=

1
d1 ⋅ d2 ⋅ sin ϕ
2

ha
b
ϕ
d1

72

d2

Вычисление площади четырехугольника
АЛГОРИТМ



45

Выполнить чертеж к задаче.




Подобрать одну из формул для вычисления площади
четырехугольника по условию задачи.




Вычислить площадь четырехугольника, подставив
в формулу данные из условия задачи.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Найти площадь параллелограмма, диагонали которого равны
12 см и 16 см, а угол между ними 30°.
Решение.
Пусть ABCD — данный
B
C
параллелограмм,
16
O
AC = 16 см, BD = 12 см,
30°
 AOB = 30°.
12
1
S ABCD = AC ⋅ BD ⋅ sin ∠AOB.
A
D
2
1
1
S ABCD = ⋅ 16 ⋅ 12 ⋅ sin 30° = 96 ⋅ = 48 (см2).
2
2
2
Ответ: 48 см .






ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти площадь параллелограмма, две стороны которого
равны 10 дм и 5 2 дм, а угол между ними 45°.
2. Вычислить площадь трапеции, основания которой равны
11 см и 19 см, а высота — 12 см.
3. Найти площадь ромба, сторона которого 26 см, а высота,
проведенная к ней, равна 10 см.

73

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
И ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ
ПРИЗМА
Pосн

Периметр основания
Площадь полной поверхности

Sn

Периметр перпендикулярного сечения

Pп.с

Площадь боковой поверхности

Sб

Площадь основания

Sосн

Площадь перпендикулярного сечения

Sп.с

Боковое ребро

a

Объем

V
Прямая призма

A

h = a,
Sб = Pосн ⋅ h,
Sп = Sб + 2Sосн,
V = Sосн ⋅ h

B
D

a

C

A1

B1

D1

C1

Наклонная призма
B
D

A
a

C

h
C1

B1
A1

Перпендикулярное сечение —
заштрихованная часть.
Sб = Pп.с ⋅ a,
Sп = Sб + 2Sосн,
V = Sосн ⋅ h = Sп.с ⋅ a

D1

Помни!
Если некий многоугольник является перпендикулярным се­
чением призмы, то его внутренние углы являются линей­
ными углами двугранных углов между соответствующими
боковыми гранями.
74

Важно знать!
Прямая призма, в основании которой лежит правильный
многоугольник, называется правильной.
В случае прямой призмы линейными углами двугран­
ных углов между боковыми гранями являются углы при
основании.
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Наклонный параллелепипед

B

C

α

A

D
c
C1

h
ϕ B1
A1

Заштрихованная часть — пер­
пендикулярное сечение.
Sб = c ⋅ Pп.с,
Sп = Sб + 2Sосн,
V = Sосн ⋅ h,
V = abc ⋅ sin j ⋅ sin a

b

a

D1
Прямой параллелепипед

B
A

C

α

D
c

B1

a
A1

C1

Боковые ребра перпендикуляр­
ны основаниям.
ABCD — параллелограмм.
h = c,
Sб = 2c(a + b),
V = abc sin a

D1

b

Прямоугольный параллелепипед

B

C

A

d
B1

D
c
a

A1

b

D1

C1

ABCD — прямоугольник.
Высота — боковое ребро,
d — диагональ,
a, b — стороны основания,
c — боковое ребро,
Sб = (a + b) ⋅ 2c,
Sп = 2(ab + bc + ac),
V = abc,
d2 = a2 + b2 + c2
75

Куб
a — ребро куба,
Sб = 4a2,
Sп = 6a2,
V = a3

a
a
a

46

Вычисление площади поверхности и объема
многогранника
АЛГОРИТМ



Выполнить чертеж к задаче.




По условию задачи выбрать необходимую формулу для
вычисления площади боковой поверхности призмы, или
площади полной поверхности, или объема призмы.




Подставить в эту формулу значения из условия задачи
и вычислить искомую величину.




Записать ответ.

ПРИМЕР
Основанием прямой призмы является правильный шести­
угольник со стороной 3 см, а боковое ребро призмы равно
8 см. Найти площадь боковой поверхности призмы.
Решение.
Sб.п = Pосн ⋅ H, где Pосн — пе­
риметр основания призмы,
H — длина бокового ребра
прямой призмы.
8 см





3 см
76



Sб.п = 6 ⋅ 3 ⋅ 8 = 144 (см2).



Ответ: 144 см2.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти площадь поверхности и объем куба с ребром 7 см.
2. Основанием прямой призмы является треугольник со сторо­
нами 13 см, 14 см, 15 см. Найти объем призмы и площадь
ее боковой поверхности, если ее боковое ребро равно 5 см.
3. Найти площадь поверхности и объем прямоугольного па­
раллелепипеда, линейные измерения которого 10 м, 8 м,
6 м.
ПИРАМИДА

S

l
A

β
E

BH
O

C
α
D

Sб равна сумме площадей боко­
вых граней,
Sп = Sб + Sосн,
1
V = Sîñí ⋅ H.
3
Апофема — l, высота — H,
полупериметр основания — p,
полная поверхность — Sп,
площадь основания — Sосн,
площадь боковой
поверхности — Sб,
объем — V

Свойства пирамиды
1. Если боковые ребра пирамиды наклонены к плоско­
сти основания под одинаковым углом a (т. O — центр
окружности, описанной около основания), тогда:
•• все боковые ребра равны: SA = SE = SD = SC = SB = b;
•• вершина проектируется в центр окружности, описанной
около основания.
Радиус R описанной окружности: R = bcos a.
Высота H: H = bsin a или H = R tg a
2. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости
основания под одинаковым углом b, тогда:
•• все высоты боковых граней (апофемы) равны l;
•• вершина проектируется в центр окружности, вписанной
в основание (т. O — центр вписанной в основание окруж­
ности).
Радиус r вписанной окружности: r = l cos b.
Высота H: H = r tg b или H = l sin b.
Площадь S: Sосн = Sб ⋅ cos b, Sб = pl, Sосн = pr

77

Усеченная пирамида

A1
S1

B1

lC H
1

A

B

S2

S п = S б + S1 + S 2
S1, S2 — площади оснований,
H — высота,
l — апофема,
p1, p2 — полупериметры
оснований

O
C
Sб = l(p1 + p2),
H
V =
S1 + S2 + S1 ⋅ S2
3

Для правильной
усеченной пирамиды

(

)

Правильная треугольная пирамида

S
b
l
A

β

H
O

α
a

B

r = lcosb, R = bcosa,
a = b 3cos a,
a = 2l 3cos b,
2l 3cos b = b cos a,
a2 H 3
V =
,
12
3al
Sá =
, Sосн = Sб cos b
r

C

47

Вычисление площади поверхности или объема пирамиды
АЛГОРИТМ



Выполнить чертеж к задаче.




Выбрать формулу для вычисления по условию задачи.




Подставить данные из условия задачи в формулу и вы­
числить искомую величину.



78

Записать ответ.

Помни!
Основания усеченной пирамиды — подобные многоуголь­
ники.
Пирамида называется правильной, если ее основание —
правильный многоугольник, а основание высоты является
центром этого многоугольника.
ПРИМЕР
Найти объем пирамиды, в основании которой лежит правиль­
ный треугольник со стороной 12 см, а высота пирамиды равна
6 см.
Решение.



S

6
A

B
O

12



C
SO ⊥ (ABC)
1
V = S ABC ⋅ SO.
3



V =



Ответ: 72 3 см3.

1 BC2 3
1 122 ⋅ 3
⋅
⋅ SO = ⋅
⋅ 6 = 72 3 (см3).
3
4
3
4

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти объем пирамиды, основание которой — квадрат со
стороной 6 см, а высота пирамиды равна 9 см.
2. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, в основа­
нии которой лежит равносторонний треугольник со сторо­
ной 2 см, а апофема равна 3 см.
3. Высота боковой грани пирамиды равна 4 дм, основание —
квадрат со стороной 5 дм. Найти площадь поверхности
пирамиды.

79

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
ЦИЛИНДР

A

O1
B
H

D

R

O

l
R
C

O1

R — радиус основания,
H — высота,
Sб — боковая поверхность,
Sп — полная поверхность,
V — объем,
l — образующая,
OO1 — ось цилиндра.
Прямоуголник ABCD — осевое сечение.
l = H,
Sб = 2pR ⋅ H,
Sп = 2pR (R + H) (Sп = 2Sосн + Sб),
Sп = 2pRH + 2pR2,
V = pR2H
Сечением цилиндра плоскостью, парал­
лельной его основанию, является окруж­
ность, равная основанию цилиндра

O
O1

Сечением цилиндра плоскостью, парал­
лельной его оси, является прямоуголь­
ник, две стороны которого — образующая
цилиндра, а две другие — параллельные
хорды

O
Помни!
Касательная плоскость к цилиндру — плоскость, прохо­
дящая через образующую прямого цилиндра и перпен­
дикулярную осевому сечению, проведенному через эту
образующую.
80

КОНУС

S

l

H

l
B

R O
A
S

O1 Sсег
H
R

l — образующая,
SO — ось цилиндра.
Равнобедренный  ASB — осевое
пересечение.
Sб = pRl,
Sп = Sосн + Sб,
Sп = pR (R + l),
1
V = πR2 H
3
Площадь сечения конуса, параллельного
основанию.
OS = H, SO1 = 1,
d2
Sñå ÷ = πR2 ⋅ 2 ,
H
d — диаметр основания

O
S

S∆ASB =

S∆AOB
,
cos ∠SDO

Sîñí
,
cos β
Sосн — площадь основания,
β — угол наклона образующей конуса
к его основанию

Sá =

A

O
D

B

 ASB — сечение конуса, пересекающее основание конуса
по хорде AB.
∠ AOB — угол, под которым видно хорду AB из центра
основания.
∠ ASB — угол, под которым видно хорду AB из вершины
конуса.
 ASB — равнобедренный (SA = SB).
 AOB — равнобедренный (OA = OB = R).
OD — биссектриса, медиана, высота  AOB — расстояние
от т. O до AB.
81

SD — расстояние от точки S до хорды AB.
∠ SDO — линейный угол двугранного угла между плоско­
стью сечения (ASB) и плоскостью основания (AOB)
Усеченный конус

B

A

R, r — радиусы оснований.
Равнобокая трапеция ABCD —
осевое сечение.
H
l
Sб = pl(R + r),
2
2
S
п = p(R + r + l(R + r)),
D
1
O R
V = πH (R2 + Rr + r 2 )
3

r

C

Помни!
Высота усеченного конуса — расстояние между плоскостя­
ми его оснований.
Помни!
Высота усеченного конуса равна длине отрезка оси, кото­
рый находится между плоскостями оснований.
Важно знать!
Осевое сечение усеченного конуса — равнобокая трапеция,
у которой основания — диаметры оснований усеченного ко­
нуса; боковые стороны — образующие; высота — высота
усеченного конуса.
ШАР. СФЕРА

H
R

82

O

R — радиус шара (сферы).
H — высота сегмента.
Поверхность шара — сфера.
4
Vø = πR3 — объем шара.
3 2
Sсф = 4pR (площадь сферы —
площадь поверхности шара)

Шаровой пояс
Высота пояса — H.
Радиусы оснований r1, r2.
R — радиус шара.
S = 2pRH,
1
V = πH 3 (3 R − H )
3

r1
H

O

r2

Шаровой сектор

H

r
R

O

Радиус основания сегмента,
входящего в сектор — r.
Радиус шара — R.
Высота сегмента — H.
S = pR(2H + r),
2
V = πR2 H
3

Вычисление поверхностей и объемов цилиндра и конуса
АЛГОРИТМ



48

Выполнить чертеж к задаче.




Записать формулу, необходимую для нахождения неиз­
вестной величины по условию задачи.




Подставить данные из условия задачи в формулу и вы­
числить необходимые значения.




Записать ответ.

83

ПРИМЕР
Радиус основания цилиндра равен 6 см, а его образующая —
7 см. Найти объем цилиндра.
Решение.



O1
A
7
O





6

B

V = Sосн ⋅ H, Sосн = πr2, H = AB.
V = π ⋅ 62 ⋅ 7 = 252π (см3).
Ответ: 252π см3.

ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найти площадь поверхности цилиндра, радиус основания
которого равен 10 см, а высота — 9 см.
2. Радиус основания конуса — 12 дм, а высота конуса —
5 дм. Найти площадь поверхности и объем конуса.
3. Найти площадь поверхности и объем шара, радиус которо­
го равен 6 см.

84

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ
«ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО»
АЛГОРИТМ 1
1. 11,1 дм.
2. 12,2 м.
3. 1,882 дм.
4. 820 м.
АЛГОРИТМ 2
1. 10,8 м.
2. 1,6 дм.
3. 0,4 см.
4. 11 дм.
АЛГОРИТМ 3
1. M лежит между точек K и L.
2. A лежит между точек E и B.
3. B лежит между точек A и C.
АЛГОРИТМ 4
1. 16 см и 9 см.
2. 4 м и 32 м.
3. 20 мм и 12 мм.
АЛГОРИТМ 5
1. 21 см и 33 см.
2. 56 дм и 32 дм.
3. 55 мм и 75 мм.
АЛГОРИТМ 6
1. 101°.
2. 83°.
3. 73°.
АЛГОРИТМ 7
1. 47°.
2. 23°.
3. 36°.
АЛГОРИТМ 8
1. 32° и 53°.
2. 16° и 96°.
3. 72° и 108°.

85

АЛГОРИТМ 9
1. 33°.
2. 64°.
3. 45°.
АЛГОРИТМ 10
1. 164°.
2. 56°.
3. 90°.
АЛГОРИТМ 11
1. MP = 12 см, ∠ M = 83°.
2. KE = 54 дм, NG = 45 дм, AN = 24 дм, ∠ G = 36°, ∠ S = 126°, ∠ A = 18°.
3. 29°.
АЛГОРИТМ 12
1. 140°.
2. 64°.
3. 53°.
АЛГОРИТМ 13
1. 74°; 106°; 74°.
2. 148°; 32°; 148°.
3. 63°; 117°; 63°.
АЛГОРИТМ 14
1. 19°; 161°; 19°; 161°.
2. 80°; 100°; 80°; 100°.
3. 42°; 138°; 42°; 138°.
АЛГОРИТМ 15
1. 40 см.
2. 33 дм.
3. 51 м.
АЛГОРИТМ 16
1. 4 м; 12 м; 12 м.
2. 11 дм; 63 дм; 44 дм.
3. 14 см; 28 см; 28 см.
АЛГОРИТМ 17
1. 8 см.
2. 2,3 м.
3. 19 дм.

86

АЛГОРИТМ 18
1. 100°.
2. 39°.
3. 84°.
АЛГОРИТМ 19
1. 79°.
2. 126°.
3. 162°.
АЛГОРИТМ 20
1. 78°.
2. 128°.
3. 75°.
АЛГОРИТМ 21
1. 130°.
2. 60°.
3. 156°.
АЛГОРИТМ 22
1. 70°.
2. 10°.
3. 78°.
АЛГОРИТМ 23
1. Три угла по 125° и четыре — по 55°.
2. Три угла по 33° и четыре — по 147°.
3. Три угла по 16° и четыре — по 164°.
АЛГОРИТМ 24
1. 8 м.
2. 12 см.
3. 8 2 см.
АЛГОРИТМ 25
1. 22 дм.
2. 8 мм.
3. 39 см.
АЛГОРИТМ 26
1. 11 см.
2. 50 см.
3. 21 дм.

87

АЛГОРИТМ 27
1. 68°; 112°; 68°.
2. 100°; 80°; 100°.
3. 145°; 35°; 145°.
АЛГОРИТМ 28
1. 25 см.
2. 18 см.
3. 12 дм.
АЛГОРИТМ 29
1. 10 см.
2. 53 дм.
3. 5 м.
АЛГОРИТМ 30
1. 30 м.
2. 0,8 дм.
3. 48 мм = 4 3 мм.
АЛГОРИТМ 31
1. 5.
2. 10.
3. 5 2.
АЛГОРИТМ 32
1. (–5; –3).
2. (2,5; 4).
3. (6,5; 3).
АЛГОРИТМ 33.
1. y = –x – 1.
2. y = x.
6
1
3. y = −3 x − 3 .
7
7
АЛГОРИТМ 34
1
1. .
2
2. 1.
3. 0.
АЛГОРИТМ 35
1. x2 + y2 = 64.
2. (x + 5)2 + (y + 2)2 = 0,01.
3. (x – 4)2 + (y – 9)2 = 36.
88

АЛГОРИТМ 36
1. (−2; − 2).
2. (3; − 9) .
3. (−7; − 14).
АЛГОРИТМ 37
1. 7.
2. 12.
3. 15.
АЛГОРИТМ 38
1. 80 см.
2. 2,4 см.
3. 3,5 м.
АЛГОРИТМ 39
1. 120°.
2. 30°.
3. 2x°.
АЛГОРИТМ 40
1. 47°.
2. 80°.
3. 2a°.
АЛГОРИТМ 41
1. Прямоугольный.
2. Остроугольный.
3. Тупоугольный.
АЛГОРИТМ 42
1. 4 см.
2. 6 см.
3. 4 2 см.
АЛГОРИТМ 43
1. 8 см.
2. 24 дм.
3. 10 см.
АЛГОРИТМ 44
1. 6 3 дм2.
2. 72 см2.
3. 48 3 см2.

89

АЛГОРИТМ 45
1. 50 дм2.
2. 180 см2.
3. 260 см2.
АЛГОРИТМ 46
1. 294 см2; 343 см3.
2. 420 см3; 210 см2.
3. 376 см2; 480 м3.
АЛГОРИТМ 47
1. 108 см3.
2. 9 см2.
3. 65 дм2.
АЛГОРИТМ 48
1. 380π см2.
2. 300π дм2; 240π дм3.
3. 144π см2; 288π см3.

90

СПИСОК АЛГОРИТМОВ
А 1. Нахождение длины отрезка, если известны
длины его частей���������������������������������������� 6
А 2. Нахождение длины части отрезка, если
известна длина всего отрезка и одной
из его частей �������������������������������������������� 7
А 3. Определение расположения точек
на прямой ������������������������������������������������ 8
А 4. Нахождение длин частей отрезка с помощью
уравнения, если в условии указано, что они
сравниваются �������������������������������������������� 9
А 5. Нахождение длин частей отрезка,
если он делится своей точкой на части,
пропорциональные данным числам �������������10
А 6. Нахождение величины угла, если известны
его части �������������������������������������������������13
А 7. Нахождение части угла, если известна
величина всего угла и другой его части �������14
А 8. Нахождение частей угла с помощью
уравнения, если известна зависимость
между ними ���������������������������������������������15
А 9. Нахождение частей угла, на которые его
делит биссектриса �����������������������������������17
А 10. Нахождение угла, если известна его часть
между стороной и биссектрисой �����������������17
А 11. Нахождение неизвестных сторон и углов
равных треугольников�������������������������������19
А 12. Нахождение угла, смежного данному ���������21
А 13. Нахождение углов, образовавшихся
при пересечении двух прямых, если один
из углов известен �������������������������������������22
91

А 14. Нахождение углов, образовавшихся при
пересечении двух прямых, если известна
сумма двух из них�������������������������������������23
А 15. Вычисление периметра треугольника,
если известны его стороны�������������������������26
А 16. Нахождение сторон треугольника,
если известны зависимость между ними
и периметр треугольника���������������������������27
А 17. Нахождение длины отрезка, используя
признаки равенства треугольников �������������28
А 18. Нахождение неизвестного угла
треугольника, если два других его угла
известны �������������������������������������������������30
А 19. Нахождение внешнего угла треугольника,
если известен угол треугольника, смежный
с ним�������������������������������������������������������31
А 20. Нахождение внешнего угла треугольника,
если известны два угла треугольника,
не смежные с ним �����������������������������������32
А 21. Нахождение угла при вершине
равнобедренного треугольника �������������������33
А 22. Нахождение угла при основании
равнобедренного треугольника �������������������33
А 23. Нахождение углов, которые получаются
при пересечении двух параллельных
прямых секущей, если известен
один из них ���������������������������������������������35
А 24. Нахождение радиуса окружности,
описанной около треугольника,
если известны его сторона
и противолежащий ей угол�������������������������37
А 25. Нахождение углов параллелограмма,
если известен один из них �������������������������39
А 26. Вычисление средней линии трапеции ���������41
92

А 27. Нахождение средней линии
треугольника �������������������������������������������42
А 28. Нахождение периметра треугольника,
стороны которого являются средними
линиями сторон данного треугольника���������43
А 29. Нахождение гипотенузы с прямоугольного
треугольника по его катетам a и b���������������45
А 30. Нахождение неизвестного катета a
прямоугольного треугольника по его
гипотенузе c и другому катету b �����������������46
А 31. Нахождение расстояния между
точками���������������������������������������������������48
А 32. Нахождение координат середины
отрезка�����������������������������������������������������49
А 33. Составление уравнения прямой,
проходящей через две заданные точки���������52
А 34. Нахождение углового коэффициента
прямой, проходящей через две точки�����������53
А 35. Составление уравнения окружности
по координатам ее центра и радиусу�����������54
А 36. Нахождение суммы векторов,
если известны координаты их начал
и концов���������������������������������������������������56
А 37. Нахождение неизвестной координаты
вектора по второй его координате
и длине ���������������������������������������������������56
А 38. Нахождение неизвестной стороны одного
из подобных треугольников �����������������������60
А 39. Нахождение центрального угла
по соответствующему ему вписанному
углу в окружность�������������������������������������63
А 40. Нахождение вписанного угла
по соответствующему центральному
углу���������������������������������������������������������63
93

А 41. Определение вида треугольника,
если известны его стороны�������������������������65
А 42. Нахождение неизвестной стороны
треугольника с помощью теоремы
синусов ���������������������������������������������������66
А 43. Нахождение радиуса окружности,
описанной около треугольника с помощью
теоремы синусов���������������������������������������68
А 44. Вычисление площади треугольника�������������70
А 45. Вычисление площади четырехугольника �����73
А 46. Вычисление площади поверхности
и объема многогранника ���������������������������76
А 47. Вычисление площади поверхности
или объема призмы�����������������������������������78
А 48. Вычисление поверхностей и объемов
цилиндра и конуса �����������������������������������83

94

6′

0017

0192

0366

0541

0715

0889

1063

1236

1409

1582

1754

1925

2096

2267

2436

2605

54'

0′

0° 0,0000

0175

0349

0523

0698

1219

1392

1564

2079

2250

2419

4°

6°

7°

8°

9°

11°

12°

13°

14°

15° 0,2588

60'

3°

10° 0,1736

1908

2°

5° 0,0872

1045

1°

А

48'

2622

2453

2284

2113

1942

1771

1599

1426

1253

1080

0906

0732

0558

0384

0209

0035

12′

42'

2639

2470

2300

2130

1959

1788

1616

1444

1271

1097

0924

0750

0576

0401

0227

0052

18′

36'

2656

2487

2317

2147

1977

1805

1633

1461

1288

1115

0941

0767

0593

0419

0244

0070

24′

24'

2689

2521

2351

2181

2011

1840

1668

1495

1323

1149

0976

0802

0628

0454

0279

0105

36′

42′

18'

2706

2538

2368

2198

2028

1857

1685

1513

1340

1167

0993

0819

0645

0471

0297

0122

КОСИНУСЫ

30′

2672

2504

2334

2164

1994

1822

1650

1478

1305

1132

0958

0785

0610

0436

0262

0087

30′

ТАБЛИЦА. СИНУСЫ

12'

2723

2554

2385

2215

2045

1874

1702

1530

1357

1184

1011

0837

0663

0488

0314

0140

48′

1564

1392

2419

2250

2079

1908

6'

2740

0'

2756

2571 0,2588

2402

2233

2062

1891

1719 0,1736

1547

1374

1201

1219

А

74°

75°

76°

77°

78°

79°

80°

81°

82°

83°

84°

1028

1045

86°

87°

88°

89°

90°

85°

0698

0523

0349

0175

0,0000

60′

0854 0,0872

0680

0506

0332

0157

54′

6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6

3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3

2'

6

3

1'

6

2′

3

1′

3'

8

8

8

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

3′

ПРИЛОЖЕНИЯ

95

96

2773

2940

3107

3272

3437

3600

4083

4242

4399

4863

5015

54'

2756

2924

3090

3256

3746

3907

4067

4540

4695

4848

19°

21°

22°

23°

24°

26°

27°

28°

29°

30° 0,5000

60'

18°

25° 0,4226

4384

17°

20° 0,3420

3584

16°

4710

4555

3923

3762

6′

0′

А

48'

42'

5045

4894

4879

5030

4741

4586

4431

4274

4115

3955

3795

3633

3469

3305

3140

2974

2807

18′

4726

4571

4415

4258

4099

3939

3778

3616

3453

3289

3123

2957

2790

12′

36'

5060

4909

4756

4602

4446

4289

4131

3971

3811

3649

3486

3322

3156

2990

2823

24′

24'

5090

4939

4787

4633

4478

4321

4163

4003

3843

3681

3518

3355

3190

3024

2857

36′

КОСИНУСЫ

30'

5075

4924

4772

4617

4462

4305

4147

3987

3827

3665

3502

3338

3173

3007

2840

30′

42′

18'

5105

4955

4802

4648

4493

4337

4179

4019

3859

3697

3535

3371

3206

3040

2874

ТАБЛИЦА. СИНУСЫ

12'

5120

4970

4818

4664

4509

4352

4195

4035

3875

3714

3551

3387

3223

3057

2890

48′

3256

3090

2924

60′

4067

3907

3746

3584

4848

4695

4540

4384

6'

5135

0'

5150

4985 0,5000

4833

4679

4524

4368

4210 0,4226

4051

3891

3730

3567

3404 0,3420

3239

3074

2907

54′

А

59°

60°

61°

62°

63°

64°

65°

66°

67°

68°

69°

70°

71°

72°

73°
6
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5

3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3

2'

6

3

1'

2′

1′

3'

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

3′

97

5606

5750

5892

6307

6441

6574

6704

6833

6959

7083

54′

5299

5446

5592

6018

6157

6293

6691

6820

6947

36°

37°

38°

39°

41°

42°

43°

44°

45° 0,7071

60′

34°

40° 0,6428

6561

33°

35° 0,5736

5878

32°

6170

6032

5461

5314

5165

5150

31°

6′

0′

А

48′

42′

7108

6984

6972

7096

6858

6730

6600

6468

6334

6198

6060

5920

5779

5635

5490

5344

5195

18′

6845

6717

6587

6455

6320

6184

6046

5906

5764

5621

5476

5329

5180

12′

36′

7120

6997

6871

6743

6613

6481

6347

6211

6074

5934

5793

5650

5505

5358

5210

24′

24′

7145

7022

6896

6769

6639

6508

6374

6239

6101

5962

5821

5678

5534

5388

5240

36′

КОСИНУСЫ

30′

7133

7009

6884

6756

6626

6494

6361

6225

6088

5948

5807

5664

5519

5373

5225

30′

42′

18′

7157

7034

8909

6782

6652

6521

6388

6252

6115

5976

5835

5693

5548

5402

5255

ТАБЛИЦА. СИНУСЫ

12′

7169

7046

6921

6794

6665

6534

6401

6266

6129

5990

5850

5707

5563

5417

5270

48′

5592

5446

5299

60′

6293

6157

6018

6947

6820

6691

6561

6′

7181

0′

7193

7059 0,7071

6934

6807

6678

6547

6414 0,6428

6280

6143

6004

5864 0,5878

5721 0,5736

5577

5432

5284

54′

А

44°

45°

46°

47°

48°

49°

50°

51°

52°

53°

54°

55°

56°

57°

58°
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2′

5

2

1′

2′

1′

3′

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

3′

98

6′

7206

7325

7443

7559

7672

7782

7891

7997

8100

8202

8300

8396

8490

8581

8669

54′

0′

7193

7314

7431

7547

7880

7986

8090

8387

8480

8572

48°

49°

51°

52°

53°

54°

56°

57°

58°

59°

60° 0,8660

60′

47°

55° 0,8192

8290

46°

50° 0,7660

7771

А

48′

42′

8686

8599

8590

8678

8508

8415

8320

8221

8121

8018

7912

7804

7694

7581

7466

7349

7230

18′

8499

8406

8310

8211

8111

8007

7902

7793

7683

7570

7455

7337

7218

12′

36′

8695

8607

8517

8425

8329

8231

8131

8028

7923

7815

7705

7593

7478

7361

7242

24′

24′

8712

8625

8536

8443

8348

8251

8151

8049

7944

7837

7727

7615

7501

7385

7266

36′

КОСИНУСЫ

30′

8704

8616

8526

8434

8339

8241

8141

8039

7934

7826

7716

7604

7490

7373

7254

30′

42′

18′

8721

8634

8545

8453

8358

8261

8161

8059

7955

7848

7738

7627

7513

7396

7278

ТАБЛИЦА. СИНУСЫ

12′

8729

8643

8554

8462

8368

8271

8171

8070

7965

7859

7749

7638

7524

7408

7290

48′

7547

7431

7314

60′

8090

7986

7880

7771

8572

8480

8387

8290

6′

8738

0′

8746

8652 0,8660

8563

8471

8377

8281

8181 0,8192

8080

7976

7869

7760

7649 0,7660

7536

7420

7302

54′

А

29°

30°

31°

32°

33°

34°

35°

36°

37°

38°

39°

40°

41°

42°

43°
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
3
3
3
3

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1

2′

4

2

1′

2′

1′

3′

4

4

5

5

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

3′

99

6′

8755

8838

8918

8996

9070

9143

9212

9278

9342

9403

9461

9516

9568

9617

9664

54′

0′

8746

8829

8910

8988

9205

9272

9336

9397

9455

9511

9563

9613

9659

60′

61°

62°

63°

64°

65° 0,9063

9135

А

66°

67°

68°

69°

70°

71°

72°

73°

74°

75°

48′

42′

9673

9627

9622

9668

9578

9527

9472

9415

9354

9291

9225

9157

9085

9011

8934

8854

8771

18′

9573

9521

9466

9409

9348

9285

9219

9150

9078

9003

8926

8846

8763

12′

36′

9677

9632

9583

9532

9478

9421

9361

9298

9232

9164

9092

9018

8942

8862

8780

24′

24′

9686

9641

9593

9542

9489

9432

9373

9311

9245

9178

9107

9033

8957

8878

8796

36′

КОСИНУСЫ

30′

9681

9636

9588

9537

9483

9426

9367

9304

9239

9171

9100

9026

8949

8870

8788

30′

42′

18′

9690

9646

9598

9548

9494

9438

9379

9317

9252

9184

9114

9041

8965

8886

8805

ТАБЛИЦА. СИНУСЫ

12′

9694

9650

9603

9553

9500

9444

9383

9323

9259

9191

9121

9048

8973

8894

8813

48′

8988

8910

8829

60′

9336

9272

9205

9135

9613

9563

9511

6′

9699

0′

9703

9655 0,9659

9608

9558

9505

9449 0,9455

9391 0,9397

9330

9256

9198

9128

9056 0,9063

8980

8902

8821

54′

А

14°

15°

16°

17°

18°

19°

20°

21°

22°

23°

24°

25°

26°

27°

28°
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

2′

3

1

1′

2′

1′

3′

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

3′

100

9748

9785

9820

9851

9880

9744

9781

9816

9903

9925

9945

9962

9976

9986

9994

9998

78°

79°

80° 0,9848

9877

77°

81°

82°

83°

84°

85°

86°

87°

88°

89°

60′

90° 1,0000

9707

9703

76°

54′

9999

9995

9987

9977

9963

9947

9928

9905

6′

0′

А

42′

9999

9999

48′

9996

9989

9979

9966

9951

9932

9910

9885

9857

9826

9792

9755

9715

18′

9995

9988

9978

9965

9949

9930

9907

9882

9854

9823

9789

9751

9711

12′

9997

9990

9981

9969

9954

9936

9914

9890

9863

9833

9799

9763

9724

30′

9997

9991

9982

9971

9956

9938

9917

9893

9866

9836

9803

9767

9728

36′

9997

9992

9983

9972

9957

9940

9919

9895

9869

9839

9806

9770

9732

42′

9998

9993

9984

9973

9959

9942

9921

9898

9871

9842

9810

9774

9736

48′

9816

9781

9744

60′

9994

9986

9976

9962

9945

9925

9903

9877

9998 0,9998

9993

9985

9974

9960

9943

9923

9900

9874

9845 0,9848

9813

9778

9740

54′

36′

24′

КОСИНУСЫ

30′

18′

12′

6′

0′

9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

9996

9990

9980

9968

9952

9934

9912

9888

9860

9829

9796

9759

9720

24′

ТАБЛИЦА. СИНУСЫ

А

0°

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

8°

9°

10°

11°

12°

13°
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0

1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

2′

1

1

1′

2′

1′

3′

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

3′

101

6′

0017

0192

0367

0542

0717

0892

1069

1246

1423

1602

1781

1962

2144

2327

2512

2698

54′

0′

0,000

0175

0349

0524

0699

1228

1405

1584

2126

2309

2493

2°

3°

4°

6°

7°

8°

9°

11°

12°

13°

14°

15° 0,2679

60′

1°

10° 0,1763

1944

0°

5° 0,0875

1051

А

48′

2717

2530

2345

2162

1980

1799

1620

1441

1263

1086

0910

0734

0559

0384

0209

0035

12′

42′

2736

2549

2364

2180

1998

1817

1638

1459

1281

1104

0928

0752

0577

0402

0227

0052

18′

36′

2754

2568

2382

2199

2016

1835

1655

1477

1299

1122

0945

0769

0594

0419

0244

0070

24′

24′

2792

2605

2419

2235

2053

1871

1691

1512

1334

1157

0981

0805

0629

0454

0279

0105

36′

18′

2811

2623

2438

2254

2071

1890

1709

1530

1352

1175

0998

0822

0647

0472

0297

0122

42′

КОТАНГЕНСЫ

30′

2773

2586

2401

2217

2035

1853

1673

1495

1317

1139

0963

0787

0612

0437

0262

0087

30′

ТАБЛИЦА. ТАНГЕНСЫ

12′

2830

2642

2456

2272

2089

1908

1727

1548

1370

1192

1016

0840

0664

0489

0314

0140

48′

1584

1405

2493

2309

2126

1944

6′

2849

0′

2867

2661 0,2679

2475

2290

2107

1926

1745 0,1763

1566

1388

1210

1228

А

74°

75°

76°

77°

78°

79°

80°

81°

82°

83°

84°

1033

1051

86°

87°

88°

89°

90°

85°

0699

0524

0349

0175

0

60′

0857 0,0875

0682

0507

0332

0157

54′

6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6

3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3

2′

6

3

1′

6

2′

3

1′

3′

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

3′

102

54′

2886

3076

3269

3463

3659

3859

4061

4265

4473

4684

4899

5117

5340

5566

5797

54′

60′

2867

3057

3249

3443

4040

4245

4452

5095

5317

5543

19°

21°

22°

23°

24°

26°

27°

28°

29°

30° 0,5774

60′

18°

25° 0,4663

4877

17°

20° 0,3640

3839

16°

48′

42′

5844

5612

5589

5820

5384

5161

4942

4727

4515

4307

4101

3899

3699

3502

3307

3115

2924

42′

5362

5139

4921

4706

4494

4286

4081

3879

3679

3482

3288

3096

2905

48′

36′

5867

5635

5407

5184

4964

4748

4536

4327

4122

3919

3719

3522

3327

3134

2943

36′

24′

5914

5681

5452

5228

5008

4791

4578

4369

4163

3959

3759

3561

3365

3172

2981

24′

КОТАНГЕНСЫ

30′

5890

5658

5430

5206

4986

4770

4557

4348

4142

3939

3739

3541

3346

3153

2962

30′

18′

5938

5704

5475

5250

5029

4813

4599

4390

4183

3979

3779

3581

3385

3191

3000

18′

ТАБЛИЦА. ТАНГЕНСЫ

12′

5961

5727

5498

5272

5051

4834

4621

4411

4204

4000

3799

3600

3404

3211

3019

12′

3443

3249

3057

0′

4452

4245

4040

3839

5543

5317

5095

4877

6′

5985

0′

6009

5750 0,5774

5520

5295

5073

4856

4642 0,4663

4431

4224

4020

3819

3620 0,3640

3424

3230

3038

6′

А

59°

60°

61°

62°

63°

64°

65°

66°

67°

68°

69°

70°

71°

72°

73°

А

7 10
7 10
7 10
7 10
7 10
7 11
7 11
7 11
7 11
8 11
8 12
8 12

3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4

2′

6 10

3

1′

6 10

3

3′

9

6

3

3′

2′

1′

103

54′

6032

6273

6519

6771

7028

7292

7563

7841

8127

8421

8724

9036

9358

9691

0035

54′

60′

6009

6249

6494

6745

7536

7813

8098

9004

9325

9657

34°

36°

37°

38°

39°

41°

42°

43°

44°

45° 1,0000

60′

33°

40° 0,8391

8693

32°

35° 0,7002

7265

31°

48′

42′

0105

9759

9725

0070

9424

9099

8785

8481

8185

7898

7618

7346

7080

6822

6569

6322

6080

42′

9391

9067

8754

8451

8156

7869

7590

7319

7054

6796

6544

6297

6056

48′

36′

0141

9793

9457

9131

8816

8511

8214

7926

7646

7373

7107

6847

6594

6346

6104

36′

24′

0212

9861

9523

9195

8878

8571

8273

7983

7701

7427

7159

6899

6644

6395

6152

24′

КОТАНГЕНСЫ

30′

0176

9827

9490

9163

8847

8541

8243

7954

7673

7400

7133

6873

6619

6371

6128

30′

18′

0247

9896

9556

9228

8910

8601

8302

8012

7729

7454

7186

6924

6669

6420

6176

18′

ТАБЛИЦА. ТАНГЕНСЫ

12′

0283

9930

9590

9260

8941

8632

8332

8040

7757

7481

7212

6950

6694

6445

6200

12′

6745

6494

6249

0′

8098

7813

7536

7265

9325

9004

6′

0319

0′

0355

9965 1,0000

9623 0,9657

9293

8972

8662 0,8693

8361 0,8391

8069

7785

7508

7239

6976 0,7002

6720

6469

6224

6′

А

44°

45°

46°

47°

48°

49°

50°

51°

52°

53°

54°

55°

56°

57°

58°

А

8 12
8 13
9 13
8 13
9 14
9 14
9 14

4
4
4
4
5
5
5

1′

2′

3′

6 12 18

6 11 17

6 11 17

6 11 16

5 10 16

5 10 15

5 10 15

8 12

4

3′

2′

1′

104

54′

0392

0761

1145

1544

1960

2393

2846

3319

3814

4335

4882

5458

6066

6709

1,739

54′

60′

0355

0724

1106

1504

2799

3270

3764

5399

6003

6643

1,732

60′

48°

49°

51°

52°

53°

54°

55° 1,4281

4826

47°

50° 1,1918

2349

46°

56°

57°

58°

59°

60°

48′

42′

1,753

6842

6775

1,746

6191

5577

4994

4442

3916

3416

2938

2482

2045

1626

1224

0837

0464

42′

6128

5517

4938

4388

3865

3367

2892

2437

2002

1585

1184

0799

0428

48′

36′

1,760

6909

6255

5637

5051

4496

3968

3465

2985

2527

2088

1667

1263

0875

0501

36′

24′

1,775

7045

6383

5757

5166

4605

4071

3564

3079

2617

2174

1750

1343

0951

0575

24′

КОТАНГЕНСЫ

30′

1,767

6977

6319

5697

5108

4550

4019

3514

3032

2572

2131

1708

1303

0913

0538

30′

18′

1,782

7113

6447

5818

5224

4659

4124

3613

3127

2662

2218

1792

1383

0990

0612

18′

ТАБЛИЦА. ТАНГЕНСЫ

12′

1,789

7182

6512

5880

5282

4715

4176

3663

3175

2708

2261

1833

1423

1028

0649

12′

1504

1106

0724

0′

3764

3270

2799

2349

6643

6003

5399

4826

6′

1,797

0′

1,804

7251 1,7321

6577

5941

5340

4770

4229 1,4281

3713

3222

2753

2305

1875 1,1918

1463

1067

0686

6′

2′

3′

9 18 27

9 17 26

8 16 25

8 16 24

8 15 23

7 14 22

7 14 21

7 13 20

6 13 19

6 12 18

1′

А

29°

1′

1

2′

2

3′

4

30° 11 23 34

31° 11 21 32

32° 10 20 30

33° 10 19 29

34°

35°

36°

37°

38°

39°

40°

41°

42°

43°

А

105

54′

1,811

1,889

1,971

2,059

2,154

2,257

2,367

2,488

2,619

2,762

2,921

3,096

3,291

3,511

3,758

54′

60′

1,804

1,881

1,963

2,050

2,145

2,246

2,356

2,475

2,605

2,747

2,904

3,078

3,271

3,487

3,732

60′

61°

62°

63°

64°

65°

66°

67°

68°

69°

70°

71°

72°

73°

74°

75°

48′

3,785

3,534

3,312

3,115

2,937

2,778

2,633

2,5

2,379

2,267

2,164

2,069

1,980

1,897

1,819

48′

42′

3,812

3,558

3,333

3,133

2,954

2,793

2,646

2,513

2,391

2,278

2,174

2,078

1,988

1,905

1,827

42′

36′

3,839

3,582

3,354

3,152

2,971

2,808

2,66

2,526

2,402

2,289

2,184

2,087

1,997

1,913

1,834

36′

24′

3,895

3,630

3,398

3,191

3,006

2,840

2,689

2,552

2,426

2,311

2,204

2,106

2,014

1,929

1,849

24′

КОТАНГЕНСЫ

30′

3,867

3,606

3,376

3,172

2,989

2,824

2,675

2,539

2,414

2,3

2,194

2,097

2,006

1,921

1,842

30′

18′

3,923

3,655

3,42

3,211

3,024

2,856

2,703

2,565

2,438

2,322

2,215

2,116

2,023

1,937

1,857

18′

ТАБЛИЦА. ТАНГЕНСЫ

12′

3,952

3,681

3,442

3,230

3,042

2,872

2,718

2,578

2,450

2,333

2,225

2,125

2,032

1,946

1,865

12′

6′

3,981

3,706

3,465

3,251

3,06

2,888

2,733

2,592

2,463

2,344

2,236

2,135

2,041

1,954

1,873

6′

0′

4,011

3,732

3,487

3,271

3,078

2,904

2,747

2,605

2,475

2,356

2,246

2,145

2,05

1,963

1,881

0′

А

14°

15°

16°

17°

18°

19°

20°

21°

22°

23°

24°

25°

26°

27°

28°

А
3
3
3
3
4
4
4
5
5
6

6 10
7 10
7 11
8 12
8 13
9 13

1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
1′

2′

3′

5 10 14

9

8

7

6

6

5

5

5

4

4

4

3

1

3′

2′

1′

СВОЙСТВА СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА
sin(90° – α) = cos α

sin(180° – α) = sin α

cos(90° – α) = sin α

cos(180° – α) = –cos α

tg(90° – α) = ctg α

tg(180° – α) = –tg α

ctg(90° – α) = tg α

ctg(180° – α) = –ctg α

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА
НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
α

106

0°

30°

45°

60°

90°

180°

0

π
6⋅

π
4⋅

π
3⋅

π
2⋅

π

sin α

0

1
2

2
1
=
2
2

3
2

1

0

cos α

1

3
2

2
1
=
2
2

1
2

0

–1

tg α

0

3
1
=
3
3

1

3

—

0

ctg α

—

3

1

3
1
=
3
3

0

—

ДЛЯ ЗАМЕТОК

Все права защищены. Книга или любая ее часть не может быть скопирована, воспроизведена в
электронной или механической форме, в виде фотокопии, записи в память ЭВМ, репродукции
или каким-либо иным способом, а также использована в любой информационной системе без
получения разрешения от издателя. Копирование, воспроизведение и иное использование
книги или ее части без согласия издателя является незаконным и влечет уголовную,
административную и гражданскую ответственность.

Справочное издание
анытамалы баспа
Для старшего школьного возраста
мектеп жасында'ы ересек балалар'а арнал'ан
В ПОМОЩЬ СТАРШЕКЛАССНИКУ. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Виноградова Татьяна Михайловна
ГЕОМЕТРИЯ

7—11 классы
(орыс тілінде)

Ответственный редактор А. Жилинская
Ведущий редактор Т. Судакова
Художественный редактор И. Успенский
ООО «Издательство «Эксмо»
123308, Москва, ул. Зорге, д. 1. Тел.: 8 (495) 411-68-86.
Home page: www.eksmo.ru E-mail: info@eksmo.ru
6ндіруші: «ЭКСМО» АRБ Баспасы, 123308, МTскеу, Ресей, Зорге кUшесі, 1 Vй.
Тел.: 8 (495) 411-68-86.
Home page: www.eksmo.ru E-mail: info@eksmo.ru.
Тауар белгісі: «Эксмо»
Интернет-магазин : www.book24.ru
Интернет-д!кен : www.book24.kz
Импортёр в Республику Казахстан ТОО «РДЦ-Алматы».
Rазастан Республикасында<ы импорттаушы «РДЦ-Алматы» ЖШС.
Дистрибьютор и представитель по приему претензий на продукцию,
в Республике Казахстан: ТОО «РДЦ-Алматы»
Rазастан Республикасында дистрибьютор жTне Uнім бойынша арыз-талаптарды
абылдаушыны\ Uкілі «РДЦ-Алматы» ЖШС,
Алматы ., Домбровский кUш., 3«а», литер Б, офис 1.
Тел.: 8 (727) 251-59-90/91/92; E-mail: RDC-Almaty@eksmo.kz
6німні\ жарамдылы мерзімі шектелмеген.
Сертификация туралы апарат сайтта: www.eksmo.ru/certification
Сведения о подтверждении соответствия издания согласно законодательству РФ
о техническом регулировании можно получить на сайте Издательства «Эксмо»
www.eksmo.ru/certification

6ндірген мемлекет: Ресей. Сертификация арастырыл<ан

Ïðîäóêöèÿ ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèÿì ÒÐ ÒÑ 007/2011
Дата изготовления / Подписано в печать 19.12.2018. Формат 70x1001/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 9,07.
Тираж
экз. Заказ

EKSMO.RU
новинки издательства