ВИНЕГРЕТ
Ф.шарыгин
Издательство «Мир»

мья

•¦А
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОЗАИКА
И. Ф. Шарыгин
Математический винегрет

w^%
На 2-й и 3-й сторонках обложки
помещена репродукция картины
Джузеппе Арчимболъдо (ок. 1527-1593)
«ОГОРОДНИК»
дерево, масло, 35 х 24 см,
городской музей Кремоны

И. Ф. Шарыгин
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ВИНЕГРЕТ
2-е издание,
исправленное и дополненное
и
Москва «Мир» 2002

УДК 51-8
ББК 22.10
Ш26
Шарыгин И. Ф.
Ш26 Математический винегрет: 2-е изд., испр. и доп.—
М.: Мир, 2002. — 221 с, ил. — (Математическая мозаика).
ISBN 5-03-003469-2
Книга известного математика-педагога, автора более 40
учебных и популярных изданий по математике, представляет собой
второе, исправленное и дополненное издание (первое вышло в 1991 г.
в агентстве «Орион» тиражом 100 000 экз. и быстро разошлось).
В ней представлены занимательные математические задачи, для
решения которых не требуется специальных знаний. Необходимы
конечно, сообразительность и остроумие. Изложение богато
иллюстрировано, содержит исторические сведения, отличается новизной
материала и оригинальностью.
Книга удачно дополняет имеющуюся литературу по
занимательной математике и является одной из первых книг
отечественного автора в серии «Математическая мозаика».
Для любителей математики, начиная со школьников младших
классов.
УДК 51-8
ББК 22.10
Редакция литературы
по математическим наукам
Scan AAW
ISBN 5-03-003469-2
© Издательство «Мир», 2002

Предисловие
Марат написал, что лучшие из математиков — это живые
автоматы, все вычисляющие, не задумываясь, по заранее
заготовленным формулам («Новые шарлатаны»).
Настоящая книга — для тех, кто придерживается
противоположного взгляда на математику, для кого в задаче о
волке, козе и капусте больше математики, чем в перемножении
пятизначных чисел. Благородная культура математического
мышления в стиле Шерлока Холмса всегда была
традиционной в России, и понимание того, почему 1/2 + 1/3 вовсе не
2/5, сразу отличает сегодня наших школьников от, скажем,
американских студентов.
Настоящая книга —прямое продолжение этой традиции
математических задачников, столь же захватывающих, как
детективные романы, традиции, заложенной трехтомной
книгой «В царстве смекалки» Е. И. Игнатьева, «Живой
математикой» Я. И. Перельмана и знаменитой «Библиотекой
математического кружка», включающей книги Е. Б. Дынкина,
А. М. и И. М. Ягломов и других авторов.
Путь в математику может начинаться по-разному. Вейер-
штрасс был учителем физкультуры в школе. Для
подтверждения учительского звания тогда нужно было ежегодно
представлять свое письменное сочинение. Он представил в этом
качестве оригинальную статью об эллиптических функциях,
сразу выдвинувшую его в первые ряды математиков мира.
Я надеюсь, что и настоящая книга даст миру новых
математиков, и доставит удовольствие также и другим читателям,
от которых даже не потребуется профессиональной
математической подготовки.
Москва, 4 декабря 2001 г.
В. И. АРНОЛЬД

От автора
Пора популяритъ изыски
И. СЕВЕРЯНИН
Герой повести М.А.Булгакова «Собачье сердце»
утверждал, что больные, читающие периодику, выздоравливают
хуже, чем лишенные этой возможности. Сегодня положение
усугубляется еще и тем, что при дефиците пищи
материальной на Вас, уважаемый читатель, обрушивается ливень
псевдодуховной пищи, вызывающей аллергию и несварение даже
у людей здоровых, но интеллектуально не подготовленных, а
потому не способных отличить здоровые зерна от плевел.
В этой книге автор хочет немного приоткрыть дверь в мир
математики для неспециалистов. Ведь большинство
обитателей нашей маленькой и пока еще зеленой планеты имеют об
этой науке очень смутное представление и связывают с ней
неприятные воспоминания о синусах и логарифмах, каких-
то прогрессиях и загадочных трехчленах, к тому же еще и
квадратных. Для понимания всего, что здесь представлено,
достаточно минимальных знаний на уровне средней школы, а
для большей части —даже начальной. Автор хотел показать,
что математике не чуждо и своеобразное остроумие, не такое,
как в КВН, но все же, ... а вернее, тем более.
Если у Вас есть какое-то время для досуга, желание
помассировать свои извилины, попробуйте порешать
занимательные задачи, познакомиться с некоторыми математическими
идеями и историями. А вдруг Вам это понравится! Да и
польза тоже возможна. Ведь предлагаемое блюдо приготовлено
из экологически чистого интеллектуального продукта, каким
является математика. А это сегодня большая редкость. При
этом автор надеется, что его кулинарных умений хватило
хотя бы на то, чтобы не испортить исходный продукт.

ОТ АВТОРА
7
Кстати, слово «винегрет» находится в очевидном родстве
с английским «vinegar», что означает «уксус» или в
переносном смысле «неприятный характер», «нелюбезный ответ».
В оксфордском русско-английском словаре я также прочел,
что «винегрет» — это «Russian Salad». Круг замкнулся!
Получилось, что слово, выбранное для названия книги с
единственной целью подчеркнуть примитивность замысла книги
и тем самым закрыться им, как щитом, от возможных
обвинений в сумбурности построения, да и облегчить автору это
построение — сыпь все подряд, что в голову придет, — вдруг
приобрело второе дно и даже некий потаенный смысл.
Короче. Приятного Вам аппетита! И будьте здоровы!
Процветание и совершенствование
математики тесно связаны с
благосостоянием государства
НАПОЛЕОН БОНАПАРТ
Для справки. В Париже есть улицы, носящие имена
выдающихся математиков. Это улицы Лежандра, Реомюра,
Паскаля, Бюффона, Карно, Декарта, Лейбница, Монжа,
Лапласа и других математиков.
Вопрос. Какая улица в Вашем городе названа именем
великого математика?
Анекдот. Шерлок Холмс и доктор Ватсон
путешествовали на воздушном шаре. Сильный ветер унес шар в
неизвестном направлении. Через некоторое время шар зацепился за
выступ скалы. Рядом стоял человек.
— Не могли бы Вы, хотя бы приблизительно, сказать нам,
где мы находимся? — крикнул ему Холмс.
Человек задумался, а затем ответил:
— Почему приблизительно? Я отвечу точно. Вы
находитесь в гондоле воздушного шара.
Порыв ветра погнал шар дальше.

8
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
— Черт бы побрал этих математиков! — раздраженно
проговорил Холмс.
— А почему Вы считаете, что этот человек был
математиком? — удивился, как обычно, Ватсон.
— Во-первых; прежде чем ответить, он подумал, во-
вторых, его ответ был абсолютно точен, а в-третьих,
совершенно бесполезен для нас.
Как видите, точность — это не только вежливость королей,
но и способ существования математиков.
И. Ф. ШАРЫГИН

Глава 1
ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
1. Выборы лидера партии
На учредительном собрании партии «Номенклатура за
демократию» должны состоятся выборы лидера партии. В
соответствии с регламентом выборы проводятся по
двухступенчатой схеме: если на первом этапе ни один из кандидатов не
набирает более половины голосов, то проводится второй тур, в
котором соревнуются два кандидата, набравшие наибольшее
число голосов в первом туре. Все делегаты съезда разбились
на три фракции: «Новая волна», «Слуги народа» и
«Фундаменталисты», в которые входят соответственно 49, 33 и 18%
от числа делегатов съезда. Каждая из фракций выдвинула
своего кандидата: соответственно Акселератова, Баранова и
Волкова. Известно также, что в случае неуспеха своего
кандидата во втором туре сторонники Б разделятся примерно
поровну между А и В и сторонники В будут поддерживать Б.
Как Вы думаете, кто в результате таких выборов станет
лидером партии? (Предполагаем, что количество делегатов на
съезде достаточно велико.)
2. Не высовывайся
В некий важный комитет Государственной думы
необходимо избрать 10 человек. В голосовании участвуют 220
депутатов. Для голосования предложен список из 11 кандидатов.
Один из них лишний. Среди 11 претендентов имеется некий

10
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Известный человек, которого депутаты хорошо знают. Его
поддерживают 180 человек и ненавидят 40. Остальные
претенденты сравнительно более или менее равнозначны для
депутатов. Может ли Известный человек в этих условиях стать
членом комитета?
А теперь немного изменим ситуацию. Необходимо избрать
председателя некоего важного Думского комитета. Список
кандидатов на этот пост тот же самый. Кто станет
председателем комитета?
3. Демократические выборы
На собрании учеников 9-го класса было принято
решение объявить класс президентской республикой. Своих
кандидатов на пост президента выдвинули четыре блока: «Наша
улица», «Наш двор», «Наш дом» и «Наш подъезд»
(соответственно блоки А, Б, В и Г). При обсуждении способов выбора
кандидата прозвучало четыре предложения.
A. «Чего здесь думать! Пусть каждый ученик опустит в
ящик бумажку с фамилией поддерживаемого им кандидата.
Кто наберет больше голосов, тот и президент».
Б. «Нет, так нельзя. Если никто не наберет больше
половины голосов, надо устроить повторное голосование, в котором
должны участвовать двое лучших по результатам первого
голосования».
B. «Надо выбрать того, кто лучше любого другого. Как
это сделать? Пусть каждый ученик составит список: на
первое место в своем списке он должен поставить самого
лучшего по его мнению, на второе — второго и так далее. Если
в большинстве списков кандидат В стоит выше А, значит, он
лучше А. И вообще, В лучше всех, если он лучше А, лучше Б
и лучше Г».
Г. «Пусть и в самом деле каждый составит свой список,
как сказал В. За первое место в списке кандидат получает
три очка, за второе — 2, за третье — 1 и за последнее — 0. Кто
наберет больше всех очков, тот и президент».

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
11
Как видим, все четыре способа вполне демократичны.
И все же может ли получиться так, что при способе А
побеждает один кандидат, при способе Б —другой, при способе
В — третий, ну, а в варианте Г — четвертый? Известно, что в
классе 29 человек, но кандидаты (их четверо) в голосовании
не участвуют. Каждый ученик голосует строго в соответствии
со своим списком (см. предложение В).
После бурного обсуждения был принят вариант Б.
Интересно, что если бы сразу были проведены выборы, то после
двух туров президентом стал бы кандидат Б. Однако
выборы были назначены на неделю позже. Ученики, входящие й
блок Б, не зная истинного положения дел^ исходя из принципа
«кашу маслом не испортишь», развернули бурную агитацию
в поддержку своего кандидата. В результате этой агитации
многие ученики не изменили своего мнения. Правда, в
некоторых списках улучшилось положение блока Б. (Все
изменение свелось к тому, что улучшилось положение только этого
кандидата.) Но в результате президентом был избран другой.
Как это могло случиться?
4. Победит мудрейший или необычайная дуэль
Три гусара (А, Б, В) во время вечеринки поссорились и
вызвали на дуэль друг друга. Условия дуэли (вернее, триэли)
следующие: все трое располагаются на равных расстояниях
недруг от недруга и по очереди в определенном порядке (в
соответствии с заранее брошенным жребием) делают по
одному выстрелу. Естественно, мишень каждый выбирает по
своему усмотрению. Триэль продолжается до тех пор, пока
в живых не останется лишь один из трех. Каждый из них
хорошо знает стрелковые возможности соперников. Гусары
А и Б попадают в мишень в среднем 99 раз из 100, гусар В —
61 раз из 100. Кто из них имеет больше всего шансов остаться
в живых в результате этой триэли, если предполагать, что
каждый собирается максимально использовать свои
возможности?

12
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
5. Стучите, братцы, стучите!
В стране Плюралии 1999 партий. В каждую партию
входит более половины жителей страны. Докажите, что
начальник тайной полиции может назначить 10 осведомителей так,
чтобы получить информацию о деятельности каждой партии.
(Начальник тайной полиции имеет право назначить
осведомителем любого жителя страны.)
6. Драчуны в думе
Каждый депутат Думы поссорился ровно с тремя другими
депутатами. Президент обязал спикера разбить депутатов на
п фракций так, чтобы внутри одной фракции царило
согласие. При каком наименьшем п это всегда возможно? (Это
значит, что на п фракций депутатов можно было разбить всегда,
а на (п — 1) фракцию —уже не всегда.)
7. Две простые задачи.
Что говорит здравый смысл?
1. Кто больше зарабатывает? Наш любимый здравый
смысл не всегда дает правильный ответ. Сумеете ли Вы
быстро разобраться в следующей ситуации. Два человека
устроились на работу, и им положили равные оклады,
выплачиваемые равными частями дважды в месяц. Оговорены также
прибавки к зарплате. Одному из них по истечении каждого
полумесяца добавляется 10 руб., а другому после каждого
месяца добавляется 20 руб. Кто из них в итоге больше
зарабатывает?
2. Просто проценты. Один из способов манипуляции
общественным мнением связан с заблуждениями при операциях с
процентами. Оказывается, далеко не все понимают, что если
сегодня Вам в знак признания Ваших заслуг повысят
зарплату на целых 100%, а завтра, в связи с временными
трудностями, снизят ее же всего на 50%, то от этого Ваша зарплата не
увеличится, хотя и не уменьшится (и на том спасибо). А вот

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
13
задача, которую обычно хорошо решают работники торговли
и редко — работники правоохранительных органов.
На овощную базу привезли Ют свежего крыжовника,
влажность которого составляла 99%. По нормам допускается
снижение влажности за время хранения на 1%. Какое
количество крыжовника обязана передать база в официальную
торговую сеть? (Правда, работники торговли предпочитают
увеличивать, а не уменьшать влажность доставленных на
базу продуктов. Но это относится к другим продуктам, вроде
муки, сахарного песка и т. п.)
8. Эта ужасная геометрическая прогрессия
Миром правит экспонента! Экспонентой математики
называют показательную функцию, т. е. функцию вида ах. При
натуральных значениях аргумента получаем известную
геометрическую прогрессию. Основное свойство — прирост
функции пропорционален самой функции. Так, Ваш вклад в банке
возрастает пропорционально собственной величине.
Человеческая же (особенно обывательская) интуиция, психология
более ориентированы на линейные зависимости. Отсюда
многие недоразумения и даже заблуждения. Мы полагаем, что,
удвоив, например, вложения в сельское хозяйство, мы вдвое
увеличим его производство, что если система существовала
достаточно долго (скажем, 73 года), то она не может
разрушиться, как говорится, в одночасье. Именно законы
геометрической прогрессии, точнее, непонимание этих законов
обывателем, и человеческая жадность используются
создателями всевозможных финансовых пирамид, принося им
огромные барыши. Вот еще несколько примеров, иллюстрирующих
скверный нрав экспоненты.
1. Классическая задача. Согласно легенде изобретатель
шахматной игры запросил у властелина, восхищенного этой
игрой, следующую награду: за первую клетку доски —одно
пшеничное зерно, за вторую —2, за третью —4 и так далее,
за каждую последующую — вдвое больше, чем за предыду-

14
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
щую. Считая, что масса зерна 1/100 г, а годовой урожай
со всей земли в наше время не превышает 109 т, оцените,
за сколько лет можно собрать на нашей планете урожай,
необходимый для выплаты такой награды. Оценка
валового сбора зерна на планете была получена так. Один
человек съедает не более половины килограмма хлеба в день,
т. е. менее 200 кг в год. На земле живут 5 миллиардов
человек. Половина из них хлеба не едят (например,
китайцы), но зато некоторые животные зерно или хлеб в пищу
употребляют.
2. Хозяин сидит на берегу пруда, зарастающего ряской.
Каждый день количество ряски удваивается. Хозяин
собирается приступить к расчистке, как только зарастет
половина пруда. Через месяц половина пруда оказалась заросшей.
Сколько дней у него остается на расчистку?
3. Известно, что некий вид бактерий размножается
делением со скоростью 1 деление в секунду (в течение секунды
каждая бактерия вырастает и затем раздваивается).
Известно, что если посадить в пустой сосуд одну бактерию, то через
минуту этот сосуд окажется полон. Через какое время
заполнится сосуд, если в него посадить две бактерии?
9. Несколько вопросов около глобуса
1. Какой город южнее: Рим или Нью-Йорк?
2. Какой город восточнее: Хабаровск или Владивосток?
3. Существуют ли в Европе точки, расположенные
западнее, чем какие-то точки в Америке?
4. Корабль вошел в Панамский канал со стороны
Атлантического океана и вышел в Тихий океан. На сколько
(приблизительно) градусов точка его выхода расположена западнее,
чем точка входа?
5. Предположим, что земной шар по экватору плотно
обтянут веревкой. Веревку увеличили на 1 м. Образовавшийся
зазор равномерно распределен по всему экватору. Сможет ли
в этот зазор прошмыгнуть мышь?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
15
6. Рассмотрим ситуацию, описанную в предыдущем
пункте. Только на сей раз веревку в одном месте максимально
оттянули от поверхности Земли. Может ли в этот зазор пройти
слон? Оцените величину зазора с точностью до 10 м (длина
экватора приблизительно равна 40 000 км).
7. Человек вышел из некоторой точки на поверхности
земного шара, прошел 1 км на север, затем 1 км на
восток, а затем 1 км на юг и вернулся в исходную точку.
Для каких точек земного шара возможно подобное
путешествие?
8. Человек вышел из некоторой точки, прошел 10 км
на север, затем 10 км на запад, затем 10 км на юг и
10 км на восток и вернулся в исходную точку. Для
каких точек на поверхности Земли такое путешествие
возможно?
10. Улитка на склоне
Упорная улитка взбирается на крутой склон высотой 10 м.
Она движется в избранном направлении лишь днем и
преодолевает за день 3 м. Ночью она отдыхает. За ночь под
действием силы тяжести опускается на 2 м. Стартовала она утром
первого дня. Когда улитка достигнет вершины? Когда она
спустится до исходного уровня (достигнув вершины, она тут
же начинает спускаться в том же режиме)?
11. Сквозь знания
На книжной полке в правильном порядке стоит
трехтомное собрание сочинений некоего автора. Толщина первого
тома равна 17 мм, второго —15, а третьего —12 мм. Толщина
переплета равна 2 мм (переплет состоит из двух плотных
листов толщиной по 1 мм, толщина переплета входит в
толщину тома). Книжный червяк прогрыз трехтомник от первой
страницы первого тома до последней страницы третьего тома.
Какой путь он проделал?

16
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
12. Ходят поезда по кругу
По кольцевой дороге в обоих направлениях движутся
поезда. Каждый поезд проходит кольцо за 2 ч. В одном
направлении поезда идут с интервалом 10 мин, в другом — 15 мин.
Сколько встречных поездов встретит поезд, следующий в
одном, и сколько — в другом направлении за один круг?
13. Прогулки ученых
Профессор Иванов и доцент Поливанов живут недалеко
друг от друга и любят прогуливаться по вечерам от
своего дома до дома коллеги и обратно, проходя этот
маршрут несколько раз. Однажды они вышли из своих домов
одновременно. В первый раз они поравнялись на
расстоянии 55 м от дома профессора, второй раз —на расстоянии
85 м от дома доцента. На расстоянии 25 м от дома
доцента находится газетный киоск, а неподалеку от дома
профессора—киоск с мороженым. Известно, что, выйдя из своих
домов, профессор и доцент одновременно прошли мимо
ближайших киосков. Чему равно расстояние между киосками?
(Выбирая фамилии для своих героев, автор пытался
проявить ехидство, мол, доцент —это половина профессора, но
намек оказывается столь тонким, что его никто не
замечает.)
14. Математика календаря
1. Сколько лет прожил император? В некоторых
учебниках истории утверждается, что римский император Август
родился в 63 г. до нашей эры, а умер в 14 г. нашей эры.
Сколько полных лет он прожил, если предположить, что в
год смерти он успел справить свой день рождения.
2. Сколько лет Пете? Петя утверждает, что позавчера ему
было 15 лет, а в будущем году ему исполнится 18. Возможно
ли это?
3. Сколько месяцев в году содержат 30 дней?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
17
4. Какое наибольшее число месяцев в году могут иметь
5 пятниц?
5. Правда ли, что каждый год 13-е число какого-то месяца
придется на понедельник.
6. Фантастический роман начинался со слов: «Век обещал
быть счастливым — он начался в воскресенье». Нет ли ошибки
в этой фразе?
7. Докажите, что 13-е число чаще приходится на пятницу
(«черная пятница»), чем на любой другой день недели.
15. О времени вообще
1. Определите минимально возможное время
продолжительности периода хоккейного матча, если известно, что в
момент его начала и в момент окончания стрелки часов были
перпендикулярны.
2. На типичном табло электронных часов светятся четыре
цифры. Две цифры показывают часы (от нуля до 23), две —
минуты. Сколько времени на табло светится хотя бы одна
цифра 2. Что больше: (а) время, когда все цифры на табло
различны, или (б) время, когда на табло светится хотя бы
одна пара одинаковых цифр?
3. Как отмерить 15 мин при помощи пары песочных часов,
отмеряющих соответственно 7 и 11 мин?
4. Имеется пара кусков бикфордова шнура, скорость
горения которых переменная, но каждый из них полностью
сгорает за 1 мин. Как с их помощью отмерить 45 с?
5. Некий человек, располагая определенной информацией,
пытается установить время прибытия поезда в его город.
Выясняется при этом, что чем медленнее поезд идет, тем раньше
он прибывает. Как это может быть?
16. Загадочный диалог
Два математика, не достигшие пенсионного возраста,
встретились после долгого перерыва. Приведем фрагмент их
диалога:

18
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
— Ну, а дети у тебя есть?
— Три сына.
— А сколько им лет?
— Если перемножить, будет как раз твой возраст.
— (После размышления.) Не понимаю.
— Если сложить их возраст, получится сегодняшнее число.
— (Вновь после размышления.) Не понимаю.
— Кстати, средний сын любит танцевать.
— Понял.
А Вы, читатель, можете определить возраст каждого из
сыновей?
17. Переправы, переправы
1. Два путешественника подошли к реке. У ее берега
находилась единственная лодка, способная перевезти лишь одного
человека. Тем не менее они смогли переправиться через реку
и продолжить путешествие. Как это могло быть?
2. В старинном русском сборнике занимательных задач
есть следующая: «Три ревнивых мужа, пришедши с женами
своими к берегу реки, нашли при оном лодку, в которую по
ее малости более двух человек вмещаться не могло. Почему
спрашивается, как бы через реку переехать сим шести
человекам так, чтобы ни одна жена с чужим мужем не переезжала
и ни на котором берегу не оставалась».
3. Семья (папа, мама, сын и бабушка) ночью подошла
к мосту, способному выдержать только двух человек
одновременно. По мосту можно двигаться только с фонариком.
Известно, что папа может перейти мост в одну сторону за
минуту, мама — за две, сын — за пять и бабушка — за десять
минут. Фонарик у них один. Светить издали нельзя.
Носить друг друга на руках тоже. Если по мосту идут двое,
время перехода определяется наиболее медленноидущим
членом семьи. Как семье переправиться через мост за 17
минут?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
19
18. Из пустого в порожнее
К продавцу, студенту-математику, подрабатывающему
летом торговлей у бочки с квасом, подходят два веселых
приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец
замечает, что у него есть лишь две емкости, трехлитровая и
пятилитровая, и он не может выполнить их просьбу.
Приятели предлагают 100 долларов, если продавец сможет
выполнить их заказ, причем выдать им порции продавец должен
одновременно. После некоторого размышления, продавец
сумел это сделать. Каким образом? Заметим, что покупатели
согласны с тем, что при переливаниях квас не теряется и
что полные емкости позволяют точно отмерять объемы 3 и
5 литров.
19. Продолжить последовательность
Во многих психологических тестах встречаются задания,
в которых требуется продолжить ту или иную
последовательность. Большинство подобных заданий математически вполне
бессмысленны. Последовательность можно продолжить как
угодно и при этом предложить правило, объясняющее такое
продолжение. Рассказывают, что великий Ландау на
приемных экзаменах в аспирантуру предлагал продолжить
последовательность букв «Р», «Д», «Т», «Ч», «П», ... .
Утверждают, правда, что решивших эту задачу он в аспирантуру не
принимал, полагая, что решить ее может либо идиот, либо
гений. Но если отвечающий — гений, то он смог бы проявить
свою гениальность в каком-либо научном исследовании, ему
(Ландау) известном, а идиоты не нужны.
Несмотря на это предупреждение, предлагаем Вам
попытаться угадать закон, задающий следующие
последовательности, и продолжить каждую:
101, 112, 131, 415, 161, 718, ... ;
3, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 8, 5, 2, ....

20
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
20. Устами младенца
Как все знают, дети способны задавать вопросы, на
которые мало кто из взрослых сможет ответить. И наоборот, на
иные «взрослые вопросы» дети способны дать столь
неожиданные ответы, что взрослым остается лишь удивляться. Все
мы бываем гениями. Но, к сожалению, для большинства из
нас этот период слишком короток и заканчивается в раннем
детстве. Вот два примера.
1. Маленькая девочка предлагает отцу следующую
придуманную ею загадку: голова, как холодильник, во все
стороны волосы-иголки, руки короткие и тонкие, хвост длинный и
тонкий. Что это такое?
2. Отец с хитрой улыбкой задает своему
сыну-первокласснику вопрос: назови мне самое большое число. Получив ответ,
он лишь удивленно качает головой, не зная, что и возразить.
Что ответил сын?
21. Крепкая смесь
Имеются два сосуда емкостью 1 и 2 л. Из содержимого
этих сосудов можно приготовить 0.5 л смеси, содержащей 40%
яблочного сока, и 2.5 л смеси, содержащей 88% сока. Каково
процентное содержание сока в сосудах?
22. Путешествие по пустыне
Передвигаясь по пустыне, мотоциклист проезжает на
одной полной заправке расстояние 300 км. Он может устраивать
склады для хранения части горючего. На краю пустыни
расположена база, где находится запас бензина на 5 заправок.
Сможет ли мотоциклист углубиться в пустыню на 310 км,
если ему необходимо вернуться на базу? Сможет ли он в этих
условиях пересечь пустыню шириной 535 км, если
возвращение на базу не обязательно?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
21
23. Ну-ка, обгони!
Из точек А и В одновременно навстречу друг другу
выходят два тела. Каждое тело всякий раз, оказываясь в
точке А или в точке J3, меняет направление своего движения
на противоположное (абсолютные величины скоростей
обоих тел постоянны). Тело, вышедшее первоначально из
точки А, проходит путь АВ за 101с. Тело, вышедшее
первоначально из точки jB, проходит этот же путь за 201 с. По
истечении 2 • 101 • 201 с каждое тело окажется в своей
исходной точке. Сколько раз за это время первое тело обгонит
второе?
24. Задача для репетитора
В рассказе А. П. Чехова «Репетитор» гимназист Егор Зи-
беров не сумел решить арифметическую задачу, а отец
репетируемого ученика, отставной губернский секретарь Удодов,
пощелкав на счетах, получил правильный ответ. Решите и
Вы эту задачу арифметически. Интересно, умеют ли решать
подобные задачи современные репетиторы. Вот она.
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб.
Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если
синее стоило 5 руб. за аршин, а черное —3 руб.?
25. Свиньи Льюиса Кэрролла и другие задачи
1. Разместить 24 свиньи в четырех свинарниках,
расположенных в вершинах квадрата, так, чтобы при обходе этого
квадрата по периметру всякий раз число свиней в следующем
свинарнике было ближе к 10, чем в предыдущем.
2. В следующем выражении переместите одну цифру так,
чтобы оно стало верным: 101 — 102 = 1.
3. Разделить 7 яблок поровну между 12 мальчиками, если
каждое яблоко надо разделить на равные части, но ни одно
нельзя резать более чем на 5 частей.

22
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
4. Найти такие два числа, чтобы сумма, произведение и
частное от деления одного на другое были равны между
собой.
5. Расположите 9 фишек так, чтобы они образовали 10
рядов по 3 фишки в каждом.
26. Золотые слитки
Имеется два однородных слитка массой 2 и 3 кг с
различным процентным содержанием золота. Разрешается разрезать
каждый слиток на два. Необходимо из четырех полученных
кусков изготовить два слитка массой 1 и 4 кг с равным
процентным содержанием золота. На какие части надо разрезать
слитки?
27. Как определить пол воздушного шарика?
Винни-Пух, Сова и Пятачок делят между собой
воздушные шарики. Сначала Пух дал каждому из двух других по
одной четверти имевшихся у него (у Пуха) шариков и еще
полшарика. Затем Сова дала каждому из двух других по
одной четвертой оказавшихся у нее шариков и еще полшарика.
Затем это сделал Пятачок. В результате у каждого оказалось
по 30 шариков. Сколько шариков было у каждого из них
первоначально?
28. Задачи разные, идея одна
1. После заготовки дров работник подсчитал, что он
выполнил 53 распила и в результате получил 72 полена. Сколько
бревен было вначале?
2. Плитка шоколада состоит из отдельных долек,
образующих 4 горизонтальных и 7 вертикальных рядов. За какое
наименьшее число разломов эту плитку можно разломать на
отдельные дольки, если всякий раз ломать разрешается лишь
один кусок?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
23
3. В соревнованиях по кубковой системе (с выбыванием
проигравшего) принимают участие 100 команд. Сколько надо
провести игр для выявления победителя?
29. Как измерить диагональ параллелепипеда?
Предложите простой способ измерения с помощью
линейки диагонали обыкновенного строительного кирпича,
который легко реализуется на практике. Постарайтесь при этом
забыть про теорему Пифагора.
30. Соприкасающиеся объекты
1. Расположите пять одинаковых монет так, чтобы любые
две из них соприкасались.
2. Расположите шесть одинаковых карандашей
(цилиндрической формы) так, чтобы любые два из них
соприкасались. Сделали? А семь сможете?
3. Расположите на плоскости 4 треугольника так, чтобы
любые два соприкасались по куску стороны.
4. Расположите в пространстве восемь треугольных
пирамид так, чтобы любые две из них касались по куску
поверхности ненулевой площади. Можно ли расположить таким же
образом девять пирамид?
31. Луч света в темном царстве
В пространстве находится точечный источник света.
Закройте его четырьмя материальными шарами. (Шары
необходимо расположить в пространстве так, чтобы любой луч
света, идущий от источника, «натыкался» на какой-то шар.)
32. Самые обыкновенные построения
Большинство школьников умеют выполнить следующие
три построения при помощи циркуля и линейки.
1. Через данную точку А, лежащую вне данной прямой,
провести прямую, параллельную данной прямой.

24 И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
2. Из данной точки А опустить перпендикуляр на данную
прямую.
3. Из данной точки А на прямой восставить к ней
перпендикуляр.
Не могли бы Вы выполнить каждое из этих построений,
проведя не более трех линий (третья линия —это искомая
прямая).
33. Разрезание фигур
1. Разрежьте левую фигуру на рис. 1 на четыре равные,
а правую — на пять частей. Засеките время, которое Вам
потребуется на выполнение задания.
2. Разрежьте фигуру на рис. 2 (центр дуги в вершине
квадрата) на две равные фигуры. Разрезали? А на три?
Рис. 1.
Рис. 2.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
25
Рис. 3.
3. На главной диагонали шахматной доски в первых
идущих от угла четырех клетках стоят пешки. Разрежьте эту
доску на четыре равные части так, чтобы в каждой части
была ровно одна пешка.
4. Фигуру (рис. 3) разрежьте на две части так, чтобы из
них можно было составить квадрат 8x8.
34. Из двух квадратов один
Имеются квадраты 3 х 3 и 1 х 1. Разрежьте их на части,
из которых можно сложить квадрат. Справившись с этой
задачей, решите более общую: перекроить два произвольных
квадрата в один.
35. Развертки
1. Какие из фигур (рис. 4) могут служить развертками
куба, а какие нет?
2. На рис. 5 изображены две необычные развертки. Как
из них сложить куб?
3. Полоску бумаги 1x7 надо свернуть так, чтобы
получился единичный куб.

26
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
1
4
Рис. 4.
Рис. 5.
4. Сложить равнобедренный треугольник с боковыми
сторонами, равными 2, и углом между ними, равным 120°, так,
чтобы получился правильный тетраэдр с ребром, равным
единице.
5. Сложить треугольник, две стороны которого 2 и
а угол между ними 150°, так, чтобы получился правильный
тетраэдр с ребром, равным единице.
36. Кратчайший путь
Комната представляет собой прямоугольный
параллелепипед, одна стена которого имеет вид квадрата со стороной
2 м, пол — прямоугольник 2x5. На квадратной стене на
расстоянии 1/6 м от пола и на равных расстояниях от углов этой

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
27
стены сидит паук. Аналогичным образом на
противоположной стене, но у потолка сидит муха. Определить длину
кратчайшего пути, по которому паук может доползти до мухи.
37. Пять задач по геометрии для детей и взрослых
1. Четыре человека разрезали арбуз на четыре части.
После того как мякоть съели, осталось пять корок. Как это
может быть?
2. Сколько квадратов с вершинами в данных двадцати
точках (рис. 6) можно насчитать? Как убрать 6 точек так,
чтобы не осталось ни одного квадрата?
Рис. 6.
3. Два параллелограмма расположены так, как показано
на рис. 7. Доказать, что они равновелики.
4. Квадрат повернули 4 раза, каждый поворот на 90°.
Оказалось, что эти четыре поворота можно заменить одним
и также на 90°. Как это может быть?
Рис. 7.

28 И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 8.
5. Не пользуясь клеем, при помощи одних лишь ножниц
вырежьте из листа бумаги фигуру, изображенную на рис. 8.
38. Куб и сфера
На какое наибольшее число частей могут разделить
пространство поверхность куба и сфера?
39. Существуют ли такие фигуры:
1. Четырехугольник, у которого можно изменить
положение любой вершины, оставив три другие на месте, так, что
получившиеся четыре точки служат вершинами
четырехугольника, равного исходному?
2. Пятиугольник, у которого каждая диагональ равна
какой-то стороне?
3. Шестиугольник, никакие две диагонали которого не
пересекаются (не имеют общих внутренних точек)?
40. Невозможные объекты
«Предмет» обсуждения лучше всяких словесных
объяснений разъясняют изображения на рис. 9.
Говоря о невозможных объектах, нельзя не упомянуть
об одном крупнейшем художнике прошлого столетия
Морисе Эшере, создавшем целый мир, населенный невозможными

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ 29
Рис. 9.
объектами. Произведения Эшера очень любят математики и
физики и часто иллюстрируют его работами всевозможные
научные и научно-популярные книги.
На рис. 10 изображена треугольная пирамида, в которой
проведено сечение плоскостью, а также проекции (вид сверху)
двух тел. Никаких невидимых ребер нет. Не кажется ли Вам,
ни
Рис. 10.

30
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
что все эти рисунки также относятся к категории
невозможных? Почему?
41. Пересечение трубопроводов
Имеются два достаточно длинных цилиндра, оси которых
пересекаются под прямым углом. Радиусы цилиндров
равны R. Найти объем общей части цилиндров. В общем случае
количество цилиндров равно iV, их оси размещены в одной
плоскости и составляют равные углы.
42. Ну, блин...
Найти объем тела, которое можно назвать «блином» и
которое получено следующим образом. Возьмем выпуклую
плоскую замкнутую кривую длины L, ограничивающую часть
плоскости площади S. Построим всевозможные шары с
радиусами Дис центрами на этой кривой или внутри ее. Найдите
объем тела, заполняемого этими шарами.
43. Окрестность квадрата
Проволока согнута в виде квадрата со стороной 2R.
Найдите объем тела состоящего из всех точек пространства,
удаленных хотя бы от одной точки проволоки на расстояние, не
превышающее R.
44. Задача о дырявой бочке
Имеется бочка цилиндрической формы, заполненная
водой. Через отверстие в днище бочки вытекает вода. Известно,
что половина воды вытекла за 10 мин. За какое время вытечет
вторая половина?
45. О бочках и картах
1. Имеются две бочки: бочка с медом и бочка с дегтем.
Из первой зачерпывают некое количество ее содержимого,
переливают во вторую и перемешивают. Затем такое же
количество смеси (по объему) возвращают в первую бочку. Эта

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
31
операция повторяется несколько раз. Спрашивается, чего в
результате больше — дегтя в меде или меда в дегте?
2. Справившись с первой задачей (пусть даже с помощью
ответа), попробуйте понять секрет следующего трюка, на
первый взгляд никак не связанного с этой задачей. Фокусник
берет колоду карт (52 штуки), обращенных рубашкой вверх,
отсчитывает из них 20 штук, перевертывает рубашкой вниз
и передает зрителю. Зритель, смешав перевернутые карты со
всей колодой, тщательно перетасовывает колоду так, чтобы
перевернутые карты случайным образом распределились в
ней. Затем отсчитывает 20 карт (фокусник не видит, какие
карты ему отдают, например, отсчет идет под столом) и
передает их фокуснику.
Фокусник, беря стопку и скрыв ее на мгновение от
зрителей, заявляет: «Сейчас я усилием воли уравняю количество
перевернутых карт в моей и в вашей частях колоды». Затем
вытаскивает свои карты и подсчитывает перевернутые. Их
оказывается ровно столько, сколько среди карт зрителя. В чем
секрет этого фокуса?
46. Две игры со спичками — простая и не очень
1. На столе лежат 37 спичек. Каждому из двух игроков
разрешается по очереди брать не более 5 спичек.
Выигрывает тот, кто возьмет последнюю. Кто выигрывает при
правильной игре — начинающий игру или второй игрок? Какова
выигрышная стратегия?
2. Рассмотрим ту же игру, но с одним дополнительным
ограничением: запрещается повторять ход соперника.
Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку либо поставит
соперника в положение, при котором у него нет разрешенного
хода. Кто выиграет на сей раз при правильной игре?
47. Как тасовать колоду карт
Возьмем колоду из 32 карт и начнем ее тасовать по
следующему правилу. Верхнюю карту перекладываем в низ колоды,

32
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
а следующую за ней кладем на стол, следующую — вновь под
низ колоды, затем — на стол на лежащую там карту. И так
далее, пока на столе не будет лежать вся колода. Где в начальной
колоде была карта, которая ляжет на стол последней? Какая
карта внутри колоды не изменит своего положения? После
скольких подобных «тасовок» колода вернется в исходное
положение?
48. Странные пари
Один заядлый спорщик выигрывал, как правило, казалось
бы, сложные пари. Например:
(1) Он спорил, что сумеет угадать, какой счет будет в
матче ЦСКА — «Динамо» перед началом этого матча. А Вы
сможете?
(2) Перед началом небольшого международного турнира
он заключил пари, что ни один футболист не забьет ни одного
мяча, и сумел выиграть этот спор. Догадайтесь, почему.
(3) На спор он брался пройти днем по Красной площади
в одних трусах.
(4) Он описывал на листе бумаги событие, которое
произойдет или не произойдет в течение ближайших 5 мин, и,
перевернув лист, клал его на стол. В свою очередь его
соперник на другом листе бумаги писал слово «Да», если считал,
что неизвестное ему описанное на листке событие произойдет,
и «Нет» — если не произойдет. Через 5 мин записки
зачитывались. Если соперник угадал, он получал 100 долл., если не
угадал, то выплачивал спорщику 1 долл. Что писал спорщик,
если известно, что он ни разу не проиграл?
49. Девять квадратов
1. Девять квадратов расположены так, как показано на
рис. 11. Сторона черного квадрата равна 1. Найдите стороны
двух отмеченных вопросительными знаками квадратов.
2. Найдите какой-нибудь прямоугольник, который можно
разрезать на различные квадраты.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
33
?
ft
?
Рис. 11.
50. Игра в слова
Если Вы устали от математики, предлагаю поиграть в
слова. Имеется в виду отнюдь не та игра, в которую с таким
удовольствием играют парламентарии. (Хочу признаться в
некотором лукавстве, поскольку предлагаемая далее игра все
же имеет отношение к математике.) Правила игры такие:
надо из букв одного слова составить как можно больше новых
слов. Разрешаются лишь нарицательные (несобственные)
существительные единственного числа в именительном падеже
длиной не менее пяти букв. Обычно не учитываются слова,
получающиеся группировкой без изменения порядка букв
исходного слова (например, «штукатур» —«штука»).
Выигрывает тот, кто составит больше слов (или тот, кто составит
больше оригинальных слов). Попробуйте набрать не менее
семидесяти слов длиной не менее пяти букв, созданных из
слова «ПЕРЕСТРОЙКА». В ответе Вы найдете их несколько
больше.
Приведем примеры групп слов, образованных
одинаковыми буквами. АПЕЛЬСИН-СПАНИЕЛЬ, ВЕРТИКАЛЬ-
КИЛЬВАТЕР, ТОВАР - ТАВРО - АВТОР - ОТВАР -
РВОТА —ВТОРА. Возможно, это рекордная по числу слов
из одинаковых букв группа слов.

34
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
А вот забавная коллекция фамилий и профессий:
повариха Архипова, рисовод Сидоров, конвоир Коровин и даже
невропатолог Егор Платонов.
Кстати, о словах и рекордах. Знаете ли Вы, какое слово
является самым длинным в русском языке. Если верить
словарю Ожегова, то это - ПЕРЕОСВИДЕТЕЛЬСТВОВАНИЕ
(искусственные слова типа гидрометео ... или названия
лекарств, химических соединений не учитываем). Самые
длинные слова из разных букв — РАЗГИЛЬДЯЙСТВО, а если
считать «е» и «ё» разными буквами, то это
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК.
51. Кто изображен на портрете?
В семье я рос один на свете,
И это правда, до конца.
Но сын того, кто на портрете,
Сын моего отца.
Изменим задачу —что если в третьей строчке будет:
«Отец того, кто... ». Кто изображен на портрете?
52. Простые задачи и странные вопросы
1. На стоянке такси стояло 7 машин. Передняя отъехала с
пассажиром. Сколько машин осталось на месте?
2. Уезжая в командировку на 9 дней, инженер Додырин
взял с собой кусок мыла прямоугольной формы. За
неделю командировки кусок по всем направлениям уменьшился
вдвое. Хватит ли остатка на последние два дня?
3. Известно, что один бегемот весит 1800 кг. Сколько
бегемотов может перевезти пятитонка?
4. Сколько крокодилов сможет увезти та же машина, если
вес одного крокодила 175 кг?
5. Как Вы думаете, с какого числа начинается «много»?
6. Следующие строчки взяты из хорошо известного
стихотворения. Любопытно, что дети его узнают быстрее взрослых:

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
35
Мяжя Дяма кленге брящед,
Юлемыря ф лэгшу нащыг.
Дыжэ, Дямэщгя, мэ брящь,
Мэ юдемэд ф лэщге нащ.
7. В 1865 г. появилось первое издание знаменитой книги
Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес». В этой книге в
сцене безумного чаепития шляпочник (в некоторых
переводах — болванщик, в оригинале — Hatter) ошарашивает Алису
загадкой: «Что общего между вороном и письменным столом
(writing desk)?». На этот вопрос Алиса так и не ответила.
После выхода книги в свет в Англии, затем в Америке и во всем
мире сотни тысяч людей задумывались над этой загадкой,
пытались так или иначе на нее ответить. Давали ответы и сам
Кэрролл, известный автор головоломок Сэм Ллойд и другие
личности. Попробуйте и Вы ответить на этот вопрос. Может
быть, сегодня это можно сделать более обоснованно, чем во
времена Льюиса Кэрролла?
53. Сопротивление в кубе
Возьмем каркас в форме куба, изготовленный из
проволоки. Сопротивление каждого ребра (имеется в виду
электрическое сопротивление) равно единице. Чему равно
сопротивление всего куба при прохождении электрического тока от
одной вершины к противоположной?
54. Бывает же такое!
1. Внутри равнобедренного треугольника расположен
другой равнобедренный треугольник. Возможно ли, чтобы
боковые стороны внутреннего треугольника были бы больше, чем
боковые стороны внешнего?
2. Возможна ли четырехугольная пирамида, две
противоположные грани которой были бы перпендикулярны
плоскости основания?
3. Через вершину конуса (самого обычного, прямого,
кругового) проведено сечение наибольшей площади. Обязательно
ли это сечение является осевым?

36
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
55. Дорогой длинною
1. Отправляясь в путешествие, автомобилист поставил на
свою машину четыре новые шины и одну взял в запас. Какое
максимальное расстояние он сможет проехать, если известно,
что шины на передних колесах снашиваются через 45 000 км,
а на задних — через 55 000 км?
2. Шины фирмы «Бриджстоун» изнашиваются через
45 000 км, а шины Ярославского завода — через 55 000 км.
Какое максимальное расстояние сможет проехать автомобилист,
у которого имеются 2 колеса с шинами фирмы Бриджстоун
и 3 колеса Ярославского завода? (Считаем, что наш
автомобилист имеет право использовать во время движения шины
разных фирм, что справедливо запрещается Правилами
дорожного движения.)
3. Задачу можно продолжить. Например, автомобилист
располагает шинами разных фирм, которые изнашиваются с
различной скоростью в зависимости от положения на машине.
Придумайте самостоятельно такую задачу и попробуйте ее
решить.
56. Этот загадочный квадратный трехчлен
Квадратный трехчлен, наверно, самый знаменитый
персонаж школьного курса математики. Он встречается даже в
известной серии анекдотов про Василия Ивановича. Похоже,
что нынче квадратный трехчлен представить себе не могут
многие считающиеся образованными люди, а не только
Василий Иванович. Понятно, что и мы не можем обойтись без
него. Вот несколько простых задач, связанных с ним.
(Напомним, что квадратным трехчленом называется выражение
вида ах2 + Ьх + с, где а отлично от 0.)
1. Решите уравнение Зх2 + 2186я - 2189 = 0.
2. Упростите выражение:
(х — а) (х — Ь) (х — Ь)(х — с) (х — с) (х — а)
(с — а) (с — Ь) (а — Ь)(а — с) (Ь — с)(Ь — а) '

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
37
где а, Ь и с —различные числа. (Вообще говоря, задание
«упростить выражение» нельзя считать вполне корректным,
но данное здесь выражение в самом деле можно существенно
упростить.)
3. В одном учебном пособии рассматривалась следующая
задача. Найдите все возможные значения рид, при которых
выполняется равенство x2+px + q = 0. Приведу вкратце
предложенное там решение. По условию р и q являются корнями
уравнения х2 + рх + q = 0. По теореме Виета должны
выполняться равенства р + q = —р, pq = q. Решая эту систему,
найдем два решения: 1) р = { = 0 и 2) р = 1, q = —2. Вы
согласны с таким решением?
57. Болтливые черепахи
Три черепахи ползали наперегонки. После окончания
соревнований черепаха А заявила, что она опередила ?>, Б
сказала, что приползла не последней, В утверждала, что была
впереди А. Не могли бы Вы дать достаточно правдоподобное
объяснение таким ответам?
58. Переставить стаканы
На столе в ряд стоят 6 стаканов. Первые три пустые, а
последние три наполнены водой. Как сделать так, чтобы пустые
стаканы и полные чередовались между собой, если касаться
можно только одного стакана (толкать стакан стаканом
нельзя)?
59. Лезу на санузел
По определению палиндромом (русский эквивалент —
перевертыш) называются слово, фраза или предложение,
одинаково читающееся с начала и с конца (без учета пропусков
между словами и знаков препинания). Именно этим
свойством обладает фраза, вынесенная в название. Вот короткий,
как выстрел, и точный палиндром «Ленин ел». Рекордный
по длине перевертыш (известный мне): «Он рубил и потел от

38
Я. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
вина, холодно —он до лохани, в то лето пили бурно». Есть
ироничные палиндромы: «Знамо даже у ежа дома НЗ».
Забавна пара палиндромов, образующих утверждение: «На вид
Иван, но сам масон». Арифметический палиндром:
312 • 221 = 68952; 25986 = 122 • 213.
А теперь задачи.
1. Найдите шестизначное число, являющееся
палиндромом и точным квадратом.
2. Замените в палиндроме буквы на цифры так, чтобы
получилось верное равенство: ШРАМ • Ы = МАРШ.
60. Математическая логика
Среди лиц, далеких от математики, существует
преувеличенное представление о роли логики и дедукции в
математике. Спору нет, роль эта достаточно значительна. Более
того, умение логически мыслить отнюдь не бесполезно в
обыденной жизни, может помочь принять верное решение в
различных затруднительных ситуациях. С другой стороны,
человек, формально логически подходящий к явлениям жизни,
к утверждениям своим и своих собеседников, невыносим в
общении, способен усложнить жизнь и себе, и своим близким.
(— Я вижу черную козу, — говорит обычный человек. — А я
вижу козу, у которой правый бок черный, — «поправляет»
его логик.) Многие обычные высказывания оказываются
бессмысленными с логической точки зрения, приводят к
логическим противоречиям и парадоксам. Утверждение: «Я лгу» —
типичный пример логического противоречия. Так же
противоречива поговорка: «Нет правил без исключения». В конце
концов, понятие «демократия» задает вид государственного
устройства, какового на самом деле не может быть.
Классическим примером, иллюстрирующим задачи логического типа,
является задача о трех мудрецах.
1. Трем мудрецам показали пять колпаков: три красных и
два белых. Затем им завязали глаза и надели всем троим по

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
39
красному колпаку. После этого с них сняли повязки и
предложили каждому, посмотрев друг на друга, определить, какого
цвета колпак на нем. Через некоторое время мудрейший
догадался, что на нем красный колпак. Как он мог сделать такой
вывод?
2. Данная история является антитезой к предыдущей.
Преступника приговорили к казни. В приговоре было сказано,
что казнь должна состояться не позднее чем через 7 дней,
начиная со следующего, но при этом приговоренный
накануне казни не должен знать, что завтра будет казнь. Услышав
это, преступник, неплохо знавший математическую логику,
обрадовался, так как пришел к заключению, что условия
приговора невыполнимы. В самом деле, если считать, что отсчет
времени начинается с понедельника, то, рассуждал
заключенный, казнь не может произойти в воскресенье, поскольку в
этом случае в субботу мне об этом заведомо будет известно.
Но поскольку казнь не может произойти в воскресенье, то она
не может произойти и в субботу, так как в этом случае об этом
станет известно в пятницу. Продолжая далее рассуждение,
заключенный пришел к выводу, что казнь не может состояться
ни в один день недели, и спокойно лег спать. На следующий
день его казнили! При этом, как Вы сами видите, все условия
были соблюдены. Вот и верь после этого логике!
61. Юридический казус
Однажды в одном караван-сарае встретились три
погонщика верблюдов. При этом оказалось, что погонщики А и
В смертельно ненавидели погонщика С. Ночью погонщик А
подлил в бурдюк с водой погонщика С смертельного яда.
Погонщик В перед самым отправлением С проколол его
бурдюк с водой так, что вся вода вытекла уже во время первого
перегона. В результате С, получивший легкую травму, из-за
отсутствия воды не смог вернуться в караван-сарай и умер
от жажды.

40
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Налицо убийство. Но кто убийца —вот вопрос. Адвокат
погонщика В в суде заявит, что из бурдюка вытекла не
живительная влага, а смертельно ядовитая жидкость. Так что
благодаря действиям В погонщик С прожил даже дольше,
чем в ином случае. Адвокат погонщика А может заявить, что
его подзащитный и в самом деле имел умысел убить С, но
он его не убивал, поскольку погонщик не выпил ни грамма
отравленной жидкости.
62. Самоопределяющиеся объекты
1. Рассмотрим два высказывания: «В этой фразе двадцать
восемь букв» и «В этой фразе двадцать девять букв». Первая
фраза отличается от второй хотя бы тем, что содержащееся в
ней утверждение истинно. Чего не скажешь о второй фразе.
Чтобы в этом убедиться, достаточно подсчитать число букв
в каждой. Можно также проверить, что у многоугольника,
изображенного на рис. 12а, число сторон равно указанному на
его изображении числу. А вот еще два истинных утверждения.
Проверьте.
Рис. 12а.
«Это предложение содержит двенадцать слов, двадцать
шесть слогов и семьдесят три буквы». «В этой фразе
двенадцать В, две Э, семнадцать Т, три О, две И, две Ф, семь Р,
четырнадцать А, две 3, двенадцать Е, шестнадцать Д, семь
Н, семь Ц, тринадцать Ь, восемь С, шесть М, пять И, две Ч,
две Ы, три Я, три Ш, две П».
Составьте грамматически правильную фразу, которая
начинается следующим образом: «Число букв в этой фразе
равно. .. », и является верным утверждением.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
41
2. Найдите десятизначное число, запись которого
одновременно является рассказом об этом числе. А именно, первая
цифра сообщает, сколько в этом числе нулей, вторая —
сколько единиц, третья — число двоек и т. д.
3. Найдите пару десятизначных чисел, каждое из которых
является описанием другого, т. е. первая цифра одного числа
равна числу нулей в другом числе, вторые цифры взаимно
информируют о числе единиц и т. д.
4. Заполните пропуски числами (в десятичной записи) так,
чтобы получилось верное высказывание. «Данное
высказывание содержит цифру 0 ровно ... раз, цифру 1 ровно ...
раз, цифру 2 ровно ... раз, цифру 3 ровно ... раз, цифру
4 ровно ... раз, цифру 5 ровно ... раз, цифру 6 ровно ...
раз, цифру 7 ровно ... раз, цифру 8 ровно ... раз, цифру
9 ровно ... раз». (Возможно, в некоторых местах придется
изменить падеж —вместо «раз» написать «раза».)
63. Сумма кубов
Найдите все трехзначные числа, равные сумме кубов
своих цифр.
64. Дружные парочки
В Древней Греции была известна пара чисел, сумма
делителей каждого из которых равна другому. Пифагор
утверждал, что лучшая дружба — это та, в которой все, как у чисел
220 и 284. Действительно, 220 = 22 • 5 • 11, сумма делителей
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22+44+55 + 110 = 284, 284 = 22-71,
сумма делителей 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Великий
математик Пьер Ферма открыл еще одну пару: 17296 и 18416. Рене
Декарт обнаружил третью: 9 363 584 и 9 437 056. А вот честь
открытия второй по величине пары принадлежит великому
музыканту Никколо Паганини. Как Вы уже заметили, числа
в этих парах близки друг к другу по величине. Если добавить,
что числа Паганини близки к сотне дюжин, то их не так уж
сложно найти. Попробуйте отыскать эти числа.

42
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
65. Принцип Дирихле
У математиков встречаются весьма странные
«принципы», которыми они никогда не поступаются. Впрочем, любой
здравомыслящий человек, ознакомившись с этими
принципами, вынужден их признать. Вот, например, так называемый
принцип Дирихле. Математики очень любят объяснение этого
принципа сводить к примеру кроликов в клетках. Поступим
так же и мы.
Если в ста (или п) клетках сидит не менее 101 (или п + 1)
кроликов, то хотя бы в одной клетке находится более одного
кролика. Удивительно, что на основе такого простого и даже
чуть наивного принципа математикам удается решать весьма
трудные задачи, доказывать красивые теоремы, причем не
только элементарные.
Вот несколько задач на эту тему.
1. Несколько футбольных команд проводят турнир в один
круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две
команды, сыгравшие одинаковое количество игр.
2. Докажите, что найдется число, записываемое одними
единицами и делящееся на 1999.
3. Имеется 11 различных натуральных чисел, не больших
20. Докажите, что из них можно выбрать два числа, одно из
которых делится на другое.
4. Докажите, что у любого многогранника найдутся по
крайней мере две грани, являющиеся многоугольниками с
равным числом сторон.
5. Квадратная доска 6x6 заполнена костяшками домино
1x2. Докажите, что можно провести вертикальный или
горизонтальный разрез этой доски, не пересекающий ни одной
из костяшек домино.
66. Синусы и логарифмы
В числе обруганных математических терминов (см. «От
автора») на первом месте стояли именно синусы и логариф-

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
43
мы. Два других упомянутых там термина уже сыграли свои
маленькие роли в этой книге. Было бы несправедливо совсем
обойтись без какого-нибудь примера на синусы и логарифмы.
Проиллюстрируем с их помощью один тип школьных задач.
В некоторых школьных учебниках имеются задания: решить
какое-нибудь уравнение или систему уравнений графическим
методом. Скажем прямо, в 99 случаях из 100 подобные
задания некорректны. Графически нельзя решить ни одно
уравнение. Можно говорить о графических методах приближенного
решения уравнения (системы) или же об оценке числа
решений. Вот две задачи на эту тему.
1. Эту задачу можно считать классической. Сколько
решений имеет уравнение sin х = ж/100.
2. Следующую задачу хочу предварить одной
историей. Однажды на консультации перед вступительным
экзаменом на механико-математическом факультете МГУ
преподаватель, проводивший эту консультацию, получил записку от
абитуриентов с вопросом: сколько решений имеет уравнение
ъчх ={h) ¦
Не ожидавший подвоха преподаватель построил примерно
графики функций, расположенных в левой и правой частях
уравнения (эти графики симметричны относительно
биссектрисы первого и третьего координатных углов), и заявил,
что это уравнение имеет единственный корень. После чего он
получил другую записку, в которой ему предлагалось
проверить, что х = \ и х = ^ удовлетворяют уравнению. Сколько
же на самом деле решений имеет это уравнение? В чем ошибся
преподаватель?
67. Невидимые вершины
Существуют ли такой многогранник и точка вне его, что
из этой точки не видно ни одной из его вершин?

44
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
68. Дюжина простых задач
Постарайтесь решить каждую из них, затратив на
обдумывание не более минуты.
1. Назовите все цифры от 9 до нуля в обратном порядке.
2. Наблюдатели установили, что за первые сто дней
правления нового президента цены возрастали в точности на 10%
в течение любых идущих подряд 30 дней. На какое
наибольшее и наименьшее значение могли вырасти цены в процентах
за все сто дней?
3. На подоконнике сидели три мухи. Вспугнутые хозяйкой,
они взлетели. Какова вероятность, что ровно через минуту
они окажутся в одной плоскости?
4. Петя утверждает, что у него в кармане две монеты на
общую сумму 15 коп., причем одна из этих монет —не пятак.
Какие монеты у Пети? (Эта задача возникла еще в те времена,
когда в ходу были монеты достоинством в1,2,3,5,10,15и
20 коп.)
5. Подсчитайте в уме, чему равно выражение
1234 567 8902 - 1234 567 889 • 1234 567 891.
6. Подсчитайте в уме, чему равно выражение
19 911991 • 199 219 921992 - 19 921992 • 199 119 911991.
7. Сумма в девять тысяч, девять сотен и девять рублей
записывается в виде 9909 руб. Напишите быстро сумму в
двенадцать тысяч, двенадцать сотен, двенадцать рублей.
8. Секретарша напечатала пять различных писем и
надписала пять конвертов с адресами. Предположим, она
вкладывает письма в конверты случайным образом. Чему равна
вероятность, что ровно четыре письма будут вложены в
конверты с адресами тех лиц, кому они предназначены?
9. На сковороде могут одновременно жариться две
котлеты. Каждую котлету нужно обжаривать с двух сторон, при
этом на обжаривание ее с одной стороны требуется 2 мин.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
45
Голодный студент мечтает побыстрее поджарить три котлеты.
Какое наименьшее время ему потребуется?
10. Бумеранг можно бросить так, что он вернется обратно,
не коснувшись никакой твердой поверхности. А можно ли так
бросить теннисный мяч?
11. В одном помещении находятся 3 выключателя, а в
другом — присоединенные к ним лампочки. Какой
выключатель соответствует той или иной лампочке, неизвестно.
Разрешается производить любые манипуляции с выключателями
и один раз зайти в помещение с лампочками. Можно ли в
этих условиях установить соответствие между лампочками и
выключателями?
12. Школьники из московской гимназии отправились на
экскурсию в Волоколамск. Один из них, рассказывая дома
об этой поездке, нарисовал картинку (рис. 126). Можно ли по
ней определить, куда едет автобус —в Москву или в
Волоколамск?
Москва Волоколамск
Рис. 126.
69. Рыцари круглого стола
Восемь рыцарей каждый год в установленное время
собирались за круглым столом и устраивали пир. При этом они
свято соблюдали одно условие: всякий раз у каждого рыцаря
была новая пара соседей. Какое наибольшее число лет могли
продолжаться подобные встречи?
70. Дружеские встречи
Компания из 10 человек провела ряд встреч. На каждой
встрече присутствовали 5 человек из этих 10. Никакие два

46
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
человека не встречались более двух раз. Каково наибольшее
число таких встреч?
71. По течению и обратно без уравнений
Кто-то, кажется Льюис Кэрролл, сказал, что решать с
помощью уравнений задачу, допускающую простое
арифметическое решение, безнравственно. Если согласиться с этим
утверждением, то придется признать, что сегодня на уроках
математики очень много безнравственности. Хочу привести
пример одной задачи, которую легко решить арифметически,
но большинство учителей и репетиторов решают ее с
помощью уравнений.
Из пункта А вниз по течению реки отправились
одновременно катер и плот. Катер, доплыв до пункта J3, сразу
повернул обратно и встретил плот через 2 ч после выхода.
Затем катер продолжал плыть против течения, вернулся в А,
сразу повернул и догнал плот через 2 ч после встречи с ним.
Сколько времени катеру потребовалось на путь от i до 5?
За какое время преодолеет этот путь плот?
72. Куры и петухи
Хозяйка купила на рынке курицу. Эта курица снесла два
яйца, после чего попала на обеденный стол. Из каждого яйца,
как известно, может вылупиться либо курица, либо петух.
Каждый петух попадал на стол, а каждая курица съедалась
после того, как успевала снести два яйца. Через некоторое время
этот процесс оборвался, поскольку появились одни лишь
петухи. Выяснилось, что всего было съедено 17 петухов. Сколько
было съедено кур?
73. Странный калькулятор
Имеется калькулятор, который может из данного целого
числа а получить либо число 2а +1, либо число ^тр, если а — 1
делится на три. Постарайтесь с помощью таких операций из
1 получить 8, а также 32.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
47
74. Трое рабочих копали канаву
Сначала первый рабочий проработал половину времени,
необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву, затем
второй рабочий проработал половину времени, необходимого
двум другим, чтобы вырыть всю канаву, и, наконец, третий
рабочий проработал половину времени, необходимого двум
другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате вся канава
оказалась вырытой, а с начала работы прошло 8 ч. За какое
время могли бы вырыть эту канаву все трое рабочих, работая
вместе?
75. Тетраэдры Мёбиуса
Можно ли 8 вершин куба разбить на две четверки так,
чтобы в каждой плоскости, проходящей через любые три точки
одной четверки, находилась точка из другой четверки?
76. Любитель анекдотов
Профессор математики собирается читать в
университете курс своих лекций в течение последующих 40 лет.
Чтобы украсить лекции, он предполагает каждый год
рассказывать по 4 анекдота. При этом в течение любых двух лет
подряд повториться может только один анекдот и каждый
год должен быть рассказан хотя бы один анекдот,
который не встречался на протяжении предыдущих четырех лет.
Каким наименьшим числом анекдотов может обойтись
профессор?
77. Поговорим о вероятностях
У каждого из нас с возрастом вырабатывается
определенная вероятностная интуиция — умение оценивать шансы того
или иного события. Однако активное участие наших
соотечественников в многочисленных лотереях и иных жульнических
начинаниях вызывает сомнение в хорошем развитии этой
интуиции и умении пользоваться этим чувством.

48
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
1. Предположим, Вам предложено заключить на равных
условиях (т. е. величина выигрыша равна проигрышу) одно
из следующих пари. Кому выгодно это пари?
а) Вы и Ваш соперник берете по колоде карт (36 листов),
тасуете каждый свою колоду и начинаете выкладывать
одновременно по одной карте на стол. Если ни в одной паре не
окажутся совпадающие карты, выигрываете Вы. Если хотя бы
однажды выложены будут две одинаковые карты,
выигрывает Ваш соперник.
б) Опрашиваем 40 случайно выбранных человек
(можно и учеников соседнего класса или сотрудников по работе,
хотя, конечно, такую выборку трудно назвать случайной).
Если среди опрошенных найдутся хотя бы двое,
празднующие свой день рождения в один и тот же день, Вы
проигрываете. Если все дни рождения различны, то выигрыш
Ваш.
2. В ящике лежит шар, который с равной вероятностью
может быть либо белым, либо черным. В ящик добавляется
белый шар, затем наугад извлекается шар, который оказался
белым. Какова вероятность того, что и оставшийся шар —
белый.
3. Полеj полеj поле чудес. Известный ведущий
известной высокоинтеллектуальной передачи «Поле чудес»
предлагает одному участнику следующий способ розыгрыша
приза. Выносятся три шкатулки. Известно, что две из них
пустые, а в одной находится приз. Участник указывает на
одну из шкатулок. Затем ведущий, который, безусловно,
знает, где находится вожделенный приз, открывает одну из
двух оставшихся шкатулок и показывает, что она пуста.
Теперь играющий имеет право либо сохранить свой
первоначальный выбор, либо сменить его, указав другую
неоткрытую шкатулку. Что выгоднее: сохранить первоначальный
выбор или сменить его? А может, обе возможности
равноправны?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
49
78. Как бросать жребий?
Монета является общепризнанным инструментом, с
помощью которого можно бросать жребий, делать выбор между
двумя равновероятными возможностями. Предположим, что
имеющаяся у нас монета не симметрична и есть веские
основания считать, что «орел» и «решка» выпадают с различными
вероятностями. Как с помощью такой неправильной монеты
все же бросить жребий так, чтобы ни одна сторона не
могла считать себя обиженной? А как с помощью этой монеты
бросить жребий между тремя участниками, решающими,
скажем, кому покупать шампанское?
79. Дел еле добычи
Разбойники решили разделить между собой добычу,
которую можно разделить на любое количество мелких частей
(например, золотой песок). Они не доверяют друг другу,
возможен даже сговор между частью из них. Найти алгоритм
деления, при котором каждому разбойнику будет казаться, что
его доля не меньше, чем 1/N от всей добычи, где N —
количество разбойников. (Вцрочем, далеко не всякий согласится, что
такое условие является достаточным для того, чтобы считать
дележ справедливым. Многие справедливым будут считать
лишь такой дележ, при котором он получил не меньше
любого другого. А поскольку «чужой каравай» всегда кажется
больше, решить задачу невозможно.)
80. Деление пополам
Идею этого метода иллюстрирует следующий стишок:
Несчастный случай! Ваш слуга убит!
Он надвое разрезан, мистер Смит!
Ну, что ж! Тогда любезность окажите,
Ту половину, где ключи, пришлите.
Если Вы желаете угадать задуманное кем-то число,
использовав наименьшее количество вопросов, задавая вопросы,

50
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
предполагающие лишь ответы «да» и «нет», то самое
лучшее—всякий раз делить множество пополам. Например, если
задумано какое-то число от 1 до 16, то угадать его наверняка
можно за 4 вопроса и, вообще говоря, быстрее нельзя. Правда,
реализовать нужное деление пополам в реальных ситуациях
возможно далеко не всегда! В частности, это трудно сделать в
известной игре — угадать задуманную личность. (Попробуйте
сыграть в эту игру с приятелем, загадав Павлика Морозова.
Интересно, за сколько вопросов он угадает. Норма —20
вопросов.) Вот еще две задачки.
1. В лаборатории имеется некоторое количество проб
крови, взятых у различных людей. Одна из них содержит весьма
редкую разновидность вируса, определяемую при помощи
дорогостоящих и трудоемких исследований. Чтобы уменьшить
число исследований, лаборатория обратилась за
консультацией к математику. Ему пояснили, что при анализах можно
брать части различных проб, смешивать их и определять,
присутствует ли вирус в полученной смеси. Узнав общее число
исследуемых людей (оно оказалось между 100 и 200),
математик предложил исследовать сначала одну любую из
имеющихся проб, утверждая, что общее число анализов при этом
все же будет минимальным. Сколько проб в лаборатории?
2. Какое наименьшее количество вопросов потребуется,
чтобы наверняка угадать задуманное число между 1 и 16
включительно, если отвечающий имеет право один раз
соврать?
81. Кто в выигрыше?
Один человек, покупая на рынке 2 кг яблок (для
достоверности заметим, что было это достаточно давно), высказал
предположение, что весы плохо отрегулированы — одно плечо
у них короче другого. В связи с этим он предложил, чтобы
продавец взвесил ему 1 кг яблок на одной чаше весов, а 1 кг —
на другой. Если предположить, что покупатель прав, кто
выиграл при таком взвешивании?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
51
82. Три задачи про взвешивания
1. Имеется 80 монет, одна из которых фальшивая, причем
она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний на
весах без гирь можно найти фальшивую?
2. Имеются 12 монет, одна из которых фальшивая, причем
неизвестно, легче она или тяжелее, чем настоящие. За три
взвешивания на весах без гирь найдите фальшивую.
3. Есть 5 булыжников, различных по тяжести. За 7
взвешиваний на весах без гирь расположите их по возрастанию
массы.
83. Игра «ним»
На столе лежат три кучки спичек, состоящие
соответственно из 7, 11 и 13 спичек. Игроки по очереди берут любое
количество спичек из любой кучки. Выигрывает тот, кто взял
последнюю спичку. В данной игре выигрывает начинающий.
Укажите, как он должен играть. Каким должен быть первый
ход?
Эта игра широко известна. Называется она «ним». В
общем случае число кучек, как и количество спичек в каждой
кучке, может быть произвольным. Тем не менее
существует оптимальная стратегия для всех случаев,
обеспечивающая одному из игроков в зависимости от начального
положения неизменный выигрыш. Попробуйте найти эту
стратегию.
84. Проверка на радиоактивность
Среди 18 шаров 2 радиоактивных. Можно проверять на
радиоактивность кучку из любых шаров. Как за 8 таких
проверок наверняка найти оба радиоактивных шара?
85. Лист Мёбиуса и шестеренки
Одним из общепринятых сегодня символов математики
является известный лист Мёбиуса. Он наравне с интегралом

52
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 13.
или знаком суммы изображается часто на значках
математических факультетов, эмблемах математических олимпиад
и конгрессов, почтовых марках, так или иначе связанных с
математикой. Лист Мёбиуса получается из бумажной ленты,
которую сначала перекрутили на 180°, а затем склеили концы
(рис. 13). Это самый известный пример так называемой
односторонней поверхности. Если мы выделим на листе Мёбиуса
небольшой кружок, то у него, понятно, будут две стороны.
Однако, выйдя из какой-то точки этого кружка,
расположенной на одной из его сторон, и двигаясь по листу Мёбиуса,
мы сможем попасть в точку того же кружка, но с
противоположной стороны, нигде не переходя через край листа
Мёбиуса. Известный русский философ Павел Флоренский считал,
что свое путешествие в ад Данте совершил по односторонней
поверхности. С листом Мёбиуса связано много интересных
задач.
Попробуйте ответить на два простых вопроса. Что
будет с листом Мёбиуса, если его разрезать по средней
линии? А что будет, если мы будем разрезать лист по линии,
параллельной краю, отступив в начале на 1/3 его ширины?
На рис. 14 также изображена односторонняя поверхность. На
самом деле это также лист Мёбиуса, хотя это далеко не
очевидно.
А теперь о шестеренках. Расположим на плоскости
несколько шестеренок так, чтобы каждая была соединена с
двумя соседними. Если шестеренок 4 или 6, то они могут вра-

Глава 1 вопросы, задачи
53
Рис. 14.
щаться, а если их, например, 5 или 7, то они вращаться не
могут. Казалось бы, все понятно. Если их нечетное число, то... .
И все же, вопрос: можно ли расположить 101 шестеренку так,
что каждая будет сцеплена ровно с двумя соседними, но при
этом шестеренки могли бы вращаться?
86. Топологические головоломки
1. Как повесить картину? Что за странный вопрос! Все
просто. Берем кусок веревки, прикрепляем ее концы к раме
картины с обратной стороны, затем вбиваем в стенку гвоздь
и накидываем на гвоздь веревку. Картина висит. Если гвоздь
выдернуть, она, понятно, упадет. А вот профессор Немудре-
нов поступил иначе. Вначале он стандартным образом
прикрепил к картине веревку, только взял ее подлиннее. Затем
вбил в стену рядом два гвоздя и особым образом накинул
веревку на эти гвозди. Картина на этих гвоздях висит, но
если выдернуть любой гвоздь, то картина упадет. Более того,
профессор утверждает, что может повесить картину на три
гвоздя так, что на всех трех она висит, но если выдернуть
любой гвоздь, то картина упадет. Перед Вами две задачи:
указать, как можно повесить картину нужным образом на
а) два гвоздя; б) три гвоздя.
2. Концы веревки, завязанные в виде петель (рис. 15),
надеваются на левую и правую руки. Сможете ли Вы, не снимая
веревки с рук, завязать ее узлом?

54 И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 15.
3. Рассказывают, что однажды студенты-математики
прицепили к пиджаку известного ученого И. Р. Шафаревича
карандаш с веревкой, как показано на рис. 16 (петля
короче длины карандаша). Несколько дней уважаемый
профессор проходил с этим украшением. Затем перед началом
одной лекции он торжественно снял пиджак и избавился от
карандаша, протащив пиджак через петлю на карандаше.
Покажите, как можно избавиться от карандаша, не снимая
пиджака.
Рис. 16.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
55
Рис. 17.
4. В этой головоломке (рис. 17) надо переместить кольцо на
правую половину, ничего, понятно, не ломая и не развязывая.
87. Чет-нечет
Простые соображения, связанные с четностью, могут
давать в некоторых случаях ключ к решению достаточно
сложных задач.
1. При обмене 50- и 100-рублевых купюр подпольный
миллионер Тарас Артемов получил в банке 1999 купюр
достоинством 1, 3, 5 и 25 руб. Не вдаваясь в детали, кто кого обманул,
докажите, что такого обмена быть не может.
2. На доске написаны 6 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к
двум любым добавить по 1. Можно ли, проделав эту операцию
несколько раз, сделать все числа равными?
3. По окончании игры в домино все кости оказались
выложены в цепочку, на одном конце которой оказалась пятерка.
Какая цифра может быть на другом конце цепочки?
4. Может ли при каком-то п сумма дробей ^ + ^ + | + --- + ^
оказаться равной целому числу?

56
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
5. 25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом.
Докажите, что у кого-то оба соседа —девочки.
88. Инвариант
Инвариант значит «неизменный». Инвариантом будет
такое число, характеризующее изменяющуюся систему или
отдельный элемент некоей совокупности, которое остается
постоянным при изменении системы или же одинаковым для
всех элементов совокупности. Так, для обычного человека
инвариантом является число конечностей, а число волос
инвариантом не является.
1. На столе стоят вверх дном 7 стаканов. Разрешается
за один раз перевернуть любые 4 стакана. Можно ли через
несколько шагов поставить все стаканы в нормальное
положение?
2. В клетках квадратной таблицы расставлены знаки «+»
и «—», как показано на рис.18. Разрешается одновременно
менять знаки во всех клетках, расположенных в одной строке,
в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь
диагонали (в частности, в любой угловой клетке). Можно ли
получить таблицу из одних плюсов?
И-
+
+
\±
+
+
+
+
+
+
+
^н
+
+
-н
Рис. 18.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
57
89. Раскраски
1. Участок прямоугольной формы разбит на квадраты,
образующие п рядов по т квадратов в каждом ряду. Каждый
квадрат является отдельным участком, соединенным
калитками со всеми соседними участками. При каких пит можно
обойти все квадратные участки, побывав в каждом по одному
разу, и вернуться в исходный?
2. Из квадратной доски 8x8 удалены две клетки,
расположенные на диагонали. Можно ли оставшуюся часть разрезать
на прямоугольники размером 1x2?
3. В игру «морской бой» играют на клетчатой бумаге.
Поле «битвы» — квадрат (обычно 10 х 10). «Линкором» в
этой игре часто называют корабль в виде
прямоугольника 1 х 4. Можно ли квадрат 6x6 разрезать на 9
линкоров? Какое наименьшее число выстрелов надо сделать, чтобы
наверняка попасть в линкор, одиноко плавающий по морю
6x6?
90. Завхоз-математик
Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса
которых известны и различны (имеется список). Через
некоторое время надписи на банках стали нечитаемыми, и только
завхоз знает, где что находится. Он может это доказать, т. е.
обосновать, что в какой банке находится, не вскрывая
консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двух-
чашечными весами со стрелкой, показывающей разницу
весов на чашках. Докажите, что ему для этой цели: а)
достаточно четырех взвешиваний; б) недостаточно трех
взвешиваний.
91. Несколько задач для школьников
1. В математической олимпиаде участвовали 100
школьников. Было предложено четыре задачи. Первую задачу решили
90 человек, вторую —80, третью —70 и четвертую — 60. При

58
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
этом никто не решил все задачи. Награды получили
школьники, решившие третью и четвертую задачи. Сколько
школьников было награждено?
2. Три яблока дороже пяти груш. Могут ли пять яблок
быть дороже семи груш? Могут ли 7 яблок быть дешевле
13 груш? (Все яблоки стоят одинаково, все груши тоже.)
3. Есть несколько обыкновенных несократимых дробей
(не обязательно правильных) с натуральными числителями и
знаменателями, причем знаменатели больше единицы.
Произведение дробей равно 10. Все числители и знаменатели
увеличили на единицу. Может ли произведение оставшихся дробей
оказаться больше 10?
4. Найдите какое-нибудь натуральное число а, такое,
чтобы 2а было точным квадратом, За —точным кубом, а 5а —
пятой степенью некоторого натурального числа.
92. Разрезание квадрата
Разрежьте квадрат на остроугольные треугольники.
93. Ломаная на плоскости и в пространстве
1. Девять точек на плоскости расположены в виде
квадрата по три в каждом вертикальном и горизонтальном ряду.
Изобразите четырехзвенную ломаную, проходящую через все
эти точки.
2. Существует ли в пространстве шестизвенная ломаная,
проходящая через все вершины заданного куба?
94. Различные суммы
Можно ли таблицу п х п заполнить числами 1, 0 и 1 так,
чтобы все 2п сумм в каждом столбце и каждой строке были
различными? Решите задачу: а) при п = 5; б) п = 10.
95. Замочим всех бандитов
Одной восточной страной правил старый шах. Население
страны состояло из жителей и сатрапов. Каждый житель

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
59
имел свое место проживания (место прописки). Сатрапы же
передвигались по стране и исполняли указы шаха. Однажды
шах издал указ, содержащий следующие пункты: 1)
Некоторые жители страны являются бандитами. 2) Каждый бандит
должен быть уничтожен. 3) Вместе с бандитами должны быть
уничтожены все те жители, которые расположены к бандиту
ближе, чем шах (иными словами, чем место расположения
шахского дворца).
Выяснение, кто из жителей является бандитом, было
поручено шахскому советнику, известному своими связями с
одним враждебным государством. Докажите, что а) если
рассматриваемая страна находится на плоскости, то советник
имеет возможность, объявить бандитами не более 6
жителей страны таким образом, что все жители страны
должны быть уничтожены в соответствии с указом; б) если
страна расположена на сфере, можно обойтись пятью
бандитами.
96. Как муравьишка домой спешил?
В вершине А единичного квадрата ABCD сидит муравей.
Ему надо добраться до точки С, где находится вход в
муравейник. Точки АиС разделяет вертикальная стена, имеющая
вид равнобедренного прямоугольного треугольника с
гипотенузой BD. Найдите длину кратчайшего пути, который надо
преодолеть муравью, чтобы попасть в муравейник.
97. Велопешеходы
Расстояние между пунктами А и В в стране, где
велосипед можно оставить на обочине и его никто посторонний
не тронет, составляет 24 км. Три туриста путешествуют из
А в В. У них на троих есть два велосипеда: гоночный, на
котором каждый из них едет со скоростью 30 км/ч, и
дорожный, на котором они могут перемещаться со скоростью
20 км/ч. Пешком каждый из них идет со скоростью 6 км/ч.
Туристы желают добраться до В за наименьшее время. Вре-

60
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
мя окончания путешествия соответствует моменту
прибытия в В последнего из них. Чему равно это наименьшее
время?
98. Четыре задачи про многоугольники
1. В выпуклом семиугольнике проведите как можно
больше диагоналей так, чтобы никакие три из них не были
сторонами одного треугольника, вершины которого находятся в
вершинах исходного семиугольника.
2. Постройте выпуклый четырехугольник, не имеющий ни
оси, ни центра симметрии, который ни диагональ, ни
прямая, проходящая через середины противоположных сторон,
не делят на две равные части, но который можно отрезком
разделить на две равные части.
3. Существует ли выпуклый 1999-угольник, все углы
которого выражаются целым числом градусов?
4. Существует ли выпуклый многоугольник, который не
имеет ни оси симметрии, ни центра симметрии, но который
переходит в себя при повороте вокруг некоторой точки на
некоторый угол, меньший 180°?
99. Построение короткой линейкой
Опустите из данной точки перпендикуляр на данную
прямую, имея циркуль и короткую линейку (длина линейки
гораздо меньше расстояния от точки до прямой; циркуль
достает до прямой «с запасом»).
100. Заблудшая душа
Человек заблудился в большом лесу, граница которого —
прямая линия. (Можно считать, что лес заполняет
полуплоскость.) Известно, что расстояние от человека до границы
не превышает 2 км. Предложите путь, двигаясь по
которому он наверняка сможет выйти из леса, пройдя не более
13 км.

Глава 1 вопросы, задачи
61
101. Путешествие короля
В левом нижнем углу шахматной доски 6x6 стоит король.
За один ход он может передвинуться либо на одну клетку
вправо, либо на одну клетку вверх, либо на одну клетку по
диагонали — вправо и вверх. Сколькими разными путями
король может пройти в правый верхний угол доски?
102. Найти крайнего
Поиск крайнего является старинной и традиционной
русской забавой. Здесь важен сам процесс, результат не имеет
никакого значения и никогда не достигается. В математике
существует аналогичный прием, с помощью которого, наоборот,
математики часто получают интересные результаты.
Ограничусь одним примером.
Докажите, что если у многогранника все грани
являются треугольниками, то найдется такое ребро, что все четыре
угла, к нему прилежащие, являются острыми.
103. Где моя очередь?
Все обыкновенные правильные несократимые дроби,
числители которых — двузначные числа, упорядочены по
возрастанию. Между какими двумя последовательными дробями
расположено число 5/8?
104. Квадрат из треугольника
Остроугольный треугольник, у которого одна из сторон
равна опущенной на нее высоте, разрежьте двумя
прямолинейными разрезами на четыре части, из которых можно
сложить квадрат.
105. Точки на окру лености
На окружности отмечено п точек. Известно, что среди
всевозможных расстояний между двумя отмеченными
точками не более 100 различных. Каково наибольшее возможное
значение числа п?

62
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
106. Наибольший треугольник
Каково наибольшее значение площади прямоугольного
треугольника, вершины которого удалены на расстояния а,
b и с от некоторой точки (здесь а —расстояние до вершины
прямого угла)?
107. Одна комбинаторная задача
Сколькими способами из чисел 1,2, ... ,11 можно выбрать
несколько чисел так, чтобы среди выбранных не было трех
идущих подряд чисел?
108. Уравнение высокой степени
Решите уравнение:
х™* + (ж + ^1999 + . .. + (х + 2000)19" = 0.
109. Дырявый куб
Можно ли в деревянном кубе проделать отверстие, в
которое сможет пройти такой же куб?
110. Деньги — деньги
Старинную формулу, утверждающую, что деньги должны
«работать», корректирует современный российский
денежный рынок. Пусть по опыту предыдущего полугодия
известно, что рубль «тощает» в среднем на 4% в месяц (по крайней
мере, так было в первом полугодии 1999 г.). Однако он
делает это рывками. В какой-то момент рубль может и возрасти
в цене, хотя и на короткое время. Бизнесмен А производит
оплату поставок зарубежному партнеру в конце каждого
месяца по 10 000 долл. Продажу товара он производит
соотечественникам за рубли, которыми и оперирует в течение месяца.
Поэтому раз в месяц ему необходимо конвертировать рубли
в доллары. В некоторый момент, когда доллар стоит 25 руб.,
он заключает договор с банкиром В о том, что ровно через
месяц он имеет право приобрести у последнего 10 000 долл по
цене 25 руб. 30 коп. за одну «условную единицу». Заметим, он

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
63
не обязан это делать, и, если доллар на рынке будет дешевле,
А приобретет доллары на рынке по рыночной цене, т. е. он
не проиграет в любом случае. Его вероятный выигрыш при
ожидаемой цене доллара в 26 руб. оказывается 70 коп. за
доллар, или 7000 руб. Банкир, следящий за курсом валют и
покупающий в момент локального снижения, купит доллары
в любой удобный ему момент, т. е. по цене не более 25 руб.
По этой цене он может купить доллары в день заключения
сделки. Его ожидаемый выигрыш составит 30 коп. за доллар,
т. е. 3000 руб. Итак, оба участника сделки в выигрыше. Кто
же в проигрыше и выплатит эти 10000 руб.?
111. Чаю или кофе?
Школьник удивил родителей таким фокусом. Он
печатными буквами написал «КОФЕ» и «ЧАЙ», наполнил водой
пробирку и предложил через воду посмотреть на каждое из
этих слов. Первое слово осталось прежним, а второе
—перевернулось. В чем здесь дело?
112. Дано ли нам предугадать?
Великий мастер парадоксов Г. К. Честертон в свое время
сетовал, что развелось столь много прорицателей и
предсказателей, что какое бы событие ни произошло, всегда найдется
кто-нибудь, кто его предсказывал. Даже если декан
философского факультета в одну из лунных ночей задумает вдруг
залезть на фонарный столб, непременно объявится кто-то,
это предсказавший.
Сегодня же в нашей все же существующей, хотя и
бывшей стране число всяческих ясновидцев и прорицателей
превысило все разумные пределы. Практически любой человек,
в достаточной мере бесстыдный, но самое главное, по
старой традиции малограмотный, а таких наша образовательная
система производила, производит и еще долго будет
производить и воспроизводить, может выступить в роли
ясновидящего. Наиболее наглые и малограмотные вышли даже на

64
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
профессиональный уровень и регулярно вещают со страниц
газет и экранов телевизоров. Ну, а ты, читатель — господин
или же все-таки товарищ, веришь ли ты в свободу воли или
же считаешь, что все в нашей жизни предопределено? Чтобы
понять самого себя, подумай, какое из двух рассуждений тебе
больше по душе в следующей ситуации.
На Землю из далекого космоса прибыл корабль с
инопланетянином, который не только обладает могучим
интеллектом, но и располагает самым совершенным оборудованием
для исследования мозга человека. Это оборудование, как он
утверждает, позволяет ему с абсолютной точностью
определять, какую из двух альтернатив выберет испытуемый.
Инопланетянин проверил большое число людей при
помощи одного и того же теста. Суть теста в следующем.
Человек входит в комнату и видит перед собой два ящика.
Ему сообщается, что в ящике А лежит чек на тысячу
долларов. Более того, этот ящик прозрачный и человек может
видеть указанный чек. Ящик В непрозрачный. Он либо пустой,
либо в нем находится чек на миллион долларов.
Каждому испытуемому инопланетянин предлагает
следующее:
— У Вас есть две возможности. Во-первых, Вы можете
выбрать оба ящика и взять все деньги, которые в них находятся.
Если бы я знал, что Вы так поступите, то оставил бы ящик В
пустым. Так что Вы получите 1000 долл.
— Во-вторых, Вы можете выбрать один ящик В. Если бы я
знал, что вы поступите так, то положил бы в ящик В миллион
долларов, которые бы Вам и достались.
Теперь рассмотрим рассуждения двух испытуемых.
Фаталист. Говорят, что инопланетянин произвел уже
несколько тысяч опытов и всякий раз он точно знал, какой
выбор сделает испытуемый. Каждый, кто выбирал оба
ящика, получал лишь 1000 долл. Поэтому вне всяких сомнений
следует выбирать ящик В. Все, выбравшие его, стали
миллионерами.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
65
Свободолюб. Инопланетянин уже определил, какой выбор
я сделаю, и никак не может повлиять на содержимое ящиков.
Если ящик В пуст, то он пустым и останется, а если в нем
миллион, то он никуда не денется. Выберу-ка я оба ящика,
тогда наверняка я получу на 1000 долл. больше, чем в случае
выбора ящика В.
Этот парадокс придумал физик Уильям Ньюком, он так и
называется парадокс Ньюкома. Отвечая на поставленный
вопрос, люди делятся на две категории: те, кто верит в свободу
воли, выбирают оба ящика, фаталисты предпочитают один
ящик В. Впрочем, наш выбор, а значит, и принадлежность
к той или иной категории могут оказаться зависящими от
соотношения валютных сумм в ящиках. Если в прозрачный
ящик вместо 1000 положить 1 долл., то многие свободолюбы
превратятся в фаталистов. Если же 1000 долларов заменить
на 500 000, то наверняка возрастет число свободолюбов.
И чтобы отойти от валютных искушений, предлагаем в
конце один детский вопрос, также связанный с возможностью
предсказывать будущее. Как-то раз в воскресенье в июне в
полдень в Москве шел очень сильный дождь. Возможно ли,
чтобы через 60 ч в Москве светило солнце?
113. Самое большое число прогрессии
Ученик написал на доске три натуральных числа,
образующие три последовательных члена некоторой
арифметической прогрессии, а затем стер разделявшие их запятые.
Получилось семизначное число. Найдите самое большое число,
которое могло получиться.
114. Гримасы демократии
Диктатор одного небольшого государства, уступая
требованиям мировой общественности, решил провести в своей
стране демократические выборы. Известно, что в стране
проживает более двух миллионов человек, из которых не более
1% поддерживают диктатора. Диктатор с помощью своих со-

66
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
ветников решил, что выборы будут многоступенчатыми: на
первом этапе все жители государства разбиваются на
небольшие группы, каждая из которых абсолютно демократическим
путем выбирает делегата на следующую ступень, на втором
этапе аналогичным путем выбираются делегаты на третью
ступень и т. д. Естественно, что каждый раз вопрос о
формировании групп решается приближенными диктатора. Можно
ли организовать эту процедуру таким образом, чтобы в
результате на пост главы государства был избран сам диктатор?
Безусловно, предложенная задача является не более чем
математической абстракцией и не соответствует мировому
опыту диктатуры. Настоящий диктатор —это тот, кому нет
никакой необходимости прибегать к каким-либо уловкам и
фальсификациям при проведении выборов. За него всегда
проголосуют 90%, а то и все 99% избирателей. Заниматься
предвыборными и выборными технологиями — это удел
демократов, но не диктаторов.
115. Встретились однажды Цельсий,
Реомюр и Фаренгейт
У Пантелеймона Романова в рассказе «Заколдованные
деревни» есть такой диалог по поводу холодной погоды.
— Градусов 20 будет.
— Это ежели по Реомюру мерять..., а по Цельсию еще
сильней будет.
Возникает вопрос, многие ли из нас смогут перевести
температуру из одной шкалы в другую?
Известно, что 0 град по шкале Цельсия соответствует
0 град по Реомюру и 32 град по Фаренгейту, а 100 по
Цельсию — 80 град по Реомюру и 212 град по Фаренгейту. Сколько
градусов будет по Цельсию, если показания термометров по
шкалам Реомюра и Фаренгейта совпадают? Тот же вопрос для
температуры по Реомюру (совпадают показания по Цельсию
и Фаренгейту) и по Фаренгейту (совпадают температуры по
Цельсию и Реомюру).

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
67
116. Свеча горела на столе ...
Вероятно, многие из Вас помнят с детства следующую
задачу-шутку: Горели 5 свечей. Две из них потушили.
Сколько свечей осталось? А вот другая, более скучная задача: В 8 ч
вечера были зажжены две свечи одинаковой длины, но
разного диаметра. Одна сгорает за 5 ч, другая —за 4 ч. Через
некоторое время свечи были потушены, причем оказалось,
что от первой свечи остался огарок в 4 раза длиннее, чем от
второй. Когда были потушены свечи?
117. Измерение радиуса глобуса
У Вас есть глобус, а также лист бумаги, линейка и
циркуль. При помощи этих инструментов постройте на
имеющемся листе отрезок, равный по длине радиусу глобуса.
Напомним, что математическая линейка не имеет делений.
118. Последовательность цифр
Какая цифра будет стоять на 500 000-м месте, если
выписать подряд все целые числа, начиная с единицы? И,
кстати, сколько времени потребуется, чтобы добраться до этой
цифры, если на выписывание одной цифры уходит одна
секунда?
119. Хитрый Иосиф
Существует легенда, согласно которой после захвата Ио-
тапаты римлянами Иосиф вместе с сорока иудейскими
воинами бежал и спрятался в пещере. Находясь в пещере, воины
решили, что лучше покончить с собой, чем попасть в руки
завоевателей. С этим решением не согласились сам Иосиф и
еще один человек. Однако, опасаясь открыто выступить
против такого решения, он как будто с ним согласился и
предложил сделать это организованно: всем встать в круг и убивать
каждого третьего, пока не останется один человек, который
совершит самоубийство. После этого Иосиф поставил себя и

68
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
своего единомышленника на такие места, что они оказались
последними двумя остающимися в живых. Какие места
определил Иосиф себе и своему единомышленнику?
Для небольших чисел задача достаточно проста и
допускает экспериментальную проверку. А что будет, если число
людей равно, скажем, 1996?
120. Одна вероятностная игра
В игре участвуют двое. У одного из них в кармане
находятся монеты достоинством в 10 и 20 коп. (Вероятно,
учитывая реалии сегодняшней жизни, лучше говорить о монетах
в 10 и 20 центов.) Он выбирает любую монету, зажимает ее
в кулаке и показывает кулак второму игроку. Тот пытается
угадать, какая монета находится в кулаке. Если он угадывает,
получает монету. В противном случае он платит сопернику
15 коп. (центов). Спрашивается, кому эта игра выгодна и как
в нее правильно играть?
121. Арифметические забавы
Дано шесть цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6. Между ними можно
вписывать скобки и знаки арифметических действий. Выписывая
эти знаки различными способами, необходимо получить
последовательно числа 1, 2, 3, Эту задачу легко превратить
в игру, придумав правило, по которому определяется
победитель.
Нетрудно получить все числа от 1 до 57. Вот несколько
образцов:
1-2 + 3-4 + 5-6 = 31,
(1 + 2) • 3 • 4 - 5 + 6 = 37,
(-1 + 2)-3-4 + 5-6 = 42,
-1-2-3 +(4 + 5)-6 = 47,
(1 + 2) • 3 + (4 + 5) • 6 = 53,
1-2 + 3-4-5-6 = 56,
1 + 2 + 3-4-5-6 = 57.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
69
122. Загадочная арифметика
Вот еще интересное и загадочное упражнение на три
арифметических действия. Возьмем лист клетчатой бумаги и
мысленно представим, что он раскрашен, как шахматная
доска. Рассмотрим лишь клетки белого цвета. Возьмем верхний
и нижний ряды белых клеток, соединим их с левой
стороны произвольным зигзагом по белым же клеткам и во все
эти клетки впишем 1. Получим картину, состоящую из 1,
как на таблице. Поле белых клеток, ограниченное единицами,
начнем заполнять числами по следующему правилу. Числа,
стоящие в четырех соседних клетках (две в одном ряду и по
одной выше и ниже), обозначим буквами С (север), Ю (юг),
В (восток) и 3 (запад). Для любой четверки выполняется
равенство 3 • В = С • Ю + 1. Таблица заполняется с «запада»
на «восток» по формуле В = с'^+1. При большом расстоянии
между начальными строками в таблице появляются весьма
большие числа. Но каждый раз оказывается возможным
деление. Числа сначала будут расти, а затем убывать до 1, и
процесс автоматически закончится: с правой стороны
таблицы получается зигзаг, похожий на исходный.
Север
1
1
1 2
1
1 2
1
3 1
а
п
а
Д 1
3
5
3
1
1
1
1
1
8
8
4
1
2
1
1
3
13
11
5
3
3
2
1 1
2
5 3
7
18 9
23
14 74
45
16 76
27
5 65
12
7 7
4
1 1
2
4
29
125
183
38
2
1
3
13
49
34
107
11
1
1 1
2 4
7 7
10 12
17 29
22 41
53 24
118 31
69 9
176 20
51 11
31 28
17 5
6 3
1 1
2
17
17
7
5
2
2
1
3
5
3
10
3
5
3
4
1
1
1
1
1
1
1
1
2 ]
1
1
1
2
1
1
L
В
о
с
т
О
к
Ю г

70
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
123. Назойливый поклонник
Девушка плавает в круглом бассейне, а на берегу
находится ее поклонник. Скорость, с которой может плыть девушка, в
четыре раза меньше скорости, с которой может
перемещаться ее поклонник по берегу. Девушке необходимо добраться
до какой-нибудь точки на краю бассейна, тогда она сможет
убежать от надоевшего ей поклонника. Докажите, что она
может это сделать.
124. Магические квадраты
На эту тему с древних времен и до наших дней написано
столько литературы, проведено такое количество серьезных
и не очень серьезных исследований, что охватить более или
менее подробно эту тему даже в большой журнальной статье
нет никакой возможности.
Напомним, что магический квадрат — это набор целых
чисел, расположенных в клетках квадратной матрицы таким
образом, чтобы суммы чисел, стоящих в одной (любой)
строке, в одном (любом) столбце и на диагоналях (на каждой)
этой матрицы были равны между собой.
Известно, что магических квадратов пятого порядка
(числа от 1 до 25 расположены в клетках квадрата 5x5)
существует более 13 млн. Правда, существенно различных (т. е.
не получающихся друг из друга поворотом или отражением)
несколько меньше. Не могли бы Вы найти хотя бы один
магический квадрат пятого порядка?
Квадрат называется совершенным, если кроме
перечисленных выше сумм то же самое значение принимают и
суммы чисел, расположенных вдоль распадающихся на части
диагоналей. (Если к данному квадрату приставить снизу
такой же, то эти диагонали сомкнутся и образуют линии,
параллельные диагоналям исходного квадрата.) Известно, что
совершенных квадратов пятого порядка имеется 3600.
Найдите хотя бы один.
Вообще числовых квадратов, обладающих различными
интересными свойствами, известно очень много. Так, одна-

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
71
жды на школьном вечере математики, на котором мне
довелось присутствовать, один из учеников удивил своих
приятелей следующим фокусом. Он нарисовал на доске квадрат
5 х 5, в клетках которого были написаны различные числа,
и предложил своему товарищу выбрать любое число в этом
квадрате, а затем зачеркнуть строку и столбец,
соответствующие выбранному числу. Среди оставшихся чисел вновь было
выбрано одно число, а затем зачеркнуты соответствующие
строка и столбец. В итоге были выбраны пять чисел. Их
сумма оказалась равной числу, которое заранее было
написано на бумажке. Не могли бы Вы объяснить секрет этого
фокуса?
125. Как разделить пирог?
Существует ряд задач о делении пирога (или добычи). С
одной Вы уже знакомы (№ 79), если, конечно, Вы читаете все
подряд, что вовсе не обязательно. Вот еще две такие задачи.
1. Хозяйка испекла пирог, имеющий квадратную форму,
края которого обмазаны шоколадной каемкой. Как разделить
пирог между пятью гостями, чтобы каждому достались
равное количество пирога и одинаковая часть каемки?
2. Хозяйка, ожидая гостей, испекла пирог. Она знает, что
количество будущих гостей равно 5, 7 или 9. Она собирается
заранее спланировать разрезание пирога таким образом,
чтобы при любом числе гостей она могла бы так распределить
получающиеся куски, чтобы каждому досталась равная часть
пирога. На какое наименьшее число кусков можно разрезать
пирог, чтобы можно было выполнить это условие?
Кстати, анекдот. Молодую хозяйку спрашивает ее
супруг:—Дорогая, тебе разрезать пирог на четыре части или
на восемь? — На четыре, восемь я, пожалуй, не съем.
126. Кривые дракона
Возьмите достаточно длинную полоску бумаги. Положите
ее перед собой, а затем сложите ее пополам, наложив правый

72
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
конец на левый. С получившейся полоской, вдвое меньшей
длины, проделайте ту же самую операцию. И так далее.
Прежде всего возникает вопрос, сколько раз эту операцию можно
проделать?
Закончив складывание, разверните эту полоску. Вы
увидите складки, часть из которых направлена сгибом вниз
(обозначим их буквой В — впадина), а другие — сгибом вверх (Г —
горб). Выпишем получающуюся последовательность букв В
и Г. Не могли бы Вы указать закон, который задает эту
последовательность, чтобы можно было обойтись без полоски
бумаги, тем более, что число возможных перегибов сильно
ограничено?
г л г 1
1 I 1 1
——г—г——т—————
у л г "у \
Г—Т i 7 1 Г—1 г 1
——г 1 1—г 1 1 "1—г \
\—\———Ь-0-J—\—W—
Рис. 19.
А при чем здесь драконы, может спросить вдумчивый
читатель. А вот при чем. Если мы развернем нашу
полоску так, чтобы после каждого сгиба полоска поворачивалась
на 90° в соответствующем направлении, то получим
причудливую фигуру, напоминающую стоящего на хвосте дракона.
Эту кривую можно изображать на листе клетчатой бумаги,
поворачивая полоску после каждого шага вправо или влево
в зависимости от направления сгиба. (Можно положить, что
В — поворот на 90° по часовой стрелке, а Г — против.) Удобно

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
73
в углах делать небольшие скругления, чтобы дракон не
задевал сам себя (рис. 19). Красивая получится картинка, если
мы из одного узла решетки выпустим четырех одинаковых,
но разноцветных драконов. Они не пересекаются и весьма
причудливым образом закрывают все клетки.
127. Безалкогольный коктейль
Имеется три сосуда, содержащие смесь вишневого и
яблочного соков. Если смешать вместе сок из первых двух сосудов,
то получившаяся смесь будет содержать 40% яблочного сока.
Если же смешать весь сок из второго и третьего сосудов, то
получившаяся смесь будет содержать 45% яблочного сока.
В каких пределах будет заключено процентное содержание
яблочного сока, если слить все три сосуда в один?
128. Вспомним школу
Вероятно, самыми знаменитыми персонажами школьного
курса геометрии являются аксиома о параллельных прямых и
теорема Пифагора. А можете ли Вы сформулировать аксиому
о параллельных? Из двух предложенных далее формулировок
выберите ту, которая кажется Вам верной (можно сказать
даже, более верной, хотя такое выражение трудно признать
корректным).
1. Через точку вне прямой на плоскости можно провести
прямую, ей параллельную, и притом только одну.
2. Через точку вне прямой на плоскости нельзя провести
более одной прямой, параллельных данной.
Формулировку и доказательства теоремы Пифагора
можно встретить даже в художественных произведениях
(например, у Олдоса Хаксли, Александра Казанцева). Постарайтесь
вспомнить формулировку теоремы Пифагора и привести хотя
бы одно ее доказательство.
129. Забавная статистика
Неумелое проведение статистических исследований может
привести к самым странным и даже страшным результатам.

74
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
1. Следующий пример только кажется надуманным. На
самом деле он вполне реален. При обследовании всех жителей
города выяснилось, что математическая грамотность сильно
зависит от длины ступни. Объясните подоплеку этого
явления.
2. Предложите способ оценки числа карпов в пруду, при
котором не пришлось бы их всех вылавливать.
3. Вы желаете провести социологический опрос среди
школьников, чтобы оценить, какой процент среди них
употребляет наркотики. Понятно, что очень трудно добиться
правдивого ответа от школьника, употреблявшего
наркотики, какие бы гарантии вы ему ни давали. Предложите способ
проведения такого опроса, дающий полные гарантии
анонимности для отвечающих.
4. Две соседние школы провели соревнование, какая из
них лучше выступит на районной математической
олимпиаде. При этом соревновались отдельные классы (у каждого
класса был свой соперник) и сами школы в целом. Каждый
класс отправил на олимпиаду свою команду. Тот, кто
получил грамоту, считался «успешно выступившим». Побеждал
тот класс, в котором процент «успешно выступивших» был
больше. Оказалось, что каждый класс одной школы победил
своего соперника, а в целом победила другая школа. Как это
могло случиться?
130. Самый произвольный треугольник
Большинство людей прикладную роль математики сводят
к методам вычислений, к разработке конкретных алгоритмов
и тому подобное. На самом деле главное — это постановка
задачи, разработка математической модели, адекватно
отражающей некую, часто очень далекую от математики проблему.
Иногда исходная задача кажется просто бессмысленной с
математической точки зрения. И тем не менее. Вот один пример,
не только забавный, но и поучительный.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
75
В геометрии многие задачи начинаются словами: «Дан
произвольный треугольник...». Треугольник, служащий
отражением этой ситуации, должен обладать этим свойством
«произвольности», а значит, не должен быть
прямоугольным, равнобедренным, а тем более правильным. Он не
должен быть слишком вытянутым (вырожденным) и т. д. В
некотором смысле он должен как можно больше отличаться от
перечисленных «хороших» и «плохих» треугольников.
Случайно нарисованный треугольник обычно оказывается
равнобедренным или прямоугольным. Проверьте. Вот и нужно
предложить способ измерения «произвольности»
треугольника, а затем найти «в этом смысле» самый произвольный
треугольник.
Предложим два подхода к определению «самого
произвольного треугольника».
Первый подход — через углы. Обозначим углы в порядке
их возрастания через А, В иС. Пусть наш треугольник
остроугольный. Рассмотрим величины А, В — А, С — В, 90° — С.
Понятно, что чем больше А, тем сильнее наш треугольник
отличается от вырожденного, один угол которого равен
нулю. Величины В — А и С — В характеризуют степень
неравнобедренности нашего треугольника. Величина 90° — С
показывает, насколько наш треугольник отличается от
прямоугольного. Возьмем наименьшую из этих четырех величин
в качестве характеристики произвольности треугольника.
Нетрудно показать, что хотя бы одна из них не превосходит 15°.
В самом деле, если бы все эти величины были больше 15°,
то мы получили бы из последнего выражения С < 75°, из
предпоследнего В < 60°, и, наконец, А < 45°. Сумма таких
углов меньше 180°, но сумма углов треугольника равна 180°.
Для треугольника с углами 45, 60 и 75° наименьшая из этих
величин равна 15°, т.е. этот треугольник (рис. 20а) в
указанном смысле является «самым произвольным
остроугольным треугольником». Заметим, что в старых руководствах
по черчению рекомендуют именно этот треугольник брать в

76
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
а б
Рис. 20.
качестве произвольного. Для тупоугольного треугольника в
качестве меры произвольности возьмем наименьшую из
следующих величин: А, В — А, С — 90°, 90° — В — А. Поскольку
2А + (В - А) + (90° - В - А) = 90°, хотя бы одна из величин А,
В—А, 90°—В—А меньше 22.5°, а «самым произвольным
тупоугольным треугольником» будет треугольник с углами 22.5,
45 и 112.5° (рис. 206). Его «мера произвольности»
несколько больше, чем у соответствующего остроугольного
треугольника.
Второй подход. Пусть АВ — наибольшая сторона
треугольника ABC. Построим следующие линии: две дуги
окружности AM и ВМ с центрами в А и В и радиусами АВ,
срединный перпендикуляр к АВ и полукруг с диаметром АВ.
Понятно, что третья точка треугольника (назовем ее С)
должна находиться внутри изображенной фигуры (рис. 21). При
этом границы фигуры и проведенные линии соответствуют
вырожденным, равнобедренным и прямоугольным
треугольникам. Точкам С внутри полукруга соответствуют
тупоугольные треугольники, вне его — остроугольные. Нам надо взять
в качестве вершины С точку, в каком-то смысле наиболее
удаленную от всех этих линий. Если в качестве
характеристики рассматривать наше обычное расстояние, то в качестве
третьей вершины для остроугольного треугольника нужно
взять точку С\ — центр вписанной окружности в
соответствующий криволинейный треугольник (в один или другой). Для

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
77
Рис. 21.
тупоугольного треугольника берется точка С*2 — центр другой
окружности.
131. Решать задачу или угадывать ответ?
В последнее время появилась и распространилась мода на
всевозможные компьютерные экзамены и тестирования, в
которых содержательный процесс поиска решения подменяется
подобием умственной деятельности, сводящейся к
угадыванию ответа. Оценивается не умение думать, грамотно
излагать свои мысли, а некие психомоторные особенности
организма, качество подменяется количеством.
Следующая задача представляет собой пример, в
котором угадать ответ не представляет особого труда для любого
мало-мальски здравомыслящего человека, в то время как
решить ее сумеет далеко не всякий, даже весьма
подготовленный человек.
Две окружности и равнобедренный треугольник
расположены, как показано на рисунке (см. рис. 80). Найдите высоту
треугольника, опущенную на основание, если сумма
диаметров окружностей равна 2.
Варианты ответов: 1) 1; 2) 1991; 3) л/2; 4) (v^+ l) л/%^.

78
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
132. Демократия и математика.
Явление нетранзитивности
Математикам уже давно известно, что принципы, на
которых основывается демократическое общество, логически
противоречивы. (На эту тему в нашей книге уже встречались
задачи.) В частности, идеальная демократическая
избирательная система принципиально невозможна. Последнее
утверждение даже формулируется в виде соответствующей
теоремы, решающую роль в формулировке и доказательстве
которой сыграл американский ученый Кеннет Дж. Эрроу. За
эту работу ему в числе других в 1972 г. была присуждена
Нобелевская премия по социологии. Одним из проявлений этой
теоремы является парадокс с голосованием. Представьте себе,
что парламенту предстоит принять один из трех
законопроектов: А, В или С, ни один из которых не имеет поддержки
большинства депутатов. Опрос показывает, что предпочтения
депутатов распределяются в соответствии с таблицей:
1
3
1
3
1
3
А
В
С
В
с
А
С
А
В
Верхняя строка таблицы показывает, что 1/3 депутатов
предпочитают проект А проекту В, а проект В — проекту С
и т. д. Но если мы разобьем проекты попарно, то тут же
проявится парадокс. Оказывается, что 2/3 членов парламента
предпочитают проект А проекту Z?, 2/3 предпочитают В по
сравнению с С и, наконец, 2/3 предпочитают С по сравнению
с А. Так что опытный спикер может вполне демократично
провести любой из законопроектов, ставя их на сравнительное
попарное голосование в нужном порядке. Можно сделать
даже убийственный для демократии вывод: подлинно
демократические выборы реализуются лишь в ситуации, когда один
из кандидатов пользуется абсолютной поддержкой. А такое

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
79
явление возможно лишь при диктатуре. При широком
разбросе мнений всегда возможны манипуляции.
В основе описанного выше парадокса лежит так
называемое явление нетранзитивности, с которым мы довольно часто
встречаемся в жизни, во всяком случае, гораздо чаще, чем это
кажется. В математике мы больше привыкли к транзитивным
соотношениям. Так, если А меньше I?, а В меньше С, то А
меньше С. В жизни же из того, что А предпочтительнее В,
а В предпочтительнее С, далеко не всегда следует, что А
предпочтительнее С.
В связи с этим предлагаем следующую задачу. Имеется
9 теннисистов, из которых один сильнейший — выигрывает у
всех остальных, второй по силе выигрывает у всех, кроме
первого, и т. д. Все теннисисты разбиты на три команды по три
спортсмена в каждой и проводят турнир в один круг, причем в
каждой встрече проводится 9 игр — каждый играет со всеми
соперниками. Оказывается, спортсменов можно так разбить
на команды А, В и С, что во встрече А и В команда А
выигрывает у В со счетом 5 : 4, с тем же счетом В выигрывает у
С, а команда С — у А. Иными словами, выявить сильнейшую
среди этих команд невозможно. Укажите, как следует сделать
такое разбиение на команды.
Известно довольно много игровых парадоксов,
основанных на явлении нетранзитивности. Нетрудно придумать три
игральных кубика А, В и С с указанными на их гранях
очками, таких, что при бросании кубиков А и В чаще выигрывает
кубик А (на нем выпадает большее число очков). Кубик В
аналогично оказывается удачливее кубика С, а С
обыгрывает А. Попробуйте самостоятельно придумать такую тройку
кубиков.
Интересен следующий парадокс, обнаруженный
математиком У. Пенни и приведенный у М. Гарднера. Предположим,
что мы бросаем монету. Если ее бросить три раза подряд, то
возможны 8 равновероятных исходов (О — «орел», Р —
«решка»): 000, OOP, ОРО, ОРР, Р007 POP, РРО, РРР. Предпо-

80
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
ложим, что один из игроков выбирает одну тройку исходов, а
другой — другую. Затем производится серия бросаний монеты
до тех пор, пока не появится подряд одна из выбранных троек.
Так, если один выбрал тройку OOP, а другой — РРО, а при
бросании монеты получилась серия РОРООР, то выигрывает
тот, кто выбрал тройку OOP.
Оказывается, если игроки выбирают свои тройки по
очереди, то второй игрок всегда может выбрать свою тройку так,
что вероятность выигрыша будет не меньше 2/3. Например,
если первый выбрал РОО, то оптимальный выбор второго
будет РРО, а если первый выбрал РРО, то второй, выбирая
ОРР, гарантирует себе выигрыш с вероятностью даже в 3/4.
Не могли бы Вы это доказать?
В следующей таблице указаны вероятности выигрыша
игрока В в зависимости от выбора игрока А.
Таблица 1. Вероятности выигрыша игрока В в игре с тройками
исходов
>ч
000
OOP
ОРО
ОРР
РОО
POP
РРО
ррр
000
1/2
3/5
3/5
7/8
7/12
7/10
1/2
OOP
1/2
1/3
1/3
3/4
3/8
1/2
3/10
ОРО
2/5
2/3
1/2
1/2
1/2
5/8
5/12
ОРР
2/Ъ
2/3
1/2
1/21
1/2
1/4
1/8
РОО
1/8
1/4
1/2
1/2
1/2
2/3
2/5
POP
5/12
5/8
1/2
1/2
1/2
"~\^
2/3
2/5
РРО
3/10
1/2
3/8
3/4
1/3
1/3
1/2
РРР
1/2
7/10
7/12
7/8
3/5
3/5
1/2
133. Углы на поверхности куба
На поверхности куба проведены две диагонали его граней,
как показано на рис. 22. Чему равен угол между этими
диагоналями? А чему равен угол ABC, где А, В и С —середины
ребер куба?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
81
Рис. 22.
134. Когда не хватает данных
1. Имеется круглое кольцо. Не могли бы Вы определить
площадь этого кольца, если известна лишь длина хорды
большого круга, касающейся меньшего круга? Пусть длина этой
хорды равна одному метру.
2. В шаре просверлено цилиндрическое отверстие, причем
ось цилиндра проходит через центр шара. Высота цилиндра
равна 10 см. Профессор математики уверяет нас, что этих
данных вполне достаточно для определения объема
оставшейся части шара. Вероятно, он прав. В таком случае скажите,
чему этот объем равен.
135. Два квадрата из одного
Квадрат разрезан диагоналями на четыре треугольника.
Сложите эти треугольники так, чтобы получилось два
квадрата. Можете ли Вы переложить эти треугольники так,
чтобы получилось два неравных квадрата?
136. Рассеянная Света
Однажды Андрей пригласил свою знакомую девушку
Свету покататься на лодке. Андрей греб со скоростью 6 км/ч
(относительно воды) против течения реки, которое составляло
2 км/ч. Света сидела на корме, положив рядом свою соло-

82
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
менную шляпку. В 11 ч порывом ветра шляпку сдуло, и она
упала в воду. Пропажа была обнаружена лишь спустя
полчаса. Андрей тут же развернул лодку и с такой же скоростью
начал грести вдогонку за шляпой. В котором часу они достали
шляпу из воды?
137. Средь шумного бала
На школьном вечере танцевали три пары. Юноши, как и
девушки, были одеты в костюмы разных цветов: красный,
зеленый и синий. Оказавшись в один из моментов рядом с
девушкой в зеленом, юноша в красном обратился к ней:
«Неправда ли, забавно получается: ни у кого из нас цвет костюма
не совпадает с цветом костюма партнера». В костюме какого
цвета был юноша, танцевавший в паре с девушкой в красном?
138. Проект бассейна
В городском парке в центре круглой площадки для игр
с радиусом 30 м решено было сделать бассейн. На конкурсе
победил проект, изображенный на рис. 23. Рассматривая этот
проект, мэр города заинтересовался: чему равна сторона
бассейна, имеющего форму ромба? Помогите ответить на этот
вопрос.
Рис. 23.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
83
139. Лестница вокруг башни
Имеются две круглые башни одинаковой высоты, но
разного диаметра. Вокруг каждой из них идет винтовая
лестница, причем угол наклона каждой из лестниц к горизонту везде
постоянен и одинаков для обеих башен. По какой из лестниц
путь к верхней площадке башни длиннее: по той, у которой
диаметр больше, или наоборот?
140. Задача про четырех черепах
В углах квадратной комнаты со стороной Зм находятся
четыре черепахи Л, ?, В и Г в порядке обхода комнаты.
Черепахи ползут со скоростью 1 см/с. При этом черепаха А
ползет все время точно по направлению к 5, черепаха Б
ползет по направлению к 5, В — по направлению к Г и, наконец,
Г — по направлению к А. Понятно, что встретятся все четыре
черепахи в центре квадрата. Интересны два вопроса: через
сколько времени после начала движения это произойдет и
какова длина пути, пройденного каждой черепахой?
141. Задачи со спичками
1. На плоскости лежат 16 спичек, образуя 5 квадратов
(рис.24). Передвиньте 2 спички так, чтобы получилось 4
таких же квадрата.
щ J J =*
Щ J
Рис. 24.

84
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
J J m
Рис. 25.
2. На плоскости лежат 12 спичек, образуя 3 квадрата
(рис. 25). Переложите 3 спички так, чтобы получилось 4
квадрата.
3. Составьте из этих 12 спичек 6 таких же квадратов.
142. Дороги, которые мы выбираем
На рис. 26 изображен план города, кварталами которого
являются белые квадраты, а их стороны — улицами. В левом
нижнем углу точкой А отмечен дом школьника, а в правом
верхнем (отмечен точкой В) находится школа. Сколько
существует различных маршрутов, ведущих из А в i?, если
двигаться можно лишь вправо и вверх?
А
В
Рис. 26.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
85
143. Монеты и стаканчики
Имеются три бумажных стаканчика для мороженого.
Требуется разложить по этим стаканчикам 10 монет так, чтобы
в каждом стаканчике было нечетное число монет. Как это
сделать?
144. Три задачи для детей
1. Сколько животных живет дома у Васи, если известно,
что все они, кроме двух, собаки, все они, кроме двух, кошки
и, наконец, все они, кроме двух? попугаи.
2. Найдите какие-нибудь натуральные ж, у и z, для
которых выполняется равенство 2&z + ЗОу + 31z = 365.
3. Ошибка художника. На рис. 27 художником допущена
ошибка. Укажите ее.
Рис. 27.
145. Одним взвешиванием
1. Однажды в центральную аптеку г. Козельска
поступило 10 флаконов по 1000 таблеток в каждом одного
сильнодействующего лекарства. Каждая таблетка весит 100 мг. Не
успели в аптеке обрадоваться долгожданному поступлению,
как вслед за лекарством приходит телеграмма, в которой
сообщалось, что в одном из флаконов каждая из таблеток весит
на 10 мг больше и содержит вследствие этого лекарственную
дозу, превышающую допустимую. Не могли бы Вы помочь
работникам аптеки определить флакон с повышенной дозой
при помощи одного взвешивания?
^
=ч

86
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
2. Через некоторое время ситуация повторилась и
даже ухудшилась, поскольку передозированными оказались
таблетки в нескольких флаконах, причем даже число флаконов
оказалось неизвестным. Тем не менее и на этот раз удалось
при помощи одного взвешивания определить все такие
флаконы. Как это сделать?
146. Разрезание пирамид
Любой треугольник можно легко разрезать на четыре
подобных ему треугольника (вдвое меньших). Не так
просто обстоит дело с треугольной пирамидой (тетраэдром).
Известно лишь четыре различных вида таких пирамид,
которые можно разрезать на меньшие и им подобные
пирамиды. Три из них получаются из куба. Пусть О —центр куба,
А, Б и С —три идущие подряд вершины какой-то его
грани, М — середина АС, К — середина АВ. Каждую из
пирамид АВСО, АВМО и АКМО можно разрезать на 8 вдвое
меньших пирамид. То же можно сделать и с пирамидами,
у которых два противоположных ребра равны и
перпендикулярны, а отрезок, соединяющий их середины,
перпендикулярен к ним и вдвое меньше. Это — четвертый вид таких
пирамид.
То, что других видов пирамид, которые можно разрезать
на меньшие и подобные, не существует, математики не умеют
пока доказывать, равно как и найти еще какой-то новый вид
пирамид.
147. Магический квадрат
плюс крестики-нолики
Название этой задачи поможет Вам выбрать правильную
тактику в следующей игре. На столе лежат 9 карточек, на
которых написаны числа от 1 до 9. Двое по очереди берут по
одной карточке. Выигрывает тот, кто сможет предъявить три
карточки с суммой чисел, равной 15.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
87
148. Карточки и числа
Имеется 100 карточек, на которых написаны числа от 1 до
100. Все карточки выкладываются на стол вниз написанным
на них числом. Первым ходом все карточки одна за другой
переворачиваются на другую сторону. Вторым ходом вновь
переворачиваются карточки, через одну (2-я, 4-я, 6-я, ...,
100-я). Затем карточки переворачиваются через две (3-я,
6-я, ..., 99-я) и т. д. Последним ходом переворачивается
одна карточка —сотая. Какие карточки окажутся открытыми в
результате этих манипуляций?
149. Числа в ряд
Расположите в ряд 27 чисел —три единицы, три
двойки, ..., три девятки таким образом, чтобы между двумя
соседними единицами было по одному числу, между двумя
соседними двойками — по два числа, ..., между двумя
соседними девятками было по 9 чисел.
150. Три тетраэдра из одного куба
Можно ли из деревянного куба выпилить три тетраэдра
с ребром, равным ребру куба? (Точнее было бы сказать:
три правильных тетраэдра, потому что тетраэдром обычно
называют произвольную треугольную пирамиду, а
правильным тетраэдром — треугольную пирамиду, все ребра которой
равны.)
151. Тринадцать точных квадратов
Числа от 1 до 13 выписаны в ряд. Под ними также
выписаны все числа от 1 до 13 таким образом, что суммы всех пар —
число и стоящее под ним —являются точными квадратами.
Как это сделать?
152. Простой пасьянс
Следующую забаву для одного человека предложил
известный американский математик Кону эй. п карточек с на-

88
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
писанными на них числами от 1 до п складываются
стопкой в произвольном порядке. Затем называется число,
написанное на верхней карточке. Эту карточку откладывают
на стол, а на нее последовательно перекладывают из
стопки столько карт (включая первую отложенную), чему было
равно названное число. После этого вторая стопка
кладется на исходную. В результате верхние т карт теперь
следуют в обратном порядке. Вновь объявляется верхняя карта
и процедура повторяется. Этот процесс автоматически
завершается, когда наверху будет карточка с единицей.
Оказывается, эта игра всегда рано или поздно должна
закончиться. Проанализируйте случай с 10 картами. При каком
начальном расположении игра будет продолжаться дольше
всего?
153. Квадраты и окружности на плоскости
1. Расположите на плоскости 11 квадратов таким образом,
чтобы при любой окраске их в три цвета нашлись два
квадрата, граничащие друг с другом по некоторой части стороны
одного цвета.
2. Расположите на плоскости 11 попарно не
пересекающихся равных окружностей таким образом, чтобы при любой
окраске этих окружностей в три цвета нашлись две
касающиеся одинаково окрашенные окружности.
154. Шахматные задачи
1. Можно предположить, что при правильной игре в
шахматы белые фигуры не должны проиграть. Однако
доказать это утверждение даже при помощи самых
современных компьютеров человек не в состоянии. С другой
стороны, если позволить каждому из игроков делать по два
хода подряд, то при правильной игре белые не рискуют
проиграть. Укажите простое рассуждение, доказывающее этот
факт.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
89
2. Любой начинающий игрок без труда поставит мат
королем и ладьей одинокому королю. Однако если слабейшая
сторона может пропускать ходы, то поставить мат при этом
соотношении сил невозможно (за редкими очевидными
исключениями). Почему?
3. В игру под названием «кригшпиль» играют двое при
помощи посредника. У каждого игрока имеется
шахматная доска, на которой находятся лишь фигуры его
цвета. Игрок делает некоторый ход и сообщает его
посреднику. Посредник, знающий расположение всех фигур,
либо принимает сделанный ход, если он не противоречит
правилам, либо объявляет, что ход неправилен, и
предлагает сделать другой ход. После принятия хода то же
делает второй игрок. Попробуйте по этим условиям поставить
мат одинокому королю, если руководимые Вами фигуры
занимают следующие поля: король на поле сб, ладья на
поле db. Король соперника расположен на одном из пяти полей
аб, а7, а8, 68, с8.
4. В партии, закончившейся матом белому королю на
четвертом ходу, известны лишь четыре хода белых: 1) /3,
2) Кр /2, 3) Кр #3, 4) Кр /i4. Восстановите партию.
5. На шахматной доске находятся два короля: белый на
поле сЗ и черный на поле al. Поставьте на поле еще одну
фигуру, чтобы получившаяся позиция была легальной, т. е.
могла бы получиться в реальной партии. Ни один из королей
не находился бы под шахом, но при этом ни одна из сторон
не могла бы сделать ни одного хода. Последний пункт
нуждается в пояснении. Из него вовсе не следует, что обе стороны
в положении пата. Просто ни одна из сторон в соответствии
с правилами не может сделать хода. В случае необходимости
для обоснования можно прибегать к анализу
предшествующих ходов.
6. Возможно ли объявить двойной шах двумя
одноименными фигурами?

90
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 28.
7. Позицию, изображенную на рис. 28, легко получить,
сделав три полных хода (по одному каждым цветом). Но эта
позиция возникла после четвертого хода черных. Каким
образом?
155. Постоянная Д. Капрекара
Математики загадочной Индии известны своими
удивительными открытиями в мире чисел. Наиболее известен из
них, пожалуй, С. Рамануджан. Некоторые из его
достижений кажутся просто фантастическими. Мы ограничимся лишь
примером, возможно, даже не самым удивительным.
Рамануджан обнаружил целый класс «почти» целых чисел. К
нему в частности, принадлежит число е, возведенное в
степень 7г\/163. Оказывается, в результате получается число
262 537 412 640 768 743.999 999 999 999.... Лишь после 12
девяток (!) после десятичной точки появляются цифры, отличные
от 9 (следующие знаки 25). Остается лишь добавить, что все
эти вычисления С. Рамануджан проделал без компьютера.
Менее известен другой индийский математик Д. Капре-
кар, посвятивший свои работы исследованиям по
занимательной теории чисел. Д. Капрекар известен как автор открытия,
носящего его имя. Имеется в виду «постоянная Капрекара».

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
91
Возьмите любое четырехзначное число, не все цифры в
котором одинаковы. Расположите его цифры в порядке убывания
и в обратном порядке. Вычтите из большего меньшее. С
получившимся числом поступите так же. Если в нем есть нуль,
то вычитаемое начинайте с нуля. Повторяя этот процесс, Вы
не позднее чем на седьмом шаге придете к постоянной Ка-
прекара — числу 6174, которое затем будет воспроизводить
само себя. Найдите хотя бы одно число, для которого
соответствующая цепочка наиболее длинна, т. е. состоит из семи
чисел.
156. Червяк на жгуте
Гармоническим рядом математики называют
последовательность 1, ^, ^,... , ^? • • • • Оказывается, если мы возьмем
достаточно большое число п, то сумма первых п членов
гармонического ряда может стать больше любого наперед
заданного числа. Это легко доказать, если разбить
последовательность на группы (1), (±), Q,;|), (sjgjf's)'--- -Сумма чисел
в каждой группе больше, чем половина (^ получится, если все
члены заменить на самый маленький).
На свойствах гармонического ряда основано много
красивых задач с парадоксальными ответами. Вот одна из них.
Имеется резиновый жгут длиной 1 м. По жгуту со
скоростью 1 см/мин ползет червяк. Свой путь он начинает с
одного конца жгута. По истечении каждой минуты жгут
растягивается и его длина возрастает на один метр. Понятно,
что растяжение происходит равномерно по всей длине жгута.
Возникает вопрос: доползет ли когда-нибудь червяк до конца
жгута? При этом мы считаем нашего червяка бессмертным и
неутомимым.
157. Интересные паркеты
Паркетом математики называют покрытие плоскости
какими-либо фигурами. Тема эта очень интересна и обшир-

92
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
на. Она привлекает внимание не только математиков, но и
художников. Здесь наиболее известны работы великолепного
швейцарского художника XX столетия Мориса Эшера.
Стоит заметить, что его особенно любят математики и
физики и часто используют его произведения для иллюстрации
своих книг. Мы не будем здесь даже пытаться хотя бы
частично раскрыть тему паркетов, а ограничимся лишь
примером, иллюстрирующим одну разновидность паркетов,
которая привлекла внимание математиков в последнее время.
Вспомним, что в решении задачи № 33.1 данный «уголок»
надо было разрезать на 4 «уголка» из 3-х клеток. Составим
теперь из четырех 12-клеточных «уголков» таким же
образом в два раза больший «уголок» (из 48 клеток). Затем из
этих больших «уголков»—другой, еще больший (по
сравнению с начальным —в четыре раза больший), и т. д. Эти все
увеличивающиеся «уголки» можно располагать так, что они
постепенно будут расползаться на всю плоскость. Если мы
теперь в исходном маленьком уголке сделаем какой-нибудь
рисунок, то в больших уголках мы можем получить очень
интересный и затейливый узор. Попробуйте сделать это
самостоятельно.
158. Разноцветные носки
1. В бельевом ящике мистера Твистера лежат носки в
достаточно большом количестве и даже трех разновидностей:
коричневые, синие и зеленые. Отправляясь в гости, мистер
желает надеть первую попавшуюся пару. Для этого он
вынимает из ящика носки по одному. Какое наименьшее число
носков следует достать, чтобы с гарантией пойти в гости в
одноцветных носках?
2. Представим себе, что у нашего мистера есть два сына.
Какое наименьшее число носков надо достать, чтобы все трое
могли подобрать для себя одноцветные носки?
3. Как изменится ответ на предыдущий вопрос, если все
трое желают надеть носки одного цвета? Мы, конечно, пред-

Глава 1 вопросы, задачи
93
полагаем, что число носков одного цвета в ящике достаточно
велико и правые и левые носки неразличимы.
159. Задача о бегающей собаке и ее продолжение
1. Классический вариант. Света и ее брат Коля
находятся на расстоянии 2 км друг от друга. Они идут навстречу,
причем Света идет со скоростью Зкм/ч, а Коля —со
скоростью 5 км/ч. Их верный друг, собака с редким именем
Шарик, бегает от одного к другому. В начальный момент
Шарик был рядом с Колей. Бегает он со скоростью 12 км/ч.
Какой длины путь пробежит Шарик к моменту встречи Светы
и Коли?
Говорят, когда эту (или похожую) задачу дали
американскому математику Джону фон Нейману, тот сразу сообщил
правильный ответ. Собеседник поздравил фон Неймана и
заметил, что большинство людей пытаются решить эту задачу
очень трудным путем, суммируя бесконечный ряд. «Но
именно это я и сделал», — с удивлением ответил фон Нейман.
2. Предыдущая задача является в некотором смысле
классической и имеет много различных оформлений. Вместо
собаки может фигурировать муха, вместо пешеходов — кто-то
иной. При этом ответ не зависит от того, где в
первоначальный момент находилась собака (или муха). В последнее время
нередко приходится встречаться с различными вариациями
на классические темы. Однажды на лекции для учителей
мне предложили следующую задачу. (За числа не ручаюсь.)
Два человека вышли одновременно из одной точки дороги и
пошли в разные стороны. Первый шел со скоростью Зкм/ч,
а второй —со скоростью 5 км/ч. Одновременно от одного к
другому со скоростью 12 км/ч стала бегать собака. В каком
направлении будет бежать собака через 1 ч? После
некоторого размышления я пришел к выводу, что задача поставлена
некорректно. Вы согласны со мной?
3. А вот задача, развивающая идею классического
варианта. Она предлагалась на одной из недавних олимпиад. Ее

94
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
тоже можно решить, не прибегая к суммированию
бесконечных прогрессий.
Из двух городов Добруйска и Бодруйска, расстояние
между которыми равно 40 км, навстречу друг другу
одновременно выехали два велосипедиста Доби и Води. Доби
передвигался со скоростью 23 км/ч, а Води —17 км/ч. Перед
отправлением на нос Доби села муха, которая в момент его выезда
из города полетела по направлению к Бодруйску со
скоростью 40 км/ч. Муха встретилась с Води, тут же повернула
обратно и полетела по направлению к Добруйску со
скоростью 30 км/ч. (Дело в том, что от Добруйска к Бодруйску дул
ветер.) Встретившись с Доби, муха вновь повернула обратно
и т. д. Определите суммарный путь, который пролетела муха
до момента встречи велосипедистов.
160. Слова и буквы
Вопрос «Где ёж?» интересен уже тем, что буквы, его
составляющие, образуют отрезок алфавита. Легко придумать
примеры четырех и пятибуквенных слов, буквы в которых
идут в алфавитном порядке, хотя, возможно, и не подряд, как
в приведенной фразе. Например, слово «агент». Не могли бы
Вы найти слово из шести и даже семи букв, расположенных
в алфавитном порядке?
Слово «спорт» образовано из пяти букв, представляющих
собой отрезок алфавита: о, п, р, с, т. Найдите слово из 6 букв
с таким же свойством.
Какое слово из 7 букв любой выпускник филологического
факультета МГУ пишет неверно? Обращаю внимание на то,
что в предыдущей фразе имеется одна ошибка, относящаяся
скорее к категории орфографических, чем стилистических.
В последовательности «алвекосасенмдрьбублковк» надо
зачеркнуть десять букв, чтобы остались имя и фамилия
выдающегося русского поэта.
Как известно, хороший кроссворд характеризуется двумя
параметрами: симметрией и небольшим числом пустот — «ды-

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ 95
гг
2
3
4
5
6
2
3
4
5
"б1
ГГ
6
7
8
9
2
3
4
5J
а б
Рис. 29.
рок». Предлагаем два кроссворда, в которых эти параметры
доведены до максимума (или, если угодно, минимума):
1. (Рис. 29а). По горизонтали: 1. Очень длинный нос.
6. Немилость. 7. Противоположность вампиру. 8. Группа
подростков. 9. Правило. По вертикали: 1. Спортсмен, никогда не
отрывающийся от земли. 2. Одна из функций ног. 3. Половина
модных штанов. 4. Металл. 5. Прием воздушного боя.
2. (Рис. 296). Недостатком второго кроссворда является
совпадение слов по горизонтали и вертикали: 1. Животное
семейства оленей. 2. Единица измерения пути спутника. 3.
Материал для женских шляпок. 4. Специальность врача. 5. Боль
в суставах. Обычно к перемене погоды. 6. Кривой турецкий
меч.
161. Новые идеи в старой теме
Казалось бы, трудно придумать что-нибудь новое в такой
классической теме, как задачи на взвешивание (см. задачи
№№ 81, 82, 145). Но вот, просматривая материалы недавних
московских математических олимпиад, я обратил внимание
на две очень симпатичные задачи на старинную тему.
1. Имеется 9 одинаковых монет, одна из которых
фальшивая и по этой причине легче остальных. Мы располагаем
двумя весами без гирь, позволяющими сравнивать по весу
любые группы монет. Однако одни из имеющихся весов
являются грубыми, на них нельзя отличить фальшивую монету

96
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
от настоящей. Их точность не позволяет уловить разницу в
весе. Зато другие весы точные. Но какие весы грубые, а
какие точные, неизвестно. Как в этой ситуации с помощью трех
взвешиваний определить фальшивую монету?
2. Имеются б гирь весом 1, 2, 3, 4, 5 и 6 г. На них
нанесена соответствующая маркировка. Однако есть основания
считать, что при маркировке гирь допущена одна ошибка.
Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах, на
которых можно сравнить веса любых групп гирь, определить,
верна ли имеющаяся на гирях маркировка?
162. Парадоксы статистики и теории вероятностей
Начнем с одного странного вопроса. Возможно ли,
чтобы эксперименты, подтверждающие гипотезу, делали ее
менее вероятной? Казалось бы, это ерунда. Но не торопитесь.
Рассмотрим следующую гипотезу. Рост человека не может
превышать 5 м. Предположение вполне разумное. А теперь
представим себе, что в каком-то уголке земного шара
обнаружен человек с ростом 4 м 90 см. Несмотря на то что тем
самым гипотеза получила еще одно подтверждение, по ней
нанесен серьезный удар, ставящий ее под сомнение.
Вот еще одна ситуация. Представьте себе, что перед Вами
два столика, на каждом из которых лежат две шляпы —
черная и серая. В каждой шляпе находятся лотерейные билеты.
Известно, что для каждого столика вероятность выигрыша
в случае выбора черной шляпы больше, чем для серой. А
теперь предположим, что содержимое черной шляпы со второго
столика переложили в черную шляпу на первом столике и то
же проделали с содержимым серых шляп. Можно ли
гарантировать, что по-прежнему вероятность выигрыша в случае
выбора черной шляпы больше, чем для серой? Попробуйте
самостоятельно построить опровергающий пример.
Но, пожалуй, самым удивительным является парадокс
К. Б лая. Представьте себе, что перед Вами три автомата А,
Б и В. После нажатия кнопки на экране автомата А всегда

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
97
появляется число 3. На автомате Б после нажатия кнопки
появляется 2 с вероятностью 0.56, либо 4 с вероятностью 0.22,
либо 6 с вероятностью 0.22. Автомат В выдает 1 с
вероятностью 0.51 и 5 с вероятностью 0.49. Вы с приятелем выбираете
по одному автомату. Выигрывает тот, у которого выпало
больше очков. Легко убедиться, что автомат А предпочтительнее
каждого из двух оставшихся, а автомат Б предпочтительнее
В. А что будет, если в эту игру играют три игрока каждый
на своем автомате? Удивительно, но лучшим оказывается
автомат J3, а худшим — А. Подсчитайте вероятность выигрыша
в каждом случае.
163. Крутится-вертится
Как известно, Луна, делая один оборот вокруг Земли за
месяц, остается при этом обращенной к Земле одной своей
стороной. Следует ли из этого, что Луна вращается вокруг
своей оси со скоростью 1 оборот в месяц? А может из этого
следует, что Луна вовсе не вращается вокруг своей оси? Как
ни странно, но еще в XIX в. некоторые ученые были
убеждены, что Луна не вращается вокруг своей оси. Лондонский
астроном-любитель Генри Перигел был твердым сторонником
такой точки зрения, приводя немало аргументов,
опровергающих теорию вращения Луны. А может, он был не так уж
неправ? На эту тему приведем известный парадокс про охотника
и белку. Представьте себе, что охотник стоит около дерева, на
котором сидит белка. Их разделяет ствол дерева. Охотник
медленно обходит вокруг дерева, а белка при этом перемещается
так, что она постоянно скрыта от охотника стволом дерева.
Сделав полный оборот, оба вернулись в исходное положение.
Возникает вопрос, обошел ли охотник вокруг белки?
А вот одна классическая задача на ту же тему. Положите
на стол две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит
неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с
нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает
вторая монета, обойдя один раз около неподвижной монеты?

98
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Эта задача впервые была опубликована в одном
американском научно-популярном журнале в 1867 г. После публикации
решения в редакцию хлынул поток негодующих читательских
писем, утверждавших иную точку зрения. А как думаете Вы?
164. Сокращение дробей
Каждый пятиклассник должен уметь сокращать
обыкновенные арифметические дроби. Однако эта операция не
всегда оказывается простой. Попробуйте сократить следующие
дроби или доказать, что сокращение невозможно:
988027 2358621 123456788...87654321
999919' 3816327' 1234567899... 987654321'
В последней дроби цифра 8 в числителе встречается на 1
раз больше, чем цифра 9 в знаменателе.
165. Несколько «почему?»
Как известно, вопрос «почему?» является любимым
вопросом детей и ученых. Вот несколько странных вопросов.
1. Почему канализационные люки делаются круглыми, а
не квадратными?
2. Почему любой швейцарский парикмахер охотнее
пострижет двух французов, чем одного немца?
3. Почему колеса поезда «стучат»?
4. Почему ручка стоп-крана в поезде имеет красный цвет,
а в самолете — голубой?
5. Почему капитан Поршнев не ест соленые огурцы из
банки?
166. Точный квадрат
Найдите наименьшее число, начинающееся с трех единиц
(111...) и являющееся точным квадратом.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
99
167. Загадочный мир простых чисел
Как Вы, надеюсь, помните со школьной скамьи, простыми
называются числа, которые не делятся ни на какое другое
число, кроме самого себя и единицы. С глубокой древности
человек разгадывает тайны, связанные с простыми числами.
И чем глубже узнает он удивительный мир простых чисел,
тем больше возникает загадок.
Очень давно известно, что число простых чисел
бесконечно. Вот поучительное рассуждение об этом. Предположим,
что простых чисел конечное число. Выпишем их все: 2, 3,
5,... , _р, где р — последнее простое число. Перемножим их
и обозначим это произведение через А. Рассмотрим число
А+1. Это число не может делиться ни на одно из выписанных
нами простых чисел. Значит, оно либо само простое, либо
делится на простое, отличное от выписанных нами.
Противоречие.
Более того, великий Эйлер доказал, что сумма величин,
обратных простым числам, т. е. ^ + ^ + ^ + --- + ^5 может
сделаться сколь угодно большой. (В связи с этим полезно
вспомнить про гармонический ряд. См. задачу № 156). Значит,
простые числа достаточно часто встречаются в натуральном
ряду.
Тем не менее в натуральном ряду есть сколь угодно
большие отрезки без простых чисел. Например, рассмотрим число
/3 = 1 • 2 • 3 • ... • 100 ¦ 101 = 101! Легко убедиться, что /3 + 2
делится на 2, /3 + 3 делится на 3, ..., /3 + 101 делится на 101,
т. е. сто идущих подряд чисел от (3 + 2 до /3 +101 не являются
простыми.
С другой стороны, в ряде простых чисел встречаются
так называемые близнецы, т. е. пары простых, отличающиеся
друг от друга на 2. Таковы пары 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43,
101 и 103. Существует гипотеза, что пар близнецов бесконечно
много. Эта древняя проблема до сих пор не решена. Она так
и называется — проблема близнецов.

100
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
С помощью современных вычислительных средств
человек сумел получить много интересных результатов,
касающихся простых чисел. Правда, эти результаты имеют больше
спортивное, чем теоретическое значение. Многие из них
заслуживают того, чтобы быть занесенными в Книгу рекордов
Гиннесса. Вот некоторые из этих достижений. Оказывается,
65-значное число, в котором посередине стоит 4, а все
остальные цифры перед ней и после нее являются единицами, есть
простое число.
Вот еще несколько огромных простых чисел: 2400 — 593,
244497 _ 1? 286241 _ -ц 2192049 _ -ц 2216091 _ L Последнее ИЗ НИХ
на сегодняшний день является абсолютным рекордсменом.
(Прим. в верстке: Канадский студент М. Камерон нашел,
по его мнению, самое большое простое число 213466917 — 1.
«Известия», 14.12.2001.)
Достаточно далеко продвинулись математики и в поиске
пар близнецов. Вот две наибольшие из известных сегодня пар:
156 • 5202 ± 1, 291 • 21553 ± 1.
В заключение этой темы предлагаем одну задачу.
Рассмотрим последовательность чисел: 31, 331, 3331, Найдите в
этой последовательности наименьшее не простое число.
168. Прореженный куб
Составим из 27 единичных кубиков куб с ребром,
равным 3. С каждой из шести сторон — спереди, сзади, справа,
слева, сверху и снизу — этот куб представляется квадратом со
стороной 3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать,
чтобы оставшаяся конфигурация по-прежнему с каждой из
6 сторон выглядела, как квадрат со стороной 3?
169. Золотое сечение и числа Фибоначчи
Говорят, что точка С делит отрезок АВ в золотом
отношении, если отношение всего отрезка к большей части
равно отношению большей части к меньшей. Если считать, что
длина всего отрезка равна 1, длина большей части равна #,

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
101
а меньшей — 1 — ж, то получаем пропорцию: ^ = ^^, откуда
х2+х—1 = 0. Итак, х = 2-1. Золотое сечение часто
используется в архитектуре и изобразительном искусстве. Считается,
что прямоугольник, стороны которого находятся в золотом
отношении, имеет наиболее приятную для глаз форму.
Впрочем, на основании чего делается такое утверждение, не совсем
понятно.
Прямоугольник со сторонами, находящимися в золотом
отношении, обладает следующим свойством. Если от него
отрезать квадрат одной прямой (см. рис.30), то оставшийся
прямоугольник будет иметь то же отношение сторон, т. е.
будет подобен исходному. Будем продолжать процесс отрезания
квадратов по спирали. Последовательность уменьшающихся
квадратов будет стягиваться к некоторой точке. Постройте
эту точку.
J_
1
?
3
5
8
13
Рис. 30.
С золотым сечением тесно связана известная
последовательность Фибоначчи. Два первых члена этой
последовательности 1 и 1, а каждый следующий, начиная со второго, равен
сумме двух предыдущих. Запишем первые несколько членов
этой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... .
Оказывается, отношение двух соседних чисел последовательности
Фибоначчи стремится к золотому отношению. (Не могли бы Вы
это доказать?) Если взять квадраты со сторонами, равными

102
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 31.
последовательным членам ряда Фибоначчи, и выкладывать
их, как показано на рис. 30, то будем получать
прямоугольники, отношение сторон которых стремится к золотому.
Числа Фибоначчи обладают рядом замечательных
свойств. Если n-й член обозначить через Fn, то из рис. 30
легко получить равенство
Fn ¦ Fn+l = Fl + F%_x + ... + Fl + Fl
Числа Фибоначчи и один геометрический парадокс. Во
многих книгах по занимательной математике можно найти
следующий геометрический парадокс. Квадрат 8x8
разрезан на части так, как на рис. 31. Затем из этих частей
сложили прямоугольник. Площадь этого прямоугольника равна
13 х 5 = 65 клеткам. Естественно, возникает вопрос, откуда
взялась лишняя клетка? Сразу бросается в глаза, что
стороны прямоугольника и квадрата являются членами
последовательности Фибоначчи: 5, 8, 13. Между ними имеет место
соотношение 82 = 5 • 13 — 1. Если мы рассмотрим следующую
тройку этой последовательности —8, 13, 21, то будет иметь
место равенство 132 = 8-21 + 1. Оказывается, при всех п имеет
место равенство F% — Fn-\ • Fn+i ± 1, причем для нечетных п
берется «+», а для четных —знак «—».
Каждой последовательной тройке чисел Фибоначчи
соответствует геометрический парадокс. При четных п площадь

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
103
соответствующего прямоугольника больше площади квадрата
на 1 клетку, а при нечетных — наоборот. Объясните парадокс:
откуда берется и куда исчезает клетка?
170. Зачем часам стрелки разной длины?
Для удобства определения времени на всех часах
минутная стрелка длиннее часовой. А можно ли определять время
по часам с равными стрелками? Оказывается, что почти
всегда это можно делать. При этом нет необходимости некоторое
время наблюдать за ними, чтобы узнать, какая из стрелок
движется быстрее. Например, если одна стрелка направлена
вертикально вверх, а другая — вниз, то это означает, что они
показывают либо 6 ч, либо 18.
В связи с этим возникает вопрос: сколько раз за один
оборот часовой стрелки, т. е. за 12 ч, стрелки часов будут
занимать положение, при котором их можно поменять местами и
при этом они вновь окажутся в правильном положении, т. е.
в положении, достижимом при нормальном ходе часов?
171. Увеличить площадь
На рис. 32 изображена линия, ограничивающая некоторую
фигуру. Известно, что в эту фигуру можно вписать ромб с
диагоналями 6 и 8. Постройте кривую той же длины,
ограничивающую площадь, на 1 большую.
Рис. 32.

104
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
172. О квадратуре круга, трисекции угла
и удвоении куба
Выражение «квадратура круга» встречается даже в
названиях художественных произведений. Обычно его используют,
когда хотят сказать, что некоторая задача очень сложна или
даже неразрешима. В основном, правда, так поступают люди,
далекие от математики. В математике под «квадратурой
круга» понимают задачу о построении квадрата, равновеликого
данному кругу. Особого интереса эта задача у
профессионалов сегодня не вызывает, поскольку давно доказано, что с
помощью циркуля и линейки такое построение невозможно.
И именно в этом смысле, и только в этом надо понимать
утверждение о неразрешимости задачи о квадратуре круга.
Другие две классические и неразрешимые в том же смысле
задачи на построение — это трисекция угла и удвоение
куба. Трисекция угла — это деление произвольного угла на три
равные части. Удвоение куба —это построение отрезка,
равного ребру куба с объемом, в два раза большим, чем объем
данного куба. Еще раз подчеркиваю, речь идет о построении
с помощью циркуля и линейки. При этом линейка не
имеет делений. Ею можно проводить прямые через две точки.
И все! Если же разрешить использовать другие
инструменты, например угольник или линейку с делениями, то
ситуация меняется. Правда, задача о квадратуре круга остается
по-прежнему неразрешимой. Например, если у вас имеется
циркуль и линейка с двумя отметками, то задача о
трисекции угла становится разрешимой. Попробуйте найти нужное
построение.
173. Как мы видим?
Как известно, одно и то же событие очевидцы описывают
по-разному. Все зависит от точки зрения, причем не только
в переносном смысле. Посмотрите внимательно на рис. ЗЗа-д.
Что Вы видите?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ 105
Г. Э. Боринг. Леди и старуха Д. Что это?
Рис. 33.
В какую сторону направлена складка (рис. 33а)?
Сколько кубиков изображено на рисунке: 6 или 7
(рис. 336)?
Что здесь изображено: ваза или два профиля (рис. ЗЗв)?
Романтик увидит на рис. ЗЗг прекрасную незнакомку, а
скептик —злую старуху. А что видите Вы?
А этому рисунку (рис. ЗЗд) могут соответствовать целых
три интерпретации: куб, стоящий в углу, куб, прислоненный
извне к большому параллелепипеду, и, наконец, кубическую

106
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
выемку в параллелепипеде. Для многих труднее всего увидеть
последнюю возможность.
174. «Сумасшедшие часы» Льюиса Кэрролла,
или о точном смысле слов
Мы часто употребляем такие слова: лучше, быстрее,
точнее, не всегда осознавая истинный смысл этих слов.
Поучителен в этой связи парадокс Льюиса Кэрролла. Какие часы
точнее показывают время: те, которые отстают на минуту в
сутки, или те, которые вовсе не идут?
Кэрролл утверждал, что более точными являются
стоящие часы. Вот как он это обосновывал. Часы, отстающие на
минуту в сутки, показывают точное время один раз в два года,
в то время как стоящие часы показывают точное время два
раза в сутки.
Конечно, это не более, чем шутка. Но все же необходимо
четко осознать, что очень многие расхожие понятия могут по-
разному пониматься. Отсутствие указания, в каком именно
смысле данное понятие употреблено, попросту его
обесценивает. Именно это имеет место во многих случаях, когда слышим
о каком-то очередном «оптимальном» решении.
Но бывает и наоборот. Иногда нелепый на первый взгляд
оборот может оказаться вполне содержательным, если
указать, какой смысл в него вкладывается. Так, у математиков
встречаются выражения: «совершенные» числа,
«замечательные» точки и т. д., имеющие абсолютно точный (опять
точный) смысл. А в задаче 130 мы определили и вовсе
бессмысленное на первый взгляд понятие—«самый произвольный
треугольник».
175. Лента на трубке
Ленту длиной 25 м и толщиной 0.1 мм намотали плотно на
картонную трубку. Получился валик диаметром 1 дм. Каков
диаметр картонной трубки?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
107
176. Самый неэкономный способ
Вдоль дороги стоят 10 столбов на расстоянии 1 м друг от
друга. Если мы хотим вбить в каждый столб по гвоздю, то
самое лучшее — начать с первого и последовательно
передвигаться от столба к столбу. В какой последовательности нам
следовало бы вбивать гвозди, чтобы пройденный при этом
путь был бы самым длинным? Решите эту же задачу для
11 столбов (изменять направление движения можно лишь
после забивания очередного гвоздя).
177. Тесты профессора Ага
Один из персонажей книг М. Гарднера профессор Ага
любит предлагать житейские задачи, решения которых
требуют умения отклониться от стереотщгов. Вот несколько тестов
профессора Ага.
1. С потолка, не касаясь пола, свисают две веревки.
Расстояние между их концами достаточно велико. Во всяком случае,
держась за один конец веревки, нельзя дотянуться до конца
другой веревки. Тем не менее веревки можно соединить друг
с другом на высоте, не превосходящей человеческого роста.
Задача состоит в том, чтобы связать концы веревок, не
пользуясь ничем, кроме ножниц.
2. Теперь второй тест. В центре небольшого ковра стоит
открытая бутылка с пивом. Требуется достать ее, сняв с
ковра, при этом к бутылке нельзя прикасаться ни рукой, ни
ногой, ни какой-либо частью тела или каким-то предметом.
Разумеется, не следует проливать пиво на ковер.
3. Третий тест. Надо поставить двух людей на лист газеты
так, чтобы ни один не мог прикоснуться к другому. При этом
нельзя сходить с газеты, а также разрывать ее.
4. Четвертый тест. К крюку на потолке на нити длиной
около 2 м подвешена кофейная чашка. Можете ли Вы
перерезать нить ножницами так, чтобы чашка не упала на пол?
Держать нить или чашку нельзя.

108
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
178. Долги наши тяжкие
Обитатели одного студенческого общежития частенько
одалживали друг у друга деньги. В канун Нового года они
решили рассчитаться с долгами. Но тут выяснилось, что
многие из них толком не помнят, у кого они занимали или кому
одалживали деньги. Каждый, правда, точно знает итоги
своих операций. Студенты некоторое время пребывали в
растерянности, пока один из них, учившийся на математическом
факультете, не сообразил, как им следует произвести расчет.
А Вы поняли это?
179. Еще несколько задач про часы
1. Часы с боем отбивают 6 ч за 5 с. За какое время они
пробьют 12 ч?
2. Часовая и минутная стрелка совпадают в 12 ч. Через
какой промежуток времени эти стрелки совпадут вновь в
первый раз?
3. На часах с тремя стрелками — часовой, минутной и
секундной—в 12 ч все три стрелки совпадают. Существуют ли
еще другие моменты времени, когда все три стрелки
совпадают?
180. Несколько житейских ситуаций
Как-то, находясь в одной странной компании, мне
пришлось услышать несколько историй, разобраться в которых
удалось не сразу.
1. На прошлой неделе я пришел к себе домой, разделся,
выключил свет и успел добраться до постели раньше, чем
комната погрузилась во тьму. Расстояние от выключателя до
постели равно 3 м.
2. Однажды поздним вечером мой дядюшка читал
книгу. Тетушка по рассеянности выключила в комнате свет,
однако дядюшка, как ни в чем не бывало, продолжал
читать.

Глава 1 вопросы, задачи
109
3. Сегодня утром я уронила в чашку с кофе сережку и,
хотя чашка была наполнена до краев, сумела достать ее, даже
не замочив пальцев.
4. Один мой знакомый уверяет, что сможет построить дом
квадратной формы с окнами на каждой стороне так, что все
окна выходят на юг. Самое главное при этом, говорит он, это
правильно выбрать место.
5. А вот я могу поставить бутылку в центре комнаты и
вползти в нее.
6. Некий человек живет на девятом этаже девятиэтажного
дома. Всякий раз, когда он один поднимается на лифте к себе,
он едет до шестого этажа, а дальше идет пешком. Почему?
7. Недавно вресторане я наблюдал такую сценку. Некий
посетитель потребовал заменить принесенную ему тарелку
борща на том основании, что обнаружил в ней муху. Когда
же официант принес ему другую порцию, этот господин,
попробовав одну ложку, вновь поднял шум, утверждая, что ему
принесли тарелку с тем же борщом. По смущению официанта
стало ясно, что так оно и есть. Никак не могу понять, как этот
человек смог догадаться, что порция та же самая.
181. Из двух спорящих, как правило, один — жулик,
а другой — дурак
Предположим, Вы оказались в не очень знакомой
компании и один из гостей предлагает Вам следующее пари. В
шапку кладутся три карточки. На одной с обеих сторон
изображен крестик, на другой — с одной стороны крестик, обратная
сторона белая, третья карточка белая с обеих сторон. Вам
предлагается вынуть одну из карточек так, чтобы была видна
лишь одна сторона. Затем предлагающий пари заявляет, что
оборотная сторона карточки такая же, что и показанная. При
этом приводится даже рассуждение, обосновывающее
равноправность предлагаемого пари. Допустим, на видимой
стороне изображен крестик. Тогда вынутая карточка либо имеет
крестик с обеих сторон, либо белая с другой стороны. Обе

110
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
возможности равноправные, значит, пари честное.
Принимаете ли Вы такое пари, даже если ставка не очень велика?
182. Среднее, медиана и мода
Один гражданин пришел устраиваться на работу в
кооператив. Заместитель председателя очень радушно принял
его и объяснил, что работники кооператива очень неплохо
зарабатывают. Средняя зарплата равна 500 руб. (это было в
начале 1991 г.). Проработав некоторое время и выяснив, что
все рабочие в кооперативе зарабатывают лишь по 200 руб. в
месяц, этот гражданин явился к заместителю председателя и
обвинил того в обмане. Но тот доказал, что никакого обмана
не было. В самом деле, в кооперативе числилось 25
человек. Заработок председателя составлял 2000 руб., его зама —
1200 руб. Три члена правления получали по 800 руб., а 7
членов административного совета получали по 600 руб. Оклад
начальника цеха составлял 300 руб., а 12 рабочих получали
по 200 руб. В данной ситуации нашему гражданину следовало
бы поинтересоваться модой — наиболее часто встречающейся
зарплатой. Она-то и составляет 200 руб. в месяц.
Можно указать еще одну характеристику — медиану. Это
зарплата человека, для которого число людей,
зарабатывающих меньше его самого, равно числу людей, зарабатывающих
больше. Чему равна медиана в нашем случае?
183. Две околошахматные задачи
1. Как-то вечером несколько любителей шахмат,
отдыхающих в доме отдыха, решили сразиться друг с другом в
шахматы. После окончания игр выяснилось, что каждый из
них белыми фигурами выиграл столько партий, сколько все
оставшиеся выиграли черными. Не могли бы Вы доказать, что
каждый из них выиграл одно и то же число партий?
2. На доске случайным образом расставлены шахматные
фигуры. Докажите, что хотя бы на одной из диагоналей —
больших или малых — расположено четное число фигур; здесь

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
111
под диагональю мы понимаем любую серию из одноцветных
клеток, идущих параллельно какой-либо из главных
диагоналей от одного края доски к другому. В частности,
угловые клетки являются диагоналями, составленными из одной
клетки.
184. Комната с темными углами
На рис. 34 изображены многоугольник и точка О внутри
него. Из рисунка ясно, что некоторые стороны видны из
точки О лишь частично, а некоторые совсем не видны. А
можете ли Вы изобразить такой многоугольник, внутри которого
можно указать точки, из которых ни одна сторона не видна
полностью?
к /1
.0
V \1
Рис. 34.
185. Легенда о Дидоне, теорема существования
и изопериметрическая задача
В римской мифологии есть легенда о Дидоне. Согласно
этой легенде Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца
Геракла Акербаса. После того как брат Дидоны Пигмалион
убил ее мужа, позарившись на его богатства, Дидона
вынуждена была бежать. Захватив с собой часть сокровищ мужа,
она в сопровождении многочисленных спутников прибыла в
Африку и купила у Берберийского царя Ярба участок земли.

112
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
По условию она могла взять столько земли, сколько
ограничит одна бычья шкура. Дидона разрезала шкуру на тонкие
ремни и окружила этими ремнями изрядный кусок земли. На
этом месте была основана цитадель Карфагена Бирсу (по-
гречески «бирсу» как раз и означает «шкура»). Так гласит
древняя легенда.
А вот другая современная история, на первый взгляд
никак не связанная с легендой о Дидоне.
Однажды математик и физик занялись решением одной и
той же проблемы. Через некоторое время математик встретил
физика и радостно сообщил, что он сумел доказать теорему о
существовании решения поставленной перед ними задачи. На
это физик заметил, что если бы он хоть минуту сомневался
в существовании решения, то никогда не стал бы заниматься
этой задачей.
Следует признать, что в математике большое значение
(а иногда даже чрезмерное с точки зрения физиков)
придается теоремам существования. В некоторых случаях знание
факта существования какого-то объекта никакого
практического значения не имеет. Так, например, еще в начале века
известный математик Цермело доказал, что в шахматах при
наилучшей игре белые не могут проиграть. (Внимательный
читатель, если таковой все же найдется, может увидеть здесь
противоречие с утверждением первой из задач 154. Автор
признает наличие противоречия. Но поскольку он точно не
знает, какое из этих двух утверждений является верным,—
оба имеют фольклорные корни, то он оба и сохраняет. Потом
разберемся.) Однако никакого практического значения эта
теорема не имеет, поскольку найти соответствующую стратегию
пока не удалось, да и вряд ли удастся найти в обозримом
будущем.
Но нередки и ситуации, когда знание о том, что объект
с нужными свойствами существует, значительно облегчает
задачу его нахождения. Рассмотрим, например, следующую
классическую задачу (так называемую изопериметрическую

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
113
задачу). Среди всех кривых заданной длины найти ту,
которая ограничивает фигуру наибольшей площади. Физику
очевидно, а математики умеют доказывать, что такая фигура
существует. Теперь нам несложно доказать, что искомая
фигура—круг (линия —окружность). Вот рассуждения классика
геометрии Якоба Штейнера.
Рис. 35.
Пусть кривая длиной I ограничивает фигуру наибольшей
площади. Возьмем на этой кривой две точки А и В,
делящие ее (кривую) пополам (рис.35). Понятно, что прямая АВ
делит площадь пополам. В противном случае, если бы одна
часть площади была бы больше другой, то, отразив большую
часть симметрично относительно АВ, мы получили бы
фигуру большей площади, что противоречит нашему
предположению.
Пусть С —точка кривой, отличная от А и В. Если
угол АСВ не прямой, то мы можем увеличить площадь
фигуры (не меняя длины кривой). Для этого построим
прямоугольный треугольник с катетами, равными АС и СВ (на
рис.35 это треугольник AiB\C\), и построим на его катетах
А\С\ и В\С\ такие же сегменты, как и на сторонах АС и
ВС треугольника ABC. Затем полученную фигуру отразим
симметрично относительно А\В\. Мы получим новую фигуру
большей площади, ограниченную кривой той же длины I. Это
следует из того, что площадь прямоугольного треугольни-

114
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
ка AiB\C\ больше площади треугольника ABC. Значит, для
всех точек С угол АСВ прямой. Из этого следует, что наша
кривая — окружность с диаметром АВ.
Возможно, что Дидона, интуитивно понимая
экстремальное свойство окружности, разрезала бычью шкуру на тонкие
полоски, выложила их в виде окружности, ограничив тем
самым весьма большой участок земли.
А теперь несколько задач.
1. Можно ли в обычном листе ученической тетради
проделать отверстие, сквозь которое может пройти взрослый
человек?
2. На берегу реки (берег — прямая линия) надо построить
забор длиной Z, ограничивающий (вместе с рекой) фигуру
наибольшей площади.
3. Разделить данный равносторонний треугольник на две
равновеликие части, проведя линию наименьшей длины.
Найти протяженность линии наименьшей длины, делящей
пополам площадь правильного треугольника со стороной а.
4. Возьмем некоторый многоугольник с числом сторон,
большим 3. Рассмотрим всевозможные многоугольники со
сторонами, равными соответствующим сторонам данного.
Доказать, что среди этих многоугольников найдется тот, около
которого можно описать окружность, и именно он имеет
наибольшую площадь.
186. Пропорциональная зависимость
Сначала один старый анекдот.
Некая дама на вопрос, сколько ей лет (спрашивающая
была скорее всего также дамой), ответила так: «Когда я
выходила замуж, мужу было 40, а мне 20. Сейчас ему 60. Значит,
мне 30».
А теперь несколько простых вопросов и задач на эту тему.
(Так ли далеко Вы ушли от дамы из анекдота?)
1. Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц
снесут девять куриц за девять дней?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
115
2. Предположим, что Вы пришли на рынок купить
петрушку. У продавца есть два типа пучков — толстые и тонкие.
Тонкие в обхвате в два раза меньше толстых и соответственно
в два раза дешевле. Что выгоднее: купить один толстый пучок
или два тонких?
3. Одна лошадь преодолевает дистанцию за 3 мин. За какое
время преодолеет ту же дистанцию тройка лошадей?
4. Кошка съедает мышку за одну минуту. За какое время
кошка сможет съесть 100 мышек?
187. Как денщик сапоги продавал
(старинная задача)
Ситуация, описанная в задаче, имеет много различных
оформлений. Приведем одно из них.
Генерал отправил денщика на рынок продавать сапоги.
Цену им он определил в 15 руб. Денщик встретил на рынке
двух одноногих инвалидов и продал каждому из них по
сапогу по 7 с половиной рублей. Генерал, узнав об этом, заявил,
что ветеранам можно было бы уступить сапоги и подешевле.
Он дал денщику пятерку и приказал разыскать инвалидов и
вернуть каждому по 2 с половиной рубля. Денщик по дороге
зашел в трактир, 3 руб. прогулял, а затем, найдя инвалидов,
вернул каждому по рублю.
А теперь подсчитаем. Каждый из инвалидов заплатил в
итоге по 6 с половиной рублей, т. е. всего они заплатили
13 руб. 3 руб. денщик прогулял. Имеем 13 + 3 = 16. Откуда
взялся лишний рубль?
188. Борьба с коррупцией
в соответствии с конституцией
В одном криминальном царстве, слаборазвитом
государстве король решил начать борьбу с коррупцией и для
примера наказать одного из своих министров. Министров (всего
их было 55 человек) рассадили за круглым столом. Сначала
хотели найти того из них, у кого больше всего денег на бан-

116
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
ковском счету, и объявить его главным коррупционером.
Однако оказалось, что конституция страны разрешала открыть
банковские счета для выявления количества денег не более
чем у десяти министров. По мнению Главного юриста, можно
объявить коррупционером любого министра, у которого на
банковском счету больше денег, чем у каждого из его двух
соседей (по одному слева и справа). Каким образом можно
наверняка найти соответствующего этим условиям министра,
не нарушая при этом основной закон страны? (Можно
считать, что суммы на счетах у министров различны.)
189. Самопересекающаяся ломаная
Изобразите шестизвенную ломаную, каждое звено
которой ровно один раз пересекается с каким-то другим звеном
этой же ломаной.
190. Опять задача Иосифа,
теща и немного мистики
У Иосифа Бродского сказано: «Есть истинно духовные
задачи, а мистика есть признак неудачи попыток с ними
справиться...». Судя по количеству мистических откровений, наше
общество в целом и отдельные его члены терпят постоянные
неудачи, решая свои духовные проблемы. Это относится
также и к некоторым из тех, кто числит себя по разряду ученых.
В одном из специализированных изданий, занимающихся
проблемами математического образования (!), я прочитал статью
маститого ученого. В этой статье автор анализировал
содержание известной иудейской религиозной книги (кажется, речь
шла о «Торе»). В частности, он говорил, что там есть
зашифрованные места. Если, например, взять некое слово, сложить
в нем номера букв, на что-то поделить, то получится хорошее
приближение числа 7г. А если еще учесть опечатку,
допущенную в написании этого слова, то получим еще более точное
значение числа тт. В этой связи на память приходит один
забавный факт. Давным-давно, во времена Никиты Хрущева,

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
117
пол-литра водки стоила 2.87 руб. (Честное слово!), а
четвертинка—1.49 руб. Неизвестно кто подметил, что 1.49287 дает
хорошее приближение числа тт. (Это можно рассматривать
как доказательство сбалансированности советской экономики
того периода.) А вот более свежая история.
Однажды для одной массовой заочной олимпиады по
математике я решил, не мудрствуя, дать известную задачу
Иосифа (см. задачу 119), слегка увеличив число, чтобы задачу
можно было решить экспериментально, хотя не без усилий.
Вот эта задача.
В розыгрыше главного приза телевизионной лотереи
участвовало 300 человек. Они выстроились по кругу, затем,
начиная с кого-то, получившего номер 1, их стали пересчитывать.
При этом каждый третий всякий раз выбывал. (Так, на
первом круге выбыли все с номерами, кратными 3.) Счет
продолжался до тех пор, пока не остался один человек. (Понятно, что
сделан был не один круг.) Этот человек и получил главный
приз. (Им «случайно» оказалась теща телережиссера.) Какой
номер в первоначальной расстановке имел победитель?
Упоминание о теще я сделал просто так, поскольку не
верил (и не верю) во всякие случайные большие выигрыши
на телевидении.
Задачу решили многие и по-разному. Одна девочка
написала: «Мой папа командир полка. Он выстроил по кругу 300
солдат и приказал им пересчитаться в соответствии с
условием. Остался солдат под номером... . Он помог мне решить
остальные задачи олимпиады, так как окончил 2 курса
математического факультета».
Но самым удивительным оказалось письмо от одного
мальчика. Он сообщил верный ответ, а потом написал: «А при
чем здесь теща? Я взял слова «случайно теща» и «теща
телережиссера» и подсчитал полусумму номеров входящих в них
букв. Получил правильный ответ». Я проверил, все
правильно. Вот вам и мистика!

118
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
191. Кто и кому должен?
Джон, Билл и Ваня отправились на бейсбольный матч. По
дорогое Джон купил 5 пакетиков чипсов, Билл —два пакета
таких же чипсов, а Ваня ничего не купил. Во время матча
они съели все чипсы, причем съели поровну. После матча
Ваня, подсчитав, сколько стоят съеденные им чипсы, отдал
1 долл. и 40 центов. Какую сумму следует еще получить
Джону?
192. Кто чемпион?
Футбольный турнир проходил в один круг. За победу
давалось 3 очка, за ничью —1, поражение —0 очков. Могло ли
так случиться, что команда, занявшая первое место по старой
системе подсчета очков (за победу —2 очка, ничья —1 очко),
была бы последней, а команда, бывшая последней по старой
системе, заняла бы первое место? (Имеются в виду чистое
первое и чистое последнее место по количеству набранных
очков.)
193. Разрезание на одинаковые части
Дана некоторая фигура, получающаяся из квадрата 8x8
удалением одного маленького квадрата. Разрежьте ее на
наименьшее число частей таким образом, чтобы из этих частей
можно было бы составить любую фигуру, получающуюся из
квадрата 8x8 удалением одного маленького квадрата.
194. И только дырка в кармане
В пиджаке мистера Вита образовалась дыра в виде
треугольника с попарно различными сторонами. Он сделал
заплату из подходящего материала, но из-за рассеянности
заплата оказалась повернута изнаночной стороной наружу.
Всегда ли мистер Вит может разрезать заплату на три части
так, чтобы из этих частей можно было сшить нормальную
заплатку?

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
119
195. Бомжей Минздрав не предупреждает
Многочисленные бомжи, появившиеся в наших городах,
чтобы покурить, собирают окурки. Из четырех окурков
бомжи наловчились сделать одну сигарету. Сколько сигарет
сможет выкурить бомж, собравший 24 окурка?
196. Заполнение пространства «ежиками»
Рассмотрим тело, составленное из 7 одинаковых кубиков:
к одному центральному кубику по каждой грани приставлено
по такому же кубику. Докажите, что такими телами
(«ежиками») можно заполнить все пространство без перекрытий
и пропусков. Пространство можно также заполнить телами,
составленными из 13 кубиков: к центральному кубику со
стороны каждой грани приставлено по два кубика. Покажите,
каким образом.
197. Вот какой рассеянный
Математик шел домой вдоль ручья вверх по течению со
скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения, и
держал в руках палку и шляпу. Он бросил в ручей шляпу,
перепутав ее с палкой, и продолжал идти с прежней
скоростью. Вскоре он заметил ошибку, бросил палку в ручей и
побежал назад со скоростью, вдвое большей, чем шел вперед.
Догнав плывущую шляпу, он мгновенно выудил ее из воды
и пошел вверх по течению ручья с первоначальной
скоростью. Через 10 мин после того как он выудил шляпу
математик встретил плывущую по ручью палку. На сколько минут
раньше он пришел бы домой, если бы не перепутал палку со
шляпой?
198. Равные дроби
Докажите, что все дроби вида noon'"iooii ПРИ У0-71033111^
что числитель и знаменатель содержат одинаковое число
единиц, равны между собой.

120
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
199. Наибольшее число делителей
Найдите трехзначное число, имеющее наибольшее число
различных делителей.
200. Несколько простых задач
1. Известно, что в каждом из трех идущих подряд месяцев
года оказалось четыре воскресенья. Докажите, что один из
этих месяцев — февраль.
2. Возможно ли, чтобы число, содержащее 300 единиц и
сколько-то нулей, было бы точным квадратом?
3. Вилл поставил на стол 9 пустых стаканов и предложил
Джону перевернуть их все вверх дном, переворачивая
одновременно по 5 стаканов. Решите эту задачу и постарайтесь
сделать как можно меньше операций.
4. Справившись с предыдущей задачей, Джон попробовал
перевернуть те же 9 стаканов, переворачивая всякий раз по
6. Но не смог это сделать. Как вы думаете, можно ли это
сделать? (Перевернуть вверх дном 9 стаканов, переворачивая
каждый раз по 6.)
5. Можно ли покрыть квадратами многоугольник, не
имеющий прямых углов? (Квадраты не обязательно равны и
могут перекрываться.)
6. Все высоты треугольника меньше 1. Может ли его
площадь быть больше 10 000 квадратных единиц?
7. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками
в 7 ч 38 мин?
201. Расставьте скобки и знаки действий
а) Написаны три цифры 4 4 4. Вставьте между ними знаки
математических операций, чтобы получившееся выражение
оказалось бы равным 16.
б) А теперь между цифрами 3 3 3 расставьте знаки
математических операций так, чтобы получилось число,
равное 10.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
121
в) Расставьте скобки в данном выражении, чтобы
получилось число больше 40:
2:2-3:3-4:4-5:5.
202. Восстановите изображение
Ученик начертил параллелепипед ABCD A\B\C\D\ и
отметил точками Р и Q центры граней AiBiCiDi и CDD\C\.
Затем он стер изображение, оставив лишь четыре точки А,
В, Р и Q. Восстановите изображение параллелепипеда (AAi,
ВВ\, СС\ и DD\ — ребра параллелепипеда).
203. Странные последовательности
В последовательности ai, а^ аз,... первый член равен
1799, а второй—1828. Начиная с третьего, каждый
следующий член последовательности находится по закону an+i =
(ап + l)/an-i. Чему равняется ai997?
Несколько неожиданным представляется тот факт, что,
начиная с шестого номера, значения членов
последовательности {ап} повторяются: а^ = ai, aj = a2, as = аз. Обнаружив
и обосновав эту закономерность, уже без труда можно найти,
ЧТО ai997 = «5-399+2 = «2 = 1828.
Многие полагают, что с этой задачей играючи справится
компьютер. Достаточно написать простейшую программу (не
будем ее здесь приводить) и... . Но все не так просто. Ведь все
дробные величины компьютер, как правило, вычисляет, хотя
и с достаточно высокой точностью, но лишь приближенно.
А нам надо получить точный ответ.
Замечательные числовые последовательности часто
возникают у тех, кто любит возиться с числами. Многие авторы
средневековых учебников не без восторга приводят такой
пример. Возьмем первые 9 членов арифметической прогрессии:
143, 286, 429,..., 1287 и умножим каждое на 777. В
результате получим последовательность 111111, 222 222, 333 333,...,
999 999.

122
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Следующая замечательная последовательность описана в
книге Жака Арсака «Программирование игр и головоломок»
(М.: Наука, 1990-С. 30-31):
В качестве начального члена последовательности
берется любое натуральное число, кратное трем. Все остальные
члены получаются по правилу: за данным числом следует
число, равное сумме кубов цифр данного. Например, Ъ\ = 27;
Ь2 = 23+73 = 8+343 = 351; 63 = 33+53 + 13 = 27+125+1 = 153;
&4 = I3 + 53 + З3 = 153; .... Оказывается, какое бы начальное
число bi мы ни взяли, рано или поздно мы неизбежно
придем к числу 153. Этот замечательный факт помог не только
обнаружить, но и доказать ... компьютер. Все дело в том,
что если число больше, чем 104, то сумма кубов его цифр
меньше самого числа. Это следует из того, что при к > 5
имеет место неравенство 10Л_1 > 93fc. Остается лишь
проверить все кратные трем натуральные числа, не
превосходящие 104. Вот здесь и можно прибегнуть к помощи
компьютера.
204. Подвешенный треугольник
На плоскости стола лежит правильный треугольник,
вырезанный из картона. В точках К, L и М, расположенных
на его сторонах, в стол вбиты гвозди (рис. 36) так, что тре-
К
Рис. 36.

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
123
угольник жестко закреплен и не может перемещаться.
Известно, что точки К и L делят соответствующие стороны в
отношении 2 : 1 и 3 : 2. В каком отношении делит сторону
треугольника точка М?
205. Разрезанный куб
Плоскость пересекает единичный куб и делит его на два
многогранника. Известно, что расстояние между любыми
двумя точками одного многогранника не превосходит 3/2.
Чему может равняться площадь сечения куба такой плоскостью?
206. Вежливый премьер
На международную конференцию прибыли делегаты из
100 стран. В каждую входили два человека: президент и
премьер-министр. Перед началом конференции некоторые из
ее участников обменялись рукопожатиями, но ни один
президент не поздоровался со своим премьер-министром.
В перерыве президент Иллирии спросил у всех участников
конференции, сколько рукопожатий они сделали. Все
полученные им ответы были разные. Сколько рукопожатий сделал
премьер-министр Иллирии?
207. Опять карточки с числами
Имеется п карточек, пронумерованных числами от 1 до п.
Эти карточки разложили в две стопки. При каком
наименьшем п обязательно найдутся две карточки, лежащие в одной
стопке, сумма номеров которых есть точный квадрат?
208. Случай из жизни банкира
Мистер Призонер, управляющий банком Пирамидальным,
проживает на своей вилле достаточно далеко от места
службы. По рабочим дням каждое утро в одно и то же время за
ним приезжает машина и он прибывает на службу точно к
началу рабочего дня. Машина также выезжает из гаража в
одно и то же время. Но однажды шофер позвонил рано утром

124
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
и предупредил, что из-за неисправности машины он может
несколько задержаться. В это утро мистер Призонер вышел
за 1 ч до момента обычного прихода машины и пошел пешком
ей навстречу. Однако шофер быстро исправил неисправность
и выехал во время. Он встретил управляющего и отвез его
в банк. Прибыли они в банк на 20 мин раньше обычного.
Сколько времени продолжалась утренняя прогулка мистера
Призонера? (Скорость машины считается постоянной, а
время на развороты равно нулю.)
209. Какие бывают шестигранники
Все шестиугольники в каком-то смысле одинаковы: у
каждого шесть вершин и шесть сторон. Мир многогранников
гораздо разнообразнее. Например, куб —это шестигранник,
у которого восемь вершин и двенадцать ребер. Все
грани куба — четырехугольники (квадраты). Придумайте какой-
нибудь шестигранник с тем же числом вершин и ребер, что
и куб, но не все грани которого являются
четырехугольниками. Существует ли шестигранник, две грани которого
шестиугольники, а четыре оставшиеся — треугольники?
210. Кубическое уравнение
Решите уравнение
Xs - Зх2 - Зх - 1 = 0.
(Найдите действительные корни.)
211. Условное равенство
Докажите, что если
а Ь с а2 Ъ2 с2
т + + г = 1, то + + = 0.
о + с с + а а + Ь Ь + с с + а а + Ъ

Глава 1 ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ
125
212. Геометрическое место точек
Найдите геометрическое место середин всевозможных
хорд данной окружности, концы которых расположены по
разные стороны от данной прямой, пересекающей эту
окружность.
213. Одним циркулем
Известно, что все геометрические построения можно
осуществлять при помощи одного циркуля. За исключением
одного: проведения прямой линии через две точки.
Предлагаем одну, далеко не самую простую задачу на построение
одним циркулем. На плоскости имеется изображение
окружности, центр которой не указан. При помощи одного
циркуля постройте центр этой окружности, проведя не более
шести окружностей. (Мы можем отметить какие-то три
точки плоскости и провести окружность с центром в одной из
этих отмеченных точек и радиусом, равным расстоянию
между двумя другими отмеченными точками. Это будет одна
окружность. При этом мы считаем возможным отметить на
заданной окружности две точки, расстояние между которыми
больше радиуса данной окружности, хотя и сам радиус нам
неизвестен.)
Анекдот вместо заключения
Этот анекдот имеет отношение к математике, поскольку
он про симметрию. Он нужен также для симметрии: по
законам драматургии начало и конец произведения должны
перекликаться. Наконец, это в самом деле смешной и
вполне приличный анекдот, что, признаться, встречается не так
часто.
Муж возвращается домой поздно ночью немного навеселе.
В руках у него букет цветов, чтобы жена не ругалась. Но жена
уже спит. Муж тихонько идет на кухню, берет вазу для
цветов, наполняет ее водой. Но... неловкое движение, ваза падает

126
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
и разбивается. Муж пытается собрать осколки, теряет
равновесие и садится на осколки. Слегка пораненный, он берет
лейкопластырь, идет в ванную комнату и пытается перед
зеркалом залепить порезы пластырем. Утром жена встает первая
и идет в ванную. «Ну ладно, вчера, наверное, опять набрался,
вазу разбил, — ворчит она, — одного не понимаю, зачем же он
в ванной все зеркало пластырем заклеил?»
А ведь подобное часто бывает в жизни. Вместо того,
чтобы рану лечить, мы заклеиваем, причем не саму рану, а ее
отражение.

Глава 2
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. При «нормальном» голосовании в результате первого
тура отсеивается В и во втором туре побеждает Б с
соотношением 51 : 49. Следовательно, для победы А необходим
тактический маневр — в первом туре часть демократов (более
15%, но менее 16%) должна отдать свои голоса за 5, для
того чтобы он вышел во второй тур, где его легко победит А.
Кстати, подобные тактические приемы давно используются
на различных выборах. Например, в Академию наук.
2. Голосование при выборах комитета сводится к тому,
что каждый депутат вычеркивает одного претендента из
списка. 40 человек, без всякого сомнения, вычеркнут Известного
человека. Остальные вычеркнут кого-нибудь другого, причем
почти безразлично кого, поэтому 180 избирающих вычеркнут
в своих списках кого-то из оставшихся 10 (кроме Известного
человека). Каждого в среднем вычеркнут ^ = 18 человек.
Таким образом, Известный человек в комитет попасть не
сможет.
Голосование при выборах председателя комитета сводится
к тому, что в списке оставляют только одного и за
Известного человека проголосуют 180 человек, за другие
кандидатуры—всего 40, в среднем по 2 за человека, и Известный
человек в этих условиях легко станет председателем комитета.
Любопытная ситуация — Известный человек оказывается
худшим — тем самым, единственным, кто не попадает в комитет,
и одновременно лучшим — становится его председателем.

128
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
3. Приведем пример списков, одновременно
удовлетворяющих каждому из пунктов задачи (в каждом списке
кандидаты расположены в порядке предпочтения). 1-3: А-Б-В-
Г; 4-8: А-В-Г-Б; 9-15: Б-Г-В-А; 16-21: В-Г-Б-А; 22-23: Г-
Б-А-В; 24-25: Г-В-А-Б. При голосовании по способу «А»
победит кандидат А —у него 8 голосов (у Б —7, у В —6, у
Г —4). При голосовании по способу «Б» победит кандидат
Б (выйдя во второй тур вместе с А, он наберет во втором
туре 15 голосов). При голосовании по способу «В» победит
кандидат В, так как он лучше А в 15 списках, лучше Б в
13 и лучше Г в 14 списках. При голосовании по способу «Г»
победит кандидат Г (он наберет 43 очка против 42 у В, 37 у Б
и 28 у А).
Через неделю списки могут выглядеть так: 1-3: Б-А-В-Г;
4-8: А-В-Б-Г; 9-15: Б-Г-В-А; 16-21: В-Б-Г-А; 22-23: Б-Г-
А-В; 24-25: Г-В-Б-А.
Позиции кандидата Б улучшились во всех (!) списках, в
которых только могли улучшиться. В результате же во
второй тур выйдут Б и В (12 и 6 голосов), а в итоге победит В
(13 голосов).
4. Больше всего шансов выжить в этой триэли у В. Для
этого он ожидает окончания перестрелки между А и Б.
Следующий выстрел его, и с вероятностью 51% он станет
победителем (ведь каждый из двух, стреляющих хорошо, будет,
очевидно, стрелять в другого). Если первый выстрел
принадлежит В, ему выгоднее стрелять «в молоко», чем рискнуть
остаться в случае «удачи» один на один с прекрасно
стреляющим гусаром, имеющим право первого выстрела. Впрочем,
то же можно сказать и относительно любого из трех гусаров.
Поэтому, если гусары достаточно трезвы и умны, каждому
из них целесообразно стрелять в «молоко», так как любое
попадание для стреляющего первым снижает вероятность его
выживания.
5. Лемма. Если в каждой из т партий состоит более
половины жителей страны, то найдется житель, состоящий в

Глава 2 ответы и решения
129
более чем га/2 партиях. Доказательство от противного. Пусть
в стране п людей. Рассмотрим таблицу п х га, в которой на
пересечении г-го столбца и j-й строки стоит крестик, если j-й
человек состоит в г-й партии. Тогда всего крестиков больше,
чем гап/2, поскольку в каждом столбце больше п/2 крестиков.
Но в каждой строке не более чем га/2 крестиков (по
предположению). Значит, в таблице не более чем гап/2 крестиков.
Противоречие.
Докажем по индукции, что для не более чем
2к+\ _ 2

партий хватит к осведомителей. При к — 1 это очевидно. Пусть
есть 2к+1 — 2 партий. По лемме найдется человек, состоящий
более чем в половине партий, т. е., по крайней мере, в 2к
партиях. Назначим его осведомителем и удалим партии, в
которых он состоит, из рассмотрения. Останется не более чем
2к+1 — 2к — 2 = 2к — 2 партий, для которых, по предположению
индукции, хватит к — 1 человек. Утверждение задачи теперь
следует из неравенства 1999 < 211 — 2.
6. Нетрудно построить пример, показывающий, что
менее чем семью фракциями обойтись нельзя. Для этого можно
нужным образом организовать ссоры между семью
депутатами (рис. 37).
Рис. 37.

130
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Докажем, что семи фракций всегда достаточно.
Воспользуемся методом математической индукции. Пусть
утверждение верно для п. Для п = 7 оно очевидно верно. Рассмотрим
думу из п + 1 депутатов. Найдется депутат, с которым
вступили в конфликт не более трех других депутатов (иначе число
вовлеченных в ссоры депутатов окажется больше числа
депутатов, которые сами затеяли ссору с коллегами). Выведем его
временно из думы. Оставшихся п депутатов можно разбить
на семь фракций по предположению индукции. В этой думе у
указанного депутата не более 6 врагов, и его можно поместить
в ту из семи фракций, где у него нет врагов.
7. 1. Первый ежемесячно зарабатывает на 10 руб.
больше второго.
2. «Сухой» вес крыжовника (100 кг) измениться не
может, и при влажности 98% эти 100 кг составят 2% от общего
веса 5 т.
8. 1. Мы можем получить явно заниженную оценку в
300 лет. Имеем: количество зерен, которые получает
изобретатель, 265 - 1 > (210)6-5 > (103)6-5 > 3 • 1019 шт. Их вес
превышает 3 • 1017 г = 3 • 1011 т.
2. Один день.
3. 59 с.
9. 1. Нью-Йорк. 2. Хабаровск. 3. Да. Например, в
Гренландии. 4. Точка выхода расположена восточнее, чем точка
входа. 5. Расстояние между двумя концентрическими
окружностями, если длина одной больше длины другой на 1 м,
равна 1/27Г (м) > 15 (см) и не зависит от радиусов
окружностей. 6. Указанная точка будет удалена от поверхности Земли
примерно на 122.5 м. Мы не будем приводить расчеты. Они
несложны, но несколько громоздки. 7. Такое путешествие
возможно, если точка отправления — Южный полюс. Есть также
такие точки близ Северного полюса. Человек выходит из
некоторой точки А, идет на север в точку В, затем, выйдя из В
делает несколько полных оборотов вокруг J3, а затем
возвращается в А. 8. Описанное движение возможно для всех точек,

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
131
Рис. 38.
расположенных на 5 км южнее экватора, а также для точек
вблизи полюсов. Схема одного из возможных маршрутов
движения вблизи Северного полюса дана на рис. 38. Человек,
идя на запад или восток, движется по дуге окружности (по
широте) AD или ВС, а идя на север и юг —по прямой (по
меридиану) АВ или CD.
10. За 7 сут улитка достигнет высоты 7 м. На этой
высоте она проснется утром восьмого дня. К вечеру восьмого
дня она достигнет вершины (7.5 сут) и, перевалив через нее
перед сном, начнет спуск в сонном состоянии. К утру девятых
суток она спустится на 7 м (2 + 3 + 2) и к вечеру закончит
свой славный марафон, пробыв в пути 9.5 сут.
11. При принятой в нашем обществе «правильной»
расстановке книг на полке первая страница первого тома
примыкает ко второму тому, как и последняя страница третьего.
Следовательно, путь червяка равен полной толщине второго
тома плюс две половины толщины переплета первого и
третьего томов, всего 19 мм (17 + 2).

132
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
12. Количество встречных поездов равно количеству
поездов, которые пройдут мимо неподвижного наблюдателя
за 4 ч, т. е. 24 и 16.
13. Возможны три случая.
1. К моменту второй встречи оба прошли по одному
разу весь путь. Пусть S — расстояние между домами. К первой
встрече суммарный путь равен S, ко второй — 35. Профессор
прошел 55 • 3 = 155 м = S + 85 м, т. е. S = 80 м. Значит,
вторая встреча не могла быть на расстоянии 85 м от дома
профессора.
2. Если бы во второй раз профессор догнал доцента, его
скорость превышала бы скорость доцента более чем вдвое
и путь, пройденный доцентом к моменту первой встречи,
был бы менее половины пути профессора, т. е. меньше, чем
55 • 0.5 = 27.5 м, т. е. расстояние между домами будет
меньше? чем 55 + 27.5 = 82.5 < 85 м. Этот случай также
невозможен.
3. Остается одно — доцент догнал профессора. Отношение
путей, пройденных ими за равные промежутки времени,
постоянно и равно отношению их скоростей, т. е. -^^ — 2S~-S5•
По известному свойству пропорций, каждая из этих дробей
равна 5Т^95. (Если | = д, то | = gzif •) Следовательно, когда
доцент прошел 25 м, профессор прошел S — 195 м и
оказался на расстоянии 195 м от дома доцента. Расстояние между
киосками 195 — 25 = 170 м.
14. 1. Поскольку нулевого года нашей эры не было, то
число полных лет, прожитых императором, составляет 63 +
14 - 1 = 76.
2. Если Петя сделал свое заявление 1 января, а 31 декабря
у него был день рождения и ему исполнилось 16 лет, то 30
декабря (позавчера) ему было 15 лет и 31 декабря будущего года
ему действительно исполнится 18.
3. Одиннадцать.
4. 5 мес. Для обычного года это произойдет, если 1 января
пятница. Для високосного есть две возможности — 1 января —

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
133
четверг или пятница. Проверьте другие возможности для
первого дня года.
5. Удобно начать отсчет с марта, чтобы избавиться от
неопределенности, связанной с 29 февраля. Итак, если 13
марта, например, суббота, то понедельником окажется 13
сентября, если 13 марта — воскресенье, то 13 июня — понедельник
и т. д.
6. Используемый нами григорианский календарь имеет
период 400 лет. Напомним, что каждый четвертый год считается
високосным, при этом годы, делящиеся на 100 и не делящиеся
на 400, не являются високосными. Три столетия содержат по
36 524 дня и одно — 36 525 дней. Весь четырехсотлетний цикл
содержит 146 097 дней, т. е. 20 871 неделю. Первым днем
столетия может быть либо вторник (1.01.1901), либо понедельник
(1.01.2001), либо суббота (1.01.2101), либо четверг (1.01.2201).
Если автор романа считает, что век начинается в нулевом
году, то он может начаться в понедельник (1.01.1900), либо в
субботу (1.01.2000), либо в пятницу (1.01.2100), либо в среду
(1.01.2200). Разумно предположить, что автор пользуется
григорианским календарем и что события происходят до 5000 г.
В этом случае век в воскресенье начаться не может.
Фантасты не рискуют заглядывать слишком далеко в будущее.
Календарь «поправят» на сутки, как это сделали с
юлианским при переходе от старого к новому стилю, только после
5000 г.
7. Воспользовавшись периодичностью календаря, честно
подсчитайте количество «черных пятниц» и других дней
недели. Читатель может заняться этой деятельностью на
досуге. Можно при этом воспользоваться помощью
компьютера.
15. 1. Если период длился Т мин, то за это время
минутная стрелка пройдет ^ часть полного оборота, а часовая —
Т/60-12 часть. Путь минутной стрелки на пол-оборота больше
пути часовой. Отсюда ^ — ^^ = \-> Т = 32 уу мин.

134
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
2. В течение суток есть шесть показаний часов, в
обозначении которых имеется цифра 2 (2, 12, 20 — 23). В каждом из
оставшихся показаний часов цифра 2 горит 15 мин (с 20 по
29 минуту и 02, 12, 32, 42 и 52), т. е. всего 6 + ^ = Щ ч.
Ответ: (а).
3. Запустим часы одновременно. Через 7 мин начнем
отсчет времени. Как только упадет последняя песчинка в
11-минутных часах, перевернем их и отмерим еще 11 мин.
4. Подожжем один шнур с двух концов, другой — с одного.
В момент, когда полностью сгорит первый шнур, подожжем
второй конец второго шнура.
5. Пример. Житель Тулы имеет расписание поездов,
прибывающих на Курский вокзал Москвы, и пытается
определить время, когда поезд Симферополь — Москва остановится
в Туле.
16. Математик знает произведение и сумму трех целых
чисел и не может их определить. Значит эти числа таковы,
что их нельзя однозначно определить. Если переберем все
натуральные числа в разумных пределах, соответствующих
условию задачи, например от 20 до 60, то убедимся, что почти
во всех случаях эти числа раскладываются на произведение
из трех сомножителей, имеющих разные суммы. Есть только
два исключения:
36 = 1-6-6 = 2-2-9, суммы множителей равны 13,
40 = 2 • 2 • 10 = 1 • 5 • 8, суммы множителей равны 14.
Подходит лишь последний вариант, в котором есть
средний сын. Итак, возраст сыновей 1 год, 5 и 8 лет.
17. 1. Путешественники подошли к реке с разных
сторон.
2. Обозначим пары через Аа, Бб, Вв (маленькими
буквами обозначим женщин). Вот схема перевозок, реализующая
нужную переправу за 11 рейсов:

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 135
Рейс
1
2
3
4
5
б
7
8
9
10
11
Берег левый
БбВв
АБбВв
АБВ
АаБ В
Аа
АаБб
а б
а б в
а
а б
В лодке
Аа=>
^А
бв=>
<= а
БВ=>
ф:Бб
АБ^>
<^=в
бв=Ф
<^б
аб =>
Берег правый
Аа
а
а б в
бв
БбВв
Вв
АБВв
АБВ
А БбВв
АБВв
Аа Бб Вв
Стрелки указывают направление движения лодки.
3. Первыми переходят мама и папа (2 мин), папа
возвращается (1 мин), переходят сын и бабушка (10 мин), мама
возвращается (2 мин), переходят папа и мама (2 мин).
18. Предложенная сумма существенно превышает
стоимость кваса в бочке, и последнюю можно использовать как
дополнительную емкость, слив квас бесплатно зрителям в их
личные емкости. Возможный порядок действий:
а) отмерим 7 литров следующим образом: (0, 5) — (3, 2) —
(0, 2) — (2, 0) — (2, 5). В этой записи первая цифра —
количество кваса в трехлитровой емкости, вторая — в пятилитровой;
б) опоражниваем бочку, сливая из нее остатки кваса, и
заливаем в нее отмеренные 7 литров; действуем по схеме
(третье число — количество кваса в бочке): (0,0,7) — (3,0,4) —
(0,3,4) - (3,3,1) - (1,5,1) - (1,0,1) - (1,1,0).
19. Последовательность, предлагавшаяся Ландау,
образована первыми буквами слов, обозначающих
последовательность натуральных чисел в детском варианте: раз, два,
три, ....
В последовательности 10, 11, 12, 13, 14, ... по другому
расставлены запятые (через три цифры).

136
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Здесь чередуются цифры чисел 7г = 3.141592 653 ... и
е = 2.718 281828 ... — с помощью последнего числа
математики запоминают год рождения Льва Толстого —1828.
20. 1. Чудовище. 2. Тридцать первое.
21. Понятно, что в одном из сосудов имеется смесь
крепостью не более 40%. Понятно также, что в 2.5 л должно быть
не менее 0.5 л более слабой смеси. Следовательно, процентное
содержание сока в полученных 2.5 л смеси не может быть
больше, чем °'5'2'?+2100% = 88%. Следовательно, в первом
сосуде была 40% смесь, а во втором —100%.
22. Покажем, как мотоциклист сможет углубиться в
пустыню на расстояние 312.5 км. Наметим сначала места для
складов: первый склад расположим в 30 км от базы (склад Л),
склад Б расположим в 37.5 км от склада А, затем склад В —
на расстоянии 50 км от Б и, наконец, склад Г — на
расстоянии 75 км от В. Процедура передвижения будет следующая.
Сначала мотоциклист перевозит весь запас топлива с базы на
склад А. Один переезд от базы до этого склада требует 1/10
заправки. Пятым рейсом от базы на склад А мотоциклист
закончит процесс перевозки топлива на эту базу. Отложим от
оставшегося запаса топливо, необходимое для возвращения от
А на базу. Останется 4 заправки (потрачено на эту процедуру
с учетом отложенного топлива 9 • ^ + ^ = 1 заправка). Вновь
перевезем все топливо с А на Б. Отложим часть, необходимую
для возвращения с Б в А. Останется 3 заправки. Перевезя
этот запас с Б в В и отложив количество, необходимое для
возвращения из В в 5, получим на складе В две заправки.
Этот запас в два приема перевозится на склад Г, в результате
чего на складе Г образуется запас на одну заправку,
используя который, можно удалиться от Г на расстояние 150 км, и
запас для возвращения на базу В.
Предложенная процедура позволяет максимально
удалиться от базы при заданных условиях (30 + 37.5 + 50 + 75 +
150 = 312.5 км). Обоснование, почему это так, приводить не
будем.

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
137
Аналогичная процедура реализуется во втором случае с
той лишь разницей, что на складах не надо оставлять топливо
для возвращения. Таким путем можно преодолеть пустыню
шириной в 300 '(I + 5 + 5 + 7 + 5)' что больше 535 км.
23. Представим путь из А в В дорогой с раздельными
полосами для встречного движения: по одной стороне тела
идут из А в Б, по другой —из В в А. Тогда обгон в задаче
становится обычным дорожным обгоном. Рассмотрим
движение одного тела. Оно идет из А в 5, меняет полосу и идет
из В в А — «совершает круг» вокруг разделительного
барьера дороги. Следовательно, можно рассматривать дорогу, как
окружность, по которой движутся тела в одном и том же
направлении, не меняя скоростей. Точки А и В — диаметрально
противоположные точки окружности. Первое тело проходит
окружность за 2 • 101 с, второе —за 2 • 201 с. Пусть и\ и и^ —
скорости тел; L — длина окружности. Перейдем в систему
отсчета второго тела. В ней первое тело начинает двигаться
из противоположной точки со скоростью и\ — U2 и кончает
движение по истечении времени там же. Ясно, что обгонов
столько же, сколько кругов сделано первым телом в системе
отсчета второго (на каждом круге в его середине первое тело
обгонит второе). Их число равно
2 -101 - 201 • (щ - ц2) _ 2 • 101 • щ 2 • 201 ¦ и2
L L 'Ш L ¦101~
= 201 - 101 = 100.
24. Если бы купец приобрел сукно одного типа,
например синее, то он заплатил бы 138 • 5 = 690 руб.
Образовавшаяся разность в 150 руб. получена за счет того, что черное
сукно повышено в цене на 2 руб. Значит, черного сукна было
тр = 75 аршин, а синего было 138 — 75 = 63 аршина.
25. 1. Пусть в свинарниках в порядке обхода
содержится 6, 8, 10 и 0 свиней. Понятно, что на пути от первого
свинарника к третьему условие соблюдено. Но в третьем свинарнике
находятся 10 свиней, а что может быть ближе к 10, чем само

138
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 39.
число 10? Ничего. Вот это количество свиней (ничего, т. е.
пустое множество) и находится в четвертом свинарнике.
2. 101 - 102 = 1.
3. Разделите между 12 мальчиками 3 яблока, затем
разделите между ними 4 оставшихся.
4. Разделив произведение на частное, получим, что
квадрат второго числа равен единице. Искомые числа \ и — 1.
5. См. рис. 39.
26. Представим себе, что необходимо получить пять
слитков по 1 кг с равным процентным содержанием
золота. Это просто —режем каждый из данных слитков на пять
равных частей (по 0.4 и 0.6 кг) и изготавливаем из
соответствующих пар слитки. В каждой паре общий вес 1 кг, а доля
золота одна и та же. Следовательно, распилив первый слиток
на куски 0.4 кг и 1.6 кг, второй — на 0.6 кг и 2.4 кг, мы получим
два слитка весом 0.4 + 0.6 = 1 кг и 1.6 + 2.4 = 4 кг с равным
содержанием золота.
27. Подобные задачи удобно решать с конца. Получаем
следующую цепочку: итоговое распределение шариков было
30; 30; 30 (здесь и далее первое число — количество шариков
у Винни-Пуха, второе —у Совы, третье —у Пятачка); перед
этим Пятачок отдал половину своих шариков плюс еще
шарик, т. е. у него было 2 • (30 + 1) = 62 шарика. Он отдал
каждому ^ + \ — 16 штук. Значит, перед тем, как он на-

Глава 2 ответы и решения
139
Рис. 40. Рис. 41.
Рис. 42. Рис. 43.
чал раздавать шарики, распределение было 14; 14; 62; перед
раздачей Совы: 6; 30; 54, она раздала 16 шариков; перед
раздачей Винни: 14; 26; 50, он раздал 8 шариков. Иначе говоря,
у Винни-Пуха в начале было 14 шариков, у Совы —26, а у
Пятачка— 50.
28. После каждого распила (разлома, игры) число
бревен (долек, участников) изменяется на единицу,
следовательно, бревен было 72 — 53 = 19, разломов 4 • 7 — 1 = 27, а игр
100 — 1 = 99.
29. Сложив три «кирпича», как показано на рис. 40,
легко произведете нужное измерение.
30. 1. Решение показано на рис. 41.
2. Решение показано на рис. 42, вид сверху.
4. На рис. 43 показано, как можно в одной плоскости
расположить основания всех 8 пирамид. (Одновременно это
решение задачи предыдущего пункта.) При этом пирамиды,

140 И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 46. Рис. 47.
имеющие основаниями треугольники, изображенные
сплошной линией, имеют общую вершину по одну сторону от этой
плоскости, а треугольники, обозначенные штриховыми
линиями, соответствуют пирамидам с общей вершиной по другую
сторону от этой плоскости.
31. Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD. В его
центре О поместим источник света (рис. 44). Возьмем шар,
центр которого расположен на биссектрисе трехгранного
угла, образованного лучами ОА, ОВ и ОС, точка О
расположена вне шара, а лучи О А, ОВ и ОС пересекают шар.
Этот шар полностью закроет сектор О ABC. Другим шаром
существенно большего радиуса (чтобы он не соприкасался с
первым), закроем сектор OABD. Последовательно
возрастающими шарами закроем два оставшихся сектора.

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
141
Рис. 48.
Рис. 49.
Рис. 50.
щ
щш
ш
Wm
б
32. 1, 2, 3. Решение дано на рис. 45 — 47. Цифры
обозначают последовательность построений.
33. 1. См. рис. 48. Вопрос о возможности разрезания
квадрата на 5 равных частей иначе, чем показано на рисунке,
является нерешенной проблемой.
2, 3 и 4. См. рис. 49, 50 а, б.
34. На рис. 51 показано нужное разрезание в общем
случае. Одинаковые части имеют одинаковые номера.
35. 1. Первая и третья являются развертками.
2. Решения понятны из рис. 52 а, б.
3. Квадраты, расположенные на втором и предпоследнем
местах полоски, перегибаем сначала по диагоналям, затем
складываем, как показано на рис. 53.
4 и 5. Пусть некоторый треугольник ABC можно сложить
так, что получится поверхность правильного единичного те-

142 И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 53. Рис. 54.
траэдра без перекрытия, причем вершинам тетраэдра будут
соответствовать вершины нашего треугольника и середины
его сторон (рис. 54). Проведем в этом треугольнике медиану
AD и продолжим ее за точку D на расстояние, равное ей.
Получим точку Е. Треугольник ABE еще можно сложить так,
что получится поверхность такого же тетраэдра. Вершинам в
этом тетраэдре будут соответствовать вершины
треугольника ABE и середины его сторон. Ясно, что правильный
треугольник со стороной 2 (треугольник ABC на рис. 55) можно
сложить так, чтобы получить поверхность правильного
тетраэдра, вершинам которого будут соответствовать
вершины правильного треугольника и середины его сторон.
Применим к этому треугольнику последовательно, как указано на
рис. 55, описанный выше прием. Получим треугольники ABE

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
143
Рис. 55.
и AEF, фигурирующие в условии (штрихи и сплошные линии
внутри этих треугольников указывают линии сгиба).
36. На рис. 56а изображена комната. Рассмотрим путь,
пересекающий последовательно ребра АВ, ВС: В\С\ и C\D\.
Для определения кратчайшего из путей сделаем развертку
(рис. 566). На ней кратчайшему пути соответствует отрезок
MiV, длина которого у (5|) + 42 = 6§. Проверьте, что для
других маршрутов путь длиннее.
37. 1. Нарисуем на поверхности арбуза треугольник
ABC и проведем три разреза по плоскостям, проходящим
П~5
/ м
Г 1
/г~-у
D
У
х/
1 м
V
С
с
в
*л
1 lZ
г N
/
*1
А
б
Рис. 56.

144
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
® •
® ® • • •
• • • ® ®
• ®
б
через пары точек АиВ, ВиСиАиС,
перпендикулярных к плоскости треугольника, как на рис. 57а. В результате
образуются три «нормальных» куска с внешних сторон от
треугольника ABC и один в виде своего рода треугольной
призмы, имеющий две корки, одной из которых является
треугольник ABC.
2. Всего 21 квадрат. Удаленные шесть точек обведены
кружками на рис. 576.
3. Площадь треугольника, вершины которого отмечены на
рис. 7 жирными точками, равна половине площади каждого
из параллелограммов.
4. Если первые два поворота (в пространстве) выполнены
вокруг одной из диагоналей, то в результате местами
обменяются две противоположные вершины, не лежащие на этой
диагонали. Два других поворота — вокруг одной из сторон.
Тогда пятый поворот — обычный поворот в плоскости
чертежа вокруг одной из вершин.
5. Сначала сделаем вырез, как на рис. 58, затем перегнем
один край АВ на 180°, после чего «загнем ножки» и сделаем
сгиб.
38. Сфера и куб могут делить пространство на части
четырех типов:
— часть, находящаяся как вне сферы, так и вне куба. Одна
такая часть есть всегда;
Рис. 57.

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
145
Рис. 58. Рис. 59.
— часть, находящаяся как внутри сферы, так и внутри
куба. Если такая часть есть, она одна;
— части, находящиеся вне сферы, но внутри куба. Если
такие части есть, то в каждую войдет, по крайней мере, один
трехгранный угол куба, т. е. их не больше, чем вершин
куба (8);
— части, находящиеся вне куба, но внутри сферы. Если
куб и сфера пересекаются, то в каждой такой части есть часть
грани куба и их число не больше числа граней куба (6).
Итак, число частей не больше, чем 1 + 1 + 8 + 6 = 16. Если
шар касается всех ребер куба, то частей ровно 16.
39. 1. Примером точек, образующих такой
четырехугольник, могут служить 4 вершины правильного
пятиугольника. Ясно, что при изменении положения любой его вершины
на пятую получившиеся 4 точки будут служить вершинами
четырехугольника, равного исходному.
2. Пример такого пятиугольника можно построить,
например, так. Рассмотрим правильный пятиугольник ABCDE
(рис. 59). Диагонали этого пятиугольника равны. Проведем
две окружности с центрами в точках В и D и радиусом AD.
Они пересекутся в некоторой точке F. Пятиугольник ABDEF
будет искомым: BF = DF = BE = DA = BD и АЕ = ED.

146
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 60.
3. См. рис. 60. Шестиугольник ABCDEF дает нужный
пример.
40. Стороны сечения при продолжении пересекают
переднее ребро пирамиды в двух различных точках. Этого не
может быть, поскольку две плоскости пересекаются по
прямой. В двух других рисунках стороны внутреннего
четырехугольника при продолжении пересекают стороны внешнего
квадрата в четырех точках, не лежащих на одной прямой.
Этого не может быть, поскольку две плоскости пересекаются
по прямой линии.
41. Рассмотрим шар радиусом R с центром в точке
пересечения осей цилиндров. Выполним сечение полученной
конфигурации плоскостью, параллельной осям цилиндров.
В сечении будут круг («след» шара) и описанный вокруг него
квадрат («след» цилиндров), пары противоположных сторон
которого принадлежат одному из цилиндров. Отношение
площадей общей части цилиндров и шара совпадает с
постоянным отношением площадей квадрата и круга, равным 4/7Г.
Поскольку объем шара равен 4^Д3, то объем искомого
тела равен 4fi?3 • |- = Щ-В?. В общем случае вместо квадрата
имеем описанный правильный 2ЛГ-угольник и искомый объем

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
147
42. Если заданная кривая — многоугольник, то объем
блина складывается из объема призмы 2SR, объема системы
полуцилиндров с радиусами R и суммой высот L, который
равен ^7ri?2L, и набора шаровых долек на углах
многоугольника, в сумме дающих шар радиуса R. Таким образом, в этом
случае объем «блина» равен ^ttR2L + 2SR + |7i\R3. Таким же
он будет и в общем случае.
43. Объем получившегося тела находится как сумма
объемов следующих двух тел: четыре цилиндра высотой 2R
и с радиусом основания Л, объем V\ = 4 • 2R • 7i\R2;
четыре части шара, объединением которых является шар, объем
V2 = f тгД3. Из их суммы надо вычесть объем тела, состоящего
из точек, принадлежащих одновременно любым двум
соседним цилиндрам: Vs = y^ (см* заДачУ 41). Таким образом,
V = Vi + V2 - Vs = ^f^R3.
44. При решении подобных задач допустимо считать
малыми эффекты, связанные с вязкостью жидкости,
поверхностным натяжением и др. При этом время истечения
зависит от высоты столба жидкости в бочке iJ, ускорения силы
тяжести д, а также от соотношения площадей отверстия и
днища бочки. Только два параметра, определяющие процесс,
размерные, причем [Н] = м/с, [д] = м/с2 (прямыми скобками
физики обозначают размерность переменной). Получить
величину с размерностью времени можно лишь единственным
путем: t ~ л/у, т. е. время истечения t(H) = сутг- По
условию половина бочки вытекла за 10 мин, т. е.
Отсюда получаем, что
2 У ~у Тд
это и есть время, за которое вытечет вторая половина бочки.

148
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
45. 1. Дегтя в меде ровно столько же, сколько меда в
дегте — в бочке с медом недостающая часть меда заменена
таким же (объем не изменился!) количеством дегтя, и наоборот.
2. В картах у фокусника число карт, лежащих правильно,
т. е. вверх рубашкой (мед), равно числу перевернутых в
картах зрителя (деготь), и фокуснику достаточно перевернуть
переданные ему карты (обратить мед в деготь).
46. 1. Начинающий игрок первым ходом берет одну
спичку, а затем каждый раз дополняет число спичек, взятых
соперником, до шести.
2. Начинающий вновь побеждает, взяв первым ходом 4
спички. Разбор игры будем вести с конца. Назовем
«безопасными» числа, соответствующие количеству спичек, оставив
которые сопернику, можно гарантировать себе выигрыш.
Таковыми являются числа 7, 13, 20, 26 и 33. Цель начинающего
игрока — оставлять сопернику спички указанных количеств и
не давать возможности ответить тем же. Если сопернику
оставлено 7, 20 или 33 спички, то тактика следующая: на взятие
одной спички ответ — взятие трех спичек. Как бы соперник не
играл, следующим ходом или игра заканчивается (при 7
спичках), или ему вновь удается оставить одно из «безопасных»
чисел. При любом другом ходе соперника ответ —дополнение
взятого им числа спичек до 7. Если же сопернику оставлено
13 или 26 спичек, то в ответ на взятие трех спичек берется
пять спичек, а при других — дополнение до 6.
47. Вверху колоды. Не изменит положение в колоде и
11-я карта снизу. В прежнее положение карты вернутся после
пяти тасовок.
48. (1) Перед началом матча счет будет 0 : 0. (2) Это
был турнир женских футбольных команд. (3) Обычно
человек ходит в одних трусах, но не в двух. (4) Спорщик писал:
«... написал слово НЕТ». Естественно, что вместо
многоточия он ставил имя противника.
49. 1. Обозначим сторону одного из квадратов (см.
рис. 61) через а. Выражая далее последовательно стороны

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
149
а+4
а
4 |
а+8
аЛ
Щ~Т
75]
\1-а
15
Рис, 61.
трех квадратов через а, найдем, что длина отрезка,
отмеченного на рисунке, равна а — 4. Значит, меньший из искомых
квадратов имеет сторону, равную а — (а — 4) = 4. Затем
найдем, что сторона другого квадрата также не зависит от а и
равна 15.
2. Пусть 9 квадратов на рис. 61 образуют прямоугольник.
Из уравнения а + 4 + а + а — 1 = а + 8 + 15 найдем а = 10.
При этом значении а наши 9 квадратов различны и образуют
прямоугольник 32 х 33.
50. 1. Апекс. 2. Апорт. 3. Арест. 4. Аскер. 5. Аскет.
6. Аспект. 7. Каперс. 8. Капот. 10. Карст. 11. Картер. 12.
Кастор. 13. Катер. 14. Копра. 15. Корсар. 16. Корсет. 17. Кратер.
18. Крейсер. 19. Крест. 20. Опера. 21. Опека. 22. Оркестр.
23. Отсек. 24. Пакет. 25. Паркет. 26. Парсек. 27. Партер.
28. Пастор. 29. Патер. 30. Перекат. 31. Перекос. 32. Перст.
33. Песета. 34. Песок. 35. Покер. 36. Порей. 37. Порка. 38.
Претор. 39. Проект. 40. Прокат. 41. Просека. 42. Простак. 43.
Рапорт. 44. Раскрой. 45. Растр. 46. Реактор. 47. Рейка. 48. Рей-

150
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
тар. 49. Реестр. 50. Ректор. 51. Репер. 52. Репей. 53.
Рокер. 54. Ростер. 55. Секатор. 56. Секта. 57. Секрет. 58.
Сектор. 59. Сетка. 60. Скопа. 61. Скрепер. 62. Сойка. 63.
Сопка. 64. Сотка. 65. Спектр. 66. Спора. 67. Спорт. 68.
Стайер. 69. Стойка. 70. Стопа. 71. Стека. 72. Стопка. 73. Строка.
74. Стропа. 75. Тапок. 76. Тесак. 77. Топка. 78. Тоска. 79.
Трепак. 80. Треск. 81. Треска. 82. Тропа. 83. Окрас. 84. Перекрой.
85. Покрой.
51. Поскольку «сын моего отца», это я, то «сын того,
кто на портрете, это я» и на портрете мой отец. Во втором
случае на портрете мой сын.
52. 1. Ни одной (все такси проехали немного вперед).
2. Остаток мыла меньше исходного куска в восемь раз, его
хватит на один день.
3. Двух.
4. Восемь, поскольку в этой машине уже есть два бегемота.
5. С пяти. Меняется падеж. Например, 1 год, 2 года, 3
года, 4 года, 5 лет, ... , одна книга ... , четыре книги, пять
книг и т. д.
6. Зашифровано четверостишие «Наша Таня громко
плачет...». Правило простое: гласные буквы образуют
естественные пары (а-я, о-ё, ...). Буквы этих пар заменяли друг
друга при шифровке. Также на пары разбиты согласные:
звонкие — глухие (б-п, в-ф, ...). Кроме того, добавлены пары
л-р, м-н и ч-щ.
7. Оба, как ворон, так и письменный стол, попали в
знаменитую загадку Льюиса Кэрролла.
53. Пусть А я В — противоположные вершины куба. Из
них выходит по три ребра. «Расщепим» каждое ребро,
выходящее из А и J5, на две половинки. Сопротивление каждой
будет равно 2 Ом. Мы получим, что вершины Ал В
соединены 6 проводниками параллельно. Сопротивление каждого из
них равно 2 + 1 + 2 = 5. Искомое сопротивление равно 5/6.
54. 1. Возможно, см. рис. 62.
2. Возможно, см. рис. 63.

Глава 2 ответы и решения
151
Рис. 62. Рис. 63.
3. Возможно, если угол в осевом сечении конуса является
тупым. В этом случае наибольшая площадь будет у сечения,
имеющего вид прямоугольного треугольника.
55. 1. Пусть машина проехала х км. На каждом
километре на одном переднем колесе изнашивается 1/45 000 часть
одной шины, а на заднем — соответственно 1/55 000 часть шины.
Проехав х км, автомобилист израсходует 2гг/45 000+2д;/55 000
части от одной шины. А поскольку у нас было 5 шин, то
получаем уравнение 2ж/45 000 + 2х/ЪЪ 000 = 5. (Точнее было бы
поставить знак неравенства: левая часть не превосходит
правую. Понятно, что наибольшее значение х будет иметь место
при равенстве.) Далее находим х = 61825 км. Для полноты
решения мы должны указать, каким образом следует менять
шины, чтобы автомобиль мог проехать указанное расстояние.
2. Пусть автомобиль проехал ж км. Суммарный пробег его
колес будет 4жкм, что не должно превосходить 2 • 45000 +
3 • 55000 = 255 000 (км). Значит, автомобиль не может
проехать более 63 750 км. Осталось показать, каким образом он
может этого достичь.
56. 1. Один корень уравнения угадывается без труда:
xi = 1, тогда по теореме Виета получаем, что Х2 = —1986/3.
2. Заметим, что при значениях ж, равных а, Ъ и с,
данное выражение равно 1. Значит, оно равно 1 тождественно,

152
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
поскольку квадратный трехчлен не может иметь более двух
корней.
3. Задача имеет еще одно решение: р = q = —1/2. Дело
в том, что в условии не сказано, что р и q (и только они)
являются корнями квадратного уравнения.
57. Среди говорящих черепах, вероятно, есть и не очень
правдивые.
58. Взять пятый стакан, перелить его содержимое во
второй и поставить стакан на место.
59. 1. 698 896 = 8362. 2. 2178 • 4 = 8712.
60. 1. Самый мудрый из мудрецов через некоторое
время сможет догадаться с помощью следующего рассуждения:
«Допустим, на мне белый колпак. Тогда каждый из двух,
исключая меня, видит перед собой один белый и один красный
колпак. В этом случае, предположив, что на нем также белый
колпак, один из них легко догадается, что это невозможно.
Действительно, в этом случае третий видел бы перед собой
два белых колпака и мгновенно, даже не будучи мудрецом,
понял бы, что на нем красный колпак. А это означает, что на
мне красный колпак».
2. Поскольку подробное обсуждение хотя и весьма
интересно, однако требует гораздо больше места, чем позволяют
возможности этой книги, ограничимся одним замечанием.
Реальная жизнь, грубо вторгаясь в иллюзорно математические
конструкции, показывает, что абстрактные математические
рассуждения ей абсолютно чужды и ей глубоко наплевать на
беспомощные заклинания шаманящих логиков.
61. Не являясь юристом, автор не берется решать эту
задачу. Впрочем, у него нет также уверенности, что
профессиональные юристы смогут предложить убедительное решение
предложенного казуса. Казус — он и есть казус.
62. 1. Число букв в этой фразе равно тридцати восьми.
2. 6210001000.
3. 7101001000 и 6 300 000 100. Последнюю пару можно
получить, например, следующим образом. Возьмем произволь-

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
153
ное 10-значное число, например 5 500 000 000. Следующее
число будет указывать, сколько в исходном числе нулей, единиц,
т. е. это будет число 8 000 020 000, затем получим третье число
и т. д., пока процесс не стабилизируется.
4. Данная задача имеет два решения: «В этой фразе 0
встречается 1 раз, 1 встречается 6 раз, 2 встречается 3 раза, 3
встречается 2 раза, 5 встречается 1 раз, 6 встречается 2 раза,
7 встречается 1 раз, 8 встречается 1 раз, 9 встречается 1 раз».
Во втором решении говорится, что 1 встречается 11 раз, а все
остальные цифры по одному разу.
63. 153 = 13+53+33; 370 = 33+73+03; 371 = 33+73 + 13;
407 = 43 + О3 + 73.
64. 1184 = 1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 22 + 55 + 110 + 121 + 605;
1210 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 37 + 74 + 148 + 296 + 592.
65. 1. Утверждение следует из того, что возможное
число сыгранных матчей меньше числа команд (исключая
сначала команды, не сыгравшие ни одного матча). Здесь
«кролики» — команды, «клетки» — число матчей, сыгранных одной
командой.
2. Рассмотрим последовательность чисел 1, 11, 111, ... .
Допустим, что ни одно из них не делится на 1999.
Поскольку остатки от деления этих чисел на 1999 могут равняться
числам от 1 до 1998, то найдутся среди последовательности
два числа, дающие при делении на 1999 одинаковые остатки.
Тогда их разность делится на 1999. Откинув в этой разности
нули, т. е. разделив на степень 10 — число, взаимно простое с
1999, получим число из одних единиц, делящееся на 1999.
3. Возьмем все четные числа среди 11 выбранных и
разделим каждое на максимальную степень двойки, чтобы в
частном получилось нечетное число. Имеем теперь 11 нечетных
чисел, меньших 20. Среди них есть равные (всего нечетных
чисел 10). Отсюда следует утверждение задачи.
4. Пусть п — наибольшее число сторон у некоторой грани.
Тогда к соответствующей грани прилегает п граней с числом

154
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
сторон, большим, чем три, и меньшим, чем п. Среди них будут
хотя бы две с равным числом сторон.
5. Данную доску можно разрезать на два
прямоугольника 10 способами (5 вертикальных разрезов и 5
горизонтальных). Если при этом задеваются всякий раз костяшки
домино, то при каждом разрезе мы должны разрезать хотя бы
две костяшки. При этом различными разрезами разрезаем
различные костяшки, т. е. число разрезаемых костяшек будет
10*2 = 20, а всего костяшек — 18. Противоречие. Значит, хотя
бы один разрез не задевает ни одной костяшки домино.
66. 1. Как известно, период синуса равен 2-к. Нетрудно
проверить, что 327г > 100, а 317Г < 100. Построим графики
левой и правой частей и подсчитаем число положительных
решений. Учитывая полученные неравенства, будем иметь,
что на первом периоде одно положительное решение, на
втором — два и т. д. до пятнадцатого периода, на котором также
два решения. При больших значениях х решений нет. Таким
образом, всего положительных решений будет 1 + 2 • 15 = 31,
столько же отрицательных и еще 0. Всего решений 63.
2. Как известно, показательная и логарифмическая
функции при основании меньше 1 являются убывающими
функциями. Однако обычно, когда рассматривают графики таких
функций, их изображают не очень сильно убывающими,
идущими выше отрезка, соединяющего точки (0; 1) и (1;0), как
показано на рис. 64. А такие графики пересекаются в одной
точке. В нашем случае оба графика очень сильно
«прижимаются» к осям. Число решений равно 3. (Можно доказать, что
оно не может быть больше трех.)
67. Возьмем шесть параллелепипедов, у которых два
ребра равны 1, а третье — достаточно большое. Поместим их
так: у всех них ребра параллельны осям координат, причем у
первых двух длинная ось параллельна оси Ож, у третьего и
четвертого — оси Оу, у пятого и шестого — оси Oz. Начало
координат является центром симметрии каждой пары. Первая
пара находится между второй, вторая — между третьей и тре-

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
155
Рис. 64.
тья —между первой. Получился пространственный «крест».
Его центр симметрии ему не принадлежит. Из него не
видно концов параллелепипедов, если они достаточно длинные.
Поэтому, в областях, которые не видны, можно перекинуть
«мосты», соединив параллелепипеды в невыпуклый
многогранник.
68. 2. За каждые 30 дней цены по условию
увеличиваются в 1.1 раза. Поэтому за 90 дней они увеличатся в
1.13 = 1.331 раза, а за 120 дней —в 1.14 = 1.4641 раза. Тем
самым, если цены не убывают, то за 100 дней они возрастут
не менее чем на 33.1% и не более чем на 46.41%. Приведем
примеры, когда эти границы достигаются. Пусть цены
увеличиваются 2 января скачком на 10% и далее в течение
месяца не меняются, затем снова увеличиваются скачком на 10%
и т. д. Тогда, если начинать отсчитывать 100 дней с 1
января, то за эти 100 дней цены увеличатся на 46.41%, а если с
3 января —то лишь на 33.1%. Если цены могут и
снижаться, то для любого положительного числа п можно привести
пример, что за 100 дней цены изменились в п раз. Положим,
р — jjgtt' Пусть за первые 10 дней цены меняются в р раз,
за следующие 10 — тоже в р раз, за третью декаду в Щ- раз.

156
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Тогда за 30 дней они меняются всегда в 1.1 раза и за первые
100 дней —в 1.331р = п раз.
3. Они всегда в одной плоскости.
4. 10 и 5 коп., одна из них не пятак.
5. N2 - (N - 1)(N + 1) = 1.
6. Данное выражение равно нулю, поскольку каждое из
чисел равно 1991 • 199 210 001 • 100010001.
7. 13 212.
8. Нулю. Это невозможно, так как остальные ушли по
правильному адресу.
9. Поджарив одну сторону пары котлет, студент
переворачивает одну котлету, другую снимает и заменяет ее на
третью. Через 2 мин на сковороде будет одна готовая котлета,
которую можно уже есть и заменить на снятую ранее со
сковороды. Всего на поджаривание уйдет 6 мин.
10. Подбросьте мяч вверх.
11. Включаем один выключатель и некоторое время
держим его включенным. Затем выключаем, включаем другой
и быстро идем в соседнюю комнату. Одна лампочка горит,
одна лампочка не горит, но зато теплая, а третья — ни то ни
другое.
12. Автобусы, которые ходят по нашим дорогам, имеют
двери справа по ходу движения. Следовательно, на рисунке
вид слева и автобус следует в Москву.
69. Выделим одного рыцаря. Среди оставшихся семи
можно составить ^п = 21 пару. Из этого следует, что число
лет не может превосходить 21, даже если различными должны
быть пары только у одного рыцаря. Приведем пример 21
варианта расположения 8 рыцарей с соблюдением требуемого
условия. Последний сидит рядом с первым:
12345678
12568743
12784356
13527486
13746825
13862574
14263857
14387562
14576238
15643782
15738264
15824637
16275384
16358427
16482735
17425863
17632458
17856342
18237645
18453276
18674523

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
157
70. Приведем пример набора из 8 встреч,
удовлетворяющий условиям задачи. Пронумеруем цифрами от 0 до 9
каждого из 10 человек компании. Тогда описанные в условии
встречи можно описать наборами из пяти цифр:
01234
12569
05678
23679
02457
34789
01368
14589
Как видите, удалось составить 8 требуемых встреч. Способ
составления этих наборов подсказывает следующая
геометрическая конфигурация. Обозначим номерами 1, 2,... , 8
вершины куба, номерами 0 и 9 — точки вне его. Будем считать,
что номер 0 встречается с четверками точек — вершинами
горизонтальных граней и двух вписанных в куб тетраэдров,
а номер 9 —с четверками точек — вершинами вертикальных
граней куба. Докажем, что более п = 8 встреч провести
нельзя. Если просто пересчитать число рукопожатий —
попарных встреч, то получится слишком грубая оценка: при каждой
встрече пяти человек происходит 10 рукопожатий, а общее
число пар из 10 человек —45, поэтому всего могло быть не
более 2 • 45 = 90 рукопожатий, так что п < Щ = 9.
Дадим более точную оценку. Подсчитаем, в скольких
встречах может участвовать один человек. На каждой встрече
он делает 4 рукопожатия, а всего он может пожать руку
девяти людям не более чем по два раза, так что он всего сделает не
более 18 рукопожатий, т. е. может побывать не более чем на
4 встречах. На каждую встречу приходят 5 человек, поэтому
на п встречах побывает Ъп гостей, и поскольку каждый из 10
приходит не более чем 4 раза, то5п<4-10ип<8. Тот факт,
что равенство п = 8 возможно, следует из построенного выше
примера.
71. Скорость, с которой катер удаляется от плота, и
скорость, с которой он приближается к плоту, равна
собственной скорости катера и не зависит от скорости течения
(которая, согласно обычному предположению для таких задач,

158
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
равна скорости плота). Значит, время, потраченное катером
на путь от А до Б, равно времени на путь от В до встречи с
плотом и равно 1 ч. Точно так же время от встречи с плотом
и до возвращения в А также равно 1 ч. Таким образом, на
путь от А до В катеру потребовался 1 ч, а на обратный — 2 ч.
Приняв весь путь за единицу, получаем, что по течению
скорость катера 1 единица в час, а против течения — 2 единицы в
час. Следовательно, скорость течения равна (1 — 1/2)/2 = 1/4
единицы в час. Значит, плот пройдет путь от Л до В за 4 ч.
72. Обозначим через ап и Ьп число кур и петухов на п-м
этапе. На первом этапе а\ = 1, Ъ\ = О, кроме того, по условию
&П+1 + Ьп+1 = 2&п- Запишем все такие равенства от первого до
последнего этапа (адг = 0) и сложим их: а2 + &2 = 2ai; «з + Ьз =
2а,2] ... ; адг + Ьдг = 2а#-15 а2 + &з + ... + &2 + Ьз + • • • + ^N —
2ai + 2a2 + .. . + 2ajv-i; Ь2 + &з + • • - + &аг = ai + a2 + .. . + адг + 1.
Таким образом, петухов на 1 больше кур, т. е. в нашем случае
кур оказалось 16.
73. Мы умеем получать 8 из 1 за 15 шагов, а 32 — за 35
шагов. Вот соответствующие цепочки чисел: 1 3 7 15 31 63 127
42 85 171 343 114 229 76 25 8 и 1 3 7 15 31 63 127 42 85 171
343 114 229 76 153 307 102 205 411 823 274 91 183 367 735 1471
2943 5887 11775 3928 1309 423 145 48 97 32.
74. Пусть одновременно с первым работают и двое
оставшихся. По условию за время работы первого двое других
выкопают пол канавы. Точно так же, пока работает второй,
первый и третий выкопают еще полканавы, а пока работает
третий, полканавы выкопают первый и второй. Значит, за 8 ч
все вместе выкопают канаву и еще полторы канавы, всего
2.5 канавы, а одну канаву втроем они выкопают за 3.2 ч.
75. Можно. Сделать это не сложно. Мы ограничимся
объяснением заглавия. Пара тетраэдров называется
тетраэдрами Мёбиуса (того самого, кто придумал лист Мёбиуса),
если любая вершина одного из них принадлежит какой-то
плоскости грани другого.

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
159
76. Ясно, что за первые два года придется
использовать не менее 7 анекдотов (поскольку повторяться может
лишь один). В каждый из следующих трех лет понадобится
по крайней мере, по одному новому анекдоту. Поэтому всего
нужно, как минимум, 10 разных анекдотов. Вот пример
последовательности четверок анекдотов (0, 1, 2, ... , 9),
удовлетворяющий всем требованиям: 0125 2346 4017 1238 3409 0125.
Последний анекдот встречается только один раз за пять лет.
77. 1 а) Вероятность совпадения двух карт близка к 2/3,
т. е. пари Вам не выгодно.
1 б) Уже у 24 человек вероятность совпадения для каких-
то двух дней рождения более 1/2, а для 40 эта вероятность
превышает 0.9.
2. После того как извлекли белый шар, имеем три
равноправные возможности: остался черный шар (извлекли тот, что
добавили); остался белый шар (извлекли тот, что добавили);
остался белый шар (извлекли белый, который был в ящике).
Следовательно, вероятность, что оставшийся шар белый,
равна 2/3.
3. Надо сменить шкатулку. Если игрок сохраняет свой
выбор, то он выигрывает только в случае, если он угадал с
самого начала, т. е. вероятность выигрыша равна 1/3. Если
он меняет свой выбор, то выигрывает с вероятностью 2/3.
78. Бросим монету дважды. Договоримся, что если
выпадет сначала «орел», а потом «решка», то выигрывает один,
а если сначала «решка», а потом «орел», то другой. В
остальных случаях процедуру придется повторить. Если надо
бросить жребий между тремя, то будем рассматривать лишь три
очевидно равноправные комбинации: OOP, ОРО и РОО.
79. Несложно решение для двух разбойников: один
делит добычу на две равные с его точки зрения части, другой
выбирает одну из этих частей. При этом первый считает, что
обе части равны, второй, что он выбрал не меньшую.
Рассмотрим случай, когда количество разбойников N больше двух.
Пусть А отмерит 1/iV часть, которую он готов забрать себе.

160
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Опросим других, согласны ли они, что эта часть не больше
чем 1/N. Если все согласились, то А забирает эту часть и
дележка продолжается, но участников стало на одного меньше.
Допустим, что В не согласен. Тогда он имеет право
уменьшить эту часть до величины 1/N и опрос продолжается. Если
все согласны, то эту часть заберет В (особенно будет
доволен А, так как, по его мнению, В забрал даже меньшую долю).
Таким путем постепенно будут удовлетворены все
разбойники.
80. 1. За 7 анализов можно найти зараженную пробу не
более чем из 27 = 128 проб. Если бы число проб было более
129, то исследование на первом шаге одной пробы было бы
нерациональным, так как (в случае отрицательного результата)
осталось бы после этого по-прежнему более 128
неисследованных проб, а значит, число оставшихся анализов будет более 7.
Поскольку, по мнению математика, исследование на первом
шаге одной пробы не меняет оптимальности процедуры, то
число исследуемых проб равно 129.
2. Задуманное число можно угадать за 7 вопросов.
Сделать это можно, например, следующим образом. Запишем
числа от 1 до 16 в двоичной системе исчисления, приписав, если
это необходимо, спереди несколько нулей, чтобы получилось
четырехзначное число. Числу 16 поставим в соответствие
четверку нулей. Пусть искомое число abed, где каждая из цифр
0 или 1. Зададим сначала 4 вопроса, выясняющие четность
соответствующей цифры. Пятым сформулируем вопрос:
четна ли сумма первых трех чисел? Если ответ совпадает с уже
известным нам значением, то все эти три цифры верны, и
за оставшиеся два вопроса мы с гарантией уточним значение
четвертой цифры. Если же ответ разойдется с известным
значением, то один из ранее полученных ответов ложен. Теперь
выясним четность суммы первых двух цифр. При совпадении
с ожидаемой уточняем цифру с. При расхождении (при этом
ясно, что обман произошел, когда мы выясняли одну из этих
первых двух цифр) задаем вопрос о четности первой цифры.

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
161
Покажем, что за 6 вопросов наверняка угадать задуманное
число нельзя. После 6 вопросов мы получаем
последовательность из 6 «да» и «нет», т. е. всего 64 различных комбинации.
Каждой из таких комбинаций соответствует одно из чисел от
1 до 16. Но при этом замена в какой-либо комбинации одного
«да» на «нет» или наоборот не должна менять
соответствующего числа, т. е. одно и то же число соответствует по крайней
мере 6 наборам. Но 16-6 > 64. Противоречие.
81. Если длина одного плеча равна 1, а другого — А, то
при взвешивании на одной чашке покупатель получает А кг,
а при взвешивании на другой 1/А. Но по известной школьной
теореме о среднем по крайней мере А + -^ > 2, причем
равенство имеет место лишь при А = 1. Значит, как ни странно, в
выигрыше остается покупатель.
82. 1. Фальшивую монету можно определить за 4
взвешивания. Алгоритм следующий. Первое взвешивание: кладем
на чаши по 27 монет. В случае равновесия фальшивая среди
оставшихся 26. Если одна чаша легче, то фальшивая среди
лежащих на ней 27. Второе взвешивание: кладем на обе чаши
по 9 монет из числа «подозреваемых» и т. д. Как видим, здесь
деление не пополам, а на три по возможности равные части.
Задумайтесь, почему быстрее нельзя гарантированно найти
фальшивую монету.
2. Занумеруем монеты числами от 1 до 12. Алгоритм
(ветвящийся) следующий: 1-е взвешивание. Кладем на чаши
наборы 1, 2, 3, 4 (на А) и 5, 6, 7, 8. Возможны два случая:
а) Весы в равновесии. Фальшивая среди оставшихся
четырех, и монеты 1 — 8 гарантированно настоящие. Сравнив
три настоящих и 9, 10, 11, определяем, легче фальшивая
или тяжелее, и находим ее третьим взвешиванием. Если при
втором взвешивании весы в равновесии, то фальшивая
монета 12.
б) Чаша А легче. Монеты 9 — 12 настоящие. 2-е
взвешивание. Кладем на чаши наборы 4, 9, 10, 11 (на А) и 1, 2, 3, 8.
Возможны три случая:

162
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
а) Чаша А по-прежнему легче. Тогда фальшивая либо 4,
либо 8 (их положение не менялось).
б) Весы уравновесились. Фальшивая одна из монет 5, 6, 7,
причем она тяжелее настоящей.
в) Чаша А стала тяжелее. Фальшивая одна из монет 1, 2,
3, и она легче.
3. Обозначим массы булыжников 4, Б, В, Г и Д.
Первые два взвешивания сделаем следующие: сравниваем Ли5,
В л Г. Можно считать, что обозначения таковы, что Б > А,
Г > В. Третье взвешивание: сравниваем Б и Г. Можно
считать (если не так, переименуем пары), что Г > Б. Итак, после
трех взвешиваний известно, что Г > Б > А и что Г > В.
Четвертое взвешивание. Сравниваем Д и Б. Возникают два
случая:
а) Д > Б. Без учета В булыжники расположились в
порядке возрастания или АБГД, или АБДГ. Про В известно
лишь, что Г > В. Пятым взвешиванием сравниваем В и Б.
Если Б > S, то шестым и седьмым взвешиванием сравниваем
А с В и Г с Д. Если же В > Б, то шестым взвешиванием
сравниваем В с Д, а седьмым (если потребуется) — Г с Д.
б) Б > Д. Возможны случаи АДБГ и ДАБГ и Г > В.
Здесь сравниваем В и Д. Если В > Д, то шестым и седьмым
взвешиванием сравниваем В и Б, А и Д. Если же Д > Б, то
сравниваем А с Д, затем — В с А.
83. Назовем позицию «безопасной», если, оставляя эту
позицию сопернику, нет опасности проиграть (при верной
игре). Мы не будем заниматься проведением подробного
анализа игры «ним», а укажем общий вид «безопасных»
позиций. Запишем в двоичной системе количества спичек в
каждой кучке. Получим несколько чисел из 0 и 1. Подсчитаем
сначала число единиц в первом разряде (на последнем
месте), затем число единиц во втором разряде (на втором с
конца месте) и т. д. Получим столько чисел, сколько знаков
в двоичной системе имеет число спичек в наибольшей кучке.
«Безопасными» будут все позиции, у которых все полученные

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
163
числа являются четными. Можно убедиться, что любой ход в
«безопасной» позиции переводит ее в «опасную», а для любой
«опасной» существует ход, переводящий ее в безопасную; при
этом можно взять спички из наибольшей кучки. В случае
указанном в условии, первым ходом надо взять 1 спичку в
любой кучке.
84. Покажем сначала, как решить подобную задачу для
9 шаров, из которых два радиоактивных, за 6 проверок.
Проверяем на радиоактивность три любых шара. Если
радиоактивности нет, то найти из шести шаров два радиоактивных
за пять проверок труда не составит. Если же эти три
показывают радиоактивность, то проверяем на радиоактивность
последовательно по отдельности два из них. Если хотя бы
один из них радиоактивен, то задача стала очевидной — найти
из оставшихся восьми один радиоактивный с помощью
метода деления пополам. Теперь покажем, как за семь проверок
найти два радиоактивных шара из 13. Проверяем на
радиоактивность четыре любых шара. Если радиоактивности нет,
то остаются 9 шаров и 6 проверок. Эту задачу умеем решать.
Если радиоактивность есть, проверяем два из этих четырех, а
затем находим хотя бы один радиоактивный из этих четырех.
Объединив все оставшиеся шары, за четыре проверки найдем
из 12 шаров один радиоактивный. И, наконец, рассмотрим
исходную задачу. Проверяем пять шаров. Если
радиоактивности нет, приходим к предыдущей задаче. В противном случае
проверяем два из этих пяти. Это вторая проверка, в запасе
еще шесть. Если нет радиоактивности, то за две проверки
находим один радиоактивный из трех оставшихся. Затем из
15 шаров находим один радиоактивный за 4 проверки.
Аналогично поступаем, если при второй проверке радиоактивность
есть.
85. Выложим шестеренки вдоль листа Мёбиуса так,
чтобы при переходе от одной к другой плоскости
шестеренок поворачивались на небольшой угол, а суммарный угол
поворота равнялся бы 180°.

164
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 65.
86. 1а) Решение пункта а) понятно из рис. 65 (А и Б —
гвозди).
16) Обозначим через А гвоздь. Проведем из А
вертикальный луч вверх. Пусть один конец веревки, прикрепленный
к картине, будет первым, а другой — вторым. Если,
двигаясь от первого конца ко второму, мы пересекаем выходящий
из А луч слева направо, то будем говорить, что
произвели операцию А(+\ Если же мы пересекаем луч справа
налево, то это будет операция А^~\ Ясно, что операции
и А^~\ стоящие вместе, взаимно уничтожаются и картина
соскользнет с гвоздя. Такие же операции введем для
других гвоздей: Б и В. В этих обозначениях способ,
указанный в пункте а), записывается так: В
нашем случае (три гвоздя) можно предложить следующий спо-
соб: 4«?(+)л(-)?(-)я(+)б(+)а(+)б(-)лНя(-). При
удалении любого гвоздя, т. е. любой буквы, все операции взаимно
уничтожаются.
2. Надо сделать петлю на середине веревки, просунуть
ее между рукой и надетой на нее веревкой, надеть на руку,
пропустить вниз по руке между рукой и ранее надетой на
нее веревкой, после чего снять с руки. Потянув за веревку,
завяжем теперь на ней узел.
3. Покажем, как прицепить карандаш с петлей к пиджаку.
Кусок пиджака вместе с пиджачной петлей просовывается в

Глава 2 ответы и решения
165
петлю карандаша на такое расстояние, чтобы можно было
карандаш продеть в петлю пиджака. При снятии
последовательность операций обратная. Правда, проделать ее
несколько сложнее.
4. Надо передвинуть кольцо к среднему отверстию, чтобы
петля А проходила под ним. Затем, потянув за веревки,
выходящие из среднего отверстия, вытащить петлю А из него.
Передвинуть кольцо по выступившей из отверстия петле А
под обеими веревками вправо. Вдернуть обратно в среднее
отверстие петлю А. Кольцо окажется на правой стороне. Его
еще надо передвинуть правее под петлей А. Для этой
головоломки можно использовать любые подручные средства. В
качестве среднего отверстия можно взять замочную скважину,
вместо кольца использовать ключ, концы веревки привязать
к стульям.
87. 1. Любая сумма из 50- и 100-рублевых купюр —
четная. Поскольку 1999 купюр достоинством 1, 3, 5 и 25 руб. (все
числа нечетные) дает нечетную сумму, то ошибка налицо.
2. Нельзя. Сумма исходных чисел равна 21, т. е. является
числом нечетным. При каждой операции она возрастает на 2,
т. е. остается нечетной. Сумма шести равных чисел — число
четное.
3. На другом конце также пятерка.
4. Не может. Возьмем наибольшую степень двойки,
входящую в знаменатель рассматриваемых дробей. Это
единственная дробь, имеющая вид l/2fc. При приведении всех дробей к
общему знаменателю числители всех дробей будут четными,
кроме одного, следовательно, числитель суммы будет
нечетным, а знаменатель четным.
5. Пронумеруем всех по кругу от 1 до 50. Рассмотрим
девочек, имеющих четные и нечетные номера. Пусть вторых
больше, чем первых, т. е. на нечетных номерах сидят не менее
13 девочек. Предположим, что хотя бы на одном из нечетных
мест сидит мальчик. Все оставшиеся 24 нечетных места можно
разбить на 12 пар соседей (они соседи сидящему на четном

166
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
месте между ними). Если мальчик на месте 1, то остальные
разбиты на пары (3,5); (7,9); ... ; (23,25). Хотя бы одна пара
занята двумя девочками, так как иначе их окажется менее 13.
88. 1. Поставим в соответствие стакану, стоящему
нормально, +1, а стакану, стоящему вверх дном, — 1.
Инвариантом будет произведение чисел, соответствующих всем 7
стаканам, так как при изменении знака у четырех
сомножителей произведение не изменяется. Но в начальном положении
это произведение равно —1, значит стать +1 оно никогда не
сможет.
2. Будем считать, что знаку «+» соответствует +1,
противоположному —1. Инвариантом будет произведение чисел,
расположенных в кайме из 8 клеток, состоящей из клеток
крайних строк и столбцов. При любой операции меняется
знак у двух чисел каймы, а значит, произведение не меняется.
Вначале оно отрицательное и не может стать положительным.
89. 1. Раскрасим квадраты в шахматном порядке. При
каждом переходе меняется цвет квадрата. Значит, если такой
маршрут возможен, то число шагов должно быть четным, т. е.
хотя бы одно из чисел пят четно. Осталось проверить, что
в этом случае искомый маршрут возможен.
2
1
4
3
2
1
3
2
1
4
3
2
4
3
2
1
4
3
1
4
3
2
1
4
2
1
4
3
2
1
3
2
1
4
3
2
Рис. 66.
2. Раскрасим клетки квадратной доски в шахматном
порядке. Каждый прямоугольник 1x2 покрывает две клетки

Глава 2 ответы и решения
167
разного цвета. После удаления двух клеток одного цвета
остается различное число клеток каждого цвета. Значит, такое
разрезание невозможно.
3. «Раскрасим» поле «битвы» в четыре цвета с номерами
1, 2, 3, 4. Каждый линкор закрывает 4 клетки разного цвета.
Клеток цвета 4 всего 8, а линкоров должно быть 9.
Наименьшее количество выстрелов соответственно 8.
90. а) Завхоз действовал так. Для удобства он ввел
банку с нулевым весом. Затем он занумеровал банки
натуральными числами от 1 до 81 в порядке возрастания весов (это
было в его силах, так как он знал, что где находится). Ему
необходимо доказать, что он правильно занумеровал банки.
Для этого он разделил банки на три группы по 27 банок: в
первой —банки с номерами 1,...,27 (самые легкие), во
второй — с номерами 28,..., 54 (средние) и в третьей — с
номерами 55,..., 81 — самые тяжелые. Затем он положил на левую
чашку весов все банки из первой группы, а на правую —из
третьей. При этом весы показали максимально возможную
разницу весов на чашках, когда на левой и правой — по 27
банок. Поскольку эту разницу легко вычислить, имея список, и
получается она в единственном случае, все согласились, что
на левой чашке — банки с самыми маленькими весами, на
правой—с самыми большими, а в группе, не участвовавшей во
взвешивании, — со средними.
Далее завхоз разделил каждую группу на три кучи по
9 банок (первая — самые легкие, вторая — средние, третья —
самые тяжелые) и положил на левую чашку весов по самой
легкой куче из каждой группы (т. е. банки с номерами 1,..., 9,
28,..., 36, 55,..., 63), а на правую — по самой тяжелой куче из
каждой группы (т. е. банки с номерами 19,..., 27, 45,..., 54,
73,..., 81). Увидев показания весов, все убедились, что завхоз
сделал это правильно. Итак, после второго взвешивания
получилось 9 куч, в первой из которых — самые легкие девять
банок, во второй — следующие по весу и т. д. до последней, в
которой самые тяжелые девять банок. При третьем взвешива-

168
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
нии завхоз разделил банки на 27 кучек по три банки в каждой
и убедил всех, что это действительно так.
Четвертым взвешиванием завхоз положил на левую чашку
весов по самой легкой банке из каждой кучки, а на правую —
по самой тяжелой. Увидев показания весов, все убедились,
что банки занумерованы верно.
б) Заметим, что каждым взвешиванием банки делятся на 3
группы. После двух взвешиваний образуется 9 групп, в одной
из которых будет не менее 9 банок. Их также не сможет
различить ни один геолог, кроме завхоза. При третьем взвешивании
из этих 9 банок в одну из новых групп попадет не менее трех;
они также будут неразличимы для геологов. Поэтому трех
взвешиваний недостаточно.
91. 1. Отметим, что первую и вторую задачи решило
минимум 70 человек (90 + 80 = 170), а третью и четвертую
задачи решило минимум 30 человек. Но ведь ни один человек
не решил все задачи, и, следовательно, первую и вторую
задачи решило 70 человек, а третью и четвертую — 30, которые
и были награждены.
2. Яблоко дороже груши, значит 3 + 2 яблока дороже 5 + 2
груш. Если груши стоят 3 руб., а яблоки —5 руб. и 1 коп., то
7 яблок дешевле 13 груш.
3. Да, например:
§0 I I 12 __ -т 51 2 2 13 ^ in
3 ' 2 ' 2 " 5 ~ 1и' 4 " 3 ' 3 ' 6 ^ 1и*
4. Например, а = 215320524.
92. См. рис. 67. Оказывается, наименьшее число
остроугольных треугольников, на которые может быть разрезан
квадрат, равно восьми.
93. 1. См. рис. 68а. 2. Существует. Например, ломаная
AKLMDD\A\ на рис. 68. Вершины AvlB\ расположены на
отрезке АК, С\ —на KL (при этом В\К < АВ\, т. е. LD >
jDA), С —на LM, D и В — на DM, где D\ и А\ — вершины
ломаной.
94. а) Нельзя. Возможные значения сумм меняются от
—5 до 5. А так как сумма всех сумм есть число четное, среди

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 169
а б
Рис. 68.
них должны быть и —5 и +5. Обе они соответствуют либо
строке, либо столбцу. Пусть это строки. Тогда должна быть
строка с суммой —4 или +4 (или обе). Пусть нет суммы —4, а
есть +4. Эта сумма должна соответствовать какой-то строке.
Тогда должна быть строка с суммой —3. Теперь задача
сводится к перебору небольшого числа вариантов. Еще проще
случай, когда есть строки с суммами и —4, и +4.
б) Можно. Таким свойством обладает, например, таблица,
в которой над диагональю стоят +1, а под нею стоят — 1,
первые пять чисел на диагонали 0, остальные—(-1.
95. а) Выведем из шахского дворца 6 лучей с углом 60°
между соседними так, чтобы ни один из лучей не проходил

170
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
через точку проживания какого-то жителя (ввиду конечного
числа жителей это сделать можно). В каждом из 6 секторов
объявим бандитом самого дальнего жителя. Из-за него по
указу уничтожаются все жители соответствующего сектора,
б) Обозначим через S точку, где находится дворец
шаха. Пусть А —самый дальний от шаха житель. Рассмотрим
правильную шестиугольную пирамиду SABCDEF с
основанием ABCDEF, перпендикулярным к 50, О —центр
сферы. Объявим бандитом жителя А. Тогда все, проживающие
в секторах A SB и ASF, уничтожаются по указу. В каждом
из четырех оставшихся секторов (BSC, CSD, DSE и ESF)
бандитом объявляется самый удаленный от шаха житель (он
может быть и на границе сектора).
а б
Рис. 69.
96. Обозначим через К вершину прямого угла
треугольника с гипотенузой BD, о котором говорится в условии
(рис. 69а). Пусть на своем пути муравей пересекает катет ВК.
Будем считать, что треугольник BKD представляет собой
бумажную складку: линиями сгиба являются BD (дважды)
и ВК. Развернув эту складку (рис. 696), получим, что путь
муравья будет наименьшим, когда на этой развертке его путь
будет иметь вид отрезка прямой. Таким образом, длина
кратчайшего пути равна 2 и кратчайшим является путь по
сторонам квадрата в обход препятствия.
97. Ехать на велосипеде быстрее, чем идти пешком, и
оба велосипеда прибудут в В. Туристы вместе переместятся
на расстояние 72 км. Каждый велосипед проедет расстояние

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
171
24 км. Значит, расстояние, которое они в сумме прошли
пешком, равно также 24 км. Следовательно, суммарные затраты
времени всех туристов на движение составляют
24 24 24 „ , ч
У + 20 + 30=6(ч)-
Отсюда следует, что путешествие не может продолжаться
менее чем t = 6/3 = 2 (ч). Остается проверить, что можно
организовать движение так, чтобы преодолеть путь за два
часа. В начальный момент все двинутся в путь, двое —на
велосипедах, один — пешком. Пусть первый турист стартовал на
гоночном велосипеде, проехал участок длины Li, затем
оставил велосипед и оставшийся путь идет пешком. Момент, когда
необходимо оставить велосипед, определяется из уравнения
30?i+6- (t-h) = 24,
т. е. t\ = 1/2 (ч), расстояние L\ — 30/2 = 15 км.
Стартовавший пешком идет до точки, где его ждет дорожный
велосипед, на котором он может ехать до конца. Момент, когда этот
турист сядет на велосипед, определим из условия
6*2 + 20 - (t - t2) = 24,
т. е. *2 — 8/7 (ч), расстояние, пройденное пешком, L<i = 6*2 =
48/7 (км). Третий должен проехать на дорожном велосипеде
расстояние 1/2- Затраченное им время *з = L2/2O = 12/35 (ч).
Дальше он идет пешком до точки на расстоянии L\ от старта,
где его ждет гоночный велосипед. На нем этот турист
проезжает оставшийся участок за 9/30 = 0,3 (ч). Его время в пути
тоже 2 ч, причем гоночный велосипед прибыл в условленное
место раньше, чем он.
98. 1. Назовем диагональ «сплошной», если она
соединяет вершины через одну, т. е. А с С, минуя 5, «штриховой» —
если она соединяет А с Д минуя две вершины (рис. 70). В
семиугольнике семь «сплошных» и семь «штриховых»
диагоналей. Треугольников, образованных диагоналями, например

172
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 70.
ACD, тоже семь. Каждый имеет две «сплошные» стороны и
одну «штриховую». Каждая «сплошная» сторона входит в
два треугольника (А С входит в треугольники АСВ и A CD),
«штриховая» — в один. Пусть уже нарисованы все диагонали.
Начинаем стирать их, «разрушая» треугольники. Тогда,
чтобы разрушить максимум треугольников (надо, чтобы не
осталось ни одного), выгоднее стирать «сплошные» диагонали,
разрушая каждый раз по два треугольника. Всего, чтобы
разрушить семь треугольников, необходимо стереть не меньше
четырех диагоналей, три из которых должны быть
«сплошными». Наибольшее количество диагоналей, которое можно
провести, чтобы не было треугольников, равно 10.
2. См. рис. 71: четырехугольник ABCD, являющийся
частью квадрата, обладает нужным свойством.
3. Не существует. Если бы он существовал, то все его
внешние углы были бы не меньше градуса и их сумма — не меньше
1999°, но сумма внешних углов выпуклого многоугольника
равна 360°.
4. Существует. Возьмем, например, два правильных
треугольника с общим центром и таких, что один получается из
другого поворотом на небольшой угол. Общая часть этих
треугольников представляет собой шестиугольник,
удовлетворяющий условию задачи.

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
173
11
9
7
5
3
1
61
41
25
13
5
1
231
129
63
25
7
1
681
321
129
41
9
1
1683
681
231
61
11
1
Рис. 72.
Рис. 73.
99. Установим раствор циркуля чуть большим
расстояния от данной точки (назовем ее О) до прямой и сделаем на
прямой две засечки в точках А и В. Получим равнобедренный
треугольник ОАВ. Высота этого треугольника, опущенная из
точки (9, одновременно является медианой и потому будет
срединным перпендикуляром к отрезку АВ. Этот
перпендикуляр можно построить обычным способом, так как
отрезок АВ произвольно мал. Далее с помощью короткой линейки
можно продлевать перпендикуляр до точки О.
100. Пусть человек находится в точке О. Рассмотрим
путь OABCDE, показанный на рис. 72. Этот путь гарантирует
выход из леса, так как имеет общие точки с любой
касательной к окружности радиуса 2 км с центром в О. Его длина
легко находится. Она не превышает 12.83 км.
101. Составим таблицу (рис. 73), заполняющую левый
нижний угол доски, причем в каждой клетке напишем
число, равное количеству допустимых путей, которыми король
может дойти до этой клетки из левого нижнего угла. Левый
столбец и нижняя строка заполнены единицами. В остальных
клетках ставим сумму чисел, стоящих в трех соседних
клетках — снизу, слева и по диагонали снизу слева. Так, начиная с
левого нижнего угла, достраиваем таблицу до правого верхне-

174
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 74.
го и получаем ответ 1683. Таково число различных маршрутов
короля.
102. Этим свойством обладает наибольшее ребро
многогранника.
103. Между ^7 и Т5Е- Заметим, что если | < §, то и
^| < |. То же самое имеет место и при противоположном
неравенстве. Отсюда следует, что числитель каждой дроби не
меньше 95.
104. Рассмотрим треугольник ABC, высота BD
которого равна стороне АС, точки К и М — середины AD и CD,
точки Q и Р — середины АВ и СВ соответственно. Прямые QM
и КР делят треугольник на четыре части, из которых можно
сложить квадрат (см. рис. 74).
105. Докажем, что наибольшее число точек,
расположенных на окружности так, что среди всевозможных
попарных расстояний между ними не более ста различных,
равно 201. Предположим, что таких точек более 201 и А —
одна из них. Рассмотрим диаметр АВ. С одной стороны диа-

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
175
В
А ^С
Рис. 75.
метра (включая точку В) будет расположено не менее 101
точки нашего набора. Все расстояния между ними и точкой
А различны, что противоречит условию. Пример из 201 точки,
удовлетворяющих условию, дают вершины правильного 201-
угольника.
106. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
(Л— вершина прямого угла, рис. 75). Пусть М —точка
плоскости, для которой MA = a, MB = b, MC = с.
Рассмотрим точку D такую, что ABDС — прямоугольник. Имеет
место равенство MC2 + MB2 = MA2 + MD2. Действительно,
если ж, у, z, и — расстояния от точки М до сторон
прямоугольника, то левая и правая части написанного равенства
равны x2 + y2 + z2+u2. Если d = MD, то d2 = b2+c2 — a2. Возьмем
точку Mi, такую, что MBDMi — параллелограмм. Стороны
четырехугольника MDM\C известны (MD = d, MC = с,
M\D = 6, Mi С = а), а его площадь равна половине площади
прямоугольника CD В А и равна площади треугольника ABC.
Построим точку М2, симметричную точке Mi относительно
срединного перпендикуляра к CD. Площадь
четырехугольника MDMiC равна площади четырехугольника MDM\C и
равна площади треугольника ABC. Среди всевозможных
четырехугольников MDM^C (стороны заданы) рассмотрим тот,

176
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
у которого угол при вершине С прямой. Тогда ввиду
равенства МС2 + М2С2 = MD2 + M2D2 прямым будет и угол при
вершине D. Очевидно, что у этого четырехугольника будет
наибольшая площадь. Эта площадь равна
ad + bc _ bc + ay/b2 + с2 — а2
2 = 2 *
107. Обозначим через хп количество способов выбрать
из чисел 1,2, ... ,п набор из нескольких чисел (возможно, не
содержащий ни одного числа), в котором нет никаких трех
последовательных чисел. Докажем, что при п > 3 имеет
место равенство хп — хп-\ + хп-2 + хп-^. В самом деле, число
наборов, не содержащих п, равно хп-\\ число наборов,
содержащих п, но не содержащих п — 1, равно хп-2\ число наборов,
содержащих пип-1, равно хп-$ (в такой набор не входит
п — 2). Утверждение доказано. Поскольку х\ — 2, х2 — 4,
#з = 7, то #4 = 13, х$ = 24, xq = 44, х? = 81, х$ = 149,
х9 = 274, хю = 504, хп = 927.
108. В левой части 2001 слагаемое, «среднее» из
которых равно (ж + 1000)1999. После замены у = х + 1000 уравнение
примет вид
(у - 1000)1999 + (у - 999)1999 + ... + (у - 1)1999+
+ У19" + (У + I)19" + • • • + (У + ЮОО)1999 = 0.
Сумма равноудаленных от у1999 слагаемых
(у-п)1999 + (у + п)1999
имеет тот же знак, что и у, и равна 0 при у = 0.
Следовательно, единственный корень уравнения — это у = 0, т. е.
х = -1000.
109. Можно. Если спроектировать единичный куб на
плоскость, перпендикулярную его диагонали, то получим
шестиугольник (рис. 76). Поскольку плоскость треугольника с

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
177
Рис. 76.
вершинами в отмеченных на рисунке жирных точках
перпендикулярна этой диагонали, то этот треугольник спроектиру-
ется без изменений. А так как сторона этого треугольника
равна V% то расстояния от центра шестиугольника до его
сторон равны \/2/2, т. е. равны половине диагонали единичного
квадрата. Таким образом, мы можем внутри получившегося
шестиугольника разместить единичный квадрат (все его
вершины строго внутри), а это означает, что в кубе мы можем
проделать нужное отверстие.
110. К сожалению, в «играх» финансового рынка
крайним оказывается рядовой потребитель, и Вы, дорогой
читатель (вряд ли бизнесмены и банкиры будут читать эту книгу),
благодаря сложному механизму изменения цен выложите из
кармана некоторую часть этой суммы. Так что инфляция —
один из механизмов обогащения богатых за счет не очень
обеспеченных. Трудно поэтому ожидать ее прекращения.
111. Он воспользовался осью симметрии слова
«КОФЕ» и свойством цилиндрической линзы переворачивать
изображение.
112. Нет. Через 60 ч в Москве будет полночь.
113. 9 995 049.
114. Простейшая схема следующая. На каждом этапе
все выборщики разбиваются на тройки по следующему
принципу: сторонники диктатора объединяются в пары, а к ним

178
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
добавляется один противник диктатора. Все оставшиеся
противники разбиваются на тройки из самих себя. Каждая
тройка выбирает одного на следующий тур. Если идти «сверху»
от последнего этапа, на котором осталось три избирателя,
«вниз», к основанию получающейся пирамиды (два
сторонника и один противник), то получим, что на каждом этапе число
участвующих сторонников диктатора растет со скоростью 2П,
а число всех избирателей — со скоростью Зп. Понятно, что
чем больше этапов в таких выборах, тем меньшая доля
сторонников диктатора может нейтрализовать его противников.
Поскольку З13 > 2 • 106, а (2/3)13 < 0.01, то в данной ситуации
диктатор своего может добиться.
115. Температуры по Реомюру (?r) и по Фаренгейту
(?р) выражаются через температуру по Цельсию (tc)
следующим образом: ?r = 0.8?с> ^F = 1-8*с + 32. Отсюда нетрудно
получить, что в обоих случаях ответ —32°, только в первом
случае —32° Цельсия, а во втором — Реомюра. В последнем
случае tc = 0, значит, ?р = +32°.
116. Осталось две свечи, три сгорели. За t часов от
первой сгорает ? часть, а остается (1 — |), остаток второй
составляет (l — |) всей свечи. Из уравнения (l — |) = 4 (1 — |),
найдем t = 3?, т. е. свечи были погашены в 23 часа 45 минут.
117. Раздвинем ножки циркуля на расстояние L и
поставим ножку циркуля в произвольную точку 0\ глобуса,
например на Северный полюс. Нарисуем на глобусе
произвольную окружность, на которой возьмем три точки А, В и С.
Ясно, что 0\А\ — L. Окружность можно и не рисовать, а взять
лишь три точки на ней. Измерив стороны треугольника ABC,
изобразим по трем сторонам на бумаге треугольник А\В\С\,
равный ему. Определим г —радиус окружности, описанной
около AiB\C\. Для этого строим обычным образом центр
описанного круга точку 1\. Радиус окружности, описанной
около треугольника ABC, также равен г. Теперь построим
прямоугольный треугольник A\0\li (рис. 77), у которого
гипотенуза А\0\ равна L, а катет А\1\ равен найденному ради-

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
179
Рис. 77.
усу г. Достроив его до прямоугольного треугольника AiO\Ei,
получим, что гипотенуза 0\Е\ есть диаметр глобуса.
118. На 500 000-м месте будет стоять цифра 5. Для
записи чисел от 1 до 99 999 потребуется 9 + 2 • 90 + 3 • 900 +
4 • 9000 + 5-90000 = 488889 цифр. Нам остается найти
500000 - 488889 = 11111 цифру среди 6-значных чисел. Но
11111 = 6 • 1851 + 5, т. е. мы должны взять пятую цифру
числа 101 851. Для выписывания этих чисел нам потребуется
почти б сут.
119. Иосиф поставил себя и своего единомышленника
на 16-е и 31-е места. В общем случае можно действовать
следующим образом. Пусть для некоторого п мы знаем
последних двух оставшихся. Тогда для п+1 после удаления третьего
мы приходим к случаю, уже известному со сдвигом нумерации
на 3. Точнее, если один из оставшихся для п имел номер га, то
теперь он будет иметь номер га + 3, если га + 3<п + 1.В
противном случае он будет иметь номер (га + 3) — (п + 1). Зная

180
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
результат для п = 41, исходя из этих соображений, можем
рассчитать цепочку, исходящую из т = 16. Двигаясь от 16 с
шагом 3, а из 41 с шагом 1, мы заметим, что впервые первая
последовательность обгонит вторую при п = 54. Для этого
будет т = 1. Далее будем получать пары (п, га) = (54,1);
(81,1); (121,121); (182,1); (273,1); (409,409); ...; (1996,1845).
Аналогичная цепочка для п = 31 приведет нас при п — 1996 к
значению га = 661. Таким образом, последними двумя
оставшимися будут те, кто имеет номера 661 и 1845.
120. Пусть сыграно п игр. Первый игрок рп раз
вынимал 10 коп. и (1 — р)п раз вынимал 20 коп. Второй игрок
гп раз называл 10 коп, а (1 — г)п раз называл 20 коп. Будем
считать, что каждый игрок действует независимо от другого.
Тогда первый игрок примерно ргп раз проиграл 10 коп. и
(1 — р)(1 — г)п раз проиграл 20 коп. Все оставшиеся игры он
выигрывал по 15 коп. Суммарный выигрыш первого игрока
легко вычисляется. Он оказывается примерно равным
п{15[1 - гр - (1 - р)(1 - г)] - Югр - 20(1 - р)(1 - г)} =
= п(35г + 35р - 60гр - 20) = 5п[г(7 - 12р) + 7р - 4].
Если взять р = 7/12, то независимо от стратегии
второго игрока выигрыш первого составит приблизительно
(5/12)п коп. Остается одна маленькая проблема: как
реализовать эту стратегию, чтобы второй игрок не мог предугадать
ходы первого. Самое лучшее и единственное (особенно при
игре против компьютера), чтобы выбор делался совершенно
случайно. При этом вероятность достать 10 коп. должна быть
7/12. Осуществить это можно, например, с помощью 12 карт,
из которых семь красных, соответствующих 10 коп.
Колода всякий раз тщательно перетасовывается, и достается одна
карта. При достаточно длительной игре первый игрок имеет
гарантированный выигрыш.
123. Рассмотрим окружность, концентрическую
бассейну радиусом, равным 1/4 радиуса бассейна. Внутри этой

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
181
окружности угловая скорость плаванья девушки (если она
плывет в направлении, перпендикулярном радиусу) больше,
чем угловая скорость перемещения по берегу ее поклонника.
Значит, девушка имеет возможность доплыть до этой
окружности (или почти до нее) и при этом добиться, чтобы плот —
центр бассейна — был на одной прямой с поклонником и
между нею и поклонником. После этого девушка начинает с
максимальной скоростью плыть к берегу бассейна. Поскольку
3/4 < 7г/4, то она достигнет края бассейна раньше, чем туда
добежит ее поклонник. Заметим, что девушка сможет
убежать и при несколько худшем для нее соотношении скоростей
(если скорость поклонника примерно в 4.7 раза превышает
скорость ее плаванья). Однако при этом ее тактика
должна несколько усложниться. А именно: достигнув
определенной окружности, при таком же расположении ее и
поклонника относительно центра она должна плыть по
касательной к этой маленькой окружности. Но при этом она
должна добиться, чтобы поклонник двигался по большей дуге.
В противном случае она имеет возможность сменить
направление.
124. Совершенный квадрат показан на рис. 78. Для
получения какой-либо таблицы, с помощью которой можно
показывать описанный фокус, поступим следующим образом.
Возьмем квадрат 5 х 5 и напишем сверху и справа от него
7
13
19
25
1
20
21
2
8
14
3
9
15
16
22
11
17
23
4
10
24
5
6
12
18
Рис. 78.

182
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
какие-нибудь числа, а затем в клетках запишем суммы чисел,
соответствующих столбцу и строке. Нетрудно эти числа
подобрать так, чтобы все числа в таблице были бы различными.
Понятно, что в результате описанной в условии процедуры
мы всегда будем получать сумму исходных десяти чисел.
125. 1. Отметим на шоколадной каемке точки, делящие
ее на нужное число равных по длине частей (среди них будут
и части, состоящие из двух перпендикулярных отрезков).
Затем проведем разрезы из центра торта в точки деления.
2. Проведем мысленно сначала 4, затем 6 и 8 разрезов,
делящих пирог соответственно на 5, 7 и 9 равных кусков. Всего
у нас будет 18 разрезов. Они разделят пирог на 19 (неравных)
кусков. Это и есть ответ на вопрос задачи.
127. Пусть а, Ь и с —количество яблочного сока в
каждом сосуде, а ж, у и z — количество вишневого сока
соответственно. Согласно условию
а + Ъ _ 40 _ 2 Ь + с _ 9
х + у 60 3' y + z 11"
Следовательно,
а + Ь + с а + b Ь + с
x + y + z~ x + y + z x+y+z
a + b b + c _ 2 9 _ 49
~~ x + y y + z 3 11 33
Таким образом, содержание яблочного сока в трех сосудах
не превосходит 49/82. Приближенно 59.8%. Это наибольшее
значение достигается, если х = z = Ъ = 0, т. е. в первом
и третьем сосудах один яблочный сок, а во втором — только
вишневый. Аналогично найдем наименьшее возможное
значение процентного содержания яблочного сока в смеси из всех
трех сосудов. Это наименьшее значение будет иметь место,
когда в первом и третьем сосудах окажется один вишневый
сок, а во втором —один яблочный. Оно равно Щ « 26.9%.

Глава 2 ответы и решения
183
128. Верна вторая формулировка. То, что одна
параллельная прямая существует, доказывается. И об этом не имеет
смысла говорить в аксиоме. Аксиома утверждает, что второй
прямой провести нельзя.
Что касается теоремы Пифагора, то ее формулировку
наверняка помнят все: квадрат гипотенузы прямоугольного
треугольника равен сумме квадратов его катетов. Одно из самых
известных доказательств этой теоремы сводится к
предъявлению двух картинок (рис. 79). На этих рисунках один и тот
же квадрат по-разному разрезан на части. В первом случае
он разрезан на четыре треугольника и один квадрат (на
гипотенузе) . Во втором — на те же четыре треугольника и два
квадрата (на катетах).
Рис. 79.
129. 1. Все дело в возрасте жителей, в частности
младенцев, которые и определяют этот эффект.
2. Можно поступить следующим образом. Поймаем сетью
несколько карпов, пометим их как-то и вновь выпустим в
пруд. Затем через некоторое время вновь выловим некоторое
количество. Подсчитав в новом улове число помеченных,
полагая, что меченые равномерно распределились среди прочих,
можем оценить численность карпов в пруду.
3. В одной из стран при проведении подобного опроса
поступали следующим образом. Опрашиваемому давалась
в руки небольшая коробка с окошечком. Если коробку по-

184
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
трясти, то в окошечке появлялся либо белый, либо черный
шарик. Можно было убедиться, что шарики появлялись
случайным образом. На коробочке были написаны два вопроса.
Первый —верно ли, что дважды два —четыре. Второй —тот,
ради которого проводился опрос. В нашем случае:
«Употребляли ли Вы наркотики?». Если появлялся белый шар,
опрашиваемый отвечал на первый вопрос, если черный —
на второй. Свои манипуляции с коробочкой опрашиваемый
делает сам, никому не показывая. Понятно, что такая
процедура позволяет, не боясь, отвечать «Да» при ответе на второй
вопрос. Испытатель же знал вероятность появления
того или иного шара, без труда определяя примерное
число ответов на свой вопрос и число «Да» среди
них.
4. Приведем немного надуманный пример, хорошо
проясняющий суть дела. Пусть в олимпиаде участвовало всего
по 2 класса от школы. В командах первой школы было
соответственно 10 и 1 участник, а в командах второй школы,
наоборот, 1 и 10 участников. В первой школе число «успешно
выступивших» составило соответственно 1 и 1, во второй —
соответственно 0 и 9.
131. По смыслу постановки задачи ответ определяется
лишь суммой диаметров и не зависит от конкретных значений
этих диаметров. Взяв диаметры равными, легко найдем, что
таким же (равным диаметру) должна быть высота
треугольника, т. е. она равна 1, и верен первый ответ. Внимательный
читатель может заметить, что последнее выражение также
равно 1, а значит, и указание в качестве ответа на четвертый
вариант также будет верным.
Приведем решение для произвольного случая.
Обозначения понятны из рис. 80, где АВ = ВС = а, АС = 26,
h — высота. Учитывая равенство касательных, проведенных
к окружности из одной точки, получим: AL = AQ, BQ =
ВК, OL = ОК. Значит, OL + BQ = ОВ. Отсюда следует

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
185
М\
О
Рис. 80.
L А
(АО - AL) + (АВ - AQ) = ОВ. А поскольку AL = AQ, то
AQ = (1/2) (АО + АВ - ОВ).
Точно так же найдем СМ = (1/2) (ВО + С В - ОС). Далее
AQ + CM = (1/2) (АО + АВ + ВС - ОС)
= (1/2)(2АВ - АС) = а-Ь.
То есть AQ + СМ — величина, не зависящая от того, как
проходит прямая через вершину В. Но если г и R — радиусы, то
_?_ — Ж- — cfcrQL T p r+R
AQ — CM — С1ь 2» х' е' AQ+CM
= ctgf или r±* = ctgf =
^, откуда r + R = h.
1—cos a
132. Занумеруем теннисистов, дав номер 1 слабейшему
из них, а номер 9 — самому сильному. Рассмотрим магический
квадрат, составленный из чисел 1, 2,... , 9:
А
В
С
8
3
4
1
5
9
6
7
2
Суммы чисел, расположенных в каждой строке и в каждом
столбце (и на диагоналях), равны между собой и равны 15.
Распределим теннисистов по командам в соответствии со
строками этого квадрата. Легко проверить, что команда А

186
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
выигрывает у команды В со счетом 5 : 4, команда В с таким
же счетом выигрывает у С, а команда С — у А.
Приведем пример такой тройки кубиков, возможно, не
очень интересный, но хорошо показывающий, в чем здесь
дело. Пусть у кубика А на всех гранях одинаковое число,
например 5. У кубика В на четырех гранях 4, а на двух — 7. И
наконец, у кубика С на четырех гранях 6, а на двух —3.
Понятно, что А выигрывает у Б, В — у (7, аС- у А. Если первый
выбрал РРО, а второй — OOP, то первый выигрывает лишь
в случае первых двух бросаний с результатом PP. В других
случаях (00, OP, PO) он проигрывает. Значит, вероятность
выигрыша второго игрока 3/4.
133. Соединив несовпадающие концы диагоналей,
получим правильный треугольник. Значит, угол между
диагоналями равен 60°. Продолжив прямую А В до пересечения с
продолжением ребра куба в точке Е, получим правильный
треугольник ВСЕ (рис. 81). Таким образом, угол А ВС равен
120°. Заметим, что сечением куба плоскостью, проходящей
через точки Л, В и С, является правильный шестиугольник.
Рис. 81.
134. Начнем со второй задачи. Если профессор прав, а
это так и есть, то найти искомый объем можно, рассмотрев
частный случай, а вернее, предельный, когда радиус цилин-

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
187
дра становится равным нулю. В этой ситуации получаем шар
диаметром 10 см. Его объем 5007г/3 (см3). Этим и подобными
приемами математики часто пользуются для контроля за
правильностью произведенных выкладок, а также в аналогичных
ситуациях. Что касается первой задачи, то в ней имеет место
то же явление, правда, в этом случае оно легко доказывается.
Площадь кольца всегда равна площади круга диаметром один
метр, т. е. она равна 7г/4 (м2).
135. Решение понятно из рис. 82. Как видите, в самом
деле «получилось» два квадрата большой и маленький внутри
него.
Рис. 82.
136. Скорость, с которой лодка удаляется от шляпы,
равна скорости, с которой она к шляпе приближается, и
равна скорости лодки относительно воды. Значит, все данные о
скоростях лодки и течения оказываются излишними. Шляпа
была извлечена из воды через полчаса после обнаружения
пропажи, т. е. в 12 часов.
137. Юноша в красном танцует с девушкой в синем, а
девушка в зеленом — с юношей в синем. Это сразу следует из

188
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
условий задачи. Значит, девушка в красном танцует с юношей
в зеленом.
138. Сторона ромба равна радиусу окружности, т. е.
она равна 30 м. Для этого надо рассмотреть один из четырех
прямоугольников, образованных диагоналями ромба и
сторонами прямоугольника. Диагонали каждого такого
прямоугольника равны радиусу окружности.
139. Обе лестницы имеют одинаковую длину. Чтобы в
этом убедиться, следует сделать развертку, на которой
лестница превратится в отрезок прямой. Для обеих башен угол
наклона одинаков, башни имеют равную высоту. Значит, длины
спрямленных лестниц равны.
140. В каждый момент времени черепахи
располагаются в вершинах квадрата (рис. 83). При этом, поскольку
направление движения черепахи Б перпендикулярно к
направлению движения черепахи 4, то скорость сближения черепах
А и Б равна скорости движения черепахи А. То же имеет
место для пар Б и 5, В и Г, Г и А. Таким образом, каждая
из черепах проползет 3 м, а встреча всех черепах в центре
комнаты произойдет через 5 мин.
141. Решения первых двух задач понятны из рис. 84
и 85. Что касается последней задачи, то здесь спички надо
расположить в виде куба (каждая спичка —ребро куба).
Рис. 83.

Глава 2 ответы и решения
189
J J*
Рис. 84.
Рис. 85.
142. Рассмотрим какой-то узел нашей сети. Возьмем
соседние к нему углы, из которых можно попасть в
рассматриваемый узел за один переход. Тогда число возможных путей,
ведущих в рассматриваемый узел, равно сумме
соответствующих чисел ближайших предшествующих ему узлов. Теперь по
этому правилу легко последовательно вычислить число путей,
ведущих в каждый из узлов нашего плана города, пока не
доберемся до узла В. Получаем, что число различных путей,
ведущих из А в В, равно 14.
143. Все дело в том, что один из стаканчиков можно
вставить в другой. После этого в него можно положить любое
нечетное число монет меньше 10. Например, 7. Оставшиеся
монеты кладем в третий стаканчик.
144. 1. Всего у Васи три живых существа — собака,
кошка и попугай.
2. Подсказка: 365 — это число дней в обычном году. В
качестве одного из решений можно предложить числа, равные
количеству месяцев, состоящих из 28, 30 и 31 дня, т. е. 1, 4 и 7.
3. Такую саблю нельзя вложить в такие ножны.
145. В первом случае можно поступить следующим
образом. Положим на весы 1 таблетку из первого флакона,
2 —из второго, ..., 10 —из десятого. Теперь по показанию

190
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
весов определяем номер бракованного флакона. Так, если
весы показывают на 7 мг больше положенного, то 7 и есть
номер нужного флакона. Сложнее обстоит дело во втором
случае. Рассмотрим последовательность из 10 чисел,
обладающую тем свойством, что каждое больше суммы всех
предыдущих. Нужным свойством обладает, например,
последовательность из степеней двоек: 1, 2, 4, 8,..., 512. Вынем из
каждого флакона соответствующее число таблеток и взвесим
их. Рассмотрим число, указывающее превышение веса
таблеток над нормальным весом (в мг). Поделим его на 10 и
запишем в двоичной системе. Если в каком-то разряде этого
числа стоит 1, то соответствующий флакон является
бракованным.
146. Плоскость ОВМ делит пирамиду первого типа
(АВСО) на две равные пирамиды второго типа (одна из
них АВМО). Плоскость К МО, в свою очередь, делит
пирамиду второго типа (АВМО) на две равные пирамиды
третьего типа (одна из них АКМО). Обозначим через Р
середину АО. Оказывается, плоскость МКР делит
пирамиду АКМО на две пирамиды вновь первого типа, вдвое
меньшие исходной пирамиды АВСО. Таким образом, пирамиду
первого типа можно разрезать на две равные пирамиды
второго типа, на четыре равные третьего типа и на восемь
равных вновь первого типа и т. д. Что касается пирамиды
четвертого типа, то ее можно разрезать на восемь равных
частей следующим образом. Сначала проведем четыре
плоскости через середины всевозможных троек ребер, выходящих
из одной вершины. При этом мы отрежем четыре вдвое
меньшие пирамиды. Оставшуюся часть, в свою очередь
нетрудно разрезать еще на четыре такие же пирамиды.
Предлагаем Вам, читатель, самостоятельно выполнить подходящие
рисунки.
147. Расположим карточки в виде магического
квадрата. Нетрудно проверить, что никакие три числа, кроме тех,
что расположены в одной строке, столбце или на диагонали

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
191
этого квадрата, не дают в сумме 15. Теперь понятно, что наша
игра оказывается эквивалентной игре в крестики-нолики на
доске 3x3.
148. Перевернутыми окажутся карточки, на которых
написан точный квадрат, т. е. карточки 1, 4, 9, 16,..., 100.
В самом деле, число делителей у перевернутых карточек
должно быть нечетным, поскольку каждая карточка
переворачивалась столько раз, сколько делителей имеет написанное
на ней число. Если число не является точным квадратом, то
оно имеет четное число различных делителей, поскольку все
его делители можно разбить на пары, произведение каждой
пары равно самому числу. Если число имеет вид п2, то
делителю п нет пары.
149. Приведем три решения этой задачи: 1, 8, 1, 9, 1, 5,
2, 6, 7, 2, 8, 5, 2, 9, 6, 4, 7, 5, 3, 8, 4, 6, 3, 9, 7, 4, 3; 1, 9, 1, 2,
1, 8, 2, 4, 6, 2, 7, 9, 4, 5, 8, 6, 3, 4, 7, 5, 3, 9, 6, 8, 3, 5, 7; 1, 9,
1, 6, 1, 8, 2, 5, 7, 2, 6, 9, 2, 5, 8, 4, 7, 6, 3, 5, 4, 9, 3, 8, 7, 4, 3.
150. Можно. Возьмем куб ABCDA\B\C\D\ с центром
в точке О. Рассмотрим тело, составленное из двух
четырехугольных пирамид OAAiBiB и ОВВ\С\С. Внутри его
можно поместить один правильный тетраэдр с ребром, равным
ребру куба. Одно ребро тетраэдра возьмем совпадающим с
ребром AAi, а середину противоположного ребра совместим
с центром куба. (Докажите, что это можно сделать.) Затем
рассматриваем две другие пары таких же четырехугольных
пирамид, основаниями каждой пары являются соседние грани
куба.
151.
1
8
2
2
3
13
4
12
5
11
6
10
7
9
8
1
9
7
10
6
11
5
12
4
13
3
153. Решения обеих задач понятны из рис. 86 и 87.
Убедитесь, что в каждом случае для правильной раскраски трех
красок недостаточно.

192
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
2
4
1
6
7
3
5
8
10
9
11
Рис. 86. Рис. 87.
154. 1. Если бы при правильной игре (делая два хода
подряд) белые проигрывали, то, сделав в начале партии два
хода конем и вернув его в исходную позицию, белые передали
бы право хода черным, не изменив положения фигур. Это
рассуждение доказывает, что в такой партии белые, играя
правильно, проиграть не могут, хотя, как нужно им играть,
отсюда не следует. Вряд ли им надо делать указанные два
хода конем.
4. Вот эта четырехходовая партия: 1) /3, еб или е5; 2) Кр
/2, Ф /6; 3) Кр #3, Ф /3+; 4) Кр Л4, С е7х.
5. Надо поставить на поле а2 белого слона. В
получившейся позиции черные не могут ходить потому, что их король
запатован, белые не имеют возможности ходить потому, что
именно они сделали предыдущий ход.
6. Можно поставить двойной шах двумя ферзями после
взятия на проходе. При этом один ферзь шахует по линии, а
другой —по диагонали.
7. 1) е4, еб; 2) С 65, Кр е7; 3) С: d7, сб; 4) С е8, Кр: е8.
155. Например, 9941.
156. В первую минуту червяк проползет 1/100 часть
жгута, во вторую минуту —1/200, в третью —1/300 и т. д.
Итак, за п минут он проползет
10о(1 + 2 + 3+- + п)

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
193
часть жгута. Находящаяся в скобках сумма, как мы знаем,
может быть сколь угодно большой. Таким образом, при
достаточно большом п путь, пройденный червяком, как это ни
удивительно, станет больше соответствующей длины жгута.
158. Ответ на первый вопрос вполне очевиден — четыре
носка, поскольку первые три могут оказаться разного цвета.
Чтобы иметь возможность одеть носки всем троим,
достаточно извлечь 8 носков. И, наконец, ответом на последний вопрос
является число 16, так как 15 может и не хватить, когда будет
по 5 носков каждого цвета.
159. 1. Света и Коля встретятся через четверть часа.
За это время собака пробежит Зкм.
3. Доби и Води встретятся через 2з+17 = ^ (ч)- Пусть
суммарный путь, который муха пролетела от Добру иска к Бо-
друйску, равен х (км). Поскольку встреча произошла в 23 км
от Добруйска и муха в этот момент находилась в той же точке,
то суммарный путь, который муха пролетела по направлению
от Бодруйска к Добруйску, равен ж —23 (км). Поскольку муха
летала 1 ч, то получаем уравнение
х х - 23
40 + 30 '
Отсюда х = 301 (км). Тогда суммарный путь мухи равен х +
(х - 23) = 37| (км).
160. «Дикость» — в этом слове 7 букв, следующих в
алфавитном порядке. Слово «ступор» содержит 6 букв,
которые образуют отрезок алфавита. Это слово «неверно». Здесь
хочу сделать одно замечание. Эта задача переведена с
английского. Она представляет собой один из многочисленных
примеров, когда полноценный перевод в принципе
невозможен. По-русски задача явно «не звучит». Многочисленные
англоязычные обороты, с которыми мы постоянно
сталкиваемся во всех СМИ, разрушают культуру русского языка. К
сожалению, автор этой книги не удержался и внес свой вклад
в этот процесс. В поставленном вопросе отсутствуют кавыч-

194
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
ки. «алвекосасенмдрьбублковк» — Александр Блок.
(Предыдущее замечание можно отнести и к этому вопросу.)
Ответы на кроссворды. Первый кроссворд. По
горизонтали: 1) хобот, 6) опала, 7) донор, 8) орава, 9) канон; по
вертикали: 1) ходок, 2) опора, 3) банан, 4) олово, 5) таран.
Второй кроссворд: 1) косуля, 2) оборот, 3) солома, 4) уролог,
5) ломота, 6) ятаган.
161. 1. Положим на весы №1 по 4 монеты на каждую
чашку. Если одна группа монет перевесила, то остальное
понятно — эти весы точные, и мы знаем 4 монеты, среди которых
одна фальшивая. Пусть весы оказались в равновесии.
Обозначим через А девятую монету и добавим к ней монеты В и С —
по одной из каждой четверки. Оставшиеся две тройки монет
положим на чаши весов № 2. Худший вариант — вновь
равновесие. Тогда на весах № 2 сравниваем монеты В и С. В случае
равновесия фальшивой будет монета А.
2. На одну чашу весов кладем гири, маркированные 1, 2
и 3 г, а на другую — 6 г. Равновесие означает, что ошибка в
маркировке возможна лишь внутри групп 1-2-3 и 4-5. При
втором взвешивании на одну чашу кладем гири 3 и 5 г, на
другую — 6 и 1 г. Если первая чаша перевесила, то ошибки в
маркировке нет.
162. Пусть на первом столе в черной шляпе лежит один
билет и этот билет выигрышный, а в серой шляпе — 9
билетов, из которых 8 выигрышных. На втором столике в черной
шляпе 9 билетов и из них 1 выигрышный, а в серой —один
билет без выигрыша. Понятно, что в обоих случаях выгоднее
выбирать черную шляпу. Но если содержимое одноцветных
шляп объединить, то ситуация резко изменится.
В парадоксе К. Б лая при игре вдвоем предпочтительность
автомата А по сравнению с Б и В очевидна. Также очевидно,
что автомат В хуже, чем Б. Проанализируем игру втроем.
Автомат А выигрывает при одном исходе (3,2,1). Вероятность
этого исхода равна 0.56-0.51 = 0.2856. Автомат Б выигрывает
при исходах (3,4,1), (3,6,1), (3,6,5). Их общая вероятность

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
195
будет 0.22-0.51+0.22-0.51+0.22-0.49 = 0.3322. Значит,
вероятность выигрыша автомата В равна 1—0.2856—0.3322 = 0.3822.
163. Вторая монета дважды повернется вокруг своей
оси.
164. Если дробь ggg о?! сократима, то сократима на тот
- Qgtfqiq л 11892 тт
же множитель и дробь ^ ^ — 1 = 988 о27' Далее имеем
918188°9227 = 83 + yfik' Н|р = 12- Таким образом, данная дробь
равна ——Ц— = ML. Итак, сокращение произошло на 991.
1+83+l/12 iUUy
Поступая аналогичным образом со второй дробью, убедимся,
что сократимых дробей не получается, т. е. вторая дробь не
сократима. Для последней дроби в результате сокращения
получим ^^ffix (в числителе восемь единиц, а в знаменателе
девять) во всех случаях. В самом деле, рассмотрим некоторое
число А, состоящее из одних единиц. Нетрудно убедиться
(например, просто умножая,столбиком), что числитель дроби
равен А-И 111 111, а знаменатель соответственно A-111 111 111.
165. 1. Квадратная крышка может провалиться в люк.
2. Он при этом вдвое больше заработает.
3. Конечно, колеса стучат на стыках. Есть и другой
ответ— «дурацкий»: площадь круга «пи эр квадрат», вот этот
квадрат и стучит.
4. В самолетах стоп-кранов нет.
5. Голова не пролезает.
166. 111556 = 3342.
167. Число 333 333 331 делится на 17.
168. Если кубики могут висеть в воздухе, то можно
убрать 18 кубиков и оставить 9 в «диагональных» плоскостях.
169. Пусть ABKL — первый отрезанный от
прямоугольника ABCD квадрат (рис. 88). Искомая точка М одинаково
расположена относительно прямоугольников ABCD и KCDL,
значит, ZCBM = ZDCM. Отсюда следует, что /.ВМС — 90°.
Точно так же Z.CMD = Z.DML — 90°. Значит, М есть точка
пересечения прямых BD и CL. Что касается парадокса, то
здесь все просто. При составлении прямоугольника по диаго-

196
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
В К С
A L D
Рис. 88.
нали либо образуется пустота в виде очень вытянутого
параллелограмма площадью 1, либо куски налезают друг на
друга.
170. Таких положений за 12 ч будет 132. Докажем это.
Приняв за 1 полный оборот, обозначим через х долю полного
оборота, пройденного часовой стрелкой. Если у —показания
минутной стрелки (в долях оборота), то у = Ylx — n, причем
0<ж<1,0<у<1. Если стрелки можно поменять местами,
то должно выполниться равенство х = 12у — т или х = ЫАх —
12п - ш, х = 12^4+m, где 0 < п < 12, 0 < т < 12, т. е. х может
принимать 144 различных значения. Из них надо выкинуть
те, при которых х = у.
Рис. 89.

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
197
Рис. 90.
171. Решение показано на рис. 89.
172. Рассмотрим угол с вершиной в точке О. Построим
окружность с радиусом, равным расстоянию между
отметками на линейке. Пусть эта окружность пересечет одну из
сторон угла в точке А (рис. 90). С помощью нашей линейки
проведем через А прямую, пересекающую вторично окружность
и продолжение другой стороны угла в точках В и С так,
чтобы одна засечка была на окружности (точка В), а другая — на
продолжении стороны (точка С). Пусть /.ВСО = ZBOC = х.
Тогда по свойству внешнего угла треугольника Z.OBA = 2ж, а
исходный угол равен Зж. Таким образом, мы построили угол
в три раза меньше данного.
175. Примерно, 8.28 см. Площадь поперечного сечения
валика есть сумма площади поперечного сечения трубки и
площади намотанной ленты, которая равна 2500 • 0.01 =
25 см2. Имеем уравнение (х — радиус трубки) 257Г = 7гж2 + 25.
176. Самый неэкономный способ обхода следует искать
среди путей, меняющих направление после каждого вбитого в
столб гвоздя. В самом деле, если А, 2?, С и D — четыре точки
на прямой, причем В находится между А и С, то путь ACBD
не может быть короче пути ABCD, где бы ни находилась
точка D. Рассмотрим случай 10 столбов. Каждому способу обхода

198
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
можно поставить в соответствие числа жь^г? • • • ? жю? где ^п
принимает различные целые значения от 1 до 10. Длина пути
равна \х2 — х\| + |жз — #2| + - • - + |#io — #э|- Можно считать, что
х\ < Х2- Тогда для самого неэкономного способа длина пути
равна (2х2 + 2ж4 + 2#б + 2ж8 + жю)- (#1 + 2ж3 + 2z5 + 2ж7 + 2sg).
Сумма в первых скобках имеет наибольшее значение, равное
6 + 2-7 + 2-8 + 2-9 + 2-10 = 74. Наименьшее значение суммы
во вторых скобках равно 5 + 2-4 + 2-3 + 2-2 + 2-1 =25. Длина
самого неэкономного пути в этом случае равна 74 — 25 = 49.
Если число столбов равно 2п, то эта длина выражается
формулой 2п2 — 1. Для 11 столбов решение аналогично. Здесь
наибольшая длина пути равна 59. Общая формула для 2п + 1
будет 2п2 + 2п — 1. (Здесь мы считаем, что Земля плоская, и
идти вокруг нее нельзя.)
177. 1. Привяжем ножницы к концу одной веревки и
раскачаем ее так, чтобы, держа конец другой веревки, можно
было поймать ножницы.
2. Закатывая ковер с одной стороны, можно сдвигать
бутылку.
3. Просуньте лист газеты под дверь, закройте ее и
поставьте двух человек на эту газету по разные стороны от двери.
4. Например, сделать на нити петлю и перерезать именно
петлю. Или подставить под чашку стол.
178. Алгебраическая сумма итогов равна нулю и
безразлично, кто кому отдает — деньги не пахнут.
179. 1. За 11 с. 2. Через Щ- ч. 3. Не существуют.
180. 1. Это было либо днем, либо в полярный день.
2. Он мог читать книгу для слепых или с экрана
компьютера.
3. Кофе мог быть растворимым, молотым (но без воды).
4. Такой дом может быть на Северном полюсе.
5. Вползти в комнату может даже ребенок.
6. Это может быть ребенок, который не дотягивается до
нужной кнопки лифта.
7. Хитрец мог сначала посолить или поперчить борщ.

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
199
Рис. 91. Рис. 92.
181. Вероятность того, что обе стороны одинаковы,
равна 2/3, т. е. пари не честное.
182. 300 руб.
183. 1. Число выигранных партий у каждого равно
числу выигранных всеми (включая и его самого) партий
белыми.
2. Утверждение верно отдельно для белых и для черных
диагоналей. На обычной доске левый нижний угол — черный.
Число черных диагоналей, идущих слева вверх, нечетно
(равно 7), а число черных диагоналей, идущих справа вверх, четно
(равно 8). Если на каждой черной диагонали число фигур
нечетно, то общее число фигур на этих диагоналях с одной
стороны нечетно, а с другой — четно. Противоречие.
184. См. рис. 91.
185. 1. Проделав в листе разрезы, например, как на
рис. 92, мы, по существу, превратим этот лист в замкнутую
ленту. Понятно, что здесь важную роль играют свойства
бумаги. Для куска фанеры задача неразрешима.
2. Искомая фигура имеет форму полукруга. Для
доказательства поступим следующим образом. Отразим
построенный забор симметрично относительно берега. Получим
фигуру с периметром 21 наибольшей площади.

200
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
т
Рис. 93.
3. Рассмотрим совокупность из шести правильных
треугольников, расположенных, как на рис. 93, в каждом из
которых проведена искомая линия. (Соседние
треугольники симметричны относительно общей стороны.) Получим
замкнутую линию, ограничивающую фигуру данной площади,
втрое превышающую площадь исходного треугольника.
Длина линии, как известно, будет наименьшей, если эта линия —
окружность. Радиус этой окружности определяем,
приравнивая площади.
4. Возьмем окружность, диаметр которой больше
периметра данного многоугольника. Начнем от некоторой точки А на
этой окружности откладывать последовательно хорды,
равные сторонам данного многоугольника. Получим вписанную
ломаную АВ, где В — конец последней хорды. Ломаной АВ
соответствует дуга —часть окружности. Начнем уменьшать
радиус окружности, пока точки А я В не совпадут. Получим
вписанный многоугольник Щ со сторонами, равными
сторонам данного многоугольника. Докажем, что его площадь
больше площади любого другого многоугольника с такими же
сторонами. Рассмотрим такой многоугольник П, отличный от
Пх (рис. 94). Понятно, что имеет смысл рассматривать лишь
выпуклые многоугольники. Построим на сторонах этого
многоугольника сегменты, равные соответствующим сегментам
на сторонах многоугольника Щ. Для Щ эти сегменты
дополняют многоугольник до круга, а для многоугольника П они

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
201
Рис. 94.
дополняют его до некоторой фигуры, ограниченной кривой,
длина которой равна длине описанной около Щ окружности.
Площадь этой фигуры меньше площади круга,
содержащего П].. Убирая эти сегменты, получим, что площадь
многоугольника Щ больше площади многоугольника П.
186. 1. Курица сносит одно яйцо за три дня, значит, за
9 дней она снесет 3 яйца, а 9 куриц—27 яиц.
2. Выгоднее один толстый. Площадь поперечного сечения
толстого пучка в 4 раза больше, чем у тонкого.
3. Тройка обычно движется медленнее, чем одиночная
лошадь, если все они мчатся без груза. А если груз очень
тяжелый (одна лошадь еле тянет), выигрыш может быть
колоссален.
4. Вряд ли кошка сможет съесть за раз 100 мышей. Если
эти мыши живые, то скорее они съедят кошку. С другой
стороны, возможно, что кошка съедает по одной мышке в день,
а речь идет о «чистом» времени еды в течение 100 дней.
187. Читателю в этой задаче навязывается неверный
расчет. А он зачастую верит этому. (Навязывание некоего
псевдорассуждения — типичный прием политиков и средств
массовой информации.) На самом деле 13 = 10 + 3, т. е. из 13
руб., потраченных ветеранами, 10 пошли в уплату за сапоги,
а 3 —на оплату веселья денщика.

202
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
188. Известна последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55,... (С этой последовательностью мы уже
встречались, см. задачу 169.) Каждое число в этой
последовательности, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих:
и\ = U2 = 1, ^к+1 = ^к + ^к-1- Это —очень важная
последовательность чисел Фибоначчи. Ее любит природа.
Например, чешуйки выкладывают поверхность ананаса спиралями.
Обычное число спиралей —5 по часовой стрелке и 8 против.
Любители семечек подсолнуха, разглядывая диск цветка,
обнаружат сеть спиралей: 21 загибается в одну сторону, 34 —в
другую. Как ни странно, таких примеров десятки. Решение
настоящей задачи использует свойства этой
последовательности.
Заметим, что 55 —как раз 11-й член последовательности
Фибоначчи. Пусть каждому министру соответствует точка
на окружности. Будем называть длиной дуги, соединяющей
две отмеченные точки окружности, число маленьких дуг,
не содержащих отмеченных точек на этой дуге. А за
расстояние между двумя отмеченными точками возьмем
длину наименьшей дуги, их соединяющей. Выберем сначала две
точки А и В на расстоянии 21. Вся окружность оказалась
разделенной на две дуги длиной 21 и 34. Если банковский
счет у В больше, чем у А, то на большей дуге,
соединяющей А и В (ее длина 34), берем точку С на
расстоянии 13 от В. Если теперь самый большой банковский счет
у С, то следующим мы рассматриваем счет министра,
расположенного на дуге С А на расстоянии 8 от С В
другом случае рассматриваем министра на дуге В А на
расстоянии также 8. Продолжая таким образом нашу процедуру
в соответствии с последовательностью Фибоначчи, мы
сможем выявить «коррупционера», оставаясь в рамках
конституции.
В общем случае, когда число министров равно (п + 1)-
му члену последовательности Фибоначчи, нам потребуется
п операций.

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
203
Рис. 95.
189. См. рис. 95.
191. Джон должен получить 1 долл. 60 центов, так как
еще 20 центов ему должен отдать Билл. В самом деле: каждый
съел по 7/3 пакета, значит, 1/3 пакета стоит 20 центов, а Билл
съел на 1/3 пакета больше, чем купил.
192. Такое может произойти при достаточно большом
числе участников. Например, пусть число участников
равно 65 (наверняка можно построить пример и для меньшего
числа участников, правда, какое число является наименьшим,
автору неизвестно). Пусть команда А одержала 30 побед, а
все остальные игры проиграла, а команда В выиграла 5 игр
и сделала 60 ничьих. Остальные 63 команды в играх между
собой одержали по 21 победе и сделали 21 ничью
(соответственно имеют 21 поражение). Подсчитаем очки по новой
системе. Команда А имеет 30 • 3 = 90 очков, команда В имеет
5 • 3 + 60 = 75 очков. Каждая из оставшихся команд в играх
между собой набрала 3*21 + 21 = 84. Значит, любая из них
максимально может набрать 84 + 3 + 1 = 87 очков. Итак, по
новой системе А — чемпион, а В занимает последнее место.
Подсчитаем очки по старой системе. У команды А 60 очков,
у команды В 70 очков, а все остальные команды набирают
от 63 до 66 очков. По старой системе чемпионом была бы
команда U, а команда А оказалась бы последней.
193. Решение показано на рис. 96. Ясно, что из
указанных трех «уголков» можно сложить любую доску 8 х 8 с

204
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 96.
одной удаленной клеткой. Также ясно, что две части в общем
случае недостаточны.
194. Укажем два решения задачи.
1) Пусть О — центр окружности, вписанной в
треугольник ABC, где К, L и М — точки касания этой окружности со
сторонами треугольника. Разделим треугольник на три части
(см. рис. 97а). Часть 1 перевернем на другую сторону, поменяв
местами точки К и L и оставив на месте точки В и О. Части
2 и 3 перевернем и поменяем местами.
2) Пусть ВС —наибольшая сторона треугольника ABC,
АР — высота. Поскольку ВС — наибольшая сторона
треугольника, точка Р лежит на стороне ВС. Пусть Со и Bq —
середины сторон АВ и АС. Разрежем треугольник на три части
(см. рис. 976). Теперь каждую часть перевернем и оставим на
том же месте. Для части 1 точки Со и Bq оставим на месте,
а точки А и Р поменяем местами.
195. Нетрудно понять, что наш герой сможет выкурить
6 + 1 = 7 сигарет, после чего у нее останется 3 окурка.
Одолжив (!) один окурок, он сможет выкурить еще одну сигарету
и вернуть долг. Таким образом, всего он сможет выкурить
8 сигарет.

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
205
Рис. 97.
196. Будем считать, что кубики, составляющие каждое
из наших тел, единичные. Заполним все пространство такими
кубиками обычным образом (грань в грань) и введем систему
координат, в которой центры кубиков имеют натуральные
координаты. В первом случае рассмотрим всевозможные
«ежики» из 7 кубиков, у которых для координат центра ж, у, z
сумма x+2y+3z кратна 7. Во втором случае рассмотрим «ежики»
из 13 кубиков, у которых соответственно сумма х + Зу + Az
делится на 13. Проверьте, что в обеих случаях каждый кубик
принадлежит ровно одному «ежику».
197. Бросив шляпу, математик заметил ошибку через
t = 10 мин. В самом деле, за время t расстояние между
шляпой и математиком стало равным сумме путей, которые
прошел математик за это время и проплыла шляпа. То же время t
нужно математику, чтобы встретить палку, после того как он
выудил шляпу. Для удобства будем считать, что скорость
течения 2 (единицы) в минуту. Тогда скорость математика будет
3 в минуту. Через 10 мин расстояние между шляпой и
математиком стало равным 50. Чтобы догнать шляпу, математику
потребовалось g^ = 12.5 минут. За это время шляпа
проплыла расстояние, равное 25, а всего шляпа проплыла 20+25 = 45.

206
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Значит, после того как математик выудил шляпу, он вернулся
на то место, где он ее бросил, через 45 : 3 = 15 мин. А всего
он потерял 10 + 12,5 + 15 = 37.5 мин. Ответ: 37.5 мин.
198. Знаменатель дроби можно представить в виде
11 ... 10000 + 11 ... 1 - 11 ... 100 = 11 ... 1(10000 - 100 +
1) = 11 ... 1 • 9901, а числитель дроби —в виде 11 ... 10000 +
11 ... 100 + 11 ... 1 - 11 ... 1000 - 11 ... 10 = 11 ... 1 • 9091
(здесь каждое выражение вида 11 ... 1 содержит одинаковое
число единиц, равное числу единиц в числителе и
знаменателе данной дроби). Таким образом, каждая из
рассматриваемых дробей может быть сокращена на 11 ... 1 и равна
9091/9901.
199. Если данное число имеет вид р®1 • р®2 • ...pj*fc,
где pi,p2? •¦• Рк~простые, то количество различных
делителей (включая 1 и само число) равно произведению
(ai + 1) (#2 + 1) • • • (&k + !)• Эта формула известна и легко
доказывается. (Каждое простое может войти в делитель в
степени, принимающей любые целые значения от 0 до его
степени в разложении всего числа.) Далее понятно, что число
различных простых, входящих в разложение нашего числа,
не может превышать четырех, поскольку 2 • 3 • 5 • 7 • 11 > 1000.
Будем искать наименьшее из требуемых в условии чисел (если
таковых более одного). Это означает, что в разложении
искомого числа могут встречаться лишь простые 2, 3, 5 и 7,
причем показатели их степеней в разложении не убывают.
Возникает небольшой перебор. 29 имеет 10 делителей, 28 • 3
имеет 18 делителей и т. д. Далее рассматриваем следующие
числа: 27 • 3, 26 • З2, 26 • 3 • 5, 25 ¦ З3, 24 • З2 ¦ 5, 23 ¦ З3,
23 • З2 • 5, 23 • 3 • 5 • 7, 22 • З2 • 52. Наибольшее число делителей
имеет число 23 • 3 • 5 • 7 = 840. У него 32 делителя.
Других трехзначных чисел с таким количеством делителей нет.
Ответ: 840.
200. 1. Если бы среди рассматриваемых месяцев не
было февраля, то общее число дней было не менее 91 = 7 • 13.
Значит, общее число воскресений было бы не менее 13.

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
207
2. Невозможно: это число в соответствии с
известными признаками делимости делится на 3, но не делится
на 9.
3. Наименьшее число операций равно 3. Например,
переворачиваем последовательно стаканы с номерами 1, 2, 3, 4, 5;
затем —1, 2, 3, 6, 7 и наконец—1, 2, 3, 8, 9. Очевидно, что
меньшим числом операций обойтись нельзя.
4. Перевернуть 9 стаканов, переворачивая по 6,
невозможно. В самом деле, каждый стакан должен быть перевернут
нечетное число раз, а поскольку стаканов 9, то суммарное
число перевертываний отдельных стаканов также должно быть
нечетным. С другой стороны, мы на каждом шаге
перевертываем четное число стаканов (6), значит, общее число
переворачиваний также будет четным. Получим противоречие,
доказывающее наше утверждение.
5. Можно. Например, правильный шестиугольник можно
покрыть шестью квадратами, построенными вовнутрь на его
сторонах.
6. Может. Таким будет, например, равнобедренный
треугольник, основание которого равно 80 000, а высота к
основанию равна 0.5.
7. 1°.
201. а) 4 • у/1 • у/1 = 16,
в) 3 х 3, (3) = 10,
с) (2 : ((2 - 3) : 3) - 4) : ((4 - 5) : 5) = 50 или
2 : (((2 - 3) : ((3 - 4) : 4 - 5)) : 5) = 52.5.
202. Проведем через Р и Q прямые, параллельные АВ
и отложим по обе стороны от них отрезки, равные
половине АВ (рис. 98а). Получим середины ребер В\С\, D\A\^
СС\ и DD\. Обозначим через К и М середины В\С\ и СС\.
Диагональ ВС\ параллелограмма ВСС\В\ проходит через
середину отрезка КМ и делится при пересечении в отношении
3 : 1 (от вершины В). Теперь легко построить точку С\. Для

208 И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
А К В
б
Рис. 98. в
этого надо соединить В с серединой отрезка КМ и
продолжить этот отрезок на 1/3 его длины.
204. Докажем, что перпендикуляры, восставленные к
сторонам треугольника в точках К, L vl M, должны
пересечься в одной точке. Предположим, что это не так (см.
рис. 986). Возьмем произвольную точку Р внутри
образовавшегося треугольника. Нетрудно убедиться, что в этом
случае возможен небольшой поворот вокруг точки Р в соответ-

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
209
ствующем направлении. Рассмотрим правильный
треугольник ABC, на сторонах которого отмечены точки К, L и М
так, что АК : KB = 2 : 1, BL : LC = 3 : 2. Надо
определить, в каком отношении делит сторону АС точка М,
если известно, что перпендикуляры, восставленные к
сторонам треугольника в точках К, L и М, пересекаются в одной
точке. Обозначим эту точку через О (рис. 98в). Пусть сторона
треугольника ABC равна 15а, тогда АК = 10а, KB = 5а,
BL = 9а, LC = 6а. Положим AM = ж, СМ = 15а — х. По
теореме Пифагора имеем АО2 - АК2 = (Ж2 = ВО2 - ?if2.
Следовательно, АО2 - ВО2 = АК2 - Blf2 = 75а2.
Аналогично ВО2 - СО2 = BL2 - CL2 = 45а2, СО2 - АО2 =
СМ2 — AM2 = 225а2 — ЗОах. Сложив эти равенства,
получим 75а2 + 45а2 + 225а2 - ЗОах = 0. Откуда х = а23/2.
Далее найдем, что точка М делит сторону АС в отношении
23 : 7.
205. Пусть проведенная плоскость пересекает ребро АВ
единичного куба ABCDA\B\C\D\ (см. рис. 99а), при этом А
принадлежит первому многограннику, а В — второму.
Тогда эта плоскость должна пересечь и противоположное
ребро C\D\, т. е. D\ должна принадлежать первому
многограннику, а С\ — второму. Обозначим через М и Р
соответственно середины ребер АВ и G\D\. Легко убедиться, что
АР = ВР = 3/2 и для всех точек отрезка РС\, кроме точки Р,
расстояние до А больше 3/2. Значит, этот отрезок
принадлежит второму многограннику. Точно так же докажем, что
отрезок PD\ принадлежит первому многограннику.
Следовательно, плоскость сечения проходит через точку Р.
Аналогично доказывается, что эта плоскость должна пройти и через
точку М. Итак, мы доказали, что точками пересечения нашей
плоскости с ребрами куба должны быть середины этих ребер
и что искомая плоскость проходит через центр куба.
Рассмотрим теперь какую-нибудь грань куба, которую пересекает
плоскость. Если она пересекает две противоположные
стороны этой грани, то в сечении будем иметь квадрат, равный

210
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
б В
Рис. 99.
грани куба (рис. 996), если же эта плоскость пересекает две
соседние стороны грани, то сечением куба этой плоскостью
будет правильный шестиугольник (рис. 99в). Ответ: 1 или
3\/5/4.
206. Каждый участник конференции сделал не более
198 рукопожатий, и поскольку сам президент Иллирии не
входил в число опрашиваемых, то числа, которые ему были
названы, это 0,1,2, ... , 197,198. Делегат, сделавший 198
рукопожатий (делегат-198, будем считать его президентом),
поздоровался со всеми, кроме своего премьер-министра. Это
означает, что все, кроме этого премьер-министра, сделали
хотя бы по одному рукопожатию и, следовательно, делегат-

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
211
О —это премьер-министр той же страны, что и делегат-198.
«Удалив» эту делегацию и исключив все рукопожатия,
сделанные ее членами, мы окажемся в исходной ситуации, но
для 99 стран. Аналогично рассуждая, мы убеждаемся, что
участники, сделавшие 0 и 196 рукопожатий (а в исходном
положении это делегаты-1 и 197), также из одной страны.
Продолжая таким образом, получаем, что делегат-99 остался
без пары, а поскольку в списке опрошенных нет только
президента Иллирии, то этот делегат — премьер-министр Иллирии.
Таким образом, премьер-министр Иллирии сделал 99
рукопожатий.
207. Наименьшее число карточек равно 15. Покажем
сначала, что для 15 карточек нужная пара всегда
найдется. Предположим противное. Тогда карточки с числами 1 и
15 должны лежать в разных стопках, точно также в разных
стопках должны лежать карточки с числами 1 и 3. Значит,
карточки 3 и 15 лежат в одной стопке, но тогда карточки с
числами б = 9 — 3 и 10 = 25—15 должны лежать в другой
стопке, что противоречит предположению, поскольку 6 + 10 = 16.
Покажем, что четырнадцать карточек можно разложить на
две стопки так, чтобы сумма номеров на любых двух
карточках в одной стопке не равнялась бы точному квадрату. Вот
пример: 1, 2, 4, 6, 9, 11, 13 (первая стопка) и 3, 5, 7, 8, 10, 12,
14 (вторая стопка). Из этого следует, что подобным образом
можно разложить на две стопки карточки для любого числа,
меньшего четырнадцати.
208. Из условия следует, что машина встретила
управляющего, когда ей оставалось ехать до виллы 20 : 2 = 10 мин.
Значит, время прогулки равно 60 — 10 = 50 мин.
209. См. рис. 100.
210. Преобразуем уравнение: 2х3 — х3 — Зх2 — Зх — 1 = 0;
2х3 = (х + I)3; ху/2 = х + 1. Таким образом, х = 1/(^2 - 1).

212
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 100.
211. Умножим данное равенство почленно на а + Ь + с.
Преобразуем первую дробь:
а(а + Ь + с) а2
: = ; Ь а.
Ь + с Ь + с
Преобразовав таким же образом два других слагаемых и
сократив одинаковые члены в левой и правой частях, получим
требуемое равенство.
212. Обозначим через О центр данной окружности, А
и В — точки, в которых данная прямая пересекает
окружность (рис. 101). Построим на О А и О В как на диаметрах
две окружности (они пройдут через середину АВ). Искомое
геометрическое место состоит из всех точек, лежащих внутри
ровно одной из двух окружностей с диаметрами О А и ОВ, и
точки О. Докажем это.
Прежде всего заметим, что через любую точку К внутри
данной окружности, отличную от О, проходит ровно одна
хорда, для которой К — середина. Это хорда,
перпендикулярная ОК. Проведем теперь через О любую прямую и
обозначим через Mi и М2 точки, в которых эта прямая вторично
пересекает окружности диаметрами О А и ОВ. (Рассмотрим,
например, ситуацию, изображенную на рис. 101.) Все хорды,
середины которых лежат на радиусе OD и вне отрезка М1М2,
целиком расположены по одну сторону от АВ, поскольку эти

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
213
Рис. 101.
хорды параллельны прямым АМ\ и АМ2- Точка М\ —
середина хорды, проходящей через А, точка Мъ — середина хорды,
проходящей через В. Все хорды, пересекающие отрезок М\М.2
во внутренней точке и перпендикулярные к нему, имеют
концы по разные стороны от АВ. Следовательно, на прямой OD
в наше геометрическое место точек входят точки, лежащие
внутри отрезка М\М2- Это рассуждение верно для любой
прямой, проходящей через О и пересекающей обе внутренние
окружности, в том числе и такой, у которой вторые точки
пересечения с этими окружностями расположены по разные
стороны от О. Искомое геометрическое место точек
состоит из точек внутри окружностей с диаметрами О А и ОВ и
точки О.
213. Укажем сначала соответствующее построение, а
потом дадим ему нужное обоснование. Возьмем на данной
окружности две точки А я В так, что расстояние между
ними больше радиуса данной окружности, и с центром в А
построим окружность, проходящую через В и вторично
пересекающую данную в точке С (рис. 102а; считаем, что
точки Б и С различны). Это будет 1-я окружность. Теперь по-

214
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
Рис. 102.
строим точку D, симметричную точке А относительно
прямой ВС. Для этого нам потребуются еще две окружности —
2-я и 3-я. Строим окружность с центром в D и радиусом DA.
Пусть эта 4-я окружность пересекает 1-ю в точках Е и F.
Окружности с центрами в Е и i*1, проходящие через А (это
5-я и 6-я окружности), пересекаются в точке О —центре
данной.
Обоснование. Понятно, что точка пересечения 5-й и б-й
окружностей (точка О) лежит на прямой DA (рис. 1026). Нам
надо доказать, что О А = Д, где R — радиус данной
окружности, или радиус окружности, описанной около
треугольника ABC. Пусть в этом треугольнике АВ = АС = a, h —
высота треугольника к стороне ВС. По известной формуле
имеем

Глава 2 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
215
С другой стороны, из подобия треугольников ADE и АЕО, в
которых AD = DE = 2/ь, AE = АО = а, имеем
АО АЕ АО а
-пц = ~г^: или = —-.
АЕ AD a 2/i
Таким образом, АО = a2/2h. Сравнивая с (1), получаем, что
АО — R. Значит, точка О —центр описанной около ABC
окружности.

Оглавление
Предисловие 5
От автора 6
Глава 1. ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ 9
1. Выборы лидера партии 9
2. Не высовывайся 9
3. Демократические выборы 10
4. Победит мудрейший или необычайная дуэль 11
5. Стучите, братцы, стучите! 12
6. Драчуны в думе 12
7. Две простые задачи. Что говорит здравый смысл? 12
8. Эта ужасная геометрическая прогрессия 13
9. Несколько вопросов около глобуса 14
10. Улитка на склоне 15
11. Сквозь знания 15
12. Ходят поезда по кругу 16
13. Прогулки ученых 16
14. Математика календаря 16
15. О времени вообще 17
16. Загадочный диалог 17
17. Переправы, переправы 18
18. Из пустого в порожнее 19
19. Продолжить последовательность 19
20. Устами младенца 20
21. Крепкая смесь 20
22. Путешествие по пустыне 20
23. Ну-ка, обгони! 21
24. Задача для репетитора 21
25. Свиньи Льюиса Кэрролла и другие задачи 21

ОГЛАВЛЕНИЕ
217
26. Золотые слитки 22
27. Как определить пол воздушного шарика? 22
28. Задачи разные, идея одна 22
29. Как измерить диагональ параллелепипеда? 23
30. Соприкасающиеся объекты 23
31. Луч света в темном царстве 23
32. Самые обыкновенные построения 23
33. Разрезание фигур 24
34. Из двух квадратов один 25
35. Развертки 25
36. Кратчайший путь 26
37. Пять задач по геометрии для детей и взрослых ... 27
38. Куб и сфера 28
39. Существуют ли такие фигуры: 28
40. Невозможные объекты 28
41. Пересечение трубопроводов 30
42. Ну, блин 30
43. Окрестность квадрата 30
44. Задача о дырявой бочке 30
45. О бочках и картах 30
46. Две игры со спичками — простая и не очень 31
47. Как тасовать колоду карт 31
48. Странные пари 32
49. Девять квадратов 32
50. Игра в слова 33
51. Кто изображен на портрете? 34
52. Простые задачи и странные вопросы 34
53. Сопротивление в кубе 35
54. Бывает же такое! 35
55. Дорогой длинною 36
56. Этот загадочный квадратный трехчлен 36
57. Болтливые черепахи 37
58. Переставить стаканы 37
59. Лезу на санузел 37
60. Математическая логика 38
61. Юридический казус 39
62. Самоопределяющиеся объекты 40
63. Сумма кубов 41
64. Дружные парочки 41

218
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
65. Принцип Дирихле 42
66. Синусы и логарифмы 42
67. Невидимые вершины 43
68. Дюжина простых задач 44
69. Рыцари круглого стола 45
70. Дружеские встречи 45
71. По течению и обратно без уравнений 46
72. Куры и петухи 46
73. Странный калькулятор 46
74. Трое рабочих копали канаву 47
75. Тетраэдры Мёбиуса 47
76. Любитель анекдотов 47
77. Поговорим о вероятностях 47
78. Как бросать жребий? 49
79. Дележ добычи 49
80. Деление пополам 49
81. Кто в выигрыше? 50
82. Три задачи про взвешивания 51
83. Игра «ним» 51
84. Проверка на радиоактивность 51
85. Лист Мёбиуса и шестеренки 51
86. Топологические головоломки 53
87. Чет-нечет 55
88. Инвариант 56
89. Раскраски 57
90. Завхоз-математик 57
91. Несколько задач для школьников 57
92. Разрезание квадрата 58
93. Ломаная на плоскости и в пространстве 58
94. Различные суммы 58
95. Замочим всех бандитов 58
96. Как муравьишка домой спешил? 59
97. Велопешеходы 59
98. Четыре задачи про многоугольники 60
99. Построение короткой линейкой 60
100. Заблудшая душа 60
101. Путешествие короля 61
102. Найти крайнего 61
103. Где моя очередь? 61

219
104. Квадрат из треугольника 61
105. Точки на окружности 61
106. Наибольший треугольник 62
107. Одна комбинаторная задача 62
108. Уравнение высокой степени 62
109. Дырявый куб 62
110. Деньги — деньги 62
111. Чаю или кофе? 63
112. Дано ли нам предугадать? 63
113. Самое большое число прогрессии 65
114. Гримасы демократии 65
115. Встретились однажды Цельсий, Реомюр и
Фаренгейт 66
116. Свеча горела на столе 67
117. Измерение радиуса глобуса 67
118. Последовательность цифр 67
119. Хитрый Иосиф 67
120. Одна вероятностная игра 68
121. Арифметические забавы 68
122. Загадочная арифметика 69
123. Назойливый поклонник 70
124. Магические квадраты 70
125. Как разделить пирог? 71
126. Кривые дракона 71
127. Безалкогольный коктейль 73
128. Вспомним школу 73
129. Забавная статистика 73
130. Самый произвольный треугольник 74
131. Решать задачу или угадывать ответ? 77
132. Демократия и математика. Явление
нетранзитивности 78
133. Углы на поверхности куба 80
134. Когда не хватает данных 81
135. Два квадрата из одного 81
136. Рассеянная Света 81
137. Средь шумного бала 82
138. Проект бассейна 82
139. Лестница вокруг башни 83
140. Задача про четырех черепах 83

220
И. Шарыгин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВИНЕГРЕТ
141. Задачи со спичками 83
142. Дороги, которые мы выбираем 84
143. Монеты и стаканчики 85
144. Три задачи для детей 85
145. Одним взвешиванием 85
146. Разрезание пирамид 86
147. Магический квадрат плюс крестики-нолики 86
148. Карточки и числа 87
149. Числа в ряд 87
150. Три тетраэдра из одного куба 87
151. Тринадцать точных квадратов 87
152. Простой пасьянс 87
153. Квадраты и окружности на плоскости 88
154. Шахматные задачи 88
155. Постоянная Д. Капрекара 90
156. Червяк на жгуте 91
157. Интересные паркеты 91
158. Разноцветные носки 92
159. Задача о бегающей собаке и ее продолжение 93
160. Слова и буквы 94
161. Новые идеи в старой теме 95
162. Парадоксы статистики и теории вероятностей 96
163. Крутится-вертится 97
164. Сокращение дробей 98
165. Несколько «почему?» 98
166. Точный квадрат 98
167. Загадочный мир простых чисел 99
168. Прореженный куб 100
169. Золотое сечение и числа Фибоначчи 100
170. Зачем часам стрелки разной длины? 103
171. Увеличить площадь 103
172. О квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба 104
173. Как мы видим? 104
174. «Сумасшедшие часы» Льюиса Кэрролла, или о
точном смысле слов 106
175. Лента на трубке 106
176. Самый неэкономный способ 107
177. Тесты профессора Ага 107
178. Долги наши тяжкие 108

221
179. Еще несколько задач про часы 108
180. Несколько житейских ситуаций 108
181. Из двух спорящих, как правило, один — жулик, а
другой — дурак 109
182. Среднее, медиана и мода 110
183. Две околошахматные задачи 110
184. Комната с темными углами 111
185. Легенда о Дидоне, теорема существования и изопери-
метрическая задача 111
186. Пропорциональная зависимость 114
187. Как денщик сапоги продавал (старинная задача) .. 115
188. Борьба с коррупцией в соответствии с конституцией 115
189. Самопересекающаяся ломаная 116
190. Опять задача Иосифа, теща и немного мистики ... 116
191. Кто и кому должен? 118
192. Кто чемпион? 118
193. Разрезание на одинаковые части 118
194. И только дырка в кармане 118
195. Бомжей Минздрав не предупреждает 119
196. Заполнение пространства «ежиками» 119
197. Вот какой рассеянный 119
198. Равные дроби 119
199. Наибольшее число делителей 120
200. Несколько простых задач 120
201. Расставьте скобки и знаки действий 120
202. Восстановите изображение 121
203. Странные последовательности 121
204. Подвешенный треугольник 122
205. Разрезанный куб 123
206. Вежливый премьер 123
207. Опять карточки с числами 123
208. Случай из жизни банкира 123
209. Какие бывают шестигранники 124
210. Кубическое уравнение 124
211. Условное равенство 124
212. Геометрическое место точек 125
213. Одним циркулем 125
Анекдот вместо заключения 125
Глава 2. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 127

Научно-популярное издание
Серия
«Математическая мозаика»
Игорь Федорович Шарыгин
Математический винегрет
Зав. редакцией академик В. И. Арнольд
Ведущий редактор А. С. Попов
Художник СИ. Мухин
Художественный редактор В. П. Григорьев
Корректор В. Н. Маркина
Технический редактор О. Г. Лапко
Оригинал-макет подготовлен С. А. Янковой
в пакете ЖЩХ 2е с использованием
семейства шрифтов Computer Modern
с кириллическим расширением LH
Лицензия ЛР № 010174 от 20.05.97 г.
Подписано к печати 26.12.2001 г. Формат 60 х 90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем 7,00 бум. л.
Усл.-печ. л. 14,00. Уч.-изд. л. 10,57. Изд. № 1/9806.
Тираж 3 000 экз. Заказ 5434.
Издательство «Мир»
Министерства РФ по делам печати,
телерадиовещания и средств массовых коммуникаций
107996, ГСП-6, Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Диапозитивы изготовлены в издательстве «Мир»
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Можайский полиграфический комбинат»
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.

Лучшие книги мира-
в издательстве «мир»
Имеются в продаже:
Серия «Математическая мозаика»
Гарднер М. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ГОЛОВОЛОМКИ И РАЗВЛЕЧЕНИЯ: 2-е изд., испр. и
дополн. / Пер. с англ. — 447 с, ил.
Книга известного американского
популяризатора науки М. Гарднера содержит множество
занимательных задач и головоломок из самых
различных областей математики.
Благодаря удачному подбору материала, необычной
форме его подачи и тонкому юмору автора она не только
доставит удовольствие любителям математики, желающим с
пользой провести свой досуг, но и может быть полезна
преподавателям математики школ и колледжей в их работе.
Гарднер М. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОСУГИ: 2-е
изд., испр. и дополн. / Пер. с англ. — 443 с, ил.
Книга известного американского
популяризатора науки в живой и увлекательной форме
рассказывает читателю много удивительного из
самых разных разделов математики. Любители
головоломок смогут испробовать свои силы в
решении парадоксов и задач, а те, кто увлекаются Показом
фокусов, — пополнить свой репертуар.
Книга доступна самому широкому кругу читателей и
доставит много радости всем любителям математических
развлечений, а также может быть полезна преподавателям
математики в их работе в школах и колледжах.
Гарднер М. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НОВЕЛЛЫ:
2-е изд., испр. и дополн./Пер. с англ. — 415 с,
ил.
Как и предыдущие книги известного
американского популяризатора науки и одного из
корифеев занимательной математики, настоящая
книга живо и увлекательно рассказывает
читателю много удивительного из различных разделов математики.
Для любителей математики, желающих с пользой
провести досуг, а также для преподавателей математических школ и
колледжей.

Лучшие книги мира-
в издательстве «мир»
Имеются в продаже:
Серия «Математическая мозаика»
Кэрролл Л. ИСТОРИЯ С УЗЕЛКАМИ: 2-е изд.,
испр. и дополн. / Пер. с англ. — 397 с, ил.
В книге собраны математические
головоломки и изящные логические парадоксы
знаменитого английского писателя, автора «Алисы в
Стране Чудес» и «Алисы в Зазеркалье» Льюиса
Кэрролла.
Книга рассчитана на читателей, интересующихся
математикой и желающих с пользой провести свой досуг, а также
может быть использована преподавателями математики и
логики в школах и колледжах.
Дьюдени Г. Э. 520 ГОЛОВОЛОМОК: 2-е изд.,
испр. и дополн. / Пер. с англ. — 333 с», ил.
В предлагаемой книге собрано 520 задач и
головоломок Дьюдени по арифметике, алгебре,
геометрии, разрезанию и составлению фигур.
Книга доставит удовольствие всем любителям
занимательной математики, особенно учащимся
старших классов, а также может быть полезна в работе
преподавателям математики школ и колледжей.
Тригг Ч. ЗАДАЧИ С ИЗЮМИНКОЙ: 2-е изд.,
испр. и дополн. / Пер. с англ. — 277 с, ил.
В книге собраны задачи, которые при
довольно сложной формулировке допускают
простое и изящное решение. Среди авторов
оригинальных решений — имена известных
американских математиков.
Представлено 270 занимательных задач различной
степени трудности, взятых из разных источников и относящихся
к различным областям математики. Читателю нужно не
просто найти решение, а попытаться отыскать такое решение,
которое было бы короче, изящнее и элегантнее приведенного
в книге. Задачи помещены в случайном порядке. Автор не
старался отделить менее трудные задачи от более трудных.
Поэтому читатель в любой момент должен быть готов к
встрече как с трудной, так и с легкой задачей.

Настоящая книга - прямое продолжение
традиции математических задачников, столь
же захватывающих, как детективные романы,
традиции, заложенной
• трёхтомником «В царстве смекалки»
Е. И. Игнатьева,
• «Живой математикой» Я. И. Перельмана и
• знаменитой «Библиотекой математического
кружка», включающей книги Е. Б. Дынкина,
А. М. и И. М. Ягломов и других авторов....
Я надеюсь, что и эта книга даст миру новых
математиков и доставит удовольствие также и
другим читателям, от которых даже не
потребуется профессиональной математической
подготовки.
Из предисловия В. И. Арнольда
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОЗАИКА