Автор: Любарский Г.Я.
Теги: алгебра физика квантовая механика теория групп специальная физика развитие физики монография
Год: 1986
Текст
ПРОБЛЕМЫ НАУКИ
И ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА
Г. я. ЛЮБАРСКИЙ
ТЕОРИЯ ГРУПП
И ФИЗИКА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДИТЕРАТУРН
И«9
ББК 22.31
Л93
УДК 512.54@23)
Любарский Г. Я. Теория групп и физика.—М.: Наука.,
Гл. ред. физ.-иат. лит., 1986 (Пробл. науки и техи. прогресса).-.
224 с,
Предназначена для первоначального знакомства с теорией групп
и методикой ее использования в приложениях. Наряду с чисто
методической задачей — доступно изложить задачи в методы теория
групп — в книге решается еще одна важная задача — обрисовать
роль теории групп в развитии физики и выяснить, какие
возможности заложены в ней для использования в будущих физических
всследованпях. Включены необходимые сведения из линейной
алгебры и квантовой механики.
Для иазгчных сотрудников, инженеров, преподавателей в
студентов. Учеников старших классов книга может познакомить с
пекоторыми характерными чертами современной математики. '
Табл. 8. Ил. 30. Библиогр. 14 назв.
РеценаГенты:
академик С. П. Новиков,
доктор физико-математических наук М, И. Каганов
Григорий Яковлевич Любарский,
ТЕОРИЯ ГРУПП И ФИЗИКА
Редактор Г. М. Карасева
Художественный редактор Г. Н. Колъченко
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректор И, Я. Кришталь
ИВ Л 12843
Сдано в набор 13.01.86. Подписано к печати 27.06.86. Т-16333. Формат
84x108/32. Бумага тип. Л» 3. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая
Усл. печ. л. 11,76. Усл. кр.-отт. 12,18. Уч.-и8д. л. 11,65. Тираж 12 600 ЭК8.
Заказ Яд 10. Цена 70 коп.
Ордена Трудового Красного Знамеив издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука».
630077 г, Новосибирск 77, Станиславского, 25
тт 1704020000^120,,п он (О Издательство «Наука»,
—пмточ аа И'"»? ^-i Главная редакция
уоруил^-оц физико-математическое
литературы. ^Щ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . ....,,..,,.,, в
Введение. Чем занимается прикладная теория групп? , 9
Глава 1. Симметрия задачи .,....-..• 11
§ 1. Что мы будем понимать под словом «задача»? 11
I 2. Симметрия задачи 21
Глава 2. Использование симметрии задачи без помощи
теории групп • 31
§ 3. Два своЁства операций симметрии молекулы
Hno, . . ... . . . . . . 31
§ 4. Как использовать симметрию задачи? . , 34
§ 5. Исследование главных колебанлЁ с
кратными частотами ,.-..'..... 41
Глава 3. Общая схема применения reopira групп к
исследованию задач с группой симметрии. Две основ-,
иые задачи прикладной теории групп ... 47
§ 6. Об абстрактных понятиях
§ 7. Линейные пространства 50
§ 8. Линейные операции 53
§ 9. Группы 55
§ 10. Абстрактная задача и представления групп 57
§ И. Структура совокупности всех
представлений данной группы 59
§ 12. Вторая основная задача прикладной теории
групп 64
§ 13. Структура совокупности решений X
задачи Л (i) 65
Глава 4. Задачи, имеющие группой симметрии группу
вращений 69
§ 14. Группа вращений . .■ 70
§ 15. Первая основная задача — неприводимые
представления группы вращений . .' . 72
§ 16. Два примера решения второй основной
задачи ... 74
J^17. Произведение неприводимых представлений 80
Ш. Тензорные представления . . . . '. 84
Классификация физических полей,
основанная иа представлениях группы вращений 86
$ 20. Симметрия системы уравнений
физического поля I ........ . 93
Глава 5. Поля в квантовой физике . ...... 97
§ 21. Что такое накрывающая группа? ... 97
§ 22. Преобразования квантовомеханвческих
полей при вращениях системы координат . 102
§ 23. Преобразования квантовоыеханических по^
лей как представления накрывающей
группы Л 104
§ 24. Неприводимые представления
накрывающей группы , I . . 106
§ 25. Классификация квантовомеханических
полей . 108
Глава 6. О квантовой механике 110
§ 26. Первая особенность квантовой механики . 110
§ 27. Вторая особенность — волновой, характер
квантовых систйм i . . , ... 112
§ 28. Точечный и непрерывный спектры . . . ИЗ
§ 29. Волновая функция , . 114
§ 30. Измерение положения частицы . . . . 117
§ 31. Норма и скалярное произведение волновых
функций 120
§ 32. Уравнение Шредингера ...... 122
§ 33. Стационарные состояния квантовых систем 124
§ 34. Квантовые числа 126
§ 35. Теория возмущений . , 128
§ 36. Невзаимодействующие квантовые системы 131
Глава 7. Законы сохранения и квантовые числа . • t 133
§ 37. Законы сохранения в квантовой механике , 133
§ 38. Оператор проекции импульса .... 137
§ 39. Операторы проекций момента и квадрата
момента ^ 141
8 40. Квантовые числа систем, обладающих
сферической симметрией . 146
§ 41. Теория возмущений и симметрия ... 151
§ 42. Спин электрона 153
§ 43. Атом в магнитном поле 1.54
§ 44. Гипотетический случай 168
Глава 8. Теория представлений конечных групп . , . 166
§ 45. Теорема унитарности представлений и
первые следствия . . . . , . . . 166
§ 46. Дальнейшие следствия из теоремы
унитарности. Операторы проектирования и
соотношения ортогональное! и 168
§ 47. Лемма Шура , .... 173
§ 48. Решение второй основной задачи' . . . 177
§ 49. Анализ приводимого иредставления . . 179
§ 50. Теорема полноты и коэффициенты Фурье . 181
§ 51. Пример. Анализ смещений механической
системы 1£3
§ 52. Комплексно-сопряженные представления . 195
I 53. Доказательство теоремы унитарности . . 19?
4
Глава 9. Малые колебания симметричных мехаипческих
систем , 200
§ 54. Некоторые сведения из механики . . . 200
§ 55. Симметрические координаты 204
f Потенциальная энергия в симметрических
координатах . « 207
Потенциальная анергия в вещественных
координатах 209
Кратности собственных частот и формы
главных колебаний . , , , . . .' , 211
§ 59. Пример исследования малых колебаний . 214
Заключение. Теория груцп и физика 219
Список рекомендуемой литературы . , 224
ПРЕДИСЛОВИЕ
Около тридцати лет тому назад автор написал книгу
«Теория групп и ее применение в физике». В числе
недостатков этой книги имеются два, которые она
разделяет, по-видимому, со всеми руководствами по
приложениям теории групп. Это, во-первых, игнорирование
принципа «прежде чем изучать что-нибудь, надо понимать,
почему это нужно изучать» и, во-вторых,— недостаточное
внимание, уделяемое методике применения теории групп.
Изложение этой методики, по сути дела, не дополняется,
а заменяется в книге набором впечатляющих примеров.
В самом деле, все известные автору книги,
посвященные приложениям теории групп, начинаются с
изложения ее основных понятий и теорем. Для большинства
читателей это серьезный психологический (и не только
психологический) барьер, так как необходимость и
естественность этих понятий и теорем ~ выясняется только
после перехода к приложениям. На первый взгляд такой
порядок изложения представляется неизбежным, в
действительности, однако, это не так. Оказывается
возможным сначала объяснить, какая цель стоит перед
прикладной теорией групп, а затем показать, как на пути
к этой цели естественно возникают основные понятия
теории групп и вопросы, на которые отвечают ее
теоремы. Поясним, почему нам кажется, что методике
применения теории групп не уделяется должного внимания.
Рассмотрим привычную схему применения той или
иной математической дисциплины к решению
физических задач. Законы физики сводят такие задачи к чисто
математическим, эти последние решаются
соответствующими математическими методами, результаты решения
получают физическое истолкование. В изложении
примеров применения теории групп, как правило, отсутствует
четкое разделение на эти три этапа. Более того, трудно
найти ответ на вопрос, какие возникающие в физике
чисто математические задачи з^еет решать теория групп.
Между тем, можно указать две такие задачи и
проследить на примерах, что теория групп привлекается для
решения именно этих двух задач.
в
в предлагаемой книге, предназначенной для
первоначального знакомства с теорией групп и методикой ее
применения, автор постарался преодолеть указанные два
недостатка. Однако этим не исчерпываются задачи,
которые автор ставил перед собой.
Наряду с чисто методической задачей — по
возможности доступно изложить методы и задачи теории групп —
в предлагаемой книге делается попытка показать, какую
роль сыграла теория групп в развитии физики и какие
возможности заложены в ней для использования vt
предстоящих физических исследованиях. Применения теории
групп можно классифицировать либо по виду решаемых
с ее помощью математических задач, либо по их
физическому содержанию. Автор постарался показать, что по
первому признаку все применения почти однотипны, а по
второму — разнообразны. Первое обстоятельство облегчает
изучение прикладной теории групп, а второе — делает
наглядным пользу ее изучения. Приводимые в книге
примеры важны поэтому не столько сами по себе, сколько
как иллюстрации, демонстрирующие однотипность
механизма использования теории групп и разнообразие ее
физических приложений. Поэтому автор не пытался
собрать как можно больше конкретных примеров
применения теории групп и постарался поменьше касаться
вопросов, необходимых для построения теории групп, но не
обязательных с точки зрения ее приложений.
Одной из основных потребительниц мртодов теории
групп является квантовая механика. Для читателя, не
знакомого с этой наукой, приводится краткое описание
основных ее принципов. Это позволяет рассматр1Aвать
квантовомеханические приложения теории групп.
Подобным же образом в книгу включены необходимые
сведения из линейной алгебры, без которых изложение теории
групп невозможно.
Читатель, не имеющий физико-математического
образования в объеме университетских курсов, познакомится
в процессе работы над этой книгой с рядом новых для
него математических идей и воплощающих их понятий
в естественной обстановке тех задач, которые вызвали
к жизни эти идеи и понятия. На примере теории групп
автор попытался показать, что абстрактные понятия и
рассуждения возникают как инструмент для решения
совершенно конкретных задач и в то же время являются
результатом глубокого проникновения в суть дела,
результатом творчесрого труда ученых.
7
Цель первой главы — на примерах и с помощью
определений познакомить читателя с первыми тремя
фундаментальными понятиями прикладной теории групп —
понятиями «задача», «симметрия» и «симметрия задачи».
Во второй главе рассматривается (пока без
применения теории групп) сравнительно простой пример задачи,
обладающей некоторой симметрией. Показывается, как
можно использовать эту симметрию при решении задачи.
На этом пути возникают две специфические
математические задачи, которые, собственно, и являются основными
задачами прикладной теории групп. Вторая глава
подводит читателя к формулировке на интуитивном уровне
двух основных задач прикладной теории групп и к
пониманию роли, которую играют эти задачи в приложениях.
Третья глава — это путь от интуитивной к
аксиоматической постановке указанных двух задач теории групп и
выработка основной схемы использования теории групп
в приложениях. В четвертой главе демонстрируется
применение этой схемы на примере задач, обладающих
сферической симметрией. В пятой главе разъясняется, что
такое накрывающая группа группы вращений и почему
она играет важную роль в кйантовой физике.
В шестой главе сообщается необходимый для
понимания дальнейшего минимум сведений о квантовой
механике. Седьмая глава посвящена применениям теории
групп в квантовой механике. В восьмой главе излагается
классическая теория представлений конечных групп.
В последней, девятой главе ряд положений этой теории
применяется для решения задач о малых колебаниях
механических систем.
Для чтения основного материала книги достаточно
знания математики и физики в объеме средней школы.
Восьмая глава написана для читателя, знающего
линейную алгебру (университетский курс). Остальные
читатели могут использовать эту главу для справок.
Автор пользуется возможностью выразить глубокую
благодарность двум людям, которые много лет тому
назад ввели его в мир теоретической физики и
функционального анализа — Александру Ильичу Ахиезеру и
Марку Григорьевичу Крейну.
Ввсдепие
ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП?
Обычно развитие математической теории и
расширение круга е'е приложений образуют два
взаимодействующих процесса: возиикиовение новых задач стимулирует
развитие теории, а развитие теории, естественно,
расширяет круг поддающихся решению задач. Совсем не так
обстояло дело с теорией групп. Ее возникновение,
правда, было связано с исследованием корней алгебраических
уравнений, а знаменитая теорема Галуа о
неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений была
впечатляющим достижением этой теории на заре ее
существования. Однйко дальнейшее развитие теории групп
долгое время диктовалось только ее внутренней логикой.
Теория групп успела сформироваться в логически
завершенную науку задолго до того, как появились новые ее
приложения. В течение длительного периода, около
тридцати лет, существовала готовая к применению теория,
и никто не подозревал о ее скрытых возможностях.
Теория групп считалась классическим примером
математической теории, достижения которой ничего не сулят
дрзггим наукам.
Положение существенно изменилось в период бурного
развития квантовой механики. Обнаружилось, что теория
групп является чрезвычайно полезным инструментом при
исследовании поведения электронов в атоме и атомов
в молекуле. Это дало толчок к дальнейшему развитию
теории групп — начиная с тридцатых годов нашего века
и по настоящее время идет непрерывный процесс
обогащения теории групп, заметно расширилась область ее
приложений.
Время, когда известное своеобразие теории групп
отпугивало исследователей, осталось позади, и вопрос: «что
легче — выучить теорию групп или научиться обходиться
без нее?» решен в пользу теории групп.
Когда применение теории грзгпп может принести
пользу исследователю? На этот вопрос можно ответить так:
когда предмет исследования , имеет ту или инзгю
симметрию.
Теория групп позволяет находить важные следствия,
вытекающие из симметрии объекта исследования. Однако
для этого вовсе не требуются все теоремы, накопленные
теорией групп, и все понятия, ею созданные.
Целесообразно обособить-ту часть теории групп, которая нужна
при исследовании задач, обладающих симметрией. dTy
часть теории условимся называть прикладной теорией
групп, включая в это понятие не только соответствующие
теоремы теории групп, но и методы их применения.
Можно сказать, что прикладная теория групп — это
наука об общих свойствах задач, обладающих симметрией.
Какие же задачи обладают симметрией?
Изучение акустических или электромагнитных волн
в цилиндрических волноводах — это задачи с
симметрией. Очень важным примером симметрии, созданной
самой природой, является симметрия кристаллов. Физика
кристаллов — постоянная «потребительница» методов
теории групп.- Еще один класс важных примеров — атомы
в молекуле и электроны в атоме.
Фундаментальную роль в физике "играет симметрия
пространства и времени. Ее проявления многообразны.
В наиболее общей форме она выражается в том, что все
инерциальные системы отсчета физически эквивалентны.
Из этого вытекает, что и все физические законы имеют
одну и ту же форму во всех инерциальных системах
отсчета. Возьмем, например, законы, управляющие
электромагнитным полем,— знаменитые уравнения Максвелла.
При переходе из одной инерциальной системы отсчета
в другую они не изменяют своей формы. Точнее, каждое
отдельно взятое уравнение Максвелла при таком
переходе изменяет свой вид, однако вся совокупность
уравнений Максвелла после нескольких тождественных
преобразований возвращается к первоначальному виду. Иньши
словами, каждый переход от одной инерциальной
системы отсчета к другой -з^кой же системе является
операцией симметрии для уравнений Максвелла. Это — одно из
частных проявлений общих свойств симметрии
пространства и времени.
Остается ответить на вопрос, какую пользу можно
извлечь, применяя методы теории грзгпп при
исследовании задач, обладающих симметрией. Ответ на этот
вопрос будет дан в Заключении, которое подведет краткий
итог совместной работы читателя и автора,
Глава 1
СИММЕТРИЯ ЗАДАЧИ
Цель этой главы — очертить круг задач, которыми
занимается прикладная теория групп. Основным свойством этих задач
является их симметрия. Если понятие симметрия применительно к
геометрическим фигурам интуитивно ясно, то совсем по-другоМу
обстоит дело с понитием симметрия гйдачи. В § 1 уточняется
понятие задачи, в § 2 объясняется, что следует понимать под ее
симметрией.
Введеввые в этой главе понятия используются в дальнейшеИ
во всей книге.
Ш//Ш///Л
§ f. Что иы будем понимать под еловой «задача»?
Для начала рассмотрим несколько примеров задач.
Задача 1. Пусть на. нити подвешен металлический
шарик малого радиуса (рис. 1). По нему ударяют
молотком. Что произойдет? Шарик
начнет колебаться, как маятник, и, кроме
того, мы услышим звук удара, который
быстро затихнет. Если нас интересует •
только движение шарика как
маятника, мы можем считать его абсолютно
твердым (т. е. недеформируемым) и
воспользоваться законами механики.
Закон сохранения энергии позволит
нам выразить скорость v центра ша- • /'
рика в зависимости от высоты h его i4^^
подъема:
/ г
mv' "^"o и
A.1)
т
где Vo—.приобретенная шариком на- Рис. 1. Что про-
чальная скорость, т — его масса, g— изойдет?
ускорение силы тяжести. Из этого
соотношения легко определить максимальную высоту
подъема центра шарика:
«max ■
i'l/2g,:
если учесть, что на максимальной высоте скорость v
равна нулю, Для определения зависимости угла ф от
И
времени t нужно иметь в виду соотношение
где I — расстояние от точки подвеса до центра шарика,
и чисто геометрическое соотношение
A = ZA —созф).
Подставляя эти соотношения в формулу A.1), получим
Р
{^J-vl=--glii-cos(p). A.2)
Таким образом, задача исследования и расчета
движения маятника свелась к задаче отыскания
неизвестной функции ф(^) при помощи следующего ее свойства;
подстановка в соотношение A.2) функции ф = ф(<)
превращает его в тождество. Соотношение A.2), если его
привлекают для отыскания неизвестной функции (f{t),
принято называть уравнением. В отличие от обычных
алгебраических уравнений, неизвестным здесь является
не число, а функция, причем в уравнение входит не
только сама функция, но и ее производная. Иными
словами, в число операций, производимых над функцией ф(^)
при образовании левой части уравнения, входит и
операция дифференцирования. Такие уравнения называются
дифференциальными уравнениями.
Отметим одно важное свойство дифференциальных
уравнений. Как правило, они имеют бесконечное
множество решений. На первый взгляд это является
парадоксальным. Ведь маятник движется после удара молотка
совершенно определенным образом. Парадокс
разрешается просто, если заметить,. что в момент времени t = i,,
когда был нанесен удар, -нить маятника занима:ла
вертикальное положение, а угол ф был равен нулю. Это
означает, что искомая функция (рЦ), помимо уравнения
A.2), удовлетворяет еще дополнительному условию
Ф(*.) = 0. A.3)
Это условие называется начальным условием. Оно
позволяет из бесконечного множества решений уравнения A.2)
выделить то единственное, которое описывает реальное
движение маятника.
Решение уравнения A.2) с учетом начального
условия A.3) дает количественную картину движения
маятника. Помимо количественной стороны имеется еще и
качественная; объяснить периодический характер движе-
12
ния маятника, установить, что период этого движения
растет вместе с ростом, вачальнсй скорости vo.
Этот пример мы привели не- для того, чтобы
показать, как решаются задачи. Цель примера — показать, что
такое задача и что такое ее количественное и
качественное исследование. Поэтому мы сделаем еще только йдпо
замечание и перейдем ко второму примеру.
Проследим, как изменялась формулировка задачи
в процессе ее решения. Первая формулировка — чисто
физическая: по подвешенному на нитке шарику ударяют
молотком. Что произойдет? Вторая формулировка уточ-,
няет этот вопрос: требуется выяснить, как будет
двигаться шарик. В соответствии с таким уточнением возникает
упрощающее допущение — шарик мыслится, абсолютно
твердым. .Если бы нас интересовало возникновение звука
удара, это допущение было бы неприемлемым.
Следующий шаг — это переход к чисто
математической формулировке задачи. Найти такую функцию (f{t),
которая удовлетворяет дифференциальному уравнению
A.2) и дополнительному условию A.3). Такой переход
был бы невозможен, если бы мы не знали закона
сохранения энергии в механике или второго закона Ньютона,
из которого можно вывести закон сохранения энергии.
Математическая формулировка задачи является
автономной — для ее решения нет необходимости знать, какая
именно физическая задача породила полученную
математическую задачу. Это вовсе не означает, что такое
знание является бесполезным. Рассматриваемую задачу
легче всего решить, если иметь в виду обе ее
формулировки — первоначальную физическую и окончательную
математическую. Так, скажем, физическая формулировка
делает почти очевидным периодический характер
движения. В математической формулировке это менее очевидно,
но зато она позволяет вычислить период этого движения.
Задача 2. Рассмотрим задачу о спектре излучения
водорода. Здесь путь от физической постановки вопроса
к математической формулировке задачи исторически был
несравненно более длинным и трудным, нежели в
первом примере. Мы проделаем только часть этого пути и
не дойдем, таким образом, до чисто математической
формулировки задачи.
Возвращаясь впоследствии к этому примеру, мы
покажем, что для применения методов теории групп к
исследованию решений той или иной задачи вовсе не
обязательно доводить формулировку задачи дб чисто мате-
13
матической. Это — очень важное свойство теории групп,
так как оно позволяет пользоваться ее методами и в тех
случаях, когда физические законы, необходимые для
перехода от фдзической задачи к математической, еще не
известны. Именно такое положение наблюдается сейчас
в теории элементарных частиц.
Вернемся к задаче 2. Согласно квантовой механике
многие физические объекты, в том числе атомы и
молекулы, обладают следующим свойством. Энергия такого
объекта, рассматриваемого в той системе отсчета, в
которой его центр инерции покоится, не может принимать
любое значение; возможные значения энергии образуют
некоторый дискретный набор чисел
E,<Ei<,.,<E„<.., A.4)" ,
(у разных объектов — разные наборы чисел)", Состояние
объекта, в котором его энергия Е равна наименьшему
возможному значению J?i, называется основным, все
остальные состояния — возбужденными. Для того чтобы
объект перешел из основного состояния в одно из
возбужденных состояний, он должен получить извне
энергию. Для перехода из возбужденного состояния о энергией
Еп, скажем, в основное состояние объект должен
передать «кому-нибудь» излишек энергии {E^ — Ei), Для
этой цели всегда «под рукой» находится
электромагнитное доле — переход J?„ -*- Ei сопровождается излучением
(возникновением) электромагнитного' поля. Частота v
этого поля определяется соотношением Бора
E^-Ei = hv,
где Л = 1,054 • 10--" эрг с (= 1,054 ■ 10"" Дж-с)-—так
называемая постоянная Планка. Таким образом,
благодаря соотношению Бора вопрос о возможном наборе
частот света, излучаемого данным объектом (этот набор и
называется его спектром излучения), сводится к
вычислению набора A.4) его энергетических уровней. Этот
последний вопрос можно свести к чисто математической
задаче с помощью законов квантовой механики. Согласно
этим законам существует дифференциальное уравнение
(уравнение Шредипгера), содержащее параметр Е.
Неизвестная функция, определяемая этим уравнением,
называется волновой функцией.
I Уравнение Шредипгера обладает удивительным
свойством — для того чтобы 'оно имело решение, не равное
тождественно нулю, параметр Е должен быть равен од-
14
ному из дискретного набора (неизвестных) значений Ei,
Ег, ,.., Еп, .,. Именно они и являются возможными
значениями энергии изучаемого объекта.
Таким образом, математическая задача сводится
к отысканию всех возможных волновых функций,
удовлетворяющих уравнению
Шредингера при заданном
значении параметра Е. Те
значения Е, для которых
среди найденных решениД
существуют решения, не
равные тождественно нулю, и
являются возможными
значениями энергии объекта (или,
как говорят, образуют его
энергетический спектр).
Впоследствии мы вернемся к
этой задаче.
На этом заканчивается
путь от физической
формулировки поставленной задачи
к ее математической
формулировке, а вместе с ним в
сшисавие задачи 2.
Задача 3. Рассмотрим
механическую модель
молекулы HNO, (рис. 2). Модель
представляет собой пять
материальных точек, соединенных друг с другом
пружинами нулевой массы. В положении равновесия,
изображенном на рисунке, все пружины находятся в недефор-
мированном состоянии (т. е. они не сжаты.и не
растянуты). При отклонении одного или нескольких атомов
от их равновесных положений часть этих пружин
сжимается, часть растягивается, так что на атомы начинают
действовать силы, стремящиеся вернуть атомы в положе-
• ние равновесия. Под действием этих сил атомы
разгоняются и по инерции проскакивают положение равнбве-
сия (либо описывают сложные траектории, не
проходящие через равновесные положения). Молекула начинает
совершать колебательное движение.
Конфигурацию молекулы в каждый данный момент
можно задать, указав смещение каждого атома от его
равновесного положения. Каждое смещение принято
характеризовать вектором, начало которого совпадает
15
Рис. 2. Механическая модель
молекулы HNOa
с равновесным положением атома, а конец — с самим
атомом. В дальнейшем этот вектор будем называть
радиус-вектором атома. Так как в нашем случае пять
атомов, то получаем пять векторов: г,, Гг, Гз, Г4 и Гь
('i, Г2, 's — векторы смещения атомов кислорода, г^ —
J ^
Рис. 3. Сила Fjk составляет малый угол с прямой (/, к)
атома азота, т^ — атома водорода). Совокупность этих
пяти векторов будем обозначать буквой г:
Г = (Г„ Гг, Га, Г4, Fj)
И называть смещением молекулы.
При движении молекулы все радиус-векторы Fj,
вообще говоря, изменяются. Это запнсывается так:
(такая запись констатирует факт зависимости радиус-
вектора г, от времени t, но не содержит указаний на
характер этой зависимости).
Вопрос, который мы хотим сформулировать,
относится к движению молекулы. Своеобразие этого вопроса
состоит в том, что его можно задать только после замены
точной постановки задачи приближенной. Речь идет
о следующем. Сила F^, действующая на атом с номером
/ со стороны атома с номером к, паправлена по прямой,
соединяющей эти два атома, значение этой силы
пропорционально изменению А^^ расстояния /^ между этими
атомами (рис. 3). Обозначая коэффициент
пропорциональности через a^k, можно написать
Ограничимся рассмотрением только тех движений
молекулы, при которых смещения атомов во много (в
тысячи или десятки тысяч) раз меньше расстояний между
атомами. В этих случаях направление силы Fj, очень
мало отличается от направления, задаваемого прямой,
16
соединяющей равновесные положения атомов. Это
оправдывает первое упрощающее допущение: сила Fj^,
действующая на атом с номером / со стороны атома с
номером к, параллельна прямой (jk), соединяющей
равновесные направления этих атомов. Из тех же соображений
вытекает и второе упрощающее допущение: расстояние
между смещенными атомами j ж к равно расстоянию
между их проекциями на прямую {jk) (эти проекции на
рис. 3 помечены буквами ;' vl к').
Оказывается, что эти предположения очень упрощают
решение задачи о колеб/1ниях молекулы и позволяют
сделать ряд выводов качественного характера,
важнейший из них — это существование главных колебаний.
Главное колебание — это простейший вид движения
колеблющейся системы. Оно характеризуется тем, что
смещение каждого атома изменяется с течением времени
только по величине, направление же смещения не
изменяется (если не отличать друг от друга два
диаметрально противоположных направления); кроме того, все
отношения длин смещений также не изменяются с течением
времени.
В теории малых колебаний установлено, что смещения
атомов при главном колебании зависят от времени
следующим образом:
Fj = uj cos ((Of + а) (/ = 1,2,..., n)
(в нашем случав п — число атомов в молекуле — равно
пяти). Фаза колебания совершенно произвольпа;
наоборот, частота ш строго определена: существует набор N =■
«= Зп — 6 частот
ш, ^ ©2 < ... ^ ci)w, A.5)
каждой из которых соответствует свое главное колебание.
Эти частоты называются собственными частотами
системы. Главных колебаний с другими частотами не
существует.
Разумеется, что у разных колеблющихся систем
наборы частот A.5), вообще говоря, различны.
В дальнейшем мы ограничимся только теми
главными колебаниями, у которых фаза а = 0. Это позволит нам
сделать следующее важное для дальнейшего утверждение.
Если несколько главных колебаний,
га) = ти, Г(" = [гГ]иг .... П» = [rfbL,,
2 г. я. Любарский п
имеют одну tt ту же частоту ©:
г^"' = afcosmt О = 1^ 2, ,, .j и; ^ = 1^ 2, ,, .j s),
A.6)
то движение молекулы, описываемое формулами
rj =• i: с,гг A-7)
(где Ср —произвольные постоянные коэффициенты),
совместимо с законами механики, т. е. осуществимо, и
представляет собой главное колебание с той же частотой ш.
Вторая половина этого утверждения вытекает
непосредственно из соотношений A.6) и A.7) и суженного
определения главных колебаний. Первая половина его
доказывается в теории малых колебаний, и мы примем
ее на веру.
Очень важным в теории малых колебаний является
понятие кратности собственной частоты. Оно необходимо
и для наших целей. Поэтому приведем построение,
позволяющее дать строгое определение этого понятия.
Пусть шо — одна из. собственных частот системы,
способной совершать малые колебания. Обозначим через В
совокупность всех главных колебаний, имеющих эту
частоту. Выберем. произвольно одно из этих колебаний и
обозначим его через г*". Если все остальные главные
колебания из В пропорциональны г''>:
то будем называть частоту ©о простой частотой н
говорить, что ее кратность равна единице. В
противоположном случае выберем произвольно главное колебание г'-^\
непредставимое этой формулой, и рассмотрим
совокупность всех главных колебаний вида
г-С,г<"-|-С,г<^ A.8)
где Ci и Сг — произвольные коэффициенты. Если
совокупность A.8) совпадает с множеством В, то будем
говорить, что кратность частоты ©о равна двум. В
противоположном случае выберем произвольно третье главное
колебание г'^' из тех, которые непредставимы в виде
суммы A.8), и присоединим его к главным колебаниям
J.W Q jXi)^ Этот процесс закончится тогда, когда
построенные с его помощью главные колебания
18
будут обладать следующим свойством. Любое главное
колебание из множества В представимо в виде суммы:
Число А:, обрывающее этот- процесс в фигурирующее
в написанной сумме, будем называть кратностью
частоты (Оо.
Теперь можно сформулировать задачу 3: найти
главные колебания молекулы HNOs.
Основываясь на формулировках приведенных выше
трех конкретных задач, выработаем абстрактное
определение новятия задачи. Подчеркнем, что нам вовсе не
требуется, чтобы это определение охватывало
решительно все задачи, с которыми приходится иметь дело
человеку. Достаточно, чтобы оно охватывало сравнительно
широкий круг задач и было пригодно для наших
дальнейших целей. В этом смысле определение не может быть
ни правильным, ни неправильным, оно может быть
только удачным или неудачным, плодотворным или
бесполезным. Скажем еще так: определение, на котором мы
остановимся, попросту описывает тот круг задач, с
которым мы будем иметь дело в дальнейшем.
Согласно предлагаемому определению задача
характеризуется следующими двумя составными частями:
множеством L, среди элементов которого нужно найти
решение задачи, и набором условий А, причем, каков бы ни
был элемент а из множества L, всегда можно сказать,
удовлетворяет ли-^-этот элемент условиям А. Решением
задачи объявляется каждый элемент x^L (читается:
«ж из L»), который удовлетворяет условиям А,
Совокупность всех решений образует некоторое
множество. Будем обозначать его буквой X. Множество X
может быть пустым (не содержать ни одного элемента),
может содержать один элемент, несколько элементов или
бесконечное их множество. Задача состоит в отыскании
множества X.
Условимся обозначать описанную задачу символом
A{L). Покажем, что обычные задачи укладываются в эту
схему и, следовательно, являются задачами в смысле
принятого нами определения. Для этого рассмотрим еще
несколько примеров задач.
Задача 4. Найти корни квадратного уравнения
ж'-7а;-1-1 = 0. A.9)
2» 19
Здесь L —множество всех действительных чисел;
условие А состоит в том, чтобы выражение
а'-7а+1 (as/.)
было равно нулю.
Это условие легко проверяется для каждого числа а.
Например, если а = 2, то
а*—7а + 1 =-9 =?^ О,
т..е. число а не удовлетворяет условию А.
Множество X состоит из двух корней уравнения A.9):
Поскольку множество X найдено, то задача решена.
Задача 5. Решить систему уравнений
и + v + w = 0,
2u + y-u? = 3, (l.lOy
Здесь L — множество всевозможных троек чисел а,, а^, а,.
Условие А состоит в том, чтобы выражения
ai + a^ + a,, 2ai + а^ — а, и a, + 3a2 + 5as
были равны соответственно нулю, трем и семи. Какой бы
ни была тройка чисел Ui, а^, а,, легко проверить,
удовлетворяет она этим условиям или нет.
Решая систему A.10), обнаруживаем, что эта система
имеет единственное решение: и = —10, у = 16,5, w—
= —6,5. Таким образом, множество решений задачи A.10)
состоит из одного элемента': а; = (—10, 16,5, —6,5).
Обратимся к рассмотренным ранее задачам: о
движении подвешенного шарика, о спектре излучения водорода
и о колебаниях механической модели молекулы HNOj.
Что представляют собой множества L для каждой из этих
трех задач?
В задаче о шарике — это всевозможные функции (f{t),
В задаче о спектре — это всевозможные функции,
которые мы подробно не рассматривали, а поэтому и рейчао
не будем уточнять их природу. В задаче о молекуле
HNOj — это совокупность всевозможных отклонений
молекулы от ее равновесного положения.
Совокупность условий А в первой задаче — это
условие A.3) и превращение уравнения A.2) в тождество
20
при подстановке в качестве ф искомой функции. Во
второй задаче — обращение в тождество уравнения Шредин-
гера. В третьей задаче условие А формулируется не так
просто. Оно состоит в том, что если придать молекуле
искомое смещение
rj==aj (} = i,2,...,k),
а затем предоставить ее самой себе, то она начнет
совершать некоторое главное колебание с заданной
частотой ©о- Для того чтобы узнать, обладает ли этим
свойством произвольно заданное отклонение, достаточно
воспользоваться законами механики или, точнее, вторым
законом Ньютона.
Разобранные примеры показывают, что принятое нами
определение задачи охватывает достаточно разнообразный
круг задач.
§ 2. Симметрия задачи
В дальнейшем мы будем заниматься только теми
задачами, которые обладают той или иной симметрией.
Понятие симметрии является наиболее наглядным,
когда оно относится к геометрическим объектам.
Симметричными фигурами на плоскости являются,
например, квадрат, ромб, параллелограмм, окружность.
Почему мы называем симметричным, например,
квадрат? Потому что он сохраняет свою форму и положение
в плоскости при зеркальном отражении относительно
своей диагонали, при повороте на прямой угол вокруг его
центра (точки пересечения диагоналей) и при некоторых
других операциях над плоскостью. Окружность
симметрична, так как она переходит сама в себя при любом
повороте вокруг ее центра. Легко указать и те
преобразования плоскости, которые сохраняют форму и
положение ромба или параллелограмма.
Что же такое симметрия геометрических фигур в
плоскости? Каждый раз, описывая свойства симметрии
одной из перечисленных фигур, мы неизменно упоминали
какое-либо преобразование плоскости — поворот
плоскости на некоторый угол вокруг одной из ее точек или
зеркальное отражение плоскости в некоторой прямой.
Присоединим теперь к этим преобразованиям еще и
параллельный перенос плоскости на некоторый вектор а.
На рис. 4 изображены эти три вида преобразований
плоскости,
21
Если представить себе шахматную доску, имеющую
бесконечное число клеток и заполняющую всю
бесконечную плоскость (рис. 5), то такая доска будет обладать
большим числом трансляционных симметрии. При
параллельном переносе, который можно характеризовать
Рис. 4. Три вида преобразований плоскости: а — исходное
положение; б — положение после поворота на угол ф; в — после
отражения относительно прямой АВ; г — после трансляции
любой из нарисованных на рис. 5 стрелок, доска
переходит сама в себя.
Мы видим, что геометрическая фигура считается
симметричной, если существует хотя бы одно
преобразование плоскости, которое не изменяет формы и расположе-
22 ' '
Рис, 5, Бесконечная шахматнай
доска
ния этой фигуры. Собственно, перечисление всех
преобразований^ плоскости, оставляющих данную фигуру
неподвижной, и является описанием симметрии этой
фигуры. Сами эти преобразования называются
преобразованиями симметрии данной фигуры, а их совокупность —
ее группой симметрии.
Теперь легко
обобщить понятие
симметрии. Пусть мы имеем
некоторое множество
объектов, обозначаемое
буквой L (например,
множество точек
плоскости). Пусть ^ —
какая-либо операция над
элементами множества
L (например, поворот
плоскости, если L —
совокупность точек
плоскости) . Прежде чем
идти дальше,
рассмотрим более подробно
понятие «операция».
Начнем с примеров.
Допустим, что L —это множество всех полиномов
^„(х) степени не выше га. Сопоставим каждому
полиному Qn{x) полином Qnix+i):
Qn{x}-^Q4^+i),
т. е. определим операцию g:
В силу этого определения
^(х' +l) = (x+1)*± 1 == х'+ 2х +2,
g[{x-5y + x]^(x-iy±x + l
и т. д.
В этом примере операция g имеет следующее
свойство: каждый полином ^„(х) она переводит в некоторый,
вообще говоря, другой полином.
На множестве полиномов степени не выше га {п> I)
можно определить много других операций, обладающих
23
этим же свойством. Найример,
g,Qnix) = Qn{x) + 2x,
8,Qn{x) = 2Qr,Bx + 5) + i,
8nQn{x)^j^Qn{x) ^
и т. д. ' ^
Возьмем теперь в качестве L другое множество:
множество всех смещений молекулы HNOa. Операцию g
Рис. 6. Графическое изображение операции g: а — исходное
смещение; б — смещение после проведения операции g
определим так: смещения атомов азота N и водорода Н
оставим неизменными, смещение одного из атомов
кислорода 01 путем параллельного переноса отнесем к атому
кислорода 02, смещение атома 02
«передадим» таким же образом
атому кислорода 03, а смещение
атома 03 —атому 01 (рис. 6).
Существует бесконечное
множество и других операций,
которые можно определить на
множестве всевозможных отклонений
молекулы HNOs. Приведем еще
один пример операции: поворот
всех смещений на один и тот же
угол Ф = 60° вокруг оси N—Н.
При такой операции изображенное
на рис. 6, а исходное отклонение молекулы переходит
в отклонение, изображенное на рис. 7.
Вернемся теперь к общему случаю. Операция g на
множестве L переводит каждый элемент а из этого мно-,
24
Рис. . 7. Поворот всех
смещений на 60° против
часовой стрелки
Рис. 8. Трансляция а
выводит часть точек
множества X за пределы
этого множества
жества в некоторый, вообще говоря, другой элемент ga
из этого же множества. Операция g задана, если для
каждого элемента а из L можно вычислить (найти,
указать) элемент ga.
Рассмотрим теперь некоторое подмножество X
множества L. Каждый элемент х^Х является элементом
множества L. Если g — некоторая
операция на множестве L, то
ее можно применить и к
любому элементу х^ X. Элемент gx
принадлежит множеству L, но,
разумеется, вовсе не
обязательно, чтобы он принадлежал
и множестау X.
Поясним это на следующем
примере. Пусть L — множество
всех точек плоскости, X —
множ'ество точек, заполняющих
некоторый круг W, g — какая-
либо трансляция плоскости. Из
рис. 8 видно, что некоторые
точки множества X под действием операции g выводятся
за пределы этого множества, другие — остаются точками
множества X.
Рассмотрим еще один пример. Пусть L— совокупность
всех полиномов, X — множество всех полиномов Q(y),
которые обращаются в нуль в точке у ~ 1, а g —
операция, определенная равенством
gQ{y)-Qiy) + y.
Легко видеть, что операция g выводит любой полином
Q{y)^X за пределы множества X.
Особый интерес представляют собой операции g,
обладающие следующим свойством: каков бы ни был
элемент X из X, элемент gx также принадлежит множеству-X.
Операции g, обладающие этим свойством, называются
операциями симметрии множества X.
Мы получили весьма общее определение понятия
симметрии, которое в виде частного случая содержит и
понятие симметрии геометрических фигур.
Проиллюстрируем понятие симметрии на примере
совокупности X полиномов Q(y), которые обращаются
в нуль при у = 1:
(?A) = 0 iQ^X).
25
Роль множества L будет играть, как и раньше,
совокупность всех полиномов Q{y).
Легко видеть, что операция Л, определенная на и
равенством
hQ{y)^a{y)Q{y), B.1)
где а (уУ— произвольный фиксированный полином,
является операцией симметрии множества X. В самом деле,
если обозначить
hQ{y)<^R{y),
то из определения B.1)" операции h следует, что
ЛA) = аA)(?A).
Поэтому, если ^A)=0 (т. е. Q^X), то и ЛA)' = 0, т. е.
RsX. Мы видим, что в данном случае существует
бесконечное множество различных операций симметрии.
Теперь в нескольких словах можно объяснить, что
понимают под симметрией задачи A{L). Напомним, что
в данном случае L — это совокупность объектов, среди
которых следует найти объекты, удовлетворяющие
условиям А. Каждый объект а^Ь, удовлетворяющий
условиям А, называется решением задачи A{L). Совокупность
всех решений представляет собой искомое множество X.
Под операцией симметрии задачи А{Ь) будем
подразумевать любую операцию симметрии множества ее
решений X.
У читателя может возникнуть следующий вопрос.
Если нам неизвестны решения задачи A{L), т. е.
неизвестно множество X, то как мы можем определить
операции симметрии этого множества; если же оно нам
известно, то зачем нужно знать симметрию задачи?
Ответ на этот вопрос состоит в том, что зачастую для
определения симметрии множества всех решений задачи
А{Ь) можно не знать состава этого множества, а вполне
достаточно знать, что все элементы этого множества,
и только они, удовлетворяют условиям А. Иными
словами, очень часто легче найти все операции симметрии
множества решений некоторой задачи, чем найти само
это множество.
Именно это обстоятельство и является принципиаль-
ной основой применения теории групп к исследованию
решений задач.
Покажем на примерах приведенных ранее задач, как
находить операции симметрии. Обратимся к задаче 1
(о маятнике^, Искомой величивей в этой задаче является
23
функция (fit), позволяющая вычислить значение угла ф
в любой момент времени t. Эта функция удовлетворяет
двум условиям: дифференциальному уравнению A.2):
/^2 (О -vl = -glll- cosф@1, h^t<ooj
и начальному условию
Ф(^) = 0.
В дальнейшем для простоты положим f, = О.
Введем в рассмотрение функцию t|5i(i) = —ф@- Легко
видеть, что ее производная отличается от производной
функции ф@ только знаком, а значения косинусов
у обеих функций равны. Поэтому, если функция ф@
удовлетворяет нашему зфавнению, то это же можно
сказать и о функции t|3(f) = —ф(^). То же самое относится
и к начальному условию ф@) = —ф@) = 0.
Можно убедиться в том, что и функция ф1@='ф(~0
является решением задачи 1 вместе с функцией ф(*).
Мы видим, что операции ~
g^nt)--Kt) и g^f{t) = f(-t)
являются операциями симметрии задачи о маятнике.
Мы нашли их, ничего не зная о решениях задачи 1!
Обратимся теперь к задаче 2 о главных колебаниях
молекулы HNOa. Рассмотрим те преобразования
пространства, которые не изменяют расстояния между точками и
сохраняют форму и расположение равновесной
конфигурации этой молекулы. Всего таких преобразований
можно указать шесть, включая и тривиальное тождественное
преобразование, оставляющее на месте каждую точку
пространства. Остальные пять преобразований — это ^
поворот Сз на 120° вокруг оси N—Н, поворот С| на 240°
вокруг той же оси и отражения d, Oj и о, в плоскостях,
проходящих через ось N—Н и через равновесные
положения атомов 01, 02 и 03 соответственно. Заметим, что
при всех этих преобразованиях атомы N и Н остаются
на месте, а атомы О меняются местами. Так, при
повороте Сз атом 01 переходит в атом 02, атом 02 —в атом 03,
атом 03-^ в атом 01. При отражении в плоскости d
атом 01 остается на месте, атомы 02 и 03 меняются
местами.
В отличие от равновесной, неравновесные
конфигурации молекулы HNOj, вообще говоря, не переходят сами
27
в себя. Зато они переходят друг в друга. На рис. 9
показаны преобразования некоторой конфигурации под
действием поворота Сз и отражения в плоскости Oj.
В дальнейшем мы будем рассматривать операции
^1 ^3! ^'З), (^и Oj, О3
B.2)
как операций, определенные на множестве L смещений
Рис. 9. Поворот Сз и отражение в плоскости oi: а —исходное
смещение; б — то же смещение после поворота Сз; в — после
отражения в плоскости <Ji
молекулы. Покажем, что все они являются операциями
симметрии для задачи о главных колебаниях этой
молекулы.
Рассуждение, показывающее, что это действительно
так,— очень простое. Обозначим К систему координат,
у которой ось 0Z проходит через
равновесные положения атомов
азота и водорода, а начало
координат совпадает с пересечением
медиан.треугольника с вершинами
в равновесных положениях атомов
кислорода (рис. 10). •
Если Tj (/ = 1, ..-., 5) —
смещение атома с номером /, то
проекции этого вектора на оси
координат X, у, Z условимся обозна-
Рис. 10. Система ко-
ординаг OXYZ
чать -Xi, Tjj и Z,- соответственно.
.Таким образом, всякое смещение
молекулы характеризуется
пятнадцатью числами:
X,, Ui, z„ Х2, у2, Zi, ..., Xi, уъ, Zi, B.3)
которые мы будем называть координатами смещения
молекулы,
28
Пусть ^ —одна из шести операций B.2). Под
действием этой операции система координат К займет
новое положение в пространстве, которое мы обозначим
К' =gK. На рис. И показано взаимное расположение
систем К ж К' при g = Сз, С|, Oi, Ог и Оз. Оси системы К'
обозначены X', У, Z\ При ■g = е системы К и К',
очевидно, совпадают. Так как оси 0Z и 0Z' во всех случаях
совпадают, то на рис. 11 они не изображены.
У
"У
Рис и. Перемещение,осей ОХ и 0Y под действием операций
группы Сзв. .1 — исходное положение; б —после отражения <Ji; в
—после отражения Ог; г — после отражения Оз', 9 — после поворота Сз;
е — после поворота Сз
Отметим следующее очевидное свойство, операций
B.2): координаты B.3) смещения г молекулы в
системе К совпадают с координатами смещения gr в системе
К' = gK.
Проверим справедливость этого утверждения на
примере операций Сз. Для простоты рассмотрим смещение
молекулы, изображенное на рис. 12, а (смещения Г4 и Тъ
равны нулю).
Мы видим, что -'смещение молекулы СзГ относительно
системы координат СзК точно такое же, как и смещение
г относительно системы К.
Возьмем в качестве г смещение молекулы,
соответствующее некоторому главному колебанию, частоту этого
29
колебания обозначим Юо. Смещение gr в системе gK
имеет те же координаты, что и смещение г в системе К.
Так как системы координат К и gK физически
равноправны, то это означает, что смещению gr в системе gK
соответствует главное колебание с той же частотой Шо.
OJ/
'2^
у
0
,
fb
.
■02
X
Рис. 12. Смещение г в системе К и смещение С^г в системе С^К:
а — исходное смещенде г в системе К = OXY; б — смещение Сзг
в системе К; в — то же смещение С^г в системе СзХ (в системе
С^К атомы получают новые номера в соответствии с условием:
атом 01 лежит на оси ОХ)
Такое колебание остается главным колебанием с той же
частотой соо в любой системе координат. Следовательно,
смещение gr соответствует главному колебанию с
частотой (й, и в исходной системе отсчета К. Операция g
переводит главное колебание в главное колебание с той же
частотой. Иными словами, произвольное решение задачи
о главных колебаниях под действием операции g \g'= С,,
Сзд Oi, Ог, Оз) переходит опять в решение этой же
задачи — операция g является ее операцией симметрии.
Подведем некоторые итоги. В этой главе мы
выработали достаточно общее определение понятия задачи и,
пользуясь этим определением, выяснили, что полезно
понимать под симметрией задачи. Далее, на примерах
было показано, что по крайней мере в некоторых случаях
удается довольно просто находить операции симметрии
исследуемой задачи.
Глава. 2
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ЗАДАЧИ
БЕЗ ПОМОЩИ ТЕОРИИ ГРУПП
Приведенные в предыдущей главе примеры показывают, что
в ряде случаев гораздо легче обнаружить операции симметрии
некоторой задачи, чем найти ее решения. Можно ли испольаовать
знание операций симметрии при отыскании или исследовании
ее решений? Цель настоящей главы — показать на примере, что
это возможно, если операции симметрии обладают двумя
свойствами: группобым свойством и свойством линейности. —.~
Впоследствии будет показано, что • эти два свойства
необходимы и в .общем случае исследования произвольной задачи, «б*
ладающей симметрией.
§ 3. Два CBoiicfBa операций симметрии
молекулы HNO,
Пусть g ш h — две какие-либо (не обязательно
различные) операции симметрии задачи 3. Это означает, что
если г —какое либо решение этой задачи, то отклонение
г' ='hr также будет ее решением. ^Поэтому, если к этому
новому отклонению применить операцию симметрии g,
то получится спять решение задачи, r"=gr'. Операция
перехода от отклонения г к отклонению г"
осуществляется, как легко заметить, путем последовательного
применения операций g и h — сначала применяется
операция h. а затем — операция ^. Это записывается так:
. r"=ghr.
Мы получили некоторую, возможцо новую, операцию
симметрии / — последовательное применение операций h
и g. Эта операция называется произведением операций g
и Л и обозначается символом gh. Поэтому можно записать
f = gh.
Заметим, что те же операции g и h, примененные в
другом порядке, вообще говоря, дают другую операцию
симметрии:
r-hg.
Если мы нашли некоторые операции симметрии, то,
составляя их произведения, можно иногда получить
новые операции симметрии, В свою очередь их можно
31
использовать для получения новых элементов симметрии.
И завершится э»от процесс, когда каждое произведение
окажется совпадающим с одной из ранее найденных
операций симметрии. Когда это произойдет, будем говорить,
что обнаруженные элементы симметрии образуют группу.
Таким образом, группа операций симметрии обладает
тем свойством, что вместе с любой парой своих
элементов она содержит и их произведение. В дальнейшем мы
еще несколько сузим понятие группы.
Легко убедиться в том, что шесть операций
симметрии B.2) образуют группу. Для проверки этого
утверждения необходимо рассмотреть всевозможные попарные
произведения этих операций. Легко видеть, что
двукратное последовательное отражение в одной и той же
плоскости возвращает все точки пространства на их
прежние места, т. е. является тождественным преобразованием
2 2 2
Ох = 6j 02 = е, Os = е.
Двукратное применение поворота Cj (на 120*)' есть
поворот на 240°. Поэтому его и принято обозначать
символом Cj. Последовательное применение операций
поворота на 120 и 240° дает поворот на 360°, т. е.
тождественное преобразование
^3^3 = СзС^ = е.
Нам осталось рассмотреть произведение отражений
в разных плоскостях, скажем отражений Oi и Ог, и
произведение поворота и отражения. Заметим, что
отражение 02 меняет местами атомы 01 и 03 и оставляет на
месте атом 02. Запишем зто так:
оЛ = 3, ОгЗ = 1, 022 = 2.
Подобным же образом можно записать
Oil = l, Oi2 = 3, 0,3 = 2,
Сз1 = 2, С,2 = 3, СзЗ = 1.
Поэтому
Oi02l = Oi3 = 2, Oi022 = Oi2 = 3, О1О2З ==Oil = 1.
Итак,
01021 = 2, 0,022 = 3, Oi023 = l.
Это означает, что.
0x0^ == С}.
32
Легко проверить, что и
а.,а.
а
Сз)
т. е. OiOz'^ О2О1!
Продолжая эту работу, получим таблицу умножения
(табл. 3.1 — левый множитель — в первом вертикальном
столбце, правый — в
первой горизонтальной Таблица 3.1
строке, произведение —
на пересечении
соответствующих строки и
столбца).
Эта таблица
свидетельствует о том, что
шесть опе^Заций
симметрии B.2) образуют
группу^ Ее принято
обозначать символом Cj„.
Перейдем теперь к
свойству линейности
операций симметрии.
Оно состоит в следующем. Пусть г<" и г'^' — два
произвольных смещения молекулы HNOj,' g — произвольная
операция" симметрии. Пусть, далее, gr^^^ =« р"\ gr^^^ =
= р"' — смещения, полученные в результате применения
операции g к смещениям г"' и г"'. И, наконец, а ъ Ь —
произвольные числа. Тогда
е
Сз
''3
Oi
Оа
(Та
Сз
''3
е
(^2
"з
О]
с\
е
С»
Оз
Oi
as
oi
03
а.
е ■
^^3
С,
Ci
Ol
03
Са
е
''З
Оз
Ог
Ci
''З
с,
е
или, что то же самое,
C.1)'
Убедимся в том, что операции группы симметрии
действительно обладают этим свойством. Предположим, что
какие-либо три смещения молекулы HNOs, г"', г'^> и г,
связаны соотношением
ar^i) + l,rw ^ г, C.2):
где а и 6 — произвольные числа. При переходе к
смещениям отдельных атомов это соотношение принимает
следующий вид:
ат]
Д)
+ ЬтГ = г^ (/ = 1, 2, ..., 5).
Заметим, что если такое соотношение между тремя
векторами справедливо в одной системе координат, то оно
3 г. я. Любарский
справедливо и во всякой другой системе координат.
Поэтому соотношение C.2) имеет место не только в
исходной системе координат Кв, но и в системе К'•= g~^Ka.
Учтем, что координаты смещений г"', г"' и г в системе
r/'W"
(^,г<%
(бУ%
C6rf^'W6,r'%
.^'■""'-'■"t.
в в
Рис. 13. Линейность операции Oii а —смещение г">; б
—смещение И*>; в —смещение г<''4-г'"; г — сиещеиие Oi^'*; д —
Смещение Oir**>; е — смещение Oi(r*'> + г**') '»= Oir<'> -f- Oir(*>
g~^Ko имеют те же значения, что и координаты
смещений gr^^\ gr<" Z gr В системе Кв. Поэтому установленное
равенство смещений г и аг^^^ + Ьг^*^ в системе д~*Кв
эквивалентно равенству смещений gr и agr^*^^ + bgr^^^ в
исходной системе Ко. Таким образом, мы пришли к
соотношению C.1), следовательно, операция g линейна.
Для иллюстрации свойства линейности операции Oi
приведем рис. 13.
§ 4. Как использовать симметрию задачи?
Продолжим изучение задачи о. колебаниях молекулы
HNOj. Пусть Юо — одна из собственных частот этой
молекулы. Начнем с наиболее простого случая, когда крат<
34'
ность частоты ©о равна единице. Это означает, что все
главные колебания г, имеющие частоту ©о,
пропорциональны одному и тому же главному колебанию г'", т. е.
отличаются друг от друга только значением
коэффициента С;
Если g — какая-либо операция группы симметрии
задачи, то под действием этой операции колебание г
перейдет в главное колебание той же частоты. Поэтому
gr = C,r^^K
Из сравнения последних двух выражений видно, что
gr^k{g)r, D.1)
где к (g) — число, вообще говоря, зависящее от
операции g. Если h — какая-либо другая линейная операция
симметрии задачи, то
hr='k(h)r. D.2)
Таким образом, любой операции симметрии / нашей
задачи можно сопоставить число k{f). Мы получаем
набор из шести чисел k{f) (f—e, С,, Cl, Oi, 02, Oj).
Спрашивается, что можно сказать об этих числах, если
смещение г"> неизвестно? Тут мы подходим к решающему
этапу нашего рассуждения.
В качестве первого шага подействуем на смещение г"'
произведением hg каких-либо операций симметрии g а h.
Согласно определению произведения операций имеем
(Л^)г("-Л(«''-'") = Л(Л;(^)г">).
Теперь воспользуемся линейностью операции h:
h{kig)r^^^)='k{g)hr^'^>==k{g)kihy^\
С другой стороны,
(Ag)r<'> = ft(%)r<'>.
Сравнивая эти равенства, находил следующее
замечательное соотношение:
h{hg)^k\h)k\gh D.3)
где А и g — любые две из шести операций симметрии
рассматриваемой группы. Это соотношение существенно
ограничивает возможные наборы значений шести чисел
k(g). По сути дела, оно представляет собой систему 36
3* 35
уравнений с 6 неизвестными. Впрочем, одно из чисел
(а именно к{е)) нам известно. Оно равно единице, так
как бг*"=г">. Кроме того, если А = е или g = e, то
равенство D.3) превращается в тождество. Поэтому можно
сказать, что мы имеем 25 уравнений с 5 неизвестными.
Эти уравнения имеют одно очевидное решение: все числа
k{g) равны единице:
* ig) =1. S= е, Cj, Cl,a^, Oj, 03.
Выясним, есть ли другие решения у системы D.3).
Положим в D.3) ft = Oi, g-=Oi. Так как aj = е и А(е)=1,
то получаем
ft^(oO=l, ^(oO^il.
Последнее равенство означает, что значение к (Oj) отлично
от любого числа, кроме, может быть, 1 или —1.
Подчеркнем, что мы не утверждаем, что ft(ai) может
принимать оба эти значения, мы утверждаем лишь, что
никаких других значений A(Oi) принимать не может.
Совершенно аналогично получаем
А!@2) = ±1, ^(OaJ^il.
Положим теперь в основном тождестве g — Oz, h^Ci.
Так как OjOi = С», то получим
ft(C3) = ft(oOA((jJ==(±l}(±lJ=±l.
Значит, и для Л (С,) нет иных возможностей, кроме
ftF',) = ±l.
Обратимся опять к основному тождеству и положим
g==Cs, Н^Сг. Ползучим
, k{Cl)'^k{C^)k{C^)^{±if^i.
Итак, для k\J^i) имеется единственная, возможность:
Врпомним, что CgCi = е. Отсюда следует, что
НС,)к{сХ)^\,
т. е.
А(С,)=1.
ХТтяк
- k{e)^k{C,)^k{Cl)^i,
36
a числа k{aj) (/==1, 2, ЗУ нам известны только,"с
точностью до знака. Воспользуемся соотношениями
Oi = CjOjj О2 "^ CjOj.
Из них следует, что
ft(o.) = ft(Ca)A;(o2), к{а,)^к{Сг)к{а,).
Поскольку А;(Сз)=1, то получаем
A;(o,)'=A!@2)'=A;@j)=-=±l.
Итак, существуют только д^зе возможности. Либо все
k(g) — kiig)'ai (что было ясно с самого начала), либо
k{g)='ki{g),me
к, (е) =. К{С^\ = кМ) ^и К (Oi) - h{o,) - ft, (о,) -
--1. D.4)
Так как мы воспользовались только 8 соотношениями из
25, то можно опасаться, что найденный вами набор D.4)
чисел не удовлетворяет одному или нескольким из
остальных 17 соотношений. Простая^ проверка показывает, что
набор, D.4) удовлетворяет всем* без исключения
соотношениям D.3).
Итак, хотя мы и не знаем смещения г'*', мы можем
утверждать, что' фигурирующие в соотношениях D.1)
коэффициенты k{g) определяются по одной из двух
формул:
Щ)-^к:Ш. k{g)^hlg).
Вернемся к нашвй задаче и выясним значение
полученного результата для дальнейшего.
В начале рассуждения в соотношениях D.1)
неизвестными величинами были как смещение г, так и
коэффициенты k{g). Теперь для этих коэффициентов у нас
имеются два решения: k{g)=^ki{g) и k{g)='kt{g). Это
позволяет сделать следующий шаг — перейти к исследованию
возможного вида неизвестного смещения г.
Искомое смещение будем искать сначала в нредноло-
жении, что k'{g)'='ki{g), и обозначим его г'", а затем
положим k{g)='k2(g) и соответствующее смещение
обозначим г'^>.'
Рассмотрим главное колебание г*'*, для которого все
числа ft(g) = l. Это означает, что -
gr<')-r»» («6 С,,):.
87
т. е. любая операция симметрии оставляет неизменным
смещение молекулы: смещение молекулы обладает той же
симметрией, что и ее равновесная конфигурация. Такие
колебания, если они существуют, называются
полносимметричными.
Определим возможные формы полносимметричных
главных колебаний. Рассмотрим вначале смещение атома
N (см. рис. 10). При повороте d этот атом остается на
месте, а его смещение поворачивается на 120°. Для того
чтобй это смещение оставалось неподвижным при таком
повороте, оно должно, быть направлено по оси 0Z, т. е.
вдоль прямой N — Н. То же можно сказать и о смещении
атома водорода.
Рассмотрим теперь смещение атома кислорода 01.
Равновесное положение зтого атома не изменяется при
операции d, отражения в плоскости XZ. Следовательно,
при таком отражении не должно изменяться и смещение
этого атома. Это означает, что смещение атома 01 лежит
в плоскости Oi, проходящей через ось 0Z и точку,
соответствующую равновесному положению атома 01.
При повороте Cj атом 01 переходит в атом 02, а
смещение ti атома 01 переходит в смещение Tt\ атома 02. Это
означает, что эти смещения имеют одну и ту же длину
в образуют одинаковые углы ф с осью вращения 0Z и,
кроме того, смещение Га лежит в плоскости, проходящей
через эту ось (рис. 14). Сказанное выше можно
применить и к атому 03.
Мы видим, что любое симметричное смещение
молекулы HNOj задается длинами трех векторов (смещения
N, Н и одного из атомов О) и одним углом ф. Эти четыре
величины связаны одним условием: центр инерции
системы не смещен (все рассмотрение ведется в той
системе отсчета, где центр инерции покоится, а молекула как
целое не вращается). Таким образом, остаются три
независимых параметра. Как будет показано в гл. 9, это
означает, что существуют три главных полносимметричных
колебания.
Перейдем теперь к главным колебаниям, для которых
выполняетсй условие' k{g)^ki{g), т. е. выполняются со-
отнозвения ,
СзГ = г^ Cir^r^ 01Г = <s^ (г) =. CTj {г) «• — г.
Начнем рассмотрение с атома азота. Так как его
смещение изменяет знак при отражении в плоскости Oi, то
оно перпендикулярно зтой плоскос^ги. С другой стороны,
38
Рис. 14. Симметричное
смещение молекулы HNOj
ВТО смещение изменяет свой знак и при отражениях в
плоскостях Ог И Oj, Т. е. оно перпендикулярно и этим
плоскостям. А это возможно только в одном случае г-
смещение атома азота равно нулю^ Подобным же образом
можно убедиться, что
смещение атома водорода также
равно нулю.
Далее, смещение первого
атома кислорода 01
изменяет свой знак при отражении
01, оставляющем на месте
равновесное положение этого
атома. Следовательно, смещение
первого атома
перпендикулярно плоскости Of
Учитывая, что повороты Cj и Сз
не изменяют смещения
молекулы, получаем следующее
изображение смещения г''\
представленное на рис. 15.
Мы видим, что это смещение
есть поворот всей молекулы
как жесткого целого вокруг
оси 0Z (см. рис. 10). Иными словами, смещение
характеризуется вращением молекулы, а не ее колебанием. Таким
образом, условие k{g)'=ki{g) не приводит к какому-либо
главному колебанию.
Подведем предварительные итоги. Мы выяснили, что
существуют ровно три
колебания с простыми частотами,
обозначим их (U1, (U2 и й>з. Этим
частотам соответствуют . полно-
симметричные колебания.
Далее, нам удалось сделать
первые шаги по пути к
классификации главных колебаний:
искомые главные колебания
молекулы HNOj с простыми
(не кратными) частотами
естественно разделились на два
класса. Удалось выяснить, что
существуют главные колебания только одного из этих
классов, второй класс остается пустым.
Наконец, пользуясь соображениями симметрии, мы
получили предварительные сведения о форме главных
99
Рис. 15. Смещение г")
колебаний. Эти сведения дают воэйожность существенно
упростить определение точной формы главных колебаний
и вычисление их частот.
Ка:кие же'14етоды позводили нам все это сделать?
Анализируя проведенные рассуждения, можно сказать, что
нам понадобилось решить две
вспомогательные задачи, кажд5-го
из которых можно сформулировать
как чисто математическую
задачу, не упоминая при этом о
молекуле HNOs и ее колебаниях.
Сформулируем первую из- этих
задач.
Имеется некоторая группа
преобразований (не важно — каких)
Рис. 16. Равновесное по- с таблицей умножения, приведен-
ложёние пяти точек ной в § 3. Каждому из этих
преобразований g требуется
сопоставить число k{g) так, чтобы выполнялось соотношение
k{gh)^klg)k\h),
где g тс h — любые два преобразования, а произведение
gh находится с помощью таблицы умножения. Требуется
найти все возможные решения этой задачи.
Вторая задача, формулируется следующим образом.
Рассматриваются всевозможные смещения г пяти точек
от их равновесных положений, изображенных на рис. 16
(треугольник i 2 5 — равносторонний, ось 4 — 5
перпендикулярна плоскости треугольника 123 а пересекает ее в
точке пересечения его медиан). Дан некоторый набор
шести чисел k(g): g = е, Cg, Cl, Oi, Oj, O3,
удовлетворяющий условию D.3). Требуется найти все смещения г,
удовлетворяющие условию
gT'=k{g)r (g^C,,).
При рассмотрении кратных частот колебаний мы
приходим к естественному обобщению этих двух задач и
знакомимся, таким образо.м, с двумя основными типами
задач, которые решает прикладная теория групп.
Сделаем еще одно замечание. Существует много
различных задач с той же груЬпой симметрии, что и у
молекулы HNOs. Кроме того, существует также много других
задач, у которых группа симметрии другая, но при
соответствующем обозначении ее элементов имеет такую же
таблицу умножения, как и группа Си. Для всех этих за-
40
дач наша первая вспомогательная задача отыскания
возможных наборов чисел k{g) имеет одно и то же
решение — то самое, которое мы нашли выше. Поэтому было
признано целесообразным решить раз и навсегда первую
вспомогательную задачу для всех наиболее часто
встречающихся групп симметрии. В настоящее время
существует много справочников и учебников по теории групп,
в которых приведены числа k{g) для большого числа
групп.
Наши рассуждения существенно сократились бы и
стали более прозрачными, если бы мы позаимствовали
значения наборов k{g) из соответствующей таблицы,
вместо того чтобы каждый раз их вычислять, повторяя
тем самым работу, давно уже проделанную другими.
§ 5. Исследование главных колебаний
с кратными частотами
Исследование главных колебаний с кратными
частотами можно проводить по тому же образцу, что и в
случае простых (не кратных) частот. Соответствующие
усложнения возникают сами собой, так сказать,
естественным образом, и так же естественно преодолеваются.
Для простоты изложения ограничимся частотой
кратности два. Согласно определению кратности все главные
колебания г, соответствующие этой частоте, можно
выразить через некоторые два главных колебания г'" и г'^':
В частности, в таком виде можно представить главные
колебания gr^^^ и gr^^\ где g — какая-либо операция
симметрии:
gr<''=kn{g)r<^' + k,,{gУ'\
gr''' = k,2{g)r''' + kn{g)r''\ ^ '
Фигурирующие здесь четыре коэффициента kft{g) (/, А;=='
= 1, 2; g^C,^) зависят, вообще говоря, от операции
симметрии. Это подчеркивается принятой -формой записи.
Легко видеть, что
ки{ё)^Л, "ki2{e)=^0, fcji<e)='0, кц{е)'^1.
Мы пришли к первому усложнению — каждой
операции симметрии g соответствует теперь не одно число k{g),
а четверка чисел. Эту четверку чисел принято записывать
41
в виде таблички:
и называть матрицей. Приведенная матрица имеет две
строки и два столбца. Если бы кратность рассматриваемой
частоты была равна 1>2, то мы бы пришли к таблице с
I строками и I столбцами; такую таблицу называют
матрицей размерности I.
Итак, в подпространстве главных колебаний
молекулы, соответствующих данной частоте ©в,' всякую
операцию симметрии можно описать матрицей.
Следующий шаг состоит, очевидно, в том, чтобы, зная
матрицы k{g) и k{h) двух операций симметрии g ш h,
вычислить матрицу произведения gh. Имеем, с одной
стороны,
•^kuih)gr''^ + ku{h)gr^'^^
+ k,,{h){k,2{g)r'^' + k,,{g)r^'^}.
С другой стороны,
{gh)r^^'=ku{gh)r^'^ + k,,{gh)r^'\
Сравнивая эти два выражение для смещения (gA)r<",
можно сделать вывод, что
ku{gh)='kii{g)kii{h) + kn{g)kii{h),
kti'igh)^ kii{g)kn{h)'\- kii{g)kii{h).
Подобным же образом можно вычислить и элементы
второго столбца матрицы k{gh):
ftis igh) =- кц {g) kii (A) -t- ki2 (g) kit (A),
knlgh)'^kti{g)kuih) + k2t{g)kit{h).
Bee четыре соотношеаия можно записать в виде
одной формулы}
кц {gh) = 2 ki, ig) кц (А) (ь / = 1, 2).
42
Построенную матрицу k{gh) естественно назвать
произведением матриц k{g) и k{h). Записывается это так:
k^^ig) *ia<«)\/*u('') ^«(''^
a
2
*=i
2
s
h
*is (?) *si
hs (g) Ki
(h)
(h)
г
2*.«
*=i
2
2Л«
(?)
(?)
«=«
^.2
(fe)
(h)
1 e=l
Определенное таким образом умножение можно ввести
для любой пары матриц одинаковой размерности без
всякой связи с операциями симметрии. Оно вводится по
следующему йравилу (алгоритму): для вычисления
матричного элемента с индексами i и / произведения АВ двух
Л1атриц А я В следует выписать i-ю строку матрицы А
a.j-n столбец матрицы В. Затем составить произведения:
первый элемент строки умножается на первый элемент
столбца, второй элемент строки — на второй элемент
столбца и т. д. Сумма полученных I произведений и есть
матричный элемент матрицы АВ с индексами i и /.
Описанный алгоритм изображается следующей формулой:
I
(Щи = 2 AimB„j.
Подчеркнем основное свойство введенного действия —
умножения матриц: матрица произведения двух
операторов равна произведению матриц этих операторов.
Теперь можно записать основное соотношение,
связывающее матрицу k{gh) произведения gh операций g
и Л с матрицами k{g) и k{h) этих операций:
k{gh)''k{g)k{h) {g, h^C,,). E.2)
Это соотношение по виду ничем не отличается от
соотношения D.2). По существу же оно значительно сложнее,
так как входящие в него величины k{gh), k{g) и k{h)
являются матрицами, а не числами, а действие k{g)k(h)
есть умножение матриц.
Соотношение E.2) свидетельствует о том, что каждому
элементу g группы Сз„ сопоставлен некоторый оператор
k{g) и что эти операторы обладают следующим
свойством. Произведению любой пары элементов g ш h
соответствует оператор k{gh), равный произведению операторов
k{g) и ft(Л).
43
Соотношение E.2) приводит к следующей зада-че,
являющейся обобщением первой вспомогательной задачи,
рассмотренной в § 4: найти все возможные наборы
матриц {k(g)X (geCi^), для которых удовлетворены
соотношения E.2).
Эта задача гораздо сложнее задачи, приведенной в § 4.
Мы не будем пытаться решать ее, не прибегая к помощи
теории групп. Ограничимся лишь тем, что сформулируем
результат, к которому приводит теория групп в
рассматриваемом частном случае.
Все решения поставленной задачи можно разделить на
две группы. К первой группе отнесем 'решения вида
(Це) о \
^{е)'^У о kj(g)\ ig^Cav; г,/-1,2),
где k{{g) — решения первой задачи, рассмотренной в § 4.
Это — тривиальные решения, так как они получаются
механически, с помощью уже известных решений ki{g).
Одно из нетривиальных решенпй таково:
/1 0\ /-1/2 -V3/2\
*з(«)-(^0 ij' ^3 (Q'= ^уз72 -1/2 У'
.(гл f-1/2 Уз72\
*з iPi) « [о -1J • *з Ю = \_уз72 1/2 j •■ ^
к(п\ 1~^'^ '^^'А
«з10Гз)=' ^уз72 1/2 /•
Все остальные нетривиальные решения получаются из
решения ki{g) t помощью следующей простой процедуры:
k{g)='Bk,ig)A (geC,„), E.3)
где А ш В — любые две матрицы 2X2, удовлетворяющие
условию
В качестве А можно взять любую матрицу
("и "и]
удовлетворяющую необременительному условию
44
После того как матрица А выбрана, все матричные
элементы матрицы
В
(hi *1Л
определяются однозначно. Легко проверить, что
''11 — ^ 21 "и °°° ^ ''l2> 1 =° ^ 1s
, 1
''22 = "д''^11'
Формула E.3) действительно определяет некоторое
решение настоящей задачи. В самом деле,
k{g)k{h)= Bh{g)ABk,{h)A.
Учитывая, что АВ = Е и что kt{g)kt{h) = kt{gh),
получаем
k{g)k{h) = Bk,{gh)A^k{ghy,
т. е.
k(gh)==k{g)k{h).
Итак, все решения k{g) вида E.3) получаются"из
решения kb{g) с помощью стандартной процедуры, т. е. очень
просто. Впоследствии мы увидим, что такие решения не
дают ничего нового по сравнению с тем, что дает
решение ki{g).^ этом смысле можно сказать, что
рассматриваемая задача имеет единственное нетривиальное
решение: A:j(^).
Обратимся теперь к обобщению < второй
вспомогательной задачи (см. § 4). Речь пой:1^ет о том, чтобы найти два
смещения г'" и г^^\ которые под действием операций
симметрии преобразуются по формулам E.1), где матрицы
k{g) совпадают с приведенными выше матрицами А;з(^)
(g^Civ). Это есть частный случай гораздо более общей
задачи'- одной из основных задач теории групп. Ниже
мы познакомимся с некоторыми методами решения
подобных задач. Здесь, же приведем лишь результат
решения нашей конкретной задачи.
Общий вид смещения.И'' изображен на рис. 17.
Видно, что оно зависит от пяти параметров *): а, Ь, с, d и ф.
*) Условия неподвижности центра инерции и равенства
нулю момента количества движения уменьшают число независимых
параметров до трех,
45
Значения этих параметров возможно определить только
с помощью Зфавнений механики. Хотя это и не очень
простая задача, все же она значительно легче задачи
определения пятнадцами параметров, которую пришлось бы
решать, не прибегая к соображениям симметрии.
Решая задачу с тремя неизвестными параметрами, мы
найдем три главных колебания: r^i\ 4" и /s\ Учитывая
далее, что согласно E.1)
2 ■'•'"»
следующие три главных колебания мы получим
«бесплатно», т. е. не обращаясь к уравнениям механики,
'}
.A),
2 „rU)
(/ = 1, 2, 3).
При этом колебания гу и г]'^ имеют одинаковые частоты
0)
(«
0 = 1,2,3).
Рис. 17. Смещение г<'> молекулы, соответствующее первому
вектору канонического базиса двумерного неприводимого
представления группы Сз,
Подчеркнем, что приведенные результаты (кроме
конкретной формы колебаний Г1^\ г^^ и Н^') получаются
только из соображений симметрии без обращения к
уравнениям механики. Здесь возникает вопрос, в каких случаях
анализ задач с группой симметрии позволяет получить
подобные результаты или, иными словами, насколько
поддается обобщению примененный нами прием исследовй'
ния подобных аадач. Ответ 'на этот вопрос' содержится в
следующей главе.
Глава 3
ОБЩАЯ СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
К ИССЛЕДОВАНИЮ ЗАДАЧ С ГРУППОЙ СИММЕТРИИ.
ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Было бы странным, если бы своеобразный прием
исследования задачи о колебаниях механической модели молекулы НЛ'Оз,
примененный в гл. 2, не мог быть использован для исследования
ряда других задач. Поэтому естественно провести анализ этого
приема, с тем чтобы, отделив частное от общего, возвести его в
ранг метода. Такой анализ должен быть сосредоточен на
выявлении использованных свойств множеств £ и X рассмотренной
задачи, свойствах се операций симметрии, а также ва тех чисто
математических задачах, которые возникли в процессе исследования
и которые мы относим к прикладной теории групп.
Коротко, эти свойства состоят в следующем. Элементы
совокупностей L (и X) можно «умножать» на числа, можно ксклады-
вать» друг с другом и при этом получать опять-таки элементы
этого же множества L (соответственно X). При этом указанные
два действия обладают рядом свойств, которые роднят их со
сложением и умножением чисел. Подобные совокупности элементов
играют важную роль во многих областях пауки, им присвоено спе-
циа.1Ьное название — линейные пространства. С линейными
пространствами и их простейшими свойствами мы познакомимся в § 7.
Б дальнейшем мы будем заниматься - только теми задачами,
у которых множества L я X — линейные пространства. Такие
задачи называются линейными. Это — очень широкий круг задач.
Их изучение составило эпоху в математике и физике и
продолжается до сих пор.
К операциям симметрии задачи i4(L) будем предъявлять два
требования. Во-первых, эти операции должны быть линейными.
Общее определение и основные свойства линейных операций
излагаются в § 8. Во-вторых,-они должны образовывать группу.
Читатель сможет познакомиться с понятиел! группы в § 9.
В J 10 при выполнении указанных ограничений дается
общая схема исследования задачи A(L) с группой симметрии G и
формулируются в общем виде две основные задачи прикладной
теории групп. Тем самым достигается основная цель этой главы —
уяснить схему применения теории групп в исследовании задач,
обладающих группой симметрии.
Чтение §§7—9 может вызвать некоторые психологические
трудности. Поэтому в § 6 предварительно обсуждается польза й
неизбежность введения абстрактных понятий в науке и, что
главное, делается попытка убедить читателя, что использование
абстрактных пбнятий упрощает (а не усложняет) изучение того или
иного раздела науки.
47
§ 6. Об абстрактных .понятиях
Все абстрактные понятия можно разделить на два
типа: связанные с идеализацией и не связанные с нею. Как
правило, все абстрактные понятия геометрии и физики
(геометрическая точка, прямая, плоскость, материальная
точка, абсолютно твердое тело, идеальный кристалл и т. п.)
возникают в результате идеализации некоторых реальных
объектов. Нас будут интересовать абстракции, не
связанные с идеализацией.
Выдающимся представителем такого типа абстракций
является целое число. Мы настолько привыкли к этой
абстракции, что лишь с трудом соглашаемся признать
целые числа абстрактными понятиями. Между тем
переход от образов (четыре коровы, четыре яблока, четыре
восхода солнца и др.) к понятию «четыре» безусловно
является чистой абстракцией.
Эта абстракция оправдана многими обстоятельствами,
мы же ограничимся двумя. Первое: если украдена одна
или несколько коров или съедено одно или несколько
яблок, то число (как коров, так и яблок) перестанет быть
равным четырем, а станет равным трем, двум или одному.
Второе обстоятельство: если объединить четыре коровы
и три коровы, то получится семь коров; совершенно
аналогичный результат получится при объединении
четырех яблок и трех яблок. Это избавляет нас от
необходимости составлять отдельно таблицу сложения для
коров, отдельно — для яблок и т. д. Достаточно иметь
лишь одну таблицу сложения — для абстрактных чисел
1,2,...
Следующий, более высокий уровень абстракции
достигнут в' алгебре, преподаваемой в средней школе. Здесь
вводятся буквы а, Ь, ..., X, у, Z, каждая из которых может
обозначать любое число (не обязательно целое). Вместо
конкретного числа — буква, обозначающая любое число и,
следовательно, представляющая собой следующую
ступень процесса абстракции. Чем оправдывается ,эта
ступень?
Ограничимся и здесь двумя соображениями. При
решении арифметической задачи, условие которой
содержит несколько чисел, скажем чисел 25, 6 и 17, нам
нужно решить для себя два вопроса: во-первых, выяснить,
какие именно арифметические действия следует
произвести над этими числами, чтобы получить ответ, и, во-
вторых, произвести эти действия фактически. Существует
48
огромное множество задач, в которых первый вопрос
решается совершенно независима от того, какие именно
числа фигурируют в условии задачи. Например: «Петя
собрал 5 грибов, а Маша — 12. Сколько грибов они
собрали вместе?» Ясно, что два числа 5 и 12 следует сложить
и что точно так же следовало бы поступить, если бы Петя
собрал 2, а Маша — 15 грибов.
Стоит подняться на ступень абстракции, связанную с
использованием букв, и две эти задачи перестают
восприниматься как различные. Они становятся двумя частными
случаями одной задачи: «Петя собрал а грибов, Маша
собрала Ь грибов. Сколько грибов они собрали вместе?»
Ответ этой задачи (а + Ь), если, его рассматривать
применительно к любой из конкретных задач, является
алгоритмом решения; он указывает, какие действия следует
произвести над числами, входящими в условия задачи,
чтобы получить требуемый ответ.
Итак; первое оправдание введения абстрактных
чисел — букв — это возможность алгоритмического подхода
к задачам, при котором различные конкретные задачи
оказываются частными случаями одной и той же
абстрактной задачи.
Второе оправдание введения букв — это абстрактное
описание преобразований, переводящих одно численное
тождество в другое. Например, если fl+b = c + d, а е —
произвольное число, то а+Ы-ев=с-1-d+e. Подобные
преобразования используются для решения
алгебраических уравнений.
Третий уровень абстракции используется в теории
множеств. Бели мы говорим, что элемент Ь пр^адлежит
множеству У, то зто вовсе не значит, что Ъ — некоторое
число. На этой ступени абстракции Ь — совершенно
произвольный объект, например вектор, функция, набор I
векторов, преобразование й т. п.
В рамках теории множеств введение этой ступени
абстракции оправдывается тбм, что ряд действий над
множествами (объединение множеств, их пересечение,
дополнение одного множества до другого) обладают
свойствами, не зависящими от природы этих множеств. В
качестве примера можно привести известное тождество
. П(Х»ПХ,)>(У\Х.):П(У\Х,):
(Xi П Ха— пересечение множеств Х, и Xjj УХХ —
дополнение множества X pfi множества У).
^ г. я. Любарский 49
Однако наиболее плодотворным третий уровень
абстракции оказался в тех случаях, когда наряду с
элементами b множества Y рассматриваются «действия» над
ними {например, умножение операций симметрии). Здесь
возникает естественный вопрос: если мы не
конкретизируем природы элементов множества Y, то как можно
определить действия над этими элементами?
Как правило, теория, рассматривающая абстрактные
множества элементов вместе с определенными на них
действидми, не интересуется конкретным характером этих
действий. Ей достаточно, чтобы эти действия обладали
некоторым набором конкретных свойств. Так, если какое-
либо действие, определенное на парах элементов
множества Y, называют сложением, то это означает, что это
действие обладает следующими двумя свойствами:
a + b = b + a, а + (Ы-с) = (а + й)-1-с
(а, Ъ, с^У). Прекрасным примером, иллюстрирующим
эту ступень абстракции, являются линейные пространства.
Оправдание третьего уровня абстракции, по сути дела,
такое же, как и у первых двух ступеней: она позволяет
сформулировать много различных задач как некоторую
одну задачу и тем самым свести их решение к решению
эуой одной задачи. Удивительным является то, что
решение этой одной (абстрактной) задачи, как правило,
находится легче, чем решение любой из сводимых к ней
конкретных задач. По-видимому, это объясняется тем, что
в абстрактной формулировке не принимается во внимание
несущественная информация.
§ 7. Линейные пространства
Линейное пространство — это совокупность- элементов,
которые можно складывать друг с другом и умножать на
числа. Именно такие действия можно производить со
смещениями молекулы HNO3. Разумеется, это можно делать
и со смещениями других молекул.
Говоря о сложении элементов линейного пространства,
следует помнить, что в каждом конкретном случае это
действие следует определять. Так, например, сложение
двух векторов определяется известным правилом
параллелограмма, которое возникло из наблюдений над такими
ситуациями, как сложение сил, приложенных к одной и
той же точке, сложение скоростей и ускорений, сложение
перемещений и т. п.
50
Однако для дальнейшего важным является не
описание алгоритмов сложения и умножения в различных
конкретных линейных пространствах, а свойства этих
действий, общие для всех линейных пространств. Перечислим
эти свойства (здесь буквы а, Ь, с обозначают три
произвольных элемента линейного пространства, К ш \i —
произвольные числа).
1°. Переместительный закон:
а + Ь = b-h а.
2". Сочетательный закон сложения:
{a + b) + c = a + {b + c).
3°. Линейное пространство содержит нуль-элемент, т. е.
такой элемент, что
О + я = я.
4°. Сочетательный закон умножения:
Я(ца) = (Хц)я.
5°. Умножение произвольного элемента а на числа О
и 1 дает соответственно нуль-элемент пространства и тот
же,Элемент а:
О • а = О, 1 • я = я.
6°. Два распределительных закона:
{К + \i)a='Xa + \ia, Я.(а + 6)=»= Я.а + Х6.
Сделаем несколько простых замечаний.
Произведение (—1)я обозначается символом —я и
называется элементом, обратным я. Вместо того чтобы
писать а + {—Ь), обычно пишут а-~Ь.
Сумма любого элемента Ь и обратного ему, —Ь, равна
нуль-элементу:
Ы-(-Ь) = 1-6 + (-1)Ь = (И-(-1))-6 = 0-6 = 0. .
Обратный элемент удобно использовать для решения,
уравнений вида
я + а; = Ь,
где я и Ь — известаые элементы пространства L, а а; —
неизвестный элемент. Прибавляя к обеим частям
равенства обратный элемент —а, получим
(я + ж) — я = 6 — а,
4* ' 51
Левая часть этого соотношения равна х:
(а +х)—а = {х +а)—а'=х + {а —а)='Х.
Поэтому, как и в обычной алгебре, решением уравнения
а + х = Ь является х =.Ь — я.
Сделаем проверку. Видим, что
а + (,Ь - al — {a + {-a))+ b = Ь,
что и следовало ожидать.
Вернемся к абстрактной задаче A{L). Напомним, что
вту задачу мы условились называть линейной, если
совокупность L является линейным пространством и если
совокупность Х^Ь решений этой задачи также является
линейным пространством. При этом предполагается, что
оба действия, сложение п умножение, определены на X
точно так же, как и на L. Это соотношение между
линейными пространствами L я X выражают словами: «X
есть подпространство пространства L».
В алгебре линейным подпространством линейного
пространства L называют всякое подмножество М множества
L, которое само по себе образует линейное пространство
с теми же действиями сложения и умножения. Для
краткости будем опускать прилагательное «линейное» и
говорить «подпространство», если это не может стать
причиной недоразумения.
Для закрепления понятия подпространства приведем
пример. Совокупность всех полиномов Р{х) степени не
выше т, удовлетворяющих условию ,
/»(!)== О,
образует подпространство в пространстве всех полиномов
степени не выше п {п>т). В самом деле, если
ЛA) = 0, Pj(l)"=0 и Q{x) = KP,{x) + KJ»i{x),
то 9(l)^A,iP.(l) + XzPj(l)"=0.
Проведем классификацию пространств. Если в
пространстве L существует п элементов ei, Сг, ..,, е„ таких,
что любой другой элемент а пространства L можно
представить в виде суммы:
я = XiCi + ^jSj + . .. + ^.nSn G.1)
(при правильном подборе чисел К, кг, ..., Хп), то
пространство L называется конечномерным. В
противоположном случае пространство L называют бесконечномерным,
52
Наименьшее число фиксированных элементов «i, вг, ...
..., е„, с помощью которого можно осуществить
представление G.1) любого элемента конечномерного
пространства, называется размерностью пространства, а сами эти
элементы образуют так называемый базис
пространства L.
Приведем пример. Пусть L — пространство всех
полиномов степени не выше третьей. Возьмем полиномы ж', х^,
а; и 1. Ясно, что всякий полином P^L можно записать
в виде
Р {х) = Ха^ + %гх^ + XiX + Xi,.
Это значит, что L.— конечномерное пространство, а его
размерность не превышает четырех. (Легко доказать, что
эта размерность равна четырем, но мы не будем на этом
останавливаться.) *
Элементы Si, вг, ..., е„ суммы G.1), как уже
говорилось, называются базисом пространства, а числа ^i, Xz,-->
..., Хп —координатами элемента а в базисе et, вг, ■ ■ ■, вп
(предполагается, что п — размерность пространства L).
Так как любое, подпространство само является
пространством, то на него автоматически переносятся понятия
размерности и базиса.
Если мы вернемся к задаче о колебаниях молекулы
HNOj, то сразу же заметим, что введенное там понятие
кратности собственной частоты Шо совпадает с
размерностью подпространства, состоящего из всех главных
колебаний с данной частотой Шо. 'Более того, приведенное
там построение привело нас к набору главных колебаний,
образующих базис в этом подпространстве.
§ 8. Линейные операции
При исследовании задачи о колебаниях молекулы
HNO( мы использовали линейный характер операции
симметрии. Теперь дадим абстрактное (т. е. более общее)"
определение линейной операции или, как «ще говорят,
линейного оператора.
Напомним, что операцией на некотором множестве Л
называется сопоставление каждому элементу xsJt этого
множества некоторого элемента у из этого же множества.
Операции принято абозналать буквами. Если некоторая
операция о сопоставляет элементу х элемент у, то это
записывается так:'
A3
Говорят также, что операция о переводит элемент х в
элемент у. Операция, сопоставляющая каждому элементу
X этот самый элемент, называется единичной операцией
или тождественным преобразованием. Она обычно
обозначается буквой е (или Е), так что
ех = х.
Задать операцию а — значит указать, правила,
позволяющие найти для каждого элемента х соответствующий ему
элемент у = ох. Если операция о задана на некотором
линейном пространстве L и удовлетворяет условию
о (Яа +(i&) = Хоа-Ь цоЬ {а,Ь^Ь)
при любом выборе чисел Я и ц и элементов я и 6, то она
называется линейной. В дальнейшем нас будут
интересовать только линейные операции. Рассмотрим их более
подробно
Пусть L — конечномерное пространство, а
в£, е^, . •., е,
— какой-либо его базис. Произвольный элемент а можно
представить в виде суммы:
а = XiSi + Хгбг + ... 4- я е«.
Пользуясь линейностью операции о, можно записать
аа = KiOCi -t- ХгОбг + ... + Х^ое,.
Это равенство позволяет вычислить вектор аа, если
известны векторы acj (/ =1, 2, ..., s) и координаты Xj
(j =» 1, 2, ..., s) вектора а. Это означает, что один из
методов задания (описания) произвольного линейного
оператора о в s-мерном пространстве состоит в задании s
векторов . ^
ae^, ое%, ..., ае,.
Каждый из этих векторов в свою очередь можно
разложить по векторам базиса Cj. Запишем это так:
aci ч= a,ei + Оцвг +... + а^е,,
авг -» Oizei -Ь Огг^г + ... + О.гС, (8.1)
ае, = Оцв, 4- 02*6, + ... + а,,е,.
Мы видим, что задание s' чисел Ол (у, k = i, 2, ..., s)
полностью определяет линейную операцию о.
Совокупность этих чисел принято записывать в виде матрицы:
'•^11 «^12
и называть матрицей операции о. Заметим, что числа,
входящие в первое из равенств (8.1), заполняют первый
столбец матрицы, числа из второго равенства
располагаются во втором столбце и т. д. Запомним, что Од — это
/-Я координата вектора ае^. Нам осталось научиться
перемножать матрицы так, чтобы произведению операций
соответствовало произведение матриц.
Пусть о и ц — две линейные операции, а Оц, и ц»
(/, k=*i, 2, ..., s) — их матрицы. Вычислим матрицу
произведения операций ац. Имеем, с одной стороны,
0|ле,- = о (iXijCi + jiaA + ... + \Xs3et) ==
i t s < 1
= 2 V^kjOek = 2 f^W 2 Omhem = 2 «m 2 Omhi^hj-
h=l i«=l m=l m=-l i—i
С другой стороны, по определению
i
(ОЦ) ej = 2 {0\i)mj Sm.
Сравнивая два. последних равенства, находим
выражение для матричного" элемента матрицы a\i:
<
Заметим, что в этой формуле фигурируют только элементы
/п-й строки матрицы о и элементы /-го столбца
матрицы ц.
Достоинством введенного матричного описания
линейных операций в конечномерных пространствах является
его универсальность.
§ 9. Группы
Начнем с операций симметрин задачи о колебаниях
молекулы HNOs. Совокупность этих операций (числом
шесть) обладает целым рядом свойств, которые были
использованы при исследовании колебаний молекулы, О ли-
55
нейности этих операций мы уже говорили. Не менее
важным свойством этих операций является то, что их можно
перемножать. Для построения общей схемы нам
необходимо сформулировать в общей форме свойства, которыми
должна обладать совокупность G операций симметрии
рассматриваемой задачи.
Будем исходить из некоторой совокупности G'
операций симметрии задачи A{L). Произведем над ней
следующие действия. Удалим все операции симметрии, не
имеющие обратных операций. Удалим все операции, у
которых обратные операции не являются операциями
симметрии. Присоединим тождественное преобразование е.
Рассмотрим все возможные произведения gh
оставшихся элементов симметрии. Легко видеть, что каждое такое
произведение является операцией симметрии, имеет об-
рач'ную операцию h~^g~^, причем она в свою очередь
представляет собой операцию симметрии. Присоединим все
получившиеся таким образом новые операции симметрии
к первоначальным. Этот процесс расширения множества
G' можно продолжать до тех пор, пока он будет
приводить к появлению новых операций симметрии. В
результате мы получим набор G линейных операций
симметрии, который обладает следующими свойствами:
1) совокупность G содержит вместе с каждой
операцией h обратную ей операцию h~^•,
2) совокупность G содеря«ит вместе с каждой парой
операщгй g, h их произведение gh.
Любую совокупность операций в пространстве L, удов-
летвбряющую этим двум условиям, будем.называть
группой операций. .
В дальнейшем мы будем предполагать, что нам
известна некоторая группа G в пространстве L, каждый
элемент которой является линейной операцией симметрии
задачи Л (L). Группу-G будем называть группой сим^
метрии задачи A\L). ^
Умножение операций (не обязательно линейных или
операций симметрии) обладает сочетательным свойством.
Если о, ц й V —любые три операции; заданные на
некотором множестве J(, то с их помощью возможно; в
частности, составить операции
а = 0|Л и р =■ jiv.
Сочетательное свойство умножения операций
выражается равенством _ .
ov=»ap, т. ё. (o|Aiv='d(nv), (9.1)
11:
Это свойство згмножения непосредственно вытекает из его
определения. В самом деле, если а; ejf —произвольный
элемент множества М, то
(ау)а: =■ а {\х) = (о|л) (va:7 = (о(и (va;))),
(a?)a; =* о{^х) = о( (цу)а:) = o(ji(va;)),
Равенство (9.1) доказано.
Тождественное преобразование е обладает следующим
очевидным свойством:
eg^ge^g (geG),
какова бы ни была операция g из группы G. В связи о
этим тождественную операцию называют единицей
группы G.
Введе^л еще одно полезное понятие. Если некоторое
подмножество Gi операций из группы G само по себе
образуем группу, то эта последняя называется подеруппой
еруппы G.
Подводя итоги, скажем, что в этом параграфе мы
познакомились с новым абстрактным понятием — группой
операций. Легко проверить, что в рассуждениях §§ 4 и
5 не использовалось никаких иных свойств операций
симметрии, кроме тех, которые оговорены в определении
группы симметрии.
§ 10. Абстрактная задача и представления групп
Пусть А (L) — некоторая линейная задача, X —
совокупность ее репхений, G — какая-либо группа симметрии
этой задачи. Так как любая операция симметрии g^G
переводит любое решение х^Х в некоторое решение
г/еХ, то ее при желании можно рассматривать как
некоторую операцию To{g), заданную только на
подпространстве X. Точнее, операция g на пространстве L
порождает операцию Го (g) на подпространстве решений X.
Операция Tt{g) определяется формулой
To{g)x=gx. (lO.i)-
Подчеркнем, что операции g и То (g) — разные
операции, поскольку они заданы в разных пространствах,
соответственно в пространствах L и X. ,
Из определения A0.1) вытекают два свойства
операций Tii{g). Во-первых, полагая в A0.1) g=-e (е
—тождественная операция: ех =^х), получим
Т,{е)з1 = х, т. е, Т,{е) = Е,
67
где Е — тождестведная операция в пространстве X. Во-
вторых, если fI и g2 — два произвольных элемента
группы G', то
Го {gigz)x - g^g2X = gj{g2)x = T{g^)T{gi)x {x e X).
Таким образом, имеют место следующие соотношения:
Т,{е) = Е^, ToШToigг)='To{g,gг): .A0.2)-
Забудем временно о том, что операторы To{g) (g^G)
заданы равенствами A0.1). Сосредоточим свое внимание
на двух свойствах A0.2) семейства этих операторов.
Именно анализ следствий, вытекающих из этих свойств,
и составляет основное содержание прикладной теории
групп. В центре нашего внимания будет следующая
ситуация. (
Каждому элементу группы g^G сопоставим
некоторый оператор T{g). Вое эти операторы действуют в
одном и том же пространстве У и подчиняются условиям
Г(е)>=£, T{g,)T{gг)'-T{g,gг), A0.3)
где Е — единичный оператор в пространстве Y, а gi и
gt — любая пара элементов группы G. Условимся говорить
в этом случае, что соответствие
g-*T{g) (gsG)
есть представление Т группы G, а операторы T{g)
являются операторами этого представления. Размерность s
пространства Y, в котором действуют операторы
представления Т, называется размерностью этого представления.
_Из соотношений A0.2) видно, что операторы Tt{g),
определенные равенствами A0.1), образуют некоторое
представление группы симметрии G задачи А (L), •
В следующем параграфе выясняется структура
множества {Г} всевозможных представлений Т данной
группы. Эта структура оказывается неожиданно простой, что
и объясняет успех, применения теории групп к
исследованию задач, имеющих группу симметрии.
У каждой группы есть тривиальное представление,
в котором всем элементам группы поставлен в
соответствие один и тот же оператор, а именно единичный
оператор
T{g)='E ig^G).
58
Это представление называется единичным, если
пространство L, в котором определены его операторы, одномерно.
Обратим внимание читателя на следующее
обстоятельство, имеющее принципиальное значение. Формулировка
свойств A0.3) не содержит упоминания об условиях А
задачи A{L). Имея список элементов g^G в правило
вычисления произведения gh для любой пары операций
^ и Л, т. е. таблицу умножения, можно проверить,
удовлетворяет ли заданный набор операторов T{g) условиям
A0.3). Благодаря этому возникает первая
основная задача прикладной теории групп:найги все пред'
ставления группы G, зная ее таблицу умножения. Это —
чисто алгебраическая задача. Для наиболее часто
встречающихся групп эта задача давно решена. Получены
соответствующие таблицы и правила, как ими пользоваться.
В основе этих правил,лежит анализ структуры
совокупности представлений данной группы.
§ И. Структура совокупности всех представлений
данной группы
У каждой группы имеется бесконечное множество
различных представлений. Однако совокупность всех
представлений группы имеет сравнительно простую
структуру. Для описания этой структуры нам понадобятся две
операции: переход от данного представления к
эквивалентному представлению и сложение представлений.
Можно выделить некоторое минимальное множество представ^
лений (т) таким образом, чтобы любое другое
представление мржна было получить, применяя указанные две
операции к представлениям из множества (т). Если
группа G содержит конечное число, элементов, то и
множество {т} является конечным.
Приступим к описанию указанных операций.
Пусть Ti — представление группы G, определенное в
некотором п-мерном линейном пространстве Li. Пусть
1г2 — какое-либо линейное ге-мерное пространство (случай
Li = Li не исключается). Возьмем какой-либо линейный
оператор В, переводящий элементы пространства Li в
элементы пространства Ьг, Потребуем только, чтобы
оператор В имел обратный оператор 5~'. Оператор i?~'
определен на элементах пространства Ьг и переводит их в
элементы пространства Li. При этом 5~'5 — единичный
оператор в пространстве i„ а 55"' — единичный
оператор в пространстве Li.
Б9
Сопоставим.каждому элементу gsG оператор Гг^г)",
действующий в пространстве Ьг и определяемый
формулой
T,ig)-BTdg)B-\ A1.1)'
Легко видеть, что Т2{е)=Е и что Tt{g,gi)='
•=T2(gi)Ti(g»). Это означает, что соответствие g-^Ti{g)
есть представление грудпы G. Это представление
называется эквивалентным представлению Т^
Таким образом, два представления: Ti в пространстве
Li и Т2 в пространстве Ьг называются эквивалентными,
если существует линейный оператор В, переводящий
элементы Xi из Li в элементы Хг из Ьг и обладающий еле-
дующими двумя свойствами:
1) существует обратный оператор 5~';
2) каков бы ни был элемент g, имеет место
соотношение Ti{g)^BTi{g)B-K
Легко показать, что представление Ti эквивалентно
Тг, если Тг эквивалентно fi, что каждое представление Т
эквивалентно самому себе и что представление Ti
эквивалентно Тг, если оно эквивалентно нредставлевию Тг и
если Тг эквивалентно Гз.
У каждого представления Т имеется сколько угодно
эквивалентных представлеввй. Все представления данной
группы G можно разбить на классы так, чтобы все
эквивалентные друг другу представления содержались в одном
и том же классе и чтобы все представления, вошедшие
в один и тот же класс, были эквивалентны. друг другу.
Обратим внимание на следующее важное свойство
эквивалентных представлений. Каков бы ни был базис Ci,
Сг, ..., е„ в пространстве Li, где действует представление
Ti, в пространстве Ьг, где действует эквивалентное
представление Т, можно указать однотипный» базис /i, /2, ...
..., /„, т. е. такой, что матрицы Tf^ (g) операторов Ti (g)
в базисе е,, е», ..., е» совпадают с матрицами T^l\g)
операторов Tг{g) в базисе Д, /г, #.., /«•
Покажем, что это так. В соответствии с определением
эквивалентных представлений существует оператор В
такой, что
Tг{gl'-BT,{g)B-^.
Построим с его помощью базис в пространстве Ьг'.
/i = 5е„ /а = Вег, ,.., /л >^ Ве„.
60
Имеем
Т, {g) ti = ВТ^ (g) B-'fi = ВТ^ (g) ei ■■
B^t'>hg)e,^^T'i}{g)U
Это означает, что
»=i »=i
'rf{g)^T'${g).
Итак, базисы Cj и f} = Bej преобразуются одинаково и,
следовательно, однотипны.
Понятие эквивалентности ■ позволяет свести описание
всех представлений данной группы к описанию
совокупности представлений .{Т}^, которая получается, если из
каждого класса эквивалентных представлений взять по
одному представителю. Все остальные представления'
группы G могут быть получены операцией A1.1) перехода
к эквивалентным представлениям.
Для исследования структуры совокупности
представлений (Do удобно ввести операцию сложения
представлений. Пусть Ti ш Тг — два представления одной и той
же группы G, действующие в линейных пространствах
Li и Ьг. Образуем «сумму» пространств L — Li + Li,
определив ее как совокупность всевозможных пар .вида
{хи Хг), где Xi — элементы из Li, Хг — из L^.
Операции сложения и умножения на число
определяются естественным образом:
(oj, аг) + {bi, bj} = {ai -+- bi, aj + Ь^,
hiui, a^} = Ufli, Xoj}
(ai, bisZ/i; aj, bjSLj)".
В пространстве Z/ определим операторы T(g) (g^G),
положив
T{g){a„ a,)^{Ti{g)a„ T,{g)a,}.
Легко проверить, что T{e)'=E и T(gigi)'=T(gi)T(gi),
т.е. что операторы jr(g) образуют представление группы
G. Оно называется суммой представлений Г, + Т^.
Матрицы Tj,t{g) суммы представлений T^Ti + T^
принимают так называемую квазидиагональную форму,
если базис в пространстве L =» Li + Lj выбрать следующим
специальным образом:
ie^O), {е„0}, ..., (е„,0}, {О,/.}; {0,ДЬ ..., {0,/J, A1.2J
где Ci, 62, .,., em — произвольный базис в пространстве Xi,
61
/i, /2, ••; /n — Произвольный базис пространства £-2. В
базисе A1.2) матрица Tji{g) имеет следующий вид:
T{g)^
0
0 ■ .
0
0 '
0
0
0
0
0
' 11
^21
тB)
^ П1
•
{g) .
(?) .
te) .
0
0
0
. П^п'Ц
Отметим, что пространство L = Li + Ьг, в котором
действует представление T = Ti + Т^, содержит два
подпространства L*" и L'^', которые под действием операторов
T\g) преобразуются соответственно по представлениям
Ti и Тг. В этих подпространствах можно выбрать базисы
о<1) оA)
П 2 ^2 J
J1)
И е
,B) J2)
1 ),
^2
„B)
так, чтобы
Т ig) eY' = 2 г-^,^^ (?) е<Л Т ig) еГ = S Tf ig) е?\
1=1 1=1
Такие базисы можно составить из векторов:
J1)
{ei,0}, еГ = {0,/О G = 1,2,
Z = l, 2, ...J п).
т;
Понятие суммы двух представлений естественным
образом обобщается на случай любого конечного числа
слагаемых.
Всякое представление, эквивалентное сумме двух
представлений, называется приводимым; все остальные
представления будем называть неприводимыми. Это опреде*
ление отличается от общепринятого. Однако для многих
групп, в том числе для всех конечных групп и группы
вращений, оба определения эквивалентны.
Выделим вз совокупности {T}q взаимно
неэквивалентных представлений совокупность {т} неприводимых
представлений. Любое представление Т s {Т}о, не
содержащееся в совокупности неприводимых представлений
(т),' представимо в виде суммы двух или нескольких
неприводимых представлений. Если, например,
Г = Т, + Т, + Тз + Тз + Тз + Тз + Тт,
то будем говорить, что представление it входит в пред»
62
ставление Т два раза, представление т» — четыре раза,
представление Ту — один рае, а остальные представления
из множества {т} ие входят в представление Т. Говорят
также, что представление Т содержит представление т
два раза и т. д.
Итак, всякое представление Т группы G зквивалент-
но одному из представлений совокупности {Do, каждое
представление То^{Т)о либо принадлежит множеству
неприводимых представлений (т), либо равно сумме
нескольких представлений из зтого множества.
Таким образом, для описания всех возможных
представлений некоторой группы G достаточно найти все
представления совокупности (т), г. е. все неприводимые,
взаимно неэквивалентные представления.
Если группа G имеет конечное число элементов,
скажем, N, то и множество {т}о содержит не более Л'
представлений
Ti, Тг, ...,т, ia<N).
Обозначим через Sj (/ = 1, 2, ..., о) размерность
представлений Ti (т. е. размерность того линейного
пространства, в котором действует представление т^). Существует
замечательное соотношение*)
в!-Н«а + ... +sl = N,
Это соотношение позволяет судить о числе и размерности
неприводимых представлений т е {т}„. Так, например, у
любой группы, состоящей из шести элементов, множество
(т}о содерзйит либо три представления с размерностями
«1 = 1, «4 = 1, «а = 2, либо шесть одномерных
представлений. Это следует из того, что есть только два способа
представить число iV = 6 в виде С5шмы квадратов:
6 = 1' + Г + 2' = 1' + 1' + 1' + 1' -Ы + 1'.
В настоящее время существуют таблицы
неприводимых представлений почти всех встречающихся на
практике групп. Возьмем для примера rpjmny Cjo, с которой
мы уже имели дело, таблица всех ее представлений в
несколько рааъятйй форме нам уже известна. Группа С|,
имеет только три неэквивалентных друг другу
неприводимых представления. В собранной форме таблицу
неприводимых представлений группы С,, можно записать в
виде таблицы (табл. 11.1).
*) Вывод этого соотношения приведен ниже, в гл. 8,
63
Таблица 11.t
т
Tl
Ч
ь
е
1
1
1 0
0 1
с.
1
1
1 Уз
2 " 2
Уз 1
2 2
. ^i
1
I
1 Уз
2
Уз 1
~ 2 ~2
Ol
1
-1
1 0
0-1
^ffa
1
-^f
1 Уз
2
уъ 1
2 2
"'з
1
-1
1 Уз
2 2
Уз 1
2 2
Из-ва недостатка иеста в обовначевяв матриц опушены скобки.
§ 12. Вторая основная задача
првкладной теорви групп
Подавляющее большинство приложений теории групп
основаны на классификации элементов пространства L,
связанной с неприводимыми представлениями группы
симметрии задачи A{L). Напомним, что отыскание
неприводимых представлений данной группы и
исследование структуры всех ее представлений — это первая
основная задача прикладной теории групп. Вторая задача
состоит в том, чтобы, используя уже найденные
неприводимые представления, выделить некоторые специальные
подпространства пространства L, которые мы условимся
называть подпространствами однотипных векторов.
Пусть в пространстве L задано представление Т
группы G и пусть Та — одно ИЗ неприводимых представлений
этой группы. Предположим, что в пространстве L
существует совокупность «а векторов, которые под действием
операторов T(g) представления Т преобразуются по
представлению Та, т. е. следующим образом:
T{g)xj=^Ii %f{g)xi,
1=4
где Tjj \g) — матрицы неприводимого представления т»
„(d)
в некотором базисе е,- (/ = 1, 2, ..., Sa) абстрактного
пространства Лв, преобразующегося по представлению То.
Будем говорить в этом случае, что вектор ж, принадлежит
типу е\ , вектор Хг — типу е\ и т. д.
Совокупность всех векторов хе L, принадлежащих tw
Щ *j"^ обозначим символом ■ Покажем, что
подпространство. Пусть «j и yi — два вектора из
совокупности Sj" • По определению это означает, что
существуют два набора векторов {x/};=i и {y;}i=i таких, что
Т (g) x,^i, 4"^ (g) Хг, Т {g) у, = 2 T^z?' {g) УI
1=1 U=l
(ft =» Ij 2|[ • f ij Set).
Рассмотрим векторы Z| =« CiXi + CzVi, где Cj и Cj — два
произвольных числа. Покажем, что вектор Zj принадлежит
совокупности Eyf, Имеем
T{g)z^''T(g) {С^х^ 4- C^Vkl = С J (g) X, + С J (g) у, -
'=C,J:,'c'S'{g)xi + C,tr'S4g)yi='
1=1 1=1
Это Й означает, что Zj s Ef и, следовательно, -Ej" —
подпространство.
Вторая основная задача прикладной'теории групп
состоит в перечислении тех подпространств однотипных
векторов, которые содержатся в пространстве L, и в отыс~
кании этих подпространств.
§ 13. Структура совокупности решений X задачи A{L)
Мы уже видели, что каждую операцию симметрии g
задачи A{L) можно рассматривать как операцию To{g),
заданную в подпространстве решений X. При этом
соответствие g-*Tt{g) является некоторым представлением
группы симметрии G. Это представление нам неизвестно,
поскольку мы не энаем совокупности решений X. Тем не
менее то обстоятельство, что подпространство X
преобразуется по некоторому представлению группы G,
позволяет сделать важные для приложений выводы и ввести
V г. я. ЛюбарсииЦ 95
такое фундаментальное понятие, как каноническое
решение.
Как и всякое представление, представление Уо либо
неприводимо, либо является суммой нескольких
неприводимых представлений. И в том и в другом случае
можно написать
Го = 'rajTi + mjT2 + ... + тп„х„ (m, > 0; Z = 1, 2, ..,, о).
Это равенство означает, что представление Го является
суммой n = mi + т2 + ... + т„ неприводимых
представлений, И8 которых nil представлений эквивалентны
неприводимому представлению Xi; wij представлений —
представлению Тг и т. д. Напомним смысл этого утверждения.
Пространство X, в котором действует представление Го,
есть сумма ц подпространств:
о "а
V V y(")
==• ^ ^ Л-т i
а=1 jn=i
каждое из которых инвариантно и преобразуется по
одному из неприводимых представлений т. Верхний индекс
(а) указывает номер соответствующего неприводимого
представления, нижний индекс т нумерует
подпространства, преобразующиеся по одному и тому же
представлению.
Рассмотрим одно из подпространств Х)^ . Выпишем
из таблиц представлений матрицы неприводимого
представления Тв:
xf{g) (g^G). A3.1)
Так как подпространство Хт преобразуется по
представлению, которое эквивалентно представлению Та, то
в Х)^^ можно выбрать базис таким образом, чтобы
матрицы операторов T(g) совпадали с табличными
матрицами A3.1). Такой базис условимся называть
каноническим, а составляющие его решения задачи А {L) —
каноническими решениями.
Обозначим векторы канонического базиса
подпространства Хт символами
(ctm) (am)
2-1 J -Сз i • • •
так что
1^1
(/■-1.2,.
< Ч *a)
ее
Объединяя канонические базисы всех подпространств
Хт\ получим базис в пространстве X:
а:р^ (а=1, 2,...>; т=1,2,..., т^; / = 1, 2, ..., s„). A3.2)
Любое решение х^Х можно представить в виде
линейной комбинации канонических решений A3.2):
Поэтому отыскание совокупности X всех решений задачи
A{L) эквивалентно отысканию канонических решений
этой задачи.
Напомним, что по определению каждое каноническое
решение связано с тем или иным неприводимым пред-
(ат) Ла)
ставлением: решение х) принадлежит типу Cj и,
следовательно, содержится в подпространстве однотипных
векторов Ej пространства L.
Теперь становится ясным, какую роль играет вторая
основная задача прикладной теории групп. Решив эту
задачу для пространства L, мы найдем все содержащиеся
в нем подпространства однотипных векторов Ef\ По-
скольку все решения Xj^ (m==l, 2, ..., тпа)
содержатся в подпространстве то и искать их следует в этом
подпространстве. Тем самым задача А (L) расщепляется на
ряд более простых задач:
А {Ef") (а =3 1, 2, ,. .i^o; / = 1, 2, ..., s^).
Такое расщепление существенно упрощает нахождение
всей совокупности решений X задачи А (L), подобно тому,
как решение системы линейных уравнений с т + п
неизвестными требует, как правило, больше времени, чем
решение двух систем с m и и неизвестными каждая.
Соображения симметрии позволяют внести еще одно
упрощение в процесс отыскания всех решений задачи.
После того как найдены все решения x'^"^^ (т = 1, 2, ...
..., Ша), нет необходимости рассматривать задачи A^Ej"^)
с />1! В самом деле, при фиксированном индексе т
решения
•'•1 I •'-2 t • • »1 •*'»в
образуют базис в инвариантном подпространстве Lmt
которое преобразуется по представлению Тв группы G.
5* 67
Поэтому, действуя на найденное решение «i всеми
операциями симметрии To{g) (g^G), получим набор
решений
To(g)t'r' igsG),
каждое из которых принадлежит подпространству Lm »
Выбирая из них Sa линейно независимых решений,
получим базис в подпространстве ^т и, таким образом,
найдем, и само подпространство ^т .
Ниже будет показано, что во многих случаях
существуют еще более простые методы восстановления
подпространства решений Lm по содержащемуся в нем
_((im)
решению х\ '.
Подврдя итоги, можно сказать, что теория групп
обнаруживает и использует асимметрию в подпространстве
решений. Из «общей массы» всех решений она выделяет
решения, связанные с тем или ины.ч неприводимым
представлением, а из этих последних — решения, образующие
канонический базис этого представления. Иэ выделенных
таким образом решений, как уже было показано, можно
построить базис в подпространстве X.
Такую же асимметрию в подобным же образом теория
групп вносит и во все пространство L, среди элементов
которого надлежит искать решения Эта единая
классификация элементов пространства L а решений из X очень
облегчает поиск решений: решения типа Sj следует
искать среди элементов из L того же типа. Это сужает
«поле поиска» и тем самым облегчает нахождение всех
решений.
Глава 4
ЗАДАЧИ, ИМЕЮЩИЕ ГРУППОЙ СИММЕТРИИ
ГРУППУ ВРАЩЕНИЙ
В настоящей главе две основные задачи прикладной теории
групп рассматриваются на примере группы вращений. Мы выора-
ли такой пример, потому что, с одной стороны, вращения
пространства — достаточно привычное понятие, а с другой — выводы
теории групп, получаемые для задач с группой вращений в качестве
группы симметрии, нетривиальны и играют весьма существенную
роль в физике.
Симметрия, описываемая группой вращений, присуща
пространству, в котором мы живем. Все направления в этом
пространстве физически эквивалентны. Все (инерциальные) различно
ориентированные системы координат также физически
эквивалентны — законы природы (уравнения механики, электродинамики,
квантовой механики и др.) записываются одинаково во всех атих
системах отсчета. Это объясняет, почему многие
фундаментальные задачи физики симметричны относительно любых вращений.
В первых пяти параграфах этой главы изучаются чисто
алгебраические свойства группы вращений. Приводится решение
первой основной задачи прикладной теории групп — дается
описание всех неприводимых представлений группы вращений и
выясняются их свойства. В двух часто встречающихся случаях
решается и вторая основная задача прикладной теории групп.
Далее вводится важное понятие произведения представлений а
рассматривается вторая основная задача применительно к
пространству, преобразующемуся по произведению каких-либо двух
неприводимых представлений группы вращений.
Последние два параграфа этой главы носят совершенно другой
характер. Здесь группа вращений выступает как группа
симметрии физического пространства. Показано, что каждое физическое
поле связано с тем или иным представлением группы вращений.
Благодаря этому классификация представлений груйпы вращений
переносится на физические поля и выявляются свойства, общие
для всех полей данного класса. Рассматривается также вопрос о
симметрии систем уравнений, управляющих тем или иным
физическим полем, подобно тому, как уравнение Максвелла управ-
лнет электромагнитным полем.
Помимо группы вращений, в физике важную роль играют
многие другие группы симметрии физических задач. Б первую
очередь это группа Лоренца — группа, связанная с переходом от
одной движущейся инерциональной системы отсчета к другой.
В последние два десятилетия в целях поиска групп симметрии в
теории элементарных частиц усиленно изучаются различные
группы квадратных матриц различньЬс размерностей. В
кристаллофизике важную роль играют группы симметрив
кристаллических решеток. Существенную роль как в теории групп, так и в
физике систем с одинаковыми частицами играют группы
перестановок,
69
Рассмотрение всех этих групп не является нашей задачей,
однако приведенный в конце книги список рекомендуемой
литературы содержит учебники и монографии, в которых эти группы
рассмотрены достаточно подробно.
§ 14. Группа вращений
Что такое поворот твердого тела вокруг некоторой
оси — каждый может ясйо себе представить. Поэтому мы
не будем определять это понятие.
Всякий поворот можно охарактеризовать, указав с
помощью вектора к направление оси поворота, а также
задав точку О, лежащую на этой оси, и угол поворота ф.
В связи с этим условимся обозначать повороты символами
Cy (ф). Каждый поворот будем рассматривать как
некоторое линейное преобразование пространства. Для того
чтобы узнать, в «акой вектор г' перешел данный вектор
г под действием поворота С^ (ф), поступим так:
мысленно жестко свяжем вектор г с твердым телом, затем
произведем над этим телом поворот Ск(ф) и посмотрим,
какое новое"Ноложение г' в пространстве занял вектор г.
Вектор г' №Ы и будем считать результатом действия
поворота Ск (ф) на вектор г. Легко видеть, что при таком
естественном определении операции С^ (ф) два Поворота
вокруг одной и той же оси на углы ф1 и фг
соответственно совпадают, если фг = ф1 + 2л:
Cv (Ф) -= Ск (ф 4- 2л).
Произведение двух поворотов вокруг одной и той же
оси на углы ф1 и ф2 — это поворот вокруг той же оси на
угол ф1 +■ фгГ
С}, (ф1) Ск (ф,) = Ск (ф1 + Ф,).
Из этого равенства следует, что совокупность всех
поворотов вокруг одной и той же оси образует группу.
Нам понадобится и другой способ описания
вращений — путем задания положения тела после
соответствующего поворота. Свяжем с твердым телом вспомогательную
систему координат OX'Y'Z', которая до вращения
совпадала с системой OXYZ, и опишем ее расположение после
вращения с помощью трех углов, 6, ф и т}), называемых
углами Эйлера F — угол между осями 0Z и 0Z'). Для
определения углов ф и i|) введем в рассмотрение так
называемую ось узлов — прямую пересечения плоскостей
XOY и X'OY', Если эти плоскости совпадают, то в
качестве оси узлов возьмем ось ОХ'. Угол, на который следует
70
повернуть вокруг оси ОЪ (против часовой стрелки, если
смотреть со стороны положительной полуоси 0Z) ось ОХ,
чтобы она совпала с осью узлов, обозначим буквой ф.
Наконец, \|з определим как угол, на который следует
повернуть вокруг оси 0Z' ось
узлов, чтобы она совпала с
осью ОХ' (рис. 18).
Углы Эйлера замечательны
во многих отношениях. Для
нас, однако, существенно, что
вращение ^(8,ф, \|з),
характеризуемое этими тремя углами,
можно представить в виде
произведения трех поворотов на
углы \|з, 6 и ф:
^@,Ф,1|з) = с,(ф)с.(е)С4^')',
A4.1)
где С)(а) и Сз(а)—повороты на угол а вокруг осей ОХ
и 0Z соответственно. В качестве доказательства этого
соотношения приведем три рисунка (рис. 19, а, б, в), на
которых изображены положения системы OXYZ после
Рис.__18. Углы Эйлера
Х X
X ^
Рис. 19. Последовательные положения системы координат OX'Y'Z'
после поворотов СзA|)), Ci(e)Ca(i|)) и C3((p)Ci(e)Ca(ij))
того, как ее последовательно подвергают поворотам Сз(\|з),
С, F) и С,(ф).
Группа вращений R есть совокупность всех поворотов
вокруг всевозможных осей, проходящих через
фиксированную точку О. Тот факт, что эта совокупность
действительно образует группу, менее тривиален, чем это
кажется на первый взгляд. Действительно, так ли уж оче-
П
видно, что перемещение твердого тела, осуществляемое
последовательно двумя поворотами C-k^itpi) и Ск^(Фг)(
может быть произведено с помощью одного поворота
Gк(ф)? Можно доказать, что это возможно сделать.
§ 15. Первая основная задача —
неприводимые представлеви» группы вращений
Цель настоящего параграфа — рассказать о
неприводимых представлениях группы вращений, не
останавливаясь на выводах или доказательствах излагаемых фактов.
Группа вращений имеет по одному неприводимому
представлению каждой нечетной размерности.
Операторы неприводимого представления размерности
ге = 2/+1 принято обозначать 3!!>j{g). Число / называется
весом представления Sij. Базис пространства, в котором
действует представление 25j, обычно выбирают
специальным образом и нумеруют целыми числами: т <= —/, —/ +
+ 1. ..../-1./:
^-ii ^-j+ii »• ■ I ^'-li ^j»
Выбор базиса производится так^ чтобы имели место
равенства
3>i [Съ (ф)] eL = е"*'"''е|1, (ei« ^ cos а + f sin «^
l=Y^^i). A5.1)
В этом базисе матрицы ^j(fj поворотов С,(фУ имеют
диагональную форму
25; [С, Ш = г
О " e'^fj
Поиск матриц 3!>i{g) в этом базисе очень упрощается,
если воспользоваться углами Эйлера. Полагая для
простоты
согласно соотношениям A4.1) и A5.1) получаем
S5, (9, ф, гр) = Й5ДС, (ф) ] S54Ci (9K 2LС. (t|))].
73
Поэтому
а>, (9, Ф, ^) el = е-'"* 3>i [Сз (ф)] £); [С^ (9)] е^ =»
A=-j
i
- e-to* 2 X й-^^^Л [Сз F)] 4.
Это равенство показывает, что
Л (9» Ф, 1|)) - e-«'"*^-'"^'P,„j @) {P„n.0)^S>4UCi (9I).
A5.2):
Мы получили простую зависимость матричных
элементов . .й^лт (9, ф, ij)) оператора S)j{g) от углов Эйлера
ф и t|) и свели задачу к определению функций P*i».j(d),
зависящих только от одного аргумента 0.
Все функции P»m.j(9) (А;, m «= О, ±1, ..., ±/)
являются полиномами от sin 0 и cos 9 одной и той же
степени /. Эти полиномы известны, соответствующие формулы
приведены в § 24. Для дальнейшего достаточно
рассматривать полиномы P»m.j@) как известные функции. Для
/ = 1 эти функции имеют очень простой вид:
у
1 + соз 9
hm.l
i
t
sin 6
V2
1 — cos 9
У2
соз9
i
sia9
-VI
5rsiii9
1 — cos 9
-p;|-sin9
1 + cos 9
Подведем итоги. Размерности неприводимых
представлений группы вращений образуют ряд, состоящий из
нечетных чисел;
л "* 1, о, о, /, ,и
Величина / =» —g" называется весом неприводимого
представления.
■ Канонический базис состоит из векторов вт {т =
= ~Л ~/+1» •. •» /)| обладающих следующим свойством:
Классификация всех канонических векторов
производится с помощью двух целых чисел; веса j (; = О, 1, 2, ,..)
73
и индекса т (m^-f, ~f+l, ..., j). Эта классификация
переносится на решения любой задачи, обладающей сфе~
рической симметрией (т. е. имеющей в качестве группы
симметрии группу вращений).
Представление 2)q (g) является тривиальным —
каждому элементу g соответствует единичная операция в
одномерном пространстве. Решения, преобразуюпщеся по
этому представлению, называются скалярами. Представления
^iig) реализуются иа совокупности векторов обычного
трехмерного пространства. Поэтому оно называется
векторным представлением, а величины, преобразующиеся
по этому представлению,— векторами. Роль канонического
базиса играют три вектора:
^-^ 1/2» '" '^' ^^ уТ*
где i, i, к — единичные векторы, направленные по осям
ОХ, 0Y и 0Z соответственно.
§ 16. Два примера решения второй основной задачи
Согласно общей схеме пременения теории групп к
решению задач, обладающих группой симметрии, требуется
уметь решать две основные задачи.
Первую задачу — отыскание неприводимых
представлений — мы будем считать решенной раз и навсегда для
всех групп, представляющих практический интерес. Это
оправдывается существованием таблиц этих
представлений. По сути дела, мы можем не интересоваться методами
составления таких таблиц, подобно тому, как при
пользовании таблицами логарифмов можно не знать тех
хитроумных приемов, с помощью которых эти таблицы были
составлены.
Вторую задачу приходится рассматривать, к
сожалению, в каждом конкретном случае в отдельности, т. е.
для каждой группы- симметрии и для каждого
пространства L, в котором действуют элементы этой группы.
Продемонстрируем, как это делается, на двух важных
примерах.
Пример 1. Рассмотрим представление Г группы
вращений, действующее в пространстве L всех непрерывных
функций трех координат и времени,
/(г, t)=i{x, у, Z, t),
и заданное соотношением
T{h)Kt, t\=t{h-\ q {h^Ri A6.1 J
74
Приведем простую интерпретацию операторов T{g),
Пусть -/ (г, t) — температура твердого тела в точке,
имеющей радиус-вектор г в момент времени t. Подвергнем это
твердое тело какому-нибудь вращению h. При этом точка
М тела, радиус-вектор которой до вращения был равен,
скажем, Го, перейдет в новое положение, характеризуемое
радиус-вектором Лго. Это означает, что после поворота
температура твердого тела в точке с радиус-вектором Лго
равна температуре до поворота в точке Го:
Д(ЛГо) = /(г,).
Это соотношение справедливо при любом выборе точки М
и, следовательно, при любом выборе радиус-вектора г,,.
Полагая .Го = h~*r, получим
fH(T,t)'=f{h-*r,t)^T(h)f(i,t),
Итак, оператор T{h) осуществляет переход от
распределения температур /(г, t), которое имеет твердое тело до
поворота, к распределению температур после поворота.
Из приведенной интерпретации вытекает равенство
'T(g)T{h)f{r, t) = T(gh)f{t, t) {g, h^R),
т. е. T{g)T{h)='T{gh). Разумеется, получейное
соотношение можно было бы доказать и непосредственно,
пользуясь определением A6.1) операторов T(h). Учитывая,
что Т{е)'=Е, делаем вывод, что операторы T{h),
заданные равенством A6.1) в пространстве L непрерывных
функций, осуществляют некоторое представление группы
вращений.
Приступим теперь к решению второй основной задачи
прикладной теории групп. Найдем подпространство £■*«
функций, однотипных вектору е^. Если некоторая
функция /(г, t) принадлежит подпространству Е'^, то по
определению это означает, что существует набор функций
if?' (г. t)] (г - - Л / + 1, ,.., /; fi' (г, t) ^ / (г, t))
таких, что
Т (А) fP (г, t) S f/" (h-\ t) = i £0'i} (h) fi^ (r, f).
A6.2)
Для решения поставленной задачи воспользуемся
специальным приемом. Положим в A6.2) г = Го, где Го —
75
вектор, лежащий на оси 0Z. В качестве А"' возьмем
вращение, характеризуемое углами Эйлера, й~'^^ (9, ф, t|)).
Элемент h, обратный h-\ равен *)
/г = С,(-1|з)С.(-е)С,(-ф) = С,(я - 1|))С.(е)С,(я - фУ
и, следовательно, характеризуется ртлами Эйлера:
Л = ^(е,я-\|з,я-ф).
Что представляет собой вектор Л""'го? Очевидно, что он
направлен по оси 0Z' (см. рис. 12, в), и поэтому его
координаты равны
Х'=Го sin 9 sin ф, у = —Го sin б cos ф, г = Го cos 9, Го = |го1.
A6.3)-
Равенство A6.^) принимает следующий вид:
fm {Х, У, Z,t)= S 3>hm (9j Я - -ф, Л - ф) Ц (Г„, t).
Подставляя сюда соответствующее выражение для 25 лт
(см. равенство A5.2)), получим
/« {X, у, z,t)= 2 (- I)'"^'' ei('"<f+**)P,„.^ (9) f{ (Го, t).
h=-i
Координаты X, у, z связаны с углами 6 и ф
соотношениями A6.3). Левая часть не зависит от угла гр. Это
позволяет существенно упростить правую часть
последнего равенства. В самом деле, для того чтобы правая
часть этого равенства не зависела от угла \|з, необходимо,
чтобы все члены, содержащие множители е'** {к=^0),
были равны нулю. Это означает, что
/Й'-о, <) = 0, (ft^O),
Д(х, у, г, t) = (-l)V""^Po„,H9) fUr„, t)
{m = 0,±l, ...,±i). A6.4)
Здесь ff, (гд, t) — произвольная функция сферического
радиуса Го = (а;' + ^' + 2^)''' и времени t. Это и есть об-
пщй вид всех наборов функций, образующих
канонические базисы, соответствующие неприводимому представ-
*) Это следует из легко проверяемого тождества
с,(-е) = С8(л)С1(е)Сз(я).
76
лению S)j. Вместе с тем формула A6.4J дает полное
решение второй основной задачи.
После того как найдены подпространства однотипных
векторов E'mi т. е. решена вторая основная задача,
следует согласно общей схеме применения теории групп
искать только те решения, которые принадлежат этим
подпространствам. Напомним, что такие решения называются
каноническими. В рассматриваемом случае это означает,
что решения следует искать в виде функций A6.4).
Сходящую в правые части соотношений A6.4) неизвестную
функцию /о следует искать, исходя из конкретных
условий рассматриваемой задачи. Определение этой
функции — существенно более простая задача, так как чем
меньше аргументов у неизвестной функции, тем легче ее
найти.
Таким образом, располагая решением второй основной
задачи, можно:
1) исходную задачу заменить более простой;
2) найдя одно решение /Иг^, t) этой более простой
задачи, получить с помощью формулы A6.4) еще B/+ 1)
решений fm (з:, У, Z, t) (т = О, ±1,..., ±/) исходной задачи;
3) еще не приступая к решению задачи, знать, как
зависят искомые решения от углов 9 и ф.
Последнее позволяет установить ряд свойств этих
решений. Можно, например, утверждать, что интегралы
2Л
] fnfm'*d^ = 0^ если тфт\
Это утверждение можно усилить — равенство
интеграла нулю сохранится, если заменить решения /т и /i,»
одной и той же задачи решениями fm и F^n' двух
различных задач при условии, что их операции симметрии
имеют вид A6.1).
Пример 2. Рассмотрим пространство L, элементами
которого являются совокупности непрерывных функций
{/(i,(r» t)Y-4. Каждому вращению h^R сопоставим
оператор T{h), определяемый равенством
Г(А){/Лг, t))-^{F,{T, t)}, A6,51
где
77
J^^x W — матрица некоторого представления Го группы
вращений. Если То — векторное представление группы
вращений, то описанную ситуацию можно
интерпретировать следующим образом. Рассмотрим электростатическое
поле Е, создаваемое некоторой системой жестко
скрепленных друг с другом заряженных проводников. Поле Е
характеризуется тремя функциями — проекциями
напряженности поля Е(г) на оси координат, £»(г), Еу{т),
Ei(t) — b может рассматриваться как элемент
пространства L. Если над системой проводников произвести
какой-либо поворот, то вместе с ней повернется и поле Е.
Для вычисления компонент Ех (г), Еу (г), Ez (г)
повернутого поля в произвольной точке г нужно знать поле Е
в точке г' = А~'г, поскольку именно эта точка после
поворота h' займет положение г. Кроме того, сам вектор
Е(А~'г) при вращении h поворачивается, превращаясь в
вектор /гБ(/г-'г), причем
{hE (A-'r)U = 2akk» {h) Ek' (Л"'г),
h'
где aiik' {h) —косинусы углов между осями систем
координат K=-OXYZ nhK'=OX'Y'Z'.
Мы получили частный случай операций A6.5).
Легко проверить, что операторы T(h) удовлетворяют
соотношениям
Т{е) = Е, T(h,)T(h)=Tih,h,) {h„h^R)
и, следовательно, образуют представление группы R. Для
простоты будем предполагать, что представление Го
совпадает с каким-либо неприводимым представлением 25у.
Приступим к репхению второй основной задачи
применительно к примеру 2. Найдем общий вид
вектор-функций / (г, t) = {/ц (г, ?)}!.vf которые преобразуются под
действием операторов Г (А) по неприводимому
представлению S>i. Если /<^'(г, i) (nt = 0, ±1, .... ±/) —какой-либо
набор таких функций, то, с одной стороны, должно
выполняться равенство
Tih)^"' (г, t)= 2 S>L{h)f'^\T, t),
a с другой стороны, по определению,
[г (А) /«"> (г, «)], = i 3>U (Л) /Г' ih-\ О-
. 78
Сопоставляя эти два равенства и полагая г = Го = гк (где
к — единичный вектор, направленный по оси 0Z),
получим
2 3i„{h)fT\rKt)r^ S S>U{h)ft\h-\,t).
k=-i р=—V
A6.6)
Как и в случае первого примера, положим
^"' = ё'(в, Ф, гр), h = g(e, я - \|з, я - ф).
Вектор h~^Xo имеет координаты х, у, г, определяемые
равенствами A6.3).
Система, соотношений A6.6) позволяет выразить
функции /р*" [х, у, Zj t) через функции двух переменных:
fi^4r,t) (а = 0, ±1, .... ±v; А:-О, ±1 ±/).
Делается это так. Умножим обе части равенства A6.6) на
35^(x.{h~^) и просуммируем по индексу а от —v до v.
Учитывая, что
2 2>уа {h-') S>lf, {h) = а>;& {h-'h) = £);р {е) = б,р,
а • •
получим в правой части единственное слагаемое /v (^s
У,, г)- Поэтому
/</«> (а:, J^, 2, f) = 2 2);« (h-^) 2 ^L (А) /i"' (rk, О-
o=«—V ft«»-j
Дальнейшее упрощение получится,' если воспользоваться
формулой A5.2) для матричных элементов ^?а (/i"; и
-2 2 /f'(rk,o^»v«.v(e)^'ftm.i(e)e«^*-«'*+('"-'4
ft—J o=—V
A6.7)
Координаты X, у, z не зависят от угла ip. Поэтому и
левая часть равенства не зависит от ф. Это означает, что
все слагаемые правой части, зависящие от ip, в
действительности равны нулю, т. е. что
/i'"'(г„к, ?) = О, если к фа.
Это обстоятельство очень упрощает формулу A6.7).
7в
в сумме остаются только те члены, у которых К = а;
A6.8)
где n = min(v, /)', г = (х* +i/' + г»)''», а fja{r,t)^
произвольные функции rat. Формула
A6.8) определяет самый общий вид набора
вектор-функций
образующего канонический базис неприводимого
представления S>j. Она решает вторую основную задачу и сводит
решение задачи А (Z>) к поиску B{i +1) неизвестных
функций fja(r, t) двух переменных rut. Напомним, что
в задаче Л {L) неизвестными были Bv +1) функций
четырех переменных: х, у, z и t.
Заметим еще, что решение A6.8) второй основноЗ
задачи дает нам явную зависимость компонент
/v'"^ (^1 ^1 ^1 ^) искомых функций от углов & и ф.
Мы видим, что все задачи, обладающие операциями
симметрии A6.5), имеют решения стандартного вида
A6.8), какова бы ни была конкретная задача A{L).
Решения вида A6.8) называют сферическими волнами со
спином,
§ 17. Произведение неприводимых представлениЁ
Определим новое понятие: произведение Ti X Л двух
банных представлений Ti а Т^. Впоследствии мы увидим,
что ситуации, при которых наряду с двумя
представлениями 7*1 и Тг группы G приходится рассматривать и вх
произведение, встречаются достаточно часто в
приложениях теории групп;
Пусть G — какая-либо группа, а Ti{g] и Тг{в)—1№в.
(не обязательно различных) представления этой группы.
Обозначим матрицы этих представлений так:
П1^ (8)г П^,е. (g) («U « - 1» 2, ..., п,1
PiiP-l*2j.,.ira2).
Образуем все возможные пары (а, Р). Перенумеруем и^
каким-либо образом; номер, присвоенный паре {а, ^),
80
обозначим [а, р]. Образуем матрицу порядка п = «jnit
3"[а,р JtaM (?) ^ Г<?^« (?) Щр (?). A7.1)
Убедимся В ТОМ, ЧТО соответствие ?~*-^[а^^р^][ар](?) есть
представление группы G, Имеем
(i, если «1 -=. а^ Pi =- Р,
^[«iPilCaP] (е) = ?'i"a (е) T^lti (е) = О в противоположном
I случае.
Условие «1 = а, Р» =" Р эквивалентно условию [а»Р»1 "•
•=[а, р]. Это а означает, что матрица Т^а^а^]1а»]{е) —
единичная матрица размерности п. Далее, если g,hsG,
то
^[«.PJfaei (gfe) - T^^la Ш Tfli^ (gh) -
=-1 г«, (g) Til e^) 2 ni^, (Л) ni^ (A) -
= 2 ?'[ajpj[p9] (?) ^CP9][aB] (Л).
Суммирование no всем p ш q равносильно суммированию
по всем значениям индекса \pq\ от 1 до п. Поэтому
последняя сумма есть матричный элемент произведения
операций T{g) и T{h), Итак,
^'[a.pjtap] {gh) ^ {Т (g) Т (A)}[ajPJla«.
Это означает, что T{gh)'=T{g)T{h). Соответствие g^
-*■ T{g) действительно является представлением. Это пред'
ставление, определяемое формулой A7.1), называется
произведением представлений Г"* и Г'** (порядок
множителей роли не играет).
Предположим, что G>=fl —группа вращений, а Ti и
Тг — ее неприводимые представления ^„ в 3)t. Нас
будет интересовать, какие неприводимые представления S>i
группы вращений содержатся в произведении W^X3)^.
Оказывается, что это произведение содержит по одному
раду все неприводимые представления Ю}, вес / которых
эаключен в пределах 1ц —vl^/<H + v:
S>^%S>^ = a5i^.vi + S5,^.v|+i + ...'+ a5^+v. A7.2):
Докажем это важное, свойство неприводимых
представлений группы врап^ений.
6 г..я. Любарский 81
Пусть L — какое-либо пространство, в котором
действует представление Т = 3)^,ХЗ)ч. По определению в L
можно выбрать базис «[«я так, чтобы
[«i^il
В частности, если g'
Сз(ф)\ ТО
е С[аР]
(?га = а+р).
Рис. 20. Изображение базисных
векторов е[аэ] точками плоскости
Обозначим Ьт подпространство, состоящее из тех
векторов, которые под действием оператора ?'[Сз(ф)]
умножаются на е"'"". Выясним,
какова размерность этого
подпространства. Для
решения этого вопроса
сопоставим каждому вектору
^[во] точку плоскости с
координатами (а, р) (рис.
20); Легко видеть, что все
точки, лежащие на
прямой а + р = от, отвечают
векторам е[ая из подпро-
страйства Sm. Число, эти^х
точек зависит от значения
параметра т. Если т =
= [i + v, то имеется только одна точка (|х, v); если от==
= H + V — 1, то две точки (ц, v— 1) и (ц —1, v), и т. д. '
На прямой а+р = |х —V расположено B|х+1) точек.
Этих сведений, как сейчас будет показано, достаточно
для определения коэффициентов разложения
произведения ^цХ^, на неприводимые представления:
j
Последнее равенство означает, что пространство L пред-
ставимо в виде
} fc-1
где L^^' {к — 1,2, ,, ,у к}) —подпространства,
преобразующиеся по представлению 2!>j. Канонический базис
подпространства Ь^' состоит из B/+1) векторов «„
(т=-0, ±1, ..., ±/), причем вт ^Sm- Отсюда
вытекает, что размерность подпространства Sm равна числу
82
A7.3)
слагаемых с индексом />т в разложении A7.3). Это
позволяет сделать следующие выводы. В сумме A7.3) нет
ни одного слагаемого с / > ц + v и есть только одно
слагаемое с / = |х + V.
Мы видели, что, когда число т уменьшается на
единицу, оставаясь большим (ц —v —1), размерность
подпространства Sm увеличивается на единицу. Это означает,
что число слагаемых в сумме A7.3), удовлетворяющих
условию j ^ т, увели^чивается ровно на единицу при
уменьшении на единицу числа т. Другими словами, Лт™
= 1, если m<|x + v и m>\i — v. Итак, представление
3)ixXS)„ содержит по одному разу все представления 2!>i
((i — v</<n + v). Сумма. размерностей этих
представлений
U+V
S B/ + 1),
как легко убедиться, равна произведению Bц+1)Х
XBv + 1), т. е. размерности представления ^цХ^,. Это
означает, что никакие другие представления не
содержатся в 3!>^ХЖ>у. Таким образом, соотношение A7.2) до-
дазано.
Из доказанного соотношения вытекает, что разложение
A7.3) пространства L в сумму инвариантных
подпространств в действительности имеет следующий вид;
j=l№-vl
Индекс к опущен, так как каждому представлению
^j A|х —vl ^j < ц +v) в пространстве L соответствует
только одно подпространство. По зтой же причине
канонический базис в подпространстве L"' будем обозначать
так:
е^' (т = 0,±1,, ,..,±7). A7.4)
Все подпространства однотипных векторов Ej, czL
A|х — vl <i ^\i + v) одномерны. Поэтому вторая
основная задача — отыскание подпространств однотипных
векторов — эквивалентна отысканию векторов канонического
базиса A7.4), Говоря точнее, требуется найти коэффици-
(j)
енты разложения каждого вектора е»» по векторам е[аэ].
Эти коэффициенты называются коэффициентами Клеб-
uia — Гордана и играют заметную роль при исследовании
задач, обладающих сферической симметрией. Они зависят
.6* 83
не только от индексов /, т, а, р, но и от весов ц и v
перемножаемых представлений. Их обозначают так:
(nvccpl/m)'.
Решение второй основной задачи дается формулой
е'Л-- S (nvctP|M)^[Sp5 A7-5)
o+p=m
Ю'] = е[ар]« IЦ —VК /<ц + V, от = Oj ±Ij ..., ±/).
Суммирование производится по всем парам а, р,
удовлетворяющим условиям а + ^ = т, \а\<ц, 1^1 < v.
Входящие в зту формулу коэффициенты Клебша — Гордана
вычислены. Мы не будем останавливаться на методе и
результатах этих вычислений, достаточно считать их
известными и знать, что их можно найти в таблицах.
Оказывается, что и обратная задача — выражение
векторов e[S^] через векторы канонических базисов «т —
решается с помощью тех же коэффициентов Клебша —
Гордана,
^[Sp']= 2 (^vaf,\jm)eliU. A7.6)
j=l№-vl
§ 18. Тензорные представления
Произведение Г, X Тг двух векторных представлений
Ti==Di группы вращений называется тензорным
{второго ранга) представлением этой группы. Условимся это
представление обозначать символом Тг'.
Произведение тензорного представления второго
ранга на векторное произведение назовем тензорным
представлением третьего ранга и обозначим
И, вообще, тензорное представление (п + 1)-го ранга —
это произведение
7'„+. = f.Xf„. A8.11
Легко получить общую формулу
•* п+го ^ i п А i т.
Тензорное представление и-го ранга можно
определить и непосредственно, не прибегая к индуктивной фор-
84
муле A8.1). Делается это так. Рассмотрим все функции
п радиус-векторов ii, Гг, ..., г„ вида
/i,ij...i„ (Гх. Гг. • • -, Гп) = 9ij (ri) Ф{^ (гг) ... ф{„(г„) A8.2;(
{ij=i, 2, 3; / = 1, 2, ..,, п),
где
ф,(г) = Х, ф2(г) = У, фз(г)==2.
Операции 7'п(|') (?^Л) определим с помощью формулы
Tn{g)i{ri, Гг, .... r„) = /(g-'ri, g-'Гг, . . ., g-'r„).
Можно показать, что соответствие g-*- Т„ (g) является
тензорным представлением га-го ранга.
Выясним, как разлагаются тензорные представления
второго, третьего и четвертого рангов на неприводимые
представления. Согласно формуле A7.2) имеем
T2^2)iX2),=2>, + 2)i + ^2. A8.3)
Поэтому
Г, = Г2Х25,=(^о + ^1 + 25г)Х^, =
Окончательно получаем
T, = 2>o + S2>i + 22J + ^>.
Подобным же образом находим
Г* = 3^0 + 6^1 + 6^, + 32>i + 2>i.
Поясним для примера геометрический смысл
соотношения A8.3). Пространство функций, в котором
действуют операции Tiig), можно представлять себе как
совокупность всевозможных сумм следующих девяти
функций:
XiX2, Х1У2, XjZj, l/iXt, У1У2) yi^i, ZiX2, Ziy2, Z1Z2.
Рассмотрим функцию ,
фо = ж,Х2 + У1У2 + ZiZa.
Это есть не что иное, как скалярное произведение (г,Г2)
двух векторов г, в г,. Xi^i^MMaaB^ecTH^jj^irajn^ujipBopoTe
двух_в§етщ>9в Л.вд1ШУ1„ХЩшШ_0 ^о1~ж^ О'^'^ ^ ^* °Д^° и
тот lie уголУ их скалярное произведение" не
изменяется. Иными словами, оно преобразуется по единичному
- 85
представлению 3!>o. Мы еще раз доказали^ чтЬ
представление ^0 содержится в Гг = ^1 X 2)i.
Рассмотрим три функции:
Ф1^^ = У1?2 — 2x2/2.. ФЗ^' == Zj_X2 — XiZ^^ ф^" = Х^У^ " i'l^^S-^
Они совпадают с тремя проекциями векторного
произведения векторов г, и и: М == ri X Гг. Поэтому эта тройка
функций преобразуется по векторному представлению
3^1. Это означает, что и представление ^, содержится в
тензорном представлении Тг.
Для выделения представления 2)i рассмотрим пять
функций:
/п\ (Л\ /в)
Фх = '^хУг + y\4i Ф2 == Xi,z^ + ZiXj, ф^ = yjz^ + z^y^^
Ф^^^ = х^х^ — yiVzi Фв"^ = Xi,Xj^ — ZjZa.
Эти функции обладают следующими двумя свойствами:
1) если поменять местами индексы 1 в 2 при х, у, z,
то функции не изменятся;
2) при Xi = Хг, yi = Уг, Zi = Zj сумма по восьми
значениям (х, у, z) = (±I, ±1, ±1) равна нулю.
Основываясь на этих свойствах, можно показать, что
функции ф| (/ = 1, ..., 5) при вращениях
преобразуются друг через друга. Именно эти функции и
осуществляют пятнмерное представление 3)г- Представление ^,
называют симметризованным тензорным представлением
второго ранга.
Операцию симметризации можно определить так,
чтобы она естественно распространялась на тензорные
представления любого ранга. Мы, однако, не будем
останавливаться на этом вопросе.
Элементы пространства, преобразующегося по
тензорному представлению какого-либо ранга, называются
тензорами того же ранга.
§ 19. Классификация физических полей,
основанная на представлениях группы вращений
Понятие поля является .одним из основных
физических понятий. Напомним, что это такое. Если какая-либо
физическая величина А может быть из^серена в каждой
точке г = (х, у, z) пространства (или некоторой области
V пространства), то мы имеем дело с полем величины А.
Так, например, температуру Т и давление р воздуха мож-
но измерить в любой точке объема V, заполненного
воздухом. В результате измерения (или,расчета) мы
получим зависимости температуры и давления от координат:
^"^(х, у, z), р = р{х, у, z) ' ((х, у, z)eV).
Эти зависимости описывают два поля: поле температур и
поле давлений.
Если поле А (в нашем случае — температура,
давление) не изменяется с течением времени, то мы имеем
дело- с постоянными полями, в противоположном
случае — е полями, зависящими еп времени. Последние
описываются функциями, зависящими от координат и
времени:
T'^Tix, у, г, t), р = р{х, у, Z, t).
Существуют, однако, и более сложные поля — так
называемые векторные поля. Векторное поле описывается
не одной, а несколькими функциями:
/i(^, У, 2, t), fi{x, у, Z, t), ,.,, f.{x, у, г, t).
Подобные совокупности функций, рассматриваемые как
единый объект, называются вектор-фзгнкциями. Часто век-
тор-фуйкцию удобно обозначать одной буквой:
f(^iyi',t)'~{f}{x,y,z,t)}Uu
если это не может привести к недоразумению.
Перейдем к примерам векторных полей.
Пример 1. Поле скоростей \{х, у, z, t) текущей
жидкости характеризуется тремя функциями —
проекциями скорости на оси:
v4^, у, г, tj, Vy{x, у, г, t), v.{x, у, г, t).
Здесь х, у, г — координаты произвольной точки той
области пространства, которая занята текущей жидкостью.
Пример 2. Поле напряжений в деформированном
упругом теле описывается в каждой точке {х^ у, z)
тремя векторами:
U{x, у, Z, t), ty{x, у, Z, t), U{x, у, г, t). A9.1)
Это — силы, действующие на три единичные площадки,
содержащие точку с координатами {х, у, z) и
перпендикулярные осям ОХ, 0Y в 0Z соответственно. Переходя к
проекциям этих векторов, получим девять функций:
U,{x,y,z,tl (а, р = 1. 2, 3).
87
Пример 3. Электромагнитное поле
характеризуется двумя вектор-функциями: электрическим полем
Е (х, у, Z, t) и магнитным полем Н {х, у, г, t\ или шестью
обычными функциями:
Ea{x,y,z,t), На{х, у, Z, tl (а-=х,у,г).
Приведенные выше примеры полей (кроме поля
температур и поля давлений) обнаруживают одну
принципиальную особенность. Если в некоторой точке А
помещены приборы, необходимые для измерения поля в этой
точке, то, прежде чем пользоваться этими приборами,
нужно выяснить, как направлены оси координат.
Собственно, в этом нет ничего нового или удивительного.
Если мы хотим измерить, скажем, проекцию
электрического поля или скорости жидкости на ось ОХ, то,
естественно, необходимо анать, как направлена ось ОХ.
Подобным же образом, прежде чем измерять силу,
действующую на площадку, перпендикулярную оси ОХ, следует
опять-таки знать направление этой оси.
Таким образом, если мы имеем дело с некоторым
физическим полем /, которое характеризуется п
компонентами, то значения этих компонент в некоторой
фиксированной точке М будут' различными в разных системах
координат. Каждой системе координат будет соответствовать
свой набор п чисел. Результат измерения всех п
компонент поля f{M) в точке М в одной системе координат,
скажем в системе Ко, однозначно определяет поле /(Л/)
и, следовательно, позволяет предсказать результат
измерения этих компонент (в той же точке М) в любой
другой системе координат, если закон преобразования поля
/ при переходе из одной системы координат в другую
известен.
Поля различной физической природы по-разному
преобразуются при переходе от одной системы координат к
другой. Так, например, температура в точке, где
расположен термометр, вообще не зависит от выбора системы
координат. Компоненты скорости точки и компоненты
приложенной к этой точке силы преобразуются по
одному и тому же закону; иначе преобразуются девять
функций A9.1), характеризующих напряженное состояние
упр|угого тела. Однако во всех случаях формулы, по
которым преобразуются друг через друга компоненты
всякого физического поля, должны согласовываться с
фактом изотропии пространства.
88
Займемся теперь вопросом, в какой мере изотропия
пространства ограничивает возможные виды •
преобразований физических полей при повороте используемой
системы координат.
Переход от Компонент fPifPs^'ifn^ поля / в
системе координат ЛГ, к компонентам fi\ Г2\ .•••! Гп
того же поля / в системе Ki можно рассматривать как
некоторую операцию а(ЛГ„ Кг) и записать так:
{f^'^ = a{K„K,) {fl% A9.2)
Приведем некоторые соображения, позволяющие
перечислить все возможные виды преобразований a{Ki, Кг)
в предположении, что они являются линейными*).
Начнем с того, что введем в рассмотрение еще одну систему
координат, систему К,. Компоненты поля /(Л/) в системе
К» можно определить по любой из двух формул:
{/г>1=а {к„ К,) т, {/f 1=а (^.^з) т
Подставляя A9.2) во вторую из этих формул и
сравнивая результат с первой, получаем первое свойство
операций а {К', К"): .
а{Ки К,)=а(Кг, К,)а{К„ Кг). A9.31
Выберем фиксированную систему координат Ко. Если
K = gKo, то преобразование a(i?'oi К) однозначно
определяется вращением g:
a{Ko,K)=a{g) {K==gK,),
Попытаемся установить возможный вид введенной
таким образом функции a{g). Для этого воспользуемся
принципом Галилея, согласно которому все инерциаль-
ные системы координат физически эквивалентны. Этот
принцип, в частности, означает, что операция а{К^, Кг)
зависит не от каждой из систем Ki, Кг в отдельности,
а только от их взаимного расположения. Так как при
повороте h, производимом одновременно над обеими
системами координат, их взаимное расположение не
*) Это предположевие вытекает также из изотропии
пространства. В самом деле, если три поля f, g л h связаны в какой-
либо системе координат соотношением f *^ g + h (что можно
установить экспериментально), то в силу раввоправвости всех инер-
циальных систем такое же соотношение должно сохраняться и
60 всех других системах координат,
изменяется, то
а(АЯ„ hKi) = a{Ku Кг).
Пусть Ki — hiKo, Кг — hiKa; тогда последнее равенство
можно переписать так:
a{hhiK„, hhiK,i)= a{hxK(„ hiKo).
Последнее равенство справедливо при любом выборе
вращений h, hi и hi. Положим здесь h == h^^; тогда получим
а {К„ hl\K,) = a{h^K„ h,K,) = а{К^, К,).
Это означает, что
а (К,, К,) = а (hT%) (К, = h^K,, К, = h,K,), A9.4)
Мы видим, что вследствие принципа Галилея
преобразование a{Ki, Кг) просто выражается через введенную
ранее функцию oi,{g).
Воспользуемся свойством A9.3) и формулой A9.4).
Полагая K^j = /?j/?o, имеем ,
а (hi^hs) = «.{hl^hg) а {hl'^h^).
Положим сначала hi = е, а затем h, = hihi. Получим
a{h2hi) = a{hi)a{h2).
Мы видим, что операции a{g) не образуют
представления группы вращений. Однако, если ввести операции
Hg)^oc{g-^),
ТО соответствие g -^ ^{g) будет представлением группы
вращений. В самом деле, ^{е) = а,{е) = Е и
f,(h,h,)=a{{h,h,)-')==a{h^'hT')^a{hT')a{h2')=mMh,).
Это и означает, что операции р (А) (А е R) образуют
представление группы вращений.
Вернемся к соотношению A9.2). Полагая Ki^K^,
Ki = h~^Ko, получим
{П = Р(АI/Г} (Яа = А-Х)
(компоненты поля / рассматриваются в одной и той же
точке М пространства — в той точке, где установлены
приборы для измерения этих компонент).
80
Представление Р, как и всякое конечномерное
представление группы вращений, можно записать в виде
суммы нескольких неприводимых рредставлений:
Мы видим, что Р имеет дискретный набор возможных
значений, причем для фиксированного п число этих
значений конечно (см. табл. 19.1).
Таблица 19.1
•п
1
2
3
Р
325о, 3>i
п .
4
5
6
Р
Представление Р является важнейшей физической
характеристикой поля. Два поля, преобразующиеся по
одному и тому же представлению р, относятся к одному
классу — классу р. Таким образом, теория групп
позволяет провести классификацию возможных физических
полей.
Если представление р состоит из нескольких
представлений с одинаковым весом:
то общий вес / этих представлений называется спином j
поля /. В наиболее важных случаях вводятся
специальные термины, характеризующие вид преобразований
полей при повороте системы координат. Так, например,
поля, преобразующиеся по представлению SDi группы
вращений, называются векторными в узком смысле этого
слова, а преобразующиеся по представлению SDiXSDi —
тензорными. Скалярным полям соответствует
представление 3>а.
Линейный характер операции ^{h) означает, что в
точке М компоненты fi поля / в системе .К«»Л"*А^о линей-
91
но связаны с его компонентами ft в системе К^:
b{M,t)^%^ik{h)fl{M,t), A9.5)
ft=i
Легко проверить, что р,»(fej — матрица операции P(fe) в
базисе Ci, Сг, ..., е„, который строится простым способом:
е, = A, О, ..., 0), ег = (О, 1, О, ,.., 0), .. , в„ -
-=@, О, .... О, О, IJ.
Функции ii{M, t) и /ft(Л/, t), входящие в соотношение
A9.5), зависят от координат точки М. Однако при
вычислении функций fi{M, t) естественно пользоваться
координатами {х, у, z) точки М в системе отсчета K^h'^Ko,
а при вычислении функций fl {М, t) — координатами той
же точки М в системе Кв. Как связаны друг с другом эти
координаты?
Для ответа на этот вопрос воспользуемся следующим
свойством систем Ко ш К = к~^Ка. Координаты а;», уо, Zo
произвольного радиус-вектора г в системе Ка равны
координатам {х, у, z) вектора fe~'r в системе K^'h'^Ka.
Это свойство становится очевидным, если жестко скре-.
пить вектор г с системой К, которая сначала совпадала
с системой ^0, а затем подверглась повороту fe~-. Вектор
г перейдет при этом в вектор fe~'r, а его координаты в
системе К не изменятся, так как он жестко связав с
этой системой. Это означает, что для вычисления
координат Жо, ^01 2о точки М в -системе i?» следует поступить
следующим образом. Берем вектор г, у которого
координаты в системе К^ равны х, у, z, т. е. координатам точки
М в системе K = h~^Ka', производим над ним вращение
Л"' и координаты х^, j/q, Zq полученного таким образом
вектора h~^x берем в качестве искомых координат а;», ^о,
Za. Теперь равенство A9.5) можно переписать так:
h{^.t)=-iihK{h)fk{h-\t). A9.6)
Операции такого вида мы уже рассматривали в § 16.
Было показано, что они образуют представления группы
вращений. Сопоставляя результаты § 16 и настоящего
параграфа, можно сказать, что формула A6.8) дает
общий вид физического поля из класса ^«, которое при
92
вращении коордищт ведет себя как вектор е\п
канонического базиса представления S>i группы вращений R.
Обратим внимание на то, что представления ^ ш ^t
имеют разный физический смысл. Представление ^
характеризует преобразования координат поля в
фиксированной точке М при вращениях системы координат.
Представление S>j
характеризует преобразования поля
во всем пространстве при
тех же вращениях. Это
различие проявляется
наиболее наглядно, когда
поле определяется формулой
/(г) = г, как зто показано
на рис. 21.'
Если повернуть этот
рисунок вокруг начала
координат на произвольный
угол, то картина Ьоля не
изменится. Поле f(r) = r
не изменяется при
вращениях - оно преобразуется Р^с. 21. Плоское векторное по-
по представлению ^о; од- "^ ^'' °" '
нако значение этого поля
в каждой фиксированной точке, являясь вектором,
преобразуется цо представлению р == 3)i,
Сделаем одну оговорку. Все сказанное относится
только к тем физическим полям, компоненты которых могут
быть измерены. Именно это привело нас к выводу об
однозначной зависимости компонент поля от выбора систем
координат. Долгое время были известны только такие
поля. Однако с появлением и развитием квантовой
физики были обнаружены также поля, у которых можно было
измерять только квадраты модулей компонент. Мы еще
вернемся к этому вопросу.
§ 20. Симметрия системы уравнений
физического поля
Каждое физическое поле /(ж, у, z, t) удовлетворяет
некоторой системе уравнений А. Эта система позволяет
(по крайней мере в принципе) вычислить поле во все
моменты t>ti, если оно известно в момент t = tu
Так, например, электромагнитное поле подчиняется
системе уравнений Максвелла, Если известно поле в ве-
93
который момент времени, то с помощью уравнений
Максвелла его можно рассчитать для любого последующего
момента времени при условии, что рассматриваемый
объем не содержит вещества (является «пустым»).
При переходе от одной инерциальной системы
координат Кц к другой Ki = A~'i?o электромагнитное поле Е(г, t),
Н(г, t) преобразуется; во-первых, вектор г в системе Ki
имеет совсем не такие координаты, как в системе Ка,
И, во-вторых, проекции векторов Е п Н п& новые оси
координат, естественно, отличаются от проекций на
старые оси. Таким образом, шестерки функций
Ех (х, у, Z, t), Еу {х, у, Z, t), Ег (х, у, г, t),
H,{x,y,z,t), Hy(x,y,z,t), H.{x,y,z,t)
в системах i?o и i?i = h~^Ko различны. Однако в силу
равноправности инерциальных систем К^ и Ki каждая из
этих шестерок должна удовлетворять уравнениям
Максвелла. Это означает, что операция T{h), переводящая
электромагнитное поле в системе Ко в электромагнитное
поле в системе ^i = h~^Ka, должна быть операцией
симметрии для системы уравнений Максвелла (точнее, для
задач об бпределении всех электромагнитных полей,
удовлетворяющих уравнениям Максвелла). Простая проверка
подтверждает этот вывод, если исходить из
предположения, что при повороте системы координат поля Е и Н,
рассматриваемые в фиксированной точке пространства,
преобразуются как векторы, т. е. по представлению р ="
==S)i группы вращений.
Всякое другое предположение о представлении р,
которому подчиняются компоненты электромагнитного
поля в фиксированной точке пространства, оказывается
несовместимым с уравнениями Максвелла. Это означает,
что уравнения Максвелла навязывают характер
изменения компонент электромагнитного поля при повороте
системы координат.
Подобным же образом связано и любое дрзпгое
физическое поле с той системой уравнений, которая им
управляет (которой оно должно удовлетворять). Система
уравнений, управляющая данным физическим полем, определяет
(как правило) и то представление р, по которому
преобразуются при вращениях компоненты этого поля в
фиксированной точке пространства.
Вернемся к электромагнитному полю. То, что
уравнения Максвелла инвариантны относительно вращений,
94
вовсе не означает, что группа симметрии этих уравнений
сводится к группе вращений. И, действительно, в 1904 г.
Лоренц обнаружил, что система уравнений Максрелла
сохраняет свою форму при следующих преобразованиях
координат, времена и компонент поля:
, H'^-(u/c)E: К+ЩЕ'^
где ц — произвольный параметр, с — скорость света.
Первая строка — это ставшие знаменитыми после работ
Пуанкаре и Эйнштейна преобразования Лоренца. Они
образуют группу: произведение двух таких преобразований с
параметрами «i и Wj есть преобразование с параметром
", + и»
« = 7Х Ь- B0.1)
Теория относительностн Эйнштейна выяснила физический
смысл этих преобразований: вторая строка — формул
Лоренца показывает, как преобразуется электромагнитное
поле в фиксированной точке пространотва в
фиксированный момент времени при переходе от одной инерциаль-
ной системы координат К^ к другой Ki, движущейся
вдоль оси X системы К^. При этом параметр и есть не что
иное, как скорость системы i?, относительно системы К^.
Формула B0.1) дает поэтому закон сложения скоростей.
Наибольшей неожиданностью оказалось утверждение
теории относительности, что первая строка формул
Лоренца описывает реальное изменение не только
координат, но и времени при переходе из одной инерциальной
системы координат в другую. Это противоречило,
казалось бы, единственно возможному представлению о том,
что время абсолютно, т. е. «течет» с одной и той же
«скоростью» во всех системах отсчета.
И» этой истории хочется сделать следующий вывод.
Система уравнений того или иного физического поля
может оказаться «умнее своего создателя». Максвелл,
записавший уравнения электромагнитного поля, по-видимому,
не подозревал, что они обладают симметрией, обнаружен-
95
ной затем Лоренцем в объясненной Эйнштейном.
Точнее v- система уравнений физического поля может
обнаружить симметрию, физический смелел которой до поры
до времени остается неясным. Чем больше взаимных
связей учитывает теория, тем, вообще говоря, богаче ее
группа симметрии.
Поясним это наблюденле на примере уравнений
Максвелла. Если электромагнитное поле очень медленно
изменяется со временем, то связь между электрической в
магнитной компонентами этого поля становится очень
слабой. В предельном случае мы получаем два несвязанных
друг с другом поля: электрическое и магнитное и две
системы уравнений: электростатики и магнитостатики. Ни
одна из этих систем не имеет в к'ачестве группы
симметрии группу Лоренца. И только уравнения Максвелла,
учитывающие взаимодействия этих полей, обнаружили
группу более высокой симметрии, нежели группа враще-
вий,— группу, объединяющую преобразования Лоренца в
преобразования вращения.
Ведущиеся в последние десятилетия поиски группы
симметрии гипотетической системы уравнений,
управляющей элементарными частицами, показывают, что чем
выше симметрия предполагаемой группы, тем большее
число разновидностей элементарных частиц укладывается
в рассматриваемую схему.
Скажем несколько слов о представлениях группы
Лоренца. Представление этой, группы, по которому
преобразуются три координаты (х, у, z) и время (t), является
неприводимым. Оно называется векторным
представлением. С его помощью легко образовать различные
тензорные представления. Так, электромагнитное поле (Е, Н)
в фиксированной точке (х, у, г, t) преобразуется по сим-
метризованному 4-тензорному представлению второго
ранга.
Зная матричные элементы всех неприводимых
представлений группы Лоренца, можно найти явный вид
электромагнитных полей, которые при преобразованиях
Лоренца преобразуются по тому или иному вепрвводимому
представлению этой группы. Это делается так же, как а
в случае группы вращений, если. предварительно
найдены все неприводи.мые представления группы Лоренца.
Глава 5
ПОЛЯ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
В этой главе рассматривается вопрос: как преобразуются
волновые функции квантовых систем при переходе из одной системы
координат в другую? То обстоятельство, что значения волновой
функции не поддаются измерению (измерить можно только
квадрат модуля), существенно расширяет класс возможных
преобразований волновых функций. Представления группы вращений во
многих случаях недостаточны для описания этих преобразований;
волновые функции преобразуются в соответствии с
представлениями другой" группы —группы R, накрывающей группу вр|1ще-
ний Д.
Иногда вместо представлений накрывающей группы говорят
о двузначных представлениях группы вращений. Это, конечно,
допустимо, если помнить, что двузначные представления группы
вращений есть не что иное, как обычные представления
накрывающей группы.
§ 21. Что такое накрывающая группа?
Представим себе твердое тело, имеющее одну
неподвижную точку О', а в остальном способное
перемещаться совершенно свободно, т. е. способное занять любое
положение А, при котором его неподвижная точка О'
совпадает с фиксированной точкой пространства (например,
с началом системы координат OXYZ).
Выберем некоторое положение А о этого твердого тела
в качестве начального. Тогда, как уже говорилось, можно
перевести тело из положения Ао в любое положение А
с помощью одного поиорота Ск{а) на некоторый утоп а
(О < а < л) вокруг соответствующей оси, определяемой
единичным вектором к (поворот совершает5я против
часовой стрелки, если смотреть с конца вектора к по
направлению к началу координат). Каждый такой поворот
можно представить точкой внутри шара U радиуса я,
а именно концом вектора ак, отложенного от начала
координат. Единица е группы вращений R представляется
центром шара U. Диаметрально противоположным
точкам шара як и —лк соответствует одно и.то же
положение А твердого тела, всем другим парам точек —
различные положения. Повермость шара U, т. е. сферу
радиуса я, обозначим через U,
7 г. Я. Любарский 97
Движению твердого тела е закрепленной точкой О'
соответствует некоторая кривая {траектория) внутри
шара и. Действительно, такое движение можно представить
себе как непрерывную*) последовательность положений,
занимаемых телом; каждому положению соответствует
точка в шаре U, непрерывной последовательности
положений соответствует непрерывная последовательность
точек, т. е. кривая или траектория.
а. 6. В
Рис. 22. Три траектории внутри шара U '
Итак, каждое положение твердого тела — это точка в
шаре и, каждое движение твердого тела — траектория
внутри этого шара. В дальнейшем мы будем
рассматривать только те траектории, которые начинаются в точке е.
На рис. 22 изображены три различные траектории,
начинающиеся в начале координат. Две из них (о и б) —
незамкнутые, третья (е)—замкнутая.
Разобьем веб траектории на классы следующим
образом. Две траектории I и V отнесем к одному и тому же
классу, если они заканчиваются в одной .и той же точке
и если одну из них можно непрерывной деформацией
перевести в другую, причем в процессе Реформации начало
и конец траектории неподвижны. Поясним это опредейте-
ние примерами.
На рис. 23, о изображены четыре траектории. Две из
них соединяют точку е с точкой ^i, две — ту же точку е
с точкой g2. Две траектории, оканчивающиеся в точке ^t
(одна из них нанесена сплошной линией, другая —
штриховой), принадлежат одному и тому же классу. Это же
можно сказать о двух траекториях, оканчивающихся в
точке ^2.
*) Слово «непрерывный» здесь и далее следует понимать не
как математический термин, а как слово русского языка, т. е.
иятуитчвно.
Рис. 23. Траектории e-^g вз
одного класса (а) н нз разных
классов {б)
Условимся обозначать символом {e-^h} класс
траекторий, содержащий траекторию е -*-h.
Может быть, все траектории, имеющие общие начало
и конец, принадлежат одному классу? Оказывается, что
это не так. На рис. 23, б показаны две траектории из
разных классов. Как ни деформируй сплошную траекторию,
изображенную на этом
рисунке, она всегда будет
содержать две диаметрально
противоположные точки.
Зададим следующий
вопрос. Сколько различных
классов можно образовать
из траекторий,
оканчивающихся в одной и той же
точке gl Приведенный на
рис. 23, б пример
показывает, что таких классов
имеется по крайней мере
два: один класс (пазоЬем его основным) содержит
траектории, которые не выходят на поверхность шара
(штриховая траектория на рис. 23,6), другой класс
содержит траектории, которые соединяют точку е с какой-
либо точкой сферы и, затем перескакивают на
противоположную точку этой сферы и оттуда приходят к точке
g; иными словами, эти траектории содержат по одной
паре диаметрально противоположных точек. Может
показаться, что траектории, оканчивающиеся в одной и той
же точке, образуют бесконечное число классов, а именно,
траектории, у которых имеется^(ге —1) пар диаметрально
противоположных точек, образуют класс с номером п
(и = 2, 3, ...). Оказывается, что и это неверно!
Рассмотрим для примера траекторию, имеющую две
пары диаметрально противоположных точек: В а В', С
и С (рис. 24, о). Как это на первый взгляд ни странно,
но эта траектория принадлежит тому же классу, что и
штриховая траектория ОА, т. е. основному классу. На
рис, 24 показаны этапы непрерывной деформации этой
траектории, которая позволяет совместить ее со
штриховой траекторией.
На первых трех рисунках (о, б, в) показано, как
тетки i3 и С постепенно сближаются, на рисунке з они
слились в одну точку, соответственно сближаются и
антиподы этих точек,.точки В' и С", что приводит к
исчезновению дуги В'С на рисунке в. Далее, точка В покидает
7* . 99
сферу и, втягиваясь внутрь шара U (рисунок д). На
рисунках д а е показана дальнейшая деформация сплошной
траектории ОА, заканчивающаяся полным совмещением
со штриховой траекторией О А.
Таким образом, все траектории, имеющие общий
конец А, делятся всего на два класса] В этом смысле
«классов вдвое больше, чем вращений».
£''С
Рис. 24. Непрерывная деформация траектории ОВВ'СС'А в
траекторию ОА (штриховые)
Очень легко указать по одному простому
представителю каждого из двух классов. Пусть точка g есть
вращение ак. Рассмотрим совокупность всех положений тела,
которое поворачивают вокруг неподвижной оси к на угол
а. Эти положения изображаются прямой eg (рис. 25).
Положение, которое займет тело после завершения
поворота на угол а, обозначим а. В это же положение можно
перевести тело, поворачивая его в противоположном
направлении на угол Bл —а). Последовательность
положений, проходимых в процессе поворота, изобразится
штриховыми линиями. Мы получили две траектории из разных
классов — основного и дополнительного. Условимся
обозначать основной класс траекторий е-*g через g*, а
дополнительный — через g~.
Покажем теперь, как можно ввести действие
умножения классов и тем самым превратить совокупность всех
классов в группу,
100
в качестве первого шага введем понятие левого сдвига
траектории. Пусть g — произвольный элемент группы
вращений, а е-* hi — некоторая траектория. Составим
всевозможные произведения элемента g на элементы h,
входящие в траекторию е -* hii
gh (h^e-^hi).
СовокупностБ всех таких произведений образует новую
траекторию, которая начинается в точке g
и заканчивается в точке ghi. Эта
траектория и называется левым сдвигом
траектории е-* hi, совершенным с помощью
элемента g. Будем обозначать ее так:
g{e^hi).
Теперь можно сделать следующий шаг и
определить произведение двух траекторий:
{e-^g)-{e-^h).
Делается это так. Заметим, что начало
траектории g{e-*-h) совпадает с концом
.траектории e-*-g. Поэтому эти две
траектории можно объединить в одну:
е-* g+ g{e-^h).
Эта составная траектория и называется произведением
траекторий е -*■ g п е -*■ h:
e-*-hg = {e-^h)-{e-*g).
Рис. 25. Две
траектории —
представители
основного и
дополнительного
классов
Оказывается, что класс ({е-* Н)-{е-* g)}, которому
принадлежит произведение траекторий е-*■ h и e-^g, не
изменится, если траекторию е -*■ h заменить любой
другой траекторией из класса {е-*-к), а траекторию e->-g —
любой траекторией из класса {е -*■ g). Это свойство
позволяет перенести действие умножения с траекторией на
классы: произведение класса {е -*■ Н} на класс {е ->- g)
определим как класс, содержащий произведение
траекторий e-^h и е-^ g:
{e-^h}-{e^g}'^{{e-^h){e-^g)}.
Легко проверить, что совокупность всех классов
траекторий после введения указанным образом группового
101
действия становится группой. Эту группу принято
называть накрывающей группой группы вращений. Мы будем
обозначать ее символом R. Накрывающая группа играет
принципиальную роль в квантовой механике й в теории
элементарных частиц.
§ 22. Преобразования квантовомеханических полей
при вращениях системы координат
Квантовомеханические поля /(Г), Гг, ..., г„, f),
описывающие состояния п частиц (га»=1, 2, ...), отличаются
от классических полей тем, что они не могут быть
измерены. Измерению поддаются только квадратичные
образования из компонент этих полей вида
/i(ri, Гг, , . ., Г„, t)fj{ru Тг, . . ., Г„, t), B2.1)
где /i {(•=' 1, 2, ..., и) — компоненты поля /, а черта
обозначает операцию комплексного сопряжения.
Заметим, что при умножении волновой функции на
постоянное число е'^ модуль которого равен единице, ни
одно из выражений B2.1) не изменяется и, кроме того,
полученная функция е*7 удовлетворяет тому же
уравнению, что и функция /. Это означает, что волновые
функции определены в каждой системе координат лишь с
точностью до множителя е'^. Точнее будет сказать, что
данное состояние квантовомеханической системы
описывается в каждой системе координат любой функцией из
некоторого семейства {/}, причем различные представители
этого семейства отличаются друг от друга постоянным
множителем, равным по модулю единице. При переходе
из одной системы координа!' К в другую систему К'
семейство {/} переходит в некоторое другое семейство {/'}.
Предположим, что, исследуя систему А уравнений,
управляющую изменением во времени квантовомеханиче-
ского поля /, мы обнаружили операцию Т{Ко, К'):
и 'я>: • • • 1 'ni
- 2 Tjk(h) fkih-^гг, b-\,.. „А-Чг О {hK' = К,), B2.2)
которую надо произвести над полем /, заданным в
некоторой системе координат Ко, чтобы получить одну из
волновых функций, опасывающнх то же состояние в системе
102
к' = br^Ktt. Каждая такая операция определена с
точностью до произвольного множителя. Возникает вопрос:
можно ли подобрать эти множители так, чтобы
соотношение
Т{К\К")=Т{К,,К")Т{К\К,) B2.3)
выполнялось для любой тройки систем координат iKo, Т^'
пК"?
В настоящее время установлено, что для многих кван-
товомеханических систем такой подбор невозможен.
С другой стороны, современная теория считает, что
указанные множители можно подобрать так, чтобы
соотношения B2.3) были справедливы в ограниченной областц,
а именно, при условии, что углы поворотов, переводящих
систему Ко 9^систему К' и систему К' в систему К",
достаточно малы (скажем, меньше я/2).
Несмотря на то, что это предположение не вытекает
ни из изотропии пространства, ни из вида уравнений
квантовой физики, оно полностью подтверждается
экспериментом во всех исследованных случаях. Поэтому в
дальнейшем будем считать это предположение
справедливым и пользоваться соотношением B2.3) для всех
вращений с достаточно малым углом поворота.
Из соотношений B2.3) и изотропии пространства
вытекает так же, как и в случае классических полей (§ 19),
что
T(h,h,)^T(h,)T{h^y, B2.4)
если углы поворотов у вращений hi и кг достаточно малы
(меньше я/2); при этом оператор T{h) определяется
равенством
T(h)^T{Ko,h-^Ko),
а Ко — фиксированная система кoopдинaf.
Мы уже видели, что выяснение структуры всех
операторов T{h), удовлетворяющих условию B2.4), является
задачей актуальной с точки зрения физики. Для
решения этой задачи заманчиво использовать понятия и
аппарат теории групп. К сожалению, соотношения B2.4)
недостаточно для этой цели, так как совокупность элементов
hi, hi, для которых оно справедливо, не образует группы.
В следующем параграфе будет показано, как
преодолевается эта трудность.
103
§ 23. Преобразования квантовомеханических полей
как представления накрывающей группы R
Займемся анализом соотношения B2.4), помня, что
оно получено не для всех вращений, а только для тех,
которые производят повороты на углы, меньшие я/2.
Условимся обозначать совокупность всех таких вращений
буквой Д.
В качестве первого шага отождествим вращения ^ ^ Д
с элементами g'*' накрывающей группы. Множество
элементов g* (g^A) будем обозначать тем же символом Д,
Соотношение B2.4) можно переписать так:
T{ht)T{ht)^T{htht).
Доопределим операторы Г на всю группу R и покажем,
что построенные операторы T(a)_(a^R) образуют
представление накрывающей группы Л:
Па)ГШ = Г(ар) (а, ре Л). B3.1)
Для этого проведем следующее естественное построение.
Пусть а — произвольный элемент накрывающей
группы. Он представляет собой класс траекторий {е -*■ h).
Выберем какую-нибудь траекторию f = е -^ Л из этого
класса. Отметим на этой траектории точки
hi, hi, ..., hn (hi — e, А„==й). B3.2)
Дугу траектории f, заключенную между точками h^ и
^fc+i {k = i, 2, ..., га —1), обозначим через '^^- Точки Л^
расположим на траектории достаточно густо, чтобы
каждая из дуг 'Yft обладала следующим свойством: любая
пара точек (вращений) g', g" е -^^ удовлетворяет условию
.(г')-'^"ед. ,B3.3)
Построим произведение
S^T {НТ%) Т {h^%) ... T{h-\hn). B3.4)
Оно обладает следующим свойством. Если одну из дуг 'у^
разбить на две части с помощью какой-либо точки h' е -у^
и включить эту точку в набор B3.2), то произведение S
не изменится! В самом деле, эта операция сведется к
тому, что в произведении B3.4) множитель Т [Ъй^К^)
заменится двумя сомножителями: Т {h'^^h') Т {Н'~^к,^+т).
Однако по построению оба вращения h'^^h' и h'~^hk^i
104
принадлежат Л. Поэтому они подчиняются правилу
B2.4), в силу которого
Т {h^'h') Т (Л'-Ч+О = Т {K'h'h'-%+,) = Т (fer'Ak+i).
Из доказанного следует, что произведение S не изменит-
ся при произвольном увеличении множества точек B3.2),
если оно ведется путем добавления точек, лежащих на
граектории ^.
Теперь легко показать, что произведение S',
соответствующее другому возможному выбору точек:
hi, Л'г, .. .,hn {hi]= е, hn = h), B3.5)
не отличается от S. В самом деле, если рассмотреть
разбиение траектории с помощью
объединения совокуйностей точек B3.2) и B3.5),
то в соответствии с утверждением,
доказанным выше, соответствующее этому
новому разбиению произведение So будет
совпадать и с 5, и с 5'. Это и означает,
что S = S'. Итак, при выполнении условия
B3.3) произведение S однозначно опреде- _ об М я
ляется траекторией: "реформация
3 = 3(у). траектории
Осуществим теперь деформацию траектории. Если эта
деформация достаточно мала (рис.-26), то на обеих
траекториях можно взять один и тот же набор точек B3.2).
Это означает, что
5(т) = 5(т'). B3.6)
С помощью сколь угодно малых деформаций можно
перейти от траектории f = е -»■ Л к любой другой
траектории из того же класса. Поэтому равенство B3.6)
означает, что произведение S зависит только от класса
траекторий, т. е. от элемента а накрывающей группы R,
отождествляемого с этим классом.
Покажем, что определенная таким образом операция
S{a) {a^R) совпадает с операцией Tig"^) на всех
элементах а = g"*" е д. Для этого рассмотрим траекторию
е -*■ g, состоящую из поворотов
Ск(Яф) @<Х<1),
где Ск (ф) = g. В качестве совокупности точек B3.2)
можно взять две точки: hi = e и hz = g. Соответствующее
произведение S будет равно T{g), Таким образом, для
105
всех элементов g+ е А справедливо соотношение
Это позволяет доопределить операторы Т на всю
накрывающую группу Я, положив
Г(а) = 5(а) (ае'Л)-.
Осталось доказать, что определенные таким образом
операции ^(а) удовлетворяют соотношениям B3.1). Это
делается так.
Рассмотрим два произвольных элемента накрывающей
группы: а = e-f k, р = е -*■ |Г- Произведению элементов
«Р соответствует класс, содержащий траекторию
{e-*-h) + h{e-*-g).
Пусть g' и g" — две лсакие-либо точки, лежащие на тра^
ектории e-^-g и обладающие свойством {g')~*g"^A.
Тогда соответствующие точки hg' и hg" лежат на
траектории h{e-^g) и обладают аналогичным свойством
{hg')-'{.hg")^ig')-^h-^hg" -(g')-*^""^ А. B3.7):
Поэтому, если точки gi, g2, ..., gm осуществляют
требуемое разбиение траектории е-*-g, то точки
hgi, hgi, ..., h^
дают нам требуемое разбиение траектории А (е -^ g), а
набор точек hi, hi, .'.., fe„ =« hgi, hgz, ..., hg„ — это
требуемое разбиение траектории (е -* h) + h{&-* g). Поэтому
Т (аР) = Т {hT%) ...Т {h„.,hn) Т {g:%)... Г (g;Lx^„)-
«f(aO'(P)
(мы учли тождество B3.7)),
Итак, построенные операторы Т(а) дают
представление группы л! Благодаря этому анализ структуры всех
возможных операторов T{h) (h^R) можно произвести,
пользуясь методами теории групп, В качестве первого
шага следует найти все неприводимые представления
накрывающей группы R,
§ 24. Неприводимые представления
накрывающей группы
Прежде всего заметим, что 1{аждое неприводимое
представление группы вращений R,
т(^)-Д)Ле, Ф, t) (/ = 0,1,2,...),
106.
можно рассматривать как неприводимое представление
накрывающей группы R, если положить
, T(g+)-T(r) = T(g). {g^R)
(g"*" и g~ — основной и дополнительный классы
траекторий, в-*g). Однако группа R имеет и другие
неприводимые представления. Они также обозначаются символами
2)j, но вес /■ пробегает полуцелые значения:
/ » 1/2, 3/2, 5/2, ...
Таким образом, все представления накрывающей группы
характеризуются только одним индексом — весом /. Вес
может принимать любые целые и полуцелые значения.
Размерность п представления с весом ^ равна п =» 2; + 1.
Это значит, что. накрывающая группа R имеет по одному
неприводимому представлению каждой размерности.
Канонический базис в пространстве,
преобразующемся по представлению S)j, записывается так:
4. (те = — /t — / + Ij ..., / —4, /).
Следовательно, индекс т пробегает либо только целые,
либо только полуцелые значения.
Если g — поворот d (ф) {—п < ф < Ч-я), то имеем
£>} {g+) eln = e-*4i. (те = _/,..., /),
Если g = С(9, ф, гр), то
где .
^(^-iy-'4^-K2-%--k)\{j + k)\(j-m)\{J+m)\f'x
, m+h fe-m j-max{ft,m} ( LlLii ]
X(l—H) A + Ц) 2i s\{k+s)\ {j-k-s)\{j-m-s)r
(•24.1)
где'n = cos 9; / = 0, 1/2, 1, 3/2, ...; k, m = -j, ...,J,
Приведем явный вид матрицы ^1/2F, ф, ■^):
(|«р+1|') |(Ф-ф)
е* cos 9/2 ie^ sin 9/2
I i
-(Ф-Ф) --(<г+Ф) ■
ie^ sme/2 e - cose/2>'
107
Матрицы 2>j{g-) элементов g- дополнительного класса
определяются так:
Впрочем, для наших целей эти матрицы не нужны.
Произведение двух представлений с весами /i и /г
распадается на сумму представлений следующим образом:
2>i, X S>j, = ^|,-i-i,| + 2)|i,-i-|+i + ... + S>s,+j,. B4.2)
Это соотношение формально совпадает с соотношением
A7.2). Существенное отличие состоит в том, что речь
идет о представлениях группы R, а не Д, и что веса /i и
/2 могут принимать к$к целые, так и полуцелые значения.
§ 25. Кляссифнкация квантовомеханических полей
Мы уже видели, что при вращении h системы
координат К (К== Л~'Яо) всякое квантовомеханическое поле,
рассматриваемое в фиксированной точке пространства,
преобразуется по aejcoTopOMy представлению T{h)
накрывающей группы R. Это позволяет перенести
классификацию представлений группы R на квантовомеханиче-
ские поля.
Если такое поле преобразуется по одному из
неприводимых представлений 2)} {j = 0, 1/2, 1, 3/2, ...), то будем
называть его спинорным полем веса *) /. Будем говорить,
что физический объект, описываемый этим полем, имеет
спин, равный /.
Если квантовомеханическое поле преобразуется по га-й
степени представления 3)i/2, т. е. по представлению
(^(/г)" (га = 0, 1, 2, ...), то будем называть его
спинорным полем ранга, ге, а значения этого поля в каждой
фиксированной точке — спинором ранга п. Спиноры четных
рангов выражаются через скаляры, векторы и тензоры;
^./2X^1/2= ^0+^1,
(^,;2)' =(^0 + ^.)' = 2^0 + 32>, + 02
* и т. д.
Перейдем от преобразований поля, рассматриваемого
в -фиксированной точке пространства, к преобразованию
поля, рассматриваемого во всем пространстве. Для этого
достаточно учесть, что вектор г в системе К имеет те же
*) Термин не является общеупотребительным.
108
координаты, что и вектор fe"*r в системе /fo. Иными
словами, если г — радиус-вектор точки М (где расположены
приборы, измеряющие поле), то для вычисления
координат этой точки в системе К достаточно вычислить
координаты точки вектора Л~*г в исходной системе Кц.
Поэтому квантовомеханическое 'поле /, которое в каждой
фиксированной точке М преобразуется по представлению р
накрывающей группы:
Й/(Л/, 0 = M^)/(Af, f),
рассматриваемое целиком, т. е. как функция от
координат, преобразуется по формуле
fe/(r, 0=Р(й)/(Л-'г, f). B5.1)
Эта формула имеет тот же вид, что и формула A9.6).
Отличие состоит_ в том, что теперь h — элемент
накрывающей группы Л, а р — представление этой группы. Исходя
из соотношения B5.1) в предположении, что P»=^v
(v = 0, 1/2, 1, .-..), можно показать, что ни один набор
вектор-функций {/} не преобразуется по представлению
3)j, если разность / — v не является целым числом. Если
/ — V — целое число, то вектор-функции /''■"" (/ = О, 1/2,
1, ...; m = —j, ..., /■) можно найти по формулам A6.8),
в которых суммирование по а следует вести по
значениям а«=—р,, —\i + i, ..., ]i (т. е. в ряде случаев — по
полуцелым числам), а функции P^a,^,{Q), Pam,i{Q)
считать определенными,равенствами B4.1).
Глава 6
О КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Наиболее впечатляющие приложения теории групп относятся
к квантовой механике. Для того чтобы рассказать о них,
необходимо сначала познакомить читателя с некоторыми основными
положениями квантовой механики. Эта задача представляется очень
трудной. Для ее облегчения выбран метод, состоящий в том,
чтобы сообщать читателю только те сведения, которые
действительно нужны для понимания роли теории групп, и обходить
молчанием все остальное, сколь бы важным оно ни было для самой
квантовой механики. Так, говоря о роли основополагающего
уравнения Шредиигера, мы ни разу не выпишем его в явном виде
и не будем объяснять, как оно составляется. Этот подход
оправдывается тем, что для применения методов теории групп важен
яе столько конкретный вид задачи, сколько ее симметрия и
описание того множества L, среди элементов которого следует искать
решение. То, что мы не выписываем уравнения Шредиигера в
явном виде, ограничиваясь только описавнем его структуры, можно
рассматривать как наглядную демонстрацию этого свойства
прикладной теории групп.
С другой стороны, такой метод изложения может представить
для читателя известные трудности. Многим будет неприятно
знакомиться о рассужденинмн, в которых фигурирует не известное им
уравнение Шредиигера. Их не удовлетворит описание и
разъяснение тех свойств, которыми это уравнение обладает и которые
достаточны для понимания приводимых рассуждений.
Желательно, чтобы эти читатели преодолели свое предубеждение против
такого изложения и поверили, что усвоение всех понятий,
необходимых для фактического написания уравнения Шредиигера,
потребовало бы от них' значительных усилий, а для нашей
основной цели — понять принципы применения теории групп — было
бы бесполезным.
§ 26. Первая особенность квантовой механики
Курсы квантовой механики начинаются обычно с
изложения тех фактов, которые решительно противоречат
классической физике — электродинамике Фарадея —
Максвелла и механике Ньютона. Все эти факты относятся к
микромиру — молекулам, атомам и их составным частям.
В дальнейшем ради краткости будем называть все такие
объекты квантовыми системами, подчеркивая тем самым,
что для их изучения необходимо пользоваться
представлениями и законами квантовой механики.
Заметим, что. знание свойств микромира необходимо
для объяснения многих явлений в области макроскопиче-
110
ских тел. Например, оптические свойства кристаллов, их
поведение в магнитном поле, удивительные свойства
полупроводников, природа химической связи и
периодический закон Менделеева — все это и многое другое
получило исчерпывающее объяснение в рамках квантовой
механики.
В зтой главе расскажем, как представляет себе совре-'
менная наука основные свойства квантовых систем.
Начнем с поведения квантовой системы в тот момент, когда
над ней производят какое-либо измерение, например,
измеряют ее анергию, момент количества движения или
координаты одной из содержащихся в ней частиц. Скажем
прямо, система ведет себя удивительным образом —
результат измерения, как правило, является случайным.
И это происходит вовсе не потому, что мы чего-нибудь
не знаем о квантовой системе в момент, когда
производится измерение. Согласно квантовой механике две
совершенно одинаковые квантовые системны, находящиеся в"
совершенно одинаковых условиях, подвергнувшись
одному и тому же измерению, дадут, вообще говоря,
различные результаты *). Это свойство настолько удивительно,
что читатель, если он раньше об этом не слышал, может
подумать, что неправильно понял прочитанное.
Возникает естественный вопрос. Что же может
квантовая механика, если она не умеет предсказать результат
измерения? На этот вопрос существует совершенно
определенный ответ. Квантовая механика может вычислять
вероятности различных случайных исходов измерениях
Когда от явлений микромира мы переходим к
макроскопическим свойствам материи (например, к теплоемкости,
электропроводности, сверхпроводимости и пр.), то
оказывается, что знание вероятностной картины на микроуров-
не позволяет делать совершенно определенные, не
зависящие от каких-либо случайностей выводы.
Как объясняет квантовая механика случайный
характер результатов измерения? Никак не объясняет!
Квантовая механика так же мало занбкается этим вопросом,
как, скажем, классическая механика занимается вопросом,
почему тело, на которое не действуют никакие силы,
продолжает двигаться, а не останавливается. Обычный
ответ: «по инерции» эквивалентен ответу: «таков закон
*) Есть очень важное исключешае из. этого правила. О нем
будет сказано з § 27,_
111
природы». Такой же ответ следует дать и на вопрос о
случайном характере результатов измерения.
Вероятно, вопрос о движении по инерции очень
волновал ученых и философов — современников Ньютона.
Сейчас этот вопрос потерял остроту, а постановка такого
вопроса может вызвать недоумение. Вопрос о роли
случая в квантовой механике еще и сейчас вызывает споры,
хотя большинство физиков и философов,
интересующихся этим вопросом, считают. Что в квантовой физике мы
столкнулись с новым видом закономерностей (а именно
с закономерностями, определяющими не сами исходы
экспериментов, а вероятности различных исходов) и что
такое положение вещей является вполне удовлетворит
тельным с философской точки зрения.
§ 27. Вторая особенность — волновой характер
квантовых систем
Предостережем читателя от следующего
неправильного толкования случайного характера результатов
измерения. «Допустим, мы измеряем координату частицы х.
Предположим, что до измерения она была равна Жо. При
измерении в результате погрешностей прибора мы можем
получить различные результаты: ж,, x%i ... Этим и
объясняется случайный характер результатов измерения.
Просто квантовая механика учитывает принципиальную
невозможность сколь угодно точных измерений.»
Если бы это было так, то предсказанные квантовой
механикой вероятности результатов измерений бы'ли бы
разными для приборов различного класса точности.
Между тем эти вероятности зависят только от состояния
квантовой системы и не зависят от выбора измеряющего
прибора. Погрешности измерения лишь вносят небольшие
поправки в картину вероятностей, предписываемую
законами квантовой механики. .
В приведенном выше рассуждении ошибка кроется в
самом неожиданном месте — в предположении, что до
измерения координата равнялась х^. Согласно квантовой
механике она ничему не равнялась! Возможно ли это?
Возможно, если частица при ближайшем рассмотрении
оказывается не частицей, а волной. Ведь у волн нет
координат! Что же в таком случае означает измерение
координаты? Это «насильственный» перевод частицы из
состояния «волна» в состояние «частица» с координатами
Жо, Уо, 2о. Это «насилие» совершается над частицей изме-
112
ряющим прибором и состоит только в том, что ее
«заставляют» перейти в состояние «частица» с
определенным положением в пространстве, однако измеряющий
прибор не оказывает никакого влияния на выбор этого
ноложения. Выбор является, как уже говорилось,
случайным. Вероятности различных положений частицы в
пространстве зависят только от ее состояния до измерения.
Эти вероятности не зависят от измеряющего прибора.
Подобное же положение имеет местом при измерении
других физических величин (энергии, импульса и пр.),
впрочем, с одним отличием. В некоторых состояниях
квантовой системы результаты измерения язляются
неслучайными, а совершенно определенными,
детерминированными,— их можно предсказать заранее.
Все состояния квантовой системы можно разбить по
отношению к измеряемой величине, обозначим ее буквой
а, на два класса; состояния, в которых квантовая
система имеет определенное значение величины а
{собственные состояния), и состояния, в которых квантовая
система не имеет определенного значения величины а,
подобно тому, как волна не имеет определенных координат
X, у, Z. Если квантовая система находится в состоянии с
определенным значением а = а», то измерение дает то же
значение аа. В противном случае результат измерения
случаен, а законы квантовой механики позволяют
вычислять вероятности всех возможных результатов измерения
величины а.
При измерении величины о под действием
измеряющего прибора состояние системы изменяется скачком.
Это еще одна особенность микромира, обнаруженная
квантовой механикой,— нельзя провести измерение
физической величины', не изменив радикально состояния
квантовой системы.
§ 28. Точечный и непрерывный спектры
Пусть о — какая-либо физическая величина. Мы уже
говорили, что. результат измерения этой величины
случаен. Добавим теперь, что в ряде случаев не всякое
число X может получиться в результате измерения. Вер
действительные числа можно по отношению к величине а
разбить на два класса: кл!асс чисел, которые могут
получаться в результате измерения, и класс чисел, которые
при измерении никогда не получаются. Нас будет
интересовать только первый класс чисел.
8 г. я. Любар»киИ 113
Первый класс чисел, т. е. возможные значения
величины а, называется ее спектром. Каждое число этого
класса называют точкой спектра. Оказывается, что множество
всех точек спектра целесообразно разбить на две
совокупности. Первая из них называется точечным спектром,
вторая— непрерывным спектром.
Определяющим свойством каждой точки х,
принадлежащей точечному спектру, является то, что вероятность
события «результат измерения величины а оказался
равным X» строго положительна. Числа, входящие в
точечный спектр величины а, будем обозначать той же буквой,
но с порядковым индексом:
Мы видим, что на долю непрерывного спектра
остаются только те значения х, вероятность получения которых
равна нулю! Что это, собственно, означает? Не следует
думать, что результат измерения не может оказаться
числом из нецрерывнОго спектра. Точки непрерывного
спектра заполняют один, несколько или бесконечное множество
интервалов. Каждый такой интервал содержит,
разумеется, бесконечное множество точек, и хотя вероятность
у каждой отдельной точки совпасть с результатом
измерений равна нулю, вероятность того, что одна из точек
интервала совпадает с результатом измерения,
положительна.
Из сказанного следует, что длд описания вероятностей
всевозможных результатов измерения величины а нужно
для точечного спектра указать вероятности p^, рг, ..»
..., р„, ... равенств а = ап, для любого интервала {а, Р),
цринадлежащего непрерывному спектру, указать
вероятность /)(«, р) события а < а < р.
В дальнейшем для простоты будем говорить только
о тех физических величинах о, у которых нет
непрерывного спектра. Исключение составит § 30, в котором
рассматриваются измерения положения частицы.
Соответствующие физические величины — координаты х, у я z —
не имеют точечного спектра; спектр зти:^ величин
является непрерывным.
§ 29. Волновая функция
Каким же образом законы квантовой механики
позволяют вычислять вероятности различных результатов
измерения? Для ответа на этот вопрос следует ввести в
рассмотрение фундаментальное понятие «волновая функ-
114
ция» и осветить два отдельных вопроса: как вычисляется
волновая функция и какую роль она играет при
вычислении вероятностей различных результатов измерения?
В этом параграфе мы остановимся только на втором из
этих вопросов.
Если квантовая система состоит с точки зрения
классической физики из п частиц (например, п электронов в
поле ядра), то ее волновая функция является функцией
от п радиус-векторов и времени:
i|' = i|)(ri, Гг, .... Гп, t).
Пусть а — физическая величина, значение которой мы
хотим измерить. Каждой физической величине в квантовой
механике српоставляется определенный оператор,
действующий на волновую функцию. Условимся обозначать
символом а оператор, соответствующий величине а.
Мы уже говорили, что состояния квантовой системы,
в которых величина а имеет определенное значение,
называются собстренными состояниями величины а.
Квантовая механика дает простой способ узнать, является ли
данное состояние собственным. Для зтого следует
подействовать оператором а на волновую функцию if» и если
получится функция ф = а1|з, которая пропорциональна
функции ■ф: ^
a^^ = K'ф, B9.1)
то состояние квантовой системы с такой волновой
функцией будет являться собственным состоянием физической
величины а. Более того, коэффициент пропорциональности
% даст нам значение величины а в состоянии,
описываемом волновой функцией ф. . • ~
Операторы а, соответствующие физическим величинам,
обладают важным свойством, которое можно было бы
назвать свойством мгновенности. Оно состоит в следующем.
Допустим, что результат воздействия оператора а на
волновую функцию 1|з(г1, Гг, .,., Гп, t) есть функция
/(г„ Гг, ..., г„, 0:
Если нас интересует значение функции / только в
заданный момент t = fi, то для вычисления этого значения
/(г,, .,., г„, t) нет необходимости знать волновую
функцию if во все моменты времени, достаточно знать ее
только в тот же момент, t =f= fi.
8* 115
Отсюда следует, в частности, что для решения
вопроса: «является ли данное состояние собственным
состоянием данной физической величины?» достаточно знать
волновую функцию ф только в момент измерения. Иными
словами, предыстория рассматриваемой квантовой
системы несущественна.
Если рассматривать соотношение B9.1) само по себе,
как некоторый математический факт, вне связи с
квантовой механикой, то его можно описать, сказав, что
функция i|3 является собственной функцией оператора а,
число Я — собственным числом этого же оператора. У
данного оператора может быть много различных собственных
чисел:
%i, Кг, ..., Хп, . •. B9.2)
и соответствующих им собственных функций ^i, ijij, ...
..., If»:
ail)„ = X„iJ)„ (и = 1, 2, ...).
Совокупность собственных чисел оператора а называется
его точечным спектром.
Квантовая механика утверждает, что имеет место
следующее замечательное соотношение: точечный спектр
физической величины а совпадае'т с точечным спектром one-'
ратора а. Напомним также, что собственные состояния
системы, соответствующие физической величине а,
описываются волновыми функциями, которые являются
собственными функциями оператора а. ,
Задача вычисления собственных чисел и собственных
функций операторов и исследование их свойств — это
одна из фундаментальных задач современной математики,
в значительной мере определившая пути ее развития за
последнее столетие. Накоплен огромный фактический
-материал, создана глубокая разветвленная теория,
разработаны вычислительные методы, решено много конкретных
задач. Исследования в этой области мате-матики
стимулировались как внутренней логикой развития математики,
так и потребностями квантовой механики. Впрочем,
первые применения собственных функций относятся к
задачам распространения тепла и принадлежат Фурье
A822 г.). Впервые использованный им метод (метод
Фурье) является одним из основных методов
математической физики.
116
Как вычислить вероятности различных результатов
измерения, если в момент измерения t = ti волновая
функция 1|з = г|)(г,, ..., г„, t) не являлась собственной
функцией оператора а? Квантовая механика сводит этот
вопрос к чисто математической задаче представления
функции 1|з(г„ Га, ..., Гп, t) в виде ряда:
t|;(r„ ti, ..., г„, ti)= C,i|3,(ri, ,.., г„) +
+ СгЬ(Ги ..., Гп) +...+ C^Ci. • • - '*.)+..., B9.3)
где г|31, ifa, ..., tjjft, ... — собственные функции оператора а,
удовлетворяющие одному дополнительному условию,
которое будет сформулировано в § 31, С,, Cz, • • •, Ck, ...—
подлежащие вычислению коэффициенты. Такой ряд
называется рядом Фурье, а искомые коэффициенты — кьэф-
фициентами Фурье. Ниже будет показано, как
практически вычислять коэффициенты Фурье.
Оказывается, что представление волновой функции г|)
в виде ряда Фурье имеет непосредственный физический
смысл: квадрат модуля коэффициента Cj есть вероятность
того, что в результате измерения величины а получится
результат, равный собственному числу Xj.
Итак, знание волновой функции в момент измерения
и умение представлять ее в виде ряда Фурье по
собственным функциям оператора а — это все, что требуется для
вычисления вероятностей различных исходов измерения
величины о.
§ 30. Измерение положения частицы
Наиболее важным примером физических величин,
имеющих только непрерывный спектр, являются координаты
X, у, Z квантовых частиц. В то же время связь между
волновой функцией квантовой Системы, состоящей из одной
частицы, и вероятностью различных результатов
измерения координат этой частицы дает, как мы увидим, одно
из, наиболее наглядных представлений о волновой
функции.
Вероятность каждого конкретного набора из трех
координат (хо, уо, Zo) равна нулю; можно говорить лишь
о вероятности обнаружить частицу в той или иной
области V пространства. Обозначим эту вероятность через
p(F). Начнем, с вопроса, каким языком, какими матема-
117
тическими средствами мы располагаем для описания этой
функции.
Вероятность p{V) обладает важным и в то же время
очевидным свойством аддитивности: если область V
состоит из непересекающихся областей F», Fa, ..., Vm, что
записывается так:
то вероятность р (V) найти частицу в области V равна
сумме вероятностей:
p(n=p(F.) + p(FJ+...+ p(F„).
Очень широкий класс функций области, обладающих
свойством аддитивности, можно строить следующим
образом. Возьмем произвольную
функцию f{x, у, z) трех
координат. Заданную область V
разрежем на большое число
параллелепипедов с помощью
трех семейств плоскостей,
параллельных соответственно
плоскостям XY, YZ и ZX. На
рис. 27 эта операция
изображена применительно к плоской
области. Перенумеруем
как-нибудь эти параллелепипеды:
F., Уг, V V„
Рис. '27. Два семейства
прямых разрезают
область V на большое
число прямоугольников
И выберем в каждом из них
произвольным образом по точке.
Обозначим через Xj, у), Zj координаты точки,
выбранной в параллелепипеде Vj, и составим сумму 2w(F):
%(V) = f{x„ у„ z,)V,+...+ f{x„, у„, z„)V„ ^ C0.1)
(в этом соотношении Fj означает величину объема
параллелепипеда Vj). Разумеется, сумма Sw(F) зависит от
выбора точек {Х), У), Zj) и от способа, каким мы разрезали
объем F. Однако, если число параллелепипедов
возрастает неограниченно, а максимальная длина диагонали
параллелепипеда стремится при этом к нулю, то суммы Sw(F)
стремятся к пределу. Этот предел называется интегралом
от функции f{x, у, z) по области F и обозначается
118
символом *)'
^f{x,y,z)dV,
V
Интеграл представляет собой аддитивную функцию
области. Формула C0.1) для величины S^ (V) дает
приближенное значение интеграла. При наличии ЭВМ эта
формула позволяет вычислять интеграл практически с
любой необходимой точностью.
Оказывается, и интересующую нас вероятность p{V)
можно представить в виде интеграла по области Vi
рG)= lw{x,y,z)dV, _ C0.2)
V
Фигзфирующая здесь функция w{x, у, z) называется
плотностью вероятности. Она имеет простой физический
смысл. Применим формулу C0.2) к области V очень
малых размеров. Чем меньше размеры области V, тем
меньше изменяется функция w{x, у, z) внутри этой области
и тем меньше будет ошибка, если заменить функцию
w(x, у, z) ее значением в одной из точек (жд, уо, «о)
области У:
V
Из описанного выше определения интеграла следует,
что
J W (xq, Ув1 2о) dV = w (аго, Уог ^о) У.
V
Таким образом, плотность вероятности в точке {х^, у о, ZgJ,
приближенно равна вероятности найти частицу в области
V, отнесенной к объему этой области, причем
погрешность этого приближенного соотношения стремится к
нулю, когда стремятся к нулю размеры области V. Это
означает, что плотность вероятности w {х, у, z) -есть предел от-
*) Введенное таким образом нонятие объемного интеграла яв-
ь ,
ляется естественным развитием понятия интеграла \/(х) ix
а
по отрезку,
119
ношения вероятности p{V) к объему V, когда область V
стягивается к точке:
W
{х, у, Z) = Иш -Цг
Задание плотности вероятности определяет
вероятность p(V) найти частицу в любой заданной области V.
Оказывается, что плотность вероятности w(x, у, z) очень
просто выражается через волновую функцию, взятую в
момент измерения t = ti:
w{x, у, z)=\\i>{x, у, Z, ti)\\ C0.3)
— она равна квадрату модуля волновой функции!
Таким образом, вероятность обнаружить частицу в
заданной области пространства также определяется ее
волновой функцией в момент измерения.
§ 31. Норма и скалярное произведение
волновых функций
Связь C0.3) между плотностью вероятности и волновой
функцией позволяет получить важное свойство' волновых
функций г|з(г, t) одночастичных квантовых систем.
Вероятность p(V) найти частицу в области V не может
быть больше единицы; если V — это все пространство, то
эта вероятность равна единице. Учитывая формулу C0.2)
и равенство C0.3), получаем отсюда два соотношения:
f|H)(r, i)N^<l,, ^\^iT,t)\^V^i C1.1)
(интегралом без указания области V мы обозначили
интеграл по всему йространству).
Если /(г)—произвольная функция, то интеграл
,fi.
IfWl'dV C12)
V
не убывает при расширении области У. Когда область V
неограниченно расширяется, или, как говорят, «стремится
ко всему пространству», возможны два случая: интеграл
C1.2) стремится к бесконечности или стремится к
конечному пределу. В последнем случае функция /(г)
называется квадратично интегрируемой, а величина
11/11 «{Jl/(r)Pdy}'/2
120
называется нормой функции /. Соотношения C1.1)
показывают, что всякая волновая функция T|3(r, t) в любой
момент времени квадратично интегрируема и имеет
норму, равную единице.
Отметим два элементарных свойства квадратично
интегрируемых функций.
1. Неравенство
1А(г)+Л(г)|^<2{|/,(гI^+1Л(г)И}
показывает, что сумма двух квадратично интегрируемых
функций сама квадратично интегрируема.
2. Неравенство
показывает, что интеграл от произведения двух
квадратично интегрируемых функций, взятый по всему
пространству, существует и удовлетворяет неравенству
II
fAr)h{r)dV
<тШ1Т + Ш
Как мы увидим в дальнейшем, в квантовой механике
существенную роль играет так называемое скалярное
произведение волновых функций:
(Ф, i|)) = j9(r, t)^{T, t)dV.
Выведем, не претендуя на строгость, формулу для
производной по времени от скалярного произведения.
Имеем
~г (Ф. ^) = j"^ [Ф (г, t) ;fo%T)] dv =
= J {Ф (г, t) i|) (г, t) +ф(г, Щ (г, t)} dV = (ф, ур) + (ф, •ф)
(здесь точка означает дифференцирование по времени).
Итак,
■if (Ф. t)=(Ф> ^)+(ф, ^). C1.3)
Обратимся к волновым функциям многочастичных
квантовых систем. Оказывается, и для них можно ввести
понятие нормы и скалярного произведения. При этоц£
121
сохраняются соотношения
(/n/i) = ll/if,
и формула дифференцирования.
Две функции называются ортогональными, если их
скалярное произведение равно нулю. Для ортогональных
фушщий справедлива «теорема Пифагора»:
11/. + ДП'= ИДИ» + ИДИ» ((Д, Д) = 0)
— далеко идущее обобщение известной теоремы Пифагора
о прямоугольном треугольнике.
Фундаментальное значение Понятия нормы в
квантовой механике станет ясным, если мы скажем, что
условие, которому должны удовлетворять собственные
функции в равенстве B9.3), заключается в следующем —
норма каждой собственной функции должна быть равна
единице:
IIi|)i(r„ гг, ..., г„I1 = 1 G = 1, 2, .... т, ...)'.
Это, условие называется условием нормировки. Без него
нельзя сформулировать правило вычисления вероятностей
различных исходов эксперимента.
§ 32. Уравнение Шредингера
«Жизнь» всякой квантовой системы можно
представить себе как смену спокойных периодов и периодов
скачкообразных изменений, сопровождающих акты измерения.
В процессе измерения волновая функция изменяется
скачкообразно. , В противоположность этому промежутки
времени между измерениями — это спокойные периоды в
жизни квантовой системы, периоды внутреннего
развития, ненарушаемые взаимодействием с измеряющими
приборами. Оказывается, что в эти промежутки времени
волновая функция изменяется плавно и, главное,
совершенно детерминированно *): если известна волновая
функция квантовой системы в момент t = ti, то ее можно
вычислить в любой последующий момент ti этого
промежутка времени.
*) Детсрмипировапное развитие, детерминированный
процесс — развитие или процесс, не подверженные влиянию каких-
либо случайных обстоятельств; течение детерминированного
процесса может быть предсказано. с абсолютной уверенностыр,
122
Для фактического вычисления волновой функции в
момент ti используется известное уравнение Щредингера,
имеющее следующую структуру;
где Н — некоторый оператор, называемый оператором
Гамильтона. Его конкретная форма зависит от сил, дейс<ву-
ющих на частицы, составляющие рассматриваемую
квантовую систему. Физическая величина, которой
соответствует оператор Гамильтона, есть энергия системы.
Уравнение Шредингера связывает скорость изменения
волновой функции, т. е. производную 9г|з/9^, с самой
волновой функцией: для вычисления этой скорости следует
применить- к волновой функции оператор Гамильтона.
Интуитивно ясно, что если известна функция t|3 в
некоторый начальный момент времени и скорость ее
изменения во все последующие моменты, то можно со сколь
угодно большой точностью вычислить волновую функцию
в любой последующий момент времени. Это интуитивное
соображение подтверждается строгим математическим
анализом уравнения Шредингера.
Введенное ранее понятие скалярного произведения
двух функций позволяет сформулировать важное свойство
операторов Гамильтона: операторы Гамильтона являются
эрмитовыми операторами. Это означает следующее. Если
Ф и ф — две квадратично интегрируемые функции и если
такими же являются и функции Яф и Н'ф, то имеет
место тождество
(Яф, ф) = (ф, Я1|)).
Отметим здесь одно следствие эрмитовости оператора
Гамильтона. Если ф и г|) — два каких-либо решения
одного и того же уравнения Шредингера, то их скалярное
произведение не изменяется с течением времени:
(ф, 1|)) = const.
Доказательство получается простым вычислением:
Л.
dt
4г i^f^ ^) ^ (Ф» t) + (Ф, ^) = A^Фг ^) + (ф, 1Щ)
Равенство нулю производной означает постоянство
скалярного произведения.
123
в релятивистских квантовых теориях волновые
функции имеют, вообще говоря, несколько компонент, т. е.
являются вектор-функциями. Они удовлетворяют
системам уравнений, которые' можно записать символически в
том же виде, что и уравнение Шредингера:
TW-^f- C2.1)
Число компонент ^олновой функции, так же как и
оператор Гамильтона Н, различно для разных элементарных
частиц. Нас будут интересовать только общие свойства
уравнений типа C2.1). Поэтому все такие уравнения
будем называть одинаково: обобщенными уравнениями
Шредингера.
Оказывается, что и для многокомпонентных волновых
функций можно ввести понятие скалярного произведения
и что операторы Гамильтона, фигурирующие в
различных обобщенных уравнениях Шредингера, эрмитовы
относительно соответствующего скалярного произведения.
В дальнейшем, говоря об уравнении Шредингера, мы
будем иметь в виду как, собственно, это уравнение, так и
его обобщенную форму.
§ 33. Стационарные состояния квантовых систем
В квантовой механике особую роль играют те
состояния квантовой системы, в которых вероятности
результатов любого измерения не зависят от того, в какой момент
времени произведено измерение. Такие
состояния называются стационарными. Они наиболее удобны
для экспериментального изучения. Этим, вероятно, и
объясняется их важная роль.
Какой вид имеет волновая функция системы,
находящейся в стационарном состоянии? Ее модуль не должен
зависеть от времени, и, кроме того, как и всякая волновая
функция, сама она должна удовлетворять уравнению
Шредингера. Из этих двух ее свойств легко вывести, что
волновая функция системы, находящейся в стационарном
состоянии, представима в виде следующего произведения:
ф = е'>4^, У, 2), C3.1)
где фв (х, у, г) — квадратично интегрируемая функция,
удовлетворяющая так называемому укороченному
.уравнению Шредингера ^
124
Мы видим, что 1|Зе является собственной функцией
оператора Гамильтона Н, а Е — соответствующее ей
собственное число. Следовательно, формула C3.1) определяет
некоторое стационарное состояние системы только в том
случае, когда параметр Е совпадает с одним из
собственных чисел оператора Гамильтона:
^1) Ег, . . ., Ет, . . .
Таким образом, параметр Е есть энергия системы, а
точечный спектр оператора Гамильтона — это набор
возможных значений энергии изучаемой квантовой системы.
Из сказанного также следует, что стационарные
состояния системы — это состояния, в которых ее энергия
имеет совершенно определенное, значение.
Кратность собственного числа Е оператора
Гамильтона называется в квантовой механике кратностью
вырождения энергетического уровня Е. Если кратность больше
единицы, уровень называется вырожденным.
Легко показать, что волновые функции стационарных
состояний, отвечающих различным уровням энергии Ет
и Е„, взаимно ортогональны. Это — общее свойство
эрмитовых операторов. Оно доказывается так.
Будем исходить из тождества
(Яг|3т, ■ф„) = (г|3т, Яг|з„).
Учитывая, что
H\l;im = JSmij-v и Я1|з„ = £„1|з„,
получаем
Ет{^т, lt>n) = £„(lt>m, l|3n) C3.2J
(здесь Е„ — число, комплексно-сопряженное числу £„)•
Положим, сначала т — п. Тогда
(г|3т, i|3„)=4J'>0,
и после сокращения получаем Ет = Ет, т. е. все
собственные числа оператора Гамильтона вещественны. В связи
с этим равенство C3.2) можно переписать так:
(£„-£„)(г|з™, 1|)„) = 0.
Если Ет'^Еп, то отсюда вытекает ортогональность
собственных функций ^т и 1|}„:
(ф™, 1|)„)=0 {Е^ФЕп),
125
§ 34. Квантовые числа
Предположим, что квантовая система находится в
стационарном состоянии с энергией Е = £„. Если
энергетический уровень £„ невырожден,'то утверждение: «энергия
квантовой системы равна £^„» определяет не только
анергию, но и волновую функцию, впрочем, только с точностью
до произвольного множителя, по модулю равного единице.
Несколько сложнее обстоит дело в случае, когда
энергетический уровень Еп вырожден. При этом приведенное
выше утверждение, Е = Е„, определяет только
подпространство волновых функций, которому принадлежит
волновая функция квантовой системы. Для задания
волновой функции ф (опять-таки с точностью до множителя,
равного по модулю единице)^ нужны какие-либо
дополнительные сведения. Пусть это будет сообщение типа:
«состояние квантовой системы является собственным для
физической величины а и соответствует значению а = ат>.
Потребуем, как это обычно делается, чтобы оператор а,
соответствующий физической величине а, коммучгировал
с оператором Гамильтона, т. е. чтобы выполнялось
операторное равенство
Это условие удобно тем, что оно, как правило, легко
проверяется и гарантирует следующее свойство оператора Oi:
всякую волновую функцию г|), описывающую
стационарное состояние системы с энергией Еп, оператор Ci
переводит в некоторую, вообще говоря, другую волновую
функцию, которая также описывает стационарное состояние
системы и притом с той же энергией £„. В самом деле,
имеем
Н (aij)) = фа) ij) = a^ij) = a£„ij) = £„ai|),.
т. е. функция Oii|) является собственной функцией
оператора Гамильтона с тем же уровнем энергий £"„.'Благодаря
этому свойству в пространстве {'Фе„) собственных
функций, отвечающих уровню энергии £"„, можно построить
базис, состоящий из собственных функций оператора Oi.
Пусть это будут функции
(m — размерность подпространства {^е„})- Соответствую-
126
щие собственные числа обозначим
-^'^ "^'^ ai"^ C4.1)
.•1'
Если все эти числа различны, то значение энергии Еп
вместе с результатом измерения числа ai определяет
волновую функцию 1|). Значения £„ и От называются
квантовыми числами. Их роль — определять волновую функцию ,
квантовой системы с точностью до множителя, равного по
модулю единице.
В более сложных случаях, когда среди чисел C4.1)
имеются одинаковые, для определения функции i|)
недостаточно указать пару квантовых чисел Еп vi йт —
требуется измерить еще одну величину, назовем ее Ь,
обладающую следующими йвойствами. Оператор b коммутирует
с оператором Гамильтона и оператором а:
ЬН='Ш, Ьа = аЪ.
Для характеристики волновой функции в этом случае
необходимо задание трех квантовых чисел: £„, am и &,.
Этот процесс продолжают до тех пор, пока каждому
набору квантовых чисел Еп, am, bp, ..., к, не будет
соответствовать одномерное подпространство волновых
функций. Соответствующую волновую функцию i|)
(определенную с точностью до постоянного множителя) обозначают
символом
используя в качестве индексов набор квантовдлх чисел
•Сгп, Ящ, Ор, • ■ ., К,.
Набор величин JE, а, Ь, ..., к называют полным набором
физических величин, а полученный в результате этих
измерений набор значений Е„, йт, Ьр, ..., к, — полным
набором квантовых чисел. Основное свойство полного набора
квантовых чисел состоит в том, что он однозначно
определяет волновую функцию системы (если не считать
произвольного постоянного множителя, равного по модулю
единице).
Заметим, что выбор полного набора физических
величин неоднозначен — у одной и той же квантовой системы
существует много различных полных наборов физических
величин.
Ниже будет показано, как соображения, связанные с
симметрией системы, помогают находить полные наборы
физических величин,
127
§ 35. Теория возмущений
Как изменятся свойства атома водорода, если
поместить его в слабое, магнитное или электрическое поле? Как
отличаются свойства молекулы тяжелой воды от свойств
молекулы обычной воды? Эти и подобные вопросы
рассматривает теория возмущений.
В общем виде задачи, решаемые теорией возмущений,
можно сформулировать так. Имеются две квантовые
системы — возмущенная и невозмущенная, операторы
Гамильтона которых Я и Яо мало отличаются друг от.друга.
Скажем,
Ъ = Но + гН',
где 8 — малый параметр, а Я' — оператор, не зависящий
от 8. В приведенном примере с атомом водорода значение
параметра 8 пропорционально напряженности
приложенного электрического или магнитного поля. Наличие малого
параметра 8 дает возможность сравнительно просто
изучить различия в,поведении возмущенной и
невозмущенной систем и получить ряд важных выводов,
объясняющих результаты широкого круга экспериментов.
Начнем с выводов. Пусть Е—Е{г)—какой-либо
энергетический уровень "возмущенной системы. Устремим
параметр е к нулю, т. е. будем уменьшать возмущающее
воздействие, пока оно не исчезнет вовсе. Уровень Е{^)
при этом, естественно, будет стремиться к одному из
уровней Щ невозмущенной системы:
£(е)->£? (е-).0).
Может случиться, что не один, а несколько уровней,
Е,{г),Ег{г), ...,Е,{г),
возмущенной системы стремятся к одному и тому же
уровню Е] невозмущенной системы. Оказывается, что
это возможно только в тех случаях, когда уровень £?
вырожден. Более того, имеет место простое правило:
сумма кратностей вырождения т^ уровней £я(е) (/с = 1, 2, ...
..., s) равна кратности вырождения Jtj уровня E'^g'.
mi + тиг + ... 4- m^ = Жj. .
Это правило можно выразить и так: в результате
возмущения уровень £j' расщепился на несколько близких
уровней, число Этих уровней равно кратности
вырождения уровня Е^, если каждый уровень возмущенной си-
128
сгемы считать столько раз, какова его кратность. Это
явление — расщепление уровней — было обнаружено
экспериментально еще до появления квантовой механики (см.
143).
Обратимся теперь к волновым функциям возмущенной
и невозмущенной систем. Пусть i))»,, — волновая функция,
соответствующая энергии £*(е). Когда параметр в
стремится к нулю, функция %., стремится к некотордй
предельной функции, обозначим ее через i|)i, о:
Оказывается, что функция ifn. о совпадает с одной из
волновых функций, описывающих стационарное состояние
невозмущенной системы с энергией Ej.
Если уровень Е] вырожден, то возникает довольнр
своеобразная ситуация: далеко не всякая волновая
функция ф", соответствующая уровню Efj, является
предельной для функций iffc.«. Иными словами, стационарные
состояния невозмущенной системы, соответствующие
энергетическому уровню Ej, делятся на два класса: одни из
них являются предельными для волновых функций
возмущенной системы, другие — не>^являются.
Поясним" это на примере двукратно вырожденного
уровня £■". Пусть г|;5 и -фг — базис в подпространстве
волновых функций, соответствующих этому уровню.
Пусть Е,(г) и Ег{г) — Д,ъа невырожденных уровня, на
которые расщепился уровень Ej, - а ifi,« и \p2.e —
соответствующие, волновые функции. Пределы этих функций i|)i, о
и фг, о являются волновыми функциями невозмущенной
системы с энергией £?. Поэтому их можно записать
в виде
где ац, «12, «21, «22 — некоторые фикси^^ованные числа,
зависящие только от вида возмущения еЯ'. Любая другая
сумма (вида «хг)?? + «з'Фа) не имеет ничего общего с
возмущенными волновыми функциями i|)i,, и фг, t.
Таким образом, возмущение гН' выделяет среди всех
волновых функций, отвечающих энергии £jf две
функции ф,, о и ■фг. 0.
Если уровень Е^ т,-кратно вырожден, то возмуще-'
Еие выделяет не две, а mi функций
fiiy (Л-1,2, ,..,mj),
9 г. Я. Любарский 129
каждая из которых является пределом некоторой
волновой функции 'щ1е возмущенной системы при е -♦• 0.
Функции ■фйо (/ фиксировано) образуют базис в
подпространстве всех волновых функций, отвечающих
состояниям невозмущенной системы с энергией Ej,,
Состояния возмущенной системы, описываемые
предельными волновыми функциями i{5ft%, не являются
стационарными. Поэтому, если в некоторый момент' t = to
волновая функция ф возмущенной системы совпадает с
одной из функций ilJfe.o, то спустя некоторое время со-
стбяние системы изменится. Если в некоторый более
поздний момент времени fi > fo произвести измерение с
целью определить, в каком из предельных состояний
находится возмущенная система, то результат такого,
измерения, разумеется, будет случайным. Теория
возмущений позволяет приближенно вычислить вероятности
различных исходов такого измерения, или, как говорят,
вероятности переходов Щ,о~*''^р,о-
Приведем приближенную формулу для вероятности
W такого перехода в предноложении, что возмущенный
оператор Н' не зависит от времени, а промежуток ti — <,
достаточно велик:
r^ = -~:^MlS'^Z)\ ii¥^i)-. C5.1)
Если 7 =г= I, то соответствующая формула имеет более
сложный вид мы не будем здесь ее приводить.
. Скалярное произведение
H'^:l'^{AS'^Z) C5.2)
назыбается матричным элементом оператора возмущения,
связывающим состояния w,o и YpIq,
Соотношение C5.1) показывает, что если матричный
элемент Н^,'р равен нулю, то и вероятность перехода
'Фм~^'Фр,о равна нулю (по крайней мере в
рассматриваемом приближении), В этом случае говорят, что переход
4>h,o ~*-')i'p,o запрещен (опять-таки в рассматриваемом
приближении). Правила, позволяйщие находить
запрещенные переходы, называются правилами запрета.
Теория возмущений дает также приближенную
формулу для вычисления расщепленных уровней:
£lf^(e) = ^?-be(t^>„^>a) C5.3)
130
'(функции \j)A,o в равенствах C5.1)"—C5.3)
предполагаются нормированными: их норма равна единице).
Формула C5.3) еще раз подтверждает
фундаментальную роль понятия «скалярное произведение» в
квантовой механике. Из нее Следует, что основной задачей при
пользовании теорией возмущения является отыскание
квазистационарных состояний щ,о возмущенной системы.
В дальнейшем мы увидим, как теория групп
облегчает отыскание этих состояний и как с ее помощью моцно
найти переходы, которые запрещены.
§ 36. Невзаимодействующие квантовые системы
Представим себе квантовую систему Q, состоящую из
двух не взаимодействующих друг с другом квантовых
систем Qi и ^2. На первый взгляд такая ситуация ре
требует изучения — каждая система будет развиваться по
своим квантовым законам в соответствии со своим
обобщенным уравнением Шредингера. В действительности же это
верно лишь отчасти. Мы остановимся на двух ситуациях,
при которых полезно вводить в рассмотрение квантовую
систему Qe, состоящую из двух невзаимодействующих
систем.
Первая ситуация — столкновение двух частиц. До и
после столкновения частицы не взаимодействуют друг
с другом; во время столкновения они образуют единую
квантовую систему. Волновая функция этой системы
/(Г|, Гг, t) удовлетворяет обобщенному уравнению
Шредингера:
1.К^ф^ + Й, + Й')и
где HinHi— операторы Гамильтона'невзаимодействующих
подсистем ^1 и Qt, а Я' — оператор, описывающий их
взаимодействие. Возникает вопрос: если нам известны
волновые функции /i и /г, описывающие состояния систем Qt
и Qz до момента столкновения it<ti), то как выразить
через них волновую функцию всей системы до
столкновения?
Вторая ситуация — взаимодействие двух .подсистем ^i
VL Qi с малой энергией взаимодействия. При исследовании
этой ситуации полезно рассматривать энергию взаимодей-?
ствия подсистем ^i и Qz как малое возмущение. Роль
невозмущенной системы играет ^о, т. е. совокупность не
взаимодействующих друг с другом подсистем ^i и Qt,
S* 131
и в этой ситуации в качестве первого niara
исследования необходимо определить волновую функцию квантовой
системы ^0, зная волновые функции /j и Д, описывающие
состояния систем Qi и ^2-
Связь между волновой функцией /(fi, Гг, t) системы Q
и волновыми функциями /i(ri, t) и /г(г2, о подсистем ^1
и ^2 подчиняется следующим правилам.
Первое правило: число компонент т волновой
функции /(гц Гг, t) системы Q равно произведению чисел
компонент ffiiffij волновых функций /i и Д:
т = m,m2. C6.1)
Соотношение C6.1) показывает, что компоненты
волновой функции системы Q удобно помечать двойным
индексом (а, Р):
/(«.о» («==1^2, ..., т,; р = 1, 2 тгУ.
Общее число различных индексов равно, очевидно, niim^,
т. е. совпадает с числом компонент волновой функции
системы Q.
Такая нумерация позволяет просто сформулировать
второе правило: если не взаимодействующие в
данный момент системы ^i и Qz различны *) и никогда
ранее не взаимодействовали друг с другом, то компоненты
/"*• ^' волновой функции / системы Q равны
т. е. равны произведению соответствующих компонент
подсистем ^1 и Qz.
С точки зрения теории групп эта формула обладает
одним замечательным свойством. Она связывает
представления Ti, Ti в Т, по которым преобразуются компоненты
волновых функций при повороте системы координат,
а именно (см. § 17), , '
Т = Т^Х Тг.
Мы видим, что связь между этими тремя представлениями
не зависит от физической природы подсистем Qi ъ Q^ —
она универсальна. Ниже мы выясним, к каким
физическим следствиям приводит это обстоятельство.
•) Если системы одинаковы (например, каждая из них —
электрон), то соответствующее правило формулируется
значительно сложнее. Здесь мы не будем на этом останавливаться,
132
Глава 7
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА
Одной из фундаментальных зада? квантовой механики
является выявление тех операторов, которые соответствуют
различного рода физическим величинам. Оказывается, что не все
физические величины играют одинаковую роль при исследовании
конкретной квантовой системы — основная роль принадлежит
сохраняющимся величинам. Именно из них проще всего построить
полный набор величин н соответственно полный набор квантовых
чисел. С другой стороны, сам факт существования сохраняющихся
величин является следствием симметрии системы. Поэтому
отыскание сохраняющихся величин и соответствующих им операторов
является естественной задачей теории групп. Одновременно она
связывает квантовые числа с неприводимыми представлениями
группы симметрии (и ее подгрупп) и в ряде случаев
автоматически решает задачу о возможных значениях квавтовых чисел.
В компетенции теории групп оказывается также ряд
вопросов о связи волновых функций и квантовых чисел двух
невзаимодействующих подсистем ^1 и ^2 с волновой функцией и
квантовыми числами объединенной системы ^ = ^i -f- ^2 (правила
сложения квантовых чисел). Решение этих 'вопросов находит
применение при исследовании столкновении элементарных
частиц, вычислении вероятностей переходов из одного квазистаДио-
нарного состояния квантовой системы в другое и в ряде других
случаев.
В настоящей главе показывается, как теория групп решает
перечисленные специфические задачи квантовой механики. Все
примеры, иллюстрирующие общие ^етоды, относятся к случаю,
когда группой симметрии квантовой системы является группа
вращений R или ее накрывающая группа Л. Этот случай имеет
большое практическое значение с точки зрения квантовой физнки.
§ 37. Законы сохранения в квантовой механике
Всем известно, что существует закон сохранения
энергии: если какая-либо физическая система не
взаимодействует с посторонними (т. е. не входящими в систему)
материальными объектами, то ее энергия сохраняется.
Существует также закон сохранения импульса системы и
ее момента (так называют момент количества движения).
Эти законы легко формулируются в рамках классической
механики. Так, например, если сумма всех сил,
действующих на систему материальных точек, имеет равную
нулю проекцию на некоторую ось /, то проекция импульса
на эту ось не изменяется с течением времени.
133
Оказывается, однако, что законы сохранения энергии,
гмпульса и момента справедливы не только в механике,
ио п в электродинамике, если должным образом
определить, что такое энергия, импульс и момент
электромагнитного поля. При этом, разумеется, условия, при которых
сохраняется импульс, уже нельзя формулировать как
равенство нулю суммы проекций действующих сил.
Подобным же образом нельзя пользоваться и известной из
механики формулировкой условий сохранения проекций
момента.
Постепенно, по мере расширения области физических
явлений, на которые распространяются перечисленные
законы сохранения, выкристаллизовалась
следующая.единообразная формулировка этих законов: проекция
импульса системы на ось I сохраняется, если при
мысленном параллельном переносе всей снстемы вдоль оси /
внешние условия (в механике — расстояния до
окружающих тел), в которых находится система, не изменяются.
Подобным же образом: проекция момента на ось /
сохраняется, если внешние условия не изменяются при
мысленном повороте всей системы (как жесткого целого)
вокруг оси I. Условия справедливости закона сохранения
энергии можно сформулировать в этом же духе: внешние
условия не изменяются при «сдвиге» по времени
(попросту говоря, они не меняются с течением времени).
Мы видим, что во всех трех случаях условием
справедливости закона сохранения является та или иная
симметрия внешних условий (относительно сдвига, по
координате или времени, или поворота вокруг одной или
нескольких осей). С другой стороны, так как симметрия
внешних условий обязательно означает симметрию
условий задачи о движении изучаемой системы, т. е. как раз
то, чем мы занимаемся, то естественно ожидать, что и
законы сохранения найдут свое место в нашей схеме. Чуть
ниже мы займемся этим вопросом.
По мере расширения области действия указанных
законов сохранения необходимо было расширять сами
понятия энергии, импульса и момента сначала на
электромагнитное поле, а затем на квантовомеханические поля.
При этом возник вопрос, какое определение энергии,
импульса и момента —правильное, а какое — нет.
Очевидный ответ на этот вопрос: «правильно то
определение, для которого справедлив соответствующий
закон сохранения» может показаться многим
неудовлетворительным, потому что такой ответ действительно не от-
134 '
личается от следующего определения: энергия (импульс,
момент)—это то, что сохраняется, когда имеет место
закон сохранения энергии (импульса, момента). Между
тем именно такие определения являются наилучшими.
Они, безусловно, неошибочны и в то же время не
представляют собой тавтологии. Эти определения опираются
на утврждения типа: если внешние условия, в которых
находится система, не изменяются с течением времени
(при параллельном переносе системы, при повороте
вокруг некоторой оси), то существует сохраняющаяся
величина, которую назовем энергией (проекций импульса,
проекцией момента). Как именно эта величина связан^
с характеристиками состояния системы — это
самостоятельный вопрос, который' в каждом конкретном случае
требует отдельного исследования.
Изложенное наводит на мысль, что любая симметрия
задачи' об эволюции состояния физической системы
порождает некоторый закон сохранения. И, наоборот,
всякий закон сохранения свидетельствует о наличии
некоторой группы симметрии у задачи об эволюции системы."
Обратимся к квантовой механике.
Что означает на языке квантовой механики
утверждение: «имеет место закон сохранения физической
величины а (энергии, импульса и т. п.»? Оно означает
следующее: если состояние квантовой системы в некоторый
момент времени таково, что величина а имеет в этом со-
стоянии совершенно определенное значение, скажем,
а = ап, то сохранение величины а означает, что система
всегда будет находиться только в'тех состояниях, в
которых значение величины а равно, тому же числу а„.
Сложнее обстоит дело, когда величина я не имеет
определенного значения в исходном состоянии системы. В этом
случае сохранение величины а означает, что с течением
времени не изменяется вероятность рт (w = l, 2, ...)
получить при измерении а результат а^. Легко видеть, что
определяемое равенством
а = 2 РтЯт
т
среднее значение сохраняющейся величины а также
сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.
Какие же величины сохраняются? "Пожалуй, ни в
одной области физики связь между симметрией и законами
сохранения не является такой непосредственной и
прямолинейной, как в квантовой механике. В самом деле, ответ
135
на поставленный вопрос звучит так: если оператор а,
отвечающий физической величине а, является операцией
симметрии для уравнения Шредингера
■тж^ = ^Ь
dt
Т. е. переводит всякое решение этого уравнения
опять-таки в решение этого же уравнения, то величина а сохра-
няется\
Доказательство этого утверждения — удивительно
простое. Пусть, например, в момент t = tt волновая функция
системы ip ('i. Jf2. • ■ •> Гп, t) является собственной
функцией оператора а:
аг1з(г„ ..., г„, <i) = e>n^(fi Гп, U). C7.1)
Рассмотрим функцию ф(г4, ..., г„, t) = a■\!p{т^, ..., г„, t).
Поскольку мы предположили, что а — &то операция
симметрии уравнения Шредингера, то по определению
функция ф = aip удовлетворяет этому же уравнению. Таким
образом, два решения уравнения Шредингера (ф и ат'^)
согласно равенству C7.1) совпадают в момент t — ti. Они
будут совпадать и во все последующие моменты времени
(теорема единственности!). Это доказывает первое из
двух свойств, присущих по определению сохраняющейся
физической величине. Столь же просто проверяется и
второе свойство. Пусть в момент времени t = ti волновая
функция iti(ri, ..., г„, t) разложена по нормированным
собствейным функциям ф^ оператора а:
■ф (Г^, . . ., Г„, tj) = 2 Стфт (Г1, Т^, . . ., Гп). C7,2)
m
*%
Обозначим через ipmCri, ..., г„, t) волновую функцию
(т. е. решение уравнения Шредингера), которая в момент
f = fi совпадала с функцией фт(г1, ..., г„). П6 только что
доказанному свойству оператора а она всегда будет
оставаться его собственной функцией. Кроме того, ее норма
llipmil всегда будет равна единице. По теореме
единственности равенство C7.2) означает, что для всех моментов
времени t>ti будет выполняться соотношение
1|3 (Гц ..., Т„, 0=2 С„1|3т (Г^, . . ., Г„, t).
т
Это равенство показывает, кцк мы уже знаем, что изме-
136
рение величины а в любой момент времени даст с
вероятностью |стИ результат а = ат. Мы видим, что эта
вероятность действительно не зависит от времени.
^сть очень простой практический метод выяснить,
сохраняется ли величина а в данных условиях, т. е. при
данном операторе Гамильтона Н. Нужно только
проверить, выполняются ли операторные равенства
аН = На и ±.а^а-^, C7.3)
или, как говорят, коммутирует ли оператор а с
оператором Гамильтона и операцией дифференцирования по
времени. В случае положительного ответа можно смело
утверждать, что оператор а является операцией симметрии
для уравнения Шредингера и, следовательно, величина а
сохраняется.
Проверим это утверждение. Пусть if — волновая
функция:
Подействуем на обе части этого тождества оператором я:
Согласно условиям C7.3) это равенство можно
переписать так:
Следовательно, функция aif удовлетворяет тому же
уравнению Шредингера.
В тех случаях, когда симметрия задачи вытекает, как
может показаться, из очевидных геометрических
соображений,' условия C7.3) позволяют «проверить алгеброй
гармонию». Однако случается, что уравнение Шредингера
имеет совершенно неожиданные элементы симметрии, не
вытекающие, скажем, из изотропии пространства. В этих
случаях, имеющих, кстати, немаловажное значение,
приведенный формальный прием поисков элементов
симметрии очень эффективен.
§ 38. Оператор проекции импульса
В предыдущем параграфе было показано, что кададо-
му элементу группы симметрии соответствует
сохраняющаяся величйай. В связи с этим возникает два вопроса.
137
Возьмем, например, случай, когда группа Симметрии
задачи — это группа вращений. Она содержит бесконечное
множество элементов. Нужно ли столько сохраняющихся
величин? Нельзя ли выделить две-три сохраняющиеся
величины так, чтобы утверждение о сохранении остальных
величин не содержало дополнительной полезной
информации? На этот вопрос удастся ответить утвердительно.
Второй вопрос состоит в следующем. Каждому
элементу симметрии g соответствует конкретный оператор g —
тот самый, который, действуя на волновые функции,
превращает их в другие волновые функции (т. е. решения
того же уравнения Шредингера). Таким образом, для
каждого элемента симметрии g можно выписать
конкретный оператор g. Спрашивается, какой физической
величине а соответствует этот оператор?
Оба эти вопроса тесно связаны друг с другом. В этом
параграфе мы займемся ими применительно к группе
сдвигов вдоль оси ОХ.
Рассмотрим две системы координат К л Ki с
параллельными осями. Пусть начало О, системы Ki находится
на оси ОХ системы К, а ее абсцисса равна Ь.
Предположим, что одно и то же поле описывается в системе К
функцией f{x, I/, 2), а в системе Ki — функцией fi{x, у, г).
Между этими функциями есть простая связь
hi^:, У, z)'='f{x + b, y,z),
так как точка с абсциссой х в системе Ki имеет абсциссу
х + Ь в системе К. Следовательно, операция Ь перехода от
системы К к системе Kt, примененная к функции
f{x, у, г), записывается так:
Щх, у, z)==f{x + b, у, z).
Аналогично, если функция / зависит от координат п
точек, то
bfiXi,yt,Zt,...,-Xn,yn,Zn)''
— /(ж,-ЬЬ, у,, zi, ..., x„ + b, у„, ZnJ. C8.1 J
Предположим, что все операции сдвига вдоль оси ОХ
являются операциями симметрии. Иными словами,
оператор Гамильтона совершенно одинаково записывается в
системах К и K^, каков бы ни был сдвиг Ь. В этих
условиях, операция сдвига, заданная формулой C8.1),
является операцией симметрии и, следовательно,
соответствует некоторой сохраняющейся величине.
138
Мы хотим выяснить, можно ли вместо бесконечного
множества операций b (—<» < Ь < оо) ввести всего одну, и
если можно, то какой физической величине будет
соответствовать эта операция.
Легко видеть, что не все законы сохранения,
связанные со сдвигами вдоль оси ОХ, являются независимыми.
Действительно, операция сдвига на некоторое расстояние
b есть N-я степень операции сдвига на расстояние, в N
раз меньшее (напомним, что произведение двух
операций — это результат последовательного выполнения
операций-сомножителей). Поэтому все законы сохранения,
связанные со сдвигами вдоль оси ОХ, являются
следствиями законов сохранения, соответствующих сколь зггодно
малым сдвигам. *
Сделаем еще один шаг и перейдем к пределу Ь -*■ 0.
Разумеется, мы получим
Тождественное преобразование Е уже не содержит
никакой информации о группе сдвигов — как говорится, с
водой мы выплеснули и ребенка!
Поступим хитрее и рассмотрим такой предел:
?=Iiml^. C8,2)
Ь-*0 "
Оператор -г-(Ь — Е) представляет собой операцию
симметрии. Поэтому и предельный оператор / является
оператором симметрии. Выясним, как действует оператор 7
на функции f(xi, yi, Zj, .,., а:„, у„, z„). Последовательно
получаем
^i\P^i\ Vii ^и • • •! ^п> Упх ^п) =*
= li™ -г- [bf {xi, у\, 2i, .. .1 х„, уп, Zn) —
. о-»о о
— / (^1> Уи ^и •' «1 ^П1 Уп1 ^} ="
1= lim-г-{/(xi 4-bi Уи Чх .. -i ^п + Ь^ Ущ Zn) —
— / (-^l» У If ^11 • • ч -^п, Уп> Zn)/ =»
•= -^f{Xi + b, у I, Zi, ...,Хп + b, y„j z„) |b==o ==.
139
Итак, оператор 7>авен сумме производных:
Т^±+-^ + ... + ^. C8.3)
Отметим принципиальное различие между
операторами 6 и 7. Согласно формуле C8.1) оператор Ъ действует
на функцию J^aii, уь Zi, .. .,^х„, i/„, z„) как произведение
операторов й^б^-••''«> где Ь^— оператор сдвига радиус-
вектора Ti, оставляющий неизменными все остальные
радиус-векторы; аналогично определяются и остальные
операторы 6,. Оператор I действует на ту же функцию
как сумма соответствующих операторов. Это отчетливо
видно при взгляде на формулу C8.3)., .
Каким физическим величинам соответствуют
операторы Ь и оператор /? Основное свойство всех этих
операторов состоит в том, что изображаемые ими величины
сохраняются, если сдвиг вдоль оси ОХ не изменяет
внешних условий, в которых находится квантовая система.
С другой стороны, при этих условиях сохраняется
проекция на ось ОХ импульса рх, а значит, сохраняется и
любая функция F(px) проекции рх. Нам нужно выяснить,
«кто есть кто?». Какой из рассматриваемых операторов
совпадает с проекцией импульса или отличается от нее
только коэффициентом пропорциональности, а какой —
изображает более сложную функцию от p^f
При ответе на этот вопрос решающим является
известное свойство аддитивности импульса: импульс
системы, состоящей из двух подсистем, равен сумме
импульсов каждой из этих подсистем. Это означает, что и
оператор, соответствующий проекции импульса сложной систе-'
мы, должен обладать свойством аддитивности.
Соотношения C8.1) и C8.3) показывают, что оператор 7 этим
свойством обладает, а операторы 6 — нет. Поэтому
оператор проекции импульса только множителем отличается
от оператора 7:
Рх-^-Т, C8.4)
Мы не будем останавливаться на вопросе, почему
коэффициент пропорциональности выражается через
постоянную Планка.
Подводя итоги, можно сказать, что соображения
симметрии позволили найти сохраняющиеся величины, по-
140
строить с их помощью аддитивную сохраняющуюся
величину и с точностью до множителя отождествить ев с
проекцией импульса системы. Получено общее,
выражение C8.2) для оператора I и тем самым общее
выражение C8.4) для оператора проекции импульса. В
следующем параграфе мы увидим, что. соображения симметрии
предоставляют те же (и даже большие) возможности при
исследовании квантовых систем с группой вращений в
качестве группы симметрии.
§ 39. Операторы проекций момента
и квадрата момента
Обратимся к квантовым системам, группа симметрии
которых содержит группу вращений. Каждому вращению
g соответствует некоторая сохраняющаяся величина.
Соответствующий оператор g описывается тем
преобразованием, которое испытывает волновая функция при
переходе от исходной системы координат К к системе g~^K.
По аналогии с оператором /, введенным в
предыдущем параграфе, введем с помощью операции предельного
перехода три оператора, положив
7,- = l^im £il^ = ± d (а) U=o, C9.1)
где Ci(a), €2@.) и Сз(а)—повороты на угол а вокруг
осей ОХ, 0Y и 0Z соответственно.
Найдем точечный спектр операторов Сз(а) и Д.
Мы уже знаем, что в любом пространстве функций
(будь то скалярные функции одного или нескольких
радиус-векторов или различного рода вектор-функции)
всегда можно построить базис, каждый элемент которого
обладает следующим свойством. Он принадлежит
некоторому подпространству, преобразующемуся по тому или
иному неприводимому представлению, и в- этом
подпространстве играет роль одного из векторов канонического
базиса. Мы условились обозначать такие базисные
функции символами- etn, причем верхний индекс указывает
вес соответствующего неприводимого представления,
а нижний индекс — номер базисного вектора.
По определению канонического базиса имеют место
Следующие соотношения:
141
Выясним, что происходит с функцией ein под
действием оператора Л. Имеем-
Гз4. = lim f {С, (а) 4. - eln] = lim ^ (е-*"*» - 1) 4
1 /-—{та
Из теории пределов известно, что
lim
о-»0
—im.
Поэтому
h^m = — imei
^3^m
Mix,y,z)
Мы видим, что спектры операторов Cj(a) и I, состоят
соответственно из чисел
g:-<mo ц —im,
причем т пробегает либо все целые числа, либо все
полуцелые числа. В силу
изотропии пространства такой
же спектр у операторов
поворота на угол а вокруг
любой оси и соответственно, у
операторов h и h.
Найдем явный вид
оператора /] в наиболее важных
случаях, исходя- из общего
определения C9.1).
Начнем со скалярных
функций \{)(г, t). Для
удобства будем пользоваться не
прямоугольными, а
сферическими координатами;' г, 6 и ф
(рис. 28). Функцию 1^1 (г, t\
запишем в виде функции от сферических координат:
W> t)^W, 0. Ф. О-
При переходе к новой системе координат Ki, повернутой
относительно первоначальной системы вокруг оси 0Z на
угол а, функция ^{г, G, ф, t)" перейдет в функцию
С,(а)'ф('-, 6. Ф. 0. равную
Рис. 28. Сферические
координаты,.
C5(a)it>(r, е, ф, 0= >!'('•. е. Ф - а. t)'
142
Это равенство показывает, какой конкретный вид
имеет оператор Сз{а) в рассматриваемом случае. С его
помощью легко вычислить оператор h:
?зФ ir, е, Ф, t) = Пш,^(^е;у-а.0-^(л9,ф,л ^
а
(последнее равенство — по определению производной).
Итак,
h"^ iTi 01 Фх О =- - 5^ т^ {г, е, ф, t).
Если скалярная волновая функция описывает
состояние системы из п частиц, то подобным же образом
получаем
^8^(''ll^l Ф1» • • •! ''п» бщ фп1 0="
"" ~ (^ + . • г + д^\ tK^I, вц ф1, . . ., Г„, е„, ф„» О*
Можно сказать, что в этом случае оператор /» равен
сумме операторов /« (/•=!, 2, ..., и), соответствующих
отдельным частицам системы. Оператор h является
аддитивным подобно оператору пр'оекции ^импульса. Поэтому
оператор Л совпадает с оператором М, проекции
момента квантовой системы на ось 0Z (разумеется, с
точностью до некоторого множителя):
Цодобным же образом получаем Л/, = —гй/i, Му'^* —Шг.
Существенно иначе выглядит оператор /» в
пространстве двухкомпонентных волновых функций
^{t,t)
значения которых в каждой точке преобразуются при
вращениях по нредставлению ^i/г:
g^ (г, f) = ^,/, {g) t (g-\ t) (g e Л).
Для вычисления оператора М, рассмотрим
преобразование волновой функции при повороте С'з(а)=^@, а, 0)
143
'(см. § 24). Учитывая, что
^1/2@. а/О) = 1
получаем
1
е
Т*« О
е ^
Сз (а) ^ (г, е, фг 0= Г 1 Н ('•i 01 Фа - «1 0.
о —to,
е '
Дифференцируя это равенство по а и полагая затем
а = О, для оператора М, найдем следующее выражение:
м. = - ift/з = у (J ^^) ^^\г, е, ф, о + in ^ яр (г, е, Ф, t).
Мы видим, что в рассматриваемом случае оператор М,
представляет собой сумму двух операторов. Первое
слагаемое называется оператором проекции спина, второе —
оператором проекции орбитального момента. Заметим,
что в случае, когда волновая функция — скаляр,
проекция момента совпадает с проекцией орбитального
момента. В более сложных случаях .эти понятия
«расщепляются».
Спиновый момент появляется у частиц, волновая
функция которых имеет две компоненты. Такие частицы
называются частицами со спином 1/2. Это название
можно связать либо с весом представления ^t/j, либо с
собственными значениями оператора проекции спина,
которые равны ±7г^. Это сразу видно из тождеств
н -,){ihHD' т«(; °,){1)
-н°)-
■Если компоненты волновой функции преобразуются
по представлению S>j, то говорят, что частица имеет
спин, равный /.
Для всех частиц с одним и тем же спином оператор
проекции спина на ось 0Z изображается одной и той же
матрицей. У частиц с разными спинами эти операторы
изображаются различными матрицами.
Рассмотрим теперь оператор квадрата момента:
144
при поворотах системы координат операторы проекций
момента на оси координат преобразуются как векторы.
Из этого факта (который мы примем без док&зателы;т-
ва) вытекает, что оператор квадрата момента вообще не
меняется пра вращении системы координат. Следствием
этого является одно очень важное свойство оператора Дf^
Если какая-либо функция >|> {независимо от числа ее
компонент]), принадлежит подпространству функций,
которое преобразуется при вращениях по неприводимому
представлению S>j, то под действием оператора ЬР она
умножается на число, зависящее только от веса /:
Это означает, что функция >|> является собственной
функцией оператора квадрата момента. Таким образом,
принадлежность функции подпространству,
преобразующемуся по неприводимому представлению 'ЗЬи
равнозначна тому, что в состоянии, описываемом этой функцией,
квантовая система имеет совершенно определенное
значение квадрата момента. Более того, это значение
однозначно связано с весом представления.
Если функция ip играет роль одного из элементов eji
канонического базиса, то это означает, что она описывает
состояние с определенным значением квадрата момента,
равным /(/+ 1)^S и определенной проекцией момента на
ось 0Z, равной mil.
Существование оператора проекции спина имеет
многочисленные следствия, позволяющие объяснить многие
экспериментальные наблюдения. Однако этот оператор
(так же, как и само существование квантовых объектов,
описываемых многокомпонентными функциями) был
открыт без помощи теории групп. Открытию спина
электрона способствовали ряд фактов, обнаруженных
экспериментальной физикой, и внутренняя логика развития
науки, указывавшая на существование «неизвестной
земли»— релятивистского аналога уравнения Шредингера.
Первое такое уравнение, построенное одним из
создателей квантовой механики — Дираком, ввело в физику че-
тырехкомпонентные вектор-функции; значения этих
функций преобразовываются по представлению ^1/2 +
+ 2)i/z- Из уравнения Дирака вытекает правильная
формулировка закона сохранения момента и наличие у
электрона спина, равного 1/2.
10 г. я. Любарский 145
Чем объяснить, что аппарат теории групп при
создании основ квантовой механики использовался не в
полной мере? По-видимому, для сознательного введения в
арсенал науки того или иного общего метода необходимо
иметь перед глазами ряд примеров неосознанного,
«стихийного» применения этого метода. Эти примеры
являются своего рода экспериментальными фактами истории
науки, которые и наталкивают на мысль, что за ними
скрывается некая новая идея, новый общий метод.
Справедливости ради следует сказать, что в
настоящее время роль теории групп существенно изменилась.
Очень многие принципиальные достижения физики
элементарных частиц были получены именно благодаря
применению идей теории групп,
§ 40. Квантовые числа систем,
. обладающих сферической симметрией
В настоящем параграф» рассматриваются только те
квантовые системы, группа симметрии которых содержит
все вращения.
Мы уже знаем, что совокупность всех волновых
функций квантовой системы, описывающих стационарные
состояния с одной и той же энергией Е =« £„, преобразует-.
ся под действием элементов группы симметрии по
некоторому представлению Т этой группы. Кратность
вырождения энергетического уровня Еп — это то же самое, что
и размерность представления Т. В тех случаях, когда
представление Т приводимо, говорят о случайном
вырождении, 1;ак как не видно причин, по которым волновые
функции, относящиеся к разным неприводимым
представлениям, отвечают одной и той же энергии.
Наличие случайного вырождения несколько
усложняет вопрос о выборе квантовых чисел и связанный с ним
вопрос о выборе базиса в пространстве всех волновых
функций. Начнем со случая, когда нет случайного
вырождения. Группу симметрии будем считать группой
вращений R (или Л); если квантовая система имеет и
другие элементы симметрии, то здесь мы будем их игно-
рирЬвать.
Пусть £^ = iE„ —один из энергетических зтовней.
Совокупность всех волновых функций, принадлежащих
этому уровню, образует подпространство, которое мы
обозначим L„. Так как случайного вырождения нет, то
подпространство Ln преобразуется по некоторому неприво*
146
дймому представлению S5j группы R (или Щ я,
следовательно, имеет размерность B/ + 1). В этом
подпространстве существует канонический базис г|3т, т. е. B/ + 1)-
функций, которые при вращениях преобразуются друг
через друга в соответствии с табличными матрицами
операторов представления 2>}'{сш. § 15). Каждая волновая
функция ij)m характеризуется, во-первых, числами / и m
(которые указывают на то, что в состоянии i))™
квантовая система имеет квадрат момента, равный /(/ + 1)^',
и проекцию момента на ось 0Z, равную тЬ) и,
во-вторых, значением энергии. Уровни энергии снабжают
обычно двумя индексами:
— смысл индекса / мы объяснили ранее, индекс п
нумерует в возрастающем порядке уровни Е.щ с одним и тем
же значением индекса /':
Ец < Eji < ,,. < Ejn <...
Индекс п называют главным квантовым числом.
Базис в пространстве всех волновых функций
получается путем объединения базисных волновых функций,
построенных указанным образом во всех
подпространствах Z/„. Каждая базисная функция характеризуется,
таким образом, тремя квантовыми числами:
п, /, т,
если нет случайного вырождения, В случае вырождения
положение меняется. Трех квантовых чисел уже недо-
статоМно для характеристики базисных функций. Этот
случай обсудим на примере, который интересен и сам по
себе.
Рассмотрим квантовую систему Q, состоящую из двух
невзаимодействующих подсистем ^i и Qi. Пусть каждая
из подсистем имеет группой симметрии группу
вращений. Это означает, что задача (уравнение Шредингера)
симметрична относительно пар вращений (^i, g^):
вращение gt производится над подсистемой ^i, вращение gi —
над подсистемой Qz. "Между собой вращения gi и gi
никак не связаны — каждое из них является совершенно
произвольным вращением.
Построим базис в подпространстве //„ волновых
функций, описывающих, стационарные состояния с энергией
Еп- По самому определению стационарного состояния
(вероятности результатов любого измерения не должны
10* Ш
зависеть от времени) система Q находится в
стационарном, состоянии тогда и'только тогда, когда каждая из
подсистем находится в стационарном состоянии. Пусть
Ещ и Е''п1— энергии подсистем ^i и ^2 в
рассматриваемом стационарном состоянии. Энергия всей системы
Будем считать, что никакие два других энергетических
уровня Е)гц и Ет[ подсистем не могут дать в сумме
значение En^n^i т. е. что равенство Ет^ + Ет^ =
-= £'nj + Е^^ возможно только в тривиальном случае:
nil = «1, гпг = щ. При этом ограничении энергия ^^n^nj
однозначно определяет оба уровня: Е„^ и £„^.
Уровни £'nj и Enl будем предполагать
свободными от случайного вырождения. Это означает, что им
соответствуют два совершенно определенных квантовых
числа /i и /г. Поэтому подпространство L„
характеризуется тремя квантовыми числами:
Построим в подпространстве" L„ базис и выясним,
сколько квантовых чисел понадобится дополнительно для
обозначения базисных функций. Рассмотрим два разных
способа выбора базиса.
Первый способ. В качестве базисных функций
возьмем сначала волновые функции, описывающие
состояния системы ^ = ^1 + ^2, в которых подсистемы ^i и
^2 имеют определенные значения проекции момента на
ось 0Z. Полный набор квантовых чисел при этом выборе
базиса таков:
Е, и, и, nil, гпг,
где Ml ти тпг — проекции момента. Соответствующие
волновые функции обозначаются
Второй способ. Мы знаем, что подпространство Ln
в рассматриваемом случае преобразуется по
произведению 3)}^ X 3!)j^ представлений, соответствующих
уровням E^nl и Е'-пК Одно из общих свойств группы вра-
148
щении состоит в том, что это произведение разлагается в
сумму неприводимых представлений по формуле
3>j^ X '^i^ = S>p^4,\ + %,-i,\+i + ... + S5jj+i,.
По определению это означает, что подпространство L„
есть сумма подпространств:
преобразующихся по неприводимым представлениям 3^j.
Подпространство Ll состоит из тех Ьолновых.функций
системы Q, которые описывают состояния с
определенным значением 1^вадрата момента, равным
в каждом из этих подпространств построим
канонический базис
t|,ju'^^ (М=-/,-7 4-1, ...,/).
Объединяя все эти базисные элементы, получим новый
базис в подпространстве L„. Произведя еще одно
объединение, получим базис в пространстве всех волновых
функций. Функции этого базиса характеризуются другой
пятеркой квантовых чисел:
Е, /i, и, h М.
Всякую волновую функцию системы Q можно
представить в виде суммы базисных функций, взятых с
соответствующими коэффициентами. В частности, это
относится к функциям '^Ет^т^- ПоСКОЛЬКу фунКЦИЯ t|3Em ,т
принадлежит подпространству L„, то она выражается че-
рез функции iJ5em с теми же значениями квантовых
чисел Е, /i и /г. Коэффициенты разложения
i i ''^^' } и
■^Ет,т^ = 2 {КиЩ^^Ли Щ + т^) ^Ет,т, D0.1)
Hh-h\ ' '
по определению есть коэффициенты Клебша — Гор-
дана (см. § 17).
Равенство D0.1) играет существенную роль при
исследовании различных квантовомеханических процессов.
149
в качестве примера рассмотрим задачу о столкновении
двух различных частиц.
До столкновения частицы не взаимодействовали. Если
состояние одной из них характеризовалось квантовыми
числами i^i, /i и nil, а другой — числами Ег, /а и гпг, то
до столкновения волновая функция системы, состоящей
из этих двух частиц, была 'фяДя^.т^т,. При измерении
квадрата момента такой системы вероятность получить
значение Д/* = /(/ + 1)Й* согласно равенству D0.1) и
основным положениям квантовой механики равна квадрату
модуля соответствующего коэффициента Кдебша — Гор-
дана:
I (hhmjn^M, nil + ТПа) i^ D0.2)
Поскольку рассматриваемая система двух частиц
обладает сферической симметрией не только до
столкновения, но и в процессе столкновения, то согласно законам
сохранения эта вероятность не изменяется с течением
времени. Это значит, что и после столкновения
вероятность обнаружить систему в состояний с Л/* =/(/ +1)Й'
дается тем же выражением D0.2).
Итак, нам удалось вычислить вероятности различных
результатов измерения квадрата момента двух частиц
после столкновения, ничего не зная о характере сил
взаимодействия! Мы получили результат, который, как
принято говорить, не зависит от модели, т. е, от тех
нестрого обоснованных предположений и догадок, которые
хотя и позволяют довести до конца расчет того или
иного процесса, но не дают уверенности в том, что
полученные результаты имеют отношение к действительности.
Можно посмотреть на полученные выводы и
по-другому. Они доказывают, что, ограничиваясь измерениями
квадрата момента, зкспериментатор принципиально не
может ничего узнать о характере взаимодействия частиц.
Просто потому, что, какими бы ни были силы
взаимодействия, результат такого эксперимента всегда будет
одним и тем же — тем, который выражается
формулой D0.2).
Наконец, полученный результат можно использовать
для проверки правильности работы экспериментальной
установки.
Сделаем еще одно замечание. Определение возможных
значений квадрата момента двух частиц после
столкновения и определение вероятностей этих значений не потре-
150
бовало никаких вычислений. Достаточно было
воспользоваться решением второй основной задачи для
произведения двух неприводимых представлений группы вращений
R или ее накрывающей группы Л («м. §§ 17, 24).
§ .41. Теория возмущений и симметрия
Вернемся к задачам квантовой механики, которые
возникают в теории возмущений. Возмущенную в
невозмущенную системы .будем по-прежнему обозначать
соответственно буквами Q и Qo- Предположим, что обе
системы обладают группам» симметрии G л 0^
соответственно, причем группа G беднее группы Go:
G «= G,.
Так, если неаозмущенная система — это несколько
электронов в поле ядра, то ее группа симметрии — зто
группа вращений R (или накрывающая группа Л). Если
теперь включить однородное злектрическое или магнитное
поле, параллельное оси 0Z, то получим возмущенную
систему е менее богатой группой симметрии — группой
поворотов вокруг оси 0Z.
Пусть £о — один из энергетических уровней системы
^0. Под влиянием- возмущения он расщепляется на
несколько уровней:
Е,(г),Е,{г),...,'Е:{в), D1.1)
где е — параметр, характеризующий интенсивность ,
возмущения. Каждый из. этих уровней может быть
вырожденным.
Для простоты будем считать, что у уровней D1.1)
нет случайного вырождения. По определению это
означает, что подпространство ^»(е) (Л ■== 1, 2, ..., s) волновых
функций, соответствующих уровню ^*(е), преобразуется
по некоторому неприводимому представлению т*(е)
группы G. В пространстве Lx{e) существует канонический
базис
фй (г-1,2,..., Oft)
(т. е; матрицы представления tt(e) в этом базисе
совпадают с табличными матрицами).
Существенно, что представление т^(е) в
действительности не зависит от параметра е! В самом деле,
базисные волновые функции можно при каждом значении е
выбирать так, чтобы - онн изменялись непрерывно с
151
уменьшением параметра е. Между тем переход от
функций, преобразующихся по одному неприводимому
представлению, к функциям, преобразующимся по другому
неприводимому представлению,— это всегда
скачкообразный переход*). Поэтому представление т^(е) не
изменяется с изменением е и при всех е совпадает с одним и
тем же неприводимым представлением т». Отсюда также
следует, что предельные волновые функции
V^ = limt|;i«
преобразуются по этому же представлению т» и, более
того, образуют в нем канонический базис.
Последнее означает, что задача отыскания
предельных функций имеет в качестве группы симметрии
группу G. Рассмотрим эту задачу более подробно.
Представление Т группы Go, по которому
преобразуется подпространство Lo, можно рассматривать как
представление подгруппы G (если игнорировать все
операторы T(g), относящиеся к тем элементам g, которые не
принадлежат подгруппе G). Как и всякое представление
группы G, его можно представить в виде суммы
неприводимых представлений:
Г =, 2 ПтТ:т {Пт = 0^ 1, 2j . . .).
m
/
в соответствии с этим подпространство La расщепляется
на сумму подпространств:
преобразующихся по . неприводимым представлениям
группы G, причем все подпространства L)^^ (А; = 1,2,...
..., Пт) преббразуются по одному и тому же
неприводимому представлению т„.
Общеч число неприводимых представлений,
содержащихся в представлении Т, т. е. сумма
есть число уровней возмущенной системы, получившихся
*) Предполагается, что множество {t} всех попарно
неэквивалентных непрнводимых представлений группы G конечно или
счетно, т. е. может быть перенумеровано с помощью целых чисел.
152
в результате расщепления уровня Ец невозмущенной
системы. Размерности представлений Хт (с ПтФО) дают
нам кратности вырождения этих возмущенных уровней.
Предположим, что мы хотим найти предельную
функцию ViTo' играющую роль первого вектора
канонического базиса в подпространстве L^'. Для этого, следуя
общей схеме решения задач с группой симметрии, нужно
найти в подпространстве Lo подпространство Ei,
состоящее из тех векторов, которые играют роль первого
вектора канонического базиса неприводимого
представления Тт. Так как функция Vi?o заведомо принадлежит
этому подпространству, то и искать ее следует в этом
подпространстве, что упрощает задачу отыскания
предельных функций. Если подпространство Е^^ одномерно
(это означает, что представление Тт группы G
содержится в представлении Т только один раз), то в качестве
функции tpi™ следует взять единственную (с
точностью до постоянного множителя) нормированную
функцию, содержащуюся в этом подпространстве.
В качестве примера рассмотрим электроны в поле
ядра атома, помещенного в однородное магнитное поле.
Здесь группа G, симметрии невозмущенной задачи, как
уже говорилось, есть группа вращений R или ее
накрывающая группа Л. Группа G симметрии возмущенной
системы — это группа поворотов вокруг оси 0Z. Пусть
невозмущенный уровень энергии Ео соответствует
состояниям с квантовым числом /, т. е. связан с неприводимым
представлением 2)j. Если представление 2)j
рассматривать как представление группы поворотов вокруг оси 0Z,
то оно распадается на B/ -Ь 1) одномерных
представлений этой группы:
3
m~—j
Поэтому уровень Ео расщепляется на B; + 1)
невырожденных уровней. Этот эффект был открыт
экспериментально в 1896 г. Зееманом (нормальный эффект Зеема-
на), задолго до появления квантовой механики.
Впоследствии более тонкие эксперименты обнаружили
дополнительное расщепление энергетических уровней. Об этом
будет идти речь в следующем параграфе.
Подпространство Lo содержит ровно B/ + 1)'
предельных функций. Ими являются функции i|)toj образую-
153
щив канонический базис, связанный , с неприводимым
представлением 2)} группы R или Л.
Ниже будет показано, что при исследовании эффекта
Зееиана можно получить с помощью теории групп
значительно более далеко идущие выводы: Здесь же
заметим лишь, что и в теории возмущений мы можем с
помощью методов теории групп сделать интересные с
точки зрения физики выводы, обходясь весьма скудной
информацией о возмущении,
§ 42. Спин электрона
Результаты двух последних параграфов полезно
проиллюстрировать на явлениях, связанных с
существованием спнна у электрона. Существование спина равнозначно
прозаическому утверждению: «волновая функция
электрона имеет две компоненты». Однако это прозаическое
утверждение имеет исключительно важные последствия.
В этой связи мы рассмотрим два вопроса: влияние спина
на энергетический спектр электрона в поле с центральной
симметрией и влияние спина на расщепление
энергетических уровней такого электрона при включении
магнитного поля. Полученные результаты можно применить к во-
дородоподобным атомам, у которых имеется один
валентный электрон, и, таким образом, подвергнуть зти
результаты экспериментальной проверке. С хорошей точностью
можно считать, что валентный электрон находится в
центрально-симметричном поле, созданном ядром и
остальными электронами. При этом подразумевается, что
влияние валентного электрона на все прочие электроны
пренебрежимо мало.
Опишем в нескольких словах, как обстоит дело с
обобщенным уравнением Шредингера для электрона,
описываемого двухкомпонентной волновой функцией (в
релятивистской квантовой теории электроны описываются
четырехкомпонент^ой волновой функцией). Если
пренебречь некоторыми видами взаимодействий и релятивист^
скими поправками, то уравнение Шредингера для
электрона в отсутствие электромагнитного поля состоит из
двух совершенно одинаковых уравнений. Одро из них
содержит только члены с компонентой 'ф~'''^ другое —
только члены с компонентой i|;'''^ двухкомпонентной волновой
функцией электрона:
154
— 1^1/2 |.
Каждое из зтих уравнений совпадает с обычным
уравнением Шредингера.
Взаимодействие, которым, как мы говорили,
пренебрегают, называется спин-орбитальной связью (мы не будем
пояснять происхождение этого термина). В
интересующих нас случаях это взаимодействие является достаточно
слабы,м, что позволяет применить методы теории возму-
щенЕ л для его учета. Роль невозмущенной системы
играет при этом воображаемая квантовая система, имеющая
двухкомпонентную волновую функцию и спин, равный
1/2.- Каждая из компонент этой функции удовлетворяет
обыкновенному уравнению Шредингера.
На чем скажется наличие спина у невозмущенйой
системы ^0, если сравнить ее с системой Ра, которая имеет
скалярную "волновую функцию и удовлетворяет тому же
уравнению Шредингера?
Прежде всего, удвоится кратность вырождения
каждого энергетического уровня. В самом деле, пусть Е„ —
один из энергетических уровней системы Ро с
кратностью вырождения B^ + 1) {1 = 0, 1, 2, ...). Каждой вол*
новой функции \{)р квантовой системы Ро в состоянии с
энергией £„ можно сопоставить две различные волновые
функции,
♦--(*') ■ *^-(;).
квантовой системы ^о, отвечающие тому же значению Е„
энергии.
Таким образом, у систем Qo и Ро энергетические
спектры совпадают, а кратности вырождения у системы
Qo вдвое больше кратностей вырождения системы Ро-
Теперь «включим» спин-орбитальную связь. Как она
скажется на энергетическом спектре (мы сравниваем
системы Qo а Q)?
Учтем, что в силу изотропии пространства
возмущение, о котором идет речь, не нарушает сферической
симметрии задачи. По какому представлению Т группы
вращений R (или R) преобразуется подпространство
волновых функций системы Qo, отвечающих энергии £„?
Размерность этого подпространства равна 2BZ + 1). Не
следует, однако, думать, что Т — это просто суии& двух
представлений 2!>f Так было бы, если бы при вращениях
каждая из двух компонент волновой функции вела себя
как скаляр. Рассмотрим этот вопрос несколько
подробнее.
155
Пусть {г))т}т=-г — канонический базис в
подпространстве волновых функций системы Рд с энергией Еп.
В соответствующем подпространстве двухкомпонентных
волновых функций системы ^о в качестве базиса можно
взять 2 B^+1) функций
J-l/2)
■у »
Подействуем на_каждую из этих функций произвольным
вращением g ^ R:
т (?) 4ш (г, 0 = 2 s>T. (g) ^^'Г (g-'r, t) =
<^'
= t|;„(g-^r,f)S^a^a(g)e4 D2.1)
а'
Учтем еще, что
^т (g-»r, о = S 3>\п'ш (g) ^т' (г, О-
т'
Если подставить полученное соотношение в равенство
D2.1), станет ясно, что представление Г — это
произведение представлений S)i/2 X 2)i.
Итак, отличие невозмущенной системы Qo от системы
Ра состоит в том, ЧТО Представление группы вращений,
осуществляемое волновыми функциями этих, систем,
соответствующими одному и тому же уровню Еп, в случае
системы Ро есть 2)i {I = О, I, ...), а в случае системы Qo
есть Т = ^,/2 Х2),.
К чему приводит это различие, сформулированное в
абстрактных терминах теории групп?
Если Z = 1, 2, ..., то представление
приводимо и распадается на два неприводимых
представления. Это означает, что учет возмущения, связанного со
спином, приводит к расщеплению каждого
энергетического уровня Еп с отличным от нуля орбитальным моментом
I на два уровня E^^i и Et,i.
Совсем по-другому обстоит дело в тех случаях, когда
орбитальный момент равен нулю. В этом случае
представление Т неприводимо, так как 3^i,2. X ^о = ^i/z.
Учет спин-орбитальной связи и релятивистских
эффектов не приводит к расщеплению уровней с нулевым
орбитальным моментом. Этот вывод подтверждается спект-
156
роскопическими измерениями уровней энергии
электронов в атомах (но не относится к атому водорода *из-за
свойственного этому атому дополнительного вырождения
энергетических уровней).
Рассмотрим еще одно явление, связанное с
существованием спина у электрона. Речь будет идти о
расщеплении энергетических уровней атома при внесении его в
однородное магнитное поле. Для простоты будем
говорить о водородоподобных ато-мах. Магнитное поле будем"
считать достаточно малым, чтобы можно было
пользоваться теорией взмущений. В качестве невозмущенной
системы возьмем уже описанную систему ^о. Роль
возмущения предоставим магнитному полю вместе со спин-
орбитальной связью и релятивистскими эффектами.
Пусть Еп, I —один из энергетических уровней
системы Ра (со скалярной волновой функцией), причем индекс
I характеризует квадрат момента. Как было показано,
число Еп,1 является одновременно и одним из
энергетических уровней квантовой системы Qo. Отличие, однако,
состоит в том, что этому уровню соответствуют два
значения полного момента: j = 1— 1/2 и j = 1 + 1/2.
Исключение составляет случай 1 = 0, которому соответствует
единственное значение момента / = 1/2.
Под влиянием возмущения, уровень Е^^
расщепляется. Волновые функции, соответствующие моменту / =
•= Z — 1/2 {1¥=0), порождают 21 уровней, волновые
функции, соответствующие моменту / = Z + 1/2, дают
еще BZ + 2) уровней. Таким образом, уровень En,i ркс-
щепляется на 2B1+ i) возмущенных уровней. Если
Z = О, то / —1/2, и мы получаем два возмущенных
уровня.
Если влияние магнитного поля гораздо меньше, чем
влияние спин-орбитальной связи и релятивистских
эффектов, то указанные уровни располагаются следующим
образом: 21 уровней группируются возле уровня E^j и
{21 + 2) уровней — возле Et,i. Если же, наоборот,
влияние магнитного поля гораздо больше, чем' влияние спин-
орбитальной связи, то расщепленные уровни
группируются попарно, образуя {21+ 1) пар.
Мы рассмотрели одно и то же явление —
расщепление энергетических уровней водородоподобных атомов,
помещенных в однородное магнитное поле, в двух
разных приближениях: без учета спин-орбйтальной связи и
с учетом этой связи. Этим двум приближениям соответ-
157
ствуют два уровня точности эксперимента по измерению
энергетических уровней в магнитном поле. Если
разрешающая'способность эксперимента не очень велика, то
он подтвердит выводы более грубой теории, не
учитывающей спинч)рбитальной связи; более тонкий эксперимент
подтвердит результаты более тонкой теории.
Обнаруженное таким образом дополнительное расщепление носит
название сложного или аномального эффекта'Зеемана.
Спин электрона и других элементарных частиц
играет существенную роль в большом числе различных
физических процессов, в частности, многочисленные процессы,
сопровождающие столкновения частиц, нельзя понять,
не учитывая спины этих частиц. Мы, однако,
ограничимся разобранными в этом параграфе двумя вопросами.
§ 43. Атом в магнитном поле
Результаты предыдущего параграфа непосредственно
применимы к атому, помещенному в однородное
магнитное поле. Они показывают, что невозмущенный уровень
энергии, соответствующий квадрату момента М^ =» / (/ +
+ 1)Й*, расщепляется на B/ + 1) различных уровней.
С точки зрения теории групп, после того как
сформулированы соответствующие;, законы квантовой механики,
эффект Зеемана становится следствием анализа
неприводимых представлений группы поворотов, содержащихся в
неприводимом представлении группы вращений.
Оказывается, что гораздо более далеко идущие результаты
можно получить, если использовать группу вращений в
качестве группы симметрии задачи. На первый взгляд
это невозможно, так как направленное по оси 0Z
магнитное поле нарушает сферическую симметрию. Эту труд-
HotTb, однако, можно обойти, если воспользоваться
формулами теории возмущений C5.1) и C5.2). Эти
формулы сводят вычисление смещений энергетических уровней
и вероятностей переходов между квазистационарными
состояниями к вычислению скалярных произведений
вида
(i|)«>, Гя|>1»), D3.1)
где Я — возмущение оператора Гамильтона, вызванное
магнитным полем Н, г|)т и гр^^ — невозмущенные
волновые функции атома в состоянии с квантовыми числами
j, т я I, к соответственно. Разумеется, магнитное поле Н
158
предполагается достаточно малым, чтобы формулы
теории возмущений обладали хорошей точностью.
Приведем два соображения, позволяющие привлечь
теорию групп к вычислению матричных элементов D3.1)
оператора Н'.
Предположим, что под действием магнитного поля Н
произошел переход атома из состояния с волновой
функцией tpm в состояние с волновой функцией щ, . Если
наблюдать за этим явлением из другой системы отсчета Ki,
которая полз^ается из исходной системы. К^ вращением
g, то зто же явление будет выглядеть иначе. Прежде
всего, компоненты магнитного поля Н в системе Ki —
не такие, как в системе Ко. Они совпадают с
координатами поля g~'H в системе Ко. Далее, как мы знаем,
состояние атома, описываемое в системе отсчета волновой
функцией V/n\ в системе K^ описывается другой волновой
функцией §~^'фт, которую можно записать так:
g-Wm= i ^^m'mig-')^';^'. D3.2)
■m=—j
Подобным же образом трансформируется и волновая
функция г|)л'\ Следовательно, каждый раз, когда в
системе Кл регистрируется переход '^^т -*- )|'л'\ в системе Ki
будет регистрироваться переход g~^'^m ~^ й~'^'щ • Это
означает, что вероятности j3THx двух событий одинаковы и,
следовательно, соответствующие матричные элементы
равны
{g-'^'^, g-'fTg-Wk') = Wi\ ЯЧ1»), D3.3)
где g~4I' — оператор возмущения, вызванного
магнитным полем g"'H.
Перейдем ко второму соображению, Обозначим через
Hi, Нг и Hj магнитные поля одинаковой величины,
направленные вдоль осей ОХ, 0Y и 0Z системы отсчета ^о.
Как и любая тройка ортогональных векторов одинакойьй
длины, введенные поля удовлетворяют соотношениям
?-Ш^= i]«ft;(g-^)Hft, D3.4)
ft=i
где aw(g~')—косинус угла между осью с номером / сиг
стемы Кв и осью с номером к системы Ki = gK^ (осям
РХ, 0Y и 0Z присвоены номера .1, 2 и 3 соответственно).
159
Обозначим через ^i, Н^ и Ни операторы
возмущения, вызванного магнитными полями Hi, Нг и Нз.
Воспользуемся линейным характером зависимости оператора
Н от магнитного поля Н:
если Н = CiH{ + С2Н2 -1- CgHg, то Н = cjl\ + cjl'^ + С3Я3.
Согласно D3.4) отсюда, в частности, следует, что
g-m]^^a^j{g-^)Hl D3.5)
ft=X
Это — все, что нам нужно знать об операторах
возмущения ^й.(Л; = 1, 2, 3).
Теперь можно установить важное свойство
совокупности матричных элементов
(m = — /\ — 7 -1- 1, г ■ • -1 /; S = Ij 2, 3; k^ — l, ..., I).
D3.6)
Матричные элементы (g'^'^^m, §~'Я^5~*^л") линейно
выражаются через матричные элементы D3.6):
= S S 2 2>^X{g--')'^s's{g-')^\!\{g-')Wi
m'=—J8=l h'=—l
K;^^i)). D3.7)
Соотношение D3.7) получается сразу же, если
воспользоваться формулами D3.2) и D3.5). Истолкуем его в
терминах теории групп.
Рассмотрим вспомогательное линейное пространство 3?
размерности 3B/+ 1) BZ + 1). Координаты векторов х
зтого пространства будем снабжать тремя индексами:
Х'={Хш.,} (m = —j, ..., /; s — i, 2, 3; к ~—I, ..., I).
Каждому вращению g сопоставим оператор T{g),
действующий в пространстве 3? и определенный с помощью
правила: координаты вектора T{g)x, х = {хт>к}, равны
} 8 I
m'=—i »'=1 п'=—1
т
Легко показать, что операторы T(g} образуют
представление группы вращений. Для этого достаточно прямым
вычислением показать, что
'Представление Т эквивалентно произведению трех
представлений:
поскольку матрицы «s^, (g-*) являются матрицами пред-
ставления Sbi в декартовом базисе, а матрицы Sb^l {g~^) —
матрицами представления S^i в некотором
неканоническом базисе, .который, впрочем, просто связан с
каноническим базисом.
По, причине, которая станет ясной чуть позже,
целесообразно выяснить, содержит ли произведение
представлений ^j X ^1 X S)i единичное представление S)^.
Вспоминая разложение B5.1) произведения
представлений на неприводимые представления, получаем
S>i><.S>i = 25i,-i| + ^11-11+, + ... + Фш,
Г = ^, X ^1,-,, + 2>iX ^,,-,|+. + ... + 2>i + 2>i+u
Произведение 2)i X 2)р содержит единичное
представление S^o один раз, если р = 1, и ни разу, если рФ I.
Поэтому представление Т содержит единичное
представление ^0 один раз, если
/ + г>0 и 1/-П<1, D3.8J
в противоположном случае представление ^о не
содержится в Т.
Обозначим через ^ подпространство пространства 5^,
преобразующееся по единичному представлению S)(,
группы вращений (или накрывающей группы Л).
Пространство ^ одномерно, если выполнены условия D3.8),
и сводится к нуль-вектору в противоположном случае.
Вернемся к матричным элементам D3.6).
Соотношение D3.7) показывает, что совокупность этих элементов
можно рассматривать как координаты некоторого
вектора а;' из пространства 5^: под действием операторов T{g)
они преооразуются как координаты каждого вектора
а; S S'. С другой стороны, соотношение D3.3)
показывает, что вектор х" не изменяется под действием
операторов T{g) и, следовательно, принадлежит подпространству
^. Отсюда вытекают два следствия.
И Г. Я. Любарские Ш
1'. Если условия D3.8) не выполнены, то все
матричные элементы D3.3) равны нулю. Физически это
означает, что в рассматриваемом приближении теории
возмущений вероятности переходов V»» ->щ^ равны нулю —
такие переходы запрещены. Из условий D3.8) следует,
что запрещены, все переходы, сопровождающиеся
изменением квантового числа / более чем на единицу.
2. Если условия D3.8) выполнены, то методами
теории групп можно найти единичный вектор е",
принадлежащий подпространству ^,-и, поскольку х° е ^, написать
Тем самым все матричные элементы D3.6J
определяются с точностью до общего множителя А., не зависящего
от индексов тп, s и к, но, вообще говоря, зависящего от
индексов / и Z. Иными словами, если ^ путём измерения
вероятности одного из переходов ^рт->■ if*'' найден хотя
бы один из матричных элементов D3.6), то все
остальные матричные элементы с теми же индексами / и I
можно вычислить, а полученные результаты проверить на
эксперименте путем измерения вероятностей других
переходов ij5m'->'vj)v. Если / = Z, то появляется
дополнительная возможность экспериментальной проверки —
путем измерения возмущенных энергетических уровней
атома в магнитном поле.
Фактическое вычисление компонент вектора е*
является чисто алгебраической задачей. Мы.не будем ею
заниматься. Решив эту задачу, мы обнаружили бы, в
частности, что энергетические уровни, получающиеся при
расщеплении невозмущенного уровня Е, образуют
арифметическую прогрессию. Это хорошо согласуется с
экспериментом.
Основное достоинство описанного метода состоит в
следующем. На базе очень скудной информации об
операторе возмущения удалось получить большое число
количественных соотношений между характеристиками
.таких, казалось бы, различных процессов, как расщепление
уровней и переходы между квазистацио^арными
состояниями. Единственное использованное в нашем
рассуждении свойство оператора возмущения Н' состоит в том,
что он преобразуется при вращениях как вектор, т. е. по
неприводимому представлению S^t.
На полученные результаты можно посмотреть и по-
другому. Если бы мы не знали, как преобразуется опера^
162
тор возмущения Н' при переходе к повернутой системе
координат, то согласие приведенных результатов с
экспериментальными результатами, (сдвиг энергетических
уровней и вероятности переходов) означало бы, что
положенная в основу расчета гипотеза о векторном
характере оператора Я'-верна.
§ 44. Гипотетический случай
Ситуацию, описанную в предыдущих двух
параграфах, можно рассматривать как простейшую модель
гораздо более сложных ситуаций. Поясним это.
Мы рассмотрели систему — атом в слабом магнитном
поле. В отсутствие магнитного поля симметрия задачи
описывалась группой вращений,- после включения
магнитного поля — более бедной группой поворотов. Кроме -
того, было известно, что возмущение Н' преобразуется
по векторному представлению группы вращений при
вращениях системы координат. Было показано, что на
основании этих сведений можно сделать следующее:
1. Классифицировать энергетические уровни исходной
и возмущенной систем.
2. Найти ряд соотношений, связывающих сдвиги
энергетических уровней в результате возмущения.
3. Найти квазрстационарные состояния возмущенной
системы.
4. Вывести ряд соотношений, связывающих
вероятности переходов между. квазистационарными состояниями,
в частности, получить Правила запрета.
5. Связать вероятности переходов со сдвигами
энергетических уровней.
Легко видеть, что такую же работу и теми же
методами можно выполнить и в более общем случае, когда груй-
па симметрии Оц невозмущенной системы отлична от
группы вращений, а возмущение снижает симметрию
системы до некоторой подгруппы G сз Gj- и само
преобразуется под действием операций группы G» по Некоторому
представлению Г-этой группы.
.Сделаем еще один шаг. Представим себе, что
магнитное поле Земли во много раз больше, чем оно есть в
самом деле, и существенно сказывается на энергетических
уровнях атомов. Можно представить себе далее, что
физики, не наблюдая атомы в отсутствие магнитного поля,
воспринимали долгое время различные состояния атома
в магнитном поле как различные атомы. Затем возникла
!!• 163
Гипотеза, что это" в действительности — Один и тот же
атом, но находящийся в разных состояниях, причем
симметрия атома описывается некоторой группой Go.
Какова первая и наиболее легкая проверка этой
гипотезы?
Мы объединяем в группы известные нам атомы так,
чтобы в каждой группе они имели примерно одну и ту же
массу покоя (т. е. примерно одну и ту же энергию).
Пусть
Si, Si, S$, . . ., St ■
— числа различных сортов атомов в этих группах. Затем
мы высказываем, предположение, что атомы одной
группы пред9тавляют собой различные состояния одной и
той же системы, отвечающие одной и той же энергии.
Естественное возражение: «почему же их энергии не в
точности равны друг другу и почему мы не наблюдаем
суперпозиций этих состояний*)?» мы легко отводим,
говоря, что, по-видимому, существует некоторое
возмущение, нарушающее симметрию Go и выделяющее
квазистационарные состояния, которые мы принимаем за
различные атомы.
В подтверждение своей гипотезы мы выписываем
размерности неприводимых представлений группы G»:
Oi ^ О2 ^ . • . ^ Оа '^ ■ •.
Если они совпадают (в любом порядке) с числами Si,
5г,..., St, то это — серьезное подтверждение нашей теории.
Если, скажем, число Si больше, чем Oi, и равно Oj — 1,
то и в этом случае не все потеряно. Мы просто заявляем,
что еще не все виды нашего атома обнаружены, и
предсказываем существование еще одного, пока" что
неизвестного атома. Если его действительно обнаружат, то это —
триумф теории. Если же между числами Si, Si, ... и
Oi, 02, ... не наблюдается никакого сходства, то следует
поискать какую-либо другую группу в качестве группы
симметрии Gj.
На этом заканчивается первый этап построения и
проверки новой теории. Следующий этап связан с
правилами запрета. На этом этапе нужно дополнить гипотезу
указанием подгруппы G и представления Т группы Go,
*) То есть состояний, волновая функция которых
представляет собой линейную комбинацию волновых функций различных
состояний атома.
по которому преобразуется возмущение Я',
фигурирующее в (неизвестном) уравнении Шредингера. После
этого правила запрета выводятся из рассмотрения
произведений представлений
XiXTX т,,
где Tj и Ti — представления группы Go, соответствующие.
двум рассматриваемым состояниям атома Wj и Ч'';.
Переход Wj -* Wi будет запрещен, если это произведение
не содержит единичного представления.
Согласие выведенных таким образом правил запрета
с совокупностью реально наблюдаемых переходов — еще
один признак правильности теории.
Еще более убедительные доводы в пользу вьщвига-
емой теорий дает подсчет соотношений между массами
покоя наблюдаемых состояний атома, если он приводит
к результатам, согласующимся с экспериментом.
Последний шаг — вывод соотношений между вероятностями
различных переходов и опять-таки сравнение с
экспериментальными данными. Если эти вероятности велики, то
так называемое время жизни мало. Оно сравнительно
просто поддается как измерению, так и вычислению и
потому также может быть использовано для проверки
теории.
Мы так подробно остановились на этом
гипотетическом исследовании, потому что оно дает представление
о методах применения теории групп в физике
элементарных частиц. Эти методы привели к очень серьезным
успехам. Однако здесь мы не имеем возможности
остановиться на этом вопросе.
Гла'ва 8
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИП КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Настоящая .глава знакомит читателя с результатами и
своеобразными методами теории представлений конечных групп, т. е.
групп, содержащих конечное число элементов. Ценность этих
результатов для прикладной теории групп на примере задачи о
малых колебаниях будет продемонстрирована в гл. 9.
Теория представлений конечных групп интересна еще и тем,
что она послужила образцом для построения гораздо более
сложных .теорий, относящихся к различным классам бесконечных
групп.
С точки зрения прикладной теории групп теория
представлений конечных -групп важна тем, что в ней дается общий метод
решения второй основной задачи, применимый для любой
конечной группы.
В этой главе мы постоянно будем пользоваться понятиями и
сведениями из линейной алгебры. Читатель, не знакомый в
должном объеме с линейной алгеброй, может пользоваться этой главой
как. справочником.
§ 45. Теорема унитарности представлений
и первые следствия
Все основные результаты теории представлений
конечных групп вытекают из следующего утверждения.
Теорема унитарности. Если Т —
представление конечной группы. G, определенное в конечномерном
пространстве L, то в этом пространстве Можно определить
скалярное произведение {х, у) (х, у ^ L) так, чтобы все
операторы T{g) {g^G) были унитарными, т. е. чтобы
тождественно по х, у ^ L и g^G выполнялось
соотношение
{T{glx,T(g)yl='{x,yl.
В дальнейшем всегда будем предполагать, что.
скалярное произведение в пространства.,!» определено
именно таким образом и, следовательно, все операторы T{g)
представления Т унитарны.
Доказательство этого утверждения излагается ниже,
в § 53.
Пусть Li — подпространство пространства L — тако:
во, что, каков бы ни был вектор х е L„ имеет место
166
соотношение
T{g)x^Li {x^Lug^Gl.
Иными словами, операторы представления T{g) не
выводят из подпространства Li принадлежащие ему
векторы. Такую ситуацию условимся характеризовать словами
«подпространство LiC: L инвариантно относительно
представления Т».
Следствие 1. Если Lt — инвариантное
относительно предст.авления Т подпространство, то ортогональное Li
подпространство Li<=^ L тоже инвариантно {относительно
представления Т).
Доказательство. Пусть y^Li, т. е. {х, 1/5=0,
каков бы ни был элемент а; е Li. В частности, в силу
инвариантности подпространства Lj можно написать
{T{g-:)x,y)^Q {g^G.v^L,).
Теперь воспользуемся унитарностью представления Г:
0={T{g-^)x,y)'=lTig)Tig-^)x:Tig)y),
Так как T{g)T{g~^)x'=x, то последнее равенство
означает, что
{х, T{g)y)=0,
каковы бы ни были вектор х^ Li й элемент g^G. Это
и означает, что T(g)y ^ Lt. Следствие 1 доказано.
Итак, в условиях следствия 1 представление Т имеет
два инвариантных подпространства Li и Li, причем
сумма их совпадает со всем пространством L. Каждый
оператор T{g) можйо при желании рассматривать только
в Z/1. Суженный таким образом оператор T{g) будем
обозначать Ti{g). Аналогично определяется и оператор
Легко проверить, что совокупности операторов
{Ti{g)} и {Ti{g)} (g^G) образуют два представления
Ti и Га группы G, а представление Т есть не что иное,
как их сумма:
T = Ti + Тг.
Это, в частности, означает, что представление Т
приводимо. Мы пришли к- важному следствию.
167
Следствие 2. Если т — неприводимое *)
представление конечной группы, то пространство L не содер^
жиг ни одного нетривиального подпространства *'f), ин-
еариантного относительно представления т.
В дальнейшем мы убедимся, что из этого следствия
вытекают далеко идущие выводы.
§ 46. Дальнейшие следствия из теоремы унитарности.
Операторы проектирования
и соотношения ортогональности
"" В этом параграфе выводятся соотношения
ортогональности между матричными элементами неприводимых
представлений и строятся операторы, с помощью которйх
автоматически решается вторая основная задача
прикладной теории групп. Поясним, какие соотношения
ортогональности имеются в виду. '
' Рассмотрим совокупность Ф всевозможных функций,
определенных на элементах группы G:
Каждая функция ф(^) задается с помощью N чисел,
представляющих собой значения этой функции на N
элементах группы G. Легко видеть, что Ф — это линейное
iV-мерное комплексное пространство с естественно
определенными действиями сложения и умножения на число.
Определим в Ф скалярное произведение, положив
gsff
(черта, как и всегда, означает переход к
комплексно-сопряженной величине). Бели скалярное произведение двух
функций равно нулю, то говорят, что эти функции
взаимно ортогональны.
Пусть Ti, Т2, ..., Те — полный набор неэквивалентных
неприводимых унитарных представлений, а
Tmn {§) {i = li 2j .. .J о; m, n = 1^ 2^ ., .^ Sj) D6.1)
*) Напомним, что неприводимыми мы условились называть
те представления, которые нельзя рассматривать как сумму двух
представлений.
♦*) То есть подпространства положительной размерности, ко-"
торое не совпадает со всем пространством L,
168
— матрица представления Tj в произвольном ортонорми-
рованном базисе
Матрицы Tm'n (g) унитарны:
т^«1иЛ"^) = х<*^(Л) (ЛеС). D6.2)
Напомним еще, что из операторных равенств
х'^'^ {g) т''" {h) = х^'^ (gh) следуют соотношения между их
матричными элементами:
н
3=1
Соотношения ортогональности, о которых идет речь,
состоят в том, что матричные элементы Хтп (ё) и тй (g)
различных представлений Tj и Xj, а также разные
матричные элементы одного и того же неприводимого
представления взаимно ортогональны:
№..т^/') = 0, если 1.Ф1, D6.3)
(tmnt Та/) = О, если тфк ипи п=^1. D6.4)
В силу этих (еш;е не доказанных) соотношений
совокупность матричных элементов всех неэквивалентных
неприводимых представлений, образует ортогональную
систему функций." Число этих функций равно сумме
квадратов размерностей неприводимых представлений и,
разумеется, не может превосходить размерности
пространства всех функций на группе:
sl-\-sl+ ..,+sl^N. D6.5)
Отсюда следует, что у конечной группы имеется только
Конечное число неприводимых представлений.
Размерности этих представлений ограничены неравенством D6.5).
Впоследствии мы увидим, что в соотношении D6.5)
следует всегда писать знак равенства.
Доказательство соотношений ортогональности удобно
вести параллельно с изучением свойств операторов
■^лЧПг которые строятся следующим образом.
Пусть Т — какое-либо представление конечной
группы G, действующее в пространстве L размерности S.
Определим оператор ^^2(Г) таю
^t (?')=• Г 2 ^^* is-') ^ (S) (/i А - 1. 2, ..., Si) D6.6)
(суммирование производится по всем элементам g
группу G).
Приведем два элементарных свойства оператора A^k-
Свойство 1. Матричные элементы оператора
Аук(^)- связаны с матричными элементами оператора
'^(s). соотношением
^^'(Ли^СГ^п.т!'/)- D6.7)
Докаа-ательство. Согласно определению D6.6),
соотношению D6.2) и определению скалярного
произведения имеем
{А]^^ (r)U - -■ 2 ^1" (Я-0 Тг.п (g) =-
-gsff
Свойство 2. Операторы Л,^ (Г) коммутируют
с операторами T{h) следующим образом:
и
Т (h) А%' (Г) = 2 т<,« (Л) 4f (Г). D6.8)
(=1
Доказательство. Согласно определению D6.6)
имеем
T{h) А\^ (Г) = -^ 2 ^5" (^"') ^ (^) ^ (^) =■
geff
. -■f2'^^*(^"-)^('^^)- D6.9)
gSG
Если элемент g пробегает всю группу G, то и элемент
f = hg (где А— фиксированный элемент группы) также
пробегает всю группу. Поэтому суммирование по g
совпадает с суммированием по /:
S xji' {g-') т (hg) = s -^f^ {g ■') T {hg), g = h-"f,
и равенство D6.9) можно переписать так:
T{h)A<^UT)-'jf^x^Urh)T{f).
fee
170
Учтем еще, что t^I' {f'^h) = 2 tjl' (/"О т'й (й)- Следова-
тельно,
=i 2 T',i' (Л) 2 Tjf (го г (/)=i т'д' (й) 4f (Л.
(=1 /SG (=1
Мы пришли к соотношению D6.8).
Отметим важное следствие, вытекающее из этого
соотношения. ,
Следствие. Пусть Хо — произвольный вектор про- '
странства L: Образуем Si векторов
х^^А^^{Т)х^ (/« = 1,2, .,.,Si)
(индексы i и j фиксированы). Под действием операторов
T{h) векторы х^ преобразуются друг через друга
следующим образом:
и
T(h)x,^2i'c^(h}xi, D6.10)
i=i
так что их линейная оболочка L{xo), т. е. совокупность
всех сумм вида х = с^х^ + с^х^ + ... + с^л^^, инвариантна
относительно представления Т.
Доказательство. Согласно соотношению D6.8)
Т [Щ х,^Т {Щ A]flx, = 2 т'Д^ {h) 4f (Г) ^0=2 т',1' ih) XI.
1=1 t 1=1
Мы получили соотношение D6.10).
. . Соотношение D6.10) показывает, что при любом
выборе вектора Хо и индекса / вектор а:^ = ^'й G*) Хд
однотипен вектору eft канонического базиса неприводимого
представления Tj.
Доказанное следствие позволяет построить" цепочку
очень важных умозаключений.
Применим это следствие к неприводимому представ- -
лению Г = Ti и . предположим, что размерность s, этого
представления больше, чем размерность s,
представления Tj. Согласно следствию в пространстве L имеется
инвариантное подпространство Ь{хо), размерность которого
не превышает S( и, следовательно, меньше St. Мы уже
знаем, что неприводимые представления не имеют инва-
риантных подпространств, кроме тривиальных.
Возможность L{xo)'=L в нашем случае отпадает, так как
размерность подпространства L{x,) меньше размерности
пространства L. Остается вторая возможность: L{xo)-
содержит только один вектор, а именно — нуль-вектор. 9то
означает, что все векторы A^^^ (т;) Хд равны нулю.
Ввиду произвольности вектора Хо^ L отсюда делаем вывод,
что все операторы А% (г;) = О, если Si < St.
Теперь обратимся к соотношению D6.7). В силу
доказанного из него следует, что
Ki, тйО - О, D6.11)
если Si > Si. Однако ввиду симметрии условия
ортогональности (если ф ортогонально ■ф, то и if
ортогонально ф) можно считать, что соотношение D6.11) доказано
и в случае, когда s, < s,-.
Обращаясь опять к соотношению D6.7), приходим
теперь к выводу, что соотношение
4^(т5) = 0 D6.12)
имеет место и при Si < Si, т. е. всегда, когда размерности
представлений т« и Т; различны.
Остается рассмотреть случай Si = s, {i¥=l). Покажем,
что и в этом случае равенство Ь(ха)=т=Ь невозможно.
Если предположить противоположное, то в
пространстве L можно построить два базиса ■
Xi,Xi,...,X, и 61,62,..., бе (s = Si = S,).
Первый из них согласно равенству D6.10) преобразуется
по представлению Ti, второй — по представлению хс.
T{g)e,^ i,x%{g)e,.' D6.13)
p=i
Докажем, что представления Xj и Ti эквивалентны
вопреки предположению i Ф I. Противоречие, которое мы
таким образом получим, и будет означать, что Ь{х^)ФЬ.
Введем в рассмотрение оператор В, определенный
равенством Ве^ = Xk. Он имеет обратный оператор В~\
причем B~^xy = е*. Равенство D6.10) можно записать так:
T{h)Be,^ 2тй(й)%,
р=1
472
или
Сравнивая последнее равенство с D6.13), приходим к
выводу, что матрицы tplih) и tplW 'являются:
матрицами двух эквивалентных представлений T{h) и
B~4{h)B. Это означает, что предположение L{xo) = L
может осуществляться только в том случае, когда I = г,
т. е. когда представления Х{ и Xi совпадают. В нашем
случае L{xo)^L. Следовательно, L{xo)=0. Отсюда, как и
раньше, вытекают соотношения ортогональности D6.3)
для любой пары неэквивалентных неприводимых
представлений. Вместе с тем доказано равенство нулю веех
операторов Лу^ (т;) при г ¥= I.
Для доказательства второй группы соотношений
ортогональности и соответствующих им свойств операторов
^л(Тг) требуются некоторые дополнительные
соображения, которым и посвящен следующий параграф.
§ 47. Лемма Шура
Дальнейшее развитие теории связано с леммой Шура.
Лемма Шура. Пусть два неприводимых
представления Xi и Т( действуют в пространствах Li и Li
соответственно. Пусть В — линейный оператор, определенный
на векторах из Li и переводящий, их в векторы из Li.
Пусть, кроме того, оператор В удовлетворяет условию
Bxi{g)==x,{g)B (gsG) D7.1)
тождественно по g.
Лемма утверждает, что оператор В равен нулю, если
представления Т; и т; неэквивалентны, и кратен
единичному оператору, если они эквивалентны, а пространства
Li и Li совпадают.
Несмотря на нержидайность и кажущуюся,
искусственность формулировки, эта лемма полезна в приложе-
йиях и необходима для дальнейшего развития теории.
Докажем лемму сначала для случая т, = Xi =i т,
Li — Li^ L. При этом оператор В, "как и всякий
линейный оператор, определенный в конечномерном
пространстве L, причем Вх^ L (х^ L), имеет по крайней мере
одно собственное значение %■ Это означает, что линейное
173
пространство .L%, состоящее из решений уравнения
Вх'='%х {x^L), D7.2)"
имеет положительную размерность. Условие D7.2)
обеспечивает инвариантность подпространства Lu
относительно представления т. В самом деле, если х^ е Li, то
выполняется соотношение
Bx\g)xa'='x\g)Bx!,'=''Kx\g)Xb.
Оно означает, что вектор x{g)xa удовлетворяет
уравнению D7.2) и, следовательно, принадлежит
подпространству Lx. Вспомним, что представление т неприводимо.
Поэтому инвариаитное подпространство L^ должно быть
тривиальным. Подпространство L). не сводится к одному
лишь нуль-вектору. Поэтому оно должно совпадать со
всем пространством. Это означает, что любой вектор
X ^ L удовлетворяет соотношению Вх = Кх, или, иными
словами, В = КЕ.
Лемма Шура ъ случае t = I доказана.
Извлечем два важных следствия из полученного ре-
вультата и с их помощью завершим доказательство
леммы Шура, рассмотрев случай i¥' I. <
Следствие 1. Пусть т — неприводимое
представление группы G, действующее в некотором
пространстве L. Если в двух разных базисах {е^\ и {f^\
пространства L матрицы операторов x{g) одинаковы:
$
Т (?) em = 2 "^пт (g) ещ
п—1
$
Т(?Oт= 2 T:nm{g)fni
n=i
ТО эти базисы отличаются только ' множителем fm == ^е„
;(т = 1, 2, ..., S).
Доказательство. Рассмотрим оператор В,
определенный равенствами 5ет ==/ш (/»•= 1, 2, ..., s). Он
обладает свойством, предусмотренным леммой Шура:
Bx{g)='x{g)B. D7.3)
Проверим это соотношение. Имеем
m«
Вх (g) em == 5 2 tnm {g)en = 2 Tnm (g) fn =T (g) /m= T:{g)Be
174
Это и означает, что 5т(я)== t{g)B. Из D7.3J следует,
что В = ХЕ и, следовательно, /т = Ве^ = %:Ет-
Следствие 1 доказано.
•Следствие 2. Получим соотношения
ортогональности D6.4) для матричных элементов одного и того же
неприводимого представления т.
Пусть Xi — неприводимое представление группы G в
пространстве L с каноническим ^ базисом {^m}!'. С
помощью, операторов .4'т„(Т{) образуем векторы
Ч = 4h Ы) ет (А; = 1, 2, ..., sj)
(индексы j ш т фиксированы). Линейная оболочка
векторов х^ инвариантна относительно представления Xi.
Поэтому она либо состоит из одного лишь нульгвектора,
либо совпадает со всем пространством L. Это означает, что
векторы Xk или все равны нулю, или образуют базис в
пространстве L. Этот базис согласно соотношению D6.10)
является каноническим. Применяя первое следствие из
теоремы Шура, видим, что базис {a^ft}'^ отличается от
базиса {efe}*j только множителем:
Когда все векторы Хн равны нулю, последнее
соотношение остается в силе, если падожить в нем fXjm =т 0. Итак,
Переходя к матричным элементам оператора ^й (tj)|
получаем
1 при I =• к^
^'^ ',0 при 1фк.
Обращаясь к равенству D6.7), можно записать
(тй, т1^) = Fim6,ft. D7.5)
Вычислим коэффициенты {Xj^. Для этого положим в
равенстве .D7.5) l^k. Получим
Wm = (тУ^, Л^>) S -i- 2 -^ftm {g}WiS)'
175
Просуммируем последнее тождество по к и
воспользуемся D7.5):
SV^jm = Iv 2 2 ''Л*'^ (^) '^^^ (^~*) "= ЛГ 2 Ъш (е) = 6jm.
gSGft=l , eSG
Итак,
Теперь соотношение D7.5) можно переписать^ так:
Мы получили вторую группу соотношений
ортогональности D6.4) и к тому же вычислили скалярные
квадраты матричных элементов Xim {§)'• все они равны
одному и тому же числу sj^.
Кроме того, получены важные соотношения
'i-"jn [T'i) em "^ en о.
п "ттц*
Они означают, что оператор Pjn ^ «Hjn (т,) переводив
все векторы канонического базиса в нуль, кроме
вектора ej,' который переводится этим оператором в вектор
этого же базиса вп- Это свойство операторов Ayji (Xj)
можно использовать для решения второй основной
задачи прикладной теории групп. Вспоминая, что все
операторы А)^ (та) равны нулю, если i Ф а, можно записать
Теперь легко доказать лемму Шура в полном объеме.
Для этого исходное соотношение D7.1) перепишем в
матричной форме
Ч »р
2 5,„iTln\g) - 2 т5^кЬM;П.
i=i- .... j=x
Все слагаемые, входящие в эти суммы, взаимно
ортогональны. Поэтому все коэффициенты Bms и jBj„ равны
нулю.
Лемма Шура доказана.
176
§ 48. Решение второй основной задачи
Полученные выше результаты позволяют предложить
общую схему решения второй основной задачи
прикладной теории групп.
Пусть пространство L преобразуется под действием
элементов группы ' G по представлению Т. Если
представление Т разлагается в сумму:
Т =■ TtliXi + ШгХг + ... + ШоХв,
то это означает, что пространство L представимо в виде
суммы подпространств:
о ""а
i' - 2 S Ь"-^', D8.1)
а=1 771=1
преобразующихся по неприводимым представлениям.
Индекс а указывает на номер неприводимого
представления, индекс т нумерует подпространства, входящие в
сумму D8.1) и преобразующиеся по одному и тому же
неприводимому представлению Та- В каждом
подпространстве Lm существует канонический базис
Лат) (am) lam)
Линейная оболочка Ej базисных векторов, с
одинаковыми индексами а и /,
Ef = ЛИН. об. \ef'\ ef'\ ..., ef"")),
представляет собой подпространство однотипных
векторов. Сумма всех таких подпространств совпадает с
пространством L:
L = 2 S ЕЧ'К * D8.2)
а=1 ;=1
Вторая основная задача прикладной теории групп
состоит, как мы знаем, в отыскании всех подпространств £,■"
однотипных векторов. Для решения этой задачи
привлечем введенные в § 47 операторы AyJt (Т).
Пусть хо — произвольный вектор пространства L.
Согласно следствию 1 § 47 векторы лтд ^= A^^Xq
удовлетворяют соотношениям D6.10):
T(h)x'^'^2'^'ui>{h)xr\
1=1
12 г. Я. Любарский ' 177
Это означает, что все они либо равны нулю, либо
принадлежат некоторому инвариантному подпространству L'"*c:
сг L, преобразующемуся по представлению Та, причем
векторы х^^ (А; = 1, 2, ..., *«) образуют в L.*"'
канонический базис, Кроме этого, ясно, что вектор а;^
принадлежит подпространству однотипных векторов £?,"' {к =
= 1, 2, ..., So). Поэтому решение второй основной
задачи прикладной теории групп достигается следующим
образом.
Выбираем в пространстве L какой-либо базис.
Обозначим его ei, е^, ..., е» {S — размерность пространства L).
Строим последовательно векторы
Ац Вц Ац ej( ,, .J Ац Сц
до тех пор, пока в втой строке не окажется Ша линейно
независимых векторов. Без ограничения общности будем
считать, что ими окажутся первые тпа векторов.
^11 ^И Ац вщ .111 Ац бтд»
Подберем множители р^^Рц 1ш,1 Рт^ так, чтобы все
векторы All {p^ej) были нормированы, т. е. имели равную
единице, норму. После этого положим
Линейная оболочка этих векторов и 'является подпрост-г
ранством El, Остальные подпространства Е\ (j =
•, 2, ..., Sa', а фиксировано) строятся как линейные
оболочки векторов ' , ■ ■
ef "> = ^if 4""' (m = 1, 2, ..., m,), D8.3)
имеющих тот же индекс j, что и искомое
подпространство. Еу. Линейная оболочка векторов ef' (j == 1, 2,...
..., Sa) а и т фиксированы) есть инвариантное
подпространство Ь^т , которое под действием операторов T(g)
преобразуется по неприводимому представлению Ха\
ng)er'=STif(g)Vr'. D8.4)
Формулы D8.3) дают решение второй основной
задачи прикладной теории групп,
178
Заметим еще, что канонический базис подпространст-
BSri'"', содержащего произвольный вектор
из подпространства Ei j определяется соотношениями
• "а
§ 49. Анализ приводимого представления
Задача, решение которой мы приводим в этом
параграфе, состоит в следующем. Известно представление Т
группы G, действующее в пространстве L. Требуется
выяснить, является ли оно приводимым. Если опо
приводимо, то нужно узнать его «состав», т. е. узнать, суммой
каких неприводимых представлений оно является.
Иными словами, требуется в соотношении
Г = TOiT, + ТОаТа + . .. + ТОаТ, D9.1)
(о — общее число неэквивалентных неприводимых
представлений группы G) определить числа irii, Ша, ..., Па.
Задача будет решена с помощью полученных ранее
соотношений ортогональности.
При этом очень полезным оказывается понятие
характера представления. Характером представления Т
называется функция %т{ё), определяемая как сумма
диагональных матричных элементов оператора T{g)i
7r(g)=irgg(g) iS^G)'
■ ' s=i
В линейной алгебре сумма диагональных матричных
элементов оператора называется его следом и
доказывается, что след не адвисит от выбора базиса. Благодаря
этому' свойству при вычислении характера %т {g) можно
пользоваться тем базисом, в котором это вычисление
легче всего произвести»
С другой стороны, базис можно выбрать так, чтобы
стало очевидным соотношение
7г(g);=- mai'ig) + гпгггЬ) +... + ma%o{g), D9.2J
где %iXg)—характеры неприводимых представлений т«
(i ■= 1,-2, ..., а). Делается это так,
12» 179
Равенство D9.1 J йо определению означает, что
пространство L является суммой m =• mi + т» +... + Ша
подпространств,
»n=l
каждое из которых преобразуется под действием
операторов T{g) по соответствуюпдему неприводимому
представлению (подпространство Ь^ преобразуется по
представлению То).
Пусть ej°""^ (/ = 1, 2, , ., Sa) — канонический базис
в подпространстве Ьт • Объединяя базисы всех
введенных в рассмотрение подпространств, получим базис
пространства L. Будем называть его каноническим базисом
приводимого представления. Вычислим характер 5Ст(ё^)
в этом базисе; В качестве первого шага вычислим
диагональный элемент матрицы Tig), соответствующий
базисному вектору e'j , Имеем
T{g)eT'^^x'S'{g)er\
Это равенство показывает, что вычисляемый
диагональный элемент равен Xj" (g). Поэтому характер %T{g)
равен
а ""а 'а а "а о
а=1 m=i ;=х а=1 т=\ a=»i
Мы пришли к соотношению D9.2).
Итак, интересуюпдие нас числа т^ оказываются
коэффициентами разложения характера Xt(s) по характерам
неприводимых представлений.. Это позволяет получить
удобную формулу для вычисления ГПа.
Из первой группы соотношений ортогональности
D6.4) следует, что характеры неэквивалентных
неприводимых представлений ортогональны друг другу. Из
соотношений D7.6) видно, что
(Х«. ХЛ»!- D9.3)-
IM скалярно обе части разложения
m^={lr, %а). D9.4)
Учитывая это, умножим скалярно обе части разложения
на %a{g). Получим
180
Это и есть формула, с помощью которой, зная характер
представления Т, можно вычислить все т^, т. е. узнать
«состав» этого представления. Она показывает, что два
представления с одинаковыми характерами
эквивалентны.
Заметим еще, что скалярный квадрат характера Хт,
(Хт, У.т) = т1 + т1+ ... + ml D9.5)
Это равенство позволяет отличать приводимые
представления от неприводимых: ес^и скалярный квадрат
характера равен единице, представление неприводимо]
если он больше единицы, представление приводимо,
§ 50. Теорема полноты и коэффициенты Фурье
В этом параграфе будет доказана очень важная в
теории представлений теорема, называемая теоремой
полноты. Приведем ее формулировку.
Теорема полноты: Любую функцию F{h) на
конечной группе G можно разложить по матричным
элементам неприводимых представлений, т. е. записать
в виде
P{h)- i S ^mU^»W. E0.1)
1=1 m,,n=l
Заметим, что если такое представление имеет место,
то его коэффициенты находятся просто. Достаточно обе
части равенства скалярно умножить на т[[^ (/i), чтобы
получить
Это есть прямое следствие из соотношений
ортогональности D6.3) и нормировки D7.6).
Коэффициенты d'mn разложения. E0.1) называются
коэффициентами Фурье по аналогии с одноименными
коэффициентами в теории тригонометрических рядов.
. Доказательство теоремы полноты проводится
специфически-групповыми методами и поэтому представляет
значительный интерес. Обращает на себя внимание
неожиданная сила этих методов.
Доказательство. В качестве первого шага
сопоставим каждому элементу g группы G оператор T{g),
действующий в пространстве Ф функций на группе
181
и задаваемый соотношением
г'и)ф(М=^(М-ф^. E0.2)
где (fig)— произвольная функция на группе. Легко
видеть, что Т{е)=- Е и
г.и.)ВДф(М=г'.и.)Ф(М=^('^^.) = ф(%.^)= -
^T{g,g)cf(hy,
т. е. T{gi)T{g)=T{g,g). Операторы T{g) образуют
представление Т группы G в пространстве Ф, называемое
регулярным представлением. Как и всякое представление
конечной группы, представление Т является суммой
неприводимых представлений. Это означает, что
пространство Ф можно представить в виде буммы подпространств:
а=1 m=l
причем все подпространства Фт (те = 1, 2, ..., тпа)
преобразуются под действием оператора T{g) по одному
и тому же неприводимому представлению Та; здесь гпа —
число, показывающее, сколько раз представление То
входит в регулярное представление Т.
В каждом подпространстве Фт существует
канонический базис,.т. е. функции
фГ^(/1) (/=1,2, ...,sa),
которые под действием операторов T{g) преобразуются
по формуле
■Т {g) фГ' ih) = I rf (g) ф1=""> (h). E0.3)
'=1
Объединяя все такие базисные функции, пояучим базис
в пространстве Ф, так что любую функцию на группе
F{h) можно представить в виде суммы:
^ W = 2 2 S cf ""фГ"-' {h),- E0.4)
а=1 т=1 ;=1
если должным образом подобрать коэффициенты Cj^™',
Найдем функции Ф;°"", т. е. решим в этом частном
случае вторую основную задачу прикладной теории
групп. Пользуясь определением E0,2) операторов T{g),
182
перепишем соотношение E0.3) так:
1=1
Это — тождество по Л и f. Положим h = е. Получим
1=1
Видим, что каждая функция (jpj (g) может быть
выражена в виде некоторой суммы матричных элементов
т^1?'(^) (^ = 1, 2, ..'., Sa), взятых с соответствующими
коэффициентами. В силу равенства E0.4) это свойство
переносиа-ся и на произвольную функцию F{h). '
Теорема полноты доказана.
Мы видим, что функции
l^^tif (g) (а = i, 2, ..., о; I, /= 1, 2, ..., %)
образуют ортонормированный базис в пространстве Ф.
Поэтому их число совпадает с размерностью этого
пространства:
sl + sl+ ... +sl=^N.
Мы получили уточнение неравенства D6.5)'.
§ 51. Пример. Анализ смещений
механической системы
Продемонстрируем методы предыдущего параграфа
на примере, связанном с механической системой,
состоящей из восьми частиц двух сортов. Назовем их условно
атомами натрия и хлора.- Пусть в равновесном
положении эти атомы располагаются в вершинах куба,
причем каждое ребро куба соединяет два разноименных
атома. Наша цель — описать группу симметрии G
равновесного положения системы М, рассмотреть представление
Т этой группы в пространстве смещений и выделить
подпространства однотипных векторов, т. е. решить вторую
основную задачу прикладной теории групп. ~ •
Элементами группы симметрии G являются
преобразования пространства, не изменяющие расстояний между
точками и совмещающие равновесную конфигурацию
системы М саму с собой. Перечислим элементы группы
симметрии, С этой целью обозначим четыре диагонали
183
Рис. 29. Элементы симметрии
механической системы Na4Cl4
куба символами C{i) (i = 1, 2, 3, 4). Диагональ C{i)
проходит через вершину куба с номером i (рис. 29).
Положительное направление определим как направление
от вершины с меньшим номером к вершине с большим
номером. Поворот на 120° вокруг Диагонали С (г) будем
обозначать тем же символом, поворот на 240° —
символом C^{i). Все восемь
указанных поворотов входят
в группу G.
Обозначим через*iS(l),
iSB) и 5C) прямые,
параллельные осям
координат ОХ, 0Y, 0Z и прохо-
дящие через середины
граней. С ними связаны
зеркальные повороты на
90°: 5A), 5B) и 5C)^,
т. е. повороты на прямой
угол с последующим
отражением в плоскости,
проходящей через центр
куба и перпендикулярной
соответствующей оси.
Группа G содержит операции S(i), S^(i) и 5'(г)
(г = 1, 2, 3). Кроме того, группа G содержит отражения
в шести плоскостях, соединяющих диагонали
противоположных граней. Обозначим эти плоскости (и
одновременно отражения в них) символами Ois, Oie, Oie, Озв, Озв
и Ов8, условившись, ЧТО плоскость а,А проходит через
вершины с номерами i и к. Вместе с тождественным
преобразованием пространства — единицей е группы —
получаем всего 24 элемента.
Проверка показывает, что эти элементы образуют
группу. В кристаллографии она обозначается символом
Td и называется группой тетраэдра. Группа тетраэдра
имеет пять неэквивалентных неприводимых
представлений. Характеры этих представлений указаны в табл. 51.1.
Вычислим характер Хт(&) представления Т группы
Td в пространстве L смещений системы М.
Воспользуемся декартовым базисом. Напомним, что он состоит из
смещений вц (; = 1, 2, ..., 8; i = 1, 2, 3),
определяемых следующим образом: если атом с номером / смещен
на единицу длины в направлении оси с номером i, а
смещения всех остальных атомов равны нулю, то это и
есть базисное смещение е^. Подействуем на смещение
184
ел какой-либо операцией симметрии g. Получим форму*
лу вида
^(&)е;ч= 2 ai'i(?)ej'i'3
i'=l
E1.1)
где / — номер того атома, в который переходит под
действием операции g атом с номером /. Полученное
соотношение сильно упрощает вычисление характера Хт{ё).
Таблица 51.1
Элементы
симметрии
е
C(i), C'(i)
S(i), S^i)
5»(i)
Oik
Число
элементов
ванного
вида
1
8
6
3
6
Характеры неприводимых
представлений
«
Ti
^»
—1
—1
Xi
2
-1
0
2
0
т«
3
0
-1
-1
1
Ti
3
0
1
-1
-1
^t
3 *«
24
0
0
0
4
В самом деле, если атом с номером / переходит в другой
атом, то /'^/ и в разложении E1.1) диагональный
элемент iT(g)}n^jt равен нулю. Иными словами, такой атом
не вносит вклада в величину Хт (g) • Следовательно, при
подсчете характера Xrig) следует учитывать только те
атомы, равновесные положения которых остаются
неподвижными, когда над системой М производят операцию
g^n
С другой стороны, каждый неподвижный
относительно операции g атом вносит в величину характера %T(g),
один и тот же вклад:
S
Хв {g) = 2 «ii (g)-
i=l
Таким образом, получаем соотношение
Xr(g)='n{g)x,{g), E1.2):
где п {g) — число атомов, равновесные положения
которых не изменяются при операции g. Обращаясь к
нашему случаю, легко заметить, что
rt(e) = 8, п(Сз@) = «(С^@)-2,;
n{S'{i))=0, и(о«)=4 (А; = 1, 2, З).
J85
Подсчет характера Хв{§) упрощается, если выбирать
каждый раз оси координат наиболее подходящим
образом. Так,, если g — отражение в плоскости,'то две оси
координат следует расположить на плоскости, а третью —
направить по перпендикуляру к ней. При Этом
Г(о)е, = е„ f(a)ej-e2, f(o)ea = -e,
и, следовательно, х^(а)= i + I — i = i. Подобным же
образом для поворота С, на угол ф и зеркального поворота
5ф на тот же угол легко получаем
Х.(С,)-='1 + 2со8ф, х.('5»)=-1 + 2со8ф.
В нашем случаГе
X.(C(<)HXb(C*@)=0, ХвE@)'=ХвE'@7=-1,
.x.{S4t))--i, ХвЫ=1.
Сопоставляя эти равенства с формулой E1.2)",
получаем значения, характера Хт(ё) (см. последний столбец
табл. 51.1).
Теперь с помощью формулы D9.4) легко найти
числа Ttij вхождений представлений Ti, ..., Tj в
представление Т. Пользуясь последним столбцом табл. 51.1,
находим
/п^ - ^ B4.1 ■ х> (е) + 4-6 х^ (а)) - Х^ (е) + Х> (о)-
Подставляя сюда значения Xii^) ^ х^(о), получаем
/Л) = 2, TOj ■= О, nit '='2, /Tij = 4, /Tij = 2.
Этот результат находится в полном соответствии с
соотношением D9.5):
23 + 22 + 4V+ 22 = 1- B42 4- 6-42) = 28.
Итак,
T=•2x^ + 2т, + 4т4 + 2ts.
Сумма размерностей всех представлений, входящих в
представление Т, равна 2 ■ 1 + 2 • 2 + 4 • 3 + 2 • 3 = 24,
что совпадает с размерностью представления Т.
Соответствующее разложение пространства L в
сумму подпространств однотипных векторов £j" имеет
следующую структуру:
L = М» + Ef + 4^' + Е[*^ + Е['^ + Ei'^ + Ef + Я1^> -t-
+ Е^\
причем подпространства Е[^\, Ef\- Ef\ Ef, Е^^\ ЕЧ'^
двумерны, подпространства E^i\ E'i\ £9*'
четырехмерны.
Легко понять, почему все числа вхождений тпа.
являются четными. Система М состоит из атомов двух видов,
причем равновесные положения атомов одного вида
переходят в равновесные положения атомов другого вида
при отражении .(инверсии) относительно центра куба.
Пространство смещений L представляет собой сумму
двух подпространств:
где Ln» — совокупность всех смещений системы М, при
которых атомы хлора занимают свои равновесные
положения. Аналогичный смысл имеет символ Lci. При
любой операции симметрии только одноименные атомы
могут обмениваться местами. Поэтому каждое из
подпространств Lns и Lci инвариантно относительно всех •
операций группы Td, а представление Т распадается на
сумму двух представлений:
которые действуют соответственно в подпространствах
Ln» и Loi- Интуитивно ясно, что представления Гк» и foi
эквивалентны. Это, однако, нетрудно и доказать. Для
этого воспользуемся операцией инверсии,
/г - -г, E1.3У
где г — радиус-вектор, проведенный. из центра куба.
Инверсия переводит каждую верпшну куба в ей
противоположную и, следовательно, меняет местами атомы
натрия и хлора. Инверсия переводит смещения из
подпространства -^Na в смещения из подпространства Lci и
наоборот. Равенство E1.3) показывает, что операция
инверсии коммутирует с любым элементом группы Tt:
gl'^Ig {g^T,).
Пусть /i, /2, .;., /is — произвольный базис в
подпространстве Ln« и
У (if)/j= 2 ^и (?)/«.
Рассмотрим-смещения f} = Ifi (/", 2, ,,., 12)'. Они
принадлежат подпространству Lpi и, будучи независимы-
187
ми, образуют там базис. Вычислим матрицу оператора
T{g) в базисе /;. Имеем
'=iliTii{g)U'=\T,i{g)fi.
1=1 l-=l
Мы видим, что каждый оператор T{g) изображается в
базисах {/Д и 1/jl одной и той же матрицей. Это и
означает, что представления Гка и Tci эквивалентны.
Каждое неприводимое представление Та - входит столько
же раз в представление J^Na, сколько и в представление
Гс1, числа т^а^^ и те^^'' равны друг другу, а числа
тпа = /Иа^*' + т^а^^ — четные.
Из приведенного рассуждения вытекает, что
инвариантные подпространства 1гт можно искать только в
подпространстве Lnb. После того как они найдены,
автоматически определяются соответствующие
подпространства /!$?'. При построении базиса в подпространстве
однотипных векторов достаточно найти ЧгШа смещений
(а) т
типа е) ', принадлежащих подпространству Ln», и
присоединить к ним столько же инвертированных смещений
из подпространства Lci.
Следующий шаг в анализе представления Т — это
построение подпространств однотипных векторов Щ"'' (где
а = 1, 3, 4, 5). Начнем с составления трех
вспомогательных таблиц. Каждый элемент группы Td совершает
перестановку одноименных атомов. Вращение СA) оставляет
на месте атом 1, атом 3 переводит в атом 8, атом 8
переводит в атом 6, а атом 6 переводит в атом 3.
Запишем это так: СA)->C86). Подобным же образом, т. е,
с помощью рис. 29, найдем перестановки,
соответствующие следующим элементам групцы Та'.
C(l)-vC86); СB)->A63); СC)-*A68);
CD)-vA38)'; 5A)Х1368); 5B)X1386J;
E1.4):
5C)Х1638); о„->F8); о,,-^C8)"; а„-*C6)-;
Оа,->A8); o,.-vF8):; o,.-vA3);.
Перестановки, соответствующие квадратам поворотов
C{i), вторым о третьим степеням зеркальных поворотов
188
S{i), проще всего получить путем двукратного или трех-»
кратного применения перестановок, соответствующих
элементам С{1) п S{i).
Запишем, как преобразуются орты ii, U, i„
направленные вдоль осей ОХ, 0Y, 0Z, под действием
преобразований из группы Td (оси координат параллельны
сторонам куба). С помощью того же рис. 29 составляем
таблицу (табл. 51.2), в первой строке которой под
каждым элементом g ^ Td записан вектор gU, во второй и
третьей строках — векторы g'h и ^i, соответственно.
Теперь легко выяснить, как действует любой элемент
g группы Td на заданное смещение е^ декартова базиса.
Так, если нас интересует смещение С{2)ец, то с
помощью E1.4) находим, что СB)-»-A63), и,
следовательно, первый' индекс, в данном случае — индекс 1,
переходит в индекс 6; далее, по табл. 51.2 находим, что
C{2)i, = —ii, и, следовательно, второй индекс у
смещения ец, т. е. индекс 3, переходит в индекс 1, и, кроме
того, найденное смещение e,i следует взять со знаком
минус. Таким образом, получаем
<:B)е„ = -е„.
Указанным выше способом составлена таблица
смещений Tig) ей, T{g)e^2, T{g)ei, (табл. 51.3).
Теперь следует приступить к построению операторов
■^ih (Т) (а = 1, 3, 4, 5; i^l, ..., 5»). Согласно
определению для построения этих операторов необходимо
знать матричные элементы t^S (i)- Пользуясь таблицей
неприводимых представлений группы Td (см., например,
[9]), составим таблицы этих матричных элементов для
представлений Ti, Тз и Т4 (табл. 51.4 и 51.5). Матрич-
E)
ные элементы x\f{ представления т« можно найти с по-
мопЦ|Ю табл. 51.5, если воспользоваться следующими
соотношениями:
т5*'E') = т$лЧ&),если^-е, C{i), СЩ), S^{i);
'^ft! (g) = - т^г' (g), если g = 5 (О, 5« @.
Теперь, пользуясь определением
At4T)='jf2'^'^'(s)T{g-^),
189
в
IS
1=:
b"
о*
b*
S3
to
to
s
с
s
с
s
0
u
.4'
..r
.J
.J
1.
..r
•f
.J"
.J
1 ,
1
.-i"
.J
..?
1
•r
.J
.J
1
..?
..^
.J
•f
1
1
.s
.s
1
•f
-.r
1
.J"
.i?
.^
..Г
.J
..^
.j=
.s-
.r
..^
.r
.■i"
.^
.J
._"
CO
^4
lij
cc
n
**
R
vr
0?
CO
C-1
CO
S3
^^
to
^^
CO
«
^
0
ir^
«
0
^
s
^ ^
fr
to
^
■ 0
ъ
■bo
?;
»)
?
1
f
,4"^
^
1
f
T
1
1
g
V
2
f
%1
%1
-Ч
6-,
s
?
•
?
1
1
_
00
у
1
."
^
n
f
s
f
1
я
7
^
s
"f
1
'U
f
__
■"
f
r-
T
1
1
1
s
T
f
1
4-
^
6-,
s
D
Й
D
1
5
b
D
b=
m
^
CO
CO
•^
с
,
^
^
c?
-•r
^
^^
CO
UC
Si
<u
oC
'U
1
^
%1
1
u
1
1
s
u
1
3c
%1
1
%1
%1
UC
E^ ■■
^
ij
1
%1
%1
1
ОС
%1
1
s
1
s
u
1
«
%1
%)
1
0
%1
л
&^
Si
V
1
§
,r
1
,r
.=
f
1
r
1
1
.^
.^
1
f
1
-4'
""
i90
s
s"^
go:
e .
nfO
2^^
©CO
fT
*—
gS,
© ,
Sin
—^-'
©Co
£
' ^^
£»-
©t/i
5^?
O^
-^
§e
ioS
o4
^-t ^
.^oo
CJ
ЙГ^
*—C^o
^(-Н ^
eJ^-""-
Si^
CVl
t« .
ЧН
4^4
*
^-t
T^
чН
^-t
s
«—- гч
H
_
о
о
о
°a
a
^4
s
■ nri
w w
И
4rt
0^
to
U
О
о
о
s
ю«
»^t-l
и
ICO I
>h
1
1
1
II
Id
i«r
"V IN
■+
■^Jrj
1
I
II
Id
1Л
Ч-1
Ю
№
er-
s
о
«1
H
"
,м
в'б
C<!^
.-^-i
SJr'
©y
-^
-co
©y
^co
©■y
--^??
—'N
N^
Cot>3
'S
^^
,C^]
©y
* . tt
^©"
r^" to •
t»
•
® .
о
о
ч-i
1
О
^ч
Ъю
^•н
о
о
4rt
1 ,
О'
^^
о
ь«
•*«
н
1
^^
о
о
о
о
Ьо
и
191
нетрудно выписать все операторы Af^{T). Имеем
4V(r) = ^ 2r(g), ^51.5)
24ЛЙ> (Г) = {Г (е) + Г E2 A)) + Г E^ B)) + Г E^ C))} +
+ е {Г (С2 A)) + Т (С^ C)) + Т {С B)) + Г (С D))} +
+ е^ {Г (С^ B)) + Т (С' D)) + Г (С A)) + Г (С (З))},
24Л^ (Г) = е {Г (а,в) + Т {а,^) + Т E' A)) + Т {S A))} +
+ е^ {Т (а^«) + Т (азе) + Г E^ B)) + Г E B))} +
+ {Т {а,,) + Г (aes) + Т E' C)) + Г E C))},
24ЛЙ> (Г) = {Г (е) + Г E^ A)) + Т (а,,) + Т (о,,)} -
- {Т E» A)) + Г E A)) + f E^ B)) + Т E« C))},
244t^ (Г) = {Г (ава) + Г E C)) + Г (С B)) + Г (С D))} -
^ -{7'(а„) + ГE'C)) + Г(GA)) + Г(GC))},
24< (Т) - {Г (азе) + Т E' B)) + Г (С C)) + Т (С\Щ ^
-{Т {oгs) + T(S B)) + Т ф^ A)) + Т (С' B))}.
Операторы Afl{T), Af^{T) я Afi{T) получаются
из операторов А[\ {Т), А'^2 (Т) и Лх!'(Г) переменной
знака у тех слагаемых T{g), которые соответствуют
отражениям в плоскостях Oik и зеркальным поворотам
S{i),S^i) (i = 1,2,3).
Построим смещение ei . Для зтого подействуем
оператором ^11 (Г) на смещение ец, а затем нормируем
полученное смещение. С помощью равенства E1.5) и
табл. 51.3 находим
24Л^и' (Г) gji = ejj — «ij + egg + ,.. + е^ + е^^.
Собирая слагаемые с одинаковыми первыми индексами
и производя нормировку, получаем
е^'^ = ^{(^п - ^12 + ^1з) + (-«31 + «32 - «зз) +
+ («61 "Ь «62 "Ь ^es) "t" V— «8J "" «82 "I" «8з)}«
Смещение каждого из атомов: 1, 3, 6 и 8
изображается вектором длины 1/2, направленным по прямой,
соединяющей центр куба с несмещенным положением этого
192
атома. Это означает, что смещение 4 '"системы М имеет
ту же симметрию, что и ее несмещенная конфигурация.
Впрочем, это вытекает и непосредственно яз тождества
'tu(?)^l {g^Ti) и общего соотношения D8.4),
которое в рассматриваемом слзгчае принимает следующий
вид:
Заметим еще, что, опираясь на последнее соотношение,
можно было бы из чисто геометрических соображений
сделать вывод, что смещение е^'^ имеет описанную выше
форму.
Смещение е\ '^ принадлежит подпространству Lxa-
Поэтому смещение е^* можно получить, положив
Оно, разумеется, принадлежит подпространству Leu
Для вычисления базисных смещений, связанных с
остальными предстввлеяиями группы Td, подействуем
операторами А:^ (/ = 1, 2) на смещение ец,
операторами ^1* (/ = 1, 2, 3)*) —на смещение е^ и
операторами A\f (/■ = 1, 2, 3) — на смещения е» и вц.
Приведем результаты таких вычислений:
где е =3 —2" "*"' "Т" °
«'^' = yjl (^ii — «32 — «62 + бег).-
в^''\= уЦ (^13 + 4s — без — е8з)£
а^'^ == у||(- «ii +'«31 - eei + egi).
•) Как показывают вычисления, смещение -^п^и равно
нулю.
13 г. Я. Любарский
193
Далее,
^1*'"^ = ТГ;^ (^12 + ^13 + ^32 — «33 — «62 — «63 — «82 + «8з)«
v°
4*'''^ = у= (бц — 613 + ejj + бзз — «61 — «63 — «8i + «83)t
4*'^' = vl^^" ~ ^" "'"^^ ~" *®* ~ *" ~ *" "^ "^^ "*" *"^'
el^'^^ = rrv-- (ei2 — «13 + «32 + «33 — «62 + «63 — «82 — «83)t
4*'*' = ТТб ("~ ^11 ~ ^1' "^ ^з£ + баз + Cgj — вез + eg, —«?вз)*
4^'^^ = Z/g («и + «12 Т «31 — «32 — «61 + «62 + «81 — «82)-
Сделаем несколько замечаний по поводу найденных
смещений.
Смещения е'^'^^ и е'^ получились комплексными.
В ряде слзгчаев желательно перейти к вещественным
смещениям. Для этого достаточно вместо смещений Ci
и е'/'^^ взять вещественную и мнимую части одного из
этих смещений (скажем, е^ * ) и затем их
пронормировать. Получим
/(»•'> ^ Y'2 {«'»' - -f '^^'^ - 4 ''^^*
Легко видеть, что
^C.1)^ i |-C.1) -(З.])]
/1 Т^'^1 * .'«
^C,1) 1 f .C,1) , C.1I
Следовательно, сумма подпространств М''+ £'2" \
совпадает с суммой подпространств F'j*' + РЧ\ где Pf^
(/ = 1, 2) — совокупность всех смещений вида cff'^^
(с — любое комплексное число). Геометрическая
характеристика этих смещений такова; смещение каждого ато-
194
ма лежит в плоскости, перпендикулярной прямой,
соединяющей данный 'атом с центром куба.
Смещения 4*'^^ (/' = l. 2, 3) характеризуются
следующим свойством: смещение каждого атома натрия
направлено по касательной к окружности, которую описал
бы этот атом при вращении несмещенной конфигурации
системы М вокруг оси S{i); направление касательной
соответствует повороту против часовой стрелки
относительно положительного направления этой оси.
Смещения ef'^^ (/ = 1, 2, 3) получаются путем
параллельного переноса системы М как жесткого целого
на расстояние 1/2 вдоль осей ОХ, 0Y ш 0Z.
Смещения е^*'*^ (/ = 1, 2, 3) имеют более сложный
характер. Атомы натрия при смеш;ении ef'^^ сдвинуты
по диагоналям граней, перпендикулярных орту Cj,
причем два из них сдвинуты навстречу друг другу, а два
других — в противоположные стороны.
На этом мы закончим анализ решения второй
основной задачи прикладной теории групп. Эта задача
решена нами для представления группы Tt в пространстве
смещений описанной системы М. Полученные
результаты будут использованы при исследовании малых
колебаний системы, представляющей собой механическую
модель молекулы, состоящей из четырех атомов натрия и
четырех атомов хлора.
§ 52. Комплексно-сопряженные представления
Начнем с определения. Пусть t — неприводимое
представление, а Xft(g) — его матрицы в некотором базисе.
Они, как известно, удовлетворяют соотношениям
тм Ш = 2 "^п {§) Tjft (Л)«
1=1
fl, i => ft,
tjft (е) =-Sift = |о; 1фк.
Переходя к комплексно-сопряженным числам, получим
t,ft {gh) == 2 Tji (g) Xih (/i)j
13» 195
Эти раветтстпа показывают, что "комплёкспо-сопряженные
матрицы Xjkig) ig^G) также определяют некоторое
представление группы G.
Назовем это представление комплексно-сопряженным
представлению т и обозначим т. Характеры у
комплексно-сопряженных представлений комплексно-сопряжены:
Xl is) = Ъ {g)'
Отсюда сразу следует, что представление т неприводимо.
В самом деле, скалярный квадрат характера
(Хт, ОСт) = :г 2 Хт (?) Хт (?)
gea
согласно D9.3) равен единице. Так как %- (g) = Хт {^)»
то скалярный квадрат характера сопряженного
представления также равен единице, а это означает, что
представление т неприводимо.
Разделим все неприводимые представления на три
типа, в зависимости от их отношения к своему
комплексно-сопряженному представлению. К первому типу
отнесем те представления т, которые не эквивалентны пред-
ртавлению т. У таких представлений характер x{g) не
является вещественной функцией %(g)^ %{g). Ко
второму типу отнесем все неприводимые вещественные
представления, т. е. такие, что в некотором базисе их
матрицы вещественны. Очевидно, что каждое
представление т второго типа эквивалентно своему сопряженному
представлению т. И, наконец, к третьему типу отнесем
все невещественные неприводимые представления с
вещественным характером. Они, разумеется, также
эквивалентны своим сопряженным представлениям.
Существует простой способ определять тип
неприводимого представления т, если известен его характер. Для
этого следует составить сумму
4- 2 Хх (?').
Она равна нулю, единице или минус единице, если
представление т принадлежит первому, второму или
третьему типа!*- соответственно. Разумеется, для
представлений первого типа есть более простой способ —
посмотреть, все ли числа Хт(^) вещественны.
196
Условимся для представлений первого типа выбирать
канонические базисы так, чтобь1_ матрицы
комплексно-сопряженных представлений хит были
комплексно-сопряжены:
,(«)
'^WiS)-rfig)ir-^ray E2.1)
Для представлений х второго типа каноничес?кий
базис будем выбирать так, чтобы матрицы Тд(§) были
вещественными.
Что касается представлений третьего типа, то сообщим
без доказательства,' что их размерности всегда четны и
что если перенумеровать векторы базиса числами
. k = ±l,±2,...,±i (S-2/),
то существует базис, в котором матрицы представления
удовлетворяют соотношениям
f 1, то>0,\
Tift (?) = T_i.-ft (g) sgn (гТс) (sgnm3EJ_j^ m<0 )'
В заключение приведем также без доказательства
одно полезное соотношение, которое часто позволяет
устанавливать отсутствие представлений третьего типа среди
неприводимых представлений данной группы.
Оказывается, число ^^ элементов группы, которые после
возведения в квадрат становятся равными единице, или, что
то же, число различных решений уравнения
равно сумме размерностей всех неприводимых
представлений второго типа минус сумма размерностей всех
неприводимых представлений третьего типа. Это можно
записать так:
Ц= 2 «а— 2 «о*
aSII oslll
I 53. Доказательство теоремы увитарвоств
После того как читатель познакомился с
содержанием предыдущих параграфов этой главы, для нер не
составит труда проследить за доказательством теоремы
унитарности.
Пусть G — конечная группа, а Г — ее представление,
заданное в некотором простраастве L. Пусть {х, у) ~
197
некоторое бкалярнбе произведение векторов х, y^L.
«Улучшим» его с помощью операции усреднения по
группе G. Говоря точнее, определим в пространстве L
новое скалярное произведение, положив
(x,j/)o = :r2<5'W^. ^Wy)- E3-1)
ftSG
Установим, что все операторы T{g) (g^G) унитарны
относительно этого скалярного произведения, т. е.
докажем тождество
(r(g)x,T(^)j/b = (;c, у)„. E3.2)
Пользуясь определением E3.1), получим
(Г (g) X, т (g) г/)о - ^ 2 С^ (h) т (ё) X, т {h) т {g) у) =
Лес
N
^^(T(hg)x,T(hg)y). E3.3)
hsG
Когда элемент h по одному разу пробегает все элементы
группы G, произведение hg [g фиксировано) тоже
пробегает но одному разу все элементы этой группы.
Поэтому суммы E3.1) и E3.3) отличаются только
порядком слагаемых и, следовательно, равны друг другу.* Это
и доказывает тождество E3.2) и, следовательно, теорему
унитарности.
Можно построить представление Ti, эквивалентное
представлению Т ■ и унитарное относительно исходного
скалярного произведения. Для этого построим два
базиса {ej}{ и {fj}\, причем первый из них ортонормирован
относительно исходного скалярного произведения {х, у),
а второй — относительно скалярного произведения
(а?, у)о:
i^i, ^»)= «л, (Л, /»)о "= бй (/, А = 1, 2 S). E3.4)
Определим оператор В, положив
Be,-/, (г = 1, 2, .... s).
Для нас важно следующее свойство оператора В:
{X, у)'^{Вх, By),. E3.5).
Проверим его для базисных векторов е<. Имеем
{Bci, Bejj» = (ft, Д), — б« «= (в<, Cj),
198
Если X =« 2 *t*n У =■ S yj*j. то
i i
Поэтому в силу соотношений E3.4) имеем
{х, у) «= S arjy,, (Ба:, Ву)^ - 2 «iPi»
Это означает, что равенство E3.5) имеет место, каковы
бы ни были векторы х, у^ L.
Представление Ti, эквивалентное представлению Т,
определим так:
T,{g)^B-4{g)B.
Убедимся в том, что оно унитарно относительно
исходного скалярного произведения. Используя равенство
E3.5) и унитарность представлевшгя Т относительно
скалярного произведения (ж, у), последовательно находим
{T,{g)x, T,{g)y) = {B-'T{g)Bx, B-^T{g)By)^«
'={BB-'T{g)Bx, BB-^T{g)By),^^
''{T{g)Bx, T{g)By),^{Bx, By),^{x, y).
Это и доказывает унитарность представления Г|, эквива-
лентиого представлению Г,
Глава 9
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
СИММЕТРИЧНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В этой главе дается систематическое изложеш1е теории
малых колебаний механических систем, обладающих той или иной
пространственной симметрией.
Теория малых колебаний рассматривает движение
механической системы вблизи ее положения устойчивого равновесия в
предположении, что скорости всех ее точек достаточно малы. Под
симметрией механической системы подразумевают ее симметрию
в положении равновесия.
Мы ограничимся механическими системами, состоящими из
конечного числа материальных точек.
Методы теории групп позволяют лочти без всяких
вычислений определить количество и кратности собственных частот
колеблющейся системы. Кроме того, оци существенно упрощают
процедуру вычисления этих частот и соответствующих им главных
колебаний.
Для решения этих двух задач используется теория
представлений конечные групп в том объеме, в котором она изложена
в гл. 8.
§ 54. Некоторые сведения- из механики
Хорошо известно, что устойчивое положение
равновесия механической системы — это то положение, в
котором ее потенциальная энергия минимальна. Если нам
удалось выразить потенциальную энергию системы через
какие-либо параметры (координаты д,, q^, ..., g,,
характеризующие конфигурацию системы, т. е. положение
всех ее точек в пространстве):
и = U{qi, дг, ..., gv)
и если положение устойчивого равновесия отвечает
значениям Яъ Qif ...jS'v этих параметров, то можно
записать
@д?, ?2, ;..,??) =,min.
Отсюда следует, что все частные производные в этой
точке равны нулю:
S-l =0 E4.1)
(запись J = g" означает, что ?i = Яи q^ = yJi •• -i ?v = ?v).
200
в теории малых колебаний довольствуются
приближенным значением потенциальной энергии, которое
получается, если разложить потенциальную энергию в ряд
Тейлора и ограничиться квадратичными членами:
V
+4-2(^^-??)(^'-9?)-
;,г=1
,=,0
Постоянное слагаемое можно отбросить, так как
потенциальная энергия определяется в механике с точностью
до постоянного слагаемого, члены, линейные
относительно разностей \Я) — (ц), равны нулю в силу E4.1),
Поэтому остаются только члены, квадратичные
относительно этих разностей.
Без ограничения общности можно определить
параметры Qj (/ = 1, 2, ..., v) таким образом, чтобы в
положении равновесия все члены Ч] были равны нулр.
/^"ОтдР для потенциальной энергий" системы" в приближен
„дм^малых колебаний полудается следующее выражение
V
^=4- 2М;?;. E4.2)
2 .
где bj
dqjdq
— некоторые числа.
9=0
Подобным же образом упрощается выражение для
кинетической энергии. В приближении теории малых
колебаний она представляет собой квадратичную функцию
обобщенных скоростей
V
T = -^^a^i4iqi E4.3)
с постоянными коэффициентами а^.
В механике показывается, что двин^ение
механической системы, у которой потенциальная и кинетическая
энергии имеют вид E4.2) и E4.3), определяется
следующей системой дифференциальных уравнений:
2 («i;g> bnQj) ^0 (i = 1, 2,...., v).. E4.4)
201
Таким образом, формулы E4.2) и E4.3), выражающие
потенциальную и кинетическую анергии механической
системы через обобщенные координаты qj и скорости q,,
определяют в то же время и вид дифференциальных
уравнений, которым подчиняются обобщенные
координаты движущейся системы. Если всмотреться в эти
формулы, то можно увидеть следующее замечательное об-.
стоятельство.
Предположим, что все обобщенные координаты Q)
можно разбить на две группы {qi, q^, :■.., q^ и (^k+i, .. •
..., g»} так, что в выражении для потенциальной
энергии не будет ни одного слагаемого, содержащего
произведение двух координат из разных групп. Это означает,
что потенциальную энерию U можно представить в виде
суммы двух потенциальны^^ энергий:
E4.5);
я ■ V
так что потенциальная энергия Ui будет зависеть
только от координат первой группы, а f/j — только от
координат второй группы. Физический смысл энергии Ui
состоит, очевидно, в том, что это — потенциальная
энергия всей системы в тех ее положениях, когда все
координаты второй группы равны нулю. Аналогичный смысл
имеет а величина Ut.
Предположим далее, что и кинетическая энергия Т
также не содержит ня одного произведения обобщенных
скоростей из различных групп. Это означает, что и ее
можно.представить в йиде суммы:
Г - Г. + К
E4.6)
Присмотримся н виду - дифференциальных уравнений
E4.4), когда имеет место описанное одновременное
расщепление п6{енциальной и кинетической энергий.
Начнем с тех уравнений системы E4.6), у которых номер {
не превосходит числа к. При i^ к л j> к все
коэффициенты СЦ) и. Ьц равны нулю. Иными словами, первые к
202
уравнейий системы E4.4),
S (ву 9;+ bim) = О (i - 1, 2, .. .J Л), E4.7)
не содержат ни одной координаты из второй группы.
Подобным же образом ни одно из уравнений с i>k,
S (flii?; + bim) = 0 (i = /с + 1, ..., v), E4.8)
ae содержит ни одной координаты из первой группы.
Следовательно, математическая задачГа — найти все
возможные решения системы E4.4) (т. е.~ на языке
физики — найти все возможные движения системы М) —
распалась на две совершенно независимые задачи; одна из
них относится к системе дифференциальных уравнений
E4.7), другая —к системе E4.8). Естественно, что
затраты труда, необходимого для решения этих двух
«подзадач», вообще говоря, существенно меньше, чем для
решения исходной задачи.
Если бы система М состояла из двух совершенно
независимых подсистем Ml и Mz, которые описывались бы
соответственно координатами qi, ..., q^ и энергиями U,
и Г, и координатами qk+u ..., ?v и' энергиями Uz и Tz,
то имели бы место разложения E4.5) и E4.6). Обратное
утверждение, однако, неверно. Если имеют место
разложения E4.5) и E4.6), то это вовсе не озцачает, что
система М распадается на две независимые подсистемы
материальных точек .Mi и Л/г. Тем-не менее факт полной
независимости координат одной группы от координат
другой группы достаточно примечателен, чтобы
заслужить некоторый специальный термин. Условимся
говорить в этом случае, что система М представляет собой
совокупность двух квазисистем 'Mi иДГ,. Движения этих
квазисистем совершеннЬ~Нёзависйм1л^ тем не менее
нельзя назвать их подсистемами, так как одни и те же
материальные точки могут входить в обе квазисистемы
одновременно. Будем говорить, что квазисистема ilf»
имеет к степеней свободы, где к — число координат Q},
входящих в выражение для U^. Квазисистема Mz, очевидно,
имеет (v,— к) степеней свободы.
Пусть механическая система М распадается на,
несколько квазисистем. Рассмотрим совокупность
уравнений, соответствующих одной из квазисистем. Она по
своей структуре ничем не отличается от уравнений, опи-
203
сывающих малые колебания любой механической
системы. Поэтому можно утверждать, опираясь на общую
теорию малых колебаний, что каждая квазисистема
имеет столько линейно независимых решений типа главных
колебаний, сколько у нее есть степеней свободы.
Полный набор главных колебаний системы М можно
составить из главных колебаний специального вида,
а именно из главных колебаний, при которых одна из
квазисистем совершает главное колебание, а все
остальные — покоятся. В соответствии с этим набор всех
собственных частот системы М есть объединение
собственных частот ее квазисистем. Кратность собственной
частоты (В системы М равна сумме кратностей этой
частоты, взятой по всем квазисистемам.
Коэффициенты ttj, и Ь^, в выражениях для
кинетической и потенциальной энергий зависят, разумеется, от
выбора обобщенных координат. Если при одном выборе
таких координат выражения U vi Т расщепляются, т. е.
принимают специальный вид E4.5) и E4.6), то при
другом выборе такое расщепление не произойдет.
Теория групп дает общий метод расщепления
симметричной системы М на несколько квазисистем или,
возвращаясь к алгебраическому языку, общий метод
выбора обобщенных координат, при котором обе энергии,
кинетическая и потенциальная, представляются в виде
сумм:
U-^U. + Uz+.-.+ U,, Т^^Т. + Т.+.-.+ Т,,
причем каждая пара iUj, Tj) зависит только от «своих»
координат.
§ 55. Снмметрняеское коордннаты
В этом параграфе делается первый шаг на пути к
расщеплению механической системы на несколько ква-
висистем — вводятся так называемые симметрические
координаты.
Рассмотрим малые колебания системы М, состоящей
аз га материальных точек. Обозначим через G группу тех
движений пространства, . которые оставляют неизменной
равновесную конфигурацию системы М. Пространство
смещений системы М обозначим буквой L, а
представление группы G в пространстве смещений — буквой Т,
Представление Т вещественно в декартовом базисе ен
204
(см. § 52) — все его матрицы T{g) (g^G)
вещественны.
Введем в пространстве смещений скалярное
произведение (г<", г<^*), положив
(гA), г(^)) = S (гУ>, г[''). E5.1)
ft=i
Символ (а, Ь) означает естественное обобщение
обычного скалярного произведения двух векторов а и b на
случай, котда их компоненты (а,, а^, а,) и Fi, 62, .bi) —
произвольные комплексные числа:
3
(а, Ь) = 2 afii. E5.2)
Два смещения г'" и г"*' с комплексно-сопряженными
координатами Tft'^ = Tft^' естественно называть комплексно-
сопряженными и писать
Из определения E5.2) вытекает простое правило:
(г(", г<^') = (г<", г'^').
Отметим еще одно очевидное свойства введенного
скалярного произведения E5.1) — представление Т
унитарно относительно него:
Это вытекает из того, что взаимное расположение
смещений T(g)r^*^ и Г(^)г<^'— такое же, как и у'смещений
г'" и г'^>.
Координаты смещения г в декартовом базисе вц
а = 1, 2, ..., п; г = 1, 2, 3) будем обозначать через .Лц:
г=1>-2^нен- E5.3)
При вычислении потенциальной энергии U{r)
смещение г, разумеется, предполагается вещественным. Как
уже говорилось, потенциальная энергия является
квадратичной функцией координат. Поэтому можно написать
п 3
U{r) = -Y^ ^U\i'^'xi,x„. E5.4)
205
в дальнейшем все коэффициенты Щ^ предполагаются
известными.
Применим теперь аппарат теории групп. Начнем с
того, что решим вторую основную задачу для
представления Т, действующего в пространстве смещений L.
Иными словами, найдем в пространстве L ортонормирован-
пый каноничевкий базис
{в^"'"^) (т = 1, 2, ,.., m„W = 1, 2, ..., s„). E5.5)
т. е. базис, обладающий следующими ~ двумя
свойствами:
а) набор векторов [e^j] (/ = 1, 2, ..., Sa) с
фиксированными индексами а и m образует канонический ба-
8ИС в подпространстве L'"""', которое преобразуется по
неприводимому представлению Та группы G;
б) набор векторов [ej ] (m = 1, 2, ..., mo) с
фиксированными индексами а и / образует базис в
подпространстве однотипных векторов Ej\
Индекс а в E5.5) пробегает номера тех
неприводимых представлений, которые содержатся в
представлении Т; тпа — число, показывающее, сколько раз
представление То содержатся в представлении Т; Sa (как и
"всегда) -^ размернос1ь представления То.
Всякое смещение г системы М можно выразить через
базисные векторы:
"•а «&
г = 2 SS вГЧОе^"^ E5.6)
а m=i;=i
Коэффициенты этого разложения qf'^ называются
симметрическими' координатами смещения г. Вообще говоря,
они комплексны.
Легко выразить декартовы координаты через
симметрические. В самом деле, из равенства E5.3) следует, что
^л =('■, ^и)'
Подставляя сюда вместо г его выражение E5.6),
получаем ~ . •
^;. = 2229ГЧ4Пв^,). E5.7)
ami
206
Заметим, что скалярное произведение (ei"™ ,«>;)• имеет
простой геометрический смысл. Это — проекция на
координатную ось с номером I смещения точки с номером /
(am)
при смещении системы г = е\ '.
§ 56. Потенциальная энергия
в симметрических координатах
Единственное, но очень важное достоинство
симметрических координат Состоит в том, что, как будет сейчас
показано, потенциальная энергия системы приобретает в
этих координатах существенно более простой вид. То же
относится и к кинетической энергии, выраженной через
обобщенные скорости, т. е. через производные по
времени от симметрических координат.
Будем исходить из выражения E5.4) для
потенциальной энергии. Пользуясь вещественностью координат
Xik, перепишем эту формулу так:
7( О
3,1=1 i,h=l
а затем перейдём к симметрическим координатам,
заменив декартовы координаты их выраженипми E5.7).
После приведения подобных членов получим равенство вида
t^('-) = 4- 2 f^:
a'm'j' (am) a'm'
2" 2^ Vamj Я] Ч}'
ami
а'т'У
С известными коэффициентами U%mi ^ • Покажем, что в
этой формуле отличны от нуля только те коэффициенты
и ami ) У которых И =« И И ] =] . Для ЭТОГО ззметим, что
при любом мысленном повороте или отражении в
плоскости всей системы М как жесткого целого ее
потенциальная энергия в новом положении — такая же, как
и в исходном положении. Запишем это^ак:
U{r)=>U{T{g)r)' (geG).
Воспользуемся очевидным следствием из этого равенства:
Uir)'^-^^U{T{g)r)., E6.1)
gea
Выразим потенциальную энергию U{T{g)r) через
симметрические координаты исходного смещения.; С помощью
^ 207
равенств E5.6) и D8.4) получаем,
a,m,l
= 2дГЧ'-Jт5?'(г)еГЧ
a.Tn.i ;=1
Отсюда следует, что симметрические координаты
смещения T{g)r равны
•а
^r4T{g)r)^^^^\g)q'r\r).
1=1
Теперь можно вычислить:
Tr^U{T{g)r)^
gSG
= * V тта'т'у (am) (а'т') 1 V' la) / > _(a') /сдох
nmjl geG
a'm'j'l'
Внутренняя сумма (по g^G) есть не что иное, как
скалярное произведение двух матричных элементов:
ja) Jn')\ i
((а) (а') Л 1с ее
Ъ1 1 T^i'l' ) = — "«a'Ojj'Ojj/.
Поэтому суммирование по индексам а', V, /' в
выражении E6.2) исчезает, а сами индексы заменяются
соответственно индексами а, I, j:
ge.G a,j т,т' \l=i ' /
Вводя обозначение
«а
' атт'
ТТ — ^ ттат'1
f-'amm' — ^ '-'ami
1=1
И вспоминая равенство E6.1), получаем
^ ('■)"= Т 22 2 ^<^mm' gf"" (Г) ^> (г). E6.3)
а j m,m'
В этом выражении каждому неприводимому
представлению Та соответствует Sa квадратичных форм
Ul"' (г) = S C^amm'gf'"' (г) д]""'V). E6.4)
т,т'.
208
Мы видим, что переход к симметрическим
координатам существетто упростил выражение для потенциальной
энергии. Во-первых, уменьшилось число слагаемых, во-
вторых, потенциальная энергия расщепилась на
несколько слагаемых, каждое из которых зависит от своей
группы симметрических координат, и, наконец, указанные
слагаемые, относящиеся к одному и тому же
неприводимому представлению и отличающиеся друг от друга
только. индексом j, имеют совершенно одинаковые
коэффициенты.
Легко видеть, что точно такое же превращение
происходит и с выражением для кинетической энергии при
переходе к обобщенным скоростям qf .
Недостатком симметрических координат является то,
что они, вообще говоря, являются комплексными, в то
время как теория малых колебаний предполагает, что
все используемые координаты принимают только
вещественные значения. В связи с этим в следующем
параграфе производится переход к вещественным координатам.
§ 57. Потенциальная энергия
в вещественных координатах
Устраним существенный недостаток полученного
выражения E6.4) для потенциальной энергии: фигурирующие
в этом выражении симметрические координаты qy
принимают, вообще говоря, комплексные значения при
вещественных смещениях г системы М. С этой целью будем
поль'зоваться специальйым выбором канонических базисов,
который был описан в § 52. При этом матрицы zjf {g) и
Tj"^ представления первого типа То и его
комплексно-сопряженного представления т- =, То связаны соотношением
Матрицы представлений второго типа вещественны.
Представления третьего типа отсутствуют у группы симметрии
любой равновесной конфигурации конечного числа
материальных точек, и о них можно не заботиться.
Пусть Та — представление
щения
A^n\T)ek.i и
(/, г = 1, 2, .... S,; /с = 1,
14 г. я. Любарский
первого типа. Тогда сме-
Af{T)e,,t
2, .... п; 1 = 1, 2, 3),
209
где A^i (Т) и A^f (Г)— операторы, определяемые
равенством D6.6) при i = a и i = а, квмплексно-сопряжены.
Вспоминая конструкцию D8.3)_базисных смещений ej" ,
видим, что смещения е|°""^ и ej также
комплексно-сопряжены. Если г — произвольное вещественное смещение,
то координаты д)* и qf — комплексно-сопряженные
числа:
др)=.^. E7.1)
Пусть То — представление второго типа. Тогда все
смещения вещественны. Вместе с ними
вещественны и смещения в/°""\ и координаты ^^"'"'(г)
любого вещественного смещения г.
Обратимся к правой части равенства E6.4). Выделим
в ней два слагаемых, соответствующих какой-либо паре
комплексно-сопряженных представлений Та в Та'.
та
"а
t^a+3(r)- 2 {и.т^'я'Г"'Чг)яГ'''Чг) +
m,m'>=4
+ ^amm<'"M'-)S^"'»'>('-)}.
Согласно равенству E7.1) это можно переписать так:
(am')
2 (£^amm'+C7-„,„)g(-)g|
m,m'=i .
Если обозначить через а:$"'" л ^j""' вещественную и мни-
мую части координаты q]
qj = X] -t- lyj i
z, кроме того, положить
TO получим
"•a
Cat»-)- 2 {«L"^(^rVi'^'"'4уГ>уГ'>)-
G представлениями То второго типа дело обстоит
проще, так как соответствующие симметрические координа-
210
ты qj вещественны. Для единообрааия обозва^ешЛ
положим
В напншем
т,т'=1
Подобным же образом расщепляется выражение для
кинетической энергии после перехода к обобщенным
' (am) ,*,(ani) , - .
скоростям Xj , У] (Та —представление первого типа)
иг)""" (тв — представление второго типа).
Это означает, что система М расщепилась на ряд
квазйсистём. При этом каждому представлению Тв
второго типа, содержащемуся в представлении Т,
соответствует «а кваэисистем Afi"^ М':^\ , М['^ с та
степенями свободы каждая. Каждой паре
комплексно-сопряженных представлений Та и х- первого типа
соответствует Sa квазисистем М'"^ М^^\ ..., М'-^ с 2тПа
степенями свободы каждая. Физические свойства
квазисистем, соответствующих одному и тому же
неприводимому представлению {или одной и Той же паре
комплексно-сопряженных неприводимых представлений),
совершенно одинаковы, так как коэффициенты,
фигурирующие в выражении для потенциальной и кинетической
энергий, не зависят от индекса /. Это означает, в
частности, что у этих подсистем одинаковые наборы
собственных частот:
Этот вопрос мы рассмотрим более подробно, в
следующем параграфе.
§ 58. Кратности собственных частот
в формы главных колебаний
В предыдущем параграфе было показано, что
механическая система М распадается на ряд квазисистем
При этом имеют место две особенности.
Во-первых, квазисистемы Mj" и Му , отличающиеся
друг от друга только нижними индексами / и ;', очень
похожи друг на друга. У них одинаковое число
степеней свободы, и, следовательно, они имеют одинаковое
число главных колебаний. Более того, потенциальная и
14* 211
кинетическая энергия каждой квазисистемы выражаются
через обобщенные координаты и скорости совершенно
одинаковым образом, точнее, наборы коэффициентов
соответствующих квадратичных форм у всех квазисистем,
связанных с одним и тем же неприводимым
представлением Та (или одной и ТОЙ Же парой
комплексно-сопряженных представлений), совершенно одинаковы.
Поэтому и наборы частот главных колебаний у этих
квазисистем одинаковы. Это означает, что каждая из этих частот
имеет кратность, равную размерности Sa представления
Та. Мы видим, ЧТО появленые кратных частот является
следствием свойств симметрии механической системы М,
причем теория групп -может предсказать кратности Sa.
этих частот, и их число 1^, не вычисляя самих частот.
С точки зрения теории групп задача сводится к
определению коэффициентов тпа в разложении представления Г:
Г = 2 ГПаХа.
а
Напомним, что эта задача решается с помощью
формулы D9.4):
'"с = (Хг,Х«)-
Во-вторых, формула E7.2) для потенциальной
энергии и аналогичная ей формула для кинетической
энергии обнаруживают некоторую дополнительную
симметрию: если заменить в них все а;*;°"" на yf"'\ а г/;°""' — на
(—^"'"О. то выражения U''^^+a('') «^ изменятся. Эта
симметрия не связана с группой G преобразований
пространства и поэтому неожиданна. Мы сейчас покажем,
что следствием этой симметрии является удвоенная
кратность 2sa всех частот, связанных с представлениями Та
первого типа. Если
^f") = 4°" cos wi^H, j/f"' = B^f cos il^h'
— какое-либо главное колебание, соответствующее
квазисистеме М] , то в силу отмеченной симметрии движение
системы, описываемое формулами
будет тоже главным колебанием рассматриваемой
квазисистемы. Эти колебания линейно независимы и
происходят с одной и той же частотой. Это и означает, что
(ос) л ' ..
частота ш„ имеет кратность 2 для каждой из квази-
212
систем My (/ = 1, 2, ..., Sa) и, следовательно,
кратность 2sa для системы М.
Обратимся теперь к другой характеристике главных
колебаний — к их форме. По определению смещения
всех точек системы М, совершающей главное колэбание,
все время па{)аллельны самим себе, отношения их длин
также не изменяются с течением времени. Совокупность
этих не изменяющихся с течением времени
характеристик главного колебания и называют его формой. Легко
видеть, что форму главного колебания можно
изобразить, указав с помощью векторов смещение всех точек
системы М в некоторый момент времени, скажем, в тот,
когда эти смещения максимальны.
Вспомним, что набор главных колебаний системы М
можно составить из главных колебаний ее квазисистем.
В связи с этим естественно снабдить смещения r{t)
системы М при главных колебаниях тремя индексами:
r{t) = rl"*' {t) (/ = 1, 2, ^.., Sa; га = 1, 2, ..., /„),
где а — номер неприводимого представления, с которым
связана данная квазисистема,'/ — номер вектора
канонического базиса и, наконец, га — порядковый номер
главного колебания квазисистемы
Когда система совершает главное колебание г-п (Oi
(a'm')
все ее симметрические координаты qy , у которых
индекс а' отличен от а и а или индекс /' отличен от ;,
а Ф а^а или /' Ф],
равны нулю. Согласно общей формуле E5.6) в этом
случае смещение г системы Ш равно
Гп = 2j Iffn ej + q'n Cj ,/J, если a фа,
ЕЛЕ
r^n'''" 2?Г'еГ^ если a=a.
Обратим внимание на то, что коэффициенты
Qn ^ В этих
формулах не зависят от индекса ;. Это связано со
схожестью квазисистем Mj с одним и тем же индексом а.
Выясним физический смысл этого обстоятельства.
Произведем мысленно над системой М, совершающей
главное колебание г^^'\ какую-либо операцию g^G. Пола-
213
'гая для простоты, что То — неприводимое представление
второго типа, получим
Изменяя порядок суммирования в последнем выражении,
найдеи
1=1
Это означает, что главные колебания системы,
связанные с одним и тем же неприводимглм'представлением и
имеющие одну и ту же собственную частоту co;f',
преобразуются друг через друга как 'векторы канонического
базиса представления т» группы G. Таким образом,
индекс а. (номер неприводимого представления)
характеризует симметрию главных колебаний г^ . В частности,
если То — единичное представление, то Т {g) г^п' = Гп-
Это означает, что система, совершающая такие
колебания, и в движении сохраняет симметрию своего
равновесного положения. Такие колебания называются
полносимметричными.
Мы видим, что теория групп, помимо анализа крат-
ностей частот и некоторых сведений о форме главных
колебаний, дает возможность классифицировать главные
колебания в соответствии с неприводимыми
представлениями группы симметрии равновесного положения. В
следующем параграфе изложенная теория применяется к
исследованию малых колебаний конкретной системы.
§ 59. Пример исследования малых колебаний
В качестве примера возьмем уже знакомую нам по
§ 51 систему М, состоящую из восьми материальных
точек двух сортов, которые мы условно назвали атомами
натрия и хлора. В. равновесном положении эти атомы
расположены в вершинах куба так, что на
противоположных концах каждого ребра находятся разноименные
частицы. Группа симметрии G равновесного
положения — группа октаэдра Td — содержит 24 элемента и
имеет пять неэквивалентных неприводимых представлений
Та (а = 1, 2, ..., Ь}. Размерности этих представлений
■ Si = S2 = l, S3 = 2, Si = Si = d. E9.1)'
214
в § 51 было рассмотрено представление Т группы Гд
в пространстве смещений L. Был найден характер и
состав этого представления. Оказалось, что числа
вхождений Ша представлений Та в представление Т таковы:
nil = 2, ffij = О, ffij = 2, /«4 == 4, тпъ = 2. E9.2)
Все представления т» (а = 1, 2, ..., 5) принадлежат
второму типу, т. е. имеют в подходяще выбранном базисе
только вещественные матрицы. Поэтому из равенств
E9.1) и E9.2) следует, что система М распадается на
следующие квазисистемы: с представлением ti связана
одна квазисистема М"' с двумя степенями свободы, две
квазисистемы Mi и Mf ^ связаны с представлением Tj,
они имеют по две степени свободы каждая, и, наконец,
с представлевия«№ т« и Тз связаны по трд. квазисистемы.
. Квазисистемы М^, Mf, M'f имеют по четыре
степени свободы, квазисистемы мТ, Mf, мЧ^ — по две.
Фактическое отыскание собственных частот следует
произвести только, скажем, для квазисистем М ' , Mi' j
М{*\ М'^\ Собственные частоты квазисистемы Ма*' —
такие же, как и у квазисистемы Mi'. Это означает, что
три собственных частоты: щ , со/, соз* имеют кратность
два, если их рассматривать как частоты всей системы М.
Подобным же образом собственнЪ1е частоты
квазисистем Ml и Ml повторяются соответственно в
квазисистемах М^*\ М** и МЧ\ МЧ\ Это дает нам четыре
D) D) D) D)
частоты: щ , щ , соз , щ кратности три, связанные
E) E) U
с представлением Т4, и две частоты; щ, i щ той же
кратности, связанные с представлением Тз.
Итак, всего система имеет десять, вообще говоря,
различных частот, причем две из них имеют кратность,
равную единице, две — равную , двум, и шесть — tpeM.
В действительности в эти цифры должна быть
внесена поправка. Рассмотрим смещение системы, у
которого векторы смещений всех точек одинаковы. В этом
положении система может оставаться неподвижной, т. е.
совершать «колебания» с нулевой частотой. Такое
состояние системы назовем псевдоколебанием.
Все.такие смещения образуют в L инвариантное
подпространство. Обозначим его через П. Размерность
подпространства П равна трем. В качестве базисных
смещений в /7 можно взять смещения, у которых все точки
215
смещены вдоль одной и той же координатной оси
прямоугольной системы координат OXYZ. Легко видеть, что
под действием операторов T{g) подпространство Я
преобразуется так же, как и обычные трехмерные векторы.
Такое представление называется векторным, а его
характеры определяются формулами (см. § 51)
X. (Сф) = 1 + 2 cos ф, Хв('^»)= — 1 + 2созф.
Характеры векторного представления группы симметрии
октаэдра Td совпадают с характерами неприводимого
представления Т4. Это означает, что с представлением
Т4 связаны три различных частоты, а не четыре.
Есть, однако, и другие псевдоколебания. Они также
связаны со смещ«ниями системы М как жесткого
целого. В отличие от рассмотренных смещений, они
получаются не параллельным сдвигом, а поворотом системы
вокруг той или иной ОСИ.
Подпространство П'
таких смещений также
инвариантно относительно
всех операций Tig).
Подпространство Я'
трехмерно: базисными
смещениями в Я' могут служить
повороты вокруг
координатных осей системы
OXYZ.
Под действием
операций T{Cf) смещения из
Я' преобразуются как
Рис. 30. Смещение, получаемое в векторы. Однако^ при от-
результате поворота вокруг оси ражении в любой плоско-
-5C) на малый угол сти эти смещения ведут
себя существенно иначе.
Представим себе, например, смещение, получаемое
поворотом вокруг оси 5C) (рис. 30). При зеркальном
повороте на 90° вокруг той же оси смещение системы
переходит само в себя. Между тем вектор, направленный по
оси 5C), под действием такого зеркального отражения
умножается на минус единицу.
Представление, по к<^торому преобразуется
подпространство Я', называется псевдовекторным. Характеры
этого представления определяютЬя -формулами
Хп(Сф)=1 + 2со8ф, Х"(^ф).= 1~2с08ф,
216
Характеры представлений Ts группы Td совпадают с
характерами псевдовекторного представления. Из этого
следует, что с представлением ts связана только одна
частота. Итак, рассматриваемая система имеет восемь
различных частот: coi^ , щ — частоты кратности один,
(oi'\ AJ'^ — кратности два и аI*\ аJ*\ «з*\ ^Т — KjiaT-
ности три.
Частотам coj и ©а соответствуют
полносимметричные колебания, т. е. колебания, сохраняющие симметрию
равновесной конфигурации. Напомним, что при каждом*
таком колебании смещение каждого атома направлено по
прямой, соединяющей равновесное положение этого
атома с центром куба. При этом смещения всех атомов
натрия имеют одинаковую длину, и то же можно сказать
о смещениях атомов хлора. Таким образом, при
полносимметричных колебаниях молекулы одноименные
атомы все время находятся в вершинах двух пульсирующих
тетраэдров. Смещение квазисистемы Ж''' задается двумя
симметрическими координатами — отклонениями q^ ^
^ч'г и Цг^ Ял'^^ размеров указанных тетраэдров от
их равновесных значений. Для вычисления собственных
частот следует выразить потенциальную и кинетическую
энергию квазисистемы через ее координаты q^ qi и
скорости qi, q^. Это позволит написать систему
дифференциальных уравнений типа E4.4) с двумя неизвестными
функциями. Решив эту систему, найдем собственные
частоты (Oi и (Й2 и соответствующие им главные
колебания.
Обратимся к квазисистеме Mf', связанной с
неприводимым представлением тз. Ее подпространство
смещении — это Базисом в £ могут служить смещения
дз,1) д /(з.2)_ 7/(з.1)_ Смещение .Л''^^ вычислено в § 51
(см. E1.6) и E1.7)). Его можно представить в виде
^'х''" = ^ {(«12 -1-^13+4" «") +
+ f — ез2 — -J 633 — Y ^31] + (— ^62 + -з" '^63 + X вв1 j +
+ К82 + -2" ^83 — -J «Sift- E9.3)
Таким образом, произвольное смещение г квазисистемы
217
Ml характеризуется двумя обобщенными координатами:
г = Ягп'^^ + Qsfi • Отсюда для декартовых координат Хц
получаем
^ii = gx (//•'%+ 92 (/!'•'%. E9.4)
Числа {fi'^^)ji и (/].''^')ji известны, это — коэффициенты
при ец в выражениях для смещений /1 "' и f^' :
(Л-'). - ^, (fr% - ^, (/>■•")..—,-^ -. д.
С помощью равенств E9.4) выражаем потенциальную
энергию квазисистемы через обобщенные
координаты gi и Qi. Подобным же образом выражаем ее
кинетическую энергию через обобщенные скорости д, и ^».
После этого обычным образом находим собственные
частоты и соответствующие главные колебания.
Совершенно так же изучаются квазисистемы
Щ (/=1, 2,'3). Главное колебание кв^зисистемы Mf^
представляет собой движение двух недеформированных
тетраэдров «на встречных курсах» параллельно оси 5(/),
Подобным же образом главное колебание каждой
квазисистемм Mf' (/ = 1, 2, 3), если исключить
вращение системы М как жесткого целого, представляет собой
вращение двух тетраэдров вокруг оси S{j), причем их
угловые скорости имеют противоположные направления.
Отношение угловых скоростей определяется условием:
момент количества движения системы М равен нулю.
Разобранный пример показывает, 45» разделение
задачи на две части — алгебраическую {выделение
квазисистем) и аналитическую {исследование каждой
квазисистемы обычными .методами теории малых
колебаний) — существенно упрощает вычисление собственных
частот и главных колебаний.
Заключение
ТЕОРИЯ ГРУПП И ФИЗИКА
Первые несколько глав этой книги были посвящены
общей схеме применения теории групп к любой
линейной задаче, имеющей ту или иную симметрию. Эта
схема была затем испытана на ряде примеров из области
физики. Рассмотрим теперь специфику физических'
задач, исследуемых методами прикладной теории групп.
Первая особенность таких задач состоит в том, что
самые различные физические объекты зачастую имеют
одну и ту же группу симметрии. Каковы причины этого
явления и какие следствия вытекают из него?
Имеются три основных источника симметрии
физических задач:
1) симметрия пространства и времени;
2) неразличимость элементарных частиц одного сорта;
3) симметрия «воображаемого мира», близкого к
реальному миру.
Симметрия пространства и времени выражается в
том, что все инерциальные системы отсчета физически
эквивалентны. Точнее, все физические законы
формулируются совершенно одинаково во всех инерциальных
системах отсчета. В качестве примера можно указать на
уравнения Максвелла. При переходе из одной инерциаль-
ной системы в другую координаты и время
преобразуются определенным образом друг через друга.
Совокупность этих преобразований образует группу — полную
групну Лоренца. Именно она описывает симметрию
пространства и времени. Поэтому все задачи," относящиеся
ко Аему безграничному пространству, имеют одну в ту
же группу симметрии — полную группу Лоренца.
Законы физики инвариантны относительно rpyniyj
Лоренца. Из этого следует, что при переходе из одной
инерциальной системы отсчета в другую преобразуются
не только координаты и время, но и все физические
величины, относящиеся к рассматриваемым законам
физики. Если уравнения, выражающие эти законы,
линейны, то линейными преобразования соответствующих
физических величин. Они образуют представления полной
219
группы Лоренца. Поэтому классификация
представлений группы Лоренца естественно переносится на
физические величины. На практике вместо полной группы
Лоренца часто пользуются двумя ее подгруппами:
группой вращений и собственной группой Лоренца. Это
приводит к классификации физических величин по
представлениям этих подгрупп. Именно так возникают
скаляры, трехмерные векторы, тензоры различных рангов,
четырехмерные векторы и тензоры. Для квантовых
объектов роль группы вращений играет ее
накрывающая группа; Классификация по представлениям этой
группы приводит к появлению новых классов
физических величин — спиноров всевозможных рангов.
Таким образом, с помощью теоретико-групповых
соображений построена априорная классификация всех
физических величин, и если в процессе развития науки
появится необходимость ввести новые физические
величину, то и для них найдется место в этой
классификации. Описанная выше универсальность полной группы
Лоренца как группы симметрии объясняет
универсальность связанной с ней и ее подгруппами классификации
физических величин.
Второй ИСТОЧНИК симметрии физических задач —
неразличимость элементарных частиц — приводит к тому,
что любая перестановка двух или нескольких
одинаковых частиц автоматически является операцией
симметрии для любой физической задачи, в которой
фигурируют эти частицы. Таким образом, и этот вид. симметрии
является общим для самых разнообразных физических
объектов.
Переходя к третьему источнику симметрии
физических задач, поясним лишь, что мы имеем в виду, говоря
о симметрии воображаемого мира. Этот мир, хотя и
воображаемый, не оторван от действительного мира.
Говоря точнее, * действительный Мир, его законы можно
рассматривать как результат слабого возмущения
воображаемого мира. Так, электромагнитное взаимодействие
протонов можно рассматривать как милое возмущение;
если, пренебречь им, то протоны ничем не будут
отличаться от нейтронов и возникнет новая симметрия — сим»
метрия физических законов, управляющих нуклонами и
не учитывающих электромагнитного взаимодействия.
Поиски подобных симметрии — они называются
высшими симметриями — оказались очень плодотворными в
теории элементарных частиц.
220
Перейдем ко второй особенности физических задач.
Напомним, что теория групп уделяет много внимания
каноническим решениям. Она устанавливает их
существование, дает их нетривиальную классификацию,
предоставляет важную априорную информацию об этих
решениях. Например, в квантовомеханической задаче об
электроне в центрально-симметричном поле эта
информация содержит полное описание зависимости волновой
функции электрона от углов 9 и ф в сферической
системе координат. Априорная информация oi канонических
решениях существенно облегчает их вычисление. В
примере с электроном уравнение в частных производных
примецительно к каноническим решениям сводится к
обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Вторая'особенность физических задач относится,
собственно, к задачам квантовой физики, где каждое
решение уравнения Шредингера соответствует некоторому
состоянию квантовомеханической системы. Особенность
этих задач состоит в том, что именно канонические
решения нужны для физической интерпретации
результатов исследования. Канонические решения охгасывают те
состояния системы, в которых такие физические
величины, как, скажем, энергия, квадрат момента и
проекция момента на заданную ось, имеют определенные
значения. Точнее, речь идет о физических величинах,
которые используются для классификации канонических
решений. Важным свойством этих величин является то,
что в условиях рассматриваемой задачи они
сохраняются (их средние значения не изменяются с • течением
времени). Тем самым канонические решения уравнения
Шредингера оказываются связанными с законами
сохранения.
Третья особенность физических задач также
ограничивается областью квантовой физики. Она состоит в
том, что коэффициенты разложения
Ч'-с,Ч'. + с.Ч',+ ... C.1)
произвольного решения Ч' уравнения Шредингера по его
каноническим решениям Ч''!, Ч'г, .•• имеют очень
важный физический смысл. Как уже говорилось,
квадраты их модулей характеризуют вероятности различных
результатов измерения физических величин, связанных
е этими каноническими решениями. Методы теории
групп позволяю'т установить в ряде случаев, какие из
221
коэффициентов Cj равны нулю, и найти связывающие их
линейные соотношения.
Наиболее удивительные результаты в зтом
направлении получаются в ситуациях, 'существование которых
является четвертой особенностью физических задач.
Имеются в виду следующие ситуации. Три задачи А,-В и С
обладают свойством: произведение i|;ii|)! любого решения
fi задачи В на любое решение ifj здцачи С является
решением задачи А, причем все три задачи имеют одну
и ту же грухшу симметрии G. Такая ситуация
возникает, например, когда эадата В ъ С относятся к двзпй
квантовомеханическим системам Мв и Мс, а задача А —
к их объединению, причем системы Мв и Мс либо вовсе
не взаимодействуют друг с другом, либо их
взаимодействие малд и учитывается только в первом
приближении, либо, наконец, зто взаимодействие краткдвременно
в не нарушает симметрии задачи А.
В любой из этих ситуаций наибольший интерес
представляет случай, когда волновые функции \|), и ij>j
являются каноническими. При зтом, как правило, их
произведение не является каноническим решением задачи Л,
и для него желательно получить разложение по
каноническим решениям.
Особую роль • играет вопрос о составе разложения
C.1). Он обычно формулируется так. Пусть / — одна из
физических величин, использованных для
классификации канонических решений. Пусть в состояниях ^i, ifj,
4''j величина / принимает соответственно значения
Спрашивается, как связан набор чисел {L}} с числами
h и ^2? На языке физики этот вопрос звучит так.
Какие результаты может дать измерение физической
величины /, произведенное над системой Мл, если она
представляет собой объединение двух
невзаимодействующих подсистем Мв и Мо, находящихся в состояниях с
заданными значениями величины /? Ответ на атот
вопрос называется правилом сложения для физической
величины /. Классическим примером такого правила
Является правило сложения моментов.
Рассмотрим этот же вопрос, пользуясь понятиями и
результатами теории групп. Каждая из канонических
волновых функций fi а ■фг связана с некоторым
неприводимым представлением общей группы симметрии G,
Пусть это будут представления Ti и т, соответственно.
222
(Зовокзшность всех подобных произведений
преобразуется по произведению этих представлений Ti X т». Иско-
• мые волновые функции'Yj образуют канонический ба-'
зис в пространстве таких произведений. Поэтому сумма
C.1) содержит конечное число слагаемых. Слагаемые,
входящие в эту сумму, соответствуют тем
неприводимым представлениям т, KOTopi^e входят в произведение
Ti X Tg. Коэффициенты Cj в этой сумме — это
обобщенные коэффициенты Клебша — Гордана. Их можно
вычислить 'заранее, если произведение Ti X т^ не содержит
более одного раза ни одного неприводимого
представления. В противном случае расчет несколько усложняется,
но по-прежнему в качестве первого шага следует решить
вторую основную задачу прикладной теории грзпш —
в пространстве произведений ^i^ найти все
подпространства однотипных функций. ''
Упомянем еще только одну особенность физических
задач, имея в виду на этот раз физику элементарных
частиц. Особенность эта состоит в отсутствии полного
свода законов физики элементарных частиц. В этих
условиях один из возможных путей исследования связан с
теорией групп и состоит в следующем. Поаски
неизвестных законов теории элементарных частиц ^иваяжпся
поясками группы симметрии этих законов'. Теория групп
позволяет сде^^ать ряд -следствий из любого предподоже-
ния об ато^ симметрии, а экспердмёнт определяет,
имеют ли место эта следствия в действительности. На &тои
пути в последние десятилетия достигнуты значительные
успехи.
Таковы некоторые' особевност физических задач,,
исследуемых методами теории грурп. :
. В качестве напутствия читателю ^аочется j^Tb такой
совет. При изучении аюбрто шШр^сШт^/f^^iet^i
пракладвой теораи трупа mmЩ0'vШ^fШiiЩ^^^^^m^
сводится к решению ее ьтв^^лЩ рсщЗ^щт
может быстрее понять изучавму!» pftj$e^;i^<^
список РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представ-
ления./Пер. с англ. Д. А. Райкова.— М.: ИЛ, 1947.
2. Вигнер Е. Теория групп./Пер. с англ. под ред. Я. А. Сморо-
динского.—М.: ИЛ, 1961.
3. Вигнер Е. Этюды о симметр|[и/Пер. с англ. под ред. Я. А. Смо- •
?одинского.— М.: Мир, 1971.
ельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представления
группы вращений li группы Лоренца.— М.: Физматгиз, 1958.
5. Желобенко Д. П., Штерн. А. И. Представления групп Ли.— М.;
Наука, 1983. «
6. Желудев И. С. Симметрия и ее приложения.— М.: Атомиздат,
1976.
7. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической
физике.—М,: Наука, 1983.
8. Каплан И. Г. Симметрия многоэлектронных систем.— М.:
Наука, 1969.
9. ЛюбарскийТ. Я. Теория групп и ее применения в физике.-^
М.: Физматгиз, 1958.
10. Петрашень Г. И., Трифонов Е. Д. Применения теории групп в
квантовой механике.— М.: Наука, 1967.
И. Райвер Д. X. Элементарные частицы и симметрия.— М.:
Наука, 1983.
12. Хамермеш М. Теория'групп и ее применение к физическим
проблемам/Пер. с англ.— М.: Мир, 1966.
13. Хейне В. Теория групп в квантовой механике./Пер. е англ.
В. Я. Файнберга.— М.: ИЛ, 1963.
14. Эллиот Дж., Добери П. Симметрия в физике. В 2-х т./Пер. с
англ. под ред. И. С. Желудева, Д. А. Славнова,- М.: Мир, 1983.