Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы - Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г.

Автор: Бевз Г.П. Бевз В.Г. Владимирова Н.Г.

Теги: геометрия топология математика прикладная математика учебник по геометрии

ISBN: 5-09-003866-X

Год: 1992

Похожие

Геометрия (учебник для 7-11 классов средней школы)

Геометрия: Учебник для 10-11 классов средней школы

Геометрия. Пробный учебник для 8 класса средней школы

Геометрия. Пробный учебник для 9-10 классов средней школы

Текст

ПП.БЕВЗ В.ПБЕВЗ Н.ПВЛАДИМИРОВА
геометрия
\ УЧЕБНИК
\ ДЛЯ 7*11 НЛАССОВ
\ СРЕДНЕЙ
\ ШКОЛЫ
Допущено
Министерством образования
Российской Федерации
МОСКВА • «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1992

ББК 22.151я72
Б36
Учебник занял призовое место на Всесоюзном
конкурсе учебников по математике для средней
общеобразовательной школы в 1988 году
Бевз Г. П. и др.
Б36 Геометрия: Учеб. для 7—11 кл. сред. шк./Г. П. Бевз,
В. Г. Бевз, Н. Г. Владимирова.—М.: Просвещение, 1992.—
352 с: ил.— ISBN 5-09-003866-Х.
„ 4306020500—630 „ . - ЛЛ - СС1, „„ ««-«„-то
Б 103(031—92 *" письмо"~92» А0П# ,# К 22.151я72
ISBN 5-09-003866-Х © Бевз Г. П., Бевз В. П, Владимирова Н. Г., 1992

ЮНЫЕ ДРУЗЬЯ!
Приглашаем вас в мир Геометрии. Удивительный это мир:
чистый, истинный, совершенный, тесно связанный с мирами Труда, %
Искусства и Разума. Еще в IV в. до н. э. провозглашено: «Не
знающий геометрии да не войдет в Академию!» Геометрия очень
нужна людям. Не только чертежникам, конструкторам,
архитекторам и другим специалистам с высшим образованием, но и
столярам, слесарям, токарям, закройщикам, строителям, многим
миллионам рабочих. Геометрия нужна всем.
Эта книга поможет вам войти в мир Геометрии. Прочитайте
оглавление, напечатанное в конце книги, и вы узнаете, что имеется
в учебнике.
В каждом параграфе учебника есть теория и задачи. Читая
теорию, главное внимание обращайте на слова, напечатанные
курсивом и жирным шрифтом. Курсивом выделены геометрические
термины, названия понятий. Надо уметь разъяснять их смысл,
приводить примеры. Жирным шрифтом напечатаны важнейшие
утверждения (теоремы). Их желательно понимать, уметь
доказывать и применять при решении задач. Конец доказательства
теоремы выделен знаком Ц. Текст, напечатанный петитом,
можно читать по выбору.
Несколько первых задач каждого параграфа предлагаем для
устного решения. Номера с нуликами ° обозначают задачи, решать
которые должен уметь каждый. Звездочками * отмечены номера
сравнительно трудных задач. Их мы адресуем смекалистым
школьникам, любящим математику. Известно, что в огромном саду
Геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу.
Подбирайте по вкусу и вы: пусть один изучает геометрию на уровне
обязательных задач, другой — на уровне задач повышенной
трудности.
Всем желаем успехов!

7 класс
ВВЕДЕНИЕ
Геометрия — наука о свойствах геометрических фигур.
Некоторые геометрические фигуры вам уже известны: отрезок,
прямая, угол, окружность, треугольник, куб, шар.
Простейшая из геометрических фигур — точка. Каждая из
остальных фигур — некоторое множество точек. Например,
окружность— это множество всех точек плоскости, равноудаленных
от данной точки, ее центра (рис. 1). И отрезок — множество
точек. Любое множество точек называется геометрической
фигурой.
Часть геометрической фигуры является фигурой. Например,
полуокружность или какая-нибудь другая часть окружности —
фигура. И объединение нескольких фигур — фигура (рис. 2).
Фигуры бывают не только геометрические. Авиаторы говорят
о фигурах высшего пилотажа, шахматисты фигурами называют
ладью, коня, слона, ферзя и короля. В геометрии
рассматриваются только геометрические фигуры, хотя часто называют их
просто фигурами.
Геометрической фигурой является и плоскость. Представление
о части плоскости дает нам поверхность оконного стекла, зеркала,
хорошо отполированной плиты. В геометрии плоскость мыслится
неограниченной, идеально ровной и гладкой.
Фигуры, которые можно расположить в одной плоскости,
называют плоскими. Точка, отрезок, прямая, угол, окружность,
треугольник, прямоугольник — примеры плоских фигур. Куб, шар —
неплоские фигуры (рис. 3).
о о
Рис. 1 Рис. 2
4

Рис. 3
Часть геометрии, в которой изучаются плоские фигуры,
называется планиметрией (латинское слово «планум» обозначает
плоскость). Мы начинаем изучать планиметрию.
Гл ав а I
НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ПЛАНИМЕТРИИ
§ 1. ТОЧКИ И ПРЯМЫЕ
Вы уже знаете, как с помощью линейки проводят прямые
(рис. 4). Прямая в геометрии мыслится идеально ровной и
бесконечной в обе стороны.
Как и любая другая геометрическая фигура, прямая состоит из
точек. Если точка А принадлежит прямой а, говорят также, что
точка А лежит на прямой а, что прямая а проходит через точку Д.
Символически записывают это так: А£а. Если точка В не лежит
на прямой а, 'пишут;Bga (рис. 5). Какова бы ни была прямая,
существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не
принадлежащие ей.
Через одну точку можно
провести много прямых. На рисунке 6
изображены две прямые а и 6,
проходящие через точку Р. Это их общая
точка, других общих точек прямые а
и Ь не имеют. Если две прямые имеют
только одну общую точку, говорят,
что они пересекаются в этой точке.
Прямые а и b пересекаются в
точке Р.
Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6
Если прямой принадлежат точки Л и В, говорят, что эта прямая
проходит 'через точки Л и В. Обозначают ее АВ. Через любые две
точки можно провести прямую, и только одну.
А можно ли провести прямую через три точки? Не всегда. Если
точки Л, В и С расположены, как показано на рисунке 7, через
них прямую провести можно. А через точки Л, В и D —
нельзя. Говорят, что точки Л, В и D не лежат на одной прямой.
Точки Л, В и С лежат на одной прямой, причем В — между
Л и С.
Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя
другими.
Если точка В лежит между точками Ли €, говорят, что точки
Л и С лежат по разные стороны от точки J3, а точки Л и В — по
одну сторону от точки С.
Любая точка прямой разбивает ее на две части. Например,
точка Л на рисунке 8, а разбивает прямую СВ на части АС и АВ.
Часть прямой, ограниченная с одной стороны, яазывается лучом.
Точка, ограничивающая луч,— его начало. Если пишут «луч АВ»,
имеют в виду, что его начало — точка Л {рис. Ъ,Щ.
Два луча с общим началом, дополняющие друг друга до лря-

Рис. 9
мой, называют дополнительными. На рисунке 9 луч ОК допол
нительный для луча ОР, а луч ОР дополнительный для
луча ОК.
U Отметьте в тетради тачки Л и В и проведите через них
прямую. Назовите эту прямую.
2- Проведите прямую.. Укажите несколько точек,
принадлежащих этой прямой, и несколько — не принадлежащих ей.
3. Проведите через какую-нибудь точку три прямые. Можно
ли через эту точку провести десять прямых?
4. Прямая а и точки А и В—такие* что А£а и Вga.
Изобразите эта на рисунке.
5. Прямые knp пересекаются в точке X. Изобразите их на
рисунке. Правильно ли, что X£k% X£p>
6. Прямая АВ пересекает прямую АС в точке Ау а прямую
ВС — в точке В. Принадлежит ли точка С прямой АВ?
7. Отметьте точки Кг Р, Т так, чтобы череа них можно было
провести прямую. Как можно назвать эту прямую?
8. Отметьте на прямой точки Л, В, С так, чтобы А и В лежали
по одну сторону от С, а Л и С — по одну сторону от В.
9. Дана прямая а. Отметьте такие точки А, В и С, чтобы
прямые АВ и а пересекались в точке С, лежащей между точками
Л и В.
10. Прямые а и Ъ пересекаются в точке Р. Сколько лучей при
этом образовалось?
П. Являются ли лучи Р/С и КР (рис. 9) дополнительными?
а лучи ОР и /СР? Почему?
12. Расположите точки Л, В, С, D так, чтобы прямые АВ и CD
пересекались, а лучи АВ и CD не пересекались.
13. Можно ли расположить точки А, В, С, D так, чтобы лучи АВ
и CD пересекались, а лучи АС и BD не пересекались?
14. Начертите три прямые ЛВ, ВС и АО. На сколько частей
разбивается этими прямыми плоскость?
7

Рис. 10 Рис. 11
Решение. Прямые АВ и АС имеют общую точку Л, значит,
они пересекаются в точке А. Прямые АВ и ВС пересекаются в точке
В, а АС и ВС — в точке С. Расположены они, как показано на
рисунке 10. Вся плоскость этими прямыми разбивается на семь
частей.
15. Отметьте четыре точки А, В, С и D так, чтобы никакие три
из них не лежали на одной прямой. Проведите прямые АВ, AC, AD,
ВС, BD, CD. На сколько частей эти прямые разбивают плоскость?
16. Ученик провел сначала одну прямую, а потом, перевернув
линейку,— вторую и получил «прямые», пересекающиеся в
двух точках (рис. 11). Что можно сказать о его линейке?
Почему?
17. Чтобы проверить, правильна ли линейка, смотрят вдоль ее
ребра (рис. 12). Что видят, если линейка неправильна?
18. Практическое задание. Покажите, как можно
получить «линейку», перегибая лист бумаги.
Рис. 12
8

§ 2. ОТРЕЗКИ И ИХ ДЛИНЫ
Две точки прямой разбивают эту прямую на три части: два луча
и отрезок. Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя
точками. Точки, ограничивающие отрезок,— его концы. Все
остальные точки отрезка — его внутренние точки. На рисунке 13
изображен отрезок АВ. Точки А и В — его концы, а любая точка,
лежащая между А и В,— внутренняя точка отрезка АВ.
Говорят, что два отрезка пересекаются, если они имеют только
одну общую внутреннюю точку.
Чтобы измерять отрезки, надо иметь единицу измерения.
Отрезок, изображенный на рисунке 14, будем считать единичным, его
длина равна 1 см. Если в некотором отрезке АВ единичный отрезок
вмещается ровно 4 раза (рис. 15), значит, длина отрезка АВ равна
4 см. Если в отрезке EF единичный отрезок вмещается 2 раза с
остатком, а в остатке десятая часть единичного отрезка — 7 раз,
значит, длина отрезка EF равна 2,7 см. Пишут: АВ=4 см,
EF=2J см.
Каждый отрезок имеет определенную длину. Два отрезка
называют равными, если равны их длины. Из двух отрезков большим
считается тот, длина которого больше.
Сантиметрами обычно измеряют сравнительно небольшие
отрезки. Большие отрезки измеряют в дециметрах, метрах,
километрах. Маленькие — в миллиметрах. Напомним, что
1 км = 1000 м, 1 м = 10 дм =100 см =1000 мм.
Длину отрезка называют также расстоянием между его
концами. Если длина отрезка XY равна 18 см, значит, расстояние между
точками X и Y равно 18 см. Расстояние между X и Y всегда равно
расстоянию между Y и X.
Если точка С отрезка АВ разбивает его на две части, длины
которых равны, например, 2,3 см и 1,5 см, то длина отрезка АВ рав-
А В
ш »
Рис. 13
Рис. 15
9
ЛУ
Рис. 14

В на 3,8 см (рис. 16). Длина отрезка равна
сумме длин частей, на которые он
разбивается любой внутренней точкой. Если
точка С не принадлежит отрезку АВ, та сумма
Рис. 16 длин отрезков А С и СВ больше длины АВ:
АС+СВ>АВ.
Итак, для любых трех точек А, В, С всегда справедливо
неравенство АС+СВ^АВ.
Серединой отрезка называется его внутренняя точка,
разбивающая данный отрезок на две равные части.
Измерять длины отрезков или расстояния приходится многим
специалистам. Чертежники измеряют их масштабными линейками,
столяры — складными метрами, строители — рулетками (рис. 17),
землемеры — метровками (рис. 18) и т. д.
18. Отметьте на прямой какие-нибудь точки Л и В, Какой
отрезок получился?
20. Точка А лежит между В и С. Является ли точка В
внутренней точкой отрезка АС?
21. Отметьте точки А, В, С, D так, чтобы никакие три иа них
не лежал» ва одной прямой. Постройте отрезки АВ, АС, АВ, ВС,
BD, CD.
22. Отметьте на прямой точки А, В, С, В так, чтобы отрезки АС
и BD не имели общих точек. Укажите общие точки отрезков АВ
и CD.
23. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой а.
Пересекает ли отрезок АВ прямую а?
Рис. 17 ' Рис. 18
10

24. Точки К и Р лежат по одну сторону от прямой с. Пересекает
ли отрезок КР прямую с?
25. Прямые АВ и CD пересекаются, С — внутренняя точка
отрезка АВ. Пересекаются ли отрезки АВ и CD?
26. Ни одна из точек А, В, С не лежит на прямой а. Отрезок
АВ пересекает прямую а, а отрезок ВС не пересекает. Пересекает
ли прямую а отрезок АС?
27. Начертите отрезки ACt AB, AD, CB, CD, BD — такие,
чтобы точка С лежала между Л и В, а точка В — между С и D.
Сколько общих точек имеют отрезки АС и BD, AD и СВ, АВ и CD?
28. Точка- X лежит на прямой АВ между А и В. Найдите длину
отрезка АВ, если АХ=2,5 см, ХВ = 3,А см.
29. Точка М лежит на прямой КР между К и Р. Найдите
расстояние между М и Р, если /СР = 0,9 дм, ЯМ = 0,3 дм. -
30. Лежат ли точки А, В, С на одной прямой, если:
а) АВ = 2,5 см, ВС = 3,8 см, АС=\,Ъ см;
б) ЛВ = 1,9 см, ВС=2,9 дм, Л С = 4,9 дм?
31. Можно ли отметить точки А, В, С так, чтобы выполнялись
равенства ЛВ = 2,3 см, ВС = 3,5 см, АС = 6,3 см?
32. Точки /С, Р, Т лежат на одной прямой. Найдите расстояние
между Р и Т, если /(Р = 4,7 м, КТ=5,8 м. Сколько решений имеет
задача?
Решение. Отметим точки К и Т, чтобы КТ=5,8 м. Точка Р
прямой КТ удалена от К на расстояние 4,7 м. Возможны два
случая (рис. 19):
а) К лежит между Р и Т; тогда РГ=4,7 м + 5,8 м = 10,5 м;
б) Р лежит между К и Г; тогда РГ=5,8 м —4,7 м=1,1 м.
33. Может ли отрезок ВС лежать на луче АВ, если ЛВ = 9,2 см,
ВС = 3,8 см, ЛС = 5,4 см?
34. На отрезке X Y длиной 4,8 дм лежит точка С. Найдите длины
отрезков ХС и CY, если: а) ХС на 1,3 длиннее CY; б) ХС в 2 раза
короче CY.
35. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой так, что АВ =
> К Т
о)
К J> Т
6) 1 1 1
Рис. 19
11

Рис. 20
= 10 см, ЛС = 3 см, BD = 4 см. Найдите CD. Рассмотрите все
возможные случаи.
36. Дан отрезок АВ. Постройте отрезок КР втрое длиннее АВ.
37. Как с помощью полуметровой линейки построить
двухметровый отрезок?
38. На местности прямые провешивают с помощью вех
(рис. 20). Объясните, как это делают.
39. Практическое задание. Измерьте длину *и
ширину своей парты.
Глава II
УГЛЫ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
§ 3, УГЛЫ И ИХ МЕРЫ
Два луча с общим началом разбивают плоскость на две части.
Часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом,
называется углом. Лучи, ограничивающие угол,— стороны угла;
их общее начало — вершина угла. Все точки угла, не
принадлежащие его сторонам, образуют его внутреннюю область. На рисунке
21 изображен угол с вершиной О и сторонами О А и ОВ. Его
внутренняя область заштрихована. Вместо «угол АО В» пишут короче:
Z.AOB или АВОА, АО. Иногда внутреннюю область угла
обозначают дугой (рис. 22), иногда никак не обозначают, а только
мысленно представляют.
12

Рис. 21
Рис. 22
АО В
Рис. 23
Угол, стороны которого составляют прямую, называется
развернутым углом (рис. 23).
Чтобы измерять углы, надо иметь единицу измерения. В
качестве такой единицы принимается угол в 1 градус (сокращенно
1°). В развернутом угле он вмещается ровно 180 раз. Представим
себе полуокружность, разделенную на 18 равных дуг (рис. 24).
Если через ее концы и все точки деления провести лучи, они разделят
развернутый угол на 18 углов, по 10° в каждом. Мера угла АОС
равна 1°.
Каждый угол имеет определенную градусную меру. Мера
развернутого угла равна 180°.
Меру угла обозначают так же, как и угол. Например, если мера
угла ABC 60°, пишут: /L ABC=60°. Иногда измеряют углы в мину-
Рис. 24
13

Рис. 25
Рис. 26
х ь
Острый Прямой
Рис. :
14
тах и секундах. Минутой называется
— часть градуса, секундой — —
часть минуты. Пишут: 1°=60',
Г=60".
Углы, начерченные на бумаге,
измеряют транспортиром. Для
измерения углов на местности в древности
использовали астролябию (рис. 25),
теперь — теодолит (рис. 26),
секстант и другие угломерные приборы.
Два угла называются равными,
если их меры равны. Из двух углов
большим считается тот, мера
которого больше.
Угол называется прямым, если его
мера равна 90°, острым — если он
меньше прямого, тупым — если он
больше прямого, но меньше
развернутого (рис. 27). Углы, большие
развернутого, мы пока
рассматривать не будем.
Луч, который исходит из вершины
угла и лежит в его внутренней
области, называют внутренним лучок
угла. Внутренний луч разбивает данный
угол на два меньших угла. Например,
внутренний луч О К угла АО В
разбивает этот угол на углы АОК и
КОВ (рис. 28). При этом ААОК+
+ AKOB=/LAOB. Мера угла равна
\^
Тупой

A A
В В
Рис. 28 Рис. 29
сумме мер углов, на которые данный угол разбивается любым его
внутренним лучом.
Внутренний луч, разбивающий угол на две равные части,
называется биссектрисой угла. На рисунке 29 луч ОС — биссектриса
угла АОВ.
40. Начертите какой-нибудь острый угол ABC. Назовите его
вершину и стороны. Заштрихуйте его внутреннюю область.
41. Начертите тупой угол. Обозначьте его стороны буквами, а
внутреннюю область — дугой.
42. Начертите развернутый угол КОР. Назовите его вершину и
стороны. Обозначьте его внутреннюю область дугой.
43. Обозначьте три точки Л, В, С, не лежащие на одной прямой.
Постройте угол АСВ. Может ли он быть развернутым?
44. Постройте с помощью транспортира углы в 90°, 50°, 120°.
45. Постройте «на глаз» углы в 30°, 45°, 60°. Проверьте
точность построения транспортиром.
46. Выразите в градусах и минутах следующие меры углов:
135', 500'.
47. Выразите в минутах 6° 15', 2°, 11,5°.
. 48. Выполните действия: а) 5048' + 7°35'; б) 32°17,-г-8°45/.
49. Постройте какой-нибудь тупой угол.
С помощью транспортира и линейки
разделите его на две равные части.
50. Найдите меру угла АОВ9 если ОС—
его внутренний луч и Z. А ОС=60°,
+СОВ=30°.
5К Какой угол образуют минутная и
часовая стрелки, когда часы показывают
3 часа, 5 часов? Рис. 30
15

Решение. На часовом циферблате (рис. 30)
полуокружность соответствует 6 часам. Поэтому 1 часу соответствует
— часть развернутого угла, т. е. 30°. Когда часы показывают
3 часа, угол между часовой и минутной стрелками равен
30°-3 = 90°. Когда часы показывают 5 часов, этот угол равен
30°.5 = 150°.
Ответ. 90°, 150°.
52. Является ли луч РМ внутренним лучом угла КРТ, если
Z.KPT=70°, а АКРМ = 80°?
53. На какой угол поворачивается минутная стрелка в течение
20 минут, в течение 30 минут?
54. На какой угол поворачивается часовая стрелка в течение
0,5 часа, в течение 5 минут?
55. Начертите угол АОВ и его внутренние лучи ОК и ОМ так,
чтобы ААОВ = 90°, AAOK=40°t A MOB = 30°. Найдите Z.KOM.
56. ОЛ! — биссектриса угла АОВ, ОК — биссектриса угла
АОМ. Во сколько раз Z.КОМ меньше АЛОВ?
57. ОМ — биссектриса прямого угла АОВ, О К и ОР —
биссектрисы углов АОМ и MOB. Найдите меру угла КОР.
58. Практические задания, а) Вырежьте из бумаги
три угла: острый, прямой и тупой. Измерьте их транспортиром.
б) Путем перегибания листа бумаги сделайте модели углов в
180°, 90°, 45°, 30°, 60°.
§ 4. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Два угла, на которые разбивается развернутый угол его
внутренним лучом, называют смежными. Одна сторона у смежных
углов общая, а две другие составляют прямую (рис. 31). Если
точки А, О, В лежат на одной прямой, то углы АО С и СОВ
смежные.
Сумма мер двух смежных углов равна 180°.
Докажем это. Объединение двух любых смежных углов
является развернутым углом (см. рис. 31). Мера развернутого угла
равна 180°. Значит, каковы бы ни были смежные углы, сумма их
мер равна 180°.
Выделенное жирным шрифтом предложение называют
теоремой о смежных углах. Вообще теоремой в математике называют
каждое утверждение, истинность которого обосновывается путем
логических рассуждений. Это рассуждение называют доказа-
16

о
Рис. 31
Рис. 32
тельством. Дальше мы теоремы будем нумеровать, считая теорему
о смежных углах первой.
Два угла называют вертикальными, если стороны одного
являются дополнительными лучами сторон другого. Например, если
прямые АС и BD пересекаются в точке О, то углы AOD и ВОС
вертикальные (рис. 32). Каждый из них смежный с углом АОВ. Углы
АОВ и COD тоже вертикальные.
Теорема 2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть AOD и ВОС — любые
вертикальные углы (см. рис. 32). Каждый из них смежный с углом АОВ.
По теореме о смежных углах
AAOD+AАОВ =180° и АВОС+ ААОВ= 180°,
откуда Z4OD = 180° — Z.AOB и jLBOC= 180°— /LAOB.
Как видим, /LAOD=^LBOC. Щ
При пересечении двух прямых всегда получаются две пары
вертикальных углов. Если все эти углы прямые, то данные прямые
называют перпендикулярными. На рисунке 33 изображены
перпендикулярные прямые а и Ь. Знак перпендикулярности ±.
Отрезки или лучи называют перпендикулярными, если они
лежат на перпендикулярных прямых. Если отрезок АВ лежит на
прямой, перпендикулярной прямой а, говорят, что отрезок АВ
Рис. 33
В
Рис. 34
17

перпендикулярен прямой а. Если при этом точка В лежит на
прямой а, отрезок АВ называют перпендикуляром, проведенным
из точки А на прямую а (рис. 34). Точку В называют основанием
этого перпендикуляра.
59. Мера одного из двух смежных углов равна 50°. Найдите
меру другого угла.
60. Дан угол в 160°. Найдите меру смежного с ним угла.
61. Найдите меры смежных углов, если один из них: а) на 30°
больше другого; б) на 20° меньше другого; в) в 2 раза больше
другого.
62. Являются ли смежными углы, изображенные на рисунке 28?
63. Сумма мер двух углов 180°. Следует ли из этого, что они
смежные?
64. Докажите, что если смежные углы равны, то они прямые.
65. Развернутый угол двумя внутренними лучами разбит на три
угла. Являются ли они смежными углами?
66. Найдите меру угла, если сумма двух смежных с ним углов
равна 100°.
67. Найдите меру угла между биссектрисами смежных углов.
Решение. Пусть Z.AOB и Z.BOC — смежные углы, О К и
ОР — их биссектрисы (рис. 35). Мера угла КОР равна сумме мер
углов КОВ и ВОР.
Так как ОК и ОР — биссектрисы, то АКОВ = 0,5ААОВ и
ZBOP = 0,5^BOC.
AKOP = 0t5£AOB + 0t5£BOC=095(£AOB + ABOC) =
=0,5.180°=90°.
Ответ. 90°.
68. Являются ли вертикальными углы ЛОВ и COD (рис. 36)?
69. Дан угол в 35° 17'. Найдите меру вертикального ему угла.
Рис. 36

Рис. 37
Рис. 38
70. Начертите угол в 45°. Постройте смежный с ним угол.
71. Сумма мер двух вертикальных углов равна 120°. Найдите
меру каждого из них.
72. Найдите меры углов, образованных при пересечении двух
прямых, если один из них равен 110°.
73. Найдите меры углов, образованных при пересечении двух.
прямых, если: а) один из них на 20° больше другого; б) один из них
составляет половину другого; в) сумма мер двух из них равна 100°.
74. Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных
углов изображено на рисунке 37?
75. На рисунке 38 изображены три прямые, пересекающиеся в
точке О. Докажите, что Z.1 + Z.2+ Z3=180°.
76. Даны прямая а и принадлежащая ей точка Л. Сколько
прямых, перпендикулярных а, можно провести через точку Л?
Почему?
77. Начертите прямую с и не лежащую на ней точку /О
Постройте с помощью угольника перпендикуляр, опущенный из К
на с.
Рис. 39
Рис. 40
19

78, Назовите десять пар перпендикулярных отрезков,
изображенных на рисунке 39. Являются ли отрезки ЛЯ, ВЯ, CHt ABt ВС
перпендикулярами к прямой /СР?
79, Прикладывая угольник то одной, то другой стороной,
ученик через точку Л. провел две прямые, «перпендикулярные»
прямой а (рис. 40). Что можно сказать о таком угольнике?
80, Практическое задание. Образуйте пару смежных
углов, пару вертикальных углов и пару перпендикулярных прямых
перегибанием бумаги.
§ 5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Две прямые на плоскости называют параллельными, если они
не пересекаются. Если прямые а и b параллельны, пишут: а\\Ь
(рис. 41).
Представление о параллельных прямых дают нам линии в
ученических тетрадях, линии нотного стана (рис. 42),
противолежащие ребра бруска, рельсы железнодорожного пути и т. д.
Важную роль в исследовании свойств параллельных прямых
играют понятия «поперечина» и «накрест лежащие углы».
Поперечиной двух прямых называется отрезок с концами на этих
прямых. Пусть а и Ь — произвольные прямые одной плоскости,
а Л и В — любые точки,принадлежащие этим прямым (рис. 43).
Отрезок АВ — поперечина данных прямых. Две прямые и
поперечина образуют четыре угла.
Два угла, образованные прямыми и их поперечиной,
называются накрест лежащими, если они несмежные и лежат по
разные стороны от поперечины. На рисунке 43 имеются две пары
накрест лежащих углов: 1 и 4, 2 и 3.
Заслуживает особого внимания случай, когда накрест лежащие
углы какой-нибудь пары равны. Пусть, например, Z.1 = Z.4
Рис. 41
20
Рис. 42

A a
£S1 L
в в
Рис. 43 Рис. 44
(рис. 44). Тогда HZ2=Z3,a фигура, состоящая из данных
прямых и поперечины, при повороте на 180° вокруг середины
поперечины совмещается сама с собой.
Теорема 3 (признак параллельности прямых). Две
прямые параллельны, если они с поперечиной образуют равные
накрест лежащие углы.
Доказательство. Пусть F — фигура, составленная из
прямых а, Ъ и их поперечины АВ, а О — середина АВ (см. рис. 44).
Докажем, что если накрест лежащие углы 1 и 4 равны, то
прямые а и Ъ параллельны.
Предположим, что прямые а и Ь не параллельны. Тогда они
пересекаются, например, в некоторой точке Р (рис. 45). Повернем
фигуру F вокруг точки О на 180°. Так как О — середина
отрезка АВ, в результате поворота точка А йерейдет в В, В — в А
и поменяются местами стороны АО и ВО углов 1 и 4. Так как Z. 1 =
= Z. 4, луч АР пойдет по лучу BD, а луч ВР — по лучу АС. Так как
лучи АР и ВР пересекаются, то и совмещающиеся с ними при
повороте лучи BD и АС пересекаются в некоторой точке /О
Получается, что через точки К и Р проходят две несовпадающие прямые
а и Ь. Это невозможно. Как видим, предположение о том, что
прямые а и Ъ пересекаются, приводит к абсурду. Значит, прямые а и Ь
параллельны. Ц
£ А а_
'< \ . У-
D В
Рис. 45
21

Рис. 46
Рис. 47
Следствие. Две прямые, перпендикулярные третьей,
параллельны.
Ведь если aJLc и Ы.с (рис. 46), то Z.1 = Z.2=90°.
Значит, а || 6.
Параллельными бывают и лучи, и отрезки. Два луча или два
отрезка называются параллельными, если они лежат на
параллельных прямых.
81. Известно, что а||Ь. Правильно ли, что 6||а?
82. По рисунку 43 найдите:
а) меры углов 2 и 3, если Zl = 100° и Z.4=105°;
б) Z.2+^14, если Zl + Z3=170°;
в) Z.1 — Z.3, если Z.4— Z2=20°;
г) Z.4— Z1, если Z.2—Z.3=a.
83. Пользуясь рисунком 47, докажите, что:
а) если Z1 = Z4,to Z 1 + ^3 = 180° и
б) если zll + Z3=180o, то Z.1 = Z4
84. Докажите, что если накрест лежащие углы одной пары
равны, то равны и накрест лежащие углы другой пары.
85. Прямая КР пересекает прямую АВ в точке /С, а прямую
CD — в точке Р. Параллельны ли прямые АВ и CD> если /LAKP=
=90° и ZtfPC=90°?
86. Прямая КР пересекает прямую АВ в точке /С, а прямую
CD — в точке Р так, что точки В и D лежат по одну сторону от
прямой КР. Параллельны ли прямые АВ и CD, если АВКР=
= 89°39' и ZtfPD=90°21'?
87. Как можно построить параллельные прямые, пользуясь
линейкой и транспортиром?
Решение. Начертим произвольный отрезок АВ и при его
концах в разные стороны отложим равные углы ВАС и ABD (рис. 48).
22
/.2+^4 = 180°
и Z2=Z3.

:z
В D d
Рис. 48 Рис. 49
Прямые С А и BD параллельны, так как накрест лежащие углы
ВАС и ABD равны.
88. Лучи АВ и CD не пересекаются. Следует ли из этого, что
они параллельны?
89. Прямые а и Ь образуют со своей поперечиной равные острые
углы. Следует ли из этого, что а||6?
90. Как можно провести параллельные прямые с помощью
угольника?
ЭКС помощью двух одинаковых чертежных угольников
параллельные прямые можно проводить, как показано на рисунке 49.
Обоснуйте построение.
92. Закончите предложение: «Чтобы узнать, параллельны ли
данные прямые, надо начертить их поперечину и измерить накрест
лежащие углы. Если они...»
93. Практическое задание. Сделайте из бумаги и
прозрачной пленки модель для иллюстрации утверждения,
сформулированного перед теоремой 3.
§ 6. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
Задача. Даны прямая а и вне ее точка Р. Проведите через Р
прямую, параллельную а.
С помощью линейки и угольника построение можно выполнить,
как показано на рисунке 50.
Можно ли через точку Р провести две различные прямые,
параллельные прямой а? Ученые с древнейших времен были
убеждены в истинности следующего утверждения: через точку, не
лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую,
параллельную данной.
23

Древнегреческий геометр Евклид
это утверждение (в несколько иной
формулировке) принял без
доказательства (см. с. 326). А так как
утверждения, принимаемые без
доказательств, называют аксиомами, то это
утверждение называют аксиомой
Евклида. На протяжении двух
тысячелетий многие геометры пытались
доказать его, но безуспешно. Только
великий русский математик Николай
Иванович Лобачевский (1792— 1856)
положил конец этим безуспешным
попыткам. Более подробно об
исследованиях Н. И. Лобачевского
говорится в старших классах.
Аксиома Евклида в нашем
учебнике играет важную роль. Именно с ее помощью будут доказаны
многие последующие теоремы.
Теорема 4 (обратная теореме 3). Накрест лежащие углы
при параллельных прямых равны.
Доказательство. Пусть прямые АВ и CD параллельны,
а АС — их поперечина (рис. 51). Докажем, что /LBAC = /LACD.
Рис. 50
Предположим, что
АВАСф/LACD.
Тогда проведем прямую АВ\ так, чтобы Z.B\AC= AACD.
По теореме 3 AB\\\CD, а по условию AB\\CD. Получается, что
через точку А проходят две разные прямые, параллельные CD.
Это противоречит аксиоме, Евклида. Значит, сделанное нами
предположение неверно. Следовательно,
ABAC=/-ACD. 9
Следствие. Если прямая перпендикулярна одной из
параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Ведь если с±а
и а\\Ь9 то Z_2=Z.1=90°, т. е. с±Ь (рис. 46).
Теорема 5. Две прямые, параллельные третьей,
параллельны друг другу.
Доказательство. Пусть каждая из прямых а и b
параллельна прямой с. Докажем, что а\\Ь.
24

С D
Рис. 51 Рис. 52
Допустим, что прямые а и Ъ не параллельны (рис. 52). Тогда
они пересекаются в некоторой точке Р. Получается, что через
точку Р проходят две прямые а и 6, параллельные с. Это противоречит
аксиоме Евклида. Значит, прямые а и Ь не могут пересекаться, они
параллельны. Щ
94. Найдите меры трех углов, образованных двумя
параллельными прямыми с их поперечиной, если мера четвертого угла равна
35°.
95. Через точку Л, лежащую на стороне угла в 50°, проведена
прямая, параллельная другой стороне этого угла. Найдите меры
углов при вершине А. *
96. Найдите меры всех занумерованных на рисунке 47 углов,
если прямые а и Ь параллельны и: a) Z. 1=60°; б) Z.2+ Z. 3=250°;
в) ^3-Zl=50°.
97. Докажите, что если прямая пересекает одну из
параллельных прямых, то она пересекает и другую.
98. Через точку, не лежащую на прямой а, проведены три
прямые. Докажите, что по крайней мере две из них пересекают
прямую а.
99. Дано a\\b, b\\c, c\\d. Докажите, что a\\d.
100. Лучи АВ, АС и КР разные и такие, что АВ\\КР и АС\\КР.
Найдите меру угла ВАС.
101. Прямые а и Ъ не параллельны прямой с. Следует ли из
этого, что прямые а и Ь не параллельны?
102. Докажите, что два угла с соответственно параллельными
сторонами равны или в сумме составляют 180°.
103. Докажите, что биссектрисы накрест лежащих углов при
параллельных прямых параллельны.
25

104. Докажите, что если одна
поперечина образует с двумя прямыми
равные накрест лежащие углы, то и
каждая другая их поперечина
образует с ними равные накрест лежащие
углы.
105. Поперечина двух
параллельных прямых с одной из них образует
рис# 53 Угол в 80°. Под каким углом
биссектриса этого угла пересекает вторую
прямую?
106. Докажите, что если прямые со своей поперечиной
образуют неравные накрест лежащие углы, то они пересекаются.
107. Докажите, что две прямые, перпендикулярные
пересекающимся прямым, пересекаются1.
Решение. Пусть прямые а и b пересекаются, а т и п
перпендикулярны им: m-La, n±b (рис. 53). Тогда Z.1==Z.3=90°.
Предположим, что тЦ/t, т. е. 2ll = Z.2. Тогда Z.2=Z.3> из чего
следует, что а\\ fr. Это противоречит условию задачи. Значит,
прямые тип не могут не пересекаться.
108. Для проведения параллельных прямых чертежники
используют рейсшину (рис. 54). Объясните* как.чертят с помощью
рейсшины.
109. На рисунке 55 показан самодельный рейсмус. Как надо
передвигать такой рейсмус, чтобы его гвоздик отмечал на доске
прямые, параллельные ее ребрам?
110. На рисунке 56 Z1=7G\ Z2=30° и АВ^СВ. Найдите
меры углов 3, 4 и 5.
ПК.На рисунке57 £АВС=50°9 ZC£>£=36° и AB^DE.
Найдите A BCD.
Рис. 54
Рис. 55
26

Рис, 56 Рис. 57
112, Плоский напильник имеет
перекрестную насечку (рис. 58).
Одна насечка составляет с ребром
напильника угол 35°, а другая — 70°.
Найдите меру острого угла между _-v
насечками.
113. Практическое зада- Рис. 58
ние. Измерьте транспортиром угол между линиями тетради,
разлинованной в косую линейку (см. рис. 37). Определите
остальные углы. Под каким углом рекомендуется наклонять буквы
первоклассникам?
§ 7. ТЕОРЕМЫ И АКСИОМЫ
Мы уже имеем представление о теоремах. Обычно теорема
состоит из условия (того, что дано) и заключения (что требуется
доказать). Чтобы вычленить условие и заключение теоремы, ее
удобно подать в форме «если..., то...». Например: «Если углы
вертикальные, то они равны». Здесь слова перед запятой выражают
условие теоремы, а остальные—заключение.
Часто условие теоремы пишут после слова «дано», а
заключение — после «доказать». Например, теорему о вертикальных углах
можно оформить так:
Дано. Z.AOD, /.ВОС — вертикальные углы (см. рис. 32).
Доказать. AAOD=/.BOC.
Доказательство.
£AOD = №° — £AOB(AAOD, Z^AOB смежные);
/.ВОС=180°— АЛОВ(£BOCt АЛОВ смежные).
Значит, /-AOD=ABOC.
Поменяв условие и. заключение теоремы местами, получим
новое утверждение (истинное или ложное). Если полученное
27

таким способом утверждение истинно, его называют теоремой,
обратной данной.
Примеры.
1. «Если углы вертикальные, то они равны» — данная теорема.
«Если углы равны, то они вертикальные» — обратное утверждение
(ложное).
2. «Если накрест лежащие углы равны, то прямые
параллельны» — данная теорема. «Если прямые параллельны, то
накрест лежащие углы равны» — теорема, обратная данной.
Доказывая теорему, убеждаются, что она следует из других
истинных утверждений. Но в начале изучения геометрии еще
никаких «других истинных утверждений» нет. Поэтому несколько
первых утверждений обычно принимают без доказательства. Их
называют аксиомами.
Некоторые аксиомы нам уже известны:
Через любые две точки можно провести прямую, и
только одну.
Какова бы ни была прямая, существуют точки,
принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие
ей.
Из трех точек прямой только одна лежит между
двумя другими.
Каждый отрезок имеет определенную длину.
Каждый угол имеет определенную меру.
Через точку, не лежащую на данной прямой, мржно
провести только одну прямую, параллельную данной.
Полный список аксиом планиметрии приведен в § 50.
От теорем и аксиом следует отличать определения. В
определении раскрывается смысл определяемого понятия.
Примеры.
1. «Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя
точками» — определение отрезка.
2. «Острым углом называется угол, меньший прямого» —
определение острого угла.
В нашем учебнике теоремы напечатаны полужирным
шрифтом, а определяемые понятия и аксиомы — курсивом. В
определениях, аксиомах и теоремах—главное содержание геометрии. Их
надо знать, но формулировать (правильно!) можно и своими ело-*
вами. Например, определение отрезка можно формулировать и так:
«Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками»,
28

«Часть прямой, ограниченную двумя точками, называют отрезком»
и т. д.
114. Сформулируйте теорему о смежных углах. Представьте ее
в форме «если..., то...». Укажите условие и заключение.
115. Сформулируйте теорему о двух прямых, параллельных
третьей. Запишите ее в символической форме. Укажите условие
и заключение.
116. Какие из утверждений истинны: а) если углы равны, то
они вертикальные; б) если углы не вертикальные, то они не равны;
в) если углы не равны, то они не вертикальные?
117. Сформулируйте утверждение, обратное теореме о
смежных углах. Является ли оно теоремой? Почему?
118. Сформулируйте утверждение, обратное теореме 4.
Является ли оно теоремой?
119. Ученик рассуждает: «Если АВ\\КР и ВС\\РТ, то Z.l =
= Z.3=Z.2 (рис. 59). Значит, углы с соответственно
параллельными сторонами равны». Прав ли он? Рассмотрите все возможные
случаи и сделайте вывод.
120. Можно ли считать правильными определения: а)
«Биссектрисой угла' называется прямая, делящая угол пополам»;
б) «Биссектрисой угла называется луч, делящий этот угол
пополам»?
121. Прочитайте первый абзац § 3 «Углы и их меры». Сколько
в нем определяемых понятий? Сформулируйте определение этих
понятий.
122*. Сформулируйте определение параллельных прямых.
Можно ли выбросить из него слова «на плоскости»?
123. Два луча называют сонаправленными, если один из них
является частью другого или если они параллельны и расположены
по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.
Приведите примеры.
124. Докажите теорему: «УглЬг с со-
направленными сторонами равны».
Решение. Докажем, что если
лучи ВА и Р/С, ВС и РТ сонаправлены, то
углы ABC и КРТ (или Z.1 и Z2)
равны.
Если данные углы расположены,
как показано на рисунке 59 или 60,
29

Tfp т
С
Рис. 60 Рис. 61
то Z.1 = Z.3 и Z.3=Z.2. Следовательно, Z.l = /12. Если
данные углы расположены, как показано на рисунке 61, то в
соответствии с теоремами 4 и 2 имеем Z. 1 = Z.3, Z3=Z4, Z.4= Z.5,
Z5= Z.2. Значит, и в этом случае Z.1 = Z.2. Итак, углы с сона-
правленными сторонами всегда равны.
Глава III
ТРЕУГОЛЬНИКИ
§ 8. ТРЕУГОЛЬНИК И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ
Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить
отрезками, получим треугольник. На рисунке 62 изображен
треугольник ABC (пишут: AABG). Точки А, В, С — вершины, а
отрезки АВ, ВС, СА — стороны, этого треугольника. Каждый
треугольник имеет три вершины и три стороны.
Всевозможные треугольники встречаются во многих заводских
конструкциях, в подъемных кранах и т. д. Несколько треуголь- |
ников можно увидеть в дельтаплане (рис. 63).
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его
С
Л
А В
Рис. 62 Рис. 63
30
с ст)

сторон. Действительно, вершина С
треугольника ABC не лежит на
стороне Л В, поэтому АВ <А С+СВ (см.
§ 2). По той же причине ВС<ВА +
+АСп СА<СВ+ВА.
Сумму длин всех сторон
треугольника называют его периметром.
Отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоле- Рис- 64
жащей стороны,— медиана треугольника. Отрезок биссек-.
трисы угла треугольника от его вершины до противолежащей
стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный
из вершины треугольника на прямую, содержащую
противолежащую сторону,— высота треугольника. На рисунке 64 показаны
медиана СМ, биссектриса CL и высота СН треугольника ABCt
проведенные из вершины С. Каждый треугольник имеет три
медианы, три биссектрисы и три высоты.
Углами треугольника ABC называют углы ВАС, АВС9 АСВ.
Каждый треугольник имеет три угла (отсюда и название —
треугольник).
Если-треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют
соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником.
У остроугольного треугольника все углы острые.
На рисунке 65 изображены остроугольный, прямоугольный и
тупоугольный треугольники.
Теорема 6. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть ABC — произвольный
треугольник (рис. 66). Через его вершину С проведем прямую КР,
параллельную АВ. Углы А и КСАУ В и РСВ накрест лежащие при
параллельных прямых АВ и /СР. Поэтому
/-А + АС+ Z5= AKCA + ААСВ+ АРСВ.
Рис. 65
31

Рис. 66 Рис. 67
Сумма углов КСА, АСВ и РСВ равна 180°, так как вместе они
образуют развернутый угол. Итак,
ZM + ZB+ZC=180°.
Следствие. В треугольнике не может быть более одного
тупого или прямого угла.
Замечание. Понятно, что в теореме 6 идет речь о сумме мер
углов треугольника. Но для сокращения формулировок принято
вместо «мера угла» говорить «угол».
125. Начертите какой-нибудь треугольник. Обозначьте его
вершины буквами /С, Р, Г. Назовите его стороны и углы.
126. Существует ли треугольник9 стороны которого равны
3 см, 4 см и 8 см?
127. Стороны треугольника 3,8 см, 4,5 см и 7,5 см. Найдите
его периметр.
128. Две стороны треугольника 3 дм и 8 дм. Может ли его
периметр быть 15 дм? а 22 дм?
129. Постройте какой-нибудь остроугольный треугольник ABC.
Проведите из вершины С его медиану, биссектрису и высоту.
130. Постройте какой-нибудь треугольник КРТ. Проведите все
его медианы.
131. Являются ли отрезки AAU BBU CC\t изображенные на
рисунке 67, высотами треугольника ABC?
132-. Можно ли построить треугольник с углами 60°, 70° и 80°?
133°. Два угла треугольника 20° и 80°. Найдите третий угол.
134. Один угол прямоугольного треугольника 30°. Найдите
остальные углы.
135. Докажите, что сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°.
136. Углы треугольника пропорциональны числам 1, 2 и 3. До-*
кажите, что это — прямоугольный треугольник.
32

Рис. 68
Z.B = 40°, CL — биссектриса. Найди-
137. Найдите углы A ABC, если Z.4+Z.B = 100° и Z.B +
+ АС=120°.
138. Дан угол ЛВС, равный 30°. Под каким углом прямая АС
пересекает его сторону ВС, если сторону ВА она пересекает под
углом 45°?
139. В A ABC Z.A = 60°, Z_B = 30°, СН и CL — высота и
биссектриса. Найдите /LHCL,
140. В ДЛВС Z4 = 80(
те ACLA.
141. В A ABC Z.4 = 80°, Z_C = 40°. Под каким углом
пересекаются биссектрисы углов Л и В?
142. В ААВС СН — высота. Найдите ААСН и АВСН, если:
а) АА = 30° и ZB = 60°; б) Z4 = 30° и ZB = 120°.
143. Угол, смежный с углом треугольника, называют внешним
углом треугольника. Докажите, что внешний угол треугольника
равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним.
Решение. Пусть АКАС — внешний угол А АВС (рис. 68).
Тогда /LKAC= 180°— ABA С (по свойству смежных углов),
Z.B+Z.C=180°— ABAC (по теореме 6).
Значит,
/LKAC=AB+AC.
144. Найдите сумму углов А\ В,
С, D и Е пятиугольной звезды,
изображенной на рисунке 69.
145. Прямолинейный тоннель АВ
решили пробивать с двух сторон
горы (рис. 70). Правильно ли выбра-
2 Заказ 223
33

ли направления А\А и В\ВУ если измерения показывают: А.А\ =
= 50°10', АВХ = 48°20; АС = 80°5'?
146. В ААВС углы Л и В равны. Докажите, что биссектриса
внешнего угла треугольника при вершине С параллельна
стороне АВ.
147. Практическое задание. Проведите в
каком-нибудь треугольнике все три биссектрисы. Что вы заметили? Можно
ли после этого утверждать, что в каждом треугольнике все три
биссектрисы проходят через одну точку? а если вместо биссектрис
провести медианы треугольника?
§ 9. О РАВЕНСТВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
На рисунке 71 изображены два треугольника. Представьте, что
один из них нарисован на бумаге, а другой — на прозрачной
пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совместить
с первым. Говорят, что данные треугольники можно совместить
движением, поэтому они равны. Равными бывают не только
треугольники, но и отрезки, углы, окружности и другие фигуры. Две
фигуры называются равными, если
движением их можно совместить.
Изображенные на рисунке 72
фигуры тоже равны, так как их можно
совместить, перегнув лист бумаги по
прямой /. А фигуры на рисунке 73 не
равны: никаким движением их
совместить невозможно.
Для обозначения равных фигур
используют знак равенства =. На-
р 71 пример, если равны треугольники
Щ
Рис. 72
Рис. 73
34

ABC и KPT, пишут AABC= АКРТ. Если каждая из двух
фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры тоже равны.
С равными фигурами людям приходится иметь дело очень
часто. В форме равных прямоугольников выпускают листы железа,
фанеры, паркетины, облицовочные плитки. Равны все листы
бумаги в пачке, все страницы в книге, все буквы «а» в слове
«математика» и т. д.
Чтобы определить, равны ли две фигуры, надо попытаться
их совместить. Но на практике это не всегда можно сделать.
Например, невозможно таким способом проверить, равны ли
земельные участки. Поэтому приходится искать другие способы,
устанавливать признаки равенства тех или иных фигур. Например,
если радиусы двух окружностей равны, то равны и окружности.
Это — признак равенства окружностей. В следующем параграфе
мы рассмотрим признаки равенства треугольников.
148. Можно ли совместить движением два отрезка: ЛВ = 3 м и
С£> = 4 м?
149. Можно ли совместить движением углы, меры которых 40°
и 45°?
150. Правильны ли следующие утверждения: «Если длины
отрезков равны, то равны и отрезки», «Если равны отрезки, то равны
и их длины»?
151. Всегда ли один из вертикальных углов можно совместить
с другим?
152. Один из двух смежных углов можно совместить с другим.
Каковы их меры?
153. Даны два луча. Можно ли один из них совместить с
другим? Как это сделать?
154. Какие из фигур на рисунке 74 равны?
155. Прямая, проходящая через центр окружности, разбивает
ее на две полуокружности. Равны ли они? Как одну из этих
полуокружностей можно совместить с
другой?
156. Треугольники ABC и А\В\С\
можно совместить так, чтобы совпали
вершины А и А и В и Ви С и Си
Совпадут ли при этом их стороны АВ и
А\Ви АС и АхСи ВС и ВХС{? а
медианы AM и А{Мх? Равны ли их
биссектрисы AL и AiLi? Рис. 74
1ГЕЭС
НЕ U
35

Рис. 75
157. Бывают ли равными
прямоугольный и тупоугольный
треугольники? а остроугольный, и тупоугольный?
158. Треугольники ABC и КРТ
равны. Равны ли их периметры?
159. Периметры А ЛВС и АКРТ
равны. Равны ли эти треугольники?
160. Фигуры ABCD и КРТН равны
(рис. 75.). Найдите меру угла Т и
расстояние ЛТ, если BD = 3,8 cm, a
ZB = 70°.
161. Найдите углы треугольника ЛВС, если аАВС= АКРТ
и AK=Z.P=AT.
162. Стороны АВ и КР треугольников ABC и КРТ не равны.
Следует ли из этого, что данные треугольники не равны?
163. Могут ли быть равными два треугольника, если их
наименьшие стороны не равны?
164. Наибольшие углы двух треугольников не равны.
Докажите, что данные треугольники не равны.
Рис. 76

Решение. Пусть А АВС и л КРТ такие, что
l_A> <LB> Z.C и Z./C> Z.P> Z.7\ Если бы данные
треугольники можно было совместить, то наибольший угол А первого
треугольника совместился бы с наибольшим углом К второго.
Но это невозможно, так как ААФ Z./C. Значит, данные
треугольники не равны.
165. Найдите периметр треугольника КРТ, если АКРТ=
= ААВС, ДВ = 3 см, ВС=4 см, ЛС=5 см.
166. Равны ли изображения всадников на рисунке 76?
167. Практическое задание. Начертите ААВС на
бумаге и АА\В\С\ — на прозрачной пленке так, чтобы их можно
было совместить.
§ 10. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Если треугольники АВС и А\В\С\ равны, значит, их можно
совместить движением. При совмещении вершин AnAXt В иВх,С и
С\ совместятся стороны АВ и AxBXi ВС и BxCXl СА и СХАХ и углы А
иАиВ иВь Си С\. Итак, если ААВС= ААхВхСи то АВ=АХВХ,
ВС=ВхСи CA = CXAU /LA=Z-AU S-B=<LBU Z.C=£CX.
Но чтобы доказать равенство треугольников АВС и AxBxCXt
необязательно доказывать все эти шесть равенств. Достаточно
убедиться в истинности только некоторых из этих равенств.
Теорема 7 (первый признак равенства треугольников).
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны
соответственно двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть АВС и А\В\СХ — два
треугольника, у которых AB = A\BU АС=АХСХ и AA=/LAX (рис. 77).
Докажем, что ААВС— ААхВхСх.
Наложим ААХВХС\ на А АВС так, чтобы точка Ах
совместилась с Д, точка Вх — с В, а сторона АХСХ пошла по АС. Это можно
сделать, так как по условию А\ВХ= д£
=ЛВ и /LA\ = /LA. Так как отрезок
А\С\ равен АС, то при таком
наложении точка Сх совместится с С.
В результате все вершины ААХВХСХ
совместятся с соответствующими
вершинами А АВС. Значит ААХВХСХ =
= ЛЛВС. Щ
37

Теорема 8 (второй признак
равенства треугольников). Если
сторона и два прилежащих к ней угла
одного треугольника равны
соответственно стороне и двум прилежащим
к ней углам другого треугольника,
то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть ABC
и А\В\С\—треугольники, у которых
AB=AiBu /LA = AAi и АВ=АВ{
(рис. 78). Докажем, что треугольник ABC и треугольник А\В\С\
равны.
Наложим АА\В\С\ на ААВС так, чтобы точка А\ совпала с Л,
точка #i — с 5, а сторона А\С\ пошла по АС. Это можно сделать,
так как по условию АВ~А\В\ и Z-Л =*= ААи Вследствие того что
Z.B==Z.Bi, сторона В\С\ пойдет по ВС. При таком наложении
луч А\С\ совместится с лучом АС, а В\С\ — с ВС. Значит, точка
Си в которой пересекаются лучи А\С\ и В\Си совпадает с точкой
С пересечения лучей АС и ВС. Итак, &А\В\С\ можно совместить
с ААВС.
Значит, AAiBiCi = &ABC. Щ
168. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = ОВ
и CO = OD. Докажите, что ААОС= ABOD.
169. Отрезки КР и EF пересекаются в точке М так, что
КМ=МР и EM=MF. Найдите расстояние КЕ, если длина отрезка
PF равна 12 см.
170. Ученики построили в тетрадях треугольники по двум
сторонам 3 см и 5 см и углу 60Q между ними. Равны ли эти
треугольники?
171°. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так; что
AO = OD и СО = ОВ. Докажите, что AC=BD.
172°. Отрезки А В и CD пересекаются в точке О, которая
является серединой каждого из них. Докажите, что АС и BD
параллельны. .
173. Пусть AM — медиана треугольника ABC и МК=МА
(рис. 79). Докажите, что треугольник АСМ равен
треугольнику КВМ.
174. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя
точками Л и Я, между которыми нельзя пройти по прямой
38

Рис. 79
Рис. 80
пересекающая
D. Найдите расстояние Л С, если
(рис. 80), выбирают такую точку С, из
которой можно пройти к Л и В. Потом
на прямых АС и ВС откладывают
отрезки СТ=АС и СР = СВ. Расстояние РТ
равно расстоянию АВ. Почему?
175. Предыдущую задачу можно
решить иначе (рис. 81): откладывают
АВСМ=АВСА и СМ = СА. Тогда
АВ=ВМ. Почему?
176. Через концы отрезка АВ
проведены параллельные прямые АС и BDt a
через середину О отрезка АВ — прямая,
эти прямые в точках С и
BD = 8 см.
177. Отрезки равной длины А В и CD пересекаются в точке О
так, что АО —ОС. Докажите, что JLABC = Z.ADC и Z.BAD =
= Z.BCD.
178. Докажите, что ААВС= АА\ВхС\, если АС*=А\Си
£А = /_АХ и ZB=ZB,.
179*. Докажите, что в равных треугольниках медианы,
проведенные к равным сторонам, равны.
180. Два ученика построили в тетрадях треугольники по
стороне 5 см и прилежащим к ней углам 30° и 70°. Равны ли эти
треугольники?
181°. На биссектрисе угла А отмечена точка D, а на сторонах
угла — точки В и С так, что угол BDA равен углу ADC. Докажите,
что DB = DC.
182. Биссектриса AL треугольника ABC перпендикулярна
стороне ВС. Докажите, что АВ=АС.
39

Рис. 82
183. На рисунке 82 AD = CFt Z.1 = Z2 и Z.3=Z4.
Докажите, что AABC=ADEF.
184. Две стороны треугольника равны. Докажите, что и
медианы, проведенные к этим сторонам, равны.
Р'ешение. Пусть у ААВС ЛВ=ЛС, ВК и СР — медианы
(рис. 83). АР=АК как половины равных сторон. Тогда дДВ/С=
= ААСР (у них ЛВ=ЛС, АК=АР и угол А общий). Значит,
ВК=СР.
185. Чтобы найти расстояние между пунктами А и X (рис. 84),
по одну сторону от реки отметили точки В и С так, чтобы
выполнялись равенства Z.1 = Z.2, Z.3=Z.4. Искомое расстояние АХ
равно АС. Почему?
186*. Докажите равенство треугольников по медиане и углам,
на которые медиана разбивает угол треугольника.
§ 11. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник называется равнобедренным, если у него две
стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника
называют боковыми сторонами, а третью — основанием (рис. 85).
Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют раз-
посторонним. Треугольник, все стороны которого равны,—
равносторонним. Равносторонний треугольник — частный вид
равнобедренного.
Теорема 9. В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию,
является медианой и высотой.
Доказательство. Пусть АВС — равнобедренный
треугольник с основанием ВС (рис. 86). Биссектриса AL разбивает
40

Рис. 85 Рис. 86
его на треугольники ABL и ACL. Так как АВ=АС, AL=AL и
Z.BAL= Z.CAL, то aABL = A ACL. Из равенства треугольников
следует:
1) Z.B=Z.C, т. е. углы при основании треугольника ABC
равны;
2) BL = CL9 т. е. AL — медиана данного треугольника;
3) Zi4LB=Z.i4LC=90°, т. е. AL — высота треугольника
ЛВС. В
Теорема 10. Если в треугольнике два угла равны, то он
равнобедренный.
Доказательство. Пусть в ААВС Z.B=/LC (cm.
рис. 86). Докажем, что АВ=АС. Проведем биссектрису AL, она
разбивает данный треугольник на два: AABL и AACL. У них
ZB=ZCh ABAL=ACALt поэтому Z.ALB=AALC. По
стороне AL и двум прилежащим углам ABAL= ACAL. Значит,
АВ=АС. ■
Из теорем 9 и 10 следует, что в треугольнике против равных
сторон лежат равные углы и против равных углов — равные
стороны.
Треугольники
Равнобедренные
Равносторонние
Неравнобедренные
Неравносторонние
41

Теорема 11 (третий признак равенства треугольников).
Если три стороны одного треугольника равны соответственно
трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть ABC и АКВ\С\ — треугольники,
у которых AB = AXBU BC = SiC,, СА = С\АХ (рис. 87). Докажем,
что эти треугольники равны.
Приложим к ААВС треугольник А\В\СХ так, чтобы вершина
А\ совпадала с Л, вершина В\ — с Б, а АА\В\С\ занял положение
ААВС2. Соединив отрезком точки С и С2, получим
равнобедренные треугольники АСС2 и ВСС2. Их углы при основаниях
равны: Z.1 = Z.2 и Z.3 = Z4. Если отрезки АВ и СС2
пересекаются, то Z4CB=Z.1 + Z.3=Z2+Z.4=Z.4C2B. Значит,
ААВС= ААВС2 (по двум сторонам и углу между ними).
Если отрезки АВ и СС2 не пересекаются, то угол АСВ равен
разности Z3— Z. 1 или Z. 1 — Z.3, а угол ЛС2В — разности
Z.4— Z2 или^2—Z.4. (Сделайте соответствующие рисунки.)
Во всех случаях /-ACB=-Z-AC2B, и поэтому дЛВС= ААВС2.
По построению лЛВС2= A^iBiCi. Итак, если выполняется
условие теоремы, то всегда ААВС= АА\В\С\. Q
187. Основание равнобедренного треугольника равно 5 см, а
боковая сторона 6 см. Найдите периметр.
188. Периметр равнобедренного треугольника 12 см, а боковая
сторона 5 см. Найдите основание.
189. Угол при вершине равнобедренного треугольника 80°.
Найдите угол при основании.
190. Угол при основании равнобедренного треугольника 30°.
Найдите угол при вершине.
191. Найдите углы равнобедренного треугольника, если
разность двух из них равна 30°. Рассмотрите два случая.
42

192. Докажите, что сумма двух С
неравных углов равнобедренного
треугольника больше 90°.
193. Найдите углы равнобедренного
треугольника, если один из них вдвое
больше другого.
194. Угол при вершине равнобед- ^ о
ренного треугольника 80°. Найдите
угол между era основанием и высотой, рис gg
проведенной к боковой стороне.
195. Угол при вершине равнобедренного треугольника 30°.
Найдите угол между высотами, проведенными к боковым
сторонам.
196. Докажите, что треугольник равнобедренный, если: а) его
медиана является и высотой; б) его высота является и
биссектрисой.
197. Докажите, что в каждом равнобедренном треугольнике
биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны.
198. Докажите, что в треугольнике против большего угла
лежит большая сторона, а против большей стороны — больший угол.
Решение. 1) Пусть в А АВС угол А больше угла В (рис. 88).
Проведем внутренний луч А К угла А так, чтобы £КАВ= Z.B.
Это сделать можно, так как Z.A>Z.B. Если луч АК пересекает
отрезок СВ в точке /(, то АКАВ равнобедренный, ВК=АК.
Значит, ВС = ВК+КС=АК+КС>АС.
2) Пусть ВС>АС. Докажем, что ЛА> Z.B. Предположив,
что Z.j4<Z.B, получаем следствие: BC^iAC. Это противоречит
условию. Значит, Z.A> А В.
199°. Какой из углов треугольника АВС является наибольшим,
если ЛВ = 7, ВС = 9, ЛС = 5?
200. В А АВС АВ = ВС. Найдите длину медианы BD, если
периметры треугольников ABD и АВС соответственно равны
40 см и 50 см.
201. Медиана равнобедренного треугольника делит его
периметр на части, равные 18 см и 24 см. Найдите стороны
треугольника.
202. Отрезки равной длины АВ и CD пересекаются в точке М
так, что AM = MD. Докажите, что ААВС= ADCB.
203. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если
равны их основания и высоты, проведенные к основаниям.
43
йч

204. Докажите, что если два угла треугольника равны по 60°,
то он равносторонний.
* 205. Докажите, что в равностороннем треугольнике: а) все
три угла равны; б) все три медианы равны.
206. Докажите, что если К, Р> Т — середины сторон
равностороннего треугольника, то АКРТ равносторонний.
207. Практическое задание. Вырежьте из бумаги
остроугольный, прямоугольный и тупоугольный равнобедренные
треугольники и путем их перегибания продемонстрируйте
истинность теоремы 9.
§ 12. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов
прямой. Сумма двух других его углов равна 90°.
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против
прямого угла,— гипотенуза] две другие стороны — катеты (рис. 89).
Позже нам понадобятся признаки равенства прямоугольных
треугольников. Из теорем 7 и 8 непосредственно следует, что
прямоугольные треугольники равны:
1) если катеты одного соответственно равны катетам другого;
2) если катет и прилежащий острый угол одного соответственно
равны катету и прилежащему углу другого;
3) если гипотенуза и острый угол одного соответственно
равны гипотенузе и-острому углу другого.
Еще один признак равенства прямоугольных треугольников
нуждается в специальном доказательстве.
Теорема 12. Если катет и гипотенуза одного
прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе
другого, то такие треугольники равны.
Катет В С В2 Cf Bf
Рис. 89 Рис. 90
44

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и А\В\С\
^C==Z.Ci=90°, АВ=А\ВХ и АС=АХС\ (рис. 90). Докажем,
что aABC=aAiBiCu
На луче, дополнительном к лучу СВ, отложим отрезок СВ2,
равный С\В\, и проведем отрезок ЛВ2. Треугольники ЛiSiCi и
Л52С равны по*двум катетам. Поэтому АВ2=А\В\=АВ, т. е.
треугольник ВАВ2 равнобедренный, Z.B— ZB2. По гипотенузе
и острому углу ААВС= ААВ2С, а по построению дЛВ2С=
= A4iBiC,. Итак, ДЛВС= дЛ1В1С1. Ц
В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше
катета, потому что она лежит против большего угла (см.
задачу 198).
Введем еще несколько важных понятий, связанных с
прямоугольным треугольником. Если АНМ — прямоугольный
треугольник с прямым углом Я, то его катет АН является
перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой НМ (рис. 91). Гипотенузу
AM называют еще наклонной, проведенной из точки А к прямой
НМ, а катет НМ — проекцией наклонной AM на прямую НМ.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки к прямой,
короче наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.
Проекция наклонной всегда меньше самой наклонной.
Расстоянием от точки А до прямой НМ называют длину
перпендикуляра АН. Вообще же под расстоянием между двумя
фигурами понимают расстояние между ближайшими точками
этих фигур (если такие точки существуют). Например,
расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине
поперечины, перпендикулярной этим прямым (рис. 92); расстояние
между точкой К и отрезком Р7\ изображенным на рисунке 93,
равно длине отрезка КТ.
h
Ь
/
И М
Рис. 91
Рис. 92
Рис. 93
45

,1
208. Один угол прямоугольного треугольника равен 30°. Най-
. дите остальные его углы. j
209. Один из острых углов прямоугольного треугольника на
10° больше другого. Найдите эти углы.
210. Углы треугольника пропорциональны числам 3, 8, 5.
Докажите, что это — прямоугольный треугольник.*
211. Один из углов треугольника на 30° больше другого и на
30° меньше третьего угла. Найдите все углы этого треугольника.
212. Найдите углы прямоугольного равнобедренного
треугольника.
213. Докажите, что биссектрисы острых углов прямоугольного
треугольника пересекаются под углом 45°.
214. Найдите углы прямоугольного треугольника, если
биссектрисы двух его углов пересекаются под углом 70°.
215*. Могут ли биссектрисы двух углов прямоугольного
треугольника пересекаться под углом 40°?
216. Найдите углы прямоугольного треугольника, если его
высота, проведенная из вершины прямого угла, образует с
катетом угол 50°.
217°. Из точки D, лежащей на биссектрисе угла В, опущены
перпендикуляры DA и DC на стороны угла. Докажите, что
DA = DC.
218°. Точка В лежит на внутреннем луче угла Л, ВК и ВМ —
перпендикулярны к сторонам угла, причем ВК=ВМ. Докажите,
что АВ — биссектриса угла А.
219°. Прямая т пересекает отрезок АВ в точке О, являющейся
серединой отрезка АВ. Докажите, что точки А и В находятся на
одинаковом расстоянии от прямой т.
220. По рисунку 94 объясните, как найти ширину реки на
основании свойств прямоугольного равнобедренного треугольника.
Рис. 94 Рис. 95 Рис. 96
-46

221. Прямоугольные треугольники ABC и А\ВХС расположены,
как показано на рисунке 95. Найдите угол АСА\, если АВСВ{ =а.
222. Докажите, что если катет и противолежащий угол
одного треугольника соответственно равны катету и
противолежащему углу другого, то такие треугольники равны.
223. Докажите, что катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
Решение. Пусть в ААВС Z.C=90°, Z.A=30° (рис. 96).
Докажем, что ВС = 0,5ЛВ. Для этого на прямой ВС отложим
отрезок CD, равный СВ, и проведем отрезок AD. AACD = aACB
(по двум катетам). Поэтому Z.B = AD= Z.B4D = 60°, AABD
равносторонний. Значит, BD=ABt БС = 0,5ДВ.
224. В треугольнике ABC Z.C=90°, Z.i4=60°, AB=32 см.
Найдите АС.
225*. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное
приведенному в задаче 223.
226. В ААВС ЛВ = 18 см, Z,5 = 30°, Z.C=90°. Найдите:
а) расстояние от точки А до прямой СВ\ б) длину проекции
наклонной АВ на прямую АС.
227. В ААВС Z.j4 = Z.B=45°Hi4S = 19cM. Найдите: а)
расстояние от точки С до прямой АВ\ б) длину проекции отрезка АС
на прямую АВ.
228. Найдите расстояние между параллельными прямыми,
если длина поперечины, образующей с ними углы в 30°, равна
54 см.
Глава IV
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
И ОКРУЖНОСТИ
§ 13. ПРОСТЕЙШИЕ ПОСТРОЕНИЯ
Рассмотрим, как можно выполнять простейшие
геометрические построения с помощью линейки и циркуля.
Задача 1. Постройте треугольник с заданными сторонами
а, 6, с (рис. 97).
Решение. Откладываем отрезок СВ, равный а. Раствором
Диркуля, равным с, описываем, дугу с центром В. С той же стороны
от прямой СВ описываем дугу радиуса Ъ с центром С. Точку А
47

Рис. 97
пересечения этих дуг соединяем отрезками с С и В. Треугольник
ABC искомый, его стороны равны данным отрезкам: ВС=а,
AC=bt AB=c.
Задача имеет решение, если a<b + c, b<a+c и с<Са-\-Ь.
Задача 2. Постройте угол, равный данному.
Решение. Пусть АО В — данный угол и требуется построить
равный ему угол КРТ (рис. 98). Строим луч РТ. Проводим дуги
равных радиусов с центрами О и Р. Пусть первая дуга
пересекает стороны угла АО В в точках А и В, а вторая — луч РТ
в точке Г. Раствором циркуля, равным АВ, описываем третью
дугу с центром Г. Если она пересечет вторую дугу в точке /С,
проводим луч Р/С. Угол КРТ искомый. Он равен данному углу
AOBt потому что АКРТ= ААОВ (по трем сторонам). А
соответствующие углы равных Треугольников равны.
Задача 3. Постройте биссектрису данного угла.
Решение. Пусть АОВ — данный угол (рис. 99).
Произвольным радиусом опишем дугу с центром О. Пусть А и В — точки
пересечения этой дуги с лучами О А и ОВ. Из центров А и В опишем
дуги равных радиусов. Если точка их пересечения D лежит во
внутренней области данного угла, проводим луч OD. Это —
биссектриса /LAOB. Z.AOD=£DOB, так как aAOD=aBOD
(по трем сторонам).
Задача 4. Разделите данный отрезок пополам.
48

Решение. Пусть АВ — данный отрезок (рис. 100). Из точек
А и В радиусом АВ описываем дуги. Если они пересекаются в
точках С и D, проводим прямую CD. Точка М пересечения
прямых АВ и CD — середина отрезка АВ.
Действительно, AACD= A BCD (по трем сторонам). Поэтому
/LACM= /LBCM. Тогда ААСМ=АВСМ (по первому
признаку). Значит, АМ=ВМ.
Задача 5. Через данную точку Р проведите прямую,
перпендикулярную данной прямой а.
В зависимости от того, лежит или не лежит точка Р на
прямой а, задачу можно решать, как показано на рисунке 101
или 102. Опишите и обоснуйте эти построения самостоятельно.
Задача 6. Через точку Р, не лежащую на прямой АВ,
проведите прямую, параллельную АВ.
М
/к
р
Рис. 101

к
Рис. 103 Рис. 104
Решение. Через данную точку Р и произвольную точку Л
прямой АВ проводим прямую (рис. 103). Строим угол Л Р/С,
равный углу PABt так, чтобы эти углы оказались накрест
лежащими при прямых Р/С, АВ и поперечине АР. Прямая Р/С искомая.
Действительно, она проходит через точку Р и параллельна ЛВ,
так как /-КРА=£РАВ.
229. Постройте треугольник, равный данному.
230. Постройте равносторонний треугольник по его стороне.
231. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и
боковой стороне.
232. Постройте прямой угол.
233°. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам.
234. Постройте треугольник по двум данным сторонам и углу
между ними.
235. Постройте треугольник по данной стороне и двум
прилежащим углам.
236. Постройте углы в 45° и 22,5°.
237. Разделите данный угол на четыре равные части.
238. Постройте угол вдвое больший данного острого угла.
239°. Разделите данный отрезок на четыре равные части.
240v Как разделить на две равные части отрезок, длина
которого в несколько раз больше максимального раствора циркуля?
241. Постройте отрезок вдвое больше данного.
242. Разделите данную дугу окружности на две равные части.
243. Прямую, проходящую через точку Р и параллельную
прямой а, можно строить, как показано на рисунке 104. Обоснуйте
этот способ построения.
50

244. Начертите треугольник и постройте его медианы.
245. Дан треугольник. Постройте его биссектрисы.
246*. Дан треугольник. Постройте его высоты.
247*. Через данную точку проведите прямую, пересекающую
данную прямую под данным углом.
§ 14. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
Пусть точка М — середина отрезка АВ. Она равноудалена
от концов А и В этого отрезка. А какие еще точки плоскости
равноудалены от Л и В?
Проведем через точку М прямую, перпендикулярную АВ, и
отметим любую точку К на этой прямой (рис. 105). Она
равноудалена от Л и В. Действительно, прямоугольные
треугольники КМА и КМВ равны по двум катетам, поэтому /04 =/(В. Значит,
каждая точка прямой КМ равноудалена от А и В.
А нет ли таких точек плоскости, которые не лежат на
прямой КМ, но равноудалены от А и В? Допустим, что такая точка Р
существует (рис. 106). Так как РА=РВ, то треугольник РАВ
равнобедренный, его медиана РМ является и высотой, PMJ-AB.
Выходит, что сумма двух прямых углов РМВ и КМА не равна
180°. Это неправильно. Значит, вне прямой КМ нет точек,
равноудаленных от Л и В.
Итак: 1) каждая точка прямой КМ равноудалена от А и В и
2) каждая точка плоскости, равноудаленная от А и В, лежит на
прямой КМ. Говорят, что прямая КМ — геометрическое место
точек, равноудаленных от А и В.
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно
ему, называют серединным перпендикуляром данного отрезка.
Поэтому доказанное выше утверждение можно сформулировать
Рис. 105
51

так: геометрическое место точек, равно-ч
удаленных от концов отрезка, есть
серединный перпендикуляр этого отрезка.
Вообще геометрическим местом то-
чек называется фигура, состоящая из
всех тех, и только тех точек, которые
обладают определенным свойством.
Иногда вместо «геометрическое место
точек» говорят «множество точек».
Задача. Найдите геометрическое
место точек, равноудаленных от
сторон угла и находящихся в его
внутренней области.
Решение. 1) Пусть М — точка внутренней области угла,
равноудаленная от его сторон ОА и ОВ (рис. 107).
Перпендикуляры МА и MB, опущенные из точки М на стороны угла,
равны. Тогда АМОА = аМОВ (по катету и гипотенузе),
ААОМ= /-ВОМ. Значит, точка М лежит на биссектрисе
данного угла.
2) Пусть М — произвольная точка биссектрисы ОМ
угла АОВ (см. рис. 107). Если МА и MB — перпендикуляры к
сторонам угла, то АОАМ= АОВМ (по гипотенузе и острому углу).
Значит, МА=МВУ точка М равноудалена от сторон угла. Итак,
геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон,
является биссектриса этого угла.
Замечание. Здесь имеются в виду углы, меньшие
развернутого.
248. Даны точки Л и В. Постройте геометрическое место
точек, равноудаленных от А и В.
249. Чем является геометрическое место точек, находящихся
на данном расстоянии от данной точки?
250. Чем является геометрическое место центров равных
окружностей, проходящих через данную точку?
251. Найдите геометрическое место центров окружностей,
проходящих через две данные точки.
252. Найдите геометрическое место точек, находящихся на
данном расстоянии от данной прямой.
253. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от
двух данных параллельных прямых.
52

254. Можно ли утверждать, что
точка К равноудалена от сторон угла
АОВ (рис. 108)?
255*. Постройте геометрическое
место точек плоскости, равноудаленных от к
сторон данного угла.
256*. Найдите геометрическое место
точек, равноудаленных от двух данных рИс. 108
пересекающихся прямых.
§ 15. ОКРУЖНОСТЬ
Окружность — это геометрическое место точек плоскости,
находящихся на данном расстоянии от данной точки — центра.
Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром,
называют радиусом, а отрезок, соединяющий две любые точки
окружности,— хордой. Хорда, проходящая через центр,— диаметр
окружности (рис. 109).
Каждый диаметр окружности состоит из двух радиусов,
поэтому его длина вдвое больше длины радиуса. Если хорда не
проходит через центр окружности, ее длина меньше диаметра.
Окружности строят циркулем. Считается, что из любой точки
как из центра на плоскости можно описать окружность
произвольного радиуса, и только одну.
Прямая и окружность могут иметь
две общие точки, одну общую точку или
не иметь общих точек (рис. 110). Прямая,
которая имеет с окружностью две общие
точки, называется секущей.
Прямая, имеющая с окружностью
только одну общую точку,— касатель-
Рис. К
©0 О
Рис. ПО
53

пая к окружности. Их общая
точка — точка касания. Точка касания
лежит на окружности, поэтому она
удалена от центра окружности
на расстояние, равное радиусу. Все
остальные точки касательной лежат
вне окружности. Из этого следует,
что касательная к окружности пер
пендикулярна ее радиусу,
проведенному в точку касания. Чтобы
в данной точке К окружности построить касательную, надо i
провести в эту точку радиус О/С, потом — прямую КМ, перпен- ||
дикулярную этому радиусу (рис. 111).
Если две несовпадающие окружности имеют две общие точки,
говорят, что они пересекаются (рис. 112). Если две окружности
имеют только одну общую точку, говорят, что они касаются |
в этой точке. Касание окружностей бывает внешним и
внутренним (рис. 113).
Форму окружности имеют обод колеса, спортивный обруч, |
кромка круглого стакана и т. д. Колесо, стоящее на рельсе,—
материальная модель окружности и касательной. Колесико
наматывающего механизма, прижатое к шкиву швейной машины,—
О0
Рис. 112
Рис. 114
54
Рис. 113
модель касающихся окружностей. На^
схематическом изображении
шарикоподшипника (рис. 114) тоже имеется
несколько пар касающихся окружностей.
257, Начертите какую-нибудь
окружность. Проведите ее радиус, диаметр,
хорду, отличную от диаметра.

258. Радиус окружности 2,5 см.
Найдите ее диаметр. Может ли ее
хорда иметь б см?
259. Докажите, что хорда
окружности, не проходящая через центр,
меньше диаметра.
260. Даны окружность и отрезок.
Постройте хорду, равную данному
отрезку.
261. Дана окружность с
центром О. В скольких точках пересекает Рис. 115
ее: а) прямая ОА\ б) луч ОМ;
в) отрезок ОХ?
262. Сколько различных касательных можно провести к
окружности через данную точку, лежащую: а) вне окружности; б) на
окружности; в) внутри окружности?
263. Через точку А к одной окружности проведены
касательные АВ и Л С, В и С — их точки касания. Докажите, что АВ=АС.
Решение. Радиусы ОВ и ОС, проведенные в точки касания,
перпендикулярны касательным (рис. 115). Поэтому
треугольники ОАВ и О АС прямоугольные. Они равны (по катету и
гипотенузе). Значит, АВ=АС.
264. Радиусы двух окружностей 3 см и 4 см, а
расстояние между их центрами 5 см. Имеют ли эти окружности общие
точки?
265. Окружности с центрами О и 0\ пересекаются в
точках Л и В. Докажите, что: а) АОАО{ = АОВОх\ б) АОАВ и
АО\АВ равнобедренные.
266. Окружности с центрами О и 0\ пересекаются в
точках Л и В. Каждак из этих окружностей проходит через центр
другой. Найдите меры углов ЛОВ и ОАО\.
267. Каждая из трех окружностей проходит через центры двух
Других. Докажите, что их центры — вершины равностороннего
треугольника.
268. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены
от центра.
269. Докажите, что если две хорды равноудалены от центра
окружности, то они равны.
270. Как построить касательную к данной окружности: а)
параллельную данной прямой; б) перпендикулярную данной прямой?
55

Рис. 116
271. Постройте окружность
данного радиуса, проходящую через ]
две данные точки.
272*. Постройте окружность, ка-]
сающуюся двух данных
параллельных прямых и проходящую через
данную между ними точку.
273*. Вершины треугольника -
центры попарно касающихся
окружностей радиусов г, Г\ и г2. Найдите периметр треугольника.
274*. Найдите геометрическое место центров окружностей,
касающихся сторон угла.
275*. Найдите геометрическое место центров равных
окружностей, касающихся данной прямой.
276. Даны точка О и отрезок длины а. Найдите геометрическое
место точек, удаленных от О на расстояние не больше а.
277. Садовник прочерчивает окружность для клумбы с
помощью веревки и колышка (рис. 116). Почему начерченная таким
способом фигура — окружность? Получится ли окружность, если
веревка будет наматываться на колышек?
§ 16. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ
Угол, вершина которого совпадает с центром окружности,
называют центральным углом. Стороны центрального угла
рассекают окружность на две дуги. Одна из них лежит во
внутренней области центрального угла; говорят, что она соответствует
данному углу. Например, выделенная на рисунке 117 дуга АС
соответствует центральному углу АОС и наоборот. Центральный
угол может быть и больше развернутого.
Каждая дуга имеет угловую меру — меру соответствующего
центрального угла. Например, если Z.AOQ=50°, то и угловая
мера дуги АС равна 50°. Пишут: ЛС = 50°. Угловая мера всей
окружности равна 360°.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны
пересекают эту окружность, называется вписанным в данную
окружность. Если во внутренней области вписанного угла ABC
находится дуга окружности АС, говорят, что данный вписанный
угол опирается на дугу АС (рис. 118).
56

Рис. 117 Рис. 118
Теорема 13. Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда
одна из сторон вписанного угла ABC, например ВС, проходит
через центр окружности О (рис. 119). Соединив точки Л и О
отрезком, получим треугольник АОВ, у которого ОА = ОВ и,
следовательно, Z.A = Z.B. Тогда
ААОС= 180°— ААОВ= £А + АВ = 2£В,
откуда ZB = 0,5 AAOC = 0,5 АС.
Если ни одна из сторон вписанного угла ABC не проходит
через центр окружности, то, проведя диаметр BD, получим
</ЛВ£ = 0,5 AD и ZDBC=0,5 Ёб.
В случае, изображенном на рисунке 120, имеем
£ABC=Z.ABD+Z.DBC=0,5{AD + i?£)=0,5 АС.
Если центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 121),
то
ААВС= AABD- Z.DBC=0,5 (Л£-ДС)=0,5 АС.
Рис. 121
57

Рис. 122
Рис. 123
Итак, вписанный угол всегда измеряется половиной дуги, на
которую он опирается. Щ
Следствия. 1) Вписанный угол, опирающийся на
полуокружность (на диаметр), прямой (рис. 122).
2) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
(рис. 123).
278. Отметьте на окружности точки Л и В и постройте
центральный угол, соответствующий дуге АВ.
279. Найдете угловую меру: а) полуокружности; б) четверти
окружности.
280. Найдите отношение угловых мер дуг, на которые
окружность рассекается сторонами центрального угла в 60°.
281. Шестерня имеет 28 зубьев (рис. 124). Сколько градусов
ее окружности занимает один зуб вместе со впадиной?
282. Найдите меру вписанного угла, опирающегося на третью
часть окружности.
283. Мера вписанного угла 70°. Найдите угловую меру дуги,
на которую он опирается.
284. В окружности проведены две хорды: АВ и АС. Найдите
меру угла ВАС, если угловые меры дуг АС и АВ равны 32° 15' и
78°55'.
285. Угол между двумя радиусами
равен 105°34'. Найдите угол между
касательными, проведенными через
концы этих радиусов.
286. Мячи Л, В, С и штанги
ворот /С, Р расположены на одной
окружности (рис. 125). Какой угол
больше: КАР, КВР или КСР?
рис. 124 287. Окружность разделена на три
58

Рис. 125 Рис. 126
дуги, угловые меры которых пропорциональны числам 6, 7 и 11;
точки деления соединены отрезками. Найдите углы полученного
треугольника.
288. Две точки делят окружность в отношении 14:16. Найдите
угол между касательными, проходящими через эти точки.
289, Докажите, что угол, вершина которого лежит внутри
окружности, измеряется полусуммой двух дуг, из которых одна
заключена между сторонами угла, а другая — между их
продолжениями.
Решение. Пусть прямые АЕ и CD пересекаются в точке J3,
находящейся внутри окружности. Докажем, что угол ABC
измеряется полусуммой дуг Л С и DE (рис, 126). Проведем отрезок AD.
Углы А и D вписанные, поэтому Z.АВС~ 180°— /LABD^
= Z.A+Z.D=0f5 D£+0,5 АС=Ъ£(АС+Ж}.
290*. Докажите, что отрезки двух равных пересекающихся
хорд одной окружности соответственно равны.
291*. Окружность разделена на три части, пропорциональные
числам 3, 4, 5, и через точки деления проведены касательные.
Вычислите меры углов полученного треугольника.
292*. Через конец хорды, делящей окружность в отношении
3:5, проведена касательная. Найдите острый, угол между
касательной и хордой.
293*. Основание равностороннего треугольника служит
диаметром полуокружности. На какие части делятся стороны
треугольника этой полуокружностью, а полуокружность — сторонами
треугольника?
59

§ 17. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
С геометрическими построениями приходится иметь дело
многим специалистам. Чертежники почти все свое рабочее время
занимаются построениями. Всевозможные построения выполняют
архитекторы, конструкторы, геодезисты, топографы, штурманы.
Даже слесарь, столяр, закройщик, садовник нередко выполняют
построения: слесарь — на жести, закройщик — на ткани,
столяр — на доске и т. д.
В § 13 показано, как выполнять простейшие построения.
Дальше рассмотрим, как решать более сложные задачи на построение.
В задаче на построение требуется построить геометрическую
фигуру, удовлетворяющую тем или иным условиям. Если не
указано, с помощью каких инструментов нужно выполнять
построение, значит, имеются в виду только линейка и циркуль.
Решение4 задачи на построение обычно состоит из анализа, в
котором ищется способ решения, построения и доказательства.
Задача. Постройте треугольник, если заданы сторона,
прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон (рис. 127).
Решение. Анализ. Предположим, что искомый
треугольник ABC построен. У него сторона с и угол А = а даны. Дан еще
отрезок а + Ь. По двум данным отрезкам с и а + b и углу а между
ними можно построить AABD. Вершина С искомого треугольника
должна лежать на отрезке AD так, чтобы выполнялось
равенство CD = CB. Значит, С —точка на серединном перпендикуляре
отрезка BD.
Построение; По данным двум отрезкам и углу между
ними строим AABD и серединный перпендикуляр / отрезка BD.
Находим точку С пересечения отрезка AD и прямой /.
Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. В A ABC AB = c и Л = а (по построе-
, 2*£ ,
1
Рис. 127
5 7со
60

нию), AC+CB=AC+CD = a + b. Значит, ААВС удовлетворяет
всем услрвиям задачи.
Задача имеет решения только при условии, что с<Ь + а.
Если способ решения задачи на построение известен,
описывать анализ нет надобности.
294°. Постройте равнобедренный треугольник по основанию
и прилежащему углу.
295. Постройте равнобедренный треугольник по основанию
и высоте, прореденной к основанию.
296. Постройте прямоугольный треугольник: а) по гипотенузе
и острому углу; б) по гипотенузе и катету; в) по катету и
прилежащему острому углу; г) по катету и противолежащему острому
углу.
297. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане,
проведенной к одной из них.
298. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте,
опущенной: а) на одну из них; б) на третью сторону.
299. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме
другого катета и гипотенузы.
300. На данной прямой укажите точку, которая находится
на данном расстоянии от другой данной прямой.
301. На данной прямой укажите точку, равноудаленную от
двух данных точек.
302. Постройте окружность, которая касается сторон данного
угла, причем одной из них — в данной точке.
303. Проведите через данную точку прямую, касающуюся
данной окружности.
'Решение. Если данная точка А лежит на окружности
(рис. 128), проводим луч О А, а потом — прямую АК, перпен-
Рис. 128 Рис. 129
61

1
•1м
дикулярную ОА. Прямая АК —■ касательная к данной окруж-II
ности и проходит через точку Л. II
Если данная точка Л лежит вне окружности (рис. 129), то II
на отрезке АО как на диаметре описываем окружность. Она пере-1|
сечет данную окружность в некоторых точках К и Р. Тогда пря- II
мые АК и АР — искомые касательные. (Почему?) ||
Если данная точка лежит внутри окружности, через нее каса- II
тельную провести невозможно. ||
304. Постройте геометрическое место точек, из которых дан- ||
ный отрезок виден под прямым углом. ||
305. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и ?|
высоте, опущенной на гипотенузу. '*[
306*. Постройте геометрическое место точек, из которых дан- \
ный отрезок виден под данным острым углом. Л
307*. Постройте треугольник по стороне, противолежащему I
ей острому углу и высоте, проведенной из вершины этого угла. . I

8 класс
Глава V
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
§ 18. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ-
Если четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной
прямой, последовательно соединить непересекающимися
отрезками, получим четырехугольник. Отрезки, образующие
четырехугольник, называются сторонами, их концы — вершинами.
На рисунке 130 изображен четырехугольник ABCD. Точки
Л, Bt Ct D — его вершины, отрезки ЛВ, BCt CDt DA — стороны,
/LABCy /LBCDy ACDAy A DAB — углы четырехугольника ABCD.
Каждый четырехугольник имеет четыре стороны, четыре вершины
и четыре угла (отсюда и название — четырехугольник).
Углы четырехугольника, не прилежащие к одной стороне,
называют противолежащими углами; стороны, не имеющие общих
концов,— противолежащими сторонами четырехугольника.
Сумма длин всех сторон четырехугольника — его периметр.
В отличие от треугольника четырехугольник — фигура
нежесткая (рис. 131). Четыре стороны не за- А В
дают однозначно четырехугольник.
Четырехугольник разбивает плоскость на
две области: внутреннюю и внешнюю. На
рисунке 132 внутренняя область
четырехугольника заштрихована.
Если каждый из углов
четырехугольника меньше развернутого, его называют
А
Рис. 130
Рис. 131
Рис 132
63

Рис. 133
I \ выпуклым. Четырехугольник называется не-
I \ выпуклым, если у него имеется угол боль-
/ \ ше развернутого. Например, четырехуголь-
/ \ ник ABCD невыпуклый, так как его угол
Рис. 134 ПРИ вершине D больше развернутого (см.
рис. 132).
Вершины четырехугольника называют соседними, если ода
являются концами одной из его сторон. Вершины, не
являющиеся соседними, называют противолежащими. Отрезок,
соединяющий две противолежащие вершины четырехугольника,—
диагональ. Каждый четырехугольник имеет две диагонали.
Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются (рис. 133, а),
а невыпуклого — не пересекаются (рис. 133, б).
Четырехугольник, у которого только две стороны параллельны,
называется трапецией (рис. 134). Параллельные стороны
трапеции называют ее основаниями, а две другие — боковыми
сторонами. Трапецию с равными боковыми сторонами, называют
равнобокой или равнобедренной.
308. Начертите какой-нибудь четырехугольник. Укажите его
противолежащие стороны, вершины, углы.
309. Сколько разных четырехугольников можно построить по
данным сторонам: 5 см, 7 см, 9 см и 11 см?
310. Существует ли четырехугольник- со сторонами 3, 5, 8
и 16?
311. Докажите, что в четырехугольнике длина любой стороны
меньше суммы длин трех других.
312. Постройте четырехугольник по данным сторонам: 4 см,
4 см, 3 см, 2 см — и углу 60° между равными сторонами.
313. Найдите длины сторон четырехугольника, если его
периметр 21 см, а одна из сторон вдвое меньше каждой из остальных.
64
^

314. Четырехугольник разделен диа- * В
гональю на два треугольника, периме- У*!
тры которых а и 6. Найдите длину >^ /
этой диагонали, если периметр че ы. У^ I
рехугольника равен с. У^ А
315. Каждая сторона четырехуголь - *^***ч^ ^-\
ника и одна его диагональ имеют дли- >ц\
ну а. Найдите углы этого четырехуголь- ^ч"^^^/7
ника.
316. Все стороны четырехугольника Рис. 135
равны. Докажите, что его
противолежащие углы равны.
317. Докажите, что сумма углов четырехугольника равна 360°.
Доказательство. Пусть дан четырехугольник ABCD
(рис. 135). Одна из диагоналей разбивает его на два
треугольника. Сумма углов четырехугольника равна сумме всех углов
обоих треугольников. Значит,
AA + Z.B+Z.C+ AD= 180° +180°=360°.
318. Существует ли четырехугольник, у которого все углы
острые?
319. Три угла четырехугольника прямые. Докажите, что и
четвертый его угол прямой.
320. Найдите углы четырехугольника, если они
пропорциональны числам 1, 2, 3 и 4.
321. Два угла трапеции равны 100° и 50°. Найдите меры ее
остальных углов.
322°. ABCD — равнобокая трапеция с основаниями ВС и AD\
ВМ и С К — перпендикуляры, опущенные на основание AD.
Докажите, что ААВМ= ADCK.
323*. Углы четырехугольника пропорциональны числам 3, 4, 5
и 6. Имеются ли в нем параллельные стороны?
324*. Диагональ трапеции лежит на биссектрисе ее угла.
Докажите, что две стороны этой трапеции равны. Равнобокая
ли она?
325. Практическое задание. Сделайте из планочек
модели треугольника и четырехугольника (см. рис. 131) и
покажите, что треугольник — фигура жесткая, а четырехугольник —
нежесткая.
3 Заказ 223
65

§ 19. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ
Четырехугольник, у которого каждая сторона параллельна
противолежащей, называется параллелограммом (рис. 136).
Параллелограмм — четырехугольник выпуклый.
Теорема 14 (признак параллелограмма). Если в четырех*
угольнике две .противолежащие стороны равны и параллельны»
то он — параллелограмм.
Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD
AB = CDvi AB\\CD (рис. 137). Докажем, что ABCD —
параллелограмм.
Диагональ АС данного четырехугольника — поперечина
параллельных прямых АВ и CD. Значит, Z1 = Z.2. По двум
сторонам и углу между ними треугольники ABC и CDA равны.
Следовательно, равны углы 3 и 4, т. е. накрест лежащие углы,
образованные поперечиной АС с прямыми ВС и AD. Итак, в данном
четырехугольнике ABCD AB\\CD и AD\\CB, т. е. он —
параллелограмм. Щ
Теорема 15 (свойства параллелограмма). У каждого
параллелограмма: 1) противолежащие стороны равны; 2)
противолежащие углы равны; 3) диагонали точкой пересечения делятся
пополам.
Доказательство. Пусть ABCD — произвольный
параллелограмм (см. рис. 137). Его диагональ АС — поперечина двух
пар параллельных прямых: АВ и CD, AD и СВ. Значит, Z. 1 = /L2
и Z3=z!4 как накрест лежащие при параллельных прямых,
ААВС= ACDA (по стороне АС и прилежащим к ней углам).
Из равенства этих треугольников следует: 1) AB = CD, AD = CB
и 2) Z.B=^Z-D, ^ = ^l-fZ4=Z2 + Z.3=Z.C.
3) Если четырехугольник ABCD — параллелограмм, а его
диагонали АС и BD пересекаются в точке О (рис. 138), то ААОВ =
= ACOD (£l = /L2, Z5=Z6 и AB = CD). Поэтому АО = ОС
и BO = OD. Щ
В С
ZZ7
A D
Рис. 136 Рис. 137
66

Чтобы задать параллелограмм,
достаточно указать длины его со-
еедних сторон и угол между ними
или длины соседних сторон и
одной диагонали.
Форму параллелограмма имеют
части перил лестничных проемов в
домах, главные узлы многих кон- ^ис- ^
струкций: домкратов, весов (рис. 139) и др. На странице тетради,
разлинованной в косую линейку, имеется много сотен различных
параллелограммов.
326. Какие из изображенных на рисунке 140 фигур —
параллелограммы?
327. Один из углов параллелограмма равен 50°. Найдите
остальные углы.
328°. В параллелограмме ABCD отмечены точки: М — на
стороне ВС и К — на стороне AD, причем МК^АВ. Докажите,
что АВМК — параллелограмм.
329. Докажите, что сумма углов, прилежащих к одной стороне
^параллелограмма, равна 180°.
330. Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике ABCD
АВ = СВ и AD — BC, то он — параллелограмм.
331. Под каким углом пересекаются биссектрисы двух углов
параллелограмма, прилежащих к одной стороне? ч
332. Найдите углы параллелограмма, если одна из его
диагоналей равна стороне параллелограмма и перпендикулярна ей.
Рис. 139
Рис. 140
67

333. Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сто- 3
рону под углом 29°. Найдите углы параллелограмма. Я
334. Периметр параллелограмма 48 см, одна из сторон 13 см. И
Найдите длины остальных сторон. ||
335. Найдите длину диагонали АС параллелограмма ABCD, Я
если его периметр 40 дм, а периметр треугольника ABC равен Я
27 дм 1
336. Периметр параллелограмма 32 см. Найдите его стороны, II
если две из них относятся как 3:5. ]|
337. Периметр параллелограмма 48 см. Найдите его стороны, I
если сумма двух из них равна 32 см. I
338. Постройте параллелограмм по двум данным сторонам I
и углу. I
339. Постройте параллелограмм по двум сторонам и диаго- I
нали. I
340. Постройте параллелограмм по диагоналям и углу между I
ними. I
341. Постройте параллелограмм по данным стороне и двум I
диагоналям. I
342. Сколько можно построить параллелограммов с верши- I
нами в трех заданных точках, не лежащих на одной прямой? I
343. В параллелограмме ABCD Z.4 =30°, АВ= 12 дм. Найди- I
те расстояния от точки С до прямой AD и до отрезка AD. I
344. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса I
его угла одну из сторон делит на части 5 см и 3 см. I
345. Докажите, что если диагонали четырехугольника пере- I
секаются и точкой пересечения делятся пополам, то он — па- I
раллелограмм. Сформулируйте и докажите обратное утвержде- I
ние. I
346. Докажите, что если каждый угол выпуклого четырех- I
угольника равен противолежащему углу, то этот четырехуголь- I
ник — параллелограмм. I
Решение. Пусть в четырехугольнике ABCD АА = АС и I
Z.B=AD. Докажем, что ABCD — параллелограмм (см. рис. 137). I
Если АА = £С, то Z.1 + Z4= Z.2+ Z.3. I
Если ZB=ZD, то Z1 + Z3=Z2+Z4. I
Из двух этих равенств следует: I
1) Z. 1 = Z. 2, откуда АВ\\ CD (накрест лежащие углы равны); I
2) Z.3=Z.4, откуда AD\\CB (по той же причине). ч
Значит, ABCD — параллелограмм. ||
68 1

Рис. 141
Рис. 142
347. Вне параллелограмма ABCD с острым углом А построены
равносторонние треугольники АВМ и DCT. Докажите, что
АМСТ — параллелограмм.
348. Объясните принцип действия механической рейсшины
(рис. 141).
349. Практическое задание. Для проведения
параллельных прямых штурманы используют параллельные линейки
(рис. 142). Сделайте такие линейки и покажите, как ими
пользоваться.
§ 20. ПРЯМОУГОЛЬНИК, РОМБ, КВАДРАТ
Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется
прямоугольником (рис: 143).
Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:
у него противолежащие стороны равны, противолежащие углы
равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Но имеет
он и другие свойства.
В прямоугольнике диагонали равны (рис. 144).
B*z г*С
Рис. 143
Рис. 144
69

Рис. 145
Рис. 146
Действительно, если ABCD— прямоугольник, то аАВС=
= ADCB (по двум катетам). Значит, AC=DB.
В форме прямоугольника выпускают листы жести, фанеры,
стекла, писчей бумаги, шьют простыни, одеяла, ткут ковры. Форму
прямоугольника имеют грани кирпича, спичечной коробки,
паркетины, облицовочные плитки и т. д.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется
ромбом (рис. 145). Так как ромб является параллелограммом,
он обладает всеми свойствами параллелограмма. Но имеет он
и свои, только ему присущие свойства.
Теорема 16. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны
и делят углы ромба пополам.
Доказательство. Пусть ABCD — ромб, а О — точка
пересечения его диагоналей (рис. 146). Докажем, что BDJLAC
и что, например, Z-ABD= Z.CBD. Так как О — середина
диагонали АС и АВ = ВС, то медиана ВО равнобедренного
треугольника ABC является его высотой и биссектрисой. Значит, ВО±.АС
и ААВО^АСВО. Ц
Ромб, у которого все углы прямые, называется квадратом
(рис. 147). Квадрат является и ромбом, и прямоугольником.
Поэтому он имеет все свойства прямоугольника и ромба: у него
все углы прямые, все стороны равны, диагонали равны и взаимно
перпендикулярны.
Параллелограммы
ff-'ffilT) Ромбы
HUKU V'~w*r У
Рис. 147
Рис. 148
70

Соотношение между рассмотренными видами
параллелограммов можно изобразить рисунком 148. Здесь показано, что каждый
прямоугольник и каждый ромб — параллелограммы. А квадрат
одновременно является и ромбом, и прямоугольником, и
параллелограммом.
350. Докажите, что каждая сторона прямоугольника меньше
его диагонали.
351. Меньшая сторона прямоугольника равна 7 см. Найдите
длины диагоналей, если они пересекаются под углом 60°.
352. Диагональ прямоугольника равна d и образует со
стороной угол в 30°. Найдите длину меньшей стороны прямоугольника.
353. Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны,
то он — прямоугольник.
354°. Через точку D, лежащую на гипотенузе прямоугольного
треугольника АВС% проведены прямые, параллельные катетам.
Они пересекают катеты ВС и АС соответственно в точках F и Е.
Докажите, что DFCE — прямоугольник.
355. Докажите, что если у четырехугольника все углы равны,
то он — прямоугольник.
356. Найдите периметр прямоугольника ABCD9 если
биссектрисы его углов А и В делят сторону CD на три части, по 3 см
каждая.
357. Постройте прямоугольник по данной диагонали и углу
между диагоналями.
358. Постройте прямоугольник по его стороне и диагонали.
Решение. Чтобы построить прямоугольник A BCD, у
которого АВ = а и BD = d (рис. 149), строим сначала прямой угол
BAD. На его стороне откладываем отрезок АВ = а9 а из точки В
как из центра описываем дугу
окружности радиуса d.«Пусть эта дуга
пересечет луч AD в точке D. Проводим i '
прямые CD ||ДВ и BC\\AD. Четырех- i -
угольник ABCD — искомый.
Действительно, он —
параллелограмм, так как DC\\AB и BC\\AD.
По построению АА=90°. Значит,
ABCD — прямоугольник. Его сторона
АВ и диагональ BD равны данным
отрезкам: and. Задача имеет решение
пРи a<d. рис. 149
71

359*. Постройте прямоугольник по диагонали и разности двух
сторон.
360. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник.
Докажите, что, из какой бы точки его гипотенузы ни опустили
перпендикуляры на катеты, получится прямоугольник одного и того же
периметра.
361. Угол ромба равен 50°. Найдите угол между меньшей
его диагональю и стороной.
362. Сторона ромба равна а, а угол 150°. Найдите расстояние
между его противолежащими сторонами.
363. Найдите углы ромба, если одна из его диагоналей равна
стороне.
364°. В ромбе ABCD угол А равен 140°. Определите углы
треугольника АОВ (О — точка пересечения диагоналей).
365. Докажите, что если диагональ параллелограмма делит
его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.
366. Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны
равны, является ромбом.
367. Постройте ромб: а) по стороне и диагонали; б) по двум
диагоналям; в) по стороне и углу.
368. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба
равноудалена от всех его сторон.
369. Какую форму имеет четырехугольник, вершинами
которого являются середины сторон прямоугольника?
370. Постройте квадрат по данной: а) стороне; б) диагонали.
371. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого
равны и перпендикулярны, является квадратом.
372. Диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны.
Является ли он квадратом?
373*. Диагональ первого квадрата является стороной
второго, диагональ второго — стороной третьего. Найдите отношение
периметров первого и третьего квадратов.
374*. Дан прямоугольник с неравными сторонами. Докажите,
что биссектрисы его углов своим пересечением образуют квадрат.
§ 21. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Свойства параллелограмма можно применять при
решении задач и доказательстве теорем. Приведем несколько
примеров.
72

Рис. 150
Теорема 17 (теорема Фалёса). Если параллельные
прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне
равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой
его стороне.
Доказательство. Пусть параллельные прямые АВ, А\В\
и А2В2 пересекают сторону О А угла АОВ в точках Л, А\, А2, а
сторону ОВ — в точках В, Ви В2 (рис. 150). Докажем, что если
АА{=А{А2, то ВВ\=ВХВ2.
Проведем через А\ прямую КК2, параллельную О В и
пересекающую прямые АВ и А2В2 в точках К и /(2. При этом образуются
равные треугольники АА\Кн А2А\К2 (у них АА\=А\А2, Z1 = Z.2
и Z3=Z.4). Значит, КА{=А{К2. Но КАХВ{В и 4itf2B2Bi —
параллелограммы; если К,А\=А\К2> то и BBi=BiB2. В
Задача. Разделите данный отрезок Л В на п равных частей.
Решение. Проведем луч АС и отложим на нем равные
отрезки ААи А\А2, А2Аг, ..., Ап-\Ап (рис. 151). Проведем прямую
АпВ, а через точки А\у A2t ..., Ап-\ — прямые, параллельные АпВ.
Рис. 151
73

Рис. 152 Рис. 153
Они разделят данный отрезок АВ на п равных отрезков. Это
следует из теоремы Фалеса.
Средней линией треугольника называется отрезок,
соединяющий середины двух его сторон.
Теорема 18. Средняя линия треугольника параллельна
одной из -его сторон и равна ее половине.
Доказательство. Пусть КР — средняя линия ААВС
(рис. 152). Проведем через точку Р прямую, параллельную АС.
По теореме Фалеса она пересекает отрезок АВ в его середине /С,
т. е. содержит среднюю линию КР. Первая часть теоремы
доказана.
Проведем еще среднюю линию РТ. Она параллельна АВ,
поэтому четырехугольник АКРТ— параллелограмм. По свойству
параллелограмма КР=АТ. По теореме Фалеса АТ=ТС. Значит,
/СР=0,5ЛС. Ц
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий
середины ее боковых сторон.
Теорема 19. Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть КР — средняя линия трапеции
ABCD, а прямые ВР и AD пересекаются в точке Т (рис. 153).
Треугольники ВСР и TDP равны (CP=PD, Z.BPC=£TPD,
ABCP=/LTDP). Значит, BC=DT и ВР=РТ. Средняя линия
КР данной трапеции является и средней линией треугольника АВТ.
По теореме 18 о средней линии треугольника КР\\АТ и КР = 0>5АТ.
Значит, KPWAD и КР = 0,5 (AD+ВС). Щ
375. Разделите данный отрезок на три равные части.
376. Разделите данный отрезок на четыре равные части двумя
способами.
74

377. Стороны треугольника 3 м, 4 м, 5 м. Найдите периметр
треугольника, отсеченного от данного треугольника его средней
линией.
378. Стороны треугольника 8 см, 10 см, 14 см. Найдите
стороны трапеции, отсеченной от данного треугольника его средней
линией.
379. Докажите, что средние линии треугольника разбивают
его на четыре равных треугольника.
380. Стороны треугольника а, 6, с. Найдите периметр
треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного
треугольника.
381. В треугольнике ABC отмечены точки: D — середина
стороны АВ, Е — середина стороны ВС и F — середина стороны АС.
Докажите, что ADEF — параллелограмм.
382. Докажите, что середины сторон четырехугольника
являются вершинами параллелограмма.
383. Диагонали четырехугольника равны d\ и d2. Найдите
периметр четырехугольника, вершинами которого являются
середины сторон данного четырехугольника.
384. Основания трапеции равны 0,5 м и 0,7 м. Найдите ее
среднюю линию.
385. Средняя линия трапеции на т больше меньшего
основания. На сколько она меньше большего основания?
386. Концы отрезка удалены от прямой на 6 см и 14 см. Как
удалена от этой прямой середина отрезка? Рассмотрите два
случая.
387* Основания трапеции относятся как 4:5, а средняя линия
равна 36 см. Найдите основания.
388. Боковая сторона трапеции разделена на три равные
части, и из точек деления
проведены к другой стороне отрезки,
параллельные основаниям. Найдите
Алины этих отрезков, если основания
трапеции равны 4 дм и 10 дм.
Решение. Пусть у трапеции
ABCD основания Л£>=10 дм, ВС=
**4 дм, АЕ=ЕК=КВ, EF\\AD и
*n\AD (рис. 154). Проведем
отрезки EElt KKx и ВВи
параллельные CD.
76

Образованные при этом четырехугольники B\BCD, K\KMB\t
EiELKi — параллелограммы.
ABX=AD —ВС=6, Л^1 =£",/Ci = /CiBi =6:3=2.
Значит,
KP=KM + MP=2+4 = 6t
EF = EL + LF=2+6 = 8.
Ответ. 6дм и 8 дм.
389. Диагонали трапеции пересекают ее среднюю линию КР в
точках Е и F. Докажите, что KE=FP.
390*. Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на три
равные части. Как относятся основания этой трапеции?
391*. Докажите, что отрезок, соединяющий середины
диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен полуразности
оснований.
Глава VI
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 22. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Если точки фигуры F сместить каким-нибудь способом,
получим новую фигуру F\. При этом, если разные точки фигуры F
переходят (отображаются) в разные точки фигуры F\9 говорят
о геометрическом преобразовании данной фигуры.
Пример геометрического преобразования — параллельный
перенос. Пусть дана фигура F (рис. 155). Если каждую ее точку
сместить в одном и том же направлении (по сонаправленным
лучам — см. задачу 123) на одно и то же расстояние ХХи полу-

Рис. 156
чим фигуру F\. Говорят, что параллельный перенос,
отображающий точку X на, Хи отображает фигуру F на Fx.
Периодически повторяющиеся одинаковые рисунки на тканях,
обоях, кружевах, вышивках (рис. 156) можно считать
выполненными с помощью параллельных переносов. То же можно сказать
о повторяющихся этажах многоэтажного здания или секциях
ограды (рис. 157), об отдельных паркетинах паркетного пола,
плитах на площадях (рис. 158), о букве «е» в этой строке и т. д.
С параллельными переносами фигур приходится иметь дело
многим специалистам.
Теорема 20. Если при параллельном переносе фигуры ее
точки X и У отображаются на Х\ и Yx, то расстояния XY и X\Y\
равны.
Доказательство. При параллельном переносе отрезки
ХХ\ и YY\ равны и параллельны или лежат на одной прямой.
Если они равны и параллельны, то четырехугольник XX\Y\Y —
параллелограмм. Следовательно, XY=XXYX (см. рис. 155).
Если отрезки ХХ\ и YY\ равны и лежат на одной прямой, то
XY= \ХХХ - YXX | = | YYX - YXX | = ХХ Yx.
Итак, всегда XY=XXYX. Ц
Рис. 157 Рис. 158
77

f
Рис. 159
Доказанную теорему кратко формулируют так: при
параллельном переносе сохраняются расстояния между точками.
Решая геометрическую задачу или доказывая теорему, иногда
выполняют параллельный перенос фигуры или ее части. В таком
случае говорят о методе параллельного переноса*
392. Являются ли геометрическими преобразованиями
представленные на рисунке 159 отображения: а) полуокружности на
отрезок; б) окружности на отрезок; в) окружности на ромб?
393. Отметьте точки Л, А\ и В. Постройте точку В и в которую
переходит точка В при параллельном переносе, отображающем
А на А\.
394. Даны отрезок АВ и точка /С. Выполните параллельный
перенос отрезка АВ так, чтобы его середина отобразилась на
точку /С.
395. Постройте фигуру, в которую переходит данный
треугольник ABC при параллельном переносе, отображающем точку А
на С.
396. Постройте фигуру, в которую переходит данный парал-
_-2_
78

лелограмм ABCD при параллельном иереносе,. отображающем
точку Л на С.
397. Выполните параллельный перенос данной прямой АВ
так, чтобы ее точка А отобразилась на данную точку С.
Рассмотрите два случая: а) С^АВ; б) С£АВ.
398. Выполните параллельный перенос данной окружности
так, чтобы ее центр О отобразился на данную точку О,.
399. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
Решение. Допустим, что задаче удовлетворяет трапеция
ABCD, у которой AD = b, ВС=а, AC=du 5D=rf2 (рис. 160)
Выполним параллельный перенос диагонали так, чтобы ее конец
В перешел в С. В результате получим AACDU у которого
AC=du CDi=d2,ADi = a+b, так какDD\=BC=a. Треугольник
ACDi построить можно (по трем сторонам). Проводим прямую
СВ, параллельную Л£>,, откладываем на ней отрезок СВ=а
а на прямой ADt — отрезок DxD=a. Трапеция ABCD — та что
требовалось построить. У нее ВС=а, AD=(a + b)—a==b AC=d,
BD = CDi=d2. ' '
400. Постройте трапецию по основаниям и углам при одном
из оснований.
401. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
402. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании
равны.
403. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане,
проведенной к третьей стороне.
404. В результате параллельного переноса окружности радиуса
г получили окружность, касающуюся данной. На какое расстояние
перенесена окружность?'
405. В каком месте следует строить мост КР,
перпендикулярный берегам канала, чтобы путь АКРВ между пунктами А а В
был кратчайшим (рис. 161)?
Рис. 161
Рис. 162
79

*£П
406. Даны угол ABC и прямая /. Постройте отрезок АС
данной длины а так, чтобы он был параллелен прямой / и чтобы
его концы принадлежали сторонам угла ABC.
407. Является ли геометрическим преобразованием отображе
ние фигуры F в F\, представленное на рисунке 162? Сохраняются
ли расстояния между точками при этом преобразовании?
408. Практическое задание. Вырежьте из плотной
бумаги шаблон и с его помощью нарисуйте несколько фигур,
каждая из которых получается при параллельном переносе
другой фигуры.
§ 23. ДВИЖЕНИЯ И РАВЕНСТВО ФИГУР
Геометрические преобразования, сохраняющие расстояние
между точками, называют движениями. Параллельный перенос —
пример движения. Позже мы рассмотрим и другие движения
фигур, а сейчас отметим их общие свойства.
Теорема 21. Точки, лежащие на прямой, при движении
переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок
их взаимного расположения.
Доказательство. Пусть точки Л, В, С при движении
переходят соответственно в точки А и Вь С\. Докажем, что если
точка Б лежит между Л и С, tohBi лежит между А \ и С\ (рис. 163).
Предположим, что точка В\ не лежит между А\ и С\. Тогда
А\С\<.А\В\-\-В\С\. Но при движении расстояния сохраняются:
A\Ci=ACt A\B\=ABt В\С\ = ВС. Как видим, из допущения
следует, что АС<САВ + ВС. Это противоречит условию, ибо если
точка В лежит между Л и С, то АС=АВ + ВС. Значит, точка В\
лежит между А\ и С\. Щ
Из доказанной теоремы следует, что при движении прямая
переходит в прямую, отрезок — в равный ему отрезок,
треугольник — в равный ему треугольник и
т. д.
Рис. 163
С помощью движения можно
сформулировать общее определение
равенства геометрических фигур.
Две фигуры называются равными,
если они движением переводятся
одна в другую. Из этого
определения следует, что:
«0

1. Каждая фигура равна самой себе.
2. Если фигура F равна F\, то и фигура F\ равна F.
3. Если фигура F равна Fu г. F\ равна F2, то фигуры F
и F2 равны.
Рассмотренные ранее понятия равенства отрезков, углов и
треугольников соответствуют этому общему определению
равенства фигур, так как равные отрезки, углы и треугольники
движением можно совместить.
Замечание. О движении говорят и в физике. Но там это
понятие имеет иной смысл. Физическое движение
характеризуется траекторией, скоростью, ускорением и т. д. В геометрии
под движением понимают вид геометрического преобразования,
только переход от начального положения фигуры к конечному.
409. Докажите, что при движении отрезок отображается на
отрезок.
410. Докажите, что при движении угол отображается на
равный ему угол.
Решение. Пусть дан угол ABC (рис. 164). Соединив
отрезком произвольные точки А и С его сторон, получим
треугольник ABC. Движением отрезки АВ, ВС и СА отображаются на
соответственно равные отрезки А\В\, В\С\, С\А\, ААВС =
= АА\В\С{ (по трем сторонам). А у равных треугольников
соответствующие углы равны. Значит, Z.ABC= AA\B\C\. Это и
требовалось доказать.
411. Расстояние между любыми двумя точками фигуры F
меньше 20 см, а расстояние между некоторыми двумя точками
фигуры F\ больше 20 см. Могут ли быть равными фигуры F и F\?
412. Равны ли фигуры, изображенные на рисунке 165?
413. В одном треугольнике имеется угол в 30°, а в другом —
угол в 50°. Возможно ли равенство треугольников?
Рис. 164 Рис. 165
81

414. В одном треугольнике имеется угол в 100°, а в другом —
угол в 120°. Возможно ли равенство треугольников?
415. Градусные меры двух дуг равны. Равны ли эти дуги?
416. Могут ли быть равными два параллелограмма, если
периметры их не равны?
417. Периметры двух параллелограммов равны. Следует ли из
этого, что и параллелограммы равны?
418. Периметры двух квадратов равны. Следует ли из этого,
что и квадраты равны?
419. Докажите, что квадраты равны, если равны их диагонали.
420*. Докажите, что если две соседние стороны одного
прямоугольника соответственно равны сторонам другого, то такие
прямоугольники равны.
421*. Сформулируйте и докажите какой-нибудь признак
равенства двух ромбов.
422*. Докажите, что два параллелограмма равны, если равны
их диагонали и углы между диагоналями.
423. Равны ли четырехугольники, если четыре стороны одного
соответственно равны четырем сторонам другого?
424*. Докажите, что две трапеции равны, если четыре
стороны первой соответственно равны четырем сторонам второй.
§ 24. ПОВОРОТ И СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ
Поворот. Пусть даны точка О и фигура F (рис. 166).
Довернем (например, по ходу часовой стрелки) произвольную
точку X этой.фигуры около О на угол а. При этом точка X
отобразится на такую точку $и ^то угловая мера дуги ХХ\ с центром О
равна а. Если таким способом повернуть каждую точку фигуры F,
получим фигуру F\. Говорят, что поворот около точки О на угол а
отображает фигуру F на фигуру F\.
Теорема 22. При повороте
расстояния между точками
сохраняются.
Доказательство. Пусть при
повороте фигуры F около точки О на
угол а точки А и В этой фигуры
отображаются на точки А\ и В\ (рис.
0 167). Докажем, что АВ=А\В\.
Рис. 166 При повороте всегда ОА = ОАи
82

Рис. 167 Рис. l'68
ОВ = ОВ\ и Z.AOA\ = /-BOBi. Если точки Л, В и О не лежат на
одной прямой, то Z-AOB=/LAxOBu ААОВ= аА{ОВ\ (по
двум сторонам и углу между ними). Значит, АВ=А\В\.
Если точки Л, В и О лежат на одной прямой (рис. 168),
то ЛЯ = |ОЛ — ОВ\ = \ОАх— ОВх\ = АХВХ. Итак, всегда
ЛВ=Л,ЯГ. Щ
Как видим, поворот является движением. Поэтому при
повороте прямая переходит в прямую; окружность — в окружность,
любая фигура — в равную ей фигуру.
Симметрия относительно точки. Точки X и Х\
называются симметричными относительно точки О, если О —
середина отрезка ХХ\ (рис. 169).
Рассмотрим две фигуры: F и F\. Если относительно одной и
той же точки О каждая точка фигуры F симметрична некоторой
точке фигуры F\ и наоборот, то фигуры F и F\ называют
симметричными относительно точки О (рис. 170). Такое преобразование
фигуры F в F\ называют преобразованием симметрии
относительно точки.
Симметрию относительно точки О можно определить также
как поворот на 180° около этой точки.
Так как поворот является движением, то и симметрия
относительно точки — движение. При симметрии относительно точки
Рис. 169 Рис- 170
83

Рис. 171 Рис. 172
прямая переходит в прямую, окружность — в окружность,
любая фигура — в равную ей фигуру.
Если симметрия относительно точки- О отображает фигуру F
на себя, то фигура F называется центрально-симметричной, а
точка О — ее центром симметрии. Например, параллелограмм —
фигура центрально-симметричная. Центром симметрии
параллелограмма является точка пересечения его диагоналей. Для
каждой точки X параллелограмма ABCD существует точка Х\ этого
же параллелограмма, симметричная относительно точки О
(рис. 171). Действительно, OA = OCt Z.1 = Z2, Z.3=Z.4;
поэтому аАОХ\= а СОХ, откуда следует, что ОХ=ОХ\.
Примеры центрально-симметричных фигур приведены на
рисунке 172.
425. Даны точки О и Л. Выполните поворот точки А около О
на угол 60° против часовой стрелки.
426. Даны отрезок АВ и точка О, не лежащая на прямой АВ.
Поверните отрезок АВ около точки О на угол 45° против часовой
стрелки.
427. Даны прямая а и точка О&а. Поверните прямую а около
точки О на данный угол а по часовой стрелке.
Решение. Первый способ.
Опустим перпендикуляр ОА из данной
точки О на прямую а (рис. 173).
Повернем этот перпендикуляр около
точки О на угол а, чтобы он занял
положение ОДь Построим прямую 6,
проходящую через точку А \ и перпен-
Рис. 173 дикулярную ОА\. Прямая Ъ—искомая.
84

Второй способ. Отметим любые две точки А и В прямой а
и повернем их на угол а. Если они при этом повороте перейдут
в точки А\ и В\% то прямая А\В\ — искомая.
428. Отрезок АВ при повороте около точки А на 60°
отображается на отрезок АВ\. Найдите расстояние ВВи если
АВ=а.
429. Выполните поворот данного треугольника ABC на 90°
около: а) вершины А\ б) середины стороны ВС.
430. Выполните поворот данной окружности около данной
на ней точки Р на угол 120° в обоих направлениях. Как
расположены данная и полученная окружности?
431. Квадрат ABCD повернули около точки А так, что его
вершина В перешла в D, а С — в G. Найдите расстояние CCi,
если AB=d.
432. Угол ABC при повороте около вершины В на 90° в
направлении от Л к С отображается на угол А\ВС\. Найдите меры
углов АВС\ и СВАи если £АВС = а.
433. Даны точки Л и О. Постройте точку A\f симметричную
Л относительно точки О.
434. Постройте фигуру, симметричную данному отрезку АВ
относительно данной точки О. Рассмотрите несколько случаев.
435. Даны прямая а и точка О. Постройте фигуру,
симметричную прямой а относительно О, если: а) О6я; б) 0£а.
436°. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник,
симметричный данному относительно вершины С.
437. Даны окружность с центром О и точка Р. Постройте
фигуру, симметричную данной окружности относительно точки Р.
438. Достройте до данного треугольника фигуру,
симметричную этому треугольнику относительно середины его стороны.
439. Достройте до данной трапеции фигуру, симметричную
ей относительно середины ее боковой стороны.
440. Какие из фигур на
рисунке 174 имеют центр симметрии?
441. Сколько центров симметрии
имеет: а) отрезок; б) прямая?
442*. Даны угол ABC и внутри
его точка М~. Постройте отрезок с
концами на сторонах данного угла,
для которого точка М была бы
серединой. Рис. 174
85
[о °1
о
о о!
1° о]
°1
1о о1
г °1
л
1° °

443*. Постройте равносторонний треугольник, у которого одна
вершина задана» а две другие вершины лежат на двух данных
параллельных прямых.
444*. Даны два равных отрезка. Постройте точку, вращая
около которой один из них можно совместить с другим.
445. Практическое задание. Вырежьте из бумаги
две равные несимметричные фигуры, например в форме буквы «Г».
Расположите их на столе так, чтобы одну из них можно было
отобразить на другую: а) параллельным переносом; б) симметрией
относительно точки; в) поворотом на угол а ^180°.
§ 25. СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ
Точки X и Х\ называются симметричными относительно
прямой /, если эта прямая — серединн&й перпендикуляр отрезка
ХХ\ (рис. 175). Если точка X лежит на прямой /, она
считается симметричной сама себе относительно прямой /.
Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X
переходит в точку Х\, симметричную относительно данной
прямой /, называется симметрией относительно прямой I. При этом
фигуры F и F\ называют симметричными относительно прямой /.
Теорема 23. Симметрия относительно прямой является
движением.
Доказательство. Пусть произвольные точки X и У
фигуры F при симметрии относительно прямой / отображаются
на точки Х\ и Y\ (рис. 176). Докажем, что XY=X\Y{. Рассмотрим
сначала случай, когда точки X и Y не лежат на одном
перпендикуляре к прямой /. Если К и Р — точки пересечения отрезков
ХХ\ и YY\ с прямой /, то прямоугольные треугольники ХКР и
Х\КР равны (по двум катетам). Следовательно, ХР=Х\Р и
Рис. 175 Рис. 176
86

к
Рис. 177
,/1 = Z2. Тогда имеем Z3=Z4, AXYP=AXlYlP, XY=X{Yx.
Если точки X, У, Хи Y\ лежат на одной прямой (рис. 177), то
XY=\KX-KY\ = \KXx-KYx\=XxYi.
Итак, всегда XY=X\Y\. Щ
Так как симметрия относительно прямой является
движением, то при этом преобразовании прямая переходит в прямую,
окружность — в окружность, любая фигура — в равную ей
фигуру.
Если симметрия относительно прямой / отображает фигуру F
на эту же фигуру, то данная фигура называется симметричной
относительно прямой, а прямая / — ее
осью симметрии. Например, прямые, на
которых лежат диагонали ромба,— его
оси симметрии (рис. 178). Ромб и
прямоугольник, отличные от квадрата, имеют
по две оси симметрии, квадрат — четыре,
а окружность — бесконечно много.
Фигуры, изображение которых
симметрично относительно оси, часто
встречаются в природе (рис. 179),технике (рис. 180),
искусстве (рис. 181).
Рис. 178
ф
ш
Рис. 179
Рис. 180
Рис. 181
87

446. Постройте точку, симметричную данной точке А
относительно данной прямой /.
447. Даны две точки. Постройте прямую, относительно которой
они симметричны.
448. Постройте фигуру, симметричную данному отрезку АВ
относительно данной прямой /. Рассмотрите несколько случаев.
449°. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник,
симметричный данному относительно прямой ВС.
450. Постройте фигуру, симметричную данной окружности
относительно данной прямой: а) не пересекающей
окружность; б) пересекающей окружность; в) касающейся
окружности.
451. Внутри угла АОВ в 40° дана точка М. Точки М\ и Л!г
симметричны М относительно сторон угла. Найдите меру угла
МхОМ2.
452. Окружности с центрами О и 0\ пересекаются в точках
А и В. Докажите, что точки А и В симметричны относительно
прямой 00\.
453. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая;
в) окружность; г) равносторонний треугольник?
454. Постройте ось симметрии: а) угла; б) полуокружности.
455. Докажите, что прямая, на которой лежит биссектриса
угла, является осью симметрии этого угла.
456. Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии,
то он равнобедренный.
457. Докажите, что если у треугольника есть две оси
симметрии, то он равносторонний.
458. Постройте ось симметрии равнобокой трапеции.
459. Через внутреннюю точку данного угла проведите прямую,
отсекающую от сторон этого угла равные отрезки.
460. Точки А и В находятся по одну сторону от прямой I.
Найдите на этой прямой такую точку /С, чтобы сумма АК+КВ
была наименьшей.
Решение. Построим точку В и
симметричную В относительно
прямой /, и точку /С, в которой
пересекаются прямые АВ\ и / (рис. 182).
Точка К — искомая. Действительно,
если К\ — какая-нибудь другая
точка прямой /, то

AKx + KxB=AKx + KxBx>AK+KBx=AK+KB.
Сумма АК+КВ меньше суммы AKi + K\B, где Ki—любая
точка прямой /, отличная от /С.
461*. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой /.
Найдите на ней такую точку Mt чтобы биссектриса угла АМВ
лежала на прямой /.
462*. Выпуклый четырехугольник, который имеет только одну
ось симметрии, содержащую диагональ, называется дельтоидом.
Начертите какой-нибудь дельтоид. Исследуйте его свойства.
463. Практическое задание. Вырезанные из бумаги
фигуры (см. задачу 445) расположите на столе так, чтобы они
оказались симметричными относительно некоторой прямой.
Сколькими способами это можно сделать?
§ 26. ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ ФИГУР
Гомотетия. Пусть даны точка О и фигура F (рис. 183).
Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отметим
на нем точку Х\ —такую, что OX\:OX = k. Если подобным
способом построить соответствующие точки для каждой точки
фигуры F, получим новую фигуру Fi. Такое преобразование фигуры
F в F\ называют гомотетией относительно точки О с
коэффициентом k, а фигуру Fi — гомотетичной фигуре F относительно
точки О с коэффициентом k.
При k\ф\ гомотетия не сохраняет расстояний между точками.
Например, если k>\ и гомотетия отображает точки X и Y на
Х\ и Y\9 то X\Y\>XY..Значит, гомотетия не является движением.
Но при гомотетии сохраняются отношения расстояний. Если при
Рис. 183 Рис. 184
89

Рис. 185
гомотетии с коэффициентом k четырехугольник ABCD переходит
bA\B\C\D\ (рис. 184), то каждое из отношений А\В\:АВ>В\С\:ВС,
CiDiiCD, DiAr.DA, АхС\т.АС, B\DX:BD равно числу к.
Можно доказать, что при гомотетии прямая переходит в
прямую, луч — в луч, угол — в равный ему угол. Поэтому
гомотетия, изменяя размеры фигуры, не изменяет ее формы.
Подобие фигур. Отобразим данную фигуру F с помощью
гомотетии на фигуру F\t а фигуру F\ каким-либо движением —
на F2 (рис. 185). В таком случае говорят, что фигура F
отображается на F2 с помощью композиции гомотетии и движения.
В результате получим фигуру F^y подобную фигуре F.
Две фигуры называют подобными, если с помощью
композиции гомотетии и движения одну из них можно отобразить на
другую. Геометрическое преобразование, отображающее фигуру
на подобную ей фигуру, называется преобразованием подобия.
Если фигура F подобна фигуре Fu пишут:/* со Л. Знак подобия со.
Как и гомотетия, преобразование подобия отображает угол
на равный ему угол, а расстояния между точками увеличивает^
или уменьшает в одно и то же число раз. Поэтому
преобразование подобия, изменяя размеры, не изменяет форму фигуры.
Например, если А АВС оо АА\В\С\ *и точки Л, В, С отображаются
AR RC С А
соответственно на А\% В\9 С\9 то т~5"=^Г7г==7гт- и /-А=Аи
A\D\ e5\L\ C\A\
/_B=4LB\, /-С=А-С\ (рис. 186). Гомотетия и движения
являются частными случаями преобразования подобия.
Соотношения между всеми этими видами геометрических преобразований
можно представить следующей схемой (рис. 187):
90

Рис. 186 Рис. Г87
464. Даны точки О и А. Постройте точку, в которую переходит
точка А при гомотетии относительно точки О с коэффициентом
k=2.
465. Даны точки О, Л, В, С. Гомотетия относительно центра О
отображает точку А на В. Укажите точку, на которую этой
гомотетией отображается точка С.
466. Даны точка О и отрезок АВ. Постройте фигуру,
гомотетичную отрезку АВ относительно точки О с коэффициентом
£=3.
467. Даны треугольник ABC и точка О вне его. Постройте
фигуру, в которую переходит данный треугольник при гомотетии
относительно точки О с коэффициентом k = 1,5.
468. Точка О — середина медианы треугольника ЛВС.
Постройте фигуру, в которую переходит ААВС при гомотетии
относительно точки О с коэффициентом k = 2.
469; Постройте фигуру, гомотетичную данному
параллелограмму при гомотетии относительно центра его симметрии с
коэффициентом й=0,5.
470. КР — средняя линия треугольника ЛВС, параллельная
АВ. Гомотетичны ли треугольники АВС и КРС? Если да, то
относительно какой точки?
471. Основания данной трапеции относятся как 1:2. Постройте
центр гомотетии; отображающей* меньшее основание на большее.
Найдите коэффициент этой гомотетии.
472. Даны две точки Л, В и коэффициент гомотетии &=3.
Постройте центр гомотетии, отображающей точку А на В.
473. Даны окружность с центром О и точка Р вне ее. Постройте
фигуру, гомотетичную данной окружности относительно Р с
коэффициентом &=3.
474. Центры окружностей радиусов г и 2г удалены друг от
91

друга на расстояние 4г. Гомотетичны ли эти окружности?
Укажите коэффициент гомотетии и ее центр.
475. Диагональ квадрата ABCD служит стороной квадрата
ACEF. Гомотетичны ли эти квадраты? Подобны ли они?
476. Могут ли быть подобными прямоугольный и
тупоугольный треугольники? а прямоугольный и остроугольный?
477. Стороны четырехугольника равны 4 см, 3 см, 5 см и б.см.
Найдите стороны четырехугольника, подобного данному, если
его периметр равен 90 см.
Решение. Соответственные стороны подобных
четырехугольников пропорциональны. Значит, искомые стороны равны
4*, 3*, 5х и 6*.
4* + Зл: + 5л; + 6л: = 90, 18x = 90, x = 5,
4-5 = 20, 3-5=15, 5-5 = 25, 6-5 = 30.
О т в е т. 20 см, 15 см, 25 см и 30 см.
478. КР — средняя линия трапеции ABCD. Гомотетичны ли
трапеции АВРК и KPCD? Подобны ли они?
479*. Основания трапеции относятся как 1:2. Как надо
провести прямую, параллельную основаниям, чтобы она разбила
данную трапецию на две подобные трапеции?
480. Практическое задание. Вырежьте из бумаги
две подобные фигуры в форме буквы «Г» и разместите их на
столе так, чтобы они оказались гомотетичными относительно
некоторого центра. Сколькими способами можно это сделать?
Изменяются ли при этом коэффициенты гомотетии? Разместите
эти фигуры так, чтобы они не были гомотетичными. Композицией
каких двух геометрических преобразований можно отобразить
одну из этих фигур на другую? . ,
§ 27. ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Сформулируем и докажем признаки подобия треугольников,
аналогичные признакам равенства треугольников (см. § 10).
Теорема 24. Если два угла одного треугольника
соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники
подобны.
Доказательство. Докажем, что ААВС~ AA\BiC\9
если Z-A = Z-A\ и Z.B = Z.Bi (рис. 188). Пусть ABiAxBx=k.
Гомотетия с коэффициентом k переводит A^iBiCi в АА2В2С2,
равный дABC. Действительно, A2B2 = kA\B\=AB, Z.A2 = /~A\ =
92

Рис. 188
= /_Л, Z_B2=Z.Bi = ZB. Как видим, aABC=aA2B2C2 (по
стороне и прилежащим углам). А АА2В2С2 гомотетичен АА\В\С\.
Значит, треугольники ABC и А\В\С\ подобны. Щ
Теорема 25. Если две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам другого, а углы, образованные
этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и А\В\С\
4^=4%r = k и Z.A=z£Ai (см. рис. 188). Докажем, что
ААВСсоaA\B\Ci. Гомотетия с коэффициентом k переводит
A^iBiCi в аА2В2С2у равный ААВС. Действительно, ЛгВг =
= kAiBi=ABt А2С2^кАхСх=АСу АА2= Z-Ax = Z.A. По двум
сторонам и углу между ними треугольники ABC и А2В2С2 равны.
Треугольники А2В2С2 и А\В\С\ гомотетичны. Значит, треугольники
ABC и А\ВХС\ подобны. Щ
Теорема 26. Если три стороны одного треугольника
пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники
подобны.
Доказательство. Пусть ABC и А \B\C\ — два треуголь-
A R АГ* Rf*
ника, стороны которых пропорциональны: ^--=—~-==-^r==fe
А\В\ A\C\ B\C\
(см. рис. 188). Докажем, что дЛВСсоАА\В\С\.
Гомотетия с коэффициентом к переводит АА\В\С\ в АА2В2С2,
равный треугольнику ABC. Действительно, A2B2 = kAiB\=AB,
A2C2 = kAxC\=ACy B2C2 = kBiCi=BC. Треугольники ABC и
А2В2С2 равны по трем сторонам. А треугольник А2В2С2
гомотетичен треугольнику i4iBiCi. Значит, треугольники ABC и А\В\С\
подобны. В
93
-ч

481. Подобны ли треугольники ABC и КРТ, если А А=50°,
Z.B = 60°, Z.P=60°, ZT = 70°?
482. Острый угол одного прямоугольного треугольника равен
30°, а другого 60°. Подобны ли эти треугольники?
483. Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны,
если их катеты пропорциональны.
484. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они
имеют по равному тупому углу?
485. Докажите, что прямоугольные равнобедренные
треугольники подобны.
486. Подобны ли два треугольника, если их стороны имеют
длины:
а) 2 см, 3 см, 4 см и 3 см, 4 см, 5 см;
б) 3 см, 4 см, 6 см и 9 см, 14 см, 18 см;
в) 2 см, 4 см, 3 см и 10 мм, 15 мм, 20 мм?
487°. Прямые Л В и CD на рисунке 189 параллельны. Докажите,
что треугольники АОВ и DOC подобны.
488°. Из точки D, лежащей на гипотенузе АВ прямоугольного
треугольника АВСУ опущен перпендикуляр DE на катет ВС.
Докажите, что треугольники DBE и ABC подобны.
489°. Прямая Af/С параллельна стороне АС треугольника ABC
(М£АВ9 К£ВС). Докажите, что треугольники MB К и ЛВС подобны.
490. Сколько пар подобных треугольников на рисунке 190?
491. В треугольнике проведены все средние линии. Сколько
образовалось треугольников, подобных данному?
492. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC,
делит его сторону АС в отношении 3:5. В каком отношении
эта прямая делит сторону ВС?
Рис. 189 Рис. 190
94

Рис. 191
493. Основания трапеции равны а и Ъ. В каком отношении
делятся ее диагонали точкой пересечения?
494. Прямая, проходящая через точку пересечения
диагоналей трапеции, делит одно, основание в отношении т:п. В каком
отношении она делит другое основание?
495. Может ли прямая, не параллельная ни одной стороне
треугольника, отсечь от него треугольник, подобный данному?
496. На сторонах АС и АВ треугольника ABC отмечены точки
К и Р так, что Z.i4/CP=Z.B. Докажите, что треугольники АКР и
ABC подобны.
497. Найдите углы равнобедренного треугольника, если
биссектриса угла при основании отсекает от него треугольник,
подобный данному.
498. В параллелограмме ABCD сторона AD разделена на п
равных частей и первая точка деления (точка К) соединена с
вершиной В (рис. 191). В каком отношении отрезок ВК делит
диагональ АС?
499. Найдите по рисунку 192 расстояние АВ, если ЛС=300 м,
DC =10 м, ВС=360 м, CF= 12 м, DF=*\3 м.
500. В треугольнике ABC проведен отрезок DE так, что DE\\ А С,
D£AB, Ее ВС. Найдите:
а) DE, если АВ = с, АС=Ь, DB = m\
б) DE, если АС=Ь, АВ = с, AD = n\
в) АС, если АВ=с, DB = m, DE~p\
г) BD, если AD=n, AC=b9 DE=p.
501. Практическое задание. Вырежьте из бумаги
два подобных треугольника. Расположите их на столе так, чтобы
они оказались гомотетичными. Сколькими способами это можно
сделать? Что можно сказать о центрах и коэффициентах этих
гомотетий?
95

§ 28. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ПОДОБИЯ
Свойства преобразования подобия можно применять при
решении многих задач, особенно на построение.
3 а д а ч а. В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы
две его вершины лежали на основании треугольника, а две
другие — на его боковых сторонах.
Решение. Пусть ABC — данный треугольник, АС — его
основание (рис. 193). Построим сначала какой-нибудь квадрат
XYZT так, чтобы Х£АС, Т£АСУ Y£AB. Находим точку М9 в
которой луч AZ пересекает сторону ВС. Через точку М проводим
прямую ML, параллельную АС, до пересечения ее с АВ в точке L.
Наконец, опускаем перпендикуляры MN и LE на АС.
Четырехугольник ELMN — искомый.
Действительно, две его вершины лежат на основании АС
данного треугольника, две — на боковых сторонах. Кроме того,
он — квадрат, так как гомотетичен квадрату XYZT.
Если углы А или С не тупые, то задача имеет одно решение.
Методом подобия пользуются архитекторы, конструкторы,
геодезисты, художники и многие другие специалисты. Перед тем
как строить дом, завод или какое-нибудь другое сооружение,
сначала создают его план — уменьшенное изображение будущего
строения. Увеличивая фотоснимки, тоже получают подобные
изображения.
Чтобы увеличить в несколько раз рисунок, можно наложить
н^ него прозрачную палетку (квадратную сетку), а на чистую
бумагу легко стирающимся карандашом нанести сетку,
увеличенную в нужном масштабе (рис. 194). Срисовывая части
фигуры в соответствующих» клетках, получают увеличенную фигуру,
подобную данной.
Геодезисты, топографы методом подобия снимают планы
местностей.
Методом подобия можно
измерять высоты деревьев, вышек,
заводских труб и т. д. Например, если тень
от дерева ВС=3 м, а от двухметровой
вехи BiCi = 0,5 м (рис. 195), то
ЛС:3 = 2:0,5, откуда АС=\2 (м).
С Это следует из подобия
прямоугольных треугольников ABC и А\В\С\.
96

Таким способом Фалес еще в VI в. до н. э. измерил высоту
египетской пирамиды, чем, конечно, очень удивил тогдашних мудрецов.
502. Длина тени от многоэтажного дома 14 м; в то же время
длина тени от двухметрового шеста, вертикально воткнутого в
землю, равна 1 м. Найдите высоту дома.
503. На рисунке 196 изображена масштабная линейка
(поперечный* масштаб), позволяющая отмерять отрезки с точностью
до 0,1>мш Укажитерасстояния ABt CD, BF, /СР. Ответы объясните.
504. Разделите данный отрезок на части, длины которых
пропорциональны длинам а, 6, с трех данных отрезков.
ш
! г
1 • 1
Т
И
\\\\ш
1
тп
Mil
i
ни
1
ж
i /?
' о
i П
' U
1 D
'
0 12 3 4 5
Рис. 196
4 Заказ 223 97

Р е ш е н и е. От конца отрезка АВ
проведем луч Л Г и, отложим на нем
данные отрезки: АК==а, КР = Ь,
РТ=с (рис. 197). Проведем прямую
ТВ, потом — параллельные ей
прямые через точки К и Р. Они разделят
данный отрезок в нужном
отношении: AX;a = XY:b = YB:c.
Чтобы обосновать построение,
проведем отрезки ХР\ и YT\9 параллельные лучу AT(Pi£PY,
Т\£ТВ). Треугольники АХК, XYP{ и YBT{ подобные. Поэтому
AX:AK=XY:XP{ = YB:YTi. Но так как АК=ау ХРг=КР=Ь,
YTl=PT=c9 то AX:a=XY:b = YB:c.
505. Постройте треугольник с заданным периметром,
подобный' данному.
506. Постройте параллелограмм с заданным периметром,
подобный данному.
507. В данный треугольник впишите прямоугольник так, чтобы
две его вершины лежали на основании, а, две — на боковых
сторонах треугольника и чтобы стороны прямоугольника
относились как 1:2.
508. В данный ромб впишите квадрат так, чтобы на каждой
стороне ромба лежала вершина квадрата.
509. Дана полуокружность с ее диаметром. Впишите в нее
квадрат так, чтобы две его вершины лежали на диаметре, а две —
на полуокружности.
510*. Постройте треугольник по двум углам и медиане,
проведенной из вершины третьего угла.
511*. Постройте треугольник по двум данным углам и
биссектрисе, проведенной из. вершины.третьего угла.
512*. Постройте окружность, касающуюся сторон данного
угла и,проходящую через данную внутри угла.точку.
513*. Через точку, данную внутри угла, проведите прямую
так, чтобы ее отрезок, отсекаемый сторонами угла, делился этой
точкой-в-данном отношении т\п.
514; Докажите,- что-все-три медианы треугольника проходят
через одну точку и делятся этой точкой в отношении 1:2, считая
от основания.
98*

Рис. 198
Pie ш еш исе.иПусть медианы? ААХ
и ВВ\ треуголвника ЛВС шересека-
ются в точке ГМ (рис. 198), АХВХ—
средняя линия треугольника;
поэтому AiBi\\AB и AiBi=095AB.
Треугольники МАВ и МАХВХ подобны
(по двум углам). Следовательно,
АХМ:МА = В1М:МВ=АХВ1:АВ =
= 1:2. Итак, медианы АА\ и ВВХ
точкой пересечения М делятся в
отношении 1:2.
Медианы АА\ и СС\ тоже точкой пересечения делятся в
отношении 1:2. Но точка, делящая медиану АА\ в отношении 1:2,
считая от основания, одна. Это — точка М. Значит, и медиана
СС^нересекается^с медианой-BBi в точке М и.делится^этой точкой
в отношении 1:2.
5*5. Докажите,'что периметры двух подобных треугольников
относятся как длины соответственных тторон.
'516. Практическое зад а ншс 'Вырежьте из бумаги
два подобных четырехугольника и с помощью измерений и
^вычислений покажите/что их-периметры относятся как длины
соответственных сторон.
§ 29. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Из теорем 24 и 25 непосредственно вытекают ,следующие
признаки подобия прямоугольных треугольников.
Прямоугольные треугольники подобны:
1) если они^имеют по равному острому углу или
2) если катеты одного пропорциональны катетам другого.
Рассмотрим пример. Пусть в треугольнике ABC угол С
прямой. Тогда высота СН разбивает его на треугольники САН
и СВН, подобные данному
треугольнику ABC (рис. 199).
Действительно, треугольники ABC иАСН имеют
общий острый -угол А, а
треугольники ABC и СВН — общий острый
угол В. Значит, -каждый из этих
трех треугольников подобен двум
другим.
99

Теорема 27 (Пифагора). В прямоугольном
треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC угол С
прямой (рис. 200). Высота СН разбивает его на прямоугольные
треугольники САН и СВН. Обозначим: CB = at AC = b, АВ = с,
AH = blt BH = ax.
Так как треугольники САН и ВАС (у них острый угол А
общий), то
b\:b = b:ct откуда b2 = cb\.
Так как треугольники СВН и ABC (у них острый угол В
общий), то
а\:а = а:с, откуда а2 = са\.
Сложим равенства а2 = са\ и Ь2 = сЬ\\
a2 + b2 = ca\+cb\ — c(a\ + b\)=c2y т. е. c2=a2 + fc2. Q
Теорема Пифагора — одна из важнейших и известнейших
теорем геометрии. Позже вы увидите, как часто она используется
в математике, физике, астрономии и т. д. Она позволяет по двум
сторонам прямоугольного треугольника находить третью.
Например, если катеты треугольника равны 3 и 4, то его гипотенуза
с=У32+42 = 5. Если даны гипотенуза с и катет Ь, то второй
катет a=Yc2 — ft2.
Теорема 28 (обратная). Если в треугольнике ABC
АВ2=АС2+СВ2, то угол С прямой.
Доказательство. Пусть АВСх— треугольник,
удовлетворяющий условию: АВ2=АС2 + СВ2. ^Построим еще ААВ\С,
у которого Z.C=90° и СВХ = СВ (рис. 201). Тогда
Д51=УЛС2 + СВ?=УЛС2 + СЯ2==ДВ.
Треугольники ABC и АВ\С равны по трем сторонам. Значит,
AACB=<LACBi=90°. Щ
Рис. 200
100
Рис. 201

517. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если
его катеты равны: а) 9 м и 12 м; б) 12 см и 16 см; в) За и 4а.
518°. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см,
а один из катетов равен 12 см. Найдите другой катет.
519. Пусть а и Ь — катеты прямоугольного треугольника, а
а\ и Ъ\ — отрезки, на которые высота Л, проведенная из вершины
прямого угла, разбивает гипотенузу с (рис. 200). Выразите:
а) А через ах и Ьи б) h через а, Ь и с. Найдите: а) а, если с=18
и ai=8, б) b\f если с=18 и 6 = 3.
520°. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его
гипотенуза равна 5 см, а один из углов 60°.
521°. Из точки А на прямую т проведены перпендикуляр АВ
и наклонная АС. Найдите АС, если АВ = 6 см и ВС = 8 см.
522. Сторона равностороннего треугольника а. Найдите его
медиану.
523. Биссектриса равностороннего треугольника /. Найдите
его сторону.
524. Сторона ромба 13 см, а одна из диагоналей 10 см.
Найдите другую диагональ.
525°. Диагонали ромба 10 см и 24 см. Найдите его стороны.
526. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника
равен а. Найдите его гипотенузу.
527°. Найдите катеты равнобедренного прямоугольного
треугольника, если его гипотенуза равна 4 см.
528. Найдите отношение диагонали квадрата к его стороне.
529. Найдите периметр прямоугольника, если его диагональ
30 см, а одна" из сторон 24 см.
530. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них на
1 см больше другой, а диагональ равна 5 см.
531. Определите вид треугольника, если его стороны 6 м,
8 м и 10 м.
532. Определяя вид треугольника со сторонами 10, 24 и 26,
ученик рассуждает: «102 + 242 = 676 = 262. Значит, по теореме
Пифагора этот треугольник прямоугольный». Прав ли ученик?
533. Найдите длину гипотенузы, если расстояния от ее
середины до катетов равны 5 см и 12 см.
534. Катет прямоугольного треугольника равен 28 дм,
разность двух других сторон 8 см. Найдите периметр треугольника.
535. В равнобокой трапеции основания равны 30 см и 72 см,
боковая сторона 75 см. Найдите высоту трапеции.
101

536*. Основания равнобокой трапе- ;
ции 22 см и 42 см, боковая сторона 26
см. Найдите диагонали.
537. Найдите высоту АН
треугольника ABC, если Л5=13, ЛС=14, |
ВС= 15. *
Решение.В данном треугольнике
В И С сторона ВС наибольшая, углы В и С
Рис. 202 острые. Значит, основание Н высоты
АН лежит на стороне ВС (рис. 202).
Пусть AH=hf ВН=х\ тогда СН= 15—х. Треугольники АНВ и
АН С прямоугольные; поэтому по теореме Пифагора
h2+*2=132, й2+(15-*)2=142,
откуда (15-x)2+132-*2==142, х=6,6.
Тогда A=yi32-6,62=11,2.
Отв ет. 11,2. j
538. Докажите, что если диагонали четырехугольника взаимно
перпендикулярны, то суммы квадратов его противоположных
сторон равны..
539*. Докажите, что квадрат наименьшей медианы прямо- |
угольного треугольника в 5 раз меньше суммы квадратов двух
других медиан.
540*. Две окружности, радиусы которых 32 см и 72 см,
касаются друг друга внешним образом. Прямая касается этих
окружностей в точках Л и В. Найдите расстояние АВ.
Глава VII
КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
§ 30. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Если на прямой указаны начальная точка; единичный отрезок
и направление, ее называют координатной прямой (рис. 203).
Каждой точке координатной прямой соответствует единственное
действительное число. И наоборот, каждому действительному
числу на координатной'прямой соответствуетединственная точка.
Объединение двух взаимно перпендикулярных координатных
прямых называют системой координат. Одну из * этих прямых
102

Yk
Ч 1 1 1 1 Ь
4 \-*»
-3 -2 4 0 1 Z 3 4 5 6
4 +
J+
2+
/+
_i—,— I
-7 -/ 0\
"1 -1
-2+
/ г з x
Рис. 203
Рис. 2U4
называют осью абсцисс, другую — осью ординат. Ось абсцисс
обычно проводят горизонтально, и обозначают буквой х, ось
ординат — буквой у. Точка О их пересечения — начало
координат (рис. 204).
Плоскость, на которой имеется система координат, называется
координатной плоскостью. Осями координат чэна разбивается
на четыре четверти: I, II, III и IV.
Каждой точке координатной плоскости можно поставить в
соответствие пару чисел (х; у). Эти числа называют координатами
данной точки: х — абсциссой, у — ординатой. И наоборот,
каждой паре действительных чисел соответетвует единственная точка
координатной плоскости. Указывая координаты точки, первой
всегда пишут абсциссу, второй — ординату. Например,
изображенная на рисунке 205' точка А имеет абсциссу —2 и ординату 3.
Пишут: А (—2; 3).
Как находить координаты х и у
точки М? Опустим из точки М
перпендикуляр ММХ на ось х и ММУ —
на ось у. Тогда модуль числа х равен
расстоянию ОМх, а модуль у —
расстоянию ОМу. Знаки х и у принимают
в зависимости от того, в какой
четверти находится точка М.
Отрицательны абсциссы точек, находящихся
во II и III четвертях, а ординаты —
в III и IV четвертях (рис. 206).
103
у*
Mt
АШ)
УТ
2 +
/ +
-/-
Mfx;y)
н—ь
/ Мх 3
Rhc 205

yk
л
ж
с-;-)
yk
i
Mz(a;b)
■i—t—t
C+i-)
/
71
У
У +
Mj(-a;-b)
•t у
У
M(a;b)
^—I—i—h
-+£►
1
M,(a;-t)
Рис. 206
Рис. 207
Все точки прямой, перпендикулярной оси х, имеют равные
абсциссы; все точки прямой, перпендикулярной оси у, имеют
равные ординаты. Точки М(а\ Ь) и Mi (а; —6) симметричны
относительно оси х\
М (а; Ь) и М2( — а; 6) симметричны относительно оси у;
М(а\ Ь) и Мз( —а; —6) симметричны относительно начала
координат (рис. 207).
В алгебре система координат используется для графического
задания функций и других зависимостей. В геометрии ее
применяют для исследования свойств геометрических фигур.
Замечание. Рассматриваемая здесь система координат
называется декартовой системой координат — по имени
французского ученого Р. Декарта (1596—1650), впервые
применившего ее в своих исследованиях. Существуют и другие системы
координат, но в школе их не изучают.
541. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки:
К(2\ Р(-3), Т(-2,5).
А
т*
/+
-2 -/ *
-2
Tt
L ^
Рис. 208 Рис. 209
104

542. Назовите координаты точек А, В, С, D на координатной
плоскости (рис. 208). Укажите место точек: К (2; 3), Р(—3; — 1),
О(0; 0).
543. Начертите систему координат и отметьте точки:
£(_3; -4),F(0; 1)./С(0; —4),Z,(-i-; l) ,m(-j;t) >P(°'5; l&>
n(—f;o,e).
544. В каких четвертях расположены точки: А (—2; —3),
В (5; -7), С (-1;2)?
545. Числа а и 6 отрицательны. В каких четвертях
расположены точки: К {—а; Ь\ Р(а; -6), Т(—а; -6)?
546. Пересекает ли ось х отрезок, соединяющий точки Л (1; 1)
и 5(3; -2)?
Решение. Построим отрезок АВ по данным координатам
его концов (рис. 209). Видим, что отрезок АВ пересекает ось х.
Ответ. Пересекает.
547. Пересекает ли ось у отрезок с концами /С (—2; 4) и
Р(-4; 2)?
548. Пересекаются ли отрезки АВ и CD, если Л(—3; 4),
В(-3; 1), С(-5; 12), D(-l; -2)?
549. На прямой, параллельной оси х> отмечены две точки.
У одной из них ордината у=3. Чему равна ордината другой
точки?
550. На прямой, параллельной оси у, отмечены точки А (4; 3)
и В (х; у). Чему равна абсцисса точки В?
551. Через точку К ( — 4; 3) проведена прямая,
перпендикулярная оси х. Найдите координаты точки пересечения этой прямой
с осью х.
552. Найдите геометрическое место точек координатной
плоскости, для которых ордината у=4.
553. Найдите геометрическое место точек координатной
плоскости, для которых абсцисса х=— 3.
554. На биссектрисе I четверти взята точка с абсциссой х=3.
Чему равна ордината этой точки?
555. Найдите геометрическое место точек координатной
плоскости, для которых: а) х=у\ б) х=—у.
556. Симметричны ли точки А (3; 2) и В (—3; 2) относительно
оси у?
557. Найдите координаты точек, симметричных точке Af (1; 5)
относительно оси х, оси у, начала координат.
105

558. Точки А{х\\ у\) и В (х2; у2) симметричны относительно
оси у. Чему равна сумма a:i +дгг?
559. Точки К(х\\ у\) и Р(х2; у*) симметричны относительно
оси х. Чему равна сумма уг+у2?
560. Точки Е(х\\ у\) и F(X2\ y%) симметричны относительно
начала координат. Чему равны суммы Х\-\-х2 и у\+у2?
561. Найдите расстояние между точками ЛГ(1;'0) и У (5; 0).
562. Найдите расстояние от точки А (—4; 3) до начала
координат
563. Покажите, что расстояние между точками А (0; а) и
В(0; 6) равно -[6 — а\.
§ 31. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
Расстояниемежду точками А (х\) и В (х2) координатной прямой
через их координаты выражается формулой АВ = \х\— х2\.
А как выразить через координаты расстояние между точками
А (х\\ у\) и В(х2; у2>?
Рассмотрим сначала случай, когда х\Фх2и у\фу2 (рис. 210).
Проведем перпендикуляры ААХ и ВВХ на ось х и ВС — на прямую
ААХ. В результате образуется прямоугольный треугольник ABCt
у которого АВ — гипотенуза, а катеты АС=\у\ — у2\ и
В'С=\х\—Х2\. По теореме Пифагора имеем
AB*=(xi-xtf+(j,i-ytf. (*)
Если у\=у2 и Х\Фх2, то АВ = \х\—х2\.
Если х\=х2 и у\фу2% то АВ = \у\—у2\.
Наконец, если Х\ =Х2 и у\ =у2, т. е. если точки An В совпадают,
то ДВ = 0. Те же значения длины АВ можно получить, используя
формулу (*).
п
0
\
с
А
^(^9t)
. .. Tk В fa* ' И Л
Л°1Л2,У2)
х Вх X
Рис. 210
ВСыУг)
А,Сх,;о) Mf(x;o) Bt(x2;o) X
Рис, .211
106

Итак, как бы ни были расположены на координатной
плоскости точки А (хх\ ух) и В (х2; у2), всегда
АВ2 = (хх-Х2)2+(у1-у2)2.
Доказанная формула применяется очень часто — ее следует
помнить.
Задача. Докажите, что если точка М (х; у) — середина
отрезка, концы которого А(хх; ух) и В{х2\ у2\ то
Х~ 2 ' У~~ 2 *
Решение. Если отрезок АВ не параллелен оси у, то
проведем через точки А, В и М прямые, параллельные оси у (рис. 211).
Они пересекут ось х в точках Ах{хх\ 0), Вх (х2; 0) и М (х\ 0). По
теореме Фалеса Мх — середина отрезка АхВх, AxMx=M{B{.
Значит, х—хх=х2—х (или х—х2~Х\—х\ откуда х=Хх**2.
Полученное равенство верно и в случае, когда хх=х2=х,
т. е. когда отрезок АВ параллелен оси у.
Если через точки Л, В и М провести прямые, параллельные
оси х, точно так же можно получить равенство y=&±J&.
564. Найдите, расстояние между точками: а) А (3; 2) и
В(-4;1);б) *(0;5)иР(-2;6);в) с(J-; -§-) и /)(-§-; —|-);
г) Р(0,7; 1-1-) и Г(1,2; -0,4).
565. Найдите расстояние между началом координат и точкой
*(2;3).
566. Найдите длину отрезка с концами в точках А (—4; 1)
и 5 (2; -4).
567. Найдите лериметр треугольника, вершинами которого
служат точки Л( —3; 5), В (7; 8) и С (2; —3).
568. Найдите координаты середины отрезка с концами А (1; 3)
и В (4; 5).
569. Является ли точка М (6; 2) серединой отрезка с концами
Р(10; 2) и Г (4; 0)?
570. Точки А (—9; 4) и В (3; 10) симметричны относительно
точки М (х; у). Найдите х и у.
107

571. Найдите координаты точки Р, если она симметрична
точке Г(1; 8) относительно точки М (2; 1).
572°. Даны точки Д (— 1; 2), В (2; 7), С (4; 3). Найдите
координаты точек М и /С, если ЛГ/С— средняя линия треугольника ABC,
параллельная стороне АС.
573°. Докажите, что треугольник ABC, где А ( — 2; 2), В (2; 5),
С(—1; 9), является равнобедренным с основанием АС.
574. Найдите координаты точки М, лежащей на оси х, если
она равноудалена от точек А ( — 4; 7) и В (3; 3).
575. Точка F(3; у) равноудалена от точек К (2; 3) и Р(4; 6).
Найдите значение у.
576. Даны точки Л ( — 2; 6), В(1; 2), С(4; —2). Определив
расстояния между ними, докажите, что данные точки лежат на
одной прямой.
577. Найдите точку, равноудаленную от осей координат и от
точки А (4; 8).
Решение. Искомая точка М может быть только в I четверти.
Так как она равноудалена от осей координат, ее абсцисса и
ордината равны: М(х; х). Если она и от точки А (4; 8) отстоит
на расстоянии х, то х2 = (х — 4)2 + (х — 8)2, или г2 — 24л:+ 80 = 0.
Значит, задаче удовлетворяют две точки: М\ (4; 4) и М2 (20; 20).
578*. Точка М (х; у) — середина отрезка АВ, концы которого
А(а\\ а2) и В(Ь\\ Ь2). Используя формулу расстояния между
двумя точками, докажите, что
JC=£L±ii и у=£2±&2
2*2
579*. Докажите, что четырехугольник с вершинами А (0; 3),
В (3; 4), С (5; 2) и D (2; 1) — параллелограмм.
580*. Даны три вершины параллелограмма ABCD: Л(1; 3),
В (3; 4), С (4; 2). Найдите координаты четвертой вершины. Сколько
решений имеет задача?
581*. Докажите, что четырехугольник с вершинами А (0; 1),
В (4; 3), С (5; 1) и D(l; — 1) — прямоугольник.
582*. Докажите, что четырехугольник с вершинами /С ( — 2; 0),
Р(2; 2), Г (4; —2) и L (0; —4) —квадрат.
§ 32. УРАВНЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ
Пусть на координатной плоскости задана некоторая фигура,
например парабола, являющаяся графиком функции у=х2
(рис. 212).
108
SSHUU^

M(x;y)
Рис. 212
Рис. 213
Говорят, что у=х2— уравнение данной параболы.
Уравнением фигуры на координатной плоскости называется
уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют
координаты любой точки данной фигуры, и только координаты точек
этой фигуры.
Составим уравнение окружности с центром в точке
А (а; ft) и радиусом г (рис. 213). Возьмем на рассматриваемой
окружности произвольную точку М {х\ у). Квадрат расстояния от
М до А равен (* — а)2+(у — ft)2. Он равен квадрату радиуса
окружности, т. е. г2. Значит,
(х-а)2 + (У-Ь)2 = г\
Это и есть уравнение окружности радиуса г с центром в точке
A (a; ft).
Если центром окружности
является начало координат, то а=0 и
ft = 0. Уравнение такой окружности
х2+у2 = г2. Например, х2+у2 = 9 —
уравнение окружности,
изображенной на рисунке 214.
Составим еще уравнение прямой,
проходящей через точки А (х\\ у\) и
В(х2; уг). Если ух=у2 = с, то
прямая АВ параллельна оси х, ее урав-
нениеу = с (рис.215).Если*i=jt2=/,
то прямая АВ параллельна оси у,
ее уравнение х^=1 (рис. 216).
109

A(*t;c) B(xz;c)
0
ус
X
п
A(l;yj^
B(i;№
Рис. 215
Рис. 216
Рассмотрим случай, когда Х\Фхг и у\фу2- Пусть М(х\ у)—
произвольная точка на прямой АВ (рис. 217). Проведем прямую
Л/С, параллельную оси х, и прямые ВК и MPt перпендикулярные
оси х. Пусть прямые ВК и MP пересекают АК в точках К и Р
соответственно. Прямоугольные треугольники Л ВК и AMP
подобны, так как их острые углы при вершине Л равны. Значит,
их катеты пропорциональны: МР:АР=ВК:АК> т. е.
x-^Xi Хг—Х\ * '
Обратно: если координаты какой-нибудь точки М(а-; у)
удовлетворяют уравнению (*), то МР:ЛР=В/С:Л/С. Значит,
дЛй/Ссо д Л MP. Тогда /_/СЛВ= Z./G4Af, точка Af лежит на
прямой Лб. Таким образом, уравнение (*) является уравнением
прямой, проходящей через данные точки: А(х\\ ух) и В (х2; уг).
Уравнение (*) можно представить и в другом виде.
Если обозначить уг — у\ = а, *2—#i=—6, х\а + у\Ь= —с,
получим уравнение ax+by + c=0. Полезно запомнить: любой
прямой на координатной плоскости соответствует уравнение
ax+by+c=0.
583. Составьте уравнение окружности с центром О и г=4.
584. Составьте уравнение окружности радиуса г = 5 с центром
в точке Л (1; 2).
585: Составьте уравнение окружности радиуса г=2с центром
в точке Л (4; 0). Проходит ли эта окружность через точку М (5; 1)?
586. Постройте на координатной плоскости фигуру, уравнение
которой. х2+у2 = 64.
587. Постройте на координатной плоскости окружность по
уравнению х2+{у—3)2=49. Чему равен радиус окружности?
588. Чему равен радиус окружности х2-\-,у2 — 6у=40?
110

589°. Укажите центр и радиус окружности, заданной
уравнением (х — 3)2+(#-|-4)2 = 36. Постройте эту окружность.
590°. Запишите уравнение окружности с центром С (2; —8)
и радиусом г=3.
591. Какие из точек А (2; 3), В (3; 4), С (3; 3), D (6; -1), Я(0; 5)
лежат на окружности, заданной уравнением х2-\-у2 = 25?
592. Найдите на окружности, заданной уравнением
x2+y2=\2lt точки с абсциссой 0, —3, 3, 11.
593. Составьте уравнение окружности с центром в начале
координат, проходящей через точку М (а; 6).
594. Составьте уравнение окружности с центром в точке
М (а; 6), проходящей через начало координат.
595. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало
координат и точку А (4;. 2).
596. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки
А (2; 3)и5(4; -1).
Решение. Подставим в уравнение (*) координаты данных
точек:
Jf|=^i^, откуда 2*+у-7 = 0.
Ответ: 2х+у —7=0.
597. Проходит ли прямая, заданная уравнением 6х—5*/-—10=0,
через точку С ( — 5; —8)?
5989. Найдите точки пересечения прямой 4#+Зу — 6=0 с
осями координат. Постройте эту прямую.
599°. Запишите уравнение прямой, параллельной оси у и
проходящей через точку М (2; 5).
600. Прямые заданы уравнениями 4х+5у+№ = 0 и х + 4у —
—-3 = 0. Найдите координаты точки пересечения.
601. Прямая и окружность заданы уравнениями 2х+3у —
— 16 = 0 и *2+у2 = 20. Пересекаются ли они?
602*. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от
координатной четверти прямой, заданной уравнением 4*+ Зу —24 = 0.
603*1 Составьте уравнение окружности, проходящей через
точки А(—1; 0), В(1; 4) и С(1; —4). Найдитеее радиус и
координаты центра.
604*. Составьте уравнение окружности с центром в точке
А (2; 3), касающейся: а) оси х\ б) оси у.
605*. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку
А (8; 0) и касающейся окружности х2+у2 = 32.
1Г

§ 33. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
Некоторые физические величины (сила, скорость, ускорение
и т. д.) характеризуются не только числовыми значениями, но
и направлениями. Их называют векторными величинами.
Изображают векторные величины направленными отрезками, т. е.
прямолинейными стрелками. Например, действующие на вертолет
две силы можно изобразить направленными отрезками а и 6,
как показано на рисунке 218. Такие направленные отрезки
называют векторами.
Понятие «вектор» удобно и для описания параллельных
переносов. Если при параллельном переносе точки А и В переходят
соответственно в точки А\ и В\, говорят, что это —
параллельный перенос на вектор АА\ (рис. 219). Параллельный
перенос на вектор ВВ\ — тот же.
В данном случае направленные отрезки АА\ и ВВ\ обозначают
—>• ->■
один и тот же вектор. Пишут: АА\=ВВ\.
Замечание. Не следует каждую прямолинейную стрелку
считать вектором. Например, имеющиеся на рисунках 159,
162—164, 211—216 стрелки — не векторы. Более полно смысл
понятия «вектор» раскроем позже.
Задают векторы также с помощью координат. Координатами
вектора АВ с началом А{х\\ У\) и концом В(х2\ у2) называют
числа ai=X2 — x\ и а2 = у2 — У\- Записывают такой вектор, ука-
Рис. 218 Рис. 219
112

A(af;a2)
Рис. 221
Y\
0
A
a2
а, С
X
Рис. 220
Рис. 222
зывая его координаты: АВ*=(а\\ а2), или а = (а\; а2). Например,
если даны точки А(1; 3) и В (7; —2), то ЛВ = (6; —5). Числа
6 и —5 — координаты вектора АВ (рис. 220). Вектор ОС, начало
которого О(0; 0), а конец С (6; —5), имеет такие же координаты.
Вообще, если О — начало координат, а числа а\ и а2 —
координаты точки А, то эти же числа являются и координатами вектора
О А (рис. 221). Первую координату вектора a = (ai; a2) называют
еще проекцией данного вектора на ось х, а вторую — проекцией
вектора а на ось у. Например, проекции вектора а = (6; —5) на
оси х и у равны соответственно 6 и —5.
Два вектора называют равными, если равны их
соответствующие координаты. Равные векторы изображают равными по длине
и одинаково направленными отрезками. От любой точки можно
отложить вектор, равный данному вектору, и только один.
Координатами вектора могут быть любые действительные
числа. Если обе координаты вектора — нули, его называют нулевым
вектором и обозначают символом 0. Это — единственный вектор,
которому не соответствует направленный отрезок и который не
имеет определенного направления.
Длиной (или модулем) вектора называют длину
изображающего его направленного отрезка. Длину вектора а обозначают
\а\. Ее можно выразить через координаты вектора (рис. 222).
113

***?€
m
-*-
A D
Рис. 223 Рис. 224
В прямоугольном треугольнике О АС ОС=аи АС = а,2. Поэтому
по теореме Пифагора
\B\=-yjOC2+AC2=^ja2i+al
Длина любого ненулевого вектора — число положительное.
Длина нулевого вектора равна нулю.
606. Укажите на рисунке 223 равные векторы. Почему* они
равны?
607°. ABCD — параллелограмм. Назовите: а) вектор,
одинаково направленный с вектором ВС; б) вектор, равный вектору CD
(рис. 224).
608°. Даны точки А (2; 5) и В ( — 2; 2). Найдите координаты
—>•
вектора АВ.
609. Даны точки /((3; —2) и Р( — 6; 0). Найдите проекции
векторов КР и Р/С на оси х и у.
610. Изобразите на: координатной плоскости вектор а=(3; 4)
направленным отрезком, исходящим: а) из начала координат;
б) из,точки А(—3; 2); в). из:точки В. (5; —2).
611. ABCD — ромб. Отложите вектор, равный вектору АВ:
а) от точки С; б) от середины стороны ВС; в) от середины
диагонали АС.
612* Найдите координаты конца вектора ЛВ=(1; 3), если его
начало — точка А (2; 5).
613°. Данььточки~А(2; 5) и В (—2; 2). Найдите модуль
вектора А&:
614°. Дан вектор" а={8-; 6). Найдите его модуль.
1141

615. ABCD — прямоугольник. Имеются ля среди векторов
АВ, ВСу CD, AC и BD равные? а-векторы с равными модулями?
616. Даны точки А{ах\ а2), В(ЬХ\ b2), C(ai+k; a2+p) и
D (&i +k\ b2+р). Равны ли векторы АВ и CD? а векторы АС и BD?
617. При каком значении х модуль вектора а=(4; л:) равен 9?
618. Докажите, что если О — середина отрезка АВ, то
аЬ=6в.
619. Постройте треугольник, полученный в результате
параллельного переноса данного треугольника ABC на вектор АВ.
620. Точка О — центр симметрии параллелограмма ABCD.
Выполните параллельный перенос этого параллелограмма на
вектор: а) АО; б) ОС.
,621'. Даны точки А (2; 1), В (0; 1), С(1; 2) и D (1; 0). Равны ли
векторы AD и ВС?
622. Даны точки /С (2; 2), Р(3; —1), 7(2; 8). Найдите такую
точку М (х; у), чтобы векторы КР и ТМ были равны.
Решение. Найдем координаты векторов: /СР=(1; — 3),
ТМ=(х—2; (/ — 8). Векторы равны, если их координаты равны.
Поэтому 1 =jc—2, — 3=у—8, откуда *=3, */=5.
623. AD — медиана треугольника с вершинами А (2; 3), В (4; 5),
С (7; 3). Найдите координаты вектора AD.
§ 34. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
Как и числа, векторы можно складывать и вычитать.
Суммой векторов а=(й\\ а2) и Ь={Ь\\ Ь2) называют вектор
a + b=(flv+bi\ a2 + b2).
Например, если а=(3; 2), &=(—1;4), то а+Ь=(2;6).
Для любых векторов a, b и с справедливы равенства:
а) ac+b = b + a — переместительный закон сложения;
б) a+(b + c)==(a + b)+c — сочетательный закон сложения.
Действительно, если а={а,\\ а2), Ь=(Ь\\ Ь2) и с={с\\ с2), то:
a) a + b=(a{ + bi; a2 + b2) и 6+a=(6i+ai; b2+a2), т. е.
a+b=b+a;
115

Рис. 225 Рис. 226 Рис. 227
б) а + (Ь + с) = (ах; a2)+(bi + c{\ b2 + c2)=(ax + b\+c{\ a2 +
+ b2 + c2\
(a+b) + c = (a{+bi\ a2 + b2)+(cu c2)=(a{ + b{ + cu a2 +
+ b2 + c2)^
Значит, a + (b + c) = (a + b) + c.
Геометрически сумму двух векторов можно находить по
правилу треугольника (рис. 225). Какими бы ни были векторы АВ и
—>- —»-—>-—>-
ВС, всегда АВ + ВС=АС. Действительно, для любых трех точек
->• —>-
А(ах\а2\ B(b\\b2) и С{с\\с2) AB=(b\ — a\\b2 — a2\ BC=
={с\ — Ь\\ с2 — Ь2\ АС = (с{—а{; с2 — а2).
Поэтому АВ + ВС=(Ь\ — ai+ci — b\\ b2 — a2-{-c2 — b2)=(ci —
— fli; c2 — a2)=AC.
Сумму векторов можно находить и по правилу
параллелограмма: если ABCD — параллелограмм, то AB+AD=AC (рис. 226).
В данном случае AD = BC, поэтому AB+AD=AB + BC=AC.
Два вектора, сумма которых равна 0, называют
противоположными. _^ _^
Векторы АВ и ВА всегда противоположны. Противоположны и
векторы а=(а\\ а2) и Ь=(~а\\ —а2\ так как a+b=(ai— cl\\
а2 — а2) = 6.
Разностью векторов а и b называют такой вектор с, который в
сумме с b дает а. Например, если а=(а\\ а2) и b=(b\\ b2), то
a — b=(a\ — b\\ a2 — b2).
Действительно,
(а — fr) + 6 = (ai — 61 + 61; a2 — b2 + b2)={ax\ a2) = a.
Для любых векторов АС и АВ справедливо равенство АВ —
116

—АС=СВ (рис. 227). Ведь по правилу треугольника равенство
АС+СВ=АВ всегда истинно.
624. Найдите сумму векторов:
а) а=(4;2) и 6=(1;7);
б) с=(8; -1)и0 = (0; 0);
в) т=( —6; 8) и Я=( —2; —9);
г) р=(-0,5; 2) и 9=(1; -7);
д) s=(-4; -8)и <=(-2; -15);
•)Ч4-=-9-М-*т)-
625. Найдите сумму векторов:
а) АХ + ХС] б) МО + ОТ; в) ЛВ + 0.
626. Найдите сумму векторов:
a) AB + BC + CD; б) КР + РТ+ТХ+ХК.
627. Даны точки О (0; 0), А (сц; а2), 5 (6i; 62). Выразите через их
координаты сумму векторов:
а) ОА+АВ; б) ОВ + ВА; в) ЛВ*+ВО.
628. Даны векторы а = (2; 7) и с=( — 4; 9). Найдите их модули
и модуль их суммы.
629. Найдите х, если сумма векторов т = (2; 7) и Я = (3; *)
равна вектору р = (5; —4).
630. Найдите х и г/, если сумма векторов а = (6; х) и с = (у; 7)
равна вектору т = (8; —1).
631. Дан вектор ЛВ=(3; —2). Найдите координаты вектора
ВА. _^ ^
632. Векторы АВ и СВ противоположны. Как расположены
точки Л, В и С? ^ _^
633. Векторы АВ и CD противоположно направлены.
Противоположны ли они? Почему?
634. ABCD — параллелограмм. Найдите сумму векторов:
AB + CD и CD + BC.
635. Найдите разность векторов: а) а=(9; 5) и 6=(6; 2);
б) m = (l; 7) и Я=(4; -4); в) р=(-1; 0,3) и £=(-0,7; -1).
636. Найдите разность векторов: а) ХМ—ХО\ б) РТ — КТ.
117

637. Найдите разность векторов:
а) с=(8; 6) и 0; б) 0 и £—(1; 5); в) 0-АВ; г) ТМ—0.
638. Чему равен модуль вектора а—Ь, если а=(3; 5), 6=
=(-1;7)?
639. ABCD — параллелограмм. Найдите разность векторов:
АВ—АСи ВС —CD.
640. Докажите, что всегда АВ — КР=АВ+РК.
641. Правильно ли, что \АВ\ + \ВС\ > |ЛС|?
642*. Докажите, что для любых векторов а и Ъ |а| + |6|>
>\а+Ь\.
643. Вместо а+а + а пишут За. Отложите от начала координат
векторы а=(2; 3) и За. Сравните их модули.
§ 35. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Произведением вектора а={а\\ а2) на число k называется
вектор ka~{ka\\ ka2). Например, если а=(4; 3), то 5а=(20; 15),
—2а=(—8; — 6), 0а=(0; 0). Из определения следует:
1) k(a + b)~ka + kb — для любых векторов а, Ъ и числа k\
2) (k-\-p)a=ka-\-pa — для любых чисел k> p и вектора а.
Докажем первое утверждение. Пусть a=(art a2) и fc=(fei; 62).
Тогда a + b = (a\ + bu a2-\-b2\ k(a+b)=(kai + kb\] ka2 + kb2),
ka+kb=(ka\\ ka2) +(kb\\ kb2)~(kai + kbrt ka2 + kb2).
Правые части равенств равны, значит, и левые равны:
k{a + b) = ka + kb.
Аналогично доказывается второе утверждение.
Если число k натуральное, то ka = a + a + ... + а. Например,
— —.
k раз
3a=a + a+a. Модуль вектора За в 3 раза больше модуля
вектора а. Поэтому векторы а, Зй и —За изображают, как показано на
рисунке 228. Вообще векторы.а и ka сонаправлены, если £>0, и
противоположно направлены, если ft<0. В обоих случаях \ka\ =
= l*l-|a|.
Ненулевые векторы a={ai;a2) и b={ka\\ ka^), где А —любое
действительное число, называют коллинеарными. Им
соответствуют параллельные (или лежащие на одной прямой) направленные
отрезки. При k>Q они сонаправлены^ при &<0 противоположно
118

Рис. 228 Рис. 229
направлены. Если векторы О А и О В коллинеарны, то точки 0, Л и В
лежат на одной прямой.
Векторы е\ =(1; 0) и ^—(О; 1) называют координатными
векторами или ортами (рис. 229). Любой вектор а={ах\ а2) можно
представить в виде а=а\е\-\-а&%. Действительно,
a=(ai; a2)=(ai; 0) + (0; a2)=a{ (1;0) + а^(0) \)==сне\+а£г.
Такое представление вектора а называют разложением данного
вектора по осям координат. Геометрически его смысл ясен из
рисунка 229. Здесь ОА = ОА \ + ОА2 = а\е\+а^ег.* Любой ^вектор
можно разложить по осям координат и только-одним способом.
644. Умножьте вектор а=( —3; 5) на 2, на*3, на — 7.
645. Упростите выражение: а) с+с + с + с; б) Зп + 5п.
646. Найдите модули векторов 2а и —5а, если:Я=(1; А).
647. Докажите, что для любых чисел k и'/ (kl)a=k(la).
648. Найдите модуль вектора 4* — Zy, если #=(1; 3), у =
=(5; 7).
649. Модуль вектора ka равен 6. Найдите k, если а==(—7; 4).
65Q. Коллинеарны ли векторы: а) а=(4; 6) и Ь ==(2; 3); б) "с=>
-(1; 5) и р=(5; 1); в) £=(-2; 5) и ;=(4;' -10). _
651. При каких значениях п векторы a=(/z; 1) и Ъ =(4; п)
коллинеарны?
Р е ш е н и е. Если векторы коллинеарны, то существует-число ft,
при котором kn=4 и ft-l=/t, Отсюда я2 = 4, я=2 и л=— 2.
Ответ. Данные векторы коллинеарны при п=ч2и л»—2.
052. Точка О —середина отрезка ЛВ. Коллинеарны ли векторы
ла и л^? а ол и as?
1Ю

653. Точка О — середина отрезка АВ. Найдите координаты
вектора ОА, если ЛВ=(4; —6).
654°. Даны векторы а=(3; 1) и Ь =(2; 3). Вычислите
координаты вектора с, если: а) с=2а+Ь\ б) с=а — Ъ.
655. Докажите, что векторы р=( — а; 6) и <7=(а; ~&)
противоположно направлены.
656. Дан вектор ?=(—4; 5). Найдите вектор /, сонаправленный
с с, но имеющий в 3 раза больший модуль.
657. Точка К делит отрезок АВ в отношении 2:3. Найдите
координаты вектора АК, если /СВ=(2; 3).
658°. Даны векторы а и b (рис. 230). Постройте вектор с, если:
а) с = а+Ь\ б) ?=а-—6.
659°. ABCD — параллелограмм. Выразите через векторы
ЛВ и Л£: а) вектор Л С; б) вектор BD.
660. Af — точка пересечения медиан треугольника ABC.
Докажите, что МА+МВ+МС=0.
Решение. Пусть АК — медиана треугольника ABC.
Отложите на ее продолжении отрезок КР=МК (рис. 231). MB PC —
параллелограмм.
MC+MB=MPf Л*Л=-2МК= — MP (см. задачу 514),
Ш+Ш + МС=~- МР+МР==6.
661. Докажите, что если М и М\ — середины отрезков АВ и
АхВи то A*Afi=-i-(A4i4-BBi).
662. £i=(l; 0), *?2=(0; 1) — координатные векторы. Найдите
координаты вектора 3ei — 2?2.
663. Разложите по осям координат векторы: а) а = (4; 5);
б) 6 =(2; -7).
Рис. 230
120

§ 36. ПРИМЕНЕНИЕ КООРДИНАТ И ВЕКТОРОВ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Чтобы решить геометрическую задачу, иногда полезно связать
рассматриваемые в ней фигуры с системой координат. Приписав
отдельным точкам фигур координаты, а линиям — уравнения,
дальше вычисляют координаты других точек, определяют
уравнения других линий и, анализируя, приходят к ответу. Такой метод
решения задач называют методом координат.
Задача. Докажите, что середины отрезков, соединяющих
середины противолежащих сторон четырехугольника, совпадают.
Решение. Пусть дан произвольный четырехугольник ABCD.
Расположим его на координатной плоскости так, чтобы точка А
совпала с началом координат, а В оказалась на оси х (рис. 232).
Введем координаты вершин данного четырехугольника: А (0; 0),
В (а; 0), С (т; л), D (p\ q). Тогда координаты середин сторон
четырехугольника будут следующие:
Координаты середины М отрезка EF: м(а+^р ; «^Ф^) •
Координаты середины М\ отрезка КР: М\ f £!±£i±£ ; £±£ \ л
Координаты точек М и М\ совпадают. Значит, середина
отрезка EF совпадает с серединой отрезка /СР. А это и требовалось
доказать.
Если для решения задачи используют свойства векторов,
говорят о векторном методе решения задачи. При этом нередко
используют следующие утверждения:
Теорема 29. Если О — любая
точка, а М — середина отрезка АВ
или точка пересечения медиан
треугольника ABC, то соответственно
6м=-у(ОА + ОВ) или
6м=±(6а+6в+6с).
Доказательство,
верны векторные равенства
Всегда
\А(о;о) Е
Рис. 232
В(а;о) X
121

Ш+Ш==ОА, ОМ+МВ = 0В, GM+MC = 'OC. (*)
Если сложим два первых из них и учтем, что МА + МВ=0,
получим
Q.OM^OA-ЬОВ, откуда 6м=±(0А + 0В) (рис. 233).
,Если сложим все.три равенствах*,) и учтем, что МА+МВ+
+МС=0 (см. задачу 660), получим 3-ОМ=ОА + ОВ+ОС,
откуда
ОМ==4т(ОЛ + ОВ + ОС) (рис. 234) Ц
Решим векторным методом задачу, решенную выше
координатным методом.
Р е ш е н и е.'Если М — середина отрезка EF, аМ\ — середина
КР, то для любой точки О
OM=j-(0£ + OF)=-|-(-^(a4 + OB)+j-(OC-f-OD)) =
=±-{ОА + ОВ + ОС+OD),
ом, =-|-(<ж+op)=y(t^b+°°)+1~(^ +0^))=
=-1-(ОЛ + OB + OC+OD).
4
—>■ —>■
Как видим, ОМ=ОМ|. Значит, точки Л! и Mi совпадают.
/Другие примеры решения задач векторным методом имеются
в § <41.
122

Рис. 235 Рис. 236
664. Основание равнобедренного треугольника равно 80 см, а
проведенная к нему медиана 160 см. Найдите длины других медиан.
665. В остроугольном треугольнике ABC высота АН =10 дм,
НС=А дм, #5 = 10 дм. Найдите длину медианы ВВ\.
666. Решите предыдущую задачу при условии, что угол АСВ
тупой.
667. ABCD — квадрат, К — середина стороны ВС. В каком
отношении серединный перпендикуляр отрезка KD делит сторону
Л5?
668. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного
треугольника равноудалена от всех вершин треугольника.
669. Даны отрезок АВ длины 2а и окружность радиуса Ь с
центром в середине отрезка АВ. Докажите, что сумма квадратов
расстояний от любой точки окружности до точек А и В постоянна.
Найдите эту сумму.
Решение. Расположим данный отрезок и окружность на
координатной плоскости, как показано на рисунке 235.
Координаты концов отрезка: А (а; 0) и В (—а; 0). Если М (х; у)— любая
точка окружности, то х?+у2=Ь2 и МА2+МВ2 = (х—-а)2+у2 +
+(х+ау+у2=2(х2+у2)+2а2=2{а2 + Ь*).
При данных а.и b значение полученного выражения постоянно.
Ответ. 2(а2+62).
670*. Докажите, что сумма квадратов всех сторон
параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
671*. Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для
произвольной точки М справедливо равенство AM2 + СМ2 = ВМ2+DM2.
672*. Докажите, что если ABCD — параллелограмм, то для
всех точек X знатение АХ2 + СХ2 — ВХ2 — DX2 постоянно.
123

673*, Докажите, что если а, Ь, с — стороны треугольника, а
т—медиана, проведенная к стороне а, то т =-|—>/262 + 2с2 — а2.
674*. Даны точки А и В. Найдите геометрическое место точек
X — таких, что для каждой из них выполняется равенство АХ2 —
-АВ2=±-ВХ2.'
2
675. Пусть К, Л 7\ L — середины сторон АВ, ВС, CD, DA
произвольного четырехугольника. Докажите, что точки
пересечения медиан треугольников APT и CKL совпадают (рис. 236).
Решение. Обозначим точки пересечения медиан
треугольников APT и CKL буквами М и М\. Тогда для любой точки О по
теореме 29
ОМ=-|-(ОЛ + ОР + оЬ^
+^(ОС+оЬ))=^(20Л + ОВ + 20С + оЬ),
6м,=-|-(ОС +
+-^((Й + (^))=^(20Л + ОВ + 20С + оЬ).
Как видим, ОМ = ОМ\. Значит, точки М и М\ совпадают.
676. Докажите, что прямая, проходящая через середины
оснований трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей
и через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны.
677. Докажите, что длина отрезка, соединяющего середины
диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.
678. Пусть А, В, С — произвольные точки одной прямой, а К,
Р, Г —середины отрезков АВ, АС, ВС. Докажите, что КР = ВТ.
679. ABCD nA\B\C\D\ — параллелограммы. Докажите, что
середины отрезков АА\, ВВ\, СС\ и DD\ — вершины
параллелограмма или лежат на одной прямой.
680*. На сторонах АВ, ВС, С А треугольника ABC
соответственно взяты такие точки Си Аи В\, что ACi:C\B = BA\iA\C =
= CB\iB\A. Докажите, что точка пересечения медиан
треугольника ABC совпадает с точкой пересечения медиан треугольника
АхВхСи

9 класс
Глава VIII
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
§ 37. СИНУС И КОСИНУС УГЛА
В математике важную роль играют понятия «синус» и
«косинус». Что это такое?
Начертим на координатной плоскости окружность радиуса
г==1 с центром в начале координат (рис. 237). Это — единичная
окружность. Обозначим точку пересечения положительной
полуоси х с единичной окружностью буквой А и условимся углы
откладывать от луча ОА против движения часовой стрелки. Если М —
такая точка единичной окружности, что Z. Л ОМ = ос, то абсциссу
точки М называют косинусом угла а, а ординату — синусом
угла а. Обозначают их так: cos a, sin а. Например, если а = 60°, то
абсцисса ОН=0,5 (катет, лежащий против угла 30°, равен
половине гипотенузы, а гипотенуза ОМ==1). По теореме
Пифагора находим второй катет: МН=
л/з
■V
-Л/1-
1
4 2
COS 60° =
Значит, sin 60° =
Нг'С05б°о==т-
Если угол а увеличивать от 0 до
90°, его синус увеличивается от 0
до 1, а косинус уменьшается от 1 до 0.
Когда угол а продолжают
увеличивать от 90° до 180°, его синус
уменьшается от 1 до 0, а косинус
уменьшается qt 0 до — 1. Точные значения
sin а и cos а некоторых значений а
приведены в таблице.
М(со$ск;$Ш)
Рис. 237
а
sin а
cos а
0°
0
■
30°
1
2
V3
2
45°
2
V2
2
60°
2
1
2
90р
1
0
120°
V3
2
1
2
135°
л/§
2
Л/2
2
150°
1
2
л/з
2
180°
0
-1
125

Приближенные значения sin а и cos а можно находить по
таблицам или с помощбю микрокалькулятора. На
микрокалькуляторе типа «Электроника МК?54» это делается в такой
последовательности:
1) переключатель «Г—(Р» .устанавливают в положение «Г»;
2) вводят число градусов а;
3) нажимают клавишу |F|;
[шли
4) > нажимают клавишу
sin
cos
Если мера угла а содержит минуты или секунды, 4ix
переводят в десятые и сотые «доли градусов. гНапример, значения
sin 27,6° и cos 13°4' находим соответственно по таким
программам:
27,6 {¥} 1 sin 1. Результат: 4,6329604 -0,1 «0,463.
J COS
Результат: 9/7410768 • 0,1 ^ 0,974.
'Угол, косинус которого*равен 0,875, находим так:
0#75
cos
. Реаультат: 28,955026°» 29°.
681. Может ли абсцисса или ордината/точки единичной лкруж-
ности иметц> значение 1,5?
682. Может ли синус (косинус) угла иметь значение $2?
а --^2?
683. Даны три точки: О (0; 0), А (1; 0), В (1; 1). Найдите синус и
косинус угла ЛОВ.
684. Найдите синус и косинус угла АО/С, если А (1; б), К(0\Л).
685. Вычислите без применения калькулятора: a) sin 60°;
б) cos'60°.
686. Дока*жите, что sin 45° =
= cos 45°.
687. Докажите, что cos 60° =
= sin 30°.
Решение. Пусть Z. МО А = 30°,
АТОА=60° (рис. 238); &МОН =
= &ТОР (по гипотенузе и острому
углу), РТ=МН. Но Pr=cos60°,
МН=sin 30°. Значит, cos 60° = sin 30°.
688. Постройте угол, косинус ко-
Рис, 238
з 1
торого равен: а) -т-; б) —
Ш
1

689. Постройте угол, синус которого равен 0,75. Сколько
решений имеет задача?
690. Найдите по четырехзначной математической таблице:
а) sin 25°; б) sin 67°; в) cos 83°; г) cos 12°.
691.„Найдите с помощью микрокалькулятора: a) sin 20°;
б) sin3°; в) sin 4,8°; г) sin 56,7°; д)^ cos 64,25°; е) cos 145,8°.
692.. Найдите: a) sin25°10'; б) cos 3°7'; в) cosi78°15/;
г) cos 108°30'; д) sin 156°36'.
693. Найдите угол; косинус которого: а) 0,325; б) —0,78; в) -|~-
694. Найдите острый угол, синус которого равен: а) 0,26;
б) 0,725; в) 0,75.
695. Найдите тупой угол, синус которого равен: а) 0,24;
б) 0,385; в) -|-;
696. Найдите значение выражения:* а) 23 sin 75°; б) 49'5 .
cos<38°
697. Какой из углов.больше — а,или. р,.если: a),cos a =0,5,
cos Р=4~5 б) sin а=0,75; cos р=—0,90?
о
698. П p.a к т и ч е.ск о е з.а д.ал и е. Начертите на.миллимет-
ровой бумаге полуокружность радиуса. 10 см, разделите ее с,
помощью транспортира на 18 равных частей. Глядя на чертеж,
составьте таблицу синусов и косинусов для углов 10°, 20°,..., 180°,
§ 38. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Решить треугольник — этозначит найти неизвестные стороны
и углы треугольника по известным его сторонам и углам.
А
Задач а. Гипотенуза прямоугольного
треугольника фавна;10, а одингиз углов%30°.
Найдите,другие;его>стороны и углы:
Решени,е.\ В. треугольнике А ВС, Z. С=
= 90°, Z4=30°, ЛВ=:10;(рие. 239)* Тогда
Z. В = 90° -30° = 60°, ВС=АВ:2=Ь. По
теореме Пифагора
ЛС=У/о2-52=775 = 5л/3.
Ответ. ВС=5, ЛС=5л/3, Z.<#=60°.
Это — пример решения^ треугольника: Рис. 239
127

I A b С
Рис. 240 Рис. 241
Подобным способом можно решать прямоугольные
треугольники, если один из его углов равен 45° или 60°. А в остальных
случаях?
Пусть надо решить треугольник ОВС с заданной гипотенузой
ОВ = с и углом О, равным а. Поместим этот треугольник на
координатную плоскость с единичной окружностью, как показано на
рисунке 240. Если луч ОВ пересекает единичную окружность в
точке М, а МН— перпендикуляр на ось х, то А ОВС оэ аОМН,
откуда
вс = лш _0£ = он_
ов ом ов ом'
Так как (Ш=1, ОВ = с, МН=sin а и ОН = cos а, то
—=- =sin а, -^=- =cos а,
с с
откуда ВС = с sin a, OC = c cos а.
Из приведенных рассуждений вытекает следующее общее
утверждение: в каждом прямоугольном треугольнике отношение
катета к гипотенузе равно синусу угла, лежащего против катета, и
косинусу угла, прилежащего к катету. Если стороны и острый
угол а обозначены, как показано на рисунке 241, то
—= sin а, —= cos а.
с с
Зная эти соотношения и теорему Пифагора, можно решить
любой прямоугольный треугольник.
Возможны следующие случаи решения прямоугольных тре-
128

угольников: 1) по гипотенузе и острому углу; 2) по катету и
острому углу; 3) по гипотенузе и катету; 4) по катетам.
Решение этих четырех видов задач в общем случае приведено
в следующей, таблице:
п/п
1
2
3
4
Условие
л ^<^
>! —<^
А в
В
С
В
а
С
В
а
С
\3
а
С
\ Решение
В = 90° —a,BC = c-sina,4C==c-cosa
В = 90°-а,ЛВ=^-, АС=АВ- cosa
sin a
sin>4=—, S = 90° — Л, ft = c-cos4
с
* 1
AB=^a2 + b\sm A=-^,B = 90°— A
699. Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с=
= 627 и углу а = 23,5°.
Решение. а = с sin a = 627-sin 23,5°«250 (см. рис. 241).
(23,5 \F\
sin
627 [Xj)
b = с • cos a = 627 • cos 23,5° « 575,
(23,5 pF] Г^Г| 627jxj)
0 = 90°-23,5° = 66,5°.
Ответ. a = 250, 6 = 575, 0 = 66,5°.
700. Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с и
острому углу а, если:
а) с = 9,35, а = 65°; в) с = 0,798, а = 66,5°;
б) с = 3,64, а = 50°; г) с = 248, а = 8°12'.
701. Решите прямоугольный треугольник по катету а и острому
углу а или р, если:
а) а=18, а = 47°; в) а = 0,174, р = 36°;
б) а = 6,37, а = 4,5°; г) а = 0,295, 0 = 64,5°.
5 Заказ 223 J 29

702.. Решите прямоугольный треугольник по
гипотенузе с и катету а юли 6, -если:
а) €=Ш>я=Ш] *) е=©97, #=528;
б) с=130, а=32; г) с=ПХ #=8*23.
703. Решите прямоугольный треугольник по
двум катетам а и 6, если:
а) а=133, 6 = 186; в) а«*1ДО, 6 = 0,97;
б) а=26,1, 6=38; г) а = Ш> 6=6,91
704. Определите высоту дерева по чертежу
242, если 6=9 м, а=70°, Л = 1,5 м.
705. Диагональ прямоугольника равна 65 см
и образует с одной из сторон угол 65°. Найдите
Рис. 242 стороны.
706. Найдите основание равнобедренного треугольника, £сли
его боковая сторона равна 37 дм, а угол при основании 44°.
707* В равнобедренном треугольнике основание равно 26 см,
а угол при основании 65°. Найдите боковую сторону.
7*08. В равнобедренном треугольнике основание относится к
боковой стороне как 7:8. Н&йдите углы.
709. Высота равнобедренного треугольника равна основанию.
Найдите углы.
710* Высота, проведенная к основанию равнобедренного
треугольника, равна 37 см, а угол при основании 40°, Найдите
стороны.
711. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если
длины двух больших его сторон равны 20 см и 18 см.
712*. В прямоугольном треугольнике один из острых углов
28°, а периметр 82 см* Найдите гипотенузу.
713. Найдите углы треугольника, если его стороны АВ, АС и
высота АН равны соответственно 3 см, 5 см и 2 см.
714. Найдите углы равнобокой трапеции, если ее боковая
3,вм
Рис. 243
сторона* и диагональ равны 3 .дм и
^ 4 дм* причем диагональ
перпендикулярна боковой стороне.
715. Поперечный разрез траншеи
имеет форму равнобокой трапеции
(рис. 243). Найдите угол уклона
стенок траншеи.
130

§ 39. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ТОЖДЕСТВА
Каждому числовому значению угла а соответствует
единственное значение синуса и единственное значение косинуса этого
угла. Следовательно, синус и косинус угла а — функция а. Их
называют тригонометрическими функциям,». Эти функции обладают
многими важными и интересными свойствами; с ними вы
ознакомитесь на уроках алгебры. А сейчас отметим только те свойства
синуса и косинуса, которые нужны для геометрии.
Так как sin а и cos а — ордината и абсцисса точки единичной
окружности, а уравнение этой окружности **+у2=1, то всегда
qo§2 a + sin2 a==\.
Это — основное тождество, связывающее синус и косинус
одного и тадчэ же угад. Qflo дзет возможность выражать значение
синуса через косинус и наоборот:
sin a=yi— cos2 a, cos a= ±лД~—sir?~a.
Во второй формуле пишут знак минус, когда угол а тупой. (Углов,
больших развернутого, здесь мы не рассматриваем.)
Обратим еще внимание на тачки М и N единичной окруж*
ности, соответствующие углам 180° —а и а (рис. 244), Ординаты
точек Ми N равны, а абсциссы отличаются только знаком, так как
AOMH=AONK> Следовательно, всегда
sin (180° — a) = sin a, cos (180° —a) = —cos a.
Эти две формулы позволяют выражать значения синуса и
косинуса тупого угла 180° —а через синус или косинус острого угла а.
Примеры,
sin 147°=sin(180° — 33*) = sin ЗЭ9,
cos 105° = cos (1805 — 75*)==— cos 75*.
Кроме синуса и креинуса,
известны и другие тригонометрические
функции* в том числе тангенс.
Тангенсом угла о, называется, отношение,
синуса угла а к косинусу этого же угла:
tga=-^2L.
& cos a
Тангенс угла а имеет смысл для
каждого значения а из проме- Рис. 244
131

Асе
b l^ ** cos а с * с b
Рис. 245 Поэтому с помощью тангенса удобно решать
прямоугольные треугольники по двум катетам.
Значения тангенсов данных углов можно находить с помощью
микрокалькулятора подобно тому, как находят синусы углов,
но только вместо клавиши | sin | нажимают клавишу | tg |.
Значения тригонометрических функций можно находить и по
таблицам. Правила пользования четырехзначными таблицами
сформулированы в сборнике В. М. Брадиса «Четырехзначные
математические таблицы».
716. Найдите синус угла а, если: a) cos a=—; б) cos a = 0,2;
о
в) cos a =—0,5; г) cos a =—0,875.
717. Найдите косинус острого угла а, если: a) sina=—;
4
б) sina=^; в) sina = 0,72.
718. Найдите косинус тупого угла а, если: a) sina=—;
б) sina = -|--
о
719. Докажите, что sin 135° = sin45°.
720. Докажите, что cos 140°=—cos 40°.
721. Докажите, что для любого острого угла a
cos (90° — a) = sin a, sin (90° —a) = cos a.
Решение. Пусть АМОА = а, £ТОА = 90° — a (cm.
рис. 238); Д АЮЯ = Д TOP (по гипотенузе и острому углу), РТ=
= МН. Но Pr=cos(90° — a), M# = sina. Значит, cos(90° —a) =
= sin a.
Из равенства треугольников МОН и ТОР следует также, что
РО = ОН, т. е. sin (90° — a)=cos a.
722. Докажите, что для любого острого угла a tg (180° —a)=
= — tga.
132
жутков 0°<а<90°.и 90°<а<180°. Тангенс
угла 90° не существует, так как cos 90°=0,
а на нуль делить невозможно.
Тангенс острого угла а прямоугольного
треугольника равен отношению противолежащего
катета к прилежащему (рис. 245). Действительно,
i~ . sin a а ш b a

723/ Докажите, что синусы любых двух углов
параллелограмма равны.
724. Докажите, что синусы любых двух углов равнобокой
трапеции равны.
725. Докажите, что сумма косинусов всех четырех углов
параллелограмма или трапеции равна нулю.
726. Найдите по таблицам синусы углов: а) 47°; б) 23°30';
в) 127е.
727. Найдите по таблицам косинусы углов: а) 81°; б) 164°;
в) 94в30/.
728. Найдите по таблицам: a) tg 49°; б) tg 78°30'; в) tg 100°.
729. Пользуясь таблицами, найдите угол а, если: a) cos а =
=0,97; б) sina = 0,358; в) tga = 0,9; г) cos а=—6,407.
730. Пользуясь таблицами, решите прямоугольный
треугольник по двум катетам: а) a = 37,8, 6 = 16,5; б) а=10,7, 6 = 7,29.
731. Найдите углы ромба, если его диагонали d = 3,5 м,
d, = 5,8 м.
732. Найдите углы прямоугольного треугольника, если его
катеты относятся как 4:5.
§ 40. ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ И СИНУСОВ
Чтобы решать любые треугольники, а не только
прямоугольные, необходимо знать теоремы косинусов и синусов.
Теорема 30 (косинусов). Квадрат стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного
произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть ABC — любой треугольник, у
которого АВ = с, АС = Ь, СВ = а и /.Л = а (рис. 246). Докажем,
что
а2 = б2 + с2 — 26с cos a.
Расположим данный треугольник
в координатной плоскости так, чтобы
его вершина А оказалась в начале
координат, а вершина В — на
положительной полуоси х. При этом
координаты вершин треугольника
будут: Л(0; 0), В{с\ 0), С (6 cos a; 6 sin a).
По формуле расстояния между
двумя точками
133

А1 И В И1 Л * #
Рис. 247 Рис. 248
#С2=*(6<соз *—с)?'+(6 sin <*-0)2 = 6? cos? cc-2fo cos -a-H*+
-И>2 sin? сь=Ь2 (sin2 а+cos2 а)+£2 — 26c cos^=
=62 + c? —2&ccosav
Итак, a2 = b*+ c2 — 26c cos a.
Аналогично можно записать (если Z.B = p и Z£=?)
62 = a2 + c2 —2accos p, c2 = a2 + 62 — 2a6 cos у. Щ-
Теорема Пифагора — частный* с^у^й; теорегйы' кбсинусов. Так
как cos 90° = 0, то c2 = a2 + 62 — 2ab cos 90° = сР+#2:
Теорема 31 (синусов). Стороны треугольника
пропорциональны синусам противолежащих углов*
Доказательство. Пусть ABC — произвольный
треугольник, а СН— его высота (рис. 247). Выразим высоту СН
двумя, способами.
Если^ а.<90° и. p<C9Q°, то из прямоугольных, треугольников.
АСН и ВСН имеем С# = 6 sin а. и СН=а sin* р..
Если о^>90°,. то, СН = Ь sin (.Ш)° —а>=& sin а и. СН = а sin р
(рис* 248).
Если а = 90°, то СН = Ь = Ь sin а и СН = а sin p.
Итак, всегда 6 sin a = a sin р, откуда a:sin a = fe:sin p.
Аналогично можно доказать пропорцию a:sin a = c:sin у.
Значит, всегда'
Д- = ^ = -с- ЦВ
sin a sin p sin y
Теоремы синусов^ и косинуяов д&зот возможность* решите
любай треугольник по трем его известным! элементам* (крш$:
трех^ углов)'.
Если даны сторона и прилежащие) к ней* углы,, сначала н#-*
ходим третий, угЧ>л, а потом по теореме синусов — стороны».
' Ш

^сли даны>две стороныгюугол-между нтт9то теореме ндсину-
сов находим третью сторону, шором по .теореме коси«усов или
синусов — неизвестные углы.
Если даны три стороны, один .из углов лаходим щ.о ггерреме
косинусов, другой можно найти\по^теореме!косинусов.илипо т*еоре-
>ме синусов.
733°. Даны две стороны треугольника ?и угол между ними:
а = 4, 6 = 10, 7=140°. Навдаде 1т^етью огцрону треугольника.
734°. В треугольнике ДОС'ВДВ£стны р^оррны: АВ\=А см, ВС =
^=5 см, АС=6 см. -Найдите уго^ $.
735°. В треугольнике ABC АВ = Ъ см, ВС=6 .см, /.4=150°.
Найдите угол С.
736°. В треугольнике ДДС ЛС=10.см, ZC = 30°, ZB = 45°.
Найдите сторону АВ.
7«й* Решите треугольник по двум данным сторонам: а=39,7,
65=73,2 и углу 7 = 46,5° между ними.
Ре ш е н и е. II о теореме косинусов
. с=ч/39,72 +73,-2" —2 -39,7.78,2 «cos 46,5°« 54,2,
Т1 39,7
46,5 ЩЭ;Ш2 039>7 н ™*ЕЭ1
По теореме синусов
39,7 54,2
sin а
sin 46,5°
sin а==-
39,7.sin 46,5°
-54;2
46,5 РТГ^П 39,7 Щ) 54,2;рГ|
ГрП
гГ1. ^\i\
|Slfl
а ж 32,Г
Тогда р «?180° -46,5° - 32,4° = 10L/40. .
'От в ет. ? = 54,2, а='32,'1°, 0=101,4°.
738. Решите треугольник по двум данным сторонам'6, с и углу а
цецду ними, если:
а) 6=22, с=26, а =78°;
б) <Ь = ГО, с=Ъ, а =102°;
в) 6=0,8, с=0,6, а=50°;
,rj 6=49,37, с = 26,44, а = 47,25°.
739. Решите треугольник по стороне а и двум углам р, у, если:
,а) а=32, р = 36°, .Y=42°-;
б) а=20, Р = 31°, v = 124°; .
в) а = 17,4, Р = 64°, 7=44,5°;;
г) а=7,31, р = 28°14', v = 109°32'.

740. Решите треугольник по трем сторонам а, 6, с, если:
а) а=15, 6 = 18, с = 25;
б) а = 41, 6=19, с = 40;
в) а = 3, 6 = 6, с = 3л/3;
г) а = 91,2, 6 = 125,3, с= 176,2.
741. Решите треугольник по двум данным сторонам а, 6 и
углу против одной из них, если:
а) а = 4,2, 6=3,5, а = 70°;
б) а=1,5, 6 = 2,4, а=28,5°;
в) а=111, 6=67,31, р = 37°20'.
742°. В параллелограмме ABCD АВ = 4 см, AD = b см, АА =
= 45°. Вычислите длину диагонали BD.
743. Сторона ромба равна 38 см, угол 58°. Найдите диагонали.
744. Вершины треугольника — точки А (2; 3), В(—1; 4),
С(0; —2). Найдите косинусы его углов.
745. Диагональ параллелограмма, равная 9 дм, образует с его
сторонами углы 24° и 57°. Найдите стороны параллелограмма.
746. Чтобы определить расстояние от точки А до недоступной
точки В (рис. 249), измерили отрезок ЛС = 40 м и углы: АВАС =
= 57°, Z_4CB = 63°. Найдите расстояние АВ.
747*. В треугольнике ABC известны: сторона ЛС=16,
Z.CAB — 120° и биссектриса AL = 10. Найдите две другие стороны.
748. Докажите, пользуясь теоремой синусов, что биссектриса
угла треугольника делит его сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторонам.
749. Основания трапеции равны 14 м и 18 м, а боковые
стороны 7 м и 10 м. Найдите углы трапеции.
750. Чтобы определить высоту заводской трубы (рис. 250),
измерили расстояние ЛВ = 12 м и углы а = 35°, р = 49°. Найдите
высоту трубы.
751*. Чтобы найти расстояние
в между пунктами А и В (рис. 251),
/\ измерили расстояние CD и углы а,
^-- ^^£~\ Р» Y» б. Как найти АВ?
/ \ 752*. Можно ли, зная расстояние
==^_ Агг \ _^£ АВ = 1 и углы а, р, у, б, указанные
=в^7^ V на рисунке 251, вычислить расстоя-
£ А ние CD?
А С
Рис. 249
136

Рис. 251
§ 41. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Об умножении вектора на число речь шла в § 35. Теперь,
зная свойства косинуса, мы можем рассмотреть и умножение
вектора на вектор.
Пусть даны ненулевые векторы а и 6. Отложив их от начала
координат, получим направленные отрезки О А и ОВ,
соответствующие данным векторам (рис. 252). Угол АОВ принимают за угол
между векторами а и Ь.
Скалярным произведением ненулевых векторов называют
произведение их модулей на косинус угла между ними. Если угол
между векторами а и b равен ср, то а«6=|аЫ&1 cos cp по
определению. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то их
скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение векторов нередко применяют в физике.
Например, работа постоянной силы F при перемещении тела на
вектор S определяется по формуле А= \F\ • \S\ -cos ср, т. е. равна
скалярному произведению векторов F и S (рис. 253).
В геометрии с помощью скалярного умножения векторов
Рис. 252
Рис. 253
137
и-гт;"1

в
0
/80°
^*=—С а 1 —
Рис. 255
^_
Рис. 254
можно определять меры углов, доказывать перпендикулярность
прямых, так как для ненулевых векторов а и Ь а*6 = 0 тогда и
только тогда, когда ф = 90а. Но чтобы делать это, надо уметь
находить скалярное произведение векторов.
Теорема 32. Скалярное произведение двух векторов а=
=(tfi; а2) и Ь=(Ь\\ b2) равно ai&i+a2&2.
Доказательство*. Отложим данные векторы от начала
координат (рис. 254). Если а=ОА, b = OBt то координаты их
концов будут: A(ar9 а2) и В(Ь\\Ь2). Тогда ОА2 = а2-\-а2, ОВ2=
= Ь\ + Ы АВ2={Ьх-ах)2+{Ь2-а2)2.
Если данные векторы а и о не коллинеарны и угол между ними
равен ф, то по теореме косинусов
А В2 = О А2 + QB2 -2-QA-OB cos ф, (*)
или _^ _^
(6i-ai)2+(6?^aa)2=(a?+ai)4-(M + 6i)-2. \ОА\■ |OJ3| cos Ф,
откуда
ai6i +a2&2= |al • |6| cos ф.
Если векторы-а и Ь коллинеарны, то угол^ между ними равен 0°
или 180° (рис. 255). В первом случае
АВ2 = (ОА-ОВ)2 = ОА2 + ОВ2-2-ОА.ОВ = ОА2 + ОВ2-
— 2-ОА-ОВ cos 0°,
во втором —
АВ2=(ОА + ОВ)2 = ОА2 + ОВ2+2.0А'ОВ = ОА2 + ОВ2-
-2-ОА-OB cos 180°.
Как видим, равенство (*) справедливо и в этих случаях. Поэтому
всегда ab = a\b\ + a2b2. Q
138

Из доказанной теоремы следует, что для любых векторов а,
Ъ i с
(a + b)i==ac + bi.
Действительно, если а={а\\ а2), Ь—(&г, 62), с—(d; c2), то
a + 6 = (ai+6i; а2 + Ы &+b)o=(at+bi) ci+fa + bst) с2,
йс+Ь^=(ъ\е\ + аъСг)^{Ьхс\^Ь2С2)={а1^Ь\)с\
Значит, (u + b)t=at+bt.
Доказанное свойство скалярного умножения векторов
позволяет выполнять преобразования векторных равенств подобно тому,
как преобразовывают Многочлены*
753°. Найдите скалярное произведение векторов а и &> тесля их
модули равны 2 и 3, а угол между ними 45°.
754. Точки Л, ZJ, С — вершины равностороннего треугольника,
АВ=8. Найдите скалярное произведение векторов: а) АВ-АС\
б) АВЖ.
755. ABCD — ромб, АВ=й, Z.A = 30°. Найдите скалярное
произведение векторов: а) AB*AD\ б) АВ*В€\ в) АВФС\
г) АС-Вб.
756. ABCD — квадрат со стороной а. Найдите: а) AB'AG;
б) AB.BD.
Решение. Если ABCD — квадрат и АВ = а, то \АВ\=ач
\АС\ =a-y/2t \BD\=a-yf2, угол между векторами АВ и АС равен
-»- -»-
45°, а между АВ и BD 135°. Поэтому:
—>-—>- __
а) AB-AG=a-a-yj2 cos 45° = a2;
б) Лв"-ВО = а.ал/2соз1350=-а2.
757°. Найдите ск&дярйое произведение векторов а=(3; 4) и
Ь=(5; -2).
758°. Докажите, что векторы а=(—2; 4) и Ь=(6; 3)
перпендикулярны.
759* Перпендикулярны ли векторы т = (8; 3) и я=(—2; 5)?
Почему?
760* Докажите, что при любых положительных значениях тип
Векторы а=(т] п) и b=(n; — m) перпендикулярны.
139

Рис. 256
761. При каких значениях р
векторы а = (4; р) и b = (2; 5)
перпендикулярны?
762. Векторы е\=(1; 0) и ?2 =
=(0; 1). Перпендикулярны ли
векторы 2?1+?2 И <?1— 2?2?
763. Найдите косинус угла
между векторами а=(3; 5) и 6=(1; 0).
764. Найдите угол между
векторами а=(2; 3) и ?=(—1; 4).
765*. На сторонах треугольника ЛВС вне его построены
квадраты АСКР и BC£D, М — середина КЕ. Докажите, что СМ±АВ
(рис. 256). ^ _^ ^ _ _^
Решение. Пусть СЛ = а, СК = аи СВ = Ь, СЕ = Ь{. Тогда
CAf=-i-(ai + 6i), АВ = Ь — а, CM.AB=-i-(ai 6-а, а + М — М).
Так как a_Lai, 6±6i и аАСЕ= АКСВ (по двум сторонам и углу
между ними), то а\ а = Ь\ 6=0 и а\ 6 = &i a.
Значит, СЛ*.ЛВ = 0, т. е. CMJLAB.
766*. Точки К и Р делят диаметр окружности на три равные
части. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой
точки окружности до К и Р постоянна. Выразите эту сумму через
радиус окружности г.
767*. Докажите, что высоты треугольника или их
продолжения пересекаются в одной точке.
Глава IX
МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ
§ 42. МНОГОУГОЛЬНИКИ
Фигура, составленная из отрезков АВ, ВС, CD, DE, EF,
называется ломаной ABCDEF (рис. 257). Точки А, В, С, D, Е, F —
вершины этой ломаной, А и F — концы ломаной, отрезки АВ, ВС, CD, DE,
EF — ее звенья. Рассматриваемая ломаная имеет пять звеньев, но
их может быть любое число (не меньше двух).
Ломаная называется простой, если она не имеет
самопересечений и если никакие два ее смежных звена не лежат на одной
140

Рис. 257
Рис. 258
прямой. На рисунке 257 изображена простая ломаная, а на рисунке
258 — непростые.
Длиной ломаной называют сумму длин всех ее звеньев. Длина
ломаной не меньше расстояния между ее концами. Например,
длина ломаной ABCDE не меньше АЕ (рис. 259). Действительно,
по неравенству треугольника AB + BC^zACf AC + CD^AD,
AD + DE^AE. Сложив эти неравенства, получим АВ+ВС +
+ CD + DE^AE.
Аналогично доказывается утверждение для ломаной с
произвольным числом звеньев. Знак равенства здесь имеет место только
в случае, когда все звенья ломаной расположены на одной
прямой. Во всех других случаях длина ломаной больше расстояния
между ее концами.
Ломаная называется замкнутой, если ее концы совпадают.
Простая замкнутая ломаная называется многоугольником (см.
рис. 259). Вершины и звенья ломаной, образующей многоугольник,
называются вершинами и сторонами этого многоугольника.
Наименьшее число сторон многоугольника 3. Треугольник и
четырехугольник — отдельные виды многоугольников. Многоугольник
с п вершинами называют /г-угольником.
Рис. 259
Рис. 260
141-

Двелерлтны многоугольника, являющиеся .концами одной
стороны, называют соседними; вершины, не являющиеся концами
одной стороны,— несоседние* Отрезок, соединяющий две
несоседние вершины, называют диагональю многоугольника. В
треугольнике диагоналей нет.
Многоугольник разбивает плоскость на две области:
внутреннюю и внешнюю. На рисунке 260 внутренняя область
шестиугольника заштрихована. Простую замкнутую ломаную вместе с ее
внутренней областью тоже называют многоугольником.
3 а м е ч а н*е. В геометрии нередко одним словом называют
разные понятия. Например, радиус окружности — и отрезок, и
длица-зтрго отрезка^угод—иизвеотдаяьфигура*£оетоящая*трдьг
ко из двух лучей, и такая же фигура вместе с, ее- внутренней*
областью. В.,разных-смыслах урдтрейдяют цазв>ания>—сторона,
высота,- оенованне-и лр. Употребляя ^такиег названия,., всегда надо г
утоянять^вкадом смысле^ ощг-понимаются,,
В. данном* параграфе- мы? под* многоугольником^, понимаем.
npocTjgoiaaMKH^T{yjo<дома»ую*-Позя&е, .например^в>главе<о
площадях, многоугольником будем считать простую замкнутую ломаную,
вмеатепс еегвлу^р,ендей абдасхью.
Если/все.-угдьь многоугольника, меньше^ развёрнутого, его,на-
зыэак>т<ашукАьш*-11ъ рйсудае^б!- изрб.рсажены^выпуклый^
многоугольник- ASC.DME m невыпуклый, многоугольник, KRTLMLNt Htl
углы обозначены дугами.
Т*ею:ргесмФ1 38; Сумма углов выпуклого,/^угольника равна
ДсОгк^в1ате«Л)Ь.о:ТгвзогЛусгг1>:ЛЛС/?^,ЛпР — адпуклый много-
угольвш*;(ршх;.262)г. ЛтгонтъАСЛО, .^Д/С^разбивдюъет^на
Рис. 261 Рис. 262
142*

я—2 треугольника:^Сумма всех}углов данного «многоугольника
равна сумме всех углов этих п — 2 треугольников, т. е. 180°(/г — 2) Л
768. Сколько звеньев имеют ломаные, .изображенные на
рисунке 258? Назовите их вершины, концы.
769. Найдите длину ломаной A&CDE, если длины ее звеньев
3 м,-5 м, 8 м, 4 м. Может ли,расстояние между ее концами
равняться 21 м?
770. .Докажите, что длина простой ломаной "больше расстояния
между ее концами, на примере ломаной из. шести звеньев.
771. Данная ломаная состоит изчетырех звеньев, длины
которых пропорциональны чйслам'2/3, 4,'6.'Длина всей ломаной *4,'5 м.
Найдите длины ее звеньев.
772. Может ли ломаная состоять.из пяти звеньев длиной 1 м,
2 м, 3 м, 4 м, 12 м? а замкнутая ломаная?
773/Начертите семиугольник 'ABCDEFH. /Назовите все его
вершины, стороны, диагонали. Сколько диагоналей имеет
семиугольник?
774. Сколько диагоналей у выпуклого /t-угольника?
775. Чему равна сумма всех углов выпуклого: а)
пятиугольника/ б) шестиугольника; в) стоугальника?
776. Сколько сторон имеет многоугольник, 'Шб'врхжън}иЯ& чга
рисунке 263? сШйдйте сумму его'углов.
'77*7. ^Начертите'пятиу гол ьник, у тсоторопу только' две дйагонагли
принадлежат_:вйутренйёй' области. !Найдите "сум му'^пгуглов.
'778. 'Существует'ли выпуклый многоугольннк/сумма^угл*овжо-
торого.равна 10006? а'9000*?
779/"Может ли пятиугольник иметь центр симметрии? а ^ось
симметрии?
780. Постройте шестиугольник, имеющий центр симметрии.
781*. Сколько вершин имеет выпуклый многоугольник, у
которого ни один из^углов не превышает 120°?
782*. Существует ли выпуклый
пятиугольник, наибольший.угол которого равен
107°?
783*. Докажите, что если многоугольник
имеет четыре острых угла,^гаон невыпуклый.
784*. -Докажите, -что - сумма диагоналей
выпуклого пятиугольника больше его
периметра. Фис. 263
143

§ 43. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, его
называют вписанным в окружность, а окружность — описанной
около многоугольника. Если все стороны многоугольника
касаются окружности, его называют описанным около окружности, а
окружность — вписанной в многоугольник.
Теорема 34. Около всякого треугольника можно описать
окружность, и только одну.
Доказательство. Пусть ABC — произвольный
треугольник (рис. 264). Центр окружности, проходящей через точки А
и В, лежит на серединном перпендикуляре / отрезка Л В. Центр
окружности, проходящей через точки Л и С, лежит на серединном
перпендикуляре / отрезка АС. Поэтому если существует
окружность, описанная около ААВС, то ее центр — точка пересечения
прямых / и /. Серединные перпендикуляры / и / пересекаются
(см. задачу 107). Значит, каким бы ни был ААВС, сущестйует
единственная точка О — такая, что ОА = ОВ = ОС. Другими
словами: для каждого A ABC существует единственная
окружность центра О и радиуса ОЛ, описанная около аАВС. Q
Теорема 35. Во всякий треугольник можно вписать
окружность, и только одну.
Доказательство. Пусть дан произвольный ААВС
(рис. 265). Центр окружности, касающейся его сторон АВ и Л С,
лежит на биссектрисе / угла Л. Центр окружности, касающейся
сторон АВ и ВС, лежит на биссектрисе / угла В. Поэтому если
существует окружность, касающаяся отрезков Л В, АС и ВС, то
ее центр — точка пересечения биссектрис / и /. Эти биссектрисы
пересекаются в единственной точке О, удаленной от сторон АВ, АС
и ВС на одно и то же расстояние г. Значит, каким бы ни был
Рис. 264 Рис. 265
144

д ABC, существует единственная-окружность центра О и радиуса
г, вписанная в этот треугольник. Щ
Следствия. 1) Серединные перпендикуляры трех сторон
треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной
окружности. 2) Биссектрисы трех углов треугольника проходят
через одну точку — центр вписанной окружности.
Не всякий многоугольник можно вписать в окружность и не
около всякого многоугольника можно описать окружность.
Относительно четырехугольников истинны следующие утверждения:
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его
противолежащих углов равна 180°. Если четырехугольник описан
около окружности, то суммы длин его противолежащих сторон
равны (см. задачи 801 и 804).
785. Постройте какой-нибудь остроугольный треугольник и
опишите около него окружность.
786. Опишите окружность около тупоугольного треугольника.
Где находится центр этой окружности?
787. Опишите окружность около прямоугольного треугольника.
Где находится центр этой окружности?
788. Докажите, что если центр окружности, описанной около
треугольника, лежит на его стороне, то это — прямоугольный
треугольник.
789. Постройте какой-нибудь треугольник и впишите в него
окружность. Может ли центр вписанной в треугольник
окружности находиться вне треугольника?
790. Пусть О — центр окружности, вписанной в А АВС.
Найдите углы этого треугольника, если АОАВ = А0° и Z. ОБА =30°.
791. Найдите углы треугольника ABC, если О — центр
вписанной в него окружности и ZMOB= 120°, Z.BOC= 140°.
792. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна
8 см, а один из углов 120°. Найдите радиус описанной окружности.
793. Точка О — центр окружности, вписанной в
прямоугольный равнобедренный треугольник ABC. Найдите углы AOBt АОС
и ВОС.
794. Найдите углы треугольника, если из центра описанной
окружности его стороны видны под углами 100°, 120° и 140°.
795. Два угла треугольника равны 80° и 70°. Под каким
углом видна каждая его сторона из центра вписанной
окружности?
145

796. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится
точкой касания вписанной окружности в отношении. 2:3. (начиная
от вершины). Найдите отношение боковой стороны к основанию.
Y07*. 'Докажите, что в теореме синусов каждое из отношений
~Ж^
Щ"
«JL
-бравногдиаметру^окру^с«осйи, описанной<©ко-
sin a 'sin p sin у
ло треугольника.
798. Докажите, ч^го"около всякого"Прямоугольника можно'бпи-
сать окружность.
"709°. 'Прямоугольник вписан в окружность'раДйуса^б см, одна
изегостбр'он'раВНа^см.НайдиТ^^^
"SffO. 1ti'6^flo^Hfomcatb'(jKpyKHO*CYb мало ъарггллёлотраша,
отлйчйоГо ч*т 'йрямоуг аяьййКа? 'Почему?
801. Докажите, что если четырехугольник 'втгсан
в7окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°.
Ч*е пген^иъ. Пусть9tBUD — вписанный в окружность
•'четырехугольник (рис. 266). Его углы А и С вписанные;
первойизменяется1 половин6йудури''ВШ),' второй-—^половиной' дуги BAD. ©умма
углов Л и С измеряется половтшойсеуммы указънныхщуг,гт.> е;
половиной всей* окружности. 'Так ^как^всей -окружности ^соответствует
360°,.то ЛА+ЛС= 180°.^Ракс^ак^суммаэвсех^углов;любого
четырехугольника! равна 560?, то он ^/dB+ZjD^ 180?.
т802. «Докажите, >что<#сл и «су м*га противолежащих углов
четырехугольника равна 180% то около него можно описать
окружность.
803. Докажите, что если ^траиецяя вписана >всокружность, ito
она равнобокая.
-8D4. ЩоКажите^что^есличетьфехугольник^опибан около
окружности, *го ^уммьгего^н'рОтйвЬлежащих^сторон равны.
'Р^еШ&Ъ&и е.-Пу^тъ^етырехуролБйй^^ВС£)дописан>околов
окружности. Докажем,здо А&Ц^бВ^ВС+ADфнс.^267) ,тХЭбозна-
Рис. 267
146

чим точки- касания*окружности- и*сторон 'четырехугольника^буква*
ми /С, М, Р, Т. Так как отрезки касательных-; проведенными^одной-
точки к окружности, равны;то АК^= AT1; BK*=BA4&GM'=GP} ZW*=
sssDT1: Слож»в*эти* равенства ^ получим
ак+ кв+ср+m= BM+MC+ яг+ тлг
или.
AB + CD=£C+DA.
8Р5, Можнр.ли вписать.0дру;жнрсть.в.параллелограмм,готлич:
ный^от ромба.?
&44* ПРАВИЛЬНЫЕ МЙДГОЖОЛЬНИКИ,
Многоугольник называется правильным, если у-него все-сторо*
ны равны-и все углыфавны. Равносторонний'треугольник* № 1шад*
рат — примеры правильных многоугольников: На-рисунке-268
изображены правильный'пятиугольнйкитравил^шлй-'шесгауроль-
ник. Каждый^ правильный* многоугольник— выпуклый*.
Те ар^м &i 3& Ееднмногоу^год^ннкправильный, то около него
можно описать окружность и в него можно вписать окружность.
Доказательство. Иуст*г ABCDt~& — правильный* п*
угольник (рис. 269). Биссектрисы его углов А и В пересекаются в
некоторой точке О. Треугольник АОВ равнобедренный, так как
£OAB = £ОВА=-^, где а — угол данного правильного
многоугольника, Сбединим*точку>*0'со_ всеэдтверцшнамисдашшгоомного-
угольника, &ОВС=*^АгОАВ" (усних сторона.ОВ общая, ВС=АВ
и £ОВС=АОВА).
П&следоватеяьно-переходя ютюдногоч*реугольника*к соседнему,
точно так же убеждаемся, что
Д^0Л#= Д0В€'= Д 0СОь=.4..
Значит/ все вершины'Лу B9iG;D;...,
Жданного правильного* многоугольника»
равноудалены'от точки* О: Этим» до-
Рис. 268-
Рйс: 269
147*

казано существование окружности с центром О, описанной около
правильного многоугольника.
Соответствующие высоты равных треугольников равны.
Значит, равны перпендикуляры, опущенные из точки О на все стороны
данного правильного многоугольника. Таким образом, окружность
с центром О, касающаяся стороны АВ многоугольника ABCD...K,
касается всех его сторон. Значит, существует окружность,
вписанная в данный многоугольник. Ц
Из доказательства теоремы следует, что центрами
окружностей, вписанной в правильный многоугольник и описанной около
него, является одна и та же точка О. Она называется центром
правильного многоугольника.
Правильный /2-угольник имеет п осей симметрии. Все они про-.
ходят через его центр. Если п — число четное, то центр
правильного /2-угольника является центром его симметрии. Многоугольник
с нечетным числом вершин центра симметрии не имеет.
Выразим сторону ап правильного л-угольника через радиус R
описанной около него окружности (см. рис. 269). ЛАОВ =
— 360° , Z.j40#=-^-; поэтому из прямоугольного треугольни-
п п
ка АОН имеем АН=АО sin J22L или
п
-%L=/?sin^-, откуда an = 2R sin -^-.
z п п
Подставив в эту общую формулу вместо п числа 3, 4, 6, получим
а3 = /?л/3, а4 = /?У2, а6 = /?.
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу
описанной около него окружности.
Форму правильных шестиугольников имеют контуры гаек и
головок болтов, в вершинах правильного многоугольника размещают
отверстия на фланце (рис. 270), вершины зубьев круглой пилы,
центры шариков или роликов в подшипниках. В форме
правильных многоугольников обычно делают плитки и плиты для покрытия
дорожек, площадей, аэродромов (рис. 271).
806. Как иначе называются правильный треугольник и
правильный четырехугольник?
807. Найдите угол правильного я-угольника.
148

Рис. 270 Рис. 271
808, Сколько диагоналей имеет правильный л-угольник?
809. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата,
диагональ которого равна d.
810°. Сторона квадрата равна 10 см. Чему равны радиусы
вписанной и описанной окружностей?
811. Докажите, что радиус окружности, вписанной в
правильный треугольник, вдвое меньше радиуса описанной окружности.
812. Медиана правильного треугольника равна т. Найдите
радиусы вписанной и описанной окружностей.
813. Найдите периметр правильного треугольника, описанного
около окружности радиуса г.
814°. Сторона правильного шестиугольника равна 3 см.
Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
815. Докажите, что в правильном шестиугольнике
противолежащие стороны параллельны. В каких еще правильных
многоугольниках противолежащие стороны параллельны?
816. Докажите, что если все стороны вписанного в
окружность многоугольника равны, то этот многоугольник правильный.
817. По данной стороне а постройте: а) правильный
треугольник; б) правильный шестиугольник; в) правильный
восьмиугольник.
818. Найдите длины диагоналей правильного шестиугольника,
сторона которого равна а.
819. Расстояние между параллельными сторонами
правильного шестиугольника равно /. Найдите сторону.
820. Выразите сторону правильного восьмиугольника через
радиус описанной окружности.
821. Впишите в окружность правильный 12-угольник.
822. Под каким углом пересекаются две диагонали
правильного пятиугольника, проведенные из разных вершин?
149-

823. Докажите, что все диагонали правильного
пятиугольника равны.
824. Докажите, что диагональ правильного пятиугольника
параллельна одной из его сторон.
825* Докажите, что серединный перпендикуляр каждой
стороны правильного многоугольника и биссектриса каждого его урЛа
проходят через его центр.
826. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый
угол которого равен 150°?
827* Почему плиты для покрытия площадей, аэродромов и т. д.
делают в форме правильных четырехугольников и
шестиугольников, но не пятиугольников?
828. Докажите, что середины сторон правильного п-угольника
являются вершинами другого правильного я-угольника.
829. Практическое задание. Вырежьте из бумаги
правильные п-угольники для л = 3, 4, 5, 6. Отметьте их центры.
Покажите экспериментально, что каждый правильный п-угольник
при повороте около* центра на угол 2SSL. совмещается с самим
собой.
§ 45. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
Н&гЛядйое представление об намерении длины окружности
(с помощью* нитки*) дается в младших классах. Но нитка'—не
геометрическое пойяТие, к» тому же такое измерение дает грубо
приближённые результаты. Поэтому рассмотрим, как измерить
длийу огаружн&ети более точно.
йредставйм себе, что в окружность- вписан правильный
Ю-угШВкйк, потом — 20угольнйКу 40*-угольник и т. д> Периметры
Р\о> Р20, Р4о, ... этих многоугольников являются приближенными
зяачеййятми' длины данной окружности. Понятно, что, чем больше
число сторон вписанного правильного многоугольника, тем точнее
приближение^ Естественно' считать, что- длина окружности равна
пределу, к которому стремится последовательность периметров
правильнь^ впйбЯнйых в эту окружность многоугольников при
неограниченном увеличении числа сторон*
Пусть имеем две окружности радиусов R и Ri, длины которых
С и С\ (рис. 272), Вййшем в них правильные п-угольники с
одинаковым числом сторон п. Если ап и а'п — их стороны, а рп и р'л —
150

Рис. 272
Рис. 273
периад&грц, то
pn = natt=n-2Rs\n -^, p'n = na'n = n.2Ri sin-±^.
•п п
Следовательно, -^ = 1£- — 4~ > гДе d и d\ — диаметры ок-
рп 2Ri d\
ружностей.
Эта пропорция справедлива при каждом значении д. Если
неограниченно увеличивать число я, то периметры рп и р'п будут
стремиться к С и С и а отношение периметров — к отношению
с, '
Каждое иа этих отношений равно Д-. Таким обрааом,,
-§- = f, откуда Х.А.
Этим доказано, что отношение длины окружности к ее диаметру
одно к то же для зсех окружностей. Это постоянное отношение цри-
нято обозначать греческой буквой я (читается «пи»). Число д
иррациональное, я «3,1416.
Итак, если С и R — длина окружности и ее радиус, то
£- = я, откуда C=-2?i/?.
Длина дуги окружности пропорциональна. соответствующей
мере центрального угла. Поэтому если дуге/ радиуса R
соответствует центральный угол п°, то
-225-= -L, откуда l^sML,
360° п° ' У 180°
Длину кривой, отличной от окружности, приближенно можно
найти, «шагая» по ней циркулем-измерителем (рис. 273). Так
находят по карте длины рек, дорог и т. д.
*51

830. Найдите длину Ькружности радиуса 30 см.
831. Найдите радиус окружности, длина которой 120 см.
832. Найдите диаметр окружности, длина которой /.
833. Обхват дерева (длина окружности) равен 1,8 м. Найдите
его диаметр.
834. Какой длины надо взять полосу железа, чтобы сделать
обруч диаметром 80 см? (На соединение добавить 5 см.)
835. Диаметр колеса тепловоза 1,2 м. Сколько оборотов в
минуту делает колесо, если тепловоз движется со скоростью
60 км/ч?
836. На катушке диаметра 0,6 м имеется 30 витков проволоки.
Найдите ее длину.
837. Метр составляет одну сорокамиллионную часть земного
экватора. Найдите диаметр Земли, считая, что она имеет форму
шара.
838. Вычислите длину орбиты искусственного спутника Земли,
если он вращается па окружности на расстоянии 320 км от
поверхности Земли. Радиус Земли приближенно равен 6370 км.
839. Представьте себе, что шар радиуса 6370 км по экватору
обтянут обручем. Если удлинить этот обруч на 1 м, он отойдет от
поверхности шара на некоторое расстояние. Найдите это
расстояние, если оно везде одинаковое.
840. Как изменится длина окружности, если радиус увеличить
в k раз?
841°. Найдите длину окружности, описанной около квадрата
со стороной 8 см.
842. Диагональ квадрата равна d. Найдите длину вписанной
окружности.
843. Найдите длину окружности, описанной около
прямоугольника, стороны, которого 33 см и 56 см.
844. Найдите длину окружности, описанной около
прямоугольного треугольника с катетами а и Ь.
845.- Найдите длину окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, если его катет равен а, а прилежащий острый
угол р.
г 846. Как относятся длины двух окружностей, из которых
одна описана около правильного треугольника, а другая вписана
в него?
847*. Найдите длину окружности, которая проходит через
точку М (—2; 4) и касается осей координат.
152

848. Сторона рюмба равна 15 см,
а угол 30°. Найдите длину вписанной
окружности.
849. Найдите длину окружности,
описанной около трапеции, стороны
которой а, а, а, 2а.
850°. На окружности с центром О
и радиусом б см отмечены точки А и В. Найдите длину дуги,
соответствующей центральному углу АО В, равному 120°.
851. В окружность радиуса г вписан треугольник ABC, углы
которого пропорциональны числам 3, 4, 5. Найдите длины дуг АВ,
ВС, СА.
852. Найдите радиус дуги, если ее длина /, а угловая мера п°.
853*. Хорда стягивает дугу длины /. Найдите длину хорды,
если угловая мера дуги равна п°.
854. Минутная стрелка Кремлевских курантов имеет длину
3,6 м. Какова длина дуги, которую описывает конец стрелки в
течение 15 мин?
855*. Найдите длину передаточного ремня, соединяющего два
шкива радиусов 10 см и 30 см, если расстояние между их центрами
00\ = \ м (рис. 274).
Глава X
ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА И КРУГА
§ 46. ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА
Каждый многоугольник (с его внутренней областью) занимает
часть плоскости. Чтобы можно было сравнивать такие части
плоскости, вводят понятие «площадь».
Сформулируем основные свойства площади.
1. Каждый многоугольник имеет определенную площадь,
выражаемую положительным числом.
2. Равные многоугольники имеют равные площади.
3. Если многоугольник разбит на несколько частей, то его
площадь равна сумме площадей всех этих частей.
Значение площади задается не только числом, но и
наименованием. Например, площадь 1 дм2 можно представить и как
100 см2, и как 0,01 м2.
153

'Нагкщщщ, что 1 m^IOO дм2=!ОО0О ем2=4 000 000 мм2,
1 *ш2= 1000000 М2,'1 та='ГО0 ар = 10 00(Ы2.
Чтойы не усложнять .изложение, в теоретических
рассуждениях принимают длину некоторого ^единичного) -отрезка за
единицу длины. А площадь квадрата, сторона которого равна
единичному отрезку, .считается равной единице площади. При таком
соглашении наименования можно не писать.
Т е.оре м а 37. Площадь прямоугольника равна произведению
длин двух его смежных сторон.
До к а з а т е л ьст в о. 'Пусть ABGD —- произвольный прямо-
<уголъник, у которого АВ~а, ВС=*% и площадь S. Докажем, что
S=ab.
Рассмотрим три случая.
4. Если и и Ъ — числа натуральные, то данный прямоугольник
можно разбить на Ь полос, в каждой из которых вмещается а
единичных квадратов (рис. 275): Всего в этот прямоугольник
вмещается ttb единичных квадратов. Следовательно, его площадь
S=ab.
2. Пусть an Ъ — десятичные дроби с числом десятичных знаков
не^олее чем-я.'И пусть '/ — отрезок в 10* раз короче единичного.
Тогда стороны а и 6 вмещают соответственно 10rta н Т0"Ь отрезков /
(рис. 276). Числа Юпа и ЮпЬ натуральные. Поэтому данный
прямоугольник вмещает равно Ю2паЬ квадратиков со стороной /.
Ведь 10rta• 10Л6 = 102ла6. А единичный квадрат состоит из 10rtX
X 10rt=^102лтакиx^ад4pатикcщ..C«яедQватeльнQ, отнацщние
площади прямоугольника к площади единичного квадрата равно
ab(\02nab:l92n^i&b). ,Это значит,, что площадь данного
прямоугольника равна ab.
3*. »Иуеть хотя бы одно из чисел а<и & выражено бесконечной
дшигичной дробью. Обозначим черев т и <Я2 приближенные зна-
«S4
Рис. 275
а;
гПТ^^"^^"^™"
Ш
ММ- : ■ ""
т ;"' му,:
b
f
f, 1
Рис. 276

чения числа а с недостатком и с избытком с точностькгдо п
десятичных знаков. С той же точностью приближенные значения числа b
обозначим через Ь\ и Ь2. Каждое из чисел а\> аг, Ь\ и -fa-выражается
конечной десятичной дробью. Поэтому площадь прямоугольника
со сторонами av и fa равна aifa, а площадь прямоугольника со
сторонами а2 и fa равна a2fa.
Прямоугольник со сторонами а\ и Ъ\ можно поместить в данном
прямоугольнике, а данный — в-прямоугольнике со сторонами а2 и
fa. Значит, площадь данного прямоугольника заключена между
а\Ъ\ и а262. А так как aifa и афч — приближенные значения числа
аЬ с любой наперед заданной точноетьтЬ; ecjfff/t дocf аточйо вФййсо,
то' и 6 этом случае 5'^ ab. № ак, кёкййй б& йи б&ли сторбйУг
а и b прямоугольника, всегда его площадь S=ab. Q
Следствие. Площадь квадрата со стороной а равна а2.
856. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого
равны 6 см и 15 см.
857. Найдите площадь квадрата, если его'сторона равна 2,5 м.
858. Ученик вместо слова «площадь» написал «плоскость».
В чем его ошибка?
859. Площадь квадрата равна Qr. Найдите длину его стороны.
860. Диагональ квадрата равна 6 дм. Найдите его площадь.
861. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна
площади прямоугольника со сторонами 7 см и 28 см.
862^ Какизменится площадь квадрата,если каждую его
сторону увеличить в 4 раза?
863°. Найдите площадь правильного четырехугольника,
вписанного в. окружность радиуса 5 см.
864. Середины сторон одного квадрата являются вершинами
другого! Ка*. относятся шдаададаг этих: квадратов?
8651 Най&ите стороны прям&уголвника* если овдг относятся?
как* 2:3-, а* площадь прямоугольника родя»: 54 см?,<
866. Найдите стороны* прямоугольник^ если* eiw периметр ра^
вен' 30' м; а» площади 56» м?.
867. Вершины четырехугольника: А (0; 1), В(1; 0), С(0у -^t)y
Z>*(^ t;. 0)1 Найдите4 его» площади
868. Найдите площадь четырехугольника^ если* его вершинш;
АС-2; 3),S(5;.3);.C(5; -К),.Д'И$ -1):
869.- Стороны двух KBaApaTOfB>0TH0C^fc^KaK^:«5. Как относятся^
их площади?
P55I

Рис. 277
870. Во сколько раз площадь квадрата, вписанного в
окружность, меньше площади квадрата, описанного около той же
окружности?
871. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 277.
872. Сколько гектаров имеет поле прямоугольной формы, если
его стороны равны 150 м и 240 м?
873. Периметр прямоугольника равен 28 дм, радиус описанной
окружности 5 дм. Найдите площадь.
874. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных
на катетах прямоугольного треугольника, равна площади
квадрата, построенного на гипотенузе.
875. Диагональ прямоугольника, равная d, образует со
стороной угол а. Найдите площадь прямоугольника.
876. Диагональ прямоугольника равна d, угол между
диагоналями а. Найдите площадь прямоугольника.
877. Практическое задание. Выполнив необходимые
измерения, вычислите площадь вашего класса и классной доски.
§ 47. ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА И ТРАПЕЦИИ
Условимся одну из сторон параллелограмма, а также ее длину
называть основанием, а расстояние между параллельными
прямыми, содержащими основание и противолежащую сторону,—
высотой параллелограмма. Например, если AD — основание
параллелограмма ABCD, то длина перпендикуляра ВН — его высота
(рис. 278).
Теорема 38. Площадь параллелограмма равна
произведению его основания на высоту.
Доказательство. Пусть ABCD — произвольный
параллелограмм с основанием AD = a и высотой BH = h. Докажем, что
его площадь S = ah (см. рис. 278).
156

Рис. 278
Если ВН и СР — перпендикуляры к
прямой AD, то треугольники АВН и
DCP равны (параллельный перенос на
ВС переводит А АВН в ADCP).
Значит, если от площади трапеции АВСР
вычесть площадь треугольника DCP,
будет тот же результат, когда от
площади трапеции АВСР вычесть площадь
треугольника АВН. Первая разность
равна площади S данного параллелограмма ABCD, вторая —
площади прямоугольника НВСР. Как видим, площадь данного
параллелограмма равна площади прямоугольника НВСР,
которая равна произведению его сторон: ah. Итак, S = ah. Bf
Формулу для вычисления площади параллелограмма можно
представить в другом виде. Пусть в параллелограмме ABCD AD =
= а, АВ = Ь и /-А = а. В случае, когда а<90°, из прямоугольного
треугольника АВН находим: BH = b sin а. Если а>90°, то ВН =
= 6 sin (180° — а)=6 sin а. Значит, всегда площадь
параллелограмма S = ab sin a.
Итак, площадь параллелограмма равна произведению двух его
соседних сторон на синус угла между ними.
Высотой трапеции называют расстояние между параллельными
прямыми, содержащими ее основания. Например, если KHJLAD,
то высотой трапеции ABCD является длина отрезка КН (рис. 279).
Теорема 39. Площадь трапеции равна произведению
полусуммы ее оснований на высоту.
Доказательство. Пусть ABCD — произвольная
трапеция с основаниями а, Ь и высотой h и пусть точка О — середина
стороны CD (рис. 280). Построив симметричную данной
трапеции относительно точки О трапецию A\B\DC, получим
параллелограмм АВА\В\. (Почему?) Сторона АВ\ этого парал-
Н
Рис. 279
Рис. 280
Л
157

делограмма равна a + bt а высота А, поэтому его площадь равна
(a+b)h.
Данная трапеция составляет половину параллелограмма, по-
этому ее площадь S-— (a±h)h. Щ
878. Сторона параллелограмма равна 5 см, а высота, опущен-
ная на эту сторону, равна 6 см. Найдите площадь
параллелограмма.
879. Площадь параллелограмма Q, а высота Л. Найдите
основание.
880э. Стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см, а угол
между ними 1209. Найдите площадь.
881. Стороны параллелограмма равны 6 ем и 15 см, а площадь
45 см2. Найдите углы параллелограмма.
882. Диагональ параллелограмма перпендикулярна стороне.
Первая равна 14 см, а вторая 25 см. Найдите площадь параллело^
грамма.
. 883. Сторона параллелограмма равна а, а диагональ, равная d%
образует с ней угол 6Gft. Найдите площадь параллелограмма.
884. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого:
А(0; 3), В (4; 7), С (4; 4), 0(0; 0).
885. Вершины Л, D, А\ и £>i параллелограммов ABCD и
A\BCD\ лежат на одной прямой. Докажите, что площади этих
параллелограммов равны.
Решение. Площадь параллелограмма ABCD S==AB*ht
площадь параллелограмма AiBCDi &i=Ai!>i*fi (рис. 281).
Основания данных параллелограмдооз раэньц AD = BC=*A\D\. Высоты
тоже равны. Поатому S=*=5i.
886*. Найдите площадь ромба, если его сторона равна a, a
угол а.
887. Найдите площадь ромба, если его высота равна 20 см, а
одвд из углов 30°.
В С 888. Найдите сторону ромба, если
~Т его площадь равна Q, а один из
углов а.
V 889. Ромб, отличный от квадрата,
Jl и квадрат имеют одинаковые пери-
" и *t ui метры. Какая из этих фигур имеет
Рис 281 большую площадь? Почему?
158
шааша^в^^ш^тшшшш^шшж

890. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 87,5 см,
а радиус вписанной окружности 21,2 см.
8916» Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 см
и 6 см.
892. Стороны двух подобных ромбов относятся Как 3:4. Как
относятся их площади?
893. Найдите площадь ромба ABCD, если его высота ВН=
=4 см и Я — середина стороны AD.
894. Основания трапеции равны 15 см и 19 см, а высота 12 см.
Найдите площадь.
895. Докажите, что площадь трапеции равна произведению
длины ее средней линии на высоту.
896°. В трапеций ABCD основание ВС равно 6 см, а боковая
сторона АВ равна 5 см. Высота В К Отсекает На оснойании AD
отрезки: Л/С=3 см и КЬ = 7 СМ. Найдите НлоЩадь трайецйи.
897. Средняя линия трайеций рабна '23 дм, а Шющадь 0,^3 й2.
Найдите Нысоту трапеции.
898. Основания равйобокой трапеций Ъ tM й 11 см, а
периметр 28 см. Найдите площадь трапеции.
899*. Около окружности описана равнобокая трапеция.
Боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 см и 9 см.
Найдите площадь трапеции.
900*. Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее
большее основание равно 22 см, боковая сторона 8,5 см и диагональ
19,5 см.
901*. Найдите площадь трапеции, у которой основания равны
20 дм и 60 дм, а боковые стороны 13 дм й 37 дм.
902** Основания трапеции 24 см и 88 ем, углМ при бЬлъШШ
основании 30° и 60°. Найдите площадь трапеций.
903. Практическое задание. Сделайте паленку
(прбзрачйую йленку с квадратной сётКой) и йайдйТес^б йомбщью
приближенное значение площади какой-нибудь фигуры*
§ 48. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Условимся одну из сторон треугольника, а также ее длину
называть основанием, а длину соответствующей вЫСбТы
Треугольника — высотой.
Теорема 40. Площадь треугольника равна половине
произведения его основания на высоту.
159
т—т
1

Рис. 283
Доказательство. Пусть ABC — произвольный
треугольник, у которого основание А С=а и высота BH=h (рис. 282).
1 Обозначим середину стороны ВС буквой О, построим треугольник
AxCBt симметричный данному относительно точки О.
Четырехугольник АВА\С — параллелограмм, так как ВА\\\АС и
СА\\\АВ. Площадь этого параллелограмма равна ah.
Площадь S данного треугольника в 2 раза меньше, поэтому
Если учесть, что площадь параллелограмма равна
произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними, то
площадь треугольника со сторонами а, Ь и углом 7 между ними можно
вычислять по формуле
S=^-ab sin у.
Ha основании теоремы о площади треугольника можно вывести
формулу для вычисления площади многоугольника, описанного
около окружности, и доказать теорему об отношении площадей
подобных многоугольников.
Теорема 41. Если многоугольник периметра р описан
около окружности радиуса г, то его площадь равна \рг.
Доказательство. Пусть л-угольник ABC...F описан
около окружности радиуса г с центром О (рис. 283). Его можнораз-
бить на п треугольников: ОАВ, OBCt ..., OFA. Их площади
соответственно равны -i-ЛВ-г, -j-ВС'Г, ..., -1-Л4-Г. Поэтому
площадь данного многоугольника
S=±AB.r+±BC-r + ...+±-FA.r =
2 '2 2
160

Рис. 284
A±{AB + BC + ... + FA)r=f. Я
Теорема 42. Площади
подобных многоугольников относятся как
квадраты их соответствующих
линейных размеров.
Доказательство. Пусть
F и F\ — подобные л-угольники, а
S и Si — их площади (рис. 284).
Разобьем я-угольник F на п треугольников: Ти Т2, ..., Тп.
Сумма их площадей равна S. Если коэффициент подобия k и если
основания и высоты треугольников 7\, Г2, ..., Тп равны ах и Ль
а2 и ft2,..., cin и /irt, то основания и-высоты подобных им
треугольников П, П,..., ГА соответственно будут ka\ и ftAi, ka2 и &ft2,..., &ал и
&ЛЯ. Значит,
Si=Y^ai.^i+Y^a2-^/i2 + ...+Yfeart'*/lrt=:=
=±.^(а1Л1 + а2Л2 + ... + а„Лп) = Л25.
Итак, Si: S = k2. Щ
904. Найдите площадь треугольника, основание и высота
которого равны 12 см и 8 см.
905. Основание треугольника равно 35 м, площадь 175 м2.
Найдите высоту треугольника.
906. Найдите площадь треугольника, стороны которого ^2
и V6, а угол между ними 60°.
907. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны
5 см, 5 см и 8 см.
908. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника
равна половине произведения его катетов.
909°. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его
гипотенуза равна 10 см, а один из катетов 8 см.
910°. Чему равна площадь треугольника ABC, если АВ = 7 см,
ВС = 3 см, ZB = 45°?
911. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного
треугольника равна с. Найдите его площадь.
912. Докажите, что если сторона равностороннего треудел^-. ^
ника равна а, то его площадь S = /3 .
6 Заказ 223
161

913* Найдите площадь правильного,треугольника^ описанное
около окружности радиуса г.
914. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 73 см,
площадь, 1320 см2. Найдите длины катетов:
915. Боковая сторона равнобедренного ^треугольника ргавнаг ff;
угол, при основании р. Найдите площадь.
916.^ Диагонали четырехугольника перпендикулярна, их длины
равны 12 см-и, 15; см. Найдите площади четырехугольника.
917. Найдите площадь треугольника1, вершины которого-
Л(-2;3), Я(4; 7)i С(4; -1^
918; HaffAHTev площадв треугольника; вершины которого*
Л(1; 3),#(7*% С(3; Ь).
9191 Какукг наибольшую* площадь может иметв треугольник; у
которого длины двух сторон равны 45- см w 24 см*
920. Найдите площадь треугольника, у которого одна* сторож
на равна 37,4 см,, а прилежащие к ней углы 43,5° и 74,4°.
921. Дан треугольник ABC. Постройте равнобедренный
треугольник с основанием! АВ, имеющий такую же площадь, как
и ААВС.
922. Дан треугольник ABC. Проведите, через его вершину А
две прямые так, чтобы они разбили данный треугольник на
три треугольника, имеющие равные, площади..
923. Через вершину А треугольника. ABC проведена прямая
ADfBC. Докажите, что: если- К£АП{, то/ площади; треугольников
ABC и СВК равны.
92>fe. Докажите^, что мешать треугольника разбивают етгш на
шесть треугольников, площади которых равны.
925. Выведите, формулу Перона* для площади S. треугольника:
если а, 6, с—стороны треугольника, р — его полупериметр», тоь
Решение. По теореме косинусов
eosa='
Поэтому гос~
=-^<{<?-ц>-ст{ь+сг:-а>)=
=^V(a+6-KKfr+c--a>(«+c-fe)(o-+ft-e)..
162

Если-подставить это значение sin а в фор-
мулу S=~-*fo-$in а и учесть, что а+Ь + с=
=3р, получим S=-yJp(p~d)(p—b)(p—c). /
Ш26. Найдите площадь треугольника, сто- •
роны которого равны: а) 13 м, 14 м, 15 м;
б) Г7 дм, 65 дм, 80 дм; в) 26, 29, 36.
927. Докажите, что сумма расстояний
от любой внутренней точки правильного
треугольника до всех его сторон равна высоте
треугольника.
-928. Найдите площадь треугольника, описанного около
окружности радиуса 12 см, если его периметр 42 дм.
'929. -Как относятся площади двух треугольников,-если
,-вершины одного из ши-х являются серединами .сторон другого?
*930°. Отрезок М/С параллелен стороне ЖС треугольника ЛВС
(Mi£ABt Ж\€&С). Найдите шлощадь треугольника ABC, если
АВ равна 3 см, ВМ равна /2 сем, а площадь Треугольника гМВК
равна 12 см2.
931. Найдите площадь "правильного шестиугольника, если:
а) его сторона равна а; б) его меньшая диагональ равна d.
932. Найдите площадь правильного /г-угольника, вписанного в
окружность радиуса г, если: а) я = 5; б) л = 8; в) п =12.
933. Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что
образовался правильный восьмиугольник. Найдите площадь
восьмиугольника.
934. Докажите теорему Лифагора по рисунку .285.
Ф35. Стороны цравильного треугольника и правильного
шестиугольника отнооятся как 1:2. Как относятся их площади?
§ 49. ПЛОЩАДЬ КРУГА
Окружность разбивает плоскость на две области: внутреннюю
и внешнюю. Фигура,-которая состоит из окружности и ее
внутренней области, .называется кругом. Центр, радиус, диаметр, хорда
окружности являются .соответственно центром, радиусом,
диаметром, хордой-круга. Часть круга, ограниченная двумя его
радиусами, называется лектором. Прямая, пересекающая
круг,-разбивает его на два сегмента. На рисунке 286 изображены круг, два
сектора и два сегмента.
163

Рис. 286
Теорема 43. Площадь круга радиуса г равна пг2.
Доказательство. Пусть дан круг радиуса г. Впишем
в его окружность правильный л-угольник ABC...F и опишем около
нее правильный многоугольник KPT...Q, как показано на
рисунке 287. Выразим площади SBn и Son этих многоугольников
через радиус круга г, периметр вписанного многоугольника р и угол
а= Z.BOK. Углы ВО К и КВН равны, так как каждый из них
дополняет угол ОКБ до 90°. Поэтому
Smu = n-SOJU> = n.BH-OH=f-OH=fr cos a,
$=n.SOKP=n-OB-BK = n.r--^=-rE-
JOKP
cos а 2 cos а
Если S — площадь данного круга, то
JZL.
4-rcosa<S<-
2 2 cos a
При достаточно большом п периметр р сколь угодно мало
отличается от длины 2пг данной окружности, а cos a — от 1. Как
видим, площади SBn и Son сколь угодно мало отличаются от яг2.
Значит, заключенная между ними площадь круга S=nr2. Q
Площадь сектора пропорциональна мере его угла л°, поэтому
сек
2
пг
360°
360°
К В
Рис. 287
Чтобы найти площадь сегмента
АМВ (рис. 288), надо от площади
соответствующего сектора вычесть
площадь треугольника ОАВ, если его
центральный угол а<180°, или
прибавить площадь треугольника ОАВ,
если а>180°.
164

площадь круга, если его
А/
\
В
\
/
N
Рис. 288
936. Найдите
радиус г=8 см.
937. Площадь круга Q. Найдите его А
диаметр.
938. Площадь круга Q. Найдите длину
его окружности.
939. Толщина проволоки 6 мм. Найдите
площадь ее сечения.
940. Длина окружности цирковой арены
равна 41 м. Найдите площадь арены.
941. Из квадратного листа жести
вырезали круг наибольшей площади. Какая часть
листа ушла в отходы?
942. Постройте круг, площадь которого
равна 4л см2.
943. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его радиус
увеличить в 5 раз?
944. Площади двух кругов относятся как 2:3. Найдите
отношение длин их окружностей.
945. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 289.
946°. В круг вписан прямоугольник со сторонами 16 см и 12 см.
Чему равна площадь круга?
947. Найдите отношение площади круга, вписанного в квадрат,
к площади круга, описанного около этого квадрата.
948. Найдите отношение площади круга, описанного около
правильного треугольника, к площади круга, вписанного в него.
949. Сумма катетов прямоугольного треугольника на 10 см
больше гипотенузы. Найдите площадь круга, вписанного в этот
треугольник.
950. Найдите радиус круга, площадь которого равна сумме
площадей кругов радиусов 5 см и 7 см.
Рис. 289
165

951. Внутренний1 диаметр трубы
газопровода равен 1376 мм, а внешний —
1420 мм. Найдите шгощадь сечения
трубы.
952. Около правильного я-угольника
со стороной а описана окружность и в
него вписана окружность. Докажите,
что площадь образовавшегося кольца
не зависит от п.
953. Какой толщины слой нужно
снять с круглого стержня, площадь
сечения которого 19 см?, чтобы он проходил сквозь отверстие
диаметром 46 мм?
954. На сторонах прямоугольного треугольника как на
диаметрах построены три полукруга (рис. 290). Докажите, что
площадь наибольшего из них равна сумме площадей двух других.
955°. Найдите площадь сектора АОВ, где АВ — сторона квад*
рата, вписанного в окружность с центром О И' радиусом 4 см.
956. Найдите площадь сектора, радиус которого г=3б см, а
угол а ==120°.
957. Найдите площадь сегмента, если его радиус равен г, а
угловая мера дуги п°.
0В8*._ а) Найдите площадь общей части круга диаметра АВ
и треугольника АВ€> если АВ — ВС—СА—а (рис. 291).
б) Дан сектор с углом 60р. Найдите отношение площадей
этого сектора и вписанного в него круга (рис 292).
959. Практическое задание. Вырежьте из клетчатой
бумаги круг. Найдите его площадь путем подсчета- клеток и с
помощью формулы. Определите погрешность результата;
полученного первым способом.
166

$ 50. О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ ГЕОМЕТРИИ
Геометрия возникла в глубокой древности из потребностей
практической деятельности людей. Позже, совершенствуясь и
обогащаясь, она постепенно превратилась в доказательную
(дедуктивную) науку.
Важнейшими составляющими современной геометрии
являются геометрические понятия и утверждения. Понятия определяются,
а утверждения (теоремы) доказываются. Но не каждому
понятию можно дать определение и не каждое утверждение можно
доказать (см. с. 28). Поэтому строгие курсы геометрии принято
излагать так. Сначала перечисляют неопределяемые понятия и
формулируют недоказываемые утверждения (аксиомы). Потом
для всех остальных понятий дают определения, а для
утверждений — доказательства. Такое изложение геометрии называют
аксиоматическим изложением.
В учебнике для школьников, которые только начинают
знакомиться с геометрией, аксиоматическое изложение
нецелесообразно. В нашем учебнике перечисляются не все неопределяемые
понятия и аксиомы и доказываются не все теоремы.
Системы неопределяемых понятий и аксиом можно подбирать
по-разному. Для школьной геометрии удачные системы аксиом
и неопределяемых понятий разработали известные математики:
А. Н. Колмогоров, А. Д. Александров, А. В. Погорелов. Наш
учебник составлен на основе системы аксиом А. В. Погорелова.
Неопределяемыми считаем следующие понятия: точка,
прямая, плоскость, принадлежать, лежать между, длина и
угловая мера.
В качестве аксиом планиметрии принимаем следующие
утверждения:
П\. Какова бы ни была прямая, существуют точки,
принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
П2. Через любые две точки плоскости в этой плоскости можно
провести прямую, и только одну.
Яз. Из трех точек прямой только одна лежит между двумя
другими.
#4. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту
плоскость на две полуплоскости.
#5. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую
нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он
разбивается любой его точкой.
167

Яб. Каждый угол имеет определенную градусную меру,
большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла
равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается
любым его внутренним лучом.
Пт. На любом луче от его начальной точки можно отложить
отрезок заданной длины, и только один.
#8. От любого луча на содержащей его плоскости в заданную
полуплоскость можно отложить угол с заданной мерой, меньшей
180°, и только один.
Яд. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему
треугольник в заданном расположении относительно данного луча.
Я ю. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой,
можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Приняв перечисленные выше основные понятия и десять
аксиом, можно построить всю планиметрию.
Задачи повышенной трудности
960. Внутри треугольника ABC взята точка X. Докажите, что
угол АХС больше угла ABC.
961. Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его
периметра, но больше полупериметра.
962. Докажите, что если биссектриса треугольника делит его
периметр пополам, то данный треугольник равнобедренный.
963. Докажите, что если две медианы треугольника равны, то
данный треугольник равнобедренный.
964. «Докажем», что прямой угол равен тупому. Пусть угол
DAB прямой, а АВС тудой (рис. 293). Отложим AD = BC,
проведем отрезок DC и серединные
перпендикуляры КО и РО отрезков АВ и DC.
Они пересекутся в некоторой точке О
(так как прямые АВ и CD не
параллельны). Соединив точку О с Л, В, С и D,
получим равные треугольники OAD и
ОВС (по трем сторонам). Значит,
Z.OAD=/. ОВС. Кроме того, А ОАВ =
= /LOBA. Поэтому Z.DAB=/-ABC,
т. е. прямой угол равен тупому.
Укажите ошибку в этом рассуждении.
965. Докажите, что угол между
медианой и высотой, проведенными из
168

вершины прямого угла треугольника,
равен разности его острых углов.
966. Высота, биссектриса и
медиана, проведенные из одной вершины
треугольника, разделяют угол при этой г п "
вершине на четыре равные части. Рис. 2У4
Докажите, что этот угол прямой.
967. Сумма диагоналей выпуклого четырехугольника меньше
его периметра, но больше полупериметра. Докажите.
968. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD вне
его построены равносторонние треугольники ВСК и CDP.
Докажите, что АК=АР = КР.
969. ABCD — параллелограмм. Вне его построены
квадраты ABFE и ВСКМ. Докажите, что отрезки ED и DK равны и
перпендикулярны.
970. На сторонах параллелограмма вне его построены
квадраты. Докажите, что их центры являются вершинами нового
квадрата.
971. Внутри квадрата ABCD взята точка М так, что ^ЛШС-
= /LMDB = a. Найдите угол MAD.
972. На сторонах АВ и CD квадрата ABCD вне его построены
квадраты АВКР и CDEF. Докажите, что AKEP+^KDP-
= /LKAP (рис. 294).
973. Точка В лежит на прямой АС между А и С.
Равносторонние треугольники АВМ и ВСК расположены по одну сторону
от прямой АС. Докажите, что точка В и середины отрезков МС
и кд — вершины равностороннего треугольника.
974. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник,
у которого вершина прямого угла задана, а две другие
вершины лежат на данных параллельных прямых.
975. В треугольнике ABC АВ = ВС и Z5 = 20°. На
егс.сторонах АВ и ВС отмечены точки К и Р так, что £KCB = W ,
/LPAB=20°. Найдите Z.APK.
976 Расстояния от вершин треугольника до прямой, не
пересекающей его, равны а, Ь, с. Как удалена от данной прямой
точка пересечения медиан треугольника?
977. Основания равнобочной трапеции 20 см и 80 см, а высота
40 см. В каком отношении серединный перпендикуляр боковой
стороны делит большее основание трапеции?
160

/j yjB 978. Докажите без использования
Vv у/у С векторов, что высоты треугольника
^L* X "V /^^ ' "ИЛИ их продолжения пересекаются
^^>«-s^^^^^^/^^ вводной точке.
^^^^<^j^\. 979. Найдите сумму-углов лД,'В,
^^^ \ /^"^^ л • С, D, £, F, /С изображенной на рисун-
F Vy ке 295 замкнутой ломанойй/ЖС^ВЯЯ.
Е 980. Большая >диагональ лромба
Рис.295 является диаметром окружности.
Докажите, .что сумма квадратов
расстояний от любой точки окружности. до всех вершин ромба
постоянна.
981. Докажите, что сумма ..квадратов .расстояний от
произвольной точки окружности до, вершин.вписанного в нее
равностороннего треугольника постоянна. Найдите эту сумму, если радиус
окружности равен г.
982. Впишите в .данную окружность треугольник, подобный
данному.
983. Постройте окружности, «касающиеся,трех данных прямых,
попарно пересекающихся и не (проходящих через -одну точку.
984. Постройте треугольник, >зная его >медиану, биссектрису
и высоту, проведенные-<из< одной гвершины.
985. Две окружности касаются извне в точке А^ВС— их
общая внешняя.касатешьная {В и С—точки/каоания).
Докажите, что угол ВАС прямой.
986. Окружность касаетоя гипотенузычи продолжений катетов
прямоугольного треугольника. Докажите, что ее диаметр равен
периметру треугольника.
987. Гипотенуза прямоугольного треуголыжкафавна,с, а кате_-
ты а и Ь. Найдите диаметр вписанной окружности.
988. С помощью одного циркуля разделите данную
окружность (с заданным .центром) на ^четыре ^равные >части.
989. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине
произведения его диагоналей на синус угла между ними.
990. Площади треугольников, образованных отрезками
диагоналей трапеции и ее основаниями, равными:*?. Найдите площадь
трапеции.
991. Основания трапеции а и 6. Найдите длину отрезка,
параллельного основаниям, заключенного между боковыми
сторонами и делящего трапецию на две части равных площадей.
170

|ГГ"
IV
(
IJ
-л
V
4-
V
i'J"
i.
_
■.
L Ь >
>
•I
9
г:
T"
—
T"j
. . jl
L^
•
и
4
\
/
»
>'■
i
1
/'
-3-
/
Ц
•'
\j~
\
2-
L**
i.
Рис. 296
992. а) Дан четырехугольник. Пбстройте треугольник такой
же площади.
б) Дан треугольник. Постройте квадрат такой же площади.
993. Квадрат со стороной%\стученик.разрезаятна^четырё-части
и составил из нихшрямоугольник размер]ами'53см*13гсм^(рде:296).
Почему площадь прямоугольника-)не? равна гающадаь*квадрата?
994. Найдите отнашениешлощадей^дву^хзтреукушн^кову если
медианы* \ первого- р&в&ы: сторонами втарозго?
995. Докажите, что площадь- треугольника'5=^, где'а, 6,
с—сторрны треугольника, а.«/&— рддиур.описанной.окру^жноста.
996. Докажите;,,что,^если-^^,^ Лз;
и-л-—высоты.треугольника и радиус вписанной'окружности; то1 "■t1+lTL"iF"r"a= •
997. Найдите,площадь: фигуры, .ограниченной аопардю
капающимися юкру^кностямифадиусов 9. см и 3 см и прямой (р.ис. 297).
998. Стороны треугольника ABC
равны 3 см, 4 ему &;смя Найдите;
площади четырех кругов;. касающихся;
прямых АВ, ВС, СА, (рис. 298),
Рис: 297 •
Рис; 298
171

999. Докажите, что сумма
площадей двух заштрихованных
луночек равна площади
прямоугольного треугольника: S\+S2 = S
(рис. 299).
1000. Найдите площади фигур, на
которые круг радиуса г разбивается
его хордами АС и BD, если дуги АВ9
ВС, CD и DA равны соответственно
150°, 30°, 90° и 90°.
Вопросы для повторения
7 класс
1. Что такое геометрия, планиметрия?
2. Приведите примеры плоских и неплоских фигур.
3. Что обозначают записи А£а, В£а?
4. Что означает «точка В лежит между А и С»?
5. Что такое луч? Какие лучи называют, дополнительными?
6. Что такое отрезок, концы отрезка, внутренние точки отрезка?
7. Какими инструментами и в каких единицах измеряют отрезки?
8. Какая фигура называется углом? Как обозначают углы?
9. Какой угол называют развернутым, прямым, острым, тупым?
10. Какими инструментами и в каких единицах измеряют углы?
11. Что такое внутренняя область угла, внутренний луч угла?
12. -Какие углы называют смежными? Чему равна их сумма?
13. Какие углы называют вертикальными? Сформулируйте их
свойство.
14. Какие прямые называют перпендикулярными?
15. Какие углы называют накрест лежащими?
16. Дайте определение параллельных прямых.
17. Сформулируйте и докажите признак параллельности двух
прямых.
18. Сформулируйте аксиому Евклида о параллельности прямых.
19. Докажите теорему о накрест лежащих углах при
параллельных прямых.
20. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых,
параллельных третьей прямой.
21. Что такое теорема? Из каких частей она состоит?
22. Что такое аксиома? Приведите примеры аксиом.
172
«

23. Что такое определение? Приведите примеры определений.
24. Что такое треугольник? Какими бывают треугольники?
25. Что такое биссектриса, медиана, высота треугольника?
26. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов
треугольника.
27. Сформулируйте и докажите признаки равенства
треугольников.
28. Какой треугольник называют равнобедренным?
29. Перечислите свойства равнобедренного треугольника.
30. Какой треугольник называют прямоугольным? Назовите
стороны прямоугольного треугольника.
31. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных
треугольников.
32. Что такое перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной?
33. Что принимают за расстояние от точки до прямой?
34. Что такое окружность, ее центр, радиус, диаметр?
35. Объясните, как построить треугольник по трем данным
сторонам.
36. Как построить угол, равный данному?
37. Как построить биссектрису данного угла?
38. Как разделить данный отрезок пополам?
39. Как через данную точку провести прямую, перпендикулярную
(параллельную) данной прямой?
40. Что такое геометрическое место точек?
41. Что называют серединным перпендикуляром данного отрезка?
42. Дайте определение касательной к окружности.
43. Какие окружности называются касающимися,
пересекающимися?
44. Что такое центральный угол, вписанный угол?
45. Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.
8 класс
46. Какая фигура называется четырехугольником?
47. Что такое диагональ четырехугольника?
48. Что такое параллелограмм?
49. Перечислите свойства параллелограмма.
50. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.
51. Что такое прямоугольник? Перечислите его свойства.
52. Что такое ромб, квадрат? Каковы их свойства?
53. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.
173

$4. -Сформулируйте и докажите теорему о средней линии
треугольника.
55. Что такое трапеция, равнобокая трапеция?
56. 'Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.
57. Что такое геометрическое преобразование фигуры?
58. Какое геометрическое преобразование называют
параллельным переносом?
59. Какие геометрические преобразования называют
движениями?
-60. Дайте общее определение равенства двух фигур.
61. Какое преобразование называют поворотом?
,62. Докажите, что поворот^является .движением.
63. Какое преобразование называют симметрией относительно
тючки?
64. Какая фигура называется центрально-симметричной?
65. Какое преобразование называют симметрией относительно
прямой?
66. Докажите, что симметрия относительно прямой является
движением.
67. Какая фигура называется симметричной относительно
прямой?
68. гКакое преобразование называют гомотетией?
69. Что такое центр гомотетии, коэффициент гомотетии?
70. Что такое преобразование подобия? .Какие фигуры называют
людобными?
71. Сформулируйте и докажите признаки подобия
треугольников.
72. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.
73. Что такое система координат, координатная плоскость?
74. Что такое координаты точки? Как их определяют?
75. Чему равен квадрат расстояния между точками?
76. Как находить координаты середины отрезка?
77. Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?
78. Выведите уравнения окружности, прямой.
79. Приведите примеры векторных величин.
80. Как изображают векторы?
81. Что такое координаты вектора?
82. Что такое модуль вектора?
83. Какие векторы 'называют равными?
84. Что такое сумма зекторъ^?
174

85. Сформулвдуйтегпрзвдао тр^еулолмика^и^п^эн^^педй^ел^?
грамма* дань олсркянияовекяорсю^
86. Кагае(1в№то1Щ1;ц^зь1эа10Т'Дрр^ивдц©л^>жнмм«3', ,
87. Дайте определецй^гр^адэстивдкторрэ^
88. Дайте; определение* умйоя^шш* вед/горд* н^ вдедр-г> . -
89. Передирдиге,озойстэа*умножения*дедхо^на,чщ^о.,
90. Какие векторы называют коллинеарными?
91. Что такое разложение,цектора, до,осям координат?
9 класс
92. Чтоктакоф единичная окружность?
93. Что такое синус угла, косинус угла, тангенсоида?.
94. Что зяадит «решить т,реугольнвдс»?г
95. Объясните*.как решать прямоугольный,треугольник пахцпогэ
тенузе и острому углу, по катету и острому углу, по
гипотенузе и катету, по двум катетам.
96. Докажите формулы
sin2a + cos2a = l, sin (180° — a) = sin a,
cos (180° — a) = — cos a, sin (90° — a)=cos a,
cos (90° — a)=sin a.
97. Как находить значения синуса, косинуса, тангенса, пользуясь
микрокалькулятором?
98. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
99. Сформулируйте и докажите теорему синусов.
100. Как решать треугольники по двум сторонам и углу между
ними, по стороне и двум углам, по трем сторонам?
101. Что такое скалярное произведение векторов?
102. Чему равно скалярное произведение векторов в координатах?
103. Докажите, что для любых векторов а, бис
(a + b)c=ac + bc.
104. Что такое ломаная, простая ломаная, замкнутая ломаная?
105. Что такое многоугольник, выпуклый многоугольник?
106. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов
выпуклого многоугольника.
107. Что такое сторона, вершина, диагональ многоугольника?
108. Докажите, что около всякого треугольника можно описать
окружность и во всякий треугольник можно вписать
окружность.
175

109. Дайте определение правильного многоугольника.
ПО. Докажите, что около правильного многоугольника можно
описать окружность и в него можно вписать окружность.
111. Что такое центр правильного многоугольника?
112. Сколько осей симметрии имеет правильный л-угольник?
113. Докажите теорему об отношении длины окружности к ее
диаметру.
114. По какой формуле вычисляют длину окружности?
115. Перечислите свойства площади.
116. Сформулируйте и докажите теорему о площади
прямоугольника.
117. Выведите формулы площадей параллелограмма, трапеции,
треугольника. ' *
118. Напишите формулу для вычисления площади круга.
119. Как можно найти площадь кругового сектора, сегмента?

10 класс
Глава XI
ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ
Мы рассмотрели часть геометрии, называемую планиметрией.
В ней исследуются геометрические фигуры, расположенные в
одной плоскости. Теперь мы приступаем к изучению второй части
геометрии — стереометрии.
Стереометрия (греч. атереод — пространственный) изучает
свойства геометрических фигур, содержащихся в пространстве. В
ней исследуются математические модели тех материальных
объектов, с которыми ежедневно имеют дело строители, токари,
фрезеровщики, конструкторы, архитекторы и другие специалисты.
Знания стереометрии нужны всем. Без них невозможно построить
дом, машину, завод, невозможно правильно вести самолет,
запустить ракету, исследовать строение вещества и т. д. А еще
школьный курс стереометрии служит основой черчения и
начертательной геометрии — важнейших дисциплин любого
технического вуза.
§ 51. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
В стереометрии, как и в планиметрии, изучаются свойства
геометрических фигур. Но не только плоских. Фигура называется
неплоской (пространственной), если не все ее точки лежат в одной
плоскости. Примеры неплоских фигур: куб, параллелепипед, шар.
Рассматривают в стереометрии и другие геометрические
понятия: отношения между фигурами, преобразования фигур,
геометрические величины и т. д.
Смысл большинства научных понятий раскрывают с помощью
определений. Но не всему можно дать строгое определение.
Чтобы определить какое-нибудь понятие, надо подвести его под
другое понятие, содержание которого уже известно. Например,
формулируя определение «Параллелограммом называется
четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно
параллельны», определяемое понятие «параллелограмм» подводят
под уже известное понятие «четырехугольник». А под какие
геометрические понятия можно подвести самые первые, такие,
как «точка», «прямая», «плоскость»? Их вводят без определений
и называют основными (неопределяемыми) понятиями.
Свойства неопределяемых понятий раскрывают с помощью
аксиом. Дальше мы сформулируем аксиомы стереометрии. Но
предварительно сделаем несколько замечаний о понятии «плоскость».
177

О? плоское!» говорят и в плани- Ц
метрии (вспомните хотя бы оп- \**
ределение параллельных прямых), #
Но там рассматривают только од- 'Г
Рис. 300 НУ плоскость: все изучаемые в
планиметрии, фигуры принадлежат этой i
единственной плоскости* В стереометрии же приходится
различать много плоскостей. Материальными моделями части ~
плоскости являются, например, поверхность оконного стекла,
хорошо, отполированная .поверхность стола, мраморной плиты^
поверхность ,аэ§одрам&.ИиТ.<д, Понятно* что это — грубые, модели, В
геометрии плоскость, мыслится неограниченной, идеально, ровной я
гладкой, не имеющей никакой толщины.
Изображает nflfHacocTHr Br виде параллелограммов,или других
01фаничеиш>ис частей; плоскости (<рис. 300). Обозначают их обычно,
греяеешшийуквамиа, &,?!*& со и др. .Как и любая^ геометрическая
фигура^ плоскосогь j состоит иа> точек.
Если* тоадоа» Ai лтшг Вг плоскости оц t говорят,, что, плоскость, а,
проходит, черезгточ&и Д, иаапиодвают: Л £а* Э&пись.Л$си>знанает*
чтчзточ^ка.Д^неглежят) а. плоскости а.
Если каждая тонка! прямой, а лежит в- плоскости, а, гаво^
ряи^ что прямаяг а лежот а плоскости, с^ или. плоскость а
проходит чърт прямую* сь, Символически записывают это так:. аса.
На рисунке 301 изображена плоскость а, которая проходит череа
прямую а и точку А.
Если прямая? #. ис плоскость* а имеют- толька одну общую
точку Л, говорят, что они пересекаются в точке А (рис. 302).
Записывают: apfa^viv На'рисунке'невидимую часть прямой
изображают1 штриховой1 линией.
Еёлидч^рез<прямук> rnpoxjoiaHT две' плоскости* ас иг 0,, говорят,
что' эти плоскости! пересекаются по прямой- с. Эапнсьшают:
Э*до ешачиде.' Гевор(0*«д1ве,плшкоети^ что
их действительно две, т. е. что они не совпадают; Тше,же:будемг
дальше* гюниматв-выражения* «две точки», «две»прямые»/ nit. д.
Г001. Являются <л# геометрическими.\фигурами точкам,прямая,
плоское, простр-анотв&У
Pkti 30Р Риге: 302' Рис: ЗШ'
178

1002. ^Является ли пеомехряческой
фигурой «©ба&данение двух
пересекающихся плоскостей, изображенных на
рисунке 303?
;Й)03. Отличаются зш понятия
«плоскость» и ^площадь»?
1004. К^кие из перечисленных
(фигур неплоские: отрезок, окружность,
призма, цилиндр, прямой угол,
прямоугольный треугольник,
прямоугольный параллелепипед, плоскость?- <Рис. 304
1005. Нарисуйте плоскость а
и;лежащую вшей точку М. Запишите это символически.
1006. Нарисуйте плоскость р, проходящую через прта«уюи;.
Запишите это символически.
1007. Нарисуйте плоскость а и прямую с, пересекающиеся ш
точке М. Сколько точек прямой с лежит в плоскости а?
1008. Нарисуйте плоскости а и ю, пересекающиеся по
прямой т.
1009. Прямая а лежит в плоскости а, а прямая Ь—в
плоскости р (рис. 804). Следует ли из эт&го, чтопрямые^и'б не лежат
в одной плоскости?
1010. Прямая и проходит через точку А плоскости а. Следует
ли из этого, что прямая а пересекает плоскость а?
1011. Плоскости а, р, прямая а и точка А удовлетворяют
следующим условиям: tfcra, acp, А£Р, А£а. Изобразите это
на рисунке.
1012. Плоскости а, р, у попарно пересекаются по прямым
а, 6, с, причем -а"||* -и Ь\\с. Изобразите это на рисунке.
1013. Прямая а пересекает плоскость а в точке А. В
плоскости а дана еще точка В. Плоскость р проходит через прямую а
и точку В. Сделайте соответствующий рисунок.
1014. Точки А и В лежат в плоскости а, а точка С — вне ее.
Нарисуйте плоскость, в которой лежат все три точки.
1015. Нарисуйте куб. Является ли грань куба плоскостью?
а частью плоскости?
1016. Практическое задание. Сделайте из плотной
бумаги или картона модель пересекающихся плоскостей.
§ 52. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ
В истинности математических утверждений убеждаются путем
доказательств. Доказать данное утверждение — это
значит'показать, что оно следует из других утверждений, истинность которых
уже установлена. Доказываемые утверждения называют
теоремами.
йе каждое геометрическое утверждение можно доказать. Когда
изложение геометрии только начинается, невозможно получать
25L
ж:
179

следствия из других утверждений, так как их еще нет. Вот почему . 1
несколько первых утверждений принимают без доказательств. Их 4
называют аксиомами. Щ
В качестве геометрических аксиом обычно формулируют
утверждения, соответствующие формам и отношениям,
наблюдаемым в материальном мире. В истинности этих утверждений люди
убедились в результате многовековой практической деятельности.
На любой плоскости, как бы она ни была расположена в |
пространстве, выполняются все планиметрические аксиомы
(см. § 50). Но для стереометрии одних этих аксиом недостаточно.
Необходимы аксиомы, выражающие основные свойства точек,
прямых и плоскостей в пространстве. Сформулируем, их. _
С\. В пространстве имеются плоскость и тонка, не лежащая в
этой плоскости.
С2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой,
можно провести плоскость, и притом только одну.
Сз. Если две тонки прямой лежат в плоскости, то и вся пряг
мая лежит в этой плоскости.
С^ Если две плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Замечание. Никаких инструментов, которыми можно было
бы проводить в пространстве плоскости, нет. Поэтому выражение
«можно провести» в аксиоме Сг употреблено в смысле
«существует». В аксиоме С4 слова «проходящей через эту точку»
необязательны. Но так сформулированной аксиомой удобнее пользоваться.
Рассмотрим важнейшие следствия аксиом стереометрии.
В пространстве имеется бесконечно много точек. Ведь
пространство содержит плоскость (аксиома Ci), а из планиметрии
известно, что множество точек плоскости бесконечно.
Из аксиом Ci и Сг следует, что в пространстве имеется
бесконечно много плоскостей. В каждой из них существуют прямые,
отрезки, углы, окружности и другие плоские фигуры. Значит, все
они есть и в пространстве.
Два следствия из аксиом стереометрии сформулируем в виде
теорем.
Теорема 44. Через прямую и не лежащую на ней точку
можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на
- ней точка К (рис. 305). Отметим на прямой а любые две точки:
А и В. Точки Л, Bt К не лежат на одной прямой, поэтому через
них можно провести плоскость1 а (аксиома С2). Точки А и В
прямой а лежат в плоскости а, следовательно, и вся прямая а
лежит в этой плоскости (аксиома Сз). Как видим, через прямую а
и точку К одну плоскость провести можно.
А, нельзя ли провести ещё одну? Если бы это было возможно,
то через точки Л, В, К проходили бы две плоскости. Последнее
противоречит аксиоме С2. Итак, через прямую и точку, не лежащую
на ней, можно провести только одну плоскость. Щ
i
180

Рис. 305 Рис. 306
Теорема 45. Через две пересекающиеся прямые можно
провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть даны прямые а и 6,
пересекающиеся в точке К (рис. 306). Отметим на них точки Л и В,
отличные от /С. Через точки А, В, К можно провести плоскость а
(аксиома Сг). Прямые а и Ъ лежат в плоскости а (аксиома Сз). Значит,
через прямые а и Ъ плоскость провести можно.
Предположим, что через данные прямые а и Ь можно провести
еще плоскость р, отличную от а. В таком случае через точки Л,
В, /С, не лежащие на одной прямой, проходят две плоскости. Это
противоречит аксиоме Сг. Итак, через две пересекающиеся прямые
можно провести только одну плоскость. Ц
Из аксиомы Сг и доказанных теорем следует, что плоскость
можно задать: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2) прямой и не лежащей на ней точкой; 3) двумя пересекающимися
прямыми. О задании плоскости двумя параллельными прямыми
см. в § 54.
1017. Можно ли провести плоскость через три точки, лежащие
на одной прямой? а через четыре точки, лежащие на одной прямой?
1018. Задача-шутка. Три мухи разлетелись в
разные стороны. При каких условиях все они окажутся в одной
плоскости?
1019. Угольный пласт обычно залегает так, чтоего верхняя
граница (конечно, в грубом приближении) представляет собой часть
плоскости. Какое наименьшее число скважин следует пробурить,
чтобы определить, как расположен пласт?
1020. Чтобы проверить, хорошо ли обработана плоская
поверхность, в разных ее местах прикладывают линейку,
прямолинейность которой выверена заранее, и смотрят, нет ли зазора
между ними (рис. 307). В каком случае говорят, что поверхность
неплоская? Почему?
1021. ЕслиЧолько некоторые точки проволоки касаются
плоской поверхности наковальни, значит, проволока непрямая.
Почему? Чтобы выровнять ее, ударяют молотком по ее выпуклостям^ *- v
как показано на рисунке 308. После нескольких ударов
проволоку поворачивают. Зачем?
181

Рис. 307
Рис: 308'
10221 Плоскости а и Дямеют общую/тачку Л (рис 309). Имеют
ли эти плоскости общие точки,, отличные от Л? Сколько их?
Изобразите, их на рисунке.
102S2 В плоскости а лежат точки Л" и В, а> плоскости fr—
точки Я иС^в плоскости.y — точки Л,, В, С. Сделайте
соответствующий, рисунок.
1024.* Точки Л; 5,\ G, П не* лежат, а одной плоскости. ДЪкат
жите, что никакие три'из них не лежат на одной прямой.
Р еще нд е. Предположим,,,что какие-нибудь.трд.из^дадаых
точек^нащ^имер. Л)Д>£, лежат на однойГпоямой! Через эту, прямую
и толку,, IX можно провестл плоскость,а, (теорема,44)\
Все. четыре, данные,точки,лежат.а, плоскости, а* А^это. пррхит
воречит условию задачи. Значит, никакие три из данных тачек не
могут лежать на одной прямой.
102Д. Пцрмые,алМ не,имеютобщ#х,точе1С Следует ли ив>эхого,
что через, щие невозможно привести плоскость?
10261 Докажите, что через любую точку пространства можно
провести1 плоскость*.
VG273. С&ояъжо плоскостей; можно провести'через две данные
точки?
102®; Че№рестч>чш^ не^ежат*вредно* плоскостиг Сколько *тос-
коотей* можно провести'черезтройси
этих* точек?'
1Ш&* Три вершины* треугольника
лежат^в плоскости* а. Докажите/что
ка^жда^точка-этого треугольника
лежит** в^ яяоекоети«а.
И)30? Три'различные точки*
треугольника ABC лежаг^ плоскости* а:
Следует^ лйг из^ этого,* что каждая
тоадёа- треугольника» ABC лежит в
плоское*»: се^
1D31S Йрнмые:МЛ% М£*пересека-
Рис. 309 " ются в точке М: Докажите;, что1 все
182

Рис. 310
Рис. 311
прямые, пересекающие их, но не проходящие через точку Mf
лежат в одной плоскости. Можно ли через точку М провести
прямую, не лежащую в этой плоскости?
1032. Прямые АВ, АК и КР пересекают плоскость а в точках В,
С и Р, как показано на рисунке 310. Пересекаются ли прямые
АВ и ЯР?
1033. Даны прямая а и не лежащая на ней точка В.
Докажите, что все лрямые, проходящие через точку В и
пересекающие а, лежат в одной плоскости.
1034. Точка А принадлежит плоскостное, а В не принадлежит.
Принадлежит ли, плоскости,а середина отрезка АВ?
1035. Докажите, что через любые две точки пространства
можно провести прямую, и притом только одну.
Решение. Пусть А и В — произвольные точки
пространства. Через них и какую-нибудь третью точку проведем плоскость а.
В этой.плоскости через точки А .и В можно провести _единстзен-
ную прямую а (аксиома У/2, .§ 50).
Допустим, что через точки А и В в пространстве проходит еще
прямая а\, отличная от а. Ее точки А и В лежат в плоскости а,
значит, и прямая а,\ лежит в плоскости а (аксиома Сз).
Получается, что через точки А и'В в плоскости а проходят две
различные прямые: а и а\. Это противоречит аксиоме Я2. Итак,
через точки А и В в пространстве можно провести только одну
прямую.
1036. На .рисунке 311 изображен куб ABCDA\BXC\D\,
точка К— середина ребра АА\.-Принадлежит ли/грани ВВ\С\С
точка D? 'Плоскости каких граней куба пересекает прямая В/С?
а прямая лС/С?
183

§ 53. СЕЧЕНИЯ
Рассмотренные в предыдущем параграфе способы задания
плоскости часто используют при построении сечений
многогранников. Определение многогранника мы дадим позже (см. § 70).
А здесь ограничимся двумя простейшими примерами
многогранников: прямоугольным параллелепипедом и тетраэдром.
Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, 12 ребер,
8 вершин (рис. 312). Все его грани — прямоугольники. Один из
видов прямоугольного параллелепипеда — куб. Все грани куба —
равные квадраты. Когда говорят «параллелепипед ABCDA\B\C\D\»,
имеют в виду, что его основание ABCD, а боковые ребра ААи
ВВи ССи DDX.
Тетраэдр (треугольная пирамида) имеет 4 грани, 6 ребер, 4
вершины (рис. 313). Каждая грань тетраэдра — треугольник. Если
все ребра тетраэдра равны, его называют правильным
тетраэдром,.
Что такое сечение многогранника?
Если,ни одна из двух точек не
принадлежит плоскости, а
соединяющий их отрезок имеет с этой
плоскостью общую точку, то говорят,
что данные точки лежат по разные
стороны от плоскости. А если по
крайней мере две точки многогранника
лежат по разные стороны от
плоскости, говорят, что плоскость
пересекает многогранник. В этом
случае ее называют секущей
плоскостью. Фигура, состоящая из всех
точек, общих для многогранника
и секущей плоскости, называется
Рис. 314 сечением многогранника данной пло-
184

/1 /-1
4J- ^
г
я
^*
Рис. 315
*)
5
скостью. На рисунке 314 изображены тетраэдр ABCD и секущая
плоскость о. Точки Л и В лежат по разные стороны от секущей
плоскости. Четырехугольник KPTL — сечение данного тетраэдра
плоскостью со.
Чтобы построить сечение многогранника плоскостью, надо
задать эту плоскость: указать три (не лежащие на одной
прямой) точки, через которые проходит эта плоскость, или точку и
прямую и т. д.
Пример 1. Постройте сечение куба ABCDA\B\C\D\
плоскостью, проходящей через точки /С, Р, Г —середины ребер АВ,
ВВи ВС (рис. 315, а).
Точки К, Р, Т не лежат на одной прямой, поэтому задают
некоторую плоскость. Требуется на данном изображении куба
построить изображение указанного сечения.
Точки К и Р лежат в плоскости грани АВВ\А\ куба и в секущей
плоскости. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой /СР.
Секущая плоскость пересекает квадрат АВВ\А\ по отрезку
/СР. Аналогично убеждаемся, что две другие грани куба секущая
плоскость пересекает по отрезкам КТ и ТР. Построив их,
получим треугольник КРТ. Это и есть искомое сечение
(рис. 315,6).
Иногда в задачах требуется не только построить сечение, но
и найти его площадь или периметр. Для этого надо знать и
размеры данной фигуры. Например, если длина ребра
рассматриваемого куба а, то
ВК=ВР = ВТ=^9 КР = РТ=ТК=-^.
Следовательно, площадь полученного сечения
S=-
-=^а2
185

A
A
A
a) C 5) C 6)
Рис. 316
Пример 2. На ребрах тетраэдра ABCD даны точки /С, Р,
Т9 как показано на рисунке 316, а. Постройте сечение тетраэдра
плоскостью, проходящей через данные точки.
Решение. Проводим отрезки КР и РТ (рис. 316, б). Чтобы
построить другие стороны искомого сечения, найдем точку, в
которой секущая плоскость КРТ пересекает ребро CD, Прямые КР
и BD лежат в плоскости ABD и не параллельны, значит,
пересекаются в некоторой точке Q. Точка Q принадлежит плоскостям
КРТ и BCD, И точка Т принадлежит этим плоскостям. Поэтому
каждая точка прямой QT принадлежит секущей плоскости, в том
числе и точка М пересечения прямых CD и QT, Определив
точку Mt соединяем ее отрезками с точками К и Т,
Четырехугольник КРТМ — искомое сечение (рис. 316, в),
1037. Пересекает ли прямая А В плоскость а, если отрезок А В
эту плоскость пересекает? Пересекает ли отрезок CD плоскость
Р, если эту плоскость пересекает прямая CD?
1038. Отрезки АВ и АС пересекают плоскость а.
Пересекает,ли ее отрезок ВС? а прямая ВС?
103& Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ плоскостью, проходящей через: а) точки Л, В\
и D\; б) точки Л, С и середину ребра DD\,
1040. Могут ли сечением куба быть треугольник, правильный
треугольник, прямоугольник, квадрат, трапеция?
1041. Точка К — середина ребра AD тетраэдра ABCD,
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В,
С и К.
1042. Точка М — середина ребра CD тетраэдра ABCD,
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
прямую А В и точку М,
1043. ABCD — тетраэдр. Точки К и М — середины ребер AD
и CD, Постройте сечение тетраэдра плоскостью ВКМ.
Ю44.чПедечертите рисунки 317 в тетрадь и на каждом из них
постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через
точки К, Ру Т.
186

в)
1045. /С, Р,' Г — середины ребер АВ, АС и АА\ куба. Как
относятся:
а) периметры треугольников КРТ и А\ВС\
б) площади треугольников КРТ к А\ВС?
1Ы6л ABCDA\B\CaD\ — прямоугольный параллелепипед,
АВ = ВС = а и АВ\АС=а. Найдите площадь треугольника АВ\С.
Вычислите при а= 12,5 см, а = 50°.
1047. Дан правильный тетраэдр, длина ребра которого а.
Постройте его сечение плоскостью, проходящей- через* середины^ трех
ребер, выходящих из однойвершины; Найдитепериметр и-плотцадь
сечения.
1048; Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда,
всходящих из одной вершины, равны 6 см, б см> и 8 см; Постройте
сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через** середвдш
указанных ребер; и найдите его» площадь.
1049. ABCDA\B\G\D\—куб, точка В\ — середина
отрезка 5#2. ПЬстройте- сечение куба плоскостью, проходящей через
точки А, Яг и С. _ тт w „n
Решение. На прямой ВВг
отметим точку -в&так, чтобы. В\
оказалась серединойютрезка Дворне. 318Ь
Точка Вг, лежит в плоскости грани
АВВ\Аи поэтому прямая АВ2
пересекает ребро A\Bi куба в-некоторой точ-
D А
Рис. 318
Рис. 319
187

ке /С. Точка В2 лежит и в плоскости грани СВВ\С\, поэтому
прямая СВ2 пересекает ребро С\В\ в некоторой точке Р.
Четырехугольник АКРС — искомое сечение.
1050. На ребрах АА\ и СС\ прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ даны точки К и Р — такие, что АК=КАи
СР:РС\ = 1:2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью
DXKP.
1051. Деревянный куб распиливают так, что пила проходит
через точки /С, Р, Г, как показано на рисунке 319. Что за фигура
получится в сечении?
1052*. ABCDA\B\C\D\ — куб. Точка Вх — середина отрезка
BB2, а С — середина отрезка ВС2. Постройте сечение куба
плоскостью АВ2С2. Найдите периметр сечения, если АВ = а.
Глава XII
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
§ 54. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если две прямые лежат в одной плоскости, они либо
пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен и третий
случай. Например, если ABCD — тетраэдр, то прямые АВ и CD не
пересекаются и не параллельны. Они не лежат в одной плоскости.
Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются
скрещивающимися.
Плоскость, проходящая через одну из двух скрещивающихся
прямых и какую-нибудь точку на другой, пересекает другую
прямую (рис. 320). Свойства скрещивающихся прямых рассмотрим
далее. А здесь займемся изучением параллельных прямых в
пространстве.
Две прямые называются параллельными, если они лежат в
одной плоскости и не пересекаются.
Из определения следует, что через две
параллельные прямые всегда можно провести
плоскость, причем только одну. Ведь если
допустить, что через параллельные прямые а
и b проведены две различные плоскости, из
этого следовало бы, что через прямую а и
некоторую точку прямой b проведены две
различные плоскости. Но этого не может
быть (теорема 44). Итак, к перечисленным
способам задания плоскости можно
прибавить еще один: плоскость можно однозначно
задать двумя параллельными прямыми.
Из аксиомы параллельности Евклида сле-
Рис. 320 дует, что в плоскости через данную точку
188

можно провести не более одной
прямой, параллельной данной. А сколько
таких прямых можно провести в
пространстве?
Теорема 46. Через любую точку
пространства, не лежащую на данной
прямой, можно провести прямую,
параллельную данной, и притом только одну.
Доказательство. Пусть даны Рис. 321
прямая а и не лежащая на ней точка А
(рис. 321). Через них можно провести единственную плоскость
(теорема 44). В этой плоскости через А можно провести единственную
прямую a\t параллельную прямой а (аксиома П10). Первая часть
теоремы доказана.
Каждая иная прямая, проходящая через точку А и отличная
от а\у или не лежит с прямой а в одной плоскости, или
пересекается с а, т. е. не параллельна а. Значит, прямая а,\ единственная
из всех прямых, проходящих через точку А и параллельных
прямой а. И
Две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости.
А три или более? Могут и не лежать в одной плоскости.
Например, все ребра прямозубой цилиндрической шестерни (рис. 322)
лежат на параллельных прямых, но не принадлежат одной
плоскости. То же можно сказать о продольных ребрах шпунтовых
досок (рис. 323), стержнях атомного реактора, вертикальных
колоннах строящегося дома и т. д.
Теорема 47. Две прямые, параллельные третьей,
параллельны.
Доказательство*. Пусть а\\Ь и Ь\\с. Докажем, что а\\с.
Прямые аи сне могут пересекаться. В противном случае через
точку их пересечения проходили бы две разные прямые,
параллельные 6, что противоречило бы теореме 46.
Предположим, что прямые а и с скрещивающиеся (рис. 324).
Через параллельные прямые а и 6, Ъ и с проведем плоскости v и а,
а через прямую а и какую-нибудь точку С прямой с —
плоскость р. Пусть плоскости аир пересекаются по прямой т. Прямые
6, с, т лежат в одной плоскости а, причем Ь\\с. Поэтому
прямая т, пересекающая с, пересекает в некоторой точке Р и пря-
Рис. 322 Рис. 323
189

мую 6. Прямые <т и :Ь лежат
соответственное плоскостях, ригу.*Поэтомутахяоб-
щая точка fP шринадяежит этим
плоскостям, а значит, и их общей прямой и.
Как видим, -из ^предположения *сле-
дует, что шараллельные (по ^условию)
прямые а *и Л «м£ют юбщую тгочку Ф.
Это —противоречие.
Итак, прямые а и 'с не могут 'быть
ни 'пересекающимися, ни
скрещивающимися. Остается единственно воз-
-можное: а]\ с. И
Доказанную теорему называют те-
сдоемой о транзитивности параллельных
прямых (лат. transitivus—переходной),
Рис..324 так как в ней говорится о переходе
свойства,параллельности двух пар
прямых на третью: из а\\Ь и Ь\\с следует а\\с.
Параллельными бывают же-только прямые, -но ги отрезки
^лучи). ,Два отрезка .(луча) яваывают параллельными, гесли iOH*i
лежат ,на параллельных прямых.
.1053. ^Нарисуйтепрямоугольныйш^раллелепипедЛВС^ЛцВиСЖ!-
Пересекаются^и^егофебра АА\ и GtQifi.a прямые, ^которым*они
принадлежат? Параллельными прямыеЛС\ и СВ\, АВ и C\D\?
1054. ABCD — тетраэдр (см. рис. 313). Параллельны ли >его
ребра АВ .и CD? Пересекаются ли прямые >DA m ВС?
1055. Прямые АВ и CD параллельны. Могут ли быть
скрещивающимися »прямые ACm*BD? га упересекающимися?
1956. Прямые АВ и CD скрещиваются. Могут<ли быть:пщрал-
лельными прямые АС и BD?<a пересекающимися?
Решение. *Если бы прямые АС и BD были ^параллельны
или шересекались, через них можно было »бы ^ провести .плоскость.
В этой .плоскости, лежали бы точки Л, £, Си Д а значит, <и
прямые ;АВ и CD. Но по условию прямые АВм CD не лежат в одной
плоскости. .Значит, прямыегЛС и SDme могут быть ни
параллельными, ни пересекающимися.
1057. Что шожно сказать о прямых а и 6, если а лежит в
плоскости,* не имеющей с прямой Ь общих точек?
tf 058. Попарно параллельные прямые а, Ь и с пересекают
плоскость а в точках А, В и С, как показано на,рисунке 325.
Лежат ли данные прямые в одной плоскости? Почему?
1059. Прямые ВВ\ и СС\, изображенныеша рисунке,326,
пересекают прямую А\В в точках В и С, а плоскостью — в точках В\
и С\. Параллельны ли прямые ВВ\ и ОС\? Почему?
1060. Параллелограммы ABCD и ABC{D\ лежат-в разных
плоскостях. Докажите, что четырехугольник CDD\C\ тоже
параллелограмм.
190

Pfrc; 325
Рш>. 326
1061», K»P, Г, Afc—середины, р,ебер АВ, ACf CD) DB1
тетраэдра. Докажите,, что* четырехугольник КРТМ — параллелограмм.
Р&1ше.н<г№&. Отрезки,ЯР и* ME—средние, линии* треугшшниг
ков> ABC- vr ВВС (rhc 327).:Поэтому каждый из/hhxvпараллелен,
ребру ВС и равен его половине. Па свойству транзишваости
отрезки, КР и МТ параллельны и: равны. Значит,
четырехугольник КРТМ[— параллелограмм.
1062: ABCDAxBxCxDi — прямоугольный, параллелепипед. До1
кажите, что плоскость АСС\ проходит через точку А\.
1063. Прямые а и b параллельны? a b не не параллельны.
Докажите, что прямые а и с не параллельны,,
1064. Прямые b и d скрещиваются. Что можно сказать о
прямых а и с, если а\\Ь и с\\й?
10651 ©Ърезки* 0& и* QS* пересекают плшшетв* о* в* точках A i
и Вi„ являющихся серединами этих .отрезков*.Найдите.расстояние
АВ, если i4'i£i=3tfTcM.
1066. Вершины* треушльникагАВ^,—середаныротрезков? ОА\,
OBij ОС\; Точка*G не. л ежит* в«п л осщети* треугольника ЛВС Во
сколько.раа.пер»метр/треушльникагЛгД1С1^больше перрмюра щъ~
уголышка3 АВС&
U)67. Из-тонекЛ^иВгПлоскости^ашроведены
вне-еепараллельные отрезки:, Л^;= 16 см и ЯМ=12г см.>Пря^Яч/Ш*ве$£секае*г.
плоскость* ct^Bj точке; С., Найдите раса-
стояние ЛС^еслигЛВ.=9fcM^JRaccMOTr
ритег два^, случая*,
1068?.. Черезсконец А отрезкачАВ*
проведена плоекость-..Через^конеЦсй<ш
середину. £ отрезка лроведешл паралг
лельные.прямые, пересекающие пло--
скость в точках В\ и Си Найдитеддог
ну отрезка^ GGu?> если < ддана отрезка
BBi равна Л 2 см.
tMOLL Точка- €L делит отрезок АВ*
в отношении АС:СВ^2:А. Парая- Я
лельные. прямые^,. проходящие! через Bfce. ^2^
mi

точки Л, С, В, пересекают некоторую
плоскость в точках Аи G, В\.
Найдите отношение А\В\\А\С\.
1070. Через конец А отрезка АВ
проведена плоскость а. Через конец
В и точку С этого отрезка проведены
параллельные прямые,
пересекающие плоскость а в точках В1
и С\. Найдите длину отрезка ССи
если: а) АС:АВ = 3:5 и ВВХ = 16 дм;
б) АСх:СхВх=2:\ и ВВХ = \2 дм;
в) АВ:ВВ{=4:3 и АС = т.
1071*. Через вершину D
параллелограмма ABCD проведена
плоскость (рис. 328), а через точки
Л, В, С — параллельные прямые, пересекающие эту плЬскость в
точках Аи B\t Си Найдите ВВи если ЛЛг= 17 см, CCf= Г5-см.
1072*. Пусть О — точка пересечения диагоналей *йа*р#ллвго--
грамма ABCDt a a — плоскость, не пересекающая
параллелограмм. Через точки Л, В, С, D, О проведены параллельные
прямые, пересекающие плоскость а в точках Аи fli, Сь Dx, Ох. Дока-
хсите что*
а) AA\ + BBx + CCx + DDx=4:.OOx\
б) AAx + CCx = BBx + DDx.
Рис. 328
§ 55. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не
имеют общих точек.
Если прямая а параллельна плоскости а, пишут: а||а.
Теорема 48 (признак параллельности прямой и плоскости).
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь
прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Доказательство. Пусть прямая Ь не лежит в
плоскости а, а прямая а лежит в плоскости а и Ь\\а. Докажем, что 6||а.
Предположим, что прямая Ъ не параллельна плоскости а, а
пересекает ее в некоторой точке Р (рис. 329). Эта точка лежит
в плоскости айв плоскости р, проходящей через
параллельные прямые а и 6. Значит, точка Р лежит на прямой а, по которой
пересекаются плоскости а и р.
Пришли к противоречию: прямые tm b
параллельны и в то же время имеют
общую точку Р.
Итак, прямая Ь не может
пересекать плоскость а. По условию она и
не лежит в плоскости а.
Следовательно; Ъ || а. Щ
Рис. 329 Отрезок называется параллель-
192

ным плоскости, если он является
частью прямой, параллельной плоскости.
Примеры. Каждое ребро
прямоугольного параллелепипеда
параллельно плоскостям двух его граней.
А прямая, проведенная в грани
бруска с помощью рейсмуса (см. рис. 55),—
плоскостям трех граней. Каменщики
кладут стену под отвес (рис. 330),
шнур которого параллелен плоскости
стены. Горизонтальные планки
мотовила зерноуборочного комбайна
хотя и меняют свое положение во
время работы, но все же остаются
параллельными плоскости поля. И если
подводная лодка идет прямолинейно на одной глубине, значит,
параллельно поверхности моря. Все это — материальные модели
отношения параллельности прямой и плоскости.
1073. Каждая из прямых а и Ь параллельна плоскости а.
Следует ли из этого, что прямые а и Ь параллельны?
1074. Прямая а параллельна прямой 6, а Ь параллельна
плоскости а. Следует ли из этого, что а||а?
1075. Каждая из плоскостей аир параллельна прямой а.
Могут ли эти плоскости пересекаться?
. 1076. Прямая а пересекает плоскость а. Сколько можно
провести прямых: а) пересекающих плоскость а и параллельных
прямой а; б) пересекающих прямую а и параллельных
плоскости а?
1077. Сколько прямых, параллельных данной плоскости,
можно провести через данную точку?
1078. Сколько плоскостей, параллельных данной прямой,
можно провести через данную точку?
1079. ABCD — параллелограмм. Плоскость о проходит через
его вершины Л, В и не проходит через вершину С. Докажите,
что CD || со.
1080. Докажите, что если плоскость пересекает трапецию по
ее средней линии, то она параллельна основаниям трапеции.
1081. Точки А и В лежат в плоскости а, а О — вне плоскости.
Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков
ОА и ОВ, параллельна плоскости а.
1082. Плоскость а пересекает отрезки АВ и АС в их
серединах — точках /С и Р. Докажите, что отрезок ВС
параллелен плоскости а. Как относятся площади треугольников ABC
и АКР'?
1083. ABCD — квадрат, точка /С не лежит в его плоскости.
Найдите периметр четырехугольника A\B\C\D\> если Ль Вь Си D\ —
середины отрезков Л/С, В/С, С/С, DK и АВ = 8 см.
7 Заказ 223
193

В А
Рис. 331 Рис. 332
Решение. Отрезки А\В\, В\С\, C\D\, D\A\ — средние линии
треугольников КАВ, КВС, KCD, KDA (рис. 331). Длина каждого
из них равна половине длины стороны квадрата. Поэтому
периметр четырехугольника A\B\C\D\ равен 4 см-4= 16 см.
1084°. а) Треугольники ABC и ABD лежат в разных
плоскостях. Точки А\ и В\—середины отрезков АС и ВС. Докажите,
что прямая А\В\ параллельна плоскости ABD.
б) Докажите, что сечение тетраэдра ABCD плоскостью,
параллельной ребру AD и проходящей через середины ребер АВ
и АС,— параллелограмм.
1085. Если плоскость проходит через прямую, параллельную
другой плоскости, и пересекается с этой плоскостью, то прямая их
пересечения параллельна данной прямой. Докажите.
Решение. Пусть 6||а, 6с=р, аПРт=а (рис. 332). Докажем,
что а || Ь. Если бы прямые а и Ь пересекались, их точка пересечения
была бы общей для прямой Ь и плоскости а. Это невозможно,
так как Ь||а. Итак, прямые а и Ь не пересекаются, а лежат они
в одной плоскости р. Значит, а||6.
1086. РАВС — произвольный тетраэдр. Докажите, что:
а) плоскость а, проходящая через середины ребер РА, АВ, ВС,
проходит и через середину ребра СР; б) плоскость а пересекает
тетраэдр по параллелограмму.
1087. РАВС — тетраэдр, каждое ребро которого б см.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, параллельной ребрам РА,
PC и проходящей через середину ребра РВ. Найдите периметр
сечения.
1088*. Постройте сечение тетраэдра РАВС плоскостью,
параллельной ребру АВ и проходящей через вершину Р и
середину ребра ВС. Найдите площадь сечения, если АВ = ВС = СА=а,
РА = РВ = РС = Ь.
1089. Постройте сечение куба ABCDA\B\C\D\ плоскостью,
проходящей через середины ребер АВ и AD и параллельной
прямой СС\. Найдите периметр сечения, если АВ = 1.
194

1090*. Если через каждую из двух параллельных прямых
проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то линия
их пересечения параллельна каждой из данных прямых. Докажите.
§ 56. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
Две плоскости называются параллельнымщ если они не имеют
общих точек.
Если плоскости аир параллельны, пишут: а||р.
Теорема 49 (признак параллельности плоскостей). Если
каждая из двух пересекающихся прямых одной плоскости
параллельна другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть каждая лз двух
пересекающихся прямых а и Ъ плоскости а параллельна плоскости р.
Докажем, что а || р.
Плоскости аир различны, так как прямые а и 6 плоскости а
с плоскостью р не имеет общих точек (рис. 333). Предположим,
что плоскости а и р не параллельны, т. е. пересекаются по
некоторой прямой с. Прямые а и & не пересекают с, так как
прямая с лежит в плоскости р, с которой а и & не имеют общих точек.
Лежат все эти прямые в одной плоскости а. Значит, а\\с и Ь\\с —
две пересекающиеся прямые параллельны третьей. Эта
противоречит аксиоме параллельности прямых. Итак, плоскости а и р не
могут пересекаться. Следовательно, они параллельны. Щ
Теорема 50. Параллельные плоскости пересекаются
секущей плоскостью по параллельным прямым.
Доказательство. Пусть плоскость у пересекает
параллельные плоскости а и р по прямым а и & (рис. 334). Докажем,
что а || Ъ.
Предположим, что прямые а и Ь не параллельны. Тогда они
пересекаются в некоторой точке Р, так как лежат в одной
плоскости у. Точка Р принадлежит прямым а и 6, значит, и плоскостям а
и р, в которых лежат эти прямые. Пришли к противоречию:
параллельные плоскости аир имеют общую точку Р. Итак, прямые
а и 6 не могут пересекаться. Они параллельны. Ц
Теорема 51. Отрезки параллельных прямых, заключенные
между параллельными плоскостями, равны.
Рис. 333
Рис. 334
195

Доказательство: Пусть
отрезки АВ и А\В\ параллельны, а их
концы лежат в параллельных плоскостях а
и р (рис. 335). Плоскость, проходящая
через прямые АВ и А\В\, пересекает
параллельные плоскости а и р по
параллельным прямым: АА\\\ВВ\. Кроме
того, по условию теоремы АВ\\А\В\.
Четырехугольник А ВВ\ А1 — параллелограмм.
Следовательно, АВ=А\В\. Щ
В параллельных плоскостях
размещают перекрытия этажей многоэтажных
зданий, стекла двойных окон, верхние грани лестничных
ступенек. Параллельны слои фанеры, пилы, распиливающие бревно на
доски (рис. 336), противоположные грани кирпича, швеллера,
двутавровой балки (рис. 337), губки слесарных тисков и др.
Рис. 335
1091. Известно, что две прямые, лежащие в плоскости а,
параллельны плоскости р. Следует ли из этого, что а||р?
1092. Плоскости аир параллельны. Докажите, что каждая
прямая плоскости а параллельна плоскости р.
1093°. Отрезки О А, О В и ОС не лежат в одной плоскости.
Докажите, что плоскость, проходящая через их середины,
параллельна плоскости ABC (рис. 338).
1094°. Две параллельные плоскости аир пересекают
сторону, АВ угла ABC в точках D и D\9 а сторону ВС
соответственно в точках Е и Е\. Найдите длину отрезка DE, если
BD=\2 см, BDi = 18 см, £>|£, = 54 см.
1095. Параллельны ли прямые АВ и А\В\, если параллельные
плоскости аир они пересекают в точках А, В, А\, В\> как
показано на рисунке 339?
1096. Прямая а параллельна плоскости а. Как через прямую
а провести плоскость, параллельную а?
Рис. 336
196

1097. Как через точку вне данной
плоскости провести плоскость,
параллельную данной плоскости?
Решение. В данной плоскости а
проведем какие-нибудь
пересекающиеся прямые а и Ъ (рис. 340). Через
данную точку А\ проведем параллельные
им прямые а\ и Ь\. Прямые а\ и Ь\
пересекаются, поэтому через них можно
провести плоскость р. По теоремам 48 и 49
плоскость р параллельна плоскости а.
Можно решить задачу и другим
способом, как показано на рисунке 338.
1098. Могут ли иметь равные длины
отрезки непараллельных прямых,
заключенные между параллельными
плоскостями?
1099. Плоскость у пересекает
плоскости а и р по параллельным прямым,
что плоскости аир параллельны?
1100*. Могут ли пересекаться плоскости аир, если каждая
из них параллельна плоскости у?
1101*. Докажите, что если прямая или плоскость пересекает
одну из двух параллельных плоскостей, то пересекает и другую.
1102. Плоскости аир пересекаются. Докажите, что любая
плоскость пространства пересекает хотя бы одну из
плоскостей а, р.
1103*. Докажите, что через две любые скрещивающиеся
прямые можно провести единственную пару параллельных плоскостей.
1104. Точка X делит ребро АВ куба ABCDA\B\C\D\ в
отношении АХ:ХВ = 2:3. Постройте сечение этого куба плоскостью,
Рис. 338
Следует ли из этого,
d
fi
^
<d
у
п
\
\
с*
*--^с
^-"'
лЧ
аЛ
1
1
а
Рис. 339 Рис. 340
197

параллельной плоскости А А \С\ и
проходящей через точку X. Найдите
периметр сечения, если АВ=а. ' .
1105. Равные треугольники ABC
и А\В\С\ размещены в плоскостях а
и £так, что прямые ААи ВВ\, СС%
параллельны. Следует ли из этого, что
плоскости аир параллельны?
1106. Если секущая плоскость
пересекает все шесть граней прямоугольного параллелепипеда,
то в сечении получается шестиугольник, противоположные
стороны которого попарно параллельны. Докажите.
1107. Каждая грань доски — прямоугольник (рис, 341).
Докажите, что, в каком бы направлении ни распиливали доску,
пересекая все ее продольные ребра, в сечении всегда будет
параллелограмм.
1108. ABCDEFA — неплоская замкнутая ломаная из шести
звеньев. Докажите, что если AB\\DE9 BC\\EF и CD\\FA, то
AB = DE, BC=EF и CD = FA.
1109- Точка А\ делит ребро РА тетраэдра РАВС в отношении
РА\:А\А = 2:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью,
параллельной плоскости ABC и проходящей через А\. Найдите
периметр и площадь сечения, если ABC — равносторонний
треугольник и АВ = 20 см.
1110*. Даны три параллельные плоскости а, аь а2 и прямые
а, 6, пересекающие их соответственно в точках Л, А\, А2 и В,
Ви В2* Докажите, что АА\:А\А2—ВВ\:В\В2.
1111*. ABCDA\B\C\D\—прямоугольный , параллелепипед,
АВ=ВС = а, К — середина ребра А\В\ и Z.KAC = a. Постройте
сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
Д, С, /С, и найдите его площадь. Вычислите при а=3,8 дм, а = 75°.
1112. Практическое задание. Сделайте из картона
или плотной бумаги модель к теореме 50.
§ 57. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
И ИЗОБРАЖЕНИЕ ФИГУР
Для изображения пространственных фигур в стереометрии,
как и в черчении, пользуются параллельным проектированием
(проецированием). Вспомним, что это такое.
Пусть даны плоскость со, пересекающая ее прямая I и
фигура F (рис. 342). Проведем через каждую точку фигуры F прямую,
параллельную /. Точки пересечения всех этих прямых с
плоскостью со образуют плоскую фигуру F\. Полученную таким
способом фигуру F\ называют параллельной проекцией фигуры F на
плоскость со при проектировании параллельно /. При этом
прямую / называют проектирующей прямой, плоскость со — плос-
198

костью проекций, а отображение F
на F\ — параллельным
проектированием фигуры F на плоскость о>.
Замечание. Так как никаких
других проекций, кроме
параллельных, в этой книге мы не
рассматриваем, далее будем их называть
просто проекциями, без слова
«параллельные*.
Проекция отрезка, параллельного
проектирующей прямой^— точка.
Большего внимания заслуживают
случаи проектирования отрезков, не
параллельных проектирующей
прямой.
Теорема 52 (о проекциях отрезков). Если проектируемые
отрезки не параллельны проектирующей прямой, то:
1) проекцией отрезка является отрезок;
2) параллельные отрезки проектируются в параллельные
отрезки или отрезки одной прямой;
3) длины проекций параллельных отрезков или отрезков
одной прямой относятся как длины проектируемых отрезков.
Доказательство*. 1) Все прямые, параллельные
проектирующей прямой / и пересекающие данный отрезок ABt
заполняют полосу се — часть плоскости, ограниченную
параллельными прямыми АА\ и ВВ^ (Почему?) Полоса а пересекает
плоскость проекций ю по отрезку А\В\. Этот отрезок — проекция
отрезка АВ на плоскость о> (рис. 343).
2) Пусть проектируемые отрезки АВ и CD параллельны. Все
пересекающие их прямые, параллельные /, заполняют полосы а
и р — части одной плоскости (рис. 344) или параллельных
плоскостей (рис. 345).
Полосы аир пересекают плоскость со соответственно по
отрезкам одной прямой или по параллельным отрезкам А\В\ и C\D\ —
проекциям данных отрезков на плоскость о>.
Рис. 343 Рис. 344
199

3) Если проектируемые отрезки АВ
и CD расположены на одной прямой
(см. рис. 343), то
AXBX:C\D\=AB:CD.
Если отрезки АВ и CD
параллельны, а их проекции А\В\ и C\D\
лежат на одной прямой (см. рис. 344),
то АВВ2А2 — параллелограмм. В этом
случае
A iBx: CxDi = A2B2: CD =AB: CD.
Наконец, если проекции А\В\ и C\D\
данных 'параллельных отрезков АВ и
CD не лежат на одной прямой (см.
рис. 345), то построим параллелограмм
CDKB. Его проекция —
параллелограмм C\D\K\B\. (Почему?) Значит,
AiBi:C{Di=AlB{:BlKi=AB:BK=AB:CD.
Итак, всегда
AXBX:C\D\=AB:CD,
т. е. длины проекций параллельных отрезков или отрезков одной
прямой относятся как длины проектируемых отрезков. Щ
Следствие. Проекцией середины отрезка является
середина его проекции.
Рассмотренные свойства параллельного проектирования
отрезков позволяют наглядно и с большей определенностью
изображать неплоские фигуры на плоскости. Изображением фигуры
называют любую плоскую фигуру, подобную проекции данной фигуры
на некоторую плоскость. Например, на рисунках 312 и 313 даны
изображения прямоугольного параллелепипеда и тетраэдра.
Из теоремы о проекциях отрезков следует, что треугольник,'
в том числе равносторонний, равнобедренный, прямоугольный,
можно изображать произвольным треугольником.
Параллелограмм, в том числе ромб, прямоугольник, квадрат, можно
изображать произвольным параллелограммом.
1113. Проекция фигуры — точка. Назовите эту фигуру.
1114. Могут ли быть параллельные прямые проекциями
непараллельных прямых?
1115. Отрезок а — проекция отрезка Ь. Всегда ли отрезок а
короче 6?
1116. Может ли ромб быть проекцией квадрата? а трапеции?
1117. Может ли неравнобедренная трапеция быть проекцией
равнобедренной трапеции? а наоборот?
Рис. 345
200

Рис. 346 Рис. 347
1118. Существует ли неплоская фигура, проекция которой —
отрезок?
1119. Пересекаются ли прямые АВ и CD, изображенные на
рисунке 346, если А\В\ и C\D\ — их проекции на плоскость а?
1120. Какой фигурой может быть проекция прямого угла?
1121. Треугольник А\В\С\— проекция треугольника ABC.
Постройте проекции средних линий и медиан треугольника ABC.
1122. Нарисуйте произвольную трапецию A\B\C\D\. Пусть
она — проекция некоторой равнобедренной трапеции ABCD.
Постройте проекцию высоты этой трапеции, проведенной из вершины В.
1123. Нарисуйте произвольный параллелограмм. Пусть он —
проекция ромба с углом 120°. Постройте проекцию высоты
ромба, проведенной из вершины этого угла.
1124. Докажите, что если АА\В\С\ — проекция ААВС и
плоскости этих треугольников параллельны, то AA\B\Ci = aABC.
Решение. Так как плоскости треугольников АВС и А\В\С\
параллельны (рис. 347), то заключенные между ними
параллельные отрезки ААи ВВ\9 СС\ равны (теорема 51). Значит,
четырехугольники АВВ\Аи АСС\А\ и ВСС\В\ — параллелограммы
(А\В\=АВ9 А\С\=АС, BiC\ = BC). По трем сторонам
треугольники АВС и А\В\С\ равны.
1125. Правильно ли, что плоская фигура равна своей проекции
только при условии, что она размещена в плоскости,
параллельной плоскости проекций?
Решение. Нет. Например, если ABCD — правильный
тетраэдр, а проектирующая прямая АВ, то грань BCD — проекция
грани ACD. Эти грани равны, хотя и не лежат в параллельных
плоскостях.
1126. Правильно ли, что если F\ — проекция плоской
фигуры F, то и F — проекция фигуры F\?
1127. Ребро куба ABCDA\B\C\D\ равно 6 см. Найдите площадь
201

проекции треугольника АВ\С: а) на плоскость грани ABCD при
проектировании параллельно прямой В\В\ б) на плоскость грани
АВВ\А\ при проектировании параллельно прямой СВ\ в) на
плоскость грани СВВ\С\ при проектировании параллельно прямой АВ.
1128*. РАВС — тетраэдр, площадь грани ЛВС равна Q.
Найдите площадь проекции его грани РВС на плоскость ABC при
проектировании: а) параллельно прямой РА\ б) параллельно
прямой РМ, где М — середина ребра АВ.
Глава XIII
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ
§ 58. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
ПРЯМЫХ
Введем сначала понятие «угол между прямыми в
пространстве». Если две пересекающиеся прямые образуют прямые углы*
говорят, что угол между этими прямыми равен 90°. Если
пересекающиеся прямые образуют острые и тупые углы, то за угол
между данными прямыми принимается мера острого угла.
Для введения понятия «угол между скрещивающимися
прямыми» нам понадобится следующая теорема:
Теорема 53. Если две пересекающиеся прямые
параллельны другим пересекающимся прямым, то угол между первыми
прямыми равен углу между вторыми прямыми.
Доказательство. Пусть пересекающиеся прямые а и 6,
угол между которыми <р, параллельны соответственно прямым а,\
и Ъ\% угол между которыми ерь Докажем, что <р = <ри
Если все данные прямые лежат в одной плоскости (рис. 348, а),
то по свойству накрест лежащих углов при параллельных
прямых ф = а = ф1г

Пусть прямые а и 6, пересекающиеся
в точке О, лежат в одной плоскости,
а прямые щ и Ь\9 пересекающиеся в
Оь—в другой (рис. 348,6). Отметим
на'прямых а, Ъ> ах и 6i точки Л, В, Ль
5i так, чтобы £АОВ = у, а
четырехугольники АА\0\0 и ВВ\0\0
оказались параллелограммами {ОА = OHi
и ОВ=ОхВ\). Тогда и четырехугольник
АА\В\В — параллелограмм, так как
отрезки АА\ и ВВ\ равны и параллельны
отрезку <)0\. Значит, АВ=А\В\,
&AOB=AAlOiBu откуда ЛАОВ =
= Z.4i0iBi, т. е. ф=ф1. Щ
Теперь введем понятие «угол между
скрещивающимися прямыми».
Пусть а и b — произвольные скрещивающиеся прямые. Через
любую точку О пространства проведем прямые, параллельные
а и b (рис. 349). Угол ф между так построенными пересекающимися
прямыми ^ и 6i называют углом между данными
скрещивающимися прямыми.
Этот угол не зависит от выбора сточки О: если через
какую-нибудь другую точку пространства, провести прямые,
параллельные прямым а и 6, то по доказанной теореме 53 угол
между ними тоже равен ф.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол
между пересекающимися прямыми, параллельными данным
скрещивающимся.
Угол между скрещивающимися прямыми, как и между
прямыми одной плоскости, не может иметь больше 90°. Угол
между параллельными или совпадающими прямыми считается
равным 0°.
Угол между прямыми а и b принято обозначать символом
/L(flb\ Как бы ни были расположены в пространстве прямые
а и 6, всегда
0°<Z(a6)<90o.
Замечание. Угол между прямыми — не угол, не фигура,
а угловая мера, величина.
Две прямые называют перпендикулярными, если угол между
ними равен 90°.
Перпендикулярными могут быть как пересекающиеся, так
и скрещивающиеся прямые. Например, если ABCDA\B\C\D\ —
куб, то каждая из прямых ABt ВС, CD, DA, А\В\, В\С\, C\D\,
D\A\ перпендикулярна прямой АА\ (рис. 350).
Отрезки (лучи) называют перпендикулярными, если они
принадлежат перпендикулярным прямым.
203

Bi
U.
rB
Рис. 350
Теорема 54. Если прямая перпендикулярна одной из двух
параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.
Доказательство. Пусть а\\Ь и h±a. Докажем, что
h±b (рис. 351).
Для этого через какую-нибудь точку О проведем прямые ОА,
ОВ и ОН, соответственно параллельные прямым а, Ъ и А. Так как
а\\Ь, то прямые ОА и ОВ совпадут, т. е. £НОВ=АНОА. Но
/.#ОЛ=90°, тогда и £НОВ=90°. А это значит, что h±b. Ц
Когда строят многоэтажный дом, то сначала возводят каркас,
в котором каждая горизонтальная балка перпендикулярна
вертикальной колонне (рис. 352). Под прямыми углами сваривают
стальные прутья в арматуре железобетонных конструкций,
скрепляют смежные детали оконной рамы и т. д.
1129. ABCDAxBxCxDx —куб. Найдите угол
ми АВх и ADx.
между прямы-
1130. ABCDAxBxCxDx — прямо-
i^ угольный параллелепипед. Найдите
' угол между скрещивающимися
прямыми ADx и ВхС9 если: a) /LBXCB =
= 50°; б) ВС = а, ВСх=2а.
1131. Сколько прямых,
перпендикулярных данной прямой, можно
провести через данную на этой пря-
[•£ мой точку? а через точку, не лежащую
на данной прямой?
1132. Даны плоскость а и
параллельная ей прямая а. Сколько
прямых, перпендикулярных прямой
а, можно провести в плоскости а?
1133. Даны четыре прямые: а\\ах
и Л || ft 1. Докажите, что если а ЛЬ, то
204

1134. Из планиметрии .известно: две прямые,
перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Правильно ли это
утверждение для стереометрии?
1135. Прямые а\ и Ь\ — проекции прямых а и Ь.
Перпендикулярны ли прямые а,\ и 6i, если aJLft? Перпендикулярны ли прямые
а и Ь, если ai-L&i?
1136. Могут ли быть перпендикулярными прямые ОВ и ОС,
если Z.4OB=Z4OC=60°?
1137*. Прямые а и Ь пересекаются под углом 30°, а прямые
а и с — под углом 40°. Могут ли быть перпендикулярными
прямые бис?
1138. Существует ли замкнутая неплоская ломаная из пяти
звеньев, каждое звено которой перпендикулярно смежному?
1139. ABCDA\BXC\D\ — куб. Докажите, что ABX±CD\.
1140. Л, В, С — точки на попарно перпендикулярных
лучах ОА, ОВ, ОС. Найдите углы ДЛВС, если ОА = ОВ = ОС.
1141. Лучи О А, ОВ, ОС попарно перпендикулярны. Найдите
периметр треугольника ABC, если: а) ОА = ОВ = ОС = 4 см;
б) ОА = ОВ = ОС = а; в) ОЛ = ОВ = 3 дм, ОС = 4 дм.
1142. Точки К и М — середины ребер АВ и CD правильного
тетраэдра ABCD. Докажите, что КМ ЛАВ и KM JL CD., Найдите
длину КМ, если АВ = а.
1143. Докажите, что прямая, перпендикулярная двум
пересекающимся прямым, пересекает проходящую через них плоскость.
Решение. Пусть прямая А перпендикулярна
пересекающимся прямым а и Ъ (рис. 353). Предположим, что А не пересекает
проходящую через них плоскость а. Тогда А||а или Аса. В обоих
случаях в плоскости а найдется прямая h\, параллельная А. И если
прямая А перпендикулярна прямым а и Ъ, то параллельная ей
прямая Ai тоже перпендикулярна этим прямым. Пришли к
противоречию, так как прямая, лежащая в плоскости, не может быть
перпендикулярной двум пересекающимся прямым этой же
плоскости. Значит, прямая А пересекает плоскость а.
1144*. Три стержня приварены друг к другу в их серединах
так, что каждый перпендикулярен двум другим. Можно ли такой
«еж» протащить через люк диаметром 1,8 м, если длина и толщина
каждого стержня равны соответственно 2 м и 0,1 м (рис. 354)?
^1 ^-^ 1Л
Рис. 353 ' Рис. 354
205

§59. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она
пересекает плоскость. Пусть прямая АО пересекает плоскость а
в точке О, а прямые 05, ОС, 0D,... лежат в плоскости а (рис. 355).
Углы АО В, АОС, AOD, ... могут быть разными. Заслуживает
внимания случаи, когда все они прямые. В этом случае говорят,
что прямая АО перпендикулярна плоскости а. Пишут: ДО±а,
или aJLAO.
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она
пересекает эту плоскость и перпендикулярна любой прямой,
лежащей в плоскости и проходящей через точку пересечения.
Теорема 55 (признак перпендикулярности прямой и
плоскости). Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна
двум прямым этой плоскости, проходящим через точку
пересечения, то она перпендикулярна плоскости.
Доказательство. Пусть прямая АО, пересекающая
плоскость а в точке О, перпендикулярна прямым ОВ и ОС этой
плоскости (рис. 356). Докажем, что прямая АО
перпендикулярна любой прямой 0Х9 лежащей в плоскости а. Для этого проведем
произвольную прямую, пересекающую прямые ОВ, ОС и ОХ в
точках В, С и X. А на прямой О А в разные стороны от О отложим
равные отрезки ОА и ОМ, Соединив отрезками точки А и М
с точками В, С, X, получим несколько пар треугольников.
Треугольники АВМ и АСМ равнобедренные, так как их медианы
ВО и СО являются и высотами. Значит, АВ = ВМ и АС = СМ.
Треугольники ABC и,МВС равны по трем стородам, поэтому £АВС =
= Z-MBC. Равны и треугольники АВХ и МВХ по двум сторонам
и углу между ними. Следовательно, АХ=МХ. Так как
треугольник АХМ равнобедренный, то его
медиана ХО является и высотой,
т. е. АО±ХО. Ц
Доказанную теорему можно
обобщить. На основании теоремы 54
прямую АО можно заменить любой
Рис. 355
Рис. 356
206

Рис. 357 Рис. 358
прямой КР, параллельной ей, а прямую ОХ — любой прямой EF,
лежащей в плоскости а и параллельной ОХ (рис. 357). Стоит
также учесть, что прямая, перпендикулярная двум пересекающимся
прямым, обязательно пересекает проходящую через них плоскость
(см. задачу 1143). Поэтому можно считать доказанными
следующие утверждения:
Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым,
перпендикулярна плоскости, проходящей через эти прямые.
Прямая, перпендикулярная плоскости* перпендикулярна любой
прямой, лежащей в этой плоскости.
Следствие. Если прямая перпендикулярна двум сторонам
треугольника, то она перпендикулярна и третьей его стороне
(рис. 358).
Теорема 56. Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна
этой плоскости.
Доказательство. Пусть а\\а,\ и aJLa. Докажем, что
ai±a (рис. 359). Так как a±a, то в плоскости а найдутся
пересекающиеся прямые бис, перпендикулярные а. Так как Ъ и с
перпендикулярны прямой а, то по теореме 54 они
перпендикулярны и прямой а\% параллельной а. Значит, прямая а,\
перпендикулярна пересекающимся прямым Ь и с плоскости а, т. е. aiJLa. И
Рис. 359 Рис. 360
207

Теорема 57 (обратная). Две прямые, перпендикулярные
одной плоскости, параллельны.
Доказательство. Пусть a_La и 6J_a. Докажем, что
а||Ь (рис. 360). Предположим, что прямые а и 6 не параллельны.
Тогда через какую-нибудь точку М прямой а проведем прямую щ%
параллельную Ь. Так как ftJ_a, то и ai_La (теорема 56). А по
условию a-La. Если А и В — точки пересечения прймых а и а\
с плоскостью а, то из предположения следует, что в АМАВ два
прямых угла. Этого не может быть. Значит, прямые а и Ь
параллельны. Щ
Отрезок (луч) называется перпендикулярным плоскости, если
он лежит на прямой, перпендикулярной данной плоскости.
1145. ABCDA\B\C\D\ — прямоугольный параллелепипед.
Укажите прямые, перпендикулярные плоскости грани АВВ\А\.
1146. Прямая h перпендикулярна прямым а и Ь плоскости а.
Следует ли из этого, что прямая h перпендикулярна плоскости а?
1147. Сколько плоскостей, перпендикулярных данной прямой,
можно провести через данную точку?
1148. Сколько прямых, перпендикулярных данной плоскости,
можно провести через данную точку? а отрезков?/'
1149. Прямая а перпендикулярна плоскости огГКак
расположены относительно плоскости а прямые, перпендикулярные
прямой а?
1150. Прямая а перпендикулярна плоскости а. Существуют ли
в плоскости а прямые, не перпендикулярные прямой а?
1151. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через
середину его ребра перпендикулярно этому ребру. Найдите
площадь сечения, если ребро куба равно а.
1152. Расстояния от точки М до всех вершин квадрата
равны, точка О — центр квадрата. Докажите, что прямая МО
перпендикулярна плоскости квадрата.
1153. Плоскость а перпендикулярна катету АС
прямоугольного треугольника ЛВС и делит его в отношении АА\:А\С = пг:п.
В каком отношении плоскость а делит гипотенузу ЛВ?
1154. Прямые АА\ и ВВ\, перпендикулярные плоскости а,
пересекают ее в точках А\ и B\t а прямая АВ — в точке С. Найдите
расстояние BiC, если АА\ = 12 см, AiB\=BB\=3 см.
1155. ABCDA\B\C\D\ — куб. Докажите, что прямая АС
перпендикулярна плоскости, проходящей через точки В, В\9 D\.
1156. Постройте сечение правильного тетраэдра ABCD
плоскостью, перпендикулярной ребру АВ и проходящей через середину
этого ребра. Найдите площадь сечения, если ЛВ=12 см.
1157. Докажите, что если прямая перпендикулярна плоскости,
то она перпендикулярна любой прямой, параллельной этой
плоскости.
1158. Докажите, что две плоскости, перпендикулярные одной
и той же прямой, параллельны.
208

/
1159*. Докажите, что две прямые,
перпендикулярные параллельным
плоскостям, параллельны. Могут ли быть
параллельны прямые,
перпендикулярные двум пересекающимся
плоскостям?
1160*. Через данную точку
проведите прямую, перпендикулярную данной
плоскости.
1161. Докажите, что
геометрическим местом точек, равноудаленных
от концов отрезка АВ, является
плоскость, перпендикулярная данному
отрезку и проходящая через его
середину.
Решение. Пусть плоскость а
перпендикулярна отрезку АВ и прохо- рис 361
дит через его середину О (рис. 361).
Точка О равноудалена от Л и В. Если М — любая иная точка
плоскости а, то А МО А = A MOB (по двум катетам). Поэтому МА—МВ.
Как видим, каждая точка плоскости а равноудалена от концов
отрезка АВ.
Если точка К не лежит в плоскости а, а находится,
например, с точкой В по разные стороны от а, то отрезок KB
пересекает плоскость а в такой точке Р, что РА=РВ. Тогда ВК=
= ВР + РК=АР + РК>АК. Значит, ВКфАК. Итак, только
точки плоскости а равноудалены от концов отрезка АВ.
1162*. Точка О — центр квадрата ABCD, прямая ОМ
перпендикулярна его плоскости. Докажите, что отрезки MA, MB, MC
и MD равны.
1163*. Найдите геометрическое место точек пространства, рав^
ноудаленных от всех вершин квадрата.
1164. Треугольник ABC равносторонний, а отрезок AM
перпендикулярен его плоскости. Найдите периметр и площадь
треугольника MBCt если: а) ДВ = Зсм, АМ=А см; б) АВ=АМ = с.
1165*. Периметр равностороннего треугольника ABC равен 2р,
а отрезки АА\ и ВВ\ перпендикулярны плоскости этого
треугольника. Найдите периметр, площадь и косинусы углов
треугольника А\В\С, если АВВ\А\ — квадрат.
§ 60. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ К ПЛОСКОСТИ
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную
плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной
плоскости, заключенный между данной точкой и плоскостью.
Например, если прямая АС перпендикулярна плоскости а и
пересекает ее в точке С, то отрезок АС — перпендикуляр,
опущенный из точки Л на плоскость а. Точка С — основание
перпендикуляра (рис. 362).
209

Рис. 362 Рис. 363
Если АС — перпендикуляр к плоскости а, а В — отличная
от С точка этой плоскости, то отрезок АВ называют наклонной,
проведенной из точки А к плоскости а. Точка В — основание
наклонной, а отрезок С В — проекция наклонной АВ на
плоскость а.
Заметим, что здесь речь идет о прямоугольной проекции
наклонной. Такие проекции получают при условии, что все
проектирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций.
Прямоугольное проектирование — один из видов параллельного
проектирования; поэтому для него остаются в силе все свойства,
рассмотренные в § 57. В геометрии, как и в черчении,
прямоугольное проектирЬвание является основным. И дальше, говоря
о проекциях, мы будем иметь в виду только прямоугольные
проекции.
Теорема 58 (о трех перпендикулярах). Прямая,
проведенная на плоскости перпендикулярно проекции наклонной,
перпендикулярна этой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости
перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции
наклонной.
Доказательство. Пусть АС и АВ — перпендикуляр
и наклонная к плоскости а (рис. 363). Если прямая КР лежит в
плоскости а, то KP-LAC. Если, кроме того, прямая КР
перпендикулярна ВС или АВ, то она перпендикулярна плоскости
треугольника ABC (следствие из теоремы 55), а значит, и прямой
АВ или ВС. Итак,
если KP-LBC, то КР±АВ;
если КР±АВ, то КР±ВС. Ц
Из приведенного доказательства следует, что если прямая КР
не перпендикулярна ВС, то не перпендикулярна и АВ. Поэтому
теорему можно сформулировать и одним предложением: Прямая,
лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только
тогда, когда эта прямая перпендикулярна проекции наклонной.
210

Ее называют теоремой о трех перпендикулярах, имея в виду
перпендикуляры: АС±а, ВС±КР, АВ±КР.
Теорема 59. Если из одной и той же точки/ взятой вне
плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и
наклонные, то:
1) две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
2) из двух наклонных та больше, проекция которой больше;
3) перпендикуляр короче любой наклонной.
Доказательство. Пусть АС — перпендикуляр, а АВ,
Л/С, АР — наклонные к плоскости а (рис. 364).
1) Если СВ = СК, то ААСВ= аАСК (по двум катетам).
Значит, АВ=АК.
2) Из прямоугольных треугольников АСВ и АСР имеем
АВ=-у/АС2 + СВ\ AP=^/AC2 + CP2.
Следовательно, если СВ<СР, то АВ<АР.
3) Перпендикуляр ЛС —катет, а любая наклонная АВ —
гипотенуза треугольника ABC. Поэтому АС<АВ. Ц§
Длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость,—
расстояние от точки до плоскости. Заметим, что под расстоянием
между двумя любыми геометрическими фигурами понимают
расстояние между их ближайшими точками (если такие
существуют) . В соответствии с этим общим определением за расстояние
между параллельными плоскостями принимают длину
перпендикуляра, опущенного/из любой точки одной плоскости на
другую. За расстояние между скрещивающимися прямыми — длину
отрезка с концами на этих прямых, являющегося
перпендикуляром к каждой из них (рис. 365).
Примеры материальных моделей перпендикуляров к плоскости:
столб, телевизионная вышка, установленные перпендикулярно
плоскости горизонта. Перпендикулярно этой плоскости обычно
забивают сваи, бурят скважины, проходят шахтные стволы, за-
Рис. 364
Рис. 365
211

пускают космические аппараты. Только поднявшись на
определенную высоту, ракета-носитель отклоняется в нужном
направлении.
1166. Из точки А проведены к одной и той же плоскости
перпендикуляр АС=40 см и наклонная АВ = 50 см. Найдите
длину проекции наклонной.
1167. Из одной и той же точки под углом ср друг к другу
проведены перпендикуляр и наклонная длины /. Найдите длину
перпендикуляра.
1168. В каких случаях отрезок равен своей прямоугольной
проекции?
1169. ABCDA\B\C\D\ — куб. Найдите угол между прямыми
АС\ и BD.
1170. ABCDA\B\C\D\ — прямоугольный параллелепипед,
AC\JLBD. Докажите, что грань ABCD — квадрат.
1171. МА — перпендикуляр к плоскости равностороннего
треугольника ABC, К — середина стороны ВС. Докажите, что
МК±ВС.
1172. MB — перпендикуляр к плоскости прямоугольника
ABCD. Докажите, что треугольники AMD и MCD
прямоугольные.
1173. МЛ — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD,
Z.BAD = 60°. Постройте высоту МН треугольника MCD.
Решение. Высота, которую требуется построить,—
перпендикуляр к прямой CD (рис. 366). По теореме о трех
перпендикулярах AH±CD. Так как Z.ADH = 60°, то Z. HAD = 30° и
точка Н должна лежать на прямой CD вне отрезка CD так, что
HD=0,5CD. Построив точку Я, проводим отрезок МН. МН
является высотой AMCD.
1174. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая AM,
перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки
М до прямых ВС, CD и BD, если МА=АВ = а и ААВС=120°.
1175. AM — перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD.
Найдите расстояние от точки М до прямых АВ, ВС и BD, если
АВ = Ъ дм, МВ = 4 дм.
1176. Через середину отрезка АВ
проведена плоскость. Докажите, что
расстояния от точек Л и В до данной
плоскости равны.
1177. Через одну диагональ
параллелограмма проведена плоскость.
Докажите, что концы другой диагонали
одинаково удалены от этой плоскости.
1178. Концы отрезка, не пересе-
_ кающего плоскость, удалены от нее
И D С на 7 см и 13 см. Как удалена от пло-
Рис. 366 скости середина отрезка?
212

1179. Точки С и D, делящие отрезок АВ на три равные части,
отстоят от плоскости на 4 см и 8 см. Как удалены от плоскости
концы отрезка?
1180. Отрезок длины а пересекает плоскость, а его концы
удалены от нее на Ъ и с. Найдите длину проекции отрезка на
плоскость.
1181. Плоскость а проходит через сторону АВ
параллелограмма ABCD и удалена на d от точки пересечения его
диагоналей. Найдите расстояние от прямой CD до плоскости а.
1182. Вершины Л, В, С квадрата ABCD отстоят от плоскости,
не пересекающей его, на 13 м, 14 м и 17 м. Как отстоят от
плоскости центр квадрата и вершина D?
1183. Вершины треугольника отстоят от плоскости, не
пересекающей его, на 6 м, 8 м и 10 м. Найдите расстояние от точки
пересечения медиан треугольника до плоскости.
1184. К плоскости треугольника из центра вписанной в него
окружности радиуса г восставлен перпендикуляр длины А.
Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон
треугольника.
1185*. Из точки к плоскости проведены две наклонные,
равные 17 м и 10 м. Разность проекций этих наклонных 9 м.
Найдите расстояние от данной точки до плоскости.
1186. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите
расстояние от его вершины до противоположной грани.
Решение. Пусть РАВС — правильный тетраэдр, ЛВ = а и
РО — перпендикуляр к плоскости ABC (рис. 367). Так как
треугольники РОЛ, РОВ, РОС равны по катету и гипотенузе, то
ОА = ОВ = ОС. Значит, О — центр окружности, описанной около
правильного А АВС. Тогда
ОА=±9 РО=-у/РА*-ОА2= -л/а2-^=#а.
уз V з з
Ответ. Зг- а.
о
1187. Расстояние между двумя
параллельными плоскостями равно 40 см.
Отрезок длины 50 см своими концами
упирается в эти плоскости. Найдите
длины проекций отрезка на каждую из
плоскостей.
1188. Два отрезка, длины которых С
13 дм и 37 дм, упираются концами в
две параллельные плоскости.
Проекция меньшего из них на плоскость
равна 5 дм. Найдите длину проекции
большего отрезка.
В
Рис. 367
213

ill
1189. Задача с неожиданном
ответом. На книжной полке стоит
трехтомник (рис. 368). Толщина каждой книги
40 мм, а книги без переплета 35 мм.
Найдите расстояние от первой страницы первого
тома до последней страницы третьего тома.
1190. Ребро куба а. Найдите расстояние
между скрещивающимися диагоналями его
противоположных граней.
1191. Ребро правильного тетраэдра а.
Найдите расстояние между его
противоположными ребрами.
1192. Из вершины А прямоугольника ABCD восставлен
перпендикуляр АН к его плоскости. Найдите длину этого
перпендикуляра, если его конец Н удален от вершин Я, С и D на
расстояния 5 м, 11 м и 10 м.
Рис. 368
§ 61. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Выше мы рассмотрели три случая расположения прямой и
плоскости: 1) прямая лежит в плоскости; 2) прямая лараллельна
плоскости; 3) прямая перпендикулярна плоскости. Остается
исследовать случай, когда прямая пересекает плоскость, но не
перпендикулярна ей. Такие прямые могут быть наклонены к
плоскости под разными углами.
Что понимают под углом между прямой и плоскостью?
Если прямая параллельна плоскости или принадлежит ей, угол
между такой прямой и плоскостью считается равным 0°. Если
прямая перпендикулярна плоскости, угол между ними равен 90°.
В остальных случаях углом между прямой и плоскостью
называют угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Если ф — угол между прямой и плоскостью, то 0°^<р^90°.
Пример. Пусть ABCDAiBiCiDx — куб (рис. 369). Под
какими углами наклонены к плоскости его грани ABCD прямые
АВХ и АС{>
Проекции отрезков АВ\ и АС\ на плоскость грани ABCD —
отрезки АВ и АС. Поэтому искомые
углы: <pi = Z.Bw4B и ф2= АС\АС;
ф1=45°, так как ААВВ{
прямоугольный и равнобедренный; tg<p2=~~s»=
=-L« 0,707, откуда ф2«35026'.
Углом между наклонной и
плоскостью называют угол между наклонной и
ее проекцией яа данную плоскость.
Если ф — угол между наклонной и
плоскостью, то 0°<ф<90°.
Рис. 369
214

Рис. 370 Рис 371
Теорема 60. Угол между наклонной и плоскостью —
наименьший из всех углов, которые наклонная образует с прямыми,
проведенными на плоскости через основание наклонной.
Доказательство. Пусть АВ — наклонная, АС —
перпендикуляр к плоскости со, ВМ — любая,- отличная от ВС
прямая плоскости со, ЛАВМ — угол между прямыми АВ и ВМ.
Докажем, что AABC<Z.ABM (рис. 370).
Если прямые ВМ и ВС не перпендикулярны* то опустим
перпендикуляр СМ на ВМ и проведем отрезок AM. По теореме о трех
перпендикулярах AM JL MB. Следовательно,
sin ЛАВС=^У
sin ААВМ=У£.
АВ
Так как АС<АМ> то sin Z.ABC<sin /LABM.
Рассматриваемые углы не превышают 90°, поэтому Z.ABC< AABM.
Если ВМ±ВС, то по теореме , о трех перпендикулярах
Z.ABAI=90o. Угол ABC меньше 90°. Значит, и в этом случае
/LABC<AABM. Ц
Понятие «угол между прямой (наклонной) и плоскостью»
используется многими, специалистами. Под определенными углами
к плоскости горизонта сооружают эскалаторы на станциях
метро, шахтные уклоны, фуникулеры, наклонные мосты доменных
печей и многие другие сооружения. Под разными углами к
плоскости аэродрома взлетают самолеты. Артиллеристы
различают: угол возвышения — между линией выстрела и горизонтом,
угол места цели — между линией цели и горизонтом, угол
падения, угол встречи и т. д.
Угол между прямой и горизонтальной плоскостью геодезисты и
маркшейдеры измеряют эклиметрам (рис. 371). В его
цилиндрическом корпусе при нажатой кнопке свободно вращается и
устанавливается по отвесу градуированный диск. Если кнопку
отпустить, диск закрепляется и на его шкале можно прочитать
градусную меру измеряемого угла. Если требуется большая
точность, такие углы измеряют теодолитами (см. рис. 26).
215

1193. Сколько прямых, пересекающих данную плоскость под
углом 50°, можно провести через данную точку?
1194. Прямая АВ с плоскостью а образует угол 60°. Найдите
длину проекции наклонной АВ на плоскость а, если АВ равна
48 см.
1195. Длина наклонной АВ равна 50 см, а точка А удалена от
плоскости на 25 см. Найдите угол между наклонной и плоскостью.
1196. ABCDA\B\C\D\ — прямоугольный параллелепипед,
измерения которого АВ = a,AA\ = b,AD = c. Найдите тангенсы углов
наклона прямых ABU AD\9 AC\ к плоскости грани ABCD.
1197. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух
параллельных плоскостей под углом <р, то и другую плоскость
она пересекает под таким же углом.
1198. Докажите, что параллельные прямые наклонены к одной
и той же плоскости под равными углами. Правильно ли
обратное утверждение?
1199. Определите толщину т угольного пласта, если
вертикальная скважина наклонена к нему под углом <р=72° и проходит
по углю расстояние А=2,50 м (рис. 372).
1200. На какой глубине находится станция метро, если ее
эскалатор длиной 85 м наклонен к плоскости горизонта под
углом 42°?
1201. Одна из двух прямых, пересекающихся под углом 50°,
перпендикулярна некоторой плоскости. Докажите, что и другая
прямая пересекает эту плоскость. Найдите угол между второй
прямой и плоскостью.
1202. Найдите угол между скрещивающимися прямыми, если
одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая
пересекает эту плоскость под углом ф (рис. 373).
1203. АН — перпендикуляр к плоскости треугольника ABC,
АВ=АС. Докажите, что наклонные НВ и НС с плоскостью
данного треугольника образуют равные углы.
1204. Из точки, удаленной от плоскости на 8 дм, проведены
две наклонные под углом 45° к плоскости. Найдите расстояние
Рис. 372 Рис. 373
216

меЖДУ их основаниями, если угол
между проекциями наклонных 120°.
1205. Если один из катетов
равнобедренного прямоугольного
треугольника лежит в плоскости а, а другой
образует с ней угол 45°, то угол между
гипотенузой и плоскостью 30°. Докажите.
Решение. Пусть ABC —
треугольник, у которого ZАСВ=90°, рис. 374
ЛС=СВ, а АО — перпендикуляр к
плоскости а, проходящей через ВС
(рис. 374). Докажем, что если AACO=45°f то Z.АВО=30°.
Пусть AC=at тогда BC=a, A0=-2=, AB = a-fi, sin AABO =
л/2
^42=^:0-^=4-. Значит, ААВО = 30°.
АВ V2 2
1206. Сторона квадрата ABCD равна 6 см, точка М находится
на расстоянии 6 см от каждой из его вершин. Найдите угол между
прямой МА и плоскостью квадрата.
1207°. Из центра О правильного треугольника ABC со
стороной 12-^3 дм восставлен перпендикуляр ОМ. Угол наклона
прямой AM к плоскости треугольника равен 60°. Найдите длину
отрезка AM.
1208. Плоскость р проходит через вершины В и D
ромба ABCD. Докажите, что прямые АВ, С5, AD и CD образуют
с плоскостью р равные углы.
1209. Из# одной точки к плоскости проведены две равные
наклонные. Угол между ними 60°, а между их проекциями 90°.
Найдите углы между наклонными и плоскостью.
1210*. Из одной точки проведены к плоскости две
наклонные, проекции которых равны 4,5 ми 1,5 м. Найдите длины
наклонных, если одна из них образует с плоскостью угол, в 2 раза
больший, чем другая.
§ 62. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ
Сначала введем понятие «угол между плоскостями».
Пусть аир — плоскости, пересекающиеся по прямой с
(рис. 375). Проведем в этих плоскостях прямые а и 6,
перпендикулярные прямой с. Пусть угол между ними Z.(aft)=ср. Если в
данных плоскостях провести какие-нибудь другие прямые а,\ и Ь\,
перпендикулярные с> угол между ними будет такой же: А(а\Ь\) = <р
(теорема 53). Поэтому можно принять следующее определение.
Углом между пересекающимися плоскостями называется угол
между прямыми, проведенными в этих плоскостях
перпендикулярно линии их пересечения. Если плоскости параллельны, угол
между ними считается равным 0°.
217

Рис. 375 Рис. 376
Угол между плоскостями аир обозначают Z-(aP). Он
может принимать значения в таких же пределах, как и угол между
прямыми: 0°<Z(ap)<90°.
Две плоскости называются перпендикулярными, если угол
между ними равен 90°.
Теорема 61 (признак перпендикулярности плоскостей).
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую,
перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство. Пусть плоскость р проходит через
прямую 6, перпендикулярную плоскости а (рис. 376). Докажем»
что P-La.
Прямая Ь пересекает плоскость а в некоторой точке О. Эта
точка общая для плоскостей аир. Значит, данные плоскости
пересекаются по прямой с, проходящей через точку О. Проведем в
плоскости а через точку О прямую а, перпендикулярную с. Так
как прямые а к с лежат в плоскости а и feJLa, то Ь±а и 6JLc.
Кроме того, aJLc. Значит, Z.(aP)=Z.(afr)=90Q, т. е. pJLa. Ц
Теорема 62. Прямая, проведенная в одной из двух
перпендикулярных плоскостей перпендикулярно прямой их пересечения,
перпендикулярна другой плоскости.
Доказательство. Пусть перпендикулярные плоскости a
и р пересекаются по прямой сив плоскости р проведена
прямая 6, перпендикулярная с (см, рис. 376). Докажем, что &J_a.
Для этого проведем в плоскости а прямую а,
перпендикулярную прямой с. Каждая из прямых а и Ь перпендикулярна с —
прямой пересечения плоскостей аир. Значит, угол между прямыми
а и Ь равен углу между плоскостями а и Р, т. е. 90°. Итак,
прямая Ь перпендикулярна пересекающимся прямым а и с
плоскости а. Следовательно, 6Ха. Щ
Под разными углами к горизонтальной плоскости бывают
наклонены угольные пласты, стены каналов, откосы насыпей,
скаты крыш и т. д. В перпендикулярных плоскостях
расположены смежные грани кирпича, бруска, швеллера, многих столяр-
218

ных изделий (рис. 377), стена и пол,
стена и потолок комнаты. Теорему 61 можно
иллюстрировать следующим наглядным
примером: если прямая, проходящая
через центры дверных петель,
перпендикулярна плоскости пола, то, как бы ни
поворачивали дверь, ее плоскость будет
перпендикулярна плоскости пола.
1211. Сколько плоскостей,
пересекающих данную плоскость под углом 50°,
можно провести через данную точку?
1212. Даны плоскость а и
параллельная ей прямая а. Сколько плоскостей,
пересекающих плоскость а под данным
углом ф, можно провести через прямую а?
1213. Как через прямую, пересекаю- Рис. 377
щую плоскость а под углом ф, провести плоскость, пересекающую
плоскость а тоже под углом ф?
1214. Прямая а пересекает плоскость а под углом 45°.
Можно ли через прямую а провести плоскость, пересекающую
плоскость а под углом 30°? а под углом 60°?
1215. Можно ли через две перпендикулярные прямые
провести плоскости, пересекающиеся под углом 30°? а под любым
наперед заданным острым углом?
1216. Квадраты ABCD и ABC\D\ лежат в плоскостях, угол
между которыми 60°. Найдите расстояние между их центрами,
если АВ=2т.
1217. Докажите, что плоскость, пересекающая одну из двух
параллельных плоскостей под углом ф, пересекает и другую под
углом ф.
1218. Сколько пар перпендикулярных плоскостей можно
провести через данную прямую?
1219. Сколько пар перпендикулярных плоскостей можно
провести так, чтобы каждая из. них содержала одну из двух данных
параллельных прямых?
1220. Как через данную прямую провести плоскость,
перпендикулярную данной плоскости? Рассмотрите все возможные
случаи.
1221. Можно ли через прямую а, перпендикулярную плоскости
а, провести плоскость, не перпендикулярную а?
1222. Правильно ли, что плоскость, перпендикулярная одной из
Двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой?
1223. Правильно ли, что две плоскости, перпендикулярные
третьей плоскости, параллельны?
1224. Три луча, исходящие из одной точки, образуют три
острых угла: а, р, у. Докажите, что если плоскости углов аир
перпендикулярны, то cos а •cos p=cos у.
219

Рис. 378
Рис. 379
Решение. Пусть Z.(ftc) = a, Z.(ca) = p, Z.(ab) = y (рис. 378).
Из произвольной точки А луча а опустим перпендикуляры АС
на луч с и АВ на луч Ъ. Так как плоскости углов аир
перпендикулярны по условию, то СВ — проекция АВ на плоскость угла а.
По теореме о трех перпендикулярах CBJL6. Значит,
треугольники АСО, СВО и АВО прямоугольные. Поэтому
cos a • cos p =
во
со
со
АО
=4£=cosY.
АО г
1225. Плоскости квадратов ABCD и ABC\D\ перпендикулярны,
АВ = а. Найдите: а) расстояние СС\\ б) расстояние C\D\ в) угол
между диагоналями АС и АС\.
1226°. Точка А находится на расстояниях 12 см и 5 см от двух
перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки
до линии пересечения плоскостей.
1227. Из точек Л и В, лежащих в перпендикулярных
плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую CD
пересечения этих плоскостей. Найдите длину АВ, если АС = а, CD=b,
BD = c.
1228*. Плоскости a, p, у попарно перпендикулярны.
Докажите, что и прямые, по которым они пересекаются, попарно
перпендикулярны.
1229. Каждая из трех попарно перпендикулярных плоскостей
проходит через точку О. Точка А удалена от этих плоскостей на
90 см, 120 см и 80 см. Найдите расстояние О А.
Решение. Пусть АА\ =80, АА2 = 90 и ЛЛ3==120 —
расстояния от данной точки А до плоскостей a, p и у (рис. 379).
Плоскость, проходящая через точки At A \ и Л 2, пересекает прямую
пересечения плоскостей а и р в такой точке Z, что четырехугольник
'AA\ZA2 — прямоугольник. Четырехугольник AA$OZ тоже
прямоугольник. По теореме Пифагора
О A ^AAi+AZ2^AAi+AA^+M'i^l202+902 + 802 = 170.
220

Ответ. 170 см.
1230. Практическое задание. Сделайте из картона и
проволоки модель к теореме 61.
§ 63. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ
Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости.
Если эти полуплоскости «согнуть», как лист бумаги, относительно
линии их разбиения, то они составят двугранный угол (рис. 380).
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя
полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.
Полуплоскости, образующие двугранный угол, называют гранями, а
ограничивающую их прямую — ребром двугранного угла.
Проведем из какой-нибудь точки С ребра двугранного
угла в его гранях лучи С А и СВ, перпендикулярные ребру (рис. 381).
Угол АСВ, образованный этими лучами, называют линейным
углом данного двугранного угла. Можно сказать и так: линейный
угол двугранного угла — это угол, образованный пересечением
данного двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его
ребру.
Мера линейного угла не зависит от выбора его вершины на
ребре двугранного угла. Ведь, если построить какой-нибудь
другой линейный угол А\С\В\ данного двугранного угла, по теореме 53
он будет равен углу АСВ, так как С\А\\\СА и С\В\\\СВ.
Поэтому за меру двугранного угла принимают меру его линейного
угла.
Двугранные углы можно сравнивать. Тот из двух
двугранных углов считается большим, линейный угол которого больше.
Двугранный угол называют острым, прямым или тупым в
зависимости от того, острый, прямой или тупой его линейный угол.
Не следует отождествлять меру двугранного угла с углом
между плоскостями. Угол между плоскостями может изменяться в
пределах от 0 до 90°, а мера двугранного угла — от 0 до 180°.
Вместо «двугранный угол, мера которого а» нередко
говорят короче: «двугранный угол а». В таких случаях под
двугранным углом понимают и определенную фигуру, и соответ-
Рис. 380
Рис. 381
221

Рис. 382 Рис. 383
ствующую ей величину. Простейшими материальными моделями
двугранного.угла являются кромки режущих инструментов: зубил»
стамесок, резцов для токарных станков и т. д. Они бывают более
или менее острыми. Например, слесарное зубило для обработки
алюминиевых сплавов затачивают под углом 35°, для латуни —
45°, для стали — 60° и более. Измеряют такие двугранные углы
с помощью шаблонов (рис. 382), а если требуется высокая
точность, то специальными угломерами (рис. 383).
1231. Угол между двумя плоскостями 47°. Найдите градусные
меры двугранных углов, образованных пересечением этих
плоскостей.
1232. Дан двугранный угол, мера которого 60°. Точка Л,
лежащая в одной из его граней, удалена на 12 см от другой. Найдите
расстояние от точки А до ребра двугранного угла.
1233. Двугранный угол равен 45°. Точка В, лежащая в одной
из его граней, удалена от ребра на 8 дм. Найдите расстояние от
точки В до другой грани.
1234. На изображении правильного тетраэдра постройте
изображение линейного угла одного из его двугранных углов.
1235. Точка А удалена от граней прямого двугранного угла на
3 дм и 4 дм. Найдите расстояние от точки А до ребра
двугранного угла.
1236. Двугранный угол равен 60°. Из точки С на его ребре в
гранях проведены перпендикулярные ребру отрезки: СД = 3,5 дм и
С5=1,2 дм. Найдите расстояние от А до В.
1237. Длины перпендикуляров, опущенных из точки А на грани
двугранного угла, равны по 36 см. Найдите расстояние от
точки А до ребра двугранного угла, если его мера 120°.
1238. Найдите угол между прямыми, перпендикулярными
граням двугранного угла, мера которого 100°.
1239. Мера двугранного угла 100°. Найдите угол между
плоскостью одной его-грани и перпендикуляром к другой грани.
222

1240. Найдите меру двугранного
угла, если расстояние от точки,
взятой на одной его грани, до другой
вдвое меньше расстояния от этой
точки до ребра.
Решение. Пусть ААОН—
линейный угол данного двугранного
угла и АН±НО (рис. 384). Если
ЛЯ=0,5-ЛО, то sin Z.4O#=0,5.
Ответ. Z4O#=30°. Рис.384
1241. Из точек А и В одной
грани острого двугранного угла опущены перпендикуляры АА\ и
ВВ\ на другую грань и АА2, ВВ2 — на ребро. Найдите
длину перпендикуляра В52, если АА\=Ъ дм, АА2 = Ъ дм,
BBi=9 дм.
1242°. В тетраэдре МАВС АВ = ВС= СА,МА±АВ и МА±АС.
Постройте линейный угол двугранного угла при ребре ВС.
1243*. А и В — точки на ребре двугранного угла меры а, ЛС.и
BD — перпендикуляры к ребруг проведенные в разных гранях.
Найдите расстояние CD, если АВ = а, AC=br BD = c.
1244*. Концы отрезка АВ лежат в гранях двугранного угла,
а расстояния AM и BN от них до ребра равны. Докажите,
что /LABM=ABAN.
1245. Практическое задание. Сделайте из картона
модель двугранного угла, обозначьте на нем его линейный угол.
Глава XIV
КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
§ 64. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямоугольная система координат на плоскости
рассматривалась в предыдущих классах. Аналогичную систему координат
можно ввести и для пространства.
Пусть х, у, z — три попарно перпендикулярные
координатные прямые, пересекающиеся в точке О (рис. 385). Назовем их
координатными осями: ось х, ось у, ось z. Точка О — начало
координат. Каждая ось точкой О разбивается на две полуоси —
положительную, отмеченную стрелкой, и отрицательную.
Плоскости, проходящие через оси х и у, х и z, у и z,—
координатные плоскости. Обозначают их соответственно: ху, xz, yz.
Координатные плоскости разбивают все пространство на восемь частей
(октантов).
Если задана такая система координат, каждой точке
пространства можно поставить в соответствие упорядоченную тройку
223

^A
А(а;Ь-с)
Рис. 385
Рис. 386
действительных чисел, а каждой тройке чисел — единственную
точку. Пусть дана точка Л. Опустим из нее на плоскости yzt xz, xy
перпендикуляры ААХ9 ААУ, ААг (рис. 386). Длины этих
перпендикуляров, взятые с соответствующими знаками, называют
координатами точки А. Записывают: А (а; 6; с). Если точка лежит в
какой-нибудь координатной плоскости, ее соответствующая
координата равна Q, а если — на оси координат, то две координаты
такой точки — нули. Например, точка В (0; 2; —3) лежит в
плоскости yz, а точка С (5; 0; 0) — на оси х.
Теорема 63. Квадрат расстояния между двумя точками
равен сумме квадратов разностей их одноименных координат.
Доказательство. Пусть даны две точки: А (а,; а2; а3) и
В[Ь\\ Ь2; Ьз). Докажем, что
АВ2={Ьх-а{? + {Ьг-а2У + (Ьъ-аг)2.
Рассмотрим случай, когда данные точки расположены
относительно системы координат, как показано на рисунке 387.
Прямые ААг и BBZ9 параллельные оси z,
пересекают плоскость ху в точках
Аг (а,; а2; 0) и Вг (6,; Ь2\ 0). Проведем
через точку В плоскость,
параллельную плоскости ху. Она пересечет
прямую AAZ в некоторой точке С. По
теореме Пифагора АВ2=АС2 + СВ2.
Отрезки СВ и АгВг равны, и, как
известно из планиметрии (см. УЗТ),
А2В2 = (Ь1-а])2 + {Ь2-а2)2.
Длина отрезка ЛС= |Ьз —азI.
Поэтому
Рис. 387 ЛВ2=(Ь1-а,)2+(Ь2-а2)2+(6з-аз)2.

Если отрезок АВ параллелен оси z, то АВ=\Ь3 — а3\. Тот
же результат дает и общая формула, так как в этом случае
bi=a\, 62=02.
Аналогично молено рассмотреть другие частные случаи и
убедиться, что всегда
ЛВ2=(6,-а,)2+(б2-а2)2+(6з-а3)2. И
Доказанную теорему применяют во многих разделах
математики и физики. Для примера с ее помощью покажем, что точка
М(-а'"^" ' ; аг"*" г ; a3"t" 3 J — середина отрезка, концы
которого А {аг, а2; а3) и В (Ь,; 62; Ь3).
Найдем длины отрезков АВ, AM и MB:
АВ=^(Ь1-щТ+(Ь2-а2У + (Ь3-а3Т,
MB^^-^y+^-^Y+^-^y^-LAB.
Итак, АМ = МВ = — АВ. А это возможно лишь при условии,
что М — середина отрезка АВ.
Так как каждый отрезок имеет только одну середину и каждой
точке соответствует единственная тройка чисел — ее координаты,
то можно считать доказанным следующее утверждение:
если точка М{т\\ т2; т3) — середина отрезка, концами которого
п Л- h
являются точки А(а\\ а2; а3) и В(Ь\\ Ь2] Ьз), то т\= '"Г ',
т2=—g—» тз~~—2—"
В трех взаимно перпендикулярных направлениях (по осям
координат) перемещаются рабочие узлы многих современных
станков. Существуют координатно-расточные и другие станки с
числовым программным управлением. Конечно, прямоугольная система
координат — простейшая. Летчики, кроме нее, используют
географическую и ортодромическую системы, конструкторы и
наладчики роботов и манипуляторов — полярную и цилиндрическую
системы координат. Следует иметь в виду, что современные ЭВМ
в принципе могут только вычислять. И если компьютеры
выдают различные траектории, графики, схемы и другие
геометрические образы, то осуществляется это благодаря вычислениям
координат их многочисленных точек.
1246. Даны точки А (0; 3; 1), В (-2; 0; 0), С (0; 0; 4), D (0; -3; 0).
Какие из них лежат: а) на оси х\ б) на оси z; в) в плоскости ху\
г) в плоскости yz?
8 Заказ 223 225

Рис. 388
1247. Укажите координаты точек, изображенных на рисунке
388.
1248. Найдите расстояния от точки М (2; 3; 1) до координатных
плоскостей.
1249. Дана точка К (2; 3; 1). Укажите координаты
оснований перпендикуляров, опущенных из этой точки на
координатные плоскости.
1250. Дана точка Р(2; 3; 1). Укажите координаты оснований
перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси.
1251. Найдите расстояние между точками В (—2; 0; 3) и
К(3; 4; -2).
1252. Какая из точек: А (2; 1; 5) или В ( — 2; 1; 6) — лежит
ближе к началу координат?
1253. Даны точки Л(1; 2; 3), В (2; 3; 1), С(3; 1; 2). Найдите
периметр треугольника ABC.
1254. Даны точки /С (0; 1; 1), Р(2; -1; 3), Г(—1; у; 0).
Найдите такое значение у, чтобы выполнялось условие: КТ=РТ.
1255. Являются ли точки А (1; 2; 3), В (2; 3; 4), С (3; 4; 5)
вершинами треугольника?
1256. Даны точки Л (1; 2; 3) и В (3; —6; 7). Найдите
координаты середины отрезка АВ.
1257. Найдите координаты точки, лежащей на оси у и
равноудаленной от точек А (4; — 1; 3) и В (1; 3; 0).
1258. Найдите координаты точки, лежащей в плоскости ху
и равноудаленной от точек А (0; 1; — 1), В (— 1; 0; 1), С (0; — 1; 0).
1259. Найдите точки, равноотстоящие от точек А (0; 0; 1),
В (0; 1; 0), С (1; 0; 0) и отстоящие от плоскости yz на расстояние 2.
226

1260. Составьте уравнение геометрического места точек
пространства, равноудаленных от точки А{\\ 2; 3) и начала
координат О.
Решение. Пусть М (х\ у\ z) — любая точка указанного в
задаче геометрического места точек. Тогда МА2=М02, или
(1-х)> + (2-у? + (3-г)2=х2 + у* + г29
откуда x+2y + 3z — 7 = 0.
Это и есть искомое уравнение.
1261*. В одну из граней куба вписана окружность.
Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки этой
окружности до вершин противоположной грани куба постоянна.
1262*. Найдите на трех попарно скрещивающихся ребрах
куба такие три точки, сумма квадратов расстояний между
которыми минимальна.
1263. Практическое задание. Сделайте из плотной
бумаги модель прямоугольной системы координат в пространстве.
§ 65. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Параллельные переносы фигур на плоскости изучаются в
планиметрии. Здесь рассмотрим параллельные переносы фигур в
пространстве. Параллельный перенос фигур на плоскости мы изучали
в планиметрии с использованием понятия «сонаправленные лучи».
Параллельный перенос фигур в пространстве определим с
помощью понятия «направленный отрезок» (вектор).
Если начало направленного отрезка Л, а конец В, его
обозначают символом АВ. Параллельные или расположенные на
одной прямой направленные отрезки могут быть направлены в
одну сторону или в разные стороны. В первом случае их
называют сонаправленными, во втором — противоположно направлен-
ными. Направленные отрезки называют равными, если они сона-
правлены и имеют равные длины.
Пусть КР — направленный отрезок, а X — произвольная точка
пространства (рис. 389). Если точка Х\ такова, что ХХ\ = КР,
то говорят, что параллельный перенос, отображающий точку К
на Р, отображает точку X на Х\. Или короче: параллельный
перенос на КР отображает точку X на Х\. Если выполнить
параллельный перенос каждой точки некоторой фигуры F на один и тот
же вектор КР, получится новая фигура F\. Говорят, что
параллельный перенос на КР отображает фигуру F на F\ (рис. 390).
При параллельном переносе все точки данной фигуры смещаются
по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же
расстояние.
227

Рис. 389
Рис. 390
Параллельный перенос, рассматриваемый в геометрии,—
абстрактная модель поступательного движения физических тел.
Каждый сегмент ножа зерноуборочного комбайна (рис. 391) можно
получить в результате параллельного переноса смежного сегмента.
То же можно сказать об отдельных секциях разложенной на
плоскости гусеницы трактора или танка, застежки «молния», о
кирпичах в стене, об отдельных этажах современного
многоэтажного дома и т. д.
Можно доказать, что параллельный перенос отображает
прямую на параллельную ей (или совпадающую с ней) прямую,
плоскость — на параллельную ей (или совпадающую с ней) плос:
кость (рис. 392). Причем если точки А и В некоторой фигуры при
параллельном переносе отображаются на точки А\ и В\9 то
А\В\~АВ. Ведь если указанные четыре точки не лежат на одной
прямой, то АВВ\А\ — параллелограмм (см. рис. 390) и, значит,
А\В\=АВ. Если же точки Л, А\, В, В\ лежат на одной прямой
Рис. 391
Рис. 392
228

Рис. 393
(рис. 393), то из равенства АА\
А\В\=АВ\—ААХ =
= ВВ\ следует
'.АВХ-ВВХ=АВ.
Итак, если параллельный перенос отображает точки А и В на А \
и В\9 то всегда А\В\=АВ. Значит, параллельный перенос
сохраняет расстояния между точками.
Как при параллельном переносе изменяются координаты точек?
Теорема 64. Параллельный перенос, отображающий
начало координат на точку А (а\; а2; аз), отображает любую точку
K(k\; Л2; Лз) на точку Р (k\+a\; k2+a2; Лз+яз).
Доказательство. Так как КР = ОА, то точки О, А,
Р, К—вершины параллелограмма или все расположены на
одной прямой (рис. 394). В обоих случаях середина М отрезка АК
совпадает с серединой отрезка О Р. Пусть pi, р2, рз — координаты
с)
Рис. 394
229

точки Р. Тогда (см. § 64)
a\+k\ _ 0+p! a2 + k2__ O4-P2
2 2*2 2 *
Дз4-6з_ 0 + Рз
2 — 2 '
откуда pi = ^i + ab рг = *2 + а2,
Рз = ^з + а3. В
1264. Задайте в системе координат какой-нибудь
направленный отрезок КР и точку А. Постройте точку, на которую
отображается точка А при параллельном переносе на КР.
1265. Постройте фигуру, на которую отображается тетраэдр
SABC при параллельном переносе на АВ.
Решение. Пусть дан тетраэдр SABC (рис. 395). Построим
направленные отрезки АА\, BBU ССи SS\, равные АВ, и соединим
отрезками точки Alt Bu Си S\. Тетраэдр S\A\B\C\ — фигура,
которую требовалось построить.
1266. Можно ли с помощью параллельного переноса
отобразить одну из скрещивающихся прямых на другую?
1267. Сколько существует параллельных переносов,
отображающих одну из двух параллельных прямых на другую?
1268. Существует ли параллельный перенос,
отображающий: а) сторону прямоугольника на противоположную ей сторону;
б) сторону равностороннего треугольника на другую его
сторону?
1269. Треугольники ABC и А\В\С\ равны и лежат в
параллельных плоскостях. Можно ли один из них параллельным
переносом отобразить на другой?
- 1270. Треугольник ABC параллельным переносом можно
отобразить на треугольник А \B\C\. Следует ли из этого, что: а) данные
треугольники равны; б) существует параллельный перенос,
отображающий треугольник А\В\С\ на ЛВС?
1271°. ABCDA\B\C\D\ — прямоугольный параллелепипед. Во
что переходит грань АВВ\А\ при параллельном переносе,
переводящем точку А в точку D?
1272. Прямая а наклонена к плоскости а под углом 30°. Под
каким углом наклонена к этой плоскости прямая Ь, если она
параллельным переносом отображается на прямую а?
1273. Найдите координаты точки, в которую переходит точка
Х{2\ 3; —1) при параллельном переносе, отображающем начало
координат на точку Л(1; 1; 2).
1274. Найдите координаты точки, в которую переходит точка
М (3; —2; 1) при параллельном переносе на ОМ, если О — начало
координат.
230

1275*. Даны точки /С (1; 0; 0), Р(— 1; 3; 0) и треугольник с
вершинами Л (2; 2; 2), В(— 1; 0; 3), С(0; 0; 1). Найдите координаты
вершин треугольника А\В\С\> полученного из данного при
параллельном переносе на /СР.
1276. Один параллельный перенос отображает отрезок АВ на
А\В\,ъ другой — отрезок А\В\ на ЛгВ2. Существует ли
параллельный перенос, отображающий отрезок АВ на Л2Й2?
1277. Отрезок т параллельным переносом отображается на
отрезок п. Равны ли их проекции на одну и ту же плоскость?
Почему?
1278*. Куб ABCDA\BXC\D\ параллельным переносом на АС\
отображается на другой куб. Найдите наибольшее расстояние
между точками кубов, если АВ = а.
§ 66. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Многое из того, что говорилось о векторах в § 33, почти
дословно можно повторить и о векторах в стереометрии. Это не простое
повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной
геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора
достаточно указать две его координаты, то в стереометрии —
три координаты. _^
Координатами вектора АВ, начало которого А {х\\ у\\ z\), а
конец В (х2\ У2\ 22), называют числа
а\=Х2—х\, а2=у2—у\, a3 = z2 —zi. '
Записывают такой вектор, указывая его координаты:
АВ=(а\\ а2; я3), или а={о>\\ а2] а3).
Например, если точки А (3: 0; 2) и 5 (0; 4; 3) — начало и
конец направленного отрезка АВ (рис. 396), то
а,=0 —3=—3, а2=4 —0 = 4, а3=3—2 = 1.
Значит, направленному отрезку
АВ соответствует вектор а=(—3; 4;
1). Числа — 3, 4 и 1—координаты
этого вектора.
Если О — начало координат, а
числа аи а2, а3 — координаты точки Л,
то эти же числа являются и
координатами вектора ОА (рис. 397).
Вектор ОА можно изобразить и
направлением отрезком КР, где
K(k\\ k2; A3) — любая точка
пространства, а Р — точка с координатами
Ъ
Рис. 396
231

Рис. 397 Рис. 398
k\+a\t &2 + Я2, &з + Дз (теорема 64). Это значит, что любой
вектор можно отложить от любой точки пространства.
Длину вектора a=(ai; a2; a3) можно выразить через его
координаты (см. рис. 397). Стороны прямоугольника OEAzF равны
а,\ и аг, поэтому OA% = a2i + al. В прямоугольном
треугольнике 0А2А катет АгА=аз. Значит,
ОА2 = ОА2 + а1 = а2 + аЪ + а%,
откуда
\a\=-yja2i + al + al
Длина любого ненулевого вектора — число положительное.
Длина нулевого вектора равна нулю.
Вспомним, что векторы, которым соответствуют параллельные
или лежащие на одной прямой направленные отрезки,
называют коллинеарными. Векторы О А и ОВ коллинеарны только тогда,
когда точки О, Л и В лежат на одной прямой. Коллинеарные
векторы бывают сонаправлены или противоположно направлены.
Три вектора называют компланарными, если соответствующие
им направленные отрезки расположены в параллельных
плоскостях или в одной плоскости (рис. 398). Векторы О А, ОВ и ОС
компланарны только при условии, что точки О, Л, В и С лежат в
одной плоскости.
Замечание.- Широко применяются векторы в физике.
Физики рассматривают приложенные векторы, которые определяются
длиной, направлением и точкой приложения. Математики
используют свободные векторы, определяемые только длиной и
направлением. Эти виды векторов имеют много общего, но и отличаются
они существенно. Например, решая задачу о действиях
произвольных сил, приложенных к пружине (рис. 399), векторы F и Fy не
считают равными. Хотя их длины равны и направления одинако-
232

///////////////////
Рис. 399
Рис. 400
вы, но результаты их действия разные: первая сила растягивает
всю пружину, а вторая — только часть ее. При решении таких
задач свободные векторы не подходят.
В картографии векторами называют любые стрелки, даже
криволинейные, указывающие направления морских течений,
движения армии и т. д. Такие «векторы» ни складывать, ни
умножать нельзя.
Мы дальше будем рассматривать только свободные векторы,
называя их просто векторами.
1279. Точки А, В, С, D, Е, F — вершины заданного в
пространстве правильного шестиугольника. Задайте с их помощью пару
векторов: а) равных; б) противоположно направленных; в) сона-
правленных, но не равных.
1280. Точка В — середина отрезка АС, а С — середина
отрезка BD. Равны ли векторы СА и DB? АВ и DC?
1281. В черчении направленными отрезками (прямолинейными
стрелками) обозначают радиусы окружностей и дуг (рис. 400).
Изображают ли такие направленные отрезки векторы?
1282. Найдите координаты вектора АВ, если Д(1; 2; 3),
В (3; 7; 6).
1283. Найдите координаты начала направленного отрезка
АВ, соответствующего вектору а=(3; 4; 2), если его конец
В(-5;4;1). ^
1284. Найдите координаты конца направленного отрезка СВ,
соответствующего вектору ?=(— 1; 3; —2), если его начало
С(-2; -1; -3).^
1285. Вектор АВ имеет координаты а, 6, с. Найдите
координаты вектора В А.
1286. Найдите длины векторов а = (2; 3; — 1) и с = (1; 2; 6).
233

1287. Длины векторов а = (2; 1; 3) и &=( — 1; х\ 2) равны.
Найдите х.
1288. Найдите координаты вектора а={а\ 2а; — а), если его
длина ->/54.
Решение, л]с?+(2af + (- a)2 = У54, 6а2 = 54, а2 = 9, отку-
да ai =3, a2 = —3.
Ответ. a = (3; 6; —3) или a=( —3; —6; 3).
1289. Как относятся длины ненулевых векторов а=(а\ Ь\ с)
и п = (2а; 26; 2с)?
1290. ABCDA\B\C\D\—куб. Коллинеарны ли векторы:
а) АхВх и АВ\ б) ДЯ и С^Ъ,; в) BCi и CD{\ г) Л~Ь| и fij?
1291. Коллинеарны ли векторы: а) а = (1; 1; 0) и 6=(1; 1; 2);
б) £=(0; 1; 0) и р=(0; -2; 0)?
1292. ЛВСЯ — тетраэдр, К, Р, Т — середины^ его_£ебер АВ,
АС и AD. Компланарны ли векторы: а) AD, ВС и КР; б) CD,
КТ и СВ?
1293. Компланарны ли векторы а = (3; 2; 0), Ь = (6; 3; 0) и
с=(8; 1; 0)?
1294. Докажите, что при любых значениях а^, аз, 62, Ьз, ^2, Сз
векторы а = (0; а2; а3), 6 = (0; 62; &з) и с=(0; с2; Сз) компланарны.
Решение. Первые координаты данных векторов — нули.
Поэтому, если о_тложить эти векторы от начала координат, все
соответствующие им направленные отрезки разместятся в
плоскости ух. Значит, данные векторы компланарны.
1295*. ABCD — произвольный тетраэдр, К и М — середины
его ребер АС и BD. Докажите, что векторы ABt CD и КМ
компланарны.
§ 67. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ
Действия лад векторами в пространстве определяются
аналогично тому, как они определялись для векторов на плоскости.
Суммой векторов а=(а\\ а2; а3) и Ь=фи Ь2\ Ьз)
называют вектор a + 6=(ai + 6,i;^a2 + fc2; аз + Ьз).
Для любых векторов а, Ь и с справедливы равенства:
1) ta+b^b + a— переместительный закон сложения;
2) a + (b+c)=(a + b)+c — сочетательный закон сложения.
Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить
соответствующие координаты левой и правой частей каждого векторного
равенства.
Геометрически сумму двух векторов пространства можно
находить, пользуясь правилом треугольника: АВ-\-ВС=АС (рис. 401).
234

**c
Рис. 402
Ведь для любых трех точек А (аи а2\ аз), В (Ь\\ Ь2\ Ь3) и С (си с2\ Сз)
—>■ ->■
ЛВ = (&1— ах\ Ь2 — а2\ 6з —а3), BC=(ci — 61; с2 — Ь2\ с3 —63).
Поэтому
4B + BC=(ci — а\\ с2 — а2\ с3 — а3)=ЛС.
Можно пользоваться и правилом параллелограмма: если
ABCD — параллелограмм, то ЛВ+Л/)=ЛС (рис. 402).
Сумму нескольких векторов можно находить по правилу
многоугольника. Например, как бы ни были расположены в пространстве
точки Л, В, С, D, £, всегда AB + BC + CD+DE=AE.
Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору,
называют противоположными. Векторы АВ и ВА всегда
противоположны друг другу. При любых значениях х> у, z противоположны
и векторы а=(х\ у\ z) и ai=( —х\ —y\ —z).
Разностью вектор о^в а и b называется такой вектор
с, который в сумме с вектором Ь дает вектор а. Из этого
определения следует, что всегда АС—АВ = ВС.
И если a=(ai;- a2; a3), b = (61; Ь2\ 63), то a — b = (a\—b\\
a2 — b2\ аз — Ьз).
Умножать на число вектор пространства можно
так, как вектор плоскости. Если а=(а\\ a2\ а3), то А,«а = а»Л==
=(A,ai; Ал2; Ал3); А,(а+Ь) = Ал + АА — для любых векторов а,
6 и числа K;(X+[i)a = Xa + \ia — для любых чисел A,, р, и вектораа.
Эти свойства непосредственно следуют из определения
умножения вектора на число. Из этого же определения следует, что
|Хл| = 1М.|а|.
Разложение вектора. Векторы ег =(1; 0; 0),
е2 — (0; 1; 0), е3=(0; 0; 1) называют ортами. Всегда если
235

a = (a\\ a2; a3), то
a = aiei + a2e2 + агвг.
Такое представление вектора в
виде суммы называют разложением
данного вектора по ортам (рис. 403).
Оно всегда возможно и однозначно.
у Вообще если даны три
некомпланарных вектора ОА, ОВ, ОС, то любой
Рис. 403 вектор ОМ можно представить,
притом единственным способом, в виде
ОМ = а-ОА + Ь.6в + с-6с,
где а, Ь, с — некоторые действительные числа.
1296. Найдите сумму векторов а = (2; 1; —2) и 6=(3; —2; 5).
1297. Найдите сумму векторов л;=(0; 3; —) , у=(\\ —; —)
-4;Т'^2). _ _ _ _
1298. Найдите сумму векторов: а) СХ и ХР; б) ВТ и АВ;
в) АВ, ВС, CD и DA. ^
1299. ABCD — тетраэдр. Чему равна сумма AC + CD + DB?
1300. Найдите координаты вектора, противоположного
вектору а = (3; 5; --4).
1301. Докажите, что если О — точка пересечения диагоналей
параллелограмма ABCD, то OA + OB + OC+OD = 0.
1302°. Докажите, что в четырехугольнике ABCD, где А (1; 3; 2),
5(0; 2; 4), С(1; 1; 4), D (2; 2; 2), стороны ЛВ и CD равны.
1303°. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA\B\C\D\.
Найдите: а) AB + BBi + B^Cr, б) ВА + ВСх—А^А; в) \-АА\ +
+\*С.
1304. Пусть К и Р — середины отрезков Л В и CD, лежащих на
скрещивающихся прямых, а О — середина отрезка /СР.
Докажите, что ОА + бв + ОС + бЬ = 0. _^
Решение. Векторы О/С и ОР противоположны (рис. 404).
Значит,
6a + 6b + 6c + 6d=2-6k+2-6p = 2(OK
1305. Найдите разность векторов а — Ь, если: а) а = (4; 1; 5),
6 = (3; 5; -1); б) 5 = 0, Ь = (3; 4; -2).
1306. Пусть О — центр правильного шестиугольника ABCDEF.
Докажите, что: а) АВ — ВС = ОВ; б) AB — DC = AO.
236

1307. Умножьте вектор а=(3; —4; 2) на 3, -|-, —|-, 0.
1308°. Найдите координаты вектора 4- АВ + ВС, если А (4; 0; 2),
В(0; 0; 1) и С(3; 5; -2).
1309. Даны векторы а=(— 1; 3; 7) и 6=(6; 2; —8). Найдите
координаты векторов: а) 2а + 36; б) -i-а—j-6; в) 0,5а—1,56.
1310. Найдите длины векторов За — Ъ и 2а + 36, если
а=(2; 0; -3) и 6 =(5; -1; 2).
1311. Разложите по ортам векторы: а) а = (3; —4; 7);
1312. Найдите координаты вектора 2?i + 3^2 — е3.
1313. Найдите числа а, 6, с, если т=(2; 3; 4) и т = ае\ +
+ Ье2 + се3.
1314. Даны векторы а=(1; 2; —3), 6=(0; 3; 1), с=(2; 5; 2)
и т = (4; 0; —7). Найдите числа а, 6 и с — такие, чтобы
выполнялось равенство rh = aa + bb + cc.
1315. М — середина ребра ВС тетраэдра РАВС9 О —
середина AM. Выразите вектор РО через векторы РЛ = а, РВ = Ь,
РС=с (рис. 405).
Решение. По правилу параллелограмма (мысленно
построенного на отрезках РВ и PC) имеем 2*РМ = РВ + РС,
откуда РМ=±(Ь+с).
Аналогично находим:
р7)=±(р7+РМ)==±.(5+±-(Ь + д))=±-(2В+Ь + с).
237

§ 68. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Известные из планиметрии (см. § 41) определения угла
между векторами и скалярного произведения двух векторов имеют
м^сто и для векторов в пространстве.
Углом между двумя ненулевыми векторами называют угол
между соответствующими им направленными отрезками,
исходящими из одной точки. Угол между противоположно
направленными векторами равен 180°, а между сонаправленными — 0°
(см. рис. 252, 255).
Скалярным произведением двух ненулевых векторов
называется произведение длин этих векторов на косинус угла между
ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, их скалярное
произведение равно 0. Если угол между векторами а и b равен ср, то
их скалярное произведение
а»Ь= \а\ • \b\ -cos ср.
Пример использования скалярного произведения векторов
известен из физики. Механическая работа Л, совершаемая
постоянной силой F при перемещении S (рис. 406), равна скалярному
произведению данных векторов:
Л = F • S = i F | • 151 • cos Ф.
Применяется это понятие и в геометрии. Из определения
скалярного произведения векторов следует, что, ненулевые
отрезки АВ и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда
скалярное произведение векторов АВ и CD равно нулю. Важны и
другие следствия. Но чтобы можно было пользоваться ими, надо
знать свойства скалярного произведения векторов.
Теорема 65. Скалярное произведение двух векторов
а = (а\; а2; аз) и Ь = (Ь\\ Ь2; 6з) равно а\Ь\+а2Ь2-\-аф^_
Доказательство. Отложим данные векторы а и b от
начала координат (рис. 407). Им соответствуют направленные
отрезки О А и О В, концы которых А(ах\ а2\ а3) и B(b\\ Ь2\ &з). Если

данные векторы не коллинеарны, то 8 А
АВО — треугольник. По теореме ко- % > >
синусов
АВ2 = ОА2 + ОВ2 — 2.<ЭА.ОВ cosy, (*) /SO0
откуда ОА- ОВ • cos Ф=~-(ОЛ2 + ОВ2 — д /^~*\ A
-АВ\ С' S У ' *
Выразим квадраты длин векторов р 40~
О А, О В и АВ через их координаты:
OA2=a\ + al + al ОВ2 = Ь\ + Ы + Ы AB2=(bl-a{)2+(b2-a2)2 +
+ (Ьз — Яз)2. Поэтому
а«6 = |а| • |6| -cos ср = ОЛ «OB«cos ф =
=4-(а2 + а1 + а§ + 6? + б1 + Ь§-(Ь1-а1)2^(62-а2)2^(63--аз)'2) =
= ai6i +а2&2 + #з&з.
Соотношение (*) справедливо и для углов ср, равных 0° или
180° (рис. 408). Ведь в первом из этих случаев
АВ2=(ОА - ОВ)2 = ОА2 + ОВ2-2. ОА-ОВ-cos 0°,
а во втором ЛВ2 = (ОЛ + ОВ)2 = ОЛ2 + ОВ2 — 2-ОА-ОВ-cos 180°
Значит, доказываемая теорема верна и для коллинеарных
векторов. Всегда
a*b = a\b\ +а2&2 + #зЬз. В
Пример. Если а = (2; — 1; 4), Ь = (1; 0; 3), то
а.6 = 2.1+(—1).0 + 4-3= 14.
Какими бы ни были векторы a = (ai; а2\ аз), 6= (6 f, b2\ &з)>
c==(ci; C2; Сз), всегда a*b = b-a и (а + 6) с = а'С + &*с.
Справедливость этих свойств следует из тождеств
ai&i + #2&2 + #3&3 = &i#i +^2^2 + 63^3,
(ai +61) С! +(a2 + 62) c2 + (a3 + 63) Сз =
= (а1С1+а2С2 + азСз) + (б1С1 + 62С2 + 6зСз).
Доказанные свойства позволяют сравнительно легко
выполнять преобразования векторных выражений — по тем же
правилам, по которым преобразовывают алгебраические выражения. С
другой стороны, зная скалярное произведение двух векторов и их
длины, легко можно вычислить косинус угла между ними. А это
дает возможность применять скалярное произведение векторов
при решении многих задач.
Скалярное произведение равных векторов а и а называется
скалярным квадратом и обозначается а2. Всегда a2=|a|2.
239

1316. В треугольнике ABC угол С прямой, a Z.4==50°.
Найдите угол между векторами: а) ВА и ВС; б) СА и АВ\ в) АВ
и ВС.
1317. Найдите скалярное произведение векторов а и 6, если
их длины 5 и 12, а угол между ними 60°.
1318. Треугольник ABC равносторонний, ЛВ= 12. Найдите
скалярное произведение векторов: а) АВ*АС\ б) АВ*ВС.
1319. Найдите скалярное произведение векторов: а) а = (1; 2; 4)
и 6 = ( —8; 2; 1); б) Я = ( —2; -3; 1) и /п = (2; 3; 1).
1320. Даны векторы р=(1; —5; 2) и <7 = (3; 1; 2). Найдите
скалярное произведение векторов 2p + q и Зр — 2q.
1321. Найдите косинус угла между векторами а = (1; 2; 2) и
6=(2; 3; 6).
Решение, cos Ф=-Л-= Ь2+2.з+2^_=,^==
|Я|.|6| У^ + г' + ^-^ + З' + б2 3-7
^20
21 "
1322. Найдите угол между векторами: а) а=(1; 2; —2) и
Ь = (1; 0; -1); б) * = (3; 2; -2) и у = (0; 4; 4).
1323°. Докажите, что в треугольнике ЛВС, где Л (2; 1; 3),
В(1;, 1; 4), С(0; 1; 3), угол ЛВС прямой.
1324. Докажите, что при любых действительных значениях т,
п и k ненулевые векторы а=(т\ п\ k) и &=(я; — т; 0)
перпендикулярны.
1325°. Найдите значение выражения (2a — b)(a + b)t где
|а|=2, |6|=3 и угол между векторами а и b равен 30°.
1326. Даны векторы а=(3; 4; 0) и 6=(— 1; 2; 0). Найдите
число X, при котором вектор а + кЬ перпендикулярен вектору а.
1327*. Даны три точки: Л (0; 2; —1), В(1; 0; 1), С(— 1; 1; 2).
Найдите координаты такой точки D оси г, чтобы выполнялось
условие: ADA-ВС.
1328. Даны точки Л (1; 4; 8) и В ( — 4; 0; 3). Под каким углом
отрезок АВ виден из начала координат?
1329. Под действием силы 20 Н, приложенной под углом 30° к
направлению перемещения, физическое тело переместилось на
расстояние 3 м. Найдите выполненную этой силой работу.
1330. Докажите, что если длины ненулевых векторов а и Ь
равны, то векторы а + b и а — Ь перпендикулярны.
1331*. Длины векторов а и Ь равны, а^гол между ними 120°.
Найдите угол между векторами 2а + Ь и Ь.
240

м*ошч
§ 69. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Векторы часто применяются в
математике и физике. В геометрии с их
помощью выводят уравнения
плоскостей, прямых и других фигур, решают
многие интересные задачи.
Для примера выведем уравнение
плоскости, перпендикулярной вектору
п = {а\ Ь\ с) и проходящей через
точку А (х0; у0\ zo).
Пусть М (х; у; z) — произвольная
точка рассматриваемой плоскости а
(рис. 409). Векторы Я = (а; Ь\ с) и
АМ=(х—х0; у—уо'> z — zo) перпендикулярны. Следовательно, их
скалярное произведение равно нулю:
а(х—xo) + b(y—yo)+c{z — z0)=0.
Это и есть искомое уравнение плоскости а. Если обозначить
ахо + Ьуо + его = — d, его можно представить в виде
ax + by + cz + d = 0. .
Итак, координаты xt yt z каждой точки плоскости а
удовлетворяют полученному уравнению. Можно доказать также, что
координаты любой точки, не лежащей на плоскости а, этому
уравнению не удовлетворяют. Каждое уравнение вида ax + by + cz+
+ d = 0 соответствует единственной плоскости; коэффициенты а,
Ьу с — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости.
Задача. Даны точки А{\\ 6; 5) и В (3; 0; 1). Составьте
уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку АВ и проходящей
через его середину.
Решение. ЛВ = (2; —6; —4). Поэтому искомое уравнение
должно иметь вид 2x — 6y — 4z + d = 0. Середина отрезка АВ —
точка М (2; 3; 3). Ее координаты удовлетворяют искомому
уравнению
2.2-6.3-4.3 + d = 0, d = 26.
Ответ. 2х — 6у — 4z + 26 = 0.
Многим свойствам геометрических фигур соответствуют те
или иные векторные равенства. Например, если:
О А = О В — точки А и В совпадают;
—>• —>•
AB = kCD — прямые АВ и CD параллельны или сов-
" падают;
AB = kAC —точки Л, В, С лежат на одной прямой;
ОА=х-ОВ+у*ОС —точки О, Л, В, С одной плоскости;
241

AB'CD = 0 —прямые АВ и CD перпендикулярны;
5-6 = \a\ • |fe|cos ф—угол между векторами а и Ь равен <р.
Пользуясь такими соотношениями, можно решать многие
геометрические задачи. Для этого данные в задаче соотношения
между геометрическими объектами сначала как бы переводят на язык
векторов. Потом преобразовывают полученные векторные
равенства и снова переводят их на обычный язык геометрии.
Особенно часто при решении геометрических задач
используют следующее утверждение:
Теорема 66. Если О — любая точка пространства, а М —
середина отрезка АВ или точка пересечения медиан
треугольника ABC, то соответственно
6м=±-(ОА + ОВ) или 6м=±(6а + 6в + ОС).
с о
Доказательство этой теоремы такое же, как и теоремы 29
(см. § 36). Только раньше имелось в виду, что данные точка,
отрезок и треугольник лежат в одной плоскости, а теперь —
в пространстве.
Задача. ABCDA\B\C\D\ — прямоугольный
параллелепипед, М — точка пересечения медиан треугольника A \BD (рис. 410).
Докажите, что прямая АС\ проходит через М. В каком отношении
точка М делит отрезок АС\?
Решение. Так как М — точка пересечения медиан AAxBD,
то AM=±-(AAi+AB+AD). Так как AB = DXCX и AD=AXDU
о
то AAx+AB+AD=AAx+A\D{+DxC{=AC\. Значит, АМ =
=-i-i4Ci. Из последнего равенства следует, что точка М лежит на
о
прямой АС\9 причем АС\ = 3*АМ, т. е. АМ\МС\ = \ :2.
1332. Составьте уравнение, плоскости, перпендикулярной
вектору Я=(5;0; — 3) и проходящей через точку Л (2; — 1; 4).
1333. Даны точки А{\\ 2; —3) и 6(4; —2; 4). Составьте
уравнение плоскости,
перпендикулярной прямой АВ и проходящей через
точку А.
1334. Дана точка А (а; Ь\ с).
Напишите уравнение плоскости,
проходящей через начало координат
перпендикулярно прямой ОА.
1335. Н-айдите координаты точек
пересечения координатных осей с
плоскостью: a) 4# + 2y + 5z + 32 = 0;
Рис. 410 б) *"—5у —4z —3 = 0.
242

Рис. 411
1336. Напишите уравнение
плоскости, которая проходит через точку
Л (1; —3; 5) и параллельна плоскости.
2x-3y + z+10=0.
Решение. Данная плоскость
перпендикулярна вектору Я=(2; —3; 1).
Поэтому и параллельная ей
плоскость перпендикулярна этому
вектору, т. е. ее уравнение имеет вид
2* — 3y + z + d = 0. Так как точка
Л (1; — 3; 5) принадлежит этой
плоскости, то 2-1— 3-( — 3) + 5 + d = 0,
откуда d= —16.
Ответ. 2л: — Зу + z—16 = 0.
1337*. Точки К U М, N —
середины ребер АВ, ВС у CD, DA тетраэдра ABCD. Докажите, что
точки пересечения медиан треугольников AML и CNK совпадают.
1338. Докажите, что, как бы ни были расположены в
пространстве параллелограммы ABCD и A\B\C\Du середины отрезков
ААи ВВи CC\t DD\ — вершины параллелограмма или лежат на
одной прямой.
1339. Дана неплоская замкнутая ломаная ABCD А. Длины
звеньев АВ и CD равны а и 6, а угол между
скрещивающимися прямыми АВ и CD равен ср. Найдите расстояние между
серединами звеньев AD и ВС.
1340. Докажите с помощью векторов, что если прямая
перпендикулярна двум сторонам треугольника, то она
перпендикулярна и третьей его стороне (см. рис. 358).
Решение. Если КРАПАВ и КР±АС, то КР*ВС=КР(ВА +
+АС) = КР-ВА + КР'АС=0. Значит, КР±ВС
1341. Концы отрезка АВ лежат на перпендикулярных
плоскостях, пересекающихся по прямой т (рис. 411). Расстояния АА\
и ВВ\ от точек А и В до прямой т соответственно равны а и 6,
a A\Bi=c. Найдите длину отрезка АВ.
1342. A BCD — тетраэдр. Докажите, что если ABA-CD
и AC±BD, то и AD±BC.
1343*. Три ребра тетраэдра, исходящие из одной вершины,
равны, углы между ними тоже равны. Докажите, что каждое
ребро такого тетраэдра перпендикулярно противоположному.
1344. М — точка пересечения медиан грани ABC
тетраэдра РАВС, Л4=3, РВ = б, РС=9 и ААРВ= АВРС= АСРА = а.
Найдите РМ.
Решение.
РМ = -±-(РА + РВ + РС)
о
(рис. 412). Поэтому
РМ2=-^-(РА2 + РВ2 + РС2 + 2-РА-РВ + 2-РВ-РС + 2-РС-РА) =
243

Рис. 412 Рис. 413
=|(32 + 62 + 92 + 2 cos a-(3-6 + 6.9 + 9-3))= 14 + 22 cos а.
Ответ. PM=-Vl4 + 22cosa.
1345*. Точка К— середина ребра АС правильного
тетраэдра ABCD. Найдите косинус угла между прямыми АВ и KD.
1346*. Найдите косинус угла между прямыми, которым
принадлежат скрещивающиеся медианы двух граней правильного
тетраэдра.
1347*. Пусть G — точка пересечения медиан правильного
треугольника ЛВС, сторона которого равна a, a M — любая точка
пространства, удаленная от G на расстояние d (рис. 413). Найдите
значение суммы МА2-\-МВ2-\-МС2.

11 класс
Глава XV
МНОГОГРАННИКИ
§ 70. ЧТО ТАКОЕ МНОГОГРАННИК
Сначала введем понятие «геометрическое тело». Наглядное
представление о геометрическом теле дает часть пространства,
занимаемая каким-нибудь физическим телом. Куб, прямоугольный
параллелепипед, тетраэдр — примеры геометрических тел.
Так* как никаких других тел, кроме геометрических, в
геометрии не рассматривают, дальше их будем называть просто
телами.
Каждое тело имеет поверхность и внутреннюю область.
Например, поверхность куба состоит из шести квадратов — его
граней. Все точки куба, не лежащие на его поверхности, образуют
его внутреннюю область.
Чтобы строго определить понятие «тело» сформулируем несколько
вспомогательных определений. Точка неплоской фигуры называется внутренней, если
существует шар с центром в этой точке, целиком принадлежащий данной фигуре.
Фигура называется областью, если все ее точки внутренние и любые две из них
можно соединить ломаной, целиком принадлежащей данной фигуре. Точка
пространства называется граничной для данной области, если любой шар с
центром в этой точке содержит как точки, принадлежащие области, так и не
принадлежащие ей. Фигура называется конечной или ограниченной, если
существует шар, целиком содержащий ее. Конечная область вместе со всеми
ее граничными точками называется телом. Поверхность тела — фигура, которая
состоит из всех граничных точек его области.
Призма, пирамида, цилиндр, конус, шар, известные из черчения,— тела.
Но любая плоская фигура, двугранный угол, фигура, составленная из двух
тетраэдров с общим ребром, шар с плоским кольцом (рис. 414) — не тела.
Большой класс геометрических тел составляют многогранники.
Многогранником называется тело, поверхность которого
состоит из конечного числа многоугольников.
Рис. 414
245

Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются
гранями. Стороны граней — ребра, а их концы — вершины
многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не
принадлежащие одной грани,— диагональ многогранника.
Место многогранников в системе геометрических фигур
показано на схеме:
Геометрические фигуры
7
Плоские
Неплоские
/
Тела
/ -
\
Многогранники
\.
Не тела
Не многогранники
Как и другие геометрические фигуры, многогранники бывают
выпуклыми и невыпуклыми. Фигура называется выпуклой, если
вместе с каждыми двумя своими точками она содержит и
соединяющий их отрезок. Каждый тетраэдр, куб, прямоугольный
параллелепипед — многогранники выпуклые. А вот
многогранники, изображенные на рисунке 415, невыпуклые. Выпуклый
многогранник расположен по одну сторону от плоскости каждой
его грани. Если же многогранник невыпуклый, плоскости
некоторых его граней рассекают его на части (рис. 416). Каждая грань
выпуклого многогранника — выпуклый многоугольник.
Если поверхность многогранника разрезать по нескольким его
ребрам и распрямить на плоскости, получится развертка
данного многогранника. Поверхность одного и того же многогранника
можно развернуть по-разному. На рисунке 417 представлены
некоторые развертки куба.
Рис. 415
Рис. 416
246

Площадь поверхности
многогранника — это сумма площадей всех его
граней. Она равна площади
развертки данного многогранника.
С различными, иногда очень
сложными материальными моделями
многогранников имеют дело
каменщики, плотники, шлифовщики,
строгальщики, гранильщики, минералоги,
кристаллографы и другие
специалисты. Например, столяр ежедневно
делает десятки деталей в форме самых
замысловатых многогранников (рис.
418). Экскаваторщики роют
всевозможные траншеи, котлованы и другие
выемки тоже преимущественно в
форме многогранников.
1348, Нарисуйте многогранник,
имеющий 4 грани. Сколько ребер и
вершин он имеет? Как называется
такой многогранник?
Рис. 417
^
а
Рис. 418
1349. Нарисуйте многогранник, имеющий 5 граней и 5 вершин.
Сколько ребер он имеет?
1350. Нарисуйте многогранник, имеющий 5 граней и б вершин.
Сколько ребер он имеет?
1351. Существует ли многогранник, отличный от тетраэдра,
все грани которого — треугольники?
1352. Многогранник имеет 9 ребер. Докажите, что его гранью
не может быть пятиугольник.
Решение. К пятиугольной грани многогранника примыкает
не менее 5 смежных граней, которые образуют еще не менее 5
ребер. Поэтому, если хотя бы одна грань многогранника —
пятиугольник, он имеет не менее 10 ребер. Многогранник, имеющий
только 9 ребер, не может иметь пятиугольной грани.
1353. Ребра ABt ACt AD тетраэдра попарно перпендикулярны
и равны 8 см, 15 см, 36 см. Найдите длины остальных
его ребер.
1354. ABCD — правильный тетраэдр, М — середина ребра AD.
Найдите длины ребер тетраэдра АВСМ, если АВ=а.
1355. Может ли ребро прямоугольного параллелепипеда иметь
длину, втрое меньшую суммы длин остальных его ребер?
1356. Нарисуйте развертку правильного тетраэдра, длина
ребра которого 2 см. Найдите площадь развертки.
1357. Длина ребра куба 5 см. Найдите площадь его
поверхности.
1358. Площадь поверхности куба 48 дм2. Найдите длину его
ребра.
247

1359. Длина ребра правильного тетраэдра 5 см. Найдите
площадь его поверхности.
1360. Площадь поверхности правильного тетраэдра 36 см2.
Найдите длину его ребра.
1361. Если от куба ABCDA\B\C\D\ отрезать тетраэдр A\AB\D\%
останется многогранник ABCDD\B\C\. Сколько граней, ребер и
вершин он имеет? Найдите площадь его наибольшей грани, если
АВ = а,
1362. Площади трех граней прямоугольного
параллелепипеда 2 м2, 3 м2 и 4 м2. Найдите площадь его поверхности.
1363. Найдите площадь поверхности прямоугольного
параллелепипеда, если длина одного из его ребер а, а площади
прилегающих к нему граней S\ и S2.
1364. Площади трех граней прямоугольного
параллелепипеда Si, S2 и S3. Найдите длины его ребер.
Решение. Пусть искомые длины ребер параллелепипеда
х, у и z. Тогда xy.= Su *z = S2, yz = S$. Перемножим эти равенства:
Ar2yV = SiS2S3, xyz=^S\S2St.
Значит, Х=_2Е-=21Щ£1. % у= Vfr&Sa ? z= V^»& u
yz 03 02 Si
1365*. Длина одного ребра тетраэдра а, а каждого из
остальных 6. Докажите, что 0<а<6-\/3.
1366. Найдите площадь поверхности тетраэдра ABCD, если
AC = CB = BD = DA = DC = a и Z_4CB = q>. Вычислите при
а=1,2 м, ср = 50°.
1367. Практическое задание. Вырежьте из плотной
бумаги развертку: а) тетраэдра; б) прямоугольного
параллелепипеда.
§ 71. ПРИЗМА
Призмой называется многогранник, у которого две грани —
равные л-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а
остальные п граней — параллелограммы.
Покажем, как можно получить такой многогранник. Пусть
даны любой многоугольник ABC...К и не лежащая в его плоскости
точка А\ (рис. 419). Параллельный перенос на АА\ отображает
данный многоугольник на многоугольник А\В\С\...К\. Все отрезки,
соединяющие соответствующие точки этих многоугольников,
заполняют некоторый многогранник. Этот многогранник — призма.
Его равные грани АВС...К и А\В\С\...Ки лежащие в параллельных
плоскостях, называют основаниями призмы, параллелограммы
ААХВ\В, ВВ\С\С, ..., КК\А\А — ее боковыми гранями, отрезки
АА\% ВВи CC\t ..., КК\ — боковыми ребрами, точки Ау В, С, ...,
К\ — вершинами призмы.
248

Рис. 419
Все вершины призмы
расположены в двух параллельных
плоскостях, все боковые ребра равны и
попарно параллельны.
Если основание призмы —
л-угольник, ее называют л-уголь-
ной призмой. Поверхность такой
призмы состоит из двух равных
л-угольников и п параллелограммов,
боковая поверхность — из я
параллелограммов.
Призма называется прямой,
если ее боковые ребра
перпендикулярны плоскости основания. В
противном случае призма называется
наклонной. Каждая боковая грань
прямой призмы — прямоугольник.
Высота призмы — расстояние между плоскостями ее
оснований. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра.
Призма называется правильной, если она прямая и ее
основания — правильные многоугольники. Все боковые грани
правильной призмы — равные прямоугольники. На рисунке 420
изображены правильные треугольная, четырехугольная и шестиугольная
призмы.
Если призма выпуклая и л>3, то любая плоскость,
проходящая через боковое ребро и диагональ основания,
рассекает ее на две другие призмы. Такая плоскость называется
диагональной плоскостью, а сечение призмы этой плоскостью —
диагональным сечением. Диагональное сечение любой призмы —
параллелограмм, а прямой призмы — прямоугольник.
Форму призмы имеют обыкновенный кирпич, железобетонный
блок, брусок, доска, граненый карандаш и т. д. Можно ли считать,
что изображенная на рисунке 421 фундаментная подушка
имеет форму призмы? Да, только поставлена она на боковую
грань.
Площадью боковой поверхности призмы называют сумму
площадей ее боковых граней.
Рис. 420
249

&
Рис. 421 Рис. 422
Теорема 67. Площадь боковой поверхности прямой
призмы равна произведению периметра ее основания на высоту
призмы.
Доказательство. Пусть высота данной прямой призмы
равна Л, а периметр основания ЛВ + ВС + ... + /04=р0 (рис. 422).
Докажем, что площадь ее боковой поверхности S6=poh.
Каждая боковая грань прямой призмы — прямоугольник. Его
основание равно соответствующей стороне основания призмы, а
высота — высоте призмы. Поэтому
S6=AB.fi + BC-h + ... + KA.h=(AB + BC + ... + KA).h=p0h. Ц
Чтобы найти площадь боковой поверхности наклонной
призмы, надо найти площадь каждой ее боковой грани и
результаты сложить.
Площадь поверхности призмы равна сумме площади ее
боковой поверхности и удвоенной площади основания: S = S6+2So.
1368. Существует ли призма, имеющая ровно 100 ребер?
Сколько вершин, ребер и граней имеет стоугольная призма?
1369. Сколько диагоналей и диагональных плоскостей имеет
правильная десятиугольная призма? а я-угольная?
1370. Найдите градусную меру двугранного угла при боковом
ребре правильной пятиугольной призмы.
1371. Боковое ребро призмы равно / и наклонено к плоскости
основания под углом а. Найдите высоту призмы.
1372°. Докажите, что в сечении треугольной призмы
АВСА\В\С\ плоскостью, проходящей через точки D на ребре ABt
Е на ребре ВС и F на ребре A\Bi, две стороны параллельны.
1373. Высота правильной четырехугольной призмы равна А, а
сторона основания а. Найдите площадь: а) боковой поверхности;
б) диагонального сечения призмы.
1374. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна d
и наклонена к плоскости основания под углом ср. Найдите площадь:
а) диагонального сечения; б) боковой поверхности призмы.
250

7
A
Рис. 423
1375. В правильной четырехугольной при- чК ^В,
зме площадь основания 144 см2, а высота
10 см. Найдите площадь диагонального
сечения призмы.
1376. Площадь поверхности правильной
четырехугольной призмы 40 см2, а ее боковой
поверхности 32 см . Найдите высоту призмы. с к"—¥*/. J^ В
1377. Три грани призмы — квадраты со
стороной 2 см, а две остальные —
треугольники. Нарисуйте эту призму и ее развертку.
1378. В прямой треугольной призме все
ребра равны. Площадь ее боковой
поверхности 27 м2. Найдите площадь основания призмы.
1379. Диагональ боковой грани правильной треугольной
призмы равна / и наклонена к плоскости основания под углом ос.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение. Пусть призма АВСА\В\С\ правильная, а
диагональ В\А ее боковой грани имеет длину / (рис. 423). Сторона
основания ВА — проекция этой диагонали на плоскость основания,
поэтому АВ\АВ = а. Площадь боковой поверхности правильной
треугольной призмы S = 3aft, где а — сторона основания, а Л —
высота призмы. Из прямоугольного АВ\АВ находим:
а = АВ = 1 cos a, h = B\B = l sin a.
Значит, S = 3 • / cos a • I sin a = 1,5/2 sin 2a.
1380. В правильной четырехугольной призме площадь
диагонального сечения S. Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
1381* Основание призмы — ромб с углом 60° и стороной a, a
все боковые грани — квадраты. Найдите длины диагоналей
призмы и площади диагональных сечений.
1382. Докажите, что если диагональные сечения призмы
пересекаются, то их общий отрезок параллелен и равен боковому ребру
призмы.
1383. Докажите, что не существует треугольной призмы,
площади боковых граней которой 20 см2, 30 см2 и 50 см2.
1384*. Через середины двух
сторон основания правильной
треугольной призмы под углом а к основанию
проведена плоскость, пересекающая
два боковых ребра. Найдите площадь
сечения, если сторона основания
равна а. Вычислите при а=15,7 см,
а = 30°.
1385. Сколько краски надо для
покраски гаража, размеры которого
даны на рисунке 424, если на
покраску 1 м идет 130 г?
Рис. 424
251

1386. Через сторону нижнего основания и противолежащую ей
сторону верхнего основания правильной шестиугольной призмы
проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если длина
каждого ребра призмы равна а.
1387. Основание прямой призмы — трапеция ABCD, АВ =
= BC = CD = 0,5DA. Площадь боковой поверхности призмы S.
Найдите площадь диагонального сечения призмы.
1388. В наклонной призме проведено сечение,
перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра.
Докажите, что площадь боковой поверхности призмы S=p\lf где
рх — периметр сечения, а / — длина бокового ребра призмы.
1389. АВСА\В\С\ — правильная треугольная призма. Найдите
косинус угла A\BAt если Z.BA\C=a.
1390*. Основание призмы — трапеция, параллельные стороны
которой 8,8 дм и 5,6 дм, а непараллельные — 3,4 дм. Одно из
диагональных сечений призмы перпендикулярно основанию и
является ромбом с углом 45°. Найдите высоту призмы.
1391. Практическое задание. Вырежьте из плотной
бумаги развертку прямой треугольной призмы и склейте из нее
призму.
§ 72. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Параллелепипедом называется призма, основание которой —
параллелограмм.
Все шесть граней параллелепипеда — параллелограммы.
Каждую из них параллельным переносом можно отобразить на
противоположную. Поэтому противоположные грани
параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях,
противоположные ребра равны и параллельны.
Теорема 68. Диагонали параллелепипеда пересекаются
в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Доказательство. Пусть ABCDA\B\C\D\ —
произвольный параллелепипед (рис. 425). Его ребра ABt DC, D\C\t A\B\ рав-
Рис. 425
А~7\
252

ны и параллельны. Значит, четырехугольники ABCXD\ и DCB\AX —
параллелограммы, их диагонали пересекаются. Пусть диагонали
АС\ и BD\ первого параллелограмма пересекаются в точке О,
а диагонали DB\ и СА\ второго — в точке 0\. Так как точкой
пересечения каждая диагональ параллелограмма делится
пополам, то О и 0\ — середины отрезков АС\ и DB\. Эти отрезки —
диагонали параллелограмма ADC\B\t их середины совпадают.
Таким образом, середина каждой диагонали ACU BDU CAU DB\ —
одна и та же точка О. Ц
Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны
плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. В
нем все боковые грани — прямоугольники, а основания —
произвольные параллелограммы. Если все грани параллелепипеда —
прямоугольники, его называют прямоугольным
параллелепипедом. Длины трех его ребер, выходящих из одной вершины,
называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. На
рисунке 426 изображен прямоугольный параллелепипед с
измерениями а, 6, с.
Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого
равны, называется кубом. Правильная четырехугольная призма —
частный вид прямоугольного параллелепипеда. Соотношения
между различными видами параллелепипедов представлены на схеме:
Параллелепипеды
Z
Прямые
ZS.
Наклонные
Прямоугольные
ZZ7X
Правильные четырехугольные
призмы
Непрямоугольные
Другие
Кубы
Другие
Диагональные сечения прямоугольного параллелепипеда —
равные прямоугольники. Поэтому в каждом прямоугольном
параллелепипеде все диагонали равны.
Теорема 69. Квадрат диагонали прямоугольного
параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство. Пусть ABCDA\B\C\D\ —
прямоугольный параллелепипед, измерения которого ЛВ = а, AD = bf AA\ = c
253

Рис. 427
(рис. 427). В нем AC=BD, а углы А\АС и BAD прямые. Поэтому
A{C2=AA2+AC2=AA2+BD2=AA2+AB2+AD2 = c2+a2 + b2.
Итак, А{С2 = а2 + Ь2 + с2. Щ
Замечание. Обратите внимание на то, что под
«диагональю» в теореме 68 понимается отрезок, а в теореме 69 — длина.
Названия «высота», «боковое ребро», «сторона основания» тоже
употребляются для обозначения двух разных понятий: отрезка
и его длины. Вместо «длина диагонали равна d» пишут также
«диагональ равна d», или еще короче: «диагональ d».
Физики и другие специалисты используют правило
параллелепипеда для сложения некомпланарных векторов. Если
ABCDA\B\C\D\ — параллелепипед (рис. 428), то АА\+АВ +
+AD=ACu
Действительно, если АВ=А\В\ и AD = B\C\t то
1392. Три грани параллелепипеда — прямоугольники. Следует
ли из этого, что данный параллелепипед прямоугольный?
1393. Может ли в основании наклонного параллелепипеда
лежать прямоугольник? а квадрат?
1394°. Измерения прямоугольного параллелепипеда 2 дм, 3 дм
и 6 дм. Найдите длины его. диагоналей.
Решение. Квадрат диагонали d прямоугольного
параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Поэтому
d2 = 4 + 9 + 36=49, d = 7.
Ответ. Длина каждой диагонали равна 7 дм.
1395. Найдите площадь поверхности прямоугольного
параллелепипеда по трем его измерениям: а) 10 см, 16 см и 22 см; б) а,
Ъ и с.
254

1396. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда,
если площади трех его граней 42 см , 72 см2 и 84 см2.
1397. ABCDA\B\C\D\ — прямой параллелепипед, а /С, L, М —
середины ребер АВ, А\В\9 В\С\. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки /С, L, М. Найдите
площадь сечения, если АА i = 3 см, а /Ш=5 см.
1398°. Найдите площадь поверхности прямоугольного
параллелепипеда, у которого диагональ равна 13 дм, высота 12 дм,
а одно из ребер основания 4 дм.
1399. Дан параллелепипед, каждая грань которого — ромб
со стороной а и углом а. Найдите площадь его поверхности.
1400. Найдите площади диагональных сечений прямого
параллелепипеда, если стороны его основания равны 2,3 ми 1,1 м,
угол между ними 60°, а боковое ребро 1 м.
1401. Измерения прямоугольного параллелепипеда 3, 4 и 5.
Под каким углом наклонена диагональ параллелепипеда к
плоскости наименьшей его грани?
1402. Как связаны между собой измерения а, 6, с
прямоугольного параллелепипеда, если его диагональное сечение — квадрат?
1403. Можно ли пересечь прямоугольный параллелепипед
плоскостью так, чтобы в сечении получился прямоугольный
треугольник?
1404*. В прямом параллелепипеде стороны оснований 3 см
и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите длины
диагоналей параллелепипеда, зная, что меньшая из них образует
с плоскостью основания угол 60°.
1405. Докажите, что если диагональ прямоугольного
параллелепипеда с плоскостями его граней образует углы а, р, у, то
sin2 а + sin2 p + sin2 y= 1.
Решение. Данные углы изображены на рисунке 429. Если
DBi=d, то из прямоугольных треугольников B\DA\9 B\DB и
B\DC\ найдем измерения параллелепипеда:
Bii4i = dsina, B\B = ds\n$y B\C\ = ds\ny.
Тогда по теореме 69
d2 sin2 a + d2 sin2 p-fd2 sin2 y=d\
откуда sin2 a + sin2 p + sin2 у = 1. gf /if
1406. Диагональ прямоугольного
параллелепипеда равна d и
наклонена к плоскостям двух его граней под
углами аир. Найдите длины ребер
параллелепипеда.
1407. Могут ли диагонали трех
граней прямоугольного
параллелепипеда иметь длины: а) 30 см, 40 см и
70 см; б) 30 см, 40 см и 50 см?
1408*. Докажите, что сумма квад- Рис. 429
255
/\^
N.х- !
Ьг-эм
wy^i^jiy ■yl^^»wi'Wiiiwp^.li'jyt«it"i J' ■

ратов диагоналей любого параллелепипеда равна сумме квадратов
всех его ребер.
1409*. Докажите, что в каждом параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
плоскость A\BD отсекает от диагонали АС\ ее третью часть.
1410*. Каждая грань параллелепипеда — ромб со стороной
а и углом 60°. Найдите длины диагоналей параллелепипеда.
1411. Практическое задание. Сделайте из картона
или дерева модель наклонного параллелепипеда.
§ 73. ПИРАМИДА
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого —
произвольный многоугольник, а остальные грани — треугольники,
имеющие общую вершину (рис. 430). Эти треугольники, имеющие
общую вершину, называют боковыми гранями, их общую
вершину — вершиной пирамиды. Грань пирамиды, не являющаяся
боковой,— основание пирамиды. В зависимости от числа сторон
основания различают треугольные, четырехугольные, ..., я-уголь-
ные пирамиды. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром.
Каждое ребро пирамиды, не являющееся стороной
основания, называют боковым ребром. Если пирамида выпуклая и не
является треугольной, то любая плоскость, проходящая через
боковое ребро и диагональ основания, рассекает ее на.две другие
пирамиды. Такая плоскость называется диагональной плоскостью,
а сечение пирамиды этой плоскостью — диагональным сечением.
Каждое диагональное сечение пирамиды — треугольник.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из ее вершины
на плоскость основания, или длина этого перпендикуляра.
Пирамида называется правильной, если ее основание —
правильный многоугольник,. а егр центр совпадает с основанием
высоты пирамиды. Все боковые ребра правильной пирамиды
равны. Все боковые грани правильной пирамиды — равные
равнобедренные треугольники. Высоту боковой грани правильной
пирамиды, проведенную из ее вершины,
называют апофемой пирамиды. На
рисунке 431 изображены правильные
треугольная и четырехугольная
пирамиды. Отрезки РО — их высоты, а
РМ апофемы.
Боковая поверхность пирамиды
состоит из всех ее боковых граней.
Теорема 70. Площадь боковой
поверхности правильной пирамиды
равна произведению полупериметра ее
основания на апофему пирамиды.
Доказательство. Если
сторона основания данной пирамиды a, a
Рис. 430 апофема / (рис. 432), то площадь одной
256

ее боковой грани равна -тгсй. Боковая поверхность S6 пирамиды
состоит из п таких граней, ее площадь в п раз больше. Поэтому
если полупериметр основания пирамиды равен р, то
S6=-Lal-n=pl. В
Площадь поверхности пирамиды равна сумме площади ее
боковой поверхности и площади основания: S = S6 + S0.
Существует еще один способ вычисления площади боковой
поверхности правильной пирамиды. Если двугранный угол при
основании правильной пирамиды равен ср, а площадь ее основания
5
S0, то площадь боковой поверхности S6=—— .
Ведь если SPAB и S0AB — площади боковой грани РАВ
правильной пирамиды и ее проекции на плоскость основания (см.
рис. 432), то
SoAB-SpAB=OM:PM = cos<p.
Значит,
So:S6=nS0AB:nSPAB=cos ф, S6=^^.
Такой же формулой связаны
площади основания и боковой поверхности
любой пирамиды, у которой каждый из
двугранных углов при основании
равен ф.
Если произвольную /z-угольную
пирамиду пересечь плоскостью,
параллельной основанию, эта плоскость
отсечет от пирамиды многогранник, две
грани которого я-угольники, а
остальные п граней — трапеции. Такую часть
9 Заказ 223
257

DA M
Рис. 433 Рис. 434
пирамиды называют усечённой пирамидой. Параллельные грани
усеченной пирамиды называют ее основаниями, а все остальные —
боковыми гранями. Высота усеченной пирамиды — расстояние
между плоскостями ее оснований.
Усеченную пирамиду называют правильной, если она — часть
правильной пирамиды. На рисунке 433 изображена правильная
четырехугольная усеченная пирамида ABCDA\B\C\D\. Грани
ABCD и A\B\C\D\ — ее основания, отрезок ММ\ — апофема,
00\ — высота.
1412. Сколько граней, вершин и ребер имеет /2-угольная
пирамида? Существует ли пирамида, имеющая 125 ребер?
1413. Основание пирамиды — трапеция. Постройте прямые, по
которым пересекаются плоскости противолежащих боковых
граней пирамиды.
Решение. Пусть дана пирамида PABCD, у которой АВ\\CD
(рис. 434). Плоскости ее боковых граней РАВ и PCD
пересекаются по прямой Р/С, параллельной АВ (см. задачу 1085).
Если прямые AD и ВС пересекаются в точке М, то плоскости
граней PAD и РВС имеют общие точки Р и М. Значит, они
пересекаются по прямой РМ.
Итак, строим: 1) прямую РК, параллельную АВ\ 2) прямую
РМ, где М — точка пересечения прямых AD и ВС. Прямые РК
и РМ — искомые.
1414. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
равно b и наклонено к плоскости основания под углом а. Найдите:
а) высоту пирамиды; б) радиус окружности, описанной около
основания; в) диагональ основания; г) площадь диагонального
сечения; д) сторону основания.
1415. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды
равно Ь и наклонено к плоскости основания под углом и. Найдите:
а) высоту пирамиды; б) радиус окружности, описанной около
258

основания; в) наибольшую диагональ основания; г) площадь
наибольшего диагонального сечения; д) сторону основания;
е) площадь основания.
1416. Апофема правильной треугольной пирамиды равна т и
наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите: а)
высоту пирамиды; б) радиус окружности, вписанной в основание;
в) радиус окружности, описанной около основания; г) сторону
основания; д) площадь основания; е) площадь боковой грани.
1417. Известная пирамида Хеопса в Египте — правильная
четырехугольная пирамида, высота которой приближенно равна
147 м, а площадь основания 5,3 га. Найдите меру двугранного
угла при ребре ее основания и угол наклона к плоскости
основания ее бокового ребра.
1418. Площадь диагонального сечения правильной
четырехугольной пирамиды вдвое меньше площади основания.
Докажите, что противолежащие боковые ребра пирамиды
перпендикулярны.
1419°. В правильной четырехугольной пирамиде сторона
основания 10 м, высота 12 м. Найдите площадь поверхности пирамиды.
1420. Найдите площадь поверхности тетраэдра, вершины
которого — точки О (0; 0; 0), А (2; 0; 0), В (0; 2; 0), С (0; 0; 2).
1421. Основание пирамиды — правильный треугольник; одна
из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие
наклонены к нему под углом 60°. Как наклонено к плоскости
основания наибольшее боковое ребро?
1422. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды,
основание которой — квадрат со стороной а, а высота проходит
через одну из вершин основания и равна Л.
1423. Основание пирамиды — ромб, острый угол которого 45°,
а радиус вписанной окружности 3 см. Высота пирамиды проходит
через центр этой окружности и равна 4 см. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды.
1424. Докажите, что если все боковые ребра пирамиды
наклонены к плоскости основания под
равными углами, то основание ее
высоты — центр окружности, описанной
около основания пирамиды.
Решение. Если все боковые
ребра пирамиды РАВС...К
наклонены к плоскости основания под углом
Ф (рис. 435), то прямоугольные
треугольники РОА, РОВ, ..., РОК равны
по катету РО и противолежащему
углу. Тогда равны и отрезки OAt OB,
ОС,,.., ОК. Значит, все вершины
основания данной пирамиды лежат на
одной окружности с центром в В
точке О. Рис. 435
259

1425. Докажите, что если все двугранные углы при ребрах
основания пирамиды равны, то основание ее высоты — центр
окружности, вписанной в основание пирамиды.
1426. В правильной шестиугольной пирамиде сторона
основания равна а, боковое ребро наклонено к плоскости основания
под углом а. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Вычислите при а = 7 см, а = 45°.
1427. Высота правильной четырехугольной усеченной
пирамиды равна 12 дм. Стороны оснований 20 см и 38 см. Найдите:
а) длину ее бокового ребра; б) площадь сечения, проходящего
через диагонали оснований; в) площадь поверхности.
1428. Докажите, что площадь боковой поверхности
правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы
периметров ее оснований на апофему.
Решение. Все боковые грани правильной усеченной
пирамиды — равные трапеции. Стороны оснований и высота такой
трапеции являются соответственно ребрами оснований а, Ь и
апофемой т данной усеченной пирамиды. Поэтому площадь одной
боковой грани равна 0,5(а + 6)/п. Если правильная усеченная
пирамида л-угольная, площадь ее боковой поверхности
S = 0,5 (a + b) m«Ai = 0,5 (an + bn) m = 0,5 (pi+рг) m.
.< Итак, если pi, рг и m — периметры оснований и апофема
правильной усеченной пирамиды, то площадь ее боковой
поверхности S=&±tem.
2
1429*. Основание пирамиды — ромб, сторона которого а, а
острый угол 60°. Высота пирамиды равна а и проходит через
вершину острого угла основания. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
1430*. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с
катетами 12 см и 16 см. Каждый из двугранных углов при ребрах
основания равен 60°. Найдите высоту пирамиды.
§ 74. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
Сечением выпуклого многогранника является многоугольник.
Чтобы построить его, нужно указать отрезки, по которым
секущая плоскость пересекает грани многогранника (см. § 53).
В зависимости от многогранника и расположения секущей
плоскости в сечении могут,быть разные многоугольники.
Задача. На боковых ребрах АА\, ВВ\, СС\
четырехугольной призмы ABCDA\B\C\D\ даны точки /С, Р, Т. Постройте
сечение призмы плоскостью, проходящей через данные точки.
Решение. Пусть прямые РК и ВА пересекаются в точке М9
а прямые РТиВС — в точке N (рис. 436). Точки М и N
принадлежат плоскости основания призмы и секущей плоскости.
Прямая MN — линия пересечения этих плоскостей. Если она
260

Рис. 436 Рис. 437
пересекает стороны основания призмы в точках Е и F, то
пятиугольник KPTEF — искомое сечение.
Если же прямая MN не пересекает основание призмы
(рис. 437), находим точку Q пересечения прямых MN и AD,
потом — точку £, в которой прямая KQ пересекает ребро DD\.
Четырехугольник КРТЕ — искомое сечение.
Если точки /С, Р, Т расположены так, что КР\\АВ и,
следовательно, точки пересечения этих прямых не существует, тогда
проводим MN\\AB. Заканчиваем построение, как в предыдущем
случае (рис. 438).
Если же окажется, что КР\\АВ и РТ\\ВС, тогда секущая
плоскость параллельна плоскости основания. В этом случае на
ребре DD\ отмечаем точку £, такую, что KE\\AD.
Четырехугольник КРТЕ — искомое сечение.
Чтобы понять следующую теорему о сечениях пирамид,
необходимо иметь представление о гомотетии фигур в пространстве.
Рассмотрим пример. Пусть даны треугольник ABC и точка
О (рис. 439). Проведем через каждую точку X треугольника

луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ\, равный 2*ОХ. При
этом получится новый треугольник А\В\С\. Если точка О лежит
в плоскости данного треугольника, то и полученный треугольник
лежит в этой же плоскости. В планиметрии такое преобразование
фигур называют гомотетией; треугольник A\B\Ct гомотетичен
треугольнику ABC относительно точки О с коэффициентом k = 2.
Если аналогичное построение выполнить при условии, что точка О
не лежит в плоскости треугольника ABC, полученный
треугольник А\В\С\ окажется в другой плоскости. И в этом случае
говорят, что треугольник А\В\С\ гомотетичен треугольнику ABC.
Гомотетичны (относительно той же точки О и с тем же
коэффициентом гомотетии k = 2) также отрезки А\С\ и Л С, треугольники
ОА\С\ и ОАС9 пирамиды ОА\В\С\ и ОАВС. Так как гомотетичные
фигуры подобны, а площади плоских подобных фигур относятся
как квадраты их соответствующих линейных размеров, то
отношение площадей плоских гомотетичных фигур равно квадрату
коэффициента гомотетии.
Теорема 71. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной
основанию, есть многоугольник, гомотетичный основанию.
Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний
от вершины пирамиды.
Доказательство. Пусть РАВС...К — пирамида,
площадь основания которой S, а высота h (рис. 440). И пусть
плоскость а, параллельная основанию и удаленная от вершины
Р на Ai, пересекает пирамиду по многоугольнику А\В\С\...Ки
площадь которого S\.
Если Н — основание высоты пирамиды, а X — произвольная
точка основания пирамиды, то плоскость а пересекает отрезки
РН и РХ в таких точках Н\ и Хи что Н\Х\\\НХ. Треугольники
РН\Х\ и РНХ подобны. Коэффициент
их подобия k = PH\:PH = h\ih.
Следовательно, для любой точки X
основания пирамиды PX\iPX = kt т. е.
многоугольники A\B\Ci...K\ и
ABC...К гомотетичны, k —
коэффициент гомотетии.
Так как отношение площадей
плоских гомотетичных фигур равно
квадрату коэффициента гомотетии,
то
Sl:S=k2 = hbh2. Щ
Следствие. Основания
усеченной пирамиды гомотетичны.
1431. Постройте сечение
треугольной призмы АВСА\В\С\ плоскостью,
Рис. 440 проходящей через: а) вершины Л,
262

а) б) *)
Рис. 441
В и середину ребра СС{; б) вершины С, С\ и середину ребра АВ;
в) середины ребер АВ, АС, А\С\.
1432. АВСА\В\С\—треугольная призма, все боковые грани
которой — квадраты. Что представляет собой сечение призмы
плоскостью, проходящей через ребро АВ под углом а к плоскости
основания, если: а) а=45°; б) а =60°?
1433. ABCDA\B\C\D\—произвольная четырехугольная
призма. Постройте ее сечение плоскостью, проходящей через: а)
вершину А\ и середины ребер ВВ\ и DD\\ б) вершину А\ и ребро ВС;
в) вершины А, В и D\\ г) ребро АА\ и середину ребра ВС.
1434. PABCD —четырехугольная пирамида. Постройте ее
сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро РА и середину
ребра ВС; б) ребро АВ и середину ребра PC; в) середины ребер
АВ, ВС, PD; г) середины ребер АВ, ВС, РА.
1435. Перечертите рисунки 441, а—в в тетрадь и на каждом
постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
точки К, Р, Г.
1436. Сторона основания правильной четырехугольной призмы
равна а. Через диагональ основания под углом а к плоскости
основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро.
Найдите площадь сечения.
1437. Площадь основания прямого параллелепипеда равна
10 дм2. Секущая плоскость проходит через сторону основания,
пересекает два боковых ребра и образует с плоскостью основания
угол 45°. Найдите площадь сечения.
1438. В правильной четырехугольной пирамиде через
середины смежных сторон основания проведена плоскость,
перпендикулярная основанию. Найдите площадь сечения, если сторона
основания пирамиды а, а ее боковое ребро Ь.
1439. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна
h и составляет с боковым ребром угол а. Через диагональ
основания пирамиды проведена плоскость под углом ср к
основанию. Найдите площадь сечения.
Решение. Пусть PABCD — данная пирамида (рис. 442),
PO = h — ее высота, АОРА = а, Z./(ОД = ср. Требуется найти
263

площадь сечения KBD. Так как
BD±OA и BD±OPy то BD±OK.
Поэтому искомая площадь S=
=±-BD-OK=OB-OK.
Из прямоугольного АРОА
находим: OB=zOA=htga.
Длину отрезка ОК найдем из
Д РОК по теореме синусов: Z. РОК=
=90о-<р, ^РКО = 180°-(90°-ф)-
— а = 90° + ф — а. Следовательно,
ОК = h
sin a sin (90°+<р—а)'
ок=
h sin а
cos (<р —а)
Итак, искомая площадь сечения
h sin a fe2 tg a sin a
S = OS-0/(=/itga<
cos (<p—a) cos (q>—a)
Здесь ф и a — любые острые углы.
1440. ABCD — тетраэдр. Нарисуйте фигуру, гомотетичную ему
относительно точки А с коэффициентом Л = 3. Во сколько раз
площадь поверхности этой фигуры больше площади поверхности
данного тетраэдра?
1441. PABCD — четырехугольная пирамида. Постройте
фигуру, гомотетичную ей относительно вершины Р с коэффициентом
гомотетии £=4--
з
1442. Через середину высоты пирамиды параллельно
основанию проведено сечение. Найдите площадь сечения, если площадь
основания S.
1443. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит
ее высоту в отношении 2:3 (считая от вершины). Найдите
площадь сечения, зная, что она меньше площади основания на 84 см2.
1444. Основание параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ — квадрат,
АВ = а, BBi = b, Z-ABB\ = £B\BC = q>. Найдите площади
диагональных сечений.
1445. Найдите площади диагональных сечений правильной
шестиугольной пирамиды, если ее высота и сторона основания
равны б дм.
1446*. РАВС — правильная пирамида, у которой АР=ау
ААРВ = 90°. Точка К делит ребро ВС в отношении 1:2. Найдите
площадь треугольника А Р/С.
264

Глава XVI
ДВИЖЕНИЯ
§ 75. СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ
Если точки данной фигуры F сместить каким-нибудь
способом в пространстве, получим -новую фигуру F\. При этом, если
разные точки первой фигуры смещаются (отображаются) на
разные точки второй, говорят о преобразовании данной фигуры.
Особенно важны в геометрии преобразования фигур,
сохраняющие расстояния (движения).
Преобразования фигур на плоскости — симметрия
относительно точки или лрямой, поворот, параллельный перенос,
гомотетия — изучаются в планиметрии. Здесь мы рассмотрим
важнейшие преобразования фигур в пространстве.
Определения симметрии относительно точки,
центрально-симметричной фигуры, известные из планиметрии, остаются
правильными и для стереометрии (см. § 24). Например, если даны
тетраэдр ABCD и точка О (рис. 443), то, построив точки Аи
В и Си D\9 симметричные вершинам данного тетраэдра
относительно О, получим вершины нового тетраэдра A\B\C\D\y
симметричного данному. Примером центрально-симметричной фигуры
является каждый параллелепипед. Точка пересечения
диагоналей — его центр симметрии (см. рис. 425).
Центрально-симметричной является правильная я-угольная призма при четном п. Ни
одна пирамида не имеет центра симметрии.
Сопоставим два преобразования фигур в пространстве:
симметрию относительно точки и гомотетию (см. рис. 439). Каждое
из них прямую отображает на параллельную ей (или на
совпадающую с ней) прямую, плоскость — на параллельную ей (или
на совпадающую с ней) плоскость, угол — на угол, равный
данному.

Рис. 445
Но в одном эти два геометрических преобразования
отличаются существенно. Если фигура F\ гомотетична фигуре F с
коэффициентом Л, отличным от 1, и ^сли А и В — какие-нибудь
точки фигуры Ft а А\ и В\ — соответствующие им точки фигуры
Fj, то А\В\ФАВ (рис. 444). Говорят, что гомотетия не
сохраняет расстояний. А вот симметрия относительно точки такие
расстояния сохраняет.
Теорема 72, Симметрия относительно точки сохраняет
расстояния между точками.
Доказательство- Пусть симметрия относительно точки
О отображает любые две точки А т В фигуры F на точки А\
и В% фигуры F\. Докажем^ что А\В\=АВ {рис. 445).
Так как ОА = —ОА\ и ОВ=—ОВи то
№ = dtf — CA = 6A{ — OBi=l&x.
—>• —►
Векторы АВ и В\А\ равны, значит, равны и их длины-:
ВхАх^АВ. Щ
Замечание. Из доказанного равенства АВ = В\А\ следует
также, что отрезки АВ и А\В\ параллельны или лежат на одной
прямой.
1447. Можно ли для любых двух точек пространства найти
третью точку, относительно которой они симметричны?
1448. В пространстве даны две параллельные прямые.
Симметричны ли они относительно точки? Сколько таких точек
существует?
1449. Даны отрезок АВ и точка О, не лежащая на прямой АВ.
Постройте фигуру, симметричную данному отрезку относительно
точки О. Докажите, что построенный отрезок лежит в плоскости
ОАВ.
1450. Могут ли два неравных отрезка быть симметричными
относительно некоторой точки?
266

1451. Могут ли пересекающиеся или скрещивающиеся отрезки
быть симметричными относительно некоторой точки?
1452. Постройте фигуру, симметричную данному треугольнику
ABC: а) относительно его вершины С; б) относительно середины
М его стороны Л В.
1453. Найдите координаты точки, симметричной точке
Л(1; 2; 3) относительно начала координат.
1454. Найдите координаты точки, относительно которой
симметричны точки К (2; 3; — 1) и Р( — 4; 5; 1).
1455. Найдите координаты точки, симметричной точке
Л(1;^2; 3) относительно точки М(а\ Ь\ с).
Решение. Пусть А\ {х\ у\ z) — искомая точка. Так как
М(а; Ь; с)—середина отрезка АА\У то (см. задачу 1256)
a-£±lf 6_£±£f c=2±3,
2 2 2
откуда
х=2а—1, у = 26 — 2, 2Г=2с —3.
Ответ. Ai(2a—1; 26—2; 2с—3).
1456* Постройте треугольник, симметричный данному
треугольнику ЛЯС относительно точки О, не лежащей в плоскости
ABC. Докажите, что данный и построенный треугольники равны
и лежат в параллельных плоскостях.
1457. ABCDKLMN—куб. Нарисуйте фигуру, симметричную
ему относительно точки А.
1458. Точки Л, В, С и D расположены в пространстве так,
что Л и С симметричны относительно Ву а В и D симметричны
относительно С. Можно ли через все эти точки провести
плоскость?
1459. Площадь каждой грани тетраэдра ABCD равна S.
Найдите площадь поверхности фигуры, симметричной этому
тетраэдру относительно точки Л.
1460°. Постройте фигуру,
симметричную тетраэдру ABCD
относительно его вершины С. Укажите
параллельные ребра и параллельные
грани данной и построенной фигур.
1461. Является ли центрально-
симметричной правильная призма:
а) треугольная; б) четырехугольная;
в) пятиугольная; г) шестиугольная?
1462. Имеет ли центр симметрии
наклонная призма, основание
которой — правильный шестиугольник
(рис. 446)?
1463. Существуют ли центрально-
симметричные усеченные пирамиды?
Рис. 446
267

1464. Правильно ли, что центрально-симметричный
многогранник имеет четное число вершин, ребер и граней?
§ 76. СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ
Точки А и А\ называются симметричными относительно
плоскости, если эта плоскость перпендикулярна отрезку АА\ и делит
его пополам (рис. 447).
Преобразование, отображающее каждую точку фигуры на
точку, симметричную ей относительно данной плоскости, называется
симметрией относительно плоскости.
Теорема 73. Симметрия относительно плоскости
сохраняет расстояния между точками.
Доказательство. Пусть симметрия относительно
плоскости а отображает точки А и В фигуры F на точки А\ и В\
фигуры F\ (рис. 448). Докажем, что А\В\=АВ.
Введем систему координат xyz так, чтобы координатная
плоскость ху совместилась с плоскостью а. Пусть координаты данных
точек: А (ах\ а2\ а3) и В{Ь\\ Ъ2\ &з). Симметричными им
относительно плоскости а будут точки А\ (а\\ а2\ —аз) и В\ (Ь\\ Ь2\ — Ьз).
По теореме 63 ЛВ==У(&1 — а\)2 + (Ь2--а2у + (Ьг--аъУ, А\ВХ =
=V(6i — alf + (b2 — а2)2 + (—Ьз + а3)2. Как видим, АВ=А{В{. Щ
Итак, симметрия относительно плоскости — движение. Можно
доказать, что она отображает отрезок на отрезок, прямую —
на прямую, плоскость — на плоскость, тело — на тело.
Рассмотрим куб ABCDA\B\C\D\ и плоскость а, проходящую
через его. ребра АА\ и СС\ (рис. 449). Симметрия относительно
плоскости а отображает точки В и В\ на D и D\9 ребро ВВ\ — на
ребро DD\, грань АВВ\А\ — на грань ADD\AU каждую
внутреннюю точку X — на внутреннюю точку
Х\ этого же куба. Говорят, что при
симметрии относительно плоскости а
данный куб отображается на себя.
Если некоторая фигура
симметрией относительно плоскости а
отображается на себя, эту фигуру
fA
♦Д|
i
I
Рис. 447
Рис. 448
268

Рис. 449
называют симметричной
относительно плоскости, а а — плоскостью
симметрии данной фигуры.
Например, правильная треугольная призма
имеет четыре плоскости симметрии,
а шар — бесконечно много.
Симметричны относительно
плоскостей молотки, рубанки, стамески,
лопаты, отвертки, кирпичи, трубы,
подшипники, автомобили (рис. 450),
самолеты, ракеты, корабли и многие
другие орудия производства и
механизмы, а также некоторые плоды,
насекомые и т. д. Учение о симметрии
многогранников важно для
кристаллографии. Оказывается, один и тот
же кристалл в разных
направлениях имеет разные физические
свойства, например твердость. И
выявлять эти направления помогают
исследования симметрии кристаллов.
Если симметрия относительно
плоскости а отображает данную
фигуру F на фигуру F\9 а симметрия
относительно плоскости o&i — фигуру
F\ на F2, то отображение фигуры F на F2 называют композицией
двух симметрии относительно данных плоскостей. Если
плоскости а и o&i параллельны, то эта композиция — параллельный
перенос: существует параллельный перенос, отображающий
фигуру F на ^2 (рис. 451). Если плоскости а и o&i пересекаются
по прямой с9 то композиция таких двух симметрии называется
поворотом фигуры F вокруг прямой (рис. 452). В частности,
если aJ_o&i, композиция двух рассматриваемых симметрии —
поворот вокруг прямой с на 180°, называемый также симметрией
относительно оси с.
Рис. 450
F
№
А
£У
Рис. 451
4
м
№ Ц
Рис. 452
269

С поворотами материальных тел часто имеют дело токари,
фрезеровщики, сверлильщики, бурильщики и др. Теоретические
вопросы, связанные с поворотами фигур в пространстве, важны
для специалистов, создающих турбины, электромоторы,
центробежные насосы, всевозможные центрифуги и особенно
современные роторные и роторно-конвейерные машины.
1465. Нарисуйте фигуру, симметричную данному отрезку
АВ относительно плоскости а. Рассмотрите все. возможные
случаи.
1466. Плоскость р не пересекает треугольник ABC.
Нарисуйте фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно
плоскости р.
1467. Найдите координаты точек, симметричных точке
A (a\-f a2; а3) относительно координатных плоскостей.
1468. Отрезки АВ и А\В\ симметричны относительно некоторой
плоскости. Могут ли они принадлежать скрещивающимся прямым?
а пересекающимся?
1469. Могут ли быть симметричными относительно некоторой
плоскости а два несовпадающих отрезка одной прямой? Как
расположена плоскость а по отношению к этой прямой?
1470. Точки А и В симметричны относительно плоскости р.
Докажите, что если Mgp, то МА=МВ.
1471. Отрезок АВ пересекает плоскость со в точке О. Отрезок
ОВо — проекция отрезка ОВ на плоскость со. Постройте фигуру,
симметричную отрезку АВ относительно плоскости со.
1472. Прямая АВ наклонена к некоторой плоскости под углом
<р и симметрична относительно этой плоскости прямой А \В.
Найдите угол между прямыми АВ и А\В.
1473. Правильно ли, что, какие бы ни были плоскости аир,
они симметричны относительно третьей плоскости со?
1474°. Постройте фигуру, симметричную прямоугольному
параллелепипеду относительно одной из его граней.
1475. Даны изображения тетраэдра ABCD и его высоты DH.
Постройте изображение фигуры, симметричной ему относительно
плоскости ABC.
1476. Сколько плоскостей симметрии имеет квадрат?
1477. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная
четырехугольная призма, отличная от куба?
1478. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная
треугольная пирамида, если ее боковая грань не равна основанию?
1479. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная
четырехугольная пирамида? Нарисуйте их.
1480. Сколько плоскостей симметрии имеет тетраэдр, одно
ребро которого вдвое короче каждого из остальных ребер?
1481. Сколько плоскостей симметрии имеет прямая призма,
основанием которой является равнобедренная трапеция?
неравнобедренная трапеция?
270

1482. Точки В и С симметричны одной и той же точке А
относительно перпендикулярных плоскостей 0 и v, пересекаю-
щихся по прямой а. Найдите расстояние от А до прямой а если
ВС = 6 м.
1483*. Дан тетраэдр ABCD, у которого ребро АВ
перпендикулярно плоскости BCD. Нарисуйте фигуру, симметричную этому
тетраэдру относительно прямой АВ.
1484. Практическое задание. Сделайте
проволочные модели ломаных из трех равных и попарно перпендикулярных
звеньев и разместите их так, чтобы они оказались
симметричными: а) относительно точки; б) относительно плоскости.
§ 77. РАВЕНСТВО И ПОДОБИЕ ФИГУР
С геометрическими движениями тесно связано понятие
«равенство фигур». Как известно из планиметрии, две
фигуры'называются равными, если существует движение, отображающее одну
из них на другую. Имеются в виду не только рассмотренные
ранее отдельные виды движения фигур в пространстве, но и их
композиции, состоящие из нескольких последовательно
выполняемых движений. Например, если симметрия относительно плоскости
со данную фигуру F отображает на F\9 а параллельный перенос —
фигуру F\ на Ft* то считается, что существует движение,
отображающее фигуру F на F% (рис. 453). Все эти фигуры равны:
F=Fx=F2.
Соотношение равенства геометрических фигур транзитивно:
если первая фигура равна второй, а вторая — третьей, то первая
и третья фигуры тоже равны.
Следует, обратить внимание на то, что рассматриваемые
фигуры F и F\ хотя и равны, но ориентированы неодинаково.
Они отличаются, как правый и левый ботинки одной пары. А
фигуры F\ и F2 не только равны, но и ориентированы одинаково.
С равными материальными предметами приходится иметь дело
многим рабочим. Современная промышленность выпускает
большие партии геометрически равных изделий. Равны все заготовки,
вылитые в одной форме, все детали, изготовленные станком-
автоматом по одной программе. На
многие изделия существуют
специальные ГОСТы. Служба
стандартизации обязывает выпускать такие
изделия установленных стандартов,
геометрически равные друг другу.
Понятия преобразования подобия
и подобных фигур в пространстве
совпадают с аналогичными
понятиями на плоскости (см. § 26).
Примером подобных фигур в
пространстве могут служить фигуры F2 и F\ Рис. 453
271

Рис. 454
(рис. 454). Если фигуры равны или гомотетичны, они подобны.
Но не всегда подобные фигуры гомотетичны. Чтобы две
подобные фигуры стали гомотетичными, их следует соответствующим
образом разместить в пространстве.
Признаки подобия, доказанные в планиметрии для
треугольников одной плоскости, справедливы и для треугольников,
расположенных в разных плоскостях. Подобными могут быть и
неплоские фигуры. Например, любые два куба подобны друг другу.
То же можно сказать о двух правильных тетраэдрах, о двух
шарах, о фигурах F и F\9 изображенных на рисунке 454, и др.
Пусть ребро одного куба втрое длиннее ребра другого. Во
сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади
поверхности второго? В 9 раз (рис. 455). Вообще площади
поверхностей подобных тел относятся как квадраты их
соответствующих линейных размеров.
Свойства подобных фигур в пространстве часто используют
при моделировании. Например, прежде чем строить самолет,
корабль, плотину, завод, создают уменьшенные в несколько раз
подобные им модели. На этих моделях выявляют особенности
планируемых сооружений и своевременно устраняют дефекты
проектов.
1485. Докажите, что в
правильной четырехугольной призме все
диагонали равны и все диагонали
боковых граней равны.
1486. Докажите, что в
правильной четырехугольной пирамиде
равны: а) все диагональные сечения;
б) все двугранные углы при
основании; в) все двугранные углы при
боковых ребрах.
X
7L
2
г
1
Рис. 455
272

1487,. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через середины трех его параллельных ребер. Докажите,
что эта плоскость разбивает параллелепипед на равные
многогранники. Является ли она плоскостью симметрии данного
параллелепипеда?
1488. Двугранный угол при основании правильной
треугольной пирамиды 2ф. Правильно ли, что сечение, проведенное через
сторону основания под углом ф к плоскости основания,
рассекает данную пирамиду на две равные части?
1489. Плоскость проходит через апофему правильной
треугольной пирамиды и противоположное боковое ребро. Докажите, что
эта плоскость рассекает данную пирамиду на два равных
тетраэдра. Каким движением можно отобразить один из этих тетраэдров
на другой?
1490. В каждом из двух тетраэдров длина одного ребра а,
а остальных — 6. Равны ли эти тетраэдры?
1491. В каждом из двух тетраэдров три ребра имеют длину
а и три — длину Ь. Равны ли эти тетраэдры?
1492. Диагонали параллелепипеда ABCDA\B\C\D\
пересекаются в точке О. Равны ли пирамиды OABCD и OA\B\C\D\? a
пирамиды OABCD и ОАВВ\А\?
1493. Правильно ли, что диагональное сечение прямого
параллелепипеда разбивает его на две равные призмы? а если
параллелепипед наклонный?
1494. ABCDA\B\C\D\—куб. Докажите равенство пирамид
AAxBD и CiCDiB,.
Решение. Пусть О — середина диагонали АС\ куба. При
симметрии относительно точки О вершины пирамиды AA\BD
отображаются на вершины пирамиды C\CD\B\ (рис. 456). Эти
пирамиды симметричны относительно точки О, значит, равны.
1495. /(, Р, 7\ М, N — середины ребер ABt AC, AD, BD и CD
тетраэдра ABCD. Докажите равенство тетраэдров АКРТ и TMND.
1496. Два куба расположены в пространстве так, что ребра
первого не параллельны ребрам второго. Подобны ли эти фигуры?
Гомотетичны ли они? Как относятся площади их поверхностей,
если ребро первого в п раз длиннее
ребра второго?
1497. Плоскость, параллельная
боковой грани правильной
треугольной призмы, отсекает от нее меньшую
треугольную призму. Подобны ли
эти призмы?
1498. Даны две правильные
четырехугольные призмы. Сторона
основания одной вдвое длиннее ее
бокового ребра, а сторона основания
другой вдвое короче ее бокового
ребра. Подобны ли эти призмы? Рис. 456
273

1499. Практическое задание. Сделайте проволочные
модели подобных ломаных из трех попарно перпендикулярных
звеньев и разместите их в пространстве так, чтобы они оказались
гомотетичными.
§ 78. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Многогранник называется правильным, если все его грани —
равные правильные многоугольники, а все вершины одинаково
удалены от некоторой точки. Эта точка называется центром
правильного многогранника.
Например, куб — правильный многогранник, так как все его
грани — равные квадраты, а все вершины одинаково удалены от
точки пересечения диагоналей.
Если соединить отрезками концы каких-либо двух
скрещивающихся диагоналей противолежащих граней куба, получим
каркас правильного тетраэдра (рис. 457). Каждая его грань —
равносторонний треугольник, а каждая вершина одинаково
удалена от центра куба. Соединив отрезками центры смежных граней
куба (рис. 458), получим каркас правильного октаэдра. Каждая
его грань — равносторонний треугольник, а каждая вершина
одинаково удалена от центра исходного куба.
Существует всего пять видов правильных многогранников.
Кроме трех названных, еще правильный додекаэдр и правильный
икосаэдр (рис. 459).
Замечание. Названия —
тетраэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр в
переводе с греческого означают
четырехгранник, восьмигранник,
двенадцатигранник и двадцатигранник.
Если центр О правильного л-гран-
ника соединить отрезками со всеми вер-
*В шинами, его можно разбить на п
правильных пирамид, основаниями
которых служат грани данного
многогранника, а общей вершиной — точка О
(рис. 460). Эти пирамиды в каждом
правильном многограннике равны, так
Рис. 457
1-Л
~~7\
,4V
/
/
X /-AJ\
/
I/
\F
Рис. 458
Рис. 459
274

Рис. 460 Рис. 461
как равны все их основания и все боковые ребра. У равных
правильных пирамид равны высоты и двугранные углы при
основаниях. Поэтому в каждом правильном многограннике каждая
грань одинаково удалена от центра и все двугранные углы равны.
Центр О каждого правильного многогранника, кроме
тетраэдра, является центром его симметрии. Каждый правильный
многогранник имеет несколько плоскостей симметрии. Например,
правильный тетраэдр имеет их 6, куб — 9. На рисунке 461
изображены три плоскости симметрии куба, проходящие через
середины параллельных ребер. Шесть остальных его плоскостей
симметрии проходят через противоположные ребра куба.
Известны и полуправильные многогранники (архимедовы
тела), каждый из которых ограничен правильными, но не
одноименными многоугольниками. Примеры таких тел несложно получить,
если при каждой вершине правильного многогранника отрезать
соответствующих размеров правильные пирамиды (рис. 462).
Форму куба имеют кристаллы поваренной соли и некоторые
алмазы. Другие алмазы кристаллизуются в форме правильных
октаэдров. Кристаллы пирита (железного колчедана) имеют
форму правильного додекаэдра. Она настолько характерна для
пирита, что кристаллографы додекаэдры чаще называют пиритоэд-
рами.
Свойства правильных (и производных от них)
многогранников используют также архитекторы и строители,
сооружающие сетчатые купола, специалисты, изучающие структуры
веществ, и др.
1500. Из каких двух
четырехугольных пирамид можно составить
правильный октаэдр? Как относятся
высота и сторона основания такой
пирамиды?
1501. Является ли правильным
многогранник, вершины которого— Рис. 462
275

центры всех граней: а) куба; б) правильного тетраэдра; в)
правильного октаэдра?
1502. Является ли правильным многогранник, вершины
которого — середины всех ребер: а) куба; б) правильного
тетраэдра; в) правильного октаэдра?
1503. Ученик рассуждает: «Каждая призма — многогранник,
следовательно, каждая правильная призма — правильный
многогранник». Прав ли он?
1504. Докажите, что сумма расстояний от произвольной
внутренней точки куба до всех его граней постоянна.
1505. Сколько плоскостей симметрии имеет правильный
октаэдр?
1506. Может ли шестиугольник быть сечением правильного
октаэдра? а девятиугольник?
1507. Нарисуйте развертку правильного октаэдра, ребро
которого равно 2 см.
1508. Докажите, что не существует правильного
многогранника, гранями которого являются правильные п-угольники при
я>6.
1509. Ребро правильного октаэдра равно 4 см. Найдите
площадь сечения этого октаэдра его плоскостью симметрии.
1510. Найдите площадь поверхности правильного
многогранника, если его ребро а и этот многогранник: а) тетраэдр; б)
октаэдр; в) икосаэдр.
1511. Под каким углом из центра куба видно его ребро?
а из центра правильного октаэдра?
1512. Докажите, что противоположные грани правильного
октаэдра лежат в параллельных плоскостях.
1513*. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите
расстояние между плоскостями его противоположных граней.
1514*. Практическое задание. Вырежьте из плотной
бумаги развертки правильного октаэдра, правильного
додекаэдра, правильного икосаэдра и склейте из них указанные
многогранники.
Глава XVII
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
§ 79. ПОНЯТИЕ О ТЕЛАХ И ПОВЕРХНОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ
Представим себе, что плоский многоугольник ABCDE
вращается вокруг прямой АВ (рис. 463, а). При этом каждая его
точка, не принадлежащая прямой АВ, описывает окружность с
центром на этой прямой. Весь многоугольник ABCDE, вращаясь
вокруг прямой АВ, описывает некоторое тело вращения
(рис. 463, б). Прямая АВ — ось этого тела.
276

а) в)
Рис. 463 Рис. 464
Плоскость, проходящая через ось тела вращения, является
его плоскостью симметрии. Таких плоскостей симметрии каждое
тело вращения имеет бесконечно много.
Любая плоскость, проходящая через ось тела вращения,
пересекает это тело. Полученное сечение — его называют осевым
сечением — симметрично относительно оси. В частности, осевое
сечение тела вращения может состоять из двух изолированных
друг от друга плоских .фигур, симметричных относительно оси
(рис. 464). Все осевые сечения тела вращения равны.
Сечением тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси,
является круг, или плоское кольцо, или несколько колец и т. д.
Для примера представим себе тело, полученное вращением
фигуры, изображенной на рисунке 465, вокруг прямой АВ. Если
его пересекать плоскостями, перпендикулярными оси и
проходящими через точки Л, В, С, то в сечении будем иметь соответственно
круг, круг и кольцо, два кольца. Если же тело вращения выпуклое,
то секущая плоскость, перпендикулярная оси вращения,
пересекает его по кругу (рис. 466).
Чтобы задать тело вращения, достаточно указать его ось и
А А /
Рис. 465 Рис. 466
277

фигуру, вращением которой получено данное тело. Описывая
такое тело словесно, вместо оси иногда указывают
принадлежащий ей отрезок. Например, вместо «тело, образованное
вращением треугольника вокруг оси, содержащей его сторону»
говорят и короче: «тело, образованное вращением треугольника
вокруг его стороны».
Следует различать понятия «фигура вращения» и «тело
вращения». Не каждая фигура является телом. Например, круг,
кольцо, сфера — фигуры вращения, но не тела. Соотношение
между различными видами фигур вращения представлено на
схеме:
Другими здесь названы фигуры вращения, не являющиеся ни
телами, ни поверхностями* Например, окружность, объединение
шара с плоским кольцом (см, рис. 414) ^и т. д.
Примеры материальных моделей тел вращения: хоккейная
шайба, линза, заклепка, снаряд, патрон, труба, катушка,
обыкновенная бутылка, пробирка, колба, спортивный диск, обруч и т. д.
Большинство деталей, изготовленных на токарном станке, имеет
форму тел вращения. Но, например, сверло — не тело вращения.
1515. Какие из приведенных на рисунке 467
фигур тела вращения?
1516. Нарисуйте тело, полученное вращением
прямоугольника вокруг его стороны.
1517. Нарисуйте тело, полученное вращением
прямоугольного треугольника вокруг: а) катета;
б) гипотенузы.
1518. Из точки вне плоскости проведены к
этой плоскости наклонные одной и той же длины.
Является ли телом вращения фигура, образованная
всеми этими наклонными?
1519. В плоскости прямоугольника вне его и
параллельно одной из его сторон проведена прямая.
Нарисуйте тело» полученное вращением этого
прямоугольника вокруг данной прямой.
1520. Может ли быть невыпуклым тело,
полученное вращением вокруг оси выпуклой плоской
фигуры?
1521. Может ли центр симметрии тела вращения
не принадлежать данному телу? Приведите
примеры.

Рис. 468
1522. Может ли плоскость
симметрии тела вращения не проходить
череа его ось?
1523. Нарисуйте тела вращения,
проекции которых на две взаимно
перпендикулярные плоскости даны
на рисунках 468 а, б.
1524. Гипотенуза
равнобедренного прямоугольного треугольника
равна 30 см и точками К и Р
разделена на три равные части. Найдите
длины окружностей, описываемых
этими точкама при вращении
треугольника вокруг его катета.
1525. Найдите площадь осевого
сечения тела, полученного вращением равностороннего
треугольника вокруг его стороны, если ее длина 2 дм.
1526» Трапеция, боковая сторона которой перпендикулярна
основаниям, вращается вокруг этой боковой стороны. Найдите
площади фигур, описанных при этом вращении основаниями
трапеции, если их длины 3,5 см и 5,2 см.
15(27. Сколько метров стыковочных швов* пришлось сварить
электросварщикам, сооружавшим газопровод Уренгой —
Помары — Ужгород, если его длина 1451 км и сварен он из двенадцати -
метровых труб диаметром 1420 мм?
1528. Тело получено вращением прямоугольного треугольника
вокруг меньшего катета, который с гипотенузой с образует угол а.
Найдите отношение площади круга, описанного большим
катетом, к площади осевого сечения тела.
§ 8®. ЦИЛИНДР
Цилиндром называется тело, полученное вращением
прямоугольника вокруг его стороны.
Если прямоугольник ОАВО\ вращается
вокруг оси 00% {рис. 469), его стороны О А
и 0\В описывают равные круги, лежащие в
параллельных плоскостях, Э^ги. круги называют
основаниями, а их радиус — радиусом
цилиндра. Сторона ЛВ, параллельная оси цилиндра,
описывает кривую поверхность, называемую
боковой поверхностью цилиндра. Каждый
отрезок этой поверхности, равный ЛВ,— обра-
зующая цилиндра. Все образующие одного
цилиндра равны и параллельны друг другу, так
как каждая из них равна стороне
вращающегося прямоугольника и параллельна оси
цилиндра. Рис. 469
279

A I
Рис. 470 Рис. 471
Длина образующей — высота цилиндра: она равна
расстоянию между плоскостями оснований.
Все осевые сечения цилиндра — равные прямоугольники. Их
диагонали проходят через середину G отрезка, соединяющего
центры оснований цилиндра, и делятся этой точкой пополам.
Поэтому точка G — центр симметрии цилиндра. Плоскость,
проходящая через точку G перпендикулярно оси цилиндра,—
плоскость его симметрии. Остальные плоскости симметрии цилиндра
проходят через его ось.
Каждая секущая плоскость, перпендикулярная оси цилиндра,
пересекает его по кругу, равному основанию (рис. 470). Ведь
любая точка С образующей АВ удалена от оси 00\ на
расстояние С02=АО.
Плоскость, которая проходит через образующую цилиндра
и не имеет с ним других общих точек, называется касательной
плоскостью цилиндра. Она перпендикулярна осевому сечению
цилиндра, проведенному через ту же образующую: aJLABCD
(рис. 471).
Если поверхность цилиндра разрезать по окружностям
оснований и какой-нибудь образующей, а потом развернуть на
плоскости, получим развертку цилиндра (рис. 472). Она состоит из
прямоугольника — развертки боковой поверхности цилиндра —
и двух равных кругов.
Если радиус цилиндра г, а высота Л, то его боковая
поверхность развертывается в прямоугольник со сторонами 2яг и Л.
Площадь этой развертки 2кг•/* принимают за площадь боковой
поверхности цилиндра. Поэтому если г и Л — радиус основания
и высота цилиндра, то площадь его боковой поверхности
S6=2jtrft.
Более строгий вывод этой формулы приведен в § 90.
280

W-3
Рис. 472
Чтобы найти площадь поверхности S цилиндра, надо к
площади его боковой поверхности прибавить площади оснований:
S = 2nrh + 2яг2 = 2яг (Л + г).
Примеры физических тел, имеющих форму цилиндра:
металлическая бочка, консервная банка, хоккейная шайба,
графитный стержень в батарейке. Цилиндр двигателя внутреннего
сгорания или поршневого насоса, шахтный ствол, отверстие,
просверленное в доске перпендикулярно ее поверхности,— пустоты
цилиндрической формы.
Замечание. Иногда цилиндром называют каждое тело,
образованное заключенными между двумя параллельными
плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих
какую-нибудь фигуру F в одной из данных плоскостей (рис. 473).
Если упоминаемые в этом определении прямые перпендикулярны
параллельным плоскостям, такой
цилиндр называют прямым. Если
фигура F — круг, говорят о круговом
цилиндре. Из всех цилиндров только
прямой круговой является телом
вращения. Только прямые круговые
цилиндры мы будем дальше
рассматривать, называя их просто —
цилиндрами.
1529. Радиус цилиндра г, а
высота А. Найдите длину диагонали
осевого сечения цилиндра.
Рис. 473
281
""Wr**! \1Щ*?'" « ^-ЩЩ1 Р\ ТТ1

1530. Радиус цилиндра г, а диагональ осевого сечения rf.
Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь осевого сечения;
в) площадь боковой поверхности; г) площадь поверхности
цилиндра.
1531. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и
наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите: а) высоту
цилиндра; б) диаметр основания; в) площадь основания; г)
площадь осевого сечения; д) площадь боковой поверхности
цилиндра.
1532. Сколько существует плоскостей, рассекающих данный
цилиндр: а) на два равных цилиндра; б) на две равные фигуры?
1533°. Стороны прямоугольника 4 см и 5 см. Найдите площадь
поверхности тела, полученного при вращении этого
прямоугольника вокруг меньшей стороны.
1534. Осевые сечения двух разных цилиндров — равные
прямоугольники со сторонами 4 м и б м. Найдите площадь
поверхности того цилиндра, у которого она больше.
Решение. Найдем по формуле S = 2nr (r + h) площади
поверхностей обоих цилиндров:
а) если г = 2 и Л=б, то S = 2n-2-8 = 32n;
б) если г='3 и А = 4, то 51==2я-3-7 = 42я.
Ответ. 42я м"2.
1535. Докажите, что плоскость, проходящая через
образующую цилиндра, но не касательная к нему, пересекает цилиндр
по прямоугольнику.
1536. Площадь поверхности и площадь боковой поверхности
цилиндра равны 50 см2 и 30 см2. Найдите радиус и высоту
цилиндра.
1537. Из квадрата, площадь которого Q, свернута боковая
поверхность цилиндра. Найдите площадь основания цилиндра.
1538. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если
его радиус гг а образующая из центра основания видна под
углом а.
1539. Найдите площадь поверхности цилиндра, если диаметр
одного его основания d из центра другого основания виден под
углом а.
1540. Дан прямоугольник с неравными сторонами. Докажите,
что площади боковых поверхностей цилиндров, полученных
вращением этого прямоугольника вокруг неравных сторон, равны.
154L Высота цилиндра равна 16 см, радиус 10 см. Найдите
площадь сечения цилиндра, плоскостью, параллельной оси
цилиндра и отстоящей от нее на 60 мм.
1542. Как относятся площади сечений цилиндра плоскостями,
проходящими через его образующую, если угол между этими
плоскостями 30°, а одна из них проходит через ось цилиндра?
1543. Радиус цилиндра г, а высота А. Найдите площадь
сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной основанию и
отсекающей от окружности основания дугу в 60°.
282

. 1544. Цилиндр радиуса 1 и высоты 0,5
пересекается плоскостью, параллельной оси
цилиндра и удаленной от нее на х. Как
зависят площадь и периметр сечения от *?
Решение. Пусть сечение АВВ\А\
цилиндра удалено от оси OOi на ОС=х (рис.
474). Тогда
Искомая площадь сечения
S=AAi.AC-2 =
а периметр
Р1 = 2{ААх+АВ}=2(ААх+2АС)=\+±л[Г=х*.
1545. Сколько квадратных метров жести пойдет на
изготовление водосточной трубы длиной 5 м и диаметром 20 см, если на швы
прибавляют 3% площади поверхности трубы?
1546. Хватит ли 8500 м2 изоляционной ленты для двукратного
покрытия ею километра газопровода диаметром 1420 мм?
1547. Практическое задание. Сделайте из плотной
бумаги развертку цилиндра, осевое сечение которого — квадрат
со стороной 10 см.
§ 81. КОНУС
Конусом называется тело, полученное вращением
прямоугольного треугольника вокруг его катета.
Если прямоугольный треугольник РОА вращать вокруг
катета РО, его гипотенуза РА опишет боковую поверхность, а катет
О А — круг, основание конуса (рис. 475). Радиус этого круга
называют радиусом конуса, точку Р» отрезок РО, прямую РО
соответственно вершиной, высотой и осью конуса. Все осевые сечения
конуса — равные равнобедренные треугольники. Каждая
плоскость, проходящая через ось конуса, является плоскостью его
симметрии. Центра симметрии конус не имеет.
Отрезок, соединяющий вершину конуса с
любой точкой окружности его основания,—
образующая конуса. Все образующие конуса
равны, так как каждая из них равна
гипотенузе вращающегося треугольника. Плоскость,
которая проходит через образующую конуса
и не имеет с ним других общих точек,
называют касательной плоскостью конуса. Она
перпендикулярна осевому сечению, проведенному
через ту же образующую (рис. 476).
Если боковую поверхность конуса разрезать Рис. 475
283

Рис. 476
по какой-нибудь образующей и
развернуть на плоскости, получим ее
развертку. Развертка боковой поверхности
конуса радиуса г и образующей /
представляет собой сектор радиуса /, длина
дуги которого 2яг (рис. 477). Площадь
такой развертки прицимают за площадь
S6 боковой поверхности конуса. Она
во столько раз меньше площади круга
радиуса /, во сколько 2яг меньше 2п1.
Поэтому
S6:n/2 = 2jxr:2n/, откуда S6=nrL
Вывод этой формулы дан в § 90.
Чтобы найти площадь поверхности конуса S, надо к площади
его боковой поверхности прибавить площадь основания:
S = яг/ + яг2 = яг (/ + г).
Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию,
получится два тела вращения: 1) меньший конус, подобный
данному, и 2) усечённый конус (рис. 478). Усеченный конус
можно рассматривать и как тело, полученное вращением
прямоугольной трапеции вокруг меньшей ее боковой стороны.
Форму конуса имеют насыпанные на горизонтальной поверхности кучи песка,
зерна, угля, породы, щебня и т. д. Каждому такому материалу соответствует
угол естественного укоса — угол наклона образующей к плоскости основания
конуса. Для песка он равен примерно 30°, для угля — 42°, для породы — 46е.
В токарном, фрезерном и слесарном деле важную роль играет понятие
€кднусности детали». Если деталь такова, что усеченный конус, являющийся
ее частью, имеет диаметры d и d\t а высоту h (рис. 479), то конусностью ее
конической поверхности называется отношение k=\d—d\\ :h.
Замечание. Иногда конусом называют тело,
образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку — вершину
А,

Рис. 479 Рис. 480
конуса — с точками некоторой ограниченной плоской фигуры — .
основания конуса (рис. 480). При этом конус, в основании
которого — круг, называется круговым. А если прямая,
соединяющая вершину такого конуса с центром его основания,
перпендикулярна основанию, его называют прямым круговым
конусом. Из всех конусов только прямой круговой является телом
вращения. Выше речь шла о таких конусах. И дальше будем
рассматривать только прямые круговые конусы.
1548. Высота конуса 8 м, радиус 6 м. Найдите образующую.
1549. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник
со стороной 10 см. Найдите радиус и высоту конуса.
1550. Докажите, что плоскость, пересекающая высоту конуса
и перпендикулярная ей, пересекает конус по кругу, а его боковую
поверхность — по окружности.
1551. Высота конуса равна радиусу основания. Найдите угол
при вершине осевого сечения конуса.
1552. Докажите, что из всех сечений конуса плоскостями,
проходящими через вершину, наибольший периметр имеет осевое
сечение.
1553. Правильно ли, что из всех сечений конуса плоскостями,
проходящими через вершину, наибольшую площадь имеет осевое
сечение?
1554. Образующая конуса 5 см, высота 4 см. Найдите
площадь его поверхности.
1555. Сколько квадратных метров ткани требуется, чтобы
сшить конусообразную палатку высотой 3 м и диаметром 4 м?
1556. Образующая конуса равна / и наклонена к плоскости
основания под углом а. Найдите: а) высоту конуса; б) радиус
основания; в) площадь осевого сечения; г) периметр осевого
сечения; д) площадь основания конуса.
1557°. а) Образующая конуса равна б м и наклонена к
плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь основания
конуса.
285

б) Образующая конуса равна
А^С ^\м ** см» а Угол ПРИ вершине осевого се-
'^ ^ чения 60°. Найдите площадь
боковой поверхности конуса.
1558. Площадь основания
конуса S, а площадь его поверхности 3S.
Под каким углом наклонена
образующая к плоскости основания?
1559. Высота конуса ft, радиус г.
Найдите площадь сечения,
проходящего через вершину конуса и хорду
основания, стягивающую дугу в 60°
1560. Высота конуса 4, образующая 5. Найдите угол сектора,
являющегося разверткой боковой поверхности этого конуса.
Решение. Радиус конуса ОА=-у/52—4*=3 (рис. 481).
Поэтому длина окружности его основания С=2я*3 = 6я. Такая же
длина дуги сектора АМА\. Эта длина во столько же раз меньше
длины окружности радиуса РА = 5, во сколько искомый угол ф
сектора меньше 360°:
Ф: 360° = 6я :10л;,
откуда ф=216°.
1561. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса,
если разверткой его боковой поверхности является круговой сектор
с дугой, равной: а) 90°; б) 180°; в) 270°.
1562. Образующие двух конусов наклонены к плоскостям
оснований под равными углами.* Докажите, что высоты этих
конусов относятся как образующие. А как относятся площади их
боковых поверхностей?
1563°. Диаметр основания конуса 4 м. Найдите площадь
сечения конуса плоскостью, перпендикулярной высоте конуса и
проходящей через ее середину.
1564. Высота конуса А. На каком расстоянии от вершины
надо провести плоскость параллельно основанию, чтобы площадь
сечения была вдвое меньше площади основания?
1565. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 дм и 6 дм,
а образующая 5 дм. Найдите: а) высоту усеченного конуса;
б) площадь его осевого сечения; в) угол наклона образующей
к плоскости основания.
1566. Докажите, что площадь боковой поверхности
усеченного конуса, радиусы оснований которого г и г\9 а образующая /,
можно вычислять по формуле S=nl(r + r\).
Решение. Если радиусы оснований усеченного конуса
ОА = г, 0\В = ги а образующая. АВ = 1 (см. рис. 478), то площадь
его боковой поверхности 5 равна разности площадей боковых
поверхностей конусов с образующими РА и РВ.
Обозначим: РВ=х. Тогда РА=х+1. Из подобия треуголь-
286

ников PBOi и РАО имеем
Значит,
S — nr(jC+t) — nr\x=nl (r+ri).
1567*. Ведро имеет форму усеченного конуса, диаметры
оснований которого 30 см и 20 см, а образующая 30 см. Сколько
краски нужно для покраски с обеих сторон такого ведра, если
на 1 м2 поверхности требуется 200 г краски?
1568. Практическое задание. Сделайте из плотной
бумаги развертку конуса, осевое сечение которого —
равносторонний треугольник со стороной 6 см.
§ 82. ШАР И СФЕРА
Шаром называется тело, полученное вращением полукруга
вокруг диаметра, ограничивающего этот полукруг (рис. 482).
Можно сказать и так: шаром называется тело, которое состоит
из всех точек пространства, находящихся от данной точки О на
расстоянии, не большем данного. Эта точка — центр шара.
Любой отрезок, соединяющий центр шара с какой-нибудь
точкой его поверхности, называют радиусом шара. Отрезок,
соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр —
диаметр шара, его концы — диаметрально противоположные точки
шара.
Плоскость, проходящая через диаметр шара,—
диаметральная плоскость. Она является плоскостью симметрии шара и
разбивает его на два равных полушара. Сечение шара
диаметральной плоскостью называют большим кругом. Окружность большого
круга называют еще экватором шара, а точки Р и Pi пересечения
поверхности шара с осью, перпендикулярной плоскости
экватора,— полюсами шара.
Поверхность шара называют сферой. Секущая плоскость
пересекает сферу по окружности. Центр, радиус, диаметр,
диаметральная плоскость, экватор, полюс шара являются в то же время
центром, радиусом, диаметром, диаметральной плоскостью,
экватором и полюсом соответствующей сферы.
Сфера радиуса г с центром в точке А
(а; Ъ\ с) — это множество всех точек,
удаленных от А на расстояние г (рис. 483).
По теореме 63 каждая точка М (х\ у\ z)
данной сферы, и только точка этой сферы,
удовлетворяет уравнению ,
(x-af + (y-b)2+(z-c)2 = r2.
Получили уравнение сферы радиуса г
Ы
287

Рис. 483
с центром в точке А (а; Ъ\ с). Если
а = Ь = с=0, то уравнение сферы
M(x;y;z) радиуса г с центром в начале коор-
Т4^ динат x2+y2+z =г2.
Как могут быть расположены в
пространстве шар и плоскость?
Пусть расстояние от центра
шара до плоскости равно d, -а радиус
_ шара г. Возможны три случая
у (рис. 484):
1. Если d>r, плоскость и шар не
имеют общих точек.
2. Если d<r, плоскость
пересекает шар по кругу радиуса
Из этой формулы следует, что сечение шара тем больше,
чем меньше d, и что плоскости, равноудаленные от центра,
пересекают шар по равным кругам.
3. Если d = ry плоскость и шар имеют только одну общую
точку. В этом случае говорят, что плоскость касается шара, а
их общую точку называют тонкой касания.
Теорема 74. Касательная к шару плоскость
перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Доказательство. Пусть дан шар с центром в точке О
и плоскость а касается этого шара в точке А (рис. 485).
Докажем, что ОЛ±а.
Предположим, что ОА — наклонная к плоскости а. Тогда
должен существовать и перпендикуляр ОА\ к этой плоскости.
Так как по предположению А\£а. и OAi<OAt то точка А\ общая
для плоскости и шара. Значит, А не единственная их общая точка.
В таком случае плоскость а не касательная к шару, что
противоречит условию теоремы. Итак, радиус шара ОА не может
быть наклонной к плоскости а, т. е. OAJLa. Ц
Прямая, имеющая с шаром только одну общую точку, назы-

Рис. 435
вается касательной к шару. Она
перпендикулярна радиусу, проведенному
в точку касания. (Почему?)
Часть шара, отсекаемая от него
плоскостью, называется шаровым
сегментом. Его поверхность состоит
из сферического сегмента и круга,
называемого основанием шарового
сегмента. Секущая плоскость разбивает
шар на два шаровых сегмента.
Примеры материальных шаров —
шарики подшипников, спортивные
ядра, дробинки, конфеты драже, некоторые окатыши, получаемые
из руд на обогатительных фабриках, и т. д. Измеряют диаметры
шаров кронциркулем (рис. 486) или штангенциркулем (рис. 487)
А если требуется большая точность — микрометром.
1569. Найдите площадь большого круга и длину экватора
шара, если его радиус 2 м.
1570. Диаметр шара 38 дм, а плоскость отстоит от его центра
на 20 дм. Имеет ли эта плоскость с шаром общие точки?
1571. Точки А и В лежат на поверхности шара радиуса 50 см.
Найдите расстояние от центра шара до отрезка АВ, если длина
этого отрезка 80 см.
1572°. а) В шаре радиуса 26 см на расстоянии 10 см от центра
проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения.
б) Шар радиуса 20 см касается плоскости. Точка А лежит в
этой плоскости и находится на расстоянии 25 см от центра шара
Найдите расстояние от этой точки до точки касания.
1573. Через середину радиуса шара проведена
перпендикулярная к нему плоскость. Как относится площадь сечения к
площади большого круга?
1574. На поверхности шара радиуса г даны две точки,
расстояние между которыми равно радиусу шара. Найдите
кратчайшее расстояние между этими точками по поверхности шара.
1575. Радиус шара равен 2. Секущая плоскость удалена от
его центра на х. Как зависит площадь сечения S от х?
Рис. 486
Рис. 487
10 Заказ 223
289

1576* Найдите геометрическое ые-
сто центров сфер радиуса г: а) ка*
сающихся Данной плоскости; б)
проходящих через данную точку.
1577. Найдите геометрическое
место центров сфер, касающихся:
а) данной плоскости в «е данной
точке; б) данной прямой в ее дайной
точке.
1578. Из одной точки к одному и тому же шару проведены
две касательные прямые. Докажите, что расстояния от данной
точки до точек касания равны.
Решение. Пусть МА и MB — Of резки касательных к щару,
проведенных из точки М, а О — центр данного шара (рис. 488).
Треугольники АМО и ВМО равны по общей ГишУгенузе МО й
катетам. Значнт, МА=МВ.
1579. Две сферы радиусов г и п имеют единственную общую
точку. Найдите расстояние между их центрами.
1580. Составьте уравнение сферы радиуса 5 с центром в точке
Л(1;2; 3).
1581. Сколько существует сфер радиуса 2, касающихся коор*
динагных плоскостей? Напишите уравнение одной из них.
1582. Радиус Земли 6,4 тыс. км. Какой йуть совершают за
сутки вследствие вращения Земли города Москва,
Санкт-Петербург н Киев, широты которых соответственно равны 55°45', 59ъ57'
и 50°27'?
1583. Задача^с неожиданным ответом.
Представим, что два шара — один большой, как Земля, а другой, как
футбольный мяч,— по экваторам обтянуты обручами. Если
каждый обруч удлинить на 1 м, они отойдут от поверхностей шаров
(равномерно) на некоторые расстояния. Где это расстояние будет
больше: у большего или меньшего шара?
1584. Радиус шара г. Через конец радиуса проведена
плоскость под углом а к нему. Найдите площадь сечения.
1585. Вершины равностороннего треугольника со стороной
10 см лежат на поверхности шара радиуса 10 см. Найдите
расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
1586*. На сфере радиуса 26 см даны три точки.
Прямолинейные расстояния между ними 12 см* 16 см и 20 см. Найдите
расстояние от центра сферы до плоскости, проходящей через эти
точки.
1587*. Сфера проходит через точки А (2; 0; 1), В (2; 0; 3),
С (1; 4; 0), D (1; 2; 2). Найдите радиус сферы и координаты центра.
1588. Две окружности радиусов 30 см и 40 см лежат на
поверхности шара радиуса 50 см и в параллельных плоскостях. Найдите
расстояние между этими плоскостями.
290

§ 83. КОМБИНАЦИИ ТЕЛ
До сих пор мы рассматривали свойства простейших
геометрических тел: призм, пирамид, цилиндров, конусов, шаров. Но
многим специалистам нередко приходится иметь дело с более
сложными телами, являющимися различными комбинациями
(соединениями) названных тел. Например, на рисунке 463 изображено
тело, состоящее из усеченного конуса и цилиндра, на рисунке
489 — углубление в металле, являющееся комбинацией цилиндра
и конуса. А литейщикам, формовщикам, фрезеровщикам,
электросварщикам, токарям, слесарям и другим рабочим
приходится создавать детали и более сложных конфигураций
(рис. 490).
Из всевозможных комбинаций геометрических тел особого
внимания заслуживают вписанные и описанные тела. Уточним
эти понятия. Шар называется вписанным в многогранник, если
он касается каждой грани многогранника. Многогранник
называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере.
Для пар призма — цилиндр и пирамида — конус приняты
следующие определения:
Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания
вписаны в основания цилиндра. Призма называется описанной
около цилиндра, если ее основания описаны около оснований
цилиндра. Пирамида называется вписанной в конус, если их
вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание
конуса. Пирамида называется описанной около конуса, если их
вершины совпадают, а основание пирамиды описано около
основания конуса. На рисунке 491 изображены четырехугольные
пирамиды — вписанная в конус и описанная около конуса.
Можно рассматривать как комбинации цилиндров, конусов
и усеченных конусов тела, полученные вращением
многоугольников. Например, тело, образованное вращением правильного
Рис. 489 Рис. 490
291

p
С L В
Рис. 491 Рис. 492
шестиугольника вокруг его стороны, является объединением
цилиндра и двух усеченных конусов без двух конусов (рис. 492).
1589. Найдите радиус шара, вписанного в куб, ребро
которого равно а.
1590. Найдите диагональ куба, вписанного в шар радиуса 8 см.
1591. Нарисуйте вписанный в шар: а) конус; б) цилиндр;
в) усеченный конус.
1592. Нарисуйте описанную около шара правильную призму:
а) четырехугольную; б) треугольную; в) шестиугольную.
1593. Нарисуйте описанную около шара правильную
пирамиду: а) четырехугольную; б) треугольную; в) пятиугольную.
1594. Нарисуйте вписанную в конус правильную пирамиду:
а) треугольную; б) четырехугольную; в) шестиугольную.
1595. Впишите в правильную четырехугольную пирамиду куб
так, чтобы одна его грань лежала на основании пирамиды, а
вершины противоположной грани: а) на боковых ребрах
пирамиды; б) на апофемах пирамиды.
1596. Ребро куба ABCDA\B\C\D\ имеет длину а, точка А\ —
середина отрезка АР. Найдите площадь поверхности тела,
являющегося общей частью данного куба и пирамиды
PABCD.
1597. В основании прямой призмы — прямоугольный
треугольник. Опишите около нее: а) цилиндр; б) сферу.
1598. Площадь боковой поверхности цилиндра Q. Найдите
площадь боковой поверхности вписанной в него правильной
четырехугольной призмы.
1599. Площадь боковой поверхности правильной треугольной
призмы 27 см2. Найдите площадь боковой поверхности вписанного
в нее цилиндра.
1600. Найдите диаметр сферы, описанной около
прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, Ь и с.
292

1601. Найдите диаметр сферы,
описанной около прямой призмы, если
высота призмы равна с, а в ее основании
лежит прямоугольный треугольник с
катетами а и Ь.
1602. Найдите диаметр сферы,
описанной около пирамиды, боковые ребра
которой попарно перпендикулярны, а
их длины а, Ъ и с.
Почему ответы к задачам 1600—
1602 совпадают?
1603. Образующая конуса равна
/ и наклонена к плоскости основания
под углом с:. Найдите длину ребра куба, вписанного в конус
так, что четыре его вершины лежат на основании, а четыре — на
боковой поверхности конуса.
Решение. Пусть РМ — образующая конуса, проходящая
через вершину А\ вписанного в конус куба (рис. 493). Вершина
А куба лежит на радиусе ОМ.
По условию задачи РМ = /, APMO = a. Если ребро куба равно
х, то OA=~z. Из прямоугольного АРОМ имеем
л/2
ОМ = РМ cos a = / cos а,
/cos а —-*z.
V2
tga, откуда
__-\/2/since
1604. Площадь боковой поверхности конуса Q, а его радиус
г. Найдите длину бокового ребра вписанной в этот конус
правильной пирамиды: а) треугольной; б) четырехугольной;
в) л-угольной.
1605. Около шара радиуса г описан конус, образующая
которого наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите
площадь осевого сечения конуса. Вычислите при г=2 м, a = 50°.
1606. Докажите, что около каждого правильного
многогранника можно описать шар и в каждый правильный многогранник
можно вписать шар.
1607*. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите радиус
шара: а) вписанного; б) описанного; в) касающегося всех ребер
данного правильного октаэдра.
1608. Найдите радиус шара, вписанного в правильную п-
угольную пирамиду, сторона основания которой равна а, а
двугранный угол при ребре основания а.
Рис. 493
МА=МО-ОА =
Так как ттт^ *g a» T0
МА * ' х
/cos a -.
V2
293

pieuie-Hitre. На ртеунке '494
изображена часть йргавшьной легальной
пирамиды,'боковая тр а нь которой РАВ, а<вьгсо*
та >РО. Вййс&йаый в нее шар чкаеаетея
основания пирамиды в его центре О, а
боковой граня — в некоторой -точке К,
лежащей ма апофеме пирамиды iPAf. Центр
'шара (Х\ лежит на высоте !F0 пирамиды.
ЛРМО = а(РМ±АВ и СШХЛВ);
£OiMO=-j-(AOiOM>us AOrfW —
по катету и гипотенузе);
£AOM=^(AAOB = 360°:ti).
Рис. 494
Из прямоугольного треугольника АМО
ОМ =AM ctg Zi40M=^ctg
Из прямоугольного треугольника О {МО
OOi^OMtg z.OiAfO=-j^ctg —
180°
180°
п
t8f.
Ответ. -2-ctglfflltg-a..
1609*. В шар радиуса г вписана правильная
четырехугольная пирамида, боковое ребро которой наклонено к плоскости
основания под углом а. Найдите высоту пирамиды.
Глава XVIII
ОБЪЕМЫ 'МНОГОГРАННИКОВ И ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
§ 84. ПОНЯТИЕ ОБЪЕМА
Каждое тело занимает часть пространства: кирпич —
большую, чем карандаш; куб с ребром 1 дм — большую, чем с
ребром 4 см. Поэтому для сравнения теш (вводят понятие «объем*.
Объем — это количественная характеристика тела,
удовлетворяющая следующим условиям (свойствам объема):
1. Каждое тело имеет определенней объем,
выраженный'положительным числом.
2. Равные тела имеют равные объемы.
3. Если тело разбито на несколько'частей, то его объем равен
сумме объемов всех этих частей.
294

Объем — одна из величин, как и длина, площадь, мера угла.
Значение объема задается не только числом, но и
наименованием- Например, объем 1 дм3 можно представить как 1000 см3
и как 0,001 мК За единицу длины принимают длину некоторого
единичного, отрезка и в зависимости от нее вводят единицы
площади и объема. Площадь квадрата, сторона которого равна
единичному отрезку,— единица площади, а объем куба, ребро
которого равно единичному отрезку,— единица объема. При
таком соглашении наименований можно не писать.
Замечание. Строгое изложение общей теории об объемах
очень сложно. Поэтому здесь, говоря об объемах тел, имеем в
виду только простые тела: многогранники, цилиндры, конусы,
шары и всевозможные комбинации иа конечного числа таких
тел. Других тел в средней школе не рассматривают.
Объемы тел измеряют или вычисляют. Например, объем
небольшой детали можно измерить с помощью мензурки с
делениями (рис. 495), объем ведра — наливая в него воду кружкой
известного объема. Но об*ьем, комнаты, доменной печи подобным^
способом измерить аевозможно. Их вычисляют. Например, объем
прямоугольного параллелепипеда вычисляют, пользуясь
следующей теоремой:
Теорема 75. Объем прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трех его измерений.
Доказательство. Рассмотрим три случая.
1. Пусть измерения а, 6, с прямоугольного параллелепипеда
выражены натуральными числами. В такой параллелепипед можно
поместить с слоев, каждый из которых содержит аЬ единичных
кубов (рис. 496). Значит, объем этого параллелепипеда V=abc.
2. Пусть а, Ь, с — десятичные дроби с числом десятичных
знаков не более чем я. И пусть / — отрезок в 10п раз короче
единичного. Ребра данного параллелепипеда, длины которых а, 6, с,
можно разбить соответственно на 10па, 10л6, 10пс таких отрезков.
Рис. 495 Рис. 496
295
£Г"''1 "ffiffi

Числа 10na, 10*6, 10пс натуральные. Так как 10Ла* 10n6» 10rtc =
= 103rta6c, то данный параллелепипед вмещает ровно I03nabc
кубиков с ребром /. А единичный куб вмещает 10 п таких кубиков:
ведь 10Л- 10Л- 10Л= 103rt. Как видим, отношение объема данного
параллелепипеда к объему единичного куба равно abc. Это значит,
что объем данного параллелепипеда V=abc.
3. Пусть хотя бы одно из чисел а, 6, с выражается бесконечной
десятичной дробью. Обозначим через а\ и а2 приближенные
значения числа а с недостатком и с избытком с точностью до п
десятичных знаков. С той же точностью приближенные
значения с недостатком и с избытком числа Ь обозначим через Ь\
и 62, а числа с — через С\ и с2. Каждое из чисел аи а2у fti, b2, Си с2
выражается конечной десятичной дробью. Поэтому по
доказанному в п. 2 объемы прямоугольных параллелепипедов с
измерениями аи Ь\, с\ и a2t b2y с2 соответственно равны а\Ь\С\ и а2Ь2с2.
Первый из этих параллелепипедов можно поместить внутри
данного параллелепипеда, а данный — внутри второго. Значит, объем
V данного параллелепипеда заключен между а\Ь\С\ и а2Ь2с2.
А так как а\Ь\С\ и а2Ь2с2 — приближенные значения числа abc
с любой наперед заданной точностью, то и в этом случае
V=abc. ■
Следствие. Объем прямоугольного параллелепипеда равен
произведению площади его основания на высоту.
1610. Длины ребер двух кубов относятся как 1:3. Как
относятся их объемы? Ответ проиллюстрируйте с помощью рисунка.
1611. Объясните соотношения
1 м3= 1000 дм3= 1 000 000 см3= 1 000 000 000 мм3.
1612. Размеры обыкновенного кирпича 250 X 120X65 мм.
Найдите его объем.
1613. Объем прямоугольного параллелепипеда 38 дм3. Чему
равен объем треугольной призмы,, отсекаемой от этого
параллелепипеда диагональной плоскостью?
1614. Поле прямоугольной формы площадью 5 га вспахано
на глубину 35 см. Сколько кубометров грунта перевернуто?
1615. Найдите объем куба, если: а) площадь его грани Q;
б) диагональ куба d.
1616. Найдите объем правильной четырехугольной призмы,
если площадь ее основания 49 см, а площадь боковой грани 56 см.
1617. Объем куба V. Найдите длину его диагонали.
1618. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна d
и наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите объем
призмы. Вычислите при d = 37 cm, a = 58°.
1619. Три свинцовых куба с ребрами 1 см, 6 см и 8 см
переплавили в один куб. Найдите длину ребра полученного куба.
1620. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 дм,
36 дм и 50 дм. Найдите длину ребра куба такого же объема.
296

1621. Если каждое.ребро куба увеличить на 3 см, то его объем
увеличится на 513 см3. Найдите длину ребра куба.
1622°. В правильной четырехугольной призме сторона
основания 8->/2 м, а площадь диагонального сечения 120 м2. Найдите
объем призмы.
1623. Площади попарно перпендикулярных граней
прямоугольного параллелепипеда равны Si, 52 и S3. Докажите, что его
объем K=ySiS2S3.
Решение. Если измерения параллелепипеда х, у, z, то
xy = Su #z = S2, yz = S3. Перемножим эти равенства:
x2yV = SlS2S3.
Значит, объем параллелепипеда
V=xyz=^S\S2Sz.
1624. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда
равны а и 6, а его диагональ наклонена к плоскости основания
под углом а. Найдите объем параллелепипеда.
1625. Объем правильной четырехугольной призмы V, а
площадь основания S. Найдите площадь боковой поверхности.
1626. Объем куба V. Найдите объем пирамиды, вершина
которой — середина диагонали куба, а основание — его грань.
§ 85. ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Обобщим доказанную в предыдущем параграфе теорему на
случай произвольного параллелепипеда.
Теорема 76. Объем параллелепипеда равен произведению
площади основания на высоту.
Доказательство*. Пусть ABCDEFKL — произвольный
параллелепипед, объем, площадь основания и высота которого
равны соответственно V> S и ft. Докажем, что V=Sh.
Преобразуем данный параллелепипед (обозначим его буквой
Р) сначала в параллелепипед Pi, потом — в Р2у как показано
на рисунке 497. По построению плоскость E\A\D\
перпендикулярна прямой ЛВ, а плоскость Е2А2В2 — прямой A\D\, поэтому
параллелепипед Р2 прямоугольный.
По построению А\В\=АВ и A2D2=A\D\. Поэтому
параллельный перенос на вектор АВ отображает многогранник с
основанием AA\D\D на многогранник с основанием ВВ\С\С. Из этого
следует, что объемы и площади оснований параллелепипедов
Р и Р\ равны. Аналогично (с помощью параллельного переноса
многогранника с основанием А\В\В2А2 на вектор >4iDi)
убеждаемся в равенстве объемов и площадей оснований
параллелепипедов Р\ и Рг. По свойству транзитивности объемы и плоша-
297

FhJi
Рис. 497
ди оснований параллелепипедов Р и Р2 равны: V = Vr2, S = S2.
Равны и высоты этих параллелепипедов: Л = Лг.
Так как параллелепипед Р2 прямоугольный, то его объем
V2 = S2/i2. Учитывая соотношения V2 = Vt S2 = S, h2=ht из
доказанной формулы получаем V.=Sft. Щ
1627. Найдите объем прямого параллелепипеда, высота
которого 4 дм, а площадь.основания 0,5 м2.
1628. Найдите объем прямого параллелепипеда, высота
которого Л, а основание — ромб с диагоналями d\ и d2.
1629. Четыре грани параллелепипеда — квадраты со стороной
ахм,,атпятая — ромбсуглом.а.Найдите.объем параллелепипеда.
1630. В основании прямого»параллелепипеда — ромб с углом
30? и, схоррной,8гсм..О.бъеМг,параллелепипеда 45 см3. Найдите
площадь его поверхности.
1631. В прямом, параллелепипеде стороньгоснования равны а,
Ь и,образу ют.у гол 45°. Площадь боковой поверхности- Q. Найдите
объем параллелепипеда.
1632. Основание^ прямого^ параллелепипеда — ромб.. Одно из
его «диагональных,сеченийоимеет*площадь S и отстоит от
параллельного емуг- бокового > р/абрд- нап расстоянии i k. Найдите объем
параллелепипеда.
1633. Каждое ребро прямого^ параллелепипеда равно 1 см,
а одна, из его диагоналей 2 см.; Найдите объем параллелепипеда.
1634. Основание параллелепипеда — ромб, площадь
которого 5 дм2. Площади диагональных сечений, перпендикулярных
основанию, б дм2 и 15 дм2.: Найдите объем
параллелепипеда:
1635. Сторона основания прямого параллелепипеда равна а.
Через нее и противолежащую, ей, сторону верхнего основания
проведено сечение под углом?<ъ;к плоскости основания. Площадь,
сечения.S. Найдитетобъем. параллелепипеда.
298

Р е ш е-н и е.£Пусть ABCDA\BXC\DX —
прямой параллелепипед (рис. 498).
В нем АВ=а9 а площадь сечения
ABC\Dx равна S. Если МС±АВ9 3f
то по теореме о трех
перпендикулярах и С\МА-АВ. Следовательно,
ZCiMC=cc.
Так как СХМ — высота
параллелограмма ABCiDu площадь
которого S и основание а, то СХМ> a = S,
откуда CiAf-=—.
Из прямоугольного треугольника
С\СМ находим:
Рис. 498
tao*
s
■ С{М sin а =—simtx, MC*=?G{M ces'a-*=—'cos *а.
Зна*шт,*юбшм шараллелепипе&а
*С 1о 62
a a 2a
nl 636. ^Основание ^прямого -одаралйелешпеда — ромб. Юдаа тз
даиагсжалей даарал&еяешшеда *<равна »# * и едаодвнзна к *плоскости
основания под углом а, другая — под углом * р. *На идите *Фбъем
параллелепипеда.
Ф637. сШгощадь основания наклонного параллелепипеда£ф,Ч5о-
ковюе ipedpo равно / <4онаклонено ж-плоскости основания под
урлом«>а.-Нййдкте-объем параллелепипеда.
'1638. ^'Стороны основания параллелепипеда равны 6 дм-и'8 дм,
угол между 4ними 45°. Боковое ребро равно 7 дм и наклонено
к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем
параллелепипеда.
*t639*. Дветрани параллелепипеда — квадраты со сторондй а,
остальные — ромбы с углами по 60°. Найдите объем
параллелепипеда.
Y 640. J Найдите 'Объем прямого параллелепипеда, сторона
'основания которого фавна а, а радиус * вписанного шара г.
1 f 641. * Около цилиндра описан прямой'параллелепипед^ острым
углом то в основании. Найдите -объем параллелепипеда, 'если
высота-цилиндра равная, а радиус г.
4642*. Объем 'прямого параллелепипеда V, радиус вписанного
шара г. Найдите площадь боковой поверхности'параллелепипеда.
§ 86. ОБЪЕМ ПРИЗМЫ
'Т*е'от> е м-а 77. Объем призмы равен произведению площади
основания на высоту.
Д о к а з а т<*е'л ь с*гв-ч>. Рассмотрим -сначала случай, когда
299

В А
Рис. 499
призма треугольная. Каждую треугольную призму АВСА\В\С\
можно дополнить призмой ACDA\C\D\ до параллелепипеда
(рис. 499). Пусть О — центр симметрии этого параллелепипеда.
Данная и достроенная призмы симметричны относительно
точки О. Поэтому объем данной призмы равен половине объема
параллелепипеда. Если площадь основания и высота данной
призмы S и Л, то площадь основания и высота параллелепипеда
2S и А. Его объем равен 2SA. Объем V данной призмы в 2 раза
меньше, поэтому V = Sh.
Рассмотрим теперь произвольную я-угольную (л>3) призму,
площадь основания которой S, а высота А. Ее можно разбить
на конечное число k треугольных призм (рис. 500). Высота
каждой из этих призм А, а сумма площадей их оснований
Si + S2 + ... + S* = S. Объем данной /z-угольной призмы равен
сумме объемов составляющих ее треугольных призм. Поэтому
K=S,A + S2A + ... + S*A==(Si + S2 + ... + S*)A = SA.
Итак, объем любой призмы можно вычислять по формуле
K=SA. В
Объемы всевозможных материальных тел, имеющих форму
призмы, часто приходится вычислять строителям,
экскаваторщикам, бульдозеристам, шахтерам. По формуле V=Sh можно
находить объемы квартир, домов, каналов, насыпей, штреков и
разных подземных выработок. А можно ли, пользуясь доказанной
формулой, вычислить объем изображенного на рисунке 421
гаража? Можно. Только за основание призмы следует принять ее
пятиугольную грань.
1643*. Найдите объем правильной треугольной призмы, если
сторона ее основания равна 6 дм, а боковое ребро 7 дм.
1644*. Основание прямой призмы — треугольник, у которого
стороны длиной 5 см и 6 см образуют угол в 30°. Боковое
ребро призмы равно 4 см. Найдите объем призмы.
Рис. 500
300

1645. Диагональ грани правильной треугольной призмы равна
d и наклонена к стороне основания под углом а. Найдите объем
призмы.
1646. Нужно вырыть прямую канаву длиной 200 м и глубиной
1,5 м, ширина канавы вверху 3 м, у дна 2 м. Сколько кубометров
грунта придется вынуть?
1647. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции
с нижним основанием 18 м, верхним — 8 м и высотой 3 м. Найдите
объем 1 км насыпи.
1648. В правильной шестиугольной призме площадь большего
диагонального сечения 4 см2, а расстояние между двумя
противоположными боковыми гранями 4 см. Найдите объем призмы.
1649. Площадь поверхности правильной треугольной призмы
равна 20 см2, а боковой поверхности 12 см2. Найдите объем
призмы.
1650. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами
5 см, 5 см и 6 см. Диагональ большей боковой грани наклонена к
плоскости основания под углом 45°. Найдите объем призмы.
1651. Площадь основания прямой треугольной призмы равна
24 см2, а площади боковых граней 3 см2, 4 см2 и 5 см2. Найдите
объем призмы.
1652. Основание призмы — треугольник, у которого одна
сторона равна 2 дм, а две другие — по 3 дм. Боковое ребро равно
6 дм и наклонено к плоскости основания под углом а. Найдите
объем призмы. '
1653. Основание наклонной призмы — равносторонний
треугольник со стороной а. Одна из боковых граней — квадрат,
плоскость которого наклонена к плоскости основания под углом
60°. Найдите объем призмы.
1654. Докажите, что из всех призм, имеющих одно и то же
основание и боковое ребро данной длины, наибольший объем
имеет прямая призма.
1655. Найдите объем правильной пятиугольной призмы,
каждое ребро которой равно а.
1656. Как относятся объемы двух призм, полученных при
пересечении треугольной призмы плоскостью, проходящей через
средние линии ее оснований?
1657. Постройте сечение треугольной призмы плоскостью,
проходящей через боковое ребро и рассекающей ее на две части,
объемы которых относятся как 1:2.
1658. Основанием призмы служит правильный треугольник
со стороной а. Одна из боковых граней перпендикулярна
плоскости основания и представляет собой ромб с острым углом а.
Найдите объем призмы. Вычислите при а=17 см, а = 65°.
1659. В наклонной призме проведено сечение,
перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите
объем призмы, если площадь сечения Q, а длина бокового ре(5-
ра /.
301

1660. В наклонной треугольной
призме площадь одной из боковых
граней Q, а расстояние от
противолежащего ребра до плоскости этой
грани т. Найдите объем призмы.
1661. Основанием призмы
служит правильный треугольник ABC
со стороной а. Вершина А.\
проектируется в центр нижнего основания, а
ребро АА\ составляет с
плоскостью основания угол а. Найдите
объем призмы.
Решение. Рассмотрим
призму АВСА\В\Си изображенную на
рисунке 501, А\0 — ее высота*
Z.A\AO = a.
Если О — центр правильного Л ЛВС, сторона которого АВ = а,
радиус описанной окружности
то его площадь
о_Д2л/3
6- 4 '
ОЛ=—. Из прямоугольного треугольника А\ОА находим:
АхО = АО tg а=— tg а.
л/з
Тогда объем призмы v
V=S-AxO=£&.±- tg a=4- tg ^
4 т/3 4
1662. Основание наклонной призмы — равнобедренная
трапеция, стороны которой 44 см, 17 см, 28 см и 17 см. Одно из
диагональных сечений призмы перпендикулярно основанию и
является ромбом с углом 45°. Найдите объем призмы.
1663. Пятиступенчатое тело состоит из пяти правильных
четырехугольных призм, высота каждой из которых равна а, а
стороны оснований, а,. 2а> За, 4а, 5а. Найдите объем этого тела.
Рис.
302
502
87.
Аур$у*Ф
Er.i.H'i_"i'«Л ■.<!•■ 'I
Цу*.-."... ..*•'
ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ
Представим себе емкости в фор-
меширамиды и призмы с равными
основаниями и высотами (рис. 502,
503). Если пирамиду наполнить
песком, а< потом пересыпать его в призму,
экспериментально можно убедиться,
что объем пирамиды в 3 раза меньше
объема призмы. Значит, если площадь
основания пирамиды S, а высота А,
Рис. 503 то ее объем
v=TSh-

Доказательство формулы для вычисления объема пирамиды
(с применением интегралов) см. в Приложении* Можно также
доказать формулу, применяя следующее утверждение:
Лемма. Для любого натурального числа п
42+22+32+...+n2-=li-rt(2rt2+3rt + ^
Дока з-& *~ел ъ с т^о. Подставим в тождество 3a*-«a?—*(а*— 1)3-+Зе>-*«1
вместо переменной а значения 1, 2, 3, 4, ..., п:
3.12=:13-03+3.1~1,
3.22=23-13+3.2-1Э
3.32=33-23+3.3-1,
З.л2=л3—(л — 1)3+3п — 1.
Сложим эти п равенств:
3.(12+22+,..+л2)=л3+3<,1+2+...+л)-п«
Итак, 12+22 + ...+л2=4(2л2+3/г+1).
о
Теорема 78. Объем пирамиды равен одной трети
произведения площади основания на высоту*
Доказательство*. Пусть дана произвольная пирамида,
например PABCD, площадь реновация которой S, а высота А
(рис. 504). Разделим ее высоту на п равных частей и через точки
деления проведем плоскости, параллельные основанию пирамиды.
Они разобьют данную пирамиду на п слоев. В каждый слой,
>Э83

кроме первого, впишем призму и около каждого опишем призму,
как показано на рисунке. В результате получим два ступенчатых
многогранника. Первый, составленный из я—1 призм, вписан в
данную пирамиду, а второй, составленный из п призм, описан
около пирамиды. Второй от первого отличается только одной
t.
призмой, основание которой S, а высота —. Значит, если объем
п
Of.
второго многогранника Vu то объем первого 1Л— —. Так как
первый вписан в данную пирамиду объема V, а второй описан
около нее, то
п
Выразим объем V\ через S и Л. Пусть Si, S2, ..., Sn-\ —
площади сечений, разбивающих данную пирамиду на п слоев.
Они же — площади оснований упомянутых выше призм.
Площади сечений пирамиды плоскостями, параллельными основанию,
относятся как квадраты их расстояний от вершины (теорема 71).
Поэтому
t=(-*-)!* t=(f)'■■"' V-C^)'*
откуда
Si=—5-S, S2=— S, ..., Sn_i=*
Итак,
или
=f-f(2rt2 + 3Ai+l),
§2(2n2 + 3n+l)^f<V<§l(2n2 + 3n + l)i
2/г ~*~6/г2 n ^ 3 ^ 2/г "^бл2"
При достаточно большом п правая и левая части
полученного неравенства сколь угодно мало отличаются от 0. Значит,
и заключенное между ними значение V—— сколь угодно мало от-
личается от 0. А это может быть только тогда, когда V=—Sh. Щ
1664. Найдите объем пирамиды, высота которой Л, а в
основании — прямоугольник со сторонами а и Ь.
1665. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды,
высота которой Л, а диагональ основания d.
304

1666. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды,
каждое ребро которой равно 1 дм.
1667°. а) Сторона основания правильной четырехугольной
пирамиды равна 3V2 м, а боковое ребро 5 м. Найдите объем
пирамиды.
б) В правильной треугольной пирамиде высота равна 8 дм,
боковое ребро 10 дм. Найдите объем пирамиды.
1668. Найдите объем пирамиды Хеопса, площадь основания
которой 5,3 га, а высота 147 м.
1669. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно
6, а плоский угол при вершине 90°. (айдите объем пирамиды.
1670. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно
перпендикулярны, а их длины равны а, Ь, с. Найдите объем пирамиды.
1671. Найдите объем треугольной пирамиды, если длина
каждого ее бокового ребра а, а плоские углы при вершине 60°, 90° и 90°.
1672. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды,
если ее боковое ребро Ь: а) наклонено к плоскости основания
под углом а; б) с высотой пирамиды образует угол Р; в)
наклонено к стороне основания под углом у.
1673. Найдите объем тетраэдра, вершины которого — точки
Р(1; 2; 6), О(0; 0; 0), Л (2; 0; 0), В (0; 5; 0).
1674. Диагональное сечение правильной шестиугольной
пирамиды делит ее на две неравные части. Как относятся их
объемы?
1675. Основанием пирамиды служит правильный треугольник
со стороной а. Найдите объем пирамиды, если двугранные углы
при ребрах ее основания 90°, 45° и 45°.
1676. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого
равно а.
1677. Одно ребро треугольной пирамиды равно 6, а каждое
из остальных а. Найдите объем пирамиды.
1678. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см,
14 см и 15 см. Двугранные углы при каждом ребре основания
равны по 45°. Найдите объем пирамиды.
1679. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция со
сторонами 4 см, 7 см, 7 см и 10 см, все боковые грани наклонены
к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем пирамиды.
1680. По боковому ребру Ъ и плоскому углу 2а при вершине
найдите объем правильной пирамиды: а) треугольной; б)
четырехугольной; в) шестиугольной; г) /г-угольной.
1681. Найдите объем правильного октаэдра, если его ребро
равно а.
1682*. Через середины каждых трех ребер куба, выходящих
из одной вершины, проведены сечения. Найдите объем
образовавшегося 14-гранника, если ребро куба равно а.
1683. Образующая конуса равна / и наклонена к плоскости
основания под углом а. Найдите объем вписанной правильной
305

Рис. 505
пирамиды: ai) треугольно!*; б) 5четы-
рехугошьно'й; в) шестиугольной.
'1684% Д<®кюкшре, что если
многогранник, описанный около шара »радцу-
са г, имеет площадь поверхности S,
то его объем tyi=-±-Sr.
о
Решение. Соединив центр шара
►Л с каждой вершиной описанного я-гран-
ника, получим п пирамид. Высота
каждой из них .равна радиусу шара г, а
площадь основания — площади -соот-
?ветствующёй храни кшогогранника/По-
этоаду -если -Si, -S2i -о S» — площади
граней описанного многогранника, то
<его объем
1685. Через середицу ^высоты пирамиды проведена секущая
плоскость, параллельная основанию. Как относятся объемы
«полученных частей пирамиды?
1686. Плоскость, параллельная основанию, делит пирамиду
на два многогранника равных объемов. В каком отношении эта
плоскость делит высоту пирамиды?
1687. Докажите, что объем V усеченной пирамиды, площади
оснований и высота которой S, Si, ft, можно находить по
формуле k=4-*(s+VSsT+Si).
Решение. Пусть дана усеченная пирамида, площади
оснований которой S и Si, а высота 00\=h <рис. 505). Если
Р — вершина пирамиды, частью которой является данная
усеченная пирамида, то объем V равен разности объемов двух
пирамид. ТОгащ&дй S и S\ их оснований относятся как квадратй
расстояний от соответствующих плоскостей до вершины Р. По-
этому -если POit=u:, то -о-— ^ ' , откуда дс= • у * .
Значит, объем усеченной пирамиды
V=i'(* + fc)S—i-*S, =4-.(AS+*(5-S,)) =
=-J-(AS+-b^=.(S-S,))=-i-A(S+VSs7+S,).
§ 88. ОБЪЕМЫ ЦИЛИНДРА Й КОНУСА
Теорема 79. Объем «цилиндра фавея Чфвйзведенто
площади «снования «а "высоту.
Ш

Доказательство. Пусть дан
цилиндр с площадью основания S
и высотой Л. Впишем в него
правильную л-угольную призму и
опишем около него правильную я-уголь-
ную призму (рис. 506). Если площади
оснований этих призм Sn и $П9 то их
объемы равны Snh и Snh. Так как
вписанная призма содержится в
цилиндре, а цилиндр.— в. описанной призме,,
то объем. V далн<^го)Цвдиндра больше
Snh, но; менвда Snh:
Snh<V<S'nh.
При достаточно большом
значении п Sn и Sb сколь угодно мало,
отличаются от S. Следовательно,
левая и, правая части полученного двойного, неравенства, а значит,
и заключенное между ними значение V сколь угодно мало
отличаются от Sh. Это* может быть только тогда, когда V=Slu [Щ
Следствие. Если радиус цилиндра я, а высота ft,, toj его
объем У=яг2Л.
Теорема 80. Объем конуса равен одной трети
произведения площади основания! на высоту.
Доказательство. Пусть дан конус, площадь основания
которого S, а высота А. Впишем в него правильную /г-угольную
пирамиду и опишем около конуса правильную я-угольную
пирамиду (см. рис. 491). Если Sn и Sn — площади оснований этих
пирамид, то их объемы соответственно равны -~-Snh и -rSnh.
Так как вписанная пирамида содержится в конусе, а конус —
в описанной пирамиде; то
±.SnH<V<±-Slh.
При достаточно большом значении п Sn и. S'n сколь угодно
мало отличаются от S, Следовательно, левая и правая, части
полученного двойного неравенства, а значит, и заключенное между
ними значение V сколь угодно мало отличаются^ от —Sh* Это
«5
может быть только тогда, когда V=—Sh. §Ц
о
Следствие. Если радиус основания конуса г, а высота ft,
то его объем V=—яг2/!*..
Замечание. Чтобы определить, например, объема панели
для. перекрытия (рис., 507) ,с достатояно, найти разность, объемов
прямоугольного параллелепиледа и пята цилиндров. Решая такие
307
V. *-—^
^Д-4-

задачи, общую высоту можно выносить за скобки,
т. е. умножать высоту тела на площадь основания,
которое является некоторой комбинацией
многоугольников и кругов или их частей. Значит, по
формуле V=Sh можно находить объемы не только
призм и цилиндров, но и многих других тел —
таких, как трубы, балки, швеллеры, рельсы и т. д.
1688. Осевое сечение цилиндра — квадрат со
стороной а. Найдите объем цилиндра.
1689. Диагональ осевого сечения цилиндра
равна d и наклонена к плоскости основания под
углом а. Найдите объем цилиндра.
Рис. 507 1690. Найдите объем цилиндра, вписанного в
куб, ребро которого равно а.
1691. Найдите объем шахтного ствола диаметром 8 м, если его
глубина 500 м.
1692. В цилиндрический сосуд, внутренний диаметр которого
20 см, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде
поднялся на 12 см. Чему равен объем детали?
1693. Развертка боковой поверхности цилиндра — квадрат со
стороной 1,8 дм. Найдите объем цилиндра.
1694. Длины двух круглых бревен равны, а их диаметры
относятся как 2 : 3. Как относятся их объемы?
1695. Докажите, что объем цилиндра, описанного около
правильной четырехугольной призмы, в 2 раза больше объема
цилиндра, вписанного в эту призму/
1696. Найдите отношение объемов цилиндров, вписанного в
правильную треугольную призму и описанного около этой призмы.
1697. Площади боковых поверхностей двух цилиндров равны.
Докажите, что их объемы относятся как радиусы оснований.
1698. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает
16 дм. На какой высоте будет находиться уровень жидкости,
если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза
больше первого?
1699. Сколько метров стальной проволоки в мотке, если его
масса 30 кг, а диаметр проволоки б мм? Плотность стали
7600 кг/м3.
1700. Железобетонная панель имеет размеры 600 X 120X22 см.
По всей ее длине — б цилиндрических отверстий, диаметры ко-*
торых 14 см. Найдите массу панели, если плотность материала
2,5 т/м3.
1701. Сколько тонн стальных труб пошло на сооружение
газопровода Уренгой — Помары — Ужгород длиной 4451 км, если
его внешний диаметр 1420 мм, а толщина трубы 22 мм?
Плотность стали 7600 кг/м3.
1702. Сколько квадратных метров бумаги в рулоне, высота
которого 85 см, а радиусы 45 см и 2 см? Толщина бумаги 0,1 мм.
308

a) <f) a) 6)
Рис. 508 Рис. 509
1703. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси,—
квадрат, отсекающий от окружности основания радиуса г дугу р.
Найдите объем цилиндра.
1704. Найдите объемы частей цилиндра, изображенных на
рисунке 508.
1705. Найдите объем двухметрового прута, форма и размеры
сечения которого (в мм) изображены на рисунке 509.
1706°. Осевым сечением конуса является треугольник со
сторонами 40, 40 и 48. Найдите объем конуса.
1707°. Образующая конуса наклонена ks плоскости основания
под углом 45°. Радиус основания конуса равен 18 см. Найдите
объем конуса.
1708. Свинцовый конус, высота которого 18 см, переплавили
в цилиндр такого же основания. Найдите высоту цилиндра.
1709. Куча щебня имеет форму конуса, образующая
которого 4 м. Найдите ее объем, если угол естественного укоса (угол
наклона образующей к плоскости основания) для щебня 30°.
1710. Имеется два конуса одинакового зерна, один вдвое выше
второго. Во сколько раз в первом конусе больше зерна, чем во
втором?
1711. Найдите объем конуса, развертка боковой поверхности
которого — полукруг радиуса 12 см.
1712. Тело получено вращением прямоугольного
треугольника с гипотенузой с и острым углом а вокруг гипотенузы.
Докажите, что его объем V=^~ sin2 2a.
1713. Докажите, что объем конуса, вписанного в правильную
треугольную пирамиду, в 4 раза меньше объема конуса,
описанного около этой пирамиды.
1714. В шар радиуса 2т вписан конус, радиус основания
которого г. Найдите объем конуса.
1715. Найдите объем конуса, образующая которого / видна
из середины высоты конуса под углом а.
309

Решение. Пусть -РА = / — образую*
щая конуса, РО — его выяоэд, М —
середина высоты *и 2Я1МА = а'%ряс.!&10).
Обозначим:ч©14 =х. Торда*изпрямоуголь-
пюго ,ДЛМ0
МО^х ctg /->Ш&=
=х ct.gi(b80o — a)=— jtfctg a,
PO =:2!M О = -. 2x ctgca.
~Из Д РОА по теореме Пифагора имеем
Рис. 510 х2+(-2х ctg a)2=/?, *=—4— .
Yl+4ctg*a
Это—«радчус „основания Koiiyca. Лацдем^еще^высо^у:
Значит, объем конуса
Здесь 90° < а < 180°: чаедь ^-угол * ]Ш0 *югатрйй.
:47№. В конус 'впивая щилиндр, .диагонали ^осевого сучения
«старого -параллельны гбвразующ«м 'конуса. ^Образующей
^конуса равна I и составляет с плоскостью основания конуса
угол »а. ^Найдите *объ*ем цилиндра! вычислите *при /=^27 см,
a=70°,
Wf7. Два* конуса имеют~ш>нцентриче*ские*основания и'ббщую
высоту :ft. гРазность утяов, 'составляемых образующими с 'осью,
равна % '-угол -наклона Образующей ^внутреннего .конуса "к
^плоскости -'его «основания 'равен а. Уйдите 'ёбъем части
пространства, заключенней чиежду поверхностями 'конусов.
1718. Докажите, что объем усеченного конуса, tpадиусы*ъс-
нояанйй "которого ~г и г и *а высота '% выражается "формулой
1719. Радиусы оснований усеченного ^конуса >Ю >ом и Л6 *©м,
а образующая наклонена к плоскости'основания под .углом 45°.
Пойдите'йбъем конуса.
4720*. *йайдите*с*бъем'тела, порученного ^ращениемчквадра-
та со стороной а вокруг оси, которая проходит через вершину
квадрата *и параллельна ;его диагонали.
1721*. Тело образовано вращением "прямоуголвника 1АВСТ)
вокруг »оси, которая ^проходит через "вершину Я,-лежит в
плоскости прямоугольника, но *не пересекает *его. Докажите, что ес-
зго

лй AB—l,AD=*t и ось-вращения,с прямойЛВ
образует<угол а> то объем тела№=>nlt)(L sin а^
+ /cos a).
Решение. Пусть прямые СВ и CD
пересекают ось вращения АК в точках К и~М и
£ВАК=а (рис. 511). Обозначим: АК=х,
АМ=у. Тогда AAMD = a, *cosa = f и
t/sina = /. Используя результат задачи 1712,
находим объем данного тела:
Vabcd = Ум ск — Vabk — Vmda =
л
12
(х+У?> sin2 2a —~ х3 sin?2a5-
—iLy3 sin2 2a—-.
Рис. 511
=^sin22a((*+y)3-*3-y3) =
=-у| sin? 2а-3**/ (^-f У)=
= лх cos а • у sin a • (# cos а • sin a+у sin a • cos a) =
= nlt (/ sin a + t cos a)!
§ 89. ОБЪЕМ ШАРА
Формулу для вычисления объема шара, можно доказать или
с помощью интегралов (см. приложение); или подобно тому, как
в § 87 доказывалась формула объема пирамиды.
Теорема 81. Объем шара радиуса г равен -^-пг*.
о
Доказательство*. Пусть дан полушар радиуса г, осевое
сечение которого изображено на рисунке 512. Разделим его
высоту РО = г на я равных частей и через точки деления
перпендикулярно РО проведем плоскости. Они разобьют данный
полушар на п слоев. В каждый слой, кроме первого, впишем
цилиндр и около каждого опишем цилиндр. В результате
получим два ступенчатых тела вращения. Первое — составленное
й
311

из /z — 1 вписанных цилиндров, второе — из л описанных
цилиндров. Второе тело вращения отличается от первого толысо
одним цилиндром, площадь основания которого яг2, а высота
—. Значит, если объем второго тела вращения V\, то объем
первого V\ ——. Так как первое тело вписано в полушар объема —V,
а второе описано около полушара, то
Выразим V\ через г и п. По теореме Пифагора
°^=<™?-00;=r'-(r-.i-)°=£(2-i-).
Аналогично находим:
(М1-£(2.2-.*), ОзЛ§=^(2.3-^), ...
п \ п / п \ п /
.... ОпАЪ=Ц2п-£).
п \ п /
Значит,
п
=£1.^.(2 (1+2 + 3 + ... + Я)--i-(l2 + 22 + 32 + ..- + "2)) =
Итак,
откуда
^(-i-i)<l-i-'<-'(i-e)-
При достаточно больших п правая и левая части этого
двойного неравенства сколь угодно мало отличаются от 0. Следова-
тельно, и заключенное между ними значение -А—г-лт сколь
Z о
угодно мало отличается от 0. А это возможно только в случае,
когда -^—|-яг3 = 0 или К=-^-яг3. [Ц
Если все сказанное повторить не для полушара, а для
шарового сегмента радиуса г и высоты А, можно получить формулу
объема шарового сегмента
V..,.-«A»(r-f-).
312

A
M
Рис. 514 в
1722. Найдите объем шара, диаметр которого 4 см.
1723. Объем шара Збя дм3. Найдите его радиус.
1724. Дан куб с ребром а. Найдите объем шара: а)
вписанного в куб; б) описанного около куба.
1725. Сколько шариков диаметра 0,6 см можно отлить из
куска свинца массой 1 кг? Плотность свинца 11,4 кг/дм3.
1726. Диаметр одного арбуза вдвое больше диаметра другого.
Во сколько раз первый арбуз тяжелее второго?
1727. Пересыпая песок из полого полушара радиуса г в конус,
радиус и высота которого равны г (рис. 513), ученик пришел
к выводу, что объем полушара в 2 раза больше объема конуса.
Соответствует ли результат этого эксперимента теории?
П28°. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара
на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара.
1729. Найдите объем шара, вписанного в правильную
треугольную пирамиду, сторона основания которой а, а двугранный
угол при ребре основания а.
Решение. Центр 0\ шара, вписанного в правильную
пирамиду, лежит на ее высоте РО (рис. 514). Боковой грани РАВ
шар касается в некоторой точке /С, лежащей на апофеме РМ,
ОМ=-^-ОС=^^. Прямоугольные треугольники АО\ОМ =
= АО\КМ (по двум катетам), поэтому АО\МО=— АРМО =
_сс_
2 "
Из АО\ОМ находим:
ООх = ОМ tg -jh=^a tg -£■.
ь 2 6 ъ 2
Значит, объем шара
V=4-nOO\=4rn-№a tg -2-)3=# яа3 tg3 -*-.
3 3\6&2/54 &2
313

1730. Найдите объем шара, вписанного в конус, образующая
которого равна I и наклонена к плоскости основания под углом а.
1731. Докажите теорему Архимеда: объем шара в 1,5 раза
меньше объема описанного около него цилиндра.
1732. Из цилиндра, в котором высота равна диаметру,
выточен шар наибольшего объема. Сколько процентов материала
сточено?
1733. Из цилиндра, осевое сечение которого — квадрат со
стороной 10 см^ кузнец выковал шар. Найдите радиус этого шара.
1734. Из свинцового шара радиуса 10 мм делают
цилиндрический диск толщиной 3 мм. Каков диаметр диска?
1735. Масса полого чугунного шара 1,57 кг, его внешний
диаметр 10 см. Найдите внутренний диаметр, если плотность
чугуна 7,3 кг/дм3.
1736. Какой должна быть общая масса спускаемого
космического аппарата формы шара радиуса 1 м, чтобы он не тонул
в воде?
1737; Из капельки мыльного раствора диаметра 6 мм
мальчик выдул пузырь диаметра 30 см* Найдите толщину пленки
пузыря,
1738.. Шар; плавает в, воде так^ что погружена в воду только
его половина,. Какова, плотность материала, из которого
изготовлен шар?
1739* Центр- шара радиуса г лежит на ребре прямого
двугранного угла.. Найдите объемы тел, на которые данный шар
рассекается гранями, двугранного угла.
1740. Из центра шара радиуса г проведены попарно
перпендикулярные лучи OAj OB и ОС. Найдите объем меньшей части
шара, ограниченной плоскостями углов АОВ9 ВОС и СОА.
1741. Найдите объем шара, описанного около конуса,
образующая которого равна / и наклонена к плоскости основания под
углом а.
1742*. Круговой сектор с углом а и радиусом г вращается
вокруг ограничивающего* его радиуса. Докажите,, что объем
полученного тела равен —nr^(l—cos a).
§ 90. ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ
Формулы для вычисления площадей боковых поверхностей
цилиндра и конуса были выведены через развертки этих
поверхностей (см. § 80, 81). Но развернуть на плоскость сферу
невозможно. Поэтому обобщим понятие «площадь поверхности».
Пусть дана некоторая поверхность F — плоская или кривая,
но такая, что в каждой ее точке можно построить плоскость,
касательную к данной поверхности. Именно такими являются
сфера, боковые поверхности цилиндра, конуса и усеченного
конуса. Представим себе, что от каждой точки данной; поверхности
314

по одну от нее сторону проведен отрезок длины /,
перпендикулярный ^плоскости, касающейся ^поверхности в этой точке. Тело,
образованное всеми такими отрезками, назовем слоем толщины t
поверхности JF Хрис. 515). Наглядно его можно представить как
слой краски толщины 4, нанесенный на данную поверхность с
одной стороны. Объем Vt этого слоя может служить числовой
характеристикой площади. Например, если на окраску'шара идет
краски в S раз больше, чем на окраску листа жести площадью
1 м2, значит, площадь поверхности шара фавна примерно 5 м?.
При толщине слоя t на покраску листа и шара идет
соответственно t и? и Vtf&St м3 краски. Значит, S»^-. Это равенство
тем точнее, *чем меньше t. Вот почему есть смысл принять
следующее определение:
Пусть Vt — объем слоя толщины t поверхности F. Тогда
площадью S данной поверхности будем называть предел отноше-
vt
О, т. е. S = lim Л
ния ^- при t
Если поверхность F — плоский мш о го у г^о л ь^1 и к ?или
крут площади Sf то соответствующий слой -толщины 3 —
призма или (цилиндр объема %«.&. В этом ^случае
Hm-^=lim4^
/_0 * t-+0 * /-*0
•4Ш S=S.
Для боковой ^поверхности ц»и лм н д р а радиуса г .и высоты h
(рис. 516) объем слоя толщины t
Vt = n{r + tfh--nr4 = zih{2rt+1*).
Поэтому *ее шлощадь
.S==)lim -&=lim nh>(2r + u)*=2nrh.
Для боковой поверхности * снус а, (Образующая которого /
315

Рис. 517
наклонена к оси под углом ос, объем слоя
толщины t
Vt = nlt (/ sin а + / cos а)
(см. задачу 1721). Поэтому площадь боковой
поверхности конуса радиуса г и образующей /
S = lim -^=lim nl(l sin a + fcos a)=
= nl • I sin a = я/г.
Как видим, новое определение площади
поверхности не противоречит предыдущим
трактовкам площадей многоугольника, круга, боковой
поверхности цилиндра и конуса. Но оно позволяет вычислять площади
и таких поверхностей, которые развернуть на плоскости
невозможно.
Теорема 82. Площадь сферы радиуса г равна 4л/*2.
Доказательство. Пусть дана сфера радиуса г
(рис. 517). Слой толщины / — тело, заключенное между двумя
концентрическими сферами радиусов г и r+t. Его объем
Vt=±n(r + ff—$-nrz=-±-nt(3r2 + 3rt + t2).
О О О
Значит, площадь поверхности данной сферы
S = lim^=lim 4-я(3г2 + 3г* + /2) = 4яг2. Щ
1743. Найдите площадь поверхности шара диаметра 20 см.
1744. Площадь сферы равна 3,14 дм2. Найдите ее радиус.
1745°. Шар с центром в точке О касается плоскости в точке
В. Точка А лежит в этой плоскости, ОА = 26 см, ЛВ = 24 см.
Найдите площадь шаровой поверхности.
1746. Выразите объем V шара через площадь S его
поверхности и площадь поверхности шара через его объем.
1747. На окраску круга радиуса 1 м расходуется 20 г краски.
Сколько краски требуется для покраски шара диаметром 1 м?
1748. В каком случае расходуется больше материала: на
никелировку одного шара диаметра 8 см или на никелировку
15 шаров диаметра 2 см каждый?
1749. Как относятся площади сфер, вписанной в куб и
описанной около этого же куба?
1750. Как относятся площади сфер* вписанной в правильный
октаэдр и описанной около него?
1751. Найдите площадь сферы, описанной около
прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 3 дм, 4 дм и 5 дм.
1752. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник.
Докажите, что площадь сферы, описанной около этого конуса,
в 4 раза больше площади сферы, вписанной в него.
316

1753. Найдите площадь сферы,
вписанной в правильную пирамиду,
апофема которой т наклонена к плоскости
основания под углом а. Вычислите
при т=15 см, а = 60°.
1754. Найдите площадь сферы,
описанной около цилиндра, радиус и
высота которого равны
соответственно г и Л.
1755. В правильной
четырехугольной пирамиде боковое ребро равно Ь
и наклонено к плоскости основания
под углом а. Найдите площадь сферы,
описанной около пирамиды.
Решение. Высота РО\
пирамиды PABCD лежит на диаметре РР\
описанной сферы (рис. 518). Угол РАР\ прямой, так как
опирается на диаметр окружности, проходящей через точки
А, Р и Р\. Углы РР\А и РАО\ равны, так как каждый из них
дополняет угол АРР\ до 90°.
Если радиус сферы равен г, то РР\=2г. Из прямоугольного
треугольника РАР\ имеем
Рис. 518
2г =
АР
cos Z. PP\A cos a '
2 cos а
пЬ2
Значит, площадь сферы
S = 4nr2=4n.-^— 2 .
4 cos a cos а
1756. В правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна а, а двугранный угол при ребре основания а. Найдите
площадь поверхности шара, вписанного в пирамиду.
1757*. В правильной четырехугольной пирамиде сторона
основания равна а, а плоский угол при вершине пирамиды а. Найдите
площадь поверхности вписанного шара.
1758. Из центра О сферы радиуса г проведены три
попарно перпендикулярных луча: ОЛ, 05, ОС. Найдите площадь
меньшей части сферы, ограниченной плоскими углами АОВ, ВОС,
СОА.
1759. Докажите, что объемы шара и многогранника,
описанного около него, относятся как площади их поверхностей.
1760*. Докажите, что площадь сферического сегмента
радиуса г и высоты h можно находить по формуле S=2nrh.
Задачи повышенной трудности
1761. Можно ли через любую точку пространства провести
прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые?
317

1762. Прямые 0At OB и ОС не лежат в одной плоскости.
Докажите, что любая плоскость пересекает хотя бы одну из них.
1763. Плоскости а, р и y проходят через одну точку, но не
имеют общей прямой. Докажите, что любая прямая пересекает
хотя бы одну из них.
1764. Ребро правильного тетраэдра 3 дм. Можно ли пересечь
его плоскостью так, чтобы сечение имело площадь 9 дм2?
1765. Каждый ли шестиугольник ABCDEF, у которого AB\\DEt
BC\\EF и CD||FA, является проекцией некоторого правильного
шестиугольника?
1766. Точки К и М — середины ребер АВ и CD правильного
тетраэдра ABCD. Укажите на ребре АС точку Р, для которой
КР±РМ.
1767. Ромбы ABCD и АКСМ размещены так, что KM±BD.
Докажите, что прямая КМ перпендикулярна плоскости ромба
ABCD.
1768. Каждый из углов^ АО В, ВОС и СО А равен 60°.
Найдите угол между прямой АО* и плоскостью, проходящей через
прямые ОВ и ОС.
1769. Каждый из острых углов АОВу ВОС и СО А равен а.
Найдите углы между плоскостями данных углов.
1770. Точка К — середина ребра DB правильного
тетраэдра ABCD. Найдите угол наклона прямой А К к плоскости грани
ABC.
1771. Найдите геометрическое место середин отрезков, концы
которых лежат на двух скрещивающихся прямых.
1772. Существует ли многогранник, который одной плоскостью
можно рассечь на пять многогранников?
1773. Нарисуйте многогранник, отличный от куба, все грани
которого — квадраты.
1774. Диагональ правильной четырехугольной призмы
наклонена к боковой грани под углом 30°. Найдите угол наклона ее к
основанию.
1775. Сторона основания правильной четырехугольной
призмы а, а высота Л. Найдите площадь сечения этой призмы
плоскостью, делящей двугранный угол при боковом ребре в
отношении 1 : 2.
1776. ABCDA\B\C\D\ — куб. Найдите угол между
плоскостями ААхСх и АВСХ.
1777. Через середину диагонали куба перпендикулярно ей
проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если ребро куба а.
1778- Докажите, что не существует многогранника,
имеющего ровно семь ребер».
1779. Сторона основания правильной четырехугольной^,
пирамиды равна а, а двугранный угол при боковом ребре 120°.
Найдите высоту пирамиды.
178СК Каким может быть двугранный угол при боковом ребре
правильной пятиугольной пирамиды?
318

1781. Дано изображение куба. Иостройте общий
перпендикуляр для диагонали этого куба и скрещивающегося с ней ребра.
1782. На поверхности куба найдите: а) точки,
разноудаленные ют концов одной из его диагоналей; б) точки, из которых
его диагональ видна под наименьшим углом.
1783. Докажите, что если все ребра параллелепипеда
касаются сферы, то параллелепипед — щб.
1784. Четыре шгаскости, попарно ^пересекаясь, образуют
тетраэдр. Сколько существует сфер* жаждая из которых касается
всех четырех плоскостей?
1785. Найдите меру ялоскот угла при вершине правильной
л-угольной пирамиды, если центр вписанной в ?нее еферы
является и центром описанной сферы. •
1786. а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от
произвольной точки сферы радиуса г до вершин правильного
треугольника, юписанного около ее экватора, постоянна. Найдите эту
сумму.
б) Сформулируйте и решите аналогичную задачу для
правильного /г-угольника, описанного около экватора данной
сферы.
1787. На скрещивающихся ребрах параллелепипеда даны две
точки. Проведите через них плоскость, делящую объем
параллелепипеда пополам.
1788. Докажите, что сумма расстояний от любой точки
основания правильной пирамиды до боковых граней постоянна.
1789. Докажите, что ес$ли все грани тетраэдра равны, то
сумма расстояний от любой его внутренней точки до каждой грани
постоянна. Обобщите задачу.
1790. Из всех правильных четырехугольных призм данного
объема найдите призму, площадь поверхности которой
наименьшая.
«1791. Из всех правильных четырехугольных призм, вписанных
в сферу .радиуса г, найдите призму наибольшего объема.
Вычислите ее объем.
1792. Из всех цилиндров, вписанных в сферу радиуса г,
найдите цилиндр наибольшего объема. Чему равен его объем?
1793. Из <всех конусов данного объема найдите конус,
площадь боковой поверхности которого наименьшая.
1794. Докажите, что объем конуса равен произведению
площади его поверхности на -^-радиуса вписанного шара.
1795. Найдите площадь сферы, касающейся всех ребер
правильного тетраэдра, площадь поверхности которого S.
1796. S треугольнике даны основание а и прилежащие к нему
углы а « <х4-90°. Найдите объем тела, полученного вращением
этого треугольника вокруг высоты.
1797. Сосуд имеет форму опрокинутого конуса, осевое
сечение которого — равносторонний треугольник. В него налита вода
319

так, что, когда бросили в сосуд металлический шар радиуса г,
поверхность воды оказалась касательной к шару. На какой
высоте будет вода, если шар вынуть?
1798. Найдите объем конуса, зная радиус г шара,
вписанного в этот конус, и угол ф, под которым из центра шара видна
образующая конуса. .
1799. Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь.
Найдите объем шара, вписанного в тело, полученное вращением !
этого треугольника вокруг гипотенузы. j
1800. В Антарктиде около 30 млн. км3 льда. На сколько метров
поднялась бы вода в океанах, если бы весь лед растаял? Радиус
Земли равен примерно б тыс. км, суша составляет 29,2% ее
поверхности.
Далее приведены задачи (1801 — 1825), предлагавшиеся в
1990—1991 гг. на вступительных экзаменах по математике
некоторых университетов и институтов Москвы, С Петербурга,
Киева, Донецка, Екатеринбурга, Архангельска. J
1801. (МГУ1, механико-математический факультет). В основа- |
нии призмы лежит равносторонний треугольник ABC со стороной Я
УЗ. Боковые ребра AD, BE, CF перпендикулярны основанию.
7 У
Сфера радиуса — касается плоскости ABC и продолжения отрез- 1
ков AEt BF, CD за точки Л, В, С соответственно. Найдите длину |
боковых ребер призмы. |
1802 (МГУ, физический факультет). В конус вписан шар.
Площадь поверхности шара равна площади основания конуса. 1
Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основа- 1
ния.
1803 (МГУ, геологический факультет). Четыре точки окружно- j
сти следуют в порядке Л, В, С, D. Продолжения хорды АВ за J
точку В и хорды CD за точку С пересекаются в точке £, причем j
угол AED равен 60°. Угол ABD в три раза больше угла ВАС.
Докажите, что AD — диаметр окружности. j
1804 (МГУ, экономический факультет). Окружность, диаметр !
которой равен УГб, проходит через соседние вершины А и В прямо- I
угольника ABCD. Длина касательной, проведенной из точки С I
к окружности, равна 3, АВ= 1. Найдите все возможные значения, \
которые может принимать длина стороны ВС. j
1805 (МПГУ2, математический факультет). Отрезок прямой,
соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды
с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найдите
угол между смежными боковыми гранями пирамиды.
1806 (МПГУ, физический факультет). Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна 10У2 см и образует с плоскостью ос-
1 МГУ — Московский государственный университет.
2 МПГУ — Московский педагогический государственный университет
320

нования угол 45°. Найдите объем параллелепипеда, если одна
сторона основания больше другой на 2 см.
1807 (С.-ПГУ1, математико-механический факультет) Круг и
квадрат имеют общий центр, их площади равны. Сторона квадрата
равна 1. Вычислите сумму длин частей окружности,
расположенных внутри квадрата.
1808 (С.-ПГУ, экономический факультет). В цилиндре с
высотой h и радиусом основания г расположен квадрат так, что две
его вершины лежат на окружности одного основания, а две
другие на окружности другого основания. Вычислите площадь
квадрата.
1809 (РГПУ2, математический факультет). Длины
параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины непараллельных
сторон — 20 и 13. Найдите высоту трапеции.
1810 (РГПУ, математический факультет). Один из катетов
равнобедренного прямоугольного треугольника лежит в
плоскости а, а другой образует с ней угол, равный 45°. Найдите угол,
который образует гипотенуза с плоскостью а.
1811 (КГУ3, механико-математический факультет). Ребро
правильного тетраэдра SABC равно а. Через вершину А
параллельно ребру ВС проведена плоскость так, что угол между прямой
АВ и этой плоскостью равен 30°. Найдите площадь получившегося
сечения.
1812 (КГУ, факультет кибернетики). Около круга радиуса г
описана прямоугольная трапеция, наименьшая из сторон которой
равна 1,5г. Найдите площадь трапеции.
1813 (УГУ4, математико-механический факультет).
Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD.
Постройте сечение пирамиды, проходящее через вершину А и
середины М и Р ребер SB и SD. Определите, в каком отношении
сечение делит ребро SC.
1814 (УГУ, химический факультет). В основании пирамиды
лежит прямоугольный треугольник с меньшим катетом а
и прилежащим к нему углом р. Боковые ребра равны большему
катету основания. Найдите объем пирамиды.
1815 (МФТИ5). В равнобедренный треугольник ABC (А В = ВС)
вписана окружность. Прямая, параллельная стороне АВ и
касающаяся окружности, пересекает сторону АС в точке М такой,
о
что МС=—АС. Найдите радиус окружности, если периметр тре-
о
угольника ABC равен 20.
1 С.-ПГУ — Санкт-Петербургский государственный университет
2 РГПУ — Русский государственный педагогический университет.
3 КГУ — Киевский государственный университет.
4 УГУ — Уральский государственный университет.
5 МФТИ — Московский физико-технологический институт.
11 Заказ 223
321

1816 (МФТИ). Отрезок AD является биссектрисой
прямоугольного треугольника ABC (Z. С=90°). Окружность, радиус
которой равен -у]\Ъу проходит через точки Л, С, D и пересекает
сторону АВ в точке Е так, что Л£:ЛВ=3:5. Найдите площадь
треугольника ABC.
1817 (МФТИ). В четырехугольной пирамиде SABCD
основанием является трапеция ABCD (BC\\AD)9 BC=4rAD> ^-ASD =
= /-CDS^-^. Все вершины пирамиды лежат на окружностях
оснований цилиндра, высота которого равна 2, а радиус основания
равен —. Найдите объем пирамиды.
о
18X8 (ЮПИ1, факультет информатики). В параллелепипеде все
грани — равные ромбы со сторонами а и острыми углами а.
Найдите объем параллелепипеда.
1819 (КПИ, радиотехнический факультет). Плоскость,
проведенная через вершину конуса, пересекает основание по хорде,
длина которой равна радиусу основания. Найдите отношение
объемов образовавшихся частей конуса.
1820 (КПИ, сварочный факультет). Определите углы
прямоугольного треугольника, если отношение радиусов описанной
окружности к вписанной равно 5:2.
1821 (КГПИ2, физико-математический факультет).
Произведение сторон прямоугольного треугольника в 4 раза больше
произведения его высот. Найдите углы треугольника.
1822 (КГПИ, физико-математический факультет). Основание
пирамиды — треугольник со сторонами a, b и углом 120° между
ними. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания
под углом а. Найдите объем пирамиды.
1823 (АГПИ3). В прямоугольном треугольнике гипотенуза
равна с, а один из острых углов а. Найдите радиус вписанного
круга.
1824 (АГПИ). Высота цилиндра на 10 см больше радиуса
основания, а полная его поверхность равна 144я см2. Найдите
радиус основания и высоту.
1825 (ДПИ4). Металлический конус, образующая которого I
составляет с основанием угол а, переплавлен в цилиндр с радиусом
основания R. Какова высота цилиндра?
1 КПИ — Киевский политехнический институт.
2 КГПИ — Киевский государственный педагогический институт.
3 АГПИ — Архангельский -государственный -педагогический институт
4 ДПИ — Донецкий политехнический институт..
322

Вопросы для повторения
10 класс
1. Что такое стереометрия?
2. Приведите примеры плоских и неплоских геометрических
фигур.
3. Что такое теорема, аксиома? Приведите примеры.
4. Сформулируйте аксиомы стереометрии.
5. Что означают записи A£at астр, af|a = M, a()$ = b>
6. Как можно задать плоскость в пространстве?
7. Какие прямые называют пересекающимися, параллельными,
скрещивающимися?
8. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых,
параллельных третьей.
9. Дайте определение прямой, параллельной плоскости.
10. Сформулируйте и докажите признак параллельности прямой
и плоскости.
11. Какие плоскости называют параллельными?
12. Сформулируйте и докажите признак параллельности
плоскостей.
13. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках, отсекаемых
параллельными плоскостями от параллельных прямых.
14. Перечислите свойства параллельного проектирования.
15. Что такое изображение фигуры?
16. Что такое сечение фигуры?
17. Дайте определение угла между прямыми.
18. Какие прямые называют перпендикулярными?
19. Дайте определение прямой, перпендикулярной плоскости.
20. Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
21. Что понимают под расстоянием от точки до плоскости?
22. Что такое перпендикуляр к плоскости, основание
перпендикуляра?
23. Что такое наклонная, основание наклонной, проекция
наклонной?
24. Сформулируйте и докажите теорему о трех перпендикулярах.
25. Что такое угол между прямой и плоскостью?
26. Дайте определение перпендикулярных плоскостей.
27. Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности
плоскостей.
28. Что такое двугранный угол, линейный угол двугранного
угла?
29. Что представляет собой прямоугольная система координат в
пространстве?
30. Что такое координаты точки? Как понимать запись A (a; b; с)?
31. Сформулируйте и докажите теорему о квадрате расстояния
между точками.
323

32. Что такое направленный отрезок, вектор?
33. Какие бывают векторы?
34. Какие (свободные) векторы называют равными?
35. Что такое координаты вектора? Объясните запись а =
= (а\', а2; а3).
36. Какие векторы называют коллинеарными, компланарными?
37. Сформулируйте правила сложения векторов (правила
треугольника, параллелограмма, многоугольника,
параллелепипеда).
38. Докажите свойства переместительности и сочетательности
сложения векторов.
39. Что называют разностью векторов? Как ее находить?
40. Как умножить вектор на число? Докажите свойства
умножения вектора на число.
41. Что значит разложить вектор по ортам? по трем
некомпланарным векторам?
42. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.
43. Сформулируйте и докажите теорему о скалярном
произведении векторов в пространстве.
44. Перечислите свойства скалярного произведения векторов.
45. В чем сущность векторного метода решения задач?
11 класс
46. Что такое геометрическое тело?
47. Дайте определение многогранника. Назовите важнейшие
элементы многогранника.
48. Какие многогранники называют выпуклыми?
49. Дайте определение призмы. Какими бывают призмы?
50. Дайте определение правильной призмы.
51. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой
поверхности прямой призмы.
52. Что такое параллелепипед? Какими бывают
параллелепипеды?
53. Сформулируйте и докажите теорему о пересечении
диагоналей параллелепипеда.
54. Сформулируйте и докажите теорему о квадрате диагонали
прямоугольного параллелепипеда.
55. Дайте определение пирамиды. Перечислите элементы
пирамиды.
56. Дайте определение правильной пирамиды.
57. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой
поверхности правильной пирамиды.
58. Сформулируйте и докажите теорему о сечении пирамиды
плоскостью, параллельной основанию.
59. Что понимают под движением в геометрии? Приведите
примеры.
60. Что такое параллельный перенос фигуры в пространстве?
324

61. Докажите, что симметрия- относительно точки и симметрия
относительно плоскости — движения.
62. Что такое центр симметрии, плоскость симметрии фигуры?
63. Какие геометрические фигуры называют равными?
64. Какие фигуры называют гомотетичными? подобными?
65. Дайте определение правильного многогранника. Назовите
все пять видов правильных многогранников.
66. Что такое тело вращения? Приведите примеры.
67. Дайте определение цилиндра. Назовите элементы цилиндра.
68. Дайте определение конуса. Назовите элементы конуса.
69. Как вычисляют площадь поверхности цилиндра, конуса?
70. Дайте определение шара; сферы. Назовите их основные
элементы.
71. Как могут быть расположены в пространстве шар и
плоскость?
72. Сформулируйте и докажите теорему о плоскости,
касательной к шару.
73. Дайте определение шара, вписанного в многогранник, и шара,
описанного около многогранника.
74. Дайте определение призмы, вписанной в цилиндр, и
пирамиды, вписанной в конус.
75. Что такое объем тела? Перечислите свойства объема.
76. Сформулируйте и докажите теоремы об объеме: а)
прямоугольного параллелепипеда; б) произвольного
параллелепипеда; в) призмы; г) пирамиды; д) цилиндра; е) конуса;
ж) шара.
77. Что понимают под площадью сферы?
78. Сформулируйте и докажите теорему о площади сферы.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Исторический очерк
Геометрия—одна из древнейших наук. Исследовать
различные пространственные формы издавна побуждала людей их
практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем
Родосский в IV в. до н. э. писал: «Геометрия была открыта
египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им
необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей
границы. Нет ничего удивительного в том, что эха наука, как iH
другие, возникла из потребности человека».
Многие первоначальные геометрические сведения получили
также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые
древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем,
без логических доказательств.
Как наука геометрия впервые .сформировалась в Древней
Греции, когда геометрические закономерности и зависимости,
найденные ранее опытным путем, были приведены в
надлежащую систему и доказаны.
Одним из творцов геометрии был древнегреческий ученый
Фалес (VI в. до н. э.). Он первым доказал теоремы о равенстве
вертикальных углов, о равенстве углов при основании
равнобедренного треугольника, о том, что диаметр окружности делит ее
пополам, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Знал Фалес и второй признак равенства треугольников, и
свойство прямоугольного треугольника с углом 45°. Опираясь на это
свойство, он измерил высоту египетской пирамиды. А
пользуясь астролябией, предсказал наступление солнечного затмения
28 мая 585 г. до н. э. Понятно, что все это он делал на основе
геометрических знаний.
В III в. до н. э. греческий ученый Евклид привел в систему
известные ему геометрические сведения в большом сочинении
«Начала». Эта книга более 2000 лет служила учебником
геометрии во всем мире.
Развивалась геометрия и после Евклида. В частности,
Архимед (III в. до н. э.) разработал новые способы вычисления
площадей и объемов геометрических тел, Аполлоний (III—
II в. до н. э.) исследовал сечение конуса, Менелай (I—II в. н. э.)
внес существенный вклад в геометрию и тригонометрию сферы. Но
в последующие века, вплоть до Возрождения, в Европе
геометрия не развивалась. Стараниями служителей церкви
перечеркивалось и сжигалось даже то, что знали ученые в античные времена.
326

Евклид Р. Декарт
Только во второй половине нашего тысячелетия здесь снова
начали появляться геометрические открытия. Создавались
новые методы исследования свойств геометрических фигур, и
соответственно появлялись неизвестные ранее ветви древней науки —
аналитическая, дифференциальная, начертательная, проективная
геометрии. В их разработку особенно много внесли Р. Декарт,
Л. Эйлер, Г. Монж.
Рене Декарт (1596—1660) —французский математик,
философ, физик, физиолог — в книге «Геометрия» впервые ввел
понятие «переменная величина», заложил основы аналитической
геометрии: показал, как можно свойства геометрических фигур
исследовать с помощью соответствующих уравнений. Из других
крупных произведений Р. Декарта заслуживают внимания
«Правила для руководства ума», «Трактат о свете», «Рассуждение о
методе», «Начала философии». На протяжении нескольких
веков ученые всех континентов черпали из них важнейшие мысли.
Леонард Эйлер (1707—1783) родом из Швейцарии. В Россию
приехал двадцатилетним юношей, через три года возглавил
кафедру физики, а еще через три года стал академиком. В
Петербурге он прожил всего тридцать лет, здесь и похоронен. И
Г. Монж
Л. Эйлер
327

большую часть своих математических
трудов Эйлер написал в России. Почти во всех
областях математики он оставил настолько
глубокий след, что и в настоящее время
основополагающими являются теоремы
Эйлера, формулы Эйлера, углы Эйлера, уравнения
Эйлера, эйлеровские постоянные и т. д. Он
по праву считается одним из творцов
дифференциальной геометрии и топологии.
Гаспар Монж
(1746—1818)—французский геометр и общественный деятель. Еще
будучи слушателем военного училища, он
предложил новый метод изображения
пространственных фигур на плоскости и тем
самым новый метод решения важнейших
прикладных задач. Много лет этот метод считался военной
тайной: настолько он был важен для военного дела. Только в
1794 г. было разрешено рассекретить его. Этот метод послужил
основой начертательной геометрии, которую сейчас изучают во
всех технических вузах. Позже Г. Монж написал труд
«Приложение анализа бесконечно малых к геометрии», заложив тем
самым и основы дифференциальной геометрии.
Конечно, в разработке упомянутых ветвей геометрической
науки принимали участие не только названные ученые. Много
сделали для ее развития И. Кеплер, К. Гаусс, Ж. Лагранж,
А. Лежандр, Ж. Дезарг, Ж. Понселе и десятки других ученых.
Особенно большой вклад в развитие геометрии внес Н. И.
Лобачевский. Все упомянутые выше ученые исследовали, хотя и
разными методами, свойства одного и того же евклидова
пространства. Н. И. Лобачевский первый открыл существование
совершенно новой геометрии, позже названной в его честь
геометрией Лобачевского.
Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) родился в
Нижнем Новгороде, учился в Казанском университете, позже был'
преподавателем, деканом, а с 1827 по 1846 г.— ректором этого
университета. Он много сделал для развития алгебры и анализа,
но особенно известен как творец неевклидовой геометрии. 23
февраля 1826 г. Лобачевский представил рукопись «Сокращенное
изложение начал геометрии» и доложил на собрании факультета
ее содержание. Этот день считают днем рождения неевклидовой
геометрии.
Главный вывод этой рукописи позже был опубликован в
работах «О началах геометрии», «Воображаемая геометрия»,
«Новые начала геометрии с полной теорией параллельных
линий», «Пангеометрия».
Открытие Н. И. Лобачевского было настолько глубоким и
неожиданным, что известнейшие ученые посчитали его
чудачеством, даже высмеивали автора. Только позже оказалось, что к
328.

подобным, выводам независимо друг от друга пришли также
К. Гаусс и Я.. Больяи. Но Больяи опубликовал свою работу, на
несколько лет позже, чем Лобачевский, а Гаусс результатов по
рассматриваемой теме вообще не публиковал, опасаясь, что его
идеи не будут поняты. Вот почему новую геометрию по
справедливости во всем мире называют геометрией Лобачевского.
Эта геометрия существенна отличается от евклидовой.
Например, в ней утверждается, что через данную точку можно
провести бесконечно много прямых, параллельных данной
прямой, что сумма углов любого треугольника меньше 180°.-В
геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подрб-.
ных треугольников и т. д. Во многом удивительна и необычна
эта геометрия, хотя в логическом отношении не уступает
евклидовой. Позже немецкий математик Г. Риман (1826—1866)
обобщил пространства Евклида и Лобачевского. Его идеи нашли
применение в теории относительности.
Далеко продвинулись современные ученые в изучении
неевклидовой геометрии. Но первый шаг в этом направлении сделан
Н. И. Лобачевским. Известный английский математик
прошлого века У. Клиффорд писал: «Чем Коперник был для Птолемея,
тем Лобачевский был для Евклида. У Коперника и
Лобачевского интересная общая черта — оба они славяне по
происхождению, каждый из них произвел революцию в научных
воззрениях и обе эти революции имеют одинаково громадное значение,—
это революции в нашем понимании Космоса». Многие и сейчас
называют Лобачевского Коперником геометрии. А американский
ученый в области истории математики уточнил: «Это не
преувеличение называть Лобачевского Коперником геометрии, так как
геометрия есть только часть более широкой области, которую
он обновил. Может быть, даже было бы справедливым
называть его Коперником всего мышления» (Белл Э. Т. Творцы
математики.— М.: Просвещение, 1979.— С. 227).
Геометрию Лобачевского изучают в высших учебных
заведениях. В школе же рассматривают только евклидову геометрию.
Почти все утверждения нашего учебника, за исключением
материала о координатах и векторах, были известны еще
древнегреческим геометрам. Только излагались они в те далекие
времена иначе. Например, сформулированные в § 52 аксиомы Сз и С4
в XI книге «Начал» Евклида предлагались в такой форме:
«Части прямой линии не могут лежать одна над плоскостью, а
другая — в самой плоскости», «Две плоскости пересекаются по
прямой линии». В этой книге о треугольниках доказано 34 теоремы,
об окружностях — 37, о прямых и плоскостях в пространстве —
20, о параллелепипедах—13, о пирамидах — 7, о цилиндрах и
конусах — 6, о шарах — 7.
Метод координат на плоскости впервые разработали Р.
Декарт и П. Ферма. Только в XVIII в. И. Бернулли, А. Клеро и
другие математики распространили его на трехмерное простран-
329

Wl
ство. Вывел уравнение плоскости й решил большинство
основных задач трехмерной аналитической геометрии Г. Мойж.
Систематическое изложение аналитической геометрии пространства
дал Л. 'Эйлер* Термин <вектор» ввел в 184& г. ирландский
математик У. Гамильтон.
Понятия «куб», «параллелепипед», «призма», «пирамида»,
«тело» были хорошо известны древнегреческим геометрам. Вот
несколько определений из книги XI «Начал» Евклида: «Телом
называется то, что имеет длину, ширину и глубину. Пределы
тела суть поверхности... Пирамида есть тело, ограниченное
плоскостями, проведенными от какой-нибудь плоскости к точке,
лежащей вне этой последней. Призма есть тело, ограниченное
плоскостями, из коих две противолежащие равны, подобны и
параллельны, остальные же суть параллелограммы... Куб есть
тело, ограниченное шестью равными квадратами».
Правильные многогранники были хороша известны даже
предшественникам Евклида. В «Началах» доказана, что существует
только пять видов правильных многогранников, и показано, как
можно построить каждый из них. Архимед открыл существование
тринадцати видов полуправильных многогранников.
Тела вращения были известны еще древнегреческим
геометрам. В «Началах» Евклида сформулированы следующие
определения: «Шар описан полукругом, вращающимся на
неподвижною диаметре... Конус отгасан .прямоугольным треугольником,
вращающимся около неподвижной перпендикулярной стороны...
Цилиндр происходит от вращения прямоугольника около
неподвижной стороны».
Об объемах геометрических тел в «Началах» Евклида
ничего не говорится, но имеется несколько теорем, в которых, по
существу, сравниваются объемы тел. Например, здесь доказаны
следующие утверждения: «Параллелепипеды, имеющие равные
высоты, относятся между собой как площади оснований»,
«Всякая треугольная призма может быть разложена на три равные
треугольные пирамиды», «Всякий конус есть треть
цилиндра, имеющего с ним равную высоту и общее основание». Здесь
под параллелепипедом, пирамидой и т. д. понимается объем
соответствующего тела, а равными считаются тела равных
объемов.
Изучаемые в средней школе теоремы об объемах призмы,
пирамиды, цилиндра, конуса, шара знал еще Архимед.
Некоторые из них он доказал впервые. В произведении «О шаре и
цилиндре» он впервые доказал теоремы о площадях поверхностей^
цилиндра, конуса, шара. Рассматривал Архимед даже такие тела,
как параболоид, гиперболоид и эллипсоид вращения.
Как видим, большинство свойств геометрических фигур,
изучаемых в современной школе, было известно и две тысячи лет
назад. Со временем их дополняли новыми открытиями,
передавали от поколения к поколению, потому что эти сведения очень
330

нужны людям. Не случайно еще в античные времена
провозглашено: «Не знающий геометрии да не войдет в Академию»*.
В наши дни геометрия нужна еще больше. Нельзя не
согласиться с мнением известного архитектора Ле Корбюзье:
«Никогда еще до настоящего времени мы не жили в такой
геометрический период; Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то,
что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий
нас мир — это мир геометрии, чистый, истинный, безупречный в
наших глазах. Все вокруг — геометрия».
В будущем окружающий нас мир, несомненно, изменится,
многое устареет, отойдет в прошлое. Но геометрия останется. Даже
еще более обогатится новыми сведениями и методами, потому что
она очень нужна людям.
Вычисление объемов тел
с помощью интегралов
Пусть тело Т заключено между двумя параллельными
плоскостями аир (рис. 519). Введем систему координат так, чтобы
ось х была перпендикулярна этим плоскостям. Абсциссы точек
пересечения плоскостей аире осью х обозначим через а и Ъ
(а<6). Плоскости а и р не пересекают тело Г, а лишь
прикасаются к нему. Но здесь условимся и их считать секущими
плоскостями (вырожденными). Значит, каждая плоскость,
перпендикулярная оси х и проходящая через точку х ее отрезка [а; Ь\
пересекает тело Т. Пусть 5 (х) — площадь соответствующего сечения.
Так как каждому значению х из [а; Ь] соответствует
единственное значение площади S(x)t то S(x) — функция, заданная на
[а; Ь\ Если эта функция непрерывна, то объем данного тела Т
можно выразить через S{x\ a и b.
Разобьем отрезок [а; Ь] на п
равных частей точками
a<Xi<x2<...<Xn-\<xn = b.
Проведенные через эти точки
плоскости, перпендикулярные оси дс,
рассекают данное тело на п слоев толщины
А х =^—£ (рис. 520). Объем /-го
слоя примерно равен S(xi)Axt a
объем всего тела
Рис. 519
V&S(x{) Ax + S(x2) Ax + ... + S{xn) Ax.
(*)
Точность этого приближенного равенства тем выше, чем
меньше слой, т. е. чем больше п. Можно доказать, что при п -*• оо
интегральная сумма правой части приближенного равенства (*)
331

Xxk+i)
S(xK)
Рис. 520
стремится к объему V данного тела. Следовательно, по
определению интеграла
ь
V=\s(x)dx.
а
Рассмотрим конкретные примеры.
1. Пусть данное тело — пирамида, площадь основания
которой S, а высота Л. Примем ее вершину за начало координат,
а ось х направим по высоте пирамиды (рис. 521). Каждая
плоскость, перпендикулярная оси х и пересекающая высоту пирамиды,
пересекает пирамиду по многоугольнику, подобному основанию.
Если секущая плоскость удалена от начала координат на х, то
по теореме 71 соответствующая площадь сечения S (х)
удовлетворяет условию: S (x):S=x?:h2. Отсюда S (х)=-ггх2.
Эта функция квадратичная, значит, непрерывна на [0; h\
Следовательно, объем данной пирамиды
л
"-!**«*•* !.-*»■
2. Представим себе криволинейную трапецию, ограниченную
графиком функции 2=/(х), осью х, прямыми х=а и х=Ь. Если
zk
zi
Рис. 521
Рис. 522

эту криволинейную трапецию вращать вокруг оси х, получим
некоторое тело вращения (рис. 522). Каждая плоскость,
перпендикулярная оси х и пересекающая ее в точке х£[а; b\
пересекает данное тело по кругу радиуса / (х). Площадь сечения
S(x) = n/2(x).
Эта функция для рассматриваемых в школе тел вращения
непрерывна. Следовательно, объем данного тела
ь ъ
V = \ я/2 (х) dx, или V=n J /2 (x) dx.
а а
Например, шар радиуса г можно рассматривать как тело,
полученное вращением вокруг оси х криволинейной трапеции,
ограниченной этой осью и графиком функции z^=->Jr2-~x2. Значит,
объем такого шара
V = n J (г2-х2)йх = я(г2х-^х3) |Г^=-|-яг3.

Ответы и указания к упражнениям
1. АВ. 3. Можно. 7. КР, КТ, РТ% РК, ТК или ТР. 10. 4. 11. Нет. 13. Можно.
15. На 16, 17 или 18 частей. 20. Нет. 23. Да. 24. Нет. 25. Нет. 26. Да. 28. 5,9 см.
29. 0,6 дм. 33. Может. 35. 3 см, 9 см, И см, 17 см. 43. Нет. 46. 2° 15', 8°2(У.
47. 375', 120', 690'. 50. 90°. 54. 15°, 2,5*. 55. 20°. 56. В 4 раза. 57. 45°. 59. 130°.
60. 20°. 61. а) 75° и 105°; б) 80° и 100°. 62. Нет. 63. Нет. 65. Нет. 66. 130°.
68. Нет. 71. 60°. 73. в) 50°, 130°, 50° и 130°. 78. АВ, АС и ВС не являются
перпендикулярами к прямой /СЯ. 81. Правильно. 82. а) 80° и 75°; б) 190°;
в) 20°; г) ее. 85. Да. 86. Да. 88. Нет. 89. Не следует. 94. 145°, 35° и 145°. 95. 50°,
130°. 96. в) 65°, 115°, 115° и 65°.
100. 180°. 101. Не следует. 105. 40°. ПО. 80°, 70° и 30°. 111. 86°. 116.
Последнее утверждение. 119. Углы с соответственно параллельными сторонами не
всегда равны. 126. Нет. 127. 15,8 см. 128. Нет. 131. Правильно. 132. Нет. 133. 80°.
134. 60° и 90°. 137. 60°, 40° и 80°. 138. 15° или 75°. 139. 15°. 140. 70°. 141. 70°.
142. 30° и 60° или 60° и 30°. 144. 180°. 145. Нет. 147. Доказательства свойств
медиан и -биссектрис треугольника имеются на с. 80 и 120. 148. Нет. 149. Нет.
150. Да. 151. Да. 152. 90°. 156. Совпадут, равны. 157. Нет. 158. Да. 159. Не
всегда. 160. 70°, 3,8 см. 161. 60°, 60°, 60°. 163. Нет. 165. 12 см. 169. 12 см.
170. Равны. 174. Потому что АСТР = АСАВ. 176. 8 см. 179. Пусть ВМ и
В\М\ — медианы равных треугольников ABC и А\В\С\. Докажите, что аАВМ =
= Ai4l£iMi. 180. Равны. 185. ~ дАСВ= аАХВ. 186. Пусть ВМ и B\Mt —
медианы треугольников ABC и А\В\С\. Отложите на прямых ВМ и В\М\ отрезки
MD = MB и MiDt=:M\Bi и докажите, что AABD= AA\B\D\. 187. 17 см.
188. 2 см. 189. 50°. 190. 120°. 191. 70°, 70° и 40° или 50°, 50° и 80°. 193. 45°,
45° и 90° или 72°, 72° и 36°. 194. 40° 195. 30°. 199. Наибольший угол Л.
200. 15 см. 201. Задача имеет два решения. 208. 60° и 90°. 209. 40° и 50°.
211. 30°, 60° и 90°. 212. 45°, 45° и 90°. 214. 40°, 50° и 90°. 215. Нет. 216. 40°,
50° и 90°. 220. Если ZC = 90°, ZB = 45°, то АС = СВ. 221. 180°-сс. 224. 16 см.
226. 9 см, 9 см. 227. 9,5 см, 9,5 см. 228. 27 см. 232. Проведите биссектрису
развернутого угла. 233. Постройте прямой угол и на его сторонах отложите
данные отрезки. 236. Проведите биссектрису прямого угла и биссектрису угла в
45° 246. Если данный треугольник тупоугольный, две его высоты расположены
вне треугольника. 247. Если данный угол острый, задача имеет два решения.
249. Окружность. 250. Окружность. 251. Серединный перпендикуляр отрезка,
концами которого являются данные точки. 252. Две прямые, параллельные
данной прямой. 253. Прямая, параллельная данным прямым. 254. Да. 256. Две
перпендикулярные прямые. 258. 5 см; нет. 264. Имеют. 266. 120°, 60°. 272.
Постройте прямую, равноудаленную от данных параллельных прямых. Задача име-
334

ет два решения. 273. 2 (г+ri +г2) или 2г (если г — больший из радиусов).
275. Две прямые, параллельные данной прямой. 276. Круг. 279. а) 180°; б) 90°.
280. 1:5. 282. 60°. 283. 140°. 284. гЗ^О7 или 124°25'. 285. 74°26'. 287. 45°,
52°30', 82°30'. 288. 12°. 291. 90°, 60°, 30°. 292. 67,5°. 293. На равные части.
300. Постройте геометрическое место точек, находящихся на данном
расстоянии от данной прямой. 305. На данной гипогенузе как на диаметре постройте
полуокружность. 306. Искомым геометрическим местом точек является фигура,
состоящая из двух равных дуг окружностей. 309. Бесконечно много. 310. Не
существует. 312. Задача имеет два решения. 313. 3 см, 6 см, 6 см, 6 см.
314. 0,5 (а+6—с). 315. 60°, 120°. 318. Нет. 320. 36°, 72°, 108е, 144°. 321. 80°,
130°. 323. Имеются. 326. Все, кроме четвертого. 327. 130°, 50°, 130°. 331. Под
прямым углом. 332. 45° и 135°. 333. 58° и 122°. 334. 11 см, 13 см, 11 см.
335. 7 дм. 336. 6 см, 10 см. 337. 8 см и 16 см. 342. Три. 343. 6 дм, 12 дм. 344. 22 см
или 26 см. 351. 14 см. 352. 0,54. 356. 24 см или 30 см. 361. 65°. 362. 0,5а.
363. 60° и 120°. 364. 20°, 70° и 90°. 369. Форму ромба. 372. Необязательно.
373. 1:2. 377. 6 м. 378. Рассмотрите три случая. 380. 0,5(а+6 + с). 383. di+d2.
384. 0,6 м. 385. На т. 386. 10 см или 4 см. 387. 32 см, 40 см. 390. 1:2. 392.
Отображение б) не является геометрическим преобразованием.
400. Постройте треугольник по двум данным углам и стороне, равной
разности данных отрезков. 404. 2г. 411. Нет. 412. Равны. 413. Возможно. 414. Нет.
415. Не всегда. 416. Нет. 417. Не следует. 418. Следует. 423. Не всегда. 428. а.
431. 2d. 432. 90°+ а, 90°—а, если а<90°. 440. Ни одна. 441. Один. Бесконечно
много. 442. Постройте параллелограмм, центр симметрии которого — точка М.
443. Поверните одну из данных прямых около данной точки на 60°. Задача
имеет два решения. 451. 80°. 453. а) Две; б) бесконечно много; в) бесконечно
много; г) три. 461. Постройте точку В и симметричную В отнбсительио /, и
проведите прямую АВ\. Задача может не иметь решения. 470. Гомотетичны
относительно точки С. 471. £=2. 474. £±=2. 475. Подобны, но не гомотетичны.
476. Нет. 478. Нет. 481. Подобны. 482. Подобны. 484. Подобны. 486. а) Нет;
б) нет; в) да. 490. 9 пар (не считая равных)*. 491. Четыре. 492. 3:5. 493. а:Ь.
494. л:т. 495. Может. 497. 36°, 72° и 72°. 498. \:п. 499. 390 м.
500. а) тЬ\с\ б) 6 (с —п):с. 502. 28 м. 503. ЛД=12,8 мм, КЯ=46,6 мм.
510. Постройте произвольный треугольник, подобный искомому, и проведите
его медиану. 512. Постройте сначала произвольную окружность, касающуюся
сторон угла. Задача имеет два решения. 517. а) 15 м; в) 5а. 518. 5 см.
519. a) ft=Yai&i; б) из подобия треугольников АСН и ABC следует h:b=a:c,
откуда h=ab:c. 520. 2,5 см, 2,5V3 см. 521. 10 см. 522. а->/3:2. 523. 2->/3/:3.
524. 24 см. 525. 13 см. 526. а -\/2. 527. 2 -\/2 см. 528. ф. 529. 84 см. 530. 3 см и 4 см.
531. Треугольник прямоугольный. 533. 26 см. 534. 126 см. 536. 40 см. 538.
Примените теорему Пифагора к четырем прямоугольным треугольникам. 539.
Обозначьте длины катетов треугольника через 2а и 26 и определите длины всех его
медиан. 540. 96 см. 547. Не пересекает. 549. 3. 550. лс=4. 551. *= —4, #=0.
552. Прямая, параллельная оси х н проходящая через точку М (0; 4). 554. 3.
556. Симметричны. 558. 0. 560. 0 и 0. 561. 4. 562. 5. Примените теорему
Пифагора. 564. а) 5->/2. 565. V*3- б69- Нет- б7°- ЛГ —середина отрезка А В.
335

571. P(3; -6). 572. M (0,5; 4,5), tf(3; 5). 573. Докажите, что АВ = ВС. 574. Ре-
шите уравнение (*-f-4)2-f-72=(* — 3)2-f-32. 575. 4,5. 578. Покажите, что АМ +
+ МВ=АВ. 579. Докажите, что середины отрезков АС и BD .совпадают или что
AB = CD и AD=BC. 580. Задача имеет одно решение. 581. Докажите, что
AC = BD и что середины этих отрезков совпадают. 583. *2-f-t/2 = 16. 584. (л:— l)2-f-
-f-(i/-2)2 = 25. 585. (* — 4)2-f-(/2 = 4. Не проходит. 587. г = 7. 588. Приведите
данное уравнение к виду *2-f-(i/—3)2 = 49. 589. С (3; -4), г = 6. 593. *2-f-t/2 =
= а2 + 62. 594. х2-2ах+у2 — 2Ьу=0. 595. д:-2у = 0. 597. Проходит. 598. /С (1,5; 0),
Я(0; 2). 599. л:-2 = 0.
600. Р (—5; 2). 601. Решите систему данных уравнений. 602. 24. 604. а) (д:—2^ +
+(*/--3)2 = 9; б) (*-2)2-t-Q/-3)2 = 4. 606. ih = n. 607. a) AD\ б) ДЛ.
608. ЛЯ = (-4; -3). 609. -9 и 2, 9 и -2. 612. В (3; 8). 613. 5. 614. 10. 615.
Равных векторов нет. 616. Равны. 621. Не равны.-623. AD =(3,5; 1). 624. а) а+Ь =
=(5^9). 625. а) АО\ б) МТ\ в) АВ. 626. a) ЛЯ; б) б. 627. a) 0£ = (6i; 62);
в) ЛО=(-а,; -а2). 628. У260. 629. х= - 11.J630. * = —8, г/=2. 631. ДЛ =(-3; 2).
632. В — середина отрезка АС, 634. AB + CD = Q, CD + BC = BD. 635. а —6 =
=(3; 3). 636. a) OAf; б) Р/С. 638. л/20. 639. СВ, ЛС. 641. Правильно. 644. — 7а =
=(21; -35). 645. а) 4с; б) 8л. 646. 2-^7; 5-^7. 648. -\/85. 650. а) Коллинеарны;
б) нет. 652. Коллинеарны. 653. ОЛ=( —2; 3). 654. а) с = (8; 5); б) с = (1; —2).
656. f=(-12; 15). 659. AC=AB+AD, BD=AD-AB. 660. См. задачу 514.
663. a) a = 4?i+5?2; б) 6 = 2?i — 7e2. 664. 100 см. 665. 13 см. 667. 1:7. 674.
Окружность радиуса 2ЛД. 681. Нет. 682. Нет. 683. У2:2. 684. 1; 0. 685. a) ->/3:2; б) 0,5.
690. а) 0,4226; б) 0,9205; в) 0,1219; г) 0,9781. 691. а) 0,3420; е) —0,5736;
ж) -0,8211. 692. а) 0,4253; б) 0,9985; в) 0,9790; г) 0,9483. 693. а) 71,03°
б) 141,26°; в) 48,19°. 694. а) 15,07°; б) 46,47°; в) 25,38°. 695. а) 166,11°
б) 157,36°; в) 131,4°.
700. а) а = 8,47, 6 = 3,95, р = 25°. 701. а) 6 = 16,8, с = 24,6, р = 43°. 702. а) 6 =
= 112, а = 7,63°, р = 82,37°. 703. а) с = 205, сс = 40,4°, р = 49,6°. 704. «13 м.
705. 58,9 см, 27,5 см. 706. 53,2 дм. 707. 30,8 см, 708. 64°, 64°, 52°. 709. 63,4°,
63,4°, 53,2°. 711. 25,8° и 64,2°. 712. 34,9 см. 713. Задача имеет два решения.
714. «53°, «127°. 715. 63°. 716. 63,3°. 717. б) 0,5. 718. а) —>/3:2. 719. Каждый
равен yf :2. 726. б) 0,3987; в) 0,7986. 727. б) —0,9613. 728. а) 1,1504; б) 4,915;
в) —5,671."729. а) 14°; б) 21° или 159°; в) 42°; г) 114°. 739. а) /=19,2, с = 21,9,
а=102°. 740. а) сс = 98,1°, р = 45,5°, 7=36,4°. 741. а) с = 3,81, р = 51,5°, y =
= 58,5°. 753. ЗУ2. 754. а) 32; б) —32. 755. в) а2; г) 0. 757. 7. 758. Докажите,
что а-6=0. 759. Нет, п-тф0, 761. —1,6. 762. Да. 763. 3:У34. 767. Пусть высоты
АК и ВМ пересекаются в точке Я. Тогда СН-АВ=(СА+АН)-(АН+НВ) =
= ^.ллч-сл.^ч-ля2ч-^.^=ля(слч-ляч-яв)+сл.яЬ=ля.сЬ+
+ СЛ-яЬ = 0. Значит, СНЛ.АВ. 769. 20 м. Нет. 771. 0,6 м, 0,9 м, 1,2 м, 1,8 м.
772. Замкнутая не может. 773. 14. 774. 0,5л (л — 3). 775. 540°, 720°, 17640°.
776. 1440°. 781. Меньше семи. 782. Нет. 787. Центр окружности — середина
гипотенузы. 789. Нет. 790. 80°, 60°, 40°. 791. 20°, 60°, 100°. 792. 8 см. 793. 135°,
336

,12.5° и 112,5». 794. 50°, 60». 70-. 795. 125», 105-.-130-. 796. 5:6. 799. 6 см, 8 см.
6 см.
800. Нет. 805. Нет. 807. 180° («-2):л. 808. 0,5л (л-3). 809. 0,5d. 810. 5 см,
5 л/2 см. 812. у, у т. 813. 6->/Зг. 814. 1,5 л/3 см, 3 см. 818. a Уз, 2а. 822. 72°
826. 12. 830. 60л см. 831. 60:я см. 832. /:я. 833. «0,57 м. 834. «256 см. 836. «57 м
839. «16 см. 840. Увеличится в k раз. 841. 8 -\/2я см. 844. я -у/а*-\-Ь2. 845. па:cos a.
846. 2:1. 847. Задача имеет два решения. 848. 7,5я см. 849. 2па. 850. 4л см.
851. -я-лг, —яг, —яг. 852. 180/:я/г. 857. 6,25 м2. 859. VQ- 860. 18. 861. 14 см.
Z и о
862. Увеличится в 16 раз. 863. 50 см2. 864. 2:1. 865. 6 см и 9 см. 866. 7 м и 8 м.
867. 2. 869. 4:25. 870. В 2 раза. 871. a2-f-&2-f-a/, 0,5c (a-f-6). 875. d2 sin а cos а.
876. 0,5d2 sin а. 878. 30 см2. 879. Q:h. 880. 7,5 л/3 см2. 881. 30*. 150°. 883. ad sin а.
884. 12. 886: а2 sin а. 887. 8 дм2. 889. Площадь квадрата больше. 890. 37,1 дм2.
891. 12 см2. 892. 9:16. 894. 204 см2. 896. 32 см2. 898. 24 Уз см2. 899. 156 см2.
900. 135 см2. 904. 48 см2. 906. 1,5. 907. 12 см2. 909. 24 см2. 910. 5,25 л/2 см2.
911. 0,25с2. 913.,3л/3г2. 914. 55 см и 48 см. 915. Ь2 sin p cos р. 916. 90 см2. 917. 24.
918. 8. Заключите данный треугольник в прямоугольник, стороны которого
параллельны координатным осям. Найдите площади полученного прямоугольника
и прямоугольных треугольников. 919. 540 см2. 926. а) 84 м2. 929. 1:4. 930. 27 см2
934. Если гипотенуза прямоугольного треугольника с, а катеты а и Ь (а>6),
то с2 = 2а&+(а-6)2 = а2 + 62. 939. 9л мм2. 943. В 25 раз. 944. У2:УЗ. 946. 100л см2
948. 4:1. 949. 25л см2. 950. л/П см. 951. «9,66 дм2. 953. «2 мм. 954. Примените
теорему Пифагора, 955. 4л см2. 956. 432л см2. 957. 4-(*Ш) ~"sin п° )' 958* а* I? Х
Х(яЧ-3 УЗ); б) 1,5. 960. Проведите луч В К и сопоставьте части рассматриваемых
углов. 961. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 962. Если BD —
биссектриса ААВС, то отложите на лучах ВА и ВС точки К и Р — такие, что
AK=AD и CP = CD, AADK= ACDP. 963. Воспользуйтесь параллельным
переносом одной из равных медиан. 965. Пусть СН и СМ — высота и медиана
ААВС. Тогда МА=МВ = МС, £А = £НСВ, £В=АВСМ. 967.
Воспользуйтесь неравенством треугольника. 968. Если угол параллелограмма не равен 60°,
то ААВК= АРСК= APDA (первый признак). 969. AAED= ABGC, ADCK =
= ААВМ, а поворот на 90° отображает ААВМ на AGBC. 971. 90° — 2а,
BMD — дуга окружности с центром А. 972. Если О — центр квадрата A BCD,
то AOAK~AKPD, тогда АКЕР+ AKDP= AAKG= А КАР. 973. Поворот на
60° около В отображает ААВК на АМВС. 974. Поверните одну из данных
прямых на 90° около данной точки. Задача имеет два решения. 975. 30°. 976. (а+Ь+с):3.
978. Проведите через вершины данного треугольника прямые, параллельные
противолежащим сторонам. Высоты данного треугольника лежат на серединных
перпендикулярах сторон построенного треугольника. 979. 180°. Воспользуйтесь
свойством внешнего угла треугольника. 980. Примените свойство скалярного
произведения векторов или метод координат. 981. 6г2. 982. Разделите данную
окружность на части, пропорциональные мерам углов данного треугольника. 983. Всего
таких окружностей четыре. 984. Постройте сначала А АМН, гипотенуза которого
337

равна данной медиане, а катет АН — высоте. На отрезке НМ найдите точку L —
такую, что AL равно данной биссектрисе. Затем следует построить окружность,
описанную около искомого треугольника. 985. Если внутренняя общая
касательная данных окружностей AM пересекает ВС в точке Mt то МА = МВ = МС. Угол
ВАС опирается на диаметр ВС окружности ABC. 986. Проведите радиусы в
точки касания окружности с продолжениями катетов. Полупериметр
полученного квадрата равен периметру данного треугольника. 987. a-f-б — с. 988. Если
г, аз, щ — радиус окружности и стороны вписанных в нее правильного
треугольника и четырехугольника, то а\=а\—г2. 989. Если диагонали четырехугольника
равны а+b и c+d, а угол между ними ср, то ас sin cp-f-cft sin <p+bd sin <p+
+ad sin <p=(a+6)(c+d) sin <p. Рассмотрите случай и невыпуклого
четырехугольника. 990. (VS+VQ)2. 991. V0,5(a2+62> 992. Пусть ABCD — данный
четырехугольник. Найдите на прямой DC точку /С, для которой ВК|| А С, и рассмотрите
дЛ/)/С. б) Постройте отрезок *=У0,5аЛ, где а и h — основание и высота
данного треугольника. 994. 4:3. 995. Примените формулу S=-^-a6sin<p и
утверждение задачи 797. 996. Выразите данные в задаче величины через стороны и
площадь треугольника. 997. 36 УЗ — 16,5я см2. 998. я, 4я, 9я, 36я см2. 999. Примените
утверждение задачи 954.
1000. (5л+л/3) с, (л—V3) с, (Зя-2 л/3) с и (Зя+2 л/3) с, где с=г2:12. 1001. Да.
1002. Да. 1009. Нет. 1010. Нет. 1017. Можно. 1019. Три. 1022. Бесконечно много.
1025. Нет. 1027. Бесконечно много. 1028. Четыре. 1030. Нет. 1032. Нет. 1034. Нет.
1040. Может. 1045. б) 1:4.1046. у tg a, «93 см2. 1047. у а, ^ а2.1048. ~ V^Tcm»
«9,6 см. 1051. Шестиугольник. 1052. 2-^Ъа. 1057. Прямые а и Ъ не пересекаются.
1058. Нет. 1059. Нет. 1064. Прямые а и с не параллельны. 1065. 7,6 см. 1066. В 2
раза. 1067. 36 см, 5 y см- 1°68- 6 см- 1°69- 2»5* 1°70' а) 9,6 Дм*» б) 8 Ам» в) 0,75т.
1071. 32 см. 1073. Нет. 1075. Могут. 1076. Бесконечно много. 1078. Бесконечно
много, если данная точка не лежит на данной прямой. 1084. а) Докажите, что
А\В\\\АВ и что А\В\ не лежит в плоскости ABD. б) Докажите, что секущая
плоскость пересекает треугольники BAD и CAD по их средним линиям, каждая
из которых параллельна ребру АВ и равна его половине. 1087. 9 см. 1088. у^Х
XV1662 —5а*. 1089. (2+У2)/. 1091. Нет. 1095. Нет. 1098. Могут. 1099. Нет.
1100. Нет. 1104. 2а+^? а. 1105. Нет. 1108. Плоскости ABC и DEG па-
5
раллельны, поэтому заключенные между ними параллельные отрезки AF и CD
3
равны. 1109. 24 см, «28 см2. 1111. -Q-a2tga, «20 дм2. 1113. Точка, отрезок,
о
луч, прямая. 1114. Могут. 1115. Нет. 1117. Может. 1118. Нет. 1119. Нет. 1120.
Любой угол, луч или прямая. 1126. Нет. 1127. 18 см2. 1128. а) Q, у. ,129# 60°*
ИЗО. а) 80°; б) 60°. 1131. Бесконечно много. 1132. Бесконечно много. 1134. Нет.
1135. Необязательно. 1136. Могут. 1137. Нет. 1138. Существует. 1140. 60°.
1141. а) «17 см; б) 3 -fia\ в) «14 дм. 1142. ~-а. 1144. Можно. 1146. Не следует.
338

1147. Одну. 1149. Не пересекают плоскость а. 1150. Нет. 1151. а2. 1153. т:п.
1154. 1 см или 0,6 см. 1156. 36 У2 см2. 1164. б) с (1+2^), Щ> с2. 1166. 30 см.
/7
1167. /cos<p. 1Г69. 90°. 1174*. \а. 1175. -у/7 дм, 4 дм, «3,4 дм. 1178. На 10 см.
1179. На 0 см и 12 см или на 16 см и 20 см. 1180. -у]аг—(b + cf. 1181. 2d.
1182. 15 м, 16 м. 1183. 8 м. 1184. УЛ* + г2. 1185. 8 м. 1187. 30 см. 1188. 35 дм.
1189. 45 мм. 1190. а. 1191. ^-а. 1192. 2 м. 1193. Бесконечно много. 1194. 24 см.
1195. 30°. 1196. —, —, , .Ь . 1199. «2,38 м.
1200. «57 м. 1201. 40°. 1202. 90° — <р, 1204. «14 дм. 1206. 45°. 1207. 24 дм.
1209. 45°. 1210. 3 V3 м и 3 м. 1212. Две, если <р<90°. 1214. Под углом 60° —
можно. 1215. Можно. 1216. т или -fern. 1218. Бесконечно много. 1219.
Бесконечно много. 1221. Нет. 1222. Да. 1223. Нет. 1225. а) а-\[2\ б) а-т/З; в) 60°.
1226. 13 см. 1227. rfF+F+c*. 1231. 47° и 133°. 1232. «14 см. 1233. «5,7 дм.
1234. Постройте медианы двух граней тетраэдра. 1235. 5 дм или 4 дм. 1236.
Воспользуйтесь теоремой косинусов. 1237. «42 см. 1238. 80°. 1239. 10°. 1241. 15 дм.
1243. У^+^ + ^-Збссоэф. 1248. 1, 3 и 2. 1249. Кг (2; 3; 0), /С, (2; 0; 1),
Кх(0; 3; 1). 1250. Рх{2\ 0; 0), Я2(0; 3; 0), Я3(0; 0; 1). 1251. Убб. 1252. Точка А
ближе. 1253. ЗУб\ 1254. —4. 1255. Нет. 1256; М (2; —2; 5). 1257. М (0; —2; 0).
1258. м(~j; -i-; oj. 1259. М (2; 2; 2), Мх (—2; -2; —2). 1261. Введите
систему координат так, чтобы уравнение окружности, вписанной в грань куба, было
х2-\-у2=\, а координаты вершин противоположной грани: А (1; 1; 2), £(— I; 1; 2),
С(—1; — 1; 2), D {I; —1; 2). 1262. Пусть длина ребра куба 1, а рассматриваемые
точки — /С(1; 0; z\ Я(лг; 1; 0) и Г(0; у; 1). Сумму квадратов сторон треугольника
КРТ можно представить в виде 2\1х—^-J Л\у—^) +(2~2"/ "^Т/
Наименьшей она будет при x=y=z—-^-t т. е. когда точки /С, Я, Т — середины
ребер куба. 1266. Нет. 1267. Таких параллельных переносов бесконечно-много.
1268. а) Да; б) нет. 1269. Не всегда. 1272. 30°. 1273. Хх (3; 4; 1). 1274. Mt (6; —4; 2).
1276. Да. 1277. Равны. 1278. 2-у/За. 1280. CA = DB, АВфОС. 1281. Нет.
1282. а=(2; 5; 3). 1283. А (—8; 0; —1). 1284. В ( —3; 2; —5). 1286. УП, -Щ-
1287. 3 или —3. 1289. 1:2. 1290. а) Да; б) да; в) нет; г) нет. 1291. а) Нет; б) да.
1292. а) Да; б) да. 1293. Да. 1296. с=(5; — 1; 3). 1298. а) СР; б) AT; в) б.
1299. АВ.
1300. а,=(-3; -5; 4). 1305. б) г=(-3; -4; 2). 1308. с=(-13; 5; -7).
1309. а) £=(16; 12; -10); б) г=/-2; 1; у). 1310. УП>3, У370. 13U. a) 3?i-
—4?2-t-7?3. 1312. а=(2; 3; —1). 1313. 2, 3, 4. 1314. а=2, 6=—3, с=1.
1316. а) 40°; б) 130°; в) 140°. 1317. 30. 1318. а) 72; б) -72. 1319. а) 0; б) -12.
1320. 150. 1322. а) 45°; б) 90°. 1325. Зл/З-1. 1326. Х=-5. 1327. D (0; 0; 1).
339

1328. cosAT=y. 1329. «52 Дж. 1331. 90°. 1332. 5* —3z+2=0. 1333. Злг—4у +
+ 7z4-26 = 0: 1334. ax+by+cz=0. 1335. a) X(-S; 0; 0), У(0; -16; 0),
Z(0; 0; —6,4). 1337. Пусть Си Ci —точки пересечения медиан рассматриваемых
треугольников, а О — произвольная точка пространства. Докажите, что OG=s
— OG\. 1339. — -yja2-f-b2±2a& cos ф. 1341. Найдите скалярный квадрат вектора
ЛВ=ЛЛ|+Л|В|+В|В. 1342. Покажите, что Л£.ВС=(ЛСЧ-С^).(ВЛЦ-ЛС)=0.
1345. cos<p=^. 1346. созф=-|-. 1347. 3d2-f-a2. 1348. Тетраэдр. 1349. 8.
О о
1350. 9. 1351. Да. 1353. 17 см, 39 см, «36,9 см. 1354. ЛМ=у, ДМ = СЛ1=~л/3.
1355. Нет. 1357. 150 см2. 1358. 2 У2 дм. 1359. «43 см2. 1360. «4,6 см. 1361. 7
граней, 12 ребер, 7 вершин; а2. 1362. 18 м2. 1363. 2^S,-f-S2+^5iS2). 1366. a2X
хНдг+81пф). 1368. Нет. 1369. 35; уп(п —3). 1370. 108°. 1371. / sin a.
1373. а) Aah\ б) -feah. 1374. yd2 sin 2Ф, -fed2 sin 2Ф. 1375. «170 см2. 1376. 4 см.
1380. 2-V2S. 1381. -Ла, 2a, a2, V^a2. 1384. Л * - 1386. 3a2. 1387. ^Ё S.
v v v 16 cos a 5
1389. 2 sin у. 1390. «5,5 дм. 1392. Нет. 1393. Да. 1396. 6 см, 7 см, 12 см.
1397. 12 см2. 1399. 6a2 sin a.
1400. «2 м2 и «3 м2. 1401. 45°. 1402. а2 + Ь2 = с2. 1403. Нет. 1404. 8 см и 10 см.
1406. dsina, d sin р, d Vcos2a — sin2 p. 1407. а) Нет; б) нет. 1410. di=a->j6,
d2=d3=d4=a^[2. 1412. n + l, n+\, 2n\ нет. 1415. г) —-/2 sin 2а. 1416. e) -\j3m2 cos a.
1419.360 м2. 1420. 2(3+V3). 1421. tg ф = ^2. 1422. ah + a Уа2 + Л2. 1423. «85 см2.
2
1426. « 195 см2. 1427. V306cm, 348 л/2 см, 3584 см2. 1429. ^(2+iff). 1430. «6,9 см.
2
1432. а) Равнобедренный треугольник; б) равнобедренная трапеция. 1436. - .
1437. «14 дм2. 1438. — У262-а2. 1440. В 9 раз. 1442. ^-. 1443. 16 см2,
о 4
1444. ab-fe, ab^J-2 cos 2<p. 1445. 36 дм2, «35 дм2. 1446. ^а2. 1447. Да.
1448. Да. Бесконечно много. 1450. Нет. 1451. Нет. 1453. А\(— 1; —2; —3).
1454. С(—1; 4; 0). 1462. Имеет. 1464. Правильно. 1468. Нет; да. 1469. Могут.
1472. 2ф, если ф<45°; 180° —2ф, если ф>45°. 1473. Да. 1477. 5. 1478. 3.
1479. 4. 1480. 2. 1482. 3 м. 1488. Нет, если пирамида — не правильный тетраэдр.
1490. Равны. 1491. Необязательно. 1493. Правильно. 1496. Подобны, но не
гомотетичны, п2'Л. 1497. Нет. 1498. Нет.
1500. У2:2. 1501. Да. 1502. а) Нет; б) да; в) нет. 1503. Нет. 1505. 9.
1506. Может; нет. 1509. 16 см2 и 8У2 см2. 1510. а) фа2; б) 2л/3а2; в) Ь-у/ЗаК
340

1..Ж. 1513.^.
1520.. Может. 1521. Может. 1522. Может. 1524. «44 см, «89 см. 1525. «3,5 дм2.
1528. jxtgcc. 1529. ^4г2+И\ 1532. а) Одна; б) бесконечно много. 1533. «283 см2.
1536.-д/^ см и 1.5-\/^ см. 1537. ^ . 1538. 2яг2 tg а. 1539. у nd2( 1 +ctgrj) .
1541. 256 см2. 1542. 2:->/3. 1543. г/г. 1545. «3,3 м2. 1546. Не хватит. 1548. 10 м.
1549. 5 см, «8,7 см. 1551. 90°. 1553. Неправильно, если угол при вершине
осевого сечения конуса тупой. 1554. «75 см2. 1555. «23 м2.1558. 60°. 1559. -£- Y4/i2-f Зг*.
1 3
1561. а) 2 arcsin ~; б) 60°; в) 2 arcsin — . 1562. Площади боковых поверхностей
данных конусов относятся как квадраты образующих. 1563. я м2. 1564. Цг h.
1565. 4 дм, 36 дм2, arcsin 0,8. 1567. « 100 г. 1569. 4л м2, 4я м. 1570. Нет. 1571. 30 см.
1572. а) 576я см2; б) 15 см. 1573. 3:4. 1574. ~ г. 1575. S=n(4-**). 1576. а) Две
о
плоскости, параллельные данной плоскости; б) сфера радиуса г. 1577. а)
Прямая, перпендикулярная данной плоскости, без одной точки; б) плоскость,
перпендикулярная данной прямой, без одной точки. 1579. ri+гг или |гi — /"2!.
1580. x*+y2 + z2-2x-4y-6z-\\=0. 1581. 8; (*-2)2+(*/-2)2+(*-2)2=4.
1582. «23 тыс. км, «20 тыс. км, «26 тыс. км. 1583. Расстояния равны.
1584. яг2 cos2 a. 1585. «8 см. 1586. 24 см. 1587. 0{ (8; 4; 2), V53- 1588. 10 см или
70 см. 1589. 0,5а. 1590. 16 см. 1596. ^(П+Ъ-fi). 1598. —^ Q. 1599. «16 см2.
1600. -yld' + tf + c1. 1604. ^-. 1605. г2 tg а ctg2-£ , «10,2 м2. 1607. ^а,
яг & о
^а, у. 1609. 2rsin2a. 1610. 1:27. 1612. 1,95 дм3. 1613. 19 дм3. 1614. 17 500 м3.
1615. а) У0*; б) ?&d\ 1616. 392 см3. 1617. V27K2". 1618. -jdz sin 2a cos a,
«6 дм3. 1619. 9 см. 1620. 30 дм. 1621. 9 см. 1622. 960 м3. 1624. ab sja?+b*-tga.
1625. i^? . 1626. -^- V. 1627. 200 дм3. 1628. у hd\d*. 1629. a3 sin a. 1630. 109 см2.
1631. .ygf 9. . 1632. kS. 1633. «0,9 см3. 1634. 15 дм3. 1636. \-dz sin2 a cos a ctg p.
4 {a -j- о) ^
1637. Q/sina. 1638. 168 дм3. 1639. -^ a3. 1640. 4r2a. 1641. . 1642,
^a3. 1640. 4r2a. 1641. 4^-. 1642. —.
2 sin a r
1643. 63 V3 дм3. 1644. 30 см3. 1645. ^ d3 cos2 a sin a. 1646. 750 м3. 1647. 39 000 м3.
1648. 12 см3. 1649. «5,3 см3. 1650. 72 см3. 1651. 12 см3. 1652. 12 V2 sin a дм3.
3 5
1653. -«-я3. 1655. —a3 tg 54°. 1656. 1:3. 1657. Секущая плоскость проходит через
/з
точку, делящую сторону основания призмы в отношении 1:2. 1658. -j-a3sina,
«1,9 дм3. 1659. QL 1660. ~Qm. 1662. «15 дм3. 1663. 55а3. 1664. \-abh.
341

1665. ^rd2h. 1.666. «0,24 дм3. ,1667. б) 72rV3 дм3. 1669—1671. Задачи можно
решить устно., если за основание пирамиды принять боковую грань.
2 2 4 '
1672. а) — б3 sin a cos2 а; б) --- bz cos р sin2 Р; в> —- б3 cos2 у У—cosSv.
О О О
J_„3 1t^R Л^Лз XRnn ab .
1673. 10. 1674. 1:5. 1675. jga3. 1676. -^ а3. 1677. ^У3а2-62. 1678. 112 см3.
1679. «81 см3. 1680. a) \-bz $\n2 a^Z-*s\x\2a. 1681. Щ- а3. 1682. А а3.
о о о
1683. a) ^p/3 sin а cos2-a; б) ^:/3 sin a.cos2 a; a) -|- Z3 sin a cos2 a. 1685. 1«:7.
1686. Ы№— l): 468а. ~а\ il689i -^d3 sin a cos2 a. 1690. — a3. 1691. «25 тыс**3.
1692. «5,8 дм3. 1693. «0,46 дм3. 1694. 4:9. ,1696. 1:4. 1698. 4дм. 1699. «140 м.
1700. «2i6 т. 1701. Более 3 млн. т. 1702. «5,4 тыс. м2. 1703. 2nr*sin&-.
1704. а) -~-/*3ctg2<p; б) — r2ha — при условии, что a — радианная мера угла.
1705. а) «0,75 дм3; б) «0;69 дм3. 1706. 6Т44я. 1707. 1944* см3. 1708. 6 см.
1709. 8я м3. 1710. В 8 ,раз. 1711. «392 см3. 4714. -5.(2+^3)^ и -£(2-:\/3).г.
о о
1-,*п я »з • о л г з «*<ч яЛ3 sin (2a — p) sin P «„«ft „
1716. — /3sui,J2acos а„ «0,5 дм3. 1717. 0 .д./ tt/v ц к . 1718. См. решение
27 3sirr (a —p)snr а '^
задачи 1687. 1719. «3,2 дм3. 1720. -find3. 1722. Щ± см2. 1723. 3 дм. 1724. а) -^о3;
.о. о
б) 5^а3. 1725. «770. 1726. В 8 раз. 1727. Соответствует. 1728. «4,2 дм3.
4 a
1730.-я/3 cos3 a tg3-^-. 1731. Выразите объемы рассматриваемых тел через ра-
диус шара. 1732. 33у%. 1733. «5,7 см. 1734. «42 мм. 1735. «8,4 см.
1736. Менее 4,18 т. 1737. «0,0004 мм. 1738. 0,5 кг/дм3. 1739. у яг3 и яг3.
1740. -тт/м3. J741. . .■ л . 1742. Если а<90°, данное тело состоит из конуса и шаро-
6 г 6 siir a
вого сегмента, объемы которых равны — г3 sin2 a cos a и — г3 (1 —cos a)2 (2+cos a).
Найдите сумму этих выражений. Рассмотрите также случай^ когда а>90°.
1743. «13 дм2. 1744. «5 см. 1745. 4я дм2. 1746. К="Д/^-э S=V36W*.
1747. 200 г. 1748. Больше на никелировку одного шара. 1749. 1:3. 1750. 1:3.
175U 50л. дм2. 1753. ^2mvC0S atgy). ^236 см2. 1754. п(Аг2+к*).
1756. -j^i^Y' ^57..да2ДЦ450-у)- |758в ^f2' 176°" Воспользуйтесь
задачей 1742. 1761. Можно, если одна из данных Прямых и точка не лежат в
плоскости, параллельной другой прямой. 1762. Если .плоскость не пересекает пря-
342

мые ОА и ОВ, она пересекает ОС. 1764. Нет. 1765. Нет. 1766. АР=РС.
1768. cos<p=—. 1769. cos©=ctga.ctg y» 1770. sin ф=^г . 1771. Плоскость,
равноудаленная от- данных прямых. 1772. Существует. 1773. Постройте на
граня* куба вне его равные' ему кубы,' 1774. 45*. 1775. 2аЛ:Уз. 1776. 60°.
1777. 3-\/За2:4. 1779; 0,5а. 1780. 0*<<р<180а. 1781. Отрезок, соединяющий
середины данной диагонали куба и ребра. 1782. а) Искомое множество точек —
правильный шестиугольник (без внутренней области). 1784. 5, 6, 7 или 8.
17861 Ш0°:я. 1786: Если М — точка сферы с центром О, а ЛВЕ-—правильный
треугольник, _описанный около ее экватора, то МА=МО+ОА, МВ=МО + ОВ,
МС=МО-\-ОС. Возведите скалярио в квадрат эти равенства и сложите:
MA2+Af£2-}- МО2 — ХЬг2. 1787. Секущая плоскость проходит через центр
симметрии параллелепипеда, поэтому пересекает его и в точках, симметричных
данным. 1788. Разбейте мысленно данную я-угольную пирамиду на п пирамид и
найдите сумму их объемов. 1790. Такой призмой является куб. Воспользуйтесь
производной. 1791. ^р'3. 1792. 4УЗяг3:9. 1793. h:r=-yj2. 1795. ^pS.
1796. *g S1?fa. 1797. rVl5. 1798. ~4-яг3 tg3 <p tg 2<p, 90°<cp<135o.
о cos 2a 3
.,«« 4яа363
1800. «100 m. 1801. Пусть О и 0\ центры треугольников ABC и DEF,
а G — центр сферы. При вращении вокруг оси ООл прямые AF, BD, СЕ
опишут одну и ту же поверхность вращения. Сфера касается этой поверхности по
окружности, грани ABC в точке О, а прямой FA в некоторой точке /С. Тогда
АК=АМ = \ (см. задачу 1578). Если AD=x, то РК=\+л[^Л^ и GOx=^-+x.
По теореме Пифагора FK?+KG2 = G02 + OiF2, *=1. 1802. Если радиус шара г,
то радиус основания конуса 2г. Искомый угол <p=2arctg-^-. 1803. Пусть
£ЕАС=х, тогда AACD= £ABD = Zx, *+60=3*, 3*=Zi4£D=90°, AD —
диаметр. 1804. 1,5(У5-+-1). 1805. Пусть SABC — правильная пирамида, АС=а.
Тогда SC=2a. Если точка Р на ребре AS такая, что i4PJ.SC, то ЛР = -¥т—.
п
По теореме косинусов находим: jLAPB = arccos-r^. 1806. 480 см2. 1807. 2^Jn—
А ~„~г.*У* IQftO fc2 „„„ Q..2 t J_£,2
15'
arccos-%-. 1808. h2 или 2r2+-^/i2 при условии, что /г<2г. 1809. 12.
1810. 30°. 1811. Пусть АВ\С\ —искомое сечение, Р — середина ребра СВ,
M=Bidf)SP. Тогда cosZ,4PS=4*. sin AMAB=^-t AP=SP=^-. При-
з уз 2
менив к ААМР теорему косинусов, получим: ЛМ=-~—, МР= .Q . Из
подобия треугольников SBC и SB\C\ следует, что В\С\—-£* Искомая площадь
343

Зл/2.
Q==£_|£a2< 1812. 4,5 г2. 1813. 1:2. 1814. ут^^ л/4 sin2 р -1. 1815. Пусть прямая,
параллельная АВ и касающаяся окружности, пересекает сторону ВС в точке /С.
АМКСоо ААВС, периметр АМКС равен длине ЛС. r=0,8V5. 1816. 32.
1817. 2. Докажите, что AASD лежит в плоскости одного из оснований цилиндра,
AD — диаметр. 1818. Если 0°<а^60°, задача имеет одно решение, а при
60°<а<90° два. 1819. Найдите -*■ разности объемов конуса н вписанной
о
в него правильной шестиугольной пирамиды. Это — объем меньшей части конуса.
1820. 45° + arccos^^ и 45° — arccos 7-^-. 1821. arctg(2-fV3) и arctg(2—V5).
1822. — (a2 + ab+b2)tga. 1823.—(sin a+cos a —1). 1825.-^^ cos2 a sin а.
12 2 o/\
a

ПРЕДМЕТНЫЙ
Абсцисса 103
Аксиома 27
— Евклида 24
Аксиомы планиметрии 167
— стереометрии 180
Апофема пирамиды 256
Астролябия 14
Биссектриса треугольника 30
— угла 14
Боковая грань призмы 248
пирамиды 256
— поверхность конуса 284
пирамиды 256
призмы 249
цилиндра 279
Вектор 112
— нулевой 113
Векторный метод 122
Векторы коллинеарные 232
— компланарные 232
— противоположные 116, 235
— приложенные 232
— свободные 232
Вершина конуса 283
— многогранника 246
— многоугольника 141
— пирамиды 256
— треугольника 30
— угла 12
Внешний угол треугольника 33
Вписанные тела 291
Высота конуса 283
— параллелограмма 156
— пирамиды 256
— призмы 249
— трапеции 157
УКАЗАТЕЛЬ
— треугольника 30
— цилиндра 280
Геометрическая фигура 4
Геометрическое место точек 52
Геометрия 4
— Лобачевского 326
Гипотенуза 44
Гомотетия 89
Градус 13
Грань двугранного угла 221
— многогранника 246
Движение 80
Двугранный угол 221
Диагональ многогранника 246
— многоугольника 142
Диагональная плоскость пирамиды 256
призмы 249
Диаметральная плоскость шара 287
Диаметр круга 163
— окружности 53
— сферы 287
Длина вектора ИЗ
— ломаной 141
— окружности 150
Додекаэдр правильный 274
Доказательство 16
Дуга окружности 56
Единицы длины 10
— измерения углов 13
— объема 295
— площади 296
Изображение векторов 112, 232
— фигуры 200
Икосаэдр правильный 274
345

Касательная к окружности 54
— плоскость конуса 283
цилиндра 280
шара 289
Катет 44
Квадрат 70
Комбинации тел 291
Композиции симметрии 269
Конус 283
— усеченный 284
Конусность 284
Координаты вектора 112, 231
— точки 103
Косинус угла 125
Коэффициент гомотетии 89
Кронциркуль 289
Круг 163
Куб 274
Линейный угол двугранного угла
Ломаная 140
Луч 6
Лучи дополнительные 6
— сонаправленные 29
Медиана треугольника 30
Мера угла 13
Метод координат 121
Микрометр 289
Многогранник 245
— правильный 274
Многоугольник 141
— вписанный в окружность 144
— выпуклый 142
— правильный 147
Модуль вектора ИЗ
Наклонная 45
— к плоскости 210
Направленный отрезок 227
Начало вектора 112, 231
— луча 6
— системы координат 103
Нулевой вектор ИЗ
Образующая конуса 283
— цилиндра 279
Объем 294
— конуса 307
— параллелепипеда 297
— пирамиды 303
— призмы 299
— цилиндра 306
— шара 311
Окружность 53
— вписанная в многоугольник 144
— единичная 4,125
Октаэдр правильный 274
Описанные тела 291
Определение 28
Ордината 103
Осевое сечение 277
Основание конуса 283
— наклонной 210
— перпендикуляра 17, 209
— пирамиды 256
— призмы 248
— трапеции 64
— треугольника 40
— цилиндра 279
Ось абсцисс 103
— координат 223
— ординат 103
— симметрии 87
— тела вращения 276
Отрезок 8
Параллелепипед 252
— прямой 253
— прямоугольный 184
Параллелограмм 66
Параллельное проектирование 198'
Параллельные плоскости 195
— прямая и плоскость 192
— прямые 20, 188
Параллельный перенос 76, 227
Пересекающиеся плоскости 178
— прямые 6
Перпендикуляр 17
Перпендикул яр ные плоскости^ 218
— прямая и плоскость 206
— прямые 17, 203
Пирамида 256
— вписанная в конус 291
— правильная 256
346

I — усеченная 257, 258
Планиметрия 5
Плоскость 178
I — проекций 199
— секущая 184
— симметрии 268
| Площадь 153
j — круга 164
| — параллелограмма 156
I — поверхности 247
конуса 284
многогранника 247
пирамиды 257
призмы 250
f цилиндра 381
I шара 316
— прямоугольника 154
— сферы 316
— трапеции 157
| — треугольника 159
Поверхность тела вращения 276
Поворот 82, 269
Подобные треугольники,90
— фигуры 90, 271
Полюс шара 287
Поперечина 20
Построения геометрические 47
Правило многоугольника -235
— параллелепипеда 254
— параллелограмма 116, 235
— треугольника 116, 234
Преобразования фигур 76, 265
Преобразование подобия 90
Призма 248
— вписанная в цилиндр 291
— наклонная 249
— правильная 249
— прямая 249
Признаки параллельности прямых 21
— подобия треугольников 92, 33
— равенства треугольников 37,38,42,44
Проекция вектора на ось .113
— наклонной 45
Проекция фигуры 198
Прямая 6
— координатная 102
— проектирующая 198
Прямоугольник 69
Равенство векторов Ц:13
— отрезков 227
— треугольников 37, 38, 42
— углов 14
— фигур 34, 80, 271
Радиус круга 163
— окружности 53
— сферы, шара 287
— цилиндра 279
Развертка конуса 284
— многогранника 246
— цилиндра 280
Разложение вектора 119
Разность векторов 116, 235
Расстояние между точками 106
фигурами 45
Ребро двугранного угла 221
— многогранника 246
Решение треугольников 127
Ромб 70
Свойства объема 294
— параллельных проекций 199
— скалярного произведения 238
Сегмент 163
Сектор 163
Секущая плоскость 184
Секущая окружности 53
Середина отрезка 10
Серединный перпендикуляр .отрезка ,51
Сечение многогранника 184, 260
— тела вращения 277
Симметрия-относительно лгрямой?86,-87,
269
плоскости 268
— ~— точки 83
Синус угла 125
Система координат 1Q2
Скалярное произведение лекторов Ь37,
238
Скрещивающиеся шрямые <1#9
Сложение векторов 115, ,234
Средняя линия трапеции 74
треугольника 74
Стереометрия 177
Сторона многоугольника 141
— треугольника 30
—• угла 13
347

Сумма векторов 115
Сфера 287
Тангенс угла 131
Тело вращения 276
— геометрическое 245
Теодолит 14
Теорема 16, 179
— косинусов 133
— обратная 27
— Пифагора 100
— синусов 134
— Фалеса 73
Тетраэдр 184
— правильный 184
Точка 4
Транспортир 13
Трапеция 64
Треугольник 30
— вписанный в окружность 144
— остроугольный 31
— правильный 147
— прямоугольный 31, 44
— равнобедренный 40
— равносторонний 40
— тупоугольный 31
Угол 12
— вписанный 56
— между векторами 238
— между скрещивающимися прямыми
203
наклонной и плоскостью 214
плоскостями 217
прямыми 17
— между прямой и плоскостью 214
— многоугольника 142
— треугольника 31
— центральный 56
Угломер 222
Углы вертикальные 16
— накрест лежащие 20
— равные 14
— смежные 16
Умножение вектора на число 118
— векторов скалярное 238
Уравнение окружности 109
— плоскости 241
— прямой 110
— сферы 287
— фигуры 108
Фигура 4
— вращения 278
— выпуклая 246
— неплоская 177
— симметричная относительно оси 87
— центрально-симметричная 84
Фигуры гомотетичные 89
— подобные 90
— равные 81
Хорда круга 163
— окружности 53
Центр круга 163
— окружности 53
— правильного многогранника 274
многоугольника 148
— симметрии 84
— сферы, шара 287
Цилиндр 279
Четырехугольник 63
— вписанный в окружность 145, 146
— выпуклый 64
Шар 287
— и плоскость 288
Шаровой сегмент 289
— сектор 163
Штангенциркуль 289
Экватор шара 287
Эклиметр 215

ОГЛАВЛЕНИЕ
Юные друзья! 3
7 класс
Введение 4
Глава I. Начальные понятия планиметрии 5
§ 1. Точки и прямые —
§ 2. Отрезки и их длины 9
Глава II. Углы и параллельные прямые 12
§ 3. Углы и их меры —
§ 4. Смежные и вертикальные углы ., 16
§ 5. Параллельные прямые 20
§ 6. Свойства параллельных прямых 23
§ 7. Теоремы и аксиомы 27
Глава III. Треугольники 30
§ 8. Треугольник и его элементы —
§ 9. О равенстве геометрических фигур 34
§ 10. Признаки равенства треугольников 37
§11. Равнобедренный треугольник 40
§ 12. Прямоугольный треугольник 44
Глава IV. Геометрические построения и окружности .. v 47
§ 13. Простейшие построения .ч —
§ 14. Геометрические места точек 51
§ 15. Окружность 53
§ 16. Центральные и вписанные углы 56
§ 17. Задачи на построение 60
8 класс
Глава V. Четырехугольники 63
§ 18. Общие свойства четырехугольников —
§ 19. Параллелограммы 66
§ 20. Прямоугольник, ромб, квадрат 69
§ 21. Применение свойств параллелограмма 72
Глава VI. Геометрические преобразования 76
§ 22. Параллельный перенос • —
§ 23. Движения и равенство фигур 80
§ 24. Поворот и симметрия относительно точки 82
§ 25. Симметрия относительно прямой 86
349

§ 26. Гомотетия и подобие фигур 89
§ 27. Признаки подобия треугольников 92
§ 28. Применение свойств подобия 96
§ 29. Теорема Пифагора 99
Глава VII. Координаты и векторы 102
§ 30. Координатная плоскость -—
§ 31. Расстояние между точками 106
§ 32. Уравнения окружности и прямой 108
§ 33. Векторы на плоскости 112
§ 34. Сложение и вычитание векторов 115
§ 35. Умножение вектора на число 118
§ 36. Применение координат и векторов к решению задач 121
9 класс
Глава VIII. Решение треугольников 125х
§ 37. Синус и косинус угла —
§ 38. Решение прямоугольных треугольников . * 127
§ 39. Тригонометрические функции и тождества 131
§ 40. Теоремы косинусов и синусов 133
§ 41. Скалярное произведение векторов 137
Глава IX. Многоугольники и окружности 140
§ 42. Многоугольники —
§ 43. Вписанные и описанные многоугольники 144
§ 44. Правильные многоугольники 147
§ 45. Длина окружности 150
Глава X. Площади многоугольника и круга 153
§ 46. Площадь многоугольника —
§ 47. Площади параллелограмма и трапеции 156
§ 48. Площадь треугольника 159
§ 49. Площадь круга 163
§ 50. О логическом строении геометрии 167
Задачи повышенной трудности 168
Вопросы для повторения 172
10 класс
Глава XI. Введение в стереометрию 177
§ 51. Основные понятия стереометрии —
§ 52. Аксиомы стереометрии и следствия из них 179
§ 53. Сечения 184
Глава XII. Параллельность прямых и плоскостей 188
§ 54. Параллельные прямые в пространстве —
§ 55. Параллельность прямой и плоскости 192
§ 56. Параллельность плоскостей 195
§ 57. Параллельное проектирование и изображение фигур .... 198
Глава XIII. Перпендикулярность прямых и плоскостей 202
§ 58. Угол между прямыми. Перпендикулярность прямых —
§ 59. Перпендикулярность прямой и плоскости 206
350

§ 60. Перпендикуляр и наклонная к плоскости 209
§ 61. Угол между прямой и плоскостью 214
§ 62. Перпендикулярные плоскости 217
§ 63. Двугранные углы 221
Глава XIV. Координаты и векторы 223
§ 64. Прямоугольная система координат в пространстве —
§ 65. Параллельный перенос 227
§ 66.'Векторы в пространстве 231
- § 67. Действия над векторами 234
§ 68. Скалярное произведение векторов 238
§ 69. Применение векторов 241
11 класс
Глава XV. Многогранники 245
§ 70. Что такое многогранник —
§ 71. Призма 248
§ 72. Параллелепипед 252
§ 73. Пирамида 256
§ 74. Сечения многогранников 260
Глава XVI. Движения ., 265
§ 75. Симметрия относительно точки —
§ 76. Симметрия относительно плоскости 268
§ 77. Равенство и подобие фигур 271
$ 78. Правильные многогранники 274
Глава XVII. Тела вращения 276
§ 79. Понятие о телах и поверхностях вращения —
§ 80. Цилиндр 279
§ 81. Конус 283
§ 82. Шар и сфера . 287
§ 83. Комбинации тел 291
Глава XVIII. Объемы многогранников и тел вращения 294
§ 84. Понятие объема —
§ 85. Объем параллелепипеда ' 297
§ 86. Объем призмы 299
§ 87. Объем пирамиды 302
§ 88. Объемы цилиндра и конуса 306
§ 89. Объем шара 311
§ 90. Площадь сферы 314
Задачи повышенной трудности 317
Вопросы для повторения 323
Приложение
Исторический очерк 326
Вычисление объемов тел с помощью интегралов 331
Ответы и указания к упражнениям 334
Предметный указатель 345

Учебное издание
Бевз Григорий Петрович
Бевз Валентина Григорьевна
Владимирова Наталия Григорьевна
ГЕОМЕТРИЯ
Учебник для 7—11 классов средней школы
Зав. редакцией Т^ А. Бурмистрова
Редактор 7\ Ю. Акимова
Художники В. Е. Викторов, Б. Л. Николаев, О. М. Шмелев
Художественный редактор Ю. В. Пахомов
Технический редактор С. С. Якушкина
Корректор А. А. Баринова
ИБ № 13899
Сдано в набор 13.12.91. Подписано к печати 26.10.92. Формат 60X90!/i6. Бум.
типограф. № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 22,0-f-
-f 0,25 форз. Усл. кр.-отт. 22,69. Уч.-изд. л. 19,67-f-0,42 форз. Тираж 161600 экз.
Заказ 223.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства
печати и информации Российской Федерации. 127521, Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат
Министерства печати и информации Российской Федерации. 410004, Саратов,
ул. Чернышевского, 59. ч