Наука. Величайшие теории. Выпуск № 27. Пифагор. Теорема Пифагора

Теги: физика журнал величайшие теории теорема пифагора
ISBN: 2409-0069
Год: 2015
Похожие
Гёдель. Теоремы о неполноте. Выпуск 17. У интуиции есть своя логика
Наука. Величайшие теории. Выпуск № 22. Дальтон. Атомная теория
Наука. Величайшие теории. Выпуск № 49 - Ландау. Сверхтекучесть
Теорема Пифагора
Текст
                    II Л 1/1/ Л ВЕЛИЧАЙШИЕ
НАУКАтеории
ПИФАГОР 27
ПИФАГОР теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Тайна за тремя стенами
D4AGOSTINI
ПИФАГОР
Теорема Пифагора
ПИФАГОР
Теорема Пифагора
Тайна
за тремя стенами
НАУКА. ВЕЛИЧАЙШИЕ ТЕОРИИ
Наука. Величайшие теории: выпуск 27: Тайна за тремя
стенами. Пифагор. Теорема Пифагора. / Пер. с итал. — М.:
Де Агостини, 2015. — 168 с.
Пифагор Самосский — одна из самых удивительных фи-
гур в истории идей. Его картина гармоничного и управляе-
мого числами мира — сплав научного и мистического миро-
воззрения — оказала глубочайшее влияние на всю западную
культуру. Пифагор был вождем политической и религиозной
секты (первой группы такого рода, о которой нам известно),
имевшей огромный вес в разных регионах Греции. Ему при-
писывается одно из важнейших открытий древности: равен-
ство суммы квадратов катетов и квадрата гипотенузы в пря-
моугольном треугольнике. Это истинное геометрическое
сокровище не только имеет множество практических след-
ствий, но и знаменует, среди прочего, рождение математики
как независимой строгой дисциплины.
ISSN 2409-0069
© Marcos Jaen Sanchez, 2012 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2012
© ООО «Де Агостини», 2014-2015
Иллюстрации предоставлены:
Album, Age Fotostock, Index, Scala; Joan Pejoan.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение
без разрешения издателя запрещено.
Содержание
ВВЕДЕНИЕ ............................................. 7
ГЛАВА 1. Правда и миф о Пифагоре .................... 15
глава 2. Теорема .................................... зз
ГЛАВА 3. Пифагорейское братство...................... 61
ГЛАВА 4. Вселенная чисел ............................ 77
ГЛАВА 5. Гармония Вселенной ..........................Ю7
ГЛАВА 6. Крах универсальной арифметики ..............127
ГЛАВА 7. Пифагорейцы и неопифагорейцы ...............145
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ	163
УКАЗАТЕЛЬ .......................................... 165

Введение
Исследования, посвященные Пифагору, всегда балансируют
на грани восхищения к нему и недоверия. Долгие века филосо-
фия, классическая филология и история науки, желая сохра-
нить неприкосновенным взгляд на Древнюю Грецию как
на источник современной логической мысли, исключали
из рассмотрения некоторые аспекты греческого мира, которые
не укладывались в общую картину. Тем не менее свидетельства,
противоречащие цельному и гармоничному образу классиче-
ской Греции, существовали еще с античных времен и время
от времени стыдливо появлялись в трудах некоторых авторов.
Постепенно этот альтернативный взгляд стал пробивать себе
дорогу, и сегодня можно представить гораздо более сложную
картину интеллектуального пространства, в котором жили
древние греки. Античная мысль складывалась из элементов,
включавших мистицизм и религию — комбинация, которую
трудно представить обладателю современной ментальности,
опирающейся на позитивистскую традицию Просвещения. Пи-
фагор Самосский — это, без сомнения, самый наглядный при-
мер такого сложного сплава. Долгое время его личность вос-
принималась исключительно в свете его математического
гения, и при более детальном изучении мыслителя интересую-
щийся попадал в запутанный лабиринт, детали которого скры-
вались во мраке. Таким образом, наилучший способ прибли-
7
зиться к пониманию нашего персонажа — это учесть все
стороны его личности неразделимо: Пифагор — маг и матема-
тик, человек одновременно рациональный и иррациональный.
Деятельность мудреца с Самоса неотделима от греческой
религии. Наиболее популярное представление о ней ограничи-
вается сведениями о пантеоне богов, наполнивших собой за-
падноевропейское изобразительное искусство и литературу.
На самом деле олимпийские боги — это лишь верхний слой, под
которым лежит более древний, хтонический мир мистерий.
С архаической эпохи греки контактировали с фракийцами
и скифами, оказавшими на них сильное влияние. Именно в этой
среде появился Пифагор и оставил след человека религиозного
и в то же время вовлеченного в научную жизнь греческого мира.
Эта двойственность Пифагора — лучший пример того, что не-
возможно отделить истоки философии (ошибочно считается,
что и само это слово было придумано Пифагором) от греческой
религии. Для греков интеллектуальное вдохновение было
чем-то божественным. Поэты и мудрецы Древней Греции были
так же близки к Олимпу, как пророки и жрецы. Пифагора при-
числяли к богам, и в самом деле ему первому из известных нам
людей удалось собрать вокруг себя адептов, разделяющих его
доктрину.
Вопреки некоторым скептическим голосам, в самом суще-
ствовании Пифагора никаких сомнений нет. Он жил прибли-
зительно между 570 и 490 годами до н. э., и мы вполне можем
считать достоверными некоторые сведения о его жизни. Суще-
ствуют достаточные доказательства того, что мудрец занялся
публичной деятельностью в возрасте около 40 лет, когда ему
пришлось покинуть Самос (остров в Эгейском море недале-
ко от Малой Азии), чтобы избежать гнева тирана1 Поликрата.
Около 530 года до н. э. он поселился в греческой колонии Кро-
тоне в Великой Греции2, где основал религиозную секту и стал
1 Применительно к Древней Греции слово «тиран» не несет негативной окраски.
Тираном называли любого человека, достигшего монархической власти недина-
стическим путем, то есть не получившего ее в наследство.
2 Великой Грецией называлось колонизированное греками побережье Южной
Италии.
8
ВВЕДЕНИЕ
вести активную политическую деятельность, причем свое вли-
яние ему удалось распространить на весь юг Апеннин. И на-
против, когда речь заходит о конкретных данных о его жизни —
рождение, путешествия, образование, — все подобные сведе-
ния сразу превращаются в легенду, составленную из мистиче-
ских элементов, характерных для мира и времени Пифагора.
Очень сложно восстановить сколько-нибудь точно — то есть
так, как привыкли мы, — и детали его учения, античного «пи-
фагореизма», однако, несмотря на различные наслоения, слава
Пифагора как ученого останется вечной. Некоторые исследо-
ватели считают его основоположником таких дисциплин, как
математика, астрономия, политология и философия. Ему при-
писывается множество открытий в самых разных областях, его
представляют чуть ли не изобретателем всех наук, так что само
имя Пифагора стало символом науки и прогресса. Мы можем
встретить следы его деятельности также в музыке, риторике,
практике прорицания, медицине и религии.
Пифагор приобрел свой авторитет в философии и науке
во многом благодаря Платону и Аристотелю: именно из-за них
он получил неизмеримое влияние, сохранившееся на протя-
жении всей истории человеческой мысли. Философское и на-
учное наследие Пифагора более всего выражается в двух ве-
ликих идеях — бессмертии души и познаваемости Вселенной
с помощью чисел и пропорций. Все источники говорят о том,
что первую идею мы смело можем приписать самому Пифаго-
ру, в то время как вторая, видимо, относится к более позднему
времени и разработана двумя наиболее известными пифаго-
рейцами, Филолаем и Архитом, хотя вполне возможно, что они
позаимствовали ее ядро из ранних времен пифагореизма, так
что оба принципа восходят к самому основоположнику этого
учения.
Для Пифагора созерцание (термин первоначально мисти-
ческий) — это умственная деятельность, выливающаяся в аб-
страктную и чистую мысль, известную нам сегодня под
названием «математика», на которой основывалось его бого-
словское, этическое и философское учение. Если такое сочета-
ние кому-то кажется странным, напомним, что большинство
ВВЕДЕНИЕ
9
современных научных дисциплин первоначально были тесно
связаны с системами верований, ныне считающихся предрас-
судками. К примеру, астрономия была когда-то неотделима
от астрологии, химия — от алхимии. Поначалу математическое
знание казалось областью надежной, точной и применимой
к реальной жизни, а кроме того, оно достигалось исключи-
тельно размышлением, без необходимости каких-либо наблю-
дений или опытов. Таким образом, пифагорейцы считали, что
математика представляет собой идеал, который намного опере-
жает эмпирическое знание. Предполагалось, что разум должен
главенствовать над чувствами так же, как размышление — над
наблюдением. Изыскивались разнообразные методы, позволяв-
шие приблизиться к математическому идеалу, несмотря на то
что многие заключения, полученные таким образом, были оши-
бочны как в метафизическом смысле, так и с точки зрения тео-
рии познания.
Пифагор открыл значение чисел. Ему приписывают мак-
симу «Всё есть число». Свойства чисел, особенно в их комбина-
циях, изумляли пифагорейцев настолько, что, в конце концов,
они большую часть своей научной активности посвятили изы-
сканиям в области аналогий между числами и вещами. Форму-
лы вроде 1+3 + 5 +...+ (2п - 1) = п2, которая показывает, что
квадрат числа может быть представлен суммой последователь-
ных нечетных чисел, казались грекам проявлением божествен-
ного начала. Пифагорейцы посвятили себя классификации чи-
сел, сложным образом деля их и придавая им этический смысл.
Мудрец с Самоса представлял числа некими фигурами,
в виде которых, например, они обозначены на игральных ко-
стях или картах. В пифагорейских идеях можно встретить чис-
ла продолговатые, треугольные, пирамидальные и множество
других типов, о которых мы поговорим в следующих главах.
Речь тут идет о конфигурации камушков, которые использова-
ли для обозначения того или иного числа и которые выклады-
вались в виде той или иной фигуры. Вероятно, Пифагор верил,
что мир складывается из частиц, подобных тем, которые чуть
позже назовут атомами, и что все тела гармонически сложены
ю
ВВЕДЕНИЕ
из этих элементов. Таким образом, арифметика становилась
основой и отправным пунктом для физики и эстетики.
Числовые принципы составили фундамент, на котором
Пифагор строил свою философию — философию цельную,
завершенную и универсальную, использовавшую принцип му-
зыкальной и математической гармонии, чтобы заставить весь
мир, включая звезды, танцевать под звуки математической му-
зыки. В космологии самосца (которая во многом базировалась
на идеях Анаксимандра из Милета, жившего веком раньше) все
небесные тела расположены вокруг так называемого централь-
ного огня на расстояниях, соответствующих музыкальной окта-
ве. Поэтому движение этих тел по круговым орбитам произво-
дит музыку — гармонию сфер. Эта музыка не воспринимается
человеческим слухом, но, согласно легенде, сам Пифагор мог
ее слышать. Отголоски связи, установленной между музыкой
и арифметикой, можно найти в современных математических
терминах «среднее гармоническое» и «гармоническая прогрес-
сия».
Возможно, самое значительное открытие Пифагора или его
ближайших учеников — это знаменитая геометрическая тео-
рема, носящая его имя. Традиция приписывает ее авторство Пи-
фагору, хотя к ее формулировке и доказательству пришли
разные культуры независимо друг от друга. Теорема Пифагора
касается прямоугольных треугольников и гласит, что сумма
квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Уже древние
египтяне знали, что треугольник с соотношением сторон 3:4:5
будет прямоугольным, но только греки заметили, что З2 + 42 =
= 52 и, развив эту идею, первыми нашли доказательство общего
принципа.
К несчастью для пифагорейцев, эта теорема привела к от-
крытию чисел, которые ускорили закат их философии. Пред-
ставим себе прямоугольный равнобедренный треугольник
с катетами, равными 1. Согласно теореме, длина гипотенузы
будет V2 — число, которое невозможно представить в виде
натуральной дроби. Это значит, что не существует простого
арифметического действия, позволяющего узнать, во сколько
раз гипотенуза больше катета. Говорят, что катет и гипотену-
ВВЕДЕНИЕ
11
за в этом случае несоизмеримы, а значит, они несовместимы
со Вселенной числовой гармонии, образ которой видел перед
собой Пифагор, ведь в ней числа всегда находятся в точных
и измеримых соотношениях. Этот факт убедил греческих ма-
тематиков, что геометрия должна рассматриваться отдельно
от арифметики.
Сочетание магии и математики, вышедшее на сцену вместе
с Пифагором, было свойственно философии и религии Древ-
ней Греции, Средних веков и Нового времени вплоть до Канта.
Глядя на св. Августина, Фому Аквинского, Декарта, Спинозу
и Лейбница, мы найдем у них ту же тесную связь между рели-
гией и интеллектом, между моральными принципами и удив-
лением разума перед вечностью, которая восходит к Пифагору
и которая отличает рациональную теологию Запада от восточ-
ного мистицизма. Поэтому стоит рассмотреть самосского муд-
реца именно с этого ракурса, поместив его фигуру на границу
между философией, наукой, религией и мифом. Ведь то, что
долгое время считалось несочетающимся, сегодня проливает
свет на личность Пифагора, а понять нашего персонажа во всей
его сложности необходимо для того, чтобы правильно пони-
мать переломный для истории человеческой мысли момент —
эпоху самого ее зарождения.
Чтение этой книги поможет не только принять двойствен-
ность и сложность, о которых шла речь, но и узнать, что подоб-
ный подход, который кажется исключительно современным,
на самом деле таковым не является: напротив, он был присущ
человечеству с давних времен.
12
ВВЕДЕНИЕ
570 до н. э. На острове Самос (Иония) рож-
дается Пифагор. Ксенофан Ко-
лофонский основывает в Элее
(на Юге Апеннинского п-ова)
свою философскую школу.
550 до н. э. Приблизительная дата начала
странствий Пифагора в поисках
мудрости, которые, по преданию,
длились десять лет.
540 до н. э. Некоторые источники утвер-
ждают, что в это время Пифагор
основал на Самосе небольшую
школу, которая называлась «По-
лукругом», чтобы поделиться
с учениками тем, что он узнал
в странствиях.
535 до н. э. Поликрат получает монархиче-
скую власть над Самосом.
530 до н. э. Пифагор покидает родной остров,
чтобы поселиться в греческой ко-
лонии Кротоне в Великой Гре-
ции. Пифагорейцы расширяют
свое влияние в Южной Италии,
основав свои сообщества в раз-
личных городах. Роль кротон-
ской общины заключается в по-
литической власти, которой она
добилась в этом городе.
510 до н. э. Кротон проигрывает войну с Си-
барисом, своим соперником. В го-
роде вспыхивает мятеж против
пифагорейцев, что заканчивается
уничтожением братства.
490 до н. э. Возможная дата смерти Пифаго-
ра в городе Метапонте, недалеко
от Кротона, куда он бежал после
кротонского мятежа.
470дон.э. Рождение Филолая Кротон-
ского, который реорганизовал
пифагорейское учение. По сви-
детельствам, Филолай написал
три книги, использованные затем
Платоном.
435 до н. э. Рождение Архита Тарентского,
ученика Филолая и друга Плато-
на, который придал пифагореиз-
му строгое научное направление.
427 до н. э. В Афинах рождается Платон.
420 до н. э. Не позже этой даты пифагорейцы
(возможно, Гиппас из Метапон-
та) открывают существование
иррациональных чисел.
387 дон.э. Платон основывает Академию.
В своих трудах он заимствует
и переосмысливает основные идеи
пифагореизма.
384дон.э. Рождение Аристотеля, который
подвергнет критике доктрину пи-
фагореизма в пятой главе «Мета-
физики».
300 до н. э. Рождение Евклида Александрий-
ского, который систематизиру-
ет основы греческой геометрии
в своем фундаментальном для
развития математики и науки
труде «Начала».
ВВЕДЕНИЕ
13

ГЛАВА 1
Правда и миф о Пифагоре
Исторический взгляд на личность Пифагора затруднен
многочисленными мифами, сложившимися вокруг этой
фигуры. Отсутствие точной информации о жизни
мыслителя связано, видимо, с тайной, которая
окружала сообщество его последователей, — эту пустоту
традиция поспешила наполнить литературными
выдумками, создав весьма привлекательный, но неясный
и загадочный портрет. Несмотря на это у нас есть
некоторые точные сведения, которые позволяют
из легенд воссоздать образ самосского философа-жреца.

Пифагор Самосский запечатлен в общественном сознании как
отец наиболее точной из наук — математики, а также огромного
числа других дисциплин: музыки, медицины, астрономии, гео-
метрии и, наконец, не только философии, но даже и слова, ко-
торое обозначает эту науку. Однако его биография, а точнее,
множество биографий, дошедших до нас и слитых в традицион-
ный корпус сведений об этом персонаже, полны таинственных
деталей.
Элементы, которые составляют легенду о Пифагоре, ти-
пичны для определенной категории мифов — для мифов о бо-
жественном мудреце, — и большую часть из них можно найти
в биографиях других философов-досократиков, таких как Пар-
менид Элейский (ок. 540-470 до н. э.) или Эмпедокл из Акра-
ганта (ок. 495-425 до н. э.). Однако пифагорейская традиция
добавляет к этому и другие, новые уровни, делая Пифагора
прототипом мудреца — зачинателя всех областей человеческо-
го знания.
Пифагор жил приблизительно между 570 и 490 годами
до н.э., и география его жизни охватывает самые крайние
точки греческого мира в те времена: остров Самос у побережья
Малой Азии и город Кротон на юге Италии. Надо отметить, что
эти же пункты фигурируют в биографиях других мыслителей
той эпохи, по крайней мере тех, о чьей жизни известно больше
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
17
На карте
показаны
Афины, Милет
и основные
города,
связанные
с жизнью
Пифагора:
Самос, где он
родился; Кротон,
где провел
самую активную
часть своей
жизни;
Метапонт,
в котором,
согласно
традиции,
он умер.
всего. Самос располагается близко к Милету, центру ионийской*
школы, основателями которой были Фалес (ок. 624-546 до н. э.)
и Анаксимандр (ок. 610-546 до н. э.), а Южная Италия — место
расцвета элейской школы Парменида и Эмпедокла. Эти четыре
мыслителя из двух географических регионов оказали огромное
влияние на развитие ранней греческой философии.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ И ВОСПИТАНИЕ
Согласно традиции, отцом Пифагора был состоятельный че-
ловек по имени Мнесарх, возможно, самосский купец, корни
нашего героя по материнской линии восходили к полумифи-
ческому основателю колонии Анкею. Самос был торговым со-
перником Милета, и его купцов можно было встретить по все-
му Средиземноморью, вплоть до района Тартесса, известного
своей горной добычей. Правил Самосом тиран Поликрат (ок.
570-522 до н.э.), который между 535 и 515 годами до н.э. об-
ладал на острове единоличной и безраздельной властью. Ле-
генды сопровождают Пифагора с самого рождения — ему при-
писывают божественное происхождение. Так, распространены
1 Иония — западное побережье п-ова Малая Азия.
18
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
истории о том, что его мать Пифаида зачала ребенка от Апол-
лона, так что Мнесарх был лишь его приемным отцом, и что
рождение этого удивительного ребенка было предсказано
дельфийским оракулом. Эта легенда призвана объяснить про-
исхождение имени мудреца: Пифагор означает «возвещенный
Аполлоном», так как это имя образовано от слов Pythios («Пи-
фийский», один из культовых эпитетов Аполлона2) и agoreuo
(«говорить»). Божественное происхождение — один из глав-
ных элементов героического архетипа, как в случае Геракла
или Тезея. Детство Пифагора также отмечено многочисленны-
ми чудесными знамениями.
Его юность и воспитание — предмет ожесточенных дис-
куссий даже в наиболее традиционных источниках. Так как
любому герою нужен наставник, жизнеописатели самосско-
го мудреца приводят в качестве его учителей внушительный
список великих имен и дополняют сведения о его образовании
еще одним обязательным элементом для такого мистического
персонажа — путешествиями в экзотические страны, колыбели
всех областей знания. Нет никаких доказательств знакомства
Пифагора с его предполагаемыми учителями, как и стран-
ствий, которые ему приписывают, однако эта информация по-
могает нам определить, откуда происходят идеи, которые впо-
следствии были приписаны Пифагору.
Среди его предполагаемых наставников можно встретить
имена Фалеса и Анаксимандра из Милета, а также мистика
Ферекида Сиросского (прим. VI век до н. э.), которому тради-
ция приписывает один из первых прозаических трудов на гре-
ческом языке. Первые два мыслителя призваны были ввести
юного Пифагора в круг ионийской философии, а Ферекид,
по-видимому, изложил ему идеи о бессмертии души и реин-
карнации. Согласно легенде, Ферекид совершил в своей жизни
такие же путешествия, как и Пифагор (каковые, впрочем, при-
писывались большинству основоположников греческой фило-
софии), и его фигура в равной степени сочетает религиозные
и философские черты. Как пишут многочисленные источники,
2 Слово происходит от имени побежденного Аполлоном дракона — Пифон.
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
19
Пифагор заботился о своем учителе в последние дни его жиз-
ни. Что касается Фалеса Милетского, одного из семи мудрецов,
традиция считает его зачинателем того процесса, который по-
ложил начало математике как науке. Говорят, что Фалес вы-
числил высоту пирамид по длине их тени во время своего пу-
тешествия в Египет по торговым делам. Ему приписывают раз-
личные теоремы; позже мы рассмотрим две важнейшие из них:
—	два треугольника подобны, если у них равно соотношение
двух сторон и угол между этими сторонами;
—	любой угол, вписанный в полукруг и опирающийся на его
диаметр, является прямым3.
К этим двум можно прибавить целый ряд теорем, извест-
ных к тому времени, но не сформулированных и не доказан-
ных, в частности:
—	диаметр делит площадь круга на две равные части;
—	в равнобедренных треугольниках углы, прилегающие
к основанию, равны.
В интеллектуальной сфере Пифагор полностью вписыва-
ется в среду философов-досократиков, то есть всех, кто пред-
шествовал Сократу на этом первом этапе развития греческой
философии. Этот термин объединяет пионеров логической
мысли архаической Греции: Фалеса, Анаксимандра, Анакси-
мена, Гераклита, Ксенофана, Парменида, Зенона, Эмпедокла,
Анаксагора, Демокрита... В этом списке великих мудрец с Са-
моса и его ученики занимают почетное место. Общая черта всех
досократиков — внимание к устройству космоса и материи.
Неудивительно, что эта глава в истории человеческой мысли
часто называется «космологическим периодом».
3 Отметим, что в русской традиции теоремой Фалеса называется теорема о секу-
щих параллельных прямых.
20
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
ОРФЕЙ
Орфей — это полулеген-
дарный персонаж, высту-
пающий в мифологии од-
ним из первых поэтов
и музыкантов древности,
который изобрел кифару.
Кроме того, считается, что
он улучшил конструкцию
лиры,добавив к ней две
дополнительные струны.
Легенда гласит, что Орфей
в качестве знаменитого
певца сопровождал Ясона
и аргонавтов в плаванье
за золотым руном; что он
отправился в подземное
царство мертвых, чтобы
вывести оттуда свою воз-
любленную, Эвридику —
Смерть Орфея от рук вакханки. Греческая керамика
середины V века до н. э. (Берлин, Музей античности).
и это ему удалось благодаря музыкальному искусству (хотя конечный ре-
зультат, согласно мифу, все равно не был успешным). Считается, что Орфей
происходил из Фракии, как и Вакх, но более вероятно его критское проис-
хождение, поскольку многие из пунктов его доктрины характерны для
Египта, а египтяне оказывали влияние на греков именно через Крит. В са-
мых древних вариантах легенды подчеркивается не столько отношение
Орфея к музыке, сколько то, что он был жрецом-философом, реформато-
ром и даже, согласно некоторым авторам, предшественником Пифагора.
Черты орфизма можно найти не только у Пифагора, но и у Эмпедокла
и Платона — эти три мыслителя связаны цепью преемственности.
Легенда приписывает Пифагору целый ряд мифических
наставников, что обычно для архетипа героического воспита-
ния. По рассказам, Орфей открыл ему тайны космологии и тео-
логии, Дионис и Аполлон обучали его медицине и гаданиям.
Естественно, Пифагор не мог иметь отношений с этими выду-
манными персонажами. Но можно сказать, что традиция тем
самым показывает, что свои первые мистические шаги мудрец
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
21
предпринял в рамках религиозной доктрины, известной как ор-
физм.
Орфизм был учением, основанным на мифологии. Со-
гласно одной из версий мифа, Дионис был съеден титанами,
но его сердце сохранилось, и Афина принесла его в дар Зевсу.
Зевс истребил титанов своими стрелами, из их пепла появились
люди, а Дионис возродился из своего сердца, проглоченного
Зевсом. Это воскресение — центральный момент в орфической
доктрине и обрядах: с одной стороны, на нем основывалась вера
в реинкарнацию, а с другой — этим объяснялся отказ от употре-
бления в пищу мяса. Культ Диониса в своей изначальной форме
отличался дикостью и разнузданностью, о нем рассказывают
как о чем-то атавистическом и оргиастическом. Не эта его сто-
рона оказала влияние на философов, а более духовная версия,
приписываемая мифическому поэту Орфею. Он в своих гимнах
отразил важнейшие пункты учения, в котором место физиче-
ского опьянения заняло опьянение интеллектуальное.
ПО МИРУ В ПОИСКАХ ЗНАНИЙ
Странствия за знаниями в далекие страны — это общее место
всех мифов о мудрецах: философах, ученых или судьях. Вот
и Пифагор посетил важные для ионийского мыслителя ме-
ста, которые связывает одно — все они находятся на Востоке.
Как и многим другим философам, ему приписывается путе-
шествие в Египет, Аравию, Финикию, Иудею, Вавилон и даже
Индию. Согласно традициям мифа, каждая страна соответ-
ствовала определенной мифологической вселенной, и в этих
местах Пифагор изучал геометрию, математику, астрономию
и проникся восточным мистицизмом. В любом случае, легенда,
по-видимому, стремится установить баланс между знаниями,
происходящими из знаменитых культурных центров в других
землях, и багажом собственно греческой мысли.
Во многочисленных традициях греческого мира можно
найти следы влияния на эллинскую мысль религий и философ-
22
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
ПРОИСХОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИКИ
Пунктами назначения образова-
тельных путешествий Пифагора
были Египет и Вавилон — две
колыбели математики, согласно
мнению самих греков. Это не-
удивительно, если вспомнить
о зависимости между уровнем
развития сельского хозяйства,
которое в этих регионах достиг-
ло значительной высоты, и не-
обходимостью измерять землю
и учитывать произведенные про-
дукты. К сожалению, сведения
о математике первых цивили-
заций, которыми мы обладаем,
не отличаются особой точностью.
Египтяне пользовались десятич-
ной, но не позиционной системой
счисления: каждая из степеней
Вавилонская табличка прим. 2100 года
до и. э. с землемерными расчетами (Лувр,
Париж).
десяти, вплоть до 106, обозначалась собственным символом, числа со-
стояли из последовательности символов соответствующих разрядов. Вы-
числение дробей ограничивалось операциями с дробями с числителем 1.
Что касается Месопотамии, то дошедшие до нас данные позволяют рас-
смотреть ее математику в развитии. Там наука достигла высокого уровня
в области техники вычислений, среди которых можно найти настоящие
алгебраические задачи. Отличительной чертой вавилонской математики
было использование шестидесятеричной позиционной системы счисления.
Шестьдесят цифр записывались в виде разных сочетаний двух значков:
вертикальный «стоячий клин» и «лежачий клин», которые представляли
единицы и десятки. Запятая не использовалась, а дроби считали как со-
отношения целых чисел. Более серьезной проблемой было то, что в по-
зиционной системе счисления места, не занятые цифрами, не были ясно
обозначены, поскольку не существовало символа для нуля. Позднее, уже
в персидское время, вавилонские математики ввели такой знак.
ских систем, прибывших с берегов Инда через Вавилон. Не сле-
дует забывать, что в те времена Персидская империя Кира II,
названного Великим (ок. 600-530 до н. э.), распространила свою
власть на Ионию, а в конечном счете и на Самос. Есть много
свидетельств о контактах греческих мыслителей с Индией.
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
23
«Образовательные странствия» к египтянам, финикийцам
и халдеям описаны в биографиях многих «философско-мисти-
ческих героев» Великой Греции, таких как Парменид или Зенон
из Элеи (ок. 490 — ок. 430 до н. э.) — источники говорят об их
путешествиях в Египет в поисках божественной мудрости или
умения составлять законы. Многочисленные авторы сообщают,
что Пифагор начал свои странствия с изучения египетской ре-
лигии, иероглифической письменности и символической ин-
терпретации знаний, которую он впоследствии использовал
в наставлениях ученикам. Геродот (484-425 до н. э.), споря с по-
следователями Ферекида Сиросского, утверждает, что именно
в Египте наш мудрец принял концепцию реинкарнации.
В любом случае, древнейшие источники указывают на свя-
зи Пифагора и его учеников со страной фараонов. Могло ли
это путешествие иметь место в действительности? Было ли оно
первым среди странствий Пифагора? Единственное, что мы
можем утверждать, это что страна, где протекает Нил, вызыва-
ла огромный интерес в архаической Греции; это подтверждает
и вторая книга «Истории» Геродота, полностью посвященная
Египту. С самых древних времен в греческом мифологиче-
ском представлении Египет был источником высшего знания.
Древние греки считали Орфея первым эллином среди многих
мудрецов, кто отправился в Египет, чтобы изучить законы бо-
гов и приспособить к эллинскому миру мистерии, связанные
с Осирисом, который у греков превратился в Диониса. Соглас-
но некоторым источникам, это были именно те мистерии, ко-
торые Пифагор изучал во время своего путешествия, и именно
из них он взял концепцию бессмертия души и реинкарнации.
Греки были убеждены, что эти идеи происходят из легендарной
страны Нила, но они ошибались.
ПИФАГОР В ПУБЛИЧНОЙ ЖИЗНИ
Историческая фигура Пифагора или, по крайней мере, его исто-
рически значимый образ приобретает некоторую достоверность
24
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
сразу после переселения мудреца в Великую Грецию. Его имя
упоминается в связи с периодом с 540 по 522 год до н. э. По-
видимому, еще на своем родном острове Пифагор основал не-
большую школу под названием «Полукруг», где передавал
другим знания, полученные в странствиях. Согласно легенде,
уроки проходили в пещерах — и это еще одна характерная для
мифа черта.
В то время власть на Самосе безраздельно принадлежала
тирану Поликрату, который, оправдывая свою славу покрови-
теля искусств, украсил остров знаменитыми общественными
зданиями. Однако правителем Поликрат был безжалостным
и беспринципным, не зря его тирания считается показательным
образцом политического режима такого рода. Тиран, не брезго-
вавший использовать свой флот для пиратства, воспользовался
тем, что Милет попал под власть персов, чтобы одержать верх
над своим вечным соперником по морской торговле. Чтобы по-
ложить предел персидской экспансии, он заключил союз с еги-
петским царем, но потом, когда Персия нанесла удар Египту
и была готова завоевать его, переменил союзника. Поликрат
участвовал в персидском вторжении в Египет, послав туда флот
под руководством своих политических противников. Экипажи
кораблей взбунтовались и вернулись на Самос, чтобы свер-
гнуть тирана. Поликрату удалось разбить восставших, но вскоре
он был убит.
Пифагор был противником Поликрата: исторические ис-
точники единогласны в том, что в 40 лет он оставил остров
и бежал от тирана. Мудрец обосновался в городе Кротоне в Ве-
ликой Греции — это произошло примерно в 530 году до н. э. Бо-
гатые греческие города-государства в Южной Италии в те вре-
мена находились на пике своего расцвета, как и Самос с Ми-
летом, но, в отличие от последних, были расположены далеко
от персидской угрозы. Однако когда Пифагор прибыл в Вели-
кую Грецию, многие полисы греческой Италии оказались во-
влечены в затяжную борьбу друг с другом, а Кротону только
что нанес поражение город Локры.
Источники рассказывают, что приезд ученого произвел
сенсацию, он прибыл словно бог, чтобы утвердить новый культ.
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
25
В этом источники наверняка правы: Пифагор немедленно осно-
вал в городе свою школу, которая превратилась в могуществен-
ное общество с огромным политическим влиянием.
Аристократическая внешность, величественная манера дер-
жаться и блестящее красноречие дополняют образ ученого. Пи-
фагора описывают как человека зрелого, возрастом около
40 лет, с длинной бородой и проницательным взглядом. Иногда
он изображается в восточном тюрбане. Надо отметить, что
самые древние источники представляют его в виде святого,
в то время как более поздние являют нам скорее философа, как
если бы первоначальный образ был погребен под позднейшими
наслоениями.
Как и можно ожидать от человека, которого считают ос-
нователем риторического искусства, Пифагор с первого пу-
бличного появления перед жителями Кротона «прельстил их
души». Философ Ямвлих из Халкиды (ок. 250-325) утверж-
дал, что в первом и единственном своем публичном выступле-
нии после прибытия в Италию самосец покорил своей речью
«более двух тысяч людей, которые остались настолько потря-
сены ею, что не хотели расходиться по домам». Эта драматиче-
ская сцена, это потрясающее воззвание харизматической лич-
ности, которая больше похожа на полубожество, знаменует вы-
ход Пифагора на политическую и социальную сцену. Рассказ
Ямвлиха дает нам некоторые исторические сведения и в то же
время запускает мифологический механизм, который превра-
щает Пифагора в персонаж, мало поддающийся историческому
анализу. Подобная двойственность будет сопровождать учено-
го всю жизнь, Пифагор будет существовать как бы между двух
миров: он философ и ученый, мудрец и прорицатель, законода-
тель и судья.
Пифагор основал религиозное и аристократическое брат-
ство, сыгравшее важнейшую роль в политике Кротона и, по не-
которым свидетельствам, установившее своего рода господство
над некоторыми городами-государствами Южной Италии. От-
дельные авторы связывают приход пифагорейцев к политиче-
ской власти с возвышением Кротона и его победой над сосед-
ним Сибарисом — полисом, расположенным на берегу Тарент-
26
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
ВВЕРХУ СЛЕВА:
Самый
известный бюст
Пифагора —
римская копия
греческого
оригинала (Рим).
ВВЕРХУ СПРАВА:
Арабская
рукопись
XIII века
с доказатель-
ством теоремы
Пифагора
(Лондон).
ВНИЗУ:
Фрагмент
«Афинской
школы* Рафаэля.
Пифагор —
слева,занят
письмом (Рим).
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
27
ского залива. Сибарис, известный пристрастием его жителей
(сибаритов) к самым изысканным наслаждениям, был в ходе
этой войны разрушен: кротонцы изменили русло окружающей
город реки Кратиса и затопили Сибарис. Если верить тради-
ции, победа Кротона, одержанная примерно в 510 году до н. э.,
приходится на зрелый возраст Пифагора.
РЕЛИГИОЗНЫЙ РЕФОРМАТОР
Согласно Гомеру, древние греки архаического времени пред-
ставляли загробное царство серым, унылым местом, где
душа вынуждена влачить вечное существование в виде тени.
В VI веке появились новые духовные доктрины, сулившие бо-
лее счастливую и светлую загробную жизнь тем, кто на этом
свете соблюдал определенные нормы поведения и придер-
живался определенных ритуальных практик. Новый взгляд
на жизнь после смерти брал начало в мистических религиоз-
ных доктринах пифагореизма, которые сложились из синтеза
местных греческих элементов и других культур.
Что такое Острова блаженных? Это Солнце и Луна.
Пифагорейская максима, приведенная Макробием (IV век) в его *Сне Сципиона*
Согласно источникам, мудрец с Самоса учил своих после-
дователей теориям о бессмертии души, о вечном круговороте
душ и взаимосвязи всего сущего. Религиозная доктрина Пифа-
гора содержала ключ к пониманию Вселенной. Однако мир ме-
нялся: теперь было известно, что Земля шарообразна, так что
больше невозможны были представления ни о подземном Аиде,
воспетом Гомером, ни о рае, расположенном на Западе,
на Островах блаженных, куда, согласно легендам, уходили
души достойных людей для вечного покоя. На Земле больше
не было места потустороннему, и приходилось менять загроб-
ную географию: потусторонний мир теперь помещался на звез-
28
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
дах, душе приписывалось небесное происхождение, на небо она
и возвращалась после смерти.
Так началось разрушение классической мифологии, ос-
нованной Гомером и Гесиодом. Новая мифология души уже
не могла опираться на гомеровскую традицию, однако она по-
служила основанием для теорий Платона. Таково было влия-
ние религиозной реформы Пифагора.
КОНЕЦ ЧЕЛОВЕКА, НАЧАЛО МИФА
Согласно источникам, около 510 года происходит жестокое
восстание против Пифагора и его учеников, и, как это ни па-
радоксально, военный конфликт с Сибарисом, при котором
пифагорейцы внесли значительный вклад в победу, знаменует
начало конца пифагорейства. Говорят, что Пифагор и его круг
был настолько влиятелен, что мог сокрушать целые города,
и это вызвало ревность и гнев сограждан мыслителя. Легенда
рассказывает о некоем Килоне, весьма зажиточном кротонце,
которому учитель отказал в просьбе войти в пифагорейское
сообщество, и Килон из чувства мести настроил против него
горожан. Как бы то ни было, в конце войны с Сибарисом во-
круг школы Пифагора сложилось огромное социальное напря-
жение. Попробуем реконструировать вероятный ход событий.
После победы Кротона над Сибарисом начались полити-
ческие конфликты между победителями, которые не могли по-
делить контроль над завоеванными территориями. В этих кон-
фликтах все ярче проявлялась роль пифагорейцев. Различные
источники указывают, что антипифагорейское восстание вы-
звала борьба за раздел земель. Возможно, пифагорейцы начали
захватывать государственные посты и принимать политиче-
ские решения по важным вопросам, таким как распределение
завоеванных территорий.
История смерти Пифагора во время этого мятежа также
хорошо известна. Классическая легенда гласит, что пифаго-
рейцы в тот вечер собрались в доме Милона, одного из членов
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
29
братства, и в это время какие-то люди подожгли здание. Одни
считают, что Пифагор погиб в огне, но другие рассказывают го-
раздо более колоритную историю: якобы учителю удалось спа-
стись, однако его по пятам преследовали враги, и путь беглецу
преградило бобовое поле. Пифагор испытывал огромную не-
приязнь к этому растению и предпочел быть настигнутым пре-
следователями, чем пересечь поле.
Некоторые документы указывают на более умеренный ис-
ход гражданского конфликта в Кротоне, из них вырисовыва-
ется иная картина последних лет жизни мудреца: возможно,
Пифагор бежал в соседний город Метапонт, где и умер около
490 года до н.э. Известно, что при жизни Марка Туллия Цице-
рона (106-43 до н.э.) жители Метапонта показывали всем же-
лающим могилу Пифагора.
СПИСОК МАГИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ
Со временем Пифагор превратился в мистическую фигуру, об-
ладавшую удивительными способностями. За него борются две
противоположные традиции — мифологическая и логическая,
и это затрудняет выяснение истины. Список магических спо-
собностей Пифагора в разных биографиях различается, о нем
известен запутанный клубок самых разных легенд. Попытки
докопаться до истины — не самый лучший путь для того, кто
хочет получить представление о Пифагоре-ученом, однако пи-
фагоровские «чудеса», составляющее наиболее древнее ядро
традиции, неоценимы для понимания того, каким видели муд-
реца современники.
Итак, о Пифагоре говорили, что он может долго обходиться
без еды и питья, что он способен появляться одновременно в не-
скольких местах, так как известны рассказы о том, что его ви-
дели в один час в двух городах на разных берегах Мессинского
пролива. Еще один знаменитый сборник легенд утверждает,
что у него было золотое бедро, причем одни авторы связывают
это свойство с мифологическим отцом Пифагора, Аполлоном,
зо
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
МИСТЕРИЧЕСКИЕ РЕЛИГИИ
Мистерические религии были широко распространены в древнем мире,
включая Грецию и Рим. В их основе лежит обряд мистерий, сохраняемых
в тайне, чтобы защитить жрецов и верующих, обеспечить исключитель-
ность их религиозного опыта. Культы такого типа можно разделить на две
группы: культы с мистериями магически-религиозными и религии с фило-
софскими мистериями. Примером первых может служить элевсинский
культ. Часто такие религии прохо-
дили путь от культов, практикуемых
небольшой группой посвященных,
до превращения в официальную
религию целого полиса. Некоторые
из них имели малоазиатское про-
исхождение и были вариациями
на тему поклонения силам приро-
ды, другие же пришли с территории
Юга нынешней России и носили
характер шаманизма. Вторую груп-
пу религий, отличающихся мисте-
риями философского свойства,
возглавлял пифагореизм, который
в своей более религиозной версии
стал называться орфико-пифагоре-
измом. Такие религии иногда рас-
сматриваются как производные
от первой группы, хотя некоторые
их проявления весьма различают-
ся. В отличие от других религий,
главными в них были не столько
культовые, сколько спекулятивные,
интеллектуальные мотивы, и хотя
они развивались в среде посвя-
щенных, их адепты стремились про-
пагандировать свои идеи среди
других слоев общества.
Вотивный4 рельеф, связанный
с элевсинскими мистериями,
где изображены Деметра, Персефона
и Триптолем. IV век до н. э.
(Археологический музей, Афины).
а другие относят этот факт к некоей инициации наподобие
шаманской. Но самая чудесная особенность Пифагора — это
его красноречие. С одной стороны, он был пророком — гово-
4 Вотивный — посвятительный, приносившийся в храм божества во исполнение обета после того, как
бог выполнил просьбу.
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
31
ШАМАНИЗМ И РЕЛИГИЯ
Шаманизм считается предшествен-
ником всех организованных рели-
гий, поскольку свидетельства ша-
манских практик восходят
ко временам неолита. Многие чер-
ты шаманизма сохранились в раз-
личных религиях — в основном
в их мистических и символических
практиках. Греческое язычество
испытало сильное влияние шама-
низма, отразившееся во многих
мифах и особенно в мистериях. Эго
влияние через Грецию распростра-
нилось и на римскую религию. Тра-
диционные шаманские верования
и практики связаны с миром духов
и божеств. Шаман обладает спо-
собностью общаться с божествами
и духами, предвидеть будущее, ис-
целять болезни. Кроме того, он вы-
ступает в качестве хранителя зна-
ний, накопленных обществом.
Резное зеркало с изображением
греческого прорицателя Калханта,
который делает свои прорицания, гадая
по внутренностям животных.
V век до н. э. (Ватиканские музеи, Рим).
рят, что мудрец предсказывал землетрясения, предвестил, что
на подплывающем судне везут мертвеца, а также предугадывал
будущий улов рыбаков. С другой стороны, само его слово обла-
дало магическими и даже целительными свойствами, и легенды
рассказывают о том, что слушатели бывали в прямом смысле
околдованы непобедимой риторикой Пифагора, а сам он мог
излечивать тела и души с помощью музыки и поэзии. Самые
фантастические легенды представляют мудреца победителем
чумы. Его слово усмиряло страсти, и это делало его идеальным
руководителем, способным обеспечить всеобщее согласие, сво-
боду и соблюдение законов.
32
ПРАВДА И МИФ О ПИФАГОРЕ
ГЛАВА 2
Теорема
Теорема Пифагора — одно из самых значительных
математических достижений в истории. И хотя ее
приписывают самосскому мудрецу, известно, что схожие
результаты были получены еще в древних цивилизациях
Востока. Однако мы не можем отказывать греческим
геометрам в гениальности: переход от частного к общему,
от наблюдения к теореме — это их заслуга.

Насколько в общественном сознании фигура Пифагора ассо-
циируется с математикой, настолько же она связана с теоре-
мой, носящей его имя. Однако ее точная формулировка извест-
на меньше, хотя данную теорему изучают в школах по всему
миру, и еще меньше люди понимают, зачем в действительности
она нужна.
На вопрос о пользе теоремы ответить несложно. Она ре-
шает классическую проблему геометрии большой теоретиче-
ской важности. Таким образом, не говоря о практической
пользе, важность ее состоит в том, что она служит основой мно-
жества теорем в тригонометрии и аналитической геометрии
и, очевидно, в том, что она необходима для извлечения квадрат-
ных корней. Как мы увидим далее, проблема извлечения кор-
ней из чисел проявляется в достаточно простых математических
задачах, таких как вычисление длины диагонали квадрата или
прямоугольника по его сторонам.
Возможно, своим влиянием и известностью эта теорема
обязана ощущению неочевидности, которое остается после ее
анализа. В отличие от других теорем, в этой нет ничего инту-
итивно понятного, что объясняло бы ее свойства, которые мы
сейчас еще раз рассмотрим, так что ее понимание — это акт чи-
сто логической дедукции. Именно поэтому некоторые считают
теорему квинтэссенцией математики.
ТЕОРЕМА
35
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕОРЕМЫ
Самое значительное открытие, которое традиция приписывает
Пифагору, — это описание прямоугольного треугольника, уста-
навливающее соотношение между его катетами и гипотенузой.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов длин двух других сторон треугольника (см.
рисунок 1). Определение теоремы звучит как «сумма квадра-
тов катетов равна квадрату гипотенузы», а ее алгебраическое
выражение выглядит так:
а2 + *2 = с2.
Эту теорему можно сформулировать и более строгим об-
разом, следуя современным математическим нормам. Ее опре-
деление в специальных геометрических терминах выражается
следующим образом (см. рисунок 2):
Дан треугольник АВС\ угол С прямой (то есть треугольник явля-
ется прямоугольным), если площадь квадрата, построенного
на стороне с, противоположной углу С, равна сумме площадей
квадратов, построенных на двух других сторонах а и Ь: а2 + Ь2 = с2.
КАТЕТЫ, ГИПОТЕНУЗА И УГЛЫ
Катеты — это стороны, прилегающие к прямому углу прямоугольного тре-
угольника, а гипотенуза — сторона, противоположная прямому углу. Тер-
мины эти пришли к нам из греческого языка. Слово «катет» восходит
к древнегреческому kathetos, что значит «прямостоящий, перпендикуляр-
ный», а «гипотенуза» происходит от hypoteinousa — «натянутая, стягиваю-
щая». Это определение обозначает, что гипотенуза представляет собой
диаметр окружности, на которой лежит вершина прямого угла прямоуголь-
ного треугольника, то есть диаметр, который «стягивает» прямой угол. По-
скольку речь идет об углах, возможно, источник этих терминов — наблю-
дения над положениями мышц ноги или плеча и предплечья.
36
ТЕОРЕМА
Из уравнения а2 + Ь2 = с2
следует, что
а-\/с2-&2,
Ь-\/с2-а2,
с-\/а2+Ь2.
Во времена Пифагора эта
теорема служила для определе-
ния перпендикулярности. Ведь
в прямоугольном треугольнике
«квадрат гипотенузы равен сум-
ме квадратов катетов», потому
что катеты перпендикулярны
друг другу. С другой стороны,
если на практике соотношение
сторон именно таково (а2 + Ь2 =
= с2), отсюда можно вывести, что
данный треугольник — прямо-
угольный.
В наши дни угольник и ко-
пировальная бумага, которые
применяются для построения
технических чертежей, позво-
ляют проводить не только пер-
пендикулярные отрезки, но и комбинировать углы их
пересечения из углов в 30°, 45°, 60° и 90°. В современном мире
при черчении с применением плотницкого или столярного
угольника тем же инструментом можно проверять перпендику-
лярность линий. А в Древней Греции архитектор, желающий
проверить, перпендикулярны ли друг другу стены, мог исполь-
зовать теорему Пифагора. Инструментом для измерения длины
в то время служила веревка с завязанными на равных расстоя-
ниях узелками. Этой веревкой архитектор отмерял 3 единицы
по одной стене и 4 по другой, после чего он мог определить, что
стены перпендикулярны друг другу, если между двумя этими
ТЕОРЕМА
37
отметками укладывалось 5 единиц (52 e З2 +42). Так проблема
измерения углов сводилась к проверке соотношения длин,
то есть гораздо более простой операции.
ПРЕДШЕСТВЕННИКИ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Египтяне и вавилоняне уже знали, что треугольник с соотно-
шением сторон 3:4:5 прямоугольный, но, видимо, только греки
заметили, что З2 + 42 = 52 и, таким образом, первыми сформу-
лировали теорему в ее общем виде. Тысячелетние китайская
и индийская культуры тоже довольно рано обратили внимание
на эту геометрическую особенность — проблема диагонали ква-
драта была известна в этих культурах, а вот в великих цивили-
зациях доколумбовой Америки или Африканского континента
(за исключением Египта) она не ставилась. В любом случае,
Пифагору или кому-то из его учеников принадлежит заслуга
открытия того, что описанное выше соотношение справедливо
для всех возможных прямоугольных треугольников.
ПРЕДШЕСТВЕННИКИ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Задолго до того как Пифагор сформулировал общий закон,
касающийся всех прямоугольных треугольников, в Вави-
лоне эпохи Хаммурапи — властителя, умершего примерно
в 1750 году до н. э., — уже знали, как высчитывать «пифагоро-
вы тройки», то есть такие комбинации положительных чисел
(а, 6, с), при которых а2 + Ь2 - с2. Вот некоторые примеры: (3,4,
5), (5,12,13) и (8,15,17). Согласно теореме Пифагора, каждая
из этих троек представляет собой длины сторон прямоугольно-
го треугольника.
Наш главный источник информации о Вавилоне и Месопо-
тамии — знаменитые глиняные клинописные таблички, на ко-
торых писали, пока глина была еще мягкой, а затем обжигали
их в печи или высушивали на солнце, что придавало им доста-
38
ТЕОРЕМА
точную твердость. Из всех этих табличек особую ценность для
истории математики представляют те, что написаны около
2000 года до н.э. В самых древних записях использовался ак-
кадский язык. Слова в нем состоят из одного или более слогов,
и каждое из них отображается группой прямых черточек. Для
письма аккадцы использовали палочку с треугольным концом,
который они наклонно вдавливали в табличку, от чего остава-
лись клиновидные следы, ориентированные в разных направ-
лениях, поэтому такое письмо называется клинописью.
Среди 300 вавилонских табличек математического со-
держания из полумиллиона найденных до сегодняшнего дня
особый интерес представляет табличка, называемая Плимптон
322 (табличка № 332 из коллекции издателя Джорджа Артура
Плимптона, которую он в 1932 году передал Колумбийскому
университету). Эта табличка относится к древнему периоду
династии Хаммурапи (который охватывает эпоху между 1800
и 1600 годами до н.э.) и на ней изображена таблица с четырь-
мя колонками символов, которые, по-видимому, представляют
числа, записанные в вавилонской шестидесятеричной системе.
Эти ряды чисел можно принять за записи торговых счетов,
но при их внимательном изучении было сделано выдающееся
открытие: это список пифагоровых троек по формуле а2 + Ь2 =
я с2. Таким образом, табличка Плимптона доказывает, что ва-
вилоняне знали элементарную геометрию и начала алгебры.
Как вавилоняне нашли эти пифагоровы тройки? Почему
они их интересовали? Для составления этой таблицы они, воз-
можно, использовали известный им алгоритм, который оста-
вался в забвении следующие 1500 лет, до Евклида с его «На-
чалами».
На следующей странице в таблице показаны 15 из 38 пифа-
горовых троек из этой таблички. Хотя клинописные символы
заменены на привычные цифры, для понимания таблицы
нужно сделать несколько уточнений. Четвертая колонка содер-
жит номер строки. Вторая и третья колонки показывают значе-
ние гипотенузы и катета прямоугольного треугольника,
записанные в шестидесятеричной системе. В последней ко-
лонке, обозначенной буквой «/», находятся значения второго
ТЕОРЕМА
39
1.	II. b	III. d	IV.	/
(1) 59 00 15	159	2 49	1	2 00
(1) 56 56 58 14 50 06 15	56 07	3121 [1 20 25]	2	57 36
(1) 55 07 4115 33 45	116 41	150 49	3	120 00
(1) 53 10 29 32 52 16	3 3149	5 09 01	4	3 45 00
(1)48 54 0140	105	137	5	112
(1) 47 06 4140	519	8 01	6	600
(1) 4311 56 28 26 40	38 11	59 01	7	45 00
(1) 4133 59 03 45	13 19	20 49	8	16 00
(1) 38 33 36 36	901 [8 01]	12 49	9	10
(1) 35 10 02 28 27 24 26 40	122 41	216 01	10	148 00
(1) 33 45	45	115	11	100
(1) 29 2154 02 15	27 59	48 49	12	40 00
(1) 27 00 03 45	7121 [2 41]	4 49	13	4 00
(1) 25 48 5135 06 40	29 31	53 49	14	45 00
(1) 23 13 46 40	56	53 [146]	15	130
катета. Содержимое первой колонки вызывает некоторое удив-
ление, потому что там представлен квадрат соотношения d, де-
ленного на /. Это значение можно было бы охарактеризовать
как квадрат некоей тригонометрической функции. Рассмотрим
первую строку вавилонской таблички, использовав десятерич-
ную систему. В колонке II обозначена длина катета 6=119 (что
в шестидесятеричной системе записывается как 159 — одна
«шестидесятка» плюс 59. — Примеч. перев.), а в колонке III —
гипотенуза d =169 (записано как 249 — две «шестидесятки»
40
ТЕОРЕМА
плюс 49). Из этих величин вытекает длина другого катета, / =
= 120 (200 — две «шестидесятки»). В таблице ниже эти значе-
ния переведены в десятеричную систему, по ней легче прове-
рить соответствующие соотношения.
Номер строки	/	b	d
1	120	119	169
2	3456	3367	4825
3	4800	4601	6649
4	13500	12709	18541
5	72	65	97
6	360	319	481
7	2700	2291	3541
8	960	799	1249
9	600	481	769
10	6480	4961	8161
11	60	45	75
12	2400	1679	2929
13	240	161	289
14	2700	1771	3229
15	90	56	106
ЗЕМЛЕМЕРИЕ В ЕГИПТЕ
В Египте математика была менее развита, чем в Междуречье.
Сведения о ней происходят из пяти папирусов, посвященных
математическим вопросам, среди которых самые важные — это
папирус Ринда, обнаруженный в 1858 году шотландским егип-
тологом Александром Генри Риндом (1833-1863) и ныне хра-
нящийся в Британском музее, и Московский папирус,
находящийся в коллекции Пушкинского музея в Москве. Два
ТЕОРЕМА
41
этих документа восходят, по всей видимости, к XVIII веку
до н.э., хотя, возможно, они еще более древние. Оба папируса
представляют исключительную ценность для историков мате-
матики, и весьма показательно, что ни в одном из них нет ника-
ких свидетельств о теореме, известной сегодня как теорема
Пифагора, или о пифагоровых тройках.
Во всяком случае, египтяне знали о том, что треугольники
с соотношением сторон 3, 4, 5, а также пропорциональные им,
прямоугольные и широко пользовались этим соотношением,
когда надо было начертить две перпендикулярные линии, так
что треугольник 3:4:5 даже получил название египетского.
О его применении, среди прочих, рассказывает Геродот
в своем описании работы землемеров после сдвигов почвы,
вызванных разливами Нила. Засвидетельствовано использо-
вание египетского треугольника и в строительстве, к приме-
ру, при возведении огромной пирамиды Хефрена, восходящей
к XXVI веку до н.э.
Ясное указание на пифагорово соотношение появляется
в различных египетских расчетах, однако до нас не дошло ника-
ких свидетельств, что это соотношение было сформулировано
в общей форме. К примеру, в одном из документов XII дина-
стии (ок. 2000 до н.э.), найденном в Кахуне, используется вы-
ражение
пропорциональное египетскому треугольнику. В Берлинском
папирусе тоже содержится ряд медицинских, литературных
и математических документов Среднего Царства, содержащих
следы пифагоровой теоремы. В одном из математических па-
пирусов решается система уравнений с двумя неизвестными
в связи со следующей задачей:
Площадь квадрата в 100 квадратных кубитов равна сумме двух
меньших квадратов. Сторона одного из них составляет Vi + ‘Л сто-
роны другого. Найди длины сторон этих квадратов.
42
ТЕОРЕМА
ТРИАНГУЛЯЦИЯ В ЗЕМЛЕМЕРИИ
Египетские землемеры были жрецами, и их деятельность по измерению
земли имела почти мистическое значение и вызывала благоговение у кре-
стьян. Способ, с помощью которого они творили свое «волшебство*, — это
не что иное, как тригонометрия. Первые культуры, которые заинтересо-
вались геометрией, развивали тригонометрические знания для исполь-
зования их в строительстве и землемерии. Раздел земель на треугольни-
ки (триангуляция) всегда был главным методом измерения поверхностей,
и развитие топографии вплоть до наших дней доказало его эффективность.
Каждый треугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника,
которые позволят определить высоту или расстояние до недостижимых
объектов с помощью измерения некоторых сторон и некоторых треуголь-
ников. Внимательно рассмотрев эти фигуры и сопоставив их с определе-
ниями синуса, косинуса и тангенса (см. стр. 55), можно заметить их очень
полезные свойства. К примеру, b = a tg В. То есть вычислив угол В, можно
получить значение а и, с помощью тригонометрических таблиц, узнать
длину Ь. Это позволяет реализовать любые технические измерения с по-
мощью линейки и теодолита (инструмент для точного измерения углов
на местности), которые точно определяют длины и углы.
Английская гравюра начала XVII века, иллюстрирующая измерение расстояния
до недостижимого объекта с помощью триангуляции.
ТЕОРЕМА
43
На языке современной алгебры соответствующая задача
решается следующей системой:
х2+у2 =100,
что требует, как это видно в папирусе, выполнить подстанов-
ку и вычислить квадратный корень. Это решение типологиче-
ски близко пифагорову, но более, чем о знакомстве с теоремой
Пифагора, оно свидетельствует о том, что египтянам были из-
вестны методы решения двойных уравнений — значительный
результат для Древнего Египта.
ПИФАГОР в индии
В Индии также развивались арифметико-геометрические
знания, связанные с теоремой Пифагора, — они применялись
при строительстве храмов и возведении алтарей. Между VIII
и II веком до н. э. арифметические и геометрические сведения
составили сборник текстов, известный под названием «Сульва-
сутра». Сульва — это термин, обозначающий веревки, исполь-
зующиеся для измерения, а Сутра — книга правил и изрече-
ний, относящихся к определенному ритуалу или науке, так что
название можно перевести как «Учебник правил о веревке».
Тексты «Сульвасутры» были своего рода сборником книг,
где излагались правила возведения алтарей определенных
форм и размеров, среди которых самые интересные — это «Ба-
удхаяна» и «Апастамба», датируемые V веком до н. э. Там из-
лагаются способы использования веревки не только для изме-
рения, но и для построения перпендикулярных линий — для
этого применяются три веревки, длины которых представля-
ют пифагоровы тройки (к примеру, 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7,
24, 25). Для этих целей использовали чаще всего треугольник
со сторонами 15, 36, 39 (пропорциональный треугольнику 5,
12,13, называемому индийским треугольником).
44
ТЕОРЕМА
Трудно оценить, насколько оригинальны эти сведения для
Индии. С одной стороны, здесь, как и в Египте, использовалось
натяжение веревок, а с другой — все тройки «Сульвасутры»
легко отыскать в вавилонском правиле, описанном выше. Это
наводит на мысли о том, что знания из Месопотамии пришли
и на берега Инда.
ПОЭЗИЯ И МАТЕМАТИКА В КИТАЕ
В Китае теорема Пифагора известна как Кон Ку и впервые
появляется в математическом трактате «Чу Пей Су ан Чинъ»,
что можно перевести как «Классическая арифметика гномо-
на». Наиболее вероятно, что этот труд был написан между 500
и 300 годами до н. э., и, по общему мнению, Пифагор его знать
не мог. «Чу Пей Суан Чинь» — это сумма знаний, пришедших
из гораздо более отдаленных времен и собранных в III веке
до н.э. двумя знаменитыми математиками, Чжао Шуаном и Лю
Хуэем. К счастью, в его содержании можно отделить древние
пласты от позднейших наслоений. Что касается теоремы Пи-
фагора, этот математический трактат касается ее только в при-
митивной форме, то есть дает конкретные числовые соотноше-
ния, а не общие правила нахождения пифагоровых троек.
В трактате «Чу Пей Суан Чинь» есть один пассаж о прямо-
угольных треугольниках, в котором интерес вызывает описа-
ние некоей фигуры, названной диаграммой гипотенузы и пред-
ставляющей собой не что иное, как визуальную демонстрацию
теоремы Пифагора с помощью треугольника со сторонами а =
3,6 = 4ис = 5. В этом доказательстве строится квадрат со сто-
роной {а + 6), который делится на четыре треугольника с осно-
ванием а и высотой 6, и квадрат со стороной с (см. рисунок 3
на следующей странице). В высшей степени вероятно, что до-
казательство восходит к эпохе уже после Пифагора, но даже
в этом случае его стоит разобрать подробнее.
Дан прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипоте-
нузой с. Следует доказать, что площадь квадрата со стороной с
равна сумме площадей квадратов со сторонами а и Ь.
ТЕОРЕМА
45
Если к исходному треугольнику
присоединить три равных ему тре-
угольника внутри квадрата со сто-
роной с (см. рисунок 4), то в центре
этого квадрата останется незанятым
меньший квадрат. Можно заметить,
что сторона этого меньшего квадрата
равна Ь - а. Таким образом, площадь
меньшего квадрата можно выразить
как (Ь - а)2 = Ь2 - 2аЬ + а2, учитывая,
что (Ь - а)2 = (а - Ь)2. Площадь ква-
драта со стороной с представляет со-
бой площадь четырех квадратов с вы-
сотой а и основанием Ь, плюс площадь
маленького квадрата, таким образом,
теорему можно считать доказанной:
с2 -4^—Va2-2ab+62 -a2+62.
\ 2 )
«Чу Пей Суан Чинь» содержит
и еще одно блестящее доказательство
с применением простого переноса ча-
стей (см. рисунок 5).
Второй классический китайский
трактат, в котором рассматриваются
геометрические аспекты, связанные
с теоремой Пифагора, датируется
46
ТЕОРЕМА
примерно 250 годом до н.э., хотя Лю Хуэй откомментировал его
и переписал в 263 году.
Речь идет о «Цзю Чжан Суань Шу», что значит «Математи-
ка в девяти книгах». Последняя, девятая глава полностью по-
священа прямоугольным треугольникам и представляет собой
24 задачи, решения которых в той или иной степени основаны
на теореме Пифагора. Самая известная из них — задача о сло-
манном бамбуке, в которой описывается прямоугольный тре-
угольник, образованный сломанным стволом бамбука:
Бамбук высотой 10 футов сломан так, что его верхушка опирает-
ся на землю на расстоянии в три фута от основания. Надо вычис-
лить, на какой высоте находится место излома.
Решение этой задачи сочетает в себе теорему Пифагора
и применение квадратных уравнений, так как представляет со-
бой решение уравнения х2 + З2 = (10 - х)2.
ПИФАГОР: ТРАДИЦИОННЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Пифагор не оставил потомкам ни строчки, так что не существу-
ет ни одного доказательства теоремы, авторство которого мож-
но было бы приписать ему. Ее решение дается во множестве
источников, вплоть до детального описания его в самой важ-
ной в истории геометрии книге «Начала» Евклида. Но в любом
случае не стоит отказывать Пифагору и его последователям
в определенной гениальности, так как именно они совершили
переход от частного к общему и сформулировали теорему, при-
менимую ко всем частным случаям.
Первое доказательство теоремы, которую традиция припи-
сывает Пифагору, было эмпирическим. Берется треугольник
со сторонами а, Ь, с (катеты и гипотенуза), на которых строятся
три квадрата согласно строгим правилам греческой геометрии
(см. рисунок 6). Из этих квадратов складываются два различ-
ных квадрата. Первый получается из двух квадратов, построен-
ТЕОРЕМА
47
РИС. 8
ных на катетах и четырех прямоу-
гольных треугольников, каждый
из которых равен исходному треу-
гольнику (см. рисунок 7). Второй
квадрат состоит из тех же четырех
треугольников и квадрата, постро-
енного на гипотенузе (см. рису-
нок 8). Если из обоих квадратов
убрать эти треугольники, площадь
центрального квадрата второго (с2)
будет равна площади двух малых
квадратов первого (Ь2 + а2), что до-
казывает теорему Пифагора.
В противовес такому графиче-
скому доказательству, основанному
на теории пропорций Пифагора, —
теории несовершенной, так как она
применима только к соизмеримым
количествам, — некоторые истори-
ки математики выдвигают другое
доказательство, алгебраического
характера. Пифагор мог доказать
теорему через подобие треугольни-
ков — на рисунке 9 треугольники
АВС, АСН и СВН — с пропорцио-
нальными соответствующими сто-
ронами. Возьмем треугольник АВС
с прямым углом С, для которого
отрезок СН представляет собой
высоту, опущенную на гипотенузу,
и делит ее на отрезки а' и Ь' — про-
екции, соответственно катетов а
и Ь. Прямоугольные треугольники
АВС, АСН и СВН имеют три общие
стороны: каждый из треугольников
имеет по две стороны, общие с дру-
гими, а их острые углы равны, так
48
ТЕОРЕМА
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЧЕРЕЗ ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Подобие треугольников можно применить двумя способами.
—	Подобие треугольников АВС и АСН: два треугольника подобны, когда
два или более угла у них конгруэнтны (что доказал Евклид):
b с
Ь'~ ь
Ь2 = Ь’с.
—	Подобие треугольников АВС и СВН:
а с
а1 а
а2 = а'с,
из чего вытекает так называемая теорема катета. Суммируем:
а2 + Ь2 = а’с + Ь’с = с(а* + Ь'),
но (а’+Ь')=с, из чего следует
а2+Ь2=с2.
как они либо общие, либо составляют вместе прямой угол. Та-
ким образом, треугольники подобны.
«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА
Евклид жил в Александрии около 300 года до н.э. и был авто-
ром «Начал» (Stoicheia) — труда, оказавшего огромное влияние
на развитие математики и науки в целом. В этой книге он со-
брал все геометрические знания своей эпохи, не считая соб-
ственных доказательств, изложенных строго и изящно, включая
определения, формулировки и общие сведения. Этот труд был
ТЕОРЕМА
49
не просто блестящим компендиумом, а серьезной работой
по упорядочиванию геометрических знаний. Возможно, именно
поэтому вплоть до последнего времени эта книга оставалась
эталоном геометрического трактата. «Начала» занимают второе
место по количеству изданий и переводов, уступая только Биб-
лии. К настоящему времени они выдержали более тысячи пере-
изданий.
«Начала» делятся на 13 книг: четыре первые посвящены
основам планиметрии — конгруэнтность треугольников, ра-
венство площадей, золотое сечение, круг, правильные много-
угольники, некоторые квадратуры и, естественно, теорема Пи-
фагора (книга I, предложение 47). Свойства теоремы Пифаго-
ра используются в геометрическом контексте измерения пло-
щади фигур. Теорема Пифагора вновь упоминается в книге VI,
а также в книге X, где речь идет о квадратных корнях.
В предложении 47 Евклид постулирует, что в квадратных
треугольниках квадрат стороны, противоположной прямому
углу, равен сумме квадратов сторон, прилегающих к нему. Ил-
люстрация к этому утверждению получила название «ветря-
ной мельницы» (см. рисунок).
Доказательство выполняет-
ся с помощью расчета площадей.
Оно заключается в том, чтобы до-
казать равенство треугольников
BFA и ВСЕ и то, что их удвоенная
площадь равна, с одной стороны,
площади квадрата CBFJ, а с дру-
гой — площади прямоугольника
BIHE. Таким же образом квадрат
CKGA имеет ту же площадь, что
и прямоугольник AIHD, Отсюда
выводится теорема Пифагора,
которую можно сформулировать
следующим образом: площадь
квадрата BADE равна сумме пло-
щадей квадратов CBFJ к CKGA.
50
ТЕОРЕМА
ЕВКЛИД ИЗ АЛЕКСАНДРИИ
Евклида считают отцом геометрии.
Хотя, по всей вероятности, ни один
из результатов в «Началах» не явля-
ется его открытием, нет сомнений,
что именно Евклиду мы обязаны
структурированием сведений и спо-
собом их изложения. О его жизни
известно мало — почти исключи-
тельно те сведения, которые сооб-
щает философ Прокл (V век) в своих
комментариях к книге I «Начал».
По словам Прокла, Евклид родился
ок. 325 года до н.э., жил и препо-
давал в Александрии и умер прибл.
в 265 году до н.э. Кроме того, Прокл
утверждает (и это выглядит весьма
правдоподобным), что, судя по осо-
бенностям его работы, Евклид, воз-
можно, обучался в школе Платона
или у кого-то из его учеников. Та-
ким образом, по сведениям Прокла,
Евклид, занимающийся геометрией.
С рельефа Андреа Пизано, XIV век
(Музей Домского собора, Флоренция).
Евклид жил в эллинистический пери-
од. Это более вероятно, чем то, что он жил в классической Греции, учиты-
вая, что в его книге есть отсылки к знаниям той эпохи. Так, Евклид
сгруппировал описываемые им открытия способом, непохожим на то, как
это делали греки классического времени. Тот же Прокл говорит, что Евклид
собрал результаты философа и математика Евдокса (ок. 390-337 до н.э.)
в области теории пропорций и математика Теэтета (ок. 417-369 до н.э.)
в области правильных многоугольников и что в целом представил в своей
книге неопровержимые доказательства множества теорем своих пред-
шественников, о которых дошли лишь скудные сведения. Не сохранилось
изначальной редакции труда самого Евклида, так что его тексты приходит-
ся реконструировать по комментариям и заметкам более поздних авторов,
особенно византийских, латинских и арабских.
Теорема показывает также, как получить квадрат, по пло-
щади равный двум заданным квадратам, то есть как найти та-
кое значение х, при котором х2 = а2 + Ь2, так что это еще один
пример применения геометрической алгебры. Если предложе-
ние 47 представляет собой кульминацию первой книги «На-
чал», то еще более интересно, как впоследствии Евклид до-
ТЕОРЕМА
51
РИС. 10
казывает теорему, ей обратную. Это
предложение 48, которому обычно уде-
ляется не так много внимания, но ко-
торое имеет огромное логико-дедук-
тивное значение. В нем постулируется,
что если в треугольнике квадрат одной
из сторон равен сумме квадратов двух
других, то угол, который образуют эти
стороны, прямой (см. рисунок 10). До-
казательство состоит в том, чтобы по-
строить отрезок CD, перпендикулярный АС и равный СВ. Со-
гласно заданным условиям:
ВС2+ЛС2=ЛВ2,
и, так как треугольник ADC прямоугольный,
AC2 + CD2=AD2.
Поскольку ВС= CD, АВ2 =AD2, то, следовательно, АВ = AD.
Следовательно, треугольники ADC и АВС конгруэнтны, а угол
АСВ, равный углу ACD, прямой.
Евклид приводит и графическое доказательство, где ква-
драты, выстроенные на катетах, превращаются в параллело-
граммы той же площади (так как они имеют то же основание
и ту же высоту), а те, в свою очередь, трансформируются в ква-
драт, построенный на гипотенузе. Это гениальное доказатель-
ство представлено на рисунке 11.
52
ТЕОРЕМА
СБОКУ:
Оксиринхский
папирус 29,
фрагмент
«Начал»,
датированный
II—IV веками
(Филадельфия).
ВНИЗУ:
Фрагмент
«Афинской
школы» Рафаэля,
Евклид
изображен
с циркулем.
С противополож-
ной стороны
фрески находится
Пифагор (Рим).
ТЕОРЕМА
53
Теорема Пифагора числится среди
имеющих наибольшее число возмож-
ных способов доказательства. Одно
из объяснений этого явления в том, что
в Средние века представление нового
способа ее доказательства было одним
из условий получения степени Magister
matheseos, то есть магистра математи-
ки, и в известном смысле это умение
стало со временем универсальным по-
казателем общего образования чело-
века.
Гениальный Леонардо да Винчи
(1452-1519) был образцом универ-
сального человека эпохи итальянского
Возрождения, поскольку блестящим
образом сочетал в себе знания в самых
разных областях — как в сфере науки, так и искусства. Человек,
который запечатлел таинственную красоту Джоконды и изо-
брел бесчисленные удивительные механизмы, смог предста-
вить собственное блестящее доказательство теоремы Пифаго-
ра. Леонардо основывался на знаменитой фигуре «мельницы»,
то есть треугольника с квадратами, построенными на трех его
сторонах. К ним сверху он добавил треугольник ECF, а снизу
разместил копию исходного треугольника А1 С В' (см. рису-
нок 12). Проведя отрезки DD' и СС, служащие друг другу пер-
пендикулярами, можно убедиться, что DD' делит верхний ше-
стиугольник ABDEFD' на симметричные половины, которыми,
если их развернуть друг относительно друга, можно полностью
накрыть шестиугольник АСВА'С'В'. Следовательно, два ква-
драта, построенные на катетах, в сумме дают площадь, равную
площади квадрата, построенного на гипотенузе.
54
ТЕОРЕМА
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
СЕГОДНЯ
Спустя два с половиной тысяче-
летия после открытия теорема
Пифагора находит самые разные
математические и научные спо-
собы применения. Это математи-
ческое достижение, оказавшееся,
возможно, столь живучим благо-
даря своей простоте, сохраняет
свою важность при вычислении
длин, площадей и объемов разно-
образных фигур. В квадрате
со стороной х диагональ будет
равна в прямоугольнике
со сторонами х и у диагональ
равна ^х2 + у2; в параллело-
грамме (например, в коробке из-
под обуви) размерами х, у, z
диагональ составит ^х2 + y2 + z2;
в конусе с высотой h и радиусом
основания г образующая равня-
ется \jh2 + г2... и так можно продолжать очень долго.
Теорема Пифагора также лежит в основе декартовой систе-
мы координат на плоскости и в пространстве и позволяет опре-
делить расстояние rf(P, Q) между двумя точками Р = (х{, у t) и Q=
= (х2, у2), как показано на рисунке 13. Применяя теорему, полу-
чаем:
Расстояние (P,Q) -
В любом расчете, который предусматривает применение
функций, проявляется пифагорово отношение, учитывая, что
У = f(x) в декартовом выражении. Теорема используется
и в тригонометрии. С величинами углов прямоугольного тре-
ТЕОРЕМА
55
угольника связаны такие функции, как синус, косинус, тан-
генс... (см. рисунок 14), так что:
CL	л Ь	л CL
sinA = —	cosA = -	tgA =—.
с	с	Ь
Таким образом, в тригонометрических терминах теорему
Пифагора можно выразить как отношение sin2 А + cos2 А = 1.
Теореме можно найти применение в топографии, картографии,
навигации — морской или воздушной, — а также, конечно, в ар-
хитектуре, инженерном деле и во всех областях человеческой
деятельности, где требуется расчет размеров. Чтобы показать
исключительную важность теоремы в тригонометрии, можно
привести следующий рисунок. Кроме того, что на нем мы ви-
дим круг и прямоугольный треугольник, катеты которого пред-
ставляют собой синус и косинус, этот рисунок демонстрирует
нам и многие другие величины, соответствующие большинству
тригонометрических функций. Там можно найти тангенс, пред-
ставляющий собой соотношение между синусом и косинусом,
три взаимозависимых функции: секанс (то есть 1, деленное
на косинус), косеканс (функция, обратная синусу) и котангенс
(функция, обратная тангенсу). Таким образом, благодаря вез-
десущей теореме Пифагора приведенный на рисунке прямо-
угольный треугольник позволяет вывести очень много инте-
56
ТЕОРЕМА
ресных соотношений, среди которых шесть тригонометриче-
ских функций.
tg20+ l = sec20,
ctg20 +1 = cosec2 0,
(tg 0 +1 )2 + (ctg 0 +1 )2 = (sec 0 + cosec 0)2.
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА В ДРУГИХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ
Нет сомнений, что пифагорово соотношение тесно связано
с конкретной геометрической фигурой — прямоугольным тре-
угольником. Однако если принять во внимание классическое
изображение этой теоремы в виде «ветряной мельницы», где
три квадрата составлены так, что их стороны образуют катеты
и гипотенузу прямоугольного треугольника, сами собой появ-
ТЕОРЕМА
57
ляются некоторые вопросы. Что будет, если использовать ква-
драты для построения любого треугольника? Что будет, если
они образуют параллелограмм?
Если соединить тремя отрезками квадраты при прямоу-
гольном треугольнике, образуется шестиугольник, в котором
58
ТЕОРЕМА
появятся три новых треугольника с площадями Тр Т2 и Т3 (см.
рисунок 15). Каковы их площади? Во всех случаях их площади
в точности равны площади исходного треугольника: 1\ = Т2 =
= Т3 = Т. На рисунке 16 показано, что Т = Тр так как у обоих
треугольников одинаковы основание и высота. Для других тре-
угольников также действительно это соотношение. Если взять
любой произвольный треугольник АВС, то можно построить
на его сторонах три квадрата и задать вопрос, каково соотноше-
ние площадей этих квадратов. Возьмем, к примеру, треуголь-
ник с острым углом (А < 90°). Решение показано на рисунке 17.
На нем проведены три высоты треугольника. Эти высоты про-
должены так, чтобы соответствующие прямые делили каждый
квадрат, построенный на сторонах треугольника, на два прямо-
угольника. Подставляя длины сторон, получаем, что площадь
верхнего правого прямоугольника равна с • (a cos В). Удиви-
тельно, что такова же и площадь нижнего правого прямоуголь-
ника. Площади секций слева равны b • (a cos 0. Добавляем еще
два сегмента с площадями b • (с cos А) и получаем результат:
а2 = 62 + с2-2 6ссо8Л,
по закону косинуса.
Таким образом, если А = 90°, cos 90°= 0, и мы получаем
Ь2 + с2 = а2, известное пифагорово соотношение. Таким обра-
зом, закон косинуса — это продолжение теоремы Пифагора.
Еще одно удивительное свойство проявляется, если постро-
ить четыре квадрата на сторонах параллелограмма. Как можно
видеть на рисунке 18, сумма площадей этих квадратов равна
сумме площадей двух квадратов, построенных на диагоналях
параллелограмма.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ
Закончить описание современных областей применения одно-
го из самых великих математических достижений в истории
можно парой развлекательных задачек. Во-первых, теорема
ТЕОРЕМА
59
Пифагора позволяет ответить на вопрос, которым люди задава-
лись с того момента, как узнали о кривизне земной поверхно-
сти: на каком расстоянии от нас находится видимый горизонт?
Чтобы ответить, надо знать лишь высоту над уровнем моря,
на которой находится наблюдатель. К примеру, если он стоит,
озирая окрестности, на горе высотой 1000 м, можно применить
нашу теорему следующим образом:
(/?4-А)2 = /?24-гт2.
Следовательно:
г2=(Л+Л)2- R2=(R2 + 2Rh+h2)-
-R2 = h2 + 2Rh = h(h+2R),
где R — радиус Земли. Так как
2R + h - 2R, поскольку h значи-
тельно меньше R, получается:
v2-h(2R)
v~^2Rh.
И так как R = 6371 км, a h =
= 1 км, получаем:
112,88 км.
И наконец, зная соотно-
шение Пифагора как типичное
свойство плоских прямоуголь-
ных треугольников, можем ли
мы применить теорему к трех-
мерным фигурам? Да, сделать
это можно разными способами.
Известный и наиболее нагляд-
ный — выразить диагональ d ко-
робки со сторонами а, Ь, с через
теорему Пифагора: cP = а2 + Ь2 + с2 (см. рисунок 20).
60
ТЕОРЕМА
ГЛАВА 3
Пифагорейское братство
На пике греческой колонизации Пифагор попытался
осуществить свой проект по созданию в Великой Греции
утопического общества, построенного на духовных
и философских основаниях. Он основал братство,
в которое в равном количестве вошли мужчины
и женщины. Члены братства имели разную степень
доступа к магическо-математическим знаниям
в соответствии со своим местом в иерархии.
Это первое сообщество такого типа,
о котором мы знаем, — настоящее
«братство числа».

Пифагорейство было способом жизни. Сообщество верных Пи-
фагору подчинялось целому ряду правил, которые охватывали
все аспекты повседневного бытия. Доступ к истине и спасению
зависел от строгого выполнения норм, как это характерно для
мистерических религий.
Основы этики сообщества определялись идеей бессмертия
души, которая придавала всей жизни пифагорейцев характер
религиозный и аскетический. Большинство предписаний были
направлены на то, чтобы члены братства учились властвовать
собой, отказывались от страстей и презирали телесные нуж-
ды — вот условия, необходимые для постижения высшего зна-
ния. В этом контексте музыка считалась «лекарством души»
благодаря ее умиротворяющему действию, а высшей добро-
детелью становилась духовная гармония — состояние совер-
шенства, которого возможно достичь лишь в следующих пере-
рождениях. Математическая значимость чисел уже признава-
лась, но, по всей видимости, при жизни Пифагора концепция
числа еще не оказывала такое влияние ни на этику братства,
ни на космологию.
Для пифагорейцев жизнь имела мистическую цель — при-
коснуться к божественному. Поэтому все их существование
было организовано как восхождение по ступеням.
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
63
Так же как и в орфизме, адепты которого видели в человеке
божественное начало и полагали главной целью жизни борь-
бу за его восстановление, Пифагор считал душу божественной
частью человека и его единственной надеждой на спасение.
Можно без колебаний квалифицировать школу, основанную
самосским мудрецом, как секту. Особенности пифагорейской
жизни, как мы их знаем из описаний историков, в точности со-
ответствуют всем элементам, характерным для религиозной
секты, если употреблять этот термин в социологическом смыс-
ле, без уничижительного оттенка. Учитель, обладающий наи-
большим духовным авторитетом, предлагал своим последова-
телям систему инициаций и обязательных правил поведения,
включал их в иерархическую структуру разрядов и категорий
и распределял их по ступеням восхождения к истине. Члены
группы различались по одежде, питанию и ритуалам, которые
они исполняли, — своего рода альтернативная по отношению
к традиционной жизнь.
ПИФАГОРЕЙСКАЯ ИЕРАРХИЯ
Пифагорейская иерархия соответствовала разным степеням
инициации членов секты. Основное разделение было на две
группы: акусматики и математики. Первые слушали настав-
ления учителя, но не имели доступа к более полному изложе-
нию их оснований. Вторые, напротив, изучали вышеуказанные
основания и были допущены к тайнам их истолкования. Эти
загадочные наставления давались в весьма аллегорической
форме и назывались акусматами, и посвященные первого
уровня должны были заучивать их наизусть. Традиция гово-
рит, что Пифагор заимствовал этот характерный для сект ме-
тод обучения в Египте, но достоверно известно, что пифаго-
рейские максимы очень напоминали сентенции, получаемые
от дельфийского оракула.
К этому самому общему, хорошо известному делению до-
бавлялась разветвленная система ступеней посвящения, свя-
64
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
занных с властью и соответствующих близости к вершинам
логического знания. В свою очередь, степень внутренней вла-
сти в секте была связана с соблюдением суровых правил и еще
более суровым образом жизни.
Согласно традиции, посвященные слушали проповеди
учителя из-за занавеса, который окружал его, скрывая от глаз
учеников. Ученики назывались экзотериками, так как нахо-
дились вне круга учителя. Новые члены сообщества должны
были в ходе инициации преодолеть различные испытания,
состоявшие в соблюдении обета молчания и ведении чистой
жизни, что включало в себя вегетарианство, ношение белых
одежд и медитацию. Со временем испытательный период за-
канчивался, и они могли войти во внутренний круг, становясь
эзотериками.
Вступление в братство было очень сложным процессом,
который начинался с физических и моральных испытаний.
Некоторые источники говорят, что испытательный период за-
нимал три года, после чего кандидат приступал к первой сту-
пени инициации — принимал обет молчания. Пифагорейское
молчание брало начало в ритуалах мистерий, обряды которых
запрещалось разглашать, и было подготовительной практикой
перед посвящением в тайны, которые должно было раскрыть
обучение в секте. Обет молчания и самоконтроль были двумя
моральными дисциплинами, которыми более всего восхища-
лись на протяжении всего периода античности.
В пифагорейской иерархии выделяют еще две группы,
управителей и политиков, хотя различие между ними не очень
ясно. Первые ведали помещениями и имуществом сообщества,
так как, вступая в братство, новый его член отдавал все свое
имущество в общее пользование. Политики же, напротив, от-
вечали за отношения группы с внешним миром.
Но самое серьезное разделение было между членами секты
и остальным обществом. Братство очень враждебно относилось
к тем, кто покидал его, а также к тем, кто желал вступить в него,
не заслуживая этого. Отступников считали умершими. Выйти
из группы было легко, и таким «дезертирам» даже в двойном
размере возмещали все, что они внесли в общее имущество при
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
65
поступлении в секту, но с этого момента они словно переста-
вали существовать для сообщества. Члены братства, отличав-
шиеся крайней географической мобильностью, имели массу
связей в самых крупных городах Южной Италии и Сицилии,
где существовала широкая сеть пифагорейских пристанищ.
Братья использовали различные тайные пароли, чтобы узна-
вать друг друга в разных точках античного мира, и таким об-
разом помогали друг другу в моменты опасности. Традиция
полна историй о пифагорейцах в нужде, которым помогали то-
варищи, распознавшие их тайные сигналы.
Как пифагорейцы приносили жертву Аполлону, так и мы
продолжаем это делать, отказываясь от съедения чего-
нибудь, что имеет душу.
Диоген Лаэртский, цитата из «Алкмеона» в главе, посвященной Пифагору,
ИЗ ТРУДА «Жизнь И УЧЕНИЕ САМЫХ ИЗВЕСТНЫХ ФИЛОСОФОВ*
ПИФАГОРЕЙСКИЕ ТАБУ
Часто говорят, что пифагорейцы были вегетарианцами, но не-
которые авторы уверяют, что Пифагор избегал употребления
в пищу только некоторых частей животных: внутренностей,
тестикул и гениталий, костного мозга, лап и головы. Споры
об этом идут по сей день: в любом случае, доказанным фактом
является то, что члены секты соблюдали весьма строгие пище-
вые запреты, связанные с доктриной о бессмертии души.
Пищевые ограничения на разных уровнях иерархии раз-
личались. Посвященные нижнего уровня могли есть любое
мясо, кроме мяса пахотных быков и баранины. Потребление
рыбы регулировалось гораздо более строгими правилами. Са-
мым же известным и характерным пищевым табу был запрет
на употребление бобов. Этот запрет объяснялся целым рядом
причудливых причин, которые каким-то образом увязывали
его с реинкарнацией: бобы странным образом соотносились
66
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
с человеческим мясом, и их вкушение могло быть приравнено
к акту каннибализма. Не менее специфичны и легенды о пита-
нии самого Пифагора.
Говорят, что при подготовке к медитации он ел пищу, ко-
торая быстро утоляла голод или жажду, или же вообще ничего
не ел. В его рацион входили семена мака и кунжута, цветы нар-
цисса и листья мальвы, горох и ячмень. Для приготовления пи-
тья Пифагор смешивал семена огурца и виноград без косточек,
куски сыра, муку и сливки и добавлял во все это лесной мед.
ЖЕРТВОПРИНОШЕНИЯ И РЕИНКАРНАЦИЯ
Жертвоприношения животных
были одной из основ культа и ре-
лигии древних греков. Поэтому
неудивительно, что религиоз-
ность пифагорейцев выража-
лась в той же форме. Можно по-
считать, что приношение
в жертву животных идет вразрез
с идеей реинкарнации, и чтобы
разрешить это противоречие, не-
которые авторы уверяют, что пи-
фагорейцы совершали только
бескровные жертвы, а другие
прибегают к сложным объясне-
ниям, призванным доказать, что
души людей не могут вселиться
в приносимых в жертву живот-
ных. В любом случае, по-
видимому, члены сообщества,
стоящие на нижних ступенях по-
священия, выполняли требова-
ния обычной для их времени религии и приносили в жертву животных, что
иногда казалось нарушением предписаний учителя.
Греческая керамика, датированная прибл.
V веком до н. э. Предположительно работа
Эпидрома, на рисунке изображено
жертвоприношение животных (Лувр, Париж).
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
67
ПИФАГОРЕЙСКИЕ МАКСИМЫ
Время Пифагора было эпохой, когда ценилось устное общение.
Возможно, именно по этой причине, пользуясь словами грече-
ского историка Плутарха (I—II века), мудрец с Самоса «вообще
ничего не написал, как и Сократ». Со временем, правда, неко-
торые авторы стали утверждать, что Пифагор увековечил свое
учение в неких тайных писаниях. Одна из ветвей традиции
приписывает ему три книги (об обучении, политике и приро-
де), а другая обвиняет Пифагора, что он переписал их у Орфея.
Самая известная легенда гласит, что в основе пифагорейства
лежал священный текст, в котором были сформулированы
тайные доктрины секты. С этого текста были сделаны копии,
широко распространившиеся по всему греческому миру сразу
после смерти Пифагора. Назывался он «Священная речь». Ни-
каких достоверных свидетельств существования такого текста
нет, так что вероятнее всего, что это — только легенда. В любом
случае, во всех описаниях речей Пифагора после его прибытия
в Кротон указывается, что его слова были восприняты как бо-
жественные, что вызвало немедленное присоединение к нему
массы людей, составивших братство и разделивших между со-
бой все свое имущество.
ЗОЛОТЫЕ СТИХИ
Философ-неоплатоник Ямвлих из Халкиды утверждал, что, согласно Фило-
лаю из Кротона, в руки Платона попали некоторые тексты пифагорейцев.
Среди них выделялась «Священная речь». С III века до н.э. были известны
«Золотые стихи», которые, по легенде, восходили к «Священной речи»
и в которых видели сочинение самого Пифагора. Этот краткий сборник
включал 71 гекзаметр и на долгое время был канонизирован как этиче-
ская модель поведения, он дошел даже до эпохи романтизма, в частности
был известен немецкому поэту Гете (1749-1832). Возможно, некоторые
идеи, высказываемые в этом тексте, восходят к первоначальной секте
Пифагора, как это бывает со всеми традиционными текстами.
68
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
СЛЕВА:
•Гимн
пифагорейцев
восходящему
солнцу», картина
художника
XIX века
Ф. А. Бронни-
кова
(Третьяковская
галерея,
Москва).
ВНИЗУ:
•Пифагор
выходит
из подземного
царства»,
картина
Сальватора
Розы, середина
XVII века (Музей
Кимбелла, Форт-
Уорт).
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
69
Как мы уже видели, пифагорейское обучение происходило
с помощью трудноистолковываемых символов сентенциозного
и архаического характера. Как и слова оракулов, эти сентенции
сложно было понять, но если к ним давался ключ для интер-
претации, можно было разрешить загадку и узнать высшее
предписание. Максимы, которые запоминали наизусть акусма-
тики, представляли собой устные изречения, похожие на гре-
ческие религиозные установления или нормы мистерических
религий, причем они делились на три вида.
— Определения, построенные в виде ответа на вопрос типа
«что такое...»:
«Что такое дельфийский оракул? Это тетрактис*-,
«Что такое Острова блаженных? Это Солнце и Луна».
— Определения, строившиеся по модели «что лучше»:
«Какое дело самое правильное? Жертвоприношение»;
«Что на свете самое мудрое? Число»;
«Что на свете самое прекрасное? Гармония»;
«Что на свете самое могучее? Знание»;
«Что на свете самое выдающееся? Счастье».
— Нормы поведения, которые указывали, «что следует
и чего не следует делать»:
«Через весы не переступай» (не нарушай равенства
и справедливости);
«Углей ножом не разгребай» (не возбуждай гнев и не-
нависть власть имущих);
«Помогай нести груз, а не накладывай его» (не делай
так, чтобы кто-либо бросил начатое дело);
«Сердца не ешь» (не мучь душу тоской и горестями).
Один из ключей, помогающих пониманию связи между
вопросом и ответом, представлял собой фундаментальный для
пифагорейства концепт: тетрактис, набор из первых четырех
чисел, дававший в сумме 10 — совершенное число, согласно по-
следователям Пифагора.
70
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
ПИФАГОРЕЙСТВО И ПОЛИТИКА
В Древней Греции порой было невозможно отделить законо-
дателя от образа божественного человека. Два классических
случая — это Минос и Ликург, мифические законодатели Кри-
та и Спарты. Минос дал законы Криту, получив их от самого
Зевса, а Ликург был героем, от которого ведут начало законы
Спарты, причем эти законы он заимствовал на Крите и в Егип-
те, а впоследствии они были одобрены Аполлоном в святили-
ще в Дельфах. Даже в законодательстве Солона Афинского,
одного из семи греческих мудрецов и первого законодателя, от-
делившего политику от религии, есть следы такой связи: ведь
согласно легенде, его политическую деятельность направлял
дельфийский оракул. С другой стороны, то же место, которое
в греческой традиции отводилось Миносу, в Древнем Риме за-
нимал царь Нума Помпилий, а в еврейском мире — Моисей.
Законодатели-пророки были распространены по всему
греческому миру, а в Южной Италии они стали культурной
традицией, давшей таких мыслителей, как Парменид, Зенон
и тот же Пифагор. Самосский мудрец был наглядным приме-
ром святого с политическим влиянием, законодателя с боже-
ственным вдохновением, основателя свода правил и универ-
сальных предписаний. Сообщество, которое он основал, — где
мужчины и женщины пользовались равными правами, имуще-
ство было общим, а образ жизни совместным — считается пер-
вым обществом с подобными особенностями, о котором нам
известно.
Невозможно точно сказать, действительно ли Пифагор
странствовал в поисках мудрости и в какой степени он посвя-
тил свою первую школу, самосский Полукруг, проверке своих
идей. В любом случае пребывание мудреца на Крите, о котором
говорят некоторые из его биографий, с целью политического
образования весьма вероятно и могло произойти во время его
поездки по Греции, до прибытия в Кротон. Крит считался наи-
более удачным местом для изучения законов, кроме того, он
был для Греции той дверью, через которую в нее проникали
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
71
идеи из Египта, представлявшего постоянный и древнейший
образец для греческой культуры.
Греческая колонизация способствовала социальному со-
гласию, поскольку позволяла опробовать в удаленных местах
различные формы политической и религиозной утопии, пода-
влявшиеся господствующими классами существующих поли-
сов. Пифагор покинул свой родной остров из-за политического
климата, установившегося при тиране Поликрате, который, ве-
роятно, был противником его проекта управления, основанно-
го на духовных принципах.
Некоторые авторы утверждают, что Пифагор вынужден
был бежать с острова из-за того, что успел там проявить себя
на политической арене, так как, видимо, сограждане просили
его возглавить некое сопротивление несправедливым законам
тирана.
Начиная с этого момента различные источники рассказы-
вают о визитах Пифагора к оракулам таких городов, как Де-
лос, Дельфы, Спарта и Флиунт, где он, по мнению некоторых,
попытался на практике осуществить свою идею утопического
общества. В полисах Греции эти попытки потерпели неудачу,
и тогда мудрец решил попытать счастья в греческих колониях
Италии.
Какие мотивы побудили Пифагора выбрать в качестве сво-
его пристанища город Кротон? Прежде всего, это был процве-
тающий город, известный как родина многих атлетов — победи-
телей Олимпийских игр, но еще более получивший признание
как центр греческой науки, особенно медицины. Кротонские
врачи путешествовали по всему греческому миру, а некоторые
наиболее известные из них, такие как Демокед Кротонский
(VI век до н.э.), предоставляли свои услуги и персидскому дво-
ру — наивысшее признание их искусства в понимании древних
греков.
72
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
ГРЕЧЕСКАЯ КОЛОНИЗАЦИЯ
Между VIII и VI веками до н.э. происходила греческая колонизация Сре-
диземноморья — процесс, который вызвал огромные изменения в гре-
ческих полисах. Отъезд групп граждан полисов в поисках новых террито-
рий, где они могли бы основать поселения, решал проблемы недостатка
продовольствия, регулировал численность населения и, в общем, позво-
лял гасить политические и социальные конфликты. Процесс колонизации
помогал развитию торговли и делал возможным импорт продуктов из бо-
лее плодородных регионов, где их можно было производить в большем
количестве и с меньшими затратами. Чтобы платить за ввоз продуктов
питания, греческие города развивали ремесло: они изготавливали ору-
жие, ткани и керамику, чтобы менять их на зерно, хотя и не пренебрегали
сельским хозяйством, производя традиционные для Греции вино и олив-
ковое масло.
ПИФАГОРЕЙСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Речи, произнесенные учителем после его прибытия в Кротон,
должны были содержать некоторые идеи социально-политиче-
ской вселенной пифагорейцев. Легенда гласит, что самые вли-
ятельные лица города сразу же по прибытии мудреца доверили
ему воспитание юношества с помощью этих новых идей. Пифа-
гор выступил с четырьмя речами, представив в них свой кодекс
поведения, установив основы этических и политических норм
и очертив то, что затем станет пифагорейским образом жизни.
Первые две речи касались политических вопросов. Первую
он произнес в гимназии, перед юношами Кротона. Он совето-
вал слушателям уважать старших и богов и проводить поли-
тику, дружественную соседям. Впоследствии он обратился к со-
вету старейшин, представив ему пифагорейскую идею полити-
ческой гармонии и государства как наследства, которое необхо-
димо тщательно сохранять с помощью большинства граждан
и в целях большинства граждан.
Две следующие речи были сосредоточены на религиозном
образовании. В речи, адресованной детям, была собрана ин-
формация о ритуалах. Последняя речь, произнесенная перед
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
73
женщинами города, позволяет получить весьма важные сведе-
ния об отношении к женщине в пифагорейской секте. Понятно,
что содержание этих речей противоречило заявленному прин-
ципу равенства в пифагорейском братстве, поскольку Пифа-
гор определял политику как мужскую область деятельности,
а с женщинами и детьми обсуждал исключительно религиоз-
ные вопросы.
ПОЛИТИЧЕСКАЯ ОРИЕНТАЦИЯ
Вплоть до нынешнего времени политическая ориентация пифа-
горейцев является предметом споров: была эта группа демокра-
тически или аристократически настроенной? Источники дают
нам противоречивую картину: иногда Пифагор кажется побор-
ником свободы, в других случаях, напротив, пифагорейцы вы-
глядят элитарной группой, набиравшей членов из самых ари-
стократических семей Кротона. С самого начала существова-
ния секты в ее адрес звучали самые разные обвинения в связи
с ее политической платформой. В своей речи, обращенной к со-
вету старейшин города, один из противников пифагорейцев
утверждал, что те хотят подчинить себе народ, считая его
за скот. Историк философии Диоген Лаэртский свидетель-
ствует, в свою очередь, что кротонцы восстали против пифаго-
рейцев, так как члены братства стремились к тирании. Следует,
однако, принимать во внимание, что это обвинение в ту эпоху
было весьма обычным делом и часто использовалось в качестве
оправдания любого мятежа.
Однако существуют и другие сведения. Различные источ-
ники упоминают, что пифагорейцы считались образцом добро-
детели, им часто отводили роль арбитра, и граждане без сомне-
ний подчинялись их решению. Ряд текстов представляет их
политиками и законодателями, иногда в роли простых советни-
ков, иногда же — стоящих во главе некоторых городов Италии,
однако всегда отказывающихся получать за это плату. К сожа-
лению, сохранившиеся достоверные данные говорят только
74
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
ПОЛИТИЧЕСКАЯ РИТОРИКА
По мнению некоторых авторов, политическая риторика родилась из четы-
рех речей, которые Пифагор адресовал разным слоям кротонского обще-
ства. Легенда гласит, что в пифагорейской риторике использовалось
огромное количество различных интонаций и способов аргументации,
которые были направлены на разные типы аудитории, ведь целью речи
было не только донесение до людей ее содержания, но и соблазнение душ
посредством слова. Современному мышлению такой подход чужд, но что-
бы понять ментальность древних греков, стоит вспомнить успех софистов
Горгия и Протагора в демократических Афинах, где первейшим признаком
мудрости считалось умение выбрать тон речи, более всего подходящий для
конкретной аудитории.
о деятельности Пифагора и его последователей в качестве по-
литических советников в отдельных делах некоторых городов.
Сведений об этом много, и они противоречивы, но в целом
исторические источники, кажется, сходятся в том, что среди
пифагорейцев сильны были аристократические и элитарист-
ские настроения, и этому трудно удивляться, учитывая модель
их братства, построенного вокруг фигуры лидера с непрере-
каемым авторитетом. По-видимому, последователи Пифагора
набирались из числа высших слоев общества. Они составля-
ли ядро братства — 300 человек, наиболее близких к учителю,
которые не только имели прямой доступ к его философским
и политическим идеям, но и могли воплощать их на практике.
По этой же модели строились и пифагорейские общества, ко-
торые начали появляться в других городах региона, таких как
Сибарис, Метапонт или Тарент.
Возможно, это поможет понять причины, которые привели
к восстанию против пифагорейцев. В Древней Греции идея ти-
рании была связана с тем, что правитель захватил власть силой,
а не с его жестокостью, хотя рано или поздно тираны станови-
лись безжалостными владыками. Тирания стала политической
системой, к которой стремились люди с авторитарными на-
клонностями. Таким образом, можно сказать, что пифагорей-
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
75
цы были обществом аристократического и антитиранического
характера, ведь тирания могла быть установлена в результате
реакционного народного мятежа.
ВОССТАНИЕ ПРОТИВ ПИФАГОРЕЙЦЕВ
В годы развития пифагорейской школы и распространения ее
идей Кротон переживал период расцвета. Некий Милон, ко-
мандующий триумфальным кротонским войском во времена
Пифагора, был хозяином дома, где произошел легендарный
пожар, ознаменовавший конец братства. Парадоксальным об-
разом расцвет города закончился вместе с антипифагорейским
мятежом. Закрытое элитарное сообщество пифагорейцев име-
ло такой большой политический вес, что оказывало сильное
влияние на всю Великую Грецию. Группа жителей Кротона
объединилась вокруг Килона, человека с явным стремлением
к тирании, и восстала против пифагорейского братства. После
этого началось преследование пифагорейских объединений
в других полисах в форме жестоких мятежей. Одновременное
уничтожение правящего класса в ряде полисов положило на-
чало ужасному периоду гражданских войн во всем регионе,
и смена власти стала ежедневным явлением. Бунтовщики вы-
ступали не только против пифагорейцев, но и всей правящей
аристократии. Однако в конце концов порядок был восстанов-
лен.
Помимо восстания, конец политической деятельности пи-
фагорейцев положила и смерть Пифагора в Метапонте. Брат-
ство более не возродилось ни как политическая организация,
ни как сообщество людей с определенным образом жизни, хотя
это и не значит, что оно бесследно исчезло: просто пифагорей-
цы никогда больше не собирались открыто. Некоторые извест-
ные члены группы, пережившие эти события (в их числе были
Филолай и Архит), вернулись в свои города и занялись там по-
литикой.
76
ПИФАГОРЕЙСКОЕ БРАТСТВО
ГЛАВА 4
Вселенная чисел
Пифагор полагал, что числа представляют собой основу
всего сущего, а мир гармоничен. Его самые талантливые
ученики посвятили себя изучению свойств чисел
и их соотношений и выстраиванию аналогий между
числами и предметами вещественного мира. Воспетая
ими магия чисел повлияла на всю античную эпоху
и стала первым шагом математики как науки.

Пифагора Самосского многие считают отцом математики, на-
ряду с некоторыми его современниками, такими как Фалес
Милетский, вклад которого в развитие науки равен аристоте-
левскому. Не вызывает сомнений, что математика получила
развитие в Месопотамии и Египте, свидетельства об этом дати-
руются приблизительно 3000 годом до н.э. Но в действитель-
ности истоки этой науки уходят в еще более ранние времена.
Математика появляется спонтанно как часть деятельности че-
ловека в его постоянной борьбе с окружающей природой, она
дает одни и те же результаты в разных местах и в разные време-
на и удовлетворяет насущной необходимости для первобытно-
го человека развивать инструменты для решения практических
проблем. Чтобы оценить вклад пифагорейцев в математику,
следует совершить путешествие в историю этой дисциплины
и углубиться в гораздо более ранние эпохи, чем Древняя Гре-
ция.
СЧИТАТЬ И УПОРЯДОЧИВАТЬ
Первым этапом длинной дороги к концепции числа было осоз-
нание разницы между «много» и «мало», «большим» количе-
ством и «маленьким», между единичным и множественным.
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
79
Китайские
«бамбуковые*
цифры. Система
счисления
с основанием 10.
Следующий шаг — появление двоичных и троичных систем.
Некоторые примитивные народы из чисел различали только 1,
2 и «много», другие же были знакомы и с большими числами,
с которыми умели производить отдельные операции. Позже
в некоторых культурах было введено в употребление единое
основание системы счисления, к примеру 10, 20 или 5, чтобы
не нужно было считать по одному.
По большей части ранние цивилизации не воспринимали
числа как абстрактные концепции. Они называли их словами,
относящимися к исчисляемому объекту, и обозначали их полу-
магическими символами. Осознание различий между словами,
обозначающими числа, и отдельными группами чисел пред-
ставляло собой длительный процесс. Так, определенные «по-
казательные» количества (пять пальцев на одной руке, де-
сять — на двух руках) сыграли фундаментальную роль в том,
как складывались арифметические операции или выбиралось
основание для системы счисления. Эти народы знали четыре
элементарных арифметических действия, которые они приме-
няли весьма приблизительным образом, используя при этом
только малые числа. Кроме того, они знали и дроби, чаще всего
ограничиваясь 1/2,1/3 или чуть больше, каждая из дробей обо-
значалась определенным словом. С большой вероятностью
знали они и базовые геометрические понятия: прямая, круг,
угол... Математические знания древности простирались на-
столько, насколько они удовлетворяли практической необходи-
Единицы
Десятки
80
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
мости: простейшие расчеты при торговле, приблизительное
вычисление площади полей, декоративные рисунки на кера-
мике или ткани, а также измерение времени. В конечной стадии
развития древнейших обществ отмечается «математический
прогресс», который требует достаточно развитой способности
к абстракции: появились такие понятия, как соотношение
между абстрактными числами и конкретными вещами, допол-
нительная последовательность чисел и базовое число для си-
стемы счисления. Как бы то ни было, толчком для развития
математики, как и для науки в целом, послужило появление го-
родов. Около 10000 года до н.э. произошло решительное изме-
нение в отношении людей к природе и друг к другу. Примитивные
культуры мало-помалу оставляли традиционные занятия охо-
той и собирательством и принимались за сельское хозяйство,
одомашнивали различных животных, начинали выращивать
скот. В результате последовавшего разделения труда человече-
ское общество расслоилось на классы на основе сельскохозяй-
ственного производства, появились частная собственность
и государство. Новые, усложнившиеся потребности привели
к развитию математических и астрономических знаний.
Во многих цивилизациях математика занимала важное ме-
сто среди наук, делавших свои первые шаги, хотя наряду с та-
кими цивилизациями продолжали существовать и культуры,
не знавшие подобного прогресса. Конкретная форма и уровень
знаний, связанных с сельским хозяйством, которыми облада-
ли математики той эпохи, зависят от концепции мира, господ-
ствовавшей у того или иного народа. В целом знания аграрных
обществ отвечали их нуждам, но не более того, их математика
ограничивалась элементарными операциями с постоянными
величинами.
СТРАНА МЕЖДУ ДВУХ РЕК
Месопотамия была первой древней цивилизацией, где матема-
тика получила серьезное развитие, пошедшее, благодаря шуме-
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
81
МЕСОПОТАМИЯ
Прилагательное «месопотамский» относится ко всем народам, обитавшим
в обширном регионе «плодородного полумесяца», лежащем между реками
Тигром и Евфратом и доходившем до Ливанских гор. Термин «Месопота-
мия» не относится к какому-нибудь конкретному городу, стране или куль-
туре, а обозначает «страну между двух рек», Междуречье. Народы, жившие
в этой области, построили такие города, как Вавилон, Ур, Урук, Лагаш...
К счастью, несмотря на частую смену власти, развитие математики в Ме-
сопотамии шло непрерывно.
рам, значительно дальше, чем это было в Египте. Первые
математические тексты, дошедшие до нас, изображены на гли-
няных клинописных табличках и восходят к шумерской циви-
лизации города Урук. В них можно встретить математические
результаты, присутствующие также в табличках древней Вави-
лонской империи, в том числе относящиеся к ее культурному
расцвету, времени царя Хаммурапи, о котором здесь уже упоми-
налось. Около середины VI века до н.э. ахеменидская Персия
под началом Кира Великого захватила власть на Ближнем Вос-
токе. Некоторые халдейские математики той эпохи, такие как
Набу-Риманни и Кидинну, стали известны грекам.
Междуречье находилось на перекрестке наиболее важных
торговых путей, так что экономика оказывала огромное влия-
ние на развитие древней арифметики. Месопотамские куль-
туры использовали элементарные арифметические
и алгебраические знания для измерения длин и весов, обмена
деньгами и товарами, расчета прибылей, уплаты налогов, раз-
дела земель и тому подобное. И в самом деле большая часть
клинописных текстов, связанных с математикой, касается эко-
номических вопросов. С другой стороны, рытье оросительных
каналов и канализационных стоков тоже требовало множества
вычислений. Использование кирпичей влекло за собой ариф-
82
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
метические и геометрические проблемы, объемы зерновых ам-
баров также надо было рассчитывать.
Наиболее специфическая особенность вавилонской число-
вой системы — это то, что она была позиционной с основа-
нием 60. Считается, что шестидесятеричная система развилась
в связи с вавилонским способом измерения веса, а позиционная
запись восходит к монетарной системе, но неизвестно, каким
образом возникли обе эти особенности. Развитая позиционная
шестидесятеричная оказалась весьма полезной и победила все
остальные системы счисления древности. Эллинистические ма-
тематики широко использовали ее для выполнения своих слож-
ных расчетов, особенно в астрономии, где она была введена
Птолемеем (прим. 100-170). От этой системы ведет начало раз-
деление плоскости на 60 градусов, градуса — на 60 минут и ми-
нуты — на 60 секунд. Однако здесь есть и большое неудобство:
таблица умножения доходит только до произведения 59 на 59.
Подобная система имела большое практическое значение,
но только при наличии пригодных таблиц умножения — и такие
таблицы действительно были найдены.
1 Y	11 <г	21 «г	3' «г	41 ч#г	51 Ч$г
2П	’2 ЧУУ	22 «тт	33 «ТГ	42 W	52Ч$(УГ
зПТ	’3 W	23 «пт	33 Ш	43ч^ууу	53Ч^УУУ
4		74 «ЧТ	34 W	44 -Г	54Ч$Ф
		25 «W	3SW	45 Ч '	*4$w
			34«»	46	*Ч*&
7»	17 ЧВ	22 W	37«»		57<4(ф
	18 чв	2«<W	38 «W		58Ч$Ф
	19 ч#	2’«»	39 «Ж	494#$	59^Ж
10 <	20 ЧЧ	30 «(	40	50	
Натуральные
числа, записанные
клинописью.
В Месопотамии
использовалась
шестидесятеричная
система.
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
83
ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА
Позиционная система счисления — это метод числовой записи, когда зна-
чение каждой цифры зависит от позиции, которую она занимает в после-
довательности. Система позволяет снизить количество цифр, необходимое
для записи конкретного числа. Она определяется основанием, то есть
количеством цифр, с помощью которых можно записать любое число. Су-
ществует огромное множество позиционных систем, и если их основание
больше 10, то необходимо вводить дополнительные символы, кроме при-
вычных нам 0,1,2,3,4,5,6, 7,8 и 9. Наиболее распространены сегодня
система с основанием 10 (десятеричная система), принятая повсеместно,
системы с основаниями 2 (двоичная), 8 (восьмеричная) и 16 (шестнадца-
теричная), которые используются в информатике.
Культуры Междуречья достигли таких знаний в арифме-
тике и алгебре, которые позволяли решать сложные уравнения,
но в целом их математика оставалась на достаточно элементар-
ном уровне. Они решали математическим путем конкретные
практические задачи, однако демонстрировали определенную
способность к абстрактной математике, знали, что определен-
ные методы пригодны для решения определенных классов
уравнений. Можно задаться вопросом: было ли в Месопотамии
известно понятие математического доказательства? По всей
видимости, несмотря на то что математики Междуречья умели
решать сложные уравнения с помощью правильных системати-
зированных процедур, они ограничивались тем, что описывали
конкретные шаги, которые надо сделать для их решения,
и не приводили доказательств их правильности. Таким обра-
зом, в рамках месопотамской математики невозможно найти
ни концепции доказательства, ни логической структуры, осно-
ванной на принципах, заслуживших всеобщее признание,
ни каких-либо методологических выкладок.
84
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
РАЗЛИВЫ НИЛА
В Междуречье господствующие культуры часто сменяли одна
другую, теряя свое влияние, в то время как египетская цивили-
зация оставалась неизменной тысячелетиями. Своего расцвета
египетская культура достигла в эпоху Третьей династии, при-
мерно к 2500 году до н.э., когда фараоны принялись за по-
стройку великих пирамид. Учитывая, что папирус при старении
и высыхании становится исключительно ломким, сохранились
немногие документы Древнего Египта и иероглифические над-
писи на камне. Наиболее важные математические тексты, до-
шедшие до нашего времени, содержатся в двух больших
папирусах: Московском папирусе и папирусе Ринда, которые мы
уже упоминали. Оба восходят приблизительно к 1700 году
до н.э., хотя они содержат гораздо более древние математиче-
ские задачи. Первые слова папируса Ринда составляют заголо-
вок и свидетельствуют о престижности данной дисциплины,
с точки зрения автора папируса: «Точный счет: путь к знанию
всех существующих вещей и всех самых удивительных и таин-
ственных секретов». Эти документы касаются типичных мате-
матических задач и их решений, так что, по всей видимости,
написаны они были в педагогических целях. Видимо, египтяне
не делали никаких различий между арифметикой и геометрией,
потому что в папирусах перемешаны задачи обеих дисциплин.
Часто говорят, что египетская геометрия родилась по не-
обходимости, поскольку после разливов Нила приходилось
всякий раз заново размечать границы земельных участков,
обрабатываемых разными земледельцами. Однако известно,
что такая же геометрия развилась и в Месопотамии, хотя там
не было подобных разливов. Вероятнее, что египтяне имели
тесные контакты с вавилонской цивилизацией, так как в Тель
эль-Амарне, в долине Нила, были обнаружены глиняные та-
блички с клинописными текстами, датированные примерно
1500 годом до н.э.
Судя по задачам, изложенным в этих папирусах, египтя-
не использовали математику в государственном управлении
и в храмовых хозяйствах при расчете жалования, объемов
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
85
ТРЕУГОЛЬНИКИ АХМЕСА
Рассматривать иллюстрации
в папирусе Ринда действи-
тельно увлекательно, так как
здесь можно найти знакомые
вещи, которые как будто унич-
тожают расстояние в тысячи
лет, отделяющие писца Ахме-
са от нас. Первый из нарисо-
ванных треугольников отно-
сится к 51-й задаче папируса.
В этой задаче надо найти пло-
щадь треугольника с высотой
10 шестов и основанием 4 ше-
ста. Шест равнялся 100 лок-
Папирус Ринда — самая древняя книга
с математическими текстами, дошедшая
практически неповрежденной до нашего
времени. Рисунок иллюстрирует задачу 51,
где требуется найти площадь треугольника.
тям (египетский локоть состоял из 7 ладоней и равнялся 52,3 см). Таким
образом, размеры треугольника составляли 523 м в высоту и 209,2 м
по основанию. Из решения Ахмеса становится понятно, что имелся в виду
равнобедренный треугольник, разделенный надвое высотой, а далее,
опираясь на это, можно построить прямоугольник с такой же площадью.
зерна, площади полей, уплате налогов, зависящих от размера
земельных участков, при переводе различных систем измере-
ния, подсчете количества кирпичей, необходимых для строи-
тельства. Кроме того, папирусы содержат задачи, касающиеся
количества зерна, которое нужно для производства определен-
ного объема пива, или количества зерна определенного каче-
ства, которое необходимо, чтобы получить тот же результат,
что и с другим сортом зерна.
При изучении всех этих задач становится понятным, что
египтяне располагали способами расчета площади прямоуголь-
ников, треугольников и трапеций. К сожалению, в случае с пло-
щадью треугольника, хотя они и умножали одно число
на половину другого, невозможно узнать, насколько этот метод
был правильным, потому что непонятно, означают использо-
ванные слова основание и высоту треугольника или же просто
его стороны.
86
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
ВВЕРХУ СЛЕВА:
Фрагмент
глиняной
таблички
ВМ 85194,
на котором
можно увидеть
иллюстрацию
расчета размера
основания
гробницы
с круглыми
стенами.
ВВЕРХУ СПРАВА:
Рельеф
на южной стене
мастабы
Птаххотепа
и Ахухотепа,
египетских
сановников
XXIV века до н. э.
Перед
изображенной
фигурой,
под столом,
написаны
египетскими
цифрами
количества
различных
продуктов,
необходимых
для жизни
в потустороннем
мире.
ВНИЗУ:
Фрагмент
Московского
папируса,
где излагается
задача
об усеченной
пирамиде.
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
87
Имели ли египтяне представление о доказательстве или
проверке своих математических действий? Папирус Ринда на-
писан как книга упражнений для учеников того времени, так
что некоторые исследователи считают, что хотя Ахмес не сфор-
мулировал никаких общих принципов, весьма вероятно, что
он их знал. В любом случае, в документе содержатся задачи,
которые писец должен был решать в связи с торговыми и ад-
министративными делами, и методы их решения были прак-
тическими правилами, усвоенными опытным путем. Видимо,
у египтян не было дедуктивной практики, основанной на си-
стеме аксиом.
ИНДИЯ
Получить ясное представление о развитии математики в Древ-
ней Индии весьма трудно. С одной стороны, долгое время пере-
дача математических и научных знаний в ее культуре происхо-
дила в устной форме, с другой — политическая история Индии
того периода полна различных событий. Около 4000 года до н.э.
на территории нынешней Индии, в бассейне реки Инд, сфор-
мировалось классовое общество. Самыми важными городами
этой культуры были Хараппа, Мохенджо-Даро, Кот-Диджи
и Лотхал. Это были города-государства с развитой торговлей
и ремеслами, которые установили торговые отношения с Цен-
тральной Азией, Месопотамией и Аравией. До сих пор не уда-
лось расшифровать письменность этих культур, но архео-
логические находки в регионе дают некоторую информацию
об уровне математических знаний.
Древние индийцы использовали десятеричную систему
счисления. Возможно, они умели пользоваться счетами для
числовых операций — так, в Мохенджо-Даро были найдены
остатки счетов. Из геометрических фигур они знали квадрат,
прямоугольник, треугольник, круг, конус, цилиндр и куб. Нам
известно, что они использовали переплетенные круги в каче-
стве геометрического орнамента. Узоры на вазах и рельефы
88
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
ДЕСЯТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА
Десятеричная позиционная система
и форма написания цифр стали, без со-
мнения, самым важным вкладом ин-
дийских математиков в развитие чело-
вечества. Индийская математика
всегда использовала десятеричную
систему счисления. В санскрите были
специальные слова для цифр от 1 до 9
и для числа 10. Развитие этой системы
стало возможным благодаря сочета-
нию двух благоприятных условий, кото-
рыми являются устойчивое использо-
вание в числовой системе девяти цифр
и система традиционных десяток, опре-
деляемая систематической шкалой
степеней 10. Что касается нуля, весьма
важен тот факт, что индийские астро-
номы знали определенные знаки для
пустого количества, свойственные ше-
стидесятеричной вавилонской систе-
ме. В VI веке десятеричная система
уже была широко распространена,
а с VII века используется и ноль, кото-
рый поначалу представлял собой точку,
а затем маленький кружок. Индийцы
называли ноль «сунья», то есть «пу-
стой». Арабский перевод этого слова
звучит как «аль-сифр*, откуда проис-
ходит и наша «цифра». Так в названии
графического изображения числа со-
держится отсылка к такому фундамен-
тальному элементу, как ноль.
The Arabic Ciphers.
Таблица, показывающая развитие
арабских цифр в Европе и в Индии,
иллюстрация выполнена британским
эрудитом XIX века Исааком Тейлором.
показывают, что у них были представления о проекциях и по-
добиях, что они могли делить отрезки пополам и на равные ча-
сти, разделять круги на две или четыре части и строить отрезки
и сегменты окружности, концентрические круги и параллель-
ные прямые. Однако мы не знаем, как они вычисляли площади
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
89
и объемы элементарных геометрических фигур. С древнейших
времен математика была в Индии в большом почете: культ чи-
сел и буддизм находятся в тесной связи. Согласно традиции,
Будда научился читать, писать и считать в возрасте примерно
восьми лет. Позже, чтобы просить руки своей невесты Ясодха-
ры, ему пришлось выдержать экзамен по математике и сосчи-
тать, сколько атомов в просяном зерне. Для того чтобы найти
решение, он изобрел способ расширения числовой последова-
тельности: найденное гигантское число, если его записывать
современным способом, равно 384 • 713.
Распространение математических знаний в Индии вос-
ходит ко времени появления религиозно-философских книг
«Веды» во втором тысячелетии до нашей эры. К этим первым
источникам относятся и так называемые «правила веревки»,
«Сулъваарпра», датированная периодом между VIII и II веками
до н. э., которая содержит геометрические инструкции по по-
стройке алтарей и использованию для этого веревок и бамбу-
ковых шестов. Эти тексты демонстрируют определенные геоме-
трические знания, среди которых определение площадей много-
угольников, имеющее прямое отношение к теореме Пифагора,
приблизительные расчеты диагоналей (например, V2) и тому
подобное. В области пространственной геометрии древние ин-
дийцы умели вычислять приблизительный объем пирамиды
и усеченной пирамиды, а также площадь поверхности конуса.
Кроме того, в качестве числа л они использовали различные
приближения, такие как 27/8 и 243/80.
ГРЕЦИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ НАУКА
В первых цивилизациях, в которых получила развитие мате-
матика, мы прежде всего находим арифметические действия
с целыми числами и дробями, позиционную систему числовой
записи, начала алгебры и некоторые полученные опытным пу-
тем геометрические формулы. Однако там практически не су-
ществовало абстракций и общих методологических принципов
90
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
или идей о необходимости доказательства для подтверждения
правильности операций. Эти народы, таким образом, не зна-
ли принципов теоретической науки и не считали математику
самостоятельной дисциплиной, достойной изучения именно
в качестве таковой. Для них она была только инструментом по-
лучения простых правил, который использовался в повседнев-
ной жизни лишь для решения конкретных задач.
Переломным периодом для основания математики в ее со-
временном виде стала эпоха Древней Греции. Греческая циви-
лизация восходит ко второму тысячелетию до н.э. и развивается
на территории нынешней Греции и Южной Италии, на севере
Африки и в Малой Азии (где, возможно, лежат ее истоки).
С самых ранних времен этот народ великих мореплавателей
и искателей приключений завязал отношения с египтянами
и вавилонянами и, хотя и заимствовал у своих соседей некото-
рые элементы культуры, сформировал самую оригинальную
и могущественную цивилизацию своей эпохи, в долгосрочной
перспективе оказавшую огромное влияние на всю западную
культуру. Эпоха Древней Греции стала одним из самых блестя-
щих периодов в истории науки.
Греки (ошибочно) считали египтян изобретателями нау-
ки, особенно в области землемерия, астрономии и арифмети-
ки. Многие греки ехали в Египет и Вавилон, чтобы изучать эти
дисциплины. Такое влияние особенно сильно ощущалось в бо-
гатых торговых городах, таких как Милет в Ионии — греческой
территории на побережье Малой Азии. В порты Милета при-
бывали корабли из европейской Греции, из Финикии и Егип-
та, а караванные пути связывали город с Вавилоном. Именно
здесь родились философия, математика и вообще большая
часть греческой науки.
В дальнейшем классическая греческая математика разви-
валась в различных городах всего греческого мира, где группы
мыслителей собирались вокруг одного мудреца. Получили ши-
рокое распространение центры обучения, каждый из которых
основывался на опыте своих предшественников. В сущности,
это тот же процесс, которому следует наука и в наши дни: когда
ведущий ученый приходит в университет или научный центр,
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
91
ФАЛЕС МИЛЕТСКИЙ
Фалес Милетский (ок. 630-545
до н.э.) — первый и самый известный
из семи мудрецов Греции — этот титул
греческая традиция присвоила семи
персонажам, жившим в VII—VI веках
до н.э. за их мудрость и знания в раз-
личных областях науки. На самом деле
неизвестно, правда ли Фалес родился
в Милете или у него были финикийские
корни, как это утверждал Геродот,
но его деятельность в Милете в каче-
стве купца и затем законодателя, ма-
тематика и астронома подтверждается
источниками. Часть его торговой дея-
тельности разворачивалась в Египте,
где он, по видимости, приобрел неко-
торые математические познания. Со-
Бюст, изображающий Фалеса
Милетского, Капитолийские музеи,
Рим.
гласно традиции, Фалес предсказал
лунное затмение 8 мая 585 года,
но, учитывая уровень астрономических
знаний того времени, поверить в это
трудно. Когда Аристотель наградил его титулом «отца греческой филосо-
фии», он, вероятно, имел в виду, что Фалес основал ионийскую философ-
скую школу. Без сомнения, вопросы, которые ставил Фалес (например,
о сущности вещей и о принципах движения), затрагивали основные темы
философии и ознаменовали историческое начало ее зрелого периода.
вокруг него обычно собирается группа других специалистов
и молодых студентов. Ионийская школа была основана Фа-
лесом Милетским, а двумя его учениками были Анаксимандр
и Анаксимен. Как уже упоминалось в первой главе, легенда
гласит, что Пифагор учился математике у Фалеса.
Кроме философской деятельности, Фалесу приписывают
множество научных свершений, таких как открытие силы при-
тяжения магнита и статического электричества, но особый инте-
рес вызывают его предполагаемые математические результаты.
Согласно легенде, во время торгового путешествия в Египет он
92
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
вычислил высоту пирамид по их теням, которые сравнивал
с тенью своего посоха. С помощью принципа подобных тре-
угольников, то есть таких, которые имеют одинаковые углы
и пропорциональные стороны, он рассчитал также расстояние
от берега до лодки. Но кроме всего прочего, Фалесу приписы-
вают дедуктивные доказательства нескольких знаменитых тео-
рем, которые, согласно традиции, использовались уже давно,
но сформулированы и доказаны были только тогда.
Доходило и до утверждений, что именно он сформулиро-
вал и доказал саму теорему Пифагора. Как бы то ни было, Фа-
лес дал свое имя двум важнейшим теоремам:
—	первая теорема Фалеса: если провести в треугольнике
прямую, параллельную любой из его сторон, получив-
шийся треугольник будет подобен заданному (см. рису-
нок 1);
—	вторая теорема Фалеса: если взять точку В, лежащую
на окружности с диаметром
и С, треугольник АВС
будет прямоугольным (см.
рисунок 2).
Однако Фалесу приписыва-
ют достижение куда более зна-
чительное, чем перечисленные
теоремы: считается, что именно
он превратил математику в аб-
страктную науку. В точности
подтвердить это мнение невоз-
можно, так как наука в ее совре-
менном виде возникла только
в XVI веке, в ходе научной ре-
волюции, однако нет сомнений,
что трем великим милетцам —
Фалесу, Анаксимандру и Анак-
симену — математика обязана
первыми своими шагами.
АС и не совпадающую с А
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
93
Молчание документальных источников свидетельствует
об интеллектуальном бесплодии Ионии со времени смерти
философа Анаксимена ок. 524 года до н.э. и до взятия Милета
персами в 494 году до н.э. Милетская школа, однако, не исчез-
ла. Великие милетские идеи и открытия оказали огромное вли-
яние на последующих мыслителей, даже если они шли иными
путями. Самая близкая в хронологическом смысле к милет-
ской школе фигура — это Пифагор, и действительно, история
науки считает, что именно пифагорейцы переняли наследие
милетцев. Как было сказано ранее, мы не знаем, что именно мы
можем отнести к достижениям Пифагора, а что — к результа-
там его учеников, так что когда речь заходит о математической
деятельности пифагорейцев, на самом деле имеется в виду
вклад всей группы вплоть до 400 года до н.э. Из числа пифаго-
рейцев более всего выделяются Филолай (ок. 470-385 до н. э.)
и Архит (ок. 435-347 до н. э.).
СВЯЩЕННОЕ ЧИСЛО
Математические и геометрические концепции всех доэллини-
стических цивилизаций были связаны с материей. К примеру,
для египтян прямая представлялась натянутой веревкой или
бороздой в земле. Первый большой вклад греков в математи-
ку — признание того, что математические объекты, числа или
геометрические фигуры — это абстракции, идеи, производи-
мые разумом, не связанные с физическими объектами. Тем
не менее можно утверждать, что они не всегда придерживались
этого взгляда.
Глава V книги I «Метафизики* Аристотеля посвящена
в значительной части пифагорейцам и описывает их учение
о числах. В сущности, именно на текст Стагирита опираются
специалисты при составлении мнения о пифагорейской фило-
софии. Указанная глава содержит ясное и точное ее описание,
ставшее классическим:
94
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
«...так как, далее, они видели, что свойства и соотношения, при-
сущие музыкальной гармонии, выразимы в числах; так как, сле-
довательно, им казалось, что все остальное по своей природе явно
уподобляемо числам и что числа — первое во всей природе, то они
предположили, что элементы чисел суть элементы всего существу-
ющего и что все небо есть гармония и число. И все, что они могли
в числах и гармониях показать согласующимся с состояниями
и частями неба и со всем мироустроением, они сводили вместе
и приводили в согласие друг с другом...»1
То есть когда первые пифагорейцы говорили, что все пред-
меты состоят из чисел или что числа — сущность Вселенной,
они буквально это и имели в виду. Несмотря на все различия,
можно сказать, что пифагорейцы воспринимали числа так, как
современная наука воспринимает атомы. Что конкретно они
подразумевали, когда говорили «число»? Сами пифагорейцы
использовали три определения: число — это «ограниченная
множественность», это «комбинация или скопление единиц»,
это «перетекающее количество». Это «скопление единиц»
представлялось с помощью камешков, с помощью которых
обозначались формы. Некоторые авторы указывают, что пи-
фагорейцы VI и V веков не делали различия между числами
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
95
и геометрическими точками, которые они считали малень-
кими шарами. В действительности представление числа как
линии, состоящей из точек, последовательности значков или
камней, расположенных так, чтобы образовывать правильные
формы, — это особенность куда более древняя и примитивная,
пришедшая из глубины веков, придающая арифметике геоме-
трическую форму, и с ней Греция была хорошо знакома. Не на-
прасно общее для многих европейских языков слово «кальку-
ляция» происходит от латинского calculus — камешек, с помо-
щью которого производятся вычисления, и мы и сегодня гово-
рим о «квадратах» и «кубах» чисел, а эти термины берут начало
в пифагорейском геометрическом представлении числа.
Одна точка была началом всех вещей, у нее не было из-
мерений; две точки задавали прямую и составляли первое из-
мерение; три точки, соединенные линиями, представляли со-
бой треугольник и задавали плоскость с двумя измерениями,
а четыре точки, не лежащие на одной плоскости, формировали
тетраэдр — трехмерную фигуру (см. рисунок 3).
Этот принцип применялся и для создания геометрических
фигур. Оставалось только составить арифметическую прогрес-
сию, с помощью которой ряд «точка — прямая — треугольник —
тетраэдр» превращался в ряд «точка — прямая — квадрат —
куб» (см. рисунок 4). В своей геометрической концепции
числа пифагорейцы различали точки, комбинации которых
составляли следующие единицы все более возраставшей слож-
ности: точки образовывали линии, линии — плоскости и по-
верхности, а поверхности — объемные фигуры. И тем не менее
следующий шаг выглядит дерзким и представляется странным
для современного восприятия. Для пифагорейцев сам космос
был естественной последовательностью чисел. Так как числа
были тем средством, с помощью которого проявлялась реаль-
ность, то знание их свойств и отношений было равно знанию
механизма Вселенной — механизма, магическим образом гар-
моничного, как показывали невероятные свойства чисел, от-
крытые математикой. В рамках этого «числового мистицизма»
математик был одновременно теологом, которому предстояло
открыть божественный порядок. В этом метафизическом пред-
96
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
ставлении отражается сочетание Пифагора-теолога с его маги-
ческим образом мыслей и Пифагора-ученого с его логическим
мышлением, которое делает этого мудреца магом чисел.
ПИФАГОРЕЙСКАЯ ДЕКАДА
Изучение пифагорейцами чисел началось как духовное иска-
ние, в чем-то схожее с еврейской каббалой, где каждое число
имеет символический смысл, который придает ему магические
свойства и даже жизненную силу. Десять пифагорейских чисел,
не включающие ноль, составляли декаду.
Единица была прародительницей всех чисел, ведь из еди-
ниц можно составить любое число (последовательным сложе-
нием). Пифагорейцы называли ее монадой и считали бесконеч-
ным источником, из которого рождается все сущее. Речь не шла
о собственно универсальном числе. Единица символизировала
причину, определенную стабильность вещей. Логически она
ассоциировалась с нечетным и, что менее понятно, с правой
стороной. Использовалась она и как символ арифметического
постоянства:
11-1,1-1,1*-1
1
Двойка означала дуализм, различие, неопределенность.
Пифагор называл ее диадой. Она символизировала материю,
несовершенство и контраст. Из нее проистекало вечное измене-
ние и творение, поэтому она считалась женским началом. В ма-
тематическом смысле она ассоциировалась с четным
и с делением. Называли ее и «первым возрастанием», потому
что она формировалась как 1 + 1. Ею вводилось первое измере-
ние — длина, но без ширины и высоты, измерение несовершен-
ное, потому что из двух точек или двух линий невозможно
построить никакую фигуру. Двойку связывали с левой сторо-
ной.
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
97
Тройка, триада, возникала при взаимодействии монады
и диады: (1 + 2) в 3. Поэтому она считалась символом совер-
шенства, гармонии между единством и различием, и по этой
причине воплощала мужское начало. С ней связывали идею
времени, считая ее синтезом начала-середины-конца или про-
шедшего-настоящего-будущего. Из этого сакрального аспекта
проистекает ритуальное обыкновение повторять некоторые
жесты и действия по три раза. Тройка открывала второе изме-
рение.
Четверка была одним из ключей к природе человека. Она
обозначала неумолимый вселенский закон, так как (4 = 2 +
+ 2). Она была одновременно причиной и следствием тех групп
из четырех элементов, которые можно было найти в природе,
таких как стихии (земля, вода, огонь и воздух), стороны све-
та или времена года; но ей было подчинено и пифагорейское
деление математических дисциплин (арифметика, музыка,
геометрия и астрономия), откуда берет начало средневековый
квадривиум. Четверка была квадратом первого четного числа
ПЕНТАЛЬФА
Мистическая пентаграмма, или лен-
тальфа, представляет собой пятико-
нечную звезду. Пифагорейцы ис-
пользовали эту тайную эмблему,
чтобы отличать своих, а многочис-
ленные удивительные свойства сде-
лали ее одной из наиболее важных
для братства фигур. Самое удиви-
тельное в пентаграмме то, что ее
можно нарисовать, начиная с одной
точки и ни разу не проходя дважды
по одной стороне. Фигура получает-
ся из диагоналей правильного пяти-
угольника или путем продолжения
его сторон.
98
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
и считалась обладающей совершенством и гармонией, так как
(2 + 2 = 2 • 2). Именно она открывала третье измерение.
Пятерка — это союз диады и триады, женского и мужского
начал и, таким образом, символ брака (2 + 3 = 5) и божествен-
ного треугольника (З2 + 42 - 52). Пять было и правильных тел,
грани которых представляют одинаковые многоугольники: те-
траэдр (4 треугольника), гексаэдр, или куб (6 квадратов), окта-
эдр (8 треугольников), додекаэдр (12 пятиугольников) и ико-
саэдр (20 треугольников). Кроме того, пятерка представляла
собой геометрический центр девяти чисел декады 1,2,3,4,5,6,
7,8,9, так что на равных расстояниях от нее находились: 1 и 9,
2 и 8, 3 и 7, 4 и 6. Огромная важность этого числа сделала его
пифагорейским гербом.
Еще более священным, чем пятерка, было число 6, символ
зарождения и семьи, так как шестерка предполагала союз муж-
ского и женского начал через произведение (6 - 2 • 3). Это чис-
ло было полно мистики, потому что из него складывались вре-
менные интервалы между реинкарнациями. Кроме того, оно
представляло площадь божественного треугольника 3-4-5.
Но важнее всего было то, что шестерка была первым совершен-
ным числом — об этом типе чисел мы поговорим ниже.
Семерка была «девой без матери», потому что она не могла
быть порождена никаким из чисел декады и, в свою очередь,
не могла породить никакое из них. Семь ассоциировалось
со здоровьем и светом, существовало семь музыкальных нот
и семь звезд, давших название дням недели. В геометрическом
смысле это число было уникальным, поскольку круг невоз-
можно было разделить на семь равных частей никаким извест-
ным построением.
Число 8 символизировало дружбу, полноту и размыш-
ление. Значение восьмерки выражалось в ее влиянии на весь
космос посредством восьми сфер, которые можно было уви-
деть с Земли: сферы Луны, Меркурия, Венеры, Солнца, Марса,
Юпитера, Сатурна и неподвижных звезд. Это было первое ку-
бическое число (23), а его полнота происходила из суммы двух
равных квадратов (8 - 4 + 4).
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
99
Девятка была символом любви и беременности, так как
обычно беременность у женщины длится девять месяцев. Свя-
зывали ее и с идеей справедливости, потому что ее множители
равны (9 = 3- 3). Это первый квадрат нечетного числа (З2).
В этом клянусь тебе Тем, Кто вложил в нашу душу тетрактис,
Символ божественной сущности и добродетели высшей!
Клятва пифагорейцев, приведенная в «Золотых стихах»
И наконец, число 10 было символом Бога и Вселенной. Так
как первые четыре числа выражали для пифагорейцев тайну
музыкального ряда, их сумма (10 = 1 + 2 + 3 +4) считалась со-
вершенством, синтезом самой природы числа во всей ее полно-
те. Математический смысл числа 10 безграничен: оно содержит
в себе одинаковое количество чисел четных и нечетных и оди-
наковое количество составных чисел (4,6,8,9,10).
Как начало и основа всех вещей, десятка была наивыс-
шим выражением мистической нумерологии пифагорейцев.
Ее представляли в виде 10 точек или камешков, сложенных
в форме равностороннего треугольника (см. рисунок 5). Эта
анаграмма, визуальное и геометрическое представление, полу-
чила название «тетрактис декады». Слово тетрактис означа-
ет «четверня», что указывает на его строение с основанием 4,
и это позволяет понимать тетрактис как «базовая четверка».
Тетрактис имел мистический смысл, наподобие пентальфы,
и использовался при произнесении пифагорейской клятвы.
МНОГОУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Пифагорейская манера представлять числа с помощью точек
или камешков породила их классификацию в соответствии
с формой, в которые укладывались эти камешки. Таким обра-
зом, «многоугольные числа» ассоциировались с формой пра-
вильных многоугольников, что придало им новые свойства.
100
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
101
РИС. 10
Этот вид геометрической алгебры стал
предшественником сегодняшней символиче-
ской алгебры. Так, числа 1,3,6,10,15... опреде-
лялись как треугольные, потому что
соответственное количество точек можно было
уложить в равносторонние треугольники (см.
рисунок 5).
Четвертым треугольным числом было са-
кральное 10, и даже его форма выражала уди-
вительное свойство его «четверности», ведь,
как можно заметить на рисунке 5, у него по че-
тыре точки на каждой из сторон. Пифагорейцы
показывали, что суммы 1,1 + 2,1+2 + 3,1 + 2 +
+ 3 + 4, 1+2 + 3 + 4 + 5 давали в результате
треугольные числа. В целом
1 о	0* + 1)
l + 2 + ...+n - п---.
2
Числа 1, 4, 9, 16, 25... считались квадрат-
ными, так как их точки укладывались в квадра-
ты (см. рисунок 6). Они составлялись из серий нечетных чисел:
1,4(1+3), 9(1 + 3 + 5), 16(1 + 3 + 5 + 7), 25(1+3 + 5 + 7 + 9)...
Составные (то есть не простые) числа, не составлявшие пра-
вильных квадратов, назывались продолговатыми.
Кроме того, существовали числа пятиугольные, 1, 5,12, 22,
35..., которые складывались в пятиугольники (см. рисунок 7).
Они формировались из серии 1, 4, 7, 10, 13... таким образом:
1,5(1 + 4), 12 (1 + 4 + 7), 22 (1 + 4 + 7 + 10), 35 (1 + 4 + 7 + 10 +
+ 13)... Пятиугольное число п:
Зп* 2 — п
2
Понятно, что шестиугольные числа складывались в шести-
угольники: 1,6, 15, 28, 45... (см. рисунок 8). Они формирова-
лись из серии 1, 5, 9, 13, 17... следующим путем: 1, 6 (1 + 5),
102
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
15 (1 + 5 + 9), 28 (1 + 5 + 9 + 13), 45 (1 + 5 + 9 + 13 + 17)...
В целом это 2п2 - п.
При таком геометрическом представлении становились
заметны некоторые свойства целых чисел. К примеру, если
провести прямую внутри квадратного числа, как показано
на рисунке 9, становится понятно, что сумма двух последо-
вательных треугольных чисел составляет квадратное число.
Можно доказать правильность этого утверждения в целом, хотя
и невероятно, чтобы сами пифагорейцы могли прийти к подоб-
ному доказательству, которое мы представим в современной
нотации:
n(n + l) (п+1)(п + 2) , П2
2	2	\	) •
Чтобы перейти от одного квадратного числа к следующему,
пифагорейцы следовали схеме, представленной на рисунке 10.
Они объединяли точки справа и снизу ломаной под прямым
углом линией, которая называлась гномон, что значит «плот-
ницкий угол». Гномон образовывали точки на границе квадрата,
количество которых увеличивалось на два с каждым переходом
к следующему квадратному числу. Если к любому квадратному
числу прибавить его гномон плюс два, мы получим следующее
квадратное число. Таким образом, пифагорейцы узнали, что
п2+ (2п + 1) = (п + I)2. Кроме того, если, начиная с 1, прибав-
лять гномон 3, затем гномон 5 и так далее, то получится, что
1 + 3 + 5 +... + (2п + 1)-и2.
КЛАССЫ ЧИСЕЛ
Пифагорейский мир чисел был очень богат. Пифагор и его по-
следователи различали разные типы чисел, которые они скру-
пулезно классифицировали и приписывали им нравственные
и физические характеристики. К примеру, нечетные числа были
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
103
мужскими, а четные — женскими. Некоторые числа были дру-
жественными друг другу и сочетаемыми, иные же — зловред-
ными и неспособными к отношениям с другими. Числа могли
приносить человеку несчастья. Результатом этой классифика-
ции стала запутанная интеллектуальная конструкция, которую
можно понять, только встав на позицию пифагорейской ми-
стики. В Книге VII своих «Начал» Евклид попытался объяснить
весь этот пифагорейский мир и представить его с максимально
возможной ясностью. Категории и определения, приводимые
ниже, основаны на данных этого великого геометра.
Первым большим семейством чисел были четные и нечет-
ные, определение которых, данное пифагорейцами, бесспорно:
четное число может быть поделено на две равные или неравные
части (исключая диаду, которая делится единственным спосо-
бом), и эти части будут, в свою очередь, представлять собой
четные или нечетные числа. Нечетное число может быть разде-
лено лишь на две неравные части — одна из них будет четным
числом, вторая — нечетным. Эти типы чисел делятся, в свою
очередь, на четыре класса:
—	четно-четные: их половина представляет собой четное
число;
—	нечетно-четные: их половина нечетная;
—	четно-нечетные: такие, которые, будучи разделены на не-
четное число, дают четное число;
—	нечетно-нечетные: имеют только нечетные делители.
Далее числа делились на несоставные и вторичные — так
пифагорейцы называли простые и составные числа. В конеч-
ном счете речь идет о числах, служащих делителями или мно-
жителями других чисел. Для большей ясности ниже приво-
дятся современные определения, потому что их оригинальное
пифагорейское определение слишком запутано:
104
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
—	простое (несоставное) число — это такое, которое де-
лится только на единицу и на себя само;
—	составное (вторичное) число — это то, которое не явля-
ется простым;
—	соотношения между простыми числами таковы, что
у них есть только один общий делитель — единица;
—	соотношения между составными числами подразуме-
вают, что у них есть общие делители, отличные от еди-
ницы.
Дальше следовали линейные, плоские, объемные, квадрат-
ные и кубические числа. Линейные не имеют делителей; пло-
ские — это произведение двух чисел, которые составляют их
стороны; объемные — произведение трех чисел, являющихся
их сторонами; квадратные представляют собой произведение
одного числа на само себя; кубические — двойное произведе-
ние числа на самого себя. К этим типам можно прибавить чис-
ла продолговатые, которые отличаются от плоских на едини-
цу. Совершенными числами называли те, которые являются
суммой своих делителей, включая 1, но исключая из делителей
само число: например, 6 имеет делители 1, 2 и 3. Греки знали
только четыре совершенных числа. Кроме 6 это еще 28 (= 1 +
2 + 4 + 7 + 14), 496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248)
и 8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 +
2032 + 4064). В наши дни мы знаем 43 таких числа, все они чет-
ные. Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа,
а также конечно ли их количество.
Кроме совершенных, различали еще избыточные и недо-
статочные числа: те, которые превосходят сумму своих дели-
телей, являются избыточными, а те, которые меньше такой
суммы — недостаточными.
Два числа называются дружественными, когда каждое
из них равно сумме делителей другого. Из таких чисел пифаго-
рейцы знали только 220 и 284.
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
105
— 220 “1 + 2 + 4 + 71 + 142 (сумма делителей 284).
— 284-1 + 2 + 4 + 5 + 10+11+20 + 22 + 44 + 55+110 (сумма
делителей 220).
Кроме числовых отношений, использующих эту класси-
фикацию, пифагорейцы изучали и различные соотношения
и пропорции, в которых, по их мнению, и состояла красота —
например, среднее арифметическое, среднее геометрическое,
среднее гармоническое... Если есть два числа р и q, то их сред-
нее арифметическое А — это
Р+д
2 ’
среднее геометрическое G — Jpg, а среднее гармоническое Н,
которое обратно среднему арифметическому 1/р и i/q, это
2рд
(р+д)
Следовательно, можно доказать, что G — это среднее гео-
метрическое от А и Н; то есть что среднее геометрическое двух
чисел является средним геометрическим их среднего арифме-
тического и среднего гармонического. Сводящая все три вели-
чины пропорция
A G
G Н
получила название совершенной пропорции из-за ее простоты,
а пропорция
2рд
Р _ р+д
р+д ~ q
2
названа музыкальной пропорцией из-за красоты формулировки.
106
ВСЕЛЕННАЯ ЧИСЕЛ
ГЛАВА 5
Гармония Вселенной
Отыскивая математическое основание музыкальной
гармонии, пифагорейцы стали первыми, кто применил
математику для описания законов природы. Связь,
которую они установили между арифметикой,
геометрией и музыкой, превратила музыкальное
искусство в раздел математики. Кроме того, перенося
на космос музыкально-числовые соотношения, они
создали космологию, в которой движение звезд вызывало
музыкальные звуки, находящиеся в совершенной
гармонии: это была «музыка сфер».

Предшествующие греческой цивилизации культуры воспри-
нимали природу как хаотический и пугающий мир. Однако
около 600 года до н.э. начало складываться новое интеллекту-
альное направление рационального и критического характера,
сформулировавшее идею природы упорядоченной и правиль-
но устроенной, секреты которой человеческий разум может по-
знать.
Вероятно, именно ионийские философы первыми попыта-
лись определить первооснову всего сущего, которой они счи-
тали некую субстанцию, остающуюся неизменной в чреде всех
видимых изменений. Новое направление мысли развивалось
медленно, в маленьких группах интеллектуалов, и продолжало
оперировать мифологическими категориями и следовать ста-
рым ритуалам, которые укоренились в культуре представите-
лей этого направления и среди большинства населения.
В целом эти первые греческие интеллектуалы не уделили
достаточно времени тому, чтобы объяснить причины и мотивы,
которые привели их к созданию теорий, а сосредоточились
на их изложении с максимальной дедуктивной строгостью.
У современных историков науки слишком мало источников
для точного объяснения, почему именно греки стали развивать
такие мощные инструменты науки, как математика. Возможно,
мотивом было желание постигнуть законы физического мира:
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
109
их исследования в области астрономии, оптики и музыки ста-
вили такие задачи, которые послужили сильным импульсом
к развитию математики и применению ее в этих областях.
Первой значительной группой, развивавшей математиче-
ский взгляд на природу, была пифагорейская секта. Нет ника-
ких сомнений, что их религиозные воззрения были мистиче-
скими, но философия природы была совершенно рациональной.
Членов группы поражало, что различные явления, качественно
отличающиеся друг от друга, демонстрируют одинаковые мате-
матические свойства. Они считали, что эти свойства должны
быть первоосновой всех явлений. И так как они воспринимали
числа как точки или как элементарные частицы материи,
то число и было материей, формой существования Вселенной
и причиной любого явления.
НАСЛЕДУЮЩЕЙ
СТРАНИЦЕ:
Гравюра
по дереву
из -Музыкальной
теории», труда
композитора
и исследователя
музыки эпохи
Возрождения
Франкино
Гаффурио
(1492).
На первом
рисунке
изображен
библейский
персонаж Иубал,
-отец всех, кто
играет на гуслях
и свирели»,
остальные три
рисунка
изображают
музыкальные
эксперименты
Пифагора.
ПИФАГОРЕЙСКАЯ МУЗЫКА
Само слово «музыка» берет начало от греческого термина
musika, что значит «имеющее отношение к музам». В греческой
мифологии музы были богинями — покровительницами му-
зыки, танца, астрономии и поэзии. Можно сказать, что музыка
эфемерна и существует только в памяти: она развивается
во времени и неуловима. Эти ее качества, среди прочих, при-
дают музыке несколько магический оттенок, который заставил
человека использовать ее в своих ритуалах с древнейших вре-
мен и сделал ее важнейшим компонентом религиозного культа.
Музыка заняла в космосе Пифагора и пифагорейцев централь-
ное место.
Согласно легенде, идя однажды по дороге, мудрец с Самоса
услышал удары молота, доносившиеся из кузницы. Он подо-
шел поближе и увидел, что звук рождается из вибрации метал-
ла под ударами инструмента; более длинные куски издавали
более низкие звуки. После этого наблюдения он стал ставить
эксперименты с колоколами и кувшинами с водой и занялся
изучением вибраций струн на лире и монохорде — инструменте
но
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
111
с одной струной, изобретение которого приписывают Пифаго-
ру, — пока не открыл общих отношений между длиной вибри-
рующего участка струны и высотой звука.
Вероятнее всего, все происходило не так, как рассказывает
легенда, хотя во многих источниках Пифагор действительно
именуется изобретателем музыкального искусства, которому
он приписывал благотворное влияние на людей. Ученый изу-
чал законы акустики и первый нашел отношения между чис-
лами и гармоническими звуками, то есть теми, одновременное
звучание которых приятно для слуха. Он оставил миру первую
математическую теорию музыки и тем самым сделал шаг в на-
правлении устранения произвольных суждений в исследова-
ниях природы и к сведению хаоса к понятной и упорядоченной
модели. Перевод музыки в числовые соотношения стал возмо-
жен, когда были установлены два факта:
—	звук, получаемый при щипке струны, зависит от длины
струны;
—	гармонические звуки производятся при равном натяже-
нии струн, соотношение длин которых выражается це-
лыми числами.
Пифагорейцы тщательно изучали звуки единственной
струны монохорда, изменяя ее длину так, как прижимаются
струны на современной гитаре. Варьируя длины струны, они
получали разные музыкальные ноты. Чем короче струна, тем
выше была нота. Затем, при сравнении пары звуков, произве-
денных струнами различной длины, они открыли нечто удиви-
тельное: деление длинной струны на малые числа — надвое,
на одну треть, на две трети от первоначальной длины — произ-
водило гармонично сочетающиеся звуки, то есть звуки, прият-
ные для слуха. Таким образом, длины струны, соответствующие
каждому гармоническому сочетанию звуков, можно выразить
соотношением целых чисел. Благодаря этому наблюдению пи-
112
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
фагорейцам удалось выстроить математическую модель физи-
ческого феномена, опираясь, прежде всего, на свое эстетическое
чувство — нечто похожее на то, что произошло с золотым сече-
нием в рамках формирования концепции красоты в эпоху Воз-
рождения.
Гармонические отношения, интервалы, которые нашли пи-
фагорейцы, сегодня изучаются в каждой музыкальной школе:
—	октава: самый простой интервал, который получается,
если струну прижать на середине ее длины или же ущип-
нуть две с равной силой натянутые струны, одна из кото-
рой вдвое короче другой. Это соотношение в числовом
виде выражается как 2:1. На музыкальном языке «интер-
вал между двумя одинаковыми нотами составляет ок-
таву»: например, это расстояние между нотой
до и следующим до;
—	квинта: это такое гармоническое отношение, когда струна
прижимается в точке, находящейся на одной трети
от всей длины струны, или же когда звучат две струны
с соотношением длин 3:2. В этом случае более короткая
струна производит ноту на квинту выше, чем более длин-
ная (к примеру, интервал между до и соль);
—	кварта: сочетание, в котором струна зажимается на рас-
стоянии одной четверти всей длины или же когда звучат
две струны с соотношением длин 4:3, и тогда на музы-
кальном языке говорят об интервале кварта (скажем, ин-
тервал между до и фа).
----------------------------------1
октава।	।
_________квинта	।
_______।______кварта ।	।
Октава, квинта
и кварта — три
музыкальных
интервала,
открытые
пифагорейцами, —
показаны
в соотношении
к соответствую-
щим частям
полной длины
струны.
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
113
Таким образом, музыкальные интервалы в зависимости
от пропорций деления струны, выраженных в формуле
п + 1
п
гармоничны и приятны для слуха. На основании этого факта
пифагорейцы заявили о существовании прямой связи между
числом и гармонией. Они составляли свои звуковые ряды, ос-
новываясь на простых числовых соотношениях между различ-
ными звуками. Так, пифагоров ряд базируется на двух самых
простых интервалах — октаве с соотношением 2/1 и квинте
с соотношением 3/2. Пифагорейцы получали различные сту-
пени звукоряда, связывая квинты и прибегая к тому, что на-
зывается перенесением на октаву, то есть деля и умножая на 2,
чтобы расположить получаемые ноты в необходимом порядке.
Этот процесс выглядит так (взяв за первый звук до, мож-
но получить подобным образом весь звукоряд начиная с лю-
бой ноты). Прежде всего высчитывается первая восходящая
квинта для получения соль. Следующая восходящая квинта
даст нам ре, а далее — ля, ми и си. Отсчитав теперь нисходящую
квинту от начального до, мы получим фа. Таким образом стро-
ятся семь нот звукоряда:
фа+-до-+ соль -+ре^» ля -► ми -► си.
Продолжая откладывать квинты, можно получить 12 зву-
ков хроматической гаммы, которая называется также додека-
фонической, потому что содержит 12 полутонов западного тем-
перированного звукоряда. Это наиболее используемая система
гармонического строя в западной музыке. Она основывается
на темперированном полутоне, который равен 1/12 части ок-
тавы и в числовом выражении составляет корень 12-й степени
из двух. Он, в свою очередь, делится на 100 центов (цент — это
сотая доля полутона),
сольb♦-ре\> +- ляЬ ♦-ми\> си\> фа <- до -> соль ->
ре -> ля	ми -► си -► фа$,
114
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
ЦЕНТ
В музыке цент — безразмерная логарифмическая единица отношения двух
частот или значений границ музыкального интервала. Цент равен 1/100
полутона — это настолько малое значение, что оно находится за пределами
человеческого восприятия. С учетом того, что 12 полутонов составляют одну
октаву, цент — это такое число, что:
(с100)12 = 2 =>	с1200 = 2 => с - 12О^2.
где символы бемоль (Ь) и диез (#) обозначают, соответствен-
но, звуки на полтона ниже или выше обозначенных. Получив
12 нот с помощью откладывания квинт, достаточно будет рас-
положить звуки в пределах одной октавы путем перенесения
на октаву.
ЗВУКОВАЯ МАТЕМАТИКА
После изложения необходимых предварительных принципов
можно определить положение каждой ноты с помощью умно-
жения квинт и перенесения на октаву, учитывая, что (напо-
минаем) значение пропорции частот будет 1 для отношения
ноты до к самой себе и 2 — для отношения до и до следующей
октавы. Прежде всего, определяется нота соль, которая отстоит
на квинту от до:
3 л
соль= — от до
2
или, проще:
3
соль = —
2
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
115
Далее определяется ре, которое находится на квинту
от соль. Она получается умножением на 3/2 и перенесением
на октаву, то есть умножением на 1/2 или делением на 2. Рас-
стояние от до до ре называется тоном. Тон — типичная дистан-
ция между двумя нотами в темперированной системе, соответ-
ствующая одной седьмой октавы и, логичным образом, деля-
щаяся на два полутона. Выполнив простейшие умножения, мы
получаем интервал от до до ре:
3 1
ре = соль----
2 2
3 3 1
ре = — • — • —
2 2 2
9
ре=—.
8
После этого так же определяется ля, отстоящее от ре
на квинту:
3	9 3
ля=ре-— ля =—- —
и 2	8 2
27
16
Ми находится через квинту от ля, но необходимо перенесе-
ние на октаву:
3 1
ми =ля-—-—
2 2
ми =
27.3 1.
16 2 2
81
64
Ряд завершается си, отстоящим на квинту от ми, и фа,
на квинту вниз от до, перенесенного на октаву вверх (то есть
не
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
умноженого на 2). Так образуется то, что в наши дни известно
как квинтовый круг, представленный на рисунке.
Таким образом, если принять для до значение 1, получает-
ся следующая таблица.
Нота	До	Ре	Ми	Фа	Соль	Ля	Си	До
Соотношение частот	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
Этот процесс можно продолжать далее для определения
нот, обозначенных на фортепьяно черными клавишами, или
бемолей, продвигаясь вниз по квинтам, начиная с фа.
Нота			Сольу		С%
Соотношение частот	256/243	32/27	1024/729	128/81	16/9
Поднявшись на квинту от си, мы получаем фай, которое
должно бы быть тем же звуком, что и сольЬ после соответствен-
ного перенесения на октаву. Однако это разные звуки: разница
между фай и сольЬ называется пифагоровой коммой. Таким же
образом, после перенесения на октаву звуки фай и реЬ не нахо-
дятся друг от друга на расстоянии точной квинты, но образуют
интервал, который отличается от квинты на пифагорову комму.
Такая квинта чуть меньше и называется «волчьей квинтой».
Структура квинтового круга представляет собой комбина-
цию двенадцати квинт, которые в результате приходят к ноте,
почти идентичной начальной, но через семь октав, как это по-
казано на клавиатуре.

ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
117
Эта разница в «почти», проявляющаяся на расстоянии
семи октав, и называется пифагоровой коммой. Можно вы-
числить ее значение СР, приняв за отправной пункт частоту f
и сравнив цепочки из двенадцати квинт и из семи октав:
СР---Щ—1,013643265.
/•27
Таким образом, разница составляет более 1 % октавы, или
почти четверть тона. Эта разница возникает потому, что дробь,
которой выражается квинта, несовместима с октавой, что мож-
но легко доказать. Можно выяснить, существуют ли такие зна-
чения хи у, которые позволяли бы увязать эти дроби:
3х
-2У=> —-2*=» Зх=2х-2»=> 3Х=2ХЧ
2х
Как видим, необходимо найти число, которое было бы одно-
временно некоторой степенью 2 и 3. Но так как 2 и 3 — простые,
существование такого числа противоречило бы фундаменталь-
ной теореме арифметики, согласно которой любое натуральное
число может быть представлено единственным образом в виде
произведения простых чисел. Эта теорема, сформулированная
еще Евклидом, была доказана математиком Карлом Фридри-
хом Гауссом (1777-1855). Исходя из нее можно утверждать,
что интервалы, сложенные из квинт и из октав, никогда не сой-
дутся, то есть существование хроматического звукоряда без
пифагоровой коммы невозможно.
НАЗВАНИЯ НОТ
Греки называли ноты первыми буквами ионийского алфавита,
присвоив отдельную букву каждому полутону и каждому звуку,
повышенному на октаву. Наше фа обозначалось как а, повы-
118
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
ТРИ СРЕДНИХ
Пифагор не только был очарован
мистикой натуральных чисел, на него
большое влияние оказали открытия,
связанные со средним арифметиче-
ским, средним геометрическим
и средним гармоническим, что мож-
но увидеть на схеме справа. Таким
образом, 3:4 — это среднее арифме-
тическое 1 и 1/2:
3:4	1:2
2:3	i!2
4 4 2’
а 2:3 — среднее гармоническое 1 и 1/2:
2 2 1
3 3 2
Пифагор экспериментально доказал, что струны с соотношением длин
1:2 и 2:3 (среднее гармоническое 1 и 1/2) и 3:4 (среднее арифметическое
1 и 1/2) производят приятные звуки, и из этого факта вывел звукоряд,
о котором мы уже говорили. Назвал он эти интервалы диапазон, диапенте
идиатессарон, а сегодня они известны как октава, квинта и кварта. Мож-
но заметить отсутствие здесь среднего геометрического: возможно, Пи-
фагор отказался от него, потому что столкнулся с проблемой высшего по-
рядка, и весьма серьезной, как мы покажем дальше. Операция со средним
геометрическим приводит к появлению несоизмеримых чисел и в точности
соответствует повышенному фа хроматического ряда.

[	3:4 2:3
шенное фа — как р (бета), фа, повышенное на две ступени, —
у (гамма).
Римляне также использовали для записи музыкальных
звуков первые буквы своего алфавита. Римский философ Боэ-
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
119
•Рука Гвидо», как
она изображена
в работах
бенедиктинского
монаха.
ций (480-525), автор «Утешения философией», взявшийся
за задачу совместить философские школы Платона и Аристо-
теля, создал трактат о теории музыки. В этой книге, известной
под латинским названием De musica («О музыке»), он предла-
гает звукоряд из 15 нот, представляющих две октавы, игнори-
руя циклический принцип построения октав.
Этот принцип вспомнят позже, обозначая одними
и теми же буквами одинаковые ноты разных октав. Так называ-
емая немецкая, или английская, номенклатура ввела для семи
нот главной октавы большие буквы от А до G, следующей ок-
тавы — маленькие буквы от а др g, третьей октавы — двойные
маленькие буквы (аа, ЪЪ, сс, dd, gg). Таким образом, семь
из 12 звуков, соответствующие нынешним белым клавишам
фортепьяно, получили собственные имена. Остальные пять
были названы позже, после появления концепции бемолей, бе-
каров и диезов. Их названия основаны на названиях основных
семи.
В XI веке тосканский монарх Гвидо д’Ареццо (ок. 995-
1050) значительную часть вре-
мени посвятил тому, чтобы соз-
дать мнемонические правила
для исполнителей музыки. Са-
мое, пожалуй, известное из них
называется «рука Гвидо», в со-
ответствии с которым ноты
располагаются в алфавитном
порядке на кисти руки. Гвидо
д’Ареццо даже переименовал
ноты, присвоив каждому зву-
ку слог из широко известного
в то время гимна Иоанну Кре-
стителю: «Чтобы слуги твои го-
лосами своими смогли воспеть
чудные деяния твои, очисти
грех с наших опороченных уст,
о Святой Иоанн», что на латы-
ни звучит следующим образом:
120
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
Ut queant taxis
Resonare fibris
Mira gestorum
Famuli tuorum
Solve polluti
Labii reatum
Sancte lohannes.
После замены ut на до сложились названия семи нот, кото-
рые существуют в большинстве языков до сих пор.
МУЗЫКА СФЕР
В своих поисках гармонии Вселенной пифагорейская школа
строила астрономические акустические модели и изучала му-
зыку и арифметику. Пифагорейцы сводили движение планет
к числовым отношениям. Они считали, что небесные тела в сво-
ем движении через космическое пространство рождают гармо-
нические вибрации, музыку сфер. Возможно, к такой идее они
пришли, услышав звук, который издает предмет, привязанный
к колеблющейся струне, как это практиковалось в некоторых
религиозных обрядах. Кроме того, члены братства утверждали,
что небесное тело, двигающееся быстрее, должно производить
более высокий звук, чем то, которое движется медленнее. Од-
нако, согласно их астрономическим воззрениям, быстрее дви-
галось то тело, которое находилось дальше от Земли, поэтому
и звуки, производимые планетами,— человек не мог услышать
их без помощи инструментов, так как привык к ним с рож-
дения — варьировались в зависимости от расстояния от них
до Земли и находились в гармонии между собой.
Пифагор и его ученики пытались не просто наблюдать
и описывать движения небесных тел, но и найти в них какую-то
закономерность. Идея единообразного кругового движения,
очевидная для наблюдаемых Луны и Солнца, подсказывала,
что движения планет также подлежат объяснению в рамках
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
121
СЕМЬ СВОБОДНЫХ ИСКУССТВ
Греко-римская цивилизация в целом культивировала теоретическую на-
уку, в рамках которой знания не были связаны ни с какой практической
деятельностью. Высшие дисциплины распределялись на две большие груп-
пы. Первую, тривиум («три дороги»), составляли грамматика, диалектика
и риторика. Вторая, квадривиум («четыре дороги»), охватывала арифмети-
ку, геометрию, астрономию и музыку. Весь комплекс из двух этих «путей»,
или семь свободных искусств, стал семью ступенями, которые вели чело-
века к равновесию в гармоничной Вселенной.
Семь свободных искусств на фреске Андреа Бонайути, выполненной в 1365 году
в Испанской капелле флорентийской базилики Санта-Мария-Новелла. Каждое
из искусств представлено женской фигурой, перед которой помещен кто-нибудь
из великих мыслителей. Среди них и Пифагор, изображенный рядом с Арифметикой
(в первом ряду слева).
круговых перемещений. В соответствии с этой концепцией
поздние пифагорейцы пришли к революционному выводу, ко-
торый был связан с полным отказом от некоторых наиболее
древних представлений: они первыми предположили, что
122
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
Земля — это шар. Возможно, эту
догадку можно считать самым
блестящим достижением пифа-
горейской космологии, но позже
пифагорейцам пришлось прибе-
гать к различным трюкам, чтобы
заставить наблюдаемую реаль-
ность соответствовать их идее
Вселенной.
Так как они считали 10 со-
вершенным числом, то были
вынуждены поместить на небо
10 подвижных небесных тел.
В центре того, что они называли
Вселенной, а мы — Солнечной
системой, располагался «цен-
тральный огонь», вокруг которого по идеальным круговым ор-
битам вращались небесные тела. Самой близкой к центрально-
му огню была Земля. Луна вращалась не вокруг Земли, а имела
собственную орбиту, так же как и Солнце, которое было сле-
дующим по удаленности от центра телом. Дальше следовали
пять планет и, наконец, звезды, которые, словно драгоценные
камни, были прикреплены к небесной сфере (см. рисунок).
Простое сложение показывает, что пять планет, а также
Земля, Солнце, Луна и сфера звезд в сумме дают лишь девять
тел. Недостающее десятое тело пифагорейцы придумали, оно
вращалось вокруг центрального огня и называлось Антихтон,
что буквально можно перевести как «Противоземля».
Однако ни один астроном, включая великих ученых Ме-
сопотамии, никогда не видел на небе такого объекта. Впрочем,
это обстоятельство последователей Пифагора не смутило, ведь
само название, которое они дали десятой планете, все объяс-
няет: десятое небесное тело увидеть невозможно, потому что
оно обращается вокруг центрального огня ровно с той же ско-
ростью, что и Земля, и при этом находится точно с противопо-
ложной его стороны. При этом обитаемая часть Земли распо-
ложена «спиной» к центральному огню.
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
123
К сожалению, пифагорейцы, выдвинув первую теорию,
предполагавшую движение Земли, не смогли принять идею
вращения земного шара вокруг своей оси. Напротив, они были
уверены, что именно сфера неподвижных звезд вращается
вокруг центра Вселенной. Как бы то ни было, греческий мир
воспринял большую часть этого учения, прежде всего едино-
образное круговое движение и деление космических объектов
на небесные и подлунные тела. Некоторые специалисты счи-
тают, что именно пифагорейцы предложили идею о том, что
небесные тела вечны, божественны, совершенны и неизменны,
а объекты подлунного мира, такие как Земля и, по мнению гре-
ков, кометы, подвержены изменению, упадку и смерти.
ПОСТОЯННЫЙ КРИЗИС МОДЕЛИ МИРА
У пифагорейцев странным образом сочетались строгая логич-
ная мысль и на удивление ненаучные концепции. Их сосредо-
точенность на числах вылилась в философию природы, которая
в конечном счете имела мало отношения к природе и повлекла
самые разные последствия — как благотворные для развития
науки, так и наоборот.
При этом пифагорейцы преодолели наиболее важное огра-
ничение, сдерживавшее ионийцев. И те и другие утверждали,
что истинным смыслом исследований должно быть постиже-
ние гармоничного порядка, царящего в природе, но ионийцы
отстаивали идею единого вещества как первоосновы мира. Пи-
фагорейцы же заменили эту концепцию идеей структуры, фор-
мы и числовых соотношений. В известном смысле современ-
ная наука следует в русле того значения, которое пифагорейцы
придавали числу, хотя и в гораздо более сложном виде.
С другой стороны, некоторая фанатичность помешала пи-
фагорейцам перейти к идеям, более пригодным для объяснения
природных явлений, из-за этого законы природы оказались
в подчиненном положении по отношению к идеалам красоты,
симметрии и гармонии. Несгибаемая вера в первичность чис-
124
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
НЕБЕСНЫЙ МОНОХОРД
Экстраполяция числового мисти-
цизма в область космологии с по-
мощью музыки была столь при-
тягательной идеей, что в течение
веков она вдохновляла множе-
ство мыслителей и художников.
В эпоху Ренессанса некоторые
соборы строили с соблюдением
«музыкальных» пропорций 2:1,3:2
и 4:3. В1623 году философ-герме-
тист1 Роберт Фладд (1574-1637),
ученик медика и алхимика Тео-
фраста Парацельса (1493-1541),
опубликовал труд Anatomiae
Amphitheatrum («Анатомический
амфитеатр»), включавший иллю-
страцию, на которой была изо-
бражена рука Всевышнего, на-
страивающая небесный монохорд.
Божественная длань натягивает
струну в плоскости, на которой ор-
биты планет располагаются в соот-
ветствии с интервалами музыкаль-
ного звукоряда.
Знаменитый рисунок монохорда из трактата
Anatomiae Amphitheatrum.
ла тормозила прогресс, который мог бы привести к появлению
моделей, более пригодных для описания мира.
Наиболее наглядный пример такой слепоты — греческая
космология. Уже в III веке до н.э. стало понятно, что круговые
орбиты не соответствуют наблюдаемым движениям небесных
тел. Тогда в модель были введены эпициклы — маленькие кру-
ги, центр которых движется по основной орбите. Со временем
число эпициклов росло, система усложнялась и стала совер-
1 Герметизм — эзотерическое философское течение поздней античности, возро-
дившееся в эпоху Ренессанса. Сочетало элементы древнегреческой философии,
астрологии, алхимии и магии. Название происходит от мифического основателя
течения Гермеса Трисмегиста (Гермеса Триждывеличайшего).
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
125
шенно бесполезной. Сама мысль о том, что небесные тела дви-
жутся по каким-то другим, не круговым орбитам, древними
греками даже не рассматривалась: это должен быть именно
круг — совершенная фигура.
Даже Николай Коперник (1473-1543) в своем великом
труде De revolutionibus orbium celestium («О вращении небесных
тел»), опубликованном в год его смерти, переместил Землю
из центра Вселенной и заменил ее Солнцем, но остался верен
круговым орбитам. Только в 1609 году Иоганн Кеплер (1571-
1630) предположил, что орбиты на самом деле эллиптические.
Но даже этот революционер не смог полностью избавиться
от влияния поэтической идеи о музыкальной гармонии космо-
са. Хотя Кеплер был ключевой фигурой для научной револю-
ции, этот великий немецкий астроном и математик оставался
мистиком. Тридцать лет своей жизни он потратил на то, чтобы
доказать, что движение планет подчиняется пифагорейским
законам гармонии. В поисках фундаментального закона, объ-
ясняющего неправильность планетных орбит, Кеплер изме-
рил для каждой планеты ее максимальную скорость в периге-
лии (ближайшей к Солнцу точке орбиты) и в афелии (самой
дальней от Солнца точке). К радости ученого, соотношения
между двумя этими скоростями соответствовали гармониче-
ским интервалам, и поэтому он обозначил эти соотношения
символами музыкальной нотации, отдав таким образом дань
пифагорейской идее музыки сфер. Кеплер изложил свою тео-
рию в трактате Harmonia mundi («Гармония мира»), вышедшем
в 1619 году. На его страницах он представил гамму и аккорды,
связанные с каждой из планет. Согласно автору, планеты ис-
ключительно редко звучат все вместе в совершенном согласии,
такая симфония может сложиться только один раз за всю исто-
рию мира с момента его сотворения.
126
ГАРМОНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
ГЛАВА 6
Крах универсальной
арифметики
Пифагорейская картина совершенного музыкального
космоса, основанная на священном числе, столкнулась
с большой проблемой: это число должно быть целым.
Хотя дроби были уже известны, греческая арифметика
игнорировала их. Однако сама теорема Пифагора несла
в себе зерна разрушения, и чтобы они проросли,
надо было всего лишь произвести некоторые простые,
но фатальные расчеты. Появление иррациональных
чисел означало крах пифагорейской
универсальной арифметики.

Нельзя утверждать, что пифагорейцы не имели никакого пред-
ставления о дробях. Последователи самосского мудреца ис-
пользовали эквивалентную дробям концепцию соотношений
между целыми числами, которые позволяли им, к примеру,
объяснять звуковую гармонию двух струн, выражая ее в отно-
шениях их длин: 2:1,3:2,4:3... Дроби были известны математике
еще со времен Месопотамии, где они использовались в повсе-
дневной жизни — например, в торговле для обозначения частей
денежных единиц. Но при всем этом во времена пифагорейцев
математики считали дроби чем-то несовершенным и бесполез-
ным.
Самое прочное убеждение последователей Пифагора,
опора их арифметической вселенной, состояло в том, что любые
две величины всегда соизмеримы, то есть их всегда можно со-
поставить с двумя целыми числами. Принцип соизмеримости
относится к тому, что сегодня называют рациональными чис-
лами. Рациональное число — это число, которое можно пред-
Может быть
точно
установлено, как
две величины,
АиВ,
соотносятся
друг с другом,
с использова-
нием только
целых чисел.
На рисунке
верхняя строка
длиннее нижней,
а нижняя —
в 13/20 раза
короче верхней.
I I I I I I IIII I I I I I I I I I I I =	[—I х20
mi....................  =	п «к
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
129
ставить как дробь, то есть отношение, или коэффициент, между
двумя целыми числами (при этом делитель не должен быть
равен нулю). Пифагорова соизмеримость может быть представ-
лена как закон, согласно которому точно устанавливается,
во сколько раз величины Л и В больше (или меньше) одна дру-
гой. В современных математических терминах мы бы сказали,
что две произвольные величины А и В соизмеримы тогда, когда
КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСЕЛ
Современная математика определяет число как элемент множества, ко-
торый обладает некоторыми свойствами. Так, существуют множества N,
Z, Q, R и С, которые представляют собой последовательные ступени, на-
чиная с множества натуральных чисел N.
R Вещест /
С Комплексные < поыыи1в
ВиппЫи
Z Целые <
Q Рациональ- <
ные
Дробные
Иррациональные
Простые
Составные
О Ноль
Целые отрицательные
N Натураль- «
ные
, Мнимые
—	Комплексные (С): сумма вещественного и мнимого чисел.
—	Вещественные (R): совокупность рациональных и иррациональных
чисел.
•	Рациональные (Q): числа, которые могут быть представлены как
одно целое число, деленное на другое целое число (а точнее, на на-
туральное положительное число), то есть как дробь общего вида
т/п с числителем т и знаменателем л, отличным от нуля. Термин
«рациональные» происходит от латинского ratio («соотношение»).
•	Иррациональные: числа, которые не могут быть выражены дробью
вида т/п, где m и л представляют целые числа и л отлично от нуля,
или для которых дробь является бесконечной, как, например,
3,1415... (л), 2,7182... (е), 1,6180... (Ф) или 1,4142135... (V2). Вся-
кое вещественное число, не являющееся рациональным, иррацио-
нально.
130
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
существует третья величина С и два целых числа р и q, так
чтобы С укладывалось р раз в А и q раз — в В.
Но идеальный мир, где все так прекрасно подогнано друг
к другу, не мог выдержать натиска реальности. Парадоксаль-
ным образом простые вычисления на основе именно теоремы
Пифагора могли свести на нет всю эту стройную конструкцию.
И так как именно пифагорейцы были наиболее продвинутыми
—	Мнимые: комплексные числа с нулевой вещественной частью, к при-
меру 5/ (где / =	1). Это число вида z = x + iy, где х = 0.
В группе рациональных чисел выделяют:
—	целые (Z): совокупность чисел, которые включают натуральные числа,
отличные от нуля, отрицательные числа и ноль;
—	натуральные (N): любое число, которое может служить для счета. Это
числа 1, 2,3,4...;
—	ноль: числовой знак с пустым значением, который в позиционной
записи занимает место, где нет никакой значимой цифры;
—	целые отрицательные: вещественные числа меньше нуля. Противо-
положностью отрицательного числа является число положительное,
и наоборот. Единственное число, одновременно и положительное,
и отрицательное, — это ноль;
—	дробные: числа, которые представляют собой одну величину, делен-
ную на другую.
В пределах группы натуральных чисел различаются:
—	простые числа: числа больше 1, которые делятся только на себя и на 1.
Например, простыми числами являются 2,3,5,7,11,13,17,19,23...
2 — это единственное четное простое число;
—	составные числа: любое натуральное не простое число, кроме 1 и О,
которые имеют 1 и более делителей, отличных от 1 и от них самих. Они
называются также делимыми. К таким числам относятся, например,
4, 6, 8, 9,10,12,14,15,16,18...
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
131
математиками своей эпохи, это был лишь вопрос времени —
кто из них первым выполнит губительные вычисления.
МИР (ПОЧТИ) СОВЕРШЕННЫЙ
Практически установлено, что математическое открытие су-
ществования отрезков, взаимно несравнимых, то есть несоиз-
меримых, произошло в пифагорейской школе не позднее чем
в 420 году до н.э. Так как пифагорейцы весьма интересовались
тройками целых чисел, которые могли представлять соотно-
шения сторон прямоугольного треугольника, понятно, что они
должны были открыть эти новые соотношения, хотя некото-
ГИППАС ИЗ МЕТАПОНТА
Математик и философ Гиппас родился
около 500 года до н.э. в городе Мета-
понте в Тарентском заливе, Южная
Италия. Дата его смерти неизвестна,
и на этом, вероятно, строится легенда,
связанная с ним. Кроме несоизмери-
мости, математику приписывают два
важных открытия: применение додека-
эдра в качестве приближения шара
и открытие числовых соотношений ос-
новных музыкальных аккордов путем
экспериментов со звуком.
Есть надежные свидетельства о том,
что Гиппас ставил акустические опыты
и изучал резонанс, поэтому его считают
теоретиком музыки. Согласно легенде,
он не только доказал существование иррациональных чисел, но и нарушил
пифагорейский закон молчания, поведав о своем открытии миру. Дошед-
шие до нас документы того времени приводят различные версии его смер-
ти, но ни одну из них нельзя считать достоверной.
132
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
рые исследования указывают
и на другие возможности, о ко-
торых мы поговорим позже. Как
правило, исследования по исто-
рии математики согласны с тра-
дицией, которая приписывает
обескураживающее открытие
иррациональных чисел Гиппасу
из Метапонта. По одной из вер-
сий, в качестве наказания за то,
т
2
что он ввел в мир элемент, не от-
вечающий основополагающему принципу секты, — что все
явления Вселенной могут быть сведены к целым числам и их
отношениям, — члены братства сбросили Гиппаса с борта ко-
рабля. На самом деле мы не знаем в точности, каким образом
были открыты иррациональные числа. Традиция гласит также,
что Гиппас изучал свойства квадрата. Хотя это и весьма про-
стая фигура, пифагорейцы не знали никого, кому удалось бы
вычислить ее диагональ: это удалось сделать Гиппасу с помо-
щью теоремы Пифагора. В поисках универсального доказа-
тельства этот математик смог вычислить диагональ, приняв
сторону квадрата за 1. Далее следовала простая операция: оста-
валось разбить квадрат на два треугольника и применить тео-
рему Пифагора для вычисления их гипотенузы (см. рисунок).
В равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипо-
тенузы равен удвоенному квадрату катета. Если длину катетов
принять за 1, какой будет длина гипотенузы? Полученное чис-
ло не будет ни целым, ни дробью... Оно будет несоизмеримым.
В современной математической терминологии мы бы сказали,
что прямоугольный треугольник с катетами, равными 1, имеет
гипотенузу длиной и это иррациональное число. Но во вре-
мена Гиппаса это открытие потрясало основы пифагорейской
философии.
Этот результат не только показывал, что гипотенуза равно-
бедренного прямоугольного треугольника несоизмерима с ка-
тетами, но и поставил греческую математику перед фундамен-
тальной проблемой.
Графическое
представление
доказательства
Гиппаса
из Метапонта.
Математик
из Великой
Греции
вычислил
диагональ
квадрата —
величину, до тех
пор неизвест-
ную, —
использовав
теорему
Пифагора.
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
133
Пифагорейцы постулировали абсолютную связь между
числом и геометрией, но существование несоизмеримых вели-
чин подрывало сами основы этих отношений. Конечно, из-за
этого члены братства не перестали изучать длины и соотноше-
ния в геометрии, но ограничились числовыми соотношениями
только в тех случаях, когда они были соизмеримы. Со време-
нем геометрические величины дистанцировались от величин
числовых, так что те и другие стали изучаться раздельно. Вве-
дение понятия несоизмеримости убедило греческих матема-
тиков в том, что геометрия должна развиваться независимо
от арифметики. Так разрушалась пифагорейская традиция,
которая не делала различия между этими областями знания.
Из «Диалогов» Платона ясно видно, что уже в его время гео-
метрия считалась отдельной наукой.
Каким образом пифагорейцы так поздно заметили этот
слабый пункт, который привел к кризису их систему? Что они
ожидали найти в диагонали квадрата? Согласно теореме Пи-
фагора, для квадрата со стороной 1 построенный на его диа-
гонали квадрат будет иметь площадь, равную 2, и, таким обра-
зом, длина d данной диагонали должна быть числом, которое
при возведении в квадрат дает 2 (то есть cP = 2). Здесь на сцену
возвращается V2. Величина V2 была длиной отрезка, который
можно, опираясь на квадрат, легко построить с помощью ли-
нейки и циркуля. Естественным было и предположение, что
введя некую величину и (меньшую 1), можно было ею одно-
временно измерить и сторону (1), и диагональ (V2) квадрата?
Очевидным было предположение, что сторона и диагональ ква-
драта должны быть соизмеримы. Однако это оказалось не так.
Такая постановка задачи приводит к следующему выво-
ду: при умножении общей единицы и на некое целое число п
должна получиться длина стороны 1 = пи, а при умножении ее
на другое целое число т получается длина диагонали х/2 = ти.
Следовательно, должно быть верно следующее:
^2 ^/2 ти _ т
1 пи п
134
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
Иными словами, соизмеримость предполагает, что х/2 пред-
ставляет собой дробь вида т/п, где т и п — целые положитель-
ные числа. Идя по этому пути, пифагорейцы столкнулись
с весьма неприятным результатом: они выяснили, что суще-
ствуют числа, которые невозможно выразить через отношение
целых чисел, и это открытие было несовместимо с их идеей
универсальной арифметики. Последователи учителя назвали
соизмеримыми соотношениями те, которые можно было выра-
зить целыми числами, что означало, что обе величины могли
быть измерены некоей общей единицей, а остальные — несоиз-
меримыми соотношениями.
Таким образом, то, что в современной математике выража-
ется как
х/2
2 ’
есть несоизмеримое соотношение.
ПЕНТАГРАММА ГИППАСА
История Гиппаса с ее совершенной фабулой, включая драма-
тический финал, сочетает в себе элементы, которым позави-
довал бы любой писатель: простой квадрат таит в себе семена
разрушения, недальновидный член братства открывает ящик
Пандоры... На самом деле не существует доказательств, что эти
факты действительно имели место, и невозможно утверждать,
что именно Гиппас открыл несоизмеримость квадрата. Еще
одна легенда приписывает ему совсем другое доказательство
существования несоизмеримости. В истории он остался челове-
ком, который предъявил публике шар, составленный из 12 пя-
тиугольников. Правильный пятиугольник — это математиче-
ская фигура, на которой относительно легко продемонстриро-
вать свойство несоизмеримости, особенно с помощью древнего
метода бесконечного спуска, который имел фундаментальное
для греческой математики значение. С его помощью находили,
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
135
к примеру, наибольший общий
делитель двух чисел.
Метод состоит в следующем:
даны две различные величины
(а, 6), где а < h, и из большей вы-
читалась меньшая; получалась но-
вая величина Ь — а, и она вычита-
лась из а, и так далее. Эта
процедура неприменима к паре
величин (а и 6), если они несоиз-
меримы. Когда а и b представляют
собой натуральные числа, можно
определить их наибольший об-
щий делитель (НОД). Данная про-
Демонстрация
существования
несоизмеримых
отрезков
в пентаграмме.
цедура, называемая евклидовым
алгоритмом, всегда конечна и приводит к точному результату
Если процедура бесконечна, то наибольшего общего делителя
не существует, и величины несоизмеримы. Эта теорема — мы
не будем ее здесь приводить — была доказана Евклидом в кни-
ге X «Начал»: «Если даны две величины, и при последователь-
ном вычитании меньшей из большей остаток никогда не срав-
няется с предыдущей величиной, то эти две величины
несоизмеримы».
Как видно на рисунке, диагонали правильного пятиуголь-
ника образуют другой правильный пятиугольник и так далее.
Для цепочки пятиугольников, получаемых с помощью такого
процесса, действительны отношения АЕ =АВ' и B'D =В'Е\ где
AD - АЕ = В'Е' и аналогичным образом АЕ = ED' = ЕА' и В'Е' =
= B'D = В'Е\ следовательно, АЕ - В'Е' =В'А', и так далее до бес-
конечности.
Из этого можно вывести, что:
— разница между диагоналями и сторонами большего пяти-
угольника такая же, как у меньшего пятиугольника;
136
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
—	разница между сторонами большего пятиугольника
и диагоналями меньшего равна сторонам меньшего пяти-
угольника;
—	разница между диагоналями меньшего пятиугольника
и его сторонами снова равна диагоналям следующего
меньшего треугольника и так далее.
Эта процедура бесконечного спуска никогда не завершит-
ся, и, соответственно, невозможно найти наибольшую общую
величину для диагоналей и сторон правильного пятиугольни-
ка, следовательно, взаимно несоизмеримые отрезки сущест-
вуют.
Некоторые исследования показывают, что доказательство
несоизмеримости стороны и диагонали квадрата относится
к более позднему времени, чем эпоха пифагорейцев, так как оно
более изощренное, чем метод бесконечного спуска. Квадрат
с его диагоналями лишь потом позволили констатировать на-
блюдение, уже замеченное в других примерах, таких как пента-
грамма.
НЕСОИЗМЕРИМЫЙ ЕВКЛИД
В книге X «Начал» Евклид берется за задачу классификации
иррациональных чисел по типам: в этом тексте содержится
115 предложений, хотя наиболее древние издания добавляют
к ним предложения 116 и 117. Это последнее представляет до-
казательство иррациональности на основе теоремы о четных
и нечетных числах с применением теоремы Пифагора, где оно
излагается так же, как и в наше время во многих книгах на эту
тему.
По словам Евклида, согласно теореме Пифагора, в равно-
бедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен удвоенному квадрату каждого из катетов. Если длину ка-
тета считать за 1, какой будет длина гипотенузы?
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
137
Предположим, что ее длина составляет т/п метров:
^2
п
Предположим т и п не имеют общего делителя и делятся
друг на друга, тогда т или п должно быть нечетным. Так как
т2 - 2п2, то т2 четное и, следовательно, т тоже четное, то есть
п — нечетное. Таким образом, мы можем подставить т = 2р.
Следовательно, 4р2 - 2п2; из этого выводится, что п2 - 2р2, и зна-
чит, п четное. Выходит, что никакая дробь вида т/п не может
выражать длину гипотенузы. Это соображение подчеркивает,
что при любой единице измерения есть такие длины, которые
не могут быть выражены числовым соотношением на основе
этой единицы, в том смысле что не существует таких целых
чисел тип, чтобы взятая т раз длина совпадала с взятой п раз
единицей измерения. Метод Евклида используется и сегодня
для доказательства иррациональности V2, однако ученые
склонны считать, что он был добавлен в текст «Начал» значи-
тельно позже. В современных изданиях Евклида этот метод
обычно опускается, и книга X оканчивается предложением 115.
Как мы уже говорили, введение иррациональных чисел
определило независимость геометрии от арифметики.
В книге II «Начал» Евклид геометрическим методом доказы-
вает многие вещи, которые сегодня доказываются алгебраиче-
ски, к примеру (а + b)2 = а2 + 2аЬ + Ь2. К этому его вынуждала
проблема несоизмеримых величин, и пока не была найдена
арифметическая теория, пригодная для операции с подобными
числами, геометрический метод Евклида оставался для этого
наиболее удобным.
КОРЕНЬ ИЗ ДВУХ
у/2 был первым открытым иррациональным числом, научным
успехом величайшей важности, который на века определил за-
дачи математики в области вещественных чисел. Хотя история
138
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
Гиппаса, по-видимому, показыва-
ет нам величественную картину
краха пифагорейской Вселенной,
найти л/2 несложно — сложно
понять, что с ним делать. Чтобы
обнаружить его, достаточно на-
рисовать на листе квадрат, как
это сделано на рисунке 1. Глав-
ный квадрат делится на четыре
маленьких со стороной 1, а затем
проводятся их диагонали. Таким
образом мы получаем внутрен-
ний квадрат с площадью 2, кото-
рый занимает половину квадрата
со стороной 2. Сторона этого вну-
треннего квадрата, умноженная
на себя, будет равна 2. Таким об-
разом, мы получили квадратный
корень из двух, или, в современ-
ной нотации, у!2. Нарисовав эту
фигуру на бумаге, уже невозмож-
но смотреть на месопотамскую
табличку, хранящуюся в Йель-
ском университете под номером
YBC 7289, без некоторого изум-
ления. Эта находка датируется
периодом между 1800 и 1600 го-
дом до н.э. и на ней изображен
квадрат с двумя диагоналями, ко-
торые с легкостью позволяют найти -J2. Рисунок сопровожда-
ется семью цифрами, нацарапанными клинописью по вавилон-
ской шестидесятеричной системе. Исследователи утверждают,
что эти числа соответствуют приближению -J2 в первых знаках
после запятой:
24 61 10
+ 60 + 60г + 603
-1,41421296.
Как можно
увидеть на этой
фотографии,
исследователи
смогли
расшифровать
клинопись
на табличке
YBC 7289,
хранящейся
в Йельском
университете.
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
139
В индийском трактате «Сулъвасутра» значительно более
позднего времени (между 800 и 200 годом до н.э.) также мож-
но узнать, что квадрат со стороной 1 и его диагональ не могут
быть соизмеримыми. Историки математики интерпретируют
следующие слова из книги как приближение х/2: «...длина сто-
роны увеличивается на треть, а эта треть на ее четвертую часть,
и из этого вычитается тридцать четвертая часть этой четвер-
ти». Числовое выражение этой формулы будет таким:
577
.1+1 + J--------*----— = 1,414215686.
3 3-4 3-4-34 408
И все-таки, хотя подобные свидетельства весьма впечат-
ляют, вавилоняне, индийцы и, конечно, египтяне использовали
дроби исключительно в практических целях, и это положение
не изменилось до развития греческой математики. Вавилоняне
не знали, что их шестидесятеричные приближения никогда
не будут вполне точными, так же как и египтяне не могли по-
нять саму суть иррациональных чисел. Вопреки намерениям
пифагорейцев, их заслуга состояла в открытии, что несоизме-
римые соотношения — это нечто совершенно отличное от соиз-
меримых. Теория пропорций для несоизмеримых соотношений
и для любых типов величин была впоследствии выдвинута Ев-
доксом Книдским (ок. 408-355 до н.э.), философом, математи-
ком и врачом, который был учеником Платона (ок. 427-347
до н.э.).
НЕДОСТАТКИ ГРЕЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ
Невероятные успехи греческой классической цивилизации
до сих пор поражают воображение. Несмотря на это, греческая
математика оказалась неспособна преодолеть некоторые свои
серьезные ограничения, что поставило перед последующими
поколениями ряд фундаментальных проблем. В конце концов,
то, что было главным достоинством греков — точность концеп-
140
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
ВВЕРХУ СЛЕВА:
Арифметика,
персонифи-
цированная в лице
Боэция и Пифагора,
гравюра
из «Жемчужины
философии», книги
Грегора Рейша
(1503).
ВВЕРХУ СПРАВА:
Теорема Пифагора,
изложенная
в «Атлантическом
кодексе» Леонардо
да Винчи (Амбро-
зианская
библиотека,
Милан).
СБОКУ:
Фрагмент
готического рельефа
из собора в Шартре
с изображением
свободных искусств.
Фигура слева
представляет
Пифагора.
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
141
ций и определений, — стало огромным грузом для развития
креативной математики.
Главное ограничение греческой математики, очевидно, со-
стояло в ее неспособности принять идею иррациональных чи-
сел. Это замедлило развитие арифметики и алгебры и вызвало
еще большие трудности, поскольку греки в результате свели
математику к геометрии, так как геометрические рассуждения
не нуждались в таком иррациональном концепте, как число.
Из этого проистекало вынужденное разделение числа и ве-
личины, в результате которого алгебра и геометрия на долгие
века стали восприниматься как дисциплины, не имеющие ни-
чего общего. Кроме того, греческая геометрия была довольно
ограниченной. Древние принимали во внимание только те гео-
метрические концепции, которые они могли выстроить в дей-
ствительности, то есть те, которые могли существовать или
быть нарисованы с использованием линейки и циркуля (при
этом не допускалось использование линейки с какими-нибудь
отметками на ней). Таким образом, геометрия ограничивалась
фигурами, которые можно было получить с помощью прямой
и круга. Единственными допустимыми поверхностями были
те, которые образовывались вращением прямых и кругов во-
круг оси, такие как цилиндр, конус и шар, полученные соот-
ветственно вращением прямоугольника, треугольника и круга
вокруг прямой; призма, являющаяся особой разновидностью
цилиндра, или пирамида, которая получается путем разложе-
ния призмы. Конические сегменты были результатом сечения
конуса плоскостью.
Все эти ограничения, оставляющие в поле зрения строго
определенные фигуры, позволили развиться геометрии про-
стой, упорядоченной, гармоничной и красивой, но слишком
строгой: утверждая единство, совершенство и простоту и от-
деляя созерцательную мысль от практической пользы, класси-
ческая греческая геометрия ограничивала взгляд математиков,
удерживала их разум от новых идей и методов и ставила непре-
одолимые пределы для новых достижений.
Неспособность принять иррациональные числа как до-
стойные рассмотрения привела к тому, что вопрос числового
142
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
Второе ограничение греческой науки состояло в том, что ей так и не удалось
осознать понятия бесконечно большого, бесконечно малого и бесконечно-
го процесса. Пифагорейцы связывали добро и зло с ограниченностью и не-
ограниченностью соответственно. Избегая каких-либо заявлений о беско-
нечности прямой линии, Евклид в «Началах» утверждает, что отрезок
при необходимости может быть продлен до нужных пределов. Что касается
соотношения между точкой и прямой, то Аристотель настаивал на разделе-
нии этих понятий. С одной стороны, он признавал, что точки лежат на пря-
мой, а с другой — утверждал, что непрерывная прямая не может быть об-
разована из дискретных точек.
выражения несоизмеримых соотношений, которым могла бы
заняться арифметика, остался открытым. Концепция ирра-
ционального числа могла бы расширить и инструментарий
алгебры, а вместо этого для решения квадратных или других
уравнений приходилось прибегать к геометрии. Все эти задачи
могли решаться в числовом виде, и тогда алгебра получила бы
развитие по сравнению с тем положением, в котором ее остави-
ли вавилоняне.
Даже в области целых чисел и их соотношений у греков
не было никакой логической базы: ее заменяли некоторые не-
точные определения Евклида. Необходимость в логическом
фундаменте числовой системы стала, однако, критической,
когда александрийцы начали свободнее использовать числа,
включая иррациональные.
Таким образом, греки оставили человечеству две отдель-
ные ветви математики: строгую, дедуктивную и систематизи-
рованную геометрию и слишком формализованную и эмпи-
рическую арифметику с некоторым продолжением в алгебру.
Отсутствие дедуктивной алгебры привело к тому, что всякое
упоминание о математической строгости относилось исклю-
чительно к геометрии, и эта ситуация сохранялась вплоть
до XVII-XVIII веков, когда было положено начало развитию
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
143
алгебры и математического анализа. Наконец, ограничение
евклидовой геометрии фигурами, которые можно построить
только с помощью линейки и циркуля, не позволяло матема-
тике решить две великие задачи. Первой было разрешение
трех проблем, которые в течение веков занимали великие умы
и до сих пор привлекают к себе внимание, хотя их решение
было найдено в XIX веке: мы говорим о квадратуре круга, три-
секции угла и удвоении куба с помощью циркуля и линейки.
Вторая задача состояла в расширении критериев существова-
ния геометрических фигур, поскольку тот факт, что доказать
это существование можно было, лишь построив такую фигу-
ру, сдерживал развитие науки. Кроме того, евклидова прямая
не позволяет отложить некоторые длины, и математика, чтобы
стать полезной для изучения физического мира, должна была
освободиться от этого технического ограничения.
144
КРАХ УНИВЕРСАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ
ГЛАВА 7
Пифагорейцы
и неопифагорейцы
В учении, которое сегодня известно как пифагорейское,
невозможно отделить ядро, приписываемое самому
Пифагору Самосскому, от идей, развившихся в течение
100 лет после его смерти. Математические знания
пифагорейцев в области гармонии чисел дошли до нас
через труды Филолая Кротонского и Архита Тарентского.

Большинство авторов древности утверждают, что после смерти
учителя школа Пифагора распалась на фракции, хотя нет еди-
ной точки зрения на то, сколько этих фракций было и как они
назывались. Наиболее известно деление на пифагорейцев и пи-
фагористов, из которых первые были мистиками, а вторые —
математиками, что, возможно, отражало различия между акус-
матиками и математиками. Однако в наше время трудно найти
свидетельства, подтверждающие или опровергающие такое
деление. Считается, что так называемые пифагорейцы были
первыми последователями Пифагора, и поэтому их называют
старыми, или древними, пифагорейцами. Среди них наиболее
выделяются фигуры Филолая Кротонского и Архита Тарент-
ского.
Одним из немногих авторов, чьи сведения по истории на-
уки важны для реконструкции примитивного пифагореизма,
был Аристотель. Стагирит посвятил пятую главу книги I своей
«Метафизики* критике и изложению доктрины «так называе-
мых пифагорейцев», говоря его же словами. Однако некоторые
современные ученые считают, что философ описывал более
позднее время, когда состояние знаний нельзя было идентифи-
цировать с учением самого Пифагора или первого поколения
пифагорейцев. Другие исследователи идут еще дальше и ут-
верждают, что различия между Пифагором и его последова-
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
телями были весьма велики, так как учитель проявил себя ис-
ключительно в религиозной сфере, а его ученики занимались
математическими исследованиями.
Как бы то ни было, трудно установить точную дистанцию
между первыми пифагорейцами и их последователями. Пифа-
горейство не ограничивается доктриной последователей учите-
ля в узком смысле этого слова: оно включает в себя и влияние,
которое они сами оказали на других, в особенности на Платона.
Поскольку Пифагор не оставил письменных работ, трудно
сказать, до какой степени тексты, которые традиционно отно-
сят к пифагорейской традиции, отражают точку зрения ее ос-
нователя. Похоже, поначалу члены братства стремились дер-
жать в тайне свои идеи, но последующие поколения сделали их
знания всеобщим достоянием. Свидетельства о «настоящих»
и «ложных» пифагорейцах и обвинения в предательстве пока-
зывают, что в первоначальной пифагорейской среде существо-
вал внутренний конфликт относительно передачи их наслед-
ства после рассеяния группы.
Из каких пифагорейских кругов берет начало традиция,
приписывающая Пифагору основание математики и числовой
космологии? Идея универсальной арифметики стала форми-
роваться и излагаться в письменных источниках уже в более
поздние периоды — как минимум, через век после смерти учи-
теля, когда древняя религиозная школа вобрала в себя мето-
дологическую и спекулятивную традицию ионийской фило-
софии. Начиная с Платона складывается отношение к пифа-
горейцам как к школе математической и астрономической.
Проблему числа заострил Аристотель, который неоднократно
заявлял, что «так называемые пифагорейцы» считали число
материальной первоосновой всех вещей.
ФИЛОЛАЙ КРОТОНСКИЙ
Филолай Кротонский (470-385 до н.э.) жил через 100 лет
после Пифагора. Он взял на себя труд изложить и упорядо-
148
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
Манускрипт, содержащий «Трактат о небе»
Аристотеля в латинском переводе, изданный
в 1502 году в Голландии.
ПРОБЛЕМА ИСТОЧНИКОВ
Парадоксальным образом, источ-
ники, из которых мы сегодня чер-
паем знания о греческой матема-
тике, отличаются меньшей
достоверностью, чем сведения,
которые дошли до нас о гораздо
более древних Египте или Месопо-
тамии. Не сохранилась ни одна
оригинальная рукопись наиболее
важных греческих математиков.
Возможное объяснение этому —
хрупкость материала, на котором
они были записаны, но главная
причина состоит в уничтожении
больших древнегреческих библио-
тек. Основные источники знаний
о древнегреческих математиче-
ских трудах — это, во-первых, ви-
зантийские манускрипты, отстоя-
щие от оригиналов на 500-
1500 лет, а во-вторых, переводы
на арабский и латинские версии
этих переводов. Проблема всех
этих трудов состоит в том, что они
являются не репродукциями,
а критическими изданиями, так что трудно выделить издательские правки
и комментарии или быть уверенными, что оригиналы были правильно по-
няты. Для дополнения картины классической греческой математики уче-
ные могут прибегать также к источникам, не математическим в точном
смысле слова, но тематически смежным с ними. Греческие философы,
особенно Платон и Аристотель, много писали о математике, и их труды
дошли до нас. Так или иначе, в нашем распоряжении есть тексты Евклида,
Архимеда и других греческих математиков, но реконструкция их трудов —
это сложнейшая задача, которая и в наши дни оставляет многочисленные
лакуны и влечет дискуссии.
чить пифагорейское учение, начав с космологии. В первой по-
ловине V века до н.э. Филолай сформулировал теорию строе-
ния космоса, который вращался вокруг центрального огня. Он
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
149
изложил пифагорейскую физику в целом и выстраивал образ
Пифагора и его братства как учителей науки чисел, музыки
и астрономической гармонии. Гармония была началом космиче-
ского равновесия, о чем уже говорили некоторые досократики,
так что это влечет за собой вопрос, была ли система Филолая
точной реконструкцией учения Пифагора или это сплав с более
поздними идеями.
Кем был Филолай Кротонский? Возможно, он пережил
разгром школы в этом городе и бежал в Грецию. Платон рас-
сказывает, что Филолай был учителем в Фивах и умер после
возвращения в Кротон ок. 399 года до н.э. Если эти данные
верны, то он был современником Сократа и мог встречаться
с Платоном в Италии. Платон утверждал, что Филолай пер-
вым стал распространять пифагорейское учение и что у самого
Платона были экземпляры его трудов. Различные тексты, ав-
торство которых приписывается Филолаю, в наше время счи-
таются подлинными, а его учение оказало весьма глубокое вли-
яние на современников.
Он утверждал, что вся материя состоит из чисел двух ти-
пов: ограниченные и неограниченные числа. К этим двум ти-
пам добавляется некое третье состояние материи, происходя-
щее из сочетания первых двух элементов — гармония. Душа —
это гармоничное сочетание телесных элементов. Гармония как
равновесие мира и наполняющих его сущностей — это клю-
чевой принцип теории Филолая, как это видно из приписы-
ваемых ему текстов. Кроме того, именно благодаря Филолаю
до нас дошла пифагорейская идея о том, что числа гармонично
сочетаются в пропорциях, соответствующих трем основным
интервалам музыкального звукоряда: октава (2:1), квинта (3:2)
и кварта (4:3).
Платон воспринял идеи Филолая и использовал их, чтобы
сформулировать собственную космологическую теорию. Три
космических принципа кротонца он превратил в четыре: пре-
дельное, беспредельное, результат их смешения (мировая мате-
рия) и их причина (Демиург). Платонова концепция космоса
проникнута пифагорейской идеей гармонии: Вселенная — это
прекраснейшее произведение, лучшее произведение искусства
150
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
из всех возможных, зубчатая передача, состоящая из точней-
шим образом подогнанных друг к другу совершенных частей.
Некоторые фрагменты платоновских «Диалогов», по-видимому,
отсылают к пифагорейскому учению в трактовке Филолая, на-
пример, геометрия как способ познания устройства Вселенной.
Геометрия для Филолая была основой большинства наук, нео-
ценимым инструментом систематизации и познания чисел.
Традиционное пифагорейство настолько «платонично»,
а Платон настолько «пифагоричен», что Аристотель задавался
вопросом, кто, собственно, на кого повлиял.
АРХИТТАРЕНТСКИЙ
Архит Тарентский (ок. 428-347 до н.э.) был учеником Филолая.
В историю он вошел как астроном и математик, но более
всего — как философ, попытавшийся на практике реализовать
идеал политика-ученого. Архит сформулировал идею пифаго-
рейского правительства и попытался осуществить ее, так как он
был не только философом и ученым, но и избирался в стратеги
(военачальники) Тарента семь раз (с 367 по 361 год до н.э.).
Источники ставят ему в заслугу то, что в годы его правления
город достиг своего расцвета, а демократия — триумфа.
Политический рост Тарента — установленный исторический
факт, а его система управления, основанная на общественной
гармонии, стала прекрасным примером того, какого результата
можно достичь, применяя расчет, математику и геометрию в об-
ласти политики. Ученый из Тарента считал, что математиче-
ский расчет применим ко всем областям жизни, продолжая тем
самым идеи Филолая. Согласно последнему, с помощью счета
и геометрии можно разрешить любую проблему. Архит обра-
щался к искусству счета, то есть изучению свойств чисел, как
к основе анализа пропорций, на которой можно было построить
отношения между логической мыслью, образованием и право-
судием. Согласно этой идее, изучение числовых пропорций
обеспечивало наилучшее распределение богатства и власти
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
151
в обществе. Геометрия была тем дидактическим инструментом,
который мог руководить душой во всех жизненных проявле-
ниях. Это видение геометрии как инструмента упорядочива-
ния, применимого в астрономии, музыке, торговле или поли-
тике, было востребовано в том историческом контексте, где
требовалось согласие после длительных периодов раздоров.
Архит возродил пифагорейскую политику, но на сей раз она ба-
зировалась не на харизме лидера, а на приложении идеи гармо-
нии к взаимодействию социальных классов. Мыслитель послу-
жил связующим звеном между пифагорейцами и Платоном,
и дружба этих двух философов хорошо задокументирована их
личной перепиской.
Традиция обычно представляет Архита главным действую-
щим лицом последнего периода расцвета пифагорейской
школы, в то время как современные историки считают, что он
возродил сошедший было со сцены пифагореизм, лишив его
мистического аспекта и рационализировав его таким образом,
чтобы представить это течение «наукой наук», основанной
на математике и музыке. Он автор некоторых серьезных дости-
жений в области математики, которыми позднее восхищался
Евклид, — например, ему принадлежит демонстрация иррацио-
нальных соотношений и доказательство иррациональности
квадратного корня с помощью процедуры, впоследствии на-
званной евклидовой, хотя впервые использовал ее именно
Архит.
В области музыки он пытался обосновать гармонию мате-
матическими соображениями и изучал пропорции мелодиче-
ских созвучий — октавы, квинты и кварты. Кроме того, Архит
сформулировал акустическую теорию звука, причину которого
видел в движении тел в воздухе и разнообразной скорости та-
кого движения, что находилось в русле идеи о гармонии сфер.
В геометрии он использовал чисто математический подход.
Мыслителю приписывают открытие трехмерного решения за-
дачи об удвоении куба, которое впоследствии предложил Гип-
пократ Хиосский (ок. 470-410 до н.э.), и это было следствием
развития трехмерной геометрии (стереометрии). Архит пер-
вым нашел геометрическое решение этой проблемы, неразре-
152
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
УДВОЕНИЕ КУБА
Удвоение куба получило
также название Делосской
задачи. Легенда рассказы-
вает о ее решении Архитом,
а также о его взглядах на ма-
тематику как способ обеспе-
чить политическое сотруд-
ничество. Когда на острове
Делос, месте рождения бога
Аполлона, разразилась эпи-
демия чумы, жители остро-
ва обратились к оракулу
Аполлона в Дельфах, чтобы
узнать, как им избавиться
от напасти. Ответ был таков:
им надо сделать новый ал-
тарь Аполлону в форме куба,
который был бы в два раза
больше прежнего. Граждане
Делоса попытались просто
Виртуальная реконструкция пересечения тора
(светло-серый), конуса (промежуточный тон)
и цилиндра (самый темный).
удвоить размеры прежнего
алтаря, однако новый куб
имел объем в восемь раз
больше. Тогда они обрати-
лись за советом к Платону,
который ответил им: Аполлон
таким образом просто решил обратить их внимание на то, что следует не-
устанно заниматься геометрией. Когда эта задача стала известна Архиту,
он смог разрешить ее с помощью геометрии, использовав так называе-
мую кривую Архита. Тарентский ученый предложил использовать кривую,
которая образуется движением точки, и поверхность, которая образуется
движением кривой. С помощью этих инструментов он решил задачу, найдя
пропорцию между двумя заданными величинами. В современной записи,
приняв для простоты длину ребра первоначального куба за 1 и введя такие
переменные х и у, что
1 х у
№ у " 2’
получаем: х2 - ^2. Искомый ответ невозможно воплотить с помощью ли-
нейки и циркуля. Эти величины можно построить геометрически, найдя
пересечение между тремя поверхностями: тор, конус и цилиндр.
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
153
шимой в рамках построений исключительно с помощью ли-
нейки и циркуля, как и квадратура круга или трисекция угла.
Его решение было в геометрическом смысле безупречно, хотя
и весьма сложно, и тем не менее оно было неприемлемо с точки
зрения строгих критериев греческой геометрии — использова-
ния только линейки и циркуля.
Наконец, считается, что Архит собрал все сведения тради-
ции о решении теоремы Пифагора, хотя точных доказательств
этому нет. Неоплатоник Прокл (412-485) в своих комментари-
ях к «Началам» Евклида первым приписал авторство теоремы
самосскому ученому. Возможно, Пифагор был всего лишь мни-
мым автором этого открытия, а сама теорема была выдвинута
и доказана анонимным гением архаической эпохи.
ПЛАТОН
Философы, хронологически отделяющие Платона от пифаго-
рейцев, занимались изучением первооснов бытия, но напрямую
не применяли в своих исследованиях математику. Парменид,
Зенон, Эмпедокл, Левкипп Милетский (ок. 500-430 до н.э.)
и Демокрит Абдерский (ок. 460-370 до н.э.) провозгласили ве-
ликие принципы, которые редко основывались на наблюде-
ниях, но предполагали, что природа познаваема. Каждый
из этих принципов представлял собой звено той цепи, которая
привела к математическим исследованиям природы.
Влияние пифагорейских идей на Платона повлекло
за собой быстрое развитие идей о числах и гармонии, изна-
чально сформулированных Филолаем, а также геометрических
и политических воззрений Архита. Платон был великим попу-
ляризатором математики в качестве инструмента познания
действительности. Согласно Платону, чувства обманывают нас,
а знание физического мира не имеет особой важности, потому
что материальные вещи изменчивы. Таким образом, прямое
изучение природы и физические исследования бесполезны.
Физический мир — это лишь несовершенная копия мира иде-
154
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
ПЛАТОН И ЕГО АКАДЕМИЯ
Платон (ок. 427-347 до н.э.) родился в знатной семье и в молодости стре-
мился заниматься политикой, однако вскоре понял, что этот путь не под-
ходит для людей, обладающих совестью. Он отправился в Египет и в Южную
Италию, где посетил пифагорейцев. Платон был не ученым-математиком,
а скорее дилетантом-энтузиастом и был убежден в важности этой дисци-
плины как науки наук. Тем не менее практически все важнейшие матема-
тические труды того времени принадлежат его друзьям или ученикам.
В Афинах философ основал Академию, высшую школу, при которой нахо-
дилось большое пространство со зданиями, где Платон со своими асси-
стентами читал лекции. Изучение философии и математики стало основ-
ным назначением Академии в классический период. Древняя Академия
была разрушена римлянами в 86 году до н.э., но преподавание там про-
должалось, и история Академии насчитывала уже 900 лет, когда в 529 году
христианский император Юстиниан повелел закрыть ее, обвинив в обуче-
нии языческим и извращенным наукам.
Мозаика I века
из Помпей,
на которой
персонажи,
собравшись
вокруг
солнечных
часов,
рассматривают
сферу.
Традиционно
считается
изображением
афинской
Академии
Платона
(Национальный
музей Неаполя).
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
155
ального, и именно этот последний должен стать объектом изу-
чения математиков и философов. Геометрия же для Платона
была инструментом движения Вселенной к добру.
Его астрономия также, по-видимому, основывалась на пи-
фагореизме. Платон перенял древнюю пифагорейскую тради-
цию, которая связывала полет души с круговым движением
звезд, он утверждал, что душа вовлечена в кружение звезд
с их музыкальной гармонией. Пифагорейская астрономия той
эпохи, то есть времен Архита, утверждала, что планеты дви-
жутся по геометрическим законам и, следовательно, имеют
душу и представляют собой божественные сущности. Влияние
пифагорейской математики можно найти и в образовательной
деятельности Платона: платоновская диалектика — это финаль-
ная ступень ряда математических дисциплин, который начина-
ется с арифметики и геометрии плоских фигур; изучение му-
зыки и музыкальной гармонии, а также математических основ
движения звезд позволяет доказать их божественную природу.
В ^Государстве^ Платон говорит о связи между правосудием
и математически-музыкальными пропорциями. Математика
превращается в способ доказательства, что порядок в природе
соответствует и нравственному порядку, ведь присутствие
ИДЕИ ПЛАТОНА
Отношение Платона к математике было ключевым элементом его фило-
софии, которая утверждала существование объективной реальности, скла-
дывающейся из форм и идей. Идеи Платона были независимы от челове-
ческого восприятия, неизменны, вечны и вневременны. Они постигались
с помощью реминисценции, своего рода скрытого воспоминания — хотя
эти идеи и присутствовали в душе, их необходимо было как-то вытащить
на поверхность. Такими идеями были добро, истина, справедливость, кра-
сота... Математические идеи были заключены в подобных представлени-
ях, но занимали более низкое положение — как промежуточная ступень
между чувственным миром и миром высших идей. В рамках этой фило-
софии математика играла двойную роль: с одной стороны, она была частью
реальности, а с другой — помогала организовать разум так, чтобы он по-
стигал высшие, вечные идеи.
156
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
числа можно найти во всех вещах, поскольку число являет
собой след божественного происхождения мира.
Однако Платон в своих дерзких мечтах пошел гораздо
дальше пифагорейцев, желая не только расшифровать тайны
природы с помощью математики, но и заменить природу мате-
матикой. Он утверждал, что после того как разум окинет взо-
ром физический мир, чтобы получить о нем какое-то представ-
ление, он может продолжать познание без помощи органов
чувств. С этой точки зрения природы просто не существовало,
существовали лишь математические законы, а физику заменяла
геометрия. Платон пояснял свою позицию, приводя в пример
астрономию. Порядок звезд на небе и их движения были пре-
красными, но астрономия должна заниматься законами движе-
ния звезд на математическом небе. Платон имел в виду теоре-
тическую астрономию. Конфигурация небесных тел должна
была представлять собой лишь схемы, чтобы открыть путь к из-
учению высших истин.
АРИСТОТИЛЕВА КРИТИКА ПЛАТОНА И ПИФАГОРЕЙЦЕВ
Хотя поначалу Аристотель принял идеи своего учителя
Платона, но затем его взгляд на мир и отношения математики
и природы настолько изменился, что можно сказать, что теории
Платона и Аристотеля прямо противоположны друг другу.
В книге «Математическая мысль от античности до наших
дней. История математики» известный историк и популяриза-
тор математики Морис Клайн представляет Аристотеля как
физика, в отличие от Платона. Аристотель верил в существова-
ние материальных вещей, в первичность материи как основы
реального мира. Для него мир был материей и формой. Материя
отличается неопределенностью и становится чем-то, лишь
когда приобретает конкретную форму. Так, интересующими его
вещами, которые должны стать объектом научного рассмотре-
ния, были форма и изменения материи: то есть наука должна
была заниматься изучением физического мира. Очевидно,
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
157
Аристотель не мог не критиковать мир Платона и его сведение
всех наук к математике, что Стагирит и сделал в своем труде
«Метафизика*. Этот знаменитый труд представляет собой со-
брание из 14 книг, которые традиционно публикуются как еди-
ный трактат, но на самом деле написаны независимо друг
от друга и собраны воедино уже впоследствии. Их содержание
не является систематическим изложением, а служит лишь опо-
рой для преподавания: каждая книга содержит серию лекций
по определенной теме.
Так называемые пифагорейцы, которые первыми начали
разрабатывать математическую науку, не только продвинули
ее вперед, но и, вскормленные на ней, поверили, что ее
законы — это законы всего сущего.
Аристотель, «Метафизика», книга I
Книга I является введением в курс: в ней Аристотель объ-
ясняет, что такое мудрость и как ее достичь. Главы 1 и 2 посвя-
щены причинам и основным законам. Начиная с третьей главы
Стагирит излагает доктрины предшествующих философов
и подвергает критике их недостатки. Критика пифагорейцев со-
держится в главе 5, где проводится параллель между пифаго-
рейской мыслью и философией элеатов. Именно Аристотель
составил то, что называется пифагорейским списком противо-
положностей — десять пар противоположных понятий, кото-
рые представляли элементы Вселенной. Как говорит Стагирит,
пифагорейцы использовали эти противоположности для обо-
значения всех явлений, происходящих из действия двух косми-
ческих сил и антагонистических законов.
«...Очевидно, что они число принимают за начало и как материю
для существующего, и как [выражение] его состояний и свойств,
а элементами числа они считают четное и нечетное, из коих по-
следнее — предельное, а первое — беспредельное; единое же со-
стоит у них из того и другого (а именно: оно четное и нечетное),
число происходит из единого, а все небо, как было сказано, — это
158
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
АРИСТОТЕЛЬ И МАТЕМАТИКА
Аристотель (384-322 до н.э.) родился
в Стагире, греческом городе в Маке-
донии. Почти 20 лет он был учеником
Платона, а три года (с 343 по 340 год
до н.э.) — учителем Александра Маке-
донского. В 335 году до н.э. он основал
свою школу (Лицей), которая состояла
из сада, аудитории и святилища, посвя-
щенного музам. Стагирит написал мно-
жество книг на самые разные темы,
как научные, так и литературные,
и хотя он не посвятил отдельной рабо-
ты математике, она появляется в его
текстах постоянно, так как Аристотель
часто использовал ее в примерах. Та-
ким образом, он занимался базовыми
принципами, отделяя аксиомы от об-
щих сведений (то есть общих мнений,
далеких от науки) и постулатов (то есть
начальных положений конкретной на-
уки). Однако одним из самых значительных его достижений было основа-
ние логики. Базовые принципы этой науки древние греки уже применяли
в математических доказательствах, но заслуга Аристотеля в том, что он
систематизировал и свел воедино ее приемы.
числа. Другие пифагорейцы утверждают, что имеется десять на-
чал, расположенных попарно: предел и беспредельное, нечетное
и четное, единое и множество, правое и левое, мужское и женское,
покоящееся и движущееся, прямое и кривое, свет и тьма, хорошее
и дурное, квадратное и продолговатое»1.
Какое место занимала математика в мире Аристотеля,
столь критично настроенного к пифагорейцам и Платону?
В его понимании математика помогала физике в описании та-
ких свойств, как форма и количество, и в объяснении наблю-
1 Перевод А. В. Кубицкого.
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
159
даемых материальных феноменов, она была способом абстра-
гирования от реального мира. Математические объекты суще-
ствовали только в человеческом разуме. Хотя математическая
наука могла дать многие определения, она не обеспечивала
возможности показать качественные отличия. Разные цвета,
к примеру, не могли быть сведены к геометрическим различи-
ям. Аристотель проводил формальную границу между матема-
тикой и физикой и ставил первую в подчиненное положение
по отношению ко второй.
ПИФАГОРЕЙСКОЕ НАСЛЕДИЕ
Пифагорейство вновь возродилось в I веке до н.э. и было весь-
ма влиятельным течением в следующие 300 лет в форме нео-
пифагорейства. Неопифагорейцы взяли на вооружение фигуру
Пифагора, считая его основателем их образа мысли, они часто
заявляли о преемственности и декларировали, что их целью яв-
ляется возрождение пифагорейского учения. Несмотря на та-
кие декларации, кроме собственно пифагорейской доктрины,
в неопифагорействе слились элементы платонизма, аристоте-
левской стоической философии, а также различные восточные
течения.
Неопифагорейские идеи разбросаны по разным источни-
кам и настолько отличаются друг от друга, что их трудно све-
сти в единую систему. Основные общие тезисы для всех неопи-
фагорейцев таковы:
—	высшая реальность представляет собой единство, выра-
жение которого — математическая единица;
—	это единство порождает все остальные проявления ре-
альности с помощью движения, которое позже назовут
эманацией;
160
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
— единство обладает абсолютной чистотой и трансценден-
тальностью.
Неопифагорейство было всего лишь бледным слепком на-
следия пифагорейцев и не оказало такого влияния на историю
науки, как оригинальный пифагореизм. Со времен пифагорей-
цев виднейшие философы и ученые, которые формировали гре-
ческий интеллектуальный мир, особенно в эллинистическую
эпоху, размышляли над математическим устройством приро-
ды. Теория оставалась незыблемой в течение всей классической
эпохи, а исследование математических законов шло своим хо-
дом. Большинство великих математиков принимали эти идеи
и следовали им. Данная доктрина царила вплоть до XIX века,
и в течение всего этого долгого периода исследование матема-
тических закономерностей ассоциировалось с поисками объек-
тивной истины. Некоторые греки, к примеру Птолемей, счита-
ли, что математические теории представляют собой попытки
человека составить точное описание мира, но убеждение, что
математика заключает в себе объективную истину, привлекало
к этой науке самых заметных ученых и мыслителей в истории.
Согласно традиции, именно первые пифагорейцы назвали
Вселенную «космосом»2 и стали видеть в ней порядок, установ-
ленный в соответствии с законами математики. Если это так,
то этого достаточно, чтобы обеспечить им место на Олимпе че-
ловеческого разума. Учитывая оригинальность и силу мысли
пифагорейцев, кажется естественным, что эти удивительные
люди — политики, математики, физики, философы, а также
маги и аскеты — повлияли на труды Платона и Аристотеля
и, через этих последних, на деятельность всех великих фило-
софов и ученых человечества. Пифагорейская доктрина науки
оставила столь глубокий след в истории западной культуры,
что Пифагора можно считать одним из самых влиятельных
мыслителей и благодаря этому обстоятельству можно сказать,
что он достиг своей мечты — обрел бессмертие. Эта победа,
пусть и символическая, говорит об огромной силе его разума,
2 Древнегр. kosmos означает * красота, порядок».
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
161
поскольку Пифагор, как утверждал Бертран Рассел, был так
мудр, что оказывался прав даже в тех случаях, когда ошибался.
162
ПИФАГОРЕЙЦЫ И НЕОПИФАГОРЕЙЦЫ
Список рекомендуемой литературы
Alsina, С., La secta de los numeros: el teorema de Pitdgoras, Barce-
lona, RBA, 2010.
Arbones, J., Milrud, P., La armonia es numerica: musicaymatemd-
ticas, Barcelona, RBA, 2010.
Capelle, W., Historia de la filosofia griega, Madrid, Gredos, 1992.
Eliade, M., Historia de las creencias у las ideas religiosas (vol. II),
Barcelona, RBA, 2005.
Ferrater Mora, J., Diccionario defilosofia, Barcelona, RBA, 2005.
Gonzalez Urbaneja, P.M., Pitdgoras: el filosofo del numero, colec-
ci6n «La matematica en sus pesonajes», Madrid, Nivola, 2001.
Hernandez de la Fuente, D., Vidas de Pitdgoras, Girona, Ediciones
Atalanta, 2011.
Kline, M., El pensamiento matematico de la AntigUedad a nuestros
dias (vol. I), Madrid, Alianza Editorial, 1992.
Russell, B., Historia de lafilosofia, Barcelona, RBA, 2005.
Wussing, H., Historia de las matematicas, Barcelona, RBA, 2010.
163

Указатель
Академия 13,51,155
акусматики 64,70,147
алгебра геометрическая 51,102
Анаксимандр Милетский 10,18-20,
92,93
Аполлон 18-20,30,66,71,153
Ареццо, Гвидо д’ 120
Аристотель 9,13,79,92,94,120,143,
147-149,150,157-159,160
арифметика 10,11,44,45,80,82,84,
85,90,91,94-98,106,107,118,
119,121,122,127,134,135,138,
140,141-143,148,154
Архит Тарентский 9,13,76,94,145,
147,151-154
кривая 153
астрономия 9,17,22,83,91,92,98,
110,121,122,148,151,154,
156
Ахмеса папирус см. Ринда папирус
Берлинский папирус 42
бесконечного спуска метод 135,
137
бессмертие души 9,19,24,28,63,
66,161
Боэций 119,141
Будда 90
Вавилон 22,23,38,82,91,139
Великая Греция 8,13,24-25,61,75,
133
«ветряная мельница» 50,54,57
гармония сфер см. музыка сфер
геометрия 11,13,17,22,35,39,43,
47,49,50,51,85,90,98,107,122,
133,134,138,140-143,150-154,
156
Гераклит Эфесский 20
Геродот 24,42,92
гипотенуза 11,36,37,39,40,45,47,
48,52,54,57,133,137,138
диаграмма 45
Гиппас Метапонтский 13,132,133,
138
пентаграмма 135-137
глиняная табличка 23,38,39,82,85,
87,139
гномон 45,102
Гомер 28,29
^Государство* 156
декада пифагорейская 97-100
дельфийский оракул 19,64,70-72,
153
Демокрит Абдерский 20,154
диада 97-99,104
Диоген Лаэртский 66,74
Дионис 21-22,24
165
досократики 17,20,149
дробь 11,23,80,90,114,118,127,
129,130,131,133,134,138,140
Дю Хуэй 45,47
Евдокс 51,140
Евклид 13,39,47,49,50-53,104,
118,136-138,142,143,149,152
Египет 20-25,38,41,42,45,64,71,
79,85,91,93,149,155
землемерие 41,43,91
Земля 28,59,60,99,121,123,124,
126
Зенон Элейский 20,24,71,154
«Золотые стихи* 68,100
Индия 22,44,45,88,89
Иония 13,22,91,94
катет 11,36,37,40,41,45,47-49,52,
54,56,57,59,133,137
квадривиум 98,122
квинтовый круг 116,117
Кеплер, Иоганн 126
Килон 29,75
Кир II Великий 23,82
клинопись 23,38,39,82-83,85,
139
колонизация греческая 61,71,73
Кон Ку 45
корень квадратный 35,44,50,138-
140,152
косинус 43,55,56
закон косинуса 59
космология 10,20,21,63,107,123,
125,148,150
космос 20,96,99,107,110,126,127,
138,148,150,154,156
Крит 21,71
Кротон 8,13,17,18,25,26,29,30,68,
71-75,145,147,148,150
Ксенофан Колофонский 13,20
Леонардо да Винчи 54,141
Малая Азия 8,17,91
математики 7,8,11,23,33,35,42,45,
59,64,79,81-85,88,89,92,94,
110,130,131,134,142,147,149,
154,158,160
Месопотамия 23,38,79,82-85,88,
123,129,139,149
Метапонт 13,18,30,74,76,132,133
«Метафизика* 13,94,147,157,158
Милет 18,25,91,92,93
Милон 29,76
мистерии 8,20,24,28,31,32,63,65,
70,85
мистицизм 7,11,22,96,98,100,119,
125
миф 15,17,21-26,28, 29,32,109
мифология 21,22,24,26,28,30,109,
110
Мнесарх 18
многоугольники 51,57,90,97,99
многоугольники правильные 51,97
монохорд 110,125
Московский папирус 41,85,87
музыка сфер 10,107,121-124,126,
152
мятеж против пифагорейцев 13,29,
75-76
«Начала* 13,39,47,49-53,104,
136-138,143,152
неопифагорейство 145,159,160
несоизмеримые числа 11,13,119,
127,132,133,134-140,142
ноль 23,89,97,130,131
обет молчания 65,132
октава музыкальная 10,113-120,
150,152
Орфей 21-22,24,68
Парменид Элейский 17,18,20,24,
71,154
пентальфа98,100
Персидская империя 23,82
питание пифагорейцев 64,66,67
Платон 9, 13,21,29,51,68,120,134,
140,148-151,153,154-160
Плимптон, табличка 39
позиционная система счисления 23,
82-84,89,90,131
Поликрат 8,13,18,25,72
166
УКАЗАТЕЛЬ
политика пифагорейская 8,9,24-
26,29,68,71-76,151
Полукруг 13,25,71
правила жизни пифагорейцев 63,64,
71,73,132
прогрессия гармоническая 11
Прокл 51,152
пропорция
золотая 50,113
музыкальная 106,125
совершенная 106
Противоземля 123
противоположности пифагорейские
158
расчет
площадей 85
функциональный 55
реинкарнация 24,63,66,67,99,155
Ринда папирус 41-44,85,86
Самос 7,8,10, И, 13,15,17-22,24,
25,27,28,30,33,64,68,71,79,
110,129,145,152
Священная речь 68
секта 8,13,15,20,26,29,61,64-68,
73-76,110,133,148
Сибарис 13,26,29,74
среднее
арифметическое 97,104,119
гармоническое И, 104,119
геометрическое 104,105,119
«Сульвасутра* 44,45,90
табу пифагорейские 66-67
теорема Пифагора 11,27,33,35,37,
38,42,44-48,50-52,54-60,90,
91,127,131,133,134,137,141,
152
доказательства 45-54
обратная 51
тетрактис 70,100
топография 43,56
треугольник египетский 42
триада 98,99
триангуляция 43
тривиум 122
тригонометрия 35,39,40,43,55,56
тройки пифагорейские 38-42,44,45
угол 11,20,36-38,43,49,52,55,80,
83,91,93,103,143,152
удвоение куба 143,152,153
Фалес Милетский 18-20,79,92-94
теорема 92,93
Ферекид Сиросский 19,24
физика 10,148,154,156,158
Филолай Кротонский 9,13,68,76,
94,145,147,148-151,154
Хаммурапи 38,39,82
цент 114,115
центральный огонь 10,123,124,148
<Цзю Чжан Суань Шу* 47
Чжао Шуан 45
числа
иррациональные 130-133,137,
138,140,142
классификация ч. 100,102,104,
130,131
многоугольные 100-102
рациональные 129-131
целые 23,90,100,112,127,129-
135,142
чудеса Пифагора 30
<Чу Пей Суан Чинь* 45,46
шаманизм 30-32
шумеры 39,81
эзотерики 65
эксотерики 65
Элея 13,17,23
Эмпедокл из Акраганта 17,18,20,
21,154
этика пифагорейская 9,63
Ямвлих Халкидский 26,68
УКАЗАТЕЛЬ
167
Наука. Величайшие теории
Выпуск № 27, 2015
Еженедельное издание
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова,
д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу
не принимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор:
Людмила Виноградова
Финансовый директор: Полина Быстрова
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных выпусков
и по всем вопросам, касающимся информа-
ции о коллекции, обращайтесь по телефону
бесплатной горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон «горячей линии» для читателей
Москвы:
® 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Наука. Величайшие
теории»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (теле-
фон или e-mail).
Распространение: ООО «Бурда Дистрибью-
шен Сервисна»
Свидетельство о регистрации СМИ в Феде-
ральной службе по надзору в сфере связи, ин-
формационных технологий и массовых ком-
муникаций (Роскомнадзор) ПИ № ФС77-
56146 от 15.11.2013
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг», Украина
Юридический адрес:
01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского,
119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных выпусков
и по всем вопросам, касающимся информа-
ции о коллекции, обращайтесь по телефону
бесплатной горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,
«Наука. Величайшие теории»
УкраУна, 01033, м. КиУв, а/с «Де Агостпп»
Свидетельство о регистрации печатного
СМИ Государственной регистрационной
службой Украины
КВ № 20525-10325Р от 13.02.2014
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: + 375 (17) 331 94 41
Телефон «горячей линии» в РБ:
® + 375 17 279-87-87
(пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Наука. Величайшие теории»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право изменять
розничную цену выпусков. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последователь-
ность выпусков и их содержание.
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленного
электронного оригинал-макета
в ООО «Ярославский полиграфический
комбинат»
150049, Ярославль, ул. Свободы, 97
Формат 70 х 100 / 16.
Гарнитура Petersburg
Печать офсетная. Бумага офсетная.
Печ. л. 5,25. Усл. печ. л. 6,804.
Тираж: 20 000 экз.
Заказ № 1508600.
© Marcos Jaen Sanchez, 2012 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2012
© ООО “Де Агостини”, 2014-2015
ISSN 2409-0069
(12+)
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требова-
ниями Федерального закона от 29 декабря
2010 г. № 436-ФЗ «О защите детей от ин-
формации, причиняющей вред их здоровью
и развитию».
Коллекция для взрослых, не подлежит обя-
зательному подтверждению соответствия
единым требованиям установленным Тех-
ническим регламентом Таможенного союза
«О безопасности продукции, предназначен-
ной для детей и подростков» ТР ТС 007/2011
от 23 сентября 2011 г. № 797
Дата выхода в России 11.07.2015
Пифагор Самосский - одна из самых удивительных фигур в истории идей.
Его картина гармоничного и управляемого числами мира - сплав научного
и мистического мировоззрения - оказала глубочайшее влияние на всю за-
падную культуру. Пифагор был вождем политической и религиозной секты
(первой группы такого рода, о которой нам известно), имевшей огромный
вес в разных регионах Греции. Ему приписывается одно из важнейших от-
крытий древности:.равенство суммы квадратов катетов и квадрата гипоте-
нузы в прямоугольном треугольнике. Это истинное геометрическое сокро-
вище не только имеет множество практических следствий, но и знаменует,
среди прочего, рождение математики как независимой строгой дисцип-
лины.
Рекомендуемая розничная цена: 279 руб.