Actualites Scientifiques et Industrielles
Exposes de Geometrie
Publies sous la direction de
M. E. Cavtan
Membre de Vlnstitut
Professeur a la Sorbonne
IX, XI
Э. Картан
Теория
спиноров
LEMONS
sur
LA THEORIE DES SPINEURS
Перевод с французского
под редакцией
профессора
П.А.Широкова
D'apnis ctes мМ» feeWiflies el tidbgtt*
ANDRE MEftCTER
Docteor 4» Science»
ПЛАТОН
1997

Э. Картам
Теория спиноров
Научное издание
Лицензия Л Р №024851 от 17.07.93 г.
Подписано к печати 05.09.97 г. Формат 60x88/16
Печ. п. 14 Заказ № S60.
Издательство "ПЛАТОН"
400062, г.Волгоград, ул.Кирова, 71/15
ISBN 5-80100-256-1
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Автор издаваемых в русском переводе лекций по теоргя
спиноровJ) Э. Картан является творцом общей теории спиноров,
основы которой он опубликовал в 1913 г. в своем классическом
исследовании по теории представлений простых групп2). Теории
спиноров — это один из наиболее интересных отделов тензор-
тензорного исчисления, дающий глубокий анализ природы тензоров
метрической геометрии. Книга Картана — первая в мировой ли-
литературе, излагающая общую теорию спиноров н-мериых про-
пространств. Написана она элементарно: благодаря тому, что автор
базируется в своем изложении на геометрических представлениях
и пользуется при исследовании ортогональных групп методом
бесконечно малых преобразований, его изложение отличается
значительной простотой и наглядностью. Поэтому эта книга
вполне доступна для аспирантов и студентов старшнх курсов
физико-математических факультетов университетов8). Благодаря
богатству содержащихся в ней идей и методов исследовани»
она значительно расширяет кругозор начинающего математика
и является прекрасным введением в общую теорию линейных
представлений групп Ли. В то же время она будет полезна
и для физиков-теоретиков, желающих углубить свои знании
в области теории спиноров.
П. Широков
О Э. Картан
©«ПЛАТОН», 1997
1) Е. С а г {;i и, Lecons sur la theorie dts spineurs (Actualize,
scientifiques ct industrielles, 643. 70J), Paris, 1938.
г) Е. С а г t a n, Les groupes projectifs qui ne tatssent invarlante aucune
multiplied plane (Bull. Soc. Math, de France, 41, 1913, стр. 53 — 96).
3) Хорошим пособием при изучении книги Картана может служить
Пауэр Введение в теорию -групп и ее приложения в квантовой
физике, ОНТИ, 1937. " г.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В квантовой Механике физиками было введено понятие
о спиноре. В наиболее общей математической форме спиноры
были открыты авторш этой книги в 1913 г. в связи с иссле-
исследованием линейных представлений простых групп'). Спиноры
дают линейное представление • группы вращений простран-
пространства й измерений, причем каждый спинор определяется при
помощи 2% составляющих (n = 2v-f-l или 2v). Спиноры
четырехмерного пространства входят в знаменитые уравнения
Дирака для электрона, причем четыре волновые функции явля-
являются не чем иным, как составляющими спинора. Было опубли-
опубликовано очень много исследований по общей теории спиноров.
Герман Вейдь и Рихард Брауер недавно опубликовали прекрас-
прекрасный нему ар7), который можно рассматривать как основной,
хотя многие из полученных результатов были очень кратко
указаны ь упомянутом выше исследовании. О, Веблен дал очень
интересное исследование спиноров с другой точки зрения в не-
неопубликованном курсе, прочитанном в Принстонском универси-
университете. Но почти во всех работах спиноры вводятся чисто фор-
формально, без интуитивной геометрической интерпретации, и это
отсутствие геометрической природы спиноров сделало столь
«ложными попытки распространения на общую теорию относи-
относительности уравнений Дирака.
Одной из основных целей этой книги является системати-
систематическое развитие теории спиноров на основе чисто геометриче-
геометрического определения этих математических объектов. Благодаря
этой геометрической основе матрицы, которыми пользуются
в квантовой механике, возникают * ходе исследования сами
*) Е. С а г t а п, Les groupes projectlfs qui fie laissent invarIante
aucune mult Ipllclti plane (Bull. Soc. Maith. de France, 41,1913, стр. 53—96).
l) R. Brauer, H. We у I, Splnors in n dimensions (Amer. J. of
Math., 57, 1935, стр. 425—449). <"'

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
собой, и выясняется самая основа тех свойств, которыми обла-
обладают гиперкомплексные числа Клиффорда-Липшитца в теории
представления вращений в пространстве любого числа измере-
измерений. Наконец, эта геометрическая основа делает очень простым
введение спиноров в римановой геометрии и, в частности, при-
применение к этим геометрическим объектам понятия параллельного
переноса. Становятся понятными также и те затруднения, ко-
которые встретились в связи с последним вопросом и которые
являются непреодолимыми, если пользоваться классическими
приемами исследования в римановой геометрии. Эти приемы
применимы к векторам и тензорам, которые помимо метриче-
метрической природы имеют чисто аффинный характер, но они не
могут применяться к спинорам, имеющим метрическую, ко не
аффинную природу.
Книга делится на две части. Первая посвящена общих! во-
вопросам теории групп вращений л-мерного пространства и линей-
линейных представлений групп, теории спиноров пространства трех
измерений и исследованию линейных представлений группы
1 вращений этого пространства. Эти представления, как известно,
играют важную роль в квантовой механике. Для их определения
использован метод бесконечно малых, который требует минимума
предварительных сведений для своего понимания; трансцендент-
трансцендентный метод Г. ВеЙля, основанный на теории характеров, остав-
оставлен в стороне, несмотря иа его большой интерес.
Вторая часть посвящена теории спиноров в пространстве
любого числа измерений н специально в пространстве частного
принципа относительности; указаны линейные представления
группы Лоренца, а также дана теория спиноров к римановой
геометрии.
Эта книга, воспроизводящая с некоторыми изменениями
курс, прочитанный в Сорбонне в зиыием семестре 1935/36 г.,
составлена по запискам, написанным А. Мерсье и использован-
использованным автором, который выражает ему свою глубокую благодар-
благодарность за сотрудничество.
ЭЛИ КАРТАН.
ЧАСТЬ
I
СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
ЛИНЕЙНЫЕ 'ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ

ГЛАВА 1
ЭВКЛИДОВО л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ
И ОТРАЖЕНИЯ
I. Пространство Эвклида
1. Определение. Векторы. Можно ввести понятые об эвклидо-
эвклидовом л-мерном пространстве, называя точкой совокупность л чисел
причем квадрат расстояния от начальной точки @,0 ,0)
до точки (jc) задается фундаментальной формой:
F==x\+x\+ ...+**; A)
эта форма дает также скалярный квадрат (квадрат длины) век-
тора х, выходящего из начала и оканчивающегося в точке (лг);
л величин xt называются также составляющими этого вектора.
Координаты х{ могут быть произвольными комплексными числами,
и тогда мы говорим о комплексном пространстве; но они могут
быть также действительными, — ив этом случае мы имеем
вещественное эвклидово пространство. В действительной обла-
области существуют также псевдоэвкладовы пространства, соответ-
соответствующие неопределенной действительной фундаментальной форме:
не ограничивая общности исследования, мы будем предполагать
Мы будем рассматривать в вещественных пространствах
векторы, составляющие которых не все являются вещественными;
такие векторы будем называть мнимыми.
Вектор называется изотропным, если его длина равна нулю,
то есть если его составляющие обращают в нуль фундаменталь-
фундаментальную форму. В комплексном пространстве или вещественном
эвклидовом вектор называется единичным, если его длина равна 1.
В вещественном псевдоэвклидовом пространстве с неопределен-
неопределенной фундаментальной формой мы будем различать веществен-
вещественные пространственные векторы, составляющие которых дают

12
ГЛАВА I
ЭВКЛИДОВО я-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 13
положительное значение для фундаментальной формы, и веще-
вещественные временные векторы1 составляющие которых дают отри»
цательное значение для этой формы. Единичный пространствен-
пространственный вектор дает для фундаментальной формы значение -j-1,
единичный временной вектор—-значение —-1.
—>• -+-
Рассмотрим два вектора х, у; скалярный квадрат вектора
х-\-\у (где X — некоторый параметр), имеющего составляющие
xl-\-\yi, равен
где через ху обозначена сумма х^у% -\-хгуг-\- .. . -{-хауп.
Эта сумма называется скалярным произведением векторов х
н у. В случае псевдоэвклидова пространства скалярное произ-
произведение имеет следующий вид:
Х\У\~Т • • • "t" хп-нУп-Н хп~Н+ хУп-h+X • • • ХпУн-
Два вектора называются взаимно перпендикулярными, или орто-
ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю;
изотропный вектор ортогонален сам себе. Геометрическое
место векторов, ортогональных данному вектору, есть гипер-
гиперплоскость п — 1 измерений (определяемая одним линейным
уравнением между координатами).
2. Декартовы реперы, п векторов ev e2,...en, имеющих
составляющими соответственно A, 0, 0, 0), @, 1, 0.....
0) , @,0,0, , 1), образуют базис век-
-*¦
торов в том смысле, что каждый вектор х является линейной
комбинацией xlel-\-x,lei-\-... ~\~хяея этих векторов. Векторы
базиса попарно взаимно ортогональны; их совокупность мы
будем называть ортогональным декартовым репером.
Возьмем теперь вообще п линейно независимых векторов
ty, ija,...,rtn, то есть таких, чтобы нельзя было подобрать а
чисел *!,*, > *д (ве равных одновременно нулю) так, чтобы
вектор ^fy -f *A2Tj,-j- ... -|-VI,, был равен тождественно нулю.
Каждый вектор х может быть единственным способом представлен
в виде a'T^-j-a2^-)- ... -j-u"J)n. Квадрат длины этого век-
вектора равен
в этой'формуле, следуя Эйнштейну, мы пропускаем знак суммы;
индексы i, j принимают независимо друг от друга значения
от 1 до п. Полагая
C)
имеем для фундаментальной формы следующий вид:
Ф«*,/и/. D)
Мы будем говорить, что совокупность векторов щ, т)г, .., , т1я
образует базис, или декартов репер. В качестве векторов базиса
будем выбирать векторы, имеющие общую начальную точку.
Исследуем обратный вопрос; можно ли заданную a priori
квадратичную форму рассматривать как фундаментальную форму
эвклидова пространства при соответствующем выборе репера?
Мы будем предполагать, конечно, переменные и коэффициенты
комплексными, если пространство комплексное, и действительными,
если око действительно. При решении этого вопроса мы приме-
применим одну классическую теорему из теории квадратичных форм.
3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов.
Теорема. Каждая квадратичная форма может быть
приведена при помощи линейной подстановки к сумме квад-
квадратов.
Доказательство, которое мы применяем, приложим*} как
в действительной, так Я в комплексной области. Предположим
сначала, что один из коэффициентов ?,,, ?,,,..., gan не ра-
равен нулю, например giv Рассмотрим форму
она не содержит переменкой а1; полагая
Ух^вхх1

14
ГЛАВА 1
ЭВКЛИДОВО я-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ
имеем
где Ф, — квадратичная форма от я — 1 переменных а2, а8, ..., и*.
Предположим теперь, что все коэффициенты gn, gn,... ,gM
равны нулю, а один из остальных коэффициентов, например glt>
отличен от нуля. В этом случае рассмотрим форму
ф2=ф-^
. • • 4- &„«
она не содержит переменных а', а2. Полагая
^ +Л = ftial + ftt*1 + • • • "Г **,«'.
^i — Л = ft»* + ft»"8 + • • • + ft»a".
получаем
ф = _?./у2 v^-4-Ф»
где Ф2 — квадратичная форма от п — 2 переменных и8, «*,
.... ы". К Ф, и Ф, применяем тот же процесс и в конце кон-
концов представим Ф. в виде суммы квадратов независимых линей-
линейных форм, причем каждый квадрат имеет определенный постоян-
постоянный коэффициент. В вещественной области эти операции ие
вводят мнимых элементов.
Пусть
.Если в комплексной области мы примем у1 V а./ за новые пере-
переменные, то приведем Ф к сумме квадратов. Ь вещественной
области мы должны учитывать знаки коэффициентов а(; прини-
принимая }'У±: at за новые переменные, приводим Ф к виду:
4. Теорема инерция. В вещественной области число по-
положительных и число отрицательных квадратов не зависят
от способа приведения квадратичной формы к канониче-
каноническому виду.
Предположим, что существует два разложения:
ф = 1/2-|-..
о
причем.) линейные формы у{ и zt независимы, так же как и
формы V/ и wr Предположим рфр', например р<^р'. Имеем
тождество:
яи + и,+ ...+«, + *
Рассмотрим р -{-?' лииейиых уравнений
так как p-\-q'<lp'-\-q'*^n, T0 эти уравнения имеют по край-
крайней мере одно решение, при котором неизвестные и1, и*.,., и*
ие равны все нулю; для этого решения
таким образом, можно удовлетворить p'-\~q' независимым
уравнениям
решая систему с меньшим числом p-\-q' уравнений; мы прихо-
приходим к противоречию. Следовательно, р = р', q — q'-
Добавим, что, если данная форма Ф от а1, и*,... и" не
\ . . дФ дФ дФ
является выродившейся, т. е. если п форм -*—,, -с-|,..., уп
независимы, так что дискриминант формы
g=z
'0П
E)
отличен от нуля, то число p-\-q независимых квадратов, полу-
получающихся в приведенной форме, равно п. В самом деле, в
дФ
противном случае п- частных производных —., являющихся
г.

16
ГЛАВА 1
ЭВКЛИДОВО «-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ
I /
линейными комбинациями от p-\-q<ji форм ух, уг,... , ур, г,,
гг, ..., г , не были бы независимыми.
5. Доказав приведенные выше теоремы, вернемся к нашей
проблеме. Рассмотрим невыродившуюся квадратичную форму D).
В комплексной области существует п независимых линейных форм
k (/12 )
причем
у
aiku.k
ф=~
у
(/=1,2, ...,»),
Если в комплексном пространстве мы возьмем векторы цк
с составляющими {аи, агк, ..., а^) (к = 1, 2, ..., л), то эти п
векторов независимы; вектор икг1к имеет /-й составляющей
xl = alkuk, и его скалярный квадрат х\ -\- х\ -\-... -\- х\ равен
дайной квадратичной форме. Таким образом, соответствующим
выбором векторов базиса, заданная фундаментальная форма
пространства может быть приведена к произвольно заданной
квадратичной форме g^tiuf.
л В вещественной области имеем аналогичную картину, ио
квадратичная форма gtjufu! должна быть: 1° невыродившейся,
2° приводимой к сумме л — h положительных и h отрицатель-
отрицательных квадратов, где й— данное целое число.
6. Контравариантные и ковариантные составляющие.
Пусть пространство отнесено к некоторому декартову реперу,
— его фундаментальная форма. Скалярный киадрат вектора
-¦ -¦
х-\-\у равен
отсюда вытекает, что скалярное произведение векторов х и
-*¦
у равно
1У dTt —
если за х и у возьмем векторы е„ ef базиса, то мы снова
получим, между прочим, геометрическое значение C)
коэффициентов
Ковариантными составляющими вектора х называются ска-
—*¦ -*" -*- —¦- —»- —f.
лярные произведения х ev х е2, ..., х еп. Они обозначаются
через xv лг2,..., лгл. Таким образом
х y=^
F)
Обычные составляющие называются контравариантными.
Формулы перехода от коварнантных составляющих к контрава-
риантным получаются при решении уравнений F):
где через $ обозначены миноры элементов gt, в дискриминанте g
фундаментальной формы, деленные на g. В случае формы A)
получаем #, = *'
II. Вращения и отражения
7. Определение. Вращениями и отражениями*) (подразу-
(подразумевается: около начала) называются линейные преобразования
координат, оставляющие инвариантной фундаментальную форму.
Если такое преобразование переводит векторы х, у в х',
У, то оно преобразует вектор х-\-\у в вектор х' -\-\у'. Оно
не меняет, конечно, длину вектора и скалярное произведение
двух любых векторов. В вещественном псевдоэвклидовом про-
пространстве оно преобразует пространственный вектор в про-
пространственный, временнбй — во временнбЙ.
Определенная выше операция преобразует каждый ортого-
ортогональный репер в ортогональный. Обратно, рассмотрим два
*) Термином .отражение" здесь переведено французское слово
retournement, которым Картам обозначает ортогональное или псевдо-
псевдоортогональное преобразование с определителем, равным —1; эти пре-
преобразования иногда иазывают несобственными вращениями в отличие
от собственных вращений (ортогональных или псевдоортогональиых
уиимодулярных преобразований), которые Картан называет просто
.вращениями*. Термины .собственное и несобственное вращение (или
отражение)* Картаи вводит в дальнейшем^ используя их для специальной
классификации псевдоортогональных б^бЭВтЛг
вом пространстве. (Прим. ред.) '''
i
¦?871835 :

18
ГЛАВА I
ЭВКЛИДОВО л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ
—#- *" —f —Г- Г- г
ортогональных репера [ev ev ... , еп) и (r\lt цг, ... , *)„), пусть
ty —а'^. Отнесем пространство к первому из этих реперов
и обозначим через х1 соответствующие, координаты. Линейное
преобразование
переводит вектор е{ в вектор с составляющими (a], a], . ..<*{¦)>
то есть в Бехтор ty; это преобразование не меняет, с другой
стороны, фундаментальную форму Ф, так как скалярный квад-
квадрат Ф(х') вектора (xi)'7. = a'kxk7l — ж* j)ft равен Ф(х).
8. Докажем следующую теорему:
Теорема. Определитель линейного преобразованая, опре-
определяющего вращение или отражение, равен -\-\ ила —1.
Достаточно рассмотреть комплексную область, так как каж-
каждое вращение в вещественном эвклидовом пространстве является
частным случаем вращений в комплексном пространстве.
Предположим сначала, что репер ортогональный; пусть
(/=1,2 п) (8)
— уравнения преобразования. Из инвариантности фундаменталь-
фундаментальной формы имеем:
«?/ + «!,+ ••• +^=1 (/=1,2, ...,«),
Применяя правило умножения определителей к квадрату
определителя преобразования, мы получим детерминант, у ко-
которого диагональные элементы равны единице, а все осталь-
остальные нулю.
Если взять репер общего вида, что соответствует преобра-
преобразованию координат
и если линейной подстановке (8) соответствует в координатах
и1 подстановка
(«')
')' =
(9)
то
aikbkhuh — alkahhuh (i, h = 1, 2 n).
Полагая
и обозначая через с, Ь, а, а определители, составленные соответ-
соответственно из c{j, Ц, a{j, atj, получаем
откуда *=с = 4;1.
Мы будем называть вращением преобразование, определитель
которого равен -\-1, отражением — преобразование с опре-
определителем, равным —1.
9. Симметрии. Будем называть симметрией относительно
гиперплоскости П, проходящей через начало, преобразование,
которое ставит в соответствие точке ж ей симметричную относи-
относительно П, то есть точку х', получающуюся при помощи следую-
следующего построения: из ж опускаем перпендикуляр на II и
продолжаем его на расстояние, равное длине этого перпенди-
перпендикуляра. Пусть в некотором декартовом репере уравнение
плоскости имеет вид
я,ж'=0.
Вектор ж' определяется из следующих условий:
1° вектор ж' — ж ортогонален гиперплоскости П;
2° вектор -7J- (ж* -\- ж) лежит в гиперплоскости II.
Так как уравнение гиперплоскости выражает тот факт, что
вектор ж ортогонален к вектору с ковариантными составляю-
составляющими а{, то имеем
(ж1)' — х'—\а1 или (ж'}' — ;
далее,
а{Bх*-\-\а') — 0, то есть Х = --!
Преобразование возможно, если а^я'^-О, то есть если пер-
перпендикуляр к гиперплоскости не яваяется изотропной прямой;
в-этом случае получаем
(ж*)'= *••...-2а'^ij;
очень просто проверяется инвариантность длины: (х^'У

20
ГЛАВА I
ЭВКЛИДОВО «-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 21
Построенное выше преобразование мы будем называть симме-
симметрией; каждая симметрия задается гиперплоскостью или неизо-
неизотропным вектором (который можно, в частности, считать еди-
единичным).
В случае вещественного пространства с неопределенной
фундаментальной формой следует различать симметрии, опре-
определяемые вещественными пространственными векторами, и сим-
симметрии, относящиеся к вещественным временным векторам. Мы
будем их называть соответственно пространственными и вре-
временными симметриями.
Каждая симметрия есть отражение. Достаточно пока-
показать это при каком-нибудь частном выборе декартова ортого-
ортогонального репера, например, когда первый вектор базиса опре-
определяет симметрию; тогда уравнения симметрии имеют вид
= ~~и
* (И»)
,п\> — „я.
определитель этого преобразования равен —I.
10. Разложение вращения на произведение симметрии.
Докажем следующую теорему, которая имеет место как в ком-
комплексной, так и в действительной области:
Каждое вращение является произведением четного числа
«^ п симметрии; каждое отражение является произведением
нечетного числа <л симметрии.
То, что четное число симметрии дает вращение, а нечетное —
отражение, вытекает непосредственно из того, что симметрия
есть отражение.
Теорема очевидна для л = 1; предположим, что она имеет
место для пространств 1, 2, ..., л — 1 измерений, и докажем
ее для пространства л измерений.
Теорема очевидна в том частном случае, когда существует
неизотропный вектор, инвариантный при рассматриваемом вра-
щении; в самом деле, принимая этот вектор за вектор щ1 базн-
са и выбирая остальные п — 1 векторов базиса в ортогональ-
—>-
ной гиперплоскости П (она не содержит 7),), мы приведем фун-
фундаментальную форму к виду
где Ч* — неособенная форма от л — 1 переменных. Так как
рассматриваемое вращение (или отражение) оставляет инвариант-
инвариантной гиперплоскость II, то оно определяется линейным преоб-
преобразованием, не изменяющим координату и1 и преобразующим
между соСой координаты и5, и8, ..., и" так, что форма Ч?
остается инвариантной; оно полиостью определяется, такк* об-
образом, вращением или отражением в гиперплоскости II, т. е.
в эвклидовом (л—1)-мериом пространстве; согласно сделан-
сделанному предположению оно образовано из симметрии, соответ-
соответствующих векторам, лежащим в П, причем число этих симме-
симметрии не больше л — 1.
Рассмотрим теперь общий случай; возьмем любой неизо-
-¦¦ -+•
тропиый вектор а; пусть а' — преобразованный из него вектор.
-+ -*¦
Если вектор а' — а не изотропный, то симметрия, соответ-
_». _*.
ствующая ему, переводит а в а'; рассматриваемое преобразование
является, таким образом, произведением этой симметрии и
другого преобразования, оставляющего инвариантным неизотроп-
ный вектор а; она разлагается, следовательно, на некоторое
число <л симметрии.
Наше рассуждение неприменимо в том случае, если, ка-
ков бы ии был вектор х, вектор х' — х является изотропным
(#' — вектор, преобразованный из х). Исследуем этот случай.
Векторы х' — х образуют линейную совокупность, то есть если
->¦ ->¦ —*- -¦¦
векторч х' — х и у — у принадлежат ей, то ей принадлежит
и вектор х' — х-\-\(У — у). Пусть р — число измерений этой
совокупности, которую мы будем называть /?-плоскостью.
Возьмем в этой /?-плоскости р векторов базиса jju 7),, ...,)) i
плоскость, перпендикулярная этим р векторам, определяется р
линейными независимыми уравнениями; число измерений ее
равно л—р, причем она содержит в себе каждый из векто-
векторов »)f; в этой плоскости можно за векторы базиса при-
принять »)., »)„,. .. я и л — 2/7 других независимых векторов
С], С;, ••., С„_2р- К построением л"—р векторам прибавим р

22
ГЛАВА I
новых векторов Sj, &2, ..., & таким образом, чтобы полу-
получился базис для полного пространства.
Заметим, что, каковы бы ни были векторы х и у,
выражая равенство скалярных произведений х'у' и ху, полу-
получаем
Выберем в качестве у какой-нибудь из векторов 7], и С/. Пра-
Правая часть равенства обращается в нуль; следовательно, вектор
-»• -+¦
й*7к, ортогонален любому вектору х Это возможно только ш
'* -*¦
том случае, если вектор Ь*^ равен нулю. Отсюда вытекает,
что векторы ^ и С/ инвариантны при рассматриваемой опера-
операции (вращении или отражении).
Образуем теперь фундаментальную форму пространства;
обозначая через «'Tj/ -j- г^чу -^"^^^а произвольный вектор, имеем:
Ф ==
Эта форма не выродившаяся, то есть коэффициенты при
и1, и* , up являются независимыми линейными формами
от -да1, w2, .... <wi", таким образом, можно выбрать векторы
базиса так, чтобы
О, если
дФ
Затем можно добиться того, чтобы производные j- , равные и'
плюс линейная комбинация переменных т/ и wk, были равны и1;
для этого следует только изменить каждый вектор С,, &ft при-
прибавлением линейной комбинации векторов т],. Получаем
• ф -— V uiwi I V
ЭВКЛИДОВО л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 23
причем вторая сумма в правой части определяет невыродив-
шуюся форму. Так как С/ инвариантны при рассматриваемом
преобразовании (вращении или отражении), то мы приходим
при п ^> 2р к частному случаю, когда существует инвариантный
неизотропный вектор, и теорема, таким образом, доказана.
Остается случай я = 2р. Имеем:
соотношения 7)^=1, %0. = 0 (/-ф]) приводят нас, если вы-
-¦ •¦
разить инвариантность скалярных произведений &,&,, к равен-
равенству:
Можно еще упростить предыдущие формулы. В самом деле,
результат преобразования произвольной линейной комбинации
векторов Ьк выражается следующим образом:
Но сумма w*PAft»]A остается инвариантной при любой за-
мене базнса ть, сопровохааемой коррелятивным преобразова-
кием в базисе dft; ^ н w{ преобразуются одинаковым образом
Инвариантность 2u?w' и 2«'^). С другой стороны, известно,
что 3i акопеременная билинейная форма путем применения од-
вого и того же линейного преобразования к обоим рядам пе-
переменных ...ожет быть приведена к каноническому виду:
Таким образом, прн соответствующем изменении базиса мы
имеем следующие формулы преобразования: f
&2 = t%— Г],

24
ГЛАВА I
ЭВКЛИДОВО л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 25
Между прочим, р должно быть обязательно равно 2q, так как
в противном случае нензотропный вектор §р-\-\ был бы ин-
инвариантным. Каждое из 4-мерных пространств с невыродившейся
фундаментальной формой, определяемых векторами Gjj, ц2, bv &s),
(тK, 7]4, &8, 04) и т. д., инвариантно прн рассматриваемом преоб-
преобразовании. Таким образом, достаточно доказать, что это преобра-
преобразование может быть выполнено в каждом из этих пространств при
помощи не более 4 симметрии. Рассмотрим пгрвое пространство
с фундаментальной формой u>w' -f- и2хи*. Вращение (или отра-
отражение) выражается следующим образом;
(а1)'=
' = u2 — w\
w
так как определитель равен ~\-1, то это есть вращение.
Нетрудно видеть, что оно может быть получено в результате
последовательного применения симметрии, соответствующих
четырем неизотропным векторам
где а — коэффициент, отличный от 0 и 1. Теорема доказана.
В вещественных пространствах это доказательство вводит
только вещественные векторы при условии, что а берется ве-
вещественным.
П. Непрерывность группы вращений. Докажем, что в
комплексном пространстве и вещественном с определенной фун-
фундаментальной формой группа') вращений непрерывна. Это
означает, что каждое вращение может быть связано с тожде-
тождественным преобразованием при помощи непрерывной последова-
последовательности вращений. Достаточно доказать эту теорему для
*) Говоря, что вращения образуют группу, мы выражаем следую-
следующие два свойства совокупности этих преобразований: 1° произведе-
произведение двух вращений есть вращение, 2° каждому вращению соответ-
соответствует обратное вращение.
вращения, являющегося результатом применения двух симме-
симметрии. Пусть этн симметрии определяются двумя единичными
векторами а и Ь; если п Зз 3, можно найти по крайней мере
один единичный вектор с, ортогональный к а и Ь. Рассмотрим
непрерывную последовательность вращений, определяемых сим-
метриями, которые соответствуют единичным векторам
а' = а cos t ¦-}- с sin /, b' = b cos t -\- с sin /,
где / обозначает вещественный параметр, изменяющийся от О
до -к ', при * = 0 получаем данное вращение, при t =-% — вра-
вращение, являющееся результатом двукратного применения одной
->•
и той же симметрии (соответствующей вектору с), то есть
тождественное преобразование; итак доказана
Теорема. В комплексном эвклидовом пространстве и
в вещественном эвклидовом пространстве с определенной
фундаментальной формой вращения [вещественные во ото-
ром случае) образуют непрерывную группу.
12. Собственные и несобственные вращения. Покажем,
что в вещественном псевдоэвклидовом пространстве (с неопре-
неопределенной фундаментальной формой) группа вращений не непре-
непрерывна, а разлагается на два различных непрерывных семейства,
которые мы назовем семейством собственных вращений и се-
семейством несобственных вращений.
Лемма I. Два пространственных единичных вектора
могут быть всегда соединены непрерывной последователь'
ностью пространственных единичных векторов.
Примем за фундаментальную форму
F = x2_l.x2\ 4-jc2 — г2 — — х*
Вещественный пространственный вектор определяется прн
помощи п вещественных чисел, из которых я — А первых могут
быть рассматриваемы как составляющие вектора и в веще-
вещественном эвклидовом, пространстве Я„_А, Л остальных —
как составляющие вектора v в вещественном эвклидовом

26
ГЛАВА
ЭВКЛИДОВО л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО: ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 27
пространстве Ек. Если вектор х единичный, то и*—v*=l,
то есть можно положить
-¦-+-+
« = acha, v = bsha,
где a — вещественное число, а и b — единичные векторы про-
пространств En_h и Ен. Любой другой пространственный вектор
х может быть определен вещественным числом а' и двумя едн-
ничными вещественными векторами а' и Ь'. Можно непрерыв-
непрерывным образом перейти от х к х'\
-*¦ -+•
1° оставляя а, Ь неизменными и изменяя а непрерывно до
значения а';
2° оставляя b неизменным и соединяя в Еп_н векторы а и а'
непрерывной последовательностью вещественных единичных
векторов;
3° оставляя а' неизменным н соединяя в Ен векторы b и Ь1
непрерывной последовательностью вещественных единичных
векторов.
Лемма применима и к двум единичным временным векто-
векторам *).
Лемма II. Вращение, получающееся в результате при-
применения двух пространственных (или временных) симметрии,
может быть соединено с тождественным вращением при по-
помощи непрерывной последовательности вращений.
Пусть вращение является произведением двух симметрии,
соответствующих двум единичным пространственным векто-
векторам и и v, и пусть <wt — непрерывная последовательность еди-
*) Лемма I справедлива по отношению к пространственным векто-
векторам при условии л = 2 и по отношению к временным при условии
Л=1; при доказательстве леммы эти условия используются соответ-
соответственно в пунктах 2° н 3°. В общем случае, если а, Ь единичные про-
пространственные (временные) векторы, то а может быть соединен непре-
непрерывной последовательностью единичных пространственных (временных)
эекторов или с Ь или с — Ь. (Прцм. ред.)
ннчных пространственных векторов, соединяющая и с v*); вра-
вращение, получающееся в результате применения симметрии, опре-
деваемых векторами wt и v, соединяет непрерывным образом
рассматригземое вращение с тождественным.
Лемма Ш. При каждом вращении (или отражении)
функциональный определитель, составленный из производных
от х[, x'j, ..., xln_h no xv хг, ..., xn_h, отличен от
нуля.
Предположим противное: пусть существуют значения <*,,
¦'в, ,-..., ая_н переменных хиxv ..., xn_h, не равные одно-
одновременно нулю и превращающие в нуль в формулах, выражаю-
выражающих xj, x'r ..., x'n_h через xit xv ..., хп, совокупность
членов, зависящих от хх, хг, ..., хп_н. У вектора, получаю-
получающегося при преобразовании из пространственного вектора
(а„ аг, ..., а^д, 0, ..., 0), первые л — А составляющих
ill _
jcj, X2, ..., дгя_а равны нулю; мы получаем, таким образом,
временибй вектор, что невозможно.
Обратимся теперь к доказательству теоремы. Заметим прежде
всего, что на основании леммы III, если два вращения могут
быть соединены непрерывной последовательностью вращений,
то эти два вращения дают один и тот же знак функциональ-
функциональному определителю А, образованному из производных от x'v ...,
Jf^_A по JCj, ..., хя-д, так как при переходе от одного вра-
вращения к другому этот определитель изменяется непрерывно и
не обращается в нуль. На основании леммы II вращения,
являющиеся произведениями четного числа пространственных
отражений н четного числа временных, дают определителю А
тот же знак, что и тождественное вращение, то есть плюс. На-
Наоборот, вращение, являющееся произведением пространственной
симметрии и временной, может быть на основании леммы I со-
соединено непрерывной последовательностью вращений с враще-
вращением, являющимся результатом применения симметрия-, определя-
определяемых векторами ех и еп; оно дает, таким образом, определителю А
*) Такая последовательность всегда существует, так как векто-
векторы И,1> определены только с точность» до знака (см. предыдущее
примечание). (Прим. ред.)
о

28
ГЛАВА!
тот же знак, что и это последнее вращение, то есть
минус. Результирующее вращение нечетного числа простран-
пространственных симметрии и нечетного числа временных может быть
приведено к последнему вращению пгри помощи непрерывной
последовательности вращений. Таким образом, доказана
Теорема. В вещественном псевдоэвклидовом простран-
пространстве группа вращений разлагается на 2 различных семей-
семейства; первое образовано группой собственных вращений, по-
получающихся в результате применения четного числа
пространственных симметрии и четного числа временных;
второе семейство является совокупностью несобственных
вращений, состоящих из нечетного числа пространственных
симметрии и нечетного числа временных; эта совокупность
не образует группы.
Собственные и несобственные вращения различаются знаком
функционального определителя, составленного нз производных
от х|, x'v .... x'tl_h по хи х2, ..., xa_h илн знаком функ-
функционального определителя
••> хп)
В дальнейшем мы будем рассматривать так называемые
собственные отражения, являющиеся результатом применения
нечетного числа пространственных симметрии и четного числа
временных. Они характеризуются тем, что функциональный оп-
определитель
'х'п)
й (xn-h+i •••• хи)
положителен (инвариантность временнбй ориентации).
13. Пространства, у которых .А =з1. В этих простран-
пространствах каждое собственное вращение и собственное отражение
является произведением пространственных симметрии. В самом
деле, пусть х — единичный временной вектор, х' — вектор, по-
получающийся из него при преобразовании; мы можем вы-
брать х за вектор еп базиса; так как коэффициент при хП
ЭВКЛИДОВО л-МБРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 29
в х'п положителен, то составляющая х'п вектора х' положитель-
-*¦ •¦
на и больше 1,то есть скалярное произведение хх' меньше— I.
-* -*¦ ¦+ ¦+
Скалярны1 квадрат вектора х' — х равен — 2хх'~2^>0,то
есть х'—х— пространственный вектор. Таким образом, можно
перейти от вектора х к х' при помощи пространственной сим-
симметрии и, чтобы получить рассматриваемое вращение (или от-
отражение), достаточно иметь дело с вещественным эвклидовым
пространством с определенной фундаментальной формой, орто-
ортогональным к х', а это даст самое большее я —• 1 простран-
пространственных симметрии.
Теорема. В пространстве, фундаментальная форма
которого приводится к сумме п — 1 положительных квад-
квадратов а одного отрицательного, каждое собственное вра-
вращение и собственное отражение является произведением
некоторого числа <я пространственных симметрии.
III. Мультивекторы
14. Объем гиперпараллелепипеда, построенного на л век-
векторах. Пусть в эвклидовом пространстве Еп, отнесенном к не-
некоторому декартову реперу, заданы п векторов в определен-
-+¦-*¦-*¦-*¦
ном порядке х, у, г, ...,/; рассмотрим определитель, обра-
образованный из составляющих этих векторов,
у1 у2
Xя
у"
t"
так как вращение определяется линейным преобразованием
с определителем, равным -j- 1, а отражение — линейным преоб-
преобразованием с определителем, равным — 1, то А не изменяет
абсолютной величины прн применении к векторам пространства
одного и того же вращения илн отражения. Можно составить
определитель Д' нз ковариантных составляющих векторов;
Д'равен произведениюД на определитель линейной подстановки,

30
ГЛАВА 1
преобразующей контравариантные составляющие в ковариаитиые,
то есть иа g.
С другой стороны, вычислив произведение
х1 х3 ... хп
у1 уг \.. у"
ДД»:
... t»
"я
Уп
К ... <„
получим
ДА':
хг ху ... xt
ух у* ... yt
tx ty ... t*
причем в этот определитель *) входят только скалярные произ-
произведения [заданных векторов. При л = 3 этот определитель
равен квадрату объёма параллелепипеда, построенного на 3 век-
векторах. Естественно назвать объемом гиперпараллелепипеда,
построенного на п векторах х, у /, квадратный корень
из этого определителя при любом я. Таким образом
откуда
Если вещественное пространство — псевдоэвклидо во, те
удобнее положить
1 *..
'V\g\
Д';
виак у Д дает ориентацию л-эдра, построенного на п. векторах;
если Д]> 0, то эта ориентация та же, что и у декартова репера.
•) Этот определитель называется определителем Грамма векторов
х,у, ..., t. (Прим. ред.)
8ВКЛИД0В0 я-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 31
15. Мультивекторы. Рассмотрим теперь систему р векто-
ров х, у, • • • t *t заданных в определенном порядке. Будем
говорить, что они определяют р-вектор: условимся считать два
р-вектора равными, если плоское /7-мерное многообразие, со-
содержащее данные р-векторы, одно и то же лпц обоих р-век-
торов и если объем параллелепипеда, построенного иа векторах
каждой системы, один и тот же и с одинаковой ориентацией.
Покажем, что р-вектор однозначно определяется минорами р-го
порядка матрицы, составленной из контравариантных (или ко-
вариантных) составляющих этих векторов.
В самом деле, пусть t — переменный вектор; для того чтобы
этот вектор лежал в р-мерной плоскости, определяемой задан-
заданными векторами, необходимо и достаточно, чтобы миноры
[р-\-\)-то порядка матрицы
/X1 Xi ... "
у* ...
минор, построен-
построен., /р-го
t2 ... /"
были равны нулю. Обозначая через
ный из элементов р первых строк и /,-го, /2-го,
столбцов, мы получаем уравнения
fi,pv»... ^+._ tupv»... 'p+i _|-... 4- (— iyft»W'A — lp=Q.
Для того чтобы два р-вектора с составляющими Р и Q
лежали в одной и той же р-плоскости, необходимо и доста-
достаточно, чтобы их составляющие были пропорциональны.
Предположим, что это условие выполнено: Q**'* ••¦• 1р=?\ри* "jp;
алгебраическое отношение двух р-векторов сохраняется при
проектировании; оно равно постоянному отношению их состав-
составляющих, которые дают объемы их проекций на различные коор-
координатные р-плоскости.
Отметим, наконец, что квадрат V* меры *) р-вектора равен
. •) Мерой (или объемом) ^-вектора, определяемого векторами
•* -» -¦
х,у, .... 2, называется объем параллелепипеда, построенного на этих
векторах. (Прим. ред.)

32
ГЛАВА I
где Pijt...ip обозначают ковариантные составляющие (миноры,
построенные из ковариантных составляющих р-векторов). В са-
самом деле (п. 14),
V2 —
х7 ху
XZ
ух у* ... yz
zx zy ... г2
x'x,
у% у)у, ... fzk
zixl
.. zkzk
— x,y, ... z.
у1 У ..
~p\
причем сумма распространяется на все сочетания из я индек-
индексов 1, 2, ..., л по р.
Совокупность л векторов может быть названа л-вектором; она
имеет только одну контравариантную и ковариантную составля-
составляющую. Каждая из этих составляющих меняет знак при отражении.
16. Изотропные мультивекторы, р-вектор называется
изотропным, если' его мера равна нулю, причем его составляю-
составляющие не равны все нулю, то есть он не лежит в плоскости
с числом измерений <^ р . р-вектор является изотропным тогда
и только тогда, если в его р-плоскости существует вектор,
перпендикулярный ко всем векторам этой плоскости. В самом
деле, если мера р-вектора равна нулю, можно найти р посто-
постоянных a, {J, ..,, у, не равных одновременно нулю и удовлетво-
удовлетворяющих уравнениям:
угу = О,
аху -f $y*
axz 4- У г 4- • • • 4" "F8 == °>
отсюда вытекает, что существует ненулевой вектор ах-\-
4- $у 4~ • • • 4~Тг ортогональный р векторам х, у, .. ., г. Спра-
ЭВКЛИДОВО /i-MEPHOIi ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОП'АЖЫШЧ .*.'!
ведливо и обратное предположение. Можно также сказать, что
р-шюскость р-вектора касательна к изотропному конусу
(геометрическому месту изотропных прямых) вдоль прямой,
на которой лежит иектор ах-\-$у-\- ... 4г-
17. Дополнительные мультивекторы. Рассмотрим неизо-
неизотропный вектор; будем говорить, что (л — ,'')-нектор является
дополнительным к этому р-вектору, если плоскость первого
является геометрическим местом прямых, перпендикулярных
к р-плоскости данного р-вектора, если мера (п — р)-вектора
равна мере р-вектора и если, наконец, я-эдр, образованный
из р векторов данного р-вектора и я — р векторов (« — р-век-
р-вектора, имеет положительную ориентацию. Заметим, что (п — р)-пло-
скость искомого (л — р)-вектора вполне определена и не имеет
общих направлений с р-плоскостыо данного р-вектора (п про-
противном случае этот последний был бы изотропным).
Предположим, что Рп ••¦ Р^LQ. Уравнения, выражающие
«*•
условие, что некоторый пектор t перпендикулярен к р вскто-
рам х, у, ..., z, имеют вид;
/^=0, 1[У'=0 '/=0;
исключая /г, /s, ..., I получаем соотношение
•/'4-...4-tn
i \ip,.n...p—1Q
1*1/1
аналогично получаем:
/ риз ... p_i/
Таковы уравнения (л — р)-плоскости искомого дополнитель-
дополнительного (л — р)-вектора. С другой стороны, если обозначить че-
Рез Q/,/,... 1„_р ковариантные составляющие этого (п—р)-оек-
тора, уравнения его (п — р)-плоскостн имеют вид:

34
ГЛАВА I
ЭВКЛИДОВО д-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ 35
принимая последовательно за /,, /2, .... in , комбинации
A, р + 1, р-\-2 л), B, p-fl, p-f 2, .... я) и т. д.
отождествляя с ранее полученными уравнениями (л—рУ
плоскости, мы видим, что между Р'А-'р и Q, ' / ,«.../„ су-
существует пропорциональность, причем предполагается, что
перестановка (/,, /2, ...,/„) четная. Таким образом, можно
положить
Записав, что р-вектор и дополнительный (я—р)-вектор
имеют одинаковый объем, имеем Хц = 1. С другой стороны,
я-вектор, образованный из векторов р-вектора и (я—р)-век-
тора, имеет меру, равную
t
где сумма распространяется на все сочетания ij/'2... ip no p
индексов. Эта мера равна квадрату меры р-вектора, поэтому
Х~-т=, p. = ]/~g, откуда следуют формулы:
р/,/,... /р !
Примечание. При определении (я —р)-вектора, до-
дополнительного к данному р-вектору, мы предполагали, что
этот последний неизотропен; однако, полученные формулы имеют
общее значение и позволяют распространить определение на
все возможные случаи; может случиться, что р-вектор равен
своему дополнительному (конечно, если я = 2р).
18. Сумма р-векторов. Рассмотрим некоторую систему
р-векторов. Условимся считать равными две такие системы,
если суммы составляющих с одинаковыми индексами р-векто-
р-векторов, входящих в каждую систему, одинаковы для обеих этих
совокупностей*). Обозначая эти суммы так же, как и состав-
составляющие р-вектора, мы получим то, что называется состав-
составляющими системы. Уславливаются и в этом случае говорить,
что эти С? составляющих определяют р-вектор; введенные
раньше р-векторы называются простыми. Можно определить
дополнение к непростому р-вектору при помощи тех же
самых формул, что и для простого р-векторй. Аналитически
р-вектор в обобщенном смысле может быть определен как
совокупность С? чисел PlJ--'p .имеющих р различных антисим-
антисимметрических индексов, то есть таких индексов, при переста-
перестановке которых составляющая или вовсе не меняется, или
меняет знак в зависимости от того, четной или нечетной
является перестановка.
IV. Бивекторы и бесконечно малые вращения
_ л (л — 1) 7/
Бивектор определяется при помощи —~—'величин av —
я» -—cJl\ бивектор тогда и только тогда является простым,
если его составляющие удовлетворяют соотношениям
аиа*н-\-а*>1а*-\-а*1а/к=:0 (/, у, к, А = 1, 2, ..., я).
19. Бесконечно малые вращения. Мы приходим к бивек-
бивекторам, изучая совокупность вращений, зависящую от одного
параметра.
Пусть пространство отнесено к декартову реперу
Скорость точки х пространства в некоторый момент t
имеет составляющими линейные формы от координат; в самом
деле, пусть
— уравнения движения, где jc* обозначают координаты движу-
движущейся точки в начальный момент t0. Предположим, что функ-
*) Картан пользуется здесь аналогией с понятием эквивалентности
двух систем векторов, приложенных к некоторой точке. Две системы счи-
считаются эквивалентными ^равными), если равны их главные иекторы,
являющиеся суммами векторов каждой, системы. Аналогично атому
Картан вводит поннтие о равных системах мультивекторов. {Прим ред.)

36
ГЛАВ А I
ции а'к (t) дифференцируемы; скорость точки, имевшей в началь-
начальный момент положение (х), определяется составляющими
т' = -^—**;
но х* суть линейные однородные функции координат (х1)' дви-
движущейся точки в момент /; таким образом, v! являются линей-
линейными функциями этих координат.
Изменяя несколько обозначения, имеем
эти формулы дают скорость в момент t точки, имеющей коор-
координаты х1 в этот момент. Скорость должна быть перпендику-
перпендикулярна к вектору с началом О и концом х; следовательно,
= а{кх'хк
0;
отсюда at,-\- а.( — 0; а'к суть смешанные составляющие бивек-
бивектора.
Бесконечно малым вращением называется переменное вра-
вращение, совершающееся в бесконечно малый интервал времени
{t, t-\-d(); оно дает каждой точке х элементарное перемеще-
ние, равное $x = vdt, где v — скорость в момент t.
Каждое бесконечно малое вращение определяется, следова-
следовательно, формулами:
bxi — atkxkdt, A1)
где а'к — смешанные составляющие бивектора. Бесконечно малые
вращения зависят лнкейно от
п(п — 1)
параметров.
ГЛАВА II
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
I. Определение тензоров
20. Первый пример линейного представления. Выше мы
рассматривали линейные преобразования S, определяющие вра-
вращение iR вектора х эвклидова пространства Еп, отнесенного
к некоторому неподвижному декартову реперу (ev e2,...,en).
Эти линейные преобразования имеют следующее очевидное
свойство: если преобразования S н S' соответствуют враще-
вращениям Ш. и SR', преобразование, соответствующее вращению SR'3t
(получающемуся в результате последовательного применения 3t
и Ш'), является произведением 5'5 подстановок 5 и S'. Мы
будем говорить, что совокупность преобразований S образует
линейное представление группы вращений.
Если ввести новый репер, который не может быть получен
нз старого при помощи вращения или отражения, то враще-
вращение SR, определявшееся подстановкой S, выразится при помощи
нового линейного преобразования Т. Совокупность преобразо-
преобразований Т дает новое линейное представление группы вращений.
Очевидно, что существует тесная зависимость между этими
двумя представлениями, которые аналитически выражают одни
и те же геометрические операции над одними и теми же гео-
геометрическими объектами. Эта зависимость заключается в сле-
следующем: если х1 суть составляющие вектора в первой репере,
У—составляющие того же вектора во втором, то зависимость
между х1 и у' выражается некоторой линейной подстановкой о;
преобразование Т получается из соответствующего преобразо-
преобразования 5, если над переменными х1 и {х*)' выполнить одну и ту
же линейную подстановку, именно, ту, которая преобразует х'
в У. Таким образом, мы переходим
от У к х1 прн помощи подстановки о;
. *' к (*')' ... S;
. {х1)' к (У)' . . г, . а;

Г Л А В А И
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
39
следовательно, переход от у1 к {у1)' происходит при помощи
преобразований о~!, S, о, а это записывается при помощи
следующей формулы
Мы будем говорить, что линейное представление Т группы
вращений эквивалентно линейному представлению S, причем
эта эквивалентность выражается в том, что существует опреде-
определенное линейное преобразование о, при помощи которого каж-
каждой подстановке S первого представления соответствует пре-
преобразование oS'o-1 второго.
2J. Общее определение линейных представлений группы
вращений. Возьмем два вектора (л*) и (у1), отнесенных к од-
одному и тому же декартову реперу, и образуем rfl произведений
хи/\ при вращении эти произведения подвергаются линейной
подстановке 2, причем эта последняя обладает тем свойством,
что, если 2 и X' соответствуют вращениям Ш и ffi1, то пре-
-, образование Х'2 соответствует Ш'Ш - я2 величин х1у1 дают,
таким образом, новое линейное представление группы вращений,
отличное от первых двух.
Вообще совокупность линейных преобразований S над г
переменными ul%' uv ,.., иг дает линейное представление
группы вращений, если каждому вращению 3? соответствует
определенная подстановка 5, причем произведению ffit двух
вращений соответствует произведение S'S соответствующих
преобразований. Целое число г называется порядком пред-
представления.
22. Эквивалентные представления. Два линейных пред-
представления группы вращений называются эквивалентными, если:
1° они имеют одинаковый порядок,
2° можно перейти от одного представления к другому,
выполняя над переменными этого представления определенную
линейную неособенную подстановку о (с определителем, отлич-
отличным от нуля).
Если 5 и Т соответствуют вращению SR, то
где о обозначает некоторую определенную подстановку.
Линейное представление называется точным, если двум
различным вращениям соответствуют два различных линейных
преобразования.
23. Понятие об эвклидовом тензоре. Можно поставить во-
вопрос о конкретной интерпретации тех переменных иь иг,...,иг,
которые фигурируют в линейном представлении группы враще-
вращений. Можно говорить, что совокупность г чисел (и,, иг,...% «,)
образует объект, и условиться считать, что результат приме-
применения к объекту («,, «j, ..., иг) вращения 5R сводится к
совмещению его с объектом («|, и'2, ... ,и'г), составляющие
которого и'( получаются из «, при помощи подстановки S,
соответствующей jR. Такое условие является вполне законным,
так как результат применения вращения SR' к объекту (и') тот
же самый, что и результат применения вращения SR'JR к начальному
объекту [и). Можно, между прочим, сузить рассматриваемое
семейство объектов (и), налагая на составляющие uv uv ..., ur
требование удовлетворять определенным алгебраическим соот-
соотношениям при условии, что:
1° составляющие ии иг% .,., иг объектов суженного семей-
семейства не удовлетворяют никакому линейному соотношению с
постоянными коэффициентами,
2° алгебраические соотношения, определяющие суженное
семейство, должны быть инвариантными при преобразованиях
линейного представления.
Полученная таким образом совокупность называется эвкли-
эвклидовым тензором; условимся говорить, что он отнесен к точ-
точке О. Два эвклидова тензора называются эквивалентными, если
они соответствуют одному и тому же линейному представлению
группы вращений или двум эквивалентным представлениям.
Например, совокупность векторов (с началом в точке О),
совокупность векторов длины 1, совокупность изотропных век-
векторов образуют три эквивалентных тензора; если каждый век-
вектор одной из этой совокупности определить составляющими в
декартовом репере, то вторая совокупность характеризуется
соотношением Ф (х) = 1, третья — соотношением Ф (х) = 0, где
Ф(лг) — фундаментальная форма. Важно заметить, что тензор
определяется не природой тех объектов, которые его состав-
составляют, но выбором составляющих, определяющих его аналитически.

40
ГЛАВ А II
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
41
Например, пара противоположных вещественных векторов
х и— х может быть представлена аналитически или при помощи
л(л-М) / / л(/1 + 1)(л + 2)(л4-3)
- 7" ; одночленов х'х', или при помощи —-—!— о.г '—!—•
одночленов х'х}хкхь; каждое из этих аналитических представле-
представлений определяет эвклидов тензор, и эти два тензора не экви-
эквивалентны.
Разумеется, все то, что было сказано относительно группы
вращений, можно было бы распространить на группу вращений
и отражений; нужно, однако, отметить, что тензор относительно
группы вращений не является необходимо тензором относительно
группы вращений и отражений, в дальнейшем мы встретим со-
соответствующий пример (п. 51). Таким образом, следует разли-
различать эвклидовы тензоры в узком смысле, дающие линейные
представления группы вращений, и эвклидовы тензоры в широ-
широком смысле, соответствующие линейным представлениям группы
вращений и отражений. В вещественном псевдоэвклидовом про-
пространстве можно провести более детальную классификацию в
зависимости от того, рассматривается ли группа собственных
вращений, или же всех вращений, или группа собственных вра-
вращений и отражений и т. д.
24. Другая точка зрения. Можно также встать на не-
несколько иную точку зрения, которая обычно и применяется в
тензорном исчислении. Рассмотрим уравнения, которые опреде-
определяют вращение ffi, примененное к вектору х, отнесенному к
данному декартову реперу R. Уравнения подстановки S, соот-
соответствующей вращению 9i, могут быть рассматриваемы как
определяющие переход от составляющих х1 вектора к состав-
составляющим (х*)' того же самого вектора, но отнесенного к
реперу R', который получается из R при помощи вращения R.
При этой точке зрения мы рассматриваем подстановку S как
преобразование координат, причем S определяет поворот ста-
старого репера в новое положение, определяемый аналитически
в старом репере. Важно отметить, что старый и новый реперы
равны с точки зрения группы вращений. Линейное преобразо-
преобразование группы вращений дает, таким образом, преобразование
координат, оперируя над составляющими произвольного вектора,
но различные рассматриваемые системы координат не
являются произвольно выбранными декартовыми системами:
они должны быть все эквивалентны относительно группы вра-
вращений, так как соответствующие реперы конгруэнтны.
Можно было бы также рассматривать формулы, дающие
преобразования составляющих вектора, когда вектор относится
V совершенно произвольным переменным декартовым реперам.
Линейные преобразования, получающиеся при этом, дают уже
линейное представление не группы вращений, но более обшир-
обширной группы аффинных вращений', они выражаются линейными
преобразованиями совершенно произвольными, С этой точки
зрения вектор и /ьвектор являются аффинными тензорами
в том смысле, что они дают линейные представления группы
аффинных вращений. Таким образом понятие тензора и вво-
вводится в классическом тензорном исчислении.
П. Тензорная алгебра
Понятие о тензоре может быть обобщено для любой груп-
группы G; тензор, относящийся к группе О, может быть определен при
помощи линейного представления этой группы. Объекты,
которые определяют этот тензор, могут быть конкретно интер-
интерпретированы различными способами.
Какова бы ни была рассматриваемая группа С, тензорное
исчисление вводит определенные простейшие операции и под-
подчиняется определенным общим теоремам, которые мы кратко и
укажем.
25. Сложение двух эквивалентных тензоров. Возьмем
два эквивалентных тензора с составляющими х\ х9, ..., л/
н У» У*1 •••> У*> которые выбраны таким образом, что линей-
линейное преобразование, соответствующее любому элементу группы О,
одно и то же для переменных х1 и для у'. Назовем суммой
этих тензоров тензор с составляющими х1 ~\-у1; эта сумма
дает тензор, эквивалентный данным тензорам. Вообще, вели-
величины тх1-\-пу*, где т н п— определенные постоянные, опре-
определяют тензор, эквивалентный данным.
26. Произведение двух любых тензоров. Пусть дани два
тензора (эквивалентные или неэквивалентные) с составляющими

42
ГЛАВ А И
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
43
х\ х*, ..., хг, и у1, уг, ..., уг; произведением этих тензо-
тензоров называется тензор, определяемый составляющими х'уК
27. Некоторые основные теоремы.
Теорема I. Пусть хг, *2, ..., хг—составляющие тен-
тензора, у1, у2, ..., уг—переменные, которые преобразуются
элементами группы Q так, что сумма x'yt остается инва-
инвариантной; г величин у1 определяют тензор, природа которого
зависит только от природы первого тензора1).
В самом деле, пусть
— линейные преобразования составляющих первого тензора
при применении элементов группы О; преобразования у{—*у
величин yt удовлетворяют тождеству
откуда
отсюда вытекает, что у\ связаны с yk линейной подстановкой,
зависящей исключительно от линейного преобразования состав-
составляющих х(.
Теорема II. Пусть х\ х, .... хг—составляющие
тензора, yv уг, ..., уг— величины, которые преобразуются
элементами группы О таким образом, что выражения
(о=1, 2, .... h)
преобразуются как составляющие тензора; тогда hr вели-
величин с fayk (/ = 1, 2, ...,/•; о=1, 2, ..., И) определяют тен-
тензор, природа которого зависит только от природы тензора
(х) и тензора (г). Порядок этого тензора равен числу неза-
независимых линейных форм с*ауА.
!) Мы говорим, что два тензора одной и той же природы, если
онм эквивалентны.
Предположим, в самом деле, что любым элементом группы О
величины х1 и гЛ преобразуются линейно:
имеем
откуда
(a==1. 2
. 2 г).
Эти уравнения могут быть разрешены относительно вели-
величин c*ay'k, причем эти последние выразятся линейно че-
через fr
28. Приложение. Мы видели (п. 19), что каждое беско-
п(п — 1)
нечно малое вращение зависит от ——г—
величин
причем вектор скорости vt точки х1 определяется следующим
образом:
¦ Мы говорили, что величины alk могут быть рассматриваемы
как составляющие бивектора. В действительности мы не дока-
доказали этого: мы не убедились, что при применении вращения
к вектору х и его скорости vt величины at, будут преобразо-
преобразовываться как составляющие бивектора. Рассмотрим произволь-
произвольный вектор у и скалярное произведение yv = utkylxk =
= 2а/Л(Ух*—ykx') (второе суммирование распространяется
на ¦¦¦ "" ¦¦ сочетаний из индексов 1, 2, ..., я по два). Эта
сумма является инвариантом; с другой стороны, величины
j/r*—У'х1 определяют тензор, следовательно, являются состав-
составляющими тензора и а^ (теорема I), и закон преобразования aih
зависит только от закона преобразования величин у'х4 — ykxi.

44
Г Л Л В А II
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
45
С другой стороны, пусть и и v — два произвольных вектора,
сумма
2 (utvk — vpk) (У д* — /Х1) = ttf/v^ — viy'akx'
ik
является инвариантом; таким образом, величины и/ок — ukv{
преобразуются, как а1к, и являются составляющими простого
бивектора; следовательно, бесконечно малое вращение опреде-
определяет тензор, эквивалентный бивектору.
III. Тензоры приводимые и неприводимые
29. Определение. Тензор, соответствующий группе G,
называется приводимым, если из его составляющих uv
и2, ..., иг можно образовать р <^ г линейных комбинаций с
постоянными комплексными коэффициентами, обладающих тен-
тензорным характером, то есть линейно преобразующихся между
собой любым преобразованием из группы О.
Тензор, не являющийся приводимым, называется неприво-
неприводимым.
Тензор называется вполне приводимым, если при помо-
помощи линейного преобразования над составляющими их можно
разбить на определенное число классов:
1 Уд'
таким образом, что составляющие каждого класса линейно
преобразуются между собой неприводимым образом.
Ясно, что тензор, эквивалентный неприводимому, сам является
неприводимым; то же имеет место в случае полной приводимости.
Тензор, принадлежащий к группе О, дает ее линейное
представление, а также и каждой. подгруппы g этой группы;
таким образом, он является тензором и для g. Если он иепри-
водим относительно подгруппы g, то он, очевидно, является
неприводимым и относительно О, но обратное не всегда спра-
справедливо. Мы уже приводили пример, когда О является груп-
группой вращений и отражений, a g — группой вращений.
30. Критерий неприводимости. Понятие неприводимости
можно представить следующим образом. Будем интерпретировать
г составляющих рассматриваемого тензора как составляющие
вектора г-мерного пространства. Если этот тензор приводим, то
существует p<V линейных комбинаций г величин и(, преобра-
преобразующихся линейно между собой преобразованиями из группы О.
Следовательно, плоскость II, проходящая через начало и определяе-
определяемая приравниванием нулю этих р форм, инвариантна относительно
группы О. Обратно, если О оставляет инвариантной некоторую
плоскость II, проходящую через начало, левые части линейных
уравнений, определяющих И, преобразуются между собой ли-
линейно при подстановках S, то есть тензор является приводи-
приводимым. Таким образом, тензор тогда и только тогда является
неприводимым, если преобразования S не оставляют инва-
инвариантной никакую плоскость, проходящую через начало.
31. Одно свойство неприводимых тензоров. Отсюда
можно вывести одно свойство неприводимых тензоров, которое
будет полезно для нас в дальнейшем. Будем интерпретировать
каждый частный тензор рассматриваемого семейства тензоров
вектором и в r-мерном пространстве Ег. Мы не получим,
таким образом, обязательно всех векторов пространства Ег,
но так как не существует линейной и однородной зависимости
между составляющими uv иг,..., иг тензоров семейства, то
каждый вектор пространства ЕТ может быть представлен в виде
линейной комбинации векторов, интерпретирующих тензоры
семейства. Предположим, что тензор неприводим и применим к
вектору а0, изображающему некоторый частный тензор семей-
семейства, все преобразования из группы G. Мы получим опреде-
определенную совокупность векторов. Эти векторы не могут ле-
лежать в одной и той же плоскости П, проходящей через
начало, В самом деле, пусть П имеет наименьшее число изме-
рений среди таких плоскостей; тогда каждый вектор и плоско-
плоскости II является линейной комбинацией определенного числа
векторов совокупности, например, векторов, которые получаются
из и0 при помощи преобразований Sv S2, ..., Sp. Применив
к этому вектору и преобразоваьле из группы G, определяемое

46
ГЛАВАМ
подстановкой .$, мы получим ту же линейную комбинацию
векторов <S5jK0, 552u0, .... SSpu0, которые все по предполо-
предположению лежат в П. Следовательно, преобразования S оставляют
инвариантной плоскость П, а так как тензор неприводим, то
это может быть только -в том случае, если II совпадает со
всем пространством.
32. Проблема. Рассмотрим неприводимый вектор с г со-
составляющими Oj, д2, ..., иг. Исследуем вопрос, существует
ли такое линейное преобразование составляющих (преобразова-
(преобразование базиса), при котором новые составляющие для каждого
элемента из группы О преобразуются той же самой линейной
подстановкой S, что и старые составляющие.
Пусть о — искомая линейная подстановка, преобразующая
старые составляющие в новые; тогда при любом преобразова-
преобразовании S мы должны иметь:
aS<j-l = S или oS=Sa. A)
В пространстве Ег векторов и существует всегда вектор
и0, который при преобразовании о не изменяет направления, а
умножается только на некоторое число т. В самом деле, пусть
о определяется уравнениями
v,
¦с*,и
/"*'
ищем г чисел и{, удовлетворяющих уравнениям:
с^ик=^ти, (/=1, 2, .... г).
Эти уравнения допускают нетривиальное решение, если опре-
определитель
¦ т
т
... cTr — m
равен нулю; достаточно за m принять одни из корней этого
полинома.
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 47
Из уравнения
и соотношений A) выводим
таким образом, преобразование о умножает вектор Su0 на щ.
Но так как тензор приводим, то каждый вектор пространства ?
является линейной комбинацией векторов Su0, то есть при при-
применении а умножается на т. Следовательно, v, — mur
Теорема. Единственное линейное преобразование пере-
переменных, оставляющее инвариантными все подстановки ли-
линейного неприводимого представления группы G, состоит в
умножении всех переменных на один и тот же постоянный
множитель т.
33. Нахождение неприводимых тензоров, которые могут
быть получены из вполне приводимого тензора. Применим
полученные выше результаты к решению следующей проблемы.
Возьмем вполне приводимый тензор, относящийся к группе О.
Предположим, например, что соответствующим выбором состав-
составляющих он разлагается на 5 неприводимых тензоров, из кото-
которых 3 первых эквивалентны между собой, так же как и два
последних. Обозначим соответственно через
У» Л.
«1,
, zpt
, V
составляющие этих пяти тензоров. Мы можем предполагать, что
составляющие xt, y{, zt выбраны таким образом, что линейные
преобразования над переменными х(, yi% z, одни и те .же; ана-
аналогично — относительно и( и vr
Определим все неприводимые тензоры, которые можно вы-
выделить из заданного вполне приводимого тензора. Составляющие
такого тензора будут линейными комбинациями х(, уь г,-, «,, vt.

48
ГЛАВА II
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
49
Пусть
— одна из этих составляющих. Если один из коэффициентов
а, отличен от нуля, то невозможно, чтобы все составляющие
х1 отсутствовали в какой-нибудь другой из линейных комбинаций,
образующих искомый тензор; в самом деле, в противном случае
совокупность всех линейных комбинаций, в которые не входят
xit обладала бы сама тензорным характером. С другой стороны,
различные величины 'Zaixl преобразуются линейно между собой,
и, так как xt образуют неприводимый тензор, отсюда следует,
что искомый тензор содержит обязательно р независимых со-
составляющих, которые могут быть приведены к виду
•^1 ~Т~ • • • I
Хр~\ • • » »
где многоточия обозначают линейные комбинации переменных
yt, zt, ut, v(. p линейных комбинаций из ylt которые здесь
фигурируют (мы предполагаем, что они не равны все нулю),
преобразуются тогда как xv xv .. . , x^, следовательно (п. 32),
они имеют вид tnyv my.t my^ Аналогичную картину имеем
для комбинаций из zv Что касается переменных а/( то они не
могут входить, так как р линейных комбинаций, которые тогда
фигурировали бы, преобразовывались бы между собой как х,;
отсюда вытекало бы, что q — p и что и( образует тензор, эк-
эквивалентный л*,-, что противоречит предположению.
34. Приложение. Из полученных результатов вытекает один
важный вывод. Предположим, что мы имеем класс объектов,
прообразующихся между собой элементами группы О, и что
каждому объекту можно отнести некоторую совокупность г
величин utt обладающих следующими свойствами:
1° каждому элементу группы G соответствует определенная
линейная подстановка S, преобразующая величины ия;
2° линейные преобразования S лают линейное представление
группы О.
Возникает вопрос, может ли между ил существовать одно
или несколько линейных соотношений с постоянными коэффи-
коэффициентами.
Сделанное предположение сводится к тому, что в некотором
-*¦
/¦-мерном пространстве Ег векторы х. определяют своими г со"
-¦¦
ставляющими ха некоторый тензор ?. Векторы и, отнесенные
К объектам рассматриваемого класса, образуют только часть
Векторов х пространства Ег. Но подстановки S преобразуют
их между собой; следовательно, плоскость наименьшего числа
измерений, содержащая векторы и, инвариантна при подстанов-
подстановках S. Левые части уравнений, определяющих эту плоскость,
определяют тензор, выделенный из 5?. Следовательно, линейные
соотношения между иа получаются приравниванием нулю всех
составляющих некоторого тензора, выделенного из ?.
Предположим, например, что тензор & разлагается на три
неприводимых эквивалентных между собой тензора и что соста-
составляющие
•*ii ^а» • • ¦ • •*¦(>> Ух*" У%> • • • • Ур> ^игг *f
этих трех тензоров выбраны таким образом, чтобы xlt y{ и zt
преобразовывались одной и той же линейной подстановкой для
каждого данного элемента группы G. Искомые соотношения по-
получатся, если выписать одну или несколько систем р соотноше-
соотношений вида
-сг/ —° (' = 1. 2,..., р),
где а, Ь, с — постоянные коэффициенты.
35. Основная теорема. Применим полученные результаты
и доказательству следующей замечательной теоремы:
Теорема Бернсайда1). Между коэффициентами ли-
линейных подстановок S, образующих неприводимое линейное
представление группы G, не может существовать линейных
соотношений с постоянными коэффициентами»
. О
1) London Math. Soc. Proc. 3, 1905, стр. 430.

ГЛАВА U
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
51
Рассмотрим линейное представление порядка л, и пусть
и* обозначают коэффициенты подстановки S общего вида:
\ = uixk (' = 1,2,..., л).
Если А — некоторая частная подстановка этого представле-
представления, то S=AS некоторая другая подстановка, причем ее коэф-
коэффициенты {(/)' связаны с #/ соотношениями
B)
<*«/
Каждому элементу а группы О соответствует, таким образом,
линейное преобразование B) над п% величинами «? эти линей-
линейные преобразования дают линейное представление группы О,
так как произведению элементов а и. b нэ О соответствует
последовательное применение двух преобразований
Мы можем теперь применить теорему предыдущего параграфа.
Если в уравнениях B) мы фиксируем индекс J, то величины
й^, Ц а? преобразуются так же, как преобразуются при под-
подстановке А составляющие тензора, соответствующего данному
представлению; так как этот тензор неприводии, то отсюда
следует, что тензор и^ разлагается на п неприводимых тензо-
тензоров, эквивалентных между собой. Следовательно, все линейные
соотношения между uj получатся, если выписать одну или не-
несколько систем уравнений вида
да,«»-f-т?й2-f •• • + "'„"? = О (' — 1.2 л),
где тк—постоянные. Но такие соотношения невозможны, так
как определитель подстановки S был бы нулем. Теорема, таким
образом, доказана.
В качестве примера возьмем группу вращений вещественной
плоскости в применении к векторам:
x' = xcosa— у sin a,
у = х sin а -f- у cos а;
так как коэффициенты этого преобразования линейно зависимы,
то вектор не может быть неприводимым тензором. В самом деле,
он разлагается на два неприводимых тензора х-\-1у и х—/у,
имеющих по одной составляющей.
36. Критерий неприводимости. Из теоремы Бернсайда
вытекает критерий неприводимости линейного представления.
Теорема. Линейное представление группы О тогда и
только тогда неп'риводимо, если между коэффициентами
различных подстановок, определяющих данное представление,
не существует линейных соотношений с постоянными коэф-
фициентами, не равными одновременно нулю.
Условие необходимо на основании теоремы Бернсайда. Оно
очевидно и достаточно, так как если оно выполнено, то из
данного тензора % порядка г невозможно выделить никакого
тензора %' более низкого порядка р; в самом деле, если за р
первых составляющих тензора % принять составляющие тензора
%', то коэффициенты при л — р последних переменных в первых р
уравнениях подстановки 5 былн бы все равны нулю.'
IV. Матрицы
37. Определение. Каждое линейное преобразование S над
л переменными х(:
J = «/***
(/=1, 2,...,л)
может быть определено при помощи матрицы — квадратной
таблицы с л строками и л колоннами, составленной из коэффи-
коэффициентов преобразования. Эту матрицу мы будем обозначать
также буквой S. Если над преобразованными переменными x't вы-
выполнить новую подстановку S':
то результирующая подстановка
лами
s^S'S определяется форму-
формуОтсюда выводим закон умножения матриц: элементы #/ ма-
матрицы ^"=5'5 и еют^ид:

52
Г Л А В А И
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
В общем случае можно рассматривать прямоугольные (не
квадратные) матрицы и определить предыдущими формулами
произведение S'S при условии, что число столбцов матрицы S'
равно числу строк матрицы S. В частности, обозначив через х
матрицу с п строками и 1 колонной, элементами которой яв-
являются xv хг хп, через xf аналогичную матрицу, получа-
получающуюся при преобразовании 5, имеем
38. Сложение, умножение на число. Суммой 5-f-5' двух
матриц 5 и 5', имеющих одинаковое число строк и столбцов,
называется матрица, элементы которой получаются сложением
соответствующих элементов матриц 5 и 5'.
Произведением mS матрицы 5 на число т называется матри-
матрица, получающаяся при умножении всех элементов матрицы 5 на т.
39. Замечание к вычислению произведения матриц.
Необходимо сделать одно замечание к вычислению произведения
S'S двух линейных преобразований. Если пытаться получить
jc ', соответствующее преобразованию S'S, подставляя в уравнениях
x'{=afxll, соответствующих преобразованию 5, вместо хк ре-
результат применения 5', то есть Ь^хл, то получится неправиль-
неправильный результат
вместо
Xl —
Для того чтобы применить указанный процесс вычисления,
следует S' и S поменять местами, применяя сначала S', за-
затем 5. То же следует заметить о произведении нескольких
преобразований.
40. Матрицы транспонированные и обратные. Транспо-
Транспонированной матрицей S* от матрицы S называется матрица,
получающаяся из S заменой строк столбцами. Таким образом,
матрица х* имеет одну строку и п столбцов, составленных из
элементов хх, хг,..., хп.
Из равенства S" = S'S получаем при переходе к транспониг
рванным матрицам следующее соотношение:
S"* = 5*5'*;
^ частности, формула x'~Sx дает x'*=x*S*.
' Матрицей S'1, обратной данной квадратной матриг.-г S,
определитель которой не равен нулю, называется матрица,
Соответствующая линейному преобразованию, обратному S. Имеем
где через 1 мы будем обозначать (в тех случаях,' когда не мо-
&ет возникнуть недоразумения) матрицу, диагональные элемента
которой равны единице, а^ все остальные нулю. Имеем при лю-
любом выборе матрицы 5
15=51=5.
Будем называть диагональной такую матрицу, элементы которой.,
be стоящие на главной диагонали, равны нулю.
41. Подобные матрицы. Мы видели {п. п. 20, 22), что при
вамене переменных в линейной подстановке 5 новыми перемен-
переменными, связанными со старым линейным преобразованием А,
получается подстановка ASA'1. Будем говорить, что матрицы S
k ASA~1 подобны и что вторая преобразована из первой при
|томощи матрицы А.
¦ Подобные матрицы имеют равные детерминанты. Матрица,
Преобразованная из S'S при помощи Л, равна произведению
Патриц, преобразованных из 5 и 5'; это вытекает из равенства:
Аналогично матрица, обратная преобразованной, равна преоб-
преобразованной обратной, так как
{ASA-1) (ASA-*1)'1 = {ASA-*) {AS-1 A-1) = Л55-М-* = 1.
42. Характеристическое уравнение. Собственные аначе-
рия. Характеристическим уравнением квадратной матрицы S
Называется уравнение с неизвестной X, получающееся прирав-
приравниванием нулю определителя матрицы 5—\\ элементы последа
ней получаются вычитанием X ьз элементов главной диагонали
о

54
ГЛАВАМ
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
55
матрицы S. Корни характеристического уравнения называются
собственными значениями матрицы S.
Две подобные матрицы S и ASA*1 имеют одинаковое ха-
характеристическое уравнение, так как
ASA-i — ).=¦• Л (S —л) Л,
откуда
I Asa-1—).|=|л;|5—цл-чнз-Ч-
Если Хо является собственным значением матрицы S,
соответствующей линейному преобразованию в векторном про*
странстве Еп, то существует ненулевой вектор х0, который при
преобразовании S умножается на ),0:
—*• -+-
Sxq = )чд:0.
43. Унитарные матрицы. Квадратная матрица U с ком-
комплексными элементами называется унитарной, если соответству-
соответствующее линейное преобразование оставляет инвариантной сумму
квадратов модулей переменных, то есть произведение х*х, где
х обозначает матрицу с одним столбцом и п строками, ком-
комплексно сопряженную с х. Имеем:
x*'x'~x~*U*Ux;
таким образом, условие того, что U является унитарной ма-
матрицей, выражается следующим образом:
U*U— 1 или G*= U~\
то есть матрица, транспонированная и комплексно сопря-
сопряженная с U, равна матрице, обратной U.
Теорема. Каждая унитарная матраца может быть
преобразована при помощи унитарной же матрицы к диаго-
диагональному виду, причем модули стоящих на главной диаго*
нали элементов преобразованной матрицы равны единице.
Условимся называть скалярным произведением двух векторов
х и у величину х*у. Это произведение при перестановке век-
векторов меняет свое значение на комплексно сопряженное. Ска-
Скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов модулей его
составляющих; если этот квадрат равен нулю, то равен нулю и
вектор. Вектор, скалярный квадрат которого равен 1, будем
называть унитарным. Два вектора называются взаимно перпен-
перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.
Отметим, Г.аконец, что каждая унитарная матрица U оставляет
инвариантным скалярное произведение двух векторов; в самом челе,
Обратимся теперь к доказательству теоремы. Пусть X — соб-
собственное значение матрицы U; тогда существует ненулезой вектор
х, удовлетворяющий соотношению
при помощи транспонирования и перехода к комплексно сопряжен-
сопряженным значениям получаем
откуда прн помощи перемножения получаем
)?x~*xt то есть Н =
Таким образом, все собственные значения матрицы U по мо-
модулю равны 1.
Отметим, с другой стороны, что матрица, преобразован'
пая из U при помощи унитарной матрицы, также является
унитарной:
{CV С-1)* ==С*-^*С* —CU~lC-1 в {CUC-1)-1.
Обозначим через ег унитарный вектор, который при преоб-
преобразовании U умножается на \v Матрица U оставляет инвари-
инвариантным подпространство, в котором лежат векторы, перпенди-
куляриые к е,; в этом подпространстве существует по крайней
мере один вектор ег, который можно считать унитарным и ко-
который при преобразовании U умножается на \. Матрица U
оставляет инвариантным подпространство, ортогональное к ех и
*,; в этом подпространстве существует по крайней мере один
унитарный вектор 7%, который при преобразовании U умножается

Г Л А В А И
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
57
на ла, и так далее. Мы приходим, таким образом, к базису
-*• -*¦ -*¦
еь ег» •••»**• Каждый вектор может быть представлен в вида
причем скалярный квадрат этого вектора равен ухух -\-у2Уг ~\~
-+-...-}-УпУп' Таким образом, преобразование С, переводящее
xi B Уп унитарно, и матрица U' = CUC~ly определяющая преоб-
преобразование над у{, переводит вектор Sy,^ в 2X^,6/. Следова-
Следовательно, W— диагональная матрица, и ее диагональные элементы Л/
по модулю равны единице.
44. Ортогональные матрицы. Квадратная матрица назы-
называется ортогональной, если соответствующее линейное преобра-
преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов переменных,
то есть х*х. Соотношение
х*О*Ох—х*х
дает
0*0 = 1, или 0* = 0-\
то есть транспонированная ортогональная матраца равна
своей обратной.
Если ортогональная матрица имеет вещественные элементы,
она унитарна. Приведение, указанное в предыдущем параграфе,
дает в рассматриваемом случае п векторов ev ez,..., еп, комплекс-
комплексных, если соответствующие собственные значения комплексны,
вещественных при вещественных собственных значениях (равных
тогда rfcl); кроме того, сумма квадратов модулей составляю-
составляющих каждого вектора равна 1. Выберем один из этих векторов,
например е{, пусть это — комплексный вектор
-*¦-*• -*¦
причем 1),, i)a вещественны. Нетрудно видеть, что ех
определяет изотропное направление в пространстве, то есть
iji и j)a — единичные взаимно перпендикулярные векторы, причем
От), = cos aj)j — sin ar\v
Ог\г — sin orj, -f- cosai}.,.
Матрица О оставляет инвариантной плоскость, ортогональ-
яую к t\x и 7J, причем она преобразует векторы этой плоско-
плоскости ортогональным преобразованием. Таким образом, можно
. -*¦—*¦
найти два единичных вектора tj3, тц, ортогональных между со-
бой и к Kjj, jJ; эти векторы 7]3,7]4 преобразуются аналогичным
образом. Собственным значениям +1 матрицы О соответствуют
векторы, которые при ортогональном преобразовании или ин-
инвариантны, или только меняют знак.
¦;.,", В результате мы видим, что при помощи некоторой орто-
ортогональной матрицы С можно матрицу О преобразовать к виду,
аналогичному следующему:
COS О
sin a
0
0
0
0
— sine
cos а
0
0
0
0
0
0
cosfi
sinp
0
0
0
0
—-sin p
cos^
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Определитель такой матрицы равен ±\; матрица называется
прямой ортогональной, если ее определитель равен -\-\.
45. Применение к разложению вещественного вращения»
Полученный результат дает интересное свойство группы вра-
вращений и отражений вещественного эвклидова пространства,
В этом пространстве, отнесенном к ортогональному реперу,
вращения и отражения определяются вещественными ортого-
ортогональными матрицами. Назовем простим вращением такое
вращение, при котором все координаты, за исключением двух,
например, х{, х. постоянны, причем
х'{ s=s xt cos a — Xj sin a,
x'j=xt sin a -f- Xycos a;
б называется углом простого вращения; двумерная плоскость,
Построенная на е,, еР~ плоскость этого вращения. Мы можем
формулировать следующую теорему: .

ГЛАВА 11
Каждое вращение есть произведение некоторого числа «S-k-
простых вращений, двумерные плоскости которых взаимно
перпендикулярны; каждое отражение есть произведение не-
некоторого числа eg; ¦ ~~— простых вращений и симметрии от-
носительно гиперплоскости, содержащей двумерные плоскости
¦всех простых вращений.
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
59
46. Эрмитовы матрицы. Квадратная матрица Н называется
эрмитовой, если ее транспонированная равна комплексно со-
сопряженной:
Матрица, преобразованная из эрмитовой при помощи уни-
унитарной, является эрмитовой; это следует из соотношения
Теорема. Каждая эрмитова матрица может быть пре-
преобразована при помощи унитарной к диагональному виду, a
мотором все элементы вещественны.
Покажем прежде всего, что собственные значения матрицы Н
вещественны. Из соотношения
переходя к транспонированным комплексно сопряженным ма-
матрицам, получаем
х*Н=Лх*;
умножая первое соотношение слева на х*, второе справа на
х, получаем
х*Нх = X .**#"=¦= а х*х,
•откуда Х = Х.
Введем теперь в векторном пространстве унитарную метрику,
в которой скалярное произведение векторов х, у определяется
формулой х*у. Существует по крайней мере один унитарный
вектор ех, который при преобразовании Н умножается на
вещественное число \v Каждый вектор х, перпендикулярный к
-*• -+¦-»¦
е}, преобразуется в вектор х', перпендикулярный к ех\ это
следует из соотношения
е\х' = ег Их = \хе\Х.
Так как подпространство, в котором лежат векторы, пер-
-+-
пендикулярные к ev инвариантно относительно преобразования И,
то оно содержит по крайней мере один унитарный вектор
¦ -* ' .
бр который при применении Н умножается на вещественный
множитель Х2. Продолжая это рассуждение дальше, мы прихо-
приходим к системе п взаимно перпендикулярных унитарных векто-
ров еи ev ..., еи> которые при применении преобразования И
умножаются соответственно на \х, Х2, • • • , 1„- Принимая эти век-
векторы за векторы базиса, мы преобразуем Н при помощи уни-
унитарной матрицы С в диагональную матрицу с элементами
\и Хг,..., \п.
47. Примечание. Произведение двух унитарных матриц
одного и того же порядка есть матрица унитарная; аналогично
произведение двух ортогональных матриц дает ортогональную
матрицу. Но произведение двух эрмитовых матриц, вообще го-
говоря, уже не является эрмитовой матрицей. Матрица НН' тогда
и только тогда является эрмитовой, если
Н'*Н* =НН' или /f И — НН\
то есть, если матрицы Н и И' перестановочны. Совокупность
линейных унитарных преобразований образует группу, как и
совокупность ортогональных преобразований; но совокупность
эрмитовых преобразований относительно умножения группы не
образует.
Наоборот, сумма двух эрмитовых матриц является эрмито-
эрмитовой матрицей; ни унитарные, ни ортогональные матрицы этиы
свойством не обладают.

60
ГЛАВА II
V. Неприводимость jp-векторов
В заключение этой главы мы исследуем мультивекторы с
точки зрения их неприводимости относительно группы враще-
вращений. Мы будем иметь в виду прежде всего вещественное эвкли-
эвклидово пространство, отнесенное к ортогональному реперу, но
результаты могут быть применены без изменения к комплексному
пространству.
48. Неприводимость jo-вектора относительно группы
вращений (п ф 2р). Обозначим через а1 симметрию, соответ-
соответствующую вектору е{ базиса. Если бы р- вектор был приво-
приводим, то существовал бы тензор % порядка г<^С%, составляю-
составляющие которого были бы линейными комбинациями составляющих
*/,/,...' J) P~вектора. Предположим, что в одной из этих
составляющих коэффициент при хп... п не равен нулю.
Тогда вращение ахаг дало бы новую составляющую тензора ?,
которая получилась бы из первой изменением знаков у коэф-
коэффициентов при */,/,.../ .содержащих один и только один из ин-
индексов 1 и 2; сложением мы исключили бы эти велгчины. При-
Применяя так же вращения ajOs,..., ахар, мы придем к состав-
составляющей тензора %, содержащей #,2...р и только те величины
xUt...i i которые не имеют ни одного из индексов 1, 2,...,р.
Пользуясь, наконец, вращениями с,ор+1,..., сг,ал, мы доказали
бы существование составляющей тензора %, содержащей вместе
с хп.„р только те xltt,...i , в которые входят все индексы
р4-1, р-\-2,..., я, но не входит ни один из индексов
1,2,..., р. Но это возможно только в том случае, если
л = 2р.
Таким образом, если пф2р, тензор 5? содержит составля-
составляющую хп... ¦; но перестановка координат xt в сопровождении
с переменой знака у одной из координат (если перестановка
нечетная) показывает, что тензор % содержит все составляю-
составляющие р- вектора, то есть этот последний неприводим.
- ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ 61
49. Полу-у-векторы пространства Eir Предположим
теперь, что л —четное: я —2v и p = v. Предыдущее рассуж-
рассуждение показывает, что тензор & содержит по крайней мере
одну из составляющих вида
¦О I
*i4... * "Г «* (>+i> U+г) - Ы-
Перестановка, примененная к индексам, позволяет вывести
отсюда существование составляющей
в которой следует брать знак D-) или (—) в зависимости от
четности или нечетности перестановки (klt k-v ..., ka), В част-
частности, имеем составляющую
1) Мы будем обозначать через х{1 t составляющие />• вектора
(вместо обозначения Р{{ , .введенного в п. 15).
Чтобы тензор St не совпадал с v-вектором, необходимо при-
принять а* = (—\у, то есть а=;+;;». Обратно, выберем, напри-
например a = iy. Величины
где (&j, kv..., &я) является четной перестановкой, определяют тен-
тензор, В самом деле, составляющие дополнительного v-вектора к
данному определяются следующим образом:
Этот дополнительный v-вектор образует тензор, эквивалент-
эквивалентный v-вектору. Следовательно, величины •**,*,• • •*,"!"
"Ь^Л,*!-* •*» являются составляющими тензора. При '/и = Л по-
получим найденные выше величины.
v-вектор разлагается, таким образом, иа два неприво-
неприводимых тензора; они не эквивалентны, так как в противном
Случае v-вектор дал бы бесконечное число неприводимых
тензоров порядка уС^(п. 33), между тем как он дает только
два.

62
ГЛАВ А II
ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
63-
В произвольной декартовой системе координат полученные
выше тензоры (мы будем называть их полу-v-векторами
первого и второго рода) определяются составляющими
**,*••• .*, + «'¦*/?**'+.*'+* • • • *,v (в = ± 1),
как это вытекает из выражения для составляющих у-вектора,
дополнительного к данному v- вектору (п. 17).
50. Примечания. Полученные результаты остаются в силе,
если рассматривать группу вращений или даже просто группу
собственных вращений в вещественном псевдоэвклидовом про-
пространстве, хотя данное выше доказательство должно быть в этом
случае пополнено. Это является следствием одной общей тео-
теоремы, которая будет дана в дальнейшем (п. 76).
Можно поставить вопрос: могут ли р - вектор и q - вектор
(pj^q) образовывать эквивалентные тензоры? Это может быть
только в случае q = n—р, — единственном случае, когда эти
¦цензоры одинакового порядка.
1 Относительно группы вращений р-вектор и (п—/^-век-
(п—/^-вектор эквивалентны, так как соответствующие составляющие
/ьвектора и дополнительного (я — р) - вектора преобразуются,
очевидно, одинаково при вращении. С другой стороны, мы видели,
что в случае я = 2> полу-v-вектор первого рода и полу-
V-вектор второго рода не эквивалентны.
51. Мультивекторы относительно группы вращений я
отражений. Относительно группы вращений и отражений полу-
V-векторы не дают уже тензоров, так как симметрия пере-
переводит полу - v - вектор первого рода в полу-v-вектор второго
рода.
Те в рем а. р-векторы (р = 1, 2,... , л) образуют не-
приводимые тензоры; они не эквивалентны между собой.
Вторая половина теоремы доказывается легко: достаточно
показать, что р - вектор и (п — р) - вектор (л ф 2р) не экви-
эквивалентны. Если бы они были эквивалентны, то можно было бы
установить такое соответствие между составляющими этих тензо-
тензоров, что при каждом вращении и отражении составляющие
р-вектора и (п — р)- вектора преобразовались бы одинаково. Мы
знаем, что при группе вращений это можно сделать единствен-
единственным образом (п. 32); составляющая уа (л — р)- вектора, которая
должна соответствовать данной составляющей xkikt... к
р-вектора, может только постоянным множителем отличаться от
составляющей (я — р)- вектора, дополнительного данному р-век-
тору именно у*р+' *р + « ... kn (kltkv...}kn—четная пе; гста-
новка) (п. 17). Если воспользоваться прямоугольной системой
координат, то нетрудно видеть, что симметрия, соответствующая
одному из векторов базиса, не меняет соответствующих состав-
составляющих по абсолютной величине, но в то же время у одной ме-
меняет знак на обратный, а у другой не меняет знака.

ГЛАВА III
СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА.
I. Понятие спинора
52. Определение. Рассмотрим в трехмерном пространстве Еъ,
отнесенном к ортогональной системе координат, изотропный век-
вектор {xv xv xz). Так как составляющие этого вектора удовлетво-
удовлетворяют соотношению
то ему можно отнести два числа So, Si при помощи следующих
¦формул:
Получаем два решения для So,
So = :
Невозможно указать такое правило, имеющее внутренний гео-
геометрический смысл, которое позволило бы сделать определен-
определенный выбор знака для каждого изотропного вектора, если в то же
время выставить требование, чтобы выбранное решение изменя-
изменялось непрерывно вместе с вектором. В самом деле, предполо-
предположим, что мы нашли такое правило; возьмём определенный изо-
изотропный вектор и будем его вращать около оси Qxt на пере-
переменный угол а, причем пусть а изменяется непрерывно; так как
хх — ixz умножится на e~h, то So надо умножить по соображе-
ниям непрерывности на e~'f. После полного обхода на угол 2п
величина So умножается на «-'«==—Г, мы приходим к началь-
начальному положению вектора, но So имеет новое значение, отличное
от неходкого. ,
СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
66
Система, двух величин ?0, ?х называется спинором. Спинор,
таким образом, является как бы ориентированным, или поляри-
поляризованным, изотропным вектором; вращение около оси на угол 2тт
изменяет поляризацию этого изотропного вектора.
53. Спинор является эвклидовым тензором. Рассмотрим
вращение (или отражение), заданное уравнениями
где а, E, Yi а.', $', Y\ а", [Г, Y" — девять направляющих коси-
косинусов трех взаимно перпендикулярных направлений. Рассмотрим
спинор ($0, Sj), соответствующий изотропному вектору {xvxitxt),
и один из спиноров (Eq, ф, соответствующих преобразованному
вектору; имеем:
Правая часть является полным квадратом, так как дискриминант
трехчлена равен
(Y _ /ту _ {а _ /а' + /р + р») (_ а + /а- + /? + П =
= (а - /a')s + tf-'P? + (Y - 'Y'J = 0.
Величина ^, таким образом, линейно выражается через So, &г;
то же надо сказать и относительно SJ. После выбора одного
из двух значений величины ?^ величина SJ определяется из соот-
соотношения
В дальнейшем мы выведем линейные преобразования, создава-
создаваемые в области спиноров вращениями и отражениями.

66
ГЛАВА HI
СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
67
54. Геометрическая интерпретация отношения %. Отно-
Отношение -г- прн каждом вращении и отражении преобразуется дроб-
но-лннейной подстановкой. Это вытекает очень просто из того,
что отношение -X может быть рассматриваемо как параметр об-
образующей изотропного конуса, причем каждое вращение или
отражение сохраняет ангармоническое отношение четырех обра-
образующих этого конуса. Если дробно-линейная подстановка из-
известна, вращение определено; в самом деле, если Ж —произ-
—произвольная точка пространства, то две изотропных прямых, перпен-
перпендикулярных к ОМ, преобразуются в определенные изотропные
прямые, к которым перпендикулярна прямая ОМ'; таким обра-
образом, прямая ОМ' определена, то есть определена и точка М'.
Эти рассуждения лежат в основе теории параметров Эйлера-
Олнида-Родрига, как мы увидим это дальше.
II. Матрицы, соответствующие векторам
55. Матрица, соответствующая вектору. Вернемся к спи-
спинорам. Уравнения изотропной прямой, определяемой, изотроп-
изотропным вектором, соответствующим спинору ?, могут быть напи-
написаны в следующей виде:
(*х + **,)-
= о /
Рассмотрим матрицу
образованную нз коэффициентов прн ^ в ;, в левых частях
уравнений. Рассматривая хъ хг, xt как составляющие некоторого
-¦
лектора х, мы будем говорить, что матрица X соответствует
этому вектору, причем мы будем говорить часто просто „вектор Хл,
вместо „вектор, которому соответствует матрица X"'.
Матрицы X обладают следующими важными с&ойстьачв.
Теорема I. Определитель матрицы, соответствующей
некоторому вектору, равен скалярному квадрату этого век'
тора с обратным знаком.
Теорема II. Квадрат матрицы X, соответствующей
Некоторому вектору, равен единичной матрице, умноженной
на скалярный'квадрат вектора.
В самом Деле,
¦j^j { хз~Т\х1 — lxi> \xi ~г txi)i xt\xi~~~1Х*
\ \ХХ -f- IXtf Хг— Х$ХХ -(- IX^j, V*iT" lxt)
— ixt) -\-x\j
0
Теорема 111. Скалярное произведение двух векторов ху
равно полусумме произведений XY и УХ соответствующих
матриц.
В самом деле, если \, у. — некоторые параметры, то
откуда вытекает справедливость теоремы.
В частности, если построить матрицы, соответствующие век-
векторам базиса
l о)' Я2=(/
то квадраты этих матриц равны 1, а скалярное произведение
каждой пары меняет знак при перестановке сомножителей:
Яз — ш ш 1
1 —П% — *7з— '
56. Матрицы, соответствующие бивектору и тривектору.
-¦ -¦
Рассмотрим бивектор, определяемый векторами х, у с состав-
составляющими °

68
ГЛАВА Ш
Этому бивектору можно отнести матрицу
±-(XY-YX) =
Отметим, что эта матрица равна матрице, соответ-
соответствующей векторному произведению двух данных векторов и
умноженной на i.
Если векторы взаимно перпендикулярны, то матрица, соот-
соответствующая бивектору, равна
Можно аналогично отнести тривектору, определяемому век*
-» -»-¦
торами х, у, z, матрицу
j (XYZ + YZX-\-ZXY - YXZ - ZYX ~ XZY).
Если три вектора взаимно перпендикулярны, то эта матрица
-» -»->
равна XYZ. Обозначая через и векторное произведение [лгу],
имеем
Но произведение UZ матриц, соответствующих двум векто-
векторам, лежащим на одной прямой, равно скалярному произведе-
произведению этих векторов, которое в данном случае равно объему v
тривектора. Таким образом, матрица, соответствующая три-
тривектору с алгебраическим объемом v, равна iv. В частности,
как это показывает непосредственное вычисление.
67. Связь с теорией кватернионов. Не существует линей-
линейной зависимости с комплексными коэффициентами, не равными
одновременно нулю, вида
СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
69
Можно непосредственно проверить, что левая часть этого
соотношения выражается матрицей
~ ia
Отсюда вытекает, что каждая матрица 2-го порядка с ком-
комплексными коэффициентами единственным способом может быть
разложена на сумму скаляра и вектора. Мы получаем систему
гиперкомплексных чисел, не отличающуюся от системы кватер-
кватернионов; достаточно положить
и мы получим закон композиции:
В' действительной области между матрицами 1, Hv Hv
#,, iHv iHv iHv i не существует линейной зависимости
с вещественными коэффициентами, не равными одновременно
нулю; эти матрицы образуют систему гиперкомплексных чисел
с 8 единицами, построенную на совокупности вещественных чи-
чисел. Каждое число системы разлагается единственным способом
на сумму вещественного скаляра, вещественного вектора, веще-
вещественного бивектора и вещественного тривектора.
HI. Представление симметрии и вращений
58. Представление симметрии. Пусть a — единичный вектор;
вектор х\ симметричный вектору х относительно плоскости П,
перпендикулярной к а и проведенной через начало, ^ опреде-
определяется соотношением (п. 9):
или, переходя к соответствующим матрицам и замечая, что Аг = I.

70
ГЛАВА II)
имеем;
Х' — Х — А(ХА-\-АХ) — — АХА. B)
Отсюда вытекает, что симметрия для бивектора, определен-
определенного двумя взаимно перпендикулярными векторами X, К, опре-
определяется следующим образом:
X'Y' = AXYA,
откуда для матрицы U, соответствующей бивектору, имеем
U'zzzAUA. C)
Наконец, при применении симметрии к матрице, соответ-
соответствующей тривектору, последняя только меняет знак.
59. Представление вращения. Так как каждое вращение
является произведением двух симметрии А, В (п. 10), то резуль-
результат применения вращения к вектору X и бивектору О выра-
¦>жается формулами
Х' = ВАХАВ, U' = BAUAB,
или
X' = SXS-\ U' — SUS~\ D)
где S = BA.
Из формулы C) можно вывести формулу Зйлера-Олинда-Род-
рига. Пусть L — единичный вектор, определяющий направление
оси вращения, & — угол поворота; скалярное произведение еди-
А
иичных векторов А, В равно cos-s-, их векторное произведе-
1 А
иие, •=¦ {АВ — В А), равно /Z-sin-^-. Отсюда имеем
В А — cos -?• — it sin -j, АВ — cos -^ -\- it sin -5-,
то есть
(
= (cos -^-iLsln±
E)
Если обозначить через lv lv /8 направляющие косинусы век-
вектора Z^ то параметры Эйлера-Олинда-Родрига определяются
СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
71
следующими 4 формулами:
сумма квадратов этих величин равна 1.
60. Операции над спинорами. Вернемся к спинорам. Обо-
Обозначим через S матрицу с двумя строками и одним столоцом,
элементами которой являются ^, Sx. Условимся относить сим-
симметрии относительно плоскости II, ортогональной единичному
вектору а, преобразование
6'*/45. F)
-¦ •
Нетрудно видеть, что если а? является изотропным вектором,
-»
которому соответствует спинор S, то спинором, соответствую-
-> -*¦
щим изотропному вектору х\ симметричному jc относительно II,
•¦ «¦
является 5' или произведение ?' на скаляр. В самом деле, на
-¦
основании уравнений A), связывающих составляющие вектора х
с составляющими S, имеем Xi == 0; с другой стороны, из B) и E)
получаем
Х'% = — (АХА) (Л$) = — АХЬ~ 0;
таким образом, спинор, соответствующий вектору X', имеет
-#¦
ВИД /R&.
В частном случае, когда вектор а является вектором ег ба-
базиса:
формула F) дает
спинор ?' является действительно одним из спиноров, соответ-
соответствующих вектору X', симметричному X. Чтобы убедиться, что
это имеет место в общем случае, заметим, что преобразование

72
ГЛАВА III
$—<-стЛ$, повторенное два раза, должно дать спинор, соответ-
соответствующий исходному изотропному вектору, то есть ? или — ?;
таким образом т2 = ;+:1; но т изменяется непрерывно вместе
с А, то есть оно постоянно. Итак, преобразование F) действи-
действительно соответствует отражению.
Мы видим, что в применении к спинорам каждая симметрия
распадается на две*), именно
% = А% и ?' = -Д5;
каждая из них характеризуется выбором единичного вектора,,
перпендикулярного к плоскости симметрии.
Каждое вращение, являясь произведением двух симметрии,
также раздваивается. Результат применения вращения, являю-
являющегося произведением симметрии А и В, выражается формулой
6' = &4& G)
вращение — В А, геометрически одинаковое с первым, дает пре*
образование
S'== — В Л;.
IV» Произведение двух спиноров в его разложение
на неприводимые части
Три одночлена ?2, ?0 ?„ Щ образуют тензор,- эквивалентный
вектору: в самом деле., они являются линейными независимыми
комбинациями составляющих изотропного вектора, а изотропный
вектор, рассматриваемый как тензор, эквивалентен вектору об-
общего вида.
61. Матрица С. Рассмотрим теперь гензор «а?р 4-го порядка —
-* -*
произведение двух спиноров ?, ?' Чтобы изучить его, введем
матрицу
с —
(8)
*) Значения rn~2zl не применимы, как показывает приведенный'
выше пример с А — //,. {Прим. ред.)
СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
73
она имеет. следующее замечательное свойство: каков бы ни
был вектор X,
(9)
кроме того,
= — С, СС*=\, С*—— 1.
A0)
Тождество (9) проверяется подстановкой выражения для ма-
матрицы (п. 65); имеем:
01 4
62. Тривектор и вектор, соответствующие двум.спино-
рам. Рассмотрим два спинора ? и ?' и форму
нрн применении симметрии А эта форма на основании F) и (9)
преобразуется в
то есть, только изменяет свой знак. Она определяет, таким
образом, тензор, эквивалентный тривектору, который инвариан-
инвариантен при вращении и меняет знак при отражении. Ее явное
выражение следующее:
Эта величина, действительно, при применении линейного пре-
преобразования к обоим спинорам умножается иа определитель
подстановки, причем определитель преобразования Л равеи —1,
Рассмотрим теперь два спинора и произвольный вектор X
и образуем форму
при применении симметрии А она преобразуется на основании
B), F) и (9) следующим образом:
— №*А*\С {АХА) (АЩ == V*

74
ГЛАВА Ш
то есть она инвариантна при вращениях и отражениях. Но это «—
билинейная форма составляющих хи хг, х& вектора X и произ-
произведений &а$1. Отсюда следует (п. 27), что коэффициенты при
хи хг, ха определяют тензор; этот тензор эквивалентен век-
вектору, так как сумма xiyi-^-x2y2-\-x3y3, где yt—-составляю-
yt—-составляющие некоторого вектора, инвариантна также при каждом вра-
вращении и отражении, то есть рассматриваемый тензор эквивалентен
тензору ул. Определенный таким образом вектор имеет состав-
составляющие, симметричные относительно составляющих спиноров
S и &', так как
рСХк' = $'*А'*С* ¦ — — V*X*CS « ?*СХ-;
равенство двух первых выражений вытекает из того, что скаляр
не меняется при транспонировании. Получаем следующие выра-
выражения для составляющих рассматриваемого вектора:
при $'=«=$ получаем изотропный вектор, соответствующий спи-
спинору $; при ?'^=« отметим, что скалярный Квадрат вектора
равен (eft-eft)».
Таким образом, мы получили разложение тензора 4-го по-
порядка ?в?р'(а, ($=0, 1) на вектор и тривектор, причем объем
тривектора равен длине вектора.
V. Случай вещественного эвклидова пространства
Полученные выше результаты применяются к области ком»
плексных вращений и отражений. Теперь мы рассмотрим эвкли-
эвклидово пространство с вещественными вращениями н отражениями.
63. Сопряженные комплексные векторы. Матрицы X н Y,
соответствующие двум комплексно сопряженным векторам
¦IX,
К= (- ¦*«._
X, — I
СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
75
удовлетворяют соотношению
К = Ж*. то есть Y=X*\
в частности, если вектор вещественный, то Х=Х*, откуда
вытекает
Теорема 1. Матрица, соответствующая вещественному
вектору, эрмитова.
Так как матрица U, соответствующая вещественному бивек-
бивектору, равна матрице, соответствующей вещественному вектору,
умноженной на /, то она не эрмитова; имеет место соотно-
соотношение
77=_ U*.
Каждое вращение определяется матрицей S = BA — произве-
произведением матриц, соответствующих двум вещественным единич-
единичным векторам; следовательно,
откуда
Теор е ма И. Каждое вращение определяется унитарной
унимодулярной матрицей, каждое отражение—унитарной
матрицей с определителем, равным — 1.
64. Сопряженные спиноры. Пусть X—изотропный век-
вектор, ; — один из соответствующих ему спиноров; имеем „Y$=0.
Отсюда следует
но на основании (9) и A1)
О = СЖ = - Х*СЪ = - YCl,
где К — комплексный вектор, сопряженный с X. Следовательно,
каждый из спиноров, соответствующих Y, имеет вид тС1\
нетрудно проверить, что коэффициент т равен +;/.
Условимся называть спинором, сопряженным с i, вели-
величину iC%. Операция сопряжения, определенная таким обра-
образом, не инволюторна, так как при двукратном применении она
переводит спинор $ в —$.

76
ГЛАВА 111
Важно отметить, что спинор /CS в действительности имеет
природу, отличную от ?, так как при применении симметрии А
матрица /С? дает
l — iCA*l= — iA
она умножается слева на — А, а не на А. Мы будем называть
величину, сопряженную спинору, спинором второго рода.
65. Скаляр и бивектор, соответствующие двум сопря-
сопряженным спинорам. Если в произведении двух спиноров S, $'
мы заменим $' на спинор второго рода, сопряженный с $, или
на С?, то получим тензор, разлагающийся на две неприводи-
неприводимых части. Одна определяется формой
это — скаляр, инвариантный при каждом вращении и отражении;
в самом деле, мы видели (п. 63), что каждое вращение и Каж-
Каждое отражение определяются унитарными матрицами. Другая
неприводимая часть определяется формой
A*с*) схг=Т*х==(*х+'**) ъ
коэффициенты при xv хг, х3 образуют бивектор. В самом
деле, при вещественной симметрии А величина Z*X$ преобра-
преобразуется в _
— (I*J) (AXA)(Ai) = —1*А5:
она инвариантна при вращении и меняет знак при отражении;
следовательно, она эквивалентна тривектору; но величина
где .Угз» Уъ\> Уп—составляющие бивектора, есть тривектор.
Следовательно (п. 27, теорема II), три величины
. являются составляющими бивектора. Что они являются со-
составляющими вектора, следует непосредственно из того, что
при симметрии относительно начала они остаются инвариант-
инвариантными, так как ^ и ?: при этом преобразовании умножаются на /.
СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
77
VI. Случай псевдоэвклидова пространства
66. Вещественные вращения. Мы получаем вещественное
псевдоэвклидово пространство, заменяя всюду хг на 1х. и счи-
считая новые, координаты xv хг, х& вещественными. Матрица,
соответствующая вещественному вектору, вещественна:
^8 Х\~Х2,
Изотропному вектору (вектору скорости света) с положи-
положительной временной составляющей (л:8^>0) соответствуют два
спинора с вещественными составляющими:
t2_
C2
52 v- Ot С
Спинором, сопряженным спинору 5,
природы, что и ?.
Форма 5*CS определяет тривектор
определяет вещественный вектор
является S; он той же
^i""ч?о> Форма
ъчо — временнбй вектору длина которого равна i (^ — 5Д));
он изотропен, если спинор 6 вещественный.
Наконец, собственные вращения представляются веществен-
вещественными унимодулярными матрицами, собственные отражения —
вещественными матрицами с определителем, равным —1.

ГЛАВ.А IV
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В ?*
I. Линейные представления, выражаемые при помощи
спиноров
Мы укажем простой метод построения в эвклидовом ком-
комплексном или вещественном пространстве трех измерений не-
неограниченной совокупности неприводимых линейных представ-
представлений группы вращений и группы вращений и отражений.
В дальнейшем мы увидим, что не существует других представ1
лений, по крайней мере в вещественном пространстве, и что,
кроме того, каждое линейное представление этих групп
вполне приводимо. На основании теоремы, приводимой ниже,
каждое линейное представление любой из рассматриваемых
., вещественных групп дает линейное представление соответствую-
соответствующей комплексной группы, и оба эти представления одновре-
одновременно приводимы или неприводимы.
67. Представление Dp и его производящий полином.
~2
Рассмотрим спинор (So, $j). Совокупность однородных полино-
полиномов степени р от ^ и Sj образует тензор и дает линейное
представление группы вращений. Можно символически предста-
представить этот тензор при помощи производящего полинома
(ato-\-bZl)if, где а и b — произвольные параметры; это надо
понимать так, что коэффициенты при различных одночленах,
образованных из а и b в этом полиноме, взятом в разверну-
развернутом виде, определяют составляющие тензора. Мы будем обо-
обозначать этот тензор или соответствующее линейное представле-
представление символом Dp .
Г
Теорема. Представление Dp неправодимо.
Достаточно доказать эту теорему для группы комплексных
вращений. Рассмотрим преобразование
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В ?,
определяющее вращение на вещественный угол Ь вокруг
оси *8. При этом преобразовании одночлен ?g5f получает множи-
множитель е 2. Если 0 не имеет специально подобранного част-
частного значения, множители, соответствующие разным составляю-
составляющим Ь*Ц тензора, все различны между собой. Предположим,
что представление Dp приводимо. Тогда существовал бы тен-
2"
зор %, образованный при помощи ^<^р-{-1 целых полиномов
порядка р от &о, ?,; пусть
— один из этих полиномов; рассматриваемое вращение преоб-
преобразует его в
повторяя /> раз эту операцию, мы получим р-\-\ независимых
линейных комбинаций от
Отсюда следует, что существует, по крайней мере, один одно-
одночлен ?jS^(*-f-/t=p), входящий в состав тензора %t и что,
следовательно, все полиномы (a5o-{-pi)A(YSo + ^i)* (rj*e
a<8 — $1=&.\) также входят в %. Если предположить, что че-
четыре 1 зстоянных а, ?, If, Ь не равны нулю, мы получим, что
коэффициент при Ц в соответствующем полиноме не равен
нулю. Таким образом, тензор % содержит .Ц, то есть и
(а?о-4- ?SjK» следовательно», и все одночлены ?*«*.
При />=0 полученный тензор 1-го порядка является скаля-
скаляром; при />=sl мы имеем спинор, прн je> = 2 — вектор; в са-
самом деле, величины ?|, ^ilt Ц дают преобразование состав-
составляющих вектора, если от них взять соответствующие линейные
комбинации.
Существует другое представление (р -j-1 )-го порядка группы
вращений и отражений; оно получается при помощи тех же

80
ГЛАВА IV
составляющих, но в предположении, что при отражении эти соста-
составляющие преобразуются с помощью рассмотренной выше подста-
подстановки вместе с изменением знаков у всех составляющих. Будем
обозначать это новое представление символом DJ в отличие от.
предыдущего, которое условимся обозначать Dp; на основании
2
сделанного выше соображения оно не эквивалентно первому.
DJ относится к спинору второго рода, ?)~ — к бивектору,
1
D~ — к тривектору (т. е. $QSj— ?fy). За производящий поли-
полином представления D~^ можно выбрать выражение
2"
68. Разложение Dty^Dj. Пусть uv а2, ..., й2/+1 и vv
vv..., Vy+l — переменные представлений ?>, и Dj. Произве-
Произведения да"Рр приводят к новому линейному представлению по-
порядка B/-{-1)B/-}-1), которое мы будем обозначать через
Dt)^D,. В общем случае это представление приводимо, и мы
разложим его на неприводимые представления.
Заметим прежде всего, что если & и V—два произвольных
спинора, то производящие полиномы
?о -f Ь^)я =
Определяют эквивалентные представления; это вытекает из того,
что коэффициенты при различных одночленах а*№ в этих поли-
полиномах преобразуются одинаковым образом при каждом вращении
и отражении, так как ^ и ?J преобразуются так же, как
So и iv
На основании сделанного замечания можно выбрать за состав-
составляющие тензора Dg^Dg полиномы от Зо, ?,, $'о, 5| степени р
2 7
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
HI
относительно So, S, и у относительно , SJ. Рассмотрим поли-
полиномы
Ф, = (^ -
предполагая р^д- Каждый из них определяет линейное непри-
неприводимое представление, именно
, » • • • i Dp—q ',
последнее имеет знак -}- или —, в зависимости от четности
или нечетности числа q.
Составляющие каждого из этих представлений являются
составляющими рассматриваемого представления. Число этих
составляющих равно
а это есть как раз порядок данного представления. Эти состав-
составляющие линейно независимы: в противном случае в приводи-
приводимом тензоре, определяемом q-\-\ найденными неприводимыми тен-
тензорами, по крайней мере, один из этих тензоров имел бы все
свои составляющие равными нулю (п. 34), а это не имеет
места. Следовательно, имеем теорему:
Теорема. Произведение двух линейных неприводимых
представлений ?)J , DJ вполне приводимо и разлагается на
неприводимые представления:
D?±l-
D
р+1
—\
п
+
?+? _2
/V

82
ГЛАВА IV
69. Частные случаи. Гармонические полиномы. Случай
представлений Dh для которых индекс/есть целое число (p = 2i),
рассмотрим особо. Для /=1 производящий полином
может быть заменен другим, линейным относительно составляю-
составляющих jcj, xv xs вектора. В самом деле, имеем
Щ
где знак ~- обозначает, что левые части этих соотношений
преобразуются, как соответствующие правые; следовательно,
за производящий полином тензора ?>, можно взять
(б2 — a2)
/ F*
Таким образом, за производящий полином тензора D
можно принять
Fp = [(б2 - а*) *, + /(# + аг) хг + 2а^3]Р.
Соответствующий тензор имеет в качестве составляющих
2р-\-\ однородных полиномов порядка р от xv x2, х3; это —
гармонические полиномы. В самом деле, непосредственное вы-
вычисление показывает, что
— п
—
дх*
Произведение D? Х^*> то есть произведение двух векто-
векторов, разлагается на три неприводимых представления D%, Df
и Dq. Первое дает тензор
Х2Х$ \ ХЪХ2' \ \ф \ч \ 21>
эквивалентный тензору
хх ху Х2 xv ^jjfg, 2x3xv 2x1x2,
определяемому гармоническими полиномами второго порядка;
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
второе представление дает бивектор
X&X2t "'"S^l " ^1^3' Х\Х2 2XV
наконец, третье — скаляр
х\х\ ~Г хгх2 "г -^з-^з'
70. Приложения. Рассмотрим векторное поле Vv V2, Vz\
каждой точке (xv x2, xs) пространства отнесен вектор с соста-
составляющими V,, V,, 1/ч, являющимися заданными функциями от
(xlt xv xs). При движении или отражении величины -г—' преоб-
преобразуются, как произведения составляющих двух векторов с нача-
началом в точке О:
дхх
дхч
Определим все линейные соотношения с постоянными коэффи-
циентами между s—', которые остаются инвариантными при дви-
движениях. Мы должны, следовательно, выполнить разложение
произведения двух векторов (символических)и приравнять нулю
составляющие одного или нескольких неприводимых тензоров,
дающих это разложение. Беря один из этих тензоров, мы по-
получим одну из следующих систем:
dx3
= 0,
= 0;
dii" dxs ~~и> 5лг2
^?__^«_о ?^_^-о ^i_^i-o-
a.v, ал-, ~~ • dxi Jx^ ~~ • 3x, ^
?^_i.dY« 4.^ = 0
5^1 ~^~ 5jt, ' dXi
b)
c)
Случай с) дает векторные соленоидальные поля (с нулевой
дивергенцией); случай р) — потенциальные (безвихревые) поля;
случай а) — поле скоростей движения конформно изменяемого
тела.

84
ГЛАВА IV
Если бы мы рассматривали группу движений в собственном
смысле (без отражений), то система
где m— некоторая постоянная, была бы также инвариантной;
при движении, сопровождаемом симметрией, она преобразуется
в аналогичную систему, причем постоянная т заменяется на —/га.
Дивергенция векторного поля, удовлетворяющего этой системе,
равна нулю.
71. Уравнения Дирака. Аналогично можно исследовать
тензор f^j-i 3J-J • который преобразуется при движении как
произведение вектора ^ на спинор $. Но
Производящий полином тензора Df X ®л
производящий поЛйном тензора ?>J равен
т
производящим полиномом D" является
I
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
85
||;. Приравнивая нулю составляющие тензора D~, получаем
1> уравнения типа Дирака:
>;• dje8 ' dx* дхг '
t дх^1 дхг дх3~ '
;; это — наиболее простые уравнения этого типа.
;,'• Уравнения:
остаются инвариантными при движении, так как спиноры пер-
первого и второго рода D\ и D~ преобразуются одинаково при
вращении; при симметрии эти уравнения не изменяют своей
формы, только постоянная т меняет знак.
Отметим, что уравнения Дирака в символической форме
могут быть записаны в следующем виде:
дх
д д д
где jr — матрица, соответствующая вектору g—,
При
д
° я f д
умножении слева на •? мы получаем (так как квадрат ^
Уравнения, получающиеся приравниванием нулю составляю-
составляющих тензора D^ ,
= 0,
dxt

86
ГЛАВА IV
дают:
?0 =з b{— xl + ixz) + ахг + Л, Sj = a{x1 -j-**г) + *х
где a, b, h, k — некоторые произвольные постоянные.
II. Бесконечно малые вращения и определение эвклидовых
тензоров
72. Бесконечно малые вращения пространства Ег Мы
приступаем теперь к отысканию всех линейных представлений
группы вращений. Мы уже рассматривали выше (п. 19) бесконечно
малые .вращения, которые определяют поля скоростей при дви-
движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Наиболее
общее бесконечно малое вращение, примененное к вектору
хи х2, хг, определяется матрицей третьего порядка, являющейся
линейной комбинацией с комплексными или вещественными
коэффициентами трех матриц базиса, например тех, которые
определяют вращения с единичной угловой скоростью вокруг
координатных осей; этими тремя матрицами являются
/О О СК / 0 0 1\ /0 —1 0\
00—1, 0 00,1 00.
\Q \ • Q/ \—1 0 0/ Ч> 0 0/
В применении к спинорам вращения дают аналогичные матрицы.
Вращение на угол & около вектора е3 определяется, как мы видели
выше (п. 59), матрицей
cos у— Щ, sin j== I — ~ЬНй-\- ...
Вращение с угловой скоростью, равной 1, определяется, таким
образом, матрицей — у iHr Имеем, следовательно, три матрицы.
0азиса
Jl/ii~~-l[i Oj' — -2lH^^~~2 \— 1 0)
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
87
73. Точное определение изучаемых ниже представлений.
Рассмотрим теперь какое-нибудь линейное представление группы
вращений, однозначное или не однозначное. Необходимо дать точ-
точное определение того, что мы подразумеваем под этим понятием.
Зададиг; в группе вращений достаточно малую окрестность
тождественного преобразования, например, совокупность вра-
вращений на угол, меньший некоторого фиксированного угла аг^тт.
Каждому вращению Ш в этой окрестности отнесем одну и
только одну матрицу 5 данного порядка, которая удовлетво-
удовлетворяет следующим условиям:
1° элементы матрицы 5 являются непрерывными функциями
параметров, от которых зависит ffi;
2° если Ы, 91' и 9(91' принадлежат к данной окрестности,
то произведение SS' матриц, соответствующих вращениям
9i и 9i', равно матрице, соответствующей вращению ЭШ'.
Каждое вращение на произвольный угол может быть полу-
получено как произведение конечного числа вращений из данной
окрестности; поставим ему в соответствие матрицу, получаю-
получающуюся как произведение матриц, соответствующих этим раз-
различным вращениям. Мы получаем, таким образом, то, что бу-
будем называть представлением группы вращений. Относящиеся
к спинорам матрицы, которые мы поставили в соответствие
с различными вращениями, удовлетворяют формулированным
выше условиям (угол а равен тт).
Неоднозначность представления выражается в том, что ма-
матрица, изменяясь непрерывно в зависимости от непрерывного
изменения соответствующего вращения, может не принимать
неходкого значения, когда соответствующее вращение возвра-
возвращается к исходному.
74. Основная теорема. Линейные преобразования, соответ-
соответствующие некоторому линейному представлению, образуют ли-
линейную группу, обладающую тем свойством, что элементы пред-
представляющих матриц являются непрерывными функциями параме-
параметров, от которых они зависят (непрерывную линейную группу).
Имеет место следующая основная теорема 1):
!) Эта теорема принадлежит J. Von Neumann'y; она является частным
случаем более общей теоремы Картана (La theorle des groupes finis
et continus etl'Analysis situs. Mem. Sc. Math., XLII, 1930, § 26, стр.22).

88
ГЛАВА IV
Теорема. Каждая непрерывная линейная группа может
быть образована при помощи бесконечных малых преобразо-
преобразований.
Эта теорема выражает в том случае, которым мы занимаемся,
в частности, следующий факт; если вращение Ш происходит
вокруг оси е{, причем угол поворота &,<^а, то соответствую-
S — 1
щая матрица обладает тем свойством, что -.—-- стремится при
О,—»-0 к определенной матрице Rt, представляющей бесконечно
малое вращение вокруг оси е(, с единичной угловой скоростью.'
В общем случае бесконечно малое вращение с единичной угло-
угловой скоростью вокруг оси, определяемой направляющими ко-
косинусами о, р, у, представляется матрицей
Наконец, если мы возьмем непрерывную последовательность
вращений, зависящих от параметра t, и применим к перемен-
переменным щ рассматриваемого линейного представления эту непреры-
непрерывную последовательность вращений, то переменные и, будут удо-
удовлетворять системе линейных дифференциальных уравнений вида
Отсюда вытекает, что, зная матрицы Rv Rv Rit мы можем
определить матрицы 5 при помощи интегрирования линейных
дифференциальных уравнений. Более точно, мы интегрируем
уравнения
где а, $, Y — три параметрических направляющих косинуса; вы-
выражения, определяющие в пространстве линейного представле-
представления вектор и в функции от t и его значения а0, дают для всех
достаточно малых значений t линейные преобразования, эле-
элементы которых, являются аналитическими функциями от at, §i, f/;
эти преобразования соответствуют вращению на угол / во-
вокруг оси (a, [J, у)- .Затем мы дополняем представление так, как
было указано выше.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
Н9
75. Представления группы вещественных вращений и
аналитические представления группы комплексных враще-
вращений. В случае вещественных вращений в эвклидовом веще-
вещественном пространстве параметры at, -М, Y^ вещественны. В ве-
вещественном псевдоэвклидовом пространстве следует взять ли-
линейную комбинацию с вещественными коэффициентами трех
матриц, соответствующих трем линейно независимым бесконечно
малым вращениям. Наконец, в случае комплексных вращений
мы придадим at, $t, ^t произвольные комплексные значения.
Отсюда выводим следующую теорему:
Теорема. Каждое линейное представление группы веще-
вещественных вращений дает линейное представление группы ком-
комплексных вращений.
Достаточно подставить в элементах матриц представления,
являющихся аналитическими функциями от вещественных пара-
параметров вещественного вращения, вместо этих вещественных
параметров комплексные; будем говорить, что второе предста-
представление (группы комплексных вращений) получается из первого
(группы вещественных вращений) переходом из вещественной
области в комплексную. Полученные представления группы ком-
комплексных вращений называются аналитическими; существуют,
как увидим ниже, представления не аналитические (п.п. 82—84).
Наконец, переход из действительной области в комплексную
сохраняет характер неприводимости линейного представления,
так как, если бы аналитическое представление комплексной
группы было приводимо, то представление вещественной группы,
являющейся ее подгруппой, было бы также приводимо.
Таким образом, существует взаимно однозначное соответ-
соответствие между:
1° неприводимыми аналитическими представлениями группы
комплексных вращений,
2° неприводимыми представлениями группы вещественных
вращений в вещественном эвклидовом пространстве,
3° неприводимыми представлениями группы собственных ве-
вещественных вращений в вещественном псевдоэвклидовом про-
пространстве.
В этом последнем случае необходимо ограничиться случаем
собственных вращений, так как совокупность всех вращений
не образует непрерывней группы.
\А

90
ГЛАВА IV
76. Уравнения структуры. Между матрицами /?„ Я2, R3l
определяющими бесконечно малые вращения в любом линейном
представлении, существуют некоторые соотношения, которые
мы сейчас и установим.
Рассмотрим для этого Два семейства вращений, из которых
каждое зависит аналитически от одного параметра, причем вра-
вращение приводится к тождественному вращению, когда параметр
равен нулю.
Пусть s (а) и s {v) — соответствующие матрицы, определяю-
определяющие вращения векторов. Для простоты предположим, что пер-
первое вращение происходит на угол и вокруг оси (a, (I, y)i вто-
второе—на угол v вокруг оси (а', [Г, у'). Построим вращение
s = s (и) s {v) s{—u)s (— v);
эту матрицу можно разложить по степеням и и v; она равна 1
для u — v = 0. С другой стороны, она равна 1 при г/=0
или а = 0; следовательно, все члены разложения, кроме первого,
будут содержать множитель uv; главная часть матрицы s — 1
имеет вид uvp, где р — матрица, определяющая бесконечно ма-
малое вращение. Чтобы получить эту матрицу р, достаточна- раз-
разложить произведение s (и) s {v) s {—и) s (—v), ограничиваясь
в каждом множителе членом первого порядка. Пусть
тогда
Таким образом, приходим к следующей теореме:
Если pj и р2 — матрицы, определяющие два бесконечно ма-
малых вращения векторов, то матрица pjp2 — f>2Pi соответ-
соответствует, также бесконечно малому вращению.
Важно отметить следующий факт: если взять произвольное
линейное представление группы вращений, то на основании
того рассуждения, при помощи которого мы пришли к матрице
.р,р2—pj,pj, можно утверждать, что бесконечно малому враще-
вращению. р,р3 — p2pj соответствует в линейном представлении ма-
маRR RR R R
трица
Ь и ?
p2pj
— RtRv если Rx и R2 -г- матрицы., соответствующие
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
91
1 В частности, если Rlt #.9, Rs — матрицы, определяющие
^бесконечно малые вращения базиса линейного представления,
i то матрицы Я 2/?8 — R&R2, #3#i - ЯЛ» *Л ~ #Л являются
} лоне иными комбинациями /?,, #.2, Я3, причем коэффициенты
ig тих линейных комбинациях одна а те же для всех линей-
¦¦С'НЫХ представлений группы вращений.
J Рассмотрим, в частности, группу спиноров, для которой
X'l j j | ,
•¦ph. R, = ~- 1П1, А2 = -К li*2) Aj == 7? It's i
* A ?i f
, имеем
гЯЛ- ял -
-1 («Л - ВД) = - jH.h^-Iih^
и два аналогичных соотношения, откуда вытекает
%. Теорема. Матрицы Rlt Rz, Rs, определяющие в некотором
% линейном представлении ?руппы вращений вращения с еданич-
% ной угловой скоростью вокруг координатных осей, удовле-
> т&оряют соотношениям структуры:
К,
¦x Нетрудно проверить эти соотношения на матрицах, применяе-
i мых к векторам:
S 0 0 Оч / О О К /0 — 10
/?1 = ;0 0-1), R, = ( 0 0 0), /?8=A 0 0
г \0 1 0/ \-1 0 0/ \0 0 0
Эта теорема допускает обращение, которое является част-
частным случаем второй основной теоремы теории групп Ли, ио
ею мы не будем пользоваться в дальнейшем.
: 77. Неприводимые представления группы вращений. Пе-
Перейдем теперь к определению линейных представлений группы
вращений.
.; Вместо неизвестных матриц Rlt R2, Rt мы возьмем три ли-
\ нейных комбинации
Q = i /?„;
(U

92
ГЛАВА IV
получаем новые соотношения структуры
АВ~ В А —С, АС-г-СА — А,
-СВ = — В. B)
Определим сначала все неприводимые представления. Пусть
X — собственное значение матрицы С; в пространстве предста-
представления существует вектор и, удовлетворяющий соотношению
Си = \и; мы будем говорить, что он принадлежит собственному
значению Х- Уравнения B) дают
САи = A— \)Аи,
то есть, если вектор Аи не равен нулю, матрица С имеет соб-
собственное значение Х~ 1, и если Ви не равен нулю, матрица С
имеет собственное значение X —[— 1 -
Предположим, что собственное значение матрицы X выбрано
так, что X —|— 1 не является уже собственным ее значением.
Тогда Ви~0. Из соотношений
Си — л«, Ви — О
выводим, применяя к вектору и соотношения B),
САи~{\ — ))Аи, ВАи = — \и\
затем, применяя те же соотношения к Аи, А2и, А*и и т. д.,
имеем:
С А-и = (X — 2) А1 а, В А* и — A — 2Х) Аи,
САРи
ВАРи —
•О
Так как число независимых векторов ограничено, суще-
существует такое целое число р, что АР*1 является линейной комби-
комбинацией и, Аи,..., Ари. Предположим, что р — наименьшее число,
обладающее этим свойством, и пусть
умножая это равенство слева ва В, получим аналогичное соот-
соотношение:
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е, 93
Это соотношение возможно только в том случае, если все ко-
коэффициенты равны нулю, откуда
мы получаем, таким образом, соотношение
жая которое на С, имеем:
(X —р — 1)Л'+1д — а0Хй, откуда (p-f l)Oe=0,
следовательно,
= 2o#. умно-
умноОтсюда вытекает, что независимые векторы и, Аи,..., Ари
преобразуются линейно между собой при бесконечно малых, а
следовательно, и конечных вращениях. Так как представление
неприводимо, то порядок его равен р -J- 1; оно полностью опре-
определяется целым числом р, так как
&а,
С АР и — — ? АРи;
^ — fu, ВАЧ^=(\—р)Аи,...,
(И)
Mt" приходим, таким образом, к теореме:
Теорема. Существует не более одного неприводимого
линейного представления данного порядка.
Ввиду того, что раньше было доказано существование не-
неприводимого представления любого порядка, отсюда выте-
вытекает, что кроме указанного представления любого порядка дру-
других не существует.
Отметим, что случай р —0 дает представление первого по-
порядка, для которого матрицы А, В, С равны нулю; это—'тож-
это—'тождественное представление: а' = и.
78. Приводимые представления. Рассмотрим снова какое-
* нибудь линейное представление. Если оно приводимо, то
существуют векторы, независимые от рассмотренных выше

94
ГЛАВ А IV
векторов и, Аи,... ,Ари. Мы будем предполагать в дальнейшем,
что-—наибольшее собственное значение матрицы С. Предполо-
Предположим сначала, что существует, по крайней мере, один вектор v,
независимый от и и принадлежащий тому же собственному зна-
значению ~ матрицы С. Применяя к « те же рассуждения, что
и к и, мы установим существование р -f-1 векторов v, А"о,..., Apv,
преобразующихся линейно между собой неприводимым об-
образом. Будем продолжать таким же образом, если будут нахо-
находиться новые векторы, принадлежащие собственному значению
~- матрицы С; мы получим таким образом некоторое число h
совокупностей по р-\~\ векторов, причем в каждой такой со-
совокупности р-j-l векторов преобразуются неприводимым обра-
образом. Полученные h{p-\~\) векторов линейно независимы; в са-
самом деяе, они преобразуются как векторы линейного предста-
представления, которое разлагается на h неприводимых эквивалентных
частей; тогда, как известно (п. 34), каждое линейное соотно-
соотношение между рассматриваемыми h (p-\-1) векторами может быть
получено исключительно приравниванием нулю всех векторов од-
одной из этих частей или, по крайней мере, всех векторов
ахАи -f- a
.-f ahw
-j- a
но между векторами a, v,,.. ,w, соответствующими собствен-
собственному значению —, не существует по предположению никакой
линейной зависимости. Следовательно, h(p-\-\) векторов А се-
серий линейно независимы. Обозначим через Е1 линейное про-
пространство, которое они определяют.
Предположим теперь, что ' порядок представления больше
h(p-\- 1)ичто существуют собственные значения матрицы С, кото-
которые дают векторы, не лежащие в пространстве Ev Пусть \ <^-^~
— наибольшее из этих собственных значений. Пусть s — вектор,
удовлетворяющий соотношению Cs = -~rS', вектор Bs, принадле-
Линейные представления группы вращений в е,
95
жащий собственному значению 4--f-1 матрицы С, должен лежать
в Е{, раз он лежит в Ev он может быть получен при помощи
преобразования Виз другого вектора * пространства Я,, принадле-
принадлежащего собственному значению у; рассматривая тогда вместо s
вектор s — t, который не принадлежит к Ev мы видим, что
B(s—1)==0. Меняя обозначение s — t на s, мы получаем век-
вектор s, не принадлежащий к Е1 и удовлетворяющий соотноше-
шениям *)
Cs=?-s, Bs = 0. (Ill)
¦) Приведенное здесь доказательство существования вектора, удо-
удовлетворяющего соотношениям (III), нуждается в дополнении.
Отметим прежде всего следующее свойство собственных значений
матрицы С. Из формул (I) предыдущего параграфа вытекает, что если
наибольшее собственное значение матрицы С равно X, то она имеет
также собственные значения X — 1 X — 2,..., — X. Далее, если бы мы при
выводе формул A), (II) (п. 77) исходили не из наибольшего, а из наи-
наименьшего собственного значения ц матрицы С, то матрицы А я В
поменялись бы ролями, и мы получили бы следующие формулы, ана-
аналогичные (I):
2*»
АВг—\г
2»
Отсюда мы видим, что матрица С имеет также собственные значения
ji -f-1, [i-f-2,..., — (i. Итак, если наибольшее собственное значение
равно X, то наименьшим является —X.
Обратимся теперь к доказательству существования вектора s, удо-
удовлетворяющего соотношению (III). Обозначим через г вектор, удовле-
удовлетворяющий уравнению Cr=~ r, rf" "^ 2 ) ' пРичем 9 имеет указан-
указанное в тексте свойство. На основании отмеченного выше свойства соб-
собственных значений матрицы С имеем —¦ > — ~-. Применяя к обеим
частям уравнения
= ~гГ матрицу В, получаем
СВг —
•(*+')
Вг.
\к
Если 5г = 0, мы полагаем s^=r к сразу получаем соотношение (III);
если Вг Ф 0, то этот вектор, как указано в тексте, должен принадле-

96
ГЛАВА IV
Мы можем повторить приведенные выше рассуждения и найти
последовательность q ^-1 векторов s, As,.. ., A9s, которые
преобразуются между собой неприводным образом.
Продолжая этот процесс дальше, мы придем в результате
к пространству S> которое преобразуется группой вращения
вполне приводимым образом и содержит все векторы, принад-
принадлежащие собственным значениям матрицы С.
Если пространство $ совпадает с пространством Е данного
представления, то последнее вполне приводимо. Мы докажем те-
теперь, что действительно $ совпадает с Е.
79. Теорема о полной приводимости. Изменим наши обо-
обозначения и возьмем в пространстве $ базис, составленный из
векторов яA\ и^\ ..., цМ, которые принадлежат различным
собственным значениям матрицы С. Собственное значение \а,
которому принадлежит d*\ является целым числом или поло-
половиной целого числа. Напомним, что существует столько неза-
независимых векторов, принадлежащих собственному значению — \,
сколько н собственному значению Х«, и что если XeS»l, то
каждый вектор, принадлежащий собственному значению лв, мо-
может быть получен применением преобразования В к вектору, при-
принадлежащему собственному значению )^—1.
Предположим, что пространство $ имеет v измерений, при-
причем у меньше числа измерений п пространства Е. Если мы
условимся рассматривать, как равные, два вектора пространства Е,
жать к ?j. Таким образом, -^-4- 1 является одним из собственных зна-
значений
(?. ?-\ Р\
\2 ' 2 ~Т/
матрицы С, относящихся к пространству Elt причем ~-\-\ >— — ;
поэтому Вг = Ы><и + у.А*и + ...Ц-уАЬ1г>, где k=?--. /'i-J-1) .
Так как *</?, то на основании формул (И), (п. 77) имеем r = Bt, при-
чеы t принадлежит собственному значению -¦ k — 1 = —.
Полагая s~r—t, получаем формулы (III). (Прим. ред.)
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
97
| разность между которыми принадлежит к $t то получим в про-
|, странстве E' = Ej$ с числом измерений п—v линейное пред-
' ставление группы вращений. Пусть р. — такое собственное зна-
< чение матрицы С в этом представлении, что р. -\- 1 не является
f собственным значением. В Е существует вектор v, не принад-
|? лежащий к ? и обладающий тем свойством, что
Cv =
Если мы рассмотрим вектор
то получим
К
и
I
I
Отсюда вытекает, что
1° у. является одним из собственных значений матрицы С, от-
относящихся к $; в самом деле, в противном случае можно
было бы выбрать постоянные (J так, чтобы обратить в нуль
коэффициенты Я/-|"Р/(^ — V)> т0 есть вектор w, не принадле-
принадлежащий к Si умножался бы на р., что противоречит предполо-
предположению;
2° можно выбрать (J, так, чтобы вектор Cw — \iw при-
принадлежал собственному значению jj..
Положим
Cw=—w -f я,
причем я принадлежит собственному значению -^. Отсюда на
основании B) выводим
[\ \Ви.
Если вектор Ви не равен нулю, необходимо, чтобы вектор Bw
| • лежал в <#, на основании предположения, сделанного относи-
относительно ji; то же самое, впрочем, имеет место, если Ви равен
нулю. Так как Bw принадлежит к $, то разность CBw —
как не трудно видеть, является линейной

ГЛАВА IV
комбинацией векторов, принадлежащих собственным значениям,
отличным ot-x--j-_1; так как Ва принадлежит собственному
значению -S--J-1, то Bw=0. Наконец, тик как -%¦ -f-l^l,
то в ? можно найти такой вектор а', принадлежащий собствен-
собственному значению 4-, что Bw = Bu'. Полагая s = w— и', най-
найдем основные соотношения
Bs = Q, Ви — 0.
C)
Ahs-\-Ahu,...;
¦~s — a, BA*s = {\ — г) As — 2Au,...
Вектор а дает последовательность г-\-1 векторов и, Аи,...
..., Аги, преобразующихся неприводимым образом, причем
Лг+2я = 0. Посмотрим, как преобразуются векторы s, As,...,
...Ars, Ar+1s. Вычисления, аналогичные предыдущим и опираю-
опирающиеся на соотношения структуры B), дают
(IV)
(V)
Пусть Ah+ls — первый из векторов s, As,A*s,..., который ли-
линейно зависит от предыдущих и от а. Аи, А2и. .., Аги:
AWs = aos + a,As -j -j- ahA"s + M + Ma + • • • + $ATa'>
применяя к обеим частям этого соотношения преобразование В, мы
получим новое соотношение, в котором будет отсутствовать Ah+is
и которое, следовательно, должно удовлетворяться тождественно.
Но в этом новом соотношении коэффициент при Ahs равен
¦ 9 t то есть h — г, в этом же соотношении коэффи-
коэффициент при Аги равен —(r-f- 1) в левой части и нулю в пра-
правой. Таким образом, мы приходим к противоречию, то есть
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
99
I
нельзя предполагать, что пространство $ не совпадает с Е,
откуда следует *)
Теорема. Каждое линейное представление группы вра-
вращений (аналитическое, если речь идет о группе комплексных
вращений) вполне приводимо.
80. Матрица И\-\-Щ-\-Щ. В квантовой механике непри-
неприводимые представления группы вещественных вращений играют
важную роль: каждое из них соответствует одному из состоя-
состояний атома гелия; матрицы ~rRv -jRv —/?s определяют состав-
*) Указанное в тексте доказательство может быть упрощено и
уточнено, если непосредственно воспользоваться теорией элементар-
элементарных делителей в геометрической форме (Клей и, Высшая геометрия,
ГОНТИ, 1939, стр. 374—389; Широков, Тензорное исчисление,
ч. 1.ОНТИ, 1934, стр. 172—198). Если собственное значение X матрицы М
имеет кратность к, и ему соответствует йнезависнмыхглавныхнаправлений
(то есть векторов х, удовлетворяющих уравнению Мх — \х), то будем
называть такое собственное значение неособенным; если же ему со-
соответствует меньше чем k независимых главных направлений, условимся
называть его особенным. X тогда и только тогда является особенным
собственным значением, если существуют векторы хну, удовлетво-
удовлетворяющие уравнениям
Мх •== \х + у, My = \у.
Доказательство теоремы приводится к доказательству того, что
у матрицы С нет особенных собственных значений. Предположим про-
противное: что одно из собственных значений, например щ — особенное.
Тогда существуют векторы х и у, удовлетворяющие уравнениям
Сх = juf-f-y, Cy~yy. (а)
Так как у принадлежит кратному собственному значению матрицы С,
то на основании п. 77 ц является одним из собственных значений в
ряде
(Ь)
f» ~2~~^ 2/'
причем существуют векторы s и г, удовлетворяющие соотношением
если ji=~ — k, то у =
= 0, B4s ф 0,
~Вя~*г„ Применяя повторно к первому

100
ГЛАВА iV
ляющие соответствующих кинетических моментов; квадрат ки-
кинетического момента дается матрицей — №(Я\-\-Щ -\~Щ)-
Покажем, что эта матрица является произведением единичной
матрицы на положительное число.
В самом деле, в любом представлении группы вращений
матраца R\-\-Rl~\-R\ коммутирует с каждой из матриц
Rv Кц Ru> например,
- R
-f (/?8?, — Rt) Ra - Ru {RtRt
= 0.
нз соотношений (а) матрицы А к В, получаем
САтх~(у.
Ату.
Впу.
(с)
Тгк как векторы Ату и Впу (при m^q — к, n^k) ие равны нулю
и определяют главные направления матрицы С, то отсюда следует, что
если одно из собственных значений в ряде (Ь) является особенным,
то и все значения этого ряда также особенные. Поэтому в формуле (а)
можно положить
Ч
и ~~* -
(d)
Покажем, что вектор х может быть выбран так, что Вх = 0.
В самом деле, применяя к первому из соотношений (d) матрицу В,
получаем
Если Вх ф 0, то этот вектор определяет главное направление ма-
матрицы С с характеристическим числом 4-"*"'1 т0 есть на ыноъашп
формул (II) (п. 77) Bx~Bt, где t — вектор главного направления
матрицы С, причем Ct = -i-1. Таким образом, обозначая х — t через х,
имеем
¦ — —s В v — О
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е3
101
Если представление неприводимо, то отсюда вытекает
(п. 32I), что матрица R{-\-Rl-\-Rl равна произведению еди-
единичной матрицы на некоторое число. При преобразовании ве-
векторов пространства она умножает их на один и тот же мно-
множитель.
Полагая, как мы уже делали это выше (п. 77),
получаем соотношение
АВ + ВА — O = R\-
Если мы возьмем неприводимое представление Dp, то по-
Т
лучим для вектора и, соответствующего собственному значе-
значению 77 матрицы С, соотношения
откуда
Применяя к последнему соотношению несколько раз матрицу А, по-
получаем
5/}*л:=-|(А — 1 — q)Ab-ix-hAb-ls. (e)
Полагаем h — q-\-\. Если Aq+1x = 0, то получаем противоречие:
q 4-1 — 0. Если Aq+1x Ф 0, то формулы (с) показывают, что векторы
/!'¦*¦*.* определяют главные направления матрицы С. Следовательно,
найдется такое k, что Aq+kx Ф 0, Aq+k+1x = Q. Полагая в формуле (е)
h = q-]~k-]~\, получаем Л = 0, то есть н в этом случае приходим
к противоречию. (Прим. ред.)
*) Собственно говоря, указанная теорема применяется к матрицам,
перестановочным со всеми матрицами, представляющими конечные пре-
преобразования группы; но матрица, соответствующая вращению иа угол 9,
которое задается бесконечно малым вращением R, определяется сле-
следующей формулой:
очевидно, что если Я\-\-Я\-\-Я\ коммутирует с R, то оиа коммути-
коммутирует и с S.

102
ГЛАВА IV
и, следовательно,
Итак доказана
Теорема. В неприводимом представлении D, матрица
+ Rj + Rl равна -;(;+!)
81. Примечания. При помощи матрицы, аналогичной ма-
матрице #2+R\4-Я§, Н. Casimir и В. L. van der WaeMen»),
а еще проще М. J. Н. С. Whitehead2) дали доказательство
полной приводимости линейных представлений более общих
групп, чем группа вращений, а именно, полупростых групп,
которые содержат, в частности, группу вращении пространства
любого числа измерений. До этого Н. Weyl'eM8) было дано
трансцендентное доказательство этой теоремы; это доказатель-
доказательство применимо ко всем замкнутым, или компактным, группам
и, значит, ко всем тем группам, которые из них выводятся
при помощи перехода из вещественной области в комплексную
(следует только отметить, что для этих последних речь идет
об аналитических представлениях, но эта оговорка легко
устранима).
Итак, мы доказали теорему о полной приводимости и на-
нашла все неприводимые представления в случае группы вра-
вращений вещественного эвклидова пространства и группы соб-
собственных вращений вещественного псевдозвклидова простран-
пространства. То же самое надо сказать о группе вращений эвклидова
комплексного пространства, только ограничиваясь аналитиче-
аналитическими линейными представлениями.
Ш. Линейные представления группы комплексных вращений
82. Постановка проблемы. Остается определить все линей-
линейные непрерывные представления группы комплексных вращений.
1) Math. Ann., Ill, 1935, стр. 1—12.
») Quarterly J: of Math., 8, 1937, стр. 220—237.
•) H. W e у I, Theorie der Darsteltung kontinuierlicher halb-eln-
facher Gruppen dutch llneare Transformation (Math. Zeitschr., 23.
1925, стр. 289).
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
103
Мы знаем (п. 74), что если обозначить через а, р, у ТРИ
комплексных параметра вращения и положить
то элементы матриц, определяющих представление, являются
аналитическими функциями 6 вещественных параметров av av
Pj, р2, Yi» Тг- Переходя из вещественной области в комплекс-
комплексную, мы получим линейную группу, у которой коэффициенты
определяются аналитическими функциями 6 комплексных пара-
параметров av et2, рх, Р2, Yii Y2 или б комплексных параметров
+ P + 'P Ч JjP Y it 1
i + 2 Pi + P». Yi Ч Ya. i «. Ji_jP« Yi tv 1 ii
6 комплексных параметров а, р, Yi я, Р, у, г^е через о, р, у
обозначены выражения ах — ia2, pt — /р2, Yi — 'Yi» пРичем эти
б параметров независимы.
Ясно, что эта группа дает представление группы ©, полу-
получающейся при рассмотрении вращений с параметрами о, р, у
и вращений с параметрами а, р, у. Эта группа © является
так называемым прямым произведением группы О вращений
(а, р, у) и группы G' вращений (а, р^у); каждый элемент
группы © является совокупностью (Ш, Ш) вращения Ш, опре*
деляемого параметрами а, р, у, и вращения 5R, соответствую-
соответствующего параметрам а, р, у, причем произведением двух элемен-
элементов ER, Щ) и ER', Щ группы © является элемент (Ш\1Ш').
Эта группа содержит подгруппу G элементов (9t, 1), в кото-
которых JR является тождественным вращением, и группу б' эле-
элементов A,5ft), в которых 5ft есть тождественное вращение;
элементы групп О и G', конечно, перестановочны между
собой, и каждый элемент группы © одним и только одним
•способом выражается как произведение элемента группы О и
элемента группы О'. © называют прямым произведением О и О'
и обозначают следующим образом: © = ОХО'-
Таким образом, мы пришли к следующей проблеме:
Проблема. Даны две группы О и О' и их прямое про-
произведение ОХ°' = ©; зная 8Се линейные аналитические
представления каждой из групп G и G', построить все ана-
аналитические представления группы ©.

104
ГЛАВА IV
Напомним, что представление является аналитическим, если
элементы соответствующих матриц суть аналитические функции
комплексных параметров группы.
В рассматриваемом случае мы знаем все аналитические
представления групп О и G' (являющиеся, между поочим,
одинаковыми, но у которых параметры рассматриваются как
различные).
83. Линейные представления прямого произведения двух
групп. Предположим, что теорема о полной приводимости
имеет место для каждой из составляющих групп О и О', что
мы имеем действительно в рассматриваемом случае. Каждое
линейное представление группы © дает линейное представление
ее подгруппы О; по предположению это представление может
быть разложено на определенное число неприводимых пред-
представлений. Рассмотрим одно из них, порядка г и предположим,
что существует h — 1 других, эквивалентных ему; пусть
— составляющие этих h неприводимых представлений. Пусть
5 — элемент группы G, ? —элемент группы G'; обозначим через
у]*)г у?)г .,. | у(*\ переменные, преобразованные из х['\ ;tj>> ,
...,xW посредством t; s к t перестановочны:
st = Is;
если мы применим к переменным х^\ х^ х№ сначала s,
а затем t, то переменная х^ преобразуется сначала в Д*лК"),
а затем в ahty(*\ если, наоборот, применим сначала t, то x<f)
преобразуется в y<f); следовательно, элемент s, примененный
\ ^ Другими словами, элементами группы О
к у\*\ дает
составляющие _)/}¦> преобразуются как
имеем (п. 33)
Следовательно,
В результате" при применении элемента st имеем преобра-
преобразование
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В В,
105
матрица (а*) показывает, как элемент $ группы G преобразует
& между собой составляющие одного из тензоров х^а\ матрица
f (Й) — как элемент t группы G' преобразует между собой Л
1 тензоров л;^), х^г\ ..., jc(A), неприводимых относительно О.
Матрицы (а*) определяют неприводимое линейное представле-
представление группы О
*/¦
матрицы (ft|) определяют представление группы G'
Мы видим, таким образом, что hr переменных x*f) преобра-
преобразуются линейно между собой при применении группы ©; рас-
рассматриваемое линейное представление группы © разложится,
таким образом, на такое число неприводимых представлений,
сколько в индуцированном представлении группы О' имеется
неприводимых неэквивалентных представлений. Кроме того, мы
видим, что hr переменных x*f) преобразуются как произведе-
произведения Х;Х<-а) составляющих неприводимого представления группы G
иа составляющие представления группы О'. Так как это послед-
последнее вполне приводимо, то и представление xtxW само вполне
приводимо, причем каждая часть является произведением не-
неприводимого представления группы О на неприводимое пред-
представление группы G'. Таким образом, имеет место
Теорема. Каждый тензор, неприводимый относительно
прямого произведения G X О' двух групп О и О', эквивален-
эквивалентен произведению тензора, неприводимого относительно О,
на тензор, непри&одш,.ы.й относительно О'; если теорема
о полной приводимости имеет место для G и О', то она
имеет место и для их прямого произведения.
84. Приложения к группе комплексных вращений. В рас-
рассматриваемом нами случае каждый неприводимый аналитический
тензор прямого произведения двух групп комплексных вращений
эквивалентен произведению тензора Ъ^.на тензор D^, причем
2 2
первый преобразуется вращениями с параметрами a._pi_Y> BT0"
рой — вращениями с независимыми параметрами a, ji, Y# Если

106
ГЛАВА IV
теперь мы вернемся к группе комплексных вращений, то получим
гот 'че тензор, но в котором а, $, у следует рассматривать
как величины комплексно сопряженные с а, [5, у. Отсюда
¦алт^кает теорема:
Каждый неприводимый тензор группы комплексных вра-
вращений эквивалентен тензору, составляющие которого явля-
являются одночленами, составленными из со, ix, ?0. \> порядка р
относительно $0, $ и q относительно ?0, \, г$е через ?„, ?,
обозначен произвольный спинор, через $0, ?j— его сопряжен-
сопряженный.
Соответствующее представление можно обозначить через
Dp , и за производящую форму взять полином
2" ' 2" _ .
(а;0 4-^?
с четырьмя произвольными параметрами а, Ь, с, d. Порядок
этого представления равен (р-\- 1) (q-\- 1).
Мы встретим в дальнейшем снова эти представления. От-
Отметим случай p=q = \, который дает тензор четвертого по-
порядка с составляющими SoSo, to%> S,$o> Мр эти составляющие
связаны квадратичным соотношением. Для p = q имеем веще-
вещественный тензор в том смысле, что его составляющие могут быть
выбраны таким образом, что прн любом комплексном вращении
они преобразуются линейной подстановкой с вещественными
коэффициентами. Пример: 9 произведений хр. составляющих
вектора на составляющие вектора комплексно сопряженного.
IV. Однозначность и двузначность
85. Однозначность линейных представлений унимодуляр-
ной группы двух переменных. Произведенное исследование
неприводимых линейных представлений группы вращений ком-
комплексного эвклидова пространства, группы вращений веществен-
вещественного эвклидова пространства и группы собственных вращений
псевдоэвклидова пространства дало представления однозначные
и двузначные. Для двух последних групп двузначными пред-
представлениями являются Dp с нечетным р; для первой группы
2"
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛКИИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
1С?
двузначными являются Dp q при p-\-q нечетном. В действ/,-
2~' 2
тельности все полученные представления являются также пред-
представлениями соответствующей группы спиноров, и с этой точкг
зрения они однозначны. Мы приходим, таким образом, к сле-
следующей теореме:
Теорема. Три группы линейных унимодулярных подста-
подстановок с двумя переменными, являющихся соответственна:
1° комплексными, 2° унитарными, 3° вещественными, не
имеют многозначных линейных представлений.
В случае унитарной группы можно дать доказательство то-
топологического характера. Каждая унитарная унимодулярная ма-
матрица 2-го порядка имеет вид (_ _), причем aa-\-bb=l.
\ b a
Полагая
1 мы видим, что унитарная унимодулярная группа является много-
| образием, каждая точка которого определяется четырьмя ье-
ществеиными числами а}, а2, а3, а4, сумма квадратов которые
равна 1; это — трехмерное сферическое пространстве (еди=
ничная сфера в эвклидовом пространстве четырех измерений).
Это пространство односвязно, то есть каждый замкнутый кон-
контур может быть стянут в- нем в точку непрерывной деформа-
деформацией; проще всего это можно доказать, преобразую эту
сферу в трехмерное эвклидово пространство при помощи инверсик,,
полюс которой лежит в некоторой точке данной сферы
(стереографическая проекция); эта инверсия преобразует ее
в эвклидово трехмерное пространство (замыкаемое на бесконеч»
ности точкой). Можно доказать, что если бы унитарная унимоду-
унимодулярная группа имела многозначное представление, то, изменяя
непрерывно матрицу этого представления, когда мы перемеща-
перемещаемся вдоль соответственно выбранного замкнутого контура,
выходящего из начальной точки и возвращающегося в нее же,
мы получили бы в результате из единичной матрицы некоторую
другую. Преобразуя непрерывно этот контур, будем получать
одинаковые конечные j матрицы, но так как контур можно
стянуть в начальную точку, мы приходим к противоре-
противоречию.

108
ГЛАВА IV
86. Линейные представления вещественной проективной
группы одной переменной. Можно показать, что пространство
унимодуляриых комплексных матриц также односвязно; это
объясняет невозможность существования многозначных пред-
представлений унимодулярной- комплексной группы. Но пространство
вещественных унимодулярных матриц уже не является одно-
связным,— с точки зрения топологии оно гомеоморфно вну-
внутренности тора; таком образом, для этой группы нельзя
дать топологического доказательства несуществования много-
многозначных линейных представлений. Заметим, между прочим,
что линейные представления этой группы являются также ли-
линейными представлениями группы проективных преобразований
одной вещественной переменной
элементу этой группы соответствуют две вещественных линей-
линейных унимодулярных подстановки двух переменных. Проективная
группа допускает, таким образом, линейные представления одно-
однозначные и двузначные, но не допускает многозначных пред-
представлений порядка выше второго.
Отсюда можно вывести существование групп, которые не
имеют ни одного точного линейного представления, то-есть
такого, чтобы существовало взаимно' однозначное соответствие
между элементами группы и матрицами представления. Рассмо-
Рассмотрим уравнение
Ц
Это уравнение для х' имеет бесконечное множество решений,
выберем для х — 0 одно из значений arctg -^ и будем его не-
непрерывно изменять, когда х изменяется от 0 до -{-со или от
О до —оо. Так как
dx' ad — be
dx [a sin дг -f- b cos *K -f- (c sin x -f-d cosxJ'
dx'
мы видим, что -г- заключается между определенными положи-
положительными числами; следовательно, когда х меняется от 0 до
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В
№
¦^-оо, х' возрастает от arctg-^ до -\-оо, а. при изменения х
от 0 до —оо, х' убывает от arctg-r до — оо. Мы определяем,
таким обрсчом, преобразование на вещественной прямой. Со-
Совокупность этих преобразований образует, очевидно, группу,
и эта группа непрерывна. Для доказательства последнего
свойства достаточно показать, что можно непрерывным образом
перейти от преобразования с параметрами а, Ь, с, d, соответ-
соответствующего некоторому значению arctg-у, к преобразованию
с теми же параметрами, соответствующему другому значению
arctg-т-, например, отличающегося от первого на тт или —тт.
Для этого мы будем рассматривать а, Ь, с, d как однородные
координаты точки в трехмерном пространстве; каждому проек-
проективному преобразованию соответствует точка, лежащая в по-
положительной области пространства, ограниченной линейчатой
поверхностью 2-го порядка ad— be = 0. Проведем через рас-
рассматриваемую точку {а, Ь, с, d) прямую, не пересекающую по-
поверхности, и возьм-ем на этой прямой некоторую точку (а0, Ьо,-
с0, d0); рассмотрим проективное преобразование, определяемое
параметрами а-\-\а0, b-\-\b0, с-\-\с0, d-\-\d0, причем пара-
параметр \ изменяется непрерывно от 0 до -\-оо и затем от — со
до 0; изменяя непрерывно значение arctg у!° т
начиная от
выбранного исходного значения, мы придем или к тому же зна-
значению, увеличенному на тт, или к тому же значению, увели-
увеличенному на —тт (это зависит от выбора направления из-
изменения X). Таким образом, в семействе рассматриваемых
преобразований переменной х мы найдем непрерывную по-
последовательность преобразований, в которой начальное и ко-
конечное преобразования соответствуют данным параметрам а, Ь,
с, d, но с величинами для arctg—, отличающимися на тт. Что
и требовалось доказать.
Определенная таким образом непрерывная группа преобра-
преобразований переменной обладает тем свойством, что преобразова-
преобразованию над tg* проективной группы соответствует бесконечное
множество преобразований переменной х. Такая группа не

по
ГЛАВА IV
может, следовательно, допускать точного линейного представле-
представления. Ее многообразие односвязно. Этот результат тем более
примечателен, что согласно теореме Вейля и Петера каждая
замкнутая (компактная) группа имеет всегда точное линейное
представление.
Мы получим другие группы, накрывающие конечное число
раз проективную группу и не допускающие точного линейного
представления, если возьмем, например, уравнение
, , a ig пх 4- Ь
рассматривая его как уравнение, выражающее z' = igx'vt виде
функции от z = tgx. Это уравнение порядка п и имеет п ре-
решений, из которых каждое дает преобразование на проективной
вещественной прямой z (z принимает все значения, включая
и оо). Все эти преобразования образуют непрерывную группу,
накрывающую п раз проективную группу одной переменной.
Она допускает точное линейное представление только при п = 1
и л = 2.
V. Линейные представления группы вращений
и отражений
87. Постановка проблемы. Зададимся целью определить
все линейные представления:
1° группы комплексных вращений и отражений;
2° группы вращений и отражений вещественного эвклидова
пространства;
3° группы собственных и несобственных вращений веще-
вещественного псевдоэвклидова пространства;
4° группы собственных вращений и собственных отражений
того же пространства;
5° группы собственных вращений и несобственных отраже-
отражений того же пространства.
В каждом из этих случаев мы имеем группу ©, образован-
образованную из двух непрерывных семейств О и О', из которых пер-
первое образует непрерывную группу; будем употреблять обозна-
обозначение © = О j-О'. Мы знаем в каждом случае все линейные
представления группы G и что теорема о полной приводимости
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАШЕНИЙ В Е,
111
применима. Наконец, для каждого линейного представления
группы G мы знаем линейное представление группы ©, дающее
для G данное представление.
88. Сличай неприводимых представлений, индуцирующих
в группе вращений неприводимое представление. Сначала
мы рассмотрим некоторое неприводимое представление группы ©,
дающее для О также неприводимое представление, и покажем,
что существует еще одно и только одно представление G, не
эквивалентное первому и дающее для G то же самое линейное
представление. Обозначим через Т матрицу, соответствующую
элементу t семейства О'; с другой стороны, пусть s — беско-
бесконечно малое преобразование из О и R— соответствующая ма-
матрица; элементу tst-1 группы О соответствует тогда матрица
TRT~l. Если существует другое представление, относящее
элементу t матрицу 7", то бесконечно малому преобразованию
tst~l будет соответствовать матрица T'RT'~X\ таким образом,
какова бы ни была матрица R рассматриваемого представления
группы б, имеет место соотношение
или
Так как матрица Т~1Т' перестановочна со всеми матрицами R
неприводимого представления, то она является скаляром m
\й. 32), то есть
Т' — тТ.
Коэффициент от не зависит от t\ это вытекает из того, что
каждый другой элемент из G' имеет вид stt где s принадлежит
к О. Рассматривая элемент /-', принадлежащий G\ выводим,
что /дг=1, от = —1. Если вместо матрицы Г взять —Т, то
получим новое линейное представление группы ©.
Эти оба представления не эквивалентны, так как в против-
противном случае существовала бы такая постоянная матрица С, что
С является скаляром,
первое соотношение показывает, что
а это противоречит второму.

112
ГЛАВА IV
Теорема. Если, дано линейное неприводимое предста-
представление группы G, то или не существует представления
группы ©, индуцирующего данное представление группы. О,
или существует два неэквивалентных таких представления.
89. Противоположный случай. Рассмотрим теперь непри-
неприводимое представление группы ©, индуцирующее приводимое
представление группы О. Обозначим через xv xv..., xr со-
составляющие неприводимой части последнего представления.
Пусть / — элемент из О'; предположим, что t преобразует
соотЕетстЕенно xv хп,..., хг в г линейных комбинаций пере-
переменных представления, эти комбинации обозначим через yv
yit.*., уг (если группа многозначна, мы будем рассматривать
одну из линейных подстановок, соответствующих /). Пусть
5 — бесконечно малое преобразование из группы О; положим
s' = tst~x, откуда ts—s't. Если мы применим к переменной х{
элемент s'i, мы получим bk.yk, где через bkt обозначены элементы
матрицы R', преобразующей переменные х{\ с другой стороны,
применяя к х: элемент ts, мы получаем результат применения
матрица R к у{, следовательно:
Если s' преобразует переменные х{ в bk.xk, то s = t~]s'i
преобразует у1 в Ьк{ук.
Таким образом, мы видим, что величины yv _уг, ..., уГ
дают линейное представление группы О, очевидно, неприводи-
неприводимое. Если изменять t непрерывным образом в G', то перемен-
переменные х{ будут преобразовываться в линейные комбинации от
Т как элемент t'1) обратный t, принадлежит к О,
хг.
то все элементы из С преобразуют yv уг уг в линей-
линейные комбинации от xv xif .
Возможны два случая:
А. Линейные представления группы О, определяемые со-
соответственно переменными х: и у0 эквивалентны. В этом
случае, выполняя предварительно подстановку над перемен-
переменными у{, мы можем предполагать, что у{ преобразуются каждым
элементом группы G так же, как и хг Пусть х'^=Ту, y' = Ux
— уравнения лин'ейной подстановки, соответствующей элементу t
из О', и пусть R— матрица, применяемая как к переменным
х„ так н к у,, соответствующая бесконечно малому преобра-
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
113
, зованию 5.из О. Матрица, соответствующая tsi'1, равна TRT~l,
¦ если она применяется к х(, и URU'1, если она применяется.
)' к yt\ таким образом,
откуда ?/=отГ. Но тогда переменные ^-j-l^wJC/r преобразу-.
ются между собой элементами из С, так как
у' + Vmx1 = VmT (у + Vmx),
и аналогично
у1 — Vmx' = — VmT (у — Vmx).
Во всяком случае существуют линейные тождественные со-
соотношения между х{ и у:, так как в противном случае рассма-
рассматриваемое представление группы © не было бы неприводимо.
Так как два неприводимых представления группы ©, соответ-
соответствующих матрицам VmT и —VmT, не эквивалентны, то это
возможно только в том случае, если равны нулю или все пере-
переменные yi-\^V mx:, или все переменные у: — V~m~x{. В том и
другом случае, в противоречии с предположением, рассматрива-
рассматриваемое представление группы © индуцирует неприводимое пред-.
ставлеиие группы О.
В. Линейные представления группы G, определяемые со-
соответственно переменными х( и yt, не эквивалентны. Этот
Случай, таким образом, — единственно возможный. Переменный
Xf и yt линейно независимы, так как в противном случае все
• переменные xt и все переменные у{ были бы равны нулю, что
невозможно. Они составляют все переменные рассматриваемого
представления группы &. Мы покажем, что все неприводимые
представления группы ©, которые индуцируют в G два данные
неприводимых неэквивалентных представления, эквивалентны
между собой. В самом деле, пусть в первом представлении
группы ©
| —линейная подстановка (илн одна из линейных подстановок),
$. соответствующая элементу / из ©' и пусть
х' = U'y, у' = V'x
|—соответствующая подстановка во втором представлении*
Если R — матрица, оперирующая над переменными v> н

114
ГЛАВА IV
соответствующая бесконечно малому преобразованию 5 из груп-
группы О, то имеем:
URU-i = U'RU'-\ откуда U' = mU;
имеем также V' = nV, причем коэффициенты тип являются
постоянными. Рассматривая обратное преобразование, выводим
й=—. Но тогда в уравнениях
достаточно заменить xt на mxt и х\ на тх'{, чтобы получить
уравнения первого представления, что и доказывает утверж-
утверждение.
Теорема. Если существует неприводимое представле-
представление группы ©, индуцирующее в группе G приводимое пред-
представление, то это последнее разлагается на два неприводи-
неприводимых неэквивалентных представления одного и того же
порядка, и всякое другое неприводимое представление группы ©,
индуцирующее в О эквивалентное приводимое представление,
эквивалентно первому.
Из приведенного выше исследования вытекает, что каждый
элемент из О' преобразует определенный неприводимый тензор
группы О в другой неприводимый тензор, вполне определенный.
Если этот второй тензор эквивалентен первому, то любой из
них дает составляющие одного или, вернее, двух неприводимых
неэквивалентных тензоров группы ©. Если данный тензор и
преобразованный не эквивалентны, то совокупность составляю-
составляющих этих двух тензоров дает неприводимый тензор, и только
один, группы ©.
90. Приложения. В случае группы вещественных эвклидо-
эвклидовых вращений и отражений или группы собственных псевдо-
псевдоэвклидовых вращений и отражений неприводимыми тензорами
группы О являются тензоры Dp производящих полиномов
~2
2
^\^). Так как симметрия Я, преобразует ^ в So, ^
в —• ?1( то она сохраняет составляющую ip0; тензор, преобразо-
преобразованный при помощи С, эквивалентен, таким образом, рассма-
рассматриваемому тензору. Тот же вывод имеет место при рассмотре-
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
115
|;«ии группы вращений псевдоэвклидова пространства и группы
| собственных вращений и несобственных отражений.
: Что касается Группы комплексных вращений, то тензор
1 производящего полинома
I
Преобразуется в эквивалентный тензор при помощи отражения,
так как составляющая ^Ц инвариантна при симметрии Нъ.
Следовательно, во всех рассмотренных группах каждому
неприводимому линейному представлению группы G соответ-
соответствуют два неэквивалентных неприводимых представления
группы © и не существует никаких других неприводимых
представлений группы ©.
Например, тензору (д^о Ц- *«i)p (c?q -f- cf^)^ соответствуют
для © два неприводимых тензора; преобразованию ^ = ?0>
^з= — St над спинорами соответствуют для производящего по-
полинома два преобразованных полинома
и —
(cl0 -
91. Случай группы вращений и отражений веществен-
ного псевдоэвклидова пространства. Здесь мы имеем группу,
образованную из четырех непрерывных семейств. Исследование,
аналогичное предыдущему, показывает, что каждому непри-
$одамому тензору группы собственных вращений соответ-
стеуют ¦ четыре неэквивалентных неприводимых тензора
полной группы, причем они являются единственными непри-
ёодимыма тензорами этой группы. Если в одном из этих
представлений элементам s, t, и, v четырех семейств соответ-
: сгвуют матрицы 3, Т, Ut V, то в трех других им соответствуют
. s, Г, -U, —V;
-г,-
v.
:)¦
А
J
В то время как в^ эвклидовом вещественном пространстве
существуют два и только два различных тензора, преобразую-

116
ГЛАВА IV
щихся как вектор относительно группы вращений, в про-
пространстве псевдоэвклидовом существуют четыре тензора, пре-
преобразующиеся как вектор относительно группы собственных
вращений.
Добавим еще, что, как нетрудно видеть, теорема о полной
приводимости имеет место для линейных представлений группы
© = О -|^ О', если мы предполагаем, что она справедлива для
представлений группы О; это имеет место в тех случаях, ко-
которые были рассмотрены выше.
ЧАСТЬ
II
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА я>3 ИЗМЕРЕНИЙ
СПИНОРЫ В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

ГЛАВА V
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
Спиноры в эвклидовом пространстве нечетного числа
измерений n=ss2v-f-l мы введем при помощи рассмотрения
V-мерных полностью изотропных плоскостей, проходящих через
начало координат О. Систему декартовых координат х* мы вы-
выберем таким образом, чтобы фундаментальная форма имела
следующий вид:
/*.??(*«)• +*1*1#+ ***"'+ .'.. +*V\
Координаты х? можно также рассматривать как контрава-
риантные составляющие вектора х. В первых разделах этой
главы мы будем иметь дело с комплексной областью. Плоско-
Плоскости, которые мы будем рассматривать, проходят все через начало.
1. Изотропные v-плоскости и матрицы,
соответствующие векторам
92. 2* уравнений изотропной v-плоскостя. Нетрудно ви-
видеть, что уравнения, определяющие изотропную плоскость (в ко-
которой все векторы изотропны), устанавливают по крайней мере
одно соотношение между л°, х1, хг, ..., хн; в противном слу-
случае было бы невозможно обратить в нуль форму Ft прини-
принимая за х1' линейные формы от х°, xtt *а, ..., xv. Таким об-
образом, число [измерений изотропной плоскости не больше v.
Мы установки* сейчас вид уравнений изотропной плоскости,
предполагая общий случай, когда между х\ х*, ..., хч не
существует ни одного линейного соотношения.
Пусть
единственное соотношение между х°, х1, х* л*, причем
коэффициент So не равен нулю. Учитывая это соотношение,

120
ГЛАВА V
приводим полином ZqF к следующему виду:
а это позволяет положить
= u,. B)
Уравнения A) и B) определяют искомую у-плоскость, К ним
мы прибавим новые. Образуем комбинацию
и положим
получаем новые уравнения
= и« C)
причем коэффициенты. S/jfft имеют характер составляющих три-
тривектора (меняют знак при нечетной перестановке индексов).
Образуем теперь комбинацию
и положим
^itjk = ^у7)* 4" ^у
получаем новые уравнения
причем коэффициенты ^yiA имеют характер составляющих 4-век-
тора.
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ?,„
121
Продолжая далее, мы введем 2* коэффициентов ?/,/3..лр
(р = 1, 2, ..., v), обладающих тем свойством, что они сохраняют
знак при четной перестановке индексов и меняют на обратный
при нечетной, и 2V линейных форм г],уа.../р, обладающих тем же
свойством. Величины ?„, где через а обозначен составной ин-
индекс: 0, i, ij, ijk, ..., определяются рекуррентно через SOl ^,
$,,,... Если р четное, то
р-1
2 '^
если р нечетное, то
Ь) ?о^,..
- 2
Формы т)а определяются соотношениями:
р
с) Ч/А.-.'р= 2 (—1)р~*5/А
m =; 1
Отметим еще, что каждое ?„ с четным числом индексов
/j, i2, ...,ip может быть выражено с точностью до отрицатель-
отрицательной степени ^ при помощи суммы
в которой /',, /,, ..., jp_u jp суть индексы /,, i2, ..., ip, рас-
расположенные в таком порядке, чтобы перестановка (/,, /2,.. ., jp)
была одинаковой четности с перестановкой (iv iv ..., ip)\ два
члена этой суммы, содержащие одинаковые множители (с точ-
точностью до знака), учитываются только один раз.
2* уравнений rje=O с 2* параметрами определяют в случае
So =5^ 0 изотропную v-плоскость, причем ?а должны удовлетво-
удовлетворять соотношениям а) и Ь). В дальнейшем (п. 106) мы увидим,
что в случае ?0 = 0 эти уравнения также могут определять
изотропную v-плоскость, если ?а удовлетворяют соотношениям
а), Ь) и дополнительным, которые мы получим; мы увидим также,
что таким образом может быть получена каждая изотропная
v-плоскость.

122
ГЛАВА V
93. Матрица, соответствующая вектору. Мы будем назы-
называть спинором систему 2V произвольных величин ^, вообще го-
говоря не связанных соотношениями а) и Ь) и преобразующихся
при вращениях и отражениях по законам, которые мы введем
в дальнейшем (пп. 96 и 97). Мы убедимся a posteriori^ что
такое введение операций вращения и отражения совместимо со
свойством определенного класса спиноров соответствовать изо-
изотропной v-плоскости.
Рассмотрим теперь 2* форм ija и в каждой из них коэффи-
коэффициенты при ?р. Если расположить 2V составных индексов в опре-
определенном порядке, то эти коэффициенты могут быть приняты
за элементы матрицы порядка 2*; каждый отличный от нуля
элемент равен с точностью до знака одной из координат я0,
х1, я2,-.., •**', которые мы будем считать за контравариантные.
составляющие вектора х. Мы сопоставляем таким образом
каждому вектору х матрацу X порядка 2V; эта матрица
вполне определяется выбранным порядком в системе составных
индексов. Например, если при v=2 индексы расположить в
следующем порядке 0,1,2,12, то получим (на основании соотноше-
соотношений A),B),ГЗ))
В этом частном случае матрицы, соответствующие векторам
базиса, имеют вид
н-(° -1 ° °1
"й— I о 0—10/'
\0 0 0 1/
Я1==
Ни —
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Е,ч4.,
123
94. Основная теорема. Основное свойство матрицы X,
соответствующей некоторому вектору, заключается в следую-
следующем:
Теорема. Квадрат матрицы X, соответствующей век-
торул равен скалярному квадрату этого вектора.
Для доказательства этой теоремы заметим, что единствен-
единственные не равные нулю элементы а\ матрицы X {а обозначает
номер строки, р — столбца) суть:
а'А-?> 5=лЛ»+>, <?ф-/<Р = (—IV7 я0, й''/'-'р/р+« = д:'р+>.
Wj...'p»p+l tth-.lp ч ' ' /|'з...1р
На основании этого элемент матрицы X2, например:
#ЛЛ-»Лг — V\аа.. . а/^-к
iJa-.tp ?л iih-ip к )
а
где суммирование распространено на 2Ч составных индексов,
может быть отличен от нуля только в том случае, если р — q
равно 0, ±1 или ±2, Если р — q—2 или 1, то q индексов
Л> Л» • ••>•/« Должны фигурировать среди индексов iv /,, ..., ip;
в случае q—р = 2 или 1 должна иметь место обратная кар-
картина; наконец, если p — q, то у обоих составных индексов
iXt ia,..., ip и Л, Л, --',Jg должно быть по крайней мере
р — 1 общих индексов.
Если р — q=2, то даже те элементы ЫАг-{я, , кото-
рые мы отметили выше, равны нулю; в самом деле, эти эле-
элементы равны
.../,/в+, СЛ/,.../, _1_сл/..../,/,+. д/,/,.../, -=
— Jqjqt-uq+г JiJi ••• У<у q +1 ' /|/« •••/j/j + i/j+> /i/» •••yj/g+i
д/«+> jc^«+«=0;
р = 2. Тот же результат полу-
полу~-$=1), так как
»...yj/| + i
Наконец, если р — q, то мы должны исследовать элементы
< ' «Л... Чр
то же самое имеем, если q
чается, если q — p*=c\ (иди
/f+i JJi...Jqfq4.i

124
ГЛАВА V
Первые равны нулю: доказательство аналогично предыдущему.
Вторые равны
Ь'Л - <р = а1/' - 1р а1/; - Ь -J-
!+2<-
= (л:0J -f 2 х™*1"' —-^ •
Из этой теоремы непосредственно вытекает, что
скалярное произведение двух векторов есть полусумма
произведений двух соответствующих матриц.
Доказательство то же, что и для пространства Е3 (п. 56,
теорема 111).
Отсюда вытекают следующие соотношения для матриц Ах,
А„..., Ап, соответствующих п взаимно перпендикулярным еди-
единичным векторам:
А. — 1, AjA, — —
95. Матрица, соответствующая ^-вектору, р-вектору,
определенному векторами Xv X2, ..., Хр1 можно отнести,
матрицу
где сумма распространена на все перестановки индексов
1, 2, ..-, р, причем знак 4~ или — берется в зависимости от
того, четной или нечетной является перестановка /р /8> ...,/_;
элементами этой матрицы являются линейные комбинации состав-
составляющих р-вектора. Мы будем обозначать матрицу, соответ-
соответствующую р-вектору, символом X. Если р векторов взаимно
О>)
перпендикулярны, то матрица, соответствующая р-вектору, равна
ХхХг.. .Хр.
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
125
Пользуясь этим видом для матрицы, нетрудно показать, что
квадрат матрицы X, соответствующей р-вектору, равен ква-
драту мерч этого р-вектора, умноженному на (— 1) 2 ; на-
пример^ если векторы X и У взаимно перпендикулярны, то
— т*. E)
В дальнейшем мы увидим (п. 98), что матрицы, соответ-
соответствующие двум различным р-векторам, различны и что матрица,
соответствующая (п — р)-вектору, тождественна с матрицей,
соответствующей некоторому р-вектору.
II. Представление вращений и отражений при помощи
матриц порядка 2"
96. Симметрия, соответствующая единичному вектору.
Как и в пространстве Е&, результат применения к вектору X
симметрии относительно гиперплоскости П, перпендикулярной
к единичному вектору А, выражается формулой (п. 58)
Х' — — АХА. F)
Для р-вектора X имеем
(с)
G)
Определим a priori результат применения симметрии к спи-
спинору S; формулой
$' = /1;; (8)
мы расчленяем, таким образом, операцию симметрии на две, —
в зависимостч от того, выбираем ли за единичный вектор,
перпендикулярный к гиперплоскости П, А или — А.
Если мы исследуем, в частности, результат применения к
спинору операторов базиса //„, Нь Hj>, то получим следующее:
Оператор Ий оставляет инвариантной абсолютную вели-
величину каждой составляющей $0. изменяя или не изменяя ее
знак в зависимости от того, содержит ли составной индекс а
нечетное или четное число 'простых индексов (относительно

126
Г Л АВ А V
составляющей ^ следует предполагать, что она содержит чет-
четное число простых индексов, равное нулю).
Оператор H{(i=\,2, — , v) обращает в нуль составляю-
составляющие &а, содержащие простой индекс /, и прибавляет этот
индекс к тем составляющим, у которых а не содержит i;
например, Нг преобразует ?<5 в $463 и обращает в нуль ?ja.
Оператор Hf обращает в нуль составляющие ?„, не содер-
содержащие индекса /, и отнимает этот индекс у тех, состав-
составной индекс а которых содержит I (при условии, что индекс i
предварительно был переставлен на последнее место в со-
составном индексе а); например, H& превращает в нуль 546 и
преобразует &ls< = -&Us в — &,<.
97. Представление вращения. Так как вращение является
произведением четного числа симметрии Ах% А2, ..., Лй (А < v),
то результат применения вращения к вектору или вообще
р-вектору определяется формулой
№)
.A2AXXAXAV. .
(9)
Преобразование спинора при вращении выражается формулой
Если положить
то предыдущие формулы примут следующий вид:
&' = Sl (И)
(Р) 00
Аналогично может быть выражено отражение
(я)
A2)
причем матрица Т является произведением нечетного числа
<2v-f~l матриц, соответствующих единичный векторам.
. В частности, симметрия относительно начала, которая являет-
является произведением п симметрии, соответствующих л единичным
взаимно перпендикулярным векторам Av Att... А„, выражается
при помощи матрицы AtAt... Ап, то есть матрицы, соотввт-
спиноры тн*оетрАнствА
127
ствующей л-вектору единичного объема. Для вычисления
этой матрицы достаточно выбрать за эти п матриц матрицы
в самом деле,
третий член этого соотношения является удвоенным скалярным
произведением векторов еь, ек, то есть 2g"Jfefc#== 1. Образуя про-
произведение, получаем с точностью до знака
f //0 (Z/i'Hj — //j//t»)... {HyiH4 — НчНч>).
¦Применяя правила, данные в конце п. 96, мы видим, что
матрица Н^Н^-^НХН\» умножает каждую составляющую S,, на
плюс или минус единицу в зависимости от того, содержит или
не содержит составной индекс а индекс 1. Следовательно,
построенная выше матрица умножает каждую составляющую на Р.
Отсюда вытекает
Теорема. П'Вектору единичного объема соответствует
скалярная матрица Р1, которая определяет симметрию от-
относительно начала в применении к спинорам.
98. Числа Клиффорда-Липшитца. В п. 48 была доказана
неприводимость р-вектора относительно группы вращений.
Если мы возьмем матрицу X, соответствующую произвольному
р-вектору, то элементы этой матрицы, являющиеся линей-
линейными чомбинациями составляющих р-вектора, при вращении
преобразуются линейно между собой; отсюда следует, что или
все они тождественно равны нулю (это невозможно), или линей-
линейные комбинации, которые они образуют, линейно независимы
относительно <% составляющих р-вектора. Отсюда, в частно-
частности, вытекает
Теорема. Двум, различным р-векторам соответствуют
две различные матрицы X.
Можно пойти дальше. Рассмотрим матрицу U порядка 2* с
произвольными комплексными коэффициентами. 22? элементов
этой матрицы могут быть рассматриваемы как составляющие
о

128
Г Л ABA V
тензора относительно группы вращений, если условиться, что
вращение S преобразует матрицу U в SUS~l. Из этого тензора
порядка 22V можно выделить скаляр, вектор, бивектор,...,
v-вектор: достаточно взять матрицы, соответствующие произ-
произвольному скаляру, произвольному вектору и т. д. Мы выделим,
таким образом, из полного тензора v —J— неприводимых тензо-
тензоров, не эквивалентных между собой; полное число составляю-
составляющих этих v —f—1 тензоров равно
то есть оно равно числу составляющих полного тензора. Между
этими 22v составляющими не может существовать линейных
соотношений, так как в противном случае, на основании тео-
теоремы в. 34, по крайней мере одни из выделенных тензоров
был бы равен тождественно нулю. Таким образом, мы получили
следующую теорему:
Теорема. Каждая матрица порядка 2V может быть
разложена одним и только одним способом на сумму ска-
скаляра, вектора, бивектора, .... v- вектора.
Матрицы порядка 2V можно рассматривать как числа гипер-
гиперкомплексной системы с 22v единицами, построенной над полем
комплексных чисел; принимая за единицы этой системы матрицу I,
матрицы Ah соответствующие п единичным взаимно перпенди-
перпендикулярным векторам, их произведения по две, по три, ..., по у,
имеем правило умножения
Мы получаем систему гнперкомплексных чисел Клиффорда-Лип-
шитца, применение которой к представлению вращений очевидно
в силу сказанного выше').
1) Относительно этих чисел см. статью: .Nombres complexes' в
Encyclopedic des Sc. Math.; составленную Э. Картаноы на основании
статьи Штуди на немецком языке (Encycl.; ], 5, 1908, стр. 463—465).
Относительно применения этих чисел в пространстве частного принципа
относительности си. А. М е г с i e r, Expressions des equations de
I'electromagnetisme аи тоуеп des nombres de Clifford (These, Geneve,
1935) и G. J u v e f, Les ratatlons de I'espace euclidien & quatre di~
mensions, etc. (Comment. Math. Helvet, 8, 1936, стр. 264—304).
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ?„
129
i
Добавим, что матрица, соответствующая {п—р)- вектору
{р й^ v), тождественна с матрицей, соответствующей некоторому
р- вектору, именно: произведению Р на р- вектор, допол-
дополнительный к данному (п—р)- вектору. Например, учитывая,
что произведение А1Аг...Ап равно Р, имеем
= (—1)
(AlA,...AJ{AlAt.
р (р-1)
.ApAp+l...An) =
99. Тензорный характер спинора. Формулы A1) и A2)
показывают, что спинор дает линейное представление группы
вращений и отражений. В самом деле, возьмем два вращения
S, S; если эти вращенияпоследовательно применить к вектору X,
мы получим результирующее вращение S'S:
X1 ^S'SXS-iS'-* ~{S'S) X (S'SP;
будучи приложены последовательно к спинору, вращения 5, 5'
дают то же самое вращение 5'5. Следует отметить, что пред-
представление двузначно, так как каждое вращение или отражение
сдваивается при приложении к спинору. Матрицы 5 являются
как раз матрицами представления, определяемого спинорами.
Сдваивания избежать невозможно, по крайней мере, если
потребовать, чтобы .соответствие между вращениями и отраже-
отражениями векторов, с одной стороны, и вращениями и отражени-
отражениями спиноров, с другой, было непрерывно. Рассмотрим, напри-
например, симметрию А: можно непрерывным образом привести
единичный вектор А в совпадение с единичным вектором — А;
таким образом, мы переходим непрерывно от преобразования
6—+АЬ к преобразованию 5—>¦ — А$, причем обоим этим пре-
преобразованиям соответствует одно и то же преобразование над
векторами.
100. Неприводимость спинора. Покажем, что, при приме-
применении к любой линейной комбинации 2й*^а составляющих спи-
спинора достаточного числа вращений, мы получим 2' линейно
независимых комбинаций. Мы рассмотрим простые вращения

130
ГЛАВ А V
H,Hfl
на угол тс, являющиеся произведениями двух симметрии, соответ-
соответствующих двум единичным взаимно перпендикулярным векторам,
а также произведения двух таких вращений; будем пользоваться,
в частности, матрицами
/ {Hk + Ик.) (Я, - Ик.) = / (Hk,Hk - /уУ,,)
и
{Ml±Hi,){HJ±H},)
или, что приводится к тому же,
Н^-НМ,, HtHfl НгНр)
Рассмотрим теперь линейную комбинацию а'са и предполо-
предположим для определенности, что коэффициент при ?12...„ не равен
нулю. Применяя преобразование Я1»Я1 — НХН\,, мы не изменим
в рассматриваемой форме коэффициентов при 5а1 которые со-
содержат индекс 1; остальные коэффициенты изменят знак. При
помощи сложения получаем новую линейную комбинацию, в
которую входят только &„, содержащие индекс 1. Поступая
также относительно индексов 2, 3,..., р, мы получим новую
комбинацию; в нее входят те ^, которые содержат одновременно
все индексы 1,2, , р. Применяя теперь матрицы Н(р+1уН_+1 —
— Яр+j//(^f i)f, ..., мы исключим при помощи вычитания все ?„,
содержащие один из индексов p-j-1, p-j-2, ..., V. В резуль-
результате видим, что из данной линейной комбинации мы можем
выделить каждый не равный нулю член этой комбинации. При-
Применение матрицы Нр>Н | выводит из ?12 _ составляющую
^12...(р-1Iр+г)' следовательно, можно выделить все $„ с р индек-
индексами. Матрица Н(Р-.\уНр> позволяет вывести отсюда все состав-
составляющие с р — 2 индексами. Матрица Ир+1Н г — все состав-
составляющие с p-j-2 индексами. Аналогичные операции дадут нам
в конце концов все ?„ с четным или же нечетным числом ин-
индексов. До сих пор мы не пользовались матрицей Я„. Матрицы
ИйН{ и #„#/! позволяют перейти от ^, с четным числом индек-
индексов к ?„ с нечетным числом и обратно. Это доказывает непри-
неприводимость спинора относительно группы вращений, а следова-
следовательно, и относительно группы вращений и отражений. Между
прочим, неприводимость относительно этой последней группы
может быть доказана, как нетрудно видеть, без применения
матрицы Яо.
Спиноры пространства ?,,+i
131
III. Фундаментальная полярность в пространстве спиноров,
р-векторы, определяемые парой спиноров
101. Матрица С. Рассмотрим преобразование, определяемое
матрицей
С= (Я, - Я,,) (Я2 - Я2,) ... (Я, - Я„).
Преобразование Я1 — Н\> переводит составляющую Ь1г...р
в (—1)я32з...^, преобразование Я2 — Ну переводит эту послед-
последнюю в (—i)V+(P-J) \^J и т. д.; наконец, применение Нр— Hpt
а последующие преобразования дают
(—1) * VnH^.-.v Если бы мы входили из &,,,,...,
то в результате применения С получили бы р
г 1\
''р+11
причем перестановка AЪ i2,.... iv) предполагается четной.
Таким образом, единственными элементами матрицы С, отлич-
отличными от нуля, являются элементы
pi
где (ij, /a, ...i'v) — четная перестановка.
Если при v = 3 строки и столбцы расположить в следующем
порядке:
О, 1, 2, 3, 23, 31, 12, 123,
то матрица С имеет вид
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0—100
0 0 0 0 0—10
0 0 0 0 0 0—1
0—1 0 0 0 0 0
0 0—10000
О 0 3 0 — 1 О О О
0 0 0 0
1\
1
о о

132
ГЛАВА V
Основное свойство матрицы С следующее:
Теорема. При любом выборе вектора X
СХ—{—\уХ*С. . A3)
Достаточно проверить это соотношение для векторов ба-
базиса Я„. Замечая, что Яо антикоммутирует с Ht и Hi, имеем
затем
СН{ = (— 1)'-'+»(Нх —
Ht, С = (—I)'-1 (W, — Hv).
так как Я;» =H*t, то формула доказана.
Если бы вместо вектора X мы взяли р- вектор X, то по-
лучили бы
(р)
00
A4)
В самом деле, всегда можно предположить, что
Х=ХлХл...X ,
О») '
где Хх% Хг Хр, суть р взаимно перпендикулярных век»
торов; имеем
СХ={-
= (-!)¦
что и требовалось докавать.
Отметим, наконец, следующие два свойства:
СС*=\, С« = ( —1)
A5)
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
133
первое вытекает из того, что
(Ht - Hi,) Ш, - Я,,)* = (Я, - Я
= tf, W/« -j- Я/. Я/ = 1,
так ка?>скалярное произведение векторов Н{ и Я^ равно -^.
Второе следует из того, что С соответствует v- вектору,
образованному из v взаимно перпендикулярных векторов, при-
причем квадратный скаляр каждого равен — 1; поэтому С2 равно
(+!)
102. Фундаментальная полярность. Рассмотрим два спи-
спинора 5, 5' и скаляр
где через 5* обозначена матрица с 1 строкой и 2V столбцами,
через k' — матрица с 2* строками и 1 столбцом. Эта величина
не меняется по абсолютному значению, если к 6-и &' приме-
применить одно и то же вращение; в самом деле, она преобразуется в
но на основании A3) имеем:
Л*С=(
откуда
А*СА —{—
таким образом, рассматриваемая форма при преобразовании
только умножается на (—1)*. Если v четное, имеем инвариант
при вращении и отражении; если у нечетное, эта величина
меняет знак при отражении. В последнем случае она дает тен-
тензор, эквивалентный я-вектору.
Соотношение
$*С&'=0,
билинейное относительно составляющих двух спиноров, опре-
определяет в пространстве спиноров полярность в том смысле, что
это соотношение симметрична относительно обоих спиноров.,
о

134
ГЛАВА V
В самом деле, так как левая часть является скаляром, то она не
меняется при операции транспонирования; поэтому
то есть рассматриваемое соотношение действительно симметрично
относительно обоих спиноров.
Полученная таким образом фундаментальная полярность —
первого рода (полярность относительно квадрики*)), если
(—1) 2 =1; в этом случае она получается из квадратичной
vjv + l)
формы ?*С?. Если (— 1) 2 = — 1, то мы имеем полярность
второго рода (полярность относительно линейного комплекса);
она определяется внешней формой [?*С;].
При v = 1 имеем
1? — Lo^J
при v = 2:
при v=3:
_L t*p t — ее ее
2 s ^4 — '•очгз ч
е it .
наконец, при v = 4:
2 5 Оч — ч
В дальнейшем мы увидим, что в 'пространстве спиноров
фундаментальная полярность является единственной полярно-
полярностью, инвариантной при группе вращений.
•) Задаваема, уравнением к*(?= I, [Прим. pt$.)
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ?av
135
103. Приведение тензора %,§. Мы показали, что билиней-
билинейная форма &*С?' определяет тензор с одной составляющей
относительно группы вращений и отражений; этот тензор яв-
является скаляром, если v четное; он эквивалентен «-вектору,
если v нечетное. Рассмотрим теперь тензор $JeL, являющийся
произведением двух спиноров. Этот тензор имеет 2Ъ состав-
составляющих. Он является приводимым; мы покажем, что он впол-
вполне приводим, и разложим его на неприводимые части.
Образуем для этого форму
РСХк*
(р)
где X — некоторый неопределенный р- вектор (psgv). При-
¦ (rt _ ^.
меняя симметрию А одновременно к спинорам ?, ?' и р- век-
вектору X, мы преобразуем эту форму, учитывая соотношения G),
(р)
(8), A4), в следующую:
{У
(р) (р)
таким образом, при этом преобразовании она умножается на
(—l)v+^=( — \у~Р. Она дает, следовательно, скаляр, если
V—р четно, и тензор, эквивалентный п-вектору, если v — р
нечетно.
В первом случае эта форма, если ее расположить по кон-
Травариантным составляющим jc*'e« • • • "р р - йектора X, имеет
вид М
,**"•• ¦•а*=л,«, ¦••«,•
и ?'.
образуют экви-
экви. в
являются
¦ *р являются
причем J»e ,,•••„ являются билинейными формами от
Согласно основной теореме (п. 27) улл%... а образу
валентный р- вектору тензор, у которого ув1в>
ковариантными составляющими.
Во втором случае коэффициенты при х**
ставляющими (п—р)-вектора.
Отметим, что в первом случае, р, а во втором п-^-р оди-
одинаковой четности с v,
Из изложенного вытекает, что из тензора i?\ можно выде-
выделить v -f 1 неприводимых тензорЪв. Полное число, составляющих.

136
ГЛАВА V
этих v -\-1 тензоров ¦ равно (полагаем последовательно
Я = 0, I, 2, .... V)
оно равно, таким образом, числу составляющих тензора
С другой стороны, на основании общей теоремы (п. 34) мы
знаем, что совокупность тождественных линейных соотношений
между составляющими v-\-\ неприводимых тензоров должна
обращать тождественно в нуль все составляющие по крайней
мере одного из этих тензоров; но между тем ни один из най-
найденных тензоров не равен тождесхвенно нулю, так как вели-
величина ?*СХ?' не может быть равна нулю при произвольном вы-
(р)
боре спиноров $, ?' и р-Еектора X.
(р)
Из приведенных рассуждений следует, что 2%ч составляющих
^ полученных v-\-\ неприводимых тензоров линейно независимы»,
а потому тензору может быть разложен на v-4~I неприво-
неприводимых частей. Эти различные неприводимые тензоры мы обо*
значим через %.
104. Неприводимые симметрические и антисимметриче-
антисимметрические части тензора ?а&. Ясно, что каждый неприводимый тен-
тензор, составляющие которого суть билинейные формы от ?а и ?
является или симметрическим или антисимметрическим. Чтобы
исследовать, какой мы имеем случай, поступаем, как и выше
Принимая во внимание формулу A4), имеем
(я)
О»)
= (_!)
•5 = ( —I.)
) '
но
:(- 1)
(у-р) (ч-р+1)
2
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
137
Следовательно, если [v — р = 0 или —1 (mod 4), тензор %
симметрический; если v — р~\ или 2(mod 4), он антисиммет-
антисимметрический.
Таким образом, симметрические тензоры эквивалентны
q-векторам, если q^v (mod 4); антисимметрические тен-
тензоры эквивалентны q-векторам, если <ysv-|-2 (mod 4).
Симметрические тензоры эквив лентны тем, которые полу-
получаются при подстановке ^ = Sa; они дают разложение тензора
SaSg с 2i B*-\-\) составляющими. Между прочим, нетрудно
проверить, что сумма коэффициентов С%ч+1 бинома, у которых
верхний индекс равен v плюс или минус кратное 4, равна
2»-i ( 41)
105. v-вектор, соответствующий спинору. Один из этих
тензоров очень важен; это тензор Sv. Он эквивалентен
v- вектору. Мы подсчитаем его составляющие для v = 2.
Для этого надо рассмотреть выражение ?*СЛс; для кова-
B)
риантных составляющих бивектора имеем
±
06)
— — So'1
Щ,
xn,
• В начале этой главы мы видели, что при v = 2 каждый
спинор позволяет определить, по крайней мере, если ?а=?0,
изотропное образующее многообразие двух измерений B-плос-
кость). В то же время мы можем отнести каждому спинору
бивектор. Нетрудно видеть, что этот бивектор лежит 8 этой
азотропной плоскости. Ограничимся сначала для проверки
случаем спинора, у которого все составляющие, за исключе-
исключением 5о, равны нулю; в этом случае изотропная 2-плоскость,

138
Г Л А В А V
соответствующая этому тензору, определяется, уравнениями
контравариантные составляющие каждого бивектора, лежащего
в этой 2-плоскости, равны нулю, за исключением лт12; другими
словами, все его ковариантные составляющие равны нулю, за
исключением jci'2'. Но бивектор %2, определяемый рассматривае-
рассматриваемым спинором, обладает как раз этим свойством, так как един-
единственная его ковариантная составляющая, отличная от нуля,
есть хг>2>= — Ц. Этот результат является общим и распро-
распространяется на все значения v, как это мы сейчас покажем.
IV. Простые спиноры и интерпретация их
как поляризованных изотропных v-векторов
Рассматривая в начале этой главы (п.- 92) изотропные
V-плоскости, мы пришли к системе 2V линейных уравнений с п
переменными х° х', хи, коэффициенты которых являются 2'
составляющими спинора. Эти уравнения определяют V-плос-
V-плоскость, если при ?0, отличном от нуля, между составляющими
спинора существуют квадратичные соотношения а) и Ь), опреде-
определяющие через So, $,-, $f/ составляющие S, имеющие больше
двух индексов. Эти 2" уравнений выражаются матричным урав-
уравнением Х? — 0.
106. Простые спиноры и изотропные v- плоскости. Мы
будем называть ненулевой спинор простым, если ранг системы
этих уравнений равен v —|— 1; они определяют тогда v - плос-
-*¦
кость, являющуюся изотропной, так как если вектор х удо-
удовлетворяет этим уравнениям, то
Ж = *23 = *г$ —0, откуда х*=0.
Обратно, каждая изотропная v-плоскость может быть опре-
определена простым спинором: мы показали в том случае, когда
из уравнений этой v-плоскости не вытекает никакого линей-
линейного соотношения между х1, хг хн\ соответствующий ему
простой спинор имеет составляющую ;0, отличную от нуля.
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Еч 4
139
Чтобы доказать, что указанный результат имеет место в общем
случае, достаточно установить следующие две леммы.
Лемма I. Спинор, получающийся из простого при помо-
помощи вращения или симметрии, является также простым,
причем V-плоскость, соответствующая преобразованному
спинору, получается из v- плоскости исходного при помо-
помощи того же вращения или симметрии.
В самом деле, пусть &— простой спинор, X—вектор соот-
соответствующей v-плоскости; при помощи симметрии А получаем
спинор ?' = Лч и вектор Х' =— АХ А, причем
X'k' = — АХАЪ = — АХ —¦ 0;
так как векторы X' образуют изотропную плоскость, то лемма
доказана.
Лемма П. Две изотропные v - плоскости могут быть
всегда преобразованы одна в другую при помощи вращения
или отражения.
В самом деле, рассмотрим две изотропные v-плоскости,
имеющие общую р- плоскость; обозначим через X вектор
первой v - плоскости, не принадлежащий ко второй; этот век-
вектор не может быть перпендикулярен ко всем векторам второй
V-плоскости, так как (v-{-l)-плоскость, содержащая вто-
вторую V-плоскость и вектор X, была бы изотропна, что невоз-
невозможно. Пусть X' — вектор второй v-плоскости, не перпенди-
перпендикулярный к X; вектор X' — X не изотропен, так как в
противном случае мы имели бы
[X' — Х)* = X- -f X2 — {XX' 4- Х'Х) — — {XX1 -f Х'Х) —
Симметрия X' — X (относительно плоскости, перпендикулярной
к отрезку, соединяющему концы векторов X и X', и проходящей
через середину этого отрезка) оставляет инвариантной
р-плоскость, общую двум данным v-плоскостям, так как эта
р- плоскость перпендикулярна к X' — X; кроме того, она
преобразует X в Х'\ она преобразует, таким образом, первую
v-плоскость в другую, имеющую со второй v-плоскостью
общую {р-\-1)-плоскость. Повторяя несколько раз это же.
преобразование, мы совместим обе данные v- плоскости при
помощи, некоторого числа ^v симметрии.,

140
ГЛАВА V
Можно добавить к этому, что в рассматриваемом случае
нечетного п можно всегда осуществить это совмещение при
помощи вращения, так как в (v-f-1)- плоскости, перпендику-
перпендикулярной к изотропной V-плоскости, существует неизотропный
вектор, перпендикулярный . к этой v- плоскости, и, следова-
следовательно, существует симметрия, оставляющая инвариантной
v - плоскость.
Вернемся к нашему предложению. Каждая изотропная
V-плоскость может быть получена при помощи вращения из
V-плоскости
применим это вращение к спинору, у которого составляющие,
отличные от ?0, равны нулю; на основании леммы I мы получим
простой спинор, соответствующий данной изотропной плоскости.
Мы приходим, таким образом, к следующей общей теореме.
Теорема. Каждая изотропная v - плоскость опреде-
определяется при помощи простого спинора. Простые спиноры об-
образуют совокупность, инвариантную при вращениях и отра-
отражениях.
107. Простые спиноры обращают в нуль симметриче-
симметрические тензоры, отличные от S?v. Теперь мы охарактеризуем
алгебраически простые спиноры. Покажем сначала, что каждый
простой спинор превращает в нуль составляющие различных
симметрических тензоров 5? (p=^v), входящих в разложение
тензора Ь^.
Прежде всего это предложение справедливо для простого
спинора, у которого все составляющие, за исключением $0, рав-
равны нулю. Рассмотрим симметрический тензор 5? , получающийся
из выражения
(р)
если все ?а, за исключением t-0, равны нулю, то это выражение
равно ?2, умноженному на коэффициент при ^ в составляю-
составляющей So, преобразованной матрицей СХ, то есть на коэффи-
(р)
циент при $0 в составляющей ?12 . . . „, преобразованной мат-
матрицей X. Но в составляющую SJ2. . . .,, преобразованную
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
141
матрицей X вектора, входят только те составляющие ?а, кото-
которые имеют по крайней мере у—1 индексов; применяя вторую
матрицу вектора, мы получим выражение, содержащее только
те $а, которые имеют по крайней мере v — 2 индексов и т. д.
Так как^ р <^v, то составляющая ч0 не входит в искомую состав-
составляющую ^2... v, преобразованную матрицей X.
(р)
Так как каждый простой спинор может быть получен (лем-
(лемма II) из рассмотренного спинора частного вида, то тензор S?
также равен нулю для этого спинора, что и требовалось
доказать.
Докажем теперь обратное, — что каждый спинор, обращаю-
обращающий в нуль симметрические тензоры !? , отличные от $?,,— про-
простой. В самом деле, на основании самого определения простых
спиноров они характеризуются целыми алгебраическими соотно-
соотношениями. Рассмотрим среди этих соотношений все квадратич-
квадратичные. Эти соотношения обладают тензорным характером в том
смысле, что левые их' части образуют тензор, так как в целом
их совокупность, конечно, инвариантна при вращении и отра-
отражении. На основании прямой теоремы мы знаем, что среди
этих квадратичных соотношений фигурируют все те, которые
получаются приравниванием нулю симметрических тензоров %р,
отличных от %-,. Других соотношений существовать не может,
так как рассматриваемые соотношения, будучи линейными
относительно составляющих тензора SgSg, могут быть полу-
получены только (п. 34) приравниванием нулю одной или нескольких
из неприводимых частей этого тензора; но ?, не может фигу-
рировг"Ь среди этих частей: в противном случае все состав-
составляющие $,?,, то есть и все ^, были бы равны нулю; мы пришли
К абсурду. Следовательно, совокупность квадратичных соот-
соотношений, характеризующих простые спиноры, совпадает
с- той, которая получается приравниванием нулю симметри-
симметрических тензоров % , отличных от ?v.
108. Алгебраическая характеристика простых спиноров.
Рассмотрим спинор, обращающий в нуль все эти тензоры; его
составляющие удовлетворяют соотношениям а) и Ь) (п. 92)
о

142
ГЛABA V
которые необходимо имеют место для составляющих простого
спинора; если So^Q.to эти необходимые соотношения являются
и достаточными, как зто показывает начало главы, для того
чтобы спинор был простым; следовательно, каждый спинор,
с составляющей $0=7^0, обращающий в нуль симметрические
тензоры ? , отличные от S-,,—простой. То же самое имеем в
том случае, если 50 = 0, так как нз $ можно получить преоб-
преобразованием новый спинор с составляющей ^^=0'), который
обращает в нуль те же составляющие тензора и поэтому яв»
ляется простым; следовательно, $, получающийся преобразова-
преобразованием из простого тензора, сам является простым.
Теорема. Спинор является простым тогда и только
тогда, если его составляющие обращают в нуль все тен-
тензоры, определяемые выражениями
t*CX$ [p<v, v — р~0 или 3(mod 4)].
В пространстве спиноров простые спиноры образуют, таким
"• образом, алгебраическое многообразие, определяемое линейно
••езавнсимыми квадратичными уравнениями в числе 2^
то есть
Это число равно:
1 для v = 3, \0-Ca-\-C\ для v = 4,
66 = Си -f-Cu для v = 5, 364 = C?3-f C13 Для V=6.
109. Изотропный v-вектор, соответствующий простому
спинору. Рассмотрим простой спинор; тензор 2Ч позволяет от-
отнести этому простому спинору, как и вообще каждому спинору,
v-вектор (п. 105). Мы покажем, что этот v-вектор лежит
в изотропной v-плоскости, определенной спинором. Достаточно
проверить sto для какого-нибудь спинора частного вида, так
¦ *} В самом деле, если бы спиноры, преобразованные из данного,
имели составляющую 50, равную нулю, то наименьшее подпространство,
содержащее все эти преобразованные спиноры, было бы инвариантно
при группе вращений; так как это подпространство самое большее
2-—1 измерений то это противоречит неприводимости спиноров.
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ?„
143
как применением вращения мы распространим это на любые
простые спиноры. Возьмем снова спинор, у которого все соста-
составляющие, за исключением $0, равны нулю. Рассуждение, которое
применялось при доказательстве леммы II, показывает, что единст-
единственная отлетая от нуля ковариантная составляющая v-вектора по-
лучает<$ из v - вектора X, являющегося произведением v-векторов
(о)
Hi,, так как Н(, — единственные векторы базиса, обладающие тем
свойством, что их применение к составляющей $ уменьшает
на единицу число ее индексов. Следовательно, единственная
отличная от нуля коварнантная составляющая v-вектора, соот-
соответствующего спинору, есть
ч (i — 1)
v-плоскость этого v-вектора определяется уравнениями
sto — изотропная у плоскость, определяемая рассматриваемым
спинором.
Отсюда вытекает важное следствие. Каждый простой спи-
спинор может быть определен как изотропный поляризованный
>вектор. Если задан изотропный v-вектор, то составляющие спи*
норы определены (с точностью до общего знака) выражениями
тензора &v; для v = 2 это — выражения A6), данные в п. 105.
Вполне очевидно, что каждый спинор можно рассматривать,
и притом бесконечным числом способов, как сумму простых
спиноров; это дает также геометрическую интерпретацию спи-
спиноров общего вида.
Интересно отметить, что как понятие спинора может быть
выведено из понятия вектора, так и обратно—понятие вектора
может быть выведено из понятия спинора: прежде всего при
помощи спинора можно построить изотропный v-вектор, за-
затем можно определить v-вёктор общего вида как сумму изо-
изотропных v-векторов и вектор — как элемент, общий семейству
v-векторов, удовлетворяющих определенным условиям..
ПО. Пересечение двух изотропных v-плоскостей. Обо-
Обозначим через [Б] изотропную v-нлоскость, определяемую про-
простым спинором S. Пересечение двух изотропных v-плоскостей

144
ГЛАВ А V
[?] и [Б'] есть изотропная ^-плоскость, причем р может из-
изменяться от 0 (б этом случае эти у-плоскости не имеют об-
общих прямых) до v (когда они совпадают).
Существует по крайней мере один неизотропный вектор,.
перпендикулярный к обеим- v-плоскостям; в самом дел*1, гео-
геометрическое место перпендикуляров к этим двум v-плоско-
v-плоскостям определяется 2у —р независимыми линейными уравнениями,
то есть является {р-\- 1)-плоскостью, содержащей р-тто-
скость, общую рассматриваемым v-плоскостям. Таким образом,
существует прямая, перпендикулярная к обеим v-плоскостям
и не принадлежащая к их общей /^-плоскости. Эта прямая
не может быть изотропной, так как в противном случае она
определяла бы с каждой из рассматриваемых v-плоскостей
изотропную (v-j-l)-nnocKOCTb, что невозможно. С другой
стороны, не будучи изотропной, она не может лежать
в Bv—/^-плоскости, которая содержит данные две v-пло-
скостн и к которой эта прямая перпендикулярна.
При помощи вращения можно всегда единичный вектор,
'лежащий на этой прямой, совместить с Яо, а v-плоскость
[$'] — с плоскостью, определяемой векторами Ни Нй,..., //„;
наконец, можно предположить, что /^-плоскость, общая обеим
v-плоскостям, определяется векторами Ни Нг,..., Нр. Каждый
вектор v-плоскости [?] является линейной комбинацией векторов
#и нг #р. Hi', Hv,.. ., Нр,, Я(р+)), ..., Н,,; но из усло-
условия, что он перпендикулярен к Hv вытекает, что #i# не может
входить в эту комбинацию; то же самое относится к #2», • • •. Hpt.
Итак, v-плоскость [?] можно определить при помощи v векторов
H
v
Н
р,
п
и-
причем
-.,. -J-аи_р){,.р)Нч
Тогда скалярные произведения векторов
Нй, Н1%..., Нр, Нр+и ..., Нч, Hv, Hv...,
Коэффициенты а/у не произвольны.
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ?„.
145
те же самые, что и у векторов
Ио, Hv . . ., Hpi Нр+г>..., //,;
Hv, H2,,..., Hpi, Я(р+1). ,..., Нч; (Ь)
таким образом, векторы (а) образуют репер, конгруэнтный
координатному реперу, то есть при помощи вращения или отра-
отражения можно обе данные v-плоскости совместить соответственно
с v-плоскостями
[ОД • • • ЛЛ+1 ¦ ¦ • Я,] и [ОД ... НрН{р+1), .. . //,.],
у которых уравнения соответственно следующие:
= х1' —xv =... =ХР'=х^+1У =.. . = х" = О,
x° = xv = x2' = .. .=xP'=xp*1 = ... =x->—Q.
У соответствующего' простого спинора &' все составляющие
кроме ?э равны нулю, у спинора с не равна нулю только со-
составляющая &(р+1) <р+2) ¦••,• в самом деле, для второго спи-
спинора уравнения
показывают, что все?а, содержащие один из индексов 1,2,...,/?,
равны нулю, так же как и те составляющие, у которых от-
отсутствует один из индексов р -\- \, p-\-2,...t v; таким образом,
остается не равной нулю только одна составляющая
111. Условие того, что пересечение двух изотропных
v-плоскостей имеет р измерений. Полученный в предыду-
предыдущем параграфе результат позволяет нам найти непосредственно
необходимые и достаточные условия того, что пересечение
двух, изотропных v-плоскостей [?] и [$'] является плоскостью
р измерений. В самом деле, если эта плоскость р-мерна, то
все тензоры ?0) %г..., ?p_i, определяемые парой спиноров
? и ?', равны нулю; достаточно доказать это для двух v-'плс-
скостей, определенных выше. Если мы образуем величину

146
ГЛАВА V
где X—произвольный ^-вектор {q<^P)i T0 5та величина
(?)
является произведением So'S(,,+i) • • ¦ v на коэффициент при
Б( j)( 2)... ч в ?0, преобразованной матрицей СХ, то есть
5,2... , преобразованной матрицей X. Но X является суммой
4 (?) (?)
произведений # матриц На; так как матрица На, примененная
к составляющей ??, уменьшает число простых индексов этой
составляющей самое большее на единицу, то матрица X, при-
(?)
мененная к составляющей с12.--у, дает выражение, в которое
не может входить составляющая ?(„+1)...у- А это и требова-
требовалось доказать.
Наоборот, тензор % , определяемый величиной ?'*СА'?,
(р)
не равен нулю, так как, выбирая Х^Н^Н» ..\ Нр>, мы полу-
чим4hSoS{;)+и---,; кроме того, мы видим, что р-вектор 5?р
лежит в /^-плоскости, общей обеим v-плоскостям.
Отсюда вытекает следующая
Теорема. Пересечение двух изотропных ^-плоскостей
[S] и [?'] тогда и только тогда является плоскостью р из-
измерений, если тензоры %д [q-векторы или {п — д)-векторы],
определяемые парой спиноров S, ?', равны нулю при 0 = 0,
1,..., р — 1, но тензор %р не равен нулю.
Например, для того чтобы две изотропные ^плоскости
имели общую прямую, необходимо и достаточно, чтобы
e»ce'S&— ч—н
-1) 2
1)
Sis So = 0,
то есть, чтобы простые спиноры S и S' были сопряженными
относительно фундаментальной полярности.
Добавим следующее замечание. Если теперь %. равен нулю,
то равны нулю и тензоры %ч_х S?o-
В самом деле, вопрос можно всегда привести к случаю,
когда одна из у-плоскостей соответствует простому спинору ?',
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
147
у которого, все составляющие, за исключением 5о, равны нулю.
Выражая условие, что величина
тождественно равна нулю, мы получим, принимая
(?) '* '2 V
Х=Н,'Н/ ...И/ (И, / —/// //, \
« 'l '2 '?-2\ *Я-\ 19-1 '?-1 'Н/ '
что все составляющие спинора ?, имеющие v — q простых ин-
индексов, v — ?-f-l простых индексоз, v — q -\- 2 простых индек-
индексов и т. д., равны нулю. Отсюда следует, что величина $*СХ$
(?-i)
тождественно равна нулю.
V. Случай вещественного эвклидова пространства
Рассмотрим группу вещественных вращений и отражений.
Мы не будем менять выбранного выражения для фундаменталь-
фундаментальной формы; достаточно предполагать координату х° веществен-
вещественной, & х! н х1' комплексно сопряженными. Каждое вращение
и в рассматриваемом случае есть произведение четного числа
eg; 2v симметрии, соответствующих вещественным единичным
векторам Л; каждое отражение есть произведение нечетного
числа s^2v-j-l таких симметрии.
112. Сопряженные векторы и р-векторы. Из векторов базиса
-¦•-+•-+.
eOl eit e{i первый вещественный, остальные попарно комплексно
сопряженные. Отметим, что соответствующие матрицы И0) Нр Н(>
обладают тем свойством, что две матрицы, соответствующие
комплексно сопряженным векторам, являются взаимно транспо-
транспонированными. Следовательно, рассматривая матрицы А' и Г двух

148
ГЛАВА V
комплексно сопряженных векторов, будем иметь
откуда
Y—X*.
В частности, матрица вещественного вектора является эр-
матовой:
Х=Х*.
Переходя от
векторов к р-векторам, получим,
1)~г х*. Таким
что
обра-
р-вектор, сопряженный с X, есть (
зом, вещественный р-вектор имеет эрмитову матрацу,
если /7 = 0 или 1 (mod 4), и эрмитову антисимметрическую,
если р = 2 или 3 (mod 4).
ИЗ. Сопряженные спиноры. Важно установить, когда два
спинора должны быть рассматриваемы как сопряженные. Если
эти спиноры простые, необходимо, чтобы они соответствовали
двум изотропным комплексно сопряженным v-плоскостям. Но
если ? — простой спинор, X—вектор изотропной v-плоскрсти,
которую этот спинор определяет, то имеем соотношение ЛГ; = О.
Пусть I' — один из простых спиноров, определяющих сопряжен-
сопряженную v-плоскость, Х1 — вектор, сопряженный с X; имеем
откуда на основании формулы A3) (п. 101)
так к»к -Y?=0, то естественно положить CS' = т?, то есть
1' = тС?.
Что0ы оправдать эту формулу и уточнить значение /и, рас-
рассмотрим изотропный v-вектрр, соответствующий $; он дается
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
149
выражением
заменим в- этой формуле v-вектор Х его сопряженным и Б
через F; мы должны получить выражение, комплексно сопря-
сопряженное первому.
Имеем
Ф-Ц _ _
(_ 1) * 2 т% *с* сх*а =
учитывая, что второй член равен своему транспонированному,
и принимая во внимание соотношения A4), A5) (п. 101), по-
получаем
( 1) 2 b
то есть
Таким образом, приходим к следующему соглашению:
Спинор, сопряженный с ?, есть ?*С?.
Отметим, что спинор, сопряженный с сопряженным от ?,
является спинором Сг? = (—1) 2 S. Переход от спинора
к его сопряженному определяет в пространстве спиноров
антиикволюцию; эта антиинволюция первого рода, если v=0
или — 1 (tuod 4); она — второго рода, если v = 1 или 2 (mod 4).
В первом случае в пространстве спиноров существует область
вещественности, образованная спинорами, равными своим со-
сопряженным. При v==3 вещественные спиноры—те, для которых
? = — iC С что дает уравнения
«0 = —
'1 ==
114. Тензор ^р. Спинор, сопряженный с данным, при от-
отражении не преобразуется вполне как спинор. В самом деле,
о
о

150
ГЛАВА V
при вещественной симметрии А, преобразующей $ в Л5, сопря-
сопряженный спинор преобразуется в
рс~аг= рса* Г— (— 1 )"сас Г= (— 1 у а № X).
Если v четное, С? преобразуется вполне как спинор; но при v
нечетном мы имеем преобразование по закону спинора только
при вращении, но не при отражении.
Мы получим разложение тензора ?а Б», исходя из /?-век-
торов, определяемых разложением текзора ?„1-1, в котором за-
заменяем $' на спинор, сопряженный с $. .Рассмотрим, таким об-
образом, выражение
= Р
(р)
(р)
(р)
При вещественной симметрии А это выражение умножается
на (—\у~Р(—l)v (второй множитель получается потому, что
спинор, сопряженный с $, преобразуется как спинор только
в том случае, если v четное). Следовательно, рассматривае-
рассматриваемое выражение 'дает р-вектор или (п —р)-вешор в за-
зависимости от четкости или нечетности р.
Тензор $а1э разлагается, таким образом, на v -f-1 непри-
неприводимых тензоров, которые являются Iq-векторами.
В частности, для р = 0 имеем скаляр (пренебрегаем постоян-
постоянным множителем /v):
Важно отметить, что полученные таким образом 2д-век-
торы все вещественны.
Достаточно показать, что если р- вектор X вещественный,
(р)
то выражение $*,YS вещественно или чисто мнимо, так как тогда
(р)
составляющие р-тзектора или (п — р)-вектора будут, с точно-
точностью до множителя, вещественными величинами. Но величина,
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
151
комплексно сопряженная с S*A"?, равна
(р)
(р)
(р)
(р)
Что и требовалось доказать.
Таким образом, чтобы иметь вещественные составляющие
мультивектора, определенного двумя сопряженными спинорами,
достаточно исходить из выражения
00
i 2
115. Пример v = 2. При у = 2 тензор $„& разлагается на
три неприводимых тензора:
1° скаляр
5 -f
2° 4-вектор, определяемый формой
5*ЯБ =х? C*//0S -\-xl Х* 1
его контравариантные составляющие суть
' = So^o — &i*i — M» + Su5t,i 1
ош__
X —
ou'2'_
011-2 _
¦* —
A7)

152
ГЛАВА V
3° Бивектор, определяемый формой i?*X?; его 10 ковари-
B)
антных составляющих определяются формулами:
х02 =
лг12= i?
/&
^
, = i. Й* (H2Hv—HvHa)$
I .>• Г
A8)
)
Мера 4-вектора и бивектора с точностью до множителя
равна
VI. Случай псевдоэвклидовых пространств
116. Матрицы / и У. Мы можем предполагать, что фунда-
фундаментальная форма приводится к сумме п — А положительных
квадратов и h отрицательных, причем ks^v. Можно сохранить
введенное выше выражение для фундаментальной формы, пред-
предполагая, что координаты
комплексно
вещественны, а х1 и х1' (i=\, 2, ..., v — h)
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Я.,
153
сопряженны. Вектор
X = х°И0 + atW, 4-... 4- at-//, -|
имеет себе сопряженным следующий:
Ч-Л
к =
-b.-т*"
/ v-A+1
Чтобы перейти от X к Y, введем две матрицы
/=(H1-Fv)...(H4_h-H^hy)l A9)
^(tfv-A+i-^-M-i)<)...(tf,-tfv>), B0)
аналогичные С. Имеем
/У=С, //* = УУ*«1, B1)
(,-/,)(,-/,+!) А(*+1)
Л —(— 1) 2 , У-'=(— 1) 2 .
Простое вычисление, аналогичное тому, которое было прове-
проведено для матрицы С, приводит к следующей теореме:
Теорема. Вектор Y, сопряженный с вектором X, опре-
определяется формулой
К = (— 1 у-ЧХ1-1 = (— 1 )-ЧХ1* = (— 1 у-*Х1.
Вообще р-вектор У, сопряженный р -вектору X , равен
W (Я)
В случае А=0 мы получим результаты, найденные выше; следует
заметить, что тогда /=С.
Вектор X вещественный, то есть матрица X соответствует
вещественному вектору, если
117. Сопряженные спиноры. Соображения, аналогичные
приведенным выше, приводят к следующему определению спи-
спинора, сопряженного с данным ?:

154
ГЛАВА V
Проверим, что, если в выражении
мы заменим v-вектор X ere сопряженным и спинор ? его со-
(V)
пряженным, мы получим величину, комплексно сопряженную
с данной. Следует, таким образом, заменить
X через (— l)*U-*>/3?/* и $ через i»-*/f;
{•>) (*)
рассматриваемое нами выражение преобразуется в следующее:
(V)
(V)
которое является комплексно сопряженным с исходным.
Переход от спинора к его сопряженному определяет в про-
пространстве спиноров антиинволюцию первого рода, если /2=1,
то есть если v — Л = 0 или —1 (mod 4), или второго рода,
если v — Л=1 или 2(mod 4). В первом случае в пространстве
спиноров существует область вещественности, к которой при-
принадлежат спиноры, равные своим сопряженным.
Спинор, сопряженный с данным, преобразуется как спинор
при отражении в том случае, если h той же четкости, что и у.
118. Произведение двух сопряженных спиноров. Произ-
Произведение SJ-р двух сопряженных спиноров является тензором,
который можно разложить на неприводимые тензоры, заменяя
в тензорах Sfc спинор ?' спинором, сопряженным с ?. Мы дол-
должны, таким образом, рассмотреть выражения:
(р) W
Прежде чем исследовать природу этих тензоров, важно
отметить, относительно какой группы мы их будем рассма-
рассматривать.
Напомним (п. 12), что группа линейных подстановок, оста-
оставляющая инвариантной фундаментальную форму, делится на
четыре связных семейства:
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ?3v + >
155
1° Собственные вращения, являющиеся произведениями
четного числа пространственных симметрии и четного числа
временных.
2° Несобственные вращения — произведения нечетного чи-
числа пространственных симметрии и нечетного числа временных.
3° Собственные отражения — произведения нечетного чи-
числа пространственных симметрии и четного числа временных.
4° Несобственные отражения — произведения четного чи-
числа пространственных симметрии и нечетного числа временных.
Пространственная симметрия соответствует вещественному
единичному пространственному вектору А(А2=1); она преоб-
преобразует вектор X в —АХ А и спинор $ в спинор At. Времен-
Временная симметрия соответствует временному вещественному единич-
единичному вектору А(Аг = — 1); она преобразует векторов АХА —
= — АХА'1, спинор $— в спинор М?. Группа собственных вра-
вращений и отражений характеризуется тем свойством, что она
оставляет инвариантной ориентацию времени (Л измерений).
При применении пространственной симметрии А выражение
i*JXi умножается на (—\)Р-*; при применении симметрии
(р)
временнбй оно умножается на (—iy-*+i.
Отсюда следует, что относительно группы вращений а от-
отражений, собственных и несобственных, неприводимые тензоры,
на которые разлагается тензор ?„?., не являются мульти-
мультивекторами.
Если же ограничиться рассмотрением группы собственных
вращений и отражений, оставляющих инвариантной временную
ориентацию, то эти тензоры эквивалентны мультивекторам.
Выражение $*/АГ$ не изменяется при собственном вращении
(р)
и умножается на (—\)p-h при собственном отражении. Следо-
Следовательно, оно определяет р-вектор или (п — /?)-вектор в зависи-
зависимости от того, имеют ли р и h одинаковую четность или
неодинаковую.
Как и в случае положительно определенной фундаментальной
формы, доказывается, что ^-векторы, построенные при помощи
двух сопряженных спиноров, вещественны.
П9. Л-векторы, построенные на двух сопряженных
спинорах. Особенно интересный случай получается при р — Н;

156
ГЛАВА V
выражение
(А)
определяет /z-вектор. Временная составляющая этого А-век-
тора получается при замене в этом выражении X на А-вектор,
(Л)
образованный k временными векторами базиса, именно
эта временная составляющая, таким образом, равна
1*У*€==(— 1) 2 6*5;
она с точностью до знака равна сумме квадратов модулей 2'
составляющих спинора!).
Отсюда можно вывести одно важное свойство, которое при-
применяется в квантовой механике. Если h-вектор, определяемый
двумя сопряженными спинорами, простой, то h-плоскость,
содержащая его, не имеет ни одного пространственного
вектора* В самом деле» предположим, что она содержит такой
вектор; при помощи вращения можно этот пространственный
вектор привести в такое положение, что все его временные
составляющие будут равны нулю. Пусть ?* — спинор, получаю-
получающийся из ? при этом вращении; ^-вектор, получающийся из
данного Л-вектора при такой же вращении, имеет временную
составляющую, равную нулю, так как временные составляющие
одного из векторов, на которые его можно разложить, равны
нулю; но этого не может быть, так как эта временная состав-
составляющая должна быть равна сумме квадратов модулей состав-
составляющих спинора ?\
Этот вывод имеет смысл, конечно, только в том случае,
если А-вектор простой. Интересно сделать подсчет для
v=A=2. Для составляющих бивектора, определенного двумя
сопряженными спинорами, получаем, принимая во внимание,
что «/=С,
of
., 57, 1935. стр. 447),
J> Spinors in n dimensions (Amer. J.
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА B,v+i
157
л01 =
л0з =
? = - F,518-f Si
1($ = - (SA -f
B2)
,= 1 ё*с (я,
Вычисление показывает, что этот вектор простой, когда
скаляр $*Сч равен нулю, то есть (п. 111) когда изотропные
сопряженные 2-плоскости [5] и [5] имеют общую прямую. То
же имеем в частном случае, когда эти 2-плоскости совпадают,
что характеризуется (п. 111) тем, что тензор %lt получающийся
нз величины Ь*СХ?, равен нулю; в этом случае бивектор B2)
является изотропным бивектором, соответствующим простому
спинору с.
i

ГЛАВА VI
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Е2,
I. Изотропные v-плоскости и полуспиноры
120. Изотропные v-плоскости. Мы переходим от простран-
пространства ?2v+1 к пространству ?2v, полагая в первом лг0 = О. Полу-
Получаем фундаментальную форму
F==xixv-\-x2x* -f- ¦ ¦ • +****'•
В пространстве ?2у изотропные плоскости имеют не больше
v измерений; в самом деле, плоскость, перпендикулярная к изо-
изотропной р-плоскости, имеет п — р измерений, и так как она
содержит эту р-плоскость, то п—р^р, то есть p<v.
С другой стороны, каждая изотропная v-плоскость простран-
пространства Еъ может быть рассматриваема в пространстве Еъ+1,
гиперплоскостью которого является Е2,> как v-плоскость, пер-
перпендикулярная к вектору Но. Составляющие простого спинора
?, соответствующего этой у«плоскости в пространстве
должны, таким образом, удовлетворять соотношению вида
#0$ —т? (т — скаляр),
откуда умножением на Но получаем
Ь — тЧ, тъ=\.
Если /я=1, то отсюда вытекает,что все ?„ с нечетным чис-
числом индексов равны нулю; если т =—1, то все Ss с четным
числом индексов равны нулю. Обратно, если простой спинор
пространства обладает тем свойством, что все составляющие
с четным (нечетным) числом индексов равны нулю, то соответ-
соответствующая v-плоскость лежит в пространстве ?2v, так как имеем
¦^о?—— ? (#о?—?)> что показывает инвариантность v-плоскости
при семметрии Но.
121. Полуспиноры. Назовем полуспинорами пространства
?2у систему 2Ч чисел ?в, в которой все составляющие с четным
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Еи
159
I
(нечетным) числом индексов равны нулю. Существует два рода
полуспиноров: полуспиноры первого рода (которые мы будем
обозначать через tf) с четным числом индексов и полуспиноры
второго рода (которые мы будем обозначать через ф) с нечет-
нечетным числом индексов. При применении симметрии в простран-
пространстве ?? эти два рода полуспиноров переходят один в другой;
это вытекает из того, что операции Ht и Hi, над спинором
пространства E2i+1 переводят каждую составляющую ?„ с чет-
четным числом индексов в составляющую с нечетным и обратно.
Таким образом, вращение преобразует полуспиноры каждого
рода между собой. В частности, два семейства изотропных
^-плоскостей пространства Егч преобразуются одно е другое
при отражении и каждое в самое себя при вращении.
122. Простые полуспиноры, определяемые как изотроп-
изотропные поляризованные v-векторы. Возвращаясь снова к про-
пространству E2y+i, мы видим, что простой полуспинор, например <р,
можно рассматривать как изотропный поляризованный v-век-
тор этого пространства, определяемый величиной
где X— произвольный v-вектор пространства Ег ,.
Нетрудно доказать вообще, что каждый р-вектор простран-
пространства Е~^, может быть представлен в виде Х4- ХН0, где
+I W A)
,
X—р вектор, X —(р — 1)-вектор пространства Е2ч. Таким
(р) (р-1)
образом, ели учесть, что Н0<р = у, то величина у*СХу может
Ь)
быть заменена следующей:
X Н0и =
X
где X и X принадлежат к Е2Г Но, как мы видели (п. 107).
(v) (v-l)
второй член правой части тождественно равен нулю. Величина
ш*СХ<о, где X — произвольный v-вектор пространства Еъ,
(У) (У)

160
ГЛАВА VI
определяет, таким образом, в Я2, изотропный v-вектор, составляю*
щие которого являются квадратичными формами составляющих
простого полуспинора <о, который, обратно, может рассматри-
рассматриваться как поляризованный изотропный v-вектор.
123. Условия простоты полуспинора. Полуспинор тогда
и только тогда является простым, если он обращает в нуль
все тензоры у*СХу при р<Ч(п.1О7) (некоторые из этих теа-
(р)
зоров тождественно равны нулю). В этом выражении X обозна-
(р)
Чает произвольный р-вектор пространства E2.t+V но сделанное
выше замечание показывает, что можно ограничиться р-векто-
рами пространства ?2v. Мы знаем (п. 104), что рассматриваемая
величина тождественно равна нулю, если v —р = 1 или 2 (mod 4).
С другой стороны, она также тождественно равна нулю, еслн
v — р нечетно: в самом деле, матрица СХ является суммой про*
1 изведений v-f-/> матриц Н{ и Hti; каждая матрица Н{, приме-
примененная к спинору, меняет четность числа индексов у каждой
его составляющей; таким образом, если v-\-p (или v—-р) не-
нечетно, то матрица СХ, изменяя четность числа индексов полуспи»
(р)
нора (р, превратит его тождественно в нуль. Остается, следо*
вательно, рассматривать значения р, меньшие v и отличающиеся
от v на числа, кратные 4.
Теорема. Полуспинор тогда и только тогда является
простым, если его составляющие обращают тождественно
в нуль все величины Z*CXt, где X обозначает произвольный
W (.р)
р-вектор пространства Еъ, причем р принимает все значе~
ния, меньшие v и сравнимые с v(mod 4).
В пространстве 2V-1 измерений полуспиноров данного вида
простые полуспиноры образуют, таким . образом, многообразие,
определяемое системой квадратичных уравнений. Простой под*
счет показывает, что число этих линейно независимых уравне-
уравнений равно
I
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Я,у
161
»то число равно нулю при у=1, 2, 3; для у=4, 5, 6, 7 оно
соответственно равно 1, 10, 66, 3641.
При у = 4 имеем соотношение
"~'5M5w—-5a,?i4—-?»&4—° (полуспиноры первого рода), A)
4~*-^?128=0 (полуспиноры второго рода). B)
124. Пересечение двух изотропных v-плоскостей. Рас-
Рассуждения п. 110 показывают, что в пространстве ?Sv две изо-
изотропные v-плоскости [Б] и [?'] могут быть при помощи вращения
или отражения приведены в положение v-плоскостей, соответ-
соответствующих спинору &', все составляющие которого, за исклю-
исключением So, равны нулю, и спинору ?, имеющему единственную
ненулевую составляющую ?(р+1)(^+8)«««,; эти две v-плоскости
имеют тогда пересечение р измерений. Отметим, что полуспи-
полуспинор ?' первого рода и что полуспинор ? также первого рода
в том случае, если у—р четно, и второго рода, если у—р
нечетно. Таким образом, имеем теорему:
Теорема. Пересечение двух изотропных ^-плоскостей
Является р-плоскостью, число измерений которой той же
четности, что a v, если обе v-плоскости одного рода, и раз-
разной четности, если обе v-плоскости различного рода.
Две изотропные v-плоскости одного рода [<р] и [у1] имеют
тогда и только тогда пересечение р измерений, причем р
одинаковой четности с V, если величины <р*СХу {q=p—2,
р —4, ...) равны нулю, но величина у*СХу' не равна нулю;
р-вектор, определяемый последней ееличиной, изотропный
и лежит в р-плоекости, являющейся пересечением данных
двух v-плоскостей.
Две изотропные v-плоскости разного рода [<р] и [ф]
тогда и только тогда имеют пресечение р измерений, при-
причем р и v равной четности, если величины <(*CXty (g=p — 2,
(f)
It
1 Нетрудно проверить, что »то число равно числу линейно незави-
независимых квадратичных уравнений, которые определяют простые спиноры
пространств! ?,,_!; «и спиноры имеют также 2»-1 составляющих (п. Ш).

162
Г Л А В'А VI
р — 4 . ..) рабны нулю, но величина у*СХ$ отлична от
(р)
нуля; р-вектор, . определяемый последней величиной, изо-
изотропный и лежит в р-плоскоши, являющейся пересечением
двух данных у-плоскостей.
Все эти результаты являются непосредственным следствием
теоремы п. 111. Как и в пространстве Et<l+V тождественное
обращение в нуль величины у*СХу (р одинаковой четности с v)
или у*СХ'Ь (р и v разной четности ) влечет за собой тождествен-
ное обращение в нуль аналогичных величин, у которых р за-
заменено на р—2, р—-4 -..
Например, при v = 3 две изотропные различные 3-плос-
кости одного рода имеют общую прямую; две изотропные
3-плоскости разного рода или не имеют ни одной общей
прямой, или же имеют общую 2-плоскость: последний случай
имеет место, если
t - с • ;с ct л
50Ч28 ?1 -28 Ч-31 -3^12 —~ и>
где ?0, ;2i, ;31, ;ia — составляющие полуспинора, соответствую-
соответствующего первой 3-плоскости, 5lf $2, Ss, $12g— составляющие
полуспинора, соответствующего второй 3-плоскости.
При v = 4 две изотропные 4-плоскости различного рода
имеют общую прямую или 3-плоскость; последний случай
имеет место, если величина у*СХ$ тождественно равна нулю,
что дает восемь условий, из которых достаточно выписать
два следующих:
г с ; s л
-12И-1
2484
*28*4 t ^24*1"""" ЧЙ*2 sx Ф
составляющие 3 с четным числом индексов и составляющие й
с нечетным числом индексов являются соответственно состав-
составляющими полуспиноров, соответствующих двум данным изотроп-
изотропным 4-плоскостям. Составляющие каждого из этих полуспи-
полуспиноров удовлетворяют, конечно, соотношению, характеризующему
простые полуспиноры, именно, соотношению (I) для первого
полуспинора и соотношению B) — для второго (п. 123).
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Вшч
163
II. Матрицы, соответствующие р-векторам.
вращений и отражений
Представление
125. Структура матриц X. Матрица X, соответствующая
(р) (/»)
р-вектору пространства ?у, имеет своеобразную структуру.
Расположим строки и колонны этой матрицы следующим обра-
образом: сначала выпишем те, составные индексы которых содержат
четное число простых индексов, затем с составными индексами,
содержащими нечетное число простых. Так как х° заменено
здесь нулем, то единственные не равные нулю элементы ма-
матрицы X, соответствующей некоторому вектору, — те, для ко-
которых составной порядковый номер строки имеет на один ин-
индекс больше или меньше составного порядкового номера колонны.
Эта матрица X принадлежит, таким образом, к типу
где каждая из четырех матриц 0, 3, Н, О имеет порядок,
равный 2*"*1. Матрица, соответствующая р-вектору, являясь
суммой произведений р матриц, соответствующих векторам,
имеет, таким образом, одну из следующих форм1):
0\ /НО
/
\
о нГлМ=\о н
(Р)
</>>
в зависимости от того, четным или нечетным является р.
В частности, матрица С, являющаяся произведением у матриц,
соответствующих векторам, имеет диагональные матрицы по-
порядка 2*, заполненные нулями, если v нечетно; противопо-
противоположное имеет место при четном у.
126. Применение симметрии к спинору. Пусть Л —еди-
—единичный вектор пространства Еъ. Мы знаем на основании пре-
предыдущей главы, что результат применения симметрии, соответ-
») Матрицы Н , которые всегда связаны с матрицами В, не должны
(р)
отождествляться с матрицами Ht и Ш векторов базиса пространства;
вервыв — поряди Ъ-\ последние — порядка 2».

164
Г Л Л В А VI
ствующей вектору А, к простому полуспинору <р определяется
соотношениями:
tp' = Л<р илн <р' = — Д<р;
совершенно так же дело-обстоит для простого полуспинора ф.
Возможны два соглашения, причем они оба совместимы с пре-
предыдущими условиями:
1° можно отнести каждой симметрии А = (я ft], преобра-
I
зующей спинор {? ], две операции
<р' = аф, ф'=рср, то есть ?' = Л5
<р' = — яф, ф' =? — р^>, то есть ?'.:=s —-
2° можно, наоборот, ей отнести две операции
, то есть
то есть
где
Оба соглашения одинаково законны; первое — наиболее
естественное; оно имеет то преимущество, что дает одина-
одинаковые соглашения в пространстве ?^+1 а 9 пространстве Ev
содержащемся в первом. В некоторых отношениях второе со-
соглашение вводит некоторые упрощения.
127. Две группы вращений и отражений в примевевяи
к спинорам. Какое бы из соглашений мы ни сделали, мы инеем
в общем одни и те же матрицы, представляющие вращения
в применении к спинорам, именно
где 5 является произведением четного числа <2v единичных
векторов.
Первое соглашение для отражений дает преобразования
; СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ?„
165
где А — единичный вектор, фиксированный для всех случаев;
второе соглашение для того же самого отражения дает
преобразование
Нетрудно видеть, что обе смешанные группы (вращений и
отражеоий), определенные таким образом, различны и не имеют
одинаковой структуры; произведение двух отражений SA » SA'
не равно произведению отражений SAK и SA'K: например,
АКА'К= — АА\ но не АА'.
Вполне очевидно, что в применении к векторам обе эти
группы тождественны.
Для дальнейшего изложения мы примем первое соглаше-
нае, более естественное. Отметим только то свойство матрицы
К, что она антикоммутативна с каждым вектором.
128. Неприводимость спинора и полуспиноров. Рассужде-
Рассуждения п. 100 показывают, что спинор неприводим относительно
группы вращений И отражений (как бы мы ее ни определяли)
и разлагается относительно группы вращений на две неприво-
неприводимые части, которые являются полуспинорами двух родов.
120. Матрицы порядка 2\ разложенные на суммы
р-векторов. Элементы матрицы X, соответствующей р-вектору,
0»)
являются линейными комбинациями Срп составляющих этого
дивектора; ясно, что они не равны все тождественно нулю. Отсюда
следует, что среди них имеется С? независимых, так как
р-вектор неприводим относительно группы вращений и отражений,
а элементч матрицы X преобразуются линейно между собой
каждым элементом этой Группы. Следовательно, матрицы.
еоотввтетвучцги двум различным р-векторам, .различны.
Как и t п. 08, мы докажем, что из матрицы порядка 2У можно
выделить скаляр, вектор, ..., я-вектор, то есть тензоры непри-
неприводимые и неэквивалентные между собой относительно группы
•ращений и отражений. Так как ни один из этих неприводимых
тензоров не равен тождественно нулю и сумма их порядков равна
14-cl

166
Г Л А В А VI
то есть числу элементов рассматриваемой матрицы, то имеем
теорему:
Теорема. Каждая матрица порядка 2* может быть
представлена одним и только одним способом в виде суммы
скаляра, вектора, бивектора, ..., п-векторй в пространстве
2v измерений.
Мы получаем, таким образом, в другой интерпретации,
систему гиперкомплексных чисел Клиффорда-Липшитца.
Интересно отметить структуру матрицы, соответствующей
я-вектору пространства Ег^, она тождественна с матрицей,
соответствующей в пространстве ?2y+i вектору, перпендикуляр-
перпендикулярному пространству ?2v то есть имеет вид (л _„)• В част-
частности, симметрия относительно начала определяется матрицей
(J_»).«n»-.(-i' ?).
ISO. Структура матриц X. При вращении элементы каждой
(V)
из матриц Н, Н, входящих в состав матрицы X (п. 125), -пре-
00 00 00
образуются линейной подстановкой. Если р ф v, то р-вектор не-
неприводим относительно группы вращений; следовательно, эле-
элементы каждой из матриц S, Н являются линейно независимыми
00 00
комбинациями от Срп составляющих р-вектора, соответствующего
матрице X.
Это рассуждение неприменимо, если p = v; так как v-вектор
разлагается относительно группы вращений на два неприводи-
неприводимых неэквивалентных тензора, являющихся полу-у-векторами
(п. 49), то элементы одной из матриц S выражаются или не-
зависимыми линейными комбинациями от Cj, составляющих
v-вектора, или же линейными комбинациями от ¦*- C^ составляю-
составляющих одного из полу-v-BeKTOpos, на которые разлагается данный
v-вектор. Чтобы доказать, что имеет место последнее, доста-
достаточно доказать существование v-вектора, для которого матрица Н
тождественно равна нулю, и v-вектора, для которого матрица Е
. СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Е,.,
167
тождественно равна нулю, v-вектор #j//2 • • • ^,i например,
определяется матрицей, которая при применении к спинору
обращает в нуль все составляющие кроме ?0, преобразуемой
в Sjj...,,; следовательно, матрица имеет только одну строку,
по номеру нулевую, не состоящую исключительно из нулей,
• то есть1-1 Н тождественно равна нулю; рассматриваемый v-вектор,
(>)
являющийся изотропным, разлагается, таким образом, на два
полу-v-BeKTopa, из которых один тождественно равен нулю.
Точно так же матрица Я1Яг.. .H4_lH4t обращает в нуль все
составляющие ?а спинора, за исключением !ц, которая преобра-
преобразуется в (— l)*"*1Sl2--(v_i); единственная строка этой матрицы,
не состоящая исключительно из нулей, имеет номер v, так что
составляющая S этой матрицы тождественно равна нулю.
Так как каждый изотропный v-вектор при помощи вращения
можно превратить в один из рассмотренных v-векторов, умно-
умноженный на некоторое число, то матрицы, соответствующие
изотропным v-векторам первого рода, имеют составляющую Н,
тождественно равную нулю, а у матриц, соответствующих изо-
изотропным v-векторам второго рода, составляющая S тождественно
(V)
равна нулю; эти »>-векторы, таким образом, в Действительности
являются полу*у-векторами частного вида.
Итак/ каждому р-вектору {рфч) можно отнести двумя
различными способами матрицу порядка 2"~l{s. и Н), каж-
дому полу-У'вектору можно отнести вполне определенную
матр. %у порядка 2*"*1 B для полу-ч-векторов первого рода,
Н — для голу-У'векторов второго рода).
(?)
Ш. Разложение произведения двух спиноров
131. Разложение относительно груапы вращений и от-
отражений. Произведение. Б,^ двух спиноров может быть разло-
разложено при помощи рассмотрения п-\-\ величин
1*СХ~' (р = 0, 1,2, ....я).
(я)
При применении симметрии, соответствующей единичному век-
вектору А, эта величина умножаечея на (— 1)*"'; таким образом,

168
Г Л А В А VI
она определяет, как и в Е2ч+1, р-вектор или (я — р)-вектор,
смотря по тому, четным или нечетным является v — р.
Отсюда вытекает
Теорема. Произведение двух спиноров вполне приводимо
относительно группы вращений и отражений и разлагается
на скаляр, вектор, бивектор, ..., п-вектор.
Доказательство основывается на том, что полное число 22v
произведений ча$р равно сумме порядков найденных неприводимых
и неэквивалентных тензоров.
Относительно полученных р-векторов можно доказать, как
в п. 104, что они симметричны относительно спиноров ? и ?',
если v — р = 0 или 3 (mod 4), и антисимметричны, если v — р~ 1
или 2 (mod 4). Симметричные неприводимые тензоры дают раз-
разложение тензора ?aSp, если отождествить спиноры $ и ?', При
v = 2 получаем вектор и бивектор, при у = 3 имеем 6-вектор,
тривектор и бивектор.
132. Разложение произведения двух полуспиноров от-
относительно группы вращений. 1° Рассмотрим сначала произ-
произведение полуспиноров одного рода, например, у и у'. Величина
у*СХу\ где <р есть матрица Ш с 2У строками и одним столб-
столбцом, отлична от нуля только в том случае, если V-j-P четно.
Придавая, таким образом, р значения одинаковой четности с v
и отличные от v, мы получаем тензоры, неприводимые относи»
тельно группы вращений; мы рассмотрим только (у — 2?)-век-
торы. Придавая затем р значение v, мы получим полу-у-вектор
первого или второго рода: если v четно, то действует матрица в,
если нечетно, — матрица Н.
Полное число составляющих неприводимых неэквивалентных
тензоров, выделенных таким образом из тензора ifjfL, равно
половине суммы
итак, получаем 2*^»— число произведений
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Я,»
169
1
Т е о р е.м а. Произведение двух полуспиноров одного рода
разлагается относительно группы вращений на полу-ч-век-
тор, (у— 2)-вектор, (у—4)-вектор и т. д.
Заметим, что произведение двух полуспиноров одного и
того же рода не эквивалентно произведению двух полуспиноров
другого рода, так как полу-у-векторы различного рода не экви-
эквивалентны.
2° Рассмотрим теперь произведение tp^ двух полуспиноров
разного рода. Образуем величины %*СХЬ', где через $ обозна-
00
чена матрица A!], через ?' — матрица I . J и где р имеет
ность, отличную от четности у. Таким образом мы выделяем из
данного произведения (у—1)-вектор, (у — 3)-вектор и т. д.,
то есть тензоры, неэквивалентные между собой. Число их состав-
составляющих равно также 22v~2, то есть числу произведений уа%,
откуда.
Теорема. Произведение двух полуспиноров различного
рода разлагается относительно группы вращений на
(у—1)-вектор, (v — 3)-вектор и т. д.
чет-
133. Разложение тензоров ср.^ и 6а6р. Рассмотрим в пре-
предыдущих разложениях р-векторы, симметричные относительно
двух полуспиноров tp, tp' или ib, ф'; получаем теорему:
Теорема. Тензор «р^ разлагается относительно группы
вращений на полу-\-вектор, (у — 4)-вектор, (у — Ь)-вектор и
т. д. То же самое алеем для тензора фвфр.
При У = 2 имеем полубивектор, при v = 3 — полутривектор,
при у=4—скаляр и полу-4-вектор и т. д.
134. Применение к группе вращений для у нечетного.
В случае v нечетного, величина <р*С<$>, построенная на двух
полуспинорах разного рода, инвариантна при каждом вращении.
Эта величина равна
<)
причем сумма распространяется на все четные комбинации
(«У, •.. /*) индексов 1, 2,..., у; р принимает все целые четные
значения. В матрице, соответствующей вектору, мы располагаем

170
Г Л А В А VI
составные индексы с четным числом индексов в каком-нибудь
определенном порядке и затем остальные индексы в соответ-
соответствующем порядке, так, чтобы составному индексу (/./. ... i)
pjp+j) p
соответствовал составной индекс (—1) '* (/ +1..л„). Если
мы обозначим тогда 2* составляющих полуспинора ср через
<Pj, <р2,—, <f2,_t, а соответствующие составляющие полуспи-
полуспинора «|> через ф,, фг» •••» т0 увидим, что каждое вращение
оставляет инвариантной сумму (р^ -{-'ФгФг~Ь • • • Ч~ У2~1§2~1.
Таким образом, если через ? мы обозначим матрицу порядка
2*, определяющую преобразование (рв при вращении, матрица
?" определит преобразование величин <1>а, так что матрица
порядка 2\ соответствующая этому вращению, будет иметь вид
Она преобразует вектор X в
л—ълъ -^0 Z* Дн ОДО 2*/'
откуда, в частности,
Приходим к следующему замечательному результату:
Теорема. В пространстве Е^ fy нечетное) каждое вра-
вращение, примененное. к вектору, преобразует матрицу S
порядка 2у-', соответствующую этому вектору, следующим
образом:
Е' УЕ2* C)
В частности, становясь на другую точку зрения, мы видим,
что, зная эффект применения вращения к полуспинору пер-
первого рода, мы знаем вполне эффект применения этого вра-
вращения к полуспинору второго рода.
135. Случай v четного. В случае v четного дело обстоит
совершенно иначе. В самом деле, зная одно из преобразований
<p'=2<p, соответствующих данному вращению, мы можем ему
сопоставить два различных преобразования над полуспинорами <|>
и векторами. Например, тождественное преобразование 'f' = :p
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
171
может получиться или от тождественного вращения, что дает
тогда ф' = ф, Х' = Х, или от симметрии относительно начала,
которой соответствуют матрицы f ^ 1 ) и ( о 1) (здесь
i* = il): первая из них дает
Аналогично этому, тождественному преобразованию над
полуспинорами второго рода могут соответствовать два раз-
различных преобразованил над полуспинорами первого рода
и векторами.
Таким образом, вращения можно применять к трем видам
объектов: полуспинорам первого рода, полуспинорам второго
рода и векторам. Они дают три группы; между любыми
двумя из них существует двузначное соответствие, если
V четно.
136. Примечание. Матрицы S и Т, которые вводятся как
операторы над полуспинорами при применении вращения, уни-
модулярны. В самом деле, исследуем, в каких случаях опре-
определитель матрицы Е порядка 2*, соответствующей вектору,
может обратиться в нуль. Если он равен нулю, то можно найти
такой ненулевой полуспинор ф, что Еф = О; будем иметь
А"$=0, где 5 — матрица (А, откуда Хг? — 0. Следовательно,
скалярный квадрат вектора равен нулю. Определитель матрицы Е
поэтому является степенью xlxv -\-. . .-f-•**•**'» умноженной на
числовой фактор, который может быть равен только +1, так
как в каждую строку матрицы S может входить только х1
или х1', ио не оба сразу. Если вектор единичный, определитель
матрицы S равен, следовательно, или всегда -\-1 или всегда
— 1. Матрица, являющаяся произведением двух единичных
векторов
-1
-2 0
имеет, таким образом, то свойство, что обе матрицы, которые
ее составляют, унимодулярны; то же имеет место и для ма-
матрицы, являющейся произведением четного числа единичных
векторов,

172
Г Л А В А VI
Отметим, между прочим, что определитель матрицы S для
единичного вектора равен -j-1 или — 1 в зависимости от по-
порядка, в котором расположёны составные индексы спинора.
IV. Частные случаи: v = 3 и v = 4.
137. Случай v = 3. В следующей главе мы исследуем де-
детально случай у = 2, который интересен для квантовой меха-
механики. Случаи v = 3 и v = 4 представляют геометрический
интерес.
При v = 3 составляющие &0, &23, ?а1, &12 полуспинора пер-
первого рода можно рассматривать как однородные координаты
точки в проективном пространстве 3 измерений, а соответ-
соответствующие составляющие (п. 134) $m, -1- $1( —&2, —$8 полу-
полуспинора второго рода —как однородные координаты плоскости
в этом пространстве. Величина
приравненная нулю, выражает инцидентность точки и плоскости.
Величина tp*CJftp' определяет в эвклидовом пространстве Et
изотропный вектор с ковариантными составляющими:
=3^12 "
Mi-
m "
Ч12?31»
Xi ^12^23 ^23^12»
__ ? t» EC'
ft С'
1 — ЧЗ^З!'
составляющие этого вектора являются плюккеровыми координа-
координатами прямой, соединяющей точки <р и tp' трехмерного про-
пространства. Величина ty*CX&' также определяет в Е6 изотропный
ректор
л. - м; -
=щ - щ
составляющие этого вектора являются плюккеровыми коордвна*
тами прямой пересечения двух плоскостей ф и Ф' трехыер*
ного пространства.
Полуспиноры все простые. Полуспинор первого рода <р
определяет в Е6 изртропную 3-плоскость, то есть в трехмерном
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Н„
173
пространстве линейное многообразие прямых с двумя параме-
параметрами: это — связка прямых, проходящих через точку, изображаю-
изображающую полуспинор <р. Полуспинор второго рода ф определяет
аналогично двупараметрическое семейство прямых, расположен-
расположенных в плоскости, интерпретирующей <j>. Изотропные 3-плоскости,
соответствующие двум полуспинорам одного рода, должны иметь
в Ел общую прямую (п. 124), что соответствует основной
теореме: две точки или две плоскости трехмерного пространства
определяют прямую. Теорема, согласно которой 3-плоскости,
соответствующие двум полуспинорам разного рода, не имеют
в Я6 общих прямых или имеют общую 2-плоскость, соответ-
соответствует теореме, что плоскость и точка в трехмерном про-
пространстве не определяют вообще нн одной прямой и определяют
пучок прямых, если точка лежит в плоскости.
' б V 5
Добавим, что, так как группа зависит от -^- = 15 пара-
метров, матрица 2, соответствующая вращению, является уни-
модулярной матрицей 4-го порядка общего вида.
138. Случай v = 4. Фундаментальная трилинейная форма.
В случае v=4 полуспиноры каждого рода имеют 8 составляю-
составляющих; в каждом роде существует квадратичный инвариант от-
относительно группы вращений:
*123-4"
для полуспиноров первого рода и
D)
„.л-Mm E)
для полуспиноров второго рода.
Мы имеем таким образом, три пространства 8 измерений:
пространство векторов, пространство полуспиноров первого
рода и пространство полуспиноров второго рода; каждое из
них имеет фундаментальную квадратичную форму, и в них мы
имеем три группы, одинаковые в целом, но с соответствиями
ц® взаимно однозначными, так как каждому элементу в одной
из них соответствует по два различных элемента в каждой из
двух остальных (п. 135).

174
Г Л А В А VI
Если эти три группы применять одновременно к векторам
и двум родам полуспиноров, то они образуют группу О, остав-
оставляющую инвариантной трилинейную форму.
Т"
1 * (
" Ч2Ч2
I ^ПЦ^) ~Г
*Н'2
+*3< (- w,*+
-J~X (s) -128 '28;1
и три квадратичные формы
ъа+w
Ф == ср*Сср == .^1284 — $23?14 — ?и?,4 —
и?,4
F)
G)
Обратно, каждая линейная подстановка 24 переменных jc и S,
преобразующая между собой векторы и полуспиноры каждого
рода и оставляющая инвариантной трилинейную форму ^, не
меняет каждую из форм F, Ф, Ч! с точностью до постоянного
множителя. Докажем это для формы F; из полученных ниже
результатов будет вытекать доказательство для каждой из
двух других форм Ф и "F. Инвариантность с точностью до
множителя формы F следует из характерного свойства изо-
изотропного вектора — обращать в выродившуюся билинейную
форму 3? от (?. и <jy В самом деле, эта форма является выро-
выродившейся в том случае, если можно определить такой полу-
полуспинор <1>, что линейная форма % от tp, тождественно равна
нулю; необходимое и достаточное условие этого выражается
соотношением СХ<Ь = 0, или' jfy=-.O, а это равенство имеет
место для полуспинора ф, отличного от нуля, тогда и только
тогда, если Л?ф = О, или Л? = 0. Предложение доказано.
Рассмотрим теперь линейную подстановку, оставляющую
инвариантными формы g, F, Ф и »?; она принадлежит группе О.
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА
175
Для доказательства этого достаточно показать, что если она
оставляет инвариантными все векторы, то она приводится или
к <р' = <р, ф'=ф или к (р' = — <р, ф' = —ф. Но если Xя инва-
инвариантны, то, коэффициенты при Xs в форме ^ также инвариантны.
Например, преобразованная составляющая ?0, вследствие ин-
инвариантности коэффициентов при х1', х2', х*', х*\ заклеит,
с одной стороны, только от $0, S2J, ?24, $341 с Другой стороны,
только от $0, ?gl, %ti, ?14 и т. д., то есть она есть кратное «0.
То же самое имеем для других составляющих. Но нетрудно
видеть, что множители при этих составляющих одни и те же для
всех составляющих (ра и одинаковы также (обратны предыдущим)
для составляющих ф?. Инвариантность Ф и Ч*. показывает, "что
они все равны -{" I или все равны — 1. Аналогичным рассуж-
рассуждением установим, что из инвариантности .<рв вытекает или
Х' = Х, ©'=:({>, ИЛИ Х'' = — X, ф' = —ф.
139. Принцип тройственности. Покажем теперь, что
группа О может быть дополнена пятью другими семействами
линейных подстановок, оставляющих инвариантной форму ^ и
преобразующих между собой три формы F, Ф, *Р, причем
элементы каждого из этих новых семейств устанавливают опре-
определенную перестановку между тремя видами объектов: векто-
векторами, полуспинорами первого рода и полуспинорами второго рода.
Одно из этих семейств, обозначим его через G2s, получается
комбинированием элементов группы Q с симметрией А, преобра-
преобразующей Хъ—АХА, у в Aif и ф в Лф; выбирая, например,
\ получим преобразование
л »
«»«•
cn.
M84 ^ ^«8» П14 481» '1
4i
•-•?
12»
5H»4»
семейство это является не чем иным, как семейством отра-
отражений.

176
Г Л А В А VI
Второе семейство, которое обозначим через G12, преобра-
преобразует между собой векторы и полуспиноры первого рода; оно
получается при комбинировании элементов из О с преобразо-
преобразованием
I
-314
4» 5
J8
Третье семейство, которое обозначим через Ow преобра-
преобразует между собой векторы и полуспиноры второго рода; оно
получается комбинированием элементов из О с преобразованием
**'-*-?<;
*>'
?284-
-314
*«,
424"
я»;
=428'
Наконец, произведение Gi2Gla образует четвертое семей-
семейство Ош, а произведение Oj3Gia — пятое семейство Ом. На-
Например, одним из элементов семейства Glia является
lia
—*», ?
,14
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Е,ч
177
Таким образом, в эвклидовой геометрии 8 измерений в точке
имеет место принцип тройственности1) с тремя видами объ-
объектов (векторов, полуспиноров первого рода, полуспиноров
второго рода), играющих совершенно одинаковую роль. Группа
этой. геометрии слагается из шести различных непрерывных
семейств, соответствующих шести возможным перестановкам
этих трех видов объектов; она характеризуется инвариант-
инвариантностью формы ^ и формы /г-{-Ф-{-1Й.
140. Параллелизм в пространстве ?8. Единичному би-
бивектору, определенному двумя единичными взаимно перпенди-
перпендикулярными векторами Л, А', можно отнести в эвклидовом
пространстве полуспиноров данного рода, обладающем фунда-
фундаментальной формой Ф или 1Р, паратактическую конгруэнцию
единичных биполуспиноров <р, tp'; в этой конгруэнции суще-
существует один и только один биполуспинор, у которого первый
полуспинор (р задан. Единичным полуспинором мы называем
такой, который дает фундаментальной форме Ф численное зна-
значение, равное единице.
Заметим прежде всего, что матрица Ху, в которой ни
один из множителей не равен нулю, может быть равна нулю
только в том случае, если вектор X изотропный и полуспинор tp
также изотропный (длины 0). Первое условие уже было дока-
доказано выше; предположим, что X приведен к вектору Н{, из
равенства #j& = 0 вытекает тогда равенство нулю всех состав-
составляющих $„, содержащих индекс 1, и, следовательно, равенство
нулю выражения ?*С?, то есть фундаментальной ф^мы Ф.
Пусть <р — единичный полуспинор. Определим такой полу-
полуспинор tp', чтобы
(A -f 1А") (<р -f- if') = 0, (А — 1А') (ip - V) = 0,
или
Atp— ду = 0, Ap'-f A'f — 0.
Первое уравнение дает tp'=4'A'f; подставляя во второе, по-
получаем тождество, так как АА' -\- А'А = 0. Сделанное выше
1) См. Е. С а г t a n, he principle de dvaliti et la theorle des
troupes simples et seml-simples (Bull. Sc. Math., 49, 1925, стр. 367—
374).

178
ГЛАВА vl
замечание показывает тогда, что ip-j-/(p' и (р — /<р' являются
изотропными полуспинорами, то есть <р'—единичный полуспинор,
перпендикулярный к у.
Если воспользоваться языком проективной геометрии, то
три пространства векторов и полуспиноров можно трактовать как
семимерные пространства; прямая Л Л'первого пространства опре-
определяет в каждом из двух других паратактическую конгруэнцию
прямых, обладающих тем свойством, что через каждую точку,
не расположенную на фундаментальной квадрике, проходит
одна и только одна прямая.
Зададим теперь единичный вектор А; он позволит нам
определить в пространстве полуспиноров <р (или ш) эквипол-
эквиполлентность биполуспиноров. В самом деле, возьмем некоторый
единичный биполуспинор (<р, у'); равенства
в которых Л, <р, у' являются заданными, дают определенное
решение для Л': это зависит от симметричной роли векторов
и полуспиноровг). Будем говорить, что два единичные биполу-
спинора (<р, f'), (<pj, <pp эквиполлентны, если для каждого из
них можно найти один и тот же вектор Л'. Употребляя теперь
язык проективной геометрии, мы можем сказать, что задание
точки в одном из. трех пространств (не лежащей на фундамен-
фундаментальной квадрике) определяет в каждом из остальных про-
пространств параллелизм прямых (не лежащих на фундаментальной
квадрике и не касающихся ее), ирн котором через данную точку
проходит одна и только одна прямая, параллельная данной, и.
две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой *)•
14L Формула Бриоски. Можно поставить в связь с пре-
предыдущим исследованием формулу Брноски, выражающую про-
произведение двух сумм восьми квадратов в виде суммы восьми
*) Можио сказать также, что в данном пространстве векторов
полуспиноры f 4" If', f — fy простые, и два соответствующих 4-вектора
не имеют общего- вектора; тогда можно провести через прямую век-
гора А одну и. только одну 2-плоскость, пересекающую каждый из
этих 4-вект.оров ио прямой; на этих двух прямых лежат векторы
A-^lA'u A — W.
г), Qu. F. Vane у, Le parallelisms nbsolu, etc. (Paris, Gauthief-
tos, 1929);.
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Я,,
179
квадратов. .Пусть X вектор, <р — полуспинор; произведение
определяет полуспинор Ф. Имеем
откуда получаем следующий результат: скалярный квадрат
полуспинора Ф равен произведению скалярного квадрата век-
вектора X на скалярный квадрат полуспинора (р. Заметим, что
составляющие полуспинора <Ь являются билинейными формами
составляющих X и составляющих (р. В развернутом виде фор-
формула дает:
Если мы предположим, что х1', х1', х3', xv являются ком-
комплексно сопряженными с Xх, х2, хг, xi, а $12з1, —Sl4, —t^,
— ?34 комплексно сопряженными с $0, S2S, S3i> S12> т0 в четырех
произведениях правой части оба множителя будут комплексно
сопряженными. Мы получаем, таким образом, формулу Бриоски
в вещественной области; произведение двух сумм восьми
квадратов является суммой восьми квадратов. Полагая
получаем формулу
где
— Y0Xt Ц- Xi+iYf+i —
, 2 7),

180
Г Л А В А VI
причем индексы i-\-1, f-}-2, i-{-3, i + 4, f-}-5, i-{-Q берутся
по модулю 7.
Если применить формулу Бриоски к двум единичным векто-
—#- —*-
рам X и К, то она дает отображение на сферическое простран-
пространство 7 измерений топологического произведения двух сфериче-
сферических пространств 7 измерений.
Добавим еще одно замечание. Рассмотрим 7-мерное эвклидово
—^
пространство, полагая Хо = К„ —0. Вектор Z с составляющими
Zj, Zv ..., Z7 соответствует бивектору, построенному на двух
единичных взаимно перпендикулярных векторах X и У; он пер-
перпендикулярен к этому бивектору, что нетрудно проверить
вычислением. Три вектора, X, Y, Z, определяют 3-плоскость,
в которой каждый вектор соответствует 2-плоскости, ему пер-
перпендикулярной. Через 2-плоскость проходит одна и только одна
такая 3-плоскость.
V. Случай вещественного эвклидова пространства
142. Матрицы, соответствующие вещественным векто-
векторам. Будем считать координаты х1, х1' комплексно сопряжен-
сопряженными. Мы знаем (п. 112), что тогда матрица X, соответствующая
вектору, является эрмитовой, то есть матрица Н порядка 2"~3 равна
транспонированной сопряженной с Е. Если вектор единичный,
то Н является матрицей, обратной матрице Е, причем эта послед-
последняя унитарна. Отсюда нетрудно вывести, что у матрицы @ »р
определяющей вращение, составляющие матрицы
унимодулярные.
унитарные
143. Сопряженные спиноры. Как и в вещественном про-
пространстве ?2v+i, за спинор, сопряженный спинору 5, можно
принять
?' преобразуется вещественной симметрией А как спинор, если v
четное, и не преобразуется как спинор, если v нечетное
(п. 114).
. СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА Е„
181
Отсюда вытекает, что величины ?*Хь дают /?-вектор нли
(«—р)-вектор в зависимости от четности или нечетности р
(п. 114). Скаляр ?*? является суммой квадратов модулей со-
составляющих S,.
Тензор 6а?р разлагается на скаляр, вектор, бивектор,...
«-вектор.
144. Сопряженные полуспиноры. Полуспинор, сопряжен-
сопряженный с данным, того же рода, что и данный, если v четное,
и другого рода, если v нечетное.
При v нечетном произведение полуспинора на его сопряжен-
сопряженный разлагается на вещественные скаляр, бивектор, ... ,
(V—1)-вектор. При четном v разложение дает также скаляр,
бивектор и т. д., но этот ряд оканчивается полу^-вектором,
146. Параллелизмы в эллиптическом пространстве 7 из-
измерений. При v = 4 три пространства: 1° векторов, 2° полу-
полуспиноров первого рода, 3° полуспиноров второго рода являются
вещественными эвклидовыми пространствами. Каждый веще-
вещественный единичный вектор одного из этих пространств дает
в любом из двух других эквиполентность для единичных бивек-
бивекторов. Отсюда вытекает с точки зрения проективной геоме-
геометрии существование оо2 параллелизмов для ориентированных
прямых в эллиптическом пространстве (вещественном проектив-
проективном) 7 измерений.
VI. Случай псевдоэвклидовых пространств
146. Сопряженные спиноры. Предположим, как и про-
пространстве Яг,+1, что координаты х1 и х!'A= 1, 2, ..., v — h) —
комплексно сопряжены, a *V-A+1, ..., х*; *(V~A+I)', ..., х1' —
вещественны. Результаты, полученные для Я2*+1> переносятся
без изменения вЯл. Так, спинор, сопряженный с 8, может быть
определен формулой
?
где
*= (я,

182
Г Л А В А VI
Величина, сопряженная спинору, преобразуется при сим-
симметрии вещественного пространства как спинор, если v и h
одинаковой четности (п. 117).
Можно доказать также, что разложение произведения спинора
на его сопряженный дает скаляр ?*./$, вектор, ..., «-ректор.
147. Сопряженные полуспиноры. Два сопряженных полу-
полуспинора принадлежат к одному и тому же роду или к разным,
в зависимости от того, одинаковой или разной четности
являются числа h и v.
Если h четное, то произведение полуспинора на его сопряжен-
сопряженный разлагается на скаляр, бивектор и т. д., причем послед-
последний неприводимый тензор разложения является (v—^-векто-
(v—^-вектором, если v нечетное, и полу-v-BeKTOpoM, если v четное.
Если h нечетное, то произведение полуспинора на его сопря-
сопряженный разлагается на вектор, тривектор и т. д., причем
последний тензор является (v—1)-вектором, если v четное, и
полу-v-BeKTopoM, если v нечетное.
При v = 3 все полуспиноры простые. Если Л—1 или 3, то
вектор, определенный полуспинором и его сопряженным, лежит
на прямой, общей двум соответствующим изотропным 3-плоско-
стям, комплексно, сопряженным одна относительно другой; этот
вектор, следовательно, вещественный и изотропный. ЕслнЛ=34
то два сопряженных полуспинора могут быть тождественны,
и в этом случае вектор равен нулю. При h = 2 две соответ-
соответствующие 3-плоскости тогда и только тогда имеют общую
прямую (и тогда они имеют общую вещественную изотропную
2-плоскость), если скаляр 5*У« равен нулю, то есть
« — &зАз—Sse^o=о.
I
ГЛАВА VII
СЯИНОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
I. Группа вращений в эвклидовом пространстве
четырех измерений
148. Матрицы, соответствующие р-вектору. Рассмотрим
фундаментальную форму
Общие формулы непосредственно дают матрицы, соответ-
соответствующие вектору, бивектору, тривектору, 4-вектору.
Для вектора имеем матрицу
,0 0 х* хг
0 0 # -*• )
х»' х« 0 0 ¦
!' —X1 0 О
для бивектора —
B)
для тривектора
C)

184
наконец,
для
Х=
(*)
4-вектора
,хи>п>
Ifo
4 0
V0
ГЛАВА
имеем
0
ЛИ'22'
0
0
VII
0
0
0
0 \
— jtll'21' /
149. Случай прямоугольных координат. Если взять пря-
прямоугольные координаты, заменяя х\ х1', дг2, *а' через
то получим для вектора матрицу
\г
Матрица X бивектора имеет вид
B)
'И О
с3 -|- h
с1 -\-и
О
О
E)
F)
где
C)
является матрицей полубивектора первого рода с составляю-
составляющими
И где
(
—а:»*)
является матрицей полубивектора второго рода с составляю-
составляющими
*•• — *", л:31 — х*\ л:1*— х*К
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 185
Если взять координаты, употребляемые в частном принципе
относительности, с фундаментальной формой
то получим для вектора матрицу
О 0 *i-f-/je0- jc» + cat*
О 0 хг — ex* —xi-{-ix*\
лг8-|-сд:* О
X:
{
0
(9)
\х* — сх*
О
затем матрицу
в _ / — / (-«12 — ic
i (д:12 — icx**)
,(Ю)
соответствующую полубивектору первого рода с составляю-
составляющими
/с*1*, jc81 — /с*2*, jc>2 — /с*",
и матрицу
Н =
B)
+ ) (\
*i-\-icxU—i {x»-\-icx") —
соответствующую полубивектору второго рода с составляю-
составляющими
jc81
ковариантные составляющие этих полубивекторов соответ.
ственно имеют следующий вид:
x^Lx^ xbX-\-LXii хи4-±х„
с с с
х -Lx х <
*3 0 14' 81 я 24» ]
7х*
150. Группа вращений комплексного пространства. Каж-
Каждый единичный вектор А выражается в виде
л =

185
Г Л А В А VII
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 187
где матрица второго порядка имеет определитель, равный —1.
Симметрия, соответствующая этому вектору, преобразует полу-
полуспиноры (риф следующим образом:
а вектор ^=({1 п) "о формулам
3' = — аНа,
Н' = —о-^о-».
Произведение двух симметрии А, В дает соотношения
A2)
Положим
где 5 и t — унимодулярные матрицы; имеем
A3)
эти формулы относятся к простому вращению. Формулы, опре-
определяющие вращение общего вида, имеют ту же самую форму.
В частности, каждое вращение вектора .ЛГ определяется формулой
A5)
где 5 и t — унимодулярные матрицы второго порядка.
Обратно, пусть s и t являются любыми унимодулярными
матрицами второго порядка; я утверждаю, что соотношения A5)
определяют вращение четырехмерного пространства. Для этого
надо доказать, что
1° если X—матрица, соответствующая вектору, то X' также
является матрицей, соответствующей вектору;
2° квадрат матрицы X' равен квадрату матрицы X.
I
Второе, предложение очевидно, так как
Х'2
Что касается первого, то оно справедливо, если X является
матрицей единичного вектора, то есть если определитель ма-
матрицы а равен —1, а Н является матрицей, обратной а, так
как тогда на основании A4) определитель матрицы а' равен
также —1 и Н' является матрицей, обратной а'. Общий слу-
случай выводится непосредственно из этого частного.
Теорема. Наиболее общее вращение комплексного эвкли-
эвклидова пространства 4 измерений определяется формулами
$' = S;, X' = SXS-\ A6)
где матрица S имеет вид ( „ , ], причем s и t — произволь-
произвольные унимодулярные комплексные матрицы.
Группа вращений является прямым произведением двух
групп линейных унимодулярных подстановок двух переменных.
Если мы рассмотрим, в частности, результат преобразо-
* °\
вания бивектора ( q* д I, то получим
B)
B) B)
-I
B)
B)
A7)
Каждый из двух родов полубивекторов преобразуется груп-
группой, изоморфной группе вращений трехмерного комплекс-
комплексного пространства. Отметим, что согласно формулам A7)
определитель каждой матрицы а и Н является инвариантом
B) B)
группы вращений; эти инварианты определяются следующими
выражениями:
_.*. (XIV _J_ ***>)*
i (jell'
A8)
они являются квадратичными формами составляющих соот-
соответствующих полубивекторов, в соответствии с найденным

188
ГЛАВА VII
I
выше результатом. В прямоугольных координатах имеем два
инварианта
' ^[ ."'.' i A9)
откуда вычитанием получаем инвариант хгзхн-\-х31хи-\-хмхи,
равенство нулю которого выражает условие простоты бивек-
бивектора. В частном принципе относительности имеем два инва-
инварианта:
(*г3 — /«'*)« + (-*31 — *с;с2*J + (хП — !схн)\ \
В частности, мы видим, что каждый простой бивектор может
быть изображен двумя векторами одинаковой длины трехмер-
трехмерного пространства; результат применения вращения 4-мерного
пространства к бивектору эквивалентен результату примене-
применения к каждому из этих двух векторов независимых друг от
друга вращений.
151. Случай вещественного эвклидова пространства.
Формула E) показывает, что матрица а, являющаяся одной из
составляющих матрицы А, соответствующей вещественному
единичному вектору, является унитарной с определителем, рав-
равным — 1; в самом деле, матрица А — эрмитова, то есть
"a^zct.*'1. Унимодулярные матрицы s = —$а~1 и /=—^~'а
являются тогда унитарными, откуда следует
Теорема. Каждое вращение в вещественном эвклидо-
эвклидовом пространстве 4 измерений определяется формулами A5),
в которых матрицы s и t являются любыми унитарными
унимодулярными матрицами.
В частности, составляющие xzi-\-xu, x^-{-xu, xli-\-x**
полубивектора преобразуются вещественной ортогональной под-
подстановкой с определителем, равным 1.
152. Случай пространства частного принципа относи-
относительности. В пространстве частного принципа относительности
матрица а, которая входит в матрицу Л, соответствующую ве-
вещественному единичному вектору, сопряжена с а:
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 189
матрицы s я t ъ этом случае являются унимодулярными, взаимно
комплексно сопряженными.
Теорема. Всякое собственное вращение пространства
частного принципа относительности определяется формулами:
';' = 5;, X'=:SXS-\ S =
где s — произвольная унимодулярная комплексная матри*
ца второго порядка, s — ее сопряженная*
Таким образом, мы видим, что Лоренцева группа собствен-
собственных вращений изоморфна группе комплексных унимодуляр-
ных подстановок двух переменных, то есть группе враще-
вращений эвклидова комплексного пространства 3 измеренийх).
Собственные отражения в применении к спинорам опреде-
определяются формулами:
И, Разложение произведения двух спиноров
153. Произведение двух различных спиноров. На осно-
основании общей теоремы п, 131 произведение двух спиноров раз-
разлагается иа скаляр, вектор, бивектор, тривектор и 4-вектор.
Бивектор в свою очередь разлагается на два полубивектора.
Это разложение дают величины ФСХс,'. Находнм следующие
результаты:
1° Скаляр равен
>) Полувектор первого (второго) рода Эйнштейна и Майера
является не чей иным, как совокупностью двух полуспиноров первого
(второго) рода; он не имеет чисто геометрического определения; его
преобразование задается матрицей з (s). См. А. Е i п s t e i п, W. М а у е г,
Semi-Vektoren und Sptnoren (Sitzungsb. Akad.Berlin, 1932, стр. 522—
550), а также J. A. S с h о u t e n, 7.ur gsnerellen Feldtheorle, Seml-
Vektoren und Splnraum (Zeitschr. 4iit Physik, 84, 1933, стр. 92—111).

190
Г Л ABA VH
2° Тривектор определяется следующими ковариантными со-
составляющими:
Хт>===С>ТГП 42  ¦ Х\\П == Ч2Ч*2 42^2' .
Х\ПЪ ~ ^2'О Т" ^o^2i X\VV ~
3° Полубивектор первого рода имеет ковариантные состав-
составляющие:
полубивектор второго рода —
4° Вектор определяется следующими ковариантными состав-
составляющими:
¦ri = '(Mi2 4"^2'i)» Ла="(^с-12'
¦fi'—yl-o^-r^V' -^2' —— ^
5° Наконец, 4-вектор имеет составляющую, равную
¦«ll'2p'=-J ('04#2 ~~ ^12^0 ~Ь ^1-2 ~ ^2ч')-
154. Полуспиноры как поляризованные изотропные
бивекторы. Мы получаем конкретное определение полуспиноров
как поляризованных изотропных полубивекторов, полагая ?' = $;
это дает для изотропного бивектора первого рода
j:i2» = 0, xiV — Х22<=О;
для изотропного бивектора второго рода —
^, хц, = &j, *ц» — ДГ22» = — 2 ^;
Г12 = 0, Jfi,2' =0, Лц/4-^22'==0 а).
*) М. Е. Т. W h i 11 a k e г недавно отметил эту связь между некото-
некоторыми бивекторами частного принципа относительности и полуспино-
полуспинорами: On the relations of the tensor-calculus to the zpinor-calculus
(Proc. R. Soc. London, 158, J937, стр. 38—46).
бПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА О^ОСИТЕЛЬНОСТИ 191
В пространстве частного принципа относительности можно
дать другую интерпретацию полуспиноров. Воспользуемся уже
введенными координатами х1, хг, х5, х*. Бивекторный квадрат
спинора дается формулами
B1)
B2)
Формулы B1) позволяют выразить полуспинор E„, S12) при
помощи вещественного бивектора д^, удовлетворяющего двум
соотношениям:
= 0;
B3)
полуспинор является не чем иным, как этим поляризованным
бивектором. С точки зрения физики этот бивектор может
быть рассматриваем как совокупность электрического поля
(xli, хи, х3*) и магнитного (х28, jc31, xn), взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных; отношение их интенсивности равно обратной величине
скорости света —. Два поля, которые вводятся в электро-
электромагнитной теории света, обладают как раз этой природой.
Полуспинору (Sj, ?г) можно дать аналогичную интерпретацию,
пользуясь формулами B2).
Такая интерпретация при помощи вещественного образа
возможна только в пространственно-временном континууме
частного принципа относительности, но не в эвклидовом веще-
вещественном пространстве четырех измерений.

192
Г ЛАВА VU
III. Сопряженные векторы и спиноры в пространстве
частного принципа относительности
155. Сопряженные спиноры. Матрицы, соответствующие
двум комплексно сопряженным векторам, имеют вид
0
0
Л*
Xх
Xх
хг -
0
0
*2 \
-Xх' \
0
0 /
и
1 °
It
0
0
Л*
x'v
Xх
х*1 -
0
0
хг
-Xх
0
0
или
Я о
-
5 0
вторая матрица Y выводится из первой X при помощи фор-
формулы (п. 116)
Y = — 1X1* = (Я, — Н1,)'Х(Н1 — Я,,).
Аналогично для спинора ?', сопряженного данному ?, имеем фор-
формулу
из которой вытекает
или, более подробно,
=/f4, e;=—/Te, 5i=
B4)
156. Разложение произведения двух сопряженных спи-
спиноров. Результаты п. 146 дают непосредственно разложение
произведения двух сопряженных спиноров на скаляр, вектор,
бивектор, тривектор и 4-вектор.
Мы вычислим этн различные тензоры, пользуясь координа-
координатами частного принципа относительности, в которых фундамен-
фундаментальная форма имеет вид
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 193
матрицы, соответствующие векторам базиса, следующие:
A^^ + Hv," A2=l(Hx-Hv),
Здесь матрица J, введенная в п. 116, равна Я„ — Hv- Мы
должны рассмотрено величины S VATS, причем мы будем умножать
каждую из них на некоторый постоянный множитель, чтобы
иметь вещественные р-векторы.
1° Имеем 4-вектор с составляющей
/TVS = - /(gjf, - 6 Д + М» ~ Ш- B5)
2° Имеем вектор, определяемый величиной ?*.Ш; его
контравариантные составляющие определяются формулами:
^
На основании общей теоремы (п. 119) это — временной
вектор, скалярный квадрат которого равен
3° Имеем бивектор, определяемый величиной \*JX\\ его
B)
контравариантные составляющие имеют вид

144
Г Л А В А VII
СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 195
Он разлагается на два комплексно сопряженных бивектора:
2/(-e
2 (б
2 E
B8)
C)
Сумма квадратов составляющих первого равна — 4(?0?2 — (
сумма квадратов составляющих второго равна — 4 (S2S0 — I
4° Имеем тривектор, определяемый величиной i%*JX?, с со-
составляющими
1 . ш "ш" л
B9)
?Т_1_?"ё с с её"
«•О'-О \ (*12'*12 "М?! ^52-
5° Наконец, имеем скаляр с составляющей
C0)
IV. Уравнения Дирака
157. Ковариантный вектор т-. Рассмотрим в.пространстве
частного принципа относительности, отнесенном к системе
координат хх, х2, xz, xi, функцию точки /; дифференциал df
является скалярным инвариантом при каждом преобразовании
Лоренца; но
I
дифференциалы dxl преобразуются как контравариантные состав-
д
ляющие вектора; следовательно, четыре оператора j-( можно
рассматривать как ковариантные составляющие вектора; контра-
контравариантные составляющие этого вектора имеют вид
A. A. JL _J-JL
dxl ' дх*' дх3 ' с2 дх1 '
Обозначим через -^ - матрицу, соответствующую этому век-
вектору:
J 1 _5_
дх* с дх<
дх
0
U "^—т ""т"*? ч -
о
д , д
О
д
дх*'
1 д
д _ 1 _д_
дх» 7дх* °
д . д л
_а , 1 _д_ д_, д
л--*~т~ с дх± dxii
дх*
О
О
/
Пользуясь этой символикой, можно представить уравнения
Дирака для электрона в электромагнитном поле в следующем
виде. Вводим четыре волновых функции, которые являются
составляющими спинора ?, представляющего собой функцию
точки (*); пусть V обозначает матрицу, соответствующую век-
векторному потенциалу, К—матрицу, выведенную в п. 126:
Уравнения Дирака могут быть объединены в одном урав-
уравнении:
где буквы ft, e, с, т0 имеют хорошо известные из физики зна-
значения.

196
ГЛАВА VII
Выписыва» каждое из четырех уравнений, имеем 1)
7 \dxt ~г ' дх* "¦' дх* ~ Т дх
Л
7
CD
1 а?0 ^ги . асц
сV*) ?0 — (УП + IV*) ?1:] =
158. Дивергенция вектора тока. Нетрудно доказать, что
если спинор ? удовлетворяет уравнениям Днрака, то диверген-
дивергенция вектора B6) равна нулю. Этот вектор в квантовой механике
играет роль вектора тока. В самом деле, скалярное произведе-
произведение произвольного вещественного вектора X на вектор тока
равно вещественной величине ?*/ЛХ Дивергенция вектора тока
равна сумме двух комплексно сопряженных величин, из которых
одна получается дифференцированием составляющих ?в, другая —
дифференцированием составляющих ?„. Первая величина есть не
*) См., например, В. L van der Waetden, Die gruppentheo-
retlshe Mtthode In der Quantenmechanlk. 1932, стр. 97. (Ван-дер-Варден,
Метод Теории групп в квантовой механике, ОНТИ, Харьков, 1938,
стр. 107); нз уравнений B3.7) этой книги можно получить приводимые
здесь формулы C!), заменяя \ через E, — \г) и <(> через (Е,,, 50). Для
Того, чтобы получить нз принятых зтссь обозначений обозначения
Дирака, надо запенить ^ через (>| —j>«, Ei через ^i-J-fi. ^i через
—h - +« и in через f, — fa
СПИНОРЫ
ПРОСТРАНСТВА ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 197
Z, которая на основании уравнений Дирака
что иное, как X*
равна
но величина ? *JV$ вещественная, поскольку вектор V веществе-
вещественен; то же самое справедливо относительно величины ?*//Сс, которая
равна скаляру C0):
чисто мни-
мниследовательно, мы получаем для величины ?*-/-г-
мое значение; искомая дивергенция, будучи руммой двух сопря-
сопряженных чисто мнимых величин, равна, таким образом, нулю.
Уравнения Днрака инвариантны при каждом собственном
преобразовании (вращении или отражении) группы Лоренца, так
как при вещественной пространственной симметрии А обе ма-
матрицы с 1 столбцом и 4 строками V? и К$ преобразуются оди-
одинаково, первая в —Л (Ус), вторая в КА$ — -—А{К$).
159. Примечание. В пространстве с нечетным числом изме-
измерений не существует систем уравнений, аналогичных уравнениям
Днрака н инвариантных при движении и отражении: это зависит
от того, что спинор -г- ? (или Vi.) не эквивалентен спинору ?
относительно отражений. Но в пространстве с четным числом
измерений уравнения Дирака обобщаются непосредственно.

ГЛАВА VIII
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
1. Линейные представления группы вращений Лоренца
160. Приведение к группе комплексных вращений про-
пространства Ег. На основании теоремы п. 76 существует взаимно
однозначное соответствие между неприводимыми^линейными пред-
представлениями:
1° группы вращений вещественного эвклидова пространства
4 измерений;
2° группы вращений Лоренца (собственных вращений);
3° группы собственных вращений псевдоэвклидова простран-
пространства, фундаментальная форма которого приводима к сумме двух
почожительных квадратов и двух отрицательных.
В самом деле, эти три группы при переходе из веществен-
вещественной области в комплексную дают одну и ту же группу, именно,
группу комплексных вращений.
При применении первой группы полуспинор ($х, ?j) преобра-
преобразуется унитарной подстановкой, полуспинор (So, S12) — другой
подстановкой того же рода, но независимой от первой (п. 151).
При применении второй группы полуспинор (Sp Sj) преобра-
преобразуется линейной унимодулярной подстановкой 5 с комплексными
коэффициентами, полуспинор (с0 &12) — комплексно сопряженной
подстановкой s (п. 152).
Прн применении третьей группы оба полуспинора преобра-
преобразуются линейными унимодулярными вещественными подстанов-
подстановками, независимыми одна от другой.
Мы уже определили (пп. 82 — 84) линейные представления
группы Лоренца, которая изоморфна группе комплексных враще-
вращений трехмерного пространства. Мы получаем систему непри-
неприводимых неэквивалентных представлений, рассматривая пред-
представления Dp q с производящим полиномом
К
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
199
161. Частные случаи. При p = q=\ получаем тензор 4-го
порядка, эквивалентный вектору; в самом деле, выражение
&*САГ&', где S есть полуспинор^, &г), ?' — полуспинор ($0, Би),
дает вектор с составляющими
хг = л;2' = S2
е, =*•== —
\> = х1 =
Производящий полином этого вектора может быть написан
в следующем виде:
FU1 == (aS, + bb) (c&o + #и) ~ Ьсх* - асх* +
+ adx1' -f bdx*.
Если p^>qtra можно заменить производящую форму представле-
представления Dp g формбй
Г' 2*
p>g
_ aexi
При p = q получаем тензор порядка {р-\-\J, причем состав-
составляющие являются однородными полиномами порядка р от х1,
jc2, х1', jc2', удовлетворяющими уравнению Лапласа
это — гармонические полиномы р-то порядка; доказательство —
непосредственное.
Прир = 2, q=0 тензор имеет составляющие Ц, ^, Ц\ он
эквивалентен полубивектору второго рода, и за производящий
полином можно принять
/^о -V- а*хп. — ab (хп, — х^) -f Pxw',
аналогично имеем
fo,2 -^ <?xvv -|- cd (хц1 -J- дг22<) 4" а*хи-
Если р и q одинаковой четности, то можно за производящую фор-
форму для представления D p q взять форму, в которую вхо-
2*'Т
дят только векторы и полубивекторы.

200
ГЛАВА VIII
II. Представления группы вращений и отражений Лоренца
162. Две категории неприводимых представлений. Группа
вращений и отражений вещественного эвклидова пространства
4 измерений, группа собственных вращений и отражений про*
странства частного принципа относительности, наконец, группа
собственных вращений и отражений псевдоэвклидова простран-
пространства, фундаментальная форма которого приводима к сумме двух
положительных и двух отрицательных квадратов, имеют одина-
одинаковые линейные представления.
. В любом из этих случаев симметрия Нл-\-Н'% преобразует
€о в S, и Е, в ?0, то есть составляющую $рЦ неприводимого
тензора Dp я в составляющую ЦЦ тензора Df р. Примене-
2 ' з~ а" • 7
иие теорем пп. 88,89 приводит иас к следующему предложению:
Теорема. Неприводимые представления группы враще-
вращений и отражений (собственных) вещественного эвклидова
пространства 4 измерений распадаются на две категории:
1° представления, индуцирующие в группе вращений ли-
линейное неприводимое представление вида D р р; каждому це-
J 'з
лому числу р соответствуют два неэквивалентных линейных
представления полной группы;
2° представления, индуцирующие в группе вращений при-
приводимое линейное представление; это последнее разлагается
на два неприводимых неэквивалентных представления Dp я
и D9 P {pzfcq)- Каждой паре (p,q) различных целых чисел
соответствует единственное неприводимое представление пол-
полной группы.
Обозначим через Dp p тензор, составляющие которого пре-
з 'з*
образуются как составляющие тензора производящей формы
5 +
через Dlp . v — тензор, у которого составляющие преобра-
преобразуются так же, но с изменением знака при каждом отражении.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
201
При ' р s= -I D /1 1 \ определяет вектор, следовательно,
будем обозначать тензор пронзво-
i.,L
Через Dfp
дящей формы
тривектор.
163. Разложение произведения Dfp p\X.D*1p p'\.
[I'-i) \2 Ч )
Составляющие этих двух тензоров задаются производящими
полиномами:
Составим полиномы
X [а%
@
Коэффициенты различных одночленов, составленных нз а, Ь,
с, d, дают (р+р' — 2i-\-\) (р-\-р' — 2j-{-\) линейных ком-
комбинаций составляющих тензора-произведения. Сумма всех
этих чисел равна квадрату суммы величин р-\-р' — 2i-\-\
(/=0,1, 2,... ,р')', она равна, таким образом, (р-{-1JХ(р'-МK-
Но это последнее число как раз равно порядку рассматривае-
рассматриваемого тензора, разложение которого мы ищем. Каждый из поли-
полиномов Plfj определяет неприводимый тензор группы вращений,
именно, тензор Dp+р' . р+р' ..., . Таким образом, имеем иско-
( з - ' з
мое разложение

202
ГЛАВА VIII
где первая сумма распространяется на все пары целых чисел
/, J, причем Q^i<Cj^p'*^P, вторая — на все целые числа/,
удовлетворяющие неравенствам 0 ^ / ^ р' ^ р.
Тензоры второй суммы суть вида D+, так как
при отражении величины^ Ь'2—>?2?[ и ?0Б|2— ^12^0 преобразуются
одна в другую с изменением знака, так что полином P/t/ экви-
эквивалентен производящему полиному тензора
Если бы оба множителя левой части были D~, то результат
разложения был бы тот же самый. Если бы только один из
множителей был D~, то все члены во второй сумме правой
части были бы D~.
Например,
т • \) х
• \)
произведение двух тривекторов разлагается на скаляр (скаляр-
(скалярное произведение), бивектор и тензор, эквивалентный совокуп-
совокупности гармонических полиномов второго порядка.
164.
Разложение произведения D*ip P\XDtpi 9>\
Vsf'jf/ \T'TJ
Разложение производится аналогично. Тензоры
D
р+р' . р+1'
дают все неприводимые части искомого произведения,
/ и j придавать независимо друг от друга значения
и
если
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
203
но если ?Х^ iz=?\^ у, то этот тензор надо учесть
два раза, приписывая ему в одном случае верхний знак -}-. в ДРУ-
гом — верхний знак —.
Например, при перемножении тривектора и спинора (р = \,
p' = \t q' = 0) следует положить / = 0 и 1, у=0, что дает
J5f,i\ и D(n 1 \. Мы получим эквивалентное разложение,
V'J) 1О'Т/
VJ) 1/
исходя из произведения вектора и спинора. Вообще два произ-
произведения:
D?p р\Х D(p> я'\ и dJp,
X
51
эквивалентны (р'фд1), хотя в этих произведениях, имеющих
одинаковую вторую часть, первые множители не эквивалентны.
В рассматриваемом примере часть Dl i\ разложения имеет
в качестве производящего полинома
-f bcx\i -f- adxi -\- bdxt) (a?i -\- bZ2-\- c
Если вектор х заменить на -с—, то получим неприводи-
неприводимый тензор
+b 4+* + мЖр) Х
(
~ас
Составляющие этого тензора образуют одну из неприводимых
частей производной спинорного поля. Спинорные поля, обра-
обращающие в нуль этот тензор, определяются формулами
где а, р, Yi ^» в', JJ', 1', 5'—произвольные постоянные. Любое
движение и отражение преобразует такое спннорное поле в поле
того же вида.

204
ГЛАВА VIII
165. Разложение произведения D(j.%)XDl$.$y
Аналогичное рассуждение приводит к разложению
где суммы распространяются на все значения /, /, k, h, удо-
удовлетворяющие неравенствам
Если
— / или
надо соответствующий символ D заменить на D+
Например, для произведения двух спиноров
разложение дает бивектор, вектор, тривектор, скаляр и 4-век-
тор, что согласуется с тем, что было получено непосредственно.
В частности, вектор и тривектор даются производящими поли-
полиномами
(efij 4- «3) DJ+&\2) - (С?о 4- Л,,
из которых первый эквивалентен полиному (oSx
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
205
III. Линейные представления группы вращений
вещественного эвклидова пространства Е ,
166. Э. Картан определил все неприводимые линейные пред-
представления группы вращений вещественного эвклидова простран-
пространства «измерений1). С другой стороны, на основании исследот
ваний Г. Вейля (п. 81, примечание 3) мы знаем, что теорема
о полной приводимости имеет место дня всех линейных пред-
представлений этой группы. Эти результаты распространяются непо-
непосредственно на группу собственных вращений вещественных
псевдоэвклидовых пространств. Метод, примененный в пп. 82—84,
позволяет получить отсюда все представления группы ком-
комплексных вращений.
Следует различать случаи нечетного и четного п.
167. Случай пространства E^+v За фундаментальную
форму примем
(*«)» 4- xW 4- xW 4- t- W.
Каждое неприводимое линейное представление группы вра-
вращений (собственных) получается при помощи выражения
Ц
есла к нему применять различные вращения группы. Пока-
Показатели pt pit ... , р.,-1 являются произвольными целыми числами,
положительными или равными нулю. Например, представление
(р=2, pt=/;2=... ±=рч_г=0) дает v-вектор; в самом
деле, v-вектор, соответствующий спинору Б и определяемый
2
выражениим ?*СХ$, содержит составляющую х\ъ,.., ч«
следовательно, применяя к Ц различные вращения, мы получим
*) См. Е. С а г t a n, Les groupesprojedlfs, qul ne laissent invariant*
aucune multiplidte plane (Bull. Soc. Math. France, 41, 1913, стр. 53—96).
Совершенно отличный метод принадлежит R. Brauer'y: Uber die
Darstellung der Drehun*i°ruppe durch Grupien Unearer Substitutio*.
nen (Inaugural —Dissertation, Guttingeri, 1925). Относительно группы
коипдексных вращений см. также R. Brauer, Die stttl%en Darstel-
lun&n der komptexen Orthogonalgruppe (Sitzungsb. Akad. Berlin, 1929,
стр. 3—15).

206
ГЛАВА VIII
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
207
неприводимый тензор, эквивалентный тому, который получается
при применении к составляющей xl"---y v-вектора различных
вращений, а в этом последнем случае мы получаем v-вектор.
168. Случай пространства Е2ч- Возьмем фундаментальную
форму в зиде
Каждое неприводимое линейное представление группы вра-
вращений получается при помощи выражения
если к нему применять различные вращения группы.
При р = 1, рх =р2 = ... =р,_! = 0 получаем полуспинор с
четным числом индексов; при /7 = 0, полуспинор с нечетным
числом индексов. Тензоры (р = 2, pl=p2= ... /^_1==0) и
(р — 0,р1 — 2,рг = pvl=0) являются полу-у-векторами
первого и второго рода; тензор (р = /?3 = 1, рг = ... =/7v_t =0)
является (v—1)-вектором. Чтобы доказать последнее свой-
свойство, достаточно заметить, что выражение
(V-1)
дает (v—1)-вектор, соответствующий двум полуспинорам
(р и ф, и для этого (v—1)-вектора имеем
XV2> • • • (v-1)' = Hi
тензор, получаемый при изменении различных вращений к про-
произведению $0$j, эквивалентен, таким образом, тензору, который
получается при применении различных вращений к je1*—*-i,
то есть (v—1)-вектору.
169. Неприводимые линейные представления группы
вращений и отражений. В пространстве i?2v+1 каждое отражение
оставляет инвариантным каждый нз у основных неприводимых
тензоров, определяемых составляющими ?0, х1, xlt х1*"'1;
следовательно, если задано какое-нибудь линейное представле-
ние группы вращений и отражений, индуцирующее для группы .
вращений неприводимое представление, то каждое отражение
преобразует одну из неприводимых частей в другую эквивалент-
эквивалентную. Таким образом (п. 83),
Каждое неприводимое представление группы вращений
и отражений (собственных) пространства Еи+Х индуцг-уует
в группе вращений неприводимое представление; обратно,
каждому неприводимому представлению группы вращений
соответствует два неприводимых неэквивалентных представ-
представления группы вращений и отражений.
В случае пространстза ?2v любое отражение оставляет ннпа-
риантным каждый из неприводимых тензоров, определяемых
я1, я12,... , jc12<i-v-2, но преобразует полуспинор в полуспинор
другого рода. Таким образом,
Для группы вращений и отражений (собственных) про-
пространства Еъ существует два рода неприводимых линейных
представлений:
1° каждый неприводимый тензор, для которого р—р^,
дает два неприводимых неэквивалентных представления группы
вращений и отражений;
2° совокупность составляющих двух тензоров (р, pv рг>...,
Pv-i) « (Pit P. Рг Pv-i) при рфрх дает одно и только
одно неприводимое представление группы вращений а отра-
отражений.
Отметим, что тензоры первой категории, или вернее, поло-
половина этих .тензоров, получаются при применении различных вра-
вращений к выражению
)/''.. .(xl*""'~1)P'—i,
I
так как выражение So^ задает (v— 1)-вектор. Как пример
неприводимого тензора второй категории достаточно привести
спинор.
Следует отметить существенное различие между простран-
пространствами с четным и нечетным числом измерений.
170. Частный случай « = 8. В случае л = 8 тремя пер-
первыми основными неприводимыми представлениями группы вра-
вращений (собственных) являются полуспинор первого рода, полу-
полуспинор второго рода н вектор. Мы показали в п. 139, что

208
ГЛАВА VIII
к группе вращений можно присоединить пять других семейств
преобразований таким образом, что преобразования из каждого
семейства производят над тремя рассматриваемыми тензорами
одну и ту же перестановку, причем эта перестановка меняется
от одного семейства к другому. Составляющие неприводимых
тензоров полной группы, составленной из шести указанных се-
семейств, получаются тогда присоединением к составляющим тен-
тензора (р, pv рц рй) составляющих тензоров, получающихся при
помощи применения любой перестановки к трем первым показа-
показателям р, plt рг. Отметим, что четвертый основной тензор, именно
бивектор, инвариантен при каждом преобразовании полной
группы. Нетрудно проверить, например, что тензор iai'^—??'я)
где ?в и ?'л — составляющие двух полуспиноров одного и того же
рода, эквивалентен бивектору, так как в бивекторе, определяе-
определяемом выражением у*СХу, составляющая х\>% равна — S^ -Йз^'
применение различных вращений к выражению S0S^ — iMi'o дает,
таким образом, тензор, эквивалентный бивектору.
171. Примечание. Метод Г. Вейля для определения непри-
неприводимых линейных представлений замкнутых групп1) позволяет
легко найти порядок различных указанных выше неприводимых
линейных представлений. Приведем один пример, относящийся
к пространству Е6. Порядок неприводимого представления
( Pv Рг) Равен
. 1. 1,
где
* 4- *•) (*i 4- *»)
*8)X
X (x 4- x\ 4- н 4- xi) (x 4- *i 4- x% 4- 2*s)-
Например, порядок представления A, 1, 1, 0) равен 350.
*) Н. W е у 1, Theorle der Darstellung kontlnuierlicher hatbela-
facher Gruppen durch ilneare Transformationen /'Math. Zeitschr.. 23,
1925, стр. 271-309; 24. 1925, стр. 328—395). (Русский перевод в Успе-
Успехах Математических Наук, т. 4. ред.)
ГЛАВА IX
СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЬ
ГЕОМЕТРИИ
1. Спинорные поля в эвклидовой геометрии
172. Бесконечно малые вращения в применении к спино-
спинорам. В .п. 19 было показано, что каждое бесконечно малое
вращение эвклидова пространства Еп определяется тензором,
эквивалентным бивектору. Мы сейчас снова получим этот ре-
результат другим методом, который в то же время даст беско-
бесконечно малое вращение спиноров.
Сначала рассмотрим простое вращение на угол а, получаю-
получающееся в результате применения двух симметрии, соотэетствующих
двум единичным векторам, образующим между собой угол у •
Обозначим через А1 первый из этих единичных векторов, через
Л2 — единичный вектор, перпендикулярный к первому и лежащий
в 2-плоскости простого вращения; тогда рассматриваемое вра-
вращение определится матрицей
Если мы предположим, что угол о — бесконечно малый, то глав-
главная часть этой матрицы равна 1—- аАхА.,.
Применяя ее к вектору X, получим
применяя к спинору ?, имеем

216
ГЛАВА IX
Следовательно, обозначив через U матрицу, соответствующую
бивектору аА^, имеем бесконечно малое преобразование:
0)
B)
>С — L//5
Если мы отнесем, например, пространство к п векторам ба-
базиса /41( Л2)..., Ап, причем
—¦ \AtAj -[- AjA[) = g(j,
то бесконечно малое вращение, определяемое символом
даст в применении к вектору хкА{
bxkAk = -1 а"х* {AkA,Aj — AtAfAk) =
= 1 а'/** [Л, (ЛИ/ ~АуА,) - (AtA, - AjAt)Ak)
Величина, стоящая в квадратных скобках, равна
- А, (А;Ак + AkAj) + А, (AtAk + Л,Л/) - (^
Таким образом, имеем
Ъх*Ак = — ~а"х*
откуда
йл:' = акхк, или
Формула B) дает
или
ймхч.
1
B')
Например, для м = 3, сохраняя обозначения главы 111, можно
положить
/
СПИНбРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 211
откуда, учитывая выражений для матриц Н( (п. 55), имеем
г51/т5(e
^
учитывая введенные выше общие обозначения, имеем для коэф-
коэффициентов я, р, у следующие значения:
173. "Другая интерпретация. Полученные результаты можно
интерпретировать иначе. Рассмотрим составляющие фиксирован-
фиксированного вектора и фиксированного спинора, отнесенные последова-
последовательно к двум декартовым реперам (R) и (/?'), из которых но-
новый (/?') получается из старого (R) при помощи заданного
бесконечно малого вращения. Если мы будем отмечать штри-
штрихом составляющие вектора или спинора в новом репере, то
вектор или спинор, имеющий эти новые составляющие в старом
репере, получается из данного вектора или спинора при помощи
бесконечно малого вращения, обратного данному. Таким обра-
образом, имеем теорему:
Теорема. Если задан вектор X или спинор \, отнесен-
отнесенный к реперам (R) и (R'), причем (R') получается из (R) при
помощи бесконечно малого вращения U, то бесконечно малые
приращения составляющих этого вектора или спинора опре-
определяются формулами
\ E)
F)
{1)
Первая из них может быть записана также в виде:
Ьх1— — а11хк, или Ьх'^па^х4, или Ьх, = к
В частности, формулы D) дают
«1=4

212
Г Л А В А IX
174. Абсолютное дифференцирование вектора и спинора.
Рассмотрим в пространстве .векторное или спинорное поле, при-
причем каждый вектор (или спинор) отнесен некоторой точке про-
пространства. Представим, что каждой точке пространства отнесена
декартова координатная система, относительно которой фун-
фундаментальная форма сохраняет одни и те же коэффициенты
(то есть координатные реперы в различных точках равны в смысле
эвклидовой геометрии).
_ Обозначим через Q бивектор, определяющий бесконечно ма-
малое вращение, которое переводит репер (/?) с началом М в по-
положение, параллельное реперу (/?'), имеющему начало в беско-
бесконечно близкой точке М'\ обозначим составляющие этого
бивектора через ©'•/. Пусть х1—составляющие вектора поля
относительно (R) с началом в М, х1 -\- Лс'—составляющие вектора
поля, отнесенные к (/?') с началом в М'. Чтобы получить из
первого вектора второй, можно сначала перейти от первого к
вектору с началом М\ имеющему относительно (/?') те же со?
ставляющие х1 при помощи вращения Q, переводящего (R) в (/?');
затем перейти ко второму вектору, складывая х' и dxl .
Элементарное геометрическое приращение Dx{, получаемое
вектором поля, определяется согласно C) формулами
I
или DX=dX-\-j{XQ — QX); (8)
для поля спиноров имеем аналогично
dX{wai d?) обозначает относительное приращение,-* (XQ—QX)
—переносное приращение. DX и ?>Б являются
(
или —т
абсолютными дифференциалами вектора и спинора.
175. Уравнения Дирака. Предположим, что пространственно-
временнбй континуум частного принципа относительности отнесен
к галилеевым реперам, имеющим начала в различных точках
СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 213
пространства; пусть
+ (и8J — с2
— скалярной квадрат вектора, соединяющего точку М с беско-
бесконечно ^близкой точкой М'; оI, и2, о)8, и* — контравариачтные
составляющие вектора ММ'. Матрица й, определяющая беско-
бесконечно малое вращение, которое переводит репер (R) с началом
в точке М в положение, параллельное реперу {R'), имеющему
начало-в точке М', имеет вид (п. 149)
-A1 °\
[о nj«
причем II есть матрица
— (со81 —/с<о24) -f- i(uJ3—
<й8*—/СОJ4 -f- { (ОM3—/СОI4)
Положим
A0)
где /—функция точки; если пространство отнести к реперу
вектор -г (п. 167) должен быть заменен .следующим:
О
О
0
0
L
s Т
О
о
о
, (И)
причеИ1 символы D, имеют следующее значение: полагаем
Df=Djtf + />i/w8 + ^8/m8 + ^*/«4; A2)

ГЛАВА IX
имеем
-i-(/
j
В уравнениях A3) мы ввели ковариантные составляющие
связанные с контравариантными соотношениями:
Уравнения Дирака выражаются следующим матричным соот-
соотношением:
(Дл + ^У-я.вф-О, A4)
причем матрица К, как н в и. 157, имеет вид ( J. ^), где
каждый элемент обозначает матрицу второго порядка.
11. Спянорные поля в римановой геометрии
176. Случай общего принципа относительности. В пре-
предыдущих формулах ничего не надо изменять при условии, что
мы будем относить каждой точке пространственно-временного
континуума локальный галилеев репер, дающий фундаментальную
СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 215
форму вида
@IJ
0)8J _ С2
а за формы ш„ будем принимать те, которые определяют аф-
аффинную связность пространственно-временного контннуумах).
В качестве примера рассмотрим фундаментальную форму ds
Шварцшильда (изменив у нее знак); ей соответствуют с* эрмы
m* = 1/ 1
со3
2/rt
/'-г"
V г
Единственные не равные нулю формы ш,;. следующие:
<o,2 = cos&rf<p, oK1=|/l—ydb,
/i 2/я . о , сгт ,.
l-ysindrfip, юи = —-j|-rf/. .
Матрица D имеет вид (^ • * ), где Д и Д — комплексно сопря
хсенные матрицы, причем
Д==
где
A5)
Ц_ , t_ д , J_,
» г аЬ ' г sin 9 Щ ' 2 г '
2г —3/л
«=У •-=?+-
A6)
Л получается из Д изменением всюду i на — /.
1) Данное в п. 156 доказательство теоремы, согласно которой ди-
дивергенция вектора тока равна нулю, может быть повторено здесь без
всякого изменения.

216
ГЛАВА IX
177. Случай любых декартовых реперов. Выше цы
предполагали, что рнманово пространство отнесено к семей-
семейству реперов частного вида: необходимо, чтобы они были кон-
конгруэнтны между собой с метрической точки зрения. Этой точкой
зрения пользовались некоторые из авторов, пытавшихся обоб-
обобщить уравнения Днрака на общий принцип относительностих).
Но для этих авторов спинор не является вполне опреде-
определенным геометрическим объектом; В. Фок выводит закон прео-
преобразования спинора при вращении из закона преобразования
вектора, определяемого этим спинором и его сопряженным, а это
вводит некоторую неопределенность, которую он рассматривает
как основу электромагнитного поля. Другие физики отказываются
от употребления локальных галилеевых реперов и ищут обоб-
обобщение уравнений Дирака, пользуясь классической техникой ис-
исследования в римановой геометрии2), техникой, основанной на
употреблении декартовых реперов, связанных с выбором коор-
координатной системы; эти реперы могут иметь произвольную форму
с метрической точки зрения. Если с этой точки зрения мы бу-
^дем продолжать рассматривать спинор как вполне определенный
геометрический объект, имеющий природу тензора в наиболее
общем смысле этого слова, мы убедимся, что обобщение урав-
уравнений Днрака становится невозможным3).
Поставленный вопрос приводится к выяснению,—имеет ли
спинор тензорный характер относительно группы всех лннейных
подстановок с п переменными. В действительности вопрос носит
несколько более общий характер, так как некоторые эвклидовы
:) См., главным образом, V. Fосk, Geometrtsierungder Diracschen
Theorie des Elektrons (Zeitschr. f. Physik, 75, стр. 261—277), а также
H.'Weyl, Electron and Gravitation (Zeitschr. f. Physik, 56, 1929,
стр. 330—352); Вейль стоит на иной точке зрения.
3) См., например, Е. Schr6dinger, Diracsches Electron In
Schwerfeld (Sitzungsb. AKad. Berlin, 1932, стр. 105).
8) Некоторые физики рассматривают спииор как объект, в некотором
роде индифферентный по отношению к вращениям, воздействующим на
классические геометрические объекты (векторы и т. д.), и у которого
¦составляющие в заданной системе отсчета могут подвергаться линейным
преобразованиям, в некотором роде автономным. См., например, L. I а-.
feld, В. L. van der Waerden, Die Wtllen<*leUhungen de$ Elek-
tronst in d(r allgem$lnen Rettfwlt&tstheQrle (Sjtjtungsl). Akad. Berlin»
1933, стр. 330),
СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
217
тензоры определенного порядка г, не являющиеся в то же время
аффинными тензорами, могут быть все же аналитически заданы
относительно любого декартова репера при помощи составляю-
составляющих аффинного тензора порядка R более высокого, чем г, та-
таким образом, что если их отнести к прямоугольному реперу,
то R — г этих составляющих обращается в нуль, а остальные г
составляющих являются составляющими рассматриваемого эвкли-
эвклидова тензора. Так, например, при л = 4 полубивектор опреде-
определяется ^составляющими pij -\-Vgpkh ('¦ /, k, h — четная пере-
перестановка) бивектора. Таким образом, надлежит исследовать,
можно лн найти в аффинном пространстве с числом измерений
л = 2у-|-1 или 2v такой аффинный тензор с N составляющими,
чтобы при отнесении его к прямоугольному реперу N—2*
этих составляющих обращались в нуль, а остальные 21 преобра-
преобразовывались как составляющие спинора при преобразовании пря-
прямоугольного репера. iWu покажем, что это невозможно.
В самом деле, мы можем рассматривать комплексную область,
пользуясь при необходимости переходом от вещественного к
комплексному. Фундаментальную форму возьмем в виде суммы
квадратов:
Мы имели бы линейное представление группы всех линейных
подстановок, которое нам дало бы, в частности, линейное пред-
представление группы
(а& — ft) = l-
A7)
Это линейное представление было бы многозначным, так как
при эвклидовом вращении
х[ = *, cos д - *, sin &, x'2 = хх sin Ь + ж, cos &,
.г^ = .*ь, . . . , *„ —-"-л»
где вещественный угол Ь изменяется непрерывно от 0 до 2«,
спинор преобравовывался бы линейной подстановкой, которая
спинор р и?Р ио из тождествен„ой подстановки ?=j? в
$'== — 5. Ми имели бы многозначное *««*л«л

218
Г Л А В А IX
представление группы A7), что невозможно, как мы видели
в п. 85.
Ничего не меняя в доказательстве, можно было бы взять
вместо группы A7) унитарную унимодулярную группу с пере-
переменными хи хг, относительно которой мы доказали при помощи
топологических соображений (п. 85) невозможность существо-
существования многозначных линейных представлений.
Мы приходим, таким образом, к следующей основной теореме:
Теорема. Если спинор имеет тот геометрический смысл,
который мы ему дали, то невозможно ввести спинорные поля
в классическую технику исследования в римановой геометрии;
то есть при произвольном выборе системы координат х1 про-
пространства невозможно определить спинор при помощи ко-
конечного числа N составляющих иа таким образом, чтобы с,
допускали ковариантные производные вида
где Ai/ являются определенными функциями от xhl).
1) Ясно, что эта теорема может служить для уяснения точки ере-
ния L. I п f e I d'a и v a n derWaerden'a (см. предыдущее примеча-
примечание), не оправданной, однако, геометрически и физически. -
БИБЛИОГРАФИЯ
Среди мемуаров, специально посвященных теории спиноров в соб-
собственном смысле слова, сметам:
В г a u e r R., We у 1 Н., Splnors in n dimensions (Am. J. of. Math.,
57, 1935, стр. 425—449).
Wallage Givens J. Tensor coordinates of linear spaces (An-
(Annals of Math., 38, 1937, стр. 355—385).
Veblen 0. Spinors and projectlve Geometry (Comptes Rendus
Congres Oslo, 1936, 1, 1937, стр. 111—127).
Из основных монографий, посвященных связи между теорией ли-
линейных представлений групп, теорией спиноров и квантовой механикой,
отметим:
W е у 1 Н., Gruppentheorie und Quantenmechantk, 2. Auflage (Leip-
(Leipzig, Hinel, 1931).
W i g п с г E., Gruppentheorie und Ihre Anwendung auf die Quan-
tenmechanik der Atomspektren (Vieweg, 1931).
Van d e r Waerden B. L, Die tp-upoentheoretische Met hod e In der
Quantenmechantk (Berlin,Springer, 1932). (Ван дер Варден, Метод
теории групп в квантовой механике, ОНТИ, Харьков, 1938).
Bauer E., Introduction a la thiorie des groupes et a ses appli-
applications a la Physique quantique (Paris, 1933). (Э. Бауэр, Введение
а теорию групп и ее приложения в квантовой физике, ОНТИ,
Москва—Ленинград, 1937)!).
Кроме мемуаров, цитированных в тексте и относящихся к проблеме
уравнений Дирака в общей теории относительности, укажем специально:
Schouten J. A. Dlrac equantions in general relativity (Journal
of. Maht. and. Phye., 10, 1931, стр. 239—283).
») См. также: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. Ill,
ОНТИ, Москм-Ленинград, 1933.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютное дифференцирование
вектора н спинора 212
Алгебраическая характеристика
простых спиноров 141
полуспиноров 160
Аналитическое представление
группы комплексных враще-
вращений 89
Антиинволюция 149
Бивектор 35
Вектор 11
— временной 12
— изотропный 11
— пространственный 11
Вращение 17
— бесконечно-малое 35
— несобственное 28
— простое 57
— собственное 28
Гармонический полином 82, 199
Гиперплоскость 12
Декартов репер 12
ортогональный 12
Инвариантность временнбй ориен-
ориентации 28
Инерция квадратичной формы 14
Кватернион 68
Коварнантные составляющие век-
вектора 16
Контравариантные составляющие
вектора 16
Критерий неприводимости 45, 51
Линейное представление группы
вращений 37
точное 39
Линейные представления D _ Dt,
Т Г
п— /¦)+ гу— Г)
L (L ?.)' (Р В. (г. Я\
78, 80, 200
Матрица 5.'
— днагонал1 я 53
— обратная ид
— ортогональная 56
— соответствующая вектору 66,122
— мультивектору 67, 124, 163
— транспонированная 52
— унитарная 54
— эрмитова 58
-С 72, 131
— / 152
— /152
— К 164
-Xx + Xl + Rl 99
Матрицы подобные 53
Мера мультивектора 31
Мультивектор '30
—"дополнительный 32
— изотропный 32
— простой 34
Неоднозначность представления 87
Непрерывность группы вращений24
Неприводимость мультивектора 60
— спинора 129
Область вещественности 149
Объем гиперпараллелепипеда 29
Отражение 17
— собственное 28
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
221
Паратактическая конгруэнция 177
Полу-у-вектор 61
Полуспинор 158
Полуспиноры первого и второго
рода 159
— сопряжеклые 182
Порядок линейного представле-
представления 38
Принцип тройственности 175
Произведение матрицы на число 52
— спиноров 72
— тензоров 41
Производящие полиномы предста-
представлений Z)+ , D~
7 Т79
Производящие полиномы предста-
влений D% , DJt D
\2 > 2 / \2 • 2 ; \2 •21
106. 201
Пространство псевдозвклидово 11
— эвклидово 11
Симметрия 19
— временная 20
— пространственная 20
Скалярное произведение векто-
векторов 12
Сложение тензоров 41
Собственные значения матрицы 53
Составляющие вектора 11
коварнантные 16
кс лтравариантные 16
Составной индекс 121
Спинор втпого рода 76
— пространства ?jY+i 119
— простой 138
— 3-мерного пространства 64
Спинорные поля в рюгановой гео-
геометрии 214
Спиноры сопряженные 75,148,153,
181
Сумма патриц 52
— мультивекторов 34
Тензор вполне приводимый 44
— неприводимый. 44
— приводимый 44
— эвклидов 39
Тензоры D+ , D
'р. 78
2
~~Dk ?.\'D(L L)'D(L ?.\1O7,
B • 2) \2 • 2' V2 • 2) '
200
-%р\ъ-
Теорема Бернсайда 49
— инерции 14
Уравнения Дирака 85,194,212
— структуры 90
Формула Бриоски 178
Фундаментальная полярность 133
— квадратичная форма 11
— трилинейная форма 173
Характеристическое уравнение ма-
тряцы 53
Числа Клнффорда-Липшитца 127
Эквивалентность линейных пред-
представлений 38

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу 5
Предисловие автора 7
ЧАСТЬ I
Спиноры трехмерного пространства.
Линейные представления группы вращений
Г я а ¦ ¦ I. ЭВКЛИДОВО л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ
И ОТРАЖЕНИЯ.
I. Пространство Эвклида A—6) 11
II. Вращения и отражения G—13) 17
Ш. Мультивекторы A4—18) 29
IV. Дивекторы н бесконечно малые вращения A9).... 35
f *••» II. ТЕНЗОРЫ; ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП; МАТРИЦЫ
I. Определение тензоров B0—24) L' . . . , 37
П. Тензорная алгебра B5—28) 41
III. Тензоры, приводимые н неприводимые B9—Щ. ... 44
IV. Матрицы C7—47) 51
V. Неприводимость />-векторов D8—51) 60
Г « ¦ ¦ а III. СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
1. Понятие спинора E2—54) 64
II. Матрицы, соответствующие векторам E5—57)..... 66
III. Представдение симметрии и вращений E8—60).... 69
IV. Произведение двух спиноров и его разложение на не-
приводимые части F1—62) 72
V. Случай вещественного эвклидова пространства F3—65) 74
VI. Случай псевдоэвклидова пространства F6) 77
Глп IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В Е,
I. Линейные представления, выражаемые при помощи
спиноров F7—71) . • 78
II. Бесконечно малые вращения и определение эвклидовых
тензоров G2—81) 86
III. Линейные представления группы комплексных вращений
(82-84) 102
IV. Однозначность и двузначность (85—86) 106
V. ЛинеРчые представления группы вращений и отражений
(87-91) Г . . . " 110
ОГЛАВЛЕНИЕ
22S
ЧАСТЬ Н
Спиноры пространства л > 3 измерений.
Спиноры в римановой геометрии
Г я а ¦ ¦ V. СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА ?2v + j
ol. Изотропные v-плоскости и матрицы, соответствующие
векторам (92—95) 119
Н. Представление вращений и отражений при помощи ма-
матриц порядка 2* (96—100) 125
Ш. Фундаментальная полярность в пространстве спиноров,
/^-векторы, определяемые парой спиноров A01—105). . 131
IV. Простые спиноры и интерпретация их как поляризован-
поляризованных изотропных v-векторов A06—111) 138
V. Случай вещественного эвклидова пространства
A12-115) 147-
VI. Случай псевдоэвклидовых пространств A16—119). . . 152
Г я а в 1.VI. СПИНОРЫ ПРОСТРАНСТВА В2ч
I. Изотропные v-плоскостн и полуспиноры A20—124). . 158
И. Матрицы, соответствующие />-векторам. Представление
вращений и отражений A25—130) 163
III. Разложение произведения двух спиноров A31—136). . 167
IV. Частные случаи: v = 3 и v = 4 A37-141) 172
V. Случай вещественного эвклидова пространства
A42-145) 180
VI. Случай псевдоэвклидовых пространств A46—147)... 181
Г я » a i VII. СПИНОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ЧАСТНОГО ПРИНЦИПА ОТНОСИ-
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
I. Группа вращений в эвклидовом пространстве четырех
измерений A48—152) 183
И. Разложение произведения двух спиноров A53—154). . 189
III. Сопряженные векторы и спиноры в пространстве част-
частного принципа относительности A55—156) .:.... 192
IV. Уравнения Днрака A57—159) 194
Г * а ¦ а VIII. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
I. Линейные представлении группы вращений Лоренца
A60-161) 198
II. Представления группы вращений и отражений Лоренца
A62-165) ....... " 200
III. Линейные представления группы вращений веществен-
вещественного эвклидова пространства Еп A66—171) 205
Г л а ¦ а IX. СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
I. Спинориые поля в эвклидовой геометрии A72—175). . 209
II. Спинорные поля в римановой геометрии A76—177). . 214
Библиография 219
Предметный указатель .'. 220