I

В. Н Литвиненко

I

1ЕОМЕТРЙЯ

-И-
ББК 22.151.0я121

Л 64

Рецензенты:

кандидат физико-математических наук, доцент Московского
педагогического университета Е.С. Карманова,

учитель математики общеобразовательной школы № 42 г. Москвы,
Заслуженный учитель РФ Н.В. Карюхина

Литвиненко В.Н.

Л 64 Геометрия—10. Учебное пособие.— М.: «Вербум-М», 2002.—

144 с.

ISBN 5-8391-0103-6

Содержание учебного пособия «Геометрия 10» для общеобразова-
тельных учебных заведений соответствует программе средней школы
и современным общеобразовательным стандартам. Теоретический мате-
риал изложен в двадцати двух параграфах и представлен в новой компо-
Н°ВОдним из принципиальных отличий нового пособия «Геометрия—10»
является включение в него на всех этапах обучения эффективных постро-
ений на изображениях многогранников.

Предлагаемое пособие входит в учебный комплект для учащихся
десятых классов. Этот комплект дополняют «Тетрадь заданий», структура
и содержание которой строго связаны с изложенным теоретическим мате-
риалом в пособии, и «Проверочные и контрольные работы» (в шести
вариантах с дифференцированными по сложности заданиями).

Для учащихся десятых классов и учителей математики.

ISBN 5-8391-0103-6

ББК 22.151.0я121

© Издательство «Вербум-М», 2002
ВВЕДЕНИЕ

Вы начинаете изучение стереометрии. Это раздел геометрии, в ко-
тором рассматриваются свойства фигур в пространстве. Основными
фигурами пространства являются точки, прямые и плоскости. Отно-
шения между ними выражаются в системе аксиом, которая включает
в себя уже известные аксиомы планиметрии и новые аксиомы. Новые
аксиомы вводятся в связи с пополнением множества точек и прямых,
принадлежащих одной плоскости, множеством плоскостей. С новыми
аксиомами вам предстоит познакомиться.

С помощью точек, прямых и плоскостей образуются все другие гео-
метрические фигуры пространства. В частности, различные геометри-
ческие тела и поверхности.

Геометрическое тело будем рассматривать как часть пространства,
ограниченную некоторой поверхностью. К знакомым вам геометриче-
ским телам можно отнести различные пирамиды, призмы, конусы, ци-
линдры, шар и т.д. (рис. 1).

Частным случаем призмы является известный всем многогранник,
который называется кубом (рис. 2). Поверхность куба представляет
собой совокупность шести равных квадратов. Каждый из квадратов
имеет общие стороны с четырьмя другими квадратами. (Например,
на рисунке 2 квадрат ABCD имеет общие стороны с квадратами
АВВ{А{, ВССХВ{, CDD{C{ и ADD{A^

Поверхность куба легко изготовить из плотной бумаги. Для этого
можно построить, например, фигуру, составленную из шести квадра-
тов, расположенных на плоскости, как показано на рисунке 3 (сторону
каждого квадрата можно увеличить в 2—3 раза). Затем нужно вырезать
построенную фигуру и согнуть ее последовательно по штриховым ли-
ниям под прямым углом, например в последовательности, указанной
номерами на рисунке 3. Первое сгибание нужно сделать по штриховой
линии, отмеченной цифрой ф. Полученная в результате фигура пока-
зана на рисунке 4. Эту фигуру следует согнуть по штриховой линии,
отмеченной цифрой (2). Фигура, полученная после второго сгибания,
показана на рисунке 5. Продолжая далее сгибать получаемые фигуры
последовательно по штриховым линиям, отмеченным цифрами ®, @ и
®, мы получим в результате поверхность, которая является границей
куба. (Фигуры, полученные в результате третьего, четвертого и пятого
сгибаний, показаны соответственно на рисунках 6, 7 и 8).
Рис. 3
Рис. 7

Рис. 8

Плоская фигура, изображенная на рисунке 3, — это развертка
поверхности куба.

Отделим от фигуры, показанной на рисунке 3, какую-то часть, на-
пример один квадрат. В результате получим совокупность пяти квад-
ратов и отделенный квадрат (рис. 9), т.с. всего шесть квадратов. Сово-
купность этих шести квадратов также представляет собой развертку
поверхности куба.
Если фигуру, изображенную на рисунке 3, дополнить специальны-
ми выступами (склейками), например в форме трапеций, как показано
на рисунке 10, то мы получим развертку модели поверхности куба.
Согнув эту развертку по штриховым линиям, как это мы делали с раз-
верткой, изображенной на рисунке 3, и смазав клеем выступы, можно
склеить модель поверхности куба.

Рис. 10

Куб является примером тела, поверхность которого состоит из ко-
нечного числа плоских многоугольников.

Мы будем изучать различные многогранники, изготавливать моде-
ли их поверхностей. Изготовление моделей поможет составить нагляд-
ное представление об этих многогранниках, увидеть их «устройство» и
свойства.

Отметим еще существенную особенность изображений фигур в
школьном курсе стереометрии: каждое из них сопровождае тся поясни-
тельным текстом, условием, в котором указывается, что именно изоб-
ражено на рисунке. Такие изображения называют условными.
Так, на рисунке И изображены прямая р и плоскость ос. Без указа-
ния к этому рисунку неясно, как расположены прямая р и плоскость ос
друг относительно друга. Указания должны быть сделаны словами или
символами в тексте, сопровождающем рисунок. Например, рисунок И
можно сопроводить такими словами: «прямая р лежит в плоскости ос»,
или с использованием символа принадлежности:/? <= Рисунок 11
может быть иллюстрацией и другого возможного взаимного располо-
жения прямой р и плоскости а. Об этом должно быть сказано в усло-
вии, сопровождающем рисунок. Так, его могут сопровождать слова:
«прямая р параллельна плоскости а» (или с помощью символа парал-
лельности: р II а) и т.д.

Рисунок 12 можно сопроводить словами: «прямыер и q пересекают-
ся», или «прямая р перпендикулярна прямой q (р ± с/)», или «р и q —
скрещивающиеся прямые» и т.д.

Без указания на то, какая фигура изображена на рисунке 13, нельзя
ответить на вопрос о взаимном расположении прямых B\D и DXC. Мо-
жет показаться, что эти прямые параллельны. Если же указать, что на
рисунке 13 изображен, например, куб, то пояснений о взаимном распо-
ложении прямых B\D и DjC можно не делать, так как в этом случае
можно доказать, что прямые BXD и D{C перпендикулярны (BJ) ± DXC).

Без пояснительного текста также неясно, какая фигура изображе-
на на рисунке 14. Фигура, показанная на этом рисунке, может быть
изображением прямоугольного, прямого или наклонного параллеле-
пипеда. Она может быть также изображением «целого» параллелепи-
педа или параллелепипеда без грани ВВ\С\С (т.е. коробки без одной
стенки) и т.д.

Условные изображения, которые мы будем использовать при изуче-
нии стереометрии, должны удовлетворять трем требованиям. Они
должны быть: 1) верными; 2) наглядными; 3) легко выполнимыми.
Рис. 13

Обеспечить выполнение этих требований оказывается проще всего,
если строить изображения пространственных фигур по правилам па-
раллельного проектирования. Представление о параллельном проек-
тировании пространственных фигур можно получить, освещая каркас
какой-нибудь пространственной фигуры параллельными лучами, на-
пример солнечными.

Так, четырехугольник АВМС с его диагоналями (рис. 15) является
параллельной проекцией (тенью каркаса), например, пирамиды
MqAqBqCq на плоскость л.

Способ изображения фигуры Fo с помощью параллельного проек-
тирования состоит, коротко, в следующем.

В пространстве задается некоторая прямая /, пересекающая плос-
кость л, на которой строится изображение фигуры Го. Через произволь-
ную точку Ао фигуры Fq проводится прямая, параллельная /. Точка Л,
в которой прямая / пересекает плоскость л, является изображением
точки Ло.

Совокупность построенных таким образом всех точек фигуры
является изображением фигуры Ео.

При построении изображений пространственных фигур по правилам
параллельного проектирования па уроках геометрии не требуется вы-
полнять непосредственно само проектирование. Достаточно лишь,
чтобы при построении изображений сохранялись позиционные свой-
ства фигур, т.е. свойства фигур, сохраняющиеся при параллельном
проектировании.

Вот основные из этих свойств:

1°. Сохраняется принадлежность точек, прямых и плоскостей.

Так," еслиТЬригиналс точка Д) лежит наЧтрякюир^, то на изображе-
нии точка А лежит на прямой р. Если в оригинале прямые р() и <у0 пере-
секаются, то и на изображении прямыеpwq пересекаются.
2°. Сохраняется параллельность прямых.

Так, если в оригинале р01| qQ, то па изображении р || q. (Обратное
утверждение в общем случае не имеет места.)

3°. Сохраняемы «тноше^длт тумц0льных_оп№^ков.

Так, если в оригинале Л(>В01| Со1)() и Л0В0: CqDq = k, то на изображе-
нии АВ || CD и АВ: CD = k. В частности, если в оригинале отрезок Л0М0
является медианой треугольника Л0В0С0, то на изображении отрезок
АМ — это медиана треугольника АВС.

Итак, при построении изображений фигур мы опираемся на основ-
ную теорему теории построения изображений по правилам параллель-
ного проектирования.

Теорема (Польке—Шварца). Любой плоский четырехугольник
с его диагоналями может быть принят за параллельную проекцию

с его оиагоналями может оыть принят за параллельную проекцию
тетраэдра, прдобно.го^ррц^волъно заданному.

В соответствии с этой теоремой четырехугольник АВМС, изобра-
женный на рисунке 15, может быть принят за параллельную проекцию
тетраэдра М^А^В^С^ подобного, например, такому тетраэдру, у которого три
ребра, имеющие общую вершину, равны и попарно перпендикулярны.

Так, можно считать, что отрезки АВ, АМ и АС (рис. 15) являются
изображениями трех равных и попарно перпендикулярных в оригинале
отрезков.

Таким образом, в качестве параллельной проекции, например, куба
можно принять изображения, показанные на рисунках 16, а, б, в.
Рис. 16

Наиболее наглядным нам представляется изображение, показанное
на рисунке 16, в (это так называемая кабинетная проекция куба).

В заключение отметим, что построение изображений простран-
ственных фигур по правилам параллельного проектирования не вполне

соответствует нашим зрительным пред-
ставлениям. Так, ясно, что тот из двух
одинаковых объектов, который удален
от нас дальше, должен на изображении
быть меньшим. Иначе не создается впе-
чатления, что он находится дальше.
В подтверждение этих соображений со-
шлемся па то, как на картине изобража-
ют уходящие вдоль рельсы железной
дороги, которые в действительности,
конечно, параллельны. Дело в том, что
изображения, которые мы видим
на картинах и на фотографиях, выпол-

рис lf) г	пяются по правилам центрального

(а не параллельного) проектирования.
Все точки оригинала проектируются при этом на плоскость не парал-
лельными лучами, а лучами, выходящими из одной точки — центра про-

ектирования.

На рисунке 16, г приведен один из вариантов изображения куба по
правилам центрального проектирования.

При изучении стереометрии в средней школе наиболее удобным
оказывается способ построения пространственных фигур по правилам
параллельного проектирования.
Глава I

ПЕРВЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ВЗАИМНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ ТОЧЕК,
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

§ 1. Пирамида (начальные сведения).
Развертка пирамиды и ее модель

Среди пространственных фигур, изучаемых в стереометрии, особое
место занимают многогранники.

Определение. Многогранником называют тело, ограниченное поверх-
ностью, состоящей из конечного числа плоских многоугольников.

Пусть, например, четыре плоских треугольника составлены так, как
показано на рисунке 17. Совокупность этих плоских треугольников
АВС, МАВ, МВС и МАС представляет собой поверхность. Она ограни-
чивает некоторое тело. Указанные плоские треугольники — это грани
полученного тела. Так как у этого тела четыре грани, то его называют
тетраэдр (тетра (греч.) — четыре, ебра (греч.) — грань).

Тетраэдр называют также треугольной пирамидой. Один из плос-
ких треугольников, образующих поверхность тетраэдра, принимают за
его основание. Три другие грани называют боковыми гранями, а их об-
щую вершину — вершиной тетраэдра. В обозначении тетраэдра букву,
обозначающую вершину, пишут на первом месте. Так, тетраэдр, изоб-
раженный на рисунке 17, можно обозначить МАВС. Это значит, что
точка М — вершина этого тетраэдра, треугольник АВС — основание,
плоские треугольники МАВ, МВС и МАС — боковые грани, отрезки
МА, МВ и МС — боковые ребра, а отрезки АВ, ВС и АС — стороны осно-
вания.

Аналогично можно составить представление о четырехугольной,
пятиугольной и т.д. пирамиде.

Так, многогранник MABCD, поверхность которого состоит из
плоского четырехугольника ABCD и четырех плоских треугольников
(рис. 18), является четырехугольной пирамидой. Плоский четырех-
угольник ABCD — ее основание, плоские треугольники МАВ, МВС,
MCD и MAD — боковые грани, отрезки МА, МВ, МС и MD — боковые
ребра этой пирамиды и т.д. На рисунках 19 и 20 изображены пяти-
угольные пирамиды.

Отметим, что пирамиды, изображенные на рисунках 17—19, явля-
ются выпуклыми, а пирамида, изображенная на рисунке 20, — невы-
пуклая. (Ее точки А и С лежат по разные стороны от плоскости грани
MDE.)

Разрежем поверхность тетраэдра МАВС, например, по ребрам МА и
МВ и грань МАВ повернем вокруг прямой АВ до совмещения плоско-
сти МАВ с плоскостью АВС, как показано па рисунке 21. Затем разре-
жем поверхность этого тетраэдра еще по ребру МС, и грани МВС и МАС
повернем вокруг соответственно прямых ВС и АС до совпадения плос-
костей этих граней с плоскостью АВС. Полученная описанным спосо-
бом плоская фигура (рис. 22) представляет собой совокупность четы-
рех треугольников. При этом, естественно, сторона М(/10 треугольника
A/qAqBq равна одноименной стороне треугольника M^AqCq и т.д.

Эта фигура является разверткой поверхности тетраэдра МАВС
или, короче, разверткой тетраэдра МАВС.

Замечание. Обратите внимание на обозначения элементов развертки тет-
раэдра. Каждая буква на развертке снабжена индексом ноль. Так, вершина М
тетраэдра на его развертке обозначена Л/о и т.д. Несмотря на кажущуюся гро-
моздкость таких обозначений, они оказываются удобными. Особенно в тех
случаях, когда речь идет одновременно и о многограннике, и о его развертке.

В качестве плоскости, на которую разворачиваются грани тетраэд-
ра, можно выбрать плоскость любой его грани. Так, на рисунке 23 пока-
зана развертка тетраэдра МАВС на плоскость МАВ.

На рисунке 24 показан вариант развертки того же тетраэдра МАВС.
Эта развертка является совокупностью двух фигур: а) и б).

Если построена развертка многогранника, то можно подготовить и
развертку его модели. Сделать это нетрудно, исходя, например, из сле-
Рис. 24

дующих соображений. Каждое ребро многогранника является общим
ребром двух его смежных граней. На развертке многогранника каждое
ребро изображается отрезком. Этот отрезок встречается на развертке
либо один раз, либо два. Если на развертке многогранника какое-то
ребро встречается один раз, то отрезок, изображающий это ребро,
является линией сгиба развертки. Если на развертке многогранника
какое-то ребро встречается дважды, то отрезок, изображающий это
ребро, является линией соединения (склеивания) смежных граней
многогранника.

Пусть, например, построена развертка многогранника и требуется
построить развертку его модели. Сделать это можно по следующему
плану:

1.	Выделим линии сгиба развертки.

2.	Выделим линии склеивания смежных граней и дополним разверт-
ку специальными выступами (склейками).

Так, пусть построена развертка пирамиды МАВС (рис. 25). Выде-
лим на ней штриховыми линиями отрезки ЛоВо, В0С0 и CqAq (рис. 26).
Штриховые линии — это линии сгиба развертки.
Отметим, что, например, отрезок М0С0 изображен на развертке
дважды. Он является общим ребром граней М(И40С0 и Л/()В0С0. Значит,
отрезок Л/о(?о является линией соединения смежных граней. Один из
двух отрезков Л/0С0 выделим также штриховой линией (рис. 27) и до-
полним треугольник, стороной которого является этот отрезок,
склейкой. Обычно склейку изображают в виде трапеции, большим
основанием которой является отрезок, изображающий линию соеди-
нения смежных граней. На рисунке 27 склейкой дополнен треуголь-
ник МоЛоСо.

Аналогично на рисунке 27 выделены другие линии соединения (это
отрезки MqBq и МоАо), и треугольники A/oBoCo и дополнены
склейками.

Для непосредственного изготовления модели тетраэдра МАВС сле-
дует сначала согнуть развертку по линиям сгиба и затем склеить мо-
дель (все обозначения и линии построения, имеющиеся на развертке,
должны, таким образом, оказаться внутри модели).

При необходимости взаимное расположение граней в развертке
многогранника можно определенным образом изменять.

Так, если на развертке тетраэдра МАВС (см. рис. 25) повернуть, на-
пример, треугольник MqAqBq вокруг точки Ао до совпадения вершины М{)
треугольника MqAqBq с вершиной М$ треугольника М^А^Со, то мы по-
лучим развертку того же тетраэдра МАВС (рис. 28). Соответственно
изменится и развертка модели этого тетраэдра (рис. 29).

Если на развертке модели тетраэдра МАВС (см. рис. 25) повернуть
ту же грань Л7(>А()В0 вокруг точки В{} до совмещения вершины М{) тре-
угольника М(/10В0 с вершиной Mq треугольника М{}В{}С^ то получится
развертка того же тетраэдра МАВС (рис. 30). Соответственно изменит-
ся и развертка модели этого тетраэдра (рис. 31).
§ 2.	Аксиомы стереометрии и их первые следствия

Основными фигурами плоскости являются точки и прямые. При
этом данная точка может принадлежать (или не принадлежать) данной
прямой.

В пространстве же основными фигурами являются точки, прямые и
плоскости. Эти фигуры не определяются.

Они могут быть различным образом расположены относительно
друг друга. Так данная точка А может принадлежать данной плоскости а,
и может не принадлежать ей. Если точка А принадлежит плоскости а,
то говорят также, что точка А лежит в плоскости а (можно говорить:
лежит на плоскости), или, что плоскость а проходит через точку А.

Аналогично, данная прямая р может иметь (или не иметь) общие
точки с данной плоскостью а. При этом, если прямая р имеет с плоско-
стью а только одну общую точку, то говорят, что прямая р пересекает
плоскость а (или, что плоскость а пересекает прямую р).

Отношения точек, прямых и плоскостей, выраженные в терминах
принадлежности (лежит на, лежит в, проходит через, пересекает по,
пересекает в) нс определяются. Они описываются следующими аксио-
мами принадлежности.

Аксиома 1. Существуют по крайней мере четыре точки, не при-
надлежащие одной плоскости.

Аксиома 2. Если три точки не принадлежат одной прямой, то
через них проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 3. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то
все точки прямой, определяемой ими, лежат в этой плоскости.

Аксиома 4. Если две плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Разумеется, для точек и прямых, принадлежащих любой плоско-
сти пространства, выполняются аксиомы планиметрии. Напомним их.
I. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие
одной прямой.

II.	Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

III.	(Основное свойство точек, принадлежащих одной прямой.) Из трех
точек, принадлежащих одной прямой, одна и только одна лежит
между двумя другими.

IV.	(Основное свойство измерения отрезков.) Каждый отрезок имеет,
определенную длину, выражаемую положительным числом. Длина
отрезка равна сумме длин частей, на которые он разделяется лю-
бой его точкой.

V.	(Основное свойство расположения точек относительно прямой.)

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

VI.	(Основное свойство измерения углов.) Каждый угол имеет опреде-
ленную градусную меру, выражаемую положительным числом.
Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые
он разделяется любым лучом, проходящим между его сторонами.

Основные свойства откладывания отрезков и углов

VII.	На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить
отрезок заданной длины, и притом только один.

VIII.	От любой полупрямой в заданной полуплоскости можно отложить
угол заданной градусной меры, меныией 180°, и притом только один.
IX. (Основное свойство существования треугольника, равного дан-
ному.) Каков бы ни был треугольник, существует равный ему тре-
угольник в заданном расположении относительно данной полу-
прямой.

X. (Основное свойство параллельных прямых.) Через точку, не при-
надлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой,
параллельной данной.
Докажем теперь некоторые следствия из аксиом принадлежности.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую па ней точку проходит
плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть точка В не лежит на прямой т
(рис. 32). Докажем существование плоскости, проходящей через пря-
мую т и точку В. Выберем с этой целью на прямой т какие-нибудь
две точки, например точки Р и Q. Так как точки В, Р и Q не лежат на
одной прямой, то по аксиоме 2*> через них проходит плоскость. Назо-
вем ее а.

Так как две точки Р и Q прямой т лежат в плоскости а, то по аксио-
ме 3 все точки прямой т лежат в плоскости а, т.е. плоскость а проходит
через прямую т и точку В.

Докажем теперь единственность плоскости а. По доказанному плос-
кость а, проходящая через прямую т и точку В, совпадает с плоско-
стью, проходящей через три точки Р, Q и В. А по аксиоме 2 плоскость,
проходящая через эти точки, определяется единственным образом.

Теорема доказана.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плос-
кость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть прямые тх и т2 пересекаются в точке С
(рис. 33). Докажем существование плоскости, проходящей через эти
прямые. Выберем с этой целью, например, на прямой некоторую

*') Все аксиомы и теоремы в учебном пособии пронумерованы, и для удобства
их поиска все они помещены на с. 141 —142 в сводном списке.
точку D. По теореме 1 через прямую т2 и точку D проходит плоскость.
Назовем ее а. Две точки С и D прямой ттгt лежат в плоскости а. Значит,
по аксиоме 3 прямая т{ лежит в плоскости а. Таким образом, плоскость а
проходит и через прямую mif и через прямую т2.

Докажем теперь единственность такой плоскости. По доказанному
плоскость а, проходящая через прямые т\ и т2, совпадает с плоскостью,
проходящей через прямую т2 и точку D. Но по теореме 1 плоскость, про-
ходящая через прямую и не лежащую на ней точку, единственная.

Теорема доказана.

Покажем применение аксиом 1—4 и теорем 1 и 2 при решении про-
стейших позиционных задач.

• Пример 1. На ребре МС пирамиды МАВС (рис. 34) взята точка Сь
а в ее грани МАВ взята точка Р. Построим точку пересечения прямой
С\Р с плоскостью АВС.

Решение (рис. 34). 1) В плоскости МАВ проведем прямую МР и
найдем точку Р' = МР А АВ.

2)	По теореме 2 через пересекающиеся прямые МС} и МР проходит
плоскость МС\Р.

3)	Так как точки С1 и Р принадлежат плоскости МС{Р, то по аксиоме 3
прямая СХР лежит в плоскости МС\Р. Аналогично, прямая СР' принад-
лежит этой плоскости. Построим точку S = С}Р А СР'.

Так как точки С и Р' прямой СР' принадлежат плоскости АВС, и точ-
ка S принадлежит прямой СР', то по аксиоме 3 точка S принадлежит
плоскости АВС. По построению точка 5 принадлежит и прямой С\Р.

Таким образом, точка 5 — это общая точка прямой С{Р и плоскости
АВС, т.е. точка их пересечения.
• Пример 2. Построим линию пересечения плоскости грани МАВ
пирамиды MABCD с плоскостью грани MCD.

Р е ш е н и е (рис. 35). Плоскости МАВ и MCD имеют по условию
общую точку М. Значит, по аксиоме 4 они пересекаются по прямой,
проходящей через точку М. Найдем еще одну общую точку этих плос-
костей. В соответствии с условием прямые АВ и CD лежат в одной
плоскости. Построим точку их пересечения:

F=ABQ CD.

Рис. 35

Точка F принадлежит прямой АВ, две точки которой лежат в плоско-
сти МАВ. Тогда по аксиоме 3 и точка F лежат в плоскости МАВ.

Аналогично заключаем, что точка F лежит и в плоскости MCD. Та-
ким образом, точка F — это вторая общая точка плоскостей МАВ и
MCD. Итак, прямая MF — это искомая линия пересечения плоскостей
МАВ и MCD.

§ 3.	Построение сечений пирамиды

Определения. 1. Плоскость, по обе стороны которой имеются точки
данного выпуклого многогранника, называется секущей плоскостью.

Так, на рисунке 36 плоскость а — секущая плоскость пирамиды
МАВС, а на рисунке 37 плоскость р — секущая плоскость пирамиды
MABCDE.

2.	Множество общих точек секущей плоскости и грани выпуклого
многогранника называется следом секущей плоскости на этой грани.
Так, отрезок (рис. 36) — это след секущей плоскости а на
грани МАВ, а отрезки В\С{ и — следы плоскости а соответственно
па гранях МВС и МАС.

3.	Многоугольник, сторонами которого является совокупность сле-
дов секущей плоскости на гранях выпуклого многогранника, называется
сечением многогранника.

На рисунке 36 сечением пирамиды МАВС плоскостью а является
треугольник А\В\С}.

Определения 2 и 3 распространяются и на невыпуклые многогран-
ники, если никакая грань невыпуклого многогранника не лежит в се-
кущей плоскости. В этом случае в сечении может быть совокупность
двух и более двух многоугольников. Так, на рисунке 37 сечением пира-
миды MABCDE плоскостью Р является совокупность треугольника
53^2 и четырехугольника S^DiC^S^

М

D

Рис. 37
Наиболее распространенным методом построения сечений много-
гранников является метод следов. Он опирается на аксиомы 2, 3 и 4
принадлежности, а также на теоремы 1 и 2.

Пусть секущая плоскость задана тремя точками, не лежащими на
одной прямой. В простейших случаях, когда заданные точки лежат на
ребрах, принадлежащих общей вершине (рис. 38, 39 и 40), построение
сечений понятно из этих рисунков.

Рис. 40

• Пример 3. На ребрах CD, АВ, МВ и МС пирамиды MABCD взяты
соответственно точки Р, Q, В\ и Ср Построим линии пересечения следу-
ющих пар плоскостей:

a) C[BPh B\CQ,

6)BiCQhMAP.

Реше п и е а) (рис. 41, а). Пересечением плоскостей МВС и С}ВР
является прямая ВСЬ проходящая через точки В и Сь — две общие точ-
ки этих плоскостей. Аналогично прямая В{С является линией пересе-
чения плоскостей МВС и B{CQ.

Построим точку X = ВС{ П В{С. Точка X принадлежит и плоскости
С\ВР, и плоскости B\CQ Таким образом, эти плоскости пересекаются
по прямой, проходящей через точку X. Точно так же приходим к выводу,
что точка У= BP A CQ принадлежит и плоскости С{ВР, и плоскости В{ CQ.
Тогда прямая XY является искомой линией пересечения плоскостей
С}ВРиВ{С(2.

Решение б) (рис. 41, б). Построим точку X, в которой пересе-
каются лежащие в плоскости АВС прямые CQ и АР. Точка X, таким
м	м

Рис. 41

образом, принадлежит обеим секущим плоскостям. Аналогично точка Y
принадлежит и плоскости B{CQt и плоскости МАР, т.е. точка Y = B{Q А
МА, Тогда прямая XY — это искомая линия пересечения заданных
плоскостей B{CQ и МАР.

В общем случае построение сечения многогранника методов следов
выполняется, как правило, в два этапа. На первом этапе строят линию
пересечения секущей плоскости с плоскостью основания, т.е. след
секущей плоскости на плоскости основания. Этот след называется
основным следом секущей плоскости.

На втором этапе строят следы секущей плоскости на других гранях
многогранника.

• Пример 4. На ребре МА пирамиды MABCD (рис. 42) взята точка Р,
а в ее гранях MQD и МВС — соответственно точки Q и R. Построим
основной след секущей плоскости а, проходящей через точки Р, Q и R.
Решение. 1) Построим точки Р', (?' и R' — проекции*) соответ-
ственно точек Р, Q и R на плоскость ЛВС из центра М. Ясно, что почка Р'
совпадает с точкой Аи Q' = MQ A CD, Rf = MR А ВС.

2)	Так как прямые МРи MQ пересекаются, то.по теореме 2 через них
проходит плоскость. По теореме 2 этой плоскости принадлежат пря-
мые PQ и P'Q'. Построим точку S\ = PQ A P'Q'.

3)	Так как точка 5^ лежит на прямой PQ, две точки которой принад-
лежат плоскости а, то по аксиоме 3 точка 5t принадлежит плоскости а.
Аналогично заключаем, что точка принадлежит плоскости ЛВС.

Итак, плоскости а и ЛВС имеют общую точку	Тогда но аксиоме 4

эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку

4)	Построим еще одну общую точку плоскостей а и АВС. Например,
точку S2 = PR A P'R'.

5)	Проведем прямую S{S2. Так как точки и S2 этой прямой лежат
в плоскости а, то по аксиоме 3 прямая S{S2 лежит в плоскости а. Анало-
гично приходим к выводу, что прямая S}S2 лежит в плоскости АВС.

Таким образом, прямая S{S2 — это линия пересечения плоскости а
с плоскостью АВС, т.е. она является основным следом плоскости а.

• Пример 5. На ребре МА, а также в гранях MCD и МВС пирамиды
MABCD (рис. 43) взяты соответственно точки Р, Qn R. Построим сече-
ние пирамиды плоскостью а, проходящей через эти точки.

*) Условимся для краткости называть точки Р', Q', R', ... проекциями соответ-
ственно точек Р, Q, R,... на плоскость а' из центра М, если Р' - МР О а/, Q' = MQ А а',
R' = MR А а',.... В рассматриваемом примере плоскостью а'является плоскость ЛВС.
Решение. 1) Построим прямую 5j52 ~ основной след секущей
плоскости а (см. решение примера 4).

2)	Построим теперь линию пересечения плоскости а, например
с плоскостью MAD. Одна общая точка этих плоскостей уже известна.
Это точка Р. Найдем еще одну их общую точку. С этой целью заметим,
что если плоскость а пересекает, например, прямую MD в некоторой
точке V, то точка V' — проекция точки Vна плоскость АВС из центра М—
совпадает с точкой D.

Построим точку 53 = Р'V' П S\S2. Так как точка 53 лежит на прямой
S{S2, а прямая S{S2 лежит в плоскости а, то по аксиоме 3 точка 53 при-
надлежит плоскости а. Также по аксиоме 3 точка 53 принадлежит и
плоскости MAD. Таким образом, плоскость а имеет с плоскостью MAD
две общие точки: Р и 53. Значит, прямая PS3 — это линия пересечения
плоскостей а и A4AD, т.е. след плоскости а на плоскости MAD.

Проведем прямую Р53 и найдем точку V = PS3 П MD. Отрезок PV —
это след плоскости а па грани MAD.

3)	Нетрудно обосновать и дальнейшие построения. (Сделайте это
самостоятельно.) Выполним эти построения. Проведем прямую VQ —
след плоскости а па плоскости MCD и найдем точку С{ = VQ П МС.
Отрезок — след плоскости а па грани MCD.

4)	Аналогично получаем отрезок С{В{ — след плоскости а на грани
МВС и отрезок ВХР — след плоскости а на грани МАВ.

Совокупностью следов плоскости а на гранях пирамиды MABCD
является четырехугольник PVC^B^ — искомое сечение.

•	Пример G. На ребрах МА, МВ, МС и MD пирамиды MABCD
(рис. 44) взяты соответственно точки В1} С{ и D{. Выясним, пересе-
каются ли прямые В|С( иЛД
Решен и е. Непосредственным построением установим, лежат ли
точки Ai, Bi, С{ и Di в одной плоскости. Для этого построим сечение
пирамиды плоскостью а, проходящей, например, через точки Alt и
Q. Найдем точки = A{Bi А АВ, S2 = В}С{ А ВС и проведем прямую

~ основной след плоскости а. Построим далее точку 53 = AD П S\S2,
проведем прямую Л t53, найдем точку £>2 = п и получим четы-
рехугольник A{BiCiD2 — сечение пирамиды плоскостью а.

Точка Di не совпадает с точкой D2, т.е. точка £>t не лежит в плоско-
сти а. Значит, прямые В{ С{ и AXDX не лежат в одной плоскости и, следо-
вательно, не пересекаются.

•	Пример 7. На ребрах МВ, МС и АВ пирамиды MABCD взяты со-
ответственно точки Bi, Ci и Р. Построим точку пересечения прямой С{Р
с плоскостью ЛВ{С.

Решение (рис. 45). 1) Через заданную прямую С{Р и какую-ни-
будь точку плоскости АВ{С, например точку С, проведем вспомога-
тельную плоскость р. Построим сечение пирамиды плоскостью р —
треугольник МСР.

2)	Плоскость АВ{С имеет с плоскостью Р две общие точки: С и
Q = ABi А МР. Значит, прямая CQ— это линия пересечения плоскости
ABiCc плоскостью р.

3)	Прямые С{Р\\ CQ лежат в одной плоскости. Найдем точку их пе-
ресечения X = С{Р П CQ.
Точка X является искомой. Действительно, она лежит на прямой СХР
но построению и так как эта точка лежит на прямой CQ, то она лежит и
в плоскости АВ{С.

• Пример 8. На ребрах МВ, МС и AD пирамиды MABCD взяты
соответственно точки Въ С] и Р. Построим точку пересечения прямой
В}Рс плоскостью €\BD.

Р с in с н и с (рис. 46). 1) Через заданную прямую В{Р и какую-ни-
будь точку плоскости C\BD, например точку Е>, проведем вспомо-
гательную плоскость р. Построим сечение пирамиды плоскостью р.
Получим четырехугольник AB{C2D.

2)	Плоскость р имеет с плоскостью C{BD общую точку D, и, как не-
трудно найти, еще одну общую точку Q = ВС\ П BiC2.

3)	Так как точки D и Q — общие точки плоскостей р и C{BD, то
прямая DQ является линией их пересечения.

4)	Прямые DQ и ВХР лежат в одной плоскости. Найдем точку их
пересечения X = DQ П В}Р.

Нетрудно теперь доказать, что точка X — это искомая точка пересе-
чения прямой В{Р с плоскостью C[BD.
Глава II

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

§ 4. Параллельные прямые

Определение. Две прямые в пространстве называются параллель-
ными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Нетрудно доказать следующую теорему (сделайте это самостоя-
тельно):

Теорема 3. Если две прямые параллельны, то они лежат в одной
плоскости.

Как доказано в планиметрии, через точку, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только
одна.

Следующая теорема утверждает, что этот факт имеет место и в сте-
реометрии.

Теорема 4. Через точку, не лежащую на данной прямой, прохо-
дит прямая, параллельная этой прямой, и притом только одна.

Доказательство (рис. 47). Пусть т — данная прямая и Р —
точка, не лежащая на этой прямой. Через прямую т и точку Р по тео-
реме 1 проходит плоскость и притом только одна. Обозначим ее а.
В плоскости ос через точку Р проведем прямую тЛ || т. Как доказано
в планиметрии, такая прямая т^ существует. Докажем ее единствен-
ность. Допустим, что существует еще некоторая прямая т2, которая
также проходит через точку Р и параллельна прямой т.

Тогда, так как т2 II т, то по теореме 3 через эти прямые проходит
плоскость. Обозначим ее р. Плоскость £ проходит через прямую т и
точку Р. Тогда по теореме 1 плоскость р совпадает с плоскостью а. Это
значит, что прямые т2 и тщ проведены через точку Р, параллельно пря-
мой ;??, в одной плоскости. Так как в соответствии с аксиомой X (из
планиметрии), через точку, не лежащую на данной прямой, проходит
не более одной прямой, параллельной данной, то делаем вывод, что
прямая т2 совпадает с прямой

Итак, теорема доказана.

Замечание. В доказанной теореме утверждается существование прямой,
проходящей через данную точку параллельно данной прямой. Непосредствен-
ное построение такой прямой можно выполнить, например, следующим обра-
зом (рис. 48).

1) На данной прямой т возьмем какие-нибудь две точки, например точки V
и Т. 2) Соединим данную точку Р с точкой V и построим точку О — середину
отрезка PV. 3) Проведем прямую ОТ и построим на ней такую точку R, что
точка О является серединой отрезка TR. 4) Проведем прямую PR. Так как при
таком построении диагонали четырехугольника TPRV делятся в точке их
пересечения пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким
образом, PR || т.

Возможны и другие способы построения прямой, проходящей через дан-
ную точку параллельно данной прямой.

Теорема 5. Если прямая пересекает две параллельные прямые,
то она лежит в плоскости, определяемой этими параллельными
прямыми.

Доказательство (рис. 49). Пусть т, р и q — данные прямые,
причем р || q, т А р = Р и т A q = Q.

Так какр II <у, то по теореме 3 этими прямыми определяется плос-
кость. Обозначим се а. Точка Р лежит на прямой р, прямая р лежит
в плоскости а. Тогда точка Р лежит в плоскости а. Аналогично, точка Q
лежит в плоскости а. По условию точки Р и Q лежат и на прямой т.
Поэтому по аксиоме 3 все точки прямой т лежат в плоскости а, т.е.
прямая т лежит в плоскости а.
Рис. 49

• Пример 9. На ребре МС пирамиды MABCD взята точка С\. Через
точку Л проведем прямую, параллельную прямой C{D.

Решение (рис. 50). Искомая прямая должна лежать в плоскости,
проходящей через данную прямую C{D и данную точку А. Поз тому для
проведения искомой прямой построим сначала сечение пирамиды
плоскостью CXDA. (Основным следом этой плоскости является прямая
AD. Найдем точку 5 = AD П ВС, затем проведем прямую C^S и найдем
точку В{ = CS П МВ. Таким образом, в сечении мы получим четырех-
угольник AB^D.)

Теперь в плоскости сечения через точку А проведем прямую т II DC\
и найдем точку К, в которой прямая т пересекает прямую ВХСХ. Прямая
АК является искомой.
§ 5.	Призма (начальные сведения).
Развертка призмы и ее модель

Многогранник АВСАХВХСЬ поверхность которого состоит из двух
равных плоских треугольников и трех плоских параллелограммов,
как показано на рисунке 51, представляет собой треугольную
призму. Плоские треугольники АВС и А{В^С{ — ее основания, плос-
кие параллелограммы АВВХАЬ ВССХВ{ и АСС{А{ — ее боковые грани,
отрезки ААЬ ВВХ и СС{ — боковые ребра, отрезки АВ, ВС, АС и А^В{,
В\С{, AjCi — стороны ее оснований, точки А, В, С и Bif С^ —
вершины призмы.

Аналогичное представление можно составить о четырехугольной,
пятиугольной и т.д. призме.

Так, многогранник ABCDA\B{C{D{, поверхность которого состоит
из двух равных плоских четырехугольников и четырех плоских па-
раллелограммов, как показано на рисунке 52, является четырехуголь-
ной призмой. Плоские четырехугольники ABCD и A^C^Dt — се
основания, плоские параллелограммы ABB{A\, ВССХВ{, CDD^C{ и
ADDXA{ — ее боковые грани, отрезки ААХ, ВВЬ СС\ и DDt — боковые
ребра и т.д.

D

Рис. 51	Рис. 52

Па рисунках 53 и 54 изображены пятиугольные призмы. Отметим,
что призмы, изображенные на рисунках 51—53, являются выпуклыми,
гак как каждая из них расположена по одну сторону от плоскости любой
своей грани, а призма, изображенная на рисунке 54, — невыпуклая
(ее точки В и D расположены по разные стороны от плоскости грани
АЕЕХАХ).
Рис. 53

Рис. 54

Если разрезать призму АВСА{ВХСЬ например, по ребрам АВ, АС,
AAlf AtBt и XiQ, а затем развернуть, как показано на рисунке 55, ее бо-
ковые грани АВВХАХ и АСС{А{ па плоскость ВССЬ а основания АВС и
A{B\Ci повернуть на эту же плоскость вокруг соответственно прямых
ВС и Й|СЬ то мы получим фигуру, изображенную на рисунке 56.

Она состоит из трех плоских параллелограммов (это боковые грани
призмы) и двух равных плоских треугольников (это основания призмы).

Совокупность этих трех параллелограммов и двух треугольников
является разверткой поверхности призмы или, короче, разверткой
призмы.

При разворачивании граней этой же призмы на плоскость какой-
нибудь другой ее грани взаимное расположение параллелограммов и
треугольников, являющихся гранями призмы, будет отличаться от их
расположения, показанного на рисунке 56.

Па рисунке 57 показана развертка призмы АВСА{В\С\ на плоскость
ее грани ЛССр/Ц, а на рисунке 58 — на плоскость АВС.
2 Геометрия, 10 кл.

33

§ 6.	Построение сечений призмы

Определения секущей плоскости, следа секущей плоскости и сечения
многогранника приведены на с. 20, 21. В простейших случаях, когда точ-
ки Р, Q и R лежат на трех ребрах призмы (или на их продолжениях), име-
ющих общую вершину, построение сечений показано на рисунках 59—65.

Рис. 62

Рис. 63
Нетрудно построить и линию пересечения двух секущих плоско-
стей призмы.

• Пример 10. На ребре ВВХ и на продолжении ребра ВС призмы
ABCDA{B{C{D\ взяты соответственно точки Р и Q (рис. 66). Построим
линию пересечения плоскости а, проходящей через точки В, Ct и D,
с плоскостью р, которая проходит через точки А, Р и Q.

Р е ш е п и е. Для построения линии пересечения плоскостей аир
найдем две общие точки этих плоскостей.

1)	Сечением призмы плоскостью а является треугольник BC\D.

2)	Для построения сечения призмы плоскостью Р найдем точку
С2 = PQ А СС\ и точку Е = AQ A CD. Сечением призмы плоскостью р
является четырехугольник АРС^Е.
3)	Далее находим, что в плоскости грани ВСС{В{ пересекаются пря-
мые BCi и PQ. Найдем точку пересечения этих прямых: X = ВС\ A PQ.
Пересекаются также лежащие в плоскости АВС прямые BD и AQ. Най-
дем точку пересечения этих прямых: Y = BD A AQ.

4)	Итак, X и Y— общие точки плоскостей а и £. Следовательно, пря-
мая XY — искомая линия пересечения этих плоскостей.

Задания для самоконтроля

1)	Постройте на рисунке 66 точку Z = С2Е A QD. Докажите, что
точка Z лежит на прямой XY.

2)	Пересекаются ли прямые DP и ЛС2?

3)	Пересекаются ли прямые АР и C{D?

В общем случае, когда секущая плоскость определяется тремя точ-
ками, не лежащими на ребрах, имеющих общую вершину, построение
сечения выполняют, как правило, в два этапа.

На первом этапе строят основной след секущей плоскости, т.е. ли-
нию пересечения секущей плоскости с плоскостью одного из основа-
ний призмы (обычно нижнего).

На втором этапе строят следы секущей плоскости на плоскостях
других граней и следы се непосредственно па гранях призмы.

Следы секущей плоскости на гранях призмы — это стороны много-
угольника, получающегося в сечении призмы.

Одним из распространенных методов построения сечений призмы
является метод следов. Его применение опирается па аксиомы принад-
лежности и теоремы 1—3 и 5.

Рассмотрим примеры применения метода следов при построении
сечений призмы плоскостью, проходящей через три точки, нс лежащие
на одной прямой.

• Пример 11. На ребре ВВХ призмы ABCDAlBiClD[ взята точка Р,
а в ее грани CDDXC{ взята точка Q. Построим точку пересечения пря-
мой PQc плоскостью ЛВС.

Р е ш е н и е (рис. 67). 1) Построим точки Р' и Q' — проекции точек Р
и Q на плоскость ЛВС*\ (В данном случае точка Р' совпала с точкой В.)

2) Так как РР' || QQ', то по теореме 3 через прямые РР' и QQ' прохо-
дит плоскость. По теореме 5 в этой плоскости лежат прямые PQ и P'Q.
Построим точку 5 = PQ A P'Q'.

*> Условимся для краткости называть точки Р', Q', R',... проекциями соответ-
ственно точек Р, Q R, ... на плоскость а' в направлении, параллельном боковому
ребру призмы, если Р' = РР' A a', Q = QQ' A a', R' = RR' А а',.... В качестве плоскости а'
принимаем плоскость одного из оснований призмы.
Рис. 67

Точка 5 но построению лежит на прямой PQ и прямой P'Q, а прямая
P'Q лежит в плоскости АВС. Таким образом, точка S является общей
точкой прямой PQ и плоскости АВС, т.е. является искомой точкой.

Отметим, что если PQ || P'Q', то прямая PQ и плоскость АВС общих
точек не имеют, т.е. и задача решений не имеет.

• Пример 12. На ребре ВВ} призмы ABCDAXBXC}D} взята точка Р,
а в ее гранях CDDXCX и ADD{A{ взяты соответственно точки Q и R.
Построим на плоскости АВС основной след плоскости а, проходящей
через точки Р, Q и R.

Решение (рис. 68). 1) Построим точки Р', Q' и R' — проекции
соответственно точек Р, Q и R на плоскость АВС.

2)	Для построения линии пересечения плоскостей а и АВС найдем
какие-нибудь две общие точки этих плоскостей. Так как РР' || RR', то
по теореме 3 эти прямые лежат в одной плоскости. Тогда прямые PR и
P'R' также лежат в одной плоскости. Пусть прямые PR и P'R' не парал-
лельны. Построим точку = PR A P'R'.

Так как точка лежит на прямой PR, точки Р и R которой лежат в
плоскости а, то по аксиоме 3 точка Sj лежит в плоскости а. Аналогично
приходим к выводу, что точка лежит в плоскости АВС.

Итак, плоскость а и плоскость АВС имеют общую точку S\. Тогда по
аксиоме 4 они пересекаются по прямой, проходящей через точку

3)	Аналогично в плоскости, определяемой параллельными прямы-
ми РР' и QQ', построим точку S2 = PQ П P'Q'. Точка S2 является общей
точкой плоскостей а и АВС.
Рис. 68

4)	Таким образом, мы построили две общие точки и S2 плоскостей
а и АВС. Тогда по аксиоме 3 прямая S{S2 лежит и в плоскости а, и в
плоскости АВС.

Проведем эту прямую. Она и является основным следом плоскости а,
проходящей через точки Р, Q и R.

Замечание. Если основной след секущей плоскости PQR требуется по-
строить на плоскости верхнего основания призмы, то проекции точек Р, Q и R
следует построить па плоскости А}В{С\.

• Пример 13. В гранях АВВ^Ау ADD{A{ и CDDXCX призмы
ABCDA\B{C\D\ взяты соответственно точки Р, Qи R. Построим сечение
призмы плоскостью а, проходящей через точки Р, Q и R.

Решение (рис. 69). 1) Построим точки Р', (У и R' — проекции
соответственно точек Р, Q и R на плоскость АВС в направлении, парал-
лельном боковому ребру призмы.

2)	Построим точки = PQ A P'Q' и S2 = RQ A R'Q\ а затем прямую
5j52 — основной след секущей плоскости а.

3)	Построим след плоскости о: на гранях призмы. Точка Рявляется
общей точкой плоскостей а и АВВ{. Значит, по аксиоме 4 плоскость а
пересекается с плоскостью АВВ{ по прямой, проходящей через точку Р.
Чтобы построить эту прямую, найдем еще одну общую точку плоско-
стей а и АВВ{. Например точку 53 = АВ A 5t52. Так как точка 53 лежит
на прямой АВ, то она принадлежит плоскости АВВЬ и так как точка 53
лежит на прямой S\S2, то она принадлежит плоскости а. Итак, Р и 53 —
две общие точки плоскостей а и АВВ}. Значит, прямая Р53 — это линия
пересечения плоскостей а и АВВ\. Проведем прямую Р53. Как видно из
Рис. 69

рисунка 69, PS3 А АЛ{ = А2 и PS3 А ВВ\ = В2. Таким образом, отрезок А2В2 —
это след плоскости а на грани АВВХАХ.

4)	Нетрудно заметить теперь, что точки А2 и Q лежат и в плоскости а,
и в плоскости ADDt. Значит, прямая A2Q — это след плоскости а па
плоскости ADDV Как видно из рисунка 69, A2Q A DDX = D2. Следова-
тельно, отрезок A2D2 — след плоскости а на грани ADD.

5)	Построим прямую D2R — след плоскости а на плоскости CDDV
Получим точки С2 = D2R А СС{ и L = D2R A C}D}.

Таким образом, отрезок D2L — это след плоскости а на грани
CDD{CX.

6)	Попятно, что прямая В2С2 является следом плоскости а па плос-
кости ВСС{, а отрезок В2К — это след плоскости а на грани BCC{BV

7)	Отрезок KL — это след плоскости а на грани AiB{C{D{.

Совокупность следов плоскости а на гранях заданной призмы обра-
зует пятиугольник A2D2LKB2 — сечение призмы плоскостью а.

Замечание. Обратите внимание: прямая KL оказалась параллельной
прямой 5|52- Такое расположение прямых KL и S\S2 нс случайно. Закономер-
ность этого факта будет обоснована при изучении свойств параллельных
плоскостей.

• Пример 14. На ребрах AD, СС\ и В{С{ призмы ABCDA]B}C1D]
взяты соответственно точки Е, С2 и Р. Через точку Р проведем прямую,
параллельную прямой ЕС2.

Решение (рис. 70). По определению параллельными прямыми в
пространстве могут быть только такие прямые, которые лежат в одной
плоскости. Поэтому для построения искомой прямой построим сначала
сечение призмы плоскостью а, проходящей через данную прямую ЕС2
и данную точку Р. (Для этого построим сначала точку Р' — проекцию
точки Р на плоскость АВС, затем построим точку = РС2 И Р'С, пря-
мую $\Е — основной след плоскости а и т.д.) В сечении призмы плоско-
стью а получился многоугольник EA2KPC2F.

Теперь в плоскости а проведем через точку Р прямую т II ЕС2. Точку
пересечения прямой т, например со стороной А2К многоугольника,
полученного в сечении, обозначим Q.

Прямая PQ — искомая прямая.

Замечание. В качестве второй точки, необходимой для построения иско-
мой прямой т, вместо точки Q можно взять точку пересечения прямой т с лю-
бой прямой, лежащей в плоскости многоугольника, полученного в сечении.
Например со стороной А2Е, или со стороной С2Г, или с какой-нибудь из прямых
Л2Л А2С2, FK и т.д.

Теорема 6 (признак параллельности прямых). Если две прямые
параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство*) (рис. 71). Пусть b || а и с || а. Докажем, что
тогда b II с.

Случай, когда прямые а, b и с лежат в одной плоскости, рассмотрен
в планиметрии и доказано, что в этом случае теорема имеет место.

Доказательство теоремы 6 приводится в порядке ознакомления.
Рис. 71

Пусть прямые a, h и с не лежат в одной плоскости. Так как по усло-
вию h || а, то по теореме 3 через эти прямые проходит плоскость.
Обозначим ее р. Аналогично через параллельные прямые с и а прохо-
дит плоскость. Обозначим ее у. Возьмем на прямой b некоторую точку В
и проведем через нее и прямую с плоскость yt.

Так как плоскости р и имеют общую точку В, то по аксиоме 4 они
пересекаются по прямой, проходящей через точку В. Предположим,
что эта прямая отлична от прямой Ь. Обозначим ее Ь\. Допустим еще,
что прямая Ь{ пересекает плоскость у. Тогда так как прямая лежит в
плоскости Р и она отлична от прямой 6, то прямая Ьх пересекает пря-
мую а. Вместе с тем прямая Ь{ лежит в плоскости уР Тогда если прямая
Ь{ пересекает прямую с, то по теореме 5 вся прямая лежит в плоско-
сти у. Но прямая Ь} лежит и в плоскости уР Значит, плоскости у и
пересекаются по прямой bv Однако известно, что плоскости у( и у пере-
секаются по прямой с. Таким образом, прямая совпадает с прямой с.
А этот вывод противоречит условию, по которому h и с — различные
прямые.

Полученное противоречие показывает, что предположение о том,
что прямая А| отлична от прямой Ь, ложно.

Таким образом, прямая совпадает с прямой /;, лежит в одной
плоскости с прямой с и не пересекает ее. Это и означает, что b || с.

Покажем, как можно воспользоваться теоремой 6 при построении
прямой, параллельной заданной прямой.

• Пример 15. На ребрах AD и MD пирамиды MABCD взяты соот-
ветственно точки £ и Проведем через точку Dx прямую, параллель-
ную прямой BE.
м

Решение (рис. 72, а). Проведем в плоскости АВС через точку D
прямую DL || BE и соединим точку L с точкой М.

В плоскости MDL через точку проведем прямую т II DL. Найдем
еще точку L} = т A ML. Так как D{LX || DL и BE II DL, то по теореме 6
D\L} || BE. Таким образом, D1£1 — искомая прямая.

Замечание. Приведем для сравнения еще один способ решения этого
примера, связанный с построением сечения, проходящего через данную пря-
мую BE и данную точку Построим сначала сечение пирамиды плоскостью а,
проходящей через данную прямую BE и точку (рис. 72, б).

М

Рис. 72, б

Ясно, что основным следом плоскости а является прямая BE. Найдем точ-
ку S = BE П CD и проведем прямую SD} — след плоскости а на плоскости MCD.
Найдем затем точку = SD] А МС и соединим точку с точкой В.

Таким образом, в сечении пирамиды плоскостью а мы получили четырех-
угольник BEDXCX.

Теперь в плоскости этого четырехугольника (т.е. в плоскости ос) через точ-
ку Dx проведем прямую т || BE. Найдем точку F= т А ВС{. Прямая DJ; (это
прямая т) является искомой.

Решение следующего примера основано также на использовании
теоремы 6.
® Пример 16. На ребрах ААХ, ВХСХ и СД)Х призмы АВСВА&С^
взяты соответственно точки А2, Ех и Fb Проведем через точку Л2 Г1РЯ“
мую, параллельную прямой ЕД\.

Решение (рис. 73). В плоскости АХВХСХ через точку At проведем
прямую || £|Ft и найдем точку L{ = т[ A CXD{. Затем в плоскости
CDD\ через точку Ц проведем прямую LLX || DDX. Так как LLX || DDX и
ААХ || Z)Dj, то по теореме 6 ££1 I ААХ.

По теореме 3 через параллельные прямые LLX и ААt проходит плос-
кость. В этой плоскости проведем через точку Л2 прямую т || т[ и пай-

Рис. 73

дем точку Z2 = т A LLX. Прямая A2L2 и является искомой. Действитель-
но, так какЛ212 II AXLX и ЕД\ || AxLb то по теореме 6 A2L2 || EXFX.

§ 7. Скрещивающиеся прямые

Как уже известно, две прямые в пространстве могут быть пересека-
ющимися и могут быть параллельными. И в первом, и во втором случае
эти прямые лежат в одной плоскости. Для двух прямых в пространстве
есть еще третья возможность их взаимного расположения.

Определение. Дее прямые называются скрещивающимися, если они
не пересекаются и не параллельны.

Теорема 7 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из
двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пере-
секает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то
эти две прямые являются скрещивающимися.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 74). Пусть прямая р лежит в плоскости а,
а 11рямая q пересекает плоскость а в точке С, не лежащей на прямой р. Дока-
жем, что тогда прямые р и q являются скрещивающимися, т.е. что прямыер
и q не пересекаются и не параллельны. Сделаем это методом от противного.
Рис. 74

Предположим, что прямая q пересекает прямую р в некоторой точ-
ке К. Тогда точка К принадлежит прямой р, и, таким образом, две точки
прямой q (С и К) лежат в плоскости а. Значит, но аксиоме 3 прямая q
лежит в плоскости а. Полученный вывод противоречит условию, со-
гласно которому прямая q пересекает плоскость а.

Предположим теперь, что q II р. Тогда по теореме 3 через прямые q
и р проходит некоторая плоскость р. Так как плоскость р проходит че-
рез прямую q, то она проходит и через точку С.

Таким образом, плоскость р проходит через прямую р и точку С. Но
и плоскость а проходит через прямую р и точку С. Тогда по теореме 1
плоскость р совпадает с плоскостью ос, и, следовательно, прямые р и q
лежат в плоскости а. Этот вывод также противоречит условию, соглас-
но которому прямая q пересекает плоскость а.

Итак, прямая q не пересекает прямую р и не параллельна ей. Это
значит, что прямые р и q являются скрещивающимися, что и требова-
лось доказать.

Скрещивающимися прямыми являются, например, прямые АВ и
МС (рис. 75), на которых лежат ребра АВ и МС пирамиды МАВС. Так-
же скрещивающимися являются прямые DC{ и ВХС (рис. 76), прохо-
дящие через диагонали DC] и В]С двух смежных граней призмы
ABCDA]B]C]D],

• Пример 17. На ребрах ААЬ ВВ{,А]С] \\В{СХ призмы АВСА]В{С]
взяты соответственно точки Л2, В2, Р и Q — середины этих ребер. Выяс-
ним взаимное расположение следующих пар прямых:

a) PQ и А2В2; б) А2Р и В2(2; в) АС{ и BQ.

Решение а) (рис. 77, а). Так как точки Р и Q — середины сторон
треугольника то отрезок PQ — средняя линия этого треуголь-
ника. Тогда PQ II /IjBp В четырехугольнике А\А2В2В{ А{А2 = В{В2 и
А]А2 || В]В2. Тогда этот четырехугольник — параллелограмм, и, следо-
вательно, А2В2 || А{В{.

Итак, прямые PQ и А2В2 параллельны прямой А]В}. Тогда по теоре-
ме 6 PQ\\A2B2,

Решение б) (рис. 77, 6). Как доказано в пункте a), PQ || А2В2. Это
значит, что четырехугольник A2B2QP — либо параллелограмм, либо
трапеция. Если этот четырехугольник параллелограмм, то PQ = А2В2.
Однако это не так (PQ = 1/2 А{В],'л А2В2 = A]Bt). Таким образом, четы-
рехугольник A2B2QP — трапеция, и отрезки А2Р и B2Q — ее боковые
стороны.

Итак, прямые А2Р и B2Q лежат в одной плоскости и не параллельны.
Значит, А2Р A B2Q.

Решение в) (рис. 77, в). Построим сечение призмы плоскостью,
проходящей через точку, взятую на одной из данных прямых, и другую
прямую, например через точку В и прямую АС].

В сечении получим треугольник АВС]. Точка Q не лежит в плоско-
сти АВС], и, следовательно, прямая BQ не лежит в плоскости АВС{.

“)	б)

Рис. 77
Рис. 77, в

Таким образом, прямые АС{ и BQ не лежат в одной плоскости и поэто-
му они не пересекаются и не параллельны, т.с. являются скрещиваю-
щимися прямыми.

§ 8. Параллельные прямая и плоскость

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными,
если они не имеют общих точек.

Теорема 8 (признак параллельности прямой и плоскости). Если
прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь
прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной
плоскости.

Доказательство (рис. 78). Пусть прямая р не лежит в плоско-
сти а, а прямая q лежит в ней, и при этом р || q. Докажем, что тогда р || а.

Сделаем это методом от противного. Предположим, что прямая р
пересекает плоскость а. Обозначим точку их пересечения буквой 5.
Так как р II q, то по теореме 3 через эти прямые проходит плоскость.
Назовем ее р.

Точка 5 лежит на прямой р, а прямая р лежит в плоскости р. Значит,
точка 5 лежит в плоскости р. Итак, точка S лежит и в плоскости р, и в
плоскости а. Следовательно, по аксиоме 4 плоскости а и Р пересекают-
ся по прямой, проходящей через точку 5. Но линией пересечения плос-
костей аир является прямая q. Таким образом, точка 5 лежит на пря-
мой q. Итак, из предположения, что прямая р пересекает плоскость а,
последовал вывод, что точка S лежит и на прямой р, и на прямой q,
т.е. что прямые р и q пересекаются. Полученный результат противоре-
чит условию теоремы, согласно которому;? II q. Значит, предположение
о том, что прямая р пересекает плоскость а, неверно. Остается принять
заключение, что р || а.

Проиллюстрируем результат теоремы 8 на примерах.

1.	Прямая, проходящая через боковое ребро призмы, параллельна
плоскости той грани призмы, которой это ребро не принадлежит. На-
пример, прямая ССЬ проходящая через ребро СС{ призмы АВСА{В{С{
(рис. 79) параллельна прямой AAt. Поэтому прямая CCt параллельна
плоскости грани

2.	Если на ребрах АВ и МВ тетраэдра МАВС (рис. 80) взяты соответ-
ственно точки Р и В{ — середины этих ребер, то прямая МА параллельна
любой секущей плоскости тетраэдра, проходящей через прямую РВХ.
Действительно, отрезок РВХ — это средняя линия треугольника МАВ,
т.е. МА || РВХ и, следовательно, по теореме 8 прямая МА параллельна
плоскости PBXCXQ.

Теорема 9 (обратная теореме 8). Если данная прямая параллель-
на некоторой плоскости и через эту прямую проходит другая плос-
кость, пересекающая первую, то линия пересечения этих плоско-
стей параллельна данной прямой.

Д оказатсльство (рис. 81). Пусть прямая р параллельна плос-
кости а, плоскость р проходит через прямую/? и пересекает плоскость а
по прямой q. Докажем, что q || р.

Так как прямые q и р лежат в одной плоскости, то они либо пересе-
каются, либо параллельны. Предположим, что они пересекаются.

Обозначим точку пересечения прямых q и р буквой 5. Точка S ле-
жит па прямой q, а прямая q лежит в плоскости а. Тогда точка 5 являет-
ся общей точкой прямой р и плоскости а. Другими словами, прямая р
пересекает плоскость а. Однако по условию р || а. Полученное противо-
речие означает, что предположение о пересечении прямых qv.p ложно.
Таким образом, имеет место только вторая возможность взаимного
расположения прямых q и р. А именно q || р.

• Пример 18. На ребрах АС и ВС пирамиды МАВС взяты соответ-
ственно точки Р и Q. Построим сечение пирамиды плоскостью а, про-
ходящей через прямую PQ параллельно прямой МС.

Решение (рис. 82, а). 1) Ясно, что отрезок PQ является следом
плоскости а па грани АВС.

Рис. 82, а

2)	Так как плоскость а имеет с плоскостью МАС общую точку Р, то
по аксиоме 4 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через
точку Р.

Известно также, что прямая МС параллельна плоскости а, и плос-
кость МАС, проходящая через прямую МС, пересекает плоскость а.
Тогда но теореме 9 линия пересечения плоскостей а и МАС параллель-
на прямой МС.

Итак, проведем в плоскости МАС через точку Р прямую, параллель-
ную прямой МС. Точку пересечения проведенной прямой с прямой МА
обозначим Ар

3)	Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что плоскость а пере-
секает плоскость МВС по прямой, проходящей через точку Q парал-
лельно прямой МС. Проведем эту прямую. Точку пересечения ее с пря-
мой МВ обозначим В{.

4)	Точки Ai и В{ принадлежат и плоскости а, и плоскости МАВ.
Следовательно, прямая AjBj является линией пересечения этих плос-
костей.

Таким образом, мы получили четырехугольник PQBxAx. Нетрудно
доказать, что его вершины лежат в одной плоскости. Действительно,
по построению РАХ || МС и QBX || МС. Значит, по теореме 6 РАХ || QBX и
тогда прямые и QB{ лежат в одной плоскости, т.е. и вершины четы-
рехугольника PQBiA[ лежат в одной плоскости.

Итак, четырехугольник PQBXA{ — это искомое сечение пирамиды
плоскостью (X.

Замечание. Построив точку В{ с помощью теоремы 9, дальнейшее
построение сечения можно было выполнить методом следов (рис. 82, 6)
(PQ П АВ = 5, SBX А МА = и т.д.).

А

Рис. 82, б

• Пример 19. На ребре ССХ призмы ABCDA[B[CXD[ взята точка С2.
Построим сечение призмы плоскостью а, проходящей через прямую
АС) параллельно прямой BD.

Решение (рис. 83). Так как точка А лежит в плоскости АВС и в
секущей плоскости а, то по аксиоме 4 эти плоскости пересекаются по
прямой, проходящей через точку А. Вместе с тем так как плоскость

Рис. 83
АВС проходит через прямую BD, параллельную плоскости а, и пересе-
кает ее, то по теореме 9 линия пересечения этих плоскостей параллель-
на прямой BD.

Итак, в плоскости АВС через точку А проведем прямую р II BD. Пря-
мая р — это основной след плоскости а.

Таким образом, секущая плоскость а проходит через пересекающие-
ся прямые АС2 и р. Пусть CD А р = Так как точки С2 и 5t лежат и в
плоскости CDDX, и в секущей плоскости а, то прямая C2S{ — это линия
пересечения плоскостей CDDX и а. Проведем эту прямую и найдем точ-
ку D2 = С251 C\DD\.

Аналогично найдем точку 52 = ВС При затем точку В2 = C2S2 А ВВХ.

Соединим теперь точки D2 и В2 с точкой А. Итак, в сечении призмы
заданной плоскостью а получился четырехугольник AB2C2D2.

§ 9. Параллельные плоскости

Определение. Дее плоскости называются параллельными, если
они не пересекаются.

Следуя этому определению, совпадающие плоскости мы не считаем
параллельными.

Теорема 10 (первый признак параллельности плоскостей). Если
две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости
параллельны.

Доказательство (рис. 84). Пусть прямые р{ и qx лежат в плос-
кости cq и пересекаются в точке М, а прямыер2 и q2 лежат в плоскости а2.
И пустьр21| pif q2 || qt. Докажем, что тогда а21| аР Сделаем это методом
от противного. Предположим, что плоскости а! и а2 пересекаются. По-
кажем, что это предположение приводит к противоречию с условием
теоремы. Обозначим прямую, по которой плоскости cq и а2 пересека-
ются, буквой с.

Ясно, что так как || р2, то по теореме 8 прямая рх параллельна
плоскости а2. Далее, так как плоскость aj проходит через прямую р{,
параллельную плоскости а2, и пересекает плоскость а2, но предполо-
жению, по прямой с, то по теореме 9 с || р{. Точно так же по теоремам 8
и 9 с || ср.

Итак,/?! II с и qx || с. Тогда по теореме 6 р{ II ср. Но этот вывод проти-
воречит условию теоремы, согласно которому прямые рх и ср пересе-
каются.

Таким образом, сделанное предположение привело к противоречию
с условием; это значит, что оно неверно. Следовательно, верно утверж-
дение теоремы о том, что плоскости и а2 параллельны.

Рассмотрим примеры использования теоремы 10.

• Пример 20. На ребрах АС, ВС и МС пирамиды МАВС взяты соот-
ветственно точки Р, Q и С[ — середины этих ребер. Докажем, что плос-
кость C\PQ параллельна плоскости МАВ.

Доказательство (рис. 85). Так как точки С{ и Р — середины
соответственно сторон МС и АС треугольника МАС, то отрезок С}Р —
средняя линия треугольника МАС. Тогда С{Р || МА. Аналогично в тре-
угольнике МВСотрезок CjQявляется средней линией, т.е. CtQ || МВ.

Рис. 85

Таким образом, две пересекающиеся прямые С\Р и C{Q плоскости
C\PQ параллельны соответственно прямым МА и МВ плоскости МАВ.

Тогда по теореме 10 плоскость C{PQ параллельна плоскости МАВ.

• Пример 21. На ребрах МВ и АВ пирамиды МАВС взяты соответ-
ственно точки Р и Q, а на ее ребре МС взята точка Построим сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через точку параллельно плос-
кости CPQ.

Решение (рис. 86). В плоскости, проходящей через прямую СР и
точку С{, т.е. в плоскости МВС, через точку проведем прямую || СР.
Пусть пц А МВ = Затем в плоскости, проходящей через прямую CQ
и точку М, т.е. в плоскости MCQ, через точку С} проведем прямую
т2 II CQ. Пусть т2 A MQ=

М

А

Рис. 86

Через пересекающиеся прямые и CXQ\ по теореме 2 проходит
плоскость. Она проходит через данную точку С\, и по теореме 10 опа
параллельна плоскости CPQ. Построим сечение пирамиды этой плос-
костью CjBjQi. Для этого находим точку = ВXQ{ А МА, и соединяем
точку Л । с точкой

Треугольник А{В{С{ — искомое сечение.

Теорема И (свойство параллельных плоскостей). Если две
плоскости параллельны, то и линии их пересечения третьей плос-
костью параллельны.

Доказательство (рис. 87). Пусть плоскость (Х| параллельна
плоскости а2, и плоскость [3 пересекает их соответственно по прямым
и р2. Докажем, что рх || р2.

Прямые р\ и р2 лежат в одной плоскости (в плоскости р), поэтому
есть только две возможности их взаимного расположения: они либо
параллельны, либо пересекаются. Предположим, что р} А р2. Тогда
точка их пересечения лежит и в плоскости аь и в плоскости а2, и, зна-
чит, плоскости «| и а2 пересекаются. Этот вывод противоречит усло-
вию теоремы. Итак, предположение, что/?] Ар2, привело пас к противо-
речию. Тогда для прямых и р2 остается только первая возможность:
Р\ II Рг-

Теорема 12 (второй признак параллельности плоскостей). Две
плоскости, параллельные третьей, параллельны.

Доказательство (рис. 88). Пусть oq, а2 и у — такие плоскости,
что oq II у и а2 II у. Докажем, что тогда oq II а2.

Пусть некоторая прямая с пересекает плоскости oq, а2 и у. Проведем
через прямую с плоскость Плоскость pj пересекает плоскости oq, а2
и у соответственно по прямым р2 и тщ. Тогда по теореме llpj II и
р2 || тЛ. Следовательно, по теореме 6р{ II р2.

Аналогично, проведем через прямую с плоскость р2. Плоскость р2
пересекает плоскости oq, а2 и у соответственно но прямым qb q2 и т2.
По теореме 6 qx || q2.

Таким образом, две пересекающиеся прямые плоскости oq (/q и <?|)
параллельны двум прямым (р2 и q2) плоскости а2. Это значит, что по
теореме 10 плоскости oq и а2 параллельны.

Рассмотрим примеры использования теорем И и 12.

• Пример 22. На ребрах АВ, ВС и МВ пирамиды MABCD взяты
соответственно точки Р, Q и R. Построим сечения пирамиды следую-
щими плоскостями, параллельными плоскости PQR\

а)	плоскостью oq, проходящей через точку К, взятую на ребре АВ;

б)	плоскостью ос2, проходящей через точку L, взятую на ребре MD.
Рис. 88

Решение а) (рис. 89). 1) Так как плоскость otj и плоскость МАВ
имеют общую точку К, то по аксиоме 4 они пересекаются по прямой,
проходящей через точку К.

Так как далее плоскость cq параллельна плоскости PQR, то по тео-
реме И эти плоскости пересекаются плоскостью МАВ по параллель-
ным прямым. Следуя этому выводу, в плоскости МАВ через точку К
проведем прямую KR{ || PR. Отрезок KR{ этой прямой является следом
плоскости oq на грани МАВ.

2)	Рассуждая аналогично, проводим в плоскости АВС через точку К
прямую KQ\ || PQ. Отрезок KQ} — это след плоскости cCf на грани
ABCD.

3)	Соединим затем точку R{ с точкой Получим отрезок R\Q{ —
след плоскости ocj на грани МВС (понятно, что по теореме 11 R} Qx || RQ).

В результате получаем треугольник KR^Qt — искомое сечение.
Решение б) (рис. 90). Следы плоскости PQR лежат в гранях
пирамиды, пи одна из которых не содержит точку L. Таким образом,
построить сечение пирамиды плоскостью а2, подобно тому, как это
сделано в пункте а), не удается.

Поступим следующим образом. Сначала построим вспомогатель-
ное сечение пирамиды плоскостью £, параллельной плоскости PQR и
пересекающей либо грань MAD, либо грань MCD (обе эти грани содер-
жат точку L).

Например, построим сечение пирамиды плоскостью [3, проходящей
через точку N, взятую на ребре AD (точка N лежит в плоскости MAD,
в которой лежит и точка L, и в плоскости АВС, по которой проходит
след PR плоскости PQR).

Построение сечения пирамиды плоскостью [3 выполним в следую-
щем порядке:

1) N5, II PQ,

2)SXB{ || Q/?i;
3)	В,Л1 II PR;

4)	S2 = NSX П CD\

5)	C, = 5,В, A MC;

6)S2ClnAiN.

Пятиугольник №41B1Cl52 — искомое вспомогательное сечение.

Теперь построим сечение пирамиды непосредственно плоскостью а2,
проходящей через точку L. Сделаем это следующим образом:

1)М21| NA{;

2)£С2|| 52Ci;

3)	А2В2 II АХВХ;

4)	В2С2.

Так как по построению плоскость а2 параллельна плоскости £ и
плоскость PQR параллельна плоскости р, то по теореме 12 плоскость а2
параллельна плоскости PQR.

Таким образом, четырехугольник LA2B2C2 — искомое сечение.

Вернемся к примеру 15 (с. 42). Чтобы через точку Dx провести пря-
мую, параллельную прямой В£, можно поступить следующим образом
(рис. 91).

1)	Построим сечение пирамиды плоскостью у, проходящей через
точку параллельно плоскости BAD (для этого построения восполь-
зуемся признаком параллельности плоскостей, сформулированным в
теореме 10). Получаем четырехугольник

2)	Затем построим сечение пирамиды плоскостью МВБ и построим
прямую ВХЕ{ — линию пересечения плоскостей МВБ и DXA{BX. Соглас-
но свойству параллельных плоскостей (теорема И) B]El || BE.

3)	Далее в плоскости D{AXBX через точку Dx проведем прямую т || В{ЕХ.
Пусть т А В{С{ = F. Прямая D{F — искомая прямая. (Действительно,
так как DXF || ВХЕХ и BE || ВХЕЬ то по теореме 6 DXF || BE.)
• Пример 23. На ребрах CD, ВС и ССХ призмы ABCDAXB{CXD{ взя-
ты соответственно точки Р, Q и R. Построим сечения призмы следую-
щими плоскостями, параллельными плоскости PQR'-

а)	плоскостью at, проходящей через точку К, взятую на ребре AD;

б)	плоскостью а2, проходящей через точку А2, взятую на ребре AAj.

Рис. 92

Решение а) (рис. 92). Приведем план построения:

1)	<71 е Qi. <71 II

2)	St = qt П CD, S2 = q{K AD;

3)	qt e Qi, qi II QR<

4)	E{ = q2 П BiCf, C2 = q2V\ CCt;

5)	C2Si,

6)	Ft = C25j П QF»!, D2 = C2St П DDt

7)	D2S2.

Пятиугольник S2Q\E\F{D2 — искомое сечение.

Решение б) (рис. 93). Построим сначала вспомогательное сече-
ние призмы плоскостью Р, проходящей через какую-нибудь общую
точку двух плоскостей: плоскости, в которой лежит точка £, и плоско-
сти, в которой проходит один из следов плоскости PQR.

Например, построим сечение призмы плоскостью Р, проходящей
через точку В (точка В лежит в плоскости А}АВ, в которой лежит и
точка L, а также в плоскости АВС, в которой проходит след PQ плоско-
сти PQR). Построение сечения призмы плоскостью Р можно выпол-
нить в следующем порядке:

1)	BS, II PQ;

2)	ВС2 || QR-,

3)	С95р
Рис. 93

4)	BS{ п AD = S2, BC2 A CCi = £b C2Sl A = ft и C2S{ A DD{ = D2\

5)	D252;

6)	F^.

Пятиугольник BF{E\D2S2 — искомое вспомогательное сечение.

Теперь построим сечение призмы непосредственно плоскостью а2,
проходящей через точку Л2 параллельно плоскости р. Сделаем это сле-
дующим образом:

1)	Л2У|| ад;

2)	УТ || F&;

3)	тв2 II вс2,

4)	В2 /12.

Так как плоскость а2 параллельна плоскости р и плоскость PQR па-
раллельна плоскости р, то по теореме 12 плоскость а2 параллельна
плоскости PQR.

Таким образом, четырехугольник А2УГВ2 — искомое сечение.
Глава III

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

§ 10. Угол между скрещивающимися прямыми

Путь р{ и q{ — пересекающиеся прямые. По теореме 2 они лежат
в одной плоскости. Ясно, что прямые р\ и q{ образуют четыре угла,
меньших 180°. Если один из них равен (р, то вертикальный с ним угол
также равен ср, а два оставшихся угла равны тогда каждый но 180° - <р.

Если <р < 180° — <р, то угол <р считается углом между этими пере-
секающимися прямыми рх и б/р Из неравенства (р < 180° - (р следует,
что (р < 90°.

В целях общности рассуждений считают, что параллельные прямые
также образуют угол, и этот угол равен 0°. Таким образом, если (р — это
угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, то 0° < ср < 90°.

Пусть теперьр и q — скрещивающиеся прямые (рис. 94, а). Выберем
в пространстве некоторую точку V. Проведем через нее прямые/^ || р
и q{ II q.

Угол между скрещивающимися прямыми р и q считается равным
углу между параллельными им пересекающимися прямыми р{ и qx.
(Понятно, что если точку Vвзять на одной из прямых;? или q, например
на р, то для построения угла, равного углу между скрещивающимися
прямыми и б?!, следует провести через точку Столько прямую q{ || q.)
Отметим, что так как скрещивающиеся прямые р и q по определе-
нию не являются параллельными, то и прямые р{ и qx не параллельны,
т.е. <р Ф 0°, и, таким образом, если (р — это угол между скрещивающими-
ся прямыми, то 0° < <р < 90°.

Докажем, что от выбора пересекающихся прямых, параллельных
данным скрещивающимся прямым, угол между этими скрещивающи-
мися прямыми не зависит.

Действительно, пустьр и q — данные скрещивающиеся прямые,Р\ и
q{ — пересекающиеся прямые, параллельные соответственно прямым р
и q, а также р2 и q2 — пересекающиеся прямые, параллельные соответ-
ственно прямым р и q. Пусть q{) = <р1? a Z(p2, q%) = Ф2-

Так какр{ II р и р21| р, то по теореме 6 рх II р2. Аналогично, по теореме 6
q{ || q2. Поэтому плоскость а1? которая проходит через пересекающиеся
прямые р\ и qb либо совпадает с плоскостью а2, проходящей через пе-
ресекающиеся прямые р2 и q2t либо СЦ || а2.

Если плоскость совпадает с плоскостью а2 (рис 94, б), то
<Pi = (Pi. Qz) и ф2 = Z (plt q2\ т.е. cpt = <р2.

Если 0Ц || а2, то отложим, как показано на рисунке 94, в, от точек
=Р\ A q{ и ()2 = р2 A q2 соответственно равные отрезки OtAj = О2А2,
а также равные отрезки = О2В2.

Так как по построению OtAj = О2А2, и 031 || О2А2, то четырехуголь-
ник О1А|А2О2 — параллелограмм, и, следовательно, А{А2 II О{О2 и
А{А2 = 0{02. Аналогично доказывается, что В{В2 || ОГО2 и В{В2 = О^О2.
Таким образом, А{А21| В^В2 и Л|Л2 = ВХВ2, и, значит, четырехугольник
Л|В1В2Л2 — параллелограмм, т.е. = А2В2,

Итак, ДОЗА = АО2А2В2 (по трем сторонам). Поэтому ZA^Bj =
= ZA2O2B2, или ф! = (р2-

Покажем примеры построения угла между данными скрещиваю-
щимися прямыми.
Рис. 94, в

•	Пример 24. На ребре МС тетраэдра МАВС взята точка
Построим угол между скрещивающимися прямыми МА и С}В,

Решение (рис. 95, а). Выберем в качестве точки, через которую
проведем затем прямые, параллельные скрещивающимся прямым МА
и С{В, например, точку Одна нужная прямая тогда уже проведена.
Это прямая С{В. Для проведения второй прямой нужна плоскость, про-
ходящая через прямую МА и точку Такая плоскость на рисунке 95, а
уже проведена. Это плоскость МАС. Итак, в плоскости МАС через точ-
ку С} проведем прямую т || МА. Угол между скрещивающимися прямы-
ми т и С^В при таком способе построения равен углу между пересекаю-
щимися прямыми МА и С{В. (Вместо прямой т можно указать прямую
C{D, где D = т А АС.)

Покажем способ построения угла между теми же скрещивающими-
ся прямыми МА и С{В при другом выборе точки, через которую будут
проведены прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым.

Выберем, например, точку М (рис. 95, б). Прямую, параллельную
прямой МА, тогда проводить не требуется. Для проведения прямой,
параллельной СХВ, заметим, что плоскость, в которой требуется прове-
сти эту параллельную прямую на рисунке 95, б, уже есть. Это плоскость
МВС. Итак, в плоскости МВС через точку М проведем прямую k || С{В.
Угол между скрещивающимися прямыми МА и k при таком способе
построения равен углу между пересекающимися прямыми МА и С\В.
(Вместо прямой k можно указать прямую ME, где Е = k А ВС.)

Рис. 95, б

Попятно, что существует сколь угодно много способов выбора точ-
ки, через которую затем проводятся прямые, параллельные данным
скрещивающимся прямым. Этот выбор делают, исходя из соображе-
ний рациональности построений (и, быть может, последующей вычис-
лительной работы) и наглядности.

•	Пример 25. Многогранник ABCDA{B{C{D{ — призма. Построим
углы между скрещивающимися прямыми:

а) АВ\ и DCX; 6) AD} и DC{.
Решение а) (рис. 96, а). В качестве точки, через которую проведем
прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым АВ{ и DCif
выберем, например, точку D. Одна нужная прямая тогда уже проведена.
Это прямая DC]. Для проведения через точку D прямой, параллельной
прямой АВЪ проведем через прямую DC] и точку А, взятую на прямой
АВ{, плоскость а. В сечении призмы плоскостью а получаем четыреху-
гольник AB2C{D. Теперь в плоскости а через какую-нибудь точку прямой
например через точку D], проведем прямую г || АВ]. Угол между
скрещивающимися прямыми АВ] и DC] равен углу между пересекающи-
мися прямыми г и DC] (т.е. между прямыми DC] и DF, где F= гП 5Cj).

Решение б) (рис. 96, б). В качестве точки, через которую про-
ведем прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым AD]
и DC], удобно взять какую-нибудь точку на ребре DDX. Например точ-
ку D2. (При таком выборе точки D2 для построения прямых, парал-
лельных данным скрещивающимся прямым, на нашем рисунке уже
проведены плоскости ADD] и CDD].)

Итак, в плоскости ADD{ через точку D2 проведем прямую t1| AD, и в
плоскости CDD] через точку D2 проведем прямую v || DCX. Угол между
скрещивающимися прямыми AD] и DC] равен углу между пересекаю-
щимися прямыми t и v, (Вместо прямых t и v можно указать прямые
D2E и D2K, где Е = t П AD, К = v П C{D].)

3 Геометрия, 10 кл.

65
Рис. 96, б

§	11. Перпендикулярные прямые

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если
угол между ними равен 90°.

Теорема 13. Если одна из двух параллельных прямых перпенди-
кулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна ей.

Доказательство (рис. 97). Пусть q II р ир ± т. Докажем, что
тогда и q ± т. Для доказательства выполним следующие построения.
Через какую-нибудь точку V проведем прямые р{ || р и II т. (Чтобы
не перегружать рисунок, мы не показали на нем плоскость, проходящую
через прямую/? и точку V. В этой плоскости проведена прямаяр} || р.
Не показана также плоскость, необходимая для проведения прямой
т 1 || т.) Угол между прямыми р и т равен углу между параллельными
им прямымир{ и Таким образом,/?! ±

Так как далее q || р м.р{ II /?, то по теореме 6 р{ II q. Это значит, что угол
между прямыми q и равен углу между прямыми р{ и т.е. q ±

Осталось заметить, что так как т || т{, то угол между прямыми q и т
равен углу между параллельными им прямыми q и тх, т.е. равен 90°.
Теорема доказана.
q

р

§12	. Перпендикулярные прямая и плоскость

Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости,
если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.

(Если прямая перпендикулярна плоскости, то говорят также, что
плоскость перпендикулярна прямой.)

Теорема 14. Если одна из двух параллельных прямых перпенди-
кулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна ей.

Доказательство (рис. 98). Пусть q || р и р ± ос. Докажем, что
тогда и q ± а. Для доказательства проведем в плоскости а какую-ни-
будь прямую, например т.

Так как р ± а, то прямая р перпендикулярна каждой прямой плос-
кости а, и, в частности, р ± т. Тогда по теореме 13 и q ± т. Итак, какую
бы прямую мы ни провели в плоскости а, прямая q ей перпендикуляр-
на. Это значит, что q ± а, т.е. теорема доказана.

Теорема 15 (обратная теореме 14). Если две прямые перпенди-
кулярны плоскости, то они параллельны.

Доказательство (рис. 99). Пусть р ± а и q ± а. Докажем, что
тогда q II р. Сделаем это методом от противного. А именно допустим,
что прямая q не параллельна прямой р.
Рис. 98

Возьмем тогда на прямой q какую-нибудь точку, например точку М.
Проведем через точку М прямую р{ || р. Так как р{ II р и р ± а, то по
теореме 14 р{ ± а. Прямыер{ и q пересекаются (в точке М). Тогда по
теореме 2 через эти прямые проходит плоскость. Обозначим ее р.

Пусть прямые р} и q пересекают плоскость ос соответственно в точ-
ках Ли В. Понятно, что точки Ап В принадлежат обеим плоскостям а
и р. Поэтому прямая АВ является линией пересечения плоскостей а и р.
Известно также (по условию), что q ± а. Тогда по определению пер-
пендикулярности прямой и плоскости q ± АВ.

Так как || р и р ± а, то по теореме 14 р{ ± а, следовательно, р{ ± АВ.
Таким образом, через точку М проведены две различные прямые, пер-
пендикулярные прямой АВ. Этот вывод противоречит известной из
планиметрии теореме о единственности перпендикуляра к данной
прямой, проходящего через данную точку. Полученное противоречие
означает, что сделанное предположение о непараллельности прямых q
и р неверно. Итак, q || р, что и требовалось доказать.

Теорема 16. Если прямая перпендикулярна двум пересекающим-
ся прямым, то она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в
плоскости, определяемой этими пересекающимися прямыми.

Доказательство. Пусть прямая р перпендикулярна прямым
тЛ и т2, пересекающимся в точке С, и а — плоскость, которая проходит
через эти прямые. Возможны два случая взаимного расположения точ-
ки С и прямой р.

1.	Прямая р проходит через точку С (рис. 100, а).

2.	Прямая р не проходит через точку С (рис. 100, 6).

Рассмотрим эти случаи.

Случай 1 (рис. 100, в). Проведем в плоскости а какую-нибудь пря-
мую q, не проходящую через точку С и отличную от прямых т{ и т2.
Докажем, что р ± q.

Для доказательства этого утверждения выполним некоторые по-
строения. В плоскости а через точку С проведем прямую q{ || q\ на пря-
мой р возьмем по разные стороны от плоскости а точки Л и В такие, что
Рис. 100, в

АС = ВС; на прямых тх и т2 возьмем соответственно точки Мх и М2 и
проведем прямую М}М2; построим точку Q = М{М2 П q и соединим точ-
ки М2 и 2 с точками Л и В. Пусть для определенности точка Q ле-
жит между точками М{ и М2, как показано на рисунке 100, в.

Перейдем теперь непосредственно к доказательству требуемого
утверждения, т.е. того, что р ± q. По построению прямые тх и т2 —
срединные перпендикуляры отрезка АВ. Это значит, что АМ{ = ВМХ и
АМ2 = ВМ2. Тогда А АМХМ2 = А ВМ{М2 (по трем сторонам), и, следова-
тельно, Z АМ,М2 = Z ВМХМ2.

Перейдем теперь к треугольникам АМХ Q и BMt Q. Ясно, что они рав-
ны, так как у них АМХ = ВМЬ сторона Мх Q — общая и Z АМ{ Q = Z ВМt Q

Из равенства этих треугольников следует, что медиана CQ тре-
угольника ABQ является и его высотой, т.е. qx -L р> Но по построению
qx || q. Тогда по теореме 13 и р ± q.

Случай 2 (рис. 100, г). Проведем через точку С прямую р{ || р. Так как
по теореме 13 рх ± тх i&px ± т2, то, как доказано в случае 1, рх ± q.

Таким образом,;? || ир^ ± q. Следовательно,.снова по теореме 13
Р

Рис. W0, г

Замена в и с. Обратите внимание, прямая р пересекает плоскость а не
обязательно в точке пересечения прямых тх и т2.

Нетрудно доказать такие следствия из теоремы 16 (сделайте это
самостоятельно).

Следствие 1 (признак перпендикулярности прямой и плоскости).
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, то
она перпендикулярна плоскости, определяемой этими пересекаю-
щимися прямыми.

Следствие 2. Если данная прямая перпендикулярна плоскости,
то любая прямая этой плоскости перпендикулярна данной пря-
мой.
Глава IV

МНОГОГРАННИКИ

§ 13. Пирамида (продолжение)

В § 1 было дано описание многогранника, являющегося пирамидой.
Дадим теперь определение пирамиды и другие нужные для дальней-
шего определения.

Определения. 1. Пирамидой называется многогранник, который
состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки,
не лежащей в плоскости основания — вершины пирамиды, и всех отрез-
ков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основа-
ния, называются боковыми ребрами; треугольники, основанием каж-
дого из которых является одна из сторон основания пирамиды, а боко-
выми сторонами — прилегающие к ней боковые ребра пирамиды, назы-
ваются боковыми гранями.

На рисунке 101 изображена пирамида MABCDE. Плоский много-
угольник ABCDE — ее основание; отрезок MV соединяет вершину М
пирамиды с точкой V основания; отрезки МА, МВ,... — боковые ребра;
треугольники МАВ, МВС,... — боковые грани пирамиды.

М

Е
2.	Пирамида называется п-уголъной, если ее основание — п-угольник.
Пирамида, изображенная на рисунке 101, пятиугольная.

3.	Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из
вершины пирамиды на плоскость основания.

4.	Пирамида называется правильной, если ее основанием является
правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром
этого многоугольника (т.е. с центром вписанной и описанной окруж-
ностей этого многоугольника).

5.	Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вер-
шины пирамиды, называется апофемой.

Построение правильной треугольной пирамиды МАВС можно вы-
полнять, например, в следующем порядке (рис. 102):

1)	построим произвольный треугольник АВС\

2)	проведем две медианы треугольника АВС, например BD и СЕ;

3)	найдем точку О = BD А СЕ\

4)	с началом в точке О проведем луч, на котором выберем точку М\

5)	точку М соединим с точками А, В и С.

Рис. 102

Замечание. Чтобы изображение было наглядным, можно провести
одну из сторон основания, например сторону ВС, параллельно нижнему (т.е.
и верхнему краю страницы), а луч ОМ — параллельно левому (или правому)
краю страницы.

Построение правильной четырехугольной пирамиды можно выпол-
нять, например, в следующем порядке (рис. 103):

1)	построим произвольный параллелограмм АВ CD',

2)	проведем диагонали АС и BD',
3)	найдем точку О = АС П BD;

4)	с началом в точке О проведем луч, на котором выберем точку М;

5)	точку Мсоединим с точками А, В, Си D.

Замечание. Для наглядности изображения можно две противоположные
стороны основания провести параллельно верхнему (или нижнему) краю стра-
ницы, а луч ОМ провести параллельно левому (т.е. и правому) краю страницы.

• Пример 26. Построим развертку правильной пирамиды МАВС,
угол между высотой МО которой и боковым ребром равен 30°.

Прежде чем перейти непосредственно к построению развертки, ус-
ловимся о следующем:

1.	Изображение вершин, ребер, граней и т.д. всякого многогранника U
будем обозначать на развертке теми же буквами, что и на изображении
этого многогранника, но с добавлением нулевого индекса. Так, верши-
ну А многогранника [/будем на его развертке обозначать Ао и т.д.

2.	Условимся также для упрощения обозначений в тех случаях,
когда речь идет о фигуре, принадлежащей развертке, в обозначении
этой фигуры нулевой индекс всех перечисляемых ее точек выносить
за последнюю скобку. Так, если концами отрезка на развертке являют-
ся буквы Ло и Во, то будем записывать этот отрезок не Л0В0, а (АВ)0.
Аналогично, если вершинами треугольника, принадлежащего разверт-
ке, являются точки Ао, Bq и Со, то будем записывать этот треугольник
так: (ABC)q и т.д.

3.	Размеры многогранника U мы считаем несущественными, т.е. бу-
дем строить развертку многогранника, подобного многограннику U.

4.	Для краткости будем опускать слово «изображение». Так, вместо
фразы «прямая МВ является изображением перпендикуляра» будем
говорить: «прямая МВ является перпендикуляром». Аналогично
вместо фразы «фигура МАВС является изображением заданной пира-
миды» будем говорить: «фигура МАВС — заданная пирамида» и т.д.
Итак, пусть фигура, изображенная на рисунке 104, — заданная пирамида.
Построим ее развертку (т.е., как мы условились, развертку пирамиды,
подобной заданной).

Рис. 104

Р е ш е н и е. 1) Построим какой-нибудь правильный треугольник
(АВС)0 (рис. 105). Такую форму по условию имеет основание заданной
пирамиды.

2)	Так как отрезок МО — высота пирамиды, т.е. МО — перпендику-
ляр к плоскости АВС, то МО ± ОС. По условию в треугольнике МО С
угол СМО равен 30°. Тогда катет ОС этого треугольника равен полови-

L
не гипотенузы. Таким образом, МС = 2ОС, и, следовательно, на разверт-
ке пирамиды должно быть (МС)0 = 2(ОС)0.

Построим две медианы треугольника (ЛВС)0 и найдем точку О0, в
которой эти медианы пересекаются. Получив на развертке отрезок
(ОС)0, построим треугольник (Л/ВС)0, у которого (МС)0 = (Л/В)о =
= 2(ОС)0.

3)	Далее построим равнобедренные треугольники (МАВ){} и
(Л/АС)0, боковые стороны которых равны отрезку (МС)0. В результате
мы получим фигуру, изображенную на рисунке 105. Она и является
разверткой заданной пирамиды.

Напомним, что если требуется изготовить модель этой пирамиды,
то следует дополнить полученную развертку склейками и выделить
на ней линии сгиба. После этих дополнений мы получим развертку
модели заданной пирамиды МАВС (рис. 106).

•	Пример 27. Построим развертку пирамиды MABCD, в основа-
нии которой лежит прямоугольник с отношением сторон АВ: AD = 2:3,
отрезок, соединяющий вершину М с точкой О — центром основания —
перпендикулярен плоскости основания, а боковое ребро МА в два раза
больше стороны АВ.

Решение. 1) Пусть фигура MABCD — заданная пирамида
(рис. 107). Центром ее основания является точка О, в которой пересека-
ются диагонали АС и BD. Так как отрезок МО перпендикулярен плоско-
сти АВС, то МО ± АС и МО ± BD. Тогда треугольники МОА и МОВ —
прямоугольные, и они равны по двум катетам (МО — общий катет и
АО = ВО, как половины равных отрезков АС и BD). Следовательно,
МА = МВ. Аналогично можно доказать, что МВ = МС и МА = MD.
Рис. 107

Таким образом, боковые ребра пирамиды равны, т.е. каждое из них
равно 2АВ.

2) Перейдем теперь к построению развертки заданной пирамиды.
Построим какой-нибудь прямоугольник (ЛВСО)о с отношением сто-
рон (ЛВ)0: (Л£))о = 2:3 (рис. 108).
Развертка боковой поверхности пирамиды состоит из четырех рав-
нобедренных треугольников. Основания этих треугольников на ри-
сунке 108 уже построены — это стороны прямоугольника (ABCD)Q.
Каждая из боковых сторон этих треугольников равна 2(АВ)0. Постро-
им эти треугольники.

В результате получаем фигуру, изображенную на рисунке 108. Она
и является разверткой заданной пирамиды.

Свойства правильной пирамиды

1°. Боковые ребра равны.

Действительно, пусть многогранник МАХА2,Ап — правильная
га-угольная пирамида, точка О — центр ее основания (рис. 109, а).
Докажем, что, например, МА{ = МАп.

Соединим точку О с точками А^ и Ап. Так как точка О — центр основа-
ния, ОА{ = ОА„ и МО — высота пирамиды. Тогда МО ± OAt и МО ± ОАп.
Таким образом, треугольники МОАХ и М0Ап — прямоугольные, у них
МО — общий катет и ОА^ = ОАп. Следовательно, эти треугольники рав-
ны и тогда МАХ = МАп.

2°. Боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Так как боковые ребра правильной пирамиды равны (свойство 1°),
то все ее боковые грани — равнобедренные треугольники. Докажем,
что эти треугольники являются равными. Сравним, например, тре-
угольники МА02и	_ 0„ (рис. 109, б). У этих треугольников МА t =

= МА2 = МАп_! = МАп> и так как многоугольник А 02, Ап правильный,
тоЛ1Л2=Л„_1Л„.

Таким образом, треугольники A£402 и МАп_ 0„ равны по трем сто-
ронам, т.е. и свойство 2° доказано.
Усеченная пирамида

Пусть секущая плоскость р, параллельная плоскости основания пи-
рамиды МА{А2,Ап, пересекает ее боковые ребра в точках В2,Вп
(рис. 110). Плоскость р делит пирамиду на два многогранника. Один
из них — пирамида МВ{В2,Вп, другой — многогранник, который назы-
вается усеченной пирамидой.

Рис. НО

Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды,
также называется правильной.

Плоские многоугольники А{А2,..., Ап и В{В2..., Вп называются осно-
ваниями усеченной пирамиды, отрезки АХВЬ А2В2,..., АпВп называют-
ся ее боковыми ребрами, а четырехугольники AiB[B2A2, А2В2В3А3,
..., ..., АпВпВхА{ — боковыми гранями усеченной пирамиды.
Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции; если же усечен-
ная пирамида является правильной, то эти трапеции — равные, равно-
бокие; высоты этих трапеций — апофемы усеченной пирамиды.

Высотой усеченной пирамиды называется отрезок прямой, заклю-
ченный между плоскостями ее оснований и перпендикулярный им.

При построении правильной усеченной пирамиды строят сначала
исходную правильную пирамиду.

§ 14. Призма (продолжение)

Начальные сведения о призме были изложены в § 5. Приведем те-
перь определение призмы и другие нужные для дальнейшей работы
сведения.

Определение 1. Призмой называется многогранник, который
состоит из двух равных плоских многоугольников, лежащих в парал-
лельных плоскостях таким образом, что отрезки, соединяющие соот-
ветственные точки этих многоугольников, параллельны, и всех таких
параллельных отрезков.

Указанные равные плоские многоугольники называются основани-
ями призмы, отрезки, соединяющие их соответствующие вершины, —
боковыми ребрами, а четырехугольники, противоположными сторо-
нами которых являются соответствующие стороны оснований, — боко-
выми гранями.

На рисунке 111 изображена призма ABCDEAXB{CXD{E{. Много-
угольники ABCDEи Д— ее основания; отрезок W{ соединяет
точку V многоугольника ABCDE с соответствующей точкой много-
угольника Л ^C^Ef (VV} || AAJ; отрезки AAif BBt,... — боковые ребра;
четырехугольники АВВУА{, ВСС{В{,... — боковые грани.

Из определения призмы следует, что:

а)	соответствующие стороны оснований равны и параллельны, т.е.
боковые грани призмы являются параллелограммами',

б)	боковые ребра призмы равны и параллельны.

Определение 2. Призма называется п-угольной, если ее основания —
п-угольники.

На рисунке 111 изображена пятиугольная призма.

Определение 3. Призма называется прямой, если ее боковые ребра
перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется
наклонной.

Определение 4. Призма называется правильной, если она — прямая
и ее основания — правильные многоугольники.

Из соображений наглядности боковые ребра прямой призмы обыч-
но изображают отрезками, параллельными левому (разумеется, и пра-
вому) краю страницы. На рисунках 112, ИЗ, 115 и 117 изображены
прямые призмы, а на рисунках 114 и 116 — наклонные.

Определение 5. Высотой призмы называется отрезок прямой, пер-
пендикулярной плоскостям ее оснований, заключенный между этими
плоскостями.

Из определений 3 и 5 следует, что высота прямой призмы равна ее
боковому ребру.

Определение 6. Параллелепипедом называется такая призма,
основаниями которой являются параллелограммы.

Призмы, изображенные па рисунках 115—117, являются паралле-
лепипедами.

Рис. 115

Рис. 116

Рис. 117

4 Геометрия, 10 к.ч.

81
Все грани параллелепипеда — параллелограммы. Это значит, что
любые две грани параллелепипеда, являющиеся противоположными
гранями, можно принять за его основания.

Если две противоположные грани параллелепипеда приняты за его
основания, то четыре другие грани этого параллелепипеда — его боко-
вые грани.

Если грани параллелепипеда, принятые за боковые, — это прямо-
угольники, то параллелепипед является прямым.

Определение 7. Параллелепипед называется прямоугольным, если
все его грани — прямоугольники.

На рисунках 115 и 117 изображены прямые параллелепипеды, а на
рисунке 116 — наклонный. Прямоугольный параллелепипед обычно
изображают так же, как и прямой (боковые ребра изображают отрезка-
ми, параллельными левому, т.е. и правому, краю страницы).

Определение 8. Кубом называется прямоугольный параллелепипед,
у которого все боковые грани — квадраты.

Из этого определения следует, что все ребра куба равны.

Одним из наиболее распространенных способов изображения куба
является изображение, показанное на рисунке 117. (Это кабинетная
проекция куба. Передняя грань куба изображается в этой проекции
квадратом, основание — параллелограммом, острый угол которого ра-
вен 45°, а отношение смежных сторон равно 1 : 2.)

• Пример 28. Построим развертку прямого параллелепипеда
с отношением ребер AB.AD:AA{ = 1:2:1,восновании
которого лежит параллелограмм с углом АВС, равным 45°.

Решение (рис. 118, а). Пусть ABCDA{BXCXD{ — заданный парал-
лелепипед.

1)	Развернем на плоскость сначала боковую поверхность параллеле-
пипеда. Получим совокупность четырех прямоугольников (рис. 118, б).
При этом так как АВ : AAt = 1 : 1, то четырехугольники (ЛВВ1Л1)0 и
(C/)Z)1C1)0 — квадраты, и так как AD : АА{ = 2 : 1, то четырехугольники

Рис. 118, а
Рис. 118, б

(ADD{Ay)q и (BCCjBJo — прямоугольники с отношением сторон
(АГ))0: (АЛОо = 2 :1 и (ВС)0: (ВВ^ = 2:1.

2)	Затем построим параллелограмм (ABCD)Q, сторонами которого
являются отрезки (АВ)0 и (ВС)0, уже имеющиеся на рисунке 118, б и
угол (АВС)о между которыми равен 45°.

3)	Аналогично построим параллелограмм {A{BXC{DX\ по двум сто-
ронам и углу между ними.

Фигура, изображенная на рисунке 118, б, — это развертка заданного
параллелепипеда.
Глава V

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ

§ 15. Расстояние между двумя точками

Чтобы найти расстояние между двумя заданными точками, т.е.
длину отрезка, соединяющего эти точки, часто оказывается целесооб-
разным построить какой-нибудь такой прямоугольный треугольник,
одной из сторон которого является отрезок, длина которого равна
искомому расстоянию, найти две другие стороны этого треугольника
и далее воспользоваться теоремой Пифагора.

В некоторых случаях искомый отрезок рассматривают как сторону
треугольника, нс являющегося прямоугольным, но у которого удается
вычислить две другие стороны и косинус угла между ними. Далее
тогда используется теорема косинусов.

Разумеется, для вычисления длины отрезка не исключаются и дру-
гие пути. Например, можно воспользоваться теоремой синусов, тео-
ремой о сумме квадратов диагоналей параллелограмма, подобием
треугольников и т.д.

Рассмотрим примеры вычисления расстояния между двумя точками.

•	Пример 29. В основании прямой призмы АВСА{В{С} лежит тре-
угольник с прямым углом при вершине С. Отношение ребер призмы
АС-.ВС-. qC = 3:4:1.

Считая CtC = а, найдем расстояние между точками Р и (?1 — середи-
нами соответственно ребер АВ и В{С].

Решение (рис. 119). Включим отрезок PQ} в прямоугольный
треугольник. Для этого проведем в плоскости ВССХ через прямую
Q\Q II С[С и точку Р соединим с точками Q и Q{.

Так как заданная призма — прямая, то С\С — это перпендикуляр к
плоскости АВС. Тогда и — это перпендикуляр к плоскости АВС и,
следовательно, QtQ ± PQ. Таким образом, треугольник Q^PQ — прямо-
угольный, а отрезок PQ} — его гипотенуза.
Рис. 119

Ясно, что (2iQ= С^С- a, PQ,-^AC. Из отношения АС : С}С = 3:1
следует, что АС = За. Тогда PQ = 4?. Теперь по теореме Пифагора пахо-
дим:

PQi=^Q2+PQ2=^.

•	Пример 30. На ребре МС правильной пирамиды МАВС взята
точка С{ такая, что СС}: СМ = 2 : 3, а на отрезке АС{ взята точка Р такая,
что АР : ЛС| = 2:3. Считая МС = АС = а, найдем расстояние между
точками В и Р.

Реше н и е (рис. 120). Рассмотрим отрезок ВРУ например, как сторо-
ну треугольника АВР. В этом треугольнике одна сторона уже известна.
Это АВ = а. Найдем его сторону АР и cos ВАР, а затем воспользуемся
теоремой косинусов для вычисления стороны ВР этого треугольника.

о

Так как по условию АР: АС\ = 2:3, т.е. АР = 4 АС., то для вычисле-
О

ния АР сначала найдем длину стороны АСр В треугольнике АСС\ по
теореме косинусов

АС2 = АС2 + СС2 - 2АС • СС{ cos ACCV

Так как АС = а, СС} = %СМ = -|я и ZACCX =60°, то
О о

АС?=а2 + ^.-2а-Ц-±

откуда АСХ=^~.

Соединим точку В с точкой Ср Ясно, что в треугольнике АВСХ
ВСХ = АСр Таким образом, ВСХ = ^-.
о

Итак, известны уже две стороны треугольника АВР. Чтобы найти
косинус угла между этими сторонами, воспользуемся тем, что угол ВАР
является также углом треугольника ВАС{ (т.е. cos ВАР = cos ВАС^),
и все стороны треугольника ВАС{ известны. Применим к треуголь-
нику ВАС] теорему косинусов. Имеем:

ВС]2 = АВ2 + АС? - 2АВ  АС{  cos BACV

ИЛИ

7^ = 6Z2 + 7^_2a.^cosBAC1,

откуда cos BACj Таким образом, cos ВАР-'^-.

Применим теперь теорему косинусов к треугольнику ВАР. Имеем:

ВР2 = АВ2 + АР2 - 2 АВ-АР-cos ВАР,

ИЛИ

ир2 _ /,2 . 28б?2 _	2а>/7 Зл/7

"81	9	14 ’

откуда ВР2 = ^-.

Следовательно, искомое расстояние ВР=^^-
• Пример 31. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее
боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания. На ребрах
МА и МВ пирамиды взяты соответственно точки Ах и В} — середины
этих ребер. Считая АВ = а, МВ = 2а, найдем расстояние от точки С до
точки Р, в которой прямая А{С пересекает плоскость at проходящую
через точки В{, AnD.

Решение (рис. 121). Прежде всего построим точку Р. Для этого
сначала построим сечение пирамиды плоскостью а.

Рис. 121

Так как точка В} является общей точкой плоскостей а и МВС, то по
аксиоме 4 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через
точку Далее, так как AD || ВС, то по теореме 8 прямая AD параллель-
на плоскости МВС. Тогда по теореме 9 линия пересечения плоскостей а
и МВС — назовем ее, например, k — параллельна прямой AD. Заметим
еще, что так как k || AD и ВС || AD, то по теореме 6 k || ВС.

Итак, в плоскости МВС через точку В{ проведем прямую k || ВС.
Пусть k П МС = С{. Соединим точку В{ с точкой А и точку С\ с точкой D.
Четырехугольник AB{C{D является сечением пирамиды плоскостью а.

Проведем теперь прямую АХС. Чтобы построить точку Р, в которой
прямая А\С пересекает плоскость а, проведем через прямую А{С ка-
кую-нибудь плоскость. Например плоскость МАС. Эта плоскость име-
ет с плоскостью а две общие точки: А и С{. Значит, прямая АСХ является
линией их пересечения. ПрямыеXQ и AtC обе лежат в плоскости МАС.
Таким образом, точка их пересечения принадлежит и прямой АХС, и
плоскости а, т.е. прямая Ах С пересекает плоскость а в точке Р-АХС A ACt.
Перейдем теперь к вычислениям. Заметим, что отрезок AtC явля-
ется медианой треугольника МАС, в котором АС = а\[2, МА = МС =
= >]МВ2 + АВ2 = л V5. Тогда по известной из планиметрии теореме о
сумме квадратов диагоналей параллелограмма

(2ДС)2 + МА2 = 2 (МС2 + АС2), т.е. 4 Л,С2 + 5л2 = 2 (5л2 + 2л2),
откуда А{С = ^.

Так как в треугольнике МАС точка Р — это точка пересечения ме-
диан АС\ и CAlf то СР: СА{ = 2 : 3.

Таким образом, СР = ^АС.=^~ = а. Итак, искомое расстояние
о 1	3 2

СР = а.

§ 16. Расстояние от точки до прямой

Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется
отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из
своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется
основанием перпендикуляра.

При построении перпендикуляра к данной прямой используются
следующие две теоремы.

Теорема 17 (о пропорциональных отрезках). Параллельные
прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла
пропорциональные отрезки.

Так, если АА' || ВВ' (рис. 122), то, например, ОА : ОВ = ОА': OB'. Эта
теорема известна из планиметрии.

А'

Рис. 122

Следующая теорема выражает одно из свойств параллельного про-
ектирования.

Теорема 18. При параллельном проектировании сохраняется
отношение длин параллельных отрезков.
Так, если параллельные отрезки UV и PQ (рис. 123) спроектирова-
ны па плоскость а в направлении, параллельном некоторой прямой k
(прямая k не параллельна плоскости а), то

PR:PQ = P'R' ,P'Q' и UV:PQ = U'V':P'Q'.

• Пример 32. На данном луче ОА построим точки X такие, что от-
ношения ОХ: ОА принимают следующие значения: а) 3 : 5; б) 4 : 3.

Решение а) (рис. 124). Через точку О — начало луча ОА — про-
ведем вспомогательный луч /. На луче I отложим от точки О отрезки
ОХ' = Зе и ОА' = 5е, где е — произвольный отрезок, принимаемый за
единичный.

Проведем прямую АА' и затем через точку X' проведем прямую
q || АА'. Далее найдем точку X = q П ОА.

По теореме 17 ОХ: ОА = ОХ': ОА' = 3 : 5. Таким образом, X — иско-
мая точка.

Реше н и е б) (рис. 125). Проведем вспомогательный луч / с нача-
лом в точке О. На луче / отложим от точки О отрезки ОХ' = 4е и ОА' = Зе,
где в — произвольный отрезок, принимаемый за единичный.

Проведем прямую А'А и затем через точку X' проведем прямую
q || А'А. Далее найдем точку X = q А ОА.
Рис. 125

По теореме 17 ОХ: ОА = ОХ' : ОА' =4:3. Таким образом, точка X
является искомой.

Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку Т,
перпендикулярную данной прямой р*\

Случай 1. Точка Т не лежит на прямой р. В этом случае построение
искомой прямой можно выполнить, например, по следующему плану
(рис. 126):

1.	Выберем на прямой р какие-нибудь две точки U и V. Соединим эти
точки с точкой Т.

2.	Подсчитаем стороны треугольника TUV, используя известные из
условия задачи зависимости и данные. Если вычисления показали,
что TU = TV, то третью сторону треугольника TUV можно не вычислять,
так как ясно, что медиана, проведенная из вершины Т этого треуголь-
ника, является и его высотой.

Если TU * TV, то подсчитаем и третью сторону треугольника TUV.

Пусть в результате вычислений оказалось, что TU= a, TV = b и UV= с.

*> Напомним, что, ставя задачу построения прямой, перпендикулярной данной
прямой, мы имеем в виду построение изображения этой прямой.
3.	Предположим теперь, что некоторая точка Н прямой р является
основанием высоты TH треугольника TUV. На прямой р тогда образу-
ются два отрезка: UH и VH. Подсчитаем больший из них и найдем отно-
шение этого отрезка к отрезку UV.

Сделать это можно, например, выражая квадрат длины отрезка TH
двумя способами: из прямоугольного треугольника TUH и из прямо-
угольного треугольника TVH.

Получаем соответственно TH2 = TU2 — UH2 и TH2 = TV2 — VH2 и,
таким образом, приходим к очевидному равенству

TU2-UH2 = TV2-VH2,
или

a2- UH2 = b2- VH2.	(*)

Пусть для определенности в результате вычислений выяснилось,
что b < а. Тогда так как отрезки VH и UH — это проекции на прямую р
соответственно отрезков TV и TU, то и VH < UH, т.е. отрезок VH — это
меньший из отрезков UH и VH.

Сделав в равенстве (*) замену VH2 = (с - UH)2, получим уравнение
a2-UH2 = b2-(c-UH)2,

из которого найдем отрезок UH.

4)	Теперь найдем отношение UH: UV, и, используя теоремы 17 и 18,
с помощью вспомогательного луча I построим на луче UV точку Н, а
затем и искомую прямую TH.

Случай 2. Точка Тлежит на прямой р. В этом случае для однозначно-
го решения должна быть указана еще плоскость а, в которой требуется
построить искомый перпендикуляр (рис. 127). Построение искомой
прямой можно выполнять так:

1.	Выберем в плоскости а вне прямой р какую-нибудь точку R и по
плану, изложенному для первого случая, построим прямую RH ± р.

2.	В плоскости а через точку Т проведем прямую тп || RH. Прямая m
и является искомой прямой.

За	мечания. 1. Изложенный способ решения задачи 1 называют вычисли-
тельным.
2. При построении прямой, перпендикулярной прямой р, на прямой р об-
разуются отрезки UII и VH. В равенстве

a2-UH2 = b2- VH2	(*)

мы сделали замену меньшего из отрезков UH и VH. Именно так мы будем посту-
пать и в дальнейшем. Такая замена удобна при любом положении точки Н
относительно точек U и V. Так, на рисунках 128, а и 128, в меньшим является
отрезок VH. Но на рисунке 128, a VH= UV- UH, а на рисунке 128, в VH = UH- UV.
Однако так как в равенстве (*) заменяется квадрат отрезка VH и (UV- UH)2 =
= (UH - (7V)2, то безразлично, какая сделана замена: VH2 = (UV - UH)2, или
VH2 = (UH- UV)2.

Аналогично па рисунках 128, б и 128, г меньшим является отрезок UH. Но
при этом на рисунке 128, б UH - UV - VH, а на рисунке 128, г UH = VH - UV.

Так как в равенстве (*) заменяется квадрат отрезка UH и (UV - VH)2 =
= (VH - UV)2, то безразлично, какая сделана замена: UH = (UV - VH)\ или
UH2 = (VH- UV)2.

Зная способ построения прямой, проходящей через данную точку,
перпендикулярно данной прямой, можно по плану, предложенному для
первого случая решения задачи 1, решать также задачу, в которой тре-
буется опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую.
В некоторых случаях это построение удается выполнить из чисто гео-
метрических соображений. Так, понятно, как в кубе ABCDA[B[C]Dl
опустить перпендикуляр из точки D на прямую АВ{ (рис. 129).

Опустить перпендикуляр из точки Dx на ту же прямую АВХ можно
также из чисто геометрических соображений. Действительно, в тре-
угольнике ABiD[ AD{ = B\DX. Тогда медиана D{F является и высотой
треугольника AB^D^.
Рис. 129

• Пример 33. В основании пирамиды MABCD лежит прямоуголь-
ник, отрезок МО. соединяющий вершину пирамиды с центром основа-
ния, перпендикулярен плоскости основания. Отношение ребер пира-
миды, имеющих общую вершину Л,

АВ: AD: АМ= 1:2:73.

Построим следующие перпендикуляры:

а)	из точки Е — середины ребра AD на прямую МС;

б)	из точки М на прямую AF, точка F которой является серединой
ребра CD;

в)	из точки А на прямую MN. точка N которой является серединой
отрезка АО.

Реше н и е а) (рис. 130). Выберем на прямой МС какие-нибудь две
точки. Например точки М и С. Соединим точку Е с точками М и С
и подсчитаем стороны треугольника MCE. Для вычислений введем
вспомогательный параметр, положив, например, АВ = а. Тогда AD = 2я,
Л£4 = йл/3.

Из прямоугольного треугольника МАЕ находим

ME = у)МА2 - АЕ2 = у]3а2 - а2 = аЛ.

Затем из прямоугольного треугольника CDE находим

СЕ = y]cD2+DE2 = yja2 + а2 = afi.

Вычисления показали, что в треугольнике MCE ME = СЕ. Тогда
медиана ЕК этого треугольника является и его высотой.
Рис. 130

Итак, построим точку Q — середину ребра МС и соединим точку Е с
точкой С{. Отрезок ЕС^ — искомый перпендикуляр.

Решение б) (рис. 131). Выберем на прямой AF какие-нибудь
две точки. Например точки АиЕ. Соединим их с точкой М и подсчита-
ем стороны треугольника МАЕ. Для вычислений введем вспомогатель-
ный параметр, положив, например, АВ = а. Тогда AD = 2а, M4 = aV3.

М

Рис. 131
Ясно, что МС = МА, т.е. МС=а43. Из прямоугольного треугольника
MCF находим

MF = у/мС2 - CF2 = у/За2 - £ =

В прямоугольном треугольнике ADF

AF=JAD2 + DF2 = Jia2+ 4 =
у	V 4	2

В треугольнике MAF известны все стороны. Найдем отношение, в
котором точка L — основание высоты ML — разделит отрезок AF. Итак,
если ML ± AF, то ML2 = МА2 - AL2 и ML2 = MF2 - FL2, т.е.

МА2-AL2 = MF2-FL2.	(**)

Вычисления показали, что MF=(-F^~, а МА = ау[3. Нетрудно убе-
диться, что MF< МА. Тогда и FL < AL. Поэтому в равенстве (**) сдела-
ем такую замену:

FL2 = (AF-AL)2.

Получаем уравнение

.	___ 2

За2 - AL2	AL] ,

из которого находим

Итак, точка L делит отрезок AF в отношении

9а . as/17
2Л7 ’ 2

= 9:17.

Теперь с помощью вспомогательного луча /, на котором отложим от
точки А отрезки AL} = 9е и AFt = 17е, построим на прямой AFточку L —
основание перпендикуляра ML. Соединив точку L с точкой М, получим
отрезок ML — искомый перпендикуляр.

Р с ш с н и е в) (рис. 132). Выберем на прямой MNкакие-нибудь две
точки. Например точки М и N. Соединим их с точкой А и подсчитаем
стороны треугольника MAN. Положив АВ = а (вспомогательный пара-
метр), последовательно находим:
AD=2a, MA = a-j3,

АО=±АС=^4а2 + а2=^,

AN=^AO = ^-,

MO = J MA2-AO2 = JЗа2 -	,

V	Ju

MN = J MO2 + ON2 = J^- + ~ =
v	V 4	16	4

В треугольнике MAN известны все стороны. Если отрезок AV — вы-
сота этого треугольника, то

МА2 - MV2 = AN2 — NV2.	(***)

Вычисления показали» что AN < МА. Поэтому и NV < MV. Тогда в
равенстве (***) сделаем замену отрезка NV:

NV2 = (МV - MN)2.

От равенства (***) переходим к уравнению

3a2-W2=^-f	.

16	4 )
Из этого уравнения находим: MV =	. Тогда

2^33

MV: MN== 38:33.

2>/33	4

Зная это отношение, с помощью вспомогательного луча /, на котором
отложим отрезки MV} = 38е и MN\ = ЗЗе, находим точку Vи затем стро-
им отрезок AV — искомый перпендикуляр.

Определение. Расстоянием от точки до прямой называется длина
перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Вычисление расстояния от данной точки Т до данной прямой р
можно вести, например, по следующему плану:

1.	Выберем па прямой р какие-нибудь две точки, например точки U
и V, и соединим их с точкой Т.

2.	Подсчитаем с тороны треугольника TUV.

3.	Подсчитаем высоту TH треугольника TUV.

Длина высоты TH и является искомым расстоянием. Ясно, что
если в треугольнике TUVоказалось TU = TV, то TH = ^TU2 - UH2, где
UH = ±UV.

Рассмотрим три способа вычисления высоты TH треугольника TUV
в случае, когда TU* TV.

Способ 1. Выражая TH2 из прямоугольных треугольников TUH и
TVH (рис. 133), получаем равенство

TU2 - UH2 = TV2 - VH2.	(*)

Пусть для определенности UH < VH. Тогда в равенстве (*) сделаем
замену UH2 = (UV- VH)2. Получим уравнение

TU2 -(UV- VH)2=TV2 - VH2,

из которого найдем VH. Затем найдем

TH = д/л/2 - VH2.

Рис. 133
Способ 2. Выразим площадь треугольника TUV, используя формулы
S = ^ah и S = у)р(р-а)(р- Ь) (р - с). Получим уравнение
|а/г = yjp (р-а) (р-b) (р-с),

из которого можно найти нужную высоту h треугольника. Этот способ
особенно удобен, когда в треугольнике TUVугол UTVравен 90°. Тогда
5 = ^UV TH и 5 = ^TU • TV, и, следовательно, UV• TH =TU-TV, откуда

TUTV
тн=~щГ-

Способ 3. Применим к треугольнику TUV теорему косинусов, со-
гласно которой

TV2 = TU2 + UV2-2TU-TV• cos TUV,

откуда можно найти cos TUV. Затем, зная cos TUV, можно найти sin TUV:

sin TUV = 71- cos2 Ж

и далее высоту TH как катет прямоугольного треугольника TUH:

TH =TU sin TUV

• Пример 34. На ребре АА{ куба ABCDAXBXCXDX взята точка Р —
середина этого ребра. Считая ребро куба равным а, найдем расстояния
от точки Р до следующих прямых:

a)	BJ);

б)	точка Q которой является серединой ребра CD;

в)	B{C2f точка С2 которой взята на прямой СС{ таким образом, что

о

точка С{ лежит между точками С и С2 и СС2 = %CCV

Р е ш е н и е а) (рис. 134). Выберем на прямой BXD две какие-нибудь
точки, например точки В{ и D. Соединим их с точкой Р.

Подсчитаем стороны треугольника PBJ). Из прямоугольного тре-
угольника B{C{D

B,D = ^С2 + C,D2 = у)a2 + 2a2 = aV3.

Из прямоугольного треугольника РА\В{

РВХ = JPA2 + А{В2 = у/^ + а2 =
Затем из прямоугольного треугольника PAD находим, что PD=^^~.
Таким образом, треугольник PB{D — равнобедренный, т.е. его высота РН
совпадает с медианой. Значит,

в{н=±вр=^.

Тогда

РН=^РВ2 - В\Н2 =

Реше и и с 6) (рис. 135). Возьмем на прямой BXQ две точки. На-
пример, точки В} и Q. Соединим их с точкой Р. Подсчитаем стороны
треугольника PB{Q. Имеем:	В£) = ^- и PQ=^^-. Тогда

если PH ± B{Qt то

PB2-B{H2 = PQ2-QH2,
или

- ВХН2 =	- QH2.	(**)

Вычисления показали, что РВ{ < PQ, тогда и В{Н < QH. Поэтому в
равенстве (**) сделаем замену В{Н2 = (B\Q — QH)2, Получим уравнение

= ^--QH2,


Рис. 135

из которого находим, что QH = ^. Тогда

РН=7яг2 - QH2 =	•

Замечание. Зная, что QH = нетрудно найти отношение Q1I: QB\ = 5:9
и построить точку Я, а затем и высоту РН.

Решение в) (рис. 136). Соединим точки В{ и С2 прямой В^С2 с
точкой Р и подсчитаем стороны треугольника РВХС2. Находим, что

= и, например, из прямоугольного треугольника
PD2C2 (точка D2 — середина ребра DD{)

РС2 = yJPD^+D^ = yja2 + 2а2 = оТЗ.

Тогда если РН ± ВХС2, то

РН2 - Вхн2 = PC2 - с2н2,
или

Ц- - В{Н2 = За2 - С2Н2.	(***)
Рис. 136

Вычисления показали, что РВ{ < РС2. Тогда и В{Н < С2Н. Поэтому в
равенстве (***) сделаем замену В{Н2 = (С2Н - В\С2)2. Получаем уравне-

ние	= (С..Н	=3а2 -CQH2, из которого находим С0Н = ^.

4	( 2	2 J	2	2 V5

Таким образом, РН = ^РС2 - С2Н2 =	.

Замечание. Так как С то отношение С2Н : С2В\ = 6:5. Зная это
V5

отношение, нетрудно построить точку Н, а затем и высоту РН.

• Пример 35. Диагональным сечением правильной пирамиды
MABCD является равносторонний треугольник. На ее ребрах МВ и МС
взяты соответственно точки В{ и — середины этих ребер. Считая
сторону основания пирамиды равной а, найдем расстояние от точки С}
до прямой B\D.

Реше и и е (рис. 137). Выберем на прямой BXD какие-нибудь две
точки. Например точки В{ и D. Соединим их с точкой Сь

Подсчитаем стороны треугольника C\BXD. Для этого заметим, что по
условию МС = АС. Но АС — это диагональ квадрата, сторона которого
равна а. Тогда МС = т.е. и АС = а^2. Понятно, что и MD=aJl.
Таким образом, в треугольнике MCD известны все стороны: CD = а и
MC=MD = a^2. Найдем медиану DCX этого треугольника. Сделаем
это, воспользовавшись теоремой о сумме квадратов диагоналей парал-
лелограмма (параллелограмм образуется, если в плоскости MCD про-
должить отрезок DC{ за точку С{ на расстояние, равное DC{, и получен-
ную точку соединить с точками М и 0:

(2D0)2 + МС2 = 2(CD2 + MD2), или ADC2 = 2а2 + 4л2 - 2а2,

откуда DCt = а.

Найдем теперь DB{. Так как отрезок DB} — это медиана равносто-

роннего треугольника, то DB{ =	9 т.е.

И, наконец, ясно, что СХВХ =

Итак, в треугольнике C{B\D известны все стороны. Тогда если С{Н —
его высота, то

ЦВр - ДЯ2 = Ср2 - DH2, или e42 - В{Н2 = а2- DH2. (*)

Вычисления показали, что С{В\ < CXD, Значит, и В{Н < DH. Сделаем
тогда в равенстве (*) замену
BlH* 2 3=(BiD-DH)2, т.е. B}H2	- Dh]2.

В результате этой замены получим уравнение

Т “ -DhJ = a2- DH2,

из которого находим DH =

4V6

Теперь из прямоугольного треугольника C\DH по теореме Пифаго-
ра находим

ЦЯ= Jc^-DH2 = ja2-^ =

у	v/O	о

Таково искомое расстояние от точки С{ до прямой BJX

Замечание. Зная, что = и DB.=^^-
4V6	1	2

нетрудно найти отноше-

ние DH.DB{ =

9а йУб
4?б' 2

= 3:4. Это отношение при параллельном проектирова-

нии по теореме 18 сохраняется. Значит, на рисунке 137 точка Н делит отрезок
DB{ в отношении DH: DB{ = 3:4.

§ 17. Расстояние от точки до плоскости

Определения. 1. Перпендикуляром, опущенным из данной точки
на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку
с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием
перпендикуляра,

2. Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, на-
зывается любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоско-
сти и не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец наклонной,
лежащий в плоскости, называется ее основанием.

3. Проекцией наклонной на данную плоскость называется отрезок,
соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из
данной точки к этой плоскости.

В соответствии с определением перпендикуляра к плоскости для его
построения следует провести прямую, перпендикулярную плоскости.
Задача 2. Построить прямую, проходящую через данную точку Г,
перпендикулярно данной плоскости а.

Случай 1. Точка Г не лежит в плоскости а. В некоторых случаях
эту задачу удается решить из чисто геометрических соображений.
Например, если на изображении уже построена какая-нибудь прямая т,
перпендикулярная плоскости а, то, проведя через данную точку Т
и прямую т плоскость р, проведем затем в плоскости р прямую k II т.
По теореме 14 прямая k является искомой.

Так, пусть требуется построить прямую, проходящую через некото-
рую точку Р, взятую на боковом ребре правильной пирамиды МАВС,
перпендикулярно плоскости АВС.

Соединим вершину М пирамиды с точкой О — центром основания
пирамиды (рис. 138). Получим отрезок МО, перпендикулярный плос-
кости АВС.

Теперь в плоскости МОС через точку Р проведем прямую РН II МО.
По теореме 14 прямая РН перпендикулярна плоскости АВС.

В общем же случае решение задачи 2 можно вести по следующему
плану.

1)	Проведем (или выберем) в плоскости а какую-нибудь прямую р
(рис. 139) и из точки Т опустим перпендикуляр TR на прямую р. Это
можно сделать по плану решения задачи 1 для случая 1, т.е. выбрать на
прямой р какие-нибудь две точки U и Ун т.д.

2)	В плоскости а через точку R проведем прямую т ± р. Это можно
сделать по плану решения задачи 1 для случая 2, т.е. выбрать в плоско-
сти а какую-нибудь точку К, не лежащую на прямой р, и провести сна-
чала прямую KR{ ± р.

3)	Через точку Тпроведем прямую TH, перпендикулярную прямой т.
Рис. 139

На этом построения окончены. Докажем, что построенная таким
образом прямая TH перпендикулярна плоскости а.

Действительно, по построению р ± TR р ± т. Тогда но теореме 16
прямая р перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости а,
и, в частности, р ± TH.

Итак, TH ± р и TH ± т. Значит, по следствию из теоремы 16 TH ± а.

Случай 2. Точка Т лежит в плоскости а. В этом случае построение
искомой прямой можно вес ти по следующему плану.

1)	Выберем вне плоскости а какую-нибудь точку L (рис. 140) и по
плану решения задачи 1 в случае 1 проведем прямую £Л( перпендику-
лярную плоскости а.

Рис. 140
2)	Проведем прямую TN и через две пересекающиеся прямые TN и
LN проведем плоскость у.

3)	В плоскости у через точку Т проведем прямую q II LN. По постро-
ению прямая q проходит через точку Ги по теореме 14 q ± а.

• Пример 36. Из вершины Ах куба ABCDAXBXC{D{ опустим пер-
пендикуляр на плоскость BC{D.

Решение (рис. 141). 1. В соответствии с планом решения задачи 2
выберем в плоскости BCXD какую-нибудь прямую, например ВС{. По-
строим перпендикуляр, опущенный из точки At на эту прямую.

Рис. 141

Из геометрических соображений ясно, что в треугольнике AfBCi
равны стороны AtC\ и AtB. Это значит, что медиана АХТтреугольника
А\ВС{ является и его высотой. Итак, проведем медиану УЦТтреуголь-
ника А{В(\.

2.	Вторую прямую, перпендикулярную прямой ВС{> построим в
плоскости BC^D. Такое построение выполнить несложно, если заме-
тить, что в треугольнике BC\D равны стороны DB и DCV Это значит,
что отрезок DT, который является медианой треугольника BC\D, явля-
ется и его высотой. Итак, соединив точку D с точкой Г, мы получим
перпендикуляр DTk прямой ВС{.

3.	Остается опустить перпендикуляр из точки A j на прямую DT. Это
построение выполним вычислительным способом (как при решении
примера 32 б).

Итак, подсчитаем стороны треугольника А}DT, положив для вычис-
лений, например, ребро куба равным а.
Находим, что тогда ДО = ял/2. Затем из прямоугольного треуголь-

ника DBT, в котором BD=	ВТ =	находим

DT = ^BD2 - ВТ2 = Д2-^ =

Аналогично из треугольника А {ВТ найдем ДТ =Далее, если Н —
такая точка прямой ОТ, что АХН ± ОТ, то из прямоугольного тре-
угольника AXDH получим

AxH2 = AxD2-DH\

а из прямоугольного треугольника АХТН найдем

АХН2 = АХТ2-ТН2.

Сопоставляя эти два способа выражения АХН\ получаем равенство

AXD2-DH2=AXT2-TH2,

или

2а2 -DH2 = ^~ TH2.

4

(*>

Вычисления показали, что АХТ< AXD. Значит, и TH < DH.

Заменим в равенстве (*) отрезок TH (меньший из двух отрезков TH
и DH). Имеем

ТЯ2 = (ОТ-ОО)2,

или

2

th2=\^-dh] .

Получим уравнение

/	\2

2а2-DH2=^-\^-DH\ ,

4	2 J

из которого находим DH = Тогда
V6

DH:DT = ^;^- = 2:3.

V6 2

Зная это отношение параллельных отрезков DH и DT и учитывая, что
по теореме 18 при параллельном проектировании это отношение со-
храняется, построим точку Н.
Сделаем это с помощью вспомогательного луча /, выходящего из
вершины D. На луче / отложим от точки D отрезки DH{ = 2е и D7\ = Зе
(отрезок е — это произвольный отрезок, принимаемый нами за единич-
ный). Затем точку Т{ соединим с точкой Ти после этого через точку Hi
проведем прямую 1ЦП II Т{Т.

И, наконец, точку Лj соединим с полученной точкой II. Отрезок Л,//
и является искомым перпендикуляром.

• Пример 37. Высота правильной пирамиды MABCD в два раза
больше стороны ее основания. Опустим перпендикуляр из вершины М
па плоскость BDP, точка Р которой является серединой ребра МС.

Решение (рис. 142). Выполним построения в соответствии с
планом решения задачи 2.

Рис. 142

1.	Из точки М опустим перпендикуляр на какую-нибудь прямую
плоскости MDB.

Ясно, что проще всего опустить перпендикуляр на прямую BD. Так
как МВ = MD, то в треугольнике MDB медиана МО является и высотой.
Итак, в треугольнике MDB проведем медиану МО.

2.	Теперь в плоскости BDP нужно провести через точку О перпенди-
куляр к прямой BD. Нетрудно убедиться, что этим перпендикуляром
является отрезок РО. Действительно, из равенства треугольников ВСР
и DCP (у них ВС = CD, СР — общая сторона, и Z ВСР = Z DCP) следует,
что BP = DP и поэтому медиана РО треугольника BDP является и его
высотой. Итак, точку О соединим с точкой Р.

3.	Осталось опустить перпендикуляр из точки М на прямую ОР.
Выполним это построение вычислительным способом. Подсчитаем
стороны треугольника МОР. Для вычислений введем вспомогательный
параметр. Положим, например, сторону основания пирамиды равной а.
Тогда

М0=2а, ОС=^,

МС=+ ОС2 = у/4а2 + Ц- =

Так как, далее, точка Р — середина ребра МС, то

и ОР=±МС=^Д.

4	2	4

Таким образом, все стороны треугольника МОР известны. Если точ-
ка Н — основание перпендикуляра, опущенного из вершины М на пря-
мую ОР, то точка 11 делит отрезок ОР в некотором отношении. Чтобы
найти это отношение, составим сначала очевидное равенство

МО2 - ОН2 = МР2 - РН2	(*)

и сделаем в нем замену РН2 = (ОН - ОР)2. (В равенстве (*) мы заменили
меньший из отрезков ОН и РН. Ясно, что РН < ОН, так как МР < ОМ,
что видно в результате вычислений.)

Перейдем теперь непосредственно к вычислению ОН. Получаем
уравнение

/	\2

4а2 - ОН2 =	- ( ОН -	| ,

16	4 )

из которого находим 011 =

Тогда
Зх/2

ОН-.ОР=-^-.‘^ = 16:9.

3>/2	4

Зная отношение ОН: ОР, построим точку 11 на прямой ОР. Для этого
проведем вспомогательный луч I с началом в точке О, отложим па нем
от этой точки отрезки ОР\ = 9е и ОН} = 16е, где е — это произвольный
отрезок, принимаемый за единичный (см. решение примера 32 б).

В результате мы получим точку 11 — основание перпендикуляра,
опущенного из точки М па прямую ОР. Соединим точку Н с точкой М.
Отрезок МН — искомый перпендикуляр.

Вычисление расстояния от данной точки до данной плоскости

Пусть отрезок ТТ' — перпендикуляр к плоскости а, а отрезок TV —
наклонная к этой плоскости (рис. 143).

Сравним длину перпендикуляра ТТ' с длиной наклонной TV. Так как
ТТ' ± а, то ТТ' ± T'V. Тогда отрезок ТТ' — это катет прямоугольного
Рис. 143

треугольника TT'V, а отрезок TV — его гипотенуза, т.е. ТТ' < TV. Таким
образом, длина перпендикуляра, опущенного из точки Тна плоскость а,
меньше длины наклонной, проведенной из этой же точки к плоскости а.

Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется
длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

В простейших случаях расстояние от данной точки до данной
плоскости находится легко. Например, нетрудно найти расстояние от
центра куба, ребро которого известно, до плоскости любой его грани.
Нетрудно также, считая известной сторону основания правильной
призмы АВСА{ВХСЬ найти расстояние от точки, взятой па ребре АА{
этой призмы, например, до плоскости B{BD, точка D которой — это
середина ребра АС.

При вычислении расстояния от точки Т до плоскости а в общем
случае можно руководствоваться следующим планом (рис. 144).
1.	Выберем в плоскости а какую-нибудь прямую ри из точки Т опус-
тим перпендикуляр TR на эту прямую.

2.	В плоскости а через точку R проведем прямую mlp.

3.	Найдем расстояние от точки Т до прямой т. Это расстояние
равно расстоянию от точки Т до плоскости а.

Действительно, пусть TH — это перпендикуляр, опущенный из точ-
ки Т на прямую т. Тогда, как доказано в задаче 2 случай 1, TH ± а.

В соответствии с этим планом задача вычисления расстояния от
данной точки до данной плоскости после определенных дополнитель-
ных построений сводится к задаче вычисления расстояния от данной
точки до данной прямой (т.е. высоты треугольника).

В некоторых случаях для вычисления расстояния от точки до плос-
кости бывает удобно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема 19. Если прямая параллельна плоскости, то все ее точ-
ки находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.

Доказательство (рис. 145). Пусть прямая р параллельна
плоскости а. Возьмем на прямой р какие-нибудь две точки, например,
точки Л и В, и докажем, что они находятся на одинаковом расстоянии
от плоскости а.

Опустим из точки А перпендикуляр АА' на плоскость а. По опреде-
лению длина отрезка АА' является расстоянием от точки А до плоско-
сти а. По теореме 2 через пересекающиеся прямые АВ и АА' проходит
плоскость. Проведем ее. Назовем эту плоскость р.

Так как плоскости р и а имеют общую точку (точку А'), то по аксио-
ме 4 они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Кроме
того, так как прямая р параллельна плоскости а, то по теореме 9 плос-
кость р пересекает плоскость а по прямой, параллельной прямой р.
Обозначим эту прямую р'.

В плоскости Р через точку В проведем прямую т || АА'. Пусть т А р' =
= В'. По теореме 14 прямая ВВ' перпендикулярна плоскости а, т.е. дли-
на отрезка ВВ' является расстоянием от точки В до плоскости а.
Итак, по построению АА' || ВВ' и АВ II А'В'. Тогда четырехугольник
АВВ'А' — параллелограмм. Это значит, что ВВ' = АА'.

• Пример 38. Точка С2 “ середина ребра СС{ кубаЛВСОЛ^^’^р
Считая ребро куба равным а, найдем расстояния до плоскости о, про-
ходящей через точки Вь С2 и D от следующих точек: a) б)

Решение а). Прежде всего построим сечение куба плоскостью а.
Сделаем это, например, методом следов (рис. 146).

1)	В}С2П ВС =

2)	— основной след плоскости а.

3)S2 = S[DQAB.

4)Bt52 ПЛЛ1=Л2.

5)	C2Dy A2D.

Четырехугольник B}C2DA2 — сечение куба плоскостью а.

Подсчитаем теперь расстояние от точки Dx до плоскости ос. Сделаем
это по плану, предложенному на с. 110.

1.	Из точки опустим перпендикуляр на какую-нибудь прямую,
лежащую в плоскости а. Нетрудно заметить, что такой перпендикуляр
на рисунке 146 уже есть. Это DD{ ± 5|52-

2.	Теперь в плоскости а проведем через точку D прямую, перпен-
дикулярную прямой S\S2. Нетрудно доказать (проделайте это само-
стоятельно), что в треугольнике В15152 BXS} = B}S2 и SXD = S2D. Тогда
B}D ± 5j52.

3.	Найдем расстояние от точки D{ до прямой BXD (оно равно рассто-
янию от точки Dx до плоскости а). Чтобы найти это расстояние, под-
считаем стороны треугольника B{DJ). Находим: DD} = ау BXD{ =а\Р1у
Вр = ал!з.
Выразим площадь треугольника B{D\D двумя способами. Имеем:

где х — расстояние от точки до прямой B{D и

= 2	•

Таким образом, получаем уравнение

в\/3х = а-

/а

из которого находим х = ^~~. Итак, расстояние от точки D{ до плоско-

О

сти а равно

О

Замечания. 1. На рисунке 146 построен перпендикуляр D{HX к плоско-

сти а. Сделано это вычислительным способом. А именно, так как D^IL =

«>/б

3 *

Тогда DH{: DB, = 1 : 3.

2. Реализовать план вычисления расстояния от точки D, до плоскости а
можно было и несколько иначе, чем сделано в решении примера 38, а. Приве-
дем ход этого решения (рис. 147).

1)	Опустим перпендикуляр D{Tиз точки Dj на прямую А2С2 (а не на 5,5г)-
Сделать это легко, так как £>iA2 = В{С2. Точка Т — середина отрезка Л2С2 и
легко доказать, что точка Т лежит на прямой B}D.

2)	В плоскости а через точку Т проходит прямая BJ) ± Л2С2.

5 Геометрия, 10 кл.

113
3. Найдем расстояние от точки D{ до прямой B{D. Как выяснено выше, это

расстояние D{H} равно и оно является расстоянием от точки D\ до плос-
3

кости а.

Решение б) (рис. 148). Опу-
стить перпендикуляр из точки А1
па секущую плоскость а не так
просто, как в пункте а) этого при-
мера. Воспользуемся для вычис-
ления искомого расстояния тео-
ремой 19. А именно проведем через
точку Aj какую-нибудь прямую, па-
раллельную плоскости а. Напри-
мер, прямую A{D2 (точка £>2 этой
прямой — середина отрезка DD{).
По теореме 8 прямая AXD2 парал-
лельна плоскости а. Тогда по тео-
реме 19 расстояние от любой точки

Рис. 148

прямой Ai^2 Д° плоскости а одно и то же. Найдем расстояние до
плоскости а от точки D2.

Если расстояние до плоскости а от точки Dx уже известно (в рас-
сматриваемом примере это именно так), то, доказав, что расстояние
от точки D2 до плоскости а равно половине расстояния до нее от точ-
ки D\ (из подобия треугольников DD2H2 и	можно найти, что

D9H9

1	67 х/б  67л/б

2 3	6 •

Замечание. Если расстояние от точки D\ до плоскости а еще не вы-
числено, то искомое расстояние от точки D2 до плоскости а можно найти как
высоту D2H2 треугольника B{D2D, проведенную на его сторону B{D. (Выражая,
например, двумя способами площадь треугольника B\D2D.)

§ 18. Расстояние
между скрещивающимися прямыми

Напомним, что по определению (см. с. 44) скрещивающиеся прямые —
это прямые, которые не пересекаются и не параллельны, а по теореме 7
скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. На рисунке 149
прямые а и h — скрещивающиеся.

Приведем еще два определения, нужных для вычисления расстоя-
ния между двумя данными скрещивающимися прямыми.
Рис. 149

Определения. 1. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся
прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся
перпендикуляром к каждой из них.

Так, если АВСА{В{€\ — прямая призма (рис. 150), то, например, от-
резок CCj является общим перпендикуляром скрещивающихся пря-
мых АС и ВХС\.

Рис. 150

2. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми на-
зывается длина их общего перпендикуляра.

Пусть puq — данные скрещивающиеся прямые, расстояние между
которыми требуется вычислить. В общем случае решение этой задачи
можно провести по следующему плану

1.	На одной их заданных прямых, например на прямой q, выберем
некоторую точку R (рис. 151). Прямой р и точкой R определяется плос-
кость р. Проведем ее.

2.	В плоскости р через точку R проведем прямую pt|| р.

3.	Пересекающимися прямыми р{ и q определяется плоскость а.
Проведем ее.
Рис. 151

Так как р ||	то по теореме 8 р II а. Тогда по теореме 19 расстояние

от любой точки прямой р до плоскости а одно и то же.

4.	Выберем на прямой р какую-нибудь точку Ги опустим из нее пер-
пендикуляр TH на плоскость а. Длина этого перпендикуляра является
расстоянием от точки Тдо плоскости а. Найдем это расстояние.

Докажем, что найденное таким образом расстояние TH равно длине
общего перпендикуляра скрещивающихся прямых р и q.

Выполним с этой целью некоторые построения. На рисунке 152 по-
вторим построения, проведенные па рисунке 151, и покажем новые по-
строения.

Рис. 152

В плоскости а через точку Н проведем прямую р2 II Р\- Найдем точку
V=p2 п Q- Затем в плоскости, определяемой параллельными прямыми
р и р2, через точку V проведем прямую, параллельную прямой TH.
Пусть построенная прямая пересекает прямую р в точке 5.

Таким образом мы построили отрезок 5V. По пос троению его концы
лежат на прямых р и q. Ясно также, что 5V ± р и SV ± q.

Следовательно, отрезок SV является общим перпендикуляром
скрещивающихся прямыхр и q. Но р II р2 и SV || TH. Значит, TH = SV.
Отметим, что в соответствии с этим планом задача вычисления
расстояния между двумя данными скрещивающимися прямыми после
дополнительных определенных построений сводится к задаче вычис-
ления расстояния от данной точки до данной плоскости.

• Пример 39. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA{B{C\D{
АВ = AAt = a, AD = 2а. Найдем расстояние между скрещивающимися
прямыми BDt и DC}.

Р е ш е н и е. В соответствии с предложенным выше планом выпол-
ним сначала построения (рис. 153).

1.	На одной из заданных скрещивающихся прямых, например на BDb
выберем некоторую точку. Например точку D{. Через прямую DC{ и
точку D} проходит плоскость р. На рисунке 153 это плоскость CDD{.

2.	В плоскости Р через точку D{ проведем прямую D^E || DC}.

3.	Через пересекающиеся прямые BDX и DSE проходит плоскость а.
На рисунке 153 это плоскость BD{E.

Так как DC} || D^E, то DC{ || а. Это значит, что расстояние от любой
точки, взятой на прямой DC}, до плоскости а одно и то же.

4.	Выберем на прямой DCj какую-нибудь точку, например точку D.
Найдем расстояние от точки D до плоскости а. Сделаем это по плану,
изложенному на с. 110.

а)	Опустим перпендикуляр из точки £), например на прямую BE.
Чтобы выполнить это построение, заметим, что так как CD II и
DC\ || DXE, то DE = D{C{ = a.

Тогда и DE = AF= а. Таким образом, в треугольнике DEF DE = DF.
Поэтому перпендикуляр, опущенный из точки D па прямую BE, совпа-
дает с медианой треугольника DEF.

Итак, проведем медиану DR треугольника DEF.

Рис. 153
6)	В плоскости BD{E через точку R проведем прямую, перпенди-
кулярную BE. Чтобы выполнить это построение, отмстим, что так как
BE ± DR и BE ± DDh то по теореме 16 прямая BE перпендикулярна
любой прямой плоскости а. Например, BE ± D^R.

в)	Найдем расстояние от точки D до прямой D{R, т.е. высоту тре-
угольника DD{R.

Так как в треугольнике DDXR Z. D{DR = 90°, то ясно, что

[M-DH= lDlDDR.	(*)

По условию DJ) = а. В прямоугольном треугольнике DEF

DR = ±FE=± JDF2 + DE2 = ± J а2 + а2 =	.

Тогда

=JDR2 + DD2 = yj~ + a2 =

Теперь равенство (*) принимает вид:

откуда находим, что DH =

Итак, расстояние между скрещивающимися прямыми BD^ и DCX

а^З

равно —

О
Глава VI

ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛОВ

§ 19. Угол
между скрещивающимися прямыми

Напомним, что углом между скрещивающимися прямыми назы-
вается угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным

скрещивающимся прямым.

Найти величин)7 угла между скрещивающимися прямыми в некото-
рых случаях удается из чисто геометрических соображений.

Так, пусть задан куб ABCDA\B\C{D{ и требуется найти угол между
прямыми В\С и C{D (рис. 154). Для решения этой задачи проведем в
плоскости А{АВ через точку В{ прямую АВ{. Ясно, что ABt || CJ).
Поэтому угол между пересекающимися прямыми АВ\ и В\С равен
искомому углу.

Найдем угол между прямыми АВ{
и В{С. Для этого включим угол АВ{С
в какой-нибудь треугольник, например
в треугольник АВ{С. Ясно, что этот тре-
угольник — равносторонний, и, значит,
угол АВХС равен 60°. Так как найден-
ный угол треугольника АВХ С — острый,
то он является углом и между прямы-
ми АВ\ и В(С.

Итак, угол между прямыми В^Сп
C\D равен 60°.

Прежде чем указать один общий
прием вычисления угла между двумя
скрещивающимися прямыми, докажем
одно нужное соотношение. А именно
докажем, что во всяком треугольнике
cos(p = |cos TUV\,
где ф — это угол между прямыми UV и UT, а угол TUV— это угол между
сторонами UVh UTтреугольника TUV.
Случай 1 (рис. 155). Если угол TUV не превосходит 90°, то угол ср
равен углу TUV и cos TUV > 0. Таким образом, в этом случае

cos ф = cos TUV, где cos TUV >0.	(1)

Рис. 155

Случай 2 (рис. 156). Если угол TUV— тупой, то cos TUV< 0, и угол
TUVтреугольника TUVявляется углом, смежным с углом ф. Значит,
Ф = 180° -ZTUV, т.е.

cos ф = cos (180° - ZTUV) = -cos TUV.

Итак, в этом случае

cos ф = -cos TUV, где cos TUV < 0.	(2)

Объединяя результаты (1) и (2), получаем соотношение

cos ф = | cos TUV|.	(3)

Соотношение (3) можно использовать при вычислении угла между
скрещивающимися прямыми р и q в общем случае. Сделать это можно
следующим образом.
На одной из заданных прямых, например на </, возьмем некоторую
точку U. Проведем через точку U и прямую р плоскость а (рис. 157).
Затем в плоскости а через точку U проведем прямую || р.

Рис. 157

Так как р{ || р, то угол между скрещивающимися прямыми pnq ра-
вен углу между пересекающимися прямыми р{ и q. Чтобы вычислить
угол между прямыми рх и <у, возьмем, например на прямой р{1 неко-
торую точку V и на прямой q — некоторую точку Т. Соединим точку V
с точкой Т. Получим треугольник TUV. Подсчитаем его стороны и затем
по теореме косинусов найдем cos TUV. Далее воспользуемся соотноше-
нием 3 и найдем cos ф, а затем и угол ф.

• Пример 40. Точки D, Е и С{ — середины соответственно ребер
АВ, АС и МС правильного тетраэдра МАВС. Найдем угол между пря-
мыми CjD и ME.

Решение (рис. 158). 1. Через прямую ME и точку Ct уже проведе-
на плоскость а. Это плоскость МАС.

2.	В плоскости МАС через точку Ct проведем прямую CjF || ME. Угол
между пересекающимися прямыми C\D и Справен искомому углу.

3.	Соединим точку D с точкой F. Подсчитаем стороны треугольника
C\DF и найдем cos DC{F. Положим для вычислений ребро тетраэдра
равным а (это вспомогательный параметр). Тогда

МЕ=^-, QF=^ME=^.
2.	1	2	4

Так как в треугольнике MCD MD = CD, то медиана DC\ является и
высотой треугольника MCD. Тогда из прямоугольного треугольника
DCC\ находим

DC, = JCD2 - СС> =
Рис. 158

В треугольнике ADF AD = ^, AF = АЕ + EF = ^ + J = ^, и ADAF = 60°.
Тогда

DF2 = AD2 + AF2 - 2AD • AF • cos DAF,

т.е.

пг2 а2 ,9а2 М а За 1\

DF =Т + Ч6""Г'2’Т'2)

и, следовательно, DF-(-^-.

Теперь в треугольнике СуDF известны все три стороны. По теореме
косинусов в этом треугольнике

DF2 = DC2 + С/2 - 2£>С,  С/  cos DC}F,
т.е.

7а2 _ 2а2 За2 о. «Л . а^> . cos DCF

+	2 2	2 cosZ7Cl^’

откуда cos DCXF=^.

/a

Таким образом, cos(PCp ME) = — и, следовательно, искомый угол

n.RPH ягггпч V6

равен diccub —
Вернемся к примеру, рассмот-
ренному на с. 119 (рис. 154). В этом
примере мы показали чисто геомет-
рический путь нахождения угла
между прямыми В{С и C\D, прове-
денными через вершины куба. По-
кажем решение этого примера при
другом способе построения иско-
мого угла.

А именно проведем через точ-
ку в плоскости ВХВС прямую

II ВХС (рис. 159). Угол между
пересекающимися прямыми (\D и
С{В2 равен искомому углу. Найдем
угол между прямыми CXD и СХВ2,
включив, например угол B2C{D в
треугольник с вершинами в точках

Рис. 159

Сь В2 и D.

Подсчитаем стороны этого треугольника. Находим CxD = a^2,
В2С\ = В{С = и из прямоугольного треугольника B2BD получаем

b2d=д/в2в1 2 + вп2.

Ясно, что В2В = 2а и BD= aj2. Тогда B0D = J 4а2 + 2а2 = а4б.

Итак, в треугольнике B2CJ) известны все стороны. По теореме ко-
синусов в этом треугольнике

В<2Ь2 - В2С2 + С{Ь2 - 2В2С{ • Сcos B2CJ),

или

&а2 = 2а2 + 2а2 - 2 • а42 • а^2 • cos В..С.D,
£ 1

1

откуда cos B2CxD =

По формуле (3) (см. с. 120) cos (В{С, C\D)= —| = -,

т.е. искомый

угол между прямыми ВХС и C{D равен 60°.
§ 20. Угол
между прямой и плоскостью

Определения. 1. Пусть прямая р пересекает плоскость а и не пер-
пендикулярна ей. Прямая р'9 на которой лежат основания перпендику-
ляров, опущенных из точек прямой р на плоскость а, называется проек-
цией прямой р на эту плоскость.

2. Углом между прямой р и плоскостью а называется угол между
прямой ри ее проекцией на плоскость а.

Если прямая р перпендикулярна плоскости а, то угол между ними
считается равным 90°; если прямая р параллельна плоскости а, то угол
между ними считается равным 0°.

Пусть прямая р пересекает плоскость а в точке R. Из какой-нибудь
точки Тпрямой р опустим перпендикуляр ТТ' на плоскость а (рис. 160).
Прямая T'R — это проекция прямой р на плоскость а. Это значит, что
угол TRT' — это угол между прямой р и плоскостью а.

Рис. 160

Докажем, что боковые ребра правильной пирамиды МАВС одина-
ково наклонены к плоскости основания.

Так как пирамида МАВС правильная, то точка О — основание ее вы-
соты МО — совпадает с центром треугольника АВС (рис. 161). Таким
образом, отрезок МО — это перпендикуляр к плоскости АВС. Тогда
прямая ОА — это проекция прямой МА на плооскость АВС. Следова-
тельно, углом между прямой МА и плоскостью АВС является угол
между прямыми МА и ОА.

Соединим точку О с точками А, В и С. Ясно, что прямоугольные тре-
угольники ЛЮД МОВ и МОС равны. Тогда равны и углы МАО, МВО и
МСО. Таким образом, все боковые ребра правильной треугольной пи-
рамиды одинаково наклонены к плоскости основания.
Рис. 161

Аналогично, как нетрудно доказать, боковые ребра правильной
w-угольной пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания.

При вычислении угла между прямой р и плоскостью а можно руко-
водствоваться следующим планом.

1)	Построим искомый угол (рис. 160).

2)	Подсчитаем какие-нибудь две стороны прямоугольного тре-
угольника TT'R и найдем одну из тригонометрических функций иско-
мого угла, а затем и сам этот угол.

• Пример 41. На ребре CD куба ABCDA{BiCiDl взята точка Р —
середина этого ребра. Найдем угол между прямой АХР и следующими
плоскостями:

a)	CDDX\

б)	А{ВС.

Реше н и е а) (рис. 162). 1. Построим искомый угол. Точка пересе-
чения прямой AiP с плоскостью CDDi уже построена. Это точка Р. По-
строена и прямая AjDj, перпендикулярная плоскости CDD{,

Проведем прямую DXP. Она является проекцией прямой АХР на
плоскость CDD{.

Таким образом, угол A{PD{ является искомым.

2. Подсчитаем две стороны прямоугольного треугольника A{D{P.
Полагая для вычислений, например, ребро куба равным а, находим, что

ЛД = аи ДР= JDD2 + DP2 = Ja2 + ^ =

A.D, [с

Тогда tgAlPDl=-^=2f
2-/5

Итак, угол между прямой АХР и плоскостью CDD{ равен arctg-^-.

Решение б) (рис. 163). 1. Построим искомый угол. Точка пересе-
чения прямой А\Р с плоскостью А{ВС на изображении уже есть. Это
точка

Найдем проекцию точки Р па плоскость А {ВС. Для выполнения это-
го построения заметим, что DC{ ± D{C и DCX ± ВС, (так как прямая ВС
перпендикулярна плоскости CDD{, то опа перпендикулярна любой
прямой этой плоскости, и, в частности, ВС ± ВС{). Тогда прямая DCX
перпендикулярна плоскости А{ВС. Воспользуемся этим выводом и в
плоскости CDDX через точку Р проведем прямую РС2II DC{.

Пусть РС2 П D{C = Р'. Точка Р' — это проекция точки Р па плоскость
А}ВС. Тогда прямая А}Р' — это проекция прямой А^Р на плоскость
А^ВС. Следовательно, угол РА{Р' является искомым.

2. Перейдем к вычислениям. Полагая ребро куба равным а, подсчи-
таем какие-нибудь две стороны прямоугольного треугольника РА{Р'.
Из прямоугольного треугольника АХАР имеем

А}Р = JaA^ + AP2 = Ja2 + ^y- =
j	У	тс

Далее ясно, что РР' -\.РС2 = у DC = Тогда
2 z 4	1	4

sin РА{Р' =

РР' _ а\[2,3а_\[2

А{Р 4 * 2 “ 6 '

г)

т.е. искомый угол между прямой А{Р и плоскостью АХВС равен arcsin
о

§ 21. Угол между плоскостями

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями
называется угол между прямыми, получающимися при пересечении
этих двух плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной линии
пересечения первых двух плоскостей. Угол между параллельными плос-
костями считается равным 0°.

Из этого определения следует, что если угол <р — угол между плос-
костями, то 0° < <р < 90°.

Докажем, что угол между двумя плоскостями не зависит от выбора
секущей плоскости, перпендикулярной линии пересечения этих двух
плоскостей.

Пусть а и Р — данные плоскости, пересекающиеся по прямой р
(рис. 164). Проведем плоскость у! ± р и плоскость у2 _1_ р. Пусть плос-
кость Yi пересекает плоскости аир соответственно по прямым и Ь{, а
плоскость у2 пересекает их соответственно по прямым а2 и Ь2. Ясно, что
так как ± р, то р ± а{. Аналогичнор ± а2. Тогда прямые и а2, лежа-
щие в одной плоскости, параллельны.

Итак, а} || а2, и точно так же доказывается, что b\ II Ь2. Это значит,
что угол между прямыми ах и Ьх равен углу между прямыми а2 и Ь2.
Рис. 164

Так, углом между диагональными плоскостями прямой призмы
ABCDA^B^C^i (рис. 165) является, например, угол между прямыми
АС и BD, а также угол между прямыми А^С^ и B{D{. (Докажите это.)

Углом между плоскостями граней МАС и МВС правильного тетра-
эдра МАВС (рис.166) является угол между прямыми АС} и BCif точка Ct
которых — это середина ребра МС, а также между прямыми DC2 и ЕС2,
точки D, Е и С2 которых — это середины соответственно отрезков АС,
ВС и СС{. (Докажите это.)

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпен-
дикулярными, если угол между ними равен 90°.

Так,плоскости i-ранейABBxA{nABCDкубаABCDA{B{C^D{ (рис. 167)
перпендикулярны. Действительно, углом между ними является, на-
пример, угол DAAt получающийся при пересечении плоскостей ВАА} и
BAD плоскостью AXAD. Но угол DAA} равен 90°.

Рис. 167

Теорема 20 (признак перпендикулярности плоскостей). Если
плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой
плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство (рис. 168). Пусть прямая р перпендикулярна
плоскости а и плоскость р проходит через прямую р. Докажем, что
плоскость Р перпендикулярна плоскости а.

Обозначим буквой А точку пересечения прямой р с плоскостью а и
буквой с — прямую, по которой пересекаются плоскости Р и а. Прове-
дем в плоскости а через точку А прямую q ± с. Ясно, что так как р ± а,
то р ± с.

Итак, q ± с и р ± с. Тогда плоскость у, которая проходит через пере-
секающиеся прямые р и <у, перпендикулярна линии пересечения плос-
костей аир, т.е. у ± с. При этом плоскость у пересекает плоскости аир
соответственно но прямым q ир, которые перпендикулярны, так как
р ± а. Это и означает, что Р ± а.
Рис. 168

С помощью теоремы 20 можно, например, доказать, что если точка Р —
середина ребра АС правильной призмы АВСА^В{СЬ то плоскость ВРС}
перпендикулярна плоскости АСС{ (рис 169).

Действительно, так как заданная призма правильная, то треуголь-
ник АВС — равносторонний, т.е. медиана ВР этого треугольника явля-
ется и его высотой. Ясно также, что так как призма правильная, то она
прямая и, следовательно, ее боковое ребро перпендикулярно плоско-
сти основания. Итак, ВР ± АС и ВР ± СС{. Тогда по следствию из теоре-
мы 16 прямая ВР перпендикулярна плоскости АСС{, и, значит, по тео-
реме 20 плоскость ВРС{ перпендикулярна плоскости АСС{.

Рис. 169

В общем случае угол ср между
двумя пересекающимися плоско-
стями аир может быть вычислен,
например, по следующему плану.

1.	Пусть линией пересечения
плоскостей аир является прямая р
(рис. 170). Через некоторую точ-
ку [7, лежащую на прямой р, про-
ведем в плоскостях а и Р соответ-
ственно прямые а и й, перпендику-
лярные прямой р.

Так как плоскость у, определяе-
мая пересекающимися прямыми а
и Ь, перпендикулярна прямой р, то
угол между прямыми а и b равен
искомому углу между плоскостя-
ми аир.
Рис. 170

2.	Найдем угол между пересекающимися прямыми а и Ь. Для этого
на прямых а и Ь возьмем соответственно точки Ти V. Соединив точки Т
и V, получим треугольник TUV. Найдем косинус угла TUV, и, воспользо-
вавшись соотношением (3), полученным па с. 120, найдем cos ф, а затем
и угол ф.

• Пример 42. Боковое ребро правильной пирамиды MABCD равно
стороне ее основания. Найдем угол:

а)	между плоскостями смежных боковых граней;

б)	между плоскостями A{BD и C{BD, точки At и которых — сере-
дины соответственно ребер МА и МС.

Решение а) (рис. 171). Так как заданная пирамида является пра-
вильной, то нетрудно убедиться, что углы между плоскостями ее смеж-
ных боковых граней равны.

Найдем угол, например, между плоскостями МАВ и МВС.

1.	Построим угол между этими плоскостями. Прямая МВ является
их линией пересечения. Проведем через точку А в плоскости МАВ пря-
мую, перпендикулярную прямой МВ. Из условия легко следует, что
треугольник МАВ — равносторонний. Тогда ясно, что медиана АВХ это-
го треугольника является и его высотой, т.е. АВ{ ± МВ. Проведем пря-
мую СВ{. Понятно, что СВХ ± МВ. (Докажите это.)

Итак, угол между прямыми АВХ и СВ{ является углом между плос-
костями МАВ и МВС.

2.	Возьмем на прямой АВЬ например, точку А, а на прямой CBt —
точку С. Соединим эти точки. Получим треугольник ABtC. Подсчита-
ем его стороны и найдем cos АВ{С.
м

Для вычислений положим, например, АВ = а (вспомогательный па-
раметр). Тогда

ЛС=ал/2, ABj=^ и СВ{=^.

По теореме косинусов

АС1 = АВ2 + СВ2 - ‘2.АВ{  СВ{  cos АВ{С,

ИЛИ

2а2 = 3^+3^-2-^ ^.cosABjC,

откуда cosAB1C = -i. Следовательно,

cos (МАВ, МВС) = - -1 = А
о о

Итак, искомый угол равен arccos

О

Решение б) (рис. 172). 1. Построим угол между плоскостями
A{BD и C^BD. Прямая BD является их линией пересечения, и, как не-
трудно доказать, в треугольнике AXBD А{В = A{D, т.е. медиана А{0 яв-
ляется и его высотой. Таким образом, прямая AtO перпендикулярна
прямой BD. Аналогично С{0 ± BD.

Итак, углом между плоскостями A{BD и C}BD является угол между
прямыми А)О и CjO.

2. Соединим точку А{ с точкой С{ и подсчитаем стороны тре-
угольника А{ОС[У а затем cos А{ОС{.
м

Рис. 172

Полагая для вычислений, например, АВ = а, находим, что Afi = ^МС =

= 7 (как средняя линия треугольника МАС). Аналогично С.0 = ^ и

2	‘	1	2

J—»

Далее, в треугольнике AfiC\ по теореме косинусов

А$ = Ар1 + ЦО2 - 2Л,О- Ср cos ApCv

или

2д2 _ д2 g2 q g д	л пг

4	4 + 4 2 2 2C0S

откуда cos Afi)C{ = 0. Тогда угол AfiCj равен 90°, т.е. и искомый угол
равен 90°.

Замечание. Если заметить, что стороны треугольника А{ОС{ связаны
равенством

Л1О2+С1О2=Л1С2,

то станет ясно, что угол А{ОС{ равен 90°.

§ 22. Двугранный угол

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная
двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, с общей
ограничивающей их прямой. Эта прямая называется ребром двугран-
ного угла, а указанные полуплоскости — его гранями.
Если некоторая прямая является ребром одного двугранного угла,
то этот угол можно обозначать теми же буквами, которыми обозначено
его ребро. В тех же случаях, когда два или несколько двугранных углов
имеют общее ребро, в обозначении каждого двугранного угла указыва-
ют сначала точку, лежащую в одной из его граней, затем указывают
ребро этого угла и далее какую-нибудь точку, лежащую во второй его
грани.

Так, на рисунке 173 изображены двугранные углы CPQE, CPQD и
DPQE. Прямая PQ является их общим ребром.

Определение. Угол, который получается в сечении двугранного угла
плоскостью, перпендикулярной его ребру, называется линейным углом

этого двугранного угла.

За меру двугранного угла при-
нимают меру его линейного угла.
Докажем, что мера двугранного
угла не зависит от выбора его ли-
нейного угла.

Пусть двугранный угол образо-
ван полуплоскостями ос и р, общей
границей которых является пря-
мая PQ — ребро этого двугранного
угла (рис. 174) и угол АСВ являет-
ся его линейным углом, т.е. плос-
кость ЛСВ перпендикулярна пря-
мой PQ, и, следовательно, СЛ ± PQ
и СВ 1 PQ.

Возьмем на прямой PQ какую-
нибудь точку, например точку С{,
и проведем через нее плоскость уь перпендикулярную прямой PQ.
Пусть пересечением плоскости у с полуплоскостью а является луч
Cj/lj, а с полуплоскостью — луч СХВХ. Тогда угол АХС\В{ также являет-
ся линейным углом двугранного угла APQB. При этом так как PQ ± уь
то PQ ± CiAlf т.е. и СХАХ ± PQ.

Точка С (начало луча СА), и точка Сх (начало луча лежат на
прямой PQ — границе полуплоскости а, и оба эти луча лежат по одну
сторону от прямой PQ.

Таким образом, лучи СА и CtAx сонаправленны. Аналогично при-
ходим к выводу, что и лучи СВ и СХВХ сонаправленны. Это значит, что
Z АХСХВ{ = Z АСВ (как углы с сонаправленными сторонами).

Радианной (градусной) мерой двугранного угла называется
радианная (градусная) мера его линейного угла. Если радианная (гра-
дусная) мера двугранного угла равна (р, то говорят: «Двугранный угол
равен (р».

Отметим еще, что линейный угол двугранного угла — это угол меж-
ду лучами (а не прямыми) с общим началом, т.е. если (р — это величина
двугранного угла, то 0°< (р < 180°, т.е. двугранный угол может быть и
острым, и прямым, и тупым.

Построение линейного угла данного двугранного угла PQ можно
выполнить, например, следующим образом (рис. 175, а).

1.	Из некоторой точки Му взятой в одной из граней данного двугран-
ного угла PQ, опустим перпендикуляр MD на прямую PQ — ребро дан-
ного двугранного угла.

2.	Через полученную на ребре PQ точку D в другой грани этого дву-
гранного угла проведем луч DE, перпендикулярный прямой PQ. Ясно,
что при таком способе построения угол между лучами DM и DE явля-
ется линейным углом двугранного угла PQ
В некоторых случаях для построения линейного угла двугранного
угла PQ (при условии, что угол PQ не тупой) избирают другой путь
построения, а именно (рис. 175, 6):

1.	Из точки М, взятой, например, в грани а, опустим перпендикуляр
МО на грань р.

2.	Из полученной точки О опустим перпендикуляр ОО па ребро PQ.

2.	Проведем луч DM.

Рис. 175, б

Докажем, что при таком способе построения угол MDO является
линейным углом данного двугранного угла PQ. Так как PQ ± OD и
PQ ± МО (последнее следует из того, что по построению МО ± Р), то
по теореме 16 прямая PQ перпендикулярна любой прямой плоскости
MOD, и, в частности, PQ ± MD.

Итак, PQ ± DO и PQ ± DM. Таким образом, угол MDO образован
двумя лучами DM и DO с общим началом на прямой PQ. При этом лучи
DM и DO лежат в гранях двугранного угла. Следовательно, угол MDO —
это линейный угол двугранного угла PQ.

Для построения линейного угла данного двугранного угла PQ можно
воспользоваться еще одним способом. А именно, из некоторой точки D
ребра PQ восставить два перпендикуляра к нему: один в плоскости а,
другой в плоскости р. Докажите самостоятельно, что угол между этими
перпендикулярами является линейным углом двугранного угла PQ.

• Пример 43. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ос-
нованием ее высоты МО является точка О, симметричная точке О{ —
центру квадрата ABCD относительно прямой АВ.

Считая высоту пирамиды равной стороне ее основания, найдем
следующие двугранные углы:

a) MCDO{; б) МАВО{\ в) MADO}.

Решение а) (рис. 176). Построим линейный угол двугранного
угла MCDO{. Проведем прямую ОО{. Так как точка О симметрична
точке Oi относительно прямой АВ, то ОО{ ± АВ. Тогда прямая ОО} пер-
пендикулярна и прямой CD. Пусть Cl CD = Е. Соединим точку Е с
точкой М. Так как отрезок МО — это высота пирамиды, то прямая МО
перпендикулярна плоскости АВС, и, следовательно, прямая МО пер-
пендикулярна любой прямой этой плоскости. В частности, МО ± CD.
Тогда CD ± МО и CD ± ОЕ. Следовательно, CD ± ME.

Таким образом, угол МЕО образован лучами ЕО и ЕМ, перпендику-
лярными ребру CD двугранного угла MCDO{, и эти лучи лежат в его
гранях. Значит, угол МЕО является линейным углом двугранного угла
MCDO}.

Положим для краткости, Z МЕО = (рь Найдем радианную меру
угла <pj. Для вычислений введем вспомогательный параметр, при-
няв, например, АВ = а. Тогда в прямоугольном треугольнике МОЕ

П

МО = а, ОЕ = OF + FE = Q F + FE = — + а = —, и, следовательно,
1	2	2

1.у_ МО _ а _ 2

ОЕ Зе 3’

2

9	9

т.е. = arctg и искомый двугранный угол также равен arctg .

Решение б) (рис. 176). Пусть ОО{ C\AB = F. Угол MFE является
линейным углом двугранного угла МАВО{. (Докажите это самостоя-
тельно.) Положим для краткости Z MFE = (р2.

Найти радианную меру угла <р2 можно, подсчитав, например, сторо-
ны треугольника MFE (и применив затем к нему теорему косинусов).
Мы, однако, покажем другой путь вычислений. А именно найдем сна-
чала tg MFO (угол MFO — смежный с углом <р2). Угол A/FO является
углом прямоугольного треугольника MOF, и (р2 = 180° - Z MFO. При
этом

tgMro = ^ = | = 2,
2

т.е.

tg ф2 = tg (180° - Z MFO) = -tg MFO = -2.

Таким образом, искомый двугранный угол МАВО{ равен arctg(-2).

Решение в) (рис. 177). Построим линейный угол двугранного
угла MAD0\. Для этого через точку О проведем прямую ОК || АВ. Тогда
так как АВ ± AD, то и OK ± AD. Точку К соединим с точкой М. Ясно,
что МК ± AD (докажите это самостоятельно), и, таким образом, угол
МКО является линейным углом двугранного угла MADO{.

Из прямоугольного треугольника МКО находим

tg^0 = ^4 = 2.

2

Итак, искомый двугранный угол MADO{ равен arctg 2.

• Пример 44. Отношение ребер АВ : AD : AAt прямоугольного па-
раллелепипеда ABCDAXB{CXDX равно 1:2:1. Найдем следующие дву-
гранные углы:

a) A\AB{D\; б) A{PQDb где точки Р и Q — центры соответственно
граней A{B{C{D\ wADD{A{.
Решение а) (рис. 178). Построим линейный угол двугранного
угла A{AB{D{. Заметим, что в соответствии с условием четырехуголь-
ник АВВ\АХ — квадрат. Поэтому АВ{ ± А{В. Пусть АВ{ А А^В = К.
Далее ясно, что прямоугольные треугольники AA^Di и AiB[D[
равны (по двум катетам). Тогда AD} = т.е. медиана D}Kтреуголь-
ника AB{Di является и его высотой. Таким образом, соединив точку К
с точкой Db мы получим D{K ± АВ{.

Итак, угол A]KD{ является линейным углом искомого двугранного
угла AjHBjDj.

Чтобы найти радианную меру угла A{KD, отметим, что так как за-
данный параллелепипед — прямоугольный, то A{D\ ± А,/С. Поэтому
для вычисления радианной меры угла AXKD достаточно найти какие-
нибудь две стороны треугольника D\KA{. Подсчитаем стороны этого
треугольника.

Введем для вычислений вспомогательный параметр. Положим, напри-
мер, АВ = а. Тогда в треугольнике D{A^K A{D} = 2а, AtK = ±А\В =
и, следовательно,

tgX1KD=^ = ^- = 2V2.

а>/2

2

Таким образом, искомый двугранный угол A]AB{Dl равен arctg2\/2.

Решение б) (рис. 179). Построим линейный угол двугранного
угла AiPQD{. Заметим, что в треугольнике A{PQ A{P = A}Q (как поло-
вины равных отрезков AtCi и A{D}. Тогда медиана AXFэтого треуголь-
ника является и его высотой, т.е. AjF± PQ.

Аналогично DXF ± PQ, и таким образом, угол A{FD{ является
линейным углом двугранного угла AXPQD{.
Рис. 179

Чтобы найти радианную меру угла A{FDb подсчитаем стороны тре-
угольника AXFD{. Для вычислений введем вспомогательный параметр,
положив, например, АВ = а. Тогда A|Dt = 2а. В треугольнике

отрезок PQявляется средней линией, т.е. PQ = АВ} = и, следова-
тел ыю, PF=2-^.

Далее находим

А,Р=±	±	+Д С2 = W + 4а2 =

и

AtF= yfA^-PF2 =

Понятно, что DaF=AaF
1	1	4

Применим теперь к треугольнику Ai-EDi георему косинусов. Полу-
чаем

Л,/)2 = ЛД2 + ДГ2 - 2ЛД • ДГ- cos A\FD{,
или

16	16	4	4	1 i

откуда cos A{FD\ =-^.

к/

Таким образом, искомый двугранный угол A\PQD\ равен arccos
Сводный список аксиом и теорем по курсу геометрии 10 класса

Аксиома 1 (с. 17).

Аксиома 2. (с. 17)

Аксиома 3 (с. 17).

Аксиома 4 (с. 17).

Теорема 1 (с. 18).

Теорема 2 (с. 18).

Теорема 3 (с. 28).

Теорема 4 (с. 28).

Теорема 5 (с. 29).

Теорема 6 (с. 41)

Теорема 7 (с. 44)

Теорема 8 (с. 47)

Теорема 9 (с. 49)

Теорема 10 (с. 52)

Теорема 11 (с. 54)

Теорема 12 (с. 55)

Теорема 13 (с. 66).

Теорема 14 (с. 67).

Теорема 15 (с. 67)

Теорема 16 (с. 69).

Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плос-
кости.

Если три точки не лежат на одной прямой, то через них проходит плоскость,
и притом только одна.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой, определяе-
мой ими, лежат в этой плоскости.

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, про-
ходящей через эту точку.

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом толь-
ко одна.

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только
одна.

Две параллельные прямые лежат в одной плоскости.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная
этой прямой, и притом только одна.

Если прямая пересекает две параллельные прямые, то она лежит в плоскости,
определяемой этими параллельными прямыми.

(признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей
прямой, то они параллельны.

(признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в неко-
торой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежа-
щей на первой прямой, то эти две прямые являются скрещивающимися.

(признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в
данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плос-
кости, то она параллельна данной плоскости.

(обратная теореме 8). Если данная прямая параллельна некоторой плоскости
и через эту прямую проходит другая плоскость, пересекающая первую, то ли-
ния пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.

(признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые од-
ной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости
параллельны.

(свойство параллельных плоскостей). Если две плоскости параллельны, то и
линии их пересечения третьей плоскостью параллельны.

(признак параллельности плоскостей). Две плоскости, параллельные третьей,
параллельны.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то
и другая прямая перпендикулярна ей.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и
другая прямая перпендикулярна ей.

(обратная теореме 14). Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они
параллельны.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, то она пер-
пендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости, определяемой этими пе-
ресекающимися прямыми.
Следствие 1 (с. 71) (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендику-
лярна двум пересекающимся прямым, то она перпендикулярна плоскости,
определяемой этими пересекающимися прямыми.

Следствие 2 (с. 71) Если данная прямая перпендикулярна плоскости, то любая прямая этой плос-
кости перпендикулярна данной прямой.

Теорема 17 (с. 88). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла
пропорциональные отрезки.

Теорема. 18 (с. 88). При параллельном проектировании сохраняется отношение длин параллель-
ных отрезков.

Теорема 19 (с. 111). Если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом
расстоянии от этой плоскости.

Теорема 20 (с. 129) (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через
прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендику-
лярны.

Что вы будете изучать в 11 классе

Перечислим основные темы, которые вы будете изучать в курсе сте-
реометрии 11 класса.

1.	Метод координат и его применение при решении задач.

2.	Векторы. Координаты векторов. Действия над векторами,г;Векторно-координатный метод
решения задач на построение и вычислительных задач.'

3.	Площадь сечения многогранника.

4.	Правильные и полуправильные многогранники.

5.	Площадь поверхности многогранника.

6.	Объемы многогранников.

7.	Тела вращения.

8.	Объемы и поверхности тел вращения.

9.	Комбинации многогранников и тел вращения.

10.	Комбинации многогранников.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение......................................................3

Глава I. Первые сведения о взаимном расположении точек,
прямых и плоскостей

§ 1.	Пирамида (начальные сведения). Развертка пирамиды
и ее модель..................................................11

§ 2.	Аксиомы стереометрии и их первые следствия..............16

§ 3.	Построение сечений пирамиды.............................20

Глава II. Параллельность прямых и плоскостей

§ 4.	Параллельные прямые.....................................28

§ 5.	Призма (начальные сведения). Развертка	призмы и ее модель.31

§ 6.	Построение сечений призмы...............................35

§ 7.	Скрещивающиеся прямые...................................44

§ 8.	Параллельные прямая и плоскость.........................47

§ 9.	Параллельные плоскости..................................52

Глава III. Перпендикулярность прямых и плоскостей

§ 10.	Угол между скрещивающимися	прямыми.....................61

§11.	Перпендикулярные прямые................................66

§ 12.	Перпендикулярные прямая и	плоскость....................67

Глава IV. Многогранники

§ 13.	Пирамида (продолжение).................................72

§ 14.	Призма (продолжение)...................................80

Глава V. Вычисление расстояний

§ 15.	Расстояние между двумя точками.........................84

§ 16.	Расстояние от точки до прямой............................88

§ 17.	Расстояние от точки до плоскости......................103

§ 18.	Расстояние между скрещивающимися прямыми.................114

Глава VI. Вычисление углов

§ 19.	Угол между	скрещивающимися	прямыми.......................119

§ 20.	Угол между	прямой и плоскостью........................124

§ 21.	Угол между	плоскостями................................127

§ 22.	Двугранный	угол.......................................133

Сводный список аксиом и теорем по курсу геометрии 10 класса....141

Что вы будете изучать в 11 классе...........................142
a