/
Автор: Иванов Н.С.
Теги: внешняя геодинамика (экзогенные процессы) геология теплообмен геокриология
Год: 1969
Текст
Н. С. Иванов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«НАУКА»
ТЕПЛО-
11 МАССОПЕРЕНОС
В МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ
ПОРОДАХ
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МЕРЗЛОТОВЕДЕНИЯ
Н. С. ИВАНОВ
ТЕПЛО-
И МАССОПЕРЕНОС
В МЕРЗЛЫХ
ГОРНЫХ ПОРОДАХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1969
УДК 551.345: 550.362.001.5
Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах. Иванов Н. С.
Изд-во «Наука», 1969 г., 1—240.
В монографии изложены основные положения теории перено-
са тепла и вещества в мерзлых горных породах. Рассмотрены
термодинамические закономерности и кинетика явлений фазовых
переходов поровых растворов и переноса тепла, влаги и раство-
ренных веществ в этих породах. Значительное внимание уделено
методике исследования теплофизических свойств мерзлых горных
пород и анализу их зависимостей от различных физико-механи-
ческих характеристик, а также методам измерения потоков тепла
и влаги в горных породах. Приведены новые решения уравнений
тепло- и массопереноса в промерзающих и протаивающих тонко-
дисперсных и крупноскелетных горных породах. Предложены
приближенные методы расчета температурных полей и зон про-
таивания в мерзлых толщах земной коры под плоскими тепловы-
ми источниками.
Издание рассчитано на исследователей и практиков — геофи-
зиков, геологов, проектировщиков и строителей, занятых изуче-
нием физических и инженерно-геологических свойств мерзлых
горных пород.
Таблиц 7, иллюстраций 106, библиогр. 172 назв.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР
канд. физ.-мат. наук Д. М. СИВЦЕВ
2-9-2; 3-2-6__________
487-69 (1-е полугодие)
Скан ДВК 2012
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория тепло- и массопереноса в мерзлых горных породах
является одним из важных разделов общей теории тепло- и
массопереноса в дисперсных средах. В трудах выдающихся
советских теплофизиков А. В. Лыкова, А. Ф. Чудновского и их
учеников, а также в работах других отечественных и зарубеж-
ных исследователей были разработаны теоретические основы
процессов переноса тепла и вещества в дисперсных средах при
фазовых превращениях. Были получены важные результаты и
в области изучения явлений переноса тепла и вещества в про-
мерзающих — протаивающих горных породах и теплового вза-
имодействия инженерных сооружений с мерзлыми грунтами.
Однако ни уровень, ни объем теоретических и эксперимен-
тальных исследований в области теплофизики мерзлых горных
пород не отвечают запросам быстро развивающегося народ-
ного хозяйства северных и восточных районов нашей страны.
Интенсификация и повышение экономичности методов оттайки
грунтов на россыпных месторождениях полезных ископаемых;
водно-тепловая мелиорация сельскохозяйственных земель; про-
гнозирование и управление тепловым режимом мерзлых грун-
тов под зданиями, а также вокруг подземных сооружений и
коммуникаций; борьба со смерзаемостью грузов; разрушение
мерзлых грунтов и льда — таков далеко не полный перечень
проблем, решение которых в значительной степени определяет-
ся уровнем развития теории тепло- и массопереноса в мерзлых,
горных породах.
В современной геокриологии, а также в смежных с ней гео-
технических науках как у нас, так и в ряде зарубежных стран
накоплен богатый экспериментальный материал и разработаны
многие важные теоретические положения.
Анализ этих результатов будет осуществлен в ближайшие
годы совместными усилиями ведущих специалистов-геокриоло-
гов.
Настоящая работа отражает в основном результаты первого
этапа исследований по тепло- и массопереносу в мерзлых гор-
ных породах, проведенных автором и выполненных под его ру-
ководством в Институте мерзлотоведения СО АН СССР. В про-
ведении экспериментальных работ и подготовке ряда разделов
3
принимали участие сотрудники лаборатории тепло- и массооб-
мена этого института. Так, раздел 7 гл. V написан автором со-
вместно с Л. П. Пырковой и Р. Я. Демченко. Расчеты номо-
грамм для построения обобщенных зависимостей теплофизиче-
ских коэффициентов в гл. III проводились Р. И. Гаврильевым.
Автор сознает всю сложность стоявших перед ним задач и
дискуссионность многих вопросов, еще далеких от своего реше-
ния. Он с благодарностью воспримет все критические заме-
чания.
ВВЕДЕНИЕ
Для областей сезонного и глубокого промерзания земной коры тепло-
вое состояние почв и горных пород является одним из решающих факто-
ров, определяющих их физико-технические свойства. Известно, что около
половины территории Советского Союза, значительная часть территории
США, Канады, Китая, Монголии подвержены глубокому промерзанию
земной коры. Сезонное же промерзание почв и горных пород встречается
почти повсеместно.
Резкое изменение физико-механических и теплофизических свойств
почв и горных пород в процессе их промерзания приводит к новым зако-
номерностям переноса в них механической, тепловой, электрической и элек-
тромагнитной энергии. Эти закономерности имеют важное практическое и
теоретическое значение для разработки методов поиска и разведки полез-
ных ископаемых, изучения условий распространения радиоволн и сейсми
ческих колебаний.
Возникают новые проблемы, обусловленные особыми физико-механи-
ческими свойствами почв и горных пород (грунтов) после их промерза-
ния. Так, например, рыхлые талые грунты после промерзания приобре-
тают свойства скальных грунтов с вытекающими из этого особенностями
строительства наземных и подземных сооружений, В то же время протаи-
вание мерзлых грунтов может привести к разрушению сооружений. Су-
щественно изменяются после промерзания теплофизические свойства грун-
тов: практически прекращается конвективный теплообмен,, фильтрующие
грунты становятся водонепроницаемыми. Хорошо проводящие электриче-
ство почвы и горные породы приобретают свойства диэлектриков, что
весьма осложняет заземление электрических систем и машин.
Промерзание — протаивание почв и горных пород сопровождается та-
кими явлениями, как пучение и просадка, солифлюкция, перераспреде-
ление влаги и формирование криогенной текстуры, морозобойное растре-
скивание и образование жильных льдов, термокарст и термоабразия. При
изучении физической природы всех этих явлений теория тепло- и массо-
переноса имеет первостепенное значение.
Эта теория состоит из следующих основных разделов: термодинамики
и кинетики фазовых переходов поровых растворов; термодинамики и ки-
нетики явлений переноса тепла, влаги, растворенных веществ и поровых
газов; методики определения теплофизических свойств и массообменных
характеристик и изучения зависимостей этих величин от физико-механи-
ческих и физико-химических свойств горных пород; аналитической теории
тепло- и массопереноса; теории и методики физического и математиче-
ского моделирования процессов тепло- и массопереноса; методики геотеп-
лофизических измерений.
В развитии теории тепло- и массопереноса в мерзлых почвах и горных
породах отчетливо выделяются два этапа.
Первый этап характеризуется обособленным изучением явлений тепло-
обмена и переноса влаги. Эти явления рассматривались как независимые.
5
Теплообмен в горных породах при этом сводился в основном к кондуктив-
ной теплопередаче. Свое отражение этот этап нашел в монографии «Об-
щее мерзлотоведение» (Сумгин и др., 1940) и многих других работах.
Второй этап возник на основе новых теоретических положений, вы-
двинутых академиком А. В. Лыковым и развитых его учениками. В основе
этих положений лежат идеи взаимосвязи и взаимообусловленности явле-
ний переноса тепла и вещества в капиллярнопористых и коллоидных те-
лах. Основные положения теории тепло- и массопереноса в таких телах
изложены в фундаментальных трудах А. В. Лыкова (1954, 1956, 1961),
А. В. Лыкова и Ю. А. Михайлова (1959, 1963) и в многочисленных рабо-
тах учеников А. В. Лыкова. Некоторое представление о современном со-
стоянии теории по результатам исследований отечественных и зарубеж-
ных ученых может быть получено из предыдущих работ автора (Иванов,
1962; 1966).
Теория тепло- и массопереноса возникла на стыке общей теории (а точ-
нее: теории тепло- и массопереноса при фазовых и химических превра-
щениях) и геокриологии. По методам исследований она является частным
разделом общей теории тепло- и массопереноса при фазовых превраще-
ниях. С другой стороны, она включает в себя все необходимые сведения
о предмете исследований — мерзлых почвах и горных породах, а следова-
тельно, физико-химические, молекулярно-кинетические, статистические и
термодинамические представления об этих средах.
Построение и содержание монографии отражает рассмотренную ранее
структуру теории тепло- и массопереноса в мерзлых горных породах.
Однако из-за ограниченного объема монографии материал, посвященный
физическому и математическому моделированию теплофизических про-
цессов и решению некоторых задач общей и инженерной геокриологии,
а также описанию методов и приборов для определения тепловых свойств,
будет опубликован позднее.
Глава I
ТЕРМОДИНАМИКА И КИНЕТИКА
ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ПОРОВОЙ ВЛАГИ
В МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О КРИОГЕННЫХ
И КРИОЛИТНЫХ СРЕДАХ
Мерзлые горные породы являются широко распространенной в природе средой,
в основном включающей в себя лед как один из основных компонентов.
Рассматриваемые среды могут быть объединены в две основные категории.
1. Среды, возникновение и существование которых возможно лишь при отри-
цательных (по шкале Цельсия) температурах. К ним отнсятся многочисленные раз-
новидности льда и снежного покрова. Объединим их обобщающей категорией крио-
генных сред (греческое kryos — лед, холод; genos — происхождение).
2. Дисперсные, пористые и сплошные среды, находящиеся при отрицательных
температурах. К ним относятся мерзлые и морозные горные породы. Под мерзлыми
понимаются промерзающие — протаивающие и промерзшие горные породы, в порах
которых содержится лед. Под морозными понимаются дисперсные горные породы,
поровая влага в которых находится в жидкой фазе в связи с условиями термодина-
мического равновесия или переохлаждения, а также охлажденные ниже 0° скальные
породы, обобщающей категорией для мерзлых и морозных горных пород является
понятие криолитных сред (греческое lithos — камень).
Между криогенными и криолитными средами нет резкой границы. Переход меж-
ду ними заполнен последовательностью ледогрунтовых и снежногрунтовых сред с
постепенно меняющимися свойствами.
2. МЕРЗЛЫЕ ГОРНЫЕ ПОРОДЫ
КАК ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В термодинамическом отношении мерзлые горные породы следует рас-
сматривать как гетерогенные многокомпонентные системы. К основным
компонентам этих систем относятся органо-минеральная масса, поровые
растворы и поровые газы.
Органо-минеральная масса в свою очереди также является многоком-
понентной системой. В ее состав входят четыре основные химико-минера-
логические группы: первичные — нерастворимые в воде минералы; вто-
ричные — нерастворимые в воде алюмосиликаты, силикаты и простейшие
окислы; вторичные — растворимые в воде минералы; органические и орга-
но-минеральные соединения.
При изучении явлений тепло- и массопереноса в мерзлых горных по-
родах необходимо знать их тепловые свойства, в особенности теплоем-
кость и коэффициент теплопроводности.
Теплоемкость основных категорий горных пород изменяется в очень
незначительном диапазоне. Например, удельная теплоемкость кварцевого
песка равна 0,17; покровного суглинка — 0,19; глины — 0,20 ккал/кг-
^град. Это объясняется близостью значений удельной теплоемкости поро-
дообразующих минералов. Для верхнего слоя земной коры теплоемкость
минерального скелета горных пород может считаться практически посто-
янной величиной, не зависящей от температуры.
7
Коэффициент теплопроводности основных химических элементов верх-
него слоя земной коры изменяется в очень широких пределах: от долей
единицы до сотен ккал/м-час-град. Коэффициент теплопроводности оса-
дочных горных пород — в несколько меньших пределах: от долей едини-
цы до нескольких ккал/м> час-град. Коэффициенты теплопроводности гор-
ных пород определяются не только тепловыми свойствами компонентов,
но текстурой и структурой пород, а также их анизотропностью. Это и со-
здает многообразие тепловых свойств одних и тех же категорий горных
пород.
Поровая влага в горных породах содержит в себе молекулы и ионы
растворенных веществ, а также коллоидные и более крупные частицы. Это
придает ей свойства молекулярных, ионных и коллоидных растворов и
суспензий. В зависимости от физико-химических свойств и степени вза-
имодействия с поверхностью адсорбента могут быть выделены категории
свободной и связанной воды, свободных и связанных растворов. Из основ-
ных форм связи поровой влаги в горных породах, по классификационной
схеме П. А. Ребиндера, основное значение для геокриологии имеют физи-
ко-химическая и физико-механическая формы. Химически связанная вла-
га не участвует в фазовых переходах и явлениях массопереноса.
Физико-химическая форма связи присуща адсорбированной и осмоти-
ческой влаге, которые составляют основную массу незамерзшей воды в
мерзлых горных породах. Толщина пленки адсорбированной влаги дости-
гает, по некоторым данным, нескольких тысяч ангстрем (Роде, 1952;
Андрианов, 1946; Грим, 1956). Ориентирующее влияние поверхности ад-
сорбента проявляется на расстояниях, значительно превышающих радиус
действия внутримолекулярных и межмолекулярных сил, который не пре-
восходит 10 А (Попов, Зубкович, 1963; Роде, 1952). Образование полимо-
лекулярного адсорбированного слоя происходит под действием сил Ван-
дер-Ваальса. Из трех эффектов взаимодействия Кеезома, Дебая и Лондона
(Илыш, 1952) доминирующее значение для воды имеет ориентационный
эффект Кеезома, который усиливается с понижением температуры. О влия-
нии обменных катионов на количество адсорбированной влаги еще не сло-
жилось определенного мнения.
В настоящее время существуют различные мнения также о структуре
связанной воды и, в частности, о структуре ее гранично!! фазы. Высказы-
ваются взгляды как о кристаллической структуре этой фазы (Шумский,
1955; Пархоменко, 1956; Грим, 1956; Бржан, 1959 и др.), так и о ее жид-
ком состоянии (Ананян, I960'; Тютюнов, 1961).
Давление в пленке связанной воды достигает десятков и даже сотен
тысяч атмосфер (Андрианов, 1946; Пархоменко, 1956). На первой стадии
адсорбции вода имеет дисперсное строение. Этим объясняется, очевидно,
что полученные рядом исследователей значения плотности прочносвязан-
ной воды меньше единицы (Грим, 1956; Лоу, 1966). Для полимолекуляр-
ной пленки доминирующее значение имеет электрострикционный эффект.
Поэтому большинство исследователей, изучавших плотность полимолеку-
лярной пленки, получали значения, существенно превышающие плотность
объемной фазы, а именно: от 1,2 до 2,45 г j см3 (Андрианов, 1946; Грим,
1956; Роде, 1952 и др.).
Иного мнения придерживается Ф. Ф. Лоу (1966). Основываясь на сво-
их данных, а также на данных де-Вита, Аренса и Андерсона, он приходит
к выводу о том, что при приближении к поверхности частиц плотность
воды уменьшается. Это автор объясняет изменением структуры воды, ко-
торая приближается к структуре льда. На расстояниях до 10 А от поверх-
ности частиц парциальный удельный объем связанной воды в глине (по
расчетам Ф. Ф. Лоу) на 3% больше, чем у нормальной воды. Ф. Ф. Лоу
считает также маловероятным, что электрострикционный эффект может
нарушить водородную связь и повысить плотность связанной воды.
8
Термодинамические свойства поровых растворов зависят не только от
концентрации, но и от состава свободных и обменных ионов. Различают
ионы с положительной и отрицательной гидратацией (Самойлов, 1957) или
гидратирующиеся и негидратирующиеся (Грим, 1956). Положительно гид-
ратирующиеся ионы Fe2+, Mg2+, Li+, Na+ понижают скорость трансляци-
онного движения и повышают плотность воды в динамических оболочках
ионов. Отрицательно гидратирующиеся ионы К+, Rb+ и Cs+ разрыхляют
структуру, понижают плотность воды, усиливают трансляционное дви-
жение.
Сведения о теплофизических свойствах связанной воды малочисленны
и противоречивы. Так, например, ее теплоемкость принимается и мень-
шей (Андрианов, 1946), и равной (Скуратов, 1951; Нерсесова, 1953; Кон-
нова, 1953), и большей (Киселев, 1961), чем теплоемкость свободной воды.
Основными компонентами порового воздуха по данным Ж. Буссенго и
Леви (Вершинин и др., 1959) являются азот — 78,8—80,24; кислород —
10,35—20,03; углекислота — 0,74—9,74 объемн.%с Содержание водяного
пара при его значениях, не превышающих максимально-гигроскопическую
влажность, определяется температурой и влажностью. При более высо-
ких значениях влажности водяной пар становится насыщенным, а его кон-
центрация зависит только от температуры.
Теплофизические свойства порового воздуха не отличаются существен-
но от свойств атмосферного воздуха. Удельная теплоемкость сухого возду-
ха при давлении 760 мм рт. ст. и температурах от —30 до 30° С изменяет-
ся от 0,242 до 0,24 ккал!кг-град, а коэффициент теплопроводности соот-
ветственно — от 1,89 • 10"2 до 2,30• 10-2 ккал]м • час -град.
Специфичным компонентом мерзлых горных пород является лед. Он
возникает в результате кристаллизации связанной воды, свободной поро-
вой воды, фиксированной в порах (лед — цемент), при замерзании воды,
внедряющейся в горные породы под давлением (инъекционный лед), пле-
ночной влаги, подтягиваемой к фронту промерзания (сегрегационный лед).
По своим теплофизическим свойствам лед значительно отличается от
жидкой фазы воды. Резкое различие между тепловыми свойствами твер-
дой и жидкой фаз воды О. Я. Самойлов (1957) связывает со структурны-
ми особенностями воды. При плавлении льда происходит заполнение мо-
лекулами структурных пустот, что и приводит к двукратному увеличению
теплоемкости. Теплофизические свойства льда зависят от температуры.
Согласно исследованиям Диккинсона и Осборна удельная теплоемкость
льда при температуре, близкой к температуре начала плавления, резко
возрастает до значений, превышающих темплоемкость воды (Вейнберг,
1940). Коэффициент теплопроводности льда возрастает с понижением
температуры по линейному закону. Температурный коэффициент тепло-
проводности составляет —2,85-10~3 ккал!м-час-град2.
3. ГОРНЫЕ ПОРОДЫ - СТАТИСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Описание горных пород как многокомпонентных термодинамических
систем не раскрывает еще всей сложности процессов переноса в них теп-
ла и вещества. Процессы переноса тепла и вещества в дисперсных и по-
ристых горных породах складываются из множества элементарных про-
цессов кондуктивного, конвективного и лучистого тепло- и массопереноса
в частицах, воздушных порах, водных и ледяных прослойках.
Распределение пор и частиц в пористых и дисперсных средах по форме,
размерам и взаимному расположению подчиняется статистико-вероятност-
ным закономерностям. Это обусловлено статистической природой генезиса
дисперсных сред и процесса образования пор. Таким образом, по структуре
и текстуре дисперсные и пористые горные породы можно рассматривать
как статистические системы.
9
Все многообразие горных пород по признакам дисперсности и пористо-
сти можно объединить в три основные группы.
1. Скальные и другие разновидности сплошных горных пород.
2. Горные породы со слитной структурой органо-минерального осто-
ва — пористые среды, к которым относятся трещиноватые и пористые
мерзлые и морозные горные породы.
3. Дисперсные горные породы, состоящие из множества частиц раз-
личной формы, размеров и ориентации.
Влияние дисперсности и пористости на процессы переноса тепла и ве-
щества в горных породах сводится к следующему:
а) размеры отдельностей, пор, их форма и расположение определяют
величину внутренней поверхности раздела. Величина же внутренней по-
верхности характеризует количество связанной, а в мерзлых горных поро-
дах — незамерзшей воды. От степени динамической адсорбции связанной
воды зависят ее теплофизические свойства и подвижность;
б) размеры и форма частиц определяют механизм контактной тепло-
проводности;
в) от размера пор зависят величины коэффициентов лучистой и кон-
вективной теплопроводности. С уменьшением размеров пор понижается и
значение лучистого и конвективного переноса тепла.
Распределение частиц по размерам для монодисперсных горных пород,
характеризующихся преобладанием определенной фракции и бидисперс-
ных-ленточных глин, может быть описано законом нормального распреде-
ления Лапласа — Гаусса
N(D) = N(D*)e-K^-^\ (LI)
(1.2)
где — число частиц с диаметром Z); Л7(Д*)—число частиц с наи-
более часто встречающимся диаметром частиц!)*; К*2— коэффициент,
определяемый из экспериментальной функции распределения.
Для полидисперсных сред (супеси, суглинки и большинство глин) при-
менимы функции Пирсона типа I, позволяющие удовлетворительно опи-
сывать распределения с размытым максимумом (Митропольский, 1961),
Лгр)=АГ(2Г)(1 + .) (1--?—
\. и Anin ' 4 27 Алах
где Дпт и -Dmax — минимальные и максимальные значения диаметра ча-
сти; Ъ\ и А — экспериментальные параметры.
Если существует ориентация частиц или пор по форме, то их распре-
деление по размерам описывается двухмерными или трехмерными распре-
делениями. Статистический характер распределения частиц и пор по фор-
мам и размерам не позволяет построить идеальные модели дисперсных и
пористых горных пород. Но если бы такие модели и были построены, то
они отражали бы лишь частные модификации рассматриваемых сред.
Более перспективным является направление, основанное на комплекс-
ных исследованиях натурных и модельных систем. При этом изучение мо-
дельных систем позволяет существенно сократить объем эксперименталь-
ных исследований и получить более обоснованные представления о макро-
скопических характеристиках дисперсных и пористых горных пород и их
зависимостях от физико-механических параметров. Одной из таких харак-
теристик является, например, суммарный периметр контура частиц-пор,
величина которого определяется соотношением
^Dmax)
Р = л D (N) dN.
D
Рассмотренный подход будет использован при изучении теплофизических
свойств мерзлых горных пород.
(1.3)
10
4. НЕКОТОРЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-
КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
О ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ ПОРОВЫХ РАСТВОРОВ
Исходя из развитых Я. И. Френкелем (1959) представлений о «жидко-
газообразном» и «твердо-жидком» состояниях тел, фазовые превращения
поровых растворов можно рассматривать как последовательность непре-
рывного ряда состояний. Плавление льда представляется в этом случае
как процесс аморфизации, который начинается до температуры плавления
и продолжается в жидком состоянии.
На основе этих представлений становится возможным объяснить экспе-
риментально установленную кристаллообразную структуру воды, которая
отчетливо прослеживается до 25е С (Самойлов, 1957), значительное пре-
вышение теплоемкости льда над теплоемкостью воды вблизи температуры
плавления (Вейнберг, 1940).
Широко распространенное явление переохлаждения поровой влаги
обусловлено сложностью, незначительной симметрией и малой компакт-
ностью кристаллической решетки льда.
Вероятность участия молекул воды поровых растворов в фазовых пе-
реходах определяется временем релаксации или «оседлой жизни» молекул
воды. Для свободной воды время релаксации определяется из формулы
(Френкель, 1959)
Т = To€WA/fer, (1.4)
где То — период колебания молекулы в положении равновесия; к —
постоянная Больцмана; иА — энергия активации — энергетический барьер
при переходах частиц во временные положения равновесия.
Энергия активации молекул связанной воды &са увеличивается на ве-
личину Дггс, обусловленную действием электростатического поля поверх-
ности частицы
Иса = Ид + Днсд. (1.5)
В поровых растворах повышение энергии активации молекул воды мИА на
величину ДмИА происходит в результате электростатического взаимодей-
ствия их с ионами
ПИА = Па + Дниа. (L6)
Физическая природа повышения энергии активации молекул воды под
действием электростатических полей поверхности адсорбента и ионов оди-
накова. И в том и в другом случае повышается давление и понижается
температура замерзания. Этим, очевидно, и объясняется наблюдаемое
Т. Тамманом (Tammann, 1900) и Р. Гибсоном (Gibson, 1938) сходство
физических свойств раствора при атмосферном давлении и воды при по-
вышенном давлении.
Рассмотренные выше физические предпосылки позволяют применить
уравнение Клапейрона — Клаузиуса для установления зависимости темпе-
ратуры замерзания порового раствора от общего макроскопического дав-
ления, создающегося под действием силовых полей поверхности адсорбен-
та ионов и молекул растворенного вещества, коллоидных частиц.
Энергия активации молекул связанной воды непрерывно возрастает с
приближением их к поверхности адсорбента, что приводит к появлению
спектра замерзания поровой влаги. При промерзании пленочной влаги по-
вышается концентрация растворенных веществ в жидкой фазе, так как
вода не образует твердых растворов. Это в свою очередь сопровождается
дальнейшим понижением температуры замерзания. Однако исследования,
проведенные Бойокосом (Bouyoucos, 1913, 1915, 1920), Паркером (Parker,
11
1921), Бесковым (Beskow, 1947), П. А. Крюковым и Н. А. Комаровой
(1954), С. Ловеллом, А. А. Ананяном (1960) и И. А. Тютюновым (1961)
позволяют сделать вывод о том, что понижение температуры замерзания
вследствие повышения концентрации раствора отчетливо выражено лишь
у слабоориентированных слоев связанной воды. Температура замерзания
основной массы связанной воды определяется динамической адсорбцией.
5. ТЕРМОДИНАМИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
ПОРОВЫХ РАСТВОРОВ В МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Вся совокупность явлений агрегатных превращений поровых растворов
в промерзающих — протаивающих горных породах может быть сведена к
фазовым переходам следующих основных категорий поровой влаги: сво-
бодной чистой воды, свободных поровых растворов, связанной влаги, свя-
занных растворов. Под связанными растворами понимаются поровые рас-
творы, находящиеся под действием электростатических полей поверхности
органо-минерального скелета горных пород.
Независимыми макроскопическими параметрами, характеризующими
горные породы как термодинамические системы, являются давление р,
температура Т, концентрации ^-компонентов органо-минеральной массы
хА\ влажность w в трех агрегатных состояниях, концентрации растворен-
ных веществ в водном растворе , компоненты порового воздуха xf.
К этим параметрам относятся и экстенсивные параметры, зависящие от
количества вещества в системе (объем, энтропия, энтальпия и т. д.).
Если рассматривать систему органо-минеральная масса — поровый рас-
твор — поровый воздух как единую гомогенную, то полный дифференциал
термодинамического потенциала такой системы будет описываться урав-
нением
йФ = (5Ф/5/>)г хТ w хЖ Ldp + (5Ф/^Т)р хТ w хжiXViLdT +
it
+ 3 (ЭФ/dxi ) т т ж хг L dXi +
1=1 J
3
+ S (.d®/dwi\,,T,xT ХГ L dWi +
г =1 Г
I
+ 2 (дФ/dxf у т жТ w жЖ жГ Ldxf +
г=1 ’ ’ ’ 7 ’ ’
m
+ 3 (<?Ф/д^)р т хт w хж хг L dxV + M^gdL -J- dA, (1-7)
i=i ’ Г g
где A — обобщенная работа, характеризующая все виды дополнитель-
ных работ, совершаемых в системе, кроме работы в поле тяготения и ра-
боты расширения; — масса системы; g — ускорение земного тяготения;
L — параметр, характеризующий положение системы в гравитационном
поле.
По уравнению (1.7) допускается возможность массообмена системы с
окружающей средой. Под давлением р понимается внешнее давление.
Внутреннее давление испытывает флуктуации, обусловленные взаимодей-
ствием компонентов, и не является в данном случае макроскопической
характеристикой.
В отличие от аналогичного уравнения Г. Болта и М. Фриссела (1966),
в уравнении (1.7) отсутствует член, характеризующий влияние геометри-
12
веских факторов — структуры и текстуры системы на термодинамический
потенциал поровой воды. При таком подходе неоднородность физических
свойств поровой влаги, обусловленная взаимодействием с поверхностью
адсорбента и поверхностным натяжением на границе раздела, описывает-
ся членом уравнения
з
2 {dfbldw^dwi.
г=1
При изучении явлений тепло- и массопереноса в мерзлых горных по-
родах наибольший интерес представляет термодинамическое состояние по-
ровой влаги и в первую очередь той ее части, которая остается в незамерз-
шем состоянии при заданной температуре.
Термодинамический потенциал поровой воды в мерзлых горных поро-
дах Фв как самостоятельной фазы определяется такими независимыми
параметрами, как давление, температура, концентрации растворенных ве-
ществ (ионов, молекул, коллоидных частиц), поверхностное натяжение
на границе раздела жидкой, твердой и парообразной фаз раствора ожл,
бжг, энергия адсорбционного взаимодействия и*. Особое значение при
макроскопическом описании дисперсных горных пород имеет параметр,
характеризующий не только размеры, но и конфигурацию поверхности
адсорбента. Этот параметр, который может быть назван конфигурацион-
ной поверхностью 5^, определяется как гранулометрическим спектром и
формой частиц, так и их взаимным расположением — структурой и тек-
стурой. Задание этой характеристики весьма затруднительно, но ее физи-
ческая реальность несомненна.
Необходимость определения конфигурационной поверхности адсорбен-
та обусловлена тем, что физическое состояние связанной влаги и ее хими-
ческий потенциал зависят не только от размеров, но и от формы поверх-
ности адсорбента. Применение понятия конфигурационной поверхности
адсорбента позволяет уточнить исходные положения экстратермодинамикп
почвенной влаги, разработанной Бэбкоком и Оверстритом. При этом устра-
няется неоднозначность термодинамического состояния связанной влаги,
которая возникает при задании лишь ее общей концентрации.
При помощи рассмотренных выше параметров может быть однозначно
описано термодинамическое состояние поровой влаги и определен ее тер-
модинамический потенциал.
Полный дифференциал термодинамического потенциала поровой влаги
описывается уравнением
с?Фв =(дФвЖ ж (1р+(дФь/дТ) dT+
Т,хж,8к,£жл, 8ЖГ’ L Р» хЖ> SK’ 8ЖЛ’ 8ЖГ’ L
I
+ 2 (<5Фв/)р,т,хж ^^жл^жгЛ^^ +
г=1
+ (дФв1дЗк')рТхЖ жл, s?Kri L dSK +
+ (дФв/д^жл) р,т,жж, sK, 8ЖГ, l dSmn- +
+ (дФв/с^жг) р т хук SkSjkjiI/<?*5жг ”1” (1.8)
где 5 жл и 5 жг — поверхности раздела жидкой фазы со льдом и поро-
вым воздухом; Мв — масса воды.
Остальные обозначения прежние
дФв/дЗк = <?Фв/<?£жл ^жл» дФ/дбжг = Фкг-
13
Т,мин 20 15 10 5 0
^~2,1
Рис. 1. Изменение тем-
пературы замерзающего
суглинка, w = 30%
t,мин 12 8^0
-0,2
-о,ч
-0,6
-0,8
-1,0
-1,2
-/Л
-1,6
-1,8
СУ,
Рис. 2. Изменение тем-
пературы замерзающего
песка, w = 10%
6. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
СВОБОДНОЙ ПОРОВОЙ ВОДЫ
Основными термодинамическими условиями фазового равновесия жид-
кой и твердой фаз воды являются равенство их температур, давлений и
химических потенциалов. Из этих условий находится уравнение Клапей-
рона — Клаузиуса, устанавливающее связь между давлениями и темпера-
турой фазовых переходов
dP _ н о\
dT Т(г,в-г,л)’
где Рв и рл — удельные объемы воды и льда.
Удельная теплота плавления q® определяется из
(Эпштейн, 1948)
dq° — А/. J- q° п <а1п А
dT ^СР -f- т дТ Jp’1
соотношения
(1.10)
где
Дср = (сл —св)р’ Ау = (рл— Рв)-
Аналогично для процессов испарения — конденсации и сублимации —
аблимации получаем модификации уравнения Клапейрона — Клаузиуса
dp __ гр .
dT Т (г?л ув )
(1.11)
dp __ _________/0
dT Т (г?н г?л)
(1.12)
14
Рис. 3. Фазовая диаграмма воды (Шумский, 1955)
где — удельный объем пара; и %— удельная теплота парообразо-
вания и сублимации.
Переохлаждение поровой свободной влаги — одно из типичных крио-
генных явлений. На рис. 1 и 2 показаны термограммы замерзания образ-
цов суглинка с влажностью w= 30% и песка с влажностью w = 10%.
Температура переохлаждения суглинка достигает —2,1°, песка —1,72°.
Если давление оказывается выше давления в тройной точке, то фазо-
вые переходы происходят в последовательности: твердое тело — жид-
кость — пар. При давлениях, меньших давления в тройной точке, проис-
ходит сублимация льда и кристаллизация пара в твердое состояние без
прохождения жидкой стадии.
Тамманом и Бриджменом были открыты новые модификации льда —
лед If, III, IV, V, VI, VII. С учетом этих модификаций построена фазовая
диаграмма на рис. 3. На этой диаграмме показаны тройные точки льда
всех модификаций, кроме льда IV, о существовании которого еще нет
вполне установившегося мнения. Ниже указаны значения температуры О
и давления р в тройных точках (Эпштейн, 1948; Шумский, 1955) :
в* °C р
Лед I, жидкость, пар............. 0,0075 4,579 мм рт. ст.
Лед II, жидкость, лед III........ —22 2115 ат
Лед III, жидкость, лед V......... —17 3530 ат
Лед V, жидкость, лед VI........... +0,16 6380 ат
Лед VI, жидкость, лед VII* . . . +81,6 21700 ат
Лед I, лед II, лед III......... —37,7 2170 ат
Лед II, лед III, лед V.......... —24,3 3510 ат
* Лед VII может существовать при давлении 20—50 тыс. ат и темпера-
туре до 200° С.
Плотность модификаций льда: лед I — 0,9168 + 0,9483 г/см3-, лед III —
1,15; лед V - 1,25; лед VI — 1,33 + 1,36; лед VII - 1,67 г/см\
15
7. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
СВОБОДНЫХ ПОРОВЫХ РАСТВОРОВ
Сфедняя концентрация поровых растворов обычно невелика и состав-
ляет, по данным А. Н. Бунеева (1956), для известняков — 360 мг[л, мер-
гелей — 250, песков — 200, глин — 160, ангидритов — 140, доломитов —
128 мг/’л. Вместе с тем встречаются горные породы, насыщенные и высо-
коминерализованными поровыми растворами.
Концентрация растворенных веществ существенно возрастает при испа-
рении и замерзании поровых растворов.
Общие условия равновесия гетерогенной системы с п фазами и к ком-
понентами описываются системой, представляющей собой равенства тем-
ператур, давления и химических потенциалов всех фаз компонентов (Ба-
заров, 1961)
Рг = р"
ц/ = ц/'
=
= Р{п\
=
(1.13)
Ик/ = И к" = ... = ц
Поровые растворы сочетают в себе свойства молекулярных и коллоид-
ных, а также растворов электролитов. В настоящее время еще не создано
общей теории поровых растворов, в связи с чем для описания их термо-
динамического состояния применяются закономерности, свойственные иде-
альным и слабым молекулярным растворам.
Под слабыми растворами понимаются такие, при изучении свойств ко-
торых можно не учитывать взаимодействия между молекулами растворен-
ного вещества. В соответствии с теорией слабых молекулярных растворов,
разработанной в статистической физике, химические потенциалы раство-
рителя (цвр) и растворенного вещества (цх) определяются из уравнений
(Ландау, Лифшиц, 1957)
Цвр = Цв — кТ х.
(1.14)
цх = кТ In х + ф (р, Т),
где Цв — химический потенциал свободной воды; х — концентрация:
(рТ) — функция давления и температуры.
Термодинамическое равновесие рассматриваемой бинарной системы
раствор — лед с концентрациями растворенных веществ хв и ггл опреде-
ляется системой уравнений (1.13). В частности, должно выполняться ра-
венство химических потенциалов жидкой фазы (цВр = Цв — кТхв) и льда
(цпр = цл — кТхл), а именно:
Цвр = ЦЛр.
Вычисляя полные дифференциалы и принимая во внимание соотношения
(дц/др)т = ^т, (дц / дТ) р = — Sm, SmB — SmJl = qQm / T, получаем
уравнение, связывающее температуру фазовых переходов, давление и кон-
центрацию растворенных веществ
— Ы T)dT = (vmB — vmJl)dp = d[(xB — xn)kT], (1.15)
где vmB и Утл» SmB и 5тл — удельные объемы и энтропии воды и льда,
отнесенные к одной молекуле; qom — теплота кристаллизации.
При хв = хл = 0 уравнение (1.15) переходит в уравнение Клапейро-
на — Клаузиуса.
В двухфазной бинарной системе раствор — лед существует две термо-
16
динамические степени свободы. Если в качестве таких степеней выбрать
давление и температуру, то фазовое равновесие раствора может быть при
определенной концентрации. Каждому сочетанию давления и концентра-
ции соответствует определенная температура.
С повышением концентрации раствора температура его замерзания
понижается. Зависимость понижения температуры замерзания АТ1 от раз-
ности концентраций в жидкой и твердой фазах для слабых растворов на-
ходится из уравнения (1-15)
М = (ЯГо2 / ?ом) (*в - ял), (1.16)
где То — температура замерзания чистой воды; 7? — газовая постоян-
ная; <уом — молярная теплота кристаллизации.
При более высоких концентрациях раствора понижение температуры
замерзания находится из уравнения (Кириллин, Шейндлин, 1956)
ЛТ = [2?ТУ1п (1 - яв)] / ВД In (1-яв) -дом]. (1.17)
Для водных растворов электролитов понижение температуры замерза-
ния определяется из уравнения (Робинсон, Стокс, 1963)
-lg /А = 0,004207ДТ + 2,1 • КНДТ2, (1.18)
где /а — активность воды при температуре замерзания.
Величина активности воды /а, особенно для высоких концентраций
раствора, может быть найдена из соотношения
/а = Рпл('б1) / ^пв('й),
где Рпл(^) и Рпв('в’) — давления водяного пара льда и переохлажден-
ной воды при температуре
Вследствие диссоциации в воде растворенных веществ поровые рас-
творы следует в первую очередь рассматривать как растворы электроли-
тов. При достаточно высоких концентрациях электролитов должно учиты-
ваться кулоновское взаимодействие между ионами. Значения химических
потенциалов водного растворителя цви и растворенного вещества для
раствора электролита находятся путем суммирования значений соответ-
ствующих химических потенциалов компонентов эквивалентного по кон-
центрации молекулярного раствора (1.14) и приращений Арви и Ацх11?
обусловленных электростатическим взаимодействием ионов, вычисленных
методами статистической физики (Ландау, Лифшиц, 1957)
Цви= Цвр + Ацви= Цв — хкТ +(1/з)У(8л/ев3)^3(рв2(р6/*^),
___________________________________________________________(1.19)
ЦхИ = Цх + Ащси= кТ In х + гр (р, 71) — у (8ля:3 / 8в3) (рв(?Ф6 / кТ},
где 8в — диэлектрическая проницаемость воды; <?ф — заряд иона; рв —
плотность воды.
Разлагая в ряд величины химических потенциалов водного раствори-
теля для жидкой циВИ и твердой цлифаз и ограничиваясь первыми чле-
нами разложения, находим из условий термодинамического равновесия
уравнение связи между температурой, давлением и концентрацией ион-
ного порового раствора
— (qom/ T)dT + (ртв — vmn)dp = d[(arB — хл)кТ— (Vs) X
X У8л(?фв/8В3Т (Урвггв3 - УрЖУГ- (1.20)
Поровые растворы содержат также коллоидные и более крупные ча-
стицы. Наличие этих частиц понижает температуру замерзания раствора
вследствие дополнительной ориентации молекул воды.
2 И. С. Иванов 17
Известно, что вода практически не образует твердых растворов. За-
хват же твердой фазой растворенных веществ, который происходит в ре-
зультате термодиэлектрических и термомеханических эффектов при замер-
зании раствора, не может сколь-либо существенно уменьшить концентра-
цию порового раствора.
Сравнительно высокую концентрацию имеют поровые растворы, запол-
няющие межкристаллические каналы и полости в массе льда. В процессе
промерзания концентрация этих растворов повышается, и при достижении
криогидратной температуры происходит одновременное выделение льда и
растворенного вещества. Эти прослойки содержатся не только в морских,
но и в пресных льдах (Шумский, 1955).
8. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
СВЯЗАННОЙ ВОДЫ
В тонкодисперсных средах вся или почти вся поровая влага находится
в связанном состоянии. Рассмотрим термодинамические условия фазовых
переходов связанной воды без учета влияния растворенных веществ.
Пленка связанной воды в термодинамическом отношении представляет
систему с переменным числом молекул, находящуюся в силовом поле ми-
неральной частицы, а также под действием сил поверхностного натяжения.
Химический потенциал связанной воды слагается из химического по-
тенциала свободной воды цв и потенциальной энергии молекулы воды в
силовом поле поверхности частицы итв*
Пев = Ив + UmW (1-21)
Для построения уравнений термодинамического равновесия системы
связанная вода — поверхностный слой — лед выделим три фазы: жидкую
(индекс СВ), кристаллическую (индекс СЛ) и поверхностную (индекс 5).
Полная внутренняя энергия U и энтропия S этой системы слагаются из
энергий и энтропий фаз
U — Uqb + £7сл +
(1.22)
8 — Sqb + ^сл + ве-
данную систему можно рассматривать как двухфазную, если поверх-
ностный слой отнести к одной из объемных фаз, например к жидкости.
В этом случае дифференциал внутренней энергии для жидкой фазы как
открытой системы запишется в виде
dU^B — TdS^B — PcbdVcB + (цв — ^mB*)<^VcBZ + Овл^? (1.23)
где ров и Усв — давление и объем жидкой фазы; Овл— поверхностное
натяжение на границе: связанная вода — лед; 7VCbz — число молекул жид-
кой фазы с поверхностным слоем.
В отличие от обычной формы дифференциала внутренней энергии dU\
в уравнение (1.23) входят члены, характеризующие динамичность жидкой
фазы с поверхностным слоем (рв + ^тв*)йА^в/ и приращение поверхност-
ной энергии — Ов л^-
Поверхностное натяжение на границе связанной воды со льдом не ис-
следовано, до настоящего времени не разработаны надежные методы его
определения. В связи с этим возникает необходимость приближенной оцен-
ки величины поверхностного натяжения Овл на границе твердой и жидкой
фаз воды. С этой целью воспользуемся уравнением Антонова для опреде-
ления поверхностного натяжения на границе двух жидкостей (Шварц,
Перри, 1953).
18
Если полагать, что уравнение Антонова применимо к системе лед —
жидкая фаза, то
Овл ~ авг — а л г, (1.24)
где Овг и оЛг — поверхностные натяжения на границах: жидкая фаза
воды — газ (воздух) и лед — воздух.
Вместо газообразной среды может рассматриваться вакуум.
Будем исходить далее из молекулярно-кинетического истолкования по-
нятия поверхностной энергии, отнесенной к одной молекуле, как половины
ее теплоты испарения или сублимации (Штрауф, 1949). Это позволяет
полагать справедливым соотношение
Пвг / Пдг = / Zm, (1.25)
где гт и 1т — скрытые теплоты испарения и сублимации, отнесенные к
одной молекуле.
Определив из (1.25) Одг, находим из уравнения (1.24)
(Г26)
Условия термодинамического равновесия рассматриваемой двухфазной
системы находятся из общей системы уравнений равновесия для гетеро-
генной системы (1.13)
Лш-Л (1)
^СВ = Лзл = Р’ (2)
Пев == Ив + UmB = Нел = Ил + итпЛ’ (^) >
(1.27)
где цл и йтл* — химический потенциал и потенциальная энергия льда,
отнесенные к одной молекуле.
Из условия равенства химических потенциалов и уравнений (1.27)
получаем
(дцв / др) Тдр + (дцв / дТ) pdT + cZwmB* =
= ^/dp)Tdp+(d^/dT)pdT + dum£. (1.28)
Подставим в (1.28) значения частных производных
(дрв / др) т = vmB, (дцл / др) р = ктЛ,
(Т.29)
(дцв / дТ) р = — SmB, (дцв / дТ) р =/= —ЗтЛ,
где итВ и vmJI — удельные объемы; SmB и 5тЛ — энтропии свободной
воды и льда, отнесенные к одной молекуле.
После подстановки производных и группировки членов находим урав-
нение фазового равновесия связанной воды при плоской границе раздела
фаз:
— [qom* I T)dT (утв — vmji)dp cZ(uwb* — ^тл) = 0? (1.30)
где q$m I T (qom qos) I T = (SmB Smji) IT] qom и qos удель-
ная теплота плавления льда и смачивания воды, отнесенные к одной мо-
лекуле.
Если граница раздела фаз не является плоской, то возникает допол-
нительное поверхностное давление Лапласа. В этом случае основным ус-
ловием фазового равновесия является уже не равенство химических по-
тенциалов объемных фаз, а условие (Компанеец, 1957)
дФв/W = <9ФлЖ, (1.31)
19
где Фв* и Фл* — полные термодинамические потенциалы жидкой фазы
и льда.
Рассмотрим условие фазового равновесия применительно к конкретно-
му случаю — сферической минеральной частице, покрытой пленкой связан-
ной воды. Обозначим радиус твердой частицы г0, а радиус частицы с уче -
том оболочки —г.
Полные термодинамические потенциалы фаз слагаются из объемных и
поверхностных потенциалов
Фев = Л^св + <3вл£, (I 32)
Фел = N Нел + Злв£,
где 7V — число молекул; S — поверхность раздела фаз.
В уравнениях (1.32) сгвл* и алв* представляют поверхностную энергию
жидкой и твердой фаз, находящихся в соприкосновении. При такой поста-
новке рассматриваются два поверхностных слоя на границе раздела фаз.
Каждый из этих слоев характеризуется энергией взаимодействия молекул,
находящихся на поверхности среды с молекулами этой среды, а также с
молекулами гранично!! фазы.
Может быть и иной подход к анализу этого явления. Вместо двух
поверхностных слоев можно рассматривать один слой, находящийся в со-
стоянии энергетического равновесия между смежными молекулярными
слоями фаз. Отнесем этот слой к твердой фазе. Тогда система уравнений
(1.32) примет следующий вид:
Фев = А^Рсв ,
J. f 1 • 1
Фел = Л^ЦСЛ + tW •
Подставив значения термодинамических потенциалов в уравнение (1.31),
получим
Пев (р, Т) = |1сл(/Л Т) + <3Bji(dS/dN) -j- 5 (^вл/^). (1-34)
Для сферической частицы, покрытой пленкой связанной воды, находим
dS/dN - 8лг (dr/dN) = 2v*mm/r, (1.35)
(1-36)
где р*пСБ — объем молекулы в адсорбированной фазе. С учетом (1.35;
1.36) уравнение (1.34) преобразуется к виду
Мл ’’) + " ь (р. л + (i-3v)
Воспользовавшись разложениями в ряды величин цСв и цс относи-
тельно р и Т, получаем окончательное выражение основного уравнения фа-
зовых переходов связанной воды, отнесенное к одной молекуле
~ (УтСВ УтСл) ^Р Л./Г +
+ <л)1- (!-38)
ГДе7от~7от— gos; Qom —теплота плавления; qQs — теплота смачива-
ния на одну молекулу.
Для свободной поровой воды, удерживаемой в капиллярах силами по-
верхностного натяжения, уравнение фазового равновесия является част-
ным случаем уравнения (1.38)
VmCJI>dP ^mCB (^аВЛ^Г)Ь (I-39)
На искривленной поверхности возникает дополнительное давление Aps
(Эпштейн, 1948; Щербаков, 1960).
Aps = авл [ (1 / + 1 / ^2) ] + ^(давл / dV) = авл^ + ^(давл / dV),
(1.40)
20
где Р = (1 / 2?t + 1 / /?2); 7?i и Я2 — главные радиусы кривизны.
Формула (1.40) получена методом вариации полной свободной энергии
Fn системы вода — лед
Fn = + сгвл^,
где FB и Fjy — свободные энергии воды и льда.
Поверхностное давление вызывает изменение температуры замерзания,
которое находится из формулы
тг
АГ — °влР+,У ду т
5~ Рв?» s’
В капиллярах поверхностное давление ниже нормального, что приво-
дит к повышению, хотя и весьма незначительному, температуры замер-
зания.
Для частиц, ограниченных поверхностями с положительной кривизной,
поверхностное давление понижает температуру замерзания водной пленки.
(1.41)
9. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ СВЯЗАННОЙ ВОДЫ
Обратимся теперь к расчету термодинамического потенциала связан-
ной воды на основе понятия летучести — фугитивности /. Замена давления
летучестью позволяет описывать состояние связанной воды уравнением,
формально аналогичным уравнению состояния идеального газа. Поэтому
фугитивность называют также «исправленным давлением».
Молярный термодинамический потенциал связанной воды в этом слу-
чае запишется в виде (Кириллин, Шейндлин, 1956)
Фмсг = Фмс1(^) + RI In (/2 / /1), (1.42)
где /2 и /1 — значение фугитивности для состояний 1 и 2, которым со-
ответствуют значения потенциалов Фмс2 и Фмсь
Зависимости фугитивности от давления и температуры определяются
из дифференциальных соотношений
(d\n.f/dp)T = / RT, (1-43)
(д In / / дТ) р = (hv* - М / RT2, (1.44)
где и — приращения энтальпии вещества при изотермическом
расширении от заданного давления до бесконечно малого давления. Для
жидкости это приращение характеризует испарение ее в вакууме.
Из уравнения (1.43) находим при Т = const
р2
RTln^/f^ = v^dp. (1-45)
pi
Выберем в качестве pi и значения нормального внутреннего давле-
ния ръ и давления сжатия связанной воды р при определенной темпера-
туре. Этим значениям соответствуют фугитивности /о и f.
Если считать, что молярный объем связанной воды гмсв является ли-
нейной функцией давления
z>mcb = ^мв (1+ЛГрДр), (1.46)
где ^мв — молярный объем при нормальном давлении, а Кр — коэф-
фициент сжимаемости, то молярный термодинамический потенциал опре-
делится из уравнения
Фмсв(р,П= Фмв(рз,Г)+гМв(р — Ро) + (V2) А’р1/Мв(р — Ро)2. (1-47)
21
Для построения зависимости Фмсв от влажности w используем лога-
рифмический закон зависимости между остаточной влажностью горных
пород и давлением отжатия, установленный 11. А. Крюковым и Н. А. Ко-
маровой (1954). С учетом этой зависимости соотношение (1.47) примет вид
Фмсв (к;, Т) = Фмв (ро, Т) +
+ Ро^мв (e(w°~wVcw— 1) [1 + 0,5(e(w°-w)/cw — 1)р0], (1-48)
где Cw — параметр; wQ — содержание связанной воды при р = ро.
Для определения по формуле (1.48) молярного термодинамического
потенциала связанной воды в горных породах при положительных темпе-
ратурах необходимо знание зависимости молярного потенциала воды от
температуры при нормальном давлении. Так как при нормальном давле-
нии вода будет свободной, то указанная зависимость легко может быть по-
строена на основе табличных данных или вычислена по формуле
т
Фмв (А, т) = —\S(T)dT. (1.49)
О
Для мерзлых горных пород молярный потенциал Фм(ро, Т) вычисляет-
ся как сумма
тнз т
Фмв(Ро, Г) = -[ $ MW + $ 5мв(Г)б?т1, (1.50)
о т нз J
где 5мл, 5мв — молярные энтропии льда и воды; 7Нз — температура
начала замерзания воды.
Необходимость использования фугитивности для описания термодина-
мического состояния связанной воды подчеркивается также С. Такаги.
Химический потенциал связанной воды уменьшается по мере прибли-
жения к поверхности адсорбента и усиления взаимодействия. Это обуслов-
лено уменьшением свободной энергии F = U— TS связанной воды. Сво-
бодная же энергия свободной воды, находящейся под внешним давлением,
и ее химический потенциал увеличиваются с возрастанием давления.
Из условия равенства химических потенциалов на границе раздела
жидкой и парообразной фаз адсорбированной влаги (1.29) может быть
найдено другое, более удобное для практических расчетов, выражение для
вычисления химического потенциала связанной воды. Такой подход был
развит Эдлефсеном и Андерсоном (Edlefsen, Anderson, 1943).
При этом приращение химического потенциала связанной воды по от-
ношению к свободной объемной фазе определится соответствующим при-
ращением химического потенциала пара
Ацсв = Цсв — Цв = цеп — Цпо = Ацп, (1-51)
где цеп и цпо — значения химических потенциалов пара связанной
воды и насыщенного водяного пара над поверхностью свободной воды.
Приращение химического потенциала водяного пара для изотермиче-
ских условий определится из соотношения
Реп
АЦд — (1.52)
Рнп
где реп и цнп — давление пара связанной воды и насыщенного пара
свободной воды при определенной температуре; vm — удельный объем
пара, отнесенный к молекуле.
Если исходить из допустимости применения к водяному пару уравне-
ния состояния для идеальных газов, то формула (L52) примет вид
Дцп = RT 1п(цсп / Цнп). (1-53)
22
Значения /?сп и /шп сравнительно просто могут быть измерены экспе-
риментальным путем, что позволяет широко применять такой подход для
определения приращения химического потенциала связанной воды в гор-
ных породах.
Применительно к дисперсным и коллоидным средам этот подход был
успешно развит Л. М. Никитиной (1964).
Значения /?сп и /Лш для почв и горных пород могут быть определены
как экспериментальным путем, так и при помощи теоретических и эмпи-
рических уравнений, которые будут рассмотрены в разделе 13 данной
главы.
Экспериментальные данные о давлении водяного пара связанной воды
в горных породах относятся в основном к области положительных темпе-
ратур. В этой связи возникает необходимость установления температурной
зависимости Дцп(^) для пересчета имеющихся данных для области отри-
цательных температур.
Общее приращение химического потенциала связанной воды при из-
менении температуры Дцсв(^) складывается из приращений, обусловлен-
ных поверхностным натяжением Дцсва, адсорбционным взаимодействием
Дцсва п осмотическими силами Древо
Дцсв(^) = Древа + Дцсва -|- Древо- (1.54)
Определив значения Древ (У) для экстремальных значений Т\ и Тъ
можно получить из (1.54) с учетом предпосылок о линейной зависимости
от температуры или постоянства компонентов Древа, ДрсвА и Древо сле-
дующее соотношение:
л _ Г ^i^Hcb (^2) ^^Нсв (ri) 1 , ГАНсв (^i) “ АНсв
АНсв(У)~[ Т1 — Т2 ] + [ Т1~Т2 ] ’
Из этого соотношения может быть найдено значение приращения
Дрсв(^7) для любого значения температуры в интервале от до Т2.
10. О ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРЕДПОСЫЛКАХ ОБРАЗОВАНИЯ
СТРУКТУРНЫХ МОДИФИКАЦИЙ ЛЬДА
В АДСОРБИРОВАННОЙ ФАЗЕ
Как уже было рассмотрено ранее, при повышении давления не только понижает-
ся температура замерзания воды, но и происходит образование семи структурных
модификаций льда. Существуют различные взгляды на возможность существования
различных модификаций льда в мерзлых горных породах. П. А. Шумский (1955)
и С. Г. Пархоменко (1956) признают возможность существования таких модифика-
ций в прочноориентированных слоях пленочной воды.
И. А. Тютюнов (1960) отвергает это предположение. Он считает, что существо-
вание различных модификаций льда в почвах и горных породах исключено потому,
что теплота смачивания значительно больше теплоты кристаллизации. В подтвер-
ждение этого положения он ссылается на данные об энергии послойной дегидрата-
ции твердых частиц TiCh, полученные У. Гаркинсом
Расположение слоя воды
от поверхности частицы Первый Второй Третий Четвертый Пятый
Энергия дегидратации,
кал/моль........... 16450 11280 10350 9980 9940
Для сравнения заметим, что при нормальном давлении теплота плавления льда
при 0 = 0° равна 1440 кал/моль, а теплота испарения при й = 100°—9700 кал/молъ.
При простом сопоставлении энергии дегидратации частиц с теплотой плавления
льда при 0° существование различных модификаций его в почвах и горных породах
кажется невозможным. Но такое сопоставление не учитывает изменение структуры
льда в зоне высоких давлений.
23
Теплота криогенных фазовых переходов воды складывается из двух составляю-
щих: приращения внутренней энергии и работы, связанной с изменением удельного
объема
TkS = АГ + pAV, (1.56)
где
AV = 7п(р,Г) - Vb (р,Т).
Для 1 моля воды приращение объема определяется соотношением
. / 1 1 \ Рв ~Рл
м = тН’° Цп (А Т) Рв (А Т) .) = "гн2о рп . Рв , 0-57)
где тн2о — масса граммоля; рв(р,Т) и рл(р,Т) —плотности жидкости и льда.
Плотности жидкой и твердой фаз зависят от температуры и давления. Эти за-
висимости для связанной воды при отрицательных температурах изучены еще мало.
Поэтому можно сделать лишь приблизительную оценку приращения молярного объе-
ма и количества работы при фазовых переходах связанной воды в различные моди-
фикации льда. Эта оценка приведена в табл. 1.
Таблица 1
Затраты энергии на приращение объема воды при переходе ее в различные
модификации льда
Фазовые переходы Температура фазовых пе- реходов, °C Давление фазовых пе- реходов р, am Плотность модификации льда, г/с.и2 Значение рДгм кал! моль
Вода — лед I +0,0078 1 0,9168-0,9483 39,5-~23,7
Вода — лед III —22 2115 1,15 —1,22-105
Вода — лед V —17 3530 1,25 —3,08-105
Вода — лед VI +0,16 6380 1,33-1,36 (—6,9-г-7,35)« 105
Вода — лед VII +81,6 21700 1,67 —3,79-106
Если под энергией дегидратации понимается полное приращение энергии воды
при переводе ее с поверхности частицы в свободное состояние, то величина
может быть с этой энергией сопоставлена. Из этого сопоставления следует, что даже
для первого слоя адсорбированной влаги энергия дегидратации на порядок меньше
величины рА^м для модификации льда III. Что же касается других модификаций
льда, то величина рА^м для них может быть на два порядка выше энергии дегидра-
тации первого слоя молекул воды.
Сопоставление величин рА^м и энергии гидратации показывает, что в энергети-
ческом отношении образование различных модификаций льда вполне вероятно. Ко-
нечно, при образовании этих модификаций из связанной воды выделяется меныпее
количество энергии, так же как энергия гидратации при переходе от одного уровня
связи или ориентации к другому составляет лишь часть полной энергии гидратации.
О действительных фазовых переходах связанной воды в различные модифика-
ции льда можно судить по фазовым переходам свободной воды под давлением. Так,
например, скрытая теплота плавления льда VI при 20° С и 8710 ат составляет
76,45 кал)г, а теплота перехода воды в лед VI, а затем и лед VII при 20° С и
21530 ат — 79,74 кал[г (Шумский, 1955).
Следует, однако, отметить, что термодинамический критерий не является един-
ственным условием существования структурных модификаций льда в горных поро-
дах. Наличие ионов и молекул растворенных веществ в адсорбированной фазе может
существенно искажать структуру воды и препятствовать формированию модификаций
льда. В настоящее время неизвестно точное молекулярное строение связанной воды,
но можно считать, что оно не идентично кристаллической структуре льда (Лоу, 1966).
И. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
СВЯЗАННЫХ ПОРОВЫХ РАСТВОРОВ
Исходя из молекулярных представлений о физической общности про-
цессов адсорбции и гидратации, термодинамические условия фазовых пе-
реходов связанных поровых растворов можно рассматривать как совокуп-
ность условий фазовых переходов связанной воды и поровых растворов.
24
Химические потенциалы растворителя цсрв и растворенного вещества
цсрх для связанных поровых растворов при принятых предпосылках опре-
деляются из уравнений, которые являются обобщением аналогичных урав-
нений для свободных растворов (1.14), растворов электролитов (1.19) и
связанной воды (1.21)
Цсрв = Цв — кТ{х + ^э) + (Уз)]/8жг| Pb(V/ Sb3A7) + итв (1)
__________________________________________________(1.58)
Цсрх = кТ ]д х + гр(р, Z) — У(8л£э3рв(?(р6 / ев^Г) + итх, (2)
где х — концентрация молекулярного раствора; ггэ — концентрация
раствора электролита; итВ* и итх* — потенциальные энергии молекулы
воды и иона в поле поверхности адсорбента.
Условия термодинамического равновесия в системе связанный поровой
раствор — лед с учетом явлений поверхностного натяжения выразятся си-
стемой уравнений, полученных на основе общих условий термодинамиче-
ского равновесия (1.13)
(1)
(2)
ТР =Т^ = Т,
п _ п , /> 9S , „ дбрл \
Рр Рл + ^°РЛ 5 )'
— I * ! О дЗрл
Р'СРВ^ Р'СРЛ “Т" УтРЛ \^РЛ зу* “Т" ° ’
НсхР~ НсхЛ’
(1.59}
(4)
где цсхр и Цсхл — химические потенциалы растворенного вещества в
связанном растворе во льду; орл—поверхностное натяжение на границе
раздела раствора и льда; 7* — объем твердой фазы; р^рл— удельный объ-
ем молекулы льда.
Соотношение между давлениями рр и находится путем вариации
полной свободной энергии рассматриваемой системы F = FGP + FGTL +
+ а л5.
Уравнение (1.59,3), устанавливающее связь между химическими по-
тенциалами водного растворителя цсрв и льда Цсрл, находится дифферен-
цированием полных термодинамических потенциалов раствора Фсрв и
льда Фсрл
Фсрв=ЛГНсрв> . (1 б0>
Фор л = У М-срл + <зРЛ5.
Исходя из условия фазового равновесия (1.31) и принимая во внима-
ние соотношение дФсрЛ/ dN = (дФ* / 5F*) *^вл, находим уравнение свя-
зи между химическими потенциалами связанного раствора и льда.
Уравнение фазового равновесия для поровых растворов при произволь-
ной поверхности раздела фаз запишется в следующем виде:
Р дТ 7“ (PmP VmTL^P ~ ^[(^р ^л) (UmP Umtf)
(ЛГ---л/--------I * diS I с дбрЛ \]
3 у Рр^ЭР г РЛ^ЭЛ)+ УтРЛ\°РЛ ^у* 7“ $ yj ‘
(1.61)
Уравнение (1.61) находится из соотношений (1.58, 1) и (1.59, 3), как
и аналогичное ему уравнение фазового равновесия связанной воды. При
выводе его допускалась аддитивность отдельных составляющих химиче-
ского потенциала водного связанного раствора, которые характеризуют
влияние молекул, ионов, сил адсорбции и поверхностного натяжения на
25
термодинамическое состояние поровой влаги. Необходимо учитывать так-
же неоднородность рассматриваемой двухфазной системы относительно
величин X? и хл, и итЛ, рР и рл, £Эр и ^эл-
Общее понижение температуры замерзания связанных поровых рас-
творов обусловливается взаимодействием молекул воды с обменными ка-
тионами, ионами и молекулами поверхности адсорбента, а также со сво-
бодными ионами и коллоидными частицами.
Результирующим эффектом всех этих форм взаимодействия является
повышение давления раствора.
12. УРАВНЕНИЕ ФАЗОВОГО СОСТОЯНИЯ СВЯЗАННОЙ ВОДЫ
В МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Фазовое состояние порового раствора является одним из важнейших
понятий в геокриологии, с которым связаны закономерности изменения
механических, теплофизических и электрофизических свойств мерзлых
горных пород.
Принцип равновесного состояния воды и льда был сформулирован
Н. А. Цытовичем (1954). Экспериментальными исследованиями, проведен-
ными 3. А. Нерсесовой (1953, 1963),
(p + dp,T+dT,v'+dV) (p+dp,T+dT,V"+dV)
о-
Переход: связанная вода -лед
при температуре Т + dT
о
6-
Переход: связанная вода -лед
при температуре Т
2
(pj,
И. Н. Вотяковым (1961), И. В. Бойко
(1957а, в), С. Ловеллом, Вильямсом
(Р. J. Williams, 1964), установлено су-
ществование однозначной зависимости
между содержанием связанной воды и
температурой. Чго же касается функ-
ционального выражения этой зависимо-
сти, то по этому вопросу еще не сложи-
лось определенного мнения. Н. А. Цыто-
вич (1954) считал возможным приме-
нить для этих целей экспоненциальную
функцию, а Н. А. Пузаков (1950) и
С. Ловелл — логарифмическую.
Нами была предпринята первая по-
Рис. 4. Схема фазовых переходов
связанной воды
пытка теоретического обоснования зави-
симости содержания связанной воды от
температуры (Иванов, 1962). Не оста-
навливаясь здесь подробно на всех мате-
матических операциях, разберем лишь основные положения.
Рассмотрим схематично фазовые переходы связанной чистой воды в
единице объема дисперсной среды. Переход связанной воды из исходного
состояния (7) с параметрами р, 7, V' в состояние (4) с параметрами
р &р, Т + dT, V" J- dV мысленно можно осуществить двумя путями
(рис. 4).
На пути 1—3—4 происходит изменение температуры связанной воды до
Т + dT, при которой и совершается фазовое превращение. На пути 1—2—4
фазовое превращение воды производится при температуре 7, после чего
1
(pJ,Vf)
5
5
уже изменяется тепловое состояние льда.
На каждом из участков этих двух вариантов перехода в соответствии
с (1.23) находим приращения внутренней энергии одного моля
dU12 = (p^Sdz/M^T^S^Ty — ^SdzlM^p^v^^ (D +
+ бвл(7’)^ + Дцсв^, (1-62)
dU2i = ^SdzlM^[c^T)dT~p(T)dvmn}, (1.63)
dU 13 = (pG^Sdz/MB) [cMCB (T)dT p(T}dv^G^^ (1.64)
26
dlT3i = (pCB5dz/MB)(7 + dT)SS№(T + dT)-(рсв&/з/Мв)р0Д*мвл X
X (T + dT) + ввл(Т + dT)dS + ^GB(T + dT)dN, (1.65)
где рсв — плотность связанной воды, г/см3; S — поверхность раздела
жидкой и твердой фаз воды в единице объема дисперсного тела; z — тол-
щина пленки связанной воды; Мв — молекулярный вес воды; s — энтро-
пия; ро — нормальное давление; АкМвЛ(Т) и А^мвл (Т7 + d^) — прираще-
ния молярного объема при фазовых переходах для температур Т и Т + dT;
Цис в и Смл — молярные теплоемкости связанной воды и льда; Овл — по-
верхностное натяжение на границе жидкость — лед; Ацсв = Цсв — Цв =
= итв — ^тл*’ Иов — химический потенциал связанной воды; цв — хи-
мический потенциал свободной воды; и —потенциальная энер-
гия молекулы воды в жидкой и твердой фазах.
Работа системы при сокращении поверхности раздела фаз определяет-
ся величиной авл^А. Составляющая Ацсв^А характеризует затраты энер-
гии на переход молекул из связанного состояния в свободное. Вместе с
членом (рсв^йи / 7Ив)роА^мвл °па определяет работу системы при фазовом
переходе в результате изменения удельного объема фаз. В связи с этим
получаем
(Т)dN
М^вл(П---------7 = Р(ПД^вл(П,
е св
Дцр-о (Т -j- dT) dN
P^vmm(T -н dT) - Исв1-М-.;-------= p(T + dT)\vmll^T + dT).
Рсв ‘iaz
mb (1.66)
Полученные соотношения справедливы и для фазовых переходов: связан-
ная вода — связанный лед.
Рентгенографическими исследованиями, проведенными Т. П. Костецкой
и Г. А. Мартыновым в Институте мерзлотоведения им. В. А. Обручева,
установлен переход связанной воды в лед I. В то же время при высокой
скорости промерзания горных пород не исключается возможность образо-
вания льда, находящегося под действием адсорбционных сил, в том числе
и сил Ван-дер-Ваальса.
Для связанной воды 7AsM определяется из соотношения
TASm = <7 ом — Qms = Адом, (1.67)
где дом и дмя — молярные теплоты кристаллизации и смачивания.
Поверхностное натяжение связанной воды на границе со льдом опре-
деляется по формуле (1.24).
Так как внутренняя энергия является однозначной функцией состоя-
ния, то
du\2 -р du24 = du\2> ~р du^. (1.68)
Разлагая в ряд величины Адом, АкМвл, авл и ограничиваясь двумя чле-
нами разложения, подставляем их в равенство (1.68). После элементар-
ных преобразований получаем
d\n S ] dz = (рсв /АсхаЛ/в) [Ад'ом (Т7)—Асмвл(^) —2р (Т7) Дкмвл (^) —
-/(Т)Акмвл(^)], (1.69)
где Acta = Повив — аол«л; ^ов, стол — поверхностные натяжения жид-
кой фазы воды и льда при й = 0° С; ав и ал — температурные коэффици-
енты поверхностного натяжения жидкой фазы воды и льда,
Асмвл = смЛ(Т) —Смв(Т7). (1.70)
27
Зависимость давления фазовых переходов от температуры может быть
найдена из уравнения Клапейрона — Клаузиуса, а зависимость скрытой
теплоты кристаллизации от температуры — из уравнения (1.10). При этом
молярные объемы воды ^мв и льда ^мл вычислялись по формулам
^мв = ^омв[1 — Рв(77 — То)],
(1.71)
Умл = ^омл[1 — ₽л(^ — То) ],
где рв и Рл — эффективные значения объемного коэффициента расши-
рения воды и льда, Рв = —kvR{dp / dT) + |3r, kvR — коэффициент сжимае-
мости воды, рг — коэффициент термического расширения; иОмв и 1юмл —
молярные объемы воды и льда при Т = То.
Зависимости молярных теплоемкостей льда и воды от температуры
описываются уравнениями
<?мл = Смл(^н) + [смв(Тнз) — Смл (^н) ] е^т~тнз), (1.72)
Смв(Т) = Смв (Тнз) + ^омв&р3Рг (Т— Тнз), (1.73)
где смл(^н) — предельное значение, к которому стремится теплоем-
кость при понижении температуры; £ — параметр крутизны зависимости
(смл— Т); 7нз — температура начала замерзания воды; ар = —136 ат/
/град.
На основе соотношений (1.71) и (1.73), уравнений Клапейрона —
Клаузиуса и (1.10) были получены следующие температурные зависимо-
сти давления и молярной теплоты фазовых переходов:
дом(Т’) = [(7з)^з(Т3 - Гиз3) + (V2)2!/1(72-TH32) +М7(7-ГНз) +
+ ^21н (Т / Тнз) + 7ом(Тнз) (Аром / Тнз )]77Хт, (1)
(1.7-4)
р(Т) = po + N^AT/Xr) +N2(1/Xt) +
+ N3 In (AT, + NO I (AT2 + NO ] - Ns, (2)
где XT = Avqnl + CtiAZ7 + сг2АГ2; Д^, Nr, cTn — параметры, опреде-
ляемые свойствами компонентов дисперсной среды.
Сгруппировав члены при различных степенях А7, находим
Д^ом(АТ) = М8 + MQ\T + J/ioA72,
(1.75)
р(АТ) = М13 + МЫ\Т + Mi5\T\
где М3 — М& — параметры.
Применяя разложение в ряд для описания зависимостей величин
Адом (АТ) и р(АТ) от температуры, возможно сохранить общий вид урав-
нений (1.75) при значительных вариациях исходных соотношений и, в
частности, уравнения понижения температуры поровых растворов.
Величина / dz определяется структурными свойствами среды, раз-
мерами и системой расположения частиц. Естественные полидисперсные
среды обладают весьма сложной структурой и текстурой, что затрудняет
построение соответствующих модельных систем. Однако даже идеальные
модели таких систем не являются универсальными, а соответствуют лишь
их частным модификациям.
На первом этапе исследования мерзлых горных пород как термодина-
мических систем целесообразно воспользоваться одной из простейших мо-
делей дисперсной среды. Для этого рассмотрим систему, состоящую из
сферических частиц одинакового диаметра с кубической системой их
укладки. На рис. 5 показан элемент сечения такой системы, состоящей из
четырех сферических частиц. Очевидно, что острых углов на поверхности
28
пленки в действительности не будет.
В связи с повышенной напряженно-
стью силового поля они будут запол-
няться водой в первую очередь, что и
показано на рисунке. Но в первом
приближении этими эффектами мож-
но пренебречь, учитывая незначи-
тельность их для данной модельной
системы.
Вполне очевидно также, что поня-
тие о поверхности частиц как об
обычных геометрических поверхно-
стях носит условный характер. Кро-
ме того, первые слои воды, адсорби-
руемые на поверхности частиц, име-
ют дисперсную структуру.
В то же время существуют некото-
рые предпосылки, облегчающие по-
строение модельных систем. В част-
ности, при расчете фазовых перехо-
дов в горных породах можно ограни-
читься температурами до —20° С.
В этом интервале в фазовых перехо-
дах участвует влага, структура кото-
рой идентична структуре нормальной
воды. Для этой категории связанной
Рис. 5. Схематическое сечение ячейки
модели грунтовой среды
1 — минеральная частица, 2 — связанная
вода; 3 — зона вероятного наличия связан-
ной воды
воды под поверхностью частиц может
подразумеваться некоторая изопотенциальная поверхность адсорбирован-
ной фазы.
Периметр наружной поверхности пленки связанной воды для элемента
сечения равен
Рп — 4(г0 -|- и)фг,
(1-76)
где z — толщина пленки; го — радиус частицы.
Величина фг определяется по рис. 5
Фг = (л / 2) — 2|3Г = (л / 2) — 2 arc cos [г0 / (г0 + z) ].
Разлагая arc cos г0 / П) + z и ограничиваясь двумя первыми членами
разложения, находим
^“^„+4^-4
(1.77)
Выбранное на рис. 5 сечение является для частиц диаметральным,
а следовательно, и максимальным. Среднее же значение радиуса опреде-
ляется из соотношения
о
rQ = 2/л 7’0sin ardar = 2г0/л.
^/2
(1.78)
Суммарный периметр внешней границы водной пленки для среднего
сечения (5сеч = 1 [£2]), а следовательно, и эффективная поверхность
пленки связанной воды в единице объема определяются в первом прибли-
жении следующей формулой:
S = Рс ж 1 / 2г02 (4г0 — л (го + z) ].
(1.79)
Из этой формулы следует, что наибольшая поверхность раздела соот-
ветствует мономолекулярному слою. С повышением влажности поверх-
29
Рис. 6. Периметр границы водной пленки для круговых и прямоугольных сечений
пость уменьшается, стремясь к нулю при полном влагонасыщении. Так
как для связанной воды влагосодержание значительно ниже полной влаго-
емкости, то можно ограничиться формулой (1.79), характеризующей
уменьшение S с увеличением толщины пленки. Минимальное значение S
соответствует величине поверхности воздушных пор.
Безусловно, модель системы сферических частиц с кубической укладкой позво-
ляет лишь приближенно описывать процессы в полидисперсных средах. Некоторые
более общие представления о характере функции S = S(z) можно получить на осно-
ве более детальной схематизации форм поровых сечений. Гак, все элементарные се-
чения пор дисперсного тела можно условно объединить, исходя из геометрического
очертания, в две группы: а) круговые сечения (индекс К); б) сечения прямоуголь-
ного типа (индекс П) (рис. 6). Связь между периметром пор и толщиной пленки для
этих групп сечений выражается формулами
Рк = 2лго — 2ли, (1.80)
Рп = 2(at + bt) -8z. (1.81)
Полученные формулы позволяют установить зависимость между величиной по-
верхности пленки связанной воды в единице объема дисперсного тела, описываемую
общим уравнением S — Ai — BLz. Это уравнение идентично ранее найденному урав-
нению (1.79) для модельной системы, что подтверждает его статистическую устой-
чивость.
Используя эту зависимость и соотношения (1.65) и (1.71), находим
уравнение связи между величиной поверхности водной пленки в единице
объема модели дисперсного тела и температурой
S = М21/ + /l/ПАТ7 + 71/18А72),
(1.82)
где 71/21, 71/16, 71/17, 71/18 — параметры системы, определяемые свойствами
среды (Иванов, 1962).
Связь между весовым содержанием воды в единице объема и ве-
личинами S и z определяется из дифференциального уравнения
dwnBv == dcvSdz, (1.83)
где ^св — удельный вес связанной воды.
Из (1.82) и (1.83) находим, не приводя промежуточных выкладок,
основное соотношение между весовым содержанием связанной воды и тем-
пературой в мерзлых горных породах
WHBr = wor + Aw [ (1 + aw\T + &ЮДГ2)2 ~ ’ (Г84)
где w.qv — начальное весовое содержание воды в единице объема при
Г = ТНз; Aw*, aw и bw — параметры, определяемые свойствами среды.
30
Для практических расчетов весовое содержание незамерзшей воды в
мерзлых горных породах удобнее определять на единицу массы (или веса)
органо-минерального скелета. Тогда, учитывая соотношения шНв = ^нви/уо,
Wq = I уо, Aw = Aw* I Yo и переходя от абсолютной температуры к
температуре по шкале Цельсия, преобразуя уравнение (1.84)
WHB = W0 + Дг [ (i + + &wA^2)2 i] (1 •85)
Формула (1.85) отражает однозначный характер зависимости между
содержанием связанной (незамерзшей) воды и температурой при опреде-
ленных значениях параметров Aw, aw, bw, что находится в согласии с ре-
зультатами экспериментальных исследований (Нерсесова, 1953).
Уравнение (1.85) справедливо при условии, если начальная влажность
не меньше термодинамически равновесной влажности при начальной тем-
пературе замерзания йнз. Если же начальная влажность меньше равно-
весной, то изменение фазового состояния связанной воды в такой среде
начнется лишь с температуры, для которой это влагосодержание является
термодинамически равновесным.
Обозначим через ш0* величину термодинамически равновесной влажно-
сти горных пород при температуре йнз, а через — действительную ве-
личину влагосодержания. Подставляя в (L85) = z/ty* и zz?hb = по-
лучим
Wo = WQ + [---------------9------1] , (1.86)
1(1 + %бйнз+VC3)2 J v
где бйнз = нз — йнз*; йнз — реальная температура замерзания свя-
занной воды; йнз* — потенциальная температура замерзания, соответст-
вующая равновесному значению влагосодержания шо*.
Величину бйнз определяем из уравнения (1.86)
ййнз
(1.87)
[1 + aw (Д0 - ЗДНЗ) + bw (Д0 - б^нз)2]2
Таким образом, если < ш0*, то в диапазоне температур от йнз до
йнз* содержание связанной воды остается неизменным.
Подставив в формулу (1.85) значение Физ, получаем обобщенное выра-
жение зависимости содержания связанной воды от температуры и общего
влагосодержания
^НВ “ ^0 “Ь
Формула справедлива при условии
й — (йнз + бйнз) 0.
Значительный интерес представляет рассмотрение зависимости между темпера-
турой и содержанием поровой влаги при близкой к началу замерзания температуре.
До сих пор неясно, является ли такая зависимость однозначной.
Экспериментальные исследования по определению содержания незамерзшей
воды в мерзлых почвах и горных породах проводились в основном при температуре
на 0,2—0,3° ниже йНз. Закономерности фазовых переходов при этих значениях тем-
пературы остаются еще не вполне выясненными. При анализе фазовых переходов
в этой области могут быть развиты три различных подхода.
При первом подходе допускается скачкообразность агрегатных превращений ча-
сти поровой воды Дш при температуре начала замерзания. Величина определяет-
ся как разность действительного влагосодержания ivq и равновесной влажности ш0*
Дш = — ш0*. (1.89)
31
При таком подходе наиболее затруднительно определить величину равновесной
влажности при температуре начала замерзания. Приближенно ее можно найти при
сравнительном анализе термограмм замерзания образцов дисперсных материалов при
влагосодержании как большем, так и меньшем шэ*.
Второй подход основан на допущении о непрерывности фазовых переходов всего
количества поровой воды А^ в пределах рассматриваемого интервала температур Ай.
При этом имеется в виду и зависимость температуры замерзания от концентрации
раствора. Зависимость шНв = г^Ай в этом интервале может быть выражена экспонен-
циальной функцией
1Гнв = woe~awM, (1.90)
где aw — параметр зависимости.
Рис. 7. Зависимость па-
раметра aw от влажно-
сти
Параметр aw определяется общим влагосодержанием. На рис. 7 дано графическое
изображение зависимости aw для супеси и супесчаной почвы при влажностях, боль-
ших термодинамически равновесных значений.
Третий подход основан на допущении возможности описания зависимости шНв =
— ш(Ай) для всех отрицательных температур одной функцией. Это допущение с фи-
зической стороны неправомерно, так как этим самым связанная вода отождествляет-
ся со свободной. Но оно может быть использовано для приближенного аналитиче-
ского определения теплофизических коэффициентов во всем естественном диапа-
зоне температур.
Параметры Aw, aw и bw определяются из системы трех уравнений вида (1.85),
полученных для различных экспериментальных значений температуры и содержа-
ния связанной воды. При этом следует учесть, что при достаточно низких темпера-
турах содержание связанной воды остается неизменным и производная dw/dM стре-
мится к 0.
По рассмотренной выше схеме были определены значения параметров Aw, awi
b w для некоторых разновидностей горных пород. Эти параметры определялись
по экспериментальным данным 3. А. Нерсесовой (1953) о содержании незамерз-
шей воды в типичных горных породах. Значение параметров Aw, aw и bw приводятся
ниже:
&НЗ’ °с w0, % A-w aw
Песок . . —0,2 8,0 0,076 4,375 —0,602
Супесь . . —0,2 13,6 0,062 1,19 —0,056
Суглинок . . —0,2 18,0 0,091 0,514 —0,013
Глина юрская . . . . . —0,2 41,2 0,235 0,233 +0,001
На основе полученных значений параметров были построены зависимости со-
держания связанной воды от температуры в мерзлых суглинистых и глинистых гор-
ных породах (рис. 8). Как видно из графика, результаты расчетов удовлетворительно
совпадают с экспериментальными данными.
32
13. УРАВНЕНИЕ ФАЗОВОГО СОСТОЯНИЯ
ПОРОВОГО РАСТВОРА
Уравнение (1.85) применимо лишь к чистой связанной воде. Однако в
поровой влаге всегда содержатся растворенные вещества, которые сущест-
венным образом влияют на фазовые превращения.
Растворенные вещества понижают начальную температуру замерза-
ния поровой влаги. При дальнейшем охлаждении порового раствора про-
Рис. 8. Зависимость содержа-
ния связанной воды от темпе-
ратуры в мерзлых горных по-
родах
исходит повышение его концентрации, сопровождающееся непрерывным
понижением температуры замерзания. Дадим количественную оценку
влияния растворенных веществ на понижение температуры замерзания
связанной воды в мерзлых горных породах при отсутствии массообмена,
т. е. для условий закрытой системы.
Влияние растворенных веществ на понижение температуры замерза-
ния слабого молекулярного раствора определяется уравнением (1.16).
Введя, в соответствии с этим уравнением, поправку на зависимость тем-
пературы начала замерзания порового раствора от концентрации раство-
ренного вещества дФнз2 = (RT2 / дом)^в в уравнение (1.85), получим
WHB = u’o + Л 1 + “w + бОнзх + «W + (д^ + ^НЗ! + 8W21 J ’
(1.91)
где бйнз! определяется по формуле (1.87).
Уравнение (1.91) позволяет более точно по сравнению с уравнением
(1.85) описать фазовое состояние поровых растворов в мерзлых горных
породах.
При более высоких концентрациях и для растворов электролитов вели-
чина дйнзг вычисляется соответственно по формулам (1.17) и (1.18).
Если бы растворенные вещества равномерно распределялись в жидкой
и твердой фазах воды, то в процессе промерзания не происходило бы по-
вышения концентрации пленочного раствора. В действительности же кон-
центрация растворенных веществ в жидкой фазе поровой воды, за исклю-
чением прочносвязанных слоев, возрастает с ростом твердой фазы. До на-
ступления эвтектической точки происходит образование практически
чистой твердой фазы и повышение концентрации жидкости. Основываясь
на этих соображениях для данной стадии фазовых переходов, напишем со-
отношение
Жв (fl) = хв (1.92)
Если же учитывать переход части растворенных веществ в твердую фазу,
то
гв (^нз) ~ %л (Ъг^в) + ^нв (Тнв/Тв)? (1.93)
3 Н. С. Иванов 33
где Ул? Унв, ув — объемные плотности льда, жидкой фазы и воды при
й = йнз.
Учитывая соотношения ув = Ул + Унв; унв / Ув = ^нв / ^о, получаем
^нв С'®) ]^в (^нз) ггл ]} Whb ($) • (1.94)
Тогда поправка на температуру замерзания порового раствора нахо-
дится из уравнений (1.16) и (1.94)
6*Н32 = — \хв (^пз) — (<*) Г1 — "ИВ W 11--(L95>
Н32 <?ом ' В Н3 Л L ™0 JJ ®нв(#) ‘
Если zn('ft)— 0, то получаем частный случай, соответствующий формуле
(1.92)
Формула (1.96) позволяет вычислять понижение температуры замер-
зания порового раствора, если рассматривать его как слабый молекуляр-
ный.
14. НЕКОТОРЫЕ МОДИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЯ
ФАЗОВОГО СОСТОЯНИЯ ПОРОВОЙ ВЛАГИ
В МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Уравнение фазового состояния связанной воды в мерзлых горных по-
родах может быть получено и на основе других физических предпосылок.
Так, например, П. А. Крюков и Н. А. Комарова (1954) методом отпрес-
совывания установили зависимость между давлением и влагосодержанием
горных пород. Эта зависимость может быть аппроксимирована уравнением
w(p) = ^o + Cwln (ро/р), (1.97)
где wq — количество связанной воды, удерживаемой горными породами
при нормальном давлении ро; Cw — параметр.
Давление р находится из уравнения
т
Р^Р. + \ W\V^dTlT), (1.98)
То
где 7о — удельная теплота плавления; AV — приращение объема при
фазовом переходе.
Использование уравнения Клапейрона — Клаузиуса для описания за-
висимости между давлением и температурой фазовых переходов связан-
ной воды основано на предпосылке о применимости к ней существующих
термодинамических закономерностей. Давление в связанной воде создается
силами притяжения и аналогично гравитационному давлению. Иногда его
называют «отрицательным». Давление в поверхностном слое, создаваемое
адсорбционными силами непосредственно или косвенно, можно рассмат-
ривать по аналогии с избыточным поверхностным давлением, возникаю-
щим вследствие искривления поверхности раздела жидкость — газ (поло-
жительная кривизна). При этом следует отметить, что давление отжатия,
создаваемое прессом, и давление в адсорбированной фазе могут сущест-
венно отличаться. Отжиматься могут порции связанной воды, перешедшие
предварительно в свободный лед. В этом случае давление отжатия их будет
34
существенно меньше давления в поверхностном слое связанной воды,
соответствующего температуре замерзания. Этот эффект, вероятно, и на-
блюдался Ф. Ф. Лоу (1966).
Некоторые представления о величинах давления, существующего в
пленках связанной воды, могут быть получены из опытов по отжатию вла-
ги центрифугированием образцов. На рис. 9 показана зависимость между
ускорением, развиваемым центрифугой, и остаточной влажностью иссле-
дуемых образцов, найденной Олмстэдом (Olmsted, 1937).
Рис. 9. Зависимость содержа-
ния остаточной влаги от уско-
рения центрифуги в почве по
Олмстэду (Olmsted, 1937)
Если считать, что до и АУ не зависят от температуры, то
Р Ро+ (до / АУ)]п(Г / Го) = + (д0 / АУ) X
X [(АГ/Т0) - (АГ2/2Г0) + ...],
(1.99)
где AT = T-TQ.
Решая систему уравнений (1.97) и (1.98), находим уравнение фазового
состояния связанной воды в мерзлых горных породах. В частности, если
ограничиться в разложениях в ряды In Т / То и In р / р0 первыми членами,
то при р >> ро получаем уравнение в виде
ш(Т) = ш(Т0) -Cwln (qo/AVpoTo)AT. (1.100)
Это уравнение идентично эмпирическим уравнениям Н. А. Пузакова и
С. Ловелла.
Для построения уравнения фазового состояния связанной воды в мерз-
лых горных породах могут быть также использованы положения, развитые
в работах отечественных и зарубежных исследователей (Бакаев и др.,
1954; Бакаев, 1963; Puri, 1954; Puri, Singh, Myer, 1957).
В этих работах была исследована зависимость между упругостью пара
над адсорбентом при температуре Т\ в состоянии термодинамического рав-
новесия и наивысшей температурой плавления льда, полученного из свя-
занной воды Tq. Эта зависимость является универсальной для различных
жидкостей и не зависит от природы адсорбента.
Было установлено, что связь между относительной упругостью пара
при температуре замерзания свободной воды (/?сп / /?нп)т0 и понижением
температуры плавления АГ для льда из связанной воды описывается урав-
нением
In (реп / рнп)т0 = А/г-мАГ / RTqT, (1.101)
где рнп — давление насыщенного пара воды при температуре Го;
Айм = дом — молярная теплота плавления.
Если известно значение упругости пара при некоторой температуре Т,
то для определения упругости пара при температуре Го можно воспользо-
3*
35
ваться формулой Кельвина (Роде, 1952).
ЯГ In (рсп/рнп) = 27Иов(Г) /рв(Г)г, (1.102)
где г — радиус кривизны поверхности жидкости.
Решая уравнения (1.101) и (1102) совместно, получим
In (Реп / рнп) т0 — Рв (Г) о (То) Т / рв (Го) о (Г) T.q In (реп / рнп) т =
= F(Т, То) In (реп / Рнп) г- (1.103)
Зависимость между упругостью пара и влажностью горных пород может
быть вычислена на основе теории полимолекулярной адсорбции, разрабо-
танной Брунаэром, Эмметом и Теллером (де Бур, 1962). Зависимость меж-
ду количеством адсорбированного водяного пара w и давлением пара реп
в этой теории устанавливается уравнением
Реп / м(рнп — Реп) = 1 / ^м7а + [ (<7а — 1)1 ^м7а]рсп / рнп, (1.104)
где — количество адсорбированной влаги, образующей монослой;
7а — параметр, характеризующий среднюю величину теплоты адсорбции
монослоя.
Уравнение (1.104) подтверждается экспериментальными данными при
изменении реп / Рнп в пределах от 0,05 до 0,3—0,5.
Несколько больший диапазон изменения относительного давления по-
зволяет охватить эмпирические уравнения Сперанского и Фрейндлиха —
Курона (Роде, 1952). Уравнение Сперанского применимо при 0,35 <
< Реп / рнп < 0,87
w = Wo* + 7vw(pcn /рнп)2, (1.105)
где Ки и wo* — параметры.
Уравнение Фрейндлиха — Курона применимо при 0 < реп / Рнп<0,38
w = aw*(p п/рнп)1/п, (1.106)
где aw* и п — постоянные величины; 0,3 < aw* < 7,4; 0,44 < 1 / п <.
< 0,50.
На основе совместного решения уравнений Сперанского и Фрейндли-
ха — Курона с соотношениями (1.104) и (1.103) находим уравнения фа-
зового состояния связанной воды для двух диапазонов изменения упру-
гости пара.
При 0,35 < (рСп / Рнп тк < 0,87
<?омлт
= (1.Ю7)
При 0,35 < (реп / рнп) т к < 0,87
/ 2g ом дт х
/лг\ Т- \ о* KT0F(T^, То) Т ] АГ\о\
w (Т) — Kw У)w ~h е • (1.108)
Использование условия равенства химических потенциалов связанной
воды и пара в состояниях термодинамического равновесия позволяет раз-
работать теорию понижения температуры замерзания и получить уравне-
ние фазового состава связанной воды в мерзлых горных породах без при-
влечения понятия величины внутрииленочного давления. Такой подход
применительно к связанной воде при положительных температурах был
развит Л. М. Щербаковым (1962).
Обозначим Дцсв и Дцл приращения химических потенциалов связан-
ной воды и льда, обусловленные адсорбционными силами, по сравнению
36
с положением термодинамического равновесия относительно «нормально-
го» состояния (р = ро, Т = То). Тогда уравнение термодинамического
равновесия в системе связанная вода — связанный лед запишется в виде
(И*в + АНсв) = (Ид + АНсл)- (1.109)
Если под давлением понимать внешнее атмосферное давление, то ра-
венство (1.109) при постоянном давлении преобразуется следующим об-
разом:
(d^idT)dT + й(Дрсв) = (d^idT^dT + ^(Дцсл). (1.110)
Принимая во внимание, что
(д^/дТ-д^дТ^Т = -(qQm/T)dT,
находим из (1.110)
г Др'св-Днсл -I
ДТ = Тнз-Г0^ TQ[e+ яот -1J. (1.111)
-------q^t-----]В И огРаничиваясь ДВУМЯ
членами, находим в первом приближении
Д71 ~ TQ/qQm (Дцсв Дцсл).
Полагая, что при замерзании связанной воды образуется нормальный
лед, получаем формулу Бабкока и Оверстрита (1959)
Д?1 ~ (Tjq^m) Дцсв.
(1.112)
(1.113)
Величина Дцсв может быть вычислена различными методами. Л. В. Чи-
стотинов (1968) применил для этой цели формулу, характеризующую ве-
личину химического потенциала связанной воды на плоской поверхности
адсорбента (Дерягин, Щербаков; 1961)
цсв = Ив + рсв(5<о(0 М), (1-И4)
где Усв — удельный объем связанной воды; со (Z) —удельная избыточ-
ная поверхностная энергия связанной воды для слоя толщиной I.
Величина со (Z) находится из приближенного эмпирического уравнения
(Щербаков, 1962)
СО (Z) ~ (Ооо + (сот — (Ооо) (6 / О2? (1.115)
где б — некоторая толщина слоя, для которого начинают сказываться
свойства жидкости, сот — удельная избыточная поверхностная энергия по-
верхности твердого тела; (Ооо = Отж 00 + ож °°, (Ттж 00 и ож — поверхност-
ные натяжения на границе твердая поверхность — вода и на границе сво-
бодная вода — газ.
В пределах применимости соотношения (1.115) значение Дцсв нахо-
дится из совместного решения уравнений (1.114) и (1.115)
А __ 2rCB(coT -М62
лИсв —
(1.116)
Z3
Более универсальным и целесообразным в практическом отношении
для определения Дцсв является соотношение (1.53). После подстановки
37
его в формулу (1.113) находим
AT1 ~ (RTqT / 7ом)1п(р п/ рнп).
(1.117)
Отношение реп / рнп в зависимости от влажности и температуры может
быть определено как экспериментальным путем, так и из эмпирических
уравнений Сперанского (1.105) и Фрейндлиха — Курона (1.106). В послед-
нем случае получаем:
при 0,35 < (реп / рнп) < 0,87
in
2?ом V Kw ]
при 0 < (реп / Рнп) < 0,38
^T^(nRTQT/qm)ln (И<).
(1.118)
(1.119)
Найденные выражения справедливы, если отношение реп / Рнп не су-
щественно зависит от температуры. Это равносильно допущению о приме-
нимости для всех стадий насыщения пара связанной воды одного урав-
нения состояния.
Соотношение (1.117) справедливо при условии применимости к нена-
сыщенному пару уравнения состояния идеального газа. В более общем виде
вместо величин р и рНас в него должны войти фугитивности, или, по Такаги
(Takagi, 1963), «псевдофугитивности»
Д71«(2?710Т/?0М)1п(///нп). (1.120)
Значительно сложнее вычислить понижение температуры замерзания
связанной воды, переходящей в «связанный» лед, т. е. в лед, остающийся в
поле действия адсорбционных сил.
Приближенную формулу для определения понижения температуры за-
мерзания в этом случае можно получить из уравнения (1.111), если задать-
ся общим характером функциональной зависимости Ацсв и Ацсл от опре-
деляющего параметра. В соответствии с экспериментальным уравнением
Л. М. Щербакова (1962) примем степенной характер такой зависимости
Ац = AvJl™ (1.121)
где Л у, — постоянный параметр для системы частица — вода; т — поло-
жительное число.
При замерзании очередного слоя связанной воды происходят увеличе-
ния удельного объема и расстояния молекул от поверхности частицы.
Тогда соответствующие приращения химического потенциала связанной
воды п связанного льда относительно нормального состояния определяют-
ся так:
АНсв = Л^/Zcb, (1) (]. ^22)
Ар-сл = (2)
где /св и /сл — расстояния молекул воды от плоскости адсорбента до и
после замерзания.
Представим далее формулу (1.111) в виде
г ~~Др,св ( Др,св \ л
^Т = — Т0\-е 9от 'Х Дисв' —1-1.
Из (1.122) находим
АНсл/А^СВ = (^св/^сл) •
(1.123)
38
Правая часть отношения (1.123) может быть найдена из равенства
^св / /сл = 1 / (1 + Рсл), (1.124)
где Рсл — линейный коэффициент расширения связанной воды при за-
мерзании.
Коэффициент Рсл может рассматриваться как частное от деления коэф-
фициентов расширения связанного льда и сжатия (расширения) связан-
ной воды относительно состояния свободной воды при й' == 0° С
^сл = РслРсв- (1.125)
Отношение Р*сл/ Р*св определяется в свою очередь из уравнения
1 г
Рсл __ / Рсв \ _ г
* ’ ( I С 5
1 Зев \ рсл /
Зел Зел
где рсв и рсл — плотности связанного льда и воды.
Если, в частности, плотность связанного льда такая же, как и у свобод-
ного, то
Рсв __ Зл 1
Зл Зл
где р*л 7зРг л; Рг л — коэффициент объемного расширения свобод-
ндй воды при замерзании (ргЛ ~ 0,09).
15. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФАЗОВОГО СОСТАВА
ПОРОВОЙ ВЛАГИ В МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Как уже было ранее отмечено, определение параметров, входящих в
уравнение фазового состояния связанной воды в мерзлых горных породах,
целесообразнее всего производить экспериментальным путем.
В настоящее время наиболее разработанным является калориметриче-
ский метод определения связанной воды в мерзлых горных породах, пред-
ложенный 3. А. Нерсесовой (1953) и усовершенствованный Вильямсом
(Williams, 1964).
Методика калориметрического определения связанной воды в мерзлых горных
породах достаточно обстоятельно описана 3. А. Нерсесовой. Здесь необходимо оста-
новиться лишь на выводе уточненного уравнения теплового баланса, которое являет-
ся теоретической основой рассматриваемого метода.
Уравнение теплового баланса системы калориметр — исследуемый образец —
окружающая среда запишется в виде
Qi + Qz = Qi + (А + Q$ + <2б + Qi + Q^ (1.128)
Qi — количество тепла, отдаваемого (или получаемого) калориметрической жид-
костью,
Qi = ткск(йп'-ео). (1.129)
где тк, ск — масса и теплоемкость жидкости; й0 и йп'— температура калоримет-
ра в начале и в конце опыта.
Q2 — количество тепла, отдаваемого всей остальной массой калориметра
Q2 = Сд(йп'-1%), (1.130)
39
где Cq — тепловая характеристика калориметра.
Q3 — количество тепла, поглощаемого (отдаваемого) образцом при фазовых пе-
реходах воды в лед I,
(?з = (^2Z— w2f) JnQqo (О), (1.131)
где w2 и w2" — содержание жидкой фазы при начальной температуре образца
йоб и температуре Фп; т0 —органо-минеральная масса; ip2" = ^°-
(Э4 — количество тепла, поглощаемого органо-минеральным составом,
= пгоСоС&об — Фп'), (1.132)
где со — теплоемкость органо-минерального скелета.
Q5 — количество тепла, поглощаемого поровой водой в интервале температур
Фоб — Фцз,
^об ^об
Qs = rrtQ w2 (Ф) Св (Ф) с?ф + т0 [w0 — w2 (Ф)] Сл (Ф) с/Ф, (1.133)
^НЗ ^НЗ
где Фнз — температура начала замерзания поровой воды в образце; св и сл —
теплоемкости воды и льда; и>о — общее влагосодержание.
Для крупноскелетных сред можно считать, что вся вода — свободная и перехо-
дит в лед при Ф = Фнз . Если к тому же Ф нз = 0, то из уравнения (1.114) полу-
чается частная формула 3. А. Нерсесовой (1953) для вычисления
(?5 = ТПо^оСдФоб. (1.134)
Применение формулы (1.134) вызывает значительные погрешности, обусловлен-
ные тем, что теплоемкость воды вдвое больше теплоемкости льда.
Если не принимать во внимание зависимость теплоемкости связанной воды и
льда от температуры, то формула (1.133) преобразуется так:
^об
(?5 = т0(св — сл) ?^2(ф) с7Ф + то?госл (Фоб — Фнз). (1.135)
^НЗ
Зависимость гр2(Ф) в наиболее общей форме может быть представлена форму-
лой (1.85). Однако получающееся при этом соотношение является слишком громозд-
ким. В то же время для небольших интервалов температуры достаточно ограничиться
упрощенной модификацией этой формулы
w2 (fl) - w0 + Aw - 1] . (1.136)
Подставив эту формулу в уравнение (1.135), получаем
Q5 Шо (сВ Сд) Л w { (Фо б ФJJз ) Н- ln[l -f- dw (Ф]д3 — Фо б ) ]} 4~
+ 7П0^0Сл(Фоб — Фнз). (1.137)
Количество тепла получаемого поровой влагой при нагревании ее от темпе-
ратуры Фнз до Фп', равно
Qq = (фнз — ф^). (1.138)
Qi — количество тепла, поглощаемого металлическим стаканом,
<?7 = тБсБ (Фоб — ф^), (1.139)
где т Б и с Б — масса и теплоемкость материала стакана.
Qs — количество тепла, поглощаемого нитрокраской или другим материалом, ис-
пользуемым при герметизации стакана,
Q* = тгсг С&об - <), (1.140)
где тг и сг — масса и теплоемкость герметизирующего материала.
Подставим найденные выше значения составляющих в уравнение теплового ба-
ланса (1.128)
(тКсК + Cq№n — = то (w" — w^) q0 (ф) + (moco -f- твсв + mrcr) X
х («об — «п) + («Н3 — ®'n) + тогРосл (flo6 — flH3) +
+ («в - «л) Aw {In [1 + % («нз - «об)] + («об - «нз)}. (г141>
40
Раскрывая значение величины w2" с учетом уравнения (1.136) и введя обозна-
чения:
(mKcK + С^'п ~ ^о) — Но + тБсБ -4- тгсг) ($об — — mowocB • (^нз — $'п)~
(йоб — йнз) -г rn0 (св сл)(^об ^нз) “ ^с»
"Мо (О’) = Л (св — сл) Z; #яз — f\)6 = ДО,
преобразуем уравнение (1.141)
Ас = PAW + - 1] + tAw [In (1 + awA^)] + tAwb$. (1.142)
Проведя калориметрирование одного и того же образца при трех различных значе-
ниях исходной температуры, получаем после элементарных преобразований формулу
для определения параметра aw
= Ад% — К'хззА'О'г ’ (1Л43)
где
к = Л1А^ — ^С2Л^1 ДО3 - ДО1
123 ^с1да8 — лс д«1 ’ две — дог ‘
Параметр Aw находится по одному из уравнений типа (1.142).
Калориметрический метод определения связанной воды в мерзлых гор-
ных породах является сравнительно трудоемким и связан с применением
нестандартной измерительной аппаратуры. Кроме того, громоздкость рас-
четных формул приводит к значительным методическим ошибкам.
В связи с этим возникает необходимость разработки новых методов оп-
ределения содержания связанной воды в мерзлых горных породах, которые
были бы свободны от недостатков калориметрического метода.
Наиболее прогрессивными и оперативными были бы методы, основан-
ные на зависимости электрических, магнитных, ультразвуковых и других
свойств мерзлых горных пород от содержания жидкой фазы воды. Следует,
однако, подчеркнуть, что предлагаемый И. М. Келлером (1958) метод, ос-
нованный на зависимости электропроводности от содержания связанной
воды, не позволяет еще получить однозначных результатов.
Не меньший интерес представляют термодинамические методы, и в том
числе разработанный нами в 1961 г. термографический метод.
Сущность этого метода заключается в сопоставлении двух зависимо-
стей: содержания жидкой фазы воды от температуры и температуры нача-
ла замерзания от общего влагосодержания. По своей физической природе
эти зависимости являются идентичными.
Дальнейшие исследования, проведенные в данном направлении, пока-
зали, что определение зависимости содержания связанной воды от темпе-
ратуры в мерзлых горных породах целесообразнее производить по темпе-
ратурам плавления порового льда (Иванов и др., 1966).
Это обстоятельство обусловлено несовпадением температур плавления
льда и замерзания связанной воды в мерзлых горных породах, отмечавшее-
ся также И. В. Бойко (1957а). Несовпадение температур плавления — за-
мерзания объясняется широко известным явлением переохлаждения воды.
После завершения цикла переохлаждения часть связанной воды превраща-
ется в лед, что приводит к некоторому занижению температуры замерза-
ния. Следует, однако, отметить, что это несущественное занижение и не
превышает, по полученным данным, 0,03—0,07° С.
Л. В. Чистотиновым и А. А. Мандаровым была экспериментально отра-
ботана методика определения содержания связанной воды в мерзлых гор-
ных породах (Иванов и др., 1966). Основное содержание этой методики
сводится к следующему. Образцы исследуемых горных пород весом 3—5 г.
помещенные в стеклянные ампулы высотой 2—3 см и диаметром около
41
Рис. 10. Экспериментальная зави-
симость температуры оттаивания
от влажности для песчаных гор-
ных пород разных фракций
X—частицы 0 = 0,25—0,50 мм (7);
А — частицы и < 0,23 мм (2); О —
частицы 0 0,22 мм (калориметри-
ческие данные)
Рис. И. Экспериментальная зависи-
мость температуры оттаивания от
влажности для суглинка
X минерализация 0,095% от веса сухо-
го грунта (7); ©—калориметрические
данные (7); А — минерализация 0,65%
от веса сухого грунта (2); О — калори-
метрические данные (2)
1 см, подвергались промораживанию - оттаиванию во внутреннем сосуде
+0 ОЗ^сТпомГ ХеППЛера- Температура среды измерялась с точностью
с с помощью термопар, расположенных в центре образцов и авто-
матических регистрирующих устройств ооразцов, и авто
увл^ХТ^п^01013^ °браЗЦОВ слеДУет добиваться их равномерного
ее температур сХТТ™ С0Держания связанной воды по понижению
применяя п!Р^п ДУ °ДИТЬ К МИНИМУМУ Уровень переохлаждения,
другие Хсобь Т°™ ВСтряхивание образров’ облучение их ультразвуком и
необходимо обхпЯ5п определении температуры плавления порового льда
мого*значенияХп°б₽а3ец Не НЮКе °’5-1’0°С относительно ожидае-
мого значения. Следует также учитывать возможность появления прослоек
льда I, температура плавления которых может существенно отличаться от
к;ляХУсилПЛаВЛеНИЯ П°Р0В0Г0 ЛЬДа’ наход«я в иоле электромол^
На основе рассмотренной выше методики был получен обширный экс-
периментальныи материал, характеризующий зависимость содержания
ДЛЯ Ра”Х Категорий дисперсны.
42
На рис. 10 и 11 приведены зависимости содержания связанной воды от
температуры для песчаных и суглинистых грунтов, типичных для района
Якутска. Содержание водорастворимых солей в песчаных горных породах
составляло 0,12% от массы минерального скелета.
Анализ зависимостей содержания связанной воды от температуры в
мерзлых горных породах, полученных с помощью описанной выше методи-
ки, и сопоставление их с результатами калориметрических определений
показывают несомненные преимущества нового подхода. К числу таких
преимуществ следует отнести в первую очередь оперативность и сравни-
тельную простоту методики, что существенно облегчает задачу накопления
экспериментальных данных о мерзлых горных породах.
Весьма существенно и то, что с помощью предлагаемой методики воз-
можно исследовать фазовые переходы при близких к началу замерзания
мерзлых горных пород температурах.
Полученные экспериментальные зависимости хорошо экстраполируют-
ся формулой, являющейся частным выражением уравнения фазового со-
стояния
W = WO + Aw — 1) • (1.144)
Если правильность этой формулы подтвердится дальнейшими исследо-
ваниями, то будет возможно существенно упростить определение ее пара-
метров. В частности, при трех известных экспериментальных значениях
содержания связанной воды параметры aw и Aw находятся из соотношений
_____ 1 -- ^123
aw~ Д^2£»123—Afl's
LAW’
(1.145)
где
123 — д^ J ’
Awz = Wi--WQ.
Глава II
ТЕРМОДИНАМИКА И КИНЕТИКА
ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И ВЕЩЕСТВА
В МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
1. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В предыдущей главе горные породы были рассмотрены как равновес-
ные термодинамические системы. В действительности же в этих системах
непрерывно происходят процессы переноса энергии и вещества, нарушаю-
щие равновесие.
Перенос тепловой энергии в горных породах осуществляется путем
кондуктивной, конвективной и лучистой теплопередачи.
Под кондуктивной теплопередачей понимается как молекулярный пере-
нос тепла в однородных средах, так и контактная теплопередача на грани-
це двух сред.
Конвективная теплопередача возникает в результате переноса вещест-
ва, заполняющего поры и трещины горных пород путем свободной и вы-
нужденной конвекции воды, газов и водяного пара, миграции связанной и
капиллярной влаги, а также растворенных веществ, диффузии и эффузии
водяного пара и газов.
Под миграцией влаги и растворенных веществ понимается широкий
класс явлений переноса связанной и капиллярной влаги, а также ионов,
молекул и коллоидных частиц под действием адсорбционных, капилляр-
ных, осмотических, термоосмотических и электроосмотических сил.
Лучистая теплопередача в дисперсных пористых и трещиноватых гор-
ных породах обусловлена разностью температур поверхностей пор и тре-
щин.
Горные породы, слагающие поверхностный слой земной коры, в котором
расположены и мерзлые толщи, характеризуются большим разнообразием
физико-механических и теплофизических свойств. Это разнообразие пред-
определяет сложность физической природы и механизмов переноса тепла
и вещества в рассматриваемых средах. Так, например, в дисперсных гор-
ных породах тепло переносится как кондуктивным путем, так и с помощью
конвекции и излучения, а влага переносится всеми видами конвекции и
миграции.
Однако существуют реальные предпосылки, позволяющие значительно
упростить изучение процессов переноса тепла и вещества в таких сложных
средах, какими являются горные породы. Это может быть, в частности, до-
стигнуто на основе классификации всех горных пород по принципу иден-
тичности основных форм тепло- и массопереноса.
Все разнообразие горных пород в зависимости от форм переноса веще-
ства и энергии можно объединить в следующие основные категории.
1. Сплошные скальные горные породы. Массообмен в таких средах от-
сутствует. Перенос тепла при положительных и отрицательных температу-
рах происходит кондуктивным путем.
44
2. Трещиноватые, пористые и крупноскелетные горные породы. Пере-
нос вещества в них происходит в форме свободной и вынужденной конвек-
ции воды и газов и диффузии водяных паров. Тепло переносится кондук-
цией, конвекцией и лучеиспусканием. После промерзания скачкообразно
изменяются свойства горных пород. Перенос вещества в газообразной фазе
наблюдается только в не полностью льдонасыщенных средах.
3. Дисперсные горные породы. Массообмен в них происходит путем сво-
бодной и вынужденной конвекции, миграции связанной влаги, диффузии
поровых газов и водяного пара. С повышением дисперсности среды возра-
стает значение поверхностных явлений, а следовательно, и миграционного
массопереноса. Основные формы теплопередачи — кондуктивная и кон-
вективная, а лучистая — имеет подчиненное значение. При промерзании
дисперсных горных пород появляются новые механизмы переноса влаги,
связанные с электрокинетическими процессами на поверхности льда и с
термомеханическими эффектами при замерзании поровой влаги.
В приведенной классификации только в сплошных горных породах теп-
лообмен происходит в форме кондуктивной теплопередачи. Две остальные
категории горных пород характеризуются совокупностью различных форм
и механизмов переноса тепла и вещества.
До последнего времени процессы переноса энергии в горных породах
рассматривались изолированно от переноса вещества. Это затрудняло объек-
тивное истолкование роли и значения отдельных форм и механизмов пере-
носа, способствовало необоснованному выделению одних и недооценке всех
остальных форм и механизмов переноса. Такое положение в значительной
степени объясняется тем, что для изучения взаимосвязанных процессов
переноса энергии и вещества, которые являются необратимыми, применя-
лись законы термодинамики равновесных, обратимых процессов.
Трудами школы нидерландско-бельгийских физиков (Онзагер, Приго-
жин, де Гроот, Денбиг) была создана стройная термодинамическая теория
необратимых процессов, которая в дальнейшем получила творческое разви-
тие в трудах А. В. Лыкова и его учеников при изучении процессов энерго-
и массопереноса в капиллярно-пористых и коллоидных средах.
2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ
ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И ВЕЩЕСТВА
В ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Все разнообразие природных сред объединяется в термодинамике необ-
ратимых процессов понятиями изолированных, закрытых и открытых си-
стем. Под изолированными понимаются системы, которые не обмениваются
с окружающей средой ни энергией, ни веществом; под закрытыми — систе-
мы, обменивающиеся только энергией, под открытыми — системы, обмени-
вающиеся как энергией, так и веществом.
Мерзлые толщи земной коры находятся в непрерывном вещественном
и энергетическом обмене с окружающей внешней средой и глубинными
слоями Земли и являются, следовательно, открытыми термодинамическими
системами.
Вследствие вещественного и энергетического взаимодействия с окру-
жающей средой нарушается термодинамическое равновесие горных пород,
что сопровождается появлением потоков тепловой и электрической энер-
гии, воды и растворенных веществ, газов и водяного пара. Степень откло-
нения состояния системы от равновесия характеризуется так называемыми
«термодинамическими силами» X (Денбиг, 1954).
В соответствии с теорией Онзагера между скоростями или плотностями
потоков тепловой энергии Iq, электричества и вещества /м и термодина-
мическими силами существуют линейные зависимости. Термодинамические
45
силы, вызывающие перенос тепла Xq, получили название тепловых (тепло-
обменных); силы, обусловливающие перенос электричества Хэ,— электро-
движущих, а перенос вещества Хм — диффузионных (массообменных) сил.
Величины этих сил определяются из следующих термодинамических соот-
ношений (Денбиг, 1954):
X*q = -(yT/T), (1)
Хэ= — yep, (2)
Хмг = Fi — [ТV ([1г/Т)] — (3)
(П.1)
где ср — электрический потенциал; (Гф. — заряд частицы; Fi — внеш-
няя сила; Х*мг и — массообменная сила и химический потенциал веще-
ства, обозначаемого индексом I. Все величины, отнесенные к одной молеку-
ле, обозначены звездочкой.
Величины массообменных сил для различных категорий поровой влаги
и растворенных веществ находятся путем подстановки в уравнение
(II. 1, 3) соответствующих значений химических потенциалов, найденных
в предыдущей главе. Так определяются все известные массообменные си-
лы, обусловливающие перенос влаги, растворенных веществ, поровых газов
и водяного пара в горных породах. Величины массообменных сил для раз-
личных по своей физической природе явлений массопереноса определяют-
ся следующими соотношениями.
1. Для фильтрационных процессов
Хмв = rnmg, (П. 2)
где тпт — масса молекулы, индекс В относится к свободной воде.
2. Для вынужденной конвекции воды, поровых газов и водяного пара
Хмв,г = ^в,г, (II. 3)
где индексы В, Г относятся к жидкой фазе воды и поровым газам.
3. Для свободной конвекции поровой влаги и газов
Хмв =— 71у(цв/7)- (П.4)
4. Для переноса связанной воды
Хмсв = — 7’у (Нов/?1) = — Ту [(рв + итв)/Т], (П.5)
где значение химического потенциала связанной воды рсв определяется
из уравнения (1.21).
5. Для переноса водного растворителя свободного молекулярного рас-
твора
-VM5, -- 7’V Р‘-™) -- Гу рЦД---) , (It.li)
где цвм находится из соотношения (1.14).
6. Для переноса г-го компонента растворенного вещества слабого мо-
лекулярного раствора
ХмхМг — --
НхМ? ™ / кТ In + ip (р, Т)
Т I 1 VI у7
(П.7)
где Цхмг определяется из уравнения (1.14).
46
7. Для переноса водного растворителя и i-ro компонента свободного
где цви и р.хШ находятся из уравнений (1.19).
Составляющая QqnVcp в уравнении (II.8, 2) учитывает влияние -элек-
трического поля на перенос ионов. Это влияние может быть учтено также
непосредственно через химический потенциал (де Гроот, 1956).
Для связанных поровых молекулярных и ионных растворов массооб-
менные силыХ^1хМ>Х,ху[хИХ,^вм,Х’1ВИзависят от энергии взаимодействия
молекул воды, растворенных веществ и ионов с поверхностью адсорбента.
Это взаимодействие учитывается дополнительными составляющими, вхо-
дящими в химические потенциалы растворителя и растворенных веществ
Исвм Нвм + UBM’ У'СхМ НхМ "Г" ^хМ’
^СВИ = Н’ВиП" UBII’ ~ “Ь ^хИ’
(П.9)
где рсвм, Исви’ ИСхм Исхи—химические потенциалы водного раство-
рителя и растворенного вещества связанных молекулярного и ионного
растворов, аналогичные потенциалы без индекса с относятся к свободным
растворам; &вм*, ^ви, &хм*, йхи* — потенциальные энергии молекул воды
и растворенных веществ.
Если учитывать поверхностное давление, создаваемое (взаимодействием
молекул поверхностного слоя, объемной фазы и поверхности адсорбента,
то соответствующее приращение химического потенциала поровой влаги
определится в соответствии с формулой (1.33)
Ац8 = Pb.s — Цв = o(dS / Ж) + S (до / дЛ ),
(11.10)
где ст — поверхностное натяжение на границе раздела фаз.
Для определения результирующих потоков воды и растворенных ве-
ществ под влиянием внешних сил (давления), а также адсорбционных,
осмотических, термоосмотических, электродвижущих сил и сил поверхно-
стного натяжения могут быть введены понятия обобщенных массообмен-
ных сил Хмв* (вода) и Хмхг* (растворенные вещества). Обобщенные силы
находятся путем суммирования массообменных сил для свободной и свя-
занной воды,, молекулярных и ионных растворов
Хмв = Гв — У V (-^-) = Гв — TV (- Иви '^.'в , (П.11)
Хмх,: = F*xi - TV (ДьГ) - - Fx; - TV (
(11.12)
где FB* и FXi — внешние силы, действующие на молекулы (ионы)
воды и i-ro компонента растворенного вещества; цпв и цПх? — обобщен-
47
яые химические потенциалы водного растворителя и z-ro компонента рас-
творенного вещества порового раствора.
Введение обобщенных или эффективных массообменных сил Хмв* и
А'мхг* позволяет объединить все многообразие форм переноса энергии и
вещества в горных породах в следующие категории.
1. Перенос тепловой энергии путем теплообмена (I = Iq, X = Xq).
2. Перенос электрической энергии механизмами ионной и в меньшей
степени электронной проводимости (/ = /3, X = Хэ).
3. Перенос свободной и связанной воды и водного растворителя, сво-
бодных и связанных молекулярных и ионных растворов, с учетом внеш-
него давления и сил поверхностного натяжения (/ = /Мв; X = ХМв).
4. Перенос растворенных веществ в свободных и связанных молеку-
лярных и ионных растворах (/ = /м^; X = Лмх).
Экспериментальными исследованиями было установлено, что одновре-
менно происходящие процессы теплопроводности, электропроводности и
диффузии оказывают взаимное влияние (де Гроот, 1956). Это приводит к
так называемым эффектам наложения, которые наблюдаются и в дисперс-
ных средах, и в горных породах. Термодинамика необратимых процессов
дает теоретическое истолкование эффектов наложения одновременно про-
текающих процессов тепло- и массопереноса. Это истолкование основы-
вается на следующем положении: перенос тепла, электричества и вещества
происходит не только под действием соответствующих этим процессам тер-
модинамических сил, но и под влиянием всей их совокупности
п
Ii=^LikXk, (11.13)
где li — поток энергии или вещества; Л4 — к-я термодинамическая
сила; п — общее количество термодинамических сил и совместно проте-
кающих процессов; Lik— кинетические коэффициенты, сущность которык
будет разъяснена при последующем изложении.
Для рассмотренной ранее совокупности процессов переноса тепла, элек-
тричества, воды и растворенных веществ (z-ro компонента), одновременно
протекающих в горных породах, в соответствии с (11.13) получаем следую-
щую систему уравнений переноса энергии и вещества
Iq -- Lq^Xq 4" L^X^ 4“ Lq^X^UA 4" L^X^x,
I'd = L^Xq -j- L^X'd 4~ />ЭЗ^МВ 4"
/МВ 2— />MBl^q 4" £мВ2^Э + -^МВЗ^МВ 4“ /-ВМ4^Мх,
/м.х = ^M.x]Xq £мл-2^Э 4“ /'МхЗ-Х'мВ 4“ ^Мх4^М.т.
(11.14)
В уравнениях (11.14) коэффициенты Zgl, /.32, £мвз, Zmx4 характеризу-
ют соответственно тепло-электро-влагопроводящие и диффузионные свой-
ства горных пород. Остальные коэффициенты связаны с эффектами нало-
жения различных процессов энерго- и массопереноса.
Коэффициенты Lq3 и Lg4 позволяют оценить дополнительные потоки тепла, обу-
словленные переносом растворителя и растворенного вещества. В свою очередь коэф-
фициенты Lmbi, Lmxi характеризуют влияние теплообменной силы на перенос веще-
ства. Так, например, в смеси компонентов при наличии разности температур воз-
никает градиент концентраций. Это явление носит название термодиффузии, или
эффекта Соре, и выражается коэффициентом ЛМх1. Считая равноправными компонен-
ты растворенного вещества и растворителя, этот эффект можно отнести и к коэффи-
циенту £мв1. Обратный эффект, называемый эффектом Дюфора, характеризует появ-
ление градиента температуры при наличии в смеси компонентов разности концен-
траций. Эти эффекты наложения оцениваются коэффициентами Lq3 и Lg4.
Коэффициент Lq2 характеризует влияние поля электрического потенциала на
перенос тепла. В свою очередь коэффициент ЬЭ1 свидетельствует о возможности
появления разности температур в горных породах при наличии градиента электри-
ческого поля. Эти эффекты, идентичные по природе наложения процессов эффектам
Зеебека и Пельтье, для дисперсных сред еше не исследованы.
48
Взаимосвязь процессов электропроводности, влагопроводности и диффузии ха-
рактеризуется также коэффициентами L 33,^94, ^МВ2а ^МВ4 и Амхз.
До настоящего времени еще не проведены экспериментальные исследования по
выявлению и количественной оценке всех рассмотренных эффектов наложения про-
цессов переноса энергии и вещества в горных породах. Остановимся лишь на качест-
венной характеристике следующих эффектов.
1. Градиент концентрации ионов, а следовательно, и химического потенциала по-
ровой влаги создает градиент электрического потенциала. В данном явлении наблю-
дается наложение диффузионных процессов на процессы переноса электричества.
2. Градиент электрического поля приводит к возникновению градиента концент-
рации растворенных веществ и миграции влаги. Электродвижущая сила при этом
создает дополнительный поток вещества.
3. При промерзании воды возникает так называемый термодиэлектрический эф-
фект, открытый К. Рибейро (Ribeiro, 1950). Сущность его заключается в появлении
разности потенциалов между водой и льдом, что объясняется концентрацией в твер-
дой фазе анионов порового раствора. Диффузионные силы в рассматриваемом явле-
нии обусловливают возникновение градиента электрического потенциала.
В соответствии с принципом взаимности, сформулированным Онзагером (де
Гроот, 1956), существует симметрия во взаимодействии различных процессов пере-
носа. Формально эта симметрия сводится к равенству следующих кинетических
коэффициентов:
Lq2 — Дм\2, (П.15)
Lq3 = £МВ1, ^МВ2’ ^МВ4 =
Система уравнений переноса энергии и вещества (П.14) достаточно полно харак-
теризует всю совокупность явлений переноса тепла, электричества, влаги и раство-
ренных веществ в горных породах. Однако эта система имеет в основном теорети-
ческое значение, так как большинство входящих в нее кинетических коэффициен-
тов недостаточно изучено.
Если исходить из допущения о несущественном влиянии процессов
диффузии растворенного вещества и переноса электричества на процессы
переноса тепла и воды в горных породах, то система (11.14) существенно
упрощается
Jq = Lq\Xq -j- ЛдзХмВ,
(11.16)
/мВ = -j- Лмвз-^МВ,
где 7g, 7мв — выражены соответственно в ккал/м2час и кг/м^час.
Подставим в систему (11.16) значения термодинамических сил Xq и
Амвиз (II.1, 1) и (11.11)
Iq = -Lq^T/T} iL^F-T^/T)],
(11.17)
7мв = —7/мв1 (V Т / Т) -|- 7/мвзГ^ — Т V (цпв / 71) ].
Примем за внешнюю термодинамическую силу градиент давления Vр.
Тогда, произведя группировку членов системы (11.17) по V71, \7рпв и Vp,
получим
I(] = _ zgnBM vт _ ?Цпв _ L<]3
„ T . (11.18)
7mb =-------МВз V T — 7>мвзVНив — TLmbsVp.
Определим градиент химического потенциала водного растворителя поро-
вого раствора цпв из уравнений (1.19, 1) и (1.21)
^Нпв ' I ^xi + 6
8л.г;-рп(Г^- \
—V7 +
Jo /
eU-T
4 П. С. Иванов
49
Градиенты величин Цв, и ^у) в уравнении (11.19) можно
преобразовать в градиенты таких макроскопических величин, которые мо-
гут быть определены экспериментальным путем. К таким величинам отно-
сятся температура, влагосодержание и давление поровой влаги.
При преобразовании градиента потенциальной энергии молекул свя-
занной воды VuwB* величина птВ* рассматривается как функция адсорб-
ционного давления и температуры. Само же адсорбционное давление мо-
жет быть представлено величиной, зависящей от влагосодержания w. По-
верхностное натяжение поровой влаги зависит от давления и температу-
ры, а поверхность раздела жидкой и газообразной фаз при определенной
конфигурационной поверхности адсорбента характеризуется влагосодер-
жанием.
При рассмотренных предпосылках уравнение (11.19) преобразуется
к виду _________
п I/дИв А 1 /~ (дитВу !
уНпв - К ет /р 6 у е^кТ2 + к дТ 4 +
/ дз \ f дз \
= 5 dy^V/sl V71 + Г/ dp-в \ + s d\dN)s 1 Vp— (11.20)
dT J |_\ др А др J
Подставив значение Урпв в уравнения (11.18) и заменив градиент
абсолютной температуры температурным градиентом по шкале Цельсия,
получаем
(11.21)
Iq = — —(1)
АнВ ~-'IpMBl^'fr-^MBsVw-Ч’МВЗ^Р -1l?MB4^Z;i’ (2)
Величины ipMBi, ^мвг, Ч’мвз, ^mb4 отличаются от величин г|)д1, ipg2,
фд4 тем, что коэффициенты Lqi и Lq3 заменены в них коэффициентами
£mbi и Z/MB3-
Система уравнений (11.21) позволяет рассчитывать потоки тепла и
воды во влажных горных породах под действием градиентов температуры,
влагосодержания, концентрации раствора и внешнего давления. При этом
растворенное вещество считается однокомпонентным. Для реальных по-
ровых растворов вместо величин и фмв'^^г в уравнения
(11.21, 1. 2) включаются их суммы для различных компонентов.
50
Горные породы, слагающие поверхностный слой земной коры, обычно
имеют невысокую минерализацию поровых растворов. Это позволяет не
учитывать при расчете потоков тепла и вещества в таких средах состав-
ляющие 1|)Q4 И
Приведем уравнение (11.18) к общепринятой форме. Для этого введем
следующие понятия коэффициентов тепло- и массопереноса на основе пре-
образованных уравнений (11.21)
фмв1 = ^мт — коэффициент термической массопроводности, кг/м,-час-
•град\ Хмт = Уо^'б, где уо — объемная плотность органо-минерального ске-
лета, кг/м?] af — коэффициент потенциалопроводности, мг/час] б — термо-
градиентный коэффициент, \/град] фмвг — — коэффициент миграци-
онной массопроводности, кг/м-час] Хм^ = уо#'; фмвз = Хмр — коэффициент
массопроводности, обусловленной внешним давлением, кг-м/атм-час]
Ч’д! = = X — коэффициент теплопроводности, ккал/м-час-град]
= ^qw — коэффициент конвективной (миграционной) теплопроводно-
сти, ккал!м-час] Xqw = Am?z--/b, hB — удельная энтальпия воды относитель-
но 0°С, ккал!кг] ^q3 = ^qp— коэффициент конвективной теплопроводно-
сти, обусловленной внешним давлением; Kqp = Кмр'Ьв-
С учетом введенных обозначений система уравнений массо- и теплопе-
реноса в горных породах запишется в окончательном виде так:
Iq = — kqTV$ — kqw¥w — XQPVp = — (XQT + Yo^Z6/Zb) VO —
—yoa'hBVw — Amp^bV/?, (1) (11.22)
/mb = — ^мт VO — Xmw V w — Хмр Vp = — уо2/6 VO —
—y^a'^w — XMpVp. (2)
Иной подход при изучении процессов массопереноса в почвах разви-
вается И. И. Судницыным (1965). Исходя, очевидно, из представления
о независимости явлений тепло- и массопереноса, И. И. Судницын прини-
мает за основную движущую силу в явлениях влагопереноса градиент хи-
мического потенциала
/мв =—AmbVjtb, (11.23)
где Амв — коэффициент влагопроводности.
На основе соотношения
НВ = ‘/Рв (р ~ Рос — Ра + Pg), (11.24)
где р, рос? Ро, Pg — компоненты внешнего, осмотического, поверхност-
ного и гравитационного давления. Уравнение (11.23) преобразуется так:
/мв = —Хмв V (р — рос — Ра + Pg), (11.25)
где Амв = Амв / р.
Под поверхностным давлением понимается давление, обусловленное
не только кривизной поверхности, но и адсорбционным взаимодействием.
Для расчета величины потока влаги с помощью уравнения (11.25) тре-
буется определить общее давление поровой влаги или его компоненты.
Для определения давления влаги в области высокой влажности приме-
няются методы: тензиометрический, средней влажности — криоскопиче-
ский и низкой влажности — гигроскопический.
Как известно, перенос влаги под действием осмотических и поверхност-
ных сил в дисперсных средах происходит в направлении большего давле-
ния. Так как обычно процесс переноса происходит в сторону понижения
давления, то было выдвинуто понятие «всасывающего» или «отрицатель-
ного» давления.
4*
51
Особенно резко проявляется давление всасывания поровой влаги при
промерзании горных пород.
Вильямс (Williams, 1964) установил зависимость между всасывающим
давлением и содержанием незамерзшей воды в горных породах. Им же
была раскрыта связь между всасывающей силой и температурой мерзлых
горных пород.
Введение такого макроскопического параметра, как поровое давление,
представляет некоторые удобства при изучении процессов движения вла-
ги. Однако перенос воды в горных породах по-прежнему рассматривается
изолированно от других форм переноса, что является недостатком такого
подхода.
3. ТЕПЛОПЕРЕНОС В СПЛОШНЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
К сплошным горным породам могут быть отнесены как скальные по-
роды в талом и морозном состояниях, так и дисперсные, промерзшие пол-
ностью льдонасыщенные горные породы.
Теплообмен в сплошных средах происходит как в форме кондуктивно-
го теплопереноса, так и посредством контактной теплопередачи на грани-
цах однородных сред.
Массоперенос в монолитных скальных породах отсутствует, а в льдо-
насыщенных промерзших горных породах не имеет существенного значе-
ния. Остающаяся в незамерзшем состоянии прочносвязанная влага на по-
верхности частиц практически не участвует в миграционных процессах.
Тепловой поток в сплошных горных породах определяется в соответ-
ствии с уравнением (11.22) выражением
Iq = -2ф, у, z,tf) W. (11.26)
Зависимость коэффициента теплопроводности сплошных горных пород
от пространственных координат обусловлена их термической неоднород-
ностью и анизотропией тепловых свойств компонентов. Термическая не-
однородность горных пород определяется их структурными и текстурными
свойствами. Особенно четко неоднородность проявляется в мерзлых горных
породах, имеющих слоистую и сетчатую криогенную текстуру.
Теплопроводность мерзлых горных пород зависит также от темпера-
туры. Это обусловлено главным образом тем, чго тепловые свойства содер-
жащегося в порах льда существенно зависят от температуры.
Закономерности переноса тепла в сплошных горных породах широко ис-
пользуются в геокриологии и геотехнике при решении прикладных вопро-
сов. Нередко дисперсные и пористые горные породы рассматривают как
сплошные среды.
4. ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОС В ТРЕЩИНОВАТЫХ,
ПОРИСТЫХ И КРУПНОСКЕЛЕТНЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Трещиноватые, пористые и крупноскелетные горные породы пронизаны
множеством открытых или закрытых пор, каналов и полостей, заполненных
водой, воздухом или водяным паром. Массоперенос в таких средах проис-
ходит под влиянием сил тяготения и внешнего давления, а также сил, воз-
никающих при теплообмене поверхностного слоя земной коры с окружаю-
щей средой. В результате теплообмена происходит нарушение устойчивой
стратификации плотности влаги и поровых газов и возникают явления
свободной конвекции. Движущими силами в процессах массопереноса при
свободной конвекции выступает сила Xq = —(V Т / Т) и сила земного тя-
готения Fg = mg. Различают конвекцию в замкнутых объемах или внутри
отдельных пор и полостей, которая может быть названа внутрипоровой
конвекцией, и межпоровую конвекцию — для всего исследуемого слоя.
52
Под влиянием сил внешнего давления в трещиноватых, пористых и
крупноскелетных горных породах происходят процессы вынужденного кон-
вективного переноса воды и поровых газов. Вынужденная конвекция сво-
бодной поровой воды имеет место при свободной и напорной фильтрации,
движении подземных и грунтовых вод, при искусственном протаивании
мерзлых грунтов с помощью фильтрационно-дренажных и напорно-филь-
трационных методов. Широко распространены в природе явления конвек-
ции воздуха в верхнем слое земной коры и выхода напорных подземных
газов.
В процессе тепло- и массообмена потоков влажного воздуха с охлажден-
ными, морозными и пористыми мерзлыми горными породами происходит
конденсация водяного пара, которая может иметь существенное значение
в водном балансе верхнего слоя земной коры.
Движущими силами вынужденной конвекции в горных породах являют-
ся сила гравитации Fg и внешнее давление Fp = Vр.
Потоки тепла и вещества в рассматриваемых средах в соответствии с
общей системой уравнений тепло- и массопереноса (11.22) и выбором основ-
ных термодинамических сил определяются из следующих соотношений:
/мв = —Xm-tVO — XMpV р, (1)
(11.27)
lq = —Хэк V 'О’ — Kqp V р, (2)
где Хмт = Хмск — коэффициент массопроводности в процессах свобод-
ной конвекции; ХмР = Хмвк — коэффициент массопроводности в процессах
вынужденной конвекции; Хэк — эквивалентный коэффициент теплопровод-
ности, Хэк = X + Хмск^в; Хдр = Хдвк — коэффициент конвективной тепло-
проводности в процессах вынужденной конвекции, Xqbk = Хмвк^в.
5. ЛУЧИСТЫЙ МЕХАНИЗМ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
Лучистый перенос тепла в трещиноватых, пористых и крупноскелетных
средах происходит через воздушные поры, трещины и полости.
Лучистый поток тепла для данных сред рассматривается как макроско-
пическая величина, но для его определения требуется знание элементар-
ных процессов лучистого взаимодействия для всей системы поверхностей
раздела дисперсной или пористой среды. Распределение же пор и полостей
по формам, размерам и ориентации в пространстве подчиняется статисти-
ческим закономерностям.
Теоретически определить поток лучистой энергии в таких средах можно
лишь приближенно с помощью модельных систем. Ограничимся рассмотре-
нием простейшей модели среды, имеющей равномерно распределенные ку-
бические поры.
Если размер поры AZ, температуры ее верхней и нижней граней равны
соответственно Ti и а температура боковых стенок = (Л + Л) / 2,
TiZ> Т2, то результирующий лучистый поток, поступающий на нижнее
основание от верхней и четырех боковых граней, определяется из уравне-
ния (Чудновский, 1962)
?лп = -^Е^т^М2\Тх - / 2) АЛ, (11.28)
где Е — степень черноты стенок; от — постоянная Больцмана.
АЛ = Ti — Т2; АЛ = Л — Л ~ (1/2)АЛ; Ф12Х и — угловые
коэффициенты для систем двух параллельных и перпендикулярных
пластин. Эти коэффициенты находятся из соотношений (Якоб, 1960)
53
фп' = 1 / л) [4]/2 arctg (У2 / 2) — л + In (4 / 3) ],
_ _ (11.29)
Фи = (1 / л) [ (л / 2) - l/Farctg (]/2 / 2) + (1 / 4) In (3 / 4) ].
Общий поток лучистого тепла через поверхность единичного сечения
дисперсно-пористой среды может быть определен по аналогии с законом
Фурье из уравнения
7лп —
(11.30)
где Ли — коэффициент лучистой теплопроводности.
Величина коэффициента лучистой теплопроводности находится из сопо-
ставления уравнений (11.28) и (11.30)
Ли = 4ЁОГ Т[ М (Ф;г + /2ф"2) (1 -
(11.31)
где уо и ро — объемная плотность и плотность минеральной массы.
Расчеты по формуле (11.31) показывают, что лучистый теплопоток в
пористых горных породах не превышает нескольких процентов от общего
потока, что согласуется с известной оценкой лучистого теплопереноса для
дисперсных сред (Чудновский, 1954).
6. ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОС В МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
ПРИ СВОБОДНОЙ МЕЖПОРОВОЙ КОНВЕКЦИИ
На основе общей теории теплообмена (Михеев и Михеева, 1960) и тео-
рии теплообмена в дисперсных средах (Чудновский, 1954, 1962) коэффи-
циент теплопередачи в порах а в процессах свободной внутрипоровой кон-
векции может быть определен из критериального соотношения
4 _
Nu^0,5/Gr, (11.32)
где Nu и Gr — критерии Нуссельта и Грасгофа; Nu. = al I Хг,ж ;
Gr = gZ3AZ / ¥2г,ж^; I — определяющий размер поры (толщина плоских
пор; диаметр основания цилиндрических пор, диаметр сферических пор);
Лг,ж — коэффициент теплопроводности газового или жидкого заполнителя
поры; v — кинематическая вязкость среды; АТ — перепад температуры
между основаниями поры.
Внутрипоровая свободная конвекция существенное значение может
иметь лишь для верхних горизонтов земной коры, сложенных крупноске-
летными и трещиноватыми горными породами, а также при создании в гор-
ных породах искусственных высокоградиентных температурных полей: при
высокочастотном прогреве пород и протаивании мерзлых горных пород
электрическими и гидравлическими иглами.
Критическая величина температурного перепада А7’Кр между стенками
поры, необходимого для возникновения свободной конвекции, быстро воз-
растает с уменьшением их размеров. Если для воздушных прослоек толщи-
ной свыше 10 мм свободная конвекция начинается при А7кр > 0,3°, то для
прослоек, меньших по толщине 5 мм, конвекция не возникает даже при
перепадах температуры до 100° (Чудновский, 1962).
Более существенное значеЕгие в процессах тепло- и массообмена в водо-
насыщенных крупноскелетных трещиноватых и пористых горных породах
имеет межпоровая свободная конвекция.
Межпоровая свободная конвекция воды происходит вследствие наруше-
54
Рис. 12. Зависимость коэффициента термического расширения воды от температуры
ния устойчивой плотностной стратификации в водонасыщенном слое дис-
персного или пористого материала.
При PrGr < 47 000 (Рг = цвгСв / Ав — критерий Прандтля; цвг, св,
Ав — вязкость, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности
воды) поле потоков свободноконвектирующей воды представляет систему
ячеек, в которых завершается круговорот жидкости (Эккерт, Дрейк, 1961).
Результирующий восходящий (или нисходящий) поток воды для еди-
ницы сечения пористого тела складывается из суммы элементарных массо-
потоков в восходящих (или нисходящих) ветвях конвекционных ячеек во
всех порах рассматриваемого сечения
Лиек = —Хр^п^Рв = —^mckV'O’, (II.33)
где хр — коэффициент, характеризующий влагопроводящие свойства гор-
ных пород; Sit — общая площадь поровых сечений для единичного сечения
пористого тела;
Лмск —
Зависимость плотности воды от температуры описывается уравнением
Рв W = Рв (4°) И + EW - 4)] ~ 1 + Рр (О - 4), (II. 34)
где
п _
Рр М4°)И +Зр(й-4Р] ’
— коэффициент термического расширения воды; р7, (4°) и г>в(4°) —плот-
ность и удельный объем воды при 4° С.
Зависимость коэффициента термического расширения воды от темпера-
туры показана на рис. 12 (Бачинский и др., 1951).
55
Из соотношений (II.33) и (11.34) находим коэффициент массопровод-
ности при свободной конвекции
Л / П \ (Й 4) / Т Т О С \
**МСК (V) । p-р (ф _4)2]2 • (11.оэ)
Тогда коэффициент теплопроводности при свободной конвекции найдет-
ся из соотношения
Л-СК ЛвИр ц +рр(ф_4)2]2 • (П.36)
Для определения эквивалентного коэффициента теплопроводности, ха-
рактеризующего как кондуктивный, так и конвективный перенос тепла,
можно воспользоваться также результатами исследований свободной кон-
векции в дисперсных средах (Аэров, Умник, 1951). Величина эквивалент-
ного коэффициента теплопроводности Лэк находится из следующего крите-
риального уравнения:
/ эк = А + Хск = —1,6-10~4PrGr(n2AZ2XB / А^эк), (П.37)
где П — пористость; AZ — толщина слоя, AZok = 4П / Sv; кв — коэф-
фициент теплопроводности воды; Sv — внутренняя поверхность раздела
единицы объема дисперсной среды
7. ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОС В МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ
Фильтрация в мерзлых горных породах возможна при наличии сооб-
щающихся пор и трещин и достаточном запасе тепловой энергии воды.
В процессе фильтрации происходит протаивание льда, что сопровождается
возрастанием общей пористости и скорости фильтрации. Предельно до-
пустимую температуру воды на входе 0/, названную В. Г. Гольдтманом
(1959) критической, можно определить из уравнения теплового баланса
фильтрующей мерзлой среды внутри призмы с основанием сечения S = 1 м1
и длиной I
Тл^о =Рвсв$Г(2,т)5(2,т)р1(т)-^(т)]Л, (П.38)
О
где Тл — объемная плотность льда; V (z, т) и S(z, т) — скорость филь-
трации и площадь порового сечения на расстоянии z от входа в момент
времени т; й1(т) и Й2(т) — температура жидкости на входе и выходе.
При установившемся гидравлическом режиме и при — 1/г § й2(г)с?т — О
о
находим
@1* — Ул^о / Рвсв^о^от, (11.39)
где и So— скорость потока и площадь начального порового сечения
призмы.
Коэффициент фильтрации в протаивающих горных породах является
переменной величиной, изменяющейся в процессе плавления порового льда.
Протаявшие горные породы в значительной степени сохраняют макро-
пористость, обусловленную их криогенной текстурой. Это существенным
образом определяет фильтрационные свойства горных пород. Так, напри-
мер, Г. В. Порхаевым (1961) установлено, что после протаивания суглинка
с влажностью 42—49% и объемной плотностью 1400—1500 кг/м\ имевшего
слоистую криогенную текстуру, коэффициент фильтрации в направлении,
56
параллельном ориентации ледяных прослоек, составлял 0,0155—
0,0270 м/час, в перпендикулярном 0,0089 — 0,0096 м/час, а при нарушенном
строении — 0,0050—0,0060 м/час. По данным Л. Н. Хрусталева (1961),
коэффициент фильтрации протаявших суглинок при ненарушенном строе-
нии может быть в несколько сот раз больше, чем при нарушенном.
8. ТЕПЛО- И МАССООБМЕН ГОРНЫХ ПОРОД
С ВОЗДУШНЫМИ ПОТОКАМИ
В сильно трещиноватых и крупнообломочных горных породах наблю-
даются явления интенсивного воздухообмена. Перенос воздуха в толщах
таких пород происходит в результате изменения перепада воздушного дав-
ления между зоной трещиноватости, где оно практически постоянно, и при-
земным слоем атмосферы. Величина потока воздуха без учета свободной
конвекции пропорциональна градиенту давления
Aibk = —^mbkV/?. (11.40)
Интенсивный воздухообмен в мерзлых толщах земной коры наблюдался
в ряде районов Якутии. Обстоятельные экспериментальные исследования
этого геотеплофизического явления в южных районах Якутии были прове-
дены Г. Н. Философовым (1963). Из пробуренных здесь скважин восходя-
щие потоки воздуха выбрасывают даже мелкие камни и песок. Разность
давлений в скважине и атмосфере достигала 15 мбар, а скорость потоков —
более 10 м/сек. Наряду с восходящими наблюдались и нисходящие воздуш-
ные потоки, но скорости их были значительно меньше.
Столь значительная циркуляция воздушных масс в земной коре в дан-
ном регионе объясняется высокой трещиноватостью горного массива до глу-
бины в несколько десятков метров. Четвертичные отложения здесь содер
жат много крупнообломочного материала, а в глыбовых осыпях, покрываю-
щих склоны, почти отсутствуют мелкие фракции. Водоразделы хорошо
дренированы, уровень грунтовых вод расположен на глубине 80—150 м от
поверхности. Годовая амплитуда колебаний среднемесячных температур
воздуха достигает 50°, суточная 10 4- 15°.
Тепло- и массообмен воздушных потоков с горными породами сущест-
венно сказывается на формировании термического режима мерзлых толщ.
При среднегодовой температуре воздуха —9,5° глубокое промерзание зем-
ной коры наблюдается лишь на склонах и дне долин. Глубина сезонных
колебаний температуры достигает нескольких десятков метров, глубина
сезонного промерзания — 4—8 м.
Таблица 2
Распределение температур в скв. № 17 Нерюнгринского месторождения
в июне 1955 г.
Дата Глубина, м
2 4 6 8 10 15 20 30 40
16 -1,4 —1,5 —0,9 —0,3 -0,3 —0,3 —0,3 —0,3 -0,3
17 +4,5 +3,5 +1,9 +1,3 +0,9 +0,7 —0,1 -0,3 -0,3
18 +5,7 +1,5 +0,5 +0,2 —0,2 -0,2 —0,3 -0,3 -0,4
19 -2,2 —0,2 —0,2 —0,1 —0,1 -0,1 —0,1 —0,2 —0,3
20 — 1,9 —1,1 —0,7 —0,5 -0,4 —0,4 -0,5 -0,5 —0,4
21 -1,1 —1,5 —1,1 —0,6 —0,6 —0,4 -0,5 -0,5 -0,4
Приведем данные о температуре верхнего слоя земной коры в одном из
южных районов Якутии, которые косвенно свидетельствуют об интенсивной
циркуляции воздуха в трещинах (табл. 2). В течение одной недели колеба
ния средней суточной температуры на глубине 2 м превысили 7е, а на глу-
бине 15 м — 1,1°. При отсутствии же воздухообмена в горных породах тем-
пература на глубине 15 м остается постоянной в продолжение всего года.
9. ТЕПЛООБМЕН ГОРНЫХ ПОРОД
С РАСШИРЯЮЩИМСЯ ПОТОКОМ ГАЗОВ
При прохождении глубинных газов, находящихся под повышенным дав-
лением, через трещиноватый горный массив возникает зона пониженных
температур в результате поглощения тепла при расширении газов.
Рассмотрим стационарный термический режим трещиноватого горного
массива, лежащего глубже слоя с годовыми колебаниями температуры.
Нижнюю поверхность трещиноватой зоны, расположенную на глубине Z,
совместим с началом отсчета координат. Координаты х будем отсчитывать
вверх.
Предположим, что пористость горного массива изменяется по произ-
вольному закону П = П(я). Давление порового воздуха и коэффициент
теплопроводности изменяются в соответствии с этим законом. Тогда тепло-
вой поток q(x) на глубине х определяется из соотношения
q(x) — —X(rr) / dx) = qB3 — (11.41)
где — весовая скорость воздушного потока; #вз — плотность внутри-
земного потока тепла;
dQ0(x) = [cvdT + р (x)dVn](l — -^
\ гО
\ Ро / L
$• (х) X
+ргП(
О
сШ (х) "1
П (.г) J ’
Рп — объем пор в единице объема горного массива; уо и ро — объемная
плотность и плотность минерального скелета. После интегрирования (11.41)
получим
о (Ж) у Д -
\ Ро / J л W
о
, П(х)
х х In —1—
w+(*—<п-42>
О о
В уравнении (11.42) индекс I характеризует величины на глубине х = I.
10. КОНДЕНСАЦИЯ ПАРА В КРУПНОСКЕЛЕТНЫХ МЕРЗЛЫХ
ГОРНЫХ ПОРОДАХ
При прохождении ненасыщенного пара через толщу охлажденных, мо-
розных или мерзлых крупноскелетных горных пород может происходить
насыщение пара и его конденсация. В некоторых районах Северо-Востока
явление конденсации водяных паров имеет существенное значение в водном
балансе поверхностного слоя земной коры.
58
Конденсация водяных паров мо-
жет происходить при движении теп-
лого атмосферного воздуха, охлаж-
даемого в слое сезонного протаивания.
Такие явления возникают на склонах,
покрытых каменными осыпями. В схе-
ме на рис. 13 конденсация паров воз-
никает при движении влажного воз-
духа в трещиноватых толщах земной
коры под действием разности давле-
ний в приземном слое воздуха и тре-
щиноватой зоне.
Содержание водяного пара в еди-
нице объема влажного воздуха харак-
теризуется величиной объемной
концентрации оп. Между объемной
концентрацией водяного пара и тем-
пературой существует зависимость,
описываемая в первом приближении
уравнением Менделеева—Клапейрона,
Атмосферное давление рА (Г)
P/S^Pn
• о • •*•*.*•; • ? ’: л •* ?.’°’: ’ о • ’ 'ро. *• л
о • ’А ’о ‘А’?.’0’ ’ •’X д'. -°.’ А •* ’4 * '• ? •’ \
• *о' • О • 4. ..о. .4 . о . • о. •••♦. о • • • ,
Трещиноватая зона '
V V V V
Давление воздуха рп r к
и// X
Рис. 13. Схема движения воздуха в
горных породах
а — граница сезонного протаивания
P/S^Pn
а
г//п — Mn^nl7 / RT),
(IT.43)
где рп — парциальное давление пара; Мп — молекулярный вес.
Зависимость между давлением водяного пара и температурой описы-
вается уравнением Каллендера (Робертс, 1950)
In ~~ — аюо Ст ) + Г(И + 1) X
Аоо V юо / L J
(ПЛ4)
/ \ /J U \ J /J7100
где
аюо = -тг-ц j— гио + (И + 1) а ----Ьрюо»
^пЛоо ^в аоо
п — постоянное число, не зависящее от температуры и давления; а и Ь —
постоянные;
7?м = 7?/Мп;
/? — газовая постоянная: I) — постоянная, зависисящая от выбора единицы
теплоты; Гюо = 373° К; рюо — давление сухого насыщенного пара при тем-
пературе 100° С; гюо — скрытая теплота при температуре 100° С; (гдт) юо и
(ив) юо — объем 1 г пара и воды при температуре 100° С.
С понижением температуры концентрация насыщенного пара умень-
шается. Масса водяного пара, концентрирующегося в единице объема при
охлаждении его от температуры воздуха йв до температуры горных пород
йг, определяется из уравнения
= £мв[о>п(йв)— сон (йг) ], (11.45)
где ^мв — удельный поток воздуха, кг!м2-час-, (Оп(йв) и сон(йг) — кон-
центрация водяного пара в воздухе при температуре йв и насыщенного
водяного пара при температуре горных пород йг.
При этом допускается, что после прохождения единицы объема горных
пород водяной пар находится с ними в состоянии термодинамического
равновесия. При постепенном понижении температуры слоя происходит
прогрессирующее понижение объемной концентрации водяного пара.
59
Обстоятельные экспериментальные исследования процессов конденсации водяных
паров в крупнообломочных горных породах были проведены И. Т. Рейнюком (1959)
в бассейне р. Колымы Магаданской области. Для определения массы конденсацион-
ной влаги им были разработаны специальные приборы — горизонтальные конденса-
торы, а также конденсационные трубы.
Горизонтальный конденсатор представляет собой металлический прямоугольный
ящик высотой 1,6 м с площадью поперечного сечения 1000 ел*2. Прибор устанавли-
вается в горизонтальном положении в нише на склоне и заполняется извлеченной
породой. От попадания осадков конденсатор защищен козырьком. Массообмен с ат-
мосферой происходит через наружное сечение конденсатора, закрытое сеткой. Кон-
денсированная вода стекает по коллектору в измерительную мензурку.
Проведенные исследования показали, что конденсация водяного пара в крупно-
скелетных горных породах при определенных физико-географических условиях, спо-
собствующих конвекции приземного слоя воздуха, оказывает значительное влияние
на составляющие водного баланса поверхностного слоя земной коры. Уравнение вод-
ного баланса этого слоя имеет вид
шос— шот—шис+ Шх — 6, (П.46)
где шос — масса осадков; шис~ масса испаряющейся воды; шет — масса воды,
участвующей в стоке; тх — масса воды от прочих источников.
Обычно принимается, что шет ~ тос — шис, а масса воды от прочих источни-
ков не имеет сколь-либо существенного значения в водном балансе. Однако для усло-
вий Северо-Востока масса испаряющейся влаги близка к количеству осадков, что не
согласуется с режимом речного стока этого региона. Такое противоречие в известной
мере связано с недоучетом явлений конденсации водяных паров приземного слоя
атмосферы. Так, например, по данным И. Т. Рейнюка (1959), при среднегодовой сум-
ме осадков для исследованного им района, равной 269 мм, количество конденсиро-
ванной влаги в течение летнего периода достигает 110—130 мм.
Сопоставляя динамику конденсации водяного пара с изменениями температуры,
относительной влажности воздуха и количества осадков за 1951 г. (рис. 14), можно
сделать следующие выводы о взаимосвязи рассматриваемых величин.
Интенсивность процесса конденсации возрастает с повышением температуры,
что объясняется усилением свободной и вынужденной конвекции воздуха и повы-
шением абсолютной влажности водяного пара.
Влияние осадков на процессы конденсации оказывается весьма сложным. Дли-
тельные перерывы в осадках приводят к понижению абсолютной влажности воздуха
и уменьшению количества сконденсированной влаги. Однако и при значительных
осадках интенсивность конденсации ослабевает. Это объясняется понижением темпе-
ратуры воздуха и разности температур приземного слоя атмосферы и земной коры,
а следовательно, и скорости конвективного движения воздуха. Максимальная кон-
денсация пара наблюдается в период повышения температуры воздуха после выпа-
дения осадков. В это время велика термическая конвекция воздуха, имеющего высо-
кую абсолютную влажность.
И. ТЕПЛО- И МАССОПЕ РЕНОС В ПРОМЕРЗАЮЩИХ
ТОНКОДИСПЕРСНЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
При промерзании тонкодисперсных горных пород, в отличие от крупно-
зернистых, не возникает резкой границы раздела талой и мерзлой зон.
В зоне промерзания происходят не только процессы тепло- и массопере-
носа, свойственные талым тонкодисперсным средам, но и возникают новые
механизмы переноса, обусловленные появлением льда. Агрегатные превра-
щения поровой влаги вносят качественные особенности в известные уже
формы переноса.
Экспериментальными исследованиями (Чистотинов и др., 1966), прове-
денными в лаборатории тепло- и массообмена Института мерзлотоведения
СО АН СССР, установлено, что поток влаги в промерзающей зоне дости-
гает 30—40% и более от миграционного потока в талой зоне. При этом ока-
залось, что миграция влаги происходит не только в мерзлых глинистых и
суглинистых средах, но и в песчаных горных породах (рис. 15).
Тонкодисперсные горные породы характеризуются сильно развитой по-
верхностью раздела компонентов и электростатическим взаимодействием
входящих в состав поровых растворов частиц, молекул воды и ионов. Так
как электромолекулярные силы значительно превосходят силы тяготения
60
Рис. 14. Интенсивность конденсации водяного пара в горных породах в зависимости
от температуры и влажности воздуха по данным 1951 г. (Рейнюк, 1959)
и внешние механические силы, то перенос вещества в тонкодисперсных
средах определяется в основном внутренними силами взаимодействия.
Появление льда и наличие на его поверхности жидкой пленки, обуслов-
ленной электростатическими силами, приводит к возникновению так назы-
ваемых «сосущих» сил льда. Формируется новый кристаллизационно-пле-
ночный механизм переноса.
Замерзание воды в капиллярах и порах сопровождается генерацией
системы элементарных очагов сжатия и разрежения, что способствует
перераспределению влаги и образованию криогенной текстуры. Этот меха-
низм переноса влаги может быть назван вакуумно-компрессионным.
При промерзании поровых растворов происходит значительное возра-
стание их концентрации, что повышает роль диффузионного механизма
переноса. И, наконец, некоторым своеобразием характеризуется капилляр-
ный механизм переноса влаги в промерзающих тонкодисперсных горных
породах.
12. КРИСТАЛЛИЗАЦИОННО-ПЛЕНОЧНЫЙ МЕХАНИЗМ ПЕРЕНОСА ВОДЫ
В ПРОМЕРЗАЮЩИХ ТОНКОДИСПЕРСНЫХ
ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Под кристаллизационно-пленочным механизмом переноса понимается
механизм подтягивания воды к ледяным прослойкам под действием сил
взаимодействия между твердой и жидкой фазами воды.
О значительном усилении процессов массопереноса в горных породах
при промерзании было известно уже на первом этапе исследования явлений
61
i, кг [м2-сек
Рис. 15. Эксперименталь-
ные зависимости миграци-
онного потока влаги от
скорости промерзания пес-
ка
1 — поток в талой зоне; 2 —
поток в промерзающей зоне
0 < 0,25 мм; w ~ 9—12%
миграции влаги в промерзающих средах (Taber, 1930; Beskow, 1935).
Существенное значение кристаллизационно-пленочному механизму пере-
носа влаги придавали Н. А. Пузаков (1950), С. Г. Пархоменко (1956) и
П. А. Шумский (1955). Обширный экспериментальный материал, включая
и данные, полученные в лаборатории, руководимой автором, позволяют счи-
тать бесспорным интенсификацию процесса миграции влаги при промер-
зании.
Следует, однако, подчеркнуть, что до настоящего времени в оценке роли
кристаллизационно-пленочного механизма переноса не существует опреде-
ленного мнения. Многие исследователи либо вообще игнорируют его, либо
отводят ему совершенно незначительную роль. Такая оценка не соответ-
ствует современным физико-химическим представлениям о поверхностных
процессах при кристаллизации воды.
Основная сущность этих представлений связана с предпосылкой о су-
ществовании на поверхности льда пленки адсорбированной воды. Однако
это положение многими исследователями рассматривалось лишь как воз-
можное допущение, основанное на аналогии с другими телами, что ставило
под сомнение и реальность самого кристаллизационно-пленочного механиз-
ма. Теоретические и экспериментальные доказательства существования
пленки ориентированной воды на поверхности льда были получены в
последнее время в термодинамике, кристаллографии, физике и физической
химии.
Вейл (Weyl, 1951) доказал возможность существования жидкой пленки
с позиций молекулярной физики. М. О. Клия (1952) с помощью микроско-
пического метода наблюдала появление жидкой пленки на поверхности
льда. Накая и Мацумото (Nakaja, Matsumoto, 1954) обнаружили существо-
вание жидкой пленки при изучении взаимодействия ледяных шариков, под-
вешенных на нитях, при температурах от —0,5 до —14е С.
Обоснование термодинамической необходимости существования жидкой
пленки на поверхности кристаллов было сделано Я. Е. Гегузиным и
Н. Н. Овчаренко (1962). На основе обобщения экспериментальных исследо-
ваний ими было получено следующее соотношение:
сц > Оь + Щь,
(П.47)
где сц. Оь и osL — поверхностная энергия кристалла, жидкости и на гра-
нице жидкость — кристалл.
Из соотношения (11.47) следует, что в термодинамическом отношении
система кристалл — пленка — газ (вакуум) характеризуется меньшей по-
верхностной энергией по сравнению с системой кристалл — газ (вакуум).
Процессы адсорбции полярных жидкостей, типичным представителем
которых является вода, как известно из физико-химии поверхностных яв-
лений, оказываются следствием электростатической заряжепности поверх-
ности тела. Прямого доказательства заряжениости поверхности льда до сих
62
пор не получено, и «вопрос о том, почему лед не проявляет полярных
свойств, до сих пор остается открытым» (Леб, 1963, стр. 63).
Косвенным доказательством наличия заряда на поверхности льда яв-
ляются термодиэлектрические явления, исследованию которых посвящены
работы К. Рибейро (Ribeiro, 1950), Уоркмана и Рейнольдса (Workman,
Reynolds, 1950), В. И. Арабаджи (1956), Ф. И. Баяндиной (1960), Р. И. Кор-
киной (1965). В результате этих исследований установлено, что при замер-
зании воды возникает разность потенциалов между твердой и жидкой фа-
зами, достигающая 230 в. При этом вода заряжается положительно, а лед —
отрицательно. Исключение представляет водный раствор NH4OH. Опытами
Уоркмана и Рейнольдса (1950) установлено, что при замерзании раствора
NaCl катионы Na+ остаются в жидкой фазе, а анионы С1~ захватываются
льдом.
Вся совокупность явлений, связанных с возникающим при образовании
льда термоэлектрическим эффектом, может быть удовлетворительно объяс-
нена на основе предлагаемой нами гипотезы об электростатической зара-
женности поверхности льда. Эта гипотеза согласуется с экспериментально
доказанным положением о двойном электрическом слое на границе газ —
вода (Леб, 1963). Наружная обкладка этого слоя образована анионами кис-
лорода О-, а внутренняя — протонами Н+.
Если допустить, что расположение зарядов двойного слоя сохраняется
при образовании льда, то его поверхность раздела с жидкой фазой оказы-
вается заряженной положительно. При промерзании воды эта поверхность
притягивает анионы растворенных веществ, которые захватываются обра-
зующейся твердой фазой. Катионы же накапливаются в жидкой фазе. Это
и приводит к появлению разности потенциалов между водой и льдом.
Нами было проведено большое количество опытов по выяснению наличия и зна-
ка заряда на поверхности льда. С этой целью изучалась электрофоретическая под-
вижность частиц льда в толуоле при —40 -4 50° С, определялись заряды капель
воды, замерзающих при свободном падении в толуоле при —30 4---40° С, а также
заряд подложки, охлажденной до —50 -4 80° С, при падении на него капель воды.
Эти опыты хотя и уточнили некоторые особенности криоэлектрических явлений, но
не позволили установить знака заряда поверхности льда.
Более определенные результаты были получены нами при изучении процессов
переноса кристаллов льда в постоянном электростатическом поле. Опыты произво-
дились с помощью прибора, схема которого приведена на рис. 16. В нижней части
прибора устанавливался сосуд с водой, температура которой изменялась от 0 до 55° С.
Образующийся при этом водяной пар поднимался по вертикальной металлической
трубке, диаметр которой составлял 2 см, а высота — 2 м. В верхнем конце трубки
устанавливались два полуцилиндрических медных электрода, разделенных воздуш-
ным промежутком толщиной 0,5 см. На электроды подавалось постоянное напряже-
нием, равное 50 в. Температура воздуха здесь была равна —40 -4 50° С. Во всех
опытах почти вся масса кристаллов льда была сосредоточена в межэлектродных
промежутках. Это, по нашему мнению, свидетельствует о полярности не только мо-
лекул водяного пара, но и микрокристаллов льда, образующихся из этих молекул *.
Во втором опыте наблюдалось поведение в электростатическом ноле молекул
пара и микрокристаллов льда, образующихся при сублимации снежной массы, на-
греваемой до —5-е 15 °. Для проведения опыта в снежный покров погружали ме-
таллическую трубу высотой 60 см и диаметром 10 см. В нижней части трубы уста-
навливался электрический нагреватель для подогрева снега. В верхней ее части уста-
навливались два электрода из оловянно-фосфористой бронзы, на которые подавалось
постоянное напряжение 700—800 в. При осмотре электродов было установлено, что
поверхность анода оказалась покрытой тончайшей однородной пленкой, в то время
как на поверхности катода отчетливо выделялись мелкие кристаллы льда на фоне
однородной пленки. Следовательно, в данном опыте кристаллам льда была свойствен-
на положительная полярность.
Можно предположить, что положительный заряд на поверхности льда создается
противоионами двойного электрического слоя и, в частности, катионами водорода.
1 Явление концентрации кристаллов льда и водяных паров в межэлектродных
промежутках может быть использовано для создания съемных электростатических
фильтров в пароотводных каналах при отрицательных температурах и для борьбы
с кристаллическими туманами.
63
Рис. 16. Схе-
ма прибора для
изучения тер-
модиэлектриче-
ских явлений
при замерза-
нии воды
Слабое проявление полярности льда может быть объяснено тем,
что электростатическое поле поверхности льда нейтрализуется ион-
но-гидратной оболочкой.
Интересно отметить, что положительная полярность поверхно-
сти кристаллов льда совпадает с положительной полярностью поро-
вой влаги в процессах электроосмоса.
Исходя из вполне обоснованных представлений о суще-
ствовании на поверхности льда жидкой пленки ориентиро-
ванных молекул воды, возможно не только подтвердить
физическую реальность кристаллизационно-пленочного
механизма переноса влаги, но и показать его доминирую-
щее значение в общем массообмене в промерзающих гор-
ных породах.
Кинетика переноса влаги под действием кристаллиза-
ционно-пленочного механизма осуществляется следующим
образом. После возникновения твердой фазы в процессе
понижения температуры возрастает ориентирующее влия-
ние заряженной поверхности и сил Ван-дер-Ваальса. Под
действием этих сил на поверхности льда непрерывно во-
зобновляется жидкая пленка как за счет молекул свобод-
ной, так и связанной воды.
Восстановление ориентированных пленок на поверхно-
сти льда может происходить за счет любых форм влаги и
не связано с каким-то особым механизмом подтягивания
ее к фронту промерзания. А. П. Боженова и Ф. Г. Бакулин
(1957) недоучли это положение, что привело к недооцен-
ке значения кристаллизационно-пленочного механизма.
В их опытах производилось промораживание гидрофоби-
зированного графита и измельченной смолы К-40. Несмот-
ря на полное отсутствие сил поверхностного взаимодействия и капилляр-
ных сил, в указанных средах наблюдалось появление ледяных прослоек.
Но незначительная их толщина в гидрофобных средах свидетельствует
не о второстепенной роли кристаллизационно-пленочного механизма,
а лишь об ограниченности путей подтягивания влаги к ледяным про-
слойкам.
Перенос связанной воды в мерзлых горных породах происходит путем
диффузии молекул и вязкостного течения. Из этих двух форм переноса ос-
новное значение имеет вязкостное течение. Самодиффузия преобладает в
переносе молекул прочносвязанной воды, содержание которой в дисперс-
ных горных породах невелико.
Известно, что коэффициенты самодиффузии молекул воды в 104 раз
меньше, чем воздуха, а с ростом давления и понижением температуры они
уменьшаются по экспоненциальному закону (Френкель, 1959).
Плотность диффузионного потока воды в поле градиента температур
определяется из уравнения
£>ж
^мв
б7рв (й)
Л}
Vfl,
(11.48)
где йж — коэффициент диффузии воды.
При температурах, близких к 0°, могут быть приняты следующие зна-
чения производной йрв(й) / с№ (Бачинский и др., 1951) и коэффициента
диффузии (Штрауф, 1949)
1,5 • 10 5 см2/сек; с?р(й) /М й 10-5 г!см2-град.
64
Рис. 17. Схема процесса промерзания пленочной влаги в горных породах
а на поверхности льда отсутствует жидкая пленка; б — на поверхности льда существует
жидкая пленка; 1—’Минеральная частица; 2 — фронт промерзания; 3— пленка на поверхно-
сти льда; 4 — связанная вода; 5 — лед
После подстановки значений и йрв(й) / йй в уравнение (11.48) по-
лучаем, с учетом реальных градиентов температуры V$ ~ 1—2 градам,
/мв ~ 10-10V$ г!см^‘сек 10”6 4- 10-7 г!см2-час.
Для сравнения отметим, что естественные потоки влаги в песчаных
средах, по нашим данным и по данным А. М. Глобуса (1960, 1962), дости-
гают IO 3—10 2 г!см2‘Час.
Появление льда и новой поверхности раздела как бы повышает дисперс-
ность системы и увеличивает количество связанной влаги. Вместе с тем
перемещение воды из ориентированных пленок в пленки на внешней по-
верхности льда можно рассматривать как переход связанной воды в сво-
бодное состояние, так как из нее формируется свободный лед. Из этого
льда состоят ледяные прослойки, образующие криогенную текстуру. Пере-
ход замерзающей связанной воды в свободное состояние подтверждается
рентгенографическими исследованиями.
Это явление позволяет объяснить повышение температуры замерзания
при неоднократном промораживании горных пород (Bouyoucos, 1915).
Если не учитывать электростатического взаимодействия и пленки ад-
сорбированной влаги на поверхности льда, то становится затруднительным
объяснение механизма процесса миграции влаги к фронту промерзания и
образования ледяных прослоек (рис. 17, а). В этом случае происходит, как
это показано на рис. 17, б, замещение поверхностного слоя пленки льдом.
При этом лед не переходит в свободное состояние, а адсорбционные силы
остаются уравновешенными. Следовательно, отсутствуют движущие силы,
под действием которых пленочная влага подтягивается к фронту промер-
зания и переходит из связанного состояния в свободное состояние твердой
фазы.
О резком усилении массопереноса в горных породах при возникновении льда
свидетельствует проведенный нами опыт, схема которого показана на рис. 18. В этом
опыте производилось промораживание сверху глинистого образца, помещенного в ци-
линдрический стакан, боковая поверхность которого изолировалась несколькими слоя-
ми войлока. В верхней половине образца устанавливался ледяной цилиндр, как это
показано на схеме. К нижнему торцу цилиндра с помощью гибкой трубочки подво-
дилась окрашенная вода.
В процессе промерзания образца влага из трубочки практически не подтягива-
лась до тех пор, пока фронт промерзания не достигал нижнего торца ледяного ци-
линдра. Как только фронт промерзания достигал этой границы, начиналось интен-
сивное подтягивание влаги. При этом столбик воды в трубочке полностью втягивал-
ся внутрь образца.
При осмотре образца было установлено, что вся подтянутая влага закристалли-
зовалась на нижней поверхности ледяного цилиндра.
5 Н. С. Иванов
65
< Z7 °C
Рис. 18. Схема опыта по изучению миграции влаги к ледяному цилиндру
1 — теплоизоляционная оболочка; 2 — ледяной цилиндр; 3 — мерзлая зона; 4 — талая зона;
5 — Фронт промерзания; 6 — зона льдообразования
Кристаллизационно-пленочный механизм переноса имеет особое значе-
ние при промерзании горных пород в условиях квазибезградиентности тем-
пературы и общего влагосодержания. В этом случае единственной массо-
обменной силы является градиент адсорбционного электрического потен-
циала на поверхности льда.
13. ВАКУУМНО-КОМПРЕССИОННЫЙ МЕХАНИЗМ ПЕРЕНОСА ВЛАГИ
В ПРОМЕРЗАЮЩИХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
При изучении явлений переноса необходимо учитывать влияние меха-
нических процессов, происходящих в горных породах при их промерзании.
При промерзании горных пород кристаллизация воды начинается в бо-
лее крупных порах и каналах. Вследствие увеличения удельного объема
воды при кристаллизации в этих порах и каналах возникают источники
механического напряжения, которые могут способствовать отжатию воды
от фронта промерзания. Такие явления наблюдались в опытах М. И. Сум-
гина и др. (1940), М. Н. Гольдштейна (1948) и других исследователей.
Отжатие воды от фронта промерзания в песчаных и других крупнозер-
нистых средах получило название поршневого эффекта. Механические си-
лы, возникающие при замерзании воды в порах горных пород, рассматри-
вались А. Е. Федосовым (1940) как основная причина миграции влаги.
Г. Ф. Шишкановым (1959) экспериментально установлено, что так назы-
ваемый поршневой эффект отжатия воды в промерзающих песчаных сре-
дах имеет место только при определенном диапазоне влажности — от пол-
ной до капиллярной влагоемкости. При этом промерзающая система долж-
на быть открытой. Промерзание крупнозернистых сред в условиях закры-
той системы не сопровождается заметным перераспределением влаги.
В то же время существует другая, не менее важная сторона влияния
механических напряжений на перераспределение влаги при промерзании.
Так, например, известно, что при промерзании горных пород увеличивает-
ся их воздушная пористость. Это означает, что общее увеличение объема
66
Рис. 19. Схема прибора
Гапеева для определе-
ния воздухопроницае-
мости мерзлых горных
Рис. 20. Зависимость воздухопроницаемости водопасы-
щенных мерзлых горных пород от температуры
I — пылевато-илистый грунт; II — песок среднезернистый;
111 — песок с примесью 5% ила
Скорость подъема ртутного столба,
мм /мин
пород
промерзающих горных пород превышает увеличение объема воды при за-
мерзании. Приращение объема воздушных пор определяется соотношением
А и = Ри — u>v(vji — гв), (II.49)
где р^ — коэффициент объемного расширения горных пород; wv —
объемная влажность; и ив — удельные объемы льда и воды.
Это макроскопическое свойство промерзающих горных пород связано с
множеством элементарных процессов увеличения объема пор и капилля-
ров. В результате увеличения объема поры и капилляры становятся источ-
никами разрежения, что сопровождается притоком в них влаги из окру-
жающей среды. Степень разрежения определяется воздухопроницаемостью
промерзшего слоя, экранирующего талую зону от атмосферы, т. е. от степе-
ни приближения промерзающей системы к закрытой.
Исследования, проведенные С. И. Ганеевым (1956), являются экспери-
ментальным подтверждением существования компрессионно-вакуумного
механизма переноса влаги в промерзающих горных породах. Им было изу-
чено влияние воздушного давления над поверхностью образца и газопрони-
цаемости промерзшего слоя на интенсивность процесса миграции влаги
к фронту промерзания.
Для изучения воздухопроницаемости мерзлых горных пород были проведены
опыты с помощью прибора, схема которого показана на рис. 19.
Прибор состоял из кольца диаметром 5,5 см и высотой 1,5 см, который запол-
нялся исследуемым материалом и устанавливался на поверхности того же материа-
ла. В это кольцо вставлялся цилиндр диаметром 4,5 см и высотой 12 см. С помощью
вакуум-насоса над поверхностью образца создавалось разрежение. О степени воз-
духопроницаемости мерзлых горных пород можно судить по скорости восстановле-
ния давления в цилиндре — скорости подъема ртутного столбика манометра.
На рис. 20 показаны зависимости скорости восстановления давления в цилиндре
от температуры мерзлого слоя для пылевато-илистых и песчаных пород.
Из анализа этих зависимостей следует, что с понижением температуры возду-
хопроницаемость тонкодисперсного мерзлого слоя (кривые II, III) уменьшается,
у песчаных (кривая I) — возрастает. Это явление объясняется тем, что в промерзаю-
щих тонкодисперсных средах миграция влаги происходит в широком диапазоне от-
рицательных температур, поры поверхностного слоя постепенно заполняются льдом.
В песчаных же и особенно в крупнозернистых породах миграция влаги в мерзлой
зоне резко уменьшается, а термическое сжатие компонентов мерзлого слоя при по-
нижении температуры повышает его пористость.
5*
67
С. И. Танеевым (1956) были проведены также опыты, которые позволили уста-
новить влияние газопроницаемости поверхностного слоя на интенсивность миграции
влаги к фронту промерзания. В табл. 3 приведены данные о распределении влаж-
ности песчаных образцов, которые промораживались при различных условиях воз-
духообмена с атмосферой. В контрольном опыте поверхность образца оставалась
открытой, в остальных опытах она покрывалась материалами, затрудняющими воз-
духообмен (слои резины, льда, пылевато-илистого грунта, металлический лист).
Анализ экспериментальных данных показывает, что при уменьшении
газопроницаемости поверхностного слоя возрастает миграционный поток
к фронту промерзания. Так, например, влажность поверхностного слоя пес-
чаного образца после промерзания возрастает по отношению к ее среднему
начальному значению: под металлическим листом и слоем резины на 25%,
а под слоем льда — на 14%. Наибольшее повышение влажности наблюдает-
ся под слоем пылевато-илистого материала, что, вероятно, связано с про-
явлением кристаллизационно-пленочного механизма переноса. При откры-
той же поверхности образца влажность поверхностного слоя песка не толь-
ко не увеличивается, но даже несколько уменьшается.
Таблица 3
Распределение влажности (в %) к сухой навеске в промерзающих горных породах
при различных условиях массообмена на внешней поверхности
Характеристика образца, условия опыта Глубина, см Под ело эм резины Откры- тая по- верхность Под ме- талличе- ским листом Под слоем льда тол- щиной 0,5 см Под слоем пылевато- илистого материала толщиной 3 см
Водонасыщенный средне- зернистый песок 0—5 25,6 15,9 — — —
промерзание сверху 5-10 19,0 17,3 — .— .—
при температуре от —3° до —15° в течение 5 суток 10—16 17,3 18,2 — •— —
промерзание сверху 0-3 — — 36,7 — —
при температуре от 5—8 22,0 23,7
—2° до —15° 10—13 — — — —
промораживание при температуре от —2° до —13° 0—3 — — — 42,6
4-8 — — — — 21,1
9-13 — — — — 18,1
промораживание при 0—7 — — .— 19,3 —
температуре от —10° до —12° в течение 2 су- ток 7—10 — — — 14,5 —
Визуальное наблюдение за процессом миграции влаги в промерзающих средах
под действием компрессионно-вакуумного механизма пока невозможно. Некоторые
представления о подтягивании влаги внутрь капилляров и пор, образующихся при
промерзании дисперсной среды, можно получить из следующего опыта, проведен-
ного нами.
Сущность опыта заключается в моделировании процесса промерзания клиновид-
ной поры (рис. 21). В процессе опыта проводилось наблюдение за давлением на кон-
такте этой поры с промерзающим суглинком. Образец помещался в цилиндрический
металлический стакан, боковая поверхность которого теплоизолировалась слоем вой-
лока. Промораживание образца осуществлялось с помощью охлажденного спирта,
подаваемого из термостата в охлаждающий сосуд.
Наблюдение за изменением уровня окрашенной воды в пьезометрических поли-
виниловых трубках Ti — Т5 показало, что при промерзании образца на контакте поры
со средой создается пониженное давление. Об этом свидетельствует втягивание воды
из трубок внутрь поры. Затем уровень водного столба в трубках начинает повышать-
ся в связи с замерзанием воды и повышением внутреннего давления в промерзаю-
щем слое.
68
'С
5 и 6 — лед и влага в
т — трубки с окрашен-
Т5
Рис. 21. Схема моделирования процесса
промерзания воды в клиновидной поре
1 —• охлаждающий сосуд со спиртом; 2 —
теплоизоляционная оболочка; 3 и 4 — мерз-
лая и талая зоны;
клиновидной поре;
ной жидкостью
Процесс кристаллизации воды, находящейся в порах и капиллярах,
а также воды, поступающей под действием адсорбционных сил и гидрав-
лического давления, происходит непрерывно. Непрерывно возрастает и
давление, создаваемое кристаллическими телами. В то же время промер-
зающая влажная дисперсная среда обладает свойствами упруго-вязко-пла-
стичного тела. Это означает, что должны существовать определенные пре-
дельные стадии напряженного состояния среды, при которых происходят
скачкообразные изменения размеров и форм пор и каналов.
Как показали исследования А. М. Пчелинцева, эффект скачкообразно-
сти изменения объема промерзающих горных пород действительно сущест-
вует. На рис. 22 показана динамика пучения промерзающего суглинка.
14. ДИФФУЗИОННЫЙ МЕХАНИЗМ МАССОПЕРЕНОСА
Под диффузионным механизмом переноса понимается механизм перено-
са влаги и растворенных веществ в поровых растворах под действием осмо-
тических сил. О роли и значении этих сил в процессах массопереноса в гор-
ных породах существуют противоречивые точки зрения.
Ф. Е. Колясев (1944), М. Н. Гольдштейн (1948), Фагелер, Альтен, Кур-
мис, Маттсон (Роде, 1952), Б. Ф. Рельтов и И. А. Новицкая (1954) при
изучении явлений влагопереноса придавали важное значение осмотическим
силам. А. Ф. Лебедев (1936), Н. А. Комарова, В. А. Греков, Ф. Г. Бакулин
и А. П. Боженова (1957) считают осмотический механизм переноса влаги
несущественным.
Под осмотическими силами в соответствии с представлениями И. В. Каб-
лукова (Роде, 1952) нами понимаются силы взаимодействия молекул воды
с обменными и свободными ионами поровых растворов.
Исходя из основных положений термодинамики явлений переноса, изло-
женных в гл. I, возможно согласовать различные точки зрения о роли осмо-
тических явлений в процессах массообмена в мерзлых горных породах.
Перенос ионов в поровых растворах происходит под действием градиен-
тов концентрации Vх, температуры W и электрического потенциала Уф.
Результирующий поток ионов определяется из уравнения
/мрх = — ax'yoVx — я/бхУой — Яд/уоУфо, (11.50)
где ах, — осмотический и электрический коэффициенты потенциа-
лопроводности; Sx — осмотический термоградиентный коэффициент.
69
Рис. 22. Скачкообразность
пучения промерзающего
суглинка в природных ус-
ловиях района Игарки на
глубинах
1 — 20; 2 — 48; 3 — 67; 4 — 84;
5 — 105; 6 — 125; 7—150 см
(по данным А. М. Пчелинце-
ва)
Общий поток влаги, переносимой потоком ионов, определится из урав-
нения (Иванов, 1962)
п
AlxB 2 (^MxT]bQmb)v (II.51)
где — коэффициент увлечения f-ro иона, эквивалентный числу гид-
ратации; (QMb) i = ттв1тиг, ттъ — масса молекул воды; т ш — масса
иона с индексом i.
Коэффициенты увлечения характеризуют числа молекул, увлекаемых
ионами при трансляционном движении (Самойлов, 1957). Для ионов с по-
ложительной гидратацией они положительные, а с отрицательной — отри-
цательные. Перенос ионов с отрицательной гидратацией равнозначен обрат-
ному потоку молекул воды.
Коэффициенты увлечения являются дальнейшим развитием понятия
о числах гидратации ионов. На основе обобщения данных Палльмана, Брин-
цингера и Ратенаре, Буриона, Ронгера и Хэна, Бобровского, Велиша и Ваг-
нера (Роде, 1952) ионы могут быть расположены в порядке возрастания
коэффициента увлечения
Н K^Na Ba Са Mg.
Навстречу потоку ионов и сопровождающему их потоку воды возникает
встречный поток молекул воды /Мрв. Следовательно, результирующий по-
ток влаги, создаваемый осмотическими силами в поровых растворах, опре-
делится как разность рассмотренных выше потоков
^мрв = -Лирв — Тмрх- (11.52)
При низкой концентрации поровых растворов градиенты концентрации,
а вместе с ними величины потоков ионов и воды незначительны. Поэтому
осмотические процессы не оказывают существенного влияния на общий
массообмен в промерзающих горных породах. Более того, при малых гра-
диентах концентрации величина потока влаги, переносимого ионами, может
превышать величину встречного потока.
Влияние осмотических явлений на массоперенос в тонкодисперсных гор-
ных породах проявляется также через известный эффект дезориентации
молекул связанной воды свободными ионами раствора. При этом нару-
шается взаимосвязь молекул в адсорбированной пленке, а подвижность их
при переходе в гидратные оболочки ионов понижается. Все это ослабляет
интенсивность процессов массопереноса.
70
Обстоятельное изучение влияния осмотических процессов на массоперенос в ста-
дии низкой концентрации порового раствора было проведено А. П. Боженовой. Ис-
следование процессов массопереноса производилось в лабораторных условиях на об-
разцах горных пород, увлажненных раствором СаС12 с концентрацией, равной 2,2%.
Физические характеристики этих пород приведены в табл. 4, а результаты опытов —
в табл. 5 (Боженова, 1967).
Таблица 4
Некоторые физические свойства образцов горных пород, в которых исследовалась
осмотическая миграция
Порода Удельный вес, г/см3 Влажность, %
гигроскопи- ческая максимально- гигроскопи- ческая максимально- молекуляр- ная полного насыщения
Песок люберецкий 2,65 0,2 0,4 1,6 18,0
Суглинок пылеватый ес- тественный 2,62 2,9 7,1 15,1 37,6
Са-суглинок пылеватый — 3,6 7,7 24,6 73,1
Таблица 5
Влияние градиента осмотических сил на передвижение влаги в горных породах
при 20° С
Порода Засоленная половина образца Незасоленная половина образца Время экспози- ции, сутки
влажность средняя, % понижение влажности за время опыта, % влажность средняя, % возрастание влажности за время опыта, %
Песок люберецкий 7,9/7,6* 0,3 7,5/7,7 0,2 30
7,9/7,8 0,1 7,5/7,9 0,4
7,9/7,9 0,0 8,1/8,0 0,1 60
8,6/8,5 0,1 8,1/8,2 0,1
15,0/14,7 0,3 14,6/15,3 0,7 30
15,0/14/7 0,3 14,6/15,0 0,4
Суглинок пылеватый ес- 18,0/17,8 0,2 18,0/18,1 0,1 60
тественный 18,0/18,0 0,0 18,0/18,3 0,3
30,6/30,6 0,0 30,4/30,7 0,3 30
30,6/30,2 0,4 30,4/30,7 0,3
Са-суглинок пылеватый 56,5/56,0 0,5 56,8/57,1 о,з 30
56,5/55,8 0,7 56,8/57,2 0,4
56,0/55,6 0,4 56,5/56,8 0,3
56,0/55,3 0,7 56,5/56,9 0,4 60
* В числителе — до опыта, в знаменателе — после опыта.
Анализ табл. 5 показывает, что даже при длительной выстойке, достигающей
30—.60 суток, миграция влаги практически отсутствует. Установленные отклонения
величины влагосодержания аналогичны погрешностям измерения.
О понижении интенсивности массопереноса в промерзающих горных породах при
малых концентрациях порового раствора свидетельствуют также и результаты экспе-
риментальных исследований, проведенных в лаборатории тепло- и массообмена Ин-
ститута мерзлотоведения СО АН СССР Л. В. Чистотиновым и А. А. Мандаровым.
71
Рис. 23. Зависимость миграционного потока вла-
ги в суглинке от скорости промерзания (естест-
венная засоленность — 0,65% от веса сухого ске-
лета, w ж 21—23%)
1 — поток в талой зоне; 2 — поток в промерзшей зоне
Рис. 24. Зависимость миграционного потока вла-
ги от скорости промерзания для отмытого суг-
линка при средней влажности w 21 %
На рис. 23 и 24 приведе-
ны зависимости миграционно-
го потока от скорости промер-
зания суглинка опытного и с
естественной засоленностью.
Сравнение зависимостей по-
казывает, что массопотоки в
отмытом суглинке для талой
и мерзлой зоны на 15—20%
выше, чем для суглинка с
природной засоленностью.
При малых концентраци-
ях в промерзающем поровом
растворе электростатические
поля ионов не перекрывают-
ся и не создается значитель-
ного перепада макроскопиче-
ского осмотического давле-
ния.
По-иному протекает про-
цесс промерзания горных по-
род, насыщенных высокоми-
нерализованным поровым
раствором. В результате фа-
зовых превращений концен-
трация порового раствора в
этом случае достигает такого
значения, когда начинается
наложение электростатиче-
ских полей, создаваемых си-
лами Ван-дер-Ваальса. Давле-
ние в ионных полях быстро
возрастает с уменьшением ра-
диуса. Из теории растворов
известно, что энергия взаимо-
действия, возникающая в ре-
зультате действия сил Ьан-
дер-Ваальса, убывает с рас-
стоянием, как г-7 (Шахпаро-
нов, 1956). Следовательно,
среднее значение макроскопического давления pv в единице объема опре-
делится по формуле
„ г
ьи и
Я = (ЛГи/ри) $ APr~7(lv = $ r-^dr,
(II.53)
О
где Ар — коэффициент пропорциональности; А’и— число ионов в еди-
нице объема; ии — объем зоны электростатического влияния, приходящий-
ся на один ион; ги — радиус зоны влияния.
Резкое возрастание всасывающего осмотического давления сопровож-
дается усилением потока влаги /мрв в зону промерзания. Встречный поток
влаги, переносимый ионами, остается по-прежнему пропорциональным пер-
вой степени градиента концентрации.
Таким образом, при высоких значениях концентрации растворенных ве-
ществ процессы промерзания и испарения поровых растворов сопровож-
даются значительным всасывающим осмотическим давлением и интенсив-
72
Рис. 25. Перераспределение влаги при промерзании образцов каолина, насыщенного
различными катионами (по данным 3. А. Нерсесовой)
ным влагопереносом. Так, например, по данным Б. Ф. Рельтова и И. А. Но-
вицкой (1954), при высоких градиентах концентраций перенос влаги в
связных грунтах под действием осмотических сил во много раз превышает
гравитационную фильтрацию, а всасывающее осмотическое давление мо-
жет превышать 20 м.
Исследованиями, проведенными И. А. Тютюновым и 3. А. Нерсесовой
(Нерсесова, 1961; Тютюнов и Нерсесова, 1963), было выяснено, что интен-
сивность миграции влаги в промерзающих горных породах зависит не толь-
ко от концентрации, но и от состава ионов. Экспериментальным путем было
установлено, что наиболее интенсивно миграция влаги и формирование
криогенной текстуры происходят в горных породах, поровые растворы ко-
торых содержали многовалентные ионы с положительной гидратацией. Пе-
рераспределение влаги практически не происходит, если поровые раство-
ры насыщены ионами с отрицательной гидратацией. Убедительным под-
тверждением влияния состава ионов на миграцию влаги в промерзающих
горных породах является резко выраженное различие в криогенной тексту-
ре образцов Fe — Са — Н —Na — К — каолина (рис. 25).
Из сопоставления и анализа различных сторон влияния свободных и
обменных ионов на процессы массопереноса в горных породах могут быть
сделаны следующие выводы.
1. От состава обменных катионов и их энергии гидратации зависит по-
верхностная энергия и химический потенциал связанной воды, а следова-
тельно, и ее потенциал переноса. Для многозарядных ионов с положитель-
ной гидратацией наблюдается наибольшее количество связанной влаги,
максимальное ее перераспределение при формировании криогенной тек-
стуры.
2. От состава свободных и обменных ионов зависит величина и направ-
ление макроскопического осмотического давления. Для ионов с положитель-
ной гидратацией макроскопическое давление в зоне промерзания является
всасывающим, для ионов с отрицательной гидратацией рост осмотического
давления может сопровождаться даже некоторым оттоком влаги из зоны
кристаллизации. Так, например, при насыщении поровых растворов иона-
ми калия миграции влаги к фронту промерзания и формирование криоген-
ной текстуры практически отсутствуют.
3. Влияние осмотических процессов на массоперенос в горных породах
принципиально отличается для стадий низкой и высокой концентраций по-
ровых растворов.
Для стадии низкой концентрации поровых растворов наблюдается ослаб-
ление интенсивности миграции влаги, что объясняется дезориентацией
молекул связанной воды и незначительным осмотическим давлением. Для
стадии высокой концентрации поровых растворов диффузионный механизм
массопереноса имеет доминирующее значение.
73
4. Влияние ионов на интенсивность процессов переноса влаги прояв-
ляется через влагопроводящие свойства дисперсных сред. Изменение вла-
гопроводящих свойств происходит в результате диспергации или коагуля-
ции. Многовалентные ионы способствуют коагуляции, одновалентные —
диспергации. Однако зависимость между валентностью ионов и интенсив-
ностью массопереноса не является однозначной. Так, например, в поровых
растворах, насыщенных одновалентными ионами калия, миграция весьма
незначительна, хотя известно, что ионы Ка+ не обладают диспергирующи-
ми свойствами (Грим, 1956). Исследованиями И. А. Тютюнова (1961)
было установлено также, что водопроницаемость тонкодисперсных промер-
зающих горных пород не является доминирующим фактором процесса ми-
грации влаги и формирования криогенной текстуры.
5. Состав обменных катионов определяет толщину слоя адсорбирован-
ного на поверхности льда. При наличии в растворе ионов с отрицательной
гидратацией толщина пленки будет наименьшей, что ограничивает рост
ледяных прослоек.
15. ПЕРЕНОС ПАРА В МЕРЗЛЫХ И МОРОЗНЫХ
ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Явления переноса водяного пара в мерзлых и морозных горных поро-
дах связаны с процессами испарения адсорбированной и переохлажденной
воды и поровых растворов, а также сублимации порового льда. Водяной
пар может переноситься как сквозным путем через систему сообщающихся
пор и капилляров, так и в результате процессов испарения — конденсации
и сублимации — кристаллизации в замкнутых и открытых воздушных
порах.
При изучении явлений переноса пара в горных породах могут быть ис-
пользованы теоретические представления о переносе вещества в капилляр-
но-пористых средах, разработанные А. В. Лыковым (1954).
В микрокапиллярах, размеры которых сопоставимы с длиной свободно-
го пробега молекул (радиус г < 10-5 мм), перенос водяного пара происхо-
дит в форме эффузии или кнудсеновского течения. Потенциалом переноса
в этом случае является величина р / fZ, а плотность эффузионного потока
пара определяется из уравнения
_ _§_1ХяМв/ 772 - \ V
мпэ -- з V 2R \ут2 VtJ
(11.54)
где Мв — молекулярный вес воды; R — газовая постоянная; pi и р2,
и Т2 — давления и температуры на поверхностях дисперсного тела тол-
щиной L; 5П — площадь сечения открытых пор.
В макрокапиллярах перенос пара происходит в результате процессов
пристеночного скольжения, диффузии и термодиффузии. Для бинарной
смеси воздух — водяной пар молекулы водяного пара могут перемещаться
против теплового потока.
Поток пара в дисперсном теле при изотермических условиях склады-
вается из диффузионного потока, вычисляемого по формуле Стефана с по-
правкой В. К. Лебедевой, и эффузионного потока
‘>ш = - ’ '°64 ~1мл (11-55’
74
где D — коэффициент диффузии; ръ и рп — барометрическое давление
гтх
и давление пара над мениском капилляра; ys = § bs(r)dr — функция рас-
гтп
пределения открытых сечений; гтх и гтп — максимальное и минимальное
значения радиуса сечения; Хмп — коэффициент молекулярного переноса
пара.
Коэффициент диффузии водяного пара D определяется из соотношения
(Федякин, 1960)
D = D0(T / То)3/2(Ро /р), (11.56)
где Do = 7зУ (87? / лМв) (kTot2 / 4У2лгэкРо); Ро — нормальное давление;
гэк — эквивалентный радиус капилляров; То — температура, соответствую-
щая значению Do.
Для неизотермических условий перенос пара осуществляется диффу-
зией, термодиффузией и эффузией. Результирующий поток определится в
этом случае из уравнения (Лыков, 1954)
гмп = -ZMnVp- l,064V(>r/7?Z)z/sV(p/yF). (11.57)
Принимая во внимание соотношения
Vp = (др / dw)TVw + (др / дТ) wV^1,
V(p/fF) = (llVT)(dpldw)TVw + iliT[(dpldT)w-pl2T}\^
преобразуем уравнение (11.57) к виду
?мп = —АМп(др / dw)T^w —
- [%мп(ор / dT)w~ О,532УМ17Т?Т) ys(p / Т)w] W. (11.58)
Явления переноса пара происходят как в поверхностном слое почвы,
так и в глубоких горизонтах земной коры. В почвенном слое зона измене-
ния относительной влажности порогового воздуха достигает 25 см (Ончу-
ков, 1959).
Экспериментальные исследования, проведенные А. М. Глобусом (1960),
показали, что при влажности почвы, равной 8—10%, поровая влага пере-
мещается под действием градиента температур как в жидкой, так и в па-
рообразной форме. При понижении влажности до 2% массоперенос в ос-
новном происходит в парообразном состоянии.
В верхнем слое почвы — в зоне испарения и конденсации — парциаль-
ное давление пара является функцией глубины мениска g. Глубже зоны
испарения парциальное давление является функцией влагосодержания и
температуры.
При влажности тела, близкой к максимально-гигроскопической, водя-
ной пар переходит в стадию насыщенного состояния. При влажностях тела,
больших этого критического значения, давление водяного пара является од-
нозначной функцией температуры. Зависимость давления насыщенного па-
ра от температуры над жидкой и твердой фазами воды может быть опре-
делена из соотношения (Курс метеорологии, 1951):
для воды
8,5 &
рв = рое™-», (11.59)
для льда
/>n=PB(10t'T*+»)- (II-60)
75
Если влажность тела не превышает 94% от максимально-гигроскопиче-
ской влажности, то водяной пар находится в ненасыщенном состоянии.
При этом относительная влажность порового воздуха, а следовательно, и
давление пара становится функцией влагосодержания.
Под относительной влажностью фю понимается отношение концентра-
ций водяного пара в единице объема влажного воздуха при заданном сои
и полном насыщении сон
фсо = СОН / (Он. (11.61)
Если исходить из применимости уравнения Менделеева — Клапейрона
для описания состояния пара, то
Ф(О = pul рн, (11.62)
где рп и рн — парциальные давления пара при данной концентрации
и состоянии полного насыщения.
Вид зависимости величины ф^ и рп от влагосодержания тела w опреде-
ляется температурой, гранулометрическим составом дисперсной среды и
направлением процесса, приводящего к равновесному состоянию — сорб-
ции или десорбции. Количественная оценка зависимости рп = pn(z^) мо-
жет быть сделана на основе эмпирических уравнений Фрейндлиха — Куро-
на и Сперанского, приведенных в гл. I.
Потоки пара в горных породах на глубинах, превышающих слой суточ-
ных колебаний температуры, весьма незначительны. Так, например, про-
веденные нами расчеты показали, что в течение годового цикла в песча-
ном слое на глубинах 1,75—2,25 м в районе Якутска восходящий поток
пара составил 110 а/ж2, а нисходящий — 140 г/м2. Однако при всей незначи-
тельности величины результирующего потока пара он играет важную роль
в процессах формирования воднотеплового режима мерзлых толщ земной
коры, продолжающихся в течение многих тысяч лет.
Глава III
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ СВОЙСТВА
МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОД
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Исследование количественных закономерностей процессов переноса
тепла и вещества невозможно без изучения теплофизических свойств и
массообменных характеристик горных пород. К основным тепло- и массо-
обменным свойствам горных пород относятся удельная и объемная тепло-
емкость, коэффициенты кондуктивной, лучистой и конвективной тепло-
проводности, коэффициенты температуропроводности и потенциалопровод-
ности, термоградпентный коэффициент.
Общие определения перечисленных теплофизических свойств и массо-
обменных характеристик достаточно хорошо известны. Здесь целесообраз-
но охарактеризовать лишь некоторые особенности этих величин примени-
тельно к промерзающим дисперсным горным породам.
При изучении теплофизических свойств дисперсных и пористых гор-
ных пород возникают трудности, свойственные всем дисперсным средам.
Основное направление исследований — экспериментальное. Вся совокуп-
ность горных пород при этом объединяется в несколько типичных групп.
Для этих групп исследуются зависимости теплофизических коэффициен-
тов от основных макроскопических параметров. В качестве таких пара-
метров выбраны объемная плотность, влажность (льдистость) и темпера-
тура. Такие характеристики, как гранулометрический спектр, текстура,
структура и химико-минералогический состав, считаются идентичными для
каждой группы. Для дисперсных горных пород могут быть выделены сле-
дующие группы: крупноскелетные, песчаные, супесчаные, суглинистые и
глинистые.
Для промерзающих дисперсных и пористых горных пород температура
становится одной из основных характеристик, от которой зависит фазовое
состояние поровой влаги. При фазовых превращениях поровой влаги рез-
ко изменяются ее теплофизические свойства, а следовательно, и тепло- и
массообменные характеристики горных пород. В результате перераспреде-
ления влаги и формирования криогенной текстуры мерзлые горные породы
становятся термически анизотропными.
Существенно возрастает роль физико-химических процессов, от кото-
рых зависит как температура начала замерзания поровых растворов, так
и криогенное строение промерзающих горных пород.
Намеченная классификация дисперсных горных пород является весь-
ма схематичной и не отражает всей полноты физико-механических и фи-
зико-химических свойств каждой классификационной группы. Поэтому
вполне естественны вариации значений коэффициента теплопроводности
для горных пород, наблюдаемые в пределах одной и той же группы.
Однако даже для упрощенной классификационной схемы исследование
зависимостей коэффициента теплопроводности горных пород от макроско-
пических параметров сопряжено с большим объемом экспериментальных
77
работ. Найденные опытным путем зависимости коэффициента теплопро •
водности от определяющих его величин для конкретной разновидности гор-
ных пород не могут считаться применимыми для других разновидностей.
В этом состоит основной недостаток экспериментального направления в
изучении тепловых свойств.
Второе направление исследований процессов теплопередачи в дисперс-
ных горных породах связано с разработкой теории теплопроводности мо-
дельных систем.
Много структурных моделей дисперсных сред было предложено при разработке
теории теплопроводности. В частности, можно отметить как упрощенные модели
М. Смолуховского, О. Кришера, И. С. Камерера, Р. С. Бернштейна, Финека, так и бо-
лее совершенные модели Максвелла и Рэйлея, Литхенекера и В. И. Оделевского,
В. 3. Богомолова и А. Ф. Чудновского, Г. И. Покровского и В. Г. Булычева, О. Е. Вла-
сова и А. У. Франчука. Обстоятельное рассмотрение всех этих модельных систем
было выполнено А. Ф. Чудновским (1954).
На основе анализа процессов теплопередачи в модельных средах можно раскрыть
механизм кондуктивного теплообмена и изучить зависимость коэффициента теплопро-
водности от свойств среды. Однако эти зависимости имеют в большей степени каче-
ственный, а не количественный характер. Даже наиболее совершенные модельные си-
стемы представляют собрание частиц правильной формы и одинаковых размеров с
определенной системой укладки. Между тем реальные дисперсные среды состоят из
частиц произвольной формы, характеризующихся спектром размеров и статистиче-
скими законами распределения.
Успешное решение проблемы переноса тепла в дисперсных горных
породах возможно, по нашему мнению, на базе синтеза экспериментально-
го и теоретического направлений. При таком подходе разработка теории
теплопроводности модельных систем не противопоставляется эксперимен-
тальному направлению, а дополняет его в области изучения зависимостей
коэффициента теплопроводности от различных параметров.
При разработке теории теплопроводности горных пород нами развива-
ется так называемый статистический метод (Иванов, 1962). Сущность его
заключается в применении статистико-вероятностных закономерностей
распределения частиц в дисперсной среде. Закономерности же распределе-
ния потоков тепла в частицах и окружающей среде находятся методами
структурных моделей или электротепловых аналогий (Ландау и Лифшиц,
1957 и др.).
Применение статистического метода даже в упрощенном варианте поз-
воляет теоретически обосновать зависимости теплофизических свойств
мерзлых горных пород от температуры и дать истолкование эффекта по-
нижения коэффициента теплопроводности промерзающих горных пород.
Также возможно применить принцип аналогии тепловых и электрических
процессов в дисперсных средах для установления зависимостей между теп-
ловыми и электрическими свойствами горных пород. Выявление таких за-
висимостей создает предпосылки для разработки экспресс-методов исследо-
вания теплофизических свойств дисперсных и пористых горных пород.
2. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГОРНЫХ ПОРОД
Теплоемкость горных пород характеризует их теплоаккумулятивные
свойства. При изучении тепловых процессов в земной коре применяются
понятия удельной (с) и объемной теплоемкости (cv), которые относятся
соответственно к единице массы и единице объема горных пород.
Величины с и су определяются отношениями приращений теплосодер-
жания Q в единице массы или объема горных пород к приращениям тем-
пературы. Если это так, то они выражаются дифференциальными соот-
ношениями
78
с = 1 / т (dQ I dO), (1)
(III.l)
cv = l/7(d<2/dO), (2)
где m и V — масса и объем тела.
Горные породы являются многокомпонентными и многофазными си-
стемами. Удельная и объемная теплоемкости таких систем определяются
как средние из теплоемкостей
п (1)
с = 1/722 3 (III.2)
г=1
п п
c-t = 1/К = SciTp (2)
г=1 г=1
где mi и Тг, сг и Cyi — соответственно масса и объем, удельная и объем-
ная теплоемкости; уг- — объемная плотность £-го компонента.
При изменении температуры в горных породах нарушается термоди-
намическое равновесие поровых растворов и происходят агрегатные пре-
вращения. В талых горных породах такие превращения связаны с процес-
сами испарения и конденсации поровой влаги. Промерзание (протаивание)
горных пород сопровождается процессами кристаллизации поровой влаги
и плавлением порового льда, сублимацией льда и кристаллизацией водя-
ного пара.
Агрегатные превращения поровых растворов относятся к фазовым пе-
реходам I рода, при которых выделяется или поглощается скрытая тепло-
та отвердевания — плавления, конденсации — испарения, кристаллиза-
ции — сублимации. Термодинамическое равновесие и интенсивность агре-
гатных превращений поровых растворов в мерзлых горных породах опре-
деляются температурой. Из этого следует, что теплоемкость мерзлых гор-
ных пород является величиной, зависящей от интенсивности агрегатных
превращений порового раствора, а следовательно, и от температуры.
Удельная и объемная теплоемкости мерзлых горных пород находятся
в соответствии с уравнениями (III.2) суммированием теплоемкостей ми-
нерального скелета, порового раствора, льда и поровых газов.
Каждая из этих составляющих состоит из многих компонентов: мине-
ралов, химических соединений и элементов, образующих минеральный ске-
лет, молекул, ионов и различных частиц, находящихся в поровом растворе
и во льду, а также газов и водяного пара, заполняющих воздушные поры.
Теплоемкости минералов, поровых растворов, льда и газов изменяются в
зависимости от температуры. Теплоемкость связанной воды определяется
прочностью адсорбционного взаимодействия ее с минеральным скелетом,
а следовательно, влагосодержанием; молекулярного раствора — путем сум-
мирования теплоемкостей всех компонентов, а для ионного раствора не-
обходимо учитывать взаимодействие ионов с молекулами воды. Присутст-
вие ионов приводит к уменьшению теплоемкости водного растворителя
(Эпштейн, 1948). Теплоемкость паровоздушного заполнителя пор нахо-
дится путем суммирования теплоемкостей газов и водяного пара.
При фазовых превращениях поровых растворов в мерзлых горных по-
родах величина производной dQ / dO в формулах (III.1), а следовательно,
и теплоемкости определяется главным образом интенсивностью этих пре-
вращений. Так, например, эффективная объемная теплоемкость мерзлых
горных пород характеризуется скоростью фазовых превращений масс вла-
ги, льда и водяного пара, содержащихся в единице объема. Эти величины
определяются объемными плотностями связанной (незамерзшей) воды
Унв, льда ул и водяного пара уп.
79
Уточнив понятие объемной эффективной теплоемкости, составим урав-
нение для ее определения. Величина объемной эффективной теплоемкости
мерзлых горных пород стэ находится как сумма теплоемкостей минераль-
ного скелета, поровых растворов, льда, поровых газов и параметров, харак-
теризующих интенсивность фазовых переходов в системе пар — раствор —
лед
fc I т п
2 (СоТэ X + 2(Сг^Г^+ 2(СмТм^-Ь 2 (СиТи^ “Ь
г=1 г=1 г=1 г=1
w w
+ Го$ cB(w,®)dw + слГл + слЛх + То $ q0(u’,'&)dw +
О О
+ го(^)^4^+г^) - <ш-3
где cOi и уОг, сгг и уГг-, Смг и Умй и уш — удельная теплоемкость и
объемная плотность £-го компонента минерального скелета поровых газов,
молекулярного и ионного растворов. Индекс i в формуле (III.3) относится
к обоим членам соответствующих произведений; nt — коэффициент, харак-
теризующий уменьшение теплоемкости воды в ионных растворах; сл и
Ул, слх и уЛх — удельная теплоемкость и объемная плотность чистого льда
и льда, содержащего примеси; cb(w, й) —удельная теплоемкость связан-
ной воды, изменяющаяся в зависимости от температуры и влагосодержа-
ния; #о(^, '0'), ^о(й) и /о(й)—удельная теплота процессов плавления —
отвердевания, испарения — конденсации, сублимации — кристаллизации;
уп — объемная плотность водяного пара; с/уда / йй — скорость сублимации
льда.
Формула (III.3) позволяет учесть и оценить значение теплоемкостей
всех компонентов мерзлых горных пород и тепловых эффектов, связанных
с агрегатными превращениями в системе пар — раствор — лед. Однако
учет всех этих составляющих и эффектов, а также зависимости величин,
входящих в формулу (III.3), от температуры необходим лишь при точных
термодинамических исследованиях. В инженерных и геофизических рас-
четах многими факторами можно пренебречь, некоторые переменные ве-
личины можно считать постоянными. Так, например, вместо вычисления
удельных теплоемкостей и объемных весов составляющих органо-мине-
рального остова определяют общую теплоемкость и объемный вес скелета
р
соГо= S(coro)i- (Ш.4)
i=l
Удельную теплоемкость как молекулярных растворов, так и растворов
электролитов принимают равной единице. Предполагают, что весь лед в
порах является чистым, а зависимость теплоемкости льда от температуры
не учитывают.
Теплоемкость и удельная теплота отвердевания связанной воды в диа-
пазоне 0 -4--20° считаются равными теплоемкости и удельной теплоте
отвердевания свободной воды. И, наконец, из-за незначительности величин
уп и <^улз / можно не учитывать тепловые эффекты испарения и субли-
мации.
С учетом перечисленных допущений формула (III.3) принимает более
компактное выражение 1
СуЭ = Соуо + Свунв + слул 4- £о(йунв / ЙЙ) , (II 1.5)
1 Уравнение (III.5) получено нами в 1955 г. Аналогичное соотношение было
найдено РТ. В. Бойко (19576).
80
где унв — объемная плотность незамерзшей воды; ул—объемная
плотность льда; унв = уо^нв; унв = ув — Ул; Тв — общая объемная плот-
ность воды, независимо от агрегатного состояния.
После несложных преобразований уравнение (III.5) принимает вид
СуЭ — (со + слШо)уо + (св — ел)уо?Рнв + #оУо(^^нв / dft). (IIL6)
Величины со, сл, ш, у0, qo при принятых допущениях являются постоян-
ными. Зависимость содержания незамерзшей воды в мерзлых горных по-
родах от температуры определяется уравнением (1.85). Определив из это-
го уравнения производную <7шНв / d$ и подставив значение нщв и й^нв / dft
в уравнение (III.6), получим после преобразований
суЭ = (со + wo 0’5Д1>)То + ц /?[од02]2 х
X (о,5 + f!?(awAtyX|- (HL7)
I 1 + + bw№ J 4 ’
Формула (HI.7) устанавливает зависимость объемной эффективной
теплоемкости мерзлых горных пород от температуры, влагосодержания,
объемной плотности, минерального скелета, а также от интенсивности про-
цессов замерзания поровой влаги (плавления льда). Скорость этих процес-
сов для типичных разновидностей дисперсных горных пород (пески, супе-
си, суглинки, глины) определяется параметрами Aw, aw, bw. Физико-хими-
ческие свойства поровых растворов характеризуются температурой начала
замерзания.
Подставив значения найденных в гл. I параметров Aw, aw, bw для пес-
чаных, супесчаных, суглинистых и глинистых горных пород в формулу
(Ш.7), получим ее модификации для определения объемной эффективной
теплоемкости этих сред.
Из исходного уравнения (III.5) могут быть получены формулы для
определения объемной теплоемкости горных пород в талом и промерзшем
состоянии. Эти формулы имеют вид:
для талых горных пород
Сут ~ Соуо + Св^уо, (III.8)
для промерзших горных пород
Сум ~ Cq\o + сли?уо. (Ш.9)
По формулам (Ш.7) — (III.9) были определены значения объемной теплоемкости
талых, промерзающих и промерзших дисперсных горных пород в зависимости от
влажности (льдистости), объемной плотности и температуры (Иванов, Гаврильев,
1965). В расчетах принимались следующие значения удельной теплоемкости мине-
рального скелета: песок — 0,165 ккал 1кг-град, супесь — 0,175, суглинок — 0,185, гли-
на— 0,220 ккал]кг-град (Коннова, 1953).
Объемная плотность горных пород изменялась в пределах, обусловленных естест-
венными диапазонами максимально возможного изменения плотности минерального
скелета: для песчаных, супесчаных, суглинистых горных пород от 1300 до 1800, для
глин — в пределах 1200—1700 кг/м3.
Влажность максимального насыщения горных пород определяется из соотношения
<шлп>
где рв и р0 — плотность воды и минерального скелета.
Значения wHc для песчанистых и глинистых горных пород, вычисленные по фор-
муле (Ш.10), приведены ниже:
для песчанистых горных пород (р0 = 26501 яз/ж3);
Yo, кг)№? . . .
“нс> %...........
1000 1300 1400 1500 1600 1700 1800
62,3 37,7 33,5 29,0 24,7 21,2 17,7
6 Н. С. Иванов
Рис. 26. Зависимость объемной теплоемкости талых и мерзлых (промерзших) горных
пород от влажности и объемной плотности
I — глина; 2 — суглинок; 3 — супесь; 4 — песок
Рис. 27. Зависимость объемной эффективной теплоемкости промерзающих песчаных
горных пород от температуры и объемной плотности
для глинистых горных пород (ро = 2700 кг/м3):
Yo, кг/м3 . .
";нс> % • • • •
1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600
63,0 53,8 46,3 40,0 34,4 29,6 25,4
1700
21,7
Зависимости объемной теплоемкости талых и промерзших горных пород (пески,
супеси, суглинки, глины) от влажности и объемной плотности, полученные по форму-
лам (III.8) и (III.9), показаны на номограмме (рис. 26). В левой части номограммы
дана зависимость объемной теплоемкости от влажности при объемной плотности, рав-
ной 1000 кг/м3. Пересчет теплоемкости для заданной плотности производится по пра-
вой части номограммы.
Способ определения объемной теплоемкости ясен из принципа построения номо-
граммы. В качестве примера на рис. 26 показана схема определения теплоемкости
при w = 12,5% и у0 = 1470 кг/м3. Этим значениям параметров w и у0 соответствует
значение объемной теплоемкости, равное 422 ккал/м3 - град.
Температура полного промерзания глины при приближенных тепловых расчетах
может быть принята равной —20°. Тогда содержание незамерзшей воды в глине рав-
но, по данным 3. А. Нерсесовой (1953), 10%. Следовательно, при меньших влажностях
глина при отрицательных температурах рассматривается как морозная, а при более
высоких влажностях — как мерзлая. На этом принципе и построена номограмма для
определения аддитивной теплоемкости глины.
Объемная эффективная теплоемкость мерзлых горных пород определялась по
формуле (III.7). Результаты определения зависимости объемной эффективной тепло-
емкости песчаных, супесчаных, суглинистых и глинистых горных пород от температу-
ры при различных значениях объемной плотности минерального скелета и влажно-
сти представлены в виде номограмм на рис. 27—30.
83
Ср ккал/м3-гр ад
Если влажность горных пород оказывается меньше влажности неза-
мерзшей воды при данной температуре, то горные породы являются мо-
розными, а их теплоемкость рассчитывается по аналогии с теплоемкостью
талых горных пород.
Номограммами (рис. 28—30) не учитывается зависимость эффективной
теплоемкости мерзлых горных пород от температуры в интервале от О до
—0,2°. В то же время для переувлажненных горных пород значительная,
а во многих случаях и основная часть тепла фазовых переходов выделя-
ется (поглощается) в этом диапазоне температуры. Количество этого теп-
ла может быть рассчитано по аналогии с фазовыми переходами свободной
воды из соотношения
Q — qom, (Ш.И)
где q® — теплота кристаллизации свободной воды, равная 79,6 ккал1кг\
т — масса замерзающей воды в рассматриваемом интервале температур.
Может быть иной подход, если исходить из предпосылки о непрерыв-
ности изменения фазового состояния поровой воды (в мерзлых горных
породах) в температурном интервале от 0 до —0,2°. Тогда содержание свя-
занной воды, а следовательно, и объемная эффективная теплоемкость будут
зависеть от начального влагосодержания Зависимость содержания свя-
занной воды от температуры в этом интервале температур описывается
формулой (1.90).
Подставив эту формулу в уравнение (III.3), находим зависимость
объемной эффективной теплоемкости мерзлых горных пород в интервале
от 0 до —0,2°
С7Э = [(с0 + O,5wo) + (0,5 + о^о)] woe~^ (IIL12)
По данной формуле были построены зависимости (рис. 31—34) объем-
ной эффективной теплоемкости песчаных, супесчаных, суглинистых и гли-
нистых горных пород от влажности и объемной плотности при температу-
рах й = 0° и й = —0,1° С (йнз = 0).
Определение объемной теплоемкости по этим номограммам производит-
ся, как и по номограммам на рис. 26—30.
3. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ГОРНЫХ ПОРОД
Из всех теплофизических характеристик коэффициент теплопровод-
ности горных пород представляет наибольший интерес в геокриологических
исследованиях. Знание этого коэффициента необходимо при изучении как
стационарных, так и нестационарных тепловых процессов в мерзлых тол-
щах земной коры и теплового взаимодействия инженерных сооружений
с мерзлыми грунтами.
В соответствии с рассмотренной в гл. II классификацией основных форм
переноса тепла могут быть выделены коэффициенты кондуктивной, лучи-
стой и конвективной теплопроводности горных пород.
Коэффициент кондуктивной теплопроводности Z характеризует моле-
кулярный перенос тепла в сплошных горных породах, а также в минераль-
ных частицах, прослойках воды и льда и в воздушных порах дисперсных,
пористых и трещиноватых горных пород.
Коэффициент лучистой теплопроводности ли характеризует лучистую
теплопередачу в порах и полостях дисперсных, пористых и трещиноватых
горных пород.
Коэффициент конвективной теплопроводности определяет перенос теп-
85
Рис. 31. Зависимость объемной
горных пород от влажности и
эффективной теплоемкости промерзающих песчаных
объемной плотности при температурах 0° и —0,1° С
Рис. 32. Зависимость объемной эффективной теплоемкости промерзающих супесчаных
горных пород от влажности и объемной плотности при температурах 0° и — 0,1° С
ла в дисперсных, пористых и трещиноватых горных породах механизмами
свободной и вынужденной конвекции пороговой воды, водяного пара и воз-
духа, миграции связанной и капиллярной влаги, диффузии и эффузии во-
дяного пара и воздуха. Из-за различной природы движущих сил переноса
влаги необходимо отличать понятия коэффициентов теплопроводности при
свободной А^ск и вынужденной А^вк конвекции, миграции связанной Х^км
и движения капиллярной влаги Zqk, диффузии Хдд и эффузии А^эф водя-
ных паров и воздуха.
Суммарный перенос тепла, обусловленный всеми или частью рассмот-
ренных выше механизмов массопереноса, характеризуется эффективным
коэффициентом теплопроводности. Коэффициент А,^э находится как сумма
коэффициентов кондуктивной, лучистой и конвективной теплопроводности.
86
Рис. 33. Зависимость объемной эффективной теплоемкости промерзающих суглини-
стых горных пород от влажности и объемной плотности при температурах 0° и —0,1° С
Рис. 34. Зависимость объемной эффективной теплоемкости промерзающих глинистых
горных пород от влажности и объемной плотности при температурах 0° и — 0,1° С
Эффективный коэффициент теплопроводности обычно определяется
опытным путем. Для тонкодисперсных горных пород он характеризуется
двумя основными составляющими: кондуктивной и конвективной тепло-
проводностями, связанными с миграцией влаги. Как было показано в
гл. II, для тонкодисперсных сред лучистая теплопередача, свободная и
вынужденная конвекция не имеют существенного значения. В крупноске-
летных горных породах эффективный коэффициент теплопроводности сла-
гается из коэффициента кондуктивной, конвективной и лучистой теплопро-
водности. Коэффициент конвективной теплопроводности в крупноскелет-
ных средах обусловлен процессами свободной и вынужденной конвекции.
4. КОНДУКТИВНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ДИСПЕРСНЫХ
И ПОРИСТЫХ ГОРНЫХ ПОРОД
Коэффициент кондуктивной теплопроводности дисперсных и пористых
горных пород определяется суммой элементарных тепловых потоков через
совокупность частиц, воздушных пор, водных и ледовых прослоек. Расчет
87
| | 1 I /\2 \^\3 Hi 4>
Рис. 35. Схематические сечения компо-
нентов мерзлых дисперсных сред
1 — частиц; 2 — водных пленок; 3 — ледя-
ных прослоек; 4 — воздушных пор
результирующего кондуктивного теп-
лового потока через сечение дисперс-
ного (пористого) тела может быть
произведен с помощью развитого на-
ми статистического подхода (Иванов,
1962).
Рассмотрим сечение площадью
S = 1 м2 (единичное сечение), мыс-
ленно вырезанное в толще однородно-
го горного массива нормально к век-
тору теплового потока (рис. 35). На
этой площади можно выделить эле-
ментарные сечения следующих ком-
понентов: органо-минерального осто-
ва, воды, льда, водяного пара и газов.
Единичное сечение S можно рас-
сматривать как сумму площадей се-
чений органо-минерального скелета
So, связанной (незамерзшей) воды
Shb, льда 5Л и парогазового заполни-
теля Sn.
Для однородного тела величи-
ны суммарных площадей сечений
компонентов определяются из соотношений
So — уо / poZo; Shb — увн / рнв/нв; 5Л = ул / рл/л; Sn = уп / fWn,
(III.13)
где уо, унв, Ул, Уп — объемные плотности органо-минерального скелета,
незамерзшей воды, льда и парогазового заполнителя; рс, рнв, рл, рп — со-
ответственно плотности тех же компонентов io = ZHb = /л = Zn — 1 м.
Очевидно, что для последовательности единичных сечений, параллель-
ных рассмотренному, размеры, формы и количества элементарных ячеек
каждого компонента изменяются в широких пределах. Величины же сум-
марных площадей So, SHb, 5л, Sn изменяются незначительно. Чем меньше
размеры частиц и пор, т. е. чем выше дисперсность системы, тем меньше
вариации этих площадей. Так как в дальнейшем будут рассматриваться
только тонкодисперсные среды, то для выбранной нами площади единич-
ного сечения S = 1 м2 условия однородности среды и постоянства суммар-
ных площадей сечений компонентов достаточно хорошо удовлетворяются.
Рассмотрим далее слой сечением S = 1 м2 и толщиной Az, ориентиро-
ванный нормально вектору теплового потока. Этим слоем из частиц, пор и
водных и ледяных прослоек будут вырезаны элементарные ячейки, кото-
рые можно объединить в следующие группы:
а) монокомпонентные — однородные ячейки, образованные одним из
компонентов системы: органо-минеральным скелетом, влагой, льдом, па-
рогазовым заполнителем;
б) бикомпонентные, образованные двумя различными компонентами:
скелет — вода, вода — лед, вода — пар, лед — пар;
в) поликомпонентные, состоящие из трех и более компонентов.
Уменьшая толщину слоя Az, можно свести большую часть поликомпо-
нентных ячеек к бикомпонентным. В число бикомпонентных элементар-
ных ячеек в переходном состоянии не включены слои: скелет — лед, ске-
лет — пар, так как в непосредственном контакте со льдом и паром мине-
ральные частицы не находятся. Величина общего потока тепла через рас-
сматриваемый слой складывается из потоков через монокомпонентные и
бикомпонентные элементарные слои
88
По
q = Х(0)(Д#/Д2) = Хо 2(ДФО/Дг)4 (Д5Д +
1=1
ПНВ пл
+ ^В 2 (Д'О’НВ/А^Х (ДаУнвХ + 2 (АЙд/А^ (ААдХ +
г=1 г=1
пП пов
+ ^п 2 (Айп/А£\(А5п)г + 2[(A^obW(/?tob)J +
г=1
ПВЛ пвп плп
+ 2 [(А^Вл)г/(^ТВл)11 + 2 [(А^Вп)г/(^ТВп)г] + 2 (^^лп)г/(^ТЛп)г1'
г=1 г=1 г=1 (III. 14)
где AS0, А5Нв, А5Л, А5п — элементарные сечения скелета, незамерз-
шей воды, льда, воздушных пор; Хо, %в, %л> Гп — коэффициента теплопро-
водности скелета, воды, льда, паровоздушного заполнителя; Ай — перепад
температуры между поверхностями секущего слоя; (Ай/с)г — перепад тем-
пературы для i-й ячейки к-то компонента; /?тов, 7?твл, ^твп, 7?тлп — терми-
ческие сопротивления бикомпонентных элементарных слоев: скелет +
+ вода, вода + лед, вода + пар, лед + пар.
/ d \ ^>i^z । 0 ч>г) Az . / тэ \ £{Az . (1 £<j) Az e
^Т0В'* = да? + ....ГВДУ. ’ (^твп)г = ,
/о \ £iAz । (1 ei) Az . , у-, . _ s^Az । (1 5?) Az /ТТТ
И^влХ = 2~ду + таду ’ <^тлп^ - ГД + Оху ’ <Ш15>
.о г л г л г ii i
Перепады температур между поверхностями однородных и комбиниро-
ванных ячеек различных компонентов — (Айо) г, (Айнв)а, (ДОл) е, (А«п) Ш-)
(Айов)п, (Айвл)р, (Айвп)г, (АйЛпф испытывают вероятностные колеба-
ния относительно своих средних значений.
Отклонения этих средних значений для отдельных компонентов (отно-
сительно осредненного макроскопического перепада температур) опреде-
ляются главным образом теплофизическими свойствами компонентов.
Оценка этих отклонений может быть произведена на основе аналогии
полей электрического потенциала и температуры. Применяя статистико-
вероятностные закономерности распределения частиц пор, пленок и ледя-
ных тел по формам и размерам, можно определить потоки тепла через
каждую ячейку. Если не учитывать пространственную конфигурацию поля
тепловых потоков в каждой элементарной ячейке, то для этой цели можно
воспользоваться сравнительно простыми формулами (Ландау и Лифшиц,
1957 и др. Миролюбов и др., 1963, Карслоу, Егер, 1964).
Для раскрытия функционального характера зависимостей коэффициен-
та теплопроводности мерзлых горных пород от температуры можно вос-
пользоваться приближенным анализом распределения потоков.
Расчеты, основанные на аналогии электрических и тепловых полей,
показывают, что для элементарных тел, близких к сферическим, отноше-
ние потоков в них и в окружающей среде близко к отношению их коэффи-
циентов теплопроводности. А это означает, что средние значения градиен-
тов температуры отличаются несущественно.
Существенные отклонения градиентов температуры от средних макро-
скопических будут наблюдаться для воздушных пор. Однако перенос теп-
ла через эти поры имеет второстепенное значение и в дальнейшем не бу-
дет учитываться Ч
1 Следует также учитывать, что коэффициент температуропроводности воздуха
при температурах —10 < й <Z 10° достигает значений (6,28-10-2 4- 7,22-10-2 м2/час),
свойственных металлам.
89
Кроме того, без существенного ограничения общности можно рассмат-
ривать полностью водонасыщенную среду. Такой подход обусловлен необ-
ходимостью расчета в дальнейшем не абсолютных значений коэффициен-
та теплопроводности, а лишь его приращения, связанного с фазовыми пе-
реходами поровой влаги.
Таким образом, в дальнейших построениях допускается, что осреднен-
ные значения градиентов температуры для минерального компонента,
жидкой и твердой фаз воды близки к среднему макроскопическому значе-
нию этого градиента для дисперсной среды.
В соотношениях (III.15) означает долю толщины бикомпонентного
слоя, занятого одним из компонентов. Этот коэффициент может изменять-
ся в пределах 0 1. Ввиду случайного характера изменения среднее
значение принимается равным 0,5.
Коэффициенты теплопроводности компонентов системы характеризу-
ются следующими соотношениями:
^о/^п 300 —г- 500; А/gАп 20; — 7;
^о/^в 13 — 25,
+iAn~70; ХлАв ~ 3,6.
(III.16)
Из приведенных соотношений следует, что можно с незначительной
погрешностью пренебречь составляющими теплового потока через воздуш-
ные поры и бикомпонентные слои, в образовании которых участвует па-
ровоздушный заполнитель. Учитывая принятые допущения и то, что при
Ай / Az = 1; q = Л, преобразуем уравнение (III.14)
По ПНВ ПЛ
A W = S(A50)i + 2 + %п 2 (Д**л)г +
г—1 г=1 1=1
пНв ПВЛ по ПНВ
+ 2 2 "Т I \ +22 Г-----ТА = (АА0)г + ^в 2 (А^нв)г +
г=1 г=1 АЛ Л~ ЛВ г=1 i=1
”Л 2? > 7,015 > ”ВЛ
+ ы 2 (ДАл)1+++ 2 + ++ 2 (in.17)
г=1 0 ЛВ г—1 ЛЛ “1“ Лв i=l
где п0, Пнв, Пл — число монокомпонентных элементарных слоев: скеле-
та, незамерзшей воды, льда; тгов, ^вл — число элементарных биокомпо-
нентных слоев: скелет + вода; вода + лед.
5. ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА
КОНДУКТИВНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ПРОМЕРЗАЮЩИХ ГОРНЫХ ПОРОД ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
При промерзании горных пород коэффициент теплопроводности уве-
личивается. Если допустить, что вся содержащаяся в порах влага непо-
движно фиксируется при промерзании горных пород, то при выводе зави-
симости коэффициента кондуктивной теплопроводности от температуры
можно исходить из уравнения (III.17).
Для установления зависимости коэффициента теплопроводности от
температуры найдем его значения для талого, переходного и промерзшего
состояний. С этой целью введем следующие обозначения:
90
ПО по В У = *3ов’>
г—1 1=0
пНВ пвл
2 (А^Нв)г — 5Нв’> 2 = 5вл’>
г=1 г=1
пл ПВП
2 (№)г = 5л; 2 = 5ВП;
г=1 1=1
ПП ПЛП
2 (Д5п)г = 5П; г=1 2 — 5дп- 1=1
(III.18)
В систему (II 1.18) включены и однородные элементарные слои паро-
воздушного заполнителя (тгп) и бикомпонентные слои вода + пар
(п = т?вп), лед + пар (п = тглп).
При этом следует учитывать, что бикомпонентные элементарные слои
в рассматриваемом слое образованы перестановкой компонентов. Распре-
деление эффективных сечений можно проследить на сравнительных диа-
граммах, изображенных на рис. 36, относящихся к талому, переходному
и промерзшему состояниям. Из рассмотрения диаграмм следует, что
5ов = 5ов + 5во’>
5вЛ = ^ВЛ + £лв’’
(III.19)
5лп = 5Лп + 5Пл-
Без учета бикомпонентных слоев, в состав которых входит паро-воз-
душный заполнитель, коэффициент теплопроводности почв и горных пород
Рис. 36. Распределение сечений для одно- и двухкомпонентных слоев для талого,
переходного и промерзшего состояний
1 — органо-минеральный скелет; 2 — поровый раствор; <3 — лед; 4 — паро-газовый заполнитель
2
91
в талом, переходном и промерзшем состояниях находится из уравнения
(III. 17) и соотношений (III.18) и (III.19)
Хт — ^oSo + ^в (бнв + бнв) + 2 . а (бов + бВо)
ЛО 1 Ав (III.20)
— Хо5о + ^в^нв + 2 , . 5ов> ЛО "Г АВ
Хп — + ^в^нв + ^п^л + 2 „ - • ^ов + 2 л S л» ло 1 лв Ав г лп >(111.21)
Хм = + Хл(6л + £л) + 2(бол+бло)- 0 1 л
= Хобо + ^л£л+ 2, , - бол- J А0 Л" Ал (III.22)
Система уравнений (III.20) — (III.22) построена в предположении по-
стоянства объемного веса скелета и не учитывает изменения объема воды
при замерзании. Из этого следует, что эффективные сечения водных про-
слоек остаются неизменными при замерзании воды
бнв =
б’нв = ^л ^2»
б’ов = бол = б3.
(III.23)
Представим формулу для определения коэффициента теплопроводности
в переходном состоянии в следующем виде:
+^ш>л — (^л — ^в)6нв + ^л^л — (^л — ^в)6нв +
2ХОА,Л ( 2ХОХЛ 2ХОХВ ов
Л" 1—ТЛ—д°Л— 1—~ГЛ----------i—"ГЛ—/днв.
АО “Г лл \ ЛО + ЛЛ ЛО ЛВ /
В отличие от предыдущей формулы, здесь сделано допущение, что по
мере промерзания воды в сечениях 50В и бвл происходит постепенное
уменьшение площади, занятой жидкой фазой. При этом, как показано на
рис. 36, бикомпонентные ячейки (вода + лед, лед + вода) заменяются мо-
покомпонентными. Суммарные площади сечений быв, быв* и 5нвов обо-
значают на этой схеме сечения жидких прослоек в сечениях бНв, 6нв\
Зов. Они изменяются в пределах
0^5Нв^^нв» 0^5Нв^^нв’’ 0 быв ^ов,
Для однородной среды справедливы соотношения
быв (^нв/^’о) бНв’, ]
быв = (Wib/^’o) бнв» ( (111.25)
быв = (^нв/w)6qb- )
Учитывая соотношения (III.23) и (III.25), уравнение (III.24) преоб-
разовывается следующим образом:
Хп = Х('&) = [А,о5о + \лбл + ^лбл + х—дгт—бл] —
ЛО “Г АЛ J
- кт-адл. + (1Л-+ (г^Т----------------
L \ ^о Л" ^л + ^В/ WO J
(III.26)
92
В уравнении (III.26) в первой
квадратной скобке заключен много-
член, определяющий величину коэф-
фициента теплопроводности почв и
горных пород в промерзшем состоя-
нии, а во второй скобке сгруппиро-
ваны произведения (Хм — Хт) (^нв /
/ ^о) •
Следовательно,
X ('О’) = Хм — (Хм — Хт)^ = Хт 4-
+ (^м — ^т) -----• (Ш.27)
Найденная зависимость между
коэффициентом кондуктивной тепло-
проводности промерзающих горных
пород Х('О’) и содержанием незамерз-
шей воды Шнв является приближен-
ной. Однако она хорошо подтвержда-
ется экспериментальными исследова-
АМ-А(Л)
Рис. 37. Температурная зависимость
критерия [Хм — % ('О’)] [Хм — Хт] для пес-
чаных и супесчаных мерзлых горных
пород
А м — А (О1)
Рис. 38. Температурная зависимость критерия Хм — Х(^)/Хм —Хт для суглинистых
мерзлых горных пород
ниями А. О. Хигаси (1955) и Г. А. Мартынова (Основы геокриологии,
ч. I, 1959).
Подставив в уравнение (III.27) значение шНв из (1.85), находим фор-
мулу для определения зависимости коэффициента теплопроводности про-
мерзающих горных пород от температуры:
М«) - Ч. - (*» - W -1] } . (Ш.28)
Подставив в выражение (111.26) значения Хт и Хм для типичных гор-
ных пород (песков, супесей, суглинков и глин) и параметров Aw, aw и bw,
получим формулы для определения коэффициента теплопроводности про-
мерзающих горных пород.
Температурная зависимость коэффициента теплопроводности мерзлых
горных пород может быть охарактеризована критерием Л
л = = h + г_____________1__________al
/•М - Ч 1 wo L (1 + «Л + W ] f •
93
На рис. 37 и 38 представлены зависимости этого критерия от температуры
для песчаных, супесчаных, суглинистых и глинистых горных пород.
Для получения численных значений коэффициента теплопроводности
как с помощью формулы (III.28), так и графических зависимостей кри-
терия Л от температуры должны быть заданы значения коэффициента
теплопроводности горных пород в талом и полностью промерзшем состоя-
ниях. Определение его не представляет теоретических и методических за-
труднений.
Рассмотренная методика определения зависимости коэффициента теп-
лопроводности промерзающих горных пород от температуры позволяет
свести к минимуму объем экспериментальных исследований. Применение
же реперных значений %т и лм при построении уравнения (III.28) кор-
ректирует допущения, неизбежные при разработке теории теплопровод-
ности таких сложных систем, как дисперсные горные породы.
6. ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ПРОМЕРЗШИХ ГОРНЫХ ПОРОД от льдистости
Под промерзшими обычно понимаются горные породы, в которых прак-
тически завершились фазовые переходы порового раствора. Однако это
определение требует уточнения. В теплофизическом отношении промерз-
шими можно называть такие мерзлые горные породы, в которых измене-
ние содержания связанной воды не превышает 0,02% при изменении тем-
пературы на 1°. В этом случае погрешность в определении объемной теп-
лоемкости мерзлых горных пород (при уо 1500 кг/ж3), обусловленная
недоучетом фазовых переходов связанной воды, составит около 5%.
Температура полного промерзания типичных дисперсных горных пород
изменяется в пределах: для песка — от —1 до —5°, супеси — от —5 до
—10°, суглинка — от —10 до —15°, глины — от —20 до —25е и ниже.
Зависимость коэффициента теплопроводности промерзших горных по-
род от льдистости определяется как общим содержанием порового льда
(льдистостью), так и распределением его или криогенной текстурой. В на-
стоящем разделе рассматриваются мерзлые горные породы с массивной
криогенной текстурой, коэффициент теплопроводности которых характе-
ризуется вполне определенной зависимостью от льдистости или общего во-
досодержания.
Опытных данных о коэффициенте теплопроводности мерзлых горных
пород получено еще очень мало. Однако даже эти немногочисленные дан-
ные характеризуют в основном промерзающие, а не промерзшие горные
породы. Зачастую исследователи не различают эти понятия. Так, напри-
мер, при характеристике теплофизических свойств талых и мерзлых дис-
персных материалов А. У. Франчук (1949) относит их к области положи-
тельных или отрицательных температур. М. С. Керстен (1955) определяет
коэффициент теплопроводности как крупноскелетных, так и тонкодисперс-
ных мерзлых горных пород при температуре —4,6°.
Мало исследованы тепловые свойства двух промежуточных категорий
горных пород — супесчаных и суглинистых сред. Некоторое представле-
ние о характере зависимости коэффициента теплопроводности промерзших
(й = —10 4 15°) от льдистости (общей влажности) супесчаных и су-
глинистых горных пород можно составить по полученным нами экспери-
ментальным данным, представленным на рис. 39 и 40. Характер функций
X = для этих двух разновидностей горных пород существенно отли-
чается. Если для супеси зависимость X = Х(гг) при первоначальной влаж-
ности около 30% достигает уже своего максимального значения, то для
суглинка коэффициент теплопроводности продолжает возрастать вплоть
до влажности 35—40%. Различие этих зависимостей объясняется в основ-
94
ном дисперсностью сравниваемых сред. Чем выше дисперсность среды, тем
больше в ней связанной воды, замерзание которой сопровождается умень-
шением термического сопротивления контактных переходов между мине-
ральными частицами. В менее дисперсных средах повышение влажности
приводит на определенной стадии к замещению более теплопроводных
минеральных частиц менее теплопроводным льдом. Аналогичное явление
для талых горных пород было уста-
новлено А. Ф. Чудновским (1954).
Значительный интерес представ-
ляют попытки установить связь
между коэффициентами теплопро-
водности дисперсных горных пород
Рис. 40. Зависимость коэффициента теп-
лопроводности мерзлого суглинка от пер-
воначальной влажности
О = —1 5 -г —20° С; Yo = 1400—1500 кг/м3
Рис. 39. Зависимость коэффициента
теплопроводности мерзлой супеси от
первоначальной влажности
ft - —15 + —20° С; Yo = 1400—1500 кг/м3
в талом и мерзлом состояниях (Керстен, 1955; Карлсон, 1955). Различие
между ними обусловлено переходом менее теплопроводной поровой влаги
в более теплопроводный поровый лед. Следовательно, отношение между ко-
эффициентами Хм и Хт будет определяться влагосодержанием или льди-
стостью горных пород.
На рис. 41 приведены экспериментальные зависимости критерия Кк =
= Хм / Хт от влажности (льдистости) для пылевато-глинистых и песчани-
стых горных пород, полученные Г. Карлсоном (1955). Коэффициенты теп-
лопроводности этих пород определялись в талом состоянии при 4,5° Сив
мерзлом — при —4° С. Наиболее характерной особенностью этой зависи-
мости является существование минимума функции при влажности
~ 5—6%. При меньших значениях влажности оказывается >1,
что равносильно уменьшению коэффициента теплопроводности горных
пород при промерзании в этом диапазоне изменения влажности.
Физического истолкования эффекта понижения коэффициента тепло-
проводности промерзающих горных пород не дается ни в работах М. С. Кер-
стена (1955) и Г. Карлсона (1955), ни в последующих работах А. Ф. Чуд-
новского (1954, 1962) и других исследователей.
По нашему мнению, появление минимума в зависимости критерия
Хм / Хт от влажности обусловлено следующими обстоятельствами. Как уже
отмечалось при построении этой зависимости, определение коэффициента
теплопроводности мерзлых песчанистых и пылевато-илистых горных пород
производилось при температуре —4,0°. Однако известно, что при таких
температурах в естественных песчанистых, а тем более в пылевато-или-
стых горных породах содержится значительное количество незамерзшей
воды. Следовательно, если влажность горных пород не превышает термо-
95
Рис. 41. Зависимость критерия от Хм/ Ат от
влажности (льдистости) по Керстену
1 — пылевато-глинистые породы; 2 —• песчани-
стые породы
данные В. Г. Папазова (1951) и М.
динамически равновесного ее зна-
чения при данной отрицательной
температуре, то такие породы яв-
ляются не мерзлыми, а мороз-
ными.
Закон изменения для мо-
розных горных пород определяет-
ся температурным коэффициентом
теплопроводности fbu, который по-
лучается из соотношения
□ _ 1 Qfr) (0) /ТТТ 291
ft ’ (111.29)
где Х(0) и X(ft) — значения
коэффициента теплопроводности
при температурах 0 и ft°.
Непосредственных исследова-
ний по определению коэффициен-
та Рх для талых и морозных гор-
ных пород не проводилось. Для
вычисления его использовались
Г. Голянда (1958) о коэффициенте
теплопроводности песчаных, супесчаных, суглинистых и глинистых горных
пород, полученные при различных температурах.
Таблица 6
Температурный коэффициент теплопроводности горных пород по данным
Папазова (1) и Голянда (2)
Порода, ссылка на источник Влаж- ность, W, % Объемный вес у, /г/м3 Интервал темпера- тур, °C Интервал значений коэффициента теплопровод- ности, ккал/м-час град Температур- ный коэффи- циент тепло- проводности 1- 10~2/град
Песок (1) 2,9 1585 0-М5,5 0,811-7-1,236 3,38
4,9 1503 0---15,5 0,985-7-1,935 6,23
7,3 1943 О-т-15,5 1,003-7-2,215 7,80
9,9 1928 О-т-15,5 2,534-7-4,237 4,34
Песок мелкозернистый нару- шенной структуры (2) 0,24 1430 О-т-18 0,16-4-0,16 0
То же, полностью влагонасы- щенный (2) 25,0 2000 0--16 1,23-7-1,93 3,38
Песок мелкозернистый, моно- лит естественного сложения (2) 20,5 1930 О-т-16 0,85-М,35 3,67
Супесь (1) 13,4 1641 О-т-15,5 0,705-М,520 7,23
17,6 1817 О-т-15,5 0,943-7-1,689 5,11
Суглинок (1) 10,3 1659 0-7-10,0 0,485-7-0,545 1,23
13,6 1714 0-7-10,0 0,788-7-0,935 1,87
14,7 1750 0-7-10,0 1,00-М,120 1,20
Суглинок моренный, моно- 17,3 2000 О-т-17,0 0,82-7-1,02 1,43
лит (2) 35,5 2020 О-т-18,0 0,95-М,17 1,28
Глина, монолит естественного сложения (2) 17,5 2165 0-^-17,8 1,00-7-1,19 1,07
Грунт плывунного типа, моно- лит естественного сложения (2) 19,0 1930 О-т-17,0 0,90-М,15 1,68
То же, нарушенной структу- ры, полностью насыщенный (2) 35,0 2200 О-т-28,2 0,97-М,29 1,81
96
Так, например, по данным В. Г. Папазова (1951) выявляется отчетливо выражен-
ная зависимость от температуры коэффициента теплопроводности талого суглинка.
Температурный коэффициент теплопроводности для пылеватого суглинка с влаж-
ностью 10,3-4-14,7% составляет (1,20 4-1,87) • 10-2 • i/град. При влажности суглинка
10,3-4-13,6% наблюдается понижение коэффициента теплопроводности при переходе в
область отрицательных температур.
В табл. 6 приведены значения температурного коэффициента для некоторых раз-
новидностей горных пород, вычисленные по данным В. Г. Папазова (1951) и М. М. Го-
лянда (1958). Значения коэффициента fk того же порядка получаются для песков и
глин по данным, приведенным в работе А. Ф. Чудновского (1954).
В диапазоне температур от 4,5 до —4°, для которого рассчитывается
Ку, температурный коэффициент теплопроводности может считаться по-
стоянным. Остается не вполне ясной зависимость этого коэффициента от
влажности. Вероятнее всего, что наблюдаемое уменьшение коэффициента
теплопроводности горных пород с понижением температуры связано
с уменьшением его конвективной составляющей. Опытным путем опреде-
ляется только эффективное значение коэффициента теплопроводности.
Для тонкодисперсных сред лучистая теплопередача не играет существен-
ной роли. Конвективный же теплоперенос в таких средах связан в основ-
ном с миграцией влаги. Следовательно, уменьшение влажности должно
сопровождаться и уменьшением коэффициента [За. Отсутствие зависимо-
сти коэффициента теплопроводности от температуры для мелкозернистого
песка с влажностью 0,24% подтверждается опытами М. М. Голянда
(1958). Однако истинную зависимость коэффициента Ра от влажности
предстоит еще выяснить. В первом приближении зависимость Ра(^) мо-
жет быть описана экспоненциальной функцией.
Таким образом, при объяснении наблюдаемого эффекта понижения
коэффициента теплопроводности горных пород при их промерзании необ-
ходимо учитывать два основных обстоятельства: зависимость содержания
незамерзшей воды от температуры и уменьшение коэффициента тепло-
проводности горных пород с понижением температуры. Понижение коэф-
фициента теплопроводности горных пород при переходе в область отрица-
тельных температур и появление минимума функции зависимости критерия
KL от влажности объясняются тогда следующим образом. Если опре-
деление коэффициента теплопроводности мерзлых горных пород произ-
водится при температуре более высокой, чем температура полного их про-
мерзания, то некоторая часть поровой влаги будет оставаться в незамерз-
шем состоянии. Следовательно, горные породы, имеющие влажность,
меньшую термодинамически равновесной для данной температуры, не
будут промерзать. Однако при охлаждении их до этой температуры бу-
дет наблюдаться понижение их коэффициента теплопроводности. Это по-
нижение и характеризуется областью отрицательных значений (нисходя-
щая ветвь зависимости К^(ш) на рис. 41).
При влажности горных пород, равной термодинамически-равновесной
при выбранной температуре наблюдаются минимальные значения коэф
фициента теплопроводности и, следовательно, минимум функции K%(w)
При дальнейшем росте влажности часть ее переходит в твердое состояние
что сопровождается увеличением коэффициента теплопроводности мерз-
лых горных пород (восходящая ветвь зависимости K^(w) на рис. 41).
Количественное подтверждение такого истолкования рассматриваемого
явления основывается на теоретическом анализе зависимости Aa(iz?) от
влажности для модельной дисперсной среды. Для расчета коэффициента
теплопроводности таких систем применим рассмотренный ранее стати-
стический подход. Так как в данном случае требуется лишь принципи-
альная оценка зависимости К% от влажности, то ограничимся при по-
строении модели дисперсной среды однородными элементарными сечения-
ми компонентов. При этом условии коэффициенты теплопроводности дис-
персного материала в талом и мерзлом состояниях определятся из соот-
7 Н. С. Иванов
97
ношений
(1)
Хт — Хо —— + ,
р0 рв (III.30)
Хм = 6lo + ^НВ |Д + Рл (^2-------------------ftl)] + Т^- 7 (2)
\ Ро Рнв / Рл
где ув = унв + ул = WYo; Yhb — объемная плотность незамерзшей
воды; ул — объемная плотность льда; 'O’i и$2 — значения температуры
среды в талом и мерзлом состояниях. Полагая, что рнв = рв ~ 1 г/сж3,
находим из (Ш.ЗО)
К,= + Ц + ₽л(^_ад| [1 __„нв) 1
ЛгрРд L Ат J
(III.31)
Применим полученное уравнение для расчета критерия Кк для суглинка, характе-
ризующегося следующими значениями исходных параметров:
Yo = 1,5 г/см3;
Рл = 0,917 г/см;
= +4,5°;
= —4е;
Хл = 1,95 ккал/м-час»град;
Хв — 0,45 ккал/м-час- град;
Хт —_ 0,3 ккал/м -час • град;
w0 = 0.
Зависимость содержания связанной воды в мерзлом суглинке определялась по
1 рафику (см. рис. 8), а коэффициент [к— по формуле
/ 1,44-10“2\
= l,4’10-2-exp (—----------). (III.32)
Полученная на основе уравнения (111.31) расчетная зависимость К-к от влажности
показана на рис. 42. Сопоставление расчетной и эмпирической зависимостей (см. рис.
41) критерия от влажности для суглинка свидетельствует об их принципиальной
идентичности. Это подтверждает правильность исходных физических предпосылок,
положенных в основу расчетной схемы. Минимум расчетной функции соответствует
содержанию незамерзшей воды в суглинке при температуре определения его коэффи-
циента теплопроводности. С понижением этой температуры минимальное значение
функции Кк будет возрастать.
Рис. 42. Расчетная зависимость
критерия — ХмДт для су-
глинка от влажности
Изучение зависимости от влажности (льдистости) для типичных горных пород
представляет практический интерес. С помощью этой зависимости представленный в
обобщенном виде коэффициент теплопроводности промерзших горных пород опреде-
ляется из соотношения
Ам — A\(iz?)7vt,
где Дт — опытное значение коэффициента теплопроводности горных пород в та-
лом состоянии.
98
7. ОБОБЩЕННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ТАЛЫХ, ПРОМЕРЗАЮЩИХ И ПРОМЕРЗШИХ ГОРНЫХ ПОРОД
ОТ ВЛАЖНОСТИ (ЛЬДИСТОСТИ), ТЕМПЕРАТУРЫ
И ОБЪЕМНОЙ ПЛОТНОСТИ
Из выделенных ранее четырех основных категорий рыхлых горных по-
род только для песчанистых и глинистых пород имеются систематизиро-
ванные данные, на основе которых могут быть построены устойчивые
зависимости коэффициента теплопроводности от влажности (льдистости),
объемной плотности и температуры.
Данные о тепловых свойствах супесчаных и суглинистых пород еще
слишком малочисленны, разрозненны и несопоставимы. Эта несопостави-
мость определяется некоторой условностью характеристик и переходным
положением супесчано-суглинистых пород между песчаными и глинисты-
ми. Недостаточность, а иногда и полное отсутствие сведений о грануло-
метрическом и химико-минералогическом составе супесчаных и суглинис-
тых пород затрудняет систематизацию полученных к настоящему времени
данных о их теплофизических свойствах.
Поэтому на современной стадии изученности теплофизических свойств
горных пород возможно охарактеризовать лишь две основные категории
горных пород — песчанистые и глинистые.
Талые горные породы. Коэффициент теплопроводности песков Хт
в талом состоянии зависит от влажности w и объемной плотности мине-
рального скелета у0. На рис. 43 построен график обобщенных зависимо-
стей коэффициента теплопроводности песчанистых горных пород от влаж-
ности в диапазоне ее изменения от 0 до 40% и от объемной плотности
в диапазоне от 1300 до 1800 кг/м*. Построение графика обобщенных зави-
симостей осуществлялось методом наименьших квадратов.
Аналогичным образом построен график зависимости (рис. 44) для оп-
ределения коэффициента теплопроводности глинистых горных пород
в талом состоянии при изменении влажности в диапазоне от 0 до 40%
и объемной плотности от 1200 до 1700 кг/м\
Приведенные графики обобщенных зависимостей коэффициента тепло-
проводности талых песчаных и глинистых горных пород от влажности
и плотности могут быть охарактеризованы следующим эмпирическим
уравнением, найденным Р. И. Гаврильевым (Иванов, Гаврильев, 1965) *
Yo) = Hz lg ip + Вк, (Ш.ЗЗ)
где Hz и В к — параметры.
Эти параметры для песчаных Hnz, 7?nz и глинистых Hrz, #rz горных
пород приведены ниже:
То, кг/м3 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800
4ПХ — — — 1,01 1,12 1,42 1,37
ВПХ — — — 1,12 0,317 0,203 0,492
АГХ 0,734 0,834 0,976 1,182 1,130 1 —
ВГ1 —0,142 —0,156 —0,174 —0,280 —0,052 0,244 —
Промерзшие горные породы. Опытные данные о значениях коэффициента
теплопроводности промерзших песчанистых и глинистых горных пород
Хм, полученные разными исследователями при определенных значениях
льдистости и объемной плотности скелета, изменяются в широких
7 '
99
Рис. 43. Зависимость коэффициента теплопроводно-
сти талых песчаных горных пород от влажности и
объемной плотности
Значения у0, кг/ж3: 1 — 1200; 2 — 1300; 3— 1400; 4 —
1600; 5 — 1700; 6 — 1800
Рис. 44. Зависимость коэффициента теплопроводно-
сти талых глинистых горных пород от влажности
и объемной плотности
Значения у0, кг/м3: 1 — 1300; 2— 1400; 3 — 1500; 4—
1500; 5 — 1600; 6 — 1700
пределах. Вместе с тем
нами было установлено,
что критериальная вели-
чина ДА / Ат = (Ам — Ат) /
/ Ат для песчанистых по-
род и величина прираще-
ния коэффициента тепло-
проводности горных пород
после полного промерза-
ния ДА для глинистых гор-
ных пород являются ли-
нейными функциями
влажности (Иванов, Гав-
рильев, 1965).
На основе анализа и
сопоставления эксперимен-
тальных зависимостей ве-
личин ДА / Ат и Ат от влаж-
ности были получены сле-
дующие эмпирические
уравнения, применимые
для различных значений
объемной плотности:
для песков
ДА/АТ = (ДА/Ат) исх +
-}- 0,0267(ю — zz/исх) ?
(III.34)
для глин
ДА = ДАисх +
0,0267 (w — н^исх) •>
(III.35)
где 1РИсх — выбранное
(исходное) значение влаж-
ности, при которой опреде-
ляются значения (ДА /
/ Ат) ИСХ И ДАисх-
Для песчанистых пород
шИсх выбрано равным 5%,
для глинистых — 10%.
Уравнения (III.34) и
(III.35) являются ос-ред-
ненными и позволяют оп-
ределить значения ДА / Ат
и ДА для любых значений
объемной плотности мине-
рального скелета.
Коэффициент тепло-
проводности мерзлых гор-
ных пород определяется из
уравнения
Ам — + ДА — Ат 1 + ’ (III.36)
Для определения ДХ/ХТ и АХ, как это следует из уравнений (Ш.34) и (III.35),
требуется задание (АХ/Хт)ИСх и (АХ)исх. Последние могут быть определены или из
опыта, или найдены по графикам, представленным на рис. 45 и 46, если известны зна-
чения рассматриваемых величин хотя бы при одном значении влажности. После опре-
100
Рис. 46. Зависимость величины ДХ
для промерзших глинистых горных
пород от влажности при различных
значениях ДХИСх
Рпс. 45. Зависимость критерия ДХ/ХТ для
промерзших песчаных горных пород от
влажности при различных значениях
(ДХ/Хт) исх
деления по этим графикам величин (ДХ/Хт) исх или ДХИСх находятся ДХ/Хт и ДХ
для заданного значения влажности.
При отсутствии опытных данных о величинах (ДХ/Хт)ИСх и ДХИСх могут быть
использованы графические зависимости, построенные по данным М. С. Керстена
и В. П. Ушкалова (Иванов, Гаврильев, 1965).
В некоторых случаях могут быть использованы также осредненные значения
ДАисх и (ДХ / Хт)исх, которые принимаются равными: (ДХ)ИСх = 0,08 и (АХ / Хт)исх =
= —0,12.
После определения ДХ / Хт для песчанистых горных пород коэффициент тепло-
проводности для промерзшего состояния находится по комплексной номограмме,
приведенной на рис. 47, а и б.
Номограмма на рис. 47, а описывает зависимость коэффициента теплопроводности
от льдистости и объемной плотности минерального скелета при (ДХ/Хт) исх = —0,4.
Для определения поправки к коэффициенту теплопроводности промерзшего песка
при любом другом значении критерия (ДХ/Хт)исх построена номограмма на рис. 47, б.
С целью пояснения принципа использования указанных номограмм для определе-
ния коэффициента темплопроводности рассмотрим следующие примеры. Определим
коэффициент теплопроводности промерзшего песка при влажности w — 11%, объем-
ной плотности у0 = 1400 кг/м3 и (ДХ / Хт)исх — — 0,08. Определение производится
в следующей последовательности:
а) по номограмме на рис. 47, а находится коэффициент теплопроводности прп
w — 11%, у0 — 1400 кг/м3 и (ДХ / Хт) исх — —0,08, X = 0,96 ккал/м-час• град;
б) по номограмме на рис. 47, б находится ДХб = Хм — Х'м, где Хм — коэффициент
теплопроводности при (ДХ/Хт)исх = —0,08, Х'м— то же при (ДХ/ Хт)исх — —0,4;
в) искомое значение коэффициента теплопроводности равно Хм = Х'м + ДХб =
= 1,32 ккал/м • час • град.
По аналогичной схеме определяется и коэффициент теплопроводности промерз-
ших глинистых горных пород. По графику на рис. 46 определяется ДХИСх по известно-
му значению ДХ. Затем по номограмме на рис. 48, как и в предыдущем случае, опре-
деляем искомое значение коэффициента теплопроводности промерзших глинистых
горных пород, который при w = 19%, уо = 1300 кг/м3 и ДХИСх = 0,15 равен 1,29 ккал/м-
• час • град.
Промерзающие (протаивающие) горные породы. Формула для определения коэф-
фициента теплопроводности песков и глин в области фазовых переходов поровой вла-
ги может быть представлена в виде
Г АХ (-0) 1
X (^) = Хт + ДХ (О') = Хт 1 + • ~ 7 . (III.37)
101
Следовательно, для определения коэффициента теплопроводности промерзающих
горных пород необходимо знать коэффициент теплопроводности в талом состоянии и
приращение АХ (О). Коэффициент теплопроводности горных пород Хт определяется из
опыта или по номограмме на рис. 43. Определение критерия АХ (О)/Хт для песчанистых
горных пород производится по номограмме на рис. 49. Левая часть ее позволяет опре-
делить значения критерия АХ(О)/Хт при (АХ/Хт)исх = 0, а правая часть — служит для
отыскания исправленных значений этого критерия при заданных значениях
(АХ/Хт) исх-
Пример. Определим коэффициент теплопроводности мерзлого песка, если w -=
= 25%; у0 — 1400 кг!м2-, О = —0,7°; (АХ/Хт) исх — —0,25; Хт = 1,42 ккал!м- час - град.
По левой части номограммы при заданных ге, у0 и (АХ/Хт)исх =0 находим (АХ/
/X/ = 0,76.
В точке пересечения пунктирных линий, показанных на номограмме, при (АХ/
/Хт)исх = —0,25, определяем значение критерия АХ/ХТ = 0,51.
Коэффициент теплопроводности промерзающего песка при исходных значениях
параметров определяется по формуле (III.37).
Определение коэффициента теплопроводности промерзающих глинистых горных
пород производится по номограмме на рис. 50. Номограмма состоит из двух частей.
Левая часть ее позволяет определить приращение коэффициента теплопроводности
при заданных значениях влажности, объемной плотности минерального скелета, тем-
пературы и (АХ)исх = 0,3. При помощи правой части отыскивается поправка на за-
данное значение (АХ)ИСх-
Пример. Определим коэффициент теплопроводности глинистых горных пород
при О = —3,8° С; w = 30%; уо = 1500 яг/ж3; (АХ)исх = 0; Хт = 1,46 ккал!м-час-град,
102
X м, ккал/м-час-град
Рис. 48. Номограмма для определения коэффициента теплопроводности промерзших
глинистых горных пород при различных значениях влажности и объемной плотности
Значения у0, кг/м3-. 1 — 1200; 2 — 1300; 3 — 1400; 4 — 1500; 5 — 1600; 6 — 1700
Рис. 49. Номограмма для определения критерия АХ/ХТ для промерзающих песчаных
горных пород в зависимости от температуры при различной влажности
По левой части номограммы находим АХ' при заданных параметрах и (АХ)ИСх =
~ 0,35.
АХ'(—3,8) = 0,75 ккал/м- час • град.
С помощью правой части номограммы находим искомое значение приращения
коэффициента теплопроводности, соответствующее значению (АХ)Исх = О,
АХ'(—3,8) = 0,35 ккал/м-час-град.
103
Л А, исх 0,3
Рис. 50. Номограмма для определения ДХ для промерзающих глинистых горных пород
в зависимости от температуры при различной влажности
Коэффициент теплопроводности при заданных значениях определяющих величин
находится по формуле (III.37).
Х(—3,8) = 1,81 ккал!м-час-град.
Коэффициент теплопроводности талых глинистых горных пород определяется
опытным путем или по номограмме на рис. 48, построенной на основе осредненных
данных.
8. КОЭФФИЦИЕНТ ЛУЧИСТОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Коэффициент лучистой теплопроводности дисперсных горных пород
рассчитывается по формуле (11.40), которая может быть представлена
в виде
Хи = GT*bl (Ф;2 + /2<pte) П- IO’8, (Ш.38)
где G — коэффициент излучения, ккал/см2-час - град; П — пористость.
Коэффициент излучения для горных пород изменяется от 1 до
5 ккал/м2 • час • град.
Вычислив значения угловых коэффициентов cpi2Z и Ф&2, получим
Ч = 0,481 ‘GTfM- П-10"8 = %и<?П, (III. 39)
где — коэффициент лучистой теплопроводности при единичных
значениях коэффициента излучения и пористости.
С помощью формулы (111.39) была получена зависимость коэффици-
ента Хи от температуры и размера пор в форме графика на рис. 51. Из
анализа этого графика следует, что коэффициент лучистой теплопровод-
ности для естественного диапазона изменения температур, размеров ча-
стиц, а также пористости и излучательной способности составляет всего
лишь несколько процентов от результирующего коэффициента теплопро-
водности. Лишь для сухих крупноскелетных горных пород при высоких
температурах коэффициент лучистой теплопроводности становится сопо-
ставимым с коэффициентом кондуктивной теплопроводности.
104
9. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОНВЕКТИВНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Основными теплофизическими ха-
рактеристиками процессов конвек-
тивного теплообмена являются коэф-
фициенты конвективной теплопро-
водности.
Коэффициент конвективной теп-
лопроводности при свободной конвек-
ции определяется формулой (11.46).
Для модельной водонасыщенной
среды, состоящей из сферических ча-
стиц с диаметром D при кубической
системе их укладки, эта формула мо-
жет быть представлена в виде
Рис. 51. Зависимость коэффициента лу-
чистой теплопроводности от температу-
ры и размеров пор
ХЭк = — 10' 5 Gr Pr X
х —рХХ Рг =
LtT = ------ .
Рвг"
^ВГ СрВ
^-в
(III.40)
где Д/— толщина слоя, dB — удельный вес; цвг —коэффициент вяз-
кости; срв — удельная теплоемкость воды.
Определим коэффициент конвективной теплопроводности в диапазоне
от 0 до 4° С, отнеся значения физических параметров воды к 0°. Такое
допущение вполне приемлемо, если учесть слабую зависимость этих па-
раметров от температуры. В рассматриваемом диапазоне были приняты
следующие значения термодинамических свойств свободной поровой воды
(Чиркин, 1959; Кутателадзе, Боришанский, 1959):
|3Г = 6,3 -10-5 1/град- dB = 0,99987 г/см3;
рв = 1,0-103 кг/м3;
Срв = 1,006 ккал)кг-град; цвг = 1,82 • 10-4 кг-сек/м2\
Zb = 4,74-10-1 ккал/м- час- град.
Подставив значения указанных выше параметров в уравнение (III.40)
и определив критерии Грасгофа и Прандтля, получаем
ZCk - — 3,38- 10-9Д/22)Д^, (III.41)
где \IblD выражены в мм.
Расчеты, проведенные по формуле (Ш.41), показывают, что коэффици-
ент конвективной теплопроводности крупноскелетных горных пород при
диаметрах отдельностей 50—70 мм и градиенте температуры 3—4 град/м
становится уже сравнимым с коэффициентом кондуктивной теплопровод-
ности. При более высоких значениях D и ДФ перенос тепла в крупноске-
летных водонасыщенных средах определяется в основном коэффициентом
конвективной теплопроводности.
Коэффициент конвективной теплопроводности дисперсных горных по-
род при вынужденной конвекции может быть определен с помощью сле-
дующего критериального уравнения (Аэров и Умник, 1951):
Хвк = Хок + • Хт,ж * Ие • Pr, (II 1.42)
105
где Хок—коэффициент конвективной теплопроводности газа или жид-
кости при ламинарном течении:
Рг = ^г.яЛг.ж’ Не = 4^/6'иц; ж;
Хг,ж и цг,ж — коэффициенты теплопроводности и динамической вяз-
кости газа (жидкости); ср — удельная теплоемкость газа (жидкости);
— весовая скорость, кг) м2-час', — экспериментальная постоянная.
Если форма частиц преимущественно сферическая или таблетчатая,
то Хо = 10,5 Хг,ж.
При изучении процессов переноса тепла в дисперсных средах при вы-
нужденной конвекции различают коэффициенты поперечной (по сечению
потока) Хвк_]_ и продольной (вдоль потока) Хвкц конвективной теплопро-
водности. Однако для горных пород при естественных режимах вынуж-
денной конвекции эти коэффициенты близки между собой (Аэров, Умник,
1951).
Для вычисления коэффициента поперечной конвективной теплопро-
водности Хвк_]_ может быть использована формула Бахурова и Борескова
(1947)
Хвк_]_ = ж Рг ж/ 4]/2, (111.43)
где £>э — эффективный диаметр частиц; 2^ — скорость; сг,ж, и рг,ж—
удельная теплоемкость и плотность газа (жидкости).
Эффективный диаметр частиц, вычисленный по способу веса средней
частицы (Лейбензон, 1947), равен
3 _________
Dq = V ZN^i/ZNi, (III .44)
где N{ — число частиц с диаметром Di.
В. Г. Гольдтман (1959) предложил следующую модификацию форму-
лы (III.43)
Xbk_l = Д-2^, (III.45)
где Д = 7?эсг,жРг,ж/4|2 — коэффициент рассеяния теплового потока,
ккал/м2-град.
Для галечно-гравелистых горных пород Д составляет примерно
7 ккал!м2- град.
Между коэффициентом теплового рассеяния Д и коэффициентом
фильтрации кф существует соотношение
Д = СвкУ17, (III.46)
где Свк—экспериментальная величина. По данным В. Г. Гольдтмана,
бвк = 1,83 ккал/м5'2 ‘ час град.
Важнейшей характеристикой теплообмена потока вещества с дисперс-
ными горными породами является коэффициент теплоотдачи а. В связи
с тем, что непосредственные экспериментальные определения коэффициен-
та теплоотдачи для горных пород не проводились, могут быть использова-
ны общие закономерности, полученные для дисперсных сред. В. Н. Тимо-
феевым (Чудновский, 1962) установлены следующие эмпирические урав-
нения
при Re = 20—200
Nu = 0,106 Be, а = 0,106(Хг ж/и; Ж)ГД; (III.47)
при Re > 200
Nu = 0,61 Re0’67, а = 0,61 Хг, ж^д 7Нг°,’ж D*- (HI.48)
Коэффициент фильтрации и весовая скорость потока определяются
экспериментальным путем или рассчитываются по известным формулам.
106
10. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
КРУПНОСКЕЛЕТНЫХ ГОРНЫХ ПОРОД
Определение коэффициента теплопроводности крупноскелетных горных
пород представляет значительные технические трудности. Исследование
таких сред в лабораторных условиях не проводится из-за необходимости
использования больших количеств материала и применения громоздких
испытательных установок.
Обычные зондовые методы оказываются неприемлемыми, так как раз-
меры отдельностей могут превышать размеры самих зондов. Создание же
зондов, достаточно больших по сравнению с размерами составных элемен-
тов крупноскелетных сред, нецелесообразно из-за трудностей их транс-
портировки и эксплуатации, а также в связи с большими затратами энер-
гии на нагревание окружающей среды.
Некоторый интерес представляли бы методы, основанные на законо-
мерностях остывания или нагревания жидкого заполнителя скважин.
Однако до настоящего времени еще не получено теоретическое решение
системы уравнений тепло- и массообмена в системе скважина — вмещаю
щие горные породы.
Определение коэффициента теплопроводности крупноскелетных гор-
ных пород в естественном залегании может быть осуществлено расчетны-
ми методами. Для определения коэффициента теплопроводности различ-
ных слоев горных пород в зоне стационарного теплового режима может
быть использован, в частности, метод естественного теплового поля (Дах-
нов и Дьяконов, 1952). Сущность этого метода состоит в следующем. Если
для некоторого слоя в пределах зоны стационарного теплового поля оп-
ределены тепловой поток qi и коэффициент теплопроводности Хг-, то коэф-
фициент теплопроводности любого другого слоя кц определится из соот-
ношения
kh = кг (grad йг- / grad йь), (III.49)
где grad йг- и grad йь — градиенты температурного поля для z-го и &-го
слоев.
Тепловой поток может быть измерен с помощью тепломерных элемен-
тов. Определив тепловой поток б/тп и температурный градиент gradй при
условии стационарности или квазистационарности теплового режима, на-
ходим коэффициент теплопроводности горных пород
к = — (дтп/grad й). (III.50)
И. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ
МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОД
Коэффициент температуропроводности мерзлых горных пород харак-
теризует скорость изменения температурного поля в мерзлых толщах
земной коры при тепловом взаимодействии их с окружающей средой. Ко-
эффициент температуропроводности определяется как отношение коэф-
фициента теплопроводности к объемной теплоемкости
а = к/су. (111.51)
Как было установлено в предыдущих разделах, объемная теплоемкость
и коэффициент теплопроводности промерзающих горных пород зависят
от температуры. Следовательно, и коэффициент температуропроводности
промерзающих дисперсных сред зависит от температуры.
Определение коэффициента температуропроводности горных пород
может быть произведено с помощью следующих методов:
107
а) расчетного метода, основанного на определении коэффициента тем
пературопроводности как производной величины — по коэффициенту теп-
лопроводности и объемной теплоемкости;
б) аналитических методов, основанных на закономерностях формиро-
вания температурного поля в горных породах естественного сложения;
в) методов, основанных на теории регулярного теплового режима;
г) методов, основанных на теории нестационарного теплового режима.
В эту группу входят как лабораторные, так и полевые — зондовые мето-
ды определения теплофизических свойств горных пород.
12. РАСЧЕТНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ
Под расчетным методом определения коэффициента температуропро-
водности понимается метод, основанный на использовании уравнения
(III.51). Подставив в это уравнение значение коэффициента теплопро-
водности из формулы (III.28) и объемной эффективной теплоемкости из
формулы (III.7), находим общую формулу для определения коэффици-
ента температуропроводности мерзлых горных пород для всего спектра
температур фазовых переходов
Хм - (Ч - М I1 + [(1 + Aft + bw AW - 'Ф
, -Vfo f 2?0 [aw + 2bw4^] 1’
(c0 + wCj — 0,5Xw) To + (1 4. bwAwy I0’5 + 1 + <zwAft + t>wAft2 |
(III.52)
Подставив в уравнение (III.52) значения расчетных параметров Aw,
aw и bw для типичных горных пород, находим формулы для определения
коэффициента температуропроводности мерзлых песчаных, супесчаных,
суглинистых и глинистых горных пород.
Для определения численных значений коэффициента температуропро-
водности типичных дисперсных горных пород должны быть заданы вели-
чины wQ, у о, йнз, Хм и Хт, значения которых приведены ниже:
Песок Супесь Суглинок Глина
w0, 1 кг воды/] кг скелета . . 0,08 0,136 0,18 0,41
То, кг/м? 1600 1500 1700 114.0
^НЗ’ °С —0,2 —0,2 —0,2 —0,2
%м, ккал/м-час-град 1,41 0,985 1,13 1,82
Хт, ккал/м* час* град 1,09 0,686 1,04 0,9
На основе этих исходных данных и уравнения (III.52) были получе-
ны графики зависимости коэффициента температуропроводности от тем-
пературы (рис. 52). Анализ зависимостей дает наглядное представление
о повышении температурной или фазовой инерции мерзлых горных пород
при приближении к температуре начала замерзания. Для крупнозерни-
стых и крупноскелетных сред явление фазовой инерции получило назва-
ние явления «нулевой завесы».
Коэффициент температуропроводности горных пород при различных
значениях плотности, влажности (льдистости) и температуры может быть
определен на основе приведенных в предыдущих разделах осредненных
зависимостей объемной теплоемкости и коэффициента теплопроводности
от указанных параметров.
Для определения коэффициента температуропроводности песчанистых
и глинистых горных пород при различных значениях объемной плотно-
108
сти и влажности (льдистости)
построены номографические за-
висимости для талого и для
мерзлого их состояний.
Талые горные породы. Ко-
эффициент температуропровод-
ности талых песчанистых гор-
ных пород в зависимости от
влажности и объемной плотно-
сти минерального скелета опре-
деляется по номограмме на
рис. 53. Аналогичная номограм-
ма построена для талых глини-
стых горных пород (рис. 54).
Промерзшие горные породы.
Для определения коэффициента
температуропроводности про-
мерзших песчанистых горных
пород построена комплексная
номограмма на рис. 55. Левая
часть номограммы (рис. 55, а)
Рис. 52. Зависимость коэффициента темпера-
предназначена для отыскания туропроводности типичных мерзлых дисперс-
истинного значения коэффи- ных ГОРНЫХ ПОР°Д от температуры
циента температуропроводности 1 ~ песок; 2 — супесь; 3 — суглинок; 4 — глина
при заданном критерии ДХ / Хт.
Правая часть (рис. 55, б) позволяет определить значение коэффициента
температуропроводности при заданных значениях льдистости, объемной
плотности минерального скелета и для значения критерия (АХ/Хт)исх =
= —0,4.
Рис. 53. Зависимость коэффициента температуропроводности талых песчанистых гор-
ных пород от влажности и объемной плотности
Значения у0, кг/ж3: J — 1200; 2 — 1300; 3 — 1400; 4 — 1500; 5 — 1600; 6 — 1700
Пример. Определим коэффициент температуропроводности промерзших песча-
нистых горных пород, если w = 8%;у0 = 1500 кг/м3-, (АХ/Хт)исх = —0,12.
По номограмме находим коэффициент температуропроводности при заданных зна-
чениях w, у0 и (АХ/Хг)исх = —0,4. а'м = 0,0027 м2!час.
При тех же значениях w и уо и заданном значении критерия (АХ/Хт)исх = —0,12
определяем поправку A«v, которая находится в точке пересечения пунктирных линий,
показанных на номограмме,
«м — я'м + Аяб — 0,00373 м2!час.
109
а, м2/час
Рис. 54. Зависимость коэффи-
циента температуропроводно-
сти талых глинистых горных
пород от влажности и объем-
ной плотности
Значения у0, кг/м3: i — 1200; 2—
1300; 5 — 1400; 4— 1500; 5—1600;
6— 1700
Рис. 55. Номограмма для определения коэффициента температуропроводности
промерзших песчаных горных пород в зависимости от влажности и объемной
плотности
•Значения у0, кг/м3: 1 — 1300; 2 — 1400; 3 — 1500; 4 — 1600; 5 — 1700; 6 — 1800
Искомый коэффициент температуропроводности находится из соотношения
«м = л'м + = 0,00373 м21час.
Коэффициент температуропроводности промерзших глинистых горных
пород находится по номограмме на рис. 56. Схема определения по этой
номограмме аналогична схеме определения коэффициента температуро-
проводности промерзших песчанистых сред с той лишь разницей, что
вместо критерия (АЛ/%т)исх здесь используется приращение A2tHcx.
Пример. Определим коэффициент температуропроводности промерзших глини-
стых горных пород при w = 17,5%; уо = 1400 кг/м2 и АХИСх = 0,135.
По номограмме находим значение а'м при заданных значениях w, у0 и АХИСх =
= —0,1.
а м = 0,00261 м2/час.
По номограмме определяем поправку Лае для значения АХИсХ = 0,135.
Ааб = 0,00045.
Коэффициент температуропроводности при заданных значениях параметров на-
ходится из соотношения
«м — а'м -|- Адо = 0,00261 м2!час.
13. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ ПРОМЕРЗАЮЩИХ ГОРНЫХ ПОРОД
Дифференциальное уравнение теплопроводности, описывающее про-
цессы промерзания — протаивания полуограниченной среды, сложенной
тонкодисперсными горными породами, имеет вид
(III.53)
В этом уравнении коэффициенты Су(Ф) и являются непрерыв-
ными функциями температуры. Продифференцировав правую часть урав-
нения, находим
2+(»>S+
НО
W)1 _ м») m да W
д& && a(V)- -fAW ,
тогда
дс., (&)
W , /ач 30 /Ж’ . да(&) ту
= + Ы +-0F--W-
Введем обозначения
д^/дх = 6Т, д2$/дх2 = е2х, (д^/дх)2 =• ех2.
(III. 54)
С учетом этих обозначений уравнение (III.53) запишется
2Х , С®’)]#
—
Л-9т = 0,
где
, = da (й)
Ш
Да#, м2/час
(A AJ ucx, ккал /м - час-град
Рис. 56. Номограмма для определения коэффициен-
та температуропроводности промерзших глинистых
горных пород в зависимости от влажности и объем-
ной плотности
Значения уо, кг/ж3: 1 — 1200; 2 — 1300; 3 — 1400;
4 — 1500; 5 — 1600; 6 — 1700
Обозначим
®2х . [еу (Й)]^
"0^2" * сг (й) ~
1
0X2
•0Т — X29.
Тогда уравнение приводится к линейному дифференциальному уравне-
нию относительно коэффициента температуропроводности
+ (zJCio -J- Х20 = О- (III.56)
112
Решая полученное уравнение, находим формулу для определения коэф-
фициента температуропроводности
& &
- J Х19 (v) dv f Х10 W d&
а(Ъ)е |a(ft0) + j Х20 (ft) }. (III.57)
•У>о
Для определения коэффициента температуропроводности промерзаю-
щих — протаивающих почв и горных пород по формуле (111.57) необхо-
димо численным или графическим методом определить частные произ-
водные функции ft(.z, т) по времени и координате х. Методы численного
определения этих величин изложены в многочисленных работах по чис-
ленному анализу. Вычисление частных производных может быть произ-
ведено также деривиметрами и дифференциографами различного типа.
14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ
ПРОМЕРЗАЮЩИХ ГОРНЫХ ПОРОД НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО
ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА
Методы определения тепловых свойств материалов, основанные на
теории регулярного теплового режима, успешно используются примени-
тельно к горным породам в области положительных температур. Для про-
мерзающих горных пород эти методы оказываются неприменимыми вслед-
ствие зависимости теплофизических свойств пород от температуры.
Некоторые предпосылки в области разработки методов регулярного
теплового режима для определения коэффициента температуропроводно-
сти промерзающих тонкодисперсных горных пород связаны с линеариза-
цией уравнения теплопроводности.
cv(ft) (5ft / 5т) = div [A (ft) grad ft]. (III.58)
С целью линеаризации этого уравнения применим, в частности, ин-
тегральное преобразование (Карслоу, Егер, 1964)
а
= (III.59)
$ ^пм
где Хпм — коэффициент теплопроводности горных пород в состоянии пол-
ного промерзания.
Преобразованное уравнение для трехмерной среды имеет вид
v*t = —А—(Ш.60)
ДэфО9*)^ ’ v 7
где «эф — эффективный коэффициент температуропроводности.
Воспользуемся далее методом акалориметра для определения коэф-
фициента температуропроводности. Для этого исследуемый образец ох-
лаждают до такого состояния, чтобы при нагревании его в термостатной
камере стадия регулярного теплового режима наступила до проявления
сколь-либо заметных фазовых переходов поровой влаги. Тогда, определив
темп нагревания образца по одному из методов регулярного режима, на-
ходится коэффициент температуропроводности образца в промерзшем со-
стоянии. В частности, если коэффициент теплообмена может считаться
бесконечно большим, то коэффициент температуропроводности образца
определяется из простейшей формулы (Кондратьев, 1954)
«им = КфЯЯъ, (III.61)
где КФ — коэффициент формы; — темп изменения температуры.
8 И. С. Иванов 113
Аналогично, если определять коэффициент температуропроводности
«эф в стадии регулярного режима для функции Г, то получим
апм = АфЭйф = КфЯЯ*. (III.62)
При дальнейшем нагревании образца в нем начинаются фазовые прев-
ращения поровой влаги, и уравнение (III.61) становится неприемлемым.
В то же время аналогичное уравнение (III. 62) относительно переменной
Т сохраняет свою силу.
Как следует из уравнения (III.60), нарушение регулярности режима
переменной Т обусловлено температурной зависимостью коэффициента
температуропроводности. Отношение коэффициентов температуропровод-
ности для всей последовательности температурных интервалов спектра
фазовых переходов соответствует отношению значений темпа ЯЙТ для этих
же интервалов
апм *• О' (A^i) • о (Д'б'а) • • • о (Д'б'г) • • •а (Д'О'п) =
= : 3»т(Д^1): 2»Т(Д«2)... ЯЯТ (А«ч) -.. Эгт(Д#п). (III.63)
Темп изменения величины Т находится по формуле
SJRT = Ь^2-1пГ1 . (Ш.64)
T2— Т1
Для большинства практических расчетов можно ограничиться отобра-
жением температурной зависимости коэффициента теплопроводности экс-
поненциальной функцией
Х(«) = ХПмв"ахДа, (III. 65)
где Ай1 отсчитывается от значения температуры полного промерзания
'йпм; < 0.
Тогда величина 9йт найдется из соотношения
, , —а у А-9-2 .ч , , —а >
~ ~ * е-------—- . (III.66)
При необходимости получения более точных значений Яйт величина
параметра может задаваться для каждого интервала температуры.
Подставив значения ЗИт из (III.66) для различных интервалов време-
ни в ряд (III.63), находим последовательность значений коэффициента
температуропроводности для соответствующих интервалов температуры.
15. МЕТОДЫ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ
Д. И. Федоровичем (1965) и Ле Фуром (Le Fur, 1966) для определе-
ния коэффициента температуропроводности промерзающих топкодис-
персных горных пород был применен метод квазистационарного режима.
Метод квазистационарного режима при условии постоянства темпа из-
менения температуры поверхности исследуемого тела был впервые пред-
ложен Г. П. Иванцовым (1934), а в дальнейшем развит А. В. Лыковым
(1935) и многими другими исследователями.
Сущность этого метода применительно к промерзающим горным поро-
дам заключается в следующем. При малых темпах охлаждения или нагре-
вания образцов мерзлых горных пород перепад температуры между цент-
ром и поверхностью образца оказывается незначительным. В пределах это-
го интервала для каждого момента или элементарного промежутка време-
ни теплофизические свойства образца могут рассматриваться как постоян-
114
ная величина. В этом случае для их определения оказывается применимой
теория теплопроводности термоизотропных сред.
Если температура поверхности образца Оп изменяется по линейному
закону
й’п(т) =Апо+2йт, (III.67)
где йпо — начальная температура поверхности; ЗК — скорость изменения
температуры.
Температура в точке образца любой формы с координатой х для мо-
мента времени т определится из равенства
Ф (ж, т) = 0По + ш + Кф — Фо) Ф, (III.68)
а \ ь j Лф \ а /
где L — характеристический размер; й0 — разность температур поверхно-
сти и центра образца для начального момента времени;
т 2(—I)77*1 х ( ат\
фп
= = 1,2,3...).
Для цилиндрического образца при Fo 0,5 уравнение (III.68) приво-
дится к весьма компактному виду, из которого определяется коэффициент
температуропроводности образца,
а(#) = ^ФЗЙ7?О,2/Д^ = K*R^(d®n/dx) 1/ДйПц(т), (III.69)
где Дй’пц (т) — разность температур в точках на оси и поверхности об-
разца; Rq — радиус цилиндра.
Значения коэффициента формы изменяются в зависимости от отноше-
ния высоты образца I к радиусу 7?о
Z/7?o 1 1,25 1,5 1,75 2 оо
Кф 0,2 0,233 0,245 0,248 0,249 0,25
Из соотношения (III.69) определяется ступенчатая последователь-
ность осредненных по интервалам ДФ значений коэффициента темпера-
туропроводности образца. На основе этой последовательности находится
сглаженная температурная зависимость а (й1) промерзающего — протаи-
вающего образца горных пород.
Недостатком данного метода в экспериментальном отношении являет-
ся необходимость поддержания постоянного темпа изменения температу-
ры образца.
Эта методика может быть упрощена, если исследуемый образец про-
мерзающих или протаивающих горных пород заключить в оболочку из ма-
териала с высоким термическим сопротивлением (войлок, пенопласт
и т. п.). При небольших радиусах цилиндрического образца перепад тем-
ператур на оси и боковой поверхности образца в процессе его охлаждения
или нагревания может быть достаточно малым. Основная разность темпе-
ратур между образцом и окружающей средой будет гаситься теплоизоля-
пионной оболочкой. При этом температура окружающей среды сохраня-
ется постоянной.
Определение коэффициента температуропроводности промерзающего
или протаивающего образца может быть осуществлено при этом на основе
теории регулярного теплового режима составных тел. Выстойка образца
115
при исходной температуре должна осуществляться, как и в предыдущем
случае, таким образом, чтобы регулярный тепловой режим в образце на-
ступал до того, как в нем будут проявляться сколь-либо заметные фазовые
превращения связанной воды. Коэффициент температуропроводности об-
разца на первой стадии опыта определяется по формуле (111.61).
После того как в нагреваемом или охлаждаемом образце начинаются
фазовые превращения льда (связанной воды), будет наблюдаться наруше-
ние регулярности режима, обусловленное изменением темпа нагревания
(охлаждения). Изменение же темпа обусловлено на стадии регулярного
режима температурной зависимостью коэффициента температуропровод-
ности.
Для составного тела: исследуемый образец — теплоизоляционная обо-
лочка сравнительно просто осуществляется условие, когда коэффициент
теплообмена стремится к бесконечности. Однако теория метода для со-
ставных тел оказывается весьма сложной. Получающиеся аналитические
решения уравнений теплопроводности не позволяют найти выражения,
приемлемые для практических расчетов коэффициента температуропро-
водности.
Рассматриваемая задача существенно упрощается, если температура
на внутренней поверхности термоизоляционной оболочки (йпв) задается
на основе экспериментальных данных. С достаточной точностью она мо-
жет быть задана экспоненциальной функцией
йпв (т) = йм - (йм - йо) е~ъ\ (Ш.70)
где йм — максимальное абсолютное значение температуры поверхности;
йо — начальное значение температуры образца; Ъ — коэффициент, опре-
деляемый из опыта.
При значительном отклонении функции йпв(т) от экспоненциальной
вся область изменения может быть разбита на интервалы, внутри которых
соблюдается экспоненциальный характер зависимости температуры от
времени. Решение такой задачи нетрудно, если учесть, что для каждого
момента времени распределение температур в цилиндрическом образце
близко к однородному.
Решение задачи о температурном поле бесконечного цилиндра при на-
чальном однородном условии и изменении температуры на поверхности
по экспоненциальному закону известно (Лыков, 1967). При условии, что
Bi—> оо, это решение запишется в таком виде:
&(/•, r) — fl0 Pd) R
6 = —й-----n---= 1-----т . г—, exp(— PdFo) —
^м-’Э’о Jo(VPd) FV
— S -—exp(-
n=1 {~Pd
(III.7)
где 7?o — радиус цилиндрического образца; Pd и Fo — критерии Пред-
водителева и Фурье; Pd = bR21 а\ Fo = от / R2; Ап — коэффициент, опре-
деляемый из соотношения Ап = 2/'i|?nJ1(ipn); — корни уравнения
/оСфп) = 0.
Анализ уравнения (III.71) показывает, что по истечении 1—2 час опы-
та входящей в него суммой членов можно пренебречь. Тогда при г = 0
решение (III.71) запишется
ехр (— Ът)
~ т (bRT\'
М а /
(III.72)
116
Для определения коэффициента температуропроводности образца соот-
ношение (III.72) целесообразно представить в несколько иной форме
fbR*\ ।______п
(in.
После определения последовательности значений правой части уравне-
ния (III.73) находятся и соответствующие значения аргумента функции
Бесселя, а следовательно, и коэффициента температуропроводности. Для
нахождения аргумента функции Jq(z) могут быть использованы, напри-
мер, таблицы Э. А. Чистовой (1958).
Рассмотренный метод позволяет установить по одному опыту зависи-
мость коэффициента температуропроводности от температуры. Следует
также отметить, что при необходимости учета суммативного члена в урав-
нении (III.71) это легко может быть осуществлено методом последова-
тельных приближений.
При незначительных перепадах температуры между центром и поверх-
ностью цилиндрического образца, а следовательно, при термической квази-
изотропности грунта для каждого момента времени применим графоана-
литический метод определения коэффициента температуропроводности.
Величина этого коэффициента находится из уравнения
д2$ 1 дО
дх
Производные, входящие в соотношение (III.74), определяются числен-
ными или графическими методами.
16. ВЛИЯНИЕ КРИОГЕННОЙ ТЕКСТУРЫ
НА ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОД
В соответствии с принятой в геокриологии классификацией выделяют-
ся категории мерзлых горных пород с массивной, слоистой и сетчатой крио-
генной текстурой.
Мерзлые горные породы с массивной криогенной текстурой характери-
зуются равномерным распределением порового льда и могут рассматри-
ваться как изотропные среды. Макроскопически-однородными являются
такие среды и в теплофизическом отношении.
Мерзлые горные породы со слоистой криогенной текстурой обладают
наиболее ярко выраженной анизотропией тепловых свойств. Термическая
анизотропность таких сред зависит как от формы, размеров и расположе-
ния ледяных шлиров, так от ориентации вектора теплового потока относи-
тельно направления их простирания. По последнему признаку следует
различать мерзлые горные породы с вертикально-горизонтально- и косо-
слоистой криогенной текстурой.
Мерзлые горные породы с сетчатой криогенной текстурой также явля-
ются термически-анизотропными. Анизотропия тепловых свойств опреде-
ляется геометрическими параметрами сетки ледяных шлиров и направле-
нием вектора теплового потока.
Количественная оценка влияния криогенной текстуры на теплофизи-
ческие свойства мерзлых горных пород производилась на основе принци-
па электротепловых аналогий. При этом предполагалось, что основная
форма теплопередачи — кондуктивная.
117
Рис. 57. Ориентация вектора теплового по-
тока относительно решетки криогенной
текстуры
Значения Х,п, ккал/м-час-град: 1 — 0,5;
2—1,0; <3 — 1,5; 4 — 2,0; 5 — 2,5; 6 — 3,0;
7 — 3,5; <3 — 4,0; 9 — 5,0; 76 — 10,0; 11 —
15,0
Для определения макроскопического значения коэффициетна тепло-
проводности мерзлых горных пород с криогенной текстурой рассчитыва-
лась величина термического сопротивления единицы объема среды (куба
со стороной грани Ъ = 1 м) Rt. Термическое сопротивление такого куба
определяется формулой
7?т = b/'K'Q^S,
(III.75)
где Лэф — эффективный коэффициент теплопроводности среды; S — пло-
щадь сечения (5=1 м2).
Термическое сопротивление единичного объема среды находилось по
аналогии с электрическим сопротивлением системы, состоящей из после-
довательно и параллельно расположенных проводников. Приближенность
такого подхода обусловлена недоучетом искажений термоградиентного
поля, возникающих на границах термически неоднородных тел.
Горные породы со слоистой криогенной текстурой. Направим вектор
теплового потока q нормально к поверхности горного массива. Тогда для
мерзлых горных пород с горизонтально-вертикально- и косослоистой крио-
генной текстурой вектор теплового потока будет направлен соответственно
нормально, параллельно и под углом 0 < фг < (л/2) к плоскости прости-
рания ледяных прослоек (рис. 57).
При нормальном направлении вектора теплового потока относительно
простирания ледяных шлиров термическое сопротивление куба со сторо-
ной Ъ = 1 м определится из равенства
п m
^TJL = 3 (Д^лАл)г + 2 (А^пАп)ь
г =1 fc=l
(III.76)
где А/л и AZn — толщина ледовой (ледогрунтовой) прослойки и промежу-
точного слоя; Хл и Ап— коэффициенты теплопроводности прослоек;
пит — количество ледовых и промежуточных прослоек. Если допустимо
предположение о постоянстве коэффициентов теплопроводности как для
118
ледяных, так и для промежуточных прослоек, то соотношение примет вид
-St-l = (WM + [ (1 — М Ап], (III.77)
где
п
г=1
Переходя к эффективному коэффициенту теплопроводности, из (III.75) и
(III.77) получаем
А ^Л^П
• <Ш-78>
Объемная теплоемкость для рассматриваемой категории мерзлых гор-
ных пород при отсутствии фазовых переходов при тех же исходных усло-
виях равна
п т
Сг = 3 (Д^лГлСлХ + 3 (ДАГпСп)ь (III.79)
1=1 к=1
где ул и Yn — объемная плотность вещества в ледяной (ледогрунтовой)
прослойке; сл и сп — удельные теплоемкости. Если
СЛг = СЛ = Const,
Спк — Сп = const,
ГЛг = Гл = const,
Гпк = Гп = const,
то
= ТлСл^л + Тп^п (1 — ^п)« (III.80)
При условии идентичности свойств однородных прослоек коэффициент
температуропроводности горных пород со слоистой криогенной структурой
определится из соотношений (III.78) и (III.80)
= ^л^п/[^л^п + ^л(1 — ^л)] [Тл^лсл + Тп(1 — ^n)cnb (III.81)
Теплофизические свойства горных пород со слоистой криогенной структу-
рой при параллельном простирании шлиров в направлении вектора теп-
лового потока вычисляются аналогичным образом.
Эффективный коэффициент теплопроводности куба со стороной Ъ =
= 1 м при параллельной ориентации равен
п m
^11 = 3 (^лААл)г + 2 (^пА^пк- (III.82)
г=1 к=1
Для однородных прослоек
Н — ^л^л + (1 — /л). (III.83)
Так как величина объемной теплоемкости не зависит от направления
вектора потока, то получаем для коэффициента температуропроводности
________ ^л^л + __
11 + ?Л И "*л)сП
При выводе формул (III.83) — (III.84) не учитывалось искажение тем-
пературного поля вертикальными прослойками льда.
Несколько сложнее вычислить макроскопические коэффициенты тепло-
и температуропроводности мерзлых горных пород, когда угол ср между на-
правлением вектора теплового потока и простиранием шлиров изменяется
119
в пределах
О Тг"С л/2.
Разложим вектор теплового потока на нормальную q± и тангенциальную
#11 составляющие. При единичном градиенте температуры имеет место
векторное уравнение
(?=<Ll+3ii- (III.85)
Из этого уравнения в соответствии с рис. 58 находим соотношение
между модулями векторов
sin2tpr + X2 Cos2 срг. (III.86)
Подставив в (III.86) значения Х± и Хц из (III.78) и (III.83), получаем
= 1 f L Z Л sin2(pr + [Wn + (1 — £л) ]2 COS2(pr.
(III.87)
Соответственно для коэффициента температуропроводности получаем
/Г XX 2
а У [?Д+^п(Л1- у] sin8(Pr+tWn + Xn(l-Zn)PcoS^r
9 Тл;лсЛ + Тп (1 — гл) сп
(III.88)
Горные породы с сетчатой криогенной текстурой. Рассчитаем макро-
скопические значения теплофизических коэффициентов мерзлых горных
пород с сетчатой криогенной текстурой при следующих параметрах сетки:
толщина ледяных прослоек, перпендикулярных к вектору теплового пото-
ка, равна AZi, а параллельных — Д/г, общее количество ледяных прослоек
на 1 м соответственно t?i, т?г-
Если рассматривать промежуточные слои между ледяными прослойка-
ми как однородные с эффективным значением коэффициента теплопро-
водности Хц|, то сетчатую текстуру можно рассматривать как слоистую.
Тогда по формуле (III.78) находим
I____________________хл*-|||____________
+ ^111 гЛ1 + — ^лЭ ’
(III.89)
где /л1 — niAZi.
Промежуточную прослойку между ледяными слоями, нормально рас-
положенными к вектору потока тепла, будем рассматривать как среду
с вертикально-слоистой текстурой. Следовательно, по аналогии с (III.83)
находим
Хц] = ХЛ5Л2 + Дп(1 — ^лг), (III.90)
где Хп — коэффициент теплопроводности вещества между ледяными
прослойками;
Дл2 = 2 (п2 + 1) Д/л2- Д/л2 (П2 + I)2-
Подставив (III.90) в формулу (III.89), находим развернутые значения
коэффициента теплопроводности горных пород с сетчатой текстурой
__ Хл [^л^Лз + (! “^1 /ТТТ QM
+ ~ I^Л2 + W - *лг)1 *Л1+ W--W 1-7
Объемная теплоемкость мерзлых горных пород с сетчатой текстурой
равна
120
cv — Тл17л1 + ^лг(1 — ^л1) 1сл + Yn[l — ^1л — *$2л (1 — ^1л) 1сп.
(III.92)
Коэффициент температуропроводности находится из очевидного соот-
ношения
а ________________________^л [\а^Л2 + С1 ~~ ^лг)!_________________
+ К^Л^Л2 + ~ ^Лг) 1 ^Л1 + С1 “ *Л1И <^л 1^Л1 + ^Л2 ~ zni)l сл +
+ Тл [1 —г!л — ^Л2 С1 - W] сп> (111.9 3)
Полученные формулы справедливы для любого направления вектора
потока для мерзлых горных пород с кубической решеткой криогенной тек-
стуры. При иных формах решетки расчет макроскопических значений
коэффициентов для произвольной ориентации потока производится по ра-
нее рассмотренной схеме для мерзлых горных пород со слоистой криоген-
ной текстурой.
Теплопроводность мерзлых горных пород со слоистой и сетчатой крио-
генной текстурой определяется как размерами и расположением ледяных
и промежуточных прослоек, так и их теплофизическими свойствами.
В рыхлых горных породах промежуточные прослойки образуются мак-
роскопическо-изотропной мерзлой средой. Коэффициент теплопроводно-
сти мерзлых почв и горных пород изменяется от 0,5 до 3,0 ккал!м-час-
•град,
В трещиноватых горных породах криогенная текстура возникает в ре-
зультате заполнения льдом трещин и различных полостей. Тепловые свой-
ства скальных горных пород изменяются в более широком диапазоне по
сравнению с рыхлыми породами. Так, например, коэффициент теплопро-
водности кварца при параллельном расположении кристаллографической
оси относительно направления вектора теплового потока достигает
15 ккал!м-час-град (Чудновский, 1962).
Теплопроводность минеральных слоев в свою очередь существенно за-
висит от их внутренней текстуры и от направления простирания пластов.
Для учета анизотропности этих слоев необходимо ввести поправочные
множители в формулы для определения коэффициента теплопроводности
минеральных прослоек.
С учетом сделанных замечаний по полученным ранее формулам были рассчита-
ны значения коэффициентов теплопроводности мерзлых горных пород со слоистой и
сетчатой криогенными текстурами. Расчеты проведены при трех направлениях векто-
ра теплового потока относительно поверхности простирания ледяных шлиров: парал-
лельном, нормальном и под углом 45°.
На основе расчетных данных о зависимости коэффициента теплопроводности про-
мерзших горных пород со слоистой и сетчатой криогенными текстурами от суммарной
относительной толщины ледяных прослоек при различных значениях коэффициента
теплопроводности промежуточных слоев (Zn) построены графики, изображенные на
рис. 58, 59, 60 и 61.
Суммарная относительная толщина ледяных прослоек (&л) количественно выра-
жается отношением суммарной толщины ледяных прослоек ко всей толщине ледо-
грунтовых прослоек. Она изменяется от 0 до 1.
При одинаковых значениях параметров 6л и коэффициент теплопроводности
промерзших горных пород наибольшие значения принимает при слоистой текстуре,
когда ледогрунтовые прослойки направлены параллельно вектору теплового потока,
а наименьшие — когда направление теплового потока перпендикулярно к ледогрунто-
вым прослойкам. Промежуточными значениями коэффициента теплопроводности ха-
рактеризуются тепловые свойства горных пород с сетчатой и слоистой текстурами,
когда ледогрунтовые прослойки расположены под углом 45° к направлению теплового
потока. На рис. 62 показаны зависимости отношения от суммарной относитель-
ной толщины ледовых прослоек при различных значениях коэффициента теплопро-
водности промежуточных слоев Хп-
121
Рис. 58. Зависимость коэффициента
теплопроводности мерзлых горных
пород со слоистой криогенной тек-
стурой от суммарной толщины
ледяных прослоек при различных
значениях коэффициента теплопро-
водности грунтовых прослоек
Рис. 60. Зависимость коэффициента теп-
лопроводности мерзлых горных пород
со слоистой криогенной текстурой %ц от
суммарной толщины ледяных прослоек
при различных значениях коэффициен-
та теплопроводности грунтовых просло-
ек
Значения Лп, ккал]мчас-град'. 1 — 0,5; 2 —
1,0; 3 — 1,5; 4 — 2,0; 5 — 2,5; 6 — 3,0; 7 —
3,5; 3 — 4,0; 9 — 5,0; 10 — 10,0; 11 — 15,0
Рис. 59. Зависимость коэффициента
теплопроводности мерзлых горных
пород со слоистой криогенной тек-
стурой Х450 от суммарной толщины
ледяных прослоек при различных
значениях коэффициента теплопро-
водности грунтовых прослоек
Значения %п, ккал/м • час • град: 1 — 0,5;
2—1,0; «3—1,5; 4 — 2,0; 5 — 2,5; 6 — 3,0:
7 — 3,5; 6 — 4,0; 9 — 5,0; 40 — 10,0; 11 —
15,0
Рис. 61. Зависимость коэффициента теплопроводности мерз-
лых горных пород с сетчатой криогенной текстурой %+ от
суммарной толщины прослоек, нормальных к вектору тепло-
вого потока
Значения Лп ккал/м-час-град: 1 — 0,2; 2— 0,5; 3 — 1,0; 4— 1,5; 5 —
2,0; 6 — 2,5; 7 — 3,0; 8 — 3,5; 5 — 4,0; 10 — 5,0; 11 — 10,0; 12— 15,0
Рис. 62. Изменение величины Х|Д± для мерзлых горных по
род со слоистой криогенной текстурой в зависимости от коэф
фициента теплопроводности грунтовых прослоек при различ
ных значениях суммарной толщины ледяных прослоек
17. ВЛИЯНИЕ ЗАСОЛЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД
НА ИХ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
Повышение концентрации порового раствора сопровождается суще-
ственным изменением теплофизических свойств горных пород. Это изме-
нение обусловлено как самими свойствами поровых растворов, так и влия-
нием растворенных веществ на поверхностные явления, дисперсность сре-
ды, температурный спектр фазовых переходов.
Экспериментальные исследования по изучению влияния искусствен-
ного засоления на теплофизические свойства некоторых разновидностей
горных пород были проведены В. И. Пусковым (1966). В частности, им
были изучены теплопроводящие свойства песчаных, супесчаных и сугли-
Рис. 63. Зависимость коэффициента теплопроводности песка от температуры (w —
= 9,3-9,4%)
Концентрация NaGl. %: 1 — 0; 2— 2; 3 — 5; 4—10
Рис. 64. Зависимость коэффициента теплопроводности песка от влажности
« — при температуре 4-10°; б — при температуре —8°
Концентрация NaCl, %: 1 — 0; 2 — 2; 3 — 5; 4 — 10
124
Т’ис. 65. Зависимость коэффициента теплопроводности суглинка от влажности
а —• при температуре +2°; б — при температуре —8°
концентрация NaCl, %: 1 — 0; 2 — 2; 3 — 5; 4—10
нистых горных пород с нарушенной структурой, увлажненных раствором
NaCI с 2; 5 и 10%-ной концентрацией. Плотность горных пород для каж-
дой серии опытов оставалась практически постоянной. Средние значения
коэффициентов пористости для песка — 0,595; супеси — 0,850; суглинка —
0,860 и тяжелого суглинка — 1,030.
На рис. 63, 64 и 65 приведены результаты экспериментальных иссле-
дований по определению коэффициента теплопроводности песка и суглин-
ка в талом и мерзлом состояниях при различных значениях влажности,
концентрации порового раствора и температуры.
Из рассмотрения экспериментальных зависимостей могут быть сдела-
ны следующие выводы.
1. При повышении концентрации порового раствора и понижении тем-
пературы его замерзания происходит смещение максимума функции тем-
пературной зависимости коэффициента теплопроводности в сторону более
низких температур (см. рис. 63).
2. Коэффициент теплопроводности талого песка уменьшается с повы-
шением концентрации раствора (см. рис. 64).
3. Коэффициент теплопроводности мерзлого песка уменьшается при
повышении концентрации порового раствора от 2 до 10% при влажности
до 11 —12%. При дальнейшем росте влажности теплопроводность увели-
чивается при более высоких концентрациях раствора (рис. 64, б). Пони-
жение коэффициента теплопроводности с ростом концентрации раствора,
как это отмечалось и В. И. Пусковым, может быть увязано с уменьше-
нием теплопроводности раствора. С ростом влажности начинает превали-
ровать эффект общего увеличения коэффициента теплопроводности в ре-
зультате возрастания влагосодержания, а следовательно, и количества
льда в порах. Повышение коэффициента теплопроводности с ростом кон-
центрации раствора при повышенном влагосодержании не получило еще
удовлетворительного истолкования и вызывает некоторое сомнение. В этой
связи предстоит уточнить роль диффузионного механизма переноса в пле-
ночных растворах, которая, несомненно, повышается при увеличении кон-
центрации раствора.
Следует также подчеркнуть, что в опытах В. И. Пускова определялся
эффективный коэффициент теплопроводности, в величину которого вхо-
дит и конвективная составляющая. При искусственном засолении поро-
вого раствора в нем усиливаются процессы диспергации, снижающие мас-
соперенос и, следовательно, конвективный теплоперенос.
125
4. Уменьшение коэффициента теплопроводности суглинистых горных
пород в талом и мерзлом состояниях (см. рис. 65) с ростом концентрации
раствора (5% < з? 10%) может быть объяснено уменьшением мигра-
ционного потока и конвективной составляющей теплового потока в ре-
зультате дезориентации молекул связанной воды.
18. О СВЯЗИ МЕЖДУ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ
И ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ ГОРНЫХ ПОРОД
Определение теплофизических свойств дисперсных горных пород со-
пряжено со значительными аналитическими и техническими трудностями.
Экспериментальные затруднения обусловлены необходимостью тщатель-
ной термической выстойки образцов, длительностью проведения экспери-
ментов, тепловыми потерями, возникающими при проведении опытов, гро-
моздкостью аппаратуры. Все это осложняет получение опытных данных,
характеризующих зависимость теплофизических коэффициентов горных
пород от их плотности, влажности (льдистости), температуры, структуры
и текстуры.
В связи с этим представляет интерес установление связей между теп-
ловыми и электрическими свойствами горных пород. Изучение этих свя-
зей будет не только способствовать более глубокому пониманию механиз-
ма процессов переноса тепла в горных породах, но и позволит усовершен-
ствовать методику определения теплофизических характеристик. Практи-
чески мгновенное установление электрического поля и сравнительная
простота локализации его внутри образца обеспечивают высокую опера-
тивность методов определения электрических свойств дисперсных горных
пород.
Теоретической основой для установления связи между теплофизиче-
скими и электрофизическими свойствами является формальная аналогия
между процессами переноса электрической, магнитной и тепловой энергии
(Босворт, 1957).
Для установившихся полей могут быть рассмотрены следующие виды аналогий
тепловых и электромагнитных процессов:
Процесс
Теплопроводность
Электростатика
Магнитостатика
Электропровод-
ность
Градиент тем-
пературы
Напряженность
поля
То же
»
Аналогичные величины
Плотность тепло-
вого потока
Смещение
Индукция
Плотность тока
Коэффициент теплопро-
водности
Диэлектрическая посто-
янная
Магнитная проницае
мость
Проводимость
Из данной схемы следует, что аналогом коэффициента теплопроводности X могут
быть диэлектрическая постоянная с, магнитная проницаемость цм и электрическая
проводимость дэ. Аналогия тепловых и электро- и магнитостатических процессов тре-
бует дальнейшего изучения.
Можно наметить два основных подхода в установлении зависимостей
между теплофизическими и электрофизическими свойствами дисперсных
горных пород. Сущность одного из них состоит в построении физических
моделей дисперсных сред, для которых методом электротепловых анало-
гий рассчитываются абсолютные значения коэффициента теплопроводно-
сти. Это направление развивалось де Фризом, Рейлеем, Г. И. Покровским,
В. Г. Булычевым, О. Е. Власовым, А. У. Франчуком (Чудновский,
1954) и др.
Однако даже в самых совершенных моделях не находят отражения
126
многообразие размеров и конфигурация частиц пор, водных пленок, ледо-
вых образований, а также статистические законы их распределения и кон-
тактных переходов. Если даже и удастся достигнуть высокой степени при-
ближения модельной системы к естественной среде, то получение всех
исходных данных, необходимых для расчета коэффициента теплопроводно -
сти каждой конкретной разновидности горных пород, будет чрезвычайно
сложной задачей.
Значительно большие возможности использования аналогии между
тепловыми и электрическими процессами раскрываются при сопоставле-
нии эмпирических функций зависимостей 8, сгэ и % от основных парамет-
ров. Сущность этого подхода была рассмотрена раньше.
Выделим мысленно в массиве горных пород куб с единичными разме-
рами, а в этом кубе слой толщиной Az, расположенный нормально к векто-
ру эффективного теплового потока. Слой выделяет в дисперсно-пористой
среде элементарные сечения различных фаз и компонентов. Эти сечения
могут быть как монокомпонентными и монофазными, так и поликомпо-
нентными и полифазными. Уменьшая толщину слоя, ограничимся биком-
понентными и бифазиыми сечениями.
Общий поток тепла через слой определится из уравнения
3
X3M/Az = Х02 2 (Afln/Az)oi (A5i;)0 +
г=1 1=1
N2 3
+ ^в 2 S (Д^н)в +
1=1
N3 3
+ ^пв 2 3 (Д'О'п/А^пвг(А^н)пв + (III.94)
7—1 1=1
N* 3
+ ХЛ 3 3 (Д£г/)л +
г=1 1=1
3 4 Nkt 3
+ 22 ^kt3 3
li=lt=l i—1 1=1
При выводе уравнения использовано следующее тензорное соотноше-
ние между температурным градиентом в Z-м элементе (d^i/dz)k и осред-
нениям градиентом в окружающей среде (д® / dz)ki, по аналогии с электро-
статической системой (Ландау и Лифшиц, 1957)
з
= 2 (&Q/dz)kl. (III.95)
1=1
В такой форме учитывается перенос тепла через М сечений органо-
минерального скелета с теплопроводностью Хо, Nz сечений водных про-
слоек с теплопроводностью Хв, А^з сечений паровоздушных прослоек с теп-
лопроводностью Хпв, сечений льда с теплопроводностью Хл. Последний
член отражает передачу тепла через комбинированные сечения. Эти ком-
бинированные сечения отождествляются здесь с эффективно-однородными
сечениями с теплопроводностями
х^х^
= Дг1„ , Да2 ’ (III.96)
Да + Да Ч
где Ак и X/ — теплопроводности однородных элементов сечения, a Azt
и Az2 — их толщины.
127
Уравнение (III.94) записано в тензорной форме. Предполагается, что
в каждом элементарном сечении поток имеет пространственную структу-
ру. Но при одномерном эффективном потоке сумма всех составляющих
элементарных потоков в плоскости, нормальной вектору потока, равна 0.
Тогда, совместив направление вектора эффективного потока с координат-
ной осью z и учитывая соотношения
Ай0« Дй в Айпв ж Айл « Дй7.г» АО,
3
= о, 2 2 (A0lz)Oi• (Д5П)О = AflSo.
i=l Z=1
n2 3
2 3 (Д^н)вг (дадв = д^в^в, (in.97)
i=i z=i
N3 з
2 2 (Д^1/)пВг (А^н)пв = Айпв^пв,
2=1 Z=1
3
2 2 (ДФ10лг (А5^)л = ДЙл^Л,
2=1 1=1
Nkt 3 __
2 2 “ ^kl^kt,
2=11=1
находим
3 4
+ ^в^пв + ^пв^пв + ^л^л + 22 (III.98)
г—1 f=2
Дальнейшее уточнение уравнения (III.98) связано с нахождением
осредненных значений Уй^ статистико-вероятностными методами. При
составлении уравнения (111.94) не учитывался перенос тепла под дейст-
вием градиентов влажности, концентрации раствора и электрического по-
тенциала.
Влияние конвективного переноса тепла сводится к минимуму и прак-
тически может не учитываться в двухкомпонентной системе органо-мине-
ральные частицы — воздух. Для этой системы уравнение (III.98) преоб-
разуется к виду
^э — ^0^0 + ^ПВ^ПВ + ^kl^kt, (III.99)
где So, 5пв, Skt — суммарные площади компонентов.
Аналогичные соотношения могут быть получены и для эффективных
величин электропроводности и диэлектрической проницаемости двухком-
понентной системы
<5э = бэо^о + Зэпв^пв + GSktSkt
^Э = е0^0 + ЕпвДпВ + Ski'S kt •>
где оэо, сгэпв, е0, 8пв, — проводимости и диэлектрические про-
ницаемости монокомпонентных и бикомпонентных элементарных сечений.
Рассмотрим в качестве примера отношение эффективных значений
коэффициентов теплопроводности и электропроводности
= %О5О + ХПВ5ПВ + с дэ) = congt (Ш.Ю1)
аЭ ^ЭО^О + СЭПВ6ПВ + Gdkt^kt
Из этого соотношения следует, что между Хэ и Оэ существует прямая
пропорциональная зависимость. Для выяснения характера этой зависимо-
128
(III.100)
Рис. 66. Зависимость коэффициентов тепло- и электропроводности % и оэ сухого
песка от объемной плотности при 'й = +23° и зависимость между коэффициентами
А и (jg
стп студентом Якутского государственного университета Д. Н. Степано-
вым были проведены экспериментальные исследования.
Исследованию были подвергнуты песчаные, супесчаные и суглинистые
материалы. Коэффициент теплопроводности сред определялся с помощью
цилиндрического зонда постоянной мощности по формуле (Чудновский,
1954)
А = ^э/4лСэД^ (III.102)
где — электрическая мощность нагревателя зонда; Сэ — емкость
зонда; Дй — изменение температуры зонда от температуры среды до уста-
новившейся температуры нагрева.
Электропроводность материалов определялась с помощью мостовой
схемы на постоянном токе, а высокие значения сопротивления измерялись
прямым методом — на основе измерения напряжения и силы тока. Для
уменьшения электрического сопротивления между электродами и образ-
цом электроды покрывались слоем смесей графитной смазки с медным по-
рошком. Погрешность определения сопротивления мостом МВУ-49 сос-
тавляет 0,2%, а прямым методом — примерно около 7%. Погрешность оп-
ределения коэффициента теплопроводности методом цилиндрического зон-
да составляет в среднем 6%.
Результаты экспериментальных исследований по определению зави-
симости теплопроводности и электропроводности сухого песка от объем-
ной плотности приведены в графической форме на рис. 66. На этом же ри-
сунке показана зависимость 2i(oa), которая изображается линейной функ-
цией
Х(оэ) = Ла + В^э, (III.103)
где Аа = 0,25; BG = 0,735.
На основе формулы (III.103) может быть определена зависимость
коэффициента теплопроводности от объемной плотности, если известна
9 Н. С. Иванов 129
Рис. 67. Зависимость коэффициентов тепло- и электропроводности X и оэ супеси от объемной плотности при различной
влажности и '0'= +23° С (а и б) и зависимость между коэффициентами X и пэ (в)
—w = 16,0%; 2 — w = 12,5%; з — w в 9,0%
Рис. 68. Зависимость коэффи-
циентов тепло- и электропро-
водности X и Сд супеси от
объемной плотности при раз-
личной влажности и при О =
= —3,9° G (а, б) и зависи-
мость между коэффициентами
X и (в)
1 — W = 16,0%; 2 — w = 12,5%; 3 —
w = 9,0%
аналогичная зависимость электропроводности. Возможно использовать
этот принцип и для определения объемной плотности горных пород.
Были проведены также исследования по выяснению зависимости меж-
ду теплопроводностью и электропроводностью горных пород при различ-
ных влагосодержаниях. На рис. 67 представлены зависимости тепло- и
электропроводности супесчаного грунта от объемной плотности при трех
значениях влагосодержания при температуре 23°. Здесь же в графи-
ческой форме выражена зависимость % = л(сгэ) при указанных значени-
ях влагосодержания. Эти зависимости с некоторым приближением могут
быть описаны линейными функциями. При этом, однако, следует отме-
тить, что определение электропроводности горных пород, увлажняемых
не дистиллированной водой, а растворами, осложняется эффектом поляри-
зации, переноса ионов, молекул воды и коллоидных частиц в электриче-
ском поле. В связи с широким диапазоном изменения физико-химических
параметров порового раствора в естественных условиях наблюдаются
большие изменения величины Оэ, что затрудняет получение результатов.
Для устранения указанных выше эффектов переноса, возникающих в
поровых растворах, необходимо подобрать в качестве заполнителей
другие жидкости.
На рис. 68 показаны зависимости между величинами Аэ и Оэ и их за-
висимость от объемной плотности для того же супесчаного материала, но
в мерзлом состоянии при температуре —3,9°. Зависимость = М^э)
также выражается линейной функцией.
Аналогичный характер связи между тепловыми и электрическими
свойствами получен для песчаных материалов. Коэффициент корреляции
рассмотренных зависимостей изменяется от 0,95 до 0,99.
Была проведена серия опытов для изучения зависимостей между коэф-
фициентами 7э и о»э и влажностью горных пород при различной объемной
9*
131
плотности. Опыты показали, что в этом случае нарушается формальная
аналогия процессов переноса тепла и электричества и связь между коэф-
фициентами становится нелинейной.
Для влажных горных пород более перспективным направлением в изу-
чении связей между тепловыми и электрическими свойствами является
использование аналогии между процессами электростатики и теплопровод-
ности, а также применение специальных поровых заполнителей. Изучение
зависимостей коэффициента теплопроводности и диэлектрической прони-
цаемости от влажности некоторых разновидностей горных пород под-
тверждает это положение.
19. МАССООБМЕННЫЕ СВОЙСТВА МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОД
Явления переноса влаги происходят во всех мерзлых горных породах,
однако только в тонкодисперсных средах они имеют существенное значе-
ние в формировании их воднотеплового режима. Поток влаги в мерзлых
тонкодисперсных горных породах определяется уравнением (II.22,2).
Принимая во внимание зависимость содержания связанной воды в мерз-
лых горных породах от температуры, это уравнение может быть представ-
лено в виде
/мв Yoa'Vw—гоа'д?й = —гоа' + б) (III.104)
Обозначим (с/г^нв / с/й) + б — дм и назовем дм — эффективным тер-
моградиентным коэффициентом мерзлых горных пород. Эффективный
термоградиентный коэффициент мерзлых горных пород характеризует
результирующий поток влаги, переносимый под действием температурного
градиента. Определив из уравнения (1.85) значение производной
/ <$й, находим зависимость коэффициента дм от температуры
. Я ЯМЧЛ
Ом -О (1+а^+&^2)3-
(III.105)
Коэффициенты массопереноса а', д и дм достаточно полно и однознач-
но характеризуют массообменные свойства мерзлых горных пород.
Рис. 69. Зависимость коэффициентов а', д и дм
от температуры для мерзлого песка
132
3^-10 2 град~1
Рис. 70. Зависимость коэффициентов а', 6 и 6м
от температуры для суглинка
Изучение массообменных характеристик мерзлых горных пород нахо-
дится в стадии разработки методики и накопления экспериментальных
данных. Вместе с тем для области положительных температур получены
достаточно обстоятельные экспериментальные данные о зависимости мас-
сообменных характеристик дисперсных горных пород от влажности, тем-
пературы и дисперсности (Мурашко, 1957; Шевельков, 1957, 1958; Яб-
лонская, 1958).
На данном этапе исследования массообменных характеристик мерзлых
горных пород представляет интерес и качественная оценка зависимости
этих величин от различных параметров и, в частности, от температуры.
Такая оценка может быть произведена на основе предположения об ин-
дентичности зависимостей массообменных коэффициентов горных пород
от общего влагосодержания при положительных температурах и от со-
держания незамерзшей воды при отрицательных температурах. Влияние
температуры на вязкость связанной воды может быть учтено дополни-
тельно. При таком подходе не учитывается, конечно, появление в про-
мерзающих горных породах новых механизмов массопереноса и влияние
криогенной текстуры на их влагопроводящие свойства.
Сопоставляя для идентичных дисперсных горных пород зависимости
массообменных характеристик от влажности и содержания связанной воды
от температуры, можно установить зависимости коэффициента потсн-
циалопроводности и термоградиентного коэффициента этих пород от тем-
пературы. Связь с температурой эффективного термоградиентного коэф-
фициента определяется величинами 6(й) и cLw^b (й) / йй.
На основе рассмотренного подхода были построены графики зависимо-
стей коэффициентов потенциалопроводности, термоградиентного и эффек-
тивного термоградиентного коэффициентов для мерзлого песка от темпе-
ратуры (рис. 69).
Содержание связанной воды в мерзлом песке определялось по экспери-
ментальным данным 3. А. Нерсесовой (1953) и Л. В. Антоновой, а зависи-
мость коэффициентов а' и 6 от влагосодержания для талого кварцевого пес-
ка по данным В. Л. Шевелькова (1957, 1958). Сопоставление величин
au/нв / <?й, 6, 6м показывает, что в начальной стадии процесса промерзания
6 почти на порядок меньше величины дг^нв / дй. На этой стадии эффектив-
133
Рис. 71. Зависимость коэффициентов а', д и
дм от температуры для глины
ный термоградиентный коэффи-
циент в основном определяется
скоростью процесса изменения
фазового состава пленочной вла-
ги. Начиная с —2,0 -4 2,5°
значения дггНв / дй и д стано-
вятся сопоставимы, а в дальней-
шем эффективный термогради-
ентный коэффициент определя-
ется в основном величиной д.
Коэффициент потенциалопро-
водностп убывает с понижением
температуры.
Аналогичные зависимости
построены для мерзлого суглин-
ка (рис. 70). Значения коэффи-
циентов а' были взяты по дан-
ным М. Г. Мурашко (1957),
ад — по данным В. П. Яблон-
ской (1958). В связи со слабой
изученностью коэффициентов
массопереноса в суглинке для
области положительных темпе-
ратур представляется возможным охарактеризовать их лишь для некото-
рых диапазонов в области отрицательных температур. Анализ полученных
зависимостей показывает, например, что эффективный термоградиентный
коэффициент при температуре ниже —2,0° определяется в основном вели-
чиной коэффициента д. При более высоких температурах д — 0 и дм сов-
падает с величиной дшнв / дй. Зависимость дм = дм (й) имеет максимум
при температуре —2,0°. Коэффициент потенциалопроводности мерзлого су-
глинка монотонно уменьшается с понижением температуры.
Для построения температурных зависимостей а', д и дм Для мерзлой
глины (рис. 71) использовались данные о фазовом составе поровой воды,
полученные 3. А. Нерсесовой (1953), и зависимости коэффициентов а' и
д от влажности, по данным В. Л. Шевелькова (1957, 1958). Из анализа
полученных зависимостей следует, что до температур порядка —8 9°
эффективный термоградиентный коэффициент определяется в основном
значением величины дищв / дй. При температуре ниже этого предела зна-
чение коэффициента дм главным образом зависит от д.
Функция, характеризующая зависимость коэффициента д от темпера-
туры, имеет максимум при —3°, а функции а' (д) и дм(й) монотонно убы-
вают с понижением температуры.
При расчете массообменных коэффициентов мерзлых горных пород не учитыва-
лось влияние температуры на вязкость связанной воды. По Я. И. Френкелю (1959) за-
висимость вязкости от температуры характеризуется формулой
Г| = кТХйПйеиа! кТ,
(III.106)
где ua— энергия активации; == u^a + и0А — энергия активации молекулы в
свободной воде; Аит — приращение энергии активации для молекулы связанной воды,
численно равное удельной избыточной поверхностной энергии; т0 — период колеба-
ния молекулы в положении равновесия; п0 — число молекул в единице объема.
Из формулы (III.106) следует, что
/г~ГО \
п = тто)г (ш.107)
где Цо — вязкость при температуре То.
134
0>,°С
Рис. 72. Экспериментальная зависимость
термоградиентного коэффициента мерз-
лого песка от температуры
Рис. 73. Экспериментальная зависимость
коэффициента потенциалопроводности
мерзлого песка от температуры
ЦА (Т-Тр \
Величина Сц = ек ' тто j позволяет уточнить влияние температуры на
коэффициенты переноса связанной воды в мерзлых горных породах.
В последнее время в лаборатории тепло- и массообмена Института
мерзлотоведения СО АН СССР (Чистотинов и др., 1966) были впервые
получены экспериментальные зависимости массообменных коэффициентов
некоторых категорий мерзлых горных пород от влажности.
Для определения термоградиентного коэффициента и коэффициента
потенциалопроводности использовались результаты наблюдений за дина-
микой теплового и влажностного режима промерзающих образцов. На
рис. 72 и 73 представлены зависимости термоградиентного коэффициента
и коэффициента потенциалопроводности мерзлого песка от темпера-
туры.
Экспериментальная зависимость термоградиентного коэффициента
мерзлого песка от температуры (см. рис. 73) в функциональном отно-
шении идентична расчетной зависимости. Что же касается разницы в аб-
солютных значениях этого коэффициента по теоретическим и эксперимен-
тальным данным, то она может быть обусловлена различием физических
свойств сравниваемых сред. Известно, что термоградиентный коэффициент
песка при положительных температурах изменяется в диапазоне значений
от 10-2 до 1СМ \1град (Шевельков, 1957).
Не вызывает сомнений и различие абсолютных значений коэффициен-
та потенциалопроводности мерзлого песка по расчетным и эксперимен-
тальным данным. Известно, что коэффициент потенциалопроводности
песка при положительных температурах изменяется от 10~5 до 10~3 мЦчас
(Мурашко, 1957; Шевельков, 1957, 1958). Однако существование макси-
мума экспериментальной зависимости а' (й) при й ~ —1,0° С пока трудно
объяснить. Уменьшение коэффициента потенциалопроводности в сторону
более высоких температур от этого максимума, а следовательно, и более
высоких значений влажности не согласуется с известными представле'
ниями о механизме массопереноса во влажных горных породах.
Произведенная расчетным путем предварительная оценка массообмен-
пых свойств мерзлых горных пород позволяет уточнить значение конвек-
тивного механизма переноса тепла в промерзающих тонкодисперсных сре-
дах. Удельный тепловой поток, переносимый мигрирующей влагой в про-
мерзающих горных породах, определяется уравнением
iq = —Tw’m = —йва'бмА^й = —ZkmV^ (III.108)
135
где Лв — удельная энтальпия воды (относительно 0°); Хкм — коэффи-
циент конвективной теплопроводности промерзающих тонкодисперсных
горных пород.
Нами была произведена оценка величины коэффициента конвективной
теплопроводности промерзающего песка и глины по расчетным значениям
массообменных характеристик этих горных пород. В результате прове-
денных расчетов выяснилось, что для промерзающего песка при измене-
нии температуры от —0,5 до —2,0° коэффициент конвективной теплопро-
водности изменяется в пределах от 2,5 до 0,5 ккал!м-час-град. Коэффи-
циент конвективной теплопроводности промерзающих глинистых пород в
интервале температур от —1,0 до —10,0° С изменяется от 2,5 до
0,15 ккал!м • час • град.
Произведенная предварительная оценка величины коэффициента кон-
вективной теплопроводности позволяет сделать вывод о том, что в про-
мерзающих горных породах он оказывается сопоставимым с коэффициен-
том кондуктивной теплопроводности. Если же в дальнейшем подтвердятся
экспериментальные данные о массообменных характеристиках промерзаю-
щих горных пород, то величина коэффициента конвективной теплопровод-
ности должна быть увеличена почти на порядок.
Глава IV
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТОКОВ ТЕПЛА И ВЕЩЕСТВА
В ГОРНЫХ ПОРОДАХ
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
Определение потоков тепла и воды в горных породах может произво-
диться двумя основными способами.
Первый способ основан на предварительном определении коэффициен-
тов тепло- и массопроводности горных пород и градиентов потенциалов, а
точнее их составляющих. Изучение динамики их представляет весьма
сложную задачу. Методика дистанционного определения влажности, неза-
мерзающей воды, концентрации порового раствора и потенциалов элект-
рического поля в горных породах находится еще в стадии разработки.
Второй способ может быть назван инструментальным, так как в основу
его положено прямое определение потоков специальными приборами.
В настоящее время разработаны лишь датчики тепловых потоков, которые
называются тепломерами-термотранзитометрами.
Тепломерный датчик состоит из диска, пластины, ленты, цилиндриче-
ского или сферического слоя из эталонного вещества. Коэффициент тепло-
проводности этого вещества Хт принимается либо постоянным в заданном
интервале температуры, либо задается его функциональная зависимость от
температуры.
Тепловой поток, проходящий через тепломерный элемент, расположен-
ный нормально к вектору теплового потока, находится из соотношения
qT = -Хт(Ай/AZ)^tAt, (IV.1)
где Ай — перепад температуры между поверхностями тепломерного эле-
мента высотой А/; 5Т — поверхность основания тепломерного датчика;
Ат — время измерения.
Теплофизические свойства эталонного вещества отличаются в той или
иной степени от теплофизических свойств горных пород. Следовательно,
температурное поле в зоне тепломерного датчика будет искажено. Дефор-
мируется и поле тепловых потоков. Тепловой поток в тепломерном элемен-
те отличается от теплового потока в окружающей среде. Это отличие обус-
ловлено геометрией датчика и теплофизическими свойствами эталонного
вещества и среды.
Был предпринят ряд попыток теоретического решения задачи о соотношении по-
токов тепла в тепломере и окружающей среде.
А. Г. Колесников и А. А. Сперанская (1958) произвели учет погрешности измере-
ния теплового потока, вызываемой изменением термического сопротивления системы
среда — тепломер. При этом тепломер в расчетах принимался как неограниченная
пластина. Полученная ими формула не позволяет рассчитывать тепловые потоки в
тепломерах конечных размеров.
Д. П. Беспаловым (1962) получена формула для определения теплового потока в
тепломере на основе допущения об аналогии уравнения температурного поля в си-
стеме тепломер — среда и уравнения обтекания плоской пластинки идеальной жид-
137
костью. Но и по этой формуле тепломерная пластина имеет неограниченные по длине
размеры. Другое необоснованное допущение состоит в отождествлении условия ра-
венства нулю потока жидкости в пластине условию равенства нормальных составляю-
щих вектора теплового потока на поверхности раздела тепломер — среда.
М. А. Каганов и Ю. Л. Розеншток (1960) при разработке теории тепломерных из-
мерений исходили из формальной аналогии уравнения температурного поля плоского
цилиндрического тепломера в однородном поле среды и уравнения электрического
поля диэлектрического сплюснутого эллипсоида вращения в однородном внешнем по-
ле. По аналогии с напряженностью поля для диэлектрического эллипсоида (Ландау,
Лифшиц, 1957) ими была предложена следующая формула, устанавливающая связь
между потоками тепла в тепломерном элементе (дт) и окружающей среде
________________
?т~ 1 + (^хт-1)% ?с’
Хгр
где К^т— Хс — коэффициент теплопроводности среды;
1 4-е2
П 0 = —— (е — arctge);
(IV.2)
Кот — радиус поверхности основания тепломера.
В формуле (IV.2) учитываются конечные размеры тепломерного элемента.
Следует, однако, отметить, что исходные предпосылки об аналогии полей тепло-
мерного элемента и диэлектрического эллипсоида, использованные при выводе форму-
лы (IV.2), не могут считаться физически обоснованными. Поле диэлектрического эл-
липсоида является одномерным, в то время как температурное поле тепломера —
двухмерное. Двухмерным является и температурное поле в зоне влияния тепломер-
ного элемента. При соблюдении угловой симметрии температурное поле системы теп-
ломер — среда описывается следующей системой уравнений:
1 Э / ЗОТ\ 32-йт
г dr \r dr / + dz2
0 | r I Кот;
1
| z | с; -у- AZ;
13/ ЗФС\ д2$0
г Ьг \г J Н- = °’
I r I Кот;
1
| z | > Ы',
г\
dr |2->±оо
z->±oo = ’
ЗЙР|
т- = °;
дг |г->оо
(IV.3)
где индексы тис относятся к тепломеру и к среде.
138
Необоснованное использование аналогий температурного и электростатического
нолей отражается в формуле (IV.2) на отсутствии радиальных составляющих вектора
теплового потока. В связи с этим не учитывается изменение нормальной составляю-
щей вектора теплового потока в радиальном направлении.
Для изучения поля температур и тепловых потоков в системе тепло-
мер — среда нами был использован метод электротепловых аналогий. Этот
метод основан на тождественности конечно-разностных уравнений Лапла-
са в цилиндрических координатах для термодинамической и электрической
систем (Карплюс, 1962)
- <>о) + (fro - fro) +
+S - fro)+S - fro) = о,
2A^2— (Ф1 Фо) H 2Дг2 — Ф°) +
+ £(фз~Фо) +^(Ф1~Фо) = 0,
(IV.4)
где го — радиус узловой точки элементарного объема; Аги \z — размеры
элементарного объема; 0,о и фо — температура и потенциал выбранной уз-
ловой точки; -&1, ,0’25 йз, Й4 и ф1, ф2, фз, ф4 — значения температуры и элект-
рического потенциала в соседних узловых точках.
Электрические сопротивления z-ro элементарного объема в радиальном
направлении (7?^, Rfd и по оси 2 (7?3®, 7?Э) равны
rI
Rh
R-l
РэАгг . '
I Аг<\ ’
A0.Az. I rn. + -ту- )
г г \ 0г 1 2 /
РэАгг
/ АгД ’
де.дг. г„. —>
г 1 \ 0г 2 /
РдГоДО* .
Ar.Az. ’
г г
РдГоДе^ _
Дг.Дг. ’ у
г г
(IV.5)
где рэ — удельное сопротивление; А0 — угол между радиусами.
Из системы (IV.5) следует, что сопротивления элементов для рассмат-
риваемой задачи зависят от радиуса узловых точек.
Моделирование поля электрических потенциалов производилось на
электрическом интеграторе ЭИ-12. Вариация электрических сопротивлений
элементарных объемов осуществлялась с помощью реостатов электриче-
ской сетки.
Описанным выше методом было исследовано распределение температур
и тепловых потоков в тепломере и зоне его влияния при различных соот-
ношениях коэффициентов теплопроводности эталонного вещества и горных
пород, а также размеров тепломерного элемента. На рис. 74 в качестве
примера дано распределение изолиний электрического (температурного)
поля при = 0,1 и Кг = 5. Распределение изолиний электрического поля
показано для одной четверти площади вертикального сечения тепломера и
в зоне влияния до z / AZ = 5 и г/7? = 27/15. Нулевое значение потенциа-
ла отнесено к плоскости, проходящей через центральное сечение тепломер-
ного элемента.
139
Рис, 74, Распределение изолиний температурного поля в тепломерном элементе и зоне влияния при = 0,1 и Ki = 5
Рис. 75. Изменение нормальной составляющей теплового потока в тепломере и горных породах при Ki — 5 при различ-
ных значениях критерия Км
На основе распределения температур в исследуемой системе может
быть определена и функция распределения тепловых потоков для любого
сечения. На рис. 5 показаны функции распределения нормальной составля-
ющей теплового потока в плоскости, проходящей через центральное сече-
ние тепломера при Ki = 5 и различных значениях критерия К^.
При Л\т < 1 функция распределения нормальной составляющей
7т / 7с (Алтг / И) имеет минимумы, при К^т >1 — максимумы на боковой
поверхности раздела. Для сопоставления на рис. 75 штрихпунктирными ли-
ниями показаны значения критерия дт / 7с при некоторых значениях /<лт
и Ki — 5, вычисленные по методу М. А. Каганова и Ю. Л. Розенштока.
Сравнение расчетных данных с данными электрического моделирования
показывает их существенное различие даже для центра тепломера, дости-
гающее 50%.
При измерении быстро изменяющихся тепловых потоков тепломерами
возникает дополнительная погрешность. Этот вид погрешности обусловлен
заменой нестационарного поля тепломера стационарным. Уменьшая тол-
щину тепломерного элемента, эту погрешность можно свести к минимуму.
Для определения тепловых потоков в горных породах был разработан
ряд методов и сконструирована измерительная аппаратура. Создано не-
сколько типов датчиков тепловых потоков.
Все методы измерения можно объединить в группы лабораторных и по-
левых методов. Лабораторные методы позволяют производить определения
с высокой степенью точности. Эти методы основаны на использовании зер-
кальных гальванометров с высокой чувствительностью, прецизионных по-
тенциометров и электронных самописцев.
В группу полевых или переносных установок входят тепломерные уста-
новки, основанные на использовании переносных гальванометров, потен -
циометров, мостов для измерения сопротивления и усилителей микротоков.
При изучении явлений массопереноса в горных породах применяются
методы определения миграционных и фильтрационных потоков. Особое
место занимают методы определения потоков воды, раствора и других за-
полнителей буровых скважин.
К настоящему времени накоплен еще очень малый опыт определения
тепловых потоков. Обобщение достигнутых результатов позволит ускорить
решение этой геофизической и геотехнической задачи.
2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ТЕПЛОМЕРНЫХ ДАТЧИКОВ
Тепломерный датчик представляет собой обычно пластину, на поверх-
ности которой укреплены датчики температуры. Размеры датчика тепло-
вых потоков и его конструкция определяются чувствительностью измери-
тельного прибора и типом датчика температур.
Измеритель тепловых потоков системы Ленинградского института хо-
лодильной промышленности. Датчик тепловых потоков представляет собой
резиновый диск диаметром 30 см и толщиной 1 см. Перепад температуры
между основаниями диска измеряется 800-спайной термопарной батареей.
Тепломеры этого типа могут быть использованы при измерении тепловых
потоков в средах при слабовыраженном конвективном теплообмене — в
промерзших, морозных, иссушенных почвах и горных породах и ледниках.
Погрешность измерения теплового потока в средах с коэффициентом
теплопроводности 0,3—3,0 ккал/м-час-град составляет от 8 до 80%.
В увлажненных почвах и горных породах датчики теплового потока
данного типа прерывают потоки конвективного тепла и существенно иска-
жают величину тепловых потоков. Ниже приводятся данные о месячных
суммах величины теплового потока в поверхностном слое горных пород на
станции Оазис, в Антарктиде (Григорьев, 1962):
142
Тепловой поток,
ккал/см2 -мес
тепловой поток.
ккал;см2-мес
Январь.............. 4-0,36
Февраль................. 4-0Д8
Март................. 4-0,053
Апрель................. —0,20
Май................. —0,29
Июнь................ .....0 79
Июль................
Август..............
Сентябрь ...........
Октябрь ............
Ноябрь .............
Декабрь ............
—0,67
—0,23
—0,047
4-1Д6
+ 1,76
+1,38
Результирующей годовой поток тепла составил 2,67 ккал!см2-год, он
направлен в глубь почвы. Средний же поток внутриземного тепла, направ-
ленного к поверхности Земли, по данным измерений температуры ледника
в пос. Мирном, составляет 820 ккал/м2- год. Завышение потоков тепла для
периодов нагревания почвы наблюдается и по данным исследователей.
Датчик теплового потока системы Института мерзлотоведения. В лабо-
ратории тепло- и массообмена Института мерзлотоведения СО АН СССР
была разработана конструкция тепломерных датчиков из обычного и орга-
нического стекла (Иванов, 1961).
Датчик теплового потока представляет собой диск из органического
стекла диаметром 15—20 см и толщиной 0,5 см или квадратную пластину
из обычного стекла со стороной основания 15—20 см и толщиной 0,5 см.
Коэффициент теплопроводности органического стекла равен 0,158 ккал/м*
• час- град, а стекла — 0,65 4-0,70 ккал/м-час-град. Соответствующие по-
грешности в определении тепловых потоков в почвах и горных породах
при Хс, равным 0,5 ккал!м-час-град, составляют для тепломера из оргстек-
ла 24%, а из обычного стекла — 2,5%.
Для измерения тепловых потоков в высокотеплопроводных средах не-
обходимо применять датчики с большими значениями критерия А/, а так-
же такие эталонные материалы, как мрамор (X =13 ккал/м -час- град);
гранит (^=1,0—1,9); стекло кварцевое (X =1—2,6); фарфор
(А = 0,7—1,7); фаянс (X = 1 —1,3); пластические массы (А = 1,5—
3,0 ккал/м • час - град).
Для уменьшения погрешностей, возникающих в результате неучета
конвективного теплообмена, в пластинке тепломерного датчика сверлятся
отверстия. Эти отверстия заполняются материалом, извлеченным из зоны
установки датчика.
Измерение перепада температуры осуществляется многоспайной термо-
батареей, изготовленной в форме звездочки. Спаи термобатареи располо-
жены на поверхности диска по окружности круга с радиусом, равным Vs
радиуса диска. Это уменьшает влияние краевого эффекта. Провода термо-
элементов батареи на каждой поверхности укладываются вдоль радиусов
на 2/з их длины. Это препятствует утечке тепла между спаями по соедини-
тельным проводам. Термопарная батарея изготавливается из медной и кон-
стантантовой проволоки толщиной 0,05—0,1 мм. После укладки термопар-
ных батарей на поверхности диска выводы их присоединяются к металли-
ческим контактам, запрессованным в боковую стенку. Затем весь элемент
покрывается несколькими слоями раствора органического стекла или кино-
пленки в ацетоне. После высыхания пленка образует надежную защиту
датчика от механических, химических, биохимических и электрических
воздействий. Внешний вид одного из образцов тепломерного датчика изоб-
ражен на рис. 76.
Градуировка тепломерного датчика производится путем выстойки в
погружном сосуде ультратермостата Хепплера между двумя эталонными
тепломерными пластинами Пл и Пг. Тепловой поток в градуируемом датчи-
ке находится, как средняя величина потоков тепла в эталонных пластинах
_ + ?п2
7э — 2
(IV.6)
143
Рис. 77. Принципиальная схема уст-
ройства датчика тепловых потоков
Хатфильда
Рис. 76. Внешний вид датчика
тепловых потоков Института
мерзлотоведения
ТД — тепломерный диск; Т — термо-
парная батарея; СП — соединитель-
ные провода
Температура на верхней поверхности погружного сосуда может поддер-
живаться как специальным регулятором температуры, так и с помощью
сосуда, в котором происходит таяние льда или эвтектической смеси.
Тепломерные датчики Хатфильда (Engineering, 1954). Этот миниатюр-
ный тепломерный датчик выполнен в виде диска из теллуро-серебряного
сплава, поверхность оснований которого покрыта медью (рис. 77). Таким
образом, создается электрическая термопара с поверхностными спаями.
Поток тепла, равный 2,6 ккал) м2 -час, создает электродвижущую силу
2,5 мв. Внутреннее сопротивление термопары составляет 1 ом.
Диаметр диска равен 1 см, а толщина — 1,5 мм. Коэффициенты тепло-
проводности теллурия и серебра при 20° соответственно равны 50 и
Рис. 78. Принципиальная схема тер-
мотранзитометра с пленочными по-
лупроводниковыми термометрами
ЭП — эталонная пластина; ПП — полу-
проводниковая пленка; ЗП —• защитные
пластинки; Ki и К2 — контакты
360 ккал] м-час-град. Если в теллуро-серебряном сплаве содержится от 40
до 100% теллура, то коэффициент теплопроводности сплава можно считать
равным по аналогии с идентичными сплавами (Чиркин, 1959) приблизи-
тельно 50 ккал!м-час-град. Погрешность измерения теплового потока в
горных породах в среднем составит 30%, хотя по данным Хатфильда от-
клонение значений тепловых потоков, полученных с помощью датчиков,
от результатов прямых измерений составляет 3 %.
Тепломерные датчики, основанные на других принципах измерения
разности температур. Измерение температур поверхности термотранзито-
метров возможно и иными способами. Заслуживает внимания применение
в качестве датчиков температуры полупроводниковых пленок, создаваемых
на поверхности датчика. Применение таких пленок открывает возможно-
сти использования в качестве измерителей температуры мостовых схем.
Облегчается и конструирование усилителей микротоков со значительным
входным сопротивлением. Принципиальная схема термотранзитометра с
пленочными полупроводниковыми датчиками температуры показана на
рис. 78.
144
Технология изготовления таких
термотранзитометров очень проста.
На основание эталонной пластины
наклеивается полупроводниковая
пленка. На нее наклеиваются тонкие
пластинки из того вещества, что и
эталонная пластина. Затем весь тер-
мотранзитометр покрывается раство-
ром органического стекла, который
после высыхания образует прочную
пленку-футляр, предохраняющую от
воздействия механических, электро-
физических, физико-химических и
биологических факторов.
Полупроводниковая или металли-
ческая пленка может быть получена
также путем вакуумного напыления.
Градуировка измерителей тепло-
вых потоков с пленочными полупро-
водниковыми датчиками температу-
ры проводится описанным выше ме-
тодом теплового потока по формуле
(IV.6).
При разработке тепломерных дат-
чиков может быть использовано так-
же возникновение э.д.с. в термоэлек-
трической цепи с множеством неод-
нородностей — эффект Хилла. В ка-
честве термобатареи такого типа
Рис. 79. Принципиальная схема датчика
с многоспайной термобатареей с элект-
ролитическим покрытием
КД — корпус датчика; ТБ — термобатарея;
К — контакты
используется спираль из константа-1,5
нового провода, одна из половин кото-
рой покрывается с помощью элек-
тролиза пленкой меди.
Спиральная термоэлектрическая
батарея укладывается на поверхно-
сти диска, цилиндрического или сфе-
рического слоя и заливается массой^
растворенного или расплавленного
вещества. Такой способ изготовления
тепломеров весьма прост и позволяет О
значительно повысить термоэлектри-
ческую мощность датчика темпера-
туры. Градуировку тепломера целе-
сообразно проводить по методу теп-
лового потока. В этом случае возмож-
но учесть и изменения коэффициен-
Рис. 80. Градуировочный график много-
спайной батареи с электролитическим
покрытием
та теплопроводности эталонного вещества, возникающие при изготовле-
нии тепломеров.
На основе рассмотренного выше принципа были изготовлены опытные
образцы тепломерных датчиков, испытание которых показало их несом-
ненные преимущества по сравнению с измерителями тепловых потоков си-
стемы Ленинградского института холодильной промышленности.
Схема одного из вариантов термотранзитометра со спиральной термо-
батареей из константанового провода, покрытого с помощью электролиза
наполовину медной пленкой, показана на рис. 79. Размеры датчика: диа-
метр — 7 см, толщина — 0,7 см. Градуировка датчика производилась по ме-
тоду теплового потока. На рис. 80 приведен градуировочный график,
1Э Н. С. Иванов
145
характеризующий величину т.э.д.с., развиваемую термобатареей, в зави-
симости от величины теплового потока.
Тепломерные датчики, основанные на применении принципа наложе-
ния тепловых потоков. Особую группу составляют датчики тепловых пото-
ков, основанные на принципе наложения (интерференции) измеряемого
поля потоков и искусственного поля, создаваемого плоскими, сферически-
ми и цилиндрическими источниками или стоками тепла. Описание этих
датчиков и методика измерений будут изложены в следующих разделах.
3. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
И РАЗНОСТИ ТЕМПЕРАТУР ПОВЕРХНОСТИ
ТЕПЛОМЕРНЫХ ДАТЧИКОВ
Измерение перепадов температуры между поверхностями в существую-
щих конструкциях тепломеров производится термоэлектрическими датчи-
ками. Для измерения т.э.д.с. термопарных батарей могут быть использо-
ваны зеркальные гальванометры типа М-21, М-25, ГЗС-47, М-196 и дру-
гие, а также потенциометры ППТН-1, ППТВ / 1, а при менее точных из-
мерениях температур — потенциометры КП-59. Повышение чувствитель-
ности схем и применение транспортабельной измерительной аппаратуры
и пониженной чувствительностью достигаются при использовании усили-
телей микронапряжения. Измерение термоэлектродвижущей силы может
производиться и с помощью мостовых схем.
В качестве датчиков температуры на поверхности тепломера могут
быть использованы как проволочные, так и полупроводниковые термо-
метры. Для определения сопротивления этих датчиков применяются рав-
новесные и неравновесные мосты для измерения сопротивления постоян-
ного тока типа МВЛ-47, МОД-58 и другие. Используя усилители микро-
токов, можно на несколько порядков повысить чувствительность мостовой
схемы.
4. ПЕРЕНОСНАЯ ТЕПЛОМЕРНАЯ УСТАНОВКА
С ПРИМЕНЕНИЕМ ЗЕРКАЛЬНОГО ГАЛЬВАНОМЕТРА
Использование зеркальных галь-
ванометров для измерения термо-
электродвижущей силы термоэлект-
рических батарей до последнего
времени ограничивалось условиями
стационарных исследований. Для из-
мерения тепловых потоков в земной
коре необходимы гальванометры чув-
ствительностью по напряжению
Ю-5 4- 10“6 в / дел и выше.
Применение потенциометрическо-
го метода в полевых условиях сопря-
жено с рядом трудностей. Использо-
вание потенциометров с высокой чув-
ствительностью связано с использова-
нием не только зеркальных гальва-
Рис. 81. Переносная гальванометриче-
ская установка для измерения тепло-
вых потоков
146
нометров, но и нормальных элементов, которые должны находиться при
положительной температуре и в строго определенном положении.
Некоторые возможности применения зеркальных гальванометров для
измерения тепловых потоков появились в связи с созданием отечествен-
ной конструкции гальванометра типа М-25/3. Этот гальванометр имеет
длину 18 сл^, диаметр 3 см и может переноситься в нагрудном кармане.
Чувствительность его по напряжению составляет 10“6 в) дел.
На основе применения этого гальванометра была разработана пере-
носная установка для измерения т.э.д.с. тепломерных датчиков (Иванов,
1961). Внешний вид установки показан на рис. 81.
Для установки гальванометра служит разборная тренога из дюралю-
миниевых трубок, вставляемых в гнезда деревянного диска. В центре
диска укрепляется центральная трубка, на которой смонтирована дере-
вянная пластина. На этой пластине крепятся гальванометр и осветитель.
Вертикальность установки проверяется отвесом. Для защиты шкалы от
прямого солнечного света тренога закрывается плотной тканью.
5. ТЕПЛОМЕРНЫЕ УСТАНОВКИ С МОСТОВОЙ
КОМПЕНСАЦИЕЙ Т.Э.Д.С.
Основными методами измерения т.э.д.с. тепломерных датчиков явля-
ются гальванометрический и потенциометрический. Недостатками этих
методов считаются нестабильность параметров гальванометра и гальва-
нометрической цепи, необходимость применения эталонных источников
питания и усилителей микротоков и микронапряжений.
Одним из путей устранения этих недостатков может быть использова-
ние схемы мостовой компенсации т.э.д.с.
В мостовой потенциометрической схеме (рис. 82) т.э.д.с. тепломерно-
го датчика (ТД) подается на диагональ мостовой схемы. Напряжение
разбаланса мостовой схемы и т.э.д.с. тепломерных датчиков сопоставимы
между собой. Это дает возможность взаимно компенсировать т.э.д.с. и
Рис. 82. Мостовая потен-
циометрическая схема для
измерения т.э.д.с. тепломер-
ных датчиков
напряжение разбаланса. Напряжение разбаланса создается переменным
плечом мостовой схемы. Контроль за достижением равновесного состоя-
ния в мостовой схеме может осуществляться стрелочным нульиндикатором
тока (НИТ), но при этом требуется предварительное усиление микрото-
ков с помощью электронного усилителя (ЭУМ). При использовании зер-
кального гальванометра отпадает необходимость предварительного уси-
ления.
Мостовые потенциометрические схемы измерения т.э.д.с. имеют сле-
дующие преимущества.
1. Показания прибора не зависят от стабильности электронного уси-
лителя микротоков и уровня различного рода помех, возникающих в уси-
лительных каскадах и в преобразователе напряжений.
2. Стабилизация постоянного источника питания мостовой схемы с на-
пряжением 3—5 в несравненно проще стабилизации напряжения анод-
ной и накальной цепей электронного усилителя. Поддержание стабильно-
147
сти источника постоянного напряжения мостовой схемы упрощается нич-
тожным расходом в ней энергии.
3. Сопротивление мостовой схемы может быть значительно выше вну-
треннего сопротивления термопарной батареи, что облегчает задачу соз-
дания усилителя микротоков.
4. Представляется возможным использование зеркальных гальвано-
метров в качестве нульиндикаторов тока мостовой схемы без предвари-
тельного усиления тока разбаланса.
Рассмотрим два варианта тепломерной установки, основанных на прин-
ципе мостовой потенциометрической схемы.
Тепломерная установка, собранная по мостовой потенциометрической
схеме с усилителем микронапряжений, может быть использована как для
полевых исследований, так и при проведении точных калориметрических
опытов в лаборатории.
Как показано на схеме (рис. 83), ТД включен в диагональ моста,
построенного на трех постоянных сопротивлениях 7?i, Т?4, и одного
компенсирующего переменного сопротивления 1?2- В качестве моста мо-
гут быть использованы обычные мосты сопротивлений постоянного тока
типа МВЛ-47, МО-49, МТБ и другие, а также специально изготовлен-
ные для этих целей.
Регулировка напряжения питания мостовой схемы осуществлялась
при помощи реостата Т?5 и вольтметра типа МП Л-46. Точность регули-
ровки при напряжении 3 в составляет ±0,01 в, что дает относительную
ошибку порядка ±0,3%.
Из теории мостовых схем (Ерофеев, 1955) известно, что между силой
тока в диагонали моста In и напряжением питания Дф существует со-
отношение
/д = СЛф, (IV.7)
где Ci — коэффициент, зависящий от соотношения сопротивлений мос-
товой схемы.
где 7?д — общее сопротивление выходной диагонали моста; /?и — об-
щее сопротивление питающей диагонали моста.
При заданном С? относительная ошибка из-за изменения напряжения
Дф определится так:
ё/д = ±б(Дф). (IV.9)
Вблизи положения равновесия относительная ошибка в измерении
тока при изменении напряжения Дф в пределах ±0,01 в значительно
ниже изменения величин сопротивлений декад моста. Так для мостовой
схемы, характеризующейся параметрами Ri — R% = Rs = Fk = 100,
7?и = 20, 2?д = 50 и Д/?1 = 0,01 см, при напряжении источника 1 в из-
менение напряжения на ±0,3% равносильно погрешности в определении
сопротивления 5 • 10-5 ом.
Величина тока в выходной диагонали мостовой схемы при заданном
соотношении сопротивлений плеч зависит не только от напряжения пи-
тания, но и от постоянства сопротивления выхода. В связи с этим тепло-
мерный датчик включен последовательно с преобразователем напряже-
ния. В качестве преобразователя служит поляризованное реле (ТРМ).
Разность напряжений на диагонали моста и термобатареи тепломер-
ного датчика подается в преобразованном виде на первичную обмотку
148
Рис. 83. Принципиальная мостовая потенциометрическая схема с усилителем микронапряжений для
измерения тепловых потоков
трансформатора. Напряжение вторичной обмотки снимается сеткой двой-
ного триода 6Н2П.
Усиленное на четырех каскадах переменное напряжение подается на
выпрямляющий мостик, собранный на двойном диоде 6Х2П. В качестве
нульиндикатора разности напряжений служит микроамперметр М-24.
Для более точной доводки мостовой схемы до нулевой разности напря-
жений можно воспользоваться переносным гальванометром. Описанная
установка предназначена для лабораторных исследований. Для использо-
Рис. 84. Тепломерная ус-
тановка с потенциомет-
рической схемой изме-
рения т.э.д.с. и гальва-
нометрическим индика-
тором тока
вания ее в полевых условиях необходимо предусмотреть в схеме фор-
мирующий каскад для преобразования постоянного напряжения.
Для усиления микротоков и микронапряжений, возникающих на вы-
ходе мостовых схем, могут быть использованы усилители Ф-116, а также
Рис. 85. Градуировочный
график тепломерного
усилители, описанные в работах Н. Г. Алексеева
(1961), А. М. Бонч-Бруевича (1951) и др.
Мостовая потенциометрическая схема позво-
ляет разработать прецизионную переносную ус-
тановку для измерения тепловых потоков без
применения электронных усилителей микротоков.
Особенностью этой схемы является высокая точ-
ность регулирования напряжения питания мосто-
вой схемы. Напряжение регулируется при помо-
щи моста постоянного тока, зеркального гальвано-
метра и магазина сопротивления (рис. 84).
Регулирование напряжения достигается сле-
дующим образом. Задав на мостовой схеме опре-
деленное соотношение сопротивлений плеч, мож-
но определить отклонение светового указателя
гальванометра в момент градуировки тепломер-
ного датчика. В полевых условиях проверку на-
датчика пряжения производят при том же соотношении
плечевых сопротивлений моста. Подгонка сопро-
тивления осуществляется магазином сопротивления КМС-6. Так как на-
пряжение батареи в процессе работы уменьшается, то градуировку тепло-
мерных датчиков следует производить при частично введенном в цепь
магазине сопротивления.
Гальванометр в рассматриваемой установке используется как нуль-
индикатор разности напряжений. Для фиксирования нулевого положения
светового указателя не нужно использовать всю oi счетную шкалу, дос-
таточно небольшого (например, двухсантиметрового) участка шкалы.
Точность настройки на положение 0 плавно регулируется шунтирующим
сопротивлением. При таком режиме балансирования мостовой потенцио-
метрической схемы переносная гальванометрическая установка может
150
быть изготовлена в виде трубки, на верхнем конце которой укреплен
гальванометр, а на нижнем — осветитель с отсчетным устройством. На
месте наблюдения трубка вдавливается в почву, а вертикальность уста-
новки проверяется отвесом.
Чувствительность мостовой потенциометрической схемы может изме-
няться в широком диапазоне. В частности, можно добиться соответствия
целочисленных значений показаний декад моста и перепадов температу-
ры на границах тепломерного датчика. На рис. 85 приведен градуиро-
вочный график одного из тепломерных датчиков. На этом графике пере-
паду температур 0,05° соответствует изменению сопротивления 0,1 ом.
6. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ
С ПОМОЩЬЮ ПЛОСКИХ НАГРЕВАТЕЛЕЙ
При изучении теплового режима земной коры могут быть использо-
ваны интерференционные методы измерения тепловых потоков. Эти ме-
тоды основаны на закономерностях взаимодействия определяемого и ис-
кусственного тепловых потоков.
Рассмотрим вначале теоретические предпосылки применения интер-
ференционного метода для измерения тепловых потоков в толще земной
коры, расположенной глубже слоя сезонных колебаний температуры.
Распределение температур с глубиной в этом случае имеет линейный
характер. Поместим на горизонте х® источник тепла — электрическую на-
гревательную сетку с мощностью источника Qq. Через промежуток вре-
мени Ат в среде установится новое стационарное распределение темпе-
ратур.
После установления стационарного распределения температур тепло-
вые потоки в зоне измерения могут измениться и по величине и по на-
правлению. При этом выполняются следующие соотношения:
Qe — ^0 (A'O'e/A^iaJoч
qx = (АЙ12/А^12)г,
q~ = (Ай12/А^2)т,
(IV.10)
где Айе — перепад температуры в интервале Д^12 для естественного
поля. Кроме того, qx и qx" связаны в соответствии с принципом супер-
позиции соотношением
(Ь = Зе + ^оЛ
qx = VzQJ
На основе системы уравнений (IV.10) — (IV.il) находим
(IV.И)
, /^12
А _ I г г
\АХ12
1
Яе + 2 Q°
~ 1
^е —<2°
Полагая
А ^12 Аг12 ,
#е — Qe ~ ‘
(IV.12)
(IV.13)
151
получаем формулу для определения qe
_ о М12 + А^12
^е- 2 да'12-Л</
(IV.14)
Эта формула позволяет определять тепловые потоки при установив-
шемся тепловом режиме. При Л^г" > 0 векторы теплового потока в зоне
нагревателя сохраняют свои направления (рис. 86, а). При ДО12" < О
тепловой поток qx" принимает отрицательное значение (рис. 86, б).
Рис. 86. Распределение температур в зоне дей-
ствия плоского нагревателя
Полученные выше соотношения основаны на предположении о термо-
изотропности среды в пределах исследуемой зоны и постоянстве терми-
ческих характеристик в процессе опыта. Для слоя незначительной тол-
щины в интервале (х27 — x2/z) условие термоизотропности выполняется
с достаточной точностью. Повышение точности расчета достигается пу-
тем последовательного приближения. С этой целью после определения
go, qx', qx” в предположение термоизотропности среды находятся значе-
ния %о, и \х'. Для уточненных значений коэффициента теплопровод-
ности определяются значения тепловых потоков на второй ступени при-
ближения и т. д.
Для уменьшения погрешностей, связанных с изменением коэффици-
ента теплопроводности при изменении температуры, следует не допускать
значительного нагрева горных пород. Если же при изменении темпера-
туры начинает изменяться фазовое соотношение воды и льда, то необхо-
димо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от темпе-
ратуры.
152
Определение теплового потока в мерзлых толщах земной коры глубже
слоя с годовыми колебаниями температуры с помощью обычных тепло-
мерных датчиков представляет значительные трудности. При темпера-
турном градиенте 10~4 градам (даже при толщине тепломерного элемен-
та 10 см) погрешность градуировки термоэлектрических батарей не долж-
на превышать 10-4 4- 10~5 град. Подобная точность в обычных лаборато-
риях недостижима.
В рассмотренном выше методе определения тепловых потоков не тре-
буется градуировать термоэлектрические батареи. Для определения теп-
лового потока необходимо определить кроме мощности искусственного
источника тепла величину Л#
А* = (Дф12' + ДФ12") / (ДФ12' - ДФ12") • (IV.15)
Коэффициент Л# представляет собой отношение алгебраических сумм
температурных перепадов, которые могут быть заменены значениями со-
ответствующих электрических величин. Так при измерении перепадов
температуры идентифицированными термопарами он определяется из.
соотношения
= (AAV + AA12ZZ) / (AAV - AA12ZZ), (IV.16)
где ATV — отклонение указателя гальванометра.
Аналогично при измерении температуры идентифицированными ме-
таллическими термометрами сопротивления
= (A7?12z + A7?12zz) / (Al?12z - A7?12zz), (IV.17)
где AT?—приращение сопротивления термометров в точках измере-
ния температуры.
Значительный интерес представляет в этой связи возможность иден-
тификации полупроводниковых термометров, что позволит существенно
повысить точность измерения температуры.
С помощью метода наложения потоков и новейших приборов для из-
мерения т.э.д.с. термопар и электрических сопротивлений могут быть из-
мерены тепловые потоки в земной коре и в инженерных сооружениях при
градиентах температуры 10~4 — 10~5 град 1см. Рассмотренный метод при-
меним для определения тепловых потоков при условии соблюдения ста-
ционарного теплового режима. Однако он может быть распространен и
на нестационарные тепловые процессы, если рассматривать их как по*
следовательность квазистационарных состояний. При плоском нагревате-
ле и небольших значениях Aj;12 такое допущение вполне приемлемо.
Предпосылка о квазистационарности теплового режима может быть
распространена и на температурное поле, создаваемое нагревательным
элементом. Это позволяет определять тепловые потоки в среде до наступ-
ления стационарного теплового режима в зоне нагревателя. Определение
теплового потока производится при этих условиях по формуле
Зе = (Со / 2) М (т) [ (ДФ12' + ДФ12") / (Д012' — де12") ] • (IV.18)
Множитель М(т) находится на основе решения уравнения теплопро-
водности для плоского теплового источника постоянной мощности в не-
ограниченной среде (Иванов, 1963 а)
Х1 Х2
м <’•>== ДI2 рй - ^)- ь -
~’*ег1сЙЫ)'
153
где Тг — i-й момент времени.
Для определения М(т) необходимо также определить коэффициент
температуропроводности. Для его определения проще всего воспользо-
ваться методом импульсного нагрева (Чудновский, 1948). Выбираем точ-
ки х$ или Хз" таким образом, чтобы в них не сказывалось влияние на-
гревателя, и помещаем в них один из спаев дифференциальных термопар,
вторые спаи которых располагаются вблизи плоского нагревателя. Тогда
коэффициент температуропроводности среды определится по формуле
а = z2/2tm, (IV.20)
где х — расстояние от плоского нагревателя; Тм — время наступления
максимума температуры в точке
С помощью интерференционного метода могут быть определены и эф-
фективные тепловые потоки в горных породах. Так, например, в промер-
зающих тонкодисперсных горных породах тепловой поток определяется
соотношением
q-^~ (IV.21)
где
%ЭФ = % + ЛвГо (a'S+a'?F)-
Таким образом, интерференционный метод позволит определить и ре-
зультирующий тепловой поток и эффективный коэффициент теплопро-
водности.
В талых тонкодисперсных горных породах таким же способом может
быть определена составляющая результирующего теплового потока, обус-
ловленная градиентом температуры
q = _ (^ +&вГоа'д) Vfl. (IV.22)
Если при этом с помощью тепломера, расчета электрической мощно-
сти теплового источника и т. п. определен общий поток тепла во влаж-
ных горных породах дОб, то интерференционный метод позволит опре-
делить конвективную составляющую, обусловленную градиентом влаж-
ности
^bYo^'Vw = qQ6 — q.
(IV.23)
4 | A (N) | ______4|
JA7V'12 + A7V;2| |ЛУ12
Предельная относительная ошибка измерения теплового потока этим
методом определится из соотношения
Ш) = ^ = +[||б(О + |б(^)|] =
А (ТУ) | 1
- J ’
(IV.24)
где I — сила тока; Нп — сопротивление гальванометра; АЛ7 — откло-
нение указателя гальванометра в делениях шкалы.
Экспериментальная проверка интерференционного метода определе-
ния тепловых потоков с помощью плоских нагревателей показала, что,
применяя гальванометры ГЗС-47, можно снизить погрешность определе-
ния до 0,2—0,5%.
154
7. ИЗМЕРЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ ШАРОВЫМИ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ЗОНДАМИ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
Для измерения тепловых потоков интерференционным методом могут
быть использованы шаровые и цилиндрические зонды.
Рассмотрим вначале принцип измерения тепловых потоков в горных
породах с помощью сферических нагревателей при стационарном тепло-
вом режиме.
•------
Рис. 87. Схема определения теплово-
го потока при помощи сферического
нагревателя
Рис. 88. Схема определения состав-
ляющих теплового потока при по-
мощи цилиндрического нагревателя
Расположим сферический нагреватель на глубине Zq от поверхности
земли (рис. 87). На горизонтах z± < zQ и z2 > z® поместим спаи диффе-
ренциальных термопар.
Для упрощения выкладок предполагается, что z2 — z± = z2 — z" =
— 6, а термопары, предназначенные для измерения перепадов темпера-
туры, имеют одинаковые термоэлектрические характеристики.
На основе принципа суперпозиции стационарных полей естественно-
го и сферического нагревателя было найдено следующее уравнение для
определения теплового потока qez (Иванов, 19636)
= (дош/лад) [(АС + ДС)/(ДС - AC)], (IV.25)
где дош — мощность нагревателя; D± = 2 (zt — z0); D2 = 2 (z2 — z0);
Айдг и A^z — результирующие (измеренные) перепады температуры
в точках Ац и Л12, Л21 и А22 *.
При одномерном естественном температурном поле возможна и дру-
гая схема его определения. Так, например, измерив перепады темпера-
туры между точками Ац и Л12, Вц и 512, находим формулу для опреде-
ления gez.
gez = (дош/лРхА) (Ай^/А^), (IV.26)
где Aix — перепад температур между точками Вц и Bi2.
По методу шарового зонда могут быть измерены все составляющие
трехмерного поля тепловых потоков. Измерив перепады температур меж-
ду точками Лп и Л12(ДЙ1Х), Л21 и Л22(Дй2х), Вц и 512(Ай1Х), В21 и
В22 (АЙ2хХ Сц И (A'fl'ij/), С21 И С22 (АЙ2-у)•)
находим значения составляющих вектора теплового потока по следующим
формулам (Иванов, 19636) :
* Буквы характеризуют оси координат; первые индексы — знаки полуосей, вто-
рые — номера точек.
155
Qex — (^ОШ/^1-^2) (А О pc Ч- A^2x)/( А'0'2х)?
Qey = (Qom/n/)^) (A^w + A^2v)/( №*ly — АЙ^),
Qez = (£ош/лА£>2)(Айи + A^2z)/(A^iz — A^2z).
(IV.27}
Аналогичным путем определяются составляющие вектора двухмерно-
го теплового потока с помощью цилиндрического зонда.
С этой целью измеряются результирующие значения перепадов тем-
пературы в зоне влияния цилиндрического зонда (рис. 88) в точках:
Чц И А12 (АЙ^г), А21 И А22 (A$2z)? Вц И Т?12 (АЙ1Х)? ^21 и ^22(АЙ2х)-
Значения результирующих вектора теплового потока qex и qcz находятся
при этом из соотношений (Иванов, 19636)
?ОЦ1П /), ЛА\Х +
дй’ж _ да*2ж
1 * *
9оц1п /ц АА,_- + A%z
да’г — дф‘г
(IV.28)
где доц — мощность цилиндрического источника, отнесенная к едини-
це длины, Di и D2 — диаметры цилиндрической стенки, 6 — расстояние
между точками расположения
— ВцВ12 = B2iB22).
Рис. 89. Внешний вид сферического
и цилиндрического зондов
спаев термопар (АцА12 = А2[А22 =
Приборы для определения тепловых
потоков состоят из : сферического или
цилиндрического нагревательного эле-
мента, дифференциальных термопар от
двух (одномерный случай) до шести
(трехмерный), источника питания, рео-
стата или магазина сопротивления, мил-
лиамперметра и гальванометра.
Корпус сферического нагревателя
может быть собран из двух медных по-
лушарий, выдавленных из медного лис-
та толщиной в 1—2 мм. Диаметр шара
1—2 см, но может быть и увеличен для
крупнодисперсных материалов. Нагре-
вательный элемент сферических датчи-
ков потоков изготавливается из кон-
стантанового провода с сопротивлением
14,3 ом и мощностью нагрева 10—20 вт.
Цилиндрический нагреватель изго-
товлен в виде полой цилиндрической
трубки с внешним диаметром 5 мм.
Внутри трубки помещена нагреватель-
ная обмотка из константанового провода
сопротивлением 14,3 ом и мощностью
нагрева 5—12 вт. Внешний вид одного
из вариантов сферического и цилиндри-
ческого зондов показаны на рис. 89.
Для измерения перепадов температуры изготавливались медь-констан-
тановые термопары, выравнивание которых производилось с помощью
высокочувствительного зеркального гальванометра типа ГЗС или М-21 и
двух сосудов Дьюара.
156
В качестве измерительного устройства выбирался гальванометр с не-
обходимыми параметрами или потенциометр. В полевых условиях может
быть рекомендован также гальванометр ГЗП-2 или метод мостиковой
компенсации т.э.д.с. (Иванов, 1961).
Экспериметальная проверка методов измерения тепловых потоков шаровыми и
цилиндрическими зондами была проведена В. И. Ипатьевым в Лаборатории тепло- и
массообмена Института мерзлотоведения СО АН СССР.
Таблица 7
Точность измерения тепловых потоков
Плотность потока ккал/м2- :ас Плотность потока qx ккал/м2-час Относительная ошибка измере- ния &qxfqx, % Плотность потока qe ккал/м2-час Плотность потока qx ккал/м> -час Относительная ошибка измере- ния Aqx/qx, %
Шаросой зонд Цилинд рический зонд
10,8 10,84 0,36 16,2 16,22 0,12
12,96 12,72 1,85 4 3,89 2,7
8,64 8,76 1,39 5,94 5,72 3,7
Тепловой поток создавался цилиндрическим нагревателем, помещенным в боль-
шой цилиндрический сосуд Дьюара. Температура внутренней поверхности сосуда в
процессе опыта оставалась постоянной, что отвечало условиям стационарного тепло-
вого режима. Результаты исследования точности измерения тепловых потоков сфери-
ческими и цилиндрическими зондами приведены в табл. 7.
8. ИЗМЕРЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ
ШАРОВЫМИ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ЗОНДАМИ
ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ ТЕПЛОВОМ РЕЖИМЕ
При изучении быстропротекающих процессов в верхнем слое земной
коры, снежном покрове и инженерных сооружениях измерение тепловых
потоков в условиях стационарного режима не всегда возможно. Достиже-
ние стационарного режима в зоне теплового влияния нагревателя может
быть длительным процессом, особенно при значительных размерах зон-
дов. Поэтому представляют интерес возможности использования законо-
мерностей нестационарного теплового режима для определения теплово-
го потока.
Применение интерференционных методов определения тепловых по-
токов основано на рассмотрении нестационарного поля как последова-
тельности квазистационарных состояний.
Для измерения тепловых потоков при нестационарном режиме с по-
мощью цилиндрических источников тепла можно воспользоваться реше-
нием Снеддона (1955) о температурном поле в неограниченном цилиндре
с линейным тепловым источником. На основе этого решения найдено
следующее выражение для приращения температур в момент времени т
на расстоянии т\ и г2 от источника (Иванов, 1963в):
7оц 1 «М^) /о (Го5р ^2 ^ОЦ
= лХЯ2 3 (1 ~ е 0 = ял.Я2 (IV.29)
1=1 1
где R — радиус зоны влияния нагревателя: L — корень уравнения
Ш)=0.
Определение составляющих вектора теплового потока при нестацио-
нарном режиме с помощью цилиндрического зонда производится по фор-
157
мулам, аналогичным выражениям (IV.28),
__A^i.x “г
= лбЯ* ДС“АС’
_ ?ОЦЛе(Т) аС + аС
лд/?2 аС~АС‘
(IV.30)
Для определения Л2(т) необходимо получить коэффициент темпера-
туропроводности среды. Это может быть осуществлено, например, мето-
дом импульсного источника.
По аналогичной схеме может производиться измерение тепловых по-
токов при нестационарном режиме с помощью сферического нагревате-
ля. Перепад температур, создаваемый сферическим источником с радиу-
сом R на расстояниях и г2 для момента времени т, определится из
выражения
я’ а, т)] = §ш ДВ12(Т), (IV.31)
где
B = ±po^ + X-Serrc(lV
г |_ 2 У ах \ п
r — R
2 ]/" ах
Значения составляющих вектора трехмерного поля тепловых потоков
находятся в этом случае из системы уравнений
^ОША^9 * * 12 Al^lx + Al^2x
А^*х-АС’
L «Л- £ «Л-
?ошЛВ12 (т) + АО^
4лб ’
?ошАВ12(т) Да*г + Д»гг
4л6 ’
(IV. 32)
где значения результирующих перепадов температуры относятся к тем
же точкам на рис. 88, что и для условий стационарного режима.
9. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПОТОКОВ ВЛАГИ В ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Определение потоков влаги и пара в горных породах производится
расчетными методами. Разработка дистанционных датчиков потоков вла-
ги и пара является весьма сложной технической задачей. Если предпо-
ложить, что перенос воды происходит лишь под действием градиентов
температуры и влагосодержания, то и тогда расчет температурного поля
и поля влажности в системе датчик — среда весьма затруднителен. Эти
трудности обусловлены не только наложением двухмерных полей тепло-
и массопереноса, но и динамичностью соотношения между коэффициен-
тами переноса эталонного вещества и среды.
Расчетный метод определения потоков тепла и воды в почвах и гор-
ных породах имеет два основных варианта. В первом варианте для оп-
ределения потока влаги и пара на данном горизонте необходимо вычис-
лить коэффициент переноса воды и пара и градиенты составляющих по-
тенциалов переноса. Формулы для определения величин потоков веще-
ства для разных категорий горных пород были рассмотрены ранее.
158
При втором варианте поток влаги или пара через поверхность слоя
находится из уравнения баланса вещества этого слоя
imi = AM + W, (IV.33)
где 1т\ и 1т2 — потоки влаги (пара) через поверхность слоя; АЛ/ —
приращение массосодержания слоя, определяемое весовым или у-скопи-
ческим методом.
Применительно к сезонно-протаивающему слою поток воды через ниж-
нюю поверхность несопоставимо мал с потоком воды через верхнюю по-
верхность. В этом случае поток imi может быть определен на основе изу-
чения динамики влажности слоя сезонного протаивания
m
3 Yo(zJC)Aw(zfc). (IV.34)
к=1
При наличии массообмена на нижней поверхности слоя поток воды im2
в большинстве случаев значительно меньше im\. Определение потока im2
сопряжено с меньшими абсолютными ошибками. Но в обоих вариантах
рассматриваемой схемы определение потоков воды связано с изучением
динамики влагосодержания горных пород.
Методы определения влагосодержания почв и горных пород в естест-
венных условиях разрабатывались многими исследователями. Из мето-
дов, позволяющих проводить дистанционные непрерывные измерения по-
токов влаги и пара в поверхностном с атмосферой слое грунта, практиче-
ское применение получил у-влагомерный метод. Физическая сущность
его основана на законе поглощения у-излучения веществом
и 7
N = /Уое-р'ЭфУ , (IV.35)
где Ао — начальное число импульсов у-квантов в единицу времени;
N — число импульсов после прохождения слоя горных пород толщиной Z;
у — объемная плотность влажных горных пород; I — толщина слоя горных
пород; цэф — эффективный массовый коэффициент ослабления, учитываю-
« И , и . И V ,
щии вторичные рассеянные излучения у-лучеи; цэф = (Цск ~г ив ^)/
/ 1 у = уо(1 + ш); индексы СК и В отнесены к скелету и воде.
Для уменьшения относительной доли вторичных излучений источник
у-излучения и счетчик импульсов помещались в свинцовые кожухи с кол-
лимирующими отверстиями.
Как показали исследования, проведенные Л. М. Мухиным и Л. В. Чис-
тотиновым (1961), эффективный массовый коэффициент ослабления ока-
зывается независящим от влажности в диапазоне от 0 до 27%. При этом
должны соблюдаться неизменными геометрические параметры установки:
расстояния между источником и счетчиком, размеры и положения колли-
мирующих отверстий и т. д.
Разработка у-скопического метода измерения влажности горных пород,
впервые предложенного А. И. Данилиным (1955), проводилась в течение
семи лет в лаборатории тепло- и массообмена Института мерзлотоведе-
ния СО АН СССР.
Было разработано два варианта метода определения влажности горных
пород, основанных на использовании закона поглощения у-излучения.
В первом варианте влагосодержание горных пород определяется по
формуле, полученной из формулы (IV.35), в следующем виде:
, Ж
ln N
W ~ “тт---
ИэоАо
(IV. Зэ)
1.
Для определения w в данном случае необходимо при каждом измере-
нии определять N® nN,ln у0.
159
Второй вариант основан на первоначальном определении исходной
влажности одним из прямых методов. Обычно влажность почв и гор-
ных пород определяется термостатным способом. Из системы двух урав-
нений
= No exp [— ЦэфТо (1 + г^1) Л,
М = No exp [— РэфТо (1 + Л
находим
1 N1
ln Ni
И 7
НэфТо^
(IV.37)
Второй вариант по сравнению с первым имеет ряд преимуществ — при
каждом цикле измерений получается реперное значение влажности и уст-
раняется необходимость измерения Аго-
При определении влагосодержания почв и горных пород у-методом
необходимо учитывать, что интенсивность поглощения у-излучения зави-
сит не только от общей массы поглощающего вещества, но и от характера
распределения его между источником излучения и счетчиком. Это обстоя-
тельство имеет существенное значение при всех измерениях влагосодер-
жания в почвах и горных породах, особенно при определении суммарных
запасов воды слоя (Мухин, 1961).
По указанной схеме были проведены исследования динамики водно-
го режима крупнообломочных горных пород на опытных площадках гео-
криологического стационара в районе хребта Сунтар-Хаята (Мухин, Чис-
тотинов, 1961) и изучение влажностного режима почвенного слоя при ли-
манном орошении лугов в Орджоникидзевском районе ЯАССР.
С помощью у-скопического метода может быть изучена динамика как
суммарного запаса влаги в исследуемом слое, так и послойного влагосо-
держания горных пород. Этим двум подходам соответствуют различные
методические схемы.
В первой схеме (рис. 90,а) источник у-квантов устанавливается на
глубину сезонного протаивания путем проходки шурфа или скважины с
последующей их засыпкой извлеченным материалом.
160
Счетчик устанавливается на поверхности перпендикулярно к пучку
лучей. Поток влаги в этой схеме измерения равен приращению суммар-
ного влагосодержания за исследуемый промежуток времени
w = Д^с. (IV.38)
Во второй схеме (рис. 90,6) влагосодержание определяется в слое меж-
ду двумя параллельными скважинами, перпендикулярными к земной по-
верхности. Расстояние между скважинами равно обычно 30—60 см. По-
ток влаги в этом случае рассчитывается по формуле
п
imi = 3 (IV.39)
к=1
где — приращение влагосодержания к-то слоя; AV&. — объем к-го
слоя.
При проведении экспериментальных исследований, связанных с изу-
чением природы явлений переноса в почвах и горных породах, раскрыти-
ем различных механизмов и определением коэффициентов переноса теп-
ла и вещества в почвах и горных породах, описанный выше метод опреде-
ления влагосодержания оказывается недостаточно точным.
При точных определениях влажности почв и горных пород необходи-
мо выделить из общего потока первичного и вторичного излучений узкий
монохроматический пучок, ослабление которого строго описывается экс-
поненциальным законом. Эффективный массовый коэффициент поглоще-
ния не может уже считаться постоянной величиной. Для точных измере-
ний использование счетчиков у-квантов оказывается нецелесообразным
из-за погрешностей, обусловленных их сравнительно большими разме-
рами.
В связи с этими обстоятельствами исследователями была предложена
новая схема определения влажности с помощью у-излучения. В этой схе-
ме в качестве счетчика у-квантов применяются сцинтилляционные счет-
чики-фосфоры в комплексе со спектрометрическими фотоэлектронными
умножителями. Исследования, связанные с разработкой методики изуче-
ния динамики влажности сцинтилляционными датчиками, были проведе-
ны и в лаборатории тепло- и массообмена Института мерзлотоведения СО
АН СССР (Чистотинов, 1961; Чистотинов и др., 1966).
Принципиальная блок-схема установки для измерения влажности, раз-
работанная в этой лаборатории, показана на рис. 91, а ее общий вид —
на рис. 92. Конструктивные особенности этой установки описаны в рабо-
те А. А. Мандарова (1963).
В качестве источника у-излучения используется радиоактивный изо-
топ СО60 с энергиями у-квантов 1,17 и 1,33 Мэв. С помощью у-пушки 1
и свинцовых диафрагм 2 создается узкий пучок. Этот пучок после прохож-
дения через исследуемый образец 3 поступает на сцинтилляционный крис-
талл йодистого натрия, активированного таллием NaJ(Tl), диаметром —
30 мм и толщиной — 10 мм. Под действием у-квантов в кристалле возника-
ют вспышки, интенсивность которых пропорциональна энергии квантов.
Эти вспышки преобразуются фотоэлектронными умножителями типа
ФЭУ-29 в импульсы тока. Амплитуда импульсов пропорциональна энергии
у-квантов. Импульсы тока передаются через катодный повторитель на ли-
нейный усилитель. После усиления сигналы поступают на амплитудный
дискриминатор, с помощью которого снимается энергетический спектр
у-излучения СО60. Зная энергетический спектр, можно выделить первичное
излучение, к которому применим экспоненциальный закон поглощения.
Существующая методика определения влагосодержания почв и гор-
ных пород с помощью у-скопической аппаратуры основана на предполо-
11 Н. С. Иванов
161
Z 3 2
Рис. 91. Блок-схема гамма-скопической установки для определения влажности
1 гамма-пушка; 2 — диафрагма; 3 — просвечиваемый образец; 4 — сцинтилляционный кри-
сталл; 5 —• фотоумножитель; 6 — выносной блок; 7 — линейный усилитель; 8 — амплитудный
дискриминатор; 9 — пересчетное устройство и регистрирующая аппаратура
жении об известной или постоянной объемной плотности органо-мине-
рального остова. При определении влажности промерзающих и протаи-
вающих почв и горных пород это условие может не выполняться как
вследствие неоднородности сложения, так и в результате криогенного пу-
чения и осадки. Объемная плотность органо-минерального остова промер-
зающих и протаивающих дисперсных материалов изменяется как в про-
странстве, так и во времени. Возникает необходимость разработки мето-
дики точного определения влажности и объемной плотности почв и горных
пород.
Создание такой методики возможно на основе анализа энергетического
спектра у-излучения, проходящего через исследуемый образец, и приме-
нения пар изотопов с существенно отличающимися энергиями излучения.
Комплексное изучение динамики влажности и плотности горных по-
род может быть проведено также на основе у-скопического метода опре-
деления плотности горных пород и нейтронного метода определения их
влажности. Нейтронный метод определения влажности горных пород был
разработан Д. Д. Белчером (1955), Андервудом (Underwood и др., 1954)
и другими исследователями.
Рис. 92. Общий вид гамма-скопической влагомерной установки
1 — сцинтилляционный счетчик; 2 — гамма-пушка; 3 — просвечиваемый образец; 4 — термоста-
ты; 5 — механическая система для вертикального перемещения образца; 6 — сосуд Дьюара для
термостатирования спаев термопар
162
Глава V.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛО-
11 МАССОПЕРЕНОСА
В МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Под аналитической теорией тепло- и массопереноса понимаются коли-
чественные закономерности переноса тепла, влаги и растворенных веществ
в талых, протаивающих, промерзающих и промерзших горных породах и
методы решения дифференциальных уравнений, описывающих эти про-
цессы.
На современном уровне знаний о физической природе явлений пере-
носа энергии и вещества в горных породах обычно ограничиваются изуче-
нием количественных закономерностей переноса тепла и влаги. Такой под-
ход является вполне оправданным, так как потоки электричества и рас-
творенного вещества в горных породах в большинстве случаев являются
незначительными.
Аналитическая теория тепло- и массопереноса в мерзлых горных поро-
дах только что начинает создаваться. До последнего времени основные
усилия исследователей были направлены на решение так называемой проб-
лемы Стефана и, в частности, на получение расчетных формул для опре-
деления глубины промерзания — протаивания горных пород.
1. ОБЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА
В ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Горные породы являются разновидностью капиллярнопористых кол-
лоидных сред. Перенос тепла и влаги в таких средах описывается систе-
мой уравнений тепло- и массопереноса (Лыков, Михайлов, 1963)
4 4
су(д'&/дг) = —div(zQ) — 3 — 2 (1)
г=1 i=l
д = — div (гт{) + Д, (2)
4
д (Хо^)/дх = — div 2 imi, (3)
i—1
(V.l)
где iq и imi — удельные потоки тепла и вещества Z-й фазы (компонента);
индексы 1, 2, 3, 4 относятся соответственно к воздуху, водяному пару,
жидкой фазе воды, льду; Ci и hi — концентрация, удельная теплоем-
4
кость и удельная энтальпия Z-й фазы; w = 2 Wi> — мощность стока
г =1
Z-й фазы.
В связи с отсутствием химических превращений воздуха 1$ = 0. Мощ-
ность стока г-й фазы воды характеризуется переходами ее в другие фазы
з
= 2 Лл, Iih ~0 при 1 = Iik ~
163
При фазовых переходах воды:
испарение — конденсация
з
S == ^2^32 + ^зЛз — гоАй = ГоАз»
1=1
плавление — отвердевание
з
3 — <7оДз = —
1=1
сублимация — кристаллизация
з
3 ^1Д = Д^42 — Д^24*’
1=1
3
S Л = о.
1=1
Мощность стоков i-й фазы воды определяется соотношениями:
/32 = — Лз = еф32(^з/^т) = —8Ф23(^ш2/^т) = ди)32/дх = ~(дш23/дх\
Дз = — 1ы = еф43 (dwjdx) = — 8Фз4 (дш3/дх) = dw^/dx = — (div3Jdx),
Z42 = — 1м = еф42 (dwjdx) = — 8ф24 (дш2/дх) = dw^/dx = — (dw2Jdx),
где 8фз2 и 8ф23, £ф4з и 8Ф34, 8ф42 и 8ф24 — критерии фазовых переходов испа-
рение — конденсация, плавление — отвердевание, сублимация — кристал-
зация.
На основе общей системы уравнения (V.1) могут быть получены урав-
нения тепло- и массопереноса для протаявших, протаивающих, промер-
зающих и промерзших тонкодисперсных и крупноскелетных горных пород.
Для этого в исходные уравнения (V.1) необходимо подставить получен-
ные в гл. II значения потоков тепла и вещества.
2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА
В ПРОТАЯВШИХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Подставив в систему (V.1) значения потоков iq и iM из (11.22), нахо-
дим уравнения переноса тепла и влаги в талых горных породах
су (дй/дх) = div (?vVd) — 8ф32г0 (dw3/dx) —
з
— S Cila'To(Vw3 + dVO) + XMpVp]iV^, (1)
1=1 (v.2)
To (dw3/dx) = div [а'То (Vw3 + dVd) + + Г0Дз. (2)
Систему уравнений (V.2) следует рассматривать как частную форму
системы уравнений тепло- и массопереноса для капиллярнопористых тел,
полученной А. В. Лыковым (Лыков, Михайлов, 1963).
Система (V.2) становится замкнутой относительно величин d, w3 и р
после дополнения ее уравнением для р. При выводе уравнений (V.2) по-
лагалось, что w ~ w3.
Потоки вещества и тепла, переносимые под действием градиента внеш-
него давления, могут быть также заданы соотношениями: iPiYo^i и
где У3i — скорость потока £-го компонента. В этом случае систе-
ма уравнений (V.2) должна быть дополнена уравнениями движения и
сплошности.
164
Система уравнений (V.2) является универсальной для всех протаяв-
ших горных пород. Применительно к частным категориям горных пород
она существенно упрощается. Рассмотрим модификацию системы уравне-
ний тепло- и массопереноса (V.1) для сплошных, тонкодисперсных и
крупноскелетных горных пород.
Сплошные горные породы. В связи с отсутствием в сплошных горных
породах явлений массопереноса система уравнений (V.2) сводится в со-
ответствии с (11.26) к уравнению кондуктивной теплопроводности
су(х, у, z, О’) = div [Л (я, у, z, й) VOJ. (V.3)
Тонкодисперсные горные породы. В тонкодисперсных горных породах
массоперенос происходит под действием адсорбционных, осмотических сил,
сил поверхностного натяжения, а также внутренних механических сил.
Фильтрационные процессы в таких средах не имеют существенного значе-
ния, что позволяет пренебречь последним членом правой части уравне-
ния (V.2,1).
С учетом сделанных замечаний система (V.2) преобразуется к виду
cY = div (Х?д)-еф32г0 , (1) (V.4)
^ = div[a'(Vw + 6V^)]. (2)
Уравнение теплопроводности может быть представлено так:
cY = div (XVO) - r0 . (V.5)
Содержание пара в горных породах при влажности, не превышающей
максимально гигроскопическую, зависит от содержания жидкой фазы
(ш3 w) и от температуры. Следовательно,
dw2?>/dx [dw2?Jdw){dwldx) + (ди^/д®) (д$/дх). (V.6)
Для ненасыщенного состояния водяного пара производные дш2з / dw
и dw23 / дТ могут быть найдены из уравнений Сперанского и Фрейндли-
ха — Курона (Роде, 1952) и уравнения газового состояния
при 0 < w3 / w < 0,35
(dw23/dw)T = (пгр2н/а«)/(^з/оС)”-1 i (V .7)
при 0,35 < ws / w < 0,87
(dw23ldw)T = (w2h/21PKw)(w3 — BvY'/!!> (V.8)
(dw23/dT)w = (dw23ld&)w = (dw23/dp)w(dp/dT) =
= (Эг/’23/<9р)и,(г0м?27?/Мп11в), (V.9)
где Мп — молекулярный вес пара; ш2н — влажность воздуха при мак-
симальной гигроскопической влажности пород; Пв — воздушная пори-
стость; R — газовая постоянная.
Производная {dw2s / dp)w находится или из уравнения адсорбции Бру-
наэра, Эммета и Теллера (де Бур, 1962), или из уравнений Сперанского
и Фрейндлиха — Курона.
при 0 \ р/Ръ<^ 0,35
* ( w у-п
/ 0W23 \ = ( ди'32 \ _ / . (V 10)
\ др Jw \ др Jw пра-^ ’ \ • /
при 0,35 <^/Рн <С 0,87
7 dww \ == 2 [Kw(w— wo)]"12
\ др Jw ?ан
(V.11)
165
При влажности, близкой к максимально гигроскопической, пар стано-
вится насыщенным. Его содержание определяется температурой. Следо-
вательно,
дю2з1дх = д^/дх. (V. 12)
Производная дш2з / д$ находится из точного уравнения Каллендера
(Робертс, 1950) или по упрощенной формуле, основанной на уравнениях
газового состояния Клапейрона — Клаузиуса. В последнем случае полу-
чаем
dw2S/d^ = -(Л/п^вАо/ТоЯГ) exp (r0/RT0)V/(T0 + &), (V.13)
где То = 273° К; р2о — давление пара при Т = То.
Крупноскелетные (крупнозернистые) горные породы. В крупноскелет-
ных (крупнозернистых) и трещиноватых горных породах перенос тепла
происходит в основном в форме кондуктивного теплообмена и свободной
и вынужденной конвекции. Лучистый теплообмен и конвективный пере-
нос тепла под действием внутренних сил системы не имеют существенно-
го значения.
При вынужденной конвекции воздуха и водяных паров в крупноске-
летных и трещиноватых горных породах тепло- и массоперенос описыва-
ются следующей системой уравнений:
су (D$/dx) + соГо (д$/дх) = div [ХЭф?®)] —- (1)
— roYo (dw^/дх) — (ci + с2) ХМр VpV®,
dw^/dx = dw^/dx, (2)
смкГо(^Р/^т)=div (ХМр Vp)+ro(dw23/dT)(dp/dw2), (3)
(V.14)
где Хэф = X %вкг’, А/мр ~ A,mpi ~ А,мр2? ^вкг — коэффициент конвек-
тивной теплопроводности при вынужденной конвекции поровых газов;
смк — массоемкость.
Система уравнений (V.14) учитывает фазовые переходы водяного па-
ра. Если газовые потоки определять через скорости движения, то для по-
лучения корректной системы необходимы также уравнения движения и
сплошности. Прихменим такой подход к процессам вынужденной конвек-
ции воды в крупноскелетных и трещиноватых горных породах. Тогда си-
стема уравнений тепло- и массопереноса примет вид
су (Dft/dx) + c0Y(y(d®/dr) = div [(X 4- ХВк) V®] —
—с3уо div (шз^з®), (1)
dw^dx = w3divF3+ ^sVw3, (2)
DTs/dx = g + узУ2Гз - (l/рз) Vp. (3)
(V.15)
Уравнение движения (V.15, 3) справедливо при условии идентично-
сти дисперсно-пористого тела модельной среде с цилиндрическими поро-
выми каналами. При полном влагонасыщении уравнение (V.15, 2) при-
водится к уравнению сплошности div /3 = 0.
При этих же предпосылках тепло- и массоперенос во влагонасыщен-
ных крупноскелетных и трещиноватых горных породах описывается
системой уравнений
с3(д$/дх) + соуо(дЬ / дх) = div[A^V®], (1Ь
DT3 / д% = -gp3A® + ®3V2r3,
(2) (V.16)
div Тз = 0, (3)
где ХЭф — эффективный коэффициент теплопроводности.
При незначительных скоростях свободной конвекции левая часть урав-
нения (V.16, 1) приводится к одночлену (д® / дт).
166
3. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА
В ПРОМЕРЗШИХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
В промерзших льдонасыщенных, а также в морозных скальных гор-
ных породах перенос тепла описывается уравнением кондуктивной теп-
лопроводности (V.3).
В промерзших и морозных горных породах, имеющих воздушную по-
ристость, перенос тепла происходит как в форме молекулярной тепло-
проводности, так и посредством явлений диффузии водяных паров.
Процессы тепло- и массопереноса для таких сред описываются системой
уравнений
cV9(dft/ дх) = divpvaV'ft), (1)
(V.17)
dw / дх = div[a2/62V^'], (2)
где СуЭ = су + / dft); Qx — теплота испарения, сублимации;
Лэ = А, “Ь h'2d2/^2‘
Производная <?гг24 / д$ определяется из формулы, аналогичной форму-
ле (V.13),
О
л МП Don р
dw^A Мп11вр2ое /V4Q\
dft ~ То RT* ’ (V.18)
где р2о — давление пара при Т = 273° К; Iq — удельная теплота суб-
лимации.
4. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА
В ПРОМЕРЗАЮЩИХ ТОНКОДИСПЕРСНЫХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Процессы переноса тепла и вещества в промерзающих и протаиваю-
щих горных породах во многом аналогичны процессам переноса в талых
горных породах. Как и в талых средах, потенциалами переноса при на-
личии фазовых превращений являются градиенты температуры, химиче-
ского и электрического потенциалов.
Вместе с тем при промерзании горные породы приобретают новые
свойства, существенно изменяющие не только интенсивность, но и меха-
низм процессов переноса. Резко изменяется тепло- и массопроводность
горных пород, коэффициенты переноса становятся функциями темпера-
туры, возникновение твердой фазы сопровождается термомеханическими
и электростатическими процессами и формированием новых механизмов
переноса. Качественно изменяется и термоосмотический эффект. Решаю-
щее значение в теплообмене приобретают фазовые переходы плавления —
отвердевания воды. Содержание жидкой фазы становится функцией тем-
пературы, что позволяет связать между собой градиенты температуры и
влагосодержания.
Поток воды, переносимой в поле градиентов температуры, влагосодер-
жания Vtf3, концентрации порового раствора N х и электрического потен-
циала V ср, определится уравнением
iм = — Yo^mw grad w2 — Yo^mo grad ft — Yo^mx grad x — y<Am<p grad ср,
(V.19)
где Лмтг, Хмх, %м<р — коэффициенты массопроводности.
Так как ш3 = zz;3(ft), то grad ш3 = (ди>з / dft) grad ft.
Из (1.85) находим
2Л (а + 2Ь ДО)
_____ __ wv w 1 w ' / V 9 О \
W— + + '
167
Обозначив
AMw(dw3/dd) + Ама = Амэ, (V.21
получаем
г'м = — Г(Лмэ grad ft — т0А-мх grad х — r0A.M<p grad <р (V.22)
и тепловой поток
ig = — % grad ft — Го^з 1^мэ grad ft — %Мх grad х — ХМф grad <р]. (V.23)
Из выражений (V.I) и (V.22, 23) получаем систему дифференциальных
уравнений тепло- и массопроводности
dw / дх = div (Амэgrad d) + div(AMxgrad^) +
+ div(AM<p grad ср) — Z34, (1)
<M>Yo(dd/dr) = div (X grad'd) + Л3у0 div [(Амэ grad'd) + (V.24)
+ XMxgrad x + AM(pgrad <p) ] + yo(AM3gradd + AMxgrad x +
+ АМф grad ф) grad Л3, (2)
где сЭф = с — (h3 — h±) (dw3 I dd); 734 = (dw3 I dd) (dd / dr).
Как градиент концентрации порового раствора, так и градиент элект-
рического потенциала зависят от температуры промерзающей — протаи-
вающей среды. Это позволяет выразить градиенты концентрации и элек-
трического потенциала через градиент температуры
grad х = (дх / dd) grad d.
(V.25)
grad ф = ^ф / dd) grad d.
В более общем случае grader и gradф не сводятся к gradd.
Введем далее понятие обобщенных коэффициентов массопереноса Амо
и коэффициента теплопроводности Азо
Амо = Амэ + A,Mx(d^/dd) + АмФ^ф/ dd), (V.26)
Аэо = А + уоМ^мэ + Амх (дх / dd) + АМф (dф / dd) ].
Это позволяет представить систему дифференциальных уравнений
тепло- и массопереноса в компактной форме.
dw / дх = div (A,Mograd d) — (dw3 / dd) gradd, (V.27)
^y0(dd I dr) = div (Аэо gradd) + yocBAmo grad2d.
5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА
ДЛЯ ДВУХСЛОЙНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ ПРОМЕРЗАЮЩИХ —
ПРОТАИВАЮЩИХ СРЕД
При промерзании и протаивании мерзлых горных пород формируются
многослойные среды, состоящие из чередующихся талых и мерзлых сло-
ев. Процессы переноса тепла и вещества в слоях этих сред описываются
системами рассмотренных ранее дифференциальных уравнений типа
(V.1). В качестве условий сопряжения на границах этих слоев могут
быть приняты равенство температур, потоков и калорическое условие —
уравнение теплового баланса.
Равенства температур, потоков тепла и воды применимы к средам, ко-
эффициенты переноса которых после промерзания либо остаются почти
неизменными, либо изменяются плавно, без скачка на поверхности разде-
ла слоев. К таким средам могут быть отнесены скальные горные породы,
морозные горные породы и тонкодисперсные среды, вся вода в которых
168
находится в связанном состоянии. Для n-слойной среды данного типа
условия сопряжения запишутся в следующем виде:
т) = fti+dSt, т),
Ьлл (Si, т) = /м(г+1) (Si, т) ,
iqi(Sil) = igfi+i^Si, т),
М (Si, Т) = %(г+1) (Si, Т) ,
^Мг (Si, Т) = %м(г+1) (Si, Т) ,
С г (Si, Т) — (Si, т) ,
(V.28)
где i — номер слоя; Si — поверхность раздела z-го и (& + 1)-го слоев.
Для крупноскелетных сред после промерзания на границе раздела та-
лых и мерзлых слоев наблюдается разрыв величин потоков тепла и воды.
В мерзлых слоях перенос воды и конвективный теплообмен прекращают-
ся, скачкообразно изменяются тепловые свойства на поверхности разде-
ла, а точнее в тонком поверхностном слое выделяется тепло фазовых
превращений. Указанные условия сопряжения имеют вид
t) = О{+1№, т),
ад, т) dn
—аН %i+1 dR ~~ '
^i(Si, т) A/i+1 (6*^, t),
ci(S{, cux(Si, T),
= 0; z’mi = 0,
(V.29)
где Qo = h3 — h^, n — отрезок нормали между двумя изотермическими
поверхностями.
6. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛО-
И МАССОПЕРЕНОСА ПРОМЕРЗАЮЩИХ ГОРНЫХ ПОРОД
В области теории теплопроводности промерзающих дисперсных сред основные
результаты связаны с решением задачи Стефана. Все методы решения этой задачи
можно объединить в несколько основных групп.
I. Методы, предназначенные для вывода формул, позволяющих определять глуби-
ну промерзания — протаивания. При выводе этих формул распределение температур
в талой и мерзлой зонах в большинстве случаев описывается функциями стационар-
ного состояния. Эти методы справедливы для крупнозернистых горных пород при вы-
делении тепла агрегатных превращений и скачкообразном изменении тепловых
свойств на поверхности раздела фаз.
II. Методы решения уравнения теплопроводности для промерзающих — протаи-
вающих крупнозернистых горных пород. Полученные при этом решения позволяют
определять температурные поля в талой и мерзлой зонах, а следовательно, и глубину
промерзания — протаивания. На разработке указанных методов сосредоточены в на-
стоящее время усилия большинства исследователей. К числу основных относятся сле-
дующие методы.
1. Сведение одномерной задачи Стефана к задаче с неподвижными границами пу-
тем подстановки y = rc/g(e), где х — координата, а £(т) —функция, описывающая дви-
жение фронта промерзания. Этот метод был развит в работах Ф. Н. Шехтер и Г. X. Цей-
тина (1955) и И. Г. Портнова (1962). В частности, И. Г. Портновым были разработаны
методы решения задачи Стефана, основанные на применении двухстороннего преоб-
разования Лапласа, разработанного Ван-дер-Полем и X. Бремером (1952). Значитель-
ный интерес представляют методы, предложенные Ле Фуром (Le Fur, 1964) и осно-
ванные на принципе квазиподобия температурных полей.
2. Сведение одномерной нелинейной задачи Стефана к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений, решение которой производится численными методами
(Меламед, 1958, I960).
3. Решение одномерной задачи Стефана методом продолжений или источников
при заданном законе движения границы раздела фаз (Волохонский, 1950; Мартынов,
1960).
169
4. Методы, основанные на подборе частных решений, описывающих температур-
ные поля в талой и мерзлой зонах (Буевич, 1964; Редозубов, 1962а, б).
5. Метод последовательного приближения к решениям уравнений теплопроводно-
сти талой и мерзлой зон. В качестве первого приближения задается стационарное
распределение температур (Шехтер, 1960).
6. Численные методы решения задачи Стефана (Ваничев, 1946; Юшков и Логи-
нов, 1963; Lotkin, 1958; Хрусталев, 1966).
III. Методы решения задачи Стефана для промерзающих тонкодисперсных гор-
ных пород. Фазовые переходы и изменение теплофизических свойств в таких средах
происходят в спектре температур. Существенное значение имеет массоперенос.
Первые шаги в разработке методов решения нелинейных уравнений теплопровод-
ности промерзающих тонкодисперсных сред были сделаны А. Г. Колесниковым и
Г. А. Мартыновым (1953) и В. Г. Меламедом (1963). Крупный вклад в разработку ме-
тодов решения нелинейных уравнений теплопроводности для рассматриваемых сред
был сделан Лефуром (1966). Дальнейшее развитие этих методов определяется уров-
нем общей теории тепло- и массопереноса (Лыков, Михайлов, 1963) и теории нели-
нейных дифференциальных уравнений (Friedmann, 1958; Crank, 1956).
Разработка общей теории тепло- и массопереноса в промерзающих горных поро-
дах является в значительной степени предметом дальнейших исследований. В этой
главе будут рассмотрены лишь некоторые методы решения уравнений тепло- и мас-
сопроводности для промерзающих — протаивающих горных пород, приближенные ме-
тоды решения двух- и трехмерных задач Стефана, а также решения, описывающие
стационарные температурные поля в мерзлых толщах земной коры.
7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНА ПУТЕМ ЗАМЕНЫ СРЕДЫ
С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ДВУХСЛОЙНЫХ
НЕОГРАНИЧЕННЫХ ПЛАСТИН С ПОСТОЯННЫМИ ГРАНИЦАМИ
В настоящем разделе будет рассмотрен метод решения задачи Стефа-
на, основанный на замене среды с подвижными границами последователь-
ностью двухслойных: неограниченных пластин. Доведение этого метода
до стадии практического применения будет рассмотрено для процесса про-
таивания сезонно-протаивающего слоя.
Процесс теплопереноса для рассматриваемой системы описывается
уравнениями
/ дх = <ч (д2#! / дх2); 0 < # < £ (т); (1)
(V.30)
дф2 / дх = а2(д2$2 / дх2); £(т) < х < I (2)
с начальными и граничными условиями
$1 (0,т) = «pi (т); (1)
(I, т) = ф2 (т); (2)
(V.31)
&1 (ж, 0) = А (ж); (3)
^2 (ж, 0) = f2(x) (4)
и дополнительными условиями на движущейся границе раздела двух
сред
Qi I w — q21 = Q(d£J dr) (5)
и (V.32)
O'! (I, t) = r). (6)
Здесь индекс 1 относится к параметрам талой зоны, а индекс 2 — к
мерзлой, остальные обозначения обычные.
Разбиваем всю область на полосы толщиной &х. Пусть Ат — отрезок
времени, за который граница протаивания переместится из некоторого
170
начального положения go в положение go + Ах. К моменту времени Ат
имеем две пластины: талую толщиной go + Ад; и мерзлую толщиной
Z — go — Ад;. Решение с произвольными граничными условиями для каж-
дой из них известно (Карслоу и Егер, 1964).
Для первой пластины температура поверхности ф1(т) принимается по-
стоянной и равной йв(Ат/2). Таким образом, истинное распределение тем-
пературы на поверхности заменяется ступенчатой функцией. Граничное
условие на внешней поверхности фг(т) = ОД Ат) задается в виде
й^ — (1 — т/Ат), где йо — температура точки с координатой go + Ад;
в начальный момент времени. По истечении времени Ат значение й^ обра-
щается в 0. Начальное распределение температуры для элементарной
пластины находится из общего распределения /(д;) для интервала
0 < х < go + Ад;.
Температурное поле для рассматриваемой пластины описывается урав-
нением
00 г
л / а \ 2 v Г <71П2л2Ат I . плх
йг (д;, Дт) = ——т— 2i exp — ——, л sin -——т— X
v 7 go + Аж r |_ (g0 + Aa?)2J go + Аж
^э-р-Дх Дт
( г / /ч • ппх' 7 , , пла-i Р й1П2л2Х
X i \ j (х ) sm =—j-д-ах + -——т— \ ехр -—X
I J go + Аж go + Аж J r (go + Аж)2
о о|
X [Ов (^) - (-1)^0 (1 - ^)] . (V.33)
После вычисления второго интеграла уравнение (V.33) приводится к
следующему выражению:
ОО
йх (xrAr) = -=—j—т—Л sm -=——т— • ехр — т=—X
1 v 1 7 go + Аж go + Аж r [ (go + Аж)2]
£о+Дх оо
S, , . плж' 7 , , 2 n 1 • илж
f (х ) sm -р—г-т— ах -4-йв Л — sm —г"Х------
1 v 7 go + Аж 1 л в Y* п go + Аж
оо
2 а X? 1 • пЛх Г ах^2л2Ат I .
----vB Л — sm -——7— • ехр — . Х2- +
л в Y п go + Аж г [ (go + Аж)2]
оо
. 2 n (go + Аж)2 . \П 1 . плж г ахп2Л2Ат 1
+ V *0 3 (-1) sm • ехр [- (¥Тд^] .
(V.34)
Два слагаемые правой части уравнения (V.34) могут быть упрощены
ОО
21sin^^ =--------------5о + Д^= Л (V.35a)
п go + Аж 2 2 \ go + Аж J v 7
где 0 Jij;/(g0-р Ад;) 2л,
оо оо
S, мп 1 . ПЛЖ X? 1
( 1) —77- 8Ш- —— = /|-у8Ш П -= 7—7--------
v 7 п3 go + Аж ” п3 go + Аж
п
~2S/o 1 n8sin(2» + l) с , (V.356)
^J(2n—I)3 v 1 7 go + Аж ’ v
n мл
где 0<71й^<л-
•171
Если положить
(So+Д*) = Х1’
то правая часть равенства преобразуется к виду
n2rq/6 — ЛЖ1/4 + Ж1/12 — 2 (л/8) хг (л — х^ = (ж? — лаж1)/12. (V. 36)
Решение уравнения теплопроводности для нижней (мерзлой) пластины
толщиной I — go — &х находится аналогичным путем при граничных усло-
виях
fl (go + Дж, т) = 'О’о (1 — Д) , (1)
(V.37)
О (Z, т) = •&( = const. (2)
Распределение температуры в момент времени Ат для мерзлой пласти-
ны определяется выражением
оо
- Во - Дж, Дт) = z^-2„Ax 3 sin е*Р X
I
Г Д2^2Л2ДТ 1 С е / , t А \ • J / ।
Х “ (Z~-g0-Ax)2 ) / (Ж - go - Дж) Sin dx +
L J ^о+Дх U
пл (x — — Да?)
sin ——---------------t-----exp
Z —
oo
1
Й2Я2Л2ДТ ]
(Z-g0-Ax)2]
пл (a? £q Да?) г а2п2л2Дт 1 ।
z—So — Дг ex₽ [ (z — s0 — д^)2] i”
, 2 (Zo — So “ Аж>2 V 1 nn(x—^Q—&c)
”i" л Дт «а л2 “ n3 Sln (Z — g0 — Дх)
2 Фо (ZO So Дж)2 v 1 . пл(х g0 Дт)
----"*"------75------ Zl —s’ Sln —71-5--ГХ exP X
Л Дт а2Л2 n3 (I — g0 — Дт) 1
[Я2Л2Л2ДТ 1
~ (Z-g0-AT)2J •
(V.38)
Как и в предыдущем случае, два ряда легко суммируются
ОО
2(—l)«+i Д-sin
1
пл (а? — — Да?)
I —
| Л (а? — £0 — Да?)
У Z —
ст 1 . ПЛ (х — g0 — Дат) _ Я2 гЛ (х — 50 — A;c)l2
п3 Z — g0 — Дт 6 |_ Z — go — Дх J
я Г л (ж— 50 — Дх)2 12 1 Г л (ж — gQ — Дат)! 3
4 Z — g0 — Дх 12 I — g0 — Да: I
(1)
(V.39)
(2)
В выражениях (V.34) и (V.38) остается неизвестным Дт. Для опреде-
ления его используется условие на границе раздела фаз
— %1(5'fl,1/5a:)]x=5(T) + %2(^2/^ж) |ж=£(т) = Q0{dt,/dx). (V.40)
172
В качестве д$ / дх принимаем значения, средние между началом и кон-
цом промежутка, a / (к заменяем приращениями в момент
Ат — (Ая/ Ат).
Выражая частные производные через приращения, получаем уравне-
ние для определения Ат
__ М , 0) - й0 - Дач, 0) ( й0 4-Да?, Дт) - 01 й0 + Д^-Л^1, Дт)
, Х2 Р^О
2 [
= <?ой-
Да?1 ‘ Да?1
+ Да?!, 0) — О2 Йо» °) ( ^2 Йо +Ля-|-Да?1, Дт) — О2 Йо + Дт)
Да?1
Да?1
(V.41)
Здесь Ах 1 — любое малое приращение, оно может быть разным при вы-
числении <901 / дх и дОг / дх.
Используя следующие очевидные равенства:
М£о,0) = 0, (1) '
<h(lo + Aa;, Дт) = О, (2)
<М£о,0) = 0, (3)
й2(£о + Дя, Ат)-О, (4) .
(V.42)
получим
pi (£0 — Дт2. °) Oi (5О + Дя—Дп, ДтП х2 р2 (So + Д®ь °)
2 [ Дач ~т" Дач ] 2 [ Дач
. Оа(So + Д® + Д®1. Дт) ] \х /лт /ох
+-----------д^---------J = *2° м • <v-43)
Это уравнение, нелинейное относительно Ат, преобразуем к виду, удоб-
ному для решения
2<2О Да?
Лт = pl (So ~ Д^ь °) 0т (5о + Д* — Дть Дт)] ’ (V.44)
Х1 [ Д^ + Д^ J +
О2 (So + Дть 0) <h (So + Д* + Д*ь Дт)]
+ Дач + Да?х J
Уравнение (V.44) решается методом итераций. После определения Ат
можно вычислить все значения Oi(#, Ат) и Ог(^, Ат) и построить график
распределения температур по глубине. Это распределение принимаем за
начальное и рассматриваем протаивание следующей пластины толщиной
Ах. Начальное протаивание будет уже gi, а две рассматриваемые пласти-
ны имеют толщины gi + А^г и Z — gi — Ах.
Расчет проводится в той же последовательности и по тем же формулам,
которые для к-го шага и пластин с толщинами ^k-i + Ах (талая) и
I — gft-i — Ах (мерзлая) имеют вид
£
а , а \ 2 . ппх Г а1П2л2Дт 1 С* а / / л\ • П71х' 1 / f
й*! (гг, Ат) = 2 sm Т" ехР [------------j \ и'1 ’ и) sm ax' +
____J_ л ( х3________x I_____2 л_ 5Л
6 0 бчДт I у ’ 0 «1Л2Лт^1’
(V.45)
173
для мерзлой зоны
a /zy. t а_а 2 VI . ПП Г а2п2Л2Дт 1
*!(I-а’ Дт) = f31П ехр I---Fyi| >
С , пл (к — Е,)
X J Фг (ж' — £к, 0) sin---к
ч
.Л _______________
~ л " 1 2 1 а2 Дт
2 ft>(*-V
л а2п2Ат 3’
Здесь введены следующие обозначения:
оо
Si = 2 — sin ппх' • ехР [— ап^&х];
1~Ч
аО'о (г ~ ^)2 Г 1 х~
— -&1 ----
ч
4
1
i2v-m
(V.46)
(1)
22 = 2(—l)n-“Sinwu/-exp [—ап2л2Дт];
1
оо
23 = 2 ДДТ sin ппх' ’ ехР (— £Ш2л2Дт];
1
оо
24 = 2 (—1 )П "Дз" s*n ’ ехР I— ая2л2Дт].
(2)
(3)
(4)
(V.47)
>
В функции, образующие ряды (V.47), входят обобщенные переменные
х- и а. При х' — х / ik и а = ai эти ряды соответствуют талой, при
х' = (ж — gfe) / (Z — gfe) и а - й2— мерзлой зоне.
Уравнение для Дт имеет вид
Л 2 оД*Т / ~\j ! Q \
Лт = pl (5к-1 - Дть 0) О1(^-Дг1, ДТП • ( Ла)
Х1[ Д^ + ДЖ1 J +
Г (5ft_t + Дал, 0) (Ц + Дад, 0) 1
+%2 L Д»1 + ' Д®1 J
В выражениях (V.45) и (V.46) остается неудобным для вычисления
первый член, содержащий интегралы от начальных условий, поскольку
функций (х\ 0) и 0) задаются графически как результат преды-
дущего шага, что затрудняет предварительное вычисление и табулирова-
ние этих рядов.
Для того чтобы избежать этой трудности, заменим истинное распреде-
ление 0) ступенчатым с произвольным числом промежутков. Опти-
мальную разбивку можно определить, исходя из графика функций.
Введем обозначения.
п г 2 х.-д • 7ZJT3/ 6Z^722JT2At 1 (* f / а • TZJTuC -j . /\ т / гд \
•О'! = —2sin^—• ехр|^-------------j /(ж ) sindx , (V.49)
ОО . г I
«i = "“г-;,* ' °хр (?Д)'] 5 /I1' —Ы’Ш х
X dx’. ‘ (V.50)
174
Рассмотрим сначала первое выражение, применяя к интегралу теоре-
му о среднем,
Г* л f 7 »
\ f (% ) sm -=— ах =
о ц
f . ПЛх' 7 ,
\ sm -=—ах =
i 5«
-----ПЛх'
• ----- cos ——
о
подставим в (V.49)
. - к 0°
А 2 , \ sin плх Г а1Аг2л2Дт1 1 /Л ч
= Д—v“‘exp—(1-c°sM =
1 Л L 4>fc J
»’U/fT”v“p| ео~
-4/(4) 24sin v 'ехр [~ —р1] (-1)" <v-si>
Окончательно получаем
<v-52>
^к
Для того чтобы применить аналогичный метод для упрощения выраже-
ния (V.50), разобьем промежуток интегрирования I — таким образом,
чтобы в пределах каждого элементарного промежутка можно было приме-
нить теорему о среднем. Пусть т — число промежутков разбивки, Zi, Z2,...
., 1т — длина каждого из них. Тогда
175
nftli . 2 v, . (x £fc) Г a2rt2rc2Ar 1
xCOS/_?t -y 2SIn /-^ exP | — (Z — 5fc)2 J X
x [/ (Ц-^) — / (Ц^)] cos +
+.......................................—
2 Vc-in пП (ж Г ал2п2Ат 1 — lm-x \
-T2s,n- >-6, ®4> [-t(—4—-)“s'“-
2 r/^i\vi 1 • ^(ж —£) г ая2тг2Ат 1 ,
- T f W 2 - «1 ,_E1 exp [- +
oo
। 2 — Ji\ t(h\1 X? 1 1 Г ал2тг2Ат 1 Г . raft z
+t [f ~f WJ' f*‘y exp L_ (*-vJ lsin {x ~
^i) + sin j_к (% — Sfc + ^i) +...........—
b
2 %m—i \ ХЛ 1 • пл (x £fc) Г cM^kr] л чП
----2----ИР (М?] (~
В окончательном виде получаем
a- = 44¥Hi^t +
+ IT [f ~ / (т)] [211*-£&-г> + 2* kek^] + • • • —
<v-54)
1~Ч
При использовании (V.54) нужно учесть, что если аргумент Si превы-
шает 1, то нужно заменять Si на 2г при помощи соотношения
211 х — 52
(V.55)
где
1~—ЧС
— 1.
Формулы (V.53) и (V.55) вместе с формулами (V.45) и (V.46) позво-
ляют довольно просто вычислить распределение температуры в любой мо-
мент времени, если функции Si, S2, S3, S4 заранее протабулированы.
Расчет функций S для широкого диапазона изменения переменных был произве-
ден на машине «Сетунь».
Результаты расчета представлены в виде графиков функции для двух значений а,
соответствующих талому и мерзлому состояниям. Графики построены в полулога-
рифмическом масштабе, в качестве переменной взято т, а в качестве параметра —
Для удобства построения масштаб от точки г = 20 час выбирался большим, чем
в начале интервала. Поэтому значения функций в промежутке от т = 0 до т = 20 час
находились непосредственно по графику, а для т>20 час рассчитывались по формуле
1g 2 — У20 + Ю(у — У20),
(V.56)
где у2о — ордината точки т=20 час; у — ордината искомой точки.
Пользуясь подобными графиками и таблицами, можно рассчитать температурное
поле по выведенным выше формулам. Порядок расчета следующий.
1. Строим график начального распределения / (я, 0), определяем из него значение
go- Затем задаемся значением Аж и определяем й0 как температуру в точке х =
-= go + Аж.
176
Рис. 93. Динамика глубины протаивания горных пород по расчетным данным (1)
и по результатам моделирования на гидроинтеграторе (2)
2. Выбираем первое приближение Ax=Ati для решения уравнения (V.48) мето-
дом итераций. Из известного распределения температуры на поверхности определяем
йв как значение температуры в средней точке между 0 и Ап.
3. Значение Аж произвольно, поэтому выбираем его таким образом, чтобы относи-
тельная координата (1—-АЖ1/51) совпадала с каким-либо значением параметра
для которого имеются графики функции S2, 24 и значение Аж1 было бы достаточ-
но мало. По этим графикам снимаем значения функций для Ati и подставляем их
вместе со всеми остальными параметрами в формулы (V.45) и (V.51). Таким путем
определяется — Аж1? Ат).
4. Для определения й2(£i + Аж1, Ati) разбиваем участок I—51 на т промежутков
т •• i(l\ fl12-11}
и снимаем с графика начальных условии значения Л—2—/’ ***’ Л------2----/
Затем определяем относительную координату
(£i+A*i)
(/-Sil)
по тем же соображениям, что
в пункте 3, и по соответствующим кривым снимаем значения функций Si, Sa, S3. Зна-
чение й2(^ + Аж1, Ат) определяем по формулам (V.46) и (V.54).
5. Величины Ф1(!;о — Axi, О) и й2(5о + Аж1, Ап) определяем из начального рас-
пределения.
6. Все вычисленные в пунктах 3—5 величины подставляем в первую часть форму-
лы (V.48) и определяем следующее приближение Ат — Ат2. Затем повторяем рас-
чет для Ат2 и определяем Ат3 и т. д., до выполнения условия Ат=Атп_ь Это значение
(назовем его Ато) будет решением уравнения (V.48), найденным с любой степенью
точности.
7. Для полученного значения Ат0 и для всех значений х можно определить из
графиков значения Sb S2, S3, £4 и, подставляя их в формулы (V.45) и (V.46), рассчи-
тать температурное поле в конце промежутка времени Ато.
Принимая график функции й(ж, Ато) за начальное распределение следующего
шага /(ж, 0), повторяется весь расчет для новых пластин толщиной gi + Аж и I —
— Аж и т. д., до полного протаивания.
На рис. 93 приведен результат расчета глубины протаивания описан-
ным выше методом. Там же для сравнения изображена кривая, полученная
в результате решения этой же задачи на гидроиптеграторе.
12 К. С. Иванов
177
Результаты расчета динамики температурного поля талой и мерзлой
зон по описанной выше методике представлены на рис. 94 и 95 в виде гра-
фиков распределения температуры по глубине для ряда последовательных
моментов времени. При этом следует подчеркнуть, что для талой зоны рас-
пределение температур в первой стадии протаивания удовлетворительно
описывается линейными функциями. Это лишний раз подтверждает допу-
стимость широко используемой предпосылки о квазистационарности тем-
пературного поля в зоне протаивания (промерзания), особенно на первой
стадии процесса. Наблюдающаяся в природных явлениях нестационар-
Рис. 94. Распределение температур в
протаявшем слое горных пород по рас-
четным данным
го = 14%; уо = 1800 кг/м3
ность термического режима в значи-
тельной степени обусловлена терми-
ческой анизотропией среды и процес-
сами массопереноса.
Условие квазистационарности, а
при более строгом подходе — условие
квазиподобия температурного поля в
поверхностном слое позволяет суще-
ственно упростить и рассмотренную
выше методику. Так, для стадии ста-
ционарного режима тепловой поток
в талой (мерзлой) зон находится по
формуле
q = Хт,м(#п/5). (V.57)
Объем вычислительных операций
может быть также существенно со-
кращен, если закон изменения темпе-
ратуры на плоскости раздела пластин
задавать по формуле
т) = Оо[1 — (Р/т / #)"],
(V.58)
где п — любое действительное чи-
сло. В первом приближении п = 1.
Параметр |3 меняется несущест-
венно. Поэтому, определив его значе-
иия для некоторых моментов времени, можно рассчитывать температур-
ные поля неограниченных пластин внутри соответствующих интервалов
при условии постоянства значений |Зг-.
Рис. 95. Динамика температурного поля многолетнемерзлого слоя горных пород (на-
чало второй слева и последующих функций распределения температур отнесены к 0°)
178
8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРОМЕРЗАНИИ — ПРОТАИВАНИИ
КРУПНОЗЕРНИСТЫХ ГОРНЫХ ПОРОД
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
На основе известного преобразования (Шехтер, Цейтин, 1955)
y = xfe (V.59)
задача о промерзании — протаивании крупнозернистых горных пород мо-
жет быть сведена к системе дифференциальных уравнений с неподвижны-
ми границами.
Рассмотрим вначале более простой вариант задачи о сезонном протаи-
вании мерзлой толщи, который эквивалентен в аналитическом отношении
варианту о сезонном промерзании талого массива.
Для этого случая система преобразованных уравнений теплопроводно-
сти принимает вид
^(дТт/дх)-1(г)1’(г)у(дТт/ду) = а^д^/ду^, 0<у<1; (1)
(дГм/дт) - g (т) g' (г) у (дТм/ду) =-• ам(д*Тм/ду*у, 1 < у < оо; (2)
г/= 0: Т^у, т) = <р(т); (3)
т = 0: 71м(г/, 0) =/(ж); (4)
1 : 7^(1, т) = 7^(1, т) = -йнз; йнз = 0; (5)
— К (дТт/дх) + Хм (дТм/дх) = Qn (d^dx), (6)
(V.60)
где Qo — qowyo.
При формулировке дополнительных условий принимается во внимание,
что для талой зоны задание начального распределения температуры не
имеет смысла, так как оно «стирается» подвижной границей раздела фаз.
Для отыскания решения уравнения для талой зоны применим метод
последовательных приближений. В качестве первого приближения найдем
решение при условии дТт ! д% — 0. Это условие характеризует сохранение
квазиподобия в распределении температур в талой зоне для различных мо-
ментов времени и положений подвижной границы (Le Fur, 1964). Условие
квазиподобия является второй стадией приближения к истинному распре-
делению температуры в талой зоне сравнительно с условием квазистацио-
нарности, которое обычно используется в расчетных схемах.
Рассмотрение динамики естественного температурного поля в протаи-
вающем слое (рис. 96) позволяет считать предпосылку о квазиподобии до-
статочно достоверной.
При сделанных допущениях температурное поле в талой зоне описы-
вается в первом приближении уравнением
д^/ду^ + (й'/ат) у (дТ^ду) = 0; (1)
7,т(0, т) = <р(т); (2)
7’т(1,т) = 0. (3)
(V.61)
Решение системы (V.61) в окончательном виде запишется
71т = <р(т)
(V.62)
При получении выражения (V.62) было использовано допущение о не-
зависимости от времени комплекса Это допущение основано на под-
12*
179
-6-4-2 0 2 468
1,м
Рис. 96. Естественное температурное поле сезонно-протаивающего слоя горных пород
для района Якутска (цифры обозначают последовательность кривых распределений
температур)
твержденном теоретически и экспериментально характере зависимости
ё =
Распределение температур в мерзлой зоне при тех же предпосылках
сохранения квазиподобия находится из уравнения
д2Тп)ду^ + (Ш У (дТм/ду) = 0; (1)
Тм(1,т) = 0; (2)
= (3)
(V.63)
Решение уравнения (V.63) позволяет найти первое приближение функ-
ции распределения температур для мерзлой зоны
180
Л = (x, t) = f (x) 7-= (erf 1 f-erfl/Ю.
V я / ££ \ I/ Z6Zm I ~ам /
2^7
(V.64)
Для определения функциональной зависимости % от времени исполь-
зуется уравнение баланса энергии на границе раздела зон
(V.65)
где /(g) — начальное значение температуры при х = g. Решение транс-
цендентного уравнения (V.65) возможно приближенным методом и, в ча-
стности, графическим способом.
Для практических целей целесообразнее использовать приближенные
формулы, устанавливающие прямую зависимость между глубиной протаи-
вания и длительностью этого процесса. В частности, если в правой части
равенства (V.65) комплекс ggz / 2а считать не зависящим от времени, то
_ __________ _ ___________________________
=------------=-т- ( ф(т)^+ —j—=-----------£ /[UT)]dT.
v г 2ат [2 \у 2«M/J (V.66)
Учитывая, что gg' / 2а < 1, можно с точностью до 10 % ограничиться
первыми членами разложения функций exp z и erf z. Если допустить, что
л / 2 существенно больше fggz / 2ям, то уравнение (V.66) преобразуется
g2 ~ т С (т) dx + С у (т)]dT. (V.67)
vo J у л. Qo J
о о
Введем обозначения средних значений температуры для граничных и
начальных условий
йп = 1/т ср (т)5т;
о
#о(О, g) = 1/т^ /[g (т)]с7т.
о
(V.68)
Тогда окончательно находим
1
(Л т — Р |Лт.
Очевидно, что
= (V2) ₽2.
(V.69)
(V.70)
Рассмотрим второе приближение решения системы (V.60). Учитывая,
что распределение температур в талой зоне достаточно хорошо описывает-
ся первым приближением уравнения (V.62), найдем второе приближение
решения уравнения теплопроводности только для мерзлой зоны.
После подстановки этого решения в член g2(5ZM / 5т) исходного урав-
нения (V.30, 1, 2) получаем
ам(№ W) = ~^у(дТ/ду) -
(V.71)
Обозначим
дТм / ду = 2; ggz / 2ам — &0.
(V.72)
181
Тогда (V.71) приводится к виду
У = -2bQyz - 2Ъъуе~ъ*У2. (V.73)
Общее решение этого линейного неоднородного уравнения запишется
(Зельдович, Мышкис; 1965)
Z = jj Z\ (у) / Zi (ц) (-2x]b0e-b^) dx] + С& (у), (V.74)
о
где Zi(y) — частное решение соответствующего однородного уравнения
Zi = (V.75)
В конечном виде решение (V.74) может быть представлено в виде
Z = -bQe~b^y2 + Cie~b^. (V.76)
Возвращаясь к исходному уравнению (V.71), получаем
dT^/dy - — + С^у*. (V.77)
Применяя метод интегрирования по частям, находим искомое решение
при исходных дополнительных условиях
Гм (У, Т) = С2 + (72) е-^'/2а^у!у - Ci erf /(^'/2«м)г/; (1)
у = 1: 7’м = 0; (2)
У = оо: Т№ = / (.г). (3)
(V.78)
После определения постоянных Ct и С2 решение принимает вид
V л
/ *1/2 \
гм(у,т) = (/(.*)+4“^^ 2/) 1
— У
!м
ГЛ — erf
9
(V.79)
Используя второе приближение 7м (у, т), уточняем калорическое усло-
вие на границе раздела фаз
2Хте 2aTj/^<p(T)
<2° erf]/ Д-
(V.80)
В то же время следует отметить, что второе приближение несуществен-
но отличается от первого. Так, принимая во внимание, что
/(£) + (V2)е~^'!2а^ /(£), из (V.80) получаем формулу для приближен-
ных практических расчетов, идентичную формуле (V.69) для первого при-
ближения Тм {у, т). Из этого следует, что нецелесообразно находить при-
ближения более высокого порядка.
Полученные решения и формулы предназначены для расчета темпера-
турных полей талого и мерзлого слоев, а также для получения закона дви-
жения границы протаивания. В то же время при принятых здесь физиче-
ских предпосылках данные решения и формулы применимы и к процессу
промерзания. Это достигается простой заменой индексов, характеризую-
щих талое и мерзлое состояния.
182
9. ПРОМЕРЗАНИЕ СЕЗОННО-ПРОТАИВАЮЩЕГО СЛОЯ
ГОРНЫХ ПОРОД
Определение скорости промерзания сезонно-протаивающего слоя гор-
ных пород сводится к решению задачи Стефана с двумя подвижными гра-
ницами. Аналитическая формулировка этой задачи характеризуется сле-
дующей системой дифференциальных уравнений:
^м(<52йМ11 дх2) = дйм1 /дт; О^х^^; (1)
ат (д20т / дх2) — д'&т / дт; gi х g2; (2)
ам (<52йм2 / дх2) = дйм2 / дт; оо х g2; (3)
х = 0: йМ1 (0. т) = ф (т); (4)
л = gi: №i(Bi, т) = 0; (5)
> (V.81)
т = 0: "О'т(х, 0) =/т(л); (6)
т = 0: Ома (%, 0) =:/м(^); (7)
х = 12: №(Вг, т) — 0; (8)
№i(gi, т) = №(5i, т); (9)
№(Вг, т) = №2(^2, т); (10),
т) т) п е'_ ,т
~ Хм1-----&-------+ Хт-----(Н)
ЭОТ fe, т) , аоМ2 (52, т) ,
~ А'г —-------------г Ам2------di-----= еоё2.
(12)
Общая задача Стефана для данной трехслойной системы может рас-
сматриваться как совокупность трех частных задач теплопроводности для:
а) неограниченной мерзлой пластины с нижней подвижной границей;
б) неограниченной талой пластины с двумя подвижными границами;
в) полуограниченной мерзлой среды (неограниченной пластины) с
верхней подвижной границей.
Решения первой и третьей задач были получены в предыдущем разделе
и могут быть представлены в следующем виде:
Тmi (2/, т) = йМ1 (х, т) = ф (т)
(V.82)
/м (^)
(V.83)
Для решения задачи Стефана применительно к неограниченной талой
пластине с двумя подвижными границами предварительно приведем ее
к задаче с неподвижными границами. Для этого применим преобразование
2/ = (a:_gi)/(g2_gi). (V.84)
Уравнение теплопроводности, приведенное к переменным у и т, преоб-
183
разуется следующим образом:
дтт + дтт _ ат д2тт .
дт ^2-51 ду -(^2-?1)2 ду2 ’
у = 0: 7т(0, т) = 0;
2/ = 1: Zt(1,t) = 0;
т = 0: 71т(?/о, 0) = /т(^)-
(1)'
(2) I
(3)
(4р
Первое приближение решения полученного уравнения
ловия квазиподобия
«т д*Тт дТт _
fe-51)2 + ^2-51 ду ~ и-
Данное уравнение с помощью подстановок
dT!dy = Z-, ^>0;
(1/ат)(^-^)(52-^); Рх<0
трансформируется в линейное неоднородное уравнение
Z'/Z = — Ъ± — D±y.
Решение этого уравнения запишется
(V.85)
находим из ус-
(V.86)
(V.87)
(V.88)
(V.89)
Тогда окончательное решение уравнения (V.86) с учетом двух гранич-
ных и одного начального условия может быть представлено соотношением
т М (р [/4-0. (»р] - (ур о. у)} -
г.- {“’ [/4 °' + Р)] --е" (/4 °' О}»
-2 Т \ « ) — ---- * 5
р Г]/2. л; у р] _ „н (j/-i_ °: р} -
- Р [р -L о; (1 + лр erf (р4- п; А)} „м
= Е * — £10 .
"м 5 М—^10 ’
(V.90)
£ю = £1Ьи=е2М = £2(0),
где ЬГ, Д1* — значения параметров bi и D\ при максимальном значе-
нии: ^2 — ?2М-
Используя выражения (V.82), (V. 83) и (V.90) для двух мерзлых и та-
лой зон, из уравнений сохранения энергии на подвижных границах раздела
этих зон находятся функции £i(t) и Ь(^)-
Следует, однако, отметить, что даже в первом приближении решение
уравнения для талой зоны оказывается весьма громоздким. В то же время
температурное поле этой зоны удовлетворительно характеризуется урав-
нением параболы. Это обстоятельство в сочетании с условием квазиподобия
позволяет воспользоваться следующим приближенным подходом.
Представим решение уравнения для талой зоны с помощью функции
Тт(у, т) = #(ж, т)= /Ж~(V.91)
ivy’ ’ \ > (^м — Si) Ум — 5з) v '
184
где йтм" — максимум функции йт(я:, 0) в точке хм; = (Ь — h) /2;
т* — интервал времени, в течение которого завершается теплообмен талого
слоя с мерзлыми слоями и формируется нулевая безградиентная зона.
Уравнение (V.91) для отдельных ветвей функции йт(гг, т) может быть
представлено в более удобном для дифференцирования виде
^т(ж, т) [1 — (1--Yl. (V.92)
Величина т* может быть определена из равенства
т* ^2М
С L т) (5, ) ] р
~J Гт------di------------дх—= j c^{x,Q)dx. (V.93)
о о
Считая талую зону термоизотропной и используя приближенные соот-
ношения
Жг (5ъ т) _ 1 Э/т (5j)
дх 2 дх
ддт (52, т) - 1 э/т (5з)
дх 2 дх
(V.94)
находим формулу для определения т*
^2М
2c‘y J /т (х) dx
* _ о
М/тШ/тЙ!
2/т (х) 52М
aT[fT Ki)+/T (Ы ’
(V.95)
Таким образом, весь процесс промерзания промежуточного талого слоя
распадается на две стадии: стадию, для которой необходимо учитывать
первоначальное распределение температур, и стадию безградиентной ну-
левой температурной зоны. Каждой из них соответствует специфичная
методика расчета величин gi и
Для первой стадии процесса величины gi и £2 определяются из уравне-
ний баланса на подвижных границах раздела
(V.96)
(V.97)
Совместное решение системы трансцендентных уравнений (V.96) и
(V.97) относительно gi и представляет большие трудности.
Для получения практически приемлемых расчетных формул можно
воспользоваться приближенным заданием с помощью логарифмической
функции уравнений ветвей функции начального распределения темпера-
туры в талой зоне. Указанные уравнения для верхней и нижней ветви за-
пишутся в виде
185
т) =
ln^£
( \2 ln-^-
t) = йтм* ----------11-
In^L
&
В уравнениях (V.98) отношение жм/Si характеризуется скоростями
движения теплового импульса и подвижной границы раздела фаз. Как по-
казали исследования А. Ф. Чудновского (1954), координата экстремума
йт (х, т) изменяется по закону
Жм = /2^ (V.99)
Следовательно,
хм ___ Г 1
1 Су I
Qo Qo
(V.100)
где D2 — член, характеризующий тепловой поток в талой зоне.
В первом приближении можно считать D2 = 0. Второе приближение
находится на основе полученного уже решения задачи.
Для нижней подвижной границы, смещение которой оказывается не-
значительным, особенно на первой стадии промерзания, отношение
р2 = / g2 можно считать постоянным и равным V2 или другому значе-
нию, определяемому функцией начального распределения температу-
ры/(я).
При высказанных допущениях уравнения для определения функций
Sj (т) и ^(т) могут быть представлены в виде
Если в уравнениях (V.101) ограничиться первыми членами разложения
функций ехр z и erf z, а экспоненциальную функцию времени заменить
•> /л Т \2 < Y
параболической 1 — — , то получим приближенные формулы для оп-
\ тм /
ределения gi (т) и £2(т)
/ Т \3
2%т^тмтм^~
3 In PiQo
(V.102)
/ Т \3 "|
3 In P2Qo /л Qo.
186
В приведенных формулах неопределенными являются величины Р\ и
Р%. Дальнейшее уточнение следует осуществить на основе анализа дина-
мики функции начального распределения температуры талой зоны для
естественных систем.
По мере уменьшения теплосодержания талой зоны (т Тм) тепловой
поток в ней стремится к 0, а формулы для определения глубины промер-
зания существенно упрощаются
(?) =
(1)
4М м£) * I72
VnQo J
(2)
(V.103)
^2 О) =
Попытаемся теперь получить формулы для определения функций
51 (т) и ^2 (т) на основе первого приближения общего решения для талой
зоны по формуле (V.90). Градиенты температур в талой зоне в окрестно-
сти верхней и нижней подвижных границ в этом случае находятся из со-
отношений
ЭТт (5Р т)
дх
(V.104)
дТ (г;2, т)
дх
_______. ~ 'Т\ЫЛ>2М-
Г—
2 Di
При построении приближенных формул соотношения можно сущест-
венно упростить, если принять во внимание, что bi / D± « —1, a Di доста-
точно мало, чтобы ограничиться первыми членами разложения функций
expz и erf z. G учетом этих условий равенства (V.104) существенно упро-
щаются
»т(51.’М, Му(< + ^/4°Мм ,
дх ~ / ъ*.
«2~51) I 1+^Г
WT«2, т) _/т(?2)52М
дх — 5г «2-51) ‘
В равенствах (V.105) принято, что ~ ЪС, Di ~ DC-
(1)
(V.105)
(2)
187
Соответствующие уравнения теплового баланса на подвижных грани-
цах запишутся
^М^ (Т) (51) 52М • , л\
S1 ~ Q&T Q<£i(52-4i) ’ (V.106)
с.' _ hyfrr (£2) 52м _ (£2)
~ Qo52 ($2 — £1) /л Q0£2 * '
Решение уравнений (V.106) производится одним из приближенных ме-
тодов и, в частности, методом ломаных (Камке, 1961). При этом решение
первого уравнения находится при & = const. Найденная функциональная
или табулированная зависимость (т) используется при графиче-
ском решении второго уравнения для определения функции §2(т).
10. ПРОМЕРЗАНИЕ ТОНКОДИСПЕРСНЫХ ВОДОНАСЫЩЕННЫХ
ГОРНЫХ ПОРОД
При промерзании тонкодисперсных горных пород в них могут проис-
ходить фазовые переходы как связанной, так и свободной воды.
Для учета фазовых переходов можно было бы воспользоваться экстра-
поляцией принципа термодинамического равновесия почвенной влаги на
ее свободную фазу. Однако при большом увлажнении горных пород та-
кой подход является недостаточно корректным и затрудняет получение
приближенных решений задачи о промерзании тонкодисперсных сред.
Если учитывать скачкообразное изменение теплофизических свойств
горных пород и частичное выделение тепла фазовых переходов поровой
влаги на границе раздела мерзлой и талой зоны, то математическая по-
становка задачи Стефана для одномерного случая сформулируется следую-
щим образом:
СуМ (Й)
д$м
(1) 1
(2)
дйт (х, т) д2$т (х, т)
cyT ——• = лт ;
£(т)О< оо;
^м(^, Т) = Т) = 'б’нз = 0;
(3)
О) k (V.107)
(Ч
-%м-----37--+ ^т---37---= <7оГо(^-^св)-^. (Ь)
^т(Ж,0) = /(Ж); (7) !
йм(0, т) = ф(т), (8) J
где w и н?св — общее влагосодержание и содержание связанной воды.
Уравнение (V.107,1) с переменными теплофизическими свойствами
и подвижной границей в общем виде пока еще не решено. В связи с этим
целесообразно рассмотреть некоторые приближенные методы решения
указанного нелинейного уравнения теплопроводности и всей системы
(V.107).
Первое приближение заключается в представлении реальных зависи-
мостей теплофизических свойств промерзающих тонкодисперсных горных
пород от температуры экспоненциальными функциями. Такое представ-
ление является достаточно удовлетворительным для приближенных рас-
четов. Наибольшую простоту исходное дифференциальное уравнение
принимает, если зависимости коэффициента теплопроводности и объем-
ной эффективной теплоемкости от температуры будут представлены в
188
виде
Хм(й)=Хте-°^, (V.108)
с?м(й) = сУое№ (V.109)
где см и Pi — постоянные параметры; cVo— максимальное значение
эффективной объемной теплоемкости при температуре начала замерза-
ния поровой влаги.
Представим уравнение (V. 107.1) в развернутом виде
cv (й) (dO / дт) = Z (й) (д2й / дх2) + (дк / дх) (дй / дх) • (V.110)
После подстановки значений Хм(й) и с7м(й) и элементарных пре-
образований уравнение (V.110) принимает сравнительно компактную
форму
дй/дт = 41^Рз^(д2й/д^2)— B^-P^dft/dx)2, (V.111)
где
Л1 = А,т/с70 (1)’’ — с^т/сУо\ (2); Рз — + Pi (3)-} (V.112)
Для перехода к условиям задачи при неподвижных границах восполь-
зуемся преобразованием
У = (V.113)
Тогда уравнение (V.111) может быть представлено в виде
(дт/дх) - (^7Ю (дт/ду) = (А.е-р^/^) (д*т/ду2) (дт/дуу2.
(V.114)
Основываясь на принципе квазиподобия в формировании температур-
ного поля промерзающего слоя, рассмотрим первое приближение решения
(V.114), получаемое из уравнения
(^Г/%2) - I/Л [Рт(дТ/ду) - у^ е^РзТ)] дТ/ду = 0. (V.115)
Решение данного уравнения в интегральной форме с учетом граничных
условий представится в виде
v
Т(у,т) = ^[е А‘ dy +
О о
у — В1
+ <p(r)fl — \е А' dy\. (V.116)
О '
Доведение полученного решения до численных значений может быть
осуществлено одним из приближенных методов. Так, например, значение
координаты yth, а следовательно и х, при заданных значениях 77, и.
ср(т^), gfe, находится из уравнения
Второе приближение решения уравнения (V.114) Т2(у, т) находится
после подстановки в него члена д1\(у, х) / дх из первого приближения
(V.116).
Для описания температурного поля в талой зоне с верхней подвижной
границей может быть использовано решение, полученное в разделе 8 дан-
ной главы для мерзлой зоны
т- -<,т <-• ” т-Иуртг Р Г ЖI - "У®
2 г 2«т
(V.118)
18‘)
Тогда функция £(т) найдется из следующего приближенного калори-
ческого условия на границе раздела фаз
££'=-Д- — ^м(—О)ф(т) —
V о
2,2/
(V.119)
Решение данного трансцендентного уравнения осуществляется либо
графическим методом, либо методом последовательных приближений.
В последнем случае первое приближение для gg' может быть найдено из
равенства
Хм (— 0) ф (т)
(V.120)
После подстановки первого приближения &>' во второй член правой
части уравнения (V.119) находим второе приближение и т. д.
Совершенно аналогично решается задача о сезонном протаивании
мерзлой толщи.
Комбинируя полученное решение с решениями для промежуточной
талой зоны по уравнениям (V.90) и (V.91) и подстилающей мерзлой тол-
щи по уравнению (V.83), возможно определить температурное поле
и скорости двухстороннего промерзания слоя сезонного протаивания, сло-
женного тонкодисперсными горными породами. При этом предполагает-
ся, что тепловые свойства многолетнемерзлой толщи являются постоян-
ными величинами.
Если же учитывать зависимость теплофизических характеристик гор-
ных пород многолетнемерзлого слоя от температуры, то температурное
поле этого слоя будет описываться уравнением
Гм (.7, t) =
X {(--^)г/ехр [psT-^-(T-T0) ^dr^dy + C,, (V.121)
где То', Tq, С\—постоянные, определяемые из дополнительных усло-
вий.
И. ПРОМЕРЗАНИЕ ТОНКОДИСПЕРСНЫХ
НЕ ПОЛНОСТЬЮ ВОДОНАСЫЩЕННЫХ ГОРНЫХ ПОРОД
При разработке теории теплопроводности промерзающих не полностью
водонасыщенных тонкодисперсных горных пород может быть использо-
вана предпосылка о непрерывной зависимости теплофизических коэффи-
циентов горных пород от температуры. При таком подходе понимается,
что эффективные значения теплофизических коэффициентов монотонно
изменяются при переходе через температуру начала замерзания поровой
влаги, а на границе поверхности промерзания не происходит изотермиче-
ского выделения тепла фазовых переходов.
На основе рассмотренного выше принципа двухслойная задача тепло-
проводности с разрывными коэффициентами и калорическим условием на
подвижной границе сводится к однослойной задаче с переменными тепло-
физическими коэффициентами, зависящими от температуры. Математи-
ческая формулировка задачи имеет вид
cY(d) —Л — — = div [Х(й)grad'd(.97, у, z, т)] (V.122)
190
при условии
т = 0; 0(я, у, z, т) = f(x, у,
z) — внутри тела; $(х, у, z, т) =
= ф(я, у. z, т) —на поверхности
тела.
Решение полученного нелинейно-
го уравнения теплопроводности
представляет не меньшие трудно-
сти, чем решение системы (V.30).
Но здесь открываются некоторые
возможности, связанные с линеа-
ризацией уравнения.
Линеаризация уравнения теп-
лопроводности позволяет исполь-
зовать для его решения весь арсе-
нал методов решения классическо-
го уравнения теплопроводности.
Для выяснения возможностей и
путей линеаризации рассмотрим
зависимость эффективных тепло-
физических коэффициентов почв и
горных пород от температуры во
всем диапазоне естественного из-
менения ее. В гл. III эти зависи-
мости рассматривались для раз-
личных категорий горных пород в
области отрицательных темпера-
тур. Общий характер зависимости
объемной эффективной теплоемко-
сти, коэффициентов тепло- и тем-
Рис. 97. Характер зависимости объемной
эффективной теплоемкости, коэффициен-
тов тепло- и температуропроводности гор-
ных пород от температуры
“O' — температура начала замерзания; О —
температура полного промерзания
пературопроводности от темпера-
туры для всего диапазона изменения ее отражен на рис. 97. В этой
схеме принято допущение, что при температурах, больших температуры
начала замерзания Инз и более низких, чем температура полного промер-
зания, теплофизические свойства не зависят от нее. Более обстоятельный
анализ этого вопроса показывает, что это допущение не может внести
сколько-либо существенных погрешностей в решение уравнения тепло-
проводности.
Аналитическое описание зависимости теплофизических коэффициентов мерзлых
почв и горных пород от температуры в области спектра фазовых переходов поровой
воды не представляет затруднений. Значительно сложнее отыскание общей зависимо-
сти теплофизических параметров для всего диапазона естественных температур.
Зависимость объемной эффективной теплоемкости почв и горных пород от темпе-
ратуры в первом приближении может быть задана функцией
2 9
(ф) = с/₽2«9НЗ-«)^»)1! + 0>5 (с^м + с^т) + О;5/Г" w (с^м _ (VЛ23)
где
Г 1^нз —10'1
*c(fr) = l + 33l-J '
L V
Р2, Рз — параметры, определяемые физико-механическими и физико-химическими
свойствами почв и горных пород; с0 — максимальное значение эффективной теплоем-
кости при температуре начала замерзания порового раствора; cvM и cvT — объемные
теплоемкости среды в промерзшем и талом состояниях.
191
Коэффициент 7£'с(й) скачкообразно меняется при температуре начала замерза-
ния. Введение этого коэффициента деформирует симметричную функцию Гаусса в
асимметричную с сильно сжатой правой ветвью. Степень сжатия задается точностью
измерения температуры и регулируется параметром (32-
Коэффициент теплопроводности почв и горных пород в первом приближении мо-
жет быть описан с помощью обратной тригонометрической функции
>. (О) - агс,е (а + ) ь--, (V.124)
где Хм и — коэффициенты теплопроводности среды в промерзшем и талом состоя-
нии; К с — коэффициент сжатия функции arctg й по оси й.
К с выбирается таким образом, чтобы за пределами спектра температур фазовых
превращений изменение функции не превышало допустимые погрешности в измене-
нии Х(й).
Эффективный коэффициент температуропроводности почв и горных пород при из-
вестных Х(й) и су(й) определится как производная величина
4-Хт %м —Хт Г йнз+йпз
2---~------й---arctg 1ft +-----2
a (ft) = ---
сое ~^нз-^стг+0>5 (^м + с^т) + 0>5Я« (<>) (с^ _ с^т)
Задание коэффициентов теплопроводности и температуропроводности,
а также эффективной теплоемкости как функций температуры в преде-
лах всего естественного диапазона температур позволяет рассматривать
многослойные среды с чередующимися фазами с подвижными границами
как однослойные среды с переменными теплофизическими коэффициен-
тами.
Линеаризация уравнения (V.121) производится с помощью интеграль-
ных преобразований (Кудряшов, Жемков, 1959)
(V.125)
Т = С
J с" (0 ’
о
(1)
t = \ af (r)dr;
о
grad i — с grad й.
(2)
(3)
(V.126)
(V.127)
Уравнение (V.121) линеаризуется к виду
dT/dt = V*T
с граничными и начальными условиями:
t = 0; Т (х, у, z, 0 = f (х, у, z) —
внутри тела;
Т (х, у, z, t) = ф (г, у, z, t) —
на поверхности тела.
Линеаризированное уравнение (V.126) характеризуется по сравнению
с исходным уравнением (V.121) более сложными граничными и началь-
ными условиями. Но известно, что для всех основных геометрических тел
к настоящему времени получены решения уравнения теплопроводности
при произвольных граничных и начальных условиях.
Задание граничных и начальных условий для линеаризированного од-
номерного уравнения
лученных из системы
&
j c(&)d&
О
Т =Д
о
(V. 127) производится с помощью соотношений, по-
(V.126)
(1) t =\а' (т) dx.
о
(V.128)
192
При этом задание
граничных условий, как
это следует из физиче-
ского смысла интеграль-
ных преобразовании
(V.126), связано не с
поверхностью, а с по-
верхностным слоем.
Основная трудность
в решении задач по теп
ловому режиму промер-
зающих тонкодисперс-
ных горных пород на
основе линеаризации
уравнения теплопровод-
ности состоит в перехо-
де от интегральных пе-
ременных Т и t к ис-
ходным переменным $
и т. Рассмотрим схему
такого перехода на ча-
стном примере промер-
зания сезонно-протаива-
ющего слоя для условий
Якутска.
Сезонно - протаиваю-
щий слой сложен гли-
нистыми породами. За-
висимости объемной эф-
фективной теплоемко-
с?, ккал / м3-град
10000 {----------
L-1 । । । I I I I-----U....L..J I I I I ll^
О ~2 -Ч ~6 -8 -10 -12 -14 -18
Рис. 98. Зависимость объемной эффективной теплоем-
кости, коэффициентов тепло- и температуропроводно-
сти мерзлой глины от температуры
сти от температуры для
рассматриваемой среды,
а также коэффициента теплопроводности и коэффициента температуро-
проводности отражены на рис. 98. Влажность грунта принята равной
30%, а температура начала замерзания йНз = —0,2. Удельная теплоем-
кость скелета равна 0,2 ккал/кг-град, объемная плотность минеральной
массы уо = 1100 кг/м3, объемная теплоемкость талой глины cvT =
= 583 ккал/м? • град. Коэффициенты теплопроводности глины в талом и
промерзшем состоянии соответственно равны 0,85 и 1,49 ккал/м-час-град.
Коэффициент температуропроводности талой среды составляет 1,46-
• 10-3 м?/час.
Математическая формулировка рассматриваемой задачи запишется
в виде
, п ч дф (х, г) д Га , п ч дф (х, т) 1 . п
|МО—h—j ’ 0<Ж<ое;
й(0, т) = ф(т);
& (я, 0) = / (ж).
(1)
(2)
(3)
(V.129)
Коэффициент теплопроводности X = Z (д') и эффективная объемная
теплоемкость заданы соотношениями (V.123) и (V.124).
С помощью преобразований (V.126, 1—3) получаем линеаризован-
ное уравнение при дополнительных условиях
13 Н. С. Иванов
193
Рис. 99. Граничные и начальные температурные условия и расчетная температура
на глубине 1 м
1 — изменение температуры на поверхности грунта; 2 — рассчитанная температура на глу-
бине 1 ж; 3 — начальное распределение температур
дТ(х, t)ldt = д2Т(х, t)/dx2; 0 <£<00; (1)
9(0, т)
T(O,t)= 5 %[^(0, (2)
о
T(x,0) = J 0)W, (3)
О
где
t
Т = S й"(0 dt"
о
(V.130)
Решение уравнения (V.130), полученное с помощью функции Грина
(Карслоу, Егер, 1964), имеет вид
оо f(x') (х—х')2 (х-\-х')2
Т(х, 0 = -2 ( § а,[«•(«', 4< — е 4< +
2 } о о I J
V
Ф S dt' х2
t *-0 а е 4(/-Г)
(URO, T)W(f__r)3/2 dt'. (VJ31)
2]Zя о
В этом решении Ф(0, т) рассматривается как функция t.
Начальное распределение температур (рис. 99) взято по результатам наших на-
блюдений за термическим режимом горных пород в районе Якутска за первую декэ-
194
цу января 1954 г. Функция распределения может быть в данном случае задана ин-
тегральным синусом
/ Я \
{х, 0) = / (^)— Аъ ^sin В2х 2 ) L’ 132)
где
Вх
Ssin т]
—’
о
А и находятся из условий:
— (Л2л/2) + ^-^(0, 0),
О (Ж, 0) —>'&£.
Коэффициент В2 находится по первой экстремальной точке.
Температура поверхности или поверхностного слоя может рассматриваться в пер-
вом приближении как периодическая функция. При более строгой постановке следует
учитывать, что годовые естественные циклы температуры поверхности почвы и при-
земного слоя воздуха могут существенно отличаться. Но и при такой постановке
функцию ф(т) можно представить как периодическую, в пределах одного годового
цикла. Разлагаем функцию ф (т) в ряд Фурье
оо
Ф (т) — гр (г) = (а0/2) + 2 ай cos ^т* + b/- sin (V.133)
Ь-1
где т* = ят/Тя; т выражена в декадах; Тл = 18 декад;
71
<г0 = (1/л)^(т’)Л’ = (1/Тя) jj <р(т)Л;
-- ~ ~
Тп
а^ = (1/Тп) ф(т)со8(&л/7\)тб/т;
Тп
5^ —(1/7\) Ф (т) sin (кп/Тп) xdr, (к = 1,2, . . ., п).
На рис. 99 представлена эмпирическая функция, описывающая изменение темпе-
ратуры поверхности почвы в районе Якутска по данным наших наблюдений за 1954 г.
График этой функции показывает несостоятельность попыток ряда исследователей
представить ее как однородную и гармоническую функцию. Достаточно отметить, что
летняя полуволна имеет «полупериод», почти в полтора раза меньший полупериода
с отрицательными температурами. В то же время абсолютное значение температуры
на летней полуволне примерно во столько же раз больше экстремального значения на
зимней полуволне.
Подставив найденные в аналитическом виде эмпирические функции
f(x) и ф(0 в уравнение (V.130), получаем общее уравнение для опреде-
ления зависимости Т от х и t. Однако ввиду сложности подынтегральных
функций доведение решения (V.130) до численных значений целесообраз-
нее проводить методами приближенного анализа.
Рассмотрим один из таких методов. Разобьем полные пределы интег-
рирования по переменным х и t на такие интервалы, для которых функ-
ции, описывающие начальные и граничные условия, могут быть пред-
ставлены среднеинтервальными постоянными значениями. Так, напри-
мер, если интервал (0, х) разбить на т, а интервал (0, t) — на az элемен-
тарных интервалов, то решение (V.130) запишется
m Xi °) ч (х— х')2
T(x,t) = —— 2 ) ( ) 0)] (fOj [е 4/ —е
2 г=1х^_х о
(х-|-х')2
4/ ] dx' +
(V.134)
195
Представим в первом приближении зависимость коэффициента тепло-
проводности от температуры для отрицательной области экспоненциаль-
ной функцией
Х(0) = %м —(%м — %т)е“а«'(<>нзЛ (V.135)
Подставив выражение (V.135) в уравнение (V.134) и проинтегриро-
вав его поинтервально по Ф, получаем
7(^,0
1
т
2 V nt I'
xi___________
X [e 4<
(x—xz)2
— e
(x4-x')2
4/ ] dx'\ +
4 fe-aw(*H3-X0k> — e
(e-awfdH3-®i) __ е-%»НЗ
Л-1
P i(t-t')
(t -t’)
(V.136)
a
W
W
х
2 V„
где i = 1, 2, ..., m; к = 1, 2, ..., n\ fb — 0; xm = oo; tQ = 0; xm-± =
= Ziit; ^пт — глубина, на которой температура может считаться постоян-
ной в течение годового цикла.
Для удобства расчетов преобразуем интегральный множитель первого
члена уравнения (V.136) к виду
1
2 У nt
(х—xz)2 _ (x-l-x')2 / x x.
4/ ---e 4/ ] — erf ------------
2 \ 2//{
erf
X — X.
_____г_
2 Vh
1 / х 4- х
erf —
2 А
(V.137)
Функция ошибок Гаусса erf z протабулирована (Сегал, Семендяев,
1962), что значительно упрощает расчеты.
Аналогичным путем приводим к функции Гаусса и интегральный мно-
житель второго члена
t, _ х2
х Д е т-п
& \ Tit п
----7= \---------77— at = erf --
2/л J (t — t')/z 2Vt—tk
zfc-l л
X
2 t
erf
(V.138)
Введем обозначения
g-«^H3 = A3 (1)'
aw
-A- Mi-A' (ea^i- 1)] = A3i-, (2) ?
Мй — A' (eaw^ — 1) = B31c. (3) j
(V.139)
С помощью выражений (V.137) — (V.139) упростим уравнение (V.136)
Sf X — X- л X -4- X. X + X- .
A3i (erf----— ег^ —7^ + erf-----------------+
i=1 П 2/Zi-i 2Vti 2/«{_i
erf
(V.140)
X
2
Вычисление температурного поля полуограниченного тела производится в следую
щем порядке.
196
1. На основе начальных и граничных условий по формулам (V.139) определяются
коэффициенты A3i и Bsk. При этом нет необходимости переходить от функции Ф (0, т?
к функции % (0, t), так как при определении коэффициентов используются числен-
ные значения этих функций.
2. Допускается, что в пределах первого интервала времени, равного продолжи-
тельности первой декады января, выраженной в часах, коэффициент температуро-
проводности остается постоянным. При этом условии находится приращение пере-
менной t за первую декаду из формулы
= анДТ1. (V.141)
3. После определения А^г- находятся значения функций Гаусса, входящих под
знак первой и второй сумм. Найдя члены этих сумм, а затем и значения сумм для
заданных tn и агг-, определяем величину функции T(xi, tn).
4. Из уравнений (V.126) находится значение т), соответствующее значе-
нию функции T(Xi, t).
5. После определения значения функции -О’(ж,, т) в конце первого интервала вре-
мени находится из графика новое значение коэффициента температуропроводности,
а затем и приращение А^н Путем повторения циклов описанных выше расчетов
находятся значения ^(^г, г) для следующих моментов времени.
На основе описанной выше расчетной схемы был рассчитан ход температуры на
глубине 1,0 м за полный годовой цикл (см. рис. 99).
Аналогично находится решение задачи о температурном поле полуогра-
ниченного тела при граничном условии теплообмена 3-го рода. Зададим
произвольные граничные и начальные условия
О(ж, 0) = /(ж);
-+ т- [<ь (т) - (°’ т)] = °’ (V-142)
где фг(т) —температура среды.
Тогда решение поставленной задачи для интегральных переменных за-
пишется так:
(X— Х')2 (X—J—Хл)2 5? а Х-|-Х'
Т(х, t) = —7=\ и 4/ + е 4* —? 4* ^т1]
*0 О
Г -7— р г X2 __а (х+тп)2
X f(x')dx' + ^- у — j р 4(/-г)--------е л
о о
(V.143)
где х(Г) = ф[т(0].
С помощью данного метода могут быть решены задачи о промерзании
тонкодисперсных сред с учетом конвективного теплообмена. Для этого
лишь необходимо использовать понятие эффективного коэффициента теп-
лопроводности (гл. III, раздел 10). Недостатком метода является большой
объем вычислительных операций. Однако эти операции не вызывают боль-
ших затруднений, так как они связаны в основном с действиями над табу-
лированными функциями. Вычислительный процесс может производиться с
помощью ручных счетных устройств и на электронных счетных машинах.
Сокращение объема операций возможно путем составления специальных
таблиц и графиков. С другой стороны, необходимо совершенствовать рас-
четные схемы и структуру интегральных преобразований.
12. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
МЕТОДОМ ДВИЖУЩЕГОСЯ ТЕПЛОВОГО ИСТОЧНИКА
Лайтфутом (Карслоу, Егер, 1964) был предложен весьма эффективный
метод решения задач с фазовыми переходами и подвижными границами.
Сущность этого метода основана на аналогии задач с подвижной границей
и задач с движущимся тепловым источником.
197
Однако этот метод имел ограничения, не позволяющие применить его
для решения задач о промерзании и протаивании грунтов. Ограничения ха-
рактеризуются тремя основными исходными предпосылками метода Лайт-
фута.
1. Идентичность теплофизических свойств талой и мерзлой фаз грунта.
2. Постоянство и однородность граничных и начальных условий.
3. Мощность теплового источника равномерно распределяется в окру-
жающей среде.
Снятие указанных ограничений раскрыло бы широкие перспективы при-
менения метода движущегося теплового источника для решения задач
о промерзании — протаивания грунтов и задач Стефана вообще.
Ниже предлагается один из путей снятия этих ограничений.
Как уже было ранее установлено, сравнительно просто решается зада-
ча об отыскании решения уравнения теплопроводности в приповерхност-
ной талой или мерзлой зоне. С достаточной точностью для большинства
практических расчетов температурное поле в этой зоне определяется из
предпосылок о квазистационарности или квазиподобии температурных
полей.
Наиболее сложную часть задачи Стефана составляет решение уравне-
ния теплопроводности для нижней талой или мерзлой зоны с верхней по-
движной границей. Особенно трудной оказывается эта задача при неодно-
родном начальном распределении температур. Рассмотрим возможности
решения этой задачи методом движущегося источника, не повторяя здесь ее
аналитической постановки.
Общее решение задачи для полуограниченной среды с верхней подвиж-
ной границей и постоянной начальной температурой талой зоны
,&(х, 0) =й’о определится суммой промежуточных решений (Карслоу,
Егер, 1964)
6 (х, т) = и(х, т) + v(х, т), (V.144)
где и(х, т) —решение, описывающее температурное поле, создаваемое
движущимся плоским источником мощностью доуо^Г; *>(#, т)—решение
для температурного поля, создаваемого начальным распределением.
При постоянной мощности теплового источника составляющая общего
решения и(х, т) определяется следующим выражением:
и (х С dt {exo Г- - ехо Г-
’ 2сТ /ла J (т — Г)*/2 I Р L 4а (г — Г) J Р L 4а (т — t) JJ ’
(V.145)
где с — удельная теплоемкость влажной (льдистой) среды; у и Yo —
объемная плотность среды и объемная плотность грунтового скелета.
В процессе промерзания мощность теплового источника по отношению
к талой зоне не остается постоянной, а потоки не симметричны озноситель-
но плоскости теплового источника. Для учета отмеченного обстоятель-
ства поступим следующим образом. Найдем поправку на непостоянство и
асимметрию потоков тепла от теплового источника в мерзлую и талую
зону. Эта поправка может быть найдена из калорического условия Сте-
фана
—МДЗ'О’т / дх) + Хм(<?йм / дх) = Q& = qQ\oivr^. (V.146)
Приводя неоднородную (талую и мерзлую) среду к однородной (мерз-
лой), получаем
—Хм (<?6’Т / дх) + Хм (д^м / дх) = qowy^ + (Хм — Хт) (<Ж / дх). (V.147)
198
Если исходить из условия квазистационарности температурного поля
в талой зоне, то величина поправки для теплового потока определится из
формулы
AQ = дхеп / g = АХФ (т) / %, (V.148)
где йп = ср (т) — температура поверхности.
Тогда исправленное значение теплового потока окажется равным
7oz = 2#о ± 2АХ(ср(т) / (V.149)
где знаки + и — относятся соответственно к процессам промерзания
и протаивания.
Используя понятие исправленного значения теплового потока, можно
рассчитывать температурное поле в мерзлой зоне, независимо от талой,
обладающей отличными тепловыми свойствами. В этом случае вся среда
может рассматриваться приведенно-однородной. Этим приемом устраняется
ограничение на термическую неоднородность талой и мерзлой сред и асим-
метрию распределения теплового потока в талую и мерзлую зоны.
При этом составляющая общего решения, определяемая полем движу-
щегося источника с переменной мощностью, запишется в следующей
форме:
и(х = С Wdt JeXD Г- — ехп Г— + 1! -
’ с /лат J (т — I PL 4а(г—i)J Р1. 4а(т—z)|j
с Ф(рд сдрг (g-aq сдрг (*+о2д zV150)
с /лат J(г — <)'/2 Iе Р L 4а(т—Z)J PL 4а(т—t)Jj’
Для построения общего решения задачи Стефана воспользуемся извест-
ным решением для полупространства с нулевым граничным и произволь-
ным условиями
ОО
v’т) = f (j/){expН “ехр dx'- (v-151>
г о
Подставив значение и(х,т) и v(x,t) в общее решение (V.144), по-
лучаем
су У ла J (т — t) '2
1*-Л)21_ехр
4л (т — £)] Р
।
2 У" лат _
о
АХ f ф (0 dt Г
--г—— \ 17 1 ехР
с У ла у J £ (т— t) >2 I
? г ( [ Г (я — я')2
Л/(И{ехр|—
(*-Ч)
4л (т —
(V.152)
где G — геотермический градиент; О — средняя температура на поверх-
ности в соответствии с геотемпературным градиентом.
Для нахождения закона движения границы раздела (теплового источ-
ника) используется уравнение
и (I, т) + V (I, т) = б’нз = О
(V.153)
199
или
WoYo с 5' dt |4 _г t? ц ДХ f <Р(О
% - I л 1 t/ -Л- |J I . j. \ I I Г‘ '"" 1 1 I х'*
су У ла J (т — t) '2 I L а (т OJJ су У ла J (т — t)/г £
£
X ехР [— а (X- n] dt + 2 у-— jj/СИ1ехР [------(Уаг )2 ] “
о
— ехр [— ]}^' + Gg + = О. (V.154)
Представим (V.154) в виде
т ^2 i+1
wgato I'dt f4_______ Г & 1] АХ чл С £'
ст Xпа v (т— <)"^2 I- I- а (т ст Xпа о (т—
т жк+1
X Г1—ехр (--------т-')|<7г-|-----{= у Aflc {ехр Г------Т ж I —
I \ «(т — О /] т 2 V лш ' J I F L 4ат J
7с==1 x-fc
— ехр [~‘М^^]Рж + ^?+^ = 0- (V.155)
Если исходить далее из обычного для задач Стефана закона движения
подвижной границы
Ur) = 2P(ar)1/2,
то уравнение (V.155) преобразуется следующим образом:
ре32 ф* (р) ф (Р)
(V.156)
г— П А Г- ( Дт141
2ДХ Ул у Лг D*2 {-г2-)
+ <?£ + -& = о,
(V.157)
Z
9 Р
где Ф (z) = — \ е~ъ2йц;
У л J
о
ф*(г)=:1 — Ф(г).
Полученное уравнение может быть решено относительно Р графическим
методом. В таком общем виде оно позволяет рассчитать динамику протаи-
вания при произвольных граничных и начальных условиях. Представляет-
ся возможным также учесть изменение параметра р. С этой целью весь
цикл времени промерзания — протаивания разбивается на ряд интервалов,
в пределах которых Р принимает определенные значения. При таком под-
ходе для каждого из интервалов задается новое начальное распределение
температуры.
Если исходить из постоянной начальной температуры мерзлой зоны и
возможности замены функции ср(т) ее среднеинтервальным значением йп,
то уравнение (V.157) преобразуется к весьма компактному виду
(2g07Tu/n - А?з^П)^рф*(₽)Ф(Р) + *>оФ(₽) = о. (V.158)
При построении уравнения (V.158) учтено равенство
= 2^а.
(V.159)
200
Рис. 100. Графическое решение уравнения
0*(Р) =ЛР);
Р / Q\ _______________________________
Г2qQw У л То ДХ У"л Фп 1
Р L СТ 32асу J
Уравнение (V.158) может быть приведено к виду, более удобному для
графического решения,
л. е~&2
Ф* (₽) =------------£=-------------. (V.160)
Г 27ог4?то У л АХ^п ]^л1
[ су Р2<2су J
Для случая промерзания знаки перед Фо и Фп следует изменить на об-
ратные.
Решение уравнения (V.160) графическим путем не представляет суще-
ственных затруднений. Функция Ф*(Р) = (2/]/л)(1 — erf Р) является
табулированной, а аргумент изменяется в ограниченных пределах от 0,050
до 0,30—0,40.
Определение (3 производится следующим образом. На графике воспро-
изводится общая для всех случаев зависимость функции Ф*(Р) от р. Затем
находятся два значения Р, между которыми заключено искомое значение
этой величины. После второго приближения это значение может быть най-
дено графической интерполяцией.
На рис. 100 рассмотрен частный пример определения Р при следующих
значениях параметров: qQ = 80 кал!кг\ у0 = 1500 кг!м3-, Фо = —5° С;
= 0,5 ккал/м-час-град-, Фп = 10° С; ам = 3-10~3 м21час-, с =
= 0,27 ккал/кг-град-, w = 0,20.
Решение уравнения (V.160) может быть облегчено путем номографи-
рования всего семейства исследуемых функций в ожидаемом интервале
изменения параметра р.
С достаточной для практики точностью может быть найдено приближен-
ное функциональное выражение параметра р. Для этого воспользуемся
разложением функций Ф*(Р), е~$2 в ряды
ф-(Р) = 1-Р + Ф’/1.3)-... 1
ехр(— рт) = 1 - ?•- + ((!',2) - . ) 1 '
201
Ограничиваясь двумя членами в разложениях (V.161) и обозначив
А = / cyfto,
Bs = / Р2асуй0,
находим
(3^ [1 + fl + - 1)] / 2(А4 - 1). (V.162)
При выводе формулы (V.162) принималось во внимание, что
Л4 - В, > О, В, > 0 и р > 0.
Проверка полученной формулы показывает, что точность ее вполне
удовлетворительна. Так, например, для рассмотренного уже случая полу-
чаем р = 0,199, что совпадает до второго знака со значением, полученным
графическим методом.
Расчетные формулы для определения глубины промерзания — протаи-
вания, построенные на предположении об однородном начальном распре-
делении температуры, являются несомненно приближенными. Погреш-
ность определяется степенью отклонения однородного распределения тем-
пературы от истинного. Особенно существенна погрешность в начальной
стадия процесса промерзания — протаивания.
Предложение В. С. Искрина о замене истинного распределения темпе-
ратур среднеинтервальной температурой в слое глубиной L'
L
ё= (!/£/)§ Ж 0)dx (V.163)
о
не дает принципиального решения задачи. Это в первую очередь относи г-
ся к начальному процессу (Павлов, 1966), что особенно важно при тепло-
физическом обосновании методов воднотепловой мелиорации мерзлых почв
и горных пород.
В общей постановке определение расчетной глубины промерзания —
протаивания следует производить на основе уравнения (V.157). В то же
время можно воспользоваться более упрощенными способами, степень при-
ближенности которых определяется исходными условиями и постановкой
задачи.
Это приближение достигается представлением истинного начального
распределения температуры ступенчатой функцией. Для каждого элемен-
тарного интервала средняя температура может быть определена одним из
способов осреднения. В этом случае расчет глубины промерзания — протаи-
вания производится по формуле (V.158).
После промерзания очередного элементарного слоя определяется новое
начальное распределение температуры в мерзлом слое для начала следую-
щего расчетного интервала времени.
Величина пространственных и временных интервалов возрастает по ме-
ре продвижения в глубь фронта промерзания — протаивания.
13. О ПРЕДПОСЫЛКАХ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ
ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
Метод разделения переменных, широко известный при решении урав-
нения теплопроводности, не применялся для решения задач с подвижными
границами, а следовательно, и задачи Стефана. Не предрешая окончатель-
ной оценки математической строгости развиваемого здесь подхода, рас-
смотрим лишь некоторые возможности применения метода разделения пе-
ременных при решении уравнения теплопроводности для неограниченной
пластины с верхней подвижной границей.
202
Математическая формулировка рассматриваемой задачи
5йм(х, т) / дт — ам[^2йм(ж, т) / дх2];
0м (В, т) = 0;
йм(Ь",т) = 0;
$м(х, 0) — f(x).
С помощью преобразования у = х /1 (т) получаем
ствующее условиям с неподвижной границей
1\дТм1дт) — 1£у(дТы1ду) = а^д2Т^ду2);
Гм(1, т) = 0;
7М(|, т)=0
Ты{у, 0) = / (ж).
Частное решение уравнения, полученное
менных, запишется в виде
Т’м (г/, т) = е_фгамт[Cl cos (фг/g) + С2 sin (-фг/g)] = 0 (т) Ф (г/).
Из граничных условий
Ci cos ipg + C’2sinipg — 0,
Ci cos ipL + C2 sin ipL = 0
находим
Ci = — C2 tg ipgj
гр = пл / —
(1)'
(2)
(3) r
(4) [
уравнение, соответ-
(V.164)
(V.165)
(1)
(2)
(3)
(4)
методом разделения пере-
(V.166)
(1)
(2)
(1)
(2)
(V.167)
(V.168)
Общее решение запишется в виде бесконечной суммы
оо
Ты (У, т) = 2 e~'Fn!aMT [— С.2п tg (фп£) cos (tyny%) + Сгп sin
п=1
2
Anc’^^sin-^^MO/-!). (V.169)
n=l
Разлагая функции начального распределения температуры в ряд Фурье
по sin х, находим из начального условия значения коэффициентов разло-
жения А5п
Лп = -L"L^ 5 f№o(y~ sin £"-^0 ^о(у— 1)^[Во(г/ —1)1 =
о
L"-^o
= $ f(x-l0)SmT^(x-^)d(x-l()), (V.170)
о
где go = 5(0), g<Lzz.
При go = 0 коэффициенты А5п находятся ранее описанным методом
разделения толщины слоя L" на ряд элементарных интервалов
7И
Л5п = 2/£"2 A^L”/пл) (cos пп~ 1). (V.171)
г=1
14. ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОС В ПРОМЕРЗАЮЩИХ ВЛАЖНЫХ
ГОРНЫХ ПОРОДАХ
В зависимости от механизма массопереноса, происходящего в процессе
промерзания, могут быть выделены три основные категории дисперсных
горных пород.
203
Тонкодисперсные горные породы (глины, суглинки, отчасти супеси и
гонкозернистые пески) — массоперенос в которых происходит как в та-
лой, так и в мерзлой зонах и осуществляется в форме миграции влаги.
Крупнозернистые песчаные и отчасти супесчаные горные породы —
массоперенос в которых происходит в основном в талой зоне. Миграция
влаги возникает под действием адсорбционных, механических и осмотиче-
ских сил, а также поверхностного натяжения.
Крупноскелетные и трещиноватые влагонасыщенные горные породы.
Массоперенос в этих средах обусловлен процессами свободной и вынуж-
денной конвекции. Крупноскелетные и трещиноватые неводонасыщенные
среды. При промерзании, особенно при многолетнем, существенное значе-
ние имеет конвекция воздуха и диффузионные процессы массопереноса.
Тонкодисперсные среды
Изучение массопереноса в промерзающих тонкодисперсных средах на-
ходится в настоящее время еще на стадии выявления качественных зако-
номерностей.
Остается невыясненной динамика величины скачка массопотока на по-
движной границе. Не установлены количественные связи между мощно-
стями среднеобъемных стоков массы и величинами массопотоков, степень
термодинамической необратимости процесса перехода связанной воды в
лед I прослоек.
Можно исходить из термодинамического равновесия поровых растворов
с окружающей средой. При этом в качестве основных движущих сил мас-
сопереноса следует рассматривать адсорбционные силы на поверхности
минеральных частиц и поверхности льда, осмотические силы в промерзаю-
щих пленочных растворах и механические силы вакуумно-компрессионно-
го характера.
Основной сток массы в промерзающей зоне обусловлен системой ледя-
ных тел, образующихся в грунтовой среде. При образовании этих тел вода
выходит из сферы действия электромолекулярных сил, создаваемых или
наводимых поверхностным зарядом частиц. Только в этом случае будет
возникать непрерывный дефицит адсорбционных сил.
Из сказанного вытекает, что мощность стоков вещества является не
только следствием, но и причиной, обусловливающей интенсивность про-
цессов массопереноса в зоне промерзания.
Среднеобъемная мощность стока связанной воды (льдообразования)
определяется суммарной повеохностью ледяных тел, их геометрией, тем-
пературой среды, механическими и физико-химическими свойствами рас-
твора и дисперсной системы.
Интенсивность фазовых переходов в системе связанная вода в пленках
частиц — вода, адсорбированная на поверхности льда — лед определяется
разностью химических потенциалов связанной воды в пленках частиц
и льда
N = /(Ащ5г), (V.172)
где Ац = ивч — ^вЛ — ($вч — $вл)^ + (^)ч — (^р)л; индексы ВЧ
п ВЛ относятся к воде в пленках частиц и льда; 5г — поверхность раздела.
Отсутствие экспериментальных данных о величине Ац и функции 5Г,
изменяющихся в процессе промерзания, не позволяет еще сделать точной
количественной оценки величины стока тепла в промерзающей тонкодис-
персной среде.
Крупнозернистые среды. При промерзании крупнозернистых песчаных
пород массоперенос в мерзлой зоне не учитывается. Система уравнений
тепло- и массопереноса для рассматриваемых талой и мерзлой сред в со-
ответствии с выражением (V.1) запишется в виде
д^м/дх = ам (д2Фм/д.г2); (1) ]
(2) ]
204
2 3
д^т/дт = (д2^т/дх2)— 2 — 3 Ct^tiV'&t;
(3)
(V.173)
r0T (dwT2/dr) = гот(д/дх) [aT (dw2T/dx) + ^а^д^/дх)]-^!^)
Z^x^oo; (5)
#м(0, т) = <р(т); (6)
ftT(.r, 0) =/(ж); (7)
ем(5, т) = От(^,т) = 0; (8)
— %м[дОм(£, г)/дх] +ХТ [#&т(£, т:)/дх] = qo(wrfo + «т) X
X[rf|(W (9)
гм = 0; (10)
г’т = zT2 + гТ1 = — То^гтЯгт (dw2T/dx) — Го^гт^гт (д$т/дх) —
— Yowit (dw-cy/dx) — Yo^it (д&у/дх). (11)J
В приведенных выше условиях индексы Т и М относятся к талой и
мерзлой зонам, 1 и 2 — к водяному пару и жидкой фазе.
Сравнительный анализ членов уравнений тепло- и массопереноса для
талой зоны показывает возможность их существенного упрощения. В част-
2
ности, без большой погрешности может быть опущена сумма S Ct^tiV#,
так как она выражает величину потока, не превышающую долей процента
от общего теплового потока. Для оценки членов 12 и hJi может быть ис-
пользована формула А. И. Вейника и А. С. Шубина (1958)
(V.174)
Ф21 r2y2r д,ф
'к1 'о а^кп
^Р'взг^' V'O’
где 8ф21 — критерии фазового превращения (А = &Ф21 (dw2 / <5т)); у —
объемная плотность среды; гк — эквивалентный радиус капилляра; го —
удельная теплота парообразования; цвзг — коэффициент вязкости воды;
X — коэффициент теплопроводности среды; г|?кп — избыточный капилляр-
ный потенциал (гркп = lg); I — высота капиллярного подъема; g — уско-
рение силы тяжести.
Принимая во внимание зависимость капиллярного потенциала от влаж-
ности для песчаного материала, полученную для тонкозернистого песка
И. С. Васильевым (1937). а также значения градиентов влажности и тем-
пературы вблизи фронта промерзания по нашим данным и по расчетам
Г. М. Фельдмана (Порхаев и др., 1964), находим
А'фкп/ V0 « 10—20;
8ф21 ~ 3 — 5%.
К аналогичным выводам можно прийти и на основании эксперимен-
тальных исследований, проведенных А. М. Глобусом (1960, 1962).
При сделанных допущениях система уравнений тепло- и массоперено-
са для талой зоны может быть представлена в достаточно простом виде
д&гу/дх = (l/cYT (х)) (д/дх) [X (х) (дйт/Ш)]; (1)
dw/dx = (д/дх) [a'(w) (dw/дх)]. (2)
(V.175)
205
Термическая неоднородность среды для уравнения теплопроводности
обусловлена неоднородностью поля влажности в талой зоне.
При решении полученной системы уравнений тепло- и массопереноса
предполагается, что принцип квазиподобия полей температуры и влажно-
сти в талой зоне сохраняет свою силу. При этом допущении целесообраз-
нее рассматривать теплофизические свойства как функцию переменного
У = X / g.
Преобразуем с помощью этого переменного уравнение теплопереноса
(V.175, 1) к уравнению с неподвижными границами
t2 дт *' дТ I Г^(2/) дт I 1/ \ /vnn
5 -ъ----У& -я---h л (У) • (V.1 /о)
дт и ду сут (у) L ду ду у ду2 J v
Без существенных ограничений можно исходить из экспоненциального
характера зависимостей величин с?т и л от у
₽тТ = <ое’а“У; (!)
Хт = Хов“'34!/, (2)
(V.177)
где
с*0= cYOe’4'; Хц = А,0/‘г; с70 и А,о— объемная теплоемкость и коэффициент
теплопроводности талых горных пород при исходной начальной влажно-
сти; I = у* — относительная толщина слоя, в котором затухают изменения
влажности.
После подстановки величин л(г/) и cv(z/) в уравнение (V.176) послед-
нее преобразуется к виду
¥ (дТ!д%) - у1£ (дТ/ду) = - (₽4 - а4) а (у) (дТ/ду) + а (у) (сРТ/ду*),
(V.178)
где
«(у) = Му)/С-гт(у).
Применяя принцип квазиподобия, находим первое приближение реше-
ния рассматриваемой задачи из уравнения
д*Т/ду*+ [у^/а(у)-(^~^)]дТ/ду = О (V.179)
Т'771' = -^'/ао)уе(^У + р4-а4, (V.180)
где
а0 = ^o/cyo«
Полагаем, что комплекс может рассматриваться как постоянная ве-
личина. Тогда общее решение уравнения (V.180) запишется
у
Т(у, т) = С2 + Сгу + e~p^iy+p^y-p^ydy, (V.181)
о
где Ci и С2 — произвольные постоянные;
Л = — а4) Г4 = ₽4 — ос4.
Для упрощения полученного решения разложим функцию ехр (у^у)
в ряд и ограничимся вторыми степенями члена у^у
— Лу (1 + пу + 4гГ4у2 -I— ) + Л (1 + пу + Jj- r4y2 Н—) —
— Pi + ПУ — Лпу2 + 4- PJly2 + ПУ = — 4"^ (2pi — П) X
х (2P4-Y4)1 + 2(2pI-Y4) • (V.182)
206
При принятых допущениях получаем следующую модификацию урав-
нения (V.181):
Т (у, т) = С2 + Сгу + [-|-Г4 (2Р4 — П)] Л [erf (у — 2j>4LTJ ~
(V.183)
Применим общее уравнение (V.183) для описания температурного поля
талой зоны при следующих дополнительных условиях:
Тт(1,т) = 0; (1)
Тт(у,0) = Ъо. (2) (V’184)
После определения постоянных получаем окончательно для первого
приближения
Тт (у, т) = do (1 - у) + —- { [erf (у - 2^^ ) -
|/ *2" Та (2Р4 — Т4)
~ еН ~ У |erf (i — 2Р4- Т4) — еЙ 2Р4-П ) ] Г
(V.185)
Последующие приближения находятся способом, описанным в предыду-
щих разделах.
Перейдем теперь к решению уравнения массопереноса для талой зоны.
Применив преобразование у = х / g, перейдем от системы с верхней по-
движной границей к полуплоскости с верхней границей у = 1. При этом
уравнение массопереноса принимает вид
%z(dw/dr) —yll'(dw/dy) = (д / ду) [a'(w) (ди> / ду)]. (V.1C6)
Применяя интегральное соотношение
W
Ф(ш) = ^a'(w)dw, (V.187)
преобразуем уравнение (V.186)
ёфФ/дт) -у1£(дФ/ду) = д2Ф / ду2. (V.188)
Исходя из принципа квазиподобия, для получения первого приближе-
ния решения уравнения (V.188) используется его модификация
д2Ф I ду = -у^{дФ!ду). (V.189)
Решение уравнения (V.189) имеет вид
Ф (*/, т) = С2 + (]/2 I Ж? erf Ж / 2у. (V.190)
Для песчаных горных пород зависимость коэффициента потенциало-
проводности от влажности хорошо описывается линейной функцией
a' (w) = aQ + b2w. (V.191
На основе совместного решения уравнений (V.189) — (V.191) полу-
aow + О,562^2 = С2 + (У 2/Г IF) erf (Ж'/2) у. (V.192
При однородном начальном распределении влажности дополнительные
условия для рассматриваемой задачи запишутся
w (1, т) = 0; (1)
Z ПА /эх (V.193)
w(y, 0) = w0. (2) v 7
207
Из этих условий находим значения произвольных постоянных и С2
(1)
(2)
(V.194)
где комплекс по-прежнему считается независящим иг времени.
Аналогично могут быть найдены решения уравнения массопереноса и
при других аналитических формах зависимости коэффициента потенциало-
проводности от влажности: степенной, показательной, логарифмической.
Крупноскелетные водонасыщенные среды. Процесс промерзания круп-
носкелетных водонасыщенных сред в теплофизическом отношении харак-
теризуется практически полным отсутствием массопереноса в мерзлой зоне
и компенсацией восходяще-нисходящих массопотоков — в талой.
Если массоперенос в талой зоне обусловлен свободной конвекцией по-
ровой воды, то система уравнений теплопереноса для полуограниченной
промерзающей среды сформулируется в следующем виде:
дйм / дх = ам (д2$м / дх2); 0 х ?(т); €ут(дйт/ дх) — д / дх [Хэф (О (д$ / д;г)]; 5 х оо; (0, т) — <р (т); (1) (2) (3) (4) (5) (V.195)
От ( г, 0) = /(х); — Хм (<?Ом / дх) + ХЭф (Ж / дх) — qtjwyol'. Эффективный коэффициент теплопроводности дуктивной, так и конвективной составляющими ХЭф = X + Хмск, (6) (7) определяется как КОН- СУЛ 96)
где Хмск — коэффициент конвективной теплопроводности, определен-
ный ранее;
23 (# — 4)
^мск ($) = ЬвКр g (О — 4)2]2 ’ (V.197)
где хр — коэффициент массопереноса.
Решение уравнения теплопереноса для мерзлой зоны с нижней подвиж-
ной границей было получено ранее. В связи с этим остановимся лишь на
решении уравнения теплопереноса для талой водонасыщенной зоны.
Применяя принцип квазиподобия и ограничиваясь первым приближе-
нием, получаем следующее уравнение теплопереноса для талой зоны:
д /Г 2R (Г —4) 1 дТ \ _ дТ
— /гвхр + _ 4)2р| )= — ?Лё'с7Т • (V.198)
С помощью интегрального преобразования
Р Г 23„ (Т — 4) 1
ф (П = ~^вхр dT = (V.199)
о v
(* f 23п (й — 4) 'i Г 1 i 1
= J г — ^B%p [1 +3„ (О —4)2]2] + /г«х₽ [—+ о _ 4)2 — + 16р j
О
208
(V.200)
уравнение (V.198) приводится к виду
52ф / ду2 = —у^' (с?т / хт) (5Ф / ду),
где
л , и .. 23»<г-4)
лт _ л tls'Xp ц (у _ 4)2]2'
Решение этого уравнения было получено ранее и окончательно имеем
Ф(у, т) - С2 + Ci V2/^'с7Т erf К^'с7Т/2 у. (V.201)
При дополнительных условиях
Ф(1, т) = 0;
ф(у,0) = Фо = 71о = *о.
(V.202)
Произвольные постоянные Cj и Сг определяются из соотношений
(1)
(V.203)
(2)
Подставив значения С± и С2 в (V.201), находим в первом приближении
общее решение уравнения теплопереноса для талой зоны, сложенной круп-
носкелетными водонасыщенными горными породами с верхней подвижной
границей,
/ 1 1 \
Х-O' + Лвхр (j + Р'ДА _ 4)2 — 1 + 163^ ) =
+ ftBx₽ (j + зв (оо 4)2 i + 1бЗр J eri у 2
/ 1 1 \ [. /Г^сут\ х
+ Зи {tf0 - 4)2 - 1 + 163в) еГЧ!/ 2 ) Т
-------------------............ ........................ ( V . ZU4)
j/ -----erf ~'су
При составлении уравнения теплового баланса на подвижной поверх-
ности раздела тепловой поток в талой зоне вычисляется из уравнения
?т = - Чф (О) (W?) <дУ!дх> = - Чф W (! /В). (V.205)
В этом случае формула для определения глубины промерзания имеет
простейший вид. Если к тому же расчет глубины промерзания произво-
дится послойно при условии (Хэф)г = const, то формула для определения g
с учетом равенства (V.205) может быть представлена в виде
Г С — 11/2
£(т)= a5^q>(T)dr — (Хэф)4С1 , (V.206)
L о J
где а5 = — 2ХТ ехр (— ^'/2ат) V^'/2ат/<20 erf V&l2a^.
14 Н. С. Иванов
209
15. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
Под двухмерной (или плоской) задачей Стефана понимается обобщен-
ная задача об отыскании температурных полей и зон протаивания и про-
мерзания около источников (стоков) тепла, ограниченных контурами, ко-
торые являются кривыми второго порядка. К этому же типу задач отно-
сятся и задачи Стефана для полу ограниченной среды при источниках
(стоках) бесконечной протяженности, ограниченных поверхностями второ-
го порядка при неизменном контуре сечения.
В настоящее время еще не получено общего решения плоской задачи
Стефана, поэтому представляют большой интерес приближенные методы.
Среди них можно отметить, например, метод вспомогательных температур,
разработанный Г. В. Порхаевым, и метод трубок теплового потока, пред-
ложенный Ю. Л. Шуром (Порхаев и др., 1964).
Не останавливаясь на анализе этих методов, представляющих несом-
ненный интерес для инженерной практики, рассмотрим один из прибли-
женных методов расчета динамики зон протаивания — промерзания под
плоскими источниками (стоками) тепла.
Разработка этого метода проведена для плоской задачи Стефана при
полосовом источнике тепла, расположенном на поверхности полуограничен-
ной среды. Общая формулировка такой задачи при однородном начальном
распределении температур описывается следующей системой уравнений и
дополнительных условий:
дйт (х, ?/, т) Г д2йт (х, ?/, т) д2йт (х, у, т) 1 \
дт = ат [ I J ’
0<ж<£х(я, у, т); 0<т/<£у(ж, у, т); (2)
(ж> V’ т) _ Г а2,&м (ж> У> т) , (ж> У’ т) 1 .
дт ~ I д^ J’
^(ж,. у, т)<ж< оо; ^(ж, у, оо; (4)
при г/ = 0; — я;/2<ж<а;/2; дт (ж, у, т) = &!(т), (5)
где di — ширина полосового источника;
при у = 0; —сю <az/2; az/2<^<oo; ( (V.207)
йм(^, у. т) =й0; (6) 1
при т — 0; йт (^, у, т) — йм (^, у. т) = йо; (7)
при х = у
йт (х, у, т) = йм (я, у, т) — 0; (8)
— Хт дйт (х, у, т)/дп + Хм дйм(яг, г/, х)/дп = qowYo(dt/dx) (9а)
или
— Хт ^(дйт/дгс) dl + Хм (дйм/длг) dl = goWo (dS/dx), (96)
где 5 — поверхность сечения талой зоны.
Первое допущение при данной формулировке плоской задачи Сте-
фана обусловлено заданием постоянных граничных (за пределами источ-
ника) и однородных начальных условий.
В качестве второго основного допущения принимается условие квази-
станионарности теплового режима в исследуемых талой и мерзлой систе-
мах. Это допущение является достаточно правомерным, так как условие
210
квазистационарности достаточно хорошо выполняется даже для линейных
задач. Для плоских задач с непрерывно увеличивающейся поверхностью
зоны протаивания (промерзания) и рассеяния теплового потока принцип
последовательной смены квазистационарных состояний позволяет описы-
вать динамику температурного поля в талой и мерзлой зонах с большим
основанием по сравнению с линейными задачами.
Однако даже для квазистационарного состояния расчет температурного
поля в рассматриваемой составной талой и мерзлой среде оказывается
сложной задачей. Температурное поле для подобного рода задач описывает-
ся уравнением
[м») [М«) - 0. (v.208)
Применяя интегральное преобразование
&
Ф(й) (V.209)
о
преобразуем уравнение (V.208) к виду
д2Ф (Ъ)/дх2 + д2Ф (®)/ду2 = 0. (V.210)
Решение полученного уравнения Лапласа для условий
^(т)
у == 0; — аг/2<я<аг/2; Фх(й) = Ф(йг) = § Х(й)Ж (1)
о (V.211)
у — 0; х \ — «//2; x^>ai/2\ Ф0(й) — \k(t)dt (2)
о
сводится к решению плоской задачи Дирихле
оо ,
гТч/О.\ гТч* / ' 1 С Ф* (%', 0, Т) ydx
ф(ф) = ф (ж, у, Т = —- \ . , =
• 7 4 ’ а л J (х — х)2 4- у2,
-со
* al al 1
Ф Ф / — — X -у + \
= ФоЧ------=----(arctg ----- --И arctg--------). (V.212)
л \ У У /
Влияние термоградиентного поля в земной коре может быть учтено чле-
Gjj
ном Х(й)йй, где G — геотемпературный градиент.
о
Для перехода от функции Ф(й) к функции Ф(.г, у, т) необходимо задать
функциональную зависимость коэффициента теплопроводности от темпера-
туры. Для тонкодисперсных горных пород может быть, в частности, исполь-
зована экспоненциальная зависимость. Для песчаных, крупнозернистых и
крупноскелетных горных пород температурная зависимость коэффициента
теплопроводности описывается с помощью единичной функции, испыты-
вающей разрыв 1-го рода при нулевой температуре
= (V.213)
где ДХ = Хм — Хт-
Решение плоской задачи Стефана может быть также получено методом
последовательных приближений на основе принципа квазиподобия темпе-
ратурных полей.
Наибольший практический интерес при решении плоской задачи Сте-
фана представляет определение контура и динамики зоны протаивания —
промерзания под полосовым источником. Для этих целей могут быть пред-
ложены различные расчетные схемы, одна из которых излагается ниже.
В основу этой расчетной схемы положено условие квазистационарно-
сти теплового режима горных пород в зоне теплового влияния полосового
14*
211
источника. Из этого условия, в частности, следует, что суммарный тепло-
вой поток через любую поверхность, замкнутую на полосовом источнике,
для каждого момента времени является постоянной величиной
Qk = jj q (х, у, z, xK)dSk = = const. (V.214)
Для моментов времени хь и Xi отношение величин суммарных потоков
тепла равно
Q (та:) _ Qi (т/с) — ftp Rx (tz ) v 2/| гл
Q(T/) OxW-Oo 7?t(tJ’ k • /
где 7?т(т/) и R(xh) —термические сопротивления системы полосовой
источник — полуограниченная среда.
Как показывает расчет, изменение термического сопротивления рассмат-
риваемой системы не превышает нескольких процентов. Из этого следует,
что отношение 7?т(т/) / 7?т(т^) близко к единице. Если температура поверх-
ности источника остается постоянной, то отношение (V.215) будет также
равно единице.
Тогда с учетом уравнений (V.214) и (V.215) получаем
q (tjcW (т?) — (V.216)
где q(xk) и S^ q(xi) и Si — средние удельные потоки тепла и поверх-
ности раздела талой и мерзлой зон для моментов времени хь и т/.
Исходя из предпосылки о том, что тепловой поток, поступающий через
поверхность источника, расходуется в основном на протаивание горного
массива, из уравнений (V.207, 9) и (V.216) находим следующее функцио-
нальное соотношение между скоростями протаивания и поверхностями
зоны протаивания:
d^y С*/) _ d^y(Xk) Sk _ d^y (Tfe) Lk 217x
dr dr Si dx Li ’ \ • /
где Lk и Li — длины контуров талой зоны для моментов времени хь и т/.
В более общем случае, при переменной температуре поверхности источ-
ника, вместо выражения (V.217) используется уравнение
d^y(xil dx = гр(т) (dly(xk) / dx)Lk ILi), (V.218)
где г|?(т) = Й1(т/) / йт(ть).
Для начальной стадии протаивания площадь поверхности и контур зо-
ны протаивания близки к поверхности и контуру теплового источника. Так
на единицу длины полосового источника они равны
So = Ло щ. (V.219)
Вычисление площади поверхности раздела фаз для любого момента
времени связано с определением уравнения контура границы протаивания
в плоскости XY. В качестве такого контура принимается изотермическая
линия.
Уравнение изотермической линии в общем случае может быть получено
на основе решения уравнения (V.208).
Если исходить из условной однородности свойств полу ограниченной
среды, то уравнение (V.208) приводится к обычному уравнению Лапласа
д2$(х, у, т) / дх2 + д2$(х, у, т) / ду2 = 0. (V.220)
Включение времени в качестве переменной в уравнение Лапласа отра-
жает то обстоятельство, что оно описывает в данном случае последова-
тельность квазистационарных состояний.
212
При граничных условиях (V.207, 5 и 6) решение уравнения (V.220)
примет вид
. $ — $0
(т) — О0
а1У
$о __ о
L2TJT —г---------q— — к ,
6 &! (Т) — ©о 6
(V.221)
Обозначив
преобразуем уравнение (V.221)
+ = <v-222>
В такой форме уравнение (V.222) описывает семейство изотермиче-
ских окружностей й — const, R = const, центры которых расположены на
нормали к оси полосового источника с радиусами Ra (рис. 101)
. „(?-»,) (V.223)
2tg 01 — 'О’о 2sin 01 —Оо
Следовательно, изотермические линии для плоской задачи Стефана при
условии однородности среды можно рассматривать как дуги окружно-
стей, а изотермические поверхности — как цилиндрические поверхности.
Рис. 101. Схема расчета
глубины протаивания
под полосовым источни-
ком
Длина контура талой зоны определится из соотношения
Г о D 9Е> . d\ а1 Я (^Т
L=2Raa = 27?aarcsm-^- =------------------г-т---.
1 2Ra л (-Огр — -Оо) Vi — По
sin Oi-tfo
a<i
Принимая во внимание, что Ra — —,
и ограничиваясь двумя членами разложения arcsin ail2Ra,
аг = (яг/27?а) + (а? Ж’ • 2 • 3) + (3я?/327?^ • 2 • 4 • 5),
получим другую формулу для определения L
т~пЛ_ а* -п Л.
L~ai + l^~ai + ~f фу-
Используя последнее выражение, возвратимся к формуле
представленной для моментов времени То и т
t' __ s' _________Ьо_______
~ ё° n3?2 ’
I ai^y
aiJr / „2.2
(V.224)
(V.225)
(V.217),
(V.226)
где Z/0 — длина контура протаивания для момента времени То.
213
Формулы (V.217) и (V.226) предназначены для определения У-й со-
ставляющей скорости протаивания в плоскости симметрии полосового
источника, которая в дальнейшем будет обозначаться
Величина обозначает скорость протаивания в момент времени то,
близкий к начальному. Для этого момента скорость протаивания в плоско-
сти симметрии может рассчитываться по одной из формул для линейной
задачи Стефана. Все эти формулы можно привести к общему виду
^ = р/2Кт, (V.227)
где |3 — коэффициент пропорциональности, определяемый тепловыми
свойствами талых и мерзлых горных пород, их влажностью, теплотой фазо-
вых переходов, начальной температурой среды и средней температурой
поверхности. Аналитическое выражение р было получено ранее при рас-
смотрении одномерной задачи Стефана.
Однако в таком виде формула (V.226) не может быть применена для
решения плоской задачи Стефана, так как она не позволяет получить пре-
дельных значений глубины протаивания при т—Указанный недоста-
ток может быть устранен с помощью множителей вида
где Ik — предельная глубина протаивания в плоскости симметрии.
В частности, при п = 1 исходное уравнение (V.226) после подстановки
в него (V.227) представится в следующем виде:
(V.228)
Произведем разделение переменных
__ г га 1_____
°Р(^-^о) '2]ЛУ
(V.229)
При решении полученного дифференциального уравнения воспользуем-
ся следующими табличными интегралами (Двайт, 1948):
L-^-==-ln(gfe-gy);
(V.230)
(V.231)
где Ае, Вб, Сб, В6, Е6 — коэффициенты, которые находятся по теореме разло-
жения правильной дроби на простые
А = в. = + 44 )2;'
Се = ZkA в',
D^l^k+1!^ 1
(V.232)
Eq — ^kD§.
214
Интегралы, входящие в равенство (V.231),
функциям
( = - 4 Й - ВЛ - Bl In (h - Ы;
j ч~ч z
сводятся к элементарным
(1)!
(2)
(3)
(V.233)
После ряда преобразований получаем уравнение для определения глуби-
ны протаивания в плоскости симметрии полосового источника
3 г гг 3 5 __ I £"
— («г + j- Bl А e) In D& ~ 4Г Бв) 1п ~ +
—+^о
/а? «I \/ 2Ь 2L,n \
+ (“б-Ее —12 Ч (arCt? ~t---------arCt^ +
(V.234)
'Ч Чо)
При переменной температуре поверхности источника правая часть урав-
нения (V.234) заменится выражением
т □ 1 С Яь (0 dt
0Pfe-^o)J 2 КГ •
Решение полученного трансцендентного уравнения существенно упро-
щается, если принять инверсионный порядок определения численных зна-
чений соответствующих пар величин и т. Задаваясь рядом значений
сравнительно просто определить и соответствующий ряд значений т.
Значение предельной глубины протаивания Zh находится из уравнения
(V.212) для значения Ф = О
5, =-------• (V.235)
9frr О
Определение предельного контура протаивания при любых граничных
условиях и тепловых свойствах среды может быть произведено методом
215
электротепловых аналогий и, в частности, с помощью электроинтегратора
ЭИ-12. Сущность этого метода заключается в нахождении предельного кон-
тура протаивания путем последовательных приближений. Первое прибли-
жение находится для однородной, например, мерзлой среды, второе — при
замене свойств среды, ограниченной первым приближением контура про-
таивания.
После двух-трех смещений координат контура около истинных зна-
чений с достаточной точностью находится искомый контур талой зоны.
16. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
В общей формулировке трехмерная задача Стефана связана с определе-
нием температурного поля в талой и мерзлой зонах около источников (сто-
ков) тепла произвольной геометрической формы.
Рис. 102. Схема расчета глубины протаивания под плоским
прямоугольным источником
В такой постановке для трехмерной задачи Стефана еще не получено
решений. В то же время представляют значительный практический инте-
рес приближенные решения, позволяющие прогнозировать скорость и глу-
бину протаивания грунтов под зданиями, промышленными сооружениями,
водоемами, дражными полигонами. В настоящем разделе рассматривается
одна из возможных схем приближенного решения этой задачи.
Решение получено при следующих предпосылках:
а) динамика температурного режима рассматривается как последова-
тельная смена стационарных состояний;
б) начальное распределение температур является однородным.
С учетом этих предпосылок трехмерная задача Стефана для полуограни-
ченной среды и прямоугольного плоского источника на ее поверхности
(рис. 102) описывается системой дифференциальных уравнений и дополни-
тельных условий
d$T(^, ?/, z, т) / дх = aTV2tyr(^ У, z, т); (1)
0 < < |х;
0 У
0 z
5'0м(^, У, z, т) /дх = ам\72'Ом(^, у, z, т);
lx sC X SC оо;
у С
sC z оо;
Фм (х, у, z, 0) = Фо;
(2)
(3)
216
при 2 = 0; —ai I 2 x ai I 2; — bi / 2 у bi / 2; ОтО?, у, z, т) =
= ^i(t); (4)
при 2 = 0; — ai I 2 x ai I 2; bL I 2 у oo; —оо у —bi I 2;
di I 2 X oo; —oo у oo;
— оо X ai I 2\ —oo у oo; (V.236)
йм(^, У, Z, t) = 'O’o- (5)
На поверхности раздела талой и мерзлой зон
'О’т (х, у. 2, т) = йм (^, у. z, т); (6)
[— Хт (dftT/dii) + Хм (^m/^)]x=l, ; z=e = <7оГо^ (Й/<7т). (7)
ЭС У Z
Как и для двухмерного случая, приближенное решение пространст-
венной задачи Стефана может быть получено на основе принципов ква-
зиподобия или квазистационарности температурных полей.
Предпосылка о квазистационарности температурного поля для прост-
ранственных задач Стефана по сравнению с одномерными и двухмерными
задачами является наиболее обоснованной в связи с незначительной ско-
ростью движения поверхности раздела фаз.
С помощью интегрального преобразования (V.209) уравнение, опи-
сывающее квазистационарное температурное поле для пространственной
задачи
д / дх [X (Ф) (дф / дж)] 4- д / ду [X (Ф) (J& / ду)\ + д / dz [X (й1) (дф / dz)\ = 0,
(V.237)
приводится к обычному уравнению Лапласа относительно функции Ф(Ф)
(д2Ф / дх2) + (д2Ф / ду2) + (д2Ф / dz2) = 0. (V.238)
Решение этого уравнения при граничных условиях, идентичных усло-
виям (V.236, 3—6) для О (я, у, z), сводится к решению пространственной
задачи Дирихле (Миролюбов и др., 1963). В окончательном виде оно за-
пишется
ф (О) = ф (Фо) + ± [Ф (^) — ф (О0)] X
На оси симметрии плоского источника (х = 0, у = 0) значение функ-
ции Ф (Ф) равно
9 /
Ф (Ф) = Ф (Фо) + — [Ф ($i) — Ф ('O’o)l ( arctg
(V.240)
21Т
Глубина предельного протаивания по оси z — £z определится из выра-
жения
2 [а1 +
Ц 4 + _____52^_____
ё 2[Ф(й0)-Ф(й1)]
Решая это биквадратное уравнение относительно £z, получаем
Фс
лФ (Оо)
2[Ф(Оо)-Ф(01)1
(V.241)
(V.242)
а] +
При решении пространственной задачи Стефана первостепенное зна-
чение имеет выяснение закона движения границы раздела талой и мерз-
лой зон. Приближенное решение этой задачи может быть получено на
основе предпосылок, принятых для двухмерного случая. Однако для при-
менения рассмотренной ранее расчетной схемы необходимо уточнить поня-
тие поверхности раздела талой и мерзлой зон. Ближе всего к ней проходит
эллиптическая поверхность, но аналитические выражения таких поверх-
ностей затрудняют все последующие расчетные операции. Для приближен-
ных расчетов целесообразнее использовать другой способ. Рассматривая
поле тепловых потоков под прямоугольным тепловым источником как ре-
зультат наложения полей потоков от двух взаимно ортогональных поло-
совых источников, зададимся искомой поверхностью раздела как средне-
взвешенной величиной по отношению к поверхности раздела для полосо-
вых источников.
£ = [1 / (^ + bt)] (aLSa + Ь^ь), (V.243)
где Sa и Sb — поверхности раздела фаз для ортогональных полосовых
источников.
Так как
Sa — Sabi,
Sb = Sbat,
где Sa и Sb — поверхности раздела, отнесенные к единице длины, то
формула (V.243) может быть представлена в виде
(V.244)
S = \afii / (а/ + bi)] (Sa + Sb).
(V.245)
По аналогии с (V.225) получаем следующие приближенные формулы
для определения Sa и Sb •
— а1 + ----2 ’
(1)
№
Sb
(V.246)
(2)
где Zz — средневзвешенное значение относительно %za и £z&.
Для определения глубины протаивания вдоль оси z — gz, совпадающей
с осью симметрии для прямоугольного источника, воспользуемся уравне-
48
нием, идентичным уравнению (V.226) для двухмерной задачи,
t' t' (л (ai + bt)
«I'bt a] %
al + — ---------
6 Л2 , Ф\2
ъ] % ’
6 / 2 я у
Е2 4- _L
V2 ' 4 /
(V.247)
где gzo' — начальная скорость протаивания под центром источника,
Вводя обозначение
(V.248)
p5o(az + fez) / azfez(^^zo) =
преобразуем уравнение (V.247)
b\ dx
---------------= K----
cu-w \e +
(V.249)
b}\2 x2/?.
V/
Решение полученного дифференциального уравнения принципиально
не отличается от соответствующего уравнения для плоской задачи. Это
обстоятельство позволяет записать решение в окончательном виде
- Г(аг + bt) (а]Аа + &зЛь) In +
L в J чЛ g,2q
При переменном тепловом потоке правая часть уравнения (V.250) име-
ет вид
КД-^Ldt.
J 2Vt
о
Коэффициенты Ат, Вт, Ст, Dm и Ет (т = а. Ь) находятся из системы
(V.232) путем подстановки соответствующих величин ai и fez.
После подстановки значений постоянных коэффициентов уравнение
(V.250) существенно упрощается. Определение соответствующих значе-
ний рядов (gz)i и тг- производится по принципу раскрытия зависимости
г — /(|г).
219
Расчет температурных полей талой
и мерзлой зон может производиться по
различным схемам. В частности, если
последовательно исходить из принципа
стационарности температурного поля,
то закон движения поверхности раздела
талой и мерзлой зон должен функцио-
нально соответствовать динамике гра-
ничных условий теплообмена.
При таком подходе переменное гра-
ничное условие на поверхности тепло-
вого источника находится из уравнения
(V.240)
Ф[^1(т)] = Ф(ЙО) —
0,5лФ (Оо)
arctg ---------а^1.-.... —
1 f + ^7
(Т) у Л2-Л + 51 (Т)
(V.251)
где £z(r) — функция, характеризующая
Рис. 103. Схема расчета протаивания динамику глубины протаивания во вре-
П°Д ПЛ°СКИМ круглым ИСТ№ мени. Она находится из уравнения
ником (V.250).
После определения Ф(й,1) из уравнения (V.239) находится значение
Ф(й), а из равенств (V.209) — значение 'Oi(t) для последовательных зна-
чений времени.
Вторая расчетная схема основана на предположении о постоянной тем-
пературе поверхности источника. В этом случае предпосылка о квазиста-
ционарности температурного поля нарушается и для описания темпера-
турного поля необходимо использование временных функций. В качестве
таких функций могут служить как экспоненциальные, так и степенные
функции вида (1 — z / gz)n или 1 — (z / gz)n. В частности, при п = 1 рас-
пределение температур в талой и мерзлой зонах найдется из уравнения
(V.240)
Ф[0 (т)] = |Ф (О0) + | [Ф (От) — Ф (Оо)] X
(V.252)
Более точное, но весьма сложное решение трехмерной задачи Стефана
может быть получено на основе принципа квазиподобия температурных
полей в талой и мерзлой системах.
Самостоятельный интерес имеет задача о протаивании под плоским
круглым источником. Не приводя здесь общей аналитической формули-
ровки данной задачи, рассмотрим исходное уравнение для определения
глубины протаивания вдоль оси симметрии, совпадающей с осью z
(рис. 103),
<v-253>
^ZQ
где SzQ ж л7?о2; 7?o — радиус кругового источника.
В качестве поверхностей раздела талой и мерзлой зон были выбраны
сферические поверхности. В этом случае
Sz = ЬЯЪг,
220
где Rc — радиус сферической поверхности; аг — угол в радианах;
7?с^(Й+7??)/2^;
осг ~ arcsili (7?о / 7?с) ~ (7?0 / Rc} (^?о / • 2 • 3) -р • • •
Ограничиваясь двумя членами приведенного выше разложения в ряд
и подставив в уравнение (V.253) значения SzQ и Sz, преобразуем его к
виду
Sz — ^zo
\ /
Произведем разделение переменных
25zCU~5z) + je+R2A
6 С °)(^-Ь)
(V.254)
З-КоЛ 4> (т) dx
4(^-5го) ~туг •
(V.255)
Разлагая члены, входящие в левую часть, на простейшие дроби и исполь-
зуя табличные значения интегралов (Двайт, 1948), получаем после ин-
тегрирования
0,5(^-и) + 0,5/?Дп|^Е^
х1п ^-+До | До
^о+ло 3(Я*+ф
Др^
6(Л§+ф
arctg — arctg
2/?2 + ЗЙ
—, »
3(Я?+ф
~~ ^zo
гр (г) dt
2 /F ’
(V.256)
где К2 = | ₽7?0.
Стационарное поле температур под плоским тепловым источником мо-
жет быть найдено на основе решения, полученного Н. Н. Миролюбовым,
М. В. Костенко, М. Л. Левинштейном и Н. Н. Таходеевым (1963). При-
меняя, как и раньше, преобразование й(7?, z) к новой интегральной пере-
менной Ф (й), получаем
Ф(^)-Ф(йо) ,__________Z [Ps-Ro п / Л
ф^-ф^о) я /гДЯГ’+’ро? L^+Po <2 ’ 3’ 1
+ (V.257)
где
Рь =
__ 2р0 р_________ 4ро/?о
2“ Р5-Р0 ’ ^ + (Яо + Ро)2’
z и ро — полярные координаты.
Под П(л/2, 711, Ад) и П(л/ 2, 772, Ад) понимаются полные эллиптические
интегралы третьего рода
л/2
П (л/2, 72, Ai) = <7ср/(1 + 72 sin2 ф) УЧ —Л2 sin2 ф. (V.258)
о
221
17. РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ
И ЗОН ПРОТАИВАНИЯ ГРУНТА В ЕСТЕСТВЕННЫХ УСЛОВИЯХ
И ПОД ИНЖЕНЕРНЫМИ СООРУЖЕНИЯМИ
Рассмотренные в предыдущих разделах аналитические предпосылки приближен-
ного решения двух- и трехмерных задач Стефана являются в известной степени иде-
ализированными. В этих решениях расчет температурных полей и зон протаивания
проводится применительно к плоским полосовым, прямоугольным и круглым тепло-
вым источникам, расположенным на поверхности полуограниченной среды.
Рис. 104. Конформное преобразование областей при расчете
стационарных полей земной коры
а — полуплоскость с выброшенным сегментом; б — прямоугольник
Реальные естественные (водоемы, водотоки) и искусственные (инженерные со-
оружения) тепловые источники, расположенные на поверхности земли, имеют обычно
формы, близкие к цилиндрическим и сферическим сегментам, заглубленным паралле-
лепипедам, цилиндрам, конусам и т. д.
Расчет стационарных температурных полей в горных породах, создаваемых теп-
ловыми источниками подобного рода, представляет значительные трудности. Некото-
рые результаты в этом направлении могут быть получены с помощью методов кон-
формного преобразования исследуемых областей.
Так, например, переход от тепловых источников бесконечной протяженности,
контур сечения которых имеет форму луночек-сегментов, к плоским полосовым источ-
никам на поверхности полуограниченной среды может быть достигнут преобразовани-
ем (Лаврентьев, Шабат, 1965)
7Т
- ч-1
аг +с. (V.259)
Указанное преобразование отображает полуплоскость с выброшенным сегментом
(рис. 104, а) на полуплоскость.
В частности, при аг = л/2 и (7=0 связь между координатами областей w и z опи-
сывается уравнениями
= и ж +у2 cos Г arct,g /----------2жу — arctg г—-—1 ; (1)
У(2х— аг)2+ У2 L V х у ' 2а:— al]
(V.260)
v = х2.+_у2---sin Farctg (---) — arctg -—1. (2)
У(2х— а)2 + г/2 L V x y ' 6 2a:—aj '
При малых ai и ar
W = Z + <5r/nz + const, (V.261)
где
Gr = a?ar/6.
Преобразование полуплоскости на данный прямоугольник (рис. 104, б) осущест-
вляется с помощью формулы (Лаврентьев, Шабат, 1965).
222
z = c^
о
dw
J^(l — w)2 (1 — k%w)
где параметры k2 и С определяются из уравнений
ai = 2C\ -г .... = 2СК (&2);
Jy (1-^2) (1-^2)
1/U
bt --=c С г dt -,= = ск' (*2).
J У («2-l)(l_ft2i2)
(2) Г
(3)
(V.262)
Из уравнений (V.262,2 и 3) находятся соотношения
2bt/ai = К' (к2)/К (*2) = х; q = е~™ = е"(2,1Ьг/аг>.
Используя далее известные зависимости q—к22 и таблицы полных эллиптических
интегралов, находятся значения К, а затем и С (Лаврентьев, Шабат, 1965).
Для контуров сечений тепловых источников, представленных произвольными
многоугольниками, преобразование области осуществляется интегралом Шварца —
Кристоффеля.
Следует, однако, подчеркнуть, что при сложных контурах сечения теплового
источника объем расчетных операций по определению температурных полей для пре-
образованных областей резко возрастает. В связи с этим практические расчеты тем-
пературных полей для таких систем производятся обычно методами электротепловых
аналогий — на электроинтеграторах ЭИ-12, ЭГДА, универсальной машине УСМ-1 и
других моделирующих устройствах.
Второе допущение, использованное при расчете стационарных температурных по-
лей и зон протаивания под плоскими тепловыми источниками, связано с заданием по-
стоянной температуры на поверхности полуограниченной среды. В действительности
же температура поверхности испытывает суточные, сезонные и многолетние колеба-
ния. Наибольшее значение при этом имеют сезонные колебания температуры, кото-
рые обусловливают процессы сезонного протаивания и промерзания горных пород.
Если плоскость теплового источника расположена на уровне или ниже слоя се-
зонного протаивания грунтов, то осреднение температуры на этом горизонте не приве-
дет к существенным погрешностям в расчете зон протаивания. Изменение верхних
участков контура протаивания может быть приближенно оценено расчетом динамики
потоков тепла в мерзлой зоне.
Динамика теплового режима грунтов вокруг тепловых источников, расположен-
ных в зоне сезонного протаивания, может быть рассчитана, например, методом сеток,
и. в частности, методом элементарных балансов. Методика решения такого рода задачи
рассмотрена в работах Лоткина (Lotkin, 1958), Л. Н. Хрусталева (1966) и др.
Методика расчета зон протаивания под источниками, ограниченными поверхно-
стями второго порядка, может быть приведена к методике, разработанной для плос-
ких источников. С этой целью в качестве начального выбирается контур (поверх-
ность), наиболее близкий к контуру (поверхности) теплового источника. Все после-
дующие контуры (поверхности) находятся для моментов времени, отсчитываемых
от контура — совпадения.
18. СТАЦИОНАРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ КРИОЛИТОЗОНЫ
С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И БАРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА
При расчете температурное поле криолитозоны обычно принимается
термоизотропным. Мерзлая толща рассматривается как однородное полу-
пространство или неограниченная пластина с постоянным коэффициентом
теплопроводности. Для скальных и крупнозернистых мерзлых горных
пород такое допущение является достаточно обоснованным.
Иное положение возникает при формировании температурного поля
толщ земной коры, содержащих при отрицательных температурах поро-
вый раствор. Для таких сред коэффициент теплопроводности является
функцией температуры. С известным приближением коэффициент тепло-
проводности можно считать экспоненциальной функцией температуры.
223
Таким образом, термически однородная (в талом состоянии) толща
горных пород после промерзания становится термоанизотропной. Следова-
тельно, расчеты температурного поля в мерзлых толщах земной коры,
мощности мерзлых толщ, геотемпературных градиентов и тепловых пото-
ков без учета зависимости тепловых свойств от температуры могут приве-
сти к принципиально неверным выводам.
В связи с этим остановимся на уточнении расчета стационарного тем-
пературного поля криолитозоны, коэффициент теплопроводности которой
является экспоненциальной функцией температуры. Уравнение теплопро-
водности для такой среды имеет вид
d/dxl^^) (cZO1/dx)] =0 или X('ft) (cZO1/dx) = q. (V.263)
Принимая во внимание зависимость (V.135), преобразуем уравнение
(V.263)
[Хм — (Хм — Хт) d^/dx = q. (V.264)
Интегрируем полученное уравнение
ХМФ — —— %т- е-7» (*нз-»> = qx + Ci. (V. 265)
aw
Из граничного условия при х = 0; О’ = О’гт, где йгт — температура осно-
вания слоя годовых теплооборотов, находим значение С\
(\ = Хм^гт - Хм~Ч е-%(*нз-*гт). (V.266)
Подставив значение произвольной постоянной в уравнение (V.265) пре-
образуем его к виду
Хм (Ф _ ^гт) _ Хм~Хт [А (»нз-»)_ e-*V»H3-*rT) ] = qx. (V.267)
aw
Введем обозначения:
хм — хт _ ,
_ е-«ш(»нз-®ГТ) + ,Ът =
аиЛм
— — С
к ~ ~
лм
Тогда
ф + = с2х + А'2.
(V.268)
(V.269)
Таким образом, учет зависимости коэффициента теплопроводности
горных пород от температуры приводит и для стационарных одномерных
полей к нелинейной зависимости между температурой горных пород и
глубиной.
Полагая aw = оо, что равносильно отсутствию фазовых переходов
воды в мерзлых толщах, получаем классическое уравнение для нахожде-
ния температуры в термоизотропном пространстве
'& = О’гт “F (q / Mi) з?. (V.270)
Вследствие трансцендентного характера уравнения (V.269) зависи-
мость между температурой и глубиной может быть установлена только в
приближенной форме. Но и не раскрывая этой зависимости, можно уста-
новить, что в данном случае геотермический градиент становится пере-
224
менной величиной, зависящей от глубины. Дифференцируя это уравнение,
получаем
д$/дх [1 + = q/K = grad ft. (V.271)
Правая часть выражения (V.271) есть не что иное, как величина гео-
термического градиента термоизотропной среды. Подставив значение Л/
и обозначив градиент в термоанизотропной среде gradAft, находим
gradA ft =
grad'd
а е
ЛМ
(V.272)
Из последнего выражения следует, что с повышением температуры, а
следовательно, и с увеличением глубины геотермический градиент умень-
шается. Это положение имеет существенное значение при определении
мощности мерзлых пород методом экстраполяции функции распределения
температур йДя:) к нулевому значению. Без учета термоанизотропности
криолитозоны даже при ее однородном литологическом составе определен-
ная таким образом глубина нижней границы мерзлой толщи будет пре-
вышать ее истинное значение.
Для определения зависимости температуры от глубины с учетом за-
висимости коэффициента теплопроводности от температуры можно вос-
пользоваться одним из приближенных методов решения уравнения
(V.269). В данном случае наиболее простым оказывается метод итераций.
Вводя обозначения
4“ ^2 ~ ^Зч
А3 — Л>"а»(#нз-®) = ^(ft),
представим уравнение (V.269) в виде
# = T(ft). (V.273)
Для того чтобы итерация была сходящимся процессом, необходимо
соблюдение условия (Демидович и Марон, 1960)
|%(ft)n)|<l, (V.274)
где й’п — корень уравнения
I (ftn) I = Хм; -- ехр [ — 0^ (ftH3 — ft)]
лм
Неравенства
(Хм — ^т)Ам <С 1 ч
ехр [— aw (ftH3 — ft)] < 1
(V.275)
подтверждают выполнение условия сходимости.
В качестве первых приближений рационально брать значения темпе-
ратуры для данных глубин, вычисленные в предположении постоянства
коэффициента теплопроводности. Следовательно, система последовательных
приближений для глубин х имеет вид
= ЧЦйо),
й2 = ЧДйД, (V.276)
ftn = T,(^n-i).
Другой причиной погрешности при определении нижней границы мерз-
лой толщи при значительной ее мощности может являться неучет зави-
15 Н. С. Иванов 225
симости температуры начала замерзания порового раствора от давления
верхних слоев земной коры.
Температура замерзания порового раствора зависит не только от об-
щего давления, но и от физико-химических свойств самого раствора. На
первом этапе расчета будем предполагать, что температура замерзания
воды в порах горных пород при нормальном давлении равна 0°. Тогда за-
висимость температуры начала замерзания поровой влаги от давления
найдется (Вейнберг, 1940) из равенства
й'&нз / dp = —0,0075 epadlar = рр*. (V.277)
Следовательно, температура начала замерзания порового раствора
'©нз = ^нз (ро) — Рр* (р — Ро). (V.278)
Учитывая зависимость р — ро = у*^ * Ю-4 кГ!см2 и |3р* • 10-4 = |3Р, получим
'б’нз(р) = 'б’нз(ро) + РрТ*я, (V.279)
где у* = Yog’a?; — коэффициент связи между давлением горных
пород и давлением на поровый раствор Ч Тогда уравнение (V.264) преоб-
разуется к виду
Хм — (Хм — Хт) ехр {—-аД^нз (ро) + PpY*^ — #] (^ / dx)} = q.
(V.280)
Разлагая в ряд
_ л __х I х)2
1! "Г 2!
и принимая во внимание численные значения входящих в него величин,
можно с точностью до десятых долей процента ограничиться двумя члена-
ми. В этом случае уравнение (V.280) запишется
Хм — (Хм — Хт) ехр [— aw#H3 (Ро)] ехр аг1/& +
+ awPpT*(XM —Хт)ехр[—а^нз(Ро)]-^ ехраЛ = q(dx/d$). (V.281)
Введем обозначения
— у tfwPpT* (Хм — Хт) ехр [— а^нз (р0) + = Uх (ft);
(V.282)
у {Хм — (Хм — Хт) ехр [— а^нз (Ро) + ^]} = U2 ('&).
Тогда уравнение (V.281) приведется к линейному неоднородному диф-
ференциальному уравнению
(dx/dty+xU^ft) = C72(ft). (V.283)
Его решение имеет вид
х = ехр [— § иг ]{CS+J ехр [$ Uг (ф)dfl] cl®}. (V.284)
Вычисляя квадратуры в пределах Отт — получим
С3 = ^('б’гт) = 0
и соответственно
х = ехр Г— t/’1('&)d'&l U%(d)ехр Г C7’1('fli)rf6‘J dft. (V.285)
•“ $гт ^ГТ ФрТ
1 По данным И. В. Бойко (Основы геокриологии, 1959) av « 0,73.
226
Интегралы, входящие в полученное выражение, вычисляются так:
jj (А,М ~ Хт) ехр aw^H3 (Ро)] (са™* еа»#гт) =
^ГТ
= А4 —
jj U2 (fr) exp [4 (ea“ft — еа«>агт)] exp [~^ e w ГГ] x
^ГТ
&ГТ
X J ea'^ d® - ЬсХх exp ^3 (po) _ Л^ГТ] x
•& -&
X exp [aw'& + Л4еа^] dft = A5 exp [-44^a^] dft +
•&jprp •9'jprp
&
+ A6 exp [a^fl1 + Л4еа^] dfl1. (V.286)
•&prp
Таким образом, окончательное решение данного уравнения может
быть записано
&
х — А'5 ехр [— Л4 (eaw® — /у^гт)] ехр [ Л4еа^] dfl1 +
<&рр
&
+ 4ехр[— А4(еа^— е’-^гт)] $ ехр[^ + ЛХ*]Л. (V.287)
^ГТ
Задавая последовательные значения температуры, из формулы (V.287)
находим ряд соответствующих значений глубины.
В качестве примеров, поясняющих влияние факторов температуры и давления на
величину геотермического градиента, остановимся на формировании температурного
поля криолитозоны, сложенной песчаником и глинистыми сланцами. В термодинами-
ческом отношении песчаник можно уподобить песчаному грунту, а глинистые слан-
цы — суглинку.
Исходные термодинамические параметры для этих двух категорий горных пород
имеют следующие значения:
Песчаник плотный Глинистый сланец
Хт = 2,6 ккал/м-час-град Хэд = 3,12 ккал/м-час-град йгт = _ 3° L — 20 гМ/ aw = 0,193 i/град двз=400 ккал/мРгод Хт = 1,88 ккал/м - час - г рад Хм = 2,26 ккал/м-час-град агт = —3° JDprp — 20 м olw = 0,107 i/град 7ВЗ = 400 ккал/м^год
На основании этих данных проведены расчеты распределения температур в крио-
литозоне для трех последовательных приближений: без учета температурного и бари-
ческого эффектов изотропности, с учетом температурного и, наконец, с учетом темпе-
ратурного и барического эффектов. Результаты расчетов отражены в графической
форме на рис. 105.
Для криолитозоны, сложенной плотным песчаником, расчет ее мощности обыч-
ным путем дает величину, равную 225 м, с учетом температурного эффекта — 199 м, с
учетом температурного и барического эффектов — 194 м. Таким образом действитель-
ная мощность криолитозоны без учета указанных эффектов завышается почти на
30 м, что составляет 16%. Если криолитозона сложена глинистыми сланцами, то пер-
227
227м
Рис. 106. Геологический разрез и
распределение температуры в
мерзлой толще горных пород
в долине р. Вериной (1950 г.)
1 — делювий; 2 — чередование орого-
викованных мелкозернистых песча-
ников и песчанистых сланцев
Рис. lOo. Стационарное температурное поле
криолитозоны с учетом ее термоанизотропности
для песчаника (а) и глинистого сланца (б)
1 — распределение температуры без учета зависимо-
сти Л от температуры и температуры начала замер-
зания от давления; 2 — распределение температуры
с учетом зависимости X от температуры; 3 — распре-
деление температуры с учетом зависимости X от тем-
пературы и барического эффекта
вое, второе и третье приближения соответствуют 168 м, 149 м и 142 м. Завышение
мощности криолитозоны составляет 24 м, или 17%.
Таким образом, пренебрежение температурными барическими эффектами при
оценке мощности мерзлой толщи может привести к существенным ошибкам. При
этом основное значение имеет температурный эффект. Барический эффект создает
погрешность от 2—3% для горных пород, подобных песчанику, и до 4—5% для тонко-
дисперсных горных пород.
Оценить влияние зависимости коэффициента теплопроводности горных
пород от их температуры, а также от начальной температуры замерза-
ния влаги и от давления на характер распределения температур по фак-
тическим данным весьма затруднительно. Указанные факторы проявля-
ются во взаимодействии с другими факторами: литологической неодно-
родностью горных пород, гигроанизотропностью, термогеохимическими и
термобиохимическими процессами, явлениями переноса тепла конвектив-
ным механизмом, пространственным характером температурного поля.
228
Из многочисленных материалов, которые были просмотрены с целью
интерпретации полученных решений, можно остановиться на данных
о термическом режиме криолитозоны, заимствованных из работы А. И. Ка-
лабина. Геологический разрез и температурное поле мерзлой толщи отра-
жены на рис. 106. В литологическом отношении толща достаточно одно-
родна, что позволяет проследить изменение температурного градиента
с глубиной в зависимости от температуры и давления. Отклонение функ-
ции распределения температур (я) в сторону оси температур от каса-
тельной к ее верхнему участку характеризует увеличение геотемператур-
ного градиента. Возрастание градиента при однородном литологическом
составе можно объяснить уменьшением коэффициента теплопроводности
горных пород при возрастании температуры.
Для определения мощности мерзлой толщи методом экстраполяции
функции к нулевому значению необходимо определить параметры
уравнения (V.287).
При анализе реальных функций распределения температуры необходи-
мо в первую очередь учитывать пространственный характер геотемпера-
турного поля и литологическую неоднородность мерзлой толщи. Первое
обстоятельство уточняется на основе конкретного изучения физико-геоло-
гических и гидрогеологических условий изучаемого участка земной коры.
Для расчета пространственных полей могут быть использованы методы
конформного преобразования и принцип электротепловой аналогии.
Ввиду нелинейного характера зависимости коэффициента теплопро-
водности от температуры приведение литологически неоднородной среды
к условно-однородной затруднительно. Целесообразнее рассматривать от-
дельные слои, которые можно считать литологически однородными. Анало-
гичный подход может быть и по отношению к гигроанизотропной среде.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Закономерности переноса тепла и вещества в промерзающих и протаи-
вающих горных породах могут быть раскрыты только на основе современ-
ных достижений термодинамики, кристаллофизики, теплофизики, физико-
химии поверхностных явлений и растворов, статистической, молекулярной
и химической физики. В настоящее время делаются только первые шаги
на пути от макроскопического рассмотрения явлений тепло- и массопере-
носа к анализу их внутренней сущности.
Значительное внимание предстоит уделить разработке теории фазовых
переходов связанной и поровой влаги в дисперсных средах при положи-
тельных и отрицательных температурах. На основе этих исследований
станет возможным создание устойчивых при положительных температу-
рах структурных модификаций льда и модификаций аномальной воды при
отрицательных температурах. Решение этой проблемы имеет первостепен-
ное теоретическое значение и многообразное практическое применение.
Весьма интересные перспективы возникают в области разработки тео-
рии теплопроводности многокомпонентных и многофазных дисперсных
сред. На основе статистико-вероятностных закономерностей распределе-
ния потоков тепла во всей совокупности частиц, прослоек льда, воды и
воздушных промежутков, характеризующихся спектром форм и размеров,
а также разнообразием теплофизических свойств, в дальнейшем будет
разработана законченная теория теплопроводности дисперсных горных по-
род.
Достижения термодинамики необратимых процессов и физико-химии
поверхностных явлений и растворов позволили выяснить природу и ме-
ханизмы миграции влаги в промерзающих грунтах. Однако предстоит еще
огромная экспериментальная работа по подтверждению и уточнению вы-
двинутых теоретических положений. На основе этих исследований будет
разработана теория криогенного пучения промерзающих грунтов и фор-
мирования их криогенной текстуры.
Темпы и глубина экспериментальных исследований определяются в
первую очередь состоянием методики изучения процессов переноса тепла
и вещества в горных породах. Изложенные в монографии некоторые ре-
зультаты исследований в этой области характеризуют лишь начальный
этап работ. Предстоит многое сделать по разработке методов определения
теплофизических свойств крупноскелетных и промерзающих мелкодисперс-
ных горных пород, а также полевых методов определения тепловых свойств
поверхностного слоя и горного массива в шахтных выработках и с помощью
скважинных методов. Имеются реальные возможности значительного
усовершенствования методов измерения и определения температуры,
влажности, фазового состава поровой влаги, потоков тепла и вещества,
повышения точности исследования криогенных процессов в горных поро-
дах.
Дальнейшее развитие аналитической теории тепло- и массопереноса
промерзающих сред связано с разработкой методов расчета полей темпе-
230
ратуры, влажности, растворенных веществ, а также электрических потен-
циалов в многослойных тонко- и крупнодисперсных средах с несколькими
подвижными границами, с коэффициентами переноса тепла и вещества,
зависящими от потенциалов переноса, пространственных и временных пе-
ременных, при произвольных граничных и начальных условиях.
К аналитической теории тепло- и массопереноса непосредственно при-
мыкает теория физического и математического моделирования процессов
тепло- массопереноса в природных средах и теплового взаимодействия в
системе грунт — сооружение. Развитие теории и методики моделирования
термодинамических процессов будет продолжаться в направлении все
большего приближения к реальным природным и инженерным условиям
и системам.
Развитие теории переноса тепла и вещества в горных породах пред-
определяет возможности разработки наиболее сложных и практически
важных разделов общей и инженерной геокриологии. К числу их отно-
ся! ся, например, формирование термического режима мерзлых толщ и
водно-теплового режима слоя сезонного промерзания — протаивания,
промерзание донных отложений арктических морей, теория фильтрацион-
ных методов оттайки мерзлых грунтов, прогнозирование теплового влия-
ния рек и озер, а также инженерных коммуникаций и сооружений на теп-
ловой режим мерзлой зоны земной коры, смерзание и оттаивание сыпучих
грузов и многие другие проблемы.
Рассмотренные выше направления и проблемы характеризуют, на наш
взгляд, основное содержание предстоящих исследований по теплофизике
мерзлых горных пород.
Л И Т Е Р А Т У PA
Алексеев Н. Г., Прохоров В. А., Чмутов К. В. Электронные приборы и схемы в фи-
зико-химических исследованиях. М., Госхимиздат, 1961.
Ананян А. А. Фазовые переходы воды и электропроводность в замерзающих и мерз-
лых горных породах. М., Изд-во МГУ, 1960.
Андрианов П. И. Связанная вода почв и грунтов.—Тр. Ин-та мерзлотоведения АН
СССР, 3. М., Изд-во АН СССР, 1946.
Арабаджи В. И. О некоторых электрических свойствах воды и льда.— ЖЭТФ, 1956,
30, вып. 1.
Аэров М. Э., Умник Н. Н. Коэффициенты теплопроводности в зернистом слое.—
ЖТФ, 1951, XXI, вып. 11.
Базаров И. П. Термодинамика. М., Физматгиз, 1961.
Бакаев В. А. К вопросу о фазовых переходах в веществе, адсорбированном высо-
кодисперсным телом.— В сб. «Современное представление о связанной воде в
породах». М., Изд-во АН СССР, 1963.
Бакаев В. А., Киселев В. Ф., Красильников К. Г. Понижение температуры плавления
воды в капиллярах пористого тела.— Докл. АН СССР, 1954, 125, № 4.
Бахуров В. Г., Боресков Г. К. Эффективный коэффициент теплопроводности контакт-
ных масс.— ЖПХ, 1947, № 8.
Бачинский А. И. и др. Справочник по физике. М., Учпедгиз, 1951.
Баяндина Ф. И. О разности потенциалов, возникающей между твердой и жидкой фа-
зой при замерзании воды.— Изв. АН СССР, серия геофиз., 1960, № 2.
Белчер Д. Д. Измерение влажности и плотности почвы по рассеянию нейтронов и
гамма-лучей.— В сб. «Мерзлотные явления в грунтах». М., ИЛ, 1955.
Беспалов Д. П. Зависимость переводного множителя тепломера от теплопроводности
среды.— Тр. Гл. геофиз. обсерватории им. А. И. Воейкова, вып. 127. Л., Гидроме-
теоиздат, 1962.
Боженова А. П. Значение осмотических сил в процессе миграции влаги в грун-
тах.— В сб. «Материалы по лабораторным исследованиям мерзлых грунтов»,
вып. 3. М., Изд-во АН СССР, 1957.
Боженова А. П., Бакулин Ф. Г. Экспериментальные исследования механизмов пере-
движения влаги в промерзающих грунтах.— В сб. «Материалы по лабораторным
исследованиям мерзлых грунтов», вып. 3. М., Изд-во АН СССР, 1957.
Бойко И. В. О температуре начала кристаллизации воды в грунтах. Проблемы раз-
вития Печорского угольного бассейна. Сыктывкар, Книжное изд-во Коми, 1957а.
Бойко И. В. О теплоемкости мерзлых грунтов в области температур фазовых перехо-
дов воды.— В сб. статей Всесоюзного заочного политехнического института,
вып. 16. М., изд-во «Высшая школа», 19576.
Болт Т. Г., Фриссел М. Термодинамика воды в почве. — В сб. «Термодинамика поч-
венной влаги». Под ред. А. М. Глобуса. Л., Гидрометеоиздат, 1966.
Бонч-Бруевич А. М. Применение электронных ламп в экспериментальной физике. М.,
Гостехиздат, 1951.
Босворт Ф. Процессы теплового переноса. М., Гостехиздат, 1957.
Бржан В. С. Рентгенографические исследования кристаллизации сорбированной
воды.— Коллоид, ж., 1959, 21, вып. 6.
Буевич Ю. А. Решение первой, второй и третьей краевых задач Стефана в полубес-
конечном пространстве при постоянных граничных условиях и однородном или
линейном начальном распределении температуры.— Изв. АН СССР, серия геофиз.,
1964, № 1.
Бунаев А. Н. Основы гидрогеохимии минеральных вод осадочных отложений. М.,
Медгиз, 1956.
Де Бур Я. Динамический характер адсорбции. М., ИЛ, 1962.
Ван-дер-Полъ и X. Бремер. Операционное исчисление на основе двухстороннего пре-
образования Лапласа. М., ИЛ, 1952.
Ваничев А. П. Приближенный метод решения задач теплопроводности при перемен-
ных константах.— Изв. АН СССР, ОТН. Энергетика, 1946, № 12.
232
Васильев И. С. Изменение капиллярного потенциала от влажности для глинистого
песка.— Тр. Ин-та почвоведения АН СССР, 16, М., Изд-во АН СССР, 1937.
Вейнберг Б. П. Лед. М., Гостехиздат, 1940.
Вейник А. И., Шубин А. С. Применение метода меченых атомов для исследования
фазового превращения влаги в процессе сушки.— В кн. «Тепло- и массобмен в
капиллярно-пористых телах», вып. 8. М., Изд-во АН СССР, 1958.
Вершинин И. В. и др. Основы агрофизики. Под ред. акад. А. Ф. Иоффе и канд. с.-х.
наук И. Б. Ревута. М., Физматгиз, 1959.
Волохонский Л. Ш. Теория промерзания грунта.— Тр. ГГО, вып. 19. М., 1950.
Вотяков И. Н. Физико-механические свойства многолетнемерзлых грунтов Централь-
ной Якутии. М., Изд-во АН СССР, 1961.
Гапеев С. И. О причинах миграции влаги и образования прослойков льда в промер-
зающих грунтах.— Информационное письмо № 20. Гос. проектно-изыскат. ин-т
Главтранспроекта «Ленингртранс». Л., 1956.
Гегузин Я. Е., Овчаренко Н. Н. Поверхностная энергия и процессы на поверхности
твердых тел.— Усп. физ. наук, 1962, 76, вып. 2.
Глобус А. М. Экспериментальное исследование фазового состава влаги почв и грун-
тов, передвигающейся под влиянием градиента температуры.— Докл. АН СССР,
1960, 132, № 4.
Глобус А. М. О термоградиентных механизмах миграции почвенной и грунтовой вла-
ги и передвижение воды в промерзающем грунте.— Почвоведение, 1962, № 2.
Голъдтман В. Г. Теплообмен в фильтрующих крупнозернистых грунтах при дренаж-
ной и игловой гидрооттайке.— Тр. ВНИИ-1, XIII. Магадан, 1959.
Гольдштейн М. Н. Деформация земляного полотна и оснований сооружений при про-
мерзании и оттаивании.— Тр. ЦНИИС Минстрансстроя, вып. 6. М., Трансжелдор-
издат, 1948.
Голянд М. М. Результаты исследования тепловых свойств мерзлых грунтов.— Холо-
дильная техника, 1958, № 6.
Григорьев Н. Ф. Формирование рельефа и мерзлых горных пород побережья восточ-
ной Антарктиды. М., Изд-во АН СССР, 1962.
Грим Р. Минералогия глин. М., ИЛ, 1956.
Де Гроот С. Р. Термодинамика необратимых процессов. М., Гостехиздат, 1956.
Данилин А. И. Применение гамма-излучения в исследованиях водного режима почв
и снежного покрова.— Изв. АН СССР, серия геогр., 1955, № 3.
Дахнов В. Н., Дьяконов Д. И. Термические исследования скважин. М., Гостоптехиз-
дат, 1952.
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М., ИЛ, 1948.
Демидович Б. Я., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М., Физматгиз,
1960.
Денбиг К, Термодинамика стационарных необратимых процессов. М., ИЛ, 1954.
Дерягин Б. В., Щербаков Л. М. О влиянии поверхностных сил на фазовые равно-
весия полимолекулярных слоев и краевой угол смачивания.— Коллоид, ж., 1961,
т. XXIII, № 1.
Ерофеев А. В. Электронные устройства контроля и регулирования тепловых процес-
сов. М., Госэнергоиздат, 1955.
Зельдович Я. В., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математики. М., Изд-во «Нау-
ка», 1965.
Иванов Н, С. Методы измерения тепловых потоков в горных породах.— В сб. «Тепло-
и массообмен в мерзлых почвах и горных породах». М., Изд-во АН СССР, 1961.
Иванов И. С. Теплообмен в криолитозоне. М., Изд-во АН СССР, 1962.
Иванов И. С. Интерференционный метод определения тепловых потоков в почвах й
горных породах.— В сб. «Тепло- и массообмен в мерзлых толщах земной коры».
М., Изд-во АН СССР, 1963а.
Иванов Н. С. Измерение тепловых потоков шаровыми и цилиндрическими зондами в
стационарном режиме.— В сб. «Тепло- и массообмен в мерзлых толщах земной
коры». М., Изд-во АН СССР, 19636.
Иванов Н. С. Нестационарные методы определения тепловых потоков шаровыми и
цилиндрическими зондами.— В сб. «Тепло- и массообмен в мерзлых толщах зем-
ной коры». М., Изд-во АН СССР, 1963в.
Иванов Н. С., Гаврилъев Р. И. Теплофизические свойства мерзлых горных пород
(справочное пособие). М., Изд-во «Наука», 1965.
Иванов Н. С. Современное состояние и основные проблемы теории тепло- и массопе-
реноса в мерзлых и морозных почвах и горных породах.— В сб. «Материалы
VIII Всесоюзного междуведомственного совещания по геокриологии (мерзлотове-
дению)», вып. 4. Якутск, 1966.
Иванов И. С., Чистотинов Л. В. и др. О возможности определения температурной за-
висимости содержания незамерзшей воды по температурам ее фазовых переходов
в мерзлых горных породах.— В сб. «Материалы VIII Всесоюзного междуведомст-
венного совещания по геокриологии (мерзлотоведению)», вып. 4. Якутск, 1966.
Иванцов Г. И. Новая методика расчета нестационарного теплового потока в плоской
стенке.— ЖТФ, 1934, вып. 8.
233
Ильин Б. В. Природа адсорбционных сил. М., Гостехиздат, 1952.
Каганов М. А., Розеншток Ю. Л. О точности измерения тепловых потоков с помощью
тепломеров.— ИФЖ (Минск, Изд-во АН БССР), 1960, № 3.
Калабин Л, И. Вечная мерзлота и гидрогеология Северо-Востока СССР.— Тр. ВНИИ-1.
XVIII. Магадан, 1960.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Физ-
матгиз, 1961.
Карлсон Г. Расчет глубины протаивания мерзлого грунта.— В сб. «Мерзлотные явле-
ния в грунтах». М., ИЛ, 1955.
Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля. М., ИЛ, 1962.
Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М., изд-во «Наука», 1964.
Келлер И. М. Методика непрерывного и дистанционного определения содержания
незамерзшей воды в грунтах.—ИФЖ (Минск, Изд-во АН БССР), 1958, III
№ 9.
Керстен М. С. Тепловые свойства грунта.— В сб. «Мерзлотные явления в грунтах».
М., ИЛ, 1955.
Кириллин В. А., Шейндлин А. Е. Термодинамика растворов. М.— Л., Госэнергоиздат,
1956.
Киселев А. В. Энергия взаимодействия адсорбат-адсорбен и адсорбат-адсорбат в моно-
солях на поверхности твердых тел.— ЖФТ, 1961, 35.
Клия М. О. К вопросу о залечивании трещин в кристаллах льда.— Кристаллография,
1959, 4, вып. 2.
Колесников А. Г., Мартынов Г. А. О расчете глубины промерзания и протаивания
грунтов.— В сб. «Материалы по лабораторным исследованиям мерзлых грунтов»,
вып. 1. М., Изд-во АН СССР, 1953.
Колесников А. Г., Сперанская А. А. Прибор для определения тепловых потоков.—
Изв. АН СССР, серия геофиз., 1958, № И.
Колясев Ф. Е. О факторах движения воды в почвах.— Почвоведение, 1944, № 2—3.
Компанеец А. С. Теоретическая физика. М., Гостехиздат, 1957.
Кондратьев Г. М. Регулярный тепловой режим. М., Гостехиздат, 1954.
Коннова О. С. К методике определения теплоемкости мерзлых грунтов.— В сб. «Ма-
териалы по лабораторным исследованиям мерзлых грунтов», вып. 1. М., Изд-во
АН СССР, 1953.
Коркина Р. Й. Электрические потенциалы в замерзающих растворах и их влияние
на миграцию.— В сб. «Процессы тепло- и массообмена в мерзлых горных поро-
дах». М., изд-во «Наука», 1965.
Крюков П. А., Комарова Н. А. Об отжимании воды из глин при сверхвысоких давле-
ниях.— Докл. АН СССР, 1954, 99, № 4.
Кудряшов Л. И., Жемков Л. И. Обобщение теории регулярного теплового режима на
случай переменных теплофизических характеристик.— ИФЖ (Минск, Изд-во АН
БССР), 1959, II, №4.
Курс метеорологии. Под ред. П. Н. Тверского. Л., Гидрометеоиздат, 1951.
Кутателадзе С. С., Боришанский В. М. Справочник по теплопередаче. М.— Л., Гос-
энергоиздат, 1959.
Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного.
М., изд-во «Наука», 1965.
Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. Электродинамика сплошных сред. М., Гостехиздат, 1957.
Леб Л. Статистическая электризация. М.— Л., Госэнергоиздат, 1963.
Лебедев А. Ф. Почвенные и грунтовые воды. М., Изд-во АН СССР, 1936.
Лейбензон Л. С. Движение природных жидкостей и хазов в пористой среде. ОГИЗ,
Гостехиздат, 1947.
Лоу Ф. Ф. Физическая химия взаимодействия воды с глинами.— В сб. «Термодина-
мика почвенной влаги». Под ред. А. М. Глобуса. Л., Гимиз, 1966.
Лыков А. В. Новый метод определения коэффициента температуропроводности влаж-
ных материалов.— ЖЭТФ, 1935, IV, вып. 1.
Лыков А. В. Явление переноса в капиллярно-пористых телах. М., Гостехиздат, 1954.
Лыков А. В. Тепло- и массообмен в процессах сушки. М.— Л., Госэнергоиздат, 1956.
Лыков А. В. Теоретические основы строительной теплофизики. Минск, Изд-во АН
БССР, 1961.
Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., изд-во «Высшая школа», 1967.
Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория переноса энергии и вещества. Минск, Изд-во
АН БССР, 1959.
Лыков А. В., Михайлов Ю. В. Теория тепло- и массопереноса. М.— Л., Госэнергоиз-
дат, 1963.
Мандаров А. А. Лабораторная установка для изучения тепло- и массопереноса в поч-
вах и горных породах.— В сб. «Тепло- и массообмен в мерзлых толщах земной
коры». М., Изд-во АН СССР, 1963.
Мартынов Г. А. О решении обратной задачи Стефана в случае сферической симмет-
рии.— ЖТФ, 1960, 30, вып. 2.
234
Меламед В. Г. Сведение задачи Стефана к системе обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений.— Изв. АН СССР, серия геофиз., 1958, № 7.
Меламед В. Г. Решение задачи о температурном режиме в среде с периодически из-
меняющимся фазовым состоянием.— Изв. АН СССР, серия геофиз., 1960, № 6.
Меламед В. Г. О численном интегрировании классической задачи Стефана при на-
личии фазовых переходов в спектре температур.— Изв. АН СССР, серия геофиз.,
1963, № 2.
Миролюбов В. В., Костенко М. В. и др. Методы расчета электростатических полей.
М., изд-во «Высшая школа», 1963.
Митропольский А. К. Техника статистических вычислений. М., Физматгиз, 1961.
Михеев М. А., Михеева В. М. Краткий курс теплопередачи. М.— Л., Госэнергоиздат,
1960.
Мурашко М. Г. Исследование массообмена в капиллярно-пористых полуограничен-
ных средах.— Тр. Ин-та энергетики АН БССР. Минск, 1957.
Мухин Л. М. Об одной ошибке гамма-метода определения влажности почв и горных
пород.— В сб. «Тепло- и массообмен в мерзлых горных породах». М., Изд-во АН
СССР, 1961.
Мухин Л. М., Чистотинов Л. В. Использование гаммаскопического метода для опре-
деления влажности крупнообломочных грунтов.— Почвоведение, 1961, № 7.
Версесова 3. А. Фазовый состав воды при замерзании и оттаивании грунтов.— В сб.
«Материалы по лабораторным исследованиям мерзлых грунтов», вып. I. М., Изд-
во АН СССР, 1953.
Версесова 3. А. Влияние обменных катионов на миграцию влаги и пучение грун-
тов при промерзании.— В сб. «Исследования по физике и механике мерзлых
грунтов», вып. 4. М., Изд-во АН СССР, 1961.
Версесова 3. А. Связывание воды в грунтах в зависимости от физико-химических
особенностей их поверхности.— В сб. «Современное представление о связанной
воде в породах». М., Изд-во АН СССР, 1963.
Версесова 3. А., Коннова О. С. Инструктивные указания по определению теплоемко-
сти мерзлых грунтов.— В сб. «Материалы по лабораторным исследованиям мерз-
лых грунтов», вып. 2. М., Изд-во АН СССР, 1954.
Викитина Л. М. Таблицы коэффициентов массопереноса влажных материалов. Минск,
изд-во «Наука и техника», 1964.
Ончуков Д. В. Движение парообразной влаги в верхних слоях почвы.— Почвоведе-
ние, 1959, № 6.
Основы геокриологии (мерзлотоведения), ч. I. Общая геокриология. М., Изд-во АН
СССР, 1959.
Вавлов А, В. Инженерно-геологические прогнозы глубины промерзания и протаива-
ния грунта.— В сб. «Материалы VIII Всесоюзного междуведомственного совеща-
ния по геокриологии (мерзлотоведению)», вып. 4. Якутск, 1966.
Папазов В. Г. Исследование процесса замораживания горных пород. М., Углетехиз-
дат, 1951.
Пархоменко С. Г. Замерзание почв и рыхлых горных пород.— В сб. «Материалы к ос-
новам учения о мерзлых зонах земной коры», вып. III. М., Изд-во АН СССР, 1956.
Попов И. В., Зубкович Г. Г. К вопросу о крип i о структуре глин.— В сб. «Современ-
ное представление о связанной воде в породах». М., Изд-во АН СССР, 1963.
Вортнов И. Г. Точное решение задачи о промерзании с произвольным изменением
температуры на неподвижной границе.— Докл. АН СССР, 1962, 143, № 3.
Порхаев Г. В. Некоторые данные о коэффициенте фильтрации протаявших грунтов.—
В сб. «Исследования по физике и механике мерзлых грунтов», вып. 4. М., Изд-во
АН СССР, 1961.
Порхаев Г. В. и др. Теплофизика промерзающих и протаивающих грунтов. М., изд-во
«Наука», 1964.
Пузакок В. А. Теоретические основы накопления влаги в дорожном полотне и их
практическое применение.— В сб. «Проектирование и возведение земляного по-
лотна железных и автомобильных дорог». М., Изд-во АН СССР, 1950.
Вусков В. И. Влияние искусственного засоления на тепло физические свойства грун-
тов.—В сб. «Материалы VIII Всесоюзного междуведомственного совещания по
геокриологии (мерзлотоведению)», вып. 4. Якутск, 1966.
Редозубов Д. В. О задаче Стефана при линейном начальном распределении темпера-
туры в полубесконечной среде.— Изв. АН СССР, серия геофиз., 1962а, № 4.
Редозубов Д. В. Решение некоторых тепловых задач в ограниченной и полубеско-
нечной областях при движении границы по закону pyt.— ЖТФ, 19626, 32, № 5.
Рейнюк И. Т. Конденсация в деятельном слое вечной мерзлоты.— Тр. ВНИИ-1, мерз-
лотоведение, вып. 15. Магадан, 1959.
Релътов Б. Ф., Новицкая И. А. Осмотические явления в связных грунтах при нерав-
номерном их засолении.— Изв. Всес. н.-и. ин-та гидротехники им. Веденеева, 1954,
51.
Робертс Д. Т. Теплота и термодинамика. М., Гостехиздат, 1950.
Робинсон Р., Стокс Р. Растворы электролитов. М., ИЛ, 1963.
235
Роде А. А. Почвенная влага. М., Изд-во АН СССР, 1952.
Самойлов О. Я. Структура водных растворов электролитов и гидратация ионов. М.,
Изд-во АН СССР, 1957.
Сегал Б. И., Семендяев К. А. Пятизначные математические таблицы. М., Физматгиз,
1962.
Скуратов С. М. К вопросу о теплоемкости связанной воды.— Коллоид, ж., 1951, XIII,
№ 5.
Снеддон И. Преобразования Фурье. М., ИЛ, 1955.
Судницын И. И. Применение метода термодинамического потенциала переноса при
изучении передвижения влаги в почве.— В сб. «Гидрофизика и структура поч-
вы». Л., Гимиз, 1965.
Сумгин М. И. и др. Общее мерзлотоведение. М., Изд-во АН СССР, 1940.
Тютюнов И. А. Процессы изменения и преобразования почв и горных пород при от-
рицательной температуре. М., Изд-во АН СССР, 1960.
Тютюнов И. А. Введение в теорию формирования мерзлых пород. М., Изд-во АН
СССР, 1961.
Тютюнов И. А., Нерсесова 3. А. Природа миграции воды при промерзании и основы
физико-химических приемов борьбы с пучением. М., Изд-во АН СССР, 1963.
Федорович Д. И. Способ приближенного определения зависимости коэффициента эф-
фективной температуропроводности мерзлого грунта от температуры.— В кн.
«Материалы 9-го совещания работников лабораторий геологических организаций»,
вып. 12. Изд-во Геолкомитета, 1965.
Федосов А. Е. Механические процессы в грунтах при замерзании в них жидкой фа-
зы.— Тр. Ин-та геол, наук, серия инж.-геол. (Изд-во АН СССР), 1940, вып. 35,
№ 4.
Федякин Н. И. Диффузия водяных паров в капиллярах.— Тр. Моск. техн, ин-та пищ.
пром., вып. 15. М., 1960.
Философов Г. Н. Воздушные потоки в трещинах горных пород Алдано-Чульманского
горнопромышленного района.— В сб. «Тепло- и массообмен в мерзлых толщах
земной коры». М., Изд-во АН СССР, 1963.
Франчук А. У. Таблицы теплотехнических показателей строительных материалов.
М.— Л., Стройиздат, 1949.
Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. Собр. избр. тр., III. М., Изд-во АН
СССР, 1959.
Хигаси Л. О теплопроводности замороженной почвы.— РЖФ, 1955, № 4.
Хрусталев Л. Н. Фильтрационные свойства сезоннопротаивающих суглинистых грун-
тов в районе Воркуты.— В сб. «Материалы к основам учения о мерзлых зонах
земной коры», вып. 7. М., Изд-во АН СССР, 1961.
Хрусталев Л. Н. Численный метод решения задачи промерзания — протаивания
грунта.— В сб. «Материалы VIII Всесоюзного междуведомственного совещания
по геокриологии (мерзлотоведению)», вып. 4. Якутск, 1966.
Цытович Н. А. Некоторые общие вопросы исследований физико-механических
свойств мерзлых грунтов.— В сб. «Материалы по лабораторным исследованиям
мерзлых грунтов», вып. 2. М., Изд-во АН СССР, 1954.
Чиркин В. С. Теплофизические свойства материалов. М., Физматгиз, 1959.
Чистова Э. А. Таблицы функций Бесселя от действительного аргумента и интегралов
от них. М., Изд-во АН СССР, 1959.
Чистотинов Л. В. О возможности применения гамма-излучения для наблюдений за
динамикой влажности почв и горных пород.— В сб. «Тепло- и массообмен в мерз-
лых почвах и горных породах». М., Изд-во АН СССР, 1961.
Чистотинов Л. В. Экспериментальное исследование миграции влаги в промерзающих
неводонасыщенных тонкодисперсных грунтах. Автореф. канд. дисс. Минск, 1968.
Чистотинов Л. В., Мандаров А. А., Руденко Г. М. Измерение влажности грунтов и
изучение ее динамики в полевых и лабораторных условиях с помощью гамма-
скопии.— В сб. «Материалы VIII Всесоюзного междуведомственного совещания
по геокриологии (мерзлотоведению)», вып. 4. Якутск, 1966.
Чудновский А. Ф. Физика теплообмена в почве. М., Физматгиз, 1948.
Чудновский А. Ф. Теплообмен в дисперсных средах. М., Гостехиздат, 1954.
Чудновский А. Ф. Теплофизические свойства дисперсных материалов. М., Физматгиз,
1962.
Шахпаронов М. И. Введение в молекулярную теорию растворов. М., Гостехиздат,
1956.
Шварц А., Перри Дж. Поверхностно-активные вещества. М., ИЛ, 1953.
Шевельков В. Л. Исследование теплофизических характеристик влажных изоляцион-
ных материалов.— В сб. «Тепло- и массообмен в капиллярно-пористых телах».
М.— Л., Госэнергоиздат, 1957.
Шевельков В. Л. Теплофизические характеристики изоляционных материалов. М.—
Л., Госэнергоиздат, 1958.
Шехтер Ф. Н. Промерзание грунта при заданной температуре на деятельной поверх-
ности.— Тр. ГГО им. А. И. Воейкова, вып. 94. Гимиз, 1960.
Шехтер Ф. Н., Цейтин Г. X. Глубина промерзания и температуры почвы в зимнее
время.— Тр. ГГО им. А. И. Воейкова, вып. 53. Гимиз, 1955.
236
Шишканов Г. Ф. О миграции влаги в крупнозернистых грунтах. Сборник работ по
инженерному мерзлотоведению. Владивосток, 1959.
Штрауф Е. А. Молекулярная физика. М., Гостехиздат, 1949.
Шумский П. А. Основы структурного ледоведения. М., Изд-во АН СССР, 1955.
Щербаков Л. М. К термодинамике тонких жидких слоев.— Коллоид, ж., 1960, XXII,
№ 1.
Щербаков Л. М. Теория гетерогенной конденсации. I. Смачиваемые поверхности.—
Коллоид, ж., 1962, 24, № 4.
Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. М.— Л., Госэнергоиздат, 1961.
Эпштейн Л. С. Курс термодинамики. М., Гостехиздат, 1948.
Юшков П. П., Логинов Л. И. Численный метод интегрирования одной системы диф-
ференциальных уравнений тепло- и массопереноса в случае переменных физи-
ческих характеристик.— В сб. «Тепло- и массоперенос», 5. Минск, Изд-во АН
БССР, 1963.
Яблонская В. П. Исследование тепло- и массообмена в промерзающих грунтах.—
ИФЖ (Минск, Изд-во АН БССР), 1958, I, № 2.
Якоб М. Вопросы теплопередачи. М., ИЛ, 1960.
Babcock К. L., Overstreet R. Thermodynamics of soil moisture. A new G. application.—
Soil Sci., v. 80, p. 257—263, 1955.
Beskow G. Tjalbildningen och Tjallvftningen.— Swed. Geol. Unders., Sec. C., 1935,
N 375, Arsbok 26.
Beskow G. Soil freezing and frost heaving with special application to roads and rail-
roads. Swed. Geol. Soc. Ser. C, N 375, 26th Year Book N 3 (with spec, suppl. for
Engl, trans, of progr. from 1935 to 1946). Publ. Technol. Inst., N-W. Univ. Evanston,
Illinois, 1947, p. 14—21.
Bouyoucos G. J. An investigation of soil temperature and some of the most important
factors influencing it. Expt]. Station Techn. Bull. N 17, Mich. Agric. Coll. Lansing,
1913, p. 168—180.
Bouyoucos G. J. The freezing point method as a new means of measuring the concen-
tration of the soil solution directly in the soil. Exptl. Station Techn. Bull. N 24,
Mich. Agric. Coll. Lansing, 1915, p. 44.
Bouyoucos G. J. Degree of temperature to which soils can be cooled without freezing.—
J. Agric. Res., 1920, v. 20, N 4m p. 267—269.
Crank J. The mathematical of diffusion. Oxford, Clarendon Press, 1956.
Edlefsen N. E., Anderson А. В. C. Thermodynamics of soil moisture. Hilgardia, 1943,
v. 15, 31.
Eriedmann N. E. Quasilinear heat flow.— Trans. ASME, 1958, v. 80, N 3, p. 635—645.
Le Fur B. Contribution a 1’etude de 1’equilibre de congelation des milieux poreux on
colloidaux. Gelivite des Sols. 1. Rapp, n 64—8 Meudon, Septembre 1964.
Le Fur B., Aguirre-Puente J., Szanto L. Contribution a 1’etude de la congelation des
argiles.— Colloq. Internal. Centre nat. rech. scient., N 160. Phenomenes de transport
avec changement de phase dans les milieux poreux on colloidana. Ed. Centre nat
rech. scient. Paris, 1966.
Gibson R. E. The nature oi solutions and their behaviour under high pressures.
Washington, 1938.
Lotkin M. The numerical integration of heat conduction equation.— J. Math, and Phys.,
July 1958, v. 37, N 2, p. 178—187.
Nakaja UMatsumoto A.— J. Colloid Sci., 1954, v. 9, N 1, p. 41—49.
Olmsted L. B. Soil moisture relation of the soil from the erosion experiment station.—
U. S. Dept Agric. Techn. Bull, 562. W., 1937.
Parker F. W. The effect of finaly divided material on the freezing point of water,
benzene and nitrobenzene.— J. Amer. Chem. Soc., 1921, v. 43, pt 1, p. 1,011—1,018.
Puri B. R., Scharma L. R., Lakhanpal M. L. Freezing point of water held in porous bo-
dies at different vapour pressures.— J. Phys. Chem., 1954, v. 58, N 4.
Puri B. R., Singh D. D., Myer J. P. Freezing points of liquids adsorbed on porous so-
lids.— Trans. Faraday Soc., 1957, v. 53, pt 4, N 412.
Ribeiro Costa. On the thermo-dielectric effect.— An. Acad, brasil. ciencim setembro,
1950, t. 22, N 3, 30.
Taber S. The mechanics of frost heaving.— J. Geol., 1930, v. 38.
Takagi S. Theory of freezing-point depression with special reference to soil water.—
Proc. Permafrost Internal. Conf. 1963, Nat. Acad. Sci.—Nat. Res. Council. Washing-
ton.
Tammann G. Ann. Physik, (4), 1900, 2, 6.
Underwood N., Bavel С. H. von, Swanson R. W. A portable slow neutronflux meter for
measuring soil moisture.— Soil Sci., 1954, v. 77, N 4.
Weyl И4 A. Surface structure of water and some of its physical and chemical mani-
festations.— Colloid Sci., 6, 1951, 389—405.
Williams P. J. Unfrozen water content frozen soils and soil moisture suction.— Geotech-
nique, September 1964, v. 14, N 3, p. 231—246.
Workman E. Reynolds S. E. Electrical phenomena occurring during the freezing
of dilute aqueous solutions and their possible relationship to thunderstorm electri-
city.— Phys. Rev., May 1950, v. 78, N 3, 1.
237
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................. 3
Введение................................................................. 5
Глава I. Термодинамика и кинетика фазовых переходов пороговой влаги в
мерзлых горных породах................................................... 7
1. Общие понятия о криогенных и криолитных средах.............. 7
2. Мерзлые горные породы как термодинамические системы ... 7
3. Горные породы — статистические системы...................... 9
4. Некоторые молекулярно-кинетические представления о фазовых
переходах поровых растворов.................................. 11
5. Термодинамика фазовых переходов поровых растворов в мерз-
лых породах.................................................. 12
6. Термодинамические условия фазовых превращений свободной
поровой воды................................................. 14
7. Термодинамические условия фазовых переходов свободных по-
ровых растворов............................................. 16
8. Термодинамические условия фазовых переходов связанной воды 13
9. Термодинамический потенциал связанной воды................. 21
10. О термодинамических предпосылках образования структурных
модификаций льда в адсорбированной фазе.................... 23
И. Термодинамические условия фазовых переходов связанных поро-
вых растворов............................................... 24
12. Уравнение фазового состояния связанной воды в мерзлых горных
породах........................................................ 26
13. Уравнение фазового состояния порового раствора............. 33
14. Некоторые модификации уравнения фазового состояния поровой
влаги в мерзлых горных породах................................. 34
15. Методы определения фазового состава поровой влаги в мерзлых
горных породах................................................. 39
Глава II. Термодинамика и кинетика явления переноса тепла и вещества в
мерзлых горных породах.................................................. 44
1. Общие представления........................................ 44
2. Основные положения термодинамики явлений переноса тепла и
вещества в горных породах.................................... 45
3. Теплоперенос в сплошных горных породах..................... 52
4. Тепло- и массоперенос в трещиноватых пористых и крупноске-
летных горных породах........................................ 52
5. Лучистый механизм теплопередачи............................ 53
6. Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах при свободной
межпоровой конвекции......................................... 54
7. Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах при фильтра-
ции ......................................................... 36
8. Тепло- и массообмен горных пород с воздушными потоками . . 57
9. Теплообмен горных пород с расширяющимся потоком газов . . 58
10. Конденсация пара в крупно скелетных мерзлых горных породах . 58
11. Тепло- и массоперенос в промерзающих тонкодисперсных горных
породах........................................................ 60
12. Кристаллизационно-пленочный механизм переноса воды в про-
мерзающих тонкодисперсных горных породах....................... 61
238
13. Вакуумно-компрессионный механизм переноса влаги в промер-
зающих горных породах....................................... 66
14. Диффузионный механизм массопереноса...................... 69
15. Перенос пара в мерзлых и морозных горных породах......... 74
Глава III. Тепло- и массообменные свойства мерзлых горных пород ... 77
1. Общие сведения............................................ • 77
2. Теплоемкость горных пород................................ 78
3. Коэффициент теплопроводности горных пород................ 85
4. Кондуктивная теплопроводность дисперсных и пористых горных
пород....................................................... 87
5. Зависимость коэффициента кондуктивной теплопроводности про-
мерзающих горных пород от температуры.......................... 90
6. Зависимость коэффициента теплопроводности промерзших горных
пород от льдистости............................................ 94
7. Обобщенные зависимости коэффициента теплопроводности талых,
промерзающих и промерзших горных пород от влажности (льди-
стости), температуры и объемной плотности ..................... 99
8. Коэффициент лучистой теплопроводности........................104
9. Коэффициент конвективной теплопроводности....................105
10. Методы определения коэффициента теплопроводности крупноске-
летных горных пород.............................................107
И. Коэффициент температуропроводности мерзлых горных пород . . 107
12. Расчетный метод определения коэффициента температуропровод-
ности ..........................................................108
13. Аналитический метод определения коэффициента температуропро-
водности промерзающих горных пород .............................111
14. Определение коэффициента температуропроводности промерзаю-
щих горных пород на основе теории регулярного теплового режима ИЗ
15^ Методы нестационарного теплового режима для определения ко-
эффициента температуропроводности...............................114
16. Влияние криогенной текстуры на теплофизические свойства мерз-
лых горных пород................................................117
17. Влияние засоления горных пород на их теплофизические свойства 124
18. О связи между теплофизическими и электрическими свойствами
горных пород....................................................126
19. Массообменные свойства мерзлых горных пород................132
Глава IV. Методы определения потоков тепла и вещества в горных породах 137
1. Физические предпосылки.......................................137
2. Основные типы тепломерных датчиков.......................... 142
3. Методы измерения температуры и разности температур поверх-
ности тепломерных датчиков......................................146
4. Переносная тепломерная установка с применением зеркального
гальванометра...................................................146
5. Тепломерные установки с мостовой компенсацией т.э.д.с. . . . 147
6. Интерференционный метод определения тепловых потоков с по-
мощью плоских нагревателей................................. . 151
7. Измерение тепловых потоков шаровыми и цилиндрическими зон-
дами при стационарном тепловом режиме...........................155
8. Измерение тепловых потоков шаровыми и цилиндрическими зон-
дами при нестационарном тепловом режиме.........................157
9. Методы измерения потоков влаги в горных породах.............. 158
Глава У.Аналитическая теория тепло- и массопереноса в мерзлых горных по-
родах .................................................................. 163
1. Общая система уравнений тепло- и массопереноса в горных по-
родах ......................................................... 163
2. Система уравнений тепло- и массопереноса в протаявших горных
породах.........................................................164
3. Система уравнений тепло- и массопереноса в промерзших гор-
ных породах....................................................167
239
4. Система уравнений тепло- и массопереноса в промерзающих тон-
кодисперсных горных породах.....................................167
5. Системы уравнений тепло- и массопереноса для двухслойных и
многослойных промерзающих — протаивающих сред...................168
6. Основные методы решения уравнений тепло- и массопереноса про-
мерзающих горных пород..........................................169
7. Решение задачи Стефана путем замены среды с подвижными гра-
ницами последовательностью двухслойных неограниченных плас-
тин с постоянными границами.....................................170
8. Решение задачи о промерзании — протаивании крупнозернистых
горных пород методом последовательных приближений...............179
9. Промерзание сезонно-протаивающего слоя горных пород .... 183
10. Промерзание тонкодисперсных водонасыщенных горных пород . . 188
11. Промерзание тонкодисперспых не полностью водонасыщенных гор-
ных пород........................................................190
12. Решение задачи Стефана методом движущегося теплового источ-
ника ............................................................197
13. О предпосылках применения метода разделения переменных для
решения задачи Стефана...........................................202
14. Тепло- и массоперенос в промерзающих влажных горных породах 203
15. Приближенное решение двухмерной задачи Стефана.............210
16. Приближенное решение трехмерной задачи Стефана.............216
17. Расчет стационарных температурных полей и зон протаивания
грунта в естественных условиях и под инженерными сооружениями 222
18. Стационарное температурное поле криолитозоны с учетом темпе-
ратурной зависимости коэффициента теплопроводности и бариче-
ского эффекта ................................................223
Заключение...............................................................230
Литература ............................................................. 232
Николай Сергеевич Иванов
Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах
Утверждено к печати
Институтом мерзлотоведения
Сибирского отделения Академии наук СССР
Редактор В. И. Щелоков
Художник В. Г. Виноградов
Технический редактор Т. В. Алексеева
Сдано в набор 20/XI 1969 г. Подписано к печати 19/V 1969 г.
Формат 70X108716. Бумага № 1. Физ. п. л. 15.
Усл. печ. л. 21. Уч.-изд. л. 18,5. Тираж 1000 экз.
Т-06747 Тип. зак. 1410.
Цена 1 р. 85 к.
Издательство «Наука». Москва К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука». Москва Г-99, Шубинский пер., 10
ИСПРАВЛЕНИЯ И ОПЕЧАТКИ
Страница Строка Напечатано Должно быть
16 18 19 22 26 27 28 106 106 109 182 184 5 и 9 сн. Ф-лы (1.22) и (1.23), 24 сн. Ф-ла (1.29), 8 и 14 сн. Ф-лы (1.49) и (1.50), 18 и 24 св. Ф-ла (LQ2) Ф-лы (1.65) и (1.67), 5 св. 22 сн. Ф-ла (III.47) Ф-ла (IIL48) 1 сн. Ф-ла (V.79) 14 сн. (знаменатель) а, S, AS ^67 . . . и = а'м + Да8 = = 0,00373 м?1час 'll р о 2 СО ' > О > л е |с? : « * и . * * > £ фр й W о
Н С.Иванов