К Г.Малышев ЛС.Берштейн
А. В. Боженюк
НЕЧЕТКИЕ
МОДЕЛИ
ДЛЯ ЭКСПЕРТНЫХ
СИСТЕМ
в САП Р
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1991

ББК 32.965
М20
УДК 62-52:658.562.3
Рецензент доктор техн. наук А. Н. Борисов
Малышев Н.Г. и др.
М20 Нечеткие модели для экспертных систем в САПР / Н.Г.
Малышев, Л.С. Берштейн, А.В. Боженюк. — М.: Энергоатомиздат,
1991.-136 с: ил.
ISBN 5-283-01592-0
Приведены основные понятия теории нечетных множеств и описание
нечетной экспертной информации в виде формальных систем нечетких
высказываний. Предложены нечеткие модели принятия решений на
тру дно формализуемых этапах проектирования, основанные на
правилах дедуктивного и индуктивного выводов. Рассмотрены нечеткие
неориентированные и ориентированные гиперграфы как формальные
модели нечетных систем принятия решений.
Для инженеров и научных работников в области САПР,
искусственного интеллекта и принятия решений.
ISBN 5-283-01592-0 ©Авторы, 1991

ПРЕДИСЛОВИЕ
Ключевой проблемой прц построении экспертных систем [1]
является проблема представления и использования знаний, которыми обладают
эксперты, т.е. люди, имеющие существенный и положительный опыт при
решении задач определенного класса. Это справедливо, естественно, и
для экспертных систем в САПР. Исходя из анализа классов решаемых
задач, а ими являются задачи выбора параметров проектирования,
определения вариантов проектирования и обнаружения аналогов
проектируемому изделию, в качестве моделей представления знаний
предлагаются системы условных нечетких высказываний, с помощью которых
экспертами описываются характеристические признаки проектируемого
изделия. Совместно с методами дедуктивного и индуктивного
нечеткого логического вывода, применяемого для решения поставленных
задач, фактически приходим к модели, удачно сочетающей в себе как
декларативное, так и процедурное представление знаний. Кроме того,
использование нечеткости при построении условных высказываний
позволяет формально включать в них значения экспертов, выраженные
вербальными категориями типа "много", "средне", "мало", "часто",
"вероятно", "приблизительно столько-то" и т.п.
Фактически решаемые в книге задачи являются задачами принятия
решений на трудноформализуемых этапах проектирования в условиях
нечеткости, определяемой как нечетной постановкой с&мой задачи,
так и использованием интуитивных представлений эксперта о путях
ее решения и нечетком описании параметров. Данные задачи могут
быть решены различными способами, в частности методами
распознавания образов, методами многопараметрической оптимизации на
основе предпочтений и замещений и т.п. Кроме того, используются методы
нечеткого дедуктирования и индуктивного логического вывода как
более прозрачные для экспертных систем, позволяющие при их
применении строить необходимые в экспертных системах блоки объяснения
полученного результата.
В книге также рассмотрены нечеткие модели сетевого типа, а именно
нечеткие гиперграфы различного вида. Они позволяют объединять
нечеткие условные высказывания в единое целое на основе выборов
многоарных отношений, исследовать и оптимизировать их, используя
мощный содержательный и формальный аппарат теории графов.

Следует также заметить, что предлагаемые модели могут быть
применены не только для задач САПР, а во всех случаях, где экспертная
информация естественно представляется условными нечеткими
высказываниями, т.е. в системах с нечеткостью, использующих
продукционный подход.
Книга будет полезна специалистам, которые разрабатывают
экспертные системы для САПР и в других областях, а также инженерам,
аспирантам и студентам, изучающим курсы "Искусственный интеллект" и
"Экспертные системы".
Книга состоит из четырех глав. Глава 1 содержит основные
определения и понятия теории нечетких множеств, позволяющие использовать
данную книгу без обращения к дополнительным источникам. В гл. 2
рассмотрены вопросы представления экспертной информации в виде
систем нечетких условных высказываний. Глава 3 посвящена задачам
принятия решений на основе нечеткого дедуктивного и индуктивного
логических выводов. В гл. 4 рассмотрены нечеткие неориентированные
и ориентированные гиперграфы и их свойства. Эта глава в достаточной
степени независима от гл. 2 и 3 и может читаться сразу после гл. 1.
Авторы выражают признательность докторам техн. наук Д.А.
Поспелову и А.Н. Борисову за ценные замечания и советы, сделанные
при подготовке рукописи книги.
Авторы благодарны Т.М. Десятовой и В.В. Гайдук, принявшим
большое участие в оформлении рукописи.
Все замечания и пожелания по книге авторы примут с благодарностью.
Просьба направлять их в адрес издательства: 113114, Москва, М-114,
Шлюзовая наб., 10.
Авторы

ВВЕДЕНИЕ
Повышение эффективности производства и качества выпускаемой
продукции, непрерывный рост машиностроительных изделий
немыслимы без автоматизации, без внедрения и постоянного развития систем
автоматизированного проектирования (САПР).
Автоматизация процесса проектирования современных выпускаемых
изделий позволяет снизить трудоемкость проектирования, сократить
сроки разработки, получить свободную от ошибок проектную
документацию. Возможность анализа большого количества вариантов
конструкции позволяет выбрать наиболее оптимальный и тем самым повысить
качество разрабатываемого изделия. Осуществление развернутой
программы работ в этой области способствует повышению
производительности труда, ускорению научно-технического прогресса в народном
хозяйстве.
В действующих отечественных САПР наибольшего развития достигли
компоненты и подсистемы, обеспечивающие расчет и оптимизацию
проектных решений. Проблему расчетного оптимального
проектирования технических объектов принципиально можно считать решенной.
Методологией оптимизации проектных решений посвящено
значительное количество работ [2—5]. Для любой технической конструкции в
настоящее время можно построить удовлетворительные по точности
математические модели и алгоритм поиска оптимума по заданному
критерию. В качестве важных направлений развития САПР следует выделить
следующие проблемы [6, 7]: математическое моделирование
конструктивных решений отдельных классов объектов проектирования на
различных этапах проектирования (конструктивная схема, детализация
конструкции и т.д.); математическое моделирование технологических
решений отдельных классов объектов проектирования на различных
этапах; разработка вычислительных методов поноса наилучших
конструктивных и технологических решений; создание информационных баз
данных для проектирования отдельных классов объектов на различных
этапах; создание эффективных программно-технических комплексов
и средств, обеспечивающих оперативную работу проектировщиков
в САПР.
Целью САПР является симбиоз конструктора и вычислительной
машины в единую команду для решения задач, способную приходить к

поставленным целям в задачах проектирования более эффективно, чем
каждый из них, работая в отдельности. Задача проектирования
распределяется между конструктором и ЭВМ в соответствии с их
возможностями и таким образом, чтобы каждый из них получал пользу от
работы другого. Принципы, лежащие в основе этого распределения,
находятся в зависимости от последних достижений, реализованных как в
аппаратной части, так и в программном обеспечении ЭВМ. В связи с
этим одним из возможных путей повышения эффективности
разрабатываемых САПР является использование методов искусственного
интеллекта, позволяющих ряд задач проектирования, традиционно решаемы^
конструктором, решать с помощью ЭВМ [8,9].
Анализ процесса проектирования показывает, что при автоматизации
его удобно представлять в виде отдельных, функционально
независимых этапов, взаимосвязь между которыми определяется конкретной
технологией проектирования изделий [10,11].
САПР является представителем более широкого класса систем
человек—машина, в котором человеческая деятельность является
определяющим звеном для их функционирования. Творческая деятельность
конструктора, которая автоматизируется в САПР, включает в себя в
качестве основных элементов процессы принятия решений (ПР) [12-14].
Каждый этап проектирования характеризуется набором входных
параметров, задание которых необходимо для его выполнения. В
зависимости от способа задания входных параметров этапы проектирования
можно разделить на три типа [9]: алгоритмически определенные,
полностью детерминированные и трудноформализуемые. К первому типу
относятся этапы, входные параметры которых полностью определяются
на предыдущих этапах проектирования. Ко второму типу относятся
этапы, на которых входные параметры зависят от предыдущих этапов и
определяются с помощью формализованных алгоритмов или из
соответствующих ГОСТ, ОСТ и СТП. К третьему типу относятся этапы, на
которых входные параметры также зависят от результатов
предыдущих этапов проектирования, однако в силу ряда причин (большая
размерность модели ПР, качественный характер процессов,
ненаблюдаемость ряда характеристик и др.) эта зависимость выражена неявно и в
реальной действительности значения таких параметров задаются
конструктором на основе его опыта и квалификации. Процесс автоматизации,
как правило, охватывает этапы, относящиеся к первым двум классам,
тогда как этапы проектирования с неопределенными, нечеткими
алгоритмами ПР традиционно остаются за конструктором-пользователем
САПР. Поэтому даже при использовании существующих ныне САПР
процесс проектирования существенно зависит от субъекта
проектирования (его опыта, квалификации, различия его физического и
психологического, состояния в разные отрезки времени проектирования).
Таким образом, возникает следующее противоречие: с одной
стороны, сокращение сроков и повышения качества проектных работ тре-

бует автоматизации как можно большего числа этапов проектирования,
а с другой стороны, невозможность автоматизации этапов
проектирования, относящихся к третьему классу в силу их недостаточной
определенности и формализуемости.
Известно, что большую часть изделий составляют типовые изделия,
при проектировании которых у конструкторов-проектировщиков
имеется определенный опыт. Поэтому при разработке САПР типовых
изделий указанное выше противоречие предлагается разрешить
включением в систему проектирования экспертной системы [15—17].
Задача такой экспертной системы заключается в помощи пользователю
САПР за счет использования опыта проектирования, полученного от
опытного эксперта-конструктора.
Использование экспертной системы в САПР позволит:
за счет уменьшения времени ПР на трудноформализуемых этапах
проектирования ускорить процесс проектирования типовых изделий
в целом;
улучшить качество проектирования за счет использования
накопленного опыта;
уменьшить влияние субъекта (пользователя САПР) на процесс
проектирования.
Работа такой экспертной системы особенно важна на ранних стадиях
проектирования, когда информация о системе проектирования носит
неопределенный и неоднозначный характер, а ошибки и недостатки,
допущенные при проектировании, трудноустранимы на последующих
этапах и их устранение обычно связано с существенными и
трудовыми затратами [6].

ГЛАВА1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ
НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ
1.1. НЕЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО.
ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ
Обозначим через X = { х \ — универсальное множество.
Определение 1.1. [18—20]. Нечетким множеством Л^на
множестве X назовем совокупность пар вида
А* \<ЦА(хIх)}9
где цА:Х -> [0, 1] - отображение множества X в единичный отрезок
[0, 1] — называется функцией принадлежности нечеткого множества А.
Значение функции принадлежности \хА (х) дня конкретного
элемента х € X назовем степенью принадлежности. Согласно Л. Заде [20]
степень принадлежности цА (х) является субъективной мерой того,
насколько элемент х G X соответствует понятию, смысл которого
формализуется нечетким множеством X.
Определение 1.2. Носителем нечеткого множества Л назовем
множество
SA = \х\хех& цА{х) >0J.
Иными словами, носителем нечеткого множества А является
подмножество SA универсального множества X, для элементов которого
функция принадлежности рА строго больше нуля.
Пример 1.1. Пусть универсальное множество X соответствует
множеству возможных значений толщин изделия от 10 до 40 мм с
дискретным шагом 1 мм. Нечеткое множество А, соответствующее
нечеткому понятию "малая толщина изделия", может быть представлено
в виде
А = { <1/10>, <0,9/11>, <0,8/12>, @,7/13),
<0,5/14>, <0,3/15>, <
Графически данное нечеткое множество представимо в виде
отдельных точек на плоскости, которые показаны на рис. 1Л и абсциссы
которых соответствуют значениям х € X, а значения ординат — функции
Носителем нечеткого множества А будет являться конечное
подмножество
SA = { 10,11,12,13,14,15,16] .
8

0,5
о
1
10 11 11 13 П 75 х,мм
0,5
10
15 17 х,мм
Рис. 1.1. Функция принадлежности нечеткого множества с дискретным носителем
Рис. 1.2. Функция принадлежности нечеткого множества с непрерывным носителем
Пример 1.2. Пусть универсальное множество X является множеством
действительных чисел от 10 до 40. Тогда носителем SA нечеткого мн<>
жества ^является отрезок SA = [10, 17], само нечеткое множество А
графически представимо кривой, показанной на рис. 1.2 и
определяющей функцию принадлежности /лА. ^
Определение 1.3. Нечеткое множество А называется
нормальным, если выполняется условие
sup цА(х) = 1.
Ниже будут рассматриваться только нормальные нечеткие множества,
так как если нечеткое множество не нормально, то его всегда можно
превратить в нормальное, разделив все значения функции
принадлежности на ее максимальное значение.
Для нечетких множеств вводятся операции объединения, пересечения
и дополнеция.^
Пусть А и В — два нечетких множества, заданных на универсальном
множестве X с функциями принадлежности 1ЛАк}лв.
Рассмотрим основные операции над нечеткими множествами, которые
будут использоваться в дальнейшем при изложении материала. ^ ^
Определение 1.4. Объединение нечетких множеств А и В
называется множество
где
Определение 1.5. Пересечением нечетких множеств Am В
называется множество
«V» -V-
А О В =

Ji(x)
' 1
10
30
50 X
10
30
50 x
Рис. 1.3. Функция, принадлежности Рис. 1.4. Функция принадлежности
ненечетких множеств А и В четкого множества Л UB
где
(\/xG Х)(цАПв(х) =
Определение 1.6. Дополнением нечеткого множества А
называется множество
где
(\fxE X)Qx.(x) = 1 -цА(х)).
А
Носителем нечеткого множества ПЛ"будет являться множество S~\%=
= X\S^ т.е. множество тех элементов х Е X, для которых функция
принадлежности [кА (х) ФХ. ^
Пример 1.3. Пусть А иВ - нечеткие множества, определенные на
универсальном множестве X = [10, 50] с функциями принадлежности цА и
цв, показанными на рис. 1.3. На рис. 1.4-1.6 даны функции Д1ринадлеж-
ности, соответствующие нечетки множествам Л иД АПВ9А.
Отметим, что при выполнении операции пересечения над нечеткими
множествами получается множество, не всегда являющееся нормальным.
1
10
30
50 х
Рис. 1.5. Функция принадлежности
нечеткого множества Л C&
1
10
30
50 X
Рис 1.6. Функция принадлежности
нечеткого множества А
10

Определение 1.7. Обозначим^- нечеткое множество,
определенное на Xf9 i = 1, л. Декартовым произведением нечетких множеств
Aj назьюается множество
I 2, ••> хп)) \ ,
где
Xi e Xt; ixx(xx, x2, . •., хп) =
= min \iiA
Определение 1.8. [21] Степенью е множества А называется
нечеткое множество
А€ ={ <Ц%(хIх) 1 , \/ х G Х9 е >0.
При е = 2 получается частный случай операции возведения в степень —
операция концентрации, обозначаемая CON:
CON(I) = A2.
При € = 0,5 получается операция растяжения DIL:
DIUA) = А0'5.
Операция CON снижает степень нечеткости описания, а операция DIL
повышает степень нечеткости.
Определение 1.9. [22] Множеством а-уровня нечеткого
множества А называется множество
Sa = I хе Х\цА(?с) > а\, аЕ [0,1].
Согласно [22] любое нечеткое множество может быть представлено
объединением своих а-уровневых множеств по всем аЕ [0, 1]. Иными
словами, А = U а • Sa, где
<*€[<), 1]
a-Sa = i <а/х>1 , с€ [0,1], х G 5a.
Пример 14. Пусть на множествахX = | 10,15,20,25 \ и Y = { 5, 6,7 I
заданы множества Ах и А2, имеющие видАх = i<l/10>,<0,8/15>J0,5/20>,
<0,3/25>| и А2 =i<l/5>, <0,5/6>, <0,2/7>| . Тогда множества Ах х Х2,
CON (?x) и DIL (Л2) будут иметь вид
)>, <0,5/B0, 5)>,
<0,3/B5,5)>, <0,5/A0,6)>, <0,5/A5,6)>, <0,5/20,6)>,
<0,3/B5,6)>, <0^/A0,7)>, <0Д/A5,7)>,
<0Д/B0,7)>,<02/B5,7)>| ;
CON^) = { <1/10>, <0,64/15>, <0,25/20>, <0,09/25>
DIL(J2) = { <1/5>, @,7/6>, < 0,45/7) i .
11

Множество 0,5-уровня нечеткого множества Ах определяется как
So$5 = {10,15,20|.
1.2. НЕЧЕТКОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ И РАВЕНСТВО МНОЖЕСТВ.
НЕЧЕТКОЕ БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ
При построении нечетких моделей ПР большую роль играют
понятия нечеткого включения и равенства нескольких множеств [23],
а также нечеткого бинарного отношения. ^
Определение 1. 10. П^сть^ иА2 - нечеткие множества в X.
Степенью включения множества A i в А2 называется величина
v(Al9A2) = & (fxAi(x) -*M4 (*))-
xGX
Здесь pAl и jLf42 - функции принадлежности нечетких множеств^ и
jt2. Операция -*• есть импликация, определяемая согласно логике Лука-
севича как
или согласно Л. Заде в виде
Легко показать, что рассмотренное понятие является обобщением
известного понятия включения четких множеств. Если At и А2 — чет-
четкие множества и А\ QA2, то v(Al9A2) = 1, а в случае Ах <^А2
получаем v(Ai А2) =0 при любом задании операции импликации.
^О по еделение 1.11. Степенью равенства нечетких множеств
Аг и А2 называется величина, обозначаемая через ji(?"lf A2) и
определяемая как
= & ((ЛА (х)
Здесь операция эквивалентности «—>определяется в виде
Очевидно,что
Понятие нечеткого равенства является обобщением понятия
равенства четких множеств Аг яА2, так как при Ах = А2 имеем ц(Аг,А2) =1
также при любом задании операции импликации.
Рассмотренные степени включения и равенства определены для
любых двух нечетких множеств и могут принимать любые значения из
отрезка [0,1].
Пример 1.5. [23] Пусть нечеткие множества
, <0,6/*3>, <0,4/х5> \ ;
М /i, <0,5/x2>, <0,7/jc3>, <0,6/jc5> }
12

определены на универсальном множестве X = I xlt x2, x3, x4t x5 \ •
Тогда, определяя операцию импликация согласно логике Лукасевича,
имеем
v(AuA2) = @ -> 0,8) & @,3 -> 0,5) & @,6 - 0,7)
& @ -* 0) & @,4 - 0,6) = A & A - 0 + 0,8))
& A & A - 03 + 0,5)) & A & A - 0,6 + 0,7))
& A & A ~ 0 + 0)) & A & A - 0,4 + 0,6)) =
= 1&1& 1& 1& 1 = 1;
v(A2,Ai) = @,8 -* 0) & @,5 -> 0,3) & @,7 -> 0,6)
& @ -* 0) & @,6 -* 0,4) = A & A - 0,8 + 0))
& A & A - 0,5 + 0,3)) & A & A - 0,7 + 0,6))
& A & A - 0 + 0)) & A & A - 0,6 +, 0,4)) =
= 0,2&0,8&0,9&1&0,8 = 0Х
Отсюда следует, что
»(Аи А2) = v(Au А2) & v(A2, Ах) = 1
0,2 = 0,2.
Одним из важнейших понятой теории нечетких множеств является
понятие нечеткого отношения. Оно позволяет формулировать и
анализировать математоческие модели многих реальных задач ПР. _.
Определение 1. 12 [24] Нечетким бинарным отношением/?
на множестве X называется нечеткое подмножество прямого
произведения 1x1, характеризующееся функцией принадлежности ця:
X х X -> [0, 1]. Значение ixR(x;; Xj) для конкретной пары (xif xj) €
Е X х X характеризует субъективную меру или степень выполнения
отношения XfRXf. ^
Если множество X конечно и невелико, нечеткое отношение R
удобно задавать в матричном виде. В этом случае матрица M(R) отношения
R представляет собой квадратную матрицу, строки и столбцы которой
помечены элементами х €Е X, а на пересечении строки дг,- и столбца Xj
записано значение Гц = iiR (xit x.).
Пример 1.6. Пусть^ДГ = \ 1, 3, 5, 7, 9 | . Определим на множестве X
нечеткое отношение R "намного больше". С точки зрения авторов [23]
матрица такого отношения имеет следующий вид:
M(R)
1
3
5
7
9
1
0
0,2
0,5
0,8
1
3
0
0
0,1
0,4
0,8
5
0
0
0
0
0.5
7
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0

х2
Рис. 1.7. Граф G нечеткого отношения R
Наглядностью обладает задание
нечеткого отношения в виде нечет
кого графа [25] G = (X, V), где X =
= xi9 . . ., хп - множество
вершин;
0} ,
- множество нечетких ориентирован-
^ ных ребер
Граф G для нечеткого отношения, рассмотренного в примере 1.6,
показан на рис. 1.7.
1.3. НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ
Рассмотрим понятия нечеткой и лингвистической переменных [18,
19], которые используются экспертом при описании сложных объектов
и явлений, а также при формализации процессов ПР на трудноформали-
зуемых этапах проектирования.
Определение 1.13. Нечеткой переменной называется
где а — наименование нечеткой переменной; X - \ х \ — область ее
определения; Са ={ <tia(x)/x) \ - нечеткое множество на X, описывающее
ограничения на возможные значения нечеткой переменной а (ее
семантику).
Определение 1.14. Лингвистической переменной называется
@, Т9 X, G, №,
где /3 — наименование лингвистической переменной; Т - множество
ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования
нечетких переменных, областью определения каждой из которых является
множество X. Множество Т назьюается базовым терм-множеством
лингвистической переменной; G — синтаксическая процедура (грамматика),
позволяющая оперировать элементами терм-множества Т, в частности
гененировать новые осмысленные термы. Множество Г = Т U G(T)
называется расширенным терм-множеством лингвистической
переменной; М — семантическая процедура, позволяющая превратить каждое
новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой
G, в нечеткую переменную, т.е. приписать ему нечеткую семантику
путем формирования соответствующего нечеткого множества.
Рассмотренные выше операции над нечеткими множествами могут
быть использованы при определении семантики произвольных значений
(термов) лингвистической переменной.
14

При традиционном подходе [18] процедура G определяет новые
значения лингвистической переменной, исходя из ее базового множества
значений Г, т.е. G = G(T). В этом случае синтаксис G задается в виде
бесконек стовой грамматики (VN, VT, ЦП), множество терминальных
символов которой включает множество базовых значений Т, логические
операции и модификаторы типов И, ИЛИ, ОЧЕНЬ, НЕ, СЛЕГКА и др.
Тогда семантическую процедуру можно задать правилами
М(ах ИЛИ а2) = Сх UC2;
М(аг И аг) = d П С2;
М(НЕ at) = 1СХ;
М(ОЧЕНЬ at) = CON(CX);
М(СЛЕГКА a2) = DIL(C2),
где Сх и С2 — нечеткие множества, соответствующие значениям
(нечетким переменным) ах и а2 рассматриваемой лингвистической
переменной.
Пример 1.7. Рассмотрим пример лингвистической переменной. Пусть
эксперт оценивает толщину выпускаемого изделия с помощью понятий
"малая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина"; при этом
минимальная толщина изделия равна 10, а максимальная 80 мм.
Формализация такого описания может быть проведена с помощью
следующей лингвистической переменной </3, Т, Х9 G, М>, где /3 — толщина
изделия; Т = { ах, 02, «з I == 1 малая толщина, средняя толщина, большая
толщина}; X = [10, 80]. Пусть нечеткие множества Сх, С2 и С3
описывают семантику базовых значений переменной J3. Функции
принадлежности, соответствующие данным нечетким множествам, показаны на
рис. 1.8. Тогда произвольные значения а - "малая или средняя толщина"
и а" — "небольшая толщина" будут определяться нечеткими
множествами С* и С" с функциями принадлежности, показанными на рис. 1.9 и
1.10.
Лингвистические переменные, у которых процедура образования
новых значений G зависит от множества базовых значений Т, назовем
синтаксически зависимыми лингвистическими переменными [26, 27].
Наряду с рассмотренными выше синтаксически зависимыми
лингвистическими переменными существуют переменные, у которых
процедура образования новых значении зависит не от множества базовых
значений Г, а от области определения Х9 т.е. G = G(x). Например,
значение лингвистической переменной "толщина изделия" определено как
"близкое к 20 мм" или "приблизительно к 75 мм". Такие
лингвистические переменные назовем синтаксически независимыми [26,27].
Заметим, что произвольные значения синтаксически независимой
лингвистической переменной взаимно однозначно определяются
некоторыми значениями х области определения X. Поэтому произвольное
значение (нечеткую переменную а) синтаксически независимой линг-
15

Рис. 1.8. Функции принадлежности
нечетких множеств С\, С С
Рис. 1.9. Функции принадлежности
нечеткого множества С'
ВО х
Рир. 1.10. Функция принадлежности
нечеткого множества С"
вистическои переменной будем задавать в виде а = (х, X, Са>, jcGI
Например, нечеткая переменная а, определенная как "приблизительно
75 мм", запишется в виде
a = <75,jr,Ca>.
Ниже будут рассмотрены вопросы построения произвольных
значений синтаксически независимой лингвистической переменной.
1.4. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Содержательная интерпретация функции принадлежности.
Существуют несколько точек зрения на содержательную интерпретацию
функции принадлежности [19], причем спектр мнений о природе функции
принадлежности достаточно широк.
В большинстве известных работ по исследованию и применению
теории нечетких множеств [18, 28] считается, что функция
принадлежности - это некоторое невероятностное субъективное измерение
нечеткости и что она отличается от вероятностной меры. В противовес этому
в некоторых работах на основании формального определения функции
принадлежности и операции дополнения нечеткого множества дана
следующая ее интерпретация: величина \хА (х) есть условная вероятность
наблюдения события А при наблюдении х. Однако о происхождении
величины 1ЛА (х) ничего не говорится. Кроме того, не указывается, какой
именно тип вероятности (т.е. какая именно ее интерпретация) имеется
в виду, а именно частотная или субъективная.
Определим понятие субъективной вероятности [19]. Пусть ? —
некоторое случайное событие реального мира, а Lt - некоторое
другое событие, которое дает некоторый выигрыш Qt9 если событие ?
16

произойдет, и 62» если событие ? не произойдет. Пусть также Lp —
событие, которое дает выигрыш Qx с объективной (частотной)
вероятностью р и выигрыш Q2 с вероятностью A - р). Если эксперту
безразлично, какое из событий (L* или Lp) произойдет , то величина р
называется субъективной вероятностью события ?.
Следует отметить, что интерпретацию понятия "функция
принадлежности" необходимо давать, исходя из реальной основы этого понятия,
его источников в реальных процессах. Необходимо также иметь в виду,
как в дальнейшем будет использоваться функция принадлежности.
В дальнейшем функция принадлежности цА (х) элемента х к
нечеткому множеству 4 интерпретируется как субъективная мера того,
насколько элемент х €Е X соответствует понятию, смысл которого
формализуется нечетким множеством А. Под субъективной мерой, как правило,
понимается определяемая опросом экспертов степень соответствия
элемента х понятию, формализуемому нечетким множеством Л. При этом
степень соответствия - не условная вероятность наблюдения события А
при возникновении события х, а, скорее, "возможность" интерпретации
х понятием, формализуемым нечетким множеством А.
Построение функций принадлежности на основе экспертных оценок.
При создании нечетких моделей ПР одним из этапов является этап
построения функций принадлежности нечетких множеств, описывающих
семантику базовых значений лингвистических переменных,
используемых в модели. Нечеткие модели ПР содержат множество
лингвистических переменных, и множество базовых значений этих переменных
конечны. Поэтому для построения функций принадлежности можно
воспользоваться методами экспертных оценок.
Рассмотрим основные методы построения функции принадлежности
Мд элементов х € X к нечеткому множеству, изложенные в работе [ 19].
Пусть имеется т экспертов, часть которых на вопрос о
принадлежности элемента х ? X нечеткому множеству А отвечает положительно.
Обозначим их число через nt. Другая часть экспертов (п2 = т -
отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается, что
Пример 1.8. [23]. Пусть имеется множество X = 11,2,3,4, 5 } и
требуется построить нечеткое множество А, формализующее нечеткое
понятие "намного больше двух". Допустим, что результаты опроса шести
экспертов показаны в табл. 1.1. Тогда получим следующие значения
функции принадлежности элементов множества X нечеткому множеству
А:
МлО) =0; цАB) =0; цА{Ъ) = 1;
МЛ D) =0,7; 1*4E) =0,2.
Необходимо отметить, что данная схема определения функций
принадлежности самая простая, но и самая грубая. Более гибкой является
17

т
*i
пг
1
0
6
2
0
6
X
3
6
0
4
4
2
5
1
5
Таблица 1.1. процедура построения функция при-
Результаты опроса экспертов надлежности на основе
количественного парного сравнения степеней
принадлежности [29, 30]. Эта
процедура допускает использование
всего одного эксперта для построения
функции принадлежности.
Результатом опроса эксперта является
матрица М = llm^B, 1, /- 1, л, где п -
число точек, в которых
сравниваются значения функции. Число тц показывает, во сколько раз, по
мнению эксперта, цА (х/) больше \iA (xy), при этом количество вопросов к
эксперту составляет не и2, а лишь (л2 - л)/2, так как по определению
/л// = 1 и т/1 = \\тц. Понятия, которыми оперируют эксперт, и
интерпретация этих понятий значениями тц приведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2. Интерпретация значений Щ}
Смысл rn^j
примерно равна д(х/) 1
H(xj) немного больше Д(ду) 3
Д(х/) больше/i(xy) 5
ll(Xj) заметно больше Д(ху) 7
fA(Xj) намного больше Д(дсу) 9
Значения, промежуточные по степени 2,4,6,8
между перечисленными
Значения функции принадлежности рА (*,), iiA(x2), . . ., iiA(xn) в
точках Х\9 Хг>...,хп определяются на основе решения задачи
где Ф = (Ф1э Ф2, . . ., Фл) - вектор длиной л; vmzx - максимальное
собственное число матрицы Af, т - символ транспонирования.
Поскольку матрица Af положительная по построению, решение данной задачи
существует и является положительным. Окончательно получаем
Ф
()
Вычисление значений функции принадлежности ^ в точкахxlv х2,
., хя можно упростить, определяя их следующим образом:
I = 1,Л
где i,/ € J = Я, 2,..., п \ , а значение / выбирается произвольно.

Другими словами, для определения величин цА (xt) необходимо
зафиксировать произвольно выбранный столбец/ матрицыМи вычислить
отношения значений элементов гпц к сумме значений всех элементов
столбца /. При правильно проведенном экспертом опросе выбор столбца
/ практически не влияет на правильность определения функции
принадлежности^.
Пример 1.9 [23]. Пусть для описания расстояния между двумя
точками применяется лингвистическая переменная 0 — "расстояние" с
множеством базовых значений Т = | малое, среднее, большое \ . Пусть
базовое множество X = | 1, 3, (б, 8 \ . Терм "малое" характеризуется
нечеткой переменной (малое, X, О. Требуется построить функцию
принадлежности цс нечеткого множества С, описывающего терм "малое",
т.е. определить значения цс(х), х G X. Опросом экспертов получена
следующая матрица парных сравнений:
1
3
6
8
1
1
1/5
1/6
1/7
3
5
1
1/4
1/6
6
6
4
1
1/4
8
7
6
4
1
Здесь, например, на пересечении первой строки и второго столбца
стоит число 5, т.е. ml2 = 5 вследствие оценки эксперта <мсA) заметно
больше МсC)> в соответствии с таблицей.
Зафиксируем первый столбец матрицы М:
Мг = | 1,1/5,1/6,1/7 1.
По формуле A.1) получаем
2 m/j 1,55
/ - Та
Аналогично вычисляются значения jucC) s 0,16; ИсF) = 0,11;
Мс(8) = °»08- Таким обрайом,
, <0,09/8>1 .
В [19] сформулирован ряд дополнительных условий, которым в
силу своей семантики должна удовлетворять функция принадлежности
нечеткого множества, помимо требований, вытекающих из определения
последнего.
Пусть Т = | Oj \, i = 1, m — базовое терм-множество лингвистической
переменной </3, Г, XG, М>; <а,«, Xt Cf) - нечеткая переменная,
соответствующая терму ojj € Г; Cf = \(^(х),х) \ , х € X; St - носитель Q.
Будем считать, что X С R1, где R1 - действительная ось. Обозначим
min х через jci, а тахл: через х2- Упорядочим множество Г в соответ-
19

ствии с выражением
A.2)
Данное выражение означает, что терм, который имеет носитель,
расположенный левее, получает меньший номер. Тогда любая
лингвистическая переменная должна удовлетворять следующим условиям:
Md(*i) = 1; Mcw(^) = 1; A.3)
(V«Sr G Al «hi) @ < max лс.пс. (*) < 1); A.4)
|дг) - О; A.5)
(V 0H*1 < °°vCjcbjc2 e
Принимая т = 5 и используя рис. 1.11, прокомментируем
приведенные выражения. Условие A.3) запрещает функциям принадлежности
крайних термов (в данном случае ах и %) иметь вид колоколообразных
кривых, что обусловлено расположением этих термов в упорядоченном
множестве Г. Условие A.4) запрещает существование в базовом
множестве Т пар термов типов ах>аг и а2, а3, поскольку в первом случае
отсутствует естественная разграниченность понятий, аппроксимируемых
термами, а во втором случае участку [а, Ь] из области определения
не соответствует никакое понятие. Поскольку каждое понятие имеет
хотя бы один типичный объект, обозначаемый этим понятием, введено
условие A.5), запрещающее наличие в множестве термов типа а4.
Условие A.6) опрашивает область определения X либо конечным
множеством точек (при дискретном характере области определения), либо
некоторым отрезком или интервалом (при непрерывном характере
области X). Данное* условие констатирует имеющиеся в любой задаче
ПР физические ограничения на числовые значения параметров.
При использовании лингвистической переменной, задаваемой на
непрерывном носителе (интервале действительных чисел), возникает
задача хранения функций принадлежности (т.е. семантика значений
лингвистической переменной) в памяти ЭВМ. Одним из возможных способов
решения данной задачи является представление функции
принадлежности в виде стандартной я-функции [31, 32}:
которая имеет следующий вид:
( S(x, Xi - t?, *i - tj/2, *!)при х <*г,
ir(x,i?,*i) = ( i _ S(xt Xl - г?, xt - t?/2, х^при х > *,;
20

а Ь
Рис. 1.11. Запрещенные функции принадлежности термов лингвистических
переменных
Рис. 1Л2. Представление функции
принадлежности в виде 7Г-функции
S(x, ^,r,
при
при
при х>хх.
Таким образом, любая функция принадлежности \хА (х) может быть
представлена в памяти ЭВМ двумя параметрами: хг - величиной, при
которой значение функции равно 1; т? - величиной, при которой
значение функции равно 0,5 (рис. 1.12).
При использовании введенной выше синтаксически независимой
лингвистической переменной возникает задача определения ее семантики,
т.е. построения функций принадлежности, соответствующих ее
произвольным значениям. Рассмотрим подход к определению семантики
синтаксически независимой лингвистической переменной, представленный
в [27].
Пустьах =(хиХ, Ci> и 02 =0с2, X, С2) - два соседних базовых
значения синтаксически независимой лингвистической переменной 0; а =
= Ос', X, С') - произвольное значение, дня которого выполняется
условие хг < х < х2. Обозначим через ^, (^ и у следующие функции:
Л (г) = MCll(*i + г);
«fcOO = Vc2(x2 + r);
21

/Т\7
/ V
J \л
Me
у
'^\
\\
Xj X' Х2 X
Рис. 1.13. Пример случая ft
xt x' x2 x
Рис. 1.14. Пример случая ft
Можно предположить, что если значения а! и а2 таковы, что ^ = \р2, то
и значение аг такое, что (р' = \рх = <^ (рис. 1.13). Далее, если для at и
а2 такое условие не выполняется (функции <рг и (^ различны), то чем
ближе значение х' к jci по сравнению с х2, тем менее значения функции
if' отличаются от \рх и тем более от значений <рг, и наоборот (рис. 1.14).
При задании функций принадлежностей с помощью стандартных тг-
функций задача определения произвольного значения а = Ос', X, С'>
синтаксически независимой лингвистической переменной сводится к
определению функции п(х, т/, х) по заданным функциям тг(х, % хх) и it(x, т?2,
х2), или, иными словами, к определению параметра г/ по заданным
параметрам т?! и 7?2 • Исходя из указанных выше предположений значение
т?' меняется в пределах [r?i, т?2] при изменении *' в пределах [хи х2].
Положив, что отношение отклонений т/ от г\х и т?2 пропорционально
(равно) отношению отклонений от jti и х2ь можно записать
(V - ПхЖп - ih) = (х - ХОД*1'- х2).
Обозначив
X = (Л
получим
X € [0,1].
+ A + X)tj2.
A.7)
A8)
22

1
20 25
40 50
Рис. 1.15. Семантика значений синтаксически независимой лингвистической
переменной
Заметим, что т?' = 4l при х = хх (значение X = 1) и т?' = ц2 при *'= х2
(значение X « 0).
Пример 1.10. Рассмотрим пример определения произвольных
значений синтаксически независимой лингвистической переменной. Пусть
базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" являются
высказывания "приблизительно 20 мм" и "приблизительно 50 мм", т.е.
at = <20, X, С|> и а2 = <50, X, С2) • Вычислим произвольные значения,
определяемые выражениями а »{приблизительно 25 мм> и а =
(приблизительно 40 мм>. На рис. 1.15 сплошной линией показаны графики
функций принадлежности jj^O?) и мС2(х), которые представимы в виде
\кс (а:) = я(х, 5, 20) и /*с2 0е) = ff(x» ^» ^)* Согласно выражениям
A.7) и A.8) определим параметры X и 17 для значений а и а": Хд' =
= — 5/6, Хд" = 1/6, ??' = 6, V = 10. Функции принадлежности [кс* и /хс"
примут вид
Мс'(х) = тг(х, 6, 25); /хс"(^) s *(*> Ю, 40),
а значения а и а" запишутся в виде
а = <25, AT, d) и а" = <40, X, С">,
где
<Vc'(x)lx)\
1.5. НЕЧЕТКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ.
ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕЧЕТКИХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Нечеткими высказываниями [19] назовем высказывания следующего
вида:
1) высказывание <]3 есть а), где E — наименование лингвистической
переменной, отражающей некоторый объект или параметр реальной
действительности, относительно которой производится утверждение а,
являющееся ее нечеткой оценкой (нечеткой переменной). Например,
(давление большое). В высказывании (толщина равна 14 мм) значение
23

а = 14 мм является четкой оценкой лингвистической переменной 0:
(толщина);
2) высказывания вида </3 есть та), @ есть Qd>, <60 есть та), <wj3 есть
ба), при этом т называется модификатором (ему соответствуют такие
слова, как ОЧЕНЬ, БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ, НЕЗНАЧИТЕЛЬНЫЙ,
СРЕДНИЙ и др.)» Q — квантификатором (ему соответствуют слова типа
БОЛЬШИНСТВО, НЕСКОЛЬКО, МНОГО, НЕМНОГО, ОЧЕНЬ МНОГО
и др.)- Например, (давление очень большое), (большинство значений
параметра очень мало);
3) высказывания, образованные из высказываний 1-го и 2-го видов
и союзов И; ИЛИ; ЕСЛИ. . ., ТО. . .; ЕСЛИ. . ., ТО . . . ИНАЧЕ.
Например, (ЕСЛИ давление большое, ТО толщина не мала).
Необходимо отметить, что отождествление данных союзов с
логическими операциями конъюнкций, дизъюнкций, отрицанием и
импликацией возможно только при предварительном рассмотрении опроса
коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности высказываний,
образующих предложения.
Предположим, имеются некоторые высказывания С и D относительно
ситуации А^ Пусть рассматриваемые высказывания имеют вид б: (j3
есть ас) и Z): (K есть aD), где ас и aD - нечеткие переменные,
определенные на универсальном множестве U={u }. ^
Определение 1.15 [19, 33]. Истинность высказывания /)
относительно С есть значение^функции T(D/C), определяемое степенью
соответствия высказываний D и С. В формальной записи
T(D/C) = i </zr(r)/r){ ,
где
(уме V) (г = ц$(и));
цт(т) = max Ц?(и), if = { и €: U\nD(u) = г } ,
uGl/
при этом \Iq и \xq — функции принадлежности нечетких переменных
асГи а5' Мг(г) ~ функция принадлежности значения истинности; г €
€Е [0,1] — область ее определения. ^
Иными словами, истинностью^нечеткого высказьшания D
относительно нечеткого высказывания С является нечеткое множество T(D/(?),
определенное на интервале [О, 1], такое, что для любого г € [О, 1]
значение ее функции принадлежности равно наибольшему значению
Vc(u) по всем и, при которыхм2)(") ~т-
^ Пример 1.11. Предположим, что сформулировано высказывание
Ш0 находится близко к 5), в то время как С: 1E имеет значение
приблизительно 6). Пусть aff есть "близко к 5", а^есть "приблизительно
6" суть нечеткие переменные с нечеткими множествами:
24

? <0,3/3>, <0,7/4>,
<0,8/6>, <0,6/7>, <0,3/8>, <
<0,8/6>, <0,6/7>, @,3/8>, <
Cfi = { <0,1/3>, <0,4/4>, <0,8/5>,
<0,7/7>, <0,4/8>, <0,3/9>, <0,1/10> 1 .
В этом случае U = { 2, 3^4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | . Тогда истинность
высказывания D относительно Сбудет имет следующий вид:
T(D/d) = { <0,1/0>, <0,3/0,1>, <0,4/0,3>,
<0,7/0,6>, <0,4/0,7>, <1/0,8>, <0,8/1> } .
Свойство 1.1. Пусть D: </3 есть щ) — четкое высказьтание.
Значение щ можно рассмотреть как нечеткую переменную аи ,
характеризуемую нечетким множеством Си = | <//„ («)/«> | с функцией
принадлежности
с 0 при и = щ.
Тогда^ истинность высказывания D относительно нечеткого
высказывания Сзапишется в виде
T(D/C) = |
Иными словами, истинность четкого высказывания D относительно
нечеткого высказывания С полностью определяется одним значением
)
Пример 1.12. [19]. Пусть высказывание сформулировано четко и
имеет вид D: <j3 есть 5), а описание ситуации нечеткое: С: < j3 есть
приблизительно 6>. Следуя свойству 1.1 и учитывая, что ag есть
"приблизительно 6", a Cq = { <1/5> | , получаем T(D/Q = I <0,8/1>1 . Эта оценка
истинности высказывания D также нечеткая, хотя и содержит один
элемент.
С в о й с i в о ' 1. 2. Пусть С: <0 есть щ) - четкое высказывание.
Тогда истинность четкого высказывания D относительно четкого
высказывания С будет иметь вид
С1<1/1>! При К, =112,
Т{р/С) = {{(о/1) } в противном случае.
Мы рассмотрели нахождение истинности высказываний вида
(/3 есть а). A.9)
Аналогично можно оценить истинность высказываний вида <|3 есть
та) и <K есть Qa), где т - модификатор; Q - квантификатор.
25

Пусть Рх и J3y — лингвистические переменные, определенные на
множествах X и У. Пусть их значения — а~ и а^ с соответствующими
нечеткими множествами
нечеткими множествами
Чтобы оценить истинность более сложных высказываний типа
(рх есть
<&х есть
фх есть
($х есть
<ЕСЛИ0^ есть
(ЕСЛИ $х есть
(X
пХг
аХ>
«XS
И
или
И |3Г
или /зг
то Ру
то ру
есть ах >
есть а„ >
есть ау >
есть а у )
есть ау >
есть cty,
ИНАЧЕ cty^Ul.lO)
их надо привести к виду A.9) с помощью следующих правил
преобразования [19, 33], которые справедливы при условии
невзаимодействия переменных [18].
Правило 1.1. Правило преобразования
конъюнктивной формы. Справедливо выражение
<0у есть ах и 0у есть ау > -> <(]3^, Eу) есть 3^ П*5у >.
Здесь -> есть знак подстановки. Выражение а^ П сГ^ можно
рассматривать как значение лингвистической переменной((Jx , |Зу) с
соответствующим нечетким множеством С^ =1ГХ П 2fy ; ТТу и ?у —
цилиндрические продолжения нечетких множеств Су и Су , определяемые
как нечеткие множества вида
где (х,у) е J5fx у, причем
11
Пример 1.13. Пусть имеется нечеткое высказывание вида (давление
большое и диаметр малый). Здесь лингвистические переменные Рх —
"давление" и (Зу — "диаметр" принимают значения ах — "большое" и
ay — "малый". Предположим, что лингвистические переменные 0Х и
Ру определены на множествах X - { 3, 5, 6 { и У = { 10,15,20,25 }, а
нечеткие множества С^ и Су , соответствующие значениям а^ и ау ,
представлены в виде 1 J x !
С^ = { <0,3/3>, <0,7/5>, <1/6>1 ;
CYi = |<1/10>, <0,8/15), <0,4/20>, <0,2/25>] .
26

Найдем цилиндрические продолжения:
CXi = 1@,3/C,10», @,3/C,15)), @,3/C,20», @,3/C,25)),
<0,7/E,10)>, <0,7/E,15)>, <0,7/E,20», @,7/E,25)>,
<1/F,10)>, A/F,15», <1/F,20)>, <1/F,25)> 1 ;
CYi ={ <1/C,10)>,<1/E,10)>,A/F,10)>>
@,8/C,15)>, <@,8/E,15», <0,8/F,15», <0,4/C,20»,
<0,4/E,20», @,2/C,25», <0,2/E,25)>, @,2/F,25» } .
Согласно правилу преобразования 1.1 получаем (давление большое и
диаметр малый) -*¦ <фх, бу) есть 2^. П ау , где @Х, 0у)
-лингвистическая переменная, принимающая значение ах П Н„ с
соответствующим нечетким множеством i *
Сп= ?Xi П CKi = | @,3/C,10)), @,3/C,15)),
@,3/C,20)), @,2/C,25)), @,7/E,10)), @,7/E,15)),
@,4/E,20)), @,2/E, 25)), A/F,10)),
@,8/F,15)), @,4/F,20)), @2/F, 25»! .
Следствие 1.1. Справедливо преобразование
<0Х есть aXi И есть а^ -* <0Х, ^> есть Н^ П JfXa>.
Правило 1.2. Правило преобразования
дизъюнктивной формы. Справедливо выражение
<0Х есть ах%
ИЛИ pY есть «г > -* <Р^,^Г) есть «^ U^r >.
Здесь cL Ufy. рассматривается как значение лингвистической
переменной (/3„, j3у) с соответствующим нечетким множеством Су=С„ U
Пример 1.14. Пусть имеется нечеткое высказывание (давление
большое ИЛИ диаметр малый).
Здесь (}х, (Зу, ах и Uy <- те же, что и в примере 1.13. Согласно
правилу преобразования 1.2 данное нечеткое высказывание представи-
моввиде >
<(J3^, PY) есть *
где ctx UaFy - нечеткая переменная с соответствующим Нечетким
множеством
CU = ^Ti U ^Vi = { <1/Cj 10)>5 <0'8/C'15)>'
@,4/C,20», <0,3/C,25)>, A/E, 10», <0,8/E, 15»,
27

<O,7/E,2O)>, <0,7/E,25», <l/F,10»,
Следствие 1.2. Справедливо преобразование
фу есть ах ИЛИ есть ах > -»¦ фх> 0Х) есть ctx U Зу .
Правило 1.3. Правило преобразования
высказываний импликативной формы. Справедливо
выражение
<Если K„ есть а„ , ТО 0у есть Яу > -*
-> «0*. 0г> есть 8^ ^ Ху-).
Здесь знак -^ означает пороговую сумму, определяемую в
соответствии с выражением
-д- (х, у) +д^ (
где /1-й- и д«. - функции принадлежности, соответствующие нечетким
аЛГ, аГ, ^
множеством Cv и Cv .
Пример 1.15. Рассмотрим нечеткое высказывание (ЕСЛИ давление
большое,. ТО диаметр малый). Согласно правилу 1.3 данное
высказывание можно записать в виде
<@Z, &Y) есть Т^ 4> оу1>.
Определим функцию принадлежности м^. на множестве X х Y:
И4.C, 10) = 1&A - 0,3 + 1) - 1;
д^ C,15) - 14A - 03 + 0,8) - 1;
Ц+ C,20) = 1&A - 0,3 + 0,4) = 1;
д«. C,25) = 1 &A - 0,3 + ОД) = 0,9;
ц+ E,10) = 14A-0.7+0-1;
ц+ E,15) = 1 & A - 0,7 + 0,8) = 1;
М« E,20) = 14A - 0,7 + 0,4) = 0,7;
ц+ E,25) = 1&A - 0,7 + ОД) = 0,5;
ц+ F,10) =1& A - 1 + 1) = 1;
д«. F,15) - 1 4 A - 1 + 0,8) = 0,8;
М<, F,20) = 1 & A - 1 + 0,4) = 0,4,
М«. F,25) = 1 & A - 1 + ОД) = ОД.
28

Нечеткая переменная aL/ ф cty будет характеризоваться нечетким
множеством
Со = I <1/C,10»,<1/C,15», 0/3,20»,
<0,9/C,25)>, 0/E,10», 0/E,15»,
<0,7/E,20», <0,5/E,25», 0/F,10»,
<0,8/FЛ5)>, @.4/F.20», <0,2/F,25» I .
Рассмотрим более сложное высказывание имшшкативной формы
A.10). Представляя его в коньюктивной форме, получаем
высказывание
(ЕСЛИ рх есть ах , ТО KГ есть ау
и ЕСЛИ 0Х есть НЕ ах , ТО j3y есть ау >,
откуда, правило преобразования данной условной формы будет иметь
вид
(ЕСЛИ &х есть aXi> TO 0у есть а^, ИНАЧЕ
aY2} ^<(/3Х' М есть <*ri* ?Ух> П ^ ^ аГГ2>)'
ГЛАВА 2
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ
НА ТРУДНОФОРМАЛИЗУЕМЫХ ЭТАПАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
2.1. МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Если проанализировать классические схемы теории ПР, используемые
в САПР, то в них в качестве основных можно выделить следующие
этапы:
1) выбор множества признаков-факторов, наиболее существенно
влияющих на процесс ПР5 который осуществляется в результате
тщательного исследования конкретной задачи, условий и целей ПР;
2) сопоставление выбранным признакам необходимых переменных
и взаимоувязка их в той или иной системе уравнений, представляющих
собой фактически модель процесса или системы ПР;
3) разработка эффективных программ для оптимизации- моделей
и реализация на их основе процедур ПР.
Перечисленные этапы в той или иной форме присутствуют в любых
моделях и алгоритмах ПР, в том числе и в моделях, имитирующих
процесс ПР конструктором-проектировщиком на трудноформализуемых
этапах проектирования.
В сложных системах и процессах адекватное математическое
описание ПР зачастую вообще отсутствует либо представляет собой
достаточно громоздкие математические конструкции, оптимизация которых и
29

практическое использование в реальном времени невозможны.
Поэтому при разработке эффективных алгоритмов ПР в подобных ситуациях
необходимо устранить трудности, связанные с реализацией второго и
третьего этапов в приведенной выше схеме. Это оказывается
возможным, если алгоритм ПР строить на основе моделей, имитирующих
процесс ПР опытным экспертом, принимающим решение [34—36]. В этом
случае будем исходить из следующих естественных предположений
[37, 38]. В роли эксперта выступает достаточно квалифицированный
специалист (конструктор), имеющий успешный опыт работы с данной
системой, приобретенный им в результате большого числа итераций
решений одних и тех же задач в различных производственных и
технических ситуациях. При этом эксперт—лицо, принимающее решение
(ЛПР), принимает решение не столько в результате решения некоторых
экстремальных задач, а сколько на основе относительно простых и в
то же время достаточно гибких решающих правил.
К настоящему времени известно достаточно большое число работ,
посвященных исследованиям различных моделей, имитирующих
действия эксперта [37—40]. При построении моделей используются самые
различные математические теории, такие, как теория информации,
теория массового обслуживания, теория автоматов, теория
статистических решений, теория полезности, векторная оптимизация [34, 35,39,40,
42]. Результаты исследований позволяют сделать вывод [41, 43], что
к настоящему времени отсутствуют математические формализмы,
способные корректно описывать действия эксперта, и ни одна из
перечисленных теорий не дает возможность построить адекватные модели
для всех случаев.
Специфика выбора модели ПР, предназначенной для
моделирования решений опытным конструктором на трудноформализуемых этапах
проектирования заключается в следующем. Во-первых, поскольку
рассматриваются достаточно сложные этапы процесса проектирования, то
в силу принципа несовместимости они в меньшей мере поддаются
точному количественному описанию, а следовательно, большая часть
информации о стратегиях ПР (которая представлена в словесной форме) исходит
непосредственно от эксперта-конструктора. Это требует использования в
ПР соответствующего аппарата — теории нечетких множеств и
алгоритмов, основные понятия которого приведены в гл. 1. Во-вторых,
поскольку разрабатываемые алгоритмы ПР предназначены для
оперативного проектирования, т.е. должны работать в реальном времени, то
применение точных методов оптимизации, как правило, исключается
вследствие их трудоемкости. В-третьих, то обстоятельство, что алгоритмы
должны работать в качестве "советчика" конструктора, предъявляет к
ним требование учитывать качественную информацию, представленную в
Лингвистической форме и исходящую от эксперта.
При описании процессов ПР на трудноформализуемых этапах
проектирования будем исходить из следующих положений:
30

процесс ПР характеризуется несколькими входными и одним
выходным параметрами. В случае, когда процесс ПР имеет несколько
выходных параметров, его можно представить в виде нескольких
параллельных процессов с одним выходным параметром;
информация о стратегиях ПР в типовых, эталонных ситуациях,
получаемая от эксперта-конструктора, описывается системой условных
^высказываний в терминах нечетких и лингвистических переменных,
устанавливающих связь между входными и выходными параметрами
процесса проектирования.
В настоящее время известно довольно большое число моделей ПР,
в которых в качестве математического аппарата используется теория
нечетких множеств и алгоритмов. Подавляющая часть данных моделей
ПР носит нормативный характер и представляет собой формализацию
этапа выбора, когда множество альтернатив, критерии целей и
ограничения, отношения предпочтения и другие условия считаются заданными.
При этом согласно предложенной классификации существующие модели
выбора в нечетких условиях можно .разбить на достаточно
независимые группы: по числу этапов (одноэтапные и многоэтапные), по числу
ЛПР (индивидуальные и коллективные), по числу используемых
критериев (однокритериальные и многокритериальные). По характеру
описания предпочтений можно выделить модели нечеткого математического
программирования и нечетких бинарных отношений альтернатив.
Особый класс составляют лингвистические модели ПР, основанные на
нечеткой логике с лингвистическими значениями истинности. Обзор данных
методов наиболее полно представлен в монографиях [14,19,42].
В зависимости от выбора решений этапы проектирования можно
разделить на два класса. К первому классу относятся этапы, в
результате которых происходит выбор значений параметра (параметров)
проектирования. В этом случае значениями определяемого параметра
является подмножество множества действительных чисел. Ко второму
классу относятся этапы, цель которых - выбор варианта (схемы)
проектирования или значения параметра изделия из достаточно небольшого
заранее заданного множества.
Для моделирования процесса ПР на трудноформализуемых этапах
проектирования, относящихся к первому классу, разработаны модели
ПР, использующие правила modus ponens и индуктивную схему вывода.
Йри моделировании процесса ПР на трудноформализуемых этапах,
относящихся ко второму классу, предлагается использовать
разработанные модели ПР, также основанные на нечетком правиле modus ponens,
нечеткой индуктивной схеме вывода, и модель, использующую нечеткую
экспертную информацию второго рода.

2.2. ВЫБОР РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ
ЧЕТКОЙ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Использование моделей и алгоритмов ПР на основе экспертной
информации связано с решением задачи представления данной информации в
виде, пригодном для использования. При выборе решений в четких
условиях экспертная информация представима в виде системы условных
высказываний, устанавливающих взаимосвязь между четкими
значениями входных и выходных параметров процесса ПР.
Если в зависимости от возможных четких значений входных
параметров делается вывод о значениях выходного параметра, то такую
систему экспертных высказываний назовем системой /Л '-типа. Данную
систему представим в виде
I <ЕСЛИ А1я ТО #!>;
Z,2B) <ЕСЛИ А2. ТО В2);
- B.1)
m. ТОВт).
Здесь т — число экспертных высказываний; Aj — высказывание,
отражающее четкую входную ситуацию (четкое значение входного
параметра); Bj — высказывание, отражающее четкую выходную ситуацию
(четкое значение выходного параметра или некоторое конкретное
действие процесса проектирования).
Пример 2.1. Обозначим через Р„ пРу входной и выходной параметры
процесса ПР, принимающие значения соответственно из множества X =
= { xt, х2, #з } и V = { v 1# v 2 | • Система экспертных высказываний
L (l) может быть представлена в виде
{L[l): <ЕСЛИ Рх есть хг, ТО Ру есть v г);
L2A): (ЕСЛИ Рх есть х2, ТО Ру есть v t);
13A):<ЕСЛИ Рх есть х3, ТО Ру есть v 2>.
Здесь высказывания Aj и В/ имеют следующий вид:
В случае, когда в зависимости от возможных значений выходной
(В/) ситуации экспертом делается предположение о возможной входной
ситуации (Aj) (о возможных значениях входных параметров), систему
экспертных высказываний назовем системой /Л2*-типа и представим
в виде
if2*: (ЕСЛИ Bl9 TO At);
L[2): (ЕСЛИ В2, ТО А2);
B.2)
1<2>:<ЕСЛИЯт;ТО Ат).
32

Пример 2.2. Пусть входной Рх и выходной Ру параметры те же, что
и в примере 2.1. Тогда система экспертных высказываний
Г 1,B):<ЕСЛИ Ру есть, Vx> TO Рх есть хх)\
L = [ ?2B):<ЕСЛИ Рт, есть v2, TO /> есть jcs>.
Определение 2.1. Системы высказываний называются
однозначными, если выполняются следующие условия:
(У I, / G 1,/и) [^4; = Л;- -* В; = 5;] для системыZ^^-типа;
(V it ] ^ i7m) [Bf = Л7- -> А* = Л,-] для системы/, *2^-типа.
Примерами однозначных систем являются системы в примерах 2.1 и
2.2.
Определение 2. 2. Система высказываний назьюается
неизбыточной, если
(V/, / е Т7т) [А{ = А{ & Bt = Bf ->/=/].
Неизбыточными системами являются системы высказываний в
примерах 2 Л и 2.2.
Определение 2. 3. Пусть W— множество всех входных
ситуаций процесса ПР (множество значений входных параметров). Систему
высказываний назовем полной, если выполняются условия
ТО Bf) &Af.( Pw есть w>]
для системы L *! * типа;
ТО ^> &ЛХ.: (Pw есть w> ]
для системы Z*2) типа.
Иначе говоря, для любой входной ситуации w? W существует
экспертное высказьгоание, устанавливающее взаимосвязь между данной
входной и некоторой выходной ситуациями.
Полной системой является система в примере 2.1 (здесь W = X и
Pw = jPy). В примере 2.2 система не является полной, так как в ней
отсутствует высказьюание, содержащее входное выражение (Р% естьлг2) •
Рассмотрим теперь механизм выбора решений в четких условиях,
т.е. в условиях, когда экспертная информация задается четкими
системами высказываний. При задании экспертной информации системой
высказываний хЛ^-типа выбор решения основывается на правиле
modus ponens, а в случае задания системой Ь^-тит и индуктивной
схемой вывода.
Пусть А и В — произвольные четкие высказывания. Согласно
правилу modus ponens из высказываний (ЕСЛИ А, ТО В) и А выводимо вы-
33

оказывание В. Формальное правило modus ponens запишется в виде [45]
(ЕСЛИ А, ТО В);
( А — истинно);
{ В - истинно).
Согласно индуктивной схеме вывода из высказываний (ЕСЛИ 5, ТО
А) и А следует правдоподобность высказывания В. Формально
индуктивная схема вывода запишется в виде [45]
{ЕСЛИ В, ТО А);
(А - истинно);
(В - более правдоподобно).
Рассмотрим пример использования правила modus ponens и
индуктивной схемы вывода при выборе решений в четких ситуациях.
Пример 2.3. Пусть имеется полная, однозначная система четких
условных высказываний L^l\ отражающая взаимосвязь между
входным Рх и выходным Ру параметрами:
f (ЕСЛИ Рх есть 5, ТО Ру есть 20);
Z,A) = J (ЕСЛИ Рх есть 6, ТО Ру есть 25);
« [ (ЕСЛИ Рх есть 7, ТО Ру есть 28).
Тогда при значении параметра Рх = 6 согласно правилу modus ponens
в качестве выходного параметра Ру необходимо выбрать значение 25.
Иными словами, справедлив следующий вывод:
{Рх есть 6) - истинно;
<JPy есть 25) - истинно.
Пусть теперь взаимосвязь между параметрами Рх и Ру задается в
виде полной, непротиворечивой системы L *2 * -типа:
Г (ЕСЛИ PF есть 20, ТО Рх есть 5);
1B> = < (ЕСЛИ Рк есть 25, ТО Р% есть 6);
(ЕСЛИ Р„ есть 28, ТО PY есть 7).
^ V Л.
Тогда согласно индуктивной схеме вывода при значении входного
параметра Рх = 6 в качестве выходного параметра Р„ выбор значения
25 является более предпочтительным (по отношению к выбору других
возможных значений 20 и 28). Иными словами, справедлив следующий
34

вывод:
г (О.
(Рх есть 6> - истинно;
есть 25> - более правдоподобно.
Пусть L}1': (ЕСЛИ Ai% TO Bt) - /-е высказьюание системы B.1);
А и В - некоторые четкие высказывания. Обозначим через T(A/Aj)
истинность высказывания А относительно At\ T^B/B^ истинность
высказывания В относительно 5,-:
( 1 при А = А*;
Т(АШ = ) л
1 С 0 в противном случае,
= \
при В = Bt;
) в противном случае.
Заметим, что значения^ T(AlAt\ ii Т(В/В^ являются^ частными
случаями истинностей T(A/Af) и Т(В/В^)9 где A, At ,B, Ъг есть нечеткие
высказывания.
Определение 2.4. Истинностью правила modus ponens для
схемы вывода
l/°: {ЕСЛИ Аь ТО Bf);
А - истинно;
В - истинно
назьюается величина T(LJl\ А, ВO определяемая импликацией
T(A/Aj) -+T(B/Bj) и принимающая значения
,,v v 0 при А = А,- и В = В:\
ГA/1;, А, В) =
1 t 1 в противном случае
Определение 2. 5. Истинностью правила modus ponens для схемы
вывода
А - истинно; B.3)
- истинно,
35

называется величина
T(Lil\ А, В) = & T(L^\ At В).
i = ~п
Следствие 2.1. Пусть Z,*1* - полная, непротиворечивая система
высказываний. Тогда справедливы выражения
Clk e \%m)[A = Ак]\
T(LM, А, В) = } Л *'
С 0 в противном случае.
Аналогично, рассматривая систему высказываний B.2), введем
понятие истинности для индуктивной схемы вывода.
Определение 2.6. Истинностью индуктивной схемы для схемы
вывода
>. ТО А;);
(А - истинно);
{ В — истинно)
назовем величину T(L,i2\ А, В), определяемую импликацией Т(А/А{) ->
Т(В/В;) и принимающую значения
1 при А = At и В = Bf;
О в противном случае.
Определение 2. 7. Истинностью индуктивной схемы для схемы
вывода
А - истинно; B.4)
( В - истинно)
назовем величину ГAB), А, В) = & ГA/2), А, В).
i = 17^
Заметим, что из определений 2.5 и 2.7 следует
Г(/,B), А, В) s T(L{1\ А, В).
Аналогично следствию 2.1 справедливо следствие 2.2.
Следствие 2.2. Пусть L ^2' — полная, непротиворечивая система
высказываний второго типа. Тогда имеет место выражения
T(L<2\ А, В) =
36
1 при В = Вк;
О в противном случае.

Таким образом, при выборе решений в четких условиях в случае,
когда экспертная информация задана полной непротиворечивой
системой L ^-типа, правило modus ponens соответствует выбору такого
выходного высказывания 2?, при котором истинность схемы вывода B.3)
достигает своего наибольшего значения, т,е. 1. Аналогично при
задании экспертной информации полной непротиворечивой системой Z,*2*-
типа индуктивная схема вывода соответствует такому выбору
выходного высказывания 2?, при котором истинность схемы вывода B.4)
также достигает своего максимума.
2.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ
В ВИДЕ СИСТЕМ НЕЧЕТКИХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Обозначим через X, Y, Z. . . множество значений входных параметров
процесса проектирования, существенно влияющих на выбор выходного
параметра V.
Введем лингвистические переменные @^., Тх, X, Gx, Мх), <0Г, Ту,
Y, Gy, Му), <0Z, Tz, Z, Gz, Mz), . . . и <Cy9 Ty9 V, Gy, My),
определенные на множествах X, Y, Z ... и V.
Системы эталонных логических высказываний, отражающие опыт
эксперта в типовых ситуациях, представим в виде
ИЛИ
ИЛИ
<ЕСЛИ Et
... l№LEtnv TO 0V
ШСЛИ E2i ИЛИ E22,
... ИЛИ Е2„2, ТО 0К есть ау) ;
есть ау ) \
B.5)
ИЛИ
ИЛИ Е
тПт
ТО
есть
или в виде
Г<2>
L$2): (ЕСЛИ Ру есть а
ТО Е1Х ИЛИ Е12% ИЛИ
L2W: (ЕСЛИ /Зк есть а
ТО Е21 ИЛИ Е229 ИЛИ
. ИЛИ Elrll);
. ИЛИ Е2П2);
B.6)
{ TO Sm, ИЛИ ?-W2, ИЛИ ... ИЛИ Етп^.
Здесь т — число базовых значений лингвистической переменной /3„;
37

j, i = 1, rij, j = l,m — высказывания вида
<j3r есть aY и j3y есть <
и ...
есть az >.
Высказывание 2?;|- представляет собой i-ю входную эталонную нечеткую
ситуацию, которая может иметь место, если лингвистическая переменная
5„ примет значение av . Значения a
V V.
Yn Z
..
переменные с функциями принадлежности соответственно
av — нечеткие
v.
x e x, у e
(у), mz (z),
i zfi
y, z e z ...
(v),
j
v.
Системы нечетких высказываний B.5) и B.6), так же как и ранее
рассмотренные четкие системы B.1) и B.2), отражают два разных
случая взаимосвязи между эталонными значениями входных и выходных
параметров процесса проектирования. В первом случае в зависимости от
эталонных значений входных параметров (базовых значений входных
лингвистических переменных) делается вывод об эталонных значениях
выходного параметра (базовых значений выходной лингвистической
переменной). Во втором случае в зависимости от возможных значений
выходного параметра делается предположение о возможных эталонных
значениях входных параметров.
Использовав правила преобразования лингвистических высказываний,
рассмотренных в гл. 1, системы B.5) и B.6) представим в более
компактном виде.
Согласно правилу 1.1 высказывание Е]г можно записать в виде
Efi: </Jv есгьа^ >.
где K^ — лингвистическая переменная, определенная на множестве
W = X х Y * Z ... и принимающая базовые значения аЕ с функцией
принадлежности /*
цБ (w) = min { HXj(x)> My/f00. MZ/.OO • • • 1 .
Далее, согласно правилу 1.2 высказывания
B.5) и B.6) могут быть представлены в виде
и
в системах
LfA): <ЕСЛИ
Здесь
есть aw , TO j3F есть «F >;
: (ЕСЛИ 0Т/ есть aT/ , TO pw есть аш >.
V Vf W W.
w — значение лингвистической переменной ,
надлежности
VWj (w) =
max
[iE (w).
с функцией
приB.7)

Ofi
10
1
0,6
n
My
1
го x го
27
20 25 26 30 3435 40 v
Рис. 2.1. Функции принадлежности термов лингвистических переменных Ду,
Обозначим через А}- и 2?;- высказывания (&w есть aw) и (ру есть ау >.
Тогда системы нечетких высказываний B.S) и B.6; запишутся в виде
J0: <ЕСЛИ iTlf ТО S[);
12A): (ЕСЛИ ^э ТО J2>; B.8)
т
f2>: <ЕСЛИ ?, ТО Л^);
Z2B>: (ЕСЛИ В2% ТО J2>;
B.9)
(ЕСЛИ В , ТО А >.
ш тп
Определение 2. 8. Систему эталонных нечетких логических
высказываний, представленную в виде B.8), назовем нечеткой системой
первого типа.
Определение 2.9. Систему эталонных логических
высказываний, представленную в виде B.9), назовем системой второго типа.
Пример 2.4. Пусть заданы лингвистические переменные j3^, J3y и
$У с областями определения X = [10, 20], Y = [20, 40], V = [20, 40]
и множествами базовых значений TY = | около 10, около 20 } = \ aY ,
Л Л I
39

с^ | ; Гу = \ около 20, около 40 } = { ау , ау } ; Ту = 1 около
20, около 30, около 40 \ = { ау , ау , ау \ . Функции
принадлежности Ду , цх , \iy , дг , \iy , дк , /iF , определяющие семантику
соответствующих базовых значений переменных |3^, ]3^ и |3^,
приведены на рис. 2.1.
Системы эталонных логических высказываний первого и второго
типов, отражающие взаимосвязь между базовыми значениями
переменной j3F выходного параметра V и переменных Рх> Ру входных
параметров ХиУ, могут быть представлены в следующем виде:
^A): <ЕСЛИ Еги ТО Вх);
1A) = ^ Г2A): <ЕСЛИ Е21 ИЛИ Ё22, ТО S^);
ГЛХ): <ЕСЛИ ?^1. ТО 5з>;
Х2B): (ЕСЛИ Д2, ТО ?2i ИЛИ Егг)\
: <ЕСЛИ 53, ТО /Г31>,
где
Е\\\ <|3V есть av И j3v есть
?*2 1- <]3хг есть aY И j3v есть
/v*- л 2 •*
^22- ^v есть av И 6V есть
^ * гх Х\ ri
Еъ\- (Pv есть av И |3V есть
гх Хг у
Определение 2, 10. Базовые значения TV, лингвистической
переменной 0^, соответствующие высказьюаниям ?^у, назовем
входными нечеткими эталонными ситуациями, а базовые значения Ту
лингвистической переменной ]3F — выходными нечеткими эталонными
ситуациями.
Системы нечетких экспертных высказываний естественно^ предста-
вимы в виде соответствия [44]. Так, система высказываний L^^-типа
может задаваться соответствием Г^1* = (Г^ Ту, Ft). Здесь Tw -
область отправления (множество входных эталонных ситуаций); Ту —
область прибытия (множество выходных эталонных ситуаций);
F\ ?Т^хТ - график соответствия.
Аналогично система высказываний 1/2^-типа задается
соответствием ГB) = (Ту, Ту,Е2), гдеF2 CTy x Г^.
Графики соответствия представляются в виде двудольного
ориентированного графа, в левой части которого вершинам соответствуют
области отправления, а в правой — области прибытия.
40

Рис. 2.2. Графы соответствий нечетких систем высказываний
На рис. 2.2 представлены графы соответствий, определяющие системы
высказываний примера 2.4, где aw = (ах , ау ); aw = (ах , ау );
^J (*aY2^ ~~ значения вх°даой
лингвистичесаИ>з
й
aW4 ~
(
кой переменной 0^ (эталонные входные ситуации),
Так же как и в четких условиях, для анализа нечеткой информации
вводятся рад понятий.
Определение 2.11. Система нечетких высказываний
называется лингвистически неизбыточной, если выполняется условие
(V/, /€ hm)[Ai =Af&Bf = Ц^ i =/].
Данное условие означает, что двудольный траф соответствия,
определяющего рассматриваемую систему высказываний, не содержит
повторяющихся пар вершин.
Пусть, как и ранее, 0^ и |3^ — входная и выходная лингвистические
переменные процесса ПР с множеством базовых значений L и L.
Определение 2. 12. Система нечетких высказываний
называется лингвистически полной, если выполняется условие
(ЕСЛИ Xi% TO Bj) & А{. <i3R/ есть aw>]
для нечеткой системы первого типа;
w w
<ЕСЛИ Bi9 TO At) & If <0W есть aw>]
для нечеткой системы второго типа. В противном случае система
является лингвистически вырожденной.
Соответствие лингвистически невырожденной системы первого типа
является сюрьективным, а соответствие для системы второго типа -
всюду определенным. Иными словами, двудольный граф соответствия
для синтаксически невырожденной системы первого (второго) типа
в правой (левой) части не содержит изолированных вершин. Приведен-
41

«V,
ttv3
ССщ
Рис. 2.3. Графы соответствий лингвистически неполных и невырожденных систем
высказываний
«v,
O*v3
Рис. 2.4. Графы соответствий лингвистически вырожденных систем высказываний
ные на рис. 2.3 графы являются графами соответствий невырожденных
систем, а на рис. 2.4 — вырожденных систем высказываний.
Определение 2. 14. Система нечетких высказываний
называется лингвистически непротиворечивой, если выполняется условие
(V/,/e ий)[А( =%-+%=§:].
Соответствие лингвистически невырожденной системы
высказываний первого типа является функциональным, а соответствие
лингвистически непротиворечивой системы высказываний второго типа является
инъективным. Иными словами, в двудольном графе соответствия
лингвистически непротиворечивой системы первого (второго) типа из
каждой вершины левой части (в каждую вершину правой части) графа
выходит (входит) не более одного ребра (рис. 2.3 и 2.4). ^ ^
Определение 2^15. Обозначим через T(Lf/2^)9 i = 1, т,
истинность высказывания Lf относительно Lj. Непротиворечивостью
нечеткой системы L назовем величину TL, определяемую выражением
TL ш
т
/ = 1, т I =
Формально эта величина будет иметь вид
(г), г>| ,
42

где
(\/ге [091])[цт (г) = rnin цт (г)].
1 иеТГт iJ
Здесь iiT (r) функция принадлежности степени истинности
высказывания Lj относительно L/.
Данное определение отражает количественную меру соответствия,
в то время как лингвистическая непротиворечивость определяет
качественную (структурную) меру соответствия нечетких экспертных
высказываний относительно друг др^га.
Свойство 2.1. Пусть L — лингвистически полная, неизбыточная,
невырожденная и непротиворечивая нечеткая система экспертных
высказываний. Иными словами, соответствие Г данной системы является
взаимно однозначным. Тогда справедливо равенство
где т - число высказываний в системе L; \Ту\ - число базовых
значений выходной лингвистической переменной Ту (число выходных
нечетких эталонных ситуаций).
Рассмотренные понятия позволяют качественно оценить экспертную
информацию. Естественным требованием к ней является то, что система
нечетких экспертных высказываний должна быть лингвистически
полной, невырожденной и непротиворечивой.
ГЛАВА 3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
НА ТРУДНОФОРМАЛИЗУЕМЫХ ЭТАПАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
3.1. НЕЧЕТКАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА ПАРАМЕТРОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
НА ОСНОВЕ ДЕДУКТИВНОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА
Как показано ранее (см. гл. 2), в случае, когда экспертная
информация задается четкой системой первого типа (L ***), в качестве решения
выбирается такое значение выходного параметра, при котором
истинность правила modus ponens для четкой схемы вывода B,3) достигает
своего наибольшего значения. Так как четкая система высказываний
B.1) является частным случаем нечеткой системы B.5), то для выбора
решений в нечетких условиях, т.е. в случае, когда экспертная
информация представима нечеткой системой первого типа (Г^),
предлагается также использовать дедуктивную схему вывода, основанную на
нечетком правиле modus ponens. В этом случае решением будет являться
выбор таких значений определяемого параметра проектирования, для
которого степень истинности нечеткого правила modus ponens достигает
своего максимума.
43

Пусть, как и ранее, Aj, BJt А' и В' — нечеткие высказывания, имеющие
вид
Aj: (pw есть аА ); В*: </3„ есть а„ );
Л':, (^ есть а' О; В' есть ав').
Определение 3. 1 {46,48]. Нечетким правилом modus ponens
называется следующая схема вывода:
Tjl): (ЕСЛИ Aj, TO Ц);
А* - истинно; C.1)
В - истинно.
Данное определение является обобщением четкого правила modus
ponens на случай нечетких высказываний.
Определение 3. 2 [49, 50]. Истинностью нечеткого правила
modusjxmens для схемы вывода C.1) назовем нечеткое множество
Тт p(LjA\ А\ 5'), определяемое выражением^ T(A/Aj) -* Т(В/вЛ.
3jjpcb^T(A'/Aj) — истинность высказывания А' относительно Aj;
T(Br/Bj) — истинность высказывания В' относительно Bj, вычисляемые
согласно определению A.15). В формальной записи
где
Пример 3.1. Рассмотрим пример нахождения истинности правила
modus ponens. Пусть имеется экспертное высказывание относительно
рассматриваемого изделия: "ЕСЛИ толщина мала, ТО вес мал". Пред*
положим, что при малой толщине делается вывод, что вес большой.
Иными словами, имеет место схема вывода
t[l): (ЕСЛИ Аи ТО JO;
А\ - истинно;
В2 - истинно.
Входящие в схему вывода нечеткие высказывания имеют вид
А\\ (толщинамала) = <0^ есть *А)\
Вг: <весмал> = (ру есть ав)\
В2: <вес большой) = < Pv есть aBJ.
44

Нечеткие переменные аА , ав и а^ , определяемые на
множествах W = { 1, 2, 3 } и V = { 10,13,16 } , задаются следующими
функциями принадлежности:
, <0,5/2>, <0,2/3>| ;
^ Определим значение истинности высказываний \4t относительно
А\ иВ2 относительно Вх:
, @,5/0^), <0,2/0,2> | ;
Т(В2/ВХ) = { <1/0,2>, <0,8/0,5>, <0,3
откуда истинность правила modus ponens рассматриваемой схемы
вывода примет вид
Следствие 3.1. Пусть высказывание If *) имеет вид
2^°: (ЕСЛИ Efi ИЛИ Ж^9 ИЛИ ... ИЛИ Ж/п.. ТО Bf).
Тогда истинность Ттр BГЯ\ А\ V) запишется в виде
Tmp(Lf*\ 2', В') = V_ Tmp(rfi, А\ В'),
i = 1я/
где/д -нечеткое высказывание вида {ЕСЛИ 25д ТО^>.
Следствие 3.2. Пусть Л' и 2?' — четкие высказывания, имеющие вид
Л': <0гесть w'>;
В': <0у есть v'>.
Значения w и v' можно рассматривать как нечеткие переменные с
функциями принадлежности
!1 при w = w;
О в противном случае;
A при v = v';
Mv '(v ) = @ в противном случае.
Тогда
Tmp{L}l\ А', 5') =1</х/1)A), 1>| .
где
М,A) A) = 1 & A - m_j- (w) + м<Й (v ')). C.2)
45

Рассмотрим следующую схему вывода:
: <ЕСЛИ Л\, ТО 2F,>;
>: <ЕСЛИ А2, ТО Д2>; C.3)
Z<J> ЕСЛИ Хм% ТО
2' - истинно;
- истинно.
Определение 3. 3. Истинностью нечеткого правила modus
ponens для схемы вывода C.3) назовем нечеткое множество
Tmp(L«\ А\ V) = &_ ТтрA«\ А1, В').
I = 1, т
В формальной записи
Ттр{1«\ А', В') - t<^>(r),r>} , C.4)
где
(V г е [0, 1]) [д^> (г) = min_ м/° (г)] •
/ = 1, т
Здесь у^1^ (г) — функция принадлежности нечеткого множества
т^а^.А.ъг
Следствие 3.3. Пусть А': < Pw есть w> и В'\ < |3К есть v '> - четкие вы-
сказьюания, тогда
ттр<х«\ а; в1) = к-р&>A). i>i.
где
М^О)
+ HVl(v')]j J
Определение 3.4. Величину /х^^ A) назовем степенью
истинности правила modus ponens для нечеткой системы высказываний
первого типа.
Данное понятие отражает степень соответствия значения v ' выходного
параметра V значению w обобщенного входного параметра W при
задании экспертной информации нечеткой системой высказьюаний первого
типа.
Пример 3.2. Пусть система высказываний ТA) та же, что и в
примере 2.4. Найдем истинность правила для схемы вывода
46

А*: {0? есть x И ру есть ^ "" истинно;
p':((iy есть v> - истинно
при значениях* = 14, у = 27 и v = 25.
По функциям принадлежности, изображенным на рис. 2.1, находим,
что MXlA4) = 0.6; мУ1B7) = 0,7; ^2A4) = 0,4; ^ B7) = 0,3;
MKiB5) =0,5; ixV2B5) =0,3; дКзB5) =0.
Далее, согласно свойству 1.1 вычисляем значения истинности:
Т(А'/Лг)= 1 <06/1>!
Т(А'/А2) =
Т(В'/В3) = K0/OJ .
На основании выражения C.5) определяем значения
М,A)A) = 1&A - 0,6 + 04) =0.9;
ju2A)(l) = 1&A - 0,4 + 0,3) =0,9;
МзA)@ = 1&A - 0,3 + 0) = 0,7
Отсюда согласно выражению C.4) находим истинность правила modus
ponens
Tmp(L«\ А', В1) = {<0.7/1>} .
Найдем истинность правила modus ponens для указанной выше схемы
при* = 14,;; = 27, v =35.
По функциям принадлежности, изображенным на рис. 2.1, находим,
что \iv ^ C5) = 0; tiy2 C5) = 0,3 ; ру^ C5) = 0,4. Далее определяем
Т(В%) = { @/1) \ ;
Т(В%) = {<0/3.1>| ;
ПВ'1%) = Н0/4,1>| ;
MiA) A) = 1 & A - 0,6 + 0) = 0,4;
М2A)A) » 1 4A - 0.4 + 0,3) = 0,9;
МзA)@ * 14A - 33 + 0,4) = 1,
Откуда
Tmp{L«\ А1, В') = КО.4/1)! .
47

Введение понятия степени истинности нечеткого правила modus ponens
для нечеткой схемы вывода позволяет сформулировать следующее
правило выбора значений выходного параметра V [49, 51].
Правило ^3.1. При заданной системе B.8) эталонных логических
высказываний ГA^-типа для значений х, у, z . . . входных параметров
X, Y, Z . . . значениями выходного параметра V является такое
множество V&x\ для каждого элемента которого v G V^1^ схема вывода
2-0)
/L - истинно; C.6)
В — истинно
имеет наибольшую степень истинности yt^ нечеткого правила modus
ponens, определяемую выражением C.5).
Рассмотрим алгоритмы выбора значений параметров проектируемого
изделия на основе нечеткого правила modus ponens [50]. Для
нахождения множества значений У&1 * выходного параметра V запишем р^
как функцию от переменной v в следующем виде:
M^>.(v) = min | [fa +MF
где
%. = 1 - м^ (w), w = (x9 y9 z ...), / = T7m; $m + 1 = 1.
Расположим %i ¦ %2 • • • м ?m в порядке возрастания. Для простоты
записи в дальнейшем будем считать, что
0<«, <|2< ...<^<^+1'-1. C-7)
Тогда функция ju^ запишется в виде
/x^>(v) = min {[fa +
где
Vj(y) ^ I MKl(v). /VjOO мк (v){ . i
Обозначим через nx (v ) число базовых значений 7у лингвистической
переменной (Зу с отличными от нуля значениями функции
принадлежности в точке v E V.
Свойство 3.1. Справедливо выражение
Доказательство свойства 3.1 непосредственно вытекает из природы ба-
48'

зовых значений Ту и требований, предъявляемых к виду функций
принадлежности, определяющих эти значения.
Обозначим через Fk функцию следующего вида:
Fk(v) = { [Ь + MiOO], [fe +M2(v)L ...
Здесь к € 1%т, v €Е F.
Теорема 3.1. Справедливо выражение
(V v G O>
где -*— знак импликации.
Другими словами, если число высказываний в эталонной системе
B.8) не меньше трех, то для любого значения v EF значение функции
/х (*) и значение соответствующей функции F3 совпадают.
Доказательство. Разобьем множество значений V выходного
параметра на два множества
V = Vx U Ка,
где
v) ФО&цг(у) ФО А/1з(») .^ О J ;
Рассмотрим случай v G. Vx. Тогда на основании свойства 3.1
справедливо следующее выражение:
(V/€ Cw)ty(v) = 0].
Отсюда следует, что ц^ можно записать в виде
[Ь
Учитывая неравенство C.7).получаем
^ = min{ Ri + Mi(v)], [Ь
Пусть v E F2. Рассматривая отдельно случаи Mi (v ) = 0, Mi (v ) ^
^0 &M2(v) =0 и Mi OO =5^0&M2(v) ^0&Мз(^) = О и учитывая
неравенство C.7), получаем справедливость выражения
M^(v) =F3(v) при v e F2.
Теорема доказана.
49

0,4
Рис. 3.1. Пример для случая Vx =0;
fl(V)
1
v1 vf v" v2 Nz/
Рис. 3.2. Пример для случая УхФф;
5l =0; ?2 = 0,4; ?2=[vi,v2];
Следствие 3.4. Справедливы следующие выражения:
(\/v G V)[m < 3 -* fc < М^ОО < П;
(У v G К) [w > 3 -> |i < м^> (v ) < ?4].
Обозначим через /0 = max ц^ (v). Рассмотрим процедуру нахож-
v G F
дения множества КоA) оптимальных значений параметра К на основе
улучшения нижней оценки значения /0. Будем рассматривать случай
m > 3, так как случай m < 3 является частным случаем т>3.
На основании теоремы 3.1 множество V^ запишем в следующем
виде:
FoA) = { v e V\v =argmax F3(v)\ .
v G v
Пусть Vx = V[ Г\ S2t где V[ = f v G F | %x + Д! (v) > %2 \ ;
*S2 — носитель расплывчатого множества, определяемого функцией
принадлежности \i2 (v ). Рассмотрим два случая.
Vx = 0. Тогда справедливо выражение (V v G F) [F3 (v ) < f2],
причем F3 (v ) = |2 при v G F/. Поэтому при Vx = 0, / 0 = fe и Fo = Fi. Ha
рис. 3.1 показан.пример для случая F! = 0.
Ft ^ 0. Пример для этого случая показан на рис. 3.2.
Обозначим через F2 CVX подмножество, для которого справедливо
выражение (\/ v G F2) [F3 (v ) > ?з], т.е.
Рассмотрим два случая.
F2 = 0. Тогда справедливо выражение
(Vv G F
Обозначим через IKJ мощность подмножества Vx С Vlf для
элементов которого справедливо выражение
+ Mi О) = fe +
50

/1@)
0,5
V V
рис. 3.3. Пример для случая \V*\ = 1;
1
0,5
U2(V)
Рис. 3.4. Пример для случая |К*| =2;
Свойство 3.2. Если Vx Ф ф> то справедливо неравенство 1 <
< I Vi | < 2. Иными словами, функции %х + /xt (v ) и ?2 + Мг (v ) имеют
одну или две точки пересечения, в которых цх (v ) и /i2 (v ) отличны от
нуля. Свойство 3.2 является следствием унимодальности функций
Hi(v) и /i2(v). Примеры случаев \V*\ = 1 и |F2| =2 показаны на
рис. 3.3 и 3.4.
Теорема 3.2.^Если, V2 - 0, то F3 (v ) достигает максимального
значения при v €= V\. Иными словами, если для любого v G V не
выполняются одновременно условия Цх + цг (v ) > ?3 и Ь + М2 (У ) > ?з»то функция
F3 (v ) достигает своего наибольшего значения в точках пересечения
кривых^ + m1(v)h?2 +Mv).
Доказательство. Пусть для определенности дх (v ) находится
"слева" от ц2 (v ).
f Рассмотрим случай, когда |F*| = 1, т.е. V* = { v х } . Обозначим
? = %\ + Mi О71) = %г + М2 (v j). Так как v j является точкой пересечения
функций (?j + /it (v )) и (?2 + М2 0> )). то справедливо выражение
Отсюда следует, что
т.е. F3 (v ) достигает наибольшего значения при v = v !.
Рассмотрим случай, когда | F*| = 2, Кх* = J v !, v 2 J . Пусть для
определенности v 1 < v 2. Обозначим ? = $i + Mi (v 2) = fc + /*а (? а); v —
произвольное значение, при котором v х < v ' < v 2, через v H, v K -
границы начала и конца интервала, определяющего подмножество Vx.
Рассматривая отдельно интервалы [v H, v '] и [v ', v K], получаем
справедливость выражений
(VvG [vH, r
(v) <F3(v2)].
Теорема 3.2 доказана.
У2 Ф ф. Иными словами существует непустое подмножество К2,
я элементов которого выполняются условия (^ + //j (v ) > |3 и ?2 +
51

V1 V"
Рис. З.5. Пример для случая V2 =0;
V2=[v'tv");S3 = [vuv2]; У2=ф
^2 ^ V1 vi Vz vn v
Рис. 3.6. Пример для случая V2 Фф;
t M2 (v ) > %ъ • Обозначим через V2 следующее подмножество F2 *
= V2 П 53. Здесь *S3 — носитель нечеткого множества, определяе-
емого функцией принадлежности /х3 (v ). Возможны также два случая,
V'2 = 0- Пример для этого случая показан на рис. 3.5. Справедливо
выражение (V v G V) [F3 (v ) < Ы. Иными словами, при V2 = ф
значение функции F3 (у ) никогда не превышает $3» причем F3(v) = ?э
в случае, когда vGK2. Поэтому при V'2 =ф величина/0 = ?3 и
множество Vh = V2.
V2 Ф 0. Пример такого случая показан на рис. 3.6. Обозначим через
V3 подмножество, для элементов v которого выполняются условия
0*i(у) > U - Ы; (МО > ?4 - Ь; (m3(v) > ?4 - Ь).
Иными словами,
FsHveFlf, +Mi(v) >«4 * fe +
+ МО > f 4 & Ь + Мз(У) > l4} •
Рассмотрим два случая.
F3 ^ 0. Тогда справедливо выражение
(WG K3)[F3(v) = Ы-
Иными словами, функция F3 достигает максимального значения U
при всех значениях v E V3. Поэтому при F3 =? 0 /0 = ?4 и множество
<1)
F3 = 0. Справедливо выражение
(VvG F2)[|3 <F3(v) <U\-
Пусть для определенности функции рх (у ) находатся "левее" fa (v )
и "правее" д3 (v ). Обозначим через v н и v K границы интервала,
определяющего множество V2, через V2 — подмножества V2, для элементов
которого справедливо равенство
52

Свойство 3. 3. Число элементов в F2* не превышает одного.
Иными словами, | F2*| < 1.
Свойство 3.4. Функции д2 (v ) и /z3 (v ) монотонны на F2.
Свойства 3.3 и 3.4 являются следствием унимодальности функций
H)
Теорема 33. Если F3 = 0 и F2* = 0, то F3 (у ) достигает своего
максимального значения в точке v н или v K.
Доказательство теоремы/ 3.3 непосредственно следует из
свойства 3.4.
Теорема 3.4» Если F3 = 0 и F2* = { v ' \ , то F3 (v ) достигает своего
максимального значения v '. Иными словами, множество V^ = { v'\ .
Доказательство теоремы 3.4 аналогично доказательству теоремы 3.2.
На основе рассмотренных выше случаев можно предложить
следующий алгоритм ALi нахождения множества F<?!* оптимальных
значений параметра F:
1. Определить %riiri = 1, пу, Vx, V\. Перейти к п. 2.
2. Если Fj = 0, то перейти к п. 3, иначе — к п. 4.
3. Присвоить V^ : = V\. Перейти к п. 19.
4. Определить F2. Перейти к п. 5.
5. Если F2 = 0, то перейти к п. 6, иначе — к п. 8.
6. Определить V*. Перейти к п. 7.
7. Определить F^1* = \v \v = arg max F3(v )} . Перейти к п. 19.
8. Определить F2. Перейти к п. 9.
9. Если F2 = 0, то перейти к п. 10, иначе — к п. 11.
10. Присвоить F^1): = F2. Перейти к п. 19.
11. Определить F3. Перейти к п. 12.
12. Если F3 = 0, то перейти к п. 13, иначе - к п. 14.
13. Присвоить F^1 *: = F3. Перейти к п. 19.
14. Определить F2*. Перейти к п. 15.
15. Если F2* = 0, то перейти к п. 16, иначе - к п. 17.
16. Присвоить F^° : = V\. Перейти к п. 19.
17. Определить v н и v к. Перейти к п. 18.
18. Определить F^l) = { v € V \ v = arg max [F3OH),F3(vK)]} .
Перейти к п. 19.
19. Конец.
Структурная схема алгоритма AL t представлена на рис. 3.7.
Пример 33. Рассмотрим работу алгоритма на следующем примере.
Пусть переменные 0«, 0у, Qv и система высказывании I*1* те же,
что и в примере 3.2."Определим значения выходного параметра V при
входных параметрах лг = 14и(у = 27. В этом случае функция
M^}(v) = min { [1,1 - min@,6, 0,8) + ма {?)],
min[l,l - min@,6, 0,3) + мЛ (v)]f
V2
min[1,1 - min@,4, 0,7) + ца (v)],
V2
53

Рис. 3.7. Структурная схема
алгоритма i4Z t
- min@,4, 03)
, [03
(v)]J
^ (p)], [0,7 + ^ (v)]}.
Учитывая выражение C.7). получаем ?, = 0,3; |2 = 0.4; ?3 = 0,7;
|4 - 1 и (it = ца^ ; д2 = да^ ; ц3 =ца . Согласно алгоритму
определяем V' = [22, 37] и52= [20, 28]. Дшее находим К, = [22, 28].. Так
54

как множество Vx Ф 0, то определяем V2 = [24, 26]. Откуда V2 = 0,
поэтому/о = |3 я 0,7 и КоA) = F2 = [24,26].
Таким образом, для рассмотренной выше системы нечетких
экспертных высказываний первого типа и входных параметров х - 14 и у = 21
рекомендуемые значения выходного параметра V находятся в пределах
от 24 и 26.
3.2. НЕЧЕТКАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА ПАРАМЕТРОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ПРИ ИНДУКТИВНОМ ЛОГИЧЕСКОМ ВЫВОДЕ
Рассмотрим теперь случай, когда экспертная информация задается
системой нечетких высказываний второго типа (IT***). Так же как и
в случае нечетких высказываний первого типа, задача ПР заключается в
том, чтобы для заданных значений х, у, z . . . входных параметров
X, Y, Z . . . выбрать значения выходного параметра К. Поэтому
индуктивная схема вывода (схема ПР) запишется в виде [52, 53]
(ЕСЛИ в[, ТО Ах);
<ЕСЛИ В2> ТО А2);
C.8)
(ЕСЛИ Вт, ТО Ат)
а! - истинно;
Z<2> = J
В - истинно.
Здесь четкие высказывания А! и В\ как и раньше, имеют следующий
вид: А':( 0™ есть и/>; В': @у есть v '>, w = (х, у, z . . .) Е X х Y x Z х
х ..., v'G V.
Выбор значений параметров на основе нечеткого правила modus
ponens. Отметим, что схемы вывода C.6) и C.8) принципиально
отличаются друг от друга. Так, в схеме C.6^ высказывания о значениях
входных параметров (высказывания А' и Aj) являются посылками как
в самой схеме вывода, так и внутри системы L *г\_ъ высказывания о
значениях выходных параметров (высказывания В' и Bj ) являются
следствиями. В схеме же вывода C.8) высказывания о значениях входных
параметров являются посылкой для самой схемы (высказывание А')
и следствием внутри системы L^ (высказывания Aj)9a. высказывания
о значениях выходных параметров являются следствием для схемы
вывода C.8) (высказывание В')% но посылкой внутри системы L ^
(высказывания 2fy). Поэтому для выбора значений выходного параметра V
на основе правила modus ponens необходимо преобразовать схему
вывода C.8) к схеме вывода C.6). Для этого предлагается преобразовать
систему высказываний второго типа в эквивалентную ей систему
первого типа, используя правило контрапозиции [54], согласно которому
55

для произвольных выражений А и В высказывания "ЕСЛИ А, ТО В"
и "ЕСЛИ IB, TO ПЛ" эквивалентны, т.е.
(ЕСЛИ А, ТО В) = <ЕСЛИ IB, TO ~Ы>. C.9)
Здесь выражения 1А и ~1В являются отрицаниями вы{шкений А и В.
Применяя правило контрапозиции к выражениям L^2\j = 1, w
системы второго типа, получаем:
<ЕСЛИ Вр ТО Л"у.> = <ЕСЛИ ~]А.% ТО ^
где высказывания ~~\Aj и 5у можно рассматривать как высказывания
<0W есть awj и <?„ есть (*„*>, в которых значения ow*hcf*
Определи Wf V V j W. Vj
ляются функциями принадлежности hw*k цу *, являющимися
дополнениями к д^ и /хк :
/xv*(w) =1 - /х^ (w), V w G W = X х Г xZ ...; C.10)
MF*(v) = 1 -MK/(v), VvG К. C.11)
Введя новые обозначения A* = ~\Tj и ВТ = ПЖ-, запишем систему
эталонных высказываний Z*, эквивалентную системе Z ^2\ в следующем
виде:
L*: <ЕСЛИ Л?, ТО В*);
й Ц: <ЕСЛИ 2jt TO Ъ$\
JL
Vm: (ЕСЛИ Тт, ТО В^>.
Тогда схема вывода C.8) запишется в виде схемы
Г;
Л - истинно;
В - истинно,
аналогичной схеме вывода C.6).
Истинность нечеткого правила modus ponens для схемы вывода C.8)
запишется в виде
ТA<<2\ А1, В') - Т(Г, А\ В1) = { <м^>A)/1> 1 .
где степень истинности iijfi) правила modus ponens для заданных
значений w = (х, yt z . ..) входных параметров X, Y, Z ... и произвольного
значения v выходного параметра согласно выражению C.5) запишется
в виде
56

m v m
Отсюда, учитьюая выражения (ЗЛО) и C.11), получаем
m
Таким образом, при задании экспертной информации в виде системы
эталонных высказьюаний второго типа выбор значений выходного
параметра V на основе правила modus ponens формулируется следующим
образом.
При заданной системе эталонных логических высказываний второго
типа для значений х, у, z ... входных параметров X, Y, Z ... значением
выходного параметра V является такое множество V&2\ для каждого
элемента которого схема вьгаода C.8) имеет наибольшую степень
истинности njfj правила modus ponens, определяемую выражением C.12).
Свойство 3. 5. Для любых значений wh v истинность T(L ^2\
А', В') нечеткого правила modus ponens для схемы вьгаода C.8) и
истинность T(L B\в',А') схемы вьгаода
В* - истинно;
C.13)
А' - истинно
совпадают.
Доказательство. Заметим, что схема вьгаода C.13) имеет
вид схемы вывода C.6) »^в которой высказывания о значениях
выходных параметров (В* и Bj) являются посылками, а высказывания о
значениях входных^параметров (А' и Aj) являются следствиями.
Поэтому значение T{lS2', В* и А') согласно выражениям C.4) и C.5)
запишется в виде
п1^\ в; а') =
где
"«р} (О = min И, [1 - Kl Щ
.... [I - HV (v) + nw (w)]l ,
m m
что полностью совпадает с выражением для T(L ^2\ А', В1).
Следствие 3.5. Схемы вьгаода C.8) и C.13) эквивалентны с позиций
правила modus ponens. Иными словами, для одних и тех же значений
х, у, z ... входных параметров X, Y, Z ... схемы вьгаода C.8) и C.13)
57

на основе правила modus ponens определяют одно и то же множество
рекомендуемых значений выходного параметра V.
Рассмотрим теперь алгоритм определения значений параметров
проектируемого изделия на основе правила modus ponens в случае задания
экспертной информации нечеткой системой второго типа (L *2*). Дня
обоснования данного алгоритма запишем выражение для степени истинности
t±^ в следующем виде:
М^ОО = rninj 1,[1 + %i - VVl(v)}>
[1 + |2 -nv (v)] [1 + Ъ -Цу (v)]} ,
где ?. = pw (w), / = 1, т - величины, определяемые согласно
выражению B.7).
Расположим %х, %г, . . ., %т в порядке возрастания. Для простоты
записи будем считать, что
Тогда функция ц^ запишется в виде
} l + ti -
()| .Me ГЙ?. C.15)
Свойство З.6. Справедливо выражение
Иными словами, при любом значении v выходного параметра V
значение степени истинности правила modus ponens дня схемы вывода C.8)
не меньше значения %х.
Теорема 3.5. Дня произвольного значения v G V выражение
(V i = 2^ГГТ) \nff (v ) > %] C.16)
справедливо тогда и только тогда, когда справедливо выражение
(V I = 1Х=1) [М/ (v ) < 1 + %г - $1 (ЗЛ7)
Доказательство. Докажем необходимость. Пусть справедливо
выражение C.16). Предположим, что выражение C.17) не выполняется.
Тогда существует некоторое значение к = 2, /, для которого справедливо
условие
Из выражения C.15) следует, что /ij^ (у ) < 1 + %к - ^(v ). Откуда,
учитывая C.18), получаем М„^0>) < ёг что противоречит исходной
посылке [справедливости выражения C.16)]. Необходимость доказана.
58
58

Покажем достаточность. Пусть для некоторого значения i = 2, т + 1
выполняется выражение C.17). Предположим, что выражение C.16)
не выполняется. Тогда существует такое значение к = 2, т + 1, что
Откуда следует справедливость следующего выражения:
Рассмотрим отдельно два случая.
* < /. Тогда выражение C.19) противоречит выражению C.20) при
значении/ =fc.
к > /. В этом случае из выражения C.18) Следует, что ^ > ?г
Сопоставляя полученное неравенство с выражением C.19), получаем,
что /i^(v ) > 1» т.е. значение функции принадлежности превышает 1, что
противоречит ее определению. Достаточность доказана.
На основании доказанной выше теоремы предлагается следующий
итерационный алгоритм AL2 определения значений Vjfif выходного
параметра V при задании экспертной информации в виде системы
второго типа:
1. Определить (^, / = 1, ти. Перейти к п. 2.
2. Присвоить / = 2; |осн: = Ь; ?пред: = %х; % ап: = ?т. Перейти к п. 3.
3. Определить множество V = { 1>е ^!м^« (v) > ?тек 1 • Перейти
к п. 4.
4. Если К = 0, то перейти к п. 5, иначе — к п. 7.
5. Если 1§пред — ?тек I < 8, то перейти к п. 14, иначе - к п. 6.
6. Присвоить $3ап: = tTeK; *тек: = (^тек + 5пред)/2- Перейти к п. 3.
7. Присвоить V": = F'. Перейти к п. 8.
8. Если ?тек = %i»то перейти к п. 11, иначе - к п. 9.
9. Если 1$пред - ?тек I < 6, то перейти к п. 14, иначе - к п. 10.
10. Присвоить ?пред: = |тек; ?тек: = (^тек + 53ап)/2- Перейти к п. 3.
11. Присвоить I: = i + 1. Перейти к п. 12.
12. Если / < т, то перейти к п. 13, иначе - к п. 14.
13. Присвоить ?ПреД: = $тек5 ^тек: = 5/ • Перейти к п. 3.
14. Присвоить V™ : = V". Перейти к п. 15.
15. Конец. Р
Пример 3.4. Рассмотрим пример нахождения множества V^
рекомендуемых значений выходного параметра V. Пусть @х, 0у, |3^ и
система высказываний L ^ те же, что и в примере 2.1, а значения входных
параметров те же, что и в примере 3.3, т.е. х = 14 и у = 27.
Согласно правилу 1.1 определим значения
Ь = min { iiXi A4), Mj^ B7) j = min { 0,7, 0,6 } = 0,6;
Ь = max{ min[j^2A4), /^B7)], 1шп[^1 A4),
59

Ду2B7)П = max { min[0,4, 0,7], min[0,6, 0,3]! =0,4;
|3 = min | цХг A4), jur2 B7) J = min j 0,4, 0,3 | = 0,3.
Функция ju^ согласно выражению C.15) запишется в виде
*?}(У) = min{ 1,[1 +0,3 -vVs(v)]9
[1 +0,4 -^(v)}, [1 +0,6 - fiVi(v))\
и достигает своего наибольшего значения при выполнении следующих
условий:
fJLVs(v) < 0,3; Цу2(у) < 0,4; MKl(v) < 0,6.
Согласно функциям принадлежности, приведенным на рис* 2.1, видно,
что \куъ (v ) < 0,3 при v е [20, 35]; д^ (v ) < 0,4 при v G [20, 26] или
v G [34,40]; 1Лу ^ (v ) < 0,7 при v G [25,40], откуда получаем ц^ (v ) =
= lnpnvG [25,26] hvE [34,35].
Таким образом, дня указанной выше системы высказываний второго
типа при значениях входных параметров х - 14 и у =27
рекомендуемые значения выходного параметра на основе правила modus ponens
находятся в диапазонах 25—26 и 34—35.
Выбор значений определяемого параметра на основе правила modus
ponens при задании экспертной информации нечеткой системой второго
типа в отличие от задания системой первого типа обладает следующим
существенным недостатком: множество рекомендуемых значений в
произвольном случае состоит из нескольких отдельных интервалов,
причем их кодичество может меняться в пределах от 1 до m + 1, где m -
число базовых значений лингвистической переменной 0у. Так, в
примере 3.4 число интервалов равно 2.
Данный результат связан с тем, что алгоритм выбора решений
максимизирует значение функции H^V * что согласно выражению C.15)
связано с уменьшением значений /i, (v ), / = 1, m. В силу унимодальности
функций уменьшение их значений возможно как влево, так и вправо
от точки экстремума, что и порождает указанный выше недостаток.
Выбор значений параметров на основе нечеткой индуктивной схемы
вывода. Для преодоления указанного выше недостатка предлагается
наряду с нечетким правилом modus ponens использовать также и
индуктивную схему вывода. Для этого аналогично понятию нечеткого правила
modus ponens введем понятие нечеткой индуктивной схемы вывода.
Определение 3. 5. ^устьД В, А' и B'j- нечеткие высказывания,
имеющие следующий вид: А: < 0А есть aj>; В: <Рв есть ag>; A':{ 0А есть
aj'>; В': < 0В есть ag'>. Нечеткой индуктивной схемой вывода назовем
следующую схему вывода:
60

(ЕСЛИ В, ТО 2)
(А - истинно);
(В* - истинно) - более правдоподобно.
Для использования нечеткой индуктивной схемы вывода при выборе
решений в нечетких ситуациях введем понятие ее истинности,
аналогичное понятию истинности правила modus ponens.
Рассмотрим следующую схему вывода:
ХB): (ЕСЛИ 5jt TO А});
(А* - истинно); C.20)
(В - истинно) - более правдоподобно.
Определение 3. 6. Истинностью нечеткой индуктивной схемы
вывода дпя^ схемы вывода C.20) назовем нечеткое множество
!Ги.с(?/2\ А\ В'), определяемое выражением T(A'/Aj) -+T(B'lBj).
Здесь T(A'/Aj ) и T(B'/Bj ) - как и ранее, истинности высказываний
А' относительно AJ и Ъ' относительно Bj .
В формальной записи Тис имеет вид
TH.C(L<2\A
где
(\/те [0,1])Uvfr) - 1*0 -
Определение 3. 7. Истинностью нечеткой индуктивной схемы
вывода для схемы вывода
1,B>: <ЕСЛИ By, TO J,>;
: <БСЛИ%, ТО J2>;
C.21)
Z<2> =
{A* - истинно);
: <ЕСЛИ Bm, TO
{Ъ' - истинно) - более правдоподобно .
назовем нечеткое множество, определяемое выражением
Ги.сA<2>, А\ В') = &_ ТЯА1}2\Л\ В').
В формальной записи ГИ(С примет вид
\ X, В') = { <М(и?с(г)/г)} ,
61

где
Следствие 3.6. Пусть Л': < 0W есть W> и Я': < 0V есть v '> - четкие вы-
сказывания. Тогда величина ГИ.С(ГB), А\ В') запишется в виде
ТИ.С(Ь{2\ А'$ В') = {
где функция ju(^c A) аналогично /х^ = A) [см. выражение C.5)]
запишется в виде
-... [1 - Д* ("О +MF (О И . C.22)
Определение 3. 8. Величину /и*** A) назовем степенью ис-
тинности индуктивной схемы для схемы вывода C.8|.
Расширяя действия индуктивной схемы вывода на нечеткие
высказывания с помощью введенной степени истинности, можно сказать, что
в качестве значений выходного параметра V правдоподобнее выбрать
такое подмножество V^ , для элементов которого степень истинности
схемы вывода C.8) достигает максимального значения.
Так как выражение C.22) для M(^c COBn2L^ieT c выражением C.5)
для 1Л^1\ множество V^c определится с помощью алгоритма .4L! —
определения множества рекомендуемых значений при задании
экспертной информации системой первого типа. ^
Пример 3.5. Пусть система высказываний L^ и значения входных
параметров те же, что и в примере 3.4. Множество значений V^
определяется с помощью алгоритма AL i, и, учитывая решение в примере 3.3,
получаем К(?>с = [24,26].
Обобщенный алгоритм определения значений параметров
проектирования. Введение понятий степени истинности индуктивной схемы вьюода
и степени истинности правила modus ponens для схемы вывода C.8)
позволяет предложить следующую методику определения множества
рекомендуемых значений V&2) выходного параметра V при задании
экспертной информации системой высказываний второго типа:
для заданных значений х, у% z . . . входных параметров X, Y, Z ...
с помощью алгоритма AL i определяется множество К^2' , для элемен-
тов которого истинность jLtjfc' индуктивной схемы вывода имела бы
наибольшее значение;
среди множества V^c с помощью алгоритма AL2 определяется
множество V?р>, для элементов которого истинность jxj^ правила modus
ponens имела бы наибольшее значение;
62

если V&2^ представляет собой один интервал, то определяем Vo: =
= VJfi?,в противном случае Vo: = V^?*с .
Данная методика позволяет учитывать как индуктивную схему
вывода, так и правило modus ponens при выборе значений параметров
проектирования при задании экспертной информации нечеткой системой
второго типа. Ниже приводится алгоритм AL3, основанный на
алгоритмах AL х nAL2 и реализующий данную методику.
1. Для заданного значения w определить множество V^Q с помощью
алгоритма AL i. Перейти к п. 2:
2. Определить значения ^., / = 1, т. Перейти к п. 3.
3. Присвоить /: = 2; $тек: = fe; |пред: = Ь; S : = tm- Перейти к п. 4.
4. Определить множество V = { vG V\ix^J (v ) > ?тек} . Перейти
к п. 5.
5. Определить множество Vn = V' П FH#C. Перейти к п. 6.
6. Если Vn = ф , то перейти к п. 7, иначе — к п. 9.
7. Если | ?пред - ?тек I < 6, то перейти к п. 16, иначе - к п. 8.
8. Присвоить ?зап: = ?тек; ?тек: = (?тек + ?пред)/2. Перейти к п. 4.
9. Присвоить Fo B): = Кпер. Перейти к п. 10.
10. Если ?тек = ?г то перейти к п. 13, иначе - к п. 11.
11. Если 1?пред - $тек I < 5, то перейти к п. 16, иначе - к п. 12.
12. Присвоить |пред: = ?тек; |тек: = (|тек + {=зап)/2. Перейти к п. 4.
13. Присвоить /: = i + 1. Перейти к п. 14.
14. Если / < w, то перейти к п. 15, иначе — к п. 16.
15. Присвоить ?пред : = ?тек; ?тек: = |.. Перейти к п. 3.
16. Если ] V^ [ = 1, то перейти к п. 17, иначе — к п. 18.
17. Присвоить FoB): = V™ . Перейти к п. 19.
18. Присвоить F0B): = V^\. Перейти к п. 19.
19. Конец.
Пример 3.6. Рассмотрим пример нахождения множества К<?2*
согласно предложенной выше методике (алгоритму AL$). Пусть система
высказываний второго типа та же, что и в примере 2.1, а значения входных
параметров те же, что и в примере 3.4, т.е. х = 14, д> = 27.
Учитывая результаты вычислений, полученные в примерах 3.4 и 3.5,
имеем следующие значения множеств: К^с = [24, 26] и V^l* = [25,
26] U [34, 35]. Откуда получаем, что указанным выше нечеткой системе
экспертных высказываний второго типа и значениям входных
параметров х = 14 и j> = 27 рекомендуемые значения выходного параметра V
на основе обобщенного алгоритма АЬЪ находятся на отрезке [25, 26].

3.3. НЕЧЕТКАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА ВАРИАНТА ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ПРИ ДЕДУКТИВНОМ ЛОГИЧЕСКОМ ВЫВОДЕ
В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопросы ПР на основе не
четкой экспертной'информации в случае, когда решением является
выбор значений параметров проектируемого изделия. Другим типом задач
на трудноформализуемых этапах проектирования являются задачи
выбора некоторого варианта (схемы, типа расчета и т.д.) проектирования
из заранее известного, достаточно небольшого числа вариантов. В этом
случае нечеткая экспертная информация также может быть представлена
следующей системой нечетких условных высказываний вида C.1):
: <ЕСЛИ А1ч ТО Вх);
й _. : <ЕСЛИ А2, ТО 52>;
^' (: <ЕСЛИ, X , ТО
В данной системе выходные высказывания Bj выражают суть выбора
того или иного варианта проектирования, т.е. являются четкими
высказываниями. Иными словами, выражения Bj можно представить в виде
< (iy есть v j), где v у рассматривается как четкое значение
(соответствующее /-му варианту проектирования) из конечного множества
вариантов.
Пример 3.7. Пусть на некотором этапе проектирования стоит задача
выбора одной из трех возможных схем компоновок изделий. Выбор
этого или иного варианта компоновки зависит от значений двух
параметров: X и У. Экспертная информация с ПР на данном этапе
проектирования представима в виде
< ЕСЛИ параметр X малый И параметр Y малый ИЛИ параметр X малый
И параметр Y средний, ТО выбирается первая схема компоновки );
< ЕСЛИ параметр X малый И параметр Y большой ИЛИ параметр X
большой И параметр Y малый, ИЛИ параметр X большой И параметр Y
средний, ТО выбирается вторая схема компоновки >;
<ЕСЛИ параметр X большой И параметр Y большой, ТО выбирается
третья схема компоновки >.
Вводя лингвистические переменные Рх и 0у на множествах Хц
и У с базовыми значениями Тх = { ах , ах? = { малый, большой }
и Ту = { <*у • ау » aY 1 = ^ малый» средний, большой } и образуя
обобщенную лингвистическую переменную 0^ на множестве W = X х Y
с базовыми значениями
Tw
64

где
«И/4 = <аХа* вГ,); V = («х2- «У,)»' <V6 = (вХ9->1',)'
экспертную информацию представляем в виде следующей нечеткой
системы высказываний:
(ЕСЛИ Jlf TO Вг>;
<ЕСЛИ J2, TO Д2>;
<ЕСЛИ А3, ТО
В данной системе нечеткие высказывания Аи А2 иА3 имеют
следующий вид:
А\\ <0^, есть aw ИЛИ ($w есть aw >;
А2: <0W есть а^ ИЛИ fiw есть а^ ИЛИ Qw есть а^5>;
-Зз- (Р^ есть aw >
Высказывания^! -^3 имеют вид
Bt:'{f}y есть v !>;
В2- (Pv есть v2>;
^з- (Pv есть v3>.
Здесь выходная лингвистическая переменная 0у принимает четкие
значения v t - v 3, соответствующие возможным вариантам компоновки
проектируемого изделия.
На рис. 3.8 показан двудольный ориентированный граф соответствия
рассмотренной экспертной системы высказываний.
^ Пусть экспертная информация задается нечеткой системой^ типа
I(г > = { LI1)} , / = Г7т, в которой высказывания 1?г > :<ЕСЛИ Аг , ТО
Bt), a Bj\ @V есть v;> соответствуют выбору v;- варианта
проектирования из множества V. В этом случае дедуктивная схема вьшода имеет
вид
А* - истинно; C.23)
- истинно,
где высказывания А': ((З^ есть jc И |3у есть.); И C^ есть z, И . . .>
соответствуют значениям входных параметров х, у, z. . ., а высказывания.
B'AQy есть v'> соответствуют выбору v' варианта проектирования.
Для выбора варианта проектирования v 0 ^ К на основе правила
modus ponens необходимо:
65

«И/2 О
Рис. 3.8. Граф соответствия нечеткой системы,
высказываний
КшОГ ^~Оуз
для каждого v' G V определить степень
истинности ii?* схемы вывода C.23)
согласно выражению C.3);
в качестве решения (значения v 0)
выбрать такое значение v ' Е F, при
котором степень истинности является
наибольшей.
Отметим, что так как высказывания Bf являются четкими, то
значение \iy (v') в выражении C.5) согласно следствию 2.1 будет иметь
вид
7
С) =
1 при v' = v j ;
О в противном случае.
C.24)
Пример 3.8. Определим необходимый вариант компоновки изделия
входных параметров х=10и.у = 3. Система нечетких высказываний
\ определяющая экспертную информацию, рассмотрена в
примере 3.7, а функции принадлежности используемых нечетких переменных
приведены на рис. 3.9.
Вычислим значения CW (w), ixw (w), nw (w) для w= (x, y) = A0, 3):
^ iii
= Q,8 & 0,7 V 0,8 & 0,3 = 0,7 V 0,3 = 0,7;
X2y2 = 0,8 &0V 0,2 & 0,7 V
V0,22&0,3 = 0V0,2 V0,2 = 0,2;
C) = 0,2 &0 = 0.
Ofi
0,3
?гг Рг3
10 X 3 у
Рис. 3.9. Функции принадлежностей термов лингвистических переменных 0^ и
бб

Определим степень истинности H^V для различных значений v' G
{ у 1» у 2» v з } » соответствующих различным вариантам компоновки:
+ 1] & [1 - 0,2 + 0] & [1 - 0 + 0] = 1 & 1,3&0,8&1 = 0,8;
МК20>2)] & [1 ~ Ми,3<>) + /V3(v2)] = 1 & [1 - 0,7 +
+ -0] 4 [1 - 0,2 + 1] 4 [1 - 0 + 0] =1 & 0,3 & 1,8 & 1 = 0,3;
+ 0] &[1 - 0,2 + 0] &[1 - 0 + 1] = 1&0,3&0,2 42 = 0,2.
Таким образом, при v 0 = v i степень истинности правила modus ponens
для схемы вывода C.23) имеет наибольшее значение. Иными словами,
при входных параметрах х = 10 и j; = 3 необходимо выбрать первую
схему компоновки изделия.
Заметим, что данные вычисления можно упростить, если учесть
следующую теорему.
Теорема 3.6. Степень истинности М^^ схемы вывода C.23)
достигает наибольшего значения при v' = v j тогда и только тогда, когда
значение fiw (w) является наибольшим среди множества { д^ (w) } ,
Докажем необходимость. Пусть выполняется условие
^тр (УО > ^тр (?i> [Y / е OF 4 I * /].
Предположим, что существует некоторое к Е 1, т для которого
справедливо nw (w) > iiw (w). Согласно выражению C.3) найдем значения
wk wi
Учитьшая выражение C.33), имеем
p _
f = l,m
0)]41 = _&
/ = 1, m; i Ф I
I = Cm;t*k ^ -V". 67

Заметим, что выражения для д^*' (v7) и д^*' (v ^) содержат (т — 2)
одинаковые конъюнкции и одну отличную: 1 — uw (w) и 1 — uw (w)
к /
соответственно. Исходя из предположения получаем, что значение
Рщ1» (v к) не меньше значения МтЧH'/)» что противоречит условию.
Необходимость доказана.
Покажем достаточность. Пусть выполняется условие
Предположим, что существует некоторое к Е 1, т, для которого
справедливо неравенство /xj^ (v к) > у^у (yj). Проводя рассуждения,
аналогичные рассуждениям при доказательстве необходимости, можно
показать противоречие этого предположения нашему условию, что и
доказывает достаточность теоремы.
Рассмотренная теорема позволяет не определять значения /xj^ для
всех вариантов v' ? F, а, вычислив значения nw в качестве
определяемого варианта, выбирать тот вариант/, для которого fjtw (w) имеет
наибольшее значение. В примере 3.8 величина д^, имеет наибольшее
значение, поэтому выбирается первая схема компоновки изделия.
3.4. НЕЧЕТКАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА ВАРИАНТА ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ПРИ ИНДУКТИВНОМ ЛОГИЧЕСКОМ ВЫВОДЕ
Рассмотрим случай, когда экспертная информация относительно
варианта проектирования представляется следующей нечеткой системой
высказываний:
1$2): <ЕСЛИ В1ч ТО А,);
Г2B>: (ЕСЛИ Я2, ТО/2>;
C.25)
Г<2): (ЕСЛИ Вм ТО / ).
Здесь; как и в предыдущем параграфе, четкое высказывание Bj имеет
вид < (Зу есть Vj) и отражает выбор / -го варианта проектирования.
Иными словами, в системе C.25) в зависимости от возможного варианта
проектирования (высказывание В А делается предположением)
возможной нечеткой эталонной входной ситуации (высказывание Xj). В этом
случае индуктивная схема вывода (схема ПР) имеет вид
А* - истинно; C.26)
В — истинно.
68

Для выбора решения на основе нечеткого правила modus ponens
преобразуем систему высказываний C.25) в эквивалентную ей систему
первого типа на основе правила контрапозиции:
Здесь 1*: < ЕСЛИ А*, ТО Вр ; А*: < pw есть а^ >, В*: @у есть vf).
Значения ajj, и v * характеризуются функциями принадлежности
Мш (w) » 1 - М™ (w); V^^ W = X*V*Z* ...; C.27)
MK#(v) = 1 - дF (v) = j 1прИ V * vf> C.28)
/ / (Ов противном случае.
Задача ПР, как и ранее, заключается в выборе такого варианта v0 € F,
при котором степень ytjfj (v0) правила modus ponens щя нечеткой
схемы вывода C.26) имеет наибольшее значение. Согласно выражению
C.12) степень истинности ц^ для произвольного v;- G V примет вид
(V/)],
Далее, учитывая выражения C.27) и C.28), окончательно получаем
Таким образом, в качестве варианта проектирования выбирается
такой вариант vk E V, для которого величина д^ (w) имеет наибольшее
значение, т.е.
(v0 = v^) [Л = ind Wk | /z^ (w) = max (jxw (w)]. C.29)
* / = TTfh '
В случае выбора варианта проектирования на основе индуктивной
схемы вывода необходимо выбрать такой вариант v E F, при котором
степень истинности д_^ индуктивной схемы для схемы вывода C.26)
имеет наибольшее значение. Согласно свойству C.5) ц?у (у/) =
" ^тр (v/)» ^ v/ e У' **° Фикция /xj[^ достигает своего
максимального значения при таком vk, для которого д^ (w) = max д^ (w)
* / = пк /
(см. теорему 3.6). Таким образом, выбор варианта проектирования на
основе индуктивной схемы вывода совпадает с выбором на основе
правила modus ponens и также определяется выражением C.29).
Пример 3.9. Пусть экспертная информация о выборе варианта
проектирования задана следующей нечеткой системой второго типа:
69

< ЕСЛИ первая схема компоновки, ТО параметр X малый и
параметр Y малый ИЛИ параметр X малый И параметр Y средний);
<ЕСЛИ вторая схема компоновки, ТО параметр X малый и
параметр Y большой ИЛИ параметр X большой И параметр Y малый ИЛИ
параметр X большой И параметр Y средний);
< ЕСЛИ третья схема компоновки, ТО параметр X большой И пара*
метр Y большой).
Здесь варианты X, Y и нечеткие переменные те же, что и в
примере 3.7. Тогда при значениях входных параметров х = 10 и у = 3 также
должна выбираться первая схема компоновки изделия.
3.5. НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ ВЫБОРА ВАРИАНТА ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ПРИ НЕЧЕТКОЙ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ ВТОРОГО РОДА
В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопросы выбора решений
в случае, когда экспертная информация, которая для каждой нечеткой
эталонной входной ситуации [выражение fy в системах B.5) и B.6)]
ставит в соответствие конкретную выходную ситуацию
(выражение JBy), представима системой не четких высказываний (в дальнейшем
такую экспертную информацию будем называть нечеткой экспертной
информацией первого рода). Однако на практике такое условие не всегда
выполнимо. Так, в случае нескольких экспертов может появиться
неопределенность при задании соответствия между эталонными нечеткими
входными и выходными ситуациями ПР. Таким образом, более
общим случаем экспертной информации является нечеткая система
высказываний, которая для каждой входной нечеткой ситуации ставит в
соответствие не одну ситуацию (выбираемый вариант проектирования),
а каждую выходную ситуацию с некоторой степенью соответствия (ве-
сом). Иными словами, для каждой входной эталонной ситуации
ставится в соответствие нечеткое множество на множестве эталонных
выходных ситуаций. Такая экспертная информация представима системой
нечетких высказываний вида
11
12
<ЕСЛИ АХч ТО Гц/ВО;
(ЕСЛИ Аи ТО rl2/B2);
Lnm: <ЕСЛИЛ„, ТО гтп1Вт).
Здесь Гц G [0,1], i = TTh j = 1, m - степень соответствия/-й
эталонной выходной ситуации^ (высказывание Bj) i-й эталонной входной
ситуации (высказывание* Л,-); пят — число базовых значений
лингвистических переменных |3^ и $у (число эталонных и выходных ситуаций)-
Определение 3.9. Высказьшания вида {Гц /Bj назовем
нечеткими высказываниями второго рода, систему Ьц — системой нечетких,
экспертных высказываний второго рода, а рассматриваемые ранее
70

высказывания видов Aj и Tff - нечеткими высказываниями первого
рода [55].
Заметим, что высказывания второго рода (г ц jBj) превращаются в
высказывания первого рода при rtj- = 1.
Систему L^удобно представлять в виде нечеткого соответствия
? = (Tw$ Ту, F) [24]. Здесь F - график нечеткого соответствия,
задаваемый графиком инцидентности, показанным на рис. 3.10.
Пример ЗЛО. Пусть экспертная информация о выборе варианта
компоновки изделия (см. пример 3.7) задается следующей системой
высказываний второго рода:
(ЕСЛИ параметр X малый И параметр Y малый, ТО выбираются
первая схема со степенью 1, вторая схема со степенью 0,2);
<ЕСЛИ параметр X малый И параметр Y средний, ТО выбираются
первая схема со степенью 0,8, вторая схема со степенью 0,4);
(ЕСЛИ параметр X малый И параметр У большой, ТО выбираются
первая схема со степенью 0,5 вторая схема со степенью 0,8);
(ЕСЛИ параметр X большой И параметр Y малый, ТО выбираются
первая схема со степенью 0,5, вторая схема со степенью 1, третья схема
со степенью 0,2);
(ЕСЛИ параметр X большой И параметр Y средний, ТО выбираются
вторая схема со степенью 1, третья схема со степенью 0,6);
(ЕСЛИ параметр X большой И параметр Y большой, ТО выбираются
вторая схема со степенью 0,2, третья схема со степенью 1).
В этом случае маурица R F х 3) будет иметь следующий вид:
R =
а соответствующий двудольный ориентированный граф показан на
рис. 3.11.
Выбор решения на основе правила modus ponens [55]. При выборе
решения (варианта проектирования) в случае задания экспертной
информации второго рода на основе правила modus ponens необходимо
оценить степень истинности правила для схемы вывода
1
0,8
0,5
03
0
0
0,2
0,4
0,8
1
1
0,2
0
0
0
0,2
0,6
1
(А — истинно);
(В - истинно).
Здесь А' и В\ как и ранее, высказывания вида
vp , где w € W^Xx Yx Z .. . nv^G V.
C.30)
есть w); (|3^ есть
71

*wn О
Рис. ЗЛО. Граф нечеткого
соответствия
OCw2
uw3
КЩ if.
aw5
ОСщ
Рис.
^-С
3.11. Граф экспертной
ции второго рода
информа-
Заметим, что матрица ^ определяет (ц х т) экспертных нечетких вы-,
оказываний второго рода, имеющих вид Ly:<ЕСЛИ Et, TO ry/Bj) ,i = 1,nt
) = 1, т. Поэтому степень истинности правила modus ponens для схемы
вывода C.30) запишется в виде
i = 1, п I = 1, т
.) — степень истинности правила modus ponens для схемы
где
вывода
Lif: <ЕСЛИ Ei4 TO <rif/Bf));
( А - истинно);
( В* - истинно).
C.32)
Для вычисления значения ^ введем понятия истинности и степени
истинности нечетких высказываний второго рода. Данные понятия
являются естественным обобщением ранее рассмотренных определений
для нечетких высказываний первого рода.
Пусть имеются нечеткие высказывания второго рода (r^/O mir^/M
относительно некоторой ситуации А. Здесь С и D — нечеткие
высказывания первого рода, имеющие вид < /3 есть ас> и < 0 есть aD), где ас и ар -
нечеткие переменные, определенные на универсальном множестве
U={u).
Определение 3. 10. Истинность высказывания (rD/O>
относительно высказывания (гс/О есть нечеткое множество T{{rDID> I
72

(rc/O ), имеющие вид
T«rD/D>/(rc/6) = { <1лт(т)/т)} ,
где
(\/и G U)(t = rDO liD(u))\ мг(г) = max
U' = («G U\rDOgiD(u) = r}.
Здесь О - операция умножения, когда rD является весом функции jip,
и операция конъюнкции, когда rD рассматривается как некоторый порог
функции nD; iicvl iiD — функции принадлежности нечетких переменных
acnaD; r G [0,rD] - область ее определения.
Рассматривая О как операцию умножения и определяя импликацию
согласно логике Лукасевича, имеем
'= WD(u); C.33)
Мг(г) = 1 & A - rc + max цс(и)). C.34)
uEl/
Данное определение превращается в определение истинности нечетких
высказываний первого рода (см. определение 1.15) в случаетс -rD = 1.
Пример 3.1 jL Пусть^ имеются нечеткие высказывания втородр рода
< 0,7/6 и <0,8/W, где С: < 0 имеет значение приблизительно 6> и D: < 0
находится около 5>. Нечеткие переменные arg - "около 5" и ag- '*при-
близительно 6" заданы на универсальном множестве С/= { 2, 3,4,5,6, 7,
8,9,10 } нечеткими множествами соответственно
Л~ = { @Д/2>, <0,3/3>, <0,7/4),
<0э8/6>, <0,6/7), <0,3/8>, <0Д/9>} ;
А% = {<0Д/3>, <0,4/4>, <0,8/5>,
<0J/7>, <0,4/8>, <0,3/9>, <
С учетом результатов примера 1.11 и выражений C,33) и C.34)
истинность высказывания <О,8/2# относительно высказывания < 0,7/0
примет вид
Г(<0,8/Ш0,7/О) ={ <0,4/0>, <0,6/0,008>,
<0,7/0,24>, <1/0,48>, <0,7/0,56>, 0/0,64), <1/0,8>} .
Следствие J. Z Пусть нечеткие высказывания второго рода имеют вид
<0/О и (rJD). Тогда степень истинности высказывания <rg/J3>
относительно < О/О
ТЦгд/З)(О/О) = {<1/т> } ,
где г G [0, rD].
73

Следствие 3.8. Пусть ir^Lh — четкое высказывание второго рода, где
ГУ. < j3 есть Up). Рассматривая значение uD €Е (/как нечеткую переменную с
функцией принадлежности
( 1 при и = Ид;
= С 0 при и Ф Ид, и е U,
истинность высказывания (r^/D) относительно (rg/O запишем в виде
nirjjr» /<rg/O) = { <1 & A - rc + H?(uD)/rD) } .
Следствие 3.9. Пусть гс/С — четкое высказывание второго рода, где
С: < 0 есть ис), ис Е (/. Тогда истинность четкого высказывания (/D
относительно (rJO
С {<1/Гд)) при ис = uD ;
v & & ' С {A - rjr^} в противном случае.
Следствие 3.10. Пусть D: < 0 есть Ид> - четкое высказывание первого
рода. Тогда, рассматривая высказывание D как высказывание второго
рода вида < Ijih, его истинность относительно четкого высказывания
второго рода (rjQ запишем в виде
Г«1/Л/ {г JO) = {<1 & A - гс + лс(Ид))/1>} ,
где
51 при ис = Ид#,
О в противном случае.
Определение 3.10 и следствия 3.8-3.10 позволяют вычислить
истинность T(Ljj, A\ В1) правила modus ponens для схемы вывода вида
C.32). Учитывая,лто величина Т(Ь^, А', В'^ определяется импликацией
Т(Л/Б{) -> Г(< 1/В') I (r tj /Bj)), где Т(А'/Е/) - как и ранее, истинность
четкого высказываниямлервого рода А' относительно нечеткого
высказывания первого рода?у, получаем
~'f9 А\ В') = Hntt(yk)ll)}.
Здесь/ty(v*) =1& (I -M|r(w) + 1&A -гу +МК.Ы)) =1ЛB-
- д^г (w) - rfj + д^ (v^) ) есть степень истинности правила modus ponens
для схемы вывода C.32). Отсюда согласно выражению C.31) степень
истинности правила modus ponens для схемы вывода C.30) запишется в
виде
*mp<?k) = _ & B ~ 0J.(w) - тц + VV (vk)) & L
/ = 1,я; / = l,m * '
74

Учитывая, что
1 при / = к;
О в противном случае,
¦ 1
полз*чаем
т i = ТГп; / = ГГт; I Ф к 1
& 1 = _ & B - (fig (w) + rit)) & 1 =
/ = Г7^; / = ГГйТ; / =? к С
= [2 - V C*? (") + rl7)] & 1 =
= [2 - V (Atjf.(w) + V (rf/)]&l.
i = \7n l } = ГГт; / Ф к
Вводя обозначения /?/** = V Гц , окончательно получаем
/ = \7m\i фк
limp(vk) = 1& [2 - V (М?(и>) + Rfik))]. C.35)
i = ГГй
Таким образом, принятие решения (варианта проектирования) в
случае задания экспертной информацией нечеткой системой
высказываний второго рода на основе правила modus ponens заключается в
выборе такого решения vk (из конечного множества V) вариантов
проектирования, при котором значение limp(vk), вычисленное согласно
C.35), наибольшее.
Пример 3.12. Рассмотрим пример выбора одного из трех возможных
вариантов компоновки проектируемого изделия. Так же как и в
примере 3, 7, выбор варианта зависит от значений двух входных параметров:
X и У. Экспертная информация о ПР, задаваемая системой нечетких
условных высказываний второго рода, рассмотрена в примере 3.10.
Пустьх = 10и>> = 3. Определим степеньпринадлехШости ju^r
обобщенного входного параметра w = (x, у) к входным эталонным ситуациям
?/, / =1,6. Учитывая базовые значения лингвистических переменных^
и |3у, функции принадлежности которых приведены на рис. 3.3, получаем
г1 (У) = 0,7 = 0,7;
' О) = 0,3;
0,2;
0,2;
0.
75

Далее определяем значения R^ ,i = 1,6, * = 1,3:
=r32Vr33 =03;
Аналогично определяем
/?jB> = 1; Д2B) = 03; Я|2) = 0,5; *J2> = 0,5; Л|2> = 0,6;
¦ 1; *2C) = 03; Л|э) = 0,8; *i3> = l; Лр> = 0,2.
Согласно выражению C.35) получаем
»mp(vi) - 1&B - V_ (m-(w) + Л/1))) =
i = 1,6 '
= 1 & B - @,7 + 0,2) V @,3 + 0,4) V @ + 0,8) V
V @,2 + 1) V @,2 + 1) V @ + 1) = 1 & B - 0,9 V
V 0,8 V 1,2 V 1,2 V 1) = 1 & B - 1,2) = 1 & @,8) = 0,8;
Vmp{v2) = 1 & B - V_ Qi? (w) + RW)) = 1 & B -
/ = 1,6 *
- @,7 + 1) V @,3 + 0,8) V @ + 0,8) V @,2 + 0,5) V
V @,2 + 0,6) V @ + 1)) * 1 A B - 1,7 V 1,1 V 0,5 V
V 0,7 V 0,8 V 1) = 1 & B - 1,7) = 0,3;
Mwp(v3) = 1 & B - V 0i^(w) + *,<*>)) - 1 A B -
/ = О *
- @,7 + 1) V @,3 - 0,8) V @ + 0,8) V @,2 + 1) V
V @,2 + 1) V @ + 0,2)) = 1 A B - 1,7 V 1,1 V
V 0,8 V 1,2 V 1,2 V 0,2) = 1 A B - 1,7) = 0,3.
Отсюда следует, что для входных значений х = 10 и >> = 3 более
предпочтителен выбор первого варианта (vt) компоновки проектируемого
изделия, при котором степень истинности правила modus ponens для
схемы вывода C.30) имеет наибольшее значение, равное 0,8.
Выбор решения на основе композиционного правила вывода. Модель
принятия решения на основе композиционного правила вывода [18, 21,
56, 57] является, по сути, определенным математическим оператором,
переводящим все входные слова, соответствующие всевозможным
значениям входных параметров, в выходные. Этот оператор является
нечеткой системой, характеризуемой в общем случае нечетким
отношением R входа к выходу, которое переводит нечеткое входное слово
в выходное по правилу максимальной композиции.
Пусть w = (х, у, z . . .) - обобщенный входной параметр
проектируемого изделия. Поставим ему в соответствие нечеткое входное слово w5
76

s (Mgy (w)» ^2(W)» • • •• H (W^# Здесь ^ № ~ ^^иь
принадлежности входного параметра wk нечеткой эталонной входной ситуации
Ef,i = ГГй. Тогда для заданной матрицы R, характеризующей нечеткую
экспертную информацию второго рода, по правилу максимальной
композиции можем получить нечеткое выходное слово
bwOfi, C.36)
соответствующее входному слову ш Здесь нечеткое выходное слово 7
имеет вид
где
&
По нечеткому выходному слову v и принимается конкретное решение
[выбирается тот вариант проектирования для которого fi%(w) имеет
наибольшее значение].
Пример 3.13. Рассмотрим пример использования композиционного
правила вывода для выбора варианта компоновки изделия (см.
пример 3.7). Для обобщенного входного параметра w= (х,у) * A0, 3)
определяем нечеткое входное слово:
w= @,7, 0,3, 0, 0,2,0).
Согласно C.36) определяем нечеткое выходное слово:
v = @,7, 03, 0, OX 0X 0) О
1 0,2 0
0,8 0,4 0
0,5 0,8 0
0,5 1
0 1
0,2
0,6
0,2 1
@,7, 0,3, 0,2).
Отсюда также следует выбор первого варианта компоновки
проектируемого изделия.
Необходимо отметить, что выбор решений на основе правила modus
ponens и композиционного правила вывода не всегда дает одинаковые
результаты. Использование той или иной модели ПР зависит от
характера решаемых задач и адекватности получаемых результатов
экспертным регениям. Однако, на наш взгляд, выбор решений на основе правила
modus ponens является более предпочтительным, так как позволяет
более полно учитывать экспертную информацию.

3.6. ВЫБОР ЗНАЧЕНИЙ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕГО ПАРАМЕТРА
ПРОЕКТИРУЕМОЙ ДЕТАЛИ
Составной частью ряда изделий энергомашиностроения,
проектируемых в рамках САПР теплообменного оборудования (ТО) и
оборудования химводоочистки (ХВО), является типовая деталь "днище
эллиптическое" [58, 60]. Существовавшая технология
автоматизированного проектирования типовых деталей включала в себя следующие
три этапа ПР:
этап расчета на прочность;
этап анализа расчета;
этап получения чертежно-графической документации.
Последовательность этапов ПР показана на рис. 3.12.
Задача конструктора при проектировании типовых деталей
заключается в формировании значений входных параметров дня этапа расчета
на прочность и вычерчивания детали. Перечень входных параметров
этапа расчета на прочность детали "днище эллиптическое" приведен в
табл. 3.1.
Параметр s — исполнительная толщина днища — является входным
параметром третьего типа и задается конструктором на основании
своего предыдущего опыта проектирования. Если толщина s задается
небольшой, то расчет на прочность не выполняется и при его анализе
происходит переход к первому этапу для корректировки параметра s
и выполнения заново расчета на прочность. При задании большого
значения параметра выполняется расчет на прочность, и после его анализа
происходит переход на этап вычерчивания детали. В этом случае деталь
"днище эллиптическое", изготовленная по полученному чертежу, имеет
большую толщину стенки, что приводит к перерасходу металла, а
следовательно, и к увеличению стоимости изделия.
Таким образом, правильность задания значения параметра s прямо
влияет на качество и время проектирования.
Для уменьшения сроков и улучшения качества проектирования
деталей "днище эллиптическое" диаметром до 1800 мм в САПР ТО и ХВО
включен этап ПР по выбору рекомендуемых значений параметра
"исполнительная толщина стенки". В этом случае технология
проектирования детали имеет вид, показанный на рис. 3,13. Входными параметрами
этапа определения рекомендуемых значений толщины s являются:
Этап
расчета
толщины s
} Корректировка s
НЕТ
Рис. 3.12. Традиционная технология проектирования детали "днище"

Таблица 3. 1. Входные параметры этапа расчета на прочность детали
"днище эллиптическое"
Параметр
Давление расчетное, МПа
Температура расчетная, °С
Материал
Допускаемое напряжение, МПА
Внутренний диаметр, мм
Высота выпуклой части во
внутренней поверхности, мм
Коэффициент прочности сварного
щва
Минусовый допуск на толщину
стенки, мм
Утонение стенки за счет всех видов
коррозии, мм
Необходимое утолщение стенки по
технологическим, монтажным и
другими соображениями, мм
Исполнительная толщина стенки, мм
Обо-
значе-
ьле
Р
Т
-
а
D
Н
Fi
Ci
с2
s
Источник получения значений
Техническое задание
Тоже
ГОСТ 1050-74
Нормы расчета на прочность
[61]
Теплогидравлический расчет
Тоже
Нормы расчета на прочность
[61]
ГОСТ (ТУ) на поставку
Нормы расчета на прочность
[61]
Тоже
Задается пользователем
Тип
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
3
расчетное давление р с множеством возможных значений XD = [1,1,
6,7];
допустимое напряжение а с множеством возможных значений
ЛГа= [Ю0,170];
внутренний диаметр днища D с множеством возможных значений
ЛГ/>= [320, 1800].
Выходным параметром этапа является толщина s с множеством
возможных значений Хж = [8,60].
Согласно опросу эксперта (в роли эксперта выступает конструктор,
имеющий достаточный опыт работы с задачей проектирования данного
Этап выйЬра.
значения
толщины s
Этап
расчета
_ /Анализ
* \расчета
\ Корректировка s | НЕ
Aft
Этап
вычерчивания
1
Чертеж
Рис. 3.13. Технология проектирования детали "днище" в САПР ТО и ХВО
79

Таблица
Лингвис- Значение
тическая

переменная
& <Ъ
aJ
& а
3. 2. Параметры тг-функций значений лингвистических
переменных детали
Параметры 7Г-
функций
t
X
1,1
4
6,7
100
170
т?
0,6
2,4
2,6
46
54
"днище эллиптическое*9

Лингвистическая

переменная
0D
Значение
aD
aJ
aD
UD4
Of1
°*\
Параметры ТГ-
функций
X
320
600
1000
1800
8
20
40
60
V
170
330
330
580
7
9
15
15
изделия на указанных выше входных и выходном параметрах этапа
ПР) введены лингвистические переменные 0 , 0а, PD и &s со
следующими множествами базовых значений:
аР2' аРъ
{ а$ , aS2% aS3, aS4]
- { малое давление, близкое к 4, большое
давление } ;
{ малое напряжение, большое напряжение } ;
Ор } = { малый диаметр, близкий к 600,
4 близкий к 1000, близкий к 1800 } ;
{ близкая к 8, близкая к 20, близкая
к 40, близкая к 60 } .
Параметры тг-функций, соответствующие базовым значениям
введенных лингвистических переменных, приведены в табл. 3.2. Система
высказываний, отражающая взаимосвязь между базовыми значениями
лингвистической переменной выходного параметра и значениями
лингвистических переменных входных параметров процесса ПР (давление,
допустимое напряжение, внутренний диаметр), является системой
второго типа и имеет следующий вид:
<ЕСЛИ (Р5 есть о^), ТО С1Х ИЛИ С12>;
<ЕСЛИ (Ps есть а$2), ТО С2Х ИЛИ С22 ИЛИ С23>;
<ЕСЛИ (ps есть а,3), ТО С3) ИЛИ С32 ИЛИ С33 ИЛИ С34>;
<ЕСЛЙ @S есть а,4), ТО С41 ИЛИ С42 ИЛИ С43>,
где Сц — следующие высказывания:
80

С22
Съъ
С34
Си
< (|Зр есть api) И @а есть а^), И (j3D есть
< (рр есть ар2) И @а есть а^), И
< @р есть api) И @а есть а^), И
< @р есть ар2) И @а есть а^), И
<(рр есть ар2) И (/?а есть а^), И
<(|Зр есть ар1) И @а есть а^)
И
естьар1)
есть а^)
< (/Зр есть ар1) И @а есть а^),
<(]Зр есть ар2) И (^а есть а^),
< (]Зр есть ар1) И (]За есть а^),
И
И
И
И
И
И
есть
есть
есть
есть
есть
есть
есть
D есть
(^ есть
(pD есть
(fi
< (j3p есть арз) И @а есть а(
Введение в систему проектирования дополнительного этапа
позволило, с одной стороны, оптимально выбирать значение параметра
"исполнительная толщина стенки" перед этапом расчета на прочность, с другой
стороны, уменьшить время процесса проектирования детали в целом, так
как расчет на прочность стал выполняться практически 1 раз.
3.7. НЕЧЕТКАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА АНАЛОГОВ
ПРОЕКТИРУЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ
Одним из первых этапов функционирования САПР типовых изделий
машиностроения является этап выбора изделий, которые аналогичны
проектируемым и описания (конструктивные характеристики) которых
хранятся в базе данных (БД) САПР.
Данная задача решается подсистемой поиска аналога (ППА)
проектируемого изделия. Так как любое изделие характеризуется
совокупностью конструктивных параметров, то работу ППА можно представить
в виде следующих этапов:
определить степень аналогичности по каждому отдельно взятому
параметру между проектируемым изделием и изделием, хранимым в БД
САПР;
определить степень аналогичности изделий по всем параметрам по
вычисленным на первом этапе степеням близости;
ранжировать изделия по степеням аналогичности и выдать изделия с
наибольшими степенями в качестве аналогов проектируемого изделия.
Таким образом, при моделировании процесса ПР на данном этапе
проектирования возникают следующие задачи:
определение степени аналогичности между двумя изделиями по
одному отдельно взятому конструктивному параметру;
определение степени аналогичности между двумя изделиями по
всем конструктивным параметрам.
81

Определение степени аналогичности изделий по отдельно взятому
параметру. Обозначим через Х1у Х2,. • ., Хп множества значений
конструктивных параметров. Тогда произвольное изделие q характеризуется
набором конструктивных параметровxqx, х^,..., х%.
Одним из наиболее часто используемых подходов к определению
степени аналогичности изделий является подход, согласно которому
значение г}, (р/я) аналогичности изделия р относительно изделия q по /-у
параметру полностью определяется разницей между значениями х? и
х^ и областью определения Xt:
\ХР _ хй\
= 1 *- *— . C.37)
? "
Здесь х? их? — соответственно наибольшее (верхнее) и наименьшее
(нижнее) значения /-го параметра:
х? = max Xf ; х? = min X; .
Пример 3.14. Пусть классификационный параметр "давление пара
на входе" изделия "подогреватель высокого давления" [61] имеет
область определения X = [1,1, 6, 7]. Пусть изделия ри qlf p2, q2 имеют
следующие значения указанного параметра: хР2 = 1,5; xQl = 1,1; хР2 =
= 6,1; х?2 = 6,6. Согласно выражению C.37) определим значения
r(Pi/qi) nr(p2/q2):
r(Pi/Qi) = 1 - ИД - US I /F,7 - 1,1) = 1 - 0,4/5,6 = 0,93;
гЫЯ2) = 1 - 16,1 - 6,61/F,7 - 1,1) = 1 - 0,5/5,6 = 0,91.
Таким образом, степень аналогичности изделия рх относительно
qx превышает степень аналогичности изделия р2 относительно q2 по
данному параметру.
Наряду с таким очевидным достоинством, как простота
вычислений, данный подход обладает следующим существенным недостатком:
значение ц (p/q) полностью определяется разницей в значениях х? и
х? и совершенно не зависит от их значений и "места" на множестве
Xf = [х?, х?]. Так, для рассмотренного выше примера (исходя из анализа
опыта проектирования аналогичных изделий) известно, что данные
изделия (а следовательно, и степень их аналогичности) с параметрами
xPl и/1 отличаются значительно больше, чем у изделия с параметрами
XP2KXQ2.
При анализе ПР замечено, что опытный конструктор на множествах
значений, конструктивных параметров рассматриваемых изделий
выделяет ряд эталонных значений, а произвольные значения параметров
рассматривает относительно этого ряда. Исходя из этого, на множествах
значений конструктивных параметров можно задать лингвистические
82

переменные, значения которых соответствуют выделенным значениям
параметров.
Пусть Xj — множество значений /-го параметра рассматриваемых
изделий; { х^ } , / = 1, л, — множество выделенных значений /-го
параметра; щ — количество выделенных значений. Введем
лингвистическую переменную (jfy, Tt, Xit Gt, Mf) с названием fy: </-й параметр);
с базовыми значениями Тг = { а^ } . Здесь (а^\ Xt, С^'Ъ -
нечеткие переменные, соответствующие выделенным значениям х^ с
названиями а/1"*: {приблизительно яг/*Ъ ; С^ = { <д.^ (х)/х) } - нечеткие
множества, функции принадпежности ytУ' которых определяют степень
близости произвольного значения х G Хг относительно выделенного
значения х№.
Определение 3. 11. Пусть р и q — рассматриваемые изделия
с заданными /-ми параметрами х№ и х^ соответственно. Степенью
аналогичности Г;(р/д) изделия р относительно изделия q по /-му
параметру назовем значение
гг (Р/Я) =^<?)(
где д / ч — функция принадлежности, соответствующая нечеткой
переменной а , ч с именем "приблизительно х.^ ".
xfq)
Таким образом, для вычисления аналогичности изделий по данному
параметру необходимо определить значение а , ., соответствующее
произвольному значению xfq^ ё Xf. */
Рассмотренный в гл. 2 способ определения произвольных значений
синтаксически независимых лингвистических переменных позволяет
предложить следующий алгоритм определения степени аналогичности
rfo/q) изделия р относительно изделия q по /-му параметру.
1. На множестве X; значений /-го конструктивного параметра
задается множество Tt базовых значений лингвистической переменной
/3. —j-й параметр.
2. Для значения х^ /-го параметра изделия строится нечеткая
переменная (х.^\ Xif С^ >, являющаяся значением лингвистической
переменной j3j.
3. Определяется степень аналогичности изделия р относительно
изделия q по /-му параметру в виде
Пример 3.15. Определим значения степеней аналогичности с помощью
предложенного алгоритма для изделия рх относительно qx и р2
относительно q2 с параметрами xPl = 1,5; х?1 = 1,1; хР2 =6,6; xqi = 6,1
соответственно.
83

1
0,5
0,22
1,1 1,5 2
6,1 6,7 Х,мПа
Рцс. 3.14. Функции принадлежности термов лингвистической переменной
"давление пара"
Лингвистическая переменная 0, соответствующая параметру
"давление паРа на входе", имеет три базовых значения Т - { ах х, аг 2» «i з 1 =
= { малое давление пара, давление близкое к 4, большое давление пара}.
Функции принадлежности M^f , У^ и juj*^ соответствующие базовым
значениям лингвистической переменной 0, показаны на рис. 3.14 и
представляются в виде следующих тг-функций:
ц1г(х) = тг(х, ОД 1,1); д12(;с) =(ir, 2,4, 4);/it3(*) =(^, 2,6, 6,7).
Заметим, что fiqi(x) = jult(x) = ir (л\ 0,6, 1,1). Поэтому значение
г(Р\1й\) определяется в виде
ripjqi) = M^^i) = ir(W. 0,6, 1,1) = 0,22.
Для определения значения г{ргЫг) построим функцию \iqAx) по
заданным функциям \lx 2 (х) и ytx 3 (х).
Согласно выражениям A.7) и A.8) определим параметры Х^ и т^
для соответствующей тг-функции:
\y2 = F,7 - 6,1)/F,7 - 4) = 0,6/2,7 = 0,22;
= 2'4Х<72
°'528 + 2'028 * 2'56'
Поэтому функция iiq Ах) запишется в виде
M^to я»(х. 2^6, 1,6).
Значение г(рг/й2) определяется в виде
*W<ft) * М^2(х(/?2)) = тгF,6, 2,56, 6,1)
Таким образом, степень аналогичности г(р2/Яг) изделия р2
относительно изделия q2 по параметру "давление пара на входе" значительно
больше @,96,0,22) степени аналогичности r(Pi/#i) изделия рг
относительно изделия qx, что полностью согласуется с опытом эксперта.
Определение степени аналогичности изделий по всем параметрам.
При выборе аналогов проектируемых изделий информация, получаемая
84

от эксперта-конструктора, представляется в виде следующих двух
высказываний [62-64]:
<ЕСЛИ (Сх ИЛИ С2, ИЛИ ... ИЛИ Ск), ТО изделие
является аналогом); C38)
<ЕСЛИ НЕ (С[ ИЛИ С2, ИЛИ ... ИЛИ Ск)9 ТО
изделие аналогом не является). C.39)
Здесь к - число эталонных ситуаций, при которых соответствующее
рассматриваемое изделие р является аналогом проектируемого
изделия q. Выражения су,/ = 1, к являются высказываниями следующего
вида:
Cfi {$[А) есть $° И 02(Л) есть а?А\ И ...
... И /jW) есть aff\
где лу*', i = 1, п - нечеткие переменные являющиеся значениями
лингвистических переменных; jifA^ - "аналогичность изделий по /-му
параметру"; п - число конструктивных параметров, по которым
происходит сравнение изделий.
Высказывания C.38) и C.39) представляют собой систему нечетких
эталонных высказываний первого типа, которая может быть записана в
следующем виде:
(ЕСЛИ А1ч ТО 2i>;
(ЕСЛИ J2, TO 2?2>.
С
I
Здесь Ах и А2 - следующие высказывания: ((i^ есть а^ и (J3^ есть
aS ^ > а2 и aS "~ нечеткие переменные, являющиеся значениями
лингвистической переменной i3s = «Jj(i4), P^ > * • •• ^Л))» Функции
принадлежности которых согласно правилам преобразования высказываний
конъюнктивной и дизъюнктивной форм записываются в виде
/% <гь r* r/i) = max min { ^(r,)} ;
/ = 1Д / = 1,я
М22(ть r«' •••• гя) - 1 - Mjjfri. ^2 гл);
Bi й Д2 - высказьшания (&А есть а^ ) и </3^ есть а^ ), в которых
лингвистическая переменная &А - "аналог изделия" - принимает
базовые значения ал - "аналог" каА - "не аналог".
А1 . л2
Функции принадлежностей цА (г) и цА (г), г G [0, 1],
определяющие значения а. и а, вообще говоря, неизвестны и могут быть найдены
путем опроса эксперта-конструктора. Однако, исходя из природы нечет-
85

ких переменных аА и аА , можно сказать, что они обладают
следующими свойствами.
Свойство 3.7. Справедливы выражения
t2 e [0,1]) [Г! >r2 -+HA
r2 € [О,1])[Т! > r2 -+VA
Иными словами, функция и. является монотонно возрастающей, а
функция цА — монотонно убывающей на интервале [0, 1].
Свойство 3. 8. Справедливо выражение
(Уге [0,1))[цА2(т) = 1 - nAl{r)\.
Иными словами, для любого т€ [0, 1] значением функции
принадлежности цА , определяющей нечеткую переменную о. — "не аналог",
является дополнение к значению функции принадлежности цА ,
определяющей нечеткую переменную аА — "аналог". *
Следствие 3.11. Справедливы выражения
^(°) -0; ^,A) -1; мЛ2@) =1; ^аA) =0.
Данные выражения являются следствием свойств 3.7 и 3.8, а также
требований, которым должны удовлетворять функции принадлежностей
значений лингвистических переменных (см. гл. 1).
Пусть rt (p/q), гг (p/q), . . ., rn (p/q) - степени аналогичности изделия
р относительно изделия q по 1-му, 2-му,. .., и-му параметрам.
Обозначив через А' и В' высказывания
А': (р[А) есть гх И j31(i4) есть r2f И ...
... И 15^) еСтьгя>; В': < &
где кАЕ [0, 1], рассмотрим схему вывода
LA-
А* - истинно; C.41)
В - истинно.
Утверждение 3.1. Для произвольных значений rlf r2, . . ., гп
существует единственное значение кА G [0, 1J, при котором схема вьшода
C.41) имеет наибольшую степень истинности правила modus ponens,
равную 1. Иными словами, для произвольно заданных значений входных
параметров и системы высказываний C.40) алгоритм AL г определит
единственное значение выходного параметра "аналог изделия".
Доказательство. Согласно выражению C.5) функцию
^тр ^кА^ пРеДСИ1вим в виДе
86

где
*i = ^{'иЪ гп); Ь = /i^fa, г2, . . ., гп).
Учитьюая взаимосвязь между функциями цу и цг (см. свойство 3.8),
выражение для ц^у запишем в виде
Заметим, что для любых значений а, Ъ G [0, 1] справедливо равенство
A — а + Ъ) & A + а - Ь) = 1 — к - Ь|. Поэтому можно записать,что
Из выражения C.42) следует, что функция n?V достигает своего
наибольшего значения 1 при таком кА> при котором \хА (кА) = %г.
В силу монотонности функции цА такое значение кА является
единственным: *
где ?i = max min { д.. (r{)} . Утверждение 3.1 доказано.
Утверждение 3.1 позволяет дать следующее определение
аналогичности изделий.
Определение 3. 12. Степенью аналогичности изделия р
относительно проектируемого изделия q назовем такое значение кА ? [0,1],
определяемое выражением C.43), при котором схема вывода C.41)
имеет наибольшую степень истинности правила modus ponens.
Утверждение 3.2. Ранжирование изделий по степеням аналогичности
не зависит от вида функции цА . Иными словами, если ц'А и у!А — две
различные функции принадлежности, определяющие нечеткую
переменную ал — "аналог", то из справедливости выражения k'A(pi/q) >
^ fcA(P2/q) следует справедливость выражения кА (Pi/q) ^kA(p2/q)'
Здесь кАпкА— степени аналогичности изделия рх и р2 относительно
изделия я при функциях принадлежности [iA иуА .
Данное утверждение является следствием свойства монотонности
функции \кА .
На основании утверждения 3.2 справедливы выражения
Отсюда, учитывая выражение C.43), получаем формулу для вычисления
степени аналогичности изделий по всем сравниваемым параметрам:
87

Выбор аналогов проектируемого типового изделия
энергомашиностроения. Одним из изделий, проектируемых в рамках САПР изделий
энергомашиностроения, является подогреватель высокого давления
(ПВД), предназначенный для повышения КПД турбоустановки.
При выборе аналогов проектируемых ПВД был использован подход,
рассмотренный выше. ПВД характеризуются рядом параметров
делящихся на классификационные, конструктивные параметры технической
эффективности, параметры надежности и др.
В качестве основных характеристических параметров были выбраны
следующие классификационные параметры ПВД [65, 66].
Параметр Диапазон изменения
Давление пара на входе Л!, МПа 1,1 - 6,7
Максимальная температура пара на входе #2, °С. . . .180 - 530
Номинальный массовый расход питательной воды
Я3, кг/с 50-910
Температура воды» °С:
на входе Я4 f 165- 250
на выходе Я5. . . . 170 - 280
На основе экспертной информации для указанных параметров были
определены лингвистические переменные 0i - |35 со следующими
множествами базовых значений:
Т\ = { «i i» «i 2» «i з } = { малое давление, близкое к 4, большое
давление };
Тг = { «2 1» «2 2» «2 3 } = { малая t пара, близкая к 300, большая
/пара} ;
Тг - { «31» «32. «зз» «34} = { около 50, около 340, около
500, большой расход } ;
Г4={«41»«42} = { малая t на входе, большая t на входе} ;
Т$ = { «s 1» «s 2 } ~{малая t на выходе, большая t на выходе } ¦
Дня определения близости по каждому параметру были введены
лингвистические переменные j3f(i4), / = 1,5, и степень аналогичности
ПВД по /-му параметру, имеющие области определения [0,1] и базовые
значения
Т^ = { а[А^, a2(i4) } = { малая, большая} .
Параметры х и т\ тг-функций, соответствующие базовым значениям
введенных лингвистических переменных, приведены в табл. 3.3.
Система эталонных высказываний об аналогах изделий ПВД имеет
следующий вид:
<ЕСЛИ Сг ИЛИ С2, ИЛИ С3, ИЛИ С4, ТО
изделие является аналогом);

Таблица
Лингвиста- Значе-
ческая
менная
А
&
А
пере- ние
«и
«12
«13
«21
«22
«23
«31
«32
«33
«34
3. 3. Параметры Я-функций значений лингвистических
переменных изделий ПВД
Параметры
7Г-функций
t
X
1,1
4
6,7
180
300
530
50
240
500
910
V
0,6
2,4
2,6
110
110
160
160
220
220
460

Лингвистическая
переменная
04
&

Значение
«41
#42
451
«S2
1
Параметры
Я-функций
X
165
250
170
280
0
1
V
76
76
84
84
0,6
0,6
<ЕСЛИ НЕ (Ci ИЛИ С2, ИЛИ С3, ИЛИ С4), ТО
изделие не является аналогом).
Здесь Су,/ = 174 - высказывания следующего вида:
Сх\ <р[А) есть а[Л) И 02(Л) есть а2(л), И j33(i4) есть
о"), И j34W> есть о«>. И ^> есть W)
есть «
есть
2(Л) И /32(i4) есть a2(i4), И |33и)
a2U), И &1А) есть НЕ а^>, И ^А) есть НЕ
С3: <р<А) есть а2(л) И /32W) есть НЕ a^\ И
/J3W) есть а\А\ И K4(>1) есть а$А\ И ^5(л> есть 2;
Q: <&lA) есть а2М) И p2W) есть а<л\ И /J3(yl) есть
НЕ ОЧЕНЬ а[А), И /3^л) есть а2(Л), И /35М) есть a2(i4)>.
Представление информации об аналогах в виде системы условных
высказываний и использование рассмотренных ранее алгоритмов
определения степени аналогичности позволили автоматизировать этап
выбора аналогов изделия ПВД. Что касается точности решений, то
можно отметить, что в целом автоматизированный процесс выбора
аналогов адекватен процессу ПР опытным конструктором, что подтвердилось
результатами контрольного проектирования.
89

ГЛАВА 4
НЕЧЕТКИЕ ГИПЕРГРАФЫ - МОДЕЛИ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
4.1. НЕЧЕТКИЕ НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГИПЕРГРАФЫ.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ,
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
При построении нечетких моделей принятия решений возникает
задача представления знаний в виде, позволяющем компактно хранить и
формально обрабатывать необходимую информацию, сохраняя при этом
ее содержательный смысл и имеющиеся взаимосвязи. Хорошей моделью,
поддерживающей объектно-предикатный взгляд на мир [67-70],
являются неориентированные и ориентированные гиперграфы,
представляющие собой существенное обобщение понятия графов с точки зрения
представления ими совокупности л-арных отношений при различном п.
Если речь идет о моделировании трудноформализуемых объектов,
содержащих качественные взаимосвязи, систем принятия решений,
элементами которых являются люди, то инцидентность между
объектами в системе нечеткая. В этом случае в качестве моделей могут
использоваться нечеткие гиперграфы различных видов, сочетающие в себе
достоинства как нечетких, так и графовых моделей и позволяющие
строить формальные оптимизационные и логические процедуры, удобно
программируемые и обладающие естественным параллелизмом. Это,
в свою очередь, дает возможность использовать для их реализации
многопроцессорные вычислительные структуры и существенно
сократить время поиска решений при построении советующих и экспертных
систем автоматизации проектирования.
Нечеткие неориентированные гиперграфы являются обобщением
понятия нечетких графов на случай, когда произвольные ребра могут иметь
любое, в пределах данного числа вершин, количество нечетко
инцидентных им вершин. Исходя из этого нечеткий ориентированный гиперграф
можно рассматривать либо как произвольный набор нечетких
подмножеств, определенных в одном множестве, либо как совокупность
нечетких симметрических отношений различной л-арности. Использование
такого подхода позволяет привлекать богатые содержательные
возможности теории графов для построения алгоритмов принятия решений и
исследования структуры объектов, представимых нечеткими
неориентированными гиперграфами.
Дадим определение нечеткого неориентированного гиперграфа, следуя
понятию четкого гиперграфа, данного в [70].
Пусть X = { хг } , / € J = { 1, 2, 3, . . ., п } - конечное множество
и ?* = {??}•/€/ = { 1,2, ..., /и}- семейство нечетких
подмножеств в X, Говорят, что пара Н= (X, Е) называется нечетким
неориентированным гиперграфом, если е,- Фф, ] € / и U в/ = Х9 при этом
90 '

элементы xt> x2, . . ., хп € X являются вершинами гиперграфа, а
множество Е, состоящее из ?t, 2i, . . ., ет> — множество нечетких ребер
гиперграфа.
Нетрудно видеть, что при 1 < |?у | < 2, / € /, приходим к
определению нечеткого неориентированного графа без изолированных вершин.
Бели ej все различны, гиперграф называется простым.4 В противном
случае получаем нечеткий мультигиперграф.
Степень принадлежности вершины х,- ребру еу называется степенью
инцидентности вершины х^ и ребра еу и обозначается/хе.(^/)*
В гиперграфе две вершины ха, xq называются нечетко смежными,
если существует нечеткое ребро ej G Е, которое включает обе вершины,
причем величина
H(xd Хр) = V ix.{xa9 Хр),
ех € Е
И, (ха, х&) - це.(ха) &»е.(хр)
назьшается степенью смежности вершин ха и Хо.
Два ребра Т и Tg назьгоаются нечетко смежными, если 7 nTg Фф,
причем величина
называется степенью смежности ребер Т и 2^. ^
Нечеткая матрица инциденций Rff гиперграфа Я есть матрица
Ik. II х , где п вектор-строк представляет вершины, а т
вектор-столбцов — ребра и коэффициенты Гц = \ie. (х,), т,е. элемент гу матрицы
равен степени инцидентности вершины xf и ребра ej .
Всякая матрица, коэффициенты которой лежат в интервале [0, 1],
является, следовательно, нечеткой матрицей инциденций нечеткого
неориентированного гиперграфа. Принимается, что нет ни нулевого вектор-
столбца, ни нулевой вектор-строки.
Однако если допустить наличие в гиперграфе изолированных вершин
и ребер, что, вообще говоря, увеличивает общность изложения, то
последнее ограничение на матрицы снимается.
Таким образом, матрица Rff является взаимно однозначным
представлением гиперграфа Н*
Всякому нечеткому гиперграфу Н = (X, 7Х Тт) может
соответствовать нечеткий гиперграф Я* = (Е, Хг Хп), вершины которого
есть точки ?1, е^, . . ., "ет> представляющие соответственно е[р ег*^* • •
. . ., ~ет , а нечеткие ребра — нечеткие подмножества Х\, Х2, . • ., Хп в
множестве ?*, представляющие соответственно хх, х2, ..., хп, где
91

Поскольку при этом имеем Xt Ф ф, U Xt =?*, то Я* - нечеткий ги-
I
перграф.
Гиперграф^ Я* называется^ двойственным гиперграфом. Матрица
инциденций RH гиперграфа Я и матрица инциденций Rff+ гиперграфа
Я* вьгаодятся одна^из другой транспонированием. Следовательно,
имеем, в частности, (Я*) * = Я. ^
Бели две вершины ха и Хл гиперграфа Я смежны со степенью ^(х^
Xq) , 10 .им соответствуют в Я* смежные ребра Ха и Xq с той же степенью
смежности. Если ребра 'е и eg гиперграфа Я смежны со степенью /x(el,
??), то им соответствуют вершины еу, е§, смежные в Я* с той же
степенью. ^
Пусть Я = (X, Е) — нечеткий неориентированный гиперграф, а
А С X, Тогда гиперграф Я. = (А, ЕА), где А — нечеткое множество
с носителем А, у которого цА (х) = 1 для всех х G Л, назьюается су-
жением, гиперграфа Я на множество А или Л-подгиперграфом
гиперграфа Я.
Обозначим (fie.(X{))H и (iie.(Xi)ig степени инцидентности вершины
xf- и ребра бу в гиперграфах Я4 и Я,
Если для сужения Я. справедливо
то получаем нечеткий ^-подгиперграф.
Гиперграф Нр = (ЛГ^, F) называется частичным гиперграфом
гиперграфа Я, если F СЕ и Jfp = U бу . Если при этом
?;. GF
то гиперграф Я» называется нечетко частичным гиперграфом.
Гиперграф Нр = (X, Р) назьюается сугиперграфом гиперграфа Я,
если Р СЕ. Если при этом
, Z е Р, Х{ е X,
то гиперграф Hf назьюается нечетким сугиперграфом.
^ Гиперграф "W = (X, 1Е) называется дополнением пшерграфа
Я = (Х,Е), если множество IE образуется следующим образом:
IE = { 1ef\X\7f, efeE},jej= {1,2 w },
где Z"~ нечеткое множество JC={ <vx(x)/x) / х G ЛГ}, ^(х) = 1
для всех xGX.
92

Пусть задан нечеткий неориентированный гиперграф Я - (X, Е).
Каждая вершина х ? X гиперграфа Я характеризуется степенью р(х),
определяемой как число ребер, которым вершина х .€ Xинцидентна
со степенью, большей нуля. Вершина также характеризуется
максимальной степенью инцидентности
= max
и степенью инцидентности
pU)
Степенью p(e) ребра e E E назьгаается величина р(е) = |e|. Кроме
того, вводится максимальная степень инцидентности ребра ёЕЕ,
определяемая как fx(e) = max /ue(x), и относительная степень инцидентности
р(е)
Если для каждого х Е X гиперграфа Я значение р (х) = А:, то пшерграф
называется однородным степени ft. Если дня каждого е Е Е значение
р(е) = р, то гиперграф является униформным степени р. Возможны
также однородные униформные гиперграфы. Очевидно, что униформный
гиперграф степени р представляет р-арное симметрическое отношение
на множестве X. ^
Если для каждого ребра гиперграфа Я значение д(е) = 1, то такой
нечеткий гиперграф называется нормальным. Если при этом (tyx E X)
(д(х) = 1), то такой гиперграф является бинормальным. Иначе^говоря,
если пшерграф Я бинормален, то двойственный гиперграф Я* также
бинормален.
Используя понятие множества а-уровня, введем понятие гиперграфа
а-уровня, обозначаемого На = (X, Е^. Гиперграф На получается из
гиперграфа Я = (X, Е), если каждое ребро еаЕ Еаопределяется
выражением
еа = { х Е е | j^C*) > а, е Е Е] .
Фактически гиперграф На является четким гиперграфом. ^
Естественно, что можно осуществить разложение гиперграфа Я на
множество гиперграфов а-уровня, если в качестве X выбирать все
различные степени инцидентности це (х), имеющиеся в данном гиперграфе.
93

Пример 4.1. Рассмотрим нечеткий нормальный гиперграф
Я = (X, Е); X = { хи х2, хъ, х4, х5 } ;
Е = { е[, 72, *з» *4, *s, ~еь) ; ?i = { <0,2|х4>, >
е2 = { <ll*s>, <0,4U3>, <0,3|х4>} ; ег = {
9; = { <0Л\хг), <0,7|*2>, @,91x3), <1|х4>} ;
?5 = {<0,8|д:2>, <1|л:1>} , ?6 = { <1|х4>, <1U3>, <0Д|дг2> } .
Построим гиперграф Н* = (?*, Хх, ..., АГ5) • В результате получим
, <0Д/е4>,
Хх ={
Х2 = {
Хг = {
Очевидно, что гиперграф Я является бинормальным.
Построим матрицу инциденций
, <0,8/е5>, <ОД/в6> } ;
, <0,3/е2>,
Х\
Хг
Rff= x3
х4
Xs
el
0
1
0
0,2
0
ег
0
0
0,4
0,3
1
ез
1
0
0
0
0
ft»
0,1
0,7
0,9
1
0
es
1
0,8
0
0
0
«в
0
0,1
1
1
0
Запишем степени всех вершин и ребер гиперграфа Я. В результате
имеем p(*i) =3,р(х2) =4, р(х3) =3,р(х4) =4, р(х5) =1,р(е!)=2,
Р(^) -J 3» Р(^з) = 1. Pfo) = 4, р(е5) = 2, р(е6) - 3. Поскольку пшер-
граф Я бинормальный, то для всех его вершин и ребер ц(х) = 1, д(е) =1.
Найдем относительные степени для некоторых вершин и ребер
гиперграфа:
= 0,7; Мо(*2) = 0,6; М*4) * 0,7; ДоО?б) = 0,7.
Пусть А С X, А = { х2, х^ *4 } . Тогда матрица kfi гиперграфа
НА = (А, ЕА) получится из матрицы R^ вычеркиванием строк jci, x&
и столбцов со всеми нулевыми элементами, возникающими в
результате вычеркивания строк:
в\ е2 е4 es e$
х2 II 1 0 0,7 0,8 0,1
Rff = х3 0 0,4 0,9 0 1
А х4 II 2 0,3 1 0 1
94

Построим частичный гиперграф Нр = (X, F), порождаемый
подмножеством ребер F СЕ. Матрица инциденций Rp гиперграфа Нр
получается из матрицы Rff вычеркиванием столбцов, образующих множество
E\F,n строк со всеми нулевыми элементами,^бразующихся в
результате вычеркивания столбцов. Если F = { еи еГ2, вз } » то
*4
0 1 О
1 0 0,1
0 0 1
0,2 0 1
Построим матрицу инциденций R-\jj гиперграфа П#, являющегося
дополнением гиперграфа Н. Дня этого все элементы пц матрицы R-л ?
получим как 1 — г.*, где г.. — элементы матрицыRTf. Запишем матрицу
~\H:
е2
е6
Х\
Хг
Хз
*4
*5
1
0
1
03
1
1
1
0,6
0,7
0
0
1
1
1
1
0,9
0,3
0,1
0
1
0
02
1
1
1
1
0,9
0
0
1
Нетрудно видеть, что гиперграф Н является бинормальным.
Построим гиперграф Яа,принимала = 0,7. Для этого найдем Еа =
f
ср р
ea еа еа еа еа
* е С * e
где
^4 =
eas = { xv
t] , еаь =
xAt x3
^ Рассмотрим представления нечеткого неориентированного гиперграфа
Н = (Х,Е) графами. ^
Взаимно однозначным представлением гиперграфа Н является
двудольный нечеткий граф
К{Н) = (ZU^F),
где
V = { /хк(х, е)/(х, ё) > lnv{x9 ё) =
= VLe(x) Ф 0<х е X, е G Е].
Иначе говоря, множество вершин исходного гиперграфа принимается
в качестве вершин одной доли графа К(Н)% множество ребер исходного
гиперграфа — в качестве вершин другой доли, две вершины етхв графе
К (Я) соединяются нечетким ребром со степенью смежности Hv(xt ё)
95

этих вершин, равной степени инцидентности вершины х и ребра е (не
равной 0) исходного гиперграфа.
Нечеткий граф К(Н) позволяет естественным образом распространить
многие понятия и методы теории четких и нечетких графов на нечеткие
гиперграфы. Особенно удобно использовать его при исследовании
связности ^систем, представимых нечеткими гиперграфами. Кроме того,
граф, К (Я) является отображением нечеткого соответствия между
множествами вершин и ребер. Следовательно, с его помощью можно
исследовать объекты, представимые гиперграфами, используя свойство
нечетких соответствий. ^
Однозначным представлением гиперграфа Я является нечеткий
вершинный граф Х(Н) = (X, Q). Его множество вершин совпадает с
множеством вершин исходного гиперграфа, а множество ребер Q
определяется выражением
б = { <Ме(*»
хр) Ф 0, хф хр G X}.
Иначе говоря, две вершины ха и xq в графе Х(Н) нечетко смежны со
степенью iXq (xa хф, если они нечетко смежны в исходном гиперграфе со
степенью смежности fi(xa Xq) Ф0. Следовательно, граф Х(Н)
представляет нечеткое бинарное отношение смежности вершин гиперграфа Я.
Аналогично определим нечеткий реберный цжф Ё(Н), однозначно
представляющий исходный гиперграф Я. Граф Е(Н) = (Е, W), где в
качестве множества вершин принимается множество ребер исходного
гиперграфа, а
<Vw(ey, es)/(ey, ed))/fxw(eyt ед) =
еь) Ф 0; еу, es G Е] .
Другими словами, две вершины еуие^в графе Е(Н) нечетко смежны со
степенью Mjj^r ?g), если соответствующие им ребра^^ е$ исходного
гиперграфа Я смежны со степенью ju(?L eg). Граф Е(Н) представляет
нечеткое бинарное отношение смежности ребер гиперграфа Я. Нетрудно
убедиться, что граф Е(Н) является нечетким вершинным графом для
гиперграфа Я*. ^ ^ „
^ Пример 4.2. Построим графы К (Я), Х(Я) и Е(Н) для гиперграфа
Я из примера 4,1. В результате получим
К(Н) = (X UE, V); XUE = { хих2,х3,х4,х5;
ей е2, е3, е4, eSt е6 } ; V = {<1/(хь
<l/(*i, es))> <U(x2, et)>, <0J/(jc2,
<0,1/(jc2# e6)>, <0,4/(*з, е2», <0,9/(jc3,
<0,2/(х4, ех)). <0,3/(jc4, ва)>, <1(*4, е4»,
96

К(Н)
Рис. 4.1. Графы #(Я), Х(Н), Е{Н)
, е2))} ; ЛГ(Я) = (ЛГ, G>; ДГ = { xlfx2, х3, x4t х5} ;
= { <0,8|(^lf x^)>, «,l/(*lf jc3)>, <ОЛ/(хь х4).
,7/(х2, хз)>, <0,7/(х2, -ДС4», <1/(х3, х4», <0,4/(х3, х$)>.
(jF, И); ^ ={ ей *2> еъ, е4, е5, е
W =
<0,2/(еь е6», <0,4/(е2, е4», <0,4/(е2, ев)>. <0Л/(е3, е4»,
<1/(е3> е5», <DJ/(e4, e$)>. Ш1(е5, е6))} .
Графы ^(Я), Х(Н) и ?ХЯ) показаны на рис. 4.1.
Рассмотрим вопросы связности нечетких гиперграфов.
В гиперграфе Н = (X, Е) нечеткая простая цепь C(xl9 xq + 1) длины
q есть последовательность
такая, что хх, . . ., xq G JT и все различны; ег
ны; <liek(xk)lxk)\ <Д^(** + )/ > е^/
eq G Ел все
различ12
97

Наименьшая из степеней инцидентности» входящих в нечеткую
простую цепь С(рсх, xq + j), называется прочностью цепи и обозначается д^.
Если две вершины хх и xq + х нечеткого гиперграфа Я соединены
несмежными цепями С\, С2, . . ., Ct соответственно с прочностями /хь
fa, ..., /^, то элементы Xi и^+1 нечетко связаны с прочностью
М(*ь ^ + i) = Mi V /z2 V ... V щ.
Отношение нечеткой связанности, заданное на множестве вершин
гиперграфа, является отношением нечеткой эквивалентности, классы
которой называются нечеткими компонентами связности.
Аналогичные рассуждения можно провести для двойственного
гиперграфа Я*, определяя понятие нечеткой простой цепи, начинающейся
и заканчивающейся ребром гиперграфа Я Вообще говоря, приведенное
отношение нечеткой^связности естественным образом получается при
рассмотрении графа К (И), при этом также возможны цепи, начинающц-
еся и заканчивающиеся в разных элементах а € X UE гиперграфа Я.
Каждый элемент а €= X U Е гиперграфа Я порождает нечеткий класс
эквивалентности S(а), являющийся нечетким множеством в XUE при
выбранном пороге эквивалентности t G [0,1], т.е.
S{a) = {<»S(a)(b)lb)/nS{a)(b) -
= ц(а, b)y ц(а, b) > t, b Е X UE] .
Здесь полагают, что ц(а,а) =1.
Пересечение нечетких классов эквивалентности в общем случае не*
пусто. Оно также является нечетким множеством в X UE, высота
которого h < t и совпадает с прочностью связности элементов,
порождающих пересекающиеся классы.
В случае, когда при выбранном пороге t для любого а Е X UЕ
носитель класса эквивалентности S (а) включает в себя все элементы
гиперграфа, то гиперграф Яявляется нечетко Г-связным.
Поскольку граф Х(Н) представляет отношение смежности вершин
гиперграфа Я, то естественно рассмотреть цепи вида
такие, что хх, x2 xq + x G X, a ii(xk, xk + x) > 0 при к = 1,2,
Здесь также аналогично предыдущему наименьшая из величин ^
ХА: +1) называется прочностью цепи и обозначается цс. Нетрудно
убедиться, 1гго цепь Cx(xlt Xq + i) может быть получена из цепи C(xit
xq + i)' если она является простой, т,е. не содержит повторяющихся
вершин. Очевидно, что отношение связности вершин также является отно-,
шением нечеткой эквивалентности, порождающим разбиение множества
вершин X гиперграфа Я на нечеткие классы эквивалентности, пересе-
98

чение которых, в общем случае, не пусто. Высота пересечения
определяется степенью связности вершин, порождающих нечеткие классы
эквивалентности. ^
Используя граф Е(Н), по аналогии с предыдущим определяется
понятие цепи вида
СЕ(еи eq + t) = Ol м(еь е2)е2, ц(е2р е3), еъ, ...
( q + l), eq + 1), eu е2р ..., eq + \ e E>
О, Л: = 1, 2, — ^.
Если ввести порог / E [0, 1 ], то две вершины графа Х(Н) [графа E(JHf) ]
связны, если существует цепь, соединяющая эти вершины, с прочностью,
не меньшей t. Если это свойство выполняется для любых двух вершин
графа Х(Н) [графа E(H)],^to он называется нечетко f-связным.
Очевидно, что^сли гиперграф Я нечетко f-связный, то и представляющие
его графы К (Я), Х(Н) и Е(Н) также нечетко /-связны.^
Пример 4.3. Рассмотрим связность гиперграфа Я из примера 4.1
при f! = 0,4 и t2 = 0,7. Для этого построим нечеткий класс
эквивалентности Sx (Xi), порождаемый вершиной xt G Jf при tx = 0,4. В результате
получаем
Ъ , <0,8/х2), <0,7/jc3), <0,7/^4>, <0,4/*5> } .
Поскольку S(Xi) = { хг, х2, х3, х4, х5 } , то гиперграф Я является
нечетко tx -связным. При t2 = 0,7 имеем
S(Xl) ={ <l/xt>, <0,8/jc2>, <0,7/*3>, <0,7/дг4) } .
Так как при S(xi) - { jc1# х2, х$, х* } и не содержит всех вершин
гиперграф, то можно утверждать, что гиперграф Я нечетко 12-несвязный.
Рассмотрим нечетко стабильные ц^ нечетко полные подмножества
вершин и ребер нечеткого гиперграфа Я = (X, Е).
Любое подмножество вершин В =Х является нечетко стабильным
множеством со степенью нечеткой стабильности ц(В) - 1 -- у *
х,уев
х М(*> у)* где ц(х, у) — степень смежности вершин х иу. Множество?,
называется f-нечетко стабильным, если ц(В) >t,tG [0,1].
Множество Bt называется сильно ^-нечетко стабильным, если оно
не является частью какого-либо другого Г-нечетко стабильного
множества. При t = 1 приходим к определению четкого сильно
стабильного множества.
Исходя из определения нечеткого ^стабильного множества, удобно
для их построения использовать^граф ДГ(Я), представляющий отношение
смежности вершин гиперграфа Я.
Понятием, двойственным понятию нечеткого стабильного
множества, является понятие нечеткого полного подмножества. Любое под-
99

множество DCX является нечетко полным подмножеством со степенью
нечеткой полноты ц. (D) = & /i (х, у).
Множество Dt называется /-нечетко полным подмножеством, если
ф,)>/,/Е [0,1].
Множество Dt называется /-нечеткой кликой, если оно не является
частью какого-либо другого /-нечеткого полного подмножества.
Нетрудно убедиться, что каждое /-нечетко стабильное множество ги-
перграфа Я превращается в /-нечеткую клику гиперграфа ПЯ, и
наоборот.
Каждая вершина х Е X гиперграфа Я в общем случае порождает
несколько /-нечетких имен. Рассмотрим метод их порождения. ^
Для каждой вершины xf Е X введем нечеткое множество Гх,- в
множестве X:
Щ ={ <МГ(Х/) ОО^/МрОс,) (У) s Р(*оУ)> У €: X, у Ф xt}>
состоящее из вершин, нечетко смежных вершине х, .
Построим одну из /-нечетких клик ФГ(Х/)- Положим, что вершина
Xf входит в клику Фг (Xf) с значением функции принадлежности, равным
единице, т.е. Дф - ч (х,) = 1. В нечетком множестве Где,- выбираем
первый элемент дсу, у которого Др (ху) > /, и включим его в множество
Фг^(х^). Для определения следующего элемента xz E X построим Гх^ =
= Тх^ П Txj. Если это множество не пусто, то выбираем из него первый
элемент xz, для которого Mpx..(xz) > /, и включаем его в множество
ФД*/) со степенью принадлежности Мрх.(^)- Далее находим нечеткое
множество TXffZ = Гху П Txz. Если оно не пусто, то аналогично
предыдущему выбираем из него первый элемент с требуемым значением
функции принадлежности, включаем его в Фг (х^) и продолжаем процесс
до тез? пор, пока не придем в результате пересечения множеств Гх к
множеству, не содержащему элементов для включения в формируемую
/-нечеткую клику.
Чтобы получать различные /-нечеткие клики, порождаемые вершиной
Xf% нужно исследовать поочередно элементы всех нечетких множеств Гх.
Описанным приемом можно воспользоваться для получения /-нечетко
стабильных множеств. Для этого^ необходимо перейти от гиперграфа
Як его нечеткому дополнению П#.
Пример 4.4. Для гиперграфа Я из примера 4.1 построим при t = 0,7
одну /-нечеткук^клику Фх(дг2), порождаемую вершиной х2.
Воспользуемся графом Х(Н), показанным на рис. 4-1. Найдем Тх2 ={ <0,8/Xib
<0,7/х4>, <0,7/х3>} . Вносим в <&i(x2) элементу<0,8/х^>. Строим Гхг *
= { <0,8/х2>, <0,1/х4>, <0,1/х3>} • Находим Гх2 П Тхх = { <0,1/х4>»
<0Л/х3)} ¦ Подходящего элемента для включения в ФХ (х2) здесь нет.
Следовательно, множество <S>i (х2) сформировано и имеет вид Фх (хг) *
s ( <1/*2>» <0,8/xt>} . Построим множество Ф2(х2). Для этого в ТХг
100

выбираем элемент <0,7/*4> и включаем его в Ф2(*2). Строим Г*4 =
= { <0,l/xi>- <0,7/*2>, <1/*3>, <0,3/*5> } . Находим Г*2 П f*4 =
{
Выбираем элемент <0,7/*3> и включаем в Ф2(*2). Строим Г*3 =
= {<0Л/*1>. <0,7/*2>, <0,4/*5>, <1/х4> } • Находим Г*24 П Т*3 =
= { <0,l/*i> } . Здесь подходящих элементов для включения в Ф2 (*2)
нет. Следовательно, окончательно имеем Ф2(*2) = { <1/jc2> , <0,7/*4> ¦
<0,7/*з> } . Больше /-нечетких клик при t = 0,7 вершина *2 в гиперграфе
Яне порождает.
Понятия нечетко стабильных и.нечетко полных подмножеств ребер
гиперграфа аналогичны описанным выше при условии рассмотрения
степеней смежности ребер и использовании графа Е(Н).
Представляет также интерес рассмотрение нечетких трансверсалей для
гиперграфа Я - {X, Е). Нечеткой вершинной трансверсалью Г называется
такое минимальное нечеткое множество вершин, пересечение которого с
каждым ребром ?.• Е Е не пусто. Для получения семейств всех нечетких
вершинных трансверсалей можно воспользоваться методом,
аналогичным методу Магу [28]. Будем рассматривать каждый элемент
(Me. (*/)/*/)¦ входящий в ребро еу, как некоторую переменную Зс/ со
значением \ie. (Xj). Пусть ребро е} гиперграфа Н имеет вид
% (xa)fxa), <Me/ (pjlxf , ...
Из определения нечеткой трансверсали следует, что в нее должен входить
элемент хф или хq> или, . . ., или Xg. Это справедливо для всех ребер
гиперграфа Я. Следовательно, нужно записать нечеткую конъюнктивную
нормальную форму, раскрыть скобки в полученном выражении,
выполнить минимизацию по правилам нечеткой логики. В результате получим
минимизированную нечеткую дизъюнктивную форму, каждый терм
которой будет однозначно соответствовать минимальной нечеткой
трансверсали.
Следует только добавить, что при использовании правила
поглощения в целях получения минимальных трансверсалей значение
поглощающей нечеткой переменной выбирается как минимум из всех
поглощаемых и собственного значения.
Аналогично описанному выше могут быть получены нечеткие
реберные трансверсали для гиперграфа Я*, двойственного гиперграфу Я.
Пример_4.5. Получим все нечеткие вершинные трансверсали для
гиперграфа Я из примера 4.1. Исходя из задания ребер ej € Е гиперграфа
Я запишем нечеткую конъюнктивную нормальную форму
A*2 V 0,2х4) & @,4*з V 0,3jc4 V 1х5) &
& A*,) & @,1*, V 0,7х2 V 0,9*з V 1*4) &
& A*, V 0,8*2) & @,1*2 V 1*з V 1*4). Ш

Применим к ней правило поглощения и раскроем скобки:
@,1*2 V 0,2*4) & @,4*3 V 0,3*4 V 1*5) & @,1*0 =
= 0,1*1 & 0,1х2 & 0,4*з V 0,l*i & 0,1*2 &
& 0,3*4 V 0,1*! & 0,1*2 & l*s V 0,1* & 0,2*4 &
& 0,4*з V 0,1*! & 0,2jc4 V 0,l*i & 0,2*4 & 1*5-
Применим еще раз правило поглощения и окончательно получим
0,1*! & 0,1*2 & 0,4*3 V 0,1*1 & 0,1*2 &
& 1*5 V 0,1*! & 0,2*4.
Таким образом, получили три нечеткие трансверсали:
Тх = { <0,l/*i>, <0,1/*2>, <0,4/*3>} ;
Т2 = { <0,1/*1>, <0,1/*2> }
Тг = {«U/*.i>, <0,2/*4>} .
Заметим, что содержательно нечеткая трансверсаль — это нечеткий
комитет элементов одного вида, представляющий в различной степени
интересы элементов другого вида.
Если отказаться от ограничений, что нечеткий неориентированный
гиперграф^не может содержать изолированные вершины и ребра, то
гиперграф Я = (X, Е) можно задать как нечеткую систему инциденций,
т.е. как нечеткое соответствие общего вида между множеством вершин
X и множеством ребер Е. Это соответствие задается с помощью
двухместного нечеткого предиката Р, который называется нечетким инци-
дентором, определяется для всех пар (*, е), * G X, е е Е и принимает
значения из интервала [0^1 ].
Нечеткий инциденторР образует нечеткое множество
FiP) = {<»FiP)(x,e)/(x,e))/xe X, uGU]
в множестве X х ?\ где Цр ,^ч — функция принадлежности,
определяющая для каждой пары (*, ё) степень инцидентности ixp,™ (*, ^)
вершины * € ЛГи ребра е G Е, т.е. iip ^ (*, ё) = \ке (*).
С учетом описанного вь1ше нечеткий неориентированный гиперграф
задается в виде Н = (X, Е, Р).
Рассмотрим теоретико-множественные операции объединения,
пересечения и разности нечетких гиперграфов, определенных на одних и тех
же множествах вершинки ребер. ^
Пусть Hi =^(ЛГ, Е, Pi) vl Щ = (X, Е, Р2) — произвольные нечеткие
гиперграфы, a RH = Цу II и RH = Why II, / G /, / Е / — их матрицы
инциденций. 1 ^ ^ ^
^Объединением гиперграфов Нх и Н2 называется гиперграф Я-
= Hi иЯ2, Я= (X, Е, ?), если
F(P) =F(Pi) UF(?2),
102

причем
MF(P) (*• *) = ^F(PX) (x> е> V *Р(Р2) (*> е), х G Xf eG Е.
Матрица инциденций^^ = \\гц II, i Е /, / Е /, гиперграфа Я = Нх UH2
получается как Rff = Rff и^Яз» причем rif = tf^ V &v , i E /, / €у.
Пересечением гиперграфов^Я^ и Я2 называется гиперграф Я =
= Нх C\H2t Н(Х, Е, Р), еслиF(P) =F(F\) OF(P2), причем /xF(/>) (x, e) =
Матрица инциденций Rff = llr/y- II, / G /t / Е /, гиперграфа Н-Нх
получается как RH = ^ П RH , причем г^- = а^ & Ь^ , / Е /, / Е /.
Разностыр гиперграфов Hj и Я2 называется гиперграф Н = Нх \ Я2,
Я= (ЛГ, f,P),у которого F(P) =F(PX) \F(P2), причем
HF(P) (x, e) = /xF(Pl) (*, е) & ~lMF(p2) (х, е), хё X, ее Е.
Матрица инциденций R^- llj//»» '^ A 7 е^> гиперграфа Я =
= НХ\Н2 получается как Kff=RH \RH ¦ причем г^ = а^ &6/;-,
Рассмотренные операции объединения и пересечения гиперграфов
коммутативны и ассоциативны, справедлива их взаимная
дистрибутивность, а также имеют место свойства
Н1\Н2=Н1 П1Н2; Н2\Нг =Н2П-\НХ\
1(Нг иЯ2) = ~]Нг П 1Н2; 1(Ht П Я2) = ~\Ht иЯ2.
Операции объединения и пересечения гиперграфов естественным
образом распространяются на произвольное число гиперграфов. Кроме
того, как соответствующие операции над нечеткими множествами
могут быть использованы операции объединения, пересечения, разности
и дополнения для совокупности отдельных вершин и ребер гиперграфа
(строк или столбцов матрицы инциденций).
Имеет смысл также операция объединения произвольных нечетких
гиперграфов с различными множествами вершин и ребер как
получение описания совокупности гиперграфа.
Рассмотрим операцию^композиции нечетких гиперграфов.
Пусть Нх = (Xlf Eu Pj) и Я2 = (Х2, Е2, Р2) — нечеткие гиперграфы,
такие, что Ег П Х2 Ф ф . Тогда нечеткий гиперграф Я называется
композицией нечетких гиперграфов Нх и Я2 и обозначается Я = Нх о Я2,
ecjmX = XXtE = E2^F{P) =F(P2) о (Р2),где
VF(P)(x,e) = V (/iF(n}(xj) &
GEnx
В случае, когда Ех П Х2 = 0, в результате композиции получаем
гиперграф, состоящий из всех изолированных вершин и ребер.
103

В нечетких алгоритмах на основе композиционного правила^вывода
часто^ используется композиция одновершинного гиперграфа Нг = (х,
Еи Рх) и гиперграфа Я2 = (Х2, Е2, Р2) при ЕгС\ Х2 Ф 0. В^зультате
ее выполнения также получаем одновершинный гиперграф Я = (х, Е2,
?). В матричной форме данная one рация ^соответствует композиции
вектор-строки Л „ и матрицы инциденций RH . В результате также
получаем вектор-строку. ^
Аналогично можно рассмотреть композицию гиперграфа Нх = (Хх,
Еи Pi) и одно реберного гиперграфа Н2 = (Х2, e,P2),scmiEi dX2 Ф
при этом гиперграф Я = (Хх, е, Р) также является одно реберным.
Пример 4.6. Выполним композицию гиперграфа
Hi = {X, Y, Pi); X = { Х\, х2, Хз» Х4, х$ } \
Y = { УиУг.У
с гиперграфом
Я2 = (У, ЦР2); Y = { ^^..у
U= { Ui,u2,u3fU4fUs9 иб] ; F(P2) =
В результате получаем гиперграф
Я = (Х«?), X = { x^jcj, ...,х5} ; U= { иищ, ,.„ и6) ;
, <0,6/(*5,u6)} .
Нами рассмотрена максиминная композиция гиперграфов.
Естественно, что может быть использована минимальная композиция, минимин-
ная, максимальная, а также композиция на основе других базисов
операций над нечеткими переменными.
В целях построения отношений между элементами нечеткого ги-
перграфа используются автокомпозиции^ нечеткого гиперграфа [71],
т.е. компюзиция гиперграфа Я = (X, Е9 Р) с двойственным ему
гиперграфом Я*, либо композиция гиперграфа Я* с гиперграфом Я. В
результате автокомпозиций получаются нечеткие графы, отображающие
интересующие нас отношения. ^
Нечеткий граф Я °/Я* zJ,X> X, Р оР*) называется прямой
автокомпозицией гиперграфа^Ж а Я* о н = (Е, Е, Р*ор) обратной
автокомпозицией гиперграфа Я. Если использовать ^ля композиции выражение
^F(P ) о F(P ) (*' е)< то гРаФ ^ ° S* = Х(Н), т.е. представляет
отношение нечеткой смежности вершин и является нечетким вершинным
104

графом, а граф й*оЯ= Е(Н)У т.е. представляет отношение нечеткой
смежности ребер и является нечетким реберным графом.
Пусть нечеткий гиперграф Н- (Х,Е) отображает совокупность нечет-.
ких ситуаций, представляющих объект проектирования. Одной из
важных задач является задача классификации ситуаций, т.е. формирование
групп (классов) ситуаций, близких друг к другу по какому-либо из
выбранных критериев. Эта задача известна как задача разрезания
гиперграфа Я.
Разрезанием гиперграфа называется разбиение множества X на
классы Хф a G А = { 1,2, ...,?}, такие, что
U Ха = X, Ха П Хр = 0, «, 0 € Ау \Ха\ = пф
а е А
S па = л, ЦП = п
ае А
с оптимизацией выбранной целевой функции.
Назовем прочностью ребра ej ? Е величину м(еу), которая
определяется как наименьшая из прочностей инцидентности данного ребра с
образующими его вершинами. ^
Сведем задачу разрезания гиперграфа Н к последовательному
выделению формируемых классов Ха, при этом задача формулируется
следующим образом:
Необходимо разбить множество X на два подмножества Хх и Х\Хг
так, чтобы минимизировать значение целевой функции
Ф = max ifj,
где
( ц{е,)ч если ef П Хг Ф Ф & е,П (Х\Хг) Ф ф;
*f с 0 в противном случае.
Здесь ef - носитель ребра ej.
С содержательной точки зрения это соответствует формированию
групп ситуаций, наиболее прочно связанных с признаками ситуаций
внутри формируемой группы.
Поскольку прочность каждого ребра является нечеткой (часто
лингвистической) приблизительной величиной, не имеет смысла
использовать сложные трудоемкие точные методы. Поэтому будем использовать
простой последовательный алгоритм, заключающийся в
последовательном подборе вершин из ЛГ, подходящих по требуемому критерию для
включения в^ножество Хх. Введем для этого оценку каждой вершины
гиперграфа Н относительно вершин, включенных к данному шагу
алгоритма в подмножестве Хх.
Пусть некоторые вершины х € X ранее включены в подмножество-
Х[ йа шаге t алгоритма. Тогда для произвольной вершины Xf G X \ Х[
105

будем использовать следующую оценку:
a{Xf) = max tf , D.1)
/€/
где
, если ef П (Xt1 U [xf] ) Ф Ф &
П
0 в противном случае.
Иначе говоря, каждая вершина характеризуется максимальной
прочностью ребер, попадающих в разрез при помещении вершины Xf в
формируемый класс Хг.
В целях минимизации значения выбранной целевой функции следует
выбирать для включения в Хх ту вершину, для которой
а(х) = min «(*/). D.2)
Xfe x\x[
Можно утверждать, что на каждом шаге алгоритма формируется
наилучший по принятому критерию разрез, что в итоге приводит к
получению локального минимума. Первая вершина, помещенная в Хх, также
выбирается по D.2).
Сформулируем последовательный алгоритм AL4 формирования
класса вершин Х\, \ХХ | = пг.
1. Принять t = 0 и по D.1) для всехду € Х\Х^ определить ct(Xf).
Перейти к п. 2.
2. По D.2) определить вершину дг° и включить ее в множество Хг.
Получить Х\. Перейти к п. 3.
3. Принять t = 1. По D.1) для всех Xf G X \ Л^ определить а(лу).
Перейти к п. 4.
4. По D.2) определить х1 и включить ее в множество Х\. Получить
Х\. Если \Х\\ = /ii/то множество Хх сформировано. Если \Х!\\ < л,
то принять t = 2 и продолжить аналогично описанному выше далее
до выделения п вершин.
Ддя выделения следующего подмножества вершин нужно в
гиперграфе Н из множества вершин X и из каждого ребра ej E E удалить
вершины сформированной части Хх. К оставшейся части гиперграфа
следует применить приведенный алгоритм для выделения части Х2* и так
до тех пор, пока не будут сформированы все классы.
Пример 4.7. Разобьем гиперграф Н = (X, Е), рассмотренный в
примере 4.1, на две части: \ХХ\ = 2 и \Х21=3. Запишем прочности всех
ребер гиперграфа Я. В результате получим
? = 0,1; *&) = 0,3; </>(?) = 1;
= 0,1; *{%) = 0,8; <р(Г6) = 0,1.
106

При t = 0 находим:
a(Xl) = 0,8; а(х2) = 0,8; а(х3) = 0,3;
а(х4) = 0,3; а(х5) = 0,3.
Выберем вершину *3 и поместим ее в множество ЛГ* = { х3 } . При
t = 1 находим
<*(*!) = 0,8; а(х2) = 0,8; а(х4) = 0,2; а(х5) = 0,1.
Выберем вершину х5 и поместим ее в класс Х^ = { х з» *5} • Так
как |А^ | = 2, то необходимая часть сформирована, при этом значение
целевой функции Фо = 0,1.
^ Заметим, что критерий разбиения множества вершин X гиперграфа
Я на части, т.е. критерий классификации, может иметь самый различный
вид, определяемый физическим смыслом решаемой задачи.
Для решения задачи классификации может быть использована
описанная выше автокомпозиция гиперграфов. Если композицию
выполнить в соответствии с выражением
а), ха, хр е ЛГ,
то граф Я о Я* будет представлять нечеткое отношение нечеткого
равенства ситуаций. Выделение в этом графе семейства f-нечетких клик
позволит осуществить группирование ситуаций в классы, нечетко
эквивалентные со степенью эквивалентности, не меньшей t.
В заключение данного параграфа рассмотрим представление
некоторых объектов проектирования нечеткими гиперграфами.
При анализе и синтезе объектов проектирования, заданных в виде
совокупности нечетких ситуаций, возникают задачи классификации
ситуаций, построения отношений между ситуациями: анализа структуры
совокупности ситуаций, разбиения множества ситуаций на группы.
Совокупность нечетких ситуаций представляется нечетким
неориентированным гиперграфом Н - (X, Е), если множеству ребер Е взаимно
однозначно сопоставить множество ситуаций, а множеству вершин X —
множество значений лингвистических переменных, характеризующих
множество признаков, которыми ситуации е ? Е обладают в некоторой
степени, причем значения функции принадлежности fie (x) для каждого
ребра определяются степенью взаимосвязи соответствующих ситуации
и признака.
При принятии решений проектирования в соответствии с [18]
естественной представляется симметрия по^отношению к целям и
ограничениям, при этом нечеткий гиперграф Я = (X, Е, Р) может представлять
совокупность целей и ограничений, если положить, что X определяет
заданное множество альтернатив, множество Е = Ех U Е2 определяет
107

семейство целей и ограничений, где Ех — множество нечетких целей,
Е2 — множество нечетких ограничений. Нечеткий инцидентор задает
степень инцидентности между х € X альтернативой и и Е U целью или
ограничением, при этом решение заключается в эквивалентных
преобразованиях гиперграфа, определении его экстремальных характеристик,
применении теоретико-множественных операций.
Самые различные нечеткие системы инциденций, такие, как
"проектировщики—коллективы проектировщиков, проектировщики—задачи",
нечеткие операционно-технологические системы представимы
неориентированными нечеткими гиперграфами. Их исследование может быть
формализовано на основе описанных свойств нечетких гиперграфов,
методов их исследования и эквивалентных преобразований.
4.2. НЕЧЕТКИЕ ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГИПЕРГРАФЫ
ПЕРВОГО РОДА. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ,
РАЗБИЕНИЕ, РАЗМЕЩЕНИЕ
При изучении, конструировании и синтезе нечетких баз знаний,
нечетких семантических сетей, нечетких систем обработки информации,
построении нечетких упорядоченностей и т.д., в общем, всюду, где
существен порядок элементов, а их взаимодействие между собой либо с
внешней средой нечетко, могут найти и находят применение нечеткие
ориентированные гиперграфы первого рода. Такой гиперграф
представляет собой, по существу, совокупность нечетких «-арных отношений
различной арности, определенных на одном базовом множестве. Однако
использование именно гиперграфовой модели позволяет привлечь для
исследования систем мощный содержательный и формальный аппарат
теории графов, по-новому осветить и решить различные задачи.
Нечетким ориентированным гиперграфом первого рода называется
и через Я- (X, D) обозначается пара множеств, в которой Х= { xt } ,
/€•/={ 1,2, . . ., п } — множество вершин; D = { dj } ,/ Е/ = { 1,
2, . . ., т } — множество нечетких ориентированных ребер, причем
каждое ребро
^ = «Hi, (*/!>/*#!>• <^; (*i2)/*/2>> •••' <*d/ (*#,)tof»
есть расплывчатый кортеж в X. Здесь х^, xi2, . . ., xt E X% a [id. -
функция принадлежности, определяющая степень инцидентности ребра
dj и вершины х^ для всех Xf € X, при этом элементы </х^ (хаIх^у
ха Е X, для которых tijjxc) = 0, в кортеж dj не включаются. Заметим,
что некоторая вершина ХуЕХ может встречаться в кортеже dj
неоднократно, при этом м^ (ху) может иметь различные значения в
зависимости от места Ху в кортеже. Хотя множество X конечно, каждое ребро
за счет возможности повторения в нем вершин XyGXb принципе может
108

иметь бесконечную длину. Но мы будем рассматривать ребра только
конечной длины. ^
Если каждое нечеткое ребро Щ GD гиперграфа Я содержит равно два
элемента в кортеже, то получаем нечеткий ориентированный граф.
Величины
где знак & означает взятие минимума, будем называть прочностью ребра
dj . Заметим также, что любой отрезок ребра Щ , состоящий из попарно
соседних элементов и содержащий не менее двух соседних элементов,
называется его фрагментом. Можйо определить понятие прочности
фрагмента как минимальное значение из входящих в него степеней
инцидентности. ^
Две вершины ха и Хп называются смежными в ребре &, если они
расположены в кортеже dj на соседних позициях, причем величина
называется степенью смежности вершинха1лхоъ ребре dj .
Величина
li(xa, Xq) = V Md. (ха, хо)
dfeDJ
называется степенью смежности вершин ха и ХоВ гиперграфе Я.
Каждое нечеткое ребро df гиперграфа Н однозначно
представляется нечетким ориентированным графом G{dj)^ (Хй Ц), который имеет
то же множество вершин, что и гиперграф Н, Ребро {ха,Хл>
принадлежит множеству нечетких ребер Ц со степенью M^.<*a»X/}>» равной
%. < х» х$ • если вершины ха и xq смежны в ребре dj исходного
гиперграфа. ^
Гиперграф Н = (X, D) однозначно представляется нечетким
вершинным ориентированным графом
Х(Я) = (X, V) - ^ U G{dj).
dj Е D
Другими словами, граф Х(Н) представляет собой объединение по
вершинам и ребрам графов, построенных для всех нечетких ребер
исходного гиперграфа, причем при объединении ребер, связывающих какую-
либо одну пару вершин {хф Хп), выбирается максимум степеней
смежности этих вершин.
Пример_4.8. Пусть задан ориентированный нечеткий гиперграф
первого рода Я = (X,D):
109

-?={ xlfx2tx3tX4iXs } ; D = { dltdf2fd3fd4) ;
di = «0,6/jc2>, <0,3/*s>, <l/*i>, <0,7/x4>, <0,8/x5»;
d2 =«O,5/X!>, <0,9/x2>, <0,3/*3>, <O,l/xs» ;
J3 = «0,9/x2>, <0,7/*3>, <0,8/*!»;
<? = «0,3/*2>, <0,6/x5>* <0,7/x4>, <0,2/*3».
Построим нечеткие ориентированные графы для каждого ребра
гиперграфа Я. В результате получим
G(dt) = (X С/О; 6^ = { <0,3/<x2,Jt5», <0,3/0c5, ^»,
ФЛ1<хих4», <0,7/<*4,*5>>}
G(d2) = (ЛГ, С/2); U2 ={ (О^/Ос^х,», <0,3/(v2,jc3» .
<0Л/<х3,х5Х} ; G(d3) = (X, U3);
U* ={ <0,7/<х2,х3>, <0,7/<*з.*1»} ; G(d*) = (X U4);
64 = { <0,3/<^4^3», <0,6/(XSfX4)), <0,2/<JC4,X3»} •
Построим нечеткий вершинный граф Х(Н) = (X,U):
ф = (X Й; ^ = { *1 *s} ;
<0,l/<*3,*5», <OJ/(x:3,jc4»,
Графы G0,), ^(c?2), G(c?3), ff04)i ОДО приведены на рис. 4.2.
^ Каждому конечному ориенированному гиперграфу первого рода
Я = (X D) однозначно соответствует его носитель Я = (X
^)»являющийся четким оргиперграфом пегого рода и получаемый из гиперграфа Я
удалением во всех кортежах d,- E D степеней инцидентности \i^t (Xj) для
Вершины х G X гиперграфа Я можно характеризовать степенью р (jc) ,
определяемой как число ребер d G Д которым вершина д: € ЛГ
инцидентна со степенью, большей нуля, при этом, если вершина jc G X входит
в ребцо d G D ^-кратно, то в степень р(х) добавляется число к. Вершина
х ? X характеризуется также максимальной степенью инцидентности
/х(х) = max /^(х) и средней степенью инцидентности
D
Каждое ребро d ? Z) гиперграфа Я, кроме прочности /х(<2), можно
охарактеризовать степенью p(d)% определяемой как число вершин
110

г) ¦ д)
Рис. 4.2. Графы Gtfi),'<?№), G(d3), d(d4),X(H)
х Е X инцидентных данному ребру, причем ?-кратно входящие вершины
учитываются к раз.
Ребро d G D характеризуется также средней степенью инцидентности
V P(d)
^ Гиперграф Й = (Х*ч El) называется подгиперграфом гиперграфа
Я = (X, Z>), если X* QX, а множество El образовано только теми
ребрами из Д которые являются нечеткими кортежами в X*, Другими
словами, гиперграф Й является сужением гиперграфа Я на множество^X*.
Гиперграф Й = (X*, El) называется сугиперграфом гиперг|>афа Н{Х,
D) % если л = Хч a El CD. Иначе говоря, некоторые нечеткие ребра слабо
удалены, т.е. их удаление не влечет за собой удаление вершин.
^ Гиперграф Й = (X*, El) называется произвольной частью гиперграфа
Я = (X, /5), если X* СХ, El С Д а из множества El исключены р^бра, не
являющиеся нечеткими кортежами в X*. Иначе говоря, часть Й — это
сужение гиперграфа Я на множество X4, причем из этого сужения слабо
удалены некоторые, ребра. ^
Тот факт^ что Й является какой-либо частью гиперграфа Я,
обозначается Я СЯ. ^ ^
Гиперграфы Я = (X, D) и Й = {Х>> El) называются нечетко
изоморфными, если существуют биекции а: Х->Х* и j3: U-*U* такие,что P(df) =
)> для всех dj ? Д причем 0(<fy) = dj ,
111

<*(x{l) 1 = xj1,e(x/2) =xj2 a(x^) = *^, и, кроме того,/xd. (*/) <->
«—> М/3(^.) (a(*/))* гДе знак «—>означает нечеткое равенство [24].
Другими словами, гиперграфы Я и Я* нечетно изоморфны, если четко
изоморфны их носители ЯиД*,и, кроме того, значения степеней
инцидентности для биективно соответствующих друг другу ребер и вершин
нечетко равны. Если гиперграф Н* нечетко изоморфен какой-либо части
гиперграфа Я, то говорят, что гиперграф Я* нечетко изоморфно
вкладывается в гиперграф Я. ^
Пример 4.9. Для гиперграфа Я = (X D), рассмотренного в
примере 4.8, часть
Я* = (ЛГ, БГ); X1 ={ хих2,х3,х5} ; П ={ 4 <М
является подгиперграфом, часть
Я" = (ЛГ, /У); *" = { ХьХз.Хэ,***} ' ^et il.?.5l}
является сугиперграфом, часть
Д"'= (ЛГ",/У"); JT"' ={ хьха.яз.хз} ; Я" = { ^ }
есть произвольная часть, а гиперграф Я^ = (^Tj, D{) изоморфен
гиперграфу Я = (X, D), если
Xt ={ yt.Л^з,^,^} ; А = { РиРгр'рэшТ'А } ;
pi = <«,7/У2>. <0,2/у5>, <0,9/у47, <0,9/д;4>,
, <0,7/у2>, <0,4/у3>, <0,2/у55>;
, <0,4/д>з»>
При этом биекции а и J3 имеют вид
Нечеткое равенство степеней инцидентности нетрудно проверить.
Использование графа Х(Н) = (Xt U) позволяет естественным образом
ввести ^понятие ориентированного нечеткого маршрута М(х, у) в
гиперграфе Я между какой-либо парой вершин х, у G X. Ориентированным не-
четким^маршрутом Н(х, у) называется маршрут по дугам (ребрам)
графа Х(Н), начинающийся в вершине х и заканчивающийся в верши-
не у. Он представляет собой последовательность вида
*<*>
112

и состоит фактически из фрагментов ориентированных ребер
гиперграфа Я, в которых осуществлен переход от степеней инцидентности к
степеням смежности вершин. ^ „
Если в нечетком маршруте нет повторяющихся друг графа Х(Н)У
то он называется ориентированным нечетким путем.
Величина
у) = д^(х, ха) & %(*а, хр) & ... & tiyiXy, у)
называется прочностью^маршрута.
Если в гиперграфе Я существует ориентированный маршрут из
вершины х в вершину у с прочностью ii(x, у), то говорят, что вершина у
нечетко достижима из вершины х со степенью достижимости, равной fi(xty).
Если вершина >> достижима Из вершины jc несколькими маршрутами,
то в качестве степени достижимости jx(x, у) выбирается прочность
наиболее прочного из этих маршрутов.
Ориентированный гиперграф Я называется сильно связным, если
любые две его^вершины взаимно достижимы. Степень сильной связности
гиперграфа Я определяется как минимальное значение из степеней
достижимости вершин. ^
Ориентированный гиперграф Я называется связным, если для любых
двух различных вершину, у G X вершина у достижима из х. Степень
связности гиперграфа Я определяется аналогично предыдущему, т.е.
как минимальное значение из степеней достижимости вершин.
Отношение нечеткой взаимной достижимости вершин является
нечетким отношением эквивалентности. Следовательно,? ним сопряжено
нечеткое разбиение множества вершин X гиперграфа Я на нечеткие классы
эквивалентности, порождающие нечеткие сильные компоненты
гиперграфа Я.
Для определения нечеткой сильной компоненты, содержащей
вершину х гиперграфа Я, необходимо построить нечеткое множество R (х) =
= { (/*(*» У) 1У>1У ^Х2ъу нечетко достижимо из х} и нечеткое
множество Q (х) = { (li{y,x)ly)ly€Xvix нечетко достижимо из у} , Полагают,
что вершина х нечетко достижима из вершины х и ii(x, x) = 1. Тогда
нечеткое множество R(x) П Q(x) является искомой нечеткой сильной
компонентой S (х). Степень ее силы определяется как
МE (х)) = м5 м (ха) & м5
* • • ^S (х) ($Р * ха* Х0 ху G X •
Для выделения следующей нечеткой сильной^ компоненты^5 (у),
у GJ> (х) аналогично предыдущему находят R (у), Q (у) и 5 (у) = R (у) П
^ Q(y)' Далее аналогично находят S(z), z & S(x)% z Й S(y\ и т.д.,
пока сильные компоненты не покроют все вершины гиперграфа Я.
Для определения взаимосвязи между сильными компонентами
строят нечеткую концентрацию С гиперграфа Я. Нечеткая концентра-
113

ция С = (S, Г) представляет собой нечеткий ориентированный граф с
нечеткими вершинами и ребрами. В качестве множества вершин S вы-
ступает множество сильных компонент гиперграфа Я. Каждая вершина
имеет степень нечеткости, равную степени силы, представляемой этой
вершиной компоненты. Из вершины S(x) E S в вершину 5 (у) G^S
направлено ребро <ЗГ (х), S (у) со степенью
^WJW) аМ(*ьЛ)У м(*а.Л) V ... V
где
a /jc (х, д>) — степень смежности вецшшгх и у в графе Х(Н).
Для нечеткой концентрации C=(ff,T) может быть построен ее н<ь
ситель С - (S, 7), являющийся четким орграфом и получаемый из С
удалением степеней смежности ребер.
^ Пример 4.10. Пусть задан нечеткий ориентированный гиперграф
Н= (X,D)\X = { XuXf, . ..,*7} , у которого
/>= { dud2, ..., ^} ;
31 = «DJIxt>i <Daix2)9 <0,8/x3>, <0,6/jc4>>;
= «0,8/*3>, <0,7/jc7» ;
d6 = «0,2/jc3>,
5^ = «0,9/*s>, <0,9/jc6>>.
Нечеткий вершинный граф Х(Н) = (ДГ, У) для гиперграфа показан
на рис. 4.3. Выделим нечеткую сильную компоненту относительно
вершины Х\. Дня этого по графу Х(Н) построим нечеткие множества R (х\)
и Q(xi). В результате получим
R(xx) ={ U/Jd), <0,4/д:2>, <0,2/х3>, <
<0,3/д:5), <0,7/^6>, <0,6/^7>} ;
Q(Xl) ={ <1/Xi>, <0,2/^2>, <0,6/х3>,
Нечеткая сильная компонента
S(xx) = R(xt) П Q(Xl) ={ <1/хх>, <0,2/jc2), <0,2/х3>, <0,2/*4> } .
Степень силы этой компоненты /х E (jci )) = 0,2.
Выделим нечеткую сильную компоненту относительно вершины
xs,xs ?S (xi). В результате получим
R(xs) ={ <1/х5>. <0,9/д:6>, <0,3/х7>} ;
Q(xs) ={ <1/х5>, <0,3/х2>,
114

0,2S(xi)
(Н)
4.3. Нечеткий вершинный граф
S(X5)
рис. 4.4. Нечеткая концентрация С
Следовательно,
S(xs) =R(x5) П
По аналогии получим
S (x6) = { <1/х6>}
Строим нечеткую концентрацию С = E, Г) (рис. 4.4) :
I», <l/<2f(r7),
Рассмотрим разбиение нечеткого ориентированного гиперграфа на
части.
Нечеткий ориентированный гиперграф первого рода Н = (ЛГ, D)
является адекватной математической моделью совокупности нечетких
операционно-технологических маршрутов обработки значений, если
предположить, что множеству вершин X гиперграфа взаимнооднозначно
сопоставлено множество / активных элементов обработки и
преобразования знаний, а каждый технологический маршрут обработки знаний
/ Е / представляет собой последовательность их прохождения по
активным элементам, т.е. взаимнооднозначно соответствует
ориентированному ребру гиперграфа <2;- Е Д Значения nd (xz) определяются, исходя
из особенностей обработки данной информации активными элементами.
Возникает задача разбиения множества активных элементов / на
определенные части по критерию максимизации предпочтения
обработки знаний активными элементами выделенной части, ипиу на языке
нечетких ориентированных гиперграфов первого рода Н = (X, D),
необходимо найти разбиение множества вершин X, [Х\ = л, на части Xlf
115

Хг> . . - >Xk, где IJTil = л1э |Z2I = л2, • • •» 1-^1 = пк> п* + П2 + • • • +
+ пк = п по предложенному критерию. Эта задача естественным образом
сводится к последовательному формированию выделяемой части, т.е.
к последовательному разбиению множества X на два подмножества
Х\ и Хг = ЛГ\Jfi, где Х\ — множество вершин формируемой части
гиперграфа.
Необходимо формально определить значение целевой функции
разбиения множества X на подмножества Х\ и Х2. При этом некоторые
ориентированные гиперграфы разрьюаются. Поскольку в каждом
ориентированном ребре имеется существенная последовательность
вершин, то следует воспользоваться переходом от каждого нечеткого
ge6pa dj к однозначно представляющему его ориентированному графу
G(fL) = {X, Ц). Каждое ориентированное ребро dj гиперграфа Я при
разбиении множества вершин на части Х% и Х2 может разрываться в
общем случае неоднократно, так как в ребре имеется существенная
последовательность вершин и возможны повторяющиеся вершины. Число
разрывов каждого ориентированного ребра^ совпадает с числом
разрывов в представляющем это ребро графе G(dA. Для каждого нечеткого
ребра
ир, е Ц, ир. = <Д^ <ха, хр)/<ха, хр», Pf = 1,2, ..., Ay.
Определим параметры </?р и фр следующим образом:
v
1Ч 0 в противном случае;
1 при <рр ф 0;
0 в противном случае.
Тогда целевая функция \р (Я) разбиения множества X на классы Х\ и
Хг запишется в виде
т
2
к*
2
т
I = 1 Pf « 1 7
Бели выполнять такое разбиение, при котором значение целевой
функции </>(Я) минимизируется, то с содержательной точки зрения
116

это соответствует формированию таких групп активных элементов, для
которых максимизируется средняя предпочтительность обработки
знаний внутри выделяемой группы.
Для решения поставленной задачи можно использовать
последовательный, итерационный алгоритм или какую-либо ^модификацию точного
алгоритма. Поскольку в целевую функцию у (Н) «ходит нечеткость,
то применять сложные методы в целях повышения точности (качества)
разбиения нет смысла. Поэтому будем использовать алгоритм, при
котором осуществляется последовательный выбор вершин из X, наиболее
приемлемых по выбранному критерию для включения в формируемую
группу вершин Х\. Для этого вводится оценка каждой вершины х GX,
характеризующая целесообразность включения ее в формируемую
группу Х\.
Положим, что некоторые вершины хЕ1на шаге t алгоритма уже
вошли в множество Х\. Для произвольной вершины х* G X \Х\ будем
использовать оценку <р(ху), такую же, как и определение^елевой
функции ^(//), но характеризующую разбиение гиперграфа Я при условии,
что выделена группа вершин х\ U { Xf} .В результате получим
m ks
m kj
S 2
где
& *0 e x \ (x[ и {Xf} v (*? e x\ и {Xf} &
&XaeX\ (X^ U{^3});
О в противном случае;
1 при ^ #0;
0 в противном случае;
ир.
Каждая вершина х* характеризуется средним значением степени
смежности ве{лиин, образующих ребра, попадающие в разрез, в случае, когда
вершина х* включена в формируемую группу Х\.
117

В цепях улучшения обработки знаний внутри группы для включения
*
*
в множество X* необходимо выбирать ту вершину xv, для которой
</(*„)= min J(pcf). D.4)
xfex\x[
Это условие позволяет утверждать, что на каждом шаге формируется
наилучшее в смысле принятого критерия подмножество элементов. Это
приводит к получению локально оптимального разрезания на две части
Хх и Хг. Естественно, что первая вершина, помещаемая в Х\, также
выбирается по D.4), при этом фактически берется вершина с наименьшим
значением средней степени предпочтительности выходящих из нее ребер.
Кроме того, значение величины <// (xv) вершины, помещаемой в Хх
последней, фактически представляет собой значение целевой функции
<р(#) при разбиении множества вершин на части Хх иХ2.
Сформулируем последовательный алгоритм ALS выделения
множества Хх, содержащего пх вершин.
1. Принять irj° = 0. По D.3) определить </>(лу) для всех Xf € Jf.
Перейти к п. 2.
2. По D.4) определить вершину xv. Включить ее в множество Х\°
и получить множество Хгхх. Перейти к п. 3.
3. По D.3) определить <?(лу) для всех лу G X \ Х\х. Перейти к п. 4.
4. По D.4) определить вершину xv. Включить ее в множество Х[х
и получить множество Х\г. Если \Х[2 \ = пх, то работа алгоритма
закончена, при этом значение <р(ху) равно значению целевой функции. Если
\Х** \< пх, то перейти к п. 3, приняв Х[2 за Х[*.
Для выделения следующего подмножества вершин из множества X
гиперграфа Я, т.е. для формирования следующей группы активных
элементов, необходимо в гиперграфе Н слабо удалить все вершины
сформированной части Хх. К оставшейся части гиперграфа следует применить
приведенный алгоритм. Описанная процедура повторяется, пока не
будут сформированы все группы активных элементов.
Пример 4.11. Пусть задан ориентированный нечеткий гиперграф
первого рода
Н = (X, D); X = { хи х2, х3, х4, х6 } ;
3Г
dx = «0,3/*5>, <0,7/jc3>,
d2 = «098/хх)9 <0,9/х4), <0,7/хб»;
d3 = «0,4/x!>, <0,6/x3>, <0^/xi»;
dA = <0,8/*з>, <1/х5>;
ds = «0^/х2>, <0,2/х4>, <0,6/х5>,
118

Необходимо осуществить разбиение множества X на части Хх и Х2,
\ХХ | = 3 по описанному выше алгоритму. С этой целью выполним
переход от каждого нечеткого ребра dj неоднозначно представляющему
его ориентированному графу &(dA = \Х, К). В результате получим
G(dx) = СДГ. йг); Ux ={
G(d2) = (X, U2); U2 ={
G(d3) = {X, U3); U3 ={ @Л/(хи
G(d4) = (X, К»); % ={ <0,8/<*3,*5»}
G(ds) = № С/5); Us =
<0,6/<*5,*4»} .
Полагаем ЛГ[° = ф. По D.3) определяем ^(ху) для всех X. Получаем
<р(хх) = 0,4; ф2) = 0,2; <р(*з) = 0,38;
= 0,5; ^(^5) = 0,47; ф6) = 0,7.
Выбираем по D.4) вершину х2 и получаем X*г = { х2 } . Выбираем
вторую вершину для помещения в множество Xt. Для этого
оцениваем все вершины из множества X \ Х[г = { х%, х3, х4, х5, х6 } .
Получаем
= 0,36; <р(х3) = 0,35; ^(дс4) = 0,5;
= 0,42; *(*в) = 0,45.
Выбираем вершину дг3 и получаем ЛГ[2 = { лг2, х3 } .
Далее оцениваем все оставшиеся вершины для выбора следующей
выделяемой вершины. Получаем
<p(Xl) = 5,25; *(х4) = 4,66; *(хб) = 4.
Выбираем вершину х6 и включаем ее в множество Хх. Получаем
Х\ - { Х\ ,х3, х6 } . Так как при этом \ХХ | = 3, то требуемое
разбиение найдено; Хх = { х2, х3, х6] , Х2 = { xXt x4t х5Х • Значение
целевой функции при найденном разбиении составляет <^(Я) = 4 и, как
отмечалось, совпадает с оценкой <р(х6), найденнрй последней.
Рассмотрим теперь задачу такого линейного упорядочения
множества вершин X гиперграфа Н = (X, D), при котором осуществляется
оптимизация некоторой целевой функции, зависящей от введенного
порядка вершин и содержательно отражающей качество размещения
активных элементов в технологических маршрутах^ обработки знаний,
представленных множеством ребер D гиперграфа Я. Пусть задан
гиперграф
#= (X, D), X = {xt} , i €/= { 1,2, ...,«},
D= { dj), /€ /= {1,2, ...,т).
119

Биекцию v\ X -* М> где М - { 1,2, . . ., п] — множество номеров
позиций^ линейке (кортеже) К, назовем линейным размещением гипер.
графа Я. Множество возможных линейных размещений обозначим
Ny причем \N\ =#i
Если v E N — фиксированное линейное размещение, то v(x) -
номер позиции вершины в кортеже К.
Введем понятие средней длинно-прочностной характеристики
нечетких ориентированных ребер гиперграфа Я. Длинно-прочностяая
характеристика каждого нечеткого ребра
ир G Ц; ир = < м^ < ха; хд> / < ха, хр»
графа G(dj) - (X, Ц), представляющего ребро dj гиперграфа Я,
запишется в виде
D.5)
Нечеткое ребро dj при данном размещении v e N характеризуется
средней длинно-прочностной характеристикой, определяемой выражением
PjГ = 1 '
h(df) - , D.6)
*/
где kj - число ребер в графе G (dj).
Гиперграф Я при размещении v G N, используя D.6), будем
характеризовать величиной
/^(Я) = max lp(dj)y D.7)
dj Е D
которую будем называть максимальной средней длинно-прочностной
характеристикой ребер при размещении vEN.
В результате приходим к задаче построения такого линейного
размещения, при котором
/(Я) = min ?(Я), D.8)
v € N
где fv (Я) определяется по D.7).
Для решения данной задачи используем алгоритм последовательного
подбора вершин на очередную незанятую позицию в линейке. Все
неразмещенные ранее вершины оцениваются относительно помещения их в
очередную свободную позицию линейки. Для получения оценки введем
разбиение каядауго множества ребер (Л каждого графа G(dj) на три
класса Цх, Ц2^Цг следующим образом. Обозначим JTJ множество вер-
120

шин гиперграфа Я, уже размещенных в кортеже К на позициях 1,2,...
. . ., t. Тогда X \ Xlfj= Х2 — множество неразмещенных вершин
гиперграфа. К множеству U^ отнесем те ребра ир = {^ (ха, хр) / (ха, Хр» ,
оба конца которых уже размещены, т.е.
Uft = i VPf е Ц/ха е Ц & хр <= х[},
к множеству Ц2 отнесем те ребра, оба конца которых не размещены, т.е.
Ц2 ={ ^ g ufi(xa е х\ &хре х<2) v
v (хре х\ &хае
Длинно-прочностная характеристика каждого ребра из U* при
фиксированном частичном размещении vf определяется выражением D.5), а
ее суммарное значение
lv(Uh)= Z l(up).
Для каждого ребра из множества Ц по D.5) определяется нижняя
оценка длинно-прочностной характеристики в предположении, что
второй конец ребра tip не может быть помещен ближе, чем в позицию
t + 1 при частичном размещении vf. Ее суммарное значение
где дг,у - уже размещенная вершина ребра 2р..
Для каждого ребра"йр Е 6^з нижняя оценка длинно-прочностной
характеристики предполагается равной д^ (ха, хя), поскольку полагается,
что оба конца ребра могут быть помещены в соседние позиции, а ее
суммарное значение
Тогда ^жняя граница средней длинно-прочностной характеристики
ребра d: гиперграфа Н при частичном размещении vt запишется в виде
lv (df) = . D.9)
t kf
121

Гиперграф Я при частичном размещении vf характеризуется
величиной
/„ (Я) = max lv (djT). D.10)
' df e d *
Исходя из D.10) при формировании кортежа К необходимо
оценивать все неразмещенные к шагу t алгоритма вершины Xf € Хгг
гиперграфа Я величиной cf (Xf), равной fv (Я), полученной в предположении,
что вершина Xf помещается в множестве Х\ последней на позицию t,
()t
tf
Для окончательного размещения выбирается вершина xv, для
которой
а*(Ху) = min а*(х). D.11)
Xfex[ f
Отметим, что для выбора вершины, помещаемой на первую позицию в
линейке, используется также выражение D.11). Кроме того, как
нетрудно видеть, оценка вершины ху, найденная по D.10), помещенной на
последнюю позицию в кортеже л, совпадает со значением/у (Я),
определяемым по D/У), для построенного размещения V.
Опишем последовательный алгоритм AL6 линейного размещения
нечеткого гиперграфа/Г.
1. Осуществить переход от нечеткого ориентированного гиперграфа
первого рода Я = (X, D) к семейству нечетких графов G(dj).
2. На первую позицию в линейке К поместить вершину х\> с
минимальной средней степенью инцидентности, определяемой по D.11). Получить
3. Принять t = 2 и, используя D.11), определить вершину х% € X,
помещенную на вторую позицию в линейке К. Получить Х^ = { jc|*
4
4}5iM
4. Принять t = 3 и продолжить описанные процедуры до тех пор,
пока не будут заняты все позиции в линейке, т.е. до получения t = п — 1,
так как на последнем шаге в множестве Jf^ остается единственная
вершина. Для полученного размещения v по D.7) определить fv (H).
Пример. 4.12. Выполним линейное размещение гиперграфа Я,
рассмотренного д примере 4.8. Воспользуемся построенными в этом
примере графами G(dj). Определим вершину, помещаемую на первое место
в кортеже К. Для этого, использовав D.5) — D.11), определим средние
степени инцидентности всех вершин х ? X:
Мср(*г) = °>4*> "ср(*а) s 0^; Мср(дг3) = 0,7;
Мер(*4> = 0,7; Мср(х5) = 0,63.
Выбираем вершину хх и помещаем ее на первую позицию в линейке А"-
Получаем Х\ * { х\ } ,Х\ = { х2, х3, х4, х5, х6 } .
122

Далее принимаем t = 2 и определяем а2 (х2) = 1,15, а2 (х3) = 1,15,
а2(хА) = 0,75, а2(х5) = 1,15, а2 (х6) = 1,15). По D.11) выбираем
вершину х4 и помещаем ее на вторую позицию в кортеже К. Получаем
Х\ = { хих4} ,Х\ = { хг,хг, х5,х6} .
Принимая г = 3, находам о3 (*2) = 1,1, а3 (*3) = 1,1, а3 (jc5) = 1,1,
*3(H9
(б),
На третью позицию в кортеже К помещаем х6, т.е. Х\ - { дс|, xj'
Берем / = 4 и определяем a4 (jc2) = 1,2, ^ (х3) = 1,5, а4 (дс5) = 1Д-
Выбираем вершину х2 и помещаем ее на четвертую позицию в линейке.
ПолучаемХ\ = { х\, х\ц х\,х\} ,Х\ = { хг, х5 } .
Принимаем Г = 5 и определяем as (х3) = 1,2, а5 (л:5) = 1,5,
Окончательно получаем размещение К = <Xi,X4,x6, JC2, ^з> х5).
Значение/v(Я) при данном размещении v составляет 1,2.
4.3. НЕЧЕТКИЕ ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГИПЕРГРАФЫ
ВТОРОГО РОДА. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И ФОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Нечеткий ориентированный гиперграф второго рода является
обобщением понятия нечеткого ориентированного графа с позиций
разделения множеств вершин, образующих ребра, на группы "начало" и
"конец" ребра. ^
Нечетким оргиперграфом второго рода называется и через Н = (X,
U) обозначается пара множеств, в которой ЛГ={ х(] ,/€/-{ 1,2,...
. . ., п } - множество вершин, ?/={ 2& } , / G / = { 1,2,...,«}-
множество нечетких ориентированных ребер, причем каждое ребро Щ
представляет собой нечеткое подмножество в множестве Х^ в котором
некоторые вершины (по крайней мере, одна) помечены индексом *и
являются "корнями" ребра Ц и, по крайней мере, одна из вершин не
помечена этим индексом, т.е.
Ц = { < Jfy (*/!>/*/,>. %• (*/2)/**2>» • •., <»uf (*/s)/*/9> J' '
где Xj , xi2, . . ., х( G X, a /ztt. - функция принадлежности,
определяющая степень инцидентности ребра Ц и вершины Jt; для всех вершин х G
€ ЛГ. Как принято, в нечеткое множество Ц не включаются элементы
W /л:>,л: ^ JT, для которых у^. (х) = 0 [59].
Из приведенного определения следует, что каждое ребро 7L Е U
содержит не менее двух вершин. Кроме того, полагают, что каждая
вершина принадлежит хотя бы одному ребру. ^
Если каждое нечеткое ребро Ц G U гиперграфа Н содержит ровно два
элемента, приходим к определению нечеткого ориентированного графа
без петель.
123

Нечетким оргиперграфом а-у{ювня называется гиперграф На = (X,
Ua), получаемый из гиперграфа Н- (X, U) удалением в каждом ребре
Ц G V тех пар < у^, (х)/х), для которых величина у^, (*)<«, a G [0,1].
Носителем нечеткого гиперграфа Н= (X, U) называется четкий орги-
перграф второго рода И = (X, U), получаемый из гиперграфа Н
удалением во всех ребрах Ц G U степеней инцидентности ци (х) при всех
х Е X, вошедших в ребра. '
Эквивалентным способом задания нечеткого ориентированного
гиперграфа Н = (X, U) является нечеткая матрица инцидентности Rff =
= Wrtj 1Я х т, где Тц = Цц, (xt), JC/ G ЛГ, Uf ^ G, а величина Гц помечается
звездочкой, если вершина x/5 входящая в ребро iij со степенью
инцидентности ttu. ()й
помечена звездочкой.
Пример 4.13. Запишем нечеткий оргиперграф второго рода:
щ = { @Д/х*>, <1/х3), <0,7/х5* >, <0,4/хб>} ;
, <0,7/дг5>}
={
Матрица инцидентности
Щ
*i
Хг
х3
Rv = х4
х5
х6
0
од
2
0
0,7
0,4

0,6
0
0
0,9
0
0
"з
0,4
0,5
0
0
0,7
0
«4
03
1
0,1
0
0
0
«5
0,9
од
0
0,7
0
0
Если вершины хг и хк сбвместно входят хотя бы в одно ребро tf,
причем либо Xj, либо х^ отмечена, то эти йершины смежны со степенью
смежности
, хк)
и
(xt) & PL
где знак & означает взятие минимума, а знак V - взятие максимума-
Если пара </^. (x^/Xf) Е Ц , то говорят, что вершина */ и ребро 7^
нечетко инцидентны. Если при этом хг является отмеченной вершиной,
то х* иЦ сильно нечетко инцидентны.
Если каждая вершина xf G X помечена индексом * в каком-либо
из ребер W G U, т.е. является корнем хотя бы одного ребра, такой ги-
124

перграф называется комплектным. В противном случае он называется
некомплектным.
Гиперграф, рассмотренный в примере 4.13, некомплектный,
поскольку вершина #6 не отмечена ни в одном из ребер.
Нечеткий ориентированный гиперграф второго рода Я* = (X, U')
является сугиперграфом гиперграфа H=(X,U), если l/C U.
Нечеткий ориентированный гиперграф второго рода Н* = (X*, U')
является подгиперграфом гиперграфа Я = (X, U), если X1 QX*; if -
= { Ц П X/uj G ияЦ П ХФф] . Здесь X рассматривается как нечеткое
множество со значениями функции принадлежности Jiv-GO ДО* в<*х
х Е X, равными 1.
Нечеткий ориентированный гиперграф второго рода Я* = (X*, Ur)
является частичным гиперграфом гиперграфа Я = (X, U), если V С U,
а X1 = U 1^-. Если исходный гиперграф /? комплектен, то все его
uf е и
подгиперграфы комплектны, а сугиперграфы и частичные гиперграфы
могут быть как комплектными, так и некомплектными в зависимости
от выбранного (/.
Все рассмотренные виды частей могут также иметь степени
инцидентности вершин и ребер не равные, а меньшие или равные
соответствующим им степеням инцидентности исходного гиперграфа. При этом
получаем нечеткие сугиперграфы^нечеткие подгиперграфы и нечеткие
частичные гиперграфы гиперграфа Н.
^ Всякому Н = {X, U) биективно соответствует нечеткий гиперграф
Я* = (U, X), вершины которого есть элементы щ, щ, . . ., i^, ,
представляющие нечеткие ребра исходного гиперграфа, а нечеткие ребра
jci, *2, • • •> хп представляют вершины исходного гиперграфа, причем
Uftf<m}9
где мх (Uf) =Mtt. (xj) . Если вершины Xf в ребре Ц исходного гиперграфа
отмечена, то в ребре хг гиперграфа Я* отмечается вершина tij .
Гиперграф Я* в общем случае не является ориентированным, поскольку может
содержать ребра х{, не содержащие отмеченных либо неотмеченных
вершин щ либо содержащие единственную вершину. Гиперграф Я*
называется двойственным гиперграфом^Я. ^
Нечеткая матрица инцидентности Л^гиперграфа Я* получается
транспонированием матрицы RH гиперграфа Я.
Пример 4.14. Построим гиперграф Я*, двойственный гиперграфу Я
из примера 4.13:
Н*=(ЦХ); U= { ulfu2tu3,u4,us} ;
X = { Х\, Х2, Хз, х+, Xs, х& } ;
хг = { OjSlu»), <0,4/«3>, <0,8/«4> , <0,9/м*> } ;
х2 = { <0,2/М*>, <0,5/и*>, (l/up ,<0Л1щ> } ;
125

, <0,1/«4> } ;
ЗГ4 = { <02/ир , <0,7/и5*>} ;
х5 = { <0,7/и*> , <0,7Дф } ;
*б = { @,4/щУ} .
Его матрица инцидентности/?„«имеет вид
щ
Из
щ
Щ
Х\
0
0,6
0,4
03
0,9
хг
од
0
0,5
1
од
Х3
1
0
0
0,1
0
*4
0
0,9
0
0
0,7
0,7
0
0,7
0
0
Хб
0,4
0
0
0
0
Рассмотрим представление гиперграфа Н = (X, V) в виде нечетких
ориентированных графов.
Каждое нечеткое ребро Ц Е U можно представить в виде нечеткого
ориентированного двудольного графа G(jL) = (ЛГ;- UJf;*, Г^), где Xj -
множество непомеченныэмвершин ребра Uj; X* — множество
помеченных вершин ребра ^ , a L — нечеткое отображение, заданное для всех
помеченных вершин и имеющее вид
= Xf
f;
ХЛ
Иначе говоря, каждая помеченная вершина ребра w отображается во все
непомеченные вершины со степенью отображения, равной меньшей из
степеней инцидентности помеченной и данной непомеченной вершины
и ребра Uj .
^ В целях исследования нечетких структурных свойств гиперграфа
Н введем однозначное представление его нечетким ориентированным
вершинным графом Х(Н) = (X, Г). Он може^быть получен как
объединение по вершинам и ребрам нечетких графов G($L), т.е.
yfc(тф\ — ii f^ (*t "\ * У "~* I J (Y I I У^^Л • T •"" II T
Пример 4.15. Для гиперграфа Н = (X, U), рассмотренного в
примере 4.13, построить нечеткие ориентированные графы для каждого ребра
и нечеткий ориентированный вершинный граф:
д(щ) = (хх и xt, fг); хх ={ *3,*б};
Лл - I X2t X$ ) ,
126

0,5
0,8
4.$. Гра^ы
)tG(xs),X(
(H)
G(Ui),
T(xs) ={
, <0,2/*б> } ;
2UX*2, f2); Jf2 =
<O,6/Jd>} ; G(tT3)
} ; f (x2) = {
Г4иЛГ*, Г4);
; f(x2) =
} ; ЛГ* - { x4} ;
иГ3, r3); ЛГ3 ={
^ = {<0,2/х2>} .
Графы G(щ); С{щ), G(t^), G(iU), G(^) и граф Х(Я), полученный
в результате объединения по вершинам ребер перечисленных графов,
показаны соответственно на рис. 4.5.
Нечеткий ориентированный гиперграф второго рода является
адекватной математической моделью нечеткой сети на основе нечетких
фреймов, при этом каждое нечеткое ребро представляет собой нечеткий
фрейм, в котором помеченные вершины гиперграфа являются телом
фрейма, а непомеченные — слотами. Вершины, соответствующие слотам,
отображаются в каждый корень данного ребра, либо, наоборот, корни
отображаются в каждый слот в зависимости от принятых в данной
семантической сети обозначений. Это хорошо иллюстрируется^
представлением каждого нечеткого ребра Ц в виде нечеткого графа G(w) и
нечетким вершинным графом Х(Я)9 представляющим исходный
гиперграф.
127

Взаимнооднозначным представлением нечеткого ориентированного
гиперграфа второго^ рода Н(Х, U) является нечеткий ориентированный
двудольный граф К(Н) = (X U U, К),где V- нечеткое множество всех
ориентированных ребер вида <р^ (*,) /( x(i uj», если вершина xf
помечена в ребре Uj гиперграфа Я, или <^. (х()/(ц, xt», если вершина
Xf не помечена в ребре и/ гиперграфа Я, причем /^. (jcf) Ф 0, т.е.
вершина хг и ребро Uj инцидентны со степенью инцидентности, не равной
нулю.
Пример 4Л6. Для гиперграфа Я из примера 4.13 запишем гр
= {XUU, V). В результате получим
X = { хи х2, х3, xAf xs, x6 } ; U *= { мь w2, w3> «4. "s } ;
ч , Ml» ,
, <0,2/и5,х2»,
Граф /Г(Я) приведен на рис. 4.6.
По графам ЛГ(Я) и ^(Я) удобно исследовать вопросы связности,
взаимной достижимости, выделения экстремальных подмножеств,
например тесно связанных и почти разобщенных, применения различных
теоретико-множественных и алгебраических операций, построения
минимальных групп элементов,ji3 которых достижимы все элементы.
Использование графа К(Н) дает возможность естественным образом
ввести понятие нечеткого ориентированного маршрута М(х, у) в
гиперграфе Я между какой-либо парой вершин х, у € X или маршрута
ЩЩ , ик) междУ какой-либо парой ребер щ , Щ € U либо между
вершиной х € X и ребром!?€ (/или наоборот. ^ *
Нечетким ориентированным маршрутом М(а, о) называется маршрут
по нечетким ребрам графа К(Н), начинающийся в вершине а € XXJl/я
заканчивающийся в вершине Ь G X U (/. Он представляет собой
последовательность вида
*%(*, с) С д^(с, d)d ... fnv(fyb)b\
a, bt с, d, f E X U U9
при этом любые два соседних элемента в маршруте, т.е. а и с, с и d,...
. . ., / и й суть инцидентные со степенью д(я, с), м(с, с?), . . ., м(/, й)
элементы гиперграфа Я, а величина
) = 1Лц(а9 с) & /^(с, <0 & ... & м^(/, Z>),
является прочностью маршрута Л/(а, Ь).
128

Понятия нечеткой достижимости,
нечеткой сильной связности,
нечеткой связности для нечеткого
ориентированного гиперграфа второго
рода исходят из понятия нечеткого
маршрута и аналогичны таким же
понятиям для нечеткого
ориентированного гиперграфа первого рода.
Выделение нечетких сильных
компонент в гиперграфе Я = {X, U)
выполняется так же, как и для
гиперграфа Н = (X, D)9 только на
основе использования графов Х(Н)
Рис. 4.6. Граф К(Н)
()
Для гиперграфа Н = (X, U)
представляет интерес задача выделения
минимальных по числу элементов подмножеств В € ^вершин, из
которых нечетко достижимы все вершины гиперграфа Н. Полагается, что
каждая вершина достижима сама из себя. Такие множества называются
базами. Для комплектного гиперграфа эта задача может быть
интерпретирована как определение минимального набора понятий, ассоциативно
связанных со всеми понятиями, имеющимися в сети фреймов. Кроме
того, так как речь идет о нечеткой достижимости, вводится также
степень базовости для каждого набора понятий как минимум из степеней
достижимости покрываемых вершин.
Аналогично предыдущему можно рассматривать минимальный набор
понятий, которые нечетко достижимы из всех остальных понятий
семантической сети. Такое подмножество вершин гиперграфа образует
антибазу В. Для нее также вводится степень антибазовости как минимум
из степеней контрдостижимости покрываемых ею вершин^
Из определений нечеткой базы Д и нечеткой антибазы В следует, что
ни одна вершина в множестве В (В) нечетко недостижима из другой
вершины множества В (В), Отсюда следует, что в множествах В к Б
нет ни одной пары вершин, которые принадлежали бы одной
нечеткой сильной компоненте^гиперграфа Я, Следовательно, для поиска
баз и антибаз гиперграфа Н нужно построить его нечеткую
концентрацию.
^ В соответствии с [68] единственная нечеткая база В* концентрации
G гиперграфа # состоит из таких вершин графа С [носителя нечеткой
концентрации С - (S, Т)], полу степени захода которых равны 0.
Отсюда вытекает, что нечеткие базы гиперграфа строятся следующим
образом. Из каждой нечеткой сильной компонентны SaE S (Is —
множество нечетких сильных компонент), соответствующей вершине базы
В* концентрации С, надо взять по одной вершине, т.е. если В* = { S\,
129

S(x$) 0« °>2 s(*2^ ^^ 4-7' Граф нечеткой концентрации С
'^2, • • ., Sp } , где р - число вершин в базе В*, то нечеткой базой 2?
является некоторое нечеткое множество
В = { <Ив(х
где
— минимум из степеней достижимости вершин х G X пз вершины xim9
для которых степень достижимости не равна 0. Степень базовости
определяется выражением
= nB(xtl) & HB(xh) & ... & nB(xip).
Аналогично единственная нечеткая антибаза В* концентрации С
гиперграфа Я состоит из таких вершин графа С, полустепени исхода которых
равны 0. Далее построение нечеткой антибазы гиперграфа Я выполняется
аналогично построению нечеткой базы. ^
Пример 4.17. Используя граф Х(Н)9 построенный дця гиперграфа Я
из примера 4.13, найдем нечеткую базу В и^антибазу 2^гиперграфа Я.
Для этого построим нечеткую концентрацию СграфаX(Я), полученного
в примере 4.15. Найдем для него сильные компоненты:
S(x2) = { <1/х2>, <0Л1хх)} ; S(x3) =
S(x4) = { <1/х4>} ; S(x5) ={ й/xs)} ;
= { <Цх6)} .
Степень силы li(S(x2))^= 0?. Степень силы остальных компонент
равна 1. Концентрация С- (S, Т) показана на рис. 4.7. Рассматривая
носитель С= 0t T) > получим, что единственная нечеткая база В*
концентрации ^определяется вершиной 5(х4), Д* = { ?(х*) } , а антибаза
В* = { S(x6)^S(x3) } . Тогда в данном частном случае щлеем одну
нечеткую базу В = { <ОД/лг4> } и одну нечеткую антибазу В^= { @?/х5),
<0,2/хб)} » поскольку .нечеткие сильнь1е компоненты 5(лг4), S(xs),
$(хв) содержат по одной вершине графа Х(Я).
^ При исследовании сети из фреймов, представленной пшерграфом
Я = (JT, С/), представляет интерес выделение нечетких шарниров (то-
130

чек сочленения). Нечеткий шарнир х € X — это такая вершина, которая
увеличивает число компонент нечеткой связности гиперграфа при ее
удалении. Степень^нечеткости шарнира равняется значению а, при котором
в гиперграфе На = (X, Ua) вершина х G X становится шарниром. Смысл
шарнира заключается в том, что все нечеткие маршруты, соединяющие
элементы из различных компонент связности, возникающих при
удалении шарнира, обязательно проходят в исходном гиперграфе через
вершину, являющуюся шарниром.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Н. Нильсоя. Принципы искусственного интеллекта. М.: Радио и связь, 1985.
2. Норенков И.П. Введение в автоматизированное проектирование технических
устройств и систем. М.: Высшая школа, 1980.
3. Алгоритмы оптимизации проектных решений / Под ред. А.И. Половинкина.
М.: Энерегия, 1976.
4. Батищев Д.И. Поисковые методы оптимального проектирования. М.: Сов.
радио, 1985.
5. Геминтерн В.И., Каган Б.М. Методы оптимального проектирования. М.:
Энергия, 1980.
6. Жук К.Д., Тимченко А.А., Родионов А.А. Построение современных систем
автоматизированного проектирования. Киев: Наукова думка, 1983.
7. Системы автоматизированного проектирования: Типовые элементы, методы
и процессы / Д.А. Аветисян, И.А. Башмаков, В.И. Теминтерн и др. М.: Изд-во
стандартов, 1985.
8. Автоматизация поискового конструирования (искусственный интеллект в
машинном проектировании) / Под ред. А.И. Половинкина. М.: Радио и связь,
1981.
9. Системы автоматизированного проектирования / Под ред. Дж. Аллана. М.:
Наука, 1985.
10. Основные концепции технологии автоматизированного проектирования /
В.И. Скурихин, Н.Г. Малышев, А.В. Суворов, А.В. Шестаков // Управляющие
системы и машины. 1986. № 1. С. 7-14.
11. Дитрих Я. Проектирование и конструирование: Системный подход. М.:
Мир, 1981.
12. Венда В.Ф. Системный подход в психологическом анализе взаимодействия
человека с машиной // Психологический журнал. 1982. Т. 3, № 1. С. 85-94.
13. Венда В.Ф. Инженерная психология и синтез отображения информации. М.:
Наука, 1985.
14. Поспелов ДА. Логико-лингвистические модели в системах управления. М.:
Энергоизцат, 1981.
15. Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Принципы построения советующих
подсистем САПР машиностроения // Проблемы управления -86. X Всесоюзное совещание:
Тез. докл. Алма-Ата: 1986. Т. 2. С. 460-461.
16. Боженюк А.В. Принципы построения советующей подсистемы в
автоматизированном проектировании // Методы автоматизации проектирования,
программирования и моделирования. Таганрог: 1983. Вып. 4. С. 32-36.
17. Малышев Н.Г., Паршин Е.А., Боженюк АЛ. Разработка модели принятия
решений конструктора при автоматизированном проектировании
энергооборудования / Деп. в НИИЭинформэнергомаш. 1985. № 255 ЭМ.
18. Заде Л Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к
принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.
19. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной / А.Н.
Борисов, А.В. Алексеев, О.А. Крумберг и др. Рига: Зинатне, 1982.
20. Zade LA. Fuzzy set»// Inform, Control. 1965. Vol. 8, N 3. P. 338-353.
21. Zade LA. Outline of a new approach to the analysis of complex systems and
decision processes // IEEE Trans. Systems Men Cybernetics. 1973. Vol. 3, N 1. P. 28-44.
22. Negoita C.V., Ralescu D.A. Representation theorems for fuzzy concepts // Kyber-
netes. 1975. Vol. 4, N 3. P. 169-174.
132

23. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Расплывчатые ситуационные
модели принятия решений: Учеб. пособие. Таганрог: ТРТИ, 1986.
24. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С. Конечные четкие и расплывчатые множества:
Ч. И. Расплывчатые множества. Таганрог: ТРТИ, 1981.
25. Такета Э. Связность расплывчатых графов // Вопросы анализа и процедуры
принятия решений. М.: Мир, 1976. С. 215-228.
26. Берштейн Л.С., Боженюк А .В. Синтаксически независимая лингвистическая
переменная в задачах принятия решений // Программное обеспечение ЭВМ:
индустриальная технология, интеллектуальная разработка и применение //
Региональная научно-практическая школа-семинар: Тез. докладов. Ростов-на-Дону:
1988. Ч. 1.С. 126-127.
27. Боженюк А.В. Определение значений лингвистической переменной в
советующей подсистеме САПР // Автоматизация проектирования электронной
аппаратуры. Таганрог: ТРТИ, 1985. Вып. 4. С. 29-32.
28. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М.: Наука, 1976.
29. Saaty Т. Measuring the fuzziness of sets // Cybernetics. 1974. Vol. 4, N 4.
P. 53-61.
30. Yager R.R. Multiple objective decision - making using fuzzy sets // Int. J. Man-
Machine Studies. 1977. N 9. P. 375-383.
31. Классификация и кластер / Под ред. Дж. Райзина. М.: Мир, 1980.
32. Zade L.A. Fuzzy-algorithmic approach to the definition of complex or imprecise
concepts // Int. J. Man-Machine Studies. 1976. N 8. P. 249-291.
33. Bellman R.E., Zade LA. Local and Fuzzy logic: Memorandum N ERL-M584.
Berkeley: College of Engineering, University of California. 1976.
34. Иванченко BJL Принятие решений на основе самоорганизации. М.: Сов.
радио, 1976.
• 35. Загоруйко Н.Г. Методы обнаружения закономерностей. М.: Знание, 1981.
36. Основы инженерной психологии / Под ред. Б.Ф. Ломова. М.: Высшая школа,
1986.
37. Макаров ВЛ, Модели и компьютеры в экономике. М.: Знание, 1979.
38. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Сов.
радио, 1979.
39. Поспелов Д.А., Пушкин В.Н. Мышление и автоматы. М.: Сов. радио, 1972.
40. Чачко А.Г., Иовенко О.В. Математические модели деятельности человека-
оператора сложного технологического объекта // Измерение, контроль,
автоматизация. М.: 1985. Вып. 244. С. 79-91.
41. Трапезников В.А. Человек в системах управления // Автоматика и
телемеханика. 1972. № 2. С. 7-22.
42. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /
Под ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, 1986.
43. Рубахин В.Ф. Психологические основы обработки первичной информации.
М.: Наука, 1974.
44. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С. Конечные четкие и расплывчатые множества.
Ч. 1. Четкие множества. Таганрог: ТРТИ, 1980.
45. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975.
46. Bandler W., Kohout LJ. Probabilistic versus fuzzy production rules in expert
systems // Int. J. Man-Machine Studies. 1985. Vol. 22.P. 347-353.
47. Bandler W., Kohout LJ. The four modes of inference in fuzzy expert systems//
Cybernetics and Systems Research. 1984. Voi. 2. P. 581-586.
48. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под
ред. Р,Р. Ягера. М.: Радио и связь, 1986.
49. Malyshev N.G., Berstein L.S., Bozhenuk A.V. Fuzzy model of decision making
in CAD system // Fuzzy sets in informatics. International Conference. Moscow; 1988.
С 44.
133

50. Боженюк А.В. Алгоритм определения предпочтительных параметров при
автоматизированном проектировании // Методы автоматизации проектирования,
программирования и моделирования. Таганрог- ТРТИ, 1985. Вып. 5. С. 28-36.
51. Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Определение предпочтительных параметров
деталей в машиностроении при автоматизированном проектировании // Системы
автоматизированного проектирования в машино- и приборостроении.
Всесоюзная научно-прикладная конференция: Тез. докл. Кишинев: КПИ, 1986. С. 25-27.
52. Паршин ЕЛ., Боженюк А .В. Использование правила контрапозиции для
моделирования решений в нечетких условиях // Методы построения алгоритмических
моделей сложных систем. Таганрог: ТРТИ, 1986. Вып. 6. С. 123-130.
53. Берштейн J1.C, Боженюк А .В. Моделирование процесса определения
предпочтительных параметров на основе нечеткого логического вывода //
Электронное моделирование. 1989. № 3. С. 98-101.
54. Клини С.К. Математическая логика. М.: Мир, 1973.
55. Берштейн Л.С, Боженюк А.В. Нечеткий логический вывод на основе
определения истинности нечеткого правила modus ponens // Методы и системы принятия
решений. Системы, основанные на знаниях. Рига: РПИ, 1989. С. 74-&0.
56. Mizumoto M. Fuzzy reasoning under new compositional rules of inference // Ky-
bernetes. 1985. Vol. 12. P. 107-117.
57. Higashi M., Klir GJ. Identification of fuzzy relation systems // IEEE Trans. Syst
Man, andCybera 1984. VoL 14, N 2. P. 349-361.
58. Боженюк А.В. Об одном подходе к автоматизированному вычерчиванию
типовой детали "днище эллиптическое" // Методы автоматизации проектирования,
программирования и моделирования. Таганрог: ТРТИ, 1981. Вып. 1. С. 67-70.
59. Малышев Н,Г. Структурно-автоматные модели технических систем. М.:
Радио и связь, 1986.
60. Паршин ЕЛ.У Боженюк А.В. Синтез модели принятия решений в САПР
энергомашиностроения // Методы автоматизации проектирования,
программирования и моделирования. Таганрог; ТРТИ, 1985. Вып. 5. С. 20-25.
¦ 61. Нормы расчета на прочность элементов реакторов, сосудов и трубопроводов
атомных электростанций, опытных и исследовательских ядерных реакторов и
установок. М.: Энергия, 1973.
62. Боженюк А.В. Об одном подходе к определению степени аналогичности
изделий в задаче поиска аналога // Синтез алгоритмов сложных систем. Таганрог:
ТРТИ, 1986. Вып. 6. С. 136-142.
63. Берштейн Л.С, Боженюк А.В. Определение аналогичности изделий при
автоматизированном проектировании // Кибернетика. 1988. № 2. С. 123-126.
64. Берштейн JLC, Боженюк A3. Выбор степени аналогичности проектируемых
изделий // Математическое и программное обеспечение задач многокритериальной
оптимизации и их применение. Межреспубликанская школа-семинар. Тез. докл.
Ереван: 1988. С. 51-52.
65. Марушкин В,М., Иващенко СС, Вакуленко Б.Ф, Подогреватели высокого
давления турбоустановок ТЭС и АЭС. М.: Энергоатомиздат, 1985.
66. Вакуленко Б.Ф. Технический уровень ПВД коллекторной конструкции
со спиральными змеевиками. М.: Энергетическое машиностроение (НИИЭинформ-
энергомаш), 1982.
67. Горбатов ВА. Теория частично упорядоченных систем. М.: Сов радио, 1976.
68. Кристофидес К. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.
69. Горбатов В А., Павлов П.Г., Четвериков В.Н. Логическое управление
информационными процессами. М.: Энергоатомиздат, 1984.
70. Beige С. Graphes et hypergraphes. Paris: Dunon, 1970.
71. Берштейн Л.С., Канаев М.М. Исследование ситуационной модели на основе
автокомпозиций расплывчатых гиперграфов // Методы автоматизации
проектирования, программирования и моделирования. Таганрог: ТРТИ, 1985. Вып. 5.
С. 105-107.
134

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава 1. Основные понятия для построения нечетких моделей 8Г
1.1. Нечеткое множество. Операции над нечеткими множествами 8
1.2. Нечеткое включение и равенство множеств. Нечеткое бинарное
отношение 12
1.3. Нечеткая и лингвистическая переменные 14
1.4. Построение функций принадлежности нечетких множеств 16
1.5. Нечеткие высказывания. Правила преобразования нечетких
высказываний 23
Глава 2. Представление экспертной информации на трудноформалиэуе-
мых этапах проектирования 29
2.1. Модели принятия решений 29
2.2. Выбор решений на основе четкой экспертной информации 32
2.3. Представление экспертной информации в виде систем нечетких
высказываний 37
Глава 3. Моделирование процессов принятия решений на трудноформа-
лизуемых этапах проектирования 43
3.1. Нечеткая модель выбора параметров проектирования на основе
дедуктивного логического вывода 43
3.2. Нечеткая модель выбора параметров проектирования при
индуктивном логическом выводе 55
3.3. Нечеткая модель выбора варианта проектирования при дедуктивном
логическом выводе 64
3.4. Нечеткая модель выбора варианта проектирования при индуктивном
логическом выводе 68
3.5. Нечеткие модели выбора варианта проектирования при нечеткой
экспертной информации второго рода . 70
3.6. Выбор значений определяющего параметра проектируемой детали. . . 78
3.7. Нечеткая модель выбора аналогов проектируемых изделий 81
Глава 4. Нечеткие гиперграфы - модели нечетких систем принятия
решений 90
4.1. Нечеткие неориентированные гиперграфы. Основные свойства и
характеристики, эквивалентные преобразования 90
4.2. Нечеткие ориентированные гиперграфы первого рода.
Эквивалентные представления, разбиение, размещение 108
4.3. Нечеткие ориентированные гиперграфы второго рода.
Эквивалентные преобразования и формальные операции 123
Список литературы 132

Производственно-практическое издание
Малышев Николай Григорьевич
Берштейн Леонид Самойлович
Боженюк Александр Витальевич
НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ В САПР
Заведующий редакцией Н. А. Медведева
Редактор Н. А. Медведева
Художественные редакторы А. А. Белоус, Т. А. Дворецкова
Технические редакторы М. А. Канониди, Т. Н. Тюрина
Корректор Г. А. Полонская
ИБ № 3477
Набор выполнен в издательстве. Подписано в печать с оригинала-макета 1 <Х04,91.
Формат 60 х 88 1/16. Бумага офсетная № 2. Печать офсетная. Усл. печ. л. 8,33.
Усл. кр.-отт. 8»57. Уч-изд. л. 8,74. Тираж 4000 экз. Заказ 1171. Цена 2 р.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
Отпечатано в Московской типографии № 9 МПО "Всесоюзная книжная палата"
Государственного комитета СССР по печати.
109033, Москва, Волочаевская ул., 40.