А. Б. Рубин,
Н. Ф. Пытьева, Г. Ю. Ризниченко
КИНЕТИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Издание второе, исправленное и дополненное
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Биология».
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1987
УДК 577.3
Рубин А. Б., Пытьева Н. Ф., Ризничеико Г. Ю. Кинетика биологических процессов: Учеб, пособие. — 2-е изд.,, перераб. и доп. — М.: Изд-во МГУ, 1987.— 304 с.
Учебное пособие состоит из двух частей: первая часть содержит изложение математического аппарата, применяемого для построения кинетических моделей биологических процессов, вторая — описание кинетических моделей в экологии, ферментативном катализе, фотосинтезе. Главы, посвященные математическим моделям в экологии и ферментативном катализе, существенно переработаны по сравнению с 1-м изданием, вышедшим в 1977 г., в соответствии с достижениями в этих областях биологической кинетики. Приводятся сведения об основных свойствах организации и регулирования белковых катализаторов. Дано изложение современной теории ферментативных реакций в гомогенных растворах. Описаны математические модели первичных процессов фотосинтеза.
Рецензент: кафедра физики живых чл.-корр. АМН СССР, проф. В. И. Шумаков)
систем МФТИ (зав. кафедрой
2001040000—026
F 077(02)—87
145—87
© Издательство Московского университета, 1987 г.
ВВЕДЕНИЕ
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Современное естествознание характеризуется глубоким про-никовением математических методов в различные области биологии. Современная наука ставит на повестку дня проблему функционирования- целостных биологических систем как результат взаимодействия составляющих их элементов. Необходимый для ее решения всесторонний учет совокупного действия большого числа взаимосвязанных факторов может быть осуществлен лишь с применением правильно выбранных математических методов.
Наиболее важно применение математики для построения такой математической модели изучаемого явления, в которой были бы правильно отражены его наиболее существенные черты. Сопоставление свойств математической модели с данными эксперимента служит необходимым условием проверки исходных гипотез, лежащих в основе модели. Ясно, что построение адекватной модели возможно лишь с привлечением конкретных данных и представлений о механизмах сложных биологических процессов, что достигается на определенном уровне исследования. Однако результаты даже самых тонких экспериментов далеко не всегда позволяют однозначно ответить на вопрос о том, каковы же истинные движущие силы, механизмы биологических процессов. В решении этих вопросов математические, модели играют большую роль. Так, математические модели, раскрывающие механизмы взаимодействий в биологических циклах метаболизма, должны. быть основаны на детальном знании последовательности превращения веществ и оценке из экспериментальных данных значений концентраций и констант скоростей их взаимодействий.
В настоящей книге будут рассмотрены различные математические модели биологических процессов на разных уровнях организации живого. Самостоятельное изучение математических свойств «хороших» математических моделей позволяет сделать важные заключения об особенностях функционирования исходной биологической системы. Адекватная математическая модель «живет» по своим внутренним законам, которые выявляют характерные черты моделируемой биологической системы, недоступные непосредственно экспериментальному исследованию.
Требование соответствия, или адекватности, математической,, модели и моделируемого объекта не означает детального копирования всех свойств последнего, что сильно бы усложнило модель, лишив ее наглядности и сделав затрудительным ее исследо-
3
вание. Речь идет о том, чтобы, не перегружая модель, суметь отразить в ней действие наиболее существенных факторов, ответственных за определенные свойства биологической системы, которые интересуют исследователя. Как правило, при построении модели практически нет исчерпывающего набора сведений о внутренней структуре объекта, а также точных значений параметров, входящих в уравнения.
Выделение единых в функциональном отношении подсистем в качестве объекта моделирования из общего «метаболического котла» представляет собой самостоятельную и подчас довольно трудную задачу. Во многом здесь оказывает помощь, как мы увидим в дальнейшем, иерархический характер организации живых систем, которые состоят из ряда взаимодействующих, относительно автономных систем.
В процессе построения модели биологических процессов необходимо проводить уточнение характера связей между взаимодействующими компонентами, равно как и значений параметров, которые на первых этапах могут носить весьма ориентировочный характер. Последующая проверка справедливости модели состоит в таком варьировании значений параметров, которое максимально приблизило бы поведение модели к оригиналу.
Очевидно, на этом пути проверке подвергаются и исходные гипотезы, лежащие в основе модели, которые могут при необходимости изменяться. Таким образом, проверка модели, т. е. сравнение ее поведения с оригиналом в различных условиях функционирования, приводит к уточнению наших представлений о сущности и организации моделируемых процессов. Именно в этом и состоит основная цель математического моделирования. «Хорошая модель», выдержавшая сравнение с опытом, может служить для предсказания поведения оригинала, в том числе и в наперед заданных условиях, которые не были заранее осуществлены в экспериментах.
В настоящее время в области математического моделирования применяется различный математический аппарат в зависимости от характера изучаемых биологических процессов и соответствующих им моделей.
В данной книге освещены вопросы кинетики биологических процессов. Именно кинетика играет ведущую роль в регулировании процессов в организованных биологических системах, которые протекают в них с определенной скоростью и в определенной последовательности.
В такой постановке проблема кинетического поведения сложной системы сводится к построению и анализу математической модели, в которой скорости изменения концентрации различных составных компонентов были бы выражены через скорости отдельных элементарных реакций, принимающих участие в их образовании и исчезновении.
Допустим, что в нашей системе имеется п различных компонентов, которые мы для определенности будем считать химичес-
4
кими соединениями, претерпевающими метаболические превращения. Каждое i-тое соединение из общего их числа п характеризуется значением концентрации с,- (i = l, 2.п),	которое может
изменяться со временем c/=c,(f) в результате взаимодействия i-того соединения с любым из остальных (п—1) веществ. Такого предположения достаточно, чтобы мы могли составить соответствующую данной ситуации общую математическую модель, которая представляет собой систему из п дифференциальных уравнений первого порядка:
~~ ~fl(Cl’C2’ • • • , Cnt at
= fa (ci> ca» •  • » cn> at
~~ —fn (ci» ca, • • • »cn> 0» at
где Ci (/),..., cn{t) — неизвестные функции от времени, (i— 1, ... , n)—скорость изменения концентрации i-того вещества.
В этой модели число уравнений п равно числу переменных Ci, с2, ..., сп, изменяющихся в результате взаимодействия веществ. Каждая из функций f,(ci, ..., cn, t) есть функция аргументов ci(f)> ...» cn(i), зависящих от времени, и самого времени t. и представляет собой алгебраическую сумму скоростей отдельных реакций образования и исчезновения i-того вещества в системе.
В настоящей книге в основном рассмотрены системы уравнений первого порядка, содержащие первые производные по времени от исходных функций. Что касается вида правых частей (1), то в зависимости от характера протекающих в системе процессов функции ft(ci, ..., сп, t) могут содержать как линейные, так и нелинейные члены относительно переменных сь ..., сп, t. Большая часть рассматриваемых нами уравнений будет иметь правые части, не зависящие явно от времени: fi(ci, .... сп). Это означает, что рассматриваемые процессы протекают'при постоянных внешних условиях. Уравнения, не содержащие в правых частях членов, явно зависящих от времени, называются автономными.
В 'элементарном' курсе теории открытых систем приводятся различные примеры, конкретизирующие вид системы (1). Так, для реакции превращения вещества Ci в вещество с2 согласно простой схеме
о, . v, о3
5
уравнения примут вид:
=fl(Cl»Ca) = Vi— v2,
(2)
=./a(c1,c2) = t)2—и3>
at
где t»i, »з — скорости притока Ci в систему и оттока из нее вещества с2; и2 — скорость превращения Ci в с2.
Допустим, что в (2) процессы превращения ci->-c2 и оттока с2 — химические реакции первого порядка, т. е. и2,	— линей-
ные функции относительно С\, с2, а скорость Oi притока Ci в систему постоянна.
Тогда (2) имеет простой вид:
— и,— k2clt dt 121’
(3)
rfc2 — k С _ k С
at
где k2, k3 — константы скоростей реакций первого порядка. Независимость от времени параметров ui., k2, k3 соответствует постоянству условий протекания процессов в системе и тем самым определяет ее автономность.
Видно, что система (3) содержит линейные »уравнения. До сравнительно недавнего времени применение в биологии математических моделей вида (1) ограничивалось именно линейными дифференциальными уравнениями, решение которых всегда можно найти в конечном аналитическом виде. Между тем известно, что реальные химические процессы часто включают реакции второго порядка и даже более высокого порядка. Это значит, что в правых частях уравнений (1) могут появиться нелинейные члены, которые значительно ’ обогатят их математические свойства, хотя одновременно существенно усложнят анализ.
Нелинейный характер правых частей не всегда является следствием реакций второго порядка. Он может определяться и другими особенностями системы. Допустим, например, что в системе происходит активация превращения Ci с2 продуктом реакции с2. Это обстоятельство можно учесть, введя зависимость константы скорости k2 от с2 в виде
k2 — ^2^2 >
где k'2— другая константа.
Представляя последнее выражение в (3), мы получим уже нелинейную систему:
6
— v1 k2c2clt
= k2c2c1 k^2.
Важно отметить, что уравнения вида (1) могут применяться для описания не только химических реакций. Так, если речь идет о моделировании биологических сообществ, то под «концентрацией» можно понимать количество клеток микроорганизмов в единице объема или количество особей взаимодействующих организмов и, наконец, содержание питательных веществ в окружающей среде. Модель (1) носит достаточно «общий характер, и важно только, чтобы составленные уравнения правильно отражали характер протекающих процессов, или, иными словами, структура уравнений соответствовала динамической структуре моделируемой системы.
Теперь обратимся к общему вопросу о том, какие же сведения о свойствах биологической системы может дать анализ модели. Казалось бы, самый простой и исчерпывающий ответ на этот вопрос заключается в том, что все необходимые сведения можно получить, решив систему дифференциальных уравнений (1), т. е. иайдя в явном виде зависимость от времени переменных c2(t), .... cn(t). В самом деле, задав некоторые начальные условия Ci0, с2°, ..., с„° при to—0 и зная характер изменения во времени искомых функций, можно предсказать, какие значения примут переменные концентрации сь с2, ..., с„ в системе в любой момент времени t в будущем.
На самом же деле в реальных системах в целом ряде отношений ситуация оказывается значительно сложнее. Реальные биологические системы, такие, как например метаболические процессы в живой клетке, включают в себя огромное количество реакций, в которых участвуют тысячи веществ. Даже отобрав наиболее существенные из них по своей биологической значимости, мы все равно получим полную модель, состоящую из десятков уравнений, в том числе и нелинейных. Нет никакой надежды найти их точные аналитические решения. В данном случае нам мало помогут и мощные вычислительные методы, которые с помощью ЭВМ позволяют получить значение функций Ci(Z), c2(t), ..., cn(t) в любой момент t при заданных значениях параметров системы и начальных условиях. Дело в том, что мощность современных ЭВМ ограничена, и, кроме того, эти вычисления надо каждый раз проводить заново, если параметры системы и начальные условия каким-то образом изменились.
Отсюда следует вывод, что динамические модели типа (1) будут полезны, если имеются:
1) объективные методы существенного упрощения исходной полной системы уравнений;
2) методы анализа дифференциальных уравнений, которые позволяют выявить какие-либо общие важные динамические свой-
7
ства модели, не прибегая к нахождению в явном виде неизвестных функций	, cn(t).
Остановимся вначале на свойствах биологических систем, позволяющих проводить упрощение их математических моделей. Мы уже упоминали об иерархическом принципе строения биологических систем, соответствующем различным уровням их организации. В кинетическом отношении этот принцип находит свое отражение в том, что различные функциональные части биологических систем или их подсистем отличаются друг от друга по характерным скоростям или временам протекающих в ннх процессов. Да,же в пределах отдельной цепи взаимосвязанных реакций всегда имеются стадии, отличающиеся по скоростям.
В биологической системе осуществляется принцип узкого места, согласно которому общая скорость превращения вещества во всей цепи реакций будет определяться наиболее медленной стадией. Итак, если отдельные стадии общего процесса обладают характерными временами Т\, Т2....Тп и наиболее медленная стадия
имеет время Тк, такое, что Tk~^T\,	Tk-\, Tk+\, ..., Тп, то опре-
деляющим звеном будет &-тое, а общее время процесса практически совпадет со значением Тк этого узкого звена.
В то же время быстрые стадии процесса характеризуются высокими скоростями изменения переменных, что можно записать в виде
.....a ю
где ср — быстрая переменная, е<С1 — малый положительный параметр. Появление в правой части множителя —	1 определяет
8 de
большую величину скорости —— ^>0. В последующих главах бу-dt
дут подробно изложены методы выделения быстрых и медленных стадий в системе реакций. Сейчас нам важно отметить, что наличие временной иерархии позволяет существенно упростить исходную модель биологической системы, по существу сведя задачу кинетического описания системы к изучению поведения наиболее медленной стадии. В этом смысле самое медленное звено будет управляющим, поскольку воздействие именно на него, а не на более быстрые стадии может повлиять на скорость протекания всего процесса. Это объективное свойство биологических систем существенно облегчает проблему моделирования. Одновременно облегчается и управление этим процессом в пределах самой биологической системы. В самом деле, регулирование сложного многостадийного процесса легче осуществить путем воздействия на одну его ключевую стадию, например изменением параметров самого медленного участка всей цепи. Это повышает надежность управления сложными многостадийными биологическими процессами и в этом смысле является одним из важных преимуществ биологических систем.
8
Таким образом, хотя биологические процессы и включают большое число промежуточных стадий, их кинетическое поведение регулируется сравнительно небольшим числом отдельных звеньев, а следовательно, их динамическая модель содержит и существенно меньшее число уравнений.
Практика математического моделирования со всей определенностью показывает, что исследование таких упрощенных систем уравнений может дать более точное представление по сравнению с полными моделями об общих динамических свойствах системы, особенно в тех случаях, когда не возникает необходимости нахождения точного решения уравнений, но зато важно предсказать характер поведения системы при изменении условий ее функционирования: В биологических и химических системах это особенно важно, поскольку значения их параметров и начальных условий, как правило, варьируют и обычно не бывают точно заданы, так что чрезвычайно важно установить зависимость поведения системы от значений ее параметров.
Одно из важнейших свойств открытых..био.Л.ОШческих_.систей1 — установление'в нцх стационарных.состояний в отличие..оттермо-динамйче'ского равновесия, свойственного изолированным системам. В связи с этим, рассматривая общие динамические характеристики и поведение биологической системы и соответствующей кинетической модели, мы будем иметь в виду свойства ее стационарных состояний. А именно нас будут интересовать следующие вопросы: существуют ли в системе стационарные состояния, сколько их, какова их устойчивость, как зависит устойчивость от параметров системы, как ведет себя система вблизи стационарных состояний, возможны ли между ними переходы?
Рассмотрением этих задач занимается качественная теория дифференциальных уравнений, которая и позволяет, не решая самих уравнений, исследовать указанные закономерности поведения системы по виду правых частей уравнений (1): /i(ci, £2, ... ..., сп, t), ..., fn(ci, ..., сп, t). Изложение качественной теории систем дифференциальных уравнений приводится дальше. Сейчас мы только отметим, что для выполнения поставленной задачи: описать свойства стационарных состояний системы, не прибегая к поискам решений ..., cn(t), необходимо каким-то образом исключить из непосредственного рассмотрения фактор времени. В самом деле, по определению в стационарном состоянии все производные по времени переменных .... cn(t) в левых частях (1) обращаются в нуль:
^-=0, i=l,2, ...,п.	(5)
dt
Отсюда, приравнивая нулю правые части (1), получим систему алгебраических уравнений:
/1(ё1,са....ё„)	= 0,
9
... ,cn) = 0,	(6)
fn (Cl, C2, ... , c„) = 0.
Постоянные значения, которые принимают переменные ci(0, ..., cn(t) при достижении системой стациоиариого состояния, суть
^2> • • • > Сп-
Обратим внимание на то, что быстрые переменные в отличие от медленных практически все время пребывают около своих стационарных значений. Это легко видеть из уравнения (4) для быстрой переменной ср. В самом деле, перенося е>0 в левую часть, получим
(7) at
В пределе при е 0
fp(Ci, С2, ..., сп)=0,	(8)
что совпадает с алгебраическим уравнением для определения стационарных значений ср. Это означает, что в случае расслоения системы на быстрые и медленные переменные изменением быстрых переменных можно пренебречь, считая их постоянными величинами, а все внимание сосредоточить на изменении медленных переменных, определяющих узкие места системы. Отсюда также следует, что если добавить к системе, содержащей медленные реакции, некоторое число «быстрых» звеньев, то ее общее кинети; ческое поведение от этого не изменится.
Основной подход качественной теории дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы характеризовать состояние системы в целом значениями переменных ci, с2, .... сп, которые они принимают в каждый момент времени в процессе изменения в соответствии с (1). Если мы отложим на осях прямоугольных координат в n-мерном пространстве значения переменных Ci, с2, ..., сп, то состояние системы будет описываться некой точкой М в этом пространстве с координатами
М—М (ci, с2, ..., сп).
В стационарном состоянии точка Л? с координатами {ci, с2, ..., сп} носит название стационарной, или, как говорят, точки равновесия или точки покоя системы (не путать с состоянием термодинамического равновесия). Изменение состояния системы сопоставляется с изменением положения точки М в n-мерном пространстве.
Пространство с координатами сь с2, ..., с„ называется фазовым, кривая, описываемая в нем точкой М — фазовой траекторией, а сама система (1) — динамической системой. Как мы увидим в дальнейшем, изучение поведения системы в таком фазо
10
вом пространстве дает возможность описать общие свойства ста’ ционарных состояний системы и переходов между ними.
До сих пор наше рассмотрение динамических систем было ограничено так называемыми системами идеального перемешивания, или точечными системами. Это означает, что мы имели в виду систему, во всех точках которой значения концентраций каждого вещества равны в каждый момент времени. При этом мы не учитывали тот факт, что в разных точках биологической системы концентрации веществ, вообще говоря, могут иметь различные значения, т. е. пренебрегали пространственной организацией биологических систем.
Построение точечной модели является необходимым этапом при построении модели любой системы, так как для описания системы в целом, естественно, надо представлять себе поведение ее частей. Однако связи, существующие между отдельными точками, или «компартментами» пространства, например диффузионные потоки различных веществ, могут приводить к тому, что система в целом — совокупность таких компартментов (ткань — совокупность клеток) — приобретает качественно новые свойства. Напомним, что высокая степень организации-биологических процессов, их специфичность обеспечиваются именно за счет разделения этих процессов не только во времени, но и в пространстве.
Представим себе ситуацию, когда одновременно с химической реакцией проходящей на каком-то участке системы, реагенты диффундируют, переходя к другому. участку. Тогда скорость изменения концентраций в элементарном объеме системы будет определяться не только появлением или исчезновением в нем веществ С\, С2....сп в силу реакций (1), но и в результате диф-
фузионных процессов переноса вещества через границы этого элементарного объема. Очевидно, теперь скорость изменения концентрации вещества с, в системе зависит не только от химических процессов (1), но и от процессов переноса.
Кинетические уравнения, учитывающие диффузионную связь между отдельными участками пространства в системе, имеют следующий вид:
= А (С1, сг, • • • - cj -г Dc 4т О’ = 1,2.и),	(9)
at -	' дгг
где Di — коэффициент диффузии вещества, с, — концентрации вещества, г — пространственная координата. В данном случае предполагается, что пространство, в котором происходит реакция, одномерно, а диффузия совершается вдоль оси пространственной координаты г. Видно, что скорость изменения с,- во времени складывается из скорости изменения в результате химических реакций и скорости изменения концентрации за счет диффузии.
Известно, что в линейной физической системе процессы переноса — диффузия — приводят к выравниванию концентраций веществ во всем объеме. Однако мы уже подчеркивали, что все биологические системы являются неравновесными, а протекающие
11
в них процессы — необратимыми процессами. Именно это обстоятельство позволяет живым системам использовать потоки вещества и энергии для построения и поддержания структурной и функциональной упорядоченности. Соответственно и математические модели биологических систем должны быть существенно нелинейными моделями. Математическое описание нелинейных распределенных систем представляет значительные трудности. Только в последние полтора-два десятка лет, а наиболее интенсивно в последние годы стало возможным развитие этого направления в математическом моделировании, поскольку расчет распределенных систем требует мощных ЭВМ и изощренных аналитических методов. При этом особенно полезными оказыв.аются методы качественного анализа фазовой плоскости точечной системы и методы малого параметра, позволяющие учесть иерархию времен протекающих в системе процессов.
От математических моделей распределенных биологических систем в настоящее время трудно ожидать точного воспроизведения и- количественного предсказания природных феноменов. В последние годы разработаны и интенсивно исследуются «базовые» модели таких сложных биологических явлений, как нервные сети, дифференцирующие клетки, механохимические органы движения, явления миграции в экологических системах и др. Основное требование, предъявляемое к таким базовым моделям, — возможность предсказания качественного поведения системы: существование бегущего нервного импульса в нервном воЛокне, возникновение при некоторых условиях автономных источников волн в сердечной мышце, приводящее к аритмиям и фибрилляциям; возникновение волн депрессии в головном мозге; существование неустойчивостей, приводящих к установлению неоднородных в пространстве стационарных режимов функционирования в отдельных клетках дифференцирующей ткани и проч.
В заключение необходимо сделать еще одно замечание, касающееся статистической достоверности кинетических моделей.
Дело в том, что проверка справедливости этих моделей основана на определении средних значений концентраций изменяющихся компонентов. Между тем эти изменения средних значений могут быть обусловлены не только динамикой рассматриваемых в соответствии с моделью (1) реакций, но и целым рядом непредусмотренных случайных факторов. Конечно, когда число реагирующих молекул достаточно велико, флуктуационными отклонениями величин от средних можно пренебречь. В этом случае обычные усредненные, или детерминистские, кинетические модели вполне пригоды для описания кинетики. Однако при небольшом числе молекул роль случайных факторов, влияющих на -их среднее число, может возрасти так, что возникает необходимость построения стохастической модели. В такой стохастической модели в каждый данный момент времени существует не единственное значение переменной ci (Л), предусмотренное детерминистской моделью, а некоторое распределение вероятностей этих значений.
12
Следовательно, состояние системы в момент tit определяемое набором значений переменных С1(Л),	cn(t\), также зависит от
случайных процессов и характеризуется распределением вероятностей положения точки All в фазовом пространстве около среднего значения ее координат:
Существует область математического моделирования, специально занимающаяся изучением случайных процессов в биологических системах, где характеристики состояний системы описываются случайными функциями времени. В общем случае рассматривается ситуация, в которой начальные условия, параметры системы и сами процессы описываются случайными функциями времени в силу воздействия на элементы системы случайных возмущений.
С помощью математических моделей здесь решается задача: найти распределение вероятностей для набора значений переменных С], с2, ..., сп, характеризующих состояние системы, если известно распределение вероятностей для параметров, начальных условий н возмущений в системе.
В нашем учебнике мы не будем специально рассматривать вопросы теории статистического моделирования, а ограничимся разбором вероятностного описания переноса электрона в мульти-ферментном комплексе (гл. III) и некоторыми вопросами стохастического рассмотрения популяций (гл. IV).
ГЛАВА I
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 1. МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ОДНИМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. УСТОЙЧИВОСТЬ. МЕТОД ЛЯПУНОВА
В настоящей главе систематически изложим методы изучения нелинейных дифференциальных уравнений, используемых для описания поведения биологических систем. Особое внимание будет обращено на вопросы качественного исследования свойств решений дифференциальных уравнений, что особенно важно для анализа общего характера поведения моделируемых объектов. Начнем с рассмотрения систем первого порядка, т. е. математических моделей, которым соответствует одно дифференциальное уравнение первого порядка
Л у
(1.1-1) at
Состояние таких систем в каждый момент времени характеризуется одной-единственной величиной — значением некой переменной х в данный момент времени t.
Общая теория, которую мы будем излагать, имеет конечной целью установить зависимость координаты системы (значения переменной величины х) от времени, т. е. вида функции x(t). Однако существенную роль будет также играть установление картины в одномерном фазовом пространстве — на фазовой прямой (рис. 1.1).
Рассмотрим плоскость t, х. Решениями нашего уравнения (1.1—1) х(1) являются кривые на плоскости t, х, называемые интегральными кривыми (рис. 1.2). Пусть даны начальные условия х=х0 при t=t0 или, иначе, пусть на плоскости t, х дана точка с координатами (t0, Хо). Если для уравнения (1.1—1) выполнены условия теоремы Коши, то имеется единственное решение уравнения (1.1—1), удовлетворяющее этим начальным условиям, и через точку (t0, xq) проходит одна-единственная интегральная кривая x(t). Таким образом, интегральные кривые уравнения (1.1—1) не могут пересекаться, и потому решения уравнения (1.1—1) не будут периодическими, так как они монотонны. Это означает, что нельзя при помощи одного автономного уравнения вида (1.1—1) описать реальные периодические процессы, которые играют большую роль в биологии.
Поведение интегральных кривых на плоскости t, х можно установить, не решая в явном виде дифференциального уравнения (1.1—1), если известен характер движений изображающей точки 14
Рис. _1.1. Интегральные кривые t, х; хь х2,..., хя — решения уравнения Дх)-0
Изображающая точка -о—о----------о--------------»
/ В	Х=Х	X
Рис. 1.2. Фазовая прямая
Рис. 1.3. Вспомогательная плоскость х, f(x) для уравнения (1.1—1)
Рис. 1.4. Зависимость переменной х от времени t для уравнения (1.1—1)
на фазовой прямой (рис. 1.3). Действительно, рассмотрим плос-’ кость t, х, причем фазовую прямую совместим с осью х. Пусть изображающая точка двигается по фазовой прямой х. Построим на плоскости t, х точку с абсциссой t и с ординатой, равной смещению изображающей точки по оси х в данный момент времени t. Поскольку абсцисса и ордината точки t, х меняются, точка будет перемещаться на плоскости t, х, описывая некую кривую. Эта кривая и будет интегральной кривой нашего уравнения (рис. 1.4).
Во введении мы говорили о том, как важно определить, являются ли состояния равновесия (особые точки системы) устойчивыми или неустойчивыми стационарными решениями этой сис-
темы.
Рассмотрим критерии устойчивости состояний равновесия.
Пусть рассматриваемая система находится в состоянии равнове
сия. Тогда по определению = 0. Если dt
теперь мы выведем
систему из состояния равновесия, то система будет себя вести
15
в соответствии с уравнением (1.1—1), описывающим ее поведение в области, где уже в отличие от состояния равновесия dxfdt=/=Q.
Устойчивое состояние равновесия можно охарактеризовать следующим образом: если при достаточно малом начальном отклонении от положения равновесия система .никогда не уйдет далеко от особой точки, то особая точка будет устойчивым состоянием равновесия, что соответствует устойчивому стационарному режиму функционирования системы. Часто это же условие формулируют так: состояние равновесия устойчиво, если достаточно малое возмущение всегда останется малым.
Строгое математическое определение устойчивости состояния равновесия для рассматриваемого нами случая, когда система , ,	dx
описывается одним дифференциальным уравнением вида --------=
dt = f(x), выглядит следующим образом.
Состояние равновесия х=х устойчиво по Ляпунову, если, задав сколь угодно м^лое положительное е, всегда можно найти такое б; что
|x(Q— х|<е для t0^.t< + oo	(1.1—2)
если |х(/о)—х|<б. Иначе говоря, для устойчивого состояния равновесия справедливо утверждение: если в момент времени t0 отклонение от состояния равновесия мало (|х(^о)~х| <б), то в любой последующий момент времени i>t0 отклонение решения системы от состояния равновесия будет также мало (|х(/)—х| <е).
Посмотрим теперь, как можно определить, устойчиво или неустойчиво состояние равновесия исследуемой системы. Ляпунов дал аналитический метод исследования устойчивости состояния равновесия, который мы кратко изложим. Пусть наша система отклонилась от точки равновесия х и перешла в соседнюю с ней точку х. Положим х=х+1, где g — малое отклонение от состояния равновесия, такое, что -=-<^1. По нашему предположению, f(x) — аналитическая функция. Перейдем от переменной х к переменной g в уравнении (1.1—1), подставив туда x=x+g. Получим
о-1-3)
at at
Стоящую в правой части этого уравнения функцию f(x+g) разложим в ряд Тейлора в точке х:
-f-=/ W+/' w I+^- f W +....
Так как f(x)=O, то уравнение (1.1—3) примет вид
-5-=n1g + a2gs4-a3g8+...,'	(1.1-4)
at
16
где
ai = /'(x), а2 =f (х) и т. д.
Отбросим в уравнении (1.1—4) нелинейные члены как величины; более высокого порядка малости. Мы получим тогда линейное-уравнение:
'	(1.1-5).
Си .
которое носит название линеаризованного уравнения или уравне-ния первого приближения. Интеграл этого уравнения для £(/) находится сразу:
l(t)=ceu, где A = a,=f'(x).
Если %<0, то при >оо £->0, а следовательно, первоначальное отклонение £ от равновесия со временем затухает. Таким образом,., стационарное решение х=х уравнения (1.1—1) устойчиво по Ляпунову. Если Х>0, то при t-*-oo g->oo и исходное состояние равновесия неустойчиво. Если 1=0, то уравнение первого приближения, вообще говоря, не может дать ответа на вопрос об устойчивости исходной системы. Таким образом, метод Ляпунова позволяет по знаку производной f(x) правой части исходного уравнения получить правильный ответ на вопрос об устойчивости его-точек равновесия.
Аналогичные рассуждения будут полезны при рассмотрении более сложных динамических систем. В случае одного уравнения-, нетрудно, исследуя непосредственно характер функции /(х)-Вбли-зи состояния равновесия х=х, однозначным образом решить вопрос об устойчивости состояния равновесия.
По определению в особой точке функции f(x)
обращается в нуль. Здесь возможны три различных случая-(рис. 1.5, а—в).	<
1. Вблизи состояния равновесия х=х f(x) меняет знак с плюса на минус при возрастании х (см. рис. 1.5,а).
Такое изменение знака f(x) в точке х=х означает, что при х<х скорость изменения =f(x) положительна. При этом х dt
увеличивается, т. е. стремится к х. При х>х -^- = /(х)<0». dt
т. е. х уменьшается и опять стремится к х. Отсюда следует, что-изображающая точка, находящаяся в достаточной близости от состояния равновесия х=х, будет асимптотически к нему приближаться при возрастании t. Ясно, что в этом случае состояние равновесия устойчиво по Ляпунову.
17"
Рис. 1.5. Характер устойчивости особой точки в зависимости от знака функции fz'(x): а — устойчивая особая точка, б, в — неустойчивые точки
2. f(x) меняет знак вблизи состояния равновесия х=х с минуса на цлюс при возрастании х (см. рис. 1.5, б). Проводя аналогичные рассуждения, легко увидеть, что изображающая точка, помещенная в достаточной близости к состоянию равновесия, будет удаляться от него. Отсюда следует, что в этом случае состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову.
3. f(x) не меняет знака вблизи состояния равновесия при возрастании х (рис. 1.5, в). Это значит, что изображающая точка, помещенная достаточно близко к положению равновесия с одной стороны, будет приближаться к нему, помещенная с другой — удаляться. Ясно, что состояние равновесия является неустойчивым по Ляпунову.
Для рассматриваемого случая критерий устойчивости можно сформулировать еще более кратко. Перенесем начало координат в точку х = х. Тогда для устойчивости стационарного состояния х необходимо, чтобы х и f(x) по обе стороны от положения равновесия были разных знаков. Когда же f(x)=-^~ и х одного знака, то рассматриваемое состояние равновесия неустойчиво.
Примером модели, состоящей из одного дифференциального уравнения, может -служить известное уравнение логистической кривой — уравнение скорости роста популяции в ограниченной по своим ресурсам среде, в которой обеспечен лишь определенный максимум плотности популяции.
Логистическое уравнение Ферхюльста имеет вид
= <ы-6> III	д
Здесь N — число особей в момент времени t\ г — константа рос-та; К — максимальная численность популяции, возможная в данных условиях. График логистической кривой представлен на рис. 1.6.
18
Кривая, описываемая этим уравнением, вначале (при	совпадает с
простой экспоненциальной кривой, наклон которой равномерно увеличивается до некоторого максимального значения (точка перегиба), после которого наклон постепенно уменьшается и кривая приближается к верхней асимптоте N=K — уровню, максимально достижимому популяцией в данных условиях.
Запишем уравнение .для численности популяции в стандартном виде, переобозначив тождественно N=x. Тогда в нием (1.1—1) мы будем иметь
Рис. 1.6. Логистическая
кривая
соответствии с уравне-
^- = /(х) = гх-^ at	л
(1.1-7).
Легко видеть, что уравнение стационарных состояний f(x)=0 в данном случае имеет два корня:
xi=0;	(1.1—8)
х2 = К	(1-1-9)
Посмотрим, являются ли эти корни устойчивыми. Для этого вначале воспользуемся аналитическим методом Ляпунова. Введем новую переменную |, обозначающую отклонение переменной х от ее-стационарного значения:
g=x—х.
Запишем линеаризованное уравнение вида (1.1—5) для уравнения (1-1-7):
—— = а£, dt
где а = f (х)
Напомним, что знак величины а(х,) определяет устойчивость соответствующей ОСОбоЙ ТОЧКИ Xi
/'(*)
_ =г х=х
2гх
(1.1-10)
Подставив в выражение (1.1—10) значение первого корня xi=0, получим a(xi)=r. Эта величина всегда положительна, так как по определению коэффициент естественной скорости роста популяции г — величина положительная. Следовательно, xi=0 — неустойчивая особая точка. Если же мы подставим в выражение (1.1—10) х2 = К, то получим а(х2) =—г — отрицательную величину. Это дает нам право утверждать, что решение уравнения (1.1—7) х2 = К является устойчивым и соответствует устойчивому стационарному режиму (1.1—7) существования популяции в ограниченной среде.
19.
f(x)
л
Рис. 1.7. График функции f(x) для уравнения (1.1—7)
Рис. 1.8. Зависимость стационарной _ концентрации клеток с от параметра а для уравнения (1.1—11)
Проведем теперь исследование устойчивости стационарных решений этого уравнения исходя из графика функции f(x).
На рис. 1.7 видно, что (при переходе от отрицательных к положительным значениям х) в точке Xi—О функция f(x) меняет знак с минуса на плюс, т. е. особая точка являедся неустойчивой. Наоборот, в точке Хг = К имеет место изменение знака f(x) с ростом х с плюса на минус, следовательно, эта особая точка устойчивая.
Рассмотрим еще один пример — упрощенную модель проточного культиватора, в котором происходят размножение бактериальных клеток, их гибель и, кроме того, имеет место приток клеток извне в культиватор с постоянной скоростью. Пусть Скорость гибели клеток пропорциональна их концентрации, а скорость размножения — квадрату концентрации клеток (в двуполой культуре при малых концентрациях клеток скорость размножения пропорциональна вероятности встречи двух клеток разного пола). Тогда дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентрации живых клеток в такой системе, будет иметь вид
=а— 6с + ус2 = /(с, а).	(1.1-11)
Здесь а — скорость притока, у, b — коэффициенты размножения и гибели клеток соответственно. Для простоты положим у = 1.
Рассмотрим характеристики стационарных состояний такой системы в зависимости от величины скорости притока а. Стационарные значения клеточных концентраций найдутся из уравнения f(c, а) =0. Их два:
20
(1-1-12)
По смыслу стационарные концентрации ci, с2 должны быть дей-. ь* ствительными числами, отсюда видно, что при а >------- стацио-
4
парное состояние не может быть достигнуто в системе. При Р
а = —— имеется лишь одно стационарное состояние:
- - ь
С, — ^2 — ~~ »
1	2	2
. Ь2 а при а < —
в системе возможны два стационарных режима:
- . ч b , С1.2 (а) = — ±
62
4
(1.1-13)
Это соответствует двум ветвям кривой стационарных значений с на графике, по оси абсцисс которого отложены значения скорости притока а (рис. 1.8). Ветви стационарных состояний ci (а) и С2 (а) отличаются друг от друга по характеру устойчивости. Производная правой части (1.1—11) для ветви ci(a) равна
/ Л2
Гс (с„ а) = 2 у —---------а > О,
а для ветви с2(а) равна —	Г h*
f'c(c2, <х) = — 2 1/ —------а < 0.
г 4
Отсюда следует, что все значения ci(a) являются неустойчивыми, а с2(а) — устойчивыми стационарными концентрациями.
..	. Ь2
Итак, при a >----- стационарных решении в положительном
4 ft2 . -
квадранте нет, при а=-------в этой области имеется одно стапио-
4
- b нарное состояние, с=— на границе устойчивости наконец, при
. ь2
а<----- в системе имеются два стационарных состояния, при-
4
чем одно из них устойчивое, другое — неустойчивое. Вообще говоря, в любой системе вида
dx dt

(1.1-14)
21
где а — параметр, при изменении значения а интегральные кривые будут так или иначе меняться. Однако при непрерывном изменении а общий вид кривых претерпевает лишь количественные изменения. Только при некоторых особых, бифуркационных значениях параметра а получаются качественные изменения характера интегральных кривых, т. е. изменение числа особых точек и характера их устойчивости. Именно таким бифуркационным значением параметра и является а= . Прочие значения называются обыкновенными. Понятия бифуркационных и обыкновенных значений параметра можно сформулировать более строго. Значение параметра а = ао является обыкновенным, если существует такое положительное е>0, что для всех а, таких, что |а—ао|<е, имеет место одна и та же топологическая структура разбиения фазового пространства на интегральные кривые. Другие значения, для которых это условие не соблюдается, называют бифуркационными.
График, построенный в координатах (а, х) для .уравнения
называется бифуркационной диаграммой (см. рис. 1.8). Такая диаграмма наглядно иллюстрирует зависимость положений равновесий системы от параметра а.
Как было показано выше, характер устойчивости стационарной точки х уравнения (1.1—14) можно выяснить, определив в этой точке знак производной Д'(х, а).
Стационарные значения х = х находятся из уравнения f(x, а) = = 0. В зависимости от вида функции f(x, а) это уравнение может иметь один или несколько корней при одном и том же значении параметра а. Так, если f(x, а) — полином х степени больше единицы, кривая х—х(а) будет иметь такой вид, что одному а будут соответствовать несколько стационарных состояний х. На рнс. 1.9 изображена кривая стационарных состояний х(а), для которой при а = а0 существуют три стационарных режима (а, Ь, с). Найдя знак производной //(х, а) для каждой из точек (а, Ь, с), можно определить, какие из них соответствуют устойчивым стационарным состояниям.
На рис. 1.9 приведен случай, когда
f 'x (хв, а) < 0, f'x (хь, а) > 0, Д (хе, а) < 0.
Это означает, что а, с — устойчивые, а b — неустойчивое состояние. Дуги кривой АВ и DC представляют собой ветви устойчивых, а ВС — ветвь неустойчивых стационарных состояний. Бифуркационные значения параметра а, при которых изменяется число стационарных состояний с одновременным изменением типа устойчивости, на рисунке обозначены а' и а".
22
Наличие нескольких возможных стационарных состояний в системе при одних и тех же значениях параметров, или множественность стационарных состояний, представляет собой одно из наиболее важных свойств биологических систем. Существование в системе двух или нескольких устойчивых стационарных состояний обусловливает способность системы к переключениям и к проявлению так называемых триггерных свойств, на чем мы остановимся в дальнейшем. Пока ограничимся тем, что разберем на графике рис. 1.9, как наличие нескольких возможных стационарных состояний сказывается на поведении
правой части уравнения (1.1—14) от параметра а
системы.
Допустим, что при значении параметра а = ао система находится в особой точке верхней устойчивой ветви АВ. Пусть каким-то образом (независимо от процессов, описываемых дифференциальным уравнением 1.1—14) происходит уменьшение величины а. При этом система будет последовательно проходить через ряд стационарных состояний, двигаясь вдоль ветви АВ. В точке В, соответствующей «стыку» устойчивой (АВ) и неустойчивой (ВС) ветвей, произойдет скачкообразный переход на нижнюю устойчивую ветвь DC.
Увеличивая вновь значение параметра а, можно таким же образом заставить систему перейти вдоль устойчивой ветви DC до бифуркационной точки С, после чего скачкообразно вернуть ее на исходную ветвь СВ. Таким образом, осуществляется замкнутый гистерезисный цикл (ABDCA), в котором в процессе изменения параметра система проходит ряд стационарных состояний, отличающихся друг от друга при одн^х и тех же значениях а в зависимости от направления движения. Направление скачкообразных переходов зависит от того, происходит уменьшение или увеличение параметра а при приближении ' к бифуркационной точке.
§ 2. МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ СИСТЕМЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
В предыдущей главе мы познакомились с методами исследования математических моделей, представляемых одним дифференциальным уравнением первого порядка. Теперь мы рассмотрим основы теории систем, описываемых двумя уравнениями первого порядка.
Такие системы уравнений могут описывать гораздо более широкий класс биологических явлений, чем одно уравнение первого
23
порядка. В частности, в таких системах возможны автоколебания т. е. периодические изменения переменных с постоянной амплитудой. Напомним, что решения одного уравнения вида
at
всегда являются монотонными, следовательно, не могут описывать какой бы то ни было реальный периодический процесс. Обладая достаточно богатыми свойствами, системы второго порядка в та же время допускают наглядное представление поведения переменных на фазовой плоскости. Исследование систем более высокого порядка, как правило, настолько сложное, что приходится решать их численно при помощи ЭВМ; общность и наглядность при этом, естественно, теряются. Однако динамические системы третьего и более высокого порядка могут обладать качественно иными свойствами, например демонстрировать квазистохастическое поведение.
Прн исследовании свойства моделей, состоящих из двух дифференциальных уравнений, используются методы качественной теории, существенно базирующиеся на представлении о фазовом портрете системы. В этой и последующих главах мы остановимся на некоторых общих свойствах систем второго порядка, описываемых в общем виде уравнениями:
(1.2-1)
Здесь Р(х, у), Q(x, у) — непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (х, у — декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.
Область G может быть как неограниченной, так и ограниченной. В случае, когда переменные величины х, у имеют конкретный биологический смысл (концентрации веществ, численность вида), на них, как правило, накладываются некоторые ограничения, прежде всего биологические переменные не могут быть отрицательными. Так, в модели Вольтерра, описывающей взаимодействие двух видов: хищника и жертвы, х^О — переменная, характеризующая численность жертвы, а у^О — хищника. Область G представляет собой положительный квадрат правой полуплоскости:
0^х<оо; 0^z/<oo.
Часто численность того или иного вида бывает ограничена сверху какими-нибудь внешними по отношению к рассматривае-24
мой системе условиями, например площадью ареала обитания: 0<х<х0; OsCysCУо-
Иногда бывает, что значения переменных (численность вида) не могут упасть ниже определенной величины. В этом случае область изменения переменных ограничена не только сверху, но и снизу:
Ую^У^Уго-
То же имеет место в химической кинетике. Так, если х и у — концентрации реагирующих веществ, то
где Хо> Уо — максимально возможные концентрации реагентов. Таким образом, в данном случае область G является ограниченной.
В процессе изменения во времени переменные х, у изменяются согласно системе уравнений (1.2—1) так, что каждому состоянию системы соответствует определенная пара значений неизвестных х, у.
Обратно, каждая пара значений (х, у) описывает определенное состояние системы. Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных х, у. Каждая точка М этой плоскости с координатами (х, у) соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость носит название фазовой плоскости, или плоскости состояний системы, и изображает совокупность всех состояний системы. Точка М(х, у) называется изображающей, или представляющей точкой. Пусть при t = t0 координаты изображающей точки Af0(x0, у0). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет смещаться и принимать положение Л1(х, у), соответствующее значениям x(t), y(t). Совокупность всех точек М(х, у) на фазовой плоскости (х, у), положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения согласно уравнениям (1.2—1), называется фазовой траекторией.
Допустим, что нам не известен характер изменений переменных в системе, но известен характер фазовых траекторий. Фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый «портрет» системы, т. е. возможность сразу охватить всю совокупность изменений переменных х, у, могущих возникнуть при всевозможных начальных условиях. Часто не решая систему уравнений вида (1.2—1) и руководствуясь только видом уравнений, можно построить фазовый портрет системы. Этот путь позволяет сделать выводы о характере движения без знания аналитических выражений исходной системы уравнений и, следовательно, применим и в тех случаях, когда такие аналитические выражения не могут быть найдены.
25
Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке плоскости х, у. Задавая приращение ДГ>0, мы получим для х и у соответственно приращения Дх и Ду, которые найдем из общей системы (1.2—1):
Дх=Р(х, у)Д/,
(1-2—2) Ay=Q(x, у)Ы.
Очевидно, что при Д/>0 в зависимости от знаков Р(х, у) и Q(x, у) приращения Дх и Ду могут быть как положительными, так и отрицательными. Направление вектора в точке (х, у) зависит от знаков функций Р(х, у) и Q(x, у) в этой же точке и может быть задано такой таблицей:
Р(х,у) •> О , Q(x ,у) о
Р(х, У)< 0 , d(x,y)^Q
Р(х,у)?0, (Цх,у) + О
Р(х, У) \0 } Q (х,у) >0
х
Определив таким образом направление траекторий в каждой точке фазовой плоскости, будем иметь полный фазовый портрет системы. Задача построения векторного поля несколько упрощается, если получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде.
Вспомним, что фазовая траектория имеет касательные к траекториям, тангенс угла наклона которых в каждой точке М(х, у) равен значению производной в этой же точке -^-(х, у). Следовательно, чтобы провести фазовую траекторию через точку фазовой плоскости Mi (xi, У1), достаточно знать направление каса-
26
тельной
dy dx
У~У\
в этой точке плоскости или значение производной Для этого необходимо получить уравнение, содержа-
щее переменные х и у и не содержащее времени t в явном виде. Чтобы из исходной системы уравнений
^=P(x,yy,-^-=Q(x^) at	at
получить уравнение, связывающее непосредственно х и у, и таким образом, не интегрируя уравнений, перейти к картине на фазовой плоскости, разделим второе уравнение системы на первое. Получим дифференциальное уравнение
dy _ Q(x, у) dx Р(х, у)
(1.2-3)
которое во многих случаях более простое, чем исходная система второго порядка (1.2—1). Решение этого уравнения у=у(х, с), или в неявной форме F(x, у)=с, где с'— постоянная интегрирования даст нам семейство интегральных кривых — фазовых траекторий системы (1.2—3) на'плоскости.х, у.
Однако часто построение полного фазового портрета системы представляет собой достаточно трудную задачу, так как в общем случае уравнение (1.2—3) может и не иметь аналитического решения. Тогда построение интегральных кривых производится качественно.
Для качественного построения фазового портрета системы обычно пользуются методом изоклин. Метод заключается в том, что на фазовой плоскости наносятся линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом. Рассматривая ряд изоклин, можно установить, каков будет ход самих интегральных кривых.
Уравнение изоклин легко получить из уравнения (1.2—3). Положим	,
dx
(1.2-4)
где А — определенная постоянная величина. Значение А представляет собой тангенс угла наклона касательной к фазовой тра-
ектории и, следовательно, может принимать значения от —оо до + оо. Подставляя в (1.2—3) вместо величину Af получим
уравнение изоклин:
д ОС*. У)
Р(х, у)
(1.2-5)
Давая А определенные численные значения, получаем набор кривых. В любой точке каждой из этих кривых угол наклона касательной к фазовой траектории, проходящей через эту тбчку, ра
27
вен одной и той же величине, а именно величине А, характеризующей данную изоклину.
Отметим, что в случае линейных систем, правые части которых Р(х, У), Q(x, у) представляют собой линейные относительно х, у формы, изоклины представляют собой пучок прямых, проходящих через начало координат. Так, если изучаемая нами система описывается линейными однородными уравнениями вида:
dx	. l
— = ах + by, at
(1-2—b>
= ex + dy, dt
уравнение изоклин можно записать в следующем виде:
= A или у= (Ла~с)*. .
ах + by	d— Ab
(1-2-7)
Уравнение (1.2—3) непосредственно определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой, за исключением точки, где Р(х, у)—О, Q(x, 3)—®' в которой направление касательной Становится неоп-
ределенным, так как при этом становится неопределенным значение производной
dy __ .. Q(x, у) dx Ху1-У р(х< У)
(1.2-8)
Эта точка является точкой пересечения всех изоклин.
Точки, в которых направление касательных к интегральным кривым неопределенно, носят название особых точек. Особая точка обладает тем важным свойством, что в ней одновременно обращаются в нуль производные по времени переменных х и у.
(1-2-9)
4-1-- =Q(^.y) = o. dt I*. у
Таким образом; в особой' точке -скорости изменения переменных равны нулю, и, следовательно, особая точка дифференциального уравнения фазовых траекторий (1.2—3) соответствует стационарному состоянию системы (1.2—1), а ее координаты суть стационарные значения переменных х, у.
Для качественного изучения часто можно ограничиться построением не всех, а лишь некоторых изоклин на фазовой плоскости. Особый интерес представляют так называемые «главные» нзо-
28
клины: -^- = 0— изоклина горизонтальных касательных к фазо-dx
вым траекториям, уравнение которой
Q(x, у)=0, dy	.
и изоклина вертикальных касательных =оо, которой соответствует уравнение Р(х, у)=0.
Построив главные изоклины и найдя точку их пересечения (х, у), координаты которой удовлетворяют условиям:
Р(х, у)=0, Q(x, у)=0, мы определим тем самым точку пересечения всех изоклин разовой плоскости, в которой направление касательных к фазовым, траекториям неопределенно:
dy I = Q(x, у) = q dx у Р(х,~у)
(1.2—10)*
Эта, как уже говорилось, особая точка и соответствует стационарному состоянию системы.
Система уравнений (1.2—1) обладает столькими стационарными состояниями, сколько точек пересечения главных изоклин имеется на фазовой плоскости.
Каждая фазовая траектория соответствует совокупности движений динамической системы, проходящих через одни и те же состояния и отличающихся друг от друга лишь началом отсчета времени. Таким образом, рассматривая фазовый портрет системы, т. е. решая графически уравнение интегральных кривых (1.2—3), мы тем самым изучаем проекцию интегральной кривой в пространстве всех трех измерений х,. у, t системы (1.2—1) на плоскость х, у (рнс. 1.10).
Если условия теоремы Коши для системы уравнений (1.2—1) выполнены, то через каждую точку пространства », у, t проходит единственная интегральная кривая этой системы уравнений, т. е. интегральные кривые в пространстве х, у, t пересекаться не могут. То же самое благодаря автономности уравнений (1.2—1) можно сказать и о фазовых траекториях: они также не могут пересекаться, так как через каждую точку фазовой плоскости проходит единственная фазовая траектория.
В силу указанного свойства фазовых траекторий изображающая точка, двигаясь по другим фазовым траекториям, не может прийти в состояние равновесия ни при каком конечном t. Установление состояний равновесия в динамических системах, описываемых уравнениями (1.3—1), происходит только асимптотически (только при /->оо).
В предыдущей главе мы дали определение устойчивости ста« ционарного решения одного уравнения. В рассматриваемом здесь случае системы двух уравнений удобно дать определение устойчи-
29-
Рис.	1.10.	Траектория системы
(1.1—1) в пространстве х, у, t
Рис. 1.11. Иллюстрация к определению устойчивости. Области е и 6 на плоскости х, у.
вости стационарного состояния, используя для этого уже введенное нами представление о фазовой плоскости.
Пусть рассматриваемая система находится в состоянии равновесия. Тогда изображающая точка на фазовой плоскости находится в неподвижности в одной из особых точек системы, так как в этих точках по определению
J£ = O; -^-=0. dt	dt
Если теперь мы выведем систему из состояния равновесия, то изображающая точка сместится из особой точки и начнет двигаться по фазовой плоскости в соответствии с уравнениями ее движения:
^-=₽(Х.9);
Устойчива или нет рассматриваемая нами особая точка системы определится тем, уйдет или нет изображающая точка из некоторой данной области, окружающей особую точку, причем эта область может быть большей или меньшей в зависимости от условий задачи. Применительно к системе двух уравнений определение устойчивости на языке е, S выглядит следующим образом.
Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области допустимых отклонений от состояния равновесия (область «) мы можем указать область S(e), окружающую это состояние
• .30
равновесия и обладающую тем свойством, что ии одна траектория изображающей точки, начинающаяся внутри 6, никогда не достигнет границы области е. Наоборот, состояние равновесия неустойчиво, если может быть указана такая область отклонений от состояния равновесия (область е), для которой ие существует области б(е), окружающей состояние равновесия тем свойством, что ни одна траектория, начинающаяся внутри б, никогда не достигнет границы е.
Можно записать это определение устойчивости на языке математических • неравенств, предположив для простоты, что область допустимых отклонений е представляет собой квадрат (рис. 1.11).
Состояние равновесия х=х, у —у устойчиво, если для любого заданного е (е>0) можно найти такое б>0, что если при /=0 выполняются неравенства
|х(0)— х|<б и |г/(0)—у|<б,	(1.2—11)
то для любого последующего момента Времени 0</< + оо будут справедливы неравенства
|х(/)-х|<е и \y(t)-y\<z.	(1.2-12)
Иными словами, все последующие отклонения значений переменных от равновесных также будут малыми.
Для некоторого класса систем, а именно грубых систем, характер поведения которых не меняется при малом изменении вида уравнений (1.2—1), информацию о характере состояний равновесия можно получить, исследуя не исходную нелинейную, а упрощенную линеаризованную систему. Процесс линеаризации системы двух уравнений описан подробно в § 4. Вначале мы рассмотрим возможные типы состояний равновесия в линейных системах, проведем классификацию особых точек, а затем уже перейдем к рассмотрению систем более общего типа, имеющих в правых частях уравнений системы произвольные функции Р(х, у) и Q(x, у), которые могут содержать нелинейные члены по отношению к переменны^ х, у.
§ 3.	ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. ТИПЫ ОСОБЫХ ТОЧЕК: УЗЕЛ, СЕДЛО, ФОКУС, ЦЕНТР. ПРИМЕР АНАЛИЗА ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ:
ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим простейшие динамические системы вида (1.2—1), которые могут быть описаны системой двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
-^-=ax + by, -^- — cx + dy,	(1.3—1)
где а, Ь, с, d — константы, а х и у — декартовы координаты на фазовой плоскости.
31
Общее решение системы будем искать в виде:
х=Ае", у=Вех‘.	(1.3—2)
Подставим эти выражения в (1.3—1) и сократим иа ем:
| кА — аА + ЬВ,	.. „
.<	(1.0 —“О!
1хв=сЛ+ав.
Алгебраическая система уравнений (1.3—3) с неизвестными А, В имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:
Раскрывая этот определитель, получим так называемое характеристическое уравнение системы (1.3—1):
X2— (a + d)k+(ad— bc)=0.	(1.3—4)
Решение этого уравнения дает значения показателя Xi,2, при которых возможны ненулевые для Л и В решения уравнения .(1.3—3). Эти значения суть
М.2 =-±^- ±	+bc—ad (1.3—5)
Отметим, что если подкоренное выражение отрицательно, то ?ч,2 — комплексно-сопряженные числа. Предположим, что оба корня уравнения (1.3—4) имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратных корней. Тогда общее решение системы (1.3—1), записанное в общем виде (1.3—2), можно представить в виде линейной комбинации экспонент с показателями Xi и к2:
{V___лХЛ _1
л—	1,	(j з_gj
у = С21ек'1 + смеЪ‘.
Для анализа характера возможных траекторий системы (1.3—1) на фазовой плоскости используем линейное однородное преобразование координат. Такое преобразование позволит привести систему (1.3—1) к так называемому каноническому виду
4-=^	(L3“7)
dt	dt
допускающему более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению с исходной системой (1.3—1). Введем новые координаты т] по формулам:
g = ax + pi/, т]=ух + 6у.	(1.3—8)
Из курса линейной алгебры известно, что в случае неравенства
32
нулю действительных частей Хь Х2 (Re Xi,2=#=0) исходную систему (1.3—1) при помощи преобразований (1.3—8) всегда можно привести к каноническому виду (1.3—7) и рассматривать ее поведение на фазовой плоскости т]. Здесь возможны различные случаи.
1.	Корни Xi, Х2 действительны и одного знака
Тогда коэффициенты преобразования действительны и мы имеем переход от действительной плоскости х, у к действительной плоскости g, Т].
Разделив одно из канонических уравнений (1.3—7) на другое, имеем
Интегрируя это уравнение, находим
т] = с|£|“, где а = -у-.	(1.3 — 10)
Условимся понимать под Хг корень характеристического уравнения с большим модулем (это не нарушает общности нашего рассмотрения). Тогда, поскольку в рассматриваемом случае Xi, Хг одного знака, а>1 и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа.
Все интегральные кривые (кроме оси т], которой соответствует с —<х>) касаются в начале координат оси |, последняя также является интегральной кривой уравнения (1.3—9). Начало координат — особая точка.
Выясним теперь направление движений на фазовой плоскости. Если Xi, Хг отрицательны, то, как видно из уравнений (1.3—7), |В|, |л1 убывают с течением времени. Изображающая точка с течением времени приближается к началу координат, никогда, однако, не достигая его в конечное время, так как это противоречило бы теореме Коши, которая утверждает, что через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория системы уравнений (1.3—7). Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые подобно тому, как семейство парабол у = сха (а>0) проходит через начало координат, носит название узла (рис. 1.12).
Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее узлу, при Xi, Хг<0 является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат (устойчивый узел). Если же Xi, Хг положительны, то ||| и |rj| возрастают с течением времени и изображающая точка с течением времени удаляется от начала координат. В таком случае мы имеем дело с неустойчивым узлом.
Вернемся теперь на фазовую плоскость х, у. Общий качественный характер поведения интегральных кривых вокруг состояния
2 Зак. 353	33
Рис.- 1.12. Особая точка
равновесия при этом ие меняется, но касательные к интегральным кривым в особой точке уже не будут совпадать с осями координат. Угол наклона этих касательных к осям координат огдееделяет-ся соотношением коэффициентов а, р, у, 6 в выражениях (1.3—8). Фазовые траектории вокруг устойчивого и неустойчивого узла на фазовой плоскости х, у, когда Xi и Х2 действительны и оди-
типа узел на плоскости наковых знаков, представлены на канонических координат рИС J J3
' Следует отметить, что для многих биологических систем характерен «бесколебательный» переход из произвольного начального состояния в стационарное. Такие системы описываются дифференциальными уравнениями, имеющими своим стационарным решением устойчивую особую точку типа узел.
2.	Корни X] и Х2 действительны, но разных знаков
Преобразование от координат х, у к координатам g, rj опять действительное. На плоскости g, tj точно так же имеет место каноническая система:
-^- = Х^, -^- = Х2П-dt 1 dt. 2
Однако теперь Xi и Х2 разных знаков. Уравнение кривых на фазовой плоскости имеет вид:
tfJL, Где а= -^-1.	(1.3—11)
. &	*11
Интегрируя это уравнение, находим
Рис. 1.13. Устойчивый (а) и неустойчивый (б) узел на фазовой плоскости х, у
34
типа седло на плоскости канонических координат
6. П
Рис. 1.15. Особая точка типа седло на фазовой плоскости х, у
Это выражение определяет семейство кривых гиперболического типа, имеющих обе оси координат асимптотами (при а=1 мы имели бы семейство равнобочных гипербол). Оси координат в этом случае — интегральные кривые; это будут единственные интегральные кривые, проходящие' через начало координат. Каждая из таких интегральных прямых, проходящих через начало координат, состоит из трех фазовых траекторий системы уравнений (1.3—7): из двух движений к состоянию равновесия (или от состояния равновесия) и из состояния равновесия.
Начало координат будет единственной особой точкой рассматриваемого семейства интегральных кривых. Все остальные интегральные кривые суть гиперболы. Такая особая точка, через которую проходят только две интегральные кривые, являющиеся асимптотами (все остальные интегральные кривые, имеющие вид' гипербол, через особую точку не проходят), называется особой точкой типа седла (рис. 1.14). (Линии уровня вблизи горной седловины ведут себя именно таким образом).
Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, Л1>0, а Аг<0. Тогда изображающая точка, помещенная на оси будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси т] будет неограниченно приближаться к началу координат, ие достигая его в конечное время. Легко убедиться, рассматривая движения представляющей точки, что где бы ни находилась представляющая точка в начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоте т| = 0), она в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия. Очевидно, особая точка типа седла всегда неустойчива.
Лишь при движении по асимптоте т)=0. система’ будет приближаться к состоянию равновесия. Однако этот специальный случай движения к состоянию равновесия не нарушает утверждения о том, что состояние равновесия в данном случае неустойчи-2*	35
во. Действительно, при любых начальных условиях, отличающихся от тех специально выбранных, которые точно соответствуют асимптоте т] = 0, система будет удаляться от состояния равновесия. Если считать, что все начальные состояния равновероятны, то вероятность такого начального состояния, которое соответствует движению по направлению к особой точке, равна нулю.
Переходя теперь обратно к координатам х, у, мы получим в силу уже использованных соображений ту же самую качественную картину характера траекторий' вокруг начала координат (рис. 1.15).
Особые точки типа седла играют важную роль в так называемых «триггерных» биологических системах, имеющих три особые точки: две устойчивые и одну неустойчивую — седло, — лежащую между ними. В зависимости от того, по какую сторону от сепаратрисы седла находится начальное состояние системы, изображающая точка попадает в область притяжения той или иной устойчиво особой точки (см. подробно § 5).
3.	11 и Х2 комплексно-сопряженные
Нетрудно видеть, что в этом случае при действительных х и у мы будем иметь комплексно-сопряженные £ и т]. Однако, вводя еще одно промежуточное преобразование, можно и в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию. Положим:
X1 = a1 + i&1, l — u + iv,
— —iblt т]-«—iv,
(1.3 — 13)
где Яь bi и и, v — действительные величины. Преобразование от х, у к и, v является при наших предположениях действительным, линейным, однородным с детерминантом, отличным от нуля. В силу уравнений (1.3—7) и (1.3—13) имеем:
du ~dt	- + i =-- (aj -1- ibr) (и + iv), dt
du dt откуда	- —i — (aY —ibj (и —iv), du	, 	— a, и—b,v, dt	1 (1.3-14)
Разделив второе уравнение	из уравнений (1.3—14) на первое, получим А- =	,	(1.3—15) du	a±u — bjV
36
Рис. 1.16. Особая точка типа фокус на плоскости координат и, v
Рис. 1.17. Особая точка типа устойчивый фокус на фазовой плоскости х, у, области е б иллюстрируют устойчивость
которое легче интегрируется после перехода к полярной системе координат. В полярной системе г, ф после подстановки и = гсозф, п = г5Шф получим
dr __ ai
dtp bY ’
откуда
г —се—ф.	(1.3 — 16)
Таким образом, на фазовой плоскости и, и расположено семейство логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую, точку в начале координат (рис. 1.16).
Установим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножая первое из уравнений (1.3—14) на и, второе на v и складывая, получаем
= ajp, где p-u2 + v2.	(1.3—17)
Пусть ai<0 (aj = Re%). Изображающая точка тогда непрерывно приближается к началу координат, не достигая его, однако, в конечное время. Это означает, что все фазовые траектории соответствуют колебательным, но затухающим, стремящимся к положению равновесия движения (за исключением «движения» по траектории и = 0, v = 0).
Особая точка — асимптотическая точка всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом.
Посмотрим, будет ли в рассматриваемом случае особая точка типа фокуса устойчивой. Представляющая точка по всей интегральной кривой двигается, приближаясь к особой точке, отсюда
37
следует, что условие устойчивости состояния равновесия, сформулированное нами в предыдущей главе, выполняется. Действительно, мы всегда можем выбрать такую область 6 (двойная штриховка), чтобы представляющая точка не вышла за пределы области е (простая штриховка) (рис. 1.17).
В случае устойчивого фокуса, как и в случае устойчивого узла, будет выполнено не только условие устойчивости по Ляпунову, но и более жесткое требование. Именно при любых начальных отклонениях система по прошествии достаточно длительного промежутка времени вернется как угодно близко к положению равновесия. Такую устойчивость, при которой начальные отклонения не только не нарастают, но, наоборот, затухают, называют абсолютной устойчивостью.
Если в формуле (1.3—17) а\ > 0 (a.i = ReX), то изображающая точка непрерывно удаляется от начала координат, и мы имеем дело с неустойчивым фокусом.
При переходе от плоскости и, v к исходной фазовой плоскости х, у спирали также останутся спиралями, однако будут деформированы. Особая точка типа фокус является стационарным решением уравнений, описывающих затухающие колебания тех или иных характеристик биологических систем.
При ai = 0 фазовыми траекториями на плоскости и, v будут окружности и2 + о2=const, которым на плоскости х, у соответ; ствуют эллипсы
by2(а— d)xy— сх2 = const.
В этом случае через особую точку х=0, у=0 не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности эллипсы, «вложенные» друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром (рис. 1.18).
Классическим примером системы, имеющей своей особой точкой центр, является система Вольтерра (см. § 4).
Сформулируем результаты нашего исследования. В рассматриваемой линейной системе
-^- = ax + by, -^- — cx + dy dt	У dt	а
в случае отсутствия вырождения (т. е. при ad—fec=#0) возможно шесть типов состояний равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения
X2 — к(а + d) + (ad — be) = 0:
1)	Устойчивый узел (Xi и Хг действительны и отрицательны).
2)	Неустойчивый узел (Xi и Х'г действительны и положительны)..
38
3)	Седло (Xi и %г действительны и разных знаков).
4)	Устойчивый фокус (Xi и Ха комплексны и ReX<0).
5)	Неустойчивый фокус (Xi и Ха комплексны и ReX>0).
6)	Центр (Xi и Хг мнимые).
Первые пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (1.3—1) (малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка).
Введем обозначения:
a=-(o+d);
Тогда характеристическое уравнение запишется в виде
* X2 -ф- оХ 4“ Д — 0.
Для различных а и Д будем иметь различные корни — Xi и Ха-
Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми коор-динатами о и Д и отметим на этой плоскости области, соответствующие тому или другому характеру состояния равновесия. Учтем при этом, что
.	-г-а±"|/°2 — 4Л
Л1,2 — ------------.
2
Условием устойчивости состояния равновесия будет наличие отрицательной действительной части у М и Ха.' Необходимое а достаточное условие этого — выполнение неравенств о > 0, Д > 0. На диаграмме (рис. 1.19) -этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти. Особая точка будет фокусом,-если Xi и Ха комплексны. Этому условию удовлетворяют те точки плоскости о, Д, для которых а2 — 4Д < 0, т. е. точки, лежащие между ветвями параболы о2=4Д. Точки полуоси о=0, Д > 0 соответствуют состояниям равновесия типа центра. Аналогично Xi, Ха — действительны, но разных знаков, т. е. особая точка будет седлом, если Д < 0 и т. д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров о, Д на области, соответствующие различным типам состояния равновесия.
Если коэффициенты линейной системы a, b, с, d зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться соответственно о и Д.
При изменении соотношения между этими величинами происходит изменение (деформация) фазового портрета. На плоскости а, Д мы будем иметь таким образом некоторую кривую, переходящую при некоторых бифуркационных значениях параметра Из одной области в другую с качественным изменением фазового портрета. В процессе бифуркации изменяется тип особой точки.
На диаграмме видно, как могут происходить такие изменения. Если исключить особые случаи (прохождение через начало коор-
39
Рис. 1.19. Плоскость параметров Д, о для системы уравнений (1.1):
Хг — Действительная часть, Л/ — мнимая часть корней характеристического уравнения (1.3—4)
динат), то легко видеть, что седло может перейти в узел, устойчивый или неустойчивый; устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус и т. д. Может также меняться характер устойчивости особой точки: устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус и обратно. Как при изменении типа особой точки, так и при изменении характера ее устойчивости меняется топологическая структура фазовой плоскости в окрестности особой точки. Заметим, что случай равных корней (а2 — 4А=0) соответствует границе между узлами и фокусами. Если коэффициенты линейной системы зависят от двух параметров, то обычно бывает целесообразно построить плоскость этих параметров и на ней диаграмму, соответствующую только что рассмотренной.
Для иллюстрации применения теории линейных дифференциальных уравнений рассмотрим простейшую систему химических реакций:
k, k, -+х-*у-+.
Вещество х притекает извне с постоянной скоростью, превращается в вещество у и со скоростью, пропорциональной концентрации вещества у, выводится из сферы реакции. Все реакции имеют первый порядок, за исключением процесса притока веще
40
ства извне, имеющего нулевой порядок. Запишем соответствующую систему уравнений:
dx b b — = k2x—kay.
Координаты особой точки, т. е. стационарные концентрации веществ х и у, получим, приравняв нулю правые части уравнений системы (1.3—1.8):
х =	1/ = —•	(1.3-19)
^2	^3
Рассмотрим фазовый портрет системы..-Разделим второе уравнение системы (1.3—18) на первое. Получим
—(1.3—20) dx ki — k^c
Уравнение (1.3—20) определяет поведение переменных на фазовой плоскости. Следуя рецепту предыдущей главы, нарисуем сначала главные изоклины на фазовой плоскости. Урарнение главной изоклины вертикальных касательных:
dy	ki
———оо, х = —.
dx	k2
Уравнение главной изоклины горизонтальных касательных:
Je_=0, у=-&-dx а ka ’
Отметим, что изоклина вертикальных касательных является в то же время интегральной кривой. Как указывалось в предыдущей главе, особая точка лежит на пересечении главных изоклин.
Определим теперь, под каким углом пересекаются координатные оси интегральными кривыми. Если х=0, то —^-==--—у.
dx	ki
Таким образом, тангенс угла наклона касательной к интегральным кривым у = у(х}, пересекающим ось ординат х=0, отрицателен в верхней полуплоскости (вспомним, что переменные х, у имеют значения . концентраций, и поэтому нас интересует лишь правый верхний квадрант фазовой плоскости). При этом величина тангенса, угла наклона касательной увеличивается с удалением от начала координат. Рассмотрим ось у=0. В месте пересечения этой оси интегральными кривыми они описываются уравнением
dy _ k^x
dx ki — k2x
При 0 < x < — тангенс угла наклона интегральных кривых, k2
пересекающих ось абсцисс, положителен и увеличивается от нуля
41
о .	х
Рис. 1.20. Фазовый портрет системы (1.3—18)
до бесконечности с увеличением х. dy
-^-=оо при х	затем при
дальнейшем увеличении х тангенс угла, наклона уменьшается по абсолютной величине, оставаясь отрицательным, и стремится к — 1 при х —► оо. Зная направление касательных к интегральным кривым на главных изоклинах и на осях координат, легко построить всю картину фазовых траекторий (рис. 1.20).
Из фазового портрета видно, что
рассмотренная нами система имеет особую точку типа узла.
Характер устойчивости особой точки установим, используя метод, описанный в предыдущих параграфах этой главы.
Запишем характеристическое уравнение системы (1.3—18):
—k2—X	0 _л
k2	— k3—X
Или, раскрывая определитель:
X2-|- (k2 -|- &з)Х -|- /г^з=0.	.	(1.3—21)
Корни характеристического уравнения
М.2 = Т [	± Ж + ^з)2 -4Мз ]	(1.3 — 22)
всегда оба действительны, так как дискриминант выражения (1.3—22)
Д = (&г+^з)2—4Мз= (^2—*з)2
положителен при любых значениях параметров. Легко видеть, что УД всегда меньше, чем + т. е. корни характеристического уравнения оба отрицательны. Следовательно, стационарное состояние (-1.3—19) системы уравнений (1.3—18) представляет собой особую точку типа устойчивый узел, т. е., что при любых начальных значениях концентраций по истечении достаточно долгого времени их значения примут величину, сколь угодно близкую к (1.3—19). При этом концентрация вещества х стремится к своему стационарному состоянию всегда монотонно, концентрация вещества у может при определенных начальных условиях проходить через max или min. Колебательные режимы в такой системе невозможны.
'§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ ЛЯПУНОВА. ПРИМЕРЫ: УРАВНЕНИЯ ЛОТКИ И ВОЛЬТЕ РР А
От частного случая линейной системы вернемся к общему случаю динамической системы, описываемой двумя дифференциальными уравнениями первого порядка:
-	^- = Р(х, у), -%- = Q(x, у).	(1.4-1)
Чтобы отыскать на фазовой плоскости состояния равновесия, нужно найти те точки фазовой плоскости, где скорость изменения переменных равняется нулю, или, иначе, нужно найти точки пересечения кривых:
Р(х, у)=0, Q(x, у)=0.
Как мы уже знаем, эти точки будут особыми точками дифференциального уравнения первого порядка, определяющего интегральные кривые:
(1.4—2) dx Р(х, у) '
Перейдем к исследованию устойчивости состояния равновесия системы (1.4—1).
Пуанкаре и Ляпунов дали аналитический метод исследования устойчивости стационарного состояния.
Для исследования устойчивости состояния равновесия х, у— точки пересечения главных изоклин Р(х, у)‘ = 0 и Q(x, г/)=0— необходимо рассмотреть характер движений при наличии некоторых отклонений от состояния равновесия. Введем вместо переменных х, у новые независимые переменные |, т>, определив их как смещения относительно положения равновесия на фазовой плоскости:
х=х + £, У = У + ц-	(1.4—3)
Подставив эти выражения в (1.4—1), получим:
•	-£- + -^- = Р(7+|, у + Ч),
at at
-	^- + -^- = Q(x+g, ?+n),	(i.4—4)
at at
так как x, у—координаты особой-точки. Предполагая наличие и непрерывность производных порядка не ниже первого у функции Р и Q, мы можем разложить правые части полученных уравнений в ряд Тейлора по переменным £ й т). Окончательно, переходя от переменных х, у к переменным £ и т] в уравнениях (1.4—1), получим;
43
~ = Р(х, у) + al + + [рп|2 + 2р12Вп 4- р22ц2 +
-^- = Q(x, у) + cl + Л] + [<7ц£Ч- 2<712gri + feria + ...]+ .... (1.4—5) где
a=P'x(x, y), b = Py(x, y), c==Q4x, У), d = Qy(x, y).
P(x, y) = 0, Q(x, ^0
по определению особой точки (x, у).
Обоснованный Ляпуновым метод исследования устойчивости сводится к следующему. Отбросим в уравнениях (1.4—5) нелинейные члены. Мы получим тогда систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами, так называемую систему уравнений первого приближения:
-^- = п| + И, 4?- = ^ + dT].  (1.4-6) at	at
Решение этой системы запишется сразу, если нам известны корни характеристического уравнения:
Ляпунов показал, что в случае, если оба корня этого уравнения имеют отличные от нуля действительные части, исследование уравнений первого приближения, полученных путем отбрасывания нелинейных членов, всегда дает правильный ответ на вопрос об устойчивости состояния равновесия в системе (1.4—1). Именно если оба корня имеют отрицательную действительную часть и следовательно, все решения уравнений первого приближения (1.4—6) затухают, то состояние равновесия будет устойчивым; если же хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, т. е. если система (1.4—6) имеет нарастающие решения, то состояние равновесия неустойчиво. Если действительные части обоих корней характеристического уравнения равны нулю или если один корень равен нулю, а другой отрицателен, то уравнения (1.4—6) не дают ответа на вопрос об устойчивости состояния равновесия.
В этом случае, когда оба корня характеристического уравнения имеют отличные от нуля действительные части, уравнения первого приближения определяют не только, устойчивость состояния равновесия, но и характер фазовых траекторий в достаточно малой его окрестности. Состояния равновесия (особые точки), для которых действительные части обоих корней характеристического уравнения отличны от нуля, являются «грубыми». Харак-
44
тер фазовых траекторий в их достаточно малой окрестности сохраняется при любых достаточно малых изменениях правых частей уравнений (1.4—1) — функций Р(х, у) и Q(x, у), если достаточно малыми являются также и изме
нения их производных первого порядка.
Таким образом, совершенно так же, Рис. 1.21. Особая точка как и в случае линейных уравнений вида типа сеДл0’Узел (1.4—6), мы имеем здесь пять типов грубых состояний равновесия: устойчивый узел, неустойчивый узел, устойчивый фокус, неустойчивый фокус и седло. Для исследования грубых состояний равновесия удобно пользоваться диаграммой (см. рис. 1.19), приведенной в предыдущей главе. В нашем случае
о=[РДх, y) + Qy(x, г/)],
Рх(х, y)Qx(x, у)
Ру(х, y)Qy(x, у)
(1.4-8)
Грубым состояниям равновесия соответствуют все точки плоскости параметров а, А, лежащие вне оси А = 0 и полуоси о=0, А> 0.
Точкам оси А = 0 и полуоси о=0, А>0 соответствуют негрубые состояния равновесия (негрубые особые точки). Это такие состояния равновесия, свойства которых могут быть изменены сколь угодно малыми изменениями правых частей уравнений .(1.4-1) за счет сколь угодно малых изменений функций Р(х, у) и Q(x, у) и их производных. Именно поэтому их характер (и в частности, устойчивость) не определяется уже только значениями постоянных коэффициентов в правых частях уравнений первого приближения типа (1.4—6). Иными словами, в отличие от линейных систем (в 1.4—1) уже при небольшом изменении в правых частях содержащихся там нелинейных членов может произойти качественное изменение фазового портрета системы. Точкам полуоси о=0, А>0 соответствуют состояния неустойчивого равновесия типа центра, переходящие в точки типа устойчивого и неустойчивого фокуса, точкам оси А=0 — так называемые сложные особые точки, простейшая из которых (при А = 0, о>0) — точка типа «седло-узел» изображена на рис. 1.21.
Рассмотрим несколько примеров применения качественной теории дифференциальных уравнений, в частности метод исследования устойчивости стационарных состояний по Ляпунову при изучении моделей некоторых биологических процессов.
45
1.	Кинетические уравнения Лотки
Лоткой была исследована гипотетическая _ химическая реакция:
kt kt 4- k, А->-х-+ у -+В.
Ввиду своей простоты эта модель представляет собой хорошую иллюстрацию применения изложенных выше методов.
Пусть в некотором объеме находится в избытке вещество А. Молекулы А с некоторой постоянной скоростью k0 превращаются в молекулы вещества х (реакция нулевого порядка). Вещество х может превращаться в вещество у, причем скорость этой реакции тем больше, чем больше концентрация вещества у — реакция второго порядка. В схеме это отражено наличием обратной стрелки над символом у. Молекулы у в свою очередь необратимо распадаются, в результате образуется вещество В (реакция первого порядка).
Запишем систему уравнений, описывающих- реакции:
-^- = ^0—кгху,
~~~ — k1xy — k2y,	(1.4—9)
Здесь х, у, В — концентрации химических компонентов. Первые два уравнения этой системы не зависят от В, поэтому их можно рассматривать отдельно. Рассмотрим стационарное решение системы:
-^- = 0, -^- = 0. ' dt	dt
Из этих условий мы имеем систему алгебраических уравнений, связывающих равновесные концентраций х и у:
ko—k1xy=O, klxy—k2y=0.
(1.4—10)
Координаты особой точки:
(1.4-11)
Исследуем устойчивость этого стационарного состояния методом Ляпунова. Введем новые переменные т], характеризующие отклонения переменных от равновесных концентраций х, у:
x(t) = x + l(t), y(t) = y + n(t).
46
Линеаризованная система в новых переменных имеет вид:
dt
__ Vi >
dt ~ k2 S’
(1.4-12)
Отметим, что в системе (1.4—12) в отличие от системы (1.4—9) величины | и т) могут менять знак, в то время как исходные переменные х и у, являющиеся концентрациями, могут быть только положительными.
Запишем характеристическое уравнение системы (1.4—12):
^2
*2
V + А,
Корни характеристического уравнения:
Х1’2 = т(“'1Г±1/Г (ТТ“4/г<Д
При 4&| > kok1 подкоренное выражение отрицательно, и особая точка — фокус, при обратном соотношении — узел. И в том и в другом случае особая точка устойчива, так как действительная часть обоих корней характеристического уравнения отрицательна.
Таким образом, в описанной выше химической реакции возможны разные режимы изменения переменных в зависимости от соотношения величин констант скоростей: если 4k2 > kjtlt имеют место затухающие колебания концентраций компонентов, при 4kl < k±k0— бесколебательное приближение концентраций к стационарным.
Соотношение параметров 4^2= соответствует бифуркации, т. е. изменению типа особой точки системы уравнений (1.4-9).
Рассмотрим плоскость параметров, где по оси абсцисс отложены значения константы k2, а по оси ординат—произведение kok} (рис. 1.22).
Линией бифуркации здесь является парабола k1kf) = 4k2, которая делит плоскость параметров на две области — устойчивых узлов и устойчивых фокусов. Задавая те или иные значения параметров, мы можем задать колебательный или бесколебательный режим изменения концентрации веществ х и у, и фазовый
47 -
KgKf{\ 
Устоичи- 1л1Л1**чп2 . Оый узел
Устойчивый фокус
Кг
Рис. 1.22. Плоскость параметров для системы уравнений (1.4—9)
портрет системы будет соответственно пред» ставлять собой фокус (а) или узел (б) (рис. 1.23).
Отметим, что если установятся стационарные концентрации веществ х и у в рассматриваемой системе химических реакций Лотки-, это приведет к установлению постоянной скорости прироста концентрации вещества В (в третьем уравнении системы dQ
(1.4—9) ----= k2y). Ясно, что в действи-
тельности такая система реализоваться не может, так как в ней при t-*-<x> концентрация вещества В стремится к бесконечности. Однако система, подобная системе реакции Лотки, может представлять собой фрагмент более сложной химической системы, и исследованные нами уравнения правильно
описывают поведение компонентов х и у, например, в том случае, когда приток вещества х (скорость его постоянна и равна k0) осуществляется из большого «резервуара», а отток вещества у — в большой «резервуар» (максимально возможное значение В очень велико). При этих предположениях на малых промежутках времени (по сравнению с временем существенного изменения заполненности емкости) наше рассмотрение является вполне пра
вомерным.
В качестве второго примера мы рассмотрим классическую экологическую модель, которая впервые была предложена Воль-терра для объяснения периодического изменения числа особей антагонистических видов животных, так называемую вольтерров-скую модель хищник — жертва и ее некоторые обобщения."
Пусть в некотором замкнутом районе живут, например, зайцы и волки. Зайцы питаются растительной пищёй, имеющейся всегда в достаточном количестве. Волки (хищники) могут питаться лишь
Рис. 1.23. Фазовые портреты системы (1.4—9) для разных соотношений параметров fe0, fei> kt; а — устойчивый фокус, б — устойчивый узел
48
зайцами (жертвами). Обозначим число зайцев Mi, а число волков— N2. Так как количество пищи для зайцев неограниченно, мы можем предположить, что зайцы размножаются со скоростью, пропорциональной их числу:
/ dNj
\ dt
/ разм
ei >0.
(1.4— 13>
Уравнение (1.4—13) соответствует уравнению автокаталитической химической реакции первого порядка.
Если зайцы не умирают своей смертью, то их убыль пропорциональна вероятности встречи зайца с волком, т. е. пропорциональна произведению численностей NiN2. Можно предположить по аналогии с бимолекулярными реакциями, где вероятность появления новой молекулы пропорциональна вероятности встречи двух молекул, что и количество волков нарастает тем быстрее, чем чаще происходят их встречи с зайцами, т. е. пропорционально MjM2- Кроме того, имеет место процесс етественной смертности волков, причем скорость смертности пропорциональна их количеству.
Эти рассуждения приводят нас к системе уравнений для изменений численности зайцев и волков N2:
at -
(1.4— 14),
Покажем, что система уравнений (1.4—14) имеет на фазовой плоскости переменных NitN2 ненулевую особую точку типа центр. Координаты этой особой точки и N2 легко найти, приравняв правые части уравнений системы (1.4—14) нулю. Это дает стационарные ненулевые значения:
Nj = — , N2=^~.
1 Yi 2 у2
Так как все параметры ei, е2, уь у2 положительны, точка /71,. N2 расположена в положительном квадранте фазовой плоскости. Линеаризация системы вблизи этой точки дает
=	= — ^-п2, .
dt	Yi 2>
(1.4—15).
drtg ж?" Y1S1
—^- = у1Л/1и1 dt	у2
45К
Рис. 1.24. Фазовый портрет системы хищник — жертва (особая точка типа центр)
Рис. 1.25. Зависимость численности хищника Л4 и жертвы Л4 от времени
Здесь «1(0 и /гг(О—отклонения от особой точки на фазовой плоскости Ni, N2:
(1-4—16)
«2 (0 = ^(0--^.
Характеристическое уравнение системы (1.4—15):
—X
Y2
__ Yaez
Yi — Л
л2 4- 6^2 = 0.
Корни этого уравнения чисто мнимые:
A,li2==±i]/e1e2.
Таким образом, исследование системы показывает, что • траектории вблизи Особой точки являются концентрическими эллипсами, а сама особая точка — центром. Рассматриваемая модель Вольтерра и вдали от особой точки имеет замкнутые траектории, хотя форма этих траекторий уже отличается от эллипсоидальной (рис. 1.24). Поведение переменных во времени представлено на рис. 1.25.
Как мы уже отмечали в § 3, особая точка типа центр устойчива, но не асимптотически. Покажем на данном примере, в чем это заключается. Пусть колебания N\(t) и N2(t) происходят таким образом, что изображающая точка движется по фазовой плоскости по траектории 1 (рис. 1.24). В момент, когда точка находится в положении М, в систему извне добавляется некоторое количество особей N2, такое, что изображающая точка пере-
50
Рис. 1.26. Кривые численности зайца и рыси в Канаде (по К. Вилли И' В. Детье, 1974)
ходит скачком из точки М в точку М'. После этого, если система снова предоставлена самой себе, колебания jVj и N2 уже будут происходить с большими амплитудами, чем прежде, и изображающая точка будет двигаться по траектории 2. Это и означает,, что колебания в системе неустойчивы: они навсегда изменяют свои характеристики при внешнем воздействии. В дальнейшем мы рассмотрим модели, описывающие устойчивые колебательные режимы, и покажем, что на фазовой плоскости такие асимптотически устойчивые периодические движения изображаются при помощи предельных циклов.
На рис. 1.26 изображены экспериментальные кривые — колебания численности североамериканского зайца и рыси в Канаде (Вилли, 1964). Эти кривые построены на основании данных о числе заготовленных шкурок. Периоды колебаний численности зайцев (жертв) и рысей (хищников) примерно одинаковы и порядка 9—10 лет. При этом максимум численности зайцев опережает,, как правило, максимум численности рысей на один год.
Мы видим, что форма этих экспериментальных кривых "значительно менее правильная, чем -теоретических. Однако в данном случае достаточно того, что модель обеспечивает совпадение наиболее существенных характеристик теоретических и экспериментальных кривых, т. е. величин амплитуды и сдвига фаз между колебаниями численностей хищников и жертв. Гораздо более серьезный недостаток модели Вольтерра — это неустойчивость решений системы уравнений. Действительно, как уже говорилось выше, любое случайное изменение численности того или другого вида должно привести, следуя модели, к изменению амплитуды колебаний обоих видов. Естественно, что в природных условиях животные подвергаются бесчисленному количеству таких случайных воздействий. Однако, как видно из экспериментальных кривых, амплитуда колебаний численностей видов мало изменяется от года к году.
51
Кроме того, в силу «негрубости» системы Вольтерра произвольно малое изменение вида правых частей уравнений системы (1.4—14) приводит к изменению типа особой точки и, следова-. тельно, характера фазовых траекторий системы. Негрубые системы вообще не могут являться адекватным описанием природных явлений.
С целью устранения этого недостатка были предложены разными авторами различные модификации системы Вольтерра. Наиболее интересные из них будут рассмотрены в гл. IV нашего учебника. Здесь мы остановимся' лишь на модели, учитывающей самоограничения в росте обеих популяций. На примере этой модели наглядно видно, как может меняться характер решений при изменении параметров системы.
Итак, рассматривается система:
= Nx (ех — yl2N — YnVi),
at
(\A-VT)
 -^- = N2(—ea + y2lN1—yMNa).
dt
Система (1.4—17) отличается от ранее рассмотренной системы (1.4—14) наличием в правых частях уравнений членов вида yuNi2-
Эти члены отражают тот факт, что численность популяции жертв не может расти до бесконечности даже в отсутствие хищников в силу ограниченности пищевых ресурсов, ограниченности ареала существования. В свою очередь такие же «самоограничения» накладываются и на популяцию хищников.
Для нахождения стационарных численностей видов Ni и Nz приравняем к нулю правые части уравнений системы (1.4—17). Решения с нулевыми значениями численностей хищников или жертв не будут нас сейчас интересовать. Поэтому рассмотрим систему алгебраических уравнений:
¥11^1+¥12^2 = Е1>
Yai^i + ¥22^2 = е2-
Ее решение
eiYn — 62Y12 .	ejYu — e2Yt2
* V1 —	2 ♦ ** 2	9
— Y11Y22 + Y12	Yf2~ YiiYaa
(1.4— 18)
дает нам координаты особой точки. На параметры системы здесь следует наложить условие положительности стационарных численностей: Vi > О, V2>0- Корни характеристического уравнения системы, линеаризованной в окрестности особой точки (1.4—18):
Л-1.2 =	{ — [8^22 (¥11 — Y22) + E2Y11 (¥12 + Y22)] ±
52
Рис. 1.27. Фазовый портрет системы (1.4—17): а — при выполнении соотношения (1.4—19) между параметрами, б — при обратном соотношении параметров
1/Л[е1У22 (Y11	Y22) + e2Yll (Y12 + Y22)]2	4у12у21 (61Y22 + e2Y12) X
X (е1Уг1 e2Yn)l •
Из выражения для характеристических чисел видно, что если выполнено условие
[еГУг2 (Yu Y22) "Ь e2Yn (Y12 + Y22)]2
< 4Y12Y21(6iY22 + e2Yj2)(e1Y21—е2уп),	(1.4 — 19)
то численности хищников и жертв совершают во времени затухающие колебания, система имеет ненулевую особую точку — устойчивый фокус. Фазовый портрет такой системы изображен на рис.- 1.27, а.
Допустим, что параметры в неравенстве (1.4—19) так изменяют свои значения, что условие (1.4—19) обращается в равенство. Тогда характеристические . числа системы (1.4—17) будут равны, а ее особая точка будет лежать на границе между областями I и II устойчивых фокусов и узлов (см. рис. I. 19). При изменении знака неравенства (1.4—19) па обратный особая точка становится устойчивым узлом. Фазовый портрет системы для этого случая представлен на рис. 1.27, б.
§ 5. БИОЛОГИЧЕСКИЕ ТРИГГЕРЫ
Важной особенностью биологических систем является их способность переключаться из одного режима функционирования в другой, что соответствует нескольким устойчивым стационарным состояниям системы. На фазовой плоскости такая система обладает двумя и больше устойчивыми особыми точками. Области влияния устойчивых особых точек разделяются сепаратрисой, которая должна проходить через неустойчивую особую точку
53
типа седло. На рис. 1.28 представлен фазовый портрет такой системы с двумя устойчивыми особыми точками. Напомним, . что количество стационарных состояний в системе определяется числом точек пересечения главных, изоклин вертикальных и горизонтальных касательных, изображенных на рис. 1.28 жирными линиями. Точка пересечения главных изоклин b представляет собой
Рис. 1.28. Фазовый портрет седло, а точки пересечения главных изо-триггерной системы клин и и с, лежащие по обе стороны от сепаратрисы седла (пунктирная линия), суть устойчивые узлы. Система, характеризующаяся подобным фазовым портретом, т. е. обладающая двумя (несколькими) устойчивыми стационарными состояниями, между которыми возможны переходы, называется триггерной.
На рис. 1.28 видим, что если начальное положение изображающей точки расположено левее сепаратрисы седла (пунктирная линия), система находится в области влия’ния особой точки а и .стремится к этому устойчивому стационарному состоянию. Из точек, лежащих правее сепаратрисы, система будет двигаться к устойчивой особой точке с.
Допустим, что наша система функционирует в устойчивом режиме а и необходимо перевести ее в другой устойчивый режим с. Можно сделать это двумя способами. Мы можем так изменить за счет внешнего воздействия значения. переменных х и у.
например, резко увеличив х, что это переведет систему в некую точку с', находящуюся по правую сторону сепаратрисы седла в области притяжения устойчивого узла с. После этого система уже сама по фазовой траектории перейдет в точку с и окажется в требуемом режиме. Это так называемый силовой способ переключения триггера, который называется также специфическим. Действительно, для такого переключения в систему необходимо добавить некоторое количество определенного вещества (в данном случае вещества х).
Другим, более тонким, будет способ параметрического неспе-цифическогр переключения. При нем непосредственному воздействию подвергаются не переменные, а параметры Системы, что может быть достигнуто разными способами: например, изменением температуры, скорости поступления субстрата.
Процесс параметрического переключения показан на рис. 1.29 (а, б, .в, г). Сущность его состоит в использовании характерной зависимости фазового портрета от некоторого управляющего параметра. Напомним, что в случае уравнения с одной переменной мы рассматривали зависимость стационарного значения переменной от параметра (см. рис. 1.9). Было показано, что, двигаясь по кривой стационарных состояний за счет изменения управляющего параметра а, можно перевести систему от
54
Рис. 1.29. Процесс параметрического переключения триггерной системы на фазовой плоскости (а, б, в, г — последовательные стадии процесса, пояснения в тексте)
устойчивой ветви АВ в область неустойчивых состояний ВС. При достижении бифуркационного значения параметра а число стационарных состояний уменьшается на рис. 1.9 до двух, а при дальнейшем росте а оставалась уже только одна ветвь устойчивых состояний CD.
Допустим, что для нашей системы с двумя переменными и фазовым портретом (рис. 1.29, а) имеется также управляющий параметр а, изменение которого может вызвать соответствующую деформацию фазового портрета. Тогда аналогичный переход а-*-с будет выглядеть следующим образам: (рис. 1.29, а, б, в, г). При изменении управляющего параметра а фазовый портрет начнет меняться так, что точки пересечения главных изоклин а и b будут сближаться друг с другом (рис. 1.29,6, в), слившись в конце концов в одну сложную особую точку седло-узел '(рис. 1.29, е). Затем произойдет такое изменение расположения изоклин, что на фазовой плоскости останется только одна точка их пересечения с — устойчивый узел, к которому и сходятся все траектории фазовой плоскости. Очевидно, что наша система, находящаяся в начале процесса переключения в точке а с соответствующими координатами хоуо на фазовой плоскости; окажется теперь в силу изменения фазового портрета (рис. 1.29, г) в области притяжения устойчивого узла с, куда она теперь самопроизвольно и перейдет. Заметим, что при изменении фазового портрета сами координаты особой точки должны также несколько измениться, поскольку они зависят от значений параметров систе»
55
мы. Возвращаясь затем к прежним значениям управляющего параметра, мы восстановим исходный фазовый портрет системы, но она уже будет работать в требуемом режиме с.
Модели, обладающие триггерными свойствами, оказались применимыми для описания важнейших процессов эволюции. Один из них — процесс возникновения единого кода генетической информации, когда одной последовательности нуклеотидов соответствует одна последовательность аминокислот. Модели этого типа рассмотрены в работах М. Эйгена (1973, 1982) и Д. С. Чернав-ского (1975, 1984). Возникновение единого кода связано с отбором одного из многих равновозможных способов кодировки генетической информации. Простейшая модель, предложенная Д. С. Чернавским для пояснения процесса отбора одного из двух равноправных биологических объектов, записывается в виде системы двух дифференциальных уравнений:
(1.5-1>
где х — концентрация объектов первого типа; у — концентрация объектов второго типа; s — концентрация субстрата, общего для обоих'типов объектов; ks, 0, у — константы. В модели предполагается, что при взаимодействии объекты обоих типов погибают (члены вида —-уху). Субстрат s лимитирует рост популяций, скорость прироста популяций объектов обоих типов записана в форме Моно. Модель (1.5—1) представляет собой триггер, две устойчивые особые точки которого расположены на-координатных осях фазового портрета системы (рис. 1.30).
Из рйсунка видно, что в зависимости от начальных условий траектории системы устремляются либо к одной, либо к другой
' Рис. 1.30. Фазовый портрет системы (1.5—1)
тРНК2
Рис. 1.31. Схема взаимной регуляции двух систем синтеза фер
меитов (схема Жакоба и Моно)
56
устойчивой стационарным точкам, лежащим симметрично по обе стороны сепаратрисы седла Ь, а либо с. Тот факт, что третья особая точка' b является седлом, очень важен. Он означает,, что однородная смесь, содержащая равные количества объектов х и у, неустойчива и под влиянием сколь угодно малого возмущения «сваливается» либо в режим вымирания х и конечных значений численности у (точка а), либо в режим вымирания у и конечных численностей х (точка с). Автор модели делает вывод, что неустойчивость симметричного стационарного состояния служит основной причиной биологического отбора (выбора одной из двух или многих равноправных возможностей).
Способность триггерной системы к переключениям используется также в качестве модели процессов, ведущих к дифференциации ткани. С этой точки зрения каждая клетка обладает набором возможных устойчивых стационарных режимов, но фактически в данный момент времени функционирует лишь в одном из них. В процессе дифференциации и происходит переключение клетки из одного стационарного режима функционирования в другой.
Теперь остановимся кратко на модели генетического триггера, основанной на биохимической схеме регуляции белкового синтеза. Эта модель была предложена Жакобом и Моно (1964), а математическая разработка ее принадлежит Д. С. Чернавско-му, Л. Н. Григорову и М. С. Поляковой (1967).
Жакоб и Моно предложили схему взаимной регуляции двух систем синтеза фермен!ов, изображенную на рис. 1.31. Ген — регулятор каждой системы — синтезирует неактивный репрессор. Этот репрессор, соединяясь с продуктом противоположной системы синтеза ферментов, образует активный комплекс. Последний, обратимо реагируя с участком структурного гена, называемым опероном, блокирует синтез тРНК. Таким образом, продукт второй системы Pt является корепрессором первой системы, а Р2— корепрессором второй. При этом в процессе корепрессии могут участвовать одна, две и больше молекул продукта. Очевидно, что при таком характере взаимодействия при интенсивной работе первой системы вторая заблокирована и наоборот. После соответствующих упрощений уравнения, описывающие синтез продуктов Pi и Р2, принимают вид:
dpi _ A1 ______ар
dt +	41 l’
\ dP A	(1-5-2)
___________p
dt B2 + P^ 2’
Здесь Pi, P2— концентрации продуктов, величины Ab A2, Bh B2 выражаются через параметры своих систем. Показатель степени т показывает, сколько молекул активного репрессора (соединений молекул продукта с молекулами неактивного репрессора, ко-
57
Рис. 1.32. Фазовый портрет системы (1.5—2): а —при т=1, б —при т=2
торый предполагается в избытке) соединяются с опероном дЛя блокировки синтеза тРНК.	;
1 1 /
Вводя безразмерные величины хх — PjB Г , х2 = Р^В™ ,	!
L^Ajq^, L2^A2!q2B2, te = qt,
систему (1.5—2) можно переписать в следующем виде:
(1.5-3)
Исследование системы (1.5—3) показывает, что при т=1 ее фа-, зовый портрет при любых значениях параметра системы имеет одну устойчивую особую точку в положительном квадранте фазовой плоскости (переменные нашей системы хь х2 суть безразмерные концентрации и по смыслу не могут быть отрицательными) (рис. 1.32, а). Следовательно, модель при т=\ не может отражать процессов переключения в системе. Если же т^\, то при определенных значениях отношения — > у система при-обретает триггерные свойства (рис. 1.32, б): на фазовой плоскости такой системы имеются две устойчивые особые точки а, с, между которыми расположена неустойчивая — седло Ь.~ Значение параметра — = у является бифуркационным, причем бифур-L2
кация имеет триггерный характер (образуется седло). Легко видеть, что в такой модели отношение — играет роль управляю-^-2
щего параметра, изменение которого может привести к смене стацио.нарного режима системы. Величина параметров L\, L2 за-
58
висит от многих биохимических характеристик: скорости снабжения субстратами, активности ферментов, времени жизни ферментов, тРНК и продуктов и проч. Наиболее изменчивый из этих параметров и доступный для регулирования — концентрация . субстратов.
Посмотрим теперь, как можно осуществить переключение триггера Жакоба и Моно; например, из режима а в режим с, т. е. активизировать деятельность первой системы и соответственно синтез фермента Е\ и забло-
Рис. 1.33. Кинетика изменения переменных в процессе неспецнфического переключения триггерной системы
кировать синтез второго фермента Е2.
Первый, специфический способ заключается в добавлении больших количеств продукта Рь чтобы концентрация Xi изменилась на Axi и изображающая точка пересекла сепаратрису (см. рис. 1.28). .
Рассмотрим теперь неспецифический способ переключения. Пусть в системе, устойчиво работающей в режиме а, 'изменяется соотношение параметров и L2, при этом фазовый портрет системы постепенно искажается, устойчивый узел а и седло Ь
,	Li
приближаются друг к другу и при —— = у сливаются в одну 1<2
особую точку, при этом точка с почти не меняет своего положения. Имеет место процесс, описанный нами ранее и изображенный на рис. 1.29. После достижения бифуркационного значения
Li
= у система сама переходит в режим функционирования с. Вре-
'	Li
мя, в течение которого изменяется величина параметра ——
м , должно быть больше некоторого критического значения, чтобы система успела перейти в область притяжения точки с (кинетика изменения концентраций во время изображения на рис. 1.33). После этого можно вернуть параметрам их прежние значения, фазовый портрет системы при этом восстановится, но система уже будет функционировать в состоянии с, т. е. синтезировать преимущественно фермент Еь
В заключение еще раз подчеркнем, что триггерные модели адекватно описывают одну из основных особенностей биологических систем — их способность к переключениям из одного режи-
ма функционирования в другой; именно поэтому наряду с колебательными триггерные модели получили столь широкое распространение. Некоторые из иих будут более подробно описаны нами в гл. 2 при рассмотрении кинетических моделей молекулярной биологии.
59
$ 6. АВТОКОЛЕБАНИЯ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ
В предыдущих главах нами были рассмотрены общие методы исследования систем дифференциальных уравнений, описывающих модели реальных процессов. Было показано, что в большом числе случаев можно свести задачу исследования стационарных состояний системы произвольного вида
-^ = Р(х, у); -f—Q(x, У)	(1.6-1)
к исследованию особых точек линеаризованной системы вида dx , , du , ,	,т „
—- = ax + by, —^- = cx + dy,	(1.6—2)
где
a=Px(x, y), bv=P'y(x, y), c = Qx\x, y), d = Qy(x, y).
Метод линеаризации (метод Ляпунова) позволяет установить характер устойчивости особой точки, т. е. исследовать поведение системы вблизи особой точки, однако не дает ответа на вопрос, как ведет себя система вдали от особых точек. Действительно, лишь в достаточной близости от особой точки (х, у) мы имеем право ограничиться линейными членами в разложении функций Р(х, у) и Q(x, у) в ряд Тейлора. Вдали же от особой точки величины s = x— х и х\ = у — у, представляющие собой отклонения переменных от координат особой точки, перестают быть малыми, а линейные приближения — правомочными.
Как мы убедились, в случае неустойчивого узла, неустойчивого фокуса и седла изображающая точка уходит при t^-oo. настолько далеко от особой точки, что в этой области использование линеаризованной системы уже становится неправомерным.
В реальной системе ни одна реальная величина не можеу принимать бесконечных значений. Рано или поздно в самой системе возникнут условия, ограничивающие рост этих величин. Если мы сконструировали некую модель процесса и описали ее системой дифференциальных уравнений, устойчивым стационарным решением которой является бесконечность, это сразу же свидетельствует о недостатке модели. Однако и в «правильной» модели возможно наличие на фазовой плоскости ху неустойчивых особых точек. В этом случае возможны два варианта:
1) кроме неустойчивого положения равновесия на фазовой плоскости существует устойчивое, к которому и сходятся все траектории. Именно такое явление имеет место, например, в моделях триггерного типа, описанных выше. В триггерной модели система алгебраических уравнений для стационарных состояний
Р(х, у)=0, Q(x, у)=0
имеет три решения, причем исследование характера устойчиво-60
сти каждой из трех особых точек можно проводить- обычными методами линеаризации уравнений в окрестности особой точки;
2) траектории из неустойчивой особой точки могут не уходить в бесконечность несмотря на то, что устойчивых точек на фазовой плоскости нет. В этом случае существует по крайней мере одна замкнутая траектория, к которой в пределе должны стремиться фазовые траектории. Очевидно, что раз эта траектория замкнута, то при движении по ней координаты изображающей точки будут периодически принимать одни и те же значения.
Мы уже изучали периодические движения при рассмотрении особой точки типа центр и затухающце-или нарастающие колебания в случае устойчивого и неустойчивого фокусов. Теперь нам предстоит ознакомиться с важным понятием \автоколебаний.-
Автоколебательными системами называются такие системы, в которых имеют место два следующих явления} Во-первых, каковы бы ни были начальные условия, в автоколебательных системах устанавливаются незатухающие колебан^, и, во-вторых, эти незатухающие колебания устойчивы, так как отклонения (в обе стороны) от стационарного режима затухают. Таким образом, в автоколебательной системе устанавливаются и поддерживаются незатухающие колебания за счет сил, зависящих от состояния самой системы, причем амплитуда этих колебаний определяется свойствами системы, а не начальными условиями. Фаза колебаний при этом может быть любой. Легко видеть, что огромное число колебательных систем в биологии, включая периодические биохимические реакции, периодические процессы фотосинтеза, колебания численности животных и т. д., относится к классу автоколебательных систем.
. На фазовой плоскости стационарное решение автоколебательной системы представляется так называемым предельным циклом.
Предельный цикл есть изолированная замкнутая кривая на фазовой плоскости, к которой в пределе при t-^oo стремятся все интегральные кривые. Предельный цикл представляет стационарный режим с определенной амплитудой, не .зависящей от начальных условий, а определяющейся только устройством системы. Простые примеры позволяют убедиться, что системы вида (1.6—1), вообще говоря, допускают в качестве траекторий предельные циклы.
Например, для системы
-?~у + х[1 — (х2 + у2)],
JlL=-x + y[\-(x2 + y2)] at
траектория х2 + у2=1 является предельным циклом. Его параметрические уравнения будут:
x=cos[t—10), t/=sin(£—10),	\
6
з уравнения всех других фазовых траекторий запишутся в виде: х = cos — t у = sin (<—<„)	.
/1 +	’ V1 + Се-2('-,'»)
Значениям постоянной интегрирования С > 0 соответствуют фазовые траектории, накручивающиеся на предельный цикл изнутри (при /~>оо), а значениям —1<с<0 — траектории, накручивающиеся снаружи.
Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, — окрестность е, что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности е, асимптотически при С->- оо приближаются к предельному циклу. Если же, наоборот, в любой сколь угодно малой окрестности е предельного цикла существует по крайней мере одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при /->оо, то такой предельный цикл называется неустойчивым. Для иллюстрации на рис. (1.34) изображены устойчивый предельный цикл а и неустойчивые предельные диклы бив.
Рис. 1.34. Устойчивый (а) и неустойчивый (б, в) предельные циклы
«2
G
Рис. 1.35. Иллюстрация к теореме Г
Рис. 1.36. Иллюстрация к теореме 2
Заметим, что неустойчивые циклы, подобные изображенному на рис. 1.34, в, такие, что все траектории с одной стороны (например, извне) приближаются к ним, а с другой стороны- (например, изнутри) удаляются от них при t-><*>, иногда называют «полуустойчивыми» или двойными (последнее название обусловлено тем, что обычно такие циклы при подходящем изменении параметра системы расщепляются на два, один из которых устойчив, а другой — неустойчив).
Для нахождения предельных циклов не существует таких простых путей, как для нахождения стационарных точек и исследования их устойчивости. Однако исследование фазовой плоскости системы часто помогает дать ответ на вопрос, есть в данной системе предельный цикл или нет.
Сформулируем без доказательств несколько теорем, определяющих наличие предельного цикла по топологическому строению фазовой плоскости. -
Теорема 1. Пусть на фазовой плоскости существует область, из которой фазовые траектории не выходят и в которой нет положений равновесия .(особых точек). Тогда в этой области обязательно существует предельный цикл, причем все остальные траектории обязательно наматываются на него.
На рис. 1.35 изображена такая область G, из которой фазовые траектории не выходят. Это означает, что фазовые траектории либо входят, пересекая границу, внутрь области, либо сама граница будет фазовой’ траекторией. Легко видеть, что такая область не может быть односвязной. Поскольку траектории наматываются на предельный цикл изнутри, это означает, что существует на фазовой плоскости внутри этого устойчивого предельного цикла либо неустойчивая особая точка, либо неустойчивый предельный цикл, очевидно, не принадлежащие рассматриваемой нами области G.
Таким образом, если найти на фазовой плоскости такук> двухсвязную область, что направления фазовых траекторий на всей границе обращены внутрь этой области, то можно утверждать, что внутри этой области имеется предельный цикл.
6$
Теорема 2. Если существует на фазовой плоскости некоторая замкнутая область, такая, что все фазовые траектории, пересекающие границу этой области, входят в нее и внутри этой области имеется неустойчивая особая точка, то в последней обязательно имеется хотя бы один предельный цикл (рис. 1.36).
Приведем некоторые критерии отсутствия замкнутых фазовых траекторий:
1) если в системе не существует
Рис. 1.37. Фазовый портрет системы, имеющей устойчивый и неустойчивый (пунктир) предельные циклы
особых точек, то у нее не может быть и замкнутых траекторий;
2) если в системе существует только одна особая точка, отличная от узла, фокуса и центра (например, седло), то такая система не допускает замкнутых траекторий;
3) если в системе имеются только простые особые точки, причем через все точки типа узел и фокус проходят интегральные кривые, уходящие в бесконечность, то в такой системе нет замкнутых фазовых'траекторий.
В случае, если критерии 1—3 выполнены, мы можем с уве
ренностью утверждать, что в системе нет предельных циклов. Однако невыполнение этих критериев еще не позволяет сделать вывод о наличии в системе предельных циклов и, следовательно, автоколебаний.
Неустойчивый предельный цикл, само собой разумеется, также может содержаться в фазовом портрете грубых систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальному периодическому процессу; хон играет лишь роль «водораздела», по обе? стороны которого траектории имеют различное поведение. Например, на рис. 1.37 неустойчивый предельный цикл представляет собой сепаратрису, отделяющую область тяготения траекторий к устойчивой особой точке, с одной стороны, и к устойчивому предельному циклу — с другой.
Для качественного исследования динамической системы, описываемой системой двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными
^- = Р(х. A A_Q(x, </),
т. е. для выяснения возможных типов ее поведения нет надобности находить все фазовые траектории. Для этой цели достаточно найти лишь некоторые, основные фазовые траектории, определяющие качественный характер фазового портрета. Именно нужно знать число, характер и взаимное расположение состояний равновесия (особых точек) предельных циклов, а также ход сепаратрис. Знания этих основных траекторий достаточно для до-
64
ведения до конца качественного исследования динамической системы.
Вопрос о существовании состояний равновесия и их характере решается сравнительно простыми приемами, изложенными в § 4. В то же время нет общих методов решения вопроса о существовании предельных циклов, об определении их числа и хотя бы приближенного места расположения. В современной теории колебаний существует несколько критериев, позволяющих сделать определенные заключения о существовании в системе предельных циклов. Некоторые из них перечислены нами выше, другие описаны в специальной литературе. Однако для каждого типа задачи приходится изобретать специальные методы и прибегать к численному интегрированию или графическому интегрированию с помощью метода изоклин.
5 7. ПРОБЛЕМА БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. ТЕОРЕМА ТИХОНОВА
Проблема, выбора существенных переменных, необходимых и достаточных для построения адекватной математической модели изучаемого объекта, есть одна из основных проблем математического моделирования.
Задача исследования состоит в том, чтобы построить модель явления, содержащую возможно меньшее число переменных и произвольных параметров и в то же время правильно отражающую основные свойства этого явления (например, устойчивость, колебательность, триггерные свойства и т. д.). Если увеличение числа переменных не меняет существенно общие свойства модели, такие дополнительные переменные будут «лишними» и их не следует включать в модель. Мы разберем вопрос о том, в каких случаях, не утрачивая основных свойств моделируемого объекта, можно сократить исходное число переменных и тем самым упростить модель.
Проблема относительно легко разрешима в случае, когда в системе имеет место так называемая иерархия времен; совместно протекающие процессы сильно отличаются по своим характерным временам. Для группы быстро изменяющихся переменных можно не записывать дифференциальных уравнений, поскольку они практически мгновенно по сравнению с остальными более медленными достигают своих стационарных значений. Тогда для быстрых переменных вместо дифференциальных уравнений, описывающих их поведение во времени, можно записать алгебраические уравнения, определяющие их стационарные значения. Эти значения быстрых переменных могут быть подставлены в дифференциальные уравнения для медленных переменных в качестве параметров. Таким образом, осуществляется редукция, т. е. уменьшение числа дифференциальных уравнений полной системы, которая теперь будет включать лишь медленные переменные, зависящие от времени.
3 Зак. 363	65
В химической кинетике такой метод был предложен впервые Боденштейном (1913) и получил название метода' квазистационарных концентраций..Обычно он применяется при исследовании систем химических реакций, промежуточные продукты которых являются частицами с высокой реакционной способностью. К таким реакциям относятся в первую очередь все каталитические процессы, а также свободнорадикальные и цепные реакции.
В процессах, идущих с участием активных промежуточных частиц, за малый промежуток времени (за который относительное изменение концентраций исходных веществ невелико), устанавливается режим, при котором разность скоростей образования г»о и расходования vp промежуточных соединений становится малой по сравнению с этими скоростями. Это означает, что концентрации промежуточных веществ практически не меняются. Такой режим называется квазистационарным, а отвечающие ему концентрации активных промежуточных частиц — квазистацио-нарными концентрациями.
В квазистационарном режиме дифференциальные уравнения для изменений концентраций каждого из промежуточных соединений Ri
dRi _..(0 _.(о	_ 1О 1
1	-VQ -vp ) I —	9 11
,	dt
dR 
можно заменить, пренебрегая малой величиной —, алгебраическими
= г-1, 2,
Здесь Vol) и Vp* являются функциями концентраций исходных веществ и самих активных промежуточных соединений, поэтому из I алгебраических уравнений можно выразить I квазистационар-ных концентраций стабильных химических веществ. По мере расходования этих веществ квазистационарные концентрации промежуточных соединений будут изменяться, но если время установления квазистацйонарного режима мало, он не будет нарушаться на протяжении всего процесса.
Конечно, такое рассмотрение неправомерно на начальных стадиях процесса, в течение которых концентраций промежуточных частиц изменяются от нуля до’ своих квазистационарных значений. Этот период носит название периода индукции. Разработке метода квазистационарных концентраций (КСК) и оценке длительности периода индукции посвящены работы Бенсона (1964), Семенова, Франк-Каменецкого (1967) и др.
Метод квазистационарных концентраций получил строгое математическое обоснование в работах А. Н. Тихонова. В 1952 г. им была доказана теорема, устанавливающая условия, при которых возможна редукция системы уравнений, переменные которой изменяются с различными характерными временами. Дальнейшей
66
математической разработке этих вопросов посвящены работы-Васильевой (1973), Понтрягина (1957), Вазова (1968).
Особенно плодотворен такой подход при изучении и моделировании биологических систем, в которых одновременно протекают быстрые процессы ферментативного катализа (т~ 1(Н-5-4-10_5), физиологические процессы (порядка минут) и процессы репродукции (от нескольких минут и больше).
Рассмотрим простейший случай. Пусть некоторый процесс описывается системой двух дифференциальных уравнений:
-^- = <Р(Х’	=	У)'	О-7— 1)
причем у медленная, а х— быстрая переменная. Это означает, что отношение приращений Аг/ и Ах за короткий промежуток времени А? много меньше единицы:	1.
Дх
Запишем (1.7—1) в более удобном для исследования виде: воспользуемся тем фактом, что скорость изменения х значительно превосходит скорость изменения у.'Это позволяет представить функцию <р(х, у) в виде произведения некой большой величины А 1 на функцию F(x, y)t по порядку величины соответствующую функции G(x, у).
Итак, мы преобразовали второе уравнение системы (1.7—1) к виду
= (х> у)-
Разделив левую и правую части этого уравнения на Л и обозначив е = —, получим полную систему уравнений, тождественную системе (1.7—1):
-^-=G(x, у), s^- = F(x, у),	(1.7-2)
где е<1. Упростить полную систему (1.7—2) можно только, если характер решения этой системы не изменится при устремлении малого параметра е к нулю. В таком случае мы можем совершить этот предельный переход и получить из второго дифференциального уравнения системы (1.7—2) алгебраическое. Тогда система примет упрощенный вид:
F(x, y) = Q.
Система уравнений (1.7—3) в отличие от полной системы (I. 7—2) называется вырожденной.
Рассмотрим фазовый портрет полной системы (1.7.2) на рис. 1.38. Напомним, что характер фазовых траекторий системы
3*
67
Рис. 1.38. Фазовый портрет полной системы (1.7-2)
определяется расположением главных изоклин системы. Для системы (1.7—2) главные изоклины определяются уравнениями: G (х, у)—О — изоклина горизонтальных касательных и F(x, у) —О— изоклина вертикальных касательных.
Точка их пересечения — это особая точка полной системы, а ее координаты — стационарные значения переменных х, у.
В § 4 описан метод линеаризации системы линейных дифференциальных уравнений, позволяющий установить характер
устойчивости особой точки и поведение фазовых траекторий в малой окрестности особой точки. Здесь мы рассмотрим вопрос о том, как влияет на общую ’ структуру фазового портрета, в том
числе и вдали от особой точки, наличие малого параметра во втором уравнении системы (1.7—2). Важнейшей особенностью
фазового портрета этой системы является наличие областей на плоскости х, у, резко отличающихся по скоростям изменения в них переменных. В самом деле, фазовые траектории в любой точце фазовой плоскости, за исключением е-окрестности кривой F(x, у)=0, имеют наклон, определяемый уравнением
с G <'х’ у>) --dx F (х, у)
т. е. расположены почти горизонтально. Это так называемые области быстрых движений, в которых вдоль фазовой траектории у — const, а х быстро меняется. Достигнув по одной из таких горизонталей е-окрестности кривой F(x, у)=0, изображающая точка начнет затем двигаться по этой кривой. Скорость движения dx	1	.
по горизонтальным участкам траектории --------~ — — А, т. е.
dt	е
очень велика по сравнению со скоростью движения в окрестности кривой F(x, y)—Q. Поэтому общее время достижения некоего состояния на кривой F(x, у)—0 определяется характером движения вдоль этой кривой, т. е. фактически зависит лишь от начальных значений медленной переменной у и не зависит от начального значения быстрой переменной х.
Вырожденная система (1.7—3) содержит лишь одно дифференциальное уравнение
dy dx
= G(x,
У)
и одно алгебраическое: F(x, г/)=0, задающее связь между переменными х и у. Легко видеть, что в отличие от фазовой плоскости системы (1.7—2), через каждую точку которой проходит фазовая траектория, на плоскости ху вырожденной системы
68
(I. 7—3) имеется лишь одна траектория, задаваемая уравнением: F(x, y)—Q. Из любой точки, соответствующей начальным уело-виям хо, уо, изображающая точка системы (1.7—3) скачком (у =i/o = const, х мгновенно меняется) переходит на кривую Г(х, У) =0. Таким образом, кривая F(x, у) =0 вырожденной системы совпадает с изоклиной вертикальных касательных полной системы. В вырожденной системе (1.7—3) не отражаются быстрые горизонтальные движения по фазовым траекториям полной системы (1.7—2), которые, как мы уже установили, не оказы: вают влияния на поведение системы на временах, характерных для медленной переменной.
Посмотрим, каковы условия, позволяющие заменять полную систему уравнений вырожденной.' Очевидно, для правомерности такой замены необходимо, чтобы независимо от начальных условий изображающая точка полной системы быстро переходила на изоклину вертикальных касательных Г(х, г/)=0. Это означает, что начальные условия х0 должны попасть в область притяжения устойчивой особой точки так называемого присоединенного уравнения е= -^- — F(x, у), поскольку особые точки	= 0^
этого уравнения как раз расположены на кривой F(x, у)=0. Иными словами, необходимо, чтобы решение х = х(у) алгебраического уравнения для нахождения координат особой точки присоединенного уравнения F(x, у) =0 было в то же время устойчивой изолированной особой точкой этого присоединенного уравнения: е----= F(x, у) при всех значениях у, где у уже играет
роль параметра.
В этом состоит основное содержание теоремы А. Н. Тихонова.
Приведем теперь строгую формулировку этой теоремы, которая указывает условия, позволяющие проводить редукцию системы дифференциальных уравнений, т. е. замену дифференциальных уравнений для быстрых переменных алгебраическими. Запишем систему N уравнений, часть которых содержит малый параметр е перед производной:
e-^ = Fp(Xi, ... ,xf, xf+i...xN), ' (1.7-4)
dt
-^- = F.(xlt ...,xr, Xr+1,.... ,х„).	(1.7—5)
Назовем систему (I. 7—4) присоединенной, а систему (I. 7—5) — вырожденной.
Решение полной системы (1.7—4) — (1.7—5) стремится к решению вырожденной при е->0, если выполняются следующие условия:
а)	решение полной и присоединенной систем единственно, а правые части непрерывны;
69
б)	решение xi=<pi (хь... ,xN),... ,xr=<pr(xi,... ,xN) представляет собой изолированный корень алгебраической системы
Fp(xlt ... ,хг, х’,.+1, ... ,xN) =0, р= 1.г
(в окрестности этого корня нет других корней);
в)	решение хь х2,...,хг — устойчивая изолированная особая точка присоединенной системы (1.7—4) при всех значениях Хг+1, . . . , Xn',
г)	начальные условия xi°, Х20,..., xr° попадают в область влияния устойчивой особой точки присоединенной системы.
Число начальных условий вырожденной системы меньше, чем полной: начальные значения, быстрых переменных не используются в вырожденной системе. Согласно теореме Тихонова, если выполняется условие (в), результат не зависит от начальных условий для переменных присоединенной системы.
Мы видим, что необходимым условием, позволяющим проводить редукцию системы дифференциальных уравнений, является наличие малого параметра 8 в уравнении (1.7—4). Если в полной системе уравнений имеются параметры разной степени малости, теорему Тихонова можно применять несколько раз последовательно. Сначала рассматривается вырожденная система прй 8Г —* 0, где г—старшая степень параметра, затем исследуется вырожденная система при ег-1->0 и так далее по убывающей степени параметра.
В уравнениях химической и биологической кинетики роль малых параметров часто играют постоянные времени быстрых процессов различного порядка. Это позволяет анализировать поведение сложных систем на различных промежутках времени, что значительно облегчает их рассмотрение. В других случаях в качестве малого параметра выступает отношение малых концентраций к большим. Такая ситуация часто возникает в процессе выделения безразмерных переменных в кинетических уравнениях.
Теорема Тихонова широко используется при исследовании сложных систем методом стационарных концентраций. Принтом сначала на основании экспериментальных данных обычно строится вероятная схема, включающая довольно большое число переменных с разными характерными временами. Затем с помощью предельного перехода е->0. больщая часть быстрых переменных исключается. Простая система, содержащая оставшиеся медленные переменные, исследуется и результаты сравниваются с экспериментом.
Вернемся к нашей системе из двух уравнений (1.7—2), одно из которых описывает изменение во времени быстрой, а другое — медленной переменной:
А = 0(х, й, =
70

х
Рис. 1.39. Фазовый портрет вырожденной системы (1.7—3). Особая точка расположена на неустойчивой ветви кривой F(x, у)—0
Соответствующая ей вырожденная система имеет вид:
' -^- = F(x, у), dt v
F(x, y) = 0.
Кривая F(x, y) = 0 характеризует для вырожденной- системы зависимость стационарных значений переменной х от параметра у в отличие от полной системы, в которой х и у являются равноправными переменными. Рассматривая уравнение F(x, у)=0,
можно легко сделать вывод о том, какие из точек этой кривой соответствуют устойчивым решениям х=х(у) присоединенного уравнения: г—— = F(х, у), где у — параметр. Вспомним (§ 1), at
что устойчивость точек этой кривой определяется знаком производной Fx(x, у), причем те точки кривой F(x, у)=0, в которых Fx > 0, являются неустойчивыми, а те, для которых Fx < < 0, — устойчивыми. Например, на фазовом портрете, представленном на рис. 1.39, изображающая точка в зависимости от знака производной Fx(x, у) будет быстро двигаться по направлению к (Гх<0) или от (Fx > 0) кривой F(x, у)=0. Движение по самой кривой F(х, у)=0 есть медленное движение, и оно происходит в соответствии с уравнением
-^-=G(x, у), dt '
Если G(x, z/)>0, то движение происходит вдоль F(x, z/)=0 так, что значения у растут, если же G(x, у) <0, то при движении у уменьшается. Если F(x, у)=0 представляет собой немонотонную кривую, как это изображено на рис. 1.9, в точках изменения знака производной Fx(x, у) происходят скачки (точки А и В). В этих точках происходит смена характера устойчивости, так как в соответствии со знаком производной Fx(x, у) ветви СА и BD являются устойчивыми, в то время как АВ — неустойчивой. По введенной нами в § 1 терминолргии точки А и В являются бифуркационными. В соответствии со знаком -^- = G(x, у) изобрази
жающая точка системы медленно доходит по ветви СА до точки А. Дальше по кривой F(x, у)=0 изображающая точка двигаться не может, ибо ветвь АВ этой кривой является неустойчивой. Поэтому система быстро переходит по горизонтальной изоклине AD на устойчивую ветвь кривой F(x, у) =0. Однако на
71
этой ветви в соответствии со знаком —— = G(x, у) <0 движение dt
происходит в направлении точки В, которая так же, как и точка А, будет бифуркационной. Далее снова следует быстрый горизонтальный скачок ВС. Затем точка движется по ветви СА И т. д. Таким образом, система совершает разрывные автоколебания по замкнутой траектории — предельному циклу ADBC.
В рассмотренной нами системе
= f (х>	У)
at	at
переменная у есть управляющий параметр, знак функции G(x, у} указывает направление движения системы вдоль кривой F(x, у)—0 и тем самым создает возможность управления системой.
В связи с этим уместно провести аналогию с движением системы вдоль кривой стационарных состояний, рассматриваемым в § 1 (см. рис. 1.9). Мы видим, что при изменении управляющего параметра а система (I. 1—14) с одним неизвестным х проходит через ряд стационарных состояний, совершая в результате колебательный гистерезисный цикл. В системе (I. 1—14), имеющей вид
-«/(х.а),	(1.7—6)
где а — параметр, не задано в явном виде изменение во времени величины а, в результате которого, собственно, и происходит движение по кривой стационарных состояний х=х(а) (см, рис. 1.9). Для полного описания этого движения необходимо задать отдельное независимое уравнение вида
-^- = <р(а,х),	(1.7-7)
описывающее изменение а во времени за счет неких снл, внешних по отношению к системе (1.7—6).
Уравнения (1.7—6) и (1.7—7) образуют вместе систему двух уравнений с двумя неизвестными:
-^ = /(х, а), -^ = <р(х, а).	(1.7-8)
Исходя из описанных выше свойств полной системы (1.7—8), легко заключить, что скорость изменения а во времени в уравнении (1.7—7) должна быть значительно меньше скорости изменения х в (1.7—6), т. е.
<р(а, х)</(х, а).	(1.7—9)
Именно при выполнении условия (1.7—9) можно было считать а постоянным параметром в уравнении (1.7—6). Действительно,
72
при этом а не успеет сколько-нибудь существенно измениться за время изменения интересующей нас переменной х. В то же время стационарные состояния в системе (1.7—8) по концентрациям переменной х будут каждый раз быстро устанавливаться по мере постепенного изменения а. Нетрудно видеть, что приведенные выше соображения равносильны применению теоремы Тихонова для системы, где х играет роль быстрого, а—медленного переменного. Соответствующая системе (1.7—8) вырожденная система имеет вид:
f (х, а) = О,
Примеры применения теоремы Тихонова будут продемонстрированы в гл. 2 при рассмотрении моделей ферментативных процессов. Широкое применение теоремы Тихонова при исследовании биологических объектов разной природы читатель может также найти в монографиях Ю. М. Романовского, Н. В. Степановой и Д. С. Чернавского (1975, 1984). Возможность описывать сложные биологические системы небольшим числом уравнений авторы этих книг называют «принципом простоты», связывая его с эволюционно обусловленным свойством биологических систем иметь наименьшее возможное число главных регулирующих параметров, что ведет к повышению их способности к адаптации и упрощению управления без потерь его эффективности.
Еще раз подчеркнем, чтб теорема Тихонова может быть применена при рассмотрении большинства биологических систем именно благодаря тому, что они обладают временной иерархией, т. е. процессы, протекающие в таких системах, имеют существенно разные характерные времена.
$ 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ В БИОЛОГИИ
До сих пор мы рассматривали математические модели биологических процессов, в которых состояние системы в каждый момент времени описывалось конечным, как правило небольшим, набором чисел. Эти числа; обычно концентрации каких-то объектов, взаимодействие которых и составляет суть изучаемого процесса. Так, при моделировании химических реакций это концентрации веществ, участвующих в реакции. В экологических моделях— численности видов, составляющих биоценоз, или их биомассы. При математическом моделировании переноса электронов это концентрации различных переносчиков. Не всегда, однако, состояние системы удобно описывать конечным набором чисел.. Если, скажем, мы хотим описать процесс распространения каких-то объектов в пространстве, то состояние такой системы в фиксированный момент естественно описывать функцией точки и(х)—. концентрацией в точке х. Конечно, и в этом случае можно разбить пространство на маленькие ячейки и описывать состояние
7}
большим, но конечным набором чисел — концентрациями во всех ячейках. Такой подход иногда удобен для вычислений, но для качественного или аналитического исследования модели он оказывается малопригодным. В этом параграфе мы рассмотрим математические модели, в которых состояние системы описывается функцией точки пространства. Если в предыдущих параграфах, где состояние задается конечным числом параметров, эволюция системы во времени описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, то здесь эволюция состояний во времени будет описываться уравнениями с частными производными.
Как правило, мы будем говорить о моделях биохимических реакций. Аналогичные модели можно' строить для экологических процессов, в популяционной генетике, при изучении распространения эпидемии и т. д.
Рассмотрим химическую реакцию, проходящую в некотором объеме D, в которой принимают участие г веществ (считая продукты реакции). Пусть Ui(t, х), u2(t, x),...,Ur(t, х)—концентрации этих веществ в момент t в точке zeD. Изменение концентраций во времени происходит за счет двух процессов: во-первых, за счет химических превращений веществ в ходе реакции, во-вторых, за счет диффузии отдельных веществ из областей с высокой концентрацией в области с меньшей концентрацией. Пусть скорость изменения концентрации i-oro вещества за счет химической реакции есть fi=fi(ui, u2,.:.,Ur, х, t). Эта скорость зависит от концентрации всех компонентов реакции в точке х, а также непосредственно от х и t, так как внешние параметры, такие, например, как температура, различны в разных точках области D и изменяются со временем.
Количество частиц i-того вещества, проходящее через площадку единичной площади в единицу времени S,(i, х) (поток диффузии), пропорционально величине градиента концентрации i-того вещества:
St (t, х) = —Dt Уд (Л х);
Здесь Di — коэффициент диффузии для i-того вещества. Если предположить, что отсутствуют «гидродинамические» потоки — систематические, неслучайные движения реагирующих веществ,— то закон сохранения дает нам следующее уравнение для щ(1, х):
...,«,) + div(Dt^i). at
Будем считать, что коэффициент диффузии не зависит от х, тогда придем к следующей системе уравнений для функций «ь... ..., Ur'.
..............ur) + Di\Ui(x),	(1.8-1) at
д2	д2	д2
где Д — —Н-----г- -----X---оператор Лапласа.
dxj	дх%	дх‘	г
74
Чтобы выделить единственное решение системы уравнений (1.8—1), необходимо задать начальные условия
Ui(0, х) =<pi(x), i=l,...,r,	(1.8—2)
и условия на границе области D. Простейшее граничное условие— непроницаемость границ области. D, от которых частицы отражаются, — имеет следующий вид:
Эа, I п л ---	=0,1=1, дп IxedD <>0
г,
(1.8-3)
где ди/
дп
п — вектор
= <р(х)
<>0
нормали к границе dD области D. Условие
описывает поток вещества через границу.
Другой тип граничных условий — поглощение на границе:
u,(Z, x)lxedD.<>o = 0. Граничное условие
au^t, х) + 0-^ дп
= 0
xGdD, t>0
соответствует частичному поглощению и частичному отражению на границе. При небольших качественных предположениях о функциях f( и ф, система (1.8—1) вместе с дополнительными условиями (1.8—2) или (1.8—3) имеет единственное решение. Если область D совпадает со всем пространством, то граничных условий ставить не нужно.
Ранее для описания эволюции концентраций в ходе химической реакции мы использовали системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Посмотрим, какими величинами мы должны пренебречь, чтобы система (1.8—1) переходила в системы обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотренных в § 1—7. Такая редукция возможна в различных случаях. Если внешние параметры можно считать постоянными во всем объеме D, так же как и начальные условия <рг- (т. е., есл'и fi(t, х, u)=f(u, t), (х) =<pi = const), то решение точечной системы =	t), иг(0)=<рг, i=l, 2, ...,r является решением за-
дачи (1.8—1) — (1.8—3). Таким образом, если.внешние условия и начальные концентрации однородны во всем объеме D, то достаточно рассматривать точечную систему.
Другой случай, когда точечная система хорошо описывает кинетику,— случай больших коэффициентов диффузии. Если скорости диффузии, в нашем случае это величины V, велики по сравнению со скоростями реакций f(u, х, t), то прежде чем произойдет существенное изменение концентрации i-того вещест-
ва за счет реакции, частицы этого вещества перемешиваются во
всем объеме D. усредненными
При этом химические
скоростями A (u, t)
реакции будут идти с
—— С f{ (t, х, и) dx, где
J
75
Vd — объем области D. Таким образом, если коэффициенты диффузии Dit	г, велики, то решение системы (1.8—1) —
(I.8—3) после некоторого периода релаксации будет близко к решению точечной системы:
«г =?;(«, 0, i = 1, ... , г.	(1-8—4)
В качестве начальных условий следует принять усредненные начальные концентрации «,(0) =-------i <p,(x)dx.
Будем для простоты считать, что внешние параметры не изменяются во времени и постоянны во всем объеме D. Это означает, что функции fi = ft(«) не зависят от t и х. Как и в случае точечных систем, важную роль играют стационарные, не изменяющиеся со временем решения задачи (1.8—1)—-(1.8—3). Из условия обращения в ноль производных по времени для нахождения стационарных решений получаем задачу
DfAui (х) + f{ («1( ... , иг) = О,
(1.8-5)
дп xedD
Среди решений задачи (1.8—5) имеются стационарные решения точечной системы: fi(u\, . . . , иг) =0, 1 = 1.г. Эти решения
не зависят от х. Но, кроме того, имеются неоднородные по пространству решения.
. Рассмотрим в качестве примера одно уравнение (г=1) с одной пространственной переменной; это значит, что реакция происходит в тонкой трубке длиной I:
= D	+ и(а—и) (и—Ь), 0<х</,
dt дх2
(1.8-6)
— (t,	L)=0.
дх '	dt
Такое уравнение встречается также в некоторых моделях из популяционной генетики, экологии, теории возбудимых сред. Соответствующее точечное уравнение й = и(а—и) (и—Ь) имеет три положения равновесия: «1 = 0, и2 = а, u3=b. Будем считать, что 0<.a<Zb. Тогда точки «1 = 0 и и3=Ь устойчивы, а и2 = а — неустойчивое положение равновесия для точечной системы. Для стационарных решений задачи (1.8—6) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:
D^ + UcT(UcT-a)(&-uCT)==0, 0<х</, dx*
(1-8-7)
Ист (0) = «ст (0 = 0-
76
Прежде всего мы имеем три стационарных решения, которые соответствуют положениям равновесия соответствующей точечной системы: «1 = 0, и2=а, и2=Ь. Но при не очень маленьких I имеются еще неоднородные по пространству решения. Чтобы найти их, обозначим F(u) функцию, для которой F(u) =u(u—а) X X (Ь—и). Домножая уравнение (1.8—7) на	и интегрируя
dx
по х, получаем
f(v)+fw=T-<<“1’
где с — произвольная постоянная. Решая последнее уравнение, получим соотношение
“° У
которое определяет все решения уравнения (1.8—7). Постоянные «о и с опредляются из двух граничных условий (0) = -^£1. (/) = dx	dx -
=0. Нетрудно доказать, что при I больших некоторого Zo>O эти граничные условия можно удовлетворить, и, следовательно, существует пространственно неоднородное решение задачи. С ростом длины нашего реактора I число различных стационарных решений возрастает. Как мы видим, даже в случае простейшей распределенной системы, описывающей эволюцию концентрации одного вещества в одномерном реакторе, мы имеем довольно сложную процедуру для нахождения стационарных решений. Конечно, для большого числа реагирующих веществ (или в случае реактора, протяженного на плоскости или в пространстве) задача нахождения стационарных решений еще более сложна. Как правило, ее можно решить только с помощью совместного использования качественных соображений и ЭВМ. Рассмотрим еще один пример распределенной системы:
— = Л + и2о—и(В+ 1) + Г>и—, dt	v ' и дх*’
(1.8-8)
-%- = Ви + u*v + D„-^-, t > 0, х е (0, /).
Эта система, описывающая многостадийную химическую реакцию с диффузией, впервые была рассмотрена Тюрингом (1952) и изучена в работах Пригожина и его школы. Она дает модельное описание процессов, происходящих при дифференцировке тканей и морфогенезе.
Чтобы выделить единственное решение системы (1.8—8), необходимо задать начальные условия u(0, x)=Uq(x), v(0, x)=t>o(*)
77
и условия на границе отрезка (0, /). Если предположить, что реакция происходит в тонкой трубке с непроницаемыми торцами, то соответствующие условия на границе имеют вид
~(t, 0) = —(/, /)=-^(/, 0) = —(/, /) = 0. дх	дх	дх	дх
Одно стационарное решение системы (1.8—8), являющееся положением равновесия соответствующей точечной системы, найти просто. Для этого нужно приравнять нулю правые части соответствующей точечной системы:
A + u2v—м(В+1)=0,
Ви—u2v = 0.
Отсюда и —А, v= -------пространственно однородное стацио-
нарное решение системы (1.8—8). Сложнее найти пространственно неоднородные стационарные решения задачи (1.8—8). Эти решения находятся из системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
Ри-^- + Л + и20-и(В+1) = °, ^-(0) = -^-(/) = 0,
(1.8-9)
D0-^- + Bu—u2v = 0, —(0) = —(/) = 0. ° dx*	dx v ' dx v ’
При определенных предположениях относительно коэффициента А и В пространственно неоднородные решения системы (1.8—9) существуют.
Как и в случае точечных систем, особый интерес представляют устойчивые стационарные состояния расположенных систем. Как правило, именно такие состояния могут наблюдаться в эксперименте. Поясним, как ставится задача об устойчивости распределенных систем и как можно проверить устойчивость стационарных решений. Рассмотрим сначала уравнение (1.8—6). Пусть и0(х) — стационарное решение этого уравнения. Выберем в качестве начальной функции'в задаче (1.8—6) функцию, близкую к «о(*):	.
u(0, х)^и0(х) + 6(х), |6(х)|«1.
Пусть х) — решение задачи (1.8—6) с такой начальной функцией.
Стационарное решение и0(х) называется устойчивым, если для достаточно малых 16 (х) | и6 (t, х) при всех / > О мало отличается от «0(х). Вблизи «0(х) нелинейную функцию f(u) ~и (а—и) (и—Ь) можно приблизить линейной функцией f (и) s* f (и0) + Ьа (ы0) (и — и0) = = и0(а—и0) (u0—b) + [(а—и) (и — Ь) + и(а — и)—и(Ь —и)] (и— иь). Поэтому при малых д(х) функция u6(t, x)^u0(x) + 6(/, х), где 6(/, х)—решение линейной задачи:
78
^)=^) + z;(tto)6(t х),
(1.8— 10)
6(0, x) = 6(x), -^-(Л 0)=—(/, /) = 0. дх	дх
(В дальнейшем считаем для краткости, что коэффициент диффузии D = 1.)
Таким образом, для исследования устойчивости стационарных состояний распределенных нелинейных систем нужно изучить поведение при /->оо решения линейной задачи. Как правило, свойства линейной задачи определяют устойчивость или неустойчивость решения соответствующей нелинейной системы. Исключение составляют случаи нейтрального поведения решений линейной задачи (сравни с исследованием устойчивости точечных систем).
Рассмотрим, например, вопрос об устойчивости однородных по пространству стационарных решений задачи (1.8—6). Для решений /'и(йо) =с=const решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно исследовать следующим образом. Начальное возмущение 6(х) можно разложить в ряд по функциям cos , k = 0, .. . , п ...
со
6 (х) = 2 °*cos ~t
ft=0
Если решение задачи (1.8—10) с начальной функцией 6fe(x) = =cos ЛХ~ ПРИ каждом k=0, 1, 2, ... будет с ростом t стремиться
к нулю, то в силу линейности будет стремиться к нулю решение задачи (1.8—10) с возмущением 6(х) общего вида. Функции knx	, 	.
cos —— являются так называемыми собственными функциями задачи с постоянными коэффициентами и условиями непроницаемости на концах отрезка. Это делает решение 8k(t, х) задачи
(1.8—10) но найти
начальной функцией 6*(х) очень простым: 6*(£,х)мож-
виде
... knx
ak(f) cos——
Подставляя это выражение в
уравнение
(1.8—10), получаем следующее соотношение для
a'k (0 = (
&2л2 Р
Кс «л (0. М0) = 1-
с
в
Kk2n2	\ 1
-------h с) п. Если с<0, то при любом /2-----/ j
/г = 0, 1, 2, . . . функция 8(t, х)->оо при К^->0. Следовательно, при c=f'u(u) <ZO8(t, х), какова бы ни была начальная функция 6(х). Таким образом, в этом случае любое (малое) начальное возму
79
щение однородного по пространству стационарного решения со временем затухает. Возвращаясь к нашей конкретной функции f(u), получаем, что при 6<.a<.b f'(0) и f'(b) отрицательны, и, следовательно, стационарные решения и=0, и=Ь устойчивы. Решение и=а неустойчиво, так как f'(a)>0. Заметим, что су-knx
ществует только конечное число гармоник вида cos-------, кото-
рые приводят к развитию возмущений стационарного и=а. А именно, это только те гармоники, для которых
решения Й2Л2
< f (а).Если начальное возмущение не содержит этих гармоник, то оно со временем будет исчезать.
Исследование устойчивости неоднородных по X стационарных решений более сложно. Для этого необходимо изучить собствен-ные значения дифференциального оператора L„ —-------г fu («о X
dx2
X (х)) 6 с условиями t/(0) =у'(/) =0. Если все собственные значения отрицательны, то решение «о(х) устойчиво. Если какие-то собственные значения положительны, то для некоторых возмущений разовьется неустойчивость. В случае одного уравнения (1.8—6) с условиями непроницаемости на концах можно дока-
зать, что все неоднородные по пространству стационарные решения задачи неустойчивы. При других граничных условиях могут появиться устойчивые неоднородные по пространству решения уравнения (1.8—6).
Аналогично обстоит дело с исследованием- устойчивости стационарных решений распределенной системы (1.8—1). При анализе устойчивости однородных по пространству решений (в случае одномерного реакционного объема) достаточно убедиться в том, что затухают решения линеаризованной (около исследуемого решения) системы с начальными функциями вида
6fo (х) = cos-^-, 6, (х) = 0 при i #= i0
(мы считаем, что для всех веществ, участвующих в реакции, коэффициенты диффузии Dt=\ и выполнены условия непроницательное™ торцов). Эта линеаризованная система имеет вид
*G(°> 0- (1.8—И)
/=i
Здесь al7—^-(u., ... , uf) при- стационарных значениях пере-dUj
менных ui, . . . , и2- Если стационарное решение однородное по пространству, то, очевидно, — константы. В этом случае решение системы (1.8—11) с начальными условиями указанного вида можно искать в виде
80
6, (i, х) = AieKt cos	, i = 1, ... , r.
Подставляя эти функции в систему, получим следующее уравнение для параметра Л:
det {ач— +Х)Е) =0,	(1.8 —12}
\	\ Р
где Е — единичная матрица. Если при любом £ = 0, 1, 2, . . . корни уравнения (1.8—12) имеют отрицательные вещественные части, то соответствующее стационарное не зависящее от х решение распределенной системы устойчиво относительно малых (не обязательно однородных по пространству) возмущений, Если существуют корни уравнения (1.8—12) с положительными вещественными частями, то при некоторых возмущениях развивается неустойчивость.
Исследуем на устойчивость стационарное решение и=А, v ==-^- системы (1.8—8) с условием непроницаемости торцов. (Считаем £)и=£)о=1.) Уравнение (1.8—12) в этом случае принимает вид
X2—(В—1—Д2-2цй2)Л—
— [(В—1—ц*)2(Д2 + |1й2)—ВЛ2] =0,
где = Из анализа этого уравнения видно, что при фиксированном В для достаточно больших А сумма корней отрицательна, а произведение положительно. Это значит, что при больших А оба корня, имеют отрицательные вещественные части при любых k = Q, 1........т. е. пространственно однородное стацио-
нарное решение системы (Г.8—8) устойчиво. В то же время в некоторой области изменения параметров А, В пространственно однородное решение неустойчиво. Вблизи бифуркационных значений параметров с помощью методов теории возмущений можно построить стационарное пространственно неоднородное решение. С помощью численных экспериментов на ЭВМ удается проверить устойчивость некоторых из этих решений. Такие устойчивые стационарные решения получили название диссипативных структур. Они играют важную роль в целом ряде моделей биологических процессов.
До сих пор мы изучали стационарные состояния распределенных систем и их устойчивость. Чтобы пояснить, как эволюционирует распределенная система во времени, полезно рассмотреть эту систему в «крайних» случаях. С одним «крайним» случаем, когда система становится точечной, мы уже встречались в предыдущих параграфах. Здесь мы говорили об условиях, обеспечйва-ющиХ близость распределенной системы к точечной. Другой «крайний» случай, когда в уравнениях остаются одни диффу
81.
зионные члены, а функции f/(ui, . . . , иг) обращаются в ноль. В этом случае система (1.8—1) распадается, поэтому достаточно выяснить, как ведет себя решение одного уравнения (будем считать, для простоты, что реакция происходит в безграничной в обе стороны тонкой трубке):
-^=D-g-, и (О, x) = g(x).	(1.8-13)
Непосредственной подстановкой в уравнение можно убедиться, что решение задачи (1.8—13) имеет вид
g(y)e Dt dy.
J JllU J ------CD
Из этой формулы, в частности, следует, что если начальная концентрация была положительна только на конечном отрезке О^х^/, то при любом />0 концентрация в момент t будет положительна всюду на числовой прямой —оо<х<оо. Таким образом, с помощью диффузии большие концентрации распространяются сравнительно медленно, в то время как малые концентрации распространяются за .малое время на большие расстояния. При этом надо иметь в виду, что уравнение (1.8—13) на очень малых интервалах времени плохо описывает процесс диффузии. Если рассматривается диффузия на конечном отрезке [0, /] с условием непроницаемости на концах, то любая начальная концентрация с ростом t стремится к равномерному распределению по отрезку.
В целом ряде моделей биологических процессов рассматривается дифференциальное уравнение
=	+	(1.8-14)
dt дх2
с начальным условием
u(0, x) = g(x) = Р’	(1.8—15)
I 0, х > 0.
В качестве f(u) и в ряде случаев берется гладкая выпуклая вверх функция, обращающаяся в ноль в точках и=0 и и=1, например функция f(u)=u(l—и) (рис. 1.40, а).
Подобные модели встречаются в экологии. Эффекты, возникающие в задаче (1.8—14), (1.8—15), играют важнейшую роль в моделях процессов передачи информации и управления в биологических системах. Дело в том, что передача сигнала путем движения концентрационной волны обладает большой помехоустойчивостью, защищенностью от внешних факторов, и, по-видимому, этот способ передачи сигналов был закреплен в процессе эволюции.
82
Сделанные предположения относительно функции f.(u) означают, что при малых и концентрация за счет нелинейного члена нарастает. Вблизи п=1 наступает насыщение. Таким образом, малые концентрации,- которые распространяются за счет диффут зии, увеличиваются за счет точечной системы. Взаимодействие
а '	6	в
f(c) ^f(c) kf(C) _
Рис. 1.40. Возможные типы функций f(u)
этих двух процессов приводит к тому, что волна концентрации, близкой к 1, движется слева направо. Более точное утверждение-состоит в следующем. Существует монотонная функция v (£), стремящаяся к 1 при —оо и к 0 при	такая, что
u(t, x')^v(x-ct')
прц /->оо, где с=2 VDf (0). Таким образом, при больших t -функция u(t, х) ведет себя как волна, распространяющаяся со-скоростью с слева направо. Форму волны задает функция о(£), которую можно найти как решение дифференциального уравнения:	\	.
Dv'^) + cv'(l-) + f(v) = Q V ( -f- CO ) —
Отметим, что скорость распространения волны может быть существенно больше, чем скорость, с которой распространяются не очень маленькие концентрации за счет диффузии. Это увеличение скорости происходит вследствие действия «размножителя», который описывается точечной системой.
В ряде моделей возникают функции f(u) несколько иного вида (см. рис. 1.40, б, в). Функция, изображенная на рис. 1.40,6,. описывает случай, когда размножение частиц начинается не сразу, а только при некоторой достаточно большой концентрации «о. Такая функция встречается в ряде моделей химической кинетики, в теории горения, в некоторых моделях передачи сигналов в биологических системах. Случай, изображенный на рис. 1.40, в,. встречается в ряде задач популяционной генетики и экологии. Отрицательность функции f(u) при малых и описывает, например, эффект, связанный с тем, что при малой концентрации скорость размножения, мала, так как мала частота встреч особей разного пола: за счет смертности при малых и скорость «прироста» численности отрицательна. В случае нелинейностей изображенных на рис. 1.40, и начальной функции (1.8—15) в распределенной системе тоже распространяется концентрационная волна. В случае в нужно еще потребовать, чтобы величина j f (и) du была положительна, в противном случае распространяться будет’
83-
••область маленьких значений концентрации. В важном частном случае f(u)=u(l—и) (и—ц), который может служить моделью
целого ряда биофизических задач скорость волны, которая уста-
навливается при больших t, можно вычислить явно. Оказывается
(w-^)
•в этом случае скорость распространения равна D
(предполагается, что це(0, 1/2), в противном случае будет расширяться область малых значений концентрации).
Исследование распределенных систем довольно сложная зада-
ча и очень редко можно рассчитывать на получение точных аналитических результатов. Даже вопрос о нахождении стационарных решений достаточно сложен, особенно если речь идет о системах дифференциальных уравнений. В связи с этим при исследовании распределенных систем особенно важную роль играют асимптотические методы. Как и в случае точечных систем, различные порядки коэффициентов диффузии и скоростей реакции позволяют отдельно рассматривать быстрые и медленные переменные.
ЛИТЕРАТУРА
Андро нов А. А., В нтт А. А., X а йк и н С. Э. Теория колебаний. — М„ 1981.
Андронов А. А., Леонтовнч Е. А., Гордон Н. Н., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М., 1966.
А н д р о н о в ’А. А., Л е о н т о в и ч Е. А., Гордон Н. Н., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.—М., 1967.
Б ей сон С. Основы химической кинетики. — М., 1964.
Березии И. В., Варфоломеев С. Д. Биокииетика. — М., 1979.
В а з о в В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М., 1968.
В-асильев В. А., Романовский Ю. М., Яхио. В. Г. Автоволиовые процессы в распределенных кинетических системах//ФУН. — 1980.—Т. 128, вып. 4. — С. 626.
Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М., 1,973,.
Гильдерман Ю. И. Лекции по высшей математике для биологов. — Новосибирск, 1974.
Глёисдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, стабильности и флуктуаций. — М., 1973.
Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. — М., 1974.
Иваиицкий Г. Р., Кринский В. И., Сельков Е. Е. Математическая биофизика клетки. — М„ 1978.
Ни ко л не Ж., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах.— М., 1979.
Пасыиский А. Г. Биофизическая химия.— М„ 1968.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1975.
Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чериавский Д. С. Математическое моделирование в биофизике. — М., 1975
Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Черна в^ кий Д. С. Математическая биофизика.—М., 1984.
Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Мат. сб. — 1952. — Т. 32, № 3.
Фраик-Камеиецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. — М., 1967.
>84
Чернявский Д. С., Григоров Л. Н., Полякова М. С. Моделирование триггерных схем Жакоба и Моно//Колебательные процессы в биологических и химических системах. — М., 1967.
Э й г е н М. Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул.— М., 1973.
Эй ген М., Шустер П. Гиперцикл. Принципы самоорганизации макромолекул. — М., 1982.
Эмануэль Н. М., Кнорре Д. Г. Курс химической кинетики. — М.» 1974.
ГЛАВА II
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФЕРМЕНТАТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ
В настоящем разделе мы переходим к рассмотрению математических моделей ферментативных реакций. Ферментативные процессы составляют основу жизнедеятельности клетки. С помощью ферментов осуществляется регулирование сложной системы клеточного метаболизма. Строгая организация биохимических процессов в клетке обусловлена совершенством физико-химического строения ферментов и большим разнообразием механизмов регулирования их активности. В последние десятилетия в изучении закономерностей каталитического действия и регуляторных особенностей ферментов достигнут существенный прогресс, что во многом обусловлено успехами математического моделирования ферментативных процессов.
I 1. СВОЙСТВА ФЕРМЕНТОВ. СТАЦИОНАРНАЯ КИНЕТИКА КАТАЛИЗА
Метод математических моделей наряду с другими средствами биокинетики применяют для решения самых разнообразных задач энзимологии. Основной проблемой ферментативного катализа до сегодняшнего дня остается выяснение механизмов действия отдельных ферментов. На пути теоретического решения этой проблемы возникают как общие, так и специальные задачи. Предмет общей теории биокатализа составляют исследования основных закономерностей кинетики и регулирования ферментативных реакций.
Метод математических моделей успешно применяется и для решения ряда специальных задач энзимологии, таких, как задача изучения количества и природы промежуточных соединений, образующихся в процессе работы фермента, задача определения скоростей отдельных реакций, из которых складывается акт ферментативного катализа и т. д. Проблема экспериментального-обнаружения и изучения короткоживущих промежуточных соединений и сегодня остается не решенной до конца, что связано с исключительной лабильностью продуктов ферментативных реакций *. Благодаря широкому использованию математического под-
1 Для некоторых ферментов природа и последовательность превращений субстрата в ходе реакции изучены достаточно детально. Так, для реакции трансаминирования, катализируемой аспартатамннотрансферазой, установлено существование более десяти различных форм фермент-субстратных комплексов (Иванов, Карпейскнй, 1969).
86
хода к этой проблеме получены новые ценные знания о природе элементарных стадий каталитического акта и ©.свойствах промежуточных соединений, образующихся в его ходе (Березин, Варфоломеев, 1979}.
Отличительной чертой математических моделей, предназначенных для изучения молекулярных механизмов ферментативного катализа, является рассмотрение ферментов обособленно, в отрыве от взаимодействий, которые могут существовать между отдельными реакциями. В интактной клетке многие ферменты работают сообща, катализируя последовательные цепи реакции, в которых продукт первого звена оказывается в роли субстрата для последующего и т. д.
Не вызывает сомнений важность изучения особенностей биокатализа, идущего в надмолекулярных системах. В настоящее время исследования закономерностей организации, кинетики и природы регулирования сложных полиферментных систем составляют самостоятельный, быстро развивающийся раздел биокинетики. Теоретические работы ведутся в этой области в нескольких направлениях. Дальнейшее изложение посвящено в основном двум из них. Рассмотрим первое исследование полиферментных систем в гомогенных растворах.
Другое направление теории полиферментных систем связано с изучением белковых комплексов. В гл. III на примере оригинальных работ авторов подробно изложены методы и результаты математического моделирования ферментных комплексов, осуществляющих. биологический транспорт электронов.
В деталях структура настоящей главы такова. В начале изложения — наиболее простые ферментативные реакции, для которых воспроизведены основные этапы кинетического анализа, основанного на уже знаПомьи читателю методах качественной теории дифференциальных уравнений. В центре такого анализа — вопросы существования стационарных, квазистационарных и важнейших динамических режимов (триггерного, автоколебательного) работы ферментов. Последующее изложение иллюстрирует-применение аналогичного подхода и полученных знаний к исследованию более сложных систем, в числе которых многосубстратные реакции, катализируемые олигомерными ферментами, поли-ферментные системы и, наконец, метаболизм клетки в целом.
Свойства ферментов. Ключевая стадия механизма катализа
Ферменты, как известно, представляют собой высокоэффективные катализаторы: с их участием течение биохимических процессов ускоряется в 108—1014 раз по сравнению с процессами, идущими при прочих равных условиях неферментативным путем (Дженск, 1972).
Ключевой стадией механизма катализа является связывание молекул субстрата с определенными группами атомов молекулы, фермента. В результате образуется активный комплекс, называе
87
мый комплексом Михаэлиса. После соответствующей обработки молекулы субстрата — ее расщепления, перестановки или замены некоторых групп атомов — происходит разрыв связей, удерживающих молекулу продукта в комплексе с ферментом — комплекс распадается с освобождением продукта и регенерацией фермента.
Гипотеза об образовании фермент-субстратного комплекса в ходе ферментативного катализа, высказанная еще в 1902 г. в трудах Брауна и Анри, долгое время не находила прямого экспериментального подтверждения. Причиной тому были чрезвычайная лабильность промежуточных соединений ферментативных реакций и малые концентрации активных комплексов.
Впервые предположение о существовании активного комплекса фермент—субстрат было переведено на язык математической модели в 1913 г. Михаэлисом и Ментен с целью объяснения наблюдавшегося ими эффекта насыщения субстратом скорости ферментативной реакции (Michaelis, Menten, 1913).
В основу исходной модели Михаэлиса—Ментен была положена следующая схема процесса:
*+i
S + E^ES,	(II.1— 1)
*4
где S — субстрат, Е — фермент, ES — комплекс Михаэлиса,. k+i — константа, или абсолютная скорость образования активного комплекса (реакция второго порядка). Обратная стрелка с константой k-i указывает на то, что реакция образования комплекса обратима. Позднее была учтена и реакция распада комплекса с образованием продукта, которую считали необратимой,, что во многих случаях соответствует действительности. С учетом этой стадии для реакции (II.1—1) справедлива широкоизвестная формула стационарной скорости ферментативной реакции
у — J^E,'S	(111—2}
Km + S ’
Здесь Ео — общая концентрация фермента,	Кт =	---
*+i
так называемая константа Михаэлиса.
Основным следствием уравнения (II.1—2), полученного в 1925 г. Бриггсом и Холдейном, является эффект насыщения, послуживший отправной точкой при построении математической теории рассматриваемой реакции.
Справедливость соотношения (II.1—2) для многих реакций была подтверждена экспериментально. В этих экспериментах измеряли зависимость стационарной скорости реакции от концентрации субстрата. К настоящему времени получены прямые экспериментальные доказательства реальности существования фер-мент-субстратных комплексов. Так, ряду исследователей удалось непосредственно зарегистрировать образование активного ком
88
плекса и проследить за изменениями его концентрации в ходе ферментативной реакции. Впервые такие исследования провел Чанс с помощью метода непрерывной спектрометрии (Chance, 1943). Двадцать лет спустя японским ученым Яги и Озава удалось получить стабильный в анаэробных условиях кристаллический комплекс фермента оксидазы Д-аминокислот с субстратом Д-аланином.
В ряде случаев теоретическая зависимость (II.1—2) с высокой степенью точности описывает кинетику ферментативных реакций, наблюдаемую в экспериментах. Зачастую, однако, экспериментальные кривые обнаруживают существенные расхождения с теоретическими. Это обусловлено существованием целого ряда физико-химических особенностей ферментов, сильно усложняющих простую кинетическую схему (II.1—1). Эти особенности необходимо учитывать при построении соответствующих математических моделей, поэтому остановимся кратко на некоторых из них.
Число и последовательность стадий реакции
Многие ферментативные реакции протекают в несколько стадий с образованием по меньшей мере двух или трех промежуточных соединений, возникающих в определенной последовательности:
e + s^lEs^ez^ep^e + p.
При этом все стадии такой последовательности могут быть обратимыми. (Если процесс распада активного фермент-субстратного комплекса с освобождением продукта является обратимым, то в реакции помимо комплекса ES образуется комплекс фермента с продуктом ЕР.)
Кроме того, в большинстве ферментативных реакций участвует более одного субстрата и образуется соответственно два или большее число продуктов. Часто среди ферментативных реакций встречаются двухсубстратные. К ним относятся, например, разнообразные реакции переноса, катализируемые трансферазами, а также реакции, протекающие с участием кофакторов (АТФ или НАД). Возможны и такие реакции, в которых принимает участие более двух субстратов.
Двухсубстратные реакции протекают с образованием по меньшей мере двух или трех фермент-субстратных комплексов, а именно ESi и ES\S2 или ESt, ES2 и ESiS2. Простейшая схема реакции в. этом случае имеет вид:
ES, + S2 ES.S, -> Е 4- Р, + Р2.
Однако при участии в реакции двух субстратов последовательность стадий может быть и более сложной, например:
89
E + S^ES^ESi
ES* + S2 ES1S2 EXY ^EZ^2E + P2.
Если в результате реакции образуются два продукта, то возможно существование по меньшей мере еще трех промежуточных соединений: ЕРЬ ЕР2 и EPiP2.
Заметим, что во многих ферментативных реакциях осуществляется строго определенный порядок связывания субстратов и высвобождения продуктов (упорядоченные реакции), в других случаях последовательность присоединения субстратов к ферменту не имеет существенного значения (случайные связывания).
Механизмы регулирования активности ферментов
Многие ферменты обладают способностью изменять свою активность или специфичность каталитических центров под действием определенных веществ. Такие вещества, вызывающие изменения активности или специфичности ферментов, называются модификаторами, регуляторами или эффекторами. Существуют два класса модификаторов — активаторы и ингибиторы. Молекулы активаторов, присоединяясь к ферменту, вызывают увеличение каталитической активности или сродства ферментов к субстратам, а молекулы ингибиторов — уменьшение активности или сродства.
Молекулы природных модификаторов могут взаимодействовать как с активным центром фермента, так и с иными участками белковой молекулы. Регулирование называют изостерическим, нли конкурентным, если молекула регулятора будет структурным аналогом субстрата и может занимать его место в активном центре, иными словами, конкурировать с субстратом за каталитический центр фермента. Основное свойство конкурентных регу--ляторов проявляется в том, что их действие может быть ослаблено или вовсе устранено путем увеличения концентрации субстрата. Так, при конкурентном ингибировании степень угнетения фермента зависит не от абсолютной концентрации ингибитора, а от соотношения концентраций ингибитора и субстрата.
Подобное конкурентное ингибирование осуществляется, например, продуктом ферментативной реакции, имеющим существенное сродство с активным центром фермента. К конкурентным относят также сложные механизмы ингибирования, допускающие образование наряду с неактивным комплексом фермент—ингибитор и тройных комплексов—фермент—субстрат—ингибитор. При этом последний тройной комплекс и активный комплекс фермент—субстрат могут образовывать продукты реакции с одинаковой скоростью.
90 ‘
Молекулы многих модификаторов взаимодействуют не с активным центром фермента, а с другими группами белковой молекулы. Такой тип регулирования называют неконкурентным. В этом случае агент, атакующий молекулу фермента, в отличие от изостерических модификаторов, не может быть вытеснен субстратов ни при каких концентрациях, что имеет место; например, при всех необратимых химических изменениях активного центра.
К неконкурентному типу относится и так называемое аллостерическое - регулирование. Подчеркнем, что в отличие от изостерических модификаторов, затрагивающих активный центр фермента, аллостерические регуляторы не имеют структурного сходства с субстратом и присоединяются к совершенно иному — регуляторному центру белковой молекулы. Отсюда и термин — аллостерическое (структурно-несвязанное) регулирование. Так, аллостерический ингибитор может связываться либо со свободным ферментом, либо с комплексом ES, либо с тем и с другим:
Е + /^:Е/,
ES + I^ESI.
Фермент, несущий на себе аллостерический регуляторный центр, называют регуляторным, или аллостерическим. С помощью регуляторных ферментов осуществляется управление биохимическими процессами клетки — путем подавления или активации деятельности биокатализаторов.
По современным представлениям, связывание молекулы модификаторов в аллостерическом регуляторном центре вызывает изменение активности фермента и специфичности каталитического центра путем изменения конформации фермента: в результате общей деформации белковой глобулы меняется взаимное расположение функциональных групп центра ферментативной активности. Это не мешает образованию комплекса фермента с субстратом, но препятствует образованию продукта реакции. Подобные представления легли в основу теории механизма действия аллостерических ферментов, предложенной в 1963 г. Моно, Шанже и Жакобом.
Многие ферментные системы обладают способностью автоматически поддерживать требуемую скорость реакции за счет внутренних механизмов саморегулирования. К числу таких механизмов прежде всего относится ингибирование активности фермента конечным продуктом реакции, или регулирование по принципу отрицательной обратной связи. Этот механизм регулирования не только обеспечивает высокую чувствительность ферментной системы к изменениям внешней среды, но отвечает также за стабилизацию концентраций важнейших метаболитов клетки.
В управлении биохимическими процессами немаловажную роль играют также автокаталитические ферментативные реакции, т. е. реакции с продуктной активацией катализирующих их фер
91
ментов. На основе теоретических исследований, выполненных как в нашей стране, так и за рубежом, показана ведущая роль такого механизма регулирования в генерации концентрационных колебаний в гликолизе.
Среди многочисленных и весьма разнообразных по своей природе регуляторов аллостерических ферментов самым распространенным является, по-видимому, субстрат данной ферментативной реакции. При этом субстрат может оказывать на «свой» фермент как активирующее, так и угнетающее действие.
В последние годы убедительно показана важная роль субстратного угнетения в регулировании энергетического метаболизма клетки. Выяснена также аллостерическая природа ингибирования субстратом таких ферментов, как фосфофруктокиназа, цитохром-с-оксидаза, алкоголь-дегидрогеназа и др.
Стационарная кинетика реакций, катализируемых единичными ферментами
Познакомимся теперь с методами исследования стационарной кинетики ферментативных реакций. Их важное преимущество заключается в доступности и простоте экспериментального исследования ферментов в стационарном режиме. Существенную роль играет и тот факт, что системы алгебраических уравнений, описывающих стационарные и квазистационарные состояния ферментативных реакций, как правило, линейны, так как взаимопревращения между быстрыми промежуточными соединениями являются реакциями первого порядка. В силу этого для нахождения квазистационарных концентраций промежуточных веществ используют аппарат линейной алгебры, который достаточно прост и в настоящее время хорошо разработан.
На примере сравнительно простых реакций, часто встречающихся в практике энзимологических исследований, покажем подход к анализу и более сложных ферментативных процессов, различающихся как по числу исходных субстратов и образующихся продуктов, так и по количеству, промежуточных стадий. Убедимся в правомерности метода квазистационарных концентраций (КСК). Проведем сравнительный анализ условий существования стационарных режимов в открытых и закрытых, обратимых и необратимых ферментативных реакциях.
Рассмотрим уравнения стационарной кинетики реакций с конкурентным и аллостерическим регулированием ферментов, в том числе с субстратным угнетением, с продуктиой активацией и т. д., а также реакций, катализируемых олигомерными ферментами. Эти уравнения составляют основу теории ферментативного катализа. Они находят широкое применение в изучении механизмов действия отдельных ферментов и их кинетических параметров. Кроме того, эти уравнения являются необходимым звеном в исследовании динамического поведения ферментов в нестационарных условиях.
92
Метод квазистационарных концентраций
В теории ферментативных процессов, как в любой другой области биологической кинетики, имеет важное значение, будет ли рассматриваемая система закрытой или открытой. Кроме того, необходимо различать обратимые и необратимые ферментативные реакции. Как мы увидим в дальнейшем, свойства кинетики закрытых и открытых, а также обратимых и необратимых ферментативных реакций существенно неодинаковы. Напомним, что закрытой (непроточной) называют такую систему, которая может обмениваться с окружающей средой энергией, но не массой —’ в отличие от рассматриваемых классической термодинамикой изолированных систем, неспособных обмениваться с окружающей средой ни массой, ни энергией. Таким образом, для закрытых систем характерно сохранение суммарной массы реагентов. Этим свойством обладают, в частности, некоторые ферментативные реакции, протекающие in vitro — в пробирке (но не в проточном реактиве!). In vivo биохимические системы являются, как правило, открытыми, т. е. осуществляют обмен с окружающей средой как энергией, так и массой-.
В последние два десятилетия интенсивно развивается теория биохимических реакций, идущих в проточных условиях.
Начнем изучение стационарной кинетики катализа с простейшей открытой системы, а именно рассмотрим проточную односубстратную реакцию с необратимым образованием одного продукта. (Таким образом, реакция идет в одном направлении S-^PA
*+1 k
So*-+S + Е ESЕ + Р--*~.	(II.1—3)
*-i
Многие ферменты при определенных условиях наряду с прямой реакцией S-+P катализируют обратное превращение продукта в исходный субстрат:
*-2	*-1
E-rP^ES^ Е - S.
*+2 k+l
Реакции, идущие как в прямом (слева .направо), так и в обратном направлении, называются обратимыми, или двухсторонними. Пример такой реакции — взаимопревращение фумаровой и яблочной кислот при действии фумаразы. По мере накопления продукта вклад обратного процесса увеличивается и прямая реакция замедляется. В итоге в системе устанавливается динамическое равновесие, которое определяется константой:
А	^+1^+2
«равн — “7 “	.
Итак, рассмотрим вначале необратимую реакцию (II.1—3). Примем, что имеется приток субстрата интенсивности vi и отток
9&
^продукта интенсивности v2- Запишем соответствующую систему ^дифференциальных уравнений:
= -k+ !$• E + k-i [£S] + V1, dt
= -k+ 1S • E + k-1 [£S] + k+ 2 [£S],
(II. 1— 4)
= k+iS  E-k-1 [£S] — k+2 [£S], dt
£- = k+2[ES]-v2. dt
Сложив второе и третье уравнения системы (II.1—4), получим
(Е + [£S]) = 0, или £ + [££] = const = Е0,	(II. 1 — 5)
dt
что будет условием сохранения в реакции общего количества фермента (в закрытых системах сохраняется также сумма масс субстрата и продукта S + P = const). С учетом закона сохранения (II.1—5) исходную систему можно несколько упростить, выразив из алгебраического равенства (II.1—5) одну из неизвестных концентраций через другую. Положим, например, Е = Ео—[£S]. Первое и третье уравнения (II.1—4) после такой замены примут вид:
-Ц- = -k_, S(£o—[£S]) +	[£S] + V1 (a),
dt
dtF^	(П.1-6}
= j S (£0-[£S])- (k_! + k+ 2) [ОД (6). dt
Заметим, что уравнения (II.1—6) не содержат переменной Р. Это означает, что кинетика накопления продукта в нашей системе (четвертое уравнение (II.1—4)) целиком определяется решением (П.1-6).
В общем случае решение дифференциальных уравнений (II.1—6), т. е. нахождение концентраций реагентов как функций времени, затруднительно. В большинстве случаев анализ кинетики ферментативных реакций строится на допущении о стационарности концентрации фермент-субстратного комплекса. Очевидно, это допущение справедливо лишь в условиях, когда концентрация субстрата также поддерживается постоянной, например за счет притока его извне. В клетке это условие практически всегда выполняется. В закрытых системах концентрацию субстрата можно считать практически постоянной, если она много больше концентрации фермента: S>£. Тогда на протяжении достаточно длительного времени текущая концентрация субстрата практически не изменяется, и можно приближенно полагать, что фермент работает в стационарных условиях. Ниже дано строгое ®4
обоснование этого положения. С помощью необходимых преобразований: введения безразмерных переменных, выделения малого-параметра и редукции системы показано, что приближенно стационарность имеет место, если соблюдается единствейное условие — избыток концентрации субстрата над концентрацией фермента: S>£.
Рассмотрение химических и биологических процессов на основе допущения о приближенно стационарном их течении известно в литературе как метод Боденштейна—Семенова (Bodens-tein, 1913; Семенов, 1943). Этот метод, получивший строгое математическое обоснование благодаря работам А. Н. Тихонова и его последователей (Тихонов, 1948, 1950, 1952; Васильева, 1952; Понтрягин, 1965 и др.), позволяет резко упростить исследование важнейших свойств ферментативных реакций — путем рассмотрения лишь стационарных или квазистационарных решений.
Примем, что концентрации веществ в реакции II.1—3 выражены в молях на литр, время — в секундах. Легко заметить, что кинетические параметры рассматриваемой системы k_\, k+2, £+i, vi имеют разную размерность. Причины этого понятны: константы k-i, k+2 размерностью с-1 характеризуют скорость мономоле-кулярных реакций распада активного комплекса ES-, параметр k+\ с размерностью с-1 (моль/л)-1 отвечает бимолекулярному процессу взаимодействия фермента с субстратом, константа vi со-моль ответствует реакции нулевого порядка и имеет размерность-х
Л
X с-1. Параметры, характеризующие процессы различной физической природы, не всегда можно сравнивать между собой по величине. Кроме того, скорости рассматриваемых реакций определяются не только соответствующими константами, но и концентрациями реагирующих веществ, которые в свою очередь могут различаться весьма значительно. В силу этих обстоятельств нельзя ответить на вопрос о том, какие из переменных быстрые, а какие медленные, исходя из размерных констант скоростей и концентраций.
Приведем систему (II.1—6) к безразмерному виду. Это можно сделать несколькими способами; универсальных рецептов «обезразмеривания» не существует. В качестве характерных масштабов выбирают, например, исходные концентрации субстрата и фермента. Однако в данном случае удобнее ввести следующие безразмерные величины:
[ES]  3 х =	; у =
[£S] S
Стационарные концентрации [Z?S], S найдем, приравнивая к нулю правые части (II.1—6). Они равны:	v .
(II. 1-7)
S =---------r£Sj==_Vi_>
fe+2 Еа — Vi	k+i
(II. 1-8)
95.
тде
Д' __ ft-1 + ^+2
•	Am—
к+1
Нетрудно заметить, что условие S>0 накладывает ограничения на константы k+2 E0Z>vt (конечное стационарное состояние по концентрации субстрата существует, если скорость его утилизации больше скорости поступления S извне).
Запишем уравнения (II. 1—6) в новых переменных (II.1—7):
=	* (а+ 1 + «/)].
(И. 1-9)
~	[ — У (а—х) + bx + (a— b — 1)].
Ол 1 у
Здесь использованы обозначения;
а = £0/[£S]=
Vj	fe-i + fe+2
TX=(^+1S)-1; Ty = (k+\ [££])-*.
Введем безразмерное время x = tjTy. Тогда дифференциальные уравнения, описывающие нашу реакцию, примут канонический вид:
г-^- = ау—х(а— 1 + у) = F (х, у),	(II.1 — 10а)
dr
-^-== —y(a—x) + bx + (a—b — l),	(II.1 —106)
dr
Оценим теперь порядок величин — переменных и параметров, входящих в (II.1—10а, б). Если процесс протекает вблизи стационарного состояния, переменные х, у имеют величину порядка 1. Если при этом выполнено соотношение ES<^S, величина &=TxlTy — —2- является малым параметром: 8<^1.
Наличие малого параметра перед производной dxjdx означает, что концентрация фермент-субстратного комплекса есть быстрая переменная. Следует подчеркнуть, что быстрота изменения концентрации [£S] обеспечивается существенным различием концентраций реагентов, субстрата и фермента, но не кинетических констант реакции, которые, вообще говоря, могут быть одного порядка.
По теореме Тихонова первое уравнение системы (II.1—10 а, б) называется присоединенным, а второе — вырожденным. Нетруд-
’96
но убедиться, что единственная особая точка присоединенного уравнения устойчива и, следовательно, условия применимости теоремы Тихонова выполнены.
Напомним, что устойчивость положений равновесия дифференциального уравнения первого порядка можно определить по знаку производной от функции, стоящей в правой части. В уравнении (II.1—10а) независимая переменная, по которой производится дифференцирование, суть х. Медленную переменную у считаем при этом параметром.
Итак,
dF(x,y) .	, . .
\	= — (а—1+у).
dx
(11.1—11)
Поскольку значения a = E0]ES всегда больше единицы и г/>0, искомая величина всегда отрицательна, следовательно, особая точка присоединенного уравнения устойчива. Таким образом, мы вправе устремить малый параметр е к нулю и заменить присоединенное уравнение для быстрой переменной (II.1—10а) асимптотическим соотношением ау—х(а—1 +у) =0, или
.	(II. 1—12)
а-1-hy
Возвращаясь к размерным переменным, из (II.1—12) получаем соотношение, широко известное как уравнение Михаэлиса—Ментен,
[ES] = -£|)S .	(II. 1—13)
km + S
Таким образом, строгое рассмотрение математической модели реакции (II.1—3) показывает, что при выполнении E0<g.S концентрация активного фермент-субстратного комплекса будет быстрой переменной, которая за времена т~е достигает квази-стационарного значения, определяемого уравнением (II.1—13). Квазистационарная концентрация [ES] зависит от медленной переменной 5 как от параметра: по мере изменения S в ходе реакции значения [£S] также медленно меняются — до тех пор, пока в системе не установится стационарное состояние, в котором скорости изменения переменных [£S] и S одновременно обращаются в нуль.
Стационарная и квазистационарная кинетика закрытых одноферментных реакций
Стационарные и динамические свойства закрытых ферментативных реакций существенно отличаются от свойств реакций, сообщающихся с внешней средой потоками субстратов и продуктов. Так, для простейшей непроточной односторонней реакции (11.1—1) в отличие от (II.1—3) возможно лишь стационарное
4 Зак. 353
97
состояние с нулевыми значениями концентраций (оно же состояние термодинамического равновесия системы S={£S]=0). Таким образом, в строгом смысле стационарное состояние необратимого каталитического процесса- S-+P в отсутствие притока вещества недостижимо. Вместе с тем вдали от термодинамического равно-' весия (при условии S^>E0) в реакции быстро устанавливается ‘ квазистационарный режим, в течение которого концентрация фермент-субстратного комплекса поддерживается далее практически постоянной. Значения [£S] и в этом случае определяются уравнением Михаэлиса—Ментен.
Убедимся в справедливости этого утверждения. С этой целью положим в системе дифференциальных уравнений (П.1—6) vi = 0 и приведем ее к безразмерному виду. В качестве характерных масштабов примем величину Ео (исходную концентрацию свободного фермента) и Кт (константу Михаэлиса):
[£S]	S	tE0
х= —---L, и =—, т =------—.
£о •	km	k -}- 1
В новых переменных система уравнений, отвечающая закрытой необратимой реакции (II.1—1), примет вид:
dx	,
е — = У—Л(1— У), ан
где
e=JL«i.
Кт
Нетрудно убедиться, что условия применимости теоремы Тихонова выполнены — особая точка присоединенного уравнения [£S]
устойчива, поскольку значения у— -——	всегда меньше еди-
Е°
ницы н, следовательно, - F^x'	= у—1 < 0. Таким образом, и в
dx
закрытой реакции (II.1—1) существует квазистационарный режим, в котором справедливо уравнение Михаэлиса—Ментен*. Однако в данном случае соотношение (II. 1—13) остается приближенным при всех реальных значениях концентраций.
Заметим, что соотношение —— <1, или £O/S<1, является Кт
достаточным, но не обязательным условием квазистационарного течения непроточной реакции (II.1 — 1). Показано, что квазистационарный режим реализуется и в случае, когда S одного порядка с Eq, если только выполнено условие ——	E^S (Пожар-
k+1 dt
ский, Сафонов, 1977). Это, однако, не означает, что можно пре-
98
небречь величиной
d [ES]	' dS
п0 сравнению c
как это делается
для случая S^>E0.
Рассмотрим теперь случай, когда закрытая ферментативная реакция будет двухсторонней, т. е. когда процесс распада комплекса с высвобождением продукта обратим:
+1	+2
E + S z£ES ^Е + Р.
Нетрудно убедиться, что условие обратимости обеспечивает существование в реакции строгого стационарного режима с ненулевой скоростью катализа. Однако стационарное состояние реакции, в котором одновременно выполнены точные равенства d [ES] dS _
" 'dt	возможно лишь при выполнении условия
^+1 > ^+2*
Если же закрытая реакция включает несколько промежуточных стадий
Е + Sz^ES^EZ^lEP^E + Р,
каждая из которых обратима, строгое выполнение стационарного режима невозможно, т. е. ни в какой момент времени все скоро-
dS d[ESJ d[ES]	л
сти ——, --------—-—- и т. д. не могут быть одновременно точ-
dt	dt dt
но равны нулю (Уолтер, 1965).
Подчеркнем, однако, что для большинства ферментативных реакций условие стационарности может выполняться приближенно для всех или хотя бы для части промежуточных соединений. Для этого достаточно, чтобы исходные абсолютные значения скоростей изменения во времени лабильных интермедиатов были много больше соответствующих величин для субстрата и продукта:
d{ES] dS d [ES] dP_ dt "	dt ’	dt	dt'
d[EZ]	dS	d[EZ]	dP
dt	dt ’	dt	dt
и т. д., что и свидетельствует о возможности достижения квази-стациоиарного режима реакции. Приставка «квази» означает, что в таком режиме лишь часть переменных достигает стационарных значений, тогда как остальные продолжают медленно меняться. Стационарные значения быстрых переменных в свою очередь зависят от медленных как от параметров и, следовательно, также медленно меняются по мере изменения последних.
4*	99
Некоторые следствия соотношения Михаэлиса — Ментен
Вернемся теперь к анализу соотношения (II.1—13). Согласно этому соотношению зависимость (квази) стационарной скорости ферментативной реакции от концентрации субстрата выражается гиперболической функцией: V=k+2EoS/(Km + S) (рис. II.1). При малых концентрациях субстрата скорость образования продукта линейно зависит от S. Действительно, при S^.Km можно принять, что Km+S—Km и, следовательно,
|/	fe+2^0
~ ‘ Кт '
С повышением концентрации субстрата линейная зависимость V(S) нарушается. При имеем K.m+S—S и в соответствии с (II.1 —11) скорость реакции стремится к постоянному, максимально возможному значению, равному
Am + 3
Таким образом, при S—►oo[£S]->£o, т. е. Все молекулы фермента оказываются в комплексе с субстратом. Как мы увидим в дальнейшем, это свойство насыщения скорости ферментативной реак-
ции. играет важную роль в регуляции биохимических процессов.
Йетрудно увидеть, что с помощью уравнения (II.1—13) и опытных кривых У(5) значения константы Михаэлиса и Утах поддаются экспериментальному определению. Для облегчения этой процедуры обычно используют различные преобразования уравнения Михаэлиса—Ментен, более удобные для графического представления результатов экспериментов (см., например, Яковлев, 1965; Ленинжер, 1974).
Анализ опытных данных на основе (II.1—13) показывает, что константа Михаэлиса для данной реакции (численно равная кон* центрации субстрата,' при которой половина молекул фермента находится в комплексе) не имеет строго фиксированного значения и может меняться в зависимости от условий: pH, температуры среды и т. д. Значения максималь-''_____________	ВОЙ скорости Утах СИЛЬНО Варьируют ДЛЯ
разных ферментов.
s'""	Данные о максимальной скорости
f	синтеза продукта можно использовать
/	при исследовании механизмов фермента-
!_________________тивных реакций — по эксперименталь-
9 ным кривым и сравнению их с теоретиче-
Рис.. (квази) рости ТИМОЙ акции
.11.1. Зависимость, скими выявляются эффекты, связанные стационарной ско-простейшей необра-ферментативиой ре-от концентрации субстрата
с регулированием скорости ферментативной реакции, в том числе и нелинейные эффекты, обусловленные кооперативными свойствами ферментов.
100
С помощью уравнения (II. 1—13), представленного в координатах V и “Г (графиков Лайнуивера—Берка), легко распоз-¥	О
нается конкурентное и аллостерическое ингибирование ферментов, В тех случаях, когда фермент активен лишь в присутствии кофактора, уравнение (II.1—11) можно использовать для изучения зависимости между скоростью реакции и концентрацией кофактора. При этом считают, что имеет место равновесие:
Е + кофактор ? Е—кофактор неактивная форма активная форма
Комплекс фермента с кофактором может затем связывать субстрат, что приводит к образованию тройного комплекса S—Е—кофактор. Скорость такой реакции обладает свойством насыщения как по концентрации субстрата, так и по концентрации кофактора.
Во многих ферментативных реакциях, протекающих с участием коферментов, последний формально ведет себя как субстрат, поэтому такие реакции следует рассматривать как двухсубстратные.
Таким образом, область применения уравнения Михаэлиса—• Ментен, несмотря на всю его простоту, весьма обширна. Вместе с тем существует большой класс ферментативных реакций, анализ которых требует расширения изложенной выше теории.
Уравнения стационарной кинетики одноферментных реакций с конкурентным й аллостерическим регулированием активности ферментов
Воспроизведем подробно соответствующее исследование на примере реакции с конкурентным угнетением фермента. При действии конкурентных ингибиторов наряду с активным комплексом ES образуется неактивный комплекс EI
E + S^ES-^E+P,
£ + I El,
где I — ингибитор. Оба процесса следует рассматривать совместно, учитывая при этом сохранение числа частиц:
S + P = S0,
(II.1—14) E+'[ES] + [£/]= Eq.
Равновесная концентрация неактивного фермент-ингибиторного комплекса может быть определена из соотношения
Ki = k-ijk+i=£•//[£/],	(II. 1—15)
101
откуда
[E1]=E-1/Ki.
Здесь Kt — так называемая ингибиторная константа, определяемая-соотношением скоростей образования и диссоциации комплекса Е1.
С использованием (II.1—15) условие сохранения молекул фермента (II.1—14) можно представить следующим' образом:
E0 = E+[ES] +-^ = [ES] + E (1+ 4-),
тогда концентрация свободного фермента
Е= -Е°~[ЕЕУ.,	(II.1 —16)
В условиях квазистационарного приближения выполняется
-1-[ES]~O, -^[Е/]«0. at	at
Подставляя (II.1—16) в уравнение
-у [ES] = k+iSE—[ES] — k+2 [ES] = 0
и разрешая его относительно [ES], получим окончательное выражение для квазистационарной концентрации фермент-субстрат-ного комплекса
[ES] ~-----------------.
Стационарная скорость реакции в присутствии ингибитора определяется при этом выражением
V = — = k+2--------. (II.1—17)
4/	Кт + S + Ktnl I К/
Это уравнение аналогично каноническому уравнению Михаэлиса—Ментен и отличается от него лишь добавочным членом КтЧК, в знаменателе. При S-»-oo из уравнения (II.I—17) получаем, что максимальное значение скорости синтеза продукта в присутствии ингибитора, как и в простейшем случае, равно ^+гЕо.
В частном случае конкурентного угнетения продуктом
*+з
Е + Р ЕР справедливо следующее выражение для скорости *-3 реакции:
Vp = ---------------- Где Ki =	. (II. 1 — 18)
Km(\+P/Kt) + S	fe+3 '
102
Теоретическое рассмотрение ферментативной реакции с обратимым конкурентным ингибированием допускает экспериментальную проверку. Так, из уравнений (II.1—II) и (II.1—17) следует, что отношение скоростей синтеза продукта в отсутствие ингибитора и в его присутствии при постоянной концентрации субстрата линейно зависит от концентрации ингибитора. Если соответствующие экспериментальные зависимости V/V»(/) будут представлять собой прямые, отсекающие на оси ординат отрезок, равный
Рис. II.2. График скорости ферментативной реакции в зависимости от концентрации продукта при наличии продуктивного угнетения
единице, то это доказывает правильность исходных предположений относительно механизма действия исследуемого ингибитора.
Зависимость V₽(S) в этом случае не отличается по форме от кривой, изображенной на рис. II.1. График скорости реакции в зависимости от концентраций продукта при наличии конкурентного продуктивного угнетения показан на рис. II.2.
В практике встречаются также случаи активации продуктом:
k	к
ES + P SEP Е + 2Р. к-з
Стационарная скорость такой реакции дается выражением
E0S(k+2 + k+iP/Km)
Кт-t- S SP/ Кт + k+iP Ik+iKm
(II. 1— 19)
где Кт'= (k-3 + k+i)/K+3-
Для реакции с квадратичной активацией продуктом, а также с порядком такой активации у>2 расчет стационарной кинетики катализа, впервые выполненный в работах Е. Е. Селькова (1968, 1969, 1972), дает:
v=-^(v0 + ov/(l + av)),
. 10i
здесь v — скорость реакции; О], а2 — безразмерные концентрации субстрата и продукта; vo — скорость реакции при нулевой концентрации продукта, т. е. при а2 = 0.
Действуя по схеме, изложенной для случая конкурентного угнетения, можно проанализировать стационарную кинетику ферментативных реакций с неконкурентным, аллостерическим ингибированием. Легко показать, что скорость синтеза продукта в этом случае определяется выражением Vi — k+2Eo-S/(Km + S) X X(l+//JGj, из которого при получаем
Е1тах~£+2Е0/(1 + //^).	(П. 1—20)
103
Из соотношения (II.1—20), подробный вывод которого есть в книге Яковлева (1965), следует, что максимальная скорость реакции в присутствии аллостерического регулятора зависит от концентрации последнего.
Ингибирование субстратом
Регулирование скорости ферментативных реакций происходит за счет угнетения субстратом. Исследование кинетики торможения ферментов высокими концентрациями субстрата имеет большое значение для понимания механизмов ферментативного катализа. Как мы увидим в дальнейшем, именно субстратное угнетение ферментов — наиболее типичная причина нелинейности биохимических систем. Наличие такого типа нелинейности обусловливает важные свойства кинетики открытых ферментативных реакций: множественные стационарные состояния, гистерезис, автоколебания.
Рассмотрим стационарную кинетику необратимой реакции, в которой помимо активного комплекса ES образуется неактивный комплекс ES2:
5+1	*+2
£ + 3 ES ->Е + Р, *-i
k+3
ES + S^ES2. 
k-3
Путем несложных преобразований можно получить выражение для стационарной скорости такой реакции
V=k+2E0S/(Km + S + S2/Ks),	(П.1—21)
k_
где Ks= ——.	Уравнение (II. 1—21) графически выражается
^+3
характерной колоколообразной кривой с максимумом (рис. II.3).
В практике реализуются и более сложные механизмы субстратного угнетения. Учеными (Holdane, 1930; Брест'кин и др.,
1961) выполнен кинетический анализ систем, допускающих возможность образования неактивных фермент-субстрат-ных комплексов соответственно более сложного состава:
E + St+ES^E + P,
ES + nS
В таких системах зависимость VfS) также имеет немонотонный характер, показанный на рис. П.З.
Рис. П.З. График скорости ферментативной реакции с субстратным угнетением
104
Уравнения стационарной скорости двухсубстратных ферментативных реакций
Значительное большинство ферментов катализирует процессы, идущие с участием по крайней мере двух субстратов и образованием более одного продукта. Механизм реакций такого типа может быть различным. В частности, многие реакции описываются схемой, предусматривающей образование тройного комплекса фермента с двумя молекулами субстратов:
"+1
Е + Sj	ESlt
fc+i	*+з
ESx + S2 ES& ->• Е + Р.
k-2
(И. 1-22)
[ES&]
Квазистационарная скорость такой необратимой реакции определяется концентрацией тройного комплекса V^+afESiSj], и, следовательно, кинетическая задача сводится к отыскиванию стационарного значения [ESiS2] как функции концентраций Ео, Si, S2 и констант скоростей. После соответствующих преобразований для схемы (II.1—22) имеем
*+з/*+1 + KsSKmsJSJ что соответствует случаю, когда первым вступает в комплекс с ферментом.субстрат Si. Здесь
IS	^-2 4“ ^+3 . V ^-1
AmSi —	,	» AS* — ,
К+2,	«+1
В настоящее время уравнение (II. 1—23) широко используют для определения кинетических констант двухсубстратных реакций. Соответствующие методы изложены, например, в книге Яковлева (1965). Следует, однако, помнить, что далеко не все двухсубстратные реакции подчиняются приведенным закономерностям: механизм катализа может быть и более сложным, так что в каждом отдельном случае необходима проверка применимости уравнения (II.1—23).
Если двух;субстратная реакция обратима, расчет квазистацио-нарной скорости реакции представляет собой гораздо более трудоемкую Задачу. Для решения таких задач в последние годы стали широко применять методы теории графов. Подробное описание метода выходит за рамки нашего изложения, необходимую информацию читатель может найти в соответствующей литературе (King, Altman, 1956; Темкин, 1963, 1965; Волькенштейн, 1966,
105
1975; Иваницкий и др., 1978), а также в гл. III настоящего пособия.
В монографии (Иваницкий и др., 1978) приведен граф, с помощью которого получено уравнение стационарной кинетики обратимой двухсубстратной ферментативной реакции, протекающей по схеме
Е
Sx + S2 S3 + S4.
Этими же авторами рассчитана скорость необратимой двухсубстратной реакции с субстратным угнетением.
Стационарные состояния открытой необратимой ферментативной реакции с субстратным угнетением, и необратимым притоком субстрата
Рассмотрим открытую ферментативную систему с субстратным угнетением и постоянной скоростью «источника:», т. е. с, постоянной скоростью притока субстрата в сферу реакции
Запишем последнюю схему более подробно в виде, удобном для составления математической модели:
ft+l	k+2	k+3
So -->-S; S + E^SE-^E + P-
(II. 1—24)
*+4	
SE + S^S^E-, P-+.
k-t
Обратную реакцию E + P-^EP не учитываем, так как во многих случаях она протекает с весьма низкой скоростью.
Запишем соответствующую (II. 1—24) систему кинетических уравнений:
— = k+1SQ-k+2SE + k-2 [SE] ~k+i [SE]S + k-i [SaE]; dt
= k+2SE~ k_2 [ES] — k+a [ES] —Ы£$]s+*-4 [S2£]; dt
— = — k+2SE 4- k-2 [SE] + fc+3 [SE]; d/
= k+i [SE] S —k-4 [S2E];
dt
*^=k+3[SE]-k6P.
106
Учитывая условие сохранения числа свободных и связанных в комплексы молекул фермента
E+[£S] + [S2E]=e0
и переходя к безразмерным переменным
е0
S	Р
о— —; р=—; к„	к„
[Sa£]	„ к_г + k.
У = JL; где Кт = е0
ч-з
^+2
получим окончательно т = 1г+£йЦКт,
da k+1
dr	k+3eg
et dx
Km dr
-^5-0(1— X — y) —	—	У\
^+3	^+3	^+3	*+3
(IL 1—25)
^-a(\-x-y)-x—^ax + ^-y, ^+3	"+3	«+3
Km dr k+3 k+s *
Введем следующие обозначения безразмерных кинетических параметров системы (II.1—25):
__ *+1$0 .	_ ^+2$0 . L_ ^+4^0 .
—	— — - j (4 — 	? U — ————
*+3*0	*+3	k+3
С = d = 2=L; е = -^-. k+з	k+3	Кщ
Величина е = -^~ является малым параметром. Действи-тельно, крнцентрация фермента всегда на несколько порядков ниже концентрации субстрата, которая в свою очередь обычно бывает одного порядка с величиной Кт~10'2 моль/л, так что е~ 10-34-10-5. Согласно теореме Тихонова, наличие малого параметра е перед соответствующими производными означает, что концентрации фермент-субстратного комплекса [SE] и неактивного комплекса [S2E] будут быстрыми переменными. Следует отметить, что «быстрота» этих переменных опять-таки обеспечивается существенным различием концентрации реагентов — субстрата и фермента, но не расхождением кинетических констант рассматриваемых реакций.
Используя введенные выше обозначения, систему	(II.1—25)
можно записать в каноническом виде’
-^- = а—аст(1 —х—у)—Ьйх—cx + dy,	(11.1 — 26)
dr
107
дХ оУ \ \ дх + ди /
_dX__oY___ ЭХ dY дх ди ди дх
е	= ао (1 —х —у) —box —х + dy ==Х,	(И. 1 — 26а)
dx
E-^- = box-dy=*Y.	(II. 1—266)
dr
В соответствии с терминологией Тихонова будем рассматривать первое уравнение системы (II. 1—26) как вырожденное, а два последних — как присоединенную систему. Нетрудно убедиться, что особая точка присоединенной системы устойчива и, следовательно, условия применимости теоремы Тихонова выполнены.
Заметим, что уравнения (II.1—26 а, б) линейны по х и у (а при этом считаем параметром). Характеристические показатели этой системы определяются уравнением
X2—ВХ+|Д = 0, где
; Д =
Согласно этому уравнению знак действительной части и, следовательно, характер устойчивости особых точек присоединенной системы зависят от того, каков знак величины В. А именно, особая точка устойчива, если В<0. Легко видеть, что в нашем случае величина
В =—о(а+Ь)—d—1 отрицательна при любых значениях параметров a, b, d и а, так как последние по определению всегда положительны.
Итак, особая точка присоединенной системы устойчива при всех значениях параметров, и, следовательно, условия применимости теоремы Тихонова выполнены. Это означает, что присоединенную систему дифференциальных уравнений можно заменить алгебраическими соотношениями:
box—dy — 0,
a<j(l—х—у)—х—(box—dy)=Q, полагая тем самым концентрации комплексов ES и S2E постоянными.
Выразим из первого уравнения переменную у через о и х, а затем из второго — х через о:
ао
х =--------------
1 + аа,+ Р(аа)а где
р__ ^+3 ^+4
fe+2 ^-4
Подставив выражение (II.1—27.) в вырожденное уравнение системы (II. 1—26), получим уравнение ферментативной реакции
(II.1 — 27)
108
с субстратным угнетением
da ----= а
dr
(с 4- 1)аст
1 + аа + Р(аа)а
= / (а, а).
(II. 1—28)
Стационарные точки уравнения (II.1—28) находятся из усло-da п вия ---= 0 или
dr
(с-|- 1)аа
1 4- аа 4- Р(аа)2
(II. 1—29)
Решениям этого уравнения будут соответствовать точки пересечения графика функции и (о), стоящей слева, с прямой постоянного источника (рис. II.4). Из графиков видно, что в зависимости от скорости подачи субстрата уравнение (II. 1—29) может иметь два корня, один из которых (/) есть устойчивое положение равновесия, а другой (2) — неустойчивое, при критическом значении этого параметра уравнение (II. 1—29) имеет один корень. При а>аКр уравнение (II.1—29) не имеет корней, стационарное состояние рассматриваемой реакции в этом случае недостижимо.
Итак, на примере достаточно простых реакций мы познако
мились с методами анализа стационарных и квазистационарных режимов ферментативного катализа. Однако и в более сложных случаях, следуя описанной процедуре «обезразмеривания» и выделения малого параметра, можно свести математическое описание ферментативного процесса к одному-двум уравнениям. В следующих параграфах, посвященных рассмотрению важных нелинейных свойств ферментативных систем, мы не будем воспроизводить технологию упрощения исходной системы дифференциальных уравнений, надеясь, что читатель достаточно с ней знаком.
Таким образом, важным свойством биокаталитических реакций является функционирование ферментов в устойчивых стационарных и квазистационарных режимах. Достаточным условием установления квазистационарного режима служит соотношение S»E.
Возможность существования в реакции ненулевого стационарного состояния в строгом смысле (по всем переменным одновременно) определяется прежде всего тем, является ли рассматриваема? реакция закрытой (непрочной) или сообщается с внешней средой потоками, субстратов, продуктов и промежуточных ве
Л &кр	6
Рис. IJ.4. Графическое определение стационарных состояний реакции с субстратным угнетением и постоянной скоростью подачи субстрата (различным значениям последней отвечает семейство прямых, параллельных оси абсцисс)
100'
ществ. В закрытых реакциях такие стационарные состояния, вообще говоря, недостижимы, за исключением закрытых обратимых реакций, протекающих с образованием одного фермент-субстрат-ного комплекса.
В проточных условиях, напротив, ненулевой стационарный режим существует всегда независимо от природы реакции, если только константы скоростей удовлетворяют при этом необходимым соотношениям.
Для многих ферментативных реакций получены уравнения, описывающие зависимость стационарной скорости реакции от характеристик фермента и концентраций реагентов: субстратов, продуктов, ингибиторов, активаторов.
Уравнения стационарной кинетики применяют для решения разнообразных задач биокатализа, в том числе для изучения организации, механизмов и кинетических параметров ферментативных реакций. Кроме того, эти  уравнения являются основой для теоретического исследования нестационарных, динамических характеристик ферментов.
К изложению методов и результатов таких исследований мы и переходим в следующих параграфах.
§ 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОТКРЫТЫХ ОДНОФЕРМЕНТНЫХ РЕАКЦИЙ. МОДЕЛЬ ОТКРЫТОЙ НЕОБРАТИМОЙ ФЕРМЕНТАТИВНОЙ РЕАКЦИИ
С СУБСТРАТНЫМ УГНЕТЕНИЕМ. МНОЖЕСТВЕННЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ. ТРИГГЕРНЫЕ РЕЖИМЫ. АВТОКОЛЕБАНИЯ В РЕАКЦИИ С СУБСТРАТНЫМ И ПРОДУКТНЫМ УГНЕТЕНИЕМ
Субстратное угнетение — один из наиболее распространенных механизмов регулирования активности ферментов. В этом и следующих параграфах мы рассмотрим особенности динамического поведения таких реакций на основе анализа соответствующих математических моделей. С целью выяснения внутренних причин, движущих механизмов различного динамического поведения ферментов, угнетаемых субстратами, сравним характеристики реакций, различающихся некоторыми деталями организации.
Разберем подробно следующие типы реакций: односубстратную открытую необратимую реакцию с обратимым притоком субстрата
& . с.
М	_ Кг
----*- 5	----•- р -----
или
К+2	"+S
s j- Е ES; ES -> Е + Р, ^-2
Л+4	kt
SE+S^S*E; Р-+. k-i
(II.2-1)
ПО
Здесь So^S — обратимая реакция притока субстрата, £+3 — константа необратимого распада комплекса, k$ — константа необратимой реакции оттока продукта.
На примере реакции (II.2—1) познакомимся с важным свойством открытых ферментативных реакций — множественными стационарными состояниями и триггерными переходами между ними.
'Далее рассмотрим свойства открытых односубстратных необратимых ферментативных реакций с субстратным и продуктным угнетением, а также открытых обратимых ферментативных реакций с субстратным угнетением. На примере этих реакций встретимся с автоколебательными явлениями в ферментативном катализе, познакомимся со всем разнообразием динамического поведения ферментов, угнетаемых своими субстратами и продуктами.
Множественные стационарные состояния в открытой необратимой реакции с субстратным угнетением
Итак, рассмотрим открытую необратимую ферментативную реакцию с субстратным угнетением и обратимой реакцией притока субстрата (Сельков, 19676, схема (II.2—1)).
Для схемы (II.2—1) характерно, что скорость подачи субстрата линейно убывает с увеличением концентрации S:
Соответствующая (II.2—1) система дифференциальных уравнений такова:
— =k+1S0—k^S—k+iSE—k+i [SE]S + k-i [S2£], d/	*
= k+tSE—(k_2 + k+3) [SE]—k+i [S£] S + fc-4 [S2£], d/
d tS2£1 = k+tS [£S] — k-i [S2£],	(II.2— 2)
dt
= k+iSE + (k_2 + k+3) [£S], at
-^ = k+3[ES]~k5P.
В реакции выполняется закон сохранения
£+[£S]+i[S2£]=£0.
Опуская расчеты, связанные с выделением малого параметра, выпишем уравнения для медленных переменных системы (П.2—2):
111
— = а— ра-----------------= /(а, а),
Л	1 + а + уа2 ' 4 ’ '
-------6р.
dr I4-0+ Y°2
(II.2—3a) .
(II. 2—36)
Здесь введены безразмерные величины:
a = S/Km;	р= '
«+2	*\т
а — k^Sjk^E^, р = k—yKmlk^-JEQ, у = Кт +< К.4
*\т
Первое из уравнений (II.2—3) не зависит от р и может быть исследовано отдельно. Прежде всего заметим, что уравнение стационарных состояний
а—ро
1 + У<т2
(1Г.2—4)
кубическое по концентрации субстрата, может иметь от одного до трех различных корней. Для нахождения стационарных решений (II.2—4) воспользуемся графическим представлением входящих в уравнение величин (рис. II.5). Колоколообразная кривая на рис. представляет собой график зависимости скорости рассматриваемой реакции от концентрации субстрата. Семейство парал-
Рис. П.5. К- графическому определению числа стационарных состояний открытой ферментативной реакции с субстратным угнетением и обратимым притоком субстрата (семейство параллельных прямых а< отвечает различным зиаченням скорости подачи s в реакцию)
дельных прямых at отвечает различным значениям скорости подачи S в реакцию.
Из рис. видно, что в зависимости от величины- внешнего параметра а уравнение баланса субстрата может иметь одно, два или три решения. Наличие нескольких альтернативных стационарных состояний при одних и тех 5ке значениях кинетических констант существенно сказывается на поведении системы в ответ на возмущающие воздействия, в частност и в ответ на изменения управляющего параметра. Мы уже знаем (см. гл. I), что системы с множественными стационарными состояниями могут работать в триггерном режиме, т. е.
112 
обладают способностью к переключениям. Кроме того, в таких., системах наблюдается гистерезис динамических характеристик — зависимость состояний от ее предыстории.
Убедимся в том, что рассматриваемая ферментативная реакция обладает названными свойствами. С этой целью рассмотрим зависимость состояний каталитического процесса _от внешнего-управляющего параметра, а именно зависимость о(а) стационарных решений уравнения баланса (П.2—4) от величины а.
Однопараметрическое управление ферментативной реакцией
Однопараметрическое семейство (П.2—3) изображено на. рис. П.6. В одномерном фазовом пространстве, где по оси абсцисс отложено значение внешнего параметра а, по оси ординат — состояние процесса о(а). Состояния равновесия нашей реакции при всевозможных значениях параметра образуют гладкую S-образную кривую (рис. П.6). В соответствии с этой кривой каждому значению управляющего параметра из интервала aiKp<a< <агкр отвечают три различных стационарных состояния системы. (П.2—3).
Поведение рассматриваемой реакции при изменении внешних условий всецело, определяется числом и устойчивостью ее положений равновесия. Определим устойчивость состояний равновесия о (а) по знаку производной f'a от функции, стоящей в правой, части (П.2—За) (рис. П.7). Из вспомогательного рис. П.7 можно видеть, что все точки, лежащие на нижней DC и верхней ВА ветвях кривой о (а) (рис. П.6), относятся к устойчивым (f/<0),. а точки, лежащие на промежуточном участке кривой ВС — к не-
Рнс. II.6. Кривая стационарных состояний реакции с субстратным угнетением и обратимым притоком субстрата в зависимости от 'внешнего управляющего параметра
Рис. Н.7. К определению устойчивости стационарных состояний реакции с субстратным угнетением и обратимым притоком субстрата; А — f(a, а); Б —
а)
ИЗ’.
Рис. П.8. Наглядное изображение "числа и устойчивости положений равновесия реакции (II.2—1) по аналогии с механической системой «шарик в желобе»
Рис. П.9. Явление гистерезиса в реакции с субстратным угнетением н обратимым притоком субстрата
устойчивым (f/>0) стационарным состояниям (пояснения к данному методу определения устойчивости положений равновесия системы первого порядка см. в гл. I). К аналогичному выводу можно прийти путем простых .рассуждений. Пусть в результате некоторого отклонения Аст<0 величина ст стала меньше стационарного значения сть В этой области значений ст(/)<СТ1 происходит накопление субстрата, так как скорость его притока больше скорости потребления о в реакции. Следовательно, переменная о(0 будет самопроизвольно расти, приближаясь к значению щ. Если же отклонение от стационарной точки таково, что о(/)>сть то скорость расхода субстрата больше скорости его притока и возмущенная величина ст (0 будет уменьшаться, вновь приближаясь к стационарному значению сть Иными словами, любая флуктуация в стационарном состоянии cti будет затухать, и система вернется в исходном положение, которое, таким образом, устойчиво. Аналогичные рассуждения в отношении двух других стационарных состояний реакции приводят к выводу о том, что Оз также устойчиво, а а2 — неустойчиво.
Наглядно число и устойчивость стационарных состояний рас--сматриваемой реакции в зависимости от управляющего параметра можно изобразить по аналогии с механической системой «шарик в желобе» (рис. II. 8).
Картина на фазовой прямой рассматриваемой реакции такова: при а1кр<а<012кр имеются три особые точки, две из которых устойчивые узлы, а третья, промежуточная, — седло.
При изменении управляющего параметра координаты особых точек и траектории системы гладко изменяются, вплоть до достижения бифуркационных значений aiKp, агкр. При подходе параметра к бифуркационному значению одно устойчивое положение равновесия сливается с неустойчивым. При изменении управляющего параметра в обратном направлении из одной точки покоя «рождается» пара положений равновесия.
114	i
В момент слияния двух положений равновесия образуется особая точка необщего положения «седло—узел».
Важно, что при слиянии двух из трех положений равновесия, перестройка траекторий движения системы практически не затрагивает третье, по-прежнему устойчивое, стационарное состояние, в котором и оказывается система после «катастрофы», т. е. в результате параметрического переключения.
Итак, при всех значениях а из интервала aiKp<a<a2KP реакция идет в установившемся режиме, соответствующем одному из двух альтернативных устойчивых стационарных состояний. При достижении бифуркационного значения a=aKp в результате слияния исходного устойчивого положения равновесия с неустойчивым система отзывается в неустойчивом состоянии и под действием любой сколь угодно малой флуктуации скачком переходит в совершенно другой устойчивый режим.
Поясним еще раз с 'помощью кривой стационарных состояний (см. рис. II. 6), как осуществляется параметрическое переключение реакции (П.2—1) из одного устойчивого режима в другой. Предположим, что исходному состоянию системы отвечает стационарная точка, лежащая на нижней ветви кривой a(a). Будем увеличивать a — скорость притока субстрата, при этом система начнет перемещаться вправо. При достижении бифуркационного значения параметра система покинет неустойчивую точку С и, совершив скачок С->Л, попадет на верхнюю ветвь устойчивых стационарных состояний. При дальнейшем увеличении параметра а свыше а2Кр в системе возможно единственное и притом устойчивое-положение равновесия, лежащее на верхней ветви кривой a (а). Изменяя значения управляющего параметра в обратном направлении, т. е. понижая а, можно перевести систему вдоль устойчивой ветви АВ до бифуркационной точки В, после достижения которой система совершит самопроизвольный переход на исходную нижнюю ветвь устойчивых стационарных состояний.
Таким образом, при изменении управляющего параметра в сторону больших, а затем меньших значений (или наоборот) осуществится замкнутый цикл состояний рассматриваемой системы.
В каком из двух устойчивых стационарных режимов идет реакция, определяется начальными условиями и предысторией системы. Направление скачкообразных переходов зависит от л'ого, происходит уменьшение или увеличение управляющего параметра, а также от исходного состояния системы. Это свойство динамической системы, каковой является наша реакция, — помнить о своих прежних состояниях и в зависимости от предыстории по-разному реагировать на одни и те же значения внешних условий — названо гистерезисом.
Рис. П.9 иллюстрирует явление гистерезиса в открытой необратимой ферментативной реакции с субстратным угнетением.
Помимо проанализированного выше параметрического, или неспецифического, управления триггерной системой существует еще
115-
Рис. ПЛОД, 5. Силовое переключение реакции с субстратным угнетением и обратимым потоком субстрата
силовой способ переключения (специфический) — путем изменения значений динамических переменных. Опишем процесс силового переключения. Рассмотрим реакцию при фиксированных значениях всех параметров, в том числе а = а*, и предположим, что первоначально она находится в состоянии сп. Если в результате внешнего воздействия или флуктуаций значение переменной <т(/)
станет больше Ог (которое отвечает неустойчивому положению равновесия), система попадает в область влияния другого устойчивого состояния, самопроизвольно перейдет в это состояние и будет оставаться в нем до тех пор, пока новое внешнее воздействие не уменьшит о до уровня ниже 02- Тогда система вновь окажется в области влияния исходного
устойчивого состояния О1 и совершит самопроизвольный переход в это состояние. Кинетика перехода описывается первым уравнением системы (11.2—3). При этом переменная о(/) может вести себя во времени примерно так, как показано на рис. 11.10, А, Б, где стрелки — моменты силового воздействия на систему.
Множественные стационарные состояния и гистерезис, обнаруженные при исследовании математической модели реакции (11.2—1), наблюдаются в экспериментах. Первое экспериментальное подтверждение этих явления было получено в 1968 г. (DegnH., 1968) при исследовании пероксидазной реакции в проточных условиях. Фермент 'этой реакции сильно угнетался одним из своих субстратов — кислородом. Обнаружено, что открытая уратоксидазная реакция, угнетаемая мочевой кислотой, также представляет собой биохимический триггер (Naparstek A. et al.,-1974). Альтернативные стационарные состояния и гистерезис наблюдали также в кинетике роста микроорганизмов в условиях непрерывного культивирования (Harrison, Degn, 1969; Bergter F., Roth M., 1977;; Rergter et al., 1977). Таким образом, эти явления действительно свойственны биологическим системам.
Концентрационные автоколебания в открытых моноферментных реакциях
Анализ периодических режимов в биохимических реакциях представляет большой теоретический и практический интерес. В настоящее время не вызывает сомнений тот факт, что автоколебательные явления глубоко свойственны живым системам на всех уровнях организации — от простейшей ферментативной реакции до экологических сообществ. Исследование таких явлений позво
116
ляет приблизиться к пониманию движущих сил, механизмов важных биологических процессов, протекающих в периодическом режиме. Анализ колебательных свойств биохимических систем оказывается мощным средством изучения их внутренней структуры и организации, а также механизмов саморегулирования таких систем. Представления о биохимических автоколебаниях оказались весьма плодотворными в исследованиях природы клеточных часов. Из обширного класса ферментативных систем, допускающих существование незатухающих периодических изменений концентраций реагентов, рассмотрим открытую необратимую реакцию с субстратным и продуктным угнетением (Сельков, 19676; Самойленко, Сельков, 1972), а также обратимую ферментативную реакцию с субстратным угнетением (Каймачников, Сельков, 1976).'
На примере названных реакций детально проанализируем механизм генерации концентрационных автоколебаний в достаточно простых биологических системах.
Первые сообщения о колебательных , изменениях активности ряда ферментов появились около пятидесяти лет назад. Однако мысль о возможности периодических явлений в биологии в те времена не привлекла должного внимания исследователей. На основе представлений о квазистациондрном течении биохимических реакций успешно развивалась стационарная кинетика ферментативного катализа. Существование же колебательных биохимических реакций долгое время считалось сомнительным. Такое мнение во многом было обусловлено наличием термодинамических ограничений, согласно которым колебания вблизи положения термодинамического равновесия невозможны.
Позднее развитие термодинамики необратимых процессов показало возможность колебаний около неравновесных стационарных состояний, которые как раз характерны для биологических систем (Гленсдорф, Пригожин, 1973).
Одновременно шло накопление объективных экспериментальных данных о том, что некоторые биологические процессы могут протекать с периодически меняющейся интенсивностью. Так, в 1955 г,-Вильсоном и Кальвином были обнаружены колебания концентраций различных метаболитов цикла темновых реакций фотосинтеза (рис. 11.11). Дюйзенс и Амез зарегистрировали периодические изменения концентрации восстановленного пиридиннуклео-тида в ходе гликолиза дрожжевых клеток.
В шестидесятые годы появилось большое число работ Чанса и его сотрудников и других исследователей, посвященных исследованию колебательной кинетики концентраций гликолитических метаболитов (рис. 11.12—11.14). Было установлено, что наиболее вероятным генератором периодических- колебаний в гликолизе будет реакция, катализируемая фосфофруктозокиназой, и что значения концентраций субстрата (фруктозо-6-фосфат) и продукта (фруктозо-1, 6-дифосфат) изменяются в противофазе, период ко-, лебаний в интактных дрожжевых клетках варьирует от 23 до 77 с.
Вопрос о природе гликолитических колебаний стимулировал
117
Рис. 11.11. Кинетика концентраций метаболитов цикла Кальвина при резком уменьшении, концентрации углекислоты (Wilson, Calvin, 1955):
РДФ— рибулезодифосфат, ФГК—-фосфоглицериновая кислота. Цре-мя отсчитывается с момента прекращения подачи СОг
Рис. 11.12. Затухающие колебания восстановленного НАД в процессе гликолиза, наблюдаемые в суспензии дрожжевых клеток при добавлении глюкозы и переходе от аэробного дыхания к анаэробному (Betz, Chance, 1965)
Рнс. 11.13. Колебания концентрации восстановленного НАД, ’ зарегистрированные-в экстрактах сердечной мышцы (Frenkel, 1966)
Рис. 11.14. Незатухающие колебания концентрации НАД — Н2 в экстракте дрожжей
118
начало важных теоретических модельных исследований. Определенную роль в изучении механизмов периодических явлений в биохимии сыграли работы Шноля (1958), Христиансена (1961), Спанглера и Снелла (1961). Систематическому исследованию условий возникновения периодических колебаний в системе биохимических реакций посвящен ряд работ Хиггинса (1964, 1967, 1973).
Важную роль в изучении механизмов биохимических колебаний сыграли отечественные теоретические работы Е. Е. Селькова с соавторами, на которых мы подробно остановимся ниже. Так, на основе исследования реакции (II.2.5) авторами были впервые под-
V1	к	и
е ----*- г- г- —	» г-	_ v2
St _____S + Е _____ S Е -----*- Е * Р ---*-
| Ц Л-,	,	И. 2-S)
© | ft е|
тверждены представления о возможности автоколебаний в открытых ферментативных реакциях с субстратным угнетением. Проанализируем условия, при которых в системе (II.2—5) возникают множественные стационарные состояния и концентрационные автоколебания.
Открытая необратимая одноферментная реакция с субстратным и продуктным угнетением
Согласно схеме (П.2—5) субстрат поступает в сферу реакции от некоторого источника So со скоростью щ и превращается в продукт Р под действием фермента, активность которого подавляется как субстратом S, так и продуктом Р. Далее продукт Р утилизируется «стоком» со скоростью V2. При этом имеет место следующая последовательность реакций:
b	ь
S0-^S + E^»S£; SE^E + P^,
S + ES^S2E-, Р + Е^РЕ,
P+ES^.SEP-, P + S*E^*S2EP.	(II.2—6)
к-ь	k-e
Здесь ES — активный фермент-субстратный комплекс; S2E, ЕР и S2EP — пассивные комплексы; k±i — константы скоростей прямых ( + ) и обратных (—) реакций.
В системе (II.2—6) учтена возможность как конкурентного, так и неконкурентного угнетения продуктом. Напомним, что при неконкурентном механизме угнетения продукт с равной вероятностью может взаимодействовать как со свободным ферментом,
119
так и с фермент-субстратными комплексами ES, S2E. Поэтому естественно полагать, что
^+4	^+5	^+6>
k—4 — k—5 — k—6.
В случае конкурентного угнетения продукт может образовывать неактивный комплекс лишь со свободным ферментом. При этом &±5=0; &±6=0.
Формулировка модели. Полное описание динамики системы реакций (II.2—6) в соответствии с законом действующих масс включает восемь нелинейных дифференциальных уравнений. Однако тот факт, что обычно концентрации различных форм фермента Е на несколько порядков ниже концентраций субстрата и продукта, позволяет существенно упростить это описание.
Итак, предположим, что имеют место соотношения '
Е<^Р.	(П.2—7)
Как было показано в § 1, выполнение условий (II.2—7) означает, что концентрации свободного и связанного в различные комплексы ферментов являются быстрыми переменными. Это позволяет воспользоваться методом редукции и заменить дифференциальные уравнения для быстрых переменных алгебраическими соотношениями.
Выполнив эту процедуру, получим систему дифференциальных уравнений 2-го порядка, описывающую изменения во времени медленных переменных — концентраций субстрата S и продукта Р. В общем виде редуцированная система может быть записана, следующим образом:
do	,	.
— = vx— v(a, р), ат
(II.2—8) dp .	.
-^- = V(O, р)—va, dt
где ст, p — безразмерные концентрации субстрата и продукта соответственно; т — безразмерное время; v(o, р) представляет собой относительную квазистационарную скорость ферментативной реакции.
Примем, что источник субстрата и сток продукта описываются уравнениями (II.2—9) и (II.2.10) соответственно:
^==*+,(50-5),	(II.2—9)
v2=W-	(II.2—10)
Согласно (II.2—9) реакция притока субстрата обратима. Уравнение (II.2—10) в свою очередь означает, что скорость утилизации продукта линейно увеличивается с ростом его концентрации. В клетке, как правило, продукт данной реакции служит субстра
120
том для последующей. Тогда скорость v% может быть аппроксимирована уравнением Михаэлиса — Ментен (Сельков, 1972)..
С учетом (II.2—9—II.2—10) схема реакций (II.2—6) описывается следующей системой дифференциальных уравнений второго порядка:
p-^- = ₽i(^o—°)—v(o, р), ах
(II. 2—11)
-^- = v(CT, р) — ₽2Р, ах
где квазистационарная скорость ферментативной реакции v(o, р) определяется в случае неконкурентного угнетения продуктом уравнением
v(o, р) =-------2-------,	(II.2 —12а)
(l+a + a<j8)(l+p)’
а в случае конкурентного угнетения — уравнением
V (°, р) = -гт-г-гг— (и-2~ 12б)
1 + я + аа4 4- р
Здесь
— безразмерные концентрации субстрата и продукта соответственно,
%=Vt/K2
— безразмерное время; а, а0, рх, 02, ц — безразмерные параметры:
a =	Pl ~	Рг = ^+2^2/^>
Выше использованы следующие обозначения:
Кт = ———- — константа Михаэлиса рассматриваемой фер-^+i
ментативной реакции; K\ = k-Zlk+Z — константа субстратного ингибирования; /С2 = ^-4/^+4 — константа продуктного ингибирования; V=k+zE0 -г- максимальная скорость реакции, v~~^-------относи-
тельная скорость реакции;
Ео Е + [£S] + [S2£] + [S£P] + [S2£P] + [£P]
— суммарное количество молекул свободного и связанного в комплексы фермента.
Параметр а=Кт1К\ характеризует «глубину» субстратного угнетения; параметр \i. = KmIKi — соответственно глубину продуктного угнетения.
Исследование модели. Для определения числа и характера устойчивости особых точек системы (II.2—11) воспользуемся графическими представлениями зависимостей vi(<r), v2(p) и v(o, р). С примерами такого графического анализа читатель уже встречал
121
ся выше. Напомним еще раз, что в основе этого метода лежит необходимое условие стационарности процесса — равенство скоростей отдельных его стадий.
Необходимо, однако, отметить, что в предыдущих двух случаях мы имели дело с системами первого порядка: поведение реакции во времени описывалось одним дифференциальным уравнением для концентрации субстрата. Стационарные состояния опреде-do п лялись из соответствующего уравнения баланса --------—0 или
dr
Vi(o)=v(cr).
Рис. 11.15. Графический анализ числа и устойчивости стационарных режимов реакции с субстратным н продуктным угнетением:
А-— скорость подачи субстрата vi ферментативной реакции v в зависимости от концентрации субстрата; Б — скорость реакции v и стока продукта v2 в зависимости от концентрации последнего
Рис. 11.16. Главные изоклины реакции с субстратным и продуктным угнетением. Пунктирные кривые 1—4 соответствуют р=0 при различных значениях параметров реакции;
2 — режим автоколебаний, 4 — триггер
Для схемы (II.2—5), учитывающей наряду о субстратным угнетением возможность отрицательной обратной связи, т. е. продуктного угнетения фермента, . справедлива система дифференциальных уравнений 2-го порядка. Стационарные состояния такой системы определяются двумя уравнениями баланса: vi=v и v=V2, где скорость ферментативной реакции v суть функция двух переменных: пир.
Проведем графический анализ схемы (II.2—5) в два этапа. Воспользуемся вначале уравнением баланса ст=О и найдем его решения как точки пересечения графиков скоростей vi (ст) и v(o). Зависимость скорости реакции от концентрации субстрата построим для фиксированного значения безразмерной концентрации продукта р. Из рис. 11.15 можно видеть, что соответствующая кривая имеет характерный для механизма субстратно!)» угнетения максимум. На этом же рисунке изображена линейная функция
122
vi(a) — характеристика источника. Точка пересечения графиков
•Vi и v соответствует квазистационарному режиму, в котором приближенно выполнено равенство ~ 0. Будем далее увеличивать
концентрацию продукта. Для каждого нового р построим графики •v(o, рг), v(o, рз) и т. д. (рис. 11.15). С увеличением концентрации продукта максимум кривых v(o, р.) будет понижаться и смещаться вправо — в область более высоких концентраций субстрата, что обусловлено наличием продуктного угнетения.
По точкам пересечения графиков v(o, р,) и vi(o) найдем ква-зистационарные значения скорости реакции v(cr, р), где о — корень алгебраического уравнения ст==0, или квазистационарная концентрация субстрата. Из рис. 11.15 видно, что в зависимости от величины р трафики функций v и vi могут иметь от одной до трех точек пересечения. Наличие одной точки пересечения при р<р2 и р>р4 соответствует единственному значению скорости реакции. Каждому значению концентрации р из интервала (рг<р<Р4) отвечают три точки пересечения графиков vi и v и, следовательно, три различных величины квазистационарной скорости реакции v(cr, р). Критическим значениям концентрации продукта р = рг и
р—р4 отвечают по два различных значения скорости реакции v(cr, р).
Таким образом, меняя величину концентрации продукта и определяя для каждого нового р квазистационарную скорость реакции v=v(o, р), можно построить зависимость v(p). Эту функцию, построенную нами с помощью уравнения баланса субстрата, назовем квазистационарной выходной характеристикой реакции или просто выходной характеристикой реакции.
Как показано на рис. 11.15, выходная характеристика нашей реакции имеет гистерезисный, Z-образный вид, т. е. v(p) является неоднозначной функцией концентрации продукта. Именно это свойство неоднозначности, или гистерезис выходной характеристики, определяет возможность существования в рассматриваемой биохимической реакции триггерных и автоколебательных динамических режимов.
С помощью построенной нами характеристики v(cr, р) можно найти стационарные решения системы (II.2—И). Воспользуемся для этого уравнением баланса продукта v = V2- Точки пересечения графика v(cr, р) с прямой V2(p), описывающей расход продукта, будут соответствовать стационарным состояниям реакции, поскольку в этих точках одновременно выполнены равенства:
— =0, -^- = 0. dt dr
Легко видеть, что z-образная кривая v(p) может иметь от одной до трех точек пересечения с функцией V2(p), характеризующей скорость оттока продукта из реакции. Это означает, что в на
123
шей системе возможно-существование от одного до трех альтернативных стационарных состояний. При этом все точки верхней и нижней ветвей выходной характеристики v(tr, р) дают устойчивые, а точки промежуточной ветви неустойчивые стационарные состояния.
Триггерные и автоколебательные режимы в модели открытой необратимой ферментативной реакции с субстратным и продуктным угнетением
Рассмотрим положения равновесия (точки пересечения главных изоклин) на фазовой плоскости нашей системы. На рис. 11.17 показана главная изоклина о=0 реакции (II.2—5), которая при определенных значениях параметров, указанных в подрисуночной подписи, имеет характерный Af-образный вид.
В случае, когда главные изоклины имеют три точки пересечения (две из них, расположенные на верхней и нижней ветвях ква-зистационарной кривой, — устойчивые узлы или фокусы, третья, промежуточная, — седло), наша система работает как триггер. Процесс переключения носит пороговый характер и может сопровождаться затухающими колебаниями концентраций реагентов. Напомним, что природа бифуркаций, приводящих к жесткой потере устойчивости исходного стационарного режима и к переключению системы в иной устойчивый режим, заключается в слиянии двух положений равновесия — устойчивого с неустойчивым.
В рассматриваемом здесь однопараметрическом семействе систем (II.2—8) кроме описанной в § 1 жесткой потери устойчивости возможны другие типы бифуркаций:
А. При изменении управляющего параметра из устойчивого положения равновесия рождается предельный цикл (радиус! ко-
Рис. 11.17. Два типа бифуркаций динамических режимов в системах второго порядка, связанных с возбуждением автоколебаний-
А — мягкое возбуждение автоколебаний;
Б — жесткое возбуждение автоколебаний
124
торого имеет порядок Уе, когда значение параметра отличается от бифуркационного на е). Устойчивость стационарного состояния передается циклу, само же оно становится неустойчивым (рис. 11.17, Л).
Б. Неустойчивый предельный цикл, окружающий устойчивое положение равновесия, стягивается в точку и умирает; область, притяжения положения равновесия уменьшается при этом до нуля. Неустойчивость предельного цикла передается стационарному состоянию (рис. 11.17, Б).
Пуанкаре в свое время заметил, а Андронов и его ученики доказали, что кроме описанных выше трех типов бифуркаций в общих однопараметрических семействах систем с двухмерным фазовым пространством никаких иных видов потери устойчивости не встречается. Более того, в настоящее время доказано, что и в системах с фазовым пространством большей размерности потеря устойчивости положений равновесия при изменении одного параметра происходит по двум осям координат каким-либо из описанных выше способов, по направлениям же всех дополнительных осей положение равновесия с изменением параметра остается притягивающим.
Таким образом, в рассматриваемой ферментативной реакции (II.2—5) при изменении управляющего параметра могут наблюдаться следующие явления.
Из положения равновесия рождается устойчивый предельный цикл. Это означает, что после потери устойчивости стационарного состояния в системе устанавливается колебательный строго периодический режим. Амплитуда колебаний пропорциональна квадратному корню' из закритичности (отличия параметра от критического значения, при котором равновесие теряет устойчивость).
Такая смена динамических режимов в реакции называется мягкой потерей устойчивости, так как возникающий колебательный режим при малой закритичности мало отличается от положения равновесия.
Итак, при некоторых значениях параметров в реакции (II.2—5) может реализоваться единственное стационарное состояние, расположенное на неустойчивой ветви квазистационарной кривой о = 0. На фазовом портрете (см. рис. 11.16) этому случаю отвечает пунктирная кривая 2. В этих условиях в реакции возникают автоколебания.
Рассмотрим более подробно динамику реакции (II.2—5)вслу-чае слабого ингибирования продуктом. Вспомним, что при выполнении условия р,<С1 относительная концентрация субстрата является быстрой переменной. Действительно, скорость ее изменения во времени в соответствии с первым уравнением системы (П.2—11) имеет порядок 1 .Относительная концентрация продук-Р
та будет при этом медленной переменной — скорость ее изменения ~1.
125>
Рис. 11.18. Предельный цикл на фазовой плоскости- реакции с субстратным и продуктным угнетением
Рис. II.19. Концентрационные автоколебания в реакции с субстратным и продуктным угнетением
Выберем некоторые начальные значения переменных о, р — концентраций субстрата и. продукта. Предположим, что заданные <То, ро попадают в область влияния устойчивой особой точки присоединенного уравнения. Тогда характер фазовых траекторий будет следующий. Изображающая точка совершит быстрый (со 1 \ скоростью —— переход по направлению к квазистационарной
Н /
кривой о=0 (кривой квазистационарных значений быстрой переменной о). Траектории быстрых движений изображающей точки будут почти параллельны оси о, поскольку за времена ~р, медленная переменная р практически не изменяется (рис. 11.18). При достижении ^.-окрестности квазистационарной кривой -v(o, р) движение изображающей точки резко замедляется и далее происходит вдоль этой кривой в соответствии с вырожденной системой дифференциальных уравнений (II.2—13):
-^ = 0, dr
(II.2 —13)
-^- = v(ct, р)—v2(P). ах
•Медленный дрейф изображающей точки со скоростью ~ 1 будет происходить до тех пор, пока выполнены условия устойчивости квазистационарного режима, т. е. до достижения критических точек квазистационарной кривой, которые соответствуют неустойчивым особым точкам присоединенного уравнения для быстрой переменной о.
Предположим, что система (П.2—11) имеет единственное стационарное состояние на неустойчивой ветви АВ квазистационарной кривой о=0. Пусть в результате некоторого возмущения си
126
стема отклонилась от этого состояния и быстро (за время т— р, j достигла окрестности точки С с координатами (а21 рг)» лежащей на устойчивой ветви квазистационарной кривой (рис. 11.18). После этого движение резко замедляется, и в соответствии с вырожденным уравнением (II.2—13) изображающая точка будет медленно перемещаться вдоль отрезка С А кривой а = 0. Так как в окрестности точки С, как и в любой точке, принадлежащей устойчивой ветви СА, скорость утилизации продукта v2 меньше скорости его образования в ходе реакции v, в системе начнется накопление продукта. Таким образом, медленный дрейф изображающей точки будет направлен в сторону увеличения концентрации р вплоть до критического значения р4 (точка Д). Достигнув критической точки А, изображающая точка теряет устойчи-
(da	dp	.. X
	ц ; —— ~ 1	по dx-----------------dx /
направлению к другой устойчивой ветви DB кривой а = 0 (рис. 11.19). При достижении окрестности точки D движение изображающей точки вновь резко замедляется и начинается медленный дрейф вдоль ветви DB. При этом в результате скачкообразного перехода A->-D происходит «переключение» скоростей утилизации и образование продукта: скорость его расхода становится больше скорости реакции v, вследствие чего концентрация продукта в системе начинает убывать. В соответствии с этим медленный дрейф изображающей точки вдоль а = 0 будет происходить в сторону меньших значений р, т. е. по направлению к критической, точке В. Достигнув этой точки, система вновь теряет устойчивость и «срывается» в быстрое движение по направлению к исходной точке С. Далее описанный цикл повторяется.
Путем проведенного качественного исследования мы пришли к следующему выводу: если в системе имеет место временная иерархия переменных а, р, если квазистационарная кривая a = 0 имеет jV-образный, гистерезисный характер (см. рис. 11.17) и ни на одной устойчивой ветви этой кривой нет стационарных точек, то в системе (II.2—11) возникают релаксационные автоколебания. Соответствующие периодические (колебательные) изменения во времени концентраций субстрата и продукта показаны на рис. 11.19.
Заметим, что в зависимости от величины параметра ц форма автоколебаний может быть различной; от резко релаксационной при р<1 до почти синусоидальной при ц>0,1. Релаксационный характер автоколебаний будет в данном случае прямым следствием сильного различия скоростей изменения переменных а, р. При этом в соответствии с характерными временами медленная переменная р изменяется во времени пилообразно, а быстрая a — почти разрывно (рис. 11.19).
В работах (Самойленко, Сельков, 1971, 1972) выполнен более строгий численный анализ условий существования предельных
127
Рис. 11.20. Границы области существования единствеииого устойчивого предельного цикла, определяющего единственную стационарную точку реакции с субстратным и продуктным угнетением при различных значениях р: 1 — р = 0; 2—ц = 0,006;
3 — ц = 0,05; а=1; ао=1О
Рис. 11.21. Параметрический портрет реакции с субстратным и продуктным угнетением; пояснения в тексте
циклов на фазовой плоскости системы (II.2—11) с субстратным и продуктным . угнетением. При этом найдены области значений параметров 01, 02, определяющих скорость притока субстрата и расхода продукта соответственно, при которых система (II.2—11) имеет единственное стационарное состояние на неустойчивой ветви АВ квазистационарной кривой. Границы этих областей получены путем численного решения уравнений, определяющих условие расположения единственного стационарного состояния системы (II.2—11) между двумя критическими точками (экстремумами) кривой (П.2—13). Границы области существования единственного устойчивого предельного цикла, окружающего единственную неустойчивую стационарную точку, можно найти из условия равенства -нулю действительной части корней характеристического уравнения системы (П.2—11—II.2—126). Результаты численного решения системы уравнений, определяющих это условие при различных значениях параметра р, представлены на рис. 11.20. Видно, что с увеличением глубины продуктного угнетения (ц—>-1) область существования единственного устойчивого предельного цикла, окружающего единственную неустойчивую стационарную точку, уменьшается и при некотором критическом значении р стягивается в точку.
В том случае, если реализуются три стационарные состояния, одно из них обязательно седло и поэтому всегда неустойчиво. Два других могут иметь характер устойчивого узла или фокуса либо неустойчивого узла или фокуса. В том случае, когда два из трех стационарных состояний устойчивы, система (II.2—11) является триггером.
При определенных значениях параметров системы (II.2—11), в частности, в случае, когда скорость притока субстрата равна
128
скорости утилизации продукта Pi = p$2 или fe+i = &+2, в системе существует одно-единственное устойчивое положение равновесия. В этом случае система (П.2—11) абсолютно устойчива, и возникновение автоколебаний невозможно, так как для существования предельного цикла необходимо наличие неустойчивых положений равновесия.
Анализ корней характеристического уравнения системы (П.2—11) и построение бифуркационной диаграммы показывают, что области неустойчивости рассматриваемой системы лежат в пространстве ее параметров выше прямой 01 —р!02- Это означает, что необходимым условием существования предельного цикла в системе (П.2—11) является преобладание константы скорости притока субстрата над константой скорости утилизации продукта:
01>|Л₽2 ИЛИ k+i>k+2-
На рис. П.21 представлен параметрический портрет рассматриваемой реакции. Область 1 соответствует описанному выше режиму. В области 2 существуют три неустойчивых стационарных состояния, одно, из которых всегда седло, а два других могут быть узлом или фокусом. В этой области возможен либо один устойчивый предельный цикл, окружающий все три стационарных состояния, либо два устойчивых предельных цикла, окружающих два стационарных состояния, разделенных седлом. В областях 3 и 4 имеются три стационарных состояния, из которых одно всегда седло, другое — неустойчивый фокус или узел. В этих областях существует один устойчивый предельный цикл. Область 5 соответствует триггерному режиму реакции. В областях 6 и 7 в реакции возможно единственное устойчивое стационарное состояние с соответственно высокой (обл.6) или низкой (обл.7) стационарной скоростью реакции.
Итак, авторы цитированных выше работ рассмотрели различные динамические режимы, в которых может функционировать открытая ферментативная система с субстратным и продуктным угнетением. Оказалось, что среди возможных режимов довольно значительную область в пространстве параметров занимают автоколебания концентраций реагентов. Область неустойчивости системы тем шире (соответственно условия возникновения автоколебаний удовлетворяются тем легче), чем сильнее выражено субстратное угнетение и чем меньше глубина продуктнйго угнетения (т. е. чем меньше сродство продукта к ферменту по сравнению со сродством субстрата к ферменту).
Основные свойства кинетики рассматриваемой необратимой ферментативной реакции — множественность стационарных состояний, гистерезис и автоколебания — являются прямым следствием сильной нелинейности, обусловленной совместным действием субстратного и продуктного угнетения. Поскольку комбинированное угнетение ферментов субстратами и продуктами реакции — явление весьма распространенное, сформулированная выше мате
5 Зак. З&З
129
матическая модель может быть использована для объяснения нередко наблюдаемых незатухающих концентрационных колебании в реальных биохимических процессах.
Заметим, что механизмы продуктного угнетения (в отличие от продуктной активации!) скорости ферментативной реакции сами по себе не дают незатухающих колебательных режимов, поскольку гистерезис квазистационарной выходной характеристики v(a, р), необходимый для существования автоколебаний, возможен только при наличии субстратного угнетения. С другой стороны, взятый в отдельности механизм субстратного угнетения в необратимых ферментативных реакциях является отнюдь не автоколебательным. Напротив, в обратимых реакциях, или в более сложных системах реакций (например, в циклических превращениях субстратов в клеточном метаболизме), этот тип регулирования активности ферментов является фактором, обусловливающим самые разнообразные динамические режимы.
Модель односубстратной обратимой ферментативной реакции с субстратным угнетением
Рассмотрим открытую обратимую ферментативную реакцию, протекающую по схеме
(II.2—14) V V,
Здесь 5 — субстрат, Р — продукт, Е — фермент, угнетаемый субстратом, v — скорость реакции, vb V2 — скорости притока субстрата и продукта соответственно.
Математический анализ реакции (П.2—14), выполненный в работах Е. Е. Целькова и др. (1976, 1978), показал возможность существования в такой системе нескольких альтернативных стационарных состояний с различной устойчивостью, гистерезиса и незатухающих колебаний.
Динамический портрет реакции (П.2—14) обнаруживает большое сходство с основными характеристиками родственной системы (П.2—5), подробно проанализированной выше. Сходство динамического поведения реакций с несколько различными механизмами регулирования обусловлено эквивалентностью соответствующих математических моделей, которая в свою очередь есть следствие кинетической аналогии элементарных стадий, из которых складываются рассматриваемые реакции.
Действительно, запишем подробно последовательность промежуточных взаимодействий, имеющих место в схеме (П.2—14). При этом будем считать, что порядок аллостерического механизма субстратного угнетения может быть больше единицы.
130
fc.,
1.	E + Sz^ES. k-i
k
2.	ESz^E + P.
k_
k.e
3.	ES + yS^ESS?.
k_£
k.. '
4.	E-p P^EP.
k-2
5.	EP + ySz^ EPS*.
*.z
(II.2 —15)
Применение к схеме (П.2—15) обычных методов расчета дает следующее выражение для квазистационарной скорости реакции:
(И.2—16)
Здесь использованы обозначения:
V+ = Efji 4- k+2/(k+ + k- + /г+2),
V_ = EiJk_k-1/(k+ + k- + fc-J,
K1 — (&+ • k+2 + k-k+i + Z’_fe_1/&+1 (&+ 4- k_ 4- fe+2),
(II. 2 —17)
^2 (^4  *42 4" ^—^42 4" k—k^/k—2 №+ + k— 4" k—),
Kt=Vk-iik+i.
Если ввести безразмерные переменные и параметры, выражение (II.5—16) примет более простой вид:
где
v= (и—ар)/(р4- (о4-р) (р4-о1)),
S „ Р а =----; р =-----
'	^2
км?
Ki)
V, V+
(II.2—18)
(II.2—19)
v
V —-----; ц =
а =
Согласно (II.2—18) зависимость скорости рассматриваемой реакции от концентрации субстрата у (а) представляет собой характерную для механизма субстратного угнетения немонотонную функцию. Зависимость у от концентрации продукта р выражается гиперболой, типичной для механизма продуктного угнетения. Причиной этого эффекта в данном случае будет обратимый характер реакции образования продукта (стадия 2 в кинетической схеме (II.2—14). Таким образом, мы убеждаемся в аналогии — кинетической и математической — обратимой ферментативной реакции с субстратным угнетением и реакции (II.2—5) с субстратным и продуктным угнетением. Эта аналогия влечет за собой качественное сходство динамических режимов, свойственных реакциям рассматриваемых двух типов.
131
Перейдем теперь к непосредственному построению и исследот ванию математической модели реакции (II.2—14). Следуя при этом оригинальным работам, цитированным выше, примем, что скорость притока субстрата в сферу реакции равно как и скорость оттока продукта v2, представляют собой линейные функции концентраций S и Р соответственно:
Di = Ню—k'S- v2 = v20—k2P.	(П.2—20)
С учетом (II.5—16) поведение нашей реакции во времени описывает следующая система дифференциальных уравнений:
dS
---= и10— « 3—и, dt 10
dP	,оп ,
— = v20—kiP + v, at
или в безразмерных переменных:
е —— = v10—pjO—v = еР(а, р), ах
ч	(II.2— 21)
-y- = v20—p2p + v=(a, Р). ах
- Здесь использованы обозначения (П.2—17), а также введены следующие безразмерные величины:
т=у+(ВД)7//<2; ^1К2,
V10 = V10/V+p; v20 - V20/V+ + и;	(II.2 -22)
₽2 = fe2K2/V+p.
Предположим, что справедливо соотношение e = Ki/K2Cl. Тогда в системе (П.2—21) имеет место временная иерархия переменных, и при выполнении условий теоремы Тихонова справедлив квазистационарный кинетический анализ, основанный на асимптотическом уравнении для быстрой переменной:
-?- = v1o-pia-v(a, Р) = О	(II.2-23)
ах
при е->0.
Уравнение (П.2—23) определяет квазистационарную скорость реакции, или квазистационарную выходную характеристику (КВХ). Напомним, что для существования в системе триггерных и автоколебательных режимов необходима неоднозначность этой функции. На рис. 11.22, Л представлено семейство выходных характеристик >v(a, р), построенное с помощью подстановки (II.2—18) в уравнение (П.2—23) и преобразования его к виду
р = (а + v (ц + (ц + crv)))/(a + v (ц + с?)). (II. 2— 24)
132
Рис. 11.22. А — Семейство выходных характеристик обратимой ферментативной реакции с субстратным угнетением;
Б — Графический метод нахождения стационарных состояний рассматриваемой реакции
Из рис. 11.22 можно видеть, что при достаточно малых величинах а, где а-параметр, характеризующий степень обратимости исследуемой реакции, в некотором диапазоне значений переменной р зависимость v(p) неоднозначна, что связано с наличием экстремумов у вспомогательной функции р(о, у), определяемой выражением (П.2—24). Напомним, что экстремальные' точки находятся dp п из условия = 0.
Рис. П.23, Б иллюстрирует графический метод нахождения стационарных состояний реакции (П.2—14).
Заметим, что форма выходной характеристики -v(p) определяется не только степенью обратимости реакции (П.2—14), т. е. величиной а, но и параметрами «источника> субстрата 0i, vio< На рис. П.24,Л показано семейство кривых -v(p), соответствующих различным значениям р1( vio. На рис. П.23, Б в плоскости параметров Pi, vio построены границы областей, в которых выходная характеристика v(p) имеет качественно различные формы.
Методы построения параметрических портретов реакции (П.2—14) можно найти в монографии Г. Р. Иваницкого и др. (1978). Там же даны все области значений параметров 0i, vio, а также Рг, v2o> при которых в нашей системе реализуются одно, два или три стационарных состояния. Авторами цитируемой работы с помощью соответствующих параметрических портретов наглядно показано, что единственное стационарное состояние реакции, а также два из трех О1 и Оз (промежуточное О2 — всегда седло) в зависимости от параметров могут менять характер (узел — фокус) и устойчивость.
При определенных значениях параметров рассматриваемой реакции выполняются необходимые и достаточные условия сущест-
133
Рис. 11.23. А — Плоскость параметров (Pi, -Vm) источника субстрата реакции (11.2—14) и границы областей, в которых выходная характеристика имеет качественно различные формы;
Б — Зависимость формы выходной характеристики v(p) от параметров обратимой ферментативной реакции с субстратным угнетением: а=0,5; Р1 = 1; у=2; £=0,1; 1 — v)m=2,55; 2 — vIm=2,0; 3 — vIm = l,75; 4 — vim=l,4.
вования на фазовой плоскости (П.2—21) устойчивого предельного цикла — гистерезис выходной характеристики v(a, р), а также неустойчивость всех стационарных состояний. Последнее условие является достаточным вследствие неустойчивости бесконечности модели (Н.2—21), а также в силу того, что на осях аир фазовые траектории входят внутрь положительного квадранта- фазовой плоскости (см. § 8 гл. I). Направление фазовых траекторий на осях а, р можно получить путем подстановки р=0 и а=0 соответственно в первое и второе уравнения системы (П.2—21).
На рис. П.24 приведен пример устойчивого предельного цикла, окружающего единственную стационарную точку рассматриваемой модели. При других значениях параметров на фазовой плоскости реакции (П.2—14), как и системы (П.2—5), возможно существование более одного предельного цикла. В зависимости от параметров множественные предельные циклы могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. При изменении управляющего параметра между устойчивыми альтернативными колебательными состояниями реакции возможны гистерезисные переходы.
Аналогичные явления — множественные стационарные и колебательные состояния — свойственны моделям открытых односубстратных реакций, катализируемых олигомерными ферментами, активность которых подавляется субстратом, либо стимулируется продуктом, либо угнетается субстратом и продуктом одновременно (Иваницкий и др., 1978).
Названные динамические режимы наблюдаются также в двухсубстратных ферментативных реакциях с субстратным угнетением. Теоретический анализ реакций такого типа выполнен в рабо-
134
Рис. 11.24. Квазистационарная выходная характеристика реакции (II.2—14) и устойчивый предельный цикл, окружающий единственную неустойчивую стационарную точку реакции
Рис. 11.25. Семейство квазиста-ционарных выходных характеристик двухсубстратной ферментативной реакции с субстратным угнетением в зависимости от параметра (цифры на кривых), пропорционального суммарной концентрации Со субстрата S2 и продукта S2*
тах Каймачникова, Селькова (1975, 1977) и Иваницкого и соавт. (1978). Авторы рассмотрели, в частности, реакцию, протекающую по схеме
(И. 2 - 25)
Здесь Si и S2 — субстраты, Рд и Р2 — продукты, Е — фермент, v — скорость реакции, Uj — скорость притока субстрата, v2 — скорость обратной реакции превращения продукта Р2 в субстрат 32 (в частном случае, когда S2 — коэнзим реакции, v2 — скорость его регенерации), и/ — скорость оттока продукта Рь
В предположении, что выполнен закон сохранения
‘$2 + Р2==Со,
т. е. суммарный пул 32 и Р2 постоянен (что имеет место, когда 32 является кофактором ферментативной реакции, например АТФ или НАД), и что скорости с/] и v2 имеют вид
У1 = Ую—fc'Si; v2 = k2P2,
получено семейство S-образных квазистационарных входных характеристик реакции (II.2—25) (рис. 11.25).
135
01—1-----1____I I
Qt6 0,7 6j
Рис. П.26. Фазовые портреты двухсубстратной реакции с субстратным угнетением прн следующих значениях параметров: у=2,3= = 0,1; а=1; е=0,02 (а—б); а=5, е=0,08 (е). а — устойчивый предельный цикл (УПЦ С+12з) при 01 = 0,187; Vim = 0,509; б — неустойчивый предельный цикл (НПЦ С~) и (УПЦ С+) при 01=0,196; vim = 0,523; в — НПЦ Сг при 01=0,171 745; vim=0,4965; г — НПЦ С3~ и УПЦ С+123 при 01=0,1821; vim = = 0,505; д — НПЦ Сг и УПЦ . С+123 прн 01 = 0,179, vo=0,5014
Из рис, 11.25 видно, что эти характеристики при определенных значениях параметров неоднозначны: проекция кривых vjoa) на ось о2 имеет особенности типа складки (здесь v(o2) — квазиста-ционарная скорость реакции, зависящая от безразмерной, концентрации кофактора 5г-как от параметра).. Эти особенности определяют бифуркации динамических свойств рассматриваемой реакции при изменении управляющего параметра: возникновение множественных стационарных состояний, а также множественных колебательных режимов, между которыми возможны триггерные, гистерезисные переходы.
На рис. 11.26 показаны различные динамические портреты реакции (II.2—25): три положения равновесия и единственный устойчивый предельный цикл с+; одно положение равновесия и устойчивый предельный цикл, окружающий Неустойчивый предельный цикл; три положения равновесия и единственный неустойчивый предельный цикл ti~; устойчивый предельный цикл, охватывающий все три положения равновесия и неустойчивый предельный цикл; три положения равновесия, два неустойчивых и один устойчивый предельный цикл и т. д.
Таким образом, в открытых моноферментных реакциях при наличии нелинейных механизмов регулирования скорости катализа наблюдаются разнообразные динамические режимы: в зависимости от значений параметров и от исходных концентраций реакция может иметь сотни различных видов кинетики (рис. II. 27).
Время
Рис. 11.27. Различная кинетика открытой ферментативной реакции, имеющей три альтернативных стационарных состояния в зависимости от параметров и начальных условий процесса, а также при действии возмущений (моменты приложения возмущений показаны стрелками)
137
Эквивалентные механизмы регулирования активности ферментов. Открытые одноферментные реакции с продуктной активацией
В ходе теоретического, исследования открытых реакций с различными механизмами регулирования активности ферментов было установлено большое сходство их основных характеристик и динамического поведения. Во всех случаях (за исключением схемы (II.2—1)) рассматриваемые реакции обладают гистерезисными квазистационарными характеристиками, универсальные особенности которых (типа «складки») и обусловливают разнообразные динамические режимы работы ферментов: множественные стационарные, а также автоколебательные состояния и переключения между ними. Смена динамических режимов в ходе параметрического регулирования реакций происходит в результате бифуркаций, природа которых также универсальна в классе рассматри-' ваемых динамических систем. Перечислим еще раз возможные типы перестроек фазового портрета, приводящих к смене динамических режимов: при подходе параметра к бифуркационному значению положение равновесия исчезает, слившись с другим, или же «из воздуха» рождается пара положений равновесия, при этом из двух рождающихся (или исчезающих вместе) положений равновесия одно устойчивое, другое — неустойчивое. Кроме того, при изменении параметра из положения равновесия может рождаться предельный цикл, тогда устойчивость равновесия переходит к циклу, само же равновесие становится неустойчивым. Возможен еще лишь один тип бифуркаций — в положении равновесия исчезает неустойчивый предельный цикл, после чего его неустойчивость передается равновесному состоянию.
Итак, установлено, что математические модели многих ферментативных реакций с различными регуляторными связями топологически эквивалентны, т. е. обладают одинаковым строением параметрических й фазовых портретов (Иваницкий и др., 1978; Сельков, 1979). Этот вывод имеет замечательные следствия. Во-первых, эквивалентность математических моделей и сходство их динамического поведения свидетельствуют об эквивалентности (в смысле кинетического действия) и, следовательно, о взаимозаменяемости различных по своей природе механизмов регулирования ферментов. Так, в определенных условиях субстратное угнетение эквивалентно по своему действию продуктной активации или про-дуктному угнетению фермента.
Показано, например, что любая из схем, представленных на рис.П.29, эквивалентна односубстратной ферментативной реакции с кооперативной продуктной активацией и обратимым притоком субстрата
138
В этом можно убедиться путем линейной замены переменных в соответствующих математических моделях.
Существование качественного и даже количественного сходст-ства динамических характеристик различных реакций позволяет резко сократить усилия, затрачиваемые на весьма трудоемкое исследование каждой новой модели. В силу эквивалентности все детально исследованные свойства какой-либо одной эталонной реакции распространяются и на весь обширный класс эквивалентных моделей. Этот метод позволяет не только предсказывать все возможные типы поведения но-
вой, еще не исследованной реакции, но и вычислять с высокой точностью бифуркационные значения параметров, при которых происходит смена динамических режимов катализа.
Итак, приведение данной модели к эталонной может быть осуществлено с помощью линейной замены переменных, т. е. операции диффеоморфизма. Рассмотрим, например, математическую модель открытой реакции с кооперативной продуктной активацией у-ного порядка.
X


e e



У
Рис. 11.28. Схемы, эквивалентные односубстратной ферментативной реакции с кооперативной' активацией и обратимым притоком субстрата

i__!©
В безразмерных переменных имеем:
Ио.	„
~ =	Р1°1—v;
dt
e-^- = v2m—p2o + v, dt
(II. 2—26)
где v — квазистационарная скорость реакции. Для нее справедливо выражение:
v = a1(v0 + O2)/(l +a1o14-ol(l +OJ),	> О, у > 1, v0<l.
С помощью простой замены переменных исходную систему можно привести к эквивалентному виду
dai	о	^°2	' Q '
—±- = vlm—PjOj—v; е—- =	₽2О2—v
dx	dx
139
где
v = CTi(v0 + (o20--ff2)v)/(l + a1<T1 + (CT20—02)v(l +0!)). (II.2—27)
Новую переменную о2' можно рассматривать как концентрацию субстрата S2' эквивалентной реакции,
$2
'	(П. 2-28)
Si
фермент которой угнетается веществом S2. При этом концентрации субстрата S2 и продукта S2 связаны законом сохранения
О2 + О2=:^20>
Выражение (II.2—27) для безразмерной скорости реакции (II.2—28) получилось «нехимическим»: согласно этому выражению скорость катализа v отлична от нуля в отсутствие субстрата, т. е. при О2/ = 0. Однако этот недостаток легко устраняется введением в уравнение (II.2—27) для скорости реакции малого параметра б (возмущения). В силу малости этого параметра фазовые и параметрические портреты исходной модели (II.2—26) и эквивалентной ей реакции совпадают не только -качественно, но и количественно.
Метод эквивалентных моделей можно применять и для исследования сложных полиферментных реакций, состоящих из нескольких стадий. Так, например, нетрудно убедиться в том, что ферментативная система с перекрестным угнетением ферментов Ег и Е2 продуктами реакции
кинетически эквивалентна моноферментным реакциям с субстратным угнетением или с продуктной активацией (Сельков, 1979).
Продуктная активация в реакциях гликолиза.
Природа гликолитических колебаний
Во многих ферментативных реакциях при определенных условиях могут возникать колебания концентраций реагентов. Классическим примером такой колебательной биохимической системы служит гликолитическая цепь.
Гликолиз — один из древнейших путей метаболизма клетки, возникший на ранних стадиях эволюции. В процессе гликолиза
140
осуществляется .распад глюкозы и других сахаров, при этом соединения, содержащие шесть молекул углерода, превращаются в так называемые трикарбоновые кислоты, включающие три молекулы углерода. За счет избытка свободной энергии, которым обладают сахара по сравнению с трикарбоновыми кислотами, в процессе гликолиза в клетке образуется АТФ. При этом на одну молекулу шестиуглеродного сахара образуются лишь две молекулы АТФ, в то время как в процессе дыхания то же количество органических веществ дает 38 молекул АТФ. Это означает, что КПД гликолиза почти в двадцать раз'меньше КПД дыхательной цепи. Это и понятно: продукты гликолиза в отличие от дыхания еще очень иедоокислены.
Несмотря на столь низкую эффективность, гликолиз выжил в процессе эволюции и до сих пор играет большую роль в метаболизме клетки, например у микроорганизмов. Многие способные к окислительному фосфолирироваиию бактерии, попадая в анаэробные условия, переключаются, на гликолиз, который в этом случае является практически единственным источником свободной энергии. В кислородной атмосфере, когда идёт интенсивное дыхание, гликолиз подавляется.
Гликолитический аппарат сохранился и в клетках высших организмов, в том числе млекопитающих. Интенсивный гликолиз осуществляется, например, в сердечных мышцах. Роль гликолиза повышается, если происходят быстрый рост и размножение клеток, когда возникает потребность не только в энергии, но и в строительных материалах, которыми могут служить продукты гликолиза.
О существовании биохимического генератора колебаний интенсивности гликолиза свидетельствует большое число объективных экспериментальных данных. Хорошо изучены колебания концентраций фруктозо-6-фосфата, фруктозо-1,6-фосфата и восстановленного НАД, возникающие в суспензии дрожжевых клеток при переходе от аэробных условий к анаэробным. Были найдены условия, при которых колебания интенсивности гликолиза становились незатухающими,
С самого начала решающая роль в генерации наблюдаемых колебаний была приписана ключевому ферменту гликолитического пути — фосфофруктокиназе (ФФК). Установлено, чтб активность этого фермента зависит от многих факторов. Так, например, АДФ и АМФ активируют его, а АТФ угнетает. Продукт этой реакции ФДФ также может активировать катализирующий ее фермент. Способность фосфофруктокиназы активироваться своими продуктами и была использована при построении математических моделей гликолитических колебаний.
Теоретический анализ гликолитической цепи, включающей свыше 20 промежуточных стадий, облегчается существованием нескольких узких мест, которые и определяют кинетику процесса. В качестве примера рассмотрим систему кинетических уравнений, предложенную Хиггинсом (Higgins, 1964, 1967, 1973) с целью
<41
уточнения механизма одиочастотных гликолитических колебаний.
Автор предположил, что скорость рассматриваемого процесса определяет линейная активация ФФК фруктозодифосфатом. При этом он пренебрег влиянием АДФ на скорость ФФК-реакции и допустил, что в условиях, когда наблюдаются колебания, активность ФФК не зависит от концентрации АТФ. С помощью таких допущений схема рассматриваемого ферментативного процесса была представлена в следующем весьма упрощенном виде:
act I I
[Гл]-7Ф6Ф 4* ФДФ -Т
Здесь Гл — глюкоза; Ф6Ф (фруктозо-6-фосфат) — субстрат ключевой реакции, катализируемой ферментом (ФФК); ФДФ — продукт этой реакции, который является субстратом в следующей стадии, катализируемой ферментом Е2. Обратной стрелкой показано влияние промежуточного продукта ФДФ на активность ключевого фермента Et.
Таким образом, в исходной модели Хиггинса (1967) продукт -ная активация имела первый порядок. Уравнения для медленных переменных (концентраций субстрата Ф6Ф и продукта ФДФ) имели вид:
dx	v / ч
— = 0!— v2 = X(x, у), at
(11.2—29)
-^- = v2—v3s=K(x, у), at
здесь V] — скорость поступления субстрата Ф6Ф в сферу рассматриваемой реакции, v2 — скорость преобразования Ф6Ф в продукт ФДФ, v3 — скорость распада ФДФ в следующей стадии.
Согласно Хиггинсу (1967), субстрат Ф6Ф поступает в сферу реакции с постоянной скоростью
tn = /t;	(11.2—30а)
v2 — квазистационарная скорость реакции — определяется соотношением	.
ц2 = х----------у---,	(11.2—306)
Кх + х Ку + у	'
где х — максимальная скорость рассматриваемой реакции при полном насыщении субстратом, — константа Михаэлиса, Ку характеризует продуктную активацию ключевой реакции.
Скорость утилизации продукта определяется медленной и необратимой реакцией, катализируемой ферментом пируваткиназой (ПК). Скорость убыли у можно записать в виде
V3 = q-_y •	(11.2-ЗОв)
142
С учетом (11.2—30, а, б, в) ’система кинетических уравнений (11.2—29) принимает вид:
= k _х х . У dt	Кх + х Ку + у
=	------У----q-J-----
dt Кх + х Ку + у К + У
(П.2—31)
По исследованию Хиггинса можно сделать следующие выводы. Первый и самый важный состоит в том, что система (П.2—31) при определенных условиях действительно описывает возникновение автоколебательного режима. Уменьшение параметра х, а также скорости подачи субстрата k способствует самовозбуждению колебаний. К такому же эффекту может приводить увеличение параметра q — активности пируваткииазной реакции, например добавка ПК.
Эти результаты модельного исследования частично подтверждаются экспериментами. Замена глюкозы-другим сахаром (соответствующая уменьшению k) и понижение скорости подачи глюкозы действительно приводили к появлению автоколебаний (Hess, 1973).
Второй вывод состоит в том, что величины x(t) и y(t) колеблются почти в противофазе. Этот факт также соответствует опытным данным.
Альтернативная модель гликолитических колебаний была предложена Сельковым, который постулировал более высокий порядок активации ФФК. (Сельков, 1968). В модели Селькова фигурирует зависимость типа
/ vo + °2
V, =---------1---- -----------—
1 + 01 ( 1 — <?2
где Оь 02 — безразмерные концентрации субстрата и продукта ключевой реакции.
При определенных значениях параметров в модели существует автоколебательный режим.
Этот же автор показал, что в тех условиях эксперимента,- когда наблюдаются колебания, ФФК не активируется своими непосредственными продуктами. Активатором при этом будет аденозинмонофосфат, образующийся в реакции
2АДФч=кАТФ + АМФ.
Считая АМФ единственным активатором, Сельков (1971) построил модель, удовлетворительно описывающую колебания. При определенных значениях параметров модель предсказывает релаксационные колебания, обнаруженные в других экспериментах.
143
Теоретическое исследование открытых ферментативных реакций с субстратным угнетением дает исчерпывающую информацию об основных свойствах динамических режимов работы ферментов в проточных условиях.
Характерной чертой открытых необратимых моноферментных реакций является существование устойчивых стационарных состояний в отличие от закрытых необратимых реакций, в которых возможны лишь квазистационарные режимы, предшествующие достижению термодинамического равновесия. Число стационарных состояний открытой ферментативной реакции может быть различным в зависимости от ее нелинейности. Если в необратимой реакции с субстратным угнетением наряду с притоком субстрата имеет место его отток из сферы катализа (вовне), то при определенных значениях параметров в системе реализуются три стационарных состояния, два из которых устойчивы. Между альтернативными устойчивыми стационарными режимами возможно жесткое (скачкообразное) параметрическое или силовое переключение. Таким образом, реакции рассматриваемого типа могут работать как биологические триггеры.
Результаты анализа математической модели реакции (II.2—1) подтверждаются в экспериментах по исследованию действия ферментов, угнетаемых своими субстратами, в проточных условиях.
Установлено, что большинство открытых одноферментных реакций, содержащих регуляторные связи типа субстратного угнетения, являются генераторами концентрационных колебаний.
В зависимости от параметров реакций возможно существование альтернативных стационарных состояний, а также альтернативных автоколебательных режимов. Колебания концентраций реагентов могут иметь различную форму — от почти синусоидальной до резко релаксационной.
В открытых реакциях, сопряженных с параллельным процессом запасания субстрата или продукта в метаболически неактивной форме, наблюдаются также явления типа странного аттрактора, т. е. устойчивые стохастические, концентрационные колебания.
В закрытых необратимых ферментативных реакциях автоколебания не могут существовать ни при каком порядке нелинейности системы. Действительно, автоколебательный режим является в определенном смысле стационарным, а стационарные режимы с ненулевыми значениями концентраций, как мы знаем, в закрытых необратимых ферментативных реакциях любого типа недостижимы. Кроме того, в таких реакциях нет постоянного источника энергии, необходимого для поддержания незатухающих колебаний. Вместе с тем в закрытых, непроточных системах могут существовать квазистационарные режимы, в которых концентрации реагентов совершают медленно затухающие колебания. Из* вестный пример такой квазиавтоколебательиой системы — реак
144
ция Белоусова— Жаботинского, протекающая в закрытом сосуде-В этой реакции при соответствующем подборе исходных концентраций взаимодействующих веществ реализуется до нескольких сот периодов процесса, наблюдаемых по колебаниям окраски раствора.
§ 3. МОДЕЛИ ПОЛИФЕРМЕНТИЫХ СИСТЕМ
Многоступенчатые ферментативные реакции, каждая из стадий которых катализируется своим строго специфическим ферментом, составляют основу метаболизма клетки. В настоящее время достаточно хорошо изучены важнейшие биохимические процессы:, цикл трикарбоновых кислот, пентозофосфатный путь окисления глюкозы, перенос электронов по фотосинтетической цепи, окислительное фосфорилирование в митохондриях и др.'
Отдельные реакции обмена веществ клетки исследованы в основном в 1930—1950 гг. с помощью таких методических подходов, как ингибиторный анализ, использование радиоактивных меток, а также путем выделения ферментов и изучения химии индивидуальных реакций. Результаты этих исследований суммированы; в хорошо известных картах метаболических путей. Вместе с тем такие карты не дают полного, исчерпывающего представления о процессе, называемом «метаболизмом». В настоящее время внимание исследователей привлекает проблема самоорганизации и регулирования полиферментиых реакций. Теоретический анализ совместно с другими кинетическими методами является необходимым звеном таких исследований.
Проблема математического описания сложных, многоступенчатых ферментативных процессов сопряжена с определенными трудностями: биохимические процессы клетки включают множество стадий и десятки промежуточных метаболитов. Так, дыхательная цепь митохондрий содержит до 25 переносчиков электрона *. Кроме того, полиферментиые системы могут взаимодействовать друг с другом через общие продукты и кофакторы, образуя сложную, многократно пересеченную сеть метаболических путей (Дегли,. Никольсои, 1973; Ленинже^, 1974). Вместе с тем в определенных условиях отдельные цепи ферментативных реакций работают практически автономно. Это облегчает их теоретический анализ. Опыт математического моделирования таких систем показывает, что при определенных условиях длинная цепочка биохимических превращений ведет себя так же, как простая ферментативная реакция. Это означает, что модели сложных полиферментиых систем можно редуцировать к модели одной эквивалентной реакции и изучать динамические свойства полифермеитной цепи с помощью
1 Существование большого числа ферментативных этапов метаболических, путей является, по-видимому, биологически необходимым, поскольку химические превращения, протекающие на каждой индивидуальной стадии, обычно относительно просты (что в свою очередь обусловлено' высокой специфичностью: белковых катализаторов).
145.
простой эквивалентной модели. Отсюда следует вывод: математические модели полиферментных систем могут быть такими же простыми, как и модели отдельных ферментативных реакций (см., например, изложенные в этой главе эквивалентные модели энергетического метаболизма клетки).
Не следует, однако, забывать, что редуцированные, эквивалентные модели позволяют судить лишь об общих динамических свойствах полиферментных реакций, но не несут информации о деталях внутренней организации таких систем. Для решения специальных задач биокатализа, таких, как определение числа и кинетических параметров отдельных стадий полиферментной цепи, необходимо рассмотрение достаточно полных математических моделей. При этом, естественно, исследование таких моделей в рамках качественной теории динамических систем не дает ответа на поставленный вопрос, который решается лишь путем тщательного количественного (численного) анализа.
Численный анализ многокомпонентных математических моделей строится прежде всего на данных стационарной кинетики катализа. Исследование переходных режимов в таких моделях проводится с помощью методов предстационарной и релаксационной кинетики, которые позволяют ограничиваться рассмотрением моделей, линеаризованных вблизи стационарных состояний (Березин, Варфоломеев, 1979; Варфоломеев, 1976).
Математическое описание ферментативных реакций в гомогенных растворах и в надмолекулярных комплексах
При построении математических • моделей многоступенчатых ферментативных процессов необходимо различать полифермент-ные системы, растворенные в цитоплазме (гомогенные ферментативные реакции, или системы идеального перемешивания), и реакции, протекающие в биологических структурах.
В настоящее время хорошо известно, что живая клетка отнюдь не. представляет собой объем с раствором ферментов. Напротив, многие ферменты прочно связаны с какими-либо структурами, например с клеточными мембранами. Так, по данным центрифугирования, более 60% белков клетки — это агрегаты с участием фосфолипидных мембран. Некоторые ферменты взаимодействуют друг с другом, образуя жесткий надмолекулярный комплекс. На рис. 11.29 показан пример такого полиферментного комплекса — детально изученный в последнее время пируватдегидроге-назный комплекс (ПДК). Размеры ПДК довольно внушительны: в его состав входят 16 молекул пируватдекарбоксилазы (Пд), 8 молекул дигидролипоатдегидрогеназы (Дд) и 1 молекула редук-тазо-трансацетилазы липолиевой кислоты, состоящая из 64 субъединиц (РТЛК).
Другой пример подобной организации ферментов — p-окисление жирных кислот, в котором происходит превращение ацилпро-изводных КоА в ацетил-КоА (схема этого процесса показана на 146
R.CHZ-CH2-COSKOA\
Ацил- КоА-дегидрогеназа
R.CH = CHCO$KoA
Рис. 11.29. Пространственная модель полиферментного комплекса — пиру-ватдегидрогеназной системы (ПДК): ПД — пируватдекарбоксилаза, ДД — дигидролипоатдегидрогеназа, РТЛК— редуктазо-трансацетилаза липоляе-вой кислоты
Еноил-гидраза
R.CHOHCHj-COSKoA
ft - Оксиацил- Ко А-дегидрогеназа
R.CO CH2 COSKoA
ft-Кетотиолаза
КоАЗН
R.COSKoA + CHjCOSKoA
Рис. 11.30. Полиферментная система» 0-окисления жирных кислот, организованная в надмолекулярную» структуру
рис. 11.30). Начальные стадии процессов трансформации энергии при дыхании и фотосинтезе также протекают в пространственно* организованных комплексах ферментов, расположенных в мембранах митохондрий, хлоропластов, хроматофоров и др. Работа ферментов в таких структурах до некоторой степени аналогична поточной линии в современной индустрии: промежуточные продукты процесса всегда находятся в связанном с тем или иным реакционным центром состоянии и в свободном виде в тканях не обнаруживаются. Это, по-видимому, биологически оправдано, если ни один из промежуточных продуктов не участвует ни в каком ином биохимическом процессе.
Пространственная организация полиферментных систем выполняет важные биологические функции. Одна из таких функций — разделение несовместимых, противоположно направленных биохимических процессов, таких, как синтез и распад различных веществ, разделение ионов полупроницаемыми мембранами и проч. Объединение ферментов в комплексы позволяет увеличить эффективность реакций, скорость которых ограничена диффузией; об-
147
легчает стабилизацию короткоживущих метаболитов за счет сокращения -расстояний и соответственно времен переноса между активными центрами. Организация полиферментиых систем в пространстве необходима также для осуществления направленных, векторных биохимических процессов, таких, как перенос электронов по фотосинтетической и дыхательной цепи. В структурно организованных полиферментиых системах реализуются особые, не •свойственные растворам ферментов регуляторные механизмы, что делает еще более точной и слаженной работу отдельных звеньев таких систем.
Надмолекулярные комплексы ферментов не являются изолированными системами; они могут обмениваться с окружающей средой как энергией, так и веществом. При этом те или иные элементы структуры непосредственно взаимодействуют с реагентами, свободно передвигающимися в мембране или примембранном пространстве. Объединение биологических структур с гомогенными биохимическими реакциями в единую, функционально целостную систему биологически оправдано: участие в процессе подвижных компонентов целесообразно как с точки зрения регуляции, так и для осуществления сопряжения различных по своей природе биохимических процессов. При этом, как правило, наиболее медленные именно те стадии, которые идут в растворах. Они наделены регуляторными функциями и определяют кинетику всего процесса в целом. Так, на примере бактериального фотосинтеза авторами показано, что компоненты комплекса переноса электронов, называемые вторичными акцепторами, взаимодействуют с молекулами той же хинонной природы, однако не связанными в комплексы и обладающими определенной подвижностью в мембране. Именно эти подвижные хиноны осуществляют циклический перенос электронов, который в свою очередь сопряжен с работой АТФ-синтетазной системы (Пытьева и др., 1975, 1981).
Прежде чем перейти к методам математического описания ферментативных процессов, идущих в растворах и в надмолекулярных структурах, необходимо отметить, что пространственная •организация ферментов в комплексы несвойственна вообще многим процессам обмена веществ клетки, таким, например, как гликолиз, цикл трикарбоновых кислот, пентозофосфатный путь и различным системам обмена аминокислот. Промежуточные продукты этих метаболических путей, хотя и присутствуют в тканях в низких концентрациях, но могут быть обнаружены с помощью специфических методов анализа. Некоторые из таких соединений функционируют в качестве интермедиатов или предшественников более чем одного метаболического пути (тлюкозо-6-фосфат — предшественник гликолиза, пентозофосфатного пути и синтеза гликогена). Кроме того, подвижность ряда промежуточных соединений обеспечивает возможность быстрой передачи информации на регуляторные ферменты.
Итак, биологические процессы, идущие в растворах, подчиняются обычным законам химической и ферментативной кинетики.
148
В полном соответствии с этими законами и выводятся модели пространственно однородных полиферментных систем. Независимые переменные в таких моделях, как правило, концентрации. Правые части дифференциальных уравнений для концентраций, как и в моделях отдельных ферментативных реакций, включают обычно члены нулевого, первого и более высокого порядка, а также дробные функции концентраций. При наличии кооперативных регуляторных свойств в цепочке ферментов соответствующее математическое описание содержит сильные нелинейности, обусловливающие разнообразие динамических режимов и возможность тонкой регуляции полиферментных систем.
Важно подчеркнуть, что концентрационные модели гомогенных полиферментных систем описывают непрерывные, детерминированные, усредненные по пространству процессы и, конечно же, не отражают дискретной и стохастической природы элементарных реакций, протекающих на молекулярном, микроскопическом уровне.
Ясно, что такое усредненное описание биохимических реакций является в известной мере приближенным и неприменимо к малым объемам, содержащим единицы реагирующих молекул, — так же как законы классической механики неприменимы для описания строения атомов и атомных ядер. Именно в таких, отнюдь не однородных, дискретных условиях работают, например, молекулы клеточной ДНК или шРНК.
Таким образом, методы формальной химической кинетики вполне корректны при рассмотрении биохимических процессов в макрообъемах, например в пробирке или в химическом реакторе, но не всегда оправданы in vivo, в пределах одной клетки или клеточных органелл. В тех случаях, когда количество взаймодей-ствующих молекул в сфере ферментативной реакции исчисляется единицами, в качестве динамических переменных можно использовать вероятности тех или иных состояний реагентов. Именно такими переменными оперируют математические модели полиферментных комплексов.
Обратимся теперь к методам математического описания реакций, протекающих в комплексах ферментов. Очевидно, классический взгляд на ферментативные реакции как на взаимодействие подвижных молекул в результате случайных соударений неприменим к полиферментным системам, организованным в надмолекулярные структуры. Строго говоря, к таким структурам неприменимо само понятие концентраций в его обычном смысле. Математические модели полиферментных комплексов оперируют иными переменными, которые характеризуют функциональные состояния комплекса в целом.
Под состоянием полиферментного комплекса будем понимать упорядоченный набор состояний отдельных ферментов, составляющих комплекс. Число различных дискретных состояний, которые принимает полиферментный комплекс в процессе функционирования, конечно и равно ап, где а — число возможных состояний
149
отдельного компонента комплекса, п — общее число компонентов. В свою очередь состояния отдельных компонентов системы могут представлять собой свободный фермент, а также комплексы фермента с лигандами: субстратом, продуктом, модификатором; это могут быть также различные конформационные состояния фермента и т. д.
Элементарные переходы между различными дискретными состояниями системы ферментов (отвечающие, например, присоединению субстрата к той или иной молекуле) будут случайными событиями и подчиняются законам теории вероятностей, поскольку заранее неизвестно, с какой именно молекулой и в какой момент времени провзаимодействует субстрат. Таким образом, мы нс знаем ни точной последовательности событий, ни конечного состояния рассматриваемой системы. Следовательно, при выводе математических моделей реакций, протекающих в надмолекулярных комплексах ферментов, необходимо учитывать стохастическую (вероятностную) природу происходящих в них процессов. Именно поэтому в качестве динамических переменных в таких моделях обычно выступают вероятности того, что в момент времени t комплекс находится, в некотором состоянии £< = 1.
Для описания случайного процесса, каким является функционирование комплекса ферментов, вводится также понятие переходной вероятности Р‘1+Л/>, или вероятности перехода системы из i-того состояния в fe-тое. Величина Р,й(#+Д0 представляет собой условную вероятность того, что в момент времени t+\t комплекс принимает состояние ^t+м — К при условии, что в предыдущий момент времени t он находился в состоянии = При этом предполагается, что поведение комплекса суть марковский случайный процесс1 с дискретным числом состояний и непрерывным временем (Шинкарев, Венедиктов, 1977).
Дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию рассматриваемого марковского процесса, выводятся в предположении о том, что существует предел
pjk(t, t + bf) -sjk hm--------------= atk (0,	(II.3— 1>
Л/
где 6м = 0, если j=£k, и б/*=1, если j=k. По смыслу величины aik(j=^k) представляют собой производные переходных вероятностей в точке t. Введение в рассмотрение величин а/* позволяет представить переходную вероятность Pjk (т. е. вероятность того,, что система, находившаяся исходно в состоянии /, за время М совершит переход в состояние k) в следующем виде:
Pjk(t, t+Ы) =ajk(t)(П.З—2)
1 Марковским называют случайный процесс, эволюция которого в будущем полностью определяется заданием его состояния в настоящий момент и не зависит от состояний процесса в прошлом. Более подробно содержание названных понятий изложено в монографии (Рубин, Шинкарев, 1984).
150
Символ О (AZ) означает, что при переходе к пределу А/-Я) величина О(Д^) стремится к нулю:	=0. Производные пере-
до
ходных вероятностей aik(t) обычно называют плотностями вероятностей перехода из /-того состояния комплекса в /г-тое. Этими величинами определяется время, в течение которого комплекс находится в каждом из своих состояний. А именно в состоянии / комплекс пребывает случайное время т/, распределенное по показательному закону с параметром
Р(т/>П^=/) = ^М»	(П.З—3)
где
В момент времени t=xj комплекс мгновенно переходит из состояния / в новое состояние i с вероятностью
Mi
В состоянии i комплекс пребывает случайное время также распределенное по показательному закону,, но уже с параметром Х> и т. д.
Таким образом, функционирование полиферментной системы, организованной в комплекс, определяется следующими величинами:
1)	начальным распределением состояний комплекса Р(£о=О = Рг(О), с помощью которого выбирается исходное состояние, а именно с вероятностью Р,(0) начальным явится t-тое состояние комплекса;
2)	совокупностью X, параметров показательного распределения времен пребывания комплекса в каждом из п состояний, i=l, 2, ..., п;
3)	вероятностями перехода qtj из произвольного состояния i в произвольное состояние /.
В качестве примера рассмотрим вывод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний комплекса из ферментов Е\, Е2.
Предположим, что комплекс может находиться в четырех состояниях:
е°е° е°е2 е\е°2 е\е'2
(1)	(2)	(3)	(4) ’
где цифры в скобках указывают номер состояния, а индексы 0,1 означают, свободен или занят субстратом активный центр соответствующего фермента.
Пусть комплекс может переходить из одного состояния в другое согласно схеме:
151
(I)	£,*£,’ 13)
°”l b"
eJH ° -tie', W
“24
На этой схеме стрелками указаны разрешенные переходы комплекса из одного состояния в другое. Рядом со стрелками указаны параметры распределения соответствующих времен переходов, которые В терминах химической кинетики суть (псевдо) мономоле-кулярные константы скоростей рассматриваемых реакций.
Согласно этой схеме комплекс из первого состояния, в котором оба фермента свободны	может перейти в третье со-
стояние (£i£°), в котором первый фермент занят, а второй свободен, с плотностью вероятности перехода днз; из второго состояния комплекс может перейти в первое и четвертое состояния соответственно с плотностями вероятностей перехода а21 и 024 и т. д.
Для того чтобы определить эволюцию состояний нашей системы, необходимо зиать, с какой вероятностью Pi(t) комплекс окажется в 1-том состоянии в некоторый фиксированный момент времени t. Для вывода уравнений, описывающих поведение перемен^ ных рассмотрим, например, какова вероятность того, что в момент времени t + At комплекс находится в первом состоянии. Это событие может наблюдаться при следующих условиях:
1)	в предшествующий момент времени t комплекс уже находился в первом состоянии и за время At не вышел из него;
2)	в предшествующий момент времени t комплекс оказался во втором состоянии, а затем за время At перешел из второго состояния в первое;
3)	в предшествующий момент времени t комплекс был в третьем состоянии, из которого за время At перешел в первое состояние;
4)	в предшествующий момент времени t комплекс был в состоянии (4), из которого за время At перешел в первое состояние.
Таким образом, событие, состоящее в том, что комплекс находится в момент времени t + At в первом состоянии (Вм-д«=1), можно представить как сумму несовместимых событий:
(Ь+Д<= !) = &= 1. &+ы=1)+.......(& = 4,	(П.З—5а>
Или в силу аддитивного свойства вероятности:
Р&+д<==1)= £	= Ь+д<=1).	(П.3-6)
i=l
Входящую в это равенство вероятность Р(&=1, &+д/=1) того, что комплекс находится в момент времени t+At в состоянии 1 при ус
152
ловии, что в предыдущий момент он находился в состоянии i, можно представить через переходную вероятность:
P& = i,	'(П.3-7)
В свою очередь для переходной вероятности Рц(М) справедливы соотношения:
4
Р(1(Д/)= 1 — A/t + 0(Л/)’ .если 1 = 1 •	(П.3-8)
a(J&/ + 0(&0>	если/#:!.
С учетом последнего соотношения равенство (П.З—6) можно переписать в виде
4
Pi (t + ДО = £ Р( (/) а(1М + Рь(0 [1 — («и + «и + «и) ДП + 0 (ДО 1=2
Перенося Pi(t) в левую сторону равенства, деля обе части соотношения на At и переходя к пределу Д/->0, получим, учитывая, что на схеме (П.З—1) ненулевыми являются лишь и а^,
—— = ^2«21— Р1а13-at
Аналогичным путем могут быть получены и уравнения для вероятностей остальных состояний:
tiPi/dt = Р3Яз2— Р2 (^21 "Ь «24) >
dP3/dt = P\dl3 + Р4О43 Psflszt dpitdt= P 2^24 PfPiS-
Легко видеть, что между схемой (П.З—1) и полученной системой дифференциальных уравнений существует тесная связь, благодаря которой, исходя из соответствующего графа, можно сразу выписывать дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Правило написания дифференциальных уравнений можно сформулировать следующим образом: в правой части уравнения для /г-того состояния со знаком плюс стоит столько членов, сколько на графе стрелок ведет в данное состояние, а со знаком минус стоит столько членов, сколько стрелок исходит из данного состояния. Каждый член в правой части уравнения независимо от знака имеет вид произведения вероятности того состояния, откуда идет стрелка, на величину соответствующей плотности переходной вероятности.
Важно подчеркнуть, что дифференциальные уравнения, описывающие вероятностное поведение полиферментного комплекса, являются линейными относительно своих' динамических переменных — вероятностей застать комплекс в том или ином состоянии в данный момент времени. Линейность вероятностных уравнений
153
для состояний комплекса сохраняется и при наличии у полифер-ментной системы кооперативных регуляторных свойств. В этом случае увеличивается лишь число дифференциальных уравнений системы в соответствии с увеличением общего числа состояний комплекса.
Число возможных состояний надмолекулярной системы растет весьма быстро — с увеличением числа входящих в ее состав ферментов, а также с увеличением количества различных состояний каждого компонента в отдельности. Так, если полиферментная система включает п компонентов, каждый из которых может находиться в двух состояниях (например, в окисленном и восстановленном), число различных состояний комплекса равно 2". Если учесть, что каждый фермент обладает к тому же двумя альтернативными конформациями (активной и пассивной), число состоя1-ний комплекса становится равным 4". Например, полное математическое описание цепочки из трех взаимс^цействующих реакций, в ходе которых каждый фермент принимает четыре различные формы, включает 43 = 64 дифференциальных уравнения.
Реальные биохимические процессы клетки могут включать и большее число промежуточных реакций. Количество различных состояний таких комплексов составляет несколько сотен. Вместе с тем организация многостадийных ферментативных процессов по принципу временной иерархии позволяет существенно упрощать их математическое описание (с помощью методов редукции, изложенных выше), которое зачастую сводится к нескольким линейным дифференциальным уравнениям (Фрейдлин и др., 1980).
Часто однотипные комплексы ферментов, ответственные за определенный участок обмена веществ клетки, образуют конгломераты, или ансамбли, заключенные внутри соответствующих клеточных органелл. При рассмотрении процессов, идущих с участием ансамблей из достаточно большого числа идентичных ферментных комплексов, вероятную модель можно заменить обычной, усредненной, или концентрационной моделью, так как в этом случае вероятность застать полиферментный комплекс в каком-либо состоянии практически равна доле комплексов, находящихся в этом состоянии, т. е. относительной концентрации этого состояния.
Линейность кинетики переходов между различными состояниями полиферментного комплекса и автономность соответствующих систем дифференциальных уравнений обусловливают существование в таких реакциях единственного стационарного состояния и лишь затухающих концентрационных колебаний в отличие от реакций в гомогенных растворах полиферментных систем. Напомним, что существенная нелинейность последних обусловлена основной особенностью биокатализаторов -- их способностью образовать в процессе реакции комплексы с молекулами субстратов и модификаторов.
Далее мы рассмотрим основные особенности регулирования и важнейшие динамические характеристики многоступенчатых ферментативных реакций на примере систем идеального перемешива-154
ния. Там, где результаты теории гомогенных реакций оказываются справедливыми и для комплексов ферментов, будем отмечать это особо. Подробный анализ вероятностных математических моделей полиферментных комплексов проведен в гл. III.
Системные свойства кинетики и регуляции, временная организация полиферментных цепей
Одной из важнейших задач энзимологии до сегодняшнего дня остается выяснение механизмов регулирования многоступенчатых ферментативных реакций, сплетенных в клетке в единую систему метаболизма. Очевидно, управление сложными биохимическими процессами может осуществляться двояко: на основе самоорганизации полиферментных систем и с помощью внешних регуляторных сигналов. В зависимости от внешних условий и выполняемой функции «вес» названных механизмов может быть различным. Так, в условиях относительно автономного функционирования отдельных полиферментных цепей решающую роль играют свойства самоорганизации, т. е. внутренние механизмы авторегулирования таких систем. Напротив, управление сопряженными, совместно действующими полиферментными процессами, как и общая координация клеточного метаболизма, осуществляется во многом с помощью регуляторных сигналов, или.команд, носителями которых могут служить молекулы аллостерических регуляторов. Источником управляющих сигналов могут являться внутриклеточная среда или программа, записанная в молекулах ДНК или РНК, либо клеточное окружение.
Рассмотрим два фундаментальных свойства временной самоорганизации биохимических процессов клетки — принцип временной иерархии и его следствия, а также периодическую временную организацию полиферментных систем.
Определяющее звено в цепи ферментативных реакций
В основе функциональной самоорганизации клеточных процессов лежит важнейшее системное свойство всесо живого — временная иерархия отдельных стадий сложных биохимических систем. Это свойство наряду со свойствами специфичности отдельных катализаторов обеспечивает строгую последовательность взаимодействия ферментов в растворах, создает подчинение одних реакций, ведомых, другим — ведущим, а также отвечает за разделение во времени противоположно направленных процессов (таких, как синтез и распад различных веществ). Следствием временной иерархии ферментативных реакций будет определяющая, регуляторная роль лимитирующих, узловых стадий полиферментных цепей.
Итак, важнейшее свойство кинетики полиферментных процессов — так называемый принцип узкого места, согласно которому стационарная скорость последовательной цепи реакций определяется наиболее медленной стадией. Этот принцип играет важней-
155
шую роль в регулировании процессов метаболизма, так как позволяет изменять активность полиферментной системы, управляя лишь одной, определяющей реакцией. При этом остальные звенья цепи никак не влияют на скорость образования конечного продукта.
Эффект минимума, широко известный в практике биохимических исследований, получил строгое, математическое обоснование в работе Чернавского и Иерусалимского (1965).
Поскольку ход теоретического исследования, выполненного в названной работе, неоднократно воспроизводился (Романовский и др., 1975; Рубин и др., 1977), опустим его в настоящем издании и остановимся на основных его результатах.
Итак, Чернавский и Иерусалимский (1965) рассмотрели реакцию с участием двух последовательно действующих ферментов:
S1 + E1^SE — P1 + E1,	(П.З—9)
а11
Рг + Е^Р^-* Р2Е2	(П.З-10)
и двух аллостерических ингибиторов 1] и 12, угнетающих ферменты Ei и Е2 соответственно.
Предположив, что первая стадия более медленная Л1<Л11, доказано, что скорость результирующего процесса целиком определяется параметрами первой реакции и совершенно не зависит от характеристик более быстрой второй стадии. Ясно, что при этом промежуточный продукт Pi практически не накапливается, так как все, что образовалось на первой стадии процесса, сразу же, без задержки, перерабатывается более быстрым ферментом в конечный продукт.
Далее авторы рассмотрели модели более сложных, в том числе разветвленных цепочек реакций. В каждом случае скорость образования конечного продукта определялась лишь наиболее медленной стадией процесса и не зависела от параметров прочих реакций.
Важно подчеркнуть, что согласно результатам выполненного теоретического исследования принцип минимума строго выполняется даже в том случае, когда скорости отдельных реакций сравнимы между собой (например, отличаются на 10—20%). Это происходит за счет свойства насыщаемости. Благодаря насыщаемости даже самое незначительное превосходство в скорости одной из стадий полиферментной цепи приводит к такому накоплению продукта этой стадии, что скорость последующей более медленной реакции уже не зависит от его концентрации. Иными словами, самый медленный фермент работает в режиме насыщения субстратом даже в том случае, если скорость образования этого субстрата в ходе предыдущих реакций лишь на 10—20% выше скорости его утилизации. При этом более быстрый фермент тоже должен работать в насыщении, иначе принцип минимума может и не выполняться. В рассматриваемых закрытых системах свой-156
ство обратимости также играет принципиальную роль, так как именно оно обеспечивает стационарное течение процесса. Следует отметить, что принцип минимума (определяющая роль медленных стадий) в переходных режимах бывает выражен менее четко. Иногда кинетика многостадийного процесса при переходе из одного стационарного режима в другой сложным образом-зависит от параметров промежуточных стадий.
Авторы цитируемой выше работы (Чернавский, Иерусалимский, 1965) рассмотрели эффект узкого места в гомогенных биохимических системах. Однако принцип временной иерархии работает и в надмолекулярных комплексах ферментов. Если такой комплекс поместить в раствор, содержащий исходный донор, и проследить за потреблением последнего, то легко убедиться, что-скорость результирующего процесса будет целиком определяться лишь наиболее медленным участием полиферментной системы.
Иерархия времен отдельных реакций внутри комплекса позволяет упрощать соответствующие математические модели. Основная идея упрощенного описания многокомпонентных комплексов состоит в замене некоторых быстро взаимодействующих множеств состояний квазисостояниями и рассмотрении лишь наиболее медленных переходов между этими новыми «укрупненными» квазисостояииями.
Эффект узкого места имеет важные биологические следствия, так как он позволяет существенно упростить систему управления внутриклеточными процессами:„ингибитор или активатор какой-либо стадии процесса совершенно не влияет на результирующую скорость до тех пор, пока соответствующая ему реакция не окажется самой медленной. При этом механизмы аллостерического регулирования зачастую контролируют отнюдь не все, а именноключевые, лимитирующие стадии процесса. Узловой аллостерический фермент (как, например, фосфофруктокиназа в гликолитической цепи) может иметь до двух десятков альтернативных регуляторных центров, что обеспечивает высокую чувствительность, надежность, эффективность управления полиферментными процессами и адекватное поведение системы в ответ на изменения внешних условий и потребностей клетки.
Эффект узкого места играет важную роль не только в регуляции внутриклеточных процессов, но и в жизнедеятельности целых организмов, а также их сообществ. В поведении последних этот эффект известен как принцип Либиха, согласно которому скорость развития организма или сообщества определяется лишь небольшим числом «находящихся в минимуме» внешних параметров — так называемыми «лимитирующими» факторами.
Колебательные свойства полиферментных систем
В настоящее время важную роль в регулировании биологических процессов отводят периодической временной организации. Большим числом экспериментальных исследований показано, что
15?
периодическая временная организация имеется у всех одноклеточных организмов, у растений и клеток многих животных тканей. В связи с задачей о природе клеточных часов представляют большой интерес теоретические исследования автоколебательных свойств полиферментиых реакций, а также периодической организации метаболизма клетки в целом.
В основе колебательной кинетики и соответствующих механизмов авторегулирования- полиферментиых систем могут лежать как свойства отдельных реакций, так и особенности их взаимодействия в пределах целостной системы. Для понимания кинетической и функциональной организации сложной полиферментной цепи прежде всего необходимо детальное знание характеристик составляющих эту цепь элементов, т. е. отдельных ферментативных реакций.
В настоящее время мы располагаем достаточно исчерпывающими знаниями, такого рода. Например, исходя из теории одноферментных реакций, можно ожидать, что и в сложной системе реализуются такие свойства, как множественные стационарные состояния и автоколебания, при одном лишь условии, что какой-либо фермент системы угнетается своим субстратом и продуктом или активируется своим же продуктом. Это предположение подтверждается исследованиями природы гликолитических колебаний. Источник одночастотных периодических изменений интенсивности гликолиза заключен в единственной узловой стадии цепи, фермент которой — фосфофруктокиназа активируется своими продуктами: фруктозо-1,6-фосфатом или АМФ (одним из продуктов этой реакции является АДФ, из которого под действием аденилаткиназы и образуется АМФ).
В кинетике сложных биохимических систем наблюдается еще один характерный эффект — большой период концентрационных колебаний, для объяснения которого Е. Е. Сельковым в 1972 г. был предложен механизм запасания метаболитов в виде неактивных резервных веществ. Принимая во внимание результаты недавних работ по исследованию простых ферментативных реакций с обратимым депонированием субстрата или продукта, есть все основания утверждать, что длительность периода автоколебаний в полиферментной цепи также может контролироваться аналогичным механизмом: сопряжением биохимического осциллятора с резервированным в неактивной форме веществом — посредством быстрой параллельной обменной реакции (схема (П.З—11)):
...Sn^Pn^...	(П.З —11)
Известно, что механизмы депонирования различных, жизненно важных веществ необходимы клетке прежде всего как стабилиза-158
торы процессов ее жизнедеятельности. Значительное увеличение периода концентрационных автоколебаний, свойственное биохимическим генераторам, сопряженным с клеточными «депо», можно рассматривать как еще одно проявление стабилизирующего действия таких механизмов. Заметим, что ' регуляторная функция механизмов резервирования метаболитов хорошо, известна также и для неколебательных биохимических процессов, например для фотосинтетического переноса электронов (Пытьева и др.,' 1970,
Наряду с явлениями, известными для отдельных ферментативных реакций, полиферментные системы могут обладать и иными, качественно новыми регуляторными связями и динамическими свойствами, отсутствующими у составляющих их реакций. Одними из таких системных эффектов являются двухчастотные автоколебания, наблюдаемые при определенных условиях в гликолитической системе. Природа этого явления выяснена в теоретических работах Е. Е. Селькова и С. Н. Дынника (1973, 1975а, б, 1977а,б). Авторы об’йяснили, что двухчастотные колебания в гликолизе происходят за счет взаимодействия двух одночастотных автогенераторов. Один из них — хорошо известная фосфофрук-токиназная реакция, активируемая посредством АМФ; другой генератор представляет собой сложную систему реакций, поскольку захватывает всю нижнюю часть гликолитической цепи. Источником колебаний в этой системе является активация фермента пируваткиназы фруктозо-1,6-фосфатом, либо субстратное угнетение другого фермента — глицеральдегидфосфатдегидрогеназы, либо совместное действие названных механизмов (Дынник, Сельков, 1975 а, 1977 б).
Таким образом, понимание системных свойств многоступенчатых биохимических процессов возможно лишь с учетом взаимодействий, составляющих их звеньев. Какова природа таких взаимодействий и в какой мере они контролируют течение сложных биохимических превращений — вот важнейшие вопросы, на вы« яснение которых направлены усилия исследователей. Остановимся кратко на результатах некоторых теоретических работ, внесших определенный вклад в решение проблемы.
По мнению ряда авторов, одним из системных механизмов, контролирующих функциональное и динамическое состояние по-лиферментной цепи, является перекрестное угнетение двух ферментов своими продуктами (П.З—12):
Этот механизм был впервые предложен Автор с помощью простой кинетической
159
(П.3-12)
Дельбрюком в 1948 г. модели показал сущест
вование в схеме (П.З—12) множественных стационарных состояний. Позднее Спэнглер н Снелл, несколько модифицировав модель Дельбрюка, установили возможность возникновения автоколебаний в такой системе.
Идеи Дельбрюка о механизмах регулирования на основе перекрестного взаимодействия элементов ферментативной сйстемы были использованы в серии работ Жакоба н Моно, .рассмотревших триггерные и автоколебательные модели генетической регуляции (Жакоб, Моно, 1964; Чернявский и др., 1967, 1975; Ратнер, 1966, 1975; Хиггинс, 1967, 1973 и др.).
В практике биохимических исследований хорошо известны механизмы регулирования полиферментных цепей по принципу обратной связи. Влияние конечного продукта цепи на активность ключевого фермента может быть различным: в зависимости от условий, например от концентрации субстрата, конечный продукт может либо угнетать (отрицательная обратная связь), либо активировать (положительная обратная связь) узкое звено цепи. Так, фосфофруктокиназа (ФФК) — ключевой фермент гликолитической системы — активируется конечным продуктом гликолиза (АТФ) при высоких концентрациях субстрата (фруктозо-6-фосфата) и угнетается этим же продуктом, если уровень фрукто-зо-6-фосфата падает. В свою очередь концентрация продукта также может влиять на характер воздействия последнего на ключевой фермент: в малых концентрациях продукт увеличивает, а в больших — подавляет активность узлового фермента.
Существовало мнение, что механизмы обратной связи, в особенности отрицательной, способствуют возникновению в биохимических системах автоколебаний. Выяснению этого вопроса было посвящено большое число теоретических работ. Довольно общий класс ферментативных систем с одной петлей обратной связи и произвольным числом промежуточных звеньев описывала модель, предложенная в 1967 г. Е. Е. Сельковым. Автор показал возможность возникновения в таких системах автоколебаний как в слу> чае аллостерической активации, так и в случае аллостерического угнетения начальной стадии конечным продуктом. Условия существования концентрационных автоколебаний определялись числом промежуточных стадий и реализовались тем легче, чем больше звеньев включала система. Исследование модели было выполнено в линейном приближении при условии, что константы скоростей всех стадий равны между собой. Последнее условие ограничивало возможность применения модели к реальным биохимическим процессам, которым свойственна иерархия характерных времен отдельных реакций.
Рассмотрение полиферментных систем с отрицательной обратной связью было продолжено в более поздних публикациях (см., например, Viniegra—Gonzalez, 1973). Автор названной работы исследовал область значений параметров, при которых в семействе систем с кооперативным угнетением начальной стадии конечным продуктом существовало единственное устойчивое стацио-
ч сл
парное состояние либо единственный устойчивей предельный цикл. Показано, что автоколебания возбуждаются тем легче, чем больше в системе промежуточных звеньев. Условия возникновения автоколебаний связывают количество стадий в системе с порядком аллостерического кооперативного угнетения исходной реакции. Так, если система включает только 3 промежуточных звена, порядок угнетения равен 9, т. е. необходимо 3 молекул ингибитора, кооперативно угнетающих одну молекулу фермента, чтобы система генерировала колебания. В цепи из 8 и большего числа последовательных реакций автоколебания возможны уже при квадратичном порядке продуктного угнетения. Следовательно, устойчивость неразветвленных полиферментиых систем с отрицательной обратной связью увеличивается (область параметров, при которых возможны автоколебания, уменьшается) с увеличением разницы в константах скоростей элементарных стадий. Таким образом, иерархия характерных времен промежуточных реакций стабилизирует полиферментные системы рассматриваемого типа.
Этот вывод подтвержден в работах Е. Е. Селькова. Разработанный им' метод эквивалентных математических моделей позволил провести исследование самых разнообразных биохимических систем с отрицательной обратной связью (а также с эквивалентной ей опережающей активацией (схема П.З—16)) и обобщить результаты предыдущих работ.
Показано, что область существования автоколебаний в любых системах типа (П.З—13) — (II.3—16)
у, ►..........• -... sn	(а.3-13}
(л.з-к]
(Л. 3-15} >
(Л. 3-16)
очень мала или вовсе отсутствует, если характерные времена отдельных стадий сильно отличаются друг от друга. Таким образом, принимая во внимание иерархическую временную 'организа-
6 Зэк. 353	ici
цию реальных полиферментных процессов, можно заключить, что механизмы регулирования по типу отрицательной обратной связи не могут служить источником концентрационных автоколебаний, напротив, наличие отрицательной обратной связи служит фактором, стабилизирующим биохимические системы.
Модели стехиометрической структуры энергетического метаболизма клетки
Наряду с аллостерическими и изостерическими регуляторными связями управление полиферментными системами (как и метаболизмом клетки в целом) может весьма эффективно осуществляться на основе стехиометрических взаимодействий между реакциями (Иваницкий и др., 1978; Сельков, 1979; Reich., Selkov, 1981). Мы познакомимся с оригинальным теоретическим подходом к изучению функциональных и регуляторных свойств системы энергетического метаболизма клетки. Этот подход, разработанный Е. Е. Сельковым, одинаково успешно учитывает как аллостерические, так и стехиометрические механизмы контроля энергетического метаболизма.
В клетке многие субстраты и метаболиты участвуют не в одной ферментативной реакции: часто какой-либо метаболит подвергается действию сразу нескольких ферментов: один из них окисляет'его, второй — восстанавливает, третий — присоединяет к нему какую-то группу атомов. Поэтому принято говорить о метаболических путях, т. е. о тех различных направлениях в ко-, торых могут протекать превращения того или иного вещества. Одно й то же соединение может под действием одних ферментов вступать в реакцию, где оно служит источником химйческой энергии, под действием других — включается в синтез макромолекул и т. д. Так, молекулы АТФ играют роль посредника между любыми реакциями, идущими с поглощением энергии, и реакциями, поставляющими энергию.
Из взаимодействий — посредством общих метаболитов и кофакторов— между отдельными реакциями, а также между полиферментными системами образуется так называемая стехиометрическая структура клеточного обмена. Структура стехиометрических связей между элементами полиферментной системы определяется первичной последовательностью составляющих систему реакций, так же как вторичная структура макромолекул определяется первичной последовательностью аминокислот или нуклеотидов.	.	<
На схеме (П.З—17) даны стехиометрические взаимодействия в реакциях гликолиза. Изображения вторичной стехиометрической структуры других полиферментных систем клетки можно найти в книге Дэгли и Никольсона «Метаболические пути» (1973), а также в «Биохимии» Ленинжера (1974).
Энергетический метаболизм составляет фундамент обмена веществ клетки. В основе энергетического обмена лежат поли-
162
ферментные процессы, поставляющие энергию на все .нужды клетки: это гликолиз, реакции цикла трикарбоновых кислот, окислительное фосфорилирование в .митохондриях и процессы запасания энергии при фотосинтезе. В настоящее время основные свойства организации названных полиферментных систем изучены достаточно подробно. Этим и объясняется выбор процессов энергетического метаболизма и, в частности, его анаэробной части — гликолитической системы в качестве объекта теоретического исследования.
Формулировка математической модели
Сущность теоретического подхода, предложенного рядом авторов, состоит в разбиении исследования на ряд последовательных этапов в соответствии с различными уровнями организации рассматриваемых процессов. Так, исходная модель учитывает лишь стехиометрическую природу регуляции энергетического обмена. На следующем этапе наряду со стехиометрическими связями рассматриваются возможные аллостерические взаимодействия в системе, например продуктная активация ключевой стадии процесса.
При построении математической модели столь сложного объекта, каким является энергетический метаболизм клетки, прежде всего необходимо выделить свойства, наиболее существенные с точки зрения выполняемой системой биологической функции.
Таким базовым свойством энергетического обмена естественно нужно считать возможность поддержания в системе постоянного уровня АТФ. Действительно, активность различных процессов, потребляющих энергию АТФ, и наличие субстратов энергетического метаболизма в окружающей среде могут резко меняться. Если при этом общее количество АТФ в клетке подвергается большим флуктуациям, стабильное и относительно независимое функционирование систем, утилизирующих АТФ, невозможно. Таким образом, для обеспечения нормальной, бесперебойной работы клетки необходимо. стабилизировать «источник питания» в сети внутриклеточных процессов, т. е. общий уровень АТФ.
Итак, стабилизация концентрации АТФ — вот первое требование, которому должны удовлетворять упрощенные модели энергетического метаболизма клетки, учитывающие лишь его стехиометрическую регуляцию.
Е. Е. Сельковым была предложена следующая упрощенная схема экзергонических (поставляющих энергию) и эндергонических (поглощающих энергию) процессов:
6*
163
. 7-17)
Схема включает четыре взаимосвязанные реакции: стадия I поставляет субстрат экзергонической реакции S, реакция 2 использует химическую энергию, освобождающуюся в результате переработки субстрата S в конечный продукт Р, для фосфорирования АТФ; реакция 3 символизирует возможность утилизации субстрата для других нужд клетки; реакция 4 представляет совокуп-Hotfb всех потребителей АТФ.
Ясно, что каждая из реакций кинетической модели (П.З—17) в действительности может представлять сложную полифермеит-ную систему. Примем, что скорости реакций 1—4 можно аппроксимировать выражениями:
»! = const; o2=fe2a2; o3 = fe3S; vi = kiaa, (П.З—18)
где а2=[АДФ]; аз=(АТФ]. Примем также, что в системе (П.З—17) выполнен закон сохранения
•	а2+а3=А0=const.	(П.3—19)
Стационарное состояние системы определяется уравнениями:
dS	, п
p2_ua=0;
(П.З—20)
решая которые, легко получить зависимость стационарных концентраций АТФ а3 от ‘— интенсивности потребления АТФ, или биохимической нагрузки энергетического метаболизма:
'	(П.3-21)
а2-Г"3'"2
Учтем закон сохранения (П.З—19) и перепишем (П.З—21) в безразмерной форме
'	(II. 3-22)
1 — аз -г Рз
где p4=&4Ao/ni — относительная активность нагрузки энергетического метаболизма;
Рз = ^з/^зАо — безразмерная константа скорости реакции 3 утечки субстрата S;
а3 = а3/А0 — относительная стационарная концентрация АТФ.
Преобразовав уравнение (П.3—22) к виду й3=/(04), нетрудно убедиться, что зависимость относительной стационарной концентрации АТФ от интенсивности нагрузки, или, как ее назвал автор рассматриваемой модели, нагрузочная характеристика энергетического метаболизма, имеет при 0з<С1 (малых утечках S) четко выраженное плато (рис. 11.31). Это означает, что простейшая схема энергетического метаболизма (П.З—17) удовлетворяет сформулированному выше важнейшему условию адекватности модели 164.
Рис. 11.32. Семейство стационарных' нагрузочных характеристик энергетического метаболизма, полученных для схемы (рис. 11.32) при различных значениях параметра утечки v<
Рис. 11.33. Графическое определение стационарных состояний системы реакций (П.З—23) (а) и устойчивый предельный цикл, окружающий единственное стационарное состояние рассматриваемой системы при постоянной скорости подачи субстрата (б)
реальному объекту. Аналогичным свойством обладают и более сложные модели энергетического метаболизма, рассмотренные теми же авторами. Так, в схеме, показанной на рис. 11.31, в обширной области значений параметров наблюдается эффект стабилизации стационарной концентрации АТФ при различной интенсивности потребления энергии биохимической «нагрузкой» (рис. 11.32).
Кроме того, квазистационарная выходная характеристика этих моделей при определенных значениях параметров обладает особенностями, которые обусловливают возможность работы схемы энергетического метаболизма в триггерном и автоколебательном режимах (рис. 11.33). Триггерные и автоколебательные свойства рассматриваемых схем в свою очередь играют немаловажную роль как средства самоорганизации н ауторегулирования процесса метаболизма.
ЛИТЕРАТУРА
Арнольд В. И. Теория катастроф. — М., -1981,.
Баутин Н. Н. Правление динамических систем вблизи границ области устойчивости. — М., 1949.	„
Бессонов Л. А. Основы теории графов. — М., 1964.
Бе рези и И. В., Варфоломеев С. Л. Биокниетика. — М., 1979.
Бер ж К. Теория графов и ее применения,—М., 1962.
Диксон М., Уэбб Э. Ферменты. — М., 1966.
Дыиник В. В., Сельков Е. Е. Генератор колебаний в нижней части гликолитической системы//Биофизика.— 1975,.—Т. 20.
Д ынник В. В., л ь к о в Е. Е. Двухчастотпые колебания в гликолитической системе // Биофизика. — 1975. — Т. 20.
Дэгли С., Никольсон Д. Метаболические пути. — М., 1973.
Гудвии Б. Временная организация клетки. — М„ 1966.
Жаботинскнй А. М. Концентрационные автоколебания. — М., 1974.
Жакоб Ф., М о н о Ж. Регуляция активности генов // Регуляторные механизмы клетки. — М., 1964.
Иваницкий Г. Р., Крин с кий В. И., Сельков Е. Е. Математиче* ская биофизика клетки. — М., 1978.
Каймачников Н. П., Сельков Е. Е. Гистерезис и множественность динамических режимов в открытой двухсубстратиой ферментативной реакции с субстратным угнетением//Биофизика.— 1975k — Т. 20.
Каймачников Н. П., Сельков Е. Е. Простейший биохимический автогеиератор — открытая ферментативная реакция с субстратным угнетением // Биофизика. — 1976. — Т. 2U
Каймачников Н. П., Сельков Е. Е. Автокатализ в стехиометрической модели энергетического метаболизма // Биофизика. — 1976. — Т. 21.
Каймачников Н. П., Сельков Е. Е. Субстратное угнетение — причина колебаний в открытой необратимой ферментативной реакции si+Sr* -*Sj' + S2'.
 Математическая модель//Биохимия.— 1977. — Т. 42, нып. 4.
Каймачников Н. П„ Шульмайстер Т. Эволюция предельного цикла в модели ферментативной реакции с депоиироваиием продукта // Stud. Biophis. — 1979. — Vol. 75.
Кре.тович В. Л. Введение в энзимологию. — М., 1967,
Курганов Б. И. Аллостерические ферменты. — М., 1978.
Леииижер А. Биохимия. — М,, 1974.
Мищенко Е. Ф., Р о з о в Н. X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. — М., 1975.
166
Пытьева Н. Ф., Андреенко Т. И., Рубин А. Б. О возможной роли электронных емкостей в первичных электрои-транспортных процессах бактериального фотосинтеза//Stud. Biophys. — 1974. — Vol. 43,, № 3..
Пытьева Н. Ф., Кононенко А. А., Ратыни А. И., Лукаше в Е. П., Р у б и и А. Б. Теоретическое исследование кинетики темнового восстановления бактериохлорофилла реакционного центра в хроматофорах Rhodospirillum Rubrum//Биофизика. — 1976. — Т. 21„
Самойленко В. А., Сельков Е. Е. О возможности существования колебаний и нескольких альтернативных стационарных состояний ферментативной реакции с субстратным и продуктным угнетением//Биофизика.— 1972.— Т. 17.
Сельков Е. Е. Автоколебания в гликолизе. Простая одночастотная модель // Молек. биол. — 1968. — Т. 2.
Сельков Е. Е. Математическое моделирование полиферментных систем//Биофизика сложных систем н радиационных нарушений. — М„ 1977.
Сельков Е. Е. О возможности возиикновения колебаний в ферментативных реакциях с субстратным н продуктным угнетением // Колебательные процессы в биологических и химических системах. — М., 1967.
Сельков Е. Е. Исследование условий возникновения периодических колебаний в системах ферментативных реакций с обратной связью // Колебательные, процессы в биологических и химических системах. — М., 1967.
Сельков Е. Е. Исследование механизма гликолитических колебаний. Релаксационная модель // Математические модели биологических систем. — М., 1971.
Сельков Е. Е. Временная организация энергетического метаболизма и клеточные часы // Регуляция энергетического обмена и физирлогическое состояние организма. — М., 1977.
Сельков Е. Е., Дыиник С. Н. Гистерезйс и множественность стационарных состояний в открытой реакции S^P, катализируемой олигомерным ферментом E(R, Т)//Биофизика.— 1976. — Т. 21.,
Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных//Мат. сб. — 1952. — Т. 3U
Чериавский Д. С., Иерусалимский Н. Д. К вопросу об определяющем звене в системе ферментативных реакций // Изв. АН СССР. —1965,— Т. 5.
Яковлев В. А. Кинетика ферментативного катализа. — М., 1965.
Betz A. Kenetics of yeast phosphofructokinase and the glycolytic oscilla-tor//Biologycal and Biochemical oscillators. — N. Y., 1973.
Hess B., Boiteux A. Control of glycolysis//Regulatory functions of biological membranes. — Amsterdam, 1968.
Hess B., Boiteux A. Oscillatory phenomena in biochemistry//Annual Rev. Biochem. — 1971. — Vol. 40.
Higgins J. A chemical meghanism for oscillations of glycolytic intermediates in yeast cells//Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1964. — Vol. 51.
Higgins J. The theory of oscillating reactions//Ing. Chem. — 1967. — Vol. 59, N 5.
Higgins J. et. al. The control theoretic approach to the analysis of glycolytic osciilators//Biologycal and Biochemical oscillators. — N. Y., 1973.
Reich J. G., Sel’kov E. E. Energy Metabolism of cell. — L., 1981.
Viniegra-Gonzalez G. Stability properties of metabolic pathways with feedback interactions//Biologycal and Biochemical oscillators. — N. Y., 1973.
Wolter C. Oscillations in controlled biochemical systems//Biophys. J. — 1969. — Vol. 9.
ГЛАВА III
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФОТОСИНТЕЗА
Фотосинтез играет решающую роль в энергетике биосферы в целом. За счет этого процесса обеспечиваются потребности человека в пище, кислороде, топливе и сырье для различных отраслей промышленности. Познание структуры и функций фотосинтетического аппарата, механизмов его регулирования имеет особое теоретическое и практическое значение. Фотосинтез — это основа продукционного процесса растений, и знание о его законах открывает возможности эффективного управления формированием урожая за счет повышения интенсивности и качества образующихся продуктов фотосинтеза. Изучение молекулярной «фотосинтетической машины» в перспективе позволит использовать в промышленности отдельные реакции и' структуры, которые были «изобретены» фотосинтезирующими организмами в ходе эволюции процесса использования солнечного света для осуществления различных видов работы в клетках.
В классическом толковании фотосинтез — это образование зе-левыми растениями органических соединений из углекислого газа и воды с помощью энергии света. Однако исследования по расшифровке организации фотосинтетического аппарата на молекулярном уровне показали, что фотосинтез в классическом толковании лишь частный случай потребления поглощенной световой энергии. - Фототрофные функции высших растений, водорослей, бактерий сложны и многообразны. Это не только запасание энергии солнечного света в виде энергии химических связей сахаров и их производных, но и в виде энергии АТФ, энергии электрохимических потенциалов на мембране хлоропластов зеленых растений и хроматофоров фотосинтезирующих бактерий, энергии конформации высокомолекулярных компонентов структуры аппарата первичных реакций фотосинтеза, необходимой для эффективного поглощения и стабилизации световой энергии и проч.'
В изучении процесса фотосинтеза можно различить следующие уровни (Ничипорович, 1972):
1)	молекулярный субклеточный, включающий первичные процессы фотосинтеза, фото- и термохимичёские процессы;
2)	клеточный, охватывающий процессы регуляции работы хлоропластов со стороны клетки как целостной системы;
3)	листовой, охватывающий влияние структурной организации клеток в листе на их фотосинтез;
168
4)	растение как целостный организм, регулирующий фотосинтетическую деятельность листьев и других органов;
5)	сложные фотосинтезирующие системы — посевы, растительные сообщества; в них растения влияют друг на друга своим присутствием и конкуренцией за запасы питательных веществ, воду и световую энергию.
В настоящее .время более или менее развитый математический аппарат существует для описания процессов первого субклеточного уровня, точнее, уровня первичных процессов фотосинтеза, и процессов, происходящих на уровне биогеоценозов — посевов сельскохозяйственных культур. Принципы построения моделей и цели моделирования для этих крайних ступеней «иерархической лестницы» фотосинтеза различны. При описании первичных процессов используются знания о механизмах процессов, полученные при помощи изощренной экспериментальной техники. Параметры моделей здесь имеют четкий физический смысл. Цель такого моделирования .— выявление не только структуры и функциональной организации объекта, но и физических механизмов протекающих в них процессов.
Инструментом для математического описания продукционного процесса в посеве фотосинтезирующих организмов служит имитационная модель. Она предназначена для оптимизации продукционных свойств посева. Параметры моделей носят феноменологический характер. Для описания промежуточных уровней имеются лишь отдельные подходы.
Понимание фотосинтеза как целостного процесса вызывает необходимость сближения этих противоположных подходов. Описание первичных процессов на основании физических законов охватывает все более сложные последующие ступени фотосинтеза: от поглощения энергии к электронному транспорту — транспорту ионов через фотосинтетическую мембрану — образованию трансмембранных электрохимических потенциалов — образованию АТФ и фиксации. СО2. В свою очередь имитационные модели стремятся включить в себя ие только описательные, но и более глубокие «механизменные» знания о продукционном процессе растений и процессе фотосинтеза (Полуэктов и др., 1982). Таким образом, «снизу» и «сверху» идет углубление знаний о функциональной организации фотосинтеза.
В первую очередь и особенно подробно мы будем говорить о математических моделях первичных процессов фотосинтеза, в особенности фотосинтетического электронного транспорта. Модели здесь носят наиболее «физический» характер, а величины параметров определяются из тонкого биофизического эксперимента с высокой степенью точности. В области пёрвичных процессов модель является инструментом фундаментального научного исследования происходящих в фотосинтетических органеллах процессов. А кинетическая модель служит промежуточным звеном между экспериментом и физико-теоретическим (квантовомеханическим) рассмотрением наиболее интимных механизмов, лежащих
169
в основе трансформации энергии Света в энергию химических связей. Большинство положений, касающихся математических моделей первичных процессов фотосинтеза и изложенных ниже, следует из работ, выполненных сотрудниками группы математического моделирования кафедры биофизики биологического факультета МГУ.
Далее мы остановимся на некоторых попытках математического описания темновых процессов фотосинтеза и дыхания. Значительное место будет уделено моделям продукционного процесса растений в связи с практической важностью этого направления. Имитационные модели продукционного процесса растений представляют собой сложные многоблоковые образования, работа с которыми требует знания программирования и системного анализа (Моисеев, 1981). Изложение этих дисциплин не входит в нашу задачу, и мы остановимся лишь на биологических предпосылках построения моделей и возможностях реализации результатов имитационного моделирования продукционного прбцесса растений.
$ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРВИЧНЫХ ПРОЦЕССОВ ФОТОСИНТЕЗА
Пбследовательность стадий первичных процессов фотосинтеза
Реакции фотосинтеза условно принято разделять на световые (первичные) и темновые. В результате первичных реакций энергия света поглощается, трансформируется и аккумулируется в высокоэнергетических соединениях АТФ и НАД (Ф)Н2. В последующих темновых реакциях фотосинтеза совместное действие АТФ и НАД(Ф)Н2 обеспечивает восстановление СО2. При соответствующих условиях вовлечение в фотосинтетические превращения азота, серы, фосфора и ряда других элементов приводит к образованию разнообразных органически^ веществ.
Последовательность первичных стадий фотосинтеза изображена на рис. III.1. Процесс индуцируется в результате поглощения квантов света молекулами фотосинтетических пигментов: хлорофиллов и каротиноидов. Энергия электронного возбуждения этих пигментов, образующих так называемую «светособирающую антенну», мигрирует к молекуле фотохимически активного пигмента (хлорофилл у зеленых, бактериохлорофилл у бактерий) и переводит ее в возбужденное состояние.
Возбужденная молекула фотоактивного пигмента передает электрон на первичный акцептор, сама оказываясь в окисленном состоянии. В этом первичном фотохимическом акте осуществляется первичное разделение зарядов. Последующие реакции приводят к стабилизации разделенных зарядов и дальнейшему переносу электрона по цепочке специализированных переносчиков-компонентов .электрон-транспортной цепи (ЭТЦ). Этот перенос электрона происходит по термодинамическому градиенту. Конечным
170
> Последовательность первичных стадий фотосинтеза
Поглощение обета
Миграция энергии по молекулам пигментов антенны
Разделение зарядов в реакционном центре (окисление дютоакти оного хлорофилла)
Стабилизация разделеленных зарядов
Электронный транспорт
Образование трансмембранного электрохимического потенциала'
Синтез АТФ из АДФ и Р
Восстановление НАДФ'
^АТФ^ '
АДФ + Р
НАДФНг
Фиксация С02 В углеродном цикле
Рис. III.1. Последовательность первичных стадий фотосинтеза
пунктом в акцепторной части цепи будет восстановление пири-диннуклеотидов (НАДФ у растений, НАД у бактерий).
Дефицит электрона на фотоактивном пигменте восполняется от экзогенного донора. У фотосинтезирующих пурпурных и зеленых бактерий роль донора в естественных условиях выполняет сероводород, другие соединения серы, молекулярный водород, а также ряд органических веществ (Кондратьева, 1972).
У растений донорная часть фотосистемы 1 (ФС1), восстанавливающей НАДФ, включает еще одну фотосистему (ФС2). Благодаря наличию ФС2 зеленые растения используют в качестве донора электронов и водорода легкодоступную воду. По-видимому, это свойство растения приобрели в ходе эволюции. Как в бак^-
171
Рис. III.2. Схема расположения переносчиков в цепи электронного транспорта фотосинтезирующих бактерий
Гл
-as
-as
-аз
о
+аз
т
I
Q а
V Пит 563
рд.
ФС1
^Z*^P680

Рис. Ш.З. Схема цепи электронного транспорта в хлоропластах зеленых растений
тенциала Дер. На ряде участков ЭТЦ перенос электрона сопряжен с переносом протона через мембрану, что ведет к созданию .трансмембранного градиента протонов. Трансмембранный электрохимический потенциал исполь-
термальном фотосинтезе, так и у зеленых растений возможен циклический путь переноса электронов, когда возбужденный электрон через ряд переносчиков снова возвращается на пигмент. Схемы расположения переносчиков в ЭТЦ фотосинтезирующих бактерий и зеленых растений с указанием природы переносчиков электрона и характерных времен процессов представлены на рис. Ш.2 и III.3 соответственно.
Первичное разделение зарядов и дальнейшие процессы электронного транспорта приводят к образованию на фотосинтетической мембране электрического по-
зуется молекулами встроенного в мембрану фермента — протонной аденазинтрифосфатазы для синтеза АДФ и неорганического фосфата молекул АТФ. Таким образом- осуществляется утилиза-
172
Рис. III.4. Схематическое изображение электрон- и протои^траиС' портных процессов в мембране тилакоидов
ция энергии возбужденного квантом света электрона в биологически доступной форме — макроэргических связях АТФ (риС. III.4).
Математические модели фотосинтетического электронного транспорта
Система переноса электрона при фотосинтезе в последние десятилетия интенсивно изучается при помощи разнообразных экс-, периментальных методов. Результаты этих исследований легли в основу математического описания процесса. Благодаря спектральным, ЭПР и другим методам наблюдения степени окислен-ности отдельных переносчиков ЭТЦ мы имеем возможность регистрировать стационарные значения и кинетику изменения этих величин во времени в различных условиях проведения эксперимента. Биофизические и биохимические методы позволили определить местонахождение многих переносчиков и степень их подвижности в фотосинтетической мембране.
Целесообразность применения метода математического моде? лирования при решении вопроса об общем качественном поведении сложной системы реакций фотосинтетического транспорта электронов обсуждается в работе Рубина, Фохта (1965). На основании анализа системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих упрощенную схему окислительно-восстановительных прёвращеннй наиболее изученных в то время компонентов электрон-транспортной цепи растений и фотосинтезирующих бактерий — цитохрома и фотоактивного пигмента, исследуются возможности установления в такой системе стационарного состояния и пути его достижения.
Начиная с работ Чанса (Чанс, 1963; Chance, Williams, 1956) ученые пытались описать процесс биологического транспорта
ИЗ
электронов при помощи закона действующих масс, т. е. предполагая, что скорость реакции переноса электрона пропорциональна произведению концентрации донора в восстановленной форме на концентрацию акцептора в окисленной форме, как если бы процесс протекал в растворе. Результаты моделирования позволили авторам рассчитать соотношения концентраций переносчиков дыхательной цепи и разработать экспериментальные тесты для идентификации звеньев электрон-транспортной цепи, сопряженных с энергетическими процессами.
По результатам этих работ возник вопрос о правомерности описания процессов переноса электрона на всех участках дыхательной цепи при помощи закона действующих масс. Действительно, в 60-е гг.'было уже достаточно хорошо известно, что цитохромный комплекс ЭТЦ митохондрий есть система, фиксированная в мембране. Была предпринята попытка смоделировать митохондриальный комплекс цитохромов при помощи метода Монте-Карло (Гарфинкель, 1968). Модель воспроизводила перенос электрона вдоль цепи, причем каждая из 17 000 цепей была представлена рядом молекул цитохромов, которые могут реагировать друг с другом и переходить в окисленное, восстановленное и ингибированное состояния. Этим же методом моделировали процесс, происходящий в истинном растворе, где система подчиняется закону действующих масс. Поведение этих двух моделей оказалось неодинаково* Кинетика отдельных переносчиков в имитационной модели комплексов более соответствовала экспериментальной, чем кинетика соответствующих переменных «биомолекулярной» модели.
Математическое описание с помощью закона действующих масс позволило в ряде случаев не только описать экспериментально наблюдаемую кинетику редокс-превращений отдельных компонентов ЭТЦ, но и ответить на вопросы, касающиеся структуры и функциональной организации ЭТЦ фотосинтезирующих объектов (Кукушкин и др., 1973; Пытьева, Рубин, 1973). Принципы построения и наиболее удачные из этих моделей мы рассмотрим дальше. Применение закона действующих масс для описания переноса электрона по фотосинтетической ЭТЦ здесь обосновывается представлениями о независимости окислительно-восстановительных состояний переносчиков и возможности обмена электронами между отдельными ЭТЦ.
Экспериментальные работы последнего десятилетия показали, что такие представления правомерны лишь для описания отдельных участков ЭТЦ. Установлено, что фотоактивный пигмент и его ближайшее донорно-акцепторное окружение представляют собой фиксированный в мембране комплекс, причем перенос электрона возможен лишь в строгой последовательности между компонентами комплекса, при этом окислительно-восстановительные состояния компонентов комплекса не будут независимыми. Именно организация в пигмент-белковые комплексы определяет специфику протекающих в фотосинтетических ЭТЦ реакций, так как позво-174
ляет использовать для регуляции процесса конформационные возможности как самих компонентов ЭТЦ, так и входящих в комплекс белковых компонентов, не принимающих непосредственного участия в переносе электрона. В то же время некоторые из компонентов ЭТЦ обладают значительной подвижностью в мембране. На этих участках возможен обмен электронами между отдельными ЭТЦ. Обычно эти же участки служат участками сопряжения электронного и протонного транспорта через мембрану.
Представления о фотосинтетическом реакционном центре как о едином донорно-акцепторном комплексе нашли свое выражение в серии работ Е. М. Сорокина, посвященных моделированию электронного транспорта и флуоресценции ФС2 зеленых растений (Сорокин, 1972). В отличие от других авторов Сорокин не описывает взаимодействие пигмента реакционного центра и акцептора ФС2 по бимолекулярному механизму, а рассматривает процесс разделения зарядов в РЦ как единый акт, в котором образуется окисленная молекула пигмента Р+ и восстановленная молекула акцептора А-.
Действительно, чрезвычайно высокая скорость переноса электрона с фотоактивного пигмента на первичный акцептор (см. рис. III.2) и возможность протекания этого процесса при экстремально низких температурах свидетельствуют о том, что молекулы пигмента и акцептора образуют единый комплекс, который может находиться в одном из четырех состояний:
Р~ А +
/’Л
Р+А*
р+А-
(Ш. 1)
Стрелками на схеме III.1 обозначены возможные переходы между состояниями. Модель переноса электрона в таком комплексе мы рассмотрим в § 4.
Последовательная теория математического описания переноса электрона в мультиферментном комплексе, каковыми являются комплексы фотосинтетического переноса электрона, была разработана В. П. Шинкаревым. Организация переносчиков в комплексы при построении модели учитывается введением состояний комплекса и описанием поведения системы уравнениями для вероятностей этих состояний. Описание математических методов и их применения дано в монографии А. Б. Рубина и В. П. Шинка» рева «Транспорт электронов в биологических системах» (М., 1984).
Математическое моделирование электрон-транспортных процессов при помощи систем дифференциальных уравнений имеет ряд методических достоинств. Разработаны алгоритмы как аналитического, так и численного исследования таких моделей, суще
175
ствуют стандартные программы и методы численного решения систем дифференциальных уравнений на ЭВМ.
Однако перспективными представляются и попытки имитационного (симуляционного) моделирования первичных процессов фотосинтеза, особенно когда рёчь идет не об электронном транспорте, для математического описания которого аппарат уже разработан, а о дальнейших стадиях трансформации энергии. Протекание этих процессов через ряд дискретных стадий (например, работа молекулярной машины — АТФ-синтетазы) трудно поддается описанию с помощью систем непрерывных дифференциальных уравнений. По-видимому, имитационные модели могут быть успешными для описания такого рода процессов.
Описание переноса электрона при помощи закона действующих масс
Закон действующих масс, основанный на теории столкновений, общепринят для описания химических реакций, происходящих в растворе. Его применение основано на предположении о том, что вероятность протекания реакции (в нашем случае окислительно-восстановительной) определяется вероятностями нахождения каждого из реагентов в реакционноспособном состоянии, причем эти вероятности не зависят друг от друга.
Рассмотрим, исходя из вероятностных представлений, элементарную стадию переноса заряда от донора Д к акцептору А:
Д->А
Очевидно, что перенос электрона между компонентами пары возможен лишь в случае, когда донор Д восстановлен, а акцептор А окислен. Нас будет интересовать, как .вероятность этого процесса меняется во времени. При этом можно исходить из разных представлений об элементарном событии. При описании переноса электрона в комплексах молекул-переносчиков мы будем рассматривать пространство элементарных событий, включающее все возможные состояния комплекса. При описании переноса электрона между подвижными переносчиками удобно- рассматривать элементарные события, заключающиеся в том, что каждый из переносчиков находится в окисленном йли восстановленном состояниц, при этом считать, что окислительно-восстановительные состояния отдельных переносчиков не зависят друг от друга.
Пусть p(D+, t) — вероятность того, что в момент времени t компонент D окисл,ен; p(D~, t) — вероятность того, что в момент времени t компонент D восстановлен. Пусть два события — нахождение переносчика D в окисленном и восстановленном состояниях — составляют полную группу событий, т. е. D не может находиться в каком-либо еще состоянии. Тогда
p(D+, t)+p(D~, 0 = 1.
176
Аналогичные предположения введем относительно состояний переносчика А:
р(А+, t) +р(А~, t) = 1.
Перенос электрона может произойти лишь в случае, когда одновременно выполняются два события: компонент D восстановлен,, а компонент А окислен. Вообще говоря, вероятность одновременного выполнения этих двух событий p(D~, А+, t) равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность, другого 'при условии, что первое событие произошло (Гйхмен и др., 1979). Таким образом вероятность нахождения в момент времени t донорно-акцепторной пары D~A+ в реакционном состоянии равна
p(D~A+, t) = p(D~, t)p(A+/D~, t), или
p(D~A+, f) = p(A+, t)p(D-jA+, t).
Здесь p(A+/D~) — условная вероятность застать молекулу А в окисленном состоянии при условии, что переносчик D восстановлен; аналогично p(D~/A+) — условная вероятность застать молекулу D в восстановленном состоянии при условии, что А окислен.
Поскольку окислительно-восстановительные состояния переносчиков мы считаем независимыми, вероятность совместного события равна произведению вероятности отдельных событий:
p(D~— А+, t) = p(D~, t)p(A+, t).	: (Ш.1 —1)
Рассмотрим, как будет меняться вероятность нахождения переносчика D в восстановленном состоянии с течением времени. Пусть p(D~, /+А/) — вероятность события D~ в момент времени t + At. Пусть рассматриваемый процесс марковский, т. е. состояние системы в данный момент времени зависит лишь от ее состояния в предыдущий момент и не зависит от того, что было еще раньше. Тогда по теореме умножения p(D~, t+At) можно представить как произведение вероятности того, что компонент D был восстановлен в предыдущий момент времени, на вероятность того, что за промежуток времени At электрон не покинет компонент D:
p(D~, t + At) = p(D~, t)(l-a).
Здесь а — вероятность того,"что электрон за время At перейдет с D на А, которая равна произведению некоторой константы скорости элементарного акта переноса k на вероятность нахождения донорно-акцепторной пары DA в реакционноспособном состоянии (см. Ш.1—1).
Таким образом,
p(D~, t + At) = p(D-,t)[\—k-p(D~, t)p(A+, /)Д/], или
p(D~, t + M)-p(D-, t) = _kp (D_ p (Л+,
17А"
Переходя к пределу при Д/->0, имеем
t)	. (III. 1 -2)
at
Для перехода от уравнений, описывающих вероятность изменения редокс-состояний переносчиков на молекулярном уровне, к макроскопическому описанию, т. е. к системе уравнений, содержащих в качестве переменных концентраций компонентов в окисленном и восстановленном состояниях, надо провести суммирование и усреднение по ансамблю идентичных молекул.
Пусть qi(t) — вероятности того, что в момент времени t i-тая молекула донора находится в восстановленном, /-тая молекула акцептора — в окисленном состоянии. Если каждая молекула типа D может отдать электрон любой молекуле типа А, •операция суммирования приводит к следующим выражениям для макроскопических переменных:
м
[о-(0]=£л(0.	(Ш.1-3)
Г-1
" N
[Д+(/)]=£ <7, (0,	(III. 1-4)
/=1
где [D~(0], И+(0] — концентрации молекул донора в восстановленном и акцептора в окисленном состоянии, М — число молекул донора, N — число молекул акцептора в единице объема.
Уравнение, описывающее изменение [D-] во времени, аналогично (III. 1—2) имеет вид
-i-[D-] =-<*«> [И М+1-	(Ш.1—5)
at
Здесь {ktj) — среднее значение константы скорости элементарного акта переноса электрона от молекулы типа D к молекуле типа А:

Таким образом, мы пришли к стандартной записи скорости бимолекулярной реакции. В дальнейшем будем ею пользоваться для описания переноса электрона на участках ЭТЦ, где переносчики обладают значительной подвижностью, что позволяет говорить о независимости их редокс-состояний.
Например, для реакции переноса электрона между двумя подвижными переносчиками Ci и Сг, взаимодействующими по схеме
k\	^3
D—>СХ—>С2—
178
кинетические уравнения могут быть записаны в следующем в идет
= k\ [D1] [С°] - k2 [Cl] [С§].
(III. 1-6).
^ = ЛЬС'][С2]-*3[С2][Л°]. at
Здесь [D1], [Ср], [C21] — концентрации восстановленной формы экзогенного донора D и. переносчиков электронов С] и С2). [Ci°], [С2°], [Л°] — концентрации окисленной формы переносчиков Cj и С2 и экзогенного акцептора A, k2, k3 — бимолекулярные константы скорости соответствующих реакций.
В дальнейшем будем предполагать, что концентрация соответствующих форм экзогенных доноров и акцепторов поддерживается постоянной на всем рассматриваемом промежутке времени и что имеет место равенство общих концентраций переносчиков. [Сю] и [С20]. Как и ранее, будем считать, что каждый из переносчиков может находиться в одном из двух состояний: окисленном (верхний индекс 0) и восстановленном (верхний индекс 1):
[С|] + [С?] = [С10]; [С1] + [С§] = [С20]; [См] = [С20].
Эти положения позволяют записать систему дифференциальных уравнений для относительных концентраций соответствующих переносчиков в восстановленной форме:
= К (1 — yj — k2yr (1 — у2), dt
(III.1 — 7)
-^7- = ЪУ1 ( 1 — у2) — k3y2. dt
Здесь
К = k\ [D1]; £a = k\ [C20]; k3 = k\ [A0].'
Система уравнений для цепи из п компонентов содержит п нелинейных уравнений. Для случая п=1, 2, 3 стационарное решение можно найти аналитически. Для нахождения стационарного решения при л>3 и определения поведения переменных во времени при п^2 приходится прибегать к помощи ЭВМ.
Мы уже отмечали, что основной постулат, на котором основано «бимолекулярное» описание, — независимость редокс-состоянйй отдельных переносчиков ЭТЦ, — вообще говоря, не справедлив для большинства компонентов ЭТЦ, организованных в мультифер-ментные комплексы. Вследствие этого при «бимолекулярном» рассмотрении не поддаются учету исключительно важные для;
179
регуляции процесса «кооперативные» свойства системы. Например, нельзя естественным образом учесть зависимость константы скорости притока электронов в систему (на компонент от ре-докс-состояния переносчика Сг- Однако моделирование электронного переноса с помощью уравнений типа уравнений действующих масс позволило получить ряд важных результатов. Это связано :в первую очередь с Тем обстоятельством, что стадии подвижных переносчиков, взаимодействие которых с компонентами комплексов подчиняется закону действующих масс, обычно являются наиболее медленными в цепи и потому качественно определяют особенности многих процессов.
4 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ z-СХЕМЫ ФОТОСИНТЕЗА ВЫСШИХ РАСТЕНИЙ
Наиболее полная из имеющихся моделей первичных стадий фотосинтеза высших растений, учитывающая миграцию энергии, процесс переноса электронов и взаимодействие между фотосистемами, предложена и исследована А. К. Кукушкиным с соавторам^ (1973, 1975, 1981). При составлении модели авторы исходили из z-схемы фотосинтеза зеленых растений и водорослей, упрощенный вариант которой изображен на рис. III.5. Рассматривали следующие стадии первичных реакций фотосинтеза.
Возбуждение и дезактивацию молекул пигментов (за' счет флуоресценции и тепловой диссипации энергии возбуждения) в фотосистеме 1 (ФС1):
iti + ZiVi—л* — ->• лх
и фотосистеме 2 (ФС2):
, , а, *	* а-2
Л о —г /TV 2---Л 2, Л 2	Л 2 •
Рис. Ш.5. Упрощенная схема электрон-транспортных реакций фотосинтеза высших растений: I — фотосистема 1, II — фотосистема 2
Миграцию энергии возбуждения между молекулами пигментов одной фотосистемы •
Яц	ЛЦ -Г Лу .
е
fx=l, 2,
v=l, 2, ...;
п—число молекул-в светособирающей антенне. '
Миграцию энергии возбуждения на реакционные центры -и обратно:
<180
n* + nx,___nx + ni,	для ФС1
_ «г ,	_
Л* + Л2 ч__Л2 + Л2-	для ФС2
«_г-
Перенос электронов от возбужденных РЦ на первичные акцепторы и обратно:
bt ~
л* + Ф *___nt + Ф—,	для ФС1
b-i .
л* + Q  nt + 0~.	для ФС2
*-й72
Перенос электронов от воды на окисленные реакционные центры ФС2 на участке разложения воды не учитывали и считали, что доноры для восстановления окисленных РЦ ФС2 имеются в избытке:
ЗТ2	»	k
Отток электронов от восстановленных акцепторов ФС1:
ф~-^1->Ф.
Электрон-транспортное взаимодействие между фотосистемами — перенос электронов от восстановленных акцепторов ФС2 на окисленные РЦ ФС1 (Р700):
е	Q + Л]*" ——> Q + Яр
Циклический перенос электронов от восстановленных акцепторов ФС1 к Р700+; в соответствии с рассматриваемой схемой (рис. III.5) эта стадия электронного транспорта идет через переносчик Q:
ф~+С-г^ф+<2~.
Энергетическоб взаимодействие между фотосистемами—перенос нейтрального возбуждения между ФС2 и ФС1 (так называемый spillover):
д }
,	л* + л1ч__л2 + л‘.
d-i
Обозначения имеют следующий смысл: ль лг ид*, лг* — молекулы пигментов ФС1 и ФС2 в основном и возбужденном состояниях; Яр л2, Ль яг и Л1+Л2— РЦ ФС1 и ФС2 соответственно в основном, возбужденном и окисленном состояниях.
181
JCf ((%
#•1 15 sj fr
Рис. III.6. Схема процессов, протекающих в ЭТЦ зеленых растений с промежуточными переносчиками между фотосистемами
В более развернутой модификации модели была рассмотрена схема, включающая дополнительный переносчик электронов между фотосистемами (рис. 111.6).
Рассмотрим более простую модель, описывающую процессы, протекающие в соответствии со схемой на рис. Ш.5.
Первоначально сформулированная авторами модель содержала восемь независимых переменных: число возбужденных молекул пигментов первой и второй фотосистем (zb 25); число реакционных центров ФС1 и ФС2 в
возбужденном (z2, z6) и окисленном состояниях ?з, z7); число восстановленных молекул первичных акцепторов (z4, zg). При описании миграции энергии и транспорта электронов авторы полагали соответствующие состояния компо-
нентов независимыми, что, как было показано выше, приводит к «билинейным» членам в уравнениях, по форме совпадающих с уравнениями закона действующих масс.
Анализ модели показал, что дифференциальные уравнения, описывающие процессы миграции энергии в пигментной матрице и захват ее реакционными центрами, являются быстрыми, т. е. переменные (zi, z2, zg, z6) за время 10-6 с достигают квазистацио-нарного состояния и в дальнейшем изменяются со скоростями того же порядка, что и переменные zg, z4, z7, zg. Это позволило
воспользоваться методом квазистационарных концентраций, и перейти к сокращенной системе из четырех уравнений.
Причины расслоения исходной системы на быстрые и медленные переменные заключаются в различной физической природе этих, переменных. Быстрые уравнения описывают процессы возбуждения и дезактивации молекул пигментов, а также миграцию энергии возбуждения между молекулами пигментов одной фотосистемы на реакционные центры и обратно. Скорость изменения соответствующих динамических переменных: числа светособирающих молекул пигментов (zi, zg) и реакционных! центров в возбужденном состоянии (z2, z6) — определяется не только состоянием
доноров и акцепторов энергии, как в случае электрон-транспорт-ных процессов, но также быстрыми процессами внутримолекулярной дезактивации возбужденных состояний. В том случае, когда реакционные центры не могут воспринять энергию, возбужденные состояния быстро релаксируют за счет процессов дезактивации. Характерные времена процессов дезактивации, как и процессов миграции энергии, существенно меньше (а скорости соответственно выше) характерных времен электрон-транспортных процессов.
Приравнивая в соответствии с теоремой Тихонова нулю левые
182
части уравнений для быстрых переменных, получим алгебраическую систему, из которой переменные zb z2, Z5, z6 выражаются через Z3, z4, z7, z8. Порле подстановки соответствующих выражений в «медленные» уравнения окончательная редуцированная система, описывающая собственно процессы электронного транспорта, имеет вид:
У,1 — Ю£?1£0£2 (*/15 Уз) (1 Уз) РзУ1, at
= lODiEJt/i, у2)(1 — уг) —0,1ру2^3 + 0,1р3/£0«/4(1 — уг), at
10Gx£4 (у8, у4) (1 —у4) — О,1рЕоу2у3,
= Юад(Уз, У«) (1 ~Уь)~Р1У^~0, ^РзУь (1 — Уз), ' at
где
У1~гз, Уз—ги Уз — 2!, Уц — 2з,
Е (ц и} —________________~Уз).________________
0,lGFx +GGX(1 — у4)+10Gf/0(l — у8)(1 — х/4) ’
Переменные Е\ и £3 вычисляются по формулам: g ______________ ~Ь CiE2 g _______ F 4~ FiEj_____
1~В+ 106(1-1/!)’ G+10Яо(1-у3) •
Анализ системы уравнений был выполнен путем численного интегрирования на цифровой вычислительной машине. Изменение параметров £ и А позволило моделировать переходные процессы при включении и выключении света, действующего на ФС1 и ФС2, а также изменение его интенсивности и спектрального состава (хроматические переходы). При этом параметр А характеризует интенсивность света, действующего на ФС2, а параметр F — на ФС1. Параметр р определяет скорость переноса электронов от ФС2 к ФС1, a pi — соответствует скорости оттока электронов от восстановленных первичных акцепторов ФС1. Параметр Ео характеризует величину пула переносчиков (концентрацию Q) между фотосистемами.
Результаты машинного эксперимента сравнивали с опытными данными по кинетике окисления и восстановления пигмента реакционных центров ФС1 (Р700) методом ЭПР в листьях высших растений (относительно концентрации Р700+ в модели соответствовала переменная уз)- В рамках рассматриваемой системы дифференциальных уравнений авторам удалось описать ряд важных экспериментальных кинетических кривых. Модель правильно отражает наблюдаемую в опытах зависимость кинетики окисления
183
Рис. III.7. Кинетика изменений величины сигнала ЭПР, характеризующего концентрацию окисленных молекул Р700, при включении света (указано стрелкой |) н уменьшении светового потока нейтральными светофильтрами (стрел-' ка |). Первоначальная интенсивность освещения 4-1010 кваит/см-с; 1—ослабление светового потока на 40% от первоначального, 2 — 85%, 3 — 97%, 4 — 99% (а); (б)—соответствующие теоретические кривые. Стрелка | указывает момент изменения параметров А и F, характеризующих интенсивность освещения. 1 —Г=0,5, Л = 0,05; 2 —F=0,l, Л = 0,01; 3 —Г=0,05, Л = 0,005; 4 — £=0,01, А = 0,001; 5 — Г=0,005, А = 0,0005
и восстановления Р700 от интенсивности света. На рис. III.7 изоб-
ражены экспериментальные и теоретические кривые, описывающие изменение концентрации Р700+ при включении освещения
с длиной волны 700 нм (показано стрелкой вверх) и выключении
света (стрелка вниз). На людаемые при изменении
100	150	200	250
Рис. Ш.8. Зависимость параметра £ь характеризующего концентрацию молекул хлорофилла в возбужденном состоянии, от времени в течение хроматических переходов. £0=5, Р=0,5, Рз=0. Остальные параметры, кроме А и F, равны единице
модели также получены эффекты, наб-длины волны возбуждающего света (при хроматических переходах)
в индивидуальных кривых флуоресценции (переменная £i). Переходные процессы при включении света, спектральный состав которого близок к максимуму поглощения ФС1, на’ фоне света, возбуждающего ФС2, имеют вид «перехлестов» (рис. III.8). Экспериментальное исследование подтвердило правильность полученных на модели эффектов. Резуль-
tjMC таты выполненного теоретическо-
го исследования позволили выяснить роль влияния эндогенных доноров и акцепторов на интенсивность флуоресценции, а также проанализировать кривые термовысвечивания высших растений.
184
$ 3. КИНЕТИКА ЦИКЛИЧЕСКОГО И НЕЦИКЛИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТА В БАКТЕРИАЛЬНОМ ФОТОСИНТЕЗЕ
В исследованиях первичных процессов фотосинтеза пурпурным фотосинтезирующим бактериям как объекту исследования принадлежит особая роль. Это связано в•первую очередь с тем, что фотосинтетический аппарат бактерий содержит всего одну фотосистему, а не две, как зеленые растения и водоросли (см. рис. III.1). Разделение зарядов в бактериальном реакционном центре инициирует циклический и нециклический транспорт электронов. При циклическом переносе электрон в конечном счете возвращается к исходному донору, а в процессе нециклического переноса электрон покидает систему, восстанавливая конечный акцептор — пиридиннуклеотид НАДФ, являющийся кофактором в цикле Кальвина, осуществляющем образование сахаров из фиксированного углекислого газа. Восполнение электрона в элект-рон-транспортной цепи происходит от внешнего источника, которым у растений и водорослей является вода, а у фотосинтезирующих бактерий — более восстановленные соединения (H2S, Na2S).
В серии работ Н. Ф. Пытьевой с соавторами исследованы стационарные и кинетические характеристики циклического и нециклического электронного транспорта, установлены критерии, позволяющие по данным эксперимента судить о том, какой из электронных потоков, циклический или нециклический, функционируют в тех или- иных условиях эксперимента. Уточнены значения констант скоростей на отдельных участках цепи, количество переносчиков в цепи и общая схема первичных электрон-транспортных реакций бактериального фотосинтеза (Пытьева, Рубин, 1973; Рубин и др., 1977). Рассмотрим принципы построения этих моделей и основные результаты исследования.
Имеются данные, что в зависимости от вида бактерий, их физиологического состояния, условий проведения эксперимента перенос электронов может осуществляться различными путями. Так, на результатах исследования фотопревращений бактериальных цитохромов основаны представления о том, что при низких интенсивностях действующего света инициируется только нециклический транспорт электронов, а при низких концентрациях донора или в присутствии кислорода, напротив, функционирует лишь циклическая система реакций. Совокупность этих данных свидетельствует о возможности независимого изучения индивидуальных характеристик циклического и нециклического транспорта электронов, что в свою очередь позволяет строить, анализировать и сравнивать с экспериментом математическую модель каждой системы в отдельности. Совокупность окислительно-восстановительных реакций нециклического и циклического .транспорта можно изобразить в виде следующих схем:
к,
D	(схема II 1.2)
185
D-^-+C„\	PJu» Л —»->	(схема III.3>
if'
Здесь D — внешний донор электронов; Ci — низкопотенциальный цитохром, характеризующийся медленным темновым восстановлением (Т1/2-10 мин); Ch — высокопотенциальный, быстро восстанавливающийся в темноте цитохром; Р — фотоактивный бактериохлорофилл; А — акцепторы электронов (связанные' или подвижные в мембране убихиноны, см. рис. III.1); ki, k\ — константы скорости восстановления цитохромов от экзогенного донора, пропорциональные (в системе безразмерных переменных) концентрации этого донора; k0 — константа световой реакции окисления молекул бактериохлорофилла, пропорциональная интенсивности возбуждающего света; kz, kz — константы взаимодействия цитохромов с пигментом Р; kc — константа скорости циклического переноса электрона; kz — константа скорости переноса электронов от акцепторов А к последующим. При описании реакций, протекающих согласно схемам III.2; III.3, считают, что редокс-состоя-ния отдельных компонент цепи независимы. Уравнения, .описывающие изменения концентрации компонентов в окисленной и восстановленной формах для цепи нециклического электронного транспорта (схема Ш.2), имеют вид:.
= -л; [D-] [С+] + £ [D+] [С-], at
= & [D-] [С+]-ki [D+] [С~] -k2 [С-] [/>-*-] + kz [с+] [Р~], dt
' -Ир_=^[С-] [Р+]-£2[С+] [Р-]-[Р“] [Л+], at ?
^И1=^[Р^][Д+]- ^[Д-J,	(Щ.з-0
dt
d[D+]	 d[D-]	d[C*] =	d [С~]
dt ~	dt	’	dt	dt	’
d[P+]	 d[P~]	d[^]	=	dM~]
, dt	dt	’	dt	dt
Последние четыре соотношения записаны на основании того предположения, что каждый из компонентов цепи может быть в одном из двух состояний — окисленном или восстановленном:
Po] = [D-] + P+], [С0] = [С-] + [С"], ’ (111.0— [^о]= РЧ + [^+]. Ио] = И~] + и+].
В формулах (III.3—1, Ш.З—2) [£“], [D+], [С~], [С+], [Р~|,
186
fP+], [A ] [Л+] — концентрации переносчиков в восстановленной и окисленной формах, Do, Со, Ро, Ао — общие концентрации переносчиков. Реакцию оттока электронов из системы А—-> считали псевдомономолекулярной.
Систему уравнений (Ш.З—1) можно упростить, если ввести следующие предположения: 1) донор электронов имеется в избытке, и его концентрация остается постоянной в течение изучаемых промежутков времени; 2) константа скорости переноса электронов от акцептора А в цепь дальнейших реакций значительно больше световой константы k. При этом справедлива оценка [А_]<С[А+] и концентрацию окисленных молекул [А+] можно считать постоянной [А+] = А0. При выполнении условий [£>~] = const, [А+] — =const, введя безразмерные концентрации xi==‘777‘. хг~ ГРТ»
10)1	Р oJ
систему.(Ш.1—8) приведем к виду:
— = ky (1	kyX-^ '^2^10	^2 1	-^1) ^2»
at .
(Ш.З—3)
= ^2^1 (1	^2)	^2 (1	^1) Х2
at
где = ki [D“ ], \kt =~ki [D+], &o = A!o[Ao], &a = £2 [^oL &2 = &2[co] — новые константы скоростей, отличающиеся от прежних постоянным концентрационным множителем.
Аналогичную (Ш.З—1, Ш.З—3) систему дифференциальных уравнений можно записать для схемы Ш.З циклического переноса электрона.
Исследование устойчивости стационарных состояний этих систем уравнений методом Ляпунова показало, что они имеют единственную особую точку типа устойчивый узел. Этот вывод соответствует экспериментальным данным о бесколебательном приближении степени окисленности переносчиков к своему стационарному состоянию независимо от начальной степени окисленности этих переносчиков.
Анализ зависимости стационарных и кинетических характеристик модели нециклического транспорта в сравнении с экспериментальными данными позволил сделать вывод о наличии в донорной части цепи в клетках фотосинтезирующих бактерий дополнительного переносчика пудового характера, названного авторами Qxi, в качестве которого может выступать локальное скопление молекул внешнего донора вблизи внутренней поверхности фотосинтетической мембраны. Присутствие компонента Qxi обусловливает S-образиую зависимость степени стационарной окисленности цитохрома Ci от интенсивности , действующего света (рис. Ш.9). Отметим, что в препаратах хроматофоров фотосийте-зирующих бактерий световые кривые окисления цитохрома не имеют S-образного характера, по-видимому, промежуточный меж-
187
Рис; Ш.9. Зависимость стационарной окисленности цитохрома от значений световой константы: А — в «дополненной» циклической модели, Б — в эксперименте
ду экзогенным донором и цитохромом электронный пул Qxi в них отсутствует.
Анализ характеристик модели циклического транспорта позволил установить, что циклическая цепь не может быть полностью замкнутой и обменивается электронами с внешними донором и акцептором. При этом в донорной части цепи также может находиться дополнительный переносчик QXh, однако замыкание цикла происходит непосредственно на цитохром Ch. В циклическом транспорте принимает участие акцепторный компонент А2, по-видимому, пудового характера. Построенная в соответствии с этими выводами общая схема электронно-транспортных реакций бактериального фотосинтеза, изображена на рис. 111.10.
Особый интерес представляла выработка критериев, в соответствии с которыми по виду экспериментальных зависимостей
Рис. ШЛО. Схема электрон-транспортных реакций бактериального фотосинтеза, построенная на основе результатов моделирования (Пытьева и др.;
1976)
188
можно было бы судитц о том, какой из электронных потоков — циклический или нециклический — преобладает в тех или иных условиях эксперимента. С этой целью исследовали индивидуальные характеристики цепей нециклического и циклического транспорта, изображенные на схемах:
Сг—_ А2~
k,	k. ka к k, .	
(схема III.4)
ki
k>

(схема ГП.5)-
k
Здесь Ci, С г —
; Р —
пигмент реакционного центра; Дь Д2 — первичный и вторичный акцепторы электронов; ki — константа скорости притока электронов в систему, пропорциональная концентрации экзогенного донора; Ло — «световая» константа, пропорциональная интенсивности света; k3 — константа скорости переноса электрона от первичного акцептора к вторичному; kt — константа скорости оттока электронов из системы. Основное отличие схем III.4 и III.5 состоит в том, что в нециклической цепи восстановление цитохрома С1 происходит Только от внешнего донора и носит псевдомономолекулярный характер, потому его кинетика зависит только от концентрации этого внешнего донора (константа на схеме III.4). В то же время в процессе восстановления циклического цитохрома С2 принимает участие циклический поток электронов от акцептора А2 (константа kc). Эта реакция бимолекулярная, и время процесса в ней зависит от уровня восстановленное™ этого акцептора:
Подробное ' исследование свойств моделей циклического и нециклического транспорта можно найти в (Pyt'eva et al., 1976; Рубин и др., 1977). Основные зависимости, по которым отличаются циклический и нециклический пути переноса электрона, приведены в таблице: знак « + » означает увеличение времени полувосстановления цитохрома с ростом соответствующего па-; раметра, (—) — уменьшение Ti/z, 0 — отсутствие зависимости. Два знака соответствуют более сильной зависимости, чем один.
Наиболее четко модели процессов, изображенных на схемах III.4 и III.5, различаются по. характеру зависимости времени темнового восстановления цитохрома от: продолжительности освещения (при выполнении соотношения k\<kt),
— уровня первоначальной окисленности цитохрома (при условии
— константы k\ (при любых соотношениях ki и kt).
Эти зависимости легко поддаются экспериментальному определению и могут быть использованы для решения вопроса о структуре фотосинтетической цепи различных .объектов. Так, с привлечением критериев «цикл1—нецикл» было выполнено экспе-
189
Критические зависимости для моделей нециклического и циклического электронного транспорта
Рассматриваемая зависимость	Соотношение между константами скоростей	Нецикличео кая модель	Циклическая модель	Эксперимент
т red (ftj)	va	—	0	0
т red (<осв)	*1<й4	+ 0	+ + 0	+ + 0
-г red (С+ач)	ki<ki ki >kt	0 0	— —	— —
риментальное исследование фотоиндуцированных редокс-превра-щений цитохрома в хроматофорах фотосинтезирующих бактерий Е. shaposhnikovii.
Результаты экспериментов показали, что кинетика протекающих в частицах электрон-транспортных процессов полностью согласуется с характеристиками циклической модели. Время темнового восстановления цитохрома в хроматофорах Е. shaposhnikovii зависит от исходного (светового) стационарного уровня его окисленности, который в свою очередь определяется интенсивностью действующего света. При этом в опытах с низкими концентрациями донора электронов в среде [ДХФИФ Н2] <10~5 М, что соответствует выполнению соотношения ki<ki в модели, процесс темнового восстановления цитохрома слабо ускоряется с увеличением начального (стационарного) уровня его окисленности (рис. Ш.Н, кривая /).	'
При'более высоком содержании донора [ДХФИФ—Н2]=10~* М, что соответствует k\>ki, наблюдалось заметное ускорение рас-
Рис. 111.11. Экспериментальные и теоретические зависимости полувремени темнового восстановления цитохрома от исходного уровня его окисленности. Циклическая модель: 1—Ле=1ОЛ)( й1/й4=0,2; 2 — йс=1Ой1, ki/kt=2\ 3 — йс=й|, ki/kt=2.
190
Рис. III.12. Экспериментальные и теоретические зависимости времени темнового восстановления цитохрома от продолжительности световой экспозиции. Циклическая модель: 1—kJk^O,2; ke=k\\ 2 — й1/й4=5, fcc=10fci
сматриваемого процесса (время темнового восстановления уменьшается в три раза при изменении первоначального уровня окис-ленности цитохрома от 20 до 70% (рис. 111,11, кривая 2).
Проведенные эксперименты показали, кроме того, что в условиях низкого содержания донора электронов в среде увеличение продолжительности освещения объекта от 1 до 60 с приводит к увеличению времени темнового полувосстановления цитохрома от 6—7 до 12—14 с (рис. III.12, кривая /). Повышение содержания донора в среде до 10~5—10-4 М снимает указанный эффект (рис. III. 12, кривая 2). Зависимость времени темнового восстановления цитохрома от содержания донора электронов в среде имеет двухкомпонентный характер, причем участок «перегиба» кривой соответствует тем концентрациям донора, при которых появляется немонотонное окисление цитохрома. Именно такой характер зависимости	наблюдается в модельной системе реакций
циклического транспорта. Полученные экспериментальные данные-представлены в последнем столбце таблицы.
Эти данные могут служить основанием для заключения о том, что в хроматофорах Е. shaposhnikovii реакции электронного транспорта осуществляются в соответствии со схемой III.5 и включают как нециклический перенос электронов от внешнего до-, нора к некоторому акцептору, так и циклический транспорт от вторичного акцептора к цитохрому.	,
На основании сформулированных критериев «цикл—нецикл» были также сделаны выводы о преобладании циклического или нециклического путей переноса электронов в различных условиях эксперимента для хроматофоров фотосинтезирующих бактерий Chromatium minutissimum (Chamorovsky et. al. 1977), Rhodospi-rillum rubrum (Pyt’eva et. al., 1980).
1 4. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРЕНОСА ЭЛЕКТРОНА
« МУЛЬТИФЕРМЕНТНОМ КОМПЛЕКСЕ
Экспериментальные и теоретические исследования последних лет в области фотосинтеза сосредоточены на. изучении фотосинтетического реакционного центра, представляющего собой «молекулярную машину», которая .«включается» квантом света. Изучение процессов преобразования энергии в РЦ открывает широкие возможности как для осмысления специфики процессов фотосинтеза, > так и для понимания общих механизмов ферментативного катализа. Как уже говорилось, РЦ представляет собой фиксированный в мембране мультиферментный комплекс, редокс-состояния компонентов которого зависят друг от друга.
Рассмотрим принципы математического описания переноса электрона, в комплексах молекул-переносчиков, внутри которых задана строгая последовательность взаимодействия переносчиков электрона друг с другом. Пусть имеется пара переносчиков: Ci и •Сг, объединенных в комплекс:
К;
(схема Ш.Ь)
Перёнос электрона от Сх к Сг р рассматриваемом случае будет мономолекулярным процессом, поскольку в комплексе в едином акте происходит как окисление Ci, так и восстановление Сг-В силу этого перенос электрона между переносчиками Ci и Сг не имеет места, когда оба переносчика, входящие в комплекс, одновременно или окислены, или восстановлены. Таким образом, для описания переноса электрона в электрон-транспортных комплексах необходимо рассматривать состояния сразу двух переносчиков, участвующих в переносе электрона. Суммарная скорость переноса электрона между С и С2 в рассматриваемом случае пропорциональна концентрации комплексов, находящихся в состоянии Ci1 Сг°, когда переносчик Ci восстановлен, а переносчик Сг окислен. Тогда скорость, переноса электронов между G и Сг равна
v=jca[c}c£],
В общем случае для описания переноса электронов в комплексе необходимо рассматривать все состояния, в которых может находиться комплекс. Состояния комплекса молекул-переносчиков в этом случае могут быть определены как упорядоченная совокупность состояний переносчиков, составляющих комплекс. При этом каждый из переносчиков, входящих в комплекс, может находиться в окисленной или восстановленной форме, в протонированном или депротонированном состояниях и т. д.
.192
Обозначим состояния комплекса через Si, S2, ..., Sn и введем вероятность того, что комплекс переносчиков находится в состоянии S/ в момент времени t:P(Si, t)-Pi(t). События Sb S2, ... ..., Sn несовместимы и образуют полную группу событий, поэтому выполняется равенство (условие нормировки):
i
Будем рассматривать переходы между состояниями S; комплекса переносчиков электронов как марковский процесс с конечным числом состояний и непрерывным временем. В этом случае переходы комплекса из одного состояния в другое описываются системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вероятностей:
п
= J] (Pikii —Pikii), Pi (0) = b, (i=l.n) (Ш.4— 1)
или в векторном виде
’-¥- = KTP-, P(0) = b. dt
Здесь вектор P=(pJ0. •••» PnWY Pi(t) — вероятность того, что комплекс переносчиков находится в i-том состоянии в момент времени t; Кт — матрица, транспонированная к матрице K(ktj), элементы которой кц (i=£j) суть константы скорости перехода из i-того состояния комплекса в4/-тое, причем = b~
= (fei...Ъп) — вектор вероятностей начальных состояний комп-
лекса.
Общий вид решения системы (III.4—1) может быть записан, например, в следующем виде:
P~exp(kTt)b.	(III.4—2)
При рассмотрении конкретных электрон-транспортных цепей удобно представлять состояния комплекса в виде размеченного графа, в вершинах которого стоят состояния комплекса, а стрелки указывают возможные переходы между состояниями. В частности, для переноса электронов в комплексе из двух переносчиков (схема III.6) размеченный граф состояний будет иметь следующий вид:
7 Зак. 353
193
с/ С2* . (3J
(1) . с/7;
(2) С° С12	------► с/ с'г ' w
ос л,
Здесь верхние индексы 0 и 1 означают отсутствие или наличие электрона на соответствующем переносчике. Цифры в скобках указывают номер состояния комплекса, kt — константы скоростей соответствующих переходов, указанных на схеме III.6. В общем случае цонстанты скоростей перехода между состояниями комплекса могут зависеть от состояний переносчиков, не принимающих непосредственного участия в реакции (эффект кооперативности). Параметры аир характеризуют степень кооперативности. Например, скорость притока электронов от внешнего донора на, переносчик Ci может быть различной в зависимости от редокс-состо-яния переносчика Сц (аУ=1). Рассмотрение конкретных фотосинтезирующих объектов показало плодотворность такого способа описания кооперативности при объяснении механизмов регуляции электронных потоков.
Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний комплекса С1С2, описывающая его функционирование, согласно схеме III.7, при а = р = 1 имеет вид:
^i- = k3p2 — kiPi, ^^--kiPr + ksPi—k^; at	dt
,	• (III.4—3)
^=k2p3—(kL + k3)p2, ^- = klp2—k3pl, dt	dt
4
(S Pi= ’ Pi(ty^bt. i=l
Решив систему уравнений (III.4—3) относительно вероятностей состояний комплекса piy легко найти и вероятности состояний отдельных переносчиков, просуммировав вероятности всех тех состояний комплекса, которые содержат рассматриваемый переносчик в интересующем нас состоянии. Например, вероятность того, что первый переносчик находится в окисленном состоянии, равна сумме вероятностей первого и второго состояний (см. схему III.7):
Р (С?) = Р (С?С°) + Р (Cfc\) = Pt + Р, = 1 —Р (С{).
В общем виде
/’(С?, П= £ P(S„ 0; Р(С1, t)~i-P(C!, 0, (Ш.4-4)
194
илн Р(В)= £ P(Sfl, /), где суммирование производится по всем S^GB
тем элементарным событиям S9, которые составляют событие В.
Для большого'числа одинаковых не взаимодействующих между собой комплексов переносчиков введенные выше вероятности P(Si,. t) и Р(С?, t) согласно закону больших чисел приближенно равны доле комплексов, находящихся в состоянии Si, и доле молекул переносчиков Ci в соответствующем редокс-состоянии.
Методы анализа переноса электрона в комплексах
Одной из существенных особенностей рассмотренного описания транспорта электронов в комплексах молекул-переносчиков является большое число возможных состояний комплекса. Например, для комплекса из п переносчиков, каждый из которых может находиться в двух состояниях, число состояний равно 2". Хотя уравнения, описывающие переходы между состояниями комплекса, линейные, их точное решение для большого числа переносчиков в ряде случаев представляет большие вычислительные трудности. Поэтому был разработан ряд методов, позволяющих при некоторых разумных предположениях упростить описание электронного транспорта. В основу методов упрощения положено то обстоятельство, что в биологических системах, как правило, имеет место иерархия времен различных процессов. В фотосинтетической электрон-транспортной цепи величины констант скоростей на разных участках отличаются на несколько порядков. Существенным оказалось и то обстоятельство, что в эксперименте наблюдаются лишь состояния отдельных переносчиков, которые представляют собой сумму состояний комплекса (Ш.4—4), в связи с йем становится возможной аппроксимация этой суммы лишь теми слагаемыми, вероятность которых велика.
Подробное обоснование методов анализа кинетики переноса электрона в мультиф^рментных комплексах можно найти в монографии Рубина, Шинкарева (1984). Перечислим основные положения этих методов.
а)	Метод оценок
В большинстве случаев оценки для вероятностей состояний комплекса переносчиков позволяют уйростить исходную систему дифференциальных и алгебраических уравнений, ответить на вопрос о наблюдаемости того или иного состояния комплекса, оценить число электронов, находящихся в комплексе и т. п.
Простейшей оценкой для вероятности 5,-того состояния комплекса pi(t) является следующая оценка сверху:
МО < 4-7 + (р. (0) -4-J е-^,	(III.4— 5)
a-$-b	\ 'a-Ybj
7*
195
где а — максимальная из констант скорости перехода комплекса в данное i-тое состояние, b — сумма всех констант скорости перехода комплекса из i-того состояния во все другие состояния комплекса, pt(O) — вероятность i-того состояния комплекса в начальный момент времени i=0.
Устремляя t к оо, получим стационарную оценку:
„	, в
Pi К--—•
а + Ь
Таким образом, величина стационарной оценки для вероятности Si-того состояния pi=pi(oo) не больше максимальной из констант скорости перехода комплекса в данное состояние, деленной на сумму максимальной из констант скорости переходов комплекса в данное состояние и всех констант скорости перехода комплекса из этого состояния.
Согласно оценке (Ш.4—5) при Ь^>а состояние S, несущественное и его можно исключить из рассмотрения на временах, больше чем
11
о где суммирование производится по всем константам перехода из данного i-того состояния.
б)	Введение квазисостояний
Основным методом асимптотического описания функционирования комплекса молекул-переносчиков служит метод укрупнения состояний комплекса, который позволяет для описания транспорта электронов в комплексах ограничиться небольшим числом переменных. Наличие иерархии в величинах констант скорости переноса электронов позволяет в ряде случаев представить множество всех состояний комплекса как совокупность небольшого числа групп состояний (квазисостояний), внутри которых реализуются быстрые переходы, а между группами — более медленные.
Возможность выделения квазисостояний определяется иерархией величин констант скорости переходов между состояниями; при варьировании констант скорости изменяется и разбиение фазового пространства этого комплекса на квазисостояния. Для данного метода существенно, что за рассматриваемый промежуток времени реализуются не все из возможных хостояний комплекса. Очевидно, что чем меньше рассматриваемый промежуток времени, тем меньшее число состояний комплекса может быть достигнуто исходя из некоторого фиксированного начального состояния. Следовательно, множество состояний, которые при данной иерархии величин констант скорости необходимо рассматривать для описания функционирования компЛекса, зависит как от начальных условий, так и от времени наблюдения за комплексом.
196
Поэтому для описания переходов комплекса между состояниями на малых временах (например, после лазерной вспышки) достаточно рассмотрения небольшого числа состояний, в которые комплекс может попасть за это время. На больших временах увеличивается число состояний, доступных для переходов в комплексе, однако здесь уже возможно уменьшение общего числа состояний комплекса до существенно меньшего числа квазисостояний и рассмотрение переходов только между этими квазисостояниями.
в)	Кинетическое сведение большого числа одноэлектронных переносчиков к меньшему числу многоэлектронных переносчиков
Физический смысл метода упрощения системы дифференциальных уравнений, рассматриваемого в этом пункте, состоит в замене большого числа одноэлектронных переносчиков, между которыми реализуются быстрые переходы, меньшим числом многоэлектронных переносчиков. Этот метод есть частный случай метода, изложенного в предыдущем пункте, однако имеет самостоятельное значение, поскольку укрупнение производится йа уровне состояний переносчиков, а не на уровне состояний комплекса как целого.
Переход к многоэлектронным переносчикам учитывает специфику переноса электронов в комплексах: перенос электрона с одного переносчика на другой осуществляется только в том случае, когда первый переносчик восстановлен, а второй — окислен. Вследствие этого даже если константа скорости переноса электрона между двумя переносчиками велика, тем не менее первый переносчик будет восстановлен в той части комплекса, в которой и первый, и второй переносчики восстановлены и в которой, таким образом, не может произойти переноса электрона.
Рассмотрим в качестве примера перенос электрона, который осуществляется согласно схеме III.6, и предположим, что константа скорости k2 внутрикомплексного переноса электронов между переносчиками G и С2 существенно больше всех остальных констант:
^3-
В этом случае на достаточно больших временах все кинетическое поведение комплекса определяется медленными стадиями обмена комплекса электронами со средой с константами скорости k и
Электрон, попав в такой комплекс, быстро размазывается (усредняется) по переносчикам С\ и С2, прежде чем произойдет изменение числа электронов в комплексе. Следовательно, на временах, больших чем время, необходимое для такого усреднения, комплекс двух переносчиков можно приближенно рассматривать как один двухэлектронный переносчик. В этом случае для того чтобы найти вероятность редокс-состояний отдельных переносчиков, достаточно знать число электронов, находящихся в данный момент в комплексе.
197
Анализ иерархии величин констант скорости переноса электронов в фотосинтетических реакционных центрах показывает, что перенос электронов в них -кинетически эквивалентен переносу электронов между двумя многоэлектронными переносчиками, что позволяет полностью проанализировать рассматриваемую систему.
г)	Симметрия в переносе электрона
Иногда число необходимых вычислений можно существенно сократить благодаря наличию в цепи электронного транспорта определенной симметрии. Наличие симметрии позволяет определить кинетическое поведение переносчиков, непосредственно не наблюдаемых в эксперименте, исходя из кинетического поведения симметричных им переносчиков,- наблюдаемых экспериментально. Симметрия может быть использована также для проведения эффективной оценки вероятностей состояний комплекса.
Для широкого класса схем переноса электронов . существует симметрия, связанная с тем, что перенос электрона в одном направлении эквивалентен в некотором смысле переносу «дырки» в обратном направлении. Это свойство относится как к случаю подвижных переносчиков, взаимодействующих друг с другом согласно закону действующих масс, так и к случаю, когда переносчики электронов организованы в комплексы.
Рассмотрим в качестве примера перенос электрона, происходящий согласно схеме III.6. Обычно схему переноса электрона записывают в виде, где стрелками указано направление переноса электрона от одного переносчика к другому. Для описания «дырки» в исходной схеме необходимо направление всех стрелок изменить на противоположное. Если в результате такого преобразования получилась схема, эквивалентная исходной, то сохранилась и структура соответствующей системы уравнений. Для схемы III.6 перенос «дырки» может быть записан следующим образом:
kt kt
С2ч-Cj(схема III.8)
Отсюда следует, что структура решения для восстановленных форм переносчиков С, и Cj в схеме III.6 совпадает со структурой решения для окисленных форм переносчиков С2 и С] в схеме III.8 соответственно. Выражения для. последних можно получить, если в соответствующих решениях для восстановленных форм переносчиков Ci и С2 из схемы III.6 сделать следующую замену констант скоростей:
ki — k3	’
Сравнение двух типов описания электронного транспорта
Несмотря на смысловое отличие сформулироваииого описания переноса электронов в комплексах и описания, основанного на законе действующих масс, между ними (если ограничиться рас-198
смотрением только редокс-превращений переносчиков) имеется вполне Определенная связь.
Напомним, что уравнения закона действующих масс содержат нелинейные члены, пропорциональные произведениям концентраций реагентов, вид которых будет прямым следствием предположения о независимости редокс-состояний переносчиков. Следовательно, если редокс-состояния переносчиков, входящих в комплексы, независимы, то в этом случае рассмотренные выше два описания будут давать тождественные результаты относительно состояний отдельных переносчиков. Поэтому следует различать условия, при которых редокс-состояния отдельных переносчиков, входящих в комплекс, независимы между собой или, наоборот, зависят друг от друга.
Независимость редокс-состояний имеет место, в отсутствие кооперативности в переносе электрона и при условии окислительно-восстановительного равновесия переносчиков со средой (Венедиктов и др., 1979). Наоборот, в отсутствие равновесия со средой, т. е. в условиях существования электррнного потока, и при наличии кооперативности редокс-состояния отдельных переносчиков комплекса становятся уже зависимыми. Закон действующих масс становится неприменимым и в том случае, когда перенос электронов в комплексах сопровождается переходом молекул-переносчиков в состояния, отличные от окислецных и восстановленных (протонированные — депротонированные, конформационные и т. п.).
Таким образом, решения уравнений для двух физически различных механизмов взаимодействия переносчиков электронов «в комплексах» и «в растворах» всегда отличаются в неравновесных условиях и не отличается при редокс-равновеСии со средой при условии отсутствия кооперативности в. переносе электрона. На основании кинетических различий этих двух типов взаимодействия переносчиков электронов можно решать вопрос о типах взаимодействия переносчиков в цепи электронного транспорта. Для выяснения вопроса о том, какой из типов взаимодействия переносчиков имеет место на различных участках цепи переноса электрона, нами исследовались различные неравновесные характеристики электронного транспорта.
Различие в поведении переменных в моделях, где переносчики взаимодействуют согласно закону действующих масс (описываются уравнениями типа (Ш.1—6) и образуют комплекс (описываются уравнениями типа (Ш.1—11)) для схемы из двух перенос? чиков, видно из рис. III.13).
Еще больше отличаются стационарные и кинетические характеристики моделей в комплексе и в растворе для системы из трех переносчиков:
21п_>С---->Р----
t I •
S*f
199
Основные отличия характеристик при двух способах описания за? ключаются в следующем:
1)	в растворе кинетика окисления компонентов Р и С при малых значениях константы входа Kin монотонна независимо от величины световой константы Ко- Концентрация акцептора А в процессе восстановления проходит через максимум независимо от способа описания. При больших значениях Kin окисление С и Р немонотонно. В комплексе при больших значениях Ко окисление компонентов С и Р может носить немонотонный характер и при небольших Kin,
2)	световые кривые (зависимости стационарной окисленности от величины световой константы Ко) компонента Р в растворе носят S-образный характер в том случае, когда константа скорости притока электронов в систему Kin мень
тельно-восстановительных превращений переносчиков С( н С2 при взаимодействии их по схе-Afi kz kz
ме: * Ci "* С2 . 1 — переносчики организованы в комплексе; 2 — переносчики взаимодействуют по закону действующих масс
ше константы скорости оттока электронов из системы (KOut)-В комплексе S-образность световой кривой компонента Р не наблюдается;
3)	в растворе при наличии циклического потока (/Сс#=О) время восстановления компонента C(x^d) убывает с ростом его первоначальной окисленности Со+. В комплексе T™d в большей или меньшей степени возрастает с увеличением Со+ при любых значениях параметров цепи.
Совокупность этих зависимостей в сравнении с экспериментальными данными может служить критерием справедливости той или иной модели взаимодействия переносчиков на изучаемом участке цепи; Например, при решении вопроса о том, каким образом замыкается циклический поток электронов, в комплексе или через подвижные переносчики, наиболее удобным критерием яв-ляется рассмотрение экспериментальной зависимости тс (Со , которая имеет в-комплексе и в растворе противоположный характер.
Кинетическая модель переноса электрона в фотосинтетическом реакционном центре
Рассмотренные выше принципы построения модели переноса электрона в мультиферментном комплексе применены Шинкаревым и Рубиным (1981) для описания функционирования обобщенного фотосинтетического реакционного центра (РЦ). Здесь
200
мы остановимся на основных результатах этого исследования. Вопросы, связанные с изучением РЦ конкретных фотосинтезирующих организмов, будут рассмотрены в следующем параграфе.
Из схем, представленных на рис. III.2, Ш.З, видно, что фотосинтетический реакционный центр может быть изображен схематически в виде первичной донорно-акцепторной пары
(Di =₽* Л]),
окруженной дополнительными донорными и акцепторными компонентами:
* k-n	*—(п—1)
<_2 к.
ТП\	TTlg
Л ’
(схема III.9)
В этой схеме Du D2,..., D — переносчики электронов, находящиеся на донорной стороне РЦ; Ль А2,..., Л5 — переносчики акцепторной стороны РЦ; D и Л — внешние по отношению к РЦ донор и акцептор электронов; k0, k-0, ki,... kn, 1Щ,..., ms — константы скоростей переноса электрона на соответствующих участках цепи.
Константа скорости переноса электрона между первичным донором и акцептором электрона (световая константа k0) здесь пропорциональна интенсивности света. Действительно, время элементарного акта окисления фотоактивного пигмента составляет 10~12—10-10 с. Именно это время, регистрируемое методами лазерной пикосекундной спектрофотометрии и флуорометрии, указано на рис. III.2, Ш.З. Такое время процесса реализуется, если фотоактивный пигмент £>i находится в возбужденном, а первичный акцептор Л] — в нейтральном состоянии (т. е. способен воспринять электрон). В, случае, если первичный акцептор восстановлен, происходит быстрая дезактивация возбужденного пигмента. Таким образом, лимитирующим является процесс возбуждения Di, который в силу быстроты миграции энергии по антенне (характерные времена 10~9 с) «отслеживает» частоту попадания квантов света. Таким образом, можно считать константу скорости разделения зарядов в пределах первичной фотохимической донорно-акцепторной пары пропорциональной интенсивности действующего света.
Величины остальных констант скоростей в цепи РЦ определяются как нормальными окислительно-восстановительными потенциалами переносчиков, так и особенностями их природы и организации в мембране. Вообще говоря, величины констант скоростей могут меняться в зависимости от условий процесса и в самом процессе переноса электрона. Здесь мы будем считать вели
201
чины констант скоростей на отдельных участках цепи постоянными.
Число компонентов, входящих в число реакционных центров, как правило, не менее пяти. Так, фотосинтетический РЦ несерных пурпурных бактерий содержит комплекс порфириновых пигментов и два хинона, ассоциированных с железом. РЦ серных пурпурных бактерий содержит также цитохромы. Фотосинтетические РЦ фотосистемы 1 зеленых растений содержат не менее четырех компонентов в акцепторной части (железосериые белковые кластеры), а также цитохром и пластоцианин в донорной части, при-, чем расположение этих переносчиков может быть не последовательным, как это указано На схеме III.1, а параллельным.
Однако можно указать некоторые общие черты в функциональной организации всех фотосинтетических реакционных центров (Шинкарев, Рубин, 1981):
А.	Ближайшее донорно-акцепторное окружение РЦ представляет собой единый структурный пигмент-белковый комплекс молекул переносчиков; в котором задана жесткая последовательность переноса электрона.
Б. Нормальные (среднеточечные) окислительно-восстановительные потенциалы соседних .переносчиков электронов, находя-' щихся в донорной и акцепторной частях РЦ, отличаются, как правило, не менее чем на 60—100 мв. Это означает, что все константы равновесия kilk-i,	= ..., т—1; / = 1,..., s—1)
на схеме III.1 больше 10 и, следовательно, при анализе кинетики переноса электрона можно пренебречь обратными контантами скорости k-i, m-j. Кроме того, нормальные окислительно-восстановительные потенциалы переносчиков Dit D2,..., Dn выше потенциалов переносчиков Alt А2,..., As.
В.	Величины констант скорости переноса электрона на соседних участках донорной и акцепторной сторон реакционного центра отличаются друг от друга не менее чем на 2 порядка:
ki-i > Ю2^, t = 2, 3, ..., п — 1,
/П/_1 > 102m,-, / = 2, 3, .... s—il.
Если, кроме этого, предположить, что реакции взаимодействия РЦ. с внешним донором и акцептором также будут необратимы, .причем концентрации D и А существенно • превосходят концентрацию РЦ, схему III.1 можно представить в виде цепочки необратимых стадий переноса электрона:
Dn ... —=-> D2 —*-> Dt	А,
... ^=^AS	(схема III. 10)
Состояния РЦ, изображенного на схеме 111.10, отличаются друг от друга степенью восстановлеиности его компонентов;. Для ве-
202
роятностей этих состояний Pr(t), г=1, 2.. // можно записать
систему линейных уравнений:
=	г=1,...,Л	(III.4—6)
at Лшл
где kjr — константа скорости переноса электрона, соответствующая переходу между /-тым и r-тым состояниями реакционного центра. Решив систему (III.4—6) с соответствующими начальными условиями, можно найти вероятность редокс-состояний отдельных компонентов РЦ, просуммировав вероятности всех тех состояний комплекса, в которые входит этот переносчик в интересующем нас редокс-состоянии.
Фотосинтетический реакционный центр рассмотрим как систему, симметричную относительно первичной донорно-акцепторной пары Di—Ль Первичное разделение заряда инициирует два процесса: перенос электрона в акцепторной части и заполнение освободившегося места в донорной части — перенос «дыркиэ от Dj к внешнему донору. В случае нециклического транспорта (йак это изображено на схеме Ш.10) эти два процесса независимы. Данное обстоятельство, а также учет иерархии констант дают возможность в случае импульсного возбуждения описать кинетику переноса электрона (дырки) простыми соотношениями, в которые входят лишь константы скорости переноса электрона на участках, непосредственно примыкающих к рассматриваемому переносчику. Так, для переносчика на донорной стороне приближенно имеем:
Р (D°) е~У —екя-^, q==2, 3, ..., п,
РЦ^ъег**.
Здесь P(Dq°) — вероятность нахождения «/-того переносчика в окисленном состоянии.
Для переносчиков на акцепторной стороне:
Р(Д-)е~т/‘—ет/-< / = 2, 3, ...,s, Р (Л}) = е-^,
где Р(Л/') — вероятность нахождения /-того переносчика в восстановленном состоянии.
Из этих формул вытекает, что время жизни переносчиков электронов в неравновесных состояниях после вспышки света тем меныре, чем ближе данный переносчик электрона к начальной световой стадии в цепи переноса. Такая функциональная организация фотосинтетического Рц позволяет ему, с одной стороны, быстро приходить в реакционноспособное состояние после прихода очередного возбуждения, а с другой — производить разнесение и стабилизацию разделенных зарядов.
203»
Возможное наличие циклического переноса электронов усложняет картину. Однако быстрое разнесение разноименных зарядов к краям реакционного центра приводит к тому, что циклический транспорт возможен лишь на уровне компонентов Dn и As, непосредственно контактирующих с внешними донорами и акцепторами. Наличие циклического потока сказывается в появлении быстрого компонента в темновой релаксации
Возникновение интенсивных обратных электронных потоков в особых условиях эксперимента может существенно осложнить картину. Эти ситуации мы рассмотрим в следующем параграфе.
Таким образом, функционирование фотосинтетического реакционного центра как молекулярной машины, преобразующей случайные потоки электронов и квантов света в направленный поток электронов, обеспечивается соотношением констант скорости, которое однозначно задает последовательность и направление переноса электрона.
Рассмотрение стационарного потока электронов через РЦ методом сведения к многоэлектронным переносчикам (Рубин, Шинкарев, 1984) показало, что для величины стационарной скорости переноса элёктрона через комплекс v справедливо неравенство:
f— + — + — 1<w<min(fe, k0, tri). \ k k0 m )
Здесь k — константа скорости притока электронов в комплекс, т — отток электронов из комплекса, k0 — световая константа.
На временах, сравнимых с временами обмена электронами РЦ со средой, стационарные характеристики нециклического транспорта электронов определяются лишь световой константой и константами скорости обмена РЦ со средой. Увеличение интенсивности света приводит к тому,' что акцепторные компоненты РЦ еще больше восстанавливаются, а донорные — еще больше окисляются.
При освещении образца происходит' окисление донорных компонентов и восстановление акцепторных. При этом сначала окисляется самый далекий от световой, стадии переносчик Dtl, затем более близкий Dn-i и т. д. Аналогично первым восстанавливается As, затем As-i и т. д. Это является следствием иерархии констант скоростей отдельных стадий переноса электрона в РЦ.
Характер переходных процессов при освещении зависит от соотношения констант скоростей обмена электронами с внешней средой: k и т. Если k>m, при включении света наблюдается немонотонное окисление переносчиков электрона на донорной стороне РЦ и монотонное восстановление акцепторов. Если же k<m, доноры окисляются монотонно, а восстановление акцепторов протекает немонотонно. При выключении действующего света происходит восстановление переносчиков Di,..., Dn и окисление Al,..., Аг. Характерная особенность для процессов окисления и восстановления переносчиков — это временная задержка в тем-
204
иовом восстановлении (окислении), тем большая, чем дальше переносчик электронов находится от световой стадии. Примеры кинетических кривых для системы из трех переносчиков —С—Р—А приведены на рис. III.13.,
Таковы основные свойства переноса электрона в обобщенном комплексе реакционного центра. Конкретные фотосинтезирующие объекты обладают целым рядом индивидуальных особенностей. При постановке экспериментов для их изучения преследуются определенные цели, требующие соответствующей формализации. Однако методы работы с формальной моделью и результаты, полученные при ее исследовании, оказываются весьма полезными при изучении основных физических механизмов и особенностей функционирования многообразных фотосинтезирующих объектов.
При изучении законов электронного переноса в фотосинтезирующих объектах мы пошли по пути построения возможно более адекватных моделей отдельных участков ЭТЦ. Выбор объекта при этом определяется значимостью этого участка ЭТЦ в общем ходе процесса фотосинтеза и степенью изученности протекающих на этом участке процессов. 
При построении моделей мы использовали рассмотренный в § 1—4 аппарат для определения топографии ЭТЦ, типов взаимодействия переносчиков и констант скоростей переноса электрона на отдельных участках ЭТЦ в разных условиях эксперимента. При этом собственно кинетическая модель служит промежуточным этапом на пути от кинетического анализа экспериментальных данных к изучению физических механизмов переноса электрона. Ниже мы приведем некоторые модели конкретных цепей переноса электрона, исследованных нами в соответствии с вышеизложенными принципами.
$ 5. ОКИСЛИТЕЛЬНО-ВОССТАНОВИТЕЛЬНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ФОТОАКТИВНОГО БАКТЕРИОХЛОРОФИЛЛА В РЕАКЦИОННОМ ЦЕНТРЕ ПУРПУРНЫХ БАКТЕРИЙ
В последние годы для исследования первичных процессов фотосинтеза наиболее широко применяют реакционные центры фотосинтезирующих пурпурных бактерий. Именно на препаратах бактериальных реакционных центров удалось при помощи лазерной техники впервые осуществить регистрацию быстрых пикосекундных (характерное время 10-12 с) процессов разделения зарядов между фотоактивным бактериохлорофиллом и акцептором порфириновой природы — бактериофеофитином. Такие эксперименты стали возможными благодаря выделению чистых препаратов, содержащих лишь молекулы фотоактивного пигмента и ближайших акцепторов и не содержащих молекулы бактериохлорофилла, входящие в состав светособирающей антенны. В хроматофорах пурпурных бактерий содержится всего около 50 молекул бактериохлорофилла антенны на одну ЭТЦ, в то время как у зеленых, растений — примерно в десять раз больше. Это обстоя-
205
тельсТво наряду с некоторыми другими особенностями строения обусловило относительную простоту выделения препаратов бактериальных РЦ. В препаратах РЦ квант света возбуждает непосредственно электрон фотоактивного пигмента, минуя стадию миграции энергии по светособирающей антенне.
Бактериальный РЦ представляет собой мультиферментный комплекс — «молекулярную машину», которая «включается» квантом света, экспериментальное и теоретическое исследование механизма этой «машины» на препаратах РЦ открывает широкие возможности как для изучения специфических процессов фотосинтеза, так и для понимания общих механизмов ферментативного катализа.
Выше были изложены основные положения математического описания переноса электрона в пределах комплекса абстрактного фотосинтетического реакционного центра; Рассмотрим конкретные процессы, происходящие в бактериальной РЦ. Пути переноса электрона между компонентами РЦ изображены на схеме:
к»	, х,
? х -<------- @1 «< >	^2	(схема Ш. и)
1	к,	К-1	I
Световая активация приводит к быстрому разделению разноименных электрических зарядов между димером бактериохлорофилла (Р) и первичным акцептором электрона непорфириновой природы (феррохинон Qi) (за время 200 пс). Более близкие к Р акцепторы порфириновой природы на схеме не изображены, так как в силу быстроты процессов .временем нахождения электрона на них можно пренебречь. С Qi фотомобилизованный электрон переходит на вторичные акцепторы Q2 — соединения хинонной природы (за время 0,1—2 мс). Если эндогенные доноры электрона «выключены» препаратным путем или повышением окислительно-восстановительного потенциала среды, то в темноте происходит обращение инициированного светом процесса — возврат электрона на. Р. При высоких окислительно-восстановительных потенциалах среды, когда исходно Восстановленным в темноте является только пигмент Р, в обычных условиях наблюдается относительно медленное восстановление фотохимически окисленного Р от вторичных хинонов Q2(Ty,~l-j-10 с). При понижении температуры препаратов перед освещением в темновом восстановлении Р появляется компонент, время которого? составляет десятки миллисекунд, что соответствует характерному времени реакции — Q\-^P. Аналогичный эффект наблюдается при уменьшении степени ^влажности препаратов, а также в присутствии ортофенантролина, специфически ингибирующего перенос электрона на участке Qi->Q2.
Посмотрим, каким образом могут меняться кинетические характеристики окислительно-восстановительных превращений фо-206
тоактивного пигмента Р в бактериальном реакционном цейтре при перечисленных воздействиях исходя из модели элек^рон-транспортных реакций, изображенных на схеме III.12.
Из схемы видно, что возврат электрона с Q2 на Р может происходить двумя путями: непосредственно (константа скорости kc) и через первичный хинон (константы скорости k-i и ko). Рассмотрим окислительные условия, когда в темноте перед началом освещения в системе находится лишь один электрон на пигменте Р.
При включении света этот электрон может либо остаться на. Р, либо перейти на один из акцепторных компонентов. Таким образом, возможны три состояния комплекса:
W X.	(2) К, (3)
P’QtQi п	Q; .*• Р* Q1Q2
I----------—--->—_— _____________________I (схема Ш-12)
Верхний индекс указывает число электронов на соответствующем переносчике. Стрелками указаны переходы между состояниями. В скобках — номера состояний.
Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний pt, г = 1, 2, 3, имеет вид:
= —РЛ + ^-оРг -1- ^сРз» at
= -(£_0 + kJ р2 + koP1 + k.lP3, (III.5— 1) zzr
^7- = — (6-1 + kc) Рз 4 k1Pi, at
Р1 + Рг + Рз=1-	(III.5—2)
Отметим, что система для вероятностей состояний (III.5—1) совпадает с системой уравнений для койцентраций переносчиков ЭТЦ в восстановленной форме, взаимодействующих по «моиомо-лекулярному^» закону. Это обстоятельство вызвано тем, что в системе предполагается наличие лишь одного электрона. Поэтому автоматически если один из компонентов восстановлен, то два других окислены и скорость переноса электрона определяется лишь константами скоростей реакций восстановленного переносчика с соседями. Если бы в ЭТЦ имелись два электрона, то «мо-номолекулярные» уравнения относительно восстановленных форм отдельных переносчиков оказались бы неверными. В общем случае, как мы’ неоднократно убедимся в дальнейшем, следует рассматривать не окислительно-восстановительные превращения отдельных переносчиков — компонентов комплекса, а состояния комплекса в целом.
20"
Учитывая соотношение (111.5—2), систему /111.5—1) можно переписать в виде:
= k0 (1 -ра -Ps)-(k, + fe_0) pa + at
(III.5—3»
^ = k1pi—(k-1 + kc)Pa. at
Решение системы (III.5—3) в общем виде легко получить аналитически, однако оно достаточно громоздко. Рассмотрим некоторые практически важные частные случаи.
Процесс темновой релаксации может быть описан системой (III.5—-3), если положить величину «световой» константы k0, равной нулю:
^=-(k1 + k^Pt + k.1Pa, dt
(III.5—4)
=	(*-iH)ft-
at'
Решение системы однбродных линейных уравнений (III.5—4) имеет вид:
рг =	+ с2е~^,
(III.5—5)
ps= й1е-х‘</(^с + fe-i—М + C2k1er~i^/(kt + k-x— W
TJ1& величины показателей экспонент удовлетворяют соотношениям:
+ Х2 = k-0 + k± + A-i + kc,	'	(III.5—6)
k1-‘k2 = kc(k.0 + ki) + k-tk-o,	(III.5—7)
а значения Ci, C2 определяются начальными условиями процесса релаксации по формулам:
с Рг(0)*(М —Рз(°) С _ Р»(0) —Рз(0)»(М
1	* (X.) — * (М • 2	'
.	(Ш.5-8)
В (III.5—8) величины рг(О), рз (0) — начальные условия темнового процесса, зависящие от режима предшествующего освещения.
Кинетика регистрируемой в эксперименте степени окисленно-сти фотоактивного пигмента Р, соответствующая величине
1—Р1 = Рг+Рз,
208
описывается выражением
Р (ро) =	e-^t + С,..	е-^
kg -|- k_~\ "1	*0 "Ь 1 "J
= Бе-^ + Ме-Ч	(III.5—9)»
Экспериментально определяемыми величинами в этом выражении являются показатели экспонент Xj и Хз, обратные характерным временам быстрой и медленной фаз в кинетике темновой, релаксации пигмента, и отношение амплитуд предэкспоненциаль-ных членов (Б/М).
При исследовании для фотовозбуждения объекта пользуются, либо импульсным, либо непрерывным светом. Рассмотрим кинетику темнового восстановления пигмента в этих двух случаях.
1. Импульсное освещение переводит электрон на первичный, акцептор Qi. Поэтому начальным условием для последующих процессов будут значения:
рг(0) = 1, р3(0)=0.	(111.5—10)*
При этом	.	,
(Б/М)им = !4^-.
Можно рассматривать соотношения (III.5—7), (III.5—9) как: систему уравнений для определения неизвестных констант скорости переноса электрона на отдельных участках цепи электронного транспорта. Если учесть, что Х^Хг и, кроме того, предположить, что	kc, мы приходим к следующему приближен-
ному соотношению:
k^k-o—.	(111.5-11)-
Б
Отметим, что (III.5—10) несправедливо при низких температурах, когда могут не выполняться сделанные упрощающие предположения, однако при обычных температурах это выражение-дает простой способ оценки трудноопределимой непосредственно-из экспериментальных данных константы ki. Значения k_0 при это могут быть определены из независимых экспериментов. Например, при блокировании реакции	релаксация пигмента
после вспышки происходит лишь с компонента Q] и время релаксации обратно пропорционально k-0.
2. Длительное освещение приводит к установлению световых стационарных концентраций компонентов цепи. Их значения можно получить нз алгебраических уравнений, приравняв правые части уравнения (III.5—1) нулю. Именно эти значения определят-величины предэкспоненциальных членов в выражении (III.5—9) для кинетики темновой релаксации фотоокисленного пигмента.. При этом отношение амплитуд быстрой и медленной фаз процесса..
209-
Рис. 111.14. Экспериментальная зависимость величины относительного вклада быстрого компонента темнового восстановления Р890 от темпе-( ратуры в хроматофорах бактерий
Ectothiorhodospira shaposhnik ovii при импульсном лазерном (1) и длительном (2) освещении (Чамо-ровский и др., 1977)
4 Д'
Рис. III.15. Теоретическая зависимость вклада быстрого компонента темнового восстановления пигмента от температуры при длительном (1) ' и импульсном (2) освещении. Величина обратного времени быстрой компоненты (3) и константы скорости обратного переноса от Qt к Р
восстановления пигмента после выключения непрерывного освещения может быть записано в виде
(Б/М)ст = -^--^^-.	(III.5 —12)
Xi Xj — k_o
Из сравнения выражений "(III.5—10) и (III.5—12) видно, что отношения амплитуд быстрой и медленной фаз темновой релаксации пигмента после импульсного и стационарного освещения отличаются, а именно
(Б/М)им=(Б/М)ст-(Х2Д1).
(III.5 —13)
Именно это обстоятельство может служить причиной столь сильного видимого различия времен темновой релаксации пигмента после длительного и импульсного освещения; Например, на рис. III.14 приведены зависимости вклада быстрого компонента от температуры в хроматофорах Ectothiorhodospira shaposhnikovii при различных температурах. Из рисунка видно, что в интервале температур 270—240 К вклад быстрого компонента дюсле импульсного освещения возрастает от 0 до 100%- В то же время процесс восстановления Р после длительного освещения совсем не содержит быстрого компонента при низких температурах вплоть до 240 К, вклад которого при дальнейшем повышении температуры резко возрастает.
210
На рис. III.15 приведены результаты расчета вклада быстрого» компонента в зависимости от температуры при импульсном к длжгельном^освещении (Рубин, Шинкарев, 1984). Видно качественное совпадение с экспериментальными данными, приведенными на рис. III.14. Из расчета, в частности, следует, что при температурах <240 К характерное время быстрого компонента темнового восстановления Р определяется в основном константой скорости kt переноса электрона между Qi и Q2, а при более низких температурах время быстрого компонента определяется величиной k-o. Это еще раз свидетельствует о том, что при кинетическом анализе даже таких простых систем, как бактериальные фотосинтетические РЦ, нельзя непосредственно связывать времена кинетических компонентов релаксации пигмента с константами скоростей переноса электрона на отдельных участках цепи.
Отметим, что выражение (III.5—12) соответствует полному установлению стационарного' состояния в системе. Однако при понижении температуры время установления стационара увеличивается и при проведении низкотемпературных экспериментов свет обычно выключают, когда система еще не достигла стационарного состояния. Поэтому соотношение быстрой и медленной фаз темновой релаксации пигмента зависит от времени освещения объекта.	1	.
Приведенные выше расчеты помогают экспериментаторам в расшифровке кинетических данных по регистраций редокс-превра-щений бактериохлорофилла в реакционных Центрах. Однако даже для этих сравнительно просто организованных объектов модель, оказывается неспособной объяснить некоторые экспериментальные факты. Для объяснения поведения системы при низких температурах приходится привлекать представления о конформационных изменениях, происходящих при освещении в белках реакционного центра.
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИРОДЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПЕРЕНОСЧИКОВ ЭЛЕКТРОНА В ХРОМАТОФОРАХ ФОТОСИНТЕЗИРУЮЩИХ БАКТЕРИЙ
В настоящее время установлено, что в ЭТЦ хроматофоров фотосинтезирующих бактерий имеются два комплекса переносчиков,., принимающих участие в переносе электрона. Один из них — комплекс фотореакционного центра (ФРЦ), перенос электрона в пределах которого был проанализирован выше. Второй — комплекс цитохромов Ь, с и железосерного ’ белка Риске, принимающий участие в циклическом электронном транспорте и трансмембранном переносе протона (см. рис. III.2). Перенос электрона с РЦ на этот комплекс происходит, по-видимому, при помощи подвижных молекул убихинона. При замыкании цикла донорной части цепи присутствуют компоненты цитохромной природы.
Мы проанализировали тип взаимодействия компонентов ЭТЦ бактериального фотосинтеза на донорном и акцепторном участках цепи (Ризниченко и др., 1978). Как было указано в § 1, обмен
211.
электронами между двумя соседними переносчиками в ЭТЦ может происходить двояким образом и соответственно описываться математически двумя различными способами. А именно переносчики могут образовывать структурный комплекс, когда редокс--состояние каждого компонента определяется совокупностью состояний всего комплекса в целом. Тогда для вероятностей состояний справедливы уравнения Колмогорова. Если же передача электрона происходит посредством подвижных переносчиков, процесс обмена электронами следует описывать согласно закону действующих масс. Системы уравнений, отвечающие этим двум способам описания, различны, различны также и свойства их решений. Сравнение характеристик альтернативных моделей с экспериментальными данными позволяет выбрать адекватный способ математического описания процессов электронного транспорта на •отдельных участках цепи и сделать вывод о природе взаимодействия компонентов на этих участках.
Рассмотрим общую схему путей переноса электронов в хрома-тофорах пурпурных фотосинтезирующих бактерий, справедливую для Ectothiorhodospira shaposhnikovii, Chromatium minutissimum, tC. vinosum и ряда других видов: '
К in	К2 ~ Ко	К] ~	Ktut
 р > I ___________ в; х * 02 х * (Схема Ш  13)
К in	К2	К9	К}	Кц	Kottf
Здесь С — компонент цитохромной природы, Р — фотоактив-иый пигмент, I — бактериофеофитин, Qi — первичный акцептор непорфириновой природы — железо-хинонный комплекс, Q2 — вторичный акцептор электронов хинонной природы. Не детализируя участок циклического транспорта, будем считать, что перенос электрона на этом участке происходит с константой скорости kc', >0 — световая константа, пропорциональная интенсивности действующего света; kin — константа скорости притока электронов в систему, пропорциональная концентрации экзогенного донора; ,fcout — константа скорости оттока электронов из системы.
Количественное сравнение характеристик модели с экспериментом проводили для хроматофоров Chromatium minutissimum. Для этого объекта величины констант k2, и k4 составляют соответственно: 3,5-105 с”1; (0,5—1) • 1010 с-1 и 104 с"1.
Чрезвычайно высокие скорости окисления пигмента Р870 (характерное время — 10 пс) и восстановления первичного хинонного акцептора Qi (характерное время — 200 пс), а также возможность протекания этих реакций при экспериментально низких температурах подтверждают, что ближайшие акцепторные компоненты I и Qi связаны с пигментом РЦ в единый комплекс:
Pz^.lz^.Q.3	(схема III. 14)
212
Донорная часть цепи. Перейдем к рассмотрению процесса взаимодействия пигмента РЦ с его непосредственным донором — цитохромом. Путем сравнения экспериментальных данных с характеристиками двух альтернативных моделей взаимодействия цитохрома и пигмента попытаемся установить, с каким из двух процессов: переносом электрона в комплексе или диффузионным переносом — мы имеем дело в случае изучаемых хроматофоров Chromatium minutissimum. Если лимитирующей стадией взаимодействия между цитохромом и пигментом является диффузия, для описания электронного транспорта на этом участке применимы уравнения химической кинетики, описывающие С—Р-взаимодей-ствие по бимолекулярному механизму.
Кроме того, известно, что в С. minutissimum, так же как и в других видах фотосинтезирующих бактерий, цитохром — многогемовый переносчик. Возникает вопрос, можно ли на основе этого обстоятельства* рассматривать С—Р-взаимодействие согласно закону действующих масс.
Запишем дифференциальное уравнение для скорости изменения концентрации восстановленной формы цитохрома С в предположении, что его взаимодействие с Р870 может быть описано по бимолекулярному механизму:
^ = kinC+-k2C-P++~k2P-C+.	(III.6 — 1)
at
Здесь С+, Р+, С~, Р~ — концентрации цитохрома С и пигмента Р870 в окисленной и восстановленной формах; ktn — константа, пропорциональная концентрации донора, реакцию притока электронов в систему считаем псевдомономолекулярной; fe2, £2 — константы скоростей переноса электрона на участке С—Р.
Для стационарных значений концентрации цитохрома С+ и пигмента Р+ в этом случае было бы справедливо соотношение
k£+ +~k2P~C+=^С~Р+ или
Р+ = £+kl ±	.	(III.6—2)
Выражение (III.6—1) означает, что при реальном соотношении констант (Й2<С^; ki<g.k2) увеличение интенсивности освещения не должно приводить к заметному окислению Р до тех пор, пока практически весь цитохромный фонд не будет окислен. На рис. II 1.16, б показаны теоретические световые кривые — зависимости стационарной окисленности переносчиков С+ и Р+ от значений световой константы ko, полученные в предположении, что процесс оксидоредукции цитохрома описывается уравнением (III.6—1). Видно, что световая кривая Р+ (ko) имеет S-образную форму. Однако экспериментальные световые кривые пигмента Р870 (рис. III.I6,а) носят иной характер, что свидетельствует о
213
Рис. III.16. Экспериментальные зависимости степени стационарной окисленио-сти цитохрома С и фотоактивного’ бактериохлорофилла Р870 от интенсивности действующего света в хроматофорах Chromatium т (а) (Ел =+320 мВ); б, в — теоретические кривые (зависимости стационарных значений переменных С+ от kn)
неправомерности предположения о «бимолекулярном» механизме С—Р-взаимодействия. По-видимому, несмотря на многогемовость цитохрома, более правильно рассматривать его в комплексе с компонентами реакционного центра, куда входят фотоактивный пигмент Р870 и его ближайшие акцепторы бактериофеофитин и железо-хинонный комплекс Qi:
(Схема Ш.15)
В общем случае возможны 16 различных состояний системы. Однако иерархия констант скоростей позволяет упростить схему состояний. Действительно, переходу электрона между компонент тами реакционного цейтра происходят с очень высокими скоростями, значительно превосходящими скорости переноса электрона на детальных, не входящих в состав РЦ, участках фотосинтетической цепи. В частности, константы kz^ 1010 с-1 и &2~3-106 с-1 много больше констант скоростей притока электронов в комплекс V и оттока из комплекса W. Световая константа k0 определяется частотой попадания квантов света на объект и при наибольших используемых в эксперименте интенсивностях постоянно дейст-: вующего света / = 105 эрг/см-2 • с--1 имеет величину порядка 102.
Большие различия в величинах констант скоростей
V, W
позволяют исключить из рассмотрения те состояния комплекса, которые практически не реализуются в системе, так как очень
214
быстро (с большой константой скорости) переходят в другие со- * стояния.
Окончательная схема состояний комплекса переносчиков, входящих в состав реакционного центра CPIQi, примет вид:
Для вероятностей состояний (1—9) Pl(i=\, ..., 9) можно записать систему дифференциальных уравнений, линейных относительно ре.
^.= -(y-+-W)P1 + Wp2-,
—(V + W + W) p2 + WP1 + Wp3 + fe0p4> dt
-%- = -(*9 + w + V) Pi + vP1 + Wp5 + Vp„ at
= _(V + w + fe0) p3 + Wp2 + k0p5, dt\
+ w + W + V) p. + Wp^Vp. + Wp. + Wp^ dt
+ Vpa + k0p3 + k0p2-,
(III.6—3)‘
= _(W + V) P6 + VP3 + VP3 + WP* + K0P8-,
215
_ (fe0 + v + W) p, + vPi + Wp„ at
-^-=-(k0+V + W + W)pB + Wp4 + Vp6 + Wp&, at
^=-{V + W)p9 + Vp' + WpB at
Для большого числа одинаковых .комплексов переносчиков вероятности pi(i—l,..., 9) равны доле комплексов, находящихся в i-том состоянии. Поэтому относительные концентрации отдельных компонентов комплекса С, Р, I, Qi в окисленной или восстановленной форме представляют собой сумму вероятностей тех состояний комплекса CPIQi, где этот компонент окислен или восстановлен. Так, относительные концентрации цитохрома С, пигмента Р в окисленной форме и первичного акцептора хинонной йрироды Q! в восстановленной форме могут быть записаны в виде:
= Pi + Ра + Рз + Рл + Pi + Ре.
^r^Pi + Ра + Рз,	(III.6—4>
"	~ = Ра + Рз + Ръ + Ре + Ра + Рз •
Здесь [С+], [Р+], [Qi~] — концентрации компонентов в соответствующих редокс-состояниях; [Со], [Л>], [Qio] — их общие концентрации.
Модельные световые кривые окисления цитохрома С и пигмента Р в результате описания реакционного центра как комплекса переносчиков' представлены на рис. III.16, в. Видно, что они хорошо согласуются с экспериментальными (см. рис. III.16,а).
-Акцепторная часть 'цепи. Для решения вопроса о характере взаимодействия комплекса CPIQt с вторичными акцепторами оказалось полезным привлечение экспериментальных данных по кинетике темновой релаксации цитохрома в зависимости от режима освещения. На рис. III.17, а приведена экспериментальная кривая зависимости времени темнового восстановления цитохрома от его первоначальной окисленности, определяемой интенсивностью предшествующего освещения. Видно, что с увеличением исходной окисленности цитохрома время его восстановления т./,геас(С+) сокращается.
Результаты модельного исследования показывают, что если интермедиат циклического транспорта находится в комплексе с компонентами реакционного центра и его взаимодействие с остальными переносчиками цепи описывается уравнениями типа (111.6— 216
Рис. III.17. Экспериментальная зависимость времени темнового восстановления цитохрома Ch в хроматофорах Chromatium m. от уровня его первоначальной окисленности (а); б — та же зависимость в модели, описывающей циклический транспорт внутри комплекса; в — в модели, где циклический транспорт описывается согласно закону действующих масс
3), то зависимость T7,redc(C+) носит обратный характер (рис. III.17,б).
Для устранения противоречия с экспериментом предположим, что замыкание цепи циклического транспорта происходит через переносчик Q2, обладающий значительной подвижностью. В этом случае для описания процесса циклического транспорта электрона справедливы уравнения действующих масс, и скорость изменения концентрации компонента Q2 в восстановленной форме можно записать в виде
(Q20-Qb)-kA (Q10- Qi)-feoutQ2-fecQ2 (Ca-C). (ill. 6-5)
Здесь C, Qi, Q2 — концентрации цитохрома, первичного и вторичного акцепторов в восстановленной форме,, Со-, Q10, Q20 — их общие концентрации; kt, kc — константы скорости взаимодействия компонентов Qi и Q2 и циклического переноса электронов соответственно; ko-at — константа оттока электронов из цепи первичных электрон-транспортных реакций (по-видимому, в цепь восстановления НАД). Мы считаем, что отток электронов из системы происходит в достаточно большой резервуар, поэтому полагаем эту стадию цсевдомономолекулярной.
Тот факт, что взаимодействие комплекса CPIQX с молекулами Q2 происходит согласно закону действующих масс, означает, что константы скоростей притока электронов в комплексе CPIQ\ и оттока из него V, 7, W, W зависят от концентрации молекул Q2-Учтем,. что источником электронов для комплекса CPlQt является прямой поток от внешнего донора, определяемый константой kin (псевдомономолекулярной константой, пропорциональной концентрации экзогенного донора), и циклический поток от вторичного
217
акцептора Q2, пропорциональный концентрации фотовосстановлен- • ных продуктов. Поэтому для величины V можно записать:
V = k1 + kcQ^	(III.6—6)
Величина W определяется числом электронных вакансий на уровне вторичных акцепторов Q2 и константой скорости k4 реакции Qi->Q2:
(III.6-7)
Для величин констант скоростей обратных реакций справедливы соотношения:
(III.6—8) 
Выражения (III.6—3) — (III.6—8) вместе с начальными условиями представляют собой полную математическую модель электронного транспорта в хроматофорах пурпурных несерных бакг терий. *
Исследование решений системы уравнений на ЭВМ показало, что в модели имеет место ускорение темновой релаксаций цитохрома С с увеличением его первоначальной окисленности (см, рис. III. 17) и замедление этого процесса с увеличением длительности’ предшествующего освещения, что согласуется с данными эксперимента.
Полученный результат свидетельствует о том, что вторичные акцепторы Q2 являются подвижными переносчиками и, возможно, обобществленными переносчиками для нескольких ЭТЦ. Этот вывод согласуется с представлениями о природе этих компонентов, роль которых могут выполнять молекулы убихинона в физиологических условиях или молекулы красителя (например, ДХФИФ, ФМС и др., используемые в качестве искусственных интермедиатов циклического транспорта). Эти вещества обладают значительной подвижностью в липидной среде, и их молекулы способны диффундировать в фотосинтетической мембране.
Принципы построения моделей переноса электрона в бактериальном фотосинтезе были использованы нами для моделирования электрон-транспортных реакций в целом ряде фотосинтезирующих объектов с целью решения вопроса о функциональной организации ЭТЦ этих объектов в различных условиях.
Существует много экспериментальных данных об изменении интенсивности фотосинтетических электрон-транспортных потоков в зависимости от условий эксперимента: температуры, освещения, наличия трансмембранного потенциала, окислительно-восстановительного потенциала среды. В модели это соответствует изменению констант скоростей переноса электрона на отдельных участках цепи.
218
В частности, для хроматофоров пурпурных бактерий Chroma-Hum minutissimum и RhodospiriUum rubrum был установлен факт увеличения констант скоростей циклического транспорта и выноса за пределы комплекса РЦ в акцепторной части цепи при понижении окислительно-восстановительного потенциала среды. Это свидетельствует о существовании в фотосинтетическом аппарате бактерий регуляторного механизма, обеспечивающего интенсификацию электронного транспорта в акцепторной части цепи и на участке циклического транспорта при увеличении концентрации экзогенного донора (понижении редокс-потенциала среды). Регуляция электронных потоков в акцепторной части цепи и на участке циклического транспорта может происходить путем электростатического влияния зарядов компонентов комплекс? реакционного центра и его ближайшего донорно-акцепторного окружения на величины констант скоростей переноса электрона на входе и выходе из комплекса. С ростом потока электронов от экзогенного донора растет общая восстановленность ЭТЦ, а также относительное число элементарных электрон-транспортных цепей, в которых отдельные переносчики находятся в восстановленной форме. Кулоновское влияние зарядов этих переносчиков вызывает значительное изменение констант скоростей туннельного переноса на регулируемых участках, что в свою очередь проявляется в изменении кинетических характеристик оксидоредукций фотоактивного пигмента, наблюдаемых в эксперименте.
В модели, учитывающей эти предположения, константа скорости переноса электрона на регулируемых участках предполагалась различной в зависимости от того, окислен или восстановлен сторонний переносчик. Расчеты, проведенные с использованием представлений о туннельном переносе (Чернавская, Чернав-ский, 1977), показали, что в случае слабого электрон-колебатель-ного взаимодействия электростатическое влияние зарядов компонентов комплекса способно обусловить изменение констант скоростей регулируемых реакций в нужных пределах.
§ 7. МОДЕЛИ ПРОДУКЦИОННОГО ПРОЦЕССА РАСТЕНИЙ
Агробиоценоз — это сложная система, функционирование которой представляет собой совокупность процессов биотического и абиотического характера. При выборе методов моделирования агробиоценоза и степени сложности модели определяющая роль должна отводиться цели моделирования. Обычно такой целью является выбор оптимальной стратегии проведения сельскохозяйственных мероприятий,: орошения, полива, внесения удобрений, наилучших сроков посева или посадки растений с целью получения максимальных урожаев.
Определение оптимальных стратегий управления процессом с применением методов теории управления возможно только при наличии математической модели, описывающей процессы, которыми
219
предполагается управлять. Поскольку агробиоценоз нуждается в оперативном управлении, для его описания следует использовать динамические модели, позволяющие вычислять значения характеристик процесса в любой момент времени от начала до конца вегетации.
Сложность агробиоценоза не позволяет подойти к описанию его функционирования как к единому процессу. Поэтому целесообразно представлять всю систему происходящих в агробИоцено-зе процессов в виде блочной иерархической структуры. Обычно проводится деление модели на биотический й абиотический блоки. Среди биотических процессов выделяют блоки: роста и развития посева сельскохозяйственных культур, функционирования почвенной микрофлоры, функционирования почвенной фауны, развития энтамофауны, развития болезней сельскохозяйственных культур, взаимодействия сельскохозяйственной культуры с сорняками и др.
Абиотические блоки включают в себя модели, описывающие ряд геофизических процессов, характеристики которых важны для функционирования биотических процессов: формирования теплового, водного режима почвы и приземных слоев воздуха, концентрации и передвижения биогенных и токсических солей, различных остатков распада пестицидов, ростовых веществ и метаболитов в почве, концентрации СОг в посеве и проч.
Блочная структура моделей дает большие преимущества для моделирования, позволяя изучать, изменять и детализировать одни блоки, не меняя других. Как правило, число параметров, которые входят внутрь блоков, существенно больше числа параметров, которыми блоки соединяются друг с другом.
Работы в области математического моделирования агробиоценозов ведутся по двум направлениям. Строятся модели отдельных блоков. В частности, детализируется описание фотосинтеза на уровне листа (Лайск, 1977). Синтезируются целостные динамические модели, способные прогнозировать изменение во времени ряда характерных параметров растений, начиная от всходов (иногда от момента посева) до завершения вегетации (созревания). В настоящее время модели второго типа строятся для конкретных культур в конкретных условиях выращивания и называются моделями формирования урожая. Подобные модели имеются для пшеницы, трав (люцерны), картофеля, кукурузы, хлопчатника (Бондаренко и др., 1982).
Модели продукционного процесса имеют балансовый характер, т. е. для каждого вещества производится расчет всех «притоков» и «оттоков» баланса. Например, при расчете водного режима (водный блок) учитываются выпадение осадков (или дождевание), перехват этих осадков надземными органами растений, возможное образование слоя свободной влаги на поверхности почвы, перемещение влаги в почве из одного слоя в другой, обмен с грунтовыми водами, поглощение воды корнями, транспирация и др. Таким же обрйзом в модели замыкаются циклы круговорота по углероду, азоту и другим элементам.
220
Важнейшим компонентом агробиоценоза является сельскохозяйственная культура. Процессы, протекающие в составляющих: посев растениях, во многом еще не изучены, и их формализация представляет собой достаточно сложную задачу. Для описания; последовательности процессов от первичной трансформации солнечной энергии до формирования хозяйственно полезных органов-удобно представить растение в виде совокупности следующих подсистем (Галямин, 1983).
1.	Подсистема поглощения, синтеза и выделения вещества и энергии. Эта подсистема осуществляет поглощение солнечной энергии, углекислого газа, биогенных минеральных элементов иг воды из почвы, а также выделение воды, кислорода и некоторых продуктов синтеза. В подсистему входят хлорофиллоносные ткани (листья, стебли, репродуктивные органы), снабженные аппаратом устьичной регуляции, а также корневая система растений- Поглощение — это первый этап в сложной цепи последующих превращений вещества, в результате которых образуется все множество содержащихся в растении органических соединений.
2.	Подсистема транспорта вещества. В результате деятельности этой подсистемы происходит распределение пластических веществ между 'различными морфологическими элементами растения с последующим переходом их в .конституционные вещества. Таким образом осуществляется рост растения, т. е. увеличение размеров и биомассы отдельных органов. Транспорт веществ осуществляется по проводящей системе растения, охватывающей все его элементы.
3.	Подсистема развития растения осуществляет последовательность .этапов органообразования (этапы органогенеза). При этом происходит изменение внутренних структур растительного организма. Процессы органообразования локализованы на конусе нарастания, а их последовательность соответствует последовательности считывания генетической информации и направлена на формирование репродуктивных органов.
Все подсистемы растительного организма находятся в состоянии материально-энергб-информационного обмена, интенсивность и качественные характеристики которого определяются как внешними условиями, так и индивидуальным развитием растения. Начинается моделирование с формализации совокупности процессов,, протекающих в системе. Как правило, переменными моделей служат биомассы органов растений и некоторые геометрические характеристики растительного покрова. К этому следует добавить параметры абиотических блоков.
В. большинстве моделей предполагается, что посев горизонтально однороден, а все «перетоки» вещества происходят лишь в вертикальном направлении. Поэтому рассчитывают вертикальные профили основных переменных, включенных в модель (например, профили влаги в почве и влажности приземного воздуха, профили температуры воздуха, листьев и почвы, профили биомассы корней и надземных органов растений и проч.).
221
Рис. III.18. Блок-схема продуктивности агроэкосистемы
На рис. III.18 изображена блок-схема модели продуктивности-агроэкосистемы, взятая из монографии Бондаренко и др. (1982). Из блоков, изображенных на рис. II 1.18, наиболее разработаны в настоящее время блоки, описывающие не собственно биологические, а скорее геофизические процессы: влаго- и теплообмен в почве, влаго- и теплоперенос в системе почва — растение — приземный воздух. Это связано в первую очередь с большей изученностью этих процессов и возможностью описывать их при помощи аппарата дифференциальных уравнений в частных производных, разработанного для подобных задач в гидро- и аэродинамике. При этом посев фактически рассматривается как неоднородная по вертикали пленка, покрывающая поверхность поля.
В современных математических моделях продукционного процесса блок «фотосинтез И'дыханре» разработан недостаточно подробно. Действительно, именно фотосинтез есть процесс, в резуль> тате которого осуществляется трансформация солнечной энергии в биологически доступную форму. Именно растение является той машиной, которая превращает при помощи этой энергии СОг и другие минеральные вещества в «урожай». Все остальные блоки играют вспомогательную роль, обслуживая главный блок — «фо,-тосинтез», выделенный нами на схеме.
В дальнейшем изложении мы будем касаться математического описания процессов, связанных с фотосинтезом, метаболизмом, ростом и развитием растения.
Общая модель прироста биомассы. Метод ростовых функций
Основу любой модели формирования урожая составляют два блока:
1) блок накопления или приростов биомассы, который описывает увеличение биомассы отдельных органов, и всего растения за счет ассимиляции углекислоты воздуха и за счет поступления элементов минерального питания из почвы;
2) блок перераспределения веществ по органам.
Рассмотрим вначале процесс накопления биомассы всего растения или, что удобнее, биомассы посева растений на единице площади поля. Будем при этом говорить о сухой биомассе (о количестве органического вещества в посеве), в которую не включается вода, содержащаяся ‘в растении, но химически не входящая в состав органического вещества. Это, естественно, условная величина, так как никакие биохимические процессы не могут протекать в отсутствие воды, однако содержание воды в растениях не бывает стабильным и не зависит однозначно от биомассы. Поэтому после вычисления сухой биомассы, составляющей урожай посева данной сельскохозяйственной культуры, его обычно приводят к весу, соответствующему стандартной влажности (например, для урожая зерновых культур стандартной является масса зерна, содержащая 14% влаги).
223;
Наряду с .процессом накопления биомассы в период вегетации * часть биомассы отмирает и отделяется от растения. Если вос-j пользоваться дискретной формой записи, сухая биомасса посева-в момент времени (т+Ат) на единице площади поля может быть записана в виде
М(т+Ат)=М(т)+Ар — АЙ,	(III.7—1)
тде М(т) — биомасса посева в предыдущий момент времени, .Ар, — вновь созданная биомасса за время Ат, Ай — биомасса •опада за время Ат.
Отметим, что дискретная форма записи общепринята в моделях продукционного процесса растений. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, данные экспериментов и наблюдений, используемые- при построении таких моделей, обычно относятся к определенным моментам времени, промежуток между ко-рыми обычно составляет не менее одних суток. Суточные колебания изучаемых характеристик растений могут быть значительными, однако исследование циркадных (суточных) изменений параметров растения представляет специальную задачу, их учет привел бы к чрезмерному усложнению модели формирования урожая. Поэтому удобно, когда и модель описывает значения переменных в дискретные моменты времени. Однако переход к непрерывной форме записи безусловно возможен и часто практикуется. Вторая причина частого использования дискретных моделей — невозможность аналитического исследования моделей столь сложных систем, как агробиоценозы, необходимость применения ЭВМ, для которых дискретное представление является естественным.
Прирост новой биомассы (Ар) в формуле (Ш.7—1) происходит за счет фотохимических процессов, протекающих в зеленых -органах растений, и сопровождается поглощением углекислоты из воздуха. Скорость фотосинтеза на единицу площади поля зависит от площади зеленых органов растений и условий внешней среды, в которых идет процесс, т. е.
Ац = /п(£(т), х9(т))Ат.	(III.7—2).
Здесь т — прирост сухой биомассы в единицу времени, L(r) площадь поверхности ассимиляционного аппарата (фотосинтезирующих органов) растений на_ единицу площади поля (листовой индекс) в момент времени т; х9(т) — вектор факторов внешней среды.
Опавшую биомассу Ай удобно выразить в виде произведения относительной скорости опада w на биомассу. <о представляет собой функцию времени, она зависит от возраста растений и условий внешней среды:
АЙ=<иМАт.	(Ш.7—3)
224
Учитывая выражения (III.7—2), (III.7—3), уравнение (Ш.7— 1) можно переписать в виде
М (т + Дт) —М (т) + [т (£(т), х9(т))—ш (т, (т))М (г)] Дт- (III.7—4)
Для решения этого уравнения необходимо зиать функцию <о, факторы внешней среды х?, а также площадь ассимиляционного аппарата L.
Изменение площади ассимиляционного аппарата определяется процессами образования нового ассимиляционного аппарата и отмирания части уже имеющегося:
Л(т+Дт)=Л(т)+ДЛ—ДО.	(Ш.7—5)
Здесь ДЛ — площадь вновь образовавшегося аппарата на единице площади поля за время Дт; ДО — прирост площади пожелтевшего ассимиляционного Аппарата, утратившего способность ассимилировать углекислоту, за время Дт.
Увеличение площади вновь созданного ассимиляционного аппарата пропорционально скорости образования биомассы:
ДЛ=рДр,=ртДт,	(Ш.7—6)
где Р=Р(т, х^(т)) — коэффициент образования ассимиляционного аппарата — является функцией времени и зависит от условий внешней среды.
Скорость пожелтения, может быть представлена в виде произведения коэффициента пропорциональности g — относительной скорости отмирания ассимиляционного аппарата — на площадь уже имеющегося аппарата к моменту т:
ДО = §ЛДт, g = g (т, (т)).	(III.7— 7)
С учетом (Ш.7—6) — (Ш.7—7) уравнение (Ш.7—5) может быть представлено в виде
Л(т + Дт) = L(t) + [Pm—gL (т)] Дт.	(III.7—8)
Система уравнений (III.7—4) — (Ш.7—8) дает возможность вычислить общую биомассу посева некоторых сельскохозяйственных культур в любой момент вегетации и конечный биологический урожай, если известно изменение во времени параметров продуктивности р, <о, g и имеется модель, пригодная для вычисления прироста биомассы т. Например, с помощью такой модели можно рассчитывать урожай кукурузы на силос, так как у кукурузы фотосинтезируют практически только листья, и, следовательно,, уравнение (Ш.7—8) описывает скорость увеличения площади листьев. У тех же растений, в создании биомассы которых участвуют и другие органы (например, у зерновых колосовых), уравнение типа (Ш.7—8) следует записывать отдельно для каждого фотосинтезирующего органа.
в Зак. 353
225
Целью выращивания сельскохозяйственной культуры обычно' является цакопление биомассы в одном из ее органов: зерне» корнеплодах и проч. Поэтому необходимо записать уравнение для изменения биомассы хозяйственно полезного органа, которое будет происходить за счет доли вновь образованных ассимилятов, а также за счет перетока заранее запасенных веществ из других органов:
М’(т + Дт) = Л1*(т) -г Др‘ + ДВ‘.	(III.7—9)
Здесь М* — биомасса хозяйственно полезного органа, Др.*— приток в него вновь созданных ассимилятов; ДВ* — приток ассимилятов, ранее запасенных в других органах; Др* пропорционально фотосинтезированной за время Дт биомассе в целом растении (Др):
Др* = а*Др, ’	(III.7—10)
где а* = Др*/Др — параметр продуктивности, характеризующий распределение вновь созданных ассимилятов по органам (ростовая функция). Онд определяет, какая доля прироста всего растения в данный момент времени выделяется на прирост репродуктивного органа. Такие функции могут быть введены для всех органов растения (Росс, 1975).
В случае, когда отсутствуют данные о параметрах продуктивности, характеризующих перетоки ранее запасенной биомассы bi, отмирание и, и опад со,, или эти процессы несущественны, но известны данные о параметрах распределения вновь созданной биомассы ai и а* и параметрах преобразования и отмирания ассимиляционного аппарата 0,- и gi, необходимость в отдельных уравнениях для живой биомассы отпадает, а уравнение для М*(т) становится таким, как для МДт). В этом случае будем иметь систему:
i
М, (т + Дт) = М( (т) + at £ mjt
i
L, (т + Дт) = 1 — gtLj (т) + ₽/ У mh i=i
"	(III.7—11>
<=1
Видно, что система (III.7—11) носит самый общий характер и основные трудности при моделировании заключаются в нахож-денйи явного вида входящих в нее функций.
Модели метаболизма растения
Модели, построенные на основе метода ростовых функций (Росс, 1975; Галямин, 1981), имеют тот недостаток, что в них трудно учесть приспособительную реакцию растения на иедоста-226
ток тех или иных субстратов биосинтеза. Например, при недостатке углеводов (лимитирование по свету) разрастается листовая поверхность, т. е. увеличивается фотосинтетический аппарат. При недостатке азотного питания, наоборот, разрастаются корни. Учитывающая потребности растения в сбалансированном питании концепция «двух потоков» — потока углеводов «сверху» и потока воды и минеральных элементов «снизу» — положена в основу модели блока метаболизма, роста и развития растения, разработанной в Ленинградском агрофизическом институте (Бондаренко и др., 1982; Пых, 1979).
Накопление биомассы растения происходит в результате сложных процессов биосинтеза, протекающих в отдельных клетках. Исходными субстратами для этих реакций служат углеводы и другие продукты фотосинтеза, а цакже минеральные элементы (N, Р, К, Са,....), поступающие из почвы в корневую систему растений и транспортируемые к местам биосинтеза. Конечные продукты биосинтеза — высокомолекулярные структурные углеводы (целлюлоза, лигнин и др.) и азотсодержащие соединения (белки). Энергию и органические субстраты, необходимые для включения. азота, доставляет углеродный обмен.
Схема метаболизма растения изображена на рис. III.19. В соответствии с этой схемой в модели надземная и корневая части растения разбиваются на ряд ярусов, каждый из которых служит как бы «биохимическим реактором». Объем реактора предполагается пропорциональным структурной биомассе яруса, т. е. сумме масс составляющих ярус белков и высокомолекулярных углеводов. В качестве исходного органического субстрата выступает глюкоза. Описываются поглощение и транспорт азота, биосинтез аминокислот, белков и высокомолекулярных углеводов, транспорт подвижных углеводов и аминокислот, распад белков, дыхание.
Пассивное поглощение азота растением описывается уравне- . нием
/#) = £<₽)«>. (Ns (i)—Nr),	(III.7-12)
где gw— проводимость корня, <о/ — поглощающая поверхность корней в i-том ярусе, Ns(i) и Nr — концентрация азота в i-том слое почвы в свободном межклеточном пространстве корня.
В случае недостатка азота "в корне начинается его поглощение из почвы и свободного межклеточногр пространства. Эти перетоки описываются соотношениями:
Д’-» Д"'1'* 	(Ш.7-13)
«2 “Г /V$(l1
I
Таким образом, скорость активного поглощения азота из почвы связана с его концентрацией у поверхности корня уравнением Михаэлиса-Ментен.
8*
227
J?
*
Углеводы
Блок внешних условий
Структурная диомасса
to
Опад
в почве
Вода в почве
t
' Углекислый газ в почве
лыи газ в
атмосфере


лый газ в растении
Угледоды
Аминокислоты
Минеральные вещества
Структурная диомасса
Минеральные вещества
Амино -кислоты
Рис. III.19. Схема метаболизма растений
Процесс образования аминокислот описывается^уравнением dAj  а0С(()^((); (III 7 __________________________________14)
где А — концентрация пула аминокислот в i-том ярусе.
Кинетика образования белков записывается в виде
dp(O =	j (	(ш 7_ 15)
Сомножитель sign(c(j)) включен в формулу (111.7—15) для описания функции лимитирования синтеза белков углеводами: если в данном ярусе нет углеводов, белки не образуются:
. .... (О при С=0,	,„Т -7	1С\
sing(c(i))=< н	(III.7 —16)
(1 при с > 0.
. Аналогично описывается скорость биосинтеза высокомолекулярных углеводов. При этом учитывается зависимость этих процессов от соотношения белков и углеводов. В случае, если PIVC выше оптимального, увеличивается скорость синтеза Vc:
dVe _ gpc(t)M(t) dt M(i)+gic(i)
В противном случае возрастает скорость синтеза белков. Коэффициенты ао, с0, go зависят от температуры органа T(i).
Процесс распада белков описывается линейным уравнением
J^L = kpP(i).
dt	’
f(PjVc).	(III.7 —17)
Перераспределение подвижных метаболитов (карбогидратов и аминокислот) описывается соотношениями:
N
N
ДА (0 = A (0—М (0 £ A (j) I М U), =1
(III.7 —18)
N	N
bc(i) = c(i)—M (0£ с(/)
В формулах (III.7—14) — (III.7—18) M(i) — биомасса отдельных групп органов, выделяемых в модели, W — число ярусов в растении.
Энергия, необходимая для процессов метаболизма и активного транспорта, в виде микроэргических связей АТФ образуется в процессах митохондриального дыхания и первичных процессах фотосинтеза. В рассматриваемой модели дыхание предполагается эквивалентным утилизации глюкозы. При этом учитываются затраты углеводов на обеспечение энергией процессов биосинтеза
229
аминокислот, белков, высокомолекулярных углеводов, а I также на транспорт органических и минеральных субстратов и поддер! жание градиента ионов и Метаболитов в растении:
-f- = -	+	+ {Т' + +1*т* + Z«M] •
Здесь /1, I2, 1з — коэффициенты, определяющие затраты глюкозы^ на биосинтез единицы массы соответствующего продукта; Ц, Is,-— количество глюкозы, необходимое для транспорта единицы массы аминокислот (Т/), углеводов (Тгс) и азота ТЛ; 16 — количество глюкозы, необходимое для поддержания градиентов единицы био7 массы.
В настоящее время не существует достаточно обоснованных5 моделей формирования архитектоники корневой и надземной ча>; сти посева. Поэтому при построении моделей отдельных культур; используют регрессионные уравнения, связывающие высоту растения, глубину проникновения и объемную плотность корней q общей биомассой растения -и отдельных его ярусов.
Для моделей метаболизма растения, включающих биосинтез органических соединений и перетоки веществ по ярусам подзем* ной и надземной части растения, внешними параметрами являются абиотические факторы, в частности температура, от которой су-, щественио зависит скорость процессов, и концентрация низкомолекулярных углеводов в каждом из ярусов.
Основные процессы, определяющие уровень концентрации углеводов, — фотосинтез и дыхание — изучены в настоящее время на молекулярном уровне. К кинетическому описанию биохи-, мнческих стадий фотосинтеза мы приступим в следующем параграфе. <
| 8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СО2 ГАЗООБМЕНА РАСТЕНИЯ
Накопление биомассы в растении происходит в первую очередь за счет фиксации СОг в процессе фотосинтеза. Многие простейшие модели продуктивности предполагают прирост биомассы прямо пропорциональным разности фотосинтеза и дыхания (Торнли, 1983) в соответствии с формулой
Д «7=0,68 (Р—R).
Здесь W — прирост сухого вещества на единице площади посева, Р ,— фотосинтез, R — темновое дыхание посева за сутки. Все величины в единицах (кг СН2О/м2 сут).
Зависимость фотосинтеза от интенсивности света описывают так называемой кривой фотосинтеза:
al+ Pm'
Здесь I — интенсивность поглощенной фотоактивной радиации. Эта величина существенно зависит от архитектоники посева и его
230
(/F)	---------
(Сэ)	ФГА
Гексозофосфат
3| АТР |—РуЧ> |(С5)
ФГА
ФГК
Жиры
Жирные кислоты Аминокислоты
Кардоновые кислоты
tt3)
Рис. II 1.20. Схема цикла Кальвина
густоты, а — начальная крутизна световой кривой, Рт — максимальная интенсивность фотосинтеза единицы площади листьев.
Цель любой селекционной работы — это выведение, таких растений, для которых а и Рт по возможности велики. Однако эти параметры световой кривой фотосинтеза определяются многими факторами, для расшифровки которых требуется детализация происходящих в листе процессов.
Мы рассматривали математические модели первичных процессов фотосинтеза, обеспечивающих за счет энергии поглощенного света образование макроэргических соединений (молекул АТФ и восстановленных пиридиннуклеотидов), необходимых для фиксации СО2 и дальнейшего его использования для синтеза органических соединений. Экспериментальная изученность этих процессов позволяет строить эффективные модели, учитывающие физические механизмы процессов поглощения света, электронного транспорта, образования трансмембранного потенциала и синтеза АТФ.
Темновые процессы фотосинтеза и газообмена СО2 представляют собой значительно более сложную систему, связанную с разветвленной последовательностью биохимических реакций и подчиняющуюся регуляции как со стороны внешней среды, так и со стороны самого растения. Большинство моделей этих процессов носит феноменологический характер и служит для установления количественной связи характеристик отдельных процессов. Однако некоторые модели, как мы увидим ниже, позволяют выя^ вить важные механизмы процессов, связанных с газообменом СО2 растений.
Интенсивность газообмена СО2 определяется несколькими процессами. В первую очередь это.процесс фотосинтетического свя-
231-
б NADPH 6 АТР
СЭ
?з <?3
Сз
С3. ФГК
<7\ Стадия \Ч карбоксилирования
С3
?5
сз
сз
С3 с3
,С7
?5
Сб
с*
?з
Сз
С5
« Триоза-ьз tpocipam >
Гексозофосфая^ триозофасфат
Триозофосфат Тетрозофосфат Пентозофоарат Триозофоофат гептозофосфат Ридулозо-5-фос-фат
рации
3
РуБФ <


сз ♦ t
Сахара Полисахариды
Жиры Жирные кислоты Аминокислоты кароокооые кислоты
Стадия синтеза продуктов
Рнс. II 1.21. Четыре стадии фиксации С02 при фотосинтезе
зывания углерода в пентозофосфатном цикле Кальвина и в некоторых, в основном тропических растениях, в дополнительном С4 цикле, способном связывать СО2 при низких его концентрациях. Схема цикла Кальвина изображена на рис. III.20. Процесс состоит. из четырех стадий, выделенных на рис. III.21.
1-я стадия карбоксилирования, на которой происходит присоединение СО2 к рибулозобифосфату (РИБФ), приводящая к образованию двух молекул фосфоглицериновой кислоты (ФГК). Реакция катализируется ферментом рнбулозобифосфат-карбоксилазой.
2-я стадия восстановления — превращения ФГК в трехуглеродный сахар (триозофосфат). В ФГК присоединяется фосфат молекулы АТР и восстановленная сила №АДРН используется для замены карбоксильной группы ФГК на альдегидную группу трио-зофосфата. На этой стадии происходит использование энергии, запасенной в первичных процессах фотосинтеза.
232
Рнс. 111,22. Схема образования различных вторичных продуктов фотосинтеза при разных условиях
3-я стадия регенерации 'РИБФ' для повторной фиксации СО2 в сложной последовательности реакций с участием фосфатов трех-, четырех-, пяти-, шести- и семиуглеродных сахаров.
4-я стадия синтеза продуктов. В первую очередь это сахара и углеводы. Однако в разных условиях освещенности, концентрации СО2, О2 могут образовываться также жиры, жирные кислоты, аминокислоты и органические кислоты. Схема, иллюстрирующая условия, благоприятные для образования тех или иных продуктов, изображена на рис. II 1.22. Вид образовавшихся продуктов безусловно сказывается йа дальнейшем метаболизме растения и в конечном счете,, на его продуктивности. Установлено, что фермент, с помощью которого молекула СО2 привязывается к акцептору, способен реагировать и с молекулами кислорода (хотя и с меньшей вероятностью), в результате чего рибулозодифосфат окисляется, образуется гликолевая кислота, в ходе дальнейшего метаболизма которой часть углерода выделяется в процессе фотодыхания.
Фотодыхание на свету может почти полностью заменить митохондриальное дыхание, при этом вследствие фотодыхания результативная интенсивность фотосинтеза снижается на одну треть.
В настоящее время в литературе имеются два подхода к построению моделей газообмена в посеве. В простых полуэмпири-ческих моделях интенсивность СО2 газообмена задается в виде
233
•зависимости фотосинтеза от фотосинтетически активной радиации (ФАР) и концентрации СО2 в межлистном пространстве. Они представляются обычно в виде так называемых световой и углекислотной кривых фотосинтеза.
При этом под дыханием подразумеваются все энергетические траты растения, в том числе использование первичных ассими-лятов в качестве окислителя в реакциях биологического синтёза (аминокислот, белков, высокомолекулярных углеводов, сложных клеточных органелл, клеток и органов растения в целом), а также в реализации активного транспорта подвижных соединений в растении. Биологический урожай определяется. как разность между интенсивностью фотосинтеза и интенсивностью суммарного дыхания.
• Скорость' распада ассимилятов в процессе дыхания задается в виде (Тооминг, 1977).:
R^aM + ЬФ,	(III.8—1)
где R — интенсивность дыхания, Ф — интенсивность фотосинтеза, М — текущая биомасса. При этом первое слагаемое называют дыханием поддержания структуры (maintenance respiration), а второе — дыханием роста (growth respiration).
В более сложных моделях, претендующих на более точное изображение протекающих в растении процессов, описание темнового дыхания не включается в блок фотосинтеза, а вводится естественным образом при описании энергетических процессов
Рис. III.23. Схема процессов газообмена в листе. Сплошные линии — потоки СО2, штриховые- — потоки водяного пара: 1 — клетки паренхимы, 2 — эпидермис, 3 — кутикула, 4 — хлоропласты
биосинтеза и транспорта подвижных метаболитов и минеральных веществ (Пых, 1979).,
Схема протекающих в листе процессов газообмена изображена на рис. III.23. Углекислый газ, диффундирует из окружающего пространства во внутренние полости листа (межклетник) через устьичные клетки и кутикулу. Кутикулярное сопротивление диффузии СОз относительно постоянно и превышает устьичное сопротивление. Однако устьичное сопротивление сильно меняется и в значительной степени определяет-интенсивность фотосинтеза в це-: лом, регулируя связь фотосинтеза с водным режимом растения. Устьичное сопротивление едини-v цы поверхности листа rst зависит' от водного потенциала растения, и концентрации СО2 в листе.-
234
При увеличении освещенности в условиях достаточного увлажнения устьица открываются, а в темноте уменьшают свою апертуру.
Следующий этап поглощения СОг — его переход в жидкую фазу. Схематически такой переход можно описать с помощью диффузионного сопротивления внутри клеток, так называемого сопротивления мезофилла.
Таким образом, интенсивность газообмена, отнесенная к единице площади фотосинтезирующих органов Фы, определяется соотношением
Ф№ (Ca—Ci)P^	(III.8—2)
где Са — концентрация СОг в межлистном пространстве, С, — концентрация СО2 в газовой фазе в межклетнике, Dq — суммарная проводимость прилистного слоя и устьиц. Сходные уравнения могут быть записаны для кислорода и водяного пара.
Концентрация СОг в жидкой фазе может быть записана на основе балансовых соотношений в предположении диффузионного ' переноса СОг к хлоропластам:
de-^- = Dq(Со-С£) -	+
, at	гт
(III.8-3)
de = S“C‘~C“ -Ко (р + Re)-Rd. at	rm
Здесь de — средняя толщина листа; С» — концентрация СО2 в жидкой фазе; Se —' растворимость СО2 в воде; гт — сопротивление мезофилла; Ко — коэффициент, учитывающий влияние этапов органогенеза; Р — интенсивность полного фотосинтеза; R, Re, Rd — интенсивность дыхания структурной биомассы, фотодыхания и темнового дыхания фотосинтезирующих органов.
Входящие в (III.9—3) величины скоростей фотосинтеза и фотодыхания определяются эффективностью работы циклов Кальвина и фотодыхания с общим ферментом — рибулозобифосфат-карбоксилазой-оксигеназой.
В настоящее время разработано несколько моделей для описания кинетики ферментативных реакции этих циклов (Лайск, 1977; Hall, 1979). Результаты моделирования позволяют установить количественную, связь скорости эффективной ассимиляции СОг, равной разности скоростей восстановления углекислоты при фотосинтезе и выделения углекислоты при фотодыхании, со скоростью восстановления NAflP и потоком электронов в фотосинтетической цепи. Отметим, что при фотодыхании при выделении одного моля О2 выделяется 0,5 моля СОг- Упрощенная схема сопряжения циклов фотодыхания и фотосинтеза представлена на рис. III.24.
В каждом акте карбоксилирования производятся 2 молекулы ФГА, которые сначала фосфорилируются, а затем восстанавливаются, причем расходуется одна молекула АТФ и одна молекула
235
СОг „
RubP Карбоксилаза-. оксигеназа
PGA -
Цикл фотодыхания
Ог
Цикл Кальвина
С02
-----V-------
карвогидраты
Фотосинтез
Кванты света
Рис. Ш.24. Упрощенная схема сопряжения циклов фотосинтеза и фотодыхания
КАДР. В каждом акте окисления производятся одна молекула ФГА и одна — фосфоглюколата, что приводит к образованию 0,5 молекулы ФГА. Таким образом, скорость образования ФГА составляет
2Ус+1,5Уо.
1
Здесь Vc — скорость ассимиляции СО2, Уо — скорость фотодыхания или в единицах СО2: 2P + 3Re, где Р — скорость фотосинте-, за, Re — скорость фотодыхания.
В работе (Hall, 1979) для концентраций  компонентов, изображенных на рис. II 1.24, записываются следующие соотношения:
2Р + 3R = k [ФГА] [К'АДРН],
Яв=[НАДРН] + [ЫАДР],	(III.8—4)
Ло = [РИБФ] + [ФГА], Рх= O,5k-Ao-No.
No, Ao — пулы 1ЧАДР и фосфатов в молярных концентрациях, Рх — максимально возможная скорость восстановления ФГА.
Скорость потребления 1ЧАДР равна сумме скоростей образования ФГА и фиксации NH4+: (2УС+1,5Vo) +0,5Уо или, в единицах CO2:2P + 4R. Предполагается, что имеется насыщающий по свету уровень скорости восстановления 1ЧАДР в первичных процессах, величина которого зависит от температуры Рч:
2Р + 4R = 2”1УАДР] P<fi	(III.8— 5)
N^ + aQ)
где а — квантовый выход, Q — поток поглощенных квантов. 236
Обозначим соотношение скоростей фотодыхания и фотосинтеза через Ф—RdP и введем параметр р= ^аРчО-
Pq + «Q
Из уравнений (III.8—4,5) получим
1РИБФ1 = ^[РР(2 + ЗФ)+2РХ(2 + 4Ф)]-2РХР	_6)
1 J	2РХ(Р(2 + 4Ф)—Р)	. v .	/
В дальнейшем рассматривается упрощенная схема:
k	Д [ЕРИЬРС]-^2ФГА
[РИБФ] + Е [ЕРИБФ]1
*'	[ЕРШРО|->ФГА + ФГлу
k.
Запись системы уравнений стационарной кинетики для этой схемы и исключение из этих уравнений неизвестной концентрации РИБФ в соответствии с формулой (И 1.8—6) позволяет получить выражение для общей скорости фиксации углерода:
А=(1 — ф)[&«— (b2—4ас)°-5]2а — Rd,	(III.8—7)
где коэффициенты выражаются через параметры системы. С учетом иерархии констант скоростей реакций они могут быть записаны в виде:
а [2РХ(2 + 4Ф) + р(2 + ЗФ)] (С + 0+1),
Ь = 2Ржр (С + О + 1) + РтС (2РХ (2 + 4Ф) + р (2 + ЗФ)), с=РтС-2Ржр.
Здесь С, О — концентрации СО2 и кислорода, Рт — максимальная скорость карбоксилирования единицы поверхности листа.
Описанная модель была проверена для экспериментальных данных по поглощению СО2 Atriplex patula. Для этого вида значения параметров при температуре 28° С составляют:
а=0,085М Эйнштейн-1,
Рт = 80 рМ-2-с-1,
Ра= 68 рМ-2-с-1,
Рж=300 рМ-2-с-1,
Rd = 1,3 рМ-г-с-1.
В рассмотренной нами модели не учитываются процессы, связанные с обеспечением цикла Кальвина энергией АТФ. Потребность циклов Кальвина и фотодыхания в молекулах АТФ составляет (3+3,5 Ф) Ус, где Ус — скорость карбоксилирования, Ф= ==Уо/Ус, в то время как скорость потребления NAfl®H составляет (4+4Ф) Ус. За счет каких процессов — нециклического и цик
237
лического фосфорилирования в первичных процессах фотосинтеза или митохондриального дыхания — удовлетворяются потребности темновых стадий фотосинтеза в АТФ, по-видимому, зависит от внешних и внутренних условий протекания процессов.
Подчеркнем еще раз, что теоретическое изучение и соответственно математическое моделирование фотосинтеза на уровне листа и целого растения находятся в начальной стадии. В особенности это касается мест сопряжения отдельных стадий процесса: «световых» и «темновых» реакций фотосинтеза, биохимических циклов дыхания и фотосинтеза и их связи с биосинтезом белков и высокомолекулярных соединений, транспорта ассимилятов и проч. В этом направлении предстоит большая работа.
Современные математические модели продукционного процесса растений представляют собой совокупность нескольких десятков, а иногда сотен нелинейных дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных. Численная реализация таких задач требует разработки специального математического и программного обеспечения.
Возможности современной вычислительной техники позволяют интегрировать в. одну большую модель все имеющиеся субмодели отдельных процессов в растении и решать на такой большой модели задачи оптимального управления продукционным процессом. Основная принципиальная задача, стоящая в настоящее время перед исследователями, — построение адекватных субмоделей отдельных процессов и разработка адекватного описания связей между субсистемами продукционного процесса в посеве растений.
ЛИТЕРАТУРА
Бондаренко Н. Ф., Жуковский* Е. Е., Мушкин И. Г. и др. Моделирование продуктивности агроэкосистем. — Л., 1982.
Венедиктор П. С., Кононенко А. А., Рубии А. Б., Шинкарев В. П. Кинетическая модель функционирования фотосинтетического реакционного центра, учитывающая его конформационные состояния // Молек. биол. — 1980, —Т. 14, № 3. — С. 624—63'1.
Воробьева Т. Н., Кренделе.ва Т. Е., Ризниченко Г. Ю. и др. Функциональная роль пластоцианина в электронном транспорте фрагментов фотосистемы I высших растений. Математическая модель и физические представления//Мол. бнол.— 1983. — Т. 17, № L — С. 82—92.
Галямин Е. П. Оптимизация оперативного распределения водных ресурсов в орошении. — Л., 1981.
Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая статистика,— Киев, 1979.
Кондратьева Е. Н. Фотосинтетические бактерии и бактериальный фотосинтез. — М., 1972.
Кукушкин А. К., Тихонов А. Н., Блюменфельд Л. А., Ру-уге Э. Г. Исследование кинетических характеристик первичных процессов фотосинтеза высших растений // Теоретическая и экспериментальная биофизика: Межвуз. сб. — Калининград, 1973. — Вып. IV.
Лайск А. Кинетика фотосинтеза и фотодыхания Сз растений. — М., 1977.
Клейтон Р. Фотосинтез. Физические механизмы и химические модели. — М„ 1.984.
238
Н и ч и п о р о в и ч А. А. Некоторые принципы комплексное оптимизации^ фотосинтетической деятельности и продуктивности растений // Важнейшие проблемы фотосинтеза в растениеводстве. — М., 1970. — С. 6—22.
Пытьева Н. Ф., Р у б и н А. Б. Математическое моделирование процессов электронного транспорта при фотосинтезе бактерий // Молек. биол. — 1973. — Т. 35, Xs 3. — С. 165.
Пых Ю. А. Подмодель фотосинтеза и фотодыхания Сз растеиий//Теоре-тнческие основы и количественные методы программирования урожаев // Тр. по агроном, физике. — Л., 1979. — С. 39—45.
Ризиич е и к о Г. Ю., Воробьева Т. Н. Физические механизмы кинетической регуляции электронного транспорта в фотосистеме I высших растений.//Математическая биофизика. — Красноярск, 1985.
Росс Ю. К. Радиационный режим и архитектоника растительного покрова.— Л., 1975.
Рубни А. Б., П ы т ь е в а Н. Ф., Р и з н н ч е н к,о Г. Ю. Кинетика био-  логических процессов. — М., 1977.
Рубин А. Б., Шинкарев, В. П. Транспорт электронов в биологических системах. — М., 1984.
Рубин А. Б., Шинкарев В. П., Ризииченко Г. Ю. Математические модели фотосинтетического электроииого транспорта // Математическая биофизика.— Красноярск, 1985*
Сорокин Е. М. Нециклический транспорт электронов и связанные с ним вопросы//Физиология растений.— 1972. — Т. 20, вып. 4. — С. 733.
Тоомйиг X. Г. Солнечная радиация и формирование урожая. — Л., 1977.
Чанс Б. Перенос электронов в биологических системах // Электроника к кибернетика в биологии и медицине. — М., 1963* — С. 24—71,
Чериавская Н. М., Черна вский Д. С. Туннельный транспорт электронов в фотосинтезе. — М„ 1977.
Ш а й т а и К. В., Рубин А. Б. Сопряжение электронного и ионного, транспорта с конформационной подвижностью белков // Молек. биол. — 1982. — Т. 16, № 5, —С. 1004—1018.
Шинкарев В. П., Р у б н н А. Б. Кинетика и термодинамика электрон-, транспортных реакций в биологических системах. Перенос электронов в фотосинтетических реакционных центрах//Биол. науки. — 1981.—№ 8. — С. 5—19.
Холл Д., Р а о К. Фотосинтез. — М., 1983).
Hall А. Е. A model of leaf photosynthesis and respiration for predicting, carbon dioxide assimilation in different environments. — Oecologia. — 1979. — Vol. 143. — P. 299—316.
ТЛАВА IV
КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОЛОГИИ
•$ 1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
В настоящее время особенно остро встала проблема изучения •основных закономерностей распределения и воспроизводства органического вещества как в отдельных растительных и животных сообществах, так и в масштабе всей планеты. Конечная цель изучения искусственных и природных экосистем — это наиболее рациональное их использование для нужд человека, которое подразумевает оптимальное управление экосистемами. Решение задачи оптимального управления невозможно без построения математической моделй объекта управления, так как метод «проб и ошибок» по отношению к природным экосистемам явно неприменим в силу их уникальности и недопустимости риска вызвать в ни/ необратимые изменения. Если модель достаточно точно имитирует .действительность, она -представляет неограниченные возможности для экспериментирования, в нее можно вводить новые факторы и возмущения, с тем чтобы выяснить их влияние на систему.
С математическими понятиями, лежащими в основе методов •оптимального управления системами, читатель может познакомиться по книгам Р. Веллмана и Р. Колабы (1969), Заславского (1977), Моисеева (1975). Вопросам выработки стратегий оптимального управления экологическими объектами уделено большое место в работах К. Уатта (1971), Ю. М. Свирежева и Е. Я- Елизарова (1972), Ю. М. Свирежева (1975), В. В. Меншуткина (1971), Холлинга (1981).
К необходимости построения математических моделей популяций, сообществ и экосистем можно подойти не только с позиций -оптимального управления, но и исходя из требований количественного описания связей н функционирования этих сложных систем, далеко не во всех деталях доступных непосредственному 'наблюдению.
Процессы энерго- и массообмена в биогеоценозах протекают с участием различных растительных и животных организмов под влиянием факторов окружающей их среды, элементы которой непосредственно вовлекаются в превращения биомассы звеньев экологических систем. Каждая популяция, поскольку она существует на ограниченной территории и использует для своего существования ограниченное количество вещества, входит в некоторое сообщество окружающих ее популяций животных и растений, образующих определенную структуру пищевых (трофических) связей и метаболизма. Вместе с используемым неживым веществом такое
•<ш
сообщество и составляет биогеоценоз. По определению Сукачева (1972), биогеоценоз — участок земной поверхности, где на известном протяжении биоценоз (фитоценоз, зооценоз, микроценоз) и отвечающие ему части атмосферы, гидросферы, почвы остаются однородными, тесно связанными между собой также однородными взаимодействиями, и поэтому в совокупности образующие единый, внутренне взаимообусловленный комплекс.
При исследовании сложных биогеоценозов (экологических систем) плодотворными оказались методы общесистемного подхода. Один из них — выделение из экологической системы взаимодействующих составных структурных элементов, таких, как принадлежащие разным трофическим уровням виды или возрастные и половые внутривидовые группы. Другой важный элемент системного подхода — установление характера процессов, в которых участвует каждый элемент (процессы размножения и роста, взаимодействия между элементами типа конкуренции, хищничества ит. д.).К экологическим системам оказалсятакжеприменим, принцип изоморфизма, позволяющий описывать сходными математическими уравнениями системы, разные по своей природе, но одинаковые по структуре и типу взаимодействия между элементами, их составляющими. В данном случае имеется большое сходство систем уравнений химической кинетики и межпопуляционной динамики.
Само возникновение математической экологии послужило толчком для развития общесистемных исследований. По словам одного из основателей общей теории систем Л. Берталанфи (1969), работы Вольтерра, Лоткц, Гаузе и других по динамике популяций принадлежат к классическим трудам общей теории систем.
В последние десятилетия системный анализ в виде построения математических моделей и постановки требуемых моделью критических экспериментов существенно используется при планировании государственных значимых мероприятий (Горстко и др., 1984).
Построение математической модели требует знания некоторого набора параметров системы, которые могут быть определены только из наблюдения или эксперимента. При работе с моделью необходима систематизация, а зачастую и применение новых методик наблюдений и экспериментов с целью установления факторов и взаимосвязей, значение которых может выявить слабые места гипотез и допущений, положенных в основу модели. Весь процесс моделирования, от построения модели до проверки предсказанных с ее помощью явлений и внедрения полученных результатов в практику, должен быть связан с тщательно отработанной стратегией исследования и строгой проверкой используемых в анализе данных. Это положение, справедливое для математического моделирования вообще, особенно важно для такой сложной науки, как экология, имеющей дело с разнообразными взаимодействиями между огромным множеством организмов. Почти все эти взаимодействия динамические в том смысле, что они зависят от времени и постоянно изменяются, причем, как
9 Зак. 353	241
правило, включают в себя положительные и отрицательные обратные связи. Сложность экосистем усугубляется изменчивостью самих живых организмов, которая может проявляться и при взаимодействии организмов друг с другом (например, в процессе конкуренции или хищничества), и в реакции организмов на условия окружающей среды. Эта реакция может выражаться в изменении скорости роста, воспроизведения и в различной способности к выживанию в сильно различающихся условиях. К этому добавляются происходящие независимо изменения таких факторов среды, как климат и характер местообитания. Поэтому исследование и регулирование экологических процессов и экологических систем представляют собой исключительно трудную задачу. Важным фактором, осложняющим исследование, является длительность экологических процессов. Например, исследования в области земледелия и садоводства связаны с определением урожайности, а урожай собирают раз в год, так что один цикл эксперимента занимает год и более. Чтобы найти оптимальное количество удобрений и провести другие возможные мероприятия по окультуриванию, может понадобиться несколько лет, особенно когда необходимо рассматривать взаимосвязь между экспериментальными результатами и погодой. В лесоводстве из-за длительности круговорота урожаев древесины самый непродолжительный эксперимент занимает 25 лет, а долговременные ' эксперименты могут длиться от 40 до 120 лет. Аналогичные масштабы времени необходимы и для проведения исследований по управлению природными ресурсами. Математические модели, позволяющие быстро проигрывать различные варианты воздействия на систему, оказывают ’здесь .неоценимую помощь.
Для описания динамики численности видов в- сложных экосистемах и решения вопросов оптимального управления природными и искусственными сообществами требуется применение ЭВМ, особенно когда речь идет о количественном соответствии модели и реальности. Однако в основе строгого математического описания экосистем лежат некие элементарные модели, описывающие «элементарные» взаимодействия в экосистеме и поддающиеся качественному анализу. Методы качественного исследования позволяют определить такие важные характеристики моделей экоси-систем, как их устойчивость и наличие колебаний численности видов.
С проблемой устойчивости экосистем- приходится все чаще сталкиваться при решении вопросов эксплуатации природных популяций и сообществ, оценке пределов загрязнения среды, учете последствий, осуществления тех или иных природохозяйственных мероприятий. При этом количественные оценки устойчивости или «стабильности» экосистем могут быть получены лишь путем построения математических моделей и формализации самого термина «устойчивость». Действительно, интуитивно ясно, что биогеоценоз, экосистема, биологическое общество, существующие в более или менее неизменном виде достаточное время, обладают некото-242
рой внутренней способностью противостоять возмущающим факторам, которые влияют на иее со стороны внешней среды (среди них и антропогенный фактор). При этом устойчивой обычно считается система, неизменная на разных уровнях. Предполагается неизменным во времени географический регион, или ландшафт, включающий изучаемую систему и определяющий условия обитания растений и животных. Основнцми процессами, определяющими динамику региона, будут не изменения численности населяющих его отдельных видов, а глобальные биогеохимические циклы. В устойчивой системе предполагается сохранение числа видов в данном биологическом сообществе. Считают также, что сообщество стабильно устойчиво, если численности составляющих ее популяций не испытывают резких отклонений от некоторых средних значений. Это определение близко к термодинамическому понятию устойчивости такой системы, в которой малы вероятности больших флуктуаций, способных вывести систему далеко от равновесного состояния или даже разрушить ее.
При математическом моделировании экосистем можно считать, что сообщество, или экосистема, устойчиво, если траектория его модели в фазовом пространстве не будет выходить за пределы заданной ограниченной области при некоторых возмущениях достаточно широкого спектра. Анализ устойчивости модели позволяет формулировать различные гипотезы о закономерностях функционирования моделируемого объекта, наличие или отсутствие которых в реальности дает основание судить об адекватности модели.
Обычно при математическом моделировании биогеоценоза задача состоит в том, чтобы получить обоснованный прогноз кинетики ценоза, зная его состав и соотношение его компонентов. При этом делаются различные исходные предположения и преследуются соответствующие цели при изучении моделей, которые один из пионеров математической экологии А. А. Ляпунов (1972) сформировал следующим образом:
А. Биологические характеристики компонентов считаются неизменными, так же как и взаимоотношения между ними. Ценоз считается однородным в пространстве. Изучаются изменения во времени численности (биомассы) компонентов ценоза.
Б. При сохранении гипотезы однородности ценоза вводится предположение о закономерном изменении системы отношений между компонентами. Это может соответствовать либо закономерному изменению внешних условий (например, сезонному), либо заданному характеру эволюции форм, образующих этот ценоз. При этом по-прежнему изучается кинетика численности компонентов.
Аппаратом для изучения этих двух классов задач служат системы обыкновенных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений с постоянными (А) и переменными (Б) коэффициентами.
В. Объекты, составляющие ценоз, считаются разнородными по своим свойствам и подверженными действию отбора. Предполага-
9*
243
ется, что эволюция форм определяется условиями существования ценоза. В этих условиях изучается, с одной стороны, кинетика численности компонентов, с другой — дрейф характеристик популяций, образующих данный ценоз. При решении таких задач существенно используется аппарат теории вероятностей. К этой группе относятся многие задачи популяционной генетики.
Г. Наконец, возможен отказ от территориальной однородности ценоза и учет зависимости усредненных концентраций от координат. Здесь возникают вопросы, связанные с пространственным перераспределением составляющих ценоза, как живых, так и косных. Например, численность (биомасса) видов может меняться с изменением глубины водоема. Для описания таких систем необходимо привлечение аппарата дифференциальных уравнений в частных производных.
Использование математики для описания динамики как отдельных популяций, так и сообществ взаимодействующих видов уходит своими корнями в глуби веков. Первая, дошедшая до нас математическая модель динамики популяции приводится в опубликованном в 1202 г. «Трактате о счете» Леонардо из Пизы, известного по прозвищу Фибоначчи (сын Боначчи). В этой книге, содержащей все арифметические и алгебраические сведения того времени, рассматривается задача о том, сколько пар кроликов рождается в один год от одной пары, если через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рожают кролики со второго месяца после своего рождения. Решением задачи является ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377. Два первых числа соответствуют началу размножения, 12 последующих — месячному приросту поголовья кроликов. Каждый последующий член ряда равен сумме двух предыдущих. Этот ряд вошел в историю под именем ряда Фибоначчи, а его члены — чисел Фибоначчи. Это была первая дошедшая до нас модель биологического процесса.
Модель. Фибоначчи — дискретная. Дальнейшее развитие динамических моделей в экологии связано с непрерывным описанием переменных. Лишь в самые последние годы в связи с прогрессом; вычислительной техники получили развитие «игры дискретных автоматов», имитирующие дискретные процессы размножения и гибели, происходящие в природе.
Первая «непрерывная» модель динамики роста популяции принадлежит Т. Мальтусу (1798). К настоящему времени существует много самых различных как детерминистических, так и стохастических популяционных моделей, некоторые из них мы рассмотрим в следующем параграфе. В начале XX в. появились первые модели взаимодействия видов, например модель А. Лотки (1925), приведенная им в книге «Элементы физической биологии».
Однако основателем современной математической экологии по. справедливости считается итальянский математик Вито Вольтер-ра, разработавший математическую теорию биологических сообществ, аппаратом которой служили системы дифференциальных и 244.
интегро-дифференциальных уравнений (Volterra, 1931)., Русскйй перевод книги В. Вольтерра «Математическая теория борьбы за существование» вышел в 1976 г. Развитие как экспериментальной, так и .теоретической экологин за полвека, прошедшее с момента выхода в свет книги В. Вольтерра, подтвердило глубину и правильность его идей.
Системы, изученные Вольтерра, состоят из нескольких видов. 'В отдельных случаях рассматривается также запас пищи, который используют некоторые из видов. О компонентах системы формулируются следующие допущения.
1.	Пища либо имеется в неограниченном количестве, либо ее' поступление с течением времени жестко регламентировано.
2.	Особи каждого вида отминают так, что в единицу времени погибает постоянная доля существующих особей.
3.	Хищные виды поедают жертвы, причем в единицу времени количество съеденных жертв всегда пропорционально вероятно; стн встречи особей этих двух видов, т. е. произведению количества хищников на количество жертв.
4.	Если имеется пища в ограниченном количестве и несколько видов, которые способны ее потреблять, то доля пищи, потребляемая каждым видом в единицу времени, пропорциональна количеству особей этого вида, взятому с некоторым коэффициентом, зависящим от вида (модели межвидовой конкуренции).
5.	Если вид питается пищей, имеющейся в неограниченном количестве, прирост численности вида за единицу времени пропорционален численности вида.
6.	Если вид питается пищей, имеющейся в ограниченном количестве, то его размножение регулируется скоростью потребления пищи, т. е. за единицу времени прирост пропорционален количеству съеденной пищи.
Перечисленные гипотезы позволяют описывать сложные биоценозы при помощи систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в правых частях которых имеются суммы линейных и билинейных членов. Такими уравнениями описываются и системы химических реакций.
Действительно, согласно гипотезам Вольтерра, скорость процесса естественного отмирания каждого вида пропорциональна численности вида. В химической кинетике это соответствует мо-номолекулярной реакции распада некоторого вещества, а в математической модели — отрицательным линейным членам в правых частях уравнений. Согласно представлениям химической кинетики скорость бимолекулярной реакции взаимодействия двух веществ пропорциональна вероятности столкновения молекул этих веществ, т. е. произведению их концентрации. Точно так же, согласно гипотезам Вольтерра, скорость размножения хищника (гибели жертв) пропорциональна вероятности встреч особей хищника и жертвы, т. е. произведению их численностей. И в том и в другом случае в модельной системе появляются билинейные члены в правых частях соответствующих уравнений. Наконец, ли
245
нейные положительные члены в правых частях уравнений Вольтерра, отвечающие росту популяций в неограниченных условиях, соответствуют автокаталитическим членам химических реакций. Такое сходство уравнений в химических и экологических моделях позволяет применить для математического моделирования кинетики популяции те же методы исследований, что и для систем химических реакций. В § 5 мы покажем, что вольтерровские уравнения можно получить не только из локального «принципа встреч», ведущего свое происхождение из статистической физики, но и исходя из баланса масс каждого из компонентов ценоза и энергетических потоков между этими компонентами.
Уравнения Вольтерра послужили отправной точкой для создания большинства динамических моделей в экологии вплоть до сегодняшнего дня. Вольтерра изучал сосуществование видов и при более широких гипотезах, в частности при изменении внешних условий и с учетом явления последействия, учет которого приводит к интегро-дифференциальным уравнениям. В дальнейшем мы рассмотрим различные модификации математической экологии и на их базе проблемы, связанные с устойчивостью сообществ, состоящих из различного числа видов, теорию лимитирующих факторов в применении к экологическим системам, а также кратко остановимся на описании «больших имитационных моделей», Исследование которых возможно лишь с помощью мощных современных ЭВМ.
Задачи пространственной организации экологических систем представляют особый интерес. До последнего времени предполагали, что пространственная неоднородность распространения видов связана в основном с ландшафтно-климатическими факторами. В последние годы в результате достижений неравновесной термодинамики и других естественных наук, в которых бурно развивается теория самоорганизации пространственных и временных неоднородных структур, все более глубоко осознается тот факт, что сама пространственная структурированность экологических систем может быть обусловлена не исходно существующей пространственной неоднородностью, а спецификой локальных взаи-. модействий, составляющих экосистему популяций между собой и с косными компонентами среды. Возникающие и активно поддерживающиеся таким образом пространственные структуры называют экологическими диссипативными структурами.
Экологические системы заведомо являются энергетически проточными, т. е. далекими от равновесия системами. Кроме того, колебательные режимы в экологических системах давно известны как в лабораторных исследованиях, так и из полевых наблюдений и неплохо исследованы теоретически. В настоящее время активно решаются проблемы связи между колебательными режимами в локальных (точечных) системах и экологическими диссипативными структурами в распределенных системах (Базыкин, 1985; Домбровский, Маркман, 1983).
246
$ 2. МОДЕЛИ ОТДЕЛЬНОЙ ПОПУЛЯЦИИ
Рассмотрим поведение отдельно взятой популяции, не учитывая связи этой популяции с другими видами, будь то хищники, питающиеся особями данной популяции, или виды, находящиеся с ней на одном трофическом уровне и конкурирующие за одну и ту же пищу. Динамику видов, стоящих ниже данной популяции по трофической лестнице, не будем здесь учитывать, считая, что такие виды представляют собой некий однородный пищевой резервуар, неограниченный или ограниченный в зависимости от условий задачи. Такое абстрактное рассмотрение позволит установить некоторые основные принципы построения моделей популяции, которые в дальнейшем будут использованы при моделировании поведения более сложных объектов — биоценозов и биогеоценозов, состоящих из нескольких популяций, находящихся на различных трофических уровнях.
Итак, рассмотрим простейшие модели популяций, основанные на гипотезах Вольтерра. Самая простая из них модель роста однородной популяции в условиях неограниченных ресурсов питания и пространства обитания (модель Мальтуса, Maltus, 1798). Предполагается, что размножение популяции не носит сезонного характера. Динамика численности (биомассы) такой популяции описывается дифференциальным уравнением
-^- = ех,	(IV.2—1)
где е — специфическая (врожденная) скорость естественного увеличения популяции. Вывод уравнения (IV.2—2) и его решение приведены в § 1 гл. I. Решение есть функция:
x(0-x(/o)ee<'-w,	(IV.2—2)
график которой изображен на рис. IV.l.a. На рис. IV.1,6 представлена зависимость скорости роста популяции от ее численности. Это — прямая, угол наклона которой к оси ординат определяется коэффициентом скорости роста популяции е.
Из формулы (IV.2—2) следует, что со временем численность популяции растет неограниченно по экспоненциальному закону. В соответствии с этим законом изолированная популяция развивалась бы в условиях неограниченных ресурсов. В природе такие условия встречаются крайне редко. Примером может служить размножение видов, завезенных человеком в места, где имеется много пищи и отсутствуют конкурирующие виды и хищники (кролики в Австралии). Вместе с тем уравнение (IV.2—1) достаточно точно описывает динамику искусственно созданной и поддерживаемой в условиях избытка пищи и места популяции простейших организмов, например пенициллиновых грибков, выращиваемых в культиваторе до истощения культуральной среды.
Уравнение (IV.2—1) справедливо лишь для ограниченного периода времени, в конечном счете растущая популяция исчерпа-
247
Рис. IV. 1. Зависимость численности популяции от времени (а) и скорости роста от численности (б) в соответствии с экспоненциальным законом роста (IV.2—1)
популяции от времени (а) и скорости роста от численности (б) в соответствии с логистическим законом роста (IV.2—3)
ет наличные ресурсы. Численность популяции может стабилизироваться на некотором устойчивом уровне, испытывать регулярные или нерегулярные флуктуации или сокращаться. Поведение популяции, численность которой стабилизируется на некотором устойчивом уровне, часто описывают с помощью логистического уравнения, предложенного Ферхюльстом в 1838 г:
-^- = ех—бх2,	(IV.2—3)
или
=	——V	(IV.2—4)
d/ \	 г /
Логистическое уравнение является простейшим дифференциальным уравнением, обладающим двумя требуемыми свойствами: 1) при Малых значениях х уравнение сводится к уравнению (IV.2—1) и рост носит экспоненциальный характер;
2) с возрастанием t величина х монотонно приближается^ к постоянному значению.
Член — бх2, пропорциональный количеству встреч между особями, учитывает «самоотправление» популяции, объяснимое многими причинами (конкуренция внутри популяции, недостаток места и пищи, передача инфекции из-за тесноты и т. д.). Коэффициент б называется коэффициентом внутривидовой конкуренции. Решение уравнения (IV.2—3) приведено в § 1 гл. I. График решения есть логис’гическая кривая, представленная на рис. IV.2, а. Зависимость скорости роста от численности показана на рис. IV.2, б. Эта функция имеет два корня, один из которых х— — = К соответствует устойчивому стационарному состоя-0
нию с максимально возможной в данных условиях численностью популяции. Величину К иногда называют «емкостью среды». Для многих популяций формула (IV.2—3) хорошо описывает экспериментальные данные (Макфедьен, 1966).
В рассмотренных моделях прирост численности (биомассы) популяции представлен членом ех. Строго говоря, это соответст-
248
Рис. IV.3. Зависимость численности популяции от времени (а) и скорости роста от численности (6) в соответствии с формулой (IV.2—6)
популяции от времени (а) н скорости роста от численности (б) в соответствии с формулой (IV.2—7). Штриховкой обозначена область вырождения популяции
вует лишь тем популяциям, размножение которых происходит путем самооплодотворения (микроорганизмы). Если же в основе размножения лежит скрещивание, предполагающее встречи между особями разных полов одного и того же вида, то прирост будет тем выше, чем больше количество встреч между особями, а последнее пропорционально второй степени х. Таким образом, для разнополой популяции в условиях неограниченных ресурсов можно записать:
'-^ = гх2.	(IV.2— 5)
Уравнение (IV-2—5) хорошо описывает тот факт, что при низких плотностях популяций скорость размножения резко падает, так как вероятность встречи двух особей разных полов' уменьшается при понижении плотности популяции пропорционально квад*-рату плотности. Однако при больших плотностях популяций скорость размножения лимитирует уже не число встреч особей противоположного пола, а число самок в популяции, формула, учитывающая эти оба эффекта, имеет вид
— = а——.	(IV.2— to
dt ₽ + «
Графики численности в зависимости от времени и скорости •размножения в зависимости от численности для уравнения (IV.2—-б)' представлены на рис. (IV.3,а, б).	. . i
' В действительности плотность популяции не должна опускаться ниже некоторой критической величины. При падении плотности популяции ниже критической среднее время, в течение которого может состояться оплодотворение, становится больше времени жизни отдельной особи, точнее, времени, в течение которого особь способна к размножению. В этом случае поцуляция выми-. рает.
249:
Этот эффект учитывают введением в формулу (IV.2—6) члена, описывающего смертность и пропорционального численности. Зависимость скорости роста популяции от ее численности при этом примет вид
dx _____flx2
dt Р + тх
—dx.
(IV.2— 7)
Это уравнение имеет два стационарных решения: х=0 и х = —— = /. Соответствующие графики x(t) и -^-(х)
аР — dr		dt
даны на рис. IV.4, а, б. Из графика IV.4, б видно (вспомним гл. I, § 2), что решение х=0 устойчивое, а х = 1 — неустойчивое. При начальных численностях хпяч<1 популяция вырождается — х->0, причем тем быстрее, чем меньше хнач. Кривые x(t) при разных Хнач даны на рис. IV.4, а. При хнач>/ в соответствии с уравнением (IV.2—7;) популяция неограниченно размножается.
Величина нижней критической плотности I может быть различна Для разных видов. Наблюдения биологов показали, что это лишь одна пара особей на тысячу квадратных километров в случае ондатр и сотни тысяч особей — для американского странствующего голубя. Заранее трудно было предугадать, что столь многочисленный вид уже педешел через критическую границу своей численности и обречен на вырождение.
Для голубых китов критическая граница общей численности оказалась равной десяткам-сотням. Хищническое истребление этих гигантских животных привело к тому, что их осталось слишком мало в Мировом океане. И хотя отдельные особи еще встречаются, а охота на них запрещена, надежд на восстановление популяции голубых китов практически нет, так как их плотность упала ниже предельной.
Наиболее общая формула, учитывающая как нижнюю границу численности, так и внутривидовую конкуренцию, имеет вид
Рис. IV.5. Зависимость численности популяции от времени (а) и скорости роста от численности (б) в соответствии с формулой (IV.2—8). Штриховкой обозначена область вырождения популяции
=	----dx-№
dt	р + тх
(IV.2— 8)
Зависимости численности от времени и скорости прироста от численности представлены на рис. IV.5, а, б. х=0 и х=/г — устойчивые стационарные состояния, х = 1 — неустойчивое, разделяющее области притяжения устойчивых состояний равновесия. Величины I и k различны для разных популяций и могут быть оп
250
ределены только из наблюдений и- экспериментов. Ясно, что их определения представляет огромные трудности.
•При любых промыслах особый интерес представляет величина нижней критической границы, при переходе через которую популяция уже не сможет восстановиться. Модель позволяет дать некий методический рецепт определения не самой критической границы, но степени близости к ней численности вида. Обратимся к рис. IV.5, а. Пусть численность вида в начальный момент времени была близка к максимально возможной. При t=0 происходит одноразовое выбивание популяции. Если численность осталась значительно больше критической, восстановление происходит сначала быстро, а затем с монотонным замедлением (кривая /). Если же оставшаяся популяция близка к критической точке, восстановление "Происходит сначала очень медленно, численность популяции надолго «застревает» вблизи критической точки, а затем уже, «набрав силы», более быстро приближается к стационарному уровню (кривая 111). Кривая 1 представляет промежуточный случай. Таким образом, наблюдение реакции системы на возмущение может быть способом предсказания приближения ее к опасным границам.
Влияние запаздывания
До сих пор мы считали, что процессы размножения и гибели происходят одновременно и популяция мгновенно реагирует на любое изменение внешних условий. Однако в реальных экосистемах это не- так. На самом деле всегда имеется некоторое запаздывание в регуляции численности, которое может быть вызвано несколькими причинами.
Во-первых, развитие любой взрослой особи из оплодотворенного яйца требует определенного времени Т. Поэтому если какое-либо изменение в окружающей среде, например увеличение ресурсов, вызовет внезапное повышение продуктивности взрослых особей, то соответствующее изменение численности взрослых особей произойдет лишь по прошествии времени Т. Это означает, что уравнение
— = /(х), dt v ’
где х — численность взрослых особей, следует заменить уравнением
d у
-^-=7(Х/_т),	(IV.2-9)
at
где xt-т — численность половозрелых особей в момент времени t— Т.
Во-вторых, многие виды размножаются лишь в определенное время года. Даже в таких популяциях, особи которых способны размножаться несколько лет подряд, что обычно для млекопи
251
тающих и птиц, а также многолетних растений, наличие сезонов размножения вносит некоторое, запаздывание в процессы регуляции численности. Однако если жизненный цикл данного вида продолжается несколько лет и его особи ежегодно производят относительно небольшое число детенышей, то запаздывание на один год, обусловленное дискретностью сезонов размножения, нельзя считать долгим по сравнению с характерным временем динамики этого вида и эффекты, вызванные запаздыванием, будут незначительными. Если же взрослые особи, размножающиеся в данном году, редко или никогда не доживают до того, чтобы размножаться в следующем году, как например у однолетних растений, мелких грызунов, многих насекомых, это оказывает существенное влияние на динамику их численности. В этом случае уравнение ~~—~f(x) следует заменить уравнением dt
Xn+l=F(Xn),
где хп — численность популяции в году п.
Наконец, в реальных популяциях интенсивность размножения и гибели различна в разных возрастных группах. Например, у насекомых откладывают яйца взрослые особи, а конкуренция наиболее выражена Jia личиночной стадии. Такие процессы, как отравление среды продуктами метаболизма, каннибализм и т. п., в наиболее сильной степени воздействуют на ранние возрастные стадии, а их интенсивность зависит от численности взрослых особей, т. е. отрицательное влияние на коэффициент естественного прироста оказывают особи предыдущего поколения. С учетом этих явлений логистическое уравнение (IV.2—3) перепишется в виде
-^- = х(8— bxt-т).	(IV.2—10)
Запаздывание в регуляции системы может привести к возникновению колебаний переменных. Это явление хорошо известно в технике: если система регулируется петлёй обратной связи, в которой происходит существенная задержка, то весьма вероятно возникновение колебаний. В экономике бумы и спады в числе прочих причин возникают в результате задержки между тем моментом, когда спрос на какои-либо товар превышает предложение, и моментом, когда производитель этого товара может обеспечить производственные мощности для удовлетворения этого спроса. Примеры можно продолжить. Вообще, если продолжительность задержки в петле обратной связи превышает собственное характерное время системы, то возникают колебания с большой амплитудой. \ В некоторых ( системах, например в системе, описываемой уравнением (IV.2—10), при значительном превышении времени запаздывания Т над собственным временем системы 1/е могут возникнуть нарастающие колебания, хотя уравнение без
252
1000и
Рис. IV.6. Численность мух Lucilia С. в популяционном ящике (Nicholson, • 1954): I — число взрослых особей; II—число яиц, откладываемых за один день
' запаздывания (IV.2—3) дает устойчивое неколебательное состояние равновесия.
Разберем пример влияния запаздывания, обусловленного временем’ развития, на численность лабораторной популяции зеленой мухи Lucilia cuprina (Никольсон, 1954; Смит, 1976). Экспериментальная кривая численности мух и личинок в популяционном ящике приведена на рис. IV.6. Личинок снабжали кормом в неограниченном количестве, а взрослым особям давали одинаковое, но ограниченное количество корма. Построим простейшую динамическую модель численности популяции.
Пусть X — численность взрослых особей в момент времени t\ <оД( — корм, выдаваемый этим особям за время А/; со — постоянная величина. В интервале А/ количество корма, приходящееся на одну особь, равно coAf/X. Допустим, что на поддержание жизни каждая особь тратит в единицу времени количество корма т. Избыток корма половозрелые самки превращают в яйца с постоянной эффективностью k. Число отложенных яиц, приходящихся на одну самку, составит k —m'j &t, а общее число яиц, отложенных в популяции (при условии, что число самцов и самок одинаково), может быть описано выражением
— kX | — — т\ А/= — /г(и—тХ) М. (IV.2—11) 2	\ X	/1	2
Пусть смертность взрослых особей составляет постоянную ве-• личину с. Повышение смертности при увеличении численности и сокращении количества корма на одну взрослую особь для простоты учитывать не будем. Тогда число взрослых особей, погибающих в единицу времени:
сХЫ.
253
Допустим, что с постоянной вероятностью s каждое яйцо выживет и из него получится взрослая особь. При наличии неограниченного корма для личинок такое допущение вполне оправдано. Пусть время, необходимое для того, чтобы из яйца получилась взрослая особь, равно т.
Тогда изменение численности за интервал времени А/ составит:
ДХ = —сХД/ +	ks (со —mX/_T) Д/,
переходя к пределу при Д/-*0, получим дифференциально-разностное уравнение
— = — &со—сХ-------mksXt-x.	(IV. 2 —12)
dt 2	2	'	'
Пусть X — стационарное значение численности. Эту величину можно получить, приравнивая нулю правую часть уравнения (IV.2—11), полагая, что в стационаре Xt = Xt-,=X, тогда
1 — few V	2
Пусть х — отклонение численности X от стационарного значения X:
х=Х—X.
Переходя к этой новой переменной, получим уравнение
---l- mksxt-x.	(IV. 2 -14)
Если при этом т = 0, т. е. если пренебречь количеством пищи, необходимой для поддержания жизни взрослой особи, то получим обычное уравнение для затухающей экспоненты:
Следовательно, любое отклонение от равновесия затухает. Учет величины- т приводит к более сложному уравнению (IV.2—14). В этом уравнении с — смертность за единицу времени, т — количество пищи, необходимой для поддержания жизни в единицу времени. Поэтому, если принять за единицу времени время развития особи из яйца т, уравнение (IV.2—14) можно переписать в виде
-^- =— схх = — mksrx-i.	(IV.2 —15)
dt	2
Если ввести обозначения:	а = сх, Ь = — tnksx,
2
(IV.2—15) примет вид
уравнение
254
Лл	у
----— —ах—bxt—t, . dt
(IV.2 —16)
где a, b — положительные постоянные. Аналитическое исследование уравнения (I.V.2—16) дано в книге Смит (1976). Характер решения как функция параметров а и Ъ показан на рис. IV.7. Напомним, что, поскольку а и b положительны, реальности соответствует лишь положительный квадрант. Увеличение запаздывания влечет за собой пропорциональное увеличение а и Ь, так
Рнс. IV.7. Границы устойчивости dx
для уравнения —— = — ах— bXf.r. dt
Горизонтальная штриховка — экспоненциальное удаление от равновесия. Косая штриховка — экспоненциальное приближение к равновесию. Незаштриховаииая область — затухающие колебания. Вертикальная штриховка — нарастающие колебания
что оно эквивалентно удалению от начала координат. Таким образом, при увеличении т поведение системы изменяется, переходя от экспоненциального затухания возмущений к затухающим колебаниям, а затем — к нарастающим колебаниям. Итак, ус7 ловия нарастающих колебаний следующие:
1) потребление значительного ко
личества пищи взрослыми осо-
бями для поддержания их жизни, при этом по мере увеличения ' числа особей общая интенсивность откладки яиц снижается;
2) запаздывание, связанное с конечным временем развития от яйца до взрослой особи.
При этом неустойчивость возникает лишь в том случае, когда
а = ст >— или, грубо говоря, т>1/с. Это служит иллюстрацией
сделанного нами выше утверждения о том, что нарастающие колебания в системе возникают тогда, когда время запаздывания в петле обратной связи больше, чем характерное время системы.
Учет фактора запаздывания в логистическом уравнении типа (IV.2—3), подробно приведенный в книге Свирежева, Логофета (1978), приводит к аналогичным результатам и показывает, что факторы, приводящие к возникновению запаздывания в системе, уменьшают «запас устойчивости» нетривиального равновесия, ограничивая область устойчивости в пространстве параметров.
Дискретные модели популяций
До сих пор мы рассматривали развитие популяции в непрерывном времени, при этом численность популяции являлась непрерывной функцией — решением дифференциального уравнения.
255
Это правомерно лишь когда численность популяции можно аппроксимировать непрерывной кривой,' а это возможно лишь в случае, когда популяция достаточно многочисленна. Кроме того, форма обыкновенных дифференциальных уравнений предполагает, что изменение численности в каждый момент времени t зависит лишь от мгновенных ее значений в данный момент. Это предположение может быть оправдано лишь в небольшом числе специальных случаев, в большинстве реальных популяций действие регуляции численности происходит с запаздыванием. Когда численность моделируется непрерывной функцией f(x), эффект запаздывания можно описать в рамках дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, как мы это делали ранее.
Реально численность представляет собой дискретную величину, которая принимает некоторые значения в фиксированные моменты времени. Формализм, учитывающий дискретность численности популяции, больше соответствует экспериментальным данным по переписи реальных популяций (лабораторных или естественных), которая осуществляется в дискретные моменты времени. Если при этом предположить, что численность V зависит от численностей в некоторые предшествующие моменты времени, то для описания динамики численности популяций модаго применять аппарат разностных уравнений.
Если внешние и внутренние факторы, определяющие развитие популяции, остаются со временем неизменными, то численность популяции,в момент времени t может быть описана при помощи разностного уравнения в виде
Nt=F(Nt_b Nt-2, ....
Здесь функция F зависит от численности популяции в k предшествующие моменты времени.
Особенно просто выглядит разностное уравнение в случае, когда численность каждого следующего поколения в популяции A/'t-ht зависит лишь от предыдущего поколения Nt. Это справедливо для многих видов насекомых. Их взрослые особи живут непродолжительное время, достаточное для откладывания яиц, и к моменту появления на свет нового поколения (на стадии взрослой особи) предшествующее поколение прекращает свое существование. Для таких популяций справедливо положение о неперекры-вании поколений, и уравнение (IV.2—6) может быть записано в виде
Nt+i = F(Nt).	•	(IV.2—17)
Если поколения популяции в значительной мере перекрываются, допущение о зависимости Nt+i лишь от Nt уже несправедливо. В этом случае популяцию можно подразделить на дискретные возрастные классы (или стадии развития), численности которых зависят от численностей предшествующих (а в отдельных случаях .и всех остальных) возрастных классов. Задача описания динамики возрастных классов таких популяций приводит к матричным
256
(также дискретным) моделям, на которых мы остановимся ниже. Здесь же рассмотрим пример модели популяции, с неперекрыва-ющимися яокелениями — разностный аналог логистического уравнения.
= rN (1 — VS	(IV.2— 18}.
d/ \ k j
Заменив на где AV = V}+1—Nt, аД/=1, получим dt Д/
Nt+l = Nt\l+r (1-^-4. I \	« / J
(IV.2— 19)
Параметры r, k имеют тот же смысл, что и в логистическом уравнении. Однако если непрерывное уравнение (IV.2—18) не дает: отрицательных решений, й уравнении (IV.2—19) Nt+i может стать отрицательным. От такой «биологической некорректности» избавлено уравнение
Nt+i^N^~Nt/k\	'	(IV.2—20}
которое также можно считать разностным аналогом логистического уравнения роста. Поведение популяции, описываемой таким уравнением при разных значениях параметров, может быть чрезвычайно разнообразным. Спектр поведения траекторий содержит устойчивое равновесие, устойчивые циклы, а также хаотический режим с решающим значением начальных условий. По-видимому, успешное применение разностных уравнений к моделированию реальных популяций и объясняется этим богатством динамического поведения модельных траекторий.
Матричная ’теория популяции
Детализация возрастйой структуры популяции приводит к матричным моделям, впервые предложенным Лесли (1945, 1948) и широко применяемым для построения математических моделей, самых разных популяций с учетом их структуры по возрастам, размерам или стадиям жизненного цикла. Матричные модели применяются также для анализов круговорота питательных веществ и потока энергии в экосистемах; предпосылкой для такого моделирования служит естественная подразд елейность экосистемы на компартменты — входящие в ее состав виды или трофические уровни.	х
Рассмотрим простейшую матричную модель. Пусть ресурсы, питания и место обитания популяции неограничены. Однако размножение в популяции носит сезонный характер и изменение численности происходит в определенные моменты времени t2, ... ..., tn- Разобьем популяцию на возрастные группы от только что родившихся особей до самых старых, включив в каждую группу особей определенного возраста. Пусть популяция содержит п воз-
257’ .
растных групп. Тогда в каждый фиксированный момент времени (например, в момент /о) популяцию можно охарактеризовать век-тор-столбцом):
Х«о) =
xi (^о) х2 (t0)
(IV.2—21)
Хп (t0)
где Xi(Zo) — численность первой возрастной группы, x2(i0) — численность второй возрастной группы и т. д.
Вектор характеризующий популяцию в следующий момент времени, например через год, будет связан с вектором X0(t) с помощью некоторой матрицы перехода А : Xi (t) =AX0(t). Установим вид этой матрицы.
Из всех возрастных групп выделим те, которые производят потомство. Пусть их номера будут k, /г+1, .... k+p. Предположим, что за промежуток времени от to до ti особи i-той группы переходят в группу i+1, от группы k, fe+1, ..., k+p появляется потомство, а часть особей (вообще говоря, от всех групп) погибает.
Составим вектор A'rf/iJ.'Ero первая компонента Х[(Л) есть, численность особей, родившихся в промежуток от to до tt. Эта численность равна сумме потомств от всех репродуктивных возрастных групп. Будем считать, что численность потомства от отдельной группы пропорциональна численности этой группы. Тогда потомство от i-той группы равно сцх<(/о), где а» — коэффициент пропорциональности. Все потомство, появившееся в промежуток а+р
от to до tj, равно сумме у atXi(t0). Итак
I— k k-\-p
^1 Gl)	(Q ”	(<о) “1“ (U 4“ • • • +	(^о)’
Вторая компонента получается с учетом двух процессов. Первый — переход особей, находившихся в момент времени t0 в первой группе, во вторую группу. Вторая — возможная гибель части из этих особей. Поэтому вторая компонента x2(it) равна не всей численности xi(fo), а только некоторой ее части 0iXi(io), где 0<р,< 1.
Аналогично получаются третья компонента (она равна Рг*2 (М) и все остальные. Для простоты предположим, что все особи, находившиеся в момент t0 в последней возрастной группе, к моменту t\ погибнут. Поэтому последняя компонента вектора X(ti) составляется лишь из тех особей, которые к моменту Zj перешли из предыдущей возрастной группы и еще не погибли:
xn(t) =0n-ixn-i(fo), где 0<рл<1, ч	_
258
Коэффициенты а,- и 0, отражают внутренние особенности популяции. Первые из них — коэффициенты рождаемости, вторые — выживания.
Таким образом, вектор X(ti) равен
Х(О =	*i(G) Х2 (^1)	—	*+р £ Wi (Q £=4 Р1Х1 (^о)	(IV.2—22}
	Хл (^1)		0п— 1^Я-1 (А))	
Легко видеть, что вектор Х(Л) получается умножением вектора X(t0) на матрицу:
О 0............О	ak ak+1 ... ak+p 0 ... О О
Pi 0............................
0	₽2
0 0	... о о
О 0	о
По диагонали матрицы стоят нули; под диагональными элементами стоят соответственно 0Ь 02, .., 0n-i; в первой строке на месте элементов с номерами k, k+1, ..., k + p стоят соответственно а*, 04+1, .... ak+p- Все остальные элементы этой матрицы равны нулю. Если разбиение на возрастные группы проведено так, что к воспроизводству потомства способны все группы, включая первую и последнюю, то в соответствующей матрице А все элементы первой строки будут отличны от нуля. Таким образом
Х(<1)=АХ(/0).
Рассматривая, следующий момент /2, мы применим к вектору X(ti) те же рассуждения и получим
X(t2) =AX(ti) =AAX(ti>) =A2X(t0).
Аналогично
X (tk) = AX (4_i) = AA...AX (/„) = AkX (t0). k раз
Из последней формулы видно, что, зиая структуру матрицы и начальное состояние популяции (вектор — столбец X(i0)), можно прогнозировать состояние популяции в любой, наперед заданный момент времени tk.
Матрица А — квадратная с п+1 строками и столбцами, поэтому она имеет п + 1 собственных чисел н собственных векторов. Элементы А суть положительные числа либо нули, так как ни di, ни 0; не могут принимать положительных значений. Можно
259
показать, что в этом случае наибольшее собственное число и все координаты соответствующего ему собственного вектора также положительны и имеют определенный экологический смысл. А именно главное собственное число дает скорость, с которой возрастает размер популяции, когда ее возрастная структура стабилизировалась. В общем случае, если X главное собственное 'ЧИСЛО,
Здесь вектор-столбец отражает возрастную структуру популяции, причем численности разных возрастов представлены в виде относительных величин.
Для иллюстрации применения матричных моделей популяций рассмотрим простейший пример, предложенный Уильямсоном
>(1967). Рассматривается		модель:						
	xi (^i)		0	9	12		0	
	Х2 ((jl	=	1 3	0	0		0	
	Х3 (^1)		0	1 2	0		1	
Исходная популяция		состоит		ИЗ	одной	самки		старшего возрас-
та, это отражено в вектор-столбце в правой части уравнения. Каждое животное старшего возраста, прежде чем умереть, успевает произвести в среднем 12 потомков; каждое животное среднего возраста, прежде чем умереть или перейти! в следующий авозрастной класс (вероятности этих событий одинаковы), производит в среднем 9 потомков. Молодые животные не производят потомства и с вероятностью- 1/3 попадают в среднюю возрастную группу.	’
По прошествии одного временного интервала в популяции будет уже 12 самок младшего возраста:
Повторное применение модели, когда вектор для предшествующей популяции умножается на коэффициенты размножения и выживания, дает следующие результаты:
260
“24“
12
12“
“36“
т. д.
На рис. IV.8 в логарифмическом масштабе нанесены численности каждой нз возрастных групп для первых 20 временных интервалов. Начиная с некоторого момента времени (fio), до которого наблюдаются колебания численностей, предсказанные численности экспоненциально возрастают, причем соотношение между численностями животных младшего, среднего и старшего возрастов остается постоянным.’ Главное- собственное число в нашем случае равно 2, т. е. за каждый временной интервал размер популяции удваивается. Главное собственное число X и собствен-
ный вектор матрицы X можно найти из графика зависимости логарифма размера популяции от времени, наклон этого графика после достижения устойчивой структуры популяции равен Ink — собственной скорости естественного прироста. Соответствующий главному собственному числу собственный вектор отражает устойчивую возрастную структуру популяции и в нашем случае равен:
Младший Средний Старший
Й7*г
!»♦-
*7/72-§7/7 -
15	20
..... Шаг по Времени
Рис. IV.8. Численность самок младшего, среднего и старшего возрастов в зависимости от времени (Джефферс, 1981)
“ О 9
О
I
3
О
О
О
О
и
£
2
О
2
Главное собственное число позволяет оценить максимальную интенсивность промысла, который допустим в данной популяции и не приводит к уменьшению ее численности. Если Н — доля особей в %, изымаемых нз популяции, то число особей, которых необходимо изъять из популяции, чтобы ее размер стал равен ис
ходному, равно
100
X — 1 \
1 )
Приведенный пример страдает таким же недостатком, что и детерминистическая экспоненциальная модель роста популяции
261
(IV.2—1): мы допускаем, что популяция может неограниченно расти. Более реалистическая модель должна учитывать, что все элементы матрицы А являются некоторыми функциями размера популяций.
Примеры матричных моделей, служащих для изучения структуры популяций различных растительных и животйых организмов, а также круговорота питательных веществ в экосистемах можно найти в книге Дж. Джефферса (1981).
Выше мы остановились на биологической интерпретации главного собственного числа и соответствующего ему собственного вектора матриц. Остальные собственные числа и собственные векторы могут характеризовать устойчивость и колебательные тенденции в моделях. Обстоятельный разбор этих вопросов можно найти в книге Свирежева и Логофета (1978). Там же приводятся примеры матричных моделей, учитывающих зависимость коэффициентов рождаемости и выживания от численности.
Стохастические модели популяций
Рассмотренные нами выше модели популяций были детерминистическими. В дальнейшем мы также будем пользоваться детерминистическими моделями. Однако существуют два аспекта, по которым эта модель не может служить точным отражением реальных экологических систем. Во-первых, она не учитывает вероятностный характер процессов размножения и гибели; во-вторых, опа не учитывает случайных колебаний, происходящих в среде во времени и приводящих к случайным флуктуациям параметров моделей. Учет этих факторов приводит к существенному усложнению математического аппарата. Поэтому обычно исследователи стараются строить детерминистические модели, ограничиваясь упоминанием о возможных последствиях учета стохастики. Если детерминистическая модель свидетельствует об устойчивом равновесии, стохастическая модель предскажет длительное выживание. Если детерминистическая модель предсказывает периодические снижения численности одного или нескольких видов, стохастическая модель предскажет некоторую положительную вероятность вымирания этих видов. Наконец, если детерминистическая модель не выявляет равновесия или равновесие неустойчивое, стохастическая модель предскажет высокую вероятность вымирания.
Вероятностное описание процессов размножения и гибели
В качестве простейшего примера рассмотрим вероятностное описание процесса роста популяции с учетом только размножения. При детерминистическом подходе мы считали, что существует определенная скорость размножения е, такая, что численность популяции п за время dt увеличивается на dn = sndt. Это приводит к экспоненциальному закону:
п = ае’*,
262
здесь а — численность популяции в начальный момент времени. Подойдем к процессу размножения с вероятностной точки зрения. Пусть вероятность появления одного потомка у данной особи в интервале времени dt равна zdt. Тогда вероятность появления одной новой особи в целой популяции за время dt равна zndt. Обо-, значим через pn(t) вероятность того, что в момент t в популяции имеется ровно п особей. Предположим, что в каждый момент времени может произойти только одно событие, а именно за время dt численность популяции может либо увеличиться на 1, либо остаться неизменной. Размер популяции в момент t можно связать с размером популяции в момент t+dt с помощью следующих рассуждений. Если число особей в момент t+dt равно п, это означает, что либо в момент t их было п— 1 и за время dt появилась еще одна, либо в момент t было п особей и за время dt это число не изменилось. Складывая эти вероятности, получим соотношение
рп (t + dt) = pn—v (0 е (n— Y)dt + pn(f)(l — sndt), (IV.2—23) отсюда путем перестановки членов н деления на dt получим prf+W-J’M. = Рп_х {t) е (п _ 1) _ Рп (О ЕП, at
ИЛИ
-^ = 8(п-1)Рп_1-упРп.	z (IV.2-24)
<и
Это уравнение справедливо при п>а (а — начальная численность популяции). Соответствующее уравнение для п = а имеет вид
^~=~гара,	(IV.2-25)
так как в случае, когда процесс начинается при значении п—а, отсутствует член, содержащий рп-\-
Системы дифференциально-разностных уравнений, аналогичных уравнениям (IV.2—24), которые можно рассматривать как динамические уравнения для случайного процесса, обычно бывает трудно разрешить в общем виде. Однако в нашем примере это довольно просто. Проинтегрируем уравнение (IV.2—52) с учетом того обстоятельства, что (0) =1. Это дает
Ря(0=е-а''-
Затем подставляем e~att в. уравнение для п = а+1, интегрируем, используя начальное условие pa+i(0)=0, и находим
рс+1 (0 = ae-(“+De< (е^ _ i).	(IV.2— 26)
В свою очередь этот результат подставляем в последующее уравнение, и весь процесс повторяется. После вычисления нескольких последовательных членов можно записать результат в общем виде:
рп (0 = e~net (ezt - \)п~а.	(IV.2- 27)
263
Выражение (IV.2—27) определяет распределение вероятностей для любого момента времени, заменяющее при вероятностном описании то единственное значение
n=aect,
которое рассматривалось в детерминистической модели.
Выражение (IV.2—27) является частным случаем биноминального распределения. Его математическое ожидание н дисперсия, записываются следующим образом:
m(t) = aee‘,	(IV.2—28}
о2 (0 = ae-Ei (1 — e~£l).	(IV. 2 —29)
Легко заметить, что математическое ожидание (IV.2—28) совпадает с детерминистическим средним (IV.2—1). Таким образом, при большом числе особей детерминистическое описание будет удовлетворительно заменять любую стохастическую модель, в которой основное внимание уделяется нахождению средних значений. Когда число особей мало, например начальный размер популяции составляет всего лишь несколько единиц, дисперсия, т. е. среднее - квадратичное отклонение числейности отдельно взятой популяции от математического ожидания (IV.2—29), может быть довольно значительной. При этом при /->оо коэффициент вариации величины п, равный <j/m, стремится к (Уа)-1.
При рассмотрении какой-либо определенной популяции мы будем наблюдать только одно численное значение. График роста обнаружит значительные колебания. Возникает вопрос: каким образом эти колебания связаны с распределением вероятностей. Смысл выражения (IV.2—27) состоит в том, что если имеется некоторое большое число популяций и в начальный момент времени /=0 численность каждой нз них равна а, то доля этих популяций, имеющих И момент t численность а, теоретически равна pn(t) с математическим ожиданием m(t) и дисперсией о2(У). Кривая роста любой отдельно взятой популяции может значительно отклоняться от соответствующей кривой математического ожидания, так что последняя вместе с дисперсией служит показателем случайной флуктуационной изменчивости, характерной для данного процесса.
Рассмотрим теперь более сложный процесс — размножение и гибель особей в популяции. Как и ранее, полагаем, что вероятность появления одного потомка у одной особи в интервале времени Д/ равна еД/, поэтому для всей популяции вероятность увеличения ее численности на единицу равна упДГ Допустим также, что вероятность гибели одной особи составляет цД/. Вероятность того, что размер популяции в момент £+Д/ составляет п особей, будет в таком, случае представлять собой-сумму вероятностей трех событий:
264
1) в момент времени t было п особей, за время dt это число не изменилось;
2) в момент t было п—1 особей, за время dt их количество увеличилось на единицу;
,3) в момент времени t было п+1 особей, за время dt их количество уменьшилось на единицу.
Выражение для pn(t+dt) принимает вид
(t + dt) = pn-i (t)y(n— 1) Л + pn (0(1 — yndt —}indt) +
+ Pn+i(0Y(«+l)^. «=1.2, ... .	(IV.2—30)
Эта система уже не решается простым интегрированием, однако применение метода''производящей функции (Бейли, 1970) позволяет найти общее решение:
min(a,n)
рл (0 = j С!аС--\_._г g'-W-i (1 - g- h)i, п > 1, (IV.2-31) /=о
где
р.(е<Е—— I) h eg
Таким образом, даже в случае простейшего стохастического процесса размножения и гибели общее выражение для pn(t) оказывается довольно сложным и выразить его в явном виде, как правило, не удается.
Математическое ожидание и дисперсия распределения (IV.2—31) имеют вид:
т (/) = ае<*~М(,
о2 (t) = - а(Е + и)	[е(«—мк — 1].	(IV.2—32)
е — [х
Заметим, что, как и в случае простого процесса размножения, математическое ожиданйе совпадает со значением численности в детерминистической модели, а выражение для дисперсии свидетельствует о том/что имеет место значительная флуктуационная изменчивость.
Рассмотрим случай, когда размножение и гибель уравновешивают друг друга, т. е. когда е = р. Математическое ожидание и дисперсию находим из формул (IV.2—32), полагая, что	и
используя во втором выражении правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида 0/0, получаем:
m(t) —а, o2(i)=2at
Первое выражение представляет собой очевидный результат, а именно средний размер популяции сохраняет свое начальное значение. Второе выражение показывает, что дисперсия размера
265
популяции возрастает' пропорционально длительности интервала времени, в течение которого протекает процесс.
Как видно из формулы (IV.2—1), детерминистическая модель в тех случаях, когда скорость размножения превышает скорость гибели, предсказывает устойчивое экспоненциальное увеличение размера популяции. Однако в вероятностной модели учитывается, что всегда существует определенная вероятность такого большого числа случаев гибели, при котором популяция полностью вымирает. Таким образом, вероятность вымирания есть важная характеристика вероятностной модели. Обозначим через po(t) вероятность того, что в момент времени t не останется ни одной живой особи. Приравняв п нулю, из уравнений (IV.2—31) можно найти выражение для этой вероятности в явном виде
(IV.2—32а)
В частном случае, когда е = ц, это выражение принимает вид
Ро(0 = (
) , е = |л.	(IV.2-33)
е/ 4- 1 /
Вероятность того, что рано или поздно произойдет вымирание популяции, можно найти, полагая /—>-°о. В пределе при /—>-оо выражения (IV.2—32а) н (IV.2—33) для случаев е<ц, е = ц, е>р можно записать следующим образом:
limp0(/)=l, е<ц, t~* оо
limpo(0= е>ц.
f-*oo	\ е /
Следовательно, если скорость размножения не превышает скорости гибели, вымирание рано или поздно обязательно произойдет. Если же скорость размножения выше скорости гибели, то вероят-/ ц \° ность вымирания составляет | —I .
\ е / .
Интересно, что в том случае, когда е = ц и математическое ожидание численности имеет постоянную величину, вероятность полного вымирания все же равна единице. На самом деле в природе происходит следующее. Несколько популяций увеличиваются до очень больших размеров, тогда как большинство популяций вымирает и в результате сохраняется некоторое постоянное среднее. Изучая эти наиболее многочисленные в ценозе популяции, мы часто можем ограничиться их детерминистической моделью.
Учет случайных изменений среды
Флуктуации условий среды могут приводить и к изменению характера взаимодействий между отдельными особями, т. е. случайному изменению параметров модели. В случае модели экспо
266
ненциального роста — это случайные изменения коэффициента естественного прироста, учет которых приводит к уравнению
+	(IV.2-34)
где y{t) — случайная величина со средним значением, равным нулю. Будем считать, что y(t) — это «белый шум», т. е. при каждом t случайные величины y(t) имеют одно и то же распределение и между флуктуациями в последовательные моменты времени нет корреляции. Допущение об отсутствии сериальной корреляции означает, что флуктуации коррелируют между собой только на протяжении периодов, которые невелики по сравнению с характерным временем системы (И нашей модели 1/е). Вероятностное распределение величины имеет среднее значение
m(t)=aect,
равное соответствующему значению в отсутствие флуктуации факторов среды. Дисперсия S задается выражением
2(x) = aVE<(^— 1),
где о2 — дисперсия у (/). Отсюда
1 =	1)2
m
Таким образом, с течением времени колебания численности популяции становятся более резкими; это отражает тот факт, что детерминистическая система (IV.2—1) не имеет стационарного состояния. Можно показать (Свирежев, Логофет, 1978), что при ®<ст2 вероятность вырождения со временем увеличивается, стремясь в пределе к единице, — популяция вероятностно неустойчива, т. е. достаточно длительное воздействие возмущений с большой вероятностью может привести ее к гибели. При е>ст2 вероятность вырождения уменьшается и при £->оо стремится к нулю — популяция в этом смысле устойчива.
Из полученного результата следуют более жесткие ограничения на коэффициент естественного прироста, чем из детерминистической модели. В самом деле, в последней для невырождения популяции достаточно, чтобы среднее значение коэффициента е было положительным, в то время как в стохастической модели этого недостаточно, нужно, чтобы е>о2>0.
Учет влияния случайных возмущений на логистический рост популяции (Свирежев, Логофет, 1978), а также рассмотрение более общих случаев (Levins, 1968) показывают, что следствием учета случайных факторов в математических моделях теории популяций (и в теории биологических сообществ тоже) являются более жесткие требования к параметрам системы, которые обеспечивают ее устойчивость. Область устойчивости, полученная по
267
какому-либо критерию на основании стохастической модели, как правило, бывает уже аналогичной области для детерминированной модели.
В целом видно, что детерминированная модель гораздо более проста и наглядна, но не дает сведений о том, насколько кривая роста той или иной популяции под действием случайных величин может на самом деле отклоняться от теоретической кривой, задаваемой этой моделью. Детерминистическая модель также не позволяет оценить, вероятность случайного вырождения популяции. Однако поскольку при возрастании численности случайные величины, характеризующие численности популяций, сходятся по вероятности к своим средним значениям, то поведение популяций с достаточно большой, численностью удовлетворительно описывается динамикой средних величин. Поэтому для сообществ, численность которых йелика, применимо детерминистическое описание.
В дальнейшем изложении мы будем иметь дело с достаточно большими по численности сообществами и описывать их при помощи детерминированных моделей.	'
$ 3. ВОЛЬТЕРРОВСКИЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ВИДОВ
Два вида могут взаимодействовать между собой множеством различных способов, и последствия этого для двух популяций также могут быть самыми различными. В биологической литературе существует тенденция классифицировать взаимодействия по участвующим в них биологическим процессам. Разнообразие возможных взаимодействий огромно: химические, взаимодействия, существующие между бактериями и между планктонными водорослями, различные взаимодействия грибов с другими организмами, симбиоз грибов и водорослей в лишайниках; сукцессии растительных сообществ, связанные, Д частности, с конкуренцией за солнечный свет и с эволюцией почв; поразительное разнообразие образа жизни животных, способов добывания пищи и т. п. В такой ситуации всеобъемлющая классификация оказалась бы совершенно необозримой.
Простейший и наиболее естественный в популяционном анализе выход из этого затруднения в том, чтобы классифицировать взаимодействия не по механизмам, а по результатам. Впервые это попытался сделать Одум (1975). Он предложил классификацию, в которой взаимоотношения между двумя видами оценивались как положительные, отрицательные или нейтральные в зависимости от того, возрастает, убывает или остается неизменной численность популяции одного вида в присутствии другого. Такой подход позволяет выделить следующие основные типы взаимодействий: межвидовая конкуренция (за пищу, места обитания и пр.), ведущая к уменьшению численности обоих видов; отношения типа хищник — жертва (или паразит — хозяин), при которых увеличение численности одного вида (хищника) ведет к уменьшению другого вида (жертвы); симбиоз, ведущий к увели-268
чению численности обоих видов. И наконец, виды могут занимать совершенно независимые экологические ниши. В таком случае каждый вид можно рассматривать в отдельности;
Согласно гипотезам Вольтерра, перечисленным в §,1 настоящей главы, прн взаимодействии хищник — жертва' увеличение биомассы вида хищника, так же как и уменьшение биомассы вида жертвы, пропорционально вероятности встречи особей этих двух видов, т; е. произведению нх численностей (биомасс). При рас* смотрении конкуренции (взаимное отрицательное влияние) и симбиоза (взаимное положительное влияние*) также естественно предположить, что это влияние пропорционально численности каждого из взаимодействующих видов. Учитывая это, все вышеприведенные типы взаимодействий можно описать в рамках гипотез Вольтерра.
Итак, рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие двух видов:
Х1 = СЛ— аих? + а12хлх2,
(IV.3— 1)
Xg = с2х2 4- а21Х]Х2 а22х2.
Члены типа aijXiXj(i=£j,	2) соответствуют межвидовому
взаимодействию. Если виды конкурируют, коэффициенты ац отрицательны, если виды симбионты, то а,/>0. В случае, когда один вид является хищником, а другой — жертвой, коэффициенты и й21 имеют разный знак. Знак минус при членах типа анх? отражает факт внутривидовой конкуренции. Наконец, линейные части CiXi,' с2х2 в правых частях уравнений соответствуют свободному размножению видов. Коэффициент с, положителен, если соответствующий вид размножаетсй (численность его увеличивается), и отрицателен, если вид вымирает (численность его уменьшается) в отсутствие другого вида (ai; = 0) и внутривидовой конкуренции (аг, = 0). Рассмотрим свойства решений системы уравнений' (IV.3-1), описывающей конкретные типы взаимодействий.
Конкуренция
В случае конкуренции уравнения (IV.3—1) примут внд:
Х1 = Х1(е1	(IV 3	^)
Х2 == Х2 (fi2 021^'1 OggXg)*
Исследуем свойства системы (IV.3—2). В первую очередь приравняв правые части этих уравнений нулю, найдем ее стационарные решения, т. е. возможные в системе двух конкурирующих видов стационарные численности этих видов. Их всего четыре. Первое решение тривиальное:
х!=0, xUO.	(IV.3-3)
269:
Оно является неустойчивым узлом при любых значениях коэффициентов системы. Второе решение соответствует нулевой численности вида хг.
xi = 0,	=	(IV.3—4)
с22
Исследование на устойчивость Доказывает, что это решение представляет собой неустойчивую особую точку — седло при ci > —— с9 и устойчивый узел при Cj< —— с2. Такой матема-«22	«22
тический результат указывает, что вид Xi вымирает в том случае, если скорость его естественного роста Ci меньше некоторой крити-„	«21
ческой величины с2--------.
«22
Третье решение соответствует нулевой численности вида х2:
*2=0.	.(IV.3—5)
«11
Оно является седлом при с2 > сг и устойчивым узлом при «н
а21	~ •
а11
Наконец, четвертое стационарное решение соответствует сосуществованию двух видов ненулевой численности:
"4	с1«22 — с2«12	4  «11с12 — а21с1 . (IV 3_____6)
«11«22-а12а21	«11«22- «12«21 J
Это решение является устойчивым узлом в том случае, если-выполняется соотношение:
с1а12	с2«11
«22	«21
Определив местоположение особых точек (возможных стационарных численностей видов), рассмотрим фазовый портрет системы (IV.3—2), используя методы, описанные в гл. I. Приравняем правые части уравнений (IV.3—2) нулю:
Х^ (Cj ^11^1	^12^2) - 0,	~ 0,
Х2 (^2 ~~^21-^1-®22^) = 0, Х2 = 0.
При этом получим уравнения для главных изоклин системы:
х2 =-----— х± +	, х2 = 0.
«22	«22
— уравнения изоклин горизонтальных касательных и
х2
=----хг -|—— , х± = 0,
«12	«12
— уравнения изоклин вертикальных касательных. .270
Рис. IV.9. Фазовый портрет системы уравнений (IV.3—2), описывающих взаимодействие хищника и жертвы при различных соотношениях параметров:
а—----->-------, 1,3 — неустойчивые, 2 — устойчивая особаи точка; б —------<
а22	°12	•	°11
Cj	Cl сг
<------,	1—неустойчивая, 3 — устойчивая особая точка; в—-------------->------
а22	.	.	а12	а22
1, 2, 3 — неустойчивые, 4 — устойчивая особая точка
Точки попарного пересечения изоклин вертикальных и горизонтальных касательных систем представляют собой Стационарные решения системы уравнений (IV.3—2), найденные нами выше, а их координаты xi, x2(i=l......4) суть стационарные числен-
ности видов рассматриваемого нами биоценоза.
На рис. IV.9 представлены четыре возможных случая расположения главных изоклин и соответствующих им фазовых траекторий на фазовой плоскости Xi, х2. Как видно из рисунка, места расположения особых точек на фазовой плоскости и их устойчивость зависят от соотношений параметров ац, Ct в системе уравне-
271
ний (IV.3—2). Начало координат (/) — всегда узел. Если
Ci	Са	с±	с2
а12	Д22	Д11	а12
неустойчивый
(VI. 3—7)
то выживает лишь вид хь единственная устойчивая стационарная особая точка (3) находится при этом на оси а Хг2=0 (рио. IV.9, а). Если оба неравенства (IV.3—7) имеют противопо--ложный смысл (рис. IV.9, б), выживает лишь вид х2 (2 — устойчивая особая точка). Более интересен случай, представляющий -сосуществование двух видов (особая точка 4) (рис. IV.9, в). Здесь неравенства (IV.3—7) заменяются соотношениями:
Cj	Cg Cg	Cj
’	а12	°2^	а21	а11
/
из которых следует неравенство
• (IV.3—8)
012^21 <апа22-
(IV.3—9)
Неравенство (IV.3—9) можно интерпретировать следующим образом. Условием устойчивого сосуществования двух видов является меньшая величина произведения коэффициентов межпопуляционного взаимодействия a^i по сравнению с произведением коэффициентов внутрипопуляционного взаимодействия ЯцС^й. Иначе гбворя, в этом случае чрезмерно разросшаяся популяция сама ограничивает свой рост (коэффициенты ац), давая тем самым возможность существовать, соседней с ней популяции, пользующейся тем же источником питания, местами обитания или вступающей в иные конкурентные взаимоотношения.
Действительно, пусть естественные скорости роста двух рассматриваемых видов Ci, с2 одинаковы. Тогда необходимым для устойчивости условием будет a22>Qi2, aii>C2i. Эти неравенства показывают, что увеличение численности одного из конкурентов сильнее подавляет его собственный рост, чем рост другого конкурента. Если численность обоих видов ограничивается частично или полностью различными ресурсами, приведенные выше неравенства справедливы. Если же оба вида имеют совершенно одинаковые потребности, то один из них окажется более жизнеспособным и вытеснит своего конкурента.
На этом основан прийцип Гаузе, или закон конкурентного исключения. Одна из формулировок этого принципа состоит в том, что два вида с одинаковыми экологическими потребностями не могут сосуществовать в одном месте обитания. Математическое доказательство принципу Гаузе дано в книге В. Вольтерра (1976). Этот принцип позволяет объяснить некоторые природные феномены, в частности особенности распространения дарвиновских вьюрков на Галапагосских ост-ровах.
272
Еще одна ситуация изображена на рис. IV.9, г. Здесь соотношения между коэффициентами имеют вид:
^2 >	С1 > С2
#22	#12	#11	#21
и соответственно
аца22<Ц12а21-
Как видно из рис. IV.9, г, особая точка с ненулевыми координатами (4) является неустойчивой (седло). Фазовые траектории в зависимости от начальных условий попадают в точку 2(xi = 0) или в точку 3 (х2=0), что соответствует выживанию одного из конкурирующих видов. Существуют лишь два выделенных направления (пунктирные линии), по которым фазовые траектории сходятся в точку 4. Вероятность реализации такого решения равна нул£), даже если в начальный момент времени соотношение численностей видов соответствует точкам сепаратрисы (пунктирная линия) на фазовой плоскости. Малейшие флуктуации в ту или иную сторону приводят к вымиранию одного из видов. Вообще результат конкуренции при соотношении параметров (IV.3—10) зависит от начальных условий. Таким образом, в случае, показанном на рис. IV.9, г, мы имеем систему триггерного типа, подробно описанную нами в § 5 гл. I.
Модель (IV.3—2) предсказывает устойчивое сосуществование двух видов лишь при условии справедливости соотношения между коэффициентами (IV.3—9). В остальных случаях выживает лишь один из видов. Данные наблюдений свидетельствуют, что некоторые пары видов в одних местообитаниях встречаются совместно, а в других только по отдельности. Те места обитания, в которых виды встречаются совместно, явно более благоприятны. Простейшее толкование такого рода наблюдений в рамках вышеизложенной модели заключается в следующем. В благоприятных условиях межпопуляционное взаимодействие, отражаемое в модели коэффициентами 012, ^21, играет меньшую роль, чем явление самоограничения роста каждого из взаимодействующих видов (коэффициенты ац> агг). Это ведет к выполнению соотношения (IV.3—9) и, следовательно, к устойчивому сосуществованию двух видов. В суровых же условиях «все силы уходят на борьбу с соперников» (ап, 022 малы по сравнению с а^.ан), и тогда выживает сильнейший.
Конкуренция двух видов — один из немногих экологических феноменов, для изучения которых ставились многочисленные лабораторные эксперименты на самых различных организмах. Обычно выбирают два близкородственных вида и выращивают их по отдельности и вместе в строго контролируемых условиях. Через определенные промежутки времени производят полный или выборочный учет численности популяции. Регистрируют данные по нескольким повторным экспериментам, а затем анализируют их. Такого рода исследования проводили на простейших (в частно-Ю Зак. 353	2 73
сти, на инфузориях), на многих видах жуков, принадлежащих к роду Tribolium, на дрозофилах, пресноводных ракообразных (дафниях). Подробное описание и критический анализ этих экспериментов можно найти в книге М. УиЛьямсона (1975). Для некоторых из них построены математические модели, в большинстве случаев основанные на уравнениях типа Вольтерра. Так, уравнениями вида (IV.3—2) достаточно хорошо описываются результаты классических экспериментов Г. Ф. Гаузе (1934). В последнее время проведены интересные эксперименты по исследованию межвидовой конкуренции на микробных популяциях в условиях непрерывного культивирования (Печуркин, 1978; Абросов и др., 1982).
Данных об устойчивой конкуренции в природных условиях пока еще очень мало. Во многом это объясняется сложностью проведения строгого эксперимента в полевых условиях. Однако результаты работ Рейнольдса по планариям разных видов свидетельствуют о том, что между этими организмами имеет место конкуренция, ведущая к уменьшению численности обоих видов. Об этом же свидетельствуют эксперименты Понтина на двух видах муравьев.
Модель конкуренции (IV.3—2) имеет недостатки-, в частности, из нее следует вывод, что сосуществование двух видов возможно лишь в том случае, если их численность ограничивается разными факторами, однако эта модель ие дает никаких указаний, насколько велики должны быть эти различия для обеспечения длительного существования. Модель подразумевает, что любого различия в соответствующих экологических потребностях достаточно,, чтобы виды сосуществовали. Однако ясно, что для длительного-сосуществования в изменчивой среде необходимо различие, достигающее определенной величины.
Очевидно, чтобы ответить на вопрос о величине различия видов, нужно в детерминированную модель внести стохастические элементы, которые, по-видимому, играют решающую роль в процессах формирования видового разнообразия. Эта задача рассматривается в работе Мэя и Мак-Артура (1972). Мы рассмотрим основные результаты, полученные для двух видов. Авторы исходят из предположений:
1) конкуренция, происходит за некий ресурс, изменчивый по одному параметру;
2) еслй одна особь завладела одним экземпляром данного ресурса, он становится недоступным для остальных особей.
Примером могут служить зерноядные птицы или грызуны, питающиеся семенами разного размера. '
Для каждого вида вводится «функция использования ресурса» (рисЛУ. 10), которая в случае семян определяется долей в пище семян разного размера. Если форма функции использования ресурса одинакова для всех видов, то уровень межвидовой конкуренции можно задавать значением ш/а, где со — среднее квадратичное отклонение функции использования ресурса, а а — рас-274
стояние между максимумами соответствующих функций.
Рассмотрим уравнения для численностей двух конкурирующих видов, для простоты не учитывая внутривидовой конкуренции. Уравнения (IV.3—2) в этом случае можно переписать в виде:
Х1 = С1Х1 —а12*1*2>
(IV.3— 10)
Рис. IV.10. Графики функции использования ресурса. I — весь запас данного ресурса используется одним видом. II — функции использования ресурса для двух разных видов
В этих уравнениях коэффициенты сь с2 выражают соответствие среды потребностям вида (в примере с зерноядными — обилие семян соответствующей величйны), а коэффициенты a]2, а21 служат мерой перекрывания функций использования ресурсов первого и второго видов.
Вариабельность среды вводят в модель, приняв
Ci = ci+yi(t), i=l, 2, где Ct — постоянное среднее значение, a — гауссов «белый шум» с дисперсией о2. В рримере с величиной семян это означает случайную изменчивость в обилии семян разного размера.
Результаты исследования показывают, что для устойчивости сообщества необходимо, чтобы d/& было выше некоторого значения, которое зависит от уровня шума о2. Модель приложима к случаям конкуренции за пищевые объекты разных размеров, а также для случаев, когда один вид заменяет другой с изменением высоты над уровнем моря, зоны побережья или других физических условий.,
Хищник — жертва
Для взаимоотношений двух видов типа хищник — жертва или паразит — хозяин система уравнений (IV.3—1) может быть записана в виде:	•
Х^ — Хг	^^11*1 ~~"^12*2)>
(IV.3-11)
*2 = *2 (^2	^21*1' ^22*2) •
Здесь в отличие от (IV.3—2) знаки (—а12) и ( + a2i) разные. Как и в случае конкуренции, система уравнений (IV.3—2), начало координат (1) для этой системы является особой точкой типа неустойчивый узел. Три других возможных стационарных состояния:
xf° = 0,	(2)	(Г/.З— 12)
а22
10*
275
~(4) = C2au + Qa2.i (4) (IV,3—14>
°11а22 + а21°П
положительности величин Xi. х<>.
х^3> = 0, (3)	(IV.3— 13>
°11
~(4) __ cjQsz •— сга12 <*11°» + а21а12
Биологический смысл требует
Для выражений (IV.3—14) это означает, что
с1а22	12-
В случае, если коэффициент внутривидовой конкуренции хищников а22 = 0, условие (IV.3—15) приводит к условию с2<0, т. е. коэффициент естественного прироста хищника в такой системе должен быть отрицателен. Таким образом, в системе (IV.3—14) при условии (IV.3—15) в отсутствие жертв хищник вымирает.
Возможные типы фазовых портретов для системы уравнений (IV.3—11) представлены на рис. IV.11, а, б, в. Изоклины горизонтальных касательных представляют собой прямые:
х2 = ^-Х1 +^~, х2 = 0,	(IV.3 —15>
( ^22	^23
а изоклины вертикальных касательных	—	прямые
&] 1	Сп	г\
х2= — —У-%!	+—,	Х1 = 0.
°12	°12
Из рис. IV.11 видно следующее. Система хищник — жертва (IV.3—11) может иметь устойчивое положение равновесия, в котором популяция жертв полностью вымерла (xi — 0) и остались только хищники (точка 2 на рис. IV. 11,а). Очевидно, такая ситуация может реализоваться лишь в случае, если кроме рассматриваемого вида жертв Xi хищник Хч имеет еще дополнительные источники питания. Этот факт в модели отражается положительным членом с2х2 в правой части уравнения для х2. Особые точки (/) и (3) на рис. IV.11, а являются неустойчивыми. Вторая возможность — устойчивое стационарное состояние, в котором популяция хищников полностью вымерла и остались одни жертвы (устойчивая точка (3) рис. IV.11,б). Здесь особая точка (?) также есть неустойчивый узел.
Наконец, третья возможность — устойчивое сосуществование популяций хищника и жертвы (рис. IV.И, в), стационарные численности которых выражаются формулами (IV.3—14). Эта ситуация была подробно рассмотрена в § 4 гл. I, где показано, что в зависимости от соотношения параметров точка (IV.3—14) может быть устойчивым узлом или фокусом (при этом выполняется соотношение (IV.3—15)).
Стационарное значение (IV.3—14) асимптотически устойчиво лишь в том случае, когда хотя бы один из коэффициентов внутривидовой конкуренции отличен от нуля. Если же a»=0(i=l, 2), причем с2<0, т. е. хищники питаются только жертвами вида Xi и
276
Рис.. IV.11. Фазовый портрет системы (IV.3—11), описывающей взаимодействие хищника и жертвы, при различных соотношениях парамет-
6*2	Cj
ров: а------->------, 1,3—не-
а22	°12
устойчивые, 2 — устойчивая Ci	с2
особая точка; б —-----<-------,
Оц	022
неустойчивая,	3 — устойчивая
,	С1	с2 .
особая точка; в —----->-------,
\	012	022
1,2,3 — неустойчивые, 4 — устойчивая особая точка
в отсутствие этого вида вымирают с собственной скоростью с2, система принимает вид:
X] = С1Х1—012X1X2,
(IV.3—16),
Х2 = О21Х1Х2—С2Х2.
Ненулевая особая точка этой системы — центр.
Как и в случае одной популяции, для модели (IV.3—16) можно разработать стохастическую модель, но для нее нельзя получить решение в явном виде. Поэтому мы ограничимся общими рассуждениями. Допустим, например, что точка равновесия находится на некотором расстоянии от каждой из осей. Тогда для фазовых траекторий, на которых значения Xi, х2 остаются достаточно большими, вполне удовлетворительной будет детерминистическая модель. Но если в некоторой точке фазовой траектории какая-либо переменная не очень велика, то существенное значение могут приобрести случайные флуктуации. Они могут привести к тому, что изображающая точка переместится на одну из осей, что означает вымирание соответствующего вида. Таким образом, стохастическая модель оказывается неустойчивой, так как стохастиче
277
ский «дрейф» рано или поздно приводит к вымиранию одного из видов. В такого рода модели хищник в конечном счете вымирает, это может произойти либо случайно, либо вследствие того, что сначала элиминируется популяция его жертвы. Стохастическая модель системы хищник — жертва хорошо объясняет эксперименты Гаузе (1934), в которых инфузория Parametium caudatum служила жертвой для другой инфузории Didiniutn nasatum — хищника. Ожидавшиеся согласно детерминистическим уравнениям (IV.3—14) равновесные численности в этих экспериментах составляли примерно по пять особей каждого вида, так что нет ничего удивительного в том, что в повторном эксперименте.довольно быстро вымирали либо хищники, либо жертвы (а за ними и хищники).
Итак, анализ вольтерровских моделей взаимодействия видов показывает, что, несмотря на большое разнообразие типов поведения таких систем, незатухающих колебаний численности в модели конкурирующих видов не может быть вовсе, а в модели хищник — жертва незатухающие колебания являются следствием выбора специальной формы уравнений модели (IV.3—16). При. этом модель становится негрубой (особая точка типа центр), это свидетельствует о том, что в такой системе отсутствуют механизмы, стремящиеся сохранить ее состояние. Однако в природе и в эксперименте такие колебанйя наблюдаются (Вилли, Детье, 1974). Необходимость их теоретического объяснения послужила одной из причин для формулировки модельных описаний в более общем виде, чем это сделал В. Вольтерра. Рассмотрению таких обобщенных моделей посвящен следующий параграф — 4. Здесь мы остановимся на влиянии пространственного распределения особей на характер их поведения.
Учет пространственного перемещения
Рассмотрим простейшую модель типа хищник — жертва (IV.3—16). Для простоты будем считать, что миграция как хищников, так и жертв носит характер случайных блужданий (типа диффузии). Тогда поведение системы можно описать при помощи дифференциальных уравнений параболического типа, изученных нами в гл. I:
—а12Х!Хг + Dx v 2xf, dt
(IV.3—17)
—- =	c2x2 + D2 V2x2.
dt
Здесь xb x2 — плотности популяций жертв и хищников, Z)b Z)2 — соответствующие коэффициенты «диффузии». Как и в системах, рассмотренных нами в § 8 гл. I, поведение переменных в каждой точке пространства определяется двумя типами процессов: взаи
278
модействием компонентов и их пространственным перемещением.
Периодические и асимптотические решения системы (IV.3—17) были изучены Чоу и Тамом (Chow, Tam, 1976). Рассмотрение колебаний малой амплитуды и колебаний вблизи стационарного состояния без ограничений амплитуды показало, что система уравнений Вольтерра хищник — жертва для двух популяций в ограниченном ареале имеет периодические пространственно однородные решения, т. е. в такой замкнутой системе наличие миграции не приводит к качественно новым эффектам. Если же ареал не является ограниченным, в системе могут возникать решения в виде движущихся волн.
Решение задачи упрощается, если считать, что задача одномерна, и принять Di=0 (т. е. миграция жертв отсутствует). Этот случай реально соответствует ситуации, когда подвижность жертв существенно меньше подвижности хищников.
Введя новые переменные в соответствии с выражениями:
<р2 = —х2,_	(IV.3—18)
До1	0^2
уравнения для пространственной модели хищник — жертва без миграции жертв можно записать в виде:
^- = С1Ф1(1-Ф2),	(IV.3-19)
^=Р2^ + С8ф8(ф1_1).	(IV.3-20)
Здесь г — пространственная пёременная.
Интегрируя уравнение (IV.3—19), находим
Ф1 г) = (г) ехр | Cjt— сг J ф2 (т, г) dr | (	(IV.3— 21)
о
*
где fi (г) — начальное распределение жертв.
Можно найти асимптотическое решение системы уравнений (IV.3—19), (IV.3—20) в виде волны, распространяющейся со скоростью и. Для этого введем так называемую автомодельную переменную:
z—r—vt, где v — скорость распространения «волны». Примем начальное распределение жертв в виде
/i(r)=aexp(—Ь|г|), а, b > 0.
Тогда для функции Ф1 имеем выражение
Ф! = аехр ( — b (г-— М + f (ф2	( г-2-,	Л dz* |, (IV.3—22)
I \	ь /	V J \	\ v	)	)
279
а для <p2 — интегро-дифференциальное уравнение
дфг — п _________r m fi___я PYn Г h (г— C1 Л -L
с2ф2 < 1 — а ехр -О I Г---— I I +
г
+ — ГФ2 f2—'Ml.	(IV.3—23)
и J \ V J J J
z
Асимптотические решения в виде волны, распространяющейся со скоростью и, отсюда можно получить лишь положив v = -~-.
Пусть функции 01 (z) и 02(z) являются асимптотическими решениями задачи, т. е. <pi (г, 0-^-0, (z), ф2(г, 0^-02 при f->-oo, г->-оо. При больших z уравнения (IV.3—22), (IV.3—23) можно приближенно записать в виде:
0i(z)=ae-4	(IV.3—24)
DX + пОг—с402(1—ae-f’2) = 0.	(IV.3—25)
Введя обозначения:
2	/ О2	b—2v
b У с2	bD2
и новую переменную _______________________________Ъг
П=-2_т/^_е \ ь у d2
получим уравнение
П2 ^-4-тт]—+ (П2— х2)0г = 0.	(IV. 3—26)
2с&
Если/п=1 и	Ь2 = -—^>0, УРавнение (IV.3—26) совпадаете
уравнением Бесселя и его решение имеет вид
02 (п) =^*(п)>
где /х — функция Бесселя первого рода х-того порядка. Для больших z можно воспользоваться асимптотическим выражением функции Бесселя:
¥ Х‘ •	(IV.3—27)
Г (х + 1) \ о2х2 / со
Здесь Г — гамма-функция (Г (х) = tx~le~‘dty Выражения (IV.3—24), (IV.3—27) определяют приближенное асимптотическое решение, имеющее вид волны жертв и хищников, распространяющейся в пространстве со скоростью о.
280
Рис. IV.12. Распределение плотности популяций хищников (<р2) и жертв (<Pi) в пространстве
Рис. IV. 13. Распределение плотностей популяций хищников в пространстве в разные моменты времени в случае малой подвижности жертв
Точные результаты могут быть получены численно при помощи ЭВМ. На рис. IV.12 представлено распределение плотностей популяции жертв epi и хищников <р2 в фиксированный момент времени — «волну погони и бегства», как назвали ее Чоу и Там (1976). Рис. IV. 13 иллюстрирует формирование волн хищника в различные моменты времени в случае малой подвижности жертв.
(
б 4. ОБОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ВИДОВ
Описывая неодинаковые природные ситуации, разные авторы предлагали большое число моделей, правые части уравнений которых представляли собой некоторые функции численности изучаемых популяций. Вид этих функций определялся исходя из конкретной экспериментальной ситуации. Возник вопрос о выработке некоторых- общих критериев, позволяющих установить, какого вида функции могут описать те или иные особенности поведения численности взаимодействующих популяций, в частности устойчивые колебания.
Одной из первых попыток в этом направлении была работа Колмогорова, написанная в 1935 г. (Колмогоров, 1972). В ней при некоторых самых общих предположениях исследована следующая система дифференциальных уравнений:
L(x)y,
(IV.4-1) at
Такая система служит моделью взаимоотношений типа хищник — жертва между видами при следующих предположениях:
1)	хищники не взаимодействуют друг с другом, т. е. коэффициент размножения хищников £2 и число жертв L, истребляемых в единицу времени одним хищником, не зависят от у;
281
2)	прирост за малые промежутки времени числа жертв при наличии хищников равен приросту в отсутствие хищников минус число жертв, истребляемых хищниками. Относительно входящих в уравнение функций k\(x), k2(x), L(x) делаются лишь весьма общие естественные допущения, касающиеся  качественного характера их зависимости от х. Предполагается, что эти функции непрерывны и определены на положительной полуоси х, г/>0;
3)	~~ < 0. Это значит, что коэффициент размножения жертв в отсутствие хищников монотонно убывает с возрастанием численности жертв, что отражает ограниченность пищевых и иных ресурсов;
dk
4)	—— > 0, &2(0) <0<&2(°°). Такое ограничение означает, что с ростом численности жертв коэффициент размножения хищников возрастает, переходя от отрицательных значений (в обстановке, когда нечем питаться) к положительным;
5)	число жертв, истребляемых одним хищником в единицу времени Л (х) >0 при W>0; L (0) =0.
Рассмотрим характер фазовых траекторий, возможных в системе (IV.4—1), и стационарные состояния этой системы. С этой целью найдем особые точки системы в положительном квадрате фазовой плоскости. Можно показать, что их две или три: первая точка (О, О). Вторая точка (Л, О), где А определяется из уравнения £1(Л) =0. Третья точка (В, С), где В, С определяются из уравнений:
k2(B)=0; kl(B)B—L(B)C=0.
Последняя точка помещается в положительном квадранте и отлична от второй лишь в случае Aii(B)>-0, т. е. А>В.
Исследование характера особых точек методом линеаризации Ляпунова показывает, что особая точка в начале координат (О, О) всегда является седлом. Точка (Л, О) представляет собой седло, если В<А, и устойчивый узел, если В>А. При таком соотношении параметров все фазовые траектории сходятся в эту особую точку.
В окрестности точки (В, С) при В<А получаем линеаризованные уравнения:
.	dt
^- = Ck'(B)t dt
Здесь	ё = х—В, г\=у—С,
о2= —ki(B)—ki(B)B + L(B)C.
Особая точка есть фокус или узел, устойчивость которых зависит от знака а: если а>0, точка устойчива,* если а<0, особая точка
282
(0,0)	(A,0) N, (0,0)	(А,0) Nf (Oft) (A,0)	(0,0) (A,0) Nf
Рис. IV.14. Фазовый портрет системы (IV.4—1), описывающей взаимодействие двух видов при различных' соотношениях параметров (Колмогоров, 1972)
неустойчива и вокруг нее могут существовать предельные циклы — устойчивые периодические колебательные решения. Возможные виды фазовых портретов системы уравнений (IV.4—1) представлены на рис. IV. 14, а, б, в, г. Как мы видим, в зависимости от значений параметров поведение переменных может иметь существенно различный характер. В частности, в случае б, имеет место предельной цикл, изображающий устойчивые колебания численности популяций.
Еще одна обобщенная модель взаимоотношений хищник — жертва, широко обсуждавшаяся в литературе, принадлежит Ро-зенцвейгу и Мак-Артуру (Rosenzweig, Mac Arthur, 1963). В ней рассматривается система уравнений:
-^_ = /(х)-Ф(х, у),
^-=-еу + кФ\х, у),	(IV.4-2)
аг
где f(x) — скорость изменения численности жертв х в отсутствие хищников у; Ф(х, у) — интенсивность хищничества; k — эффективность превращения жертвы в хищника; е — смертность хищника. Модель (IV.4—2) сводится к модели, являющейся одним из частных случаев модели Колмогорова при следующих предположениях:
1) численность хищника ограничивается только численностью жертвы;
2) скорость, с которой данцая особь хищника поедает жертву, зависит только от плотности популяции жертв и не зависит от плотности хищников.
Тогда уравнения (IV.4—2) принимают вид:
A Y
-^- = /(х)-//Ф(х),
-%-=-еу + куФ(х).	(WA-3)
283‘
Анализ качественного поведения решений этой системы (Смит, 1976) позволил сделать следующие выводы:
1.	Взаимодействие хищник — жертва, при котором численность хищника ограничивается наличием жертвы, может приводить к регулярным колебаниям численности,
2.	Если численность жертвы ограничивается количеством необходимых ей ресурсов, а не воздействием хищника, то это приводит к затухающим колебаниям;
3.	Если численность хищника ограничивается не количеством жертвы, а каким-то фактором, то это приводит к затуханию колебаний.
4.	Если имеются убежища, благодаря которым какое-то постоянное число особей жертвы оказывается недосягаемым для хищников, то это приводит к затуханию колебаний;
5.	Амплитуда колебаний будет возрастать, и эти колебания могут привести к вымиранию одного или обоих видов, если хищник может прокормиться при такой плотности популяции жертвы, которая гораздо ниже допускаемой емкостью среды (максимально возможной в логистической модели).
Мак-Артур (MacArthur, 1971) описал конкретный биологический пример такой системы, имеющей своим решением предельный цикл:
37- = х (—+ k2x —-х2 4- ksy—у2— ktxy), at
-^-=y(k&—key—k,x + ksxy).	(iv.4—4)
Здесь x, у — биомассы двух видов насекомых. Чтобы уточнить значение членов,' стоящих в скобках в правых частях уравнений, рассмотрим уравнение для х. Насекомые вида х поедают личинок вида у (член+^з!/), но взрослые особи вида у поедают личинок вида х при условии высокой численности видов х или у или обоих видов (члены—k4xy—у2). При малых х смертность вида х выше, чем его естественный прирост (1—k\+k2x—х2<0 при малых х). Во втором уравнении член отражает естественный прирост вида у; —k6y — самоограничение этого вида, —k7x — поедание личинок вида у насекомыми вида x;k^xy — прирост биомассы вида у за счет поедания взрослыми насекомыми вида у личинок вида х: На рис. IV. 15 представлен предельный цикл, являющийся траекторией устойчивого периодического решения системы (IV.4—4).
Решение вопроса о том, каким образом обеспечить сосуществование популяции с ее биологическим окружением, разумеется, ие может быть получено без учета специфики конкретной биологической системы и анализа всех ее взаимосвязей. Вместе с тем изучение формальных математических моделей позволяет ответить на некоторые общие вопросы.
Так, для моделей типа (IV.4—1) факт совместимости или несовместимости популяций не зависит от их начальной численно-284
сти, а определяется только свойствами функций ki(x, у), k2(x,y), т. е. в конечном счете характером взаимодействия видов.
Модель помогает ответить на вопрос: как следует воздействовать на биоценоз, управлять им, чтобы по возможности быстро уничтожить вредный вид. Пусть популяция вредного вида совместима с окружающим биоценозом. Введение управления в систему уравнений (IV.4—1) возможно в двух формах. Во-первых, можно ввести управляющие параметры, определяющие вид функций k[ и k2. Это соответст-
Рис IV. 15. Фазовый портрет модели (IV.4—4) (MacArthur, 1971)
вует использованию принципиаль-
но биологических методов борьбы, меняющих характер взаимодействия между популяциями. Во-вторых, управление может сводиться к кратковременному, скачообразному изменению величин численности х и у. Такой способ отвечает методам борьбы типе? однократного уничтожения одной или обеих популяций химическими средствами. Из сформулированного выше утверждения видно, что для совместимых популяций второй метод борьбы будет малоэффективным, в то время как изменение вида функций k2 может
привести к желаемому результату — уничтожению популяции вредного вида. Интересно отметить, что иногда воздействие целесообразно применить не к самому вредителю, а к его партнеру. Какой из способов более эффективен, в общем случае сказать нельзя. Это зависит от имеющихся в распоряжении средств управления и от явного вида функций ki, k2, описывающих взаимодействие популяций, составляющих исследуемый ценоз.
Уравнения (IV.4—1), (IV.4—2) записаны в самом общем виде. Были предприняты попытки конкретизировать тип функций, отражающих взаимодействие биологических видов' в сообществе так, чтобы эти функции, будучи конкретными, могли описывать в то же время достаточно широкий спектр экспериментальных ситуаций.
Одна из наиболее подробно изученных моделей предложена и •исследована в работах А. Д. Базыкина (1985).
dx dt
А------
1 + рх
Ех*,
Л-=_Су + -^У---------Му*,
dt	у 1+рх 
(IV.4—5)
Эта модель описывает динамику двух видов, взаимодействующих
285
по типу хищник — жертва, и является обобщением исследованной нами в § 1.5 классической системы Вольтерра:
*	~^~ = Ах—Вху,
(IV.4— 6>
— = Су + Dxy.
Система (IV.4—5) возникает в. рамках вольтерровской схемы при дополнительном учете следующих важных биологических эффектов:
1.	Насыщение хищников. В модели (IV.4—6) предполагается^ что интенсивность выеданйя жертв хищниками линейно растет с ростом плотности популяции жертв. Это положение не соответствует данным экспериментов. Для описания зависимости рациона хищника от плотности популяции жертв могут быть выбраны разные функции. Наиболее существенно, чтобы выбранная функция с ростом х асимптотически стремилась к постоянному значению. В работах Базыкина в качестве такой функции выбрана гипербола х/ (1 + рх).
2.	Конкуренция жертв. Ограниченность внешних ресурсов и следующая из нее невозможность неограниченного размножения популяции жертв учитывается путем замены члена Ах (размножение жертв в отсутствие хищников в системе (IV.4—6)) логистическим членом Ах k~~-  Это эквивалентно введению в первое k
уравнение системы отрицательного члена — Ех2.
3.	Конкуренция хищников. Даже при неограниченном питании плотность популяции хищников не может расти неограниченно: она стабилизируется на некотором уровне за счет недостатка каких-то иных ресурсов, например просто территории. Конкуренцию за эти ресурсы естественно по аналогии с внутривидовой конкуренцией жертв описать посредством отрицательного квадратичного члена во втором уравнении — Му2.
Система (IV.4—5) зависит от семи параметров. С помощью замены переменных: x-^(A/D)x; y->(A/D)y; t-+-(\/A)t; y=c/A-r a=PD/A-, e = E/D-, р=М/В — можно избавиться от трех параметров и перейти к системе:
dx
---= х —
dt
ХУ
1 + ах
—ех2,
dy dt
~УУ+ ------h РУ2,
™	1 + ах
(IV.4—7}
зависящей от четырех параметров.
Для полного качественного исследования системы (IV.4—7) необходимо разбить четырехмерное пространство параметров на области с различным типом динамического поведения, т. е. пост
286
роить параметрический или структурный портрет системы. Затем надо построить «фазовые портреты для каждой из областей параметрического портрета и описать -бифуркации, происходящие с фазовыми портретами на границах различных областей параметрического портрета. Сформулированная задача достаточно сложна. Построение полного пара-
Рис. IV.16. Параметрический портрет системы (III.4—7) при фиксированных у и малых е
метрического портрета производится в виде, набора «срезов» параметрических портретов меньшей размерности при фиксированных
значениях некоторых из параметров. Параметрический портрет системы (IV.4—7) при фиксированных у и малых е представлен
на рис. IV.16. Он содержит 10 областей с различным типом поведения фазовых траекторий, показанных на рис. IV.17. В соответ-
ствии с этими фазовыми портретами поведение системы при различных соотношениях параметров может быть существенно различным. В. системе возможно: 1) одно устойчивое равновесие (области 1 и 5); 2) один устойчивый предельный цикл (области 3 и 8); 3) два устойчивых равновесия (области 2); 4) устойчивый предельный цикл и устойчивое равновесие вне его (область 4); 5) устойчивый предельный цикл и устойчивое равновесие внутри него (области 6, 7, 9, 10).
В областях 7, 9, 10 область притяжения равновесия ограничивается неустойчивым предельным циклом, лежащим внутри ус-
Рис. IV.17. Набор фазовых портретов системы (Ш.4—7) в конечной части первого квадранта, соответствующих областям 1—10 параметрического портрета рис. (IV. 16)
287
Рис. IV.18. Область притяжения В2 для параметрической области 6 (см. рис. 111.16)
тойчивого. Наиболее интересно устроен фазовый портрет, соответствующий области 6 на параметрическом портрете, Детально он изображен на рис. IV.18. Область притяжения равновесия (заштрихована) представляет собой «улитку», скручивающуюся с неустойчивого фокуса Bi. Если известно, что в начальный момент времени изображающая точка системы находится в окрестности Bi, то судить о том, придет ли соответствующая траектория в равновесие В2 или на устойчивый предельный цикл,-окружающий три точки равновесия С, Bi и В2, можно лишь на основе вероятност
ных соображений.
На параметрическом портрете (см. рис. IV. 16) имеются 22 различные бифуркационные границы, которые образуют 7 различных типов бифуркаций. Их изучение поз-
воляет выявить возможные типы поведения системы при изменении ее параметров. Например, при переходе из области I в область 3 происходит рождение малого предельного цикла, или мягкое рождение автоколебаний вокруг единственного равновесия В. Аналогичное мягкое рождение автоколебаний, но вокруг одного из равновесий, а именно В{ происходит при пересечении границы областей 2 и 4. При переходе из области 4 в область 5 устойчивый предельный цикл вокруг точки Вг «лопается» на петле сепаратрис и единственной притягивающей точкой остается равновесие В2 и т. д.
Особый интерес для практики представляет, конечно, выработка критериев близости системы к бифуркационным границам. Действительно, биологам хорошо известно свойство «буферности» или «гибкости» природных экологических систем. Этими терминами обычно обозначают способность системы как бы поглощать внешние воздействия. Пока интенсивность внешнего воздействия не превышает некоторой критической величины, поведение системы не претерпевает качественных изменений. На фазовой плоскости это соответствует возвращению системы в устойчивое состояние равновесия или на устойчивый предельный цикл, параметры которого не сильно отличаются от первоначального. Когда же интенсивность воздействия превышает допустимую, система «ломается», переходит в качественно иной режим динамического поведения, например просто вымирает. Это явление соответствует бифуркационному переходу.
Каждый тип бифуркационных Нереходов имеет свои отличительные особенности, позволяющие судить об опасности такого перехода для экосистемы. Приведем некоторые общие критерии, свидетельствующие о близости опасной границы. Как и в случае одного вида (§ 2), если при уменьшении численности одного из.
288
видов происходит «застревание» системы вблизи неустойчивой; седловой точки, что выражается в очень медленном восстановлении численности к начальному значению, значит, система находится вблизи критической границы. Индикатором опасности будет также изменение формы колебаний численностей хищника и жертвы. Если из близких к гармоническим колебаниям становятся релаксационными,* причем амплитуда колебаний увеличивается, это может привести к потере устойчивости системы и вымиранию одного из видов.
Итак, в § 2, 3 мы рассмотрели математические модели, описывающие взаимодействие двух видов. Сделаем некоторые выводы. При моделировании биоценоза из двух видов система Вольтерра (IV.3—1) из двух уравнений дает возможность для описания устойчивого сосуществования видов в условиях конкуренции, симбиоза и хищничества (паразитизма). При попытке описать устойчивые колебания численности видов мы сталкиваемся с трудностями. Система уравнений (IV.3—16), имеющая особую точку типа центр, негрубая, и следовательно, неустойчива к случайным колебаниям численности. Предельных же циклов, являющихся фазовыми траекториями устойчивых автоколебаний, система типа Вольтерра (IV.3—1) иметь не может. Для получения предельных циклов в модельных системах приходится выходить за рамки гипотез Вольтерра и учитывать более тонкие эффекты взаимодействия между видами, системы уравнений, в общем виде (IV.4—1), (IV.4—3), частные примеры (IV.4—4), (IV.4—5).
Дальнейшее углубление математической теории взаимодействия видов идет по линии детализации структуры самих популяций и учета временных и пространственных факторов.
§ 5. МОДЕЛИ БИОГЕОЦЕНОЗОВ, СОДЕРЖАЩИХ БОЛЬШОЕ ЧИСЛО ВИДОВ
До сих пор мы рассматривали системы уравнений, описывающих поведение биоценозов, состоящих из двух видов. Однако известно, что природные биоценозы обладают, как правило, гораздо более сложным строением: несколькими уровнями, между которыми существуют разнообразные трофические (пищевые) и топические (не связанные 'с целью питания) связи. Структура трофической пирамиды может быть весьма различной в зависимости от климата, почвы, ландшафта, длительности существования ценоза и других факторов.
При анализе биологических сообществ принято строить пищевые или трофические, сети, т. е. графы, вершины которых соответствуют видам, входящим в сообщество, а ребра указывают трофические связи между видами. Обычно такие графы являются ориентированными: направление дуги между двумя вершинами указывает на тот из видов, который является потребителем другого, т. е. направление дуги совпадает с направлением потока вещества или биомассы в системе.
289
Рис. IV. 19. Пример двухуровневой	Рис. IV.20. Схема потоков массы и
трофической пирамиды (Одум, 1975)	энергии между основными компо-
нентами наземных экосистем
Часто трофические графы изображают в виде трофических пирамид. В такой пирамиде выделяются трофические уровни — группы видов, между которыми невозможны прямые пищевые связи. Уровней может быть несколько: виды, принадлежащие одному уровню, находятся либо в состоянии конкуренции за жизненные ресурсы, либо коалиции в использовании ресурса. На рис. IV. 19 изображен пример двухуровневой трофической пирамиды, взятой из книги Ю. Одума «Основы экологии» (1975). Из 15 видов насекомых (верхний уровень) 5 видов питаются толы .ко на одном из двух видов растений, 2 вида — только на втором, в рацион остальных 8 видов насекомых входят оба вида растений.
Основные трофические уровни наземных сообществ — это продуценты, или автотрофы (растения, аккумулирующие энергию света и вещества субстрата) и гетеротрофы: первичные консументы (травоядные) и вторичные консументы (хищники, питающиеся травоядными). В некоторых случаях трофическая цепь может содержать и большее число уровней: например, растения служат пищей насекомым, насекомые поедаются птицами, которые в свою очередь служат пищей более крупным хищным птицам.
Если в структуре сообщества учитывать движение некоторых биогенных элементов и энергии, то в системе обнаруживаются петли обратной связи. Разлагатели (редуценты): Микробы, грибы, бактерии — в процессе своей жизнедеятельности расщепляют сложные органические соединения (экскременты и мертвую органику) на более простые минеральные вещества, необходимые продуцентам. Образование органической биомассы происходит в процессе фотосинтеза с использованием солнечного света из уг
-.290
лекислого газа и воды, причем здесь необходимы также элементы, поступающие из почвы: азот, фосфор, калий, кальций, магний, железо, и др.
Общая схема потоков массы и энергии между основными компонентами • наземных экосистем изображена на рис. IV.20.
Пусть сообщество состоит из п видов. Полную структуру парных взаимодействий между видами можно изобразить с помощью матрицы S из пХп элементов. Элемент (i, j) представляет собой знак +,
Рис. IV.21. Пример знакового» ориентированного сообщества (Свирежев, Логофет, 1978)
— или 0 и показывает влияние
i-того вида на /-тые. Симметричные пары элементов S указывают
на тип парного взаимодействия между видами:
+ + — симбиоз или мутуализм; -I--------хищник — жертва (паразит — хозяин); +0 — комменсализм;----------— конкуренция;
— 0 — аменсализм; 0 0 — нейтрализм.
Взаимоотношения между видами можно характеризовать и при помощи знакового ориентированного графа, который строится по •следующему правилу. Если вид / влияет каким-либо образом на вид i, то проводится ребро j-+i и ему приписывается знак этого влияния. Например, на рис. IV.24 изображен знаковый граф сообщества, в котором установлены следующие взаимоотношения между видами. Вид i является хищником и поедает виды 2 и 3, которые в свою очередь питаются видами 4, 5, 6. Виды 4 и 5, а также 5 и 6 связаны отношениями конкуренции. Виды 3, 4, 5 са-
молимитируются по численности.
В современной литературе по математической экологии воль-терровскими моделями сообществ п видов принято считать систе
мы вида t
п
<WZ-
—- = N, dt -
1 = 1,2....п, (IV.5—1)
где st — скорость естественного прироста или смертности i-того вида в отсутствие всех остальных видов, а знак и абсолютная величина	отражают соответственно характер и интенсив-
ность влияния /-того вида на i-тый вид; у,-,- — показатель внутривидового взаимодействия для i-того вида. Матрицу Г == ||уо11, отражающую структуру связей сообщества, называют матрицей сообщества. С введенной выше знаковой матрицей S она связана соотношением:
S =—signF.
291-
Изложенные нами в § 1 гипотезы Вольтерра, на основе которых построена система (IV.5—1), предполагают локальный принцип опирания взаимодействия вйдов — принцип «встреч», который ведет свое происхождение из статистической физики. Ю. М. Свирежев показал, что вольтерровские уравнения могут -быть получены из чисто экологических предпосылок.
Рассмотрим сообщество, структура которого изображена на рис. IV.20. Компоненты сообщества разобьем на три основные группы.	₽
Продуценты с биомассами (или концентрациями) • x,(i = = 1,2, ..., т). Это в основном зеленые растения;
Консументы с концентрациями t//(/=l, 2, ..., п). К этой группе отнесем животных, пожирающих другие организмы и разлага-телей, расщепляющих мертвую органику на простые вещества, которые используются продуцентами;
Субстраты с концентрациями ck(k—l, 2, ..., р). Это абиотические вещества (в основном продукты жизнедеятельности консументов), используемые продуцентами.
Составим уравнения, отражающие баланс масс каждого из этих компонентов:
п
-^ = (M_Di)xz-y У>7У/. + ^, t=l, at	c-J
п
JlL^^y-D^yi-Vv^ + Ry, /==1, ..., п, (IV.5^2) at	лшл
Г—]
п	tn
2ukiy,- - £	+	-----р-
i=-i	i-1
'Здесь F‘, D‘ — функции рождаемости и смертности продуцентов й консументов; Vtj — функция выедания, описывающая скорость потребления биомассы t-того вида-продуцента единицей биомассы /-того вида-консумента; Vjr — функция выедания /-того вида г-м видом (среди консументов); Ukj — интенсивность производства A-того субстрата /-тым консументом; Rx, Ry, Rc — сумма входных и выходных потоков соответствующих компонент. В общем случае все эти функции зависят от параметров внешней среды.
Конкретизируем функции, входящие в обобщенную модель (IV.5—2). Пусть рождаемость i-того вида продуцента Fx‘ зависит только от интенсивности светового потока / и количества потребляемых субстратов в форме
р Flx= у . k=i
292
Здесь — стехиометрические коэффициенты, показывающие долю &-того субстрата, идущего на построение биомассы i-того продуцента.
Для скорости прироста /-того консумента аналогично получаем
tn	n
= у К?иц+ у P^vr!,
где КР, — стехиометрические коэффициенты взаимодействия консументов с продуцентами и хищничества среди консументов.
Сделаем дальнейшие упрощающие предавложения. Пусть рождаемость продуцентов не лимитирована ни светом, ни минеральным питанием, а ограничена лишь чисто физиологическими пределами. Тогда У7/=const. Субстраты в этом случае не оказывают влияния на динамику остальных компонент, поэтому в модели можно рассматривать только виды-продуценты и виды-консумеи-ты и третье уравнение из системы (IV.5—2) исключить. Предположим также, что система замкнутая и Rx = Ry=Rc = 0-
Пусть функция смертности линейно зависит от численности соответствующих видов:
Dx = Mi + у iilsxs, dy = M'y + у vjryr. s=l	г—1
Здесь Mi, My— коэффициенты естественной смертности продуцентов и консументов, р», v// описывают интенсивность внутривидовой конкуренции.
Пусть функция выедания также линейно зависит от концентра- ции (биомассы) выедаемого вида:
• V//=	=	r = 1, ... , п.
Учитывая сделанные предположения, модель IV.5.2 можно записать в виде
dzk dt
m-\-n
=	----Г" У	1, ... , /П + П. (IV.5—3)
Ok
Здесь
( xit k = i= 1, ... , tn, zk = {
I yh k—m = i= 1, ...
n;
4 =
Fx—mx, k = i=l, ... , т,
—m’y, k—m = /= 1,
293
—^—ak = bk ‘
MtS> k, e = i, s= 1,,.. , m, at/, k= i = 1, ... , m,
I—m = j = 1, ... , n, — k^aij, ,k—tn — j—l, l = i=\, ... , tn,
k —m, I—m = j, r— 1, ... , n.
Система (IV;5—3) путем преобразования переменных Nk = bkZk и введением матрицы с элементами уле=аЛе/Ь*Ье может быть записана в виде (IV.5—1) и представляет собой самый общий вид вольтерровских моделей.
Таким образом, рассмотрение балансовых соотношений массы в биогеоценозе приводит к уравнениям, сходным по форме с уравнениями Вольтерра. Поэтому важные выводы, сделанные Вольтер-, ра из математического анализа своих систем, ’являются правильными и актуальными и с точки зрения современной экологической науки.
При моделировании каждой конкретной экосистемы требуется  внимательное изучение характера взаимодействий видов, как находящихся на одном трофическом уровне, так и вступающих в пищевые взаимодействия. При этом, как и в случае взаимодействия двух видов (§ 4), функции рождаемости, смертности и выедания могут носить более сложный характер, чем это предусматривается гипотезами Вольтерра. Часто система уравнений, описывающих динамику видов, так сложна, что не только решение, но и исследование устойчивости стационарных состояний такой си-сте'мы требует применения ЭВМ. Однако некоторые общие выво-< ды могут быть сделаны при исследовании упрощенных систем.
ЛИТЕРАТУРА
Абросов Н. С., Ковров Б. Г., Черепанов О. А. Экологические механизмы сосуществования и видовой регуляции. — Новосибирск, 1982. -
Алексеев В. В. Зависимость числа видов в стационарном сообществе от температуры // Биофизика. — 1981. — Т. 26, № 4.
Алексеев В. В., Крышев И. И., Полякова М. С., С а з ы кина Т, Г. Динамика и статистическая механика биогеоценозов с фиксированной массой лимитирующего биогенного элемента//Человек и биосфера. — М., 1978.
Баз ы к и н А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций.— М., 1985.
Бейли Н. Математика в биологии и медицине.М., 1970.
Беллман Р., К о л а б а Р. Динамическое программирование и современная теория управления.—М., 1969.
Блохина И. Н., Угодчнков Г. А. Исследование динамики микробных популяций (системный подход). — Горький, 1980.
Берталаифи Л., фон. Общая теория систем, критический обзор//Исследования по общей теории систем. — М., 1969.
294
Вилли К., ДетьеВ. Биология. — М., 1874.
Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование — М., 1976.
Гильдерман Ю. И., Кудрина К. Н., Полетаев И. А. Модели Л-систем (системы с лимитирующими факторами) // Исследования по кибернетике. — М., 1970.
Горстко А. Б., Домбровский Ю. А., Сурков Ф. А. Модели управления эколого-экоиомическими системами.— М., 1984.
Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии. — М„ 1981.
Домбровский Ю. А., Маркмаи Г. С. Простраиствеиная и временная упорядоченность в экологических и биохимических* системах. — Ростов, 1983.
Заславский С. И. Лекции по теории оптимального управления. — М., 1977.
Колмогоров А. И. Качественное изучение моделей динамики популяций//Проблемы кибернетики. — М., 1972. — Вып. 25.
Ляпунов А. А. О кибернетических вопросах биологии//Проблемы кибернетики. — М„ 1972. — Вып. 25.
Меншуткци В. В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных. — Л., 1971.
Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. — М., 1975.
Одум Ю. Основы экологии. — М., 1975.
Печуркин Н. С. Популяционная микробиология. — Новосибирск, 1978.
Печуркин Н. С. Энергетические аспекты развития иадорганизменных систем. — Новосибирск, 1982.
Полуэктов Р. А., Пых Ю. А., Швытов И. А. Динамические модели экологических систем. — Л., 1980.
Пых Ю. А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики.— М., 1983.
Свирежев Ю. М. О математических моделях биологических сообществ и связанных с ними задачах управлении и оптимизации//Математическое моделирование в биологии. — М„ 1,975.
Свирежев Ю. М., Елизаров Е. Я. Математическое моделирование биологических систем//Проблемы космической биологии. — М., 1972. — Т. 20.
Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М„ 1978.
Смит Д. М. Модели в экологии. — М., 1976.
Сукачев В. Н. Основы лесной типологии и биогеоценологии//Избр. тр. — Л., 1972. — Т.1.
Уатт К. Экология и управление природными ресурсами. — М., 197L
Уильямсон М. Анализ биологических популяций. — М., 1975.
X и и ч и и А. Я. Математические основания статистической механики. — М„ 1943.
Ш н о л ь С. Э. Физико-химические факторы биологической эволюции. — М., 1979.
Экологические системы. Адаптивная оценка и управление / Под ред. Э. Холдинга. — М., 1P8U
Chow Р. L., Tam W. С. Periodic and travelling ware solutions fo Vol-tevra — J_otka equations with diffusion//Bull. Math. Biol. — 1976. — Vol. 38. — . P. 643—658.
Kerner E. H. A statistical mechanics of interacting biological spesies//Bull. Math. Biophys. — 1957. — Vol. 19.
295
Leslie P. H. The use of matrices in certain population mathematics//Bio-metrica. — 1945. — Vol. 33.
Levins R. Evolution in changing environments. — Prinston, 1968.
MacArthur R. Graphycal analysis of ecological systems. Division of Biology Report. — Prinston, 1971.
N i с к о 1 s о n A. I. An outline of the dynamics of animal populations//Aust. J. Zool. — 1954. — Vol. 2.
P о n t i n A. J. Experimental transplantation of nest—mounds of the ant Lasins flavus in a Habitat containing also L. Niger//J. Anim. Ecol. — 1969. — Vol. 38.
Rosenzweig W. L., MacArthur R. H. Graphycal representation and stability conditions of predator—prey interactiens//Amer. Nature. — 1963'. — Vol. 97. — P. 209—223.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При всем разнообразии биологических систем имеется целый ряд характерных особенностей, присущих всему живому. Это справедливо и в отношении типов динамического поведения, и механизмов регуляции процессов в живых системах на всех уровнях биологической организации. Изучение динамики биологических процессов на разных уровнях показывает удивительное сходство кинетических особенностей механизмов, лежащих в основе различных по своей биологической природе явлений. Для математического описания «похожих» явлений, например колебаний биологических переменных, естественно применять сходный математический аппарат. Хотя реальный смысл переменных и параметров в моделях разных конкретных явлений различен, тем не менее тип взаимодействия составных элементов может быть сходен. Именно поэтому использование сходных по математической форме систем уравнений оказалось успешным при описании столь различных процессов, как ферментативные реакции и взаимодействие видов в популяциях. Изоморфизм динамических отношений, позволяющий применять системный подход к явлениям разной природы, лежит в основе использования одних и тех же методов математического моделирования для описания процессов ферментативного катализа, взаимодействия видов в экологической системе, переноса электрона и трансформации энергии в биоструктурах.
Современные математические модели в биологии можно разбить на три класса. Первый' — описательные модели: регрессионные и другие эмпирически установленные количественные зависимости, не претендующие на раскрытие механизма описываемого процесса. Второй —; модели качественные, которые строятся для выяснения механизма изучаемого процесса, способные воспроизвести наблюдаемые качественные динамические эффекты в поведении системы, такие, как например колебательный характер изменения переменных или образование неоднородной в пространстве структуры. Обычно эти модели не слишком громоздкие, поддающиеся качественному исследованию, аналитическому или на ЭВМ.
Третий класс — имитационные модели конкретных сложных систем, учитывающие всю известную информацию об объекте. Целью построения таких моделей является детальное прогнозирование поведения сложных систем или решение оптимизационной задачи их эксплуатации.
297
Биофизический. подход подразумевает изучение физических и биологических механизмов исследуемых явлений. Поэтому, к области математической биофизики относятся задачи в первую очередь второго или в некоторой степени третьего типа. Мы видели, что чем лучше изучен биологический объект, тем более обоснованной является и его кинетическая модель. При условии тесной связи прямого экспериментального исследования и математического-описания кинетическая модель может служить необходимым про-мёжуточным связующим звеном между опытными данными и основанной на них теорией изучаемых процессов. Такое взаимодействие, как мы видели, имеет место при. исследовании первичных процессов фотосинтеза. Однако в менее экспериментально изученных областях ситуация иная. Здесь модель служит в первую очередь средством проверки тех или иных предположений о типах взаимодействия компонентов системы. Критерием служит совпадение выводов модели со свойствами наблюдаемого феномена. Результаты, полученные при исследовании таких моделей, могут быть применены для построения уже сложных имйтацион-иых моделей, преследующих практические цели. Именно таким путем развивается математическая экология.
По-видимому, понимание природы явлений можно достичь, следуя тем и другим путем «снизу», от физических и биологических механизмов, лежащих в основе процессов, и «сверху» — от описания качественных черт явления, в обоих случаях сравнивая результаты с экспериментом.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение......................................................... 3
О математическом	моделировании	биологических	процессов ....	3
Г л*а в а I. Методы качественного исследования динамических моделей биологических	систем	14
§ 1.	Модели биологических систем, описываемые одним .дифференциальным уравнением первого	порядка.	Устойчивость.	Метод Ляпунова	14
§ 2.	Модели, описываемые системами дифференциальных уравнений второго порядка. Фазовый портрет системы. Определение устойчивости 23
§ 3.	Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Пример анализа линейной системы: химические реакции первого порядка...............................................................31
§ 4.	Исследование устойчивости нелинейных систем по методу Ляпуно-
ва. Примеры: уравнения Лотки и Вольтерра..........................43
§ 5.	Биологические триггеры .	.	........................... 53
§ 6.	Автоколебания. Предельные циклы .	.......................60
§ 7.	Проблема быстрых и медленных переменных. Теорема Тихонова .	65
§ 8.	Распределение системы в биологии...............................  73
Глава II. Математическая теория ферментативных процессов	86
§ 1.	Свойства ферментов. Стационарная кинетика катализа ....	86
§ 2.	Динамические свойства открытых одиоферментиых реакций. Модель открытой необратимой ферментативной реакции с субстратным угнетением. Множественные стационарные состояния. Триггерные режимы. Автоколебания в реакции с субстратным и продуктным угнетением ................................  .	. ' .	.............ПО
§ 3.	Модели полиферментных систем....................................145
Глава III. Математические модели фотосинтеза	168
§ 1.	Математические модели первичных процессов фотосинтеза . .	170
§ 2.	Математическая модель z-схемы фотосинтеза высших растений . . .. 180 § 3. Кинетика циклического и нециклического электронного транспорта
в бактериальном фотосинтезе ?	.	....................185
§ 4.	Вероятностное описание переноса электрона в мультиферментном .комплексе...........................................................192
§ 5.	Окислительно-восстановительные превращении фотоактивного бактериохлорофилла в реакционном центре пурпурных бактерий .	.	.	205
§ 6.	Исследование природы взаимодействия переносчиков электрона в хроматофорах фотосинтезирующих бактерий..............................211
§ 7.	Модели продукционного процесса растений.........................219
§ 8.	Математические модели СО2 газообмена растений...................230
Глава IV. Кинетические модели в экологии	240
§ 1.	Основные принципы построения моделей............................240
299
§ 2.	Модели отдельной популяции .	...........................
Влияние запаздывания .........................................
Дискретные модели популяций...................................
Матричная теория популяций....................................
Стохастические модели популяций. Вероятностное описание процес сов размножения и гибели......................................
Учет случайных изменений среды................................
§ 3.	Вольтерровские' модели взаимодействия двух видов .... Конкуренция.......................................................
Хищник — жертва...............................................
Учет пространственного перемещения............................
§ 4.	Обобщенные модели взаимодействия двух видов.................
§ 5.	Модели биогеоценозов, содержащих большое число нидов
Заключение
247 251
255
257
262 266
268 269
275
278 281
289
297
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Андрей Борисович Рубин, Нина Федоровна Пытьева,. Галина Юрьевна Ризниченко
КИНЕТИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.
Зав. редакцией Н. М. Глазкова
Редактор Н. М. Гърелнк
Художник Ю. И. Артюхова
Художественный редактор Е. М. Д е м н н а
Технический редактор К. С. Чистякова
Корректоры В. П. Кададинская, С. Ф. Б у д а е i
ИБ № 2332
Сдано в набор 02.04.86.	Подписано в печать 31.10.86.
Л—66475. Формат 60х90‘/1б. Бумага тип. № 3. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 19,0. Уч.-изд. л. 20,29. Тираж 2160 экз. Заказ 353, Изд. № 3217^ Цена 85' коп.
Ордена «Знак Почета» издательство Московского университета. 103009, Мосива, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ.
119899, Москва, Ленинские горы
А.Б. Рубин Н.Ф.Пытьева Г Ю.Ризниченко
КИНЕТИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Издательство
Московского университета