/
Автор: Шафаревич И.Р. Никулин В.В.
Теги: математика геометрия естественные науки задачи по геометрии точные науки
Год: 1983
Текст
В. В. НИКУЛИН, И. Р. ШАФАРЕВИЧ
ГЕОМЕТРИИ
И ГРУППЫ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1983
22.15
H 65
УДК 513
Никулин В. В.,
М.: Наука, 1983.— 240 с.
Шафаревич И. Р. Геометрии и группы.—
В книге излагается теория геометрий, в достаточно малых частях сов-
совпадающих с евклидовой. Разбирается ряд примеров таких геометрий и стро-
строится их общая теория, опирающаяся ка понятие равномерно-разрывной
группы преобразований. Описывается приложение этих понятий к кристал-
кристаллографии, а также их связь с геометрией Лобачевского. Чисто геометриче-
геометрическое изложение не требует никаких знаний, выходящих за пределы про-
программы по математике средней школы.
Для преподавателей математических факультетов университетов и пед-
пединститутов. Может быть использована студентами соответствующих специ-
специальностей и преподавателями математики средней школы.
1702040000-156
053 @2)-83
I Издательство «Наука»;
Главвая редакция
физико-математической
литературы, 1983
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Часть I. Накопление геометрической интуиции и постановка основ-
основной задачи 7
§ 1. Постановка вопроса 7
§ 2. Сферическая геометрия Я
§ 3. Геометрия на цилиндрической поверхности 15
1. Первое знакомство A5). 2. Правило измерения расстояний
A9). 3. Исследование геометрии ка цилиндре B3).
§ 4. Мир, в котором «право» и «лево» неразличимы .... 27
§ 5. Ограниченный мир 31
1. Описание геометрии C1). 2. Прямые ла торе C7). 3. Некот
торые приложения D1).
§ 6. Что значит задать геометрию? 44
1. Определение геометрии D4). 2. Наложение геометрий E0).
Часть II. Теория геометрий, в малом совпадающих с плоскостью 54
§ 7. Геометрии, в малом совпадающие с плоскостью, и равномер-
равномерно-разрывные группы перемещений плоскости 54
1. Определение понятия эквивалентности при помощи пере-
перемещений E4). 2. Геометрия, соответствующая равномерно-
разрывной группе F3).
§ 8. Перечисление всех равномерно-разрывных групп перемеще-
перемещений плоскости 68
1. Перемещения плоскости F8). 2. Перечисление ражномер-
но-разрывных групп перемещений плоскости. Типы I и II
G4). 3. Перечисление равномерно-разрывных групп на плос-
плоскости. Тип III G8).
§ 9. Новая геометрия 89
§ 10. Перечисление всех геометрий, в малом совпадающих с плос-
плоскостью 96
1. Построения в произвольной геометрии (98). 2. Накрытия
A02). 3. Построение накрытия A07). 4. Построение группы
A12). 5. Завершение доказательства теоремы 1 A16).
Часть III. Обобщения и приложения 120
§ 11. Геометрии, в малом совпадающие с пространством . . . 120
1. Перемещения пространства A20). 2. Равномерно-разрывные
группы в пространстве: общие свойства A23). 3. Равномерно-
разрывные группы в пространстве: перечисление A28). 4. Ори-
Ориентируемость геометрий A38).
§ 12. Кристаллографические группы и разрывные группы . . 145
1. Группы симметрии A45). 2. Кристаллические вещества и
кристаллографические группы A49). 3. Кристаллографиче-
Кристаллографические группы и геометрии. Разрывные группы A57). 4. Ти-
Типичный пример: геометрия прямоугольника A62). 5. Пере-
Перечисление всех геометрий, совпадающих в малом с Сп или Dn
A66). 6. О доказательстве теорем 1 и 2 A79). 7. Кристалличе-
Кристаллические вещества и лх «молекулы» A80).
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть IV. Геометрии на торе, комплексные числа и геометрия Ло-
Лобачевского 182
§ 13. Подобие геометрий 182
1. Условие совпадения двух геометрий, определенных равно-
мерно-разрывньвди группами A82). 2. Подобие геометрий
A86).
§ 14 Геометрия на торе 189
1. Геометрии на торе л модулярная фигура A89). 2. Условие
того, что две пары векторов порождают одну и ту же решет-
решетку A94). 3. Приложение к теории чисел A98).
§ 15. Алгебра подобий: комплексные числа 202
1. Геометрическое определение комплексных чисел B02).
2. Подобие решеток и модулярная группа B07).
§ 16. Геометрия Лобачевского 211
1. Перемещения B12). 2. Прямые B15). 3. Расстояние B17).
4 Окончание построения геометрии B23).
§ 17. Плоскость Лобачевского, модулярная группа, модулярная
фигура и геометрии на торе 227
1. Разрывность модулярной группы B27). 2. Совокупность
геометрий на торе B30).
Исторические замечания . 233
Список используемых обозначений 236
Предметный указатель 238
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга посвящена теории геометрий, в достаточно малых ча-
частях совпадающих с евклидовой плоскостью или пространством
(иначе говоря, локально-евклидовых пространств). Начав с про-
простейших примеров, мы затем развиваем общую теорию таких
геометрий, основываясь на их связи с разрывными группами
перемещений евклидовой плоскости или пространства. Далее мы
рассматриваем связь разрывных групп перемещений с кристалло-
кристаллографией. Описание одного типа геометрий, в достаточно малых
частях совпадающих с плоскостью, показывает, что сами эти
геометрии естественно изображать точками некоторой новой гео-
геометрии. Систематическое изучение этой новой геометрии приво-
приводит нас к геометрии Лобачевского (на плоскости), которая, по
логике нашего исследования, строится исходя из свойств ее
группы перемещений. Таким образом, в этой книге мы хотим
познакомить читателя с теорией геометрий, отличающихся от
обычной геометрии плоскости и пространства, причем на таких
примерах, которые доступны конкретному и наглядному изуче-
изучению. Основным же инструментом исследования являются группы
перемещений — как разрывные группы, так и группы перемеще-
перемещений геометрии. .
Книга не предполагает у читателя никаких предварительных
знаний, выходящих за пределы школьного курса. Мы имели
в виду широкий круг возможных читателей: студентов математи-
математических и физических факультетов или технических институтов,
учителей средних школ, школьников старших классов... Мы на-
надеемся, что и читатель, не обладающий профессиональными ма-
математическими навыками, сможет при чтении этой книги позна-
познакомиться с одной из самых привлекательных черт математики:
с тем, что многие ее вопросы решаются при помощи методов
ц понятий, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего
с первоначальным вопросом. Только будучи развиты достаточно
далеко, эти методы приводят к решению вопроса, ради которого
они возникли, а часто открывают перед исследователем и совер-
совершенно новую область. Это внутреннее развитие математики, ког-
когда нужды одной области приводят к созданию новых областей,
дополняется поразительным явлением ее единства: теории, соз-
созданные по разным поводам и развивающиеся в разных направ-
ПРЕДИСЛОВИЕ
лениях, неожиданно оказываются тесно связанными. Конечно,
чтобы почувствовать эти особенности математического исследо-
исследования, читатель должен быть готов потратить и время, и силы
на преодоление трудностей, которые у него могут возникнуть
при чтении книги. Они состоят не в привлечении каких-либо
сложных средств (например, в этой книжке читатель вполне
может обойтись курсом геометрии 8 классов), но в привычке
ко все более сложным и длинным математическим рассуждениям.
Книга делится на четыре части. Первую часть, как мы наде-
надеемся, сможет прочесть даже ученик старших классов школы,
интересующийся математикой. В ней излагаются основные при-
примеры, при помощи которых читатель может выработать некото-
некоторую геометрическую интуицию в новой для себя области. Чтение
только одной этой части уж© дает некоторое, самое первое, пред-
представление о той области, которой посвящена1 книга.
Вторая часть составляет ядро книги: в ней вводится новый
метод, при помощи которого дается решение проблемы, постав-
поставленной в конце первой части. Она заметно труднее предшеству-
предшествующей — в ней содержатся доказательства нескольких теорем, из
которых некоторые не совсем просты даже с точки-зрения мате-
математика профессионала. Мы надеемся, однако, что при работе над
первой частью читатель приобретет некоторые навыки, которые
помогут ему преодолеть трудности второй части. Читатель, разо-
разобравший две первые части, уже будет иметь полное представле-
представление о теории, составляющей предмет этой книги. Оставшиеся
части рассказывают о связи этой теории с другими вопросами.
Третья часть, вероятно, покажется читателю опять более про-
простой. В ее первом параграфе излагается обобщение теории, по-
построенной раньше для случая двух измерений — на трехмерный
случай, а во втором.— связь этой теории с кристаллографией.
В последней части логика развития нашей теории естественно
приведет к совершенно новому фундаментальному геометриче-
геометрическому понятию — геометрии Лобачевского.
В конце -почти каждого пункта приведено несколько упраж-
упражнений. Их цель заключается не в том, чтобы познакомить чита-
читателя с новыми фактами — главным образом, они должны помочь
читателю проверить, насколько он понял предшествующий текст.
Поэтому, как правило, они очень просты.
По ходу изложения указаны сочинения, из которых читатель
может узнать больше о вопросах, изложенных в этой книге.
Авторы
ЧАСТЬ I
НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
И ПОСТАНОВКА ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ
§ 1. Постановка вопроса
Многие из самых выдающихся достижений геометрии осно-
основаны на том удивительном обстоятельстве, что геометрическая
интуиция, развитая в одних областях, оказывается применимой
в других, иногда очень на них непохожих. Иными словами, мы
можем себе представить другие миры, в которых имеют место
другие законы геометрии, чем в нашем, и представить почти
также хорошо, как если бы мы в них жили. Цель этой книги —
рассказать об одном геометрическом исследовании, в котором
такое явление особенно ярко проявляется.
Вопрос, которым мы будем заниматься,— чисто геометриче-
геометрический, но чтобы его сформулировать и пояснить, проще сначала
обсудить его, используя при этом и физическую терминологию.
В самой широкой формулировке он звучит так:
Как убедиться, что теоремы геометрии действительно выпол-
выполняются в окружающем нас пространстве?
Начав с этой общей постановки, мы будем ее постепенно
сужать, пока не придем к тому более конкретному вопросу, ко-
которому посвящена эта книга.
Прежде всего, говоря о геометрии, мы будем иметь в виду
лишь ту всем хорошо известную часть этой науки, которая охва-
охватывается школьным курсом. И в такой суженной постановке
наш вопрос сохраняет весь свой интерес.
В качестве первого ответа на него мы можем сказать, что
любую теорему из учебника геометрии возможно проверить экс-
экспериментально: например, для проверки теоремы о сумме углов
треугольника надо измерять углы реальных физических треуголь-
треугольников. При этом мы отвлечемся от того, что все физические
измерения производятся лишь приближенно, и будем предпола-
предполагать, что точность измерений может быть сделана сколь угодно
высокой.
Возникает вопрос — всегда ли такие измерения возможны?
Длину не слишком большого отрезка можно измерить, сравнивая
его с некоторым эталоном длины. Однако как проверить, что та
или иная, теорема верна и для очень больших фигур? Например,
как проверить ту же теорему о сумме углов для треугольника,
вершинами которого служат точка на Земле и два спутника?
g ПРЕДИСЛОВИЕ
лениях, неожиданно оказываются тесно связанными. Конечно,
чтобы почувствовать эти особенности математического исследо-
исследования, читатель должен быть готов потратить и время, и силы
на преодоление трудностей, которые у него могут возникнуть
при чтении книги. Они состоят не в привлечении каких-либо
сложных средств (например, в этой книжке читатель вполне
может обойтись курсом геометрии 8 классов), но в привычке
ко все более сложным и длинным математическим рассуждениям.
Книга делится на четыре части. Первую часть, как мы наде-
надеемся, сможет прочесть даже ученик старших классов школы,
интересующийся математикой. В ней излагаются основные при-
примеры, при помощи которых читатель может выработать некото-
некоторую геометрическую интуицию в новой для себя области. Чтение
только одной этой части уже дает некоторое, самое первое, пред-
представление о той области, которой nocBHineHav книга.
Вторая часть составляет ядро книги: в ней вводится новый
метод, при помощи которого дается решение проблемы, постав-
поставленной в конце первой части. Она заметно труднее предшеству-
предшествующей — в ней содержатся доказательства нескольких теорем, из
которых некоторые не совсем просты даже с точки зрения мате-
математика профессионала. Мы надеемся, однако, что при работе над
первой, частью читатель приобретет некоторые навыки, которые
помогут ему преодолеть трудности второй части. Читатель, разо-
разобравший две первые части, уже будет иметь полное представле-
представление о теории, составляющей предмет этой книги. Оставшиеся
части рассказывают о связи этой теории с другими вопросами.
Третья часть, вероятно, покажется читателю опять более про-
простой. В ее первом параграфе излагается обобщение теории, по-
построенной раньше для случая двух измерений — на трехмерный
случай, а во втором — связь этой теории с кристаллографией.
В последней части логика развития нашей теории естественно
приведет к совершенно новому фундаментальному геометриче-
геометрическому понятию — геометрии Лобачевского.
В конце -почти каждого пункта приведено несколько упраж-
упражнений. Их цель заключается не в том, чтобы познакомить чита-
читателя с новыми фактами — главным образом, они должны помочь
читателю проверить, насколько он понял предшествующий текст.
Поэтому, как правило, они очень просты.
По ходу изложения указаны сочинения, из которых читатель
может узнать больше о вопросах, изложенных в этой книге.
А вторы
ЧАСТЬ I
НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
И ПОСТАНОВКА ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ
§ 1. Постановка вопроса
Многие из самых выдающихся достижений геометрии осно-
основаны на том удивительном обстоятельстве, что геометрическая
интуиция, развитая в одних областях, оказывается применимой
в других, иногда очень на них непохожих. Иными словами, мы
можем себе представить другие миры, в которых имеют место
другие законы геометрии, чем в нашем, и представить почти
также хорошо, как если бы мы в них жили. Цель этой книги —
рассказать об одном геометрическом исследовании, в котором
такое явление особенно ярко проявляется.
Вопрос, которым мы будем заниматься,— чисто геометриче-
геометрический, но чтобы его сформулировать и пояснить, проще сначала
обсудить его, используя при этом и физическую терминологию.
В самой широкой формулировке он звучит так:
Как убедиться, что теоремы геометрии действительно выпол-
выполняются в окружающем нас пространстве?
Начав с этой общей постановки, мы будем ее постепенно
сужать, пока не придем к тому более конкретному вопросу, ко-
которому посвящена! эта книга.
Прежде всего, говоря о геометрии, мы будем иметь в виду
лишь ту всем хорошо известную часть этой науки, которая охва-
охватывается школьным курсом. И в такой суженной постановке
наш вопрос сохраняет весь свой интерес.
В качестве первого ответа на него мы можем сказать, что
любую теорему из учебника геометрии возможно проверить экс-
экспериментально: например, для проверки теоремы о сумме углов
треугольника надо измерять углы реальных физических треуголь-
треугольников. При этом мы отвлечемся от того, что все физические
измерения производятся лишь приближенно, и будем предпола-
предполагать, что точность измерений может быть сделана сколь угодно
высокой.
Возникает вопрос — всегда ли такие измерения возможны?
Длину не слишком большого отрезка можно измерить, сравнивая
его с некоторым эталоном длины. Однако как проверить, что та
или иная теорема верна и для очень больших фигур? Например,
как проверить ту же теорему о сумме углов для треугольника,
вершинами которого служат точка на Земле и два спутника?
8 Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
В этом случае все нужные измерения можно произвести, поль-
пользуясь телескопом. Таким же образом можно измерять даже рас-
расстояния от Земли до звезд. Тут мы однако сталкиваемся с тем,
что для наших возможностей существует граница — радиус дей-
действия телескопов. Разумеется, эта граница меняется по мере
усовершенствования телескопов, но в данный момент она выра-
выражается вполне определенным числом. Ее конкретное значение
для нас не существенно: мы ее обозначим буквой г.
Таким образом, мы обнаружили существование такой величины
(радиуса действия современных телескопов), что все производи-
производимые измерения относятся лишь к фигурам, все точки которых,
находятся от нас на расстоянии, не большем г. Иначе говоря,
они расположены внутри шара радиуса г с центром в Земле.
Предположим, измерения показали, что внутри этого шара вы-
выполняются все теоремы геометрии. Можем ли мы утверждать
это о всем пространстве? Ответ, разумеется отрицательный: раз
вся наша информация относится к измерениям внутри одного
шара, мы ничего не можем сказать о том, каковы будут резуль-
результаты измерений вне его.
Чтобы прийти к более содержательному вопросу, мы сделаем
еще одно допущение, которое никак не может быть проверено
на опыте, но логически кажется естественным: предположим,
что Земля не занимает какого-то особого положения в простран-
пространстве, а наоборот, все точки пространства равноправны. Более
точно, мы предположим, что те же результаты, которые дали
измерения в шаре радиуса г с центром в Земле, мы получили бы,
если бы могли совершать измерения в шаре такого же радиуса
с центром в любой точке пространства. И значит, мы предпола-
предполагаем, что все теоремы геометрии будут выполнены для всех
фигур, расположенных в шаре радиуса г с центром в любой
точке пространства. Это, конечно, очень существенное сужение
той общей постановки вопроса, с которой мы начали.
Таким образом, окончательно мы пришли к следующему
вопросу:
Пусть существует такая величина г, что все теоремы геомет-
геометрии выполняются для фигур, помещающихся внутри шара ради-
радиуса г, в какой бы точке пространства ни был расположен его
центр. Выполняются ли эти теоремы для любых фигур?
Этот вопрос по существу чисто геометрический. Как вопрос
геометрии мы и будем его дальше исследовать.
Ответ на него оказывается совершенно неожиданным. Во-
первых, он отрицательный. Мы построим другие геометрии, от-
отличные от геометрии, известной из школы и житейского опыта,
которые все же не отличимы от нашей «обычной» геометрии,
если ограничиться рассмотрением их свойств внутри любого шара
некоторого радиуса г. Но. с другой стороны, мы увидим, что
§ Z. СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9
таких геометрий не так много — их всего несколько различных
типов, и мы все их перечислим.
А попытавшись разобраться во множестве геометрий одного
типа, мы увидим, что они сами естественно изображаются точ-
точками некоторой новой геометрии. Для самого интересного слу-
случая мы придем таким образом к еще одной знаменитой геомет-
геометрии — геометрии Лобачевского. И наконец, еще одна неожидан-
неожиданность: при этом исследовании, казалось бы, мотивированном
чисто теоретической постановкой вопроса, возникают методы,
относящиеся к «обычной» геометрии, которые оказываются не-
незаменимым орудием во многих разделах геометрии и физики,
например в таком конкретном разделе физики, как кристалло-
кристаллография.
Мы встретимся, таким образом, с совершенно новым и очень
Еажным для науки явлением — существованием различных гео-
геометрий. Ведь школьный курс геометрии оставляет такое впечат-
впечатление, что геометрия возможна только одна, ее законы заране©
предопределены, и задача заключается только в том, чтобы их
узнать. Прежде чем развить такую новую точку зрения, мы
должны, конечно, объяснить, что это значит —построить геомет-
геометрию. Точное определение будет дано в § 6. Начнем мы с при-
примеров, причем для простоты ограничимся случаем двух измере-
измерений. В качестве первого и очень наглядного примера геометрии,
отличной от той, которая известна из школьного курса, мы рас-
расскажем о так называемой сферической геометрии.
§ 2. Сферическая геометрия
В этом параграфе мы займемся геометрией на сфере (напом-
(напомним, что сферой называется поверхность шара). Очевидно, что
этот пример имеет весьма реальный характер, так как мы сами
живем на Земле, поверхность которой приближенно является
сферой.
Что мы подразумеваем под расстоянием между двумя точка-
точками Земли — например, между северным н южным полюсами?
На этот вопрос можно дать два разных ответа. Либо можно за-
забыть, что наши точки расположены на Земле, и измерить рас-
расстояние между ними в объемлющем космическом пространстве.
Тогда расстояние, например, между северным и южным полюсом
будет равно диаметру Земли. Это расстояние равно времени,
необходимому на путешествие из одной точки в другую при
движении с постоянной скоростью, равной 1, если возможно дви-
движение сквозь Землю. Либо же можно измерить расстояние мини-
минимальным временем, которое нужно затратить, двигаясь из одной
точки в другую со скоростью 1 по поверхности Земли. Это рас-
расстояние будет равно длине наикратчайшей кривой, соединяющей-
наши точки и лежащей на поверхности Земли. В этом случае
10
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
расстояние от северного до южного полюса будет равно половине
длины меридиана. В «земных» вопросах мы, как правило, поль-
пользуемся вторым способом измерения расстояний.
Этот второй способ и приводит нас к сферической геометрии.
Даже сам термин «геометрия» (греч. Tfeoanetipia) произошел от
«ге» — Земля и «метрео» — мерю. Точками этой геометрии счи-
считаются лишь точки некоторой сферы 2. Расстоянием между дву-
двумя точками Р и Q сферы 2 считается длина наикратчайшей
кривой, лежащей целиком на сфере 2 и соединяющей Р и Q.
Сейчас мы рассмотрим некоторые самые простые свойства
. сферической геометрии.
Теорема 1. Кривая наименьшей длины, лежащая на сфере
2 и соединяющая точки Р и Q этой сферы,— это дуга большого
круга сферы 2, проходящая через Р и Q.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы, напомним,
что большим кругом сферы называется ее пересечение с пло-
плоскостью, проходящей через ее центр. Если точки Р и Q не диа-
диаметрально противоположные, то через них проходит единствен-
единственный большой круг, который они делят на две дуги. Говоря
0 дуге большого круга, соединяющей Р и Q, мы будем иметь
в виду ту из них, которая короче. Если же точки Р и Q диамет-
диаметрально противоположны, то их соединяет бесконечное число дуг
больших кругов. Все они имеют одну длину, равную половине
длины меридиана сферы 2.
- Доказательство теоремы 1 проведем от противного. Пусть
1 — дуга большого круга, соединяющая Р и Q, а Г — другая ле-
лежащая на сфере и соединяющая их кривая,
причем Г короче I *). Выберем на Г точки
Р, Ри Рг, .. ., Р„, Q и каждые две соседние
соединим дугой большого круга (рис. 2.1).
Мы получим сферическую ломаную V. Вы-
Выбрав точки Ри ..., Рп достаточно густо на Г,
мы добьемся того, что V будет лежать до-
достаточно близко к Г, и поэтому ее длина
будет очень мало отличаться от длины Г,
в частности, V будет тоже короче I.
Теперь мы будем по очереди выбрасы-
выбрасывать вершины Pi, ..., Рп ломаной V. Вы-
Выбросим, например, вершину Ри т. е. соединим дугами больших
кругов точки Р, Р2, Р3, ..., Pn, Q- Мы получим новую ломаную I".
Теорема будет доказана, если мы убедимся, что I" не длиннее V.
Действительно, отсюда следует, что раз V была короче I, то и Г'
Рис. 2.1.
*) Мы не будем эдесь углубляться в тонкости, связанные с определе-
определением длины кривой. Нам важно только, что эту длину можно получить
с любой точностью, измеряя длины вписанных в нее ломаных с достаточ-
достаточно мелкими звеньями.
§ 2. СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
11
подавно короче I. Поступая так п раз, мы выбросим все вершины
ломаной V и получим «ломаную» 11п), состоящую из одной дуги
большого круга, соединяющей Р с Q, которая снова будет короче
I. А это противоречит тому, что длины I и7(п> равны (дуги I и 1<п>
даже просто совпадают, если точки Р и Q
не диаметрально противоположны).
Осталось доказать, что ломаная I" не
длиннее V'. Но у них все звенья общие, за
исключением того, что у I" дуга большого
круга соединяет Р с Р2, а у Г такие же
дуги соединяют Р с Р( и Л с Рг, Обозначим
длины этих дуг через а, Ъ и с. Нам надо,
следовательно, доказать неравенство
<КЬ + с. A)
Проведем для этого через центр О сфе-
сферы 2 три плоскости, высекающие те большие
круги, которые соединяют Р с Ри Pt с Р2
и Р с Р2. Они образуют трехгранный угол ОРР1Рг (рис. 2.2).
Как длины дуг окружностей одного и того же радиуса а, Ъ и с
пропорциональны величинам а, р и 1 соответствующих плоских
углов трехгранного угла ОРР±Рг, т. е. неравенство A) равносиль-
равносильно неравенству для плоских углов а, р и f трехгранного угла:
«<Р + ^, B)
а это неравенство известно из школы как одно из свойств пло-
плоских углов трехгранного угла.
Таким образом, мы доказали,, что расстояние между двумя
точками в сферической геометрии равно длине соединяющей их
дуги большого круга. В этом смысле боль-
большие круги играют в сферической геомет-
геометрии ту же роль, что и прямые в плани-
Рис. 2.2.
метрии. Поэтому углом CAB в сфериче-
сферической геометрии называется часть сферы,
ограниченная дугами больших кругов
ABA' и АСА', содержащими точки А, В
и А, С соответственно, а величиной угла
CAB называется величина двугранного
Рис. 2.3. угла, образованного полуплоскостями
ABA' и АСА' с границей (АА') (рис. 2.3).
При таком определении сохраняются простейшие свойства
углов, известные из планиметрии: прикладывая друг к другу
два угла, сумма величин которых меньше 2я, получаем угол, ве-
величина которого равна сумме величин первоначальных углов;
полный угол в любой точке равен четырем прямым или 2я.
12
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
Треугольником в сферической геометрии называется фигура,
образованная тремя точками и тремя соединяющими их дугами
больших кругов, причем преднолагается, что три точки не лежат
на одном большом круге. Многие теоремы, известные из плани-
планиметрии, справедливы и для сферической геометрии. Например,
неравенство A) — это теорема о том, что длина стороны треуголь-
треугольника не больше суммы длин двух других сторон. Свойство,
заключающееся в том, что любые две точки сферы соединяются
дугой большого круга, соответствует свойству геометрии на
плоскости, заключающемуся в том, что через любые две точки
плоскости проходит прямая и т. д.
Но существует и ряд отличий сферической геометрии от пла-
планиметрии. Например, через любые две различные точки плоско-
плоскости проходит единственная прямая, а через диаметрально про-
противоположные точки сферы проходит бесконечно много больших
кругов. В отличие от прямых, два больших круга всегда пересе-
пересекаются — нет аналога параллельных прямых! Не верна и тео-
теорема о сумме углов треугольника: три взаимно перпендикулярные
плоскости, проходящие через центр сферы, высекают на сфере
треугольник, у которого все три угла прямые! Самое же, пожалуй,
разительное отклонение от планиметрии заключается в том, что
в отличие от прямых большие круги имеют конечную длину —
двигаясь по большому кругу, мы через некоторое время вернемся
в исходную точку (на поверхности Земли это свойство первым
проверил Магеллан).
Все перечисленные отличия сферической геометрии от плани-
планиметрии можно обнаружить на достаточно больших кусках сферы.
Так, два больших круга пересекаются в диаметрально противо-
противоположных точках, и если мы рассматриваем область на сфере,
которая столь мала, что не содержит двух таких точек, то в ней
мы этого пересечения не обнаружим. Может
поэтому возникнуть подозрение, что в своих
достаточно малых частях сферическая геомет-
геометрия не отличается от планиметрии — это был
бы пример как раз того явления, возможность
которого мы обсуждали в § 1. Покажем, что
это не так, и приведем два примера свойств
сферической геометрии, которые отличают
ее от планиметрии и которые можно обна-
обнаружить в любой, сколь угодно малой части
сферы.
Первое свойство касается длины окружности. Окружность ра-
радиуса р в сферической геометрии состоит из точек, удаленных
от одной точки на расстояние р, называемое радиусом,— опреде-
определение то же, что и в планиметрии. Если радиус сферы 2 равен
R, то р = Дф, где ф — величина угла в радианной мере между
Рис. 2.4.
§ 2. СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
13
лучами, идущими из центра сферы в центр окружности и в одну
из ее точек (рис. 2.4). С точки зрения обычной геометрии объем-
объемлющего пространства мы имеем дело с окружностью, радиус
которой р, как видно из рис. 2.4, равен i?sin^ = .Rsin-jf- Поэто-
Поэтому длина этой окружности равна 2яр, т. е.
2Ji.Rsin.-g-.
C)
Мы видим, что окружность радиуса р имеет в сферической гео-
геометрии иную длину, чем в планиметрии — не 2яр, а 2яД sin g-.
Это отличие обнаруживается, конечно, на сколь угодно малых
окружностях.
Второе отличие касается суммы углов треугольника.
Теорема 2. Сумма углов любого треугольника в сфериче-
сферической геометрии больше двух прямых, т. е. больше я.
Согласно определению величины угла в сферической геомет-
геометрии, это утверждение равносильно тому, что в любом трехгран-
трехгранном угле сумма его двугранных углов больше я. Можно было бы
привести доказательство этого стереометрического утверждения,
не говоря о сфере. Но нас
больше бы удовлетворило
доказательство, в котором
мы существенно исполь-
используем геометрию сферы.
Приведем его.
Доказательство.
Продолжим стороны АВ,
ВС и. С А сферического \ i >^< \
треугольника ABC до ^
больших кругов (АВ),
(.ВС) и (СА) (рис. 2.5, а).
Найдем площади частей
сферы 2_4, 2В, 2-е, заклю-
заключенных между двумя из
этих больших кругов, выходящих из одной точки А, В или С тре-
треугольника ABC. (На рис. 2.5, б изображена одна из этих частей 2А.)
Обозначим А величину угла ВАС. Очевидно, что площадь 2А
составляет от площади сферы такую же часть, как угол 2А от
угла 2я. Поскольку площадь сферы равна 4яД2, то площадь 2А
равна
Рис. 2.5.
аналогично площади 2В и 2С равны соответственно 4R2B и 4R2C\
14
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
Заметим, что части 2а, 2в, 2с вместе покрывают всю сферу
и пересекаются по сферическому треугольнику ABC и симмет-
симметричному ему относительно центра О треугольнику А'В'С (см.
рис. 2.5, а), поэтому
откуда
+- 2,SABc + 2SAiB>c'= 4nR -\-ASabc,
А + В + С-к=^
что и доказывает теорему.
Обнаруженное нами отклонение сферической геометрии от
планиметрии показывает, что невозможна точная карта ника-
никакого, хотя бы и малого, куска сферы — ведь карта рисуется на
плоскости! При этом под точной картой куска сферы мы подра-
подразумеваем такую, в которой расстояние между любыми точками
этого куска равно расстоянию между их изображениями на
карте. Практически картами земной поверхности пользуются
лишь потому, что довольствуются не точными картами, но таки-
такими, искажение которых достаточно мало. Можно доказать, что
чем меньшее область на сфере сравнительно с радиусом сферы,
тем более точную ее карту можно составить. Это явление можно
иллюстрировать, например, на формуле C) для длины окружно-
окружности на сфере и формуле D) для отклонения суммы углов треуголь-
треугольника от я. Как известно, sina/<x стремится к 1 при <х, стремя-
стремящемся к 0, так что чем меньше угол <х, тем ближе sin а к а.
Поэтому при р, очень малом сравнительно с R, значение.
2nR! sin -?-очень близко к 2яр, т. е. к длине окружности в-плани-
в-планиметрии. Еще более очевидно соответствующее утверждение для
суммы углов треугольника: формула D) показывает, что чем
меньше размеры земного треугольника по сравнению с радиусом
Земли, тем ближе сумма| его углов к я.
Отличие сферической геометрии от планиметрии можно опи-
описать, к примеру, следующим образным способом. Представим се-
себе, что как поверхность сферы, так и плоскость обитаемы разум-
разумными существами, которые способны перемещаться только по
этим поверхностям. Конечно, чтобы представить себе этих жите-
жителей сферы и плоскости, надо несколько напрячь фантазию — это
существа, имеющие лишь два измерения, вроде растекшихся ка-
капель чернил. Предположим, что эти жители могут производить
измерения, изучать свои геометрии и сообщать друг другу по
радио свои выводы. Тогда житель плоскости может запросить
жителя сферы, верна ли формула 2яр для длины окружности
радиуса р, и, получив отрицательный ответ, поймет, что их
геометрии различны. К этому выводу они могут прийти, не по-
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ НА ЦИЛИНДРЕ
15
кидая сколь угодно малой части своей геометрии, рассматривая
окружности достаточно! малого радиуса.
Читатель, желающий глубже ознакомиться со сферической
геометрией, может обратиться к книге Адамара Ж. «Элемен-
«Элементарная геометрия», ч. 2 (стереометрия).— М.: Учпедгиз, 1958.
Мы потратили некоторов время на изучение сферической гео-
геометрии лишь для того, чтобы привести простейший пример гео-
геометрии, отличной от той, которая известна из школьного курса.
Теперь мы перейдем к примеру геометрии, которая дает ответ
на вопрос, разбиравшийся в § 1: она отличается от геометрии на
плоскости, но совпадает с ней в своих достаточно малых частях.
Упражнения
1. Что дают для сферической геометрии известные вам свойства трех-
трехгранных и многогранных углов?
2. Доказать аналог теоремы Пифагора для сферической геометрии:
cab .
cos-jo = cos дг-cos -д, где с — длина гипотенузы, а и Ъ—длины катетов
прямоугольного сферического треугольника. Доказать, что для малых тре-
треугольников она переходит в обычную теорему Пифагора. (Указание:
cos2 a = 1 — sin2 a, поэтому при малых a cos2 a ss 1 — a2.)
3. Доказать, что для выпуклого сферического п-угольника
\' + 2, + ... +2п - я (п - 2) = -g,
где К\, Х% ..., An — величины его углов, а S — площадь.
4. Доказать, что для выпуклого многогранника имеет место формула
Эйлера
V — R + E = 2,
где V — число его вершин, Я — ребер, Е — граней. (Указание: спроекти-
спроектировать многогранник ив точки О внутри него на сферу с" центром в точке
О и представить ее площадь как сумму площадей сферических многоуголь-
многоугольников, на которые спроектируются грани многогранника.)
§ 3. Геометрия на цилиндрической поверхности
1. Первое знакомство. Рассмотрим цилиндрическую поверх-
поверхность 2, полученную движением образующей — прямой V — па-
параллельно себе вдоль некоторой замкнутой плоской кривой без
самопересечений. Мы определим геометрию на цилиндрической
поверхности аналогично тому, как мы поступили в сферической
геометрии. Ее точками мы будем считать точки поверхности S,
а расстояние между двумя точками ^ и (? определим как длину
наикратчайшей кривой, лежащей на 2 и соединяющей & с Q.
Для исследования нашей геометрии мы воспользуемся одним
методом ее изображения, суть которого состоит в развертывании
поверхности 2 на плоскость. Обозначим через с' сечение поверх-
поверхности 2 плоскостью, перпендикулярной образующей V. Сечение
с' называется также направляющей цилиндрической поверхности
16
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ НА ЦИЛИНДРЕ
17
2. Рассмотрим на плоскости полосу, ограниченную двумя парал-
параллельными прямыми тпа и пги находящимися друг от друга на
расстоянии, равном длине кривой с'. Соединим пгв и mi перпен-
перпендикулярным к ним отрезком [РаР±]. Этот отрезок можно без
растяжения наложить на кривую с', так как его длина равна
длине с'. При этом точки Ро и Pi наложатся на некоторую точку
9* этой кривой. Теперь наложим всю полосу на поверхность 2
так, чтобы прямая га, па-
параллельная краям полосы
тпй и ту п проходящая че-
через произвольную точку Q
ртрезка [P0PJ, совпала с
образующей га' поверхно-
\
сти 2, проходящей через
ту точку Q кривой с', на
которую наложилась точка
Q (рис. 3.1 L
Рис. 3.1. Эту операцию можно
осуществить, сделав поли-
полису из жести и потом согнув ее так, чтобы ее края т* и то4
совпали, а отрезок tPoPJ принял форму кривой с'. Тогда полоса
согнется в цилиндрическую поверхность 2.
При наложении полоса покроет всю поверхность 2 и каждая
точка поверхности накроется ровно одной точкой полосы, за
исключением лишь точек образующей, проходящей через точку
f?; на них наложатся по две точки — одна, принадлежащая тй,
и другая, принадлежащая гп^. Чтобы избежать и этого, мы будем
дальше причислять к полосе только точки прямой тпа, но не
точки прямой 7ret. Тогда на каждую точку поверхности 2 нало-
жится ровно одна точка полосы] Обратное сопоставление каждой
точке поверхности той точки полосы, которая на нее наклады-
накладывается, мы будем называть разверткой поверхности на плоскость.
Выясним, как измерить расстояние между точками на цилинд-
цилиндрической поверхности 2, если известны соответствующие им точ-
точки полосы. Вот первый шаг в этом направлении.
Теорема 1. При наложении полосы, на цилиндрическую
поверхность 2 любая кривая, содержащаяся в полосе, наклады-
накладывается на кривую, лежащую на поверхности и имеющую ту оке
длину.
Теорема становится убедительной, если представить себе по-
поверхность 2 согнутой из жестяной полосы, как мы это делали
выше. Так как при этом жесть не растягивается, не сжимается,
то и длины кривых не меняются.
Для точного доказательства рассмотрим случай, когда цилинд-
цилиндрическая поверхность 2 является призмой, а значит, кривая с' —
многоугольником (рис. 3.2).
При этом ребра тп', га', о', р', ..., f призмы развернутся на
прямые тга0, п, о, р, ..., t в полосе. Ограниченные этими прямыми
меньшие полосы тгеога, по, ..., frret при наложении будут совме-
совмещаться с гранями призмы как твердые тела. Поэтому кривая,
лежащая в такой меньшей полосе, наложится на равную ей кри-
кривую. Любая же кривая / разбивается прямыми п, о, р, ... на ча-
части и, v, ... . По предыдущему, кривые к, v, ... накладываются
т'
и
л
и
с
9
Р
f
1
Г
i
Рис. 3.2.
на равные кривые и', v', ... Кривая / составлена нз частей и, v,...,
а /' _ из х1астеп и', v', ... Поэтому длины кривых / и /' равны.
В случае произвольной цилиндрической поверхности 2 нужно
представить ее как предел вписанных в нее прпзм 2„, а кривую
/' на 2 как предел кривых f'n на 2„, получающихся проекцией
кривой /' на 2„. После этого можно воспользоваться уже дока-
доказанным для призм 2„ и кривых f'n утверждением. Соответствую-
Соответствующее точное доказательство не представляет труда, но мы не
будем его здесь приводить, так как для того построения геомет-
геометрии, которым мы сейчас заняты, вполне можно ограничиться
случаем, когда 2 — призма.
Несмотря на установленное теоремой 1 равенство длин кри-
кривых, отнюдь не верно, что расстояние между точками полосы
равно расстоянию между теми точками поверхности 2, на кото-
которые они накладываются. Причина заключается в том, что при
наложении полосы прямые т0 и /rat склеиваются в одну прямую
на 2. Благодаря этому некоторые точки этих прямых склеивают-
склеиваются в одну точку Q на 2. Это те точки Qo прямой т0 и Qi прямой
mlt для которых отрезок [QOQJ перпендикулярен т0 п m4. Такие
точкп мы дальше будем называть противоположными. Правда,
можно возразить, что мы условились исключить прямую /»i из
полосы. Это верно, но исключив ее, мы увидим, что то же явле-
явление проявляется иначе: точки Sa и Su лежащие внутри полосы
и близкие к точкам Qo и Qt, будут далеки друг от друга па
полосе (пх расстояние близко к ширине полосы), но будут склеи-
склеиваться1 в близкие точкп на 2 (рис. 3.3).
2 В. В. Никулин, П. Р. Шафаревич
18
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
Мы пришли к ситуации, очень похожей на противоречие. Рас-
Расстояние между точками как на цилиндрической поверхности 2,
так и на плоскости равно длине наикратчайшей кривой, соединя-
соединяющей эти точки. Длина кривой, расположенной в полосе, равна
длине кривой на 2, на которую эта кривая накладывается, а рас-
расстояния между точками, кото-
которые эти кривые соединяют,—
разные! Чтобы понять причину
этого, заметим, что точки 9"ъ
и 9*\. на 2 можно соединить
двумя дугами кривой с': «ма-
«маРис. 3.3.
JT
лой» — ^uQ^i и «большой» —
ff'^7~9}i. Из них «большая» ду-
дуга развертывается в отрезок
[SoTSJ, соединяющий точки
5о и iSi в полосе. А во что раз-
развертывается «малая» дуга? От-
Ответ хотя и очевидный, но неожиданный — в два отрезка [QoSo]
и [StQJ, «разорванные» в полосе, но соединяющиеся в одну кри-
кривую на Е.
Здесь надо уточнить нашу терминологию. Под словом кривая
мы, конечно, до сих пор понимали кривую, которую можно
нарисовать (на плоскости или на поверхности 2), не отрывая
карандаша *). Так же мы будем применять этот термин и даль-
дальше. Фигуру, составленную из нескольких «разорванных» кривых
(например, IQOSO] и [SiQJ), будем называть линией. Теперь мы
можем сказать, что причина кажущегося противоречия заклю-
заключается в том, что в теореме 1 нам встречаются не любые кривые
на поверхности 2. Именно, кривые, лежащие в полосе, наклады-
накладываются нв на любые кривые на поверхности 2, а лишь на те
из них, которые не пересекают образующую тп'. При определении
же расстояний на 2 мы должны рассматривать все кривые, в том
числе и такие, которые пересекают эту образующую и к которым
поэтому теорема 1 неприменима.
Чтобы решить эту задачу об измерении расстояний на цилинд-
цилиндрической поверхности 2, пользуясь ее изображением в полосе,
мы должны, следовательно, выяснить, во что развертываются
любые кривые на 2, хотя бы и пересекающие образующую. Отввт
очевиден (см. рис. 3.4): каждый раз, как кривая /' пересекает
образующую тп' в точке Q,— на полосе она развертывается на
две кривые, из которых одна StQt кончается в точке Qu а другая
Q0S0 начинается в противоположной точке. Таким образом, лю-
любые кривые на поверхности 2 развертываются в полосе в линии,
которые могут состоять из нескольких кривых, причем предше-
предшествующая кривая кончается, а следующая начинается в противо-
*) Другими словами, непрерывную.
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ НА ЦИЛИНДРЕ
19
3
ч.
3*
т'
/77,
Рис. 3.4.
положных точках. Так как к каждой кривой теорема 1 примени-
применима, то длина кривой на 2 равна длине линии в полосе, на кото-
которую она развертывается.
Таким образом, мы получаем следующий ответ на поставлен-
поставленный нами вопрос:
Теорема 2. Расстояние между точками 9" и &~ цилиндри-
цилиндрической поверхности равно длине наикратчайшей из таких линий
f в полосе тп0тичто f распа-
распадается на кривые fu /2, ..., fn'-
/4 начинается в точке S, па ко-
то-рую развертывается 9>, fn
кончается в точке Т, на кото-
которую развертывается &~, a ft
кончается и fi+i начинается в
противоположных точках {для
Теорему 2 можно интерпре-
интерпретировать, представив себе, что
полоса снабжена мгновенно
действующими лифтами, соединяющими противоположные точки,
так что, попав в точку прямой тп0, можно мгновенно очутиться
в противоположной точке прямой л?4, и обратно. Житель полосы
может двигаться по ней со скоростью 1 и пользоваться лифтами.
Расстояние от 9" до &~ на 2 равно наименьшему времени, кото-
которое он затрачивает на такое путешествие из S в Т.
Этот ответ еще не окончательный, так как он не указывает,
как же найти самый короткий путь из возможных путей, соеди-
соединяющих S с Т. Но во всяком случае он сводит изучение геомет-
геометрии на поверхности 2 к некоторому вопросу планиметрии.
Упражнения
1. Доказать, что при определении расстояния между точками цилиндри-
цилиндрической поверхности, данном в теореме 2, достаточно пользоваться только
такими линиями /, что все кривые f% являются отрезками прямой.
2. Пусть точки 9> и 9~ цилиндрической поверхности изображаются точ-
точками S и Т нолосы, лежащими на прямой, параллельной сторонам тп0 и
mi. Доказать, что расстояние между точками 9" и 9~ равно расстоянию
между точками S и Т.
3. Пусть точки 91 и 9~ цилиндрической поверхности изображаются точ-
точками S и Т полосы, лежащими на отрезке, перпендикулярном сторонам
77г0 и 771]. Как выразить расстояние между точками & и &~ через расстоя-
расстояние между точками 5 и Т и ширину s полосы?
2. Правило измерения расстояний. В правиле для измерения
расстояний, сформулированном в теореме 2, можно избавиться от
непривычного на первый взгляд использования разрывных линий
(или, что то же самое, «лифтов»). Пусть, например, линия /
распадается на кривые /4 и /2, причем /4 кончается в точке R
прямой тпи а /2 начинается в противоположной ей точке прямой
2*
20
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
I
p,
R
l\
m,
T
'7
f
О
2
/77.
a-)
6)
m0 (рис. 3.5, а). Сдвинем параллельно полосу, ограниченную пря-
прямыми тга0 и /га,, так, чтобы точки прямой тп9 совместились с про-
противоположными им точками прямой т, (рис. 3.5, б). Пусть при
этом прямая тпч совместится с прямой т&, точка Т с точкой У,
лежащей в полосе, ограниченной прямыми тга4 п лг2, а кривая
/2 — с кривой fa в той же
полосе. Тогда кривые Д и /*
составят единую кривую /*
(так как кривая Д кончает-
кончается, а f'г начинается в одной
и той же точке В.). Длина
кривой J очевидно равна
длине линии /, так как они
разбиваются на попарно рав-
равные куски. Таким образом,
- 3.5. мы можем заменить линию /
кривой J той же самой дли-
длины, но при этом полученная кривая кончается не в точке Т,
а в точке Т, в которую точка Т перешла при сдвиге полосы.
Теперь мы опишем аналогичную конструкцию в общем случае,
когда / состоит не из двух, а из произвольного числа кривых.
Кроме прямых тп0 и та, мы проведем еще бесконечное число
параллельных прямых тпг, тп,, ..., расположенных вправо от
пги и тп-i, тга_2, тп-3, ...— влево от тп0, причем так, что все рас-
расстояния между прямыми тп{ и пи+1 будут одинаковыми (рис. 3.6).
Тогда вся плоскость разобьется на бесконечное число равных
полос. Прямая (/Vt) пересечет прямые mt в точках Pt.
Каждую полосу, ограниченную прямыми mt и mi+i, мы можем
аналогично полосе, ограниченной прямыми тпа л пг^ наложпть
'0
s—
¦ f?
s—
J*.
,77,
~?,
T
c0
1-
Po
/77,
p,
4
Рис. З.6.
на поверхность S, совместив точку Pi с точкой 0* этой поверхно-
поверхности. Так как все эти полосы вместе покрывают плоскость, то
мы «наворачиваем» всю плоскость на поверхность Е. При этом
в одну точку поверхности попадет по одной точке из каждой
полосы, а всего, следовательно,— бесконечно много точек. Это
те точки, которые в разных полосах занимают одинаковое поло-
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ НА ЦИЛИНДРЕ
21
жение, т. е. которые совместятся друг с другом, если мы совме-
совместим полосы, сдвинув одну из них параллельно прямой (Р^Р^
так, чтобы она совместилась со второй. Все эти точки располо-
расположены на одной прямой, параллельной прямой (P0Pi), и образуют
ряд точек, в котором соседние находятся друг от друга на рас-
расстоянии, равном длине кривой с' (т. е. длине отрезка IPoPJ).
Иными словами, они получаются из одной из них путем парал-
параллельных переносов на любые векторы вида к • PoPi} являющиеся
произвольными целыми кратными вектора PqPi. Все точки такого
ряда (т. е. точки плоскости, накладывающиеся на одну точку
поверхности 2) мы будем называть эквивалентными. Процесс на-
ворачивания плоскости на поверхность S можно представить се-
себе как наворачивание листа бумаги или жести на цилиндриче-
цилиндрическую палку.
Обратный процесс разворачивания поверхности 2 на плос-
плоскость можно представить себе столь же наглядно. Положим ци-
цилиндрическую поверхность 2 на плоскость так, чтобы образующая
пг' совпала с прямой Жо, и начнем катить 2 без скольжения
(для наглядности можно считать кривую с выпуклой) по плос-
плоскости. Когда 2 совершит один оборот, тп' совпадает с прямой /»„
а любая точка на 2 — с той точкой плоскости полосы, на которую
она развертывается. Если мы будем продолжать катить 2 и в
противоположную сторону, то тп' будет последовательно совпадать
с прямыми та-!, тп-г, ... и т. д. При этом точка 9* на 2 будет
совпадать с теми точками в полосах питп{+1, которые все эквива-
эквивалентны друг другу.
Предположим, что мы имеем в полосе линию / такую, которая
описывается теоремой 2 (см. рис. 3.6, где изображена такая линия,
состоящая из трех кривых). Изобразим ее на плоскости, сдвинув
кривую /2 параллельно из полосы тп^тп,. в полосу тп^п% (тогда <?,
совместится с (?i = Qo), /з — в полосу тпгтпг (тогда Q3 совместится
с точкой Qz, в которой сдвинулась перед тем Q2) и т. д. В ре-
результате мы получим одну кривую f, состоящую из частей
f I, fz, fs, .. •, равных /i, /2, /s, ... (см. рис. 3.6) и поэтому
имеющую ту же длину, что и /. Наоборот, любая кривая f, иду-
идущая из некоторой точки полосы в любую точку плоскости, раз-
разбивается прямыми тп{ на части /"<. Каждую кривую f{ можно
сдвинуть по прямым, перпендикулярным прямым тп*, в полосу
7гео/та, и таким образом получить в ней кривые ft, которые состав-
составляют как раз такую линию /, о которой говорится в теореме 2.
Таким образом, согласно теореме 2, любая кривая /', соеди-
соединяющая на поверхности 2 точку 9" с точкой &~, может быть
изображена как кривая f той же длины на плоскости. Начина-
Начинается кривая f в той точке S полосы, заключенной между
прямыми та и лги которая при наворачивании плоскости попа-
22
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
дает в точку 9*, но заканчивается в точке Т, принадлежащей,
быть может, не этой полосе, а некоторой полосе 7пGп1+1. Однако
точка Т совмещается с той точкой Т полосы пготпи которая
накладывается на точку 0~, если мы совместим полосу т^тп{+1
с полосой тйти сдвинув ее параллельно прямой (/W, т. е.
точка Т эквивалентна точке Т.
Итак, мы имеем полное описание всех кривых, соединяющих
точки 9" и 9~ поверхности 2, если заданы точки S и Т полосы
тпйтпи которые в них попадают при наворачивании плоскости.
Так как расстояние на 2 определено как длина наикратчайшей
из таких кривых, то мы видим, что расстояние от 9" до &~ равно
длине наикратчайшей плоской кривой, соединяющей точ-
точку S с некоторой точкой Т, эквивалентной Т. Но на плоскости
длина кривой, соединяющей точки S и Т, будет наименьшей,
если эта кривая — отрезок и равна просто расстоянию от S до Т.
Поэтому мы приходим к окончательному и очень простому отве-
ответу, который сформулируем в виде теоремы.
Теорема 3. Пусть точкам 9* и &~ цилиндрической поверх-
поверхности 2 соответствуют точки S и Т полосы mom,,. Расстояние
от 9" до &~ на 2 равно наименьшему из расстояний от S до точек
Т, эквивалентных Т (см. рис. 3.7, где Т = Т{, i = 0, ±1, ±2, ...).
В теореме 3 точки 9° и ЗГ играют разную роль: мы изобража-
изображаем 9" точкой S, содержащейся всегда в полосе mumu a T может
оказаться любой точкой, эквивалентной точке Т. Легко видеть,
что и вместо точки S мы можем брать любую точку 3, эквива-
эквивалентную точке S,— ответ от этого не изменится. Действительно,
сдвинув полосу, в которой лежит точка S, в полосу тйти и так
же сдвинув всю плоскость, мы совместим с собой ряд точек 2\,
эквивалентных Т. Поэтому все
- расстояния от S до точек Tt и все
• расстояния от S до 7V—это одна
и та же совокупность чисел. Поль-
Пользуясь этим, мы дальше не будем
обязательно предполагать S со-
содержащейся в полосе тйт,1.
Согласно теореме 3 для вычис-
вычисления расстояния от 9" до &~ на
? мы должны выяснить, какое
из расстояний от S до точек Tit
эквивалентных Т, наименьшее.
Точки Tt все лежат на одной
прямой к, перпендикулярной прямой тп0, и расстояние между
любыми соседними точками Ти Tt+l одинаково — оно равно ши-
ширине полосы mtmu т. е. длине направляющей с' цилиндрической
поверхности 2. Обозначим это расстояние через s. Проекция точ-
точки S на прямую к попадает в какой-то из отрезков длины s,
на которые точки Tt делят эту прямую (рис. 3.8).
т.,
т.,
т.,
Т-1
/77.,
1
S
.77,
т2
Рис. 3.7.
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ НА ЦИЛИНДРЕ
23
Пусть эта проекция будет заключена между точками Тк и Th+i.
Очевидно что тогда наименьшим среди расстояний от S до Tt
будет расстояние от S до Th или от S до Tk+i в зависимости от
того, к какому концу интервала - Th или Tk+i - проекция будет
U.,
Рис. 3.8.
Рис. 3.9.
ближе расположена. Это очень простой способ определения рас-
расстояний, пользуясь которым читатель в качестве упражнения лег-
легко проверит, что если точки 93, 0~, Ш на поверхности 2 изобража-
изображаются точками S, T, U в полосе на рис. 3.9, то расстояние от 9"
до &~ на 2 равно расстоянию от S до Т на плоскости, а расстояние
от 93 до Ш равно расстоянию на плоскости от S до точки U-i,
¦эквивалентной U.
Упражнения
1. Доказать, что при определении расстояния между точками цилинд-
цилиндрической поверхности, данном в теореме 2, достаточно пользоваться только
линиями /, которые или являются отрезком, или распадаются на две кри-
кривые /i и /г, каждая из которых является отрезком. (Указание: восполь-
воспользоваться теоремой 3.)
2. Пусть 2 —цилиндрическая поверхность, V — ее образующая, с' —
направляющая. Обозначим через г расстояние между точками SP и &~ поверх-
поверхности 2, Г1 — расстояние между их проекциями Э'х и 3~i на образующую V,
•через г2 — расстояние между их проекциями &% и &~ъ на направляющую с'
(т. е. длину той из двух дуг кривой с', ограниченных точками Р^ и У г, ко-
которая меньше). Доказать, что на 2 имеет место «теорема Пифагора»: г2 =
= г*+ т\. (Указание: воспользоваться теоремой 3.)
3. Заметим, что изображение поверхности 2 на полосе связано с выбо-
выбором той образующей п', иа которую накладываются края т0 и mi полосы
(мы разрезаем 2 вдоль п', превращая в полосу). Доказать, что для любых
двух точек 9> и 9~ поверхности 2 можно так выбрать образующую ге', что
расстояние между SP и 9~ на 2 будет равно расстоянию между соответст-
вующими им точками Si и Ti в полосе.
3. Исследование геометрии на цилиндре. После того как мы
так подробно описали геометрию на цилиндрической поверхности
2, мы можем перейти к нашей основной цели и показать, что
в своих достаточно малых частях она совпадает с плапиметрией.
Прежде всего, уясним себе, почему описанный нами процесс на-
нахождения расстояний приводит к разному ответу для точек 9", &~
на 2, с одной стороны, и для соответствующих им точек S, Т
24
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
полосы тьтпи с другой. Ответ теперь совершенно ясен. Для не-
некоторых точек их расстояние действительно равно расстоянию
между соответствующими им точками полосы — таковы, напри-
например, точкп S, Т на рис. 3.9. Для другпх же, например, для S, U
ла этом рисунке, расстояние равно расстоянию на плоскости от
Рис. ЗЛО.
•S не до V, а до эквивалентной ей точкп Z7_t. Поэтому расстояние
от 9* до 9~ будет совпадать с расстоянием на плоскости от S до Т,
если S ближе к Т, чем к другим эквивалентным ей точкам 2Y
Пусть задана точка S на плоскости. Каковы точки Т, удовлет-
удовлетворяющие этому условию? Ответ очевиден, еслп взглянуть на
рис. ЗЛО. Это все точки, лежащие внутри полосы, ограничен-
ограниченной прямыми, параллельными тя п отстоящшт от S на рас-
расстояние s/2.
Иными словами, надо, чтобы расстояние между проекпиямпг
S и Т на прямую, перпендикулярную пг0, было меньше s/2. Если
теперь мы возьмем любую полосу ширины s' < s/2, края которой
параллельны пга (см... рис. 3.10), то указан-
указанное свойство будет выполнено для любых
точек этой полосы — их расстояние на пло-
плоскости равно расстоянию между точками
поверхности 2, на которые они налагаются.
Мы нашли, следовательно, довольно боль-
большие областп в нашей геометрии (на кото-
которые налагаются такие полосы), в которых
любые измеренпя дают тот же результат,,
что и на плоскостп, т. е. геометрия этих
областей та же, что и некоторых областей-
плоскости.
Здесь необходимо одно предупреждение..
При изображении точек цилиндра точками
полосы mom,i не всякая такая область изо-
изобразится полосой. Дело в том, что при этом изображении мы
должны заменить точки такой полосы ширины s' < s/2 эквива-
эквивалентными им точками полосы т^т^ При этом, например, полоса,
ограниченная прямыми р, q на рис. 3.11, изобразится в полосе-
Рис. 3.11.
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ НА ЦИЛИНДРЕ.
25
тотг в виде двух полос. Прп наложении полосы mom, на поверх-
поверхность 2 эти полосы склеятся в единую полосу на 2. Очевидно,
что любой круг радиуса г < s/4 помещается внутри полосы шири-
ширины s' < s/2, поэтому для него также будет выполняться нужное
свойство: расстояние между его точками на плоскости равно рас-
расстоянию между соответствующими точками поверхности 2. В по-
полосе m0TOi этот крут может изобразиться в виде двух сегментов,
которые прп наложении на поверхность 2 опять склеятся (см.
рис. 3.11). Очевидно, что такой круг любого радиуса r<s/4
можно описать вокруг любой точки полосы тпоТПч. Это п устанав-
устанавливает основное свойство геометрии на поверхности 2.
Теорема 4. Геометрия на цилиндрической поверхности 2
совпадает с геометрией на плоскости в достаточно малых обла-
областях. Такой областью является, например, любой круг радиуса
г < s/4, где s — длина направляющей с'.
Теперь убедимся, что на всей поверхности 2 геометрия от-
отлична от геоаштрии на плоскости. Для этого мы разберем вопрос,
интересный и сам по себе — свойства прямых в этой гео-
геометрии.
Прямую мы определим как кривую и' на 2, обладающую
следующим свойством: длпна отрезка кривой, соединяющего
любые две точки s4~ и М этой кривой, равна расстоянию \s4-3S\
между ними, еслп длина отрезка не превосходит некоторой фик-
фиксированной величины (например, s/4). Таким образом, кривая и',
как и прямая на плоскости, дает кратчайший путь, соединяющий
ее точки, но не любые, а лишь достаточно близкие по этой
кривой.
Каковы же этп прямые? Как мы видели, любая кривая /' на
2 изображается в виде некоторой кривой f на плоскости (см.
рис. 3.6). При этом точке Т кривой f соответствует та же точка
&~ поверхности, что и эквивалентной ей точке Т, содержащейся
в полосе пг^тп,,. Пусть кривая и', являющаяся прямой на 2,
изображается кривой п на плоскости. Опишем вокруг точки Т,
принадлежащей и, круг радиуса г < s/4. Согласно теореме 4,
расстояние между любыми точками Ж, Б этого круга равно рас-
расстоянию между соответствующими точками s4-, 3B поверхности 2.
С другой стороны, длина дуги кривой и', соединяющей ?& и &&,
равна расстоянию между зФ и 9S. Поэтому и длина дуги
кривой и, соединяющей точки Ж и JS, равна расстоянию между
этими точками. Отсюда следует, что эта дуга — отрезок прямой
линии. Значит, кривая и на любом отрезке, помещающемся
в круге радиуса г < s/4, совпадает с прямой, а следовательно,
она и вся является прямой линией. Мы доказали, таким образом,
что прямые на 2 — это те кривые, которые изображаются в виде
прямых на плоскости.
Как же они выглядят на цилиндрической поверхности 2? Тут
возможны три случая.
26
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
1) Прямая и перпендикулярна прямым mt. В этом случае в
полосе mom.i ей соответствует отрезок IQoQj, соединяющий пря-
прямые тга0 и mi и перпендикулярный этим прямым. На поверхности
2 этот отрезок свертывается в направляющую и' (рис. 3.12).
2) Прямая и параллельна прямым т{. На поверхности 2 ей
соответствует образующая и'.
а
т.,
/77,
т,
тст,
2
/77.,
та
/77,
Л!,
/77О /77,
О'
^Х
^-<
Рис. 3.12.
Рис. 3.13.
3) Прямая и ни параллельна, ни перпендикулярна прямым т{.
В полосе ей соответствует линия, состоящая из бесконечного
числа параллельных отрезков. На поверхности 2 она свертывается
в кривую, бесконечное число раз обвивающую эту поверхность,
неограниченно поднимающуюся вверх и опускающуюся вниз
(рис. 3.13). В случае круговой цилиндрической поверхности такая
кривая называется винтовой линией.
Сразу же бросается в глаза некоторое отличие прямых линий
на 2 от прямых на плоскости. Во-первых, прямые типа 1) замк-
замкнуты, т. е.. имеют конечную длину. Интересно, что через любую
точку на 2 проходит замкнутая прямая, но только одна. Во-вто-
Во-вторых, прямые типа 2) и типа 3) или две прямые типа 3) пересека-
пересекаются в бесконечном числе точек. Эти свойства показывают, что
геометрия на цилиндрической поверхности во многом отличается
от геометрии на плоскости, но этих отличий, как мы видели, нель-
нельзя обнаружить, если не выходить за пределы круга радиуса
г < s/4.
Упражнения
1. Сколько разных прямых соединяет две разные точки 9> и Q на ци-
цилиндрической поверхности? Рассмотреть различные случаи расположения
точек 9> и Q.
2. Доказать, что из всех отрезков прямых, соединяющих точки 9* и Q,
имеется либо один самый короткий, либо два. В каком случае один, а в ка-
каком — два?
3. Пусть I — кратчайший отрезок, соединяющий точки & и Q. Дока-
Доказать, что существует два разных отрезка прямой, соединяющих 9> с Q и
не пересекающих I.
§ 4. НЕОРИЕНТИРУЕМАЯ ГЕОМЕТРИЯ
27
4. Доказать, что две любые незамкнутые прямые на цилиндре пересе-
пересекаются бесконечное число раз, если хотя бы одна из них отлична от пря-
прямой типа 2). ,
(У к а-з а н и е ко всем упражнениям: воспользоваться изображением
прямых на цилиндрической поверхности в виде прямых на плоскости.)
§ 4. Мир, в котором «право» и «лево» неразличимы
Говоря о том, что наши оценки зависят от принятой точки
зрения, Л. Толстой пользуется таким сравнением: когда идешь
по дороге, то одни предметы находятся справа, другие — слева;
но стоит повернуть в обратном направлении и предметы, бывшие
справа, окажутся слева, а бывшие слева станут справа. Это срав-
сравнение апеллирует к тому факту, что слово «слева» или «справа»
еще не определяет положение предметов относительно дороги —
надо знать, в какую сторону по дороге глядит наблюдатель, с точ-
точки зрения которого это описание делается. Если же направление,
в котором глядит наблюдатель, выбрано, то левая и правая сто-
сторона тем самым однозначно определяются. Но верно ли последнее
утверждение? Не может ли случиться, что, двигаясь все время
в одном направлении по замкнутой дороге, мы вернемся назад
и при этом левая и правая сторона поменяются местами? Наш
опыт говорит, что это невозможно, и это действительно невоз-
невозможно в планиметрии. Но сейчас мы построим геометрию, совпа-
совпадающую с планиметрией в своих достаточно малых частях,
в которой это парадоксальное явление имеет место.
Конструкция новой геометрии очень похожа на ту, которую
мы применяли в § 3 для описания геометрии на цилиндре. Опять
рассмотрим полосу, ограниченную параллельными прямыми пга
и тпи проведем прямую I перпендикулярно тпа
и mt. Обозначим через s расстояние от тй до
то,. Точки <?0 на прямой т0 и Qt на т± назовем
эквивалентными, если <?4 получается из Qo
сдвигом на расстояние s в направлении пря-
прямой I и симметрией относительно I. Иными
словами, <?0 принадлежит прямой m0, Qi при-
принадлежит и»1, и они находятся на одинаковом
расстоянии от прямой I, но по разные стороны
от нее (рис. 4.1). Мы будем считать Qt точкой,
эквивалентной <?0, и <?0 — точкой, эквивалент-
эквивалентной Qt. To же определение можно сформулиро-
сформулировать иначе. Для этого введем важное опре-
определение:
перемещение плоскости, состоящее из симметрии относитель-
относительно прямой и сдвига (параллельного переноса) в направлении
этой прямой, называется скользящей симметрией. В частности,
если сдвиг равен нулю, мы получаем просто осевую симметрию.
Рис. 4.1.
28
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
§ 4. НЕОРИЕНТИРУЕМАЯ ГЕОМЕТРИЯ
29
Пользуясь этим определением, можно сказать, что точки Q9
и Qi эквивалентны, если Q9 переходит в Qt при помощи скользя-
скользящей симметрии с осью I и сдвига на расстояние s.
Теперь предположим, что любые пары эквивалентных точек
соединены мгновенно действующими лифтами и определим рас-
расстояние между точками S и Т нашей полосы как минимальное
время, за которое можно пройти от S к Т, двигаясь по полосе
и пользуясь лифтами. При этом эквивалентные точки прямых т0
и /к4 надо рассматривать как одну точку. Это и есть определение
нашей геометрии. Оно отличается от определения геометрии на
цилиндре только тем, что точки прямых т0 и /nt соединяются
лифтами по иному принципу.
Точное определение этой геометрии дается по аналогии с тем,
как мы поступали в § 3. Точками геометрии считаются точки
полосы, заключенной между прямыми т„ и 772!, причем прямая 7тг0
к полосе причисляется, a mt — нет. Расстоянием между точками
S и Т называется длина такой наикратчайшей линии / в полосе,
что / распадается, на кривые f±, /2, ..., /„: /i начинается в S,
/„ кончается в Т; точки, в которых /4 кончается и /<+i начинается,
эквивалентны.
Склеив эквивалентные точки прямых тп0 и тпи можно полу-
получить поверхность S, на которой реализуется наша геометрия,
подобно тому как геометрия в полосе, описанная в § 3, реализу-
реализуется на цилиндре. Чтобы представить себе эту поверхность 2, мы
сначала рассмотрим часть полосы, заключенную между двумя
прямыми U и It, параллельными I и симметричными относительно
нее (рис. 4.2). Склеивание дает поверхность, изображенную на
рисунке. Ее легко изготовить из бумаги. Она называется «.листом.
Мёбиуса» в честь немецкого математика, который впервые обра-
обратил на нее внимание. -Раздвигая неограниченно прямые 10' я lix
-I,
Рис. 4.2.
мы получим нужную нам поверхность, которую можно назвать
«скрученным цилиндром».
Удобное описание нашей геометрии можно получить, развер-
развернув ее на плоскость, как это делалось в § 3. Для этого разобьем
плоскость на бесконечне число полос равной ширины, ограничен-
ограниченных прямыми т0, ти т2, ¦.., m-t, ш-г, ¦.. (рис. 4.3). Полосу,
ограниченную прямыми тг и m,+t, обозначим П,-. Отождествим
полосу По с nt сдвинув ее параллельно на вектор РаРи а затем
я.
т.,
fi,
Рис. 43.
произведя симметрию относительно прямой I. Точку Tt полосы
П4, с которой отождествится при этом точка Тя полосы По, мы
будем считать эквивалентной этой точке. Аналогичным образом
отождествим полосу nt с полосой П2. Точку Тг полосы П2, с ко-
которой отождествится точка 7\, мы
будем считать эквивалентной как
точке Т„, так и точке Т±. Этот
процесс продолжим до бесконеч-
бесконечности, причем применим его так-
также и к полосам П_,, П-2, ..., ле- -
жащим левее полосы По. Таким
образом возникает способ отож-
отождествить любую полосу П< с дру-
другой полосой П,: если i < /, то мы
должны указанным способом
отождествить П* с n«+t, потом
П,+1 с П,+2 и т. д. до П3-. Оконча-
Окончательный результат можно, как
легко проверить, описать следующим образом. Если числа i и /
одинаковой четности, то мы просто параллельно сдвигаем Hf
в П3- параллельно прямой I, если же четность чисел i и / разная,
то мы производим скользящую симметрию относительно прямой I.
Точки, которые соответствуют в разных полосах друг другу
при этих отождествлениях, называются эквивалентными. Напри-
Например, точки Та, Tt, Т2, ..., Г-t, ... на рис. 4.3 эквивалентны друг
другу. Каждой точке нашей геометрии при этом соответствует не
только точка Т„ полосы По, но и вся совокупность То, 2\» Т2, ...
..., T-t, Т~г, ... эквивалентных друг другу точек плоскости.
Точно так же, как и в § 3, доказывается, что расстояние между
точками 9" и ЗГ в нашей геометрии определяется следующим
образом. Выберем любую точку S на плоскости из числа эквива-
эквивалентных точек, соответствующих точке 9", искомое расстояние
равно наименьшему из расстояний от точки S до точек Tt U =
= 0, 1, 2, ..., —1, —2, ...), эквивалентных точке &~.
Нам остается рассмотреть вопрос — когда расстояние между
точками S и Т плоскости равно расстоянию между соответствую-
соответствующими им точками 9" и 3~ нашей геометрии. Это сводится к прос-
простой геометрической задаче: когда точка S ближе к точке Г, чем
к другим эквивалентным ей точкам? Обозначим точку Т через То,
а эквивалентные ей точки — через Ти Тг, ..., Т-и Г_2, ...
(рис. 4.4). Прежде всего, точка <S должна быть ближе к Го, чем к
точкам Тг, Ti, ..., Т-г, T-i, ... В § 3 мы видели, каким условиям
она должна для этого удовлетворять: она должна лежать внутри
полосы, ограниченной прямыми, перпендикулярными прямой I
и делящими пополам расстояние от Г„ до Тг и от То до Т-г. Иначе
говоря, эти прямые должны проходить через точки Ти Г_4. Рас-
Расстояние от любой точки из этой полосы до любой из точек Ts,
30
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
Рис. 4.4.
Ts, ... и Т-з, T-s, ... больше, чем до точек Tt и Т-и Поэтому
нам остается выяснить, когда расстояние от точки S, лежащей в
этой полосе, до точки То меньше, чем до точек Г, и T~t. Точки,
равноудаленные от точек То и Ти расположены на прямой, пер-
перпендикулярной отрезку [T0Tt] и делящей его пополам, т. е. на
прямой rii на рис. 4.4. Точки, более
близкие к То чем к Ти расположены
выше этой прямой. Аналогично точ-
точки, более близкие к Т„, чем к Г_4,
лежат выше прямой n-t. Таким об-
образом, точки, которые ближе к То,
чем к любой из эквивалентных ей
точек, расположены в фигуре, за-
заштрихованной на рис. 4.4.
Обозначим расстояние между точ-
точками Т„ и 7\ через а. Так как пря-
прямая nt по построению делит отрезок
iToTii пополам и ему перпендику-
перпендикулярна, то круг с центром в точке Тя
радиуса г, равного наименьшему из
чисел а/2 и s, где s — половина ширины полос По, П4, ..., цели-
целиком содержится в этой заштрихованной области, т. е. расстояние
от любой точки S этого круга до точки То равно расстоянию
между соответствующими им точками 9" и ЗГ нашей геометрии.
Очевидно, что а &* s, и поэтому можно взять г ^ s/2. Если теперь
мы рассмотрим круг радиуса s/4 с центром в любой точке пло-
плоскости, то для двух любых его точек будет выполнено это усло-
условие: одна из них будет находиться внутри круга радиуса г ^ s/2
с центром в другой, а поэтому расстояние между. ними будет
равно расстоянию между Гсоответствующими им точками нашей
геометрии. Как и в § 3, мы можем заключить отсюда, что внутри
круга радиуса s/4 наша геометрия совпадает с геометрией на
плоскости.
Аналогично тому, как это делалось в § 3, легко доказать, что
прямой в нашей геометрии является кривая, соответствующая
прямой на плоскости. Одна особенно интересная такая прямая
соответствует прямой I. Она соответствует отрезку [P0Pj; так
как точки Ро и Pi эквивалентны, то она замкнута, а длина ее
равна s. Пользуясь ею, мы покажем, что в нашей геометрии поня-
понятия «право» и «лево» не различаются (смысл этого выражения
был разъяснен в начале параграфа). Действительно, представим
себе «человека» (т. е. «жителя» нашей геометрии, подобно тому
как в § 2 мы рассматривали жителя сферы), движущегося по
прямой, соответствующей отрезку [foPJ нашей геометрии. Пусть
он начинает свое движение от точки Ро, причем его правая и ле-
левая руки раздвинуты в стороны так, как это показано на рис. 4.5.
Когда «человек» дойдет до точки Р\, он мгновенно окажется в
§ 5. ОГРАНИЧЕННЫЙ МИР
31
1
I
Рис. 4.5.
точке Ро. При зтом его правая рука, находившаяся в точке А',
окажется в эквивалентной ей точке А, т. е. там, где находилась
в начале путешествия левая. Так же точно левая рука окажется
на месте правой.
Другое описание того же явления дают часы, движущиеся по
прямой, соответствующей [PoPJ ¦ вернувшись в точку Ра, они
будут идти в обратном направлении! Можно
вполне наглядно представить себе зти не-
необычные свойства нашей геометрии, так
как они связаны с рассмотрением лишь ее
части, соответствующей подмножеству поло-
полосы, заключенному между двумя параллель-
параллельными прямыми 10 и Zj на рис. 4.2. Эта часть
изображается поверхностью в пространстве
(листом Мёбиуса) на рис. 4.2.
При этом может показаться, что пройдя
по замкнутой прямой, соответствующей от-
отрезку [PoPil, мы не возвращаемся в исход-
исходную точку, так как оказываемся на другой
стороне поверхности. Но надо помнить, что по определению фи-
фигура на плоскости (и поверхности) лежит не с той или другой
стороны, а является подмножеством точек плоскости (и поверх-
поверхности). Если угодно, фигура лежит сразу на обеих сторонах этой
плоскости (поверхности).
Упражнения
1. Доказать, что через каждую точку скрученного цилиндра проходит
ровно одаа замкнутая прямая, одна прямая, не пересекающая себя, и бес-
бесконечное число прямых, каждая из которых бесконечное число раз пере-
пересекает себя. . . -.. -
2. Доказать, что на скрученном цилиндре существует ровно одна замк-
замкнутая прямая наименьшей длины, а все остальные замкнутые прямые име-
имеют одинаковую длину — в два раза большую.
3. Изменится ли понятие «право» и «лево» для «жителя», движущегося
по замкнутой прямой, длина которой в два раза больше минимальной дли-
длины замкнутой прямой?
4. Что произойдет со скрученным цилиндром, если разрезать его вдоль
замкнутой прямой, имеющей наименьшую длину? Распадется ли он на две
части, как цилиндр? Что произойдет, если разрезать скрученный цилиндр
вдоль замкнутой прямой, длина которой равна удвоенной минимальной?
Проверить ответ на модели листа Мёбиуса, изготовленной из бумаги.
§ 5. Ограниченный мир
1. Описание геометрии. Мы переходим к изучению более слож-
сложной геометрии. Ее нельзя описать как геометрию на некоторой
поверхности в пространстве. Для ее построения мы воспользуемся
тем, что, как мы видели в предшествующих параграфах, геомет-
геометрию на цилиндрической поверхности и на скрученном цилиндре
можно описать не говоря об этих поверхностях, а пользуясь их
32
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
§ 5. ОГРАНИЧЕННЫЙ МИР
33
изображением в полосе. В новом построении полоса будет замене-
заменена квадратом.
Рассмотрим квадрат ABDC, обозначим его К (рис. 5.1). Две
точки, лежащие на противоположных сторонах этого квадрата, мы
будем называть противоположными, если соединяющий их отре-
отрезок параллелен двум другим сторонам. На-
Например, на рис. 5.1 противоположными яв-
являются точки Р и Q, а также S н Т. Пред-
Предположим, аналогично тому, как мы посту-
поступили в § 3, что стороны квадрата связаны
мгновенно действующими лифтамп, которые
соединяют любые две противоположные точ-
точки. Житель квадрата может двигаться со
скоростью, равной 1, внутри квадрата и
пользоваться лифтами. Наименьшее время,
необходимое ему для путешествия из одной
точки квадрата в другую, будет называться
расстоянием между этими точками. Так определяется геометрия,
которую мы будем рассматривать.
Согласно нашему определению, расстояние между противопо-
противоположными точками сторон квадрата равно нулю — лифты перено-
переносят из одной в другую мгновенно. Поэтому противоположные точ-
точки должны рассматриваться в этой геометрии как одна. Склеив
противоположные стороны АС и BD, как это делалось в § 3, мы
полудим конечный цилиндр (рис. 5.2, а). Чтобы теперь склеить
стороны АТВ и CSD нам надо было бы согнуть наш цилиндр в
похожую на бублик поверхность, изображенную на рпс. 5.2, в.
В математике эта поверхность называется тором. Но при таком
Рис. 5.1.
A=B=C=D
сгибании одни отрезки образующих цилиндра растянутся, дру-
другие — сожмутся. Например, отрезок [АС] растянется во внешний
меридиан тора, a [EF1 сожмется во внутренний. Поэтому, хотя
нашу геометрию и можно отобразить на тор без разрывов, рас-
расстояния при этом будут искажаться. Тор может служить лишь
искаженной картой этой геометрии, подобно тому как карта полу-
полушария Земли дает лишь искаженное изображение полушария.
Тем не менее, пользуясь изображением на торе, можно ясно
представить себе нашу геометрию. Для этого надо начертить на
квадрате К сетку из достаточно часто идущих параллелей и мери-
меридианов (рис. 5.3) и перенести ее на тор. При этом, конечно, квад-
квадратики, примыкающие к внутреннему меридиану тора, будут
Рис. 5.3.
сжиматься, а к внешнему — растягиваться. Расстояние в нашей
геометрии по параллели или меридиану можно измерить на торе
по числу сторон квадратиков, помещающихся между точками, а
для любых точек сетки — пользуясь теоремой Пифагора.
Ввиду этого (а также для того, чтобы иметь короткий термин),
мы будем называть нашу геометрию геометрией на торе, а квадрат
К, в котором расстояние между точками определяется указанным
выше образом, будем называть тором.
Наша геометрия на первый взгляд может показаться несколько
надуманной. Дальше -будет рассказано, как к ней можно прийти,
исходя из более естественной точки зрения. К ней приводят и не-
некоторые физические вопросы. Рассмотрим, например, планетную
систему, которая состоит из двух планет Е
и F, движущихся по орбитам-окружностям
(рис. 5.4).
Чтобы изобразить положение этой пла-
планетной системы в некоторый момент времени,
зафиксируем на каждой из двух орбит те по-
положения Е„ и Fo, которые планеты Е и F
занимали в момент времени, соответствующий
началу наблюдений. Положение планеты Е
в любой момент определяется углом <р, ко-
который образуют радиусы орбиты, направленные в точку Еа и в
ту точку, которую занимает в этот момент планета Е. Аналогич-
Аналогично положение планеты F определяется углом ф. Таким образом,
положение всей системы определяется двумя числами <р и if. Два
числа ф и ф можно изобразить в виде точки Р на плоскости, при-
приняв <р и ф за ее две декартовы координаты, тогда точка Р будет
3 в. В. Никулин, И. Р. Шафаревич
Рис. 5.4
ш
34
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
изображать положение планетной системы. Так как углы при-
принимают значения от 0 до 2я, то <р и -ф будут ограничены этими
пределами, а это значит, что точка Р будет помещаться в квад-
квадрате со стороной 2я. Кроме того, углы 0 и 2л соответствуют
одному и тому же положению планеты и, значит, точки Р о
координатами @; -ф) и Р' с координатами Bя; ¦ф изображают
одно и то же положение планетной системы. Аналогично обстоит
дело с точками, имеющими координаты (<р; 0) и (q>; 2я). Это —
противоположные точки квадрата. Таким образом, чтобы одина-
одинаковым положениям планетной системы соответствовали одина-
одинаковые точки, мы должны считать одинаковыми противоположные
точки квадрата. Так мы приходим к геометрии на торе.
Мы описали геометрию на торе, используя наглядное пред-
представление о лифтах, соединяющих противоположные точки квад-
квадрата. Теперь мы дадим ее строгое и формальное определение.
Оно будет аналогично тому описанию геометрии на цилиндриче-
цилиндрической поверхности, которое дает теорема 2 § 3. Вот это опреде-
определение.
Точками геометрии на торе мы будем считать внутренние точ-
точки квадрата К и точки его границы, но из двух противоположных
точек брать только одну. Для этого мы будем причислять к квад-
квадрату (см. рис. 5.1) стороны АВ и АС, но не стороны CD и BD.
Расстоянием между двумя точками Р и Q мы будем называть
длину наикратчайшей из таких линий f в квадрате, что f рас*
падается на кривые /„ /2, ..., /„; при этом Д начинается в точ-
точке Р, /« кончается в точке Q, /« кончается, a f(+l начинается в
противоположных точках A<!<в-1).
Очевидно, что при склеивании квадрата в тор рассмотренные
нами линии f- склеютея- в кривые на- торе. -
- План исследования' ЭтОйГгеойетрйЖ примерно" тот же, что ж в
§ 3 и § 4. Многие рассуждения будут дословно сохраняться — в
таких случаях мы не станем их
повторять, а сформулируем лишь
окончательные утверждения.
Прежде всего, как и в § 3, мы
заменим изучение таких линий /,
которые встречаются в определе-
определении расстояний, некоторыми кри-
кривыми на плоскости. Для этого
мы замостим всю плоскость при-
прилегающими друг к другу квадра-
квадратами, равными тому квадрату,
Ряс. 5.5. исходя из которого была опреде-
определена наша геометрия (рис. 5.5).
Точки Pi и Рг, лежащие в разных квадратах К^ и Кг, мы будем
называть эквивалентными, если наложив параллельным перено-
переносом квадрат Kt на Кг, мы совместим точки Pi и Р» (это понятие
S 5. ОГРАНИЧЕННЫЙ МИР
35
отлично от того понятия эквивалентности, которым мы пользова-
пользовались в § 3 или в § 4!). В частности, каждая точка плоскости экви-
эквивалентна некоторой точке квадрата К, т. е. соответствует некото-
некоторой точке тора, и все точки плоскости, соответствующие одной
точке тора, эквивалентны друг другу. Пользуясь понятиями век-
векторной алгебры, можно сказать, что точки Qi и (?2 эквивалентны,
если Qz может быть получена из Qi параллельным переносом на
вектор, имеющий вид foe, + &*е,, где fo и кг — любые целые чис-
числа, е, = CD, ег = С А, т. е. ei и ег образованы сторонами квадрата
К, исходящими из одной вершины.
Пусть кривая /, кончается в точке (?i (а значит, /2 начинается
в противоположной точке Qz). Сдвинем квадрат К параллельно в
соседний квадрат К' так, чтобы (?2 сдвинулась в @х. Тогда кривые
/»» /з, • • •, /п сдвинутся в кривые /s, /8, ..., /„, лежащие в квадра-
квадрате К', причем /t и /г будут образовывать одну кривую. Пусть кри-
кривая f'2 кончается в точке Q'3 квадрата К', а /а начинается в про-
противоположной точке Qt. Сдвинем К' в соседний квадрат К" так,
чтобыQ'A сдвинулась в Q'a, тогда кривые f'a, f't, ..., f'n сдвинут-
сдвинутся в кривые fa, ft, • • -, /п. лежащие в квадрате К", причем теперь
уже /и/а и /з будут образовывать одну кривую. Повторив этот
процесс п раз, мы получим из линии / одну кривую f на плоско-
плоскости. Кривая f будет кончаться в точке Q, эквивалентной точке Q,
в которой кончалась линия / (см. рис. 5.5).
Еще проще обратный процесс построения по кривой / на пло-
плоскости соответствующей линии / в квадрате. Для этого надо толь-
только разрезать кривую f на части, содержащиеся в отдельных квад-
квадратах, __а_потом_ параллельно сдвинуть их так, чтобы содержащие
, их квадраты совместились с квадратом К... , .
Так как длина кривой / равна длине линии /, то мы можем,
как и в § 3, пользоваться кривыми f для определения расстояния
в геометрии на торе. В точности, как и там, доказывается, что
расстояние между точками Р и Q в этой геометрии равно длине
наикратчайшей из кривых на плоскости, соединяющих точку Р с
точками, эквивалентными точке Q. Отсюда, опять в точности как
и в § 3, следует, что это расстояние равно наименьшему из рас-
расстояний на плоскости между точкой Р и точками, эквивалентны-
эквивалентными Q. При этом можно заменить точку Р любой эквивалентной ей
точкой:— наименьшее расстояние до точек, эквивалентных точке
Q, не изменится. Таким образом, необязательно предполагать, что
точка Q лежит в исходном квадрате К. Все эти утверждения до-
доказываются дословно так же, как аналогичные утверждения в § 3,
и поэтому мы не будем приводить их доказательства.
Дальнейшее исследование несколько больше связано со специ-
спецификой геометрии на торе, и мы проведем его подробно.
3»
36
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
Пусть Р и Q — любые точки плоскости, а & и Q — соответ-
соответствующие им точки тора. Когда расстояние на плоскости между
Р и Q равно расстоянию между & и Q в геометрии на торе? Пер-
Первый ответ, конечно, таков: когда Р ближе к Q, чем к какой-либо
из других точек, эквивалентных точке Q', именно тогда наимень-
наименьшее из расстояний от Р до точек, эквивалентных Q, будет просто
равно расстоянию от Р до Q. Но как узнать, для каких точек Р и
Q это выполняется?
Все точки эквивалентные Q, составляют множество, образован-
образованное вершинами равных, прилегающих друг к другу квадратов,
стороны которых параллельны сторонам квадрата К (рис. 5.6).
н
м
о.
R
Рис. 5.6.
Рис. 5.7.
Те точки, которые ближе к 0, чем к Qi, лежат справа от пряной
(МАО; те, которые ближе к Q, чем к Qt,— слева от прямой (RL);
те, которые ближе к Q, чем к Q2,— ниже (NR); а те, которые бли-
ближе к Q, чем к Qi, выше ШЬ). Таким образом те точки, которые
ближе к Q, чем к Qi, Q*, Q3, Qi, заполняют квадрат LMNR. Легко
убедиться, что точка, лежащая внутри этого квадрата, ближе к Q,
чем к любой другой эквивалентной точке. Простую элементарную
проверку читатель может провести сам. Вот и ответ на наш во-
вопрос: расстояние между Р и Q на плоскости равно расстоянию
между соответствующими им в геометрии на торе точками 9* и
Q, если Р лежит внутри квадрата с центром в Q, равного и па-
параллельно расположенного квадрату К, т. е. совмещающегося с К
параллельным переносом. _
Рассмотрим любой квадрат К, параллельно расположенный
квадрату К и имеющий в два раза меньшую сторону. В какой бы
его точке ни поместить центр квадрата К', равного и параллельно-
параллельного К, весь квадрат К будет, очевидно, содержаться в К'. Поэтому
на плоскости расстояние между любыми точками из К равно рас-
расстоянию между, эквивалентными им точками квадрата К в геомет-
геометрии на торе. Мы нашли, следовательно, в нашей геометрии обла-
области, в которых геометрия совпадает с геометрией на плоскости.
Вместо квадратов К можно, конечно, рассмотреть вписанные в них
§ 5. ОГРАНИЧЕННЫЙ МИР
37
круги. Следует лишь отметить, что так же, как и в геометрии на
цилиндре, как квадраты Ж, так и эти круги необязательно будут
помещаться в квадрате К. В таких случаях все их точки следует
заменить эквивалентными точками квадрата К (рис. 5.7).
Таким образом, установлено, что вокруг любой точки нашей
геометрии можно описать круг некоторого радиуса (равного чет-
четверти стороны квадрата К), в котором эта геометрия совпадает с
геометрией на плоскости.
То, что вся эта геометрия не совпадает с геометрией на плоско-
плоскости, бросается в глаза сразу же. Например, расстояние между лю-
любыми двумя точками квадрата К в нашей геометрии заведомо не
превосходит их расстояния на плоскости, а это расстояние не боль-
больше диагонали квадрата. Это означает, что мы построили ограничен-
ограниченный мир: расстояние между любыми его точками не превосходит не-
некоторой определенной величины. В этом смысле наша геометрия
больше похожа на сферическую геометрию, чем на планиметрию.
Упражнения
1. Пусть Р и Q — точки, лежащие на одной стороне I квадрата К. До-
Доказать, что на торе стороне I соответствует окружность, а расстояние на
торе между точками & ъС?, соответствующими точкам Р и Q квадрата, рав-
равно их расстоянию на этой окружности (т. е. длине наименьшей из дуг ок-
окружности, на которую они «е делят).
2. Пусть Р ж Q — точки квадрата К, Р\ и Qi — их проекции на сторону
квадрата АВ, аР2и^-на сторону АС. Пусть &, Q, S'i, <?ь 3>ъ Q* — со-
соответствующие точки тора, г — расстояние между точками 9 и Q, тг —
между &>i и Qx и г2 — между ^2 в Q% Доказать «теорему Пифагора»: г2 =*
i
3. Проверить, что диагоналям квадрата соответствуют на торе замкну-*
тые кривые. Что произойдет с тором, если разрезать его вдоль кривой, со-
соответствующей одной диагонали квадрата? Распадается ли он на две ча-
части? Что произойдет, если сверх того разрезать тор еще и по кривой, cootV
ветствующей второй диагонали квадрата?
4. Заменить квадрат во всех построениях этого пункта произвольным;
параллелограммом ABDC и отождествить те точки противоположных сторона
АВ и CD, а также АС и BD, которые совмещаются при параллельном ?ере-'
носе на вектор АС (для АВ и CD) и вектор АВ (для АС и BD). Проверить,,
что таким образом мы опять приходим к геометрии, совпадающей в малом,
о планиметрией. Как выглядит совокупность точек плоскости, расстояние-
от которых до заданной точки Q равно расстоянию между соответствую--
щими точками в этой геометрии? (Для случая квадрата эта фигура и8Обра->
жена на рис. 5.6.)
2. Пряные на торе. В этом разделе мы разберем свойства пря-
прямых в геометрии на торе: здесь возникают некоторые новые и не-
необычные обстоятельства, помогающие лучше представить себе гео-
геометрию на торе и указывающие на удивительные связи этой гео-
геометрии с другими вопросами. Для понимания последующих частей г
книги приводимые здесь результаты не нужны, и читатель при<
желании может сразу перейти в следующему параграфу.
38
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
Определение прямой мы заимствуем из § 3. Мы не будем его
повторять так же, как и доказательство того, что прямые — это
те линии / квадрата Я, которым соот-
соответствуют прямые f на плоскости.
Итак, рассмотрим некоторую пря-
прямую f на плоскости. Первое, что нас
будет интересовать, это — замкнута ли
соответствующая прямая / в геометрии
на торе.
Сначала напомним, что если на
плоскости выбрана система координат,
то каждая прямая линия, не парал-
параллельная оси у, задается уравнением
5-8-
лельная оси у, задается уравнением
у = ах + Ъ. Коэффициент а называется угловым коэффициентом
прямой. Чтобы его найти, надо взять на прямой две точки, имею-
имеющие координаты (xi, yt) и (х2, у*). Из системы уравнений
\ = ахг + Ъ,
\у2 = ахг + 6,
означающей принадлежность этих точек нашей прямой, получим
(рис. 5.8), что
(х2, у*
\ух =
\у2 =
а = ¦
Выберем за начало координат вершину С квадрата Я, а за оси
координат прямые (CD) и {СА) (см. рис. 5.1) и предположим, что
в этой системе координат прямая / имеет уравнение
у = ах + Ъ.
Теорема. Если угловой коэффициент а прямой f рациона-
рационален, то прямая f на торе замкнута. Если же этот коэффициент
иррационален, то прямая / бесконечна и, более того, сколь угод-
угодно близко подходит к любой точке тора.
Сторону квадрата К примем равной 1. Тогда его точки будут
иметь координаты (х, у), О < х < 1, 0 < у < 1. Две точки плоско-
плоскости эквивалентны, если одна получается из другой сдвигом по го-
горизонтали и вертикали на целое число квадратов, параллельных
и равных К. Это равносильно тому, что как координаты х, так и
координаты у отличаются на целое число.
Рассмотрим отдельно каждый случай, указанный в формули-
формулировке теоремы.
I. Угловой коэффициент а рационален. Пусть a=*p/q, где р и
q — целые числа. Точки Pt и Pt, лежащие на вашей прямой, у
которых координаты х отличаются на q, будут тогда эквивалент-
эквивалентны. Действительно, если они имеют координаты (х„ yt) и (х2, уг), то
q, yt ==> axt + b,
§ 5. ОГРАНИЧЕННЫЙ МИР
39
т. е. вторые координаты этих точек отличаются на р. Значит, ес-
если сдвинуться из Pi на q квадратиков по горизонтали и на р по
вертикали, то мы поцадем в Р2.Это и значит, что Pi и Рг эквива-
эквивалентны.
Таким образом, если мы будем двигаться по прямой f, то как
только координата х возрастет на q, мы вернемся в исходную точ-
точку на торе и дальше будем двигаться по той же прямой. Это оз-
означает, что прямая / на торе замкнута. Соответствующая линия /
в квадрате К может состоять из нескольких отрезков (см. рнс. 5.9,
где линии нарисованы для случая, когда f имеет уравнение у -¦
JLY"
/
/к
/
/
Рис. 5.9.
Рис. 5.10.
II. Угловой коэффициент— иррациональное число. Мы утверж-
утверждаем, что какое бы маленькое число, например . qqQ 0001 мы ни
взяли, двигаясь достаточно долго по прямой /, мы пройдем около
каждой точки тора на расстояний, не большем, чем это число. Оче-
Очевидно, достаточно доказать, что задающая эту прямую линия / в
квадрате К проходит сколь угодно близко от каждой точки квад-
квадрата К.
Рассмотрим точку Р квадрата К, имеющую координаты (с, d).
Проведем через нее отрезок gt параллельный стороне квадрата и
проходящий через точку Р. На торе он склеивается в замкнутую
прямую. Мы докажем даже, что существуют точки пересечения
линий / и g, сколь угодно близкие к точке Р (рис. 5.10).
Выясним, как найти точки пересечения линий / и g в квадра-
квадрате К, пользуясь изображением / в виде прямой линии / на пло-
плоскости. Для этого вспомним, что точки (х, у), лежащие на /,— это
те точки квадрата К, которые эквивалентны точкам (.х7, у') вря-
мой /. Нас интересуют те из них, которые принадлежат и g, т. е.
для которых х = с. Это значит, что соответствующая точка (а/, у'),
лежащая на / и эквивалентная точке (х, у), должна иметь
координату х' = с + п, где п — любое целое число *). То, что
*)' Напомним, что сторона квадрата равна единице.
40
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
точка (ж', у') лежит на прямой f, означает, что для нее
у' = ах' + Ь => а(с + п) + Ъ = an + ас + Ъ.
Таким образом, мы получаем ответ на наш вопрос. Линии fag
пересекаются в тех точках квадрата К, которые эквивалентны
точкам плоскости с координатами
где Ъ' •=> ос + 6 и п — любое целое число.
Таким образом, каждому целому значению п соответствует
точка пересечения линий / и g в квадрате К. Мы обозначим ее Qn.
В квадрате К она определяется
как точка, эквивалентная точке,
координаты которой задаются
формулами A).
Пусть задано сколь угодно
большое число N. Мы докажем,
что среди точек Qn найдутся та-
такие, которые отстоят от Р не
больше, чем на VN.
Прежде всего заметим, что
точки (?„, соответствующие раз-
разным значениям п, различны меж-
между собой. Действительно, пусть
и Ф то, но Qn = Qm. Так как эти точки эквивалентны, то их коор-
координаты отличаются на целые числа. Для координат х это дей-
действительно так: первая из формул A) дает
---.¦-¦-. , ,
Пусть вторые координаты этих точек отличаются на целое чис-
число к, т. е.
an + Ъ' = am + Ъ' + к.
Отсюда мы получаем, что а — — ¦ (деление возможно, так как
п Ф т), а это противоречит иррациональности а, значит, Qn и
Qm различны.
Разделим отрезок g на N равных частей, которые в квадрате К
изображаются отрезками,' состоящими из точек с координатой у,
заключенной между 0 и 1/jV, 1/iV и 2IN, .... N~i и 1 (рис.5.11).
Так как число значений п бесконечно, а число отрезков конеч-
конечно (N), то на некоторый отрезок придется по крайней мере две
точки с разными значениями п. Пусть это будут точки Qn и Qm,
пФт. Это значит, что для точек, координаты которых опреде-
определяются формулами A) при п и при т, существует такое целое
§ 5. ОГРАНИЧЕННЫЙ МИР
41
число к, что уппУт-{-к отличаются меньше, чем на 1/JV, т. е.
ап + Ъ' = am + &' + a + к,
где
-^у, а к — целое число. Отсюда мы получаем, что
а(п — /re) == a + к.
Положим п — т •— г, тогда эта формула запишется в виде
аг — а -\- к, 0<Са<:-^:, к—целое.
(*)
Теперь сравним для любого целого значения s точки Q, и
Q,+t. Из формул A) получаем
x's+t = x't + r, y's+r = a(s + r) + 6' = '
а из неравенства (*) следует, что
у',+т = y's + a + k, 0<
ar =
ar,
a + k, 0<a<-^-, к — целое.
Как мы видим, это означает, что точки Q, и (?,+, находятся друг
от друга на расстоянии а, меньшем 1/N. Рассмотрим, начиная с
точки (?о, точки Qtt, Qr, Q2r, . • • Расстояние между двумя соседни-
соседними равно <х, а длина отрезка g равна 1. Поэтому, прикладывая друг
к другу отрезки [(?ir(?<i+i)J достаточное число раз, мы покроем
ими весь отрезок g (очевидно, надо взять больше, чем I/a отрез-
отрезков). В какой-то из отрезков попадет и точка Р. Это значит, что
от одной из точек QtT она отстоит на расстояние не большее а, т. е.
меньшее 1/JV. Доказательство теоремы окончено.
Упражнения
1. Доказать, что любая незамкнутая прямая в геометрии на торе пере-
пересекает любую замкнутую бесконечное число раз.
2. Доказать, что незамкнутая прямая на торе себя не пересекает.
3. Определить наименьшую из длин замкнутых прямых на торе.
3. Некоторые приложения. В заключение приведем несколько следствий
и замечаний, относящихся к доказанной теореме.
1. Вернемся к примеру планетной системы, изображенной на рнс. 5.4.
Мы предположим теперь, что планеты Е, F движутся с постоянными угло-
угловыми скоростями Ш|, шг по орбитам — окружностям радиусов гь г2 с од-
одним центром О, где г» < гг. И будем считать, что плоскости орбит различ-
различны*). Предположим, кроме того, что близкая планета Е видна нз центра О
планетной системы под углом Чи а далекая F — под углом % причем Yi >
> Y2 (рис. 5.12).
Нас будет интересовать, произойдет ли затмение далекой планеты F
близкой планетой Е (с точки зрения наблюдателя, находящегося в центре
•) Следует иметь в виду, что планеты солнечной системы лежат в очень
близких плоскостях. Но, например, спутники Юпитера группируются в ае-
скольнвх плоскостях, составляющих друг с другом большие углы.
42
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
1
О системы). Докажем, что если отношение угловых скоростей-jj— ирра-
иррационально, то затмение произойдет бесконечное число раз. Для этого, преж-
прежде всего, заметим, что затмение происходит, если в данный момент време-
времени t планеты Е, F оказываются близко « одному из двух лучей, на кото-
которые точка О разбивает прямую пересечения плоскостей орбит (рис. 5.12).
Более точно, если (<ро, фо) — точка тора, соответствующая положению пла-
планет на таком луче ОА0, то затмение произойдет, если точка тора (<р, ф),
соответствующая положению планет в момент вре-
времени t, удовлетворяет условию
| Ф — фо | Ч- I "ф — 4>о I <Ti —'
B)
Такие точки (<р, ф) образуют квадрат с центром в точ-
точке (фо, фо) н диагональю 2(fi — f2).
Если а момент времени * = 0 положения центров
планет Е, F характеризуются углами а и JJ, то в мо-
момент времени t соответствующие им углы будут рав-
равны ф = a>it + a, ip = соа? + р. Отсюда мы получаем
для ф и ij> соотношения
т. е.
Рис. 5.12.
где к =
C)
Уравнение C) — это уравнение прямой с угловым коэффициентом *jj—»
поэтому положения планет в различные моменты времени вычерчивают на
торе прямую. Так как —— по условию иррационально, то по доказанному
она подходит сколь угодно близко к любой точке тора, в частности — к точ-
точке (фо, Фо)< что н доказывает требуемое: найдется бесконечно много, точек
(ф, ф) на зтон прямой, удовлетворяющих неравенству. B).. .
2. Центральным местом в доказательстве теоремы было утверждение
о том, что точки пересечения линий fag находятся сколь угодно близко
к любой точке отрезка g. Эти точки задаются как точки, лежащие в квад-
квадрате К н эквивалентные точкам, координаты которых определяются фор-
формулами A).. Посмотрим, каковы же координаты самих точек пересечения.
При этом мы ограничимся случаем, когда V = 0.
Координата х искомой точки нам известна — она равна с для всех этих
точек. Чтобы найти координату у, надо нз координаты уп вычесть такое
целое число, чтобы разность была заключена между 0 н 1. Эта разность и
будет искомой координатой уп. Из формул A) мы имеем
аи = уп + к, 0 ^ уп < 1, к — целое число.
Слагаемое к называется целой частью числа an, а уп — его дробной
частью. Теперь мы можем так переформулировать доказанное нами свой-
свойство прямых на торе:
для любого иррационального числа а дробные части чисел an подходят
'Сколь угодно близко к любому числу, заключенному между 0 и 1.
Это утверждение имеет много приложений к свойствам иррациональных
чисел. В качестве примера выясним, с каких цифр начинается запись сте-
степеней 2. Заметим, что 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 2е = 64, 27 =а
I
§ 5. ОГРАНИЧЕННЫЙ МИР
43
= 128, 2" = 256, 2* = 512; поэтому степени 2 заведомо начинаются с цифр
2,4,8,1,3,6,5.
Пусть г — некоторая цифра, т. е. натуральное число, меньшее 10. Она
встречается в нашем ряду, если существуют такие натуральные числа
п, m и. I, что
2" = г • 10™ + 1, 0 < I < 10т.
Это неравенство можно записать иначе так:
2П
что равносильно неравенству
lg г «? и lg 2 — m < lg (r +1).
Иными словами, дробная часть числа и lg 2 должна содержаться между lg т
и lg(r + l). Так как число Ig2 иррационально (убедитесь в этом вами!),
то такое и существует по доказанному нами свойству дробных частей. Ана-
Аналогично можно доказать, что существуют степени 2, начинающиеся с лю-
любой заданной группы цифр.
3. Если проанализировать доказательство того утверждения, которое
сформулировано и подчеркнуто в замечании 2 (это доказательство состав-
составляет конец доказательства теоремы), то из неге можно извлечь более точ-
точный результат. Идея доказательства заключалась в том, что среди беско-
бесконечного числа различных дробных частей чисел вида an хотя бы две
принадлежат интервалу длины 1/W, а это дает возможность построить число
ат, для которого дробная часть мала.
Попробуем это рассуждение уточнить. Так как число интервалов длины
Л- равно N, то уже среди дробных частей чисел an, п = 0, 1, ..., N +1,
две будут принадлежать одному интервалу. Пусть это дробные части чисел
an н am, тогда при г = п — m дробная часть аг меньше, чем ¦»?, т. е.
аг = к + а, 0 < а <-дт.
Иными словами, \аг — к\
т. е.
Nt ¦
Такое неравенство имеет место для любого N. В нем к и г — натураль-
натуральные числа, н по построению г < N; отсюда следует, что тем более
к
к
Неравенство E) показывает, что рациональное число — довольно
близко к иррациональному числу а. Существование таких приближений
хотя бы для одного значения г ничего ие дает — например, при г = 1 это
очевидно. Однако из неравенства D) можно вывести, что такие приближе-
приближения существуют со сколь угодно большим г, т. е. с г > М, каково бы ни
было М.
Действительно, если бы число таких знаменателей г, для которых не-
неравенство E) имеет решение, было конечно, то и число решений вида к{г
44
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
неравенства E) было бы конечно. Это следует из того, что все эти решения
отличаются от а не более чем на 1 (так как г ^ 1). Тогда и число реше-
решений неравенств D) при всех N (> г) (вместе взятых) было бы конечно,
поскольку решения неравенств D) дают решения неравенства E). Реше-
Решения же неравенства D) существуют при сколь угодно больших N н отли-
отличаются от а меньше, чем на ¦гг. Чего не могло бы быть, если бы их число
было конечно.
Таким образом, для любого иррационального числа существует беско-
бесконечно много хороших рациональных приближений, удовлетворяющих нера-
неравенству E). Существование столь хороших приближений совсем не оче-
очевидно. Например, мы не получаем таких приближений, если будем пользо-
пользоваться способом, который первым приходит в голову: отбросить десятичные
внаки с определенного места. Если разложение числа а в бесконечную де-
десятичную дробь имеет вид
а =• s, rtr2..., О < г< sg 9,
то это значит, что
Рассмотрим дробь со знаменителем 10":
10я
Отклонение в — ~7^i\ будет равно
rn+i
rn+a
1On+2
10"
'п+1
10
10n*
'n+2
10a
ю
L
п>
где g = .q -|- —j" + • • • — произвольное число, меньшее 1. Таким обра-
аом, для этого приближения мы не можем утверждать ничего лучшего, чем_
10п
10п
в то время как согласно неравенству E) существуют гораздо лучшие при-
приближения. ¦
Упражнение
Указать в зависимости от к такое число N, что среди чисел 2, 2*, ...
..., 2* обязательно встретится число, начинающееся на к заданных цифр
... г*. Каково Л" дяя к = 2?..
§ 6. Что значит задать геометрию?
1. Определение геометрии. В §§ 3—5 мы рассмотрели не-
несколько примеров таких геометрий, которые в своих достаточно
малых частях совпадают с геометрией на плоскости. Теперь,
пользуясь приобретенными навыками, мы можем перейти к ис-
исследованию произвольной геометрии такого типа. В связи с этим
§ 6. ЧТО ЗНАЧИТ ЗАДАТЬ ГЕОМЕТРИЮ?
45
мы сталкиваемся с совершенно новыми вопросами: что такое
геометрия? Как задать геометрию? Какие геометрии считать оди-
одинаковыми? Ведь раньше (в §§ 3—5) мы просто предъявляли
некоторую конструкцию и называли ее геометрией. Теперь мы
используем эти примеры, чтобы исходя из них выработать общее
понятие геометрии. В качестве других примеров мы будем при-
привлекать и обычную геометрию на плоскости (планиметрию) и
сферическую геометрию, о которой было рассказано в § 2.
Конечно, под геометрией мы понимаем не какую-то совокуп-
совокупность утверждений (скажем, предложений, лемм, теорем из
школьного курса), а некоторый определенный математический
объект (вроде геометрии на сфере, на цилиндре и т. д.), который,
при желании, можно исследовать и про который можно доказы-
доказывать какие-то утверждения.
Во всех встречавшихся нам примерах геометрия была множе-
множеством, состоящим из элементов, которые мы называли точками.
Но что такое точки, как их задавать? Обратимся еще раз к на-
нашим примерам.
1. В геометрии на плоскости мы можем представить себе
в качестве плоскости, например, классную доску, которую мыс-
мыслим продолженной неограниченно. При этом под точкой можно
понимать след, оставляемый мелом при соприкосновении с плос-
плоскостью. Чтобы задать точку, достаточно ее «указать» или поме-
пометить мелом.
1а. Введя на плоскости систему координат, можно задать точ-
точку координатами, т. е. упорядоченной парой чисел (я, у). Если
мы хотим описать точки плоскости, отвлекаясь от всякой гео-
геометрической интуиции (например, чтобы рассказать о нашей гео-
геометрии жителям какого-то другого мира), мы можем принять
это за определение точки: сказать, что точка — это упорядочен-
упорядоченная пара чисел.
2. В сферической геометрии точка — это точка на сфере.
2а. Обозначим через О центр сферы 2 и рассмотрим всевоз-
всевозможные лучи, выходящие из О. Каждый такой луч пересекает
сферу 2 в единственной точке, и через каждую точку сферы 2
проходит единственный такой луч. Поэтому, чтобы задать точку
сферической геометрии, можно задать луч с началом в точке О.
3. В геометрии на цилиндре мы называем точкой — точку
цилиндра.
За. Пользуясь разверткой, можно (как мы делали в § 3) за-
задать точку цилиндра точкой полосы на плоскости (с исключен-
исключенной правой граничной прямой этой полосы).
36. Наконец, в § 3 мы встретились еще с одним способом
задавать точку на цилиндре — каждая такая точка задается
множеством эквивалентных друг другу точек плоскости.
4а. В геометрии на скрученном цилиндре мы определяли точ-
точки как точки полосы (с исключенной правой граничной прямой).
46
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
46. Здесь тоже был указан другой способ задания точек —
каждая точка задается множеством эквивалентных друг другу
точек (но понятие эквивалентности здесь иное, чем в примере 3).
5. В геометрии на торе, описанной в § 5, мы имели два
способа задания точек, которые можно обозначить 5а и 56 и
которые совершенно аналогичны примерам За и 36 или 4а и 46.
Это разнообразие способов, которыми задаются точки, наводит
на мысль, что для геометрии безразлично, что мы называем
точками, лишь бы это было точно определено.
Вторым основным понятием, которым мы во всех примерах
пользовались, было понятие расстояния между точками. Вспом-
Вспомним, как оно определялось во всех рассмотренных примерах.
1. Расстояние между точками А и В на плоскости можно
измерить, например, прикладывая некоторый эталон длины.
1а. Бели точка А имеет координаты (ж, у), & В — координаты
(#'» У'), то расстояние, как следует из теоремы Пифагора, опре-
определяется формулой
2. Расстояние между точками А и В на сфере определялось
как длина дуги большого круга, соединяющего А с В (точнее,
как длина наикратчайшей из двух таких дуг).
2а. Если задавать точку проходящим через нее лучом с цент-
центром в центре О сферы, то длина дуги, соединяющей А с В,
будет пропорциональна углу между лучами О А и ОВ. Если ра-
радиус сферы 2 равен 1, то расстояние \АВ\ равно углу в радианах
между ОА и ОВ. Поэтому, задавая точки лучами, мы можем
измерять расстояния как углы между лучами. —
3. На цилиндре расстояние между точками s4- и 5? опреде-
определялось как длина наикратчайшей кривой, лежащей на цилиндре
и соединяющей si* с 3S.
За. Если точки цилиндра задаются как точки полосы, то рас-
расстояние между точками А и В задается как длина наикратчай-
наикратчайшей линии, состоящей из кусков /„ ..., /„, причем U начинается
в А, /я кончается в В, a ft кончается и fi+1 начинается в про-
противоположных точках (для 1 = 1, ..., п— 1).
36. Если точка цилиндра изображается как множество экви-
эквивалентных друг другу точек на плоскости, то расстояние между
А и В определяется как наименьшее из чисел \АВ\, где А —
любая точка из множества эквивалентных друг другу точек, за-
задающего А, а В — любая из множества точек, задающего В.
Совершенно аналогичные способы для определения расстоя-
расстояния имеются в примерах 4а, 46, 5а и 56.
Это разнообразие способов определения расстояния наводит
на мысль, что для нас существенно лишь, чтобы как-то было
определено расстояние \s&3S\ между любыми двумя точками $(¦
§ 6. ЧТО ЗНАЧИТ ЗАДАТЬ ГЕОМЕТРИЮ?
47
и ЗВ нашей геометрии. Однако во всех примерах, как бы различ-
различно расстояние ни было определено, оно обладает некоторыми
почти очевидными общими свойствами, которые мы сейчас пере-
перечислим:
a) \s&38\ 3» 0, причем \st-3S\ = О тогда и только тогда, когда
б) \stm-\sht\\
в) \stV\ < ЫЯ\ + \О9\.
Последнее свойство может быть менее очевидно, чем преды-
предыдущие, и мы покажем, почему оно выполняется во всех рассмот-
рассмотренных нами примерах.
1. Здесь это неравенство выражает тот факт, что длина сто-
стороны треугольника не больше суммы длин двух его других
сторон.
1а. В этом примере мы сталкиваемся с любопытным алгебраи-
алгебраическим неравенством. Пусть точка А имеет координаты (х, у),
В — координаты (х', у'), С — координаты (х", у"). Наше нера-
неравенство означает, что
где всегда рассматриваются положительные значения квадрат-
квадратных корней.
Положим
х — х
х'-х"=ии у -у =vlt
тогда
и наше неравенство перепишется так:
У (» + "iJ + (* +
Так как это неравенство является просто алгебраическим выра-
выражением свойства в) для расстояния точек на плоскости (пример 1),
то и оно тоже верно. Мы получаем геометрическое доказательство
алгебраического неравенства. Это неравенство можно доказать и
чисто алгебраически: читатель вполне может сам найти такое
доказательство.
2. Здесь наше неравенство означает, что отрезок дуги боль-
большого круга дает кратчайшее расстояние между двумя точками.
Оно было доказано в § 2.
2а. Соответствующее неравенство между углами, образуемы-
образуемыми лучами, тоже было доказано в § 2. Собственно оно-то непо-
непосредственно и доказывалось, а из него уже выводилось неравен-
неравенство, которое играет роль в примере 2.
48
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
3. В этой случае неравенство очевидно. Пусть / — кривая, со-
соединяющая ^с7, длина которой равна \st^\, f соединяет st- с
3S и имеет длину \st38\, а /" соединяет 33 с ^ и имеет длину
\д№\. Кривые /' и /" вместе образуют кривую g, соединяющую
st с Я?. Ее длина равна сумме длин /г и /", т. е. \s$3t\ +
+ \ЗВ%?\. Так как длина / — наименьшая среди длин всех таких
кривых, то она не больше длины g, т. е.
\st&\
За. Так как мы имеем здесь лишь другое описание геометрии
из примера 3, то неравенство верно и в нашем случае. Впрочем,
его можно было бы и непосредственно проверить, не апеллируя
к примеру 3, а повторяя те же самые рассуждения, которые мы
использовали в предыдущем примере.
36. Здесь опять неравенство верно, так как мы имеем еще од-
одно описание все той же геометрии. Непосредственное доказатель-
доказательство неравенства в этом случае требует других рассуждений, мы
приведем их в следующем параграфе.
Совершенно аналогично рассматриваются примеры 4а, 46,
5а и 56.
Еще одно принципиально важное свойство расстояния можно
заметить, еслп вернуться к примеру, о котором мы вскользь упо-
упоминали в § 2: сфера, на которой расстояние определено не так,
как в сферической геометрии, а так, как в объемлющем прост-
пространстве, т. е. расстояние между точками равно длине хорды, со-
соединяющей эти точки. Расстояние между точками st и & сфе-
сферы 2 в смысле сферической геометрии мы будем обозначать че-
через 1.8в?Л?1,.а расстояние между теми же точками--в объемлющем
пространстве — через WstSBW. Например, если st и 33 — северный
и южный полюсы сферы радиуса г, то \st33\'— яг, a Wst38W = 2г.
Очевидно, что если st Ф 38, то \st38\ > Wst&W. Некоторая неестест-
неестественность расстояния Wst3B\\ в вопросах геометрии сферы чувству-
чувствуется интуитивно: это расстояние заимствовано не из свойств гео-
геометрии самой сферы, а из свойств объемлющего сферу простран-
пространства. Математически это сказывается в том, что расстояние WstS8W
не есть длина некоторой кривой, лежащей на сфере 2 и соединя-
соединяющей st- с 38: действительно, длина всех таких кривых не мень-
меньше, чем \st38\, a \st38\ >Wst38W. Поэтому расстояние ist384 нель-
нельзя мыслить себе «физически» как наименьшее время, потребное
жителю сферы, чтобы пройти из st в 38, двигаясь со скоростью,
равной 1. Чтобы выразить то же свойство, не используя поня-
понятия длины кривой, введем несколько понятий, которые будут по-
полезны в дальнейшем.
Ломаной, соединяющей точки st и 3В (в любой геометрии), на-
называется конечная последовательность точек &и ..., 9*п, причем
§ 6. ЧТО ЗНАЧИТ ЗАДАТЬ ГЕОМЕТРИЮ?
49
OPt—st, 0>л = 31*). Ломаные 9>и Р^ называются звеньями лома-
ломаной &t, ..., ??п, расстояния между 3>г и ^{+1 — длинами авеньев,
а сумма длин всех авеньев — длиной ломаной 9*и ..., 9*л.
Длина ломаной всегда не меньше расстояния между ее конца-
концами. Так как st = 3?i, 38 — д*„, то это утверждение записывается так:
1$»,$».1 ^ 1$»Л1 + -.. + 15».-Л1. A)
Действительно, при гс = 3 неравенство A) совпадает со свойством
в) геометрии. В общем случае оно доказывается по индукции.
Именно, согласно свойству в), имеем
а по индукционному предположению для п — 1 выполняется сле-
следующее неравенство:
l^^-.l s? 10^,1 + ... + |^»„_2<?>я_1!.
Подставляя одно неравенство в другое, получаем A).
Вернемся к геометрии на сфере. Если длины всех звеньев ло-
ломаной (понимая под расстоянием на сфере расстояние в объем-
объемлющем пространстве ust&W) очень малы, то ломаная очень близ-
близка к некоторой кривой на сфере, соединяющей st- с 38, и длина
ломаной близка к длине этой кривой. Но длины всех таких кри-
кривых не меньше, чем \st&\, a \st9i\ > \\зФЗ&\\ (причем \зФ-91\Ф
Ф Ws&&\\). Таким образом при очень маленьких длинах звеньев
длины ломаных не могут быть очень близкими к \\st-SSW, все они
будут больше, чем с, где за с можно взять любое число, строго
меньшее, чем \st3S\, но большее, чем Wst-SSW.
Чтобы подчеркнуть, что в рассматривавшихся нами геометри-
геометриях подобный эффект «неестественности» расстояния не имеет ме-
. ста, мы можем сформулировать, таким образом, следующее свой-
свойство:
г) для любых точек st и BS и любых положительных чисел а
и fj существует ломаная, соединяющая st с 38, длина которой от-
отличается от расстояния между st и 38 меньше чем на а., а дли-
длины всех звеньев меньше ($, т. е. существуют такие точки &и ...
..., 5s», что 5»! = st, ?n = 3S,
О^ \3*^г\ +...+ \9>п-&*\ - W3t\ <а,
IWVil < Р при i = 1,..., п- 1.
Во всех рассматриваемых нами примерах это свойство выпол-
выполняется автоматически (причем можно даже считать, что
\3>&г\ +...+ I^n-^J = \st33\, так как любые две точки можно
*) Под ломаной на обычной плоскости понимают последовательность
отрезков, в которой начало следующего отрезка совпадает с концом преды-
предыдущего. Чтобы задать такую ломаную, достаточно задать лишь концы зтнх
отрезков, чей мы и пользуемся.
4 в. В. Никулин, И. Р. Шафаревич
50
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
соединить отрезкой пряиой, длина которого равна расстоянию
между его концами). В последующих примерах свойство г) будет
играть аналогичную роль: оно даст возможность пользоваться ин-
интуитивным представлением о расстоянии между точками, как ми-
минимальном времени, необходимом для того, чтобы пройти от од-
одной из них до другой, двигаясь с постоянной скоростью.
После этих разъяснений будет уже, вероятно, естественным то
определение геометрии, которое мы теперь дадим:
Геометрией называется произвольное множество, элементы ко-
которого называются точками, если каким-либо образом указано,
как найти расстояние \$&&\ между произвольными точками st- и
3S, и если это определение расстояния удовлетворяет условиям
а), б), в) и г).
Таким образом, свойства а), б), в), г) являются для нас акси-
аксиомами геометрии, и в этом смысле наше определение похоже на
аксиоматическое построение геометрии в школе. Но в отличие от
школьных аксиом, которых гораздо больше и которым удовлет-
удовлетворяют только некоторые из геометрий — геометрия на плоскости
Гпланиметрия) и геометрия в пространстве (стереометрия), свой-
свойствам а), б), в), г) удовлетворяет очень много различных геомет-
геометрий.
Далее геометрию на плоскости и геометрию в пространстве мы
будем часто называть просто плоскостью и пространством.
Упражнения
1. Из каких аксном школьной геометрии вытекает, что геометрия на
плоскости удовлетворяет свойству г) определения геометрии?
2. Пусть F — фигура на плоскости, ограниченная кривой с (для про-
простоты можно считать F многоугольником, а с ломаной). Точками геометрии
назовем точки- плоскости, -принадлежащие- фигуре- У,-нрасстоянив"тгежду~~
ними определим --так же, как и для точек плоскости." Доказать,' что для
фигуры F будет выполнено определение геометрии тогда и только тогда,
когда она выпукла: вместе с любыми двумя точками содержит соединяю-
соединяющий их отрезок (обратить внимание на условие г)!).
3. Для точек прямой с координатами х и у определим расстояние как
(х — уJ. Будет ли это геометрия?
4. Для точек прямой с координатами х и у определим расстояние фор-
формулой У\х — у\. Доказать, что свойства а), б) и в) в определении геометрии
выполняются, а свойство г) — нет. Проверьте хотя бы, что свойству г) нель-
нельзя удовлетворить, если рассматривать ломаные со звеньями одинаковой
длины.
5. Очевидно, самый вырожденный пример геометрии — геометрия, со-
состоящая из единственной точки si, причем, конечно, |\s&s#| = 0. Доказать,
что если в геометрии имеются хотя бы две различные точки, то их имеет-
имеется уже бесконечно много.
2. Наложение геометрий. Перейдем ко второму основному воп-
вопросу: когда мы будем считать две геометрии одинаковыми? В при-
примерах 1 и 1а мы имеем, конечно, два разных описания одной и
той же геометрии, т. е. две геометрии, которые естественно счи-
§ 6. ЧТО ЗНАЧИТ ЗАДАТЬ ГЕОМЕТРИЮ?
51
тать одинаковыми; то же самое в примерах 2 и 2а, 3, За и 36, 4а
и 46, 5а и 56. Во всех этих примерах две геометрии представля-
представляются нам одинаковыми, несмотря на то, что точки, из которых
они состоят, являются объектами совершенно разной природы:
так в примере 1а точка — пара чисел. Что же в этих геометриях
общее? Эту общность мы подчеркивали, говоря, что геометрия 1а
дает другое списание геометрии 1. Это означало у нас, что точки
геометрии 1а соответствуют точкам геометрии 1, причем расстоя-
расстояние между любыми двумя точками геометрии 1 равно расстоянию
между двумя соответствующими им точками геометрии 1а. Так
же обстояло дело и в других примерах, где мы могли говорить
об одинаковых геометриях. Это дает основание ввести следующее
естественное определение:
Пусть даны две геометрии. Эти геометрии будут называться
одинаковыми, если указано правило, по которому каждой точке
первой геометрии сопоставляется некоторая точка второй геомет-
геометрии, и если при этом выполнены два условия:
1) каждая точка второй геометрии сопоставляется некоторой
точке первой геометрии,
2) расстояние между двумя точками первой геометрии равно
расстоянию между сопоставляемыми им точками второй геомет-
геометрии.
Если указанное сопоставление существует, то оно будет назы-
называться наложением первой геометрии на вторую. Пользуясь тер-
терминами, которые введены в школьном курсе, можно сказать, что
наложение — это отображение первой геометрии на всю вторую,
сохраняющее расстояние между точками. При этом мы, конечно,
под отображением одной геометрии в другую понимаем отобра-
отображение множества точек первой геометрии во множество .точек
второй.^ • ~ ...— — •
Например, сопоставление каждой точке пары ее координат
есть наложение геометрии примера 1 на геометрию примера 1а.
Сопоставление точке цилиндра множества всех точек плоскости,
которые на нее накладываются, является наложением геометрии
примера 3 на геометрию примера 36.
Пример 6. Рассмотрим геометрию, точками которой являют-
являются точки крута радиуса г на плоскости с центром в некоторой
точке О, а расстояния определяются так, как они обычно опреде-
определяются на плоскости. Выберем некоторую систему координат с
центром в точке О и сопоставим каждой точке нашей геометрии
ее координаты, т. е. точку геометрии примера 1а. Это сопостав-
сопоставление не является наложением одной геометрии на другую, так
как не удовлетворяется условие 1) определения: не любые коор-
координаты (х, у) соответствуют некоторой точке крута (для этого
они должны удовлетворять соотношению хг + уг < т*).
Теперь, наконец, мы можем перейти к определению основного
понятия, являющегося объектом нашего исследования. Если зФ —
4*
52
Ч. I. НАКОПЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ
точка некоторой геометрии, а г — любое положительное число, то
множество такпх точек 38 этой геометрии, что \s4-3S\ <i г, называ-
называется сферической окрестностью радиуса г точки $&.
Пусть задана некоторая геометрия. Мы будем говорить, что
она совпадает с плоскостью в своих достаточно малых частях, ес-
если существует такое число г>0, что для любой точки si- нашей
геометрии сферическая окрестность радиуса г этой точки может
быть наложена на весь круг радиуса г в плоскости.
Иными словами, если рассмотреть сферическую окрестность
радиуса г с центром в точке si- как самостоятельную геометрию
(аналогично тому, как мы поступали в примере 6), то эта гео-
геометрия будет одинакова с геометрией круга радиуса г на плоско-
плоскости. В таких случаях сферическую окрестность радиуса г мы бу-
будем называть кругом.
Очевидно, что примеры 3, За, 36, 4а, 46, 5а и 56 дают геомет-
геометрии, подходящие под это определение: в каждом случае мы это
доказывали. Тем более это верно для примеров 1 и 1а. Примеры
2 и 2а, наоборот, как мы видели, по нашему определению не яв-
являются совпадающими с плоскостью в своих малых частях.
Конечно, мы не обязаны ограничиваться такими геометриями,
которые совпадают в малых частях с плоскостью, а можем рас-
рассматривать и такие, которые в малых частях совпадают с прост-
пространством. Для этого в предшествующем определении надо только
заменить слова «круг радпуса г в плоскости» на «шар радиуса г
в пространстве». В такпх геометриях сферическую окрестность мы
будем называть шаром.
Геометрии, удовлетворяющие нашему определению, мы будем
часто более коротко называть геометриями, совпадающими с плос-
плоскостью (или пространством) в _малолк . _
Теперь, имвя-точные определения, мы можем сформулировать
нашу основную задачу: найти все геометрии, в малых частях сов-
совпадающие с плоскостью. Для этого сначала мы построим некото-
некоторые конкретные геометрпп (как это делали в §§ 3, 4 и 5), а потом
докажем, что любая геометрия, в малых частях совпадающая с
плоскостью, может быть наложена на одну из них.
Удивительным фактом является то, что исходя из столь обще-
общего определения можно получить очень конкретный ответ. Собст-
Собственно говоря, ответ нам почти известен: дальше будет доказано,
что все геометрии, совпадающие с плоскостью в малых частях, ис-
исчерпываются теми примерами, которые мы разобрали в §§ 3, 4 и
5 (включая обобщение, содержащееся в упр. 4 к п. 1 § 5), и еще
одним типом геометрии, который будет описан в § 9 (он являет-
является как бы помесью геометрии на торе и на скрученном цилинд-
цилиндре — эта геометрия ограничена, и в ней неразличимы «право» и
«лево»). Однако для доказательства этого результата, формулиров-
формулировка которого сейчас уже вполне понятна, нужны совершенно но-
новые идеи. К их изложению мы и переходим во II части книги.
§ 6. ЧТО ЗНАЧИТ ЗАДАТЬ ГЕОМЕТРИЮ?
53
Упражнения
1. Одна геометрия состоит из внутренних точек квадрата, а другая —
круга, расстояния же в обеих определены как для точек на плоскости. Мож-
Можно ли одну геометрию наложить на другую? Вообще, когда можно нало-
наложить друг на друга две геометрии, каждая из которых определена как мно-
множество точек некоторой плоской фигуры (своей для каждой геометрии),
а расстояние — как для точек плоскости? (Очевидно, фигуры должны удов-
удовлетворять условию, о котором идет речь в упр. 2 к п. 1 зтого параграфа.)
2. Бели задано множество точек, в- котором определено расстояние, удов-
удовлетворяющее всем условиям в определении геометрии кроме условия г),
то получающийся объект назовем почти-геометрией. Преимущество этого
понятия заключается в том, что любая часть точек геометрии (с сохране-
сохранением прежнего определения расстояния) является почтн-геометрией (но
не обязательно геометрией, как видно из упражнения 2 к п. 1). Доказать,
что любая почтн-геометрия, состоящая из трех точек, может быть получена
таким образом из плоскости, т. е. может быть наложена на почти-геометрию,
состоящую из трех точек плоскости. Доказать, что это не обязательно вер-
верно для почти-геометрии, состоящей из четырех точек, например из четырех
вершин тетраэдра, рассматриваемых как часть пространства.
3. Рассмотрим множество точек поверхности трехгранного угла, опре-
определив расстояние, как в §§ 2 н 3, т. е. как длину наикратчайшей кривой,
соединяющей две точки. Доказать, что это геометрия. Доказать, что эта
геометрия не совпадает с плоскостью в достаточно малых частях. (Указа-
(Указание: воспользоваться результатом из упр. 2 н обратить особое внимание
на вершину утла.)
4. Доказать, что геометрия внутренности крута (рассмотренного как
часть плоскости) не совпадает с плоскостью в малых частях.
5. Пусть /—обратимое отображение геометрии Si на геометрию 22,
причем / является наложением в малом, т. е. для некоторого г > 0 отобра-
отображение / определяет наложение сферической окрестности К(Х, г) любой точ-
точки X геометрии Si на сферическую окрестность K(f(X), r) ее образа в гео-
геометрии 2.2- Показать, что / является наложением геометрий (доказательство
будет дано-в § 10, лемма 5). Здесь через К(А, г) обозначена сферическая
онрестность радиуса г точки А.
ЧАСТЬ II
ТЕОРИЯ ГЕОМЕТРИЙ,
В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИХ С ПЛОСКОСТЬЮ
§ 7. Геометрия, в малом совпадающие с плоскостью,
и равномерно-разрывные группы перемещений плоскости
1. Определение понятия эквивалентности при помощи переме-
перемещений. В этом параграфе мы вернемся it анализу примеров, опи-
описанных в §§ 3—5, и попытаемся охватить их все единой конструк-
конструкцией. Мы изложим общий метод построения геометрий, в малом
совпадающих с плоскостью, достаточно конкретный, чтобы можно
было (в § 8) в явном виде перечислить все геометрии, которые
таким образом строятся. С другой стороны, этот метод окажется
достаточно общим, чтобы охватить все вообще геометрии, в ма-
малом совпадающие с плоскостью (это будет доказано в § 10). Тем
самым и будет решена задача перечисления всех возможных гео-
геометрий, в малом совпадающих с плоскостью.
В каждом из трех примеров геометрий, описанных в §§ 3—5,
мы имели два его описания (в предшествующем параграфе мы
различали их буквами а) и б)). Первый определял геометрию как
множество точек некоторой фигуры на плоскости, а расстояние
между точками — как длину наикратчайшей линии определенного
вида, соединяющей эти точки. Во втором описании точка геомет-
геометрии задавалась как множество точек плоскости, эквивалентных
друг другу (понятие эквивалентности точек определялось в каж-
каждом и» трех примеров по-своему), а расстояние-между точками
.я/ и ^определялось' как наименьшее из чисел \АВ\, где -А-***-лю-
-А-***-любая точка плоскости, принадлежащая множеству эквивалентных
друг другу точек, определяющему точку s&, а. В — любая точка
множества, определяющего SS. Во всех трех случаях мы начинали
с первого* описания, как более наглядного, потом переходили ко
второму и уже из него выводили основные свойства нашей гео-
геометрии. Это показывает, что реально работающим является имен-
именно второе описание, которое, следовательно, больше связано с су-
сутью дела. Его мы и положим в основу нашей более общей конст-
конструкции.
Основная идея этого описания заключалась в том, что для то-
точек плоскости каким-то способом (сейчас нам совершенно безраз-
безразлично каким) определяется понятие эквивалентности. Это значит,
что для любых двух точек А и В плоскости указано, считаем ли
мы точку В эквивалентной А или нет. Это понятие эквивалентно-
эквивалентности должно лишь обладать следующими свойствами:
а) любая точка эквивалентна себе самой;
р) если точка В эквивалентна А, то и А эквивалентна В;
§ 7. ГЕОМЕТРИИ И ГРУППЫ НА ПЛОСКОСТИ
55
Ч) если А эквивалентна В, а В эквивалентна С, то А эквива-
эквивалентна С.
Ввиду условия р) свойство двух точек быть, эквивалентными
не зависит от их порядка. Мы имеем право говорить просто: ч.А и
В эквивалентны». Рассмотрим множество точек, эквивалентных
заданной точке А. Ввиду условия f) любые две точки этого мно-
множества эквивалентны друг другу, и любая точка, эквивалентная
точке этого множества, в нем содержится. Поэтому мы будем ко-
коротко описывать такое множество как «множество точек, эквива-
эквивалентных друг другу». Каждое такое множество и определяло точ-
точку новой геометрии. Если множество А определяло точку $& гео-
геометрии, а множество В — точку ЗВ, то расстояние \s?&\ опреде-
определялось так:
где
\s?S&\ равно наименьшему из чисел \АВ\,
А — произвольная точка множества А,
В — произвольная точка множества В,
\АВ\ — их расстояние на плоскости.
A)
Во всех трех примерах мы доказывали, что наша геометрия в
малом совпадает с плоскостью, проверяя, что для достаточно близ-
близких точек А ж В плоскости (т. е. если \АВ\ не больше некоторого
фиксированного числа г) выполнено равенство \st-M\ = \АВ\, где
s/- — точка геометрии, определяемая множеством А эквивалент-
эквивалентных точек, содержащим точку А, а Я так же определяется точ-
точкой В. Отсюда следует, что если А — центр круга достаточно ма-
малого радиуса г, то никакая отличная от А точка А' этого круга
не эквивалентна А. В противном случае мы бы получили проти-
противоречие: 0Ф \АА'\ р= |.я?.я?| ¦== 0, так как эквивалентные точки
А, А' определяют одну и ту же точку si* геометрии. Поскольку
А — любая точка плоскости, то можно сказать проще:
б) существует такое положительное число d, что расстояние
между любыми двумя различными, но эквивалентными точками
не меньше d.
Таким образом, множество эквивалентных друг другу точек
может, например, состоять из точек, получающихся откладывани-
откладыванием от некоторой точки на прямой отрезков, кратных заданному
Рис. 7.1.
(рис. 7.1), но не как множество точек прямой, расстояние кото-
которых от некоторой заданной точки равно 1, у, -g, -g, ... (рис. 7.2),
и тем более не как множество всех точек некоторой прямой.
56
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
§ 7. ГЕОМЕТРИИ И ГРУППЫ НА ПЛОСКОСТИ
57
О 1
W
Рнс. 7.2.
Множество эквивалентных точек, удовлетворяющее условию б),
называется разрывным: его точки идут не «сплошь», а «с разры-
разрывами».
Конечно, можно очень разными способами определить удовлет-
воряющее условиям a), {i), f) и б) понятие зквивалентнссти то-
точек плоскости, но далеко не любое такое определение даст нам
геометрию, удовлетворяю-
f~ щую условиям а), б), в) и
г) предшествующего пара-
параграфа. Какое же из условий
может оказаться неверным?
Очень легко видеть, что ус-
условия а) и б) будут выполнены всегда; можно показать, что и
условие г) будет выполнено. Наиболее существенным, следова-
следовательно, является условие в). Чтобы понять причину того, что в
рассмотренных нами примерах неравенство в) выполняется, попро-
попробуем его доказать в примерах 36, 46, 56 исходя прямо из построе-
построения этих примеров (в предшествующем параграфе мы вывели
это неравенство, исходя из того, что наши геометрии одинаковы с
геометриями примеров За, 4а, 5а). Так как рассуждения во всех
случаях совершенно аналогичны, ограничимся примером За.
Пусть s?, Ли? — точки нашей геометрии, соответствующие
множествам А, В и С эквивалентных точек (рис. 7.3). Предполо-
Предположим, что \s?3&\ — \АВ\, т. е. \АВ\ — наименьшее из расстояний
между точкой А множества А и точкой В множества В (здесь в
обозначении \$?ЗВ\ знак I ! означает расстояние в нашей геомет-
геометрии, а в обозначении 1-42?I — между точками на плоскости). Точ-
Точно так же пусть \3$<&\ = \В'С'\. Так как точки В и В' принад-
принадлежат одному и тому же множеству В, то они эквивалентны, j* это
значит,: что "существует парадлёльвдай .'.'..'"V ! ПГГ7 V .'"Г „
перенос на вектор, кратный PJPi *)» / ~? ~7
переводящий В' в В. Пусть этот пере- 7з ~7в' 7 /
нос переводит точку С в С. Так как / / / /
параллельный перенос не меняет рас- ~а J
стояния между точками, то \ВС\ =
= \В'С'\. Кроме того, точка С эквива- Рис. 7.3.
лентна С и, значит, содержится в мно-
множестве С. По определению расстояния, \sP&\ есть наименьшее из
расстояний \ЖС\, где Ж — точка множества А, а С — точка мно-
множества С, в частности, |^^?| < \АС\. Согласно свойству в) для
точек плоскости, \АС\ ^ \АВ\ + \ВС\. Наконец, как мы видели,
\ВС\ = \В'С'\. Собирая все это вместе, получаем
IrfVI < \АС\ < \АВ\ + \ВС\ - \АВ\ + \В'С'\ - ШЗВ\
что и нужно было доказать.
•) То есть на вектор вида кР0Ри где к — целое число.
Из этого доказательства мы можем уяснить себе причину того,
что неравенство в) выполняется в нашей геометрии. Причина за-
заключается в особом определении эквивалентности: мы выделили
некоторую совокупность параллельных переносов (на векторы,
кратные вектору P0Pi) и назвали две точки эквивалентными, если
одна из них переходит в другую при одном из этих параллель-
параллельных переносов. При этом для нас было не столь уж существенно,
что мы имели дело именно с параллельными переносами; в дока-
доказательстве было существенно лишь то, что мы имеем отображе-
отображение плоскости, переводящее точки В' и С в точки В я С, для
которых \В'С'\ — \ВС\, т. е. не меняющее расстояния между точ-
точками. Такие отображения плоскости в курсе геометрии называют-
называются перемещениями. При задании геометрии на скрученном цилин-
цилиндре роль таких перемещений играли наряду с параллельными пе-
переносами и скользящие симметрии. Прежде чем идти дальше, мы
должны напомнить некоторые основные понятия, касающиеся пе-
перемещений.
Перемещением называется отображение плоскости на всю
плоскость, сохраняющее расстояния между точками. Пользуясь
термином, введенным в предшествующем параграфе, можно ска-
сказать, что перемещение — это наложение плоскости на себя. На-
Напомним примеры перемещений: поворот, параллельный перенос,
симметрия относительно оси, скользящая симметрия.
Как и для любых отображений, можно говорить о последова-
последовательном выполнении, или композиции перемещений. Пусть пере-
перемещение F переводит точку А в точку F{A), а перемещение G —
точку В в G(B). Последовательным выполнением, или компози-
композицией, перемещений F и G называется преобразование, переводя-
переводящее точку А в точку GiFiA)) (чтобы найти эту точку, надо
сначала найти точку B = F{A), в которую "У переводит А; а по-
потом— точку G(B), в которую G переводит точку В). Из определе-
определения легко следует, что это отображение также является переме-
перемещением. Оно обозначается GF (G и F пишутся рядом, G — слева,
F — справа). Такой порядок записи удобен тем, что определение
записывается простой формулой:
Результат последовательного выполнения перемещений, вооб-
вообще говоря, зависит от порядка их выполнения: применяем ли мы
сначала F, а потом G — или наоборот (см. упр. 1). Некоторые пе-
перемещения даже удобно задавать как результат последовательного
выполнения или композиции других перемещений. Таким переме-
перемещением является скользящая симметрия — композиция симметрии
относительно оси и параллельного переноса на вектор, парал-
параллельный этой оси. В этом специальном случае, благодаря парал-
параллельности оси и вектора, порядок выполнения перемещений не
58
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
играет роли. Скользящие симметрии встречались нам при изуче-
изучении геометрии в § 4.
Перемещение является обратимым преобразованием. Обратное
преобразование к перемещению F является, очевидно, перемеще-
перемещением. Оно обозначается через F~**). Если, например, F— парал-
параллельный перенос на вектор АВ, то F~x — параллельный перенос
на вектор В А, если F — поворот вокруг центра О на угол а, то
F — поворот вокруг О на угол 2я — а, если F — симметрия от-
относительно оси, то F~l*=F.
Преобразование, которое переводит каждую точку плоскости в
себя, называется тождественным. Оно, конечно, является переме-
перемещением и обозначается Е. Таким образом, по определению для
всех точек А выполняется равенство Е(А) = А.
Композиция перемещений обладает многими свойствами умно-
умножения обычных чисел. Тождественное перемещение Е играет роль
единицы: EF = FE ¦= F для любого перемещения F; обратное пе-
перемещение F~l играет роль обратного числа (—]: F~XF = FF~* *=»
= Е.
Кроме этого, композиция перемещений удовлетворяет соче-
сочетательному (ассоциативному) закону:
F(GH) = (FG)H для любых перемещений F, G, Н.
Поэтому композицию еще называют умножением перемещений.
При этом, так же как и при умножении чисел, произведение не-
нескольких перемещений можно упрощать, используя перечислен-
перечисленные свойства. Еще раз подчеркнем, что при этом нельзя пользо-
пользоваться нереместительным законом (FG-=GF)—для перемещений
он, вообще говоря, неверен. Поэтому необходимо внимательно сле-
следить за порядком следования сомножителей.
Мы можем теперь вернуться к нашему анализу возможных
конструкций геометрии. Рассуждения, приведенные после доказа-
доказательства неравенства в), приводят к выводу, что исходя из неко-
некоторого определения эквивалентности точек плоскости и определив
расстояние условием A), мы придем к геометрии, если само оп-
определение эквивалентности будет удовлетворять следующему ус-
условию:
существует некоторое множество Г перемещений плоскости,
такое, что две точки А и В эквивалентны тогда и только тогда,
когда А переводится в В некоторым перемещением иг этого мно-
множества Г перемещений.
Именно так обстояло дело в примерах, разобранных в §§ 3, 4
и 5. В § 3 множество Г состояло из всех параллельных перено-
*) Напомним, что если F переводит точку X в Y, то F'1 по определе-
определению переводит Y в X.
§ 7. ГЕОМЕТРИИ И ГРУППЫ НА ПЛОСКОСТИ
59
сов на векторы, кратные некоторому вектору P0Pi. В § 4 множе-
множество Г состояло из перемещений двух типов: а) последовательно-
последовательного выполнения параллельного переноса на любую нечетную крат-
кратность вектора PqPi и скользящей симметрии относительно прямой
(PoPi), б) параллельного переноса на любую четную кратность
вектора /W В § 5 оно состояло из параллельных переносов на
векторы, идущие из вершины некоторого квадрата в вершины
равных ему прилегающих друг к другу квадратов.
Мы увидим, что далеко не любое множество Г перемещений
плоскости можно положить таким образом в основу некоторого
определения эквивалентности точек на плоскости. Сейчас мы вы-
выясним некоторые свойства множества Г, необходимые для этого.
Потом мы проверим, что всякое обладающее такими свойствами
множество перемещений действительно приводит к некоторой гео-
геометрии. Это и будет тот путь, который приведет нас в следую-
следующих параграфах к перечислению всех возможных геометрий, в
малом совпадающих с плоскостью.
Итак, предположим, что на плоскости каким угодно образом
определено понятие эквивалентности точек, удовлетворяющее ус-
условиям a), (i), if) и б). Предположим, сверх того, что задано не-
некоторое множество Г перемещений плоскости и что выполнено
условие: точки А а В эквивалентны тогда и только тогда, когда
существует такое перемещение F из множества Г, что F{A)=B.
В этих условиях множество перемещений Г обладает многими
очень специальными свойствами. Все они очень просто вытекают
из следующего утверждения.
Теорема 1. Любое перемещение плоскости, переводящее
каждую точку в ей эквивалентную, содержится в множестве пе-
перемещений Г. '...'.
Доказательство. Пусть G — такое перемещение плоско-
плоскости. Рассмотрим любую точку А на плоскости и положим В =
= G(A). По условию точки В в. А должны быть эквивалентны.
Поэтому согласно свойствам множества перемещений Г должно
существовать такое перемещение F из множества Г, что В =
*=F(A). Рассмотрим перемещение F~x, обратное F, и перемещение
Н = F~lG, получающееся последовательным выполнением G и F~l.
Чуть позже мы докажем, что Н является тождественным переме-
перемещением Е. А сейчас убедимся, что отсюда будет следовать тео-
теорема.
Действительно, если Н = F-iG — тождественное преобразова-
преобразование, то (F-lG)(X)=°X для любой точки X. Но {F~lG)(X) =
= /?~l(G!(X)). Отсюда F-l(G(X)) •= X и, по определению обратного
преобразования, F(X) = G(X). Так как это верно для любой точ-
точки X, то G = F, откуда и вытекает теорема.
А теперь докажем, что Н — тождественное преобразование.
Обозначим через X любую точку плоскости такую, что \АХ\ <
60
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ G ПЛОСКОСТЬЮ
Рис. 7.4.
<у, и положим Y = H(X). Так как Я — перемещение, то 14X1 =
-|Я(Л)Я(Х)|. Но ЖЛ) = Л, Я(Х) = Уи, значит, |4У| =
= \Н(А)Н (X)\ = \AX\<y- Отсюда следует, что \XY\<\XA\ +
+ \AY\<d. Наконец, заметим, что точки X и Y эквивалентны.
Действительно, пусть G(X) = Z. Согласно свойству перемещения
G точки X и Z эквивалентны. По оиредб*
лению Y*=H(X) = F~l(Z). Это значит, что
Z = F(Y), а так как F содержится во мно-
множестве перемещений Г, то Z и Y эквива-
эквивалентны. Поэтому X и Y эквивалентны.
Для двух построенных нами эквива-
эквивалентных точек X и Y мы доказали, та-
таким образом, неравенство \XY\ < d. Со-
Согласно условию б) понятия эквивалентно-»
сти, это невозможно, если X i1* Y. Таким
образом, Y = X, а так как Y = ШХ), то Н{Х) — X, причем это
неравенство доказано для всех точек, для которых \АХ\ < d/2,
а такие точки заполняют внутренность крута радиуса d/2 с цент-
центром в точке А.
Мы доказали, таким образом, что перемещение Н оставляет
на месте все точки внутренности некоторого круга К(А, R) (у нас
R— d/2) *). А отсюда следует, что Н оставляет на месте все точ-
точки плоскости, т. е. является тождественным перемещением. Дей-
Действительно, пусть X — любая точка плоскости, не лежащая внут-
внутри круга К{А, R), а В — точка отрезка [АХ], отличная от точки
А, но лежащая внутри круга К(А, R) (рис. 7.4).
Заметим, что расстояния \АВ\, \ВХ\ и \АХ\ связаны соотно-
соотношением ¦ • ¦
\АВ\ + \ВХ\ = \АХ\.
Так как Н — перемещение, причем Н(А) = А, Н(В)—В, то из
этого соотношения вытекают соотношения
\АХ\-\АШХ)\.
Полученные три равенства показывают, что точки X и Н(Х)
лежат на луче АВ, а их расстояния до начала А этого луча оди-
одинаковы. Откуда, очевидно, Н{Х) — X, что и доказывает сформули-
сформулированное утверждение (отметим, что еще одно его доказательство
будет вытекать из леммы 3 следующего параграфа). Теорема до-
доказана.
*) К (А, К) обозначает круг с центром А радиуса Д. В тех случаях, ког-
когда это не может вызвать недоразумения, мы будем обозначать круг и од-
одной буквой К. ¦ - ¦
§ 7. ГЕОМЕТРИИ И ГРУППЫ НА ПЛОСКОСТИ
61
Из нее вытекают два важных свойства множества перемеще-
перемещения Г.
I. Последовательное выполнение двух перемещений из множе-
множества Г снова дает перемещение из этого множества.
Пусть F и G — два перемещения из множества Г, и Н = GF
получается их последовательным выполнением. Согласно тео-
теореме, чтобы доказать, что Н содержится в Г, достаточно
доказать, что для любой точки X точка Н(Х) эквивалентна X.
Но это очевидно! Пусть F(X) = Y, тогда Н(Х) = G{Y). Так как F
содержится в множестве Г, то X и Y эквивалентны, а так как 6?
содержится в Г, то Y и G(Y) тоже эквивалентны. Ввиду свойст-
свойства if) понятия эквивалентности X и G(Y) эквивалентны, а так
как G(Y) = #(Х), то и X и Н(Х) эквивалентны.
II. Для любого перемещения F из множества Г обратное пе-
перемещение F'1 тооке содержится в Г.
Опять нам достаточно доказать, что точки X и F~*(X) эквива-
эквивалентны. Пусть F-ЧХ) = Y, тогда Y = F(X). Так как F содержится
в Г, то X и Y эквивалентны, что и надо было доказать.
Любое множество перемещений Г, обладающее свойствами I
и II, называется группой перемещений. Это очень важное поня-
понятие. Вот несколько примеров.
1. Множество всех параллельных переносов есть группа.
2. Множество всех поворотов вокруг заданного центра есть
группа.
3. Множество всех параллельных переносов на все вектора, па-
параллельные одной прямой, есть группа.
4. Множество всех параллельных переносов на векторы ОА,
где точка О фиксирована, а Л — любая точка1 на заданной пря-
прямой, лежащая правее О, не образует группу. Хотя свойство I вы-
выполнено, но свойство II не выполняется.
Мы можем сказать теперь, что множество Г, участвующее в
нашем определении эквивалентности, образует группу. В частно-
частности, те множества перемещений, которые были связаны с приме-
примерами геометрий, рассмотренными в §§ 3—5, образуют группу. Это
следует из доказанного выше, но читателю очень рекомендуется
проверить в каждом из этих примеров свойства I и II непосред-
непосредственно.
Вспомним теперь о свойстве б) понятия эквивалентности. Так
как две точки эквивалентны тогда и только тогда, когда одна из
них получается из другой некоторым перемещением из группы Г,
то это свойство можно выразить и иным, способом:
III. Существует такое положительное число d, что если F —
любое перемещение из группы Г, а X — любая точка плоскости и
X?>F(X), то \XF(X)\>d.
Группы, обладающие этим свойством, называются равномерно-
разрывными. Если мы возьмем любую точку X плоскости и при-
применим к ней все перемещения из группы Г, то получим разрыв-
62
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
ное множество. Слово «равномерно» указывает на то, что число
d в определении может быть выбрано одним и тем же для всех
точек X.
Примеры групп перемещений, встретившиеся в связи с геомет-
геометриями из §§ 3—5, являются, конечно, равномерно-разрывными.
Наоборот, ни одна из групп в примерах 1, 2 и 3, приведенных
выше, не является равномерно-разрывной. Приведем еще один
пример. Рассмотрим группу, состоящую всего из двух перемеще-
перемещений: тождественного Е и поворота F на 180° вокруг центра О.
Легко проверить, что это группа. Применяя все (т. е. оба) пере-
перемещения группы к заданной точке X, мы получим, конечно, раз-
разрывное множество из двух точек: X и F(X). Все же группа не
будет равномерно-разрывной, так как число d в свойстве III нель-
нельзя выбрать единым для всех точек X: чем ближе X к центру вра-
вращения О, тем ближе X и F(X).
Разумеется, в нашем случае не только понятие эквивалентно-
эквивалентности определяет группу перемещений Г, но и наоборот, группа Г
определяет понятие эквивалентности: ведь точки А та. В эквива-
эквивалентны тогда и только тогда, когда существует такое перемеще-
перемещение F из группы Г, что FiA) =i?. Это обстоятельство мы и поло-х
жим в основу дальнейших рассуждений: мы будем исходить из
произвольной равномерно-разрывной группы, а по ней, пользуясь
тем, что она определяет понятие эквивалентности, построим гео-
геометрию, в малых частях совпадающую с плоскостью. Именно та-
таким образом мы придем в конце концов к перечислению всех та-
таких геометрий.
Упражнения
1. а) Доказать, что номпознция So Sq двух центральных симметрии
с центрами Ot и Ог является параллельным переносом на вектор 20iO2.
Когда S0aS0i = S0iSOa?
б) Доказать, что композиция St S, двух осевых симметрии с парал-
параллельными осями 1]\\1г является параллельным переносом на вектор 2ltl2,
где через hh обозначен вектор, начало которого лежит на h, конец — на h,
перпендикулярный прямым h и 1г. Когда S, St = S^S^?
в) Доказать, что композиция St St двух осевых симметрии с пере-
пересекающимися осями 1\ и 1% является поворотом вокруг точки О их пересе-
пересечения на удвоенный угол от прямой h к прямой 1г. Когда в этом случае
2. Рассмотрим множество перемещений прямой, состоящее из ее парал-
параллельных переносов и отражений относительно ее точек (из следующего па-
параграфа будет видно, что это и все перемещения прямой). Доказать, что
оно образует группу.
3. Доказать, что если перемещение F содержится в равномерно-разрыв-
равномерно-разрывной группе Г и оставляет на месте хотя бы одну точку плоскости, то оно
является тождественным. (Указание: перечитать доказательство теоре-
теоремы 1 этого пункта.) Это утверждение будет доказано в предложении 1 § 8.
S 7. ГЕОМЕТРИИ И ГРУППЫ НА ПЛОСКОСТИ
63
4. Доказать, что единственным решением уравнения XF = G, где F и
G— известные перемещения, а X— неизвестное, является перемещение
X=GF~l. (Указание: умножьте обе части уравнения справа на пере-
перемещение F~x и воспользуйтесь тем, что FF~l =E.) Доказать, что единст-
единственными решениями уравнений FX = G и FXH = G, где F, G, Н — извест-
известные перемещения, являются перемещения X = F~lG и X — F~%-GR~i соот-
соответственно.
2. Геометрия, соответствующая равномерно-разрывной группе.
Все рассуждения предшествующего пункта были нам нужны в
основном для того, чтобы мотивировать одну конструкцию, само
изложение которой займет гораздо меньше места. Именно, мы
покажем сейчас, каким образом по любой равномерно-разрывной
группе построить некоторую геометрию, в малом совпадающую
с плоскостью. Это даст нам общую конструкцию, охватывающую
примеры из §§ 3—5. В следующем параграфе мы перечислим
все возможные равномерно-разрывные группы перемещений,
а тем самым и те геометрии, которые таким методом строятся.
Наконец, в § 10 мы покажем, что этим методом строится любая
геометрия, в малом совпадающая с плоскостью, чем и будет за-
завершено описание всех таких геометрий.
Итак, пусть дана равномерно-разрывная группа перемещений
плоскости Г. Определим на плоскости понятие эквивалентности
точек, назвав точку В эквивалентной точке А, если существует
перемещение F из группы Г, переводящее А в В (т. е. такое, что
F(A)=B). Докажем, что это определение эквивалентности обла-
обладает свойствами a), (i), if) и б). Для этого прежде всего заметим,
что тождественное перемещение Е должно содержаться в Г. Дей-
Действительно, если F — любое перемещение из Г, то по условию
II определения группы перемещение F~l тоже содержится в Г.
А по условию I перемещение FF~l также должно содержаться в
Г. Так как FF~l = E, то Е содержится в Г.
Так как для любой точки А имеем Е{А)—А, то отсюда сле-
следует свойство а). Если точка В эквивалентна А, то F{A)—B,
где F — перемещение из группы Г. Но по свойству II из опре-
определения группы, F'1 тоже содержится в Г. Так как F~l{B)—A,
то отсюда следует, что и А эквивалентна В, т. е. выполнено
свойство р). Пусть, наконец, точка В эквивалентна А, а точка С
эквивалентна В. Тогда существует такое перемещение F из груп-
группы Г, что F(A) = В, и такое перемещение G из Г, что G(B) —С.
По условию I определения группы, перемещение Н = GF тоже
содержится в Г. Но Н(А) — G(B) =C, откуда следует, что точка
С эквивалентна А, т. е. выполнено свойство if). Наконец, так как
мы предположили, что группа Г равномерно-разрывная, будет
выполнено и условие б).
Определим точку новой геометрии как множество точек, эк-
эквивалентных друг другу в смысле введенного понятия эквива-
эквивалентности. Пусть si- и Я — две такие точки, а А и В — опрвде-
64
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В НАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ G ПЛОСКОСТЬЮ
лающие их множества. Расстояние между точками si- и Ш
определим как наименьшее из расстояний \АВ\, где А и В —
точки на плоскости, причем А содержится в множестве А., а В —
в В.
Замечание. Расстояние \st&\ можно определить и путем
сравнения меньшего множества чисел. Пусть А, — некоторая
фиксированная точка из множества А. Тогда \st3t\ есть наи-
наименьшее из чисел \А„В\, где В — любая точка множества В (т. е.
нам достаточно сравнивать числа \АоВ\, где Ао — фиксированная
точка). Действительно, если А—любая точка множества А,
а В — точка множества В, то А эквивалентна Ло, и, значит, су-
существует такое перемещение F из группы Г, что F(.A) —Ao. Так
как F — перемещение, то \АВ\ = \F(A)F{B)\ = \A0F(B)\. Из опре-
определения эквивалентности точек следует, что Bf = FLB) — точка
множества В. Таким образом, каждое число \АВ\ может быть
представлено и в виде \АаВ'\, где А„ — некоторая фиксирован-
фиксированная точка множества А, аВ' — точка множества В.
К этому понятию расстояния можно применить ту же инту-
интуитивную интерпретацию, которой мы пользовались в § § 3—5.
Именно, мы можем представить себе, что перемещения из груп-
группы Г — это мгновенно действующие лифты, так что житель плос-
плоскости может двигаться по плоскости или с постоянной скоростью,
или мгновенно переноситься из точки А в точку F(A), где F —
любое перемещение из Г. Наименьшее время, необходимое ему,
чтобы добраться таким образом из точки А в точку В, и будет
нашим расстоянием. При этом любые две точки вида А и F(A),
где F — любое перемещение из Г, мы должны считать за
одну точку, так как расстояние между ними оказывается рав-
равным 0. ,
Необходимо, однако,-выяснить, почему существует так опре-
определенное расстояние \s?3B\ между точками s& и 38, задаваемыми
множествами А и В эквивалентных друг другу точек на плоско-
плоскости? Это не так уж и очевидно, ведь множество расстояний \АВ\,
где А пробегает множество А, а В пробегает В, представляет
собой, как правило, бесконечное множество положительных чи-
чисел, а отнюдь не во всяком бесконечном множестве положитель-
положительных чисел существует наименьшее число (например, его нет во
множестве чисел вида —, где п пробегает натуральные числа).
Зафиксируем точку Ло из А. Как мы видели выше, достаточ-
достаточно доказать существование такой точки Во из В, для которой
\А0В0\ < \АоВ\, где В — любая другая точка из В. В этом слу-
случае |Л0501 и будет задавать расстояние \s4-3S\. Ниже в лемме 1
мы докажем, что в круге любого радиуса R с центром в Ао со-
содержится конечное число точек из В. Используя это, выберем R
таким большим, чтобы в этом круге содержалась какая-нибудь
точка из В, а из конечного непустого множества точек В, лежа-
§ 7. ГЕОМЕТРИИ И ГРУППЫ НА ПЛОСКОСТИ
65
щих в этом круге, выберем ближайшую к Аа точку Во. Очевидно,
Ва и будет искомой точкой. Остается доказать следующее:
Лемма 1. Пусть А — произвольное множество эквивалент-
эквивалентных друг другу точек плоскости, тогда в любом круге на плоско-
плоскости содержится только конечное число точек множества А.
Доказательство. Пусть К— некоторый круг радиуса R
п М — та часть множества А, которая содержится в К. Рассмот-
Рассмотрим круги Kt радиуса d/2 с центрами в точках At из множества
М. Заметим, что по свойству III группы Г круги К( не пересека-
пересекаются между собой, а с другой стороны, они содержатся в круге
К', полученном из круга К увеличением его радиуса на d/2.
Отсюда следует, что число кругов К{, равное числу точек А(, не
больше отношения площадей кругов К' и Kt, т. е.
d \2
что и доказывает лемму.
Докажем теперь, что введенное нами расстояние удовлетво-
удовлетворяет всем условиям, которые мы в прошлом параграфе включи-
включили в определение геометрии: а), б), в) и г).
а) То, что \s4-3&\ > 0, очевидно. Пусть sf-^38, докажем, что
ist&l^O. Множества А, В, задающие точки зФ, 3S, не имеют
общих точек, так как если точка С содержится в А и В, то вся-
всякая точка из В эквивалентна С, а так как С содержится в А,
то В содержится в А. Аналогично получаем, что А содержится
в В, т. е. А = В, и, значит, S4- — 3S вопреки предположению. Да-
Далее, пусть Ао — любая точка из А, тогда внутри круга радиуса
- d -
у с центром в точке А в содержится не более одной точки В
пз В (существование двух таких точек В и В', что \А0В\ <
<у> Ио^'Н^у привело бы к тому, что \BB'\<d вопреки усло^
вию III в определении равномерно-разрывной группы). Если та-
такая точка В существует, то положим с= \AJB\. Здесь с>0 (ина-
(иначе А и В совпадают, но как уже отмечалось А и В не имеют
общих точек!). Если же такой точки В нет, то положим с = у.
Таким образом, всегда существует такое положительное число с,
что \А0В\^с для всех точек В из В. Согласно замечанию, сде-
сделанному после определения расстояния, I.9&S&I есть наименьшее
пз чисел \АВВ\, где Ао — взятая нами точка из А, а В — любая
точка из В, и поэтому |«я?^| S* с > 0.
б) Свойство I.S&&I = \?8s?\ сразу следует из определения зФ
и & и того, что \АВ\ — \ВА\ для точек плоскости.
в) Это доказательство по существу было нами проведено в
предыдущем пункте (его иллюстрирует рис. 7.3). При этом по су-
5 В. В. Никулин, И. Р. Шафаревич
66
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
Ш — &*. Отсюда мы получаем, что
ти дела мы использовали только то, что понятие эквивалентности
точек определяется при помощи некоторой группы.
г) Пусть si- и Ш — точки нашей геометрии, задаваемые мно-
множествами А и В эквивалентных точек на плоскости. Выберем
произвольную точку Л из А, и пусть В — ближайшая к ней точ-
точка из множества В. Согласно замечанию, сделанному после опре-
определения расстояния, \&9t\ — \АВ\.
Соединим точки А и В отрезком и разделим этот отрезок на
части точками Ри ..., Рп, так, что Pi = A, Pn = B и расстояния
\PiPt+1\ все будут меньше, чем р. Тогда \АВ\ = \Р±Рг\ +
+ |.лл1 + ...+1.Рп-*Рп'1. Обозначим через Р< множества точек
плоскости, эквивалентных точкам Р{, и через ^ — задаваемые
множествами Р< точки нашей геометрии. По определению рас-
расстояния имеем j^^+il < 1-PiPi+il, поэтому
Ы&\ ^ IW.I +...+ l^n_t^»J, где |0»«0»ць1 < р.
С другой стороны, в § 6 мы доказали (неравенство A)), что
1 + l^^l
поскольку si-
т. е. нужное нам утверждение даже в более сильной форме.
Проверим, наконец, что построенная таким образом геомет-
геометрия в достаточно малых частях совпадает с плоскостью. Мы до-
докажем, что такой достаточно малой частью является круг ради-
радиуса d/A с центром в любой точке О {d — то число, которое вхо-
входит в определение равномерно-разрывной группы). Обозначим
через О~то .множество- эквивалентных друг другу точек щгоско-
- сти, которое определяем точку- ¦& нашей—геометрии,-и пусть О —
одна из точек множества О. Обозначим через К круг радиуса
d/4 на плоскости с центром в точке О. Для любой точки А этого
круга пусть А обозначает множество всех эквивалентных ей
точек и st- — определяемую этим множеством точку нашей гео-
геометрии. Сопоставим точке А точку зФ. Так как по определению
расстояния 1.Я&71 «S I-A0I, а \А0\ «Sd/4, то si- лежит в круге с
центром О радиуса d/4.
Докажем, что таким образом мы получаем наложение одного
круга на другой — это и есть нужное нам утверждение.
Пусть А и В — две точки круга К, А — множество точек, эк-
эквивалентных А, а В — множество точек, эквивалентных В; А
определяет точку st- и В — точку 38. Нам надо доказать, что
\АВ\ = \s&38\. Согласно замечанию, сделанному после определе-
определения расстояния, \s4-3&\ есть наименьшее из чисел \АВ'\, где
А — выбранная нами точка, а В' — любая точка из множества В.
Если \АВ\ не есть наименьшее из этих чисел, то для некоторой
точки В' из В получаен, что \АВ'\ < 1ЛВ1. Так как А и В ле-
$ 7. ГЕОМЕТРИИ И ГРУППЫ НА ПЛОСКОСТИ
67
жат в круге К, то \0А\ <d/4, \ОВ\ < dlk и, значит, \АВ\ <d/2.
Так как \АВ'\<\АВ\, то \AB'\<Ld/2. Поэтому \ВВ'\<,\ВА\ +
+ \АВ'\ <d. Но согласно свойству III расстояние между разны-
разными точками множества В не меньше, чем d. Это противоречие и
доказывает, что |Л1?| = \sf-38\.
Остается доказать, что наше отображение является отобра-
отображением на весь крут, т. е. любая точка круга радиуса d/4 с цент-
центром О в нашей геометрии получается из некоторой точки круга
К. Пусть si- — такая точка и Л — точка из множества А, задаю-
задающего s4-, ближайшая к О. Мы знаем, что \0зФ\ есть наименьшее
из чисел \ОА'\, где Л' —точка А, т. е. \Cfst\ = \OA\. Так как
\<УзФ\ «Sd/4, то и \ОА\ <d/4, т. е. А содержится в круге К.
Точка геометрии, на которую отображается точка А, и будет,
очевидно, S4-.
Таким образом, мы доказали следующее:
Теорема 2. Каждой равномерно-разрывной группе пере-
перемещений плоскости соответствует геометрия, которая в достаточ-
достаточно малых частях совпадает с плоскостью.
Геометрию 2, построенную при помощи равномерно-разрыв-
равномерно-разрывной группы Г перемещений плоскости, мы будем, чтобы подчерк-
подчеркнуть роль группы Г в определении геометрии, обозначать Sr.
Упражнения
1. Пусть Г — группа, состоящая вз поворотов вокруг фиксированной
2я 4я 2 (п — 1) я
точки плоскости на углы 0, —, —, ..., • Доказать, что построе-
построение геометрии 2г сохраняет силу и в этом случае, однако эта геометрия не
совпадает с плоскостью в малых частях. Доказать, что геометрия 2г накла-
накладывается на конус. . . ¦ —
.2. Определим перемещение произвольной геометрии как отображение
множества точек этой геометрии на все это множество, сохраняющее рас-
расстояние. Доказать, что если Г — равномерно-разрывная группа перемеще-
перемещений произвольной геометрии, то при помощи нее можно построить геомет-
геометрию 2г так же, как и в случае плоскости, е«ли дополнительно потребовать,
чтобы в каждой сферической окрестности содержалось конечное число экви-
эквивалентных друг другу точек (маленькое изменение потребуется для дока-
доказательства свойства г)). Доказать, что если исходная геометрия в малых
частях совпадала с плоскостью, то то же будет верно и для геометрии 2г.
3. Доказать, что параллельные переносы цилиндра вдоль его образую-
образующей на векторы, кратные заданному вектору е (лежащему на образующей),
составляют равномерно-разрывную группу Г. Какова будет геометрия 2Г?
Тат же вопрос для поворотов кругового цилиндра вокруг его оси на уг-
2я 4л 2 (п — 1) я
4. Доказать, что преобразование F, сопоставляющее каждой точке сфе-
сферы диаметрально противоположную ей точку, является перемещением в
сферической геометрии и что F вместе с тождественным преобразованием
Е образуют равномерно-разрывную группу Г. Соответствующая геометрия
2Г называется геометрией Римана. Доказать, что в ней выполняются все
аксиомы принадлежности обычной геометрии: через любые две различные
точки проходит ровно одна прямая; существуют три точки, не лежащие
5*
68 Ч, II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
на одной прямой. Но взамен аксиомы параллельности выполнена так назы-
называемая «аксиома проективной плоскости»: любые две прямые пересекаются.
Что произойдет с этой геометрией, если разрезать ее вдоль прямой? Рас-
Распадется ли она на две части?
5. Рассмотрим на плоскости два понятия эквивалентности точек. Имен-
Именно, пусть две точки А я А' называются эквивалентными, если:
1) для фиксированной точки Р расстояния от А и А' до Р равны;
2) для фиксированного пучка параллельных прямых точки А и А' ле-
лежат на одной прямой этого пучка.
Выполняется ли для них свойство б), какие множества эквивалентных
точек получаются? Задаются ли эти понятия эквивалентности какими-ни-
какими-нибудь группами перемещений плоскости? Доказать, что обоим понятиям эк-
эквивалентности соответствуют геометрии: случаю 1) — луч, случаю 2) — пря-
прямая. Рассмотреть подобные примеры в пространстве. ^
6. Пусть Ф — фигура в геометрии 2г. Обозначим через Ф все точки
плоскости, которые задают точки геометрии 2р, лежащие в Ф. Доказать,
что если фигура Ф на плоскости выпукла, то Ф является геометрией.
§ 8. Перечисление всех равномерно-разрывных
групп перемещений плоскости
1. Перемещения плоскости. Начнем с перечисления всех воз-
возможных перемещений плоскости. Вспомним, какие примеры нам
встречались: параллельный перенос, поворот, скользящая сим-
симметрия (в частности, симметрия относительно оси). Мы докажем,
что этими примерами исчерпываются все перемещения плоско-
плоскости. Параллельный перенос на вектор х мы будем обозначать
через Тх, поворот с центром в точке О на угол ср — через R%,
симметрию относительно оси I — через St, а скользящую сим-
симметрию с осью I и сдвигом на вектор х, параллельный оси Z,—
через Sf. По определению, S* —SiTx.
Сначала докажем два вспомогахвльны:{[пред-
вспомогахвльны:{[предложения.
Лемма 1. Если \АВ\ = \А'В'\, то су-
существует такое перемещение F, являющееся
параллельным переносом или поворотом, что
F(A)=A', F(B)=B'.
Доказательство. Отметим одно важ-
.ное свойство поворота: при повороте на угол
<р всякий луч поворачивается на один и
тот же угол, равный углу <р.
§ 8. РАВНОМЕРНО-РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ
69
Рис. 8.1.
Действительно, обозначим через AM этот луч и через ОМ' —
сонаправленный ему луч с началом в центре О поворота (рис. 8.1).
Для луча ОМ' это свойство выполнено по определению пово-
поворота. А свойство лучей быть сонаправленными сохраняется
при любом. перемещении. Поэтому луч R(A)R(M) сона-
правлен лучу RiO)R(M'), значит, угол между лучами AM к
R(A)R(M) равен углу между лучами ОМ' и R(O)R(M'), т. е.
углу ф (см. рис. 8.1).
Это свойство подсказывает, как находить нужный поворот.
Рассмотрим сначала случай, когда прямые (АВ) и (А'В') не па-
параллельны. Обозначим угол от луча АВ к лучу А'В' через «р,
где <р не равен 0е или 180е. Воспользуемся тем, что для различ-
различных точек А ж А' множество точек X, для которых угол от луча
ХА к лучу ХА' равен <р, где <р отличен от 0е или 180е, образует
дугу окружности, построенную на ее хорде 1АА'] (рис. 8.2).
Рис. 8.2.
Рис. 8.3.
Обозначим через О точку пересечения этой дуги с середин-
серединным перпендикуляром к отрезку 1АА'] (см. рис. 8.2). Тогда при
повороте R% с центром в точке О на угол ср точка А перейдет
в точку А', луч АВ, по доказанному нами свойству поворота, по-
повернется на угол <р и поэтому перейдет в луч А'В', а точка В
перейдет в точку В', так как \АВ\ = \А'В'\ (см. рис. 8.3, иллю-
иллюстрирующий один случай расположения отрезков 1АВ] и. lA'B'l).-
Пусть теперь прямые (АВ) и (А'В') параллельны. Если лучи
АВ и А'В' направлены в разные стороны, т. е. составляют угол
в'
\
Рис. 8.4.
в 180°, то центральная симметрия (или поворот на 180е) отно-
относительно середины О отрезка [АА'] переведет А в А', & В в В'
(рис. 8.4).
Наконец, если лучи АВ и А'В' сонанравлены, то параллель-
параллельный перенос на вектор АА' переведет А в А', а В в В' (рис. 8.5).
70 ч- П. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЙ G ПЛОСКОСТЬЮ
Лемма 2. Если \АВ\ = \А'В'\, то существует такое пере-
перемещение S, являющееся скользящей симметрией, что S{A) — А',
S{B)*=B'.
Предположим вначале, что лучи АВ и А'В' не сонаправлеиы.
Обозначим через О середину отрезка [АА'] и перенесем парал-
параллельно в точку О лучи АВ и А 'В' (рис. 8.6). Проведем биссек-
биссектрису I угла, образованного
полученными лучами OBi
(сонаправлен АВ) и ОВХ (со-
направлен А'В'). Пусть С и
С — проекции точек А и А'
соответственно на прямую I.
$ 8. РАВНОМЕРНО-РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ
71
Рис. 8.6.
Рис. 8.7.
Прямоугольные треугольники О АС и О А'С имеют равные
по величине гипотенузы и равные углы. Поэтому \СА\ = \С'А'\,
т. е. точки A vs. А' находятся на одинаковых расстояниях от
прямой I.
При параллельном* переносе Tccf. на" вектор-СС" точка 4-
нерейдет в точку Аг, причем перпендикулярный прямой I отре-
аок [Л2Л'1 будет делиться точкой С пополам, а луч АВ перейдет
в сонаправленный ему и лучу OBt луч АгВг (см. рис. 8.6). Поэ-
Поэтому при симметрии St с осью I точка Аг перейдет в точку А',
а луч АгВг перейдет в луч А'В', так как при этой симметрии
луч OBi перейдет в луч О'В{ и при любом перемещении
еонаправленные лучи переходят в сонаправленные. Итак, мы
доказали, что композиция Si — SiTCc, которая по опре-
определению является скользящей симметрией с осью I и вектором
~СС', переводит луч АВ в луч А'В'. Так как \АВ\ — \А'В'\, то
ири этой скользящей симметрии точка В перейдет в точку В'.
Это доказывает наше утверждение при данном расположении
лучей АВ и А'В'.
Если же лучи АВ и А'В' сонаправлены, то возьмем за I па-
параллельную им прямую, также проходящую через середину от-
отрезка [АА'] <рис. 8.7). Те же рассуждения доказывают, что
скользящая симметрия Sic' переводит А в А', В в В'.
sfcj
S(BJ
a
с
Рис. 8.8.
Таким образом, любой отрезок можно совместить с любым
равным ему по величине двумя способами: при помощи переме-
перемещения, являющегося параллельным переносом или поворотом
(лемма 1), либо при помощи скользящей симметрии (лемма 2).
Выделение этих двух типов перемещений связано с тем, что онж
различются одним существенным
свойством.
Бели F — параллельный пере-
перенос или поворот и ABC — любой
треугольник, в котором вершины
А, В vs. С обходятся по часовой
стрелке, то в треугольнике
F{A)F{B)F{C) вершины F(A),
F(B) и F{C) тоже обходятся по
часовой стрелке. Это следует хотя
бы из того, что перемещение F
можно осуществить как непрерыв-
непрерывное движение плоскости, при ко-
котором, очевидно, направление
обхода вершин треугольника не изменяется. Наоборот, если S —
скользящая симметрия и вершины А, В ж С обходятся по часо-
часовой стрелке, то вершины S(A), S(B) и S(C) обходятся против
часовой стрелки (рис. 8.8). Это очевидно для осевой симметрии,
а параллельный перенос, как мы видели, не меняет направление
обхода. Перемещения, не меняющие направления обхода тре-
треугольника (т. е. повороты и параллельные переносы), называют-
называются перемещениями I года, а перемещения, меняющие направле-
направление обхода треугольника (т. е. скользящие симметрии),— пере-
перемещениями II рода. Из того, как они влияют на направление
обхода треугольников, следует, что если Ft и Рг — перемещения
I рода, то FiF2 тоже перемещение I рода: если Ft — перемеще-
перемещение I рода, а ^г — И рода, то FtF2 ж
FzFi — перемещения II рода, и если
Ft и Fi — перемещения II рода, то
FiFz — перемещение I рода.
Оказывается, леммы 1 и 2 дают
вообще все перемещения, переводя»
щие один отрезок в другой.
Лемма 3. Пусть для четырех
точек А, В и А', В' выполняется
условие \АВ\ = \А'В'\ ФО. Тогда
существует ровно два перемещения,
переводящие А в А' и В в В'. Они
различаются родом, а также тем,
что переводят выделенную полуплоскость, ограниченную прямой
{АВ), в различные полуплоскости, ограниченные прямой {А'В')
(рис. 8.9).
Рис. 8.9.
72
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
Доказательство. Рассмотрим на плоскости какую-ни-
какую-нибудь прямую I и ограниченные ею полуплоскости а и а . Куда
могут перейти при произвольном перемещении F прямая I и по-
полуплоскости а и а'?
* Выберем точку С в полуплоскости а и симметричную ей от-
относительно I точку С в полуплоскости а (рис. 8.10). Как из-
известно для точек X полуплоскости а будет выполнено неравен-
неравенство \ХС\ < \ХС'\, для точек X прямой I — равенство \ХС ==
-1YCI а для точек X полуплоскости а —неравенство |АС| >
7'Г Так как при перемещении расстояния сохраняются, то
а
ос
, . ..* г'
F(C)
Fit)
РИС. 8.10;
точка F(X) будет соответственно удовлетворять одному из
УСЛОВИЙ
\F(X)F(C)\<\F{X)F{C')\,
или
\F{X)F(C)\>\F(X)F(C'i\.
Отсюда следует, что прп перемещении F прямая I переидет в
прямую — серединный перпендикуляр к отрезку L/ЧЫ/ЧС )\,
s полуплоскости а и а' — в ограниченные этой прямой полупло-
полуплоскости § и р', содержащие точки F(C) и ЛС") соответственно
(см. рис. 8.10).
Предположим теперь, что г — UB), а перемещение F удовлет-
удовлетворяет условию леммы, т. е. F(A)-Ar и Ш?) = й'. Тогда, как
мы только что видели, различные полуплоскости а и а , ограни-
ограниченные (ЛЯ), перейдут в различные полуплоскости ИР- огра-
ограниченные (А'В') соответственно. Для доказательства леммы до-
достаточно показать, что если имеется еще одно перемещение G,
удовлетворяющее этим же условиям, т. е. G(A)=A , G(B) — В ,
G(a) =»а', 6?ф = Р', то G совпадает с F.
Пусть X — произвольная точка плоскости, для определенно-
определенности лежащая в полуплоскости а. Так как F и G — перемещения,
причем FU) = GU) = Л', F<?) - GE) - Я', то
X'llG&)B'\\XBL A)
§ 8. РАВНОМЕРНО-РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 73
Предположим, что F(X) ?^G(X), тогда точки Л' и В' лежат
на серединном перпендикуляре к отрезку [i?(X)G(X)J, так как
в силу A) они одинаково удалены от точек F(X) и G(X), т. е.
прямая (А'В') совпадает с этим перпендикуляром. Отсюда сле-
следует, что точки F(X) и G(X) лежат в разных полуплоскостях 3
и Р', ограниченных прямой (А'В'), но это противоречит тому,
что точка X лежит в полуплоскости a, a F(a) = G(a) = ;5. Таким
образом, F(X) = G(X) для любой точки X, т. е. F — G.
Лемма доказана.
Теорема 1 (Шаля). Всякое перемещение плоскости явля-
является параллельным переносом, поворотом или скользящей сим-
симметрией.
Доказательство. Пусть Н — произвольное перемещение
плоскости. Рассмотрим две различные точки А и В и точки
Ai = H(A), Bl = H(B). Так как Н — перемещение, то \AiBi\ =
=¦ \АВ\?*§. По леммам 1 и 2 найдутся параллельный перенос
или поворот и скользящая симметрия," переводящие А в At и
В в Ви причем эти перемещения различны, так как имеют раз-
разный род. По лемме 3 тогда Н совпадает с одним из них.
Теорема доказана.
Упражнения
1. Из определения перемещения вывести, что перемещение F отобра-
отображает: а) отрезок [АВ] на весь отрезок [F(A) F(B)]; б) прямую (АВ) ез
всю прямую (F(A) F(B)); в) луч с началом в точке А на весь луч с на-
началом в точке F(A); г) полуплоскость, ограниченную прямой (АВ), на всю
полуплоскость, ограниченную прямой (F(A)F(B)); д) круг К (Л, R) на
весь круг K(F(A), R). (Указание: как п в доказательстве леммы 3,
охарактеризуйте указанные множества с помощью расстояний, например
отрезок [АВ] состоит из тех и только тех точек X, для которых \АХ\ -+•
+ \ХВ\ = \АВ\, затем воспользуйтесь тем, что перемещение сохраняет
расстояния и отображает плоскость на всю плоскость. Случай круга будет
разобран перед формулировкой леммы 1 из § 10.)
2. Пользуясь теоремой Шаля, выяснить, какие перемещения плоскости:
а) оставляют на месте точки некоторой прямой; б) оставляют на месте
ровно одну точку); в) не имеют неподвижных точек, но имеют ровно, од-
одну переходящую в себя пряную; г) не имеют неподвижных точек, но име-
имеют более одной переходящей в себя прямой; д) поворачивают каждый луч
на один и тот. же угол; е) переводят каждую прямую в параллельную ей
прямую; ж) переводят каждый луч в сонаправленный ему луч; з) остав-
оставляют на месте заданную точку; и) переводят в себя заданную прямую.
3. Для заданных отрезков [АВ] и [А'В'] одинаковой длины дать еще
один способ нахождения перемещений, переводящих А в А' и В в В', поль-
пользуясь тем, что центр поворота лежит на серединном перпендикуляре к от-
отрезку, соединяющему точку и ее образ, а ось скользящей симметрии про-
проходит через его середину.
4. Пусть ТЛ — параллельный перенос на вектор а, а Si — симметрия
относительно прямой I. Доказать, что Тлзг будет скользящей симметрией.
Относительно какой прямой? Тот же вопрос относительно StTa. При каком
расположении вектора а перемещения 2*а5г и S{Ta будут симметрия-
ми? Когда ?aSl = 5|Га? (Указание: представить вектор а в виде суммы
двух векторов — один идущий по прямой 7, а другой — ортогональный ему.1)
74
- П. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
2. Перечисление равномерно-разрывных групп перемещений
плоскости. Типы I и II. Теперь мы можем перейти к основной
задаче этого параграфа — нахождению всех равномерно-разрыв-
равномерно-разрывных групп перемещений плоскости. Их полный список мы при-
приведем в конце этого параграфа.
Начнем с того, что исключим те из перемещений, которые
заведомо не могут содержаться в равномерно-разрывной группе
перемещений. Для этого докажем следующее общее утверждение.
Предложение 1. Всякое нетождественное перемещение F
из равномерно-разрывной группы не имеет неподвижных точек,
г., е. таких точек О, для которых F(O) — О.
Доказательство. Предположим, что F(O) = О для неко-
некоторого перемещения F из равномерно-разрывной группы и неко-
некоторой точки О. Пусть X — любая точка плоскости, для которой
I.OXI < d/2, где d — число из определения равномерно-разрывной
группы, тогда
10X1 — |F(O)F(X)I = \OF(X)\,
а значит, и \OF(X)\ < d/2. Отсюда по неравенству треугольника
получаем
\XF(X) I < 1X01 + \OF(X)\<d.
Тогда из определения равномерно-разрывной группы следует, что
X — F(X). Так как X — любая точка, для которой 10X1 < d/2,
т. е. любая точка, лежащая внутри круга радиуса d/2 с центром
в точке О, то рассуждения, проведенные при доказательстве тео-
теоремы 1 предшествующего параграфа, показывают, что F — тож-
тождественное перемещение. То же самое можно вывести и из лем-
леммы 3 предыдущего пункта, поскольку внутри этого круга най-
найдутся три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Как
перемещение F, так и тождественное перемещение Е переводя?!<~
в себя точки А, В и полуплоскость, ограниченную прямой (АВ),
содержащую точку С (так как С переходят в себя). По лемме 3
тогда F = Е. Это доказывает предложение.
Из этого предложения и теоремы Шаля получаем
, Следствие 1. В равномерно-разрывной группе перемеще-
перемещений плоскости могут содержаться только параллельные переносы
и скользящие симметрии с ненулевым вектором.
Действительно, всякий поворот имеет неподвижную точку —
центр поворота, а тождественный поворот — то же самое, что
перенос на нулевой вектор. Скользящая симметрия с нулевым
вектором (или просто осевая симметрия) не является тождест-
тождественным перемещением и имеет неподвижные точки — точки оси
симметрии. Следствие доказано.
Пусть Г — равномерно-разрывная группа перемещений плос-
плоскости. Обозначим через Г' совокупность всех параллельных пе-
реносов, содержащихся в группе Г. Очевидно, что Г'—тоже
еруппа: если F и G содержатся в Г', то FG содержится в Г (так
§ 8. РАВНОМЕРНО-РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ
75
как Г группа) и является параллельным переносом (так как та-
таковы были F и G. Поэтому FG содержится в Г'. Аналогично
легко проверить, что если F содержится в Г', то и F~l содержит-
содержится в Г'. Если Г' не исчерпывает всю группу Г, то в Г содержит-
содержится по крайней мере еще одно перемещение, которое согласно
следствию 1 должно быть скользящей симметрией. Пусть S —
произвольная скользящая симметрия, содержащаяся в Г. Рас-
Рассмотрим всевозможные перемещения TS, где Т — произвольный
параллельный перенос, содержащийся в Г'. Очевидно, что все
они содержатся в Г (по определению группы) и по теореме Ша-
Шаля являются скользящими симметриями, так как имеют II род.
Покажем, что так может быть получена любая скользящая сим-
симметрия, содержащаяся в Г. Действительно, если S' — такая
скользящая симметрия, то рассмотрим перемещение F = S'S~l.
Во-первых, оно содержится в Г. Во-вторых, S~y тоже является
скользящей симметрией, а значит, S'S~l — перемещением I рода
(по правилу последовательного выполнения перемещений I и II
рода, приведенному в п. 1). Но единственным перемещением I
рода, которое может содержаться в равномерно-разрывной груп-
группе, является согласно следствию 1 параллельный перенос. Таким
образом F = Т — параллельный перенос, и, значит, он содержит-
содержится в группе Г'. Пусть X — произвольная точка плоскости и
Г = 5(Х), тогда X = S-im ж T{Y) = S'iS^iY)) = S"(X). Значит,
T(S(X)) = S'(X), а так как это верно для любой точки X, то
S' = TS. Итак, мы доказали
Следствие 2. Равномерно-разрывная группа перемещений
Г или состоит из одних параллельных переносов, или же содер-
содержит равномерно-разрывную группу Г", состоящую из параллель-
параллельных переносов. Если S — любая скользящая симметрия из груп-
группы Г, то остальные перемещения группы Г, не содержащиеся в
Г', исчерпываются скользящими симметриями TS, где Т содер-
содержится в Г"'.
Далее мы разобьем все равномерно-разрывные группы на три
типа в зависимости от того, какие параллельные переносы в них"
содержатся. К первому типу отнесем группы, в которых единст-
единственным параллельным переносом является тождественное пере-
перемещение (перенос на нулевой вектор). Ко второму типу мы от-
отнесем группу, которая не относится к первому типу, ио все со-
содержащиеся в ней параллельные переносы являются переносами
на коллинеарные векторы. Наконец, к третьему типу отнесем'
группы, не относящиеся ни к первому, ни ко второму типу. TaJ
ким образом, в группе, относящейся к третьему типу, должны'
содержаться, по крайней мере, два параллельных переноса на
неколлинеарные векторы. Мы разберем по очереди эти три типа'
групп.
I тип. Докажем, что в этом случае группа состоит только из
тождественного перемещения. Действительно, как мы видели
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
§ 8. РАВНОМЕРНО-РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ
77
(следствие 1), все перемещения, содержащиеся в равномерно-
разрывной группе, являются или параллельными переносами или
скользящими симметриямп с ненулевыми векторами, а парал-
параллельных переносов, отличных от тождественного перемещения,
по предположению в группе нет. Таким образом, если в группе
содержится перемещение F, отличное от тождественного, то оно
является скользящей симметрией с вектором а, причем а Ф 0.
-2с
2с тс Ь (т+1)с
Рис. 8.11.
Так как F содержится в нашей группе, то и перемещение FF,
получающееся как результат выполнения дважды перемещения
F, содержится в той же группе. Но, как читатель легко убедит-
убедится, FF есть параллельный перенос на вектор 2а, причем вектор
2а Ф 0, так как а Ф 0.
Мы приходим к противоречию с тем, что наша группа от-
относится к первому типу. Сформулируем доказанный нами ре-
результат, v
Теорема 2. Равномерно-разрывная группа перемещений
плоскости типа I состоит только из тождественного перемещения.
Отметим, что геометрия, в своих достаточно малых частях
совпадающая с плоскостью, которая соответствует такой группе,
ость, конечно, сама плоскость.
II тип. Начнем с того, что исследуем группу Г' всех парал-
параллельных переносов, содержащихся в группе Г этого типа.
Отложим от одной точки О все такие_ векторы а, что паралг
лйльный перенос 7ГЛ"содержится в группе ГС;, хак как группа Г'~
равномерно-разрывная, то согласно лемме 1 из § 7 множество
ючек ТЛ{0) (т. е. концов вектора а), содержащихся в некото-
некотором интервале, конечно. Поэтому среди них существует ближай-
ближайшая к О точка, а среди векторов а — кратчайший, отличный от
нуля вектор. Мы обозначим его через с. По определению группы,
it Г' должны содержаться параллельные переносы
«С!
¦'ас-'с—
ЗС.
в вообще все параллельные переносы Ттс где тп —¦ любое. це-
целое число. Докажем, что они исчерпывают все параллельные
переносы, содержащиеся в группе Г'.
Пусть это не так, и в Г' содержится параллельный перенос
Tj,, где b Ф те ни при каком целом т. Отложив концы векторов
отс от точки О, мы получим на прямой (напомним, что все век-
векторы а, для которых Тя содержатся в Г', коллинеарны) ряд то-
точек, разбивающих прямую на отрезки равной длины (рис. 8.11).
Конец вектора Ь попадает в какой-то из этпх отрезков, при-
причем в его внутреннюю точку, по нашему предположению, относи-
относительно вектора Ь. Пусть он расположится между концами век-
векторов тс и {т + 1)с, тогда вектор с' =Ь — те короче вектора с.
С другой стороны, по определению группы, Те> = ТьТ^ со-
содержится в Г'. Мы пришли к противоречию с тем, что с — крат-
кратчайший вектор среди тех ненулевых векторов а, для которых
перенос Тл содержится в группе Г'.
Таким образом, мы доказали, что группа Г' имеет простей-
простейший вид: она состоит в точности из параллельных переносов на
векторы тс, где с — фиксированный ненулевой вектор, a m про-
пробегает все целые числа. Теперь исследование группы второго
типа разветвляется соответственно двум возможностям.
II а. Группа Г состоит только из параллельных переносов.
В этом случае Г = Г' и ее строение нами определено.
Теорема 3. Равномерно-разрывная группа типа II а зада-
задается ненулевым вектором с ц состоит из параллельных перено-
переносов на векторы вида тс, где т — любое целое число.
Это группы в точности того типа, который встретился нам в
§ 3 при построении геометрии на цилиндре.
II б. Группа Г содержит перемещения, не являющиеся парал-
параллельными переносами. Мы знаем (следствие 1), что такие пере-
мещения являются скользящими симметрнями с ненулевым
вектором.
Параллельные переносы, содержащиеся в группе Г, сами об-
образуют группу Г', и эта группа состоит из параллельных перено-
переносов вида Тта, где с — некоторый ненулевой вектор, am — лю-
любое целое число. Пусть 5а — скользящая симметрия из Г. Пере-
Перемещение 5*5? является, как мы уже видели (да-это и-оче-
и-очевидно), параллельным переносом Тгл,\" По определению* группы
он должен содержаться в Г, а значит, в Г', поэтому
2а = /пс B)
при некотором целом т. Отсюда, в частности, следует, что век-
векторы а и с параллельны, а так как вектор а параллелен оси I
скользящей симметрии 5?, то, значит, эта ось параллельна век-
вектору с.
Выясним, какова четность числа m в формуле B). Бели
тп = 2к, то а = ке. Рассмотрим тогда перемещение
F = r_ft
которое должно принадлежать группе Г. Читатель легко убедит-
убедится, что (ввиду условия а = ке) это перемещение просто является
симметрией относительно оси I. Однако согласно следствию 1
такое перемещение не может содержаться в равномерно-разрыв-
равномерно-разрывной группе, и мы пришли к противоречию.
78
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
§ 8. РАВНОМЕРНО-РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ
79
Таким образом, т — нечетно. Пусть т = 2к + 1, 2а = Bк -{-
+ 1) е, т. е. а = у + Ас; по определению группы перемещение
S' = r_fcCiS* содержится в Г. Читатель легко проверит, что S' —
скользящая симметрия с осью I и параллельным переносом на
вектор а — kc = -g, т.е. S' —S^*. С другой стороны, ввиду
следствия 2, все перемещения группы Г являются или парал-
параллельными переносами, содержащимися в Г' (т. е. имеют вид
Ттс), иди скользящими симметриями вида TS0/*, где Т содер-
содержится в Г'. Так как Т = Гпс, где п — целое число, то TS^/2 =
Теорема 4. Равномерно-разрывная, группа Г (типа II б)
задается прямой I и ненулевым вектором с, параллельным L
Она состоит из параллельных переносов вида 7* тс и скользящих
симметрии вида Гпс5°/а = 5?с+в/2, где тип — любые це-
целые числа.
Таким образом, мы получаем ту группу Г, которая возникала
при построении геометрии на скрученном цилиндре.
Уп ражнение
1. Определить все равномерно-разрывные группы перемещений пряной.
3. Перечисление равномерно-разрывных групп на плоскости.
Тип III. Как и в случае II, рассмотрим сначала случай III а,
когда группа Г состоит из одних параллельных переносов. Мы
докажем, что тогда имеет место двумерный аналог теоремы 3.
Теорема 5. Равномерно-разрывная группа типа III а зада-
задается двумя неколлинеарными векторами а и Ъ и состоит из'па-
из'параллельных переносов на все векторы вида ma. + rib, где тип —
любые целые числа.
Доказательство. Выберем некоторую точку О и нари-
нарисуем на плоскости совокупность М всех точек, эквивалентных ей
относительно того понятия эквивалентности, которое задает
группа Г, как это определено в п. 2 § 7. Это будет совокупность
точек вида ТХ(О) для всех параллельных переносов Тх, со-
содержащихся в Г. Совокупность точек М обладает одним важным,
хотя почти очевидным свойством, которым мы дальше все время
будем пользоваться. Пусть Р и Q — две точки этой совокупности.
Так как они эквивалентны, то (по определению) существует та-
такой параллельный перенос Тх, содержащийся в Г, что
TX(P)=Q. Очевидно, что тогда x — PQ. Пусть R — третья
точка совокупности М. Так как параллельный перенос Тх со-
содержится в группе Г, то точка Тх (R) эквивалентна точке R
и, следовательно, тоже содержится в совокупности М. Таким об-
образом, совокупность точек М переходит в себя при параллель-
параллельпереносе на любой вектор х, начало и конец которого содер-
содержатся в этой совокупности.
Проведем через точку О произвольную прямую I, содержа-
содержащую кроме О еще хотя бы одну точку из совокупности М. Обо-
Обозначим через 1\ совокупность таких параллельных переносов
Тх, содержащихся в группе Г, что вектор х (будучи отложен
от точки О) лежит на прямой I. Последовательное выполнение
двух таких переносов Тх и Ту дает перенос Тх+У с теми же
свойствами. Точно так же, если перенос Т содержится в мно-
множестве Г(, то и перенос Тхх = Г_х содержится в том же мно-
множестве. Таким образом, Г( есть группа, а так как она содержит-
содержится в равномерно-разрывной группе Г, то и сама является равно-
равномерно-разрывной. Очевидно, эта группа относится к типу II а,
рассмотренному в теореме 3. Поэтому согласно теореме 3 группа
Г\ состоит из параллельных переносов вида Тп&, где п — любое
целое число, а а — кратчайший из ненулевых векторов х, для
которых перенос Тх содержится в группе IV Точки совокупности
М, лежащие на прямой I, образуют, таким образом, ряд равно-
равноотстоящих друг от друга точек — это концы векторов гаа, отло-
отложенных от точки О.
Вектор а является, как мы дальше докажем, одним из двух
векторов (а и Ь), о которых говорится в теореме 5. Чтобы найти
вектор Ь, проведем через произвольную точку Р совокупности М
прямую I', параллельную прямой I. Согласно сформулированно-
сформулированному в начале доказательства основному свойству совокупности
точек М, эта совокупность совместится с собой при параллельном
переносе на вектор ОР. При этом ряд точек, расположенный на
прямой I, перейдет в точно такой же ряд, расположенный на
прямой V'. А так как совокупность точек М совместится с собой
и при параллельном переносе на вектор РО (причем прямая Г
совместится с прямой I), то никаких других точек из М, кроме
точек этого ряда, на прямой Ъ' лежать не будет.
Таким образом, на каждой прямой V, параллельной I и про-
проходящей через точку совокупности М, лежащие на этой прямой
точка совокупности М образуют ряд, конгруэнтный *) ряду, рас-
расположенному на прямой I (рис. 8.12). Положим d = Га! и рас-
рассмотрим полосу Ф ширины d, ограниченную двумя параллель-
параллельными прямыми, проходящими через концы О и А вектора а и
перпендикулярными прямой I. Так как на прямой V лежит ряд
точек, соседние точки которого отстоят друг от друга на рассто-
расстояние d, то хотя бы одна точка этого ряда должна содержаться в
полосе.Ф или на ее границе. Отсюда вытекает важное следствие:
из всех прямых V, проходящих через точки совокупности М
и параллельных I, существует ближайшая к I, но отличная от I.
*) То есть совместимый перемещепем.
80
. и. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
Для доказательства вырежем из полосы Ф прямоугольник
ОАВС достаточно большой, чтобы его пересекала хотя бы одна
такая прямая V. Так как прямоугольник — ограниченное мно-
множество, то согласно лемме 1 п. 2 § 7 в нем содержится лишь
конечное число точек совокупности М. В частности, существует
в нем и ближайшая к прямой I точка Pt. Проходящая через нее
с
-2а. -а 0
<Р
Р
1 *
\fr~
а
В
А 2а. За,
Рис. 8.12.
прямая h и будет искомой. Действительно, если бы существо-
существовала прямая h, содержащая хотя бы. одну точку совокупности
М, параллельная I и более близкая к ней, чем h, то ввиду ука-
указанного выше свойства на прямой U. содержалась бы точка Р2,
принадлежащая прямоугольнику ОАВС, которая была бы ближе
к прямой I, чем Ри что противоречит выбору точки Pt.
Пусть Pi — точка прямой h, только что нами построенной.
Обозначим вектор OPi через Ь и покажем, что ранее построен-
построенный вектор а и вектор Ь — такие, которые требуются в теоре-
теореме 5. Пусть Тх— произвольный параллельный перенос, содержа-
содержащийся в группе Г. Отложив вектор х от точки О, получим некото^
рую точку О. Тогда х =*JOQ-.- Проведем -через эту точку О прямую
V, параллельную I. С другой стороны, отложим от точки О векто-
векторы Ь, 2Ь, ЗЬ и т. д. Мы получим точки Bt, В2, В3 и т. д. Через каж-
цую из этих точек тоже проведем прямую hn, параллельную I
(рис. 8.13). Докажем, что прямая V совпадает с одной из пря-
прямых lm. Пусть это не так и V пересекает прямую OBt в точке,
расположенной между точками Bm-t и Вт-
Сдвинем всю совокупность М на вектор A — тп)Ь. При этом
она совместится сама с собой, а прямая V перейдет в прямую
I", более близкую к I, чем 1и вопреки построению h.
Таким образом, прямая V должна совпадать с некоторой из
прямых lm. Сдвинем всю совокупность М на вектор тпЪ. При этом
прямая lm совместится с прямой I, а значит, точка О — с некото-
некоторой точкой А, лежащей на прямой I и принадлежащей совокуп-
совокупности М. Как мы видели, точка А является концом некоторого
вектора па. В векторной записи полученная нами связь между
векторами х (с концом Q), mb (с концом Вт), а (с концом А)
имеет вид
§ 8. РАВНОМЕРНО-РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ
х — 7геЬ = гаа,
т. е. х = па + тЪ. Это и доказывает теорему 5.
Замечание. Теорема 5 показывает, что совокупность точек
М, полученная откладыванием от некоторой точки О всевозмож-
всевозможных векторов х, таких, что Тх содержатся в группе Г, образу-
образует решетку из вершин равных параллелограммов, один из кото-
которых построен на векторах а и Ь
(рис. 8.14). Это — двумерное обоб-
обобщение той одномерной картины,
которую мы имели в теореме 3,
(т-
Рас. 8.13.
Рис. 8.14
Но лри переходе от размерности 1 к размерности 2 мы
встречаемся и с новым явлением. В случае ряда равноудаленных
точек на прямой, порождающий вектор с (т. е. такой, что все
точки ряда получаются из точки О откладыванием векторов ви-
вида гас) определяется почти единственным образом: вместо с
можно было бы взять только вектор —с. Вектор с и характеризо-
характеризовался тем, что он был кратчайшим среди всех векторов х (Ф0)Т
для которых перенос Тх содержится в Г, т. е. его конец — бли-
ближайшая к О точка нашего точечного ряда. На плоскости одна в
та же решетка точек, т. е. одна и та же группа параллельных
переносов Г, может быть получена из разных пар векторов, на-
например для случая, изображенного иа рис. 8.14, из векторов
а, Ь, из векторов а, с и из векторов с, d.
Доказательство теоремы 5 не только устанавливает существо-
существование нужной нам пары векторов а, Ь, но и устанавливает, ка-
какие пары векторов являются порождающими. Именно, вектор а
должен быть кратчайшим среди всех коллинеарных ему ненуле-
ненулевых векторов х, для которых перенос Тх содержится в Г. Ины-
Иными словами, если х = ОР, то на отрезке ЮР] не должно быть
других точек совокупности М, кроме О и Р. В частности, за Р
можно взять вообще ближайшую к точке О точку совокупности
М. Если вектор а уже выбран, то вектор Ь должен быть таким,
6 В. В. Никулин, И. Р. Шафаревмч
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
чтобы он не был коллинеарен а, Ть содержался бы в Г и чтобы
зши сдвиге прямой I = ЮР) на вектор b мы получали бы пря-
прямую Г, ближайшую к I из всех прямых, получаемых из I сдви-
сдвигом на такой вектор х, что Тх содержится в Г. Иными словами,
.если b = OQ и V — прямая, параллельная I и проходящая через
Q, то V должна быть ближайшей к I прямой из всех прямых,
проходящих через точки совокупности М и параллельных I.
В частности, за Q можно взять точку на прямой V, лежащую
внутри полосы Ф на рис. 8.13 или на левой ограничивающей ее
прямой, т. е. такую чтобы ортогональная проекция вектора х на
направление вектора а была короче вектора а.
Перейдем к последнему случаю групп типа III б. Здесь ре-
результат тоже очень похож на тот, который дается теоремой 4.
Теорема 6. Группа Г типа III б задается прямой I, век-
вектором а, параллельным этой прямой, и вектором Ь, ей перпен-
перпендикулярным. Она состоит из параллельных переносов вида Тх,
где х = ma. + reb, тип — любые целые числа, и из скользящих
симметрии TXS^/2, где х — векторы указанного выше типа.
Доказательство. Выделим в группе Г группу Г', состоя-
состоящую из параллельных переносов. По предположению она не ис-
исчерпывает всю группу Г и, значит, в Г должна содержаться не-
некоторая скользящая симметрия S относительно некоторой пря-
прямой I. Как мы видели, SS есть параллельный перенос на вектор
f: SS = Tt, причем Tt содержится в группе Г'. Обозначим,
как и в доказательстве теоремы 5, через 1\ совокупность парал-
параллельных переносов Тх, содержащихся в группе Г' и таких, что
вектор х коллинеарен f. Как мы видели, отсюда следует, что
х = тл, где а — кратчайший ненулевой вектор с этим свойством.
В частности, f==ma. Теперь мы рассуждаем так же, как.и при
доказательстве теоремы 4. Если бы т было четным, т. е. т = In,
то перемещение T-ntS было бы симметрией относительно прямой
/, а таких перемещений в нашей группе содержаться не может;
поэтому т нечетно. Положим т = 2п+1 и51=Г_па5, тогда,
как и при доказательстве теоремы 4, Sx = S? 2. С другой сто-
стороны, вектор а мы выбираем как раз так, как указано в заме-
замечании к теореме 5: он является кратчайшим из коллинеарных
ему (или, что то же самое, вектору i) ненулевых векторов х, для
которых Тж содержится в Г'. Поэтому мы можем подобрать к
нему такой вектор Ь, что все параллельные переносы Тх, входя-
входящие в группу Г, будут записываться в виде х = ma + reb, где
т и ге — любые целые числа.
Теперь мы вспомним, что все перемещения из группы Г, со-
согласно следствию 2, должны быть или параллельными переноса-
переносами (и тогда содержаться в Г') или скользящими симметриями
(и тогда представляться в виде TxSf/a, где Тх тоже содер-
содержится в Г'). Иными словами, группа Г есть объединение двух
§ 8. РАВНОМЕРНО-РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ
83
множеств: параллельных переносов ^ида Тх и скользящих сим-
симметрии вида TySf2, где Ту и Тх содержатся в Г'. Однако,
если выбрать группу параллельных переносов Г' и скользящую
симметрию 5?а совершенно независимо друг от друга, то
такое объединение не обязано быть группой. Действительно,-
композиция в другом порядке, например S^/2TX, для любого
параллельного перепоса Тх из Г' должна содержаться в Г (мы
увидим дальше, что этого условия и достаточно, чтобы у нас
получалась группа). Читатель легко проверит, что для любой
скользящей симметрии S°i и любого параллельного переноса Гь
выполняется равенство
где х' — вектор, симметричный вектору х относительно прямой
I (например, легко убедиться, что взяв произвольную точку X,.
мы получим, что точки S^(TX(X)) и TX'{S^(X)) имеют одинако-
одинаковые проекции как на прямую I, так и на перпендикулярную eir
прямую).
Перемещение TVS'" содержится в группе Г, так как в ней
содержится левая часть равенства C). Поэтому по следствию 2
это перемещение представляется как TyS°i, где Ту — парал-
параллельный перенос из группы Г'. Отсюда следует, что Тхг = Гу
содержится в Г'. Таким образом, мы получаем условие: если
параллельный перенос Тх содержится в группе Г', то в ней
содержится и параллельный перенос Тх>. Отложив векторы х,
для которых Тх содержатся в Г', от некоторой точки О, выбран-
выбранной на оси I, мы получаем, как в доказательстве теоремы 5, ре-
решетку М. Наше условие показывает, что решетка Д/ симметрич-
симметрична относительно некоторой прямой I, проходящей через точку О
и параллельной вектору а.
Какие решетки обладают такой симметрией? Один ответ бро-
бросается в глаза: те, для которых порождающие векторы а и b
можно выбрать перпендикулярными (рис. 8.15). Но есть и дру-
другое, менее очевидное решение: в центр каждого прямоугольника
решетки, изображенной на рис. 8.15, можно поместить еще па
точке и получить новую решетку (рис. 8.16).
Мы докажем, что только эти два типа решеток обладают ин-
1ересующей нас симметрией относительно прямой. После этого
мы убедимся, что второй тип не может возникнуть в связи с
равномерно-разрывными группами. Отсюда будет следовать, что
в нашем случае возникает первый тип, т. е. векторы а и b мож-
можно выбрать перпендикулярными, а это и утверждается в тео-
теореме 6.
Итак, пусть решетка, состоящая из концов векторов вида
ma + reb, симметрична относительно прямой, на которой лежит
6*
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
конец вектора а. Согласно замечанию к теореме 5, мы можем
выбрать вектор Ь так, что его проекция на направление вектора
¦а короче, чем вектор а. Так как проекция симметричного век-
вектора Ь' та же, что и Ь, то проекция вектора Ь + Ь' короче, чем
-о—
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
. о
о
о
о
о
о *
о
о
о
0 0
о
о
о
о
о
о
о
о
г
—о-
Рис. 8.15.
Рис. 8.16.
2а. Но вектор b + Ь' лежит на той же прямой, что и а и, соглас-
согласно выбору вектора а, должен быть ему кратен (рис. 8.17). А так
как он при этом короче, чем 2а, то возможны только два случая:
либо Ы- Ь' = О, либо b + Ь' = а. В первом случае проекция век-
вектора b на направление вектора а равна 0, т. е. b и а перпенди-
перпендикулярны. Во втором случае эта проекция равна а/2, как на
рис. 8.16.
Вернемся теперь к нашей равномерно-разрывной группе Г.
Мы установили, что группа Г' соответствует одной из решеток,
изображенных на рис 8,15 и 8.16.. Дусть имеет .место второй
«лучай: b + b'= ar Рассмотрим перемещение T-iSf2: Читатель
может убедиться, что это симметрия (относительно какой пря-
прямой?). Но можно рассуждать и иначе.
Так как Г_ь5^2— перемещение II ро-
рода, то если бы это была скользящая
симметрия iS?', ее двукратное приме-
применение давало бы параллельный пере-
перенос Тйс. С другой стороны, Г_ь5?/а X
X Г_ь5?/а, согласно формуле C), мо-
может быть записано как Г_ьУ2?/в
Рис. 8.17.
s= Т-ЛТЛ == Е. Итак, Г2С = Е, откуда получаем с = 0, и значит,
мы имеем дело не со скользящей симметрией, а с симметрией.
Однако симметрия в нашей группе содержаться не может, а зна-
значит, второй случай невозможен. Тем самым доказана наиболее
трудная часть теоремы 6: всякая равномерно-разрывная группа
типа III б задается указанным в теореме 6 способом.
§ 8. РАВНОМЕРНО-РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ
85
Остается доказать обратное: совокупность перемещений, опи-
описанная в теореме 6, действительно образует равномерно-разрыв-
равномерно-разрывную группу. Докажем вначале, что она образует группу. Для это-
этого вспомним, что всякое перемещение из множества Г имеет вид
Тх или ГУ5"/2, где Г, иГ, — параллельные переносы нз груп-
группы Г'. Нам надо проверить, что последовательное выполнение
двух таких перемещений опять дает перемещение такого же
вида. Для этого надо рассмотреть перемещения
тхту, rxrysT, TyS?2Ts и ад/аад/2.
Первые два перемещения имеют вид Тх+У и Tx+yS'if2 и поэтому,
очевидно, содержатся в Г. Для рассмотрения двух последних, мы
воспользуемся соотношением C) и тем, что вместе с параллель-
параллельным переносом Тх в группе Г' содержится и параллельный
перенос Тх> на симметричный вектор х'. Последнее следует из
того, что векторы а и b в теореме 6 перпендикулярны, так что,
если x = ma+rab, то х' = 7геа —rab. В результате мы имеем
rv оа/2
lxi>l
(здесь у' — вектор, симметричный у), а эти перемещения, оче-
очевидно, содержатся в Г.
Точно так же мы должны рассмотреть обратные перемещения
к Г,ик Гу5*/а. Очевидно, что Т^1 = Г_х, точно так же чита-
читатель легко проверит, что (Гу5* )~1 = Г_а-У'?*/2» поскольку
T_a_y»5?/ary5t/a = Е. Очевидно, что оба эти перемещения со-
содержатся в Г.
Проверим теперь, что группа Г равномерно-разрывна. Пусть
.X ^-произвольная точка плоскости ~и F--^- любое нетождественное
перемещение из Г. Рассмотрим расстояние \XF(X)\. Если F —
параллельный перенос, то F = Ута+пь и
\XFiX) I = I тл + пЪ\ = Ут2|а|2 + ге21Ы* > г,
где г — наибольшее из чисел 1а| и |Ь|, так как векторы а и b
перпендикулярны и хотя бы одно из целых чисел m и га нену-
ненулевое. Если F — скользящая симметрия, то F = Tm&+nbS?* с
целыми тп и га и
где X и F(X) — проекции точек X и F(X) на прямую I, ибо
вектор а параллелен I, вектор b перпендикулярен I, а тп — целое
число. В результате, для каждого нетождественного перемещения
F из Г и любой точки X на плоскости выполнено неравенство
\XF(X)\>d>0,
86
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
1де d— наименьшее из чисел lal/2 и |Ь|. Так как d не зависит
от выбора X и F, то группа Г равномерно-разрывна.
Это завершает доказательство теоремы 6.
Результат теоремы 6 может вызвать у читателя ощущение
незаконченности. Дело в том, что скользящие симметрии группы
Г типа III б описаны в теореме 6 не обычным образом — осью
и вектором, параллельным оси, а в виде композиций двух пере-
перемещений— TXS*'2, 1де х и а — векторы указанного там вида.
Однако без труда можно описать их и обычным образом, найдя
оси и векторы этих композиций.
Предложение 2. В обозначениях теоремы 6 выполняется
равенство
Гса/2 оШа+а/2
где x = ma + reb, 1п = ТпЪ/2A), а тп и п пробегают целые числа.
Таким образом, оси скользящих симметрии из Г состоят из
параллельных прямых 1п, разбивающих плоскость на полосы
одинаковой ширины 1Ы/2, а их векторы равны та + а/2, где
тп независимо от п пробегает целые
• \ числа (рис. 8.18).
'¦ • Доказательство сразу же вы-
'- 1ц текает из следующей ниже леммы, так
- ¦ t как а III, а Ь -L I.
12
Рис. 8.18.
Рис. 8.19.
Лемма 4. Справедливо paeencTeoTcSf = Stt x, V = 7Va/a(l)r
где Ci u с» — соответственно проекции вектора с на ось I и пер-
перпендикулярную I прямую (рис. 8.19).
Доказательство. Прежде всего заметим, что перемеще-
перемещение TjSt II рода, так как Sf — перемещение II рода, а Т<> —
I рода. Тогда по теореме Шаля TcSi — скользящая симметрия.
И остается определить ее ось и вектор. Читатель легко проверит,.
§ 8. РАВНОМЕРНО-РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ
87
что ось скользящей симметрии — единственная прямая плоскости,
которая переходит в себя при этой скользящей симметрии, а ее
точки сдвигаются на один и тот же вектор, который, очевидно,
будет вектором скользящей симметрии. Прямая V = Гоа/г(^).
очевидно, переходит в себя при нашей скользящей симметрии
^ciSf: скользящая симметрия <Sf переводит ее в прямую I",
а параллельный перенос То переводит I" в V (см. рис. 8.19).
Точка М на прямой V очевидно сдвигается на вектор d+Ct (см.
рис. 8.19, где точка М при Sf переходит в М', а М' при Те —
в М"). Это доказывает, что прямая V =zTC2/i(l) является осью,
a d + ct — вектором нашей скользящей симметрии TcSf. Лемма
доказана.
На этом завершается перечисление всех равномерно-разрыв-
равномерно-разрывных групп перемещений плоскости. Это группы типов I, II а,
116, Ilia, III б, точно описанные в теоремах 2—6.
Если мы попытаемся описать все эти группы в одной теореме,
просто переписывая теоремы 2—6 одну за другой, то длина
полученной теоремы убедит нас в неразумности такого подхода.
Тем не менее все это можно сделать, описывая группы другим
способом. Дело в том, что в теоремах 2—6 для задания групп
перемещений мы просто перечисляли все содержащиеся в них
перемещения, а это необязательно. Читатель может убедиться,
что перемещения группы типа II а получаются как композиции
в любом числе параллельного переноса Гс и обратного ему, на-
например
Гзс = ТеТеТс, Г_зо - (ГсГ1 (ГсГ1 (ГСГ\
Точно так же перемещения группы типа II б получаются как
композипии в любом числе скользящей симметрии- -S°i& и- • ей
обратной; перемещения группы типа III а получаются как ком-
композиции в любом числе параллельных переносов Т& и Т и им
обратных, например
Гм-зь = Т&Т& (ГьГ1 (ГьI 1
перемещения из группы типа III б получаются как композиции
скользящей симметрии S*l%, параллельного переноса Ть и им
обратных.
В общем случае для задания группы перемещений Г доста-
достаточно задать такие перемещения Fi, ..., Fh из этой группы, что
все остальные перемещения из Г получаются как композиции
в любом числе перемещений Fu ..., F* и им обратных. В этом
случае говорят, что группа Г порождена перемещениями Fu • • •
..., FK и записывают Г = [.Ft, .,., Fk], а перемещения Fu .«., Fk
называют образующими группы Г. Таким образом, для задания
группы Г достаточно задать только ее образующие перемещения.
88
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
Для примера докажем, что группа типа III б порождена ука-
указанными выше перемещениями 5*'а и Тъ. Действительно,
Рассматривая различные композиции переносов Га, Г_а, Тъ и
Г-ь. мы получим все переносы вида Тх, где x = ma + rab, компо-
композиция таких переносов с Sf2 дает нам перемещения TxSf2.
Но этими перемещениями и исчерпывается по теореме 6 группа
типа III б. Точно так же доказывается, что группы остальных
типов порождаются указанными выше перемещениями.
Более того, так как параллельный перенос на плоскости за-
задается вектором, а скользящая симметрия — осью и вектором на
ней, то изображая с их помощью на плоскости образующие групп,
мы можем даже изобразить наши группы на плоскости простыми
геометрическими картинками.
Теорема 7. Равномерно-разрывные группы Г перемещений
плоскости могут быть пяти типов I, На, IIб, IIIа, IIIб:
I. Г=[?] (рис. 8.20).
На. Г = [Га], где афО (рие. 8.21).
II б. Г =
], где
(рис. 8.22).
Рис. 8.20.
III а. Г=» [ТЛ
1116. r=[
Рис. 8.21. Рис. 8.22.
где & и Ь неколлинеарны (рис. 8.23).
], где Zoll h, ЫФ h> а"=? (рис.Г 8723JT
а
2
Рис. 8.23. Рис. 8.24. h=Tb/2l0,b J-&.
Все перемещения этих групп перечислены в теоремах 2—6.
Упражнения
1. Пусть Г — равномерно-разрывная группа типа III а, М — соответст-
соответствующая ей решетка на плоскости, О, А ж В —три ее точки. Доказать, что
Г порождена Та и Ть (или а и Ь удовлетворяют теореме 5), где а = ОА,
§ 9. НОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ
89
b = OB тогда и только тогда, когда параллелограмм со сторонами ОА и
¦ОВ не содержит других точек из М кроме своих вершин. То же самое вер-
верно, если этот параллелограмм имеет наименьшую площадь среди паралле-
параллелограммов с вершинами в точках М. Если Л — эта наименьшая площадь, то
площадь любого параллелограмма с вер-
вершинами в точках М равна ./УД, где N— #, а,
натуральное число.
2. Доказать, что всякое перемещение
из группы типа III б можно представить,
причем единственным образом в виде
где к и та — целые числа.
3. Доказать, что множество перемеще- Рис. 8.2э.
яий, являющихся композициями в любом
числе и любом порядке перемещений Fi, ..., F» и обратных пм переме-
перемещений Р~г, ..., F^1, образует группу, которая будет, очевидно, группой
[Fu ..., Fh], порожденной перемещениями Flt ..., Fh. (Указана е: за-
заметьте, что (G^... Gn)-i = g-1 ... ej-Чг-1. )
4. Доказать, что композиция
ным переносом Т&, еслп та +Р == 2кп, и поворотом
поворотов является параллель-
параллельна угол ос + ^,
•если а + $ф 2кп, где к — целое число (здесь а = OJify^ (Ox), а центр О
и угол а + р находятся пз рисунка 8.25).
§ 9. Новая геометрия
Примеры геометрий, в малом совпадающих с плоскостью, из
§§ 3—5 привели нас в §§ 6, 7 к равномерно-разрывным группам
перемещений плоскости, дающим общий (содержащий все ранее
-встречавшиеся .нам'п'рхшер^) способ . строить ."такие геометрии.
В § 8 нам удалось перечислить вообще все такие группы. Теперь,
прежде чем развивать дальше общую теорию, будет интересно
©глянуться назад.
Группа типа I состоит из одного тождественного перемеще-
перемещения, и геометрия, которую она определяет, является, конечно,
плоскостью. Группы тппов II а, II б и III а уже встречались нам
в §§ 3—5 (см. также упр. 4 из п. 1 в § 5) и приводят к геомет-
геометриям, рассматривавшимся в этих параграфах. Остаются группы
типа III б, которые дают какой-то новый тип равномерно-разрыв-
равномерно-разрывных групп, а следовательно, и какой-то новый тип в малом
совпадающих с плоскостью геометрий, которые будет интересно
описать и исследовать. Говоря про описание геометрии, вспом-
вспомним, что во встречавшихся нам ранее геометриях множества
точек, кроме задания их при помощи равномерно-разрывных
групп, имели п вполне наглядное описание: цилиндр — в § 3,
скрученный цилиндр — в § 4, тор — в § 5. Хотелось бы столь же
наглядно представить себе и множество точек новой геометрии,
90
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
в отличие от ранее встречавшихся нам случаев, заданной пока
только равномерно-разрывной группой. При этом, конечно, не
следует забывать и о расстояниях между точками.
Чтобы сделать это, вспомним, что цилиндр из § 3 мы могли
бы получить из полосы на плоскости, перекрученный цилиндр
в § 4 — тоже из полосы, тор в § 5 получился из квадрата на
плоскости при помощи отождествления или склеивания между
собой некоторых точек границы этих плоских областей способом,
описанным в этих параграфах.
Можно надеяться, что множество точек новой геометрии так-
также является некоторой поверхностью, которая получается из
какой-либо аналогичной области на плоскости при помощи отож-
отождествления или склеивания между собой некоторых точек грани-
границы этой области. Мы увидим, что это действительно так.
Напомним, что точка з4> геометрии, определяемой равномер-
равномерно-разрывной группой Г, задается множеством А эквивалентных
друг другу точек на плоскости, причем две точки эквивалентны,
если одна из них переводится в другую перемещением из Г.
Однако, чтобы задать такую точку, вовсе не нужно знать все
точки множества А. Достаточно знать только одну точку А из
множества А, так как все остальные точки плоскости из множе-
множества А получаются применением перемещений из заранее задан-
заданной группы Г к точке А. Поэтому для задания совокупности
всех точек геометрии достаточно задать на плоскости какую-то
область, например многоугольник, которая бы обладала свой-
свойством:
1) область содержит точку из каждого множества эквивалент-
эквивалентных друг другу точек на плоскости.
При этом было бы желательно, чтобы среди различных точек
области уже ^сё было эквйвадантных. между, собой,, .т. е. разные
точки области определяли разные точки геометрии. С одной сто-
стороны, мало отличающимся от этого, с другой — более удобным
и согласующимся с нашими планами является требование:
2) никакая внутренняя точка области не эквивалентна отлич-
отличной от нее точке области, или различные эквивалентные точки
области лежат (только) на ее границе.
Если область, удовлетворяющая свойствам 1), 2), задана, то,
как мы видим, множество точек геометрии задается поверхностью,
которая получается отождествлением или склеиванием между
собой эквивалентных точек на границе этой области. Это как раз
то, что нам нужно: полосы в § 3 и § 4, квадрат в § 5, очевидна,
удовлетворяют свойствам 1), 2) для построенных в этих парагра-
параграфах равномерно-разрывных групп, а отождествляющиеся между
собой точки границы этих областей — в точности эквивалентные
между собой точки. Области на плоскости, удовлетворяющие
свойствам 1), 2), ввиду их важности мы назовем фундаменталь-
фундаментальными областями.
§ 9. НОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ
91
S
Рис. 9.1.
1-1
Посте этой предварительной подготовки предположим теперь,
чт0 г — равномерно-разрывная группа тийа III б, и воспользуем-
воспользуемся описанием перемещений из группы Г, данным в теореме 6
и предложении 2 предыдущего параграфа. Покажем, что прямо-
прямоугольник PQRS на рис. 9.1 является фундаментальной областью
Хя это! группы. На этом рисунке U, ^.Л-три следующие
друг за другом оси скользящих симметрии из Г, a PS-QR-
= а/2 ОО=РО = Ь/2.
Для проверки свойства 1) заметим, что произвольную точку
X на плоскости при помощи параллель-
параллельных переносов на векторы вида гаЬ —
(ге — целое) из группы Г мы можем пе-
перевести в точку X' полосы, ограничен-
ограниченной прямыми l-i, lit точку X' при по-
помощи параллельных переносов на век- —
торы вида та (т — целое) из группы Г
можем перевести в точку Ж' прямо-
прямоугольника PQUV (см. рис. 9.1). Если
X" не попадает в прямоугольник —
PQRS, т. е. лежит в прямоугольнике
SRUV, то X" скользящей симметрией
STa/2 = T-&Sf/2 из Г можем перевести в
точку X'", лежащую в прямоугольнике PQRS. Таким образом,
произвольная точка X на плоскости эквивалентна либо указан-
указанной точке X", либо X'" прямоугольника PQRS, что и доказывает
свойство 1) Для проверки свойства 2) выясним, когда эквива-
эквивалентны различные точки X, У, лежащие в прямоугольнике
PQRS. Разберем два случая. Если Y = F(X), где F- параллель-
параллельный перенос из Г, то "X? = т& + пЪ', "где т, га — целые числа.
Из рис. 9.2, а сразу видно, что это возможно в единственном
(с точностью до перестановки X и У) случае
X<=[PS], Y<e=[QR), F=Tb A)
(см. рис. 9.3, а). „
Если y = FCO где F — скользящая симметрия из Г, то ее
ось проходит через середину отрезка [XY], а ее вектор с равен
проекции вектора ХУ на эту ось. Отсюда, из описания скользя-
скользящих симметрии в Г и рис. 9.2, б сразу видно, что это возможно
только в следующих (с точностью до перестановки X и У) слу-
случаях: либо а/а
либо
?а/а
C)
92 Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
либо
(см. рис. 9.3, б).
Так как граница многоугольника образована его сторонами,
это доказывает свойство 2) и завершает доказательство того, что
прямоугольник PQRS — фундаментальная область.
Р X
~р
х=а
ъ
X
/
У
/
х=р
1-1
Рис. 9.3.
Кроме того, в A), B), C), D) мы нашли все пары эквивалент-
эквивалентных точек на сторонах прямоугольника PQRS (см. рис. 9.3). Мы
можем теперь сказать, что точки нашей новой геометрии образу-
образуют поверхность, которая получается из прямоугольника PQRS
склеиванием его сторон IPS] и [QR] при помощи параллельного
переноса вдоль его стороны [PQ] и склеиванием его Сторон IPQ]
и [SR] при помощи скользящей симметрии с осью, делящей по-
пополам его стороны [PQ] и [SR]. Такая поверхность называется
бутылкой Клейна в честь немецкого математика Феликса Клейна,
впервые обратившего на нее внимание.
На рис. 9.4 приведен процесс склеивания бутылки Клейна:
склеивая при помощи параллельного переноса стороны [PS] и
[QR] прямоугольника PQRS (рис. 9.4, а), мы получаем конечный
цилиндр с краями (рис. 9.4, б), которые получаются склеиванием
концов отрезков IQP] и [RS]; далее нам остается склеить эти
края так, чтобы соответствующие им точки на отрезках [QP] и
[RS] склеились при помощи скользящей симметрии вдоль [MN]
(см. рис. 9.4, а). Это удается сделать, если мы возьмем цилиндр
за один край и, изгибая его, снаружи проткнем этим краем ци-
цилиндр и изнутри подклеим к другому краю (рис. 9.4, в). Получив-
Получившееся в результате изображение в пространстве бутылки Клейна
действительно напоминает бутылку. Таким образом, бутылка
Клейна, как и тор, получается из конечного цилиндра склеивани-
§ 9. НОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ 95
ем его краев. Однако эти склеивания отличаются: если мы выбе-
выберем направления обхода краев цилиндра так, как показано на
рис. 9.4,6, то на замкнутой кривой, получающейся в результате
склеивания этих краев, оба этн направления дают в случае тора
одно и то же направление обхода, а в случае бутылки Клейна —
разные. Кроме того, в отличие от тора бутылка Клейна не по-
помещается в пространстве без самопересечений (это можно дока-
доказать); на рис. 9.4, в точки самопересечения бутылки Клейна
а
а,
я,
я,
м
р,
р,
Ks К
ч к, к
, к
1 К
а)
/Д.
'5 I
Oil
XI \; \;
6)
образуют кривую с, и каждую точку этой кривой мы должны
рассматривать как две точки бутылки Клейна, считая одну из
тнгттт лежащей на одном куске бутылки Клейна, а другую — на
другом.
Займемся теперь расстояниями между точками нашей геомет-
геометрии. Для этого, как и в случае тора, начертим в прямоугольник»
PQRS сетку из достаточно часто идущих отрезков, параллельных;
его сторонам (см. рис. 9.4, а), и перенесем ее на бутылку Клейн»
(см. рис. 9.4, б, в). При этом отрезок, параллельный сторонам
[PQ] и [RS], превратится на бутылке Клейна в замкнутую кри-
кривую, очевидно являющуюся замкнутой прямой нашей геометрии,,
которую мы назовем параллелью. А каждые два отрезка, парал-
параллельные сторонам [QRl и [SP] и симметричные относительно
прямой h, соединяющей середины отрезков [PQ] и [RS], на бу-
бутылке Клейна вместе составят замкнутую кривую, очевидно так-
также являющуюся замкнутой прямой нашей геометрии, которую
мы назовем меридианом. Очевидно, различные параллели, как
ш к
Рис. 9.5.
94 Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
и различные меридианы, не пересекаются между собой, и каждая
параллель в точке пересечения с каждым меридианом ему пер-
перпендикулярна в смысле нашей геометрии. В результате мы полу-
получаем сетку из замкнутых кривых — параллелей и меридианов,
покрывающую всю бутылку Клейна; при этом
д в нашей геометрии параллели и меридианы
<,. являются замкнутыми прямыми, и каж-
•-шДншнУ1** дая параллель перпендикулярна 1^ждому
меридиану в их точке пересечения. Отсюда,
из теоремы Пифагора, а главное из того,
что наша геометрия в своих достаточно ма-
малых частях совпадает с плоскостью, на кото-
которой лежит прямоугольник PQRS, мы, полу-
получаем следующее наглядное представление о
расстояниях в нашей геометрии: кривой в
ней является кривая на бутылке Клейна,
причем ее длина определяется «количест-
«количеством» параллелей и меридианов, которые пе-
пересекаются при движении вдоль этой кривой, а расстояние меж-
между двумя точками равно длине наикратчайшей соединяющей их
кривой.
Можно, например, разбить кривую точками -4< на достаточно
маленькие части AiAi+i, которые приближенно можно считать
отрезками; тогда длина кривой складывается из длин этих частей,
а длина каждой части по теореме Пифагора примерно равна
где &i — число параллелей, к2 — число меридианов, которые пере-
пересекают часть AiAi+u а ht, h2 — шаги сетки из параллелей и мери-
меридианов (см. рис. 9.5). Если разбивать кривую на все более ма-
маленькие части, соответственно выбирая все более маленькие
тпаги сетки, то будет получаться все более точное значение дли-
длины кривой.
Мы можем теперь подытожить результат нашего исследо-
исследования.
Теорема 1. Равномерно-разрывная группа перемещений
плоскости типа III б определяет в малом совпадающую с евкли-
евклидовой плоскостью «геометрию на бутылке Клейна».
В заключение нашего описания остановимся на сходстве и
различии между геометриями на плоскости, торе и бутылке
Клейна в терминах параллелей и меридианов; при этом на плос-
плоскости под параллелями и меридианами понимаются, конечно,
прямые двух взаимно-перпендикулярных пучков параллельных
прямых. Во всех этих геометриях параллели и меридианы явля-
являются прямыми этих геометрий, образующими сетку, которая в
малом (вблизи каждой точки) устроена одинаково, как на плос-
плоскости (рис. 9.6), и позволяет, как на плоскости, определять дли-
§ 9. НОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Рис. 9.6.
ны кривых в этих геометриях по количеству параллелей и мери-
меридианов, пересекаемых при движении вдоль этих кривых. Но в.
целом строение сетки в этих геометриях различно. Так на плос-
плоскости параллели и меридианы — разомкнутые кривые, имеющие
бесконечную длину, а на торе
и бутылке Клейна — замкнутые
кривые конечной длины. Кро-
Кроме того, в отличие от плоско-
плоскости и тора, где каждый мери-
меридиан пересекает каждую па-
параллель в одной точке, на бу-
бутылке Клейна все меридианы,
кроме двух средних меридианов
(склеивающихся из отрезков
ШЮ и [QR] (или [PSD, см. рис. 9.4) пересекают параллели в-.
двух точках, в чем читатель легко убедится.
Обратимся теперь к другим свойствам геометрии на бутылке
Клейна. В §§ 4, 5 нам встретились два необычных свойства
геометрий: в геометрии на скрученном цилиндре из § 4 «право»
и «лево» неразличимы, что означает существование в такой
геометрии замкнутой кривой, при обходе вдоль которой правая
и левая стороны меняются местами; геометрия на торе из § 5
ограничена, т. е. расстояние между любыми
двумя ее точками не превосходит некото-
некоторой константы.
Оказывается, геометрия на бутылке
Клейна обладает сразу обоими этими свой-
свойствами!
Теорема 2. Геометрия на бутылке
" Клейна одновременно ограничена, и «право*
и «лево» в ней неразличимы.
Первое свойство очевидно: по определе-
определению расстояния в геометрии, задаваемой рав-
равномерно-разрывной группой, расстояние
между точками А и В прямоугольника
PQRS в геометрии на бутылке Клейна не
больше расстояния 1-451 между этими точ-
точками на плоскости. Так как точки прямо-
прямоугольника PQRS задают все точки геометрии на бутылке Клей-
Клейна, то расстояние между любыми двумя точками этой геометрии
не больше диагонали прямоугольника PQRS, Для доказательства
второго свойства рассмотрим замкнутую прямую (средний мери-
меридиан) геометрии на бутылке Клейна, которая склеивается иг
отрезка IMN], соединяющего середины сторон [PQ] и [RS] пря-
прямоугольника PQRS. Точно так же, как в § 4, мы убеждаемся,
что при движении вдоль такой прямой «право» и «лево», меня-
меняются местами (см. рис. 9.7).
Рис. 9.7.
4N Ч. П. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
Читатель может убедиться, что тем же свойством обладает
другой средний меридиан бутылки Клейна, получающийся из
¦отрезка IPS] (или [QR]), см. упр. 3.
Унражнення
1. Пусть Ф — фундаментальная область для равномерно-разрывной груп-
группы Г. Доказать, что Ф определяет разбиение плоскости на области у(Ф)>
где ^ пробегает Г, т. е. а) области \(Ф) заполняют всю плоскость; б) пере-
•секаются друг с другом только по граничный точкам; в) для любых двух
таких областей найдется ровно одно перемещение нз Г, переводящее одну
из них в другую. Какое разбиение плоскости определяет фундаментальная
область для группы типа III б на рас. 9.1?
Докажите, что и наоборот из свойств а), б) и в) вытекает, что Ф —
фундаментальная область.
2. Пусть Г — равномерно-разрывная группа, А — фиксированная точка
плоскости, Ф {А) —область, состоящая из точек, расположенных к точке А
ближе, чем к другим, эквивалентным А точкам. Доказать, что 5Ь(А) —фун-
—фундаментальная область для Г, причем ЗИ(А) —выпуклый многоугольник. До-
Доказать, что фундаментальная область на рис. 9.1 для группы типа III б мо-
может быть получена именно таким образом из некоторой точки А. Где она
.находится? Какая фундаментальная область ЗЬ(А) будет соответствовать
группе тппа III а? Какое разбиение плоскости будет ей соответствовать?
3. Убедитесь, что при обходе среднего меридиана бутылки Клейна, по-
получающегося из отрезка [PS] (или [(?Я]), «право» и «лево» также меняют-
меняются местамк.
4. Показать, что длина средних меридианов бутылки Клейпа в два ра-
раза меньше длин остальных меридианов.
5. Параллели и меридианы в геометриях на цилиндре и скрученном
цилиндре определяются как прямые, получающиеся из прямых на плоско-
¦сти, параллельных вектору л и, соответственно, перпендикулярных ему (см.
теорему 7 § 8, группы типа II а и II б). Каковы подобные перечисленным
после формулировки теоремы 1 отличия в строении сетки из параллелей
ы меридианов в этих геометриях друг от друга и от геометрий на плоскости,
торе, бутылке Клейна?
6. Доказать, что полусфера является фундаментальной областью для""
разномерно-разрывной группы из упр. 4 п. 2 § 7 сферической Геометрии: "
Эквивалентными точками на ее границе (окружности) являются диаметраль-
диаметрально противоположные точки. Как представить себе (наподобие бутылки
Клейна) получающуюся в результате их склеивания поверхность объясня-
объясняется в § 12 (см. рис. 12.22 и пояснения ниже). Эта поверхность называется
проективной плоскостью.
§ 10. Перечисление всех геометрий, в малом
совпадающих с плоскостью
В этом параграфе мы докажем основной результат всего на-
нашего исследования: перечислим все возможные геометрии, кото-
которые в достаточно малых частях совпадают с плоскостью. В § 7
мы доказали, что всякой равномерно-разрывной группе переме-
перемещений плоскости соответствует некоторая геометрия рассматри-
рассматриваемого нами типа (мы обозначили в § 7 такую геометрию через
2Г). Здесь мы докажем, что этим способом получаются все гео-
геометрии, в малом совпадающие с плоскостью (теорема 1 этого
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
9?
параграфа). Так как в § 8 мы к тому же перечислили все равно-
равномерно-разрывные группы перемещений плоскости, то в результате
мы получаем полное описание всех геометрий, в малом совпада-
совпадающих с плоскостью (Основная теорема этого параграфа).
При доказательстве теоремы 1 мы встретимся с трудностями
нового типа. Дело в том, что раньше мы задавали геометрию с
помощью явной конструкции (в §§ 3—5 очень наглядной,
а в § 7 — менее наглядной, но вяолне конкретной, исходящей из
заданной группы Г). Теперь же мы должны исходить из совер-
совершенно общей геометрии 2, удовлетворяющей только условиям,
сформулированным в § 6 определения геометрии, в малом совпа-
совпадающей с плоскостью, и доказать, что она совпадает с одной из
построенных нами в § 7 геометрий 2Г. Таким образом, мы долж-
должны научиться рассуждать в рамках общей геометрии, исходя
только из немногих свойств, входящих в ее определение. Здесь
мы встречаемся с примером математического исследования, когда
из нескольких простых и весьма общих свойств какого-то объекта
можно вывести вполне конкретные общие свойства, вплоть до
полного перечисления всех таких объектов. Конечно» это требует
нового типа рассуждений по сравнению с теми, которые исполь-
использовались, когда геометрия задавалась конкретной конструкцией
(например, как 2Г). Эти новые рассуждения требуют (именно
ввиду их новизны) больших пояснений — ив результате доказа-
доказательство теоремы 1 оказывается заметно длиннее доказательства
любой другой теоремы этой книги (хотя оно состоит из несколь-
нескольких отдельных рассуждений, не более трудных, чем те, с которы-
которыми мы уже встречались). Читатель, которому это доказательство
покажется слишком сложным, может вполне его пропустить (про-
(прочитав внимательно только формулировку теоремы-1 и Основной
теоремы) и перейти к следующему параграфу. В этом случае
можно, кончив чтение книги, вернуться опять к доказательству
теоремы 1 и попытаться его разобрать.
Теорема 1. Всякой геометрии 2. в своих достаточно малых
частях совпадающей с плоскостью, соответствует равномерно-раз-
равномерно-разрывная группа Г перемещений плоскости, при помощи которой
эта геометрия строится описанной в % 7 конструкцией. Иными
словами, геометрия 2 накладывается на геометрию 2Г.
Из этой теоремы и теоремы 7 из § 8, конечно, немедленно
вытекает основной результат всего нашего исследования.
Основная теорема. Существует ровно 5 типов геомет-*
рий, которые в достаточно малых частях совпадают с плоскостью,
а именно:
геометрия на плоскости (плоскость);
геометрия на цилиндре',
геометрия на торе;
геометрия на скрученном цилиндре;
геометрия на бутылке Клейна.
7 В. В. Никулин, И. Р, Шафаревич
98
II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
Иными словами, любая геометрия, совпадающая в достаточно
малых частях с плоскостью, накладывается на одну из геомет-
геометрий перечисленных пяти типов.
1. Построения в произвольной геометрии. Прежде чем перей-
перейти к доказательству теоремы 1, мы рассмотрим некоторые общие
понятия и конструкции, которыми можно пользоваться в произ-
произвольной геометрии Б, в малом совпадающей с плоскостью. Со-
Согласно определению, данному в § 6, для этой геометрии суще-
существует такое положительное число г, что крут К(.з&, г) с центром
в любой точке «я? геометрии Б может быть наложен на крут К
на плоскости с некоторым центром А и радиусом г', т. е. К =
, г'). Заметим, что при этом очевидно г'= г, а точка
А Н K(t ) К(Л
, , р д ,
налагается на А. Наложение круга K(.st, г) на крут К(Л, г) —
это отображение / первого круга на весь второй круг, сохраняю-
сохраняющее расстояние между точками. Сопоставление точке SB круга
Kis4>, r) точки /(Я?) в круге К(А, г) можно рассматривать как
изображение точки SB на карте, имеющей форму круга К(А, г).
Ввиду этого мы дальше будем называть картой круга K(si>, r)
крут К(А, г) и наложение / круга К{^Ф, г) на К(А, г). Эта карта
является точной, так как / по определению не меняет расстоя-
расстояний между точками. Таким образом, свойство геометрии в малом
совпадать с плоскостью переформулируется более наглядно: лю-
любом круг радиуса г имеет точную карту.
Этот же принцип изображения на плоскости мы можем при-
применить и к другим фигурам в геометрии Б. При этом под фигурой
в геометрии мы всегда понимаем некоторое множество точек
этой геометрии с определенным, следовательно, расстоянием
между точками этого множества. Точно так же, как наложение
геометрий, определяется понятие наложения фигуры одной гео-
геометрии на фигуру другой геометрии — как .отображение множат
ства точек первой фигуры на все множество точек второй фигуры,
сохраняющее расстояние*). Фигуры, наложимые друг на друга,
мы будем называть наложимыми или конгруэнтными (в школе
таким же образом определяется конгруэнтность или равенство
фигур на плоскости). Это позволяет нам употреблять названия
(и обозначения) круг, отрезок, параллелограмм и т. д. к фигурам
геометрии Б, подразумевая под этим, что эти фигуры конгруэнт-
конгруэнтны или наложимы на фигуры с соответствующими названиями
на плоскости (и обладают, следовательно, всеми известными из
планиметрии геометрическими свойствами этих фигур, которые
используют в своей формулировке только точки самих фигур).
*) Строго говоря, с понятием наложения фигур двух геометрий мы
встретились гораздо раньше — еще при определении геометрии, в налом
совпадающей с плоскостью (§ 6). Дело в том, что мы не знаем, является
ли сферическая окрестность в геометрии сама геометрией. Поэтому под
наложением круга на сферическую окрестность следует понимать наложе-
наложение фигур.
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
99
Этим мы будем постоянно пользоваться. Например, пользуясь не-
некоторой картой круга IC{s?, r) геометрии Б, мы можем в этом
круге однозначно построить его центр — точку $&; отрезки
[31N?], соединяющие точки ЗВ и 9" этого круга; радиусы; диамет-
диаметры; граничную окружность и т. д., причем для них верны те
же утверждения, что и для соответствующих фигур в круге
радиуса г на плоскости (напомним, что в соответствии с нашей
договоренностью отрезок \.^S] — это такое множество точек
геометрии Б, что некоторый отрезок [ВС] на плоскости можно
наложить на 1&W], причем так, что В наложится на 3&, С—
на «SO.
В построениях, которые мы будем далее проводить, у нас
будут постоянно встречаться отрезки. Поэтому нам важно будет
знать, когда существует отрезок l&O?], соединяющий точки J?
и Я? геометрии 2, и когда он единствен. Для этого заметим,
что если обе точки З&жЯ? содержатся в круге К(зФ, г), то в этом
круге мы можем построить отрезок \.&&\, их соединяющий, при-
причем в этом круге он единствен. Такой способ построения от-
отрезка [30%?] зависит от крута К(зФ, г), в котором мы считаем
лежащими точки J? и Я!?, и не исключено, что, пользуясь каким-то
другим кругом, содержащим точки & и Ч?, мы соединим точки
Jf и *& каким-то другим отрезком. Тем не менее, в одном очень
важном случае можно показать, что в геометрии Б существует
и притом единственный отрезок [3&&\, соединяющий две точки
9? и 3 геометрии S. Покажем, что это верно, если I^PSM < г.
Действительно, точки Ж всякого отрезка [$N?], как и точки от-
отрезка на плоскости, удовлетворяют чусловию
\ЯЖ\ + \JCS\ = \3№\ < г. A)
Отсюда ШЖ\ <г, и точки Ж любого отрезка [-$94 лежат в круге
К(М, г). Но в круге КC§, г), как мы знаем, существует (так как
\3B%?\*Sir) и притом только один отрезок [389?], соединяющий
точки 38 и *§?. Это и доказывает требуемое.
Тем же самым приемом читатель докажет
следующее утверждение о существовании и
единственности продолжения отрезка в гео-
геометрии Б, которое нам понадобится. Пусть
в геометрии Б даны точки J? и Я&, а также
число &>0, причем \3&Ч?\ <k*^r. Как мы
только что доказали, в геометрии Б суще-
существует один-единственный отрезок [3ffi?\.
Докажите, что в геометрии S отрезок [3§ffi]
единственным способом продолжается до отрегка [383У\ длины к,
т. е. существует один-единственный отрезок [ЗбЯСЛ, который со-
содержит отрезок [3!RF\, и его длина Ш?)\ равна к (рис. 10.1).
Прежде чем закончить эти предварительные замечания, отме-
отметим любопытное и очень важное обстоятельство, связанное с
7*
Рис. 10.1.
100
П. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ G ПЛОСКОСТЬЮ
нап1ими определениями фигур в произвольной геометрии. Дело
в том, что всякую фигуру на плоскости (как и в любой геомет-
геометрии), которая конгруэнтна или наложима на круг, отрезок, па-
параллелограмм, окружность и т. д. на плоскости, мы должны
теперь в соответствии с нашей договоренностью также называть
кругом, отрезком, параллелограммом, окружностью и т. д. А вер-
верно ли, что фигура на плоскости, конгруэнтная кругу, отрезку,
параллелограмму, окружности и т. д., сама является кругом,
отрезком, параллелограммом< окружностью и т. д. в соответствии
со школьными определениями? Например, верно ли, что фигура
на плоскости, конгруэнтная кругу радиуса R, состоит в точности
из точек плоскости, отстоящих от некоторой точки плоскости на
расстоянии, не большем этого числа /?? Это действительно так
и вытекает из свойства однородности плоскости, сформулирован-
сформулированного в леммме 1.
Лемма 1 (об однородности плоскости). Всякое
наложение f фигуры Ф плоскости на фигуру Ot плоскости про-
продолжается до некоторого перемещения F плоскости, т. е. суще-
существует такое перемещение F этой плоскости, что
F(.X) ¦=» f(X), если X принадлежит Ф.
Если фигура Ф не лежит на одной прямой, то такое переме-
перемещение F единственно.
Воспользуемся этой леммой и докажем перечисленные выше
свойства, а саму лемму докажем после этого.
Итак, пусть / — наложение круга К(А, R) = Ф на некоторую
фигуру Ot плоскости и^ — перемещение плоскости, существова-
существование которого дает лемма 1, тогда фигура Ot состоит из точек
F(.X), где X пробегает круг К(А, R). Покажем, что Ф,.=
K{F{A\i R). Так.как F перемещение, то ' . ....".
если X принадлежит кругу К(А, R). Это доказывает, что фигура
Ф4 содержится в круге K(F(A),R). Пусть теперь Y— произволь-
произвольная точка круга K(F(A),R). Так как перемещение отображает
плоскость на всю плоскость, то найдется точка X, для которой
Y = F{X). Для нее
\АХ\ - \FUmX)\ = \FU)Y\
поэтому точка X лежит в круге KiA, R), Таким образом, для
каждой точки Y круга K{F{A), R) найдется точка X круга
К(А, R), для которой F(X) — Y. Это доказывает, что, наоборот,
круг K(F(A), R) содержится в фигуре Ф,; следовательно, Ф1 =
= K(.F(A),R). Таким образом, фигура Ф„ конгруэнтная кругу
К(А, R), сама является кругом K(F(A),R), что и требовалось
доказать.
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
101
Совершенно аналогично рассматриваются другие, известные
из школьного курса фигуры: отрезки, параллелограммы, окруж-
окружности и т. д. (см. упр. 1 п. 1 § 8). Теперь докажем лемму 1.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда фигура Ф
не расположена на одной прямой. Пусть А, В п. С — три ее точ-
точки, не лежащие на одной прямой. По лемме 3 из § 8 найдется
(причем ровно одно) перемещение F, для которого FLA) =f(A),
F(B) = f(B), а точки F(C) и /(С) лежат в одной полуплоскости,
ограниченной прямой (/С4)/СВ)). Отсюда следует, что F(C) =
= /(С), ибо расстояния от точки F(C) до точек /14) и /B?) и от
точки /(С) до точек /С4) и /СВ) одни и те же —равны \АС\ и
\ВС\.
Покажем, что F —искомое перемещение. Так как /С4) =
= F(A), f(.B)=F(B), f(C)=F(C), то для любой точки X фигуры
Ф расстояния от точки F(.X) до точек /14), f(B) и f(C) и от
точки f(X) до точек /С4), f(B) и /(С) одни и те же —равны
14X1, \ВХ\ и \СХ\; отсюда F(X) = f(X). В самом деле, если
F(X) ?>f(X), то точки /С4), /(В) и f(C) лежат на серединном
перпендикуляре к отрезку lf(X)F(X)], т. е. лежат на одной пря-
прямой. Но точки А, В, С не лежат на одной прямой. Поэтому не
лежат на одной прямой и
f(A)FU) /(B)
д
точки f(A)=FU), /
= ЛВ) и f(C)=F(C), так
как F — перемещение.
Случай, когда вся фигу-
фигура Ф расположена на пря-
прямой, разбирается аналогич-
аналогично, но гораздо проще (см.
упр. 4).
Следствие 1. Любые
две карты одного и того же
круга K(s&, r) в геометрии
S переводятся друг в друза
перемещением плоскости.
Смысл этого утверждения
в следующем. Пусть одна
карта — это отображение А
круга K(s4-, r) в круг K(.Ai, r)
на плоскости, а другая — отображение /2 — в круг К(А%, г), ко-
который мы можем считать расположенным в той же плоскости.
Утверждается, что существует такое перемещение F этой плос-
плоскости, что для точек круга Ki.s&, r) выполняется равенство
/г(^) =/?(/1(Я?)). Иными словами, две карты можно так совме-
совместить некоторым перемещением плоскости, что точки, изобра-
изображающие одну и ту же точку, совместятся.
Доказательство (см. рис. 10.2). Мы построим такое на-
наложение / круга K(Ai, г) на Ш2, r)i что /»(#?) =* /(/»(#?)) для
Рис. 10.2.
102
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
любой точки SB круга K(s4-, г). Существование нужного переме-
перемещения F будет следовать тогда из леммы 1. Для точки X круга
K(Ai, rT найдем такую точку SB круга K(s&, r), что ft(&)=X.
Такая точка SB существует, так как наложение ft отображает
крут К{$?, г) на весь круг К(Аи г), и единственна, так как нало-
наложение переводит разные точки в разные (иначе изменится рас-
расстояние). Теперь положим f(X)=U(.&). Очевидно, что / — иско-
искомое наложение круга К(Аиг) на круг Ш», г), так как /i и /2 —
наложения (рис. 10.2).
Следствие доказано.
Упражнения
1. Доказать, что отрезок [$?3&] геометрии 2 сам будет геометрией, если
измерять расстояния между его точками, как в геометрии 2. Пусть S4-, Я,
<В — точки геометрии 2, S — объединение отрезков \si-3f\ и [да®']. Дока-
Доказать, что S, если расстояния между его точками измерять, как в геометрии
2, будет геометрией только тогда, когда S совпадет с отрезком [sP&].
2. Пусть 2— геометрия, совпадающая в малых частях с плоскостью,
г — такое положительное число, что круг радиуса г в 2 наложим на круг
в плоскости, si- и 31 — две точки в 2 и \&3&\ < 2г. Предположив, что S —
отрезок, соединяющий s? и 3S, a 'S — его середина, доказать, что SaKifS,
г). Пусть S' — другой отрезок, соединяющий зФ с 3S. Доказать, что точки
отрезков S и S', достаточно близкие к s&, совпадают. (Указание: вос-
воспользоваться свойством отрезка из упр. 1.) Вывести из этого, что точки
si- и 3i могут быть соединены не более чем одним отрезком.
3. Пусть 2— геометрия, совпадающая в малом с плоскостью, si- ж 31 —
две ее точки и \s?38\ < г. Доказать, что любой кусок границы круга
К(?, г), содержащийся в круге K(st, r), в карте круга K($t, r) изобража-
изображается дугой окружности. (Указание: если IX и У — концы этого куска S,
то воспользоваться тем, что в круге К{Я, г) углы XCY для всех точек С
из S равны, выразить это как соотношение между расстояниями jXCj,
\CY\ и \XY\-.)
¦4. Из условий- леммы 1 вывести, что если фигура Ф расположена на
прямой, то фигура <t>i также расположена на прямой, причем если фигура
Ф содержит хотя бы две точки, то существуют равно два продолжения на-
наложения / до перемещения F.
5. Пользуясь леммой 1 и теоремой Шаля на плоскости, перечислить все
перемещения прямой.
2. Накрытия. Теперь мы можем перейти к доказательству
теоремы 1.
Нам дана некоторая геометрия 2, в малом совпадающая с
плоскостью, и надо доказать, что она совпадает с геометрией 2Г,
построенной по равномерно-разрывной группе Г перемещений
плоскости. Доказательство этого распадается на три этапа:
I. Вам нужно установить связь между нашей геометрией S
и плоскостью П.
II. Используя эту связь, построить некоторую равномерно-
разрывную группу перемещений этой плоскости П.
III. Доказать, что наша геометрия Б накладывается на гео-
геометрию 2г, построенную по этой группе Г.
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
103
Приступим к I этапу. Вспомним сначала, как мы получали
из плоскости хотя бы простейший из рассматривавшихся нами
примеров — геометрию на цилиндрической поверхности (§ 3).
Мы наворачивали плоскость на цилиндр, причем так, что доста-
достаточно малые круги на плоскости накладывались на круги на
цилиндре. Это «наворачивание» в точных математических терми-
терминах может быть описано как отображение <р плоскости П на ци-
цилиндр S. И в более общем случае геометрии 2Г, рассмотренной
в § 8, мы вводили на плоскости П понятие эквивалентности точек
(при помощи группы Г), а потом называли точкой s& геометрии
2Г множество А эквивалентных друг другу точек плоскости. Это
можно выразить иначе, сказав, что определено отображение ср
плоскости П на множество точек геометрии S, при котором точке
А плоскости сопоставляется точка s4- геометрии S, определяемая
множеством А точек, эквивалентных точке А. Как и в случае
наворачивания плоскости на цилиндр, отображение ср обладает
тем важным свойством, что для любого круга достаточно малого
радиуса на плоскости оно определяет его наложение на круг
геометрии 2Г. Хотя это и не было явно сформулировано в § 7,
но фактически доказано: читатель легко в этом убедится, если
еще раз просмотрит доказательство того, что геометрия 2г в
достаточно малых частях совпадает с плоскостью.
Таким образом, правдоподобно, что и в случае произвольной
геометрии 2, в малом совпадающей с плоскостью, можно устано-
установить ее связь с плоскостью П, построив такое отображение q>
плоскости П на 2, что при этом круг достаточно малого радиуса
на плоскости накладывается на круг геометрии 2.
Это приводит нас к важному понятию, при помощи которого
можно устанавливать связь не только между плоскостью и гео-
геометрией, но и вообще между двумя геометриями.
Определение. Пусть 24 и 22 — две произвольные геомет-
геометрии. Накрытием геометрией 2t геометрии 2а называется отобра-
отображение ф геометрии 2t в геометрию 22, которое удовлетворяет
двум условиям:
1) существует такое число s > 0, что для любой точки si>
геометрии 2t отображение ф определяет наложение сферической
окрестности К(.$?, s) геометрии 2t на сферическую окрестность
К(.у(з?)у s) геометрии 2а;
2) ф отображает 2t на всю 22, т. е. для любой точки ВВгео-
метрии 22 существует такая точка s^ геометрии 2t, что <р(«я?) =
— вЗР
— аи.
Мы будем обозначать такое накрытие буквой ф, а иногда
и всей тройкой B1? 22, ф). По определению накрытия, две разные
точки s? и ЗИ геометрии 2t, расстояние между которыми меньше
s, переходят в разные точки, потому что 38 содержится в круге
К(зФ, s) и на нем наше отображение ф является наложением,
а поэтому ,!ф(^)ф(^) = \st$l\ ?=0. Однако для точек, расстояние
104 Ч. П. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
между которыми больше s, это может быть не так. Мы увидим
дальше много примеров накрытий, при которых разные точки
переходят в одну.
Приведем несколько примеров накрытий, которые или часто
встречаются в жизни, или встречались уже в этой книге.
-к
м
0
N
L
с у®
Пи)
Рис. 10.3.
Пример 0. Всякое наложение, очевидно, является накры-
накрытием. Так поворот, перенос, скользящую симметрию можно рас-
рассматривать и как накрытия плоскостью самой себя. Другие при-
примеры наложений, связанные с различными заданиями геометрий,
рассматривались в § 6. Все это тривиальные, не отличающиеся от
наложений, примеры накрытий.
Пример 1. Следующий пример накрытия часто встречается
в жизни и, как заметит сам читатель, играет важную роль в
геометрии в связи с измерением углов в радианах. Рассмотрим
намотку прямой I на окружность с (рис. 10.3). Можно предста-
представить себе ее как намотку бесконечно длинной и тонкой нитки на
цилиндрическую катушку очень малой высоты.. Так как нитка
не растягивается, то расстояние между близкими точками на ней
будет равно расстоянию по окружности с между точками, в ко-
которых они окажутся при наматывании, т. е. мы получаем накры-
накрытие прямой окружности. Заметим,
что при этом накрытии точки
прямой I, находящиеся на рас-
расстоянии 2пгп, где г — радиус ок-
окружности с, а п — любое нату-
натуральное число, будут переходить
в одну и ту же точку окружно-
окружности. То же самое накрытие мож-
можно наглядно представить себе и
как качение без скольжения колеса с по прямой I (рис. 10.4),
при этом точке М прямой I сопоставляется точка ф(М) колеса с,
в которой оно соприкасается с точкой М при качении по прямой I.
Два следующие примера нами уже упоминались выше перед
определением накрытия, но мы повторим их здесь, чтобы теперь
сравнить с точным определением накрытия.
Рис. 10.4.
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
105
Пример 2. Аналогичный примеру 1, но двумерный пример
накрытия дает наворачивание плоскости на цилиндр, который
аналогично примеру 1 можно представить себе как наматывание
лнста жести на цилиндрическую палку или качение без проскаль-
проскальзывания цилиндра по плоскости (см. рис. 10.3 и 10.4, которые
изображают этот пример в разрезе). Пример нам уже встречался
яри изучении геометрии на цилиндре в § 3. Так же, как и в при-
примере 1, при этом накрытии плоскостью цилиндра различные
точки плоскости могут переходить в одну и ту же точку
цилиндра.
Пример 3. Рассмотрим геометрию Бг, определяемую рав-
равномерно-разрывной группой Г перемещений плоскости, которую
мы тоже будем рассматривать как геометрию и обозначать П.
Сопоставим каждой точке А плоскости П точку s? геометрии 2Г,
которая определяется множеством А эквивалентных точке А то-
точек на плоскости П. Мы получаем отображение <рг множества
точек плоскости П на множество точек геометрии Бг, при котором
q>T(.A)=j&. Как мы уже упоминали, в § 7 фактически доказано,
что (П, Бг, гог) является накрытием. Там мы показали (явно не
определяя отображения фг), что круг К(А, s) на плоскости при
отображении фг накладывается на круг K(q>(A), s) геометрии Бг,
если s = B/4, где d — число из определения равномерно-разрывной
группы Г. Отметим, что, как и в примерах 1, 2, различные точки
плоскости П могут переходить при накрытии фг в одну и ту же
точку геометрии Бг.
Если речь идет о геометриях, в малом совпадающих с плос-
плоскостью, то определение накрытия приобретает немного более
простой вид.
Лемма 2. Пусть St и S2 — две геометрии, в малом совпа-
совпадающие с плоскостью, а у-^-отображение St в 22, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию:
существует такое число s>0, что |ф(,й?)ф(^?)| = \бФ&\ для
любых точек s& и М геометрии Si, для которых \s?3§\ < s.
Тогда ф является накрытием.
Доказательство. Из условия в формулировке леммы 2
следует, что ф отображает круг K(st, s/2) в круг .К(ф(.яА s/2),
причем так, что расстояния между точками не меняются. Что
же нужно еще проверить, чтобы убедиться, что ф — накрытие?
Для проверки свойства 1) определения накрытия нужно доказать,
что для некоторого t > 0 отображение ф отображает Kist-, t) на
весь круг Жф(^), *), а для проверки свойства 2) — доказать, что
Ф отображает St на всю геометрию 22. Эти два свойства мы и
докажем.
Д о к ажем первое утверждение. Вспомним, что гео-
геометрии Si и 22 совпадают с плоскостью в достаточно малых час-
частях, и пусть г4 и г2 — соответствующие им числа, т. е. радиусы
тех кругов, внутри которых эти геометрии совпадают с шюс-
106 Ч. П. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
костью. Возьмем t таким, что *<s/2, «^/ч, *<га. При таком
выборе * круг КЫ, t) содержится в круге КШ, rt) и его изо-
изображение в карте К(А, г4), соответствующей кругу K(st, rt), яв-
является кругом К(А, t). Тагаш образом, круг zW, *) тоже обла-
обладает картой. Аналогично обстоит дело с кругом Я(ф(^), *).
Рис. 10.5.
Пусть К(А, t) и К(В, t) ¦— их карты. Отображение <р переводит
круг K(j&, t) в круг 2?(<р(«9?), t) и сохраняет расстояние, так как
*<s/2 и ф сохраняет расстояние между точками круга Kls&, s/2).
На их картах К(А, t) и К(В, t) оно изображается как наложение
ф круга К\А, t) на некоторую фигуру в круге К(В, t) в плоскости,
причем ф(А)==5 (рис. 10.5), Как мы показали перед доказатель-
доказательством леммы 1 (используя ее), в таком случае эта фигура совпа-
совпадает о кругом К(В, t), т. е. ф налагает круг К(А, t) на весь круг
KKB,t), а ф —круг JE(«s^, t) на весь круг K(m(.s?),t), что нам и
нужно.
Докажем второе утверждение. Здесь мы впервые
воспользуемся свойством г) определения геометрии (п. 1 § 6)
Пусть ^—некоторая точка геометрии Slt а ^ — произвольная
точка геометрии 22. Согласно свойству г) определения геометрии
существуют такие точки Ли ...,38п геометрии Ег, что Яу — фСя^),
3?* = 2P, \$!i!&i+i\<.t (мы применяем свойство г) при ce = f, В~
любом). По доказанному, ф отображает круг КЫ,г) геометрии
2» на весь круг К(лрЫ), t) геометрии 2,. Так как точка Мг лежит
в круге л(ф(«9^),*), то существует такая точка st2 геометрии 2Ь
что <p(«s*2) = 3&%. Применяя то же рассуждение к точке ЗВг, мы
найдем теперь точку st>3 такую, что <р(^,) =. Jfs и т. д. Через п
шагов мы построим такую точку у геометрии St, что <p(<V) =BP
Лемма доказана.
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ Ю7
и
ТчребОвать' чтобы оно отображало плоскос?ь «Г^
> Читателю рекомендуется продумать доказательство
леммы 2 и на его основе найти по возможности простое доказа-
доказательство этого утверждения в рамках планиметрии
Замечание. Когда речь идет о накрытии (St, 2a, tc) геомет-
геометрий в малом совпадающих с плоскостью, то возникает три числа-
П (связанное с геометрией St), г2 (связанное с геометрией SJ
можноВЯяаа1^е С 0T0^*™&mie" <Р>- Очевидно, что любое из нА
можно заменить любым меньшим числом-оно будет обладать
тем же свойством. Поэтому дальше мы заменим эти три числа
одним, меньшим всех трех, и будем обозначать его через г.
Упражнения
11Ш
включается в эту конс^шю?
цилиндром.
конетаое S n
точки геометрии
ЪЗ' ^о^°МеТрИИ * пеР^одит
- доказать, что то же верно для любой
108
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
ет в малом с плоскостью, так что каждый круг радиуса г обладав
ет картой. Зафиксируем некоторую точку О плоскости П, любую
точку О геометрии Б, круг К{0, г) с центром в точке О и его
карту, которую можно считать кругом КЮ, г) с центром в точке
О. По определению карты мы имеем наложение / круга К @, г)
на круг КЮ, г). У наложения / существует обратное, которое мы
обозначим через ф0 — оно сопоставляет каждой точке карты
изображаемую ею точку круга геометрии Б. Очевидно, что ф0
является наложением круга КЮ, г) на крут КШ, г). Это уже
дает нам отображение круга КЮ, г) на круг К@, г). Будем
строить отображение ф как продолжение отображения <рв, т. е.
так, чтобы ф(Л) = фоС^), если А лежит в КЮ, г).
Для этого мы воспользуемся следующей леммой.
Лемма 3 (о продолжении). Пусть на плоскости дан
отрезок [ОВ] длины 2г, его середина А и наложение ф0 отрезка
[ОА] на отрезок [0.S&] геометрии S {где г — число из определе-
определения геометрии Б, в малом совпадающей с плоскостью). Тогда
существует наложение ф1 отрезка [ОВ] на некоторый отрезок
[0S&] геометрии Б, являющееся продолжением наложения фо,
т. е. такое, что ф1(Х) = ф0(Х) для точек X отрезка [ОА].
Доказательство. Рассмотрим круг K(s&, r) в нашей
геометрии.
Заметим, что отрезок [0S&] является радиусом круга
К{зФ, г), потому что \0s?\ =ги [0S&] —единственный в геомет-
геометрии Б отрезок, соединяющий точки Си^ (так как \Os4-\ ^г).
А раз отрезок [0s?\ — радиус круга K(.s4-, r), то мы можем про-
продолжить его до диаметра [03&\ (рис. 10.6). Определим ф4 на от-
отрезке [ОА] условием ф4(Х) =фо(л), а на отрезке [АВ] как нало-
наложение этого отрезка на отрезок [s&!%\ той же длины, при котором
Рис. 10.6.
Рис. 10.7.
А налагается на sl>, В — на 3&. Нам остается проверить, что ф4 —
наложение отрезка [ОВ] на отрезок [03$\. Это станет очевидным,
если, пользуясь картой круга K(sl, г), представить себе отрезок
[03S] лежащим на плоскости. Мы имеем два отрезка — 1ОВ]
и [03В], точку А на отрезке ЮВ] и М на W3S]. Отрезок [ОА]
налагается на [Оsi] и [АВ] —на [зФЗ$\. Ясно, что при этом [ОВ]
налагается на [09S\ (рис. 10.7).
Лемма доказана.
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
109
Проведем теперь лучи из точки О плоскости и определим на-
наше отображение на каждом луче в отдельности. Для этого разде-
разделим луч на равные отрезки длины г точками О, Ai, A2, ...
{.\ОА,\=г, ..., \AnAK+i\ =r). На отрезке ОАlf содержащемся
в круге КЮ, г), мы определим отображение ф совпадающим с ф0.
По предшествующей лемме это отображение можно продолжать
па отрезок L4t.A2J; применяя лемму еще раз, мы продолжим его
на [А^Аs]. Действуя таким образом, мы получим в итоге продол-
продолжение на весь луч. По лемме 3 наше отображение ф будет
наложением отрезка [АпАп+г] на отрезок [фСАп)фСАп+2)] геомет-
геометрии Б. Так как любой отрезок длины г, расположенный на луче,
содержится в некотором отрезке L4«An+2J, то мы можем сказать,
что построенное отображение луча является наложением для
любого содержащегося в луче отрезка длины «S г.
Построенные лучи покрывают всю плоскость, и каждая точка
плоскости лежит только на одном луче, так что отображение,
определенное на всех лучах, дает единое, однозначно определен-
определенное отображение ф плоскости П в геометрию Б, такое, что
А) ф определяет наложение круга КЮ, г) на круг К@, г),
причем 0 — ф(О);
Б) ф определяет наложение каждого отрезка [АВ] длины
\АВ\ ^ г, лежащего на выходящем из точки О луче плоскости П,
на отрезок [st3B] геометрии S, где фС4)=,я?, tp(B)—&.
Этим закончено построение нашего отображения ф, и нам
остается доказать, что оно действительно является накрытием.
Для этого докажем, что |ф(Л)ф(В)| = \АВ\ для любых точек А
и В на плоскости П, для ко-
которых \АВ\ О/2. По лем-
лемме 2 отсюда уже следует
теорема 1а.
Пусть А и В — две точки
плоскости П и \АВ\ <г/2. мо=но°'
Рассмотрим три возможные
случая. 1) А и В лежат на
одном луче, выходящем из
точки О, тогда !фЫ.)фB?)| =
= \АВ\ согласно свойству
Б) отображения ф. 2) А и В
лежат на одной прямой с точкой О, но по разные ее стороны,
тогда \АО\ sS г/2, \ВО\ < г/2, т. е. А и В лежат в круге КЮ, г/2),
содержащемся в круге КЮ, г). В этом случае |ф1А)фШ)| = \АВ\
согласно свойству А) отображения ф. Остается основной случай:
3) А и В не лежат на одной прямой с точкой О. Соединим А и
В лучами с точкой О, обозначим через I биссектрису угла АОВ
и проведем отрезки [АС] и [BD], перпендикулярные прямой I
(рис. 10.8). Точки А, С, В, D являются, очевидно, вершинами
равнобочной трапеции с высотой [EF].
м--
Рис 10.8.
110
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
ill
Нам удобнее доказать даже больше. А именно, докажем, что
расстояния между любой парой точек А, В, С, D сохраняются
при отображении ф, т. е. не только |фСА)ф(.В)| = |АВ|, но и
|фС4)ф(С)| = \АС\, и т. д. для всех шести пар (А, В), {А, С),
(.A, D), (В, С), (В, D) и (С, D). Иными словами, мы докажем, что
ф определяет конгруэнтность фигур ACBD и фD)ф(В)ф(С)ф(?))
(каждая из фигур состоит из четырех точек). Для доказательства
разобьем треугольник DOB на равнобочные трапеции с высотами,
равными \EF\. Введем новые обозначения, и вершины получаю-
получающихся трапеций будем обозначать через М{, N{, Mi+l, Ni+i (см.
рис. 10.8). Если таких трапеций будет к, то в этих новых обозна-
обозначениях А = Mh, D = Mk+i, С — iV,,, В = Nh+i. При таком разбиении
от треугольника DOB остается ' равнобедренный треугольник
MtONi с высотой, не большей, чем \EF\. Его мы будем рассматри-
рассматривать как вырожденную трапецию, в которой Ма = 2V0 = О (см.
рис. 10.8).
Идея доказательства заключается в следующем: мы докажем,
что для любого i отображение ф определяет конгруэнтность фигур
Mt-iNi-iNiMi и ф(М<_1)ф(]У(_1)ф(М1)ф(Л^4). Этот факт мы будем
доказывать методом математической индукции по i, т. е. переходя
от i-й трапеции к (i+D-й, начиная с самой первой (которая яв-
является треугольником OMtNi). При i — к + 1 мы получим нужное
нам утверждение о фигуре ACBD.
Первый шаг очевиден. Действительно, по построению
|0Д^|<г/2, [ONA <, r/2, т. е. точки Aft и iVt лежат в круге
К{0, г/2). Из свойства А) отображения ф следует, что
— нужные нам соотношения. ........
Предположим, что для точек Mt-i, Nt-i, Nt, M{ наше соотноше-
соотношение доказано, и докажем его для точек Mi, Nt, Ni+i, Mi+l. Очевид-
Очевидно (читатель это легко проверит), что длины диагоналей всех
трапеций MtN{Ni+lMi+1 не превосходят длины диагоналей по-
последней трапеции, которые меньше г/2. Отсюда сразу следует, что
трапеции Mi-iNi-^NiMi и MtN{Ni+iMi+i содержатся в круге
K(Nf, г/2), а тем более в круге КШ^ г) плоскости П (рис. 10.9,
слева).
Применим отображение ф к отрезкам [M^iMi+J и [iVj_iiV<+1].
Согласно свойству Б) отображения ф, каждый из них наложится
на некоторый отрезок геометрии Е. Положим
[i+U
Проверим прежде всего, что все эти точки содержатся в круге
KXfi, г) геометрии 2. Это очевидно для точек Jfi, Jft-i, JCi-u Jd,
так как согласно индуктивному предположению, расстояния
между ними равны расстояниям между теми точками плоскости
П, из которых они при отображении ф получаются, т. е.
а точки N{, Nt-!, Mt-U Mt, как мы установили, лежат в круге
KWi, r). Наше утверждение так же очевидно для точки ./Vi+i, так
как при отображении ф отрезок lN{Ni+i] налагается на отрезок
[•/yVVt+il. Для оставшегося случая — точки Jd+i — доказательст-
доказательство чуть сложнее. Так как при отображении ф отрезок Ш{МШ] на-
на[XdCil !АМ/| XddJll Кое
\MtMi+%I < r/2 + r/2 = r.
ф р
лагается на отрезок [jXtdCt+il, то !АМ/«+1| = XddJli+il. Кроме
того, как мы уже проверили, \NtM{\ == \JftMi\. Наконец,
MVri+1| < \JfiJti\ + [JCifci+S. Из этих соотношений получим,
что
Тем самым нужное нам свойство доказано и для точки Jti+i.
Теперь мы вспомним, что геометрия S в малых частях совпа-
совпадает с плоскостью. Более точно, круг K(Jfi, г) в этой геометрии
обладает картой, которую мы можем считать лежащей в плоско-
плоскости П. При помощи этой карты мы отождествим его с кругом
в плоскости П и будем считать, что точки Jft-u Jfi, Jft+i, Jd-v
JZi, Jli+i. лежат в плоскости П. Таким образом, мы получаем сле-
следующую простую картину (см. рис. 10.9). На плоскости имеются
две фигуры, состоящие из точек Nt-i, Nit Ni+1, Mi-U Mt, Mf+l
и Jft~i, Jfi, Jfi+u Л^-и Ж* jTi+i и отрезков Wt-flt+J, IM^M^l
и {Jfi-iJfi+A, lJ?<-i-#t+A, содержащих точки N{, M( и Jfi, Jd
соответственно (рис. 10.9). Причем все изображенные на рис. 10.9
отрезки с соответственными концами этих фигур имеют одинако-
одинаковую длину:
112
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ. В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
Нам нужно доказать, что соответственные отрезки, изображен-
изображенные на рис. 10.9 пунктиром, тоже имеют одинаковую длину:
\MiNi+i I = I JM*1+1!, \Mt+lN<\ = I Jtf+Ijf{\,
\Mt+1N{+i\ = \J[{+iJfi+i\.
Конечно, это будет доказано, если мы покажем, что сами эти
фигуры конгруэнтны, что почти очевидно и может быть провере-
проверено, например, следующим образом.
Так как расстояния между всеми точками фигур Jft-i^f-tJtu/Vi
и N{-iM{-iM{Nt (состоящих каждая из четырех точек) соответст-
соответственно разны, т. е. эти фигуры конгруэнтны, то по лемме 1 най-
найдется перемещение F плоскости, переводящее Nt-X в «/Г<-1, Nt в
Jfb М{ в Жи М{+1 в Jti+i. Оно переведет луч Mi-Mi в луч Jti-iJd,
точку М{+1 на луче Mt-iMi в точку J?{+1 на луче Jd-vMi,
так как их расстояния \Mi-iMi+i\ и \Mi~^Jlx^\ до начал Mi-i. и
Jli-i этих лучей одинаковы. Точно так же доказывается, что пе-
перемещение F переведет точку N{+1 в точку Jfi+i.
Это показывает, что при перемещении F сохраняются рас-
расстояния:
- \ММ, ...,
Отсюда получаем то утверждение, которое надо было доказать
на 2-м шаге индукции. Тем самым доказано, что
|ФС4)ф(В)| —litBI, если [АВКг/2.
Доказательство теоремы 1а закончено.
Упражнение
.1. Доказать следующий аналог леммы о продолжении. Пусть задано
наложение q> круга К (О, г) плоскости на круг геометрии 2, в малом совпа-
совпадающей с плоскостью. Для любой точки А круга К (О, г) можно продолжить
Ф на круг К(А, г) так, чтобы на этом круге оно тоже было наложением.
4. Построение группы. Переходим ко второму этапу до-
доказательства теоремы 1 — к конструкции группы Г. Чтобы
пояснить идею этой конструкции, вернемся опять к примеру 3,
приведенному в связи с понятием накрытия, т. е. предположим,
что нам дана некоторая равномерно-разрывная группа Г переме-
перемещений плоскости П, рассмотрим определенную ею геометрию 2г
и соответствующее накрытие (П, 2Г, фг). В § 7 мы вводили опре-
определение эквивалентности точек плоскости и определяли точку si-
геометрии 2Г как множество А всех эквивалентных друг другу
точек. Поэтому при отображении фг все эквивалентные друг
другу точки (и только они) переходят в одну точку, т. е. фгС4) •=
= фг (В) тогда и только тогда, когда точки А ж В эквивалентны.
В общем случае, когда у нас есть произвольное накрытие, этот
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
ИЗ
пример подсказывает пойти обратным путем, взяв соотношение
ф(А) = фСВ) за определение эквивалентности:
Определение 1. Если (Si, 22) <р)—произвольное накры-
накрытие, то точки А и В геометрии 2: называются эквивалентными
относительно этого накрытия, если они переходят в одну и ту же
точку геометрии 22, т. е. если ф(А) — q>(B).
Таким образом, множество эквивалентных друг другу точек —
это в точности множество всех точек геометрии Si, переходящих
в некоторую заданную точку геометрии Б2.
Теперь вспомним, как мы определяли в § 7 эквивалентность.
Там у нас была задана группа Г, и мы называли точки А и В
плоскости П эквивалентными, если в Г содержится таксе переме-
перемещение F, что F(A) = В. Это. и теорема 1 из § 7 подсказывают
в случае любого накрытия <р: П -*¦ 2 геометрии S. плоскостью П,
когда эквивалентность у нас определена (см. предшествующее
определение), а группы Г еще нет, поступить наоборот, т. е,
положить соотношение «F{A) = В для эквивалентных точек А
и В» в основу определения группы Г:
Определение 2. Группой Г накрытия (П, 2, ф) называет-
называется множество всех перемещений F плоскости, переводящих каж-
каждую точку плоскости П в эквивалентную.
Вспоминая, что точки А и В по определению эквивалентны,
если ф(-4)=фСВ), мы можем записать это условие для переме-
перемещения F в следующем виде: q>(F(A)) = ф(/1) для любой точки А
плоскости П. Это в свою очередь означает (в силу определения
композиции отображений), что отображения q>F и ф совпадают,
т. е. наше определение можно записать еще короче: группа Г
состоит из всех перемещений F, для которых q>F = ф.
Теорема 16. Группа Г накрытия (П, 2, ф) является рав-
равномерно-разрывной группой перемещений плоскости. ,
Прежде всего оправдаем само слово «группа» в определении
множества Г. Если F и G — перемещения из Г, то (fFG = ф<? = ф,
так как ф^ = ф и фС = ф; далее ф^ = q>FF~l = <$Е = ф, так как
Ф = q>F, FF~l = Е. Поэтому Г — группа. Докажем, что она равяо-
мерно-разрывна. Предположим, что FiX)?=X для каких-то
перемещения F из Г и точки X на плоскости П. Покажем, что
тогда \F(X)X\ > г. Действительно, если предположить, что
\F(X)X\ ^ г, то точка FiX) лежит в круге К(Х, г). Но на зтом
круге накрытие ф является наложением, откуда
\XF(X)\
=0,
т. е. X = F(X). Получаем противоречие. Это доказывает, что Г —
равномерно-разрывная группа. Теорема доказана.
Нам понадобится одно, последнее свойство группы Г накры-
накрытия (П, 2, ф). Согласно определению этой группы, для любого
входящего в нее перемещения F и любой точки А плоскости П
8 в. в. Никулин, и. Р, Шафаревич
114 Ч. П. ГЕОМЕТРИИ, В НАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
точка F{A) эквивалентна точке А. Мы докажем, что так можно
получить все точки, эквивалентные А.
Отсюда будет следовать, что понятие эквивалентности, опре-
определенное в этом параграфе для накрытия ф, в точности совпадает
с эквивалентностью, определенной группой Г, как она была вве-
введена в § 7.
Теорема 1в. Пусть (П, 2, ф) — произвольное накрытие
и V — его группа. Для любых двух эквивалентных {относительно
этого накрытия) точек А и А' плоскости П существует такое
перемещение F из группы Г, что F(A) = A''.
Доказательство. Легко предложить правдоподобного кан-
кандидата на роль искомого перемещения F. Вспомним, что по оп-
определению точки А и А' эквивалентны, если фСА)=ф(А').
Обозначим точку <р (А) = ф(Л') геометрии 2 через $?. Из опреде-
определения накрытия следует, что ф определяет наложение Д круга
К(А, г) на крут K(j&, г) и наложение /» круга К(А', г) на тот же
круг. Иными словами, мы имеем две карты крута K(s?, г). По
следствию леммы 1 существует перемещение F плоскости П, пе-
переводящее одну карту в другую, т. е. такое, что /t(B) — ft(F(.B))
для точек В круга К(А, г). Это перемещение и является нашим
кандидатом; нам остается только проверить, что оно действитель-
действительно нам подходит, т. е. что F является перемещением из группы Г.
По определению группы Г это значит, что
для любой точки В плоскости П. Заметим, что из самого опреде-
определения перемещения F вытекает, что это соотношение выполняет-
выполняется, когда В принадлежит кругу К (А, г). Действительно, по опре-
определению для точек, этого круга jfilB) = (/aF)(B). Но <р в круге
К(А, г) совпадает с /i, а в К(А', г) — с /2. Заменяя Д и"/* на ф,
мы и получаем нужное нам соотношение.
Теперь мы постараемся полученное соотношение распростра-
распространить с точрк круга К(А, г) на все точки плоскости П.
Утверждение, которое нам надо доказать, можно сформулиро-
сформулировать иначе, заметив, что ф = ф/*1, очевидно, является накрытием
геометрии 2 плоскостью П (так как ф — накрытие, a F — пере-
перемещение плоскости).
Лемма 4 (о совпадении накрытий). Если два на-
накрытия ф и ф геометрии 2 плоскостью П совпадают для точек
некоторого круга плоскости, то они полностью совпадают.
Пусть В — произвольная точка плоскости П. Выберем на
отрезке [АВ] точки АЛ=А, Л4, ..., Ап-и АЛ = В так, чтобы рас-
расстояние между любыми соседними точками А{ и Ai+i было мень-
меньше г. Каждая точка А{ является центром круга К(Аг, г). Эти
крути расположены так плотно, что центр А{+1 следующего
круга KLAt+u r) содержится в предшествующем круге К(А{, г)
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
115
(рис. 10.10). Нам известно, что отображения ф и ф совпадают для
точек самого первого круга К(А0, г). Отсюда мы выведем, что
они совпадают для точек следующего круга К(.Аи г), потом следу-
следующего за ним К(.А2, г) и т. д. пока не доберемся до круга К(Ап, г).
Когда мы докажем, что отображения ф и г|з совпадают для точек
Рис. 10.10.
этого крута, то отсюда сделаем вывод, что они совпадают, будучи
применимыми к центру этого круга. Но Ап = В, и отсюда мы
получим, что ф(В) =фСВ). Так как В — любая точка плоскости,
то это и значит, что накрытия ф и ф совпадают.
Ясно, что достаточно разобрать переход от одного круга к со-
соседнему, например от К{Аа, г) к К(Аи г). Нам дано, что отобра-
отображения ф и г|) совпадают на круге К(АВ, г). Точку <р(Ав) (по
доказанному совпадающую с точкой ty(AB)) обозначим s&t.
Отображение ф является наложением
круга К(А0, г) на крут К(зФй, г) гео-
геометрии S, а ф совпадает с ф на круге
К(Ай, г). В частности, фЫ-i) =r|)C4i)
(вспомним, что точки Af расположены
столь часто, что А^ содержится в кру-
круге „К(А0, г)). Точку ф(-ДЛ. (совпадаю-
(совпадающую с rfOli)) обозначим s&i. Накры-
Накрытие ф определяет наложение круга
K(Ai, г) на крут Kis&u r) (по опреде-
определению накрытия). То же утверждение
верно и для накрытия ф. Таким обра-
образом, ф и я|з определяют два наложения
одного и того же крута К(.Аи г) на
один и тот же круг К(*$?,., г). Кроме
того, они совпадают по уже доказанно-
доказанному на той части круга К(.Аи г), кото-
которая у него общая с кругом К(АВ, г)
(рис. 10.11). Докажем, что отсюда следует совпадение ф и ^ на
всем круге К(Аи г). Действительно, так как геометрия Б в до-
достаточно малых частях совпадает с плоскостью, то мы можем
наложить круг K(Alt г) на некоторый круг К(А, г) плоскости П.
Тогда наша задача превратится в следующую задачу планимет-
планиметрии. На плоскости П даны два круга K(Ai, г) и К(А, г) и два
8*
Рис. 10.11.
446 ч- П- ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
отображения одного круга на другой, являющиеся наложениями
и совпадающие в заштрихованной области первого круга
(рис. 10.12). Надо доказать, что эти отображения совпадают на
обоих кругах. Это уже очень просто.
Согласно лемме 1, каждое из на-
наших наложений определяется неко-
некоторым перемещением плоскости П.
Обозначим эти перемещения через
Gt и G2. Они совмещают круг
к(Аиг) к(а,г) К(Аи г) с кругом К(Л, г) и совпа-
совпадают в заштрихованной области пер-
Рис. 10.12. вогО круга. Очевидно, что эта об-
область не лежит на одной прямой.
По лемме 1 перемещение Gt совпадает с Оа, что нам и было
нужно. Это оканчивает доказательство теоремы 1в.
Упражнения
1. Обобщить лемму 4 на случай, когда вместо плоскости П берется про-
произвольная геометрия, в малом совпадающая с плоскостью.
2. Привести пример геометрии, в малом совпадающей с плоскостью, для
которой утверждение леммы 1 не имеет места.
3. Привести пример накрытия (Si, 22, ф) геометрий, в малом совпада-
совпадающих с плоскостью, для которого утверждение теоремы 1в неверно.
Тем не менее для некоторых таких накрытий оно имеет место (см. упр. 4
п. 1 § 13).
5. Завершение доказательства теоремы 1. Наконец, мы можем
перейти непосредственно к доказательству того утвержде-
утверждения, которое сформулировано в теореме 1. Пусть Б — произволь-
произвольная геометрия, в достаточно малых частях совпадающая с плос-
плоскостью. ] _[ _.'_, ."' .'...',".. . ~~ .'"."" '."."' /.
Построим накрытие (П," S, ср) геометрии S плоскостью П, су-
существование которого устанавливает теорема 1а. Пользуясь
определением 1, данным в п. 4, введем на плоскости П понятие
эквивалентности точек (относительно накрытия ф). Пользуясь
определением 2, зададим группу Г (исходя из построенного уже
понятия эквивалентности). Согласно теореме 16 Г является рав-
равномерно-разрывной группой перемещений плоскости. Построим,
как это делалось в § 7, геометрию Sr, соответствующую группе
Г. Теперь мы докажем, что наша исходная геометрия Б наклады-
накладывается на эту геометрию Бг. Тем самым теорема 1 будет доказана.
Для этого определим сначала отображение множества точек
геометрии S во множество точек геометрии Sr.
Возьмем любую точку s? геометрии S. Обозначим через А
множество всех точек плоскости П, переходящих в точку st при
накрытии ф (множество А обычно называют прообразом точки
$&). Согласно теореме 1в, А является в точности множеством
эквивалентных друг другу точек плоскости П (относительно Г).
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
117
Именно такое множество и задает точку геометрии-Sr. Обозначим
через S&' точку геометрии Бг, задаваемую множеством А.
Обозначим через ф: Б -*¦ Бг построенное отображение геомет-
геометрии Б в геометрию 2г (оно задается через цепочку s& -*• А -*¦ $?').
Очевидно, единственное, что нам осталось проверить, чтобы
закончить доказательство теоремы 1, это утверждение:
отображение if является наложением геометрии 2 на геомет-
геометрию 2т.
Заметим прежде всего, что определение отображения ф
можно переформулировать так: для точки S4- геометрии 2 выбе-
выберем любую точку А плоскости П, переходящую в нее при накры-
накрытии ф, и обозначим через S4-' точку, в которую переходит А при
накрытии фг: П -*- Sr (ср. пример 3 после определения накрытия).
Тогда ввиду теоремы 1в эта точка s&' не зависит от того, какую
точку А на плоскости П мы выбрали (лишь бы было ф(А) =«я?'
и фгШ — $&' (рис. 10.13)).
Проверим, что ij) отображает множество точек геометрии S на
все множество точек геометрии Sr. Это совсем очевидно: если
зФ' — любая точка геомет-
геометрии Sr, А — точка плоско-
плоскости П, переходящая в s?'
при накрытии <рг: П-*-Бг, а
^ = ф(А>, то по предыду-
предыдущему i|)(^)=«s^'. Но, бо-
более того, ij) — взаимно од-
однозначное отображение
множества точек геомет-
геометрии 2 во множество то-
точек геометрии Бг. Это
означает, что две точки
s& и 38 геометрии S пере-
переходят в одну и ту же точ-
точку геометрии Sr (т. е.
ф(^) = я|з(^)) только тог-
да, когда «я? = Jf. И это
устанавливается очень просто: пусть ,5# = фС4), & — фШ), где
А и В — точки плоскости П. По определению, ф(.й?) = уШ) озна-
означает, что точки А и В переходят в одну и ту же точку геомет-
геометрии Бг при накрытии П -*¦ Sr. Это может быть (по определению
геометрии Sr) только тогда, когда А и В эквивалентны относи-
относительно группы Г. Но тогда, по определению группы накрытия
(и ввиду того, что Г — группа накрытия (П, Б, ф)), имеем
ф(^) =ф(Я), т. е. st=&.
Столь же просто устанавливается еще одно свойство: ф являет-
является накрытием геометрии Sr геометрии S. Для доказательства
выберем точки A, $i>' и s?, как показано на рис. 10.13, и вспом-
вспомним, что для некоторого положительного числа г отображения
Рис. 10.13.
118
Ч. II. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
К(А, г) -*- K(si, г) и К(А, r)-*-K(si', r) являлись наложениями
(так как П-+-2 и П-*-2г — накрытия). Если строить отображе-
отображение 1|) для точек Ш круга K(s?, г), выбирая точку В, для которой
q>B?) — 38, лежащей в круге К(А, г), то мы сразу и получим, что
отображение nj) определяет наложение круга K(.s?, r) на круг
K(sir, г).
Итак, мы имеем следующую ситуацию: есть две геометрии 2
и 2' = 2Г, в малом совпадающие с плоскостью, и отображение ф
геометрии 2 в 2', которое взаимно однозначно и является на-
накрытием.
Докажем, что в этих условиях ф всегда является наложением
геометрии 2 на геометрию 2' и, более того, что это верно для!
любых геометрий, не обязательно в малом совпадающих с пло-
плоскостью. Это показывает, что неслучайно во всех наших примерах
накрытий, отличных от наложений, накрытия не были взаимно
однозначными отображениями (см. примеры п. 2 и упражнения
к нему).
Лемма 5. Пусть if — накрытие геометрией 2 геометрии 2',
которое является взаимно однозначным отображением; тогда if
является наложением геометрий.
Доказательство. Нам нужно доказать, что для точек si
и 38 геометрии 2 выполняется равенство \si38\ = |ifGs*)$(&)|.
Для этого достаточно доказать неравенство
B)
Действительно, раз отображение г|> взаимно однозначно, то оно
имеет обратное отображение ijr1, для которого ifCs^') = si-, если
tyisi) — si'. Очевидно, что это отображение взаимно однозначно.
Кроме того, оно тоже является накрытием геометрии 2 геомет-
геометрией 2'. Действительно, если si'— точка геометрии 2' и si —
= ty~i(si') (т. е. «s?'= if(.я?)), то отображение if является нало-
наложением сферической окрестности K{sf-, r) на сферическую ок-
окрестность K(.s?', г), а это и значит, что отображение ф является
наложением сферической окрестности K(si', r) на сферическую
окрестность Klsi, г). Таким образом, геометрии 2 и 2' играют
симметричные роли.
Если неравенство B) доказано для всех накрытий B, 2', if),
обладающих указанными свойствами, то оно верно и для накры-
накрытия B', 2, ф-1), откуда сразу следует неравенство, обратное B),
т. е. нужное нам равенство.
Докажем неравенство B). Пусть г — то число, кото-
которое входит в определение накрытия if, и р* — любое положитель-
положительное число. Согласно условию г) определения геометрии, сущест-
существуют такие точки siu ..., sin, что sii = si, sin — 3S,
<г и
Р.
§ 10. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ
Согласно выбору числа г имеем
|j**s*<+il =
так что
119
i I = 21 * (j*0
и, как мы видели в § 6,
(это общее свойство ломаной f(), j2,
Соединяя это неравенство с C), получим, что
Так как это неравенство верно для любого (J > 0, то из него сле-
следует B). Тем самым завершено доказательство теоремы 1.
Упражнения
1. Продумайте доказательство теоремы 1 для случая геометрий, в ма-
лом совпадающих с прямой. Какие здесь возникают упрощения? Какие гео-
геометрии в результате получаются?
2. Попытайтесь перенести приведенное нами доказательство теоремы 1
на случай геометрий, в налои совпадающих со сферической. (Указание:
трудности возникают при доказательстве теоремы 1а, поскольку лучи на
сфере, выходящие из одной точки, пересекаются в противоположной.)
ЧАСТЬ III
ОБОБЩЕНИЯ Ж ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 11. Геометрии, в малом совпадающие с пространством
1. Перемещения пространства. В предыдущих главах мы пере-
перечислили все геометрии, в своих достаточно малых частях совпа-
совпадающие с плоскостью, иначе говоря, такие миры, в малых частях
которых выполнены все свойства обычной планиметрии. Житель
такого мира, не удаляющийся от некоторой его точки (например,
своего дома) на расстояние, большее г, не сможет найти в этом
мире противоречий с обычной планиметрией. Но реальное прост-
пространство, в котором мы живем, имеет три измерения. Поэтому,
конечно, более интересно описание таких миров или геометрий,
в малых частях которых выполнены все свойства стереометрии,
а описание геометрий, в своих достаточно малых частях совпадаю-
совпадающих с плоскостью, можно в связи с этим рассматривать лишь как
модель этой более интересной задачи. Описанием геометрий,
в малом совпадающих с пространством, и некоторых их свойств
мы и займемся в этом параграфе.
Прежде всего, основные теоремы — теорема 2 из § 7 и теоре-
теорема 1 из § 10 — без каких-либо изменений в их доказательстве
переносятся на геометрии, в малом совпадающие с простран-
пространством, если заменить плоскость на пространство, а круг — на
шар. Другими словами, аналогично описанию геометрий, в малом
совпадающих с плоскостью, описание геометрий, в малом совпа-
совпадающих с пространством, эквивалентно описанию равномерно-
разрывных групп перемещений пространства. Эти-то группы и
удается перечислить аналогично проведенному нами в § 8 пере-
перечислению равномерно-разрывных групп перемещений плоскости.
Рассуждения во многом похожи на те, с которыми мы познако-
познакомились в § 8. Но для пространства число возможных типов
заметно больше и рассуждения оказываются значительно длиннее
и сложнее. Поэтому мы ограничимся тем, что приведем полный
список таких групп (их оказывается 18 типов), сопровождая этот
список некоторыми комментариями. Кроме того, аналогично слу-
случаю двух измерений мы выясним, какие из получающихся в ре-
результате 18-ти типов геометрий, в малом совпадающих с прост-
пространством, ограничены, какие из них «ориентируемы». Последнее
свойство обобщает на случай трех измерений встречавшееся нам
в §§4, 9 свойство геометрии, в малом совпадающей с плоско-
плоскостью, быть геометрией, в которой «право» и «лево» различимы.
§11. ГЕОМЕТРИИ. В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 121
Начнем с примеров перемещений пространства — винтового
перемещения, скользящей симметрии и поворотной симметрии,
заменяющих параллельный перенос, поворот и скользящую сим-
симметрию на плоскости. Они получаются как композиции известных:
из школьного курса перемещений пространства: параллельного
переноса Тл на вектор а, поворота /?г>Ф вокруг оси I па угол ф,
симметрии Sa относительно плоскости П.
Винтовое перемещение г??,ф с осью I, углом ер и вектором а
является, по определению, композицией
D» Т Л
поворота i?i,, на угол q> вокруг оси I и переноса Тл на вектор а,
параллельный I. Оно характеризуется тем, что прямые, парал-
параллельные прямой I, поворачиваются вокруг прямой I на угол ср,
а плоскости, перпендикулярные I, сдви-
сдвигаются на вектор а (рис. 11.1).
Отметим, что параллельный перенос
Т&— частный случай винтового переме-
перемещения, когда угол поворота q> равен ну-
нулю, поворот i?(> ф вокруг оси I — частный
случай винтового перемещения, когда век-
вектор а равен 0.
Скользящая симметрия ?п с плоско-
плоскостью П и вектором а является, по опре-
определению, композицией
Рис. 11.1.
симметрии относительно плоскости П и параллельного переноса на
вектор а, параллельный плоскости П. Она характеризуется тем,
что прямые, перпендикулярные П, сдвигаются на один и тот же
вектор а, а плоскости, параллельные плоскости П, переходят в
плоскости, симметричные относительно плоскости П (рис. 11.2).
Отметим, что симметрия Sa относительно плоскости П — част-
частный случай скользящей симметрии, когда вектор а равен 0.
Поворотная симметрия 5г,ф с плоскостью П, осью I, перпен-
перпендикулярной плоскости П, и углом поворота q> является, по опре-
определению, композицией
симметрии относительно плоскости П и поворота на угол q> вок-
вокруг оси I. Она характеризуется тем, что прямые, перпендикуляр-
перпендикулярные П, поворачиваются вокруг прямой I на угол q>, а плоскости,
параллельные плоскости П, переходят в плоскости, симметричные
относительно плоскости П (рис. 11.3).
122
Ч. Ш. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Отметим, что важным частным случаем поворотной симметрии
является центральная симметрия относительно точки: поворотная
симметрия Sf,n с утлом поворота я является центральной сим-
симметрией относительно точки О пересечения П с I.
Рис. 11.2.
Рис. 11.3.
Обратим внимание читателя на одно общее свойство этих ви-
видов перемещений. С каждым из них связаны в пространстве (см.
определения) связка параллельных прямых и перпендикулярный
ей пучок параллельных плоскостей*), которые переходят в себя
при этом перемещении. В наших обозначениях -й?,ф, 5а > Si.v
нижние индексы показывают, что происходит в связке параллель-
параллельных прямых, а верхний — в пучке параллельных плоскостей. Так
как каждая точка А пространства является пересечением ровно
одной прямой т связки и равно одной плоскости М пучка, то тем
самым образом точки А является точка пересечения образов пря-
прямой т и "плоскости М, тГ е. перемещение пространства полностью
определяется.
Аналогично теореме Шаля на плоскости (см. § о), но сложнее
доказывается
Теорема 1 (теорема Шаля в пространстве). Вся-
Всякое перемещение пространства является либо винтовым переме-
перемещением, либо скользящей симметрией, либо поворотной сим-
симметрией.
Доказательство можно прочитать в кнш ах: Адамарж.
Элементарная геометрия, ч. 2 (стереометрия).—М.: Учпедгиз,
1958; Ко кете р Г. С. М. Введение в геометрию.—М.: Наука,
1966; Моденов П. С, Пархоменко А. С. Геометрические
преобразования.— М.: Изд-во МГУ, 1961.
•) Напомним, что в пространстве связкой параллельных прямых н пуч-
пучком параллельных плоскостей называются соответственно множество всех
прямых, параллельных заданной прямой, и множество всех плоскостей,
параллельных заданной плоскости.
§ 11. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ {23
Можно доказать эту теорему самостоятельно, пользуясь ука-
указаниями упр. 1: основная трудность состоит в том, чтобы доказать,
что всякое перемещение пространства переводит в себя некоторую
связку параллельных прямых; тогда перпендикулярный ей пучок
параллельных плоскостей, очевидно, также переходит в себя.
Как и в случае плоскости, не каждое перемещение может
встретиться в равномерно-разрывной группе перемещений прост-
пространства. Действительно, предложение 1 из § 8, которое, конечно,
имеет место и в пространстве, запрещает нетождественные пере-
перемещения, имеющие неподвижную точку. Поэтому в равномерно-
разрывной группе перемещений пространства не могут содержать-
содержаться повороты i?(,, вокруг оси I на ненулевой угол ер, симметрии Sn
и все поворотные симметрии 5^ф, так как эти перемещения имеют
неподвижными точками соответствено точки оси I, плоскости П
и точку пересечения прямой I и плоскости П. Таким образом,
нетождественные перемещения равномерно-разрывной группы пе-
перемещений пространства могут быть только винтовыми перемеще-
перемещениями Щ<я> и скользящими симметриями Sa, причем в каждом
из этих случаев вектор а, определяющий параллельный перенос,
не равен 0.
Упражнения
1. а) Сформулировать и доказать пространственные аналоги леммы 3
из § 8 и леммы 1 из § 10. б) Доказать, что перемещения сферической гео-
геометрии получаются из перемещений пространства, переводящих центр сфе-
сферы в себя. Сформулировать и доказать аналог леммы 3 из § 8 для перемеще-
перемещений сферической геометрии, в) Сформулировать и доказать аналоги лемм 1
н 2 из § 8 и теорему Шаля для сферической геометрии. (У к а з а н н е: смот-
смотрите упр. 3 п. 1 § 8.) г) Доказать, что всякое перемещение пространства пе-
переводит в себя некоторую связку параллельных прямых. (Указание: за-
замените перемещением пространства перемещением TP(o)oF, оставляющим
на месте фиксированную точку 0, здесь Тр(а)о—параллельный перенос
на вектор F(O)O, ж воспользуйтесь задачами б) и в).) д) Доказать теорему
Шаля в пространстве. (У к а з а н н е: заметьте, что связка параллельных
прямых н пучок параллельных плоскостей с обычным образом определен-
определенным расстоянием между прямыми и плоскостями образуют геометрии, пер-
первая из которых является плоскостью, вторая — прямой; воспользуйтесь тео-
теоремой Шаля на плоскости и прямой.)
2. Проверить, что композиция TbRf п винтового перемещения на угол
л и параллельного переноса на вектор Ь, перпендикулярный оси I, являет-
является винтовым перемещением Щ/<я с осью *' —^ь/г^)» параллельной I,
ж теми же самыми углом л и вектором а.
3. Проверить, что композиция TbS™ скользящей симметрии о плос-
плоскостью П и параллельного переноса на вектор Ь, перпендикулярный П, яв-
является скользящей симметрией S^' с плоскостью П' = Тъ^ (П), парал-
параллельной П, и тем же самым вектором а.
2. Равномерно-разрывные группы в пространстве: общие свой-
свойства. Как и в случае групп на плоскости, основой классификации
равномерно-разрывных групп перемещений пространства является
124
Ч. Ш. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖКНИЯ
анализ содержащихся в этих группах параллельных переносов.
Очевидно, что если Г — равномерно-разрывная группа, то содер-
содержащиеся в ней параллельные переносы тоже образуют равномер-
равномерно-разрывную группу Г'. Как и в случае плоскости, нетрудно ис-
исследовать, какие типы групп I' нам могут встретиться. Оказывав
ется, таких типов может быть четыре:
Tun
Общий вив параллельных переносов из Г'
I
II
III
IV
То
Тпа, п — любое целое число, а — некоторый вектор (а Ф 0), опре-
определяющий группу Г*
тжп — любые целые числа, а и Ь — некоторые некол.
^тпа+пь» тжп любые ц ,
линеарные векторы, определяющие группу Г'
Га+тЬ+П0
1,тжп~ любые целые числа, а, Ь и с — некоторые
Г'
ГГа+тЬ+П0, 1,тжп ц ,
некомпланарные векторы, определяющие группу Г'
Если отложить от некоторой точки концы всех таких векторов
х, что параллельный перенос Тх содержится в группе Г', то мы
получим: в случае I — одну точку; в случае II — такой ряд точек
на прямой, что расстояние между двумя соседними точками оди-
одинаково; в случае III — плоскую решетку; множество точек, полу-
получающееся в случае IV, называется пространственной решеткой.
Пространственная решетка получается из плоской решетки, обра-
образованной концами векторов Za + тпЪ (эта решетка лежит в плос-
плоскости П, содержащей векторы а и.Ы, параллельными переносами
на векторы с, 2с, Зс, ...,¦— с, — 2с, —Зс, ... Если А — параллеле-
параллелепипед ABCDA'B'C'D', ребрами которого,
исходящими из точки А, являются векто-
векторы а, Ь и с (рис. 11.4), то все простран-
пространство заполняется параллелепипедами, рав-
равными и параллельно расположенными
параллелепипеду Д, и примыкающими
друг к другу гранями.
Легко проверить, что типы I—IV
групп действительно являются равномер-
равномерно-разрывными. Например, в случае типа
Рис. 11.4.
П\ a—tit» л wm hi. 1ЩЦЩ, г - - п . - jj. _
IV точки Tj[P пробегают пространственную решетку, одной из
точек которой является точка. Р. Если х = Za + mb + пс, п?*0,
то точка Tfc+mbiP) лежит в плоскости П, проходящей через век-
векторы аи Ь, отложенные от точки Р; точка же Тх(Р) находится
в плоскости П', параллельной П и полученной из нее параллель-
параллельным переносом на вектор гее. Расстояние между параллельными
плоскостями П и П' не меньше, чем расстояние между плоско*
§ 11. ГЕОМЕТРИИ, Б МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 125
стыо П и плоскостью Hi, получающейся из нее параллельным
переносом на вектор с (рис. 11.5). Если расстояние между пло-
плоскостями П и Hi равно d, то | РТХ (Р) | ^ d. Если же п =» 0, то
точка Тх (Р) содержится в плоскости
7 П, и мы получаем аналогичную
плоскую картину, которую можно
разобрать совершенно аналогично
(рис. 11.6).
пс
/
А
/л f
/
А
А*
Рис.
А/
/
А
11.5.
/ fnb
/Ь а
Рис. 11.6.
Чтобы связать группу Г', состоящую из одних параллельных
переносов, со всей содержащей ее группой Г, нужно привлечь
еще одно соображение.
По определению, перемещение F действует на точки прост-
пространства, переводд их в какие-то другие точки. Заметим, что мож-
можно распространить действие перемещения и на векторы, применяя
его к началу и концу вектора, т. е., если х = АВ, то положим, по
определению, Fix) =F(A)F(B). Надо, однако, помнить, что разные
пары точек А, В и С, 2? могут определять один и тот же вектор:
AB = CD, если расстояния \АВ\ и \CD\ равны, а лучи АВ и CD
сонапразлены. Поэтому надо проверить, что полученные по наше-
нашему правилу векторы F(A)F(B) и F(C)F(D) будут равны. Но это
сразу вытекает из тою, что при перемещения расстояния сохраня-
сохраняются, а сонаправленные лучи переходят в сонаправленные.
Предшествующие замечания нужны были нам для того, чтобы
сформулировать важное свойство параллельных переносов. Чита-
Читатель, вероятно, уже привык к тому, что перемещения, вообще го->
воря, не перестановочны: FG Ф GF. Оказывается, что параллель-
параллельный перенос и любое другое перемещение можно «переставлять
с поправкой». Точнее говоря, для параллельного переноса Тх и
перемещения F имеет место соотношение
A)
Справедливость его вытекает непосредственно из определения
126
Ч. Ш. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Fix) и очевидна из чертежа (рис. 11.7), который показывает, что
точка F (Тх (Р)) получается из точки F(P) применением парал-
параллельного переноса У*чХ)» а это и утверждает соотношение A).
Из соотношения A) следует, что Tj?(X) == FTXF~X, и так как
по условию F, Тх и F~* содержатся в группе Г, то и Гу<Х) содер-
содержится в Г, а будучи параллельным переносом, содержится и в
группе Г'. Иными словами, совокупность тех векторов х, пере-
переносы Тх на которые содержатся в группе Г', должна переходить
в себя при любом перемещении F из группы Г.
Рис. 11.7.
Рис. 11.8.
Это можно выразить иначе: отложим все такие векторы от
некоторой точки О пространства (как мы видели, их концы обра-
образуют некоторую решетку Q). Если А — точка из Q, то вектор ОА
содержится в Г'. Значит, как мы видели, I' содержит и вектор
FiOA), где F — любое перемещение из группы Г. Вектор FiOA)
отложим опять от точки О — для этого яам нужно сдвинуть ei о
конец FiA) навектор\'FiON>'(рис.: 11.8"). Он попадет? в некоторую
точку А'. Доказанное нами утверждение означает, что А' должна
опять содержаться в решетке Q. Таким образом, если мы приме-
применим к решетке й любое перемещение F из группы Г, а потом
сдвинем ее параллельно на вектор FiO)O, то О, совместится с со-
собой. Иными словами, под действием перемещения Tri0)oF ¦) ре-
решетка Q перейдет в себя. При этом перемещение TriOyoF, очевид-
очевидно, сохраняет точку О. Такое перемещение, совмещающее решет-
решетку с собой и сохраняющее одну ее точку, называется симметрией
решетки. Например, решетка на плоскости, составленная из
равных квадратов, имеет в качестве симметрии повороты плоско-
плоскости на углы 0, у, я, — вокруг некоторой точки решетки и сим-
симметрии относительно осей lu l2, U, h (рис. 11.9).
*) Здесь и далее ТАв обозначает параллельный перенос на вектор АВ.
§ 11. ГЕОМЕТРИИ, В МАДОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 127
Таким образом, мы можем сказать, что янание группы V уже
сильно ограничивает возможности, существующие для всей груп-
группы Г: ее перемещения должны составляться из симметрии решет-
решетки й, соответствующей группе Г', и параллельных переносов.
С этим соображением мы уже встречались в § 8 при анализе
равномерно-разрывных групп типа
III б на плоскости. В этом случае ч }t yis
группа Г' состоит из параллельных
переносов на векторы вида та + геЬ
и соответствующая решетка Q полу-
получается откладыванием этих векторов
от некоторой точки О. Перемещения
из группы Г, не входящие в Г', мо-
могут быть только скользящими сим-
метриями, т. е. составлены из сим-
симметрии и параллельного переноса.
Но произвольная решетка Й не бу-
будет, вообще говоря, совмещаться с
собой никакой симметрией. Чтобы
такая симметрия существовала, мы
выбираем решетку й прямоугольной, т. е. векторы а и Ь перпен-
перпендикулярны друг другу. Тогда, например, симметрия S относи-
относительно прямой, проходящей через вектор а, будет совмещать
решетку Q с собой. Мы подбираем скользящую симметрию
F = Tz/zS, составленную из этой симметрии и параллельного пе-
переноса Уа/2» так, чтобы ее квадрат (являющийся параллельным
переносом) содержался в группе Г' (в данном случае совпадал
с Та). Так мы приходим к группе типа III б, описанной в § 8.
Эти соображения были, изложены,_чтобы приведенное дальше
описание-равномерно-разрывных групп не казалось слишком ис-
искусственным. Все группы мы разделим на четыре типа в соответ-
соответствии со строением группы Г', состоящей из параллельных пере-
переносов, входящих в Г (их мы уже выше разделили на типы I. II,
III и IV)..
Рнс. 11.9.
Тип группы
Г
I
II
III
IV
Г
г
Г'
Г'
Группа Г
=¦ IE]
Ф [Е], Г' принадлежит к типу I или II
принадлежит к талу III
принадлежит к типу IV
Эта классификация оправдывается, в частности, тем, что груп-
группам типа IV и только им соответствуют ограниченные геометрии.
128
Ч. Ш. OBOE
Ш И ПРИЛОЖЕНИЯ
Легко убедиться, что геометрии, соответствующие группам типа
IV, ограничены. Действительно, если в группе содержатся парал-
параллельные переносы Тл, Т\, и То на три некомпланарных вектора
1Ть '
а, Ь и с, то в ней содержатся и любые произведения Т1аТь
где I, тп и п — целые числа, т. е. параллельные переносы Tv на
векторы v вида la + mh + пс. Пусть Р — любая точка пространст-
пространства и h — вектор ОР. Разложим его по трем некомпланарным век-
векторам а, Ь и с: h — х& + уЪ + ze, где х, у и z — вещественные чис-
числа. Эти числа мы можем представить в виде х = I + х\ у —
= m + у', z = n + z', где I, тп и п — целые числа и 0 ^ х', у', z' <
< 1. Отсюда
bb h' B)
где h' = х'& + у'Ъ + z'c. Если начало вектора h' находится в точке
О, го его конечная точка Р содержится в параллелепипеде А =
= ABCDA'B'C'D' (см. рис. 11.4), у которого векторы а, Ь и с яв-
являются ребрами, выходящими из А: & = АВ, b — AD, с —А А'.
Так как параллельный перенос на вектор l& + тпЪ + пс, как мы
видели, содержится в нашей группе, то равенства B) пока-
показывают, что любая точка Р пространства эквивалентна (отно-
(относительно нашей группы) некоторой точке Р', содержащейся в па-
параллелепипеде Л. Отсюда следует, что расстояние между двумя
точками геометрии S, соответствующей нашей группе, не превос-
превосходит расстояния между двумя точками параллелепипеда Д, т. е.
некоторой фиксированной величины (длины наибольшей диагона-
диагонали этого параллелепипеда).
Наоборот, геометрии, соответствующие группам I — III типов,
неограничены. Это можно усмотреть из списка этих групп (таб-
(таблица I ниже), проверив для трупп каждого типа в "отдельноста:.
К рассмотрению групп типа Г—III мы сейчас и обратимся.
Упражнения
1. Пусть пространственная решетка Q настолько общая, что не имеет
других Симметрии, кроме центральных симметрии относительно своих то-
точек. Доказать, что если для равномерно-разрывной группы Г содержащаяся
в ней группа параллельных переносов изображается такой решеткой й, то
Г = Г'. (Указание: доказать, что перемещение пространства, которое
является композицией центральной симметрии относительно некоторой точ-
точки О и параллельного переноса на вектор а, имеет неподвижную точку.)
2. Доказать, что существуют две равномерно-разрывные группы пере-
перемещений сферической геометрии: состоящая из одного тождественного пе-
перемещения н состоящая из двух перемещений — тождественного н пере-
переводящего точку сферы в диаметрально противоположную. (Указание:
см. упр. 1 п. 1.)
3. Равномерно-разрывные группы в пространстве: перечисле-
перечисление. Теперь мы перейдем к описанию групп Г типов I, II и III.
При этом мы должны исходить из решетки Q или состоящей толь-
только из точки О, или расположенной на прямой или на плоскости,
§ 11. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 129
а потом дополнять соответствующую ей группу Г' перемещения-
перемещениями. Эти перемещения надо брать в виде T^F, где F — некоторая
симметрия решетки Q, а Тл — параллельный перенос. Выбор па-
параллельных переносов Тл определяется тем, что, во-первых, мы
должны получить равномерно-разрывную группу, а во-вторых, в
этой группе не должно оказаться других параллельных перено-
переносов, кроме содержащихся в группе Г'. Как это делается, мы пока-
покажем на конкретном примере.
На плоскости Оху рассмотрим вектор а, идущий по оси Ох,
и вектор Ь — по оси Оу. Пусть параллельные переносы на векто-
векторы вида та. + пЬ, где т и п — любые целые числа, образуют груп-
группу Г'. Так как соответствующая решетка Q прямоугольная, то
она совмещается с собой симметрией относительно оси Ох. Эта
симметрия плоскости, в свою очередь, получается, если во всем
пространстве произвести поворот на угол я вокруг оси Ох. Сое-
Соединив этот поворот с параллельным переносом на вектор а/2, мы
получим перемещение В, — Rf,% (Z — ось Ох), причем
i?2 = ?a, C)
т. е. R2 содержится в группе Г'.
Кроме того, тождественное преобразование плоскости Оху в
себя (и, значит, тождественная симметрия решетки Q) получится,
если произвести отражение (симметрию) пространства относитель-
относительно плоскости Оху. Соединив это отражение с параллельным пере-
переносом на вектор Ь/2, мы получим скользящую симметрию S —
= S?/2(n— плоскость Оху), причем
S2 = Тъ, D)
т. е. S* содержится в группе Г'. Положим Г = [R, S1 *) и покажем
на этом примере, как проверить, что Г — равномерно-разрывная-•
группа и что соответствующая ей геометрия неограничена.
Прежде всего, поскольку R* = Тл и S2 = Тъ содержатся в
группе Г', то в ней содержится и вся группа Г' = [Га, Гь]. На-
Напомним, что как перемещение R, так и S можно «переставлять с
поправкой» с параллельными переносами из группы Г'. В нашем
елучае соотношение A) сводится к соотношениям
E)
F)
где 0 — зеркальное отражение (осевая симметрия) плоскости Оху
относительно оси Ох. Наконец, читатель легко проверит, что R и
S можно «переставлять с поправкой» и между собой, а именно,
имеет место формула
SR = RST-_b G)
*) Напомним, что [Л, S] — группа, порожденная перемещениями Я
и S.
9 В. В. Никулин, И. Р. Шафаревич
130
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
(например, можно посмотреть, что происходит с координатами
(х, у, z) призвольной точки при преобразованиях, стоящих слева
и справа в G)).В результате, любое произведение элементов R и
S в любом порядке, пользуясь «правилами перестановки» E), F)
и G), можно преобразовать, передвигая R и S влево, причем R
будет левее S. При этом, если у нас встретится Я2 или 5*, надо
заменить их согласно формулам C) и D). Таким образом, любое
подобное произведение (т. е. любой элемент из группы Г) запи-
запишется в виде Ть или RTn или STn или RSTb, где h — неко-
некоторый вектор из Q. .. . ., ...
Например, произведение »г•-""лИ". + ;=. . >>
*-;.-• SHS-lR-lSR "' ""' ¦¦*'¦':
мы можем преобразовать в произведение
(так как согласно формулам C) и D) имеем Д = ДГ-а и S~* =*
= 5Т_Ь). Далее, используя формулу G), это произведение можно
записать в виде
Отсюда, используя формулы F) и D), получаем
иди
Теперь, используя формулы E) и C), представим его в виде
или
TbSR,
что, согласно E) и F), преобразуется в
наконец, по формуле G) получаем
Теперь легко устанавливаются нужные свойства группы Г.
Докажем, соотношение \AG(.A)\^r>0 при G^E, из которого
следует, что группа Г равномерно-разрывна. Пусть, например,
перемещение G из группы Г записывается в виде Я2*ь, где h =
-а та+ пЪ, тогда первая координата х' точки GLA) получается
из первой координаты х точки А прибавлением Bт + 1)а, где
а — длина вектора а/2. Поэтому \х' — х\ "> а, а значит, \AG{A) I >
а. Аналогично рассматриваются случаи, когда G имеет вид STh»
ЗТ или 2*h.
I
§ 11. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 131
Проверим, что получающаяся us группы Г геометрия 2 неогра-
ничена. Нам надо найти точки sf-l и st-г этой геометрии со сколь
угодно большим расстоянием, например, с \^^эФг\ > N. Для этого
надо в пространстве найти такие точки А± и А2, что все расстоя-
Таблица 1
Равномерно-разрывные группы перемещений пространства типов 1,'П н Ш
I
III
112
ПИ
III 2
III 3
III 4
III 5
0
0
/ ~±~* /
'|
U м,
\s—. a 1
/ 1/
/ ^ /
./• •/ ^ v
Г = [Д*1ф ] а Ф 0
г-М -
Г = [Т , Ть] а X b
Г "^ 1 Jtl т _- • Sil 1 А 1 П
L (,Я D J -'"
132
Ч. П1. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
кия от А1 до точек G(A2), „эквивалентных Аг, больше N, где G
принадлежит Г. Заметим, что при всех преобразованиях G нашей
группы координата z точки G(AZ) или совпадает с координатой
z точки Аг, или отличается от нее знаком. Поэтому, если коорди-
координаты Zi и z2 точек Ах и Аг положительны и |z± — гг\ >N, то это
верно также и для точек Ах и G142), а поэтому \AiG(A2)\>N.
Аналогично разобранному примеру рассматриваются и все ос-
остальные типы групп таблицы 1. Разобранный выше пример дает
тип III 5.
Упражнение
[ 1. Почему в таблице 1 нет группы .;
1'
Перейдем теперь к группам типа IV. К типу IV1 относится
уже встречавшаяся группа, состоящая из одних параллельных пе-
переносов на векторы Тх, х — Za + тпЬ + пе, где I, тп ж п — любые це-
целые числа, а а, Ь и с — три некомпланарных вектора.
Большая часть оставшихся групп может быть получена из
симметрии плоских решеток, если только их использовать несколь-
несколько иначе, чем мы делали раньше, но сначала следует описать все
симметрии плоских решеток. Оказывается, можно дать их полный
перечень:
A)
B)
C)
D)
E)
Тип симметрии
Тождественная
Поворот на угол я вокруг точки
решетки
я Зп
Поворот на утол-тги на угол —«j-
л 2л 4л 5л
Поворот на утлы "дч ip -g-> -g-
Сикметрия относительно прямой,
проходящей через две точки ре-
решетки
Тип решетка,
Любая
Любая
Квадратная
Составлена из правильных тре-
треугольников
Прямоугольная или «центриро-
«центрированная прямоугольная», т. е.
состоящая из вершин и центров
равных прямоугольников
Полнота этого списка возможных симметрии решеток доказы-
доказывается не очень сложно, и читатель в виде упражнения может
% 11. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 133
попробовать доказать это сам (доказательство будет дано в п. 1
§ 14).
Пусть Q — плоская решетка, соответствующая типам B), C)
или D). Если она имеет в качестве симметрии поворот на угол <р
(я Зя я 2я 4я 5я\ „ _. „
для ф = я, -S-» "о"» 'а"' Т' ПР ~з")' то ооозначим через с любой не-
ненулевой вектор, ортогональный той плоскости, в которой лежит Q, а
через R — винтовое перемещение Щ,<р* где I — прямая, проходя-
проходящая через точку решетки Q и перпендикулярная ее плоскости.
Если решетка Q получается откладыванием векторов ma + пЬ от
некоторой точки, то положим Г = [R, Г4, Тъ]. Как и выше, мы
имеем правило «перестановки с поправкой»:
TnR = RTRW, (8)
где h — вектор решетки Q. И опять точно так же мы получаем,
что всякое перемещение из группы Г, пользуясь соотношением
(8), можно записать в виде
F = RhTb (9)
(здесь Rh=*R...R, R"=E, Д-*= Ш*)), где Л —любое целое
h раз
число, ah — любой вектор из решетки Q. Из этой записи легко
усмотреть, что наша группа равномерно-разрывна. Предположим,
что решетка Q лежит в плоскости Оху, а вектор с идет по оси %
и имеет длину ^. Тогда перемещение F с к Ф 0 изменяет коорди-
координату z на ку, и поэтому \PF(P) I > t- Если же к = 0, то координа-
координаты х и у меняются так, как если бы мы имели плоскую группу,
соответствующую решетке й, а она является равномерно-раз-
равномерно-разрывной.
Пусть, например, мы имеем для решетки случай C). Тогда
R* является параллельным переносом на вектор 4с и соответст-
соответствующая группа Г' имеет вид [Тл, Ть, Т^.]. Таким способом мы
получаем типы IV 2, IV 3, IV 4 и IV 5 (см. табл. 2) (симметрия
типа D) приводит к двум типам IV 4 и IV 5, так как мы можем
положить *ф = я/3 или ф = 2л/3).
Если решетка Q имеет симметрию типа E), то обозначим через
П плоскость, проходящую через ось симметрии и перпендикуляр-
перпендикулярную плоскости, в которой лежит решетка Q (например, пусть Q
лежит в плоскости Оху, ось ее симметрии есть ось Ох, а П —
плоскость Oxz). Пусть с — любой вектор, лежащий в плоскости
П. Положим , S — 5П и Г ==[Га, Тъ, S]; совершенно аналогич-
аналогичные рассуждения показывают, что группа Г равномерно-разрыв-
равномерно-разрывна и Г' = [Тл, Тъ, Г2С]. Мы приходим к типам IV 6 и IV 7 в соот-
соответствии с двумя типами решеток, имеющих симметрию типа E).
Наконец, оставшиеся три группы строятся при помощи вари-
вариаций этих же соображений. Начнем с группы, которая нам уже
встречалась — типа III5. Порождающие ее перемещения R = -й?,я
134
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
й 5=i 5ь оба переводят вектор с, ортогональный а и Ь, в" — с.
Отсюда следует, что они сохраняют решетку Q, построенную на
векторах 2а, 2Ь и с. Таким образом, если мы положим Г — [R, S,
То], то в этой группе содержится группа параллельных перено-
переносов Г'=[Г2а5 ТгЬ,Тс] и имеют место правила «перестановки с
поправкой»:
TR
где Ь — такой вектор, что Гц содержится в Г'. Теперь все рас-
рассуждения, при помощи которых мы исследовали группы типа
III5, оказываются применимыми, и с их помощью точно так же,
как и раньше, доказывается, что группа Г равномерно-разрывна.
Так мы приходим к группам типа IV 8.
Если в предыдущей группе мы возьмем не все ее элементы,
а только некоторую часть, образующую группу, то, конечно, опять
получим равномерно-разрывную группу. Так строится группа ти-
типа IV9: мы полагаем i?x = TeR и T = [RU Si. Очевидно, что
5'2 = 'Г2ь и, значит, Т2ъ содержится в Г. Простое вычисление,
использующее соотношение (8), показывает, что R% = Т^, поэто-
поэтому Г^ содержится в Г. Наконец, из G) легко вывести, что
RrS = S/?x^-8b+2c» так что в Г содержится Т„ъъ+ге (оно равно
R^1S~1RlS), а тем самым и Т^ = З^ь^-гЬ+гс Это показы-
показывает, что Г — группа типа IV. Легко убедиться, что i?4 — это
винтовое перемещение R^vn, где ось h параллельна оси Ох и по-
получается из нее сдвигом на вектор с/2. (Проверьте это сами в
качестве упражнения!)
Последняя группа требует самого специального выбора опре-
определяющих ее перемещений. Она связана с «пропущенной» груп-
группой типа III, котораяхотя и естественно напрашивается, но от-
отсутствует в списке. Это
Г = [R, Rj], R = Ri,n, Rx = R^.m
где I — .ось Ox, U— ось Оу, а направлен по оси Ох, а Ь — по оси
Оу. О ней шла речь в упражнении после таблицы 1. Мы надеемся,
что читатель это упражнение сделал и выяснил, что такой группы
нет в нашем списке, так как она содержит перемещение RRU
являющееся поворотом на угол я вокруг оси, проходящей через
центр прямоугольника, построенного на векторах а и Ь, отложен-
отложенных от начала координат, и параллельной оси Oz. Она не явля-
является равномерно-разрывной. Мы постараемся этот «дефект» ис-
исправить, положив R — TORX, где с — вектор, перпендикулярный
а и Ь. Если аккуратно провести уже несколько раз применявпшеся
рассуждения показывают, что группа Г равномерно-разрыв-
разрывна. Она содержит параллельные переносы 7*2» 7*гь и Тго
и, значит, Г'= [Гга, Т$ь, Т^], так что соответствующая решетка
Q составлена из прямоугольных параллелепипедов. Легко прове-
§ 11. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 135
рить, что R' — -Дг'.я» где V — ось, параллельная оси Оу и получа-
получающаяся из нее параллельным переносом на вектор с/2.
На этом мы закончили перечисление равномерно-разрывных
групп перемещений пространства (табл. 2).
Как следует представлять себе соответствующие им трехмер-
трехмерные геометрии? Рассмотрим для примера группу Г = [Тл, Ть, Тс]
типа IV1. Очевидно, что ее фундаментальной областью (см. § 9)
является параллелепипед, ребрами которого являются порождаю-
порождающие векторы а, Ь и с этой группы (см. рис. 11.4), а эквивалентны-
эквивалентными точками на его границе являются точки противоположных гра-
граней параллелепипеда, получающиеся друг из друга параллельным
переносом вдоль пересекающего эти грани ребра, т. е. на соответ-
соответствующий порождающий вектор а, Ь или с. Отвечающая этой груп-
группе геометрия состоит из точек этого параллелепипеда, если счи-
считать эквивалентные точки на его границе за одну или «склеить»
параллелепипед по эквивалентным точкам. При этом шаровые ок-
окрестности эквивалентных точек этого параллелепипеда склеива-
склеиваются в единую — совпадающую с шаром в пространстве шаровую
окрестность соответствующей им точки геометрии. Например, все
8 вершин параллелепипеда эквивалентны, их шаровые окрестно-
окрестности, являющиеся шаровыми секторами, при склеивании составля-
составляют шар, который разбивается тремя плоскостями, проходящими
через его центр, на эти самые 8 шаровых секторов (рис. 11.10).
Рнс. 11.10.
Расстояние между двумя точками находится точно так же, как
в §§ 3, 4 и 5, с использованием «лифтов» или «линий». Получен-
Полученная геометрия по аналогии с двумерным случаем называется трех-
трехмерным тором.
Также обстоит дело и со всеми трехмерными геометриями, со-
соответствующими перечисленным нами группам. Все их отличие
от двумерного случая проявляется в том, что приходится склеи-
склеивать не многоугольники, а многогранники, не по сторонам, а по
граням. Конечно, результат такого склеивания представить себе
гораздо сложнее — тут требуется больше напрягать пространствен-
пространственное воображение. Однако во многих случаях этого можно избе-
I Ч. Ш. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица 2
Равномерно-разрывные группы перемещений пространства типа IV
в 11. ГЕОМЕТРИИ. В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 137
Продолжение табл. 2
IV 1
IV 2
IV 3
IV 4
IV 5
IV 6
*
2
t
г
с
<
Z
с
>
<
-С
Z
• с
(
г
Г
-ч
^.^^ а
Г = [^а- ГЬ' Гс]
Г=[Г..ГЬ'Л?.я].
2 — ось Oz, с идет по оси Oz, вектора а и Ь
лежат в плоскости Оху
1 — ось Oz, вектор с идет по оси Oz, вектора
а и Ь лежат в плоскости Оху, причем |al —
= |bj и угол между а и Ь равен л/2
Г=Гга,7ь,Д«„1,
в отличие от предыдущего случая угол меж-
между векторами а и о равен зт/3
в отличие от двух предыдущих случаев
угол между векторами а и b равен 2л/3
r = [ra,rb,sn],
П — плоскость Oxz, вектор а идет по оси
Ox, b по оси Оу, с лежит в плоскости Oxz
IV 7
IV 8
IV 9
IV 10
п
/
а.
\ / / *
4V /
Z
С
г
с
. V .
Zi
с
'/ /
<У
• ;*,*)
¦~г а х
г=[га,гь,а?],
П — плоскость Oxz, вектор а идет по оси Ох,
b лежит в плоскости Оху и проекция его ва
ось Ох есть ^а, с лежит в плоскости Oxz
г = [ДТ.я.*?,гв],
вектор а идет по оси Ох, Ъ — по оси Оу, с—
по оси Oz, 1 — ось Ох, П — плоскость Оху
(см. обозначения ь предыдущем типе), /?,=
= Rft>n'h параллельна оси Ох и полумает-
полумается из нее сдвигом на вектор ^е
Г=[Я,Я'], Д = Л?,Я, Л' = ^,,я,
2 — ось Ох, V параллельна оси Оу и полу-
получается из нее сдвигом на вектор-^е, вектрр
а идет по оси Ox, b — по Оу, с — по Oz
жать, если придерживаться следующей идеи: раз наши геометрии
получаются из групп Г, то всякий интересующий нас вопрос об
этих геометриях может какии-ннбудь образом быть сформулиро-
сформулирован в терминах этих групп Г. Остается найти эту формулировку.
С одним: таким вопросом и ответом на него мы уже столкнулись:
мы знаем, что ограниченность геометрии эквивалентна наличию
в группе Г параллельных переносов на некомпланарные векторы.
Еще одним подобный вопросом и ответом на него мы заклю-
заключим этот параграф.
138
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Упражнение
1. Найти фундаментальные области для групп типов IV 2 — IV 5. Ука-
Указать эквивалентные точки на их границе. Желающие могут рассмотреть и
группы IV 6 — IV10, III1 — III5 и I, II 2.
4. Ориентируемость геометрий. Из предыдущих параграфов
(см. §§ 5, 9) мы знаем, что среди геометрий, в малом совпадающих
с плоскостью, существуют как такие, в которых «право» и «лево»
различимы (например, сама плоскость), так и такие, в которых
«право» и «лево» неразличимы (например, геометрия на скру-
скрученном цилиндре или бутылке Клейна). Поэтому возникает ряд
естественных вопросов. Что такое «право» и «лево» в пространст-
пространстве? Что такое различимость «право» и «лево» в пространстве?
В каких из 18-ти типов геометрий, в малом совпадающих с прост-
пространством, соответствующих 18-ти описанным выше типам равно-
равномерно-разрывных групп, «право» и «лево» различимы, а в каких —
неразличимы? G ответами на первые два вопроса мы постоянно
сталкиваемся в жизни.
; Рассмотрим вращательное движение, например движение ше-
шестеренки вокруг оси. Это движение может происходить в двух вза-
взаимно обратных направлениях (рис. 11.11). Это и есть «право»
или «лево» в пространстве.
Предположим теперь, что ось вместе с постоянно вращающей-
вращающейся шестеренкой движется в пространстве. Второй вопрос заклю-
заключается в том, может ли измениться направление вращения шесте-
шестеренки, если ось вращения вернется в исходное положение
(рис. 11.12)?
в в'
[ ' Рис. 11.11.
'.: ; Из опыта мы знаем, что в окружающем нас пространстве на-
направление вращения измениться не может. Мы постоянно убеж-
убеждаемся в этом на примере часов: как бы мы ни путешествовали в
пространстве, направление вращения стрелок часов не изменя-
изменяемся, если смотреть на часы со стороны циферблата (рис. 1.1.13).
Это и значит, что в пространстве «право» и, «лево» различимы.
Еще один способ различить «право» и «лево» в пространстве,
связан с существованием двух типав винтовых линий (рис. 11Л4).
Если точка, расположенная на поверхности цилиндра, цоднима-
S 11. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 139
Рис. 11.13.
ется вверх, обходя цилиндр в направлении движения часовой
стрелки (или опускается вниз, двигаясь против часовой стрелки)*
то мы получаем один тип винтовых линий; если движение вокруг
цилиндра происходит в обратном направлении — то другой тип.
Говорят, что эти две винтовые линии име-
имеют правую (как у штопора) и левую за-
закрутки (рис. 11;14).
Невозможно перевести винтовую ли-
линию, имеющую правую закрутку, в линию,
имеющую левую закрутку, непрерывно
перемещая ее в пространстве. Но зеркаль-
зеркальное отражение относительно плоскости
переводит правую закрутку в левую. Ин-
Интересно, что живая природа сделала (по
неизвестным нам причинам) выбор меж-
между этими двумя возможностями: все моле-
молекулы аминокислот, входящих в состав бел-
белков, имеют форму винтовых линий, при-
причем одной и той же, левой, закрутки.
Совершенно иначе обстоит дело в некоторых геометриях, в
малом совпадающих с пространством. Существуют геометрии,. в
малом совпадающие с пространством, в которых «право» и «лево»
неразличимы. Такие геометрии принято называть неориентиру е-
мыми. Геометрии же, в которых «право» и «лево» различимы, на-
называют ориентируемыми. Ответу на вопрос, какие из 18-ти типов
геометрий, в малом совпадающих с про-
пространством, ориентируемы, а какие ^-г-
нет, мы посвятим этот пункт. :
Прежде всего рассмотрим простран-
пространство, ориентируемость которого, как
мы говорили выше, известна нам из
опыта. Теперь докажем это.
Теорема 1. Продтранство ориенти-
ориентируемо.
Предположим, что часы *) Р в момент
времени t занимают положение Pt и
при 0 =^ t ^ 1 непрерывно движутся в
пространстве, возвращаясь при t = 1 назад, но так, что при t = 0
и t — 1 они идут в противоположном направлениии. Сдвинем
параллельно часы Р, так, чтобы их центр совместился с центром
А часов Ро, и полученное положение часов обозначим через1 '•
Правая
Рис. 11.14
Левая
^). Под часами, строго говоря, можно; понимать тетраэдр О ABC, у кото-
которого ребра О А, ОВ ж ОС взаимно перпендикулярны и имеют одинаковуф
длину. С таким тетраэдром можно связать часы, центр которых находится
в точке О, циферблат находится в плоскости (ОВС) и виден из точки А\
часовая стрелка идет по ребру- ОВ', минутная — по ребру OCj причем часы
показывают.3 часа времени. ; . . .. ' . .л . ..,•,;¦,--,, -,р
t-40
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Мы получаем такую же ситуацию, как раньше: часы, непрерывно
перемещаясь, занимают положение Ри но теперь их центр А остает-
остается неподвижным, причем опять Ро и Рг совпадают, но идут в проти-
противоположных направлениях. Выберем на окружности часов точку В
и положим е = АВ. В момент t этот вектор займет положение е(.
Произведем такой поворот пространства вокруг оси, содержащей
точку А и перпендикулярной векторам е0, е(, чтобы вектор е( сов-
совпал с вектором е0. Полученное положение часов Pt мы обозначим
через Р\. Теперь мы опять имеем ту же ситуацию, что и раньше, но
кроме центра А остается неподвижной и точка В, так что часы Р"
получаются из Ро перемещением, оставляющим неподвижными
точки оси {АВ). Наконец, можно выбрать на часах еще одну точку
С, не лежащую на прямой (АВ), и совершенно аналогично добиться
того, что у часов Pt сохранятся точки А, В и С, причем по-прежне-
по-прежнему Р"и Р" будут совпадать, но идти в разные стороны. Таким об-
образом, мы пришла к тому, что часы движутся непрерывно в про-
пространстве, занимая в момент t, 0 «? t < 1, положение!3*, причем все
точки их плоскости (например, плоскости циферблата) остаются
на месте. При этом в положении/^ и Рг они идут в противополож-
противоположные стороны. Ясно, что такое движение невозможно: при сделан-
сделанных предположениях в любые моменты времени tt и t2 часы P"tx и
Р" должны либо совладать, либо быть зеркально симметричными.
Действительно, представим себе, что на часах со стороны цифер-
циферблата перпендикулярно плоскости часов жестко закреплена стрел-
стрелка (рис. 11.15, а). При непрерывном движении часов ее конец —
Рис. 11.15.
точка Ct — также движется непрерывно, описывая кривую, соеди-
ряющуго зеркально симметричные положения Со и Ct этой стрелки
в- моменты времени ? = 0 и ? = 1 (рис. 11.15,6). Но при нашем
условии на движение часов эта кривая состоит ровно из двух то-
точек: С, и Си Такой кривой не существует. Полученное противоре-
противоречие доказывает теорему.
Перейдем теперь к произвольным геометриям, в малом совпа-
совпадающим с пространством. Доказанная ориентируемость простран~
§ 11. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 141
Рис. 11.16.
ства позволяет разбить все часы пространства на два типа часов
так, что часы одного типа идут в одном направлении, а часы раз-
различных типов — в различных направлениях. Здесь про часы Р и Q
говорят, что они идут в одном направлении, если при непрерыв-
непрерывном совмещении циферблата часов Р с циферблатом часов Q
их стрелки оказываются идущими в одном направлении. Если же
при таком непрерывном совмещении циферблатов стрелки часов
оказываются идущими в различных направлениях, то и сами часы
считаются идущими в раз-
разных направлениях. При
этом часы Р и Q не могут
идти одновременно в одном
и в разном направлениях.
Действительно, пусть
при совмещении часов Р
с часами Q вдоль кривой
с они оказываются иду-
идущими в одном направле-
направлении с часами Q, а вдоль кри-
кривой с' — в разных (рис.
11.16). Тогда при движе-
движении часов Р вдоль кривой
с в обратном направлении, а эатем вдоль кривой с' они обходят
замкнутую кривую, причем в результате такого обхода оказыва-
оказываются идущими в противоположном направлении. Это противоре-
противоречит теореме 1.
Жители Земли давно таким способом согласовали направление
вращения своих часов, введя для него эталон направления вра-
вращения. Благодаря этому про любое вращательное движение в
окружающем нас пространстве можно сказать, в каком направле-
направлении оно происходит: по часовой стрелке — или против. Особенно
важно это в технике, где большинство деталей и механизмов — те
же часы, например, в силу своей конструкции не могут вращать-
вращаться в обоих направлениях.
Благодаря наличию в пространстве двух типов часов все пере-
перемещения пространства делятся на два рода перемещений: пере-
перемещения I рода сохраняют направление вращения стрелок часов,
а перемещения II рода — меняют. Так нетрудно убедиться, что
винтовое перемещение — I рода, а скользящая и поворотная сим-
симметрии — II рода. Соответственно этому все группы перемеще-
перемещений пространства также делятся на два рода: группы I рода со-
содержат перемещения только I рода, а группы II рода содержат
хотя бы одно перемещение II рода. Так среди 18-ти типов равно-
равномерно-разрывных групп перемещений пространства группы типов
112, III3, III4, III5, IV 6, IV 7, IV 8, IV9 — II рода, так как
одной из их образующих является скользящая симметрия. Груп-
Группы остальных типов —I, III, III I, III 2, IV1, IV 2, IV 3, IV 4,
142
4. IU. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
IV 5, IV10 — I рода, так как их образующие все I рода, а обрат-
обратное перемещение к перемещению I рода и композиция перемеще-
перемещений I рода также являются перемещениями I рода.
Отвечая на интересующий нас вопрос о том, какие из геомет-
геометрий, соответствующих этим группам, ориентируемы, мы дока-
докажем ниже следующую теорему 2. Может показаться, что она
включает уже рассмотренный случай пространства — теорему 1.
Но это не так, ибо понятие рода, используемое в ее формулиров-
формулировке, подразумевает ориентируемость пространства, т. е. выполни-
выполнимость теоремы 1. Без теоремы 1 теорема 2 лишена смысла.
Теорема 2. Геометрия, соответствующая равномерно-раз-
равномерно-разрывной группе Г перемещений пространства, ориентируема, если
Г — группа 1-го рода, и неориентируема, если Г — группа 11-го
рода.
Обозначим через 2 пространство, а через 2г — геометрию,
соответствующую равномерно-разрывной группе Г перемещений
пространства. Точка &? геометрии 2Г есть совокупность А точек
пространства 2, эквивалентных относительно группы Г. Если А —
любая точка пространства 2, то совокупность А всех эквивалент-
эквивалентных ей точек определяет точку бФ геометрии 2г- Отображение /,
ставящее в соответствие точке А пространства точку st> геометрии
2Г, мы называли накрытием геометрии 2Г пространством 2.
Предположим, что Г является группой II рода, т. е. содержит
скользящие симметрии, и пусть F — одна из них. Выберем точку
А пространства 2, лежащую в плоскости симметрии F, положим
B = F(A) и рассмотрим отрезок L, соединяющий А с В. При на-
накрытии f точки А ж В перейдут в одну и ту же точку st* геомет-
геометрии 2Г, а отрезок L — в замкнутую кривую S7, проходящую через
точку $i>. Вспомним основное свойство накрытия /: для шара
Ш(А, г) достаточно малого радиуса г отображение / определяет на-
наложение на шар /Щ.я?, r) в геометрии 2 *).
Расположим в шаре Ш(А, г) часы Ро так, чтобы они лежали в
плоскости симметрии F, а их центр находился в точке А. Рас-
Рассмотрим соответствующие им часы &а при наложении шара
Ш(А, г) на Ш(,я?, г). Считая Ро лишь начальным положение часов
Р, будем двигать их параллельно так, чтобы их центр перемещал-
перемещался по отрезку L. Тогда каждому положению часов Р в силу на-
накрытия / будет соответствовать положение соответствующих Р ча-
часов 0* в геометрии 2г5 эти часы 3* будут двигаться так, что их
центр опишет замкнутую кривую 3?. В результате движения по
3? центр часов & вернется в прежнее положение. Как расположат-
расположатся после этого сами часы?
Чтобы ответить на вопрос точно, надо вспомнить, что положе-
положение ^*о часов & соответствует положению Ра часов Р при нало-
•) Очевидно, что все, что мы говорили о кругах К(А, г) и K(s?, г) прак-
практически дословно переносится на случай шаров.
§ 11. ГЕОМЕТРИИ, В МАЛОМ СОВПАДАЮЩИЕ С ПРОСТРАНСТВОМ 143
Рис. 11.17.
*i идут в противопо-
жении шара Ш(Л, г) на ДК^Ф, г). В результате перемещения по
отрезку L часы Р займут положение Pi с центром в В и будут
расположены в шаре Ш(В, г). Соответствующее ему положение
b'l часов ?Р мы получим, применив
к Pi отображение / (рис. 11.17),
т. е. &i = /(Pi). По определе-
определению накрытия /, отображение /
совпадет с fF~l. Поэтому i?*i=
=/(F-4Pi)), т. е. &ь и ^i получа-
получаются одним и тем же отображе-
отображением / часов из положений Ро и
F'KP'd в шаре Ш(А, г). С другой
стороны, положение F~4Pi) часов
получилось из положения Ро па-
параллельным переносом и зеркаль-
зеркальным отражением, поэтому в этих
положениях часы Р идут в про-
противоположных направлениях. Сле-
Следовательно, и часы & в положениях &<>
ложных направлениях.
Читатель легко убедится, что мы провели здесь в более об-
общей ситуации точно те же рассуждения, при помощи которых в
§ 4 и § 9 было показано, что в геометриях на скрученном цилин-
цилиндре и бутылке Клейна «право» и «лево» неразличимы. Докажем
теперь, что подобное явление невозможно, если Г — группа I рода.
Пусть 3? — замкнутый путь в геометрии 2, начинающийся и
кончающийся в точке si. Покажем, прежде всего, что в простран-
пространстве 2 существует кривая L, кото-
которая отображается на 3/ при на-
накрытии f геометрии 2г пространст-
пространством 2 (это верно для любого
накрытия).
Разделим кривую 3? от ее на-
начала si до конца 3S (так; как у
нас кривая замкнута, то s4-'=a3S,
но рассуждение годится для лю-
любой кривой) точками sio=si, <st-u
si2, ..., sin, sin+i. ='3f на кри-
кривые 3?t = sitsii+l, i = 0, ..., n,
длины, меньшей s (рис. 11.18).
При этом каждая кривая 3?{ =
= sifSii+l будет лежать в шаре
{, s), так как длина кривой 3?{ = stiSi{+1 меньше s. Выберем
точку А в пространстве, для которой f(A) =si. Так как / опреде-
определяет наложение шара Ш(А, s) в 2 на шар Ш(зФ, s) в 2Г, то при
этом наложении на кривую 3/, =*sisii наложится некоторая
кривая Ьъ=ААх шара Ш(А, s) с началом в А и коицом в не-
Рис. 11.18.
144
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
которой точке At: f(L0) =2?0. При этом конец At кривой
Lo наложится на конец ,5^ кривой izP0, т. е. fiAJ =*stlm
Повторяя это рассуждение с заменой si- на si-u s4-i на «я?2> А на
Ai, мы построим некоторую кривую Li = AlAi в шаре Ш(Аи s),
которую /налагает на кривую <2>1 = ^1^2, или /(Z,1)=271 (см.
рис. 11.18). Так как опять конец Аг кривой Lt налагается / на ко-
конец st>2 кривой i?2, то мы можем продолжить этот процесс. В ре-
результате мы построим кривые Lo — AAU L{ = A{Ai+i, i =1, ..., n —
— 1, Ln—AnB, которые / налагает на кривые 270=^i^i, i?< =
= st>iS$>i+u 2?n = s^n3S соответственно. А так как конец At+i преды-
предыдущей кривой Li и начало Ai+i последующей кривой L{+i совпа-
совпадают, то мы построим общую кривую Lo, Lu —, Ln, обозначаемую
далее L, для которой f(L) — 9?; при этом как следствие имеем
f(B) =ЗВ для концов В и ЗВ кривых L и 9? (см. рис. 11.18). Это
и доказывает требуемую связь между кривыми в 2Г и 2.
Так как у нас кривая 3? замкнута (&? = &), то начало А и ко-
конец В кривой L должны быть эквивалентны относительно группы
Г, т. е. B = F(s?), где F — перемещение из Г.
Теперь мы можем рассуждать совершенно так же, как и в пер-
первой части доказательства, ибо благодаря накрытию / движение ча-
часов 9* вдоль кривой 3? геометрии 2Г можно рассматривать как
соответствующее движению часов Р в пространстве вдоль кривой
L из точки А в точку В. В тех же обозначениях, что и в первой
части доказательства, все сводится к проверке того, что часы Р в
положениях Ро и F^iPi) в шаре Ш(А, г) идут в одном и том же
направлении.
Мы приходим к задаче, очень похожей на ту, которая была
нами решена при доказательстве теоремы 1 (для случая простран-
пространства). Разница заключается лишь в том, что теперь часы движут-
движутся не по замкнутой кривой, так как, вообще говоря, В ФА. Эта
ситуация легко может быть сведена к уже рассмотренной нами.
Для этого вспомним, что группа Г I рода, а значит, и перемеще-
перемещение F~* I рода, т. е. винтовое перемещение. Пусть F~x = Щ<л, мы
можем получить результат этого перемещения при помощи не-
непрерывного движения, которое в момент т переводит точку X в
точку 2?7%(Х), Os^t^l- Тогда при т = 0 мы получаем точку X,
а при т = 1 — точку F'^X). Пусть при этом точка В опишет траек-
траекторию L' (Z/ — это кусок винтовой линии Л}%л (В), где 0=^т^1).
Тем самым мы непрерывно переместим вдоль кривой U часы Р из
положения Pt в точке В в положение F^lPJ в точке А. Рассмот-
Рассмотрим движение часов Р сначала по кривой L, а потом — по L'. Тог-
Тогда они будут двигаться непрерывно по замкнутой кривой L + U и
вернутся в точку А в положение F~4P). По теореме 1 в простран-
пространстве 2 при этом часы будут идти в одном и том же направлении.
Это и доказывает, что часы Р и Р~*(Р) идут в одном и том же
направлении. Теорема доказана.
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 145-
Мы видим, что по свойствам ограниченности и ориентируемости
соответствующих геометрий 18 типов равномерно-разрывных
групп в пространстве разбиваются на 4 вида групп (таблица 3).
Таблица 3-
Геометрии
Ограниченные
Неограниченные
Ориентируемость
ориентируемые
неориентируемые
ориентируемые
неориентируемые
Число
6.
4
4
4
!
Типы групп ;
IV 1, 2, 3, 4, 5, 10
IV 6, 7, 8, 9
I; II 1; III 1, 2
II 2; III 3, 4,5
Ун ражнения
1. Доказать, что никаким непрерывным движением окружности на плос-
плоскости нельзя добиться того, чтобы ее направление обхода изменилось.
2. Сформулировать и доказать аналог теорем этого пункта для случая1
геометрий, в малом совпадающих с плоскостью.
3. Какие из геометрий, в малом совпадающих со сферической геомет-
геометрией, ориентируемы (см. упр. 2 п. 2 § 11)?
4. Доказать, что если существует накрытие геометрии S' геометрией 2'
(обе геометрии в малом совпадают с плоскостью или пространством), при-
причем S неориентируема, то 2' также неориентируема.
5. Пусть геометрия 2, в малом совпадающая с плоскостью или прост-
пространством, неориентируема. Доказать, что тогда существует накрытие гео-
геометрии 2 геометрией 2, причем 2 ориентируема, а прообраз каждой точ-
точки 2 при этом накрытой состоит ровно из двух точек. Какие геометрии 2'
с этим свойством соответствуют неориентируемым геометриям всех извест-
известных нам типов?
§ 12. Кристаллографические группы
и разрывные группы
1. Группы симметрии. Описание геометрий, в малом совпадаю-
совпадающих с плоскостью и пространством, привело нас в предыдущих па-
параграфах к группам перемещений плоскости и пространства, кото-
которые являются равномерно-разрывными группами. Появление при
этом групп перемещений совсем не очевидно, а скорее неожидан-
неожиданно — так в § 10 нам пришлось немало потрудиться, чтобы пока-
показать, что описание таких геометрий сводится к описанию групп
перемещений плоскости (или пространства), которые являются
равномерно-разрывными.
Однако во многих случаях появление групп перемещений ес-
естественно с самого начала. Рассмотрим на плоскости (или в про-
пространстве) некоторую фигуру ф и рассмотрим симметрии этой
фигуры, т. е. такие перемещения плоскости {или пространства) т
10 в. В. Нжкулжн, И. Р. Шафаревжч
446
4. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
которые отображают фигуру ф на себя. При этом очевидно, что
¦если F и G — две симметрии фигуры Ф, то их композиция FG
также является симметрией фигуры ф (действительно, РСг(Ф) =
¦ Ф, так как С(Ф) = Ф и .Р(Ф) = Ф). Также очевидно,
что если F — симметрия фигуры Ф, то и F~l —
симметрия фигуры Ф (действительно,
f-ЧФ) =^"ЧЛФ)) =?(Ф) =Ф, так как Ф =
= Р(Ф) и FF~l = Е — тождественное переме-
перемещение). Таким образом, мы можем ска-
сказать, что множество Г симметрии фигуры Ф
удовлетворяет свойствам I и II из § 7, т. е.
является группой перемещений.
Введенное нами название «симметрия
фигуры» объясняется тем, что чем больше
симметрии имеет фигура, тем она более
¦«симметрична» в наивном смысле слова «симметричный» (или
правильный), который в него вкладывают.
Задавая различные симметричные фигуры Ф, мы можем та-
таким образом получить самые разные группы перемещений пло-
плоскости (или пространства). Рассмотрим несколько примеров.
Г.
Рис. 12.1.
д)
3?ис. 12.2. а) Неправильный четырехугольник; б) параллелограмм; в) дель-
дельтоид; г) равнобочная трапеция; д) прямоугольник; е) ромб; ж) квадрат.
Пример 1. Группа симметрии правильного треугольника на
плоскости состоит из шести перемещений
[Л, Но ,-"о 1 dij» «ij. «JZgi —
трех поворотов и трех осевых симметрии, где О — центр пра-
правильного треугольника, a h, l2, h — его высоты (рис. 12.1).
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ
Пример 2. Рассмотрим на плоскости выпуклые четырех-
четырехугольники. В зависимости от того, какова их группа Г симмет-
симметрии, все четырехугольники делятся на 7 типов, каждый из кото-
которых играет важную роль в планиметрии: неправильный четырех-
четырехугольник Г = {?} (рис. 12.2, а); параллелограмм —Т ={Е,R0*u°\
Рис 12Л
(рис, 12.2, б), дельтоид — Г =»{?, S,} (рис. 12.2, в), равнобочная?
трапеция — Г = {Е, St) (рис. 12.2, г); прямоугольник — F={E,R0B°ar,
Su Sm) (рис. 12.2, д); ромб —Г = [Е, До80°, ?,, Sm] (рис. 12.2, е)г
квадрат - Г={Я, ДГ, R0*«o, RV°°, Sh, Sti, Sl%, Slt\ (рис. 12.2, ж).
148
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Этот пример наводит на мысль, что некоторые виды фигур
естественно классифицировать по их группам симметрии.
Пример 3. Фигура может, конечно, обладать и бесконечной
группой симметрии. Например, симметрии прямой на плоскости
состоят из параллельных переносов вдоль этой прямой, скользя-
скользящих симметрии относительно нее, симметрии относительно пря-
прямых, ей перпендикулярных, и центральных симметрии относи-
относительно ее точек. Симметрии окружности состоят из поворотов во-
вокруг ее центра и симметрии относительно прямых, проходящих
через центр (проверьте, что в обоих случаях других симметрии
нет).
Пример 4. Если попытаться построить на плоскости фигу-
фигуры с группами симметрии, являющимися равномерно-разрывны-
равномерно-разрывными группами типов III а или III б, то получатся бесконечно по-
повторяющиеся узоры (рис. 12.3, а ж б, где изображены такие узоры
из букв).
Одного взгляда на рис. 12.3 достаточно, чтобы увидеть разли-
различие между этими узорами: уэор для группы типа III б гораздо
€олее специфичен и симметричен, что и неудивительно, так как
труппа типа Ш б имеет очень специальную группу параллельных
переносов и, кроме того, содержит скользящие симметрии.
Понятие симметрии применимо не только к геометрический фигурам.
Например, можно говорить о более или менее симметричных алгебраиче-
алгебраических выражениях, подразумевая под этим (совершенно аналогично геомет-
геометрической ситуации), что наше выражение сохраняет свой вид при большем
или меньшем числе перестановок входящих в него неизвестных. Так, сре-
среди многочленов третьей степени от трех неизвестных х, у и z многочлен
х3 + у3 + z3
яо меняется, как бы мы ни переставляли между собою х, у и г. Многочлен
яке - •¦ - ¦ - - — -
-*- yz2 *
имеет более тонкую симметрию: он те меняется, если мы переставим х, у
и z циклически, т. е. заменим х на у, у на г и г на х или в обратную сто-
сторону: х на z, z на у и у на х. При остальных же перестановках неизвест-
неизвестных (кроме, конечно, тождественной) это выражение меняет знак. Мно-
Многочлен второй степени
2 + г + 2z2
яе меняется, если мы поменяем местами х и у, а многочлен
хг 4- 2у2 + 3z2
— только при тождественной перестановке, т. е. когда мы ничего не ме-
меняем. Теория «алгебраических симметрии» лежит в основе теории уравне-
уравнений высших степенен и ее обобщений (теория Галуа).
Наконец, симметриями могут обладать и соотношения более общего ха-
характера, причем под этим подразумеваются преобразования (какие — зави-
зависит от конкретной ситуации), при которых эти соотношения не меняются.
Например, очень важно знать преобразования координат, при которых не
меняются те или иные физические законы. Так, законы механики не ме-
штатся при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.
Для случая движения по прямой с координатой х эти преобразования в
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 149
классической механике Галилея — Ньютона имеют вид
х' = х + vt,
t' = t.
В механике специальной теории относительности они имеют вид
x+vt
3772
где с — скорость света в вакууме.
Некоторые симметрии физических законов похожи на те симметрии
фигур, которые рассматривались в примерах 1 и 2. Например, все явления
будут протекать также, если мы заменим положительный заряд на отрица-
отрицательный, а «право» на «лево» (и наоборот). Читатель может узнать больше
о симметриях физических законов, например, по книге: Фейнман Р. Ха-
Характер физических законов.— М.: Мир, 1968.
Общему понятию симметрии посвящена книга: В е й л ь Г. Симметрия.—
М.: Наука, 1968. В оставшейся части этого параграфа мы расскажем об од-
одном конкретном применении идеи симметрии — в кристаллографии.
Упражнения
1. Может ли ограниченная фигура иметь два центра симметрии? Два
центра поворота?
2. Доказать, что среди тетраэдров наибольшую группу симметрии име-
имеет правильный тетраэдр.
3. Расклассифицировать по группам симметрии прямоугольные парал-
параллелепипеды.
4. Найти группу симметрии тетраэдра, ребрами которого служат диа-
диагонали граней прямоугольного параллелепипеда неправильной формы (она
содержит 4 перемещения). Доказать, что всякий тетраэдр с такой группой
симметрии устроен таким образом.
5. Привести пример фигуры Ф на плоскости, для которой существуют
перемещения F, отображающие фигуру Ф в себя, но не на себя. Таким об-
образом, F не является симметрией фигуры Ф.
6. Построить фигуры с равномерно-разрывными группами симметрии
II а и II б. Заметьте, что полученные узоры в отличие от узоров для групп
III а и III б повторяются только в одном направлении (узоры, обладающие
таким свойством, называют бордюрами). Объяснить это.
2. Кристаллические вещества и кристаллографические груп-
группы. Особенно важную роль группы симметрии и классификация
при помощи этих групп имеют в кристаллографии — разделе фи-
физики, изучающем свойства кристаллических веществ. При этом
надо иметь в виду, что небольшие размеры кристаллов в природе
объясняются тем, что рост кристаллического вещества ограничи-
ограничивается какими-то внешними причинами. Теоретически же оно мо-
может расти до бесконечности. Поэтому в кристаллографии предпо-
предполагается, что кристаллу ничто не мешает расти неограниченно, и
он занимает все пространство. С этой точки зрения кристалличе-
150
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
ское вещество обладает двумя важными свойствами: а) с одной
стороны, оно дискретно — состоит из элементов различной приро-
природы, атомов, молекул и т. д., которые могут по-разному распола-
располагаться в пространстве друг относительно друга; б) с другой сто-
стороны, свойства кристаллического вещества повторяются в про-
пространстве — существует такой шар Ш достаточно большого ра-
радиуса, что для каждой точки X пространства найдется точка Y в
шаре Ш, в которой все физические свойства кристаллического ве-
вещества повторяют его свойства в точке X. Пользуясь словами Гер-
Германа Вейля, можно сказать, что кристаллы представляют собой
повторяющиеся пространственные узоры, сотканные самой приро-
природой (В ей ль Г. Симметрия.— М.: Наука, 1968).
Чтобы отвлечься от физики, переформулируем свойства а) и
б) математически. Для этого заметим, что в силу однородности
пространства (см. лемму 1 из § 10) точки X и Y пространства, в
которых физические свойства кристаллического вещества одина-
одинаковы (мы будем далее называть такие точки эквивалентными),
характеризуются тем, что существует симметрия F кристалличе-
кристаллического вещества, переводящая X в У. Действительно, пусть F —
соответствие между точками кристаллического вещества, которое
сохраняет все физические свойства кристаллического вещества и
переводит X в Y (в зтом состоит точный смысл того, что физиче-
физические свойства кристаллического вещества в точках X и Y одина-
одинаковы). Расстояние \АВ\ между точками А ж В кристаллического
вещества является некоторым физическим свойством этой пары
точек, поэтому оно сохраняется соответствием F. Таким образом,
F является перемещением, сохраняющим все физические свойства
кристаллического вещества, т. е. является его симметрией.
Обозначая через Г группу симметрии кристаллического веще-
ств.а, мы можем, следовательно,, переписать свойства а) и б) так:
1) Для всякой точки А пространства найдется такое число
d(,A)>0, зависящее от точки А, что для всякого перемещения F
из Г, для которого F(A) ?= А, выполнено неравенство \AF(A)\ S*
> d(A). .
2) Существует такой шар Ш в пространстве, что для всякой
точки X пространства найдется такое перемещение F из Г, для
которого точка F(.X) принадлежит шару Ш.
Учитывая то, что группы Г перемещений пространства, удов-
удовлетворяющие свойствам 1) и 2), впервые появились в кристалло-
кристаллографии как группы симметрии кристаллических веществ и играют
в ней важнейшую роль, их называют кристаллографическими
группами. Разумеется, заменяя в свойстве 2) шар на круг, можно
рассматривать и удовлетворяющие свойствам 1) и 2) группы пе-
перемещений плоскости, которые также называют кристаллографи-
кристаллографическими. Они также имеют физический смысл, например, как
группы симметрии подходящих сечений кристаллических веществ
плоскостью. Пример 3 показывает еще одно применение плоским
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 151
кристаллографическим группам. Их можно использовать при клас-
классификации повторяющихся узоров на плоскости, называемых ор-
орнаментами. Поэтому эти группы важны не только в науке, но и в
искусстве (см. книги: В ей ль Г. Симметрия.—М.: Наука, 1978;
Шубников А. В., К о п ц и к В. А. Симметрия в науке и искус-
искусстве.— М.: Наука, 1972). Забегая вперед, отметим, что существует
17 различных типов плоских кристаллографических групп. В кон-
конце этого параграфа на рис. 12.23 приведены 17 орнаментов с груп-
группами симметрии всех этих 17 типов. Таким образом, всякая пло-
плоская кристаллографическая группа является группой симметрии
одного пз них, и всякий орнамент на плоскости «подобен» одному
из этих орнаментов. Впервые все 17 типов орнаментов были соб-
собраны в одном месте в XIII веке арабами в виде настенных укра-
украшений и росписей собора Альгамбры в Гренаде (Испания). Хотя,
по-видимому, все 17 типов орнаментов были известны еще древ-
древним египтянам, т. е. задолго до появления понятия группы (XIX
век н. э.) и тем более классификации плоских кристаллографиче-
кристаллографических групп.
Так как мы изучали в предыдущих параграфах равномерно-
разрывные группы перемещений плоскости и пространства, есте-
естественно выяснить, какие из них являются кристаллографически-
кристаллографическими. Ответ очевиден: те и только те, которым соответствуют огра-
ограниченные геометрии. Действительно, свойство 1) выполнено вооб-
вообще для всякой равномерно-разрывной группы (см. § 7, свойство
III), более того, константу d{A) можно выбрать даже независя-
независящей от точки А. Из выполнимости же свойства 2) очевидно выте-
вытекает, что расстояние между точками соответствующей Г геомет-
геометрии 2Г не превосходит 2R, где R — радиус шара Ш. Если же, на-
наоборот, расстояние между любыми двумя точками геометрии 2Г
меньше R > 0, то для произвольной точки X пространства в шаре
Ш =• Ш (A, R) с центром в любой точке А пространства содер-
содержится точка X', эквивалентная точке X, так как иначе \зФ9В\~5*
^ if, где st> — точка геометрии 2г. определяемая множеством А то-
точек пространства, эквивалентных точке А, а 95 также определяет-
определяется точкой X.
Таким образом, равномерно-разрывные группы перемещений
доставляют нам два типа (III а и III б) плоских (см. § 8) и де-
десять типов (IV1—IV10) пространственных (см. § 11) кристалло-
кристаллографических групп перемещений. В качестве воображаемых пло-
плоских кристаллических веществ с равномерно-разрывными кри-
кристаллографическими группами типов III а и III б мы можем рас-
рассмотреть «кристаллические» вещества» с химическими формулами
PQRST и OGKH, «молекулы» которых имеют вид и расположе-
расположение друг относительно друга, изображенные на рис. 12.3, а ж б
(разумеется, используемые нами буквы Р, Q, ... не имеют
никакого отношения к обозначениям элементов в таблице Мен-
Менделеева).
152
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Для пространственных же групп типов IV1—IV10 можно ука-
указать реально существующие кристаллические вещества с такими
группами симметрии.
Простейшей из них — группой симметрии тппа IV 2 — обладает
КОН — гидроокись калия. Это твердое кристаллическое вещество
является очень сильной щелочью и широко известно под назва-
названием едкое кали. Приведем описание структуры КОН, получен-
полученное в кристаллографии с помощью облучения вещества в разных
направлениях и различных спектрах, и расшифровкой получаемых
при таком облучении снимков (дифракционных картин). В обозна-
обозначениях предыдущего параграфа группа Г симметрии КОН имеет
вид Г = [Тл, Гь, -й^.яЬ где длины векторов а, Ь и с равны |а| =
= 3,95 А, 1Ы=5,73 А, |с| =2,00 А (ангстрем А = 10-10 метра),
угол между векторами а и Ь равен 103°36', а вектор с по опреде-
определению группы типа IV2 перпендикулярен а и Ь (рис. 12.4). Можно
Рис. 12.4 Структура КОН.
даже указать, как по отношению к этой группе расположены атомы
КиО (атомы Н не рассматриваются). В кристаллическом веществе
КОН можно так выбрать начало Q координат с направляющими век-
векторами а, Ь, с, что в системе координат (Q, а, Ь, с) *) точки оси I
•) В этой системе координат точка Р имеет координаты (х, у, г), если
QP = х& + уЪ + ае.
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 153
будут иметь координаты @, 0, z) (т. е. Q лежит на оси I), а в
точках с координатами
К@,175, 0,288, 0) и 0@,318, 0,770, 0)
A)
будут находиться центры атомов КиО. Остальные атомы КиО
получаются из этих применением перемещений группы Г, кото-
которая в данной системе координат действует, очевидно, так:
ТЛ: (x,y,z)~(x + lry,z),
Тъ: (х, у, z) — (х, у + 1, z),
B)
Благодаря малому числу атомов в молекуле КОН и простоте
группы Г типа IV 2 можно даже, пользуясь A) и B), изобразить
на рисунке (см. рис. 12.4) пространственный узор, который обра-
образуют атомы К и О в КОН. На этом рисунке, кроме того, изобра-
изображена «упаковка» молекул КОН, где под молекулой КОН естест-
естественно понимать близлежащее пространство к паре атомов КиО,
наиболее близко (среди всех пар КиО) расположенных друг к
другу. Нетрудно подсчитать, что такую молекулу образуют атомы
A), а все остальные молекулы получаются из нее перемещениями
группы Г.
Используя группы симметрии, совершенно аналогично можно
описать структуры других, пусть даже очень сложных кристаллов.
Белок миоглобина — одно из самых сложных расшифрованных к
настоящему времени кристаллических веществ. Его молекула со-
состоит приблизительно из 1200 атомов, не считая атомов водорода.
Группа симметрии имеет тот Же тип IV 2, но размеры этой груп-
группы, конечно, существенно больше:
!а|=64,4А, !Ы=34,8А, !с!=15,6А,
угол между векторами а и b равен 105,5°. Для полного описания
структуры этого белка нужно было бы привести координаты этих
1200 атомов, наподобие A).
Имеется довольно много кристаллов и с другими группами
симметрии типов IV1—IV10. Из этих типов групп более распро-
распространена в мире кристаллов самая сложная группа IV10, ею об-
обладают довольно много (но менее 1 %) неорганических веществ и
13% органических (одно из таких веществ приведено в упр. 1).
Самую простую группу симметрии IV1 имеют приблизительно 1%
неорганических и 5% органических веществ. Рассмотренную нами
ранее группу IV 2 имеют некоторые (менее 1%) неорганические
вещества и 8% органических. Остальные из групп IV1—IV10
среди кристаллических веществ гораздо менее распространены,
хотя для каждой из них можно было бы привести кристалличе-
154
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
ское вещество с такой группой симметрии. Группы IV 1—IV10
очень распространены среди веществ биологического происхожде-
происхождения. Интересно, что при этом могут встретиться только группы
I рода, т. е. типов IV1—IV 5 и IV10. Это связано с тем, что ами-
аминокислоты, из которых сложены молекулы биологических веществ,
представляют собой винтовые линии, которые природа закручи-
закручивает всегда в одну сторону (ср. § 11, п. 4).
После приведенных нами данных у читателя сам собой дол-
должен напрашиваться вывод, что равномерно-разрывными группами
симметрии IV1—IV10 обладают довольно редкие кристалличе-
кристаллические вещества. Например, почему мы до сих пор не привели в
качестве примера такое всем нам хорошо известное кристалличе-
кристаллическое вещество как каменная соль (в кулинарии известная как по-
поваренная)?
Кристаллическое вещество каменной соли NaCl представляет
собой кубическую решетку, вершины которой занимают атомы
хлора и натрия попеременно (рис. 12.5). Из рисунка видно, что
группа симметрии кристаллического вещества каменной соли со-
содержит симметрии относительно плоскостей (одна из таких пло-
плоскостей на рис. 12.5 заштрихована) и осевые вращения (вокруг
любой из нарисованных на рис. 12.5 прямых) на углы, кратные
90°. Поэтому эта кристаллографическая группа не является рав-»
номерно-разрывной, так как нетождественные перемещения рав-
равномерно-разрывной группы не могут иметь неподвижные точки.
По этой причине мы и не могли
взять каменную соль (и многие
другие хорошо известные крис-
кристаллические вещества) в каче-
качестве примера кристаллическо-
кристаллического JgigecTB» "с! равномерно-раз-:;
рывной кристаллографической
группой.
Пример кристаллографиче-
кристаллографической группы соли показывает,
что 10 типов равномерно-раз-
равномерно-разрывных кристаллографических
групп составляют лишь часть,
причем, как оказывается, ма-
малую часть всех типов простран-
групп. Это и неудивительно,
равномерно-разрывные группы
сильному, чем требуется в
A
A
/
/
А
у/
/
¦/
/
—у
¦ i
у..
/
/
/у
» ,
я
—4
>
Рис. 12.5. NaCl.
ственных кристаллографических
ибо, как мы уже отмечали,
удовлетворяют гораздо более
определении кристаллографической группы, условию: в свойстве
1) константу d(A) можно выбрать не зависящей от точки А. За-
Замечательным открытием, происшедшим в конце прошлого века,
стало перечисление Е. М. Федоровым в России и Шенфлисом
в Германии всех кристаллографических групп перемещений
§12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 155
156 Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ Я ПРИЛОЖЕНИЯ
пространства*). Их оказалось 219 типов, из которых, как мы
знаем, лишь 10 типов дают равномерно-разрывные группы.
Мы не будем здесь перечислять все эти группы, описание ко-
которых заинтересованный читатель сможет найти в специально по-
посвященной кристаллографии литературе (см., например, Дело-
Делоне Б., Падуров Н., Александров А. Математические осно-
основы структурного анализа кристаллов.— М.; Л: ГТТИ, 1934).
Красивые примеры кристаллических веществ с особенно бога-
богатыми группами симметрии читатель найдет на рис, 12.6. Инте-
Интересно, что симметрии в атомной структуре кристаллов отражаются
и на их внешней форме. Позднее мы перечислим (беэ доказатель-
доказательства) все плоские кристаллографические группы, которых оказы-
оказывается гораздо меньше, чем пространственных — всего 17 типов.
Мы уже упоминали о них в связи с узорами на плоскости. При-
Приведенные в конце этого параграфа (на рис. 12.23) 17 узоров всех
17-и типов можно рассматривать как модели плоских кристалличе-
кристаллических веществ с такими группами симметрии.
Упражнения
1. Гидроксиламин NH2OH имеет группу симметрии IV10, причем \л\=*
= 3,646 А, |Ь| =2,196 А, |с| =2,437 А (в обозначениях таблицы 2 из § 11).
В кристаллическом веществе гидроксиламина можно так выбрать начало
координат Q, что в системе координат (Q, а, Ь, с) точки оси I имеют коор-
координаты (х, 0, 0), оси V — @, у, 1/2), а координаты атомов N и О получают-
получаются из координат двух из них
0@,120, —0,624, —0,046) и N@,242, —0,012, 0,126)
действием группы симметрии, которая в этой системе координат, очевидно,
действут так:
, У,
(
~ (— х, у + 1, — г).
Найти расстояние между ближайшими друг к другу атомами N и О в
кристаллическом веществе гидроксиламина. Попытайтесь представить себе
упаковку его молекул (без атомов Н). Изобразить ее в проекции на плос-
плоскость (ж, у).
2. Доказать, что узоры II1, II 2 на рис. 12.24 и III1, III 2 на рие. 12.23
имеют равномерно-разрывные группы симметрии типов II а, II б и III а,
III б соответственно.
*) Интересно, что Б. М. Федоров пользовался другим, эквивалентный
определением кристаллографической группы Г: ее группа параллльных
-^-л™лЛ„ пплжна содержать параллельный перенос на кратчайший иену-
определением кристаллографической группы Г: ее группа параллльных
переносов должна содержать параллельный перенос на кратчайший нену-
ненулевой вектор (или быть равномерно-разрывной) и параллельные переносы
опланарные векторы Из этого определеня так же как для плоских
переносов должна др
левой вектор (или быть равномерно-разрывной) и параллельные переносы
на некомпланарные векторы. Из этого определения так же, как для плоских
групп (см. § 8), следует, что параллельные переносы из Г имеют вид
^ka+lb+jne) гДе *» 'i m — любые целые числа, а, Ь, с — три некомпланар-
некомпланарных вектора.
8 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 157
3. Кристаллографические группы ж геометрии. Разрывные
группы. Прежде чем переходить к этому перечислению, мы пред-
предлагаем читателю остановиться и обдумать любопытную ситуацию,,
в которой мы оказываемся в связи с появлением в этом параграфе
нового для нас класса групп перемещений — кристаллографиче-
кристаллографических групп. Такая ситуация часто возникает в математике в связи
с появлением из разных соображений похоже х математических
объектов.
Задача описания геометрий, в малом совпадающих с плос-
плоскостью или пространством, привела нас в §§ 3—11 к равномерно-
разрывным группам, которым соответствуют геометрии, в малом
совпадающие с плоскостью или пространством. Из других сооб-
соображений, в этом параграфе мы пришли к новому для нас классу
групп — кристаллографическим группам, возникающим в крис-
кристаллографии как группы симметрии кристаллических веществ.
Ни один из двух классов этих групп не содержит другой, а общие-
у них — равномерно-разрывные кристаллографические группы.
Можно ожидать, что существует такой естественный класс групп,,
который содержит в себе как все равномерно-разрывные, так
и все кристаллографические группы. Причем, как и равномерно-
разрывные группы, каждая группа этого класса определяет
какую-то геометрию, которая хотя и не обязана в малом совпа-
совпадать с плоскостью или пространством, но заслуживает интереса,,
и все группы этого класса дают описание какого-то более широ-
широкого, чем в малом совпадающих с плоскостью или пространством^
класса геометрий, определение которого можно дать уже н&
обращаясь к группам. Если же эта геометрия происходит и»
кристаллографической группы реального кристаллического веще-
вещества, то она оказывается наделенной физическими свойствами,,
т..е. представляет,собой реальный физический мир, описывающий
физические свойства этого вещества. Этим интересным вопросам
мы и посвятим конец настоящего параграфа.
Реализуя эту программу, заметим, что как все равномерно-
разрывные, так и кристаллографические группы удовлетворяют
свойству 1) из определения кристаллографической группы. Класс
групп, удовлетворяющих этому свойству, и естественно взять
в качестве искомого класса групп.
Определение. Группа Г перемещений плоскости (или.
пространства) называется разрывной, если для каждой точки А
плоскости (или пространства) найдется такая константа d(A)>0,
зависящая От точки А, что для перемещения F из Г из F(A) ?= A
следует \AF(A)\ >d(A).
Следующий шаг нашей программы состоит в построении по
разрывной группе Г геометрии. Для этого нужно просто дословно
повторить построение геометрии по равномерно-разрывной груп-
группе: две то^ки А и А' называются эквивалентными, если одна из
них получается из другой перемещением из Г; точка соответст-
i:
?53 Ч, П1. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
¦вующей группе Г геометрии задается множеством А эквивалент-
эквивалентных друг другу точек; расстояние \s?38\ между двумя точками
зеометрии определяется как наименьшее из расстояний \АВ\, где
А пробегает множество А эквивалентных друг другу точек, ко-
которое задает si-, а В — множество В, задающее 9S. Единственную
трудность при таком определении геометрии представляет дока-
доказательство того, что так определенное расстояние \$4-3S\ сущест-
существует. Для этого, как и в случае равномерно-разрывных групп,
нужно, во-первых, заметить, что при нахождении расстояния
¦можно зафиксировать точку Л из А и искать минимум среди рас-
расстояний |АВ|, где А — эта фиксированная точка, а В пробегает
ЗВ. Во-вторых, каждое множество В эквивалентных друг другу
точек разрывно (отсюда и название — разрывная группа), т. е.
жонстанты d(B) для точек В из В одинаковы — зависят только от
множества В (это сразу вытекает из того, что Г — группа).
¦Отметим, что так же легко, как для равномерно-разрывных групп,
проверяется, что кристаллографические группы — это в точности
те рагрывные группы, которым соответствуют ограниченные гео-
геометрии. Естественно ожидать, хотя доказать это не так просто,
что равномерно-разрывные группы — это в точности те разрыв-
разрывные группы, которым соответствуют геометрии, в малом совпада-
совпадающие с плоскостью или пространством.
Какой же запас геометрий дают разрывные группы? Отвечая
на этот вопрос, мы для простоты ограничимся разрывными груп-
группами на плоскости, хотя все наши рассуждения и утверждения
•переносятся и на пространство.
В случае равномерно-разрывных групп ответ, как мы знаем,
можно сформулировать так:
1) есть Одна, стандартная .геометрия — плоскость, соответст-
соответствующая- рзшномерно-^зрыввой- группе, состоящей только из тож-
тождественного перемещения;
2) все остальные геометрии (в том числе и плоскость), соот-
соответствующие равномерно-разрывным группам,— это те и только
те геометрии, которые в малом совпадают с плоскостью;
3) таким образом, перечислив все равномерно-разрывные груп-
группы на плоскости, мы получаем описание всех геометрий, в малом
совпадающих с плоскостью.
В случае разрывных групп ответ, как мы увидим, похожий,
только стандартных геометрий гораздо больше:
Теорема 1. 1) Есть некоторый гапас стандартных геомет-
геометрий, соответствующих разрывным группам, имеющим неподвиж-
неподвижную точку, общую для всех перемещений из группы; мы все их
опишем и обозначим как Сп и Dn (n == 1, 2, ...).
2) Все остальные геометрии {в том числе и геометрии Сп
и ?>„), соответствующие разрывным группам,— это те и только те
геометрии, которые в малом совпадают со стандартными геомет-
геометриями Сп и Dn; более точно это означает следующее: существует
S 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 159"
такое г > 0, что для каждой точки $$¦ геометрии найдутся такие
стандартная геометрия Сп или Dn и точка А этой стандартной^
геометрии, что сферические окрестности D(s&, г) точки s4> в геомет-
геометрии и D(A, r) в стандартной геометрии наложимы друг на друга*.
3) Таким образом, перечислив все разрывные группы плос-
плоскости, мы получаем описание всех геометрий, в малом совпадаю-
совпадающих с геометриями Сп и Da.
Итак, рассмотрим вначале те разрывные группы Г, которые
имеют неподвижную точку О (под этим подразумевается, чта
всякое перемещение из Г переводит точку О в себя). Если бы
такая группа Г была равномерно-разрывна, то из предложения 1
§ 8 вытекало бы, что Г состоит ровно из одного перемещения —
тождественного перемещения Е. В случае разрывных групп
ответ, как мы увидим, не намного сложнее: мы покажем, что
группа Г конечна — состоит из конечного числа перемещений.
Отметим, что верно и обратное: каждая конечная группа переме-
перемещений разрывна и имеет неподвижную точку (докажите это!).
Предложение 1. Разрывная группа Г, имеющая непо-
неподвижную точку О, конечна.
Доказательство. Рассмотрим какую-либо точку А, от-
отличную от О, и множество А эквивалентных ей точек. Покажем,
что множество А конечно. Действительно, если F(A) эквивалент-
эквивалентна А, где F принадлежит Г, то
\ОА\ - \F(O)F(A)\ - \OFU)\,
откуда следует, что все точки А лежат на окружности радиуса
\ОА\ с центром в точке О и, в частности, в круге К (О, 2\ОА\)^
Таким образом, разрывное мно-
множество точек А ограничено и,
значит, конечно но лемме из §7.
Рис. 12.8.
Пусть А состоит из точек {Аи..., АпУ. Всякое перемещение F
из Г обладает свойствами F{0) — 0 и F(A)—A{, где i — 1, ...
..., га. Тогда из теоремы Шаля вытекает, что F — либо поворот
с центром в О на угол AOAt, либо симметрия относительно бис-
сектрисы I угла АО At (рис. 12.7). Отсюда число перемещений в F
не превосходит 2га (то же самое вытекает и из леммы 3 из § 8),
Это доказывает предложение.
160
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Используя конечность, легко перечислить все такие разрыв-
разрывные группы Г с неподвижной точкой О. Мы приведем сразу от-
зет — читатель сам может его доказать (см. упр. 1). Конечными
группами перемещений плоскости с неподвижной точкой О явля-
являются группы Сп ц В, (п = 1, 2, ...), состоящие: С„ — из всех
¦поворотов правильного п-уголъника, a Dn — из всех симметрии
правильного п-уголъника с центром в точке О (рис. 12.8).
При этом
Сп = [Ron/n] = [Е, R%, Во", • • •, Я8-1)ф, где <р = 2п/п}
порождена поворотом R%nn и состоит из п поворотов вокруг О
на углы, кратные 2nJn. А группа
?>n =[Siv Sti] = [Е, i?S, i?Sq>, ..., ^п-1)ф, Sh, ..., Sln, гдеФ = 2я/га}
порождена двумя осевыми симметриями Sit и Sit, оси которых
U и 1г пересекаются в точке О под углом я/га, и состоит из тех же
п поворотов, что и С„, и симметрии с осями 1и 1г, ..., Zn, проходя-
проходящими через точку О и составляющими друг с другом углы, крат-
кратные я/'п (см. рис. 12.8).
Фундаментальной областью для группы Сп является угол
с вершиной в О величины 2л/га, причем эквивалентные друг
другу точки этой фундаментальной области лежат на сторонах
угла и получаются друг из друга по-
поворотом вокруг О на угол 2я/га \ ' /
<рис. 12.9). \ Л / /
Склеивая стороны этого угла по
эквивалентным точкам, мы получим
Рис. 12.9.
Рис. 12.10.
"конус с вершиной в точке О. Таким образом, соответст-
соответствующая группе Сп геометрия, которую тоже мы обозначим Сп,
является геометрией на конусе. Рассмотрим в пространстве сферу
с центром в точке О и коническую поверхность С, заметаемую
лучами ОМ с началом в точке О, когда М описывает замкнутую
кривую / без самопересечений на сфере (рис. 12.10), называемую
направляющей конуса. Аналогично геометрии на цилиндрической
поверхности (см. § 3) доказывается, что если длина направляю-
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 161
щей f равна 2nR/n, где R — радиус сферы, an — натуральное
число, то геометрия на конической поверхности С совпадает
с геометрией С„. Следует обратить внимание на то, что далеко не
всякая коническая поверхность дает геометрию, совпадающую
с какой-либо геометрией С„, ибо га натурально.
Фундаментальной областью для группы Д, также является
угол с вершиной в О величины п/п, но в отличие от группы Сп
никакие две точки этого угла не эквивалентны друг другу (рис.
12.11). А значит, геометрия А,, соответствующая группе Д., и
есть этот угол (рассматриваемый как
часть плоскости), если измерять рас-
расстояние между его точками обычным
образом — по плоскости. Это легко
объяснить, если воспользоваться терми-
терминологией «лифтов» из § 3—5. Расстоя-
Расстояние между двумя точками А ж В этого
угла в геометрии Д, равно наименьше-
наименьшему времени, необходимому на путеше-
Рис. 12.11.
ствие из А в В, при движении по углу с единичной скоростью
и при использовании мгновенно действующих лифтов, соединяю-
соединяющих различные эквивалентные точки. Но раз в угле нет раз-
различных эквивалентных точек, то нет и лифтов, и расстояние
между А и В в геометрии Д, равно расстоянию между ними по
плоскости.
Отметим, что здесь мы сталкиваемся с важным явлением.
Существуют два типа геометрий: с «лифтами» и без «лифтов».
Первые получаются из соответствующей фундаментальной обла-
области склеиванием. Для вторых никакого склеивания не нужно:
они просто совпадают с этой фундаментальной областью, т-. е.
являются, фигурой на плоскости. ¦— - ¦
Геометрии Сп и Д, демонстрируют основное отличие геомет-
геометрий, соответствующих разрывным группам, от соответствующих
равномерно-разрывным. Геометрии, соответствующие равномерно-
разрывным группам, в малом устроены одинаково: сферическая
окрестность достаточно малого радиуса каждой точки является
кругом на плоскости. В геометрии же А, сферические окрестности
точек, не лежащих на сторонах угла А,, точек, лежащих на этих
сторонах, и вершины угла А, являются соответственно кругами,
полукругами и сектором с углом л/л (см. рис. 12.11). В геометрии
Сп особой точкой, у которой сколь угодно малая сферическая
окрестность не есть круг, является вершина конуса, а в геомет-
геометрии Аг особыми точками являются стороны и вершина угла А».
Упражнепия
1. Доказать, что группами Сп и Dn исчерпываются все конечные груп-
группы Г перемещений плоскости. При каких от и и группы Ст и Dm содер-
содержат группы С„ и Dn? (Указание: следовать идее доказательства теорем
11 В. В. Никулин, И. Р, Шафаревич
162
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Зя4вп 2 § 8 Если группа состоит из одних поворотов, то рассмотреть
поворот на наименьший угол, содержащийся в группе. Если в группу Г вхо-
входят и симметрии, то рассмотреть группу Г' из содержащихся в группе I
поворотов.) w т
2 Какие фундаментальные области имеют группы симметрии 1 рода
и какие —I и II родов у правильных n-угольных призм, пирамид, тетра-
тетраэдра, куба. Какие точки на их границах эквивалентны? Представьте себе
соответствующие геометрии.
3 Прямыми в геометриях, соответствующих разрывным группам, бу-
будем называть кривые, происходящие из прямых на плоскости. Каковы пря-
прямые в геометриях С„ я Вя?
4. Типичный пример: геометрия прямоугольника. Давайте те-
теперь на примерах убедимся в верности теоремы 1 — проверим ее
экспериментально. Как мы увидим, существует много чисто гео-
геометрических способов строить геометрии, в малом совпадающие
с геометриями Сп и Dn. Однако, во-первых, каждый раз мы бу-
будем убеждаться, что вновь построенные нами геометрии будут
задаваться разрывными группами. Во-вторых, мы таким образом
придем к полному списку геометрий, в малом совпадающих
с геометриями Сп и А,, и полному списку разрывных групп.
В-третьих, эти построения покажут нам тесную связь, существу-
существующую между всеми такими геометриями (и, очевидно, какую-то
связь, существующую между соответствующими им разрывными
группами).
В качестве первого примера геометрии, в малом совпадающей
с геометриями Сп и Dn, но отличной от них, рассмотрим прямо-
прямоугольник ABCD на плоскости (рис. 12.12) с расстоянием между
его точками по плоскости. Он, очевидно, образует геометрию:
так самое трудное свойство г) из определения геометрии в § 6
вытекает из выпуклости прямоугольника: отрезок, соединяющий
, - любые два его точки,-целиком в нем ле^-
С жит. Если выбрать г>0 меньшим, чем
\АВ\/2 и IADI/2, то сферическая окре-
окрестность радиуса г любой точки прямо-
прямоугольника ABCD совпадает со сфериче-
сферической окрестностью радиуса г в одной из
геометрий: Сх (плоскости), ZL (полупло-
Рис 1212 Геометрия скости) и D2 (прямого угла). Например,
III3. на рис. 12.12 сферическая окрестность
радиуса г точки К совпадает с кругом на
плоскости с центром в К; точки L — со сферической окре-
окрестностью радиуса г зтой же точки в полуплоскости, ограни-
ограниченной прямой UD); точки М — со сферической окрестностью
этой же точки в прямом угле BAD. Это доказывает, что прямо-
прямоугольник ABCD дает геометрию, в малом совпадающую с гео-
геометриями Сп и Dn (даже только с С, Z>» и D2). Отличие же его
от геометрий С„ и Dn сразу бросается в глаза: во-первых, квадрат
ограничен; во-вторых, его особые точки устроены не так, как
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 163
у геометрий С„ и Dn Су него 4 особые точки типа D2). Таким об-
образом, мы действительно имеем дело с какой-то новой геомет-
геометрией, в малом совпадающей с геометриями Сп и Dn.
С другой стороны, одного взгляда на особые точки прямо-
прямоугольника ABCD достаточно, чтобы предложить кандидатуру на
роль разрывной группы Г перемещений плоскости, для которой
этот прямоугольник является геометрией и фундаментальной
областью. В качестве такой группы Г естественно взять группу
Г = lS(A.B)i "(ВС), "
(ВС), "(CD),
J,
порожденную отражениями относительно сторон прямоугольни-
прямоугольника ABCD.
Покажем, что она действительно обладает указанными свой-
свойствами. Пользуясь симметриями S(AB), S(Bc), S(Cd), S(ad), мы по-
получим из прямоугольника ABCD еще 4 прилегающих к нему
все
ADA
а)
d)
С
I)
В
А
0)
С
D
Ф,
В
А
С
в
-1
_!
—1
_J
—1
Г"
1_
г~
1_
г-
~1
~1
_м
—1
г~
¦^ШуХ-: ¦¦
1_
Г"
—1
с -1
—1
0 _j
—1
Г"
|_
Г"
L_
Г~
—1
1
—1
1
Рис. 12.13. а) Прямоугольник ABCD; б) фигура Ф4; в) фигура Ф2; г) сетка
из прямоугольников; д) сетка из прямоугольников с буквой Г.
прямоугольника, которые вместе с прямоугольником ABCD об-
образуют изображенную на рис. 12.13, б фигуру Ф,. Точки этой
фигуры Ф4 по построению эквивалентны точкам прямоугольника
ABCD. Симметриями <S(j4B), Siao, S(CD), S(AD) из фигуры Ф, мы
получим новые фигуры, которые вместе друг с другом и Ф,
составят изображенную на рис. 12.13, .в фигуру Ф2. По построе-
11*
164
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
нию ее точки также эквивалентны точкам прямоугольника ABCD.
Продолжая это рассуждение, мы будем получать все большие
фигуры Ф» (п = 1, 2, 3, ...), точки которых эквивалентны точкам
прямоугольника ABCD, и которые заполняют всю плоскость. Это
доказывает, что все точки плоскости эквивалентны точкам наше-
нашего прямоугольника ABCD.
Покажем, что среди точек прямоугольника ABCD нет экви-
эквивалентных точек. Из предыдущего рассуждения видно, что при
композициях образующих перемещений S^B), Sibc), S^cd), ^(ab)
группы Г, т. е. при перемещениях группы Г, образы прямоуголь-
прямоугольника ABCD заполняют плоскость, образуя сетку из конгруэнтных
примыкающих друг к другу прямоугольников (рис. 12.13, г). Это
и очевидно, так как при каждом образующем перемещении SiA.B),
S(bc), iS(cd), S(a.d) группы Г зта сетка очевидно переходит в себя,
а поэтому она переходит в себя и при всех перемещениях из Г,
так как они являются композициями образующих перемещений.
Таким образом, мы можем представлять себе перемещения груп-
группы Г как симметрии этой сетки — в этом и состоит идея доказа-
доказательства иашего утверждения. Но по причинам, которые станут
понятны ниже, одной этой сетки нам будет недостаточно. Давай-
Давайте дополнительно поместим в центр прямоугольника ABCD бук-
букву г (рис. 12.13,3). Тогда, рассуждая совершенно так же, как
выше, мы получим, что перемещения группы Г являются сим-
метриями узора из прямоугольников с буквами г, изображенного
на рис. 12.13, д. Теперь мы можем перейти к доказательству на-
нашего утверждения. Пусть две точки X и Y прямоугольника
ABCD эквивалентны, т. е. Y = F{X), где F — перемещение из Г.
Перемещение F переведет прямоугольник
ABCD с буквой г в некоторый прямо-
прямоугольник А'В'CD' узора на рис. 12.13,3
с его буквой г, раз перемещения груп-
группы Г являются симметриями этого узора.
Причем Y = F(X) принадлежит как пря-
прямоугольнику ABCD так и прямоугольни-
прямоугольнику А'В'CD', т. е. эти прямоугольники
имеют общие точки. Отсюда следует, что
прямоугольник А'В'CD' является одним из девяти нарисован-
нарисованных на рис. 12.14 прямоугольников узора.
Но для каждого из этих девяти прямоугольников с их буква-
буквами г есть ровно одно перемещение плоскости, переводящее в него
прямоугольник ABCD с его буквой г (см. лемму 3 из § 7) —
именно для этой единственности и были добавлены буквы г.
В результате мы получаем 9 возможностей для F, и остается
разобрать каждую из них. Например, пусть F переводит прямо-
прямоугольник ABCD в прямоугольник AMNB (см. рис. 12.14), тогда
F = S(AB) — симметрия относительной прямой (АВ). Очевидно, что
точками X прямоугольника ABCD, обладающими тем свойством,
'—'й
—1
' L.
Г"
L_
—1
D _|
Рис. 12.14.
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 165
что Y = F{X) также принадлежит прямоугольнику ABCD, явля-
являются в точности точки X отрезка 1АВ]; но для них Y = F(X) =
== X, поэтому эта возможность для F не дает различных эквива-
эквивалентных точек. Аналогично разбираются остальные 8 возможно-
возможностей для F.
Отметим, что те же самые рассуждения показывают совпаде-
совпадение группы симметрии узора на рис. 12.13, д с группой Г. В са-
самом деле, так же, как мы доказывали выше, каждая симметрия
G этого узора однозначно определяется тем, в какой из его
прямоугольников с буквой г переходит при этой симметрии
прямоугольник ABCD с его буквой г. Если бы это перемещение
не принадлежало группе Г, то внутренние точки этого прямо-
прямоугольника не были бы эквивалентны (относительно Г) точкам
прямоугольника ABCD, а это противоречит тому, что прямоуголь-
прямоугольник ABCD является фундаментальной областью для Г.
Докажем, наконец, разрывность группы Г. Заметим, что кон-
константа d(X) (из определения разрывности) одна и та же для
эквивалентных точек, поэтому достаточно рассмотреть только
точки X прямоугольника ABCD. Для этого вновь обратимся к
рис. 12.14, состоящему из прямоугольников нашего узора, окру-
окружающих прямоугольник ABCD. Воспользуемся тем, что каждый
из прямоугольников узора очевидно обладает всеми свойствами
прямоугольника ABCD, в частности, не содержит различных эк-
эквивалентных точек. Для каждой точки X прямоугольника ABCD
рассмотрим круг такого радиуса d(X) с центром в X, что этот
круг не пересекает стороны
прямоугольников рис. 12.15,
отличные от проходящих через
точку X.
"Мы утверждаем, что эти
числа d(X) и будут искомыми.
Пусть например, Х — А совпа-
совпадает с вершиной А прямо-
прямоугольника ABCD. Тогда по-
построенный круг радиуса d(A)
с центром в А разбивается пе-
пересекающими его четырьмя
прямоугольниками рисунка на 4 сектора с центром в Л. В каж-
каждом из этих секторов точке А нет эквивалентных точек (ибо это
же верно для прямоугольника, содержащего этот сектор), по-
поэтому точке А нет эквивалентных и во всем круге К(А, d(A));
значит, число d(A) является искомым для точки А. Совершенно
аналогично разбираются другие положения точки X в прямо-
прямоугольнике ABCD. Это доказывает требуемое.
Таким образом, мы доказали, что взятая нами геометрия,
в малом совпадающая с геометриями Сп и Dn — прямоугольник
на плоскости,— оказывается соответствующей разрывной группе
_J
в
Л
L_
_J
с
| ~1
Рис. 12.15.
166
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 107
перемещений плоскости. Мы построили эту группу Г — в качестве
нее можно взять группу, порожденную симметриями относитель-
относительно сторон этого прямоугольника (тогда он, кроме того, окагы-
вается ее фундаментальной областью), и проверили ее разрыв-
пость. В этой геометрии так же, как и в геометриях Dn, прямо-
прямоугольник является одновременно и фундаментальной областью
и геометрией для группы Г.
Обозначим эту геометрию и соответствующую ей группу но-
номером III3, оставляя-номера III1 и III2 за равномерно-разрыв-
равномерно-разрывными группами типов Ша и IIIб.
Напомним, что идея вышеприведенного доказательства состо-
состояла в построении узора на плоскости, который содержал бы в
качестве своего элемента прямоугольник и имел бы Г группой
симметрии.
5. Перечисление всех геометрий, совпадающих в малом с Сп
или Da. Мы специально очень подробно разобрали пример гео-
геометрии прямоугольника, так как совершенно аналогично может
быть проверено, что и все другие геометрии (типов ИЗ—117
и III4—III17), которые мы дальше построим, будут соответ-
соответствовать указанным ниже разрывным группам и иметь указан-
указанные фундаментальные области с соответствующими эквивалент-
эквивалентными точками па границе. Мы не будем повторять это доказа-
доказательство, оставляя его читателю, и ограничившись лишь указа-
указанием узоров, которыми нужно пользоваться (см. ниже рис. 12.23
и 12.24), нумеруя их так же, как соответствующие им геометрии
п группы. Таким образом, группами симметрии этих узоров яв-
являются разрывные группы с соответствующими номерами. В на-
наших обозначениях римская цифра II будет указывать на гео-
геометрии, которые хотя и неограниченны, Но отличны от С„ и D,,
(.соответствующие им разрывные группы не являются кристалло-
кристаллографическими, но бесконечны). При этом номера III и 112
остаются за известными нам геометриями и группами типов Па
и II б, а римская цифра III указывает на ограниченные геомет-
геометрии и соответствующие им кристаллографические группы.
Без труда можно придумать и другие фигуры на плоскости:
п
полоса, половина полосы, три треугольника с углами вида —^-
с патуральпьш 1с, которые в малом совпадают с геометриями Сп
и Dn, но отличны от них (рис. 12.16). В качестве нетривиального
упражнения читатель может попытаться доказать, что никакие
другие фигуры на плоскости, кроме фигур рис. 12.16 и углов Dn,
не дают геометрии, в малом совпадающие с геометриями С„ и А,.
Аналогично тому, как это делалось в случае прямоугольника,
читатель убедится, что эти фигуры являются геометриями, со-
соответствующими разрывным группам, порожденным отражениями
относительно сторон этих фигур; при этом они будут являться
и фундаментальными областями.
Заменяя плоскость на цилипдр, мы можем и на цилиндре
рассмотреть фигуры, в малом совпадающие с геометриями Сп и
Dn- Они дают еще два новых примера геометрий: полуцилиндр
и конечный цилиндр (см. рис. 12.17, где кривые I, m являются
направляющими цилиндра).
жз
жч
Ш5
Мб
Рис. 12.16. Ге(шетрии II 3, II4, III 3 — III 6 (группы порождены отражения-
отражениями относительно сторон).
Рис. 12.17. Геометрии и группы II 5 и III 7.
При этом совершенно ясно, что полуцилиндр соответствует
разрывной группе ГП5 = [ТЛ, Si], порожденной параллельным
переносом ТЛ с вектором а и симметрией St с осью I, парал-
параллельной а, а конечный цилиндр — разрывной группе
Гш 7=[^а. Si,Sm\, где a IUII m (рис. 12.17). На этом рисунке полу-
полуполоса и прямоугольник ABCD будут их фундаментальными
областями.
Вспоминая про геометрию на скрученном цилиндре из § 5,
читатель убедится, что лист Мёбиуса, являющийся фигурой этой
геометрии, также дает геометрию, в малом совпадающую с гео-
геометриями Сп и DJ Она соответствует разрывной группе Гш 8 =
= [5?, 5т]» порожденной скользящей симметрией и симметрией
168
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
с параллельными осями I и т и имеющей прямоугольник ABCD
фундаментальной областью (рис. 12.18).
Симметрия Sm, (см. рис. 12.18) не присутствует среди обра-
образующих Гш 8, так как является композицией Sm> = S^Sm («Sj)~
образующих 5? и Sm. Хотя лист Мёбиуса и похож на конечный
цилиндр, в отличие от него его особые точки (край) образуют
одну кривую, а не две.
в
1
1
а.
Рпс. 12.18. Геометрия и группа III8.
В приведенных выше примерах геометрий, в малом совпада-
совпадающих с геометриями С„ и Dn, но отличных от них, не было ни
одной геометрии с особыми точками типа С„, где п 3* 2; во всех
этих примерах геометрии на самом деле в малом совпадали с
геометриями Сг (или плоскостью) и Dn. Это и естественно, так
как любая сколь угодно малая сферическая окрестность особой
точки конуса С„, где га 3* 2, не помещается как в плоскости, так,
следовательно, и в любой геометрии, в малом совпадающей с
плоскостью. В приведенных же выше примерах геометрии были
фигурами геометрий, в малом совпадающих с плоскостью.
Примеры таких геометрии также можно привести, если рас-
рассмотреть некоторые фигуры на некоторых конусах Сп, где п 3* 2.
Как мы знаем, конус С2 сворачивается из угла с вершиной О
величины я. Рассмотрим в этом угле прямоугольник ABCD,
у которого сторона АВ идет по сторонам угла и О является
серединой АВ (рис. 12.19, Гш „). Сворачивая из угла с вершиной
О конус С2, мы получим из прямоугольника ABCD фигуру на
конусе Сг, изображенную на рис 12.19, III9. Так как D — С= я/2,
а углы OAD и ОВС сворачиваются на конусе Сг в развернутый
угол, то эта фигура на конусе является геометрией, в малом сов-
совпадающей с геометриями С„ и А,, причем ее особая точка О —
типа С2. Некоторое сомнение вызывает то, что эта фигура на
конусе С2 является геометрией. Однако это так и вытекает из
того, что эквивалентные (относительно группы С2) точкам пря-
прямоугольника ABCD точки плоскости образуют прямоугольник
DCCD' (рис. 12.19, Гт9), который является выпуклым множе-
множеством (см. упр. 6 п. 2 § 7).
Таким образом, мы получаем новую геометрию типа III9.
Читатель легко проверит, что она задается разрывной группой
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ
169
порожденной симметриями относительно сторон (AD) и {DC)
и середины О стороны АВ прямоугольника ABCD, при этом
прямоугольник ABCD является ее фундаментальной областью.
Совершенно аналогично можно построить еще три подобные гео-
геометрии II6, III10 и III11 на конусах С2, С, и С4, получающиеся
соответственно из полосы и треугольников ОАВ (см. рис. 12.19),
В
'Л\\\\\\\\\\
L
А
0
"¦'*""*"'¦
С
llllll 111 1 1 n
J
*q] C
В
Ш11
Рис. 12.19. Геометрии и группы II 6, III 9, III 10, III 11.
и убедиться, что они задаются разрывными группами Гн в, Гт ю
и Гш н, порожденными симметрией и поворотом соответственно
на я, 2я/3, я/2.
На этом мы исчерпали возможности этого метода — строить
геометрии как фигуры в уже известных геометриях — геометри-
геометриях, в малом совпадающих с плоскостью и конусах С„. Дело в том,
170
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
что таким способом мы не можем строить геометрии с более чем
одной особой точкой типа Сп, где га ^ 2.
Их можно строить другим методом — при помощи склеива-
склеивания геометрий. Для примера давайте рассмотрим два одинако-
одинаковых экземпляра геометрии типа III3, т. е. два одинаковых пря-
прямоугольника ABCD и А'В'CD' (рис. 12.20, а). Склеим их одина-
одинаковые стороны [АВ] и [A'B'l, IBC] и IB'C'1, [CD] и W'D'l _
аналогичным образом из двух прямоугольных кусков материи
сшивается наволочка. При этом мы получим поверхность, кото-
которая аналогична поверхности наволочки, если надеть ее на по-
подушку (рис. 12.20, а и б).
_ Рис 12.20. Геометрия и группа III12.
Так как углы прямоугольников прямые, то геометрия на этой
поверхности очевидно в малом совпадает с геометриями С^иД»,
причем она имеет две особые точки типа С2 (точки Bjzf_^
С = С на рис. 12.20,6). Приложим прямоугольник А ВО D
к прямоугольнику ABCD так, как показано на рис. 12.20, в. Легко
понять, что зта геометрия задается разрывной группой, порож-
порожденной двумя симметриями 5(ах>)> S<.a'd') и двумя центральны-
центральными симметриями R-в и Re, а прямоугольник A A 'D'D является ее
фундаментальной областью (рис 12.20, в). Замечая, что
StA'D') — RiS^AD)R^, мы видим, что число образующих можно
уменьшить —
Гщи = L^tAD). -"В, "Cj.
Заметим, что в предыдущем примере мы можем склеить также
оставшиеся не склеенными стороны [AD] и lA'D'] прямоуголь-
прямоугольников и получим геометрию III13, имеющую своими особыми
точками четыре особые точки типа Сг (рис. 12.21,6). Такую
S 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ U РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 171
[
А1
А
,/
>_
D'
D
с, ¦ сг
2 шп 2
А'
А
D'
D
7
/0
6)
в
о, [/ >-^
В
с.
в' ¦
/• -!ал я'Ч
'шп 1нс>на)
... п. ^
У
¦ )
~Zi J
о)
Ш15 С"
В
В'
Гш
it /
it
5 =/^С / "A J
б1,
i
в
ч
7 J
с3
V
Сз
4
Ш16
ч
с,
с{
в
л
У
• •
Рис. 12.21. Геометрии и группы II 7, III 13 — III 16.
172
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
геометрию мы постоянно наблюдаем на поверхности подушки.
Она также задается разрывной группой
щ 13 =
а — В А,
порожденной двумя центральными симметриями и параллельным
переносом (рис. 12.21, б, справа). Отметим только, что это не
самая общая разрывная группа (соответственно геометрия) тако-
такого типа: вместо прямоугольника ABCD можно взять параллело-
параллелограмм (см. рис. 12.21, б, слева). А взяв вместо прямоугольника
ABCD полуполосу и треугольники, являющиеся геометриями ти-
типов 114, III4, III5 и III 6 (см. рис. 12.16), мы полупим тем же
самым способом еще четыре новые геометрии типов II7, III14,
III15 и III16, задающиеся разрывными группами
Гц 7 = [Rai ^в]>
Гш 15 = [Л?, RT],
[Re, Ra ]>
хв - [RT'\
(см. рис. 12.21, а, в, г, д, где указаны и фундаментальные области
этих групп). Эти геометрии имеют своими особыми точками со-
соответственно две особые точки типа Сг, три особые точки типов
Сг, С, и Св; одну особую точку типа Сг и две — типа С4; три —
типа С3.
Наконец, чтобы построить последнюю наиболее нетривиаль-
нетривиальную геометрию, в малом совпадающую с геометриями Сп и Dn,
вернемся к ранее построенной геометрии III12. Ее край /, со-
состоящий из особых точек типа Du является окружностью. Назо-
Назовем две точки окружности / противоположными, если эти точки
делят ее на две дуги одинаковой длины (см. рис. 12.22, а, где
указаны противоположные точки Е и Е'\ F и F', G и G', Н ш Н').
Очевидно, склеивая точки края / этой геометрии по противопо-
противоположным точкам, мы получаем поверхность, геометрия на которой
в малом совпадает с геометриями С„ и Dn и имеет своими осо-
особыми точками две особые точки В ж С типа Сг. Как и бутылку
Клейна, мы можем реализовать эту поверхность в пространстве
только допуская самопересечения (см. рис. 12.22, а — д, где вна-
вначале склеиваются точки Е и Е', далее — F и F', затем кривые
EGF и EG'F; наконец, допуская самопересечение поверхности,
склеиваются кривые EHF и EH'F). В математике эта поверхность
называется проективной плоскостью (см. ниже). Читатель легко
убедится, что построенная геометрия задается разрывной группой
где SfzE') — скользящая симметрия с вектором ЕЕ' п осью (ЕЕ'),
Е и Е' — середины сторон FF' и F^F-^ прямоугольника FF^F^',
а. В ж С — сторон FFi и F'FX (рис. 12.22, е), причем этот прямо-
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 173
F=F'
F=F'
Рис. 12.22. Геометрия и группа III17.
угольник является ее фундаментальной областью. Заметьте, что
образующая R" этой группы выражается через остальные, поэто-
поэтому ту же группу можно задать образующими:
Гш 17 = [^(ЕЕ')) Дв.|.
Если не обращать внимания на особые точки, то наволочка (рис. 12.22, а)
представляет собой полусферу: если сделать наволочку из резииы, то эти
особые точки можно разгладить, не разрывая наволочку. А из полусферы
174
Ч. 1П. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
тем же самым, что и у нас, отождествлением противоположных точек на
ее границе — окружности — склеивается поверхность, на которой реали-
вуется геометрия Римана (см. упр. 4 п. 2 § 7 и упр. 6 § 9). Таким образом,
наша геометрия и геометрия Римана реализуются на одной и той же по-
поверхности. Прямые геометрии Римаиа удовлетворяют аксиомам принадлеж-
принадлежности обычной плоскости, но вместо аксиомы параллельности удовлетворя-
удовлетворяют аксиоме проективной плоскости: любые две различные прямые пере-
пересекаются (см. упр. 4 п. 2 § 7). Отсюда и произошло название нашей по-
поверхности — проективная плоскость.
При том разнообразии способов строить геометрии (в малом
совпадающие с Сп и А,), с которыми мы здесь познакомились,
может показаться, что процесс построения геометрий никогда не
оборвется: из уже построенных геометрий можно построить еще
более новые и т. д. Но зто не так:
Теорема 2. Геометриями типов С„, Dn, II1—II 7, III I —
III 17 исчерпываются все геометрии, в малом совпадающие с
геометриями Сп и Dn. Соответствующими группами
Сп, Dn,
ц 7,
Пцт
исчерпываются все разрывные группы перемещений плоскости
{их описание см. в рис. 12.16—12.22), они оке являются группами
симметрии узоров, изображенных на рис. 12.23 и 12.24. В част-
ностщ группами
Гш t—Гш it
исчерпываются все плоские кристаллографические группы.
Мы не доказываем эту теорему, но читатель может убедиться,
что применяя рассмотренные нами и любые другие способы
строить геометрии из полученных геометрий С„, ?>„, III—II7,
Рнс. 12.23. Узор (орнамент) для группы III 1 (или III а).
III1—III17, он не нолучит повых геометрий, в малом совпадаю-
совпадающих с С» и Dn. Например, способ построения из геометрии III12
геометрии III17 можно применить к геометрии III8 на листе
Мёбиуса, у которой особые точки типа Dt образуют, как и у
геометрии III12, окружность. Но получится уже известная-нам
геометрия на бутылке Клейна. Читатель может сам придумать
много других подобных примеров.
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 175
Ш2
¦MS
V
-У
Ш5
Рис. 12.23. Узоры (орнаменты) для групп III 2 (или III б) — III 6.
176
4. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Ш7
шв
Ш9
Ж 77
Рис. 12.23. Узоры (орнаменты) дяя групп III7 — III11.
S 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЙ ГРУППЫ 177
ЛП2
ШП
Ш16
л/г/л/г/л/г/л
/j/r/j/r/j/r/j
'л/гшгшг/л
Ж13
Ш15
Ш17
Рис. 12.23. Узоры (орнаменты) для групп III 12 — III 17.
в. В. Никулин, И. Р. Шафаревнч
178
Ч. Ш. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
f
f
f
¦b
f
Е2(или IS)
L
J
1
L
m
iff
i
г
L
J
г
L
1
%?
Г
L
J
Г.
L
14
f
f
15
f
Рис. 12.24 Узоры (бордюры) для групп II1 — II7.
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 179
Упражнения
1. К какому типу относятся группы симметрии разбиения плоскости на
конгруэнтные примыкающие друг к другу прямоугольники, правильные
треугольники, шестиугольники, квадраты?
2. Доказать, что группы типов II 7, III13, III14, III15, III16 состоят из
перемещений I рода групп типов II 4, III3, III4, III5, III б соответственно
(вспомните способ построения этих групп).
3. Какая геометрия получится при склеивании геометрий типов III8
я III12, имеющих граничные окружности одинаковой длины, по этим ок-
окружностям? .
4. В прямоугольном бильярде требуется попасть шаром А в шар В.
а) Найти все способы это сделать (см. упр. 3 из п. 3).
б) Найти все такие способы, при которых шар А отражается п раз от
вертикальных бортов и т раз от горизонтальных.
в) Найти все периодические траектории движения шара в таком
бильярде.
г) Рассмотреть аналогичную задачу для бильярда, имеющего форму
правильного треугольника.
6. О доказательстве теорем 1 и 2. Доказательство того, что
жаждая геометрия, в малом совпадающая с геометриями Сп и Dn,
строится по некоторой разрывной группе, мало чем отличается
от проведенного нами в § 10 в случае геометрий, в малом совпа-
совпадающих с плоскостью (или геометрией С С). Для этого надо лишь ¦
изменить понятие карты и накрытия, приспособив их к общему
случаю геометрий, в малом совпадающих с геометриями С„ и Dn
(мы предлагаем продумать эти понятия читателю). Но неожи-
неожиданно трудным (хотя и гораздо более простым, чем рассуждения
из § 10) оказывается доказательство прямого утверждения тео-
теоремы 1: каждая разрывная группа дает геометрию, в малом сов-
совпадающую с геометриями С„ и Dn. Оно требует построения
удобных фундаментальных областей для разрывных групп (во
всех наших примерах мы угадывали эти фундаментальные обла-
области для конкретных групп, пользуясь их явным заданием) й
.исследования их свойств. Впрочем, эту трудность можно обойти,
«ели доказать сначала теорему 2 и воспользоваться явным видом
указанных в ней разрывных групп.
Доказательство теоремы 2 основывается на уже знакомых нам
идеях. Разрывные группы разбиваются на три типа, в зависи-
зависимости от того, каково множество содержащихся в них парал-
параллельных переносов: для групп I типа оно состоит лишь из тож-
тождественного преобразования; для групп II типа — из параллель-
параллельных переносов на такие векторы, что если их отложить от неко-
некоторой точки, то концы их образуют ряд О' равноотстоящих
друг от друга точек (решетку) на некоторой прямой; наконец,
для групп III типа концы векторов параллельных переносов
образуют плоскую решетку О". Группы I типа — это Сп и Dn.
Для групп II и III типа, совершенно аналогично рассмотренной
в § 11 ситуации, все перемещения группы должны переводить
а себя решетку О' (для II типа) или О" (для III типа). Отсюда
12*
180
Ч. III. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
легко определяются все группы II типа. Для нахождения групп
III типа надо воспользоваться тем, что в § 11 были перечислены
все симметрии плоских решеток. Отсюда легко восстанавливают-
восстанавливаются все группы этого типа. (Этим, в частности, объясняется, по-
почему в группах III типа встречаются лишь повороты на углы я,
я/2, 2я/3 и я/3.) Мы не будем приводить здесь подробное дока-
доказательство. Читатель может прочесть его в книге: Гильберт Д.,
Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.— М.: Наука, 1981
(гл. 2, § 12) для случая кристаллографических групп на плоско-
плоскости, не содержащих скользящих симметрии.
7. Кристаллические вещества и их «молекулы». Вернемся те-
теперь к кристаллическим веществам и их кристаллографическим
группам. Какой же смысл имеет для кристаллического вещества
соответствующая его кристаллографической группе Г геометрия?
Так как все точки из множества А эквивалентных друг другу
точек кристаллического вещества имеют по самому определению
этой группы одинаковые физические свойства, то сопоставляя
эти свойства задаваемой множеством А точке -зФ геометрии, мы
наделим физическими свойствами все точки этой геометрии. При
этом, очевидно, физические свойства каждой точки пространства
будут представлены среди физических свойств точек этой гео-
геометрии, а различные точки геометрии будут иметь, по определе-
определению Г, разные физические свойства. Иначе говоря, наделенная
таким образом физическими свойствами геометрия представляет
собой ту элементарную ячейку, из которой
разворачивается все кристаллическое веще-
вещество. А соответствие между геометриями и
разрывными группами можно проинтерпре-
проинтерпретировать, сказав, что строение и физиче-
физические свойства этой элементарной ячейки
полностью определяют строение и физиче-
физические свойства всего кристаллического веще-
вещества — то, как оно разворачивается из этой
элементарной ячейки. Например, что из се-
себя представляет молекула соли? Глядя на
рис. 12.5, где изображено кристаллическое
вещество соли, совершенно не ясно, как
объединить атомы натрия и хлора в моле-
молекулу (еще большие трудности возникают, если кристаллическое
вещество состоит из более чем двух элементов, которые не объ-
объединяются в ярко выраженные группы атомов).
В качестве первого приближения к ответу, естественно взять
за такую молекулу фундаментальную область для кристаллогра-
кристаллографической группы соли, но это было бы не совсем правильно, так
как фундаментальную область нельзя выбрать однозначно. С дру-
другой стороны, соответствующая этой группе геометрия устроена
аналогично плоским геометриям Гш 3 — Гщ в (см. рис. 12.16) и
Рис. 12.25.
§ 12. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ 181
представляет собой тетраэдр АВМО, в двух вершинах А и В
которого находятся атомы натрия и хлора (см. рис. 12.25). Этот
тетраэдр с атомами натрия и хлора в двух его вершинах и явля-
является молекулой соли. Причем строение этой молекулы полностью
определяет строение кристаллического вещества соли — то как
оно сложено из этих молекул. Определяя таким же образом
молекулы для кристаллических веществ как соответствующие их
кристаллографическим группам геометрии, наделенные физиче-
физическими свойствами, мы можем сказать, что в строении и физиче-
физических свойствах молекулы кристаллического вещества содержится
полная информация о строении всего кристаллического вещества!
Читатель может возразить на это, что судя по примерам гео-
геометрий, соответствующих плоским кристаллографическим груп-
группам, например геометрии III2 на бутылке Клейна и геометрии
III17 на проективной плоскости, так определенные молекулы
могут быть устроены очень сложно. Но ведь никто из нас не
думает, что окружающий нас мир устроен просто?
ЧАСТЬ IV
ГЕОМЕТРИИ НА ТОРЕ, КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
И ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
§ 13. Подобие геометрий
1. Условие совпадения двух геометрий, определенных равно-
равномерно-разрывными группами. В описании геометрий, в малых
частях совпадающих с плоскостью, составившем содержание II
части, имеется один пробел, который мы теперь восполним. Было
доказано, что всякая такая геометрия строится в виде геометрии
2Г по некоторой равномерно-разрывной группе Г перемещений
плоскости. Казалось бы, классификация всех таких групп, данная
в § 8 гл. II, и решает вопрос. Это, однако, не совсем так. Дей-
Действительно тем самым мы предлагаем такой список геометрий,
что всякая интересующая нас геометрия совпадает с одной из
геометрий списка; однако мы не выясняем, когда две геометрии
из нашего списка совпадают (т. е. налагаются друг на друга),
а когда — различны. Поэтому вопрос о том, «как много» суще-
существует различных геометрий, не получил еще окончательного
ответа. Некоторые утверждения в этом направлении можно сде-
сделать сразу. Например, геометрии, принадлежащие к разным ти-
типам I, Па, IIб, III а, III б, между собой различны, ибо они
отличаются друг от друга такими свойствами, как наличие замк-
замкнутых прямых, ограниченность, неразличимость «право» и «лево».
Но неясным остается вопрос о различии или совпадении геомет-
геометрий внутри каждого типа. Например,-одинаковы~ияи различны
геометрии, определенные группами Г и Г' типа II а, если эти
группы задаются изображенными на
рис. 13.1 парами векторов?
Чтобы подготовить ответ на этот
вопрос, мы рассмотрим сейчас очень
естественный способ, которым можно
из одной группы получать другие. По-
Потом мы покажем, что именно таким
образом связаны между собой группы,
определяющие одинаковые геометрии.
Пусть G — перемещение плоскости П, a F — другое переме-
перемещение, которое нам удобно рассматривать как наложение П на
плоскость П', может быть с П не совпадающую. В таком случае
мы можем, конечно, перенести, пользуясь наложением F, переме-
перемещение G на плоскость П': надо для произвольной точки X' этой
плоскости взять ту точку X плоскости П, которая соответствует
X' при наложении F, потом подействовать на X перемещением
Рис. 13.1.
§ 13. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЙ
183
G и, наконец, опять взять точку плоскости П', которая соответ-
соответствует полученной точке G(X) при наложении F (рис. 13.2).
Записывая то, что выражено словами, при помощи компо-
композиции, мы получим точку *
Y'^FGF-ЧХ'). A)
Эту точку мы и сопоставим точке X' и тем самым получим пре-
преобразование плоскости П', которое обозначим G', т. е. G' =
=*FGF~l. Так как все встречающиеся в зтой формуле ото-
отображения (F, F~*, G) не меня-
меняют расстояний, то это же вер-
верно и для G', т. е. G' является
перемещением плоскости П'.
Это перемещение обозначается
G' и называется сопряженным
G при помощи F. Итак, по оп-
определению имеем
G'^FGF-K B) Рис. 13.2.
Из этой формулы сразу вытекают свойства операции
сопряжения:
а) (GtG2)F = G*G*,
б) {G-XY = (GF)~\
Отсюда следует, что если G пробегает группу перемещений плос-
плоскости П, то сопряженные перемещения G* при помощи заданного
наложения F плоскости П на плоскость П' тоже пробегают груп-
группу перемещений. Эту группу мы обозначим "Г*."Она называется
сопряженной группе Г при помощи наложения F.
Также легко проверить следующие свойства:
В) (TAB)F == Tf(A)F(.Bb
г) (лаг-язя
(здесь F(a) обозначает угол, равный а, если а — параллельный
перенос или поворот, и —а, если F — скользящая симметрия),
ж) (st*r = s*F№™
(здесь Sf3 — скользящая симметрия с вектором А В и осью I).
Отсюда следует, что если, например, группа Г типа II а зада»
ется парой векторов а и Ь, то группа Г' тоже принадлежит к
типу II а и задается парой векторов F(а) и Р(Ъ) (что такое вектор
F(&), было определено в п. 2 § 11: если & = ОА, то F(&) =•
•=F(O)F(A)). Вообще, из перечисленных свойств а) —д) выте-
вытекает, что если группа Г задана одной из картинок, приведенных
184
4. TV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
в конце § 8 (теорема 7), то сопряженная группа Г' задается
картинкой, которая получается применением к исходной картин-
картинке перемещения F.
Теперь мы можем дать ответ на вопрос, сформулированный
в начале параграфа.
Теорема 1. Геометрии 2г и 2г', соответствующие равно-
равномерно-разрывным группам Г и Г', тогда и только тогда наложи-
наложимы друг на друга, когда группы Г и I" сопряжены при помощи
некоторого перемещения плоскости.
Доказательство. Пусть Г — группа перемещений плос-
плоскости П, а Г' — плоскости ГГ. В одну сторону теорему доказать
очекь просто.
Предположим, что F — некоторое наложение плоскости П на
плоскость П'иГ' = Г*. Сопоставим каждой точке X плоскости П
точку F{X) плоскости П', тогда точкам X ж Y, эквивалентным
относительно группы Г, сопоставятся точки F(X) и F(Y), экви-
эквивалентные относительно группы Г'. Тем самым совокупности
точек, эквивалентных между собой относительно Г (т. е. точке
геометрии 2Г)> сопоставится совокупность точек, эквивалентных
друг другу относительно группы Г' (т. е. точка геометрииЗг')-
Мы получаем отображение геометрии 2Г в геометрию 2г». Это
отображение является наложением одной геометрии на другую.
Проверка сформулированных утверждений немедленно вытекает
из определения (формулы A) или B)). Читатель,. если захочет,
сможет сам легко осуществить эту проверку.
Труднее доказать вторую половину теоремы. Пусть нам дано,
что геометрии 2Г и 2г» наложимы друг на друга, и пусть / —
это наложение. Мы будем, как и в первой части доказательства,
считать, что группа Г" состоит, из перемещений плоскости П,
а Г' — плоскости П'. Надо построить наложение F плоскости П
на П' и доказать, что Г' = 1".
Вспомним, что сопоставление точке X плоскости П точки SB
геометрии .2Г» которую точка X определяет, является отображени-
отображением ф плоскости П на геометрию 2Г, обладающим важным свой-
свойством: круг достаточно малого радиуса г с центром в точке X
плоскости накладывается на круг радиуса г с центром в- точке
фСХ) геометрии 2Г- В п, 2 § 10 мы назвали такие отображения
накрытиями. Соответствующее отображение плоскости П на гео-
геометрию 2р' мы обозначим через <р'. Пусть О — некоторая точка
плоскости П, О «- <р@) — точка геометрии 2Г, О' = /(<?) — точка
ляются наложениями кругов радиуса г (рис. 13.3).
Рассмотрим отображение (ф')"*/ф круга К(О, г). Написанное
выражение имеет смысл, так как ф' является наложением круга
К{О',г) на круг К((У',г), и, значит, обратное отображение (ф')
§ 13. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЙ
185
существует. Очевидно, что таким образом мы получаем некоторое
наложение круга К(.О, г) плоскости П на круг К(О', г) плоскости
П'. По лемме 1 из § 10 это наложение всегда можно осуществить
некоторым наложением F плоскости П на плоскость П', т. е.
таким наложением, что для точек X круга КЮ, г) выполняются
соотношения F(X) = (ф'I/(^)
C)
Согласно лемме 4 о совпадении накрытий, доказанной в § 10, из
выполнения этого соотно-
соотношения для точек круга
К(О, г) вытекает его спра-
справедливость для всех точек
плоскости П.
Из соотношения C),
установленного для всех
точек плоскости П, уже
легко следует, что Г' = Г*.
Пусть G — любое переме-
перемещение из группы Г. До-
Докажем, что FGF~l содер-
содержится в Г'. Согласно тео-
теореме 1 из § 7, группа Г'
состоит в точности из тех
перемещений G' плоско-
плоскости П', которые эквива-
эквивалентные точки переводят
в эквивалентные, т. е. для
которых ф'<?'(Х') — ф'(Х') для любой точки X' плоскости П'.
Поэтому нам достаточно проверить, .что tp'FGF^iX') — ф'(Х')..
Положим здесь F~l{X'} = X fa. e. X' = F(X)), тогда наше соот-
соотношение запишется в виде <$'F(G(X)) =<p'(F(X)). Из соотноше-
соотношения C) получаем <f>'F(G(X)) = /ф(С(Х)), <р'(ЛХ)) =/(ф(Х)),
и наше соотношение принимает вид /ф(С(Х)) = /(ф(Х)). Оно,
очевидно, верно, так как точки X и G(X) эквивалентны относи-
относительно группы Г, и поэтому ф<?(Х) = ф(Х>. Таким образом, груп-
группа Г" содержится в Г'. Если G' — любое перемещение из Г',
то аналогичные рассуждения показывают, что G — F~lG'F содер-
содержится в Г. Отсюда следует, что G" = FGF'1 = G', т. е. G' со-
содержится в Г* и, значит, Гр содержит Г'! Тем самым Г' = Г'
и теорема доказана.
Рис. 13.3.
Упражнения
1. Доказать, что всякое перемещение F плоскости, для которого Г' = Г,
задает перемещение геометрии 2Г, соответствующей равномерно-разрывной
группе Г. Докажите, что всякое перемещение геометрии 2г получается та-
таким образом. (Определение перемещения геометрии см. в упр. 2 п. 2 § 7.)
186
Ч. ГУ. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
2. Когда два обладающих указанным выше свойством перемещения F
я F' плоскости задают одно и то же перемещение геометрии Бг?
3. Описать все перемещения геометрий на цилиндре, скрученном ци-
липдре, бутылке Клейна.
4. Пусть BГ , 2Г , <р\—накрытие, рассмотренное в упр. 3 п. 2 § 10. До-
Доказать, что для него имеет место утверждение теоремы 1в из § 10 тогда и
только тогда, когда Г*" = Га для любого перемещения F из группы Г4.
Рассмотрите примеры групп Г2, Fi различных типов.
2. Подобие геометрий. Тот же вопрос о совпадении геометрий,
определенных равномерно-разрывными группами, можно рассмот-
рассмотреть и в другой, несколько более широкой постановке. Чтобы
разъяснить ее, вернемся к тем рассуждениям, которыми мы поль-
пользовались при обсуждении понятия совпадения (или наложения)
геометрий. Мы представляли себе, что геометрии 2i и 2* населе-
населены «жителями», которые могут общаться друг с другом по радио
и в результате переговоров убеждаться, что измерения в их гео-
геометриях приводят к одним и тем же результатам. Математически
мы выражали это как отображение F геометрии 24 на всю гео-
геометрию 22, при котором не меняются расстояния:
\FU)F(B)\ = \AB\. D)
Но что означает такое равенство физически? Ведь измерение
расстояний приводит к числам (а равенство D) связывает именно
числа) только при введении определенной единицы длины, и не-
непонятно, каким образом жители равных геометрий могут согла-
согласовать свои единицы длины. Поэтому физически гораздо более
разумным представляется предположение, что при всех измере-
измерениях (в каких угодно единицах длины) у жителей геометрий 2t
и 22 получаются пропорциональные результаты. Так мы прихо-
приходим к новому понятию, связывающему две геометрии.
Предположим, что существуют отображение F геометрии 2t
на всю геометрию 22 и такая постоянная X > 0, что для любых
двух точек А и В геометрии 24 выполнено соотношение
\F(A)F(B)\=X\AB\,
тогда геометрии 24 и 2* называются подобными, а отображение
F подобием. Коэффициент X называется коэффициентом подобия
отображения F. Коэффициент подобия всегда является положи-
положительным числом.
Именно подобие наиболее естественным образом выражает
тот факт, что у геометрий все свойства одинаковы. Это соответ-
соответствует тому, что если бы все предметы нашего мира, мы сами и
наши средства измерения одновременно увеличились бы в одина-
одинаковое число раз, то мы не могли бы этого заметить. Понятие
равенства или наложения геометрий несколько проще математи-
математически, и поэтому мы сначала положили именно его в основу
наших рассуждений.
§ 13. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЙ
187
Впрочем, понятие подобия часто нетрудно свести к понятию
наложения геометрий, и это поможет нам сейчас же перенести ре-
результат теоремы 1 на случай подобия. Для этого нам надо
сначала рассмотреть подобия плоскости П с самой собой, т. е.
случай, когда Si = 22 = П. Мы будем называть их просто подо-
подобиями плоскости П. Один пример читателю хорошо известен:
гомотетия с заданным центром О и ко-
коэффициентом X > 0. Так называется пре-
преобразование, при котором точка X пере-
переходит в точку X', лежащую на том же
луче, исходящем ив точки О, но отстоя-
отстоящую от О на расстояние Х\ОХ\ (рис. 13.4).
Если X > 1, то вся плоскость растягива-
растягивается, а если Х<1, то сжимается с этим рие ^з.4.
коэффициентом к точке О. Такую гомо-
гомотетию мы будем обозначать Ио.
Лемма 1. Пусть на плоскости произвольно зафиксирована
точка О. Любое подобие плоскости получается последовательным
выполнением гомотетии Но и некоторого перемещения. При этом
X совпадает с коэффициентом исходного подобия.
Действительно, пусть F — подобие плоскости с коэффициентом
X. Рассмотрим отображение G = РНУ*". Из определения сразу
вытекает, что G — перемещение. В равенстве
= Y,
заменим X точкой ЯО(Г). Очевидно, что
и в результате мы получаем
¦ перемещение, то это
для всех Y, т. е. F — GHo. Так как G
доказывает лемму.
Совершенно аналогично тому, как мы поступили с перемеще-
перемещениями, определим перемещение, сопряженное G при помощи по-
подобия F, как преобразование
Если F имеет коэффициент X, то F~l умножает все расстояния
на Х~\ G не меняет, a F умножает на X. Мы видим, что G' —
также перемещение. Сохраняются все свойства а) — д) и их до-
доказательства. В частности определена группа Г', сопряженная
группе перемещений Г при помощи подобия F.
Теорема 2. Соответствующие равномерно-разрывным груп-
группам Г и Г' геометрии 2г и 2Г» подобны тогда и только тогда,
когда группы ГиГ" сопряжены при помощи некоторого подобия
плоскости.
188
Ч, IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Доказательство. Прежде всего совершенно аналогично
доказательству теоремы 1 проверяется, что если Н подобие плос-
плоскости, то Н определяет подобие h геометрии 2Г на геометрию
2гя, причем коэффициенты подобий h и Н равны.
Доказательство обратного вытекает из теоремы 1. Пусть / —
подобие 2Г на 2г< и Я, — его коэффициент. Рассмотрим гомоте-
гомотетию Н = НУ*" на плоскости. В силу сказанного выше, И опреде-
определяет подобие h геометрии 2г' на геометрию 2(Г,)Я. причем ко-
коэффициент этого подобия равен коэффициенту Н (т. е. 1УК);
тогда hf — подобие с коэффициентом 1, т. е. наложение геометрии
2Г на 2(Г/)я. По теореме 1 найдется такое перемещение F плос-
плоскости, что Г* ™ (Г')н, отсюда (Гр)н~ =Г'.Как легко проверит
читатель, (Г*)"".'- T(b~1f), откуда Г' = Г*', где F' = B~*F - не-
некоторое подобие. Доказательство закончено.
Рассмотрим в заключение два примера. Начнем со сфериче-
сферических геометрий. Очевидно, что геометрии на сферах радиуса Ri
и Дг совпадают, если Ri — Д2. Но в этом случае и только! Ведь
радиус сферы может быть определен как свойство геометрии:
R =g—I, где I — длина прямых в этой геометрии. С другой сто-
стороны, если сферы радиусов Д4 и R2 расположить так, чтобы их
центры совпадали с точкой О, и сопоставить точке первой из них
точку второй, лежащую на том же луче, выходящем из точки О,
то очевидно мы получим подобие (с коэффициентом RJR0. Та-
Таким образом, разных сферических геометрий очень много —
столько, сколько значений радиусов R,— но с точностью до подо-
подобия существует одна единственная сферическая геометрия.
Рассмотрим теперь геометрию на цилиндре. Она имеет вид
2Г, где Г — группа типа Па, которая определяется вектором аи
состоит из параллельных переносов на векторы вида ла. Выбрав
точку О и откладывая вектора геа от этой точки, группу можно
изобразить рядом равноотстоящих точек на прямой (рис. 13.5).
-а
2а.
Рис. 13.5.
Согласно теореме 1 две такие геометрии совпадают тогда и
только тогда, когда соответствующие им группы сопряжены с
помощью некоторого перемещения F, т. е. изображающие их ряды
точек переводятся друг в друга перемещением F. Для этого, оче-
очевидно, необходимо и достаточно, чтобы расстояние между сосед-
соседними точками («шаг» прямолинейной решетки) в обоих рядах
§ 14. ГЕОМЕТРИИ НА ТОРЕ
189
было одинаковым. Это расстояние равно |а|. Полученный резуль-
результат очевиден геометрически: |а| характеризуется свойством гео-
геометрии 2Г как длина любой из ее замкнутых прямых (п. 3 § 3).
С другой стороны, из теоремы 2 следует, что две такие геометрии
подобны тогда и только тогда, когда соответствующие точечные
ряды переводятся друг в друга подобием плоскости, а это имеет
место всегда. Таким образом, все геометрии, соответствующие
группам типа Па, подобны.
Из этих двух примеров не следует делать вывод, что и в дру-
других случаях все геометрии, соответствующие группам одного типа,
подобны. Дело обстоит гораздо интереснее — к исследованию
этого вопроса мы и переходим.
Упражнения
1. Доказать, что если Г — равномерно-разрывная группа, то группа Г',
сопряженная ей с помощью некоторого подобия F, тоже равномерно-
разрывна.
2. Доказать, что все геометрии 2г, соответствующие группам: Г типа
116 (т. е. геометрии на скрученных цилиндрах), подобны друг другу.
3. а) Пусть ф — подобие геометрий 2i и 22, причем 2i в налои совпада-
совпадает с плоскостью. Доказать, что то же верно и для 2».
б) Пусть в условиях упражнения a) li—пряная геометрии 2|. Дока-
Доказать, что фB) —пряная геометрии 22. Как связаны длины 2 и фB), если
I замкнута?
в) В каких геометриях, в малом совпадающих с плоскостью, сущест-
существуют подобия (т. е. подобия геометрии 2 с собой), не являющиеся переме-
перемещениями?
§ 14. Геометрии на торе
1. Геометрии на торе и модулярная фигура- Рассмотрим геомет-
геометрии на торе и попытаемся выяснить, когда они подобны. Ив еще
не рассмотренных типов групп (Ша и III б), которым соответ-
соответствуют геометрии, в малых частях совпадающие с плоскостью,
группы типа III а, соответствующие геометриям на торе, наиболее
интересны. Группа типа III б — проще, рассмотрение аналогич-
аналогичного вопроса для них мы оставляем читателю в качестве упраж-
упражнения (упр. 1). Напомним, что каждая группа типа III а опре-
определяется парой порождающих векторов е4 и е2. За такие векторы
можно принять любые два неколлинеарные вектора на плоскости.
И за группу взять совокупность всех параллельных переносов на
векторы вида пге4 + гае2, где тип пробегают любые целые числа.
Если отложить все эти векторы от некоторой точки О, то группа
Г изобразится плоской решеткой (рис. 14.1). Согласно теореме 2
из п. 1 § 13, наш вопрос сводится к вопросу о том, когда две
плоские решетки подобны. При этом мы фиксируем точку О,
ж поэтому можем рассматривать только такие подобия F, кото-
которые оставляют на месте эту точку. В силу леммы 1 из § 13,
такое подобие получается в результате последовательного вьшол-
190
Ч. iy. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
РИС. 14.1.
нения гомотетии с центром в точке О и некоторого перемеще-
перемещения G, которое тоже должно не менять точку О. Из теоремы
Шаля (п. 1 § 8) следует, что G может быть только поворотом
вокруг точки О или зеркальной симметрией относительно оси,
проходящей через эту точ-
/р -р -р -я -р—-^-—р. ку. Только такие подобия
" мы и будем дальше рас-
рассматривать.
Стоящая перед нами
задача распадается на две.
Первая: когда два задан-
заданные вектора е'х и е2 по-
подобны двум векторам et и
е2, т. е. существует такое
подобие F, что ^1(е1) = ё'
F (ег) = ег • Эта задача сов-
совсем легкая, и вся труд-
трудность нашего вопроса заключается во второй задаче, связанной,
с тем, что одна и та же решетка определяется разными парами
порождающих векторов. Например, решетка на рис. 14.1 порож-
порождается парой еи е2 и парой es, et.
Мы начнём с первой, более простой задачи. Очевидно, что
при подобии сохраняется отношение длин векторов |ed !/|е2!. Хо-
Хотелось бы сказать, что сохраняется и угол между векторами е-
и е2, который отсчитывается от ei к е2 (положительное направле-
направление— против часовой стрелки). Однако это не совсем так: если
подобие F (по лемме 1 из § 13) имеет вид HqG, где #о— го-
гомотетия, a G — перемещение, то угол сохраняется в случае, когда
G — поворот (рис. 14.2, о), и меняется на противоположный, если
G — зеркальное отражение (рис.
14.2, б).
Таким образом, угол между век-
векторами в! и е* сохраняется с точ-
точностью до знака. Мы получаем не-
необходимое и достаточное условие по-
подобия пар векторов:
если для пар векторов е4, еа и ~
|е„|
Рис. 14.2.
Г
е2 равны отношения
а)
8 = ±6', где 9 — угол между век-
векторами е, и е2, а 9' — между еги е^ "то эти пары подобны. Дей-
Действительно, ввиду условия в = ±6', мы можем применить к
е4 и е2 перемещение G, после которого угол, определенный векто-
векторами &i и е2, совпадает с углом, определенным векторами е^ и eg.
После этого остается применить такую гомотетию с центром в Ог
§ 14. ГЕОМЕТРИИ НА ТОРЕ
191
Рис. 143.
чтобы вектор GieJ совпал с е^ Тогда, в силу условия на длины,
GKe2) совпадет с е2.
Пользуясь полученным ответом, можно для всякой пары век-
векторов найти подобную ей пару, имеющую особенно простой вид.
Именно, фиксируем на плоскости некоторый вектор е. Очевидно,
что любая пара неколлинеарных векторов е4, е2 подобна такой
паре векторов е, f, что угол между е и f меньше я. Причем для
каждой пары векторов такая пара е, f единственна (при том
условии, что вектор е раз и навсегда
фиксирован). Вектор е обычно рисуется
расположенным на некоторой горизон-
горизонтальной прямой I, и тогда условие на
вектор f заключается в том, что его конец
лежит в верхней полуплоскости, располо-
расположенной над прямой I (рис. 14.3).
Таким образом, множество пар векто-
векторов с точностью до подобия можно вза-
взаимно однозначно изобразить точками верхней полуплоскости (см.
рис. 14.3).
Перейдем теперь ко второй, более трудной задаче. Здесь воз-
возможны два подхода. Либо можно указать в каждой решетке
определенную, наиболее простую, пару порождающих векторов,
так что вопрос о подобии решеток сведется к вопросу о подобии
таких пар векторов — нами уже решенному. Или же можно вы-
выяснить, когда две пары векторов порождают одну и ту же решет-
решетку, и исходя из этого представить множество решеток, рассматри-
рассматриваемых с точностью до подобия. Оба эти пути оказываются
плодотворными, особенно же их объединение. Сейчас мы рас-
рассмотрим первый подход, а в следующем пункте — второй. Остав-
Оставшиеся три параграфа будут посвящены их объединению.
Как выбрать в каждой решетке наиболее простую порождаю-
порождающую систему векторов собственно указывается в доказательстве
теоремы 5 п. 3 § 8 (см. замечание после доказательства этой
теоремы). Там указывалось, что в качестве вектора е4 можно
взять кратчайший из отличных от 0 векторов решетки, а в каче-
качестве е2 — такой вектор, что длина его проекции на направление
вектора е4 не превосходит половины длины вектора et. Добавим
•еще к этому, что заменяя в случае необходимости вектор е2 на
—е2, можно считать, что угол между векторами е4 и е2 не тупой.
Пару векторов решетки, удовлетворяющую этим трем условиям,
называют приведенной порождающей парой.
По определению, если е4 и е- — приведенная порождающая
пара векторов некоторой решетки, то для нее выполнены условия:
а) le2i > iej;
б) длина проекции вектора е2 на направление вектора et не
превосходит половины длины вектора е,;
в) угол между векторами et и е2 не тупой.
192
Ч. ГУ. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Рис. 14.4
Наглядно эти условия означают, что конец вектора е» лежит
в заштрихованной на рис. 14.4 области.
Наоборот, если вц е2 — пара неколлинеарных векторов, удов-
удовлетворяющих условиям а), б) и в), то для порожденной ими
решетки векторы е4 и еа будут приведенной парой порождающих
векторов. Более того, всякая другая приведенная порождающая
пара векторов этой решетки конгруэнтна паре
е4, е2. Читатель увидит это из рис. 14.5, а — е, где
нарисованы все возможные случаи расположения
пар векторов, удовлетворяющих условиям а), б)
и в), и для порождаемых ими решеток указаны
все приведенные пары порождающих векторов.
Интересно отметить, что в силу этого существо-
существование других приведенных порождающих пар
векторов, кроме е4, еа, связано с наличием сим-
симметрии решеток, и как раз эти симметрии пере-
переводят пару еи е2 в другие приведенные порож-
порождающие пары векторов решетки (упр. 1, ниже).
Теперь мы можем предложить решение нашей задачи о подо-
подобии решеток. Нам известно, что в каждой решетке существует
приведенная порождающая пара векторов и эта пара единствен-
единственна с точностью до конгруэнтности; кроме того, у подобных реше-
решеток пары приведенных порождающих векторов очевидно подобны,
каждая пара векторов, удовлетворяющая условиям а), б) и в),
является приведенной парой векторов для некоторой (порожден-
(порожденной ею) решетки. Поэтому наша задача сводится к тому, чтобы
описать пары векторов, удовлетворяющие условиям а), б) и в),
с точностью до подобия. Для зтого, в силу решения предыдущей
задачи, нужно просто описать множество точек верхней полу-
полуплоскости, изображающих такие пары векторов. Напомним, что
при зтом изображении пара векторов et, е2 заменяется подобной
ей парой е, f, где е — фиксированный вектор, а конец вектора f
лежит в верхней полуплоскости. Этот конец и изображает пару
е., е2. При этом пара векторов е, f, очевидно, также удовлетворяет
условиям а), б) и в), если пара е4, е2 им удовлетворяла. Таким
образом, наша задача сводится к тому, чтобы описать множество
концов в верхней полуплоскости векторов f, для которых пара
векторов е, f удовлетворяет условиям а), б) и в). Это описание
очевидно — данное множество точек образует заштрихованную на
рис. 14.6 фигуру верхней полуплоскости (она, конечно, подобна
половине заштрихованной фигуры на рис. 14.4). Таким образом,
все подобные друг другу решетки изображаются одной точкой
фигуры верхней полуплоскости, заштрихованной на рис. 14.6.
Разные точки этой фигуры изображают не подобные решетки.
Эта фигура называется модулярной фигурой.
Таким образом, мы получили ответ на вопрос, поставленный
в начале этого параграфа. Однако форма этого ответа несколько
§ 14. ГЕОМЕТРИИ НА ТОРЕ
-V**r*—
д)
Любая, образующая угол j
J пара двктороб из
-е',-е* ' е'-е,2'
Рис. 14.5.
Ж
в)-
13 в. Б. Никулин, И. Р. Шафаревич
194
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
О Ж.
г
Рис. 14.6.
необычна. Что за фигуру, граница которой состоит из кривых
различного типа — двух параллельных лучей и дуги окружности,
мы получили? Чем эта фигура выделяется среди других фигур?
Дальше мы попытаемся лучше понять
смысл полученного ответа. Это понимание
будет связано со вторым подходом к на-
нашей задаче, к которому мы перейдем в
следующем пункте.
Аналогичные вопросы возникают я в теории
пространственных решеток. Особенно важны
I они для кристаллографии, ввиду того, что с каж-
каждым кристаллом, как мы видели в § 12, связа-
связана решетка его параллельных переносов и для
описания кристаллов необходимо иметь описание
этих решеток. Эта задача решается тем же ме-
методом, что и для плоских решеток: выбором в каждой пространственной
решетке некоторой наиболее простой тройки порождающих векторов. Одна-
Однако здесь известно несколько различных способов выбирать наиболее прос-
простую тройку: это так называемые теории приведения Зеебера, Гаусса, Ди-
Дирихле, Зеллинга. В кристаллографии эти вопросы известны как теории пра-
правильной установки кристаллов.
Кроме того, теория приведения, аналогично двумерному случаю, позво-
позволяет найти и все пространственные решетки с симметриями — их сущест-
существует 14 типов. А это, подобно рассуждениям из §§ 8, 11, 12, является шагом
ас перечислению всех кристаллографических и равномерно-разрывных групп
в пространстве. Читатель, интересующийся этими вопросами, может обра-
обратиться к книге: Делоне Б., Падуров Н., Александре в А. Мате-
Математические основы структурного анализа кристаллов.— М.; Л.: ГТТИ, 1934
Упражнения
1. Пользуясь изображенными на рис. 14.5, а — е всеми возможными слу-
случаями расположения приведенных порождающих пар векторов, найти все
решетки, обладающие симметриями. Ответ сравнить с ответом в п. 3 § 11.
Какими тодкамямодулярной фвсгуры изображаются „эти "решетки? m
2. Доказать, что вектор е* из приведенной пары порождающих" 1вёкто-
ров ei и ег решетки является вторым по длине (после ei и (—е4)) вектором
этой решетки.
2. Условие того, что две пары векторов порождают одну и ту
же решетку. Выясним, когда две пары векторов еи е2 и е1? е2
порождают одну и ту же решетку?
Некоторые необходимые условия сразу приходят в голову.
Прежде всего необходимо, чтобы как вектор еи так и вектор eg
принадлежали решетке, порожденной векторами е4 и es. Это зна-
значит, что они должны выражаться в виде
е[ = тбх + гее2,
е2 = &ех + Ze2,
где m, п, к и I — целые числа. Но и наоборот, векторы et и е»
должны принадлежать решетке, порожденной векторами ^ и е2,
§ 14. ГЕОМЕТРИИ НА ТОРЕ.
19&
т. е. представляться в виде
е2 = ?е'х +¦ Геа,
где т', п', к' и V — целые числа. Выполнение соотношений A)
и B) очевидно и достаточно. Действительно, из A) следует, что
любой вектор p&i + ?©2» где Р и q — целые числа, принадлежит
решетке, порожденной векторами е4 и е2, надо только подставить
выражения для е% и е2 из A) и раскрыть скобки. Поэтому вся
решетка, порожденная векторами ех и еа, содержится в решетке,
порожденной векторами ei и е2. Используя совершенно аналогич-
аналогично B), мы увидим, что и вторая решетка содержится в первой,,
т. е. что они совпадают.
Попробуем получить ответ в более компактной форме. Для:
этого умножим первое уравнение в A) на I, а второе на п, и выч-
вычтем второе из первого; получим
lex — пЪг = (ml — пк) ех. C)'
Аналогично получим
— ке^ + те'2 = (ml — пк) еа. D)
Положим ml — пк — d. Это число отлично от нуля. Действи-
Действительно, если бы оно было равно нулю, то из C) и D) мы получи-
получили бы, что 1ех = пв'г, ке'г — ягеа. Откуда следовало бы, что векторы
ех и е2 коллинеарны. Разделив обе части в C), D) на d, получим
Сравним эти соотношения с B). Так как разложение векторов^
е. и е2 по непараллельным векторам ех и е2 единственно, то мы
должны иметь
т ~ Т' П' = ~ ~d' k' = ~~ 1J l' ~ d"' ^
причем все эти числа целые. Преобразуя совершенно аналогично
равенства B) и сравнивая их с A). мы пришли бы к соотно-
соотношениям
m~1rt п = ~ Т" * ~ ~~ W 1~~сГ' ^
где d' = m'V — п'к'. Ив них сразу же следует, что Ы' — 1, а так
как d и d' — целые числа, то это возможно только при d==±lf
т. е. ml — пк = dzl. Наоборот, если й==±1, то из соотношений C),
13*
196
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
D) следуют соотношения B) с указанными в E) значениями для
т', »', к' и V. Таким образом, мы доказали признак, сформули-
сформулированный в теореме 1. t t
Теорема i.IIapa векторов ^ = mej + ле2 и ва = &ех+ Zea,
где m, n, k и I — целые числа, тогда и только тогда порождает
ту же решетку, что и векторы ех и е2, когда ml — nk = ±1.
Этот результат, полученный вычислением, можно сделать бо-
более понятным при помощи следующего
геометрического рассуждения.
Лемма 1. Если вх = aeL + Ьеа,
eg = сех + de2, то площадь параллело-
параллелограмма, построенного на векторах
ei и е», отличается от площади парал-
параллелограмма, построенного на векторах
е4 и е», множителем \ad — Ъс\ (рис. 14.7).
, Мы разберем случай, когда коэффи-
• циенты а, Ъ, с, d неотрицательны (этот
случай изображен на рис. 14.7), оставляя аналогичный разбор
других случаев читателю.
Обозначим площадь параллелограмма, построенного на векто-
векторах et и е2, через А, а на векторах ^ и е, —через Д'. Тогда
А' = 2 лл. ОАВ. С другой стороны,
пл. ADBC = 2 пл. ADB, пл. ADEG — 2 пл. ADO,
пл. DBHF = 2 пл. DBO.
В результате инеем
Д' — пл. ADBC + пл. ADECr-Ьпл. DBHF — пл. OGCH - пл. OEDF.
Наконец,
пл. OGCH - айД, пл. OEDF — ЬсД,
откуда
Д'
что и утверждает лемма.
Согласно лемме утверждение теоремы сводится к тому, что
для всех пар векторов et, e2, порождающих одну и ту же решетку,
площадь построенного на них параллелограмма одна и та же.
Действительно, можно дать характеристику площади Д этого
параллелограмма, использующую только саму решётку и не за-
зависящую от пары векторов е4, е2. Для этого рассмотрим круг
радиуса R с центром в точке О решетки и обозначим через n(R)
число точек решетки, содержащихся в этом круге. Интуитивно
ясно, что площадь такого круга очень близка к »(Д)Д, так что
ii*D = Д, левая же часть зависит только от решетки. Что-
§ 14. ГЕОМЕТРИИ НА ТОРЕ
197
бы оправдать это соотношение, сопоставим каждой точке Р ре-
решетки параллелограмм, построенный на точках Р, Tei(P),
Tet(P), Т^+е^Р). Его площадь, конечно, равна Д, а сумма всех
площадей по всем точкам Р, содержащимся в круге радиуса R,
гравна n(i?)A. С другой стороны, обозначим через d длину наи-
наибольшей диагонали такого парал-
параллелограмма, тогда все рассмотрен-
рассмотренные параллелограммы содержатся
л круге радиуса R + d, а весь
круг радиуса R — d накрывается
этими параллелограммами (рис.
14.8). Поэтому
n(R - dY ^ n{R)Д «г я(Д + d)\
•откуда и следует нужное нам со-
соотношение.
Теперь мы можем сформули-
сформулировать задачу, которой мы зани-
занимались в этом пункте, следующим
-образом. Назовем пару векторов рис. 148.
«1, е, эквивалентной паре еи е*,
если они порождают одну и ту же решетку. По самому опреде-
определению это понятие эквивалентности между парами векторов удов-
удовлетворяет условиям а), б) и в), рассматривавшимся в § 7. Алгеб-
Алгебраически оно выражается так: должны существовать целые чис-
числа тп, п, к, I, для которых
= 7пех + ле2,
Zea, ml —nk—± 1.
Теперь определим новое понятие эквивалентности, назвав
пары eit e2 и е^ е2 эквивалентными, если они порождают
подобные решетки. Как мы видели, каждая пара эквивалент-
эквивалентна паре е, f, где е — фиксированный вектор, a f лежит в верх-
верхней полуплоскости, так что мы можем ограничиться рассмотре-
рассмотрением эквивалентности только таких пар е, f и е, f. Как же
выражается в этом случае наша эквивалентность? Заметим, что
должны существовать такие целые числа тп, п, к и I, которые
удовлетворяют соотношению ml~ пк — ±1, причем построенная
по этим числам пара векторов me + nl, fee + li удовлетворяет сле-
следующему условию:
если рассмотреть подобие F, для которого F(me + ni) — е,
а конец вектора F(ke + It) лежит в верхней полуплоскости, то
вектор Fike + If) совпадает с Г.
Такое определение эквивалентности все еще мало прозрачно,
и мы должны заняться тем, чтобы представить его в более понят-
понятной форме.
198
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Упражнения
1. Даны два неколлинеарные вектора ei, ег. Векторы е^ и е^ выража-
выражаются через них в виде ех = me1 -f- гееа, еа = Ае1 + Ze2, где т, га, к и I — це-
целые числа, ml — пк <= ±1. Согласно теореме 1 тогда и векторы ei, ег должны
выражаться аналогичным образом через ех, еа. Найти эти выражения.
2. Доказать, что две геометрии на бутылке Клейна подобны тогда w
только тогда, когда у них совпадает отношение [а|/|Ь[ (в обозначе-
обозначениях § 8). .
3. Приложение к теории чисел. Изложенные выше свойства решеток*
связаны с некоторыми вопросами теории чисел. Для теории чисел интерес-
интересны решетки, в которых квадраты расстояний от любой точки до какой-ни-
какой-нибудь фиксированной являются целыми числами. Например, такова решет-
решетка, состоящая из точек с целыми координатами, так как квадрат расстоя-
расстояния от точки с целыми координатами гп и га до начала координат является
целым числом m2 -f- га2.
В общем случае, если векторы ei и ег порождают решетку,, то квадраты,
расстояний от любой из ее точек до одной из них'равны | те± -f- гаег j2, где
где т и га — любые целые числа. По теореме косинусов имеем
\гпе± + гае2!2 = |mei|2 + |»е2|2 + 2|mei| |ne2|cos t|>,
где ф — угол между векторами mei и гаег. Отсюда, разобрав различные слу-
случаи знаков тага, получаем формулу
J mei + гаег [2 = am2 -^ Ьтп + era2, G>
где а = |ei|2, с == Jeaj2, о = 21ei| |ег|cos <р и <р — угол между векторами ei
и е2. Выражение G) будет целым при всех целых значениях я и т, если
числа a, b ж с целые. Дальше мы всегда будем это'~ предполагать. Такие
решетки называются целочисленными.
Обозначим через Д площадь параллелограмма, построенного на векто-
векторах et и ег (а значит, как мы знаем, на любой паре векторов, порождающих
ту же решетку). По известной теореме, Д = |ei| |e2|sm<p, поэтому
D = 4Д2 = 4ас — i
Отсюда следует, что число
целое и положительное. Как мы уже говорили, оно не зависит от того, ка-
какую пару векторов ei и ег, порождающих нашу решетку, мы выберем. Чис-
Число D называется дискриминантом решетки.
Наоборот, если мы имеем три произвольных целых числа а, & и с, для.
которых а > 0, с > 0, 4ас — Ь2 > О, то им соответствует некоторая цело-
целочисленная решетка, для которой имеет место G). Действительно, по ус~
яовию,-—<1,и, значит, существует угол <р, для которого _ ,—= cos <p >
*кос , 2 у ас
Выберем векторы ei и ег так, что | ei | = ~j/a, | е21 = Ус, а угол между ними
равен ф; тогда, очевидно, равенство G) будет выполнено.
е ф; д, д
Если векторы е4 и
равенство G) будет выполнено,
образуют приведенную порождающую пару век-
векторов, то по определению |ег| 3s |et| и | еа 11 cos <р | ^ -g- [ ех |, т. е. в иа-
пгах новых обозначениях
с 3s a 3s Ь 3s 0. (8)
§ 14. ГЕОМЕТРИИ НА ТОРЕ
199
Отсюда следует, что D 3s 4Ь2 — Ь% = ЗЬ2,
'-¦ (9)
Так как Ъ — целое, то при фиксированном D для Ь существует только ко-
конечное число возможностей, а при фиксированном Ь 4ас = Z) + Ь% и, зна-
значит, для а ж с число возможностей тоже конечно. Наконец, числа a, b ж с
определяют пару векторов ei и ег однозначно с точностью до перемещения.
Так как в каждой решетке имеется приведенная пара порождающих век-
векторов, то в результате мы получаем, что при заданном дискриминанте су-
существует лишь конечное число различных (с точностью до перемещения)
целочисленных решеток. Пользуясь изложенным рассуждением, все их мож-
можно конкретно иайти.
Пример. Решетка точек с целочисленными координатами порожда-
порождается двумя перпендикулярными векторами ei и ег длины 1, поэтому для
нее а = с = 1, 6=0, D = 4 Найдем все целочисленные решетки с дис-
дискриминантом 4. Рассмотрим в любой такой решетке приведенную пару по-
порождающих векторов ei, ег. Так как D = 4, то Ь должно быть четно. Со-
2
гласно неравенствам (9) имеем 0^6^ :т7=- <2, и, значит, 6 = 0; поэтому
ас == 1, т. е. а = с = 1. Это значит, что наша решетка совпадает с решет-
решеткой точек с целочисленными координатами, т. е. существует единствен-
единственная целочисленная решетка с дискриминантом 4
Применение. Выясним, какие положительные целые числа могут
быть представлены в виде суммы двух квадратов целых чисел:
а = иг2 + га2. A0)
Прежде всего, можно считать man взаимно простыми; если они име-
имеют общий сомножитель d > 1, т. е. гп = dmi и га = dn±, то
= d\, a1 =
A1).
и задача сводится к той же задаче для меньшего числа aj.
Как мы видели, соотношение A0) означает, что в решетке точек с це-
целыми координатами существует вектор f = mei + nej, для которого |f |2==a.
При этом мы можем считать числа гп ж п взаимно простыми. Это означает,
что вектор ? не может быть представлен в виде i= dfi, где fi — вектор той
же решетки. В § 8 мы видели, что к такому вектору f всегда можно по-
подобрать вектор F так, что f и ?' вместе порождают всю решетку точек с це-
целыми координатами. Если a=|f[2, c=[f'|2, <p — угол между f и ?',
6=2|f| if jeosqp, то числа а, Ъ, с целые и 4ас — Ь2 = 4. Наоборот, любым
числам а, Ь и с с этими условиями соответствует, как мы видели, целочис-
целочисленная решетка с дискриминантом 4, а так как такая решетка только одна,
то это будет решетка точек с целыми координатами. Таким образом, в ре-
результате мы получаем, что соотношение A0) выполнено (с взаимно про-
простыми шип) тогда и только тогда, когда к а можно подобрать два таких
целых числа бис, что с > 0, 4ас — б2 = 4. В таком случае Ъ четно; пусть
Ъ = 2?, тогда ас — *2 = 1. Так как с произволько, то наше условие просто
означает, что существует число t, для которого
а | (fi + 1)
A2)
(а делит i2 + 1 или, что то же самое, t* +1 делится нацело на а).
Это сведение вопроса о равенстве A0) к вопросу о делимости A2) и
является применением свойств решеток. Вопрос о том, для каких а выпол-
выполняется условие A2), решается из совершенно других соображений.
Приведем это простое, но очень изящное арифметическое рассужде-
яие. Рассмотрим произвольный простой делитель р числа а. Тогда тем бо-
200
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
лее р \ (?2 + 1). Выясним сначала, когда это имеет место, т. е. согласно ска-
сказанному выше, какие простые числа представляются в виде, суммы двух
квадратов целых чисел. Так как для р = 2 ответ ясен B = V + 1*), то мы
будем дальше предполагать р нечетным.
Всякое целое число п при делении на р дает некоторый остаток г, яв-
являющийся одним из чисел 0, 1, ..., р — 1, т. е. п = г + рк. Если п не де-
делится на р нацело, то г может быть только одним из р —j 1 чисел: 1, 2, ...
р 1. Число г, 1 <: г <; р — 1, являющееся остатком полного квадрата,.
называется квадратичным остатком. Например, для р = И среди остатков
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 квадратичными являются 1, 3, 4, 5, 9, а для р = 13
квадратичными остатками являются 1, 3, 4, 9, 10, 12 (проверьте оба эти
утверждения!). Если число п таково, что п +1 делится на р, т. е. п + 1 =
= ртп, то га = р — 1 + р (т — 1) и его остаток есть р — 1. Отсюда сле-
следует, что р \ (f2 +1) при некотором t тогда и только тогда, когда для />
число р — 1 является квадратичным остатком. (Например, это имеет нест»
для р = 13, но не для р = 11.)
Чтобы найтн все квадратичные остатки, очевидно достаточно возвести
в квадрат все числа 1, ..., р — 1 и отобрать разные остатки, но это не эко-
экономно. Так как (р —ft)* = ft2 + p(p —2fc), то (р — ЛJ и kz имеют одина-
одинаковый остаток при делении иа р и, значит, в квадрат достаточно возводить
р— 1 Р — 1
числа 1,2, ..., —2~• Так иы получаем —«j— остатков. Докажем, что все
р — 1
они различны. Если га н m — два такие числа, что 1 <га^ —<j i 1>ич
^s^~2— причем в2 и т2 имеют одинаковый остаток при делении р, то>
р| („*_ т2), т. е. р\(п~ m)(ra + т), и значит, или р\(п— т), или р\ (n-f-
+ т) •). В силу предположений относительно пит, имеем \п — т К <j »
га + т < р — 1, так что возможен только случай га = т. Таким образом, мы
доказали, что существует роено ?-ц— квадратичных остатка.
Взяв произвольный остаток к, будем умножать его последовательно на
1, 2, ... р 1 и выписывать получающиеся остатки:
к • 1 = п + pni (г4 = к, щ = 0)
• - к -2= ""
А • (р — 1) = гр_1 + prap_i.
Прежде всего, все числа кг, 1 ^ г < р — 1, не делятся на р, поэтому
все остатки г,- будут содержаться среди чисел 1, 2, ..., р—1. Кроме того,,
они все различны. Действительно, если бы г< = г} при i > /, то это озна-
означало бы, что к ¦ i и к • f имеют одинаковый остаток при делении на р, т. е.
р делило бы к • i— к ¦ j = к • (»— /), а это невозможно, так как р не делит
ни к, ни »•—/. Таким образом, в качестве г±, г2, ..., rP_i мы получаем p—t
различных остатков, а значит, все из возможных остатков 1, 2, ..., ?—1.
В частности, нам важно, что какой-то из остатков, обозначим его п, оудет
равен 1, т. е. что для любого остатка к, 1 ^ к ^ р — 1, найдется ровно одив
такой остаток I, I ^ I sg Р — 1, что к • I имеет остаток 1 при делении на р.
Такие два остатка мы будем называть взаимными. При этом может ока-
оказаться, что какой-нибудь остаток к взаимен сам себе. Это означает, что к*
*) Мы пользуемся тем, что если произведение двух чисел делится иа
простое число р, то одно из них должно делиться иа р. Это вытекает И8 то-
того, что любое число может быть представлено как произведение простых
чисел единственным образом.
§ 14. ГЕОМЕТРИИ НА ТОРЕ
201
имеет остаток 1 и, значит, р\ (ft*—1), т. е. р | (к — 1) (& +1). Отсюда
следует, что или р [ (к — 1), или р [ (к +1). Первый случай имеет место
при к = 1, а второй — при к = р — 1. Таким образом, все остатки кроме
1 и р — 1 разбиваются на пары взаимных остатков. Например, при р = 11
взаимными остатками будут 2 и 6, 3 и 4, 5 и 9, 7 и 8; при р = 13 — 2 и 7,
3 и 9, 4 и 10, 5 и 8, 6 и 11.
Теперь посмотрим, как это разделенне на взаимные сказывается на
квадратичных остатках. Если к есть квадратичный остаток от деления
на р, т. е. остаток числа m2, a n взаимно пг (т. е. тпп имеет остаток 1) и
I — остаток га2, то к и I взаимны, так как остаток Ы совпадает с остатком
m2ra2 = (mnJ, т. е. равен 1. Таким образом, взаимным к квадратичном;/ ос-
остатку является опять квадртатичный остаток. Остается выяснить, какие
квадратичные остатки взаимны сами себе. Мы знаем, что таких остатков
¦есть всего два — это 1 и р — 1, причем 1, кокечно, является квадратичным
остатком. Что касается р — 1, то это число является квадратичным остат-
остатком в точности для тех р, для которых р [ (f2 + 1) гари некотором t. Для
¦атих р вся совокупность (р —1)/2 квадратичных остатков разделяет-
разделяется на 1, на р — 1 и еще сколько-то, скажем N, пар взаимных друг другу
квадратичных остатков. Значит, (р — 1)/2 =^ 2 + 2N, т. е. р имеет вид 4п+1
(при ra=JV+l) или, иными словами, при делении на 4 дает остаток 1.
Так обстоит дело при р = 13 — квадратичные остатки разделяются на 1, 12
и пары взаимных: 3 и 9, 4 и 10. Если же р — 1 не является квадратичным
остатком, т. е. интересующее нас соотношение р \ (t2 +1) не выполнено ни
при каком t, то вся совокупность квадратичных остатков разбивается на 1
и п пар взаимных, значит, (р — 1)/2 = 2га + 1, т. е. р = 4п + 3 (или, иначе
говоря, р имеет остаток 3 при делении на 4). Так обстоит дело при р = 11—
квадратичные остатки разбиваются на 1 и пары взаимных: 3 и 4, 5 и 9.
Окончательно, мы доказали, что нечетное простое число р представляется
в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид
4п+1.
Обращаясь к представлению произвольного положителького числа, мы
видим, что если р — его простой делитель вида 4га + 3, то представление
A0) возможно только в случае, если га и m делятся на р, т. е. а делится иа
рг, а значит, в A1) р должно входить в d и ке может входить в at. Ины-
Иными словами, представление A0) возможно только для тех а, которые имеют
-вид а = (Pai, причем а4 разлагается в произведение 2 и простых чисел
вида 4п + 1. Проверим теперь, что любое такое число действительно можно
представить как сумму двух квадратов. Пусть а = вРЪ, Ь = pi ... pm и каж-
каждое из Pi равно 2 или имеет вид 4п* + 1. Мы уже знаем, что любое из Pi
представляется в виде суммы двух квадратов. Таким образом, нам доста-
достаточно проверить, что если каждое из чисел, скажем г и s, представляется в
виде суммы двух квадратов, то это верно и для их проиеведвния. Пусть
тогда
г = х* + уг и s = и2 -(- и2,
rs = (*2 + у2) (м* + v2) = (хи — yv)*+ {xv + уи)\
Последнее тождество читатель легко проверит — его смысл станет яснее
немного позже (п. 1 § 15).
Окончательно нами доказана теорема: целое положительное число а
тогда ^и только тогда представляется е виде суммы двух квадратов, ковда
¦я = еРЬ, причем Ъ делится только на 2 и на- простые числа еида An + 1.
Читатель, который захочет познакомиться с той областью теории чисел,
к которой относится рассмотренный в этом пункте вопрос, может обратить-
обратиться, например, к книгам: Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел.—М.: Изд-
во АН СССР, 1959 и Дирихле П. Г. Лекции по теории чисел.—М.; Л.:
ОНТИ, 1936.
202
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Уиражневня
1. Доказать, что во всякой плоской решетке найдется такой ненуле-
ненулевой вектор v, для которого
где Л — площадь параллелограмма, построенного на порождающих векто-
векторах решетки. Для какой решетки (как вы увидите, ока одна с точностью
до подобия!) это неравенство обращается в равенство? Найти оценку свер-
сверху на наименьшее ненулевое значение, принимаемое при целых х и у вы-
выражением ах2 + Ъху + cyz, если а > 0, с > 0 и 4лс — Ь2 > 0.
2. Найти все целочисленные решетки дискриминанта D sg: 15. Какие
точки модулярной фигуры соответствуют этим решеткам? Показать, что
существуют две различные (неподобные) решетки дискриминанта D = 15.
3. Доказать,* что выражение 19л;2 + 1уг + 23ij/ при целых взаимно про-
простых х ж у принимает значение а тогда и только тогда, когда а нечетно и
(—3) является квадратичным остатком при делении на а.
§ 15. Алгебра подобий: комплексные числа
1. Геометрическое определение комплексных чисел. Согласно
лемме 1 п. 1 § 13, любое подобие F представляется в виде
F = GHo, где G — перемещение, a ffo — гомотетия относитель-
относительно некоторой фиксированной точки О. Сейчас мы будем рассмат-
рассматривать случай, когда G — поворот вокруг той же точки О на
угол ф (против часовой стрелки): G = Д$. Так как точка О
будет в дальнейшем все время фиксированной, то такое подобие
однозначно определяется коэффициентом подобия Я и углом ф.
Мы будем писать F = Fy „ обозначая этим преобразование, пово-
поворачивающее плоскость вокруг точки О на угол ф и растягиваю-
растягивающее (если Я>1) или сжимающее (если Я<1) ее с коэффициен-
коэффициентом Я. Очевидно, что
i> I v i i2'i а ^
Угол ф всегда будет рассматриваться с точностью до слагаемых
вида 2кп, где к — целое. Поэтому вместо —ф можно было бы
написать 2я —ф.
На плоскости раз навсегда фиксируем вектор е = ОР длины
1. Очевидно, что подобие Ft.%9 однозначно определяется тем, куда
оно переводит вектор е, т. е. вектором х = А,<Де). Мы имеем
ixi =Я, и угол между е и х (отсчитываемый против часовой
стрелки) равен ф. Очевидно, что вектор х отличен от 0. Мы
будем иногда писать Fx вместо F. Эта связь между векторами
на плоскости и подобиями F».,, наводит на мысль простое прави-
правило последовательного выполнения подобий A) перенести на
векторы. Получающуюся операцию над. векторами мы будем
называть произведением. Итак, произведением векторов х и у
§ 15. АЛГЕБРА ДОДОВИЙ: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
203
называется такой вектор z, что
Fx = FXFT. B)
Сравнивая с правилом A) для умножения подобий, мы можем
сказать, что вектор г является произведением векторов х и у, если
его длина равна произведению их длин
(izi = Ixi lyl), а угол, который он об- z,
разует с вектором е, является суммой
таких же углов для векторов х и у
(рис. 15.1).
Применим теперь подобие Рг к
вектору е. По формуле B) мы получим
По определению подобий F% и Fy
имеем F% (е) = г, Fy (e) = у. Следова-
Следовательно, определение умножения можно
-записать и так:
«=^ж(у). C)
Рис. 15.1.
Согласно правилу A) последовательное выполнение подобий
Fx,, сводится к умножению чисел Я и сложению чисел ф. Так
как каждая из этих операций удовлетворяет переместительному
закону, то ^.ф^^.Фз = ^.Фз^.ф^ а следовательно, и
ху = ух. Совершенно также проверяем, что определенное нами
умножение векторов удовлетворяет сочетательному закону
x(yz) = (xy)z. Подобие Fe характеризуется тем, что переводит
вектор е в себя, поэтому оно совпадает с тождественным преоб-
преобразованием. Ввиду этого ех = х (что можно и непосредственно
-увидеть на рис. 15.1), т. е. е играет роль числа 1. Наконец, из
формулы A) видно, что для ненулевого вектора х существует
вектор (х)-1, для которого х(х)~* = е. Для него Кх)! = Ixl,
а угол с вектором е отличается знаком от такого же угла для х
<рис. 15.2).
Эти свойства умножения векторов очень похожи на свойства
умножения чисел. Читатель знает, что и свойства сложения век-
векторов также аналогичны свойствамJ сложения чисел: имеют
место переместительный закон, сочетательный, существование
противоположного (—х) и нулевого векторов. Поэтому обратим
внимание на связь сложения и умножения векторов. Так как
подобие -переводит параллелограмм в параллелограмм, то
(рис. 15.3)
F(
В частности, если F = Fx, то получаем
z(x + у) = zx + zy,
т. е. распределительный закон,
204
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Ввиду такой полной аналогии, векторам на плоскости (с опре-
определенной выше операцией умножения и известной читателю-
операцией сложения) также присваивают название чисел. Обыч-
Обычные действительные числа среди новых чисел содержатся как
частный случай: это векторы ае, где а — действительное число.
х+у
Рис. 15.2.
Читатель легко проверит, что определенное нами умножение
векторов согласуется с умножением чисел, т. е. (ае)(Ье) = абе,
и более того, оно согласуется с известной уже читателю опера-
операцией умножения вектора на число, т. е. для любого вектора х
и числа а верно, что (ае)х = ах. Числа, таким образом соответ-
соответствующие векторам, называются комплексными числами. Чита-
Читатель, конечно, о них слышал уже раньше. Мы построили здесь
комплексные числа с самого начала, чтобы показать, как они
естественно возникают в русле интересующих нас вопросов.
Дальше мы не будем пользоваться для комплексных чисел
векторными обозначениями (х и т. д.), а просто будем обозна-
обозначать их, как и действительные числа, буквами. При этом мы бу-
будем их по-прежнему изображать на плоскости, рисзгя, как-пра-
как-правило, не весь вектор х = Ох, а только его конечную точку X.
Комплексное число е мы будем записывать просто как 1, а чи-
числа ае будут записываться так же, как соответствующие им
действительные числа а. В связи с этим прямая, проходящая
через точку О, на которой лежит вектор е, называется действи-
действительной прямой (на чертежах мы ее будем обозначать Ох).
Рассмотрим вектор ei длины 1, образующий с е угол я/2
(отсчитываемый против часовой стрелки). Соответствующее ему
подобие есть просто поворот на угол я/2: Fei = i?S'a. Так как
¦йо/а-й8/а = -До = Р-ы то (ejJ = —е. Вектор ей рассматривае-
рассматриваемый как комплексное число, имеет специальное обозначение i.
Как мы видели, i2 = —1. Так как любой вектор можно однознач-
однозначно разложить по векторам е и е4, то любое комплексное число г
можно однозначно представить в виде z = а + Ы, где аи Ь —
действительные числа; а называется действительной частью чи-
числа z и обозначается Re (z), а Ъ — мнимой частью и обозначает-
§ 15. АЛГЕБРА ПОДОБИЙ: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
205
ся Im (z). Из того, что г2 = —1, и из известных нам правил дей-
действий над комплексными числами вытекает следующее выраже-
выражение для произведения комплексных чисел, представленных »
указанном виде:
(а + Ы)(с + di) = ac + bdi* + adi + bci = (ас - bd) + (ad + bc)i. D)
Приведен еще несколько понятий, которые нам будут дальше-
нужны. Если z — комплексное число, то длина его вектора назы-
называется модулем z и обозначается Ы. Если z = а+ Ы, то, очевид-
очевидно, |z| = Va2 + b2. Из правила умножения комплексных чисел:
следует, что IZiZ»! = !ztl lz2l (см. рис. 15.1).
у р
Отсюда, конечно, следует, что
Если
iy,
(хи
iv, то из зтого соотношения мы получаем
+ (xv + уиУ = (ж2 + у»)(и* +1^).
Это тождество встретилось нам в п. 3 § 14. Оно выражает, таким:
образом, соотношение
Il Uil |Z2|.
Угол ф, который образует вектор комплексного числа z с дей-
действительной прямой, называется аргументом z и обозначается
argz. Мы будем считать, что он определен с точностью до целых,,
кратных 2л. Из правила умножения комплексных чисел следует,,
что arg (ZiZ») = arg z4 + arg zt. Наконец, пусть z = a + bi изобра-
изображается точкой Р. Комплексное число а — Ы изображается точкой
Р', симметричной точке Р относительно действительной прямой.
Оно называется комплексно сопряженным к z и обозначается z.
Читатель может проверить следующие свойства:
Z2 =
E)
e \
Используя комплексные числа, можно очень просто записать
произвольное подобие плоскости, оставляющее на месте задан-
заданную точку О. Согласно лемме 1 из § 13, такое подобие представ-
представляется в виде F = Gffo, где Но — гомотетия с центром в точке-
О, a G — перемещение, которое в нашем случае тоже должно»
оставлять на месте точку О. Такое перемещение является или
206
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Рис. 15.4
поворотом или симметрией относительно прямой, проходящей
через точку О. В первом случае, когда G == R%, F = Fx<v,
всякому такому подобию мы сопоставили комплексное число. Если
это комплексное число обозначить через z0, то FK „(z) == zoz —
это, собственно, определение умножения комплексных чисел.
Таким образом, F переводит комплексное число з (рассматри-
(рассматриваемое как точка на плоскости) в число zuz.
Рассмотрим другой случай, когда G является симметрией от-
лосительно оси I, проходящей через точку О. Если I совпадает с
действительной прямой Ох, то наша симметрия сопоставляет
комплексному числу z сопря-
сопряженное число z. В общем слу-
случае можно воспользоваться
тем, что симметрию относитель-
относительно производной оси I можно
представить как результат по-
последовательного выполнения
поворота и симметрии относи-
относительно заданной оси (в нашем
случае удобно взять действи-
действительную прямую). Если ось I
образует с действительной пря-
прямой угол ф, то нужно совершить поворот i?^2" на угол —2<р. Чи-
Читатель легко убедится в этом из рис. 15.4. Так как поворот и
гомотетия сводятся к умножению на некоторое комплексное чис-
число z0, а симметрия относительно действительной прямой Ох —
к замене числа на комплексное сопряженное, то наше преобразо-
преобразование сопоставляет точке z точку zoz. И так нами доказано сле-
следующее утверждение. . .....
Л е мм а ¦ 1,- Любое подобие, оставляющее- на месте точку О,
может быть записано {при рассмотрении точек плоскости как
комплексных чисел) либо как преобразование, переводящее комп-
комплексное число z в zoz, либо как преобразование, переводящее z
в z^z~. Здеъъ z0 — некоторое комплексное число, определяющее
преобразование.
В дальнейшем при рассмотрении точек плоскости как комп-
комплексных чисел (указанным выше образом) мы будем говорить
о плоскости как о комплексной плоскости. Напомним, что для
такого представления точек плоскости нужно выбрать на плоско-
плоскости точку О (от которой откладываются векторы) и единичный
вектор е (от которого против часовой стрелки отсчитывают-
ся утлы).
Более полно читатель может познакомиться с комплексными
•числами, например, по книге: Кузьмин Р. О., Фадде-
Фаддеев Д. К. Алгебра и арифметика комплексных чисел.— Л.:
Учпедгиз, 1939.
§ 15. АЛГЕБРА ПОДОБИЙ: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
207
Упражнения
1. Доказать, что отображение комплексной плоскости, переводящее г
в az -\- b или az + Ъ, где аи Ь — фиксированные комплексные числа
(а Ф 0), является подобием. Доказать, что всякое подобие плоскости может
быть записано таким образом.
2. Доказать, что всякое подобие, отличное от перемещения, имеет ров-
ровно одку неподвижную точку.
3. Доказать, что все подобия плоскости исчерпываются уже встречавши-
встречавшимися нам: перемещениями, композициями R'qH'q гомотетии и поворота с
одним и тем же центром О и композициями SiHq гомотетии и осевой
симметрии, причем центр гомотетии О лежит на оси I симметрии.
2. Подобие решеток и модулярная группа. Теперь мы можем
вернуться к вопросу, обсуждавшемуся в конце предшествующе-
предшествующего параграфа. Мы видели в п. 1 § 14, что пара неколлинеарных
векторов, рассматриваемая с точностью до подобия, задается
точкой верхней полуплоскости. Выберем вектор е, связанный с
этой полуплоскостью, единичным и, рассматривая точки по-
полуплоскости как комплексные числа, будем называть ее верхней
комплексной полуплоскостью. Условие того, что комплексное-
число z принадлежит верхней комплексной полуплоскости, запи-
записывается, очевидно, в виде 1ш z > 0. За пару векторов, изобража-
изображаемую комплексным числом z, можно взять 1 и z (а также любые
им подобные пары). Теперь запишем то, что комплексные числа-
zj и z2 изображают подобные решетки. Согласно теореме 1 из;
§ 14, пара векторов, порождающих ту же решетку, что и векто-
векторы 1, Zj, записывается в виде m + nzu k + lz±. Чтобы найти точ-
точку верхней полуплоскости, изображающую решетку, порожден-
порожденную этими векторами, нам надо произвести подобие, удовлетво-
удовлетворяющее двум условиям: а) оно переводит первый вектор в 1;
б), второй вектор — в некоторый вектор верхней полуплоскости
(он и дает нам нужное число). Любое подобие согласно лемме 1
задается комплексным числом z0, и для него возможны два слу-
случая^ оно переводит произвольное ^комплексное число z в zoz или
в zoz. Прежде всего, постараемся удовлетворить условию а), что-
чтобы первый вектор наше подобие переводило в 1. Это значит, что
Zo(m + nzi) = 1 (в первом случае) или zt(m + nz±) = 1 (во_ вто-
втором). Счастливым образом эти условия совпадают, так как 1=1.
Они дают нам ze: z0 = (m + nzi)-i, так что подобие переводит
произвольное комплексное число z в (m + nzi)~lz или в;
(тге + nzi)~*z. Какой из двух случаев будет иметь место, выяснится
из условия б), требующего, чтобы подобие переводило второй век-
вектор k + lzi в вектор верхней полуплоскости. Оно переводит этот-
вектор в
— (в первом случае) и в
во втором случае^
Пользуясь равенствами E), получаем
/ к + 1гл \ к + lz.
| — . = ё-
г1У
208
Ч. ГУ. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
§15. АЛГЕВРА ПОДОБИЙ: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
209
Так как условие принадлежности комплексного числа z верх-
щей полуплоскости записывается в виде Im z > 0, то нам надо
к + lz
-исследовать Im —4-й» * Для этого освободимся от комплекс-
шого числа в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на
число, комплексно сопряженное к знаменателю:
к -f- 1гг (к + Zzxy (m -f- nz^ km -f- Zraz^-f- lmz1 + knzx
m + razj (m 4. nzj {m 4. nz^j \m + nzl\i
Так как zi = Re Zi + i Im zlf то окончательно получаем
L km-\-ln\zx^ +(lm+kri)Rez1 (Im — kn) Im z± _
Мы выбирали Zi в верхней полуплоскости, и поэтому Im z4 > 0.
А + Jz
"Таким образом, знак Im -jj^t;— совпадает со знаком Zm — fcn.
"Мы видели, что 1т — кп = ±1, значит, если 1т — кп = 1, то
* + **,« *+**,
Im i—— > U, т. е. —: лежит в верхней полуплоскости.
т -f- raZj m 4- nzi
Если же 1т — кп =—1, то в верхней полуплоскости лежит число
( * + *«! ) =
\т + nz± )
1*1 гя
-=—. Итак, мы получили правило, формулируе-
мое в следующей теореме.
Теорема 1. Для того чтобы комплексные числа Zj и z2,
.лежащие в верхней комплексной полуплоскости, изображали по~
•добные решетки, необходимо и достаточно, чтобы z2
м из двух' способов: "~ ~~[ '."".'.
k+lz,
z2 = ————, причем Im — kn = 1,
мли
z2 ==
m -{- ra
i-, причем Im — Are = — 1,
Z
G)
m, n, k, I — целые числа.
Мы приходим к ситуации, напоминающей ту, которая обсуж-
обсуждалась нами в § 7, когда определялась геометрия 2Г, соответ-
соответствующая равномерно-разрывной группе Г. Там мы рассматри-
рассматривали сначала произвольное понятие эквивалентности точек на
плоскости, а потом пришли к рассмотрению особенно важного
случая, когда это понятие определяется при помощи перемеще-
перемещений. Сейчас мы рассматриваем только точки верхней полуплоско-
полуплоскости (или соответствующие им комплексные числа) и следующее
понятие эквивалентности: «zu и z2 эквивалентны, когда они изо-
изображают подобные решетки». Теорема 1 устанавливает, что это
понятие эквивалентности определяется при помощи некоторых
! преобразований верхней полуплоскости, именно, выражаемых
' формулами F), G). Аналогия с § 7 подсказывает, что наша
совокупность преобразований должна образовывать группу. Дей-
' ствительно, проверка показывает, что это так. Пусть, напри-
! мер, мы имеем два преобразования, задаваемые формулами тина
i F): одно — то, которое записано в F), а другое —
Подстановка показывает, что z3 = —а а 1 , где к2 == ktm + IJc,
1% = kji + lj,y m% = niim + njc, пг = mtn + ntl. Отсюда легко вы-
вывести, что
knnikt
{Im
— kjt,) == 1.
Точно также проверяется, что последовательное выполнение
преобразований типов F) и G) (в любом порядке) дает преобра-
преобразование типа G), а двух преобразований типа G) — преобразо-
преобразование типа F). Наконец, обратным преобразованием к преобра-
преобразованию типа F) или G) будет преобразование того же типа с
коэффициентами V = т, к' =* —к, т' = 1, п' = — п. Группа, со-
состоящая изо всех преобразований вида F)—G), называется
модулярной группой.
Мы можем теперь гораздо более содержательно понимать
. пр§дыдупщо1тёорешг, "заметив, что ."две, точки верхней полуплос-
полуплоскости изображают подобные решетки тогда и только тогда, когда
они эквивалентны относительно модулярной группы. А модуляр-
модулярная фигура оказывается фундаментальной областью для моду-
модулярной группы (так же, как полоса для групп перемещений
типа II а, параллелограмм для групп типа III а и т. д.).
Кроме того, из основного утверждения п. 1 из § 14 следует,
что модулярная фигура не содержит различных эквивалентных
точек (даже на границе!).
Аналогия с той ситуацией, которую мы много раз встречали
в этой книге, нарушается сейчас только в двух обстоятельствах:
во-первых, множество точек верхней полуплоскости, которое нас
интересует и на котором действует модулярная группа, не обра-
образует (пока) никакой геометрии; во-вторых, не ясно, образуют ли
преобразования из модулярной группы разрывную группу ее
перемещений. Например, если определить расстояние в верхней
полуплоскости обычным образом (как на плоскости), то мы по-
получим геометрию (что вытекает из выпуклости полуплоскости),
14 В, В, Никулин, И. Р, Шафаревич
210
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
8 16. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
2Ц
но преобразования модулярной группы не будут сохранять это
расстояние, в чем можно убедиться, рассмотрев преобразование
F (z) = из модулярной группы.
Тем не менее, геометрия может быть построена, чем мы зай-
займемся в последних двух параграфах.
Интересно сразу представить себе те важнейшие следствия,
которые будут вытекать из этого построения. Прежде всего, раз
модулярная группа будет разрывной группой перемещений этой
геометрии, то ей будет соответствовать некоторая геометрия 2
благодаря общему способу построения геометрии по разрывной
группе из §§ 7 и 12. Эта геометрия 2 даст еще одно описание
множества геометрий на торе (или решеток на плоскости) с точ-
точностью до подобий, ибо точки 2 есть не что иное, как множества
эквивалентных друг другу точек.
В результате мы будем иметь два описания множества гео-
геометрий на торе — модулярной фигурой и геометрией 2. Это
будет ключом к пониманию того, что такое модулярная фигура.
Как мы увидим, модулярная фигура и будет геометрией 2, по-
подобно тому как геометрии из § 12, соответствующие разрывным
группам перемещений плоскости типов II3, II4 и III3—III6
(см. рис. 12.16), являются фигурами на плоскости.
Другим важнейшим следствием будет то, что совокупность
геометрий на торе (рассматриваемых с точностью до подобия)
сама оказывается объектом той же природы — геометрией 2.
Расстояние между точками А и В этой геометрии 2 будет из-
измерять, насколько близки свойства геометрий на торе, изобража-
изображаемых точками А ж В.
Эти следствия оправдывают усилия, которые нам предстоит
затратить на-пестроение этих геометрий: на верхней полупяос-
костй*й. "
Упражнения
1. Рассмотрим преобразования F из модулярной грушей, переводящие
модулярную фигуру в соседние с ней фигуры: образ модулярной фигуры
при этих преобразованиях пересекается с ней самой хотя бы по одной точ-
точке. Доказать, что существует 8 таких преобразований Fi — Ft, они пере-
переводят модулярную фигуру 1 соответственно в фигуры I—VIII на верхней
полуплоскости (см. рис. 17.2 на стр. 228) и задаются формулами:
—-1/ж,
все точки неподвижны;
неподвижны точки луча Re 2 = 0;
неподвижны точки полуокружности \г\
неподвижны точки луча Re 2 = 1/2;
неподвижна точка i;
1;
: 1/A— г), неподвижна точка — -4- i
F7(z) =Fi{F3(z)) = B— 1)/2, неподвижна точка -1 + *—•
2 2
Ft(z) = F4(Fe(z))
z/(z - 1), неподвижна точка -i. + i^Q-.
2 2
- ^г Д0Казать» что перечисленные выше неподвижные точки из модуляр-
модулярной фигуры преобразований Pz—Fa в точности соответствуют решеткам,
имеющим симметрии, отличные от центральной симметрии. А преобразо-
преобразования Fz — F&, неподвижной точкой каждого из которых является одна из
этих неподвижных точек г, в точности соответствуют симметрия» решетки,
определяемой z, с точностью до композиции этих симметрии с центральной
симметрией (сравните с п. 3 § 11 и упр. 1 п. 1 § 14).
§ 16. Геометрия Лобачевского
Напомним, что целью настоящего параграфа является постро-
построение такой геометрии на верхней комплексной полуплоскости,
для которой модулярная группа была бы разрывной группой
перемещений.
Как мы знаем из § 6, основным в определении геометрии
является расстояние, а все остальные понятия — прямые, группа
перемещений и т. д.— определяются с помощью расстояния. Сей-
Сейчас же нам задана некоторая группа преобразований (модуляр-
(модулярная группа), и мы хотели бы построить геометрию (т. е. опре-
определить расстояние) так, чтобы преобразования этой группы были
перемещениями. В такой ситуации нам естественнее начать с
построения группы перемещений будущей геометрии. Мы опре-
определим некоторую группу преобразований верхней полуплоскости,
которая многими своими свойствами похожа на группу переме-
перемещений обычной плоскости. Конечно, пока мы не ввели никакого
расстояния между точками верхней полуплоскости, бессмыслен-
бессмысленно спрашивать, являются ли преобразования из этой группы
перемещениями. Но наша цель — определить расстояние именно
так, чтобы это свойство выполнялось. Чтобы все время иметь
перед глазами эту цель, мы будем называть преобразования из
нашей группы «перемещениями» (в кавычках), а когда опреде-
определим расстояние и докажем, что наши преобразования его сохра-
сохраняют, мы получим право кавычки убрать. В качестве второго
этапа мы определим на верхней полуплоскости некоторые кри-
кривые, связанные с «перемещениями» некоторыми соотношениями,
очень похожими на те, которыми прямые связаны с перемеще-
перемещениями на обычной плоскости. Эти кривые мы назовем поэтому
«прямыми» (тоже в кавычках). Наконец, хотелось бы определить
расстояние так, чтобы оно было связано с «перемещениями» и
«прямыми» такими же свойствами, как расстояние на обычной
плоскости связано с перемещениями и прямыми. Как мы уви-
увидим, это возможно и по существу единственным способом. Таков
план дальнейшего исследования.
И*
212
Ч. ГУ. ГЕОМЕТРИЯ ЛОВАЧЕВСКОГО
1. Перемещения. Заметим, что если в формулах F) и G) и»
§ 15 для преобразований модулярной группы допустить коэффи-
коэффициенты m, re, ft и I не только целые, но и произвольные действи-
действительные, то мы также получим преобразования верхней полу-
полуплоскости, причем они образуют некоторую группу ©. Проверя-
Проверяется это дословно так же, как и для преобразований модулярной-
группы. Таким образом, мы получаем некоторую группу © пре-
преобразований полуплоскости, которые переводят точку z в
если bc — ad>О,
, если bc-ad<0,
или в
где а, Ь, с и d — действительные числа.
Очевидно, эта группа содержит модулярную группу.
Мы будем строить новую геометрию так, чтобы преобразова-
преобразования иг группы © после того, как мы определим расстояние, ста-
стали ее перемещениями. Это уже наверняка обеспечит нам то, что
преобразования из модулярной группы будут перемещениями.
Кроме того, как мы постоянно будем убеждаться, группа © по
своим свойствам очень похожа на группу перемещений обычной
плоскости.
Преобразования, задаваемые формулами A) и B), мы даль-
дальше будем называть «перемещениями», имея в виду, что позже
мы введем расстояние, которое они не будут менять.
Начнем с того, что, как и на обычной плоскости, «перемеще-
«перемещения» делятся на два рода: «перемещения» I рода задаются фор-
формулой^!), аТГ рода — формулой B)."Как и в случае модулярной
группы, при последовательном выполнении двух «перемещений»
I рода из © получается «перемещение» I рода, а композиция пе-
перемещения I рода с перемещением II рода — перемещение II рода.
Неподвижные точки «перемещений» из © устроены так же,
как на обычной плоскости. «Перемещение» I рода либо вообще
не имеет неподвижных точек (является аналогом параллельного
переноса), либо имеет ровно одну неподвижную точку (аналогич-
(аналогично повороту), либо имеет неподвижными все точки плоскости
(тождественно). Проверку этих свойств мы оставим читателю,
она сводится к рассмотрению квадратного уравнения "Т^* = z.
«Перемещение» II рода либо вообще не имеет неподвижных то-
точек (является аналогом скользящей симметрии), либо имеет не-
неподвижными точками целую кривую на верхней полуплоскости
(аналогично осевой симметрии). Это свойство мы проверим, и
заодно выясним, каковы эти кривые.
Пусть такое «перемещение», задаваемое формулой B), остав-
оставляет на месте какую-то точку z верхней полуплоскости. Это
§16. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
213
значит, что
a + bz
be —
Умножая обе части равенства на с + dz и вспоминая, что zz «¦
= |z!% получаем
Пусть z = х + гу, тогда приравняв в обеих частях предыду-
предыдущего равенства мнимые части, мы получим (Ь + с)у = 0. Так
как точка z лежит в верхней полуплоскости, то у > 0, и, значит,
Итан, с = —Ь. Если d?>0, то разделим числитель и знамена-
знаменатель в формуле B) на d и обозначим -j= a, -g= Р.Из неравен-
неравенства be — ad<- 0, разделив обе части на d% получим {S* + а > 0.
Теперь формула для нашего «перемещения» примет вид а -.
Прибавляя и вычитая в числителе [}*, мы получим ту же фор-
формулу в виде
Г=1 р + 7=7' <3)
где ft = а + р2 > 0. Условие того, что точка z остается неподвиж-
неподвижной, принимает вид z— Р = ——г-» т. е. Iz — p|* = ft. Очевидно,
г — р
это уравнение окружности с_центром на действительной прямой
Ох в точке р и радиусом У ft. Так как нас интересуют только,
точки верхней полуплоскости, то мы должны рассматривать
лишь верхнюю половину этой окружности (рис. 16.1), т. е. полу-
полуокружность.
Эта полуокружность и является искомым множеством непод-
неподвижных точек нашего «перемещения». Она выделяется среди
других полуокружностей перпендикулярностью*) действитель-
действительной прямой.
Если же d — 0, то из условия be — ad < 0 вытекает, что Ь ?• 0,
и «перемещение» B) запишется формулой
2f — z = f— (z — f), D)
где
-,_
2b-
*) Угол между окружностью и прямой определяется как угод между
этой пряной и касательной к окружности в точке пересечения. В соответ-
соответствие с этим определяется в перпендикулярность.
214
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
В этом случае искомое множество неподвижных точек «пере-
«перемещения» D) задается уравнением 2f — z = z, т. е. f = Re z,
и является перпендикулярным действительной прямой лучом с
началом в f (рис. 16.2).
У
А
Рис. 16.1.
Рис. 16.2.
Отметим, что геометрически это «перемещение» является
просто симметрией относительно этого луча.
В результате мы доказали наше утверждение: если «переме-
«перемещение» II рода иэ группы © имеет неподвижные точки, то мно-
множество его неподвижных точек образует кривую в верхней полу-
полуплоскости, которую мы будем называть его кривой неподвижных
точек.
Кроме того, мы полностью описали все такие кривые: кривы-
кривыми неподвижных точек «перемещений» II рода из группы ©
являются в точности перпендикулярные действительной прямой
полуокружности и лучи верхней полуплоскости (см. рис. 16.1
и 16.2).
Аналогично тому, что симметрия на обычной плоскости одно-
однозначно определяется прямой, относительно которой она выпол-
выполняется, «перемещение»- It рода из группы ® однозначно опреде-
определяется своей кривой неподвижных точек. Это сразу вытекает вз
формул C) и D). Поэтому такое «перемещение» мы также бу-
будем называть симметрией относительно этой кривой. Если кри-
кривая неподвижных точек — луч, эта симметрия, как мы уже отме-
отмечали выше, совпадает с обычной симметрией плоскости относи-
относительно прямой, содержащей этот луч, но которую мы рассматри-
рассматриваем только на точках верхней полуплоскости. Если же кривая
неподвижных точек — полуокружность, то эта симметрия также
имеет простой геометрический смысл — см. упр. 1.
Упражнения
1. Доказать, что симметрия C) относительно полуокружности
\z — $\z= k имеет следующий геометрический смысл: точка zt и ее об-
образ z» лежат на одном луче, выходящем из центра {J полуокружности, при-
причем |zi —Р| |z» — р| =a к. Эта симметрия меняет местами те две части верх-
верхней полуплоскости, на которые она разбивается полуокружностью.
2. Доказать, что любое «перемещение» из группы @ является результа-
результатом последовательного выполнения «перемещений» из @, переводящих (пер-
(первое) г в pz, (второе) s в г + g, (третье) z в r/z, (четвертое) ъ в (—2),
ж
§ 16. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
215
где р > 0, г < 0. (Указание: выражение jqj^-, если d ф 0, представить
в виде р + z¦_ q .)
3. Доказать, что всякое «перемещение» из группы @ есть результат
последовательного выполнения нескольких симметрии, причем «переме-
«перемещение» I рода — четного числа симметрии, а II рода —^ нечетного. Вы-
Вывести отсюда, что «перемещение» I рода из @ не меняет направление об-
обхода замкнутых кривых, а II рода — меняет.
2. Прямые. Введение прямых основано на следующем наблю-
наблюдении: если перемещение II рода на обычной плоскости имеет не-
неподвижную точку (т. е. является симметрией), то кривая его не-
неподвижных точек является прямой (осью симметрии). Было бы
естественно, если бы и в новой геометрии это свойство имело ме-
место, т. е. лучи и полуокружности, перпендикулярные действитель-
действительной прямой, которые обладают как раз этим свойством, были в
ней прямыми. Ситуация станет для нас яснее, если мы попробуем
доказать этот факт обычной геометрии (т. е. то, что множество не-
неподвижных точек перемещения, если оно составляет кривую, яв-
является прямой), по возможности не пользуясь конкретными свой-
свойствами этой геометрии.
Рассмотрим на кривой неподвижных точек перемещения II
рода F две различные неподвижные точки А и В. На обычной
плоскости через точки А и В проходит прямая (АВ). Так как
F ->- перемещение, то оно переводит прямую {АВ) в прямую, про-
проходящую через точки F(A)=A, F(B)=B, т. е. в себя, ибо яа
обычной плоскости через две различные точки А и В проходит
роено одна прямая. Более того, любая точка X этой прямой (АВ)
переходит в себя: F(X) =.Х, так как положение точки на прямой
(АВ) определяется ее расстояниями до точек ЛвБ,а \F(X)A\ =¦=»
= \XAl, \F(X)B\ = \ХВ\, ибо F — перемещение. Поэтому прямая
(АВ) и есть неподвижная кривая перемещения F.
Из приведенного доказательства видно, что единственное свой-
свойство обычной плоскости, которым мы
пользовались,— это существование и
единственность прямой, проходящей
через две различные точки. Заметим
теперь, что лучи и полуокружности
верхней полуплоскости, перпендику-
перпендикулярные действительной прямой, оче-
очевидно обладают этим свойством: через
любые две различные точки А и В
полуплоскости проходит, причем ровно
одна, такая кривая (рис. 16.3).
После этих наблюдений становится естественным строить но-
новую геометрию так, чтобы через любые две различные точки но-
новой геометрии проходила, причем ровно одна, «прямая». Это, как
мы только что видели, приводит к тому, что «прямыми» новой
Рис. 16.3.
216
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
геометрии должны быть в точности лучи и полуокружности, пер-
перпендикулярные действительной прямой.
Нужно, однако, убедиться, что, определяя таким образом пря-
прямые новой геометрии, мы не получаем противоречия с уже опре-
определенной нами группой ® ее «перемещений», т. е. что «переме-
«перемещения* из © переводят «прямые» — лучи и полуокружности верх-
верхней полуплоскости, перпендикулярные действительной прямой,—
в такие же лучи и полуокружности, т. е. в «прямые».
Для этого вспомним, что каждая такая «прямая» С является
множеством неподвижных точек некоторого «перемещения» II ро-
рода F из © (в предыдущем пункте мы назвали это «перемещение»
F симметрией относительно С). Пусть теперь G — произвольное
«перемещение» из <8. Заметим, что образ G(C) «прямой» С при
«перемещении» F является множеством неподвижных точек «пе-
«перемещения» GFG~l из группы ©. Действительно, если А — непод-
неподвижная точка этого «перемещения», т. е. GFG~*{A) = А, то, при-
применяя к обеим частям этого равенства G~l, получим равенство
FiG-'Ui)) — G-ЧА). Это значит, что точка G~liA) — неподвижная
точка «перемещения» F, т. е. точка «прямой» С, а следовательно,
А — точка кривой G(C). Заметим, далее, что GFG~l — «перемеще-
«перемещение» II рода в силу отмеченных выше правил последовательного
выполнения «перемещений» I и II рода из @. Таким образом, мы
убедились, что кривая G(C) является кривой неподвижных точек
некоторого «перемещения» II рода из ©. Но такие кривые, как
мы энаеи из п. 1, являются лучами или полуокружностями, пер-
перпендикулярными действитель-
действительной прямой, т. е. нашими «пря-
«прямыми». Это и доказывает тре-
требуемое.
После этой необходимой
проверки мы уже окончательно
приходим к подчеркнутому вы-
выше определению «прямых» в
конструируемой нами геомет-
геометрии. Однако, как и для преоб-
преобразований из группы ©, до тех
пор, пока не определено рас-
расстояние, мы будем продолжать
Рис. 16.4 называть лучи и полуокружно-
полуокружности, перпендикулярные дей-
действительной прямой, «прямыми» (в кавычках) новой геометрии.
На первый взгляд может показаться, что «прямыми» оказы-
оказываются два очень разнородных семейства кривых: лучи и полу-
полуокружности. Но между ними есть некоторая связь: если удалять
центр полуокружности в бесконечность (на рис. 16.4 — вправо),
оставляя неизменной точку Р пересечения полуокружности с
действительной прямой, то полуокружности будут все более вы-
§ 16. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
217
прямляться, приближаясь к лучу, проходящему через точку Р
(см. рис. 16.4). Таким образом, лучи — это предельные положения
полуокружностей.
Упражнение
1. Угол между пересекающимися кривыми определяется как угол меж-
между их касательными в точке пересечения. Доказать, что угол между двумя
пересекающимися перпендикулярными действительной прямой полуокруж-
полуокружностями Ci ж Сг не меняется при «перемещениях» из группы (8. (Указа-
(Указание: пусть Ci пересекает действительную прямую в точках а и р, a C% —
в точках f и б. Выразить косинус угла между d и Сг через о, (J, f и б. Да-
Далее воспользоваться упр. 2 из п. 1.) Вывести отсюда, что «перемещения»
из группы <8 не меняют углы между любыми пересекающимися кривыми.
Ввиду этого, углом между двумя- кривыми, пересекающимися в некоторой
точке новой геометрии, будет называться угол (в смысле обычной геомет-
геометрии на плоскости) между их касательными.
3. Расстояние. Здесь мы закончим построение конструируемой
нами геометрии, определив расстояние между ее точками. Чтобы
не путать это расстояние с расстоянием на плоскости, мы будем
обозначать его llzt, z»ll, где zt и z2 — точки верхней полуплоскости.
Вначале определим расстояние между точками одной из «пря-
«прямых» новой геометрии. Простейшей такой «прямой» является луч
Re z = 0 верхней полуплоскости, состоящий из то-
точек вида it, где t > 0 — действительное число. и
Выпишем условия, которым определяемое рас-
расстояние должно удовлетворять. Первое из них явля-
является следствием того, что луч Re г = 0 является
«прямой» новой геометрии:
1)
tt.1 = Wit,, 0,1 + \\иг,
если 0 < ti < i2 < t,, т. е. точка it2 лежит на луче
Re z = О между точками ttt и its (рис. 16.5). А вто-
второе — из того, что расстояние не должно меняться
при «перемещениях» из группы ©, т. е.
2)
где Н — «перемещение» из <3, если все четыре точ- х
ки Zj, z2, #(zt), #(z») лежат на луче Rez = 0. При Рис 16.5.
этом можно считать, что zi Ф z%, откуда и HizJ Ф
Ф Н(гг) (в противном случае по свойству а) расстояния в геомет-
геометрии имеем llz, zll = 0).
Чтобы выписать условие 2), найдем явно все такие пары точек
Zj, гг и «перемещения» Н, что zt, z2 и HizJ, Н(гя) лежат на луче
Re z = 0 и zt Ф ^. Для этого заметим, прежде всего, что «переме-
«перемещение» Н переводит весь луч Re z = 0 в себя. Действительно, «пе-
«перемещение» Е из © переводит «прямую» новой геометрии, являю-
являющуюся лучом Re z = 0, в «прямую» новой геометрии, которая явля-
является на верхней полуплоскости лучом или полуокружностью, пер-
218
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБДЧЕВСКОГО
пендикулярными действительной прямой Ох. Эта «прямая» содер-
содержит точки Hizi) и Я(г2), ибо луч Re z = 0 содержал точки z4 и z2.
Отсюда следует, что эта «прямая» совпадает с лучом Rez = 0, так
как точки H(zi) и H(zs) различны и лежат на луче Re z = 0, а че-
через две различные точки проходит ровно одна «прямая».
Все такие «перемещения» Н из ®, переводящие луч Rez = 0
с себя, легко выписать. Оказывается, возможны четыре случая:
a)#(z) = pz, гдер>0;
б) #(z) = —2, где а>0;
' в) Н (z) = — pi , где р > 0;
г) Я («)=?,
где а > 0.
При этом случаи а) и б) соответствуют записи Н формулой
A), а б) и в) — формулой B). Ограничимся доказательством для
случая, когда Н задается формулой A). Непосредственно из этой
формулы получаем
_ а + bit _ (а + bit) (с— dit) _ ас + bdt* , . (bc—ad)t
Я (it)
Заметим, что так как Re НШ) = 0 для всех t > 0, т. е. ас + bdt2 = О
для всех t>О, то ас = Ъй = 0. Учитывая, что Ъс — ad> 0, отсюда
получаем два случая:
либо а = d = 0, Ьс > 0, откуда jff (z) = — — $z
либо Ь = с =0, ad < 0, откуда H(z) — jz— — -, гдеа= — j > 0.
Перейдем теперь к анализу условия 2). Записывая точку z лу-
луча Re z = 0 как z = it, где t > 0, и подставляя в 2) все возможные
Н, задаваемые формулами а)—г), условие 2) мы можем перепи-
переписать в виде двух равенств:
*l« '7. 'Г.
которые должны выполняться для любых а, р > 0 и tu t2 > 0.
Прологарифмируем t, a и fi, т. е. введем в = log^t, г = logAa, s =
= log^^, где Л > 0, Л ч* 1, и обозначим p(ux, u2) =lii4"i, iAu*\. Те-
Теперь предыдущие соотношения приобретут знакомый вид:
E)
p(s — »j, s —
§ 16. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
219
где Bi, Bj, г и s — произвольные действительные числа. Соотноше-
Соотношение 1) примет вид
p(»i, щ) =p(»i, вг) +р(к2) а3), F)
если Bi < аг ^ в3.
Свойствами E) и F), как известно, обладает расстояние на
действительной числовой прямой — модуль разности. Таким об-
образом, условия A) и B) будут выполнены, если положить
p(»ii us) = \ui — пг\,
а это значит, что
J itt, ita J = р (logA *ц bgA t2) = j logA ix — logA ta I =
(хотя это нам и не понадобится, читатель может проверить, что
с точностью до умножения на константу, т. е. до выбора основа-
основания логарифма, это и единственная такая возможность). Замечая,
что — =
г
, мы получаем искомое расстояние
G)
для точек zt и z2 луча Re z = 0, где А — некоторое фиксированное
положительное число иЛ^!.
Посмотрим теперь, как определить расстояние между произ-
произвольными точками конструируемой геометрии.
Наша цель — определить расстояние llzb z2ll между точками
верхней полуплоскости так, чтобы выполнялись следующие ус-
условия. ...
А. «Перемещения» из группы © должны быть действительно
перемещениями, т. е. должны сохранять расстояние llzi, zjl.
Б. Для точек, лежащих на луче Re z = 0, расстояние должно
задаваться формулой G).
Ниже мы покажем, что для любых двух точек z,, z2 на верхней
полуплоскости существует перемещение F из группы ®, переводя-
переводящее zt и z2 в точки луча Re z = 0, на котором расстояние задается
формулой G). Отсюда, очевидно, следует, что при выполнении ус-
условий А и Б расстояние Hz,, z2ll между точками z, и z2 можно оп-
определить только одним способом: нужно подобрать такое «пере-
«перемещение» из группы <В, чтобы обе точки F(zt) и F(z2) попали на
луч Re z = 0, и положить искомое расстояние равным
(8)
При таком определении расстояния нужно только убедиться,
что:
220
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
а) для любых двух точек zt и za существует «перемещение» F,
переводящее их в точки луча Re z = 0;
б) определенное формулой (8) расстояние между zt и zs не
зависит от выбора этого «перемещения» F;
в) «перемещения» из группы © сохраняют это расстояние.
Проверку свойства а) мы пока оставим, а докажем сначала
фактически уже проверенные нами свойства б) и в).
Пусть для точек zt и гг как пара точек F(zt) и F(zs), так и па-
пара точек GUi) и G(zg) лежит на луче Re z = 0, где F и G — «пере-
«перемещения» из ®. Для проверки свойства б) нужно показать, что
определяемые формулой (8) расстояния между точками луча
Rez = 0 равны, т. е. WFizJ, FCza)ll == IIGCzt), G(za)ll. Это, однако,
вытекает из свойства 2) расстояния между точками луча Re z = 0,
ибо G(Zi) — #F(z4), G(zJ = HFizJ, где Я = GF~l — «перемеще-
«перемещение» из ®, а точки F(zt), F(za) и G(.zt)t G{z%) лежат на луче
Re z = 0. Свойство б) доказано.
Рассмотрим теперь две произвольные точки z, и z2 верхней
полуплоскости и произвольное «перемещение» Р из ©. Для про-
проверки свойства в) покажем, что
к., ж.1 - 1Р(*,), Р(*,)И. . (9)
В соответствии с определением (8)
" IPU,), P(z2)ll - 11<?(РB1)), $(Р(*,)I, A0)
где @ — некоторое «перемещение» из ®, для которого обе точки
(?(P(zi)) и Q(P(Zi)) лежат на луче Rez = 0. В соответствии с этим
же определением (8) имеем тогда
l*lf Z,» - UQPizJ, QPizJU = )IG<P(*,)), ^(P(za))ll, A1)
так как обе точки (?Р(гх)=*Q(P(z%)) и (?P(z8).—(?(P(z,)) лежат
на луче Rez = 0, а @Р—«перемещение»
из <8. Из равенств A0) и A1) вытекает
требуемое равенство (9), что и доказывает
свойство в).
—> Нам остается проверить свойство а).
х Рассмотрим два случая.
Случай 1. Пусть точки z, и z8 ле-
лежат на одном луче Re z = а, т. е. Re zt
18в
у
=» Re z8 = а, тогда в качестве искомого «перемещения» F очевид-
очевидно можно взять
Яг)-*-в. A2)
Случай 2. Пусть Rez^Rez*, тогда, также как на рис. 16.3,
проведем через точки zt и z» полуокружность С, перпендикуляр-
перпендикулярную действительной прямой Ох, и обозначим через а и Ь, где
«<'&, концы этой - полуокружности на действительной прямой
Крис. 16.6).
• 1в. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
221
Мы утверждаем, что в качестве искомого перемещения F из
® можно взять
F& = ~- A3)
Для этого достаточно показать, что F переводит эту полуок-
полуокружность С в луч Re z = 0. Мы уже знаем из п. 2, что F(C) явля-
является или лучом, или полуокружностью, перпендикулярной действи-
действительной прямой. Поэтому остается убедиться, что эта кривая —
луч или полуокружность — может быть только лучом Re z = 0.
Покажем, что F(C) не может быть полуокружностью. Действи-
Действительно, если точка z полуокружности С приближается к ее концу
а, то модуль 1jF(z)| неограниченно возрастает, так как в формуле
A3) для F(z) числитель z — Ъ стремится к ненулевому" числу а — Ъ,
а знаменатель z — а стремится к 0. Но это было бы невозможно,
если бы точка F(z) пробегала полуокружность.
Таким образом, кривая F(C) — луч (рис. 16.7, а). Чтобы убе-
убедиться, что этот луч — луч Re z = 0, предположим, что точка z
полуокружности С приближается к другому ее концу 6. Из фор-
формулы A3) для F(z) аналогично предыдущему вытекает, что точка
F\z) стремится к 0 (см. рис. 16.7, б). Из наших лучей (с концами
на действительной оси и ей перпендикулярных) это возможно
только для луча Re z = 0. Таким образом, F{C) является лучом
Re z = 0. Свойство а) доказано.
0 а
На этом мы закончили построение расстояния. Расстояние в
новой геометрии задается выделенным выше определением, где
в качестве перемещения F, в зависимости от расположения точек
zt и z2 на верхней полуплоскости, можно ваять перемещение A2)
или A3).
Хотелось бы иметь и явную формулу для расстояния. Поль-
Пользуясь этим определением, из формул (8), A2) и A3) она без труда
получается: расстояние между точками zt и гг геометрии задается
222
Ч. ГУ. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
§ 16. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
223
одной из формул A4) или A5):
или
, если Re zx = Re za = a, A4)
, если Re zt Ф- Re z2, A5)
где a и b — концы полуокружности, перпендикулярной действи-
действительной прямой и содержащей z{ и z2.
Любопытно и полезно заметить, что в обеих этих формулах,
в силу нашего построения, под логарифмом стоит, как и должно
быть, положительное действительное число. Это (в особенности
для формулы A5)) не очевидно, ибо zt и z2 — произвольные комп-
комплексные числа верхней полуплоскости. Последнее замечание по-
полезно, ибо позволяет переписать формулы A4) и A5) в другом
виде, который часто удобея. Для этого заметим, что благодаря
этой положительности, пользуясь свойствами модуля комплексных
чисел, выражения под логарифмами в этих формулах можно пе-
переписать в виде
и, соответственно,
A7)
В свою очередь, модули можно рассматривать как расстояния
между точками, соответствующими комплексным числам. Напри-
Например, |z2 — а\ — расстояние между точками z2 и а на комплексной
плоскости.
Упражнения
1. Доказать, что перемещения из группы @ обладают следующим важ-
важнейшим свойством: если для четырех точек zi Ф z% и wi Ф юг равны рас-
расстояния IIzi, Z2II = \\и>и и>2||, то найдутся и притом ровно два перемещения
из группы @, переводящие zi в »i и гг в и>г. Одно из них I рода, другое —
II рода. (Указание: свести доказательство к случаю точек, лежащих
на луге.)
2. Доказать, что расстояние A4) и A5) можно задать и формулой
1 +
1 Off
1—
Z1~Z2
Zl-Z2
zi~za
zi-2a
(Указание: вначале докажите это для точек луча Re z = 0, затеи по-
кажите, что
не меняется при перемещениях из группы @.)
i а
3. Доказать, что окружности в смысле расстояния A4) и A5), т. е.
множества точек, равноудаленных от одной точки, изображаются на верх-
верхней полуплоскости обычными окружностями (в смысле евклидова рассто-
расстояния), не пересекающими действительную прямую. (Указание: можно
воспользоваться предыдущим упражнением.) Куда могут переходить при пе-
перемещениях из группы @ обычные окружности верхней полуплоскости?
4. Доказать, что четыре различные точки ui, и2, щ, щ комплексной
плоскости лежат на одной окружности или прямой тогда и только тогда,
когда число
является действительным. Какой смысл имеет его знак?
4. Окончание построения геометрии. Нам остается проверить
свойства а), б), в) и г) из определения геометрии (см. § 6).
Прежде всего заметим, что все эти свойства относятся к двум
точкам Zi и z2 геометрии. В соответствии с данным в п. 3 опреде-
определением расстояния в новой геометрии проверку этих свойств для
точек zt и z2 можно заменить на их проверку для точек F(zi) и
/?(z8), где F — перемещение из ®, для которого точки F(zt) и
F(.Zi) лежат на луче Re z = 0, ибо F не меняет расстояние между
любыми двумя точками. Это сразу доказывает свойства а), б) и г),
ибо по построению расстояния в предыдущем пункте луч Re z = О
является прямой, для которой все эти свойства, очевидно, выпол-
выполнены.
Проверка свойства в) геометрии сводится к доказательству не-
неравенства
П*„ zll + Ilz, ..*,П>1*„ *,П, A8)
где zt и z8 — точки луча Re z = 0. Прежде всего заметим, что
это неравенство очевидно для zt == z2, так как llzi, zjl = 0. Кроме
того, неравенство обращается в равенство
llzb zll + Hz, zj\ = flzi, zjl,
если z принадлежит отрезку [zlt zt] луча Re z = 0, а это означает,
что сам луч является прямой, проходящей через точки zt и z^.
Поэтому при проверке неравенства A8) мы будем далее счи-
считать, что zt и Zi — две различные точки луча Re z = 0, а точка
z не лежит на отрезке [z,, z2] этого луча. В этом случае мы до-
докажем даже строгое неравенство
Hz», zll + llz, z!!!!>!lzt, z2ll. A9)
Последнее неравенство дополнительно показывает, что через точ-
точки zt и га геометрии проходит единственная прямая — луч Re z =
=* 0. В таком случае, применяя перемещения F из группы ®, мы
224
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Рио. 18.8.
получим, что это свойство единственности прямой будет выполне-
выполнено для любых двух различных точек нашей геометрии. Его также
хотелось бы проверить, ибо, предполагая его выполненным, мы
пришли в п. 2 к определению прямых в нашей геометрии.
Идею доказательства неравенства A9) подсказывает один из
способов доказывать анало-
гичное неравенство на обыч-
обычной плоскости. Там неравен-
неравенство \АС\ + \СВ\ > \АВ\, ес-
если С же принадлежит [AB]f
можно вывести из того, что
при ортогональной проекции
длины отрезков уменьшают-
уменьшаются (рис. 16.8). Действитель-
Действительно, пусть С — ортогональ-
ортогональная проекция С на прямую (АВ). Если С лежит между 4иВ.
то С Ф С и \АС\ > \АС'\, \ВС\ > \ВС'\, откуда
\АС\ + \ВС\ > \АС'\ + \С'В\ = \АВ\ (рис. 16.8, а).
Если же, например, В лежит между А и С, то
\АС\ + \ВС\ > \АС'\ + \ВС'\ = \АВ\ + \ВС'\ + \ВС'{ -
- 1АВ\ + 2\ВС'\ > \АВ\ (рис. 16.8, б),
В нашей геометрии, совершенно аналогично, доказательство
неравенства A9) сводится к
неравенству
Is, zoll>Hz', zoll, B0)
где z0 — точка луча Re z = 0,
точка z не лежит на этом лу-
луче, a z' — точка пересечения
луча Re z = 0 и перпендику-
перпендикулярной ему и действительной
прямой полуокружности с
центром в О и радиусом Ы
(рис. 16.9I
Пользуясь формулами A5) и A7), получаем следующее равен-
равенство
»> ло|
Так как в силу известного свойства окружности треугольники
о, z, а и Ь, z0, о прямоугольные (на обычной плоскости), то
I г„ — & I
= tgq>, . _ а = tg ф0,
I о I
где ф и <р» — углы при вершине а этих треугольников (рис. 16.9).
8 16. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
225
Рис. 16.9.
Отсюда получаем
Z,Z0 11=
tgf0
Из формул A4) и A6) следует, что
I
рМбвре«
t20)
сводится к неравенству
или, что то же самое, к неравенству
B1)
i-oi ¦ -
Аналогично из рисунка видно, что <р < ф' < я/2, откуда tg ф <
< tg ф', где ф' — угол при вершине а треугольника Oz'a. Поэтому
вместо неравенства B1) достаточно доказать, что
tgq>'
К!
Последнее очевидно, так как-г-^-у-= ¦ Д^. = - [а. . Доказательство
закончено.
На этом мы завершаем построение нашей геометрии. По пост-
построению, группа © является ее группой перемещений, причем она,
как мы не раз в этом убеждались, очень похожа на группу пере-
перемещений обычной плоскости. Прямыми в нашей геометрии явля-
являются в точности лучи и полуокружности, перпендикулярные дей-
действительной прямой. Как и на обычной плоскости, через любые
две различные точки проходит ровно одна прямая. Это наводит
на мысль попытаться проверить, не выполнены ли в этой геомет-
геометрии и другие свойства обычной плоскости, например аксиомы?
Мы не будем проводить такую проверку: она хотя и очень про-
проста, но достаточно кропотлива, так как аксиом не так уж мало.
К тому же, при различных изложениях геометрии аксиомы выби-
выбираются по-разному. Мы только формулируем окончательный ре-
результат: в нашей геометрии выполняются все аксиомы обычной
плоскости кроме одной единственной —?V постулата Евклида или
аксиомы о параллельных. Взамен этой аксиомы в нашей геомет-
геометрии выполнено противоположное утверждение — аксиома Лоба-
15 В. В. Никулин, И. Р. Шафарекп
226
4. TV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
невского: через точку А, не лежащую на прямой I, можно прове-
провести более одной прямой, параллельной (т. е. не пересекающей)
I. Это сразу видно из рисунка 16.10: любая прямая, лежащая
между прямыми h и 1% нашей геометрии, не пересекает I.
Таким образом, мы имеем дело со знаменитой геометрией Ло-
Лобачевского, в которой выполнены все аксиомы обычной плоскости,
кроме аксиомы параллельности,
а взамен аксиомы параллель-
параллельности выполнена противополож-
противоположная ей — аксиома Лобачевского.
Так геометрией (или плоско-
плоскостью) Лобачевского мы и бу-
Рио. 16,10.
дем в дальнейшем называть по-
построенную геометрию.
Отвлекаясь от нашей основной задачи, отметим, что изложен-
изложенное построение геометрии Лобачевского дает ответ на вопрос, вол-
волновавший математиков более двух тысячелетий: нельзя ли вы-
вывести V постулат — аксиому о параллельных — из других аксиом
Евклида?
Для этого заметим, что при нашем построении плоскость Ло-
баческого является как бы частью плоскости Евклида. Она пока-
показывает, что некоторые объекты плоскости Евклида (точки верх-
верхней полуплоскости; лучи и полуокружности, перпендикулярные
действительной прямой; преобразования группы <8), если их на-
называть «точками», «прямыми», «перемещениями», удовлетворяют
всем аксиомам плоскости Евклида, кроме аксиомы о параллель-
параллельных (они удовлетворяют аксиомам плоскости Лобачевского). Та-
Таким образом, плоскость Лобачевского как бы изображается объек-
объектами плоскости Евклида. Такая ситуация описывается термином
«модель». Мы построили модель плоскости Лобачевского при по-
помощи плоскости Евклида. Существование такой модели доказы-
доказывает невозможность вывода V постулата из других аксиом Евкли-
Евклида. Действительно, если бы подобный вывод существовал, то он
бы приводил к противоречию с выполняющейся в этой модели
аксиомой Лобачевского. Тем самым он приводил бы к противо-
противоречию в плоскости Евклида, раз модель строится в этой пло-
плоскости.
Конечно, при достаточной интеллектуальной смелости можно
поставить вопрос: а почему нет противоречия в геометрии Евкли-
Евклида? Ответ на этот вопрос фактически нами уже дан: метод коор-
координат дает возможность построить модель плоскости Евклида
при помощи действительных чисел (см. пример 1а п. 1 § 6); пря-
прямые в этой геометрии можно определить как множества точек,
задаваемые уравнением первой степени между координатами х и
у. Этим вопрос сводится к выяснению непротиворечивости свойств
действительных чисел. Определяя действительные числа как бес-
бесконечные десятичные дроби, можно обосновать все их свойства,
§ 17. ПЛОСКОСТЬ ЛОБАЧЕВСКОГО И МОДУЛЯРНЫЕ ГРУППЫ
227
исходя из нескольких интуитивно очевидных свойств или аксиом
целых чисел. Таким образом, наше исследование приводит нас к
проблеме непротиворечивости аксиом целых чисел или, как гово-
говорят, «.непротиворечивости арифметики». По-видимому, ничего
логически более простого, чем целые числа, придумать нельзя,
и поэтому метод моделей здесь уже не применим. Ответ же ока-
оказывается совершенно отличным от всего того, с чем мы до сих
пор встречались: в математической логике доказывается, что не-
непротиворечивость арифметики не может быть ни доказана, ни
опровергнута, исходя из аксиом арифметики и логики! Таким
образом, непротиворечивость арифметики является «постулатом
логики», который мы принимаем на основании доверия ко всему
практическому и интеллектуальному опыту человечества.
С другими вопросами геометрии Лобачевского читатель мо-
может познакомиться, например, по книгам: Ефимов Н. В. Выс-
Высшая геометрия.— М.: Наука, 1971 (ч. 3) и Кокет ер Г. С. М.
Введение в геометрию.— М.: Наука, 1966 (гл. 16). Немного более
подготовленному читателю (знакомому с аналитической геомет-
геометрией и матрицами) можно рекомендовать книгу: Клейн Ф.
Неевклидова геометрия.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.
Упражнения
1. Пусть I — прямая геометрии Лобачевского и Л — точка этой прямой.
Пользуясь неравенством B0) и перемещениями из ®, доказать, что точ-
точки М, для которых расстояние \\М, -4Ц —наименьшее из расстояний от М
до точек прямой I, образуют прямую.
2. Доказать, что группа перемещений геометрии Лобачевского исчер-
исчерпывается перемещениями группы ® (воспользуйтесь предыдущим упраж-
упражнением и упр. 1 из п. 3).
3. Показать, что сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского,
может быть сколь угодно малой. Для зтого взять «бесконечный треуголь-
треугольник», образованный полуокружностями с центрами на вещественной пря-
прямой, пересекающими вещественную прямую в точках аир, И Т » о и 1.
все углы которого равны 0, и рассмотреть достаточно близкий к нему ко-
конечный треугольник (эта теорема иллюстрирует теорему геометрии Ло-
Лобачевского, согласно которой сумма углов любого треугольника меньше я).
§ 17. Плоскость Лобачевского, модулярная группа,
модулярная фигура и геометрии на торе
1. Разрывность модулярной группы. В предыдущем параграфе
мы построили геометрию — плоскость Лобачевского,— в которой
модулярная группа является группой перемещений, так как она
является частью группы <3 перемещений этой геометрии.
Здесь мы прежде всего завершим это построение, доказав, что
модулярная группа в этой геометрии разрывна.
Нам надо показать, что для всякой точки z плоскости Лоба-
Лобачевского найдется такой радиус г, зависящий от z, что в круге
Ж г) на плоскости Лобачевского нет отличных от z точек, эк-
15*
228
Ч. ГУ. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Бивалентных z. Воспользуемся построенной в § 14 модулярной
фигурой (см. рис. 14.6), которая является фундаментальной об-
областью для модулярной группы. Достаточно проверить утвержде-
утверждение для точек z этой фигуры, так как для эквивалентных точек
г можно брать одним и тем же.
Заметим, что на плоскости Лобачевского определено расстоя-
расстояние d от ее точки А до прямой I. Так для точки z0 прямой Re z =
= 0 и прямой плоскости Лобачевского —
полуокружности с центром в О (см.
рис. 16.9) именно это утверждается в не-
неравенстве B0) из § 16: расстояние от
точки z0 до точек этой полуокружности
не меньше расстояния от z0 до ее точки
z'. А общий случай легко сводится к это-
этому перемещениями группы ® плоскости
Лобачевского.
Учитывая это, для точки я внутри
-7
Рис. 17.1.
модулярной фигуры надо, очевидно, взять г меньшим наимень-
наименьшего расстояния от z до сторон модулярной фигуры — прямых
а, Ъ, с плоскости Лобачевского (рис. 17.1).
Для разбора остальных случаев воспользуемся результатом
упр. 1 п. 2 § 15, где показано, что модулярная фигура I и еще
семь фигур II—VIII, получающиеся из нее указанными там пре-
преобразованиями модулярной группы, образуют область, содержа-
содержащую целиком внутри себя модулярную фигуру вместе с ее гра-
границей (рис. 17.2). Фигуры II—VIII также не содержат различных
—
s-—"""
Ш
..v
s
.it
Щ
Ш
Щ
m
- -
-
^—
3 2
Рис. 17.2.
эквивалентных точек, так как получаются из фигуры I, облада-
обладающей этим свойством, перемещениями модулярной группы. Даль-
Дальнейшее рассуждение не представляет труда — дословно повторяет
доказательство разрывности группы I из п. 4 § 12. Для точек z
на сторонах модулярной фигуры надо взять г таким, чтобы крут
§ 17. ПЛОСКОСТЬ ЛОБАЧЕВСКОГО И МОДУЛЯРНЫЕ ГРУППЫ
229
K{z, r) пересекал только те стороны фигур I—VIII, которые вы-
выходят из точки z (см. рис. 17.2). В самом деле, например, для вер-
вершины Р модулярной фигуры круг К(Р, г) разбивается фигурами
I, III, VI, VIII, VII, IV на шесть секторов, каждый из которых
содержит точку Р. Поэтому в каждом из этих секторов нет точек,
эквивалентных точке Р, раз этот сектор содержится в одной из
фигур I, III, VI, VIII, VII, IV, а они не содержат различных
эквивалентных точек. Этим завершается доказательство разрыв-
разрывности модулярной группы.
Можно продолжить аналогию с § 12- Поскольку модулярная
фигура — фундаментальная область, то продолжая, как на рис.
17.2, заполнять плоскость Лобачевского фигурами, получающи-
получающимися из модулярной фигуры перемещениями модулярной группы,
мы получим разбиение всей плоскости Лобачевского на фигуры,
конгруэнтные модулярной фигуре (упр. 1 из § 9). Его без труда
можно изобразить (см. рис. 17.2), поскольку каждая из этих фи-
фигур имеет, как и модулярная фигура, три стороны, а примыкаю-
примыкающие к ней по этим сторонам фигуры получаются из нее отраже-
отражениями относительно этих сторон (так же, как фигуры II, III в*
IV получаются из модулярной фигуры). Очевидно, что образован-
образованный сторонами этих фигур узор на плоскости Лобачевского, изоб-
изображенный на рис. 17.2, переходит в себя при перемещениях мо-
модулярной группы. Более того, очень легко показать, что модуляр-
модулярная группа просто совпадает с группой симметрии этого узора
(упр. 1). Таким образом, как и в § 12, мы получили еще одно
наглядное описание модулярной группы — как группы симметрии
узора на плоскости Лобачевского. Заодно мы получили пример
узора или воображаемого кристаллического вещества на плоско-
плоскости Лобачевского. Нужно только помнить, что на рис. 17.2 мы
смотрим на этот узор_ глазами жителя обычной плоскости и не
в состоянии оценить его детали с точки зрения их размеров и рас-
расстояний между ними, что немаловажно для художника. На рис.
17.2 нам кажется, что треугольники, составляющие этот узор,
уменьшаются, становясь сколь угодно малыми. Но с точки зрения
жителя плоскости Лобачевского все они конгруэнтны — имеют
одинаковые размеры. Нам требуются формулы A4) и A5) из
§ 16, чтобы смотреть на этот узор его глазами.
Видно, что узор на рис. 17.2 сложнее, чем узор на обычной
плоскости. Эту «сложность» можно выразить и в более точных
терминах. Возьмем модулярную фигуру, ее соседей II—VIII, их
соседей и т. д. Число областей, получающихся через п шагов, ра-
растет при росте п очень быстро — как показательная функция от
п. Если же мы проведем эту конструкцию для фундаментальной
области разрывной группы на обычной плоскости (например, с
узорами и их фундаментальными областями на рис. 12.23), то
придем к функции от га, которая растет гораздо медленнее: как
многочлен от га степени, не большей 2.
230
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
§ 17. ПЛОСКОСТЬ ЛОБАЧЕВСКОГО И МОДУЛЯРНЫЕ ГРУППЫ
231
Уп ражнение
1. Доказать, что модулярная группа является группой симметрии узо-
узора на рис. 17.2. (Указание: воспользовавшись упр. 1 п. 3 и упр. 2 п. 4
из § 16, докажите, что мЪдулярная фигура не имеет симметрии.)
2. Совокупность геометрий на торе. Как мы уже говорили
в конце § 15, важнейшим следствием доказанной разрывности
является еще одно описание совокупности геометрий на торе
(или решеток на плоскости) с точностью до подобий — как гео-
геометрии 2, соответствующей модулярной группе перемещений
плоскости Лобачевского.
Что же это за геометрия?
Напомним свойства модулярной фигуры, сформулированные
в конце § 15. Во-первых, она является фундаментальной областью
для модулярной группы. Во-вторых, что нам сейчас особенно важ-
важно, она не содержит различных эквивалентных точек (даже на
своей границе). Наконец, как читатель легко может убедиться,
сам, она выпукла на плоскости Лобачевского, т. е. вместе с любы-
любыми двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок
прямой геометрии Лобачевского. Поэтому подобно геометриям
П 3—4, IV 3—6 на обычной плоскости (см. рис. 12.6) она сама
является искомой геометрией, т. е. эта геометрия является частью
плоскости Лобачевского. Соответствующее рассуждение совершен-
совершенно аналогично проведенному нами
в п. 3 § 12 для геометрии Dn.
Что же из себя представляет
эта геометрия — модулярная фит
гура с точки зрения плоскости
Лобачевского?
. Это дочти треугольник с той
•только разницей, что две его сто-
стороны изображаются на верхней
полуплоскости параллельными
лучами Re z = 0 и Re z = 1/2. Как
прямые геометрии Лобачевского,
они конечно тоже параллельны,
т. е. не пересекаются. Но это «особенные» параллельные, какие
встречаются только в геометрии Лобачевского — на них можно
найти точки сколь угодно близкие, так что в бесконечности они
неограниченно сходятся. Действительно, рассмотрим две точки
Ah и Bh на этих прямых: Ah = ih и Bh = -^--\-ih (рис. 17.3).
В геометрии Лобачевского, взяв в качестве основания логариф-
логарифма 10, имеем
\AhA\\BhB\
Рис. 17.3.
\Анв\\внА\
Из рис. 17.3 видно, что | AhA \ = 2 cos -f-1 АС\,
ИЛЯ| = 2cos-f-.|ВС| и \AC\~\BC\.
Поэтому \Ah, Bhl = 2 lg °°*^ , а так как при h -*¦ « (h стре-
стремящемся к бесконечности), очевидно, <р-*•-?- и ф-*•-«>-» то
cos-
ф
cos-
cos-
•1,
cos-
и, значит,
cos-g-
Ввиду этого о модулярной фигуре говорят как о треугольнике с
одной вершиной в бесконечности.
В вершине Р этого треугольника, как видно из рис. 17.2, схо-
сходятся 6 конгруэнтных его углу Р углов, вместе составляющих
полный угол. Поэтому естественно приписать углу Р нашего тре-
треугольника величину я/3. Совершенно аналогично углу с верши-
вершиной в Q следует приписать величину я/2. Это, впрочем, согласу-
согласуется с общим определением угла в геометрии Лобачевского, дан-
данным в упр. 1 к п. 2 § 16. Отметим, что если воспользоваться оп-
определением из этого упражнения в применении к бесконечной
вершине нашего треугольника, то углу в ней надо приписать ве-
величину 0.
Подытожим наше исследование:
Теорема 1. Совокупность геометрий на торе {или решеток
на плоскости) с точностью до подобия сама является геометрией —
треугольником на плоскости Лобачевского с углами я/3 и я/2
и одной вершиной в бесконечности.
Еще одним результатом нашего исследования является то,
что мы построили пример разрывной группы на плоскости Лоба-
Лобачевского — модулярной группы. Она не является равномерно-раз-
равномерно-разрывной группой на плоскости Лобачевского: действительно, ее
преобразования оставляют некоторые точки неподвижными, чего
не может быть, как мы видели, в равномерно-разрывной группе.
Например, преобразование, переводящее z в —z, оставляет на
месте все точки прямой Re z = 0, а преобразование, переводящее
я в , оставляет на месте точку i. Таким образом, мы сразу
столкнулись с более сложным примером разрывной группы — на
плоскости Евклида мы встретились с такими группами только в
§ 12 в связи с кристаллографическими группами на плоскости.
232
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Но на плоскости Лобачевского существуют и равномерно-разрыв-
равномерно-разрывные группы, которые приводят к геометриям, в достаточно малых
частях совпадающим с плоскостью Лобачевского. Таких групп го-
гораздо больше, чем на плоскости Евклида. Особенно интересны
Рис. 17.4.
те из них, что приводят к ограниченным геометриям. Эти гео-
геометрии не могут быть реализованы на торе, они реализуются на
более сложных поверхностях, подобных изображенным на
рис. 17.4.
Как разрывные группы на плоскости Лобачевского, так и со-
соответствующие им геометрий имеют громадное число применений
в самых разных разделах математики и
%////А математической физики.
Упражнения
1. Доказать, что модулярная группа порож-
порождена симметриями относительно сторон моду-
модулярной фигуры.
2. Доказать, что перемещения I рода из мо-
модулярной группы образуют группу (называемую
модулярной группой I рода). Доказать, что ее
Рис. 17.5.
фундаментальной областью является заштрихованная на рис. 17.5 фигура
(называемая модулярной фигурой I рода). Какие точки иа ее границе эк-
эквивалентны? Заметьте, что соответствующая поверхность совпадает с по-
поверхностью геометрии II 7 на рис. 12.21. Какими перемещениями порождена
модулярная группа I рода?
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Основная идея этой книги заключается в том, что геометрия
не есть жесткая, раз навсегда предписанная система понятий и
теорем. Наоборот, геометрическая интуиция способна создавать
свою геометрию для каждой новой сферы познания. Эта точка
зрения, принадлежащая к числу наиболее плодотворных идей
математики и теоретической физики, имеет два источника. Одним
из тгтпг явились исследования аксиом, лежащих в основе геомет-
геометрии, а более конкретно — попытки доказательства аксиомы о
параллельных, приведшие в конце концов к созданию геометрии
Лобачевского. Впервые мысль о том, что геометрия, в которой
аксиома о параллельных не верна, существует и логически право-
правомерна, как и геометрия Евклида, была развита в сочинениях
Н. И. Лобачевского, публиковавшихся с 1826 г. Независимо от
Лобачевского те же идеи высказал венгерский математик Бойяи
в работе, появившейся в 1829 г. Впоследствии выяснилось, что
примерно за 10 лет до этого два немецких математика Гаусс и
Швейкарт пришли к тем же выводам, но не опубликовали свои
работы, то ли потому, что не были в них уверены, то ли потому,
что боялись оказаться непонятыми.
Другим источником было изучение геометрии поверхностей.
Здесь Гаусс высказал в 1817 г. мысль, что центральной задачей
геометрии поверхностей является изучение не расположения, по-
поверхности в пространстве, но внутренних свойств поверхности,
рассматриваемой в качестве носительницы своей геометрии. С этой
точки зрения, как отмечал Гаусс, кусок цилиндра и плоскости,
хотя выглядят они различно, должны рассматриваться как оди-
одинаковые.
Очень общее понятие геометрии, отражающее и объединяющее
эти точки зрения, было разработано немецким математиком Ри-
маном в 1854 г. Наглядное представление о «жителе» геометрии
было предложено для пояснения этих идей немецким физиком и
физиологом Гельмгольцом в 1868 г. То самое общее понятие
геометрии, которое мы положили в основу нашего изложения, воз-
возникло лишь в XX в. Оно было столь подготовлено предшествую-
предшествующим развитием, что трудно указать его автора.
Геометрии, в малых частях совпадающие с плоскостью или
пространством, рассматривались английским математиком Клиф-
232
Ч. IV. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Но на плоскости Лобачевского существуют и равномерно-разрыв-
равномерно-разрывные группы, которые приводят к геометриям, в достаточно малых
частях совпадающим с плоскостью Лобачевского. Таких групп го-
гораздо больше, чем на плоскости Евклида. Особенно интересны
Рис. 17.4.
те из них, что приводят к ограниченным геометриям. Эти гео-
геометрии не могут быть реализованы на торе, они реализуются на
более сложных поверхностях, подобных изображенным на
рис. 17.4.
Как разрывные группы на плоскости Лобачевского, так и со-
соответствующие им геометрий имеют громадное число применений
в самых разных разделах математики: и
математической физики.
Упражнения
1. Доказать, что модулярная группа порож-
порождена симметриями относительно сторон моду-
модулярной фигуры.
2. Доказать, что перемещения I рода из мо-
модулярной группы образуют группу (называемую
модулярной группой I рода). Доказать, что ее
(\
-7 -1 С
Ж
1
\.
\ 1 X
Рис. 17.5.
фундаментальной областью является заштрихованная на рис 17.5 фигура
(называемая модулярной фигурой I рода). Какие точки па ее границе эк-
эквивалентны? Заметьте, что соответствующая поверхность совпадает с по-
поверхностью геометрии II 7 на ркс. 12.21. Какими перемещениями порождена
модулярная группа I рода?
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Основная идея этой книги заключается в том, что геометрия
не есть жесткая, раз навсегда предписанная система понятий и
теорем. Наоборот, геометрическая интуиция способна создавать
свою геометрию для каждой новой сферы познания. Эта точка
зрения, принадлежащая к числу наиболее плодотворных идей
математики и теоретической физики, имеет два источника. Одним
из них явились исследования аксиом, лежащих в основе геомет-
геометрии, а более конкретно — попытки доказательства аксиомы о
параллельных, приведшие в конце концов к созданию геометрии
Лобачевского. Впервые мысль о том, что геометрия, в которой
аксиома о параллельных не верна, существует и логически право-
правомерна, как и геометрия Евклида, была развита в сочинениях
Н. И. Лобачевского, публиковавшихся с 1826 г. Независимо от
Лобачевского те же идеи высказал венгерский математик Бойяи
в работе, появившейся в 1829 г. Впоследствии выяснилось, что
примерно за 10 лет до этого два немецких математика Гаусс и
Швейкарт пришли к тем же выводам, но не опубликовали свои
работы, то ли потому, что не были в них уверены, то ли потому,
что боялись оказаться непонятыми.
Другим истбчником было изучение геометрии поверхностей.
Здесь Гаусс высказал в 1817 г. мысль, что центральной задачей
геометрии поверхностей является изучение не расположения, по-
поверхности в пространстве, но внутренних свойств поверхности,
рассматриваемой в качестве носительницы своей геометрия. С этой
точки зрения, как отмечал Гаусс, кусок цилиндра и плоскости,
хотя выглядят они различно, должны рассматриваться как оди-
одинаковые.
Очень общее понятие геометрии, отражающее и объединяющее
эти точки зрения, было разработано немецким математиком Ри-
маном в 1854 г. Наглядное представление о «жителе» геометрии
было предложено для пояснения этих идей немецким физиком и
физиологом Гельмгольцом в 1868 г. То самое общее понятие
геометрии, которое мы положили в основу нашего изложения, воз-
возникло лишь в XX в. Оно было столь подготовлено предшествую-
предшествующим развитием, что трудно указать его автора.
Геометрии, в малых частях совпадающие с плоскостью или
пространством, рассматривались английским математиком Клиф-
234
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
235
фордом в конце XIX в. Он же обнаружил их связь с равномерно-
разрывными группами. Интерес к теории разрывных групп пере-
перемещений пространств особенно возрос, когда стала ясной их связь
с кристаллографией. Все кристаллографические группы в прост-
пространстве были перечислены независимо друг от друга двумя крис-
кристаллографами: русским — Федоровым в 1890 г. и немецким —
Шенфлисом в 1891 г.
Идея модели как метода доказательства непротиворечивости
геометрии Лобачевского высказывалась еще Лобачевским. Впер-
Впервые она была реализована немецким математиком Клейном и
итальянским математиком Бельтрами около 1870 г. Планомерное
исследование геометрии с точки зрения лежащих в ее основе ак-
аксиом было предпринято немецким математиком Гильбертом в
книге, появившейся в самом конце XIX в. Он же поставил во-
вопрос о непротиворечивости арифметики. Теорема о том, что не-
непротиворечивость арифметики не может быть ни доказана, ни оп-
опровергнута на основе аксиом арифметики и логики, была доказа-
доказана немецким математиком Гёделем в 1931 г.
Модель геометрии Лобачевского на верхней полуплоскости,
к которой мы пришли в этой книге, была введена французским
математиком Пункаре в 1882 г. Он руководствовался приблизи-
приблизительно теми же соображениями, которыми пользовались и мы:
найти геометрическую интерпретацию группы ©, встречавшейся
во многих вопросах математики. Разрывные группы, содержащи-
содержащиеся в группе ® (без интерпретации их элементов как движений
плоскости Лобачевского), встречались гораздо раньше. В част-
частности, модулярная группа и модулярная фигура были введены
Гауссом, причем, как и в нашей книге, в связи с вопросом о по-
подобии решеток. Судя по его дневнику, Гаусс пришел к этим иде-
идеям- в 1800 г. Пользуясь интуицией геометрии Лобачевского, Пуан-
Пуанкаре в работе 1882 г. построил теорию геометрий, в малых частях
совпадающих с геометрией Лобачевского. Для ограниченных гео-
геометрий и соответствующих им равномерно-разрывных групп пере-
перемещений плоскости Лобачевского, он построил теорию, хотя и
более сложную, но почти столь же исчерпывающую, как изложен-
изложенная нами в § 8 для случая евклидовой геометрии. Это исследова-
исследование нашло многочисленные применения к вопросам математики,
про которые раньше никто не предполагал, что они имеют какое-
либо отношение к геометрии Лобачевского или даже к геомет-
геометрии вообще.
Тем не менее в этой теории остается еще много нерешенных
вопросов. Важнейший из них — описание совокупности геомет-
геометрий, в малом совпадающих с плоскостью Лобачевского и реали-
реализующихся на поверхностях заданного типа (см. рис. 17.4). В ре-
результатах, полученных до сих пор в этом направлении, можно
увидеть применение тех же идей, которыми мы пользовались в
главе IV нашей книги для описания геометрий на торе, в малом
совпадающих с плоскостью. Опять строится некоторая новая гео-
геометрия (аналог плоскости Лобачевского) и в ней некоторая раз-
разрывная группа (аналог модулярной группы), так что^ интересую-
интересующие нас геометрии изображаются точками этой новой геометрии,
эквивалентными относительно этой новой группы.
Иными словами, геометрии, в малом совпадающие с пло-
плоскостью Лобачевского, тоже определяют некоторую геометрию.
Однако для нее до сих пор не получено описания, хотя бы близ-
близкого по своей наглядности и окончательности к тому, которое при-
приведено у нас для совокупности геометрий на торе: треугольник
на плоскости Лобачевского с углами 0, я/3 и я/2.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
2 — геометрия
П — плоскость
Г — группа перемещений
2Г — геометрия, построенная по группе
¦si-, 31, ..., 86 — точки геометрии
А, В, ..., X — точки на плоскости
А, В, ..., X —t множества эквивалентных точек на плоскости
Ф — фигура
[АВ] — отрезок, соединяющий две точки плоскости
[st-31] — отрезок, соединяющий две точки геометрии
(АВ) — прямая, проходящая через точки А я В
\АВ\ —расстояние между А и В на плоскости
\st-3S\ — расстояние между si- ж 38 -а геометрии S
IU5II — расстояние между А и В в пространстве
IUi, zall — расстояние между z\ и zz в плоскости Лобачевского
/ — линия
fi — кривая на плоскости
I — образующая поверхности
с — направляющая поверхности
П< — полоса на плоскости
К — круг
К(Х, г) — сферическая окрестность точки X (круг с центром X ради-
радиуса г)
тп — шар
Ш(А, s) —шаровая окрестность точки А (шар с центром А радиуса *)
@ — группа перемещений в плоскости Лобачевского
G* — перемещение, сопряженное G при помощи F
Hq — гомотетия с центром О и коэффициентом X
Та — параллельный перенос на вектор а
Тоо, — параллельный перенос на вектор 00'
Si — осевая симметрия с осью I
?° — скользящая симметрия с осью I и вектором а
Д$ — поворот на плоскости с центром О на угол <р
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯ
237
R "ф — винтовое перемещение
5° — симметрия относительно плоскости
5° — скользящая симметрия с плоскостью П и вектором а
Sfjy — поворотная симметрия
<р: 24 -*¦ 2» — накрытие геометрии 22 геометрией 24
[Ри Рг, ..., Fn] — группа, порожденная перемещениями (образующими}
^i> Рг,..., Fn
Сп — группа поворотов правильного п-угольника, а также построенная
по ней геометрия
?>„ — группа всех симметрии правильного n-угольника, а также постро-
построенная по ней геометрия
i — мнимая единица (i2 = —1)
z = а + Ы — комплексное число
z — число, комплексно сопряженное z {z = а — Ы)
Re z — действительная часть
Im z — мнимая часть
\z\ —модуль
arg z — аргумент
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома Лобачевского 226
— проективной плоскости 68
Аргумент комплексного числа 205
Большой круг сферы 10
Бордюр 149, 178
Бутылка Клейна 92
Геометрии подобные 186
—, в малом совпадающие с плос-
плоскостью 8, 52, 97
—, пространством 52,
120—145
—, Сп или Dn 158, 166
— на торе 33, 189—198, 231
Геометрия 50
— Лобачевского 211—226
— на бутылке Клейна 14
скрученном цилиндре 28
цилиндре 15—26
— неорнентируемая 139
— ограниченная 37
— ориентируемая 139
— Римана 67
— сферическая 9
— Ся 160, 161
— Dn 161
Группа модулярная 209
— накрытия 113
— перемещений 61
—, порожденная перемещениями 87
—, — системой образующих 87
— равномерно-разрывная 61, 88, 131,
— разрывная 157
— симметрии 146
— сопряженная 183
Группы кристаллографические 150
плоение 174
Действительная часть комплексного
числа 204
— прямая 204
Дискриминант решетки 198
Карта круга 98
Классификация геометрий, в малом
совпадающих с плоскостью 97
Комплексное сопряжение 205
Композиция перемещений 57
Конгруэнтность фигур 98
Коэффициент подобия 186
Кривая 18
— неподвижных точек 214
Кристаллическое вещество 150—156
Кристаллов правильная упаковка 194
Кристаллография 149
Круг 51
Лемма об однородности плоскости
100
Линия 18
— винтовая 26
Лист Мёбиуса 28
Лифты 19, 64
Ломаная 48
Меридиан на бутылке Клейна 94
Мир, в котором «право» и «лево» не-
неразличимы 27, 95
— ограниченный 37
Мнимая часть комплексного числа
204
Множество разрывное 56
Модуль комплексного числа 205
Молекула кристаллического вещест-
вещества 153, 180
Накрытия 103
Наложение геометрий 51, 184
— фигур 98
Направляющая конуса 160
— цилиндрической поверхности 15
Непротиворечивость арифметики 227
Область фундаментальная 90
Образующая цилиндрической поверх-
поверхности 15
Образующие группы 87
Окрестность сферическая 52
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
239
Орнаменты 151, 156, 174—178
Остатки взаимные 200
— квадратичные 200
Пара порождающая 190
— приведенная 191
Параллель на бутылке Клейна 93
Пары подобные 190
Перемещение 57
— винтовое 121
— обратное 58
— тождественное 58
Перемещения в геометрии Лобачев-
Лобачевского 211—214
Плоскость 50
— комплексная 206
— Лобачевского 211—226
— проективная 172—174
Поверхность коническая 160
— цилиндрическая 15
Подобие геометрий 186
Полуплоскость комплексная верхняя
207
Произведение векторов 202
Пространство 50
«Право» и «лево» 27, 138
Прямая 25, 37
— действительная 204
— замкнутая 38, 93
Прямые в геометрии Лобачевского
215, 216
Прямые на бутылке Клейна 94
торе 37—41
цилиндре 25—26
Расстояния 18, 22, 29, 34, 35, 46, 47,
64
— в геометрии Лобачевского 217—
222
Решетка пространственная 124
— целочисленная 198
Решетки плоские 81, 132, 192, 207—
211
Симметрия поворотная 121
— решетки 126
— скользящая 27, 121
Симметрии фигур 145
Склеивание геометрий 170
Сопряжение комплексное 205
— перемещений 183
Сопряженная группа 183
Сферическая геометрия 9
— окрестность 52
Теорема Шаля 73, 122
Типы равномерно-разрывных групп
75
перемещений плоскости 88
пространства 131,136, 137,
145
Тор 32, 33
— трехмерный 135
Точка геометрии 63
— особая 161
Точки противоположные 32
— эквивалентные 21, 27, 29, 55, 68
относительно накрытия 113
Треугольник в сферической геомет-
геометрии 12
Угловой коэффициент прямой 38
Угол в сферической геометрии 11
Узоры 148, 151, 156, 174—178, 229
Фигура модулярная 192, 209
Фигуры, в малом совпадающие с С„
или Dn 167
— на конусах 168
— наложимые (конгруэнтные) 98
Формула Эйлера 15
Фундаментальная область 90
Целочисленная решетка 198
Цилиндр скрученный 28
Числа комплексные 204
— простые 200
Шар 52
Эквивалентность точек 55
— комплексных чисел 209